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Modulo Mecanica de Fluidos

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Page 1: Modulo Mecanica de Fluidos

1

F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

MODULO DE MECANICA DE FLUIDOS I

S E G U N D A T I T U L A C I Ó N

Presentado Por:

Escuela Profesional de Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería

Decano de la Facultad de Ingeniería:

Mg. Ricardo Delgado Arana

Director de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil:

Mg. Ricardo Delgado Arana

Docente del Curso:

Mg. Hansel G. Paz Muro

Abril 2013

Page 2: Modulo Mecanica de Fluidos

2

PRESENTACIÓN

I. – MARCO CONCEPTUAL1. Competencias ............................................................................................................................ IV2. Lineamientos de Políticas del curso....................................................................................... V3. Objetivos Curriculares ........................................................................................................... VI

II. – MARCO ESTRUCTURALDescripción del ModuloUNIDAD I …………………………………………… …………………………………………………………….………………………1 - 14

Introducción. Evaluación de entrada.Definiciones básicas. Propiedad de los fluidos. Estática de los fluidos. Fuerzas sobre áreas planas. Fuerzas sobre superficies curvas.

UNIDAD II …………………………………………… ………………………………………………………………………...……………15 - 32

El principio de Arquímedes.- Presión en los líquidos-empuje y peso aparente- Flotabilidad- Condiciones de equilibrio de los cuerpos en flotación- Clasificación de los flujos.- Descripción del movimiento: Línea de corriente, trayectoria y tubo de corriente. Campo potencial solenoidal y armónico o Laplaceano. .- Movimiento plano de los fluidos: función corriente y potencial.- Ecuación de Cauchy-Riemann.- Red de corriente. Gasto o caudal. Ecuación de continuidad.

UNIDAD III …………………………………………… …………………………………………………..……………………………… 33 - 40

Ecuación de continuidad y Principio de la cantidad de movimiento.- Principio de la Conservación de la Materia- Principio de la cantidad de movimiento aplicado a fluidos. Dinámica de los fluidos reales.- Ecuación de Bernoulli Modificada.- potencia neta y bruta .-Coeficiente de Coriolis y Boussinesq.-Ecuación de la Energía aplicada a bombas y turbinas.

Examen final.Exposiciones a cargo de los grupos de trabajo.

BIBLIOGRAFÍA.™ Merle C.Potter, David C. Wiggert, MECANICA DE FLUIDOS, Internacional Thomson Editores,

Tercera edición, México 2003

™ Bruce R. Munson, Donal F. Young, FUNDAMENTOS DE MECANICA DE FLUIDOS, Editorial Limusa

S.A. Grupo Noriega Editores – Mexico 2002

™ Hansen. FLUID MECHANICS. Editorial Wiley &Sons.Inc. USA 1985.575 pp.

™ Mataix. P. Claudio, MECANICA DE FLUIDOS MAQUINAS HIDRAULICAS. 2da. Ed. Editorial HarlaMexico 1986.662pp

™ Roca Vila, R, Introducción a la Mecánica de Fluidos . 1ra ed.. 2da reimpresión. Editorial Limusa. Mexico.

1987.498 pp.

™ AZEVEDO-ACOSTA. Manual de Hidraulica. 6ta. Ed. Editorial Harla-México. 1975. 578pp

™ KING-BRATER. Manual de Hidráulica. 1era. ed. Editorial UTEHA. México. 1981. 5J6pp.

™ BUREAU OF RECLAMATION. Diseño de Presas pequeñas. Editorial CECSA 1931

™ SVIATOSLAV KROCHIN. Diseño Hidráulico. Segunda edición 1982

Page 3: Modulo Mecanica de Fluidos

3

™ MAXIMO VILLON BEJAR. Hidráulica de canales. Instituto tecnologico de Costa Rica. Departamento de Ingenieria Agrícola.

™ P.NOVAK-A.I.B. MOFFAT-C. NALLUN Estructuras Hidráulicas. MC Graw Hill. Segunda edición 2001

Page 4: Modulo Mecanica de Fluidos

4

PRESENT ACIÓN

En muchas áreas de la ingeniería es muy útil tener conocimiento apropiado de la mecánica de los fluidos como ciencia y su aplicación en la hidráulica e Ingeniería Hidráulica. En biomecánica el flujo de la sangre y el fluido cerebral son de particular interés; en meteorología e ingeniería oceánica, para entender el movimiento del aire y las corrientes oceánicas, se requiere el conocimiento de la mecánica de fluidos; los ingenieros químicos deben comprender la mecánica de los fluidos para diseñar los diferentes equipos de procesamiento químico; los ingenieros aeronáuticos utilizan sus conocimientos de fluidos para incrementar al máximo la fuerza de elevación y reducir al mínimo el retardo de aeronaves y para diseñar motores de reacción; los ingenieros mecánicos diseñan bombas turbinas, equipo de aire acondicionado, plantas eléctricas con base en el conocimiento de la mecánica de fluidos; Los ingenieros civiles también utilizan los resultados obtenidos en el estudio de la mecánica de fluidos para comprender el transporte de sedimentos y la erosión en ríos, la contaminación de aire y agua, y así diseñar sistemas de tuberías, plantas de tratamiento de aguas servidas, canales de irrigación, sistemas de control de inundaciones, etc,

Page 5: Modulo Mecanica de Fluidos

5

COMPETE NCIAS:

• Explica y analiza la definición de fluido como medio continuo, de la Mecánica de Fluidos como

ciencia y surelación con la hidráulica e ingeniería

hidráulica.• Explica y analiza la Ecuación básica o fundamental de la Hidrostática, así como también las

principalesecuaciones derivadas de la misma y sus aplicaciones.

• Analiza y ejecuta la ecuación fundamental de la hidrostática para el cálculo de fuerzas hidrostáticas

sobrecuerpos y/o estructuras parcial o totalmente sumergidas diversas.

• Explica, analiza y ejecuta las Ecuaciones de Continuidad y de Conservación de la energía en el flujo de fluidos;

así como también las principales ecuaciones derivadas de las mismas: Ecuación de Bernoulli.

• Explica y analiza los fenómenos de resistencia al flujo en conductos circulares, clasificando los regimenes de flujo respectivos (laminares, turbulentos y transicionales) y estableciendo diferencias y similitudes entre sus distribuciones de esfuerzos, velocidades y presiones respectivas.

• Explica, analiza y ejecuta las principales formulas de cálculo para la determinación de pérdidas

energéticasprimarias (friccionantes) y secundarias (locales) en sistemas de flujo de fluidos (flujo de agua

principalmente)a través de tuberías circulares.

• Explica y analiza los criterios de semejanza en Mecánica de Fluidos e Hidráulica, así como también las leyes respectivas que las rigen.

• Explica, analiza y ejecuta la teoría del Análisis Dimensional en Hidráulica y el Teorema “ ” de

Buckingham.

ƒ Analiza e interpreta el flujo en conductos abiertos, sus elementos de conducción por acción de la gravedad y los aspectos constructivos y otras variables que inciden en el diseño.ƒ Analiza e interpreta la formación del resalto hidráulico y la curva de remanso.ƒ Analiza e interpreta la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, curvas de remanso.

ƒ Representa conceptos, criterios, metodologías generales para la identificación, formulación y evaluación de losProyectos Hidráulicos, así como los lineamientos en su planeación.ƒ Representa los problemas elementales que integran diversos conocimientos de Hidrología para la planificacióny diseño de las estructuras en un Proyecto de Ingeniería Hidráulica.ƒ Utiliza conocimientos de medición con equipos y métodos para su aplicación en el Diseño de Obras Hidráulicas.ƒ Representa variables relación agua-suelo-planta determinando eficiencia en el riego, además el control de laexcesiva humedad.ƒ Resuelve de acuerdo a los conocimientos básicos la estimación de los niveles de agua en un río para serdesviados hacia un canal o conducto para irrigación, generación hidroeléctrica, usos domésticos o industriales.

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6

OBJETIVOS DEL CURSO :

ƒ Presentar los fundamentos de la mecánica de fluidos de modo que los estudiantes sean capaces de entender el rol que el fluido desempeña en una aplicación particular.

ƒ Comprender eficientemente las propiedades fundamentales de los fluidosƒ Reconocer y aplicar las ecuaciones de Continuidad, Ecuación de energía, ecuación de cantidad de movimiento.ƒ Comprender en forma clara los principios básicos de la Mecánica de los Fluidos y estar en capacidad de

aplicarlos en los problemas de Ingeniería.ƒ Inculcar al alumno las herramientas necesarias que exige la planeación, diseño, construcción y operación de las

estructuras para controlar y utilizar el agua, en el desarrollo de un proyecto de irrigación.ƒ Identificar los elementos que constituyen un aprovechamiento superficial en un proyecto de riego.ƒ Utilizar con eficiencia los principios de la hidráulica en los diseños de las obras de infraestructura de riego.ƒ Plantear con criterio la diversidad de estructuras a usarse en un determinado proyecto de irrigaciónƒ Conocer y utilizar con eficiencia los lineamientos básicos que permitan optimizar el diseño de obras de:

transporte de agua para riego, obras de protección y obras de control de erosión.ƒ Buscar el interés en el futuro ingeniero, a participar en forma directa en la realidad en la que vivimos.

ƒ Las clases se dictarán conforme a lo establecido por la Escuela de Ingeniería Civil, el 30 % de inasistencias inhabilita al alumno.

Page 7: Modulo Mecanica de Fluidos

7

Page 8: Modulo Mecanica de Fluidos

8

MECANICA DE FLUIDOS I

I.- DEFI NICIONES B ASICAS

¿Qué son los fluidos?Los fluidos son sustancias que “fluyen” indefinidamente ante acciones externas. Los fluidos se encuentran en estado líquido y en estado gaseoso.

LíquidoEstado de la materia en el que las moléculas pueden cambiar de posición una respecto a las otras, perorestringidas por las fuerzas de cohesión, a fin de mantener un volumen relativamente fijo

GasEstado de la materia en el que las moléculas prácticamente no se hallan restringidas por fuerzas de cohesión. El gas no tiene forma ni volumen definidos.

DEFI N IC I ON F U N DA ME N TAL DE F L UI D O Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente bajo la acción de esfuerzos cortantes

Diferencia entre un sólido y un fluido

Sólido Liquido

Desplazamiento oDeformación definida

Cambio continuo de forma ante el efecto de una fuerza cortante

Vector esfuerzo: Vector de fuerza dividido entre el áreaEsfuerzo normal: Componente normal de fuerza dividido entre

el área. Esfuerzo cortante: Componente tangencial dividida

entre el área. SISTEMAS DE UNIDADES

Tabla 1.- Dimensiones fundamentales, unidades.Cantidad SI Sist. Ingles DimensiónLongitud m Ft LMasa Kg Slug MTiempo Seg Seg TCorr. Elect. A ATemperatura K R Θ

Page 9: Modulo Mecanica de Fluidos

Cantidad SI Sist. Ingles DimensiónArea m2 ft2 L2

Volumen m3 ft3 L3

Velocidad m / seg ft / seg LT −1

Aceleración. m / seg2 ft / seg2 LT −2

Velocidadangular

seg−1 seg−1 T −1

Fuerza Kg.m2

o N Slug.ft2

o Lb MLT −2

Densidad Kg / m3 Slug / ft3 ML−3

Pesoespecifico

N / m3 Lb / ft3 ML−2T −2

Frecuencia seg−1 seg−1 T −1

Presión N / m2 (Pa) lb / ft2 ML−1T −2

Esfuerzo N / m2 (Pa) lb / ft2 ML−1T −2

Tensión Sup N / m lb / m MT −2

Trabajo N.m (Joule) ft.lb ML2T −2

Energía N.m (Joule) ft.lb ML2T −2

Potencia J (watt)

segft.lbseg

ML2T −3

Viscosidad N.seg

m2Lb.seg

ft2ML−1T −1

Flujo demasa

Kg / seg Slug / seg MT −1

Gasto m3 / seg ft3 / seg L3T −1

Tabla 2.- Unidades derivadas

seg seg

II.- PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Establece que: “Cualquier ecuación deducida analíticamente y que represente un fenómeno físico debe satisfacerse en cualquier sistema de unidades”.

Lo mencionado indica que: para que una ecuación sea dimensionalmente homogénea, la igualdad numérica entre el primer y segundo miembro debe mantenerse para todos los sistemas de unidades. Para que esto ocurra es necesario que cada uno de los términos de la ecuación tenga una misma representación dimensional.

Ejemplos:1.- ¿Es la ecuación dimensionalmente homogénea?

2A) a = 2d / t2 − 2Vo / t

B) 0 = − dP

+ µ d U

dx

a = aceleración P = presión

dy2

d = distancia x, y =

Page 10: Modulo Mecanica de Fluidos

distanciaVo = velocidad µ =

viscosidadt = tiempo U=

velocidad

Page 11: Modulo Mecanica de Fluidos

2.- Hallar las dimensiones de “K” en la siguiente expresión:

µ∇2V − ∇P + ρK + µ

(∇2.V) = ρ(V.∇)V3

donde:P = presión ρ = densidadV = velocidad µ = viscosidad absoluta∇ = gradiente

3.- La forma de una gota de liquido suspendida puede expresarse mediante la siguiente formula

desarrollada por estudios fotográficos de la gota.

(γ − γo)(de)2T =

H

donde:γ = peso especifico del liquido de la gotaγo = peso especifico del vapor que la

rodeaT = Tensión superficial

H = Función determinada experimentalmente¿Qué dimensiones debe tener H para que la ecuación sea dimensionalmente homogénea?

Los fluidos considerados por la Mecánica de Fluidos, son aquellos líquidos y gases que se mueven por acción de un esfuerzo cortante, no importa cuan pequeño pueda ser tal esfuerzo cortante.A temperaturas y presiones normales la separación de las moléculas: Para gases es del orden de 10-6 mmPara líquidos es del orden de 10-7 mm

El numero de moléculas por milímetro cúbicoPara gases es del orden de 1018

Para líquidos es del orden de 1021

Se supondrá que todas las características de interés del fluido (presión, velocidad. Etc) varían en forma continua en todo el fluido. Es decir, que el fluido es un medio continuo

III.-DEFINICION DEL MEDIO CONTINUOEn el estudio de la mecánica de fluidos conviene suponer que tanto gases como líquidos estáncontinuamente distribuidos por toda una región de interés, esto es el fluido se trata como medio continuo. En otras palabras el medio continuo considera que toda sustancia posee una estructura molecular uniforme, es decir están conformados por materia continua, despreciando las distancias, intermoleculares que realmente existen entre moléculas.

La propiedad principal utilizada para determinar si la suposición de medio continuo es apropiada es ladensidad (ρ) definida mediante

ρ = lim∆m

∆V → 0 ∆V

Donde: ∆m es la masa incremental masa contenida en un volumen incremental ∆V, en condicionesatmosféricas estándar: Presión = 101.3 KPa y T=15ºC

Page 12: Modulo Mecanica de Fluidos

IV.-ESCALAS DE PRESION Y TEMPERATURA

Presión: Es el resultado de una fuerza de comprensión normal que actúa sobre un área. La presion se define como:

Page 13: Modulo Mecanica de Fluidos

P = lim ∆Fn(N/m2) ó (Pa)

∆A→ 0 ∆A

Presion Absol u t a : Llega a cero cuando se alcanza el vacío absoluto; esto es cuando no hay moléculas en elespacio. Por consiguiente la presión absoluta negativa es imposible.Presión manométrica: Se mide respecto a la presión atmosférica local.

P absoluta = P atmosférica + P manométrica

A

Atmósfera estándar

PA absoluta

PA manométrica

Atmósfera local

P=0 manométrica

101.3 Kpa14.7 psi30.0 in de Hg760 mm de Hg34 ft H2O1.013 bar

A – Presión positiva

Presión a cero absoluto

PB manométrica (negativa)

BPB absoluta

P=0 absoluta

B – Presión negativa o vacío positivo

Comúnmente se utilizan dos escalas de temperatura, las escalas Celsius (ºC) y Fahrenheit (F) las dos escalas están basadas en el punto de congelación y punto de ebullición del agua a una presión atmosférica de 101Kpa (14.7 Psi)

ºC K ºF ºRPunto de ebullición 100º 373 212º 672ºPunto de congelación 0º 273 32º 492º

-18º 255 0º 460

La escala absoluta correspondiente a la escala Celsius es la escala Kelvin (K):

K = ºC + 273.15

La escala absoluta correspondiente a la escala Fahrenheit es la escala Rankine ( R ):

ºR = ºF + 459.67

Ejemplo. Un manómetro instalado en un tanque rígido mide un vacío de 42 KPa en el interior del tanque mostrado, el cual esta situado en un lugar donde la elevación es 2000 m Determine la presión absoluta dentro del tanque.P(2000 m) = 79 480 Pa

Page 14: Modulo Mecanica de Fluidos

V.-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

V.1 Densidad (ρ).-Es la cantidad de materia contenida en una unidad de

volumen. DENSIDAD = MASA/VOLUMENValores típicos:Agua = 1000 kg/m3Mercurio = 13456 kg/m3Aire = 1.23 kg/m3

V.2 Peso especifico (γ).- Mide la fuerza gravitacional de atracción actuando sobre un volumen unitario de masaPeso especifico = PESO/VOLUMEN

Valores típicos:Agua = 9814 N/m3Mercurio = 131243 N/m3Aire = 12.07 N/m3

V.3 Densidad relativa (S):

S =ρ

ρagua

γagua

Ejemplo1 : Densidad relativa del mercurio

S = ρHG

ρagua

= 13.6

Esto es, masa del mercurio es 13.6 veces la del agua.

ρ(agua) = 1000 −

γ(agua) = 1000 −

(T − 4)2

180

(T − 4)2

8T en ºC

Densidad relativa del mercurio.

SHG = 13.6 – 0.0024 T

V.4 VISCOSIDAD

• Propiedad de los fluidos de oponer resistencia al deslizamiento• En los líquidos depende principalmente de la cohesión entre las moléculas del fluido• En los gases depende principalmente del grado de agitación molecular• La viscosidad determina los esfuerzos de corte internos• Considerada como la pegajosidad interna de un fluido.

Esta propiedad influye:¾ En la potencia necesaria para mover una superficie aerodinámica a través de la atmósfera¾ Responde a las perdidas de energía en el transporte de fluidos en ductos canales y tuberías¾ Genera turbulencia¾ La velocidad de deformación de un fluido esta directamente ligada a su viscosidad.

La viscosidad de un fluido mide su resistencia a fluir, como resultado de la interacción de susmoléculas

Page 15: Modulo Mecanica de Fluidos

b

aFuente: Mecánica de fluidos e Hidráulica, Ronald Giles

La fuerza F es directamente proporcional al área A y a la velocidad U e inversamente proporcional a la distancia que los separa

F α AUy

F = µ AU

y…….. (1)

µ Es la constante proporcionalidad que incluye el efecto del fluido en cuestión. Para un esfuerzo cortante:

τ = F / A ………………….(2)Reemplazando (1) en (2) se tiene

τ = µ U

y

U/y es la velocidad angular de la línea ab y corresponde a la rapidez de deformación angular del fluido.La velocidad angular también se puede escribir

como dv

dy

τ = µ dv

Entonces: dy

Ley de Viscosidad de Newton

µ Es la viscosidad absoluta o

dinámica.

E j emplo - Una placa infinita se mueve sobre una película de aceite que descansa a su vez sobre una segunda placa quieta (ver fig) Para “e” pequeño puede suponerse en los cálculos prácticos que la distribución de velocidades es lineal en el aceite. ¿Cual es en este caso la tensión cortante en la placa superior?

Si el esfuerzo cortante de un fluido es directamente proporcional al gradiente de velocidad como se

supuso en la formula anterior

τ = µ dv

dy

se dice que el fluido es Newtoniano. Los fluidos comunes como el

agua, aceite, aire, son newtonianos.Los fluidos no newtonianos, con esfuerzo cortante contra las relaciones de velocidad de deformación comose muestra en la figura con frecuencia tienen una composición molecular compleja.

Page 16: Modulo Mecanica de Fluidos

Fuente: Mecánica de fluidos Potter y Wiggert.

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Los dilatantes (arenas movedizas, lechadas) se vuelven resistentes al movimiento conforme se incrementa la velocidad de deformación.Los seudo plásticos se vuelven menos resistentes al movimiento al incrementarse la velocidad de deformación.Los plásticos ideales requieren un esfuerzo cortante mínimo para empezar a moverse. Las suspensiones arcillosas y la pasta de dientes son ejemplos que también requieren un cortante mínimo para moverse. No tienen una relación lineal esfuerzo velocidad de deformación.

VARIACION DE VISCOSIDAD CON TEMPERATURA

Un efecto importante de la viscosidad es provocar que le fluido se pegue a la superficie; lo que se conoce como Condición de no deslizamiento.

El concepto de viscosidad y gradientes de velocidad también puede ser ilustrado considerando un fluido dentro de una pequeña abertura entre dos cilindros concéntricos, como se muestra en la figura.

Fuente: Mecánica de fluidos Potter y Wiggert.

Se requiere un par de torsión para hacer girar el cilindro interno a una velocidad rotatoria constante “ ω ” mientras que el externo permanece estacionario. Esta resistencia a la rotación se debe a la viscosidad. El unico esfuerzo que existe para resistir el par de torsión aplicado en este flujo simple es un esfuerzo cortante, el cual depende directamente del gradiente de velocidad. Es decir

τ = µ du

drdu es el gradiente de velocidad y “u” es la componente de la velocidad tangencial que depende

Page 18: Modulo Mecanica de Fluidos

solo de “r”.dr

Page 19: Modulo Mecanica de Fluidos

3

Para una pequeña abertura (h <<<R) se considera una distribución lineal.

dv =

ω R

dy h

h es el ancho de la abertura. Entonces se puede relacionar el par de torsión aplicado T con la viscosidad y los demás parámetros mediante la ecuación:T = esfuerzo x area x brazo de palaca

T = τ . 2 π RL . R

T = µω R

hx 2 π RL . R

T =2 π R ω L µ

h

Se ha omitido los esfuerzos que actúan en los extremo del cilindro. L representa la longitud del cilindrorotatorio.

