MORALES LOPEZ - cenidet.edu.mx

91 13243 lt I

SEP SEIT DOTI

Centro Nacional de investigacioacuteh y Desarrollo Tecnoloacutegico

SUPERFICIES RECORTADA EN CAD

T E S T s QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION

PRESENTA

FELIPE MORALES LOPEZ

Cuernavaca Mor Agosto de 1991

CENTRO DE INFORMACION

C E N I D E T C

DIRECCION GENEML DE INSTITUlOSEacuteCN CEWTAO NACIONAL DE IVEBIIBACtOll Y NMAROLUJTEC

ACADEMIA DE LA MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION

CtCRRCPiA DE

PDIJCACiON RIRLiCA CuernavacaMor 19 de agosto de 1991

D r Juan Manuel Ricaiio C a s t i l l o D i r e c t o r d e l CENIDET P r e s e n t e

At n Ing Reireacute Santaolaya S Coord de Computacioacuten

Por e s t e conducto hacemos de S ~ I conocimiento que despueacutes d e haber sometido a r e v i s i oacute n e l t r a b a j o de t e s i s ~ t i t u l a d o

SUPERFICIES RECORTADAS EN CAE i

i

Desarrollado por e l I n g F e l i p e Mora1e~ LOacutepezi y habiendo cuinplidoacute con todas l a s correcciones en qiie s e l e conceda l a a u t o r i z a c i oacute n de impresioacuten de l a tesieijy i a f fecha de exaacutemen de grado $

que se l e inltiron estamos de acuerdo I +

Sin o t r o p a r t i c u l a r quedamos de u s t e d

almira WN Col~~miraCiirrnovoao ~ o i wiaPomtui 4-tP4 Codieo Poital62490 2-78-13 y 14-06-37

DlRECClON GENERAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS CENTRO NACDNAL DE iNVE8TIuumlAQON YDEIlARROLLOTECNOLOuumlICO

Uesus Ce h d x r coni f t ido I r - v i s i oacute n su t r a b a j o 6e t eacute c i s t i t u i a c o

rlmlra SN CoLpBlmlmCwrMlroca Mor doPoria 4-224 CuumldlgO Po8lO162490 -76-13 y 14-06-37

A la memoria de mi padre

A mi madre a su entereza y entrega

Tambieacuten es vicio el saber que si no ee va atajando cuanto menos se conoce es maacutes nocivo el estrago

Y si el vuelo no le abaten en sutilezas cebado por cuidar de lo curioso olvida lo necesario

Si culta mano no impide crecer al aacuterbol copado quitan la sustancia al fruto la locura de los ramos

Si andar a nave ligera no estorba lastre pesado sirve el vuelo de que sea el precipicio maacutes alto

En amenidad iiiutil iquestqueacute importa al florida campo si no halla fruto i1 otontildeo que ostente flores el mayo

Sor Juana ineacutes de la Cruz

XADECIMIENTO

Entre l o s p e c a d o s mayores q u e los hombres cometen aunque a l g u n o s d i c e n q u e es l a s o b e r b i a yo d i g o que es el d e s a g r a d e c i m i e n t o a t e n d i eacute n d o m e a l o que s u e l e d e c i r s e q u e de los d e s a g r a d e c i d o s e s t aacute l l eno e l in f i e rno Es te p e c a d o en c u a n t o me ha s i d o p o s i b l e he p r o c u r a d o yo h u i r d e s d e e l i n s t a n t e q u e t u v e uso d e r a z oacute n y s i no p u e d o p a g a r l a s b u e n a s o b r a s q u e me h a c e n con o t r a s o b r a s Pongo en s u l u g a r lo s deseos d e h a c e r l a s y cuando eacutestos no b a s t a n l a s p u b l i c o p o r q u e q u i eacute n d i c e y p u b l i c a l a b u e n a s o b r a s q u e recibe tambieacuten l a s recompensara con o t r a s si p u d i e r a p o r q u e p o r l a n i a y o r p a r t e l o s q u e reciben son i n f e r i o r e s a l o s q u e d a n y a s iacute es Dios sobre todos p o r q u e es dador sobre t o d o s y no p u e d e n c o r r e s p o n d e r l a 6 d aacute d i v a s d e l hombre a l a s d e Dios con i g u a l d a d p o r i n f i n i t a d i s t a n c i a y e s t a e s t r e c h e z a y c o r t e d a d en cierto modo l a s u p l e e l a g r a d e c i m i e n t o

Don Q u i j o t e d e l a Mancha

radezco a

- La Unidad de Coacutemputo del Instituto Tecnoloacutegico de Morelia por la coiif iaiiza depositada en mi

- El Centro Nacional de Investigacioacuten y Desarrollo Tecnoloacutegico (CENIDET) por el conocimiento que me permitioacute descubrir y en su momento el apoyo econoacutemico

- El Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologiacutea (CONACYT) por el apoyo econoacutemico gracias al cual fue posible llevar a feliz teacutermino esta empresa

- La Unidad de Coacutemputo del Instituto de Investigaciones Eleacutectricas (IIE) por las facilidades otorgadas para la realizacioacuten de este trabajo

A todos y cada uno de los que de manera directa o indirecta liaii colaborado en la realizacioacuten de esta tesis

CONTENIDO

Introduccioacuten 2

1 Modelado geomeacutetrico de soacutelidos 5 Modelos de Soacutel idos 6 Problemas d e l modelado de s oacute l i d o s 8 Sistemas d e modelado de s oacute l i d o s 9 Modelos de descomposicioacuten 1 0 Modelos cons t ruc t ivos 11 Modelos de represen tac ioacuten por f r o n t e r a s de

pol iedros 15 Modeladores h iacuteb r idos 15

2- Modelos de representacioacuten por fronteras (B - reg) 2 0 Geometriacutea y topologiacutea 2 0 C l a s i f i c a c i oacute n de los modelos de B - rep 24 D e s c r i p c i oacute i i d e l o s B r ep 26

f r o n t e r a s 29

por f r o n t e r a s 3 0 Propiedades de los modelos por f r o n t e r a 32

3- B-reg para modelos basados en no-variedades 33 Pseudografo regioacuten y aacute r b o l -p r 34 Hipergrafo-3Dy aacute r b o l - c r 43

4- Superficies y soacutelidos por barrido de un pseudograf o regioacuten 52 Def in ic ioacuten formal d e l problema Construccioacuten d e l aacute r b o l -c r a pa r t i r d e l

Construccioacuten de una c a r a 57

Construccioacuten de c a r a s b a j o una represen tac ioacuten

Construccioacuten de l a s t apas 6 9

Conclusiones 7 5

Bibliograf ia y referencias 8 1

Algoritmos de evaluacioacuten de l o s modelos por

Representacioacuten parameacutetr ica pa ra e i modelado

53

aacute r b o l -p r 54

geomeacutetrica uacutenica 6 2

INTRODUCCION

En un mundo incrementalmente competitivo el tiempo que u11

producto toma en salir al mercado es posiblemente el factor que maacutes

contribuye al eacutexito de un negocio E1camino que recorre una idea hasta su realizacioacuten es largo y complejo este incluye pasos como def inicioacuten conceptual disentildeo fabricacioacuten manejo de mercado y

publicidad Uno de los aspectos que maacutes tiempo consume es sin duda el disentildeo El problema de llevar una idea a una forma visible

puede tomar semanas meses y algunas veces antildeos dependiendo de la

complejidad de los conceptos que se esteacuten manejando

Cuando un disentildeador maneja imaacutegenes en lugar de objetos reales

el proceso de disentildeo y la elaboracioacuten de prototipos es menos caro

en teacuterminos de tiempo La generacioacuten de objetos tridimensionales y

maacutes propiamente el modelado de soacutelidos es parte esencial del disentildeo asistido por computadora (CAD) y la ingenieriacutea asistidapor compu-

tadora (CAE) Estas herramientas de disentildeo permiten retener la

fabricacioacuten de un artefacto hasta que el disentildeo conceptual se

completa y en algunos casos hasta que no se prueba la funcio-

nalidad de dicho concepto

Auacuten cuando se cuenta con una amplia variedad de software para el desarrollo de prototipos el disentildeo final en nuestros diacuteas depende en gran medida de la capacidad del disentildeador La revolucioacuten

CAD propuso las computadoras como un medio de disello maacutes efectivo que el papel por dos deacutecadas esta propuesta soacutelo ha sido parcial-

mente satisfecha aun cuando los sistemas CAD han sido un medio superior de dibujo y han servido como un medio de comunicacioacuten para compartir informacioacuten la def iiiicioacuten de conceptos maacutes precisos y

complejos es normalmente en papel

La idea actual es que las computadoras deben de probar los

2

conceptos que permiten la implementacioacuten de un disentildeo y proponer

cambios para mejorar el funcionamiento de un artefacto El sistema

CAD ideal debe ser un medio capaz de representar cualquier forma

para permitir al disentildeador mejorar todos los detalles del objeto que estaacute construyendo

Los modeladores de soacutelidos basados en elementos geomeacutetricos simples (cilindros cubos esferas) o una combinacibn de ellos han sido una herramienta para la construccioacuten de modelos de artefactos

Pero la necesidad de construir modelos maacutes complejos ha hecho que

estos modeladores se vean riacutegidos en cuanto a los conceptos y las formas que pueden manejar En estos modeladores cuando se requiere representar un objeto que no puede ser coiistruido con elementos geomeacutetricos simples lo tratan como un caso especial o simplemente

fallan al realizar esta operacioacuten [CROCXER]

En este trabajo se presenta una representacioacuten por fronteras

con una topologiacutea basada en no-variedades que supera las limitaciones asociadas con la representacioacuten topoloacutegica basada en

elementos geomeacutetricos simples en ella se pueden representar casos

de interseccioacuten y coincidencia geomeacutetrica de una manera uniforme y

transparente sin casos especiales En particular se presenta la

implementacioacuten de la teacutecnica para la generacioacuten de superficies y

soacutelidos a partir del barrido de una representacioacuten bidimensional

Los modelos geomeacutetricos creados tienen la cualidad de poder ser usados en algoritmos de elemento finito y evaluacioacuten de frontera lo que permite crear sistemas de software que sean capaces de evaluar un modelo antes de construir un prototipo

La forma en que se presenta e l material de este trabajo es el siguiente en el capiacutetulo 1 se exponen los conceptos baacutesicos del modelado de soacutelidos y se describe las tres teacutecnicas maacutes comunes para la representacioacuten de soacutelidos en la computadora en el capiacutetulo 2 se describe de manera especial la representacioacuten de soacutelidos por

fronteras En el capiacutetulo 3 se describen los esquemas desarroliddos en la unidad de coacutemputo del Instituto de Investigaciones Eleacutectricas

3

(IIE) para modelos de representacioacuten por fronteras basados en no-

variedades el pseudografo-regioacuten y el aacuterbol-pr para dos

dimensiones el hipergrafo-3D y el aacuterbol -cr para tres dimensiones

En el capiacutetulo 4 se describe la forma de construir la represeii-

tacioacuten de superficies y soacutelidos (hipergrafo-3D) por barrido de uiia

representacioacuten bidimensional iacutepseudografo-regioacuten) Finalmente se presentan las conclusiones y las liacuteneas de investigacioacuten para

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

MODELADO GEOMETRIC0 DE SOLIDOS

El teacutermino modelado geomeacutetrico aparece en los antildeos 70s junto

con los desarrollos de la computacioacuten graacutefica y se relaciona con el conjunto de meacutetodos usados para definir la forma y otras caracte-

riacutesticas geomeacutetricas de un objeto

El modelado geomeacutetrico se usa para representar una descripcioacuten

matemaacutetica precisa de la forma de un objeto real Los datos almacenados para un modelo en particular dependen del alcance de

las preguntas que se desea poder contestar y por tanto no es

posible limitar la cantidad de datos de intereacutes potencial Debido a que las teacutecnicas para almacenar y procesar datos son indepen-

dientes de las aplicaciones se separa la informacioacuten de la geome-

triacutea del objeto de los demaacutes datos no geomeacutetricos De esta manera todos los datos se denominan modelo del ob je to mientras que la parte puramente geomeacutetrica constituye un modelo geomeacutetrico Un

modelo geomeacutetrico es pues una parte del modelo del objeto

El modelo geomeacutetrico de un soacutelido es una representacioacuten

matemaacutetica no ambigua y completa de la forma de un objeto fiacutesico en una forma tal que uiia computadora puede procesar [MORTENSONI

El modelado de s61idos es una rama del modelado geomeacutetrico que enfatiza la aplicacioacuten general de los modelos y la creacioacuten de soacutelo representaciones completas de los objetos soacutelidos reales

El modelado de soacutelidos debe de representar en forma eficiente

y robusta la informacioacuten geoineacutetrica de un producto a ser manufactu- rado Esta representacioacuten debe de poder soportar faacutecilmente meacutetodos

de aiiaacutelisis tales como pruebas de esfuerzos transf ereiicia de

5

c a l o r c aacute l c u l o d e l volumen maiiuf a c t u r a cont ro lada por computadora y con t ro l de c a l i d a d

11 MODELOS DE SOLIDOS Antes de d e s c r i b i r l o s modeladores de s oacute l i d o s definiremos

cuaacute les c a r a c t e r iacute s t i c a s y propiedades deben de t ene r los soacute l idos que s e representan en e l l o s

Par t iendo de l o maacutes e s e n c i a l podemos cons iderar e l espac io Euclidean0 E como una i d e a l i z a c i oacute n d e l espac io r e a l donde se encuentran inmersos nues t ros o b j e t o s E n consecuencia l a a b s t r a c - cioacuten matemaacutetica maacutes genera l de un o b j e t o s oacute l i d o es un subconjunto de puntos de E Podemos entonces hacer l a s i g u i e n t e d e f i n i c i oacute n

Definicioacuten 11 Un s 6 l i d o es un subconjunto acotado y cerrado de E

Esta d e f i n i c i oacute n 11 captura c i e r t o s aspec tos de nues t r a nocioacuten de un s oacute l i d o f iacute s i c o pero l a c l a s e de ob je tos permit idos por e l l a e s t aacute muy l e j o s de t e n e r un s e n t i d o Uacute t i l para nues t ros p ropoacutes i tos

Rigidez E s n a t u r a l e spe ra r que un s oacute l i d o debe de permanecer igua l s i s e l e mueve de un luga r a o t r o Esto puede se r expresado maacutes r igurosamente por e l hecho de que el s oacute l i d o debe de permanecer i i ivar ian te ba jo transformaciones r iacute g i d a s ( t r a s l a c i oacute n y ro tac ioacuten) La s i g u i e n t e d e f i n i c i oacute n captura l a esenc ia de e s t a c a r a c t e r i s t i c a

Definicioacuten 12 Un o b j e t o r iacute g i d o e s una c l a s e equ iva len te de conjuntos de puntos de E determinado po r l a s i g u i e n t e r e l a c i oacute n O sean A y B subconjuntos de E Entonces A O B

e x i s t e si y s610 s iacute A puede s e r mapeado a B coil una t r a n s - formacioacuten r iacute g i d a

3

It

Regularidad - Esperamos que un s oacute l i d o sea todo m a t e r i a l nc e s pos ib le que un simple punto una l iacute n e a o una aacute rea bidimensional

pueda ser considerado como tal De la misma manera un conjuiito soacutelido no debe de contener puntos liacuteneas o caras aisladas Los

requerimientos pueden ser descritos en una forma compacta en el lenguaje de la topologiacutea de conjuntos de puntos

Definicioacuten 13 La regularizacioacuten de un conjunto de puntos A r ( A ) estaacute definida por r (Al - c (i (A) I

donde c(A) e i(A) denotan la cerradura y el interior de A LOS conjuntos que satisfacen r(A) = A se dice que son regulares

Inf ormalmeiite hablando la regularizacioacuten elimina todas las

partes del conjuiito de Fjuntos que se encuentran aisladas lo cubre con una delgada piel y al resultado lo llena con material

La regularidad es ampliamente usada como una caracteriacutestica de

soacutelidos razonables por10 que se adopta la siguiente definicioacuten

[ REQUICHA]

Definicioacuten 14 UIJ conjunto regular acotado es denominado un r - con j un to

Variedades de dimensioacuten dos La caracterizacioacuten de soacutelidos mediante superficies se basa en la observacioacuten de la frontera del

soacutelido La frontera se considera como una coleccioacuten de caras que se

pegan juntas de tal forma que ellas forman una superficie completa y cerrada alrededor del objeto Intuitivamente una superficie puede ser clasificada como un subconjunto de E el cual es en esencia bidimensional todos los puntos de una superficie (excepto los de

las aristas de una superficie abierta) estaacuten rodeados por una regioacuten bidimensional que pertenece a la superficie

Las esencia bidimensional de la frontera de un soacutelido nos permite construir un modelo plano para ella y estudiar las

propiedades del soacutelido a traveacutes de modelos bidimensionales de su

frontera La contraparte maacutes abstracta de una superficie cerrada se

I

I 7

define como sigue

Definicioacuten 15 Una variedad de dimensioacuten dos es un espacio

topoloacutegico donde cada punto tiene una vecindad topoloacutegicamente

equivalente a un disco abierto de E

12 PROBLEMAS DEL MODELADO DE SOLIDOS Completes - El modelo debe tener informacioacuten suf icieiite para

dar respuesta a preguntas geomeacutetricas arbitrarias

Integridad La integridad de un sistema consiste en no permitir la generacioacuten de modelos incorrectos por ejemplo soacutelidos

con liacuteneas puntos o caras aisladas El problema es proveer

suficientes pruebas de integridad sin castigar la facilidad de uso

y la flexibilidad del sistema de modelado

complejidad y alcance geomeacutetrico El problema de la inte-

gridad estaacute relacionado con otro problema la complejidad de

generacioacuten de un modelo La dificultad de trabajar con modelado

geomeacutetrico en una computadora crece coil la complejidad de la

formulacioacuten matemaacutetica usada

ll

Naturaleza de la computacioacuten geomeacutetrica Buscando que los modelos generados sean de aplicacioacuten general esperamos que un

modelador de soacutelidos sea capaz de proporcionar de manera aigo-

riacutetmica respuestas a preguntas geomeacutetricas que dependen de su aplicacioacuten ingenieril Preguntas cuya respuesta puede ser una imagen un simple nuacutemero una constante booleana e inclusive otro

modelo soacutelido que represente el resultado de alguna operacioacuten

13 SISTEMAS DE MODELADO DE SOLIDOS Una de las ideas11 elementales del modelado geomeacutetrico es que

tenga sentido separarlo de las aplicaciones y buscar teacutecnicas de modelado que sean relativamente independientes de los objetos

8

1

I I1

p a r t i c u l a r e s a modelar Ily d e l uso pensado p a r a los modelos

In ic ia lmente l o s o b j e t o s son d e s c r i t o s en e l modelador en [MANTYLA]

I

~

teacuterminos de un lenguaje aacutee descripcioacuten basado en l o s conceptos de

modelado d i spon ib l e s en eacute l E l u sua r io puede i n t r o d u c i r l a descr ipc ioacuten a t r a v eacute s d e t extos o de p r e f e r e n c i a Por medio de interfaz graacutefica 11

una vez proporcionada l a desc r ipc ioacuten d e l o b j e t o se transforma para crear l a represen tac ioacuten i n t e r n a manejada por e l modelador

L a cons t rucc ioacuten de un modelador estaacute basada en l a se l ecc ioacuten de primitivas de modeladoi y una co lecc ioacuten de procedimientos de modelauumlo para su s e l ecc ioacuten combinacioacuten y manipulacioacuten Las p r imi t ivas de modelado +pueden ser puntos curvas s u p e r f i c i e s y ob je tos s b l i d o s p rede f in idos

II

E s c l a r o que l o (que se busca es una represen tac ioacuten que codi f ique un conjunto i n f i n i t o de puntos en una can t idad f i n i t a de almacenamiento en computadora en una forma g e n e r a l Los esquemas de represen tac ioacuten comunes r ea l i zados de esta manera se d iv iden en las

1 tres c l a s e s s i g u i e n t e s

I 1 Model06 de descomposicioacuten represen tan un conjunto de puntos

II como una coleccioacuten de o b j e t o s simples (tomada de una coleccioacuteii f i j a de t i p o s de obje tos p r i m i t i v o s ) unidos con una simple operacioacuten de pegado

