UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

MOVIMIENTO

ARMONICO

SIMPLE

Ing. JORGE COSCO GRIMANEY

CEPRE UNI

Son muchos los sistemas

físicos oscilantes que se dan

en la naturaleza

La partícula se desplaza entre

dos posiciones extremas

siguiendo la misma trayectoria

en torno a un punto de

equilibrio

MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO

MOVIMIENTO OSCILATORIO

x

y

0

PE

N

mg

Fek

x

Es aquel movimiento que a intervalos

regulares de tiempo se repiten los valores

de las magnitudes que lo caracterizan, El

tiempo regular se denomina periodo.

MOVIMIENTO PERIODICO

MOVIMIENTO PERIODICO

Es el movimiento en que la posición, velocidad y aceleraciónse pueden describir mediante funciones senoidales ocosenoidales. De todos los movimientos armónicos, el mássencillo es el Movimiento Armónico Simple

MOVIMIENTO ARMONICO

CAUSAS DE LA OSCILACION

La causa del movimiento oscilatorio es la fuerzarestauradora que aparece cuando se saca el cuerpo de suposición de equilibrio

TIPOS DE EQUILIBRIO

El equilibrio es estable si el cuerpo, al apartarse de suposición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, porefecto de la fuerza de recuperadora. Ejemplo: El péndulo, laplomada, una campana colgada.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Es un movimiento rectilíneo, periódico y oscilante de unapartícula que ocurre debido a la acción de una fuerzarecuperadora, de la forma -Kx en donde su posición varíacon el tiempo y se representa con una función seno ocoseno

Función seno

t

POSICIÓN DE

EQUILIBRIO AAMPLITUD

x=-A x=0 x=Ax(t)

x(t)Elongación

Elongación Es la posición de la partícula medida desde la PE.

Amplitud de oscilación (A)Es la máxima elongación, es decir: xmax= A

PARAMETROS EN EL MAS

PARAMETROS EN EL MAS

Periodo (T)Es el tiempo que tarda

la partícula en dar unaoscilación completa

Frecuencia ()Es el número de vibraciones por unidad de tiempo

=1/T

Frecuencia angular ()Es el número de periodos comprendidos en 2 π segundos.En el S.I. se mide en rad/s .

Se expresa : = 2 / T = 2

Fase del movimiento (t + )Es el argumento de la función seno o coseno

Fase inicial ()Esta relacionada con las condiciones iníciales del movimientoes decir nos da información sobre la posición y velocidad en el instante t0 = 0

t=0

Fase inicial de la función Seno ()

MAS y MCU

Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.

Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme sobre una circunferencia, su proyección sobre el diámetro coincide con la posición de un objeto que describe un MAS sobre ella.

t=0

Cada revolución en el MCU se convierte en una oscilaciónen el MAS

La proyección del vector velocidad del MCU sobre eldiámetro da lugar al vector velocidad del MAS

La proyección del vector aceleración normal del MCU sobreel diámetro da lugar al vector aceleración del MAS

MAS y MCU

v

na

va

CINEMATICA DEL MAS

Consideremos una partícula que se mueve con un MAS en el eje X, como se muestra en la figura.

0

+A-A

v=0 v=0vmáx.

-X +X

P.E

Zona de movimiento

Se mide desde el centro (0),que corresponde a laposición de equilibrio (PE).Alcanza sus máximos(amplitud) en los extremosde la trayectoria. Donde Ay –A es la amplitud máxima

X(t) = A Sen (wt + φ1) o

X(t) = A Cos (wt + φ2)

POSICION DE LA PARTICULA

La posición de una partícula que describe un movimiento armónico simple puede ser determinada por una ecuación de movimiento

La partícula describe un movimiento armónico simple

POSICION DE LA PARTICULA

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Simple_harmonic_motion_animation.gif

(t + ) : Es el argumento de la función armónica (enradianes) y

: Fase inicial, es un ángulo que nos indica el punto(xo) donde se empieza a medir el tiempo (to = 0).

