+ All Categories
Home > Documents > Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

Date post: 11-Feb-2017
Category:
Upload: hoangkien
View: 221 times
Download: 2 times
Share this document with a friend
173
Transcript
Page 1: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�������������� ��������������������! "�#��$% !&%�'�( ��) "���*���*+�,!���-�. " !&!���-�0/%12 ��3�� �/!+4�5��67�� �/%���/�89�0 :6���; <=�?>A@)����0�-���- B�,?>?�C�� �/%�0&%�0��;%D)$FE GHE-;�I��� :6./KJ5/%�0L����M���*��>�;? NO>QP�R�R�S

T $%���.6� ���UWV%���X�Y��/B���7/?�%�C�����0���Z�C�#��$% !&%�7�( ��.��$%�A���0�[�%��:���- �/Q ��\�5 �/!+]����67�� �/��0�/_^����0&%���-/K��$��[# �/����-/%+�%�%�`��=6����0�)��=��$����C�X�Y B��� �V%��[�0��L����aE T $%���( ��������2�0�b�M$%�-��L��X&c6.�-��$dG5�0������A�5�%�C�����0���e,?�0�[�%��:���- �/fhg9ikj�l �YVm��#���M��en3oMpd�C�#��$% !&%��;96.$%�0�0�C��$%�q��:�������A���CV%�0 :>!�=��$%�_Gr�������-V�:���0L��qD���Y���0��-�CGr>B/���C�0�� fhg9s%gkl���XM$%/%��tB�%��EuD)$?>!�Y���������X�Y���*�M�A����q����Y uV%��������/B����&v��Au�C ����0LO����0 �/w�( ���"#�0����b�%/�&!�����Y���/�&!�0/%1" ��7��$���%/�&%�����->?�0/%1C/B�������������F�V%V��� B�M$%�X��E

T $%�b�W���� B��� �V%��=�Y�0�[�%��:���- �/��7���CV%�0 :>W��6� W/% �/%+4�5��67�� �/%���/K�� !&!���0��;%/���C���0>q��$��Ax.���0/%����+]x.�-L?�0�-/ fhyZyZl�/�&q��$%�bL?�0��# ?������Y����bz?{ i {?| s �C !&!���hE

} �~��V��X��������L?����� ����*��>C�C�#��$% !&_&!����/%��&_�?>C��6� HV���M��C�#�����M���!��������������&W�� H�Y����%�-�0�0���r��$%�bz?{ i {?| s# �/%�( ����C����0 �/b����/��� ��\�%E)�� �/?L�����1���/�#�e�Y����&%�-�X������eV%��������/B���X&2�( ���&!�-�3������/B�)# ��H�%�0/�:���- �/��k ��%��$������V���M��C�#�����M��E T 6� ��m ���/�&%���>q# �/�&!�-���0 �/����( ��.��$��2����/��Y ��7�W����b��0�� H�0/?L��X�����-1B:���X&ZE

} ��1��������C��/B�[�����M$%�0��L��X&v6.�*��$� ���$%���[6� ���U?�A�( ��W,B�� �U��X�b^� :6� ��5"��6� �+]&!�-�C��/��Y�0 �/�����>?�-�0/�&!���H�0/cM$��/�/%���aEv�� ���V�����0�� �/d ��.��$%�u:�!����e/� ����C����Y���������[�/�&�&!�M�1N� ?�#�q#�0��/B�H �/d��$��Q#>?�0�-/�&!�����0�V%���X�Y��/B����&FE�8��%����$%����;����-�C�0�0��_�������%�-���W�(�� ����%/��Y���X�&!>���6� �+H�/�&���$%������+4&%�-�C��/��Y�0 �/�������%�����%�-��/B�^� :6���V���Y�5H^�:�.V%��:���b�-/"CM$��/�/%���F����b��$% :6./FE

} T $%� yZy V��� ��%�-�������2�( ����[�%��:����&��( ��b/�������0>c�-/�# ��CV%���������-�%�0��^� :6���;k6.�-��$w��$%�_�-/B���� !&!��#���0 �/v ��7�C���$%���W:�������-�0>C��tB�%�0L:��0��/B������/��� ����( ����H�%�0����0 �/FE\���YVm��#���M��3L?�0��# B�Y�-��>C������$% !&K�/�&_V� ��->?/% ��C�0�� :L�����+4�-/B����1��M:���- �/w����K������&!�0��&ZE��� �/BL�����1���/�#�q�Y����&%�-�X��;)�0/���-��&%�-/%1vN��$%������+4&!�0�C��/����0 �/����M$��/%/%���^� :6~6.�-��$cqV���M��0�-���F�Y�0 ��X;��0/?L����Y���01�����b/?�%�C���������kV%�� ��%�0���W��������Y�0/%1C�(�� ������-���C��/B����k�m ��%/�&�����-�X��/�&K�Y$����VK� ���/%���M��E

} T $%�)�� ��%/�&2$� ��0�eV%�������Y������V%�� ����-���~���kV����X�Y��/�����&=�( ��9����67�� �/%�0�/A�/�& yZy ^��%��&%�F�0/A1��� ��C�#�����0���k6.�*��$&!�*�3������/B�F$% ��-���Y�0���X��E'�� ��CV�����0�� �/26.�-��$b���?Vm�����0����/B�����&%:�M7�0�k�C�&!���( ��Z��$%������67�� �/%���/A������E T $��^�O6��0/q��$��=���!V������0�C��/B����F����Y�%�CV!���- �/��� ��9��/�&!�������%���m��&QV%�������Y�����r �V%Vm ����*���=��$%�2$% ��-�=�0�7����L�����-�X&Z;6.$%�-�0��1� ? !&A�1��������C��/B�96.�-��$[��$%�.&%���5�0�\��$% :6./FE T $����5�-1B���$%�*�M�/%�-+]D)���*�MM$���M&=UB�0/%���C�����������$%�� ���>�( �� yZy ^��%��&%�)��������� :L�������&A�( ��)�� ���/�&�$% ��0���)�/�&W�/W�V%V%�� O�?�0�W:�����( ����H�%��5�( �����$�� yZy ,B�� �U����\$� ��0�V%���X�����%���r���7V%��������/B���X&ZE

T $%�7�C���� ���# �V%�0����-�H�%�0����0 �/���������%�C�7���X�&?+]��V%���0/%1=����V%��������/B������0 �/��9 ��3V� ��->?�C���)M$���0/��\�/�&H�-/?L����Y���01�:���&!�-�m������/B�\�0/B����1��M:���0/%12��M$����C���\ �����$�� gks%g ��tB������0 �/��\�/�&C&!�*�3������/B���0/������+aVm ��0>?�C���'�( ��M#�7# ��[�%�0/�:���- �/���E

} ��/% :L����?����C�-�0>� ��m���0����+4�Y���1�1�������&A�0/B����1��M:�� ����'����V%��������/B���X&Z;��M�U?�0/%1b�&!L:�/B�M�1��7 �����$%�.���0�C�#+]�����0�&!�0��V�����-��>c�m�#��6�����/wVm ��0>B�C���Y+]�Y ��-L���/B�b�/�&v�� ��0L���/B��+4�� ��0L���/��=�-/B�����M�����- �/���EQ�� �/?L�����1���/���[�����Y���2�( �������0��!����0 �/QV���M��C�#�����M�)�( ��7��$%�bL����0 !#�-��>�+4@������0�#���/�&K�F :6���� �7��M$����C���.����2V%��������/B���X&ZE

}�� ����C�0�-U��qM$���0/��[���0�[�%��:���-/%1N�k� gkiF� �� ��-�X#�%�0���H�Y���! ���#�[�� �# �/����M�/B�[�Y$�����H����_������&!�0��&Z;��/�&&!�-����#��# ��CV�����0�� �/C6.�-��$_I��� :6./%���/CG5>?/����������/�&C�#�!V������0�C��/B������������%�-���)���)�W�&!��E T $%�����m�X��� ����$%�=/?�%�[�m���. ��k���X�&%��Vm���.M$���-/Q�0�7���!��C�-/%�X&W��$%�� ��%1�$_��$%�=�#�?����/����- �/Q��!�� !# ���������:���- �/C�(�%/�#���0 �/FE

} T $%�r,!M$%�C��&?��/?�%�H����� fa¡�¢�l �( ��e�X�M$W/?�%�C���������m��M$����C�����)�0/BL����Y���01������&W�/�&���$��r&!��V���/�&!��/�#�5 �/��$%�b��M$%���C��� ��V���M��C�������M���0�.��$% :6./FE�x.��+aL?���Y�-���0/%1H��$%�b6� ����C�-�0U��=M$���0/KV%�� ��%�0�����%/�&%������$%�����;?6�����X# :L�������m�#�������r�1��������C��/B��6.�-��$K��$%�b�#�!Vm�����-�C��/B�M��F&%���H��$%�� ���1�$KV%�� �V������&O �����������/B�� �� ¡)¢ E

Page 2: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

������������ ���� ����������������� � ���!�"$#&%'�� ��(�)� �����*�+�,�-.�/�

�0�1,'#2�0��34�"��,�( �,657�(�839�

�?>

@)��Y�0�0���0 ��.,?>?�C�� �/��0&!���

,%�E dE%�0/K�5V%V%�0�-�X&" c:��$%���W:���0���;%I��� :6./QJ5/%�-L����M�Y�-��>�;�P�R�R;: �E c���$FE��0/" c:��$%���W��������;%J�/%�0L��������*��>_ ���<5�?�( ���&Z;=:?>@>A>

T $%�������

,?���%�C�*������&u�0/KV����������3�(�%�-���0�-�C��/��r ��k��$%�b����tB�%�0��������/B�����( ����$%�AGr��1������= ��'Gr !��� ��. ���D)$%�0�0 ��� �V%$?>

�-/K��$��AG5�0L?�0���- �/Q ��\�5V%V%�0�-�X&u c:��$%���W:���0��.:�5I��� :6./QJ�/��-L����M�Y�-��>

cO>_P�R�R�S

Page 3: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �� �V?>?���01�$B�

�?>

@)��Y�0�0���0 ��.,?>?�C�� �/��0&!���

P�R�R�S

Page 4: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

T $%����&!�����Y���Y�M:���0 �/Q�?>_@)����0�-���- B�7,!>B�C�� �/%��&!���.�0�.�����V!����&Q�-/u�-���.V%��������/B�7�( ���� �?>��$%�AGr�-L?���Y�0 �/K �����V%V��-�0��&u c���$%���C�������.��.����������(>?�0/%1���$%�

&%�0���Y���Y�M:���- �/Q����tB�%�0�����C��/B���( ��7��$%�A&%��1������2 ��Gr ?#�� ��. ��'De$%�0�- B�Y �V%$?>

G=:���D)�� ��(�X���� ����=�� ���1����e���b���/%���&%�U?�0��;BGr�0���X��� ��

G=:���D)�� ��(�X���� ��7I�������[�����6����-�a;��� �+]G5�0���X��� ��

x���# ��C����/�&!�X&_�� ���$%���=�M�&!��:���[�� ��%/�#�0�

G=:���De�� ��(�����Y ���x. ������Y�5�[E�D\����# :L?�-����;!G5����������������0 �/ux.���&!���

G=:���De�� ��(�����Y ���x� ��m��������E <r6���/���;%Gr����������������0 �/ux.���&!���

��V%V%�� :L��X&_�?>W��$%���=�M�&!������[�� ���/�#�0�

G=:���,?$%���-��CI� �/�&!�Gr���/u ��k��$����=���&!��:���A,!M$% ? ��

�0�

Page 5: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

T $%�b@r�*�M� ��\@)����-�0���0 ��.,?>?�C�� �/%�0&%�0�

@)����0�-���- B�[,?>?�C�� �/��0&!���A67��A�� ���/d �/��� :L����[�m����>����%; :+>���S%;9�-/�����$%��/���; �=���������Eu���Q1��M�&!������X&c�(�� ��

����$���/��H�� ��-�0��1�� f ��$%�_�����-�0��/��0#+4�5����������/ ��&!���:���0 �/���)8% ��%/�&%����0 �/ l 6.�*��$vu$��-1�$!+4��M$% ? ��)&%�-V%�0 ��Wu�0/

:+>A>��%E\�5�bV%�%�M�Y����&K$%���.�%/�&!����1����&!������2��&!���:���- �/K��.��$%�AJ5/%�0L����M���*��>q ��<5�?�( ���&Z;�J�/%�-���X& �2�0/%1B&! ��u;���

b�C���H�����e ��F,?��E �� �$%/F� ���� ��0�0��1���E'�rOL?�-/%12�(���*���0�0��&C��$%�5D����� f :?>@>�� l �/�&WD���Y� f :+>A>@> l ���Xt����-�����C��/B�M�

��r��$%�K��/���.$% �/% ��W��M$% ? ��a;e$%�u�����/���&�v dE c���$FE��-/ c���$%���W:������C�0/ :+>@>A>%E�]/ �5�%1����Y��:+>A>@>c$��

 � ��0/%�X&K��$%��G5�0L?�0���- �/" ��)��V�V%�-�0��&N c:��$%���W:���0��5��rI��� :6./"J�/��-L����M�Y�-��>�E.���[�����/%�X&"q,!�E dEm�-/c�5V%V%�0�-�X&

c���$%���C�������7�0/cP�R�R;:�E

�����������������

D)$kE GHE-;�I��� :6./QJ5/%�0L����M���*��>�;%JAE ,3E �[E-;3P�R�R��

,!�E dE0;�I��� :6./QJ�/��-L����M�Y�-��>�;%J[E ,3E �AE0;mP�R�R;:

dE c:��$FE0;�J�/%�0L��������-��>q ��<5�B�( ���&F;%JAE �CE-;&:?>@>A>

"! �$#%��&��'���)(*��&��������+�,������&

} �2����/u8%���-�0 :6���$%�-Vk;%I��� :6./QJ5/%�0L����M���*��>�;�,?���C���Y�����-�;�P�R�R�.�+]P�R�R��

} T $%�A,B�����-��WGr��(�����C ��.��67��M&Z;!Gr�-L?���Y�0 �/u �����V�V%�-�0��&u c���$%���W:�������;%I��� :6./KJ�/%�0L��������-��>�;�P�R�R��

} G5�������-/�����0 �/��0/�I����-������$ ��E �rE �5E\��+4�k��L����7�#�%��C�0/�:���- �/��H6.�*��$���6� ���V��X#����7V��V��������0/��&!L:�/����&

�C���$%���W:������.�/�&QV%$?>?�������;=:+>@>�.

