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NOTAS DE ANALISIS EN INGENIERIA

Jose Rafael Pacheco VegaFacultad de Ingenierıa Mecanica

Universidad de GuanajuatoCalle Tampıco #912

Salamanca Guanajuato, C.P. 37480Mexico

Copyright c© 2001 by Jose Rafael Pacheco Vega. All rightsreserved.

Prefacio

Estas son notas para Ma1.6: Analisis en Ingenierıa I, un curso para estudiantesde postgrado. Se supone que los estudiantes que toman este curso estan fa-miliarizados con algebra lineal y vectorial, ecuaciones diferenciales ordinarias yparciales. El uso de la computadora es escencial para propositos de computaciony para desplegar resultados visuales.

En este momento, estas notas son bosquejos; se recomienda al estudiantehacer uso de la literatura presentada en la bliografıa. Los estudiantes deberande tratar de resolver los problemas al final de cada capıtulo a fin de reforzar suaprendizaje.

Esta clase trata de presentar los conceptos fundamentales en las areas de cal-culo tensorial, geometria diferencial y mecanica del medio continuo. El materialque se presenta es adecuado para dos semestres en matematicas aplicadas y essuficientemente flexible para ser usado en los cursos graduados de ingenieria,matematicas aplicadas y fisica.

Se pretende que el estudiante (i) desarrolle un entendimiento fisico de losconceptos matematicos asociados con el calculo tensorial (ii) desarrollar las ecua-ciones basicas de calculo tensorial, geometria diferencial y mecanica del mediocontinuo que surgen de las aplicaciones en ingenieria.

El material esta dividido en dos partes. La primera trata de una introduccional calculo tensorial y geometria diferencial que cubre cosas tales como notacionindicial, algebra tensorial, diferenciacion covariante, tensores duales, formas bi-lineales y multilineales, tensores especiales, el tensor de Riemann Christoffel,curvas en el espacio, superficies en el espacio, curvatura y las formas cuadrat-icas fundamentales. La segunda parte hace hincapie en el uso y aplicacion delalgebra tensorial a una variedad de areas de la fisica e ingenieria.

Estare agradecido si recibo comentarios sobre estas notas, asi como de cualquiererror que se encuentre en el manuscrito.Salamanca, Guanajuaro J. R. P. V.

Enero, 2001.

ii

Contenido

Prefacio ii

Lista de Tablas iv

Lista de Figuras v

1 Vectores y tensores 11.1 Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Transformacion directa e inversa de los vectores base . . . 21.1.2 Producto punto o interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Producto cruz o externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 El producto triple escalar de tres vectores . . . . . . . . . 5

1.2 Bases reciprocas y topicos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Bases reciprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 La convencion de suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Componentes covariantes y contravariantes de un vector . 81.2.4 Componentes fısicas de un vector . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Relacion entre componentes covariantes y contravariantes 101.2.6 Bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.7 Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.8 Integrales de superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Teoremas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1 Gradiente de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Divergencia de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Rotacional de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.4 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.5 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.6 Identidades de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.7 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Coordenadas curvilıneas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . 18

iii

iv CONTENIDO

1.5.1 Coordenadas polares clindricas . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Coordenadas polares esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Notacion indicial para coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . 221.7 El concepto de tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7.1 Notas preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.2 Tensor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.3 Tensor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.4 Tensor de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.5 Tensor de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8 Tensores Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8.1 Reduccion del tensor a los ejes principales . . . . . . . . . 281.8.2 Invariantes del tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8.3 Pseudo tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8.4 Tensor simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8.5 Tensor antisimetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9 Tensores en sistemas de coordenadas generalizadas . . . . . . . . 321.9.1 El caracter tensorial de gik, gik y gki . . . . . . . . . . . . 331.9.2 Tensores de orden superior en coordenadas generalizadas 331.9.3 Tensores covariantes, contravariantes y mixtos . . . . . . 33

1.10 Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Calculo variacional 382.1 Teorema de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Integrales propias dependientes de un parametro . . . . . . . . . 392.3 Concepto de funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 Concepto de variacion de una funcional . . . . . . . . . . 402.4 Condicion necesaria del extremo de una funcional . . . . . . . . . 42

2.4.1 Ecuacion de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.2 Casos particulares de integrabilidad de la ecuacion de Euler 42

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Series de Fourier 463.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Funciones periodicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Convergencia de las series de Fourier. . . . . . . . . . . . 493.3.2 Velocidad de convergencia de las series de Fourier. . . . . 533.3.3 Expansion en medio rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.4 Generalizacion de la serie de Fourier a otros intervalos. . . 573.3.5 Representacion compleja de la serie de Fourier. . . . . . . 593.3.6 La integral de Fourier como el lımite de una serie de

Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 Funciones ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.1 Ortogonalidad de las funciones. . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.2 Series de Fourier de sistemas ortogonales. . . . . . . . . . 66

CONTENIDO v

3.4.3 Convergencia en la media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.4 Ortogonalidad con respecto a una funcion de peso. . . . . 67

3.5 Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.1 Problemas no singulares de Sturm-Liouville. . . . . . . . . 693.5.2 Problemas Singulares de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . 69

4 Ecuaciones en derivadas parciales 754.1 Problemas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1 Deduccion de ecuaciones y planteamiento de los proble-mas de la fısica matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Clasificacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.1 Reduccion de ecuaciones a la forma canonica . . . . . . . 77

4.3 Metodos analıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.1 Vibracion en una cuerda infinita. Metodo de D’Alembert 814.3.2 Espacios de Hilbert. Sistemas ortogonales . . . . . . . . . 844.3.3 Problemas de Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.4 Series ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.5 Metodo de Fourier para resolver ecuaciones de la fısica

matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4 Metodos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4.1 Metodo de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 96Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Lista de Tablas

4.1 La ortogonalidad de Bessel es mas bien especial. . . . . . . . . . 864.2 El intervalo de ortogonalidad [a, b] se determina mediante las

condiciones de frontera. Las funciones de peso se establecenponiendo la ecuacion diferencial en forma autoconjugada. . . . . 87

4.3 Relacion de recurrencia Pn+1 = (Anx+Bn)Pn(x)− CnPn−1(x) . 87

vi

Lista de Figuras

1.1 Vector a con sus componentes Cartesianas a1, a2, a3. . . . . . . . 21.2 Expansion del vector e′1 con respecto a los vectores e1, e2, y e3. 31.3 Vectores arbitrarios a y b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Proyeccion de un vector en la direccion de otro. . . . . . . . . . . 41.5 El producto vectorial o cruz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 El producto escalar triple de tres vectores. . . . . . . . . . . . . . 61.7 Componentes covariantes y contravariantes de un vector A en el

plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Elemento de volumem en coordenadas Cartesianas. . . . . . . . . 161.9 Coordenadas cilindricas polares (R, θ, z) del punto P . . . . . . . 191.10 Coordenadas esfericas polares (r, θ, ω) del punto P . . . . . . . . . 201.11 Sistema de coordenadas Cartesianas S y S ′ . . . . . . . . . . . . 26

2.1 Funcion η definida en el intervalo [x0, x1]. . . . . . . . . . . . . . 412.2 Superficie de revolucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Funcion con periodo igual a 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Funcion periodica continua seccionalmente muy suave. . . . . . . 503.3 Funcion periodica seccionalmente muy suave con discontinuidades

de salto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Extension periodica de una funcion definida en el intervalo [−π, π]. 513.5 Funcion con periodo igual a 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6 Representacion de una onda cuadrada mediante una serie de

Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7 Extension periodica de una funcion par definida en [0, π]. . . . . 573.8 Extension periodica una funcion impar definida en [0, π]. . . . . 57

4.1 Placa bidimensional con condiciones de frontera isotermicas. . . . 89

vii

viii LISTA DE FIGURAS

Capıtulo 1

Vectores y tensores

1.1 Vectores y escalares

Un escalar es una cantidad cuya especificacion (en cualquier sistema coorde-nado) requiere solamente un numero. Por otro lado, un vector (originalmentedefinido como un segmento dirigido de lınea) es una cantidad cuya especificacionrequiere de tres numeros, es decir, sus componentes con respecto a alguna base.Entendemos por una base en un espacio tridimensional a cualquier conjunto detres vectores linealmente independientes e1, e2, e3. Cada uno de los vectorese1, e2, e3 se llama vector base. Los escalares y los vectores son casos especialesde un objeto mas general llamado tensor de orden n, cuya especificacion encualquier sistema coordenado dado requiere 3n numeros, llamados componentesdel tensor.1

Aquı consideramos que los escalares, vectores y tensores son funciones de laposicion r en el espacio tridimensional. Un campo escalar es aquel en el cual unescalar φ(r) varıa con la posicion. En el area de la mecanica, incluyendo a lamecanica de fluidos, es comun hablar de vectores que son cantidades que tienenmagnitud y direccion. Por ejemplo, la velocidad, la aceleracion, las fuerzas, etc.Aqui nosotros representaremos los vectores usando letras en negrillas tales comoa. Otras notaciones comunes son a, a, y −→a . Un vector unitario se representausualmete mediante n o n. Si un vector f es una funcion del punto donde seevalua, i.e. f(r) donde r es el vector posicion, entonces f se refiere al campovectorial.

Vectores en tres dimensiones tienen tres componentes. Las componentesCartesianas a1, a2 y a3 del vector a (figura 1.1) se indican explıcitamente devarias maneras:

a =

a1

a2

a3

1Cuando escribimos 3n tomamos en cuenta solamente tensores tridimensionales. De forma

general, un tensor de orden n, tiene mn componentes

1

2 CAPITULO 1. VECTORES Y TENSORES

Ox1

x2

��

��

��x3

��

a

a2

a1��

a3

Figura 1.1: Vector a con sus componentes Cartesianas a1, a2, a3.

= [a1 a2 a3]T

= (a1, a2, a3)

Los vectores base en las direcciones x1, x2, y x3 son e1, e2, y e3. Es comunusar x1, x2, x3 o x, y, z, en vez de x1, x2, x3; a1, a2 y a3 en vez de a1, a2 y a3;e i, j, k en vez de e1, e2, e3. Aquı i, j, k son vectores ortonormales.

Luego entonces el vector a se escribe como:

a = a1 i + a2 j + a3 k

1.1.1 Transformacion directa e inversa de los vectores base

e′1 = α11′ e1 + α2

1′ e2 + α31′ e3 =

3∑k=1

αk1′ ek,

e′2 = α12′ e1 + α2

2′ e2 + α32′ e3 =

3∑k=1

αk2′ ek,

e′3 = α13′ e1 + α2

3′ e2 + α33′ e3 =

3∑k=1

αk3′ ek,

o de forma mas consisa

e′i =3∑k=1

αki′ ek, (i = 1, 2, 3) (1.1)

1.1. VECTORES Y ESCALARES 3

Figura 1.2: Expansion del vector e′1 con respecto a los vectores e1, e2, y e3.

ei =3∑k=1

αk′

i e′k, (i = 1, 2, 3) (1.2)

e′i = α1i′ e1 + α2

i′ e2 + α3i′ e3, (1.3a)

= α1i′

3∑k=1

αk′

1 e′k + α2i′

3∑k=1

αk′

2 e′k + α3i′

3∑k=1

αk′

3 e′k, (1.3b)

= e′1

3∑l=1

αli′α1′

l + e′2

3∑l=1

αli′α2′

l + e′3

3∑l=1

αli′α3′

l , (1.3c)

=3∑k=1

e′k

3∑l=1

αli′αk′

l (1.3d)

(1.3e)

Exactamente de la misma manera encontramos

ei = e1

3∑l=1

αl′

i α1l′ + e2

3∑l=1

αl′

i α2l′ + e3

3∑l=1

αl′

i α3l′ , (1.4a)

=3∑k=1

ek3∑l=1

αl′

i αkl′ (1.4b)

(1.4c)

Esta ecuacion (1.4) junto con (1.3) implıca

3∑l=1

αl′

i αkl′ =

{0 para i 6= k,1 para i = k.

(1.5)


- a�� b

�θ

Figura 1.3: Vectores arbitrarios a y b

Figura 1.4: Proyeccion de un vector en la direccion de otro.

3∑l=1

αli′αk′

l ={

0 para i 6= k,1 para i = k.

(1.6)

1.1.2 Producto punto o interno

El producto escalar o producto interno de dos vectores a y b se denota por a·b,y se define mediante

a · b = |a||b| cos θ (1.7)

donde a = |a| y b = |b| son las magnitudes de a y b respectivamente, y θ esel angulo entre ellas, i.e. el producto de las magnitudes de dos vectores por elcoseno del angulo entre ellos. Entonces el producto escalar de a y b es iguala la magnitud de a por la proyeccion de b sobre a [ver figura 1.4] o viceversa.Obviamente la multiplicacion escalar de dos vectores es conmutativa.

Puesto que los vectores i, j, k son ortonormales, tenemos la condicion deortonormalidad:

ij · ik ={

0 para j 6= k,1 para j = k.

. (1.8)

1.1. VECTORES Y ESCALARES 5

Figura 1.5: El producto vectorial o cruz.

Entonces de aqui se sigue que

a · b = (a1i + a2j + a3k) · (b1i + b2j + b3k) (1.9)= a1b1i · i + a2b2j · j + a3b3k · k (1.10)= a1b1 + a2b2 + a3b3 (1.11)

=3∑i=1

aibi (1.12)

Los vectores a y b son ortogonales si a · b = 0.

1.1.3 Producto cruz o externo

El producto cruz (externo, vectorial) c de a y b se representa como c = a×b.La magnitud de c es absen θ; y es normal a ambos a y b en la direccion dadapor la regla de la mano derecha. El producto cruz es tambien equivalente a

a× b =

∣∣∣∣∣∣i1 j2 k3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ (1.13)

y representa el area generada por los vectores a y b en el plano [ver figura 1.5].

1.1.4 El producto triple escalar de tres vectores

El producto triple escalar de tres vectores a, b y c se representa como V =(a×b) · c. Puesto que |a×b| es el area de la base del paralelepipedo mostradoen la figura 1.6, el producto triple escalar es simplemente el volumen del par-alelepipedo con signo positivo o negativo dependiendo de si el angulo entre losvectores c y a×b es agudo u obtuso. El producto triple escalar es tambienequivalente a

(a× b) · c =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 c3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ (1.14)


Figura 1.6: El producto escalar triple de tres vectores.

De aqui se sigue que los vectores a, b y c forman una base si y solo si (a×b)·c 6=0.

1.2 Bases reciprocas y topicos relacionados

1.2.1 Bases reciprocas

Consideremos A un vector arbitrario que se puede expandir con respecto atres vectores no conplanares e1, e2, e3, que ni son ortogonales ni unitarios.Entonces la expansion en coeficientes A1, A2, A3, puede escribirse como

A = A1 e1 +A2 e2 +A3 e3. (1.15)

Entonces el problema se reduce a hacer la proyeccion de A sobre los ejes de unsistema coordenado y resolver el sistema resultante de tres ecuaciones escalarespara las incognitas A1, A2, A3. Este problema puede resolverse directamentemediante el metodo de bases reciprocas.

Dos bases e1, e2, e3 y e1, e2, e3 se dicen ser reciprocas, si satisfacen lacondicion siguiente

ei · ek ={


(1.16)

En otras palabras, cada vector de una base es perpendicular a dos vectores dela otra base, i.e., los dos vectores cuyos ındices tienen diferentes valores.

Si construimos los paralelepipedos generados por las dos bases cuyos vol-umenes son |V | = |e1 · (e2 × e3)| y |V ′| = |e1 · (e2 × e3)|, entonces las caras decada paralelepipedo son perpendiculares al borde del otro. Puesto que (1.16)implıca

|ei| = 1|ei| cos(ei, ei)

1.2. BASES RECIPROCAS Y TOPICOS RELACIONADOS 7

la magnitud de cada vector de una base es igual al reciproco de la altura paraleladel paralelepipedo generado por la base reciproca.

Para construir explicitamente las bases reciprocas e1, e2, e3 correspondi-entes a una base dada e1, e2, e3, procedamos como sigue: El vector e1 debeser perpendicular a los vectores e2 y e3. Por ello

e1 = m(e2 × e3),

donde m es un escalar que se puede determinar por la condicion

e1 · e1 = 1,

es decirme1 · (e2 × e3) = 1.

Puesto que e1·e2×e3 6= 0 (los vectores e1, e2, e3 no son coplanares), tendremos

e1 =e2 × e3

e1 · (e2 × e3)=

e2 × e3

V(1.17)

donde |V | es el volumen del paralelepipedo expandido por la base ei. Entoncespodemos escribir

ei =ej × ekV

(1.18)

donde i, j, k es una permutacion cıclica de 1, 2, 3. De forma equivalentetendremos

ei =ej × ek

V ′(1.19)

donde |V ′| es el volumen del paralelepipedo expandido por la base ei. Es claroentonces que las bases reciprocas para una base ortonormal es ella misma, yconsiste de los mismos vectores.

SiA = A1 e1 +A2 e2 +A3 e3. (1.20)

entonces podemos encontrar los coeficientes incognitas A1, A2, A3 siempre ycuando la base e1, e2, e3 sea la reciproca correspondiente a la base e1, e2,e3. Por ello

A · ei = Akek · ei = Ai (1.21)

1.2.2 La convencion de suma

De ahora en adelante, haremos uso de la siguiente convencion universalemnteadoptada en la literatura matematica y fısica:

1. Cada ındice que aparezca una sola vez en una expresion puede tomar losvalores 1, 2, y 3. Entonces Ai denota el conjunto de tres cantidades

A1, A2, A3,


Aik es el conjunto de 32 = 9 cantidades

A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33,

Aik es el conjunto de 32 = 9 cantidades

A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33,

y ası sucesivamente.

2. Cada ındice que aparezca dos veces en un termino se considera siendosumado de 1 a 3. Entonces

Aii =3∑i=1

Aii = A11 +A22 +A33, (1.22a)

AiBi =

3∑i=1

AiBi = A1B

1 +A2B2 +A3B

3, (1.22b)

AiBkCi = Bk

3∑i=1

AiCi = Bk(A1C

1 +A2C2 +A3C

3). (1.22c)

En coneccion con el concepto de componentes contravariantes, debe notarseque las coordenadas de un punto en un sistema oblicuo de coordenadas debe serescrito con superındices: x1, x2, x3. Recordemos que las coordenadas son lascomponentes contravariantes del radio vector del punto:

r = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xkek.

1.2.3 Componentes covariantes y contravariantes de unvector

Al estudiar las bases reciprocas, encontramos que el mismo vector puede serexpandido como

A = A1 e1 +A2 e2 +A3 e3 ≡ Ai ei (Ai = A · ei) (1.23)

con respecto a una de las bases e1, e2, e3, y

A = A1 e1 +A2 e2 +A3 e3 ≡ Ai ei (Ai = A · ei) (1.24)

con respecto a la base reciproca e1, e2, e3. Los numeros Ai se llaman compo-nentes contravariantes de A y los numeros Ai se llaman componentes covari-antes de A. Esto se ilustra en la figura 1.7.


Figura 1.7: Componentes covariantes y contravariantes de un vector A en elplano.


1.2.4 Componentes fısicas de un vector

Claramente las dimensiones fısicas de las componentes Ai y Ai del mismo vec-tor A = Ai ei = Ai ei son diferentes, en cierta forma, determinada por lasdimensiones de los vectores base y de las relaciones ei · ei = 1. De cualquiermanera, es posible expresar componentes fısicas de vectores, cuyas dimensionescoinciden con la de los mismos vectores base. Esto se logra definiendo una baseunitaria

ei =ei| ei|

(los vectores ei son todos de longitud unitaria) y su base reciproca

ei = ei| ei|.

EntoncesA = Ai ei = Ai ei, (1.25)

donde por definicion Ai y Ai son las componentes fısicas del vector A.La relacion entre las componentes fısicas del vector y sus componentes co-

variantes y contravariantes se encuentran facilmente:

Ai = Ai|ei|, Ai =Ai|ei|

(sin sumar en i)

1.2.5 Relacion entre componentes covariantes y contravari-antes

Tomemos el producto escalar de (1.24 ) con ei y el producto escalar de (1.23 )con ei, entonces obtenemos

A · ei = Ak( ei · ek) (1.26a)A · ei = Ak( ei · ek). (1.26b)

Si introducimos la notacion

ei · ek = gik (1.27a)ei · ek = gik (1.27b)

ei · ek = gik ={


(1.27c)

podemos escribir (1.26) en la forma

Ai = gikAk (1.28)

Ai = gikAk. (1.29)

Estas formulas expresan las componentes covariantes del vector A en terminode sus componentes contravariantes y vice versa. En la seccion subsiguiente se


demostrara ue las nueve cantidades gik forman un tensor de segundo orden, asıcomo gik y gki .

Las cantidades gik (o gik) describen la naturaleza fundamental de las carac-terısticas geometricas de un espacio mediante el uso de un sistema de coordenascon bases e1, e2, e3, y sus coordenadas correspondientes x1, x2, x3. A fin dever esto, sea ds la longitud de arco entre dos puntos infinitamente cercanos xi

y xi + dxi, y sea el vector d r que une los dos puntos escrito en componentescovariantes dxi y componentes contravariantes dxi. Entonces

(ds)2 = |d r|2 = d r · d r = eidxi · ekdxk = eidxi · ekdxk = eidxi · ekdxk,

o

(ds)2 = gikdxidxk,

(ds)2 = gikdxidxk, (1.30)(ds)2 = dxidx

i

A fin de encontrar la relacion entre las cantidades gik y gik, consideremos(1.28) como un sistema de tres ecuaciones lineales con incognitas A1, A2, A3,cuya solucion esta dada por

Ai =∑k = 13GikAk

G=GikAkG

(1.31)

donde

G = det gik =

∣∣∣∣∣∣g11 g12 g13

g12 g22 g23

g13 g32 g33

∣∣∣∣∣∣ .y Gik el cofactor de gik en el determinante G. Esta cantidad se puede escribircomo

Gik =∣∣∣∣ gps gptgrs grt

∣∣∣∣ , (1.32)

donde i, p, r, y k, s, t son permutaciones cıclicas de 1, 2, 3. Por ejemplo

G11 =∣∣∣∣ g22 g23

g32 g33

∣∣∣∣ , G12 =∣∣∣∣ g23 g21

g33 g31

∣∣∣∣ , G13 =∣∣∣∣ g21 g22

g31 g32

∣∣∣∣ .Comparando (1.31) con (1.28) tenemos

gik =Gik

G, (1.33)

expresando gik en funcion de gik. De la misma manera se puede mostrar que

gik =GikG′

,

donde

G′ = det gik, Gik =∣∣∣∣ gps gpt

grs grt

∣∣∣∣ .


