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Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane CARLO MANTEGAZZA May 19, 2015
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
CARLO MANTEGAZZA
May 19, 2015
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
Joint project with A. Magni, M. Novaga, A. Pluda,F. Schultze and V. Tortorelli
After the works of Huisken et alt. about the mean curvature flowof hypersurfaces, weak definitions of mean curvature flow ofeven any closed set in the plane appeared. The techniques tostudy such weak evolutions are no more the ones of differentialgeometry but more variational and the results obviouslyweaker. We were interested to continue to use the ideas of the“parametric” approach even if the evolving set was singular,then we chose to study the possibly “least singular” set: anetwork of curves in the plane.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
We started dealing with the local problem, that is, the study ofthe evolution by curvature of the simplest network of threenon–intersecting curves with fixed endpoints and a single triplejunction with angles of 120 degrees, called a regular triod.
ΩP1
P2P3
O
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
Theorem (L. Bronsard, F. Reitich – 1992 &CM, M. Novaga, V. Tortorelli – 2004)For any initial regular triod there exists a unique smooth flow bycurvature in a positive maximal time interval. Moreover, theevolving triod stays regular for every time.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
Theorem (CM, M. Novaga, V. Tortorelli – 2004)If none of the lengths of the three curves of an initial regulartriod “collapses” to zero, Type I–singularities cannot developduring the flow.
Theorem (A. Magni, CM, M. Novaga – 2013)If none of the lengths of the three curves of an initial regulartriod “collapses” to zero, the flow is smooth for all times and theevolving triod converges (asymptotically) to the Steinerconfiguration connecting the three endpoints (if it exists).
As a by–product, we obtained an alternative (variational) proofof Grayson’s theorem that a simple closed curve in the planeevolves without developing singularities, becomes convex andshrinks to a “round” point in finite time.
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Theorem (CM, M. Novaga, V. Tortorelli – 2004)If none of the lengths of the three curves of an initial regulartriod “collapses” to zero, Type I–singularities cannot developduring the flow.
Theorem (A. Magni, CM, M. Novaga – 2013)If none of the lengths of the three curves of an initial regulartriod “collapses” to zero, the flow is smooth for all times and theevolving triod converges (asymptotically) to the Steinerconfiguration connecting the three endpoints (if it exists).
As a by–product, we obtained an alternative (variational) proofof Grayson’s theorem that a simple closed curve in the planeevolves without developing singularities, becomes convex andshrinks to a “round” point in finite time.
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Theorem (CM, M. Novaga, V. Tortorelli – 2004)If none of the lengths of the three curves of an initial regulartriod “collapses” to zero, Type I–singularities cannot developduring the flow.
Theorem (A. Magni, CM, M. Novaga – 2013)If none of the lengths of the three curves of an initial regulartriod “collapses” to zero, the flow is smooth for all times and theevolving triod converges (asymptotically) to the Steinerconfiguration connecting the three endpoints (if it exists).
As a by–product, we obtained an alternative (variational) proofof Grayson’s theorem that a simple closed curve in the planeevolves without developing singularities, becomes convex andshrinks to a “round” point in finite time.
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A regular network is given by a finite family of non–intersectingcurves such that there are only a finite number of triple junctionwith angles of 120 degrees between the concurring curves.
Theorem (CM, M. Novaga, A. Pluda – 2014)For any initial regular network there exists a unique smooth flowby curvature in a positive maximal time interval. Moreover, theevolving network stays regular for every time.
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A regular network is given by a finite family of non–intersectingcurves such that there are only a finite number of triple junctionwith angles of 120 degrees between the concurring curves.
Theorem (CM, M. Novaga, A. Pluda – 2014)For any initial regular network there exists a unique smooth flowby curvature in a positive maximal time interval. Moreover, theevolving network stays regular for every time.
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Theorem (CM, M. Novaga, A. Pluda, F. Schultze – 2015)If none of the lengths of the curves of an initial regular network“collapses” to zero, the flow is smooth for all times and theevolving network converges (asymptotically) to the Steinerconfiguration connecting the fixed endpoints of the network (if itexists).
By this result, to proceed we have to deal the with situationwhere one or more curves vanish at some time T > 0.There are two cases:
I the curvature stays boundedI the curvature is unbounded as t → T
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
Theorem (CM, M. Novaga, A. Pluda, F. Schultze – 2015)If none of the lengths of the curves of an initial regular network“collapses” to zero, the flow is smooth for all times and theevolving network converges (asymptotically) to the Steinerconfiguration connecting the fixed endpoints of the network (if itexists).
By this result, to proceed we have to deal the with situationwhere one or more curves vanish at some time T > 0.There are two cases:
I the curvature stays boundedI the curvature is unbounded as t → T
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The analysis in the first situation consists in understanding thepossible limit networks that can arise and finding out how tocontinue the flow.
A priori, the possible limit networks as t → T are nonregularsince they can have multiple points and/or triple points withangles not equal to 120 degrees.
TheoremEvery vertex of the limit network has multiplicity 3,4 or 5.
ConjectureThe limit networks does not have curves with multiplicity largerthan one.The networks developing a vertex of multiplicity 5 arenongeneric.
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The analysis in the first situation consists in understanding thepossible limit networks that can arise and finding out how tocontinue the flow.A priori, the possible limit networks as t → T are nonregularsince they can have multiple points and/or triple points withangles not equal to 120 degrees.
TheoremEvery vertex of the limit network has multiplicity 3,4 or 5.
ConjectureThe limit networks does not have curves with multiplicity largerthan one.The networks developing a vertex of multiplicity 5 arenongeneric.