Ejemplo 1 .- Construya un viscosímetro con dos cilindros concéntricos de 30 cm. De largo, uno de 20.0 cm de diámetro y el otro de 20.2 cm de diámetro. Se requiere un par de torsión de 0.13 N.m para hacer girar el cilindro interno a 400 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la viscosidad.

Ejemplo 2.- Una varilla de 2.5 cm de diámetro y 1.0 m de largo es dejado caer dentro de un tubo de 3.0 cmde diámetro interior conteniendo aceite de viscosidad igual a 2 poises. Se pregunta con que velocidad resbalara la varilla. La variación de la velocidad en la masa liquida puede considerarse lineal. Densidad relativa del metal de la varilla es 7.

Formulas empíricas para calcular la viscosidad absoluta del agua y del aire.

Viscosidad para el agua (Doisevicce 1799-1869)

µ =0 .0178

1 + 0 .0337 t + 0 .0002 t2

sistema absoluto

µ = poise ; T = ºC

µ =0 .0001814

1 + 0 .0337 t + 0 .0002 t2

sistema gravitacional

µ = kg-f/m2 ; T = ºC

Viscosidad para el aire

µ = 1 .715 x 10 − 4 (1 + 0 .0275 t − 0

.00000034

µ = poise ; T = ºC

VI.- COMPRESIBILIDAD

t2) sistema absoluto

Page 20: Modulo Mecanica de Fluidos

VI.1 Elasticidad.- Es la propiedad según la cual un cuerpo reacciona contra una presión deformante de una

fuerza, de tal modo que cesada la causa, se restablece la situación primitivaTodos los fluidos se comprimen si la presión se incrementa.La elasticidad de volumen de agua es casi perfecta, solo sufre sensibles reducciones de volumen, cuando se le somete a grandes presiones y recupera su volumen primitivo al cesar la presión

Page 21: Modulo Mecanica de Fluidos

VI.2 Modulo de elasticidad ( E ).-Es la relación entre el esfuerzo por unidad de área y el cambio de volumen por unidad de volumen.

E = − dPdV / V

− dV / V Deformación unitaria del volumen

Este modulo “E” para presiones inferiores a 70 Kg/cm2 y alrededor a 0ºC es:

E = 1.033

0.00005= 20 660

Kg/cm2

Para temperaturas ordinarias se toma aproximadamente: E = 21 000 Kg/cm2

La mayoría de los fluidos poseen un modulo de elasticidad volumétrica relativamente grande que depende de la temperatura.

Modulo de elasticidad volumétrica del agua

Ejemplo 1.- Encontrar la variación que experimenta 1 m3 de agua a 20 ºC cuando se somete a un incremento de presión de 1962 Kg/m2

Ejemplo 2.- Se tiene una masa de agua a 0 ºC ¿Qué disminución de volumen se producirá por la aplicación a esa masa, de una presión de 62 Kg/cm2?. ¿Cuáles serán los pesos específicos inicial y final si el agua es pura.

Ejemplo 3.- Expresar el modulo volumétrico de elasticidad en función de la variación de densidad en lugar de variación de volumen.

Ejemplo 4: Un depósito de acero dilata un 1 por 100 en volumen cuando la presión interior aumenta en 700Kg/cm2. A presión normal, 1 Kg/cm2 absoluto contiene 500Kg, de agua de densidad 1000 Kg/m3 . Para E =21000 Kg/cm2, cuando esta lleno. ¿Cuántos Kg masa hay que añadir para aumentar la presión a 700Kg/cm2?

Page 22: Modulo Mecanica de Fluidos

VII.- TENSION SUPERFICIAL

VII.1.- Tensión superficial.- Es una propiedad originada por las fuerzas de atracción entre moléculas.

Como tal solo se manifiesta solo en líquidos en una interfaz, casi siempre en una interfaz liquido- gas.

Se idealiza a través del concepto de membrana superficial, cuyo comportamiento depende de la interacción entre las fuerzas de cohesión y de adherencia.

La tensión superficial se expresa como fuerza tensionante capaz de ser soportada por una longitud de membrana capilar.

La tensión superficial de un líquido suele disminuir al aumentar la temperatura. Desempeña un papel significativo cuando dos líquidos inmiscibles se ponen en contacto.

VII.2 CAPILARIDAD

• Se llama capilaridad a la elevación o depresión del líquido en un tubo estrecho producido por la tensión superficial.

• La superficie curva que adopta el líquido en su superficie se llama menisco.• El ángulo Ө con que toca la superficie se llama ángulo de contacto

Page 23: Modulo Mecanica de Fluidos

Ejemplo 1.- Desarrollar una expresión que determine la subida del agua a través de un tubo capilar.

Ejemplo 2: Hallar la presión en el interior de una gota de radio R, asumiendo que la presión en el exterior es cero.

Ejemplo 3: Se inserta un tubo de vidrio limpio en agua a 15 ºC. Determine la altura a la que sube el agua en el tubo. El agua forma un ángulo de contacto de 0º con el vidrio limpio.

Page 24: Modulo Mecanica de Fluidos

HIDROSTATICA

Estudia los fluidos sin movimiento. Los fluidos estáticos no tienen esfuerzo de corte.

Conceptos previos

Presion Absol u t a : Medida de la presión que toma en cuenta el efecto de la presión atmosféricaP absoluta = P atmosférica + P manométrica

Presión relativa : Medida de la presión que toma como referencia la presión atmosférica.

Presion en un punto (Principio de Pascal)La presión en un punto en el seno de una masa fluida en equilibrio es igual en todas las direcciones

∑ Fy = 0 : P2 dxdz = P3 senαdxds

dz

……………………………(I)ds

De la fig: Senα =ds

entonces dz = ds.senα dz

Reemplazando en (I)P2 dxds.senα = P3 senαdxds entonces

:

dy

P2 = P3

∑ Fx = 0 : las presiones laterales son iguales

∑ Fx = 0 P dxdy − P cosαdxds − w

dxdydz1 32

P dxdy = P cosαdxds + ρg

dxdydz …………………(II)1 32 ds

dydx

De la fig: Cosα =ds

entonces dy = ds. cosαdy

Reemplazando en (II)

P dxdy = P dxdy + ρg

dxdydz1

P1 = P3

32

+ ρg

dz2

Para un punto; dz = 0 entonces :

P1 = P2 = P3

Page 25: Modulo Mecanica de Fluidos

ECUACION GENERAL DE LA HIDROSTATICA

Y

Y

r

i j k

+ +

Variación de la presión

Los puntos ubicados al mismo nivel tienenla misma presión

La diferencia de presiones entre puntossituados en niveles diferentes es proporcional a su diferencia de niveles.

ECUACION GENERAL DE LA HIDROSTATICA

P = presiones medias que actúan en las caras mas cercanasP+dP = Presiones medias que actúan en las caras de los ejes mas alejadosF = Fuerzas resultante de las fuerzas externas que son aplicadas en el centro de masa de un fluido

F = X r

+r

+ Z r

m

……………………………………..(1)

Ademas: ρ =V

; dV = dxdydz

dm = ρdVdm = ρdxdydz

Si a la ecuación (1) se divide por “m” se obtiene la fuerza unitariar r r

F =

X i j Z k m m

r r rEntonces:

F unitario = x i + y j + z k

Leyes de equilibrio: ∑ Fx = 0

……………..(1)

∑ Fy = 0 ……………..(2)

∑ Fz = 0 ……………..(3)

De (1)

Pdzdy − (P + ∂P

dx)dydz + xdm = 0∂x

Pdzdy − Pdydz − ∂P

dxdydz + xρdxdydz = 0∂x

Fig. Equilibrio de un elemento diferencial octaédrico

∂P = xρ

∂xvectorialmente

rρ.xi =

∂P i

∂x…….(a)

De (2) Pdxdz − (P + ∂P

dy)dxdz + ydm = 0∂y

Page 26: Modulo Mecanica de Fluidos

rj

∂P = yρ

∂yvectorialmente

ρ. yj = ∂P r

∂y…….(b)

Page 27: Modulo Mecanica de Fluidos

ρ ∇F

De (3) Pdxdy − (P + ∂P

dz)dxdz + zdm = 0∂y

r r∂P = zρ

∂zvectorialmente

ρ.zk = ∂P

k∂z

…….(c)

Donde (a), (b) y (c) son ecuaciones de Euler de la hidrostática

Además de: (a) + (b) + (c)

r r r ∂ r ∂ r ∂ rρxi + ρyj + ρzk =

P i +

P

∂x ∂yj +

P k

∂zr r r ∂ r ∂ r ∂ rρ ( xi + yj + zk ) = ( i +

∂x ∂yj + k )P

∂zr =

r P Ecuación vectorial de la hidrostática (EULER)

ECUACION ANALITICAr r r

dr = dxi + dyj + dzkdP = ρ ( xdx + ydy + zdz)

……………..(d)

Variación de la presión con la profundidad (propio peso): En (d):dP = ρ (−gdz)dP + ρgdz = 0

x = 0

Z

y = 0 x = −g

Integrando Presión atmosférica

P + γ z = C A

Si: z = z A ; P = 0 entonces C

= γ z A O Y

hP + γ z = γ z A

dividiendo por γ ZAP

= z − z Pγ

A Z

p = γ ( z A − z )

“La diferencia de presiones entre dos puntos de la masa de un liquido en equilibrio, es igual a la diferenciade la profundidad multiplicada por el peso especifico del liquido”

Teniendo en cuenta que la presión atmosférica varia con la altitud, correspondiendo al nivel del mar una columna de agua de 10.33 m. La columna de mercurio seria 13.6 veces menor, o sea 0.76 m

Page 28: Modulo Mecanica de Fluidos

En muchos problemas relativos a las presiones en los líquidos, lo que generalmente interesa es conocer la diferencia de presiones. Actuando la presión atmosférica, igualmente en todos los puntos, no necesita ser considerada.

Es importante recordar que en los problemas que envuelven el estudio de los gases, la presión atmosférica siempre debe ser considerada.

MEDIDA DE LA PRESIÓNEl dispositivo mas simple para medir la presión es el “Tubo piezometrito”, o simplemente piezómetro. Consiste en la inserción de un tubo transparente, en la tubería o recipiente donde se quiere medir la presión.

El liquido subirá en el piezómetro a una altura h, correspondiente a la presión interna

Fig (a) Fig (b) Fig (c)

En los piezómetros de más de 1 cm de diámetro, los efectos de capilaridad son despreciables.

Otro dispositivo es el tubo en U, que se aplica ventajosamente, para medir presiones muy pequeñas o demasiado grandes para los piezómetros

Para medir presiones pequeñas, generalmente se emplea el agua, tetracloruro de carbono, tetrabromuro de acetileno y bencina, como líquidos indicadores, en cambio el mercurio es usado con preferencia, en el caso de presiones elevadas.

Para el ejemplo indicado (fig b)

Objetivo, determinar la presión en

“A”.

Se sabe que la presión en “1” es igual a la presión en “2” P1 = P2

Pamb =0

Entonces:

P1 = γ ' h

(1)

Page 29: Modulo Mecanica de Fluidos

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio de altura “z”,

P 1 = P A + γ

z

(2)

Igualando (1) y (2):

γ l

PA = γ ' h − γz

Hagamos,

= S ; entonces :γ

PA = γ (Sh − z)

Page 30: Modulo Mecanica de Fluidos

PA = P1 + γz (2)

Reemplazando (1) en (2): PA = P 3 + γz (3)

MANÓMETRO DIFERENCIAL

Mide la diferencia de presiones entre dos puntos. La sensibilidad del manómetro es tanto mayor cuanto ladiferencia ( γ '−γ ) sea menor. Siendo γ '

el peso específico del líquido manométrico.

Objetivo, determinar la diferencia de presiones entre “A” y “B”.

P1 = P2 = P3 (1)

Del diagrama del cuerpo libre en equilibrio de la columna de

altura “z”,

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de la columna de altura “h”,

P3 = P4 + γ ' z (4)

Pero, P4 = P5

(5)

Sustituyendo (5) en (4), resulta:

P3 = P5 + γ ' z

(6)

Además, del diagrama del cuerpo libre de la columna de altura “h+z”:

PB = P5 + γ (h + z) (7)

Restando (3)-(7) y simplificando: PA – PB = P3 – P5 -ال h (8)

(6) en (8):

PA − PB = h(γ '−γ )

FUERZA HIDROSTATICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA

dF = P dAdF = γ h dAd F = γ y sen α dAIntegrando:

F = γ .senα ∫ ydA ;A

∫ ydA es la distancia al centroideA

F = γ .senα .YG A

F = γ .hG A

F = PCG A

Page 31: Modulo Mecanica de Fluidos

La fuerza en una superficie plana, es la presión en el centroide multiplicado por el área

Page 32: Modulo Mecanica de Fluidos

x G G

x

DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES (CP)

Para la ubicación de la fuerza resultante se observa que la suma de momentos de todas las fuerzas de presión que actúan sobre el área A deben ser iguales al momento de la fuerza resultante.

Sea F la fuerza que actúa en (Xp, Yp). El valor de Yp se obtiene igualando los momentos con respecto al eje XCalc u lo de Yp

FYp = ∫YPdAA

γ .senα.YG .A.Yp = ∫YγY .senα.dAA

∫Y 2 dA

Yp = A ;YG A

∫Y 2 dA = IA

(segundo momento de área con respecto al eje x)

Yp = I x

YG A…………………….(I)

Por el teorema de Steiner (teorema de transferencia del eje paralelo por el producto de inercia)

I = I + AY 2

Reemplazando en (I)

Yp = YG+

I GYG A

Calc u lo de X p

FXp = ∫ XPdAA

γ .senα.YG .A.Xp = ∫ XγY .senα .dAA

∫ XYdA

Xp = A ;YG A

I xy

∫ XYdA = I xy

A

Xp = …………………….(II)YG A

Por el teorema de Steiner (teorema de transferencia del eje paralelo por el producto de inercia)

I xy = I XG ,YG + X G YG A

Reemplazando en (I)

I XG ,YGXp = X G + YG A

Calculo de las componentes de F

FH = F .cos β FV= F .senβ

FH = γH G .S.cos

β

Fv = γH G .S.senβ

FH = γH G .Sv FH = PCG .Sv

Page 33: Modulo Mecanica de Fluidos

FV = γH G .S H

FV = PCG .S H

Donde: S = superficie infinitesimal

Page 34: Modulo Mecanica de Fluidos

Aplicaciónes:1.- En un dique de concreto se instala una compuerta circular de hierro fundido con 0.20 m. de radio.

Determinar el empuje que actúa sobre la compuerta.

2.- Un área plana de 80x80 cm. Actúa como la ventana de un sumergible. Si forma un ángulo de 45º con la horizontal. ¿Qué fuerza aplicada normal a la ventana en el borde inferior se requiere para comenzar a abrirla si esta engoznada en el borde superior, cuando esta se encuentra 10m. por debajo de la superficie?. Se supone que la presión en el interior del sumergible es la atmosférica.

3.- Localice la fuerza resultante F del agua en la compuerta triangular, y la fuerza P necesaria para mantenerla en la posición mostrada en la figura.

CALCULO DE PEQUEÑOS MUROS DE CONTENCION Y DIQUES

4.- Se tiene un muro vertical de mampostería y de forma rectangular. Determinar el empuje, el punto de aplicación y las dimensiones del muro.

5.- Un segmento parabólico ACD de base 2b y de altura a esta sumergido en agua, en posición

Page 35: Modulo Mecanica de Fluidos

vertical, coincidiendo su base con la superficie SS’ del liquido. Determinar el empuje y el centro de presión.

Page 36: Modulo Mecanica de Fluidos

FUERZA SOBRE SUPERFICIES CURVAS

En los casos prácticos de ingeniería, cuando se estudia el empuje ejercido sobre superficies curvas, resulta más conveniente considerar las componentes horizontales y verticales de las fuerzas.

1) La fuerza resultante actuando sobre una superficie curva se descompone en una componente horizontal y una vertical. El punto de aplicación de la fuerza resultante sobre una superficie curva puede obtenerse sumando vectorialmente las fuerzas horizontales y verticales.

2) La componente horizontal de la fuerza actuante sobre una superficie curva es igual a

la fuerza resultante aplicada sobre la proyección vertical del área curva.3) La componente vertical de la fuerza actuante sobre una superficie curva es igual al peso de la

columna de agua actuando sobre el área curva.

Aplicaciones:

1.- Calcule la fuerza P necesaria para detener la compuerta de 4 m de ancho en la posición mostrada en la figura. Omitir el peso de la compuerta.

2.- Un dique de 4 metros de altura y 10 metros de ancho, presenta un perfil parabólico aguas arriba.

Calcular la resultante de la acción del agua.

3.- La figura que se muestra, ilustra una sección de un depósito de agua de 6 mts. de longitud. La pared abc del depósito está articulado en “c” y es soportado en “a” por un tirante. El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio.

Page 37: Modulo Mecanica de Fluidos

a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tiranteb) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuertac) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, c, despreciando el peso de la pared.

3.- Calcule la fuerza P para mantener la compuerta en la posición mostrada en la figura. Si P actúa a 3 m del eje Y. La compuerta parabólica es de 1.50 m de ancho.

Page 38: Modulo Mecanica de Fluidos

2

Limitaciones:- Flujo no viscoso- Flujo estable- Densidad constante

ECUACION DE BERNOULLI

- Es una expresión que relaciona las variables, presión "p", velocidad "V" y elevación sobre un nivelde referencia "z" a lo largo de una línea de corriente. La ecuación de Bernoulli se basa en la aplicación de la segunda ley de Newton en una partícula de fluido.

- En la partícula ubicada en la posición que se muestra, con longitud ds y área de sección transversal dA. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son las fuerzas de presión y el peso, como se muestra. De la sumatoria de las fuerzas en la dirección del movimiento, la dirección s.

∂pPdA − ( p +

ds)dA − ρ.g.ds.dA cosθ = ρ.ds.dA.aS∂s

……………(1)

aS = aceleración de la partícula en la dirección S y esta dada por

a = V ∂V

S ∂s+

∂V

∂t; donde:

∂V = 0 puesto que se comporta como un fluido continuo

∂t

dh = ds.cosθ = ∂h

ds , entonces∂s

cosθ = ∂h

∂s

En (1): PdA − ( p + ∂p

ds)dA − ρ.g.ds.dA. ∂h

= ρ.ds.dA.V ∂V

∂s ∂s

− ∂p

− ρ.g ∂h

= ρ.V ∂V

∂s

……………………(2)∂s ∂s ∂s

2

Suponiendo flujo compresible ρ = cte y considerando que V ∂V

∂s=

∂(V

∂s

/ 2)

En (2) − ∂p

− ρ.g ∂h

= ∂(V / 2)

∂s ∂s ∂s

∂ ⎛ V 2 p ⎞⎜ + + gh ⎟ = 0∂ s ⎝ 2 ρ ⎠

2

Esta condición se cumple si : V

2+

p + gh = cte

ρ

Page 39: Modulo Mecanica de Fluidos

V 2 V2

V 2 2

V 2 2

Donde la constante puede tener un valor diferente en una línea de corriente diferente.

Su aplicación entre dos puntos a lo largo de una línea de corriente produce:

1 p1 2 p2+ + gh1 =2 ρ+ + gh22 ρ

dividiendo por g

1 + p1 + h =

V2 +p2 +

2 g ρg1

2g ρgh2

1 + p1 + h =

V2 +p2 +

Ecuación de Bernoulli para flujo no viscoso, adiabático, unidimensional y que no da ni

2 g γ1

2 g γh2

recibe trabajo

Donde:V

2

= carga de velocidad2gp

= Carga de presiónγ

h = Carga de posición

Aplicación1.- Una vena liquida es descargada verticalmente hacia abajo por un tubo de 2cm de diámetro. A 0.25 m por debajo por debajo de la boca de descarga el diámetro de la vena se ha reducido a 1 cm.a) Calcular el gasto descargado por el tubob) Si el tubo descargara verticalmente hacia arriba un gasto 5 veces mayor. ¿Cuál seria el diámetro de la vena a una altura de 0.25 m sobre la boca de descarga

Page 40: Modulo Mecanica de Fluidos
Page 41: Modulo Mecanica de Fluidos

V 2 V 2

APLICACIÓN DE LA MECANICA DE FLUIDOS A LAS TURBOMAQUINAS

BOMBA: Es una turbo maquina que entrega energía a un flujo (flujo en movimiento). Eleva la presión de un fluido en movimiento, es decir, por un lado entra fluido a cualquier presión y por rl otro lado sale a una presión superior y constante

De la ecuación de energía aplicado a un volumen de control o sistema de control (porque coinciden en el instante del análisis)Consideraciones:

• Flujo adiabático, transferencia de calor =0• No viscoso• Flujo permanente adimensional• Flujo uniforme en la entrada y en la salida•

1 p1 2 p2La ecuación de Bernoulli: +2g γ

+ z1 + HB = +2 g γ

+ z 2 + hf1−2

Altura de la bomba

La potencia demandada por una bomba con una eficiencia η B seria:

Pot = γ .Q.H B

η B

= m& gH

B

η B

Page 42: Modulo Mecanica de Fluidos

V 2

V 2TURBINA: Es una turbo maquina que extrae energía de un flujo. Cuando un fluido en movimiento atraviesa una turbina, la presión en dicho flujo decrece o disminuye

1

De la ecuación de energía aplicado a un volumen de control o sistema de control (porque coinciden en el instante del análisis)Consideraciones: igual a la bomba

1 p1

2 p2

La ecuación de Bernoulli: +2 g γ

+ z1 = HT + +2 g γ

+ z 2 + hf1−2

Altura de laTurbina

La Potencia generada por una turbina con una eficiencia ηT es simplemente

Pot = γ .Q.H

TηT

= m& gH TηT

Donde:γ : peso especifico (N/m3)Q = caudal turbinado o caudal bombeadoHT =Carga de la turbina (energía transferida desde el fluido) HB = Carga de la bomba (energía transferida hacia el fluido)ηT = eficiencia de la turbina

η B = eficiencia de la bomba

La potencia se calcula en Watts, ft-lib/seg o caballos de fuerza

1 caballo de fuerza (HP) = 746 Watts ó 550 ft.lb/seg

Aplicaciones

1.- La bomba de la figura debe incrementar la presión de 0.2 m3/seg de agua de 200 KPa a 600 KPa. Si la bomba es 85% eficiente. ¿Cuánta energía requiere la bomba?. El área de salida esta a 20 cm por

Page 43: Modulo Mecanica de Fluidos

encima del área de entrada. Suponga que las áreas de salida y entrada son iguales.