Por otro lado, mediante calculo directo basado en (1.27) e (1.18) podemosobtener

gik = ei · ek =1V 2

( ep × er) · ( es × et)

=1V 2

[( ep × er)× es] · et

=1V 2

[ er( ep · es)− ep( er · es)] · et

=1V 2

[( ep · es)( er · et)− ( ep · et)( er · es)]

=1V 2

∣∣∣∣ ( ep · es) ( ep · et)( er · es) ( er · et)

∣∣∣∣ .Entonces hemos encontrado que

G = V 2, V = ±√G. (1.34)

En particularGG′ = 1 (1.35)

puesto que V V ′ = 1.

1.2.6 Bases ortogonales

Las bases ortogonales son particularmente importantes puesto que los sistemasde coordenadas mas usados en fısica y matematicas son ortogonales. En estecase, la base original e1, e2, e3, y su reciproca e1, e2, e3 son ambas ortogo-nales, y entonces gik = gik = 0 si i 6= k, esto ultimo se sigue de (1.27). Comoresultado (1.28) y (1.29) se conviertenen

A1 = g11A1, A2 = g22A

2, A3 = g33A3,

A1 = g11A1, A2 = g22A2, A3 = g33A3,

g11 =1g11

, g22 =1g22

, g33 =1g33

.

Mas aun,(ds)2 =

∑i = 13(hi dxi)2,

donde las cantidades

h1 =√g11, h2 =

√g22, h3 =

√g33.

se llaman coeficientes metricos.Nota 1. Las componentes covariantes Ai y contravariantes Ai coninciden

en un sistema de coordenadas Cartesiano con vectores base ortonormales.Nota 2. La notacion introducida en esta seccion esta regida por la siguiente

regla cuyo caracter mnemonico sirve para mantener la exactitud en la escritura


de las formulas: La suma solo tiene lugar sobre los ındices libres en posicionesdiferentes, donde dos ındices se dicen estar en posiciones diferentes si uno deellos es subındice y el otro superındice. Por ejemplo, la expresion AkBk, Akgik.En este sentido, describimos la ecuacion

Ai = gikAk

como la operacion de “subir” el ındice, y la ecuacion

Ai = gikAk

como la operacion de “bajar” el ındice.La regla anterior sera particularmente util cuando hagamos operaciones al-

gebraicas sobre tensores que estan escritos en coordenadas curvilineas. Porsupuesto, en coordenadas rectangulares, las expresionesAii, AiBi, pueden tomarsecomo sumas, como en la ecuacion (1.22a).

Ejemplo 1.1Exprese el producto escalar de dos vectores en terminos de sus componentes covari-

antes y contravariantes.Resolucion. Por definicion

A · B = Ai ei ·Bk ek = gikAiBk,

= Ai ei ·Bk ek = gikAiBk,

= Ai ei ·Bk ek = AiB

i.

Ejemplo 1.2Ecuentre el producto vectorial de dos vectores en un sistema de coordenadas oblicuo.Resolucion. Por definicion,

C = A× B = Ai ei ×Bk ek

= (A1 e1 +A2 e2 +A3 e3)× (B1 e1 +B2 e2 +B3 e3)

= (AjBk)( ej × ek)

= (AjBk −AkBj)( ej × ek), solo para permutaciones cıclicas de i, j, k = 1, 2, 3.

Ahora, de acuerdo con (1.18) y (1.34)

ej × ek = V ei, V =√G

y entoncesC = A× B = Ci e

i

dondeCi =

√G(AjBk −AkBj).

De manera similar se puede mostrar que

Ci =1√G

(AjBk −AkBj).


1.2.7 Integrales de lınea

Una integral de linea es aquella de la forma

I =∫C

f · dl (1.36)

donde f es un campo vectoral, y dl es un elemento de la curva C.En general, el valor de una integral de linea depende del camino de inte-

gracion. Si f = grad φ, donde φ es un campo escalar, entonces la integral Ies independiente del camino de integracion. Al campo vectorial f se le llamaentonces campo conservativo, y a φ su potencial.

1.2.8 Integrales de superfıcie

Una integral de superficies es aquella de la forma

I =∫A

f · n dA (1.37)

donde f es un campo vectorial, A es una superficie abierta o cerrada dA es unelemento de esa superficie, y n es un vector unitario normal a este elemento desuperficie.

1.3 Teoremas especiales

1.3.1 Teorema de Green

Sea f = fx(x, y) i + fy(x, y) j un campo vectorial, C una curva cerrada y D laregion encerrada por C, todo esto en el plano x-y. Entonces∮

C

f · dl =∫ ∫

D

(∂fy∂x− ∂fx

∂y) dx dy (1.38)

1.3.2 Operadores diferenciales

Se pueden usar integrales de superficie para definir los operadores gradiente,divergencia y rotacional independientes de las coordenadas usadas. Luego en-tonces

grad φ = limV→0

1V

∫A

nφ dA (1.39)

div f = limV→0

1V

∫A

n · f dA (1.40)

rot f = limV→0

1V

∫A

n× f dA (1.41)

donde φ(r) es un campo escalar, y f(r) ex un campo vectorial. V es la regioncontenida dentro de una superficie cerrada S, y n es el vector unitario normal

1.3. TEOREMAS ESPECIALES 15

a un elemento de superficie dA. La notacion ∇φ, ∇ · f , y ∇× f se usa tambienpara el gradiente, divergencia y rotacional.

El operador de Laplace se define como ∇2, donde

∇2 = div grad . (1.42)

Se usa con frecuencia la identidad (1.53) para un vector. El operador grad dives tambien aplicable a un vector, pero no es un Laplaciano.

La derivada direccional de φ(r) en la direccion del vector unitario a es

∂φ

∂a= grad φ · a (1.43)

donde a es la coordenada en esa direccion. En le caso especial de que a seatangente a la superficie φ = constante, tenemos que ∂φ/∂a = 0. Luego entoncesφ es ortogonal a a y debe ser normal a la superficie.

1.3.3 Identidades

a× (b× c) = b(a · c)− c(a · b) (1.44)(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c) (1.45)

∇× (∇φ) = 0 (1.46)∇ · (∇× f) = 0 (1.47)∇ · (φf) = φ∇ · f +∇φ · f (1.48)∇× (φf) = φ∇× f +∇φ× f (1.49)∇ · (f × g) = g · (∇× f)− f · (∇× g) (1.50)∇× (f × g) = (g · ∇)f − (f · ∇)g + f(∇ · g)− g(∇ · f) (1.51)∇(f · g) = (f · ∇)g + (g · ∇)f + f × (∇× g) + g × (∇× f) (1.52)

∇× (∇× f) = ∇(∇ · f)−∇2f (1.53)d

dt(f · g) = f · dg

dt+dfdt· g (1.54)

d

dt(f × g) = f × dg

dt+dfdt× g (1.55)

Ejemplo 1.3Demuestre mediante la expansion en sus componentes que

(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)

Resolucion

LI =

∣∣∣∣∣ e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ e1 e2 e3

c1 c2 c3d1 d2 d3

∣∣∣∣∣= (a2b3 − a3b2)(c2d3 − c3d2) + (a3b1 − a1b3)(c3d1 − c1d3) + (a1b2 − a2b1)(c1d2 − c2d1)

= a2b3c2d3 + a3b2c3d2 − a2b3c3d2 − a3b2c2d3 + a3b1c3d1 + a1b3c1d3


Px1

x2

��

��x3

��

��

��

��

dx1

dx3

dx2

Figura 1.8: Elemento de volumem en coordenadas Cartesianas.

−a3b1c1d3 − a1b3c3d1 + a1b2c1d2 + a2b1c2d1 − a1b2c2d1 − a2b1c1d2

LD = (a1c1 + a2c2 + a3c3)(b1d1 + b2d2 + b3d3)− (a1d1 + a2d2 + a3d3)(b1c1 + b2c2 + b3c3)

= (a1c1b1d1 + a1c1b2d2 + a1c1b3d3 + a2c2b1d1 + a2c2b2d2 + a2c2b3d3

+a3c3b1d1 + a3c3b2d2 + a3c3b3d3)

−(a1d1b1c1 + a1d1b2c2 + a1d1b3c3 + a2d2b1c1 + a2d2b2c2 + a2d2b3c3

+a3d3b1c1 + a3d3b2c2 + a3d3b3c3)

= LI

1.4 Coordenadas Cartesianas

Considere un elemento de volumen en coordenadas Cartesianas como se muestraen la figura 1.8. La operacion diferencial en este sistema se puede deducir de ladefinicion. El operador ∇ tiene como definicion en coordenadas Cartesianas

e1∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ e3

∂

∂x3. (1.56)

1.4.1 Gradiente de un escalar

Tomemos como referencia que φ es evaluado en el centro del elemento P . Enel centro, las caras estan a una distancia ± dx1/2 de P en la direccion x1.

1.4. COORDENADAS CARTESIANAS 17

Expandiendo en series de Taylor alrededor de P obtenemos los valores de φ enlas caras, de manera que (φ ± ∂φ/∂x1)dx1/2. Si escribimos V = dx1 dx2 dx3,la ecuacion (1.39) resulta

grad φ = limV→0

1V

[(φ+

∂φ

∂x1

dx1

2)e1 dx2 dx3 − (φ− ∂φ

∂x1

dx1

2)e1 dx2 dx3

+ terminos similares para las caras x2 y x3

]

=∂φ

∂x1e1 +

∂φ

∂x2e2 +

∂φ

∂x3e3 (1.57)

1.4.2 Divergencia de un vector

La ecuacion (1.40) se escribe como

div f = limV→0

1V

[(f1 +

∂f1

∂x1

dx1

2) dx2 dx3 − (f1 −

∂f1

∂x1

dx1

2) dx2 dx3


]

=∂f1

∂x1+∂f2

∂x2+∂f3

∂x3(1.58)

1.4.3 Rotacional de un vector

De la ecuacion (1.41), tenemos que

rot f = limV→0

1V

[(f2 +

∂f2

∂x1

dx1

2)e3 dx2 dx3 − (f3 +

∂f3

∂x1

dx1

2)e2 dx2 dx3

−(f2 −∂f2

∂x1

dx1

2)e3 dx2 dx3 + (f3 −

∂f3

∂x1

dx1

2)e2 dx2 dx3


]

=

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3∂∂x1

∂∂x2

∂∂x3

f1 f2 f3

∣∣∣∣∣∣ (1.59)

1.4.4 Laplaciano

El Laplaciano de un escalar es

∇2φ =∂2φ

∂x21

+∂2φ

∂x22

+∂2φ

∂x23

(1.60)

y el de un vector

∇2f =∂2f∂x2

1

+∂2f∂x2

2

+∂2f∂x2

3

(1.61)


es similar.

1.4.5 Teorema de Gauss

Sea S una superficie cerrada, y V la region encerrada en ella, entonces,∫A

f · n dA =∫V∇ · f dV (1.62)

donde dV es un elemento de volumen, dA es un elemento de la superficie, y nel el vector unitario a ella.

1.4.6 Identidades de Green

Aplicando el teorema de Gauss al vector f = φ∇ψ, we get∫A

φ∇ψ · n dA =∫V∇ · (φ∇ψ) dV

De aqui obtenemos la primer identidad de Green:∫A

φ∇ψ · n dA =∫V

(φ∇2ψ +∇φ · ∇ψ) dV (1.63)

Intercabiando φ y ψ en la expresion anterior y restando, obtenemos la segundaidentidad de Green,∫

A

(φ∇ψ − ψ∇φ) · n dA =∫V

(φ∇2ψ − ψ∇2φ) dV (1.64)

1.4.7 Teorema de Stokes

Sea S una superficie abierta, y la curva C su frontera. Entonces∫A

(∇× f) · n dA =∮C

f · dl (1.65)

donde n es el vector unitario normal al elemento dA y dl un elemento de lacurva C.

1.5 Coordenadas curvilıneas ortogonales

Sean las coordenadas curvilineales de un punto (q1, q2, q3), donde qi = qi(x1, x2, x3),las xies son las coordenadas Cartesianas del punto. Entonces definimos factoresde escalamiento h1, h2, h3 tal que

hi =

√(∂x1

∂qi

)2

+(∂x2

∂qi

)2

+(∂x3

∂qi

)2

. (1.66)

1.5. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES 19

Ox1

x2

��

��

x3

((((((r P��

��

��

R

θ

Figura 1.9: Coordenadas cilindricas polares (R, θ, z) del punto P .

Los operadores diferenciales pueden ser escritos usando estos factores de es-calamiento.

Sea φ(r) un campo escalar y f(r) un campo vectorial, ambos son funcionesdel vector posicion r. Resulta que

grad φ =1h1

∂φ

∂q1eq1 +

1h2

∂φ

∂q2eq2 +

1h3

∂φ

∂q3eq3 (1.67)

div f =1

h1h2h3

[∂

∂q1(f1h2h3) +

∂

∂q2(f2h3h1) +

∂

∂q3(f3h1h2)

](1.68)

rot f =

∣∣∣∣∣∣h1eq1 h2eq2 h3eq3∂∂q1

∂∂q2

∂∂q3

f1h1 f2h2 f3h3

∣∣∣∣∣∣ (1.69)

∇2φ =1

h1h2h3

[∂

∂q1

(h2h3

h1

∂φ

∂q1

)+

∂

∂q2

(h3h1

h2

∂φ

∂q2

)+

∂

∂q3

(h1h2

h3

∂φ

∂q3

)](1.70)

donde f1, f2, f3 son las componentes de f en las directiones q1, q2, q3 respecti-vamente, y eq1 , eq2 , eq3 son los vectores unitarios en esas direcciones.

1.5.1 Coordenadas polares clindricas

Coordenadas:

q1 = R


Ox1

x2

��

��

��x3

��

��

rω((((

((r Pθ

Figura 1.10: Coordenadas esfericas polares (r, θ, ω) del punto P .

q2 = θ

q3 = z

Relacion con las coordenadas Cartesianas:

x1 = R cos θx2 = Rsen θx3 = z

Factores de escalamiento:

h1 = 1h2 = R

h3 = 1

1.5.2 Coordenadas polares esfericas

Coordenadas:

q1 = r

q2 = θ

q3 = ω

1.5. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES 21

Relacion con las coordenadas Cartesianas:

x1 = rsen θ cosωx2 = rsen θsenωx3 = r cos θ

Factores de escalamiento:

h1 = 1h2 = r

h3 = rsen θ

Ejemplo 1.4Encuentra las expresiones para el gradiente, la divergencia y el rotacional en coor-

denadas cilindricas (r, θ, z) donde

x1 = r cos θ

x2 = rsen θ

x3 = z

Las direcciones 1, 2 y 3 estan asociadas con r, θ, y z, respectivamente.Resolucion. De la ecuacion (1.66) los factores de escalamiento son

hr =

√(∂x1

∂r)2 + (

∂x2

∂r)2 + (

∂x3

∂r)2

=√

cos2 θ + sen 2θ

= 1

hθ =

√(∂x1

∂θ)2 + (

∂x2

∂θ)2 + (

∂x3

∂θ)2

=√r2sen 2θ + r2 cos2 θ

= r

hz =

√(∂x1

∂z)2 + (

∂x2

∂z)2 + (

∂x3

∂z)2

= 1

entonces

grad φ =∂φ

∂rer +

1

r

∂φ

∂θeθ +

∂φ

∂zez

div f =1

r[∂

∂r(frr) +

∂

∂θ(fθ) +

∂

∂z(fzr)]

rot f =1

r

∣∣∣∣∣ er reθ ez∂∂r

∂∂θ

∂∂z

fr fθr fz

∣∣∣∣∣


1.6 Notacion indicial para coordenadas Carte-sianas

Algunas de las relaciones vectoriales pueden ser escritas en forma compactausando la notacion indicial. Si x1, x2, x3 representa las direcciones de las trescoordenadas y e1, e2, e3 los vectores unitarios en esas direcciones. Entonces unvector a puede escribirse como

a =3∑i=1

aiei (1.71)

donde a1, a2, y a3 son las componentes Cartesianas de a. De acuerdo con laconvencion de la suma de Einstein, la repeticion de ındices indica suma, demanera que el simbolo Σ desaparece. Uno debe tener cuidado que un ındiceno se repita mas de una vez en un termino. Entonces podemos simplementeescribir

a = aiei. (1.72)

La delta de Kronecker se representa como

δij ={

0 if i 6= j1 if i = j

(1.73)

y el simbolo (o Levi-Civita)

εijk =

1 si los ındices estan en orden ciclico 1,2,3,1,2,· · ·−1 si los ındices no estan en orden cıclico0 si dos o mas ındices se repiten

(1.74)

La identidad

εijkεlmn = δilδjmδkn + δimδjnδkl + δinδjlδkm− δilδjnδkm− δimδjlδkn− δinδjmδkl(1.75)

relaciona a ambos. Las siguientes identidades pueden ser demostradas facil-mente:

δii = 3 (1.76)δij = δji (1.77)

δijδjk = δik (1.78)εijkεlmk = δilδjm − δimδjl (1.79)εijkεljk = 2δil (1.80)εijkεijk = 6 (1.81)

En esta notacion el producto escalar de vectores puede ser escrito como

a · b = aibi (1.82)

1.7. EL CONCEPTO DE TENSOR 23

ya× b = εijkaibjek (1.83)

Mas aun

grad φ =∂φ

∂xiei (1.84)

div f =∂fi∂xi

(1.85)

rot f = εijk∂fj∂xi

ek (1.86)

∇2φ =∂2φ

∂xi∂xi(1.87)

∇2fj =∂2fj∂xi∂xi

(1.88)

El teorema de Gauss, ecuacion (1.62), puede ser escrita como∫A

fini dA =∫V

∂fi∂xi

dV. (1.89)

La notacion indicial algunas veces simplifica la demostracion de relacionesvectoriales, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.5Demuestre usando notacon indicial que

(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c)

Resolucon.

LI = (εijkaibj)(εlmkcldm)

= (δilδjm − δimδjl)aibjcldm= albmcldm − amblcldm= LD

1.7 El concepto de tensor

1.7.1 Notas preliminares

Recuerdese de la seccion 1.1 que un escalar es una cantidad suya especificacion(en cualquier sistema coordenado) requiere solamente un numero. Por otrolado, un vector (originalmente definido como un segmento dirigido de lınea) es


una cantidad cuya especificacion requiere de tres numeros, es decir, sus compo-nentes con respecto a alguna base. El tensor de orden n, cuya especificacion encualquier sistema coordenado dado requiere 3n numeros, llamados componentesdel tensor. La propiedad fundamental del tensor, es la ley de transformacionde sus componentes, es decir, la forma en que sus componentes en un sistemacoordenado se relacionan con sus componentes en otro sistema coordenado. Laley de transformacion es una consecuencia del significado fısico o geometrico deltensor.

1.7.2 Tensor de orden cero

∆xi = xBi − xAi , ∆x′i = x′iB − x′i

A (i = 1, 2, 3)

x′i = αi′kxk + x0i

∆x′i = x′iB − x′i

A = αi′kxBk − x0iαi′kx

Ak − x0i

= αi′k(xBk − xAk − x0i.

(∆s′)2 = (∆x′i)2

(∆s′)2 = αi′k∆xkαi′l∆xl = αi′kαi′l∆xk∆xl.

αi′kαi′l = δkl

(∆s′)2 = δkl∆xk∆xl = (∆xk)2.

∆s′ = ∆s′

1.7.3 Tensor de primer orden

∆x′i = αi′k∆xk

A′i = αi′kAk

1.8. TENSORES CARTESIANOS 25

1.7.4 Tensor de segundo orden

Se entiende por un tensor de segundo orden una cantidad especificada de formaunica por nueve numeros reales (las componentes del tensor) que se transformabajo el cambio de coordenadas de acuerdo a la ley

Aik = αil′αkm′A′lm (1.90)

A′ik = αi′lαk′mAlm (1.91)

1.7.5 Tensor de orden superior

φ′ = φ, A′i = αi′lAl, A′ik = αi′lαk′mAlm, (1.92)

A′i1i2...in = αi′1k1αi′2k2αi′3k3 ...αi′nknAk1k2k3...kn (1.93)

1.8 Tensores Cartesianos

Considere dos sistemas Cartesianos que cumplen con la regla de la mano derecha,S con coordenadas x1, x2, x3 y x′1, x′2, x′3 tal como se muestra en la figura 1.8.Un escalar φ en el origen comun O tiene el mismo valor para cualesquiera delos dos sistemas. Ahora, consideremos un vector a representado mediante unaflecha. Este tiene componentes a1, a2, a3 en S y a′1, a

′2, a′3 en S′. Se puede

demostrar facilmente que ambos estan relacionados mediante by

aj = Aija′i (1.94)

donde Aij = cos(x′i, xj) es una matriz de transformacion. Podemos definir queuna cantidad cuyas componentes se transforman de manera similar a esta es unvector. La transformacion inversa es

a′j = Ajiai (1.95)

La matriz de transformacion Aij satisface

AkiAkj = δij (1.96)

Esto se puede demostrar de xi = Akix′k y x′k = Akjxj , diferenciando el primero

con respecto a xj y substituyendo el segundo. La matriz cuyos elementos sonAij es ortogonal.

Una cantidad T con componentes Tij se llama tensor de segundo orden sisus componentes transforman de acuerdo a las siguientes relaciones

Tij = AkiAljT′kl (1.97)

T ′ij = AikAjlTkl (1.98)

Las matrices se usan frecuentemente para representar vectores y tensores;un ector puede ser representado por un vector columna de 3 × 1, y un tensor


Ox1

((((((((

( x′1

x2

EEEEEEEEE

x′2

x′3

��

��

��

x3

�� a

Figura 1.11: Sistema de coordenadas Cartesianas S y S ′

por una matriz de 3 × 3 matrix. Por ejemplo, la delta de Kronecker, δij , es lamatriz identidad I. Si la matriz A es Aij , su transpuesta AT sera Aji.

El producto tensorial ab de dos vectores a y b es el tensor aibj . La multipli-cacion Aa de una matriz A de 3×3 y un vector columna a de 3×1 es un vectorcuyas componentes estan representadas en notacion indicial como Aijaj . Sim-ilarmente, el producto AB de dos matrices de 3× 3 A y B tiene componentesAijBjk.

