Mono de Logistica

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

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INDICE

1. CARATULA

2. INDICE

3. DEDICATORIA

4. AGRADECIMIENTOS

5. INTRODUCCION

6. LOGISTICA

7. ECUACION LOGISTICA

8. ECUACION DE LOTKA-VOLTERRA

9. MODELO LOGISTICO

10. REGRESION LOGISTICA

11. CONCLUSIONES

12. BIBLIOGRAFIA


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DEDICATORIA

Dedico la presente

monografa a una

persona muy especial que

posee toda mi estima y

agradecimiento.

Pues no solo me brinda

su apoyo sino que

tambin su cario y

sobretodo su

comprensin, gracias

LUIS, sabes lo que

significas para m.


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AGRADECIMIENTOS

A MIS MAESTROS QUE DIA A

DIA NOS IMPARTEN

CONOCIMIENTOS SIN LOS

CUALES NO PODRIA

REALIZAR MI SUEO QUE ES

SER INGENIERA CIVIL.

AGRADESCO TAMBIEN A

MIS FAMILIARES QUE SIN

SU APOYO NO ESTARIA

AHORA EN PROCESO DE

REALIZAR ESE SUEO

AGRADESCO SOBRE TODO

A MI PADRE QUE DESDE EL

CIELO SE QUE CONSPIRA

POR MI,QUE SIEMPRE VELA

POR MI BIENESTAR Y QUE

SU MEMORIA VIVIRA


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INTRODUCCION

En la presente monografa se tratara el tema de LOGISTICA es una funcin

matemtica que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones,

propagacin de enfermedades epidmicas y difusin en redes sociales. Dicha

funcin constituye un refinamiento del modelo exponencial para el crecimiento de

una magnitud

Este modelo es adecuado para especies bacteriolgicas con un rango de validez

temporal, por ejemplo una semana, es decir el crecimiento ser exponencial en una

semana considerando por ejemplo que la bacteria se duplica en 1 hora, esto es la

constante de crecimiento es de 2 bacterias por cada una en una hora, es decir k =

2, y la unidad de tiempo es hora. Cul ser la evolucin de esta colonia de

bacterias al cabo de una semana?

En el desarrollo de un embrin, el vulo fecundado comienza a dividirse y el

nmero de clulas empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. ste es un

crecimiento exponencial. Pero el feto slo puede crecer hasta un tamao que el

tero pueda soportar; as, otros factores comienzan a disminuir el incremento del

nmero de clulas, y la tasa de crecimiento disminuye. Despus de un tiempo, el

nio nace y contina creciendo. Finalmente, el nmero de clulas se estabiliza y la

estatura del individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el

crecimiento se detiene.


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CONCEPTO DE LOGISTICA SEGUN (Antn, 1993)

LOGICA: es la ciencia y el arte de dicernir los pensamientos y conceptos

LOGICO: es lo que pertenece relativo a la logica

LOGISTICA: en su ecepcion mas amplia, es la diciplina que trata de formular

de un modo riguroso la logica.

Tradicionalmente, la logisticaes, tambien, el arte militar que estudia el

movimiento,transporte y estacionamiento de las tropas fuera del campo de batalla.

Es la referencia mas antigua de la logistica como un control de flujos, el de los

recursos para la batalla.

Lasignificacion de lka logistica como formulacion de una logica, y en particular de

una racionalizacion de la conducta de flujos, conduce a la aceepcion moderna de la

logistica en la empresa como regulacion de flujos fisicos de mercancia.

LOGISTICA

Es una funcin matemtica que aparece en

diversos modelos de crecimiento de

poblaciones, propagacin de enfermedades

epidmicas y difusin en redes sociales.

Dicha funcin constituye un refinamiento

del modelo exponencial para el crecimiento

de una magnitud. Modela la funcin

sigmoidea de crecimiento de un conjunto P


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CONCEPTO DE LOGISTICA SEGN (magee, 1958)

La logistica es concebida como una tecnica de control y de gestion de flujos de

materias primas y de productos, desde sus fuentes de aprovisionamiento, hasta sus

puntos de consumo.