2.- Desde un deposito fluye agua a través de una tubería de 2.5 pies de diámetro hasta una unidad de turbina generador, y sale a un río que esta a 100 pies por debajo de la superficie del deposito. Si la velocidad del flujo es de 90 ft3/seg y la eficiencia de la turbina generador es 88%. Calcule la potencia producida en HP. Suponga que el coeficiente de perdida es K = 2

3.- El agua de un gran deposito, como se muestra en la figura, tiene una superficie libre sometida a una presión manométrica de 0.35 kgf/cm2. El agua es expulsada y bombeada en forma de chorro libre mediante una boquilla. Para los datos dados cual es la potencia en HP y en Kw de la bomba.

Page 44: Modulo Mecanica de Fluidos

4.- En el sistema de la figura, la bomba BC extrae 65 lt/seg de aceite cuya densidad relativa es 0.82 del reservorio A para el D. La perdida de carga de A-B es 8 metros y de C-D de 22 metros.a) Que potencia debe tener la bomba si su eficiencia es de 80%b) Dibujar la línea de energía total

5.- Determinar el caudal que fluye a través del vertedero triangular, como se muestra en la figura

Page 45: Modulo Mecanica de Fluidos

si

ANALISIS INTEGRAL DE LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO

INTRODUCCION.• Estudiaremos el movimiento de los fluidos mediante el uso de la definición y de las

propiedades fundamentales de la integral.• Se considerara el fluido como un sistema• Seguir el movimiento en todo instante de la masa fluida• Formular la ecuaciones del sistema• Relacionarlo con el espacio fijo llamado volumen de control

CONCEPTOS BASICOSPropiedades: Describen el estado de un fluido por lo cual una propiedad tiene cierto valor para cada estadoEstad o : Es cualquier situación particular en la que se encuentra un fluido. Se identifica por los valores que poseen sus propiedadesPropiedades externas o mecánica s : Requieren marco de referencia (velocidad, energia cinetica, energia potencia, etc)Propiedades internas o termodin á mi c as: No requieren marco de referencia. Dependen de la situación molecular en la que se encuentra un fluido. Por ejemplo presión, temperatura, volumen, densidad Propiedades extensivas (N): Su valor en un estado varía al variar la magnitud de la masa considerada (volumen, energía cinética, energía potencial, cantidad de movimiento)Propiedades intensivas(η): Para un estado determinado no cambian aunque cambie la magnitud de la masa consideradaPropiedades especificas ( N=N / m): Son propiedades extensivas tomadas por unidad de masa Sus cualidades son similares a las propiedades intensivas Son independientes de la magnitud de la masa considerada

Propiedad extensiva Propiedadintensiva

Masa = MCantidad de movimiento = MVMomento de cantidad de movimiento : M(r x v)

2

Energia: MV

+ MgZ + MU2

1Vr x v

V 2

+ gZ + U2

Siste m a: Es la porción de materia que puede cambiar su forma, posición y propiedades. Pero la cantidad demateria permanece invariable en todo instante.

d dMasa de un sistema permanece constante :

de particulas

dt ∫ ρdV = 0 ; se utiliza

dt

porque se esta siguiendo un grupo

Page 46: Modulo Mecanica de Fluidos

Volumen de control (V.C) • Volumen definido en el espacio cuyos limites están determinados por una superficie de

control (SC)• La superficie de control puede ser variable o invariable con el tiempo.• El volumen de control puede ser fijo y/o desplazable• La cantidad de materia puede variar con el tiempo dentro de un volumen de control

DINAMICA DE LOS FLUIDOSSe denomina de esta manera al estudio del movimiento de los fluidos

Flujo: Se denomina así, en forma genérica, al movimiento de un fluidoCampo de veloci d ade s :El campo de velocidades V = V(x,y,z,t) define la distribuciónDe velocidades como una función de las coordenadas del zEspacio XYZ para un instante t cualquiera. V

Linea de corrient e : Se denomina de esta forma a laenvolvente de los vectores velocidad de las partículas fluidas en el flujo.

Tubo de Fluj o : Es la superficie formada por todas las líneas de corriente trazadas por todos los puntos de una curva cerrada. Si el flujo depende del tiempo, se tendrá el tubode flujo en un instante.

Lineas decorriente y

Clasif i c a ción de los fluj o s Existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser: permanente o no permanente; uniforme o no uniforme, laminar o turbulento; supercrítico, crítico o subcrítico; tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o irrotacional, etc. aunque no los únicos, si son los flujos más importantes que clasifica la ingeniería.Es de interés particular de la ingeniería las conducciones por tubería y por canal.

ƒ Flujo permanente ( El tiempo es la variable)El flujo es permanente si las variables hidráulicas del flujo en una sección (velocidad, presión, densidad, etc.) no cambian con respecto al tiempo.

Matemáticamente se puede representar: ∂ v = 0;

∂ t

∂ ρ = 0 ;

∂ t

∂ ρ = 0 ;

∂ tetc.

Flujo no permanente ( El tiempo es la variable)Si las variables hidráulicas cambian con respecto al tiempo, tendremos un flujo no permanente

Matemáticamente se representa:∂ v

≠ 0; ∂ t

∂ ρ ≠ 0;

∂ t∂ ρ

= 0 ; etc.∂ t

Page 47: Modulo Mecanica de Fluidos
Page 48: Modulo Mecanica de Fluidos

f

f

Análisis de la Velocidad de salida.Para un movimiento vertical se conoce:

V 2 = V 2 ± 2gh V 2 = V2 ± 2ae. Movimiento var iadof 0 f 0

V 2 = 0 + 2gh

V 2 = 2gh → V = 2 gh → v = φ (h)

ƒ Flujo Uniforme (El espacio es la variable)Esta clasificación obedecía a la utilización del espacio como variable. El flujo es uniforme si las variables hidráulicas del flujo en una longitud de su desarrollo (velocidad, presión, densidad, etc.) no cambian con respecto al espacio.

Matemáticamente se puede representar:∂v

= 0 ;∂L

∂p = 0 ;

∂L

∂ρ = 0

∂L� Flujo no uniforme (El espacio es la variable)Si las variables hidráulicas cambian con respecto al espacio, tendremos un flujo no uniforme o

variable. Matemáticamente se representa.∂v

≠ 0 ;∂L

∂p ≠ 0 ;

∂L

∂ρ ≠ 0

∂L

Flujo Unidimensional, bid i mesional, tridime n sional • Es unidimensional cuando la velocidad puede expresarse en función de una sola coordenada• Es bi o tridimensional cuando las características del movimiento requieren la utilización de 2 o

3 ejes coordenados para la descripción de las propiedades del fluido.Flujo Laminar .- Las partículas fluidas se desplazan siguiendo trayectorias paralelas sin entrecruzarse unas con otras (velocidades bajas F-inercia > F-viscosas)

Flujo Turbulent o .- Las trayectorias de las partículas se cruzan y entrecruzan sin guardar ningún orden. Es característica de velocidades altas. (F-inercia < F-viscosas)

Numero de Reynolds : Relaciona las fuerzas de inercia vs las fuerzas viscosas

Para una sección circular

R = VD

ν: donde: V = velocidad; D = longitud característica; ν = viscosidad cinemática

Para una sección diferente a circular. También para régimen de canal

R = V 4Rm

ν: donde: V = velocidad; Rm = longitud característica; ν = viscosidad cinemática

Para: R < 2300 Flujo laminar

Page 49: Modulo Mecanica de Fluidos

2300 < R < 4000 Flujo transicionalR > 4000 Flujo turbulento

Flujo ideal y flujo real• Es ideal cuando el flujo que se desplaza no produce esfuerzos cortantes en su trayectoria.• Es flujo es real cuando durante su trayectoria se manifiestan los efectos de la viscosidad.

Flujo Isotérmico y flujo adiabático.• Es isotérmico cuando la temperatura no cambia en ningún punto de la trayectoria del fluido• Es adiabatico cuando no existe la transferencia de calor desde o hacia el flujo con respeto a sus

alrededores.

Flujo IrrotacionalCuando las partículas fluidas durante su desplazamiento no admiten ningún movimiento de rotación alrededor de ningún eje. Por lo tanto no se produce pares ni tensiones cortantes. (Es también ideal)

Flujo rectilineo Irrotacional Flujo Curvilíneo Irrotacional

urUn flujo es Rotacional, si en su seno el campo rot V adquiere valores distintos de cero para cualquierrinstante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno del campo de flujo, el vector rotacional de Ves igual a cero para cualquier punto e instante.Si se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el movimiento de un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la viscosidad de fluido constituyen la causa principal de dichas singularidades (vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre con bastante frecuencia en los problemas de la práctica.Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que todo movimiento rectilíneo es Irrotacional.Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscópicamente como irrotacionales. En otros casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la distribución de velocidades puede ser de forma tal que las líneas medianas o las diagonales de una partícula, de forma rectangular, no modifican su orientación durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se representa esquemáticamente en las figurasursiguientes en las cuales el vector rot V sería normal al plano del papel.El movimiento a bajos velocidades de un fluido viscoso, es generalmente rotacional.

Flujo rectilineo Rotacional Flujo Curvilíneo Rotacional(Esquema Ideal) (Esquema Real)

Page 50: Modulo Mecanica de Fluidos

ANÁLISIS DE LOS FLUJOS

El análisis de flujo puede ser descrito según Euler o Lagrange

Método de Lagrange . Para estudiar el comportamiento de una partícula genérica, debemos seguir a dicha partícula. Esto significa que x, y, z (coordenadas de posición en cualquier instante), no permanecen constantes en la expresión del campo de velocidades; dando en cada instante la posiciónde la partícula de la siguiente forma: V = V ( x(t ), y(t ), z(t), t )

Método de Euler . Se fijan las coordenadas ( x1 , y1 , z1

)en las funciones que dan el campo de

velocidades, y desde tal punto se expresan las velocidades de las partículas fluidas al pasar por su posición ( x1 , y1 , z1 ) , en el transcurso del tiempo: V = V ( x1 , y1 , z1 , t)

El método de Euler sostiene que para analizar un flujo, basta ubicarnos en una posición fija y desde allí hacer el análisis del flujo de partículas fluidas en movimiento.

Análisis Diferenci a l Consiste en seguir a las partículas fluidas a lo largo de todo su movimiento. Este método propone el uso del “sistema”, que consiste en un volumen cuyos limites no pueden ser atravesados por materia pero si por energía.

ANALISIS INTEGRAL .- Es una forma de analizar los problemas de dinámica de los fluidos, que consiste en rodear a una porción de fluido con un volumen imaginario, para estudiar que es lo que ocurre con las sucesivas partículas fluidas que atraviesan este volumen.

Relación e n tre el sistema y volumen de control Interesa la velocidad de cambio de la propiedad extensiva N sit ya que se sigue al sistema, esto es

DN sist , y se desearía expresarla en función de cantidades que atañen al volumen de control.Dt

La derivación implica flujos de la propiedad extensiva que entran y salen del volumen de controlUn flujo es la medida de velocidad con la que una propiedad extensiva cruza un área. Es útil la notación vectorial para describir estos flujosConsiderando un elemento de área dA en la superficie de control. El flujo a través de un área elemental dA se expresa como

Fluido a través de dA = ηρn).VdA

Donde: n)

: vector unitario normal al elemento de área siempre apunta hacia fuera del VC

Page 51: Modulo Mecanica de Fluidos

η : Propiedad intensiva asociada con N sit

Page 52: Modulo Mecanica de Fluidos

=

n).V : Componente normal de velocidad. Si no hay componente normal de velocidad en un

área particular, tal como la pared de un tubo, no hay flujo a través de dicha área.Una n

).V positiva indica que el flujo sale del volumen de control

Una n).V negativa es decir V tiene una componente en la dirección opuesta a

n)

apuntando hacia afuera del VCLa velocidad V puede formar un ángulo con el vector unitario n

)

El flujo de propiedad neto = ∫ηρn).VdA

SC

Si el flujo neto es positivo, el flujo de salida es mayor que el de entrada.

Consideraciones.El VC esta fijo respecto al sistema de ejes coordenados xyz. En la fig. el VC esta con línea llena

El SC no esta fijo respecto al sistema de ejes coordenados xyz, de manera que en el instante t ocupa la misma posición que el VC considerado. En la fig el SC se representa con línea discontinua.

⎛ dN ⎞ (∫∫∫ηρd∀ +∫∫∫ηρd∀) − (∫∫∫ηρd∀ +∫∫∫ηρd∀)⎜⎝ dt

⎟⎠ SIS

= lim 3

∆t →0

2 t +dt 1 2 t

∆t

Acomodando

⎛ dN ⎞ (∫∫∫ηρ d ∀ ) − (∫∫∫ηρ d ∀ ) (∫∫∫ηρ d ∀ ) (∫∫∫ηρ d ∀ )⎜⎝ dt

⎟⎠ SIS

= lim 2

∆t → 0

t + dt 2

∆tt + lim

∆t → 0

3 t + dt

∆t− lim 1 t

∆t → 0 ∆t

∂∂t ∫∫∫VC

ηρd∀Cantidad neta de N que

sale del VCCantidad neta de N que

entra al VC

Flujo neto que ingresa y/o sale por la superficie del VC

Entonces la ecuación fundamental sistema-volumen de control es:

⎛ dN ⎞⎜ ⎟

dt ⎠

∂t ∫∫∫ ηρ d∀ + ∫∫ ηρ V .d A

⎝ SISVC SC

Page 53: Modulo Mecanica de Fluidos

Donde: V es una velocidad relativa, medida con respecto al VCdA es la normal del diferencial de area, de manera que:

Page 54: Modulo Mecanica de Fluidos

∂t

=

Si entra:

dA

Ø VC

rV .dA = −VdAcosθ

rSi Ø = 0 entonces V .dA = −VdA

V

Si sale:

dA

Ø VC

rV .dA = +VdA cosθ r Si Ø = 0 entonces V .dA = VdANota: Si en un problema no dan el valor de Ø, se asuma que Ø=0

V

∂∫∫∫ηρ d ∀ , es la rapidez de crecimiento de la propiedad N dentro del volumen de controlVC

∫∫ηρ V .d A , Es el flujo neto de N a través de la superficie de controlSC

Observación: Por definición para un flujo permanente siempre se cumplirá:∂

∫∫∫ηρ d ∀ = 0 , ya que

las propiedades n el tiempo.

∂t VC

⎛ dN ⎞Entonces: ⎜⎝ dt

⎟⎠ SIS

= ∫∫ηρ V .dASC

CONSERVACION DE MASA

N = M

⎛ ∂N ⎞η = 1

⎛ ∂M ⎞⎜⎝ ∂t

⎟ = ⎜⎠ SIS ⎝ ∂t

⎟ = 0⎠ SIS

Reemplazando en la ecuación fundamental SC- VC

∂0

∂t ∫∫∫ ρd ∀ + ∫∫ρV .d A ⇒ ∫∫ ρV .d A = −

∂t ∫∫∫ρd ∀

VC SC SC VC

Ecuación de continuidad

Page 55: Modulo Mecanica de Fluidos

= y ⎞

R

Aplicaciones:1.- Un flujo de gas que pasa por entre dos placas. En la sección 1 la velocidad es uniforme (V1 = 1.1

⎛ 2

⎜ ⎟m/seg). Si la distribución de velocidades en 2 es V2 = V max

⎜1 − ⎜

H ⎟ ⎟

y T2 es el doble de T1.

Determinar Vmax. Si P1 = 3 Kgf / cm 2

y

P2 = 1.5 Kgf / cm 2

⎝ ⎝ ⎠ ⎠

2.- El tanque se esta llenando o vaciando. A que relación aumenta o disminuye el nivel del tanque

3.- En la figura se muestra una cámara de combustión, en dicha cámara se hace ingresar oxigeno y combustible. Asumiendo que en la sección de salida los gases de escape se comportan como gases perfectos (R = 0.287 KJ/KgK . Averiguar la velocidad de salida

4.- Un globo esférico se infla, haciendo ingresar aire por una sección en donde el flujo masico es m& ylas propiedades permanecen constantes. Calcular la razón de variación de la densidad media

1

ρm del

aire contenido en el interior del globo, en donde: ρm = ∫ ρd∀

5.- A través del tubo de longitud L y radio 3 pulg fluye agua en estado estacionario. Calcule el valor de la velocidad uniforme “U” en la entrada, si la distribución de velocidades en la sección de salida esta

⎛ rdada por: U = 10⎜1 −

2 ⎞⎟ pies / seg⎜ 2 ⎟

⎝ ⎠

Page 56: Modulo Mecanica de Fluidos

∂t

=

=

=

ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN VOLOMEN DE CONTROL INERCIAL (Sin movimiento o con velocidad constante)

Al deducir la ecuación de cantidad de movimiento, volvemos a hacer uso de de la ecuación que relaciona el sistema con el volumen de control, es decir:

⎛ dN ⎞⎜ ⎟⎝ dt ⎠

∂=

∂t ∫∫∫ηρ d∀ + ∫∫

ηρ V .d A ……………….(I)

SIS VC SC

También la cantidad de movimiento en un sistema se define como: C = mV

C sist = ∫ V dmmasasistema

= ∫ V ρ .d ∀∀ . delsistema

Entonces: N = C y η = V ………………………. (II)

D CAdemás la segunda ley de Newton sostiene que : F =

Dtsist

F = F + F = F = DC

.........................................(III)sup volDt sist

Donde: Fsup : fuerzas superficiales, son aquellas que actúan sobre la superficie de un sistema o de un

volumen de control. Tiene contacto directo con el SC ó VC.Fvol : Fuerzas volumétricas; producen su efecto sin tener contacto directo, sobre el sistema de

control o el volumen de control. Por ejemplo: las fuerzas gravitacionales, fuerzas electromagnéticas.

⎛ D C ⎞ ∂Reemplazando (II) y (III) en (I) : F = ⎜

⎝ Dt⎟⎠ SIS

= ∫∫∫ V ρd ∀ + ∫∫ V ρV .d A ….. ( IV)VC SC

Nota: F es la fuerza total sobre el volumen de control, porque en el instante del análisis el sistema y el volumen de control son lo mismo ya que coinciden

La ecuación (IV) es vectorial, entonces se puede descomponer.F/ X

∂∂t ∫∫∫ V X ρd ∀ + ∫∫ V X

ρV .d A

VC SC Donde:

F/

Y

∂∂t ∫∫∫ VY ρd ∀ + ∫∫ VY ρV .d

A

Fx, Fy, Fz son componentes de la fuerza F yVx, Vy, Vz son componentes de la Velocidad

VC SC

F/ Z

∂∂t ∫∫∫ V Zρd ∀ + ∫∫ V Z

ρV .d A

Page 57: Modulo Mecanica de Fluidos

∂t

VC SC

Consideraciones para la solución de Problemas

1º) Considerar un VC adecuado, de manera que sea fácil el empleo de las ecuaciones estudiadas

(continuidad, Bernoulli, cantidad de movimiento)

2º) Asumir las consideraciones necesarias, tratando siempre de anular el termino

porque es el termino mas complejo que se presenta a la hora de trabajar

∂∫∫∫ V ρd ∀ ,VC

Page 58: Modulo Mecanica de Fluidos

3º) Determinar los signos del producto escalar V .dA , es positivo si el fluido sale del VC, y negativo sientra en el VC.

4º) Determinar el signo de Vx, Vy, Vz y de las fuerzas. Considerar lo estudiado en física general

Aplicacion e s: 1.- A través del codo de una tubería horizontal fluye agua y sale a la atmósfera. La velocidad del flujo es de 0.3 ft3 /seg. Calcular la fuerza en cada una de las varillas que mantienen al codo en su posición. No considerar las fuerzas de campo, los efectos viscosos y la fuerza cortante en las varillas.

2.- Encuentre una expresión para la perdida de carga o altura en una expansión repentina de una tubería en función de V1 y la relación de are. Suponga perfiles de velocidad uniforma y que la presión en el ensanchamiento repentino es P1

3.- Cuando la velocidad de un flujo en un canal abierto de ancho “b” es relativamente grande, es posible que el flujo “salte” de una profundidad Y1 a una profundidad Y2 en una distancia relativamente corta, como se muestra en la figura. Esto se conoce como salto hidráulico. Exprese Y2 en funcion de Y1 y V1; suponga flujo horizontal uniforme.

4.- El codo mostrado descarga hacia la atmósfera. Determine la magnitud y dirección de las componentes de la fuerza externa sobre la abrazadera, necesarias para mantener el codo en su

lugar. Este descansa sobre un plano horizontal y dentro fluye agua. Supóngase que el volumen del codo es de 7 pies3. D1=2pie, D2=1 y V2 = 15 pies/seg, Peso del codo 5 lbf

Page 59: Modulo Mecanica de Fluidos

CASO DE ALABESSe denomina alabe o paleta curva a toda superficie metálica sobre la cual incide un chorro de fluido con las siguientes características:

• La incidencia es tangencial, es decir, el ángulo de incidencia del chorro coincide con el ángulo de ingreso a la paleta o alabe

• No existe fricciones entre el alabe y el flujo mientras este se desplaza, es decir el flujo espermanente.