La ecuacion (1.96) es equivalente a

ATA = I (1.99)

que significa que A es una matriz ortogonal con

A−1 = A (1.100)

donde A−1 es la inversa de A. Entonces

AAT = I (1.101)

que puede ser escrito comoAikAjk = δij . (1.102)

Las ecuaciones de transformacion tambien pueden ser escritas como

a = ATa′ (1.103)a′ = Aa (1.104)T = ATT′A (1.105)T′ = ATAT . (1.106)


Ejemplo 1.6Considere dos sistemas de coordenadas Cartesianos: S con vectores unitarios (i, j,k),

y S′ y (i′, j′,k′), donde i′ = i, j′ = (j− k)/√

2, k′ = (j + k)/√

2. El tensor T tiene lassiguientes componentes en S: (

1 0 00 −1 00 0 3

). Encuentre sus componentes en S′.

Resolucion. La matriz de transformacion es

A =

(1 0 0

0 1/√

2 −1/√

2

0 1/√

2 1/√

2

)De la ecuacion (1.106) tenemos

T′ =

(1 0 00 1 −20 −2 1

)

Los tensores de orden superior se pueden definir de manera similar. Lascomponentes de un tensor de orden tres, Sijk, transforma de acuerdo a

Sijk = AliAmjAnkS′lmn (1.107)

y demas.En resumen, el orden del tensor define la ley de transformacion de sus com-

ponentes si las coordenadas del sistema se rotan.

Transformacion Cantidad

φ = φ φ es un tensor de orden cero, o un escalar

a′i = Aijaj ai son componentes de un tensor de orden uno, o un vector

T ′ij = AikAjlTkl Tij son componentes de un tensor de orden dos

S′ijk = AilAjmAknSlmn Sijk son componentes de un tensor de orden tres

Se puede demostrar que un tensor de orden dos T es un operador que trans-forma a un vector a en otro vector b. Entonces

bi = Tijaj (1.108)

donde ai y bi son las componentes de a y de b respectivamente.

Ejemplo 1.7Si Tij y aj son las componentes de un tensor de segundo orden y de un vector

respectivamente, demuestre que bi = Tijaj son las componentes de un vector.


Resolucion. En el sistema S′, las componentes son

b′i = T ′ija′j

=[AikAjlTkl

][Ajmfm

]= AikδlmTklam

= AikTklal

= Aikbk

lo que prueba que gi son las componentes de un vector.

De forma similiar se puede demostrar que Tij = aibj son las componentesde un tensor de segundo orden si ai y bj son las componentes de un vector.El producto de vectores a y b se llama diada y se escribe como a b. Unacombinacion lineal de diadas,

∑kn=1 Cn an bn es una diada.

El gradiente es un operador que incrementa el orden del tensor. Es decir, elgraciente de un vector fi es el tensor de segundo orden ∂fi/∂xj . La divergenciaes un operador que decrementa el orden del tensor (por esta razon no puedeaplicarse a un escalar). La divergencia de un tensor Tij es un vector ∂Tij/∂xi.La variacion del teorema de Gauss en forma tensorial de la ecuacion (1.89), es∫

A

Tijni dA =∫V

∂Tij∂xi

dV (1.109)

Un tensor isotropico es aquel que es invariante a la rotacion del sistemacoordenado.

Ejemplo 1.8Muestre que el tensor representado por δij es isotropico.Resolucion. El tensor tiene componentes δij en S. En S′, las componentes de este

tensor seran AikAjlδkl = AilAjl = δij . Entonces este tensor tiene la misma forma queen el sistema coordenado rotado.

1.8.1 Reduccion del tensor a los ejes principales

Ahora consideramos un problema de gran importancia en la fısica. Dado untensor de segundo orden T con componentes Tik y cualquier vector z con com-ponentes zi, formamos el producto interno

Tikzk = bi

por lo que obtenemos un nuevo vector b con componentes bi. En general elvector b difiere del vector z en su direccion y magnitud, es decir, la operacionTikzk rota b cambiando su direccion y magnitud. Supongamos ahora que se


desea encontrar a todos los vectores b que no rotan mediante la multiplicacioncon Tik, es decir, todos los vectores z tales que

Tz = λz (1.110)

o mediante la notacion indicial

Tikzk = λzi. (1.111)

La magnitud de z cambia cuando λ 6= 1. Tales vectores si existen se lla-man vectores propios (eigenvectores) del tensor Tik, y sus direcciones se lla-mancaracterısticas o direcciones principales de Tik.

Los valores de las componentes Tik en el sistema coordenado determinadopor los ejes princiaples se llaman valores caracterısticos o eigenvalores del tensorcorrespondiente. Resulta que estos son simplemente los valores de λ para loscuales la ecuacion (1.111) tiene solucion.

Puede haber mas de un valor y vector caracterıstico para un tensor dado.Para un tensor simetrico, los valores propios o caracterısticos son reales. Sitomamos z = [a b c]T , la ecuacion escalar correspondiente a la ecuacion vectorialmencionada es

(T11 − λ)a+ T12b+ T13c = 0T21a+ (T22 − λ)b+ T23c = 0 (1.112)T31a+ T32b+ (T33 − λ)c = 0

Para una solucion no trivial a, b, y c, debemos de tener∣∣∣∣∣∣T11 − λ T12 T13

T21 T22 − λ T23

T31 T32 T33 − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 (1.113)

La ecuacion cubica en λ que hemo obtenido se llama ecuacion secular y sus tressoluciones dan los valores propios λ1, λ2, λ3. Para cada λi, la ecuacion (1.112)provee un eigenvector no unico zi.

Los tres vectores caracterısticos z1, z2, z3 forman un sistema coordenadoortogonal que es rotado con respecto al original. Con vectores unitarios a lo largode estas direcciones (llamados ejes principales), el tensor original se convierteen λ1 0 0

0 λ2 00 0 λ3

(1.114)

Existe entonces una simplificacion considerable como resultado del uso delos ejes principales como coordenadas de direccion . Por ejemplo, la ecuacion

Tijxixj = 1 (1.115)

describe una superficie cuadrica, es realmente equivalente a

T11x21+T12x1x2+T13x1x3+T21x2x1+T22x

22+T23x2x3+T31x3x1+T32x3x2+T33x

23 = 1

(1.116)


con un numero de terminos mixtos xixj (i 6= j). Para un tensor simetrico Tij ,uno puede cambiar a nuevas coordenadas a lo largo de sus direcciones principalespara obtener una superficie en la forma

λ1x21 + λ2x

22 + λ3x

23 = 1 (1.117)

que puede ser interpretada geometricamente como un elipsoide, paraboloide oun hiperboloide.

Ejemplo 1.9Encuentre los valores propios y vectores propios de[

1 0 00 1 20 2 1

]Resolucion. Los valores propios son solucion de la ecuacion∣∣∣∣∣ 1− λ 0 0

0 1− λ 20 2 1− λ

∣∣∣∣∣ = 0

que da(1− λ)(−3 + λ)(1 + λ) = 0

de manera que λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 3.Le ecuacion (1.112) se convierte en

(1− λi)ai = 0

(1− λi)bi + 2ci = 0

2bi + (1− λi)ci = 0

Para λ1 = −1: 2a1 = 0, 2b1 + 2c1 = 0, 2b1 + 2c1 = 0. De aquı obtenemosa1 = 0, b1 = −c1. Escoge arbitrariamente b1 = 1. El vector propio es e2 − e3. Parahacerlo un vector unitario y quitar cierta arbitrariedad, dividamos por su magnitud

√2.

Entonces el vector propio unitario que corresponde a este valor propio es (e2− e3)/√

2.Para λ2 = 1: 2c2 = 0, 2b2 = 0. Esto da b2 = c2 = 0, mientras a1 es arbitrario. Es-

coge a1 = 1 para hacerlo un vector unitario. Entonces el vector propio que correspondea este valor propio es e1.

Para λ3 = 3: −2a3 = 0, −2b3 + 2c3 = 0, 2b3 − 2c3 = 0. Esto da a3 = 0, b3 = c3.Escoge b3 = 1. Entonces el vector propio es e2 + e3. Para hacerlo un vector unitario,dividamos por su magnitud

√2. De manera que el vector unitario que correspode a este

valor unitario es (e2 + e3)/√

2).Los vectores en direcciones opuestas a las escogidas tambien hubieran sido vectores

propios unitarios.

Nota: En el caso de coordenadas generalizadas, hay varias maneras dereducir un tensor a los ejes princiaples, dependiendo de como se escogen lascomponentes. Por ejemplo, si escogemos coordenadas covariantes, tenemos

Tikzk = λzi (1.118)

en vez de (1.112). puesto que zi = gikzk, la ecuacion (1.118) implıca

(Tik − λgik) zk = 0.


Ahora bien, para que la ecuacion (1.8.1) se parezca a (1.112), debemos usarcomponentes mixtas del tensor. De hecho reemplzando el ındice libre i por l en(1.8.1) y multiplicando por gil y sumando sobre l, obtenemos(

T ik − λgik)zk = 0.

Esta da la siguiente ecuacion caracterıstica para determinar los valores propiosdel tensor ∣∣∣∣∣∣

T 11 − λ T 1

2 T 13

T 21 T 2

2 − λ T 22

T 31 T 3

2 T 33 − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0. (1.119)

1.8.2 Invariantes del tensor

1.8.3 Pseudo tensores

1.8.4 Tensor simetrico

Para Un tensor simetrico es aquel para el cual Tij = Tji, mientras que para unantisimetrico Tij = −Tji. Dado que

Tij =12

(Tij + Tji)︸︷︷︸simetrico

+12

(Tij − Tji)︸︷︷︸antisimetrico

(1.120)

cualquier tensor puede ser escrito como la suma de dos tensores uno simetricoy otro antisimetrico.

1.8.5 Tensor antisimetrico

Theorema: Cualquier tensor antisimetrico de orden n puede ser expresadocomo un tensor de orden n− 1.

Prueba: ConsidereApqr... = Aqpr... (1.121)

donde Apqr... es un tensor antisimetrico de orden n y asimetrico en p y q, entonceses posible considerar

εijkAjkl...︸︷︷︸orden n

= Til...︸︷︷︸orden n− 1

(1.122)

Mas aun,

εpqiεijkAjkl... = (δpjδqk − δpkδqk)Ajkl...= Apql... −Aqpl...= 2Apql.... (1.123)

Por lo que podemos escribir

Apql... =12εijkTil... (1.124)


donde Til... es un tensor de orden menos uno que Apql....Los terminos diagonals de un tensor antisimetrico de orden tres Tij son cero

y este tiene solamente tres terminos independientes tal como se muestra:

T =

0 −T21 T13

T21 0 −T32

−T13 T32 0

. (1.125)

Los tres terminos pueden constituir un vector. Entonces podemos escribir

a = T32e1 + T13e2 + T21e3. (1.126)

Este vector tiene la propiedad de que

T b = a× b (1.127)

donde b es cualquier otro vector.

1.9 Tensores en sistemas de coordenadas gener-alizadas

A′i = αki′Ak,

A′i = αi′

kAk,

Ai = gikAk,

Ai = gikAk,

Aik = gilgkmAlm = gklA

li = gilA

lk,

Aik = gilgkmAlm = gilAkl = gklAil,

Akl = gklAil = gilAlk,

Aik = gilAlk = gklAil.

A′ik = αli′αmk′Alm (1.128)

A′ik = αi′

l αk′

mAlm (1.129)

A′ik = αi

′

l αk′

mAml (1.130)

A′ik = αli′αmk′A

lm (1.131)

1.9. TENSORES EN SISTEMAS DE COORDENADAS GENERALIZADAS33

1.9.1 El caracter tensorial de gik, gik y gki

Ahora mostraremos que las cantidades gik, gik y gki son componentes de untensor de segundo orden llamado tensor metrico.

g′ik = e′i · e′k = αli′ el · αmk′ em = αli′αmk′glm (1.132)

g′ik = e′i · e′k = αi′

l el · αk′

m em = αi′

l αk′

mglm (1.133)

g′ki = e′i · e′k = αli′ el · αk′

m em = αli′αk′

mgml . (1.134)

ei = gik ek (1.135)

gik = ei · ek = gil el · gkm em = gilgkmglm. (1.136)

gki = ei · ek ={


(1.137)

Recuerda (1.16).

1.9.2 Tensores de orden superior en coordenadas general-izadas

A′ik = αli′αmk′Alm (1.138)

A′ik = αi′

l αk′

mAlm (1.139)

A′ik = αi

′

l αk′

mAml (1.140)

A′ik = αli′αmk′A

lm (1.141)

Necesito arreglar esto!

1.9.3 Tensores covariantes, contravariantes y mixtos

Al describir un problema que surge del estudio de un problema fısico o geometrico,es conveniente empezar de un particular conjunto de componentes, digamoscomponentes covariantes, aunque formulas como (1.7) pueden ser usadas paradeducir todas las componentes contravariantes y mixtas del mismo tensor, elcual es un objeto unico con no mas de 3n componentes.

Ejemplo 1.10Sea φ(x1, x2, x3) una funcion escalar de las coordenadas generalizadas x1, x2, x3 (no

confundirse con las coordenadas rectangualres x1, x2, x3. Entonces por la regla de lacadena de diferenciacion parcial

∂φ

∂x′i=

∂φ

∂xk∂xk

∂x′i= αki′

∂xk

∂x′i,


donde hemos usado el hecho de que

xk = αki′x′i.

Por lo tanto, ∂φ/∂x′i transforma como la componente covariante de un vector, y en esesentido, forma un “vector covariante”. De cualquier manera, sera mas exacto describir∂φ/∂x′i como las componentes covariantes de un vector (el gradiente) y tambien tienecomponentes contravariantes y mixtas bien definidas.

1.10 Derivada covariante

(?)

Problemas

1. Demuestre mediante la expansion en componentes que

(a) a× (b× c) = b(a · c)− c(a · b)

(b) rot grad φ = 0

2. Mediante el uso de a×(b×c) = b(a·c)−c(a·b) muestre que εijkεlmk = δilδjm−δimδjl.3. Muestre que

rot rot f = grad div f −∇2f

4. Encuentre los ejes principales del tensor simetrico[2 4 −64 2 −6−6 −6 −15

]5. Demustre que la ecuacion (1.127) se satisface para cualquier vector b, donde T y a

estan dados por las ecuaciones (1.125) y (1.126) respectivamente.

6. Escriba las expresiones para grad φ, div f, y rot f en (a) coordenadas polares cilindricas,y (b) coordenadas polares esfericas.

7. Encuentre los ejes principales del tensor[3 0 00 3 40 4 3

]8. Aplique el teorema de Stokes para el campo vectorial en el plano f(x, y) = fx(x, y)i +

fy(x, y)j y una curva que encierra la region. Como se le llama a este resultado? Use

este resultado para encontrar∮C

f · dl, donde f = −yi + xj y la integracion es en el

sentido contrario a las manecillas del reloj a lo largo de los lados C del paralelogramocon las esquinas en (0,0), (1,0), (2,1), y (1,1).

9. Las coordenadas ortogonales bipolares (u, v, w) se definen mediante

x =α sinh v

cosh v − cosu

y =αsenu

cosh v − cosuz = w

Dibuje algunas de las superficies coordenadas.

1.10. DERIVADA COVARIANTE 35

10. Usando la notacion indicial, demuestre que

∇× (f × g) = (g · ∇)f − (f · ∇)g + f(∇ · g)− g(∇ · f)

donde f y g son campos vectoriales.

11. Considere dos sistemas Cartesanos: S con vectores unitarios (i, j,k), y S′ with (i′, j′,k′),where i′ = i, j′ = (j − k)/

√2, k′ = (j + k)/

√2. El tensor T tiene las siguientes

componentes en S: (1 0 00 −1 00 0 3

)Encuentre sus componentes en S′.

12. Encuentre la matriz A que opera sobre cualquier vector de unidad uno en el plano x-yy lo rota a traves de un angulo θ alrededor del eje z sin cambiar su longitud.

13. Pruebe las siguientes identidades usando la notacion indicial:

(a) (a× b) · c = a · (b× c)

(b) a× (b× c) = b(a · c)− c(a · b)

(c) (a× b) · (c× d) = (a× b)× c · d

14. La posicion de un punto esta dada por R = ia cosωt+ jbsenωt. Muestre que el caminodel punto es una elipse. Encuente su velocidad V y muestre que R ×V = constante.Muestre tambien que la aceleracion del punto esta dirigida hacia el origen y su magnitudes proporcional a la distancia del origen.

15. Use el teorema de Green para calcular∮C

f ·dl, donde f = x2i + 2xyj, y C es el camino

en sentido contrario a las manecillas del reljo alrededor de un rectangulo con vertices(0,0), (6,0), (0,4) y (6,4).

16. Derive una expresion para la divergencia de un vector en coordenadas ortogonalesparaboloides.

x = uv cos θ

y = uvsen θ

z =1

2(u2 − v2)

Determine los factores de escalamiento. Encuentre ∇φ, ∇ · f , ∇ × f , y ∇2φ en estesistema coordenado.

17. Derive una expresion para los operadores gradiente, divergencia, rotacional y Lapla-ciano en coordenadas cilındricas parabolicas (u, v, w) donde

x = uv

y =1

2(u2 − v2)

z = w

where 0 ≤ u <∞, −∞ < v <∞, y −∞ < w <∞.

18. Las coordenadas ortogonales cilındricas elıpticas (u, v, z) estan relacionadas con lascoordenadas Cartesianas (x, y, z) mediante

x = a coshu cos v

y = a sinhusen v

z = z

where 0 ≤ u <∞, 0 ≤ v < 2π y −∞ < z <∞. Determine ∇φ, ∇ · f , ∇× f y ∇2φ eneste sistema, donde φ es un campo escalar y f es un campo vectorial.

19. Determine el vector unitario normal a la superficie x3−xyz+z3 = 1 en el punto (1,1,1).


20. Muestre usando notacion indicial que

∇×∇φ = 0

∇ · ∇ × u = 0

w × (u× v) = u(v ·w)− v(u ·w)

∇(u · v) = (f · ∇)v + (v · ∇)u + u× (∇× v) + v × (∇× u)

1

2∇(u · u) = (u · ∇)u + u× (∇× u)

∇ · (u× v) = v · ∇ × u− u · ∇ × v

∇× (∇× u) = ∇(∇ · u)−∇2u

∇× (u× v) = (v · ∇)u− (u · ∇)v + u(∇ · v)− v(∇ · u)

21. Muestre que el operador de Laplace ∂2/∂xi∂xi tiene la misma forma en S y S′.

22. Muestre las identidades (1.76)-(1.81).

23. Para flujo potencial, el campo de velocidades esta dado por u = grad φ, donde φ es elpotencial de velocidad. Considere el potencial de velocidad

φ(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2

(a) Muestre que este satisface la ecuacion de Laplace ∇2φ = 0.

(b) Encuentre el campo de velocidad u.

(c) Muestre que u tiene divergencia cero.

24. Muestre que los siguientes campos escalares en coordenadas cilindricas (que representanla funcion de corriente alrededor de cilindros)

ψ = UR

(1−

a2

R2

)sen θ

donde U y a son constantes, satisfacen la ecuacion de Laplace.

25. Muestre que el siguiente campo escalar en coordenadas esfericas (que representan lafuncion de corriente alrededor de esferas)

φ = Ur

(1−

1

2

a3

r3

)cos θ

donde U y a son constantes, satisfacen la ecuacion de Laplace.

26. Muestre que el campo vectorial en coordenadas Cartesianas

u = (y + z)i + (z + x)j + (x+ y)k

es libre de divergencia e irrotacional. Tambien encuentre su gradiente.

27. Encuentre expresiones para el gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas esfericas.

28. Encuentre expresiones para el gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas cilındricas.

29. Pruebe que

(a) La suma de dos tensores Cartesianos del mismo orden es igual al tensor Cartesianode ese orden.

(b) Un tensor multiplicado por un scalar es un tensor del mismo orden.

(c) Si xi e yj son vectores, entonces xiyj es un tensor de segundo orden.

(d) Si xij e ykl son tensores de segundo orden, entonces tambien lo es yijyjk.

30. Muestre por enumeracion de los casos que

εijkεlmn = δilδjmδkn + δimδjnδkl + δinδjlδkm − δilδjnδkm − δimδjlδkn − δinδjmδkl

1.10. DERIVADA COVARIANTE 37

31. Muestre que

δii = 3

δij = δji

δijδjk = δik

εijkεlmk = δilδjm − δimδjlεijkεljk = 2δil

εijkεijk = 6

32. Pruebe que el producto escalar de dos vectores es invariante bajo la transformacionortogonal.

33. Pruebe que si un tensorde orden m se multiplica por un tensor de orden n, el nuevotensor tiene orden n+m.

34. El radio vector esta definido por r =√xjxj . Muestre lo siguiente:

∂r

∂xi=xi

r

∂A(r)

∂xj=∂A(r)

∂r

xj

r

∂2A(r)

∂xk∂xj= δjk

1

r

∂A(r)

∂r+

(∂2A(r)

∂r2−

1

r

∂A(r)

∂r

)xjxk

r2

35. Si εij y τij denotan las componentes de un tensor de deformacion y de esfuerzo, paraun medio no isotropico, entonces estan ralacionados de acuerdo a la ley τij = cijrsεrs.Muestre que cijrs es un tensor de cuarto orden.

Capıtulo 2

Calculo variacional

2.1 Teorema de Leibnitz

Dada una funcion f(x) contınua en el segmento [a, b], la integral de limite su-perior variable

Φ(x) =∫ x

a

f(t) dt

sera una primitiva para la funcion f(x), es decir,

dΦ(x)d x

= Φ′(x) =d

d x

x∫a

f(t) dt, x ∈ [a, b].

Si las funciones ψ(x) φ(x) son derivables en el punto x ∈ [a, b] y f(t) escontınua para ψ(a) ≤ t ≤ φ(b) entonces

d

d x

∫ ψ(x)

φ(x)

f(t) dt = f(ψ(x))ψ(x)′ − f(φ(x))φ(x)′ (2.1)

Ejemplo 2.1Hallese I′(x) si

I(x) =

∫ x2

0

e−t2dt

Resolucion. Haciendo uso de la propiedad (2.1) y tomando en consideracion queφ(x) = 0, es decir, φ′(x) = 0, tenemos

I′(x) = e−(x2)2· (x2)′ = 2xe−x

4

38

2.2. INTEGRALES PROPIAS DEPENDIENTES DE UN PARAMETRO 39

2.2 Integrales propias dependientes de un parametro

Si la funcion f(x, λ) esta definida y es contınua en el rectangulo a ≤ x ≤ b,A ≤ λ ≤ B, entonces la integral

F (λ) =∫ b

a

f(x, λ) dx (2.2)

se llama integral dependiente del parametro y es una funcion contınua en elintervalo [A,B].

