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=54.94 ksi > 36 ksi. , . : : : . ; / \ ~ : i acolumna se encuentra en el rango ineJastico y la ecuaci6n-: :d6Euler no es aplicable

. -...;.;-

esfuerzo bajo el cual una columna se pandea obviamente decrece conforme la co-se hace mas larga. Despues de que ella alcanza una cierta longitud, ese esfuerzoreducido al Iimite proporcional del acero. Para esa Iongitud y longitudes mayo-

de pandeo sera elastico.una columna se pandee elasticarnente, debera ser larga y esbelta. Su carga

calcularse can la formula de Euler

yendo este valor en ladesigna con Fe en el

p n;2E-=--=FA (Llr) 2 . ef6rmula de Euler a una columna de acero. Si el

excede eJ limite proporcional del acero, la , . . . ;El ejemplo .ilustra la aplicaci6nvalor obtenido para una columna pformula elastica de Euler rio es aplicable.

l ! 1 i EJEMP~Oa) Una WlOx22 se usa como columna ncuiaca en su s apoyos de 15 pie de altura.Usando la expresi6n de Euler, determine la critica a de pandeo de Ia co-lumna. Suponga que el acero tiene un limite ional de 36 ksi.

b).Repita la parte a) si Ia longitud se cambia a 8 pie.Solucion.

a) Para'una WIO x 22 (A = 6.49 pulg', r x = 4.27 pulg, Iy =r minima = ry = 1.33 pulg

! : _ = (12)(15) = 135.34r 1.33. (n;2)(29x103)Esfuerzo critico 0 depandeo Fe =...:.._-'-'-----'-. (135.34) 2= 15.63 ksi < limite pde 36 ksi

"-"_.'

OK la calj~a esta en el rango elastica=Carga critica 0 de pandeo = (15.63)(6.49) = 101.4 klb

sando una WI 0 x 22 de 8 pie! : _ = (12)(8) = 72.18r 1.33'

,. . (n2)(29xI03)Esfuerzo crinco 0 de pandeo Fe = . .. ; ._ _ ; _ ; . _ _ - - - , -(72.18)2

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>( 70)

requiere la sec-

Deducci6n de la formulade Euler

La f6rmula de Euler se deduce en esta secci6n para una columna sin peso, recta, cargadaconcentricamente, homogenea, larga, esbe1ta, elastica y conextremos redondeados, Sesupone que esta columna perfecta ha sido deflexionada lateralmente por algun rnediocomo se muestra en la figura B.l y que, si la carga concentrica P se retira, la columnarecuperara surectitud por completo.

F ig ura B .1

Los ejes x y y se sinian como se muestra en la figura, Como el momento flexionanteen cualquier punto de la columna es -Py, la ecuacion de la curva elastica puede escri-birse como sigue: .. EI d2y ='_pdx2 yPar conveniencia en la integracion, ambos lados de la ecuacion se multiplican por

2dy y se lleva a cabo la integraci6n. .

/03---------_-._-__-----_-__---

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B fD ed uc ci6 n d e la f6 rm ula d e E ule r

EI2 dy d dy =-2Pydydx dxEl(:J ~_P:y2 +C1

.Cuando y = 0 , d y/ dx = 0 y y l v alor de C 1 se ra ig ua l a P0 2 y2 .E 1 ( : ) = - py 2 + P0 2

Ala e xp re si 6n a nte ri or p ue de darsele la f orma mas conven ient e s ig ui en te :

(dy ) 2 =!_(0 2 _y2)dx Eldy ~ Ii'~2 _ y2dx ~E i

dy = iF dx. [ 0 2 _ y2 ~E IIn teg~ando esta expresionsc obtiene

. y & P Ca rc se n - = - x + 2o ElCuando x = y y = 0, C 2 = 0: La columna esta f le x ionada en la form a de una se-noide expresada por la ecuaci6n

arc sen}'_=i P xo ElCuando x = L/2, Y = 0 , 10 q ue d a% = ~ [ : ;En es ta ' exp res ion , P es la ca rg a critica de p an deo 0 la carga m axim a que la co-

l umna puede sopor ta r ant es d e vo lv er se ine st ab le . De sp ej ando P;r2Elp=_. L 2E sta ex presi6 n es la form ula de E uler q ue usualm ente se escrib e en una form a un

p oco d if er en te e n d on de a pa re ce la r elaC i6 n d e e sb elte z. C omo r = . . f i / A y r2 = 1/ A eI = r2 A, la f ormula d e Eule r p ue de e sc ri bi rs e c omo

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42 ;7eor;~ de ~ ;;;es4//Cldc! eLh//cde lae~~,1'Los nornogramas se elaboraron con base en un conjunto de condiciones idealizadas querara vez se dan en una estructura real. La 1ista comp1eta de tales suposiciones se muest~aen e1Comentario de la seccion C2 en el Manual LRFD. Algunos de estos son los SI-

RUientes: el comportamiento de las columnas es eiastico todas las column as sepandeanD 'simultaneamente, todos lo s miembros tienen secciones transversales constantes, todoslos nudos son rigidos, etcetera. .Si las condiciones rea1es SOndiferentes de las supuestas, se pueden obtener valoresK muy grandes y lo s disenos resu1tantes seran sumamente conservadores. Un gran por-centaje de columnas fall an en el intervalo ineiastico, pero lo s nomogramas se preparansuponiendo comportamiento elastico, Esta situaci6n expuesta previamente en el capi-tulo 5 se ilustra enla figura Para_estQs-c3s0s-los-vaJores-de-K son muy conservad:-o--~~~-

---res y deben corregirse como se describe en esta seccion.En el intervalo elastico la rigidez de una columna es proporcional a E1 en donde

E =29 00 0 ksi, en tanto que en el intervalo inelastico Ia rigidez es mas bien proporcio-nal a ETl en donde Ej es el modulo reducido 0 el m6dulo tangente.

En los nomogramas se mostr6 que la resistencia a1pandeo de columnas en marcosesta relacionada con

G=.rigidez de Ia columna = IJEIIL)de las columnasrigidez de las trabes L (EllL) de las trabes

.. ; ,~- - .. Silas columnas se comportan elasticarnente, el modulo de elasticidad se cancela en.:'Ja.expresi6n anterior para G. Sin embargo, si el comportamiento de la columna es ine-.. ' -Iastico, los factores derigidez de la columna seran menores e iguales aETl/L. Como

.. tado, el factorGusado para consu1tar el nornograma sera menor y el factor K resul-pequefio.