/0�$�21����

��E ��E �b���/%���&%�U?�0��; �CEOI������%����;:@HE�,?>?�C�� �/%�0&%�0��;-3�46587:9<;>=@?BA�=C?ED�D<?BF ?�7HG2IKJL;BF�F 5E=BG<M8N:A�OP7QG,F8R8G,ST5LA%7�=BFU?8O�V�;

JAE ,3E�D������/���S�; ��P�R%; .���� f 8����%�������> :W�%;�P�R�R�X l E

�0�-�

Page 6: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

/01K1K#���� 1�� � 1 ! 1 ��� � � #<����@/ ���� �����$��� ����&

:�E.@[EX,!>B�C�� �/%��&!����; ��E �5E �b���/%���&��U?�0��;�I=EO����Y6����0�a; 3� %N��@G,ST?B7QN�;BA ; J\��� D�9�?>O�5������ N:A��@N�MLF ;WME9�?BA%A+58S I

G2IEN:A2O��CN IEIEN D<?B7QN��B5��-?BF 7QN�MLS 5����BA+?�� N�MLI�V�;BI��%�-�0�#���-/C �����$���D\ ��0�0��$��r��&!���H>b ��F,!#�0��/����� f �����V!����&Z;

P�R�R�� l E

P%E.@[E:,?>?���� �/%��&!����; ��E ��E �b���/%���&%�U?�0��; 3 � JL?!�@N:S"�C; J 7QN�� 5#� I 7 ?>O>O�58F 5E=�ILME9�5#� 5 I JL;BF N:A<7 5 O�FU?B7QN:A�O�9$��RLF N�=

���%�&� ;>=�5LS I$JL;BF'D<;BS'�!� 58FEI#(���S O�;BF N:7 9�� I ?�A+=@?UD�D�S N�ME?B7QN�;BA<I�V#;��� ��%��/���! ��9�� ��CV%�!�M:���0 �/���%D)$?>!���0��

f ���%�%�C�*�����X&Z;�P�R�R�� l E

X�E.@[E�,?>?�C�� �/%�0&%�0��;%I=E������6����-�a; 3*)�9�5,+ N��@N:7QN:A�O.-C;BS 5�� F 5LIEI G,F 5PN:A/)�9,F 5E5��CN�� 58A�I N�;�A�I�V�;%�� ��%��/���m ��

�� �/%+4�5��67�� �/%���/u89�0�%��&u "��M$��/%���� f ���%�%�C�-�Y����&Z;�P�R�R�� l E

.�E.@[EZ,?>?���� �/%��&!����; ��E ��E �b���/%�0�&%�U?����;�IrEF�����6����0�h;@30�CN IEI N D�?�7HN��B5��-?�F 7HN�M8ST51���BA+?�� N�MLI� +N�� G,ST?�7HN�;�A�I

; J��-;BS'�!� 58F32 9�?�N:A�I#(� �ME?BS N:A2O.+�?!4 I ?BA�=� �9�5E?BF N:A2O65�5 IQD<;BA�I8532';�� D<?BFU5U= 7 ;������87%9LD�58F N�� 58A<7HI�V�;

@5�0�Y������K�� ��%��/���m ��\I��0 ��0 �1��0���3D)$?>!�Y����.x.�X�Y�X��MM$F;?L3E :XR%;!�������%� . f :W���5�%1����Y�rP�R�R�� l E

�%E.@[EZ,?>?���� �/%��&!����; ��E ��E �b���/%�0�&%�U?����;�IrEF�����6����0�h;@30�CN IEI N D�?�7HN��B5��-?�F 7HN�M8ST51���BA+?�� N�MLI� +N�� G,ST?�7HN�;�A�I

; J��-;BS'�!� 58F32 9�?�N:A�I#(� �ME?BS N:A2O.+�?!4 I ?BA�=� �9�5E?BF N:A2O65�5 IQD<;BA�I8532';�� D<?BFU5U= 7 ;������87%9LD�58F N�� 58A<7HI�V�;

D)$?>!�Y�����3x���L?�-��6~�k�#�Y�����M��;!L3E >��%;!�0���Y��� �!;!VFEeR2�:S�R�R : f :XP�����1����Y�rP�R�R�� l E

S�E.@[E�,?>?�C�� �/��0&!����; ��E ��E �b���/%���&��U?�0��;OIrE������6����0�h; 3 � IL5E?�� ST5LIEI-?ED�D�F ;>?�MU9 7 ;:� G,S 7QN I8ME?BST5 I N��@G,ST?B7QN�;BA

; J ME;�� D�ST5;93< G,N�=BI�V�; � � � �� ��CV%�%���0/%1N�0/�,!��-��/�#�K�/�& �e/%1��0/%�������0/%1�;9L3E �?;��������%� X�;'V�VFE XA>:+ .�S

f cO>>=B���%/%�bP�R�R�� l E

�!E@?[E� c%;�@[Ee,?>?�C�� �/%��&!�0�C�/�& ��E ��E �b���/%���&��U?�0��;03�� IQD<5EML7QF ?BSA�B?BA%N I�9,N:A�OB�>N I8ME; I N:7C�D� 587:9<;>= JL;�F

IE7 ?�R8N:S NFE8N:A�OB�>N I8ME;W5LST?BI 7HN�M6<-;!4 I�V�; �� ��%��/���� ��r/� �/!+]����67�� �/��0�/�8'�-�%��&� "��M$��/%�����;)L3E :A:W�!;�V�VFE :OP��:+

:W��� f P�R�R�X l E

��EAGHE%Gr�F;%@[Em,?>?���� �/%��&!����; ��E �5E �b���/%�0�&%�U?����; 3�� F ?>O F 5E=�G<ML7QN�;BA N:AH4�?BS:S"��RE;�G,A+=�5E= 7HG,F8R8G,ST58A+ME5:�WN�? ?

7HF ?�A�I*�B5LFEI85P7QF ?�� 58S N:A�OI4�?�� 52V�;%�� ��%��/���3 ���8'�-�%��&u "��M$��/%�����;!L3E .2���?;?V%VkE :�+ X�. f P�R�RBP l E

�0L

Page 7: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �����E1K#�1 ����1 / #�1 &�1 � �,�$�,������&

:�E :8.��H� ]/B������/�:���0 �/��� � ���U?��$% �V� �/v�5�%�C�����0���e c�#��$� ?&��2�( ��A/� �/!+]����67�� �/��0�/w8'�0 :6���; 3*)�9�5 9<;BST5

D+F 5LIEIEG,FU5PN:A�� =BN�� 5LA<I N�;BA�I�V f ���%/%� :XP:+ : �!;%,!�/B�M�8���;��r d;�P�R�R�� l E

P%E :8.��H�-]/�������/�:���- �/��� � ���U?��$% �VA �/[�5�%�C�����0���! "����$% !&%�9�( ��'/% �/!+4�5��67�� �/%���/[8'�0 :6���; 3� �ME?BS N:A�OPS ?!4 I

JL;BF D<;BS"�!� 5LFEI G2I N:A2O3� 5 I8;BILME;ED+N�MCI N�� G,ST?�7HN�;�A�I�V f ���%/�� :XPO+$:W�%;?,%�/B��C8%��;��5 �;�P�R�R�� l E

X�E��:SB�H�[��/%/?����Z "�������0/%1H ��F��$��b,! ?��-����>W ��9x�$%�� ��- �1�>�; 3� %ST;�4 <-;�4 9<;BST5-D+F 5LIEI G,F 5'JL;BFC?@7QG<RE5 ;BA ;BA+5

4�?BS:S$;�J ? D�ST?BA�5@ME9�?�A<A�5LSQV f 8%���%�������> :>X�+ :B�?;!P�R�R��!;!�k�%�%�m ?MU3; T ?H;�P�R�R�� l E

.�E��:SB�H����/%/?����B "���#���-/%1r ��!��$%��,? !��-����>= ���x.$%�� ��0 �1�>�; 3 MU?�S N:A�OPST?!4 I JL;BF D�;�S"�!� 5LFEI G2I N:A�O,� 5 I8;BILME;ED+N�M

IEN��@G,ST?�7HN�;�A�I�V f 8����%�������>�:WX:+$: �?;%P�R�R��%;!�F�%�%�m !MU3; T ?[;�P�R�R�� l E

�%E����C�����0��/ ]/��Y���-���!���b �����$����C�0��� �e/%1��0/%��������; 3*)�9<5 9<;BST5-D+FU5 IEI G,F 5@=BG<5P7 ; ? 7HG<RE5 ;BA ;�A+5�4�?BS:S$;�J

? D+S ?BA+5@ME9�?BA%A+58SQV f ��/%/?����F "�������0/%1�;��� :L����[�m�����X+$:XP%;!�����Y���0/F; T ?H;�P�R�R�. l E

S�E T �M�/���Vm ����5D)$%��/% ��C��/�C�-/N c�0��� _�/�&"�5�/% �+]&!��LB��#�X��; 3 +7 ;WME9�? I 7QN�M 4 � IEN��@G,ST?�7HN�;�A�I@;�J ME;!��D+ST5 9

< G,N�=BI N:A � N�M8F ;W=�;�� ?�N:A�I�V f <=��� �������: �O+]P :�; �2 �/�W�� �����X;,��Y���/�&_ ��\�rO6���-�a;!� �;�P�R�R�. l E

�!E :>XB�H� ]/B������/�:���- �/���.�� �/!�(������/�#�q �/d��$��KGr�0��#���#���Q,?�0�[�%��:���- �/� ��58'�0�%��&�Gr>B/���C�0���;�3� %7 ;WMU9<? I 7HN�M

43� I N��@G,ST?B7QN�;BA<I ; J MU;�� D�ST5 9@< G,N�= I N:A � N�M8F ;W=�;�� ?�N:A�I�V f ���%1����Y�*:�S�+]P�R%;B����[�%���0&%1���;� c�A;!P�R�R�. l E

��E�S ��� ]/B������/�:���- �/������ �/!�(������/�#� <r/�,!V��X����M��.�/�&��5�-1�$ <r�M&!���C "�#��$% !&%� f ���<2,!�r� <= l P�R�R�.�;

3 +7 ?�RLN:S NFEW?�7HN�;�A3� 587 9�;W= I JL;BF A+;�A>� �C5#4'7 ;BA<N�?�A � ;W=�58S I N:A ME;!��D+ST5 9 O�5E;!� 587HF N�5LI�V f ����/%��P :#+�P��!;OD)�� :LB+

�0&!��/�#��;%x-�;�P�R�R�. l E

>�E��W���NJ[E ,ZE\�r:���- �/������ �/%1����X���[ �/��� ��CV%�!������0 �/���� c��M$��/%�0���;�3 � IQD�5EM87HF ?�S �B?BA%N I 92N:A�OB�>N I8ME; I N:7C�

� 587:9<;>=�JL;BFPI 7 ?�R8N:S NFE8N:A�OI�WN ILME;W5LS ? I 7HN�M�<-;!4 I�V f �����->uP��:+ X�R�;B�5�-����tB�%���MtB�%��;��r d;�P�R�R�X l E

:�R�E :>XB�H� ]/B������/�:���0 �/��� � ���U!�Y$% �Vu �/c���������������k "����$% !&%���( ��5/� �/!+]����67�� �/��0�/u8'�0 :6���;C3�� IQD�5EM87HF ?�S

� ?�A<N I 92N:A2O �WN I8ME; I N:7�� � 587 9�;W= JL;�F�I 7 ?�RLN:S NFE8N:A2O/�>N I8ME;>58ST?BIE7QN�M�<-;!4 I�V f ����/%� .�+��?;���De8\� �k������/%/%��;

,?6.�*�����������/�&F;�P�R�R�X l E

:@:�E ��� �H����/%/?����b "�������0/%1�;2G5�0L?�0���0 �/ ��H8'�-���0&�G5>?/���C�0���;2���C��������/�D)$?>!�Y�����2,! ?��-����>�; 3�� A+5#4

� 587:9<;>=�JL;BFPI 7 ?�R8N:S NFE8N:A�O A+;�A>� � 5 4'7 ;BA%N�?BA�<-;!4 I�V f �� :L����[�m���5P�.�+�P�S�;BG=��0�0���; T ?H;�P�R�R�P l E

L

Page 8: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:XP%E ��X����_��/%/?����) "�������0/%1�;FGr�0LB�����- �/� ���8'�-�%��&wG5>?/���������;k�5����������/�De$B>!���0����,? !#�0�#��>�; 3*)�G,F8RLG,S 5LA%7

=BF ?>O F 5E=�G<ML7QN�;BA R � 7QF ?!�B58S N:A�O 4�?!�B5 I�V f �� :L����H����� :?>:+�P :�; � ���$%�0/%1��� �/F;%Gb�r;�P�R�R�R l E

� 1�� � � � #�� �%�

:�E T �XM$%/%����M$%�)J5/%�0L����M���*���O�'Gr���X��&%��/F;�����/B�����Z�( ��9���01�$HD\�����( ����C�/�#�e�� ���V��!���0/%1�= ]/����XEk ��%�5LB��:���- �/

�/�&��5�Y���� �/���!������ T ��M$%/� ��0 �1�>�;-3�7 ST5EML7QF ;!� ?8O�A+587QN�M 7QG,F8RLG,S 5LA�MU5�ME;BA<7QF ;�S�G2I N:A�OP7QF ?�� 58S N:A�O64�?�� 5LI�?BA+=

; I8MLN:S:S ?B7QN�;BA�I�V f ���%/%� :�R�;%G5������&!��/F; �=�����W�/?>�;�P�R�R�X l E

�@#��'�������� �� �#� &�������& �2�,1 ����1 �

:�E�D)�-�Y�����%�%��1�$�,?�%Vm���M# ���V��!���0/%1�����/B������;"30� 5 4 465L7 9�;W= I JL;BF �@5 �B5LS ;UD+N:A2O/� 5L7 ?!� I8ME?BST?�RLS 5 2;>=�5 I�V

f cO> X�+Q.�;!D)�-�Y�����%�%��1�$k;%DZ�A;�P�R�R�. l E

P%E�D\ ��0/���6.������;2]/��;P3�� F N�=8O�5LA�� I858F�� FU;BGWD 4 5E587HN:A2O+V f ��V%���0���O+]S%;%8� ���� � �����$k; T ?[;�P�R�R�. l E

L?�

Page 9: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

T ��H>qV������/��M��;��H�������� �/�& � �� ��� � ��� ;

�H>_���0�Y������;������ ��� ���� ;

�/�&_�H>_1����/�&!�C ���$%���X;����� � E

L?�-�

Page 10: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ������������ ������������

4�[���["1����X:�AV%�0����Y�������( ��H�C�W�� c�m��1��-/v��$%���[��$% ����AV������� �/���)V%���#���#�q�?>N��$��/%U?�-/%1N�[>wV%���0�W���>N&!����+

��������:���- �/��Y��V�����L?���Y ���; �=�� ���1�� �b���/%���&%�U?�0��E �=�� ���1��q$���[V%�� :LB��&!�X&d�C�_6.�-��$�� �/��Y���/B�[$%���0VF;e�&!L?�0��

�/�&"�C ����0L::���- �/N&!�%���-/�1_�[>u1����&!��:���A������&!��/��2�0�*�(�H$%�����H��=I��� :6./kE 7�(�����'V����0L?�-�0��1���&K�( ��=�m���0/%1_1��-L���/

��$��b �V%Vm ������%/��*��>W�� C6� ���Uq�/�&_�0/B���������76.�*��$K$��-� �/�&Q$%���7���X�Y�X��MM$q1��� ��%Vk;%�/�&Q1���-/K[�(�M�#���0 �/K ��'$%�0�

�������C��/�&! ����2�-/����01�$B�=�0/w�C�/?>N�������5 ����W:��$%���W:���0���;k/B���������������/���->!���0��;ZV%$?>!�Y����2�/�&N��/%1��0/%�������0/%1�E

���A� �/B�����0�%�!���X&K�-/u�W: � ���67O>!�7�-/u�H>_V%��������/B������-��/B���-��=�C����%���-��>�;���.�/"�&!L?���Y ��7�%�!�r��0�� ���.W#�0 ����

�(���-��/�&ZE'����X��0�->W$% �V��b6��2V%����������L��r��$%�������-/�������b�/�&K������ �/%1H�(���0��/�&��Y$%�0Vu�-/K��$%�2�(�!��������E