EL CRECIMIENTO EXPONENCIAL SEGUN (Walias, 2005)

Supongamos que tenemos una determinada especie biolgica ubicada en un cierto

nicho ecolgico, se define por N( t ) el nmero de unidades de esa especie en el

tiempo t. Supongamos que esta especie no tiene depredadores y el espacio

ecolgico le da suficientes alimentos de tal manera que no hay una excesiva

competencia dentro de las especies (digamos que falla el elemento articulador de la

teora darwiniana: los medios son escasos y se hace necesario la lucha por los

alimentos). De tal forma que esta "especie elegida" no tiene strees externo ni

interno, de modo que el modelo que se propone es el siguiente:

N( t + Dt ) = N( t ) + k N( t ) Dt (1)

siendo k una constante positiva, que llamaremos la tasa de crecimiento de la

poblacin. Supongamos que el tiempo t = 0 la poblacin es de N ( 0 ) unidades.

Formando el cociente de Newton en la ecuacin dinmica en (1), nos queda

pasando al lmite cuando Dt tiende a cero,

Observemos que

(2)


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La pregunta es, cul es la funcin N( t ) que satisface la relacin (2)?

Podemos recordar que

entonces la derivada de la funcin compuesta ln N( x ), aplicando la regla de la

cadena, es

de tal manera que de (2) se tiene que

(3)

por lo tanto necesariamente para llegar a la ecuacin (3) se debe tener que

(4)

En (4) aplicamos la definicin de ln y obtenemos

la constante A la calculamos fcilmente toda vez que conocemos el valor de N( 0 ),

en efecto, N( 0 ) = A, entonces

Para una poblacin que se inicia con N( 0 ) = 10000 especies, y con un crecimento

de 5 por cada mil en una unidad de tiempo (por ejemplo aos), entonces se tiene

que k = 0.005, la evolucin dinmica de esta especie se entrega en la grfica

siguiente


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Este modelo es adecuado para especies bacteriolgicas con un rango de validez

temporal, por ejemplo una semana, es decir el crecimiento ser exponencial en una

semana considerando por ejemplo que la bacteria se duplica en 1 hora, esto es la

constante de crecimiento es de 2 bacterias por cada una en una hora, es decir k =

2, y la unidad de tiempo es hora. Cul ser la evolucin de esta colonia de

bacterias al cabo de una semana?

POBLACIONES LIMITADAS Y ECUACION LOGISTICA SEGN

(BOZALLA, 2002)

En algunas poblaciones es posible observar que la tasa de la natalidad disminuye

conforme la poblacion aumenta, las razones pueden ser diversas desde el

incremento en el refinamiento cientifico o cultural hasta la limitacion en los recursos

alimenticios.

ECUACION LOGISTICA


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La ecuacin logstica es un segundo modelo sobre evolucin poblacional que le pone

ms realidad al modelo de crecimiento exponencial. Como antes definiremos

por N( t ) el tamao de la poblacin bajo estudio, y como antes vamos a suponer

que el coeficiente k es la tasa de crecimiento, pero esta vez no ser constante, y

vamos intentar explicar no solo porqu no ser constante sino que tambin porqu

asume el valor que vamos a proponer. En el modelo exponencial tenamos que

(1)

y con esto estbamos diciendo que los nuevos miembros de la poblacin van a ser

proporcionales al tamao de la poblacin con una constante de proporcionalidad k.

Pues bien, lo que se propone aqu es lo siguiente: la tasa de crecimiento en

condiciones "normales" ser constante o aproximadamente constante, pero en esta

tasa de crecimiento se debe reflejar el hecho de que si la poblacin aumenta

considerablemente ese mismo tamao va a inhibir el crecimiento o se reducir los

nuevos miembros de la poblacin, es decir esta nueva tasa de crecimiento ser de

la forma

(2)

donde el factor a indica una tasa de crecimiento "en condiciones normales" y el

factor b N( t ), con b > 0, indicar el retardo en la tasa a cuando la poblacin N( t )

sea muy grande. Entonces reemplazando (2) en (1) obtenemos

Formando el cociente de Newton y pasando al lmite cuando t se aproxima a cero,

se tiene que

(3)