I1

2 Modelos constructivos represen tan un conjunto de puntos como

una combinacioacuten de conjuntos de puntos p r i m i t i v o s Cada una de las p r i m i t i v a s es represen tada como una i n s t a n c i a de un t i p o s oacute l i d o p r i m i t i v o L o s modelos cons t ruc t ivos incluyen opera - c iones de construccioacuten maacutes gene ra l e s que simplemente pegar ( i n t e r s e c c i oacute n unioacuten d i f e r e n c i a )

I

II

3 Modelos de representacioacuten por fronteras represen tan u n conjunto de puntos en teacuterminos de sus f r o n t e r a s La Erontera de un s oacute l i d o t r i rpmens iona l es una s u p e r f i c i e bidimensional

I 1

9 II

que s e r ep resen ta gFneralmente como una coleccioacuteri de c a r a s Las c a r a s a s u vez son representadas en teacuterminos de SUS

f r o n t e r a s que son a r i s t a s unidimensionales Estos modelos por f r o n t e r a s pueden s e r v i s t o s como una j e r a r q u iacute a de modelos ( f i g u r a 11)

I1

suiyf i c i e A r s t a

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

Su e r f i c i e Y A r e a s I Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

F i g u r a $ l J e r a r q u iacute a de los modelos de represe i i tac ibn por f r o n t e r a s

11

14 MODELOS DE DESCOMPOSICION Algunos de l o s modelos de descomposicioacuten son lo s s i g u i e n t e s Enumeracioacuten exhauativa Consis te en r ep resen ta r un s oacute l i d o a

t r a v eacute s d e l conjunto de cubos que e s t aacute n contenidos completa o parcia lmente en 61 (ve r f i g u r a 1 2 ) Los cubos s e asume que no s e encuentran t ras lapados y que t i enen un tamantildeo y o r i e n t a c i oacute n uniforme por e s t o s e d i c e que forman una subdivis ioacuten r e g u l a r en e l

1)

1

espac io It

11 Lo i n t e r e s a n t e de los modelos de descomposicioacuten es que s u s

representac iones s e pueden c o n v e r t i r a representac iones de l o s modelos cons t ruc t ivos y los modelos por f r o n t e r a Esto permite que s e l e s use como una representac ioacuten a u x i l i a r para a c e l e r a r e l acceso y l a s operaciones en dichos modelos Una v a r i a n t e en dos

1

t

11

- - I

iI

dimensiones de la enumeracioacuten exhaustiva es la representacioacuten de

imaacutegenes binarias I Esquemas de subdivisioacuten de espacios- El esquema de enumera-

cioacuten exhaustiva tiene muchas virtudes es simple general y permite el use de una amplia variedad de algoritmos Sin embargo estos

puntos buenos se ven opacados por el enorme consumo de memoria y la mediocre exactitud posible Para superar esto muchas representaciones reemplazan la subdivisioacuten elemental de la enumeracioacuten pura por una maacutes ef icieiite subdivisioacuten adaptativa

11

U

Figura 12 Representacioacuten de un modelo 1 de descomposicioacuten

Y Ejemplos de los esquemas de subdivisioacuten son los octrees la subdivisibn de espacios binarios la subdivisioacuten de espacios

linealizados y los octrees lineales [MANTYLA] [MORTENSONI t

11

I 15 MODELOS CONSTRUCTIVOS

U Modelos basados en semiespacios- Estos modelos parten de la

definicioacuten baacutesica de los soacutelidos cemo un conjunto de puntos de E3 su idea es iniciar de un conjunto de puntos lo suficientemente

simple que pueda ser Gepresentada directamente y modelar nuevos conjuntos de puntos en teacuterminos de combinaciones de estos conjuntos

simples (figura 13) I 11

Todo el conjunto de puntos A tiene una funcioacuten caracteriacutestica f ( X ) 3 e - gt C0lI con lki cual decimos que un punto X es considerado

I 1

_

iI I

satisfacer I 0 110 miembro de A En I otras palabras la funcioacuten f debe de

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

11 Debido a que cualquier funcioacuten continuamente diferenciable

g ( x y z ) = k divide el espacio total dentro de los subconjuntos de

semiespacios Como los semiespacios son conjuntos de puntos los procedimientos naturales de combinacioacuten son las operaciones

11 booleanas de conjunto unioacuten (U) interseccibn (n) y el conjunto diferencia ( ) 1

puntos definidos por g ( x y z ) I 2 k y g ( x y z J 5 k estos son llamados

h

I Figura 13 Representacioacuten basada en

I) semiespacios

II

I Qeometrfa soacutelida constructiva (CSQ) Los modelos de semiespa-

cios puros ofrecen una base matemaacutetica rigurosa y faacutecil de entender

para modelar soacutelidos kin embargo para los humanos es maacutes faacutecil operar con primitivas acotadas que con semiespacios no acotados

Para evitar la generacioacuten de los conjuntos no acotados la teacutecnica

utiliza como sus primiltivos soacutelo conjuntos de puntos acotados

11

llamada geometriacutea soacutelida 1 constructiva para el modelado de soacutelidos

t

La CSG adopta la I teacutecnica construccioacuten-bloque en su forma

I 12

I1

I pura El usuario de un modelador CSG opera soacutelo en instancias

11 parametrizadas de primitivos soacutelidos y operaciones de conjuilto 03 booleano sobre ellos Cada primitiva estaacute definida como una CV

t M combinacioacuten de semiespacios sin embargo el usuario no tiene c-

cn acceso directo a los semtespacios individuales P-

Y La forma maacutes natural de representar un modelo CCG es el

llamado aacuterbol CSG que duede ser definido como sigue

11 ltaacuterbol CSGgt = ltprimitivogt I

ltaacuterbol IJCCGgt ltoperacioacuten booleanagt ltaacuterbol CSGgt 1 3 ltaacuterbol CSGgt ltinoviiniento riacutegidogt 2 0

1 z 8 u O ii

paraacutemetros de dimensioacuten 11 v E I-

Donde ltprimitivogt es una instancia de un soacutelido primitivo representado por un identificador del primitivo y una secuencia de

una rotacioacuten y ltoperacioacuten booleanagt es una de entre U n y

Z ltmovimiento riacutegidogt es una traslacioacuten o

1) [MANTYLAI

Figura 14 11 Modelo de representacioacuten con CSG

Y Cada primitivo es seleccionado de tal manera que define un

coiljunto acotado de puntos de E3 Como las operaciones de conjuiltos disponibles no pueden destruir el acotamiento los modelos CSG garantizan conjuntos acotados

11

11 La facilidad de uso de un modelador CSG depende en gran medida

de la coleccioacuten de primitivas disponibles Algunas combinaciones de

primitivas CSG (o semiespacios) no satisfacen completamente la nocioacuten de regularidad por lo que este concepto se extiende a las

operaciones booleanas I

11

Y Definicioacuten 16 ml conjunto de operaciones regularizado

unioacuten interseccipn y conjunto diferencia denotado U n y se definencoino

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

11 doiide U n y denotan las operaciones usuales

Aun asiacute no es posible asegurar el resultado se pueda

representar adecuadamente como veremos en el capiacutetulo tres La evaluacioacuteii de propiedades integrales (tales como el volu-

men) de un modelo CSG estaacute basado ordinariamente en algoritmos de conversioacuten que impliacutecitamente construyen un modelo de descompo-

sicioacuten aproximada del soacutelido La evaluacioacuten de la propiedad se reduce al caacutelculo de las contribuciones de cada celda de la descomposicioacuten al resultado total

I1

NI

11

I

11 16 MODELOS DE REPRESENTACION POR FRONTERAS DE POLIEDROS

Y Los modelos de descomposicioacuten y los modelos constructivos ven los soacutelidos como conjuiltos de puntos y buscan representaciones para ellos discretizando o construyendo conjuntos maacutes simples Eii

I 14

1 I c o n t r a s t e l o s modelos por f r o n t e r a s representan un s oacute l i d o de manera

i n d i r e c t a a t r a v eacute s de las s u p e r f i c i e s que l o acotan LOS modelos por fronteras representan un o b j e t o s oacute l i d o d iv id iendo S U Superficie en ulla co lecc ioacuten de c a r a s generalmente l a d i v i s i oacute n s e rea1iza de tal mallera que cada tira t i e n e una representac ioacuten matemaacutetica compacta t a l como pianos s u p e r f i c i e s c u a d r aacute t i c a s Y en gelleral

s u p e r f i c i e s parameacutet r icas

11

I1

I Las curvas frontera s e representan por medio de l a d i v i s i b n de

a r i s t a s Anaacutelogamente l a s a r i s t a s son representadas en forma conveniente por ejemplo a t r a v eacute s de ecuaciones parameacutet r icas E l segmento de curva que forma l a a r i s t a s e aco ta con dos v eacute r t i c e s I

11 Los t r e s t i p o s de o b j e t o s c a r a a r i s t a y v eacute r t i c e a s iacute como l a

informacioacuten geomeacutetrica l igada a e l l o s forman l a base para c o n s t r u i r un modelo de representac ibn por f r o n t e r a s En suma a l a informacioacuten geometrica l o s modelos por f r o n t e r a deben r e p r e s e n t a r como s e encuentran re lacionadqs las a r i s t a s y los v eacute r t i c e s por l a importancia de l o s modelos de representac ioacuten por f r o n t e r a s para e s t e t r a b a j o los analizaremos a d e t a l l e en e l s i g u i e n t e c a p iacute t u l o

I

t

II

17 MODELADORES I HIBRIDOS Ninguna de l a s t r e s I1 t eacute c n i c a s d e s c r i t a s e s supe r io r a o t r a en

todos los aspec tos Obviamente una combinacioacuten de l a s t r e s deber iacutea

de s e r supe r io r a cua lqu ie ra de e l l a s s o l a e s t o motiva e l uso de representac iones m uacute l t i p l e s s i i n u l taacuteneas en los s i s temas de modelado product ivos U n modelador h iacute b r i d o debe s e r capaz de sopor t a r v a r i a s representac iones de s oacute l i d o s coex i s t en te s y t r a t a r de r e s a l t a r l a s mejores c a r a c t e r iacute s t i c a k de e l l a s para t a r e a s d i s t i n t a s

r 11

11

171 Problemas de iI los modeladores hiacutebridos La coex i s t enc ia de v a r i a s r e p r e s e n t a c i o i ~ e s en un modelador

produce nuevos problemas e n t r e e l l o s 11

1 Conversiones- Claramente l o s a lgor i tmos de conversioacuten de u n

15 I

11 model a otro formall Una parte fundamental de un modelador hiacutebrido Desafortunadamente existen limitaciones iii1ierentes a 10s tipos de conversioacuten que un modelador hiacutebrido puede soportar

construct~vos y CSG en particular tienen la virtud de que pueden

ser convertidos a otras kepresentaciones la conversioacuten de ellos a un modelo por fronteras] ha sido demostrada en varias investiga- ciolles y modeladores CSG comerciales desgraciadamente la conver-

sibn inversa no estaacute disponible en particular la conversioacuten de u11

modelo de representacioacuteh por fronteras a un modelo CSG permaiiece sin solucioacuten para propoacutesitos praacutecticos

11

1

I

1 [MANTYLA]

La conversioacuten de un modelo de descomposicioacuten a un modelo por

fronteras o un modelo CSG es valiosa en casos como la tomografiacutea computarizada en dondellla informacioacuten se recibe como una represeii-

tacioacuten biiiaria que debe ser convertida y almacenada como un modelo por fronteras o un modelo CSG

r

11

Y Consistencia - Si se dispone de un algoritmo de conversioacuten

entre dos representacjones en un modelador hiacutebrido debe ser posible la representacioacuten consistente Pero esto normalmente se

hace a costa de limita la funcionalidad del modelador

En geileral un mobelador hiacutebrido que busca una consistencia

total entre dos o maacutes representaciones soacutelo lo logra col1 soacutelidos que pueden ser representados en todas ellas El corijunto de

operaciones booleanas tiene su posicioacuten prominente en el modelado

de soacutelidos en Parte Porque estas pueden ser utilizadas en todas las representaciones que aquiacute se mencionan Desafortunadamente este coluIlto de operaciones no es suficiente para construir una buena interfa2 entre el usuario y ei modelador de sblidos

11

1

II

t

I1

1

I Transacciones de jmodelado - Todas las modificaciolles a las

representaciones toman lugar en una forma secuencial Por lo tallto

110 puede existir una consistencia total entre las diferentes rePresentaCiones en todos los instantes del tiempo I

Esto nos modelado como

Y motiva a definir el concepto de una transaccioacuten de

una secuencia 11 indivisible de operaciones de modelado

16 I1

que comienza en un estado consistente y termina en otro estado consistente Las representaciones soacutelidas en el almacenamiento

1

secundario le agregan btra dimensioacuten a las transacciones de

modelado una sesioacuten de modelado interactivo es completa soacutelo I1

I

deben ser auacuten maacutes i1

despueacutes de que un resultado relevante es almacenado Si las funciones disponibles para el usuario deben ser disentildea-

das con cuidado en los modeladores baacutesicos en un modelo hiacutebrido lo

172 ArguiteCtUraS lhiacutebridas La solucioacuten usualmente adoptada en un modelador hiacutebrido para

resolver la carencia de conversioacuten y consistencia es tratar una de las representaciones soportadas como primaria y la Otra como

secundaria En este sentido la mayoriacutea de los modeladores de

soacutelidos disponibles caen dentro de una de dos principales arqui-

tecturas Los modeladores en la primera arquitectura ordinariamente

usan aacuterboles CSG como su representacioacuten primaria Desde los aacuterboles CSG los modelos por frontera pueden ser creados a traveacutes de

evaluaciones de froiiterta y los modelos de descomposicioacuten a traveacutes de algoritmos de clasilicacioacuten (figura 1 5 )

1

t

Ji

iI

I

11 estructuras de datos por frontera Estas facilidades pueden incluir operaciones de dibujo y barrido o modificaciones locales a las fronteras de los sblidos En estos sisteinas el papel de la CSG es

11 uacutenicamente el de una repyesentacioacuten auxiliar

173 Modeladores distribuidos 1 L~ tendencia actuar se dirige hacia el USO de 10s Sistemas

graacuteficos distribuidos los cuales consisten de una Computadora arifitriona y estaciones de trabajo graacuteficas actuando sobre modeladores hiacutebridos Como las estaciones de trabajo graacuteficas tienen una considerable potencia de proceso propia y son

normalmente pequentildeas computadoras el problema consiste en dividir

la labor entre la anfitriona y la estacioacuten de trabajo Una solucioacuten a este dilema es la iiitrbduccioacuten de un modelador distribuido parte del cual reside en la estacioacuten de trabajo y parte en la maacutequina

11 anfitriona como un edemplo de la divisioacuten de labores en un modelador distribuido en [ATHERTON] se sugiere la separacioacutei~ de un

I modelador visual y un modelador analiacutetico El modelador visual

soporta un proceso interactive raacutepido y reside localmeilte eri la I

estacioacuten de trabajo El modelador analiacutetico es almacenado el1 la

computadora anf itrioiial

4

11

I

11

~

interfaz CSG

~- 9 interfaa fronteras graacutefica

modelos por

- 1 modificacionefi

locales $ modelos de

descomposicioacuten II Figura 16 Arquitectura de un modelador hiacutebrido

11

Muchas estacione21 de trabajo graacuteficas almacenan una lista do despliegue estructurado con primitivas graacuteficas de poliacutegonos que

It

1 Queden ser consideradas ~ o m o modelos de poliacutegonos La lista de L

despliegue es collstruida Por un modelador pcr f rentera residente en

la computadora anfitriona y debe ser actualizada para reflejar las operaciones realizadas en I el modelo soacutelido Desafortunadamente

esta arquitectura posee requerimientos muy fuertes para ia coinunicacioacuten anfitrioacuten-estacioacuten en el ambiente distribuido

Como un paso adelante un modelo de facetas deberiacutea de ser usado en el papel de un modelador visual por ejemplo proporcio-

nando un proceso intedactivo raacutepido dentro de la estacioacuten de trabajo Esta teacutecnica es apoyada fuertemente porque muchas

estaciones de trabajo tienen un hardware especial para procesar raacutepidamente modelos de poliedros

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

L j- estacioacuten de trabajo

modelador visual

modelo aproximado

Figamp 17 Un modelador distribuido

I Para aplicaciones1 numeacutericas que requieren una alta precisioacuten

la informacioacuten de la superficie del modelador visual puede ser transmitida a la combutadora anfitriona y construida por el

modelador analiacutetico

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

MODELOS DE 11 REPRESENTACION POR FRONTERAS (B I - rep)

11

La frontera de unl)coacutelido separa los puntos que se dentro de los que se encuentran fuera del soacutelido Los

encuentran

modelos de

representacioacuten por frontera 11 (B-rep) emplean una estructura de datos

tipo grafo para describir las caras aristas y veacutertices que forman

la frontera de un objeto soacutelido [MILLER] Antes de iniciar el

anaacutelisis de los B-rep sib estableceraacuten las bases teoacutericas para dicho anaacutelisis Para facilitar este estudio se necesita hacer una clara

11 distincioacuten entre la geometriacutea y la topologiacutea

11

I

21 GEOMETRIA Y TO~OLOGIA La geometrid se define como la parte de las matemaacuteticas que se

ocupa de las propiedades medidas y relaciones entre puntos liacuteneas superficies y[ cuerpos Representa esencialmente toda la

informacioacuten de la forma de un objeto incluyendo el espacio en el

nentes de sus diferentes elementos

1

cual se encuentra y la I localizacioacuten precisa de todos los compo-

I 11

La topologfa por def iiiicioacuten es una abstraccioacuten un subconjunto de la informacioacuten de la geometriacutea de una forma M aacute s formalmente es

el conjunto de propiedades que permanecen invariantes bajo cual - quier transformacioacuten biyectiva y bicontinua [HU 651 Esto implica

que las propiedades representadas por la topologiacutea no incluyen el conjunto de informacioacuten que cambia con las transformaciones es decir la topologiacutea es un conjunto incompleto de informacioacuten de la forma que se deriva de una especificacioacuten geomeacutetrica [HU 641

11

Bajo esta idea la 1 informacioacuten topoloacutegica puede ser considerada 2 0

I

II como una vaga definicioacuten de un objeto localizado en aiguacuteil lugar De tal forma la topologiacutea restringe pero no define de manera Uacutenica la geometriacutea de un objeto Caso contrario la descripcioacuten geomeacutetrica define de manera uacutenica la topologiacutea de un objeto auacuten cuando

I 11

tal informacioacuten puede nh estar en una forma expliacutecita-

I Deiltro del modelado geomeacutetrico una parte de la topologiacutea que

se ha estudiado mucho se relaciona con la adyacencia entre elemell- tos topoloacutegicos (veacutertfces aristas y caras) Una relacioacuten de adyacencia individual sle define en teacuterminos de proximidad y orden fiacutesico comoel grupo de elementos topoloacutegicos de un mismo tipo alrededor de uii e1emento topoloacutegico simple (existen en total nueve

relaciones de adyacencja) [WEILER 851 un ejemplo de relacioacuten de

adyacencia es el conjunto de aristas que se conectan a un veacutertice La informacioacuten topoloacutegica puede servir como un marco dentro

del cual se coloca la Jinformacioacuten geomeacutetrica La topologiacutea sirve entonces para mantener juntos todos los componentes geomeacutetricos individuales de acuerdo con sus relaciones de interconexioacuten Eli

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

sentido queremos dar a entender lo siguiente

La informacioacuten topoloacutegica II estaacute explicitamente disponible La topologiacutea sirve como un factor de organizacioacuten en el

esquema de las estructuras 1 de datos usadas en la representacioacuten y por tanto

La topologiacutea proporciona una estructura unificada es decir toda la informaci[oacuten topoloacutegica estaacute asociada

en los algoritmos que operan con ellas I

[WEILER 851

211 Conceptos de I la teoriacutea de grafos Uii grafo G consiste de un conjunto finito no vaciacuteo V = V iacute G i de

p puntos y un conjunto X de q parejas desordenadas de puntos distintos de V Cada par x = iuvl de puntos en X es una liacutenea de

