Notions de Base en Mathematiques Superieures

8/12/2019 Notions de Base en Mathematiques Superieures

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Notions de base enmathmatiques suprieures

Par Prof. Jairus.Khalagai

African Virtual university


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Universit Virtuelle Africaine 1

NOTE

Ce document est publi sous une licence Creative Commons.http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

Attributionhttp://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abrviation cc-by ), Version 2.5.


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I. Mathmatiques 1 : Notions de base en mathmatiques suprieures ___ 3

II. Prrequis/connaissances pralables ncessaires __________________3

III. Volume horaire/temps ______________________________________ 3

IV. Matriel didactique _________________________________________4

V. Justification/importance du module ____________________________4

VI. Contenu _________________________________________________4

6.1 Aperu________________________________________________4

6.2 Grandes lignes _________________________________________5

6.3 Reprsentation graphique _________________________________7

VII. Objectifs gnral __________________________________________8

VIII. Objectifs spcifiques dapprentissage __________________________8

IX. Activits denseignement et dapprentissage _____________________9

X. Concepts-cls (glossaire) ___________________________________16

XI. Lectures obligatoires ______________________________________ 18

XII. Ressources obligatoires ____________________________________19

XIII. Activits denseignement et dapprentissage ____________________ 22

XIV. Synthse du module _______________________________________ 47

XV. valuation sommative ______________________________________ 48

XVI. Rfrences bibliographiques ________________________________66

XVII. Auteur principal du Module _________________________________67

Table des maTires


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i. mthtqu 1 : Noton nthtqu upu

Prsent par le professeur Jairus. Khalagai, Universit de Nairobi.

ii. Pqu/connnc p

nc

Section 1 : (i) Ensembles et fonctions (ii) Compose de fonctions.

La maitrise du programme de mathmatiques du niveau secondaire est une conditionncessaire la russite de ce cours.

Ce cours est de niveau 1.

Section 2 : Relation et loi de composition interne

Pre-requis : La section1 Les mathmatiques lmentaires 1 est un pr-requis cette section .


Section 3 : Les groupes, sous-groupes et lhomomorphisme

Pre-requis : La section2 Les mathmatiques lmentaires 2 est un pr-requis cette section 3


iii. du u cou

La dure du cours est de 120 heures.


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des nombres rels est essentielle. Le besoin de pouvoir se reprsenter une fonctionparticulire amne la ncessit dtudier sa reprsentation graphique. Notez que leconcept de fonction peut aussi tre vu comme une instruction donne un ensembledobjets et concerne aussi ltude des arrangements dobjets dans un ordre dtermin,appels les permutations et lanalyse combinatoire.

Section 2 : Loi de composition interne

Dans cette section, nous nous penchons sur le concept de loi de composition interneet amne aussi ltude des proprits lmentaires des entiers comme, par exemple,la congruence. Une introduction aux structures algbriques permet de prparer leterrain pour la Section 3 du module.

Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme

Cette section est consacre ltude des groupes et des anneaux. Ce sont des ensem-bles de nombres ou dobjets qui rpondent certains axiomes prdnis. Le conceptdes sous-groupes et de sous-anneaux est aussi important tudier dans cette section.Dans le but dtudier quelques cas o les axiomes sous-jacents sont moins nombreux,

nous tudierons aussi les concepts associs lhomomorphisme et lisomorphisme.De plus, nous nous attarderons au concept de mappage dune fonction reprsentantles relations entre diffrents groupes ou diffrents anneaux an de trouver quellessont les proprits de la fonction qui interagissent avec ces entits.

6.2 Grandes lignes

Section 1 : (i) Ensembles et fonctions (ii) Fonctions composes (50 heures)

Niveaul 1. Priorit A. Aucun pralable.

Thorie des ensembles (4)Logique lmentaire (8)

Systmes numriques (6)

Nombres complexes (4)

Relations et fonctions (8)

Fonctions lmentaires et leurs reprsentations graphiques (8)

Permutations (7)

Combinaisons (5)


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Section 2: Relation et loi de composition interne (35 heures)

Niveau 1. Priorit A. Mathmatiques lmentaires, section 1 est un pralable.

Loi de composition interne (7)

Proprits lmentaires des entiers (7)

Congruence (7)

Introduction aux structures algbriques (7)

Applications (7)

Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme (35 heures)

Niveau 2. Priorit B. Mathmatiques lmentaires, section 2 est un pralable.

Groupes et Sous-groupes (7)

Groupes cycliques (2)

Groupes de permutation (5)

Groupes homomorphismes. (4)

Groupes de facteurs (3)

Automorphismes (3)

Anneaux, Sous-anneaux, idaux et anneaux de quotients (7)

Thormes des isomorphismes pour les groupes et les anneaux (4)


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Ce diagramme reprsente la faon dont les diffrentes sections du module sont in-terrelies entre elles.

Laxe central du module est situ au centre du diagramme (en rouge). Les conceptssubordonns sont joints par une ligne.

Par exemple, la thorie des ensembles est le principe moteur du diagramme. Leconcept des nombres rels est subordonn au concept des ensembles. Le concept desnombres complexes est subordonn au systme des nombres rels.

Homomorphismeset Isomorphismes Groupes et

anneaux

Structurealgbrique

Permutations etcombinaisons

Loi decomposition

LES

ENSEMBLES

Logique despropositions

Les nombresrels

Les fonctions etleurs

reprsentationsgraphiques

Trigonomtrie

Les nombrescomplexes


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Vii. Ojctf gnVous serez en mesure denseigner dans les coles secondaires la logique des ma-thmatiques lmentaires, la thorie des ensembles, les systmes de nombres et desstructures.

Viii. Ojctf pcqu ppntg(Ojctf uctonn)

la fin du module, ltudiant devrait tre en mesure de :

Construire des arguments mathmatiques;

Faire des liens et communiquer des ides dordre mathmatique de manireefcace et conomique.

valuer les formes invariantes des lments dun ensemble, en faire un rsum

analytique et gnraliser.

Comprendre les diverses structures mathmatiques ainsi que leurs similaritset leurs diffrences.


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iX. actvt ngnnt t ppntgModule 1 : Les mathmatiques lmentaires, valuation anticipe

Section 1 : Les ensembles et les fonctions

valuation et Solutions

Questions dvaluation anticipe

1. En considrant lquation de second degr suivante : 2x2 x 6= 0

Les racines sont :

a. 4,3{ }b. 4,3{ }

c. 2,3

2

d. 2,3

2

2. La valeur de la fonction ( ) 22 3 1f x x x= + + o 3x= est :a. 19

b. 28

c. 46

d. 16


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3. Lequel des diagrammes suivants est la reprsentation graphique de y=3x (2-x)

.

b.

c. d

4. La solution de lquation

sinx= 1

2 si 0 xo 360 est :

a. { }150 ,210o o

b. { }30 ,150o o

c. { }210 ,330o o

d. { }30 ,330o o

a.


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5. Selon le triangle ABC suivant :

5

A B

C

Lequel des noncs suivants est vrai?

a) Cos =2

15

b) Sin =5

2

c) Tan = 2

d) Sec =1

5

Section 1 : Solutions

Voici les rponses aux questions choix multiples :

Q 1 c Q 2 b Q 3 b Q 4 c Q 5 c


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Section 2 : Ralation binaire et loi de composition

1. La fonction rciproque de

f x( ) = 1x 1

est

(a) f1 x( ) = x 1

(b) f1 x( ) = 1 xx

(c) f1 x( ) = x + 1x

(d) f1 x( ) = 1x

1

2. Si sin2 2

x a= alors sinx est :

(a)a

4 a2

(b) a 4 a2

(c) a

(d) a4 a2

2

3. Une jeune lle possde trois jupes, 5 blouses et 4 foulards. Quel est le nombrede tenues vestimentaires diffrentes peut-elle crer ayant chacune une blouse, unejupe et un foulard?

a. 220

b. 60c. 12


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4. Soit le nombre complexe

z= 1 i nous avons Argzest :

(a) 450

(b) 1350

(c) 2250

(d) 3150

5. Si a*b = a2 + ab 1, alors

5*3 est

(a) 39

(b) 41

(c) 23

(d) 25


Q1. c Q2. d Q3. b Q4. b Q5. a


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Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme

1. Parmi les loi ci-dessous, quelles sont celles qui sont des lois de compositioninternes dans lensemble IR des nombres relles : ?

(a) Mettre au carr la somme de deux nombres reels;

(b) Faire le quotient de deux nombres reels

(c) Faire le quotient des carres de deux reels.

(d) Faire le produit deux nombres reels.

