CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 1
������ ���� � ���� ��� ����: �� �������� � �������� � !, #$ ������� �� � ������%�&�� ��%��� ',
': � ≤ ! ≤ ), � ≤ # ≤ �. ���)&� ����%��& �� �, +������ �� ∬ � !, #$- �. , �� ∬ � !, #$- �! �#.
�ℎ�� � !, #$�� 0�����1� �������� �1�� ��%��� ' �� �ℎ� !# − 0&���, +� 3�# �����0��� �ℎ� ���)&� ����%��& �� � �1�� ' �� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� 3 − ��3�������& ��&�� ��%��� �1�� �ℎ� !# − 0&��� )������ )�&�+ )# ' ��� �)�1� )# �ℎ� ������� 5 = � !, #$ , 7�%��� 15.2 , ;�%� 1069$ .
?�&�3� = ∬ � !, #$- �..
@� ��&��&��� �ℎ� 1�&�3� ����� �ℎ� 0&��� 5 = 4 − ! − # , �1�� ������%�&�� ': 0 ≤ ! ≤ 2 , 0 ≤ # ≤ 1 , �� �ℎ� !# − 0&���. ���ℎ �&���� 0��0������&�� �� �ℎ� ! − �!��� 7�%��� 15.4$ ;�%� 1069. @ℎ� 1�&�3� �� B . !$CDECDF �!. +ℎ��� . !$�� �ℎ� ����� − ��������& ���� �� !. 7�� ���ℎ 1�&�� �� !, +� 3�# ��&��&��� . !$ �� �ℎ� ����%��&
Chapter Three Multiple Integrals
Double Integral
Double Integrals as Volume
Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 2
. !$ = B 4 − ! − #$GDHGDF �# , +ℎ��ℎ �� �ℎ� ���� ����� �ℎ� ���1� 5 = 4 − ! − # �� �ℎ� 0&��� �� ����� − ������� �� !. I� ��&��&����% . !$, ! �� ℎ�&� ��!�� ��� �ℎ� ����%������ ��J�� 0&��� +��ℎ ���0��� �� #. K�3)����% �ℎ� �+� ����%��&�, +� ��� �ℎ�� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ������ ��&�� ��
?�&�3� = B . !$CDECDF �! = B L B 4 − ! − #$�#GDHGDF MCDECDF �!
= B [4# − !# − GOE ]GDFGDHCDECDF �! = B LQE − !MCDECDF �! = [QE ! − CO
E ]F E = 5
���ℎ �&���� 0��0������&�� �� �ℎ� # − �!��� 7�%��� 15.5$ ;�%� 1070. @ℎ� 1�&�3� �� B . #$GDHGDF �#. +ℎ��� . #$�� �ℎ� ����� − ��������& ���� �� #. 7�� ���ℎ 1�&�� �� #, +� 3�# ��&��&��� . #$ �� �ℎ� ����%��& . #$ = B 4 − ! − #$CDECDF �! , +ℎ��ℎ �� �ℎ� ���� ����� �ℎ� ���1� 5 = 4 − ! − # �� �ℎ� 0&��� �� ����� − ������� �� #. I� ��&��&����% . #$, # �� ℎ�&� ��!�� ��� �ℎ� ����%������ ��J�� 0&��� +��ℎ ���0��� �� !. K�3)����% �ℎ� �+� ����%��&�, +� ��� �ℎ�� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ������ ��&�� ��
?�&�3� = B . #$GDHGDF �# = B L B 4 − ! − #$�!CDECDF MGDHGDF �#
= B [4! − COE − !#]CDFCDEGDHGDF �# = B 6 − 2#$GDHGDF �# = [6# − #E]F H = 5
THEOREM 1 Fubini’s Theorem (First Form)
I� � !, #$ �� ���������� �ℎ���%ℎ��� �ℎ� ������%�&�� ��%��� ': � ≤ ! ≤ ), � ≤ # ≤ �, �ℎ�� ∬ � !, #$- �. = B B � !, #$ST �! �#UV = B B � !, #$UV �# �!ST .
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 3
W! 1: K�&��&��� ∬ � !, #$- �. ��� � !, #$ = 1 − 6!E# ��� ': 0 ≤ ! ≤ 2, −1 ≤ # ≤ 1. X�&Y : ∬ � !, #$- �. = B B 1 − 6!E#$EF �! �#HZH = B ! − 2![#$FEHZH �#
= \ 2 − 16#$HZH
�# = [2# − 8#E]ZHH = 4. '�1�����% �ℎ� ����� �� ����%������ %�1�� �ℎ� ��3� ���+��.
\ \ 1 − 6!E#$HZH
�# �!EF
= \ # − 3!E#E$ZHHEF
�! = \ 1 − 3!E$ − −1 − 3!E$EF
�!
= B 2EF �! = 2!]FE = 4
Theorem 2 Fubini’s Theorem(stronger Form ^�� � !, #$)� ���������� �� � ��%��� '. 1- I� ' �� ������� )# � ≤ ! ≤ ), %H !$ ≤ # ≤ %E !$, +��ℎ %H ��� %E ���������� �� [�, )], �ℎ�� ∬ � !, #$- �. = B B � !, #$_O C$_` C$ST �#�!. 2- I� ' �� ������� )# � ≤ # ≤ �, ℎH #$ ≤ ! ≤ ℎE #$, +��ℎ ℎH ��� ℎE ���������� �� [�, �], �ℎ�� ∬ � !, #$- �. = B B � !, #$aO G$a` G$UV �!�#.
W! 2: 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� 0���3 +ℎ��� )��� �� �����%&� �� �ℎ� !# −0&��� )������ )# �ℎ� ! − �!�� ��� �ℎ� &���� # = ! ��� ! = 1 ��� +ℎ��� ��0 &��� �� �ℎ� 0&��� 5 = � !, #$ = 3 − ! − #. X�&Y: X�� 7�%��� 15.11 �� ;�%� 1075 . 7�� ��# ! )��+��� 0 ��� 1
# 3�# 1��# ���3 # = 0 �� # = ! 7�%��� 15.11)$. b����,
Double Integral over Bounded Nonrectangular Regions
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 4
1 = B B 3 − ! − #$CF �#�!HF = B [3# − !# − GOE ]GDFGDCHF �! = B L3! − [CO
E MHF �!