G y se dice que x asocia a u y v Se escribe x = uv para decir que u y v son puntos adyacentes el punto u y la liacutenea x inciden uno con otro como tambieacuten lo hace v y x Si dos lineas distintas x y y inciden en un punto comuacuten entonces ellas son dos liacuteneas

adyacentes Un grafo con p puntos y q liacuteneas se denomina un girafo

It

NI

11

I p q l El grafo ( 1 O ) 1 es trivial

Note que la definieioacuteil de g ra fo no permite lazos e s t o est no se permite que una l iacute n e a a s o c i e uii punto coiisigo mismo Ell u11

l a zos pero se permi te que maacutes de una

linea a s o c i e dos pun tos e l l as se denominan lfneas muacuteltiples S i se permiten ambos l azos y l i n e a s m uacute l t i p l e s se t i e n e un pseudografo Un grafo dirigido o digrafo D co i l s i s te de un conjunto f i n i t o no vac iacuteo V de puntos y una co lecc ioacuten ordenada X de p a r e j a s de puntos d i s t i n t o s Los elementos de X son l iacute n e a s d i r i g i d a s o a r c o s P o r d e f i n i c i oacute n un d i g r a f o 110 t i e n e l azos o a r cos m uacute l t i p l e s Un grafo

orientado es un d i g r a f o que no t i e n e pares s imeacute t r i cos de l i n e a s

multigrafo no se permiten 1 I 11

11

I

d i r i g i d a s [HARARY] I

11 212 Conceptos togoloacutegicos

11 Se requie ren algupas i deas de espac ios topoloacutegicos meacutetr icos [HUI pa ra c a r a c t e r i z a r e l dominio de l a s formas de i n t e r eacute s en e l contexto d e l modelado geomeacutetrico de s oacute l i d o s L a s s igu ie i i t es d e f i n i c i o n e s auacuten cuando no son muy r i g u r o s a s se raacuten d e grari u t i l i d a d en las d iscus iones p o s t e r i o r e s

I) I

I1

Un disco abierto I es una porciOacuten de un espac io bidimensional que cae d e n t r o de un Circulo de r a d i o p o s i t i v o con c e n t r o en un punto dado excluyendo l a f r o n t e r a d e l c iacute r c u l o Una esfera abierta es e l anaacutelogo t r id imens iona l d e l d i s c o a b i e r t o es e l conjunto de puntos que se encuentra den t ro de una esfera con c e n t r o en alguacuten punto y de r a d i o mayorjque ce ro excluyendo tambieacuten l a f r o n t e r a de l a e s f e r a

I

11

I U n subconj unto d e l espac io topoloacutegico e s arco-conectado s i

e n t r e dos puntos cua lqu ie ra en un subconjunto d e l espacio e x i s t e una t r a y e c t o r i a contdnua que se encuentra contenida to ta lmente

den t ro d e l subconjunto Una superficie pa ra e s t e p ropoacutes i to e s un

cuando l a s u p e r f i c i e es localmente bidimensional eacute s t a puede e x i s t i r geomeacutetricamente en un espac io t r id imens iona l y puede s e r

espac io bidimensional I arco -conec tado Hay que hacer n o t a r que a uacute n

t

curva I1

2 2

I

Se dice que una superficie es acotada si la superficie puede

ser en su totalidad por alguna esfera abierta La

froiltera de ulia superficie puede ser una curva abierta 0 cerrada o bien ull punto de la superficie Una superficie es cerrada si es acotada y no tiene frqntera Por ejemplo un plano infinito no

tiene frontera pero es no acotado por el contrario la esfera es una superficie cerrada

1 11 1

11

iI

I una variedad de dimensioacuten dos es una superficie bidimensional

arco-conectada donde yada punto de la superficie (excepto su f roiitera) tiene una vecindad topoloacutegicamente equivalente a un disco

abierto

11

ii Una variedad puede o no ser una superficie cerrada Se dice

que una variedad V es orientable si y ~610 si existe un campo vectorial normal en V que es diferente de cero en cada punto de V

excepto en su frontera Estos dos Uacuteltimos aspectos son importantes Porque dentro del modelado geomeacutetrico de soacutelidos se requiere que

las superficies que acotan a un soacutelido sean cerradas y orientables

encierra la superficie^ io que deja fuera de ella

1

11

de tal manera que se I tenga una clara distincioacuten entre io que

Una no-variedad lfiacuteiion-manifold) es un teacutermino del modelado geomeacutetrico usado para referir situaciones que no pueden ser

En un ambiente de no-variedades la frontera del objeto alrededor de un punto dado no es topoloacutegicamente plana es decir los vecinos de los puntos no estaacuten

contenidos necesariamente en simples discos bidimensionales Esto permite situaciones tales como un cono tocando en otra superficie en un soacutelo punto y unlpar de cubos unidos por una sola arista

Los modelos que maacutes eiifatizan la estructura topoloacutegica son los modelos basados en grafos Por ejemplo en los B-rep un soacutelido se representa como una lista de caras con sus respectivas ecuaciones de superficie las aristas de estas caras se representan con

ecuaciones de curvas) con apuntadores a sus veacutertices y caras adjuntas y finalmente los veacutertices se representan como una lista

de coordenadas con apditadores a las aristas que se conectan amp cada uno de ellos En suma a estas listas los B-rep registran la

representadas con variedades I)

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

relaciones de adyacenci4

Las superficies en E 3 pueden ser clasificadas en dos catego-

riacuteas simple-conectadas y muacuteltiple-conectadas Una superficie es simple-conectada si toda curva cerrada dentro de su aacuterea puede

reducirse continuamente a un punto dentro de la superficie de lo contrario es muacuteltiple-conectada

I 11

0

II

22 CLASIFICACION DE LOS MODELOS DE B-REP El criterio de validez de un modelode representacioacuten por

fronteras para objetos limitados por superficies cerradas y orientadas incluye las siguientes condiciones [MANTYLA]

El conjunto de car~as de un modelo por fronteras es cerrado es

decir las caras Irforman la frontera completa del soacutelido sin

olvidar ninguna parte

1

I

gtgt Las caras de los I modelos no se intersecan con alguna otra excepto en los veacutertices y aristas comunes

simples que no se( intersecan entre eiios

I gtgt Las fronteras de las caras son de manera general poliacutegonos

Las dos primeras condiciones excluyen objetos con autointer - secciones La tercera es relativa a la integridad topoloacutegica de las

fronteras del modelo Desgraciadamente la integridad geomeacutetrica de un modelo por froiiteras que se define por la segunda y tercera

condicioacuten no puede ser forzada soacutelo por medio de estructuras asignando de forma idpropiada informacioacuten geomeacutetrica a entidades

topoloacutegicas razonables se pueden crear modelos no vaacutelidos

11

i

11 De manera general podemos agrupar los modelos de B-rep en los

siguientes grupos

iI Modelos por fron$era basados en po1igonos- Un B-rep que soacutelo

tiene caras planas es Illamado un modelo de poliedros Debido a que

todas las aristas de un poliedro son segmentos de liacutenea recta se pueden tener estructuras de datos muy compactas para una B-rep d- 11

1 2 4

II

11 e s t e caso e s p e c i a l

Modelos

en poliacutegonos como c a r a s i

I

por frontamp basados en veacutertices - En u11 B - r e p basado

l a s coordehadas de un v eacute r t i c e s e r e p i t e n t a n t a s veces ncidan en 161 Esta redundancia puede ser el iminada

int roduciendo los v eacute r t i c e s como ent idades independientes de l a e s t r u c t u r a de d a t o s En e s t e caso l o s i d e n t i f i c a d o r e s de v eacute r t i c e s

s e asocial1 con l a s c a r a s Esta t eacute c n i c a es conocida como modelo de

f r o n t e r a basado en veacute r t i ces La representac ioacuten no inc luye informacioacuten de l a s u p e r f i c i e como todas l as ca ras son p lanas s u geometriacutea e s t 6 completamente def i i i ida por l a s coordenadas de sus v eacute r t i c e s s i l a s ecuaciones de l a s ca ras neces i t an caacute l cu los

t

I 1 I1

11

1)

iiumeacutericos e l l o s deberaacuten e s t a r asociados con los v eacute r t i c e s E ~ I e s t aacute r ep resen tac ioacuten l a l i s t a de v eacute r t i c e s de cada c a r a debe

de t ene r un orden que r ep resen te l a or ientaciOacuten de l a s a r i s t a s Esta o r i e n t a c i oacute n es uacute t i l en a lgor i tmos como los de el iminacioacuten de

l iacute n e a s o c u l t a s

Ir

t

E l t ene r informacioacuten en forma redundante puede producir I

s u t i l e s problemas numeacutericos [MILENKOVICI [EDELSBRUNNER] I

Modelos por frontera basados en aristas- Los modelos basados en v eacute r t i c e s son s imples pero cuando s e t r a t a de r ep resen ta r una s u p e r f i c i e cuya f r o n t e r a e s curva requieren una gran cant idad de v eacute r t i c e s para l a aproximacioacuten Un modelo por f ronte ra basado en a r i s t a s r ep resen ta una ca ra en teacuterminos de una secuencia cer rada de

a r i s t a s

11

a r i s t a s Los v eacute r t i c e s d e iI l a ca ra s e representan sblo a t r a v eacute s de

1

It

En e s t a e s t r u c t u i a de da tos se debe i n d i c a r una o r i e n t a c i oacute n para l a s a r i s t a s y l a o r i e n t a c i oacute n de l a s ca ras debe s e r d e f i n i d a de manera c o n s i s t e n t e Por ejemplo l a s a r i s t a s de una c a r a deben s e r l i s t a d a s en sen t ido de las maneci l las d e l r eacute l o j cuando s e ven desde a f u e r a d e l s oacute l i d o Note que cada a r i s t a s e r ep resen ta en dos c a r a s una respetando l a o r i$n tac ioacuten y una en sen t ido opuesto

I

Estructura de ddtos de aristas con alas La inclusioacutei i de iiodos e x p l iacute c i t o s para cada uno de l o s o b j e t o s baacutes icos ( c a r a a r i s t a y v eacute r t i c e ) abre l a s p u e r t a s para l a e laborac ioacuten de E-rep

1

il I

I - - 1 basados en a r i s t a s maacutes )completos Muchos de l o s esquemas usados actualmente para r e g i s t r a r r e l a c i o n e s de adyacencia e n l o s s is temas c l aacute s i c o s de B -rep s e de r van de l a a r i s t a con a l a s desa r ro l l ada por Baumgart [BAUMGART] Esta e s t r u c t u r a s e i l u s t r a en l a f i g u r a 2 1

Ir

II para una a r i s t a e

Figura 2 1 Reprefientacioacuten de una a r i s t a a l a d a

11 La e s t r u c t u r a de l a a r i s t a a l ada r ep resen ta l a informacioacuten de adyaceiicia de una a r i s t a como una e s t r u c t u r a s imple Basados en e l l a s e puede obtener de manera d i r e c t a l a s cua t ro a r i s t a s adyacentes e s t o e s l a s s i g u i e n t e s a r i s t a s en e l s e n t i d o y con t ra

de l a s dos c a r a s que s e pegan a l a a r i s t a en cues t ioacuten Podemos sabe r cua le s ca ras comparten l a a r i s t a a s iacute como lo s v eacute r t i c e s que l a acotan Otras r e l ac iones de adyaceiicia que no s e almacenan pueden ser d e t e r - minadas algoriacute tmicamete recor r iendo l a e s t r u c t u r a de da tos de l g ra fo que r ep resen ta d l s oacute l i d o En e s t a representac ioacuten l a s ca ras neces i t an i n c l u i r paral cada a r i s t a un i d e n t i f i c a d o r y un iacutend ice de s u o r i e n t a c i oacute n en l a c a r a

ii

e l s en t ido de las maiiecillas I d e l r e l o j

11 1

11

23 DESCRIPCION DE I LOS B-REP Uno de los problemas de l o s modelos de representac ioacuten e s s u

cons t rucc ioacuten Por un 1 l ado e l disefiador de un modelador debe de

proveer una coleccioacutei de f a c i l i d a d e s de desc r ipc ioacuten de s oacute l i d o s conveniente y e f i c i e n t e Por o t r o lado debe tomar en cuenta l o s problemas de i n t e g r i d a d a n t e s mencionados y buscar t eacutecn icas de descr ipc ioacuten de s oacute l i d o s que ga ran t i cen e l c r i t e r i o de i n t e g r i d a d 9

I1

11

I II

al menos hagan d i f i c i l l a cons t rucc ioacuten de modelos no v aacute l i d o s

231 Conversioacuten de CSG Una so luc ioacuten comuacuten I es d a r a l u sua r io un lengua je de d e s c r i p -

cioacuteii de s oacute l i d o s basados en CSG y c o n s t r u i r modelos por f r o n t e r a s a traveacutes de l a conve r s ioacuten de I CSG a B -rep Con esta t eacute c n i c a se deben

i n c l u i r a l modelador a lgor i tmos para l a c reac ioacuten de modelos por f r o n t e r a s de las primiltivas CSG y un a lgor i tmo para operaciones booleanas con e l l as

i1

II

Figura I 2 2 Un o b j e t o s i n una conveniente r ep re sen tac i6n en una B-rep o r d i n a r i a

Desgraciadamentekas operaciones de conjuntos pa ra modelos por f r o n t e r a son computacionalmente c a r a s y s e n s i b l e s a problemas numeacutericos Auacuten cuandh lo s problemas numeacutericos d e l caacute l cu lo de i n t e r s e c c i oacute n de supekf i c i e s puede s e r r e s u e l t o p e r s i s t e e l problema de l a compat ibi l idad e n t r e el modelado de espac ios de CSG

y los modelos por f ro l i t e ra convencionales Esto q u i e r e d e c i r que algunos o b j e t o s que pueden ser representados en CSG no t i enen una

represen tac ioacuten adecuada en l o s modelos por f r o n t e r a s Por ejemplo E l o b j e t o mostrado enIla f i g u r a 2 2 puede ser representado en CSG como l a d i f e r e n c i a de dos c i l i n d r o s Con las e s t r u c t u r a s o r d i n a r i a s de un B - r e p no se puede r ep re sen ta r adecuadamente l a regioacuten donde e l c i l i n d r o e x t e r i o r toca e l c i l i n d r o

I

( t a l corn$ l a a r i s t a alada)

I) i n t e r i o r e s t o e s porque una a r i s t a no puede t ene r c u a t r o caras

Y vec inas

232 Dibujos de dos y media dimensioacuten I1

11

Muchos o b j e t o s necesar ios en l a p r aacute c t i c a t i enen una s i m e t r iacute a que puede s e r explotada para s u desc r ipc ioacuten Frecuentemente los ob je tos pueden s e r d e s c r i t o s en teacuterminos de una seccioacuten t r a n s v e r s a l de dos dimensiones j un to con informacioacuten d e l espesor d e l m a t e r i a l Los ob je tos rotacionalmente s imeacute t r i cos son o t r o ejemplo de coacutemo un s oacute l i d o puede ser d e s c r i t o soacutelo por un p e r f i l y un e j e de ro t ac ioacuten ( f i g u r a 2 3 )

11 I

11 II

I

11 Figura 23 Dibujos de dos y media dimensioacuten (sweeps)

I Estos meacutetodos de descr ipc ioacuten de s oacute l i d o s de dos y media dimensioacuten pueden s e r incorporados de manera n a t u r a l a los modeladores por f r o n t e r a s E l teacutermino dos y media dimensioacuten e n f a t i z a e l hecho de que l a operacioacuten de descr ipc ioacuten p r i n c i p a l e s en dos dimensiones y puede s e r v i s u a l i z a d a como una operacioacuten en un modelo g r aacute f i c o bidimensional

11

I L o s d ibujos de i h g e n i e r iacute a generalmente despl iegan un ohj e t o

desde d i f e r e n t e s v i s t a s or togonales Esta t eacutecn ica puede s e r usada para d e s c r i b i r modelos de f r o n t e r a en l a forma que e s llamada 11

conjunto de operaciones de perfil Estas o maacutes perfiles cerrados para representar un objeto a partir de ampbs vistas

l 1

operaciones combinan dos

las liacuteneas exteriores de

1 24 ALGORITMOS DE EWALUACION DE Los MODELOS POR

FRONTERAS I) 241 visualizacioacuten

I1

11

iI

El disentildeo de algoritmos de visualizacioacuten para modelos por

fronteras se simplifica en gran parte porque se puede aprovechar la

representacioacuten de las caras aristas y veacutertices de un soacutelido Ellos

pueden ser considerados modelos expliacutecitos en comparacioacuteil con los CSG que deben ser evaluados para obtener su visualizacioacuten Las

teacutecnicas maacutes populares para la generacioacuten de salida graacutefica de

modelos se pueden aplicar I( de manera directa a los modelos por 1

11 1

fronteras En suma para un modelo de poliedros las teacutecnicas

conocidas para eliminar liacuteneas y superficies ocultas asiacute como las

de sombreado pueden ser aplicadas incluyendo meacutetodos exactos

espacio-objeto Evidedkemente l a presencia de superficies curvas hace esto maacutes complicado especialmente cuando se requiere la

salida con liacuteneas oculkas

I

Ocultar superficiiacutees durante el despliegue es faacutecil ya que se pueden aplica11 las teacutecnicas estaacutendar entre otras los algoritmos de scan-line z-buffer y ray casting

t

1)

I) 242 Integrales para la evaluacioacuten de propiedades Los modelos por Ifrontera disponen de dos teacutecnicas para e l

caacutelculo de propiedades ingenieriles el meacutetodo de la integracioacuten directa y el uso del teorema de divergencia del caacutelculo

La integracioacuten directa es la teacutecnica discutida en los libros de caacutelculo Y se basa en la evaluacioacuten de la integral de volumen

sobre un soacutelido como l a suma de las contribuciones de cada cara

11

I1

11 Por ejemplo la jntegral de volumen de una funcioacuten f ( x y z )

I

sobre un soacutelido S puedefser evaluada por

1 donde Fir es la proyeccioacuten de la cara F en el piano xy y Z(XY)

se obtiene solucionando la ecuacibn de F para z El signo se determina por la normal de la cara si la normal se proyecta del

del plano xy hacia el espacio el signo es negativo de lo contrario

11

es positivo I iI

1 El resultado de la integral doble se evaluacutea de manera similar

para obtener la contribucioacuten de cada arista de F

11

I El teorema de divergencia proporciona un meacutetodo alternativo

para la evaluacioacuten de las propiedades integrales De la observacioacuten que siempre es posible encontrar al menos una funcioacuten vector g(xyz) tal como d iacute v g = f para una funcioacuten continua f (x y z ) se tiene que

t

II J s f d V = J9divg dV = E J gnidFi

FI

Y donde F es una cara del soacutelido S a es el vector unitario normal

il a F y uumlF es la diferencial de superficie

25 REPRESENTACIOW PARAMETRICA PARA EL MODELADO POR

FRONTERAS 1 I)

Existe una gran variedad de meacutetodos analiacuteticos para la descripcioacuten de curvas y superficies pero no todas las represeii-

tacioiies pueden ser usadas en el modelado geomeacutetrico La forma que ha resultado maacutes prodia para este objetivo es la representacibn parameacutetrica Existen muchas razones para ello entre otras las

siguientes [ROGERSADAMSl [FARIN]

I

n Es independiente I de los ejes coordenados gtgt Permite la representacioacuten no ambigua de superficies multiva-

3 0

luadas y funciones Ii en el espacio Euclidea110 A ES compatible con el uso de transformaciones de coordenadas

tridimensionales

gtgt Las curvas y superficies usadas en el modelado geomeacutetrico son normalmente no planas acotadas y en general no puede11 ser

representadas por una funcioacuten no-parameacutetrica ordinaria

gtgt Permite definir ftamilias de objetos geomeacutetricos usando un

nuacutemero finito de paraacutemetros Asignando valores a cada paraacutemetro definimos uila instancia de la familia Las propiedades

globales se pueqen reducir a un conjunto de foacutermulas

1 i I

It

11

especiales [MORTEfqSON]

La uacuteltima de las dentajas nos permite pensar en construir una libreriacutea de rutinas que contenga una foacutermula o un procedimiento algoriacutetmico por cada propiedad por ejemplo para calcular tangen-

tes normales curvaturas aacutereas etc La figura 24 presenta una clasificacioacuten en farni1)as de las representaciones maacutes usadas en el

modelado por fronteras

I1

B eacute z i e r P o l i 1 iacute n e a B s p l i n e s X s p i i n e s

Supe ficies B sp l i ne s 8-splines Sweep l i n e a l Sweep r o t ac iona l Sweep t r a s l a c i o n a l S u p e r f i c i e s r eg ladas E NURBS