La integral de una forma mas general

F (λ) =∫ ψ(λ)

φ(λ)

f(x, λ) dx

se llama tambien integral dependiente de un parametro y es una funcion contınuadel argumento λ en el intervalo [A,B]; si f(x, λ) es contınua en el rectanguloa ≤ x ≤ b, A ≤ λ ≤ B, ψ(λ) y φ(λ) son contınuas para λ ∈ [A,B] y sus valoresse contienen en el intervalo [a, b].

Ejemplo 2.2Calculese la integral∫ 1

0

xb − xa

lnxdx (b > a > 0),

Resolucion. Observamos que

xb − xa

lnx=

∫ b

a

xλdλ.

Si f(x, λ) = xλ es contınua en el rectangulo 0 ≤ x ≤ 1, a ≤ λ ≤ b, entonces para laintegral (2.1) es valida la formula de integracion respecto al parametro y bajo el signode la integral:∫ B

A

F (λ)dλ =

∫ B

A

dλ

∫ b

a

f(x, λ)dx =

∫ b

a

dx

∫ B

A

f(x, λ)dλ. (2.3)

La funcion subintegral f(x, λ) = xλ es contınua en el recangulo 0 ≤ x ≤ 1, a ≤ λ ≤b, por eso se puede utilizar la formula (2.3):∫ 1

0

dx

∫ b

a

xλdλ =

∫ b

a

dλ

∫ 1

0

xλdx =

∫ b

a

1

λ− 1dλ = ln

b+ 1

a+ 1

Ejemplo 2.3Hallar

∫ 1

0xm(lnx)ndx, donde m y n son numeros enteros positivos.

40 CAPITULO 2. CALCULO VARIACIONAL

Resolucion. Examinemos la integral∫ 1

0

xmdx =1

m+ 1

aqui f(x,m) = xm es la funcion contınua en el intervalo 0 < x < 1 si m > 0. Hallamosla derivada de esta integral con respecto a m.

d

dm

∫ 1

0

xmdx =

∫ 1

0

xm lnx dx = −1

(m+ 1)2

Derivando con respecto a m una vez mas, obtenemos∫ 1

0

xm(lnx)2 dx =2

(m+ 1)3.

Despues de derivar n veces mas, obtenemos∫ 1

0

xm(lnx)n dx = (−1)n ·n

(m+ 1)n+1.

2.3 Concepto de funcional

Mientras que uno de los conceptos fundamentales del analisis matematico es elde funcion, el concepto de funcional es una generalizacion directa y natural delde funcion y lo contiene como caso particular.

Sea C un conjunto de objetos cualesquiera, estos pueden ser numeros, puntosen el espacio, lıneas, funciones, superficies, etc. Si a cada elemento x de C lecorresponde cierto numero real y, entonces se dice que sobre el conjunto C estadefinida la funcional y = I(x). Si el conjunto C es un conjunto de numerosx, entonces la funcional y = I(c) no es mas que la funcion de un argumento.Cuando C es el conjunto de un par de numeros (x1, x2), la funcional sera lafuncion y = I(x1, x2) de dos artumentos, etc. En el calculo de variaciones seexaminan funcionales cuyo campo de definicion C son conjuntos de funcionesy(x).

El calculo variacional tiene por objeto determinar los valores maximos ymınimos de las funcionales definidas sobre conjuntos de lıneas o superficies.Con ellos las funcionales se dan por medio de ciertas integrales definidas.

2.3.1 Concepto de variacion de una funcional

Examinemos ahora el caso de una funcional general que tiene la forma

I =∫ x1

x0

F (x, y, y′)dx,

donde F es cierta funcion conocida de tres variables. Si en vez de y(x) enla integral se substituye la funcion y(x) + αη(x), donde η(x) es cierta funcion

2.3. CONCEPTO DE FUNCIONAL 41

Figura 2.1: Funcion η definida en el intervalo [x0, x1].

fija contıua hasta la primera derivada tal que η(x0) = η(x1) = 0, entoncesobtenemos la funcion del parametro α:

I(α) =∫ x1

x0

F [x, y(x) + αη(x), y′(x) + αη′(x))]dx,

Lema: Si f(x) es una funcion contınua sobre el segmento [x0, x1] y si∫ x1

x0f(x)η(x)dx = 0 para una funcion η(x) cualquiera que sea derivable con-

tinuamente m veces e igual a cero sobre los extremos del segmento [x0, x1] juntocon todas sus derivadas del k-esimo orden (k ≤ m), luego f(x) ≡ 0.

Demostracion. Admitamos lo contrario. Entonces en cierto punto interior ξdel segmento [x0, x1], f(ξ) 6= 0. Supongamos que para la definibilidad f(ξ) > 0.En virtud de la continuidad f(x), se puede senalar tal subsegmento [ξ0, ξ1] ⊂[x0, x1] en el cual f(x) > 0. Definimos ahora η(x) ası(figura 2.1):

η(x) ={

0 : fuera de [ξ0, ξ1],(ξ1 − x)(x− ξ0)m+1 : para ξ0 ≤ x ≤ ξ1

No es difıcil comprobar que la funcion η(x) es m veces continuamente derivablesobre el segmento [x0, x1] y, junto con todas sus derivadas de hasta el m-esimoorden, inclusive, se anula sobre los extremos del segmento [x0, x1]. Por eso

0 =∫ x1

x0

f(x)η(x)dx =∫ ξ1

ξ0

f(x)(ξ1 − x)(x− ξ0)m+1dx > 0.

La contradiccion obtenida demuestra el lema.


2.4 Condicion necesaria del extremo de una fun-cional

2.4.1 Ecuacion de Euler

Examinemos la funcional

I =∫ x1

x0

F (x, y, y′)dx,

donde F es la funcion dada de tres variables, junto con las derivadas parcialesde segundo orden, inclusive

I(α) =∫ x1

x0

F [x, y(x) + αη(x), y′(x) + αη′(x))]dx,

d I

dα

∣∣∣∣α=0

=∫ x1

x0

[Fy(x, y, y′)η′(x) + Fy′(x, y, y′)η′(x)] dx.

Efectuemos la integracion por partes en el segundo sumando.∫ x1

x0

Fy′(x, y, y′)η′(x)dx = Fy′η(x)|x1x0−∫ x1

x0

η(x)d

d x(Fy′) dx

Aquı el termino extraintegral es igual a cero, ya que segun los datos η(x) seanula en los extremos del intervalo [x0, x1]. Por consiguiente,

I ′(0) =∫ x1

x0

η(x)[Fy −

d

d x(Fy′)

]dx = 0

o bien en la anotacion desarrollada

y′′Fy′y′ + y′Fyy′ + Fxy′ − Fy = 0

Esta ecuacion fue obtenida por L. Euler y suele llamarse ecuacion de Euler.

2.4.2 Casos particulares de integrabilidad de la ecuacionde Euler

1. La funcion F no depende de y′, o sea F = F (x, y). Entonces en general,la solucion del problema de variaciones en examen no existe. Solo en casosespeciales habra una curva y = y(x) que pase por los puntos M(x0, y0) yN(x1, y1) y sea la solucion de la ecuacion funcional Fy = 0.

2. F depende linealmente de y′, o sea F = P (x, y) + y′Q(x, y). La ecuacionde Euler tiene la forma:

y′∂Q

∂y+∂Q

∂x− ∂P

∂y− y′ ∂Q

∂y= 0

2.4. CONDICION NECESARIA DEL EXTREMO DE UNA FUNCIONAL43

o bien∂Q

∂x− ∂P

∂y= 0.

La ecuacion obtenida no es diferencial con respecto a la funcion incognitay(x) y, hablando en general, no tiene soluciones que satisfagan las condi-ciones de forntera dadas. Sin embargo, si respecto a ambas variables x ey, ∂Q∂x −

∂P∂y = 0, entonces la expresion Pdx+Qdy es la diferencial total y

por eso la integral curvilınea

I[y(x)] =∫ x1

x0

(P + y′Q) dx =∫ (x1,y0)

(x0,y0)

Pdx+Qdy

no depende del camino de integracion. Por consiguiente, el valor de lafuncional I es constante sobre las curvas admisibles y el problema devariaciones pierde sentido.

3. F depende solamente de y′, o sea F = F (y′). En este caso la ecuacionde Euler tiene la forma y′′Fy′y′=0. En particular, se obtiene la ecuaciony′′ = 0. Su solucion general es y = C1x + C2. Aquı de extremales sirvenlas lıneas rectas.

4. F depende solamente de x e y′ o sea F = F (x, y′). Puesto que en estecaso ∂F

∂y = 0, la ecuacion de Euler sera dd x

∂F∂y′ = 0 y su primer integral se

halla inmediatamente: ∂F (x,y′)∂y = C1.

5. F depende solamente de y e y′, o sea F = F (y, y′). En este caso laecuacion de Euler sera y′′Fy′y′ + y′Fyy′ − Fy = 0. Se halla facilmente laprimer integral. En efecto, examinemos la igualdad

d

d x(F − y′Fy′) = y′Fy + y′′Fy′ − y′′Fy′ + y′2Fyy′ − y′y′′Fy′y′

= −y′(y′′Fy′ + y′Fyy′ − Fy).

Si la funcion de y satisface la ecuacion de Euler, entonces el segundomiembro se anula y (F − y′Fy′) = C1 nos da la primera integral de laecuacion de Euler.

Ejemplo 2.4Entre todas las curvas planas suaves que unen los puntos A(x0, y0 y B(x1, y1) hallar

aquella que girando alrededor del eje Ox forme la superficie de area mınima (ver fig. 2.2).Resolucion. El area de superficie de revolucion se expresa por la integral

S = 2π

∫ x1

x0

y√

1 + y′2dx

Aqui F = y√

1 + y′2 y por eso la ecuacion de Euler tiene la primer integral

y√

1 + y′2 −y y′2√1 + y′2

= C1,


Figura 2.2: Superficie de revolucion.

o bien y = C1

√1 + y′2. El modo mas sencillo de integrar esta ecuacion es hacer la

substitucion y′ = sinh t. Entonces y = C1 cosh t, y

dx =dy

y′=C1 sinh t dt

sinh t= C1dt; x = C1t+ C2.

De este modo, la superficie buscada se forma por rotacion de la lınea cuya ecuacion enforma parametrica es

x = C1t+ C2,

y = C1 sinh

(x− C1

C2

).

Tenemos entonces una familia de catenarias, al girar, estas forman superficies denom-inandas catenoides. Las constantes C1 y C2 se determinan por la condicion de que lalinea buscada pase por los puntos de frontera dados (segun la posicion de los puntos Ay B pueden existir una, dos o ninguna solucion).

Problemas

1. Hallar las integrales:

(a)λ∫0

ln(1+λx)

1+x2 dx

(b)

π/2∫0

arctan(λsenx)dx

(c)1∫0

arctan(λx)

x√

1−x2dx

2.4. CONDICION NECESARIA DEL EXTREMO DE UNA FUNCIONAL45

2. Resolver

(a) I[y(x)] =ln 2∫0

(y′2 + 2y2 + 2y)e−xdx, y(0) = y(ln 2) = 0.

(b) I[y(x)] =x1∫x0

ey(1 + xy′)dx, y(x0) = y0, y(x1) = y1.

(c) I[y(x)] =1∫0

y′2dx, y(0) = 0, y(1) = 1.

(d) I[y(x)] =2∫−1

√1+y′2

ydx, y(−1) = 1, y(2) = 4.

(e) I[y(x)] =1∫0

(xy′ − y′2)dx, y(0) = 1, y(1) = 14

.

Capıtulo 3

Series de Fourier

3.1 Introduccion.

La expansion de una funcion mediante una secuencia infinita de funciones or-togonales es el fundamento de muchos metodos de solucion analıtica y tambiende aproximacion numerica entre los que se encuentran los metodos espectrales.La aproximacion mas familiar es aquella que resulta de la expansion en seriesde Fourier de funciones periodicas. Sin embargo, para el caso de funciones noperiodicas se emplean polinomios ortogonales de tipo de Jacobi, especialmentelos de Chebyshev y Legendre.

En este capıtulo se revisa brevemente la teorıa de las series de Fourier asıcomo algunas propiedades importantes de los sistemas ortogonales.

3.2 Funciones periodicas.

Un polinomio con terminos que involucran senos y cosenos es una serie trigonometrica.Este polinomio puede representarse como:

12a0 + a1 cosx+ b1senx+ ...+ an cosnx+ bnsennx+ ... (3.1)

donde los coeficientes an y bn son constantes. Si estas constantes satisfacen lascondiciones especificadas en la siguiente seccion, el polinomio trigonometrico sedenomina serie de Fourier. Cada termino de los que aparecen en (3.1) tiene lapropiedad de que se repite a intervalos de 2π. Ası:

cos(x+ 2π) = cos(x), sen (x+ 2π) = sen (x), cos(n[x+ 2π]) = cos(nx), ...(3.2)

Se infiere que si (3.1) converge para todo x, entonces su suma f(x) tambien debetener la propiedad de periodicidad. Ası, f(x + 2π) = f(x), donde la funcionf(x) es 2π periodica. Debe hacerse notar que la ecuacion (3.1) tiene, ademasdel periodo 2π, el periodo π y, en general, que cos(nx) y sen (nx) tienen los

46

3.3. SERIES DE FOURIER. 47

Figura 3.1: Funcion con periodo igual a 2π.

periodos 2πn. Sin embargo, 2π es el mınimo periodo compartido por todos losterminos de la serie.

En general, una funcion f(x) es periodica si, y solo si existe un numeropositivo 2p tal que para cada x en el dominio de f(x), f(x + 2p) = f(x). Elnumero 2p es llamado periodo de la funcion f(x). Es sencillo verificar que si2p es un periodo de f(x) y n un entero positivo, entonces 2np es tambien unperiodo de f(x). Si 2p es el periodo mas pequeno de f(x) entonces 2p es elperiodo fundamental o el periodo de f(x). Entonces se dice que una funcionf(x) es 2p periodica si, y solo si, tiene a 2p como periodo fundamental. En laFigura 3.1 se ilustra una funcion f(x) cuyo periodo es igual a 2π. Tales funcionesperiodicas aparecen en una gran variedad de problemas fısicos: el movimientode un pendulo, las vibraciones de un resorte, el movimiento de los planetasalrededor del sol, la rotacion de la tierra, las vibraciones de una cuerda de violıny los sonidos musicales en general, son algunos ejemplos de ellas.

3.3 Series de Fourier.

Sea f(x) una funcion definida en el intervalo [−π, π] que puede representarsepor medio de una serie trigonometrica de la forma:

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnx+ bnsennx) . (3.3)

Para determinar la relacion que existe entre los coeficientes de la serie yla funcion f(x) se emplean las siguientes integrales definidas. Para todos losenteros positivos n y k,

π∫−π

cosnx dx =

π∫−π

sennx dx =

π∫−π

cosnx sen kx dx = 0. (3.4a)

48 CAPITULO 3. SERIES DE FOURIER

π∫−π

cosnx cos kx dx ={

0 para k 6= n,π para k = n; (3.4b)

π∫−π

sennx sen kx dx ={

0 para k 6= n,π para k = n; (3.4c)

A fin de encontrar el coeficiente ak para k ≥ 1, se multiplican ambos ladosde la (3.1) por cos kx y se integra sobre [−π, π]: De acuerdo con la ecuacion(3.4), solo uno de los terminos que aparecen del lado derecho de la ecuacionanterior es diferente de cero, por lo que:∫ π

−πf(x) cos kx dx =

a0

2

∫ π

−πcos kx dx+

∞∑n=1

an

∫ π

−πcos kx cos kx dx

+∞∑n=1

bn

∫ π

−πcos kx sen kx dx (3.5)

empleando ahora la Ec. (ref) se obtiene la formula para ak,∫ π

−πf(x) cos kx dx = ak

∫ π

−πcos2 kx dx. (3.6)

Si k = 0, el procedimiento descrito anteriormente conduce a la siguienteexpresion:

ak =1π

∫ π

−πf(x) cos kx dx (3.7)

y entonces, a0 resulta ser:

a0 =1π

∫ π

−πf(x) dx (3.8)

Para obtener la formula de bk para k ≥ 1, se multiplican ahora amboslados de la ecuacion (3.1) por sen kx y se procede de la misma forma que en ladeterminacion de ak. La expresion resultante es:

bk =1π

∫ π

−πf(x) sen kx dx, k = 1, 2, ... (3.9)

Las formulas descritas por medio de las ecuaciones (3.7), (3.8) y (3.9) sonconocidas como formulas de Euler-Fourier; los coeficientes ak y bk como coefi-cientes de Fourier y la serie trigonometrica representada por (3.1), cuando suscoeficientes tienen estos valores se conoce como serie de Fourier de f(x).

Si la ecuacion (3.1) es valida (en el sentido de que si la serie converge uni-formemente a f(x) en el intervalo [−π, π], entonces los coeficientes de la seriedeben estar dados por las ecuaciones (3.7)–(3.9). Estas formulas pueden, sinembargo, pueden ser empleadas para calcular los coeficientes an y bn indepen-dientemente de si la ecuacion (3.1) es valida o no. Para ello es suficiente que


la funcion f(x) sea tal que la integracion termino a termino exista. Una grancantidad de funciones para las cuales la integracion termino a termino existeconsisten en funciones que son seccionalmente continuas en el intervalo [−π, π].Esto es; una funcion es seccionalmente continua en un intervalo [a, b] si es con-tinua en [a, b], excepto posiblemente en un numero finito de puntos donde puedenexistir un numero finito de saltos. Por consiguente, si la funcion f(x) dentrode los subintervalos cerrados es continua en su primera derivada, entonces esdenominada funcion seccionalmente suave; si ademas, posee segundas derivadascontinuas dentro de los subintervalos cerrados, entonces f(x) es seccionalmentemuy suave.

3.3.1 Convergencia de las series de Fourier.

Las preguntas concernientes a la convergencia de la series de Fourier y las condi-ciones bajo las cuales representan a las funciones que las generan son varias ycomplejas. Sin embargo, para casi c ualquier aplicacion practica, la convergenciade las series de Fourier es ana lizada en el famoso teorema de Dirichlet (llamadotambien teorema fundamental o Teorema de Fourier) (ref).

Este teorema se establece de la siguiente forma. Sea f(x) seccionalmen temuy suave en el intervalo [−π, π], entonces la serie de Fourier de f(x)

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnx+ bnsennx) (3.10)

donde:

an =1π

∫ π

−πf(x) cosnx dx n = 0, 1, ... (3.11)

bn =1π

∫ π

−πf(x)sennx dx n = 1, 2, ... (3.12)

converge a f(x) en todos los puntos donde f(x) es continua dentro del intervalo,y converge al promedio de los lımites por la derecha y por la izquierda de f(x)en cada punto donde f(x) es discontinua; es decir, converge a

12

[lim

x→x1−f(x) + lim

x→x1+f(x)

](3.13)

en cada punto de discontinuidad x1 dentro del intervalo, y a

12

[limx→π−

f(x) + limx→π+

f(x)]

(3.14)

en x = ±π.Las condiciones establecidas en el teorema anterior son enunciadas general-

mente como condiciones de Dirichlet. Estas condiciones establecen que unafuncion no necesita ser continua para poseer una expansion valida de Fourier.


Figura 3.2: Funcion periodica continua seccionalmente muy suave.

Figura 3.3: Funcion periodica seccionalmente muy suave con discontinuidadesde salto.

De hecho si la funcion f(x) es periodica y seccionalmente continua, entoncesen cada punto donde f(x) tiene una derivada por la izquierda y una d erivadapor la derecha la serie converge. Las Figuras 3.2 y 3.3 muestran funcionescon diferentes tipos de discontinuidades que pueden representarse mediante unaserie de Fourier. La demostracion del teorema citado se puede encontrar en lasreferencias (33,34,35).

Se han considerado solamente funciones periodicas f(x) cuyo dominio esigual a 2π, y que las formulas basicas de los coeficientes an y bn emplean sololos valores de f(x) que se encuentran entre −π y π. Puede generalizarse elteorema anterior a un dominio infinito, al observar que cada termino de laserie de Fourier de la funcion f(x) es una funcion periodica de periodo 2π.Consecuentemente, si la serie converge a algun valor en un punto del intervalo[−π, π], debe tambien convergir al mismo valor en cada punto del eje x de laforma x ± 2n, n = 1, 2, ..., y si la serie converge en cualquier punto x = π ox = −π entonces debe convergir al mismo valor en ambos puntos y en cadapunto de la forma π±2nπ, n = 1, 2, ... . Por lo tanto, la convergencia de la serieen cada punto del intervalo [−π, π], garantiza la convergencia de la serie paratodo valor de x, siendo la suma de la serie una funcion periodica de periodo[0, 2π]. Se concluye que si la serie de Fourier representa a f(x) en el intervalobasico [−π, π], dicha serie debe representar tambien la extension periodica def(x) en todo el dominio de x.

La Figura 3.4 ilustra la extension periodica de una funcion cuyo dominiobasico es [−π, π].

Para aclarar la relacion que existe entre f(x) y su representacion mediantede una serie de Fourier, hagamos dos ejemplos:


Figura 3.4: Extension periodica de una funcion definida en el intervalo [−π, π].

Figura 3.5: Funcion con periodo igual a 2π.

Ejemplo 3.1Supongase que se desea expandir en series de Fourier la siguiente funcion:

f(x) =

{−1 si para − π ≤ x < 0+1 si para 0 ≤ x < π

Resolucion La extension periodica de f(x) genera una onda cuadrada (ver figura 3.5).Los coeficientes de Fourier se encuentran de la siguiente manera:

an =1

π

∫ 0

−πf(x) cosnx dx +

1

π

∫ π

0

f(x) cosnx dx

= 0, n = 0, 1, ...

bn =1

π

∫ 0

−πf(x)sennx dx +

1

π

∫ π

0

f(x)sennx dx

=

{0 para n = 2, 4, ...,4nπ

para n = 3, 5, ...,(3.15)

En consecuencia, la representacion de f(x) por series de Fourier es:

f(x) =4

nπ

(senx+

1

3sen 3x+

1

5sen 5x+ ...

)=

4

nπ

∞∑n=1

sen (2n− 1)x

2n− 1(3.16)


Figura 3.6: Representacion de una onda cuadrada mediante una serie de Fourier.

