Date post: | 31-Jan-2016 |
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Libro “Nonlinear Theory of elasticity:Applications in Biomechanics”. Larry A.Taber, 2004
Ej 6-3/pag 316.
A rectangular bar has the undeformed dimensions 20x5x4 mm .It is composed of an isotropic
compressible material with the strain-energy density function : 1/20 1 3( 4)w c I I −= + − donde
0c =20 kPa is a material constant. An axial load F stretches the long dimensions of the bar to
the length 28mm.
a) Determine the stretch ratio .
b) Determine the Cauchy stress in the loaded bar.
c) Determine .
Ecuaciones generales
TC F F=sr sr sr
(Tensor de Cauchy-Green derecho)
TB F F=sr srsr
(Tensor de Cauchy-Green izquierdo)
detJ F=sr
(Jacobiano)
t nσ=t srt
(tensor de Cauchy)
1 TS J F Fσ
− −=
sr sr srsr
(2do tensor de Piola-Kirchoff)
Tt F S F=t srsrsr
(Tensor de Cauchy)
1 1( ) ( )2 2
TE F F I C I= − = −sr sr sr t sr t
(Tensor de deformaciones de Green-Lagrange)
Actualizando las restricciones del material. Si el material es isotrópico podemos concluir quesolo va a tener 3 autovalores principales. Al plantear la condición de compresibilidad podemosagregar lo siguiente
1. 1 2 3 1λ λ λ ≠
2. dv dV≠
Inciso a)
Cuerpo en diagrama para definir direcciones, siendo la dirección 1 la profundidad,
1 20ds mm= , 2 5ds mm= , 3 4ds mm= .
Para determinar los alargamientos principales, tenemos las condiciones siguientes:
11
1
dSds
λ =
Siendo dS1 la posición deformada, y lo aplicamos al alargamiento de línea que forma el cuerpoen la dirección lo cual también puede ser aplicada a superficie y volúmenes.[2]
En nuestro caso la única dirección en la cual existe un alargamiento es la dirección 1 por tanto
11
1
28 720 5
dSds
λ = = =
22
2
5 15
dSds
λ = = =
33
3
4 14
dSds
λ = = =
Por tanto tenemos terminado el inciso a)
Para el inciso b)
Vamos a determinar el tensor de Cauchy- Green derecho) el cual está relacionado con losalargamientos en la siguiente forma [2].
31 1 1 2 112 13
1 1 1 2 1 311 12 13
2 1 2 2 2 121 22 23 21 23
2 1 2 2 2 131 32 33
3 3 3 31 231 32
3 1 3 2 3 3
cos cos
cos cos
cos cos
dSdS dS dS dS dSds ds ds ds ds ds
c c cdS dS dS dS dS dSC c c cds ds ds ds ds ds
c c cdS dS dS dSdS dSds ds ds ds ds ds
θ θ
θ θ
θ θ
= =
sr
Por tanto calculando y manteniendo los ángulos constantes después de la deformación,estamos en presencia de una deformación homogénea , sin distorsión los ángulos iníciales de
las caras igual a los finales de valor 90 grados, 012cos cos90θ = .
1 212
1 2
cos 0dS dSds ds
θ∴ =
Y así sucesivamente, nos queda la matriz de la forma
21
22
23
49 0 00 0 250 0 0 1 00 0 0 0 1
Cλ
λλ
= =
sr
Podemos concluir de la forma de la matriz que es simétrica
TF F∴ =sr sr
Además los autovalores de la matriz coinciden con los alargamientos
Sabiendo que para un material hiperelástico, la función de energía
1 2 3( , , )W w I I I=
Donde tenemos que calcular 11σ utilizamos la siguiente relación
1 TS J F Fσ
− −=
sr sr srsr
(2do tensor de Piola-Kirchoff)
Despejando
1 TJ F S Fσ −=
sr srsrsr
Sabiendo que
2w wSE C
∂ ∂= =
∂ ∂
sr
sr sr
31 2
1 2 3
: : : II Iw w w wI I IC C C C
∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂sr sr sr sr
2 2 21 1 2 3 11 22 33 ( )I c c c Tr Cλ λ λ= + + = + + =
sr
2 2 2 2 2 3 22 2 3 3 1 1 2 11 22 22 33 33 11 12 21 23 32 13 31 1
1 ( ( ))2
I c c c c c c c c c c c c I Tr Bλ λ λ λ λ λ= + + = + + − − − = −sur
3 22 2 23 1 2 3 1 2
1 ( ) ( ) ( ) det( )3
I Tr C I Tr C I Tr C Bλ λ λ = = − − =
sr sr sr sr
1I IC
∂∴ =
∂
t
sr
2 :I TrC I CC
∂∴ = −
∂
sr sr
sr
123I J CC
−∂∴ =
∂
sr
sr
Al calcular1
wI
∂∂
,2
wI
∂∂
,3
wI
∂∂
de la expresión 1/20 1 3( 4)w c I I −= + −
01
w cI
∂∴ =
∂
2
0wI
∂∴ =
∂
3/20 3
3
12
w c II
−∂∴ = −
∂
Sustituyendo y despejando finalmente
13/2 20 0 3
122
S c I c I J C−− = −
sr t sr
Debemos determinar Fsr
para poder calcular el Jacobiano
detJ F=sr
Si resolvemos esto estamos dando respuesta al inciso c) del problema
7 0 050 1 00 0 1
F
=
sr
Vamos a utilizar el programa auxiliar Derive 6.0 para calcular Ssr
.
0 0.02c MPa=
R/ Por tanto 11 0.0244628σ = MPa
Utilizando el método de elementos finitos en especial el programa comercial Abaqus versión6.4 vamos a realizar el mismo ejercicio.
Usando una subrutina para definir las propiedades del material hiperelástico donde comodatos tenemos que agregar siguiente información al programa. Nota la utilización de ui1 esdebido a la consecuencia de la subrutina mostrada en la figura 1.1
1
1(1) wuiI
∂=
∂
2
2(1) wuiI
∂=
∂
3(1) wuiJ
∂=
∂
20
w J cJ
−∂= −
∂
La subrutina es la siguiente:
Figura 1.1 Note los valores necesarios para la implementación de la subrutina hiperelástica.
Si calculamos los Errores, juntando los resultados de las figuras (1.2-1.4)obtenidos por el método de elementos finitos tenemos:
Tenemos Error= True value- approxiValue
0.02446 0.02482 0.00036Error = − = −
0.00036 / 0.02446 0.014717Error relativo = − = −
Los resultados en el visualizador
Figura 1.2 Valor de la tension en la direccion 3 igual 0.02482 MPa , en cuyo caso es nuestro 11σ
Figura 1.3 Valor de la tension en la direccion 1 igual 0.002898 MPa , en cuyo caso es nuestro
22 33σ σ=
Figura 1.4 Valor de desplazamiento el cual es impuesto e igual 8 mm.
Figura 1.4 Esqueme representativo de la deformación en un factor de escala de 1 .
Bibliografia
Han-Chin Wu, “Continuum Mechanics and Plasticity” , 2005
Rodriguez.R , Monografia “Nonlinear Solid Mechanics”
Apendices