C����Y w�(�����5$% �/% �����&���$�:� �$��&���$��NM$��/�#�K�� d6� ���U�6.�-��$ I�������������6����-�a;��[>� ���$%���q&!����������������0 �/

���%V�����L?���Y ���E�8% ��H��$%�"����Y����$%�����u>��X��M�[ ��r�[>�&! !��� �����76� ���Ud$%�u$���C������/�# �/����M�/B���0>d�?>��[>��Y��&!��;

1��0L?�-/�1W���H�#�!Vm�����r�&!L?��#�A �/c���&!������b�/�&u/% �/!+]���&!���C�02�W:���������r�/�&uV%�� :L?�0&%�-/%1W�C�A6.�-��$N$%�0�5L:��Y�

/?�%�C�����0���Z�/�&_V%$?>!���0���3�#�!Vm�����-��/�#�2�0/Q/?�%�C���� ���������X��� ��'��/%1��-/%�������-/�1��/�&_V�$B>!���0���E � :6��=$%�0� H�- ��

�( ��e�������Y���0/%1[�C�56.�-��$_$%�0�e���0�C�r�/�&WU?/% :6.�0��&!1���;��/�& \$% �V��5��$���e���0�C�r6.�0�0���%���0/%1A����#�0 ������)�0/q�����������M$

�/�&_�0/u�-�-�(��E

�6� ��%�0&��0�-U��u�� v��$��/%U�x. ��m����� <r6���/���;e/% ��q �/%�0>��( ��W�����-/%1d�0/��[>���$%�X�Y���q# ��C���-�Y�����"�%�%�Q����Y w�( ��

�W�/?>K$%���0V!�(�%��&!����������Y�0 �/��r&!�%���-/�1q�C���#���-/�1��=�/�&"� �/!�(������/�#�X���m$%�[$���r������/NW1����X:�r� ��0�-�X�1��%��E-���0��

�(��������$%�5/�����&W�� A��$��/�U�x. ������Y�7D\����# :L?�-���\�( ����1��������0/%12�� [���=A�����&%�����( ��e�[>W&!�����Y���Y�M:���0 �/W�/�&q&!��L� ����

���0�C�W�( ��H�Y�%1�1��X�����- �/���;9# ��C�C��/B�M�A�/�&v� ������X����0 �/���E ]/w��$��_G5�0L?�0���0 �/v ��.��V%V��-�0��&d c���$%���W:�������;'$%�����

:�5I��� :6./F;��$�OL��A��0�� C$��&Q��$%�AV%�0����Y�%���=�� q�C���#�r�/�&K�-/B����������6.�-��$��� �/����M�/B���0/%�AG=:�(�����C ���E767�/B�

�� q��$��/%Uu$%�-� �( ��5�m���0/%1W��$������[6.$%��/ 7/%���X&!��&c�� ��C�� �/%�2�� q����-UQ�� �;m�/�&K�( ��r�����-/�1Q����M$c�/"���!����0�-��/B�

�#�%���V��-�r ��k�/Q���&!���C��5�/�&q��M$% �����e�( ��7��0�� ��F����>� ���/%1����e����-��/B�������M��E'�B�/_�5���Y��$�OL���/q&!�X�Y����L����e[�%�01

����$��/�Uq>� ���<H��76����-�aE

W6� ��%��& /% ��Q$�OL��c������&!�0��&��W���$%���C�������Q ��Q���[�����U���&� �/ �D)$kE GHE7V%�� �1��M�� �*�A�-�Q67���/F� �_�( ��Q�[>

$%�01�$u��M$� B ��3V%�� ��(�����Y ����/�&Q�(���0��/�&Z;%���0�#�%�/�&!�� B�78% ������0U?�0��E e :6��=��-�Z ��k��$��b��/B��$?�����0��Y� �( ��7��$%�2������&q��

L?�-�0�

Page 11: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$%�0� �9$%�C67��r��$����C B���b�0/��YV��-���-/�1QV%�� ��(�X���� ��=�0/��H>c$%�01�$v��M$% ? ��9>�����M�=�-/w�W�/?>c���Vm����M��EC���C67��r��$��

���M������ [��$% :6��C��$� :6��� 2��$%�0/%U� ��F2V%�� ��%�0��� �C���$%���W:�������-�0>H�/�&C ���1��/%�0���7�[>[��$% ��%1�$B������ A6� ���UA ��%�

��$����Y ��-�!���- �/��B�� B���) ��3��-�!$��5�Y$� :6��X&[�C�7��$�:�)�W:��$%���W:���0��)��/C���.V���Y�) ��m�0�-�(��E 96.�0�0�%/%��L����\�( ���1��#����$��

/?�%�C���� ��������-�C�X� ��m ���$%������&Q$%�0�� :L�������$%�bV%$� �/%��;!�0����b�0/Q��$%�2��L���/%�0/%1�;%������U?�-/%1W�$%�0/B�.�( ��.�#�!������0�����

# ��%��&_/% �������Y�0�->Q�Y ��-L���E$�6.�0�-�9��06�O>!�����b1���������(�%�3�� C$%�0�uE

� ��M&%������=�� ? _���W��0�Z�� W���?V����X������$%�A1��M:���*����&!�P��(�����F�� :6����&%���H>QI��� :6./"�/�&uD)�� :LB��&!��/�#�=�(���-��/�&%��E�

�(�����m�( ������%/�����5�( ���$�OL?�-/%1�# �+a���?���Y����&q6.�*��$Q�� [�W�/?>W�YVm��#���#�%�����V��� �V%�0����$�:�.# ��CV%�-�������->qM$��/%1��X&C�[>

M$�����������)�/�&C�W�&!�5�C��6.$����)�� �� !&%O>�E�\��$��/�U���� ����� � � < �b����� ��%�0���\�( ��)�m���0/%1H/% ���$%�-/�1A�-�X���)��$��/

2�����%���(���0��/�&F; �2 ��������( ��������-/�1A �� ����/_������>[���!����-67O>!�\���01�$B���/�& �)����b�( ��)�m���0/%1H[�Y�X# �/�&C�� ���$%���)�%�!�

����� �H���M���.#��������(���0��/�&K�����$%�A����C�5���-�C��E)G5�0�C�*��������;m,? !#�M:���X��;!D��/��1��- �������;B@�����1��&_�/�&Q�5�������( ������X&

����$%�[1B�/%1B<W ��e��- B�Y�[�(���0��/�&%����$�:�2$%���-Vm��&N�����0/cL:����- ����r��-�M#���C�Y���/�#�X�5�/�&"�W�&!���C�A�(������:�=$% ��C��E

A67���&!���Y���0/%�X&��� w�Y����Y�W�/�&���/�&��[>d1����&!��:���_�0�*�(�K6.�-��$��[>v�(���-��/�&%�C�5�����$��/�&d��$��uGr��&!��;e6.$%�0�0�

���$%���=#�0 ����2�(���0��/�&%���0�-U��[D\ ��0�0/�%;��5/%1����-�0U:%;Z��$%�����Y���0/�q�/�&"8%����&!������2�-��� �r�X����-�0�������!�r6.�0�-�'��06�O>!�7�m�[�0/

�[>N$%����Y�XE �=�� ���1�� �b�����C�/% ��r�Y$� :6��X&c�C����$%�C�� �Vm���r�(�� �� �[>"�����Y�2&�O>"$%�����W:�bI��� :6./��/�& =��

1��M:���#�(�%�k�� Q$%�-�uE .6.�-�0�\��06�O>!�.L:��0�%�H�[>K�(���0��/�&%�Y$��-Vc6.�-��$� " �$��/N�/�&"�&!�C�0����x.�!���;Z��-��$% ��%1�$u��$%��>

����A�m ���$"����=O6�O>��<7$% �V��H6��[�����#�2�1���-/c�� ? �/FE-��� ��0�� q1�������#�(���F��$�:�=x�>��/k;����C�W��X;3���0/%�H�/�&

���W�/�&%H�-���7�C�=�-/_��$%���-�.�0�0L������/�&q6���������$������r6.$%��/%��L���� )/%����&!�X&W��$%���uE')��$��/�Uq c���> T ���/%1�����UB���

�/�&"��$��������� �V%$����7�( �����$%���-�5��W����0/%1��(���-��/�&%��$%�-V"�/�&K�C�1����-���*�M��C�/�&uG5�0�C�*���������F�0L:�/%�0 ��.�( ��.�m���0/%1W��$��

�m���Y�5# ��H�%�0/�:���- �/_ ��'�(���-��/�&Q�/�&Q����/B�� ��XE'���0�� �6��/��7�� H��$��/�Uu�� �/����M�/B���0/% ��7�/�&Q�r�Y�0�C�-/�[�( ��7��$%���-�

$%���-VF;Z���%V%Vm ����2�/�&c�&!L?�0�� �m��$%��>c&!��������L��A��$%�����X���2�/�&6��� �����%�0>u�-��MU?>K�� K�m�[ �/��[ ��e��$%���-�r�(���0��/�&%��E

�5�.���������e�-����7�/�&�� T $%�P����������< �=�� ���1��=����b� �/������/%��&Z;,�$% �Vm�2��$���>_�W�U��=��$%���-���&!L?�0�� ��7V%�� ���&ZE

���-��$� ��%1�$ [$�OL��_�m����/�O67O>N�(�� �� $� ��C�_�( ��C�#�%�#���0>�����/�>��X��M�A/% :6 f /%������0>v �/%�Q��$��-�M&� ��5�[>d�0�-�(�

�/�&�$���*�= ��=�[>�V%�� !&!��#���0L��K�-�-�(��� l ;.�� ��C�_�(���0��/�&%�C�0/ �=������#�u$�OL��K��-67O>!�[�m����/��/�&�6.�-�0�5��067O>?�H�m�

�[> ����-�����r��1� �<�E=x5�V%$�������/�& <r�����Y������;m�[>c#�0 ������Y�5�(���0��/�&%�r�(�� �� $%�01�$w��M$� B ��h;3$�OL��A$%���-Vm��&��C���/�&

���%V%Vm �������&u�C�A �/uLO����0 ����. !����Y�0 �/��.�/�&0���$��/%UQ��$%�����( ��5�-��E.D��/� ��7$���.V%�� :L���&Q�� W���[��$%�A���� ���$%���

�-�

Page 12: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

e/���L����7$��& �!$��=$���7��06�O>!��������/u�Y��V%V� ��Y���-L��r ��9�H>_&!����0���0 �/����%�!�.67�����$������=6.$���/ e/%����&!�X&Q�� ��C�= ��

$%���2���������#�Y+46.���Y�[�&!L?�0���E 5��/%/% ��r�0�W�1��0/%�H�[>u�-�-�(��6.�*��$% ��!�2$%�0�uEP5�� ����� _1��M:���#�(�%�9�� K "�0�*�� ���;m6.$�

=�����[�0/ <5�B�( ���&w�� "���/�&! ��C�0>N�%�%�[$���2�m����/d �/%�W ��.�[>N�m���Y�H�/�&w�� B���AL:��-�%�X&w�(���0��/�&%�b��L����A���-/�#��E

7��$��/%U��� B�����0�/%/�C�( ��r�0�0�Y����/%�0/%1q�� _�C�H6.$���/ ��C B���=/%���X&!��&N�*�X;3 c>B���� _�( ��= ��%�=�Y��/%/?>u�/�&c������:�!�0/%1

L:��:���0 �/u# �/?L����M��:���0 �/���;!D�:�M����7�/�&c�� ��Y������( ���/%�01�$B�M�. ��!�5��-�Z :L���������$%��/���;�Gr ��� ���$B>Q�/�&",?�0�C ��7�( ��

# ��CV%�-���C��/B���0/%1H��$%�/<5�! �/%���/Q#�M���>W� ��CV��/?>�;?�k��&%[�( ��7�&�&!�-/�1��/_������&!�-���[���/��M��!+a�� ���M$q�0/_�H>q�-�-�(��;

��$%��>!���� ��2�( ��H ��%�[�0 �/�1"�(���0��/�&%�Y$��-VF;)�5/���Y����Y��c�/�& T $���-��u�( ��H��$����0��� �/��Y���/��H�-/!+]�/�&?+a ��!�Y+4 �� +4�[>B+4�-�-�(�

�(���-��/�&%��$%�-Vk;?�/�& T ��&q�/�&q,B�M�1A�( ���������>C�Y ��%L?�0�UB�������(������/�����)�0/_���%�C�C�������0����E'�6� ��%��&C/% ���$�OL����m����/

q� ��CV%�0�#��� <5�! �/%���/"6.�-��$% ��!�r�H>Q�0 :L����->Q�(���0�0 :6 <5�! �/%�0�/"�W:��$��� Q�/�&"/� �/!+4�W:��$��� _�C����X� �e���W�;

�����-�a;m������0����;%�F�0��;,��/F;�,?�0�C �/u�/�&",?�0�C�� �/ f >�����;���� &! ��-/�1��W����M���1���-/ � l E

_�� ��0�� �1���������(�%�5�� ��H>��(���0�- :6 ��x7J5�2��� 1��� ��%V �C���H�������Q�( ��u�1����X:�_�����������M$ ��/?LB�0�� �/%�C��/B�XE

e6.�0�0�Z�������7�[>W1� ? !&W�(���0��/�&%�.Gr �/�1C�k�-�u�/�&_Gr�0&!�aEe�( ��%/�&Q1��������$%���-Vu�0/_��$%�=�������� ���,?��M$?���/KG5 �/%1�;

?5��q c�;� "�0U�� �2�0���B>K�/�&uGr �/%1��%�0/ ?5�0�FE��= B !&u�0��MUQ�� qGr���-����>K�*�)$%�H# �/B���-/?�%�X�.�[>QV%�� � ���#��E �$� �Vm�

��0�� ����[>"�(���-�0 :6 ��x7Jr�=���.+4���M�2�Y���#����&��-/���$����0�2�(�!���%���WV%���/���Eq��$�����-�X�2����/� ?M$w6.�0�-���m�W �/%�C ��e��$��

# ��-�0���1��%�X�-.6.�0�-�\����Y _��������E <5��� ��%�M����;m�[>Q��$%�X�Y���56� ���UK6� ��%�0&u/� ��r$�OL��A�m����/cV� B�����0�%�-�[6.�*��$% ��!�=��$��

�#�!Vm������$����0VQ ��k ��%�.� ��CV%�!������6.�-�X��M&%�7 "���0�-$k;�,!�� �/�& ���-��E� c�&!���-�0/%��;%�k�����A�/�&Kx. ����r��0�� H&!�X�Y����L��

K�%�01��Y��$��/%U!��<_�( ��2��$%���0�[� �/��Y���/��b���%V%Vm �����EW�����Y �; 5��$��/%U �����/c�( ��b$����0V%�-/�1"���C�W�/?>"���-�C�X�b6.�*��$

�%�%�������#�M:���0rV%�� ��%�0���W�.�/�&q�( ��.�����-/�1q�Y��M$uCV%�0������/��.&!��V�������C��/B�M��ZV%��������/����E

�k����X;.�%�!�u#��������-/��->�/% ��K�-�X��Y��;-W�� &!��&%�0�:���0/%1d��$%���Q&!�����Y���Y�M:���0 �/ �/�& ��0����$%�N$����&�6� ���U C$�OL��

V%�!�C�0/��*�C&!�%���-/�1c��$��_V�����H���-�v>�������2�� N�H>w�0 :L����->�V������/B�M��; �[� ������ �/�& � �� ��� � ��� 6.$% �$�OL��q�m����/