La figura 3.6 muestra las primeras tres sumas parciales (s1, s2, s3) de la serie.Puede observarse como la serie de Fourier se aproxima con lımite en f(x). Si se

emplea un numero infinito de terminos, la serie tiende a ser la funcion f(x); si el numerode terminos es finito, la aproximacion es menor. En x = 0 y en x = π, cada sumaparcial es igual a 0, de forma que la serie converge al valor promedio de los lımites porla derecha y por la izquierda de la funcion en la discontinuidad. Sin embargo, observeseque la aproximacion a f(x) mediante cada suma parcial es mas deficiente cerca de lasdiscontinuidades. Este efecto es conocido como fenomeno de Gibbs

Ejemplo 3.2Desarrollar en series de Fourier la funcion definida en el segmento [−π, π] por la

ecuacion f(x) = π + x que se muestra en la figura 3.7.Resolucion. Determinemos los coeficientes de la serie de Fourier. Primero hallamos

a0 =1

π

∫ π

−πf(x) dx

=1

π

∫ π

π

π + x dx,

= 2π,

Luego hallamos los coeficientes an. Tenemos

an =1

π

π∫−π

f(x) cosnx dx

=1

π

π∫−π

(π + x) cosnx dx

=

π∫−π

cosnx dx+1

π

π∫−π

x cosnx dx.


No es difıcil ver que ambas integrales son iguales a cero (la funcion subintegral de lasegunda integral es impar como producto de una funcion par por una impar). De maneraque an = 0, o sea a1 = a2 = a3 = ... = 0.

Ahora determinamos los coeficientes de bn:

bm =1

π

∫ π

−πf(x) sennx dx,

=1

π

∫ π

−π(π + x) sennx dx,

=

∫ π

−πsennx dx+

1

π

∫ π

−πx sennx dx

=2

n(−1)n+1.

Por consiguiente, el desarrollo de la funcion f(x) en serie de Fourier tiene la forma

f(x) = π + 2

∞∑n=1

2

n(−1)n+1sennx.

3.3.2 Velocidad de convergencia de las series de Fourier.

Supongase que se desea representar una funcion f(x) mediante una serie finitade Fourier en el intervalo [−π, π]. Ası, la serie finita es:

sn(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnx+ bnsennx) . (3.17)

Si f(x) se aproxima a traves de la Ec. (2.3.16), se tiene: (2.3.17)

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnx+ bnsennx) ε(x). (3.18)

donde ε(x) es la diferencia o error entre f(x) y su aproximacion por series deFourier. Si se define el err or cuadratico medio como:

En =1

2π

∫ π

−π[ε(x)]2 dx

=1

2π

∫ π

−π[f(x)− sn(x)]2 dx (3.19)

Este error es igual a cero cuando f(x) = sn(x); en cualquier otro caso es positivo.Desarrollando la Ec. () se tiene:

En =1

2π

∫ π

−π[f(x)]2 dx− 1

π

∫ π

−π[f(x) sn(x)] dx+

12π

∫ π

−π[sn(x)]2 dx (3.20)


y empleando las Ecs. (2.3.2), (2.3.6) y ( 2.3.8) se obtiene el error cuadraticomedio en funcion de los coeficientes de Fourier como:

En =1

2π

∫ π

−π[f(x)]2 dx− 1

2

[a2

0

2+∞∑n=1

(a2n + b2n

)](3.21)

Puesto que el valor del error En no es negativo, se obtiene la desigualdad deBessel para los coeficientes de Fourier como:

a20

2+∞∑n=1

(a2n + b2n

)≤ 1π

∫ π

−π[f(x)]2 dx (3.22)

En el caso en que el error cuadratico medio es igual a cero, se obtiene laecuacion de Parseval (33,34)

a20

2+∞∑n=1

(a2n + b2n

)=

1π

∫ π

−π[f(x)]2 dx (3.23)

Una consecuencia inmediata de la Ec. () es que los coeficientes de Fourieran y bn tienden a cero cuando n→∞, esto es:

limn→∞

an = 0, limn→∞

bn = 0. (3.24)

Si se observa el lado derecho de la desigualdad (Ec. (2.3.21)), se nota que esindependiente del entero positivo n; cuando n aumenta en el lado izquierdo, lassumas forman una secuencia que esta acotada y es no decreciente. Ya que dichasecuencia debe convergir, y esta formada por las sumas parciales de la serie,entonces la serie debe ser convergente. Los lımites dados por la Ec. (2.3.2 3) seobtienen del hecho de que el n-esimo termino de una serie convergente siempretiende a cero cuando n→∞.

La velocidad de convergencia de los coeficientes a cero depende de la funcionf(x) que se desea expandir. Si se considera una funcion f(x) periodica en eldominio [−π, π] que posee k−1 derivadas continuas y k derivadas seccionalmentecontinuas, esto es:

f (p)(−π) = f (p)(π), p = 0, 1, ..., k − 1, (3.25)

entonces, para n = 1, 2, ..., se tiene por integracion por partes de las formulaspara an y bn (ref) la siguiente expresion :

|an| ≤2Mnk

, |bn| ≤2Mnk

. (3.26)

donde M es una constante que acota a la funcion |f (k)(x)|, como:

|f (k)(x)| ≤M, −π ≤ x ≤ π. (3.27)


Puede observarse que bajo las condiciones establecidas para la funcion f(x),los coeficientes de Fourier an y bn de f(x) tienden a cero de forma proporcionala n−k.

Puesto que:

|an cosnx+ bnsennx| ≤ |an|+ |bn|, −π ≤ x ≤ π n = 1, 2, ... (3.28)

la velocidad y forma de convergencia de la serie de Fourier depende de la ve-locidad de convergencia de sus coeficientes a cero cuando n → ∞. Ası, si loscoeficientes de la serie convergen a cero, por la prueba M de Wierstrass (ref) seconcluye que la serie de Fourier converge uniformemente a f(x).

Resumiendo: Cuando n → ∞, los coeficientes an y bn en la expansionde una funcion periodica que satisface las condiciones de Dirichlet siempre seaproximan a cero al menos tan rapidamente como c/n, donde c es una constanteindependiente de n. Si la funcion tiene uno o mas puntos de discontinuidad,entonces ya sea an o bn, y en general ambos, pueden decrecer a una velocidadno mayor a esta. En general, si una funcion f(x) y sus primeras k− 1 derivadassatisfacen las condiciones de Dirichlet y son continuas, entonces cuando n→∞,los coeficientes an y bn de la serie tienden a cero al menos a c/nk. Si ademas, lak-esima derivada de f(x) es continua por secciones, entonces an o bn y en generalambos, pueden tender a cero a una velocidad no mayor de c/nk. Lo anteriorexplica que mientras mas suave sea la funcion f(x), mas rapido converge la seriede Fourier.

3.3.3 Expansion en medio rango.

Cuando f(x) posee ciertas condiciones de simetrıa, los coeficientes en su ex-pansion de Fourier son especialmente sencillos. Si se considera una funcion f(x)que esta definida en el dominio [−π, π], tal que:

f(−x) = f(x), −π ≤ x ≤ π (3.29)

entonces la funcion f(x) se denomina funcion par de x en el dominio [−π, π].Si, por otra parte,

f(−x) = −f(x), −π ≤ x ≤ π (3.30)

la funcion f(x) es entonces llamada funcion impar de x en el dominio [−π, π].Debe hacers e notar que el producto de dos funciones pares o dos funcionesimpares resulta en una funcion par, mientras que el producto de una funcionimpar con una funcion par, es una funcion impar. Se puede demostrar que:∫ q

−qf(x) dx =

{0 f(x) = par2∫ q

0f(x) dx f(x) = impar (3.31)

entonces, si f(x) es una funcion par, f(x) cosnx resulta una funcion par, mien-tras que f(x)sennx es en consecuencia una funcion impar.


Por lo tanto, los coeficientes de Fourier expresados por las Ecs. () son ahora:

an =2π

∫ π

0

f(x) cosnx dx, n = 0, 1, 2, .... (3.32)

bn = 0, n = 1, 2, .... (3.33)

De forma analoga, si ahora f(x) es impar, entonces los coeficientes se calculana traves de las ecuaciones:

an = 0, n = 0, 1, 2, .... (3.34)

bn =2π

∫ π

0

f(x)sennx dx, n = 1, 2, .... (3.35)

Ası, la serie coseno de Fourier de la funcion f(x) en el intervalo [−π, π] quedadefinida como:

f(x) =a0

2+infty∑n=1

an cosnx dx, f(x) = par (3.36)

an =2π

∫ π

0

f(x) cosnx dx, n = 0, 1, 2, .... (3.37)

y la serie seno de Fourier de la funcion f(x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ π como:

f(x) =∞∑n=1

bn cosnx dx, f(x) = impar (3.38)

bn =2π

∫ π

0

f(x)sennx dx, n = 1, 2, .... (3.39)

Puede observarse que las Ecs. (2.3.31) y (2.3.32) emplean solo valores de f(x)que se encuentran en el dominio [0, π]. En consecuencia, para cualquier funcionpar f(x) dada, solo en este intervalo [0, π] se puede formar la serie coseno deFourier de f(x) ( Ec. (). De la misma forma, la Ec. () define la serie de senoFourier de una funcion impar f(x) definida solo en el dominio [0, π]. A partir delteorema de Fourier, se infiere que las series (Ecs. (2.3.33) y (2.3.34)) convergena f(x) para [0, π]. Fuera de este intervalo lo haran a la funcion periodica quecoincida con f(x) en [0, π]. Este hecho se ilustra en las Figuras 3.7 y 3.8.

Por lo tanto, la serie de coseno de Fourier sirve para cualesquiera de dosimportantes propositos:

1. Para representar una funcion definida en el dominio [0, π].

2. Para representar una funcion par, con periodo 2π, que esta definida en[−∞,∞].

Asismismo, la serie de seno de Fourier tambien sirve para cualesquiera de dosimportantes propositos:

1. Para representar una funcion definida en el dominio [0, π].

2. Para representar una funcion impar, con periodo 2π, que esta definida en[−∞,∞].


Figura 3.7: Extension periodica de una funcion par definida en [0, π].

Figura 3.8: Extension periodica una funcion impar definida en [0, π].

3.3.4 Generalizacion de la serie de Fourier a otros inter-valos.

Hasta ahora, las series de Fourier se han considerado solamente en funcionesque son periodicas en 2π o pueden ser extendidas a funciones 2π-periodicas. Dehecho, la unica caracterıstica especial del numero 2π es que hace las formulasmas sencillas, debido al hecho de que las funciones cosnx y sennx son funcionesperiodicas de periodo 2π. Para la representacion en series de Fourier de unafuncion periodica de periodo 2L las funciones que deben ser empleadas son:cosn(x/L) y senn(x/L), ya que son funciones periodicas 2L. Las formulasadecuadas pueden ser obtenidas mediante un cambio de variable (cambio deescala),

t =πx

L, x =

Lt

π. (3.40)

Si f(x) es una funcion periodica de x de periodo 2L, la cual es seccionalmentecontinua en el intervalo [−L,L], la funcion

F (t) = f

(Lt

π

)(3.41)

es una funcion periodica de t con periodo 2π la cual es seccionalmente continuaen [−π, π]. Ası, la serie de Fourier para F (t) es:

F (t) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnt+ bnsennt) (3.42)


donde:

an =1π

∫ π

−πf(t) cosnt dt n = 0, 1, ... (3.43)

bn =1π

∫ π

−πf(t)sennt dt n = 1, 2, ... (3.44)

Si se regresa a la variable x y se recuerda que F (t) = f(Lt/π) = f(x), se obtienela serie de Fourier de f(x) como:

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bnsen

nπx

L

)(3.45)

donde:

an =1L

∫ L

−Lf(t) cos

nπx

Ldx n = 0, 1, ... (3.46)

bn =1L

∫ L

−Lf(t)sen

nπx

Ldx n = 1, 2, ... (3.47)

Las series seno y coseno de Fourier tambien pueden ser empleadas cuandola funcion no es 2π periodica y esta definida en el intervalo [0, L], de tal maneraque la serie coseno de Fourier de la funcion f(x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ L quedadefinida como:

f(x) =a0

2+∞∑n=1

an cosnπx

Ldx, f(x) = par (3.48)

an =2π

∫ π

0

f(x) cosnπx

Ldx, n = 0, 1, 2, .... (3.49)

y la serie seno de Fourier de la funcion f(x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ L como:

f(x) =∞∑n=1

bn cosnπx

Ldx, f(x) = impar (3.50)

bn =2π

∫ π

0

f(x)sennπx

Ldx, n = 1, 2, .... (3.51)

Hasta ahora se han considerado funciones periodicas de periodo ya se a 2πo de forma mas general 2L, funciones que tienen una propiedad comun. Dichapropiedad es la simetrıa con respecto al eje y. Sin embargo una funcion que notiene dicha propiedad, tambien puede ser expandida en series de Fourier siemprey cuando sea periodica. Si una funcion f(x) es periodica con periodo 2π y estadefinida en el intervalo (c ≤ x ≤ c+2π), donde c es una constante real, entoncessu representacion en series de Fourier puede escribirse como:

F (t) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnt+ bnsennt) (3.52)


donde:

an =1π

∫ c+2π

−cF (t) cosnt dt, n = 0, 1, 2, .... (3.53)

bn =1π

∫ c+2π

−cF (t)sennt dt, n = 1, 2, .... (3.54)

Por lo tanto, cualquier funcion periodica definida en el intervalo c ≤ x ≤c+ 2L, con periodo 2L puede ser representada mediante series de Fourier.

3.3.5 Representacion compleja de la serie de Fourier.

La forma exponencial compleja de una serie de Fourier se obtiene mediante lasustitucion de los terminos seno y coseno de la forma original de la serie, porsus equivalentes exponenciales:

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(aneinx + e−inx

2+ bn

einx − e−inx

2i

)(3.55)

donde:

cosnx =einx + e−inx

2(3.56)

sennx =einx − e−inx

2i(3.57)

siendo:einx = cosnx+ isennx, i =

√−1. (3.58)

Si se agrupan terminos qu e contienen a los mismos exponenciales y se nota que−i = 1/i, se obtiene:

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an − ibn

2einx +

an + ibn2

e−inx)

(3.59)

Si ahora se define:

c0 =a0

2, cn =

an − ibn2

, c−nan + ibn

2(3.60)

la Ec. () se puede escribir ahora en la forma simetrica:

f(x) =∞∑

n=−∞cne

inx (3.61)

donde la suma desde −∞ a +∞ se entiende como la suma de dos series:

∞∑n=−∞

cneinx =

∞∑n=0

cneinx

∞∑n=1

c−neinx (3.62)


Los coeficientes cn de Ec. (ref) pueden ser facilmente encontrados a partirde las definiciones para c0, cn y c−n.

Independientemente de si el ındice n es positivo, negativo o cero, la expresioncorrecta para cn es:

cn =1

2π

∫ π

−πf(x)einx dx (3.63)

Para una funcion f(x) que es 2L periodica, se tiene la representacion de f(x)a traves de la forma compleja de la serie de Fourier:

f(x) =∞∑

n=−∞c−ne

inπx/L (3.64)

cn =1

2L

∫ L

−Lf(x)e−inπx/L dx (3.65)

Es importante hacer notar que esta nueva forma puede ser empleada de lamisma manera que las series de Fourier expuestas en secciones anteriores pararepresentar una funcion f(x) que es 2π periodica o de forma mas general 2Lperiodica.

3.3.6 La integral de Fourier como el lımite de una serie deFourier.

Conside rese una funcion f(x) que esta definida en el dominio [−L,L] tal quepuede ser expresada mediante una serie de Fourier como:

f(x) =∞∑

n=−∞c−ne

inπx/L (3.66)

cn =1

2L

∫ L

−Lf(x)e−inπx/L dx (3.67)

Una pregunta que surge de forma natural es: que sucede cuando L→∞ ? Ental caso la serie de Fourier se convierte en la integral de Fourier (33,37). Sedefine a la frecuencia del n-esimo termino de la expansion de f(x) como:

ωn =nπ

L(3.68)

donde el subındice n es empleado para identificar a la frecuencia del n-esimotermino de la expansion de la funcion f(x).

Para facilitar el analisis, y puesto que la frecuencia es definida como el inversodel periodo, se sustituye la variable x por la variable t, entonces f(t) = f(x). Sise emplea la forma exponencial compleja de la serie de Fourier para representara la funcion f(t), se tiene:

f(t) =∞∑

n=−∞c−ne

inπt/L (3.69)


cn =1

2L

∫ L

−Lf(τ)e−inπτ/L dτ (3.70)

donde se puede observar que en la segunda expresion de la Ec. () se ha empleadouna nueva variable τ la cual es usada como variable muda. La sustitucion de lasegunda expresion de la Ec. () para cn en f(t) genera la siguiente ecuacion:

f(t) =∞∑

n=−∞

[1

2L

∫ L

−Lf(τ)e−inπτ/L dτ

]einπt/L

=π

L

∞∑n=−∞

[1

2π

∫ L

−Lf(τ)e−inπτ/L dτ

]einπt/L. (3.71)

Puesto que la frecuencia del n-esimo termino es:

ωn =nπ

L(3.72)

y la diferencia en frecuencia entre terminos sucesivos es:

∆ω = ωn+1 − ωn=π

L(3.73)

entonces, la funcion f(t) puede ser escrita como:

f(t) =∞∑

n=−∞

[1

2πeiωnt

∫ L

−Lf(τ)e−iωnτ dτ

]∆ω (3.74)

Si ahora se define:

F (ω) =iωτ

2π

∫ L

−Lf(τ)e−iωτ dτ (3.75)

La Ec. () puede ser escrita como:

f(t) =∞∑

n=−∞F (ωn) ∆ω (3.76)

donde ωn es un punto (el punto final por la izquierda, de hecho) en el n-esimosubintervalo ∆ω. Bajo condiciones muy generales, el lımite de una suma de laforma expresada por la Ec. () es la integral

f(t) =∫n = −∞∞F (ωn) dω (3.77)

Entonces, puesto que si L → ∞ implica que ∆ω → 0, se puede suponer quecuando L→∞, en el lımite, f(t) puede ser escrita como la integral

f(t) =∫ ∞−∞

[1

2πeiωt

∫ L

−Lf(τ)e−iωτ dτ

]dω (3.78)


Puede observarse que cuando L → ∞ o ∆ω → 0, las frecuencias ωn = nπ/Lde los terminos de la serie comienzan a acercarse entre ellos mientras que loscoeficientes se aproximan a cero, lo cual sugiere que esta serie particular es, dehecho, una suma infinitesimal cuyo lımite es una integral. La Ec. (ref) es, dehecho, una representacion valida de la funcion lımite no periodica f(t), siempreque: a) En cada intervalo finito, f(t) satisfaga las condiciones de Dirichlet y b)la integral impropia expresada por la Ec. (2.3.61) exista (converja; esto es, quef(t) sea absolutamente integrable en [−∞,∞].

Bajo estas condiciones, la llamada integral de Fourier proporciona el valorde f(t) en cualquier punto donde f(t) es continua y da el promedio de los lımitesizquierdo y derecho de f(t) en los puntos donde f(t) es discontinua (ref).

La integral de Fourier puede ser escrita en diversas formas, una de ellas es:

f(t) =∫ ∞−∞

g(ω)eiωt dω (3.79)

donde:g(ω) =

12π

∫ ∞−∞

f(τ)e−iωτ dτ (3.80)

Estas dos ultimas expresiones, en las cuales la simetrıa entre la funcion f(t) ysu funcion de coeficientes g(ω) esta libre de error, constituyen lo que se conocecomo par de transformacion de Fourier. S i la funcion de coeficientes g(ω)es conocida, f(t) esta completamente determinada mediante la Ec. (ref). Setienen, por lo tanto, dos formas de caracterizar la funcion en discusion: f(t) enel dominio del tiempo y g(ω) en el dominio de la frecuencia. Por analogıa conla teorıa de la luz, g(ω) es frecuentemente llamada espectro de f(t) puesto queproporciona una medida de la intensidad de f(t) en el intervalo de frecuenciaentre ω0 y ω0 + ∆ω0 (refere). Otras representaciones de la integral de F ourierpuede ser encontradas en las referencias (33,34,35,36,37,38,39).

Las Ecs. (2.3.63) y (2.3.64) pueden ser reescritas en terminos de las variablesx y ξ, como:

f(x) =∫ ∞−∞

g(ξ)eiξx dξ (3.81)

y:

g(ξ) =1

2π

∫ ∞−∞

f(x)e−iξx dx (3.82)

donde x es la variable espacial y ξ (numero de onda, analogo a la frecuencia) esla variable en el espacio de la onda.

3.4 Funciones ortogonales.

Si se revisa la teorıa sobre el desarrollo de una funcion en series de Fourier, talco mo se presento en las secciones anteriores de este capıtulo, resulta naturalpreguntar el porque las funciones trigonometricas sennx y cosnx juegan unaparte especial, y si estas funciones se pueden reemplazar por otras. Si se esta

3.4. FUNCIONES ORTOGONALES. 63

interesado en funcion es periodicas, entonces ciertamente no hay alternativanatural. Sin embargo, si se trata de la representacion de una funcion en unintervalo determinado, entonces se vera que se cuenta con una variedad de fun-ciones diferentes, en particular, series de pol inomios de Legendre, funciones de Bessel, polinomios de Laguerre, polinomios de Jacobi, polinomios de Hermitey series generales de Sturm-Liouville (35,38,39).