2. En tenant compte de la dnition dun homomorphisme, donnez un homomor-phisme dun groupe G de nombres rels par une multiplication ou une divi-sion.

(a) f x( ) = 2x

(b) f x( ) = 6x

(c) f x( ) = x2

(d) f x( ) = x + 5

3. Pour un groupe Gsi a x a b= dans G, alorsxest :

(a) b

(b) ba1

(c) a1b

(d) a1

ba

1

4. Si un lment aest un anneau est tel que2a a= alors aest :

(a) nilpotent

(b) caractristique

(c) idempotent

(d) identit


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5. Si est un anneau et xR sil ny a quun seul lment aR tel que ,x a x= alors a x est :

(a) e

(b) a

(c) x(d) x


1. a et d 2. b 3. d 4. c 5. d

Titre de lvaluation anticipe : Commentaire pdagogique pour ltudiant

Les questions de cette valuation anticipe ont t conues pour valuer si votreniveau de connaissance est sufsant pour entreprendre ltude du module.

Les questions de la Section 1 demandent la matrise des mathmatiques du niveausecondaire. Si vous avez commis des erreurs, ceci devrait vous amener rviser lamatire en question.

Les questions des Sections 2 et 3 ont t conues pour vrier lacquisition desconnaissances relatives ces mmes sections.

Si vous avez commis des erreurs dans lvaluation anticipe de la Section 2, vousdevriez vrier le travail effectu la Section 1 du module. De mme, si vous avezcommis des erreurs dans la Section 3, vriez le travail effectu la Section 2 dumodule.


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X. Concpt c (go)

1. Groupe ablien : dans un groupe (G, *), pour tout a,b,G . a* b= b* a

2. Structure algbrique: structure forme dun ensemble donn G combin uneopration boolenne qui rencontre un ensemble daxiomes prdtermins.

3. Loi de composition interne: il sagit dun application qui associe chaque

couple de dun ensemble GxG, un lment et un seul de G; a *bG pour tous

les a,bG .

4. Fonction compose : une fonction obtenue lorsque lon combine deux fonctionsdans un ordre dtermin.

5. Fonction :il sagit dune relation o chaque lment a au plus une image.

6. Groupe :il sagit dun ensemble non vide, G, avec une loi, telle que

(i) a *bG pour tous les a,bG .

(ii) a * b* c( ) = a *b( ) * c pour tous les a,b,c G .(iii) Il existe un lment edans Gtel que e * a= a= a* e pour tous les aG

et o eest nomm lment neutre.

(iv) Pour tous les aG il existe

a1 G tel que a * a1 = e= a1 * a

Et o a1 est nomm linverse de a

7. Homomorphisme: Il sagit dune application f dun groupe G dans un

autre groupe H tel que pour nimporte quelle paire a ,bG . Nous avons

f ab( ) = f a( )f b( ) .8. Isomorphisme :cest un homomorphisme qui est aussi une bijection.

9. Application : il sagit simplement dune relation entre deux ensembles ochaque lment a une image et une seule.

10. Proposition :il sagit dun nonc ayant une vraie valeur. On peut donc dduiresil un nonc est vrai ou faux.


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Xi. lctu ogto

Lecture 1

Un manuel lintention des tudiants du secondaire qui tudient les mathmatiquespar les auteurs des textes Free High School Science , 2005, p. 38-47 (nom du

chier sur le CD : Secondary_School_Maths)

Lecture 2

Elements of Abstract and Linear Algebra par E. H. Connell, 1999, UniverSit deMiami, p. 1-13 (nom du chier sur D : Abstract_and_linear_algebra_Connell)

Lecture 3

Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos publishers

(GB), 2000. (nom du chier sur CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch)

Lecture 4

Abstract Algebra: The BaSic Graduate Year, par Robert B. Ash (nom du chier surle CD: Abstract_Algebra_Ash)

Rsum et Motivatio

Toutes les lectures obligatoires sont des manuels de source ouverte. Dans leur en-semble, ils procurent des informations plus que sufsantes dans le cadre de ce cours.

Cependant, les textes contiennent des rfrences des activits, des lectures et desexercices qui sont aussi rfrencs la section des activits dapprentissage.


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Xii. rouc ctonqu ogto

Wolfram MathWorld (Site visit le 29/08/06)

http://mathworld.wolfram.com/

Un guide complet et dtaill couvrant tous les sujets des mathmatiques. Onsattend ce que tous les tudiants se familiarisent avec ce site et suivent

le cheminement du cours (les mots-cls et les thmes abords dans ce mo-dule).

Wikipdia (Site visit le 29/08/06)

http://www.wikipedia.org/

Wikipdia offre une couverture encyclopdique de tous les sujets abords enmathmatiques.

Les tudiants doivent rechercher les mots-cls sur ce site.

Xiii. rouc ctonqu ut

Set Theory (Site visit le 29/08/06)

http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/indexproject.html

Vous pouvez accder nimporte quelle section en cliquant sur celle-ci.

Apportez une attention particulire la section functions .

Cliquez sur le lien NEXT au bas de la page pour continuer.

Cliquez sur la double che de 8 boutons pour voir lanimation!


http://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html

Lisez la section Set Theory .

Suivez au besoin les liens pour approfondir la matire, selon vos besoins.

Wikipedia (Site visit le 29/08/06)


Tapez Set Theory dans la bote de recherche et appuyez sur ENTER.

Suivez les liens pour approfondir la matire, selon vos besoins.


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MacTutor History of Mathematics

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.

Vous pouvez y lire lhistoire de la thorie des ensembles.

Composite Functions (Site visit le 06/11/06)

http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/02functions/06composite/

index.shtml

Lisez la premire page en entier.

Utilisez les ches au bas de la page pour faire apparatre la prochainepage.

La page 2 offre une activit interactive. Faites cette activit attentivement.

Lisez la page 3 sur la notation.

Testez votre comprhension en page 4.


http://mathworld.wolfram.com/Composition.html Lisez la section sur les fonctions composes (Composite Functions).




Tapez Composite Functions dans la bote de recherche et appuyez surENTER.


Binary Color Device (Site visit le 06/11/06)http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/BinaryColorDevice.shtml

Ceci est un casse-tte sur les lois de composition interne et les tables de grou-pes. Faites ce casse-tte pour dvelopper votre comprhension.


http://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html

Lisez la section sur les relations et lois de composition interne (Binary Ope-rations).



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http://mathworld.wolfram.com/Group.html

Lisez la section sur la thorie des groupes.




Tapez Binary Operations dans la bote de recherche et appuyez sur EN-TER.

Lisez la section sur les lois de composition interne.


Wikipedia (Site visit le 06/11//06)

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_Theory

Lisez la section sur la thorie des groupes. Suivez les liens pour approfondir la matire, selon vos besoins.

MacTutor History of Mathematics

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_

theory.html

Lisez cette entre pour vous familiariser lhistoire de la thorie des grou-pes.


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Xiii. actvt ppntg

Module 1 : Les mathmatiques lmentaires

Section 1, Activit 1 : Ensembles et fonctions

Objectifs spcifiques dapprentissage

la n de cette activit, ltudiant devrait tre en mesure de :

Faire la diffrence entre une fonction et une application.

tablir le lien entre les ensembles et les fonctions.

Donner des exemples densembles de nombres rels et des fonctions dniessur ces ensembles.

Aperu

Les notions dun ensemble et dune fonction sont les concepts fondamentaux qui en-semble, forment les fondations des Mathmatiques. En effet, les diffrentes branchesdes Mathmatiques partent de ces deux notions fondamentales.

Avec cette activit, nous dmontrons de faon simple comment les ensemblesdlments sont facilement extraits de notre univers. En particulier, nous voulonsencourager ltudiant tre en mesure de trouver des exemples dapplication et defonctions appliques aux ensembles de nombres rels.

Il est de premire importance que ltudiant puisse faire la diffrence entre une appli-cation et une fonction, avec laide dune reprsentation graphique. Ce cheminementaidera ltudiant comprendre les diverses proprits des fonctions dans les cours

plus avancs de mathmatiques.

Concepts-cls

Une coorespondance : il sagit simplement dune relation entre des lments dedeux ensembles.

Fonction : il sagit dune correspondance entre deux ensembles qui est telle quechaque lment de lun des ensembles a au plus une image dans lautre ensemble.

Application :il sagit dune correspondance entre deux ensembles qui est telle quechaque lment de lun des ensembles a une image et une seule dans lautre ensem-

ble. Ainsi toutes les appications sont des fonctions mais la rciproque est nest pasvraie.