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The analysis in the first situation consists in understanding thepossible limit networks that can arise and finding out how tocontinue the flow.A priori, the possible limit networks as t → T are nonregularsince they can have multiple points and/or triple points withangles not equal to 120 degrees.
TheoremEvery vertex of the limit network has multiplicity 3,4 or 5.
ConjectureThe limit networks does not have curves with multiplicity largerthan one.The networks developing a vertex of multiplicity 5 arenongeneric.
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The analysis in the first situation consists in understanding thepossible limit networks that can arise and finding out how tocontinue the flow.A priori, the possible limit networks as t → T are nonregularsince they can have multiple points and/or triple points withangles not equal to 120 degrees.
TheoremEvery vertex of the limit network has multiplicity 3,4 or 5.
ConjectureThe limit networks does not have curves with multiplicity largerthan one.The networks developing a vertex of multiplicity 5 arenongeneric.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Networks of Curves Moving by Curvature in the Plane
So (hopefully) the generic situation to deal with is a networkwith only 3 or 4–junctions with the concurring curves that canform any angle between them.
Theorem (T. Ilmanen, A. Neves, F. Schultze – 2014)For any initial nonregular network of non–intersecting curvesthere exists a (nonunique) smooth flow by curvature in apositive maximal time interval such that at every positive timethe network is regular.
So, possibly losing the uniqueness of the flow (necessary –think to a cross), if the “multiplicity–one conjecture” is true, thefirst situation is well described and we know how to continuethe flow till the curvature of the curves of the network staysbounded.
Theorem (CM, M. Novaga – 2015)If the initial network has at most two triple junctions, the“multiplicity–one conjecture” is true.
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So (hopefully) the generic situation to deal with is a networkwith only 3 or 4–junctions with the concurring curves that canform any angle between them.
Theorem (T. Ilmanen, A. Neves, F. Schultze – 2014)For any initial nonregular network of non–intersecting curvesthere exists a (nonunique) smooth flow by curvature in apositive maximal time interval such that at every positive timethe network is regular.
So, possibly losing the uniqueness of the flow (necessary –think to a cross), if the “multiplicity–one conjecture” is true, thefirst situation is well described and we know how to continuethe flow till the curvature of the curves of the network staysbounded.
Theorem (CM, M. Novaga – 2015)If the initial network has at most two triple junctions, the“multiplicity–one conjecture” is true.
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So (hopefully) the generic situation to deal with is a networkwith only 3 or 4–junctions with the concurring curves that canform any angle between them.
Theorem (T. Ilmanen, A. Neves, F. Schultze – 2014)For any initial nonregular network of non–intersecting curvesthere exists a (nonunique) smooth flow by curvature in apositive maximal time interval such that at every positive timethe network is regular.
So, possibly losing the uniqueness of the flow (necessary –think to a cross), if the “multiplicity–one conjecture” is true, thefirst situation is well described and we know how to continuethe flow till the curvature of the curves of the network staysbounded.
Theorem (CM, M. Novaga – 2015)If the initial network has at most two triple junctions, the“multiplicity–one conjecture” is true.
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So (hopefully) the generic situation to deal with is a networkwith only 3 or 4–junctions with the concurring curves that canform any angle between them.
Theorem (T. Ilmanen, A. Neves, F. Schultze – 2014)For any initial nonregular network of non–intersecting curvesthere exists a (nonunique) smooth flow by curvature in apositive maximal time interval such that at every positive timethe network is regular.
So, possibly losing the uniqueness of the flow (necessary –think to a cross), if the “multiplicity–one conjecture” is true, thefirst situation is well described and we know how to continuethe flow till the curvature of the curves of the network staysbounded.
Theorem (CM, M. Novaga – 2015)If the initial network has at most two triple junctions, the“multiplicity–one conjecture” is true.
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Open problems
The second situation, when the curvature is unbounded andsome curves are vanishing, is completely open at the moment!
Generalizing the techniques and in particular the estimates tothe motion of 2–dimensional interfaces in R3.
I A short time existence/uniqueness for special initialinterfaces is already present in literature.
I Basic computations and estimates with A. Magni and M.Novaga – Work in progress.
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Open problems
The second situation, when the curvature is unbounded andsome curves are vanishing, is completely open at the moment!
Generalizing the techniques and in particular the estimates tothe motion of 2–dimensional interfaces in R3.
I A short time existence/uniqueness for special initialinterfaces is already present in literature.
I Basic computations and estimates with A. Magni and M.Novaga – Work in progress.
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Open problems
The second situation, when the curvature is unbounded andsome curves are vanishing, is completely open at the moment!
Generalizing the techniques and in particular the estimates tothe motion of 2–dimensional interfaces in R3.
I A short time existence/uniqueness for special initialinterfaces is already present in literature.
I Basic computations and estimates with A. Magni and M.Novaga – Work in progress.
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Open problems
The second situation, when the curvature is unbounded andsome curves are vanishing, is completely open at the moment!
Generalizing the techniques and in particular the estimates tothe motion of 2–dimensional interfaces in R3.
I A short time existence/uniqueness for special initialinterfaces is already present in literature.
I Basic computations and estimates with A. Magni and M.Novaga – Work in progress.