3.4.1 Ortogonalidad de las funciones.

Considerese una funcion f(x) que esta definida en un intervalo a ≤ x ≤ b (el cualse considera fijo durante todo el analisis). Sean φ1(x), φ2(x), ..., φn(x) funcionesseccionalmente continuas en el intervalo; esta sucesion reemplaza al sistema desenos y cosenos en la expansion de la funcion f(x) en forma de serie. Se postulaentonces el desarrollo de la funcion f(x) como:

f(x) =∞∑n=1

cnφn(x) (3.83)

de forma similar que el caso de las series de Fourier. Si por analogıa con eldesarrollo de los coeficientes an y bn de la serie de Fourier, se multiplican ambosterminos de la Ec. (2.4. 1) por φm(x) y se integra termino a termino se tiene:∫ b

a

f(x)φm(x) d x =∞∑n=1

cn

∫ b

a

φn(x)φm(x) d x (3.84)

Con el objeto de obtener un resultado analogo al de las series de Fourier, setiene que: ∫ b

a

φn(x)φm(x) d x = 0, m 6= n (3.85)

Entonces, la serie que aparece en el lado derecho de la Ec. (2.4.2) se reduce aun solo termino: ∫ b

a

f(x)φm(x) d x = cm

∫ b

a

[φm(x)]2 d x

= cmTm (3.86)

donde Tm ≥ 0 es una constante.Por lo tanto cm es determinada por:

cm =

∫ baf(x)φm(x) d x∫ ba

[φm(x)]2 d x(3.87)

Se puede, por lo tanto enunciar que: Dos funciones p(x) y q(x) que so n sec-cionalmente continuas en el dominio [a, b], son ortogonales en el intervalo si:∫ b

a

p(x)q(x) d x = 0. (3.88)


Asimismo, un sistema de funciones {φn(x)} para n ≥ 1 se denomina sistemaortogonal en [a, b] si φn(x) y φm(x) son ortogonales para cada par de ındices my n distintos entre sı; ası:∫ b

a

φn(x)φm(x) dx{

= 0 para m 6= n6= 0 para m = n

(3.89)

Un caso tıpico de este tipo de funciones es el sistema trigonometrico en el do-minio [−π, π],

1, cosx, senx, ..., cosnx, sennx. (3.90)

donde φ1(x) = 1, φ2(x) = cosx, φ3(x) = senx, ..., φn(x) = cosnx, φn(x) =sennx. Entonces, si f(x) es seccionalmente continua en [a, b] y {φn(x)} es unsistema ortogonal en el intervalo, la serie

f(x) =∞∑n=1

cnφn(x), cn =

∫ baf(x)φn(x) d x∫ ba

[φn(x)]2 d x(3.91)

se conoce como la serie generalizada de Fourier con respecto al sistema {φn(x)},y los numeros c1, c2, c3, ... se denominan coeficientes de Fourier de f(x) conrespecto al sistema {φn(x)}. Puede observarse que las expresiones empleadasen el desarrollo de las series de Fourier en la seccion anterior (Ec. (ref) son, dehecho funciones ortogonales. Si las funciones de un sistema ortogonal {φn(x)},para n ≥ 1 tienen la propiedad∫ b

a

[φn(x)]2 d x = 1 (3.92)

entonces se dice que las funciones {φn(x)} son ortonormales en [a, b] y el sis-tema se denomina normalizado. Las operaciones con sistemas ortogonales re-sultan sorprendentemente similares a las de los vectores. En efecto, se puedenconsiderar a las funciones seccionalmente continuas en el dominio [a, b] comoun tipo de espacio vectorial generalizado. Ası, una funcion puede entoncesser vista como un vector con un numero infinito de componentes (un vectorinfinito-dimensional). Por analogıa con la teorıa vectorial, se tiene que la sumao diferencia de dos funciones f(x) y g(x) seccionalmente continuas es una nuevafuncion seccionalmente continua; asimismo, el producto de una funcion f(x) poruna constante c, es una funcion magnificada c veces. La Ec. (ref) sugiere unadefinicion de producto interior (o producto escalar, por analogıa con la teorıavectorial) como:

(f, g) =∫ b

a

f(x) g(x) d x (3.93)

La norma, o magnitud, de f(x) puede ser escrita como:

‖f‖ = (f, f)1/2

=

{∫ b

a

[f(x)]2 d x

}1/2

(3.94)

3.4. FUNCIONES ORTOGONALES. 65

Y la norma de la diferencia de dos funciones f(x) y g(x) puede entonces expre-sarse como:

‖f − g‖ =

{∫ b

a

[f(x)− g(x)]2 d x

}1/2

(3.95)

Las propiedades del espacio vectorial euclidiano a los cuales se ha hecho ref-erencia, son similares a las propiedades del espacio de Hilbert que rige estetipo de analisis, excepto el que se refiere a la dimension. Las propiedades masimportantes del espacio de Hilbert para cualquier funcion f(x), g(x) y h(x) son:

(f, g) = (g, f) (3.96)(f, g + h) = (f, g) + (f, h) (3.97)

(cf, g) = c(f, g) (3.98)

donde c es un a constante cualquiera, y

(f, f) ≥ 0 (3.99)

Las propiedades del espacio de Hilbert pueden ser encontradas en libros dematematicas avanzadas (33,34,35,37). En terminos de los productos interiores,las funciones ortogonales pueden ser enunciadas de la si guiente manera: Dosfunciones f(x) y g(x) son ortogonales si:

(f, g) = 0 (3.100)

De la misma forma, un sistema ortogonal es un sistema {φn(x)}, para n ≥ 1 defunciones seccionalmente continuas en [a, b] tales que

(φn, φm) = 0, m 6= n, (φn, φm) = ‖φn‖2 = Tn > 0. (3.101)

Cada sistema de funciones ortogonales puede facilmente ser convertido enun sistema ortonormal normalizando cada termino de la Ec. (ref) como:

ψn(x) =φn(x)‖φn(x)‖

, n = 1, 2, ... (3.102)

donde el sistema {ψn(x)} es ortonormal; esto es,

(φm, φn) = δmn (3.103)

donde δmn es la delta de Kronecker cuyas pro piedades son:

δmn ={

0 m 6= n1 m = n

(3.104)


3.4.2 Series de Fourier de sistemas ortogonales.

Como se expuso en la seccion anterior, si el conjunto {ψn(x)} es un sistemaortogonal de funciones seccionalmente continuas en [a, b], y si la serie:

∞∑n=1

cnφn(x), cn(x) =(f, cn‖φn‖2

, (3.105)

converge uniformemente a f(x), entonces dicha serie es la serie de Fourier def(x) con respecto al sistema ortogonal {ψn(x)}. Si el sistema es ortonormal,entonces cn = (f, φn). 2.4.3

3.4.3 Convergencia en la media.

El analisis realizado sobre la convergencia de las series de Fourier en las secciones2.3.1 y 2.3.2, puede ser extendido a la convergencia de la expansion de unafuncion a traves de series que emplean sistemas ortogonales. Sea una secuenciasn(x), n ≥ 1 de funciones seccionalmente continuas en el dominio [a, b]

sn(x) =∞∑n=1

cnφn(x), (3.106)

donde cn son los coeficientes generalizados de Fourier. Entonces, dicha secuenciasn(x), es convergente en la media, o en la norma, a una funcion f(x) si el errorcuadratico medio

En =1

b− a

∫ b

a

[f(x)− g(x)]2 d x (3.107)

en la aproximacion de sn(x) a f(x) tiende a cero cuando n→∞, esto es

limx→x1−

‖f − sn‖ = 0 (3.108)

La definicion del error cuadratico medio expresado en la Ec. (2.4.23) essimilar a la definicion mostrada en la seccion 2.3.2. De la misma forma que enla seccion 2.3.2 se puede establecer la desigualdad de Bessel como:

∞∑n=1

c2n ≤ ‖f‖2 (3.109)

y la ecuacion de Parseval (cuando En = 0) como:

∞∑n=1

c2n = ‖f‖2 (3.110)

La consecuencia es que los coeficientes generalizados de Fourier cn tienden a cerocuando n→∞ y por tanto, sn(x) converge a f(x). Si se desea hacer un estudioprofundo en este campo, se pueden consultar las referencias (33,34,35,36,39)

3.5. PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE 67

3.4.4 Ortogonalidad con respecto a una funcion de peso.

Sea una funcion w(x) la cual es seccionalmente continua en un intervalo [a ≤x ≤ b], finito o infinito. Una secuencia de funciones sn(x) es ortogonal en eseintervalo con respecto a la funcion de peso w(x) si∫ b

a

w(x)φm(x)φn(x) dx{

= 0 m 6= n6= 0 m = n

(3.111)

La integral representa un producto interno (φn, φm) con respecto a la funcion de peso. El sistema es normalizado dividiendo c ada funcion φn por ‖φn‖, donde:

‖φn‖2 = (φn, φm) =∫ b

a

w(x) [φm(x)φn(x)]2 dx (3.112)

y donde se supone que ‖φn‖2 6= 0. Las series trigonometricas, por ejemplo, sonun sistema de funciones ortogonal con respecto a la funcion de peso w(x) = 1.Las funciones de peso diferentes de la unidad surgen del estudio de los proble-mas de Sturm-Liouville (33,39). Algunos de los sistemas de funciones que sonortogonales con respecto a funciones de peso que son diferentes de la unidad son:los polinomios de Legendre, las series de Bessel, los polinomios de Chebyshev,los polinomios de Jacobi y los polinomios de Hermite. Sistemas ortogonales conrespecto a funciones que no son seccionalmente continuas, o aquellas donde elintervalo fundamental no esta acotado tambien se presentan en matematicasaplicadas. Las propiedades de polinomios de Legendre y los polinomios deChebyshev, empleados en este trabajo, se presentan en el Apendice B.

3.5 Problema de Sturm-Liouville

.En esta seccion consideramos la razon de convergencia de las eigenfunciones

del problema de Sturm-Liouville. Para ello enunciemos el teorema de Sturm-Liouville. Consideremos la ecuacion diferencial

d

dxp(x)

dφndx

+ [q(x) + λw(x)]φn = 0 (3.113)

donde

1. p(x) y w(x) son continuos y positivos en el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b.

2. q(x) es continuo al menos en el intervalo abierto a < x < b.

si λ1, λ2, λ3,..., son distintos valores del parametro λ para los que esta ecua-cion no tiene soluciones triviales φ1, φ2, φ3,..., poseyendo primeras derivadas ysatisfaciendo las siguientes condiciones de frontera homogeneas. Para nuestrospropositos consideramos que las condiciones de frontera φn(a) = φn(b) = 0,aunque el analisis es aplicable a casos mas generales. Entonces las funciones


{φn} forman un sistema ortogonal con respecto a la funcion de peso w(x) enel intervalo [a, b]. Podemos tambien considerar que las eigenfunciones estannormalizadas de manera que satisfacen∫ b

a

w(x)φn(x)φm(x) d x = δmn (3.114)

y forman un conjunto completo; esta propiedad se satisface si λn →∞ si n→∞.Nuestro objetivo es estimar la razon de convergencia de la serie en terminos

de las eigenfunciones

f(x) =∞∑n=1

anφn(x). (3.115)

Usando la relacion de ortogonalidad (ref), el error L2 euclidiano para los Nterminos es[∫ b

a

|f(x)−∞∑n=1

anφn(x)|2w(x)dx

]1/2

=

[ ∞∑n=N+1

a2n

]1/2

(3.116)

Entonces, el error L2 puede ser estimado calculado la razon de decrecimientode an cuando n→∞.

Ortonormalidad de {φn} implica

an =∫ b

a

f(x)φn(x)w(x)dx (3.117)

Sustituyendo w(x)φn(x) de la ecuacion de Sturm-Liouville (ref) tenemos

an =1λn

∫ b

a

(d

dxp(x)

dφndx

+ [q(x) + λw(x)]φn

)f(x)dx. (3.118)

Integrando dos veces por partes, obtenemos

an =1λnw(x)[φn(x)f ′(x)−φ′n(x)f(x)]|bx=a+

1λn

∫ b

a

h(x)φn(x)w(x)dx, (3.119)

donde

h(x) =[− d

dxp(x)

d f

d x+ q(x) + f(x)

]/w(x) (3.120)

Esta integracion por partes esta justificada si f es diferenciable dos veces y his integrable (square integrable) con respecto a w. Bajo estas condiciones yrecordando que φn(a) = φn(b) = 0 obtenemos

an =1λn

[r(a)φ′n(x)f(a)− r(b)φ′n(x)f(b)] + 0(

1λn

)(3.121)

para n→∞, puesto que

‖∫ b

a

hφnwdx‖2 ≤∫ b

a

h2wdx

∫ b

a

φ2nwdx = 0(1) (3.122)

cuando n→∞.


3.5.1 Problemas no singulares de Sturm-Liouville.

Para proceder adelante necesitamos distinguir entre los problemas de Sturm-Liouville singulares y aquellos que no son: un problema es no-singular si p(x) yw(x) > o para a ≤ x ≤ b. La conclusion de este estatuto es que si el problemade Sturm-Liouville es no singular y si f(a) o f(b) es diferente de cero entonces

an ∼1λn

[r(a)φ′n(x)f(a)− r(b)φ′n(x)f(b)] (3.123)

Notese que si φ′n(a) = 0, entonces φn(x) = 0 puesto que () es una ecuaciondiferencial de segundo orden y p(x) 6= 0

Es bien sabido (courant hilbert) que el comportamiento asintotico de loseigenvalores y eigenfuncionesdel problema no singular de Sturm-Liouville estandados por

λn ∼

[nπ

/∫ b

a

2

√w

pdx

]2

(3.124)

φn(x) ∼ Ansen

(2√λn

∫ b

a

2

√w

pdx

)(3.125)

X = π(x− a) 2√w(a)/p(a)

/∫ b

a

2√w(s)/p(s)ds (3.126)

φ′′′′n = λnφn, φn(±1) = φ′n(±) = 0. (3.127)

3.5.2 Problemas Singulares de Sturm-Liouville

.

Series de Fourier-Bessel

d

d xxdφnd x

+ λxφn = 0, 0 < x < 1, (3.128)

φn(x) = J0(J0nx) (3.129)

j0n ∼ (n− 14

)π (3.130)

f(x) =∞∑n=1

anJ0(j0nx) (3.131)

an =2

J ′0(j0n)

∫ 1

0

tf(t)J0(j0nx)dx (3.132)


porque ∫ 1

0

tf(t)J0(j0nx)2dx− 12J ′0(j0nx). (3.133)

Por ejemplo, la expansion de f(x) = 1 en series de Fourier-Bessel

1 = −∞∑n=1

2J ′0(j0nx)

J0(j0nx) (3.134)

= −∞∑n=1

2J ′0(j0nx)

J0

(j0n −

πzj0n

N + 12

)∼ 2π

Si(z) (3.135)

1 +∞∑n=0

2J ′0(j0nx)

J0(j0nx) = 0(

1N

)(3.136)

1 +N∑n=0

2J ′0(j0nx)

∼√

2∞∑

n=N+1

(−1)n√n

(−1)N+1

√2N

N →∞ (3.137)

Series de Chebyshev.

senMπ(x+ a) = 2∞∑n=0

1cnJn(Mπ)sen (Mπa+

12nπ)Tn(x), |x| ≤ 1. (3.138)

limk→∞

sup |ak|1/k =1R

(3.139)

an =2πcn

∫ 1

−1

f(z)Tn(z)√1− z2

dx (3.140)

=1πcn

∫C

(1− z2)−1/2(z +

√z2 − 1

)−ndz (3.141)

an ∼ 2ir√

1− z20

(z0 +

√z2

0 − 1)−n

(3.142)

limn→∞

supln |zn|n lnn

= − 1α

(3.143)

Series de Legendre.

Los polinomios de Legendre son las eigenfunciones del problema singular deSturm-Liouville ( ) con p(x) = 1 − x2, q(x) = 0, w(x) = 1 para −1 ≤ x ≤ 1y las condiciones de frontera φn(±1) finita. El n-esimo eigenvalor es λn =n(n + 1) y sus eigenfunciones son φn(x) = Pn(x), los polinomios de Legendrede orden n. Puesto que p/w = 1 − x2 y p′/w = −2x son ambos finitos para


|x| ≤ 1, entonces tenemos que la expansion en series de Legendre de funcionesinfinitamente diferenciables converge de forma mas rapida que algebraicamente.

Para ilustrar las propiedades de convergencia de las series de Legendre, es-tudiemos la convertencia de la serie

senMπ(x+a) =1√2M

∞∑n=0

(2n+1)Jn+1/2(Mπ)sen (Mπa+12nπ)Pn(x) (3.144)

Puesto que la expansion de coeficientes en () se desvanece rapidamente con-forme crece n mas alla de Mπ, concluimos que la expansion polinomial deLegendre de funciones suaves converge rapidamente siempre que al menos πpolinomios sean mantenidos por numero de onda.

Cuando una funcion discontinua es expandida en series de Legendre, la razonde convergencia no es mas rapida que la algebraica. En el vecindario de unadiscontinuidad, un fenomeno de Gibbs ocurre cuya estrucutra local es la mismaque para las series de Fourier con una (stretched coordinate) adecuada. Porejemplo, la expansion de los polinomios de Legendre para la funcion signo sgnxes

sgnx =∞∑n=0

(−1)n(4n+ 3)(2n)!22n+1(n+ 1)!n!

P2n+1(x) (3.145)

Las sumas parciales de esta serie esta graficada en la Figura Tres caracter-isticas son notables:

• El fenomeno de Gibss cerca de x = 0 tiene la misma estructura que lasseries de Fourier

• El error despues de N terminos se comporta como 1/N para |x| < 1,x 6= 0. Esto sigue puesto que los (2n+ 1)-esimos coeficientes de Legendreen () satisfacen

an = (−1)2 (4n+ 3)(2n)!22n+1(n+ 1)!n!

= 0(

1√n

), (3.146)

mientras que Pn(x satisface

Pn(x) = 0(

1√n

), (3.147)

para |x| < 1 (vease (a.29)). Esta serie () es una serie alternativa si x estafija lejos de cero de manera que el error despues de N terminos es a lomas del orden aNPN = 0(1/N)

• La serie converge solamente como 1/√N en x 6= ±1.


Resolucion de capa limite

Series de Laguerre.

Los polinomios de Laguerre son las eigenfunciones del problema singular deSturm-Liouville ( ) con p(x) = xe−x, q(x) = 0, w(x) = e−x para 0 ≤ x ≤ ∞y las condiciones de frontera φn finita en x = 0 e ∞. El n-esimo eigenvalor esλn = n y sus eigenfunciones son φn(x) = Ln(x), los polinomios de Laguerrede orden n. Puesto que p/w = 1 − x2 y p′/w = −2x son ambos finitos para|x| ≤ 1, entonces tenemos que la expansion en series de Legendre de funcionesinfinitamente diferenciables converge de forma mas rapida que algebraicamentecuando el numero de terminos N →∞.

f(x) = 0(eαx) (3.148)

para algun α<12 , entonces la expansion de Hermite es

f(x) =∞∑n=0

anLn(x) (3.149)

Para ilustrar la razon de onvergencia de las series de Laguerre consideremosla expansion de senx:

senx =∞∑n=0

12(2n+1)/2

cos

[π

4(n+ 1)

]Ln(x) (3.150)

que es convergente para todo x, 0 ≤ x <∞. Puesto que

Ln(x) ∼ 1√πex/2x−1/4x−1/4 cos

[2√nx− 1

4π

], n→∞ (3.151)

[vease Erdelyii], luego entonces si N >> x, entonces el error despues de Nterminos es aproximadamente

ex/2

wN/2(Nx)1/4. (3.152)

Este error es pequeno solo si N ln 2 > x o N ≥ 1.44x. Puesto que...

Series de Hermite.

Los polinomios de Hermite son las eigenfunciones del problema singular deSturm-Liouville ( ) con p(x) = xe−x

2, q(x) = 0, w(x) = e−x

2para −∞ ≤ x ≤ ∞

y las condiciones de frontera φn finita si |x| → ∞. El polinomio de HermiteHn(x) de n-esimo grado y de eigenvalor λn = 2n. Si f(x) y sus derivadassatisfacen

f(x) = 0(eαx2) (3.153)


para algun α<12 , entonces la expansion de Hermite es

f(x) =∞∑n=0

anHn(x) (3.154)

Puesto que la expansion de coeficientes en () se desvanece rapidamente con-forme crece n mas alla de Mπ, concluimos que la expansion polinomial deLaguerre de funciones suaves converge rapidamente siempre que al menos πpolinomios sean mantenidos por numero de onda.

Cuando una funcion discontinua es expandida en series de Laguerre, la razonde convergencia no es mas rapida que la algebraica. En el vecindario de unadiscontinuidad, un fenomeno de Gibbs ocurre cuya estrucutra local es la mismaque para las series de Fourier con una (stretched coordinate) adecuada. Porejemplo, la expansion de lLos polinomios de Laguerre para la funcion signosgnx es

senx =∞∑n=0

122n+1(n+ 1)!n!

H2n+1(x) (3.155)

Hn(x) ∼ ex n!12n!

cos(√

2n+ 1x− 12nπ

)(3.156)

Debido que las propiedades de resolucion de los polinomios de Laguerre yHerminte se duda que tendran mucha aplicacion practica en la aplicacion de losmetodos espectrales.

Ejemplo 3.3Hallar los numeros propios y las funciones propias de la ecuacion y′′ − λy = 0 para

0 ≤ x ≤ l que satisfaga las condiciones y(0) = 0 e y(l) = 0.Resolucion. De la solucion general de la ecuacion

y(x) = c1e√λx + c2e

−√λx

tenemos tres casos:

1. λ > 0: del sistema

y(x) =

{c1 + c2 = 0 para x = 0,

c1e√λl + c2e

−√λl = 0 para x = l,

de donde se deduce que c1 = c2 = 0.

2. λ = 0: de aqui y(x) = c1 +c2x y de las condiciones de frontera resulta que c1 = c2 = 0.

3. λ < 0: suponemos que λ = −ω2 y escribimos la ecuacion general en forma de

y(x) = C1 cosωx+ C2senωx.

De las condicionesd e frontera resulta que C1 = 0 y C2senωl = 0. Esto quiere decirque una solucion, distinta del cero identico, del problema es solo posible en el caso deque senωl = 0, o sea, para

ω = ωk =πk

l, k = 0, 1, 2, ...

De aqui encontramos precisamente las funciones propias y los numeros propios respec-tivamente:

yk(x) = senπk

l, λ = −

(πk

l

)2

.


Capıtulo 4

Ecuaciones en derivadasparciales

4.1 Problemas fundamentales y ecuaciones de lafısica matematica

4.1.1 Deduccion de ecuaciones y planteamiento de los prob-lemas de la fısica matematica

Muchos problemas de la mecanica, la fısica y la tecnologıa conducen a la inves-tigacion de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden,llamadas ecuaciones de la fısica matematica. Su deduccion se apoya en las leyesmecanicas o fısicas. De toda la diversidad de problemas de esta ındole noslimitamos a examinar solo algunos, mas simples, que ilustran ciertos metodosde construccion de los modelos matematicos de los procesos mecanicos o fısicosreales.

Ejemplo 4.4Deducir la ecuacion de propagacion de calor en el cuerpo solido isotropo.

Resolucion. Designemos con u(x, y, z, t) la temperatura del cuerpo en el puntoM(x, y, z) y en un instante t. Como es sabido, en el cuerpo el calor se transfiere de laspartes mas calentadas a las menos calentadas. En teorıa de la conductividad termicase considera que la cantidad de calor ∆Q que pasa a traves de cierto elemento de lasuperficie ∆σ, el cual esta dentro del cuerpo dado, es proporcional a ∆Π∆t, donde ∆Πes el flujo del vector ∇u a travs del elemento de superficie ∆σ, o sea,

∆Q = k∆Π∆t (4.1)

Aqui k = k(x, y, z) es el coeficiente de conductibilidad termica.