Y I1

11

II

Figura 24 Familias de objetos geomeacutetricos para l a representacioacuten por fronteras

31

I 27 PROPIEDADES DE LOS MODELOS POR FRONTERAS

II poser expresivo ~1 espac io de modelado con 10s B - r e P depende

de l a se l ecc ioacuten de s u p e r f i c i e s que puede11 Ser usadas Para l a

representac ioacuten de l a s Garas N o e x i s t e n razones para l i m i t a r e s t a se l ecc ioacuten por e l l o e s t o s modelos pueden s e r usados para r ep resen ta r ob je tos de un espac io de modelado maacutes genera l a l que es pos ib le l o g r a r con C S G

1

t

r

iI Validez La va l idez de un modelo por f r o n t e r a s e s eii general d i f iacute c i l de e s t a b l e c e r E l c r i t e r i o de va l idez s e d iv ide en r e s t r i c c i o n e s topoloacutegicas I y geomeacutetr icas E s p o s i b l e manejar l a va l idez topoloacutegica s i n t e n e r un t r a b a j o e x t r a pero e s d i f iacute c i l ob tene r l a desde e l punto de v i s t a geomeacutetrico s i n c a s t i g a r l a velocidad en e l diseiacutelo i n t e r a c t i v o

11

I No ambigiiedad y unicidad Los modelos por f r o n t e r a vaacute l idos SOIT

110 ambiguos pero noridaimente no son uacutenicos

Lenguaje descriptivo L o s modelos por f r o n t e r a s s e pueden c o n s t r u i r a t r a v eacute s de un lenguaje de descr ipc ioacuten que e s t e basado en d ibujo g r aacute f i c o y operaciones de b a r r i d o (sweep) o en una forma

I

s i m i l a r a l CSG 11

1 Conciso Los modelos por f r o n t e r a de o b j e t o s uacute t i l e s pueden l l e g a r a ser muy grandes especialmente s i se aproximan ob je tos curvos por modelos de (po l i ed ros

Facilidad computacional Y y aplicabilidad Los B -rep son uacute t i l e s para l a generacioacuten de s a l i d a s g r aacute f i c a s porque e l l o s incluyen l o s da tos para manejar in (despliegue g r aacute f i c o [MANTYLA] [REQUICHA] En

e l l o s s e pueden a p l i c a r a lgor i tmos de a n aacute l i s i s i i ige i i i e r i l por ejemplo como elemento f i n i t o y evaluacioacuten de f r o n t e r a s

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

I B-REP PARA MODELOS BASADOS EN

11 11

La necesidad de construir modelos de objetos formados col1 diferentes materiales ha extendido el dominio semaacutentica de los esquemas de representac16n de los modeladores geomeacutetricos Estos sistemas ahora deben ser capaces de modelar regiones acotadas por f roiiteras eii el espacip definidas coil no-variedades 11

11 Las estructura de datos propuesta para la arista con alas usada en los modelos basados en variedades no es suficiente para representar adecuadamente objetos que son no ~ variedades por

ejemplo con el esquema de la arista con alas no se puede representar una arista en donde se unen tres o maacutes caras Para

solucionar este problema Weiler [WEILER 861 propuso el uso de un nuevo elemento topoloacutegico al cual define como arista radial

11

t

I

1)

Las operaciones booleanas usadas en CSG generan no -variedades Por ejemplo dos cubo2 que comparten una arista produce un objeto

que es no-variedad a lo largo de dicha arista esto muestra que se pueden crear condiciones de no -variedad auacuten con operaciones simples en dos objetos que soh variedades

11

11 I

)) En la praacutectica en el mejor de los casos los obje tos con

superficies no-variedgd se representan indirectamente con variedades ignorando los puntos y segmentos de liacutenea excepcionales Esta situacioacuten es aceptablye cuando se requiere solamente informacioacuten

11 graacutefica pero no es vaacutelida para e1 anaacutelisis y la evaluacioacuten de un

modelo por ejemplo

It

es tudios de transferencia de calor 1

~i

I E s t e t r a b a j o usa una topologiacutea basada en no -var iedades que

supera l a s l imi tac iones de l o s esquemas basados en va r i edades - LOS modelos de representacioacuten basados en no -var iedades t i e n e entre o t r a s l a s s i g u i e n t e s ven ta jas

II

4 I La -lase de ob je to s que se pueden r ep re sen ta r es cer rada ))ajo

el de las operaciones booleanas o r d i n a r i a s 0

regula r izadas EII una topologiacutea de var iedades se pueden r ep re sen ta r todas

l a s r e l ac iones de pos ib l e s entre l o s elementos topolbgicos baacutesicos (voluacutemenes caras a r is tas v eacute r t i c e s ) Se pueden represen ta r casos de in t e r secc ioacuten y coincidencia geomeacutetrica de una nanera uniforme y t ransparen te sin casos e spec i a l e s Se t i e n e l a capacidad de r ep re sen ta r todas l a s adyacencias de volumen c a r a s a r i s t a s y v eacute r t i c e s E s pos ib l e obtener l a representaci6n de iacutenodelos d e alambre y de s u p e r f i c i e den t ro de l m i s m o ambiente de l a represen tac ioacuten de s oacute l i d o s con una informacioacuten topoloacute$ica completa y c o n s i s t e n t e

I

I1 11 I

Una representacioacutei i~basada I en no -var iedades no estaacute r e s t r i n g i d a a i dominio de los s oacute l i d o s cer rados Debido a que se pueden r ep re sen ta r soacute l idos que son adyacentes a s oacute l i d o s se pueden modelar c a r a c t e r iacute s t i c a s e spec i a l e s de l i n t e r i o r de un s oacute l i d o

1

PCEUDOGRAFO REGION Y ARBOL-PR Basados en l a idea que l o s da tos geomeacutetricos determinan sin I

ambiguumledad a los datos topoloacutegicos y que por e l c o n t r a r i o l o s datos topoloacutegicos pueden ser i n v a r i a n t e s para d i s t i n t o s modelos geoiueacute- t r i c o s en l a unidad de computo d e l I n s t i t u t o de I i i - ~es t igac io i~es E l e c t r i c a s s e desarrol3aron los conceptos del pseudoyrafo- regioacuten J

d e l 6r1701-pr [LASTPA 9011 L o s cua l e s e s t aacuten or ien tados a l a r e p r e s - entacioacuten por f r o n t e r a s Id- no var iedades en 2 D

I

11

I l - -

D e manera formal e l problema fundamental e s e l siguiei1te Deiiotaiido con ( a z l un i i i te r i a lo cerrado en l a l i n e a Euclididi1l 1

con E a e l plano Euclidian0 y def iniendo regioacuten corno un sLampconj~i i i I

2 a b i e r t o y conexo ( a r c o conectado) de E se t i e n e - r

I problema 31 Dad+ una curva p lana de longi tud f i n i t a d e s -

cri ta por una funcioacuten parameacutetrica continuamente d i f e r enc i ab le

C[azl d e f i n i r un a lgor i tmo y iexclas e s t r u c t u r a s de da tos correspondientes para r e p r e s e n t a r l a s d i f e r e n t e s reg iones en las

q u e l a curva dada divide a E

I gt E (1

I1

La solucioacute11 a este problema se basa en una genera l izac ioacuten d e l teorema de l a curva de Jordan e l cua l e s t a b l e c e que cua lqu ie r curva ce r r ada simple en e l plano l o d i v i d e en exactamente dos reg iones una den t ro y una f u e r a de l a curva En e l l a s e busca que las regiones resu l tan te s s e c l a s i f i q u e n de manera n a t u r a l por medio d e l r e g i s t r o de s u s f r o i t e r a s como secuencias ordenadas conectadas y c iacute c l i c a s de fragmentos o r i en t ados de l a curva de en t r ada

311 Desarrollo del gseudografo-regioacuten P a r a e x p l i c a r e l concepto d e l pseudografo- regioacuten procederemos

de manera i n t u i t i v a Suponga que ha creado una o v a r i a s curvas bidimensionales y que ahora us t ed desea l a descr ipc ioacuten de las

e s t a s regiones estaraacute c o n s t i t u i d a por un conjunto de puiitos

contiguos que no per tenece a las curvas dadas y t a l que caminando exclusivamente sobre l o s puntos i n t e r i o r e s de l a regioacuten se puede l l e g a r de un punto cua lqu ie ra de l a regioacuten a o t r o en l a m i s m a r eg ioacuten s i n a t r a v e s a r ninguno de l o s puntos de l a s curvas dadas

In tu i t ivamente s i us ted d i b u j a r a l a curvas en un t rozo de papel de aacute r ea i i i f i n i t a y despueacutes r e c o r t a r a con unas t i j e r a s justameilte por donde pasaii l a s curvas cada uno de los pedazos de papel q u e se

obtiivieran corresponder iacutea con cada una de las regioiiss que ~ 1 e ~ o ~ d e s c r i t o previamente ( f i g u r a 3 1 )

A p a r t i r de l o a i lker ior s e puede obser-Jar que l a froi2tera de cada una de las reg iopes estaacute formada por t rozos de las c1urvas dadas or ig ina lmente Aquiacute han ocu r r ido baacutesicamente dos foiloacuteineilos primero en cada punto de i n t e r s e c c i oacute n de una cLIrva coiisigc iiiiiiii

o con o t r a s se ha ten ido que p a r t i r l a curva segundo e11 i~

1 II 1

11

I) I I I

r egiones en que estas I cu rvas han d iv id ido a l p lano Cada una de

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

puntos de in t e r secc ioacuten l o s segmentos de l a s Curvas W e 3111 collcurren se pegan para formar l a s firoiiteras de l a s regioilc-s Eso

pu13tos de intersecci611 de denominan v eacute r t i c e s N6tese Iiaiiibi 617 qire en genera l cada t rozo de curva - a l que se denominaraacute a r i s t a - s i r v e como f ron te ra de regiones d i f e r e n t e s S i l a a r i s t a se cons ide~-a o r i en t ada -e s t o e s que empieza en uno d e s u s extremos y Lei-mina en e l o t r o - una de l a s regiones quedaraacute a l a derecha de l a a r i s t a y l a otra a l a i zqu ie rda E s t e hecho es l a pauta para que se considere q u e cada a r i t a e s t aacute compuesta de dos medias a r i s t a s cada una de l a s cuales corresponde con cada una de l a s pos ib l e s o r i en t ac iones de l a a r i s t a D e e s t a forma las dos medias a r i s t a s de una a r i s t a t i enen or ientacioacuten opuesta

- II

iI J

I

i1

III 1

(a i p$iacute---$] o

111 secuencia c iacute c l i c a d e medias a r i s t a s -con t iguas - el1 las que localinel i te la misma r e y i oacute n queda hac ia SU izquierdade acuerdo Con

su o r i en t ac i 611 En l a implementacioacuteh propuesta en [LASTRA 901 l a informaci6ii

de l a s a r i s t a s se repreA1enta en dos r e g i s t r o s d i f e r e n t e s uno que cont iene l a informacioacuten topoloacutegica y e l o t r o informacioacuten geonieacutetrica

Analizando l a e s t r u c t u r a para l a informacioacuten topoloacutegica velnos que se t i e n e informacioacuteamp para determinar l a s caras q u e a c o t a l a s medias a r i s t a s q u e se conectan a e l l a y los v eacute r t i c e s que acotan l a curva dada ( f i g u r a 3 2 ) I Ademaacutes se cuenta con una r e f e r e n c i a (geo) a l a descr ipc ioacuten de l a geometriacutea de l a curva que se e s t aacute represei i - taiido topoloacutegicamente aquiacute se almacenaii d e t a l l e s t a l e s como representacibn parameacutetripca y dominio d e l a curva

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

i n h e cara phe p rev

--p con to rno

11 U n d e t a l l e impor tp l te q u e no s e ha meiicioiiado es el hecho d e que e s t a e s t r u c t u r a taikbieacuten nos pe rmi t e conocer l a orieiitaci611 de

parameacutetr ica de una cur-gta le d e f i n e una o r i en t ac ioacuten na tura l que corresponde a l o s alores c r e c i e n t e s d e l paraacutemetro l a o r ien tac ioacuten de l a s medias a r i s t a s es t a l q u e l a regioacuten q u e acotan s e encuentra a s u izquierda y se marca en e l sei l t idq q u e se recor rep de s u apuntador p r e v a su apuntador next

E s c l a r o que en e s t a represei i tac i6n una de l a s -medias ai-ish

l a cur-lta L a descripcioacuten 1 11

I1

1

I

1

r e spe t a l a de l a curva y q u e l a o t r a no l o Iiacs EI(

I nos obliga a mantener indice para sentildealar en una arista cual de sus medias aristas larespeta este indice se registra en la

11 estructura de la descripcioacuten geomeacutetrica de la curva y conocieacutendolo

I se puede determinar en base a una media arista cuaacutel es la orientacioacuten de la curva

I I

Extendiendo la representacioacuten a la situacioacuten maacutes general de

una curva compuesta de varios segmentos que inclusive se

autointerseca se puede notar que la representacioacuten con medias aristas es vaacutelida y no requiere de ninguna modificacioacuten En la figura 33-a se muestra la curva original y en la figura 3 3 - b se muestran las estructuras que se arman para describir los ciclos de

I I

medias aristas - llamados I contornos - que acotan las regiones

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11 7 ) curva origiiial b) pseudografo-regioacuten c) a r h o l -p r

I Existen baacutesicamente dos tipos de rsgiones aquellas que tiene11

como frontera a un uacutenico contorno y las que tien- -11 corno frontera maacutes de un contorno Es necesario entonces mantener u11 registro de cimles son los contorlios que conferman la frontera de cad reqif n al mismo tiempo que se mantione la informacioacuten de l a s inedi3 aristas y -ltamptices que constituyen los contornos la estructura LIS

11

I 3 8

I

cont iene e s t a informaci6n s e denomii-ia pseudografo-regioacuten A mallera de ejemplo en l a f i g u r a 3 3 -b se muestraii en forina de peciuei~laquo bloques l a s es t ructuras 1de l a s a r i s t a s con sus medias a r i s t a s

312 Propiedades de un pseudografo-regioacuten

las s i g u i e n t e s propiedades

11 I

1 Haciendo un breve a n aacute l i s i s de l pseudografo-regibn s e t i enen 11 Cada a r i s t a referdi ic ia a una curva parameacutetrica de extensioacutell

f i i i i t a como s u reaiexclizaci6ii en e l plano Euclideano Las regiones e n ii l a s que l a r e a l i z a c i oacute n d e l pseudografo p a r t i c i o n a a i plano s e representan por s u s f r o n t e r a s o r i en t adas que se denominan contornos Cada contorno se de f ine como una cadena cerrada de a rcos y puntos Los a rcos corresponden a r ea l i zac iones o r i en t adas de las a r i s t a s - reeresen tadas por l a s medias a r is tas - y l o s puntos a r ea l i zac iones de los v eacute r t i c e s Por conveiicioacuten el( r eco r r ido de un contorno de acuerdo con s u o r i en t ac ioacuten s e r aacute t a l q u e l a regi6n de l a q u e es f r o n t e r a queda siempre de f in ida a l a i zqu ie rda Siempre ex i s t e ui ia regi6n de extensioacuten i n f i n i t a y un nuacutemero f i n i t o - posiblemente cero - de regiones acotadas Cualquier p a r e j a de regiones es d i s j u n t a y l a unioacuten de todas las regiones cerqadas es e l plano

I

1 1

II

I1 En e s t e momento tteiiemos r e s u e l t a una p a r t e de l problema 3 1

podemos determinar mediante una inspeccioacuten d e l pseudografo l a s regiones en l a s que l a curva d iv ide e l plano pero auacuten 110 podernos d e s c r i b i r l a s relacioies que ex i s t en e n t r e e l l a s

t

I1

Una forma n a t u r a j de represen ta r una descomposici6n de l plano

por un pseudografo-reg1611 es a t r a l eacute s de u n aacuterbol con u n aacuterbol es relativainei1te simple r ep re sen ta r j e r a r q u iacute a s d e da tos y la relacioacutei1 que e x i s t e e n t r e e l l o s Podemos eiltoilces represen ta r coil un aacute rbo l l a s r e l ac iones que guardan l a s iregioiies en el plano Este aacuterbol se

1

11 1

denomina aacuterbol-pr q u e s i g i i i f i c a aacuterbol d e l pseudograf o- r e g i b n

El problema ahora se l i m i t a a determinar una s i n t a x i s para l a procederemos ilUevanW11te de una manera collstrucci~n d e l aacuterbol p r I1 I

illformal para d e f i n i r la s i n t a x i s que estamos busca1do

I ulla Curva cerrada simple de acuerdo con e l teorema de Jordan dos regiones u11a citerior o i n f i n i t a y una i n t e r i o r 0 f i n i t a

De acuerdo con nuest ra f l i iosof iacutea l a misma curva se represen ta con dos contornos uno que aco ta l a regioacuten f i n i t a y Otro que acota l a regioacuten i n f i n i t a Esta s i t u a c i oacute n nos muestra que podemos d i s t i i l gu i r dos t i p o s de nodos para c o n s t r u i r nues t ro aacute r b o l uno para r ep re - s e n t a r los contornos que acotan regiones i n f i n i t a s que llamaremos blanco y o t r o para r epresentar contornos que acotan regiones f i n i t a s que llamaremos negro

11

l

I

I U n aacute r b o l -p r debe registrar las r e l ac iones de contencioacuten de

inc idenc ia y de conexioacuten que e x i s t e n e n t r e regiones a b i e r t a s en 2 D

[LASTRA 9 0 1 E n o t r a s pa l ab ra s e l aacute rbo l nos debe d e c i r cuaacutendo l a regi6ii -acotada por conitornos- inc iuye a o t r a y cuaacutendo una regioacuten se encuentra en e l i n t e r i o r de o t r a Esta s i tuac ioacute i l l a podemos r ep re sen ta r f i j ando l a s i g u i e n t e r e l ac ioacuten para e l aacute r b o l -p r s i recorremos el aacute rbo l en forma descendiente decimos que un contori-io aco ta o cont iene a s u s h i j o s s i recorremos e l aacute rbo l e11 forma ascendente decimos qule una regibn e s t aacute e11 e l i n t e r i o r d e l contorno representado por s u nodo padre

11 I

li

I ii

t

Como un ejemplo Ln l a f i g u r a 3 3 - c se preseil ta e l aacute r b o l -p r correspondiente a l a curva de l a f i g u r a 3 3 -a En l a f i g u r a aparece

contorno a b s t r a c t o a l 8 i n f i n i t o y en eacute l s e encuentran coiitenidos todos nues t ros contoriios Despueacutes s e represen ta u11 nodo I~la1iio (nuacutemero 1) que representa el contorno q u e aco ta a i i i i f i i i i t o y U L I ~

en nues t ro ejemplo cont iene todas l a s regiones f i n i t a s Podemos ver q u e l a s regioacuten acotada por el contorno 6 se encuamptrai e12 el i n t e r i o r de l a regioacuten que acotan l o s contornos 4 y 5

I

como r a iacute z d e l aacute r b o l -p r 11 un nodo negro e s t e nodo represen ta e l I

i

I

I L a 5 regiones en que l a cur-a di-vide e l plano son l a rq1611 i n f i n i t a acotada por e l contorno 1 5 regiones acotadas p c ~ 8111

4 0

I -

313 Definicioacuten formal del aacuterbol -Pr 1 I

I1

Formalizando los conceptos v i s t o s tenemos Def in i c ioacuten [LASTRA g o ] - ~l aacute r b o l -pr de un pseudografo-regioacuten

es un aacute r b o l f i n i t o no amp c iacute o y c o n una r e l a c i oacute n uno a uno e n t r e los nodos de l aacute r b o l excepto el nodo r a iacute z y l o s contornos d e l pseudograforegioacuten t a l q u e

gt El n i v e l O o nodo r a iacute z corresponde a l contorno a b s t r a c t o a l i n f i n i t o I

r ep re sen ta ya sea Y con un subaacuterbol de dos n i v e l e s enraizado en

gtgt Los contornos corhespondientes a n i v e l e s p a r e s se denoiniiian nodos negros y l o s cor respondien tes a n i v e l e s impares nodos b lancos

gtgt Todo nodo blanc aco ta p o r si inisino una regioacuten de aacute rea i n f i n i t a y todo nodo negro (excepto l a r a iacute z ) aco ta una regioacuten de aacuterea f i n i t a

gtgt Todo coinponen te conexo d e l pseudografo subyacen te se

11 I

iI

u n nodo blanco no terminal o p o r un nodo blanco terminal gtgt Toda regioacuten d e l pceudografo -regioacuten se represen ta ya sea por UII

subaacuterbol de dos n i v e l e s enraizado en un nodo negro no terjninal o p o r un nodo negro te rmina l

