NANOPHYSIQUE INTRODUCTION PHYSIQUE AUX NANOSCIENCES Pierre GASPARD 2011-2012 4. NANOTUBES DE...

NANOPHYSIQUEINTRODUCTION PHYSIQUE AUX NANOSCIENCES

Pierre GASPARD

2011-2012

4. NANOTUBES DE CARBONE

DIAGRAMME DE PHASE DU CARBONE

diamant

graphite

Nano materials

Carbon nanotubes(CNT) (Iijima Nature 354 56 (1992))

Electron microscope image

Interpretation of the images

Current-voltage characteristics of CNT (S.J. Tans et al.

Nature 386 474 (1997))

Electron microscope image of the system ・ thin filament: Single-wall CNT ・ hills: electrodes

a.Nonlinear conductance (Coulomb staircase) b.Controlling the number of electrons

Young’s interference of electrons from MW nanotubes (C. Oshima et al. PRL88 038301

(2002))

nanotube head

fringe pattern in field emission microscopy

fiel

demission sites

ORBITALES & LEURS HYBRIDATIONSStructure électronique d’un atome de carbone = 1s2 2s2 2p2

coeur = 1s2 4 électrons de valence = 2s2 2p2

Hybridation sp:acétylène: HCCH liaison triple: 1 lien + 2 liens

1 lien = orbitale moléculaire sp +sp2 liens = orbitales moléculaires 2py , 2pz

sp = hybridation 2s + 2px

€

spa =1

22s + 2 px( )

spb =1

22s − 2 px( )

Hybridation sp2:polyacétylène: (HCCH)n liaison double: 1 lien + 1 lien

1 lien = orbitale moléculaire sp2 +sp2

1 lien = orbitale moléculaire 2pz

sp2 = hybridation 2s + 2px + 2py

Hybridation sp3:méthane: CH4 liaison simple: 1 lien

1 lien = orbitale moléculaire sp3 +sp3

sp3 = hybridation 2s + 2px + 2py + 2pz

€

spa3 =

1

22s ± 2px ± 2py ± 2pz( )€

spa2 =

1

32s −

2

32 px

spb,c2 = ±

1

32s ±

1

22px +

1

62py

GRAPHENE 1

graphène = un seul feuillet de graphite

Structure électronique d’un atome de carbone = 1s2 2s2 2p2

coeur = 1s2 4 électrons de valence = 2s2 2p2

Chaque atome de carbone offre 3 orbitales atomiques sp2 et une orbitale 2pz

Les orbitales atomiques sp2 forment les liens Les orbitales atomiques 2pz forment les liens

GRAPHENE 2

réseau zone de Brillouin

€

aCC = 0,142 nm

€

a1 =3

2a,+

a

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

a2 =3

2a,−

a

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

b1 =2π

3a,+

2π

a

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

b2 =2π

3a,−

2π

a

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998)

€

a1 = a2 = a 3 = 0,246 nm

GRAPHENE 3

€

Egr (kx,ky ) = ±t 1+ 4cos3kxa

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟cos

kya

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ 4 cos2 kya

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟


NANOTUBE 1

« armchair » (n,n)

« zigzag » (n,0)

« chiral » (n,m)

NANOTUBE 2réseau zone de Brillouin

« armchair » (n,n)

« zigzag » (n,0)

liensπ

liensσ


RESEAU DU NANOTUBE

€

Ch = na1 + ma2 ≡ (n,m) (0 ≤ m ≤ n) vecteur chiral:


€

T = t1a1 + t2a2 =2m + n

dR

a1 −2n + m

dR

a2

vecteur de translation: parallèle à l’axe du nanotube et perpendiculaire au vecteur chiral

€

Ch ⋅T = 0

€

dR = gcd 2m + n,2n + m{ }

€

d = gcd n,m{ }

€

dR =d si n − m n'est pas un multiple de 3d

3d si n − m est un multiple de 3d

⎧ ⎨ ⎩

nombre d’hexagônes dans la cellule unité:

€

N =Ch × T

a1 × a2

=2

dR

(n2 + m2 + nm) =2L2

a2dR

nombre d’atomes de carbone:

€

2N

périmètre:

€

L = Ch = a n2 + m2 + nm

diamètre:

€

∅=L /π

€

T = T =3L

dR

BANDES D’ENERGIE DU NANOTUBE vecteurs de base du réseau réciproque:


Bandes d’énergie du nanotube à partir de la bande d’énergie du graphène:€

Ch ⋅K1 = 2π T⋅K1 = 0

Ch ⋅K 2 = 0 T⋅K 2 = 2π

€

K1 =1

N−t2b1 + t1b2( ) K 2 =

1

Nmb1 − nb2( )

€

Egr (k) = ±t 1+ 4cos3kxa

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟cos

kya

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ 4cos2 kya

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

Eμ (k) = Egr kK 2

K 2

+ μK1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ μ = 0,1,...N −1 −

π

T≤ k ≤ +

π

T

€

propriété gcd n − m,3{ } dR multiplicité

semiconducteur 1 d 0 (gap d'énergie ∝1/∅ )

métal I 3 d 4 en k = 0

métal II 3 3d 2 en k = ±2π/3T

NANOTUBES SEMICONDUCTEURS

K・

K・

K・

K・

K・

K・

K・

K・

K・

K・

Bande d’énergie du graphène

sections des conditionsaux bords périodiques

Bandes d’énergie semiconductrices pour

le nanotube

← niveau de Fermi 　： E = 0

NANOTUBES METALLIQUES

Bande d’énergie du graphène

sections des conditionsaux bords périodiques

Bandes d’énergie métalliques pour le

nanotube

← niveau de Fermi 　： E = 0

K・

K・

K・

K・

K・

K・

K・

K・

K・

K・

NANOTUBES « ARMCHAIR » (n,n)


€

Eq (k) = Egr kx =2πq

3an,ky = k

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ q =1,2,...,2n −

π

a≤ k ≤ +

π

a

bande d’énergie du graphène:

€

Egr (kx,ky ) = ±t 1+ 4cos3kxa

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟cos

kya

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ 4cos2 kya

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

T = a1 − a2

€

Ch = na1 + na2 = (n,n)

€

K1 =1

2nb1 + b2( ) =

2π

3an,0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

K 2 =1

2b1 − b2( ) = 0,

2π

a

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟€

N = 2n

bandes d’énergie du nanotube:

€

Eq (k) = ±t 1± 4 cosqπ

n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟cos

ka

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ 4 cos2 ka

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

métallique car pas de « gap »


€

q =1,2,...,2n −π

3a≤ k ≤ +

π

3a

€

T = a1 − 2a2

€

Ch = na1 = (n,0)

€

K1 =1

2n2b1 + b2( )

K 2 = −1

2b2

€

N = 2n

bandes d’énergie du nanotube:

€

Eq (k) = ±t 1± 4cos3ka

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟cos

qπ

n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟+ 4 cos2 qπ

n

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

semiconducteur si n n’est pas un multiple de 3métallique si n est un multiple de 3

NANOTUBES « ZIGZAG » (n,0)

NANOTUBE 3

bandes d’énergie

« armchair » (5,5) « zigzag » (9,0) « zigzag » (10,0)


NANOTUBE 4

DoS

« zigzag » (10,0)

« zigzag » (9,0)


DOUBLES NANOTUBES DE CARBONE

Feuillets de graphène enroulés sur eux-mêmes

Deux exemples de nanotubes à double paroi (DWNT):

armchair-armchair DWNT: (4,4)@(9,9) N1 = 400 N2 = 900

zigzag-armchair DWNT: (7,0)@(9,9) N1 = 406 N2 = 900

6.1 nm

Moteur à axe en nanotubes de carbone

Zettl, Berkeley, USA

300 nm

A. M. Fennimore, T. D. Yuzvinsky, Wei-Qiang Han, M. S. Fuhrer, J. Cumings & A. Zettl, Nature 424 (2003) 410.

Fréquence de rotation ~ Hertz

Nanotubes de carbone coulissantsJ. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 185503

~1 nm distance intertube ~ 0, 34 nm

période d’oscillation ~ 5-10 ps

FROTTEMENT DANS LES NANOTUBES DE CARBONE

3.8 nm

~ 800 atomes de carbone distance intertube ~ 0.34 nm

période des oscillations ~ 5-10 ps

J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 185503J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. B 73 (2006) 125428

HAMILTONIAN DYNAMICS OF CARBON NANOTUBESHamiltonian microscopic dynamics:

Tersoff-Brenner potential inside each carbon nanotubeLennard-Jones potential between the two nanotubes

€

H = K (1) + K (2) + VTB(1) + VTB

(2) + VLJ( ri(1) − r j

(2)

i≠ j

∑ )

molecular dynamics: velocity Verlet algorithm

two systems of double-walled nanotubes (DWNT):

armchair-armchair DWNT: (4,4)@(9,9) N1 = 400 N2 = 900

zigzag-armchair DWNT: (7,0)@(9,9) N1 = 406 N2 = 900

microcanonical temperature:

€

T ≈ 300 K

6.1 nm

TRANSLATIONAL MOTION: REDUCED DESCRIPTION

relative position of the centers of mass along the axis of the system:

€

r(t) ≡ e||(t) ⋅1

N1

ri(1)

i=1

N1

∑ (t) −1

N2

r j(2)

j=1

N2

∑ (t) ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

relative mass of the system:

time scales:

(1) correlation time: inverse of Debye vibrational frequency:

(2) period of oscillations:

(3) relaxation time:

€

1

μ≡

1

N1m+

1

N2m

€

tC << tP << tR

€

tC ≈ 50 fs

€

tP ≈10 ps

€

tR ≈1000 ps

one-dimensional effective Newtonian dynamics:

€

μ d2r

dt 2= −

dVLJ

dr+ Ffrict + Ffluct

potential force friction force Langevin-type fluctuating force

TRANSLATIONAL MOTION: EFFECTIVE POTENTIAL effective potential due to the van der Waals interaction between the nanotubes:

€

VLJ(r) = F r2 + l2 − C ≈ F r − C for l < r

armchair-armchair DWNT: (4,4)@(9,9)

zigzag-armchair DWNT: (7,0)@(9,9)

FRICTION ENTRE DEUX NANOTUBES DE CARBONE

force de friction cinétique

€

Ffriction = −ζdr

dt+ O

dr

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

Kirkwood (1946); Jarzynski (1993); Berry & Robbins (1993)€

ζ =1

kBTC(t) dt

0

τ

∫€

C(t) = FLJ(t)FLJ(0)E ,r

− FLJ E ,r

2

fonction d’autocorrélation de la force:

coefficient de friction:

J. Servantie & P. Gaspard, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 185503

ζ (5,0)@(15,0)N1 = 60 atomes l1 = 1,1 nmN2 = 240 atomes l2 = 1,5 nmT = 300 K

MOUVEMENT BROWNIEN: PROCESSUS DE LANGEVIN 1

001

011101

111

Particule brownienne en suspension dans un liquide: rayon a = 1 μm.

équation de Newton pour son mouvement:

€

md2r

dt 2= Fext + Fvisc + Ffluct

1) force due à un potentiel extérieur:

2) force due à la viscosité du liquide environnant:

3) force due aux collisions avec les molécules environnantes:

€

Fext = −∂uext (r)

∂r

€

Fvisc = −ζdr

dt

€

Fvisc + Ffluct = f(r − ri)i=1

N

∑

€

f(r − ri) = −∂U

∂r(r − ri) force entre la particule brownienne et la ième molécule:

coefficient de friction en termes de la viscosité : formule de Stokes

€

ζ =6πaη

La force due aux collisions est aléatoire.

L’équation de Newton avec cette force aléatoire ou stochastique est appelée équation de Langevin.

MOUVEMENT BROWNIEN: PROCESSUS DE LANGEVIN 2

001

011101

111

€

0 ≈ md2r

dt 2dt∫ = −ζ

dr

dt∫ dt + Ffluct (t)dt∫

ζ (rt − r0) ≈ Ffluct (t')dt'0

t

∫

ζ 2(rt − r0)2

2t≈

1

2tdt' dt" Ffluct (t') ⋅Ffluct (t")

0

t

∫0

t

∫

3Dζ 2 =1

2dt Ffluct (0) ⋅Ffluct (t)

−∞

+∞

∫

Par ailleurs, les molécules se déplacent si vite que la force à un instant donné est essentiellement indépendante de celle à un instant suivant. Ceci se traduit en disant que la fonction de corrélation statistique de la force est égale à zéro dès que t ≠ t’