= [[COE − Cc
E ]CDFCDH = 1. �ℎ�� �ℎ� ����� �� ����%������ �� ��1����� 7�%��� 15.11�$, �ℎ� ����%��& ���
�ℎ� 1�&�3� �� 1 = B B 3 − ! − #$HG �!�#HF = B [3! − COE − !#]CDGCDHHF �# z
= B L3 − HE − # − 3# + GOE + #EM �#HF = B LeE − 4# + [E #EM �#HF (3,0,0)
= [eE # − 2#E + GcE ]FH = 1. (1,0 ,2) z=3-x-y
@ℎ� �+� ����%��&� �f��&, �� �ℎ�# �ℎ��&� )�. (1,1,1)
Y x=1 y=x y x=1 y=x
y=x x=y x=1 (1,0,0) y=x y
Y=0 x x x (1,1,0)
W! 3: K�&��&��� ∬ ghi CC- �. , +ℎ��� ' �� �ℎ� �����%&� �� �ℎ� !# − 0&��� )������ )# �ℎ� ! − �!��, �ℎ� &��� # = !, ��� �ℎ� &��� ! = 1. X�&Y: )# ����%������ ����� +��ℎ ���0��� �� # ��� �ℎ�� +��ℎ ���0��� �� !, B B ghi CCCFHF �#$ �! = B G ghi CCHF $FGDC�! = B sin !HF �! = − cos 1$ + 1 ≅ 0.46. I� +� ��1���� �ℎ� ����� �� ����%������ ��� ����30� �� ��&��&���
B B ghi CCHG �!HF �# , +� ��� ���00�� )# �ℎ� ���� �ℎ�� B ghi CC �! ������ )�
�!0������ �� ���3� �� �&�3�����# ��������.
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 5
Procedure for finding limits of integration
A) To evaluate ∬ � !, #$- �. �1�� � ��%��� ' , ����%�����% ����� +��ℎ ���0��� �� # ��� �ℎ�� +��ℎ ���0��� �� !, ��J� �ℎ� ��&&�+��% ���0�: 1 − XJ���ℎ �ℎ� ��%��� �� ����%������ ��� &�)�& �ℎ� )������% ���1�� 2 − I3�%��� � 1������& &��� ^ ������% �ℎ���%ℎ ' �� �ℎ� ��������� �� ���������% #. p��J �ℎ� # − 1�&��� +ℎ��� ^ ������ ��� &��1��. @ℎ��� ��� �ℎ� &�3��� �� ����%������. 3 − Kℎ���� ! − &�3��� �ℎ�� ���&��� �&& 1������& &���� �ℎ���%ℎ '. @ℎ� ����%��& �� ∬ � !, #$- �. = B B � !, #$GD√HZCOGDHZC �#�!.HF
r$ @� �1�&���� �ℎ� ��3� ���)&� ����%��& �� �� �������� ����%��& +��ℎ �����
�� ����%������ ��1����� , �ℎ� 0�������� ���� ℎ���5����& &���� ������� ��
1������& &����. ∬ � !, #$�.- = B B � !, #$sHZGOHZG �! �#HF
y &��1�� �� # = √1 − !2
1
!E + #E = 1 1 ����� �� # = 1 − !
! + # = 1 L enter at x=1-y
x x=0 x=1 0
&��1�� �� ! = s1 − #E
Finding the limits of Integration
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 6
W! 4: XJ���ℎ �ℎ� ��%��� �1�� +ℎ��ℎ �ℎ� ����%������ B B 4! + 2$ECCO �# �!EF , ��J�� 0&��� ��� +���� �� �f��1�&��� ����%��& +��ℎ �ℎ� ����� �� ����%������ ��1�����. 4 # = 2! (2,4)
��&Y: @ℎ� ��%��� �� ����%������ �� %�1�� )# # = !E �ℎ� ���f��&���� !E ≤ # ≤ 2!, ��� 0 ≤ ! ≤ 2. ! = GE ! = s#
I� �� �ℎ������� �ℎ� ��%��� )������ )# �ℎ� ���1�� # = !E, ��� # = 2! , )��+��� ! = 0 ��� ! = 2. @� ���� �ℎ� &�3��� ��� ����%�����% �� �ℎ� ��1���� �����, +� �3�%��� � ℎ���5����&
&��� 0�����% ���3 &��� �� ��%ℎ� �ℎ���%ℎ �ℎ� ��%���. I� ������ �� ! = #2 ��� &��1�� �� ! = s#. ��� # )��+��� # = 0 �� # = 4. B B 4! + 2$√GtO �! �#uF = B 4 CO
E + 2!uF ]G/E√G �# = B 2# + 2s#uF − GOE − #$�#
= GOE + u[ #cO − Gc
w ]Fu = HwE + [E[ − wuw = 8. W1�&���� �ℎ� ����%��&� �� W!������� 1 − 8 ��� �J���ℎ �ℎ� ��%���
�� ����%������: 1 − B B 4 − #E$EF �# �! ,[F 2 − B B ! + # + 1$HZH �! �#FZH , 3 − B B !E# − 2!#$�# �! , FZE[F 4 − B B sin ! + cos #$�! �#,xFExx
5 − B B ! sin # �# �!,CFxF 6 − B B �CyGzi GFzi {H �! �# , 7 − B B # �# �!,ghi CFxF 8 − B B �! �# GOGEH . In Exercises 9-14, integrate the func�on f(x, y) over the given region.
H.W 1
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 7
9 − � !, #$ = CG �1�� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� ����� f������� )������ )# �ℎ� &����
# = !, # = 2! , ! = 1 , ! = 2. 10 − � !, #$ = !E + #E �1�� �ℎ� �����%�&�� ��%��� +ℎ��� 1������� 0,0$, 1,0$
��� 0,1$. 11 − � !, #$ = # − √! �1�� �ℎ� �����%�&�� ��%��� ��� ���3 �ℎ� ����� f�������
)# �ℎ� &��� ! + # = 1. 12 − � !, #$ = !E + 3!# �1�� �ℎ� ������%&� ': 0 ≤ ! ≤ 1, 0 ≤ # ≤ 1. 13 − � !, #$ = HCG �1�� �ℎ� ������%&� ': 1 ≤ ! ≤ 2 , 1 ≤ # ≤ 2. 14 − � !, #$ = # cos !# �1�� �ℎ� ������%&� ': 0 ≤ ! ≤ | , 0 ≤ # ≤ 1. I� W!������� 15 − 20 , �J���ℎ �ℎ� ��%��� �� ����%������ ��� +���� �� �f��1�&��� ����%��& +��ℎ �ℎ� ����� �� ����%������ ��1�����.
15 − \ \ �# �! ,uZECF
EF
16 − \ \ �# �!uZECE
HF
, 17 − \ \ �! �# ,√GG
HF
18 − \ \ �!�#.E√G
uF
19 − B B �# �! }~H ,EF 20 − B B �! �# .H√GHF
W1�&���� �ℎ� ����%��&� �� W!������� 21 − 23 )# �1�&�����% �� �f��1�&��� ����%��& �)������ )# ��1�����% �ℎ� ����� �� ����%������.
21 − \ \ !E �CG �!�# HG
HF
, 22 − \ \ 2 #E sin !#EC
EF
�# �! , 23 − \ \ ! �EG4 − #uZCO
FE
F �#�!