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Proposition ou assertion:il sagit dun nonc ayant une vraie valeur. On peut doncdduire sil un nonc est vrai ou faux.

Ensemble : il sagit dune collection dobjets ou dlments qui ont les mmesproprits.

Lectures

Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signie

que les auteurs des textes permettent tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Lesupport C D qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.

1. Manuel lintention des tudiants du secondaire qui tudient les mathmati-ques par les auteurs des textes Free High School Science , 2005, p. 38-47(nom du chier sur le CD : Secondary_School_Maths)

2. Elements of Abstract and Linear Algebra par E. H. Connell, 1999, Universitde Miami, p. 1-13 (nom du chier sur CD : Abstract_and_linear_algebra_Connell)

Ressources lectroniques sur Internet

Set Theory (Site visit le 29/08/06)

http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/indexproject.html

Vous pouvez accder nimporte quelle section en cliquant sur celle-ci.

Apportez une attention particulire la section functions .

Cliquez sur le lien NEXT au bas de la page pour continuer.

Cliquez sur la double che de 8 boutons pour voir lanimation!


http://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html

Lisez la section Set Theory .

Suivez au besoin les liens pour approfondir la matire, selon vos besoins.



Tapez Set Theory dans la bote de recherche et appuyez sur ENTER.


MacTutor History of Mathematicshttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.


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Introduction

a) Lhistoire de la machine moudre le mas

Jeanne se rend au march transportant un panier de mas tre moulu en farine. Ellemet le mas dans un contenant prvu cet effet et tourne la poigne. Le mas est alorsmoulu en farine quelle peut alors rapporter la maison.

Question

Quelle relation pouvez-vous faire entre le mas, la machine moudre et la farine?

b) Lhistoire des enfants ns le jour de Nol en 2005

Le 25 dcembre 2005, lhpital de maternit de Pumwani, situe dans la capitaledu Kenya, Nairobi, les mres ayant donn naissance un seul bb taient aunombre de 52. Il sagissait du plus grand nombre de naissances recenses pour un25 dcembre depuis plusieurs annes. Comme lhabitude, chaque bb portait unetiquette qui permettait didentier la mre.

Questions

1. Dans cette situation, comment peut-on identier le bb dune mre?2. Comment peut-on retrouver la mre dun bb?

Activit

Nous pouvons maintenant reprsenter lhistoire de la machine moudre le mas laide dun diagramme.

Le mas

A

La farine

B

f


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A = Ensemble dun contenu donn (dans notre exemple, le mas qui doit tremoulu)

f = La fonction reprsentant le procd de mouture.

B = Ensemble du contenu du produit (dans notre exemple, la farine)

Exemple 1

Dans cet exemple, nous dnissons des deux ensembles et la correspondance entreces deux ensembles comme tant :

Si A = {2, 3, 4} et que B = {2, 4, 6, 8}

f est la correspondance qui exprime est un diviseur de

par exemple 3 est un diviseur de 6

Dans ce cas, nous avons la correspondance suivante :

2

3

4

A

2

4

6

8

Bf


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Exemple 2

Trouvez des exemples de situations similaires et reprsentez-les laide dun dia-gramme tel que montr dans lexemple 1.

Dans notre histoire sur les mres qui donnent naissance un seul bb, nous pouvonsreprsenter le concept par le diagramme suivant :

M1

M2

M3

M4

A

B1

B2

B3

B4

Bf

A = ensemble des bbs

B = ensemble des mres

f = la correspondance qui exprime bb de

Remarque

i. Notez que dans cette correspondance chaque lment a une image et une seule.Dans ce cas, nous pouvons dire quil sagit dune application. Nous crivonsdoncf: AB

ii. Notez aussi que dans cette correspondance, mme si on inverse les rles de Aet B, ils nauront toujours quune seule et unique image. Donc, nous avons uneapplication bijective


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B1

B2

B3

B4

B

M1

M2

M3

M4

Ag

Dans cet exemple, nous avons :

B = Ensemble des mres

A = Ensemble des bbs

g = La correspondance qui exprime est la mre de

Dans cet exemple, nous pouvons dire que la fonctionf a une fonction rciproqueg.Nous notons cette fonction rciproque g-1 etf= g-1

Donc pourf: A B, nous avonsf-1: B A

Exemple 4

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} et que

B = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 12}

f :x 2x + 1

Nous avons donc lapplication suivante suivant :f:(x) 2x+ 1


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1

2

3

4

5

A

2345

7

9

1112

Bf

Pour la notation de cette application, nous pouvons aussi crire :

f(1) = 3,f(2) = 5, etc.

En gnral, f(x) = 2x + 1

Lensemble A est appel ensemble de dpart def et lensemble B est nomm ensembledarrive def.

Le sous-ensemble {3, 5, 7, 9, 11} de B duquel tous les lments de A ont des ima-ges est appel image de f. Notez quici la fonction rciproque de fest donn par

f 1(x)=x 1

2et quil sagit aussi dune fonction.

Exercice 5Prenons un ensemble

A = {2, 4, 7, 9, 11, 12} comme ensemble de dpart, trouvez les ensembles image dechacune des fonctions suivantes :

a)g(x) = 2x2 + 1

b)h(x)=

x

1 x


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Exercice 6

Donnez la fonction rciproque des fonctions suivantes : h(x)=x

1 x, g(x) = 2x2

+ 1

Exercice 7

En utilisant lensemble de nombres rels, comme domaines, donnez des exemplesdes noncs suivants :

a) une correspondance dans IR qui nest pas une fonction

b) une correspondance dans IR qui est une fonction

c) une application dont linverse nest pas une fonction

d) une application dont linverse est aussi une fonction

Illustrer chacun des exemples par une dmonstration graphique. Si vous travaillezen groupe, chaque membre doit proposer un exemple pour chacun des noncs.


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Module 1: Mathmatiques lmentaires

Section 1, Activit 2: Les fonctions composes



Faire la dmonstration que deux instructions conscutives donnes dans unordre diffrent peuvent mener des rsultats diffrents.

Vrier que deux fonctions lmentaires composes, de deux faons diff-rentes, peuvent produire des fonctions composes diffrentes.

Dessiner ou tudier des reprsentations graphiques de diffrentes classes defonctions comme par exemple, linaires, quadratiques, etc.

Aperu

La compose de la fonction f suivie de la fonction g est une fonction note gf, elle

est dnie par gf (x) = g(f(x)). Le fait de composer deux noncs simples dans

le but de former un autre nonc a des rpercussions importantes mme dans la viequotidienne. En effet, lordre dans lequel deux instructions sont donnes doit treconsidr avec srieux, an de ne pas obtenir des rsultats dsastreux. Au cours decette activit, nous dmontrerons que deux fonctions lmentaires, dont les formulessont connues et combines dans un ordre prdtermin, pourront avoir des fonctionscomposes diffrente.

Il est aussi important dtre en mesure de reprsenter une fonction combine (songraphe et sa forme). En effet, ltudiant sera en mesure de dessiner ces reprsenta-tions graphiques incluant les fonctions linaires, quadratiques et mme trigonom-

triques.

Concepts-cls

Fonction compose : une fonction obtenue lorsque lon combine deux fonctions dansun ordre dtermin.

Lectures

Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signieque les auteurs des textes permettent tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Le

support CD qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.1. Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos pub-


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Introduction

a) Lhistoire des enfants qui vont la garderie ducative

Un frre et une sur, nomms Jean et Jeanne, sont tous deux inscrits la garderiedes Petits Amis .

Un matin, ils se rveillent en retard et doivent se dpcher shabiller et partir pour

la garderie. Jeanne revt ses chaussettes, puis ses chaussures. Mais, son frre Jeanenle ses chaussures et ensuite ses chaussettes. Jeanne le regarde et clate de rire,tout en partant la course vers la garderie, suivie de prs par son frre.

Question

Pourquoi Jeanne a-telle rit?

b) Histoire de la visite dune brasserie

lcole, Nabumali High School en Ouganda, un club de sciences a organis une

visite Jinja, pour observer les diffrents stades du brassage dune boisson locale.Il tait intressant de voir de quelle faon certains quipements pouvaient transfor-mer une matire lintrieur de chambres spcialises. Par exemple, une bouteillevide entrait dans une salle et en ressortait pleine, mais non capsule. La bouteillepoursuivait la chane et entrait dans une autre chambre pour en ressortir cette foisavec une capsule.

Salle 1Salle 2

Bouteille vide

f

Bouteille p leineBouteillecapsu le

g


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Question

Pouvez-vous expliquer ce qui sest pass dans chacune des deux chambres?