,', Aunq:ue ios nomogramas fueron elaborados para una accion elastica de las colum-. . . usarse para una situaci6n inelastica si el valor de G se multiplica por su fac-

correcci6n Ilamado factor de reduccion de fa rigidez (FRR). Este factor dees igual a 1 modulo' tangente dividido por el modulo elastico (E T / E ) y es

~1;l.rp.aqfl.~ne;ntegual a Fer inelast ico / Fer elast ico ::: ::(P u / A )/ F er elast ico : Los val ores de

Elastico

Longi tud no s opo rt ada

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TABLA FACTO RES DE REDUCC/ON DE R/G/DEZ PARA COLUMNASPulA r, PulA r,ksi 36 ksi 50 ksi ksi 36 ksi 50 ksi42 0.03 26 0.38 0.8241 0.09 25 0.45 0.85 .:40 0.16 24 0.52 0.8839 0.21 23 0.58 0.90,38 0.27 22 0.65 0.9337 0.33 21 0.70 0.9536 0.38 20 0.76 0.9735 0.44 19 0.81 .0.9834 0.49 18 0.85 0.9933 0.53 17 0.89 1.0032 0.58 16 0.92 .! -31 0.63 15 0.9530 0.05 0.67 14 0.9729 0.14 0.71 13 0.9928 0.22 0.75 12 1.0027 0.30 0.79 11 - l -

-Indica no es aplicable

esta correcci6n se muestran para varios valores Pu I A en la tabla que es la tabla' ",del Manual LRFD; en este se presenta un rnetodo directo para considerar el pandeo 'lastico. Los pasos necesarios son los siguientes:

1. Calcular P; Y seleccionar una columna de prueba.2. Calcular Pu jAy escoger el FRR de la tabla en la segunda parte del(Si P; I A es menor que los valores dados en la tabla, la columna seel intervalo elastico y no es necesario hacer ninguna reducci6n.)

3. Se calcula el valor Gelastica y se multiplica por el FRR; luego se determinaKel nomograma.

4. Se calcula Ia relacion de esbeltez efectivaKLlr, se obtiene e cFcr en else multiplica por el area de la columna para obtener P u' Si este valor esferente del valor ca1culado en el paso I, se escoge otra columna y secuatro pasos.

EI ejemplo ilustra estos pasos para el disefio de una columna en un marco .desplazamientos Iaterales. Se vera en este ejemplo que el autor solo hacornportamiento en un plano y soloflexion respecto al eje x. Comoc6mportamiento inelastico, el factor de Iongitud efectiva se reduce apreCli:iUlv"".'~-I ! ! l EJEMPLOSeleccione una secci6n W12 para la columna AB del marco mostrado en Ia fig~suponiendo a) comportamiento elastico y b) comportamiento inelastico de la

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acero A36. Pu = 1 210 klb. Suponga que las columnas arriba), abajo de la ABusa d I t - 'Cd' .roximadamente e misrno arnano que esta. onsi ere solo el comportamlento:plano. Los extremos alejados de las trabes estan empotrados contra rotaci6n.

Igual tamaiioqueABWI8 x 50 WI8 x 50 -+12ie

---~if~=~8~0~OP~U-lg~4)~A--------+--------

W18x50 BW18x5012pieIgual tarnaiioqueAB

~ 30 pie-+-- 30 pie ~Solucion.L . 2 Suponiendo a la columna en el intervalo elastica y seleccionando una secci6n de

prueba basada en una K yLy estimada de 12 pie. Ensayamos una W12 x 170 (A = 50.0 pulg2, Ix = 1 650 pulg4, rx = 5.74 puJg)

,. GA

=GiI ' 2 . / I e / LJ = (2)(1650/12) = 7.70I J I g / L g ) (2)(800/30)(0.67). K =2.65 segun el nomogram a de Ia Fig .. ( K L ) = (2.65)(12 x 12) = 66.48

r x 5.74,"';.: ,,"''-';'' cFcr =24.25 ksi:::...r; = (24.25)(50.0) = 1 212 klb > 1 210 kJb

Usar W12 x 170-:.; b)' Soluci6n ineJastica

Ensayamos una secci6n mas ligera: W12 x 152 (A =44.7 pulg2,Ix = 1430 pulg4, rx = 5.66 pulg)Pu = 1210 = 27.07 ksiA 44.7FRR =0.294 de la tabla 3.1 del Manual,por 1 0 que la COIUlTIllase encuentra en eJ intervalo inelastico.GA =GB = LUciLe) (FRR)L(IgILg)

= (2)(1430/12) (0.294) = 1.96(2)(800/30)(0.67)

(OK)

K = 1.57 del nomogram en la figura .KL = (1.57)(12 x 12) = 39.94r 5.66eFer = 28.14 ks iP u = (28.14)(44.7) = 1258 klb >i210 klbUsar W12 x 152 (OK )I

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---1~~'~.~'Raz6n Razones l lrnite ancho-espesorancho- A p A rDescripci6n del elemento espesor (compacto) (no compacto)

sPatines de vigas bit 651.[F;[c] 1411~Fy-l0! laminadas Ii; ", . y canales en flexionPatines de perfiles I bit 651-JF;; 162U]hibridos 0 ~(F_' f -16.5)/kevigas soldadas en flexionPatines proyectantes de bit NA (no aplicable) I09/~Fylke[f]miembros

'" compuestos a compresion0-0ro 951.[F;Lados salientes de pares de bit NA:g.0) angulos en contacto-ccontinuo, patines de0c :: canales en cornpresion(f)0 axial; angulos ycO J placas proyectantes deEO J vigas 0 miembros aU J compresion

Lados de puntales de bit NA 761jF;angulos simples; lados depuntales de angulos doblescon separadores; elementosno rigidizados, es decir,soportados a 10 largo deun borde

Almas de Tes dlt NA I71jF;Patines de secciones en caja bit 1901.[F; 2381)F;0 cuadrada 0 rectangular y0ell secciones estructurales:g huecas de espesor uniforme)c sometidas a flexi6n 00C compresi6n; cubreplacas de'WE patines y placas deO J diafragmas entre llneasm de conectores 0 soldaduras

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Columnas largas, cortas e intermedias

(continuaci6n)Raz6n Relaciones limite ancho-espesorancho- A .p A r

del elemento espesor (compacta) (no compacta)An ch o n o s op or ta do d e bIt NA 3171.]F;cubreplacas perforadasc on u na s uc es io n d eagu je ros de acceso [b]

Almas en compr es io n h/tw Fy [e] s; [g ]por f lex ion [a ]

Almas en f le x io n y hlfw para PJhPy s 0 . 1 25 [ e ] [g ]. c ompr es io n ax ia l 9 7 0 ( 1- 0. 74 ~ )combinadas 64 0 (2 .3 3 - 2.75Pu J j F ; bPyjF; bPy

para PulbPy > 0.125 [e]0. . . . ,c ~(2.33-~);?' 253Q)'E .]F; bPy . jF;)ill

Todo s l os o tr os e lement os bIt NA 2531jF;r ig idiz ados , e s dec ir , hltws opo rt ado s a 1 0 largod e d os b o rd es ,uniformementecomprimidos,Secc iones c i rcu la r es huecas Dlt NA[d] 330.01Fye n c omp re si on a xi al

En f le x i6n 2 8970lFy.[a] Para vigas hfbridas, use la resistencia a la fluencia del patin 0f envez de0[b ] . Se supone el area neta de laplaca enel agujero mas ancho.[e ] Se considera una capacidadde rotacion inelastica de 3. Para estructuras en zonas de alta sismicidad, puede

requerirse una mayor capacidad de rotacion.[d] Para disefio plastico use 1300lF rte l F, = esfuerzo residual de compresion en el patin= 10 ksi para perfiieslaminados

= 16.5 ksi para perfiles soldados4 .Ul kc = trr:: pero nomenor que 0.35 ~kc ;

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( r r f 7 ( 4 . . L C J / 7 t f ' i /udru- ~;Zec;Z;~de ~.;;z7Jdc:CJ- ehd~-/;/??/l25; . j ! : t I cV'i/dJd..;;JO f ~77~d-nd.o /a~ d i ! E ? n?arc-as 6p ; 1 b La restricci6n en los extremos y su efecto en la capacidad de carga de una columna es en ;il'l~ verdad un concepto rnuy importante. Las columnas con apreciable restricci6n en sus;; : l . l ~ extremos pueden soportar cargas mucho rnayores que aquellas con poca restriccion,t i ' j j como es el caso de columnas con extremos articulados.; ! , j ! . La longitud efectiva de una columna se definio en la ultima seccion como la distan-' j ! ' cia entre puntos de momenta nulo en la columna, 0 sea, la distancia entre sus puntos de- I I inflexion. En las especificaciones de acero Ia longitud efectiva de una columna se denc-..;~ mina KL en donde K es el factor de longitud efectiva. K es el mimero por el que debe.