• Salvo que se exprese lo contrario, se desprecian el cambio de altura entre la entrada y la salidadel alabe; y se desprecia el peso de la porción de chorro que se encuentra sobre el alabe.

• Como se desprecia la fricción, entonces la velocidad a la entrada y a la salida será la misma.• Todo el chorro esta sometido a la presión atmosférica o a cualquier otra presión que pudiese

existir en casos particulares.

Aplicación

1.- Determinar las formulas para hallar la componente horizontal y vertical de la fuerza que el fluido ejerce sobre el alabe.

Page 60: Modulo Mecanica de Fluidos

Solución: Como el flujo es permanente la ecuación de cantidad de movimiento es: F

CALCULO DE LA COMPONENTE HORIZONTAL

= ∫∫ V ρV .d ASC

Fx = ∫Vx 1 ρV1 .dA1 +A1

∫Vx 2 ρV 2 .dA 2A 2

Como el flujo es uniforme: Fx = −Vx 1 ρV1 A1 + Vx 2 ρV 2 A 2

Entonces: Rx + P1 A1 cosθ1 − P2 A2 cosθ 2 = −(V1 cosθ1 )ρ1V1 A1 + (V2 cosθ 2 )ρ2V2 A2

Rx = −ρ1V1 A1 .V1 cosθ1 + ρ2V2 A2 .V2 cosθ 2

Como: m& = ρ1V1 A1 = ρ 2V2

A2

flujo masico

Entonces:

Además: V1 = V2 =

Ventonces:

Rx = −m& .V1 cosθ1 + m& .V2 cosθ 2

Rx = −m& V (cosθ1 − cosθ 2 ) …….fuerza sobre el VC

Por lo tanto: Rx = m& V (cosθ1 − cosθ 2 ) ……….fuerza sobre el alabe

CALCULO DE LA COMPONENTE VERTICAL

Fz = ∫Vz 1 ρV1 .dA1 +A1

∫Vz 2 ρV 2 .dA 2A 2

Como el flujo es uniforme: Fz = −Vz 1 ρV1 A1 + Vz 2 ρV 2 A 2

Entonces:

Entonces:

Rz − peso delfluido dentro del VC + P1 A1 senθ1 − P2 A2 senθ 2 = −Vz1 ρ1V1 A1 + Vz 2 ρ

2V2 A2

Rz = −ρ1V1 A1 .V1 senθ1 + ρ 2V2 A2 .V2 senθ 2

Rz = −m& .V1 senθ1 + m& .V2 senθ 2

Además: V1 = V2 = V

entonces: Rz = −m& V (senθ1 − senθ

2 )

…….fuerza sobre el VC

Por lo tanto: Rz = m& V (senθ1 − senθ 2 ) ……….fuerza sobre el alabe

2.- Un chorro de agua que sale de una tobera estacionaria con velocidad 15 m/seg (área del chorro =0.05 m2) incide contra un alabe curvo montado en un carrito. Si el ángulo del alabe Ө es ajustable, elabore un diagrama que indique la masa “M”, necesaria para mantener el carro en reposos, como unafunción de Ө para 0 ≤ θ ≤ 180º

Page 61: Modulo Mecanica de Fluidos

MOMENTO DE LA ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Sabemos que la ecuación del momento de cantidad de movimiento, esta dado por:

T = DH Dt

= M V × r

Donde : M = masa del sistema o volumen de controlH = Cantidad de movimiento angular

Recordando la ecuación que relaciona el SC con el VC

⎛ dN ⎞ ∂⎜ ⎟ = ηρ d ηρ V .d A

⎝ dt ⎠ ∂t ∫∫∫ ∀ + ∫∫SIS VC SC

Entonces: N = H y η = r ×V

⎛ DH T = ⎜⎝ Dt

⎞ ∂⎟ =⎠ ∂t ∫∫∫ ( r

× V ) ρ .d

∀ + ∫∫ ( r ×V ) ρ .V .d A

Page 62: Modulo Mecanica de Fluidos

VC SC

Donde: T es el torque resultante sobre el volumen de control, debido a las fuerzas actuantes sobre el volumen de control.

Consideraciones para resolver problemas:

1. Seleccione un volumen de control adecuado2. Determine los signos del producto escalar (V.dA), es positivo si sale del volumen de control y

es negativo si entra al volumen de control3. Determine los signos del producto vectorial r ×V

Aplicación 1A que velocidad girara la regadora si se descarga 0.01 pies3/seg. Atraves de una de sus boquillas. Desprecie la fricción y considere que la sección transversal de c/boquilla es de 0.001 pie

Aplicación 2Una bomba centrifuga tiene las dimensiones mostradas, y recibe un caudal de 5m3/seg. Calcular el par o torque que debe aplicarse a los alabes para mantener constante este flujo en su entrada y en su salida, y calcular las velocidades del agua en las paletas o alabes. Estimar la potencia teorica que se le debe suministrar a la bomba para mantener estas condiciones. N = 1750 RPM

Aplicación 3Un rociador tiene cuatro brazos de 50 cm de largo con boquillas a ángulos rectos con bazos y 45 cm del suelo. Si la velocidad del flujo total es de 0.01 m3/s y las boquillas son de 12 mm de diámetro, calcule la velocidad de rotación del rociador. Ignore la fricción.

Page 63: Modulo Mecanica de Fluidos

Aplicación 4Encuentre una expresión para la perdida de carga o altura en una expansión repentina de una tubería en función de V1 y la relación de área. Suponga perfiles de velocidad uniforme y que la presión en el ensanchamiento repentino es P1.

2

1

V1 V2

A1

A2P1

P2

Page 64: Modulo Mecanica de Fluidos
Page 65: Modulo Mecanica de Fluidos

ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

Es la matemática de las dimensiones de cantidades. Se debe tener en cuenta que toda cantidad física puede reducirse a las magnitudes fundamentales de longitud (L). masa(M) y tiempo(T) ó también Longitud(L), fuerza(F) y tiempo(T)

Aplicaciones del análisis dimensional1. Convertir un sistema de unidades a otro2. Desarrollar las ecuaciones3. Reducir el numero de variables que intervienen en un fenómeno físico

Para la aplicación Nº 3, se usa el teorema PI de Buckingham, para lo cual es necesario conocer previamente cuales son las variables que intervienen en el fenómeno físico.

Teorema de PI de BuckinghamCuando el número de variables o magnitudes físicas son cuatro o mas, el teorema de PI de Buckingham constituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas magnitudes en un número menor de grupos adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación. Los grupos adimensionales se llaman grupos o números PI. Si en el fenómeno físico en cuestión intervienen “n” magnitudes físicas q, de las cuales k son dimensiones fundamentales (Fuerza, Longitud y Tiempo) y, otras q (tales como velocidad, densidad, viscosidad, presión y área), entonces matemáticamente.

f1(q1, q2, q3, …, qn) = 0

Y esta ecuación puede reemplazarse por la relación

f(π1, π2, π3, ….π,n-k)= 0

Donde cualquier numero π no depende de mas de (k+1) magnitudes físicas y q, y cada uno de los números π son funciones monomicas independientes, adimensionalmente, de las magnitudes q.

Procedimiento:1. Se escriben las n magnitudes físicas q, que intervienen en un problema en particular, anotando sus dimensiones y el numero k de dimensiones fundamentales. Existirán (n-k) números π.

2.- Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en las magnitudes seleccionadas.

3. El primer grupo pi puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una a un exponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida (normalmente se toma igual a uno).

4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo numero pi. Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números pi.

5. En cada uno de los grupos pi determinar los exponentes desconocidos mediante el análisis dimensional.

Page 66: Modulo Mecanica de Fluidos

Relaciones útiles:

a) Si una magnitud es adimensional constituye un grupo pi sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior.

b) Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un numero adimensional pi. Por ejemplo L/L`es adimensional y por lo tanto un numero pi.

c) Cualquier numero pi puede sustituirse por una potencia de si mismo, incluida π1-1

Por ejemplo π 3 puede sustituirse por π 32

d) Cualquier numero pi puede sustituirse por su producto por una constante numérica. Por ejemplo π1 puede sustituirse por 3π1e) Cualquier numero pi puede expresarse como función de otros números π, π1=f(π2)

Aplicaciones:

1.- Desarrollar una expresión que proporcione la distancia recorrida en el tiempo T por un cuerpo que cae libremente, suponiendo que la distancia depende del peso del cuerpo, de la aceleración de la gravedad y del tiempo.

2.- Para el caso de un liquido ideal, expresar el caudal Q a través de un orifico en función de la densidad del liquido, el diámetro del orificio y de la diferencia de presiones.

3. Suponiendo que la fuerza de arrastre ejercida sobre un cuerpo sumergido en una corriente fluida es función de la densidad, la viscosidad dinámica, una longitud característica del cuerpo y de la velocidad del fluido, desarrollar una ecuación general para la fuerza de arrastre.

4.- Desarrollar una expresión que proporcione la perdida de carga en una tubería horizontal, para un flujo turbulento incompresible. Asumir que la perdida de carga depende del diámetro de la tubería, la viscosidad dinámica, la densidad del fluido, la longitud de la tubería, la velocidad del fluido y de la rugosidad relativa de la tubería K. Asumir que la relación de la perdida de carga depende linealmente de la longitud de la tubería.

Solución 1

d

Paso1: enumerar magnitudes y unidades d = longitud (L)W = Fuerza (F)g = aceleración (LT-2)t = tiempo (T)Existen 4 magnitudes físicas, 3 de ellas fundamentalesExisten (4-3) = 1 entonces 1 numero pi (π)Paso 2 : Escoger d, W, T como magnitudes físicas, y proporcionan las

tres dimensiones fundamentales F,L,TPaso 3: Se expresa el numero π1Del análisis dimensional:

Lº F º T º = LX F Y T Z (LT −2 )

π1 = d X W Y T Z g ….(1)

L º F º T º = L X +1 F Y T − 2 + Z

Identificando exponentes: x = -1; y = 0 ; z = 22

En (1): π1 = d −1W 0T 2 g : de donde: d = T g

; K = 1

π1 π1

Solución 3:Por tanto: π1 = Kgt 2 K se obtiene experimentalmente

Page 67: Modulo Mecanica de Fluidos

Paso1: enumerar magnitudes y unidadesFD = Fuerza de arrastre (F) V = Velocidad (LT-1)µ = viscosidad cinematica (FL-2T)ρ = densidad (FL-4T2 ) L = longitud (L)

Existen 5 magnitudes físicas, 3 de ellas fundamentalesExisten (5-3) = 2 entonces 2 numero pi (π)

Paso 2 : Escoger L, V, ρ como magnitudes físicas, y proporcionan las tres dimensiones fundamentalesF,L,T

Paso 3: Se expresa el numero π1Del análisis dimensional:

π1 = LX V Y ρ Z F ….(1)

Lº F º T º = LX (LT −1 )Y (FL−4T 2 ) Z F

Lº F º T º = LX +Y −4 Z T −Y +2 Z F Z +1

Identificando exponentes: z + 1 = 0 z = -1-y + 2z = 0 y = -2

x + y – 4z = 0 x = -2

En (1): π1 = L−2V −2 ρ −1F =

F L2V 2

ρ

Paso 4: Se expresa el numero π2Del análisis dimensional:

π 2 = LX V Y ρ Z µ ….(2)

Lº F º T º = LX (LT −1 )Y (FL−4T 2 ) Z (FL−2T )

Lº F º T º = LX +Y −4 Z −2T −Y +2 Z +1 F Z +1

Identificando exponentes: z + 1 = 0 z = -1-y + 2z+1 = 0 y = -1

x + y – 4z -2 = 0 x = -1

En (2): π 2 = L−1V −1 ρ −1 µ =

µLVρ

Entonces : f (F

, µ

) = 02 L2V 2 ρ LVρ

F=

L2V 2 ρ f ( µ

) =3 LVρ

f 4 (Re)

F = f 4 (Re)L2V 2 ρ multiplicando y dividiendo por 2

V 2

F = 2 f 4 (Re)ρ.A2

entoncesV 2

F = C D ρ.A2

Page 68: Modulo Mecanica de Fluidos

UNIDAD II : FLUJO EN TUBERIAS Y CONDUCTOS

También llamadas flujo en conducto forzado, considerando forzado al conducto en el cual en el líquido fluye bajo una presión diferente de la atmósfera.La tubería funciona siempre totalmente llena y el conducto siempre cerrado, por lo que a este tipo de conducción se llama FLUJO EN CONDUCTO CERRADO O FLUIDO BAJO PRESION.

FLUJO EN CANALES

NATURALEZA DEL FLUJO EN TUBERÍAS.

Tipo de Flujo: (F. Inercia vs. F. Viscosos)- Flujo Laminar. (Fuerzas Viscosas > Fuerzas Inercia)- Flujo Turbulento. (Fuerzas Inercia > Fuerzas Viscosas)

F ρL2V 2I =FV µVL

→ FI

FV

= ρLV

µDonde:

FI

FV

= Re(número de Reynolds)

Para secciones circulares

Re = ρVD

óµ

Re = VD

ν; ν =

µρ

Para secciones no circulares, también para canales:

Re = V 4Rm

µ

Nro de Reynolds Tipo de flujoRe ≤ 2300 Laminar2300 ≤ Re ≤ 4000 TransicionalRe > 4000 Turbulento

Ventajas hidráulicas del tubo de sección circular- Q (caudal)

Page 69: Modulo Mecanica de Fluidos

- Hf (perdida de carga por fricción y perdidas localizadas o singulares) PERDIDA DE CARGA EN TUBERIAS

1

2Por Bernoulli entre 1-2

2 2V 1 +2 g

p 1 +γ

V 2z 1 =2 g

+ p 2 +γ

z 2 + Hp 1 − 2

E1 = E2 +Hp = perdida de carga

Hp 1 − 2

Hp = ⎧hf ( perdida de c arg a por

friccion) entonces: hf = fuerza resistente

⎩ hf ( perdida de c arg a localizda)

Solución de la aplicación 4La fuerza resistente R depende de :

• Características del conducto dimensiónLongitud de la tubería L LDiámetro de la tubería D L Rugosidad de la superficie ε L

• Características del flujoDensidad ρ ML

-3

Viscosidad cinemática µ ML-1T-1

Velocidad V MT-1

Del análisis dimensionalR = ϕ ( L , D , ε , ρ , µ , V )

R = K ρ x µ y V n LD z ε p ……………..(1)

Pero R = F = ma = MLT-2

MLT − 2 = K ( ML − 3 ) x ( ML − 1T − 1 ) y ( LT − 1 ) n LL z L p

MLT − 2 = KM x + y L − 3 x − y − n + 1 + z + p

T

− y − n

Identificando exponentes:x + y = 1 ; x = 1 − y

− y − n = − 2 ; n = 2 − y− 3 x − y − n + 1 + z + p = 1 entonces − 3 (1 − y ) − y − ( 2 − y ) + z + p = 0

Por tanto: x = n − 1y = 2 − nz = Reemp

lazando

en

(

1): n − p − 1

Page 70: Modulo Mecanica de Fluidos

R = K ρn − 1 µ 2 − n V

n LDn − p − 1 ε p

………….. (2)Donde: n: exponente hidráulico de velocidad

P: exponente que caracteriza la rugosidad

Page 71: Modulo Mecanica de Fluidos

n

ν

n 2 n

p

n

p

p

R = Kρ

. µ

.V n LD

ε p

ρ µ n D p D

ρ nV n D n ⎛ ε ⎞ ⎛ L ⎞ µ 2 V n D n ρ n

⎛ 1 ⎞Ordenando: R = K ⎜ ⎟

µ n ⎝ D ⎠

⎜ ⎟ ;⎝ D ⎠ ρ

= Re ;ν n = ⎜ ⎟

µ n ⎝ ⎠

⎛ ε ⎞ ⎛ L ⎞ µ 2

R = K (Re) n ⎜ ⎟⎝ D ⎠

⎜ ⎟⎝ D ⎠ ρ

……………………………. (3)

Donde: K = constante de proporcionalidad

⎛ ε ⎞⎜ ⎟ = Rugosidad relativa⎝ D ⎠

VDRe =

νL

; numero de Reynolds

= Permite clasificar si la tubería es corta o larga, y si debe considerarse perdidas deD

carga localizadasε = rugosidad del tubo (liso, ondulado, rugoso)

RELACION ENTRE LAS FUERZAS CORTANTES Y LA PERDIDA DE CARGA ENTUBERIAS

n ⎛ ε ⎞ ⎛ L ⎞ µ 2

De la ec.(3): hf ⇒ R = K (Re) ⎜ ⎟⎝ D ⎠

⎜ ⎟⎝ D ⎠ ρ

I) E1 = E2 +2

hf 1 − 2

2V1 +2 g

p1 V 2

γ + z1 =

2 g+

p 2γ

+ z 2 + hf 1− 2

⎛ p1 ⎞ ⎛ p 2 ⎞hf 1 − 2 = ⎜ z1 +

γ⎟ − ⎜ z 2 +

γ⎟ …………………….. (4)

⎝ ⎠ ⎝ ⎠z1 − z 2II) ∑ F = 0 : P1 A − P2 A + Wsenα =

R

; pero: senα =L

; W = γ∀ = γAL

Entonces: P1 A − P2 A + γA( z1 − z 2 ) = R

Page 72: Modulo Mecanica de Fluidos

…………………. (5)

Page 73: Modulo Mecanica de Fluidos

0 .

ρ

2

= ⎜ ⎟

⎛ n ⎞⎜

D⎟

p

Dividiendo la ecuación (5) entre γA se obtienep1 −γ

p 2 + ( zγ 1

R− z 2 ) = γA

………………………………. (6)

De (4) = (6) :Rhf 1− 2 = γA

p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞K (Re) n ⎜

ε ⎟ ⎜

L ⎟ µ

⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠ ρEntonces : hf =

γA…………...(7)

Pero: γ = ρg ;Re = ρ nV n D n

µ n ;π D 2

A =4

K ρ nV n D n ε p L µ 2

µ n D p D ρ 4 K ρ nV n D n

εp L µ 2

En (7) hf = ρ g π D 2

4p

=

2 − n

µ n D p D ρρ g π D 2

n

Ordenando: hf4 K ⎛ ε ⎞

⎜ ⎟⎛ µ ⎞⎜ ⎟

⎛ V L ⎞3 − n ; Si K ' =

4 K

g π ⎝ D ⎠ ⎝ ρ ⎠ ⎝ D ⎠ π

hf =K ' ⎛ ε ⎞

p ⎛ µ

2 − n⎞ V L

Formula general ………………. (8)⎜ ⎟g ⎝ D ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ρ ⎠

3 − n⎝ ⎠

PARA FLUJO LAMINAR: n = 1 y p = 0

De la ecuación (8): hf = K ' µ VL

g ρ D 2 K’ = 32

hf = 32 µ VL

g ρ D 2

……… (9) Ecuación de Poiseuille para tubos lisos o

rugosos en la zona laminar

PARA FLUJO TURBULENTO:a) Pared lisa: p = 0 y n = 1.7

K ' ⎛ µ

1.7 ≤ n ≤ 2

⎞ V 1 .7 Lhf = ⎜ ⎟g ⎝ ⎠ D 1 .3

……………. (10)

b) Pared Rugosa: p ≠ 0 y n = 2

⎛ ε ⎞ ⎛ L ⎞⎛ V 2 ⎞hf = K ' ⎜ ⎟

⎝ D ⎠⎜ ⎟ ⎜⎝ D ⎠⎝ g

⎟ ………. (11) turbulencia plena⎠

Page 74: Modulo Mecanica de Fluidos

c) Pared transicional (caso general): p = 0 y 1.7 ≤ n ≤ 2

⎛ 2V 2 ⎞De la ecuación (8): Multiplicando por ⎜ ⎟

⎝ 2V 2 ⎠

Page 75: Modulo Mecanica de Fluidos

p

p

⎠ ⎠

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

n

2

p

p

⎟ ⎟

K ' ⎛ ε ⎞ ⎛ µ2 − n

⎞ L ⎛ V ⎞ 2V 2

hf = ⎜ ⎟g ⎝ D ⎠

⎜ ⎟⎝ ρ ⎠

⎜D ⎝ D 2 − n ⎟ ×

⎠ 2V 2

Arreglando se obtiene:

⎛ ε ⎞ ⎛ ρn − 2

⎞ ⎛ ⎞hf = 2 K ' ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ L

⎟ (V n − 2 D n − 2 )V⎝ D ⎠ ⎝ µ ⎠ ⎝ D ⎠ 2 g

⎛ ε ⎞ ⎛ ⎞⎛ n − 2 n − 2 ⎞ 2

hf = 2 K ' ⎜ ⎟ ⎜ L

⎟⎜ V D

⎟ V

⎝ D ⎠ ⎝ D ⎝ ν n − 2 ⎟ 2 g

hf = 2 K ' ⎛ ε

p⎞ (Re )n − 2 ⎛ L ⎞ V 2

⎟ ……………. (12)⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠ 2 g

Si: hf = 2 K ' ⎛ ε

p⎞ (Re )n − 2 ⎛ L ⎞ V 2

⎟⎝ D ⎠

f

⎝ D ⎠ 2 g

hf = fL V 2

………………………(13) Ecuación de Darcy WeisbachD 2 g

De la ecuación (12):

Para cualquier tipo de flujo y tubof se obtiene del diagrama de moody

Para flujo laminar: p = 0 ; n = 1 y K’=322

hf = 64

Re

f = 64

Re

L V

D 2 g………………………. (14)