Imaginer si la bouteille commenait par passer par la salle2 avant de faire la salle1.

Activit

Dans notre histoire des enfants de la garderie ducative, ce qui est clairement montr

est limportance que nous devrions attacher lordre des instructions. Jeanne a ride son frre lorsquelle a vu ses chaussettes par-dessus ses chaussures. En dautresmots, son frre a combin des instructions (une fonction), mais il a obtenu un rsultatplus que malheureux.

Nous pouvons poursuivre avec ces quelques exemples supplmentaires :

Exemple 1

Pensez un nombre, mettez-le au carr et ajouter 3. Pensez un nombre, additionnez3, puis mettez-le au carr. Disons que le nombre est x, nous obtiendrons alors deux

rsultats diffrents, soit 2 3x + and ( )23x + .

Exemple 2

Trouvez par vous-mmes des exemples similaires lexemple 1.

Reprenons lhistoire de la brasserie en Ouganda. Nous avons not que chaque chambreoprait une instruction spcique de la tche accomplir. Cest pourquoi chaque objetqui entre dans la chambre en ressort transform dune certaine manire.

Nous pouvons aussi nous pencher sur un exemple o les instructions sont donnes laide de formulation mathmatique, avec des formules explicites :

Exemple 3

Considrons la composition des fonctions suivantes :

f : x 2x et g : x x + 5

Si nous excutons la fonctionf suivie deg , nous devons doubler x avant dajouter5. Mais si nous excutons la fonctiong suivie def,nous devons ajouter 5 x, avantde doubler le rsultat.


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Aux ns de notation :

( ) ( ) ( )( )f g x f g x=o

Signieg suivi def. Alors que ( ) ( ) ( )( )g f x g f x=o signiefsuivi de g.

Nous avons donc :

x

f

2x 2x+5

g

Qui reprsente la fonction composeg (f (x)) = 2x + 5

Alors que :

x

g

x+5 2(x+5)

f

Qui reprsente la fonction compose f (g (x)) = 2 (x + 5)

Exercice 4

Soitf : x3x +1 et g : xx 2

Trouver les fonctions suivantes :

(a) f go

(b) g fo

(c) f og( )1

(d) go f( )1

Si x = 3, dessiner un diagramme pour chacune des fonctions composes ci-dessus(comme dmontr lexemple 3).


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Exercice 5

Tracer le graphe de chacune des fonctions suivantes, considrant que le domaine dechacune est lensemble complet IR des nombres rels.

a) f x( ) = 2x 3

b) g x( ) = 4x2 12x

c) h x( ) = x3 3x + 1d) ( ) 2 sink x x=


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Module 1 : Mathmatiques lmentaires

Section 2 : Les Loi de compositions internes


la n de cette activit, ltudiant sera en mesure de :

Donner des exemples de lois de composition interne sur diffrentes opra-tions.

Dterminer les proprits de commutativit et dassociativit de quelques loisde composition interne.

Dterminer certaines relations dquivalence sur certaines structures algbri-ques.

Aperu

Le concept touchant les lois de composition interne est essentiel puisquil mne

directement la cration de structures algbriques.Les lois de composition interne fort connues que sont laddition (+) et la multiplication(x) constituent avec lensemble des nombres rels IR une des structures algbriquesfamilires.

Les proprits de commutativit et dassociativit peuvent tre facilement prouvesen ce qui concerne ces oprations sur IR.

Cependant, au cours de cette activit nous dnissons et nous abordons des lois decomposition interne plus gnrales qui seront notes par *.

Par exemple, pour une paire de points x et y, dans un ensemble G, x * y indique unchoix dordre des deux points. Il est donc clair, que x * y nest pas ncessairement

gal y * x. Nous nous intresserons des exemples de structures algbriques plusgnrales qui dcoulent de ces lois de composition interne.

Concepts-cls

1) Structure algbrique : structure forme dun ensemble donn G combin uneloi de composition qui rencontre un ensemble daxiomes prdtermins.

2) Une loi de composition interne : il sagit dune relation qui associe chaquecouple dlments dun ensemble G, un et seulement un lment de G.


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Lectures

Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signieque les auteurs des textes permettent tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Lesupport CD qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.

1. Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos pub-lishers (UK) 2000. (File name on CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch)

Ressources lectroniquesBinary Color Device (Site visit le 06/11/06)

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/BinaryColorDevice.shtml

Ceci est un casse-tte sur les lois de composition et les tables de groupes.Faites ce casse-tte pour dvelopper votre comprhension.


http://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html

Lisez la section sur les oprations boolennes (Binary Operations). Suivez les liens pour approfondir la matire, selon vos besoins.



Tapez Binary Operations dans la bote de recherche et appuyez sur EN-TER.

Lisez la section sur les oprations boolennes (Binary Operations).


.


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Introduction : Lhistoire du systme de reproduction

Dans la vie de tous les jours, les relations entre les tres humains sont souvent sim-ples : une personne entreprend une relation avec une personne de sexe oppos. Ilsreproduisent dautres individus qui, ensemble, forment une famille. Il sensuit que desfamilles, ayant une relation en commun, forment un clan et diffrents clans peuventformer une tribu, etc.

On peut noter que dans le domaine de lcologie, il en est de mme. Prenons, par

exemple, un organisme vivant qui est capable de se reproduire (produire dautresorganismes de la mme espce que lui), les organismes crs forment par la suiteune population. Si diffrentes populations demeurent ensemble, chaque organismeest membre dune communaut, etc.

Question

Quel est le mcanisme qui fait en sorte de rapprocher deux individus (des tres humainsou dautres organismes vivants) pour enclencher le processus de reproduction?

Activit

Dans le cas des tres humains, nous pouvons dire que cest le mariage qui amneun homme et une femme se joindre pour former une famille aprs quil y ait euprocration. Pour les mathmatiques, le concept de mariage peut tre vu comme unerelation entre deux individus. Si nous transposons cette relation, nous avons :

XF1 XH1 XH8 XF5

xF2 XH2 XF8

xF 4 XF6 XH11 XH5 XF7

A

H = ensemble des hommes dune socit A et

F = ensemble des femmes de A

R la relation qui signiex pousey

Il est donc clair que six Ry alors yRx alors on peut dire que la relation est sym-trique.


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Question

Dnissez quelques relations sur des ensembles de votre choix et vriez si ellessont symtriques.

En rgle gnrale, nous pouvons afrmer que si une relation R relie des lmentsdun mme ensemble E on dit que cest une relation binaire sur E. De plus :

a) R est rexive dans E sixRxpour tout x de E;b) R est symtrique dans E si pour tout couple (x, y) de E2 sixRyalors yRx

c) R est transitive dans E si pour tout triplet (x, y, z) de E3 sixRyetyRzalorsxRz

De mme, nous afrmons que si la relation R dnie dans un ensemble E satisfaittoutes les 3 propositions (la relation est rexive, symtrique et transitive) alors elleest une relation dquivalence.

Exemple 1

Si U est lensemble de tous les individus dune communaut, lequel des noncs

suivants est une relation dquivalence entre euxi. est un oncle de

ii. est un frre de

Dans lnonc (i), si la relation est un oncle de nest pas symtrique. En effet xest un oncle de y nimplique pas que y est un oncle de x. Nous pouvons afrmerque la relation est un oncle de nest pas une relation dquivalence.

Cependant, lnonc (ii), si R est la relation est un frre de est une relation dqui-valence. En effet :

R est rexive : tout individu de U est son propre frre; R est symtrique : Si pour deux individus x et y quelconques de U, si x estfrre de y alors y est frre de x;

R est transitive : Si pour trois individus x, y et z quelconques de U, si x estfrre de y et y est frre de z alors x est frre de z.

Nous pouvons donc afrmer que R est une relation dquivalence.


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Exercice 2

Lequel de ces noncs ci-dessous est une relation dquivalence sur lensemble destres humains?

i. est un ami de

ii. est un membre de la famille de

Exercice 3

a) Dterminer si la loi de composition * sur lensemble IR des nombres rels estune relation commutative ou associative pour chacun des noncs suivants :

i. x*y=y2x

ii. x*y=xy +x

b) Dnissez la relation ~ sur lensemble des nombres entiers suivants :a ~ b siet seulement si a + b est pair. Dterminez si ~ est une relation quivalence surIR.

c) Donnez un exemple dune relation dquivalence sur lensemble IR des nombresrels.

Si vous travaillez en groupe, chaque membre devrait proposer un exemple.

d) Complter les exercices 2.4.1 de la page 34 que vous trouverez dans Sets, Re-lations and Functions by Duntsch and Gediga (solutions aux pp. 48 49).