€

Fvisc + Ffluct = f(r − ri)i=1

N

∑La force due aux collisions est aléatoire. On peut invoquer le théorème central limite selon lequel une somme de nombreuses variables est une distribution gaussienne.En particulier, sa moyenne statistique s’annule:

€

Ffluct (t) = 0

€

Ffluct (t) ⋅Ffluct (t') = 0 pour t ≠ t'

Néanmoins, l’intégrale sur le temps de la fonction de corrélation ne peut s’annuler car si on intègre sur le temps l’équation de Newton sans force extérieure on obtient

€

Ffluct (t) ⋅Ffluct (t') = 6Dζ 2δ(t − t ')

EQUATIONS DE LANGEVIN ET DE FOKKER-PLANCK

001

011101

111

Equation de Langevin:

€

Ffluct,i(t) = 0

Ffluct,i(t)Ffluct, j (t') = 2Dζ 2δ(t − t ')δ ij€

md2r

dt 2= −

∂uext (r)

∂r−ζ

dr

dt+ Ffluct (t)

Système d’équations différentielles stochastiques:

€

dr

dt= v

dv

dt= −

1

m

∂uext (r)

∂r−

ζ

mv +

1

mFfluct (t)

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

∂p

∂t+ divJ = 0 avec J =

v

−1

m

∂uext

∂r−

ζ

mv

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥p −

0 0

0Dζ 2

m2 I

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥⋅

∂p

∂r∂p

∂v

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Equation de Fokker-Planck:

€

∂p

∂t+

∂

∂r⋅ vp( ) +

∂

∂v⋅ −

1

m

∂uext

∂r−

ζ

mv

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟p

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

Dζ 2

m2

∂ 2 p

∂v2

€

p = p(r,v, t)

EQUATION DE FOKKER-PLANCK

001

011101

111

€

peq (r,v) = N exp −mv2

2kBT−

uext (r)

kBT

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ solution stationnaire d’équilibre:

Equation de Fokker-Planck:

€

∂p

∂t+

∂

∂r⋅ vp( ) +

∂

∂v⋅ −

1

m

∂uext

∂r−

ζ

mv

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟p

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

Dζ 2

m2

∂ 2 p

∂v2Equation de Fokker-Planck:

€

D =kBT

ζRelation d’Einstein entre diffusion et friction (ou mobilité):

€

− ∂∂vx

ζ

mvx peq

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= −

ζ

mpeq −

ζ

mvx

∂peq

∂vx

=Dζ 2

m2

∂ 2 peq

∂vx2

∂peq

∂vx

= −mvx

kBTpeq

∂ 2 peq

∂vx2

= −m

kBTpeq +

mvx

kBT

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

peq

vérification:

€

∂p

∂t+

∂

∂r⋅ vp( ) +

∂

∂v⋅ −

1

m

∂uext

∂r−

ζ

mv

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟p

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

ζ kBT

m2

∂ 2 p

∂v2

€

p = p(r,v, t)

EQUATION DE LANGEVIN

001

011101

111


€

Ffluct,i(t) = 0

Ffluct,i(t)Ffluct, j (t') = 2ζ kBT δ(t − t ') δ ij€

md2r

dt 2= −

∂uext (r)

∂r−ζ

dr

dt+ Ffluct (t)

€

D =kBT

ζRelation d’Einstein entre diffusion et friction (ou mobilité):

Cas limite avec grand frottement:

€

0 = −∂uext (r)

∂r−ζ

dr

dt+ Ffluct (t)

€

dr

dt= −

1

ζ

∂uext (r)

∂r+

1

ζFfluct (t)

€

dr

dt= V + vfluct (t) V = −

1

ζ

∂uext (r)

∂r vfluct (t) =

1

ζFfluct (t)

PENDULE

001

011101

111


€

Ffluct,i(t) = 0

Ffluct,i(t)Ffluct, j (t') = 2ζ kBT δ(t − t ') δ ij€

md2r

dt 2= −kr −ζ

dr

dt+ Ffluct (t)

€

uext (r) =k

2r 2

Fext (r) = −kr

Pendule sous-amorti: effets inertiaux dominants: oscillations amorties

Période des oscillations:

Temps de relaxation:

€

ω =k

m T =

2π

ω= 2π

m

k

€

τ relax =m

ζ

€

T << τ relax

Pendule sur-amorti: effets inertiaux négligeables: oscillations absentes

(systèmes biologiques)€

T >> τ relax

€

dr

dt= −

k

ζr +

1

ζFfluct (t)