Para tubos lisos o rugosos en zona laminar Re<2300

Para flujo turbulentoa) Pared lisa: p = 0 y n = 1.7

hf =2 K ' L

0 .3 V 2

……………. (15)(Re) 0 .3 D 2 g

f =2 K '

: experimentalmente f =0 .316

paraε

=0 Re < 105

(Re) 0 .3 (Re) 1 / 4 D

b) Pared Rugosa: p ≠ 0 y n = 2

⎛ ε ⎞ ⎛ L ⎞⎛ V 2 ⎞hf = 2 K ' ⎜ ⎟

⎝ D ⎠p

⎜ ⎟ ⎜⎝ D ⎠⎝ g

⎟ ………. (16) turbulencia plena⎠

f = 2 K ' ⎛ ε ⎞

entonces f = ϕ ⎛ ε ⎞

⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠

Page 76: Modulo Mecanica de Fluidos

Solo para flujo turbulento, para cualquier sección (tube

ría o canal) D = 4Rm ; Rm = radio medio hidráulico

hf = f

Page 77: Modulo Mecanica de Fluidos

o

L V 2 ……………………………… (17)4 R m 2 g

2hfDe la ecuación (17):

L=

fV = S

8 gR m

S: gradiente hidráulico o perdida de carga

Por unidad de longitud

V 2 = 8 gSR m

f………………………………..(18)

V =8 gSR m

f

V =8 g

SRf

m; C =

8 g f

V = C SR m Ecuación para calcular la …………(19)

Velocidad del flujo en canalesC = coeficiente de Chezy (1765 ) esta en función de la calidad del tubo

ESFUERZO CORTANTE (τ) EN TUBERIA DE SECCION CIRCULAR Flujo permanente

Por la ecuación (6): hf = R

;γA

A = π .y 2

entonceshf = R

γπ .y 2

…………(a)

También: τ = φ ( hf , r , D )

τ =R

;A L

R = τ . A L

entoncesR = τ . 2 π yL

………..…..(b)

De (b) en (a): hf = τ .2.π

.y.L

γ .π .y 2

entonces hf = 2 τ Lγ . y

si y = radio = D/2 y cuando τo es máximo

2

τ .4.Lhf = o

γ .Dpero también hf = f

L V

D 2 g2τ .4.L

Igualando las dos ultimas expresiones: o = fγ .D

L V

D 2g2 τ fV 2

Simplificando y reemplazando: γ = ρg:4τ o =

fV

ρg 2gentonces: o =

ρ 8………..(20)

Extrayendo la raíz cuadrada:τ o = V

f;

ρ 8

τ

Page 78: Modulo Mecanica de Fluidos

V * =ρ

Page 79: Modulo Mecanica de Fluidos

2

2

2 8τ

V * = Vf

8Velocidad de corte o velocidad tangencial ….(21)

De la ecuación (20): V = o

fρEcuaciones iguales:

8τ o =

8gSRm

De la ecuación (18):

τ o

V 2 = 8 gSR m

f

τ o

fρ f

Entonces:ρ

= gSRm ; extrayendo :ρ

= gSRm

Por tanto: V * = gSRm solo para flujo turbulento ………………..…… (22)

VELOCIDAD L AMINAR, VELO CIDAD MEDIA, CAUDAL (Vy, V , Q en flujo laminar)

τ = R

AL

…….. (a) τ = µ dV

……… (b)dy

hf = R

γA…………….. (c)

De (a): R = τA L = τ 2πyL …… (d)

De (c): R = hf γA = hf γπ y 2 ……(e)De (d) = (e): τ = hf γ y

2 L…….. (f)

De (b) = (f): − µ dV

dy=

hf γ y2 L

Entonces: − dV

dy=

hf γ y2 L µ

− dV=

hf γ2 L µ

ydy

Integrando desde Ve (velocidad efectiva en el centro de la tubería)Vy

− ∫Ve dV =

h f γ

2 L µ

y

∫0 ydy

Ve − Vy =h f γ y 2

; cuando y = ro entonces Vy = 04 L µ

Entonces: Ve =h f γ r o

….………. (23)

4 L µ

Vy =h f γ ( ro − y 2 )

…………………….……………. (24)4 L µ

Como Q = V.A entonces dQ = VydA :

h f γdA =

2 2

2 π ydy

Page 80: Modulo Mecanica de Fluidos

dQ =

L µ( ro

− y ) 2π ydy

Integrando:

dQ = h f γ

4 L µ

Page 81: Modulo Mecanica de Fluidos

o

−ro 2

0 ( ro y 2 ) 2π ydy

Q = c ……………………………………. (25)4h f γπ r o

Como V = Q

=A

h γ r 2

8 L µπ r

2

entonces: V = f o………………………….. (26)

8 L µ

Por tanto: Ve = 2V

APLICACIONES1.- Calcular el valor de “f” y luego el valor de “C” en una tubería lisa cuyo diámetro es 0.75 m. El

fluido es aceite con una ν =1.25 x 10-4 m2/seg. La velocidad media es 2.76 m/seg

2.- En en la figura y con la información presentada determinar “f”

3.- Se quiere conducir 100 barriles por hora de petróleo de 0.654 stockes por una tubería de acero.¿Cuál es la perdida de carga por kilómetro de tubería, si el diámetro de dicha tubería es de 4”?.1 barril = 159 lts.

4.- Entre los puntos A(cota + 100) y B(cota + 101) circula 25 lts/seg de aceite pesado a través de una tubería de 400 m de longitud. Las presiones manométricas de A y B son 6.3 Kg/cm2 y 6.0 Kg/cm2 respectivamente. Las características físicas del aceite son: Peso especifico = 800Kg/m3; viscosidad dinámica = 1.1 poise. Hallar el diámetro en cm de la tubería.

5.- Por una tubería de 300 mm de diámetro y 300 m de longitud, circula agua entre dos puntos cuya diferencia de cotas ∆Z = 15 m. En el punto mas alto B un barómetro señala una presión de 28 mca y en el mas bajo “A” otro barómetro señala 35mca. ¿Calcular la perdida de carga hf si el gasto que circula es Q = 140 lps además el coeficiente de fricción.

6.- Una aguja hipodérmica tiene un diámetro interno de 0.3 mm y una longitud de 60 mm. Si el pistón se mueve hacia la derecha, con una velocidad de 18 mm/seg y no existen filtraciones. ¿ Cual será la fuerza F necesaria sobre el pistón?. El medicamento dentro de la aguja hipodérmica tieneµ = 0.98 ×10 −3 NS / m 2 y una ρ = 800 Kg / m3 . Considere el flujo tanto en la aguja como en elcilindro, no tenga en cuenta las perdidas por salida de la aguja, como tampoco las perdidas en la unión entre la aguja y el cilindro.

Page 82: Modulo Mecanica de Fluidos

p 2 n

PERDIDA DE CARGA EN FLUJO TURBULENTO

hf =K ' ⎛ ε ⎞

p ⎛ µ ⎞

2 − n⎛ V n L ⎞

Formula general ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟3− ng ⎝ D ⎠ ⎝ ρ ⎠ ⎝ D ⎠

a) Flujo laminar: n = 1 ; p = 0 ; K’=32 → hf = 32LµV

gρD 2 Poiseuille

⎧ K ' ⎛ ε−

⎞ ⎛ µ ⎞⎪K = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ g ⎝ D ⎠ ⎝ ρ ⎠

b) Flujo Turbulento: 1.7 ≤ n ≤ 2 → hf =KLV n ⎪

⎨ K = ϕ⎛ ε ⎞

Formulas experimentales: A)Formulas de Schoder

a.1) Tubos extremadamente lisos:

a.2) Tuberías lisas :

a.3) Tuberías rugosas incrustada:

D x

⎪⎪⎪⎩

hf = 0.00054

hf = 0.00078

hf = 0.00011

⎝ D ⎠x = 3 − n

LV 1.75

D1.25

LV 1.86

D1.25

LV 1.96

D1.25

a.4) Tubos extremadamente rugosos: hf = 0.00016 LV 2

D1.25

B)Formulas de Scobey (material de fabricación)

LV 1.86

b.1) Tubos de madera: hf = 0.000866

LV 1.90D1.77

b.2) Acero :

b.3) Tuberías de concreto :

hf = K S

hf = K CD1.10

LV 2

D1.25

{K S → 0.000327 − 0.00135

donde: Kc = 0.000732 superficie de concreto vidriada o pulimentadaKc = 0.000926 tubería de concreto fabricada en moldes de acero Kc = 0.00112 tubería de concreto fabricada en moldes de madera Kc = 0.00154 tubería de concreto con superficie deteriorada

B)Formulas de Hazen WilliamsKLV 1.85

hf = ; K = ϕ⎛ ε ⎞

D1.167⎝ D ⎠

V = 0 .85 C I D 2 .63 S 0 .54 Métrico; V(m/s) ; CI (pie1/2/s) ; D(m) ; S(adimensional)

Page 83: Modulo Mecanica de Fluidos

Q = VA y A = π D

→4

Rm = D

4

Page 84: Modulo Mecanica de Fluidos

;⎟f

Q = 0 .278 C I D 2 .63 S 0 .54 Métrico; Q(m3/s) ; CI (pie1/2/s) ; D(m) ; S(adimensional)

hf =KLQ1.85

C 1.85 D 4.87

En el sistema Ingles.

Q = 0 .000426 CD 2 .64 S 0 .54 Q(l.p.s) ; CI (pie1/2/s) ; D(pulg) ; S(m/km)

hf = 1.70 ×106

LQ1.85C depende del material del tubo- especificaciones

C 1.85 D 4.87

VALORES DEL COEFICIENTE “f”2

hf = fL V

D 2 g; f = ϕ(Re,

ε )

D

1er caso) PARA FLUJO LAMINAR f = 64

Re0 < Re < 2300

2do caso) PARA FLUJO TURBULENTO

a) Pared lisa : f = ϕ(Re) 4000 ≤ Re < ∞f es funcion exclusiva del (Re)La influencia que genera la resistencia no es la naturaleza de la pared si no la fuerza interna del fluido

V * ⎛ 46 , 40 Rm ⎞Sabemos que: V =

KLn ⎜ ⎟ ;

⎝ δ o ⎠

Rm = D/4 ; Ln = 2.3Log ;V

=8

; δ = 11 .6ν

; K = 0.4V * f

oV *

V 8 2 . 3 ⎛ 46 , 40 D ⎞

=V * f

=0 . 4

Log ⎜⎝

⎟4 δ o ⎠

⎞1

=2 . 3

Log⎜ 11 . 6 D ⎟

⎟ entonces:1

= 2 . 03 Log⎛ DV * ⎞⎜ ⎟

f 0 . 4 × 8 ⎜ 1= 1 . 6 ν ⎟ f⎜ ⎟

⎝ ν ⎠

Pero: V * = Vf

8

⎝ V * ⎠

⎞1= 2 . 03 Log ⎜ =

DV⎜ ⎟ Re

Page 85: Modulo Mecanica de Fluidos

f ⎜ ⎟

= DV f ⎝ ν

1

8 ⎠ ν

⎛ Re f ⎞⎜ ⎟Entonces: = 2 . 03 Log

⎝ 8 ⎠

Page 86: Modulo Mecanica de Fluidos

4

L

=2

1= 2 . 03 (Log

f(Re

f ) − Log 8 )1

= 2 . 03 Log f

(Re f )− 0 . 92

Nikurades (1920)1

= 2 Log f

(Re f )− 0 . 80 4000 ≤ Re < 3 ×106

Blassius: f = 0.316

(Re)1 / 4Re < 105

a) Pared rugosa:

Sabemos que: V = V * ⎛ 6 . 70 Rm ⎞

⎟ ;K ⎝ a ⎠

Rm = D/4 ; Ln = 2.3Log ;V

=8

V * f; a =

ε2

; K = 0.4

8 2 . 3Log

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ = 6 . 70 D ⎟=

f 0 . 4

⎜ ⎛ ε ⎞ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠

1=

2 . 3Log

⎛ 6 . 7 D⎜

⎞⎟ entonces:

1= 2 . 03 Log

⎛ D ⎞⎜ 3 . 35 ⎟

f 0 . 4 × 8

1 ⎛

⎝ 2 ε ⎠ f

D ⎞

⎝ ε ⎠

= 2 . 03 ⎜ Logf ⎝

3 . 35

− Log ⎟ε ⎠

1= 1 . 07 − 2 . 03 Log

⎛ D ⎞⎜ ⎟

f ⎝ ε ⎠

Ajustando los coeficientes a expresiones de Nikuradse

Para tuberías comerciales;1

= − 2 Log⎛ D ⎞⎜ ⎟ + 1 . 14 …….. (*)

f ⎝ ε ⎠

1 ⎛ ε 2 . 51 ⎞⎜ ⎟Superficie transicional: Colebrooke – White: = − 2 Log

f ⎜ 3 . 71 D +

ReRe > 4000

f ⎠

Re y ε lo llevamos al diagrama de Moody y determinamos en que tipo de flujo estamos

f = ϕ(Re, ε

) ;D

ε = Rugosidad relativa

D1

De (*) f Valido para tubos lisos o rugosos en zona⎛ ⎛ D ⎞ ⎞ de transición o turbulento R > 4000⎜ − 2 Log ⎜ ⎟ + 1 . 14 ⎟⎝ ⎝ ε ⎠ ⎠

Formula de Swane-Jain (aproximada)

Page 87: Modulo Mecanica de Fluidos

⎝ ⎠

2

2

f =1 ⎧⎪5 x10

3

≤ Reε

≤ 10 6

⎪⎧ ⎛ ε⎨ Log ⎜ +

2 . 512

⎞ ⎪⎫⎟ ⎬

⎨ 10 − 6 ≤⎪⎩≤ 10 − 2

D⎜ 3 . 71 D (Re )0 . 9 ⎟

PERDIDA DE CARGA LOCALESEn cualquier ensanchamiento brusco de sección hay una perdida local medida por la altura cinética correspondiente a la velocidad

2

1

V1 V2

A

A2P1

P2

Formula de Borda-Belanger : hf = (V1 − V2 )

2g………………(1)

EXPRESION GENERAL DE LAS PERDIDAS LOCALES

De la ecuación de continuidad: V1 A1 = V2

A2

A1entonces : V2 = V1A2

2 ⎛ ⎞ 2 2

⎛ A ⎞En la expresión (1): hf

= (V1 − V2 ) = ⎜1 − A1 ⎟

V1 ; si K = ⎜1 − 1 ⎟

2g ⎜ A2 ⎟ 2 g

Page 88: Modulo Mecanica de Fluidos

⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠De un modo general todas las perdidas locales pueden ser expresadas bajo la forma:

V 2

hf = K2 g

Aplicaciones:1.- Se tiene una tubería de 1000 m de largo, diámetro 0.20 m, rugosidad artificial ε = 1mm, velocidad

media 4 m/seg , ν = 10-6 m2/seg. Calcular la perdida de carga

2.- Considerando que solo existe perdida por fricción, calcular la diferencia de elevación entre dos reservorios por donde circula 31 lt/ seg de aceite pesado a través de una tubería de diámetro 6” y una viscosidad cinemática de 2.60 cm2/seg

3.- Determinar la perdida de energía para un flujo de 140 lts de aceite, , ν = 0.00001 m2/seg a través de400 m de tubo de hierro fundido de 200 mm de diámetro

4.- Se tiene agua a 15ºC que fluye de un tubo de acero remachado de 300 mm de diámetro con una perdida de energía de 6m en 300 m. Determinar el flujo.

5.- Analizar las perdidas locales en el ramal de ¾” que surte la regadera de la instalación de un edificio. Verificar cual es el porcentaje de estas perdidas en relación a las perdidas por fricción a lo largo del ramal.

6.- Se tiene agua a 15ºC que fluye de un tubo de acero remachado de 300 mm de diámetro con una perdida de energía de 6m en 300 m. Determinar el flujo.

7.- Diseñar una tubería de hierro fundido nuevo para transportar un gasto de 250 lps conociendo que la perdida de carga no debe ser mayor a 8.00 m y que la longitud reducida de dicho conducto es 300 m formando un ángulo de 30 grados con la horizontal en su punto mas bajo. El fluido es agua a10ºC . El diseño deberá hacerse la milímetro más cercano.

Page 89: Modulo Mecanica de Fluidos
Page 90: Modulo Mecanica de Fluidos

HIDROLOGIA

CONTENIDO‰ INTRODUCCIONDefinición• Rama de la Geofísica.• Abarca la historia completa del agua sobre la tierra.• Es ciencia porque es un estudio ordenado y sistemático que obedece a leyes y principios.• Etapas del estudio como ciencia: Observación, clasificación y determinación de leyes, a través

del establecimiento del patrón de comportamiento del fenómeno.

Objetivo• Estudiar el origen, la distribución, el movimiento, las propiedades físicas y químicas y la

influencia del agua en la tierra.

• Como ciencia de la Ingeniería incluye aquellos aspectos cuantitativos, que tienen relación con la planificación, diseño y operación de obras de Ingeniería y ciencias afines, para el uso de control del agua.

Ciclo hidrológico

Distribución del agua en la tierra

Page 91: Modulo Mecanica de Fluidos

Balance hídrico o hidrológico

P + Qsi + Qui + E + ET + Qso + Quo − ∆ s + η = 0

P : Precipitación Qsi : Caudal superficial de entradaQui : Caudal subterráneo de entrada E : EvaporaciónET : Evapotranspiración Qso : Caudal superficial de salidaQuo : Caudal subterráneo de salida

∆s = Cambio de almacenamiento, puede ser positivo o negativo dependiendo de si el agua queingresa es mayor que la que sale.

η = ajuste de error no debe ser mayor del 5%.

Ejemplo: La cuenca del río Quiroz tiene un área de 2297 Km2, una precipitación media anual de1093 mm, el caudal medio anual es de 22 m3/s, la ET anual es de 1700 MMC. ¿Cuál es el error de apreciación? 4.7%.

‰ ELEMENTOS DE

CLIMATOLOGIA Radiación solarFlujo de energía que atraviesa una superficie unitaria colocada perpendicularmente a los rayos solares en los confines de la atmósfera, cuando la Tierra se encuentra a la distancia media del sol (149x106 Km).

2 Ly/min (Ly: Langley; 1Ly = 1cal/cm2).

• Radiación solar incidente

40% 43%

17%

Reflejada por la atm ós fera

Abs orbida por polvo, vapor de agua, nubes

Alcanza s uperficie terres tre

Page 92: Modulo Mecanica de Fluidos

• Estimación de la radiación global media solar

Albedo, es la relación entre las cantidades de radiación solar reflejada y la que alcanza la superficie, expresada de manera porcentual.

Superficie %

Bosques verdes Valles con pastos Zonas pantanosasCampos cultivados y cubiertos de vegetaciónSuelos oscuros, secos, desnudosSuelos oscuros húmedos Arenas claras y secas Nieve vieja y suciaNieve pura y blancaMar

10-2015-3015-2015-2510-255-2020-4540-5060-956-8

• Balance térmico

Temperatura• Temperatura normal Es el valor promedio para una fecha, mes, estación, año para un período

de 30 años (3 últimas décadas). Al cambiar de década, cambia el valor (ahora 1971 – 2000).• Temperatura promedio diaria Se puede estimar por diversos métodos:

– Tomar el promedio de las temperaturas horarias (método más preciso).– Promediar las observaciones de cada 3 ó 6 horas.– Promediar las temperaturas de las observaciones medidas a las 7am, 1pm, 7 pm y 1 am.

• Temperatura media diaria Es la temperatura promedio de la máxima y mínima diaria (da un valor inferior al verdadero promedio diario)Tmed = (T8 + T20 + Tmáx + Tmín) / 4

• temperatura media diaria de una fecha dada en tres décadas.

Page 93: Modulo Mecanica de Fluidos

pre

sión

de

vap

or

• Rango o fluctuación diaria Es la diferencia entre las temperaturas más alta y más baja registrada en un día dado.

• Gradiente de temperatura Gradiente vertical de temperatura es la variación de la temperatura con la altura en una atmósfera libre. El valor medio es de 0,7°C / 100 m.

Humedad

Presión de vapor saturado y punto de rocío

40

30

20 e ⎛ 112 − 0.1T + Td ⎞10

-

-10 0 10 20 30

Te mpe ratura (°C)

HR = .100 ≅ ⎜es ⎝

⎟112 + 0.9T ⎠

El clima en el Perú y el Fenómeno del Niño• Frecuencia•• Fenómeno de características aún desconocidas.• Tener en cuenta la finalidad:

– obras de defensa y evacuación– Obras de aprovechamiento.

‰ CUENCA HIDROGRAFICA Definición• Área geográfica, referida a una sección del río o un punto de terreno o una sección de una calle,

tal que la precipitación caída dentro de ella escurra a ese punto o sección.• Área de captación natural de agua de lluvia que converge escurriendo a un único punto de

salida.• Se compone básicamente de un conjunto de superficies vertientes a una red de drenaje formada

por cursos de agua que confluyen hasta resultar en un único lecho colector.

Características geomorfológicas de la cuenca• ÁreaMétodo de un solo tramo Método de las áreas compensadas

Sc=∆h/l

Elevación

(m.s.n.m.)