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Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci e la Congettura di Poincare
Il Flusso di Ricci e la Congettura di Poincare
CARLO MANTEGAZZA
May 19, 2015
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Richard Streit Hamilton – Columbia University, NY(nel 1981 alla Cornell University di Ithaca, NY)
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Il Flusso di RicciAlla fine degli anni 70–inizio anni 80, lo studio dei tensori diRicci e di Einstein dal punto di vista analitico riceve un forteinteresse, ad esempio nei lavori (statici) di Dennis DeTurck.Una proposta di analisi di una famiglia di flussi tra cui il flusso diRicci viene suggerita da Jean–Pierre Bourguignon (”Riccicurvature and Einstein metrics”, Lecture Notes in Math 838,1981). Nel 1982 Richard Hamilton definisce e studia il flusso diRicci, cioe il sistema di equazioni (alle derivate parziali)
∂g(t)∂t
= −2Ricg(t)
che descrive l’evoluzione della metrica di una varietariemanniana.
“Three–manifolds with positive Ricci curvature”Journal of Differential Geometry 17, 1982, pp. 255–306.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Proprieta di Base
Il flusso deforma la metrica (e quindi la geometria locale) inmaniera selettiva: contrae nelle direzioni per cui il tensore diRicci e positivo e espande in quelle dove e negativo.
L’equazione e nonlineare, della stessa famiglia dell’equazionedel calore nei mezzi materiali.
La forma iniziale puo essere vista come una distribuzione dicurvatura, il flusso di Ricci muove e “diffonde” tale curvaturaallo stesso modo dell’equazione del calore.E dunque ragionevole attendersi di ottenere asintoticamenteuna distribuzione uniforme, cioe una “geometria” moltosimmetrica, per esempio come quella di una sfera.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Proprieta di Base
Il flusso deforma la metrica (e quindi la geometria locale) inmaniera selettiva: contrae nelle direzioni per cui il tensore diRicci e positivo e espande in quelle dove e negativo.
L’equazione e nonlineare, della stessa famiglia dell’equazionedel calore nei mezzi materiali.
La forma iniziale puo essere vista come una distribuzione dicurvatura, il flusso di Ricci muove e “diffonde” tale curvaturaallo stesso modo dell’equazione del calore.E dunque ragionevole attendersi di ottenere asintoticamenteuna distribuzione uniforme, cioe una “geometria” moltosimmetrica, per esempio come quella di una sfera.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Proprieta di Base
Il flusso deforma la metrica (e quindi la geometria locale) inmaniera selettiva: contrae nelle direzioni per cui il tensore diRicci e positivo e espande in quelle dove e negativo.
L’equazione e nonlineare, della stessa famiglia dell’equazionedel calore nei mezzi materiali.
La forma iniziale puo essere vista come una distribuzione dicurvatura,
il flusso di Ricci muove e “diffonde” tale curvaturaallo stesso modo dell’equazione del calore.E dunque ragionevole attendersi di ottenere asintoticamenteuna distribuzione uniforme, cioe una “geometria” moltosimmetrica, per esempio come quella di una sfera.
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Proprieta di Base
Il flusso deforma la metrica (e quindi la geometria locale) inmaniera selettiva: contrae nelle direzioni per cui il tensore diRicci e positivo e espande in quelle dove e negativo.
L’equazione e nonlineare, della stessa famiglia dell’equazionedel calore nei mezzi materiali.
La forma iniziale puo essere vista come una distribuzione dicurvatura, il flusso di Ricci muove e “diffonde” tale curvaturaallo stesso modo dell’equazione del calore.
E dunque ragionevole attendersi di ottenere asintoticamenteuna distribuzione uniforme, cioe una “geometria” moltosimmetrica, per esempio come quella di una sfera.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Proprieta di Base
Il flusso deforma la metrica (e quindi la geometria locale) inmaniera selettiva: contrae nelle direzioni per cui il tensore diRicci e positivo e espande in quelle dove e negativo.
L’equazione e nonlineare, della stessa famiglia dell’equazionedel calore nei mezzi materiali.
La forma iniziale puo essere vista come una distribuzione dicurvatura, il flusso di Ricci muove e “diffonde” tale curvaturaallo stesso modo dell’equazione del calore.E dunque ragionevole attendersi di ottenere asintoticamenteuna distribuzione uniforme, cioe una “geometria” moltosimmetrica, per esempio come quella di una sfera.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi
Sfera: g(t) = (1− 4t)g0.
t = 1/4
Superficie Iperbolica (curvatura costante negativa):g(t) = (1 + 4t)g0.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi
Sfera: g(t) = (1− 4t)g0.
t = 1/4
Superficie Iperbolica (curvatura costante negativa):g(t) = (1 + 4t)g0.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi
Sfera: g(t) = (1− 4t)g0.
t = 1/4
Superficie Iperbolica (curvatura costante negativa):g(t) = (1 + 4t)g0.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Il Teorema di Hamilton
Theorem (Richard Hamilton, 1982)Se una varieta tridimensionale compatta ha una metrica contensore di Ricci positivo, allora il flusso di Ricci (normalizzato)la deforma in una 3–sfera.
CorollarySe su una varieta tridimensionale compatta si puo mettere unametrica con tensore di Ricci positivo, allora deve esseretopologicamente una 3–sfera.
CorollarySe su ogni varieta tridimensionale compatta e semplicementeconnessa si si puo mettere una metrica con tensore di Riccipositivo, allora abbiamo una dimostrazione della congettura diPoincare.
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Il Teorema di Hamilton
Theorem (Richard Hamilton, 1982)Se una varieta tridimensionale compatta ha una metrica contensore di Ricci positivo, allora il flusso di Ricci (normalizzato)la deforma in una 3–sfera.
CorollarySe su una varieta tridimensionale compatta si puo mettere unametrica con tensore di Ricci positivo, allora deve esseretopologicamente una 3–sfera.