: : I ! ; ~ : multiplicarse la lo~gi~d de la ~olumna para obtener su longitud efectiva. SU.magn!tud'! F depende de la restnccion rotacicnal en los extremos de la columna y de la resistencie al '; : ; : 1 \ : movimiento lateral de esta,( l ! : EI concepto de longitud efectiva es simplemente un metoda matematico para reem-) i . plazar una columna con cualquier condicion en los extremos, por una columna equiva-,-- lente con extremos afficuladqs:-Se poa.ria efecruar un complejn-analtsis-del-pandeo-de' ;.

un marco para determinar el esfuerzo critico en una columna particular. Elfactor K se : idetermina encontrando la columna articulada can una longitud equivalente que prop or- ;::;cione el mismo esfuerzo critico. EI procedimiento del factor K es un metodo para en-j. contrar soluciones simples a problemas complicados de pandeo en marcos. f J

- 1

1 II ... KL = 0.5L L Le sus ex- . J J :Jlumnas ,,'.taciones .e existen 7kse en laK= ]'0 K= 0.050 } ; = 0.70(a) . (h) kJ

Longitudes efectivas de columnas en marcos arriostrados (ladeo irnpedido).Colurnnas con condiciones de extremo diferentes tienen longitudes efectivas COID-

pletamente distintas. En esta exposicion inicial se supone que no es posible el ladeo 0, traslacion de las juntas. Elladeo 0 traslaci6n de lasjuntas significa que uno 0 ambos ex-tremos de una columna pueden moverse lateralmente entre sf. Si una columna esta arti-culada en sus dos extremos como se muestra en a) de Ia figura su longitud efectivaes igual a su longitud real yK es entonces igual a 1.0. Si los extremos estan perfecta- .mente empotrados, sus puntos de inflexi6n (0 puntos de momenta nulo) se localizan en .los cuartos de la altura y 13.longitud efectiva es igual a LI2 como se muestra en b) de lafigura K es entonces igual a 0.50. .. Resulta claro que entre menor sea la longitud efectiva de una columna, menor sera

el peligro de que se pandee y mayor su capacidad decarga. En c) de la figurai . se'muestra una columna can un extremo empotrado y el otro articulado; la K para esta co- ;.;lumna es te6ricamente igual a 0.70. .

.En reaIidad nunca se tienen ni articulaciones ni empotramientos perfectos, por 10que las columnas comunes quedan entre los dos casos extremos. Pareceria que las lon-gitudes efectivas de las columnae siempre varian entre un minimo absoluto de LI2 y unmaximo absoluto deL,pei-o hay excepciones a esta afirmaci6n. En la figura -a) se daun ejemplo de esto con un simple marco. La base de cada una de las columnas esta arti-culada y el otro extrema puede rotar y moverse lateralmente (Iadeo ). En la figura se veque Ia longitud efectiva excedera a Ia longitud real de la columna, ya que la curva elas-ticetomara en teoria la forma de la curva de una columna doblemente articulada de lon-gituddobley K sera igual a 2.0. N6tese en b) 1 0 pequefia que seria Ia deflexi6n lateral dela columna AB si estuviese articulada en ambos extremos para impedir eI ladeo.

Las columnas de acero estructuraI sirven como partes de marcos; los que a vecestienen arriostramiento y en otras ocasiones no. Un marco arriostrado es aquel en elque

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f\ \\\\ D eflexion .

lateral ( ladeo)

\\\\\\ \1II-----i ./ La colu~na se encuentra~ en esta posicion despuesI del ladeo y de la roracionI de las jun ta s

IIIIIII

\1Denexion LI lateral ( ladeo)I/

IIIIL IL ~

'/(a) (b)

el soporte lateral de las estructuras adjuntas. Un marco sin arriostrar no tiene ningunode estos tipos de soporte y depende de Ia rigidez de sus propios miernbros para impedirel pandeo. En marcos arriostrados los valores K nunca pueden ser mayores que 1.0,pero en los marcos sin arriostrar estes siempre son mayores que 1.0 debido alladeo.

La tabla C-C2.1 de los comentarios a las especificaciones LRFD presenta los facto-res de longitud efectiva recomendados cuando se tienen condiciones ideales aproxima-das. Esta tabla se reproduce aqui como la tabla 5.1, con permiso del AISC. Seproporcionan en la tabla dos grupos de valores K; uno de ellos es el valor teorico y elotro el valor recomendado para el disefio, basado en el hecho de que no son posibles lascondiciones de articulacion y empotramiento perfecto. Si los extremos de la columnaen la figura b) no fueran perfectamente fijos, la columna podria deflexionarse unpoco y la distancia entre sus puntos de inflexion se incrementarta. El valor K recomen-dado para diseiio es de 0.65, en tanto que el teorico es de 0.5. El proyectista puede inter-polar entre los valores dados en la tabla, utilizando su buen juicio al estirnar lascondiciones rea1es de restriccion.Los valores en la Tabla 5.1 son muy utiles para disefios preliminares. Al usar estatabla casi siempre aplicamos los valores de disefio y no los valores te6ricos. De hecho,los val ores teoricos deberian usarse solo en aquellas raras situaciones en que los extre- .mos empotrados estan en realidad casi perfectamente empotrados y/o cuando los sopor-tes simples estan c a s i p o r completo libres de fricci6n (esto significa que casi nunca).

Usted notara en la tabla que-para los casos a), b), c) y e), los valores de disefio sonmayores que los valores teoricos, pero eso no es asi para los casos d) y f), donde los va:lores son los mismos. La razon para esto en cada uno de esos dos iiltimos casos es que 51las condiciones articuladas no se encuentran perfectamente sin friccion, los valores : r z

- , _ f \ ; : : ; ~. i "

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pres i6n

'\jl--Def1exi6n LI lateral (Iadeo)II

(b)

irriostrar no tiene ninguno.os m iem bros para im pedireden ser m ayores que 1.0,que 1.0 debido alladeo.s L RF D presenta los facto-Ii ci on es id ea le s a pr ox im a-m permiso. del A ISC . Selos es el valor te6rico y elde que no son po sib le s lastS extremes d e 1 a co lu mn ara podrla de fle xion ars e u n.taria. Elvalor K recomen-E I p roy ectista pu ede inte r-men ju icio al estimar lasprelim inares. A l usar esta'alores te6 ricos. D e hecho,uaciones en que los extre-ados y/ o cu an do los so po r-;ign ifica q ue cas i n unca)., los val o res de disefio so niasos d) y f), donde los va-dos tiltim os casas es que sisin friccion, los valores K