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Module 1 : Notions et outils de bases en mathmatiquessuprieures

Section 3 : Les groupes, les sous-groupes et les homomorphismes

Objectifs spcifiques


Nommer les axiomes pour un groupe et pour un anneau.

Donner des exemples de groupes et de sous-groupes.

Donner des exemples danneaux et de sous-anneaux.

Donner des exemples dhomomorphismes entre des groupes et des isomor-phismes entre des anneaux.

Faire la preuve de certains rsultats sur les proprits des groupes et des an-neaux.

Aperu

Vous vous rappelez sans doute qu la section 2, activit 2, nous avons considr lasituation dun organisme pouvant se reproduire et ainsi, engendrer une population.Notez que le terme population, dans notre contexte, rfre un groupe dindividusde la mme espce. Maintenant, nous allons dmontrer quune structure algbriquegnrale peut, elle aussi, engendrer une population spcique, ayant des axiomes

bien dnis.

Nous allons aussi nous pencher sur la notion des relations entre les ensembles enutilisant des applications et o nous dnirons une application entre deux groupesdonns. Cest ce stade que le concept dhomomorphisme sera dni et expliqu.Ltude des proprits dune application entre deux ensembles qui reprsentent desstructures algbriques comme tant des groupes est des plus intressantes et elleindique le chemin menant lapprentissage de lalgbre abstraite proprement dite.

Concepts-cls

Groupe :il sagit dun ensemble non vide, G, avec une loi de composition, telleque

(i) a *bG pour tous les a,bG .

(ii)

a * b* c( ) = a *b( ) * c pour tous lesa,b,c G .(iii) Il existe un lment edans Gtel quee * a= a= a* e pour tous lesaG

et o eest nomm lment neutre.


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Introduction : Histoire dune socit cooprative

En 1990, dans une socit au Kenya, 100 travailleurs ont dcid de former une socitcooprative appele CHUNA. Chaque travailleur contribuait sous forme de participa-tion tous les mois. Ils tablirent les rgles administratives pour grer la cooprative,incluant les termes pour accorder des prts. Aprs quelques temps, il fut dcid queles agents responsables devaient rendre visite dautres socits coopratives bientablies au pays an de pouvoir comparer leur gestion la leur.

Aprs ces visites, ils notrent quil serait opportun dassouplir certaines de leurs

rgles de gestion pour quelles soient plus cohrentes avec celles des autres socitscoopratives.

Questions

1. Pourquoi ont-ils tabli des rgles aprs avoir form la socit cooprative?

2. Quelle est limportance ou la signication que lon devrait attacher aux visitesfaites aux autres coopratives?

Activit

Dans notre histoire, nous constatons quune socit cooprative ncessite ltablis-sement de rgles an de crer une structure oprationnelle. Les axiomes qui sontsatisfaits par les lments dun ensemble non vide, comme cest le cas avec le groupeG.

Question

Trouvez dautres Situations o un groupe de personnes ou dobjets rgit par un en-semble de rgles qui sapparenterait aux axiomes dun groupe?

Exemple 1

Prenons un ensemble Z de nombres entiers relatifs et lopration daddition (+).Nous avons que :

(i) a + b Z pour tous les a, b, Z

(ii) a + (b + c) = (a + b) + c pour tous les a, b, c Z

(iii) Il y a 0 tel que

a + o = a = o + a pour tous les a Z

(iv) Pour tous les a Z, il y a -a Z tel que

a + -a = o = -a + a

Par consquent, {Z ,+ } est un groupe.


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Exercice 2

Vriez si lensemble IR muni de laddition est aussi un groupe.

Notez que si pour nimporte quel groupe {G, *} nous avons que pour nimportequel lmentsx,y G,

x *y =y *x alors, G est un groupe ablien.

Ici, le groupe {R, +} est ablien.

La deuxime question tire de notre histoire dune socit cooprative est relieprincipalement au concept de comparaison. Il sagit de savoir si la structure miseen place par le CHUNA se compare avantageusement ou non celle des autressocits coopratives. De la mme manire, les structures des groupes peuvent trefacilement compares grce aux applications. Donc, pour nimporte quelle paire degroupes, disons G et H, une application peut tre dnie entre eux an de comparerleurs structures. En particulier, un homomorphisme f: GH est une application quiconserve la structure. En dautres termes, G et son image par fnot f(G) dans Hsont le mme groupe structurellement.

Notons que si un homomorphisme est une bijection, il est alors appel un isomor-phisme.

Exemple 3

Si G et H sont deux groupes et e est llment neutre de de H. Alors lapplication

f:GH donn par

f(x) = eest un homomorphisme.

En effet, pour toutes les paires x, y G,

f(xy) = e = e e = f(x)f(y)

Exercice 4

Si G est le groupe {R+, .} des nombres rels positifs mini de la multiplication et si

H est le groupe daddition {R, +} des nombres rels. Montrer que lapplication

f:GH donn par

f(x) = log10

(x) est un homomorphisme.


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XiV. synth mou

la n de ce module, vous devriez tre parfaitement outill pour comprendre lesconcepts voqus dans cette synthse.

la section 1, nous avons abord les concepts les plus lmentaires dun ensembleet dune fonction, suivis par la logique, soit la science du raisonnement. Une bonne

comprhension du systme des nombres rels est aussi essentielle pour dnir lesfonctions lmentaires. Les permutations et les combinaisons ainsi que les fonctionstrigonomtriques compltent les sujets abords dans cette section. Ces concepts sontles lments-cls de cette section du module.

la section 2, nous avons introduit les structures algbriques dans lesquelles leconcept de loi de composition sert de notion pivot. Le concept dune relation dqui-valence est essentiel la comprhension de cette section et mne au partitionnementdes ensembles en classes quivalentes qui facilitent une tude plus profonde desensembles ou des collections despaces.

Enn , la section 2 nous avons tudi plus particulirement deux exemples de struc-

tures algbriques, notamment les groupes et les anneaux. Il est important de soulignerici leurs similarits et leurs diffrences principales. En effet, une de ces similarits queltudiant pourrait remarquer est, comme la notion de sous-groupe pour les groupes, il y a aussi la notion de sous-anneau pour les anneaux . Cependant, la diffrenceprincipale entre ces deux structures algbriques est que le groupe se dveloppeseulement sur une loi de composition interne alors quun anneau se dveloppe surdeux lois. Ces facteurs sont bien dgags dans les activits dapprentissage de cettesection. En conclusion, vous devriez aussi vous attarder sur la dnition des appli-cationdun groupe un autre groupe et dun anneau un autre anneau. En particulier,un homomorphisme qui prserve la structure dun groupe donn est primordial lacomprhension de cette section.


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XV. vuton otv

Module 1: Mathmatiques lmentaires

Section 1: valuation des acquis

Question 1

a. crivez la ngation de lnonc suivant :

Si je reois une augmentation salariale, jachterai un terrain.

b. Utilisez des tables de vrit pour dmontrer que :

A (B C ) (A B) (A C )

c. Dterminer les tables de vrit pour les propositions suivantes :

i. (A B) (A B)

ii. ( AB) (AVB)

Question 2

a. Donnez la dnition dune fonction. laide du diagramme, donnez les raisonspour lesquelles cette relationci-dessous reprsente ou non une application.


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A B

b. Si A =x : 2 x 2{ } . Si f : A R etg : A R est dni par

f x( ) = 3x + 4g x( ) = x 1( )

2

Dterminez limage de chaque fonction f et g.

c. crivez la fonction rciproque de chacune de ces fonctions :

i. ( )1

1f x

x

= +

( ) 23g x x= +

Question 3

a. Si deux fonctions f et g sont dnies dans lensemble des nombres rels par

f x( ) = x 1 ( ) 22g x x=

Trouvez les fonctions composes (i) f go et (ii) g fo


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b. Si ( ) 1h x x= + et ( ) 2 4g x x= + et que chacune de ces fonctions est dniedans R, trouvez

I. hog( )1

II. Les tendues de h go et de g ho

c. Dans la sous-question (b), trouvez la valeur de a, tel que

( )( ) ( )( )h g a g h a=o o

Question 4

a. De combien de faons diffrentes 6 garons peuvent-ils tre choisis parmi les30 garons dune classe, si le capitaine de classe doit tre inclus?

b. Six personnes dun comit doivent tre choisies parmi un groupe de huit femmes

et cinq hommes.

i. Combien y a-t-il de faons diffrentes dy arriver?

ii. Si on doit exclure un homme du comit, combien de ces quipes seront-ellesformes et qui comptent plus de femmes que dhommes?

c. Une bote contient 15 balles, parmi lesquelles 5 sont rouges, 4 sont vertes et 6sont bleues. Combien de faons diffrentes peut-on choisir trois balles si

i. Il ny a aucune restriction?

ii. Toutes les balles doivent tre de la mme couleur?

iii. Seulement deux balles doivent tre de la mme couleur?