A2

A

Perfil del río A1

=A2

∆hA1

B

lDistancia (Km)

Page 94: Modulo Mecanica de Fluidos

K

• Indice o coeficiente de Gravelius: Kc =P

2 πA= 0.2821

P

ASi: Kc ≈ 1

Kc ≠ 1Kc ≠ 1

Cuenca regularCuenca irregularKc ↑ menos suceptible a inundaciones

K A ⎛ 2

⎛ 1,12 ⎞• Rectángulo equivalente: L , l = c ⎜1 + 1 − ⎜ ⎟ ⎟e e

1,12 ⎜⎝

⎜ ⎟ ⎟⎝ c ⎠ ⎠

• Densidad de drenaje:

Dd = S L / A [m/m2]; [Km/Km2]

Característica Densidad Alta Densidad Baja Observaciones

Resistencia a laerosión

Fácilmenteerosionable

Resistente Asociado a la formación de loscauces

Permeabilidad Pocopermeable

Muypermeable

Nivel de infiltración yescorrentía

TopografíaPendientes fuertes

Llanura

Tendencia al encharcamiento ytiempos de concentración

Características geomorfológicas Curva hipsométrica

Cota (msnm) Areas

parciales

(Km2)

%del total

Áreas referidas a la cota más alta

menor mayorPor debajo Por encima

Km2 % Km2 %

0 400 2328.1 44.5 0.0 0.0 5227.7 100.0400 800 433.2 8.3 2328.1 44.5 2899.6 55.5800 1200 263.7 5.0 2761.3 52.8 2466.4 47.21200 1600 297.1 5.7 3025.0 57.9 2202.7 42.21600 2000 429.2 8.2 3322.1 63.5 1905.6 36.52000 2400 451.1 8.6 3751.3 71.8 1476.4 28.32400 2800 339.2 6.5 4202.4 80.4 1025.3 19.72800 3200 286.2 5.5 4541.6 86.9 686.1 13.23200 3600 291.6 5.6 4827.8 92.4 399.9 7.73600 4000 108.3 2.1 5119.4 97.9 108.3 2.14000 más 0.0 0.0 5227.7 100.0 0.0 0.0

Page 95: Modulo Mecanica de Fluidos

Por debajo

Fre

cu

en

cia

en

%d

el

áre

a d

e la

cu

en

ca

Are

a(K

m2

)

Polígono de fre cue ncia de a ltitude s de la cue nca Cha ncay

50 44.5

45

40

35

30

25

20

10

5

0

8.3 5.0 5.78.2

8.6 6.5 5.5

5.62.1

400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

Altitud (m .s .n.m .)

Curva Hipsomé trica de la cue nca de l río

Chanca y-La mbayeque

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0

0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

Altur a (m .s .n.m )

• Perímetro• Longitud mayor del río• Ancho promedioTipos de cuencas

‰ PRECIPITACION Medida de la precipitación

Recipientes para la medición de precipitación.

Page 96: Modulo Mecanica de Fluidos

Registro % de area162837387511412644

0.030.180.210.030.220.170.080.080.00

0.485.047.771.1414.9612.759.1210.080.00

1.00 61.34 mm

Isoyetas Promedio %area20-4040-6060-8080-100100-120120-126

30507090110123

0.310.280.210.100.080.02

9.3014.0014.709.008.802.46

1.00 58.26 mm

Lluvias en una región

• Método de la media aritmética

Estaciones en la cuenca

promedio

28376875114126 74.4 mm

• Método de Thiessen

• Método de las isoyetas

Page 97: Modulo Mecanica de Fluidos

d

Pre

cip

itci

ón a

cum

ula

da

esta

cion

es (

mm

)

2

Análisis de consistencia

Curvas doble acumuladas

25,000

20,000

15,000

10,000

5,000

-

R2 = 0.999

R2 = 0.999

R2 = 1.000

R2 = 0.997

- 5,000 10,000 15,000 20,000

PPA (mm)

CHALACO

STO DGO

FRIAS

PASAPAM PA

Estimación de datos faltantes• Promedio aritmético• Promedio ponderado:

– Con precipitación normal o habitual. Px = P x ⎛ P P P P ⎞⎜ =A + =B + =C + ...... =N ⎟

N ⎝ PA PB PC PN ⎠

– Con coeficientes de correlación entre las estaciones. Px = ∑ Pi .rxi

∑ rxi

– Con el recíproco del cuadrado de la distancia entre las estaciones. r = 1

XA

Análisis de tormentas. Curvas IDF.Tormenta:• Conjunto de lluvias de características bien definidas que obedecen a una misma perturbación

meteorológica.• Puede durar desde unos pocos minutos hasta varias horas y aún días.• Pueden abarcar desde pequeñas zonas hasta vastas regiones.

DuraciónAltura de lluvia(mm)

Intensidad(mm/h) Localización Fecha

1 minuto 38 2,280 Guadalupe 1,9708 minutos 126 945 Fussen, Bavaria 1,92015 minutos 198 792 Plumb Point, Jamaica 1,91620 minutos 206 618 Curtea de Arges, Rumania 1,8893 horas 559 203 Texas, USA 1,9355 horas 782 174 Pasadena, USA 1,9429 horas 1,087 121 Réunion, Francia 1,96412 horas 1,340 112 Réunion, Francia 1,96424 horas 1,870 77.9 Réunion, Francia 1,952

Page 98: Modulo Mecanica de Fluidos

2 días 2,500 52.1 Réunion, Francia 1,952

Page 99: Modulo Mecanica de Fluidos

‰ EVAPORACION Y EVAPOTRANSPIRACION

pre

cip

itac

ión

(m

m)

4 días 3,504 36.5 Réunion, Francia 1,9528 días 4,130 21.5 Réunion, Francia 1,95215 días 4,798 13.3 Cherrapunji, India 1,93131 días 9,300 12.5 Cherrapunji, India 1,8612 meses 12,767 8.7 Cherrapunji, India 1,8614 meses 18,738 6.4 Cherrapunji, India 1,8616 meses 22,454 5.1 Cherrapunji, India 1,8611 año 26,461 3.0 Cherrapunji, India 1,8612 años 40,768 2.3 Cherrapunji, India 1,860-1,861

PLUVIOGRAMA

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780

tie mpo (minutos )

TABULACION

Hora

Tiempo

acumulado(min)

Lluvia Lluvia

Parcial(mm)

Intervalo

de tiempo(min)

Intensidad

(mm/h)acumulada

(mm)06:00 p.m. 0 0.7 0 007:00 p.m. 60 0.7 0.7 60 0.7007:50 p.m. 110 2.4 1.7 50 2.0408:20 p.m. 140 3.8 1.4 30 2.8008:50 p.m. 170 4.2 0.4 30 0.8009:20 p.m. 200 5.5 1.3 30 2.6010:35 p.m. 275 6.2 0.7 75 0.5602:00 a.m. 480 6.4 0.2 205 0.0603:00 a.m. 540 10.0 3.6 60 3.6003:50 a.m. 590 10.3 0.3 50 0.36

04:10 a.m. 610 11.7 1.4 20 4.2005:10 a.m. 670 12.0 0.3 60 0.3006:10 a.m. 730 12.9 0.9 60 0.90

Page 100: Modulo Mecanica de Fluidos

inte

nsi

dad

m á

xim

a

(mm

/h)

HIETOGRAMA

INTENSIDADES MAXIMAS

Período de duración

(min) 5 10 30 60 120 180 360 720

Intensidad máxima

(mm/h)4.2 4.2 3.6 3.6 2.35 1.87 1.10 1.02

curva intensidad-duración de una torm enta dada

5,0

4,0

3,0

2,0

1,0

0,0

0 200 400 600 800

dur ación (m inutos )

Page 101: Modulo Mecanica de Fluidos

‰ EVAPORACION Y EVAPOTRANSPIRACIONDefiniciones

• Evaporación: Fenómeno físico que transforma el agua en vapor. Requiere 600 cal por gramo.

• Transpiración: Proceso biológico mediante el cual la planta absorbe agua del suelo y la evapora a través de sus hojas.

• Evapo-transpiración: Evaporación + Transpiración.• Evaporación Potencial : Es la cantidad de vapor de agua que puede ser emitida desde una

superficie libre de agua. La evaporación potencial representa la demanda evaporativa de la atmósfera.

• Evapotranspiración Potencial Cantidad de agua evaporada y transpirada si ha existido en todo momento un exceso de humedad disponible.

• Evapotranspiración Real : Es la cantidad de agua perdida por el complejo suelo-planta en las condiciones meteorológicas, edafológicas (en las que se incluye el contenido de humedad y la fuerza con que esta humedad es mantenida).

EVAPORACION: Factores que la controlan

- Radiación solar↑ ↑E- Presión de vapor↑ ↓E- Velocidad del viento↑ ↑E

a) F. Meteorológicos - Temperatura del aire↑ ↑E- Presión Atmosférica↑ ↓E

(menos importante)

- Vegetación- Suelo

b) Naturaleza de la superficie evaporante

- Agua, calidad de sal, lagos↑- Hielo, nieve- Otras

E↑

Evaporación. Procesos y métodos de cálculo.• Balance de agua

PE

I

OG O

• Balance de energía : Fórmulas empíricasE = K (es – e) (A+Bv)

E = EvaporaciónA,B,K = Constanteses = Presión de vapor saturadoe = Presión de vapor aire (mb) V = Velocidad del viento

Page 102: Modulo Mecanica de Fluidos

Ejemplo:

E = 0,358 (es – e) (1 + 0,58 V)

• Mediciones directas: Mediciones sobre pequeñas superficies de agua calma

Estación evaporimétrica

INSTRUMENTO PARÁMETRO A MEDIR

Evaporímetro Anemógrafo Psicrómetro Termómetro Barómetro Pluviómetro

Evaporación Velocidad de viento Humedad Temperatura Presión de vapor Precipitación

Evapotranspiración. Medición y fórmulas de cálculo.

• ETr : Evapotranspiración real. La que efectivamente se produce, tiene en cuenta las condiciones de humedad disponible y de cobertura vegetal.

• ETp : Evapotranspiración potencial. La que se produce en condiciones óptimas de humedad y está en función del tipo de cultivo o cobertura vegetal.

• ETo : Evapotranspiración de referencia. ETp que sirve de referencia para estimar la de otros cultivos. Calculada para una superficie extensa cubierta de pasto verde de altura uniforme entre8 y 15 cm que crece en forma normal, cubre completamente el suelo con su sombra y no carece de agua.Se tiene que: ETr = Ks ETp donde:Ks = coeficiente del suelo (0 en el PMP –1 con total disponibilidad de agua)ETp = Kc ETosiendo,Kc = coeficiente de cultivo (0.2 - 1.3). Es una curva para cada tipo de cultivo a lo largo de su período vegetativo.ETo= Evapotranspiración potencial, evaluada por fórmulas. Con lo que finalmente se tiene:ETr = Kc Ks ETo

Page 103: Modulo Mecanica de Fluidos

G o ⎜

A

G ⎟

Método de Thornthwaite ETo = 1.6⎜10 T

⎟⎛⎝

12⎛ T ⎞

⎞I ⎠

1.514

A = 1.6I

+ 0.5 I = ∑ im = ∑ ⎜ ⎟100 m =1 ⎝ 5 ⎠

ETo = Evapotranspiración potencial (cm/mes)T = Temperatura media mensualI = Índice térmico anuali = Índice térmico mensual

Método de Turc

Si la humedad relativa Hr > 50% :

ETp = ET mensual (mm)

ETp = 0.40(RG + 50) tt + 15

RG = Radiación solar global (cal / cm2 /día)T = Temperatura media mensual (ºC)

Si no se tienen datos; RG se estima como se explicó:

R = R⎛

a + b n ⎞

⎝ N ⎠

Si Hr<50%, se aplica a Etp un factor correctivo para zona árida: 1 + 50 − Hr

70

Page 104: Modulo Mecanica de Fluidos

� AGUA SUBTERRÁNEARelaciones agua-sueloDistribución del agua en la tierra

Humedad en el suelo: Acuíferos

Permeabilidad: Tipos de acuíferos según el material

‰ CAUDAL Hidrometría MétodosTIPO DE CURSO DE AGUA MÉTODO UTILIZADORíos Molinete, trazadoresQuebradas y arroyos Vertederos, trazadoresGrandes canales Molinete, flotadores, aforador Parshall

Page 105: Modulo Mecanica de Fluidos

Pequeños canales Capacidad, aforador ParshallManantiales Capacidad, vertedero, trazadores

Hidrograma de caudalHidrometría: Cota-Caudal

h Q Q

24h t

h24h t

Q

h Q

h

Page 106: Modulo Mecanica de Fluidos

HIDROMETRÍA: LIMNÍGRAFOS

• En cuanto a la medición:– De boya fluctuante,– De sensor a presión de gas,– De sensor electrónico.

• En cuanto a la transmisión de la señal:– Mecánica,– Electrónica.

• En cuanto al almacenamiento de datos:– En soporte de papel, sobre un tambor giratorio,– En soporte electrónico o magnético,– Transmitida en tiempo real.

• En cuanto a la transmisión de la señal:– Manual,– Por radio o por satélite.

‰ MODELOS LLUVIA ESCORRENTIA Ciclo de escorrentíaExceso de precipitación y escorrentía directa Metodología de modelación lluvia-escorrentía Fórmulas empíricas: Método Racional

Page 107: Modulo Mecanica de Fluidos

IRRIGACION

APROVECHAMIENTO SUPERFICIAL

1.1.- GENERALIDADESPara realizar obras de aprovechamiento superficial (para riego), es necesario efectuar una serie de estudios: Social-técnico-económico

Los estudios se clasifican en:

A.- Preliminares• Respuesta a inquietud de proyecto• Realiza: Campo y Gabinete

Comprende:• Visitas de inspección, Estudios socio económicos, estudios técnicos (topográficos,

geológicos, hidrológicos, agrológicos, mecánica de suelos)• Anteproyecto y conclusiones

B.- Definitivos.Permiten hacer evaluaciones y comparaciones para la toma de decisión.

En lo relacionado solo a estudios técnicos, se tiene:

Estudios topográficos• Localización del sitio para la ejecución de la obra.• Planos topográficos del sitio de ejecución de la obra.• Conocer la cuenca hidrográfica de captación. (Área, forma, pendiente (S),

corrientes, cobertura, geología, obras hidráulicas existentes, etc.• Datos relativos a la zona de riego:• Planos topográficos donde se señalen: caminos, poblados, arroyos, etc.• Plano catastral, señalando tenencia de la tierra.• Topografía que cubra la zona de riego: longitud del canal principal y secundarios.

Estudios Hidrológicos• Conocer el potencial del recurso hídrico: (Rio, quebrada, ojo de agua, laguna, etc.)• Conocer el caudal (Q) aprovechable: (Qmax, Qmin, procedimientos directos o

indirectos.)

Estudios Geológicos• Siempre es necesario, la rigurosidad depende del tipo de obra y magnitud.• El Informe debe contener: Corte geológico de sitios propuestos, descripción de

materiales en sitios seleccionados (cauces, laderas, etc)

Estudios AgrológicosRealizado por Ing. Agrónomos, detalle en función de la magnitud de la obra.Datos necesarios:

Clasificación agrológica de tierras, Plano de suelosSuperficie de riego factible de beneficiar

Page 108: Modulo Mecanica de Fluidos

Cultivos recomendables Riego recomendable Calidad del agua Drenaje necesario, etc

Mecánica de Suelos• Recomendable en sitios de obras importantes: Bocatomas, desarenadores,

caídas, rápidas, cascadas, etc.•• Información a conocer:• Descripción de materiales de cauces/laderas, granulometría, estimación de la

capacidad portante, taludes de corte recomendables, etc.

Aspectos Constructivos• Servirán de ayuda al proyectista para decidir el empleo de materiales• Esto interviene en el aspecto económico• Procedimiento de construcción, canteras, precios unitarios, etc.• En la memoria descriptiva de una proposición deben incluirse:• Existencia de materiales para la construcción (cantidad y calidad), épocas del año

recomendable para trabajar, mano de obra, salario mínimo, vías de acceso, maquinaria, transporte, etc

Estudios de Impacto ambiental• Generación de Polvo• Generación de Ruido• Perdida de Perfil del suelo• Impactos en la Flora• Desplazamiento de fauna• Impactos en el paisaje

Resumen : Concepción , Planeación , Diseño , Construcción , Operación , Mantenimiento

1.2.- ANÁLISIS DEL RECURSO AGUA

• En todo lugar existe dificultad en el uso del agua por la discrepancia entre la existencia y la demanda.

• La escasez del agua se acrecienta por: aumento de la población en el mundo y la demanda por habitante es mayor.

Page 109: Modulo Mecanica de Fluidos

A) Principio de conservación de los recursos hidráulicos• Se debe realizar un catastro con fin de conocer: Ubicación de fuentes, evaluar el

aprovechamiento, conocer la cantidad y calidad del agua• Ubicación de las estaciones de medición: tener datos estadísticos, que se usan en

los diseños.• En nuestro país: Senamhi, Proyectos especiales.

B) Planificación de la forma de utilización del agua• Tener en cuenta prioridades de uso: Consumo humano, animales domésticos• Realizar análisis de alternativas de otros usos: riego, electrificación, industrias, etc.• Buscar proyectos de aprovechamiento múltiple.

C) Criterios de utilización del agua• Para consumo humano:

Cantidad, busca fuentes a cualquier costo.Calidad, agua pura y limpia.

• Para riego o producción de energía eléctrica: Criterio económico (B/C)

Proyecto a aprovechamiento múltiple

1.3 Finalidades de las obras hidráulicas

A.- APROVECHAMIENTODe la misma cuenca o cuencas vecinas, para el beneficio del hombre. Ejemplo:

• Abastecimiento para consumo humano.• Riego terrenos de cultivo.• Producción de fuerza motriz• Navegación fluvial• Recreación

B.- DefensaEvitar daños, excedencias. Ejemplo:

• Defensa contra inundaciones• Protección contra erosiones• Eliminación de exceso de agua en zonas de cultivo.• Eliminación de agua de escorrentía fluvial.

Page 110: Modulo Mecanica de Fluidos

DETERMINAR EL CAUDAL QUE CIRCULA POR UN CANAL

• Calcular el Uso Consuntivo (UC) de los cultivos seleccionados• Hallar los Qdiseño para cada canal

USO CONSUNTIVO DE LOS CULTIVOS (UC=ETR)Se considera como la evapotranspiracion real del cultivo mas el agua que se encuentra presente en lostejidos de las plantas; pero como esta es muy pequeña en comparación con la evapotranspiracion, se desprecia por lo cual usualmente se considera:

UC = ETR ………… ( α ) Donde: ETR = Kc ETP ………..( β )

• Evapotranspiracion (E T ).- Suma de la cantidad de agua evaporada del suelo y el agua transpirada por la planta en un tiempo determinado

• Evapotranspiracion Potencial (ETP).- Máximo consumo de agua que se produce bajo

condicionesoptimas, cuando el cultivo cubre completamente el terreno y es de baja altura; el suelo esta bienabastecido de agua y nutrientes y su superficie esta bien niveladas.

• Evapotranspiracion Real (ETR).- Es el consumo de agua por parte de las plantas bajo

condicionesactuales o reales.

• Coeficiente de desarrollo de los cultivos (K).- Coeficiente que tiene en cuenta el

efecto de larelacion: agua – planta – funcion y/o crecimiento del cultivo.

Metodos pa r a determin a r el Uso Consuntivo a) Directos: A través de ensayos insitu. Ejm. Método del lisímetrob) Indirectos: Uso de formulas, basado en principios físicos y datos meteorológicos

• Metodo de Penman• Metodo de Blaney-Criddle• Metodo de Christiansen• Metodo de Hargreaves• Metodo de Thornthwaite. Etc

METODO DE CHRISTIANSENFormula básica: ETP = C. K. RT

………………( 1) C = CT . CH . CW . CS . CE

Donde:ETP = valor de evapotranspiracion (mm/dia)

K = 0.324 (Constante adimensional de Correlacion)RT= radiación solar teórica considerada en el techo de la atmósfera

T= Valores mensuales de Tº H = Humedad relativaW = Velocidad del vientoS = Horas de solE = Altitud

Coeficientes: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2

• CT = 0 .463

+ 0 .425 ⎜ Tc ⎟ + 0 .112 ⎜ Tc ⎟

Page 111: Modulo Mecanica de Fluidos

⎜ Tc o ⎟ ⎜ Tc o

⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Tc = Temperatura promedio en ºC Tco=20 ºC

Page 112: Modulo Mecanica de Fluidos

⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2

• Cw = 0 .672

+ 0 .406 ⎜ W

⎟ − 0 .078 ⎜ W

⎝ Wo ⎠ ⎝ Wo ⎠W = Promedio de la velocidad del viento a 2m sobre el nivel del sueloWo= 100 millas/dia ó 6.7 Km/hora

Si los valores de velocidad se obtienen de alturas diferentes de 2 m. sobre el nivel del suelo deben ser corregidos. Usar:

V = Va .⎛ Z ⎞

1 / 7⎟

⎝ Za ⎠

V = velocidad del viento corregidaVa = Velocidad del viento medidaZ = Altura del instrumento de medición sobre el nivel del sueloZa = Altura asumida del tanque de evaporación y tipo “A”

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2

• CH = 1 .035

+ 0 .24 ⎜ Hm

⎟ − 0 .275 ⎜ Hm

⎜ Hm o ⎟ ⎜ Hm o

⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Hm = Humedad relativa promedioHmo= 60%

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2

• C s = 0 .340

+ 0 .856 ⎜ S

⎟ − 0 .196 ⎜ S

⎜ S o ⎟ ⎜ S o

⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠S = Porcentaje promedio de luz solar

So = 80%

Nota: Las horas de sol se registran generalmente en horas de sol totales al mes, por lo que hay que convertirlas en % de horas de sol diarias usando la expresión:

%S = Horas de sol

acumuladas

en el mes x100

12 xN º de dias a mes

• C E = 0

.970

⎛ E ⎞+ 0 .030 ⎜

⎝ E o ⎠

E = Altura sobre el nivel del mar de la estación meteorológicaEo = 305 m

Nota: Para calcular la ETP mensual, se multiplica la ETP diaria por el número de días al mes. Luego de conocida ETP, se aplica la expresión “β”

INFORMACION RERQUERIDA• Valores medios mensuales de radiación extraterrestre• Temperaturas medias diarias.• Velocidad del viento promedio en la estación• Humedad relativa promedio en %• Heliofania• Coeficiente de uso consuntivo de los cultivos en % de crecimiento estacionario (T-2)• Ciclos vegetativos del cultivo• Inicio del periodo vegetativo

CALCULO DEL USO CONSUNTIVO (UC)

Page 113: Modulo Mecanica de Fluidos

Para su cálculo, se multiplica el valor de la evapotranspiracion del mes considerado; por el coeficiente Kc del cultivo (tabla Nº 2)

Page 114: Modulo Mecanica de Fluidos

Se requiere conocer:a) Ciclos vegetativos del “cultivo”. Ejm.