Esta ecuacin se puede arreglar como

(4)

Observemos que el denominador admite la siguiente descomposicin

de tal forma que reescribimos la ecuacin (4) como


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el segundo miembro de esta ecuacin es equivalente a las siguientes derivadas

Recordando que derivada de una suma es la suma de las derivadas y por propiedad

de logaritmo, nos queda

esto significa entonces que

de modo que

como nuestro objetivo es "descubrir" la funcin N( t ) estamos a un paso si la

despejamos de esta igualdad. En efecto

(5)

Y esta funcin N( t ) definida segn (5) que se conoce con el nombre de ecuacin

logstica.

Veamos como funciona esta ecuacin para a = 1, b = 0.001 y N( 0 ) = 106 .

All se puede ver como la funcin crece violentamente, luego alcanza un punto de

inflexin y a partir de ese punto de inflexin empieza la poblacin a estabilizarse a

un punto fijo. All se puede observar el punto de inflexin y adems el lmite

asinttico de la ecuacin logstica, esto es

y esto significa que la poblacin se estabiliza en el tamao poblacional a / b.


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Aun queda mucho que estudiar de esta funcin logstica, como por ejemplo, cules

son las unidades de a y b? qu valores puede tomar a y b para que la poblacin no

se extinga?, para qu valores de a y bla poblacin est condenada a la extincin?

qu papel juega N ( 0 )? Adems se debe especificar claramente en que unidades

de tiempo estamos trabajando.

Debe usted comprender cun importante es el clculo diferencial en los estudios de

dinmica poblacional.

Para finalizar, se puede demostrar mediante unos pocos minutos de lgebra

elemental que si hacemos k = a / b entonces

La constante k es llamada, por los ecologistas, la capacidad de "carga" del nicho

que contiene a la poblacin. Qu unidades tiene k?

Ecuaciones con retraso en modelos de poblacin: La

ecuacin logstica. (Liz, 2006)

Una de las motivaciones ms importantes para el estudio de las ecuaciones

diferenciales con retraso viene de la biologa matemtica, y en particular de La

dinmica de poblaciones. En esta seccin repasamos algunos modelos de poblacin

para una especie, con especial atencin a la ecuacin logstica.

Los modelos ms simples son los modelos independientes de la densidad, es decir,

aquellos en los que se supone que las tasas de natalidad y mortalidad por individuo

no dependen del tamao de la poblacin. Malthus en 1798 propuso un modelo de

este tipo en el que las tasas de natalidad y mortalidad en cada instante son

proporcionales al nmero de individuos de la poblacin en ese instante. Si

denotamos por x(t) el nmero de individuos de la poblacin en el instante t (se

permite que x(t) tome cualquier valor real positivo, aunque en la interpretacin real

debe tomar slo valores enteros), entonces x0(t) representa la tasa de variacin

del tamao de la poblacin y viene dada por la ecuacin x0(t) = ax(t) bx(t) , (3)

donde a y b son respectivamente las tasas de natalidad y mortalidad per Cpita. El

parmetro p = ab se suele llamar tasa intrnseca de crecimiento y determina

completamente las soluciones de la ecuacin (3), que solamente Tienen tres

comportamientos posibles: crecen exponencialmente si p > 0,

decrecen exponencialmente hacia cero si p < 0 y son constantes si p =


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0 (esto resulta evidente de la expresin de las soluciones x(t) = x0ept, donde x0 es

la poblacin inicial).

El crecimiento exponencial se ajusta bastante a la realidad durante un cierto

periodo de tiempo (se conocen datos reales de la evolucin de la poblacin

humana que se corresponden con este comportamiento durante unos aos [11]).

Sin embargo, es natural pensar que a largo plazo no es un modelo realista, debido

principalmente al agotamiento de los recursos. Adems,

el modelo maltusiano tampoco explicara una situacin que se observa con cierta

frecuencia en la naturaleza: la estabilizacin de la poblacin hacia un valor de

equilibrio. Podemos concluir que un modelo realista a largo plazo debe tener en

cuenta que las tasas de natalidad y mortalidad dependen del tamao de la

poblacin, debido a que cuando esta crece demasiado debe existir un proceso de

autolimitacin (llamado comnmente competicin intraespecfica).

