New Deflation Criterion for the QR Algorithm

Présenté par

Nader EL KHATIBSous la direction de

M. Mario AHUES

Plan de l’exposé

Introduction et rappelsApproximation par les éléments

diagonauxCritère de déflation.Conclusion et suggestions.

Introduction et rappels

Matrice de Hessenberg:

Introduction et rappels

Algorithme QR: Recherche des valeurs propres d’une matrice

A

H

Matrice triangulaire supérieure

?

Introduction et rappels

Introduction et rappels

Introduction et rappels

Critère d’arrêt

Signification du mot « suffisamment petit »

A connue avec une précision de l’ordre de

( )( )kk ijH h

2u

avec u: unit roundoff.

A

Critère d’arrêt

( ), 1

( ), 1

Alors si u

et comme est semblable à

on peut remplacer par Zéro.

(Perturbation negligeable).

ki i F

k

ki i

h A

A H

h

Critère d’arrêt

Insatisfaisant pour une matrice comme:

Amélioration (Wilkinson)

( ) ( ) ( ), 1 1, 1 ,uk k ki i i i i ih h h

Heuristique. Marche bien pratiquement. Pas de théorie mathématique qui l’appuie.

Nouveau critère

Idée et motivation

Condition

Le nouveau critère tient compte de:

• Les valeurs des éléments sous diagonaux

• Les valeurs des éléments strictement sub-diagonaux

• La distance entre les deux éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

Rappel, développement en série de Maclaurin:

Approximation par les éléments diagonaux

On l'applique à la fonction ( ) en supposant qu'elle est

analytique au voisinage de Zéro et que (0)

On peut faire la majoration suivante:iih

2( ) '(0)iih O

Approximation par les éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

On obtient

Approximation par les éléments diagonaux

On refait la même chose avec

Approximation par les éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

D’autre part:

Approximation par les éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

Approximation par les éléments diagonaux

Théorie de perturbation

Théorie de perturbation

Théorie de perturbation

Théorie de perturbation

Théorie de perturbation