Dias Meses (%)

1 2 3 4 5 6 7 8

Alfalfa 90 30% 60% 100%

Algodón 210 10% 25% 40% 55% 70% 85% 100%

Frijol 150 20% 40% 60% 80% 100%

Maiz 180 20% 40% 55% 70% 85% 100%

b) Siembra (inicio periodo vegetativo)Alfalfa : Enero, Abril, Julio, Octubre ( 4 cosechas) Algodon : Nov. (1 cosecha)Frijol : Marzo, agosto. (2 cosechas) Maiz : Marzo, setiembre “

c) Determinación del coeficiente “Kc” de los cultivos para resolver la formula de Christiansen

MES CULTIVOSalfalfa Algodon Frijol maiz% Kc % Kc % Kc % Kc

E 30 0.50F 60 0.60M 100 0.30 20 20A 30 0.50M 60 0.60J 100 0.30Ju 30 0.50Ag 60 0.60 20S 100 0.30O 30 0.50N 60 0.60 10D 100 0.30

d) Calculo del uso consuntivo de los cultivos: (mm/mes) y seleccion:UC = ETR = Kc ETP

Mes E F M A M J J A S O N D

ETP:mm/mes 147.219

Mes CULTIVOS USO CONSUNTIVO TOTAL

ALFALFA ALGODON FRIJOL MAIZ mm/mes mm/dia

E 73.61 110.41 --- 103.05 287.07 9.26

F 88.85 10.58

M 44.19 9.24

A 69.94 391.68 13.06

M 73.77 10.91J 26.14 5.08

Page 115: Modulo Mecanica de Fluidos

J 50.56 4.57

A 71.61 5.77

S 40.18 7.37

O 73.90 10.49

N 86.81 11.09D 43.76 8.71

Por tanto: UCTOTAL MAXIMO = 13.06 mm/dia

CAUDALES DE DISEÑO Se requiere conocer:

• Uso consuntivo de los cultivos (UC)• Capacidad retentiva de agua o eficiencia del suelo (fs)• Perdida por infiltración: en la conducción como en la aplicación

a) DEMANDA DE AGUA (d: mm/dia)

d = UCmax

f s

mm / dia

Tipo de suelo Fco.Lo Fco. Fco.Ao Aofs 1.00 1.00 0.90 0.75dn 13.06 13.06 14.51 17.41

b) DOTACION DE AGUA NETA ( Dneta = m3/ha – dia)3

Dneta = 10 d

n

( m / ha

)dia

donde dn: Demanda nornal de agua en mm/dia

Tipo de suelo Fco.Lo Fco. Fco.Ao Ao3

D : m / ha

netadia

130,6 130,6 145,1 174,1

c) DOTACION DE AGUA REAL ( Dreal = m3/ha – dia)3

Dreal = Dneta ( 1

) m

Er

/ ha

diaEr = Ec × Ea ≅ 0.85 × 0.80 ≈ 0.68 ≈ 68%Donde:

Ec = Eficiencia de conducción y distribucióno Perdidas estimadas: 15%o Eficiencia por conducción y distribución: 85%

Ea = Eficiencia de aplicación y manejoo Perdidas estimadas: 20%o Eficiencia por aplicación y manejo: 80%

Tipo de suelo Fco.Lo Fco. Fco.Ao Ao3Dreal : m / ha − dia 192,1 192,1 213,4 256,0

Ejemplo: 130,6/0.98 = 192.1

Page 116: Modulo Mecanica de Fluidos

d) CALCULO DE LOS CAUDALES DE DISEÑO PARA LOS CANALES “A” Y “B”

⎛Dotacion = Q = ⎜ D

m 3 / ha ⎞⎟ ( A ha)⎜ real

⎝ dia ⎟

3Q = * * * * * * * m

dia

⎛ m3 ⎞⎜ * * * * * * * ⎟

Q = ⎜ dia ⎟m / seg⎜ 86400 ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo:

Canal Tipo suelo D realArea (ha) Dotacion: (m3/dia) Qdiseño

(m3/seg)

Parcial Total Parcial Total

AFco.Lo 192.1 30

609

5 763

131 472.9 1.522

Fco 192.1 99 19 017.9Fco.Ao 213.4 380 81 092

Ao. 256.0 100 25 600B

Por lo tanto el canal A debe diseñarse para conducir un caudal máximo de 1.522 m3/seg

Page 117: Modulo Mecanica de Fluidos

Tipo desuelo

Area

Fco Lo 60FcoFco Ao 130Ao

Tipo desuelo

Area

Fco Lo 100FcoFco AoAo 60

Ejercicio.-

1.- Con la misma información proporcionada, determinar los caudales que circularan por los canales indicados en la figura. Además determine el caudal de diseño del canal de derivación y comente su respuesta.Altitud = 102 msnmLatitud = 9º45’00”

Qrio = 18m3/seg

Tipo desuelo

Area

Fco Lo 190Fco 115Fco Ao 80Ao 50

Tipo desuelo

Area

Fco Lo 120FcoFco Ao 80Ao

Martes, 29 de enero de 2008

Page 118: Modulo Mecanica de Fluidos

HIDRAULICA DE CANALES

Definición: Estructura de conducción abierta o cerrada en el cual el fluido se conduce o transporta por gravedad a presión atmosférica.

Clasificación: Los canales se clasifican en

a) Por la Función que cumplen en los sistemas.Canal de d e rivació n : Es un canal que conduce las aguas desde la toma hasta el punto inicial de repartoCanal madre o principal : Es el canal que recorre por los puntos más altos del terreno por regar y desde el cual se inicia la distribución mediante los canales secundariosCanales distributarios : Llamados secundarios o laterales, son los que llevan las aguas a las areas de riego y finalmente a las parcelas.

Qd

Canal derivación

Canal principal o madre

b) Por su origen• Naturales: Ríos• Artificiales: Se hace con participación del hombre (canales de navegación, tuneles, canales

para riego, pequeños canales y conductos empleados en modelos reducidos)

c) Por su sección transversal• Rectangular.- Se utilizan en conductos abiertos, transiciones, estructuras menores• Trapezoidal.- Son los mas usados y sus taludes varían de acuerdo a la geología que

atraviesan• Triangulares.- Utilizados en laboratorios y en algunos arroyos naturales, con el objeto de

aumentar el tirante para una mejor determinación de la altura de agua.• Circulares.- Son utilizados para trabajar parcialmente llenos, se emplean en túneles,

conductos cubiertos, alcantarillas y desagües• Semicirculares: Utilizados en canales prefabricados y para pruebas de laboratorio.• Herradura (Horse Shoe).- Se utilizan en túneles, alcantarillas y conductos cerrados.

DISEÑO DE CANALES• Caudal de diseño Qd: fines ( abastecimiento de agua para consumo humano, riego,

generación de energía)• Pendiente o gradiente idráulico:

S = hf

L; “S” se obtiene del estudio topográfico

Page 119: Modulo Mecanica de Fluidos

• Naturaleza de la pared:9 Excavación en tierra9 Revestido: Concreto simple o mampostería de piedra

• “n” : Coeficiente de rugosidad, se obtiene del estudio de suelos o geología superficial

• Fuente de captación: Río, canal pozo, manantial, lago9 La captación de un canal se llama toma9 La captación de u rio se llama bocatoma

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UN CANAL

Y = tirante de agua. Profundidad máxima en un canal b = ancho de solera, plantilla, base del canalT = espejo de agua (ancho de la superficie sobre el

agua)C = corona de bordoH = altura de bordoH – y = BL bordo libre

Ө = ángulo de inclinación de las paredes laterales con la horizontal

Z = talud (relación de la proyección horizontal a lavertical de la pared lateral)

A = área hidráulica: es la superficie ocupada por el líquido en una sección transversal normal cualquiera.

P = perímetro mojado: es la parte del contorno del conducto que esta en contacto con el agua

R = radio hidráulico: es la dimensión característica de la sección transversal. Hace la función de diámetro en tuberías.

R = A

PY = Profundidad media: relación entre el área hidráulica y el espejo de agua

Y = A

T

RELACIONES GEOMETRICAS• Sección trapezoidal

T = b + 2.Z .Y

P = b + 2.Y . 1 + Z 2

A = bY + Z .Y 2

R = A

= bY + Z .Y 2

P b + 2Y 1 + Z 2

• Sección rectangular (Z = 0)b = TP = b + 2.YA = bY

R = A

=P

bY

b + 2Y

Page 120: Modulo Mecanica de Fluidos

• Sección triangular (b = 0)T = 2.Z .Y

P = 2.Y .A = Z .Y 2

A

1 + Z 2

Z .Y 2

R = =P 2Y 1 + Z 2

• Sección circular ( usar tablas)2

A = D

8(θ − senθ )D 2

P = θ r; P =

θ D2

1 (θ − senθ )D 2

R = 8 entonces R =

1 (1 −

senθ

)D

; Ө en radianes

1 θD

4 θ2

TIPOS DE FLUJOS EN CANALES• Elementos cinéticos de un canal: Definen las condiciones del flujo en un canal

Gasto (Q m3/seg) : Q = 1

AR 2 / 3 S 1 / 2

nGasto unitario (m3/seg/ml) : q = Q / b

Velocidad media (V ) : V = Q / A

• Elementos dinámicos: definen la movilidad del agua en un canaln : Coeficiente de rugosidadS : Pendiente hidráulicahf: es la perdida de carga por fricción en un tramo de canal: hf = L.S

El diseño debe tener en cuenta los tipos de escurrimiento siguientes

1.- Considerando como variable el espacio

• Flujo uniforme: permanecen constantes, tirante, velocidad media, caudal y la pendiente∂V

= 0 ;∂L

∂Y = 0 ;

∂L

∂A = 0

∂L

• Flujo variado9 Flujo gradualmente variado: permanecen constantes la sección, velocidad media, caudal y

pendiente9 Flujo rapidamente variado: Cuando el gasto es variable

∂V ≠ 0 ;

∂L

∂Y ≠ 0 ;

∂L

∂A ≠ 0

∂L

Page 121: Modulo Mecanica de Fluidos

⎜ ⎟

⎜ ⎟

2.- Considerando como variable el tiempo

• Flujo permanente ⎛ ∂

⎝ ∂t= 0

⎞ :

∂V = 0 ;

∂t

∂Y = 0 ;

∂t

∂A = 0

∂t

• Flujo no permanente ⎛ ∂

⎝ ∂t≠ 0

⎞ :

∂V ≠ 0 ;

∂t

∂Y ≠ 0 ;

∂t

∂A ≠ 0

∂t

3.- Considerando a la fuerza predominante

• Flujo laminar ( Re < 580)

• Flujo de transición ( 580 ≤ Re ≤ 750

• Flujo turbulento ( Re > 750)

FI vs FV → Re = VD

ν; D = 4 Rm

• Flujo Critico

• Flujo subcritico FI vs FG → F =V

; L = D = tirante medio hidráulicogL

• Flujo supercritico F = numero de Fraude ; D = A

T

En un canal rectangular:FIFI = FV Si = 1 →V = LgFG

→ F = 1 flujo critico

FI > FG

FI < FG

→ F > 1 flujo supercrítico

→ F < 1 flujo subcritico

En la mayoría de los canales el flujo laminar ocurre muy raramente, debido a las dimensiones relativamente grandes de los mismos y a la baja viscosidad cinemática del agua

DISTRIBUCION DE VELOCIDADES EN LOS CANALES

Procedimientos que nos permiten calcular la velocidad media (V) Según el servicio geológico de EE.UU.

1. La velocidad media en una vertical, generalmente equivale del 80% al 90% de la velocidad superficial

2. La velocidad a los 0.6 m de la profundidad (0.6 h) generalmente es la que mas se aproxima a la velocidad media

3. V

4. V

= V0.2 h + V0.8h

2

= 2V0.6 h + V0.2 h +

V0.8h

4

Page 122: Modulo Mecanica de Fluidos

(Por presición se escoge el 4to si contamos con instrumentos de medición)

Page 123: Modulo Mecanica de Fluidos

==

2 2

2

MEDICION DE LA VELOCIDAD PROMEDIO DE UNA CANALIZACION

1. Se divide el ancho del canal en “n” tramos equidistantes2. Determinar en cada franja la velocidad media3. De toda la canalización

V = =Q

=A

∫ VdA =

∫ dA

n

∑ViAii =1

∑ Ai

n

∑ViYi

= i =1

∑Yi

3

entonces

3

n

∑ViYi

V = i =1

∑Yi

3

Coeficiente de coriolis: α = ∫ V dA = ∑ Vi Ai

= ∑ Vi Yi

V 3

∫ dA V 3 ∑ Ai V 3 ∑ Yi

Coeficiente de Boussinesq: β =∫ V 2 dA ∑ Vi 2 Ai ∑ Vi 2 Yi

V 2

∫ dA V 2 ∑ Ai V 2 ∑ Yi

ECUACIÓN DE CONTINUIDADECUACIONDE BERNOULLI- ECUACIÓN DE ENERGIA

Energía de velocidadLínea de energía total

Energía de presión

Energía de posición

Superficie libre

Nivel de referencia

1

En cualquier línea de corriente que atraviesa una sección de un canal se define como energía total a la suma de las energías de posición + la de presión + la de velocidad

Para el caso de un fluido ideal (E1 = E2): E = z + P

+ α V

= cte óγ 2g

2

Para el caso de un fluido real: z1 + Y1 +

α

E = z + Y + α V

2g

V 2

V1 = z + Y + α 2

= cte

2

+ hf1−2

2g 2 gα = coeficiente de coriolis

Page 124: Modulo Mecanica de Fluidos

V 2

α Representa la relación que existe, para una sección dada entre la energía real y la que se2g

obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades1.03 ≤ α ≤ 1.36

α Depende de la exactitud con que se este haciendo los cálculos. En muchos casos se justificaconsiderar α = 1

FLUJO UNIFORME

SESE : pendiente de la línea de energíaSw: pendiente de la superficie del agua

Sw So: Pendiente del fondo del canalSE = Sw = So = S

So

Una de las condiciones para que se desarrolle un flujo uniforme en un canal, es que la pendiente sea pequeña, por lo que los tirantes normales se toman igual a los verticales.

Tirante vertical = Yd = tirante perpendicular o normal a la sección

α

Del grafico : cosα = d

Y, entonces: Y =

d

cosα; si α es pequeño entonces cos α = 1

Por tanto: y = d

El flujo uniforme es para cualquier propósito, también permanente ya que el flujo impermanente y uniforme no existe en la naturaleza.

La condición de flujo permanente y uniforme se llama normal. De ahí los términos tirante normal, velocidad normal, pendiente normal, etc.

Usualmente se considera en canales y ríos flujo uniforme

Page 125: Modulo Mecanica de Fluidos

De la figura: Senα = hf

L, como la pendiente es pequeña

senα = tg α = S = hf

L; hf = perdida de carga, disipación de energía en el tramo L

Si el flujo es uniforme Y = V permanecen constantes, las fuerzas hidrostáticas son iguales y desentido contrario. TambiénF = Wsen αF’ = Rozamiento entre el liquido y el contorno sólido, es directamente proporcional al área de

contacto PL y el cuadrado de la velocidad.F ' =

fPLV 2 f = coeficiente de fricción

Luego la condición de equilibrio sera:

Donde: W = γ∀Wsenα =

y ∀ = ALfPLV 2 ………………….(1)

Entonces: W = γ

.A.L

además S = sen α

⎧ A = radio hidraulico⎪ P

En (1): γ .A.L.S

=f .P.L.V 2

entonces : V 2 = γ

. A

.S ⎪ γ

= C '

f P ⎪ f

V 2 = C '.R.S

⎪C ' , dependede de la rugosidad⎪⎩

Extrayendo la raiz cuadrada: V =C '. R.S ; si: C ' = C

Por tanto: V = C. R.S ; Formula de Chezy

FORMULA DE MANNING

Considerando: C = 1

R1 / 6

ny remplazando en la ecuación de Chezy se obtiene:

V = 1

R 2 / 3 S 1 /

2

n

multiplicando por A (area) : VA = 1

AR 2 / 3 S 1 / 2

n

Page 126: Modulo Mecanica de Fluidos

De la ecuación de continuidad: Q = VA

Por tanto: Q = 1

AR 2 / 3 S 1 / 2

Page 127: Modulo Mecanica de Fluidos

APLICACIONES1.- En un canal trapezoidal de ancho 0.7 m y talud Z = 1 circula un caudal de 1.5 m3/seg con una

velocidad de 0.8 m/seg. Considerando un coeficiente de rugosidad n = 0.025. Calcular la pendiente del canal.

2.- Se desea construir un canal revestido de concreto de sección trapezoidal con Z = 1.5. Para evacuar aguas pluviales. El caudal de diseño es 500 lts/seg. El ancho de solera es de 0.5 m y la pendiente 1%o. Se pide calcular:El tirante del canalVerificar si el flujo es crítico, subcritico o supercrítico

SECCIONES DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICAUno de los factores que intervienen en el costo de construcción de un canal, es el volumen por excavar, este a su vez depende de la sección.Mediante ecuaciones se puede plantear y resolver el problemaLa forma que conviene dar a una sección para que escurra el mayor caudal posible, es lo que se ha llamado “sección de máxima eficiencia hidráulica”

Si consideramos en un canal de sección constante por la que debe pasar un caudal máximo, bajo las condiciones impuestas por la pendiente y la rugosidad. De la ecuación del caudal se tiene:

Q = 1

AR 2 / 3 S 1 /

2

n

; A , n , S permanecen constantes → K = 1

AS 1 / 2

n

Q = KR 2 / 3

En la ecuación anterior para que el caudal sea máximo el radio hidráulico debe ser máximo, o sea

R = A

Pdebe ser máximo.

Como A es constante, entonces R será máximo si P es mínimo

Por tanto: Q max si Perímetro es mínimo.

• Para una sección trapezoidal: b = 2.tg

θy 2

• Para una sección rectangular (Ө = 90º) entonces :tg

θ2

= 1 Por tanto: b = 2

y

• El radio hidráulicoR =

A =

y

P 2para canal trapezoidal y rectangular

• Condición de máxima eficiencia hidráulica para talud variable: Z =3

3

APLICACIONES1.- En un canal de riego de sección trapezoidal construido en tierra (n = 0.025) riega un área de 80

has. El modulo de riego fijado máximo entregado es 2 l.p.s/Ha . Determinar la sección de máxima eficiencia hidráulica y la pendiente del canal para una velocidad en el canal de 0.75 m/seg y Z = 1

Page 128: Modulo Mecanica de Fluidos

2.- Se requiere revestir con concreto un canal. Para ello se le encarga hacer el diseño de una sección de máxima eficiencia hidráulica. Las características del canal son: Q = 15 m3/seg, S =1%o, Z = 1 . Indicar mediante un esquema la sección solicitada.

Page 129: Modulo Mecanica de Fluidos

1 = ⎜ ⎟

2 = ⎜ ⎟

A = 1 1

R;

R

N nN

FLUJO EN CANALES CON RUGOSIDADES COMPUESTAS

En este caso para la aplicación de la formula de manning se debe calcular, el valor de “n”ponderado equivalente representativo en todo el perímetro mojado de la sección

Ecuación para el cálculo de la rugosidad ponderada:

Dividir imaginariamente el área hidráulica en N partes: A1 , A2 , A3 , ….. AN

Perímetro: P1 , P2 , P3 , ….. ..PN

Coeficiente de rugosidad: n1 , n2 , n3 , ……..nN

Hay una serie de criterios utilizados para el calculo del n ponderado

Por ejemplo. Horton y Einstein suponen que cada parte del área hidráulica tiene la misma velocidad media de la seccion completa

De la formula de Manning

⎛ V n2 / 3

⎞V1 =1

R 2 / 3

S 1 / 2 entonces 1 1

1 1 / 2n1 ⎝ S ⎠2 / 3

⎛ V n ⎞V2 =1

R 2 / 3

S 1 /

2

entonces 2 2 2 1 / 2

n2 ⎝ S ⎠

2 / 3

V = 1

R2 / 3

S 1 /

2

entonces R = ⎜ N N ⎟N N

⎝ S 1 / 2 ⎠

También: R = A

Pentonces

2 / 3

A = RP

Entonces: ⎛ V n ⎞1 ⎜

1 / 2 ⎟ P1

S⎝ ⎠2 / 3

A = ⎜ V2 n2 ⎟

⎛ ⎞2

⎝ S 1 / 2 ⎠

⎛ VN nN ⎞

P2

2 / 3

AN = ⎜⎝

⎟ PS 1 / 2

⎠N

⎛ V .n ⎞2 / 3

⎛ V1 n1 ⎞2 / 3

⎛ V2 n2 ⎞2 / 3

⎛ VN nN ⎞2 / 3

Sumando: ⎜ ⎟ P = ⎜ ⎟ P1 + ⎜ ⎟ P2 +……..+ ⎜ ⎟ PN

Page 130: Modulo Mecanica de Fluidos

⎝ S 1 / 2 ⎠ ⎝ S 1 / 2

⎠ ⎝ S 1 / 2 ⎠ ⎝ S 1 / 2

Page 131: Modulo Mecanica de Fluidos

2 N N

P P

Siendo la pendiente la misma y tomando en consideración que (V1 = V2 = V3 =……. VN)

n 3 /

2

P = n13 / 2P1 + n2

3 / 2P + .......... + n 3 / 2

P ⎛ N3 / 2 ⎞

2 / 3

⎛ 3 / 2 3 / 2 3 / 2 2 / 3

⎞⎜ ∑ Pi n ⎟

De donde: n = ⎜ n1 P1 + n2 P2 + .......... + nN PN ⎟ ó n = ⎜ i =1 ⎟⎜⎝

Aplicación:

⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Un canal trapezoidal cuyo ancho de solera es de 1.5 m tiene un talud igual a 0.75 y esta trazado con una pendiente de 0.0008. Si el canal estuviera completamente revestido de mampostería de piedra entonces para un caudal de 1.5 m3/seg el tirante seria 0.813 m. Si el mismo canal estuviera revestido de concreto se tendría para un caudal de 1.2 m3/seg un tirante de 0.607 m . Calcular la velocidad que se tendría en un canal cuando se transporte un caudal de 1.3 m3/seg, si el fondo es de concreto y las paredes de mampostería.