# �/��Y���/B���->q$����0V%�-/�1�;��&!L?�0���-/�1C�/�&u�Y��V%V� ��Y���-/�1��C��;%�[>K�Y��������� ����� ��� ���� 6.$% W$���7�m����/c�1�����:�.���!���+

V%�0�A�( ��r�C�H���0/�#� .67��5�� ���/k;3�/�&Z;m ��e� ��%�M�Y��;��H>K1����/�&!�C ���$%���X;�� �� � ;m�( ��r�����-/%1Q��$��[�C ��Y�r�0/���V%�-���0/%1

Vm���M�Y �/Q�0/u�[>q�0�*�(��E

Page 13: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

T $%�2��!��$% ���6� ��%��&W�-�0U��5�� C�MU?/% :6.�0��&!1��7��$%�r�( ��0�0 :6.�-/%1H1��M�/B�e/?�%�H��������;�6.$� ����r���%V%Vm �����$���e�W�&%�5��$%�0�

6� ���UWV� B�����-���-��

} <=�5x ��rR�R�R;:8.�+4R�.�+$:#+]R�R�R2�

} G <�� �G �)+48 �2R�PO+ >�� �ex5P���P�X@>

} �r,!8 = T x����.+]R :OP :W� :8.?P

} �r,!8 = T x��.��x7+4R�R���S�R�S��

} G��5x�DZ�,=@<=�rx��5R�R�R :>.�+]R :�+ :�+4R;: ���

} <=�5x ��rR�R�R;:8.�+ >��O+$:#+]R�P���S

�!�

Page 14: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �����������

� � ����� � ��'� ����� � �:�E : �� �/!+]����67�� �/%���/Q^��%��&%� EbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE :

:�E P Gr�0���Y���Y�M:���- �/�<r�!���-�0/%� EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE �

� � �'��#���&2����� ��� � �� ��� �$��� ����& �

����� �����! "�$#&%(')� ��� ����+* �����h�-, �� ��� .P!E : ���������������9,?�0�[�%��:���- �/Q ��9��$%�A8 �e� ��+]D� " !&!���3E=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE �

P!E P c���$%���C��������k8% ����H�%�0����0 �/cEbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE.:XR

P!E P!E : �= :L�����/%�-/�1 ��t���:���0 �/��e�( ��7��$%�A8 ��� ��+]D� " !&!��� E2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE.:XR

P!E P!E P Gr�0��#���#���-�X:���- �/ EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE.:OP

P!E P!E X T $%�[,!V��X����M��0�0>q@)�/%����$%�-/�1�@r�0��# B�Y�-��> f ,?@5@ l "�#��$% !& EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE.: �

P!E P!E . �� �/BL�����1���/�#�=�/�&",?@r@ D���M��C�#�����M� EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P�R

P!E X I���/�M$��C���UQD)�� ��%�0����,B�� �U����.8'�0 :6~D������q��>?�-�0/�&!���.�-/"q��$��/�/%���9EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P�.

P!E . 8'�0��5D)��:���=�0/"q��$��/%/�����T 6� �+4Gr�-�C��/��Y�0 �/���EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE X�X

P!E � 8'�0��5D)��:���=�0/"q��$��/%/�����T $%�����#+]G5�0�C��/����0 �/�� E=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE X�S

/0��� ��1 �2� � �3��#41)�65�+� �7, � ��8* � � � ��9 � ��"%:� ��������� �"%:� �<; ���� = �X%E : ,?�X# �/�&?+ <r�M&!���78'�0�%��&%� EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE .2:

X%E P ,B�����X���7�0/" c:�������0��-�0>Q,B�����&%>_8'�- :6���EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE .?P

X%E X T $%�A�5 ��0�AD)�������Y�%��� E2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE .2�

�!�-�

Page 15: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X%E . T $%�Ax.���-/�����+4x.�0L?�-�0/",B���������7�-/"�5������0> ]/�# ��CV%���X�����0�%�-�28'�- :6��QE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE . >

X%E � ���������������k "����$% !&�E2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE � :

X%E S �� �/?L�����1���/�#�b,B����&%�-�X� EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��P

X%E S%E : ,?�0�[���0����0 �/��76.�-��$% ��!�r,B�M��%�0�-�0������0 �/�E2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��P

X%E S%E P D\ ��->?/% ������� <rL�����+Q]/B����1��M:���- �/q�/�&",?@r@�EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��.

X%E � I���/�M$��C���UQD)�� ��%�0����D���M��0�-���Z,!�- �� EbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��S

X%E � T $%�A�5 ��0�AD)�������Y�%�����( �������67�� �/��0�/u8'�0�%��&%��E2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ���

X%E �%E : �9��C�-/������ ��-�bDe���X�����%���5�( �����5��67�� �/%���/u8'�-�%��& E2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ���

X%E �%E P �5�%�C�����0���Fx.�X�Y�%�-���.�( �� T $%������+4Gr�-�C��/��Y�0 �/���F�� ��-�X���5��67�� �/%���/u89�0�%��& E2EbE2EbE�S�R

X%E > T $%�A�5 ��0�AD)�������Y�%�����( ���x.���0/%���Y+]x.�0LB�0�0/K8'�0�%�0&�� E=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S�.

X%E >%E : �5�%�C�����0���Fx.�X�Y�%�-���.�( �� T $%������+4Gr�-�C��/��Y�0 �/���F�� ��-�X��x.���-/�����+4x.�0L?�-�0/u89�0�%��&�EbE2EbE�S�.

X%E >%E P �� �/�#�0�����- �/ E2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��P

= % * ��� � ��� ����� * ��� * �� � � ����� ��� �<� � � =

� � � 1 &���&2����� ��� � �� ��� �$��� ����& �

� � ��������� * ���65 �"% * � ���h� � � ��� * � �h� � ���

�!E : "�%�-���������0�A " !&!���-�0/%1�EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��>

�!E P �� ��CV%�0�#�u8'�-�%��&%����7��$%�A "�X�Y B�����0��� EbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE �;:

�!E X D)����L?�0 ����7G=DeG � ���U!�7 �/uD\ ��0>?��������=89�0�%��&%��EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��X

�!E . T �0���X�����0�bG5���YV�����*��>_�/�& T �-�C��+Q]/B����1��M:�� ��M��EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ���

�!E � T $%�AG=DeG ��tB��:���- �/�� EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE �2�

�!E S " !&!���0�7�( ���D\ ��0>?������� EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE >�R

� "�����3� �h� * � ���<� � � � ��� � �

S%E : T �0����+],?���1�1������X&Q,!M$%���C���7�( ��-]/�����1�������0/%1��5>?�%����&KD\ ��0>B�C������rG=DeG " !&!������EbE2EbE2EbE >��

S%E :�E : T �0�C�#+�,B���1�1������X&q@����- !#�-��>B+a@������0�#�5,!M$����C� EbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE >�S

S%E :�E P T �0�C�#+�,B���1�1������X&_�k :6���� �.,!M$%���C��EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE >2�

�!�-�0�

Page 16: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

S%E P �5�#�%�M��> T ���Y��� E2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE >��

S%E P!E : "�������0��.�/�&",?�0�[���0����0 �/uD���M��C�#�����M�7EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE >��

S%E P!E P T $%�AI7��Y���-�0/%�[������r ������ R%� � � R%������R"EbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�R;:

S%E P!E X ]/?L��X�����-1B:���-/%1�<5��$����r��$% ��0������( ������ � �/�&��dE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�R�X

S%E P!E . <rV!���-�W��'���������6.�-��$ � ���-1�$B����&",B�M�1�1������0/%1 �,!:�(�A�/�&K���[���*���- �����x��/%1��X��E2EbE�:�R�S

S%E X �� ��CV%�%��:���- �/���9�� ��CV%�-���!�*��> E2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�R2�

� � � � +��� * ��� ����� ��� ��� �� ��� � ��� � � �� �?E : ,!���0�-/%1W�9O6��7�-/"D\ ��0>?�C���M� EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:XR

�?E :�E : T $%�[,?��:���0 �)�!V� �/%��/B� � EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:XR

�?E :�E P �5 �/!+�,B���1�1�������&Q,%M$%���C��� E2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:OP

�?E :�E X ,B�M�1�1�������&K,!M$%�����X��EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@: �

�?E P ,?$%�X���x.�X�YVm �/��Y�2 �� � ������0�0U��[��$���0/���E2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:B�

�?E P!E : �5 �/!+�,B���1�1�������&Q,%M$%���C��� E2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:?>

�?E P!E P ,B�M�1�1�������&K,!M$%�����X��EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:XP :

�?E X Gr>B/���C�0���Gr�-�m�����0 �/"�/�&K@r�0��# B�Y�-��> EbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:XP�X

�?E X%E : T $%�[,%M$%�C�0&?�5�5�%�[�m�����( ��7��$��b@����0 ?��*��>B+4@������-���5,!M$%���C� f ����� R�� R : l EbE2EbE2EbE�:XP�S

�?E X%E P T $%�[,%M$%�C�0&?�5�5�%�[�m�����( ����F :6���� �.,!M$%����� f ������R�� R�R;:���R�� R;: l E=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:XP��

�?E . � ������0�0U��[��$���0/"�/�&K�F :6���� �.,!M$%����� ��� � .�� �%��P�PA�/�& .2��� R EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:>X;:

�?E � ���3��#�� ��),!M$%�C��&?�5���%�H������ �/uD\ ��0>?�C�����0��r���/B���*���-�X�NEbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:>X�X

.0% * ��� � � � � � � � * ��� * �� � � ����� � � �<��� � / �

� ��� �� ��� � ����������� ��� � � � 1 �2�����3��#&1-�+5�+��� � ��� � ��� � / .

�!�-L

Page 17: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� � � ��� � ��� � �

P!E : �� ?�#�q#�0��/B�M� � � � � ���A����Y !��0�����&_6.�*��$K��$%�A�Y���� W>�+]�Y������-�b��M$%���C��E EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE.:>.

P!E P T �0���H������V�� �76.�*��$N,?@5@ V���M��C�#�����7� ��R�� R�R;:=�/�&c� ��PH�( ����X�M$"�Y���#�X���Y�(�%�k������E

� &!��/� ����X����$%�A��Vm���������Z ��M&!���7Vm���5&%�-����#���0 �/FE E=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P�S

P!E X Gr���12� ?�#�q#�0��/B�������( ����W�#�� ���# �V��0��Y�0�[�%��:���- �/��'6.�*��$q,?@5@ f �%V%Vm���)�C��&%&!�0� l �/�&�&%���1

# ?���W��-��/B��� � �?>"��$���%L?���������� :�� f �- :6������C��&%&!�0� l E��)�CV!��>K�� O�!���5# ���������V� �/�&Q�� _&!�0L����Y+1���/B�r���%/���E-4�r$������ q���H/% �����&"$������b��$���5��$%�H� ������X�YVm �/�&%�-/%1W�C�X�Y B��� �V%��b�Y�0�[���0����0 �/��

&! �/%�"�-/�� :��2&!�0&�� �/?L�����1���E � �c����Y dV%��������/B�C��$��N&!�M�1d# ?�#�q��-��/��W�( �� �"! �`R�� ��R��

6.�-��$% ��!�5�V%V��->?�0/%1��/?>W,!@5@����-�������0/%1 f �%V%Vm��� l E T $��=Vm���M#��/B���1��5 ��'&!�-�m������/�#�=�m�#��6�����/

��$���%L?���������� �7L:��0�%�X�.�/�&Q��$��[,?@5@ L:��0�%�X�7�0����$% :6./Q$%�����=�� ? f �0 :6���� l E\E=EbE2EbEbE2EbE2EbE P@>

X%E : Gr�*�3������/B��,?@r@ V����������������2������&��( ��[���M��%�0�0�-�X:���0 �/v ��7&!�-�3������/B�[G5���� ����$v/B���[�m���M�b�-/

��$��Ax.���0/%����+]x.�-L?�0�-/uV%�� ����-����&!����#���0���X&_�?> �2�X��M�Y�0��>#� P$�4E EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ���

S%E : <rL�����L?�0��6� ��9��$%�2���M�&%�*���- �/���ZL����0 ?��*��>B+4@������-���7�V%V%�� ��M$q�( ����Vm ��0>?�������Y>!�Y�����KE3E2EbE2EbE >2�

S%E P <rL�����L?�0��6� ��9��$%�2���0�C�#+]���M�1�1�������&_L����- !#�-��>B+a@������0�#�.�V�V%�� B�M$_�( ����V� ��->?�C������>!�������uE EbE >��

S%E X <rL�����L?�0��6� ��9��$%�2���M�&%�*���- �/���F�k :6���� �7�V�V%�� B�M$W�( ��5�V� ��->?�C������>!�������uE_EbE2EbEbE2EbE2EbE >A>

S%E . <rL�����L?�0��6� ��9��$%�2���0�C�#+]���M�1�1�������&Q�F :6���� �7�V%V%�� ��M$q�( ���HVm ��0>?�C������>?�Y�����uE9EbEbE2EbE2EbE�:�R�R

S%E � ��$% ��0������( ��. ��0&u�/�&_/���6~�( ��M#���.�����-/%1C �/QVm ��0>?�����.���X�&%��EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�R�R

S%E S %'&�(*)7&!��Vm��/�&!��/���b �/,+.-/ - �( ����H���X�&%� f ��������0�0/%�b�����26.�*��$ ����� :�R1032 l EKEbE2EbEbE2EbE2EbE�:�R�X

�?E : Gr��Vm��/�&!��/�#�[ ���&!�*�3������/B�5�Y�������=�/�&u&!>?/���C��btB���/B���-���0���7 �/"�F :6���� ��V���M��C�#����� � ;%L?@

V�������������� � �/�&q�����CVm���M:�������547698 f�: �*X�R;4<698A;�=�>@?BA � �C=ED l E�E2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:>X�.

�!L

Page 18: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� � � ��� � ����� � �

:�E : J�/��0&!�0��������- �/���9�Y$%�X���^� :6bE EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P

:�E P ,?/��V���$% ��M�b ����-/�&%�-L?��&!������F�.V%$��1�� g9iZ� M$���0/��2�%/�&%����1� ��0/%1u# �/!�( ����W:���0 �/����M$��/�1����

�%/�&%���5�Y���X�&!>_��$%�X�� f �0�W�1��2�M�U���/Q�(�� �� ,?�C�*��$�5L7-?BS���� X$� l E�E2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE .

P!E :�� ��������������������� ���� ��!#"�$%�&��'(�����*)+��,!�-(�.� /0�&�&! �1���2�%� '(��� -(��'43������ ��%� �5!6"879�(� � -�����'(�;:=<?>���'(��� ��@�@�����'(��:A<=B�CD��'E��!�-(�GFH�1� �@�1-('(��'EI%JK-(����@�L! M6NO��� ����P4�Q����� ��%� �5!6"R79�(� � -4M#�4 !S���@'4�TCLUQEbE2EbEbE2EbE2EbE.:B�

P!E P T $%� :�S�+a���-������/B�r�C����$N����V��- :>���&K�( ��=��$%��� �/?L�����1���/���2���X���M�r�0/c��6� �+]&!�0�C��/����- �/���E T $%�

M$��/%/%���k$���.�/% �/!+4&%�-�C��/��Y�0 �/���3�-��/%1���$K ���PH�0/u�� ���$"&!�0���X����0 �/���E�E2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P :

P!E X �� �/?L�����1���/�#�=������b�0/c# �/%�( ����C����0 �/_����/��Y ����-/K��$%�WV 2 f �-��� � l �/�&XVQY�/% ���� f ���-1�$�� l �( ��

��� : � R f ����67�� �/%���/ l E EbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P�P

P!E . �� �/?L�����1���/�#�=������b�0/c# �/%�( ����C����0 �/_����/��Y ����-/K��$%�WV 2 f �-��� � l �/�&XV Y /% ���� f ���-1�$�� l �( ��

��� R�� > EbEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P�X

P!E � ���3��#���� ��2,?@5@ ��CV%�0�-����&!�"�/�&�#�%�Y+4 �� 6�OL���/?�%�H�����[ �/���$%�u������ ��H ��r� �/!�( ����W:���- �/

����/��� ��XE=E2EbEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P�X

P!E S ���3��#�r ��'��$%�A��6� _&!�-�3������/B�5�m ��%/�&����>K� �/�&!�-���0 �/��XZ �Z A\[�]_^4` a ��Rq�/�&"� [�]K^ ` a �cb� ` a �/��$���V 2 ������ ��XE'x.�X�Y���*�M�.�Y$% :6./u����=�(�� �����$��2��6� �+4&!�0�C��/����0 �/��� f �/���->B���0��� l ������EuEbE2EbE P��

P!E � T $%�2��6� �+]&!�0����/����- �/���m�C����$Q������&_�( ��7��$%�2����/�M$%�W���UqV%�� ����-���KE T $%�b��%��L���&K�Y��&!�X������

����V%��������/B���X&_���� �V��������������0���0�->�6.�-��$"�$%�-1�$!+4 ��M&!�����#�!V��/��Y�0 �/kE\�5������;?���#���.����=V%�0 �������&

��.�Y���M��01�$B�.�0�-/%�X��E EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P�S

P!E � 8ed�dC�Y��������������/��Y ���;!Vm ��0>?/% ��C����Z ���&!��� � �7>%E�EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE P��

P!E > ���3��#���. ���p�+a���#��/����C��/B��8ed%dH�Y��������������/��� ��X; � ���0���Y��/?������1�/?�%�[�m�����"! ��R�� �;:>�%E�EbE2EbE P��

�!L?�

Page 19: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P!E :�R �� ��CV�������� �/_ ��8ed%d�V%�� ����0���7:���"! � R�� S�R��H�/�&QV� ��->?/% �������Z ���&%���\p��*��EkEbEbE2EbE2EbE X�R

P!E :@: 8ed�dW� �/B�� ��%�M�7�( ����"! �~R�� � :OP��/�&uVm ��0>?/% ��C����F ���&!��� � � �%E � �[# ��CV�����=��$%�C,?@5@

�C�#��$% !& f �%V%Vm��� l �/�&u��$���%L?���������� �7�������%�-��� � :�� f �- :6���� l EZEbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE X;:

P!E :XP 8ed�d�V%�� ����-�X���( �� � ����������/?�m����1H/?�%�H�������.��V_�� _P!E R EbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE X;:

P!E :>X�Gr���1C� ?�#�q#�0��/B�.�( �� � �������Y��/B�m����1�/B���[�m���M�7���/%1��0/%1H�(�� �� R%E ��R��2�� _P!E R�EbE2EbEbE2EbE2EbE XBP

P!E :8. 8 d�d V%�� ����-�X�=�( ��5�"! � R�� ��R��_�/�&�V� ��->?/% �������� ���&%��� � � S�EW�������C6��W� ��CV�����H��$%�

��6� C&%�*�3������/B���m ��%/�&����>_# �/�&!�-���0 �/����( ��7��$%�A� �/!�( ����W:���- �/q����/��� ��XE EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE XBP

P!E :W� T $%�C��.�.�+4���0���C��/��7�C����$ f �%V%Vm��� l �/�&q��$%��>�X�S:+4���0���C��/B�7���X�Y$ f �0 :6���� l ���Y�X&_�0/K��$%�A���-��+

�%��:���- �/���E2EbEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE X�X

P!E :�S ���0 ����#+4�%VQ ��9��$%�b�0���&%�-/%1C�X&!1��=�(�� �����$%�/>�X�S:+4���0���C��/B�7�C����$F;%�Y$� :6.�-/%1���$%�A�Y���C�0��-�M#�%����

��&%1���E T $��b�� ��%/�&!�X&Q���0&%���.����=����V%���X�Y��/B����&Q�?>_�$%�01�$!+4 ��M&!���7���Y �V���M��C�������0r�#�!V��/��Y�0 �/kE X�.

P!E : ����L����M�1���&CV%�� ����0�5 ��Z��$%�2:�!�����/% ����W��3�������X���98 d%d � f :�� � l � d%d ��0 �/%1b��$%�2#��/B�������-�0/%�� ����$��A&! ��W��0/"�/�&_��$��A�Y�%�������2 ��k��$%�bV%��:����EuE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE X��

P!E :>� T $%�K�#�3��#�C ��.��$%�",?@r@ V���M��C�#�����A�c �/d���0�C�#+]OL������1���&wL:��0�%�X�H ��.��$%�"��?�����/% ����W��

�Y��������� 8*d%dC:�7��$��b�-�X�&!�0/%1 f �0�#� � l �/�&_���M��0�0�-/%1 f ���01�$B� l V��0����2��&!1�����E EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE X2�

P!E :+> T $%�.���m�X��e ��m8 �e� ��+]D��W��?�0�[��� �#�?����/����-���-�0�*��>[V���M��C�#�����SVw �/����-�C�#+]OL������1��X&bL:��0�%��� ��'��$��A:�!�0��Z/% ����W��Z�Y��������� 8*d%dC:�7��$��b�-�X�&!�0/%1 f �0�#� � l �/�&_���M��0�0�-/%1 f ���01�$B� l V%��:���b��&!1�����E X2�

P!E P�R T $%�C�#�3��#�b ���������:�%����0 �/cV������C�#�����2�w �/c���-�C�#+]OL������1��X&uLO��-�����= �����$%�W:�!����'/% ����W��

�Y��������� 8 d%d :�7��$��b�-�X�&!�0/%1 f �0�#� � l �/�&_���M��0�0�-/%1 f ���01�$B� l V��0����2��&!1�����E EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE X��

P!E P : ]/��Y���/��M�/%�� ����k�Y�0�0����Z ��%�������X��[6.�����'L����0 !#�-��>r# �/B�� ������3�0/2���%���%�%�0��/B�F^� :6�����1��-�C� f & !����:�R�� l E E2EbEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE XA>

P!E P�P ]/��Y���/��M�/%�� ����C���-��#�X�[ ��=��-�.SN� ��CVm �/%��/��M�� �����$%�"�������X���[����/��Y ���Q�0/����%���%�%�0��/B�C^� :6

����1��0�C��E%E2EbEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE .BR

P!E P�X�8'�-�M�Y� f �-��� � l ;F����� �/�& f �C�0&�&!�-� l �/�&"��$%�0��& f ���01�$B� l ��M&!�������0�C�#+]OL������1���&u�Y��������[6.���Y�AL��#+

�0 ?��*��>����M:�����Y�������V%�0 ��Y����&�L������������3;e1����$%�����X&�:���OR%���3�E%�)�� f �hE ��E0;�OL����M�1���&v�0/���$%� �+&!�0���X����- �/ l E E2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE .BR

�?L?�0�

Page 20: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X%E : ��$��/%/%���36.�-��$QV%���X�����%�����M�VFE.8 ^ �/�& 8 2 �-/�&%�0�:���=�0 ?�:���- �/��e ��FV%�������Y�%���������/���&!��#�����e�-/��$��A�������X�����C�#�����. ��\�F !&!1���� @)���1����� .*�4E"EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE .BS

X%E P T $%� :�+�;�P:+e�/�& .�+4���0���C��/B�.�C����$%���7���Y�X&q�( ��7��$%�A� �/?L�����1���/���r�Y����&!�0���� ��k��$%� y | y ^��%��&ZE

�e�M$�$%���!�$%��&%����)���0���C��/B�C$���� :XR -�� ��M&!���@���# ����eVm ��0>B/� ��C�0����V%V%�� O�!�-�W:���-/�1u��$%��� ��0�!���0 �/u�0/K��-� XC&!�0��������- �/���EmEbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��X

X%E X V Y ������ ��e�0/q��$%�2L����0 !#�-��> f �%V%Vm��� l �/�&_V%�������Y�%��� f �- :6���� l V��- ��Y���X&_�1���0/��Y�e��$%�bG5���� ����$

/?�%�[�m��� ��� �( �� :#+M;�PO+e�/�& .�+a���-���C��/B�.���X�Y$�����E E=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��.

X%E . VQY������� ��e�0/q��$��=L����0 !#�-��> f �%V%Vm��� l �/�&qV����X�����%��� f �0 :6���� l V%�0 ��Y����&Q�1���-/�������$%�= :L������0/B���#+

1��M:���- �/Q ���&%�����( �� :�+�;�P:+e�/�& .�+4���0���C��/B�.�C����$%����E[EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ���

X%E � T $%�.�C����$C������&H�( �����$%�.�� ��%/�&%��& T +4��$��Vm��&C��� B���Y+4����#���0 �/ f �-��� � l �/�&H��$%��� ������X�YVm �/�&!�-/�1

�������%�*�M��� yZy�� �

V%�0 ��Y����&KL�������������$�� y | y /?�%�H����� ��� f ���-1�$�� l E�EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ���

X%E S � yZy�� �

V%�0 �������&CL����M�Y���'��$%� y | y /?�%�H����� ��� �/�&C# ��CV�����X&�6.�*��$ �2����M���-��>m� � � PC���/���0>����0����������%�*�.�( ���&!�-�m������/���Vm ��0>?/% ��C����Z ���&!�����������0/%1C :L�����+4�-/B����1��M:���- �/q�/�&u,?@5@HE�EbEbE2EbE2EbE ���

X%E � �� ��-�_V%���X�����%���CL����M�����bx.��>?/% ��0&��b/?�%�[�m���b�( ���:�: f�� ���d;9��V%V���� l �/�&dP

�: f P � ���d;

�0 :6���� l �M:���0 ���E\D\ ��0/��M�7����V%��������/B�����!V������0�C��/B����Z���X����%�����C��/B����E�EbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S;:

X%E � �� ��-�"V����X�����%���Q������:���-L��_�� d,?�� �U����CL����M�Y���Cx.��>?/% ���&%��/?�%�[�m���W�( ���:�:u�/�&�P

�:K�M:���- B��E

,B������-1�$��A�0�0/%�_����V%��������/B�M�=���/�1���/B�[�� & ! ��R%E ���!V������0�C��/B����-�0>�;'�F !&!1���� @)���1B�� � .C��%������&"C���- �V��2 ��\R�E RBPB.�E�EbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�SBP

X%E > ,B�����X��[6.�����WV%���X�����%���CV%�� ����0���b�0/d#��/B�����AV%���/��C�( ��A$% ��-�_ ��7������0 :�: f�� ��� l �/w��$%�

�0 :6���� f ���9���3� � � ���k��� :���R ��;e�0�#� � l �/�&��%V�V���� f ���k� �m� � � ���k�+:���R ��;����01�$B� l 67��0�����

& ! � R%E�EbEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S�X

X%E :�R�D)���������%���b&!���Y�����-�%�%���0 �/��. �/Q�0 :6���� f ���k� �m� � � ���9��� :�� ��;?�-��� � l �/�&K�%V%Vm��� f ���9���3� � �

���9��:�� ��;?���01�$B� l 67��0�����1& ! ��R%;��Qo � � :�E E2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S�X

X%E :@:vD)���������%���b&!���Y�����-�%�%���0 �/��. �/Q�0 :6���� f ���k� �m� � � ���9��� :�� ��;?�-��� � l �/�&K�%V%Vm��� f ���9���3� � �

���9��:�� ��;?���01�$B� l 67��0�����1& ! � P�R�;��Qo � � :�EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S�.

X%E :XP��� �/B�� ��%��V%�0 ����� ��k��$%����+4L����- !��*��>C# ���Vm �/���/B����e��$��r�0 :6����e67��0�� ��F��$��2P � �������Y�5�( ��

,B�� �U��X��^� :6 f �-��� � l �/�& & ! ��S�. f ���01�$B� l E�EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S�.

�!L?�0�-�

Page 21: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X%E :>X �� �/B�� ��%��V%�0 ����� ��F��$%����+aL����0 ?��*��>W� ��CV� �/%��/B�.:����$%�2�0 :6����e67��0�� ��F��$%�bP � � � ���Y�5�( ��

,B�� �U��X��^� :6 f �-��� � l �/�& & ! ��S�. f ���01�$B� l E�EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S��

X%E :8.��� �/B�� ��%��V%�- ����e ��Z��$����.+4L����- !#�-��>C# ��CVm �/%��/B��:����$%�r�- :6����)67��0�% ��Z��$%�2P � � � �����.�( ��

,B�� �U��X��^� :6 f �-��� � l �/�& & ! ��S�. f ���01�$B� l E�EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S��

X%E :W��,B�����X��C�-�0/%�X� f�� � � l �( ��5,B�� �U��X� f �0�#� � l �/�& & ! �~P�R f ���-1�$B� l E�EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S�S

X%E :�S�,B�����X��C�-�0/%�X�.�-/Q��$���� WV%���/�� f�� � � l �( ��5,B�� �U��X� f �-��� � l �/�& & ! � P�R f ���01�$B� l E�E2EbE2EbE�S�S

X%E : ������/B�������-�0/%�bV%�������Y�����= �/Q�� �VK67��0�3�( �� � o � � :�EkE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S2�

X%E :>���� ��-�bV����X�����%���=��.[�(��/�����- �/K ��9��$%�Ax.���-/%���Y+]x.�0L?�-�0/Q/?�%�H������E�E2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�S��

X%E :+>�,?$%�-� ���0/%1KV%�� �Vm������>_ ��e���/B�������0�0/%�AV%�������Y�����X��T $%�AV%�� ����-�X�.�( ��=&!�-�m������/�� y | y L:��0�%���r# ��*+

���V����2�� WC�Y�0/%1��-�2 �/��=6.$���/K��$%��>Q����b��$%�*� ����&K�?>�� yZy ����� j E EbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�SA>

X%E P�R�D)���������%���2# �/B�� ������� �/K��$%�=�� �VuV%���/�� �%Vm ����*���-L��b# �/B�� ��%�M���-�0�2�� ���$��b���01�$B�. ���� ��R�E)E2EbE ��R

X%E P : T $%������+4&!�0�C��/����0 �/���ZV�:��$%�-�0/%�X�.:�5C�Y�W��-�F&!���Y���/�#�b��m :L��=��$��b6���-�aE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE � :

X%E P�P�@����0 !#�-��>=� ��CVm �/%��/��M�F���� B������$%�e�Vm������������E T $%�� ����Y����L���&r ���#�0�-��:���- �/��3�-/2��$%��m��# ���Vm �/���/B�

��9��$%� y | y ^� :6�����=&!���r�� ���$%�A��$����VQ� ���/%���M�� ��k��$%�7 ��%/�#���0 �/u�/�&Q���.H�W�/%�*�(�X���M:���- �/

��'��$��b/% ����Y�2�0/K��$%�b/% �/!+]����67�� �/%���/u�Y����������EmE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��P

�!E : T $%�2�M���Uq ��'��$%� g9s%g �Y�0�[���0����0 �/K������$% !&ZEQE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE ��>