Verhulst3 propuso en 1836 su clebre ecuacin logstica, en la cual la tasa de

mortalidad se supone constante mientras que la tasa de natalidad depende

linealmente del tamao de la poblacin, de tal modo que la poblacin no puede

crecer indefinidamente y existe un valor K de la densidad de poblacin en el cual la

tasa de crecimiento per cpita es cero. Esta constante K acta como nivel de

saturacin y se suele determinar en funcin de la cantidad de recursos disponibles.

Estas consideraciones conducen a la ecuacin de Verhulst


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La ecuacin (4) es fcilmente integrable y se puede comprobar que el equilibrio

positivo x = K es globalmente asintticamente estable para x > 0. El otro equilibrio

(x = 0) es inestable y las soluciones En particular, las soluciones con valor inicial x0

< K/2 presentan un punto de inflexin que se observa habitualmente en las tablas

reales.

Sin embargo existen ejemplos, incluso en poblaciones humanas, que muestran que

la poblacin a veces sigue creciendo por encima del nivel K en lugar de aproximarse

indefinidamente a el por debajo. En experimentos reales se observa tambin un

comportamiento peridico en la evolucin del tamao de la poblacin de ciertas

especies de insectos que no puede explicar el modelo logstico de Verhulst. Una de

las caractersticas de la ecuacin (4) que podra explicar estas deficiencias reside en

el hecho de que considera que la tasa de natalidad acta instantneamente,

mientras que en general existe un cierto retraso debido a la influencia de factores

como el periodo de madurez y el tiempo de gestacin. Hutchinson propuso en 1948

[13] la ecuacin logstica con retardo

donde r representa la edad de mxima capacidad reproductiva de un individuo de la

poblacin. En este caso la tasa de crecimiento per cpita en el instante t es una

funcin lineal de la poblacin en el instante. Para la comparacin con otros

modelos, nos resultara til escribirla en la forma

donde en este caso f(x) = p(1 x/K) Un clebre ejemplo del comportamiento de

una poblacin segn la ecuacin se puede encontrar en los experimentos realizados

por el entomlogo australiano A.J. Nicholson con poblaciones de la mosca de la

oveja (Lucilia cuprina). Los datos obtenidos por Nicholson permiten observar un

comportamiento oscilatorio de las soluciones y encontr los valores de los


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parmetros de la ecuacin de Hutchinson que mejor se adaptaban a estos datos

(que corresponden aproximadamente a pr = 2,1).

Mencionamos a continuacin dos generalizaciones del modelo logstico.

En 1963, el eclogo F.E. Smith [30] trat de utilizar la ecuacin con

r = 0 para interpretar sus experimentos sobre el crecimiento de la poblacin de la

mosca Daphina magna. Sin embargo, observ que en este caso la tasa de

crecimiento per cpita no es una funcin lineal de la poblacin como suceda para la

Lucilia cuprina. Basndose en sus datos experimentales, sugiri que

esta tasa tiene una dependencia de la poblacin regulada por la funcin racional

Esto da lugar a la siguiente generalizacin de la ecuacin de Hutchinson:

Ntese que para c = 0 se obtiene precisamente la ecuacin.

Para r = 0 (es decir, sin factores de retardo), la ecuacin fue considerada por

varios autores en sus investigaciones de la influencia de la polucin en ciertas

poblaciones. En 1933, los estudios del bilogo W.C. Allee mostraron la fuerte

influencia que tienen ciertos efectos sociales en el desarrollo interno de la

poblacin de algunas especies con conducta cooperativa (abejas, hormigas, peces,

etc.). Para estas poblaciones, la tasa de crecimiento per cpita aumenta hasta el

instante en que la poblacin alcanza un valor crtico. Al pasar este valor, empieza a

disminuir debido a causas como la competencia por los recursos. Esto se traduce en

que la funcin f no es montona como en los casos anteriores sino que

tiene la forma. La modificacin ms sencilla de la ecuacin de


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Hutchinson que permite considerar este comportamiento (conocido como efecto

Allee).