CorollarySe su ogni varieta tridimensionale compatta e semplicementeconnessa si si puo mettere una metrica con tensore di Riccipositivo, allora abbiamo una dimostrazione della congettura diPoincare.
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Il Teorema di Hamilton
Theorem (Richard Hamilton, 1982)Se una varieta tridimensionale compatta ha una metrica contensore di Ricci positivo, allora il flusso di Ricci (normalizzato)la deforma in una 3–sfera.
CorollarySe su una varieta tridimensionale compatta si puo mettere unametrica con tensore di Ricci positivo, allora deve esseretopologicamente una 3–sfera.
CorollarySe su ogni varieta tridimensionale compatta e semplicementeconnessa si si puo mettere una metrica con tensore di Riccipositivo, allora abbiamo una dimostrazione della congettura diPoincare.
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Il Teorema di Hamilton
Theorem (Richard Hamilton, 1982)Se una varieta tridimensionale compatta ha una metrica contensore di Ricci positivo, allora il flusso di Ricci (normalizzato)la deforma in una 3–sfera.
CorollarySe su una varieta tridimensionale compatta si puo mettere unametrica con tensore di Ricci positivo, allora deve esseretopologicamente una 3–sfera.
CorollarySe su ogni varieta tridimensionale compatta e semplicementeconnessa si si puo mettere una metrica con tensore di Riccipositivo, allora abbiamo una dimostrazione della congettura diPoincare.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi Negativi: “Collo” che si stringe
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi Negativi: “Collo” che si stringe
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi Negativi: “Collo” che si stringe
Singolarita
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi Negativi: Formazione di una cuspide
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi Negativi: Formazione di una cuspide
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Flusso di Ricci – Richard Hamilton
Esempi Negativi: Formazione di una cuspide
Singolarita
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Programma per Dimostrare la Congettura di Poincare
La Linea Dimostrativa – 1986/95
Supponiamo di avere una varieta tridimensionalesemplicemente connessa, ipotetico controesempio allacongettura di Poincare.
I Deformiamo la metrica iniziale col flusso di Ricci.
I Supponiamo che in tempo finito si formi una singolarita. Setale singolarita e come una 3–sfera che “collassa”, alloraun istante prima di collassare siamo riusciti a deformare lavarieta iniziale in una sfera.
I Se la singolarita non e come una 3–sfera che “collassa”,cerchiamo di ottenere il massimo di informazioniquantitative su cosa sta succedendo alla nostra varieta.Cio e possibile se sappiamo “classificare” tutte le possibilisingolarita.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Programma per Dimostrare la Congettura di Poincare
La Linea Dimostrativa – 1986/95
Supponiamo di avere una varieta tridimensionalesemplicemente connessa, ipotetico controesempio allacongettura di Poincare.
I Deformiamo la metrica iniziale col flusso di Ricci.
I Supponiamo che in tempo finito si formi una singolarita. Setale singolarita e come una 3–sfera che “collassa”, alloraun istante prima di collassare siamo riusciti a deformare lavarieta iniziale in una sfera.
I Se la singolarita non e come una 3–sfera che “collassa”,cerchiamo di ottenere il massimo di informazioniquantitative su cosa sta succedendo alla nostra varieta.Cio e possibile se sappiamo “classificare” tutte le possibilisingolarita.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Programma per Dimostrare la Congettura di Poincare
La Linea Dimostrativa – 1986/95
Supponiamo di avere una varieta tridimensionalesemplicemente connessa, ipotetico controesempio allacongettura di Poincare.
I Deformiamo la metrica iniziale col flusso di Ricci.
I Supponiamo che in tempo finito si formi una singolarita. Setale singolarita e come una 3–sfera che “collassa”, alloraun istante prima di collassare siamo riusciti a deformare lavarieta iniziale in una sfera.
I Se la singolarita non e come una 3–sfera che “collassa”,cerchiamo di ottenere il massimo di informazioniquantitative su cosa sta succedendo alla nostra varieta.Cio e possibile se sappiamo “classificare” tutte le possibilisingolarita.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Programma per Dimostrare la Congettura di Poincare
La Linea Dimostrativa – 1986/95
Supponiamo di avere una varieta tridimensionalesemplicemente connessa, ipotetico controesempio allacongettura di Poincare.
I Deformiamo la metrica iniziale col flusso di Ricci.
I Supponiamo che in tempo finito si formi una singolarita. Setale singolarita e come una 3–sfera che “collassa”, alloraun istante prima di collassare siamo riusciti a deformare lavarieta iniziale in una sfera.
I Se la singolarita non e come una 3–sfera che “collassa”,cerchiamo di ottenere il massimo di informazioniquantitative su cosa sta succedendo alla nostra varieta.Cio e possibile se sappiamo “classificare” tutte le possibilisingolarita.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Programma per Dimostrare la Congettura di Poincare
La Linea Dimostrativa – 1986/95
I Con le informazioni di cui al punto precedente facciamouna “chirurgia quantitativa” (tenendo sotto controllo lequantita geometriche rilevanti) ottenendo una o piu nuovevarieta.
I Facciamo “ripartire” il flusso di Ricci su queste varieta“figlie” e ricominciamo la procedura.
I Dimostriamo che, assumendo l’ipotesi di sempliceconnessione della varieta iniziale, dopo un numero finito di“passi” (e in tempo finito) questa procedura termina e tuttele varieta finali sono 3–sfere che collassano.