Question 5

1) Simpliez sin4 sin3 + sin2

2) Rsolvez pour x,0 xo 360o

i. sec2 x 5(tan x 1)= 0

ii.

3) Exprimez 3 cos sin sous la forme de rcos + ( )

Ensuite, rsolvez pour dans ltendue0 180 de lquation

3cos sin = 0


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Section 1:Solutions

Q1. (a) Je reois une augmentation de salaire et je nachte pas de terrain.

(b)

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C B C

A B

A C

( ) ( )A B A C ( )A B C

T T T T T T T T

T T F F T T T T

T F T F T T T T

T F F F T T T T

F T T T T T T T

F T F F T F F F

F F T F F T F F

F F F F F F F F

(c). (i)

A B A B A B ( ) ( )A B A B

T T T T T

T F T F F

F T T T T

F F F T F

(ii)

A A B B AB (AB) AB (AB)(AB)

T F T F F T F F

T F F T T F F T

F T T F F T F F

F T F T T F T T


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Question 2

(a) Une fonction est une relation o chaque objet a une image unique au plus. Lediagramme ne reprsente pas une fonction, puisquil y a un objet qui a deuximages diffrentes.

(b) Soit A = x : 2 x 2{ }

( ) 3 4f x x= +

g x( ) = x 1( )

2

Image de f= y : 2 y 10{ } Image de

g= y : 0 y 9{ }

(c)

i. Si ( )1

1f x

x

= + alors f1 x( ) = 1x

1

ii. Si ( ) 23g x x= + alors g1 x( ) = x2 3

Question 3

(a) Soit f x( ) = x 1

( ) 22g x x=

i.

ii. go f( ) x( ) = g f x( )( ) = g x 1( ) = 2 x 1( )2

(a) Soit ( ) 1h x x= +

( ) 2 4g x x= +

i. ( )( ) ( )( ) ( )2 4h g x h g x h x= = +o

2

4 1x= + +2 5x= +


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hog( )1

x( ) = x 5

ii. Image dehog= y : y 5{ }

Et ( )( ) ( )( )g h x g h x=o

( )1g x= +

( )2

1 4x= + +

Image deg oh = y : y 4{ }

(a) ( )( ) 2 5h g a a= +o

( )( ) ( )2

1 4g h a a= + +o

Par consquent, ( )2 21 4 5a a+ + = +

2 5 5a + =

2 0a=

0a=

Question 4

(b) Si le capitaine doit tre inclus, alors nous slectionnons 5 garons dune classe

de 29. Nous avons donc

(c) (i) Ceci peut tre effectu


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(ii) En excluant un homme qui ne peut faire partie du comit, il nous reste que 4hommes et 8 femmes. Comme il doit y avoir plus de femmes que dhommes,nous avons les trois options suivantes :

Choisir 2 hommes et 4 femmes soit faons

Ou choisir un homme et 5 femmes soit

Ou choisir 6 femmes et pas dhomme, soit faons

Au total, nous avons

(c)

i. faons

ii.

iii. Nous avons soit 2rouges et 1non rouge ou 2vertes et 1 non verte; 2 bleueset 1 non bleue

Question 5

1)

Premirement,

Par consquent,

2)

(i) sec2 x 5 tan x 1( ) = 0

1+ tan2 x 5 tan x 1( ) = 0

tan2 x 5tan x + 6= 0

Si tany x=

y2 5y + 6= 0


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y 3( ) y 2( ) = 0

Alors 3y=

2y=

tan 3x= ou tan 2x=

x= tan1

3 ou x= tan1

2

ii)donc l quation admet deux solutions 90 et 270

iii

Or

avec dans0 180

Cos ( +30) = cos 90 = 60 ou = 240


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Section 2 : valuation des acquis

1. Dterminez si la loi de composition interne * sur un ensemble de nombresrels est commutative ou associative dans chacun des noncs suivants :

(a)x* y= x2y

(b) x y x y y* = +

2. (a) Si Sest un ensemble non vide qui a une loi de composition interne asso-ciative * , pour x, y z S et supposons quexcommute avecyetz., dmontrezque x commute aussi avecy * z .

(b) Prouvez que si a, b IN tel que b/a et c/a alors mb+nc/a pour m, n IN. O a b signie bdivise a.

3. Donnez la dnition dune relation dquivalence. Dnissez une relation ~sur lensemble IN des entiers suivants :

~a b si est seulement si a b+ est pair. Dmontrez que ~ est une relation dqui-valence sur IN.

4. (a) La relation de congruence modulo n sur lensemble Zdes entiers est dniecomme :

Pour chaque paire x, y Z x est congruent y modulo notxy modn( )

Si ndivise xy.

Dmontrez quil sagit dune relation quivalente.

(b) Dmontrez que la relation ~ dnie sur IN par ( ) ( ), ~ ,a b c d si a + d= b+cest une relation quivalente. O INest lensemble des nombres naturels.


1. (a) Si x,y,z alorsx * y* z( )= x2 y* z( )= x2( )

2y2z= x4y2z.

Etx* y( )*z= x2y * z= x2y( )

2z= x4y2z

alorsx* y*z( )= x * y( )*z

Donc,* est associative.


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Nous avons aussi

x* y= x2y et y* x= y2x

alors x* y y* x

Donc * est non commutative.

(b) Si x,y,z alors

( ) ( ) ( )x y z x yz z x yz z yz z

xyz zx yz z

* * = * + = + + +

= + + +

Et

( ) ( )( )

x y z xy y zxy y z z

xyz yz z

* * = + *= + +

= + +

( ) ( )x y z x y z* * * *

Donc *est non associative.

Nous avons aussi :

x y xy y* = +

et y x yx x* = +

x y y x* *

Donc * est non commutative.

2. (a) Soit:

x y y x* = * et x z z x* = *

nous avons par associativit de *que


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Transitive

Donc ~ est une relation dquivalence.

4. (a) Pour une paire x, yZ nous avons :

(i) ndivise ( )0 modnx x x x = rexive

(ii) Si ndivisexy. Alors, aussi ndiviseyxqui est donc la relation est symtri-que.

(iii) Si ndivisexyet aussiyz. Alors, ndivise aussi ( ) ( ) .x y y z x z + = ce qui est une relation transitive. Donc congruence modulo est une relationdquivalence.

(b) Nous notons que :

(i) puisque a b b a+ = + donc la loi est rexives.

(ii) ( ) ( )

( ) ( )

, ~ ,

, ~ ,

a b c d a d b c

d a c b

c d a b

+ = +

+ = +

Qui est une relation symtrique.

(iii) Maintenant, supposons que (


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Section 3 : valuation des acquis

1. (a) Si Gest un groupe tel que 2a e= pour tous les a Gmontrez que Gest ungroupe ablien.

(b) Si Gest un groupe tel que ( )2 2 2ab a b= pour tous les a,b, G montrez que

G est un groupe ablien.

2. Soit les matrices suivantes :

Vriez quelles forment un groupe multiplicatif.

2. (a) Montrez que si Gest un groupe dordre pair, il y a alors exactement un

nombre impair dlments dordre 2.

(b) Si aet bsont deux lments dun groupe G, montrez que lordre abest gal lordre ba.

3. (a) Si est un isomorphisme dun groupe Gdans un groupeH, prouvez que

( )( )n

a ef = iff na e= .

(b) Prouvez quun group multiplicatif de la nime racine dunit est un groupecyclique dordre n.

4. (a) Si C est ensemble de nombres complexes,

dnissez A = {a+bi; a,b Q}

o 1 .i=

Montrez que A est un sous-anneau de C

(b) Si aet bsont des lments nilpotents dun anneau commutatif, montrez que a +best aussi nilpotent.

Donnez un exemple pour montrer que ce nest pas le cas si lanneau est non com-mutatif.


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Section 3 :valuation des acquis

1 (a) Nous notons que pour tous les ,a b G , nous avons :

2b e= et 2a e=

( )2

.ab e=

Alors,

( )( )

2

2 2

ab a eb

a ab b

a ab ab b

a b ab

eb a e

ba

=

=

=

=

=

=

Par consquent, G est ablien.