�!E P D\ ��0>?�C����M$���0/�� f ���#��$%������&_�YV%$�������� l �Y���YVm��/�&%��&W�0/QA�� ��0L���/B�e �� g9s%g V��������#�0��� f �Y�W��-�0���

&! ���� l E E2EbEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE �BP

�!E X �F��/%/����&?+ �� �/%�X�FVm �����/B������?�/�&2��$%���� �� ��+a����V��%�0���0L��)Vm �����/B������B6.$%��M$A���X�Y���*�M�9�� �����'OL������1��0/%1�E*>;:

S%E : I7������0�-/��K������ c��!�-�H�%� ����� ��0�!���_������ ��[�0/��� ��M�� f �%V�V���� l �/�&�M$���-/ f �0 :6���� l 4 6 8

L���������� +.-/ - �( ��)��$%��L?@ �/�&C�F :6���� �\�C�#��$� ?&����( ��)��$%�PI8?�JL55�M�/�1��7 �� � ��E T $%�.���X�Y���*�M�)����Y # ��CV�����=��$%�b/% �/!+46����-1�$�����&Q��M$%���C���76.�-��$K��$%�b6����01�$B����&Q �/%�X��E�EbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�RBP

S%E P I7������0�-/��K������ c��!�-�H�%� ����� ��0�!���_������ ��[�0/��� ��M�� f �%V�V���� l �/�&�M$���-/ f �0 :6���� l 4<698

L���������� +.-/ - �( ��C��$��"LB@��/�&��F :6���� �C������$% !&%�W�( ��C��$�� ?!� RLN:7QN�;BG2I"�M�/%1��Q �� � ��E T $%��������%�*�M������� �� ��CV�����r��$%�b/% �/!+46����-1�$�����&K��M$����C���76.�-��$K��$��b6����-1�$�����&Q �/%�X��E?EbEbE2EbE2EbE�:�RBP

�!�*�

Page 22: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

S%E X c��?�0�[��� ����Y ��-�!���r������ ��7�0/_�� ��M�� f ��V%V���� l �/�&KM$���0/ f �- :6���� l 4<6 8 L����M�Y�����0/�&!�0L?�0&!����������:�%:���- �/rV������C�#�����FL:����0����0 �/FE <rV%���0�C���V������C�#�������3V��� :L��9�� .��� ��� R%� � � R�� S�� ���R�� .C6.$%��/uVm�������%���m��&Q�(�� ���R%;! �/%�bV��������������7���[���-�C��E�E2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�R�.

S%E . ,?�0�[�%�-���/%�� ����q������:�%����0 �/�V���M��C�#�����qL:�����:���- �/�v���& �V%V��� B�M$FE f T $%�wt����/B���-���0���

V%�0 �������&u����=��$��A������b��7�-/K��$��bV%����L?�- �������1��%��� l E~EbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�R��

S%E � c��?�0�[��� ����� ��0�!���=������ ��e�0/q�� ��M��Z�/�&QM$���0/ 4 6 8 L����M������� �( �����$%�2 �V%���0�C��3V���M��C�#+

�������5# ��CV�����X&W�� C��$%�b����Y���-�0/%�b���Y�2 �� � � ��� � � R%E)x.�X�Y���*�M���(�� �� ��$��bLB@ ��M$%�����

����b�Y$� :6./FEkEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�R�S

S%E S �� ��CV�������� �/" �����$%�[L?@ f � � R�� S l �/�&c�F :6���� � f � � R�� . l ��M$%�����X�5���Y�0/%1W��$%�H �V!���0�W��

������:�%:���- �/_V����������������7�/�&Q6����01�$B����&_���0����+4�Y���1�1������-/%1[�( ��7��$%� I8? JL5[���/%1���E9EbEbE2EbE2EbE�:�R2�

S%E � �� ��CV�������� �/" �����$%�[L?@ f � � R�� S l �/�&c�F :6���� � f � � R�� . l ��M$%�����X�5���Y�0/%1W��$%�H �V!���0�W��

������:�%:���- �/_V����������������7�/�&Q6����01�$B����&_���0����+4�Y���1�1������-/%1[�( ��7��$%� ?!� RLN:7QN�;BG2IA�M�/�1���E`E2EbE�:�R��

S%E � ,?Vm���X&?+a��V_�������%�*�M�eL����M�Y��� +.-/ - �( �����$��5L?@��/�&q�k :6���� �e������$% !&%�e�( ��7 .BR�R�R gks%g +aV���Y���0��-�

^��%��&ZE T $%�uV� ��->?�C���C�m���&��H�0/B���������C6.�*��$����M$� ���$%���H��$%�� ��%1�$�wz?{ i {��( �����K�/�&�

V���-��6.�0�������5$����&Q����V%�%���Y�0 �/kEBEbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:�RA>

�?E : ,!���0�-/%1H ��F��$%�5�M�&%�-���� ��F1�>?������0 �/W ��kH�Y�0/%1��-�rV� ��->?�C���7M$���0/q1� :L�����/%�X&H�?>C�0�-/%�X��X;�����/�&uz?{ i {Q�( ��M#���7�/�&Q��$%�b���m�X��� ��'$���M& ���5V� �����/����0��0��E�E2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:WX

�?E P x�����0 ���� �������� � �

�( ��rLO����0 ����5M$���-/"���-����� f �!; :�R�;mP�R�;+��Rq�/�& :XR�RC�m���&%� l E T $%�H���0�[�%��:���- �/

V����������������7����=��$%�A����C�b��7�0/K��1������C�?E :�E�E2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:>.

�?E X T $%�=�#�3��#�� ��F���0�C�#+]���M�1�1������-/�1b �/W��$%�=�����-�0/%1H�#�!V� �/%��/B� � ��Z��$%�=���&!�-���e ��F1�>?������0 �/W ��

b���-/%1��-�.Vm ��0>?�C���)M$���-/C1� :L�����/%��&[�?>Cz?{ i {C�/�&�$���M&�����Vm �����/B��������'�( �����$%�.L?@ f �%V�V���� l

�/�&K�k :6���� � f �- :6���� l ��M$%���C��E E2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:XS

�?E . T $%��Vm�����( ����W�/���. ��m��$%�r���M�1�1�������&[LB@~��M$%���C�.�-/W��&!����%1���)# �/�&!�-���0 �/�� f������ � R l E T $%�V����������������7����2 ���$%����6.�0���=��$%�A����C�b��7�0/u89�01������C�?E X f �� �V l E EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:B�

�?E � Gr���O>� ��=��$%�vOL����M�1��u���X�/!+]��t�������"�#�?����/��Y�0 �/ � �32 � �/�&���$%�w# ���������V� �/�&!�0/%1d�#�!Vm �+/%��/����0����%�H�( ��Wc6� ������0�0U��_M$���-/� �� �c���X�&%���0/������67�� �/%���/��Y ��-L���/B�[�����0/%1w�k :6���� �

/% �/!+4�Y���1�1�������&q�C����$% !& f � �*.�� � l E EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:@:?>

�?�

Page 23: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�?E S "�X�/ ���[�(�������- �/���B�#�?����/����- �/AL���������� �"!.� ��CV�����X&2�� � g � �C�%�/�& g9iZ� ���!V������0�C��/B���� XC��&%���%E T $%�����X�Y�%�-���'V%��������/B����&A���Y����$%�7/% �/!+]���M�1�1�������&2L?@ f � �*X l �/�&[�k :6�����M$����C���

f � � .�� � l E�EbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:XP�R

�?E � ���%�� !# ���������:���- �/" ��)�C ��0����%�0��5���B����/����0 �/ ��L����M�������� 8A;�� ��CV�����X&u6.�*��$N�#�!Vm�����-�C��/��M��gkiF� � X$�9&�:���;?�( ��.L:����0 ���� �"!b���Y�0/%1���$%�b/� �/!+]���M�1�1�������&qLB@ ��M$%������E7E=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:XP :

�?E � ���3��#�_ �� � � :���S%��:XRN��/�&!���Q�Y$%�X��XE� c:�!�0�[�%� V%�� � ���#���X&�OL����M�1��Q�#�?����/����- �/� ��2

�O+4�m���& gkiF� �C ��0����%�-�u�C !&!���0��&��?>d��$�����| j �( ����[���0�L���������� �"!BE�������� ��� � R�� R :�;

� �*.�� �!E�EbEbE2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:XP�P

�?E > ,!���V��-�A&!����FV������� ��-�� f �0�#� � l �/�&Q����^���#���X&Q�/�&Q�%�Y����& f ���-1�$B� l V%�� ����0����E�E2EbEbE2EbE2EbE�:XP��

�?E :�R�Gr�*�3�����- �/ # ?�#�q��-��/����� f �%V%Vm���w�0�#� � l ;[U?�0/%���W:���0�L?�0��# B�Y�-��> � f �%V%Vm���w���01�$B� l ;[�/�&

,!M$%�C��&?�e/?�%�H����� ¡�¢2f �0 :6���� l V%�0 ������X&��1���-/��Y� � �( ���L?@[E T $��5,!M$%�C�0&!�e/?�%�[�m���)���� f : l E

��������4 6 8 � :�E E2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:XP��

�?E :@: �2�0/%���W:���0ALB����# ����-��> � V%�0 ��Y����&"�1���0/��Y� � �( �����&!����k1���.�/�&u67:�����.����V%���0���- �/uV���M��C�#+

���������!��$%�A�Y ��-��&Q�-�0/%�A# ���������Vm �/�&%�e�� C��$%�2��$��� ����#���0���Z��&!����Z1�������!V%���X�����0 �/ � SC�4E E2EbE2EbE�:XP��

�?E :XP�Gr�*�3�����- �/ # ?�#�q��-��/����� f �%V%Vm���w�0�#� � l ;[U?�0/%���W:���0�L?�0��# B�Y�-��> � f �%V%Vm���w���01�$B� l ;[�/�&

,!M$%�C��&?�[/?�%�H����� ¡�¢uf �0 :6���� l V��- ��Y���X&v�1���-/���� � �( ��A�F :6���� �b��M$%���C�W6.�*��$ ����� R�� R :�E

T $%�[,!M$�����&?��/?�%�H�������0�� f :XR� l E)��������476�8 � :�E[EbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:XP���?E :>X�Gr�*�3�����- �/ # ?�#�q��-��/����� f �%V%Vm���w�0�#� � l ;[U?�0/%���W:���0�L?�0��# B�Y�-��> � f �%V%Vm���w���01�$B� l ;[�/�&

,!M$%�C��&?�u/B���[�m��� ¡�¢�f �0 :6���� l V%�0 ��Y����&��1���-/��Y� � �( ��u�F :6���� �q��M$����C�N6.�-��$ ��� � � R

�/�& ����� R�� R :�E T $%�[,!M$�����&?��/?�%�H�����.�0�� f :XR� l E)�������54 6 8 � :�E EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:>X�R

�?E :8.�Gr�*�3�����- �/ # ?�#�q��-��/����� f �%V%Vm���w�0�#� � l ;[U?�0/%���W:���0�L?�0��# B�Y�-��> � f �%V%Vm���w���01�$B� l ;[�/�&

,!M$%�C��&?�2/B���[�m��� ¡�¢qf �- :6���� l V%�0 �������&��1B��0/���� � �( ��2�F :6���� �5��M$%�����H6.�*��$ ��� � R�� R�R :�E

T $%�[,!M$�����&?��/?�%�H�������0�� f :XR�� l E)��������476�8 � :�E[EbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:>X�R�?E :W���F �/%1��X���b������:�%:���- �/"���0�C� � �( ��=��$%�W6� ����C�-�0U���M$���0/ f �Q���X�&%� l V%�- ��Y����&v�1B��0/���� � �( ��

4 6 8 ��R�� P%E E2EbE2EbE2EbEbE=EbE2EbE2EbEbE2EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:>X;:

�?�!�

Page 24: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�?E :�S T �0����+4OL����M�1���&b�C���/[�(�M�#���0 �/���?�#�?����/��Y�0 �/� ��ZP�O+4���X�&!�X&A6� ����C�-�0U��7M$���0/��%/�&!���e�Y$�����

L����������5�"!_�( �� � � .�� � fh¡�¢ � X�� l ; � � P�P fh¡�¢ ��SA>�R l �/�& � � .2� fh¡�¢ � P����B. l E

������� 476�8 � R�� P!EW��/v����V��-���0���)�V%V%�� O�?�0�W:���[�( ����H�%�0Q6� ��%��&N�m� ¡�¢ � : � .�� � 2�;9�-/�1��������C��/B�.6.�-��$"�F :6���� �7���1��%�C��/B�M� � �E�4E EbE2EbE=EbEbE2EbE2EbE2EbEbE2EbE=EbE2EbEbE2EbE2EbE�:>XBP

�B�!�0�

Page 25: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��������� �

��� � ��� � � � � ���

����� �0�1,'#2�0��34�"��,�( �,�� ��(��� " B���C# ��C�C �/�^��%��&%� f �m ���$��-��tB�%��&%�H�/�&d1B������ l ��� ���/�&v������/����u#������Y�-���X&�����C5#4'7 ;�A<N�?�A < G,N�=BIME

�2�������;��0 :67+a�C ��-�X#�%����\6����01�$B�)�-��tB�%��&%��;B����*����&C�/�&H��/�����*����&�67:������;��� B���)�C ��� ����/�&��C�-/����M��% ��-����;�$%�-1�$

L?�0��# B�Y�-��>w�(�%���a;e1B��� ��0�-/���;\U����� B�Y��/%�Q����K�Y ����Q�#�%��CV%�0����E�,?��M$�^��%��&%�C����QM$�������������-����&v�?>�N�0�0/%����

&!��V���/�&!��/�#�c ��b��$%�X��_�Y���������W �/���$%�X��W�M:����E ]/ ��M&!���C�� �L?�0������0�0���u��$��0�Q&!��Vm��/�&%��/����;�6��c# �/��Y��&!���

��$��2��M$%���C�����5��/%�0&%�-����#���0 �/���3��$%�X���^� :6 ��$% :6./q�0/K8'�01��%���1:�E :�E ]/_��$%���.������;B��$%�b�Y$%�X��������� ��c��/K�m�

�#�!V%����������&A��k��$%�7L����- !#�-��>21��M�&!�0��/B�'�-/H��$%� �3��&!�0���X����0 �/ f ��$��7&%�-����#���0 �/[Vm����Vm��/�&!��#���0��9�� 5��$%�.�Y$�������0/%1 l E

T $%�A��$%����.�������X��� � d��A���7��$%��/� d�� � � � ������� d� � � � � �� f :�E : l

T $%�C�Y�0 �Vm� ���0�2# �/��Y���/B�2�/�&"���= �� ����/N���#�(��������&K�� K�����$%�C����67�� �/%���/�L?�0��# B�Y�-��>�E 4�2� ��CV%�0�#�����0>cM$����+

�#�������0���X�e��$%�b�m��$�OL?�0 ��7 ��9��$%�2^����0&u�/�&_��� f �?>_&%�#��/%�-���0 �/ l �-/�&%��Vm��/�&!��/B�� ��'��$%�A��$%����7������ ��N ��.�Y���������

� d��?;���*��$% ��%1�$Q�-�5�WO>_L:���>_��� ��M&!�-/�1H�� C������Vm���M:���%���A�/�&uV%���������%����E]/"�Y$� �����;�W�5��67�� �/%���/K^��%��&u�0�&!����/%��&K�?>W��$%�b��tB������0 �/ � �"!