I Ricostruendo all’indietro la varieta iniziale, tenendo contodelle “chirurgie” effettuate, concludiamo che anch’essa erauna 3–sfera, dimostrando quindi la congettura.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Programma per Dimostrare la Congettura di Poincare
La Linea Dimostrativa – 1986/95
I Con le informazioni di cui al punto precedente facciamouna “chirurgia quantitativa” (tenendo sotto controllo lequantita geometriche rilevanti) ottenendo una o piu nuovevarieta.
I Facciamo “ripartire” il flusso di Ricci su queste varieta“figlie” e ricominciamo la procedura.
I Dimostriamo che, assumendo l’ipotesi di sempliceconnessione della varieta iniziale, dopo un numero finito di“passi” (e in tempo finito) questa procedura termina e tuttele varieta finali sono 3–sfere che collassano.
I Ricostruendo all’indietro la varieta iniziale, tenendo contodelle “chirurgie” effettuate, concludiamo che anch’essa erauna 3–sfera, dimostrando quindi la congettura.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Programma per Dimostrare la Congettura di Poincare
La Linea Dimostrativa – 1986/95
I Con le informazioni di cui al punto precedente facciamouna “chirurgia quantitativa” (tenendo sotto controllo lequantita geometriche rilevanti) ottenendo una o piu nuovevarieta.
I Facciamo “ripartire” il flusso di Ricci su queste varieta“figlie” e ricominciamo la procedura.
I Dimostriamo che, assumendo l’ipotesi di sempliceconnessione della varieta iniziale, dopo un numero finito di“passi” (e in tempo finito) questa procedura termina e tuttele varieta finali sono 3–sfere che collassano.
I Ricostruendo all’indietro la varieta iniziale, tenendo contodelle “chirurgie” effettuate, concludiamo che anch’essa erauna 3–sfera, dimostrando quindi la congettura.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Programma per Dimostrare la Congettura di Poincare
La Linea Dimostrativa – 1986/95
I Con le informazioni di cui al punto precedente facciamouna “chirurgia quantitativa” (tenendo sotto controllo lequantita geometriche rilevanti) ottenendo una o piu nuovevarieta.
I Facciamo “ripartire” il flusso di Ricci su queste varieta“figlie” e ricominciamo la procedura.
I Dimostriamo che, assumendo l’ipotesi di sempliceconnessione della varieta iniziale, dopo un numero finito di“passi” (e in tempo finito) questa procedura termina e tuttele varieta finali sono 3–sfere che collassano.
I Ricostruendo all’indietro la varieta iniziale, tenendo contodelle “chirurgie” effettuate, concludiamo che anch’essa erauna 3–sfera, dimostrando quindi la congettura.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Classificazione delle Singolarita
Conjecture (R. Hamilton)Le situazioni di singolarita possibili sono solo le tre visteprecedentemente: sfera che collassa, “collo” che si stringe,formazione di una cuspide.
Sfera che collassa:
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Classificazione delle Singolarita
Conjecture (R. Hamilton)Le situazioni di singolarita possibili sono solo le tre visteprecedentemente: sfera che collassa, “collo” che si stringe,formazione di una cuspide.
Sfera che collassa:
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Classificazione delle Singolarita
Conjecture (R. Hamilton)Le situazioni di singolarita possibili sono solo le tre visteprecedentemente: sfera che collassa, “collo” che si stringe,formazione di una cuspide.
Collo che si stringe:
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Classificazione delle Singolarita
Conjecture (R. Hamilton)Le situazioni di singolarita possibili sono solo le tre visteprecedentemente: sfera che collassa, “collo” che si stringe,formazione di una cuspide.
Collo che si stringe:
Singolarita
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Classificazione delle Singolarita
Conjecture (R. Hamilton)Le situazioni di singolarita possibili sono solo le tre visteprecedentemente: sfera che collassa, “collo” che si stringe,formazione di una cuspide.
Formazione di una cuspide:
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Classificazione delle Singolarita
Conjecture (R. Hamilton)Le situazioni di singolarita possibili sono solo le tre visteprecedentemente: sfera che collassa, “collo” che si stringe,formazione di una cuspide.
Formazione di una cuspide:
Singolarita
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Procedura di Chirurgia
Ammettendo la validita della congettura di classificazione,come visto nella discussione della linea dimostrativa, nei casi di“collo” che si stringe e di formazione di una cuspide, enecessario sviluppare una chirurgia “quantitativa” che deveinoltre permettere di dimostrare che in tempo finito e un numerodi “operazioni” finito produce un insieme “finale” di 3–sfere.Malgrado vari risultati positivi, la mancanza di unadimostrazione completa della suddetta congettura e delle stimequantitative ad essa associate, non permetteva ancora di avereuna procedura effettiva.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Procedura di Chirurgia – Collo che si stringe
Prima:
Curvatura alta
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Procedura di Chirurgia – Collo che si stringe
Dopo:“Cappucci” con bassa curvatura
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Procedura di Chirurgia – Cuspide
Prima:
Collo ”largo” Curvatura alta
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Procedura di Chirurgia – Cuspide
Dopo:
“Cappuccio”con bassa curvatura
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Le Difficolta
La Procedura di Chirurgia in Azione
ComponentiSferiche
Tagli
dgdt = −2Ricg(t)
Cappucci
Tagli
dgdt = −2Ricg(t)
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
Grigori Yakovlevich PerelmanSteklov Institute, St. Petersburg
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Preprint su ArXiv – 2002/2003
Nel Novembre 2002 Perelman pubblica sul preprint serverArXiv il primo di una serie di tre lavori (i due successivi sarannopubblicati nel Marzo e nel Luglio 2003).
I The entropy formula for the Ricci flow and its geometricapplications.
I Ricci flow with surgery on three–manifolds.
I Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow oncertain three–manifolds.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Preprint su ArXiv – 2002/2003
Nel Novembre 2002 Perelman pubblica sul preprint serverArXiv il primo di una serie di tre lavori (i due successivi sarannopubblicati nel Marzo e nel Luglio 2003).
I The entropy formula for the Ricci flow and its geometricapplications.
I Ricci flow with surgery on three–manifolds.
I Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow oncertain three–manifolds.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Preprint su ArXiv – 2002/2003
Nel Novembre 2002 Perelman pubblica sul preprint serverArXiv il primo di una serie di tre lavori (i due successivi sarannopubblicati nel Marzo e nel Luglio 2003).
I The entropy formula for the Ricci flow and its geometricapplications.
I Ricci flow with surgery on three–manifolds.
I Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow oncertain three–manifolds.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Preprint su ArXiv – 2002/2003
Nel Novembre 2002 Perelman pubblica sul preprint serverArXiv il primo di una serie di tre lavori (i due successivi sarannopubblicati nel Marzo e nel Luglio 2003).
I The entropy formula for the Ricci flow and its geometricapplications.
I Ricci flow with surgery on three–manifolds.
I Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow oncertain three–manifolds.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
Lo Scambio di Email tra Vitali Kapovitch e PerelmanDate: Wed, 20 Nov 2002 11:46:49 +0300 (MSK)From: Grigory Perelman <[email protected]>
Reply-To: Grigory Perelman <[email protected]>Subject: Re: geometrization
To: Vitali Kapovitch <[email protected]>
That’s correct.Grisha
On Tue, 19 Nov 2002, Vitali Kapovitch wrote:
> Hi Grisha,> Sorry to bother you but a lot of people are asking me> about your preprint "The entropy formula for the Ricci...".> Do I understand it correctly that while you can not yet> do all the steps in the Hamilton program you can do enough> so that using some collapsing results you can prove> geometrization?>> Vitali
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Risultati di Perelman
I Scopre due nuove quantita geometriche monotone duranteil flusso di Ricci: il funzionale W (una forma di entropia) ela lunghezza ridotta (una specie di funzione distanza nellospazio–tempo).
I Per mezzo di esse dimostra (non del tutto ma sufficienteper la procedura di chirurgia) la congettura diclassificazione delle singolarita.
I Trova nuove stime sulle quantita geometriche durante laformazione di una singolarita
I Modifica tecnicamente la procedura di chirurgia in mododa renderla effettiva.
I Dimostra infine che la procedura termina in tempo finito edopo un numero finito di operazioni, producendo uninsieme di 3–sfere.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Risultati di Perelman
I Scopre due nuove quantita geometriche monotone duranteil flusso di Ricci: il funzionale W (una forma di entropia) ela lunghezza ridotta (una specie di funzione distanza nellospazio–tempo).
I Per mezzo di esse dimostra (non del tutto ma sufficienteper la procedura di chirurgia) la congettura diclassificazione delle singolarita.
I Trova nuove stime sulle quantita geometriche durante laformazione di una singolarita
I Modifica tecnicamente la procedura di chirurgia in mododa renderla effettiva.
I Dimostra infine che la procedura termina in tempo finito edopo un numero finito di operazioni, producendo uninsieme di 3–sfere.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Risultati di Perelman
I Scopre due nuove quantita geometriche monotone duranteil flusso di Ricci: il funzionale W (una forma di entropia) ela lunghezza ridotta (una specie di funzione distanza nellospazio–tempo).
I Per mezzo di esse dimostra (non del tutto ma sufficienteper la procedura di chirurgia) la congettura diclassificazione delle singolarita.
I Trova nuove stime sulle quantita geometriche durante laformazione di una singolarita
I Modifica tecnicamente la procedura di chirurgia in mododa renderla effettiva.
I Dimostra infine che la procedura termina in tempo finito edopo un numero finito di operazioni, producendo uninsieme di 3–sfere.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Risultati di Perelman
I Scopre due nuove quantita geometriche monotone duranteil flusso di Ricci: il funzionale W (una forma di entropia) ela lunghezza ridotta (una specie di funzione distanza nellospazio–tempo).
I Per mezzo di esse dimostra (non del tutto ma sufficienteper la procedura di chirurgia) la congettura diclassificazione delle singolarita.
I Trova nuove stime sulle quantita geometriche durante laformazione di una singolarita
I Modifica tecnicamente la procedura di chirurgia in mododa renderla effettiva.
I Dimostra infine che la procedura termina in tempo finito edopo un numero finito di operazioni, producendo uninsieme di 3–sfere.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Risultati di Perelman
I Scopre due nuove quantita geometriche monotone duranteil flusso di Ricci: il funzionale W (una forma di entropia) ela lunghezza ridotta (una specie di funzione distanza nellospazio–tempo).
I Per mezzo di esse dimostra (non del tutto ma sufficienteper la procedura di chirurgia) la congettura diclassificazione delle singolarita.
I Trova nuove stime sulle quantita geometriche durante laformazione di una singolarita
I Modifica tecnicamente la procedura di chirurgia in mododa renderla effettiva.
I Dimostra infine che la procedura termina in tempo finito edopo un numero finito di operazioni, producendo uninsieme di 3–sfere.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Il Lavoro di Grisha Perelman
I Risultati di Perelman
I Scopre due nuove quantita geometriche monotone duranteil flusso di Ricci: il funzionale W (una forma di entropia) ela lunghezza ridotta (una specie di funzione distanza nellospazio–tempo).
I Per mezzo di esse dimostra (non del tutto ma sufficienteper la procedura di chirurgia) la congettura diclassificazione delle singolarita.