24 − 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��&�� +ℎ��� )��� �� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� !# − 0&��� �ℎ�� �� )������ )# �ℎ� 0���)�&� # = 4 − !E ��� �ℎ� &��� # = 3! , +ℎ�&� �ℎ� ��0 �� �ℎ� ��&�� �� )������ )# �ℎ� 0&��� 5 = ! + 4.
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 8
��� � �� ������ ������ � �� �� �
.��� = ∬ �.-
W! 1: 7��� �ℎ� ���� �� �ℎ� ��%��� ' )������ )# # = ! ��� # = !E �� �ℎ� ����� f�������. y y=x (1,1)
. = B B �# �!CCOHF = B ! − !E$HF �! = COE − Cc
[ ]FH = Hw . y=x # = !E
x
W! 2: 7��� �ℎ� ���� �� �ℎ� ��%��� ' ���&���� )# �ℎ� 0���)�&� # = !E ��� �ℎ� &��� # = ! + 2 . X�&Y: I� +� ����%���� +��ℎ ���0��� �� ! �ℎ�� �� # , +� +�&& ��1���� �ℎ� ��%��� ' ���� �+� ��%���� 'H & 'E. y (2,4)
. = ∬ �.-` + ∬ �.-O = B B �! �#√GZ√GHF + B B �! �#√GGZEuH
�� �ℎ� ��ℎ�� ℎ���, ��1�����% �ℎ� ����� y=x+2 R2 y=x2
�� ����%������ %�1��: R1 x
. = B B �# �! ,�yECOEZH �&���&# �ℎ�� ����&� �� ��30&�� ���
. = B #]COCyEEZH �! = B ! + 2 + !E$EZH �! = COE + 2! + Cc
[ ]ZHE = �E
First and second Moments and centers of Mass
p��� ��� p�3��� ���3�&�� ��� �ℎ�� 0&���� ��1����% ��%���� �� !# − 0&���. ������#: � !, #$, p���: p = ∬ � !, #$ �.
7���� 3�3����: pC = ∬ #� !, #$ �., pG = ∬ !� !, #$ �.
������ �� 3���: !̅ = �t� , #� = �~�
Areas, Moments , and Centers of Mass
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 9
p�3���� �� ������� ������ 3�3����$: .)��� �ℎ� ! − �!�� ∶ IC = ∬ #E� !, #$ �.
.)��� �ℎ� # − �!�� ∶ IG = ∬ !E� !, #$ �.
.)��� �ℎ� ���%��: I� = ∬ !E + #E$ � !, #$�. = IC + IG
'���� �� %#������: .)��� �ℎ� ! − �!��: 'C = sIC p⁄
.)��� �ℎ� # − �!��: 'G = sIG p⁄
.)��� �ℎ� ���%�� ∶ '� = sI� p⁄
W! 3: . �ℎ�� 0&��� ��1��� �ℎ� �����%�&�� ��%��� )������ )# �ℎ� ! − �!�� ��� �ℎ� &���� ! = 1 ��� # = 2! �� �ℎ� ����� f�������. @ℎ� 0&����� ������# �� �ℎ� 0���� !, #$�� � !, #$ = 6! + 6# + 6. 7��� �ℎ� 0&����� 3���, ����� 3�3���, ������ �� 3��
3�3���� �� �������, ��� ����� �� %#������ �)��� �ℎ� ���������� �!��. X�&Y: p = \ \ � !, #$EC
F�# �! =H
F\ \ 6! + 6# + 6$EC
FH
F�# �! = \ 6!# + 3#E + 6#$FECH
F �!
= \ 12!E + 12!E + 12!$HF
�! = 8![ + 6!E$FH = 14
7���� 3�3��� ∶ pC = \ \ #� !, #$ECF
�# �! = \ \ # 6! + 6# + 6$ECF
�# �!HF
HF
= \ 3!#E + 2#[ + 3#E]FECHF
�! = \ 12![ + 16![ + 12!E$�!HF
= 3!u + 4!u + 4![]FH = 11.
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 10
pG = \ \ !� !, #$ECF
�# �! = \ \ ! 6! + 6# + 6$ECF
�# �!HF
HF
= \ 6!E# + 3!#E + 6!#$FEC�!HF
= \ 12![ + 12![ + 12!E$�!HF
= 6!u + 4![$FH = 10
������ �� 3���: !̅ = �t� , #� = �~� , !̅ = HFHu = eQ , #� = HHHu
IC = ∬ #E� !, #$ �. = B B #E 6! + 6# + 6$ECF �# �!HF = B 2!#[ + [E #u + 2#[$FEC �!HF
= B 16!u + 24!u + 16![$�!HF = 8!e + 4!u$FH = 12
��3�&��&#, �ℎ� 3�3��� �� ������� �)��� �ℎ� # − �!�� �� IG = ∬ #E� !, #$ �. = B B !E 6! + 6# + 6$ECF �# �!HF = 39/5
I� = IC + IG = 12 + [�e = ��e 'C = sIC p⁄ = s12 14⁄ = s6 7⁄ , 'G = sIG p⁄ = s39 70⁄ , '� = sI� p⁄ = s99 70⁄ W! 4: 7��� �ℎ� �������� �� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� ����� f������� �ℎ�� �� )������ �)�1�
)# �ℎ� &��� # = ! ��� )�&�+ )# �ℎ� 0���)�&� # = !E. X�&Y: X�� � = 1 , p = \ \ 1C
CO
HF
�# �! = \ #HF
]COC �! = \ ! − !E$HF
�! = !E2 − ![3 ]FH = 16
pC = B B #CCOHF �# �! = B GOEHF ]COC �! = B CO
E − C�E $HF �! = Cc
w − C�HF]FH = HHe
pG = B B !CCOHF �# �! = B !#HF ]COC �! = B !E − ![$HF �! = Cc[ − uu]FH = HHE
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 11
���3 �ℎ��� 1�&��� �� p, pC ��� pG , +� ���� ∶ !̅ = �t� = HE , #� = �~� = Ee
@ℎ� �������� �� �ℎ� 0���� LHE , Ee M.