La ECUACION DIFERENCIAL LOGISTICA O DE VERHULST SEGUN (Fernndez, 2011)

La ley logstica discreta vena dada por la siguiente expresin

En este caso, la tasa de fertilidad (f(P) = a-bP ) tanto como la de mortalidad (m(P)

= c+dP) dependan linealmente (pues son rectas) de la propia poblacin (a

diferencia del caso Malthusiano, en que ambas eran constantes). Aqu a; b; c; d

eran nmeros positivos. Reordenando trminos en (1) y suponiendo que a > c se

llega fcilmente a la siguiente expresin:

Dividiendo finalmente esta ecuacin por _t, que denotaba la distancia temporal

entre dos recuentos consecutivos, y teniendo en cuenta que el cociente incremental

(Pn+1 - Pn)=Dt se puede aproximar por P0(t), es claro que en el caso continuo se

obtiene la siguiente ecuacin diferencial:

que recibe el nombre de ecuacin diferencial logstica o de Verhulst


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(Liz, 2006)

Las ecuaciones de Lotka-Volterra son muy fciles de establecer, es un sistema de

ecuaciones diferenciales, pero en general son muy difciles de resolver por mtodos

analticos clsicos: Se puede pensar que es no es conveniente pasar modelos

diferenciales de cierta complejidad, y ms an si estas ecuaciones van dirigidas a

alumnos que recin empiezan el estudio del clculo diferencial. Pues bien, contra

todo pronstico apostar que un estudiante con slidos conocimientos de derivadas,

esto es que sabe y entiende el concepto de derivada, ms un gran sesgo en

estudios ecolgicos como pueden ser los alumnos de ecologa marina e ingeniera

en acuicultura, no solo pueden entender las ecuaciones diferenciales de Lotka-

Volterra, sino que tambin las podrn resolver numricamente (apenas se necesita

la frmula de Euler) con un pequeo software llamado STELLA (muy utilizado por

los estudiantes de ecologa).

LAS ECUACIONES DE LOTKA-VOLTERRA

La ecuacin Verhulst fue

publicada por primera vez

por Pierre Franois

Verhulst en 1838 despus de

haber ledo el "Ensayo sobre el

principio de poblacin"

de Thomas Malthus.


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Las ecuaciones de Lotka-Volterra en su estado ms simple trata de dos tipos de

especies diferentes pero unidos por un fuerte nexo vital enmarcado en la teora

darwiniana. Una especie es el depredador, y la otra especie es la presa, esto es

peces y tiburones; liebres y linces. Vamos a suponer hiptesis muy sencillas y que

calzan con la intuicin. La especie que toma el papel de presa, bajo condiciones "sin

stress", esto es si no tuviese el aliento del cazador se regulara con el modelo

logstico, esto es su propia densidad es la reguladora del nivel poblacional, por otro

lado vamos a suponer que para esta especie-presa no hay problemas en la

adquisicin de alimentos, vive en un nicho alejado de la maldicin de Malthus. En

cuanto a la especie-depredadora, esta vive y muere por la presa, esto es

sin esta presa no hay alimentos y fatalmente muere. Esta ltima hiptesis atenta

con la evolucin de Darwin, puesto que debera estar capacitada para

buscar otra especie para cazar. Es entonces que aparece un hiptesis a fortiori en

beneficio de la simplicidad del modelo. Esto significa que el sistema presa-cazador,

en nuestro caso, es un sistema cerrado. Con todo lo que esto significa, no se

permite migracin, ni desde el sistema ni hacia el sistema para ambas especies y

otras especies si es que entran al sistema no afectan esta interaccin. Estn los que

estn, y la dinmica emerge de su propias tasas de crecimiento y de la interaccin

entre ambas especies. El cazador no tiene competidor por la presa. El modelo de

interaccin entre estas especies depredador-presa debe ser tan bueno que debe

reflejar lo que claramente dice la intuicin, esto es si hay muchos cazadores y

cazan todas las presas es la muerte de los cazadores mediante una agona

exponencialmente negativa., por otro lado si no hay depredadores la presa sigue su

comportamiento logstico. Ambas especies, entonces, en su lucha por la

vida deberan buscar un punto de equilibrio oscilante. Basta de melodrama y

vamos por las ecuaciones.