ROLE DES FONCTIONS DE CORRELATION TEMPORELLE

001

011101

111

€

ζ =1

6kBTdt Ffluct (0) ⋅Ffluct (t)

−∞

+∞

∫

ζ =1

2kBTdt Ffluct,x (0)Ffluct,x (t)

−∞

+∞

∫

Friction: formule de Kirkwood [J. G. Kirkwood, J. Chem. Phys. 14 (1946) 180] entre le coefficient de friction et la fonction d’autocorrelation de la force fluctuante:

Mouvement brownien: friction et diffusion

Diffusion: formule de Green-Kubo [M. S. Green, J. Chem. Phys. 20 (1952) 1281; 22 (1954) 398; R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn 12 (1957) 570] entre le coefficient de diffusion et la fonction d’autocorrelation de la vitesse:

€

D =1

6dt v(0) ⋅v(t)

−∞

+∞

∫

D =1

2dt vx (0)vx (t)

−∞

+∞

∫

FORMULES D’EINSTEIN-HELFAND ET DE GREEN-KUBO:DIFFUSION

001

011101

111

Formule d’Einstein-Helfand:

Formule de Green-Kubo:

€

D =1

2dt vx (0)vx (t)

−∞

+∞

∫

Connection: €

D = limt →∞

1

2tx t − x0( )

2

€

D = limt →∞

1

2tx t − x0( )

2 or x t = x0 + vx (t ') dt '

0

t

∫

= limt →∞

1

2tvx (t') dt' vx (t") dt"

0

t

∫0

t

∫

= limt →∞

1

2tdt ' dt"

0

t

∫0

t

∫ vx (t')vx (t")

= limt →∞

1

2tdt ' dt"

0

t

∫0

t

∫ vx (0)vx (t"−t') (stationnarité)

= limt →∞

1

2tdt ' dτ

−∞

+∞

∫0

t

∫ vx (0)vx (τ )

=1

2dτ

−∞

+∞

∫ vx (0)vx (τ ) car dt'= t0

t

∫

€

vx =dx

dt

TRANSLATIONAL FRICTION IN CARBON NANOTUBES

dynamic friction force:

€

Ffriction = −ζdr

dt+ O

dr

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

damping of the amplitude over a half-period:

€

ΔR∝ r03 / 2

initial position

Kirkwood (1946); Jarzynski (1993); Berry & Robbins (1993)

current position

€

ζ =1

kBTC(t) dt

0

τ

∫

€

C(t) = FLJ(t)FLJ(0)E ,r

− FLJ E ,r

2

force-force correlation function:

friction coefficient:

armchair-armchair DWNT (4,4)@(9,9)

zigzag-armchair DWNT (7,0)@(9,9)



TRANSLATIONAL DYNAMICS & FRICTION IN CARBON NANOTUBES

€

μ d2r

dt 2≈ −

dVLJ

dr−ζ

dr

dt damping rates:

position:

energy:

period:

€

R =2ζ

3μ

ΓE =2ζ

3μ

ΓP =ζ

3μ

€

ζ ≈6 amu/ps







FLUCTUATIONS & FRICTION IN THE TRANSLATIONAL MOTION

€

μ d2r

dt 2= −

dVLJ

dr−ζ

dr

dt+ Ffluct (t)

Langevin-type stochastic equation:

€

Ffluct (t) = 0

fluctuating force: Gaussian white noise (|tt’| >> tC):

€

Ffluct (t)Ffluct (t ') = 2 ζ kBT δ(t − t')

Fokker-Planck equation:

€

∂f

∂t= −v

∂f

∂r+

∂

∂v

1

μ

dV

dr+ ζv

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟f

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

ζ kBT

μ 2

∂ 2 f

∂v 2

equilibrium solution:

€

feq =1

Zexp −

1

kBT

1

2μv 2 + VLJ(r)

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

very small Brownian motion of the position:

€

r2

eq=

l kBT

F≈ 0.04 nm



ROTATIONAL MOTION: REDUCED DESCRIPTION

rotation around the axis of the system: equations for their angular velocity:

€

dL1

dt= I1

dω1

dt= N1

dL2

dt= I2

dω2

dt= N2 = −N1

relative moment of inertia:

kinetic energy of rotation:

€

1

I≡

1

I1

+1

I2

€

Tr = 12 I1ω1

2 + 12 I2ω2

2 = 12 (I1 + I2)Ω2 + 1

2 Iω2

Langevin-type stochastic equation:

friction torque fluctuating torque

€

ω =ω1 −ω2

Ω =I1ω1 + I2ω2

I1 + I2

€

dω

dt=

N1

IdΩ

dt= 0

€

Idω

dt= −χω + N fluct (t)

€

N fluct (t) = 0 Langevin-type fluctuating torque: Gaussian white noise (|tt’| >> tC):

€

N fluct (t)N fluct (t ') = 2 χ kBT δ(t − t ')

ROTATIONAL FRICTION IN CARBON NANOTUBES


€

ω(t) ∝ exp(−t /τ )

€

Tr (t) ∝ exp(−2t /τ )

mean angular velocity

mean rotational kinetic energy

€

ω(t)ω(0) ∝ exp(−t /τ )

autocorrelation function

€

θ(t)2 ≈ 2D(t − τ )

mean square displacement

diffusion coefficient:

€

D =kBT

χ

relaxation time:　　

€

τ =I

χ≈ τ ∞

l

l + l 0

∝T−1.5



€

Idω

dt= −χω + N fluct (t) stochastic equation:

COUPLAGE ENTRE PROCESSUS DISSIPATIFS

001

011101

111

€

γij =1

2kTdt Fi(0)F j (t)

−∞

+∞

∫

Equations de Langevin de processus couplés (L. Landau & E. Lifchitz, Physique statistique):

€

dpi

dt= − γ ij

∂K

∂p jj

∑ + Fi(t)

Fi(t)F j (t ') = 2kTγ ijδ(t − t') t − t' >> tC

relations de réciprocité d’Onsager:

résultant de la microréversibilité, i.e., de la symétrie sous renversement du temps de la dynamique microscopique

€

γij = γ ji

formule de Kirkwood pour calculer les coefficients de frottement à partir de la fonction d’autocorrélation des forces:

€

t → −t

K = énergie cinétique

€

Fi(0)F j (t) = Fi(−t)F j (0) = F j (0)Fi(−t) = F j (0)Fi(t)

stationnarité commutativité microréversibilité

COUPLAGE TRANSLATION-ROTATION 1

001

011101

111

Energie cinétique d’un mouvement de translation à la vitesse v couplé à un mouvement de rotation à la vitesse angulaire ω

€

K =1

2μv 2 +

1

2Iω2

Impulsions généralisées correspondantes:

€

p =∂K

∂v= μv L =

∂K

∂ω= Iω

Equations de Langevin des processus couplés:

€

dp

dt= −γ11v − γ12ω + F(t)

dL

dt= −γ 21v − γ 22ω + N(t)

force et couple de force fluctuants = bruits blancs gaussiens pour

€

F(t)F(t') = 2kTγ11δ(t − t')

F(t)N(t') = 2kTγ12δ(t − t')

N(t)F(t') = 2kTγ 21δ(t − t')

N(t)N(t') = 2kTγ 22δ(t − t')

relation de réciprocité d’Onsager:

€

γ12 = γ 21

€

γ11 = ζ γ 22 = χ

€

t − t ' >> tC

COUPLAGE TRANSLATION-ROTATION 2

001

011101

111

Couplage des mouvements de translation et de rotation:

formules de Kirkwood pour les coefficients de frottement:

€

γ11 = ζ =1

2kTdt F(0)F(t)

−∞

+∞

∫

γ12 = γ 21 =1

2kTdt F(0)N(t)

−∞

+∞

∫ =1

2kTdt N(0)F(t)

−∞

+∞

∫

γ 22 = χ =1

2kTdt N(0)N(t)

−∞

+∞

∫

Symétrie de parité: Le force F(t) est un vecteur; Le couple de force N(t) est un pseudo-vecteur.

Système achiral (symétrie de parité):

Système chiral (pas de symétrie de parité): est possible.

(principe de Curie)

Le coefficient de couplage ne peut être non-nul que si un des nanotubes est chiral.€

γ12 = γ 21 = 0

€

γ12 = γ 21 ≠ 0

€

x → −x

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