(b) Soit

( ) ,2 2 2

.

ab a b

ab ab aa bb

=

=

Appliquant la rgle dannulation pour obtenir .ba ab=

Par consquent, Gest ablien.

2. Si1 0

0 1e

=


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1 0

0 1

1 0

0 1

1 0

0 1

a

b

c

=

=

=

Nous avons :

2 2 2a b c e

ab c ba

bc a cb

ca b ac

= = =

= =

= =

= =

Alors { }, , ,G e a b c= est ferm pour la multiplication. Donc eest lidentit sur Getchaque lment de Gest un inverse de lui-mme.

Nous notons aussi que la matrice de multiplication est associative et par consquentGest un groupe multiplicatif.

3. (a) Supposons que x G nest pas un lment dordre 2. Alors,

2 1x e x x

.

Il appert quil y a un nombre pair dlmentsxtel que 2 .x e Alors, il y a un nombrepair dlmentsxdans Gtel que :

2x e=

Puisque esatisfait aussi 2e e= nous avons donc un nombre impair dlments xdans Gqui sont de lordre 2.

(b) Supposons que pour llment ab dans G ordre .ab m= cest--dire que

( )O .ab m= Alors nous avons : (ba)m = a-1a (ba)m


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2 2cos sin

k ki

n n

+

pour 0,1, 2,..............., 1k n=

ces racines forment un groupe cyclique, dordre de groupe n gnr par

2 2

cos sin .w in n

= +

5. (a) a bi A+ et .c d i A+

Alors( ) ( ) ( ) ( ) .a bi c di a c b d i A+ + = + Et

( )( ) ( ) ( ) .a bi c di ac bd cb bc i A+ + = + +

par consquent, Aest un sous-anneau de lanneau des nombres complexes.

(b) Si 0ma = et 0.nb = posons { }max , .k m n= Alors

( )22 2

1

20.

kk k r r

r

ka b a b

r

=

+ = =

Par consquent, a b+ est aussi nilpotent.

ExemplePrenons une matrice danneau 2 x 2 sur un champF. Si

0 1 0 0.

0 0 1 0a b

= =

Il est clair que cet anneau nest pas commutatif.

Nous avons aussi 2 20 0

0 0a b

= = mais a b+ nest pas nilpotent.


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XVi. rfnc

Un manuel lintention des tudiants du secondaire qui tudient les mathmatiquespar les auteurs des textes Free High School Science , 2005, p. 38-47 (nomdu chier sur le CD: Secondary_School_Maths)

Elements of Abstract and Linear Algebra par E. H. Connell, 1999, Universit de Mia-

mi, p. 1-13 (nom du chier sur CD : Abstract_and_linear_algebra_Connell)Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos publishers

(GB), 2000. (nom du chier sur CD :

Sets_Relations_Functions_Duntsch)Abstract Algebra: The BaSic Graduate Year, par Robert B. Ash (nom du -chier sur le CD: Abstract_Algebra_Ash)


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XVii. autu u mouLauteur de ce module sur les outils et notions de base en mathmatiques sup-rieuresest n en 1953 et il a fait toutes ses tudes au Kenya. Il devient tudiant luniversit de Nairobi en 1974 et il obtient son baccalaurat (matrise) en Sciences(B.Sc.) en 1977. Il a complt sa matrise en Sciences dans le domaine des Math-matiques pures en 1979 et a obtenu son doctorat en Philosophie (Ph. D.) en 1983. Ilsest par la suite spcialis dans le domaine de lanalyse et enseigne, depuis 1980,

luniversit de Nairobi, o il a gravi les chelons pour devenir professeur agrg enMathmatiques pures.

Au cours de ces annes, il a aussi particip des groupes de travail sur le dve-loppement de programmes dapprentissage distance et en libre service pour desprogrammes de Sciences et dArts. Il est aussi lauteur de plusieurs livres portantsur lanalyse relle, la topologie et la thorie des mesures.

Adresse

Prof. Jairus M. KhalagaiSchool of mathematicsUniversity of NairobiP. O. Box 30197 00100Nairobi KENYAEmail: [email protected]


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1

MATHMATIQUES DE BASE

Lectures Obligatoires

Source: Wikipedia.org


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2

Table des matires

Nombre complexe ........................................................................................................................................ 5

Description .............................................................................................................................................. 6

Notations des nombres complexes .................................................................................................... 6

Interprtation gomtrique des oprations ..................................................................................... 9

Construction ........................................................................................................................................... 9

Vecteur du plan euclidien ................................................................................................................ 10

Matrice de similitude ....................................................................................................................... 10

Classe d'quivalence de polynmes ................................................................................................ 11

Structure du corps des complexes ...................................................................................................... 11

Dveloppements en mathmatiques ................................................................................................... 12

Analyse complexe ............................................................................................................................. 12Reprsentations graphiques ............................................................................................................ 12

Dynamique holomorphe .................................................................................................................. 13

quations diffrentielles dans le champ complexe ........................................................................ 13

Analyse de Fourier ........................................................................................................................... 13

Nombres hypercomplexes ................................................................................................................ 13

En topologie ...................................................................................................................................... 13

Emplois en physique et ingnierie ...................................................................................................... 14

Reprsentation des phnomnes priodiques et analyse de Fourier ........................................... 14

Mcanique des fluides dans le plan ................................................................................................ 14

Mcanique quantique ...................................................................................................................... 15

Historique ............................................................................................................................................. 15

Permutation ............................................................................................................................................... 18

Dfinition et exemples .......................................................................................................................... 18

Exemples ........................................................................................................................................... 18

Dnombrement des permutations ................................................................................................... 19Notation des permutations .............................................................................................................. 19

Permutations particulires .............................................................................................................. 20

Proprits algbriques ......................................................................................................................... 21

Composition de permutations ......................................................................................................... 21

Structure de groupe ......................................................................................................................... 21


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3

Dcompositions des permutations ...................................................................................................... 22

Dcomposition en produit de transpositions ................................................................................. 22

Dcomposition en produit de cycles supports disjoints ............................................................. 23

Entier naturel ............................................................................................................................................ 24

Conception ............................................................................................................................................ 25

De l'numration l'abstraction .................................................................................................... 26

Dfinition par les cardinaux ............................................................................................................ 26

Construction par les ordinaux ........................................................................................................ 26

Dsignation ........................................................................................................................................... 27

nonciation ....................................................................................................................................... 27

criture chiffre ............................................................................................................................... 27

Codage ............................................................................................................................................... 27Arithmtique ........................................................................................................................................ 28

Reprsentation des oprations ........................................................................................................ 28

Multiple et diviseur .......................................................................................................................... 28

Nombre premier ............................................................................................................................... 29

Ensemble des entiers naturels ............................................................................................................. 29

Notations ........................................................................................................................................... 29

Proprits .......................................................................................................................................... 29

Axiomatique de Peano ..................................................................................................................... 30

Entier relatif .............................................................................................................................................. 30

Motivation ............................................................................................................................................. 31

Fragments d'histoire ............................................................................................................................ 31

Rgles opratoires ................................................................................................................................ 32

Addition ............................................................................................................................................ 32

Multiplication ................................................................................................................................... 32

Ensemble des entiers ............................................................................................................................ 33

Construction ..................................................................................................................................... 33

Structure ........................................................................................................................................... 33

Extensions ......................................................................................................................................... 34

Congruence sur les entiers ....................................................................................................................... 34

Ide intuitive : arithmtique de l'horloge .................................................................................... 34


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5

Nombre complexeLes nombres complexesforment une extension de l'ensemble desnombres rels.Ils permettentnotamment de dfinir des solutions toutes les quations polynomiales coefficients rels. Les

nombres complexes furent introduits auXVI

e

siclepar les mathmaticiens italiensJrmeCardan,Raphal Bombelli,Nicolo Fontana, dit Tartaglia,etLudovico Ferrari afin d'exprimer lessolutions desquations du troisime degr en toute gnralit par lesformules de Cardan,enutilisant notamment des nombres decarrngatif,ainsi que les solutions des quations duquatrime degr (mthode de Ferrari).

L'ensemble des sommes et produits de nombres rels et dunombre imaginaire i(les nombres dela forme a+ i.b) satisfait les proprits d'une structure decorps commutatif qui contient le corpsdes rels. Il est appel corps des nombres complexeset se note . Il est muni de l'applicationmodule qui gnralise lavaleur absolue des nombres rels mais ne peut pas treordonntotalement de faoncompatible avec sa structure de corps.