E l e m e n to s a t ie s a d o s y n o a tle s ad o s

LONGITUDES'EFECTIVAs DE COLUMNAS'La~ i i l leas intenumpidas, m u es tra n la f orm a p an de ad a.: d e la c olu m na

a) b) c) d) e) f)! ~ . J J

J ' 1 l lr y / 1 1IIt 1 t t t0. 5 0.7 1 .0 1.0 2.0 .. 2.0'0 .65 0 .80 1.2 1 .0 2 .10 2 .0

'1" Rotacion y t ra s lac ion imped idos~. Ro ta c io n l ib r e y t ra s lac ion imped idae lf Ro ta ci 6n imped id a y t ra s lac ion l ib r e

y Rotaci6n y t ra s lac i6n l ib r e s

. V a io r K te 6ri coV a lo re s r ec ome nd ad os d e d is ef io' '' _ c u ando l as . c ond ic io n es r ea le s

. e , s on p ar ec id as a la s i de al es

S lmbo lo s p a ra l as cond ic io n es. d ee xtr er no

. resultaran mas pequefios en vez de m as grandes. E ntonces, haciendo los valores de di -sefio igu ale s a lo s te 6rico s, q ue dam os de l lado de la seguridad. . . .Lo s va lo res Ken la tab la' .: so n pro bab 1eme nte m uy s atisfactorio s para dis efiar co -1 um nas ais1 adas, p ero para co1 um nas e n m arco s con tin uo s so n probablemente satisfac-torios s6 10 p ara hacer disefios preliminares 0 aproxim ados. Tales columnas estan

restringidas en sus extrem os por sus conexi ones a varias vigas y las v ig as m i sma s estanconectadas a otras colum nas y vigas en sus otros extrem os y resultan por ello tambienre strin gid as. E sas co nex i o ne s pu ede n afe ctar co ns ide rab 1emen te lo s valores de K. En. consecuencia, para la mayoria de los casos, los valores en 1a tabla ,no son adecuadosp ar a l os d is ef io s f in ale s.P ara m arcos continuos es necesario usar un m etoda m as ex actci para calcular losva lo res K. Esto s ~ h ac e u su almen te usando nom ogram as q ue seran presentados en laprim era secci6ri def 6apitulo . A hi encontrarem os nom ogram as para determ inar v alo-re s K para colum nas d e m arco s arrio strad os con tra ladeo y p ar a m a rc os n o a rrio str ad oscontra ladeo. Dichos nomogramas deben usarse siem pre para los disenos finales de co -lumnas.

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..rEjE!J1fJl.o$ tlTIL /L~A/_;)O mrlild' j1fl!//v)}ll!Jl*~trglff.d .}~~~~},> . : : . _ . : . 5 : f t r ~ En teoria puede seleccionarse un sinfin de perfiles para resistir con seguridad una carga:~r. :::~:~"::d~ compresi6n en una estructura dada. Sin embargo, desde el punto de vista pnictico, e!;~:. . '~./i:ie{,nurnero de soluciones posibles se ve limitado po r el tipo de secciones disponibles, p o F i S ; : : - ! "problemas de conexi6n y el tipo de estructura en donde se va a usar la secci6n. Los pa~'2;~jr:afos que siguen intentan dar un breve resumen de las secciones que han resultado saj&tltlsfactorias para ciertas condiciones. Esas secciones se muestran en la fizura , larffletras entre p~rent~_sisen los apartados que siguen se refieren a las partes de~sa figura. : > ~ J

Las secclOne~~4tiIizadas para miembros a cornpresion por 10 cornun son similares a , : , i 2 ilas empleadas para miembros a tension con ciertas e x c e p c i o n e s . Las excepciones J a f : : i . ~ 1 \ t~::~a ~l hecho de que las re_sistencias de los miembros. a compresi6n va~an en ci~~aref~~{ion In:rersa con las relaclOnes de esbeltez y se reqineren entonces rniembros ngldosid~!,'. . '.~.

'~-" ., " .''/i" Palin '

_ _ _ C _ _ _ ~ : ! ' . . ' _- - - - - - I ! , " i l i " " ' 0",," ~,,,";enll~~167%-H---~---I"1----- _~ A~ . ~" .\'... . -,"' ; .\ '

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liTAngulo doble Te

(b) (c)

IF--='II II l: ._ - =' ISec cion e n ca ja

con cua tro angulos(i) - I

(rn)cubreplacas

(n)

Seccionarmada(0)

Perfiles usados para columnas[I 0 D lCanal Columna W Tubo 0 tubular Tubular(d) . (e) circular cuadrado(f) (g)

C _ J J~~[ J _ _ _Seccion en caja Seccion en caj a Sec cion e n ca ja

U ) (k) (I)

armada(p)

Tipos demiembros a compresi6n.

tarnafioANGULO DE LADOSDESIGUALES (LD)ANGULO DE LADOSIGUALES (L1)

y

d

..::.';,

Wconcanales(q)

Seccionarmada(r)

Seccionarmada(s)

~I

I I! j i. L ' - ' - ' - X j "."'_X' l:L--i------- = espesor '--+-_~ _ espesar! y tx . ytarnafio

~PERFIL I ESTANDAR (IE)

y

I

x

z;Y tPERFIL I SOLDADO (IS)

yREDONDO SOLIDO LISa (OS)

ytamafio I- ~

~ , . . ~ : ' ' _ _ ~ . . . ! ! ! ~ = l = " ' : ' ' ' ' ' ' ' t : : l l - ] - ' l a m a i i : - ' - ' ~ _ _ ;i ! { .y y PERFIL C FORMADO

TUBa CUADRADO a RECTANGULAR (OR) EN FRio (CF)

PERFIL C.ESTANDAR (CE)

YPERFIL I RECTANGULAR OR) PERFIL T RECTANGULAR (TR)

xd "

DI+---y--+

x$x~t yTUBa CIRCULAR (0 C)y

IYPERFIL Z FORMADO

EN FRio (ZF)

d

I

1

Il

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:i,. 'j

I J ' L ~ iI i I . :Ii.'i:: .'"

(OK)es pue-:oradosiversasdel es-lera unngulospartes

. ".4b !% Z 1 I J ' / J t i / / J J J l j l ; l J l J 3 . t l ? t l J l Y j J ! J l : 4 . r 7 i f i i 1 l i J i ALos lados abiertos de miembros a cornpresion fabricados con placas 0perfiles pue-

den conectarse entre si por medio de cubreplacas continuas con agujeros perforadospara fines de acceso 0 bien po r medio de celosia y placas de union.

El proposito de las cubreplacas perforadas y de la celosia es mantener las diversaspartes paralelas as! como la distancia correctaentre ellas e igualar Ia distribucion del es-fuerzo entre las partes. El estudiante entendera la necesidad de la celosia si considera unmiembro.compuesto.queconsisja en varias secciones (como el miembro de 4 angulosde la figura ~que soportan una fuerte carga de compresion. Cada una de las partestendera a pandearse individual y lateralmente a menos que ellos se unan entre si para ac-tuar como una unidad al soportar la carga. Ademas de la celosia es necesario tener pla-cas de union ( ta rnbien l lamadas placas de apoyo 0 de celosia) tan cerca de los extremosde los mierribros como sea posible y en los puntos intermedios si la celosia es interrurn-pida, Las partes a) y b) de la figura' muestran arreglos de las placas de union y de ce-losia. En las partes c) y d) de la misma figura se muestran otras posibilidades.