En el seno del cuerpo destaquemos un volumen arbitrario V , limitado por unasuperficie cerrada Σ, y planteemos la ecuacion de balance termico para el volumendestacado. Sea Q1 la cantidad de calor que entra en V a traves de la superficie Σ en el

75

76 CAPITULO 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

transcurso del tiempo (t, t+ ∆t). Entonces de (4.1) se desprende que

Q1 =

∫ ∫Σ

k(M)(∇u · dσ)∆t

Designemos con Q2 la cantidad de calor que se desprende o se absorbe en el volumenV en el intervalo de tiempo (t + ∆t) debido a las fuentes (o vaciaderos), existentes eneste volumen, cuya densidad, es decir, la cantidad de calor absorbido o desprendido porunidad de tiempo en unidad de volumen se designa con F (x, y, z, t). Es claro que

Q2 =

∫ ∫V

∫F (x, y, z, t)dv∆t

y entonces, utilizando la formula de Gauss-Ostrogradskoi, para la cantidad de calor quellega al volumen V en el transcurso de tiempo (t, t+ ∆t), obtenemos la expresion

Q1 +Q2 =

∫ ∫V

∫∇ · (k∇u)dv∆t+

∫ ∫V

∫F (x, y, z, t)dv∆t. (4.2)

Por otro lado, para variar la temperatura del volumen del cuerpo V durante el tiempo(t, t+ ∆t) en magnitud

∇tu = u(x, y, z, t+ ∆t)− u(x, y, z, t) ≈∂u(M − t)

∂t∆t

es necesario gastar la siguiente cantidad de calor

Q3 =

∫ ∫V

∫[u(x, y, z, t+ ∆t)− u(x, y, z, t)]× γ(x, y, z)ρ(x, y, z)dv ≈ γρ

∂u

∂tdv∆t (4.3)

donde γ = γ(M) es la capacidad calorıfica de la substancia y ρ = ρ(M), es la densidadde la misma. Pero Q1 +Q2 = Q3 y por eso de (4.2) y (4.3) resulta la relacion∫ ∫

V

∫ [γρ∂u

∂t−∇ · (k∇u)− F (x, y, z, t)dv

]= 0.

Puesto que el volumen V es arbitrario y la funcion subintegral es continua, de aquı sededuce que en todo instante t debe cumplirse la relacion

γρ∂u

∂t−∇ · (k∇u)− F (x, y, z, t) (4.4)

Esta ecuacion (4.4) se denomina ecuacion de conductibilidad termica de un cuerpoisotropo heterogeneo . Si el cuerpo es homogeneo, entonces γ, ρ y k son constantes y laecuacion (4.4) se escribira como:

∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)+ f(x, y, z, t), (4.5)

donde

a2 =k

γρf(x, y, z, t) =

1

γρF (x, y, z, t).

Para calcular la temperatura del cuerpo u(x, y, z, t) en todo punto del cuerpo y entodo instante t es insuficiente resolver la ecuacion (4.4) o (4.5). De las relaciones fısicasresulta que es indispensable tambien conocer la distribucion de la temperatura dentrodel cuerpo en el instante inicial (condicion) inicial y el regimen termico existente en lafrontera del cuerpo (condicion de frontera). Ası mismo para resolver otros problemasde la fısica matematica se necesita conocer las condiciones iniciales (si el proceso noes estacionario) y de frontera. Por eso a continuacion por planteamiento del problemase entiende la eleccion de la funcion que caracteriza el proceso fısico a investigar, ladeduccion (o eleccion) de una ecuacion que corresponde a este proceso, la determinacionde las condiciones de frontera y la enunciacion de las condiciones iniciales.

4.2. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES 77

4.2 La clasificacion de las ecuaciones lineales desegundo orden

4.2.1 Reduccion de ecuaciones a la forma canonica

La ecuacion general de segundo orden respecto a la funcion u(x1, x2, ..., xn) delas incognitas x1, x2, ..., xn tiene la forma

n∑i,j=1

ai,j(x1, x2, ..., xn)∂2u

∂xi∂xj+ f

(x1, x2, ..., xn, u,

∂u

∂x1,∂u

∂x2, ...,

∂u

∂xn

)= 0.

(4.6)Los metodos de resolucion de tales ecuaciones y el caracter de los procesos fısicosque van descrıtos por estas ecuaciones dependen del tipo de la forma cuadratica

n∑i,j=1

ai,j(x01, x

02, ..., x

0n)titj (4.7)

en cada punto M0(x01, x

02, ..., x

0n) de cierto dominio D del espacio n-dimensional.

Como es sabido, eligiendo una transformacion lineal, la matriz

(aij(x01, x

02, ..., x

0n))ni,j=0

de la forma cuadratica (4.7) puede ser reducida al tipo canonico (diagonal); eneste caso, segun la ley de inercia, el numero de coeficientes positivos, negativosy nulos de tipo canonico de la matriz no depende del metodo de diagonalizacion.

De acuerdo con lo dicho, la ecuacion (4.6) en el punto M0 (en el dominio D)se llama ecuacion de tipo elıptico si todos los n coeificientes de tipo canonico dela forma cuadratica de igual signo, o sea, la forma cuadratica (4.7) es positivao negativamente definida en el punto M0 (respectivamente, en todo punto deldominio D). Suelen reducirse a las ecuaciones de tipo elıptico los problemas dedistribucion estacionaria de calor y de determinacion de las funciones armonicasen el dominio D.

La ecuacion (4.6) tiene un tipo hiperbolico en el punto M0 (en el dominioD) si en el punto M0 (respectivamente, en todo punto del dominio D) n − 1coeficientes de tipo canonico de la forma cuadratica (4.7) tienen el mismo signo,mientras que un coeficiente es de signo contrario. Se reducen al tipo hiperbolicodiferentes problemas sobre los fenomenos oscilatorios. En un caso mas general laecuacion (4.6) tiene un tipo ultrahiperbolico si m coeficientes de tipo canonico dela forma cuadratica son de igual signo, mientras que los demas n−m coeficientesson de signo contrario.

Por ultimo, la ecuacion (4.6) tiene en el punto M0 (en el dominio D) un tipoparabolico si en el punto M0 (respectivamente en todo punto del dominio D) almenos uno de los coeficientes de tipo canonico de la forma cuadratica (4.7) esigual a cero. Tales ecuaciones describen los procesos de propagacion de calor,la difusion y algunos otros.


Si se trata de dos variables independientes x y y, la ecuacion (4.6) se escribe,de ordinario, del modo siguiente:

a(x, y)∂2u

∂x2+ 2b(x, y)

∂2u

∂x∂y+ c(x, y)

∂2u

∂y2+ f

(x, y, u,

∂u

∂x,∂u

∂y

)= 0. (4.8)

La forma cuadratica que le corresponde tiene el aspecto

a(x, y)t21 + 2b(x, y)t1t2 + c(x, y)t22

Cuando hay dos variables independientes, la suma de los terminos que contienenderivadas de segundo orden pueden escribirse como:

Lu ≡ a∂2u

∂x2+ 2b

∂2u

∂x∂y+ c

∂2u

∂y2.

Llamamos a esta suma, el termino principal del operador de segundo orden.Cuando hacemos cambio de variables ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), el operador Lutoma la forma

Lu =[a(ξ′x)2 + 2bξ′xξ

′y + c(ξ′y)2

]u′′ξξ (4.9)

+ 2[aξ′xη

′x + b

(ξ′xη′y + η′xξ

′y

)+ cξ′yη

′y

]u′′ξη (4.10)

+[a(η′x)2 + 2bη′xη

′y + c(η′y)2

]u′′ηη + u′ξLξ + u′ηLη (4.11)

oLu = L1u+ u′ξLξ + u′ηLη. (4.12)

Lu1 denota el termino principal del operador en las nuevas variables. Suponemosque tanto ξ(x, y) y η(x, y), ademas de ser suaves, ξ(x, y) = constante y η(x, y) =constante, no se encuentran tangencialmente en los puntos de interseccion.

A fin de que la ecuacion pueda tener una forma canonica despues de latransformacion de coordenadas, es necesario que:

• El coeficente de la derivada parcial mixta

b1 = aξ′xη′x + b

(ξ′xη′y + η′xξ

′y

)+ cξ′yη

′y

sea cero.

• Si la ecuacion es elıptica o hiperbolica, entonces

a1 = ±c1

• Si la ecuacion es del tipo parabolico, entonces

a1 = 0 o c1 = 0.

El tipo de la ecuacion (4.8) puede ser definido tambien sin reducir la formacuadratica al tipo canonico. A saber: la ecuacion (4.8) tiene en el puntoM0(x0, y0) (en el dominio D)

4.2. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES 79

• tipo elıptico si ac− b2 > 0

• tipo parabolico si ac− b2 = 0

• tipo hiperbolico si ac− b2 < 0

La ecuaciona(x, y)dy2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0 (4.13)

se denomina ecuacion caracterıstica para la ecuacion (4.8) y sus integrales gen-erales

φ(x, y) = C; ψ(x, y) = C

se llaman caracterısticas. Demostremos lo anterior usando la segunda formacanonica de la ecuacion diferencial de tipo hiperbolico donde la ecuacion notiene las derivadas parciales ∂2u

∂ξ2 y ∂2u∂η2 . Se sigue de la ecuacion (4.12) que, a fin

de escribir una ecuacion de esta manera necesitamos encontrar funciones ξ(x, y)y η(x, y) que satisfagan las ecuaciones

a1 ≡ a(ξ′x)2 + 2bξ′xξ′y + c(ξ′y)2 = 0

c1 ≡ a(η′x)2 + 2bη′xη′y + c(η′y)2 = 0.

Estas dos ecuaciones son necesariamente una y la misma, y tenemos que en-contrar ξ y η como dos soluciones diferentes de una ecuacion, lo que se puedeescribir en la forma

a

(∂ζ∂x∂ζ∂y

)2

+ 2b

(∂ζ∂x∂ζ∂y

)+ c = 0 (4.14)

donde ζ se reemplaza ya sea por ξ o η.En la curva ζ = constante, tenemos que

d y

d x= −

(∂ζ∂x∂ζ∂y

)

y por lo tanto (4.14) puede escribirse como (4.13).Las caracterısticas de una ecuacion lineal en derivadas parciales de segundo

orden (4.8) se utilizan para reducirla al tipo canonico. Para una ecuacion deltipo hiperbolico (ac−b2 < 0) las caracterısticas son reales y diferentes. Poniendoξ = φ(x, y) y η = ψ(x, y), reducimos la ecuacion (4.8) a la forma

∂2u

∂ξ∂η+ Φ

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0 (4.15)

o bien∂2u

∂α2− ∂2u

∂β2+ Φ1

(α, β, u,

∂u

∂α,∂u

∂β

)= 0 (4.16)

si ponemos adicionalmente α = 12 (ξ + η) β = 1

2 (ξ − η).


Para una ecuacion del tipo elıptico (ac − b2 > 0) las caracterısticas soncomplejas y complejamente conjugadas (φ(x, y) = ψ(x, y)). Poniendo ξ =12 (φ(x, y) + ψ(x, y)) = <ψ(x, y) y η = 1

2 (φ(x, y) − ψ(x, y)) = =ψ(x, y), re-duzcamos la ecuacion (4.8) a la forma

∂2u

∂φ2+∂2u

∂η2+ Φ2

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0 (4.17)

Si se trata de una ecuacion de tipo parabolico (ac − b2 = 0), hay una solacaracterıstica φ(x, y) = C. En este caso es necesario efectuar la substitucion delas variables ξ = φ(x, y) y η = ψ(x, y), donde ψ(x, y) es una funcion arbitraria,para la cual ∂ξ

∂x∂η∂y −

∂ξ∂y

∂η∂x 6= 0. Una vez efectuada tal substitucion, la ecuacion

se reduce a la forma canonica.

∂2u

∂η2+ Φ2

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0 (4.18)

Las ecuaciones (4.15)–(4.18) ecuaciones se denominan canonicas.

Ejemplo 4.5Determinar el tipo de la ecuacion

y2u′′xx + x2u′′yy −x2

yu′y −

y2

xu′x = 0. (4.19)

Resolucion. Puesto que (ac − b2 = y2x2 > 0 en todos los puntos que no estansobre las rectas x = 0 o y = 0, en todo el cuadrante abierto la ecuacion dada tiene untipo elıptico. Planteemos la ecuacion caracterıstica

y2dy2 + x2dx2 = 0.

Esta ecuacion tiene integrales generales complejamente conjugadas y2 + ix2 = k ey2 − ix2 = k. Por eso pongamos ξ = y2 y η = x2. Entonces tenemos

u′x = u′ξξ′x + u′ηη

′x = u′η2x,

u′y = u′ξξ′y + u′ηη

′y = u′ξ2y,

u′′xx =(u′′ξηξ

′x + u′′ηηη

′x

)2x+ u′η2 = u′′ηη4x2 + 2u′η

u′′yy =(u′′ξξξ

′y + u′′ξηη

′y

)2y + u′ξ2 = u′′ξξ4y

2 + 2u′ξ.

Substitutyendo estos valores en la ecuacion inicial, obtenemos

y2(4x2u′′ηη + 2u′η) + x2(4y2u′′ξξ + 2u′ξ)−x2

y2yu′ξ −

y2

x2xu′η = 0

o sea, 4x2y2(u′′ηη+u′′ξξ) = 0. Al simplificar, eliminando y2x2 6= 0 llegamos a la ecuacion

de forma canonica

u′′ηη + u′′ξξ = 0.

De aqui concluimos que la solucion de la ecuacion es una funcion armonica respecto alas variables ξ y η.

4.3. METODOS ANALITICOS 81

Ejemplo 4.6Reducir a la forma canonica la ecuacion

x2u′′xx − x2u′′yy = 0.

Resolucion. Aquı, a = x2, b = 0, c = −y2, b2 − ac > 0; por lo tanto es unaecuacion hiperbolica.

Escribamos la ecuacion de caracteric sticas:

x2(dy)2 − y2(dx)2 = 0

Obtenemos dos ecuaciones diferenciales

xdy − ydx = 0, xdy + ydx = 0;

separando las variables e integrando, tenemos

dy

y+dx

x, o sea log y + log x = logC1,

dy

y−dx

x, o sea log y − log x = logC2.

Despues de la potenciacion encontramos xy = C1, e y/x = C2, o sea, las ecuacionesde dos familias de caracterısticas. Introducimos las nuevas variables ξ = xy, η = y/x.Expresamos las derivadas parciales respecto a viejas variables por las derivadas parcialesrespecto a las nuevas variables:

u′x = u′ξξ′x + u′ηη

′x = u′ξ · y − u

′η

y

x2,

u′y = u′ξξ′y + u′ηη

′y = u′ξ · x+ u′η

1

x,

u′′xx = u′′ξξ · y2 − 2u′′ξη ·

y2

x2+ u′′ηη ·

y2

x4+ 2

∂u

∂η·y

x3,

u′′yy = x2 · u′′ξξ + 2uξη1

x2· u′′ηη .

Substitutyendo estos valores en la ecuacion inicial, obtenemos

∂2u

∂ξ∂η−

1

2ξ

∂u

∂η= 0,

o sea, la ecuacion esta reducida a la forma canonica.

4.3 Metodos analıticos de resolucion de las ecua-ciones de la fısica matematica

4.3.1 Vibracion en una cuerda infinita. Metodo de D’Alembert

Si la cuerda es muy larga, los extremos de la misma ejerceran poca influenciasobre las vibraciones que surgen en alguna parte proxima al centro.

Por eso, examinando las vibraciones libres de una cuerda infinita, debemosresolver la ecuacion

∂2u

∂t2= a2 ∂

2u

∂x2(4.20)


solo para las condiciones iniciales

u(x, 0) = f(x) (4.21a)u′t(x, 0) = F (x). (4.21b)

Tal problema se llama problema de Cauchy o problema con condiciones ini-ciales. Uno de los procedimientos ampliamente usados para resolver ecuacionesde oscilaciones de una cuerda es el metodo de caracterısticas llamado en estecaso metodo de D’Alembert. Se basa en el hecho de que con la ayuda de lasubstitucion ξ = x+ at, η = x− at la ecuacion (4.20) se transforma en ecuacion

∂2u

∂ξ∂η= 0. (4.22)

que tiene la solucion general u(ξ, η) = φ(ξ)+ψ(η), donde φ y ψ son las funcionesarbitrarias dos veces derivables. Para determinar estas funciones φ y ψ, o sea,para definir la ley de oscilaciones de una cuerda se necesita utilizar las condi-ciones iniciales y, para ciertos problemas, tambien las de frontera. Si regresamosa las viejas variables x y t, la solucion tiene la forma

u(x, t) = φ(x+ at) + ψ(x− at). (4.23)

Aqui ψ(x−at) caracteriza la onda directa (la curva ψ(x) se desplaza a la derechacon velocidad a) y φ(x + at), la onda inversa (la curva φ(x) se desplaza a laizquierda con velocidad a).

Por derivacion inmediata de (4.23) es facil convencerse de que es precisa-mente ası. Tenemos

u′x = φ′(x− at) + ψ′(x+ at),u′t = −aφ′(x− at) + aψ′(x+ at),u′′xx = φ′′(x− at) + ψ′′(x+ at),u′′tt = a2φ′′(x− at) + a2ψ′′(x+ at),

es decir, a2u′′xx = u′′tt.La solucion obtenida (4.23) que depende de dos funciones arbitrarias se de-

nomina solucion de D’Alembert.Si se examina el problema de Cauchy para una cuerda infinita −∞ < x <∞,

por las condiciones iniciales dadas se determinan las funciones φ y ψ y la solucionbuscada (formula de D’Alembert)

φ(x) + ψ(x) = f(x), (4.24)−aφ′(x) + aψ′(x) = F (x). (4.25)

Integrando (4.25) sobre el segmento [0, x], obtenemos

−φ(x) + ψ(x) =1a

x∫0

F (y) dy + C, (4.26)


donde C es una constante arbitraria. De (4.24) y (4.26) obtenemos

φ(x) =12f(x)− 1

2a

x∫0

F (y) dy − C

2(4.27a)

ψ(x) =12f(x) +

12a

x∫0

F (y) dy +C

2(4.27b)

de donde

u(x, t) =12

[f(x− at) + f(x+ at)] +12a

x+at∫x−at

F (y)dy (4.28)

Si se trata de una cuerda semiinfinita, entonces, ademas de las condicionesiniciales (4.21) prefijadas para 0 ≤ x < ∞, es necesario anadir las condicionesde frontera (se supone que el extremo este en el punto x = 0

u(0, t) = 0 (4.29)

para la cuerda sujetada en el punto x = 0,

u′x(0, t) = 0 (4.30)

para el extremo libre en el punto x = 0,

u′x(0, t)− hu(0, t) = 0 (4.31)

para la sujecion elastica en el punto x = 0.De las condiciones (4.21) y (4.29) se deduce que f(0) = 0. Si las condiciones

de frontera (4.29) o (4.30) son homogeneas la resolucion del problema sobre laoscilacion de una cuerda semiinfinita se reduce a la resolucion del problema sobrela oscilacion de una cuerda infinita, prolongando las condiciones iniciales sobretodo el eje, de un modo impar para la condicion (4.29), o sea, f(−x) = −f(x),F (−x) = −F (x) y de un modo par para la condicion (4.30), o sea f(−x) = f(x),F (−x) = F (x).

Ejemplo 4.7Hallar la solucion u(x, t) del problema de Cauchy (−∞ < x <∞, 0 < t <∞)

∂2u

∂t2=∂2u

∂x2; u(x, 0) = cos(x),

∂u(x, 0)

∂t= 0.

Resolucion. Utilizando la formula de D’Alembert (4.28), tenemos

u(x, t) =1

2[cos(x− at) + cos(x+ at)] = cos(x) cos(t)


Ejemplo 4.8Hallar la solucion de la ecuacion

∂2u

∂t2= a2 ∂

2u

∂x2; 0 < x <∞ 0 < t <∞

que satisface las condiciones u(x, 0) = x2,∂u(x,0)∂t

= sen 2x, u(0, t) = 0.

Resolucion. Prolonguemos las funciones φ(x) = x2 y ψ(x) = sen 2x sobre elsemieje negativo, haciendo esto de un modo impar:

φ1(x) =

{x2 para x ≥ 0,

−x2 para x < 0;ψ1(x) =

{sen 2x para x ≥ 0,

−sen 2x para x < 0.

Entonces, segun la formula de D’Alembert (4.28), la solucion se escribira de la manerasiguiente:

u(x, t) =1

2[φ1(x+ at) + φ1(x− at)] +

1

2a

x+at∫x−at

ψ(z)dz

=

1

2

[(x+ at)2 + (x− at)2

]+

1

2a

x+at∫x−at

sen 2xdz para t ≤x

a,

1

2

[(x+ at)2 − (x− at)2

]+

1

2a

x+at∫0

sen 2xdz −

0∫x=at

sen 2xdz

para t >x

a> 0.

=

x2 + a2t2 +t

2−

1

4acos 2xsen 2at para t ≤

x

a,

2axt+1

4a[2x− sen 2x cos 2at] para t >

x

a> 0.

Observacion Como se ve de la formula de D’Alembert (4.28), la funcion φ(x) queforma parte de la condicion (4.21) debe tener la segunda derivada y la funcion ψ(x), laprimera. Sin embargo, en los problemas posteriores examinaremos las funcioens φ(x)con puntos angulosos y las funciones ψ(x), con puntos de discontinuidad, suponiendo, apesar de todo, que la funcion definible por la formula (4.28) es la solucion (hablando engeneral, generalizada) de la ecuacion inicial (4.20). Esto se explica por la circunstanciade que, realizando variaciones insignificantes, las funciones φ(x) y ψ(x) pueden hacersesuficientemente suaves y las soluciones u∗(x, t) obtenidas para estas funciones suavizadaspoco se distinguiran de u(x, t).

4.3.2 Espacios de Hilbert. Sistemas ortogonales

Uno de los procedimientos analıticos mas aplicados para resolver las ecuacionesde la fısica matematica es el llamado metodo de Fourier que se apoya en laspropiedades de los sistemas ortogonales y desarrollos ortogonales. Por eso,antes de proceder a la exposicion del metodo de Fourier, propongamos var-ios problemas referentes a las propiedades de los sistemas ortogonales y seriesortogonales, ası como a la resolucion de algunos problemas de contorno de lasecuaciones diferenciales ordinarias.


Supongamos que en un espacio vectorial lineal U esta introducido el productoescalar (interior) (x, y) de los vectores x ∈ U e y ∈ U (vease el capıtulo 3) quesatisface las condiciones:

1. (x, y) = (y, x),

2. (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y),

3. (λx, y) = λ(x, y), λ ∈ C,

4. (x, x) ≥ 0 con la particularidad de que (x, x) = 0 ⇔ x = 0.