I� W!������� 1 − 8, �J���ℎ �ℎ� ��%��� )������ )# �ℎ� %�1�� &���� ��� ���1��. @ℎ�� ���� �ℎ� ��%����� ���� )# ���)&� ����%��&�:
1$ @ℎ� ���������� �!�� ��� �ℎ� &��� ! + # = 2. 2$ @ℎ� ! − �!��, �ℎ� ���1� # = �C , ��� �ℎ� &���� ! = 0, ! = ln 2. 3$ @ℎ� # − �!�� , �ℎ� &��� # = 2!, ��� �ℎ� &��� # = 4. 4$ @ℎ� 0���)�&� ! = −#E ��� �ℎ� &��� # = ! + 2. 5$ @ℎ� 0���)�&� ! = #E ��� ! = 2# − #E. 6$ @ℎ� 0���)�&� ! = # − #E ��� �ℎ� &��� ! + # = 0. 7$ @ℎ� ��3��&&�0�� # = 2√1 − !E ��� �ℎ� &���� ! = ±1, # = −1. 8$ .)�1� )# # = !E, )�&�+ )# # = −1 , �� �ℎ� &��� )# ! = −2, ��� �� �ℎ� ��%ℎ� )# # = 2! − 1. XJ���ℎ �ℎ� ��%��� ��� �ℎ�� ���� �ℎ� ���� ��� �ℎ� ����%��&� �� �!������� 9 − 14
9$ B B �! �#EGtOcwF , 10$ B B �# �!C EZC$ZC[F , 11$ B B �# �!��g Cghi C
��F , 12$ B B �! �#GyEGOEZH , 13$ B B �# �!HZCZECFZH + B B �# �!HZCZ~O
EF . 14$ B B �# �!FCOZuEF + B B �# �!√CFuF . 15$ 7��� �ℎ� ������ �� 3��� �� � �ℎ�� 0&��� �� ������# � = 3, )������ )# �ℎ�
&���� ! = 0, # = !, ��� �ℎ� 0���)�&� # = 2 − !E �� �ℎ� ����� f�������. 16$ 7��� �ℎ� 3�3���� �� ������� ��� ����� �� %#������ �)��� �ℎ� ����������
�!�� �� � �ℎ�� ������%�&�� 0&��� �� �������� ������# � )������ )# �ℎ�
&���� ! = 3 ��� # = 3 �� �ℎ� ����� f�������.
H.W 2
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 12
17$ 7��� �ℎ� �������� �� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� ����� f������� )������ )# �ℎ�
! − �!��, �ℎ� 0���)�&� #E = 2! ��� �ℎ� &��� ! + # = 4. 18$ 7��� �ℎ� �������� �� �����%�&�� ��%��� ��� ���3 �ℎ� ����� f�������
)# �ℎ� &��� ! + # = 3.
Polar coordinates:- Represent by the pair �, �$ +ℎ��� �$�� � ��# ���3 �ℎ� ���%�� �� � ��!�� 0���� 0$, ��� � �� �ℎ� �������� ��%&� )��+��� ������& ��# �� ��# �;. @ℎ� ��%&� �$�� 0�����1� +ℎ��� 3������� P (r, �)
������� �&�J+��� ��� ��%���1� +ℎ�� 3������� r
�&��J+���. �
I� 0�&�� ����������� �ℎ� �������� +�&& )� � �, �$ o initial ray x
��� �� �$�� ���������� �� � 0�&�� ��%��� %�1�� )# 0 ≤ ℎH �$ ≤ � ≤ ℎE �$, � ≤ � ≤ � , +ℎ��� � − − − � ≤ 2|
��, I = ∬ � �, �$- �. = B B � �, �$aO �$a` �$�� � �� ��
I� � �, �$ = 1, �ℎ�� �ℎ� 1�&�� �� �ℎ� ����%��& �� �$�� �ℎ� ���� �� '$
I = ∬ ��� ��- � � = � �$
X� .��� �� ' = B �OE�� �� = . �
. �� �ℎ� ���� ���&���� )# �ℎ� ���1� � = � �$ �
.��� )��+��� �+� ���1�� . = B �̀OZ�OOE�� �� � �
Double Integral in Polar Coordinates
�
�E �H
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 13
W! 1: 7��� �ℎ� ���� ���&���� )# �ℎ� &�3�������� �E = 2�E cos � . ��&Y: . = B �O
E�� �� = B E TO ��g E�E�� ��
��+ �� �1�&���� � ��� � ��J� cos 2� = 0
2� = cosZH 0 = ∓ xE → � = ∓ xu , �� � = − xu ��� � = xu
. = B E TO ��g E�Ex/uZx/u �� = TO ghi E�E ]Zx/ux/u = TOE ¢sin xE − sin − xE£ = TO
E [1 + 1] = �E
�ℎ� ����& ���� = 2 �E
W! 2: 7��� �ℎ� ���� )������ )# �ℎ� ���1� � = 2 + cos � , ��� �ℎ� &��� � = 0, � = xE
X�&Y: . = B Ey��g �$OE�D�O�DF �� = HE B 4 + 4 cos � + cosE �$�OF ��,
= HE ¤4� + 4 sin � ⃒F�O + B HZ��g E�$E
�OF ��¦=HE ¤4� + 4 sin � + HE � − Hu sin 2� |F
�O¦ = | + 2 + x{ = �{ | + 2. W! 3: 7��� �ℎ� ���� ������ �ℎ� �������� � = � 1 + cos �$��� ������� �ℎ� ����&� � = �
X�&Y: ℎ��� +� ℎ�1� �H & �E �� +ℎ��ℎ �H = � 1 + cos �$ ��� �E = �
�� �����3��� �ℎ� &�3��� �� ����%������ ��� � &�, &�� �H = �E � = xE
�� � = � 1 + cos �$, cos � = 0 → � = cosZH 0 = ∓ |/2
. = B �̀OZ�OOE�Dx/E�DZx/E �� = 2 B [TO Hy��g �$OZTO]Ex/EF �� = � = − xE
= �E B 1 + 2 cos � + cosE � − 1$x/EF �� = �E B 2 cos � + HZ��g E�$Ex/EF ��
= �E[2 sin � + HE � − Hu sin 2�]F�O = �E ¢2 + xu£ = TO
u [8 + |].
2 1
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 14
Changing Cartesian Integrals into Polar Integrals
Sometimes adouble integrals eaiser to evaluate using polar coordinates. @ℎ�� �� ��0����&&# ���� �� �ℎ� ��%��� �� ����%������ ��� )� ����&# ������� ����% � 0�&�� �f������. @ℎ� ��&&�+��% ���3�&� ��� ���1����� )��+��� ������%�&� ��� 0�&�� �����������
��� ������. ! = � cos � , # = � sin � , �E = !E + #E , tan � = GC
'�����%�&� ����������� ;�&�� �����������
∬ � !, #$ �. ∬ � �, �$ � �� ��
�. = �! �# �. = � �� ��
Y ∆�
�E �E = �E�
∆# �H = �H� ∆� = �E − �H
∆! x �H
��� &��%�ℎ = � = ��
&�� �H ≅ �E ≅ �
∆. = � ∆� ∆� , ∆� = ��
∆� = �� , �. = � �� ��
�� �� %�����& ! = � cos � , # = � sin �
�� ! = % �, �$ , # = ℎ �, �$
∬ � !, #$- �! �# = ∬ � % �, �$, ℎ �, �$$µ |¶(�, �)| �� ��
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 15
@ℎ� ������ ¶ �, �$�� �ℎ� ¶���)��� �� �ℎ� ����������� ��������3�����. I� 3������
ℎ�+3��ℎ �ℎ� ��������3����� �� �!0�����% �� ����������% �ℎ� ���� ������ �0����
�� · �� · �� ��������3�� ���� '. @ℎ� ¶���)��� �����3����� �� ¶���)��� �� �ℎ� ���������� ��������3����� ! = % �, �$ , # = ℎ �, �$
¶ �, �$ = ¸¹C¹� ¹C¹�¹G¹� ¹G¹�¸ = ¹C¹� ¹G¹� − ¹G¹� ¹C¹� , �� ¶ �, �$ = ¹ C,G$¹ �,�$
ℎ��� +� ℎ�1� ! = � cos � , # = � sin �
¶ �, �$ = ¸¹C¹� ¹C¹�¹G¹� ¹G¹�¸ = ºcos � −� sin �sin � � cos � º = � cosE � + sinE �$ = �
�� ∬ � !, #$- �!�# = ∬ � � cos �µ , � sin �$ |�|�� ��=∬ �(� cos �µ , � sin �) ��� ��.