En el pasado el mal funcionamiento de varias estructuras ha sido atribuido a celo-sias inadecuadas de los miembros a cornpresion. Tal vez el ejemplo mejor conocido esla falla del puente de Quebec en 1907; despues de su caida, la opinion general fue que elfuncionamiento de la celosia de las cuerdas de compresion fue demasiado debil y pro-voce la falla. '

Si se usan cubreplacas continuas perforadas con agujeros de acceso para unir losmiembros 'entre S 1 , la especificacion E4 del LRFD establece que a) ellas deben satisfa-cer las razones limite de ancho a espesor especificadas para elementos en cornpresicnpor la seccion BS. l de las especificaciones LRFD; b) laraz6n de la longitud del agujerode acceso (en la direcci6n del esfuerzo) al ancho del agujero no debe exceder de 2; y c)la distancia libre entre los agujeros en la direccion del esfuerzo no debe ser menor que ladistancia transversal entre las lineas mas cercanas de conectores a soldaduras. Las con-centraciones de esfuerzo y los esfuerzos p O T flexion secundaria generalmente se descar-

Colurnnas cornpuestas can componentes sin contacto entre slCelosiasimple

i D O iI III II n 0 1a)

P la ca s d e u ni on i nt er m ed ia( a c ad a l ad o d e i nt er ru p ci on e s)

b)

Cubreplacasperforadas\ -'6-'0 is 0 -0 - (5 - -0 -0 -0- -0 0 0 0 0 0 0~ C) ~ C)-0 0 Q . - 0 _0 0 .9 0 0 _0 _ 0 0 _0 0 0 o . Q (-c)

JI

t/

"

,

':.

f~..~J,..r, . . f '

1 : , '" . .. . .. . _ ' ' -, . ' . . _ "!

. . . . " .

(E cuaci6n F 2-3d el L RFD)P ara c ad a u na d e la s situ ac io nes d ad as V u = v V n co n v = 0.90. E l apendice F 2.2

del L RFD da expresiones para la resistencia general de disefio por cortante de almasco n 0 sin a tiesa do re s. E l ap en dic e G 3 tamb ie n p ro po rcio na u n m eto da alte rn ativ o p ara. t rabes armadas que utilizan la acci6n de cam po 'de tensi6n (vea el capitulo 18). ." .

En el ejem plo . se calcula la resistencia por cortante de una viga.! i l l E JEMPL O 10.2S e usa una W 24x 55 (d = 2 3.5 7 pulg, t w = 0 .3 95 p ulg , k = d is ta nc ia d e la fib ra e xtJ :em1h '; '~ ;~ 1de l patin a la punta del filete del alm a = 1 1 5 6 pulg) de acero de 50 ksi para la viga ymostrada en la f igura . . 'Revise el cortante en ella.. .

~ 11 '" =7.3klb/pie(incluyepesodelaviga)r/2/fl/T~fl)/lZ2ZZZIZZ/flZI7~. . ~

73klbf--------20 pie---------1 73klb

Solucion.h = 23.57 - (2{ 1~56) =20 .94 pulg

_!:_= 20.94 = 53.01< 418 = 59. t w 0.395 1 5 0 .

Yn = (0.90)(0.6)(F yw ) (Aw)= (0 .90)(0 .6)(50)(23.57 X 0.395 ) = 25 1.4 klb > 7 3 klb

Nota: E n: la parte 4 del M an ual L RFD se encu entra un gran m im ero de tablasda s B eam s W sha pe s m axim um factore d uniform load in kips for b ea msported (Cargas uniform es m axim as factorizadas en kips para vigas Wlateralm ente). E ste titu lo Ie parece in adecu ad o al autor, ya que o tro tanto d eci6 n p ue de o bte ne rse d e esa s ta blas como las resiste ncias d e d isefio p or co rta ntere s Yn a s! c omo i nfo rma ci 6n re la ti va a la flu en ci a d el a lm a , a pla stam ie ntoo tro s c on cep to s q ue se v era n d esp ue s.

S i la V u p ara u na v ig a p artic ular e xc ed e la resiste nc ia e sp ecific ad a p orL RFD, e l p ro ce dim ien to u su al es se le cc io nar u na se cc i6 n lig eram en te m asem bargo, si es necesario usar una secci6n m ucho m as pesada que lam ento, pueden soldarse placas dobles (figura . .) al alm a de la v iga 0tarse atie sad ore s a la s a lm as en zo nas d e alto c orta nte . L as p lac as d ob leslo s re qu is ito s a nc ho -e sp es or p ara e lemen to s compactos a tie sa do s d ese cc i6 n B .5 d e la s esp ec ifica cio nes L RFD . A demas, d eb en so ld arse

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/5

klb (OK) IIti me ro d e ta b l as titu la -r b "!a ms la te ra lly su p-1 vigas W sop orta da sotro tanto de inform a. ' .10 p ar c or ta nte 0 valo-.a stam ie nto d el a lm a y.ic ad a p ar c ortan te d el.iente m as pesada. S in!la teq uerida por m o-v iga a pueden conec-d ob les d eb en c um pliros de acuerdo con lar~ e su ficien tem en te a

Despat inado~ ua ci6 n F 2-3 d el= 0 .90 . E I apendic- e10 par cortante d, d e.me t a 0 altemativI' 0:a e capituh, 18).!e una v iga. i~i6I

P l ac a s d obl es s ol da d asa l alm a d e la v ig a

.. In crem ento de lar es is te nc ia po r cor ta n te d e un av ig a u sando p la c as dobl es .

. ?o sib le fall a p or b lo que de co rtantea 1 0 la rg o d e la l in ea d e p un te ad a.

las alm as de los m iem bros para que puedan desarrollar su parte proporcional de lacarga.La r es is te nc ia e sp ec if ic ad a p ar a c or ta nte p or e l LRFD d e u na v ig a 0 trabe se basaenel area entera del alm a. S in em bargo, a v eces una conex ion se hace a solo una peq uefiap orc i6 n a altu ra d el alm a. Ental c aso , e l in ge nie ro p ue de suponer q ue e l c orta nte estare pa rtid o s ob re s6 10 u na p arte de la a ltu ra d el a lm a p ara f in es d e c alc ulo d e la re sis te nc iap or c or ta nt e. P u ed e en tonces ca lcu la r A w com o igual a i;v ec es la m e no r a ltu ra y usarlaa s! e n la e xp re si 6n p ara la re si ste nc ia p ar c orta nte .C ua nd o la s v ig as q ue tie nen su s p atin es su pe rio re sa la m ism a ele vac i6 n (situ ac i6 nu su al) se c on ec ta n e ntre s i, su ele se r n ec esa rio d es pa tin ar u na d e e lla s, c om o s e mu estraen la figura '. Para tales casos existe la posibilidad de una falla por b loque dec orta nte a 1 0 l arg o d e la s lin ea s p un te ad as m o stra da s. E ste tem a s e a na liz 6 p re vi am e nteen la secci6 n 3.7 y se vera de nuevo en el capitulo 15 .

T .. :_ , . . . .::~ ',~..'v , 'i-

1~3

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"TORSION EN SECCIONES "I'" '( O"'-t-lA 1 . . . .. .