El numero√

(x, x), o sea, ‖x‖2 = (x, x) se le llama norma del elemento x ∈ Uque va designada por ‖x‖. La sucesion de los vectores {xn} ⊂ U se denominafundamental si satisface la condicion: para todos los ε > 0 existe N = N(ε) talque para cualesquiera n1, n2 > N(ε) se cumple la desigualdad ‖xn1 − xn2‖ < ε.El espacio U se llama completo si toda sucesion fundamental de los vectores{xn} de este espacio tiene el lımite x0 ∈ U . El espacio vectorial lineal completose denomina espacio de Hilbert y se designa con H.

El sistema de funciones {φn(x)}∞n=0, dadas sobre del segmento [a, b] se llamaortogonal en [a, b] si

• φn(x) ∈ L2(a, b), n = 0, 1, 2, ...;

• (φn(x), φm(x)) =b∫a

φn(x)φm(x) dx ={

0 para m 6= n,dn 6= 0 para m = n.

El sistema de funciones {φn(x)}∞n=0 se llama ortogonal en [a, b] con preso w(x),si

• φn(x) ∈ Lw2 (a, b), n = 0, 1, 2, ...;

• (φn(x), φm(x)) =b∫a

φn(x)φm(x)w(x) dx ={

0 para m 6= n,dn 6= 0 para m = n.

Si dn = 1 para todos los n = 0, 1, 2, ..., el sistema se denomina ortonormalizadoen [a, b] o, respectivamente, ortonormalizado en [a, b] con peso w(x).

4.3.3 Problemas de Sturm–Liouville

La importancia de los problemas de Sturm–Liouville para los metodos espec-trales radica en el hecho de que la aproximacion espectral de la solucion deun problema diferencial es considerada generalmente como una expansion deeigenfunciones de algun problema de Sturm–Liouville. Debe recordarse que elproblem a de Sturm–Liouville es un problema de eigenvalores de la forma

−(p(x)y′(x))′ + q(x)y(x) = λw(x)y(x) (4.32)

en el intervalo [a, b] con condiciones de frontera homogeneas de uno de los tipos

1. y(a) = y(b) = 0,


2. y′(a) = y′(b) = 0,

3. y(x) esta limitada cuando x→ a+ 0, x→ b− 0

Los coeficientes p(x), q(x) y w(x) son funciones cuyos valores son reales,tales que: p, q y w son continuas en el segmento [a, b]; p(x) > 0, q(x) ≥ 0 y lafuncion de peso w(x) > 0 es continua, positiva e integrable en [a, b].

Las condiciones de contorno (1) a (3) pueden entrar en el problema generalde Sturm–Liouville, formando ciertas combinaciones lineales.

Las soluciones no triviales y ≡ 0 de la ecuacion (4.32) que satisfacen una delas condiciones de contorno de (1) a (3) existen no para todos los λ. El valorde λ∗ para el cual existe una solucion no trivial y∗(x) del problema de Sturm–Liouville se llama numero propio (valor caracterıstico) de la ecuacion (4.32) yla solucion y∗(x) que le corresponde, funcion propia (eigenfuncion).

Ecuacion p(x) q(x) λ w(x)

Legendre x1− x2 0 l(l + 1) 1Legendre desplazado x(1− x2) 0 l(l + 1) 1

Legendre asociado 1− x2 − m2

(1− x2)l(l + 1) 1

Chebyshev I (1− x2)1/2 0 n2 (1− x2)1/2

Chebyshev desplazado [x(1− x2)]1/2 0 n2 [x(1− x2)]1/2

Chebyshev II (1− x2)3/2 0 n(n+ 2) (1− x2)1/2

Ultraesferica (1− x2)α+1/2 0 n(n+ 2α) (1− x2)α−1/2

Bessel x −n2

xa2 x

Laguerre xe−x 0 α e−x

Laguerre asociado xk+1e−x 0 α− k xke−x

Hermite xe−x2

0 2α e−x2

Oscilador Armonico 1 0 n2 1

Tabla 4.1: La ortogonalidad de Bessel es mas bien especial.

4.3.4 Series ortogonales

Supongamos que Φ = {φn(x)}∞n=0 es un sistema de funciones ortonormalizadoen [a, b] y la funcion f(x) ∈ L2(a, b). Entonces existen los numeros

cn = cn(f) = (f, φn) =

b∫a

f(x)φ(x)dx, n = 0, 1, 2, ...

llamados coeficientes de Fourier de la funcion f(x) en el sistema Φ. La serie conestos coeficientes

f(x) ∼∞∑n=0

cnφn(x)


Ecuacion a b w(x)Legendre −1 1 1Legendre desplazado 0 1 1Legendre asociado −1 1 1Chebyshev I −1 1 (1− x2)1/2

Chebyshev desplazado 0 1 [x(1− x2)]1/2

Chebyshev II −1 1 (1− x2)1/2

Laguerre 0 0 e−x

Laguerre asociado 0 0 xke−x

Hermite −∞ ∞ e−x2

Oscilador Armonico −π π 1

Tabla 4.2: El intervalo de ortogonalidad [a, b] se determina mediante las condi-ciones de frontera. Las funciones de peso se establecen poniendo la ecuaciondiferencial en forma autoconjugada.

Pn(x) An Bn Cn

Legendre Pn(x)2n+ 1n+ 1

01

n+ 1

Chebyshev I Tn(x) 2 0 1Chebyshev desplazado T ∗n(x) 4 −2 1Chebyshev II Un(x) 2 0 1

Laguerre asociado L(l)n (x) − 1

n+ 12n+ +k1n+ 1

−n+ k

n+ 1

Hermite Hn(x) 2 0 2n

Tabla 4.3: Relacion de recurrencia Pn+1 = (Anx+Bn)Pn(x)− CnPn−1(x)

se denomina desarrollo ortogonal o serie de Fourier de la funcion f(x) en elsistema Φ.

Si el sistema Φ(x) es solamente ortogonal, pero no normalizado, entonces

cn =1

b∫a

φ2n(x)dx

b∫a

f(x)φn(x)dx, n = 0, 1, ...

El sistema ortogonal Φ = {φn(x)}∞n=0 se llama completo si de las igualdades

(f, φn) =

b∫a

f(x)φ(x)dx = 0, n = 0, 1, 2, ...


resulta que f(x) = 0 casi en todos los puntos del segmento [a, b]Para los sistemas ortonormalizados completos la desigualdad de Bessel

∞∑n=0

c2n ≤b∫a

f2(x) dx

se convierte en la igualdad de Parseval

∞∑n=0

c2n =

b∫a

f2(x) dx

Los sistemas trigonometricos, sistema de Walsh, sistema de funciones de Bessel,Legendre y de Chebyshev son completos.

4.3.5 Metodo de Fourier para resolver ecuaciones de lafısica matematica

El metodo de Fourier, utilizable ampliamente para resolver varios problemas dela fısica matematica, consiste en lo siguiente. La funcion incognita dependientede algunas variables, es buscada en forma del producto de funciones cada unade las cuales depende de una sola variable. Sustituido este producto en laecuacion inicial, se obtienen varias ecuaciones diferenciales ordinarias una partede las cuales, junto con las condiciones de contorno del problema inicial, sonproblemas de contorno de Sturm–Liouville. La solucion buscada se representapor medio de una serie formada por los productos de funciones propias de estosproblemas de Sturm–Liouville.

Ejemplo 4.9Encuentra la temperatura T (x, y) de la placa bidimensional mostrada en la figura 4.1

cuya ecuacion en estado permanente esta dada por

∂2T

∂x2+∂2T

∂y2= 0 (4.33)

sujeta a las condiciones de frontera

T = T1 para x = 0, (4.34a)

T = T1 para x = L, (4.34b)

T = T1 para y = 0, (4.34c)

T = T2 para y = B. (4.34d)

(4.34e)

Resolucion: Puesto que ninguna de las condiciones de frontera es homogeneadefinamos una nueva variable:

θ =T − T1

T2 − T1(4.35)


Figura 4.1: Placa bidimensional con condiciones de frontera isotermicas.

y el problema (4.33) se convierte en

∂2θ

∂x2+∂2θ

∂y2= 0 (4.36)

y las condiciones de frontera se convierten en homogeneas para x y no homogeneas paray:

θ = 0 para x = 0, (4.37a)

θ = 0 para x = L, (4.37b)

θ = 0 para y = 0, (4.37c)

θ = 1 para y = B. (4.37d)

(4.37e)

Aplicando el metodo de separacion de variables tenemos que

θ(x, y) = X(x)Y (y) (4.38)

y al substituir en (4.36) tenemos

X′′

X= −

Y ′′

Y= −λ2 (4.39)

de donde

X′′ + λ2X = 0, (4.40)

Y ′′ − λ2Y = 0. (4.41)

Las soluciones generales de (4.40) y (4.41) son

X(x) = c1 cosλx+ c2senλx, (4.42)

Y (y) = c3e−λy + c4e

λy . (4.43)

Substituyendo estas ultimas expresiones obtenemos

θ(x, y) = (c1 cosλx+ c2senλx)(c3e−λy + c4e

λy), (4.44)


y aplicando las condiciones de frontera (4.37a) y (4.37b)

0 = c1(c3e−λy + c4e

λy)

(4.45)

0 = (c1 cosλL+ c2senλL)(c3e−λy + c4e

λy), (4.46)

y como c3 = c4 implıca una solucion trivial identica a cero para θ(x, y) entonces c1 = 0y λ = πn

L, n ∈ N . Substituyendo en (4.44) tenemos

θn(x, y) = c2senλnx(c3e−λy + c4e

λy), . (4.47)

Consideremos ahoral la condicion de frontera (4.37c) a fin de obtener

0 = c2senλnx(c3 + c4) (4.48)

que es satisfecha si c3 = −c4; substituyendo esta expresion en (4.47) y recordando que

sinhλny =e−λy − eλy

2

tenemos queθ(x, y) = −2c2 c3senλnx sinhλy.

Dado que la ecuacion de Laplace (4.36) es lineal, el principio de superposicionpermite escribir la solucion como la suma de las soluciones correspondientes a cada unode los valores n:

θ =

∞∑n=1

Cnsenλnx sinhλy (4.49)

donde Cn son los coeficientes de la serie que faltan determinar.Apliquemos ahora la condicion de frontera (4.37d) la cual permite determinar las

constantes Cn de la serie (4.49):

1 =

∞∑n=1

Cnsinλnx sinhλB. (4.50)

Es facil comprobar que la expansion de la funcion f(x) = 1 puede ser expresada por lasiguiente formula:

1 =2

π

∞∑n=1

(−1)n+1 + 1

nsenλnx (4.51)

de donde se puede concluir que

Cn =2

π sinhλB

(−1)n+1 + 1

nsenλnx. (4.52)

La solucon final al problema se obtiene entonces al substituir (4.52) en (4.49)

θ =2

π

∞∑n=1

(−1)n+1 + 1

nsenλnx

sinhλy

sinhλB. (4.53)

Ejemplo 4.10Una membrana rectangular homogenea (0 ≤ x ≤ l) (0 ≤ y ≤ m) que esta sujetada

a lo largo de todo el contorno y tiene en el instante inicial la forma u(x, y, 0) = φ(x, y)comienza a oscilar con velocidad inicial u′t(x, y, 0) = ψ(x, y). Hallar la ley de oscilaciones


libres de la membrana. Obtener la solucion en el caso de ψ(x, y) = 0, ψ(x, y) = xy(l −

x)(m− y) si la tension de la membrana T0 es igual a su densidad superficial ρ

(a2 T0

ρ

).

Resolucion. Suponiendo que la membrana efectua pequenas oscilaciones, tenemosel primer problema de contorno: hallar la solucion u(x, y, t) de la ecuacion de oscilacioneslibres de la membrana

∂2u

∂t2= a2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

), a2 =

T0

ρ, (4.54)

que satisface las condiciones iniciales

u(x, y, 0) = φ(x, y),∂u

∂t= ψ(x, y) (4.55)

y las de frontera

u(0, y, t) = u(l, y, t) = u(x, 0, t) = u(m, y, t) = 0. (4.56)

Buscamos la solucion en forma del producto

u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t),

sustituyendo en (4.54), obtenemos

XY T ′′ = a2(X′′Y T +XY ′′T ).

Dividiendo por a2XY T tenemos

T ′′

a2T=X′′

X+Y ′′

Y. (4.57)

Cada relacion depende aquıde su propia variable y por eso la igualdad es posibleunicamente en el caso en que cada una de estas relaciones es constante. PoniendoX′′/X = λ, Y ′′/Y = µ y utilizando las condiciones de frontera (4.56), obtenemos dosproblemas de Sturm–Liouville:

X′′ − λX = 0 X(0) = X(l) = 0 (4.58)

Y ′′ − µY = 0 Y (0) = Y (m) = 0 (4.59)

Examinemos primeramente el problema (4.58). Como se puede ver, los numerospropios del problema (4.58) son los numeros

λk = −(πk

l

)2

y las funciones propias, las funciones

Xk(x) = sen

(πkx

l

), k ∈ N. (4.60)

Analogamente, los numeros µn = −(πnm

)2k ∈ N , son los valores propios del problema

(4.59) y el sistema de funciones Yn(y) = sen(πnym

), n ∈ N , constituye las funciones

propias. Substituyendo en (4.57) en vez de las relaciones X′′/X e Y ′′/Y sus valores−(πk/l)2 y −(πn/m)2, obtenemos las ecuaciones

T ′′ + pi2a2

[(k

l

)2

+

(n

m

)2]T = 0

cuyas soluciones, para diferentes k y n, seran las funciones

Tk,n(t) = Ak,n cosπa

√(k

l

)2

+

(n

m

)2

t+Bk,nsenπa

√(k

l

)2

+

(n

m

)2

t.


Ahora bien, las funciones

uk,n(x, y, t) =

(Ak,n cosπa

√(k

l

)2

+

(n

m

)2

t

+ Bk,nsenπa

√(k

l

)2

+

(n

m

)2

t

)sen

πkx

lsen

πny

m, (4.61)

son las soluciones de la ecuacion (4.54) que satisfacen las condiciones de frontera (4.56).

De la linealidad de la ecuacion (4.54) resulta que tambien toda combinacion linealde las soluciones (4.61), o sea, la serie doble compuesta formalmente

u(x, y, t) =

∞∑k=1

∞∑n=1

(Ak,n cosπa

√(k

l

)2

+

(n

m

)2

t

+ Bk,nsenπa

√(k

l

)2

+

(n

m

)2

t

)sen

πkx

lsen

πny

m, (4.62)

a condicion de que sea posible derivarla doblemente termino a termino, es asimismola solucion de la ecuacion (4.54) que satisface las condiciones (4.56). Exijamos que lasolucion u(x, y, t) representada por la serie (4.62) satisfaga las condiciones (4.55), o sea,que

u(x, y, 0) =

∞∑k=1

∞∑n=1

Ak,nsenπk

lsen

πn

m= φ(x, y)

y

u′t(x, y, 0) =

∞∑k=1

∞∑n=1

Bk,nπa

√(k

l

)2

+

(n

m

)2

senπkx

lsen

πny

m= ψ(x, y).

Basandonos en estas igualdades concluimos que si los numeros Ak,n son los coeficientesde Fourier de la funcion φ(x, y), o sea, si

Ak,n =4

lm

m∫0

l∫0

φ(v, z)senπkv

lsen

πnz

mdv dz para k, n ∈ N

y los numeros Bk,nπa

√(kl

)2+(nm

)2son los coeficientes de Fourier de la funcion

ψ(x, y), o sea, si

Bk,n =4πa

lm

√(kl

)2+(nm

)2m∫

0

l∫0

ψ(v, z)senπkv

lsen

πnz

mdv dz para k, n ∈ N

entonces la serie (4.62) es la solucion buscada del problema (4.54)–(4.56).

Hallemos ahora la solucion del problema inicial para las condiciones de partidadadas ψ(x, y) = 0, y ψ(x, y) = xy(l − x)(m − y). Puesto que ψ(x, y) = 0, entoncesBk,n = 0 para todos los k, n = 1, 2, ... Calculemos Ak,n:

Ak,n =4

lm

m∫0

l∫0

vz(l − v)(m− z)senπkv

lsen

πnz

mdv dz


=4

lm

m∫0

z(m− z)senπnz

mdz

l∫0

v(l − v)senπkv

ldv

=4

lm

2m3

(πn)3[1− (−1)n]

2l3

(πk)3[1− (−1)k]

=

{43m2l2

π6(2n′ + 1)3(2k′ + 1)3para n = 2n′ + 1 y k = 2k′ + 1,

0 para n 6= 2n′ + 1 o k 6= 2k′ + 1,

para k′, n′ = 0, 1, ..... Substituyendo estos valores en (4.62), obtenemos

u(x, y, t) =43m2l2

π6(2n′ + 1)3(2k′ + 1)3

∞∑k=1

∞∑n=1

[cosπaωk,nt

(2k + 1)3(2n+ 1)3

senπ(2k + 1)x

lsen

π(2n+ 1)y

m

]donde

ωk,n =

√(2k + 1

l

)2

+

(2n+ 1

m

)2

En el caso en que la ecuacion inicial en derivadas parciales es heterogenea, o sea, enel proceso fic sico caracterizado por esta ecuacion hay fuerzas y fuentes exteriores,se encuentra previamente el sistema de funciones propias de la ecuacion homogeneacorrespondiente y la solucion se busca en forma de una serie consituida a base de estas-funciones propias con coeficientes variables.

Ejemplo 4.11Suponiendo que la cuerda efectua oscilaciones pequenas, tenemos el primer problema

de contorno: hallar la solucion u(x, t) de la ecuacion de oscilaciones forzadas de la cuerda

∂2u

∂t2= a2 ∂

2u

∂x2+ F (x, t), a2 =

T0

ρ, (4.63)

que satisface las condiciones de frontera:

u(0, t) = 0,∂u(l, t)

∂x= 0) (4.64)

y las condiciones iniciales

u(x, 0) = φ(x),∂u(x, 0)

∂x= ψ(x).) (4.65)

Resolucion. Para hallar las funciones propieas de la ecuacion homogenea u′′tt =a2u′′xx con las condiciones de frontera (4.65), pongamos u(x, t) = X(x)T (t) y, despuesde dividir las variables obtenemos las ecuaciones

T ′′

a2T=X′′

X= λ (4.66)

con las condiciones de frontera

X(0) = X′(l) = 0. (4.67)


Resolviendo la ecuacion X′′ − λX = 0 con las condiciones de contorno (4.67), encon-tramos los numeros propios

λk = −(π(2k − 1)

2l

)2

y las funciones propias respectivas

Xk(x) = senπ(2k − 1)

2l, k ∈ N.

Consideremos t como parametro, y desarrollemos la funcion F (x, t) en serie segun

el sistema senπ(2k−1)x

2l:

F (x, t) =

∞∑k=1

Ak(t)π(2k − 1)x

2l, k ∈ N.

donde

Ak(t) =2

l

l∫0

F (v, t)senπ(2k − 1)v

2ldv, k ∈ N.

Buscaremos la solucion de la ecuacion (4.63) en forma de la serie

u(x, t) =

∞∑k=1

ck(t)π(2k − 1)x

2l, k ∈ N. (4.68)

Substituyendo la serie en (4.63) (suponiendo que ck(t) son tales que es posible laderivacion doble, termino a termino, respecto a x y respecto a t) y comparando loscoeficientes de iguales armonicos, obtendremos un sistema infinito de ecuaciones difer-enciales de segundo orden con respecto a las funciones ck(t):

c′′k(t) =π2a2(2k − 1)2

4l2ck(t) = Ak(t), k ∈ N. (4.69)

De las condiciones iniciales (4.65) resulta que las funciones ck(t) deben satisfacer lascondiciones

u(x, 0) = φ(x) =

∞∑k=1

ck(0)π(2k − 1)x

2l,

u′t(x, 0) = ψ(x) =

∞∑k=1

c′k(0)π(2k − 1)x

2l,

Sea

ck(0) =2

l

l∫0

φ(v)senπ(2k − 1)v

2ldv, k ∈ N (4.70)

y

c′k(0) =2

l

l∫0

ψ(v)senπ(2k − 1)v

2ldv, k ∈ N, (4.71)

es decir, ck(0) y c′k(0) son los coeficientes de Fourier de las funciones φ(x) y ψ(x), respec-tivamente, en el sistema (4.3.5). Hallemos ahora las soluciones ck(t) de las ecuaciones(4.69) que satisfacen las condiciones (4.70) y (4.71) y, sustituyendolas en la serie (4.68),obtenemos la solucion buscada u(x, t).


Segun la condicion, φ(x)0ψ(x) = 0, por eso ck(0) = c′k(0) = 0 para todos los k ∈ N .

Luego, puesto que F (x, t) = a2, entonces

Ak(t) = Ak =2

l

l∫0

a2senπ(2k − 1)v

2ldv

= −2a2

l

2l

π(2k − 1)cos

π(2k − 1)v

2l

∣∣∣∣∣l

v=0

=4a2

π(2k − 1).

Por eso se necesita hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales

c′′k(t) +π2a2(2k − 1)

4l)ck(t) =

4a2

π(2k − 1), k ∈ N (4.72)

que satisfacen las condiciones

ck(0) = c′k(0) = 0. (4.73)

Las raıces de la ecuacion caracterıstica para la ecuacion (4.72) son imaginarias, por esolas soluciones particulares de las ecuaciones (4.72) se buscan en la forma ck(t) = γk.Sustituyendo estos valores en (4.72), hallamos

γk =16l2

π3(2k − 1)3

y por eso la solucion general de las ecuaciones (4.72) se escribira en la forma

ck(t) = αk cosπa(2k − 1)t

2l+ βksen

πa(2k − 1)t

2l+

16l2

π3(2k − 1)3, k ∈ N (4.74)

y a partir de las condiciones (4.73) obtenemos

ck(0) = αk +16l2

π3(2k − 1)3= 0,

c′k(0) = βkπa(2k − 1)t

2l= 0,

o sea, βk = 0y αk = − 16l2

π3(2k−1)3, k ∈ N . Ahora bien,

ck(t) =16l2

π3(2k − 1)3

(1− cos

πa(2k − 1)t

2l

)=

32l2

π3(2k − 1)3sen

πa(2k − 1)t

4l

y la solucion buscada tiene la forma

u(x, t) =32l2

π3

∞∑k=1

1

(2k − 1)3sen 2 πa(2k − 1)t

4lsen

πa(2k − 1)x

2l.


4.4 Metodos aproximados para resolver ecua-ciones diferenciales en derivadas parciales

4.4.1 Metodo de diferencias finitas

Problemas

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