@� �1�&���� » �(�, �)-
�. �1�� ���%��� ' �� 0�&�� �����������, ����%�����%
����� +��ℎ ���0��� �� � ��� �ℎ�� +��ℎ ���0��� �� � , ��J� �ℎ� ��&&�+��% ���0�: 1) XJ��%ℎ �ℎ� ��%��� ��� &�)�& �ℎ� )������% ���1��. y
!E + #E = �E 2 !E + #E = 4
4 = �E, � = 2 √2 ' (√2, √2)
# = � sin � , √2 = � sin � , � = √Eghi � = √2 csc � x
2) 7��� �ℎ� � − &�3��� �� ����%������: I3�%��� � ��# (^)���3 �ℎ� ���%�� ������% �ℎ���%ℎ (')�� �ℎ� ��������� �� ���������% (�). p��J (�)1�&��� +ℎ��� (&)������ ��� &��1�� (').
Finding limits of Integration in Polar Coordinates
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 16
@ℎ��� 1�&�� �� � − &�3��� ��0��� �� �ℎ� ��%&� �$ �ℎ�� ^$ y &��1� �� � = 2 3�J�� +��ℎ �ℎ� 0�����1� ! − �!���. 2 R 3$ 7��� �ℎ� � − &�3��� �� ����%������: √2 ����� �� � = √2 csc � 7��� �ℎ� �3�&&��� ��� &��%��� x
� − 1�&��� �ℎ�� )���� '. y L X� �ℎ� ����%��& �� √2 �E&��%��� � �� xE
�H�3�&&��� � x
» � �, �$-
�. = \ \ � �, �$�ODE
�̀ D√E �g� ���� ��.
�DxE�Dxu
W! 1: 7��� �ℎ� 3�3��� �� ������� �)��� �ℎ� ���%��� �� � �ℎ�� 0&��� �� ������# � !, #$ = 1, )������ )# �ℎ� f������ ����&� !E + #E = 1 �� �ℎ� ����� f�������. X�&Y: @ℎ� 3�3��� �� ������� �� I� � = xE +ℎ��� I� = ∬ !E + #E$- �. !E + #E = 1 L
I� = B B !E + #E$√HZCOF �# �!HF r=1 � = 0 I���%������ +��ℎ ���0��� �� # %�1��: o r=0 x
B !E √1 − !EHF + HZCO$cO[ �!, �� ����%��& �������&� �� �1�&���� +��ℎ��� ��)&��. r�� �� +� �ℎ��%� �ℎ� ���%���& ����%��& �� 0�&�� ����������, ��)��������% , ! = � cos � , # = � sin � , !E + #E = �E ��� ��0&����% �!�# )# �����
I� = \ \ !E + #E$√HZCO
F�#�!H
F= \ \ �E$H
F� ����
xEF
I� = \ �u4 ]FH ��xE
F= \ 14
xEF
�� = |8
R
R
R
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 17
W! 2: W1�&���� ∬ �COyGO- �# �!, +ℎ��� ' �� �ℎ� ��3������&�� ��%��� )������ )# �ℎ� ! − �!�� ��� �ℎ� ���1� # = √1 − !E. ∬ �COyGO- �# �! = B B ��OHFxF � ���� = B HE ��O]FHxF �� = B HExF � − 1$�� = xE � − 1$
# = √1 − !E
� = 1
-1 � = | � = 0 1 x
W! 3: �����3��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��&�� )�&�+ �ℎ� ������� � !, #$ = 4 − !E − #E, �)�1� �ℎ� !# − 0&��� �1�� �ℎ� ��%��� )������
)# !E + #E = 1 & !E + #E = 4. ∬ � !, #$ �. = ∬ � �, �$ � �� ��
� !, #$ = 4 − !E + #E$ = 4 − �E
!E + #E = �E
� = 1 & � = 2
\ \ 4 − �E$EH
ExF
� �� �� = \ \ 4� − �[$EH
�� ��ExF
= \ 4�E2ExF
− �u4 ]HE��
B 8 − 4$ExF − L2 − HuM �� = B �uExF �� = �u �]FEx = �E |. W! 4: �����3��� �ℎ� 1�&�3� �� 5 = s9 − !E − #E�1�� �ℎ� ��%��� !E + #E ≤ 4 �� �ℎ� ����� ������. � !, #$ = s9 − !E − #E , � �, �$ = √9 − �E
!E + #E ≤ 4 , �E ≤ 4, � ≤ 2
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 18
\ \ Ls9 − �EMEF
� �� ��xE
F= \ − 12
xEF
\ 9 − �E$HEE
F −2�$�� ��
\ − 12 23 xE
F. 9 − �E$[/E]FE$ �� = \ 9 − 5√53
x/EF
$�� = ¼27 − 5√56 ½ |
W! 5: W1�&���� B B s !E + #E$[O√�ZCOF[F �#�! . X�&Y: )# ���1�����% �� 0�&�� �����������
� �, �$ = s �E$[O = �[, # ≥ 0 ��� # ≤ s9 − !E
B B �[�D[�DFx/EF . � �� �� = B ��ex/EF ]F[ �� = Eu[HF | ! ≥ 0 ��� ! ≤ 3
#E ≤ 9 − !E
#E + !E ≤ 9 , �E ≤ 9
� ≤ 3
I� � !, #, 5$�� � �������� ������� �� � �&���� )������ ��%��� � �� �0���, ���ℎ ��
�ℎ� ��%��� ����0��� )# � ��&�� )�&& �� �&�30 �� �&�#, �ℎ�� �ℎ� ����%��& �� � �1��
� 3�# )� ������� �� ���0&� ����%��& �� � �1�� �. 5
∭ � !, #, 5$À �! �# �5
! #
Triple Integrals in Rectangular Coordinates
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 19
I� � !, #, 5$�� �������� ��� �f��& 1 �ℎ�� �ℎ� ���0&� ����%��& +�&& )� �ℎ� 1�&�3� �� � �&���� , )������ ��%��� � �� �0���
1 = ∭ �1À . @ℎ�� ����%��& ���)&�� �� �� ��&��&��� �ℎ� 1�&�3�� �� ��&��� ���&���� )# ���1��
��������. Á���� ��Â�� �� Ã��� ��
�� �1�&���� � ���0&� ����%��& )# �00&#��% � �ℎ��� ��3�������& 1������ �� 7�)����� @ℎ����3 �� �1�&���� �� )# �ℎ��� ��0����� ���%&� ����%�������. .� +��ℎ
���)&� ����%��&�, �ℎ��� �� � %��3����� 0�������� ��� ������% �ℎ� &�3��� �� ����%������ ��� �ℎ��� ���%&� ����%��&�
@� �1�&���� ∭ � !, #, 5$À �1 z
�1�� � ��%��� �, ����%���� ����� +��ℎ ���0��� �� Ä , �ℎ�� +��ℎ ���0��� �� Å, ����&&# +��ℎ ���0��� �� !. 5 = �2 !, #$
1$ XJ���ℎ �ℎ� ��%��� � �&��% +��ℎ ��� " shadow" ' 1������& 0��É������$�� �ℎ� !# − 0&���. &�)&� �ℎ� D �00�� ��� &�+�� )������% �������� �� � ��� �ℎ� �00�� ��� &�+�� )������% ���1�� �� '. 5 = �1 !, #$ 2$ 7��� �ℎ� 5−&�3��� �� ����%������: ���+ � &��� p 0�����% �ℎ���%ℎ ��#0���& 0���� !, #$�� ' 0���&&�& �� �ℎ� 5 − �!��. a y .� Ä ���������, p ������ � �� 5 = �H !, #$ # = %H !$ ��� &��1�� �� 5 = �E !, #$. @ℎ��� ��� �ℎ� x b ' # = %E !$ 5 − &�3��� �� ����%������. 3$ 7��� �ℎ� Å − &�3��� �� ����%������: ���+ � &��� ^ �ℎ���%ℎ !, #$0���&&�& �� �ℎ� # − �!��. .� # ���������, ^ ������ ' ��
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 20
# = %H !$��� &��1�� �� # = %E !$. leave at z2=f2(x,y) @ℎ��� ��� �ℎ� # − &�3��� �� ����%������. D M 4$ 7��� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%������: �ℎ���� ! − &�3��� �ℎ�� ���&��� �&& &���� �ℎ���%ℎ ' 0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� enter at z1=f1(x,y) ! = � ��� ! = ) �� �ℎ� 0�������% ��%���$ y @ℎ��� ��� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%������. x R y=g1(x) y=g2(x) L
@ℎ� ����%��& �� \ \ \ � !, #, 5$ÊDËO C,G$ÊDË̀ C,G$
GD_O C$GD_` C$
CDSCDT
�5 �# �!. 7�&&�+ ��3�&�� 0��������� �� #�� �ℎ��%� �ℎ� ����� �� ����%������. @ℎ� "shadow" �� ��%��� � &��� �� �ℎ� 0&��� �� �ℎ� &��� �+� 1����)&�� +��ℎ ���0���
�� +ℎ��ℎ �ℎ� �������� ����%������ ��J�� 0&���. @ℎ� �)�1� 0�������� �00&��� +ℎ���1�� � ��&�� ��%��� � �� )������ �)�1� ��� )�&�+ )# � �������, ��� +ℎ�� �ℎ� "shadow" ��%��� ' �� )������ )# � &�+�� ��� �00�� ���1�. W! 1: 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��%��� � ���&���� )# �ℎ� �������� 5 = !E + 3#E, ��� 5 = 8 − !E − #E. X�&Y: @ℎ� 1�&�3� �� 1 = ∭ �5 �# �!À D (-2,0,4)
@� ���� �ℎ� &�3��� �� ����%������ ��� (2,0,4) (-2,0,0)
�1�&�����% �ℎ� ����%��&, +� ����� �J���ℎ
�ℎ� ��%���. @ℎ� �������� �� �� ��%��� ��������� (2,0,0) L y
�� �ℎ� �&&�0����& �#&����� !E + 3#E = 8 − !E − #E
�� !E + 2#E = 4, 5 > 0
R
(x,y) x2+2y
2=4
Z=x2+3y
2
Z=8-x2-y
2
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 21
@ℎ� )������# �� �ℎ� ��%��� ', �ℎ� 0��É�������� � ���� �ℎ� !# − 0&���, �� �� �&&�0�� +��ℎ �ℎ� ��3� �f������ !E + 2#E = 4. @ℎ� upper )������# �� ' �� �ℎ� ���1� # = s 4 − !E$/2. @ℎ� &�+�� )������# ��
�ℎ� ���1� # = −s 4 − !E$/2. 5 − &�3��� �� ����%������, �ℎ� &��� p 0�����% �ℎ���%ℎ � �#0���& 0���� !, #$�� '
0���&&�& �� �ℎ� 5 − �!�� ����� � �� 5 = !E + 3#E ��� &��1�� �� 5 = 8 − !E − #E. # − &�3��� �� ����%������.@ℎ� &��� ^ �ℎ���%ℎ !, #$ 0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� ������
' �� # = −s 4 − !E$/2 ��� &��1�� �� # = s 4 − !E$/2. 7���&&# +� ���� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%������. .� ^ �+��0� ������ ', �ℎ� 1�&�� �� ! 1����� ���3 ! = −2
�� −2,0,0$ �� ! = 2 �� 2,0,0$. @ℎ� 1�&�3� �� � �� 1 = Í �5 �# �!
À= \ \ \ �5 �# �!.{ZCOZGO
COy[GO
s uZCO$/E
Zs uZCO$/EE
ZE
1 = \ \ 8 − 2!E − 4#E$s uZCO$/E
Zs uZCO$/EE
ZE�# �!
1 = \[ 8 − 2!E$# − 43 #[]Zs uZCO$/Es uZCO$/EEZE
�!
1 = \[2 8 − 2!E$ 4 − !E2 $H/EEZE
− 83 4 − !E2 $[/E]�!
1 = \[8 4 − !E$2 4 − !E2 $H/EEZE
− 83 4 − !E2 $[/E]�!
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 22
1 = \ Î8 − 83Ï ¼4 − !E2 ½[/EEZE
�! = 163 \ 4 − !E$[/EEZE
�!
&�� ! = 2 sin � , �! = 2 cos � ��
! − &�3��� ∶ −2 �� 2 +�&& )� − xE �� xE
1 = 163 \ 4 − 4 sinE �$ [/Ex/E
–x/E2. cos � �� = 8 . 163 \ 1 − sinE �$[/E cos � ��x/E
–x/E
1 = 8 . 163 \ cosE �$[E cos � ��x/E–x/E
= 8 . 163 \ cosu � ��x/EZx/E
1 = 8 . 163 \ cosE �$Ex/E
–x/E �� = 8 . 163 \ Î1 + cos 2�2 ÏEx/E
–x/E ��
1 = 2 . 163 \ 1 + 2 cos 2� + cosE 2�$x/E–x/E
�� W! 2: 7�����% �ℎ� &�3��� �� ����%������ �� �ℎ� ����� �# �5 �!