I1

11 t

Observe que l a de f in i c ioacuten de un aacute r b o l - p r permite nodos terminales blancos que corresponden ya s e a a puntos a i s l a d o s o a curvas cont inuas que 110 se i n t e r s e c a n consigo mismas es decir un nodo blanco termiiial corresponde a l a f r o n t e r a de una regioacuteii i i i f i n i t a cuya cer radura topoloacutegica regula r izada es todo el plailo

[LASTRA 301

11 1

1

I Regresando a l problema o r i g i n a l ampida una curva plana de longi tud filii t a d e s c r i t a For una funcioacuten paraineacutetr ica contiiiiiainence d i f e r e n c i a b l e c l a zl I-gt E d e f i n i r u n a lgor i tmo J- l a s e s t r u c t u r a s de ntildeu t o s correspondientes para r e p r e s e n t i r las difere i i t e s reqiciie eii l a s q u e l a curIiacutea dada cii-v-ide a E

I

11 2

It

I Para l a solucioacuten se propone como e s t r u c t ~ u r a d( da t r i s l a giic soporta a l aacute r b o l - p r (figG1-a 3 z ~ ) quci ana i izaua a d e L o l i c CL 1juedk-

ver que es una extensi611 del formato de da tos con base en vector~e d e s c r i t o en [SAMET] y e s t aacute soportada por la a r i s t a a lada de Baumgart (BAUMGART] extendida para p e r m i t i r l a z o s

I

1

Finalmente un algor i tmo informal para l a s0lwc161~ a e s t e

I problema es gtgt Determinar los segmentos en los cuales se subdivide la curva

I o r i g i n a l gtgt Const ru i r l a representac l6n topoloacutegica (medias a r i s t a s ) de los

I1 contornos en base a l a geometriacutea de los seginentos

gtgt Const ru i r e l que representa l a topologiacutea de la curva dada

I aacuterbolgr

ontorno

(geometriacutea - - - gt mapeo)

Figura 34 I Modelo conceptual de la estructura lde datos para el aacuterbol-pr

I

d e aacute r b o l e s -p r I

Un algori tmo formal y las bases para una impleinentaci6n e11

lenguaje C de es te modelo de B -rep se encuentra en [LASTRA 9 0 1 en donde tambieacuten se p resdh ta entre o t r o s e l a lgor i tmo para la u i i i t 1 7

U i i caso p a r t i c u l a r de aacute rbol -p r se t i e n e cuando se xeq~ij -1 + L J ~ I ~ ~

e l aacuterbol r ep resen te ademaacutes de l o s contornos las r e ~ i cgtI-Jc IJII+

tienen un c i e r t o s e n t i d o para uil disefiador Por e jemplc~ e11 JI

f i g u r a 3 5 se desea represei1tar que l a super f ic ie achurada foamp p a r t e de u n o b j e t o f i f s i co Y que l a s p a r t e s en Igtlaiico no t ienen nii-igiin s ign i f i cado eii e s p e c i a l Esta s i t u a c i oacute n se repIese11t a e11 + I aacuteriiol -pr indicando que iiodos representan cciiitornos quo ntildecciiacutean 1 I reqiones que se usan i que nodos representan coi~tornor que 11) lt

I

I I

11 I

usan eii e l pseudoorafo-regioacuten por coi~veiicioacuteii se marca coi u11 O

l o s coiitornos que no u s a n y con u n i l o s c o n t o r ~ ~ o s que si se

usan I

I Figura 35 Representacioacuten d e un nuacutecleo t i p o acora raao para transformador monofaacutesico

I esto s e r ep resen ta para nues t ro ejemplo como

Figura 3 6 hrI acoraado p

I

I - p r marcado d e un a transformador m o

C l e o aacute s i co

y se formaliza a s i I Def i i i icioacuteii U n aacuterbol -pr marcado es u n aacuterbol -pr que tiene

iliuumlrcados sus nodos coino sigue l a r a iacute z e s t aacute inai-cada NO USADA J

todos los otros nodos soil inarcados IiacuteSADOS CI hiacuteG USADOS adeinss todi 11odn blanco estaacute inar-cado igual que su paaacutei-e negro

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

L o maacutes importantamp de los conceptos pa ra [JDS dimensiones del ~1-1~51 - p r es que sei- extendi CIC~S a tres dime-iicioi-es le iii~ri

inaiiera n a t u r a l

4

I En el a n aacute l i s i s i i l tu i t i i iacuteo de l a secc ioacuten 3 11 calnbialldo la

cur-ga ab ie r t a ( r e c t a ) por una s u p e r f i c i e tambieacuten a b i e r t a t a l Como se muestra en l a f i g u r a 3 7 - a s e observa que e s t a uacutel t ima Puede ser 11

por medio de dos lados de c a r a Toda s u p e r f i c i e orilentablo I) acepta dos pos ib le s o r i e n t a c i o n e s

en i ~ u e s t r o caso l a o r i e n t a c i oacute n de una c a r a s e de f ine mediante su

ilorinai eacute s t a t i e n e una d i recc ioacuten uacutenica para cada puilto sobre l a s u p e r f i c i e l a o r i e n t a c i oacute n de los lados de cara s e de f ine p o r l a d i recc ioacuten en que s e encuentra l a regioacuten que acotan Note que uno de l o s lados de ca ra respeea l a o r i e n t a c i oacute n de l a s u p e r f i c i e y e l o t r o no Por ejemplo en e l ampaso de un plano i n f i n i t o (por s impl ic idad)

y Ii I

un lado de Cara aco ta La 1

opuesta a l a normal de 1 l a s u p e r f i c i e

regioacuten hac ia donde apunta l a normal y e l o t r o 1ado de ca ra acota l a regioacuten que s e encuentra en d i r ecc ioacuten

11 Cambiando l a curva cer rada en 2D por una s u p e r f i c i e cer rada y o r i e n t a b l e (por s impl ic idad una e s f e r a ) s e t i e n e que eacute s t a d iv ide e l espacio Euclidean0 en dos reg iones una acotada por e l lado de ca ra i n t e r i o r ( f i i q i t a ) y o t r a acotada por e l lado de ca ra

por mas de uiia ca ra (por ejemplo un c u b o ) l o a n t e r i o r es v aacute l i d o e s d e c i r e x i s t e n dos Conjuntos cer rados y or ien tados de lados de cara que acotan l a regioacuten f i n i t a y l a regioacuten i n f i n i t a d e l s oacute l i d o que s e e s t aacute representaildo ( f i g u r a 3 7 -b)

I) 3

e x t e r i o r ( i n f i n i t a ) A u n I cuando l a s u p e r f i c i e cerrada e s t eacute de f in ida I

I

Ir

En e s t e modelo de r ep resen tac ioacuten a l conjunto cerrado y or ien tado de lados d e l c a r a que acotan una regioacuten ( f i n i t a o i n f i - n i t a ) s e l e conoce como cascaroacuten orientado un hipergrafo-3D es la

representac ioacuten de regibnes t r id imens iona les mediante cascarones y un aacuterbol -c r es e l aacute rbol que representa l a s re lac iones topoloacutegicas de un hipergrafo -3D 1

11 I

I La construccioacuten d e l aacute r b o l -c r e s anaacuteloga a l a de un aacute r b o l -p r y en e l l a s e r e g i s t r a n ahora l a s r e l ac iones de contencioacuten y de conexioacuten que ex iuacute ten elltre regiones en 3D La allalogia ei i t r r i

A r i m l - p r y e l aacute r b o l -c r s e mani f ies ta auacuten m a s en los dos incise

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

321 Propiedades de I un bipergraf0- 3D

La propiedades de u11 h ipe rg ra fo - 3 D son anaacutelogas a l a s de u11

pseudourafo- regjoacuten a ~

-

~ qda cara referenc5a a una s u p e r f i c i e parameacutetrica de extensi611 Ciilita como s u r e a l i z a c i oacute n eii e l espacio Euclideano Las regiones en llas que l a r e a l i z a c i oacute n de l hipergrafo -3D pairticiona a l esiiacio s e representan por s u s f roii teras or ientadas que se denominan cascarones or ien tados Siempre e x i s t e u n a regioacuten e s p a c i a l de volumen i n f i n i t o y un nuacutemero f i n i t o - posiblemente cero - de regiones acotadas Cualquier p a r e j a de regiones e s p a c i a l e s es d i s j u n t a y l a unioacute11 de todas l a s regiohes cer radas es el espac io Cada cascaroacuten se de f ine como una conjunto cerrado y o r i en tado de ca ras y a r i s t a s r a d i a l e s

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

S u p e r f i c i e cerrada

Ca c ca rhn i n t e r i o r

Figura 3 7 E e p ~ e s e n t a c i h n mediante lados de ca ra para a) Parche ampti e l efipacio h) S u p e r f i c i e ce r rada

t 11 322 Definicioacuten formal del aacuterbol-cr

Definicioacuten - El aacute r b o l - CI- de uumlji h ipe rg ra fo - 3c e5 iiii 21-1gt~1 f i n i t o 110 vaciacuteo y C O I ] uiia r e l a c i 6 1 1 uiio a u n o entre i n s iicdcs de 1

aacute r b o l excepto el iiodo r a iacute z y los cascaroiies oi-ieiiiados de3 hipergrafo-3D t a l que I(

il ~1 n ive l 0 0 iiodo r a j z corres~oiide a3 CaSCai-6ii dhStl i -aCt(7 aJ

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

LOS cascaroiies cor~espoi id ien tes a n i v e l es pal-es se deiioi~iiiiaii iiodos iiegros y 1 os correspoiidi elites a i i j v e l es j inpa i -e s I I C J ~ O C

blancos Todo nodo blanco aco ta p o r si mismo una regioacuteii de voluineii i i i f i i i i t o y todo no30 negro (excepto l a r a iacute z ) a c o t a uila regioacuteii de voluineii f i i i i to Todo coinpoiieii te ~coiiexo del h ipergrafo - 30 subyacente se represen ta ya sea ron U J ~ subaacuterbol de dos n i v e l e s eiiraizado en un nodo blanco no iexclterminal o p o r un nodo blanco terininal Toda regioacuten de l h ipergrafo -3D se represen ta y a sea por un subaacuterbol de dos n i b e l e s eiiraizado e n un nodo negro no terininal o por u11 nodo iieglo termiiia1

I

l

II Note que l a def in ic ibi i de un aacute rbo l - c r permi t e nodos terminales 1

blancos que correspo~dden a s u p e r f i c i e s cont inuas que no se in t e r secan consigo m i s m a s e s d e c i r un nodo blanco terminal corresponde a l a fronGera de una regioacuten i n f i n i t a cuya cerradura topoloacutegica regula r izada es todo e l espacio [LASTRA 8 9 1

Como ejemplo en 13 f i g u r a 3 8 se muestra e l aacute r b o l -c r para un obj e t o t r id imens iona l

I

11 it

3 2 3 Estructura de datos del amp3ml-cr El modelo d e l ArbollJ-cr desa r ro l l ado en el IIE Y preseiltado e n

[LASTRA 8 9 1 se basa en elemento topoloacutegico propuesto por Weiler en [WEILER 8 6 1 al cuall d e f i n e cemo a r i s t a radial Hay We hacer notar que la implementacioacuten en [LASTRA 891 cap tura e l concepto de

d i f i e r e s ign i f i ca t ivamen te de l a propuesta l a a r i s t a r a d i a l per Weiler

iI

pero I

j u n t o con l a geometriacuteia 1

Para conocer coacutemo s e in t e rconec ta I

I

Representar l a geohe t r iacute a y l a topologiacutea d e l dominio d e l parche propia d e l parche parameacutetr ico no es

s u f i c i e n t e para d e s c r i b i r adecuadamente un o b j e t o t r id imens iona l un parche con o t r o s e s i iecesario

c o n s t r u i r un marco topoloacutegico e s p a c i a l Dicho marco topoloacutegico se basa en la a r i s t a r ad izh La a r i s t a r a d i a l s e usa como LIn elemellto de u n i oacute n para l a s caras de forma anaacutelog a como l o hace u11 v eacute r t i c e en dos dimensi

1

Arista radial

r iedades se necesi ta mantener un ordeii r a d i a l de las caras

1

La e s t r u c t u r a da tos para la representac ioacuten d e l aacute r b o l -c r

i toma en cuenta que l a gebinetriacutea de l a s ca ra s como parches parameacute- t r i c o s e s t aacute en tres dimensiones y que l a geometriacutea de sus dominios estaacute en dos dimensiones)( ( f i g u r a 3 1 0 )

1

il d b I

Figura 310 Geometriacutea del dominio y del parche I1

La e s t r u c t u r a de l aacute r b o l -p r se usa para r ep re sen ta r e l dominio parameacutetr ico d e l parch que modela l a s u p e r f i c i e ( f i g u r a 3 1 1 a ) como s e menciono anter iormente l a s u p e r f i c i e se represen ta

dos lados de ca ra y geomeacutetricamente con

I1

topoloacutegicamente mediante I u n parche parameacutetrico Se puede usa r una so l a representacioacuten para ambos lados de ca ra ya que son geomeacutetricamente i g u a l e s excepto por s u o r i e n t a c i oacute n

Denotando U - V ~ e l sistema coordenado donde se de f ine e l dominio d e l parche quk desc r ibe una c a r a y por f ( u v ) s u funcioacuten de mapeo Un l ado de l a c a r a e s t aacute o r ien tado por la funcioacuten vec to- r i a l iiormal N+ ( U V ) = p f a u x afav E l o t r o lado e s t aacute o r ien tado por i a funcioacuten N- ( U i) = afav x a f au Doilde N ( u ~ ) = -N

I I 1 I

4

11

I1

1

Para poder desc r i h i r un lado de c a r a en e spec i a l se usa u n iacute nd i ce en e l esquemade l a geometriacutea de l parche E s t e seiacute iala el

l ado de c a r a cuya o r i en t ac ioacuten corresponde a N (u v ) I i

Observe que ba jo la funcioacuten d e l parche e x i s t e una relacihn u n o a uno e n t r e l a s a r i s t a s de l a f r c n t e r a d e l doiiiinio y 1lt1 a r i s t a s de l a f r o n t e r a de s u imagen en 3 D E s t 0 permite que )I

infuumlrmacibn de l o s encadenamientos r a d i a l e s se pueda iiiclui1

I

dentro de l a e s t r u c t u r a l d e l dominio en l a s a r i s t a s d e l aacute r b o l -p r Coil e l l o se e v i t a el u s o de un nuevo conjunto de e s t r u c t u r a s para la representac ioacuten de marco topoloacutegico e s p a c i a l

I

II

iI como se aprec ia en las f i g u r a s 3 9 y 311b para r ep resen ta r

un encadenamiento radia l s e n e c e s i t a r e g i s t r a r para cada lado de c a r a el lado de carad adyacente l a a r i s t a d e l lado de cara adyacente que se conecta a la r a d i a l compartida y cuaacute l media a r i s t a s e usa en e l esquema d e l dominio dado por aacute r b o l -p r para d e s c r i b i r e l contorno i u e aco ta a l dominio

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Veacutertice-3d 1 Encadenami radial i

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Figura 311 Representacioacuten de la topologiacutea a) del domiiiio j hb del parche de la figura 310

Y iI

1

Las a r i s t a s r a a i a l e s y sus -eacuterticos ( v eacute r t i c e s 3d) por i o general son compartidos POP n t r a s c a r a s por e s t a razbi i se crean rJsino elementos topoloacutegicos independientes l a s ca ras qve ccmpar+n una r a d i a l o un v eacute r t i g e 3d s oacute l o se l i g a n con e l l o s evitando asiacute 13

-

I -

Y I1

redundancia de informaci6n Las lfileas punteadas en l a f i g u r a 3 9

muestrari para l a a r i s t $ s o u t h las int6rconexioi1es - para l igar a d o s esquemas (marcos) topoloacutegicos d e l dominio y d e l parche

j

I uila s u p e r f i c i e pude e s t a r cons t ru ida con v a r i o s parches

d e s c r i t o s con la misma funcioacuten paramet r ica pero def in idos en

s i t u a c i oacute n auacuten cuando exliste una s o l a fui-icibn f f u v l para mapear l a s u p e r f i c i e e l dominio s e d iv ide en tres reg iones una para cada parche E s t e t i p o de dominios puede ser represen tado con un aacute r b o l -

parches que fbrman p a r t e d e l o b j e t o a r e p r e s e n t a r ( f i g u r a 3 1 2 b )

En e l esquema dell aacute r b o l -c r l a e s t r u c t u r a ca ra se u s a para agrupar l a representaci61 geomeacutetrica y topolbgica de un parche La e s t r u c t u r a cascaroacuten se u s a para agrupar los l ados de cara que forman l a f r o n t e r a deuna regioacuten en el e spac io Finalmente el aacute rbo l -cr es una representacioacuteii j e r aacute r q u i c a d e l a s regiones en e l

dominios d i f e r e n t e s La I f i g u r a 3 1 2 a muestra un ejemplo de e s t a

I

9 pr marcado en e l cual l a s I1 regiones marcadas usadas determinan los

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

F i y u r a 312 a i s u p e r f i c i e y dominio h ) gtrbol-pr marcado d e l dominio d e la f i u p e r f i c i e

II E n resumen SE propone corno e s t r u c t u r a de dat os para JI

1-epresentacioacuteii de dominios y s u p e r f i c i e s l a yue presento

5 0

11 s i g u i e n t e modelo conceptual

rbol-cr

gt Aris ta r a d i a l gt v eacute r t i c e 3di21

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

l a d i de c a r a El

cascaroacuten P i

I Detallando e l modelo propuesto para l a arista- 2d s e t i e n e

1

media a r i s t a l o 1 Tado_cara[3] next I a r i s t a l a informacioacuten prev topoloacutegica para l a conexioacuten

ltE= Se incluye e n cada media

media a r i s t a l l l r a d i a l de l o s lados de c a r a Tado-car 121 lt- next prev

I1 Donde 1

l ado de c a r a adyacente a r i s t a que conecta a l a r a d i a l media a r i s t a usada

lado-cara 101 rfs r n rhn

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

iI SUPERFICIESVY SOLIDOS POR BARRIDO DE UN PSEUD~GRAFO-REGION

Y iI 1

Cuando se habla de sistemas de modelado de soacutelidos se debe

distinguir entre los meacutetodos que el sistema usa internamente para almacenar y manipular datos y los meacutetodos interactivos que el usuario necesita para crear y modificar un modelo

I

11 Un poderoso meacutetodo interactivo para definir soacutelidos y objetos

1

2

3

tridimensionales coiisiste en realizar barridos en el espacio de

representaciones bidi$ensionales La construccioacuten de estos objetos

soacutelidos o no por medio de esta teacutecnica se realiza en tres pasos I1

E l usuario debe definir el perfil bidimensional que describe

la forma de la seccion transversal del soacutelido u objeto a ser 1

construido I 11

11 El usuario debe proporcionar los datos que describen el barrido que se le aplicaraacute al perfil E s t o s datos incluyen el tipo de barrido (lineal rotacional o traslacional) y sus paraacutemetros (puntos en el espacio aacutengulo de rotacioacuten curva riel)

El algoritmo debe procesar automaacuteticamente el perfil y los paraacutemetros del barrido para producir la estructura de datos que define al s6lido