La presa

Si suponemos que el cazador an no llega la dinmica poblacional de esta especie

se puede modelar mediante la ecuacin logstica,


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donde P ( t ) indica la poblacin de la especie-presa en el tiempo t. Recordemos

que a es la tasa normal de crecimiento, que se ve disminuida por un eventual

crecimiento de la poblacin lo cual har disminuir esa tasa en un factor proporcional

a la poblacin que es bP ( t ), lo que conforma la tasa de crecimiento no

constante a - bP ( t ). Ahora bien, si llega la especie cazadora esta tasa de

crecimiento se va a ver mermada, y la merma ser justamente a causa del

depredador, de tal forma que si pensamos que esta merma ser directamente

proporcional al nivel poblacional del cazador, digamos cS( t ), donde ces la

constante y S( t ) el nivel poblacional del la especie depredadora en el instante t,

entonces el modelo propuesto para la evolucin de la presa es

(1)

donde las constantes a, b y c son positivas.

El depredador

En ausencia de la presa el nivel poblacional del cazador disminuir, es decir la tasa

de crecimiento ser negativa (ms individuos morirn que los que nacern), de tal

forma que el modelo inicial que explica esto es

donde k > 0, para que efectivamente disminuya la poblacin.

Pero ahora si el cazador ha encontrado la especie presa, entonces es claro que las

condiciones de vida mejorarn ostensiblemente, y por lo tanto la constante - k ser

contrarrestada por un factor positivo, y parece lgico e intuitivo pensar que ese

factor de "ayuda" ser proporcional al nivel poblacional de la presa esto es P ( t ),

de modo que el nuevo modelo de vida para la especie cazadora se transforma en

(2)

En las ecuaciones (1) y (2) construimos el cociente de Newton, y obtenemos

pasando al lmite cuando t tiende a cero, nos queda el sistema


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(3)

Pues bien, el sistema (3) son las llamadas ecuaciones de Lotka-Volterra en su

forma ms simple.

El objetivo es encontrar las funciones P( t ) y S( t ) y que se comporten como

intuitivamente deseamos que se comporten. Y esto lo veremos en una prxima

seccin.

ECUACION DE LOTKA-VOLTERRA SEGUN (Walias, 2005)

El crecimiento logstico est relacionado con el crecimiento exponencial, de hecho

para pequeos valores de la magnitud que presenta crecimiento logstico, el

crecimiento logstico se asemeja mucho al crecimiento exponencial. Sin embargo, a

partir de un cierto punto el crecimiento se ralentiza, eso hace que la curva pueda

representar adecuadamente la propagacin de rumores, la extensin de una

innovacin tecnolgica o una epidemia: al principio estas se propagan rpidamente,

cada "infectado" o "afectado" por la innovacin es susceptible de traspasar el

"contagio" a otro individuo que tenga contacto con l, pero cuando el nmero de

"infectados" crece es ms difcil encontrar una persona que previamente no haya

estado en contacto con la enfermedad o innovacin.

Esta tpica aplicacin de la ecuacin logstica es un modelo comn del crecimiento

poblacional segn el cual:

la tasa de reproduccin es proporcional a la poblacin existente.

la tasa de reproduccin es proporcional a la cantidad de recursos

disponibles.

El segundo trmino modela, por tanto, la competicin por los recursos disponibles,

que tiende a limitar el crecimiento poblacional.