Como se menciono anteriormente, normalmente la tor-s~on restringida se produce cuando el alabeo 'no s e pre-

te, siendo evitado por alguna otra solic~tacion que se oponga'a su total acci6n sobre un elemen-tOj tal restricci6n contra el alabeo se explica clara--m en te a co nt inu ac io n:

Para barras de secci6n transversal s61ida, tales c~mo elipses 0r ec ta ng :u lo s, e l a J, ab eo p ro d~ ce s ol am en te -un efecto despreciable sobre el angulo de torsion al -~considerar que las dimensiones de la seccion transver--

. ,'s al s on p e qu ef ia s_ e, nc om pa r a c L o n " co n l a L on qLtiud de' la -barra.

En 'el caso de vigas "I", canales y otros miembros -de pared delgada de seccion transversal abierta, la restricci6n del alabeo durante la torsion es provocada porla flexion de ,los patines y puede tener un efecto considerable sobre el angulo de torsion.

Un caso simple en el cual el alabeo es restringido,se demuestra en una viga "I " torcida'por un par en la -mitad y simplemen!e apoyada en sus extremos (FIG. ').

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Por simetria, la seccion transversal "mn" debe permane-cer plana durante la torsion y la rotacion de esta secci6n -'transversal con respec'to a las secciones transversales extremas es acompanada por la flexi6n de l~s patines. El momentotorsional extremo es equilibrado parcialmente por los esf,uer:'zos cortantes ~ __:'....nerq,_,a torsion":;[_ por los esfuerzos cor--tantes _c:n:!erovoQ.aa flexion de los patines.

La (Fig_ 19a) representa a la mitad de la viqa mostradaen la (Fig. La secci6n transversal media' " r nf i " permane-

la simetria y se puede considerar como - -e plana par"empo t.rada II , con el rnomen t;o torsional aplicado en el otro extremo de la viga.

Sea () el angulo de torsion para cualquier secci6n tran~versal de la viga, entonces la parte del momento torsional -(Mt') la cual es equilibrada por los esfuerzos cortantes quegenera. la torsion, es deterrninada de .La ecuaci6n sLquferrt.e e

Mt' C ~ --------------~---- (a)dx

..~';.,~'c-

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'\

En la eual (e) es La rigidez torsional de la barra.

(b)

x

(e)

w = _ ! : : _ < L ,2

(b)

As! que para poder determinar la parte del momenta "tor-"sionante (Mt") el eual es equilibrado por las fuerzas corta~tes en los patines debido a la flexion, se debe eonsiderar -la flexion de un paUn (Fig: C)

Denotando par" (h) a la distaneia entre" los eentr9ides-de los patines (Fig. b), la deflexion en eualquier seeeipntra"nsversal sobre el patin es:

.. ;.;...

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.--------.--.

d if er en ci an do se o bti en e:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( c )

expresi6n para la fuerza cortante

3Dbd c P ----------~----(d)

Dondela rigidezde (V) comose tiene:

(M) es el momentoflexionante en el patfn y(D)" esf lex io na nt e, c on si de ra nd o l a d ir ec ci 6n p os it iv ase muestra ella (Fig. IC ) I p or c on si gu ie nt e

~4t" d3c pdx3 -------------(e)Vh 2

Y el momento torsionante total es:

!.1t + Mt"3c d< i> h d < P

dx - D:1 ax' -----(23)

' La s c on di ci on es d e f ron te ra p os ib le s, d e acuez do conlas restricciones que existen en cualquier elemento. suje-to a torsi6n son:sf 4 > = 0 Se dice que la secci6n no puede girar al-

rededor del eje "x" .

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c p ' = d C Pdx o Indica que la secci6n no puede alabear-se (los desplazamientos por alabeo a 16largo de trayectorias paralelas al eje longitudinal "X", valen cero).

c p , , = d 22 C P = 0 s~ refiere a una secci6n que tiene la litospor alabeo a 10 largo de trayectorias para-lelas al eje longitudinal "x" son diferen--tes de cero), y la deformacion unitari~ delas fibIas longitudinales de la secci6n quese deforman axialQente, valen cero.

Quiere decir que en una secci6n, e1 es-fuerzo cortante debido al alabeo es nu10.

Bajo La consideraci6n del problema de La (FIG. '-c)el momento torsionante (J.lt)s constante a 10 largo de1a longi tud (L) de 1a viga.

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que las condiciones de frontera para este problema son:o =0

x= o

23) se deduce que:

C P " ,2

a las caracter1sticas de la ecuaci6n, se concluyetiene 2 soluciones. Una "HOMOGEN A Y OTRA PARTICULAR"

Sg Sp + Sh

bien, considerando:

c p . ' = ; \ Y < p ' " ;\ 3

la soluci6n homogenea"sera de la forma siguiehte

. h2C ;\ -_D __ ;\3= 02

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factori.zando

A ( c - D h 2 A 2 ) 02

o

ahora bien, si se considera que "a" es soluci6n de la e'cue-ci6n caracterfstica, entonces la "soluci6n particular" es -de la forma:

Sp = aoxt j>'p ao y Mt Ca o

ao Mtc

por consiguiente:sp. = Mt x

cy la ecuaci6n general queda:

AM 7

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60/75 .. ;~~

Sg Mt X + Cl+ CZ eAZ x + C3eA3XC

ahora si se ap1ican las condiciones de frontera en:

~d ~) = M. t + CzA2+ C3A30

~ x=o C

~d2~~ = C A2 A2i +A2 A 3i 0

2 2e C3 3e =dx2 =J t

y se resue1ven, se 11ega a 10 siguiente:

.J0L = co s h A 3 (i -X)dx cos hA3i

donde:

y sustituyendo en 1a ecuaci6n ..(e ) se obtiene La soluci6nde 1a ecuaci6n (23).

en 1a cua1:a2 ~ ---------------(g)

2c

1

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Ya que la rigidez flexiDnante "D" y la rigidez tDrsiDnal"e " sDn ambas medidas en las mismas unidades (Kg-cm2), la ecuaci6n (g) demuestra que "a" tiene las dimensiDnes de la lDngi--tud y depende de las prDpDrciDnes de la viga.

en la ecuaci6na 10. --

permane~c a c Dn st an te .

Lu e qo ent.onces se 'puede dec'ir que, la tDrsi6n de una ba--rra la cual depende de la flexi6n ~ IDS -;atines y _ es ~i;ra:;;por una ecuaci6n similar a La ecuac Ldn : (23) es llamada "TORSIONNO UNIFORME RESTRINGIDA".

CuandD d/dx es determinado, las pDrciDnes Mt' y Mt" delmDmento torsiDnante tDtal (Mt) pueden ser calculadas para cual-quier secci6n transversal de las ecuaciDnes (a) y (e). Para l,asecc ion empotrada donde X=D y d;P/dx = 0, se cbtdene de la ecua',-'ci6n (a) que Mt' = O.