I Trova nuove stime sulle quantita geometriche durante laformazione di una singolarita
I Modifica tecnicamente la procedura di chirurgia in mododa renderla effettiva.
I Dimostra infine che la procedura termina in tempo finito edopo un numero finito di operazioni, producendo uninsieme di 3–sfere.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza La Dimostrazione della Congettura di Poincare
Dopo la Pubblicazione in Rete (su ArXiv) dei lavori diPerelman...
I Bruce Kleiner e John Lott riconoscono immediatamente ilvalore dei lavori di Perelman e cominciano a scrivere dellenote esplicative, sviluppando i dettagli tecnici mancanti edespandendo le parti meno chiare.
I Nel Giugno 2006 l’Asian Journal of Mathematics pubblica(su carta) un lavoro di Zhu Xi–Ping della ZhongshanUniversity in Cina e di Huai–Dong Cao della LehighUniversity in Pennsylvania contenente una descrizionecompleta della dimostrazione di Perelman della congetturadi Poincare. Il lavoro viene successivamente rivisto varievolte a seguito di numerose polemiche.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza La Dimostrazione della Congettura di Poincare
Dopo la Pubblicazione in Rete (su ArXiv) dei lavori diPerelman...
I Bruce Kleiner e John Lott riconoscono immediatamente ilvalore dei lavori di Perelman e cominciano a scrivere dellenote esplicative, sviluppando i dettagli tecnici mancanti edespandendo le parti meno chiare.
I Nel Giugno 2006 l’Asian Journal of Mathematics pubblica(su carta) un lavoro di Zhu Xi–Ping della ZhongshanUniversity in Cina e di Huai–Dong Cao della LehighUniversity in Pennsylvania contenente una descrizionecompleta della dimostrazione di Perelman della congetturadi Poincare. Il lavoro viene successivamente rivisto varievolte a seguito di numerose polemiche.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza La Dimostrazione della Congettura di Poincare
Dopo la Pubblicazione in Rete (su ArXiv) dei lavori diPerelman...
I Bruce Kleiner e John Lott riconoscono immediatamente ilvalore dei lavori di Perelman e cominciano a scrivere dellenote esplicative, sviluppando i dettagli tecnici mancanti edespandendo le parti meno chiare.
I Nel Giugno 2006 l’Asian Journal of Mathematics pubblica(su carta) un lavoro di Zhu Xi–Ping della ZhongshanUniversity in Cina e di Huai–Dong Cao della LehighUniversity in Pennsylvania contenente una descrizionecompleta della dimostrazione di Perelman della congetturadi Poincare. Il lavoro viene successivamente rivisto varievolte a seguito di numerose polemiche.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza La Dimostrazione della Congettura di Poincare
Dopo la Pubblicazione in Rete (su ArXiv) dei lavori diPerelman...
I Nel Luglio 2006 John Morgan della Columbia University eGang Tian del Massachusetts Institute of Technologypubblicano in rete su ArXiv (ora un libro su carta) il lavoro“Ricci Flow and the Poincare Conjecture” contenente unaversione completa e dettagliata della dimostrazione diPerelman. Questo lavoro e la successiva assegnazioneall’International Congress of Mathematicians in Madrid,nell’agosto dello stesso anno, della medaglia Fields (cherifiutera) a Perelman, segnano l’accettazione formale esostanziale da parte della comunita matematica della suadimostrazione della congettura di Poincare.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza La Dimostrazione della Congettura di Poincare
Dopo la Pubblicazione in Rete (su ArXiv) dei lavori diPerelman...
I Ad oggi non sono stati trovati errori o falle nelladimostrazione. Inoltre, una versione modificata esemplificata in alcuni punti della dimostrazione di Perelmane stata presentata nel 2007 da L. Bessieres, G. Besson, M.Boileau, S. Maillot e J. Porti.
I Nel 2010 il Clay Mathematics Institute ha conferito aPerelman il “Millennium Prize” di un milione di dollari per ladimostrazione della congettura di Poincare. Anche questoriconoscimento e stato rifiutato.
I Perelman si e dimesso dalla sua posizione allo SteklovInstitute in Saint Petersburg e ha dichiarato la suaintenzione di abbandonare la matematica.I suoi tre fondamentali lavori non sono mai stati pubblicatisu una rivista cartacea, ma rimangono a disposizione sulpreprint server http://arxiv.org.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza La Dimostrazione della Congettura di Poincare
Dopo la Pubblicazione in Rete (su ArXiv) dei lavori diPerelman...
I Ad oggi non sono stati trovati errori o falle nelladimostrazione. Inoltre, una versione modificata esemplificata in alcuni punti della dimostrazione di Perelmane stata presentata nel 2007 da L. Bessieres, G. Besson, M.Boileau, S. Maillot e J. Porti.
I Nel 2010 il Clay Mathematics Institute ha conferito aPerelman il “Millennium Prize” di un milione di dollari per ladimostrazione della congettura di Poincare. Anche questoriconoscimento e stato rifiutato.
I Perelman si e dimesso dalla sua posizione allo SteklovInstitute in Saint Petersburg e ha dichiarato la suaintenzione di abbandonare la matematica.I suoi tre fondamentali lavori non sono mai stati pubblicatisu una rivista cartacea, ma rimangono a disposizione sulpreprint server http://arxiv.org.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza La Dimostrazione della Congettura di Poincare
Dopo la Pubblicazione in Rete (su ArXiv) dei lavori diPerelman...