Ce n'est qu' partir duXIXesicle que se dveloppe l'aspect gomtrique des nombrescomplexes, vus comme des lments ou destransformations duplan,sous l'impulsion de l'abbBue et deJean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux deGauss et deCauchy.

En algbre, lethorme de d'Alembert-Gauss identifie le degr d'unpolynme complexe non nulau nombre de sesracines comptes avec leurordre de multiplicit.Le corps des nombrescomplexes est doncalgbriquement clos.En analyse, l'exponentielle complexepermet de simplifier l'tude dessries de Fourierpuis dedfinir latransforme de Fourier.La branche de l'analyse complexe concerne l'tude desfonctionsdrivables au sens complexe, appeles fonctionsholomorphes.

En physique, les nombres complexes sont utiliss pour dcrire le comportement d 'oscillateurslectriques ou les phnomnes ondulatoires enlectromagntisme (Re(eit) reprsentant uneonde).

L'ensemble de Mandelbrot (en noir), illustration d'un systme dynamique sur le plan complexe
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_r%C3%A9elshttp://fr.wikipedia.org/wiki/XVIe_si%C3%A8clehttp://fr.wikipedia.org/wiki/XVIe_si%C3%A8clehttp://fr.wikipedia.org/wiki/XVIe_si%C3%A8clehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardanohttp://fr.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardanohttp://fr.wikipedia.org/wiki/Rapha%C3%ABl_Bombellihttp://fr.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Fontana_Tartagliahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Ludovico_Ferrarihttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_cubiquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_de_Cardanhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_%28alg%C3%A8bre%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_n%C3%A9gatifhttp://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ferrarihttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_imaginairehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Module_d%27un_nombre_complexehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absoluehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_ordonn%C3%A9http://fr.wikipedia.org/wiki/XIXe_si%C3%A8clehttp://fr.wikipedia.org/wiki/XIXe_si%C3%A8clehttp://fr.wikipedia.org/wiki/XIXe_si%C3%A8clehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_g%C3%A9om%C3%A9triquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Robert_Argandhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchyhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_d%27Alembert-Gausshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_formelhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_polyn%C3%B4me#Ordre_de_multiplicit.C3.A9_d.27une_racinehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%B4ture_alg%C3%A9briquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle#Fonction_exponentielle_dans_le_plan_complexehttp://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourierhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Transform%C3%A9e_de_Fourierhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_complexehttp://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9ehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Circuit_RLChttp://fr.wikipedia.org/wiki/Circuit_RLChttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lectromagn%C3%A9tismehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Mandelbrothttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Mandelbrothttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lectromagn%C3%A9tismehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Circuit_RLChttp://fr.wikipedia.org/wiki/Circuit_RLChttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphehttp://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9ehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_complexehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Transform%C3%A9e_de_Fourierhttp://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourierhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle#Fonction_exponentielle_dans_le_plan_complexehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%B4ture_alg%C3%A9briquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_polyn%C3%B4me#Ordre_de_multiplicit.C3.A9_d.27une_racinehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_formelhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_d%27Alembert-Gausshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchyhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Robert_Argandhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_g%C3%A9om%C3%A9triquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/XIXe_si%C3%A8clehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_ordonn%C3%A9http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_absoluehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Module_d%27un_nombre_complexehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_imaginairehttp://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ferrarihttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_n%C3%A9gatifhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_%28alg%C3%A8bre%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_de_Cardanhttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_cubiquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Ludovico_Ferrarihttp://fr.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Fontana_Tartagliahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Rapha%C3%ABl_Bombellihttp://fr.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardanohttp://fr.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardanohttp://fr.wikipedia.org/wiki/XVIe_si%C3%A8clehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_r%C3%A9els


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6

Description []

Reprsentation d'un nombre complexe dans l'espace deux dimensions [en rouge], sous formecartsienne [en bleu] (avec deuxnombres rels)et sous forme polaire [en vert] (avec unelongueur et un angle).

Notations des nombres complexes []

Les nombres complexes, nots habituellementz, peuvent ainsi tre prsents de plusieurs

manires :

forme cartsienne,o algbrique :

o ou vectorielle : forme en coordonnes polaires :

o gomtrique

o ou vectorielle :

o ou trigonomtrique :

Forme cartsienne []

Forme cartsienne d'un nombre complexe

Un nombre complexe se prsente en gnral encoordonnes cartsiennes,comme une somme, o aet bsont desnombres rels quelconques et (lunit imaginaire)est un nombre

particulier tel que .
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_r%C3%A9elshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9sienneshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_r%C3%A9elshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginairehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginairehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Complex_number_illustration.svghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Complex_number_illustration.svghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Un_nombre_complexe.pnghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Un_nombre_complexe.pnghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginairehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_r%C3%A9elshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9sienneshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_r%C3%A9els


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8

Plan complexe []

Reprsentation gomtrique d'un nombre complexe

Dans unplan affine muni d'unrepre orthonorm , l'imaged'un nombre complexe

est le pointMde coordonnes (a,b), son image vectorielleest le vecteur . Le

nombrezest appel affixedu pointMou du vecteur (affixe est fminin : une affixe).

Le module est alors lalongueur du segment .Sizest diffrent de 0, son image est distincte de l'origine Odu repre. On appelle alors

argumentdezet on note n'importe quelle mesure de l'angle , bien dfinie un multiple de 2 prs.

Par exemple, les rels strictement positifs ont un argument multiple de 2, les rels strictementngatifs ont pour argument un multiple impair de .

Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru ou modulo 2, selon le signe deleur partie imaginaire.

Le plan , muni de son repre orthonorm et des actions des nombres complexes par addition etmultiplication, est appel plan complexe. Puisque tous les plans complexes sontcanoniquementisomorphes,on parle du plan complexe sans prciser davantage.

Coordonnes polaires []

Le module et l'argument d'un nombre complexe correspondent auxcoordonnes polaires (r,) de

son image dans le plan complexe. En crivant les coordonnes cartsiennes partir descoordonnes polaires, tout nombre complexe non nul peut donc s'crire sous une forme

trigonomtrique avec .

Laformule d'Euler permet de compacter cette criture sous uneforme exponentielle .

Le conjugu s'crit alors simplement .
http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_affinehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Rep%C3%A8re_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Longueurhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Anglehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Canoniquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphismehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaireshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Eulerhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Complex_number.svghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Complex_number.svghttp://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Eulerhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaireshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphismehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Canoniquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Anglehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Longueurhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Rep%C3%A8re_%28math%C3%A9matiques%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_affine


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9

Cette criture est en outre adapte au calcul du produit de deux nombres complexes du fait desproprits multiplicatives de la fonctionexponentielle :

,

.

Interprtation gomtrique des oprations []

Soitzetz'deux nombres complexes d'images respectivesMetM'.

L'image de la somme est dfinie par la relation .L'action d'un nombre complexe par addition s'interprte gomtriquement comme unetranslation selon le vecteur image.

Soit un nombre rel, l'imageM1du produit est dfini par la relation.

L'action du nombre rel par multiplication scalaire s'interprte gomtriquementcomme unehomothtie de centre Oet de rapport sur le plan complexe.

Sizest de module 1 et d'argument , l'image du produit est dfinie par les

relations de longueurs et d'angles .L'action d'un nombre complexe de module 1 par multiplication s'interprtegomtriquement comme unerotation de centre l'origine et d'angle l'argument.

Par composition d'une homothtie et d'une rotation, l'action d'un nombre complexe znonnul par multiplication s'interprte gomtriquement comme unesimilitude directe de

centre l'origine, de rapport et d'angle . L'image du conjugu de est lesymtrique deMpar rapport l'axe des abscisses.

L'image de l'inverse de est l'image deMpar l'inversionpar rapport au cercle unit,compose avec la symtrie par rapport l'axe des abscisses.

Construction []

Article dtaill :Construction des nombres complexes.

Il existe plusieurs manires courantes de construire le corps des nombres complexes partir del'ensemble des nombres rels et de ses oprations arithmtiques lmentaires. Outre que lesobjets ainsi dfinis sont tousisomorphes,les constructions prsentes ci-aprs mettent en lumiretrois caractristiques importantes :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentiellehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Translation_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Homoth%C3%A9tiehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_planehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Similitude_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_%28transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Inversion_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_complexeshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphismehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphismehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_complexeshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Inversion_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_%28transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Similitude_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_planehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Homoth%C3%A9tiehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Translation_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle


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1. Le corps des rels est claireme

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Notions de Base en Mathematiques Superieures

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