Ya que en este punto. el mom..snto to.rsio.nanteentero. es equ~librado per el momento. de las fuerzas co.rtantes actuante eri IDSpatines, y t.enLerido V = - Mt/h. En el extreme X= Q . , Y usando -la ecuaci6n (f), se obtiene:

~dx cosh1

)------------- (h)

2a

Si la lo.ngitud de la viga es grande en co.mparaci6nconlas d arnens ronee de la secci6n transversal ("Q ." es grano.e en cernparaci6n con "a") y el segundo. termino en el parentes:4s de la -ecuaci6n s e a pr ox im ah) llega a ser despreciablei ya que d

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Luego entonces e1 momento flexionante en e1 patin es en-contrado de la ecuaci6n (d):

M Dh ~ ---------------- (i)2 dx 2

o sustituyendo en 1a ecuaci6n (fl por dci6n de 1a ecuaci6n (g), 5e obtiene:

M JI.-xa Mt Senh ah Cosh JI./a

------------- (j)

El momento f1exionante en e1 extrema empotrado sera:Mmax a Mt tanh JI./a ---------- (k)

h

Donde JI . es varias veces mas grande que "a';tanh (Va) se -aproxima a 1a unidad, y se puede usar 1a siguiente expresi6n:

Mmax aM th

--------------- (1)

Es decir, e1 maximo momento f1exionante en e1 patin es e1mismo que en un cantiliver de .1ongi t ud "a'; cargado en los extremos por una fuerza t-lt/h. Para una viga mas corta, 11 J I. "s p eq u~ .fio en compar acron con va'; tanh (Jl.ja)se aprox.ima a JI./a, entonc es. se tiene, de la ecuaci6n (K):

M tJ l. - -- -- -- -- -- -- -- -- ( m) 'h

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BJEMPLO:

Teniendo una I.P,.R. d e 203 X 102 X 19.4 :Kg/m. con areaseccional transversal de 24.28 cm2., la secci6n transversales reemplazada por una secci6n transversal equivalente -(Fig. 1 formada p~r tres rectanguios, teniendo las mismasareas seccionales transversales de alma y patines como la -s ec ci 6~ m os tr ad a.

Una mayor aproximaci6n para "e" puede ser obtenida' to-mando en cuenta la pendiente de los patines.

U sa nd o l a ' ec ua ci 6n s ig ui en te ,

e

's! obtiene la rigidez torsional.

e = l: __ --b--t~3 _3

G

(Fi g. 20 )

e (19.0 X 0.58 ,3 + 2 X 10.2 X 0.653 )G3

e 3.10 G ---------------- (n)La rigidez flexionante de un patin "D", es obtenida t~,

mando "1/2" del momento de'in~rcia de la secci6n transver--sal estandard con respecto al __je principal vertical. (El -momento de inercia de la secci6n. transversal del alma' se --

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ad mit e q ue se a de sDr eci aJ: le v mu 1ti T)l ic~ ndo 10 p or "E", entonces'D==115 =57.5E,y se obt.Lerie de 1a ecuac rcn (g):-2-

a= h ~=h\J---ZC- - 4.82h-----------(0)Por 10 tanto, si 1a viqa

e1 memento f1exionante maximo en el oatin, de 1a ecuac Lon (9,) esam:oximadamente 5 veces e1 momento torsionante "1t, considerandoque la viqa es 10 bastante arande que tanh ( ~./a) 5e anroxima a(1). Po r ejemp lo , si g,/a=2 t al que R."'9.64h,setieneque tanh( t/a)= 0.96, y e1 error en e1 calculo e8 aDroximadamente del 4% .

Para caleu1ar e1 Inqu10 total de toision ($) se puede usarla ecuaca on (f). I nt eqr an do e st a e cu ac i6n ? a+us e an do 1a c on p:t a!!_t e d e i nt eg I2 ci6 n para hacer q J = ' O cuando x=O. se obt.ienc:

i l i - Ht (. +-.--C x !(..,..Xasenh -a- -ci.tanhcosh .e/a --------(-0)s us ti tu ye nd o x =. Q,e n e st a eC11"'.cion,se obtiene:

t -a ta nh 2 /a ) - -- -- -- -- -- -- -( 0)cEl segundo termiho en e1 narentesis representa los efectos

de flexion de los patines sob~e el anqulo de torsion. Para vigasgrandes la tanh ( .e/a)"'ly 1a ecuacion {q} aueda:

H t ( .Q ,- a) - - - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- {r )_c-Los efectos de flexion de los patines sabre e1 angulo de -

_

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,torsi6n es por 10 tanto, equivalente a disminuir la longitud(~) por la cantidad (a).

El metodo descrito anteriormente para un "momento tor-sionante constante "Mt puede tambien ser usado cuando elmo-mento torsionante var:i:ea 10 largo de la longitud de la: viga.

esario solamente sustituir en la ecuaci6n (23) laexpresi6n correcta para Mt como una funci6n de

En la discusi6n anterior de la torsion de una vig.a "I"-(Fig. ." se incluy6 que debido a la simetr:i:a,cada secci6ntransversal gira con respecto al eje central de la viga. Porconsiguiente solamente la flexi6n de los patines tiene que -s er c on si de r ad a.

Se ve tambien, que esta flexi6n no interfiere con latorsion simple del "alma , ya que en los puntos de uni6n de-Iospatines y el alma, los esfuerzos flexionantes en los patinesse desvanecen. En el caso de secciones transversales no simetri

.cas 0secciones transversales con un solo eje de simetrla, e Lproblema Ilega a ser mas comp l.acado , ya que no solo se presentala flexion en 10s patines, sino tambien en el alma se prod.,uciradicha flexion durante la torsion.

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._-------------

----~--.~-~-------

"TORSION RESTRIN GIDA EN SECCION ES EN CAli1AL"

Considerando un analisis semejante al de la Secci6n "I",empotrando uno de los extremos del elemento. Se.inicia el estudio de la torsi6n res.tringj.daen secciones en canal (Fig. -

Ca )(FIGURA No. 21)

En este caso, durante la torsi6n cada secci6n transversalgira con respecto al centro de cortante "0", el cua l, es loca-lizado sobre el-eje horizontal. de simetrla de la secci6n transversal a una distancia.

e = b2h2t/41 ------------------------ (s)z

De la mitad del plano del alma, entonces se dice que lasd efle xione s de lo s pa tine s y del alma en sus respectivos pIa--nos son:

.> ,

/h7

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--------_

& v = e~, -------- (t)

Donde ~ es el ~ngulo de torsi6n que se considera pequeno.Tambien se supone que los espesores de los patines y el alma

de - -esas partes en las direcciones perpendiculares a sus respecti-vos pIanos, pueden ser despreciados.

La acci6n entre el patin superior y el alma es represer -tada por esfuerzos cortantes ("zx)o mostrados en la (Fig. 2.2).Esos esfuerzos producen flexion y compresi6n del patin. Si--"Fc" es la magnitud de la fuerza compresiva ~ el patin a unadistancia "x" del extremo ernpotrado, se tiene que:

t ('zx) dFc, 0 --- ..-dxLa magnitud de la fuerza Fe es ahora determinada bajo la

condici6n de que, la deformaci6n "sx" e m l a d ir ec ci 6n l on gi t u di -nal en la union del alma y el patin es la misma para las dos --partes, siendo encontrada tal deformaci6n con la siguiente ecuacion:

ex = e d 2 :i l hd 21> b/2 - Fc ---- ell)2 2dx 2x 2 btE

/ t 8

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/ 7+----__..--1Ahora usando la ecuaci6n (S) y anotando que,- - - - - -

Iz ~ h 3/12 + bth 7 ' z , s e o bt ie ne :

Fe ~ ---------- (v)dx2

Teniendo esta expresi6n para Fe se pueden determinar losesfuerzos cortant.es en el alma y los patines y t. amb ie n la p oci6n balanceada N t" del momento torsionante para esos esfuer .zos.