I Ad oggi non sono stati trovati errori o falle nelladimostrazione. Inoltre, una versione modificata esemplificata in alcuni punti della dimostrazione di Perelmane stata presentata nel 2007 da L. Bessieres, G. Besson, M.Boileau, S. Maillot e J. Porti.
I Nel 2010 il Clay Mathematics Institute ha conferito aPerelman il “Millennium Prize” di un milione di dollari per ladimostrazione della congettura di Poincare. Anche questoriconoscimento e stato rifiutato.
I Perelman si e dimesso dalla sua posizione allo SteklovInstitute in Saint Petersburg e ha dichiarato la suaintenzione di abbandonare la matematica.I suoi tre fondamentali lavori non sono mai stati pubblicatisu una rivista cartacea, ma rimangono a disposizione sulpreprint server http://arxiv.org.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza La Dimostrazione della Congettura di Poincare
Giornale della Metro di Roma – “CityRoma” 9/1/2004
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
La Congettura di ThurstonUna congettura ancora piu generale che descrive la struttura ditutte le varieta tridimensionali fu formulata daWilliam P. Thurston (30 ottobre 1946 – 21 agosto 2012),premiato con la Medaglia Fields nel 1982.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
La Congettura di ThurstonUna congettura ancora piu generale che descrive la struttura ditutte le varieta tridimensionali fu formulata daWilliam P. Thurston (30 ottobre 1946 – 21 agosto 2012),premiato con la Medaglia Fields nel 1982.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
La Congettura di Thurston
Conjecture (W. Thurston, 1970)Ogni varieta tridimensionale puo essere “tagliata” in pezzi“geometrici”.
I Solo 8 possibili geometrie: le tre a curvature costante ealtre 5 “speciali” ma ben conosciute e analizzate.
I Implica la congettura di Poincare, la “space–formconjecture” e la “congettura di iperbolizzazione”.
I W. Thurston ne ottenne una dimostrazione parziale.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
La Congettura di Thurston
Conjecture (W. Thurston, 1970)Ogni varieta tridimensionale puo essere “tagliata” in pezzi“geometrici”.
I Solo 8 possibili geometrie: le tre a curvature costante ealtre 5 “speciali” ma ben conosciute e analizzate.
I Implica la congettura di Poincare, la “space–formconjecture” e la “congettura di iperbolizzazione”.
I W. Thurston ne ottenne una dimostrazione parziale.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
La Congettura di Thurston
Conjecture (W. Thurston, 1970)Ogni varieta tridimensionale puo essere “tagliata” in pezzi“geometrici”.
I Solo 8 possibili geometrie: le tre a curvature costante ealtre 5 “speciali” ma ben conosciute e analizzate.
I Implica la congettura di Poincare, la “space–formconjecture” e la “congettura di iperbolizzazione”.
I W. Thurston ne ottenne una dimostrazione parziale.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
La Congettura di Thurston
Conjecture (W. Thurston, 1970)Ogni varieta tridimensionale puo essere “tagliata” in pezzi“geometrici”.
I Solo 8 possibili geometrie: le tre a curvature costante ealtre 5 “speciali” ma ben conosciute e analizzate.
I Implica la congettura di Poincare, la “space–formconjecture” e la “congettura di iperbolizzazione”.
I W. Thurston ne ottenne una dimostrazione parziale.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
La Congettura di Thurston
Il flusso di Ricci permette di affrontare e dimostrare anchequesta congettura con le stesse tecniche di quella di Poincare.E dunque da attribuire al lavoro di Perelman anche ladimostrazione di questa congettura, che viene completata neidettagli e in alcune parti semplificata nei lavori:
I Laurent Bessieres, Gerard Besson, Michel Boileau,Sylvain Maillot e Joan Porti, Geometrisation of3–Manifolds, circa nel 2007.
I John Morgan e Gang Tian, Completion of the Proof of theGeometrization Conjecture, nel 2008.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
La Congettura di Thurston
Il flusso di Ricci permette di affrontare e dimostrare anchequesta congettura con le stesse tecniche di quella di Poincare.E dunque da attribuire al lavoro di Perelman anche ladimostrazione di questa congettura, che viene completata neidettagli e in alcune parti semplificata nei lavori:
I Laurent Bessieres, Gerard Besson, Michel Boileau,Sylvain Maillot e Joan Porti, Geometrisation of3–Manifolds, circa nel 2007.
I John Morgan e Gang Tian, Completion of the Proof of theGeometrization Conjecture, nel 2008.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
Il Teorema della Sfera (Differenziale)
(Heinz Hopf, 1926)Ogni varieta le cui curvature sezionali stanno tuttenell’intervallo (1/4,1] e diffeomorfa alla sfera.
Dimostrato nel 2007 da Simon Brendle e Richard Schoenutilizzando il flusso di Ricci.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
Il Teorema della Sfera (Differenziale)
(Heinz Hopf, 1926)Ogni varieta le cui curvature sezionali stanno tuttenell’intervallo (1/4,1] e diffeomorfa alla sfera.
Dimostrato nel 2007 da Simon Brendle e Richard Schoenutilizzando il flusso di Ricci.
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
I Protagonisti...
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
Grazie...
... a Gerard Besson (Institut Fourier – Universite de Grenoble)per molte delle immagini e per il prezioso aiuto allapreparazione di questa presentazione.
Grazie dell’attenzione
Thanks for your attention
Evoluzioni Geometriche – Carlo Mantegazza Altri Sviluppi
Grazie...
... a Gerard Besson (Institut Fourier – Universite de Grenoble)per molte delle immagini e per il prezioso aiuto allapreparazione di questa presentazione.
Grazie dell’attenzione
Thanks for your attention