Page 132: Modulo Mecanica de Fluidos

CAPITULO III: TRANSICIONES Y PROTECCION A LA EROSION

1.- Transición: Estructura diseñada para cambiar la forma o el área de la sección transversal del flujo.

2.- Funciones de una transición:

• Provee flujo de agua mas tranquilo• Reduce perdidas de energía• Minimiza la erosión del canal• Provee estabilidad adicional a estructuras adyacentes, por su mayor resistencia a la erosión.En una transición de entrada (TE) produce aumento gradual de velocidad

En una transición de salida (TS) produce disminución gradual de velocidad

3.- Tipos de transició n :o Transición de concreto conectado a un canal con una obra de arte: acueducto, sifón, alcantarilla, etc

ƒ Transiciones de planos interceptadosƒ Transiciones rectasƒ Transiciones alabeadas (pared, fondo, pared y fondo)

o Transición de concreto conectado a un canal con una obra de arte que utiliza estructuras de tubo

ƒ Transiciones de planos interceptadosƒ Transiciones rectasƒ Transiciones rectas con poza

o Transición usando enrocado.- Conecta estructuras de concreto o conductos de tuboƒ Transiciones trapezoidales

4.- Consideraciones de diseño:

A.- Pérdidas a tener en cuenta

A.1 Perdidas en transiciones de concreto (conectando un canalobra de arte tipo cajón.

Page 133: Modulo Mecanica de Fluidos

Tirante -canal ecm

twcm

→ 0.90 60 150.90 - 1.80 75 20> 1.80 90 20

Te⎜ ⎟

Ts⎜ ⎟

A.1 Perdidas en transiciones de concreto de planos interceptados unido o conectado con tubería.

• Transición de entradahTe = khv

⎛ Vt2 h = 0.4⎜ 2g⎝

Vc2 ⎞−

2g ⎟⎠

• Transición de salidahTe = Ehv

⎛ Vt2 h = 0.7⎜ 2g⎝

Vc2 ⎞−

2g ⎟⎠

A.3 Perdidas en transiciones tierra con enrocado conectado con tubería.• Usa transiciones trapezoidales, convergente y divergente y semicirculares

Transición de entradahTe = 0.5hv

Transición de Salidah Ts = 1 . 0 h v

B.- Angulo de la superficie del agua “ α “Es aquel formado entre la superficie del agua y la línea central de la transiciónCaso de transiciones de concreto tipo planos interceptados- conectado a tuberíaTransición de entrada: “α” no debe exceder de 27 ½ º Transición de salida: “α” no debe exceder de 22 ½ ºSi Transición de entrada = transición de salida entonces α = 25ºPerdidas:Transición de entrada = 0.5 ∆hvTransición de salida = 1.0 ∆hvÚtil en predimensionado, adoptado ” α “

φ = f ( d ) Dimensión : Cα α α

22.5º 25º 27.5ºD = d 0.5 D 0.8 D 1.1 DD = 1.25 d 1.1 D 1.4 D 1.7 D

D = 1.5 d 1.5 D 1.8 D 2.1 D

D = 2.0 d 2.0 D 2.3 D 2.6 D

C.- INTERCEPTORESUsados para reducir filtracionesAumentan estabilidad de transiciones

Page 134: Modulo Mecanica de Fluidos

Curso: IRRIGACION IITema: TRANSICIONES Y PROTECCION A LA EROSION

La transición en un canal es una estructura diseñada para cambiar la forma o área de la sección transversal del flujo. Entre sus funciones se tiene, provee flujo de agua mas tranquilo, reduce las perdidas de energía, minimiza la erosión del canal, provee estabilidad adicional para estructuras adyacentes, por la mayor resistencia a la filtración, elimina ondas transversales, etc.

Transiciones de estructuras de tubo, de cauce de drenaje

Page 135: Modulo Mecanica de Fluidos

COEFICIENTES DE PERDIDA DE CARGA EN TRANSICIONES SALIDAS RECTANGULARES

010

Aplicación 1:a) Un canal de tierra transporta un caudal de 1.5 m3/seg., tiene una pendiente de 1.1 º/oo,

talud 1.5:1, cruza una vía mediante un conducto de sección cuadrada de 1.0 m de lado, la velocidad en esteconducto es 1.5 m/seg. Ubicar una transición tipo IV y determinar la relación de perdidas de carga entre la transición de entrada y la de salida.

b) Si se tuviera transiciones tipo planos interceptados y se toma la información que se ha logrado en

el ejercicio anterior (tanto en el canal como en la estructura tipo caja) se quiere unir la

Page 136: Modulo Mecanica de Fluidos

estructura con las características que la transición de entrada sea igual a la transición de salida.

Page 137: Modulo Mecanica de Fluidos

Tirante en elinterceptor (m)

BL mínimo en elcortador

Hasta 0.35 15 cm0.36 a 0.60 25 cm0.61 a 1.51 30 cm

TRANSICIONES- DISEÑO HIDRAULICO

A.- Sumergencia del tubo:A.1.- Transición de entrada. A.2.- Transición de salida

Sello:a)calculo sello: 1.5∆hv = 1.5[hvt − hvC

]b) especificación:

sello minimo = 3”

Sello:a) calculo

sumergencia: (dn + p) − Htb) Especificación:

c) Ht = D

cosαsumergencia ≤

Ht

6

α ≈ 12º (predimensionado)Si sumergencia en la salida es >Ht/6, la perdida principal debe ser calculada en base a una inesperada expansión en la transición de salida

BORDE LIBRE EN LA DIRECCION DE LA SECCION DE LA PANTALLA DESNIVEL “p” EN LA TRANSICION DE ENTRADA Y SALIDA

• Para estructuras de tubo de Ф = D = 24” (0.60m), el BL en la pared principal = BL . cortador• Para estructuras de tubo de Ф = D > 24” ; el BL en la pared principal puede tomarse como 2BL

del cortador• Para transiciones de entrada y salida iguales; usar:

p ≤ 1

D2

Caudal: m3/seg BL mínimo encortador

Hasta 1.5 15 cm (6”)1.5 a 3.0 15 a 25 cm

Page 138: Modulo Mecanica de Fluidos

PROTECCION A LA EROSIONIntroducción.- la protección es importante donde se presenta cambios de velocidades fuertes

(n1 ≠ n2),donde se de inestabilidad de talud, etc.

Parámetros a tener en cuenta:• Costo del material• Costo de la mano de obra• Daño probable para estructuras, cosechas, personas, etc.• Tipo de suelo (caja de canal, talud)• Velocidad del agua (en obra de arte, en canal, etc.)

FASES DE DISEÑO• Determinar la longitud necesaria de protección Lp• Determinar las características de la protección

Peso del material a usarTamaño del materialEspesor del material

Esquema

REQUERIMIENTOS MINIMOS DE PROTECCION DEBIENDOSE ANALIZARSE LAS CONDICIONES LOCALES PARA PROCEDER A UN REAJUSTE.

Tirante de aguad (m)

SIFON

PROTECCION LONGITUD DE PROTECCIONENTRADA SALIDA ENTRADA SALIDA

0.0 – 0.60 --- --- --- ---

0.61 – 1.10 --- Tipo 1 --- 2.5 d min 1.50 m

1.11 - 2.15 Tipo 1 Tipo 2 d min 0.90m 2.5 d – 4d min1.50m

ESTRUCTURAS DE CRUCE DE DRENAJE

OTRAS ESTRUCTURAS:Vertederos, parshall, caídas

inclinadas, tubería de ingreso, cruce vía, caída de

tubo, etc.Q (m3/seg) TIPO DE PROTECCION LONG/PROTECC TIPO DE PROTECCION

m3/seg Entrada Salida Salida Entrada Salida0.00 – 0.85 --- Tipo 2 2.45 m --- Tipo 20.86 – 2.50 --- Tipo 2 3.65 m --- Tipo 22.81 – 6.80 Tipo 1 Tipo 3 4.90 m Tipo 1 Tipo 3

PROTECCION: En estructuras donde la velocidad es mayor que 1.5 m/s(excepto para estructuras de drenaje), usar como protección mínima la tipo 3; prescindiendo de la profundidad.Tipo 1 6” (15 cm) grava gruesaTipo 2 12” (30 cm) grava gruesaTipo 3 12” (30 cm) rip rap en 15 cm de base de arena y gravaTipo 4 18” (45 cm) rip rap en 15 cm de base de arena y grava

Nota: La base de 15 cm de arena y grava para rip rap, debe ser una capa continúa de arena y grava o arenay roca triturada razonablemente bien graduada a un máximo de 1 ½”.

Page 139: Modulo Mecanica de Fluidos

I.- PROPIEDADES DE LOS SEDIMENTOS QUE FORMAN UN CAUCE

Los sedimentos que forman un cauce pueden clasificarse como:

- Materiales No cohesivos o granulares- Cohesivos- Rocosos

I.1.- Propiedades de los Suelos No Cohesivos:

Propiedades Individuales:

Peso Especifico de las Partículas (γs)

Es un indicativo del peso de las partículas.

γs = Peso / Volumen

En los ríos el peso específico de las partículas es aproximadamente 2650 kg/m3

For m a - Las partículas tienden a ser esferas, discos, láminas, elipsoides, etc.- La forma influye en la velocidad de caída.- Se caracteriza mediante el factor de forma (f)

f = c / (a.b)1/2

donde:a = dimensión máximab, c = máxima y mínima distancia perpendicular a ”a”.

Según Schoreder en ríos el factor de forma es aproximadamente 0.7.

Ta m año Los métodos de medición varían según el tamaño de las partículas:

o Para cantos rodados y guijarros, el tamaño se mide directamente.o Para gravas y arenas, se realiza un análisis granulométrico por cribado.o Para limos y arcillas, s realiza un análisis de sedimentación.

Velocidad de Caída- Es la velocidad máxima que adquiere una partícula al caer dentro del agua.- Para esferas se mida según:

w = (4g∆D/3CD)1/2donde:∆: Peso Específico Relativo.D: Diámetro de las PartículasCD: Coeficiente de arrastre.

- Para particulas naturales:w = F1 (g∆D)1/2 , F1 = (2/3 + 36ν2/g∆D3)1/2- (36ν2/g∆D3)1/2

Page 140: Modulo Mecanica de Fluidos

∆: Peso Específico Relativo.D: Diámetro de las Partículasν: Viscosidad .

Propiedades en conjunto:

Distribución Granulo m étrica.

- Cu=D60/D10Cu < 3 Material UniformeCu = 1 Completamente UniformeCu >3 No Uniforme

- D50 Mediana de la distribución

- Dm Diámetro Medio

dm = ∑(di.∆p) / ∑∆p

Peso Volumétrico

γs = Peso / VolumenCantos Rodados y BoleosγS ≅ 1800 – 2800 kg/m3

GravasγS ≅ 2100 – 2400 kg/m3

ArenasγS ≅ 2600 – 2700 kg/m3

Material en suspensión:- Concentración.

C = Peso de Sólidos / Volumen Total

- Viscosidad.

I.2.- Propiedades de los Suelos Cohesivos:

- Peso Volumétrico Seco.

- Resistencia al Esfuerzo Cortante.

Page 141: Modulo Mecanica de Fluidos

II.- INICIACIÓN DE MOVIMIENTO

Es importante conocer las condiciones de iniciación de movimiento a fin de:- Evaluar la estabilidad de un lecho.- Evaluar la estabilidad de una capa artificial para proteger un lecho.- Parámetro para las fórmulas de transporte.

II.1 Criterio de Shields

Valido para las condiciones:

- Canal con flujo totalmente turbulento.- Condicion limite: ningun transporte de solidos.- Shields no presento una curva sino un rango

Page 142: Modulo Mecanica de Fluidos

Shields demostró que la iniciación del movimiento de una partícula sólida de diámetro puede

describirse como la relación entre los dos parámetros adimensionales: Parámetro de Shields

e Indice de Inestabilidad.

Parámetro de Shields

Fr* = τo / (γs-γ)d

El Parámetro de Shields relaciona la resistencia de la partícula a ser movida con su peso

sumergido.

Indice de Inestabilidad

Re* = v*.d/ν

El Indice de Inestabilidad refleja como cociente el valor relativo de las fuerzas de inercia y las

fuerzas viscosas en el entorno de un grano, es decir el grado de turbulencia cerca del lecho.

Vide.

Formulas simplificadas: D*=(ρ’.g/ν2)1/3.d ; ρ’=(ρF-ρ)/ρ

Si:

D* ≤ 6 ; Fr*cr = 0.109 D* - 0.5

6 < D* ≤ 10 ; Fr*cr = 0.14 D* -0.64

10 < D* ≤ 20 ; Fr*cr = 0.04 D* -0.1

20 < D* ≤150 ; Fr*cr = 0.013 D* 0.29

D*≥150 ; Fr*cr = 0.055

τc* = Fr*cr (γs-γ)d

Page 143: Modulo Mecanica de Fluidos

1⎜

II.2.- Diseño de un Canal Trapezoidal Estable.Un canal será estable si las condiciones hidráulicas actuantes no superan las condiciones de

iniciación de movimiento.

Para un canal no revestido

τac p max

τac f max

Para que sea estableESFUERZO ACTUANTE debe ser menor que el ESFUERZO CORTANTE CRITICO

τac f max < τcr en el fondo

τac p max < τcr en las paredes2.1.1 CONDICIONES ACTUANTES

EN EL FONDO EN LOS TALUDES

τac f max = γ.h.S

donde:γ = peso especifico del aguah = tiranteS = pendiente

τac p max = f. γ.h.S

f depende del talud lateral taludes f1:2 0.751:3 0.851:4 0.901:6 0.95

2.1.2 CONDICIONES CRITICASEN EL FONDO EN LOS TALUDES

τcr p max = Kθ τcr

fτcr f = Fr* (γs-γ)d ⎛

K θ = Cos θ ⎜ −= tag 2 θ ⎞

⎟⎝ tag 2 φ ⎠

donde:Fr* = parametro de Shieldsγ = peso especifico del aguaγs = peso especifico del materiald = diámetro medio del material

θ: ángulo de talud lateralϕ: ángulo de reposo

D50 MaterialRedondeado

MaterialAngular

S = pendiente < de 0.0010.0050.010.05

> de 0.1

30º32º35º37º40º

35º37º40º42º45º

APLICACIÓN 1Un canal trapezoidal tiene un tirante “h” y un ancho de base “b”, taludes laterales H=2 , V=1. La superficie del agua tiene una pendiente S = 3.5 x 10-4 y se quiere transportar un caudal de Q = 30

Page 144: Modulo Mecanica de Fluidos

m3/seg. El material del fondo y paredes tienen un D50 = 0.04 m y D90 = 0.08 m. Si la temperatura del agua es de 20º C. ¿Cuál seran los valores de “h” y “b” para que sea estable?

APLICACIÓN 2En un canal muy ancho el fondo está constituido por partículas de arena. El diámetro representativo es de 2 mm, su γs = 2650 kg/m3, ν = 1.25 x 10-6 m2/s, T=12º C, S= 2x10-4. Hallar: Tcrit, Hcrit., Vcrit. yqcrit.

APLICACIÓN 3Un canal muy ancho con h = 2 m, S= 2x10-4 (D50 =0.002 m, D90=0.005 m y ρs=2650 kg/m3, T=20º C.ρ=1000 kg/m3 . Habra movimiento de acuerdo a la curva de Shields.?

APLICACIÓN 4Un canal muy ancho con S= 10-5 (D50 =0.002 m, D90=0.003 m y ρs=2650 kg/m3, T=20º C .ρ=1000kg/m3 . Hallar Qmov.

Page 145: Modulo Mecanica de Fluidos

DISEÑO DE TUNELES5.2 TRANSPORTE POR CONDUCTO CUBIERTO

Nos referimos a aquellas obras que conducen el agua a régimen de canal, a través de una loma (cerro); llamados túneles.TUNELESSon obras de conducción subterránea que se excavan siguiendo su eje, con el objeto de atravesar una loma. Se utilizan en los siguientes casos:

1. Cuando es necesario pasar el agua de un valle a otro, atravesando el macizo montañoso que los separa.2. Cuando de este modo se evita el desarrollo de un largo canal abierto y, con el consiguiente

aumento de pendiente y reducción de la sección, se consigue una apreciable economía.3. Cuando la pendiente transversal es demasiado elevada y el material de mala calidad no

permiten asegurar la estabilidad del canal abierto.

FORMA DE TRABAJOLos túneles pueden trabajarA GRAVED AD .- Si tienen una superficie libre a presión atmosférica como los canales abiertos. Deben seguir rigurosamente la alineación vertical dada por la gradiente calculada.Se utilizan cuando el nivel de agua es casi constante a la entrada, o sea en las tomas por derivación directa(fig 1)

Fig. 1 Fig. 2

A PRESIÓN : Si llenan toba la sección como las tuberías. Pueden tener una alineación cualquiera con tal de estar por debajo de la línea piezometrica. Fig. 2Se utilizan cuando la captación se hace desde un reservorio, el túnel es de presión si su entrada se ubica a no menos de 2 m. por debajo del nivel mínimo de agua. Al final del túnel se pone una chimenea de equilibrio.

5.3 DISEÑO DE LA SECCION (TUNELES A GRAVEDAD)

La forma de la sección de un túnel debe ser tal que para un área dada, el caudal que circula debe ser máximo y también que resista a las presiones.La construcción de túneles así como la selección de su forma y tipo de revestimiento esta íntimamente ligada con la geología, mecánica de suelos y rocas, puesto que uno de los datos mas importantes es la presión que debe soportar.

a) FORMAS DE SECCIÓN; DIMENSIONES MÍNIMAS

H ≠ B H = BH min = 2.20 m H min = 1.80 m H min = 2.00 m H min =

2.00mB min = 1.40 m HERRADURA ESTANDAR

a) CIRCULAR b) BAUL c) HERRADURA

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h/r A/r2 P/r R/rKq.n

8 / 3

2.001.991.981.971.961.951.941.931.921.911.901.891.881.871.861.851.841.831.821.811.801.701.601.501.401.301.201.101.00

3.54393.54213.53873.53423.52903.52303.51653.50943.50183.49373.48533.47633.46693.45733.44733.43683.42613.41533.40393.39243.38043.24853.09672.92982.75132.56402.37052.17281.9728

6.92666.64356.52606.43556.35906.29156.23026.17376.12136.07166.02465.97975.93675.89535.85558.81705.77955.74355.70805.67365.63935.33625.07844.83264.60844.39184.18813.98573.7854

0.51160.53310.54220.54910.55490.56000.56440.56840.57200.57540.57840.58140.58400.58650.58870.59080.59280.59460.59630.59790.59940.60880.61050.60630.59700.58340.56500.54520.5213

2.2692.3292.3532.3702.3832.3942.4022.4082.4132.4172.4192.4202.4212.4212.4202.4182.4162.4142.4102.4062.4052.3302.2362.1001.9521.7811.6201.4531.280

CASO EXTREMO DE TUNELES PEQUEÑOSSección rectangular y parte superior cerrada por un arco semicircularDimensiones:

H = 1.5 B ≈ 2.0 B ≥ 1.80

H H min = 1.80 mB ≥ 1.40 (min 1.40 m)

Para predimensionar yDespués hacer reajustes

Bb) CONSIDERACIONES DE DISEÑO PARA TUNELES TIPO BAUL

b.1 HERRADURA ESTANDAR

h = d

Donde:R = radio de la bovedaβ = ángulo con la horizontal que hace el radio

que toca la intercepción de la superficiedel agua con la bóveda

h = d = Calado del agua ( tirante) A = area mojadaP = perímetro mojadoR = radio hidraulicon = Coeficiente de rugosidad

Kq = Q

S1 /

2r S = pendiente

Tabla 7.9Características hidráulicas de túnel tipo baúl para diferentes tirantes (d = h)

Page 147: Modulo Mecanica de Fluidos

b.2 HERRADURA

c) VELOCIDADES DE DISEÑO EN LOS TUNELES- Para caudales constantes oscila entre 1.5 a 2.5 m/s, pudiendo admitirse valores mayores

cuando el caudal es muy variable.- En túneles a presión las velocidades generalmente varían de 2.5 a 4.5 m/s- Rugosidad: puede utilizarse: n = 0.013 ó n = 0.015

Si la roca es sana: n = 0.04

- En túneles que trabajan a gravedad; el tirante no debe pasar del 85% de la altura total- El borde libre : BL ≥ 0.40 m (mínimo = 0.30 m)- Puede utilizarse: BL = 30% R ( debe verificarse)

BL ≥ 0.40

Hh = d = 0.85 H

APLICACIÓN 1:Determinar las dimensiones necesarias de un túnel en forma de baúl para un caudal Q = 3 m3/seg con un gradiente S = 0.0004. El material del túnel es roca y se deben comparar los costos del túnel con y sin revestimiento.

APLICACIÓN 2:Calcular la sección de un túnel que debe llevar un caudal de Q = 2.8 m3/seg con un gradiente S = 0.0012. El túnel tendrá un revestimiento de 20 cm de espesor (n = 0.015) y la altura de seguridad no debe ser menor de 30 cm.


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