Se comienza por calcular los e~fuerzos cortantes en elalma, tomando dos secciones transversales adyacentes mn ymlnj, como 10 muestra la (Figura a);

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(c)(a) (b)

Yconsiderando el equilibrio del elemento achur ado' . seobtiene lasiguiente ecuacion:

Q dx oI'zdx dx

Donde "Q" es el momento estatico con respecto al eje "z "de la pore ion achurada de la secci6n transversal del alma(Figura ;b), Iz'.= tl1f es el momento de inercia de la seccion

1 -U- . '1transversal de alma con respecto al ej e "Z", Y 'M" es e mo--mento flexionante dei alma. El momento flexionante "M" e.s posi-tivo si se produce "tension" en el borde superior del alma, yes igual a:

Fch.M

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La expresi6n nara los esfuerzos T yx lleqa a seirent6nees.

T yx= dFe Qh(1- 1z'de Q atraves de la nrofundidad

de la seeei6n transversal sigue una lines parab6liea, se eneuen aque la distribuei6n de T'TX es dada poz el area aehurada (Fia. c)y que la resultante de la fuerza eortante desapareee en el alma.

Esta illtima' conc Lu sLon puede ser antieinada, ya Que las fuerzas eortantes en el alma y en los dos patines deben balaneear laporei6n Mt" del momenta torsionante, y esto es posible solamente sila fuerza eortante .en el alma se elimina y . las fuerzas eortantes enlos dos patines forman un par.

Al ealeular los esfuerzos eortante.s Tzx en el patin (Fig.' 24- i:1r S8 obaer va que en la Secei6n transversal mfi acttiauna fuerzacompresiva Fe y un momento flexionante.

M= D ~:~ . i ------------------------(w)En la eual la ri~idez flexionante

(D= 12

/ 1 - 1

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(a) (b)

Considerando otra vez el equilibria del elemento achura-do entre dos secciones transversales adyacentes, se obtiene laecuaci6n:

tT dx + dFc dx. b-z + dMzx 0,dx b dx

donde . 0 . 1 . & 11 son determinadas para .el p atin de la ma sma mane-ra como Ql & 1 z' , pa ,r a e l a lm a.

Sustituyendo por M este. v a10r en la ecuaci6n (W) se obtiene la sig uie nte e xpr esi 6n.

TZX 1t tdFcdx b-zbE h Q12

los dos terminos del 'extremo derecho del segundo miembro estanrepresentados en la (Fig. .:b) 'po.rlas areas achuradas del --tri ang ulo y el s egm ent o par ab6 lic o resp ect iva men te.

La suma de esas dos areas multiplicada por t, resulta lafuerza cortante.total en el patin, la eual es considerada en -

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direcci6n positiva como en e1 estudio de la secci6n "I".

v b dfc + E2 dx

entonces sustituyendo en la ecuaci6n (v) por Fc, se obtieneel momento torsionante balanceado por las fuerzas cortantesen los patines como sigue:

Mt" ~ Vh ~+2as! pues, el momento torsionante total es:

Mt c _ _ _ Q _ J _ - D b 2 ( 1 + t l h 3 )dx 2 4Iz

(y)

se observa que todas las conclusiones obtenidas para una vi-gao "I", pueden ser usadas tambien para un canal, si la cant~dad a2 dada por la e~uaci6n (g) del tema anterior, es reempl~zada por la cantidad:

El metodo empleado al discutir la torsion deuna canal -simetrica (Fig .. ), puede tambien ser aplicado en el caso -mas general de una secci6n de u na canal no simetrica (Fig. ) ,

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en la cual se muestra la posici6n del Centro de Cortante "0".

Entonces procediendo como antes (ver ecuac. t), se expre-sa la deflexi6n de curvas de los patines y el alma en terrninos

.del angulo de torsion~. Las fuerzas longitudinales FCI Y FC2en los patines son ahora determinadas ba 0la condici6n de een los puntos de union, ia deformaci6n longitudinal EX es la -misma para el alma como para el patin, entonces las fuerzas --FCI Y FC2 seran calculadas, y la distribucion de los esfuerzoscortantes pueden ser encontrados como para una "canal" simetri-ca.

_l i t

secc ton de CanalAsimetrico

centro /'0decortanle Y t

T

Puede errconces demostrarse que lao fuerza cortante en elalma se elimina y que la fza cortante "R" en los dos patinesda como resultado un par en la porci6n balanceada (Mt") del -momento torsionante. Una vez mas 5e obtiene para el momentot.orsLonarrt.e total una ecuaci6n similar a las ecuaciones (23.)

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& (Y);.Y en general pueda ser que en el caso de "torsion nouniforme" la ecuaci6n tenga la forma:

------------- (24)

L a c on s ta nte Cl, llamada "rigidez a la torsion 0 alalabeo",debe ser determinada para cada caso particular.

E l m et odo dj .sc uti do respecco a la torsion no uniformeen miembros de secci6n t.ransversal abierta, puede tambien -ser aplicado en el caso de miembros tubulares de secciontransversal poligonal, y se puede volver a encontrar que elmomento torsionante total consiste de dos partes:

(al La parte debido a la torsion pura,(b) La parte debido a la flexion de los lados delgad9s

deltubo.Es razonable esperar que en el caso de miembros tubu--

lares la segunda parte del momentc. torsionante, tendr

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1II!!!l!--.-....:..- .. --- ..-,.----'----'---.-'L-'-'-----'--'----- --.-_

II EJEMPLOLa secci6n m ostrada en la figura . " a) esta sujeta a una fuerza cortante extema V .Loca li ce e l c en tro d e c orta nte .s e e xtie nd e h as

aLHV"~'U lineal para lode Q s e c alc ula n1.98 klb/pulg

_I_A H B- I

0.3 pulg-+-

-- 0.3 .pulg.

[Opul

t V- - -

g

3 pulgc - r.9 8 klb/pulg

D H I e1-3PUlg-

a)Va ri ac io n d e l os e sf ue rz os c or ta nt es

b)

Solucion. P ro pie da de s d e I a secci6nt,=(~)(3)(10)3 - (J_) (2.7) (9.4)3 = 63 pulg"12 ' 12

I v en B = (V)(2,85 X6~.3x 4.85) = 0.06582 VlpulgTotal H = ( ~ ) (2.85)(O.06582V) = 0.0938 V , Propiedades. = ( . 2 _ ) ( 0. 25 )( 1 6Y.'. 12

Ubic ac i6 n d el c en tro d e c orta nteVe=HhVe= ( 0 . 093 8V ) ( 9. 7 )e= 0.91 p ulg (m edido a partir d e f. . de l a lma .)

E I le cto r d eb e v er c Ia rame nte q ue la v aria ci6 n d el e sfu erz o c orta nte e n la sd on de se ju nta n e I a lm a y e l p atin , n o p ue de d ete rm in arse c orre ctame nte c an la ssiones VQ I bI a b ie n VQ I I y tam po co al usar la teoria de la eIastic id ad. C om ocion en los dos ejem plos que aqui se .presentan, el autor ha supuesto que el