I

I1 11

I En nuestro casp el perfil estaacute descrito con un pseudo-

I grafo-regioacuten y por taiito el acceso a su informacioacuten geomeacutetrica y topoloacutegica es a traveacutes de un aacuterbol-pr La descripcioacuten de objetos

naturales para constyruir la estructura topoloacutegica de l a s superfi-

1

mediante el barrido iI del pseudografo-regioacuten presenta facilidades

11 ties los s oacute l i d o s y l a s po-var iedades que genera Algulios de 10s

algori tmo son los siguieiates que de gra11 iIuti]jdad para e l d e s a r r o l l o de iluestro

para cada a r i s t a d e i pseudografo-fegf611 se genera una Y s610

una cuperf i c i e gtgt Los lados de ca ra de l a s s u p e r f i c i e s que se construyen quedan

re lacionadas de mabera n a t u r a l con l a s medias a r i s t a s de l pceudografo o r i g i n a l Por e s t a razoacuten r e s u l t a p r aacute c t i c o a soc i a r l a media a r i s t a i de l a a r i s t a g e n e r a t r i z con e l l ado de cara i de l a s u p e r f i c i e q u e e l l a genera

gtgt Cada v eacute r t i c e de l pseudografo-regioacuten genera una y soacutelo una a r i s t a r a d i a l en e l l a se unen l a s s u p e r f i c i e s generadas por las a r i s t a s que convergen en el v eacute r t i c e Esto nos permite determinar de unal manera s e n c i l l a l a s conexiones r a d i a l e s necesar ias para iamps c a r a s Los encadenamientdc a l rededor de una a r i s t a r a d i a l generada

por e l ba r r ido del un v eacute r t i c e d e l pseudografo-regioacuten pueden s e r es tab lec idos por analogiacutea de los encadenamientos entre l a s

I) medias a r i s t a s alyededor de dicho veacuter t ice Los contornos margados como USAuumlOS en e l aacute r b o l -p r marcado de

t l a curva g e n e r a t r i z determinan l a f r o n t e r a de l a s t apas de ob je tos s oacute l i d o s 1

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

i I 41 DEFINICION F O A L DEL PROBLEMA

i Una general izacioacuten a t res dimensiones d e l problema 31 es

11

Pi-ohleina 4 I Dadamp una s u p e r f i c i e d e diinensi611 f i l i i 1 - 6 ciesci- 13

- gt E 1

P O I - una fui ic i6n paraineacutetrica seiniai ial i t ica 6 ~ U U J X ~ V V I

dciiiiinjo e l espacio euc l id iano coino codoin i~~io y im inapeo 6 f u v ) 1

una e s t r u c t u r a de da tos q u e cod i f ique l a s d i f e r e n t e s regiones e11 las cuntildelec l a superf ic ie dada djx jc i r e l espacio

i u m r e g i i m del plaiio I1 euc l id iano 1-ectanyular 1 cerradl c o i i i I

descr iba un algoritinomy i 11

I En e s t e cap iacute tu lo) s e presei i ta l a solucioacuten a u n C d S G p 3 i r t j c t i I h i

11 del problema anterior a saber

II I Problema 42 Dadofun pseudografo-regioacuten al cual se le aplica

un barrido lineal rotacional o traslacional sobre una curva des- criba un algoritmo y la estructura de datos que codifique las diferentes regiones en [las cuales el parche (o parches) generado

Jl

divide el espacio iI

Para ambos problemas la estructura de datos que se propone

para representar las riegiones en el espacio es la del aacuterbol-cr

descrita en el capitulo anterior Por las caracteriacutesticas propias

de los objetos que selgeneran por el barrido de un pseudografo- regioacuten el problema 4 2 se puede dividir en dos casos

Marcado En este caso se desplaza un perfil representado por

un aacuterbol-gr marcado sobre una curva en el espacio para formar un conjunto de cilindros generalizados huecos delimitados por las fronteras deli pseudografo-regioacuten Cuando se desea representar partes soacutelidas ademaacutes de los cilindros se deben de construir las superficies que cubren los huecos corres-

pondientes a los contornos marcados USADOS

gtgt Cerrado En este(lcaso al perfil representado por un pseudo-

grafo-regioacuten en el plano xz se le hace rotar 360 grados sobre el eje z formando con ello anillos cerrados

I 11

I 41

1 i

1

Y

42 CONSTRUCCION AEL MOL- CR A PARTIR DEL ARBOL-PR

Construir la re6resentacioacuten de un soacutelido (hipergrafo-3D) a

partir de un aacuterbol-pr consiste en cierta forma en hacer una copia tridimensional del pseudografo - regioacuten original Las componentes de

guiar de una manera Isimplo la derivacioacuten de los componentes de

frontera y las relaciones jeraacuterquicas del aacuterbol -cr Analizando por I I separado nuestros dos casos se tiene

i1

II frontera y sus relaclones I jeraacuterquicas en e1 aacuterbol-pr se usan para

Para el barrido a unlaacuterbol-pr marcado

gt E l nuacutemero de c4mponentes nodos blancos en el aacuterbol-cr es

I

~~ _ I

1

I

igua l a l nuacuteinero de iiodos b l a ~ i c o s marcados NO USADOS en el aacute r b o l -p r Ademaacutes todos l o s nodos blaccos en e l aacute r b o l c r caen en e l 11ive1 1

11

w E l nuacutemero de nodos negros (vol uacutemenes f i n i t o s ) en e l aacute rbo l -CL-

es igua l a el nuacuteineqo d e nodos negros marcados USADOS en el aacute rbo l -pr

11

11 w E ] aacute r b o l - c r generado t i e n e uii inaacutexiino de tres n i v e l e s w Si todos iexclos contornos es taacuten marcados NO USADOS se genera u n

aacute rbo l - c r de dos n i v e l e s donde cada co~nponente del aacute rbo l -p r produce un nodo blanco s i n h i j o s queacute se conecta directaineiite a l a r a iacute z del aacute r b o l -c r

11

1

II

11 Para el barrido cerraao a un aacuterbol-prr

E l aacute r b o l -c r produbido es isomorfo a l aacute r b o l -p r En o t r a s pa labras cada contorno q u e aco ta una aacute r ea i n f i n i t a ( f i n i t a ) en 20 al ser b a r r i b o produce un cascaroacuten or ien tado (seccioacuten 32) que acota un volumen i n f i n i t o ( f i n i t o ) Por t an to el nuacutemero y l a d i s t r i b u c i oacute n de reg iones en 2D se conserva

I

I1

La teacutecnica para c o n s t r u i r l a e s t r u c t u r a d e l h ipergrafo -3D que represen ta e l resultaddl d e l b a r r i d o de un aacute r b o l -p r e s t aacute basada en el r eco r r ido de aacute rbo les en preorden y c o n s i s t e en armar un casco para cada coiitorno d e l 1 aacute r b o l -p r Un casco l o definimos como l a

11 unioacuten de los lados de f a r a generados a l b a r r e r en e l espacio l a s medias a r i s t a s propias de cada contorno Un cascaroacuten e s t a r aacute formado por un conjunto de casqos Ir

1 I1

U n a lgor i tmo p a r a ob tener e l aacuterboicr d e l hipergrafo-3D a p a r t i r d e l aacute r b o l -p r es e l que se muestra en la f i g u r a 41 L o s paraacutemetros para e l llamado i n i c i a l son nodo - pi- = nodo r a i z de l aacute r b o l -p r c r - blanco c r negro y cr - ra j~z = nodo r a iacute z d e l aacute r h o l - c r Dentro de este algori tmo l a fuiicioacuteii construir-casco 0 arma e l casco q u e corresponde a l contorno de l nodo-pr que s e v i s i t a y l o conecta con s u cascaroacuten en el aacute r b o l -c r ( a l que ]lace r e f e r e n c i a la v a r i a b l e mishell)

- I 11

11

I Note que auacuten cuahdo cada n o d o - p r represen ta c610 u n sni i tci i i

e11 e l piano uiia a r i s q a v por i o general 12erteiiece a dos cciit~31-n-

(uno por cada media a r i s t a ) Esta s i t u a c i oacute n nos puede l l e v a r a c o n s t r u i r dos superf ic ies para e s t a s a r i s t a s l o cual no es co r r ec to Para ev i ta r este problema se l l e v a u11 cont ro l de l a s a r i s t a s d e l pseudografo-regioacuten que crean ca ra s nuevas este con t ro l se ob t iene con una r e l ac ioacuten a r i s t a - c a r a y decimos que una a r i s t a ha sido v i s i t a d a s i e x i s t e para e l l a una dupla a r i s t a - c a r a

crear-nodocr iB-W padre cascaroacuten) I crea un nodo-cr que representa al cascar6n de color B W hijo de padre I

conatruir-arbol-cr(no8ogrcr_blancocrnsgrocr_raiztipo) I Si color nodogr es ELMiCO

si (tipO--MARChDO) y (nodogr marcado USADO)

de io contrario (nodo-pr marcado NO U S h D O o tipo + MARChDO) mishell- cascaroacuten representado por cr-negro cr-aux - crblanco mishell- crear-estructura-cascar6nO si (tipO--MARCADO)

de lo contrario (tipo-=CERRADO) cr-aux - crearnodo-cr(blanco hijo de cr-raiz mishell) cr-aux - crear-nodo-cr(b1anco hijo de crnegro mishell)

construir-caacoicontorno ligado a mishell) para todos io6 hijos negros del nodo-pr

construir~arbol~cr[hijo~rcr~auxcr~negrocr~rai~~ si color nodo-pr es NEGRO

si (tipo-=CERRADO) y (nodogr marcado USADO) mishell- crear-estructura-cascaroacuten0 cr-aux - crearnodo-cr(negro hijo de crblanco mishell)

6i nodo-Dr marcado NO USADO misheil- cascaroacuten representado por crblanco modo-cr- cr-negro

construir caaco(contorno ligado a miahell) para todos los hijos blancos del nodo-pi-

construirarbolcr(hijogrcrblancocrauxcr-rai-) I

conatruir-caaco(concorno cascaroacuten) I para todas las mediafiaristas del contorno

fii fiu arista no se ha visitado

crearc ara ( mediaar i 6 ta ) - establecer la relacioacuten arista-cara

- obtener la cara relacionada con la arista de lo contrario

conectar la cara al cascaroacuten fii no es la primera media-arista del ContOrilO

conectar la cara de la ai-ista actual con la cal-a co~i-efipo~~diei~te a l a ai-ista anterior

conectar la primera caracon la uacuteltima conectar el cascaroacuten a la pi-imera cara untildeada

1

Figura 41 lgoritmo para la confitruccion de un aacuterbol-cr a partir eel barrido a un aacuterbol-pr

5 6

Dada la importancia que la construccioacuten de una cara tiene para

este trabajo y en particular para este algoritmo se analizaraacute con

detalle en el siguiente inciso

4 3 CONSTRUCCION DE UNA CARA 4 f 3 i Orientacioacuten uumle una cara en ei espacio

El elemento matemaacutetico maacutes simple que se usa para representar

una superficie es un parche Un parche es una coleccioacuten de puntos acotada por curvas cuyas coordenadas estaacuten dadas por funciones matemaacuteticas continuas de dos paraacutemetros de la forma

x = x ( u v J Y = Y(UVJ z = z(uvJ donde el espacio parameacutetrico de las variables u y v estaacute definido

en un intervalo [ m i n m a x l Una ventaja de la representacioacuten parameacutetrica es el control que se tiene del dominio de la superficie modelada mediante la seleccioacuten de un subconjunto particular de un dominio f u m j n u d x fvvmJ se puede definir una seccioacuten de una

superficie Esta situacioacuten es empleada para construir superficies

compuestas de varios parches rsquo

t Recordando que dada la funcioacuten de mapeo f ( u v J para el parche

parameacutetrico que describe una cara un lado de la cara estaacute

orientado por la funcioacuten vectorial normal ldquo ( u V) = a f a u x afav ~1 otro lado estaacute orientado por la funcioacuten N - ( u v ) = uuml f uuml v x d f a u

El espacio parameacutetrico U - V representa el lado de cara que estaacute orientado por Nrsquo por lo tanto s u s contornos tienen una orientacioacuten tal que cuando se recorren el interior del dominio

local se encuentra a la izquierda

En la estructura de datos que describe la geometria de la cara se debe de indicar cuaacutel es el lado de cara que esta orientadc por el vector Nrsquo Con base en la orientacioacuten de la curva generatriz se define ahora un meacutetodo consistente para determinar a que lado de

cara corresponde la normal positiva

Problema 43 Asociando por convencioacuten el lado iacute iacuteinediLi

57

Sea Q ( u ) l a funcioacuten que desc r ibe l a curva geiiei-oacuteli-iz eii u n piano I Q R - gt R y ~ ( i n f ) e i vec to r tangente a l a curva eii e l punto i n i c i a l de l a parametr izacioacuten Sea ademaacutes Qhe1nUx e l lado de l a gei iera t r iz o r i en t ado por l a parametr izacioacuten

S i Q(u) s e d e f i n e en un espac io coordeiiado x y es d e c i r ~

Q ( u ) = ( x ( u ) Y ( u ) ) y de a h iacute s i Q iacute i n f ) = (xoyo) se t i e n e que e x i s t e un vec to r WoUnri ( - y o x o ) que es perpendicular a Q ( i n f ) y que apunta localmente hacia Qheindx ( f i g u r a 4 2 )

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Figura 47 Curva generatriz y parche generado

3 Llevando la ge i ie ra t r i z a un espac io E de l a s i g u i e l i t e

Lado 1

Lado O

forma S ( G ( u ) ) = A ( ~ ( u ) y ( u ) O ) en doiideAE - gt E es un mapeo a f i i i

Note que a pesar de que d e t ( A ) puede s e r negat ivo dentro del plano A ( z = O ) l a imageii de W basada e11 S ( G ( i n f ) ) s igue apuiitaiido hacia euro1 lado Gheinuumlx

L Sea ahora R E - gt E 3 l a curva quo d e f i n e e l r i e l Por condicioacuten

impuesta R ( inf) no es p a r a l e l o a l pia110 A ( z = O ) de o t r a forma l a s u p e r f i c i e se puede degenerar Sea f (u v l l a s u p e r f i c i e formacia a i

desp lazar l a g e n e r a t r i z sobre e l r i e l Por coii-~encioacuteii N ~ ~ - ~ ) = ~ ( ~ iacute i n f ) ( ~ ~ ) ) Y ~ ( i n f )

58

por io que N + es normal a S ( Q ~ iacute inflOcinn )

Puesto que S ( G ( i n f ) o ) estaacute en el plano A(z=O) de la

generatriz y R ( i n f ) no es paralelo a dicho plano N no es normal al plano A(z=O) Por lo tanto la proyeccioacuten de N sobre es diferente de cero

y a R l i n f )

Si N S(G(inf)G) gt O N se proyecta hacia el lado

De manera similar si N S ( G ( iacute n f ) G ( i f ) lt O N se proyecta hacia el lado contrario a S(G)heinBx entonces de hace hfindx =

complemento (Gheinampl

S(G) heinamp entonces hfindx = GJheindx

432 Representacioacuten de una cara La idea fundamental para construir los modelos del aacuterbol-pr y

del aacuterbol-cr es la geometriacutea describe sin ambiguumledad una sola

topologiacutea Estaacute misma idea es la que nos sirve de base para obtener la representacioacuten de una cara por ello nuestro paso inicial es

1) obtener la descripcioacuten de la geometriacutea del parche la estructura de datos propuesta para el aacuterbol -cr almacena la informacioacuten topoloacute-

gica de una cara en la estructura usada para representar la topologia de su dominio Esta situacioacuten nos marca que una vez obtenida

la descripcioacuten de la geometria los siguientes pasos son 2 )

construir la representacioacuten del dominio de la cara en ella 3)

incluir la topologia de la cara y construir las estructuras de

datos de los elementos topoloacutegicos usados para la interconexioacuten en el espacio (aristas radiales veacutertices - 3d) Estos pasos se detallan a continuacioacuten

1) Descripcioacuten geomeacutetrica del parche Este paso implica construir a partir de una arista del pseudografo-regioacuten (que actuacutea como curva generatriz) y los paraacutemetros del barrido seleccionado la estructura de datos que representa al parche que describe la

cara En este paso es conveniente determinar de acuerdo al proce-

dimiento que se mostroacute en 431 la orientacioacuten del parche y el lado de cara al cual corresponde la NI

La figura 43 muestra en forma graacutefica las estructuras que L

usan para representar la curva generatriz l a curva riel y parclir

5 9

generado en e l proceso d e l ba r r ido En e l l a se muestran dos espa- c i o s de Uumlefinicioacuten para l a s curvas y e l pa7che un espacio aacutee

mapeo e l cua l cont iene informacioacuten para ob tener l a aproximacioacuten de un punto en e l dominio parameacutetr ico donde se d e s c r i b i oacute or iginalmente l a curva o e l parche y un espacio geomeacutetrico que s e usa para i nd i ca r l a p a r t e d e l dominio que ocupaactualmente e l elemento que descr ibe los da tos para obtener l a s e s t r u c t u r a s que representan l a informacioacuten topoloacutegica y e l iacute nd i ce con lado de ca ra o l a media a r i s t a cuya or ien tac ioacuten es i g u a l a l a d e l parche o l a curva que s e represen ta L a s r u t i n a s para l a construccioacuten y el l i gado de las e s t r u c t u r a s que representan una geometriacutea no son motivo de es tud io en este t r aba jo e l l e c t o r i n t e r e sado en e l l o puede consu l t a r [LASTRA 9 1 1

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

Riel itgt F i g u r a 13 a Reprefientacioacuten d e l a a r i s t a d e l aacuterbol-pr

b) paraacutemetros d e l r i e l c) desc r ipc ioacuten de l a geomeLsia d e l pasche

c o

21 Representacioacuten aacuteel dominio de la caxn El doniinjo de l a c a r a que s e ob t i ene por b a r r i d o t i e n e un espacio paraineacuteLrico r ec t angu la r y se represen ta internamente con l a e s t r u c t u r a de l aacute r b o l -p r Esto s i g n i f i c a c o n s t r u i r un aacute r b o l -p r de tres n ive l e s que descr iba e l pceudografo-regioacuten de un rectaacutengulo en e l plano y dado que e l aacute r ea d e l rectaacutengulo es de nues t ro i n t e r eacute s el contorno que l o represen ta se debe marcar USADO La f i g u r a 4 4 a muestra g r aacute f i - camente e l r e su l t ado de este paso y l a nomenclatura que s e r aacute usada a l hacer r e f e r e n c i a a l a s a r i s t a s de l dominio

Figura 4 4 Represeiitacioacuten de l a topologiacutea a i d e l dominio b) d e l parche que d e s c r i b e l a c a r a

3 ) Representacioacuten Be la topologiacutea de una cara C o n l o s dos pasos a n t e r i o r e s se construyen l a s e s t r u c t u r a s de da tos que nos s i rven para obtener informacioacuten geomeacutetrica d e l a c a r a e11 e s t e past

SE dellen c o n s t r u i r y en lazar l a s e s t p c t u r a s quo sir-Feii cornc I I J A I

~CqJol6giCo a l a ca ra en e1 espac io Se deben c r e a r l a s estructlui-w

G 1

que representan las aristas radiales y los veacutertices en el espacio (veacutertices - 3d) en los que se unen los lados de cara que representan al parche en el espacio el resultado de este proceso se muestra en forma graacutefica en la figura 44b Como se menciona en el capiacutetulo anterior las aristas radiales y los veacutertices - 3d se crean como elementos topoloacutegicos independientes y las caras que las comparten se ligan a ellas Mediante liacuteneas recortadas se muestran en la

figura 44 estas conexiones soacutelo para la radial de la arista south y los veacutertices - 3d con los que se relaciona

Auacuten cuando en la figura 44 la informacioacuten referente a los encadenamientos radiales se muestra en el espacio eacutesta en la realidad se registra dentro de las estructuras que representan las aristas del dominio En el caso de una cara aislada los encadena-

mientos radiales son simples para cada una de la medias aristas del contorno marcado USADO las estructuras que representan los lados de cara se interconectan entre si

44 CONSTRUCCION DE C-S BAJO UNA REPRESENTACION

GEOMETRICA UNICA El pseudografo-regioacuten que define el perfil de un objeto

contiene maacutes de una arista dicho de otra manera la representacioacuten de un objeto final requiere la interconexioacuten de maacutes de una cara

Ademaacutes debido a que la definicioacuten de dicho perfil se hace mediante

la combinacioacuten (interseccioacuten unioacuten o diferencia) de elementos primitivos (lineas cuadros ciacuterculos etc 1 la mayoriacutea de las veces el resultado final queda definido con trozos de dichos elementos primitivos