��� �0 �ℎ� &�3��� �� ����%������ ��� �1�&�����% �ℎ� ���0&� ����%��& �� � �������� � !, #, 5$�1�� �ℎ� �����ℎ����� � +��ℎ 1������� 0,0,0$, 1,1,0$, 0,1,0$ ��� 0,1,1$ .
��&Y: +� �J���ℎ � �&��% +��ℎ ��� �ℎ���+ ' �� �ℎ� !# − 0&��� 1 (0,1,1)
@ℎ� �00�� ��%ℎ� − ℎ���$)������% ������� �� � x+z=1 y=x+z D
&��� �� �ℎ� 0&��� # = 1. �ℎ� &�+�� &��� − ℎ���$ (0,1,0)
)������% ������� &��� �� �ℎ� 0&��� # = ! + 5 1 (1,1,0)
@ℎ� �00�� )������# �� ' �� �ℎ� &��� 5 = 1 − !.
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 23
@ℎ� &�+�� )������# �� �ℎ� &��� 5 = 0. 7���� +� ���� �ℎ� # − &�3��� �� ����%��&
@ℎ� &��� �ℎ���%ℎ � �#0���& 0���� !, 5$�� ' 0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� ������
� �� # = ! + 5 , ��� &��1�� �� # = 1
��!� +� ���� 5 − &�3��� �� ����%��&, �ℎ� &��� ^ �ℎ���%ℎ !, 5$ 0���&&�& �� �ℎ� 5 − �!�� ������ ' �� 5 = 0 ��� &��1�� �� 5 = 1 − !$. 7���&&# +� ���� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%��&. .� ^ �+��0� ����� ', �ℎ� 1�&�� ��
! 1����� ���3 ! = 0 �� ! = 1 , @ℎ� ����%��& ��
\ \ \ � !, #, 5$HCyÊ
HZCF
HF
�# �5 �!. W! 3: '�1������% W!�30&� 2 ����% �ℎ� ����� �5 �# �!
��&Y: @� ����%���� � !, #, 5$�1�� �ℎ� �����ℎ����� � �� �ℎ� ����� �5 �# �!, +� 0�����3 �ℎ� ���0� �� �ℎ� ��&&�+��% +�#. 7���� +� ���� �ℎ� 5 − &�3��� �� ����%������ . . &��� 0���&&�& �� �ℎ� 5 − �!�� �ℎ���%ℎ � �#0���& 0���� !, #$�� �ℎ� !# − 0&��� �ℎ���+ ������ �ℎ� �����ℎ�����
�� 5 = 0 ��� �!��� �ℎ���%ℎ �ℎ� �00�� 0&��� +ℎ��� 5 = # − !
��!� +� ���� �ℎ� # − &�3��� �� ����%������, �� �ℎ� !# − 0&���, +ℎ��� 5 = 0, �ℎ�
�&�0�� ���� �� �ℎ� �����ℎ����� ������� �ℎ� 0&��� �&��% �ℎ� &��� # = !. . &��� �ℎ���%ℎ !, #$0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� ������ �ℎ� �ℎ���+ �� �ℎ� !# − 0&��� �� # = ! ��� �!��� �� # = 1. 7���&&# +� ���� �ℎ� ! − &�3��� �� ����%������. .� �ℎ� &��� 0���&&�& �� �ℎ� # − �!�� �� �ℎ� 0��1���� ���0 �+��0� ��� �ℎ� �ℎ���+
�ℎ� 1�&�� �� ! 1����� ���3 ! = 0 �� ! = 1 �� �ℎ� 0���� 1,1,0$.
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 24
@ℎ� ����%��& �� \ \ \ � !, #, 5$GZCF
HC
HF
�5 �# �!
I� � !, #, 5$ = 1 �ℎ�� 1 = \ \ \ �5 �# �!GZCF
HC
HF
= \ \ # − !$HC
HF
�# �!
1 = \[12 #E − !#]GDCGDHHF
�! = \ Î12 − ! + 12 !EÏ �!HF
= [12 ! − 12 !E + 16 ![]FH = 16
+� %�� �ℎ� ��3� ����&� )# ����%�����% +��ℎ �ℎ� ����� �# �5 �!
1 = \ \ \ �# �5 �!HCyÊ
HZCF
HF
= 16
W! 4: ���% ��������� ������ �� ����%������ z
W��ℎ �� �ℎ� ��&&�+��% ����%��&� %�1�� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��&�� �ℎ�+� �� �ℎ� ��%��� y+z=1
�$ B B B �! �# �5EFHZÊFHF
)$ B B B �! �5 �#EFHZGFHF 2 y
�$ B B B �# �! �5HZÊFEFHF x
�$ B B B �# �5 �!HZÊFHFEF
�$ B B B �5 �! �#HZGFEFHF
�$ B B B �5 �# �!HZGFHFEF
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 25
+� +��J ��� +��ℎ �ℎ� ����%��&� �� 0���� )&�
1 = \ \ \ �! �5 �#EF
HZGF
HF
= \ \ 2HZGF
HF
�5 �# = \ 2 1 − #$ HF
�# = 1
.&�� 1 = \ \ \ �# �! �5HZÊF
EF
HF
= \ \ 1 − 5$EF
HF
�! �5 = \[! − 5!]FEH
F�5
1 = \ 2 − 25$�5HF
= 1
@ℎ� ����%��&� �� 0���� �, �, �, ��� � �&�� %�1� 1 = 1
���� �� � ��� �� ����� � �� ��
@ℎ� �1���%� 1�&�� �� � �������� � �1�� � ��%��� ' �� �0��� �� ������� )# �ℎ� ���3�&�
.1���%� 1�&�� �� � �1�� ' = HÒ�ÓÔÕ} �Ë - ∭ 7 �1-
I� 7 !, #, 5$ = s!E + #E + 5E , �ℎ�� �ℎ� �1���%� 1�&�� �� 7 �1�� ' �� �ℎ� �1���%� �������� �� 0����� �� ' ���3 �ℎ� ���%��. I� 7 !, #, 5$�� �ℎ� ������# �� �ℎ� ��&��
�ℎ�� ����0��� � ��%��� ' �� �0���, �ℎ�� �ℎ� �1���%� 1�&�� �� 7 �1�� ' �� �ℎ� �1���%� ������# �� �ℎ� ��&�� �� ����� �� 3��� 0�� ���� 1�&�3�. W! 3: 7��� �ℎ� �1���%� 1�&�� �� � !, #, 5$ = !#5 �1�� �ℎ� ��)� )������ )# �ℎ�
���������� 0&���� ��� �ℎ� 0&���� ! = 2 , # = 2 , ��� 5 = 2 �� �ℎ� ����� ������. ��&Y: �� �J���ℎ �ℎ� ��)� +��ℎ ����%ℎ �����& �� �ℎ�+ �ℎ� &�3��� �� ����%������
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 26
The volume of the cube is 2$ 2$ 2$ = 8
@ℎ� 1�&�� �� �ℎ� ����%��& �� � �1�� �ℎ� ��)� �� B B B !#5EFEFEF �! �# �5 =
B B COEEFEF # 5 ]FE �# �5 = B B 2 # 5 �# �5EFEF = B 2 GO
EEF ]FE �5 = B 4 5 �5EF = 4 ÊOE ]FE = 8.