�E

� A+;�A>� �C5#4'7 ;BA<N�?�AI< G,N�=��0�A �/%�W6.$% B�Y��^� :6 #����L�� f �Y$�����H�������X���2L����M�Y���b��$%�X��b�M:��� l �0�[���-��$%���A/% �/%+

�0�-/%�X��W ��q&! ?���W/% ��qV��������$��� ��%1�$���$%�" ����01��0/FE �)�!��CV%�-�X�� ��b�Y��M$�^����0&%�_��m ��%/�&F;�6.�-��$ ��1�1v6.$%�-����;

:

Page 26: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

y

x

Vx

8'�01��%��� :�E :�J�/��0&!�0��������- �/���F��$%�X��7^� :6bE

V%���-/B�����C�-/�Um;e�� ? ���$%V��������;���$%���Y�m ��%/���-/�1�V%�%�Y��>!< f ^� :6��C:�C�0 :6�����������M$�����������%�%�C�m ���/�#�X�W:�C$%�-1�$

�/���� l �����-/�1qV� �V%�%����� �/%����E.I��- ? !&u�0�rW1� ? !&K�#�%��CV%�0�A ���q�-��tB�%�0&K��$�:�=��/"���!$%�-���*�=�� ���$c����67�� �/%�0�/

�/�&[/% �/!+]����67�� �/%���/��m��$�OL?�0 ��X;���� ��M&!�0/%1��� =�-���e�Y�%���� ��%/�&%�-/%1B��E ]/C���W��0�?�%���/�M$%�X�'�/�&���V��-�0�0����0���\�/�&

:��L�����>[�0 :6 �Y$�����e��������)�*������$�OL��X���-/Q2/% �/!+]����67�� �/%�0�/C�����$%�0 �/#� �!; >%;2:XR$�a;B6.$%�0�-�5�-/q�C B������Y�������-�X�\��$��L?�0��# B�Y�-��>H��/C�m�r# �/����0&!�����X&C# �/����M�/B��;��( �����-��V%�������0���%V%����Vm �������;��Xt�����%�� � . ¢ �CE)���-�X����->�;���$������5����

/?�%�C���� ����rVm ����Y�0�%�0�-�-���0���= ���q/% �/!+a�0�0/%����5^� :6 ��%��L���E ]/w1���/%���M��a;�6��C��/�#����&!���0>c#��������*�(>"����M$c^����0&%�

�0/���

:�E�� � ���3� * +��� �� � � ��� ��� * � � ��� ���= :L�����/���&~�B> �� ��� f � l ;b��$%��>~����w^��%��&%�u�( ��c6.$%��M$

��$%�c��$%����W������":�_�/?>�V� ��-/B� =O�0/����M�/B�W�0�_&!�#���������0/%�X&��?>���$%�N��$%�X��W�������X���W��W��$���qV��������#���0��

V� ��-/B�*=:�-/����M�/B��E T >BV��0���Z�#�%���V��-�2������$%�bVm :6����Y+4��O6 ^��%��&Z;%1� :L�����/%�X&W�?> � � 4 �� [ E

P%E � ����� # � � � ���� ����� � +� �� ���T $%���Y$%�X��=�������X���r�/�&K��$%����$%�X����M:���[����[����� _C�(�%/�#���0 �/� �����$��

&!�%�M:���0 �/Q ��'��$%�A��$%�X����-/%1�E

X�E�')���X� � � * ������� � ��� ��8'�-�%��&%�A��$���H���� ����W�/�&w����# :L����b��$%����b��/%����1�>�;F��$%��>w��������0�0>�# �/B����0/v

$%�-1�$��(�������0 �/W ��3���%���Y���/�#�X��6.�-��$q$%�01�$W�C ��-�X#�%�����6����01�$B��E T $%��>H���?$��-�%�-��M$�������������0�Y������\ ��3�m ���$

�0&!�X��3^����0&%�5�/�&Q������Y����2�Y ��-��&%��E

8% ��b/% �/%+4�5��67�� �/%���/�^��%��&%��;k�*�A���A# �/?L���/��-��/��=�� "&!����/%�C��$%�6?UD�D�?�F 5LA%7��WN I8ME; I N:7�����=��$����M:���- u �����$%����

�Y����������; � ;k�� c�Y$%�X��A�M:����;��'E_�5��/����;9��$%�Q�V%V������/B�2L?����� ����*��>�� ?�u��/F;'�0/w1���/%������h;9���_�#�!V%�������Y�X&�����$��r/% �/!+]# �/����M�/B�e�(�%/�����0 �/�� ?� � !

���� f � � ��\� � l E\�5/% ���$%���7�����#�(���3�:����1� ����0������0 �/W ��k/% �/%+4�5��67�� �/%���/

^��%��&%�b&!�X����=6.�*��$w�������=�-/w6.$%��M$c��$%�CLB����# ����-��>c&!������X������r6.�*��$w��$%����r�M:��� f I 9�5E?BF*� 7 92N:A%A<N:A�ON ���D+IL58G$�

Page 27: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X

=�;ED+ST?BI 7HN�M[^��%��&%� l ;m��$��[L?�0��# B�Y�-��>_�0/�����X������.6.�-��$N��$%�X��5�M:��� f I 9�5E?�F*� 7:9,N�M���5LA%N:A�Oc ��@=�N:ST?B7 ?BA%7.^��%��&%� l ;m��$��

L?�0��# B�Y�-��>N&!�X#������Y�X�26.�*��$d��$%�Q&!�%�M:���0 �/v ��7�V%V%�0�-�X&d�Y$%�X�� f 7:9,N'9�;�7HFU;UD+N�Mq^��%��&%� l ;��/�&w��$%�qL?����� ����*��>N�-/!+

#������Y�X��6.�*��$Q��$%�A&!�%�M:���- �/Q ��'�V%V%�0�-�X&K��$%�X�� f F 9<5E;UD<5UM87QN�Mb �� A�5QO�?B7QN��B5LS"� 7:9,N'9�;�7HFU;UD+N�Mb^��%��&%� l E

" !&!���-�0/%1u ��7�Y��L����M��\/% �/!+]����67�� �/%���/N^� :6��2# �/��Y���Y���2 ��7# �/�������������0/%1"# �/��Y���-���!���-L����XtB��:���- �/��r�( ��2��$��

��L� ��0�!���0 �/� �����$%�QVm ��0>?�C�����0_V������ �����$��K�Y����������; ��E�,?��M$���tB��:���- �/��H�CO>v�0/?L� ��0L��_���0�C�K&!�����0L::���-L�����;

�0/�����1�����0�)�/�&W�Y��������� =���������-/H����/��Y �����E\��# �/������*���!���0L��r��tB������0 �/W��06�O>!�)� �/B����-/��):�e�0������� �/%�.���-�C�=# �/%+

�Y���/B�b�N�0/"��$%�[�( ���� ������� � � � � � � �a;36.$%��M$c1��0L��X�����0���A�� q��6� _# �/?L���/��-��/��r/% �/!+]&!�0�C��/����- �/���'/?�%�[�m���M��;��$��[G5���� ����$u/B���[�m����� !����� ;m�/�&Q��$%� � ���0������/?������1C/?�%�H����� �"! ������\E.��������; 8 ��/u�m�[C��>?V%��������0�C�#+]�����0�b ��\��$��b^� :6��/�& ���C��>?V%�����k��$%����.������ ��/% ��M:���- �/K�������Y�X&Q�0/B������M$��/%1��X��%�0>�;%&%��Vm��/�&!�0/%1q �/

��$��QV%�� ����-���KE T $%�u�Y>?�H�� �� �� � � � �.�0/d��$%���C���Y�K&!��/% ����X�A��$%� GWD�D�58F*��ME;BA � 5EM87HN��B5 =�58F N��B?B7QN�� 5�E ���%���V��-�X�

���^��%��&w�C ?&%�����b&!�#��/���&w�?>N�Y��M$v� �/��Y���-���%���0L��C��tB������0 �/��2�0/�#�0��&!�C��$%�q c��?6����0�a; <r�0&%�� :>!&?+]I��/�&���$��

8 �e� ��+]D��C !&!�����5� :@:�; :XP?;=:WX$�aE

,?�0/�#�u��0���1��qV� ��Y���- �/� ��=D����� A �����$%���C&!����������������0 �/�&!�X����[6.�-��$���$%�KL?�0��# ?���0������0Q8 ��� �)+4D �� !&!���h;

�-���������Y���(�%�3�� H�0�� ���:���5��$%�����5 ��F��$��=�C B�����-�CVm ������/B�7V%�� �Vm�������0�����YVm����*��5�� H��$��0���C !&!����f � l 4�.���7�Y$%�X���+

��$��-/%/��-/%1�E f �0� l 4�C�#�!$%�0�%�-����/% ����W��7�������X���H&!�-�m������/�#�X��Vm ��0>?�C���M�H��/����!�������&�&!�*���- �/�����( ��M#�X�[�0/���-�

&!�0���X����- �/���6.$%��/"��$���>"����A�m���0/%1Q�Y�����#�MM$%��&ZE f �0�-� l 4�=�#�!$%�0�%�*�M�r�Y����������������:�%����0 �/���$%�[�( ��M#�A���!��������&u�?>

��$��=L?����� ?������Y����5�W:�������0�����/�&!��������&%&%��/u�/�&q�%�!��&K����������M$%�0/%1������Y�X����$����V%�0>q�/�&W��$���/"&!������X�������6.�*��$

CM$���M�#�������������0r������:�%:���- �/q���0�C��E

]/��&�&!�*���- �/ �� ��C�#�� ���# �V%�0K/% �/!+]����67�� �/%���/��C !&!������;.��$%�N�� ��-�X#�%����_�%/�&!�����Y���/�&!�0/%1� ��A&!�0�0�!���w�Y �+

�0�!���0 �/��A ���^��#�!�0�%�-�WVm ��0>?�C���M�2$���2�m����/w�0/w��$%�Q�YVm ����-�01�$B�A�Y�0/���C��$%�W��:����:+>���R���E��9��M�Y �/ � :8.*�e���X#��/����->���%�C�C����0���X&�����M$��#�3 �������;��( !#���Y�0/%1N �/���$%�Q��$%�� ��0 �1�>w ��5����M$��Y ��-�!���- �/���;\��$%�u&!����#���0V!���0 �/� ��r����L�������

�m���&!+4��V%���-/%1uVm ��0>?�����A����V%��������/B������0 �/���;k� ��CV%�!�M:���0 �/��b�����-/%1�I��� :6./%���/vG5>?/���C�0��A�Y�0�[���0����0 �/���;9�/�&

�#�!Vm�����-�C��/��M��r���X�Y�%�-���q�(�� �� ^� :6��q�0/BL� ��0L?�-/%1��k�.V%$��1�� g9iZ� �C ��0����%�-�X� f �Y���N8'�-1��%����:�E P l E ,!��M$��#� +

�( ������=����[�X������/B���0��9�0/� ���&%������ Q��/�&!���M�Y���/�&u��$%�W��� ��C�������0[����$�OL?�- ��r ���# ��CV%�-���u^��%��&%�=6.�*��$��0/B������/���

Page 28: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

.

�C�0��� B�����������������;��/�&��V%V%�0>��� ��C�c#�0 ����%�����H�� d ��!����-/ � �/��Y���-���!���-L��"��tB������0 �/����(�� �� UB�0/%������u�� !&!���0�

� :W�?;&:XS!;&:B�B;=:>�!; :+>!;�P�R$�4E

8'�-1��%����:�E P�,?/��V���$% ��M�_ ��A�-/�&!�-L?��&!����b�k�.V%$��1�� g9iZ� M$���-/��_�%/�&!����1� ��-/%1�# �/%�( ����C����0 �/���5M$��/%1��X�

�%/�&%�����Y�����&!>Q��$%�X�� f �0�W�1��=�M�U���/_�(�� �� ,?�C�*��$ 5L7 ?BS���� X*� l E

]/[ ���&%���F�� 5�C :L��)�(�� ������ ������Y����e�����0�����0�[�%��:���- �/�� f �Y��M$���9 " ��0����%�0��'Gr>?/���C���� l �� 5$?>!&!�� !&!>?/���C�0��

�/�&W��$��2� �/B���0/?�%�%���0�-�C�-��;!�-�����������#�(�%�3�� �&!��L����- �VW�� ? ����7�/�&_�C�#��$� ?&% ��0 �1��0���e��$�:�76.�-�0�Z$%���0V_������&!1��r��$��

���0�C�#+7�/�&u�0��/%1���$!+]�����0�21��VFE�I��� :6./%���/"G5>?/���C�0��.$�OL��A&% ��C�-/�:���X&K��$%�[���X�Y �+4�����-�b�����/�H�( ��5>��������;

6.$%�0�-�)��$%���k:������#��+4I� ��-�����W�/%/2�C�#��$% !& � P :�;XP�P?;XP�X$�BV��� :L?��&!���Z�/A��-������/�����0L����V%V��� B�M$FE T $��eG5�����Y�0V�:���-L��D��������#�0�7G5>?/�������� fagks%g9l �C�#��$� ?& � PB.C���0��=V%�� ��C���Y�0/%1�;������0����0L����0>b/%��6��C���� �+]�����0�����0�[�%��:���- �/H�C�#��$% !&�/�&A�W�/?>b# �/��Y���Y����/�#>2�0�����%���'�����-�0�!�����W��0/A �Vm��/kE'�5 :6���L����X;���$%������$���9�m����/��Y�������M�/B������B�#�3 ����\�B>b�W�/B>

����������MM$C1��� ��%V��\�� H���CV%�0 :> gks%g ��eHI��� :6./%���/WGr>?/���C�������-������/�����0L���E T $%����&%�0���Y���Y�M:���- �/C�( ?��������) �/

�������%���.��$����$�OL��2/% ��5������/"�&�&!���X������&Q�m�#�( ����b�0/u��$%� g9s%g �(�M��C��6� ���U3;%�Y��M$u��r�F� g9iZ� �� !&!���-�0/%1q�/�&

�#�q��-��/��H/B���������������-/B����1��M:�� ��M�r�( ��[� ��CV%�0�#�N^��%�0&���Eu "���� ���# �V%��H�C !&!���0�H�Y��M$d��2��$%�q N���U� �+�,?�01�1��0

� P��E�F�( �����#+4�#�?����/����- �/q�( ����[���0H�C ����0L::���b������ W������>W ��%�5# ��CV%�%��:���- �/��.�/�&Q� ��CV�����r��$%� g9s%g ���X�Y���*�M�6.�-��$d�#�!�������-/�1K �/%���A�-/w��$��W�-�-����������%����;9�� B�����->N�(�� �����$%�� ���>�;kI��� :6./%���/vGr>B/���C�0��A�/�&����!V������0�C��/B����

Page 29: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

&%���%E

����� � (� � �*� � �"���,�� � �"�+�,��

x.�X�Y�X��MM$cV%��������/B���X&N�0/N��$%���26� ���U"���b&!�0LB��&!�X&N�0/B�� K��6� u&!�������-/���AV���Y�M��E�D����� =# �/B�M��0/��=���X�Y�%�-���r�(�� ��

ME;BA%7HN:A%G,G$� ���0�[�%��:���- �/���E\ " ����5��Vm��#�-�����0�->�;?Gr�0���X����5�%�C�����0���Z,?�0�[�%��:���- �/ fhg9ikj�l �������Y�X&C�( ��7�&%&%���X���Y+

�0/%1[V%�� ����-���C���0/q��$��5/?�%�C�����0���3�Y ��-�%���0 �/q ��F�C�#�� ���# �V%�0���tB��:���- �/��)1� :L�����/%�0/%1b/% �/!+]����67�� �/%���/q^��%��&%��E

D�����-��;� �/K��$%�[ ���$����.$��/�&Z;��&%&!�������Y�X�7V%$?>!�Y�����F�/�&K/?�%�C�����0���F�����Y�%�X�.����0���0/%1C�-/u��$%� ?B7 ;!�@N I 7HN�MA�-��L����

����Y��M$v���-�H�%�0����0 �/���;3�����-/%1K��$%�CV��������#�0�#+4�������&NG5�������0V�:���-L���D���Y���0��-��G5>?/�������� fagks%g9l �V%V%�� ��M$FEP]/

1���/%���M��a;B��$%�bV��� ��%�-���W�76��b�&�&!���X�����( !����7 �/

� ��$%�b�W:��$%���W��������3�( ����H�%��:���0 �/Q ��'��$%�b��/�&!�����0>B�0/%1CV%�� ��%�0���W�

� ��$%�b/?�%�C���������Z&!����#���#���0������0 �/u�/�&K�� ��0�!���0 �/K�C�#��$� ?&

� /B��������������=�# ���V��!������0 �/����V%�� ����-���C�.�/�&Q6�O>!���� W :L����M# ��C�5��$%���

� �����0�����&QV%$?>!�Y�����3���X�Y�%�-���.�/�&Q��$%���-�.Vm ������-�%�0�A&!��V���/�&!��/�#�b �/Q��$��b/B������������

D����� �� �/B����-/���

� ��$��V!�����QP����Y����&%>� ��2��$%�N8 �e� ��+]D �C !&!���h;7�-���W�( ����H�%��:���0 �/ �/�&���$%�c���Y�" ��=��$%�N��V��X�������

LB����# ����-��>b������$% !&Z;?���%�*�M��%�0���( ��)$��-1�$H ���&!���)&!������������0��:���- �/���;��V%V��-�0��&[�� 2��$%��# �/!�( ����W:���0 �/H����/��� ��XE

���%��CV%�0���k�(�� �����6� �+3�/�&b��$%�����#+]&!�0�C��/����- �/��'����eV%��������/B���X&b�� �1�����$%���96.�-��$C# �/?L�����1���/�#�)�����Y���\�/�&

# ��CV�������� �/q6.�-��$" ���$%����������&!�0����E

� ��$��V!����� X�� �Y����&%>W ��Z��$��=����� �/�&?+4 ��M&!��� f x.���-/�����+4x.�0L?�-�0/ l ^��%��&Z;?�*�M�e�( ����H�%��:���0 �/q�/�&C��$%�r���Y�r ��

��$%�[��Vm���������FL?�0��# B�Y�-��>Q�/�&uVm ��0>B/� ��C�0��F :L����Y+4�0/�����1�������0 �/_�C����$% !&%���( ��5/?�%�C���������k���M��%�0�0�-�X:���0 �/kE

T $%��$� ��0��V%���������%����V%�� ��%�0���u;O�� �1�����$%���'6.�-��$ �2��������0��>3� �F^� :6��0/HrV���M��0�0���!�Y�0 ����������0�� r&%����#���-�m��&ZE

���%�C���������\�������%�-���r�( ��=��$��W$% ��0�HV����X�����%���[V%�� ��%�0��� �-/v����67�� �/��0�/c^� :6��2�����V%���X�Y��/B����&FEHGr�-����#�

# ��CV�������� �/c6.�-��$v�#�!Vm�����-�C��/��M���&%���K�0�2V����X�Y��/�����&��/�&����X��� �/���%�0�H�1��������C��/B�26.�*��$v���CV%�0�������

��$%�� ����-�X�.�0�5���Y����%�-����$%��&ZE T $%�A��/���'�Y�X����- �/u&%�������6.�-��$"/?�%�C���������9�Y����&!�0�����( ��.��$%�[$� ��0�bV%���X�����%���

Page 30: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

S

V%�� ��%�0�����-/Hx.���0/%����+]x.�-L?�0�-/[^� :6���Ek��/��V%V%�� O�!�-�W����e�����-�0/%15 ��!��$%�.,B�� �U��X�k$� ��0�eV%�������Y�������-/?L� ��-L?�0/%1

��$%�A&!����C�������. ��k��$%�2���%�m�A������:���-L��5�� C��$%�AM$��/%/%���Z$%���01�$B�.�0�7 ��!����-/���&ZE

D����� �7# �/B�M��0/���

� ��$��V!�����0��� &!�X������0V!���- �/ ��b��$�� gks�g �C�#��$% !&Z;.��$��N�C ����-L::���- �/��m��$%�0/�& ��$%�����0�[�%��:���- �/ ��

# ��CV%�0�#��^��%��&%�Q���Y�0/%1 gks%g ;7��$%�c1� :L�����/%�0/%1v��tB������0 �/��_�/�&���$%�NVm ��0>?��������u�C !&!�����W��$%�0�Q6� ���U

���CV%�0 :>?��E

� ��$��V!�����2S�� �Y����&!>" �����6� Q�-/B����1��M:���-/%1K��M$����C���r�( �� gks�g ;F�0/�#�0��&!�0/%1u_/� :L����9����C�0�->N ��)���-�C�#+

���M�1�1�������&c��-1� ����*��$%�W�2�Y�%�-����%�0�H�( ��2V� ��->?�C�����0C��>!�������W�21� :L�����/%��&"�?>c$?>?�%���0&��Y �� �[�/�&�$����&N�-/!+

�����M�#���0 �/���E �� �/?L�����1���/���K�����Y���K����"V%��������/B���X&Z;7�� �1�����$%���_6.�-��$�V������C�#������"������&!�0���Q�-/?L� ��-L?�0/%1

�����0��!����0 �/QV���M��C�#�����M��E

� ��$��V!����� ��� # ��-�0��#���0 �/� ��2V%$?>!�Y�������V%V%�0���:���- �/���;��0/�#�0��&!�0/%1 gkiZ� M$���-/��C��/�&!���Q�Y$%�X��q�/�&

# ��CV�������� �/u6.�*��$N���?Vm�����0����/B����\�/�&" ���$%���2# ���V��!������0 �/���96� ���U!��Er,!��L�������k�������%�X��;Z����M$N��5��$��

,!M$%�C�0&!�[/?�%�[�m���H ��7��$%� gks%g ^��%��&%��;�����q�&%&!�������Y�X&w�/�&vV��������������0C���m�X��M�A ��7��$%�_����V��- :>���&

��$%�����C ��Y������7����2�#�%��C�0/%��&FE

Page 31: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� � � �

� � � �� � ��� � � � ��� � � ��� � ���

Page 32: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��������� �

� � � � � � � ��� � � � � � � � � � � ��� � �

� ��� ����� ���(�� ��7% �� ���( ��(��, �/� ������5� �� #�� � �����8�

T $%�����W$���b�m����/����%���Y���/B������)V%�� �1����X���=�0/v��$%�Q&!��L����0 �V%�C��/B�A ��7$��-1�$!+a ���&%���2�C�#��$� ?&��[�/�&w��Vm��#�-�����0�->

��V��X����M����C����$% !&%�2�( ��bL?�0��# ?������Y����H^� :6��2���M������X&�6.�-��$w��$%�W6� ���U" �� � P�SC� �\�Y����;k�( ��b�#�%���V��-��;9� :OPE���/�&���#�(������/�#���9��$%�������0/FE\�� :6���L�����;�� ��CV%�0�#�?+41��� ��C�#����>=^� :6��\�/�&H$%�01�$ � ���0������/?������1b�/�&Hx���>?/% ���&%�'/?�%�[�m���

����1��0�C���.�Y���0�-�kV%���X�Y��/B���( ����C��&%����-�b&!�-�q#�%�-���0����E T $%�b�0 ����7 ��\�� �/% ��� �/%��#�-��>W ��'��$��A�Y ��-�!���- �/Q ��9��$%�A�Y���������

�����0&��( ��q�W�/?>�L?�0��# ?���0������0u�C !&!�����W�m��� ��C���q�/���L���/�1�����:�����qM$���-�0��/�1��K�( ��q$��-1�$!+a ���&%���W�C�#��$% !&%��E

�� :6���L����X;�/���6 ��&!����2&!��L����0 �Vm��&"�0/c��$%�W# �/B���#�?�r �������� !&!>?/������b^� :6���;3��E 1�EA&%�0��# �/����-/?�% ���� �2��0����UB�0/

�C�#��$% !&%�.�/�&Q/%��6~�Y������-�0�-�X:���- �/q���XM$%/%��tB�%����;!$�OL��=V%�� :L?�0&!�X&_H/%��6 �(����C��6� ���UH�( ���&!��L����0 �V%�0/%1��� ��%���Y�

$%�01�$!+4 ��M&!�����Y ��-L����M�7�( ���L?����� ?������Y����2^� :6��.�0/c&! ��W��-/��5 ��)# ��CV%�-���K1��� ����������-�X��E7��/� ���$����5���m�X����-L��H�V%+

V%�� ��M$q&!���C �/������������&q�-/ � P�� �F�/�& � P��$�Z�0�e��$%�=�����r ��9�k�1��M�/%1��0�/W�/�&q�����C�-+4�9�1����/%1����/C�C�#��$% !&%����$���V%�� :L?�0&!�=$%�01�$!+4 ��M&!���7����%���#>q�/�&_��/%$��/�#�X&K�Y����%�0�-�-��>�E

x.�X#��/B�W������&!�0�����?>�8��/��#�W��aEd6.�-��$�n�p���/%�-���K���0���C��/B��� � P�>$�.$�OL��_���!��C�-/%�X&��Y���/�&%��M&d�m��/�M$��C���UV%�� ��%�0���W�b���Y�0/%1u��$���I 7HF 5E?�� S N:A�5 GWD 4'N:A+= �-587HFU;!� � �-?�ST58F �BN:A f ,%J5D � l ����M$�/%�0tB�%�Q# ��H�%�0/%��&w6.�-��$v��$������

&!�-�m������/B���( ����H�%��:���0 �/�����$%� 58ST? I 7QN�M1�WN I8ME;BG2I IHD�S N:7 IE7QF 5LIEI f �e@=,%, l ;!��$�� =�N I8MLF 587 5 �)@2,%, f G �e@=,%, l �/�&Q

��$��-�M&" �/���;3���0�0��&" � ?�:�;m6.$%�0M$NV%�� :L������� _�m�[L�����>K�#�q��-��/��r�-/N� ��CV%�!�M:���- �/���9���X�Y ��%�������E5��$���%L?��������

Page 33: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

>

�/�&�<r6���/�� � X�R$�k$�OL��2��0�� C������&Q��$%�[,%J5D � �0/"# �/� ��%/�����- �/u6.�*��$Q�(�X:���%���X�. ���&!����� �/B���0/?�% ������2��0����UB�0/

�C�#��$% !&%� f ��$%�d,!JrD �r+ � � 58ST5#� 58A<7C��R �!��58ST5#� 58A<7_������$% !& l �( ��K�L:����0�#��>� ��A�C !&!������E T $%�����N�0/���-��&%�

�W���� B��� �V%��W�C !&!�����W�Y��M$���H��$�� <r��&!�� :>!&?+4I=;k��$%�K��/%�-�����->��#�?����/��Y�0�%�0�Q/� �/!+4�-�0/%�X���������Y����q+AD\�#�������-�0/

f 8 ��� ��+]D l �/�&v��$%�uD)$��/!+ T $��-��/!+ T �/�/%��� f D T.T l �� !&!���h;����!�C��0�� c�C���� ���# �V%��W�C ?&%�����H����M$���[��$��

8 �e� ���C !&!���9� X;:��F��$�:�5&! C/% ���V� B���������7#�0 �����&?+a�( ���� # �/��Y���-���!���-L��b��tB��:���- �/���E

T $%�=&!�%�[�������-�3�C !&!���m$���e������/_��e��$%�r���/B������ ��3L?����� ?������Y�����������&!�0����&!�%�5�� [�-����V%$?>!�Y���������-1�/%�-����/�#��E

T $%�r�� !&!���Z�Y�%1�1��X���M�\��$���7&%�-�0�!���=Vm ��0>B�C��������� ��0�!���0 �/�������5[���-�?���%���5 ��Z��$%�2�� ��0L���/B���/�&C��$%�rVm ��0>?�C���X;

6.$%�����5��$%�2�Y ��-L���/B����/_�Y�����#�MM$_�/�&_# �/?L�����e��$%�=V� ��->?�C�����C ��0����%�-�X�)��$�:�.����5������%�C��&C�� [�m��$�OL����0�-U��

������Y����b��V%���0/%1B��E ]/u��$%�H�-�0�C�*���-/�1_���Y�b ��'��$%�[��V%���-/%1W�m���0/%1_��%�0�b�� q�m�[�Y�����#�MM$%��&u�0/!��/%�-�����->�;���$%�A�C !&!���

�m��# ��C���5��$%�C�Y�0�CV%�0���=�C�#�� ���# �V%�0/<r��&!�� :>!&?+4I~�C !&!��� f ��=�5 B �U��X�/c&!�%�H�%�m���0�'�C !&!��� l ;Z6.$%�0M$N�0�=�0�����

V%$?>!�Y�����hE.� /% �/!+4�0�-/%�X����*��>Q6�����0/B���� ?&%��#�X&K�����Y�5�?> � ���/%��� � X�PE�9�� K����Y�01�/"W�W:�!�0�[�%� L:��0�%�b�� q��$��

�#�?����/����-���-�0�*��>K �����$%�H��V%���-/�1�;%��$?�����������%�-���0/%1q�0/"��$%��8 �e� ���� !&!���hE T $��0�r�C ?&%���9��/%/� ��5�m�H� �/����0&%������&

�W���� B��� �V%���;:��\�Y�������&H��m :L���;:�%�!�\��$%�7�C !&!�-����&05LA<I85 � RLS 5 ��?�� 58F ?8O�5E=C8 �e� ���C !&!���a;�U?/% :6./H��\8 ��� �)+

D\;3��/kE T $%���5�C !&!���'$�����m����/��#�?����/����-L����0>K�Y����&%�-�X&"�?>KL:�/N�������'�#�=��hE � X�X$�a;36.$%�����[��$%��>uV%�� �V� B�Y�X&u���-�01�$B�5�C !&!�-�������0 �/c �����$%�H ����-1��-/���k�C !&!���aErI��������5�/�&u$%���r� ��0�0��� ������ ��M� � X�.%;�X��E�\$�OL��[����Y _���Y�X&u��$���C !&!���Z�� W&!���C �/�����������=���%���%�%�0��/B�5&!�M�1�����&!��#���0 �/FE

]/C��$��0��6� ���U[6���6.�0�0���#�%����0/%�.��$%�5�Y���/�&%��M&C8 �e� �)+4Dv�C !&!������)�*�7�V%Vm��������0/C��$����-�-����������%���5�/�&C6.�*��$

�� ��C�A�Y�W��-�'�����0�-/%1WL:�����:���- �/���;���7��$% ����[�V�V��X����0/u��$%�H6� ���U!�7 �� � :@: �'�/�& � :��aE T $%�[&%�0��#���#���-�X:���0 �/u�0/��V����A�0�r����Y�X&u �/"��$%� � ;>=�?BS�B5LFEI N