Si P representa el tamao de la poblacin y t representa el tiempo, este modelo

queda formalizado por la ecuacin diferencial:


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(1)

donde la constante define la tasa de crecimiento y es la capacidad de

persistencia. La solucin general a esta ecuacin es una funcin logstica. Con una

poblacin inicial :

donde

Si queremos que el modelo proporcione directamente la probabilidad de pertenecer a cada uno

de los grupos, debemos transformar la variable respuesta de algn modo para garantizar que la

respuesta prevista est entre cero y uno. Si tomamos,

pi = F (0 + 01xi) , garantizaremos que pi est entre cero y uno si exigimos que F tenga esa

propiedad.

La clase de funciones no decrecientes, acotadas entre cero y uno, es la clase de las funciones

de distribucin, por lo que el problema se resuelve tomando como F cualquier funcin de

distribucin.

Habitualmente se toma como F la funcin de distribucin logstica, dada por:

MODELO LOGISTICO


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de modo que, al hacer la transformacin, se tiene un modelo lineal que se denomina logit.

La variable g representa en una escala logartmica la diferencia entre las probabilidades de

pertenecer a ambas poblaciones y, al ser una funcin lineal de las variables explicativas, facilita

la estimacin y la interpretacin del modelo.

Una ventaja adicional del modelo logit es que si las variables son normales verifican el modelo

logit y, adems, tambin es cierto para una amplia gama de situaciones distintas a la normal.

En efecto, si las variables son normales multivariantes

Aunque se puede demostrar que la estimacin de b mediante el modelo logstico no es

eficiente en el caso normal, dicho modelo puede ser ms eficaz cuando las poblaciones no

tienen la misma matriz de covarianzas, o son claramente no normales.


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En estadstica se emplean la funcin logstica en el llamado anlisis de regresin

logstica. Dicho anlisis pretende estimar la probabilidad de un determinado evento,

medible por variables categricas (y no numricas), que se sabe est

correlacionado con ciertas variables cuantiativas. Por ejemplo en el epidemiologa y

en la investigacin de mecanismos lesionales es frecuente correlacionar la

probabilidad de muerte o lesin con ciertos valores numricos mediante una

ecuacin del tipo:

Los datos empricos constan de una lista de casos de los cuales se conocen

una serie de indicadores numricos para los cuales se examin si

presentaban lesin (o muerte), estos datos se representan usualmente como

0 (no-lesin) y 1 (lesin) y se estiman los parmetros . El anlisis de

regresin logstica se enmarca en el conjunto de Modelos Lineales

Generalizados (GLM) que usa como funcin de enlace la funcin logit.

REGRESION LOGISTICA


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CONCLUSIONES

Clculo de los puntos de equilibrio de la ecuacin logstica. Se trata

de encontrar todas sus soluciones constantes, esto es, aquellas cuya

derivada es igual a cero.

Cuando una poblacin llega a ser demasiado numerosa, aparecen

restricciones del medio en forma de limitaciones de espacio, de

recursos, etc., que harn disminuir la tasa de crecimiento o, incluso,

que la harn negativa provocando que la poblacin disminuya.

Los atractores caticos son extremadamente irregulares y presentan

ricas estructuras sobre escalas arbitrariamente pequeas. Ello hace

que para su adecuada caracterizacin se introduzcan nuevos

conceptos de dimensin, distintos de la dimensin Euclides

permitiendo el uso de dimensiones no enteras"

Las ecuaciones de Lotka-Volterra en su estado ms simple trata de

dos tipos de especies diferentes pero unidos por un fuerte nexo vital

enmarcado en la teora darwiniana.


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BIBLIOGRAFA

Bibliografa Antn, J. P. (1993). LOGISTICA una version sistematica.

Mexico D.F.: SCT. BOZALLA, A. (2002). ECUACIONES DIFERENCIALES

SOLUCIONES DE EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD.

PALERMO: C&T.

Fernndez, J. L. (2011). La ecuacin diferencial logstica.

santiago: las palmeras.

Liz, E. (2006). Sobre ecuaciones diferenciales con retraso,

dinamica de poblaciones ynumeros primos.

Barcelona: MATerials MATematics.

magee, j. (1958). logistica. mexico: sunmer.

Perez, C. (2012). Regresin Logstica. Tanagra: F.S.Y.U.

Walias, I. P. (2005). ECUACION LOGISTICA.

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