La figura 45 muestra en forma graacutefica el caso de la construccioacuten de una canal El perfil se crea recortando un ciacuterculo

con una linea y borrando las partes que no se usan (de manera intencional el corte se ha hecho en puntos que no coinciden con el veacutertice del ciacuterculo) externamente el perfil queda definido por dos arcos internamente lo que se hace en este- caio es subdividir el espacio geomeacutetrico original del circulo en tres subintervalos 1-

eliminar uno de ellos Este uacuteltimo evento proiioca qUS la

6 2

representac ioacuten de l perfi1 quede defiiiida por des a r j sLas ( u i ~ a pol-

cada a r c a ) por l e c o a l cianilo se cniist-ruyc l a repireseniaci61~ de - l a canal se deben armar des ca ras e iiit-ercoiiectai-I ntilde~

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

Figura 4 5 Representacion interna para una curba en 3D j la superficie (3D) generada a l harrerla linealmente

i

Para coiistruj J 10 representac i 611 del^ casco procedemos de manera an61 oga a l a coiirii-i~ccI 611 de una sol ir c a r a Ii-imero S e

obt je i ie i~ l a s e s t r u c t u r a s con que se desc i - i l~e l a geometi-Ja de l a s u p e r f i c i e que cont iene los parches a 1-epresentar (dos en nues t ro ejemplo) despueacutes se coiistruye l a representac ioacuten de dominio parameacutetrico y fiiialmeiite l a de l o s elementos topoloacutegicos que s i r v e n d e marco a 1a c a r a o ca ras producidas

1) representacioacuten de la geometriacutea de la superficie La forma maacutes p r aacute c t i c a para c o n s t r u i r l a representacioacuten de l a geoinetriacutea de la s u p e r f i c i e co i i s i s te en aprovechar l a def i n i c i oacute n y l a parametr iza- cioacuteii de las curvas o r i g i n a l e s Con el las s e debe c o n s t r u i r una representac ioacuten que r e s p e t e e l nuacutemero de espacios geomeacutetricos y e l nuacutemero de subdiv is iones que s e uso or ig ina lmente pa ra aproximar l a curva g e n e r a t r i z E s t e d e t a l l e es de gran importancia s i se toma eii cuenta que los ob je tos que se construyen se raacuten combinados para produci r representac iones maacutes complejas Es to es s i una misma curva se r ep resen ta con aproximaciones d i f e r e n t e s se t i ene informa- c ioacuten que e s i n c o n s i s t e n t e ya que cada una de e l l a s es geomeacutetricamente d i f e r e n t e de l a s o t r a s

2 ) Construccibn de la representacioacuten del dominio Una curva q u e t i e n e clef in idos n espacios geomeacutetricos genera 11 parches def in idos dent ro de un dominio parameacutetr ico uacutenico Teniendo l a s curvas g e n e r a t r i z GJ y r i e l R defi i idas en los rangos [GirGI y [ R l l R ] respect ivamente l a extensioacuten d e l dominio Uacutenico para los parches queda de f in ido por IG G I x IR R - J la seccioacuten de l dominio para e l parche j generado por u n espac io geoineacutetrico EGI con un rango [ i n f sup] queda def iiiidci por iacute i i i f i supI] x [F Rsl

Como puede deduc i r se e l dominio l o c a l de l parche asociado con u n espacio geom6trico es una seccioacuten rec tangu la r que s e encuentra den t ro de l dominio g l o h a l para nues t ro ejemplo los rectaacutengulos achurados en el dominio mostrado e11 l a f i g u r a 4 5 S i se i2orraii algunas secciones de l a cui-va es d e c i r se eliminan algunos

gt gt

p c -patios y e ~ i n amp t i - i cos existi raacuteii i q i o i i e s e 1 3 el doinii i io ~~1ihil JII+ 3 1 ~

s e u s a n en el ejemplo el I-ectaacuteiigulo 511 igtJancc en l a f iyura 4 3

E 4

E l dominio g loba l puede ser representado con un aacute i - b o l - p r marcado donde se riiarqueii CC~II IO USADOS 1 os contornos Je 3 a s ccxcioiies que e s t aacuten asociadas a un espacio geomeacutetrico y como NO USADOS los contornos d e l a s secciones que no t i enen asociado ninguno

La forma de c o n s t r u i r l a representacioacuten d e l dominio para e s to s c a sos es l a s igu i en t e

Ordenar en forma c r e c i e n t e los espacios georneacutetricos eii fuiicioacuteii d e l rango d e l paraacuternetro E s d e c i r obtener una l i s t a de l a forma (EG[infsupl EG i i n f sup J EG [ in f sup J E G [ i n f sup]) donde i n f 1 sup para todo i M I i n f = G

Para i = uuml has t a i = n s i i i i f gt M I i i i f ( l o s E G s no e s t aacuten cont inuos f a l t a en t r e e l l o s un espac io EG [Miinf i n f I ) c o n s t r u i r una seccioacuten marcada NO USADA y con extensioacuten [ M i i n f i i i f ] x [RR]l Construir l a seccioacuten d e l rango correspondiente a l EG coil extensioacuten iacute i n f suplx [R R I y marcada USADA

MIinf = sup S i MIinf lt GFllP (no e x i s t e e l espacio que d e f i n e e l rango super ior I M I i n f GJl ) cons t ru i r l a seccioacuten f i n a l marcada NO

USADA y con una extensioacuten [MIinf G] x [R R]

3 ) Construccioacuten de los elementos topoloacutegicos que sirven de marco al parche Cuando se construyen e l casco de un contorno si l a s ca ra s s e arman de forma a i s l ada y despueacutes s e asoc ian surgen l a s in te r rogantes iquestcuaacutel de l a s r a d i a l e s debe permanecer ~cbmo s e e l iminaraacute l a informacioacuten redundante y iquestdoacutende debe e l iminarse u11a a r i s t a r a d i a l o un v eacute r t i c e - 3d

Los problemas q u e e s t a s i i i ter rogantes enc i e r r an se evi tan coiicj~dera~id~o e l hecho de q u e cada v eacute r t i c e de1 pseudografo- regioacuten genera una y soacutelo una a r i s t a r a d i a l maiitenieiido una ramplacioacuten v eacute r t i c e - p r -r a d i a l se puede saber cuaacutendo para un v e r t i c e d e l pseudo- g r a fo ya s e creogt una r a d i a l con sus respectivos -amprticec-ci poi- l o q u e soacute lo s e construyr l a informacioacuten necesa r i a

euro 5

El algoritmo que aparece en la figura 46 permite- construir

las aristas radiales de una cara a partir de una arista del pseudografo-regioacuten del dominio de la cara es decir supone que las aristas - 2d y los veacutertices - 2d que describen el dominio se encuentran ya interconectados Este algoritmo toma como parbnetro de entrada

una arista del dominio y aprovecha los hechos siguientes gtgt Las aristas radiales que se generan por el desplazamiento de

los veacutertices del pseudografo-regioacuten son las que corresponden

a las aristas w e s t y east del dominio gtgt Para la arista denominada south siempre se genera una radial

gtgt En un barrido cerrado las aristas north y south comparten una sola arista radial

construyeradial(aristabarrido)

Para arista =- w e s t o east (

determinar el veacuterticegr que genera la arista Si no existe la dupla veacuterticegr-radial

crear dos veacutertices-3d

crear un veacutertice-3d

crear la estructura que representa la radial Si barrido -- MARCADO de lo contrario

conectar los veacutertices-3d con la radial creada

obtener la radial que correfiponde al veacuterticegr obtener los veacutertices-3d de la radial

crear la estructura que representa la radial obtener lofi veacutertices3d creados por west y east

si barrido = = CERRADO usar la radial de la arista south

de lo contrario crear la efitructura que reprefienta la radial obtener los veacutertices-3d creados por west y east

de lo contrario

para arista =- south

Para arista =- north

conectar la arifita del dominio a ia radial conectar los veacutertices de la arista a los veacutertices-3d

I

Figura 16 Algoritmo para la construccioacuten de las aristas radiales a partir de la reprefientacioacuten del dominio

La secuencia en que se deben proporcionar las aristas del dominio para la construccioacuten de las aristas radiales es west east south y north El resultado de este proceso se muestra en forma graacutefica en la figura 47 En ella se utilizan liacuteneas para

6 6

Iti Wes t East

Proceso cuando l a s r a d i a l e s ya e x i s t e n

CASO MRRCADO

Vies t East

Procefio cuando l a c radia lef i ya e x i s t e n

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

veacutert ice e x i s t e n t e

Radial nueva

R a d i a l e x i s t e n t e

Arista d e l dominio

Dominio o r i g i n a l

Dominio l i g a d o a sus r a d i a l e 6 (3)

Conexiones necesar ias

South l l o r t h

CASO CERRADO

representar aristas (del dominio o radiales) puntos para los

veacutertices (del dominio o 3d) y arcos para representar la conexiones que se deben hacer En la parte inferior derecha de cada represeil- tacioacuten se muestra el resultado al teacutermino de cada paso

por ejemplo cuando no existe una radial para la arista w e s t

en el caso marcado se deben crear dos veacutertices_3d una arista radial y realizar las siguientes conexiones los veacutertices del dominio se conectan con los veacutertices en el espacio (veacutertices - 3d) la arista del dominio se liga con la radial creada y viceversa

La figura 48 presenta el algoritmo que agrupa los tres pasos

para la construccioacuten de las caras de un contorno

crearcara(edgerpherptypeparam-sweep) I

siacute = representacioacutensarche(edge-rphe-rpparam-sweep)

construir el nodo raiz del aacuterbol-pr ligar el parche 61 con el nodo raiacutei del aacuterbol-pr construir el nodo blanco del aacuterbol-pr NO U S A D O conectado a la raiacutez ordenar los espacios geomeacutetricos de la curva del perfil para todos los espacios geomeacutetricos de la curva

si no existe el rango anterior construir la representacioacuten de la seccioacuten del dominio

si

~

construir un nodo negro NO USADO conectado al nodo blanco ligar el contorno interno del dominio con el nodo negro

construir la representacioacuten de la seccioacuten del dominio construir un nodo negro OSADO conectado al nodo blanco ligar el contorno interno del dominio con el nodo negro armar los encadenamientos radiales de la cara obtener el lado de cara orientado por N construir las radiales y los vertices-3d para la cara construir el espacio geomeacutetrico de la cara construir estructura cara guardar la primera cara que se crea en el ciclo crear la tupla arista-cara con la arista propia del rango no existe el rango superior construir la representacioacuten de la seccioacuten del dominio construir un nodo negro NO OSADO que representa la seccioacuten conectar el nodo negro como hijo del nodo blanco ligar el contorno interno del dominio con el nodo negro

regresar la primera cara I

Figura 4 S Algoritmo la construccioacuten de las caras de un contorno

6 8

45 CONSTRUCCION DEL LAS TAPAS disefiador desea c o n s t r u i r u n o b j e t o s oacute l i d o inediallte

la t eacutecn ica de b a r r i d o c r ea el p e r f i l de s u o b j e t o y selecciona en e l dibujo en el plano l a s regiones que a l desp lazarse en el espacio descr iben un volumen E n nues t ro lenguaje decimos que marca como USADOS los contornos que enc i e r r an l a s regiones que desea estruir e s t o s i g n i f i c a que dado e l aacute r b o l -p r de una curva gene ra t r i z soacutelo el contorno marcado USADO genera un volumen

cualido

~l algor i tmo construir-arboi-sr que se desc r ibe en l a seccioacuten 4 2 ( f i g u r a 4 1 ) nos permite c o n s t r u i r un conjunto de cascos a pa r t i r de un pseudografo-regioacuten para producir los cascarones que represen ta raacuten volumen se deben c o n s t r u i r ademaacutes de l o s cascos l a s s u p e r f i c i e s ( t a p a s ) que cubren l o s extremos asociados con contornos marcados USADOS A p a r t i r de este momento usaremos l a palabra tapa para r e f e r i r n o s a l a s u p e r f i c i e f iacute s i c a que cubre un hueco y l a pa labra cara cuando se t r a t e de l a representacibn in t e rna de l a s u p e r f i c i e En l a f i g u r a 4 9 s e muestra en forma g r aacute f i c a e l contexto en e l cua l se d e s a r r o l l a l a construccioacuten de l a s tapas el nombre de l a s t apas e s t aacute re lacionado con el de l a a r i s t a COI l a que una ca ra de un casco se unen a e l l a s

La idea para c o n s t r u i r l a s t apas es simple se cubre con un plano cada l ado de l o s cascos generados se r eco r t an de e l l o s l a s secciones que cubren 1 os cascos asociados con contornos marcados USADOS y se l i g a n radia lmente l a s ca ra s de l a s tapas y los cascos Como puede ve r se e l proceso para armar l a representacioacuten de l a s t apas e s s i m i l a r al q u e s e usa para l a construccioacuten de l a c ca ras de un casco Los pasos a s egu i r son nuevamente t r e s 1 1 oiteiler una descr ipc ioacuten geomeacutetrica d e las t apas 2 ) c o n s t r u i r l a representacioacuten de s u dominio y 3 ) r ep re sen ta r l a s conexiones r a d i a l e s necesar ias k cont inuacioacuten se d e t a l l a n estbs pasos dado que e l proceso es e l mismo para ambos extremos s oacute l o se desc r ibe para uno d e e l l o s

1) Descripci6n Be la geometriacutea Be la6 tapas De acuerJc )

nues t ra idea para c o n s t r u i r l a r e l ~ r r s t i i t i i c i oacute ~ ~ del ~ L ~ a 1 ~ ~ ~ ~ ~ 3 i 1 1 I

paso se debe obtener la descripcioacuten geomeacutetrica del plano de donde

seraacutell recortadas las tapas La forma de obtener e l Plallo We cubre todas las regiones usadas por las tapas consiste en calcular la

caja miacutenima que contiene al pseudografo-regibn de la curva generatriz (en el plano) y llevar dicha caja al espacio localizandola en el extremo de los cilindros generalizados donde se pegaraacuten las tapas

Una de las propiedades que tiene el aacuterbol-pr es que los

contornos de un nivel i encierran completamente a todos los contornos del nivel i+l esto significa que encontrando la caja miacutenima q u e contenga l o s contornos del nivel 1 del aacuterbol-pr se tiene

la caja que encierra a todo el pseudografo-regioacuten Como ya se menciono en el capiacutetulo 3 la representacioacuten

topoloacutegica de un plano se construye con una cara y eacutesta con dos lados de cara uno que representa el lado del plano orientado por la normal positiva N y el otro que representa el lado definido por la normal negativa N A i lado del piano orientado por N le

llamaremos de aquiacute en adelante el frente del plano Definiendo cuaacutel lado de cara seraacute el que represente el frente del plano se determina l a orientacioacuten de la representacioacuten del plano

Note que las caras usadas para describir las tapas estaacuten defii1idas dentro de un mismo plano por ello se construyen dentro de un espacio de mapeo uacutenico El recorte de una tapa se lleva a cabo con la definicioacuten del dominio parameacutetrico de la cara que la

representa

2 ) Representacioacuten del dominio de las tapas Debido a que las caras que se usan para las tapas se recortan de un mismo plano s u dominio parameacutetrico tambieacuten es un recorte del dominio de dicho

plano Dentro del contexto del pseudografo-regioacuten y los aacuterboles -pr

estaacute situacioacuten la podemos ver como un conjunto de regiones inarca- das USADAS dentro de un rectaacutengulo En nuestro caso particular el rectaacutengulo lo define la frontera del dominio del plano y dentro de eacutel una curva (o curvas) isomorfa a la generatrizdefine la frontera de las regiones que los dominios de las tapas usan (figura 4 9 1

Para representar los dominios del plano y las tapas con las

7 0

e s t r u c t u r a s propues tas para e l aacute r b o l -p r se delle c o n s t r u i r e l pseudografo- regioacuten de u n rec taacutengulo 6 e n L i - f ~ d e l cual deberaacute Estar contenido un pseudografo -regioacuten isomorfo a l de l a curva g e n e r a t r i z Una forma de armar d icha representac ioacuten e s c o n s t r u i r una copia de l pseudografo -regioacuten de l a curva g e n e r a t r i z y despueacutes u n i r l a con e l pseudograf o -r eg ibn d e l rec taacutengulo que representa la f rontera d e l dominio Un d e t a l l e importante es e l s i g u i e n t e l a curva genera t r i z y e l dominio d e l p lano se encuentran de f in idos en espacios de modelado d i s t i n t o s por l o que l a copia de l pseudografo-regioacuten debe de ser l levada a l espacio de modelado de l dominio d e l plano a n t e s de r e a l i z a r la unibn

I

U

Figura 3 9 Casco6 j t apac pera reprenentar u11 66lido generado a i ba r r i endo ~ J I I pseudografo regioacuten sohre u11 r ir l

3) Representacih de las conexiones Yadiales Duralite l a construccibn de los C ~ S C O S fueron creadas l a s a r i s t a s r a d i a l e s j i

l o s gamprtices 3 8 quo si r e n como eIementos de inte1-~1iegtih1~ F J

espacio clara l a s t apas j l o s c i l i n d r o s generados For e I l c - i i i ~

cuando en e l proceso para c o n s t r u i r una tapa se deben re1-~r+~siiit-~1

-

7 I

sus in terconexiones en e l espac io no s e n e c e s i t a c o n s t r u i r nuevos v eacute r t i c e s 3d n i nuevas a r i s t a s r a d i a l e s - -

conceptualmente los pasos 2 y 3 se r e a l i z a n secuencialmente por separado pero s iendo o b j e t i v o s ambos pasos puede11 r e a l i z a r s e en forma p a r a l e l a es d e c i r teniendo cuidado d e l lado d e l casco para e l que se construye l a t apa r e a l i z a r l a s interconexiones r a d i a l e s d u r a n t e el proceso d e copia d e l pseudografo -regioacuten de l a curva g e n e r a t r i z

sean respectivamente w 2 y w4 e l l ado de c a r a d e l casco y de l a tapa q u eacute deberaacuten aco ta r una regioacuten e n e l espac io Sean ademaacutes WI e l lado de ca ra conectado radia lmente con w2 (no necesariamente en l a misma ca ra ) y w 3 e l l ado de c a r a conectado a w 4 Para i l u s t r a r e l proceso usamos l a f i g u r a 4 1 0 Note que para f a c i l i t a r l a observacioacuten no se representan l a s ar is tas r a d i a l e s y los v eacute r t i c e s - 3d implicados I

Cara d e l casco

Ar i s t a i de l a tapa

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Resultado de l a Tr conexioacuten

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Arif i ta m de l a tapa

Cara de una tapa

Wl h Cara de l cafico

precoriectada

n

reIdo Cara do l a tapa conexiori

Yrl- Figura 410 Representacioacuten de lafi conexionefi r a d i a l e s

e i i t re una tapa gt u n casco

7 2

D e manera general e l a lgor i tmo p a r a r e a l i z a r l o s encadenamientos r a d i a l e s c o n s i s t e en

B obtener w2 y w 4

B leer y guardar l o s da tos de w l y w 3 gt$ l i g a r radialmente w l con w3 y w2 con w 4

Tapa

south

nor th

Observe que w4 es e l lado de l a tapa que aco ta e l V O l U m e l l

i n t e r i o r ( l ado de adent ro) d e l c i l i n d r o l a a r i s t a y l a media a r i s t a quedan def in idos por e l pseudografo-regioacuten d e l cual se Copia e l contorno Determinado cuaacute l s e r 6 e l lado de ca ra con e l que s e r ep re sen ta ra e l f r e n t e d e l plano e l l ado de adentro para una tapa se determina de acuerdo con l a s i g u i e n t e t a b l a

Bar r ido Lado de adentro

( + I complemento ( f r e n t e i ( - ) frente

( + f r e n t e ( - ) complemento ( f r e n t e )

Nota E l ba r r ido efi ( + ) cuando refipeta l a d i recc ioacuten de N el bar r ido e6 ( - ) cuando r e s p e r t a l a d i recc ioacuten de N

E l l ado de ca ra w2 es e l lado i de l a ca ra re lacionada con l a a r i s t a d e l pseudografo-regioacuten de l a g e n e r a t r i z i por convencioacuten es i g u a l a l iacute nd i ce de l a media a r i s t a e n uso y l a a r i s t a que se une radialmente e s l a que l l e v a e l nombre con e l cuaacute l se i d e n t i f i c a l a t apa

La f i g u r a 4 1 1 muestra e l a lgor i tmo que puede s e r usado para l a construccioacuten de una t apa Para e--itar copiar dos veces l a misma a r i s t a en e l algori tmo s e toman l a s mismas precauciones que en caso d e l a construccioacuten de los cascos es d e c i r se l l e v a una r e l ac ioacuten a r i s t a - a r i s t a - copia Ahora decimos que una a r i s t a iia s ido v i s i t a d a si e x i s t e pa ra e l l a una dupla a r i s t a -a r i s t a - copia tEliamp

a que una a r i s t a soacute lo puede per tenecer a dos contornos m6- A 1111C~

7 3

cuando una a r i s t a s e v i s i t a por segunda ocacioacuten se puede borrar l a tupla a r i s t a - a r i s t a c o p i a

construir- tapa iacuterp-tree lado) [ - calcular la geometriacutea del plano en el espacio

- obtener la representacioacuten del plan0 - obtener la copia del pseudografo-regioacuten de la curva generatri-

- dominio - pseudografo-regi6n del dominio del plan0 unir los pseudografos copiagr y dominio

+ copiagr - dominiotapa (raiacutez rp-tree raiacutez copiagr) 1

dominio-tapa (nodo-rp padre-copia1

copiar nodo-rp original en copianodo - si el nodo-rp estaacute marcado U 8 M O

- copia~nodos~contorno(nodo~rp copianodo) - hacer una copia de las aristas del contorno - para todos los hijos de nodogr

dominio-tapa (hijogr copianodo) - conectar copia-nodo como hijo de padrecopia

coiistruir la estructura de la cara que representa la tapa

I

copianodoscontorno(nodo-rp copia-nodo)

para todas las medias aristas de contorno del nodo-rp si la arista no se ha visitado

edge0 = arista nueva copiar el espacio de mapeo y geomeacutetrico de la curva original asignar los nuevos espacios en la arista nueva construir la dupla arista-aristacopia

edye0 = arista-copia de la relacioacuten arista-aristacopia borrar la relaci6riarista-aristacopia

conectar radialmente la tapa

de lo contrario

si el nodo estaacute marcado USADO

si la arista actual no es la wrimera que se crea ligar la arista actual con la arista anterior

de lo contrario conservar la primera arista

cerrar el contorno ligando la uacuteltima arista con la primera arista conectar copia-nodo con la primera arista conectar las aristas del nuevo contorno a copia-nodo

Figura 411 Algoritmo para la construccioacuten de las tapas a partir del brbol-pr de la cur-Ja yeneratri

7 4

CONCLUSIONES

En este trabajo se describieron algoritmos y estructuras de

datos para derivar las relaciones topoloacutegicas y geomeacutetricas correctas de la particioacuten del plano que se induce por u11 coiijuiito de curvas parameacutetricas diferenciables y de longitud finita el

aacuterbol-pr que se obtiene coiistituye una estructura de datos jeraacuterquica de referencias a contornos donde cada contorno individual siempre acota un conjunto abierto no vaciacuteo del plano

Se explican las estructuras de datos para derivar las relaciones topoloacutegicas y geomeacutetricas correctas de la particioacuten del

espacio que produce un conjunto de parches parameacutetricos difereii- ciables y de longitud finita el aacuterbol -cr que se obtiene constituye una estructura de datos jeraacuterquica de ref ereiicias a cascarones

donde cada cascaroacuten individual siempre acota un conjunto abierto no vaciacuteo del espacio

Finalmente se detallaron los algoritmos que se implementaron para construir la estructura de datos (aacuterbol-cr) de objetos que se construyen mediante la teacutecnica de barrido En dichos algoritmos se describe coacutemo a partir del aacuterbol-pr de la curva generatriz y los

paraacuteinetros que definen el barrido se construye la estructura del aacuterbol-cr que representa los objetos que se generan La representacioacuten no estaacute restringida al dominio de los soacutelidos cerrados ya que permite construir objetos que son no-variedades con todas las ventajas que ello implica

Los algoritmos detallados en este trabajo coi1 la base para construir modeladores geomeacutetricos en general y como caso particular de modeladores de soacutelidos robustos En ellos se puede

construir las representaciones de los objetos usados en la Industria Metal Mecaacutenica la Industria Eleacutectrica el Disefio

7 5

Graacutefico Arqu i t ec tu ra e t c Es tas representac iones coiltienell s u f i c i e n t e informacioacuten para generar los da t o s necesar ios para l a manufactura y el con t ro l de ca l idad a s i s t i d o s por computadora

Los modelos que se presentaron pueden s e r usados en cua lqu ie r metodologiacutea de disentildeo que involucre e l a n aacute l i s i s yo l a evaluacioacuten de regiones ( A n aacute l i s i s de campos magneacuteticos Estudios d e l s u e l o Oceanografiacutea geogra f iacute a e t c )

Las l iacute n e a s de inves t igac ioacuten f u t u r a s a p a r t i r de e s t e t r a b a j o e s t aacuten o r i e n t a d a s por un l ado a l a representac ioacuten de l o s ob je tos que s e obt ienen mediante l a combinacioacuten (unioacuten i n t e r s e c c i oacute n d i f e r e n c i a ) de o t r o s Por o t r o lado e x i s t e un panorama bas t an te amplio en l o que r e spec ta a l a evaluacioacuten de l o s modelos Por ejemplo ob tener una metodologiacutea para eva luar u11 modelo mediante t eacutecn icas t a l e s como elemento f i n i t o y elemento frontera

Ademaacutes dado que l o s modelos e s t aacute n cons t ru idos con un conjunto de e s t r u c t u r a s a l a medida de l a a p l i c a c i oacute n l o s manejadores de bases de da tos t r a d i c i o n a l e s no pueden s e r usados para almacenar y manejar l a informacioacuten de e s t a s nuevas representac iones Los modelos de dichos manejadores no soportan de una manera simple l a d e f i n i c i oacute n y manipulacioacuten de l a s e s t r u c t u r a s de un o b j e t o que s e coiistruye dinaacutemicamente D e aquiacute que se requieren nuevas t eacutecn icas para e l almacenamiento y l a manipulacioacuten de l a informacioacuten de modelos que como lo s presentados en e s t e t r a b a j o son dinaacutemicos

En las s i g u i e n t e s paacuteginas s e presentan los r e s u l t a d o s g r aacute f i c o s Y numeacutericos de algunas de l a s representac iones usadas para probar l o s a l g o r i tmos que s e implementaron (una superf i c i e ce r rada l a s a r i s t a s r a d i a l e s de un o b j e t o l a representac ioacuten de un o b j e t o los cascarones q u e forman un o b j e t o ) Obviamente con una i n t e r f a c e g r aacute f i c a adecuada a las necesidades de un disefiador se pueden c o n s t r u i r ob je tos con un grado de d i f i c u l t a d mucho mayor

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

P Atherton A Scan Line Hidden Surface Removal Procedure For Constructive Solid Qeometry Proc SIGGRAPH83 Computer Graphics Vol 17 No 3 Jul 8 3 pp 73-82

B G Baumgart A Polyhedron Representation for Computer Vision National Computer Conference AFIPS Proceeding Vol 44 1975 pp 589-596

GA Crocker amp WF Reinke An Editable Nonmanifold Boundary Representation IEEE Computer Graphics amp Aplications Vol 11 No2 Mar 1991 pp 39-51

H Edelsbrunner amp E P Muumlcke Simulation of Simplicity A Technique to Cope with Degenerate Cases in Qeometric Algorithms ACM Transactions on Graphics Vol 9 NO 1 Ene 1990 pp 66-104

G Farin Curves and Surfaces for Computer Aided Qeometric Design A Practical Quide Academic Press IiiC USA 1988 ISBN 0-12-249050-9

F Harary QRAPEI THEORY Addison Wesley USA 1972 Cataacutelogo del Congreso No 69-19989

ST Hu Elements of Qeneral Topology Holden-Day Iiic San Francisco California USA 1964 Cataloacutego del Congreso NO 6416576

ST Hu Elements of Modem Algebra Holdeii-Day IIIC San Francisco California USA 1965 Cataioacutego del Congreso No 65-21823

GL Lastra amp JS Santana Constructive Boundary Qeometry (CEO) for 3D Region Models Report No IIE-ST-UC2680-52-89 Nov 1989 Instituto de Investigaciones Eleacutectricas Unidad de Coacutemputo Apdo Postal 475 Cueriiavaca Morelos 62000 Meacutexico

GL Lastra amp JS Santana Representacioacuten por Frontera Problemas Prf s tinos en Qeome trf a Computacional Memorias IV Reunioacuten Nacional de CADCAM (Noriega-Limusa) Monterrey NL Meacutexico NOv 1990 pp 95-116

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

G L L a s t r a amp JS S a n t a n a PATCHES AND CURVES how $0 use and extend them Report N o I I E - S T - U C 2 6 8 0 - 5 2 - 9 1 Mar 1 9 9 1 I n s t i t u t o de Investiga- c iones E l eacute c t r i c a s U n i d a d d e Coacutemputo Apdo P o s t a l 4 7 5 C u e r n a v a c a Moreios 6 2 0 0 0 Meacutexico

M Mantyla An Introduction to Solid Modeling Computer S c i e n c e P r e s s I n c Maryland 1 9 8 8

V M i l e n k o v i c Double Precision Qeometry A Qeneral Technique for Calculating Line and Segment intersections Using Rounded Ari thetic I E E E C o m p u t e r Soc ie ty 3 0 t h Annual Symposium on F u n d a t i o n s o f Computer Science P r o c e e d i n g s Oct-Nov 1 9 8 9 pp 5 0 0 - 5 0 5

J R Miller Architectural Issues in Solid Modelers IEEE CGampA Vol 9 N o 5 S e p 1 9 8 9 pp 7 2 - 8 7

ME Mortenson Qeometric Modeling Johil Wiley amp sons m c USA 1 9 8 5 ISBN 0 - 4 7 1 - 8 8 2 7 9 - 8

A A G R e q u i c h a Regresen tations for Rigid Solids Theory Methods and Systems ACM Computing S u r v e y s V o l 1 2 No 4 D i c 1 9 8 0 pp 4 3 7 - 4 6 4

[ROQERSADAMS] D F Roqer amp J A Adams Mathematical Elements F o r

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

Computer Qraphics MC G r a w - H i l l Book Company USA 1 9 7 6 ISBN 0 - 0 7 - 0 5 3 5 2 7 - 2

JS S a n t a n a amp GL L a s t r a Qreg2 Caacutelculo de regiones del plano a partir de curvas planasManua1 del programador y del usuario Report No I I E - S T - U C 2 6 8 0 - 5 2 - 9 1 May 1 9 9 1 I n s t i t u t o de Investiga- ciones E l eacute c t r i c a s Unidad de Coacutemputo Apdo P o s t a l 4 7 5 Cueriiavaca M o r e i o s 6 2 0 0 0 Meacutexico

H Samet amp R E Webber Hierarchical Data Structures and Algorithms for Computer Qraphics IEEE CGampA Vol 8 N o 3 May 1 9 8 8 pp 4 8 - 6 8

K Weiler Edge-Based Data Structures f o r Solid Modeling in Curved-Surface Environments I E E E CGampA Vol 5 N o 1 E n e 1 9 8 5 pp 2 1 - 4 0

I i Weiler Topolouical Structures for Qeometric Modeling Pi1D D c s e r t a t i o n R P I T r o y N Y 1 9 8 6 E d i t i o n BY Uiiiversi t y M i c r o f i l m s I n t e r n a t i o n a l A n n Arbor M I 1 9 8 6

CENTRO DE INFOPMACION 9 1 1 3 2 8 (r CEU4DET

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
1 Modelado geomeacutetrico de soacutelidos
- Modelos de Soacutelidos
- Problemas del modelado de soacutelidos
- Sistemas de modelado de soacutelidos
- Modelos de descomposicioacuten
- Modelos constructivos
- poliedros
- Modeladores hiacutebridos
- - 2 Modelos de representacioacuten por fronteras (B - reg)
  - - Geometriacutea y topologiacutea
    - Clasificacioacuten de los modelos de B - rep
    - Descripcioacuteiidelos B rep
    - fronteras
    - por fronteras
    - Propiedades de los modelos por frontera
    - - 3 B-reg para modelos basados en no-variedades
      - Pseudografo regioacuten y aacuterbol-pr
        
        Hipergrafo-3Dy aacuterbol-cr
        
        pseudograf o regioacuten
        
        Definicioacuten formal del problema
        
        aacuterbol-pr
        
        Construccioacuten de una cara
        
        geomeacutetrica uacutenica
        
        Construccioacuten de las tapas
        
        Conclusiones
        
        Bibliograf ia y referencias

DIRECCION GENEML DE INSTITUlOSEacuteCN CEWTAO NACIONAL DE IVEBIIBACtOll Y NMAROLUJTEC

ACADEMIA DE LA MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION

CtCRRCPiA DE

PDIJCACiON RIRLiCA CuernavacaMor 19 de agosto de 1991

D r Juan Manuel Ricaiio C a s t i l l o D i r e c t o r d e l CENIDET P r e s e n t e

At n Ing Reireacute Santaolaya S Coord de Computacioacuten

Por e s t e conducto hacemos de S ~ I conocimiento que despueacutes d e haber sometido a r e v i s i oacute n e l t r a b a j o de t e s i s ~ t i t u l a d o

SUPERFICIES RECORTADAS EN CAE i

i

Desarrollado por e l I n g F e l i p e Mora1e~ LOacutepezi y habiendo cuinplidoacute con todas l a s correcciones en qiie s e l e conceda l a a u t o r i z a c i oacute n de impresioacuten de l a tesieijy i a f fecha de exaacutemen de grado $

que se l e inltiron estamos de acuerdo I +

Sin o t r o p a r t i c u l a r quedamos de u s t e d

almira WN Col~~miraCiirrnovoao ~ o i wiaPomtui 4-tP4 Codieo Poital62490 2-78-13 y 14-06-37

XADECIMIENTO

radezco a

CONTENIDO

Introduccioacuten 2

Conclusiones 7 5

53

INTRODUCCION

2

3

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

XADECIMIENTO

radezco a

CONTENIDO

Introduccioacuten 2

Conclusiones 7 5

53

INTRODUCCION

2

3

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

XADECIMIENTO

radezco a

CONTENIDO

Introduccioacuten 2

Conclusiones 7 5

53

INTRODUCCION

2

3

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

XADECIMIENTO

radezco a

CONTENIDO

Introduccioacuten 2

Conclusiones 7 5

53

INTRODUCCION

2

3

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

CONTENIDO

Introduccioacuten 2

Conclusiones 7 5

53

INTRODUCCION

2

3

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

INTRODUCCION

2

3

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

3

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

trabajos futuros

4

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

Capiacutetulo 1

5

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

3

It

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

[ REQUICHA]

I

I 7

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

define como sigue

ll

8

1

I I1

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

I

~

II

I1

I

II

I 1

9 II

I1

L- Veacuter t i ces

Ic- A r s t a 11

L- Veacuter t i ces

I c- A r s t a

11

L

Veacuter t i ces L

11

1)

1

espac io It

1

t

11

- - I

iI

11

U

11

I 1

_

iI I

f ( X ) = 1 lt=gt X E A

f X ) = O lt=gt X A

h

I) semiespacios

II

11

t

I 12

I1

1 z 8 u O ii

1) [MANTYLAI

11

11 11 A u B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) )

AI B = c(i(A B))

I1

NI

11

I

I 14

11

I1

I

t

II

r 11

11

15 I

11

1

I

1 [MANTYLA]

r

11

1

II

t

I1

1

16 I1

1

I

1

t

Ji

iI

I

4

11

I

11

~

interfaz CSG

modelos por

- 1 modificacionefi

11

It

1

I

11

I

1

11

iI

I anfitriona i

modelador

RL exacto

modelador visual

modelo aproximado

I

11

I

I iI

19

Capiacutetulo 2

11

encuentran

modelos de

11

I

1

I 11

11

I

I 11

It

Y

11

I

este gtgt

gtgt

[WEILER 851

It

NI

11

I

I) I

I1

I

11

t

curva I1

2 2

I

1 11 1

11

iI

abierto

11

1

11

Y

t

I iI

I I

1

I 2 3

I 11

0

II

1

I

11

i

siguientes grupos

1 2 4

II

Modelos

I

t

I 1 I1

11

1)

Ir

t

a r i s t a s

11

1

It

I

1

il I

Ir

ii

11 1

11

I1

11

I II

i1

II

I

Y vec inas

11

11 I

11 II

I

11

l 1

I1

11

iI

11 1

I

t

1)

11

I1

I

11

es positivo I iI

11

t

FI

FRONTERAS 1 I)

I

3 0

tridimensionales

1 i I

It

11

I1

Y I1

11

II

31

1

t

r

11

I

ir

3 2

Capiacutetulo 3

11 11

11

t

I

1)

11

11 I

modelo por ejemplo

It

~i

II

I

I1 11 I

1

I

11

I l - -

I gt E (1

I1

1 II 1

11

I) I I I

i1 I Q I

1

I I

11

35 1

- II

iI J

I

i1

III 1

I

4 [ SANTANAO 1

1

I 1

I

11

jphe cara

--p con to rno

I1

1

I

1

I I

encontradas I

ltagt

Figura 33

6 2 3 4 7 8

9 5

11

I 3 8

I

11 I

I

1 1

II

t

I1

1

11 1

11

l

I

11 I

li

I ii

t

I

i

I

4 0

I -

I1

11 I

iI

I1

11 t

[LASTRA 301

11 1

1

I

11 2

It

I

1

I aacuterbolgr

ontorno

I

I I

11 I

usan I

I

t

ill 1 I

32 Y ARBOL-CR i

4

y Ii I

I) 3

I

Ir

11 I

s i g u i e n t e s

I

r

4 4

-

11

I

11

I1 1

I

1

aacuterbol - cr

Iiexcl

I I

i i i f i n i t o

I

l

I

11 it

iI

pero I

I

1

Arista radial

1

il d b I

I1

I I 1 I

4

11

I1

1

I

II

11

1 Y

Arbol - pr

T o

(ai

Y

ERST

5

- A- - 7 --

Y iI

1

-

I -

Y I1

j

I

I1 i

i

l e spac io

P1 P2 P 3

I I

I

5 0

rbol-cr

geomefria -i maPeo

ar is ta-2d

a r i ata-2d

l ado de c a r a 1

cascaroacuten P i

1

I1 Donde 1

51

iI 11

]I Capiacutetulo 4

Y iI 1

I

1

2

3

construido I 11

I

I1 11

1

I1

y

II

I

t

I

I 8

I

11

- gt E 1

Jl

I 11

I 41

1 i

1

Y

i1

I

~~ _ I

1

I

11

1

II

I

I1

1 I1

- I 11

11

1

5 6

57

M

Ghindex - 1

N

vB U

Lado 1 Lauumlo o

Lado 1

Lado O

58

y a R l i n f )

5 9

-

I

Arbol - p r

de mapeo

j d e niapeo

P r o D

c o

G 1

6 2

Domir

3D

) del circulo -

D Propiedades

Propiedadentilde

ncioacuten uv)

i

gt gt

E 4

euro 5

de lo contrario

I

6 6

Iti Wes t East

CASO MRRCADO

Vies t East

sou th North

O

S I M B O L O Q I A

o

Arcos

Veacutertice nuevo

Radial nueva

South l l o r t h

CASO CERRADO

si

~

6 8

cualido

representa

7 0

I

U

-

7 I

Cara d e l casco

Cara de l a tapa

Cara de una tapa

a r a de l casco w

Cara de una tapa

precoriectada

n

7 2

B obtener w2 y w 4

Tapa

south

nor th

7 3

I

de lo contrario

7 4

CONCLUSIONES

7 5

7 6

O 1-1 o O Y n 1-1

- - ~

[ATHERTON]

[ BAUMQART 1

[CROCKERI

[EDELSBRUNNER]

[FARIN]

[HARARY 1

[HU 641

[HU 651

[LASTRA 891

[LASTRA 901

81

[LASTRA 911

[ U T Y d I

[MI LENKOVI C 1

[MILLER]

[MORTENSON]

[REQUICHAI

[SANTANAI

[SAMETI

[WEILER 851

[WEILER 861

8 2 QILIPET

Introduccioacuten
- poliedros
    - fronteras
    - por fronteras
        
        
        
        
        aacuterbol-pr
        
        
        
        
        Conclusiones

Date post:	02-Dec-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

MORALES LOPEZ - cenidet.edu.mx

Documents