VELOCIDAD DE LA PARTICULA

v

v(t) = ωA Cos (ωt + φ)

ACELERACION DE LA PARTICULA

Siempre señala hacia laPE. Su magnitud esproporcional a laposición del móvil.

a(t) = - ω2A Sen (ωt + φ)

a(t) = - ω2 X(t)

Ecuaciones cinématicas

Posición:

Velocidad :

Aceleración :

( ) ( )x t Asen wt = +

( ) cos( )v t wA wt = +

2 2( ) ( )a t w Asen wt w x= − + = −

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Fasorxva.gif

Gráficas de la posición, velocidad y aceleración enfunción del tiempo, para el caso ( = 0 )

x=-A x=0 x=A x(t)

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

v

sen(t+) = cos(t+ - /2)

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

x=-A x=0 x=A x(t)

0 T/4 T/2 3T/4 T

x(t)

t-A

A

GRÁFICA posición - tiempo

sen(t+) = cos(t+ - /2)

x=-A x=0 x=A x(t)

v

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

A/2

sen(t+150) = cos(t+150 -/2)

x=-A x=0 x=A x(t)

v

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

x=-A x=0 x=A x(t)

v

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

x=-A x=0 x=A x(t)

x=-A x=0 x=A x(t)

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

v

x=-A x=0 x=Ax(t)

Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

v

El Movimiento Armónico Simple es un movimientoperiódico en el que la posición varía según una ecuación detipo senoidal o cosenoidal

La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendomáxima en el centro de la trayectoria y nula en losextremos, donde el cuerpo cambia el sentido delmovimiento.

El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente.Su aceleración es proporcional al desplazamiento y designo opuesto a este. Toma su valor máximo en losextremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en elcentro.

RESUMEN de CINEMATIVA DEL MAS

DINAMICA DEL MAS

La fuerzarecuperadorasobre el móvil esproporcional a sudesplazamientorespecto de laposición deequilibrio

Sistema Masa- Resorte Horizontal

Estudiemos la oscilación de un cuerpo de masa m, unido a un resorte de constante elástica k y masa despreciable denominado oscilador armonico simple.

x

y

0

PE

N

mg

Fek

x

El sistema cuerpo-resorte realiza oscilaciones armónicassimples sobre una superficie horizontal sin fricción.La fuerza restauradora es elástica,

Como la masa se mueve con MAS, entonces:

ax = - 2x

Planteando la segunda Ley de Newton para el movimiento del cuerpo:

Fres = Felást = -kx = m ax = m(-2x)= -m 2x

Comparando: k x = m 2 x

=k

wm

PE

y

y

A

-A

PE

mg

-k(+y)

-k

mg

SISTEMA MASA - RESORTE VERTICAL

=k

wm

CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICAEN EL MAS

Consideremos el sistema masa-resorte y la fuerza del tipoconservativo

0

yk

x

PE

x

v

2 21 1

2 2m c peE E E mv kx= + = +

2 2 21 1

2 2= = mE kA m A

T

21

2peE kx=

21

2kE mv=

21

2kA

=0

21

2peE kx=

21

2kE mv=

2 2 21 1

2 2= = mE kA m A

24

1

2

1Ep

2

1

2

1

2

1EcEp la que para ¿?x

4

3

2

1

4

3

4

3

2

1)

4(

2

1)(

2

1

4

1

2

1

4

1

42

1

2

1 Ep

2

222

222

222

22

2

AxkAkxkAEm

EmkAA

kA

AkxAkEc

EmkAA

kkxA

x

=→==→

====

=

==−=−=

=

===

=

-A ¿? -A/2 0 A/2 ¿? A x(t)

Energías

E. POTENCIAL

E. CINÉTICA

E. MECÁNICA

ALGUNAS FORMULAS IMPORTANTES EN EL MAS

La fuerza elástica que origina un M.A.S. esconservativa. La energía potencial elástica que llevaasociada es nula en el centro de la trayectoria y máxima ensus extremos.

La energía cinética en el M.A.S. varía continuamente,siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en susextremos.

Dado el carácter conservativo de la fuerza elástica, laenergía mecánica total del cuerpo permanece constantea lo largo de toda la trayectoria.

RESUMEN de ENERGIA del MAS

Un péndulo simple sedefine como unapartícula de masa msuspendida del puntoO por un hiloinextensible delongitud l y de masadespreciable.

PENDULO SIMPLE

Fres = - mgsen

2( )resmg

F x ma m w xl

= − = = −

Para oscilaciones pequeñas

22

lT

w g

= =

x

L

El periodo de oscilación no depende de la masa ni del Angulo α

( ) ( )At sen wt = +

( ) cos( )At w wt = +

2( ) ( )At w sen wt = − +

ECUACIONES DEL PENDULO SIMPLE