∴ .1���%� 1�&�� �� !#5 �1�� �ℎ� ��)� = HÒ�ÓÔÕ} ∭ !#5 �1 = H{ 8$ = 1
Masses and Moments in Three Dimensions
p���: p = ∭ �- �1 � = ������#$
����� 3�3���� �)��� �ℎ� ���������� 0&����: pGÊ ∭ !- � �1, pCÊ = ∭ # - � �1, pCG = ∭ 5- � �1
������ �� 3���: !̅ = ∭ CÙ UÒ� , #� = ∭ GÙ UÒ� , 5̅ = ∭ Ê Ù UÒ�
p�3���� �� ������� ������ 3�3����$
IC = ∭ #E + 5E$ � �1, IG = ∭ !E + 5E$ � �1, IÊ = ∭ !E + #E$ � �1
p�3��� �� ������� �)��� � &��� ^: IÓ = ∭ �E � �1 , � !, #, 5$: �������� ���3 0���� !, #, 5$ �� &��� ^. '����� �� %#������ � )��� � &��� ^: 'Ú = sIÚ p⁄
W! 1: 7��� IC, IG , IÊ ��� �ℎ� ������%�&�� ��&�� �� �������� ������# � �ℎ�+� �� �ℎ� ��%���
IC = B B B #E + 5E$ÛOZÛOÜOZÜO
ÝOZÝO � �! �# �5 c
= 8 B B B #E + 5E$T/EFS/EFV/EF � �! �# �5 y
4 � � B B #E + 5E$�# �5ÜOFÝOF x a
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 27
= 4� � B Gc[V/EF + 5E# ]GDFGDS/E = 4� � B Sc
EuV/EF + ÊOSE $ �5
4� � LScVu{ + VcSu{ M = TSV Ù HE )E + �E$ = �HE )E + �E$. ��3�&��#, IG = �HE �E + �E$ ��� IÊ = �HE �E + )E$. W! 2: 7��� �ℎ� ������ �� 3��� �� � ��&�� �� �������� ������# � )������ )�&�+ )# �ℎ� ���J ': !E + #E ≤ 4 �� �ℎ� 0&��� 5 = 0 ��� �)�1� )# �ℎ� 0���)�&��� 5 = 4 − !E − #E
��&Y: )# ��33���# , !̅ = #� = 0 z
. @� ���� 5̅ +� ����� ��&��&���
pCG = ∬ B 5 ÊDuZCOZGOÊDF- � �5 �# �! z=4-x2-y
2
= ∬ ÊOE- ]FuZCOZGO � �# �!
= ÙE ∬ 4 − !E − #E$E- �# �! y
= ÙE B B 4 − �E$EEFExF � �� �� 0�&�� ����������$ x
= ÙE B [− Hw 4 − �E$[]FEExF �� = HwÙ[ B ��ExF = 32 xÙ[ . p = » \ � �5 �# �!uZCOZGO
F-= 8|� →→ 5̅ = pCGp = 43 , ������ !̅, #�, 5̅$ = Î0,0, 43Ï.
Triple Integrals
1$ ����� ��! ��������� �������� ���0&� ����%��&� ��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ������%�&�� ��&�� �� �ℎ� ����� ������ )������ )# �ℎ� ���������� 0&���� ��� �ℎ� 0&���� ! = 1, # = 2 , ��� 5 = 3. W1�&���� ��� �� �ℎ� ����%��&�.
R
H.W 3
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 28
2$ ����� ��! ��������� �������� ���0&� ����%��&� ��� �ℎ� 1�&�3� �� �����ℎ����� ��� ���3 �ℎ� ����� ������ )# �ℎ� 0&��� 6! + 3# + 25 = 6. W1�&���� ��� �� �ℎ� ����%��&�. 3$ ����� ��! ��������� �������� ���0&� ����%��&� ��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��%��� �� ����� ������ ���&���� )# �ℎ� �#&����� !E + 5E = 4, ��� �ℎ� 0&��� # = 3. W1�&���� ��� �� �ℎ� ����%��&�. 4$ W1�&���� �ℎ� ����%��&�:-
IH = \ \ \ !E + #E + 5E$HF
HF
HF
�5 �# �!, IE = \ \ \ �5 �! �# {ZCOZGO
COy[GO
[GF
√EF
I[ = \ \ \ 1!#5 �! �# �5 }H
}H
}H
, Iu = \ \ \ �5 �# �! [Z[CZGF
[Z[CF
HF
Ie = B B B # sin 5xFxFHF �! �# �5, Iw = B B B ! �5 �# �!uZCOZGFHZCOFHF 5$ @ℎ� ��%��� �� ����%������ �� �ℎ� ����%��& z Top: y+z=1 B B B �5 �# �!HZGFHCOHZH , �ℎ�+� �� �ℎ� ��%��� , side:y=x2 (-1,1,0) '�+���� �ℎ� ����%��& �� �� �f��1�&��� �������� x 1 (1,1,0) �� �ℎ� ����� �$ �# �5 �!, )$ �# �! �5, �$ �! �# �5, �$ �! �5 �#, �$ �5 �! �#. (0,-1,1) z=y
2 z 6$ 7�%��� )�&�+ �ℎ�+� �ℎ� ��%��� �� (1,-1,1) ����%������ �� �ℎ� ����%��& (1,-1,0) y B B B �5 �# �! .GOFFZHHF x '�+���� �ℎ� ����%��& �� �� �f��1�&��� �������� �� �ℎ� ����� �$ �# �5 �!, )$ �# �! �5, �$ �! �# �5, �$ �! �5 �#, �$ �5 �! �#. 7$ 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��%��� )��+��� �ℎ� �#&����� 5 = #E ��� �ℎ� !# − 0&��� �ℎ�� �� )������ )# �ℎ� ���� 1������& 0&���� ! = 0, ! = 1 , # = −1 , # = 1. z
x y
CHAPTER THREE (Multiple Integrals) Page 29
8$ 7��� �ℎ� 1�&�3� �� �ℎ� ��%��� �� �ℎ� ����� ������ )������ )# �ℎ� ���������� 0&����, �ℎ� 0&��� # + 5 = 2, ��� �ℎ� �#&����� ! = 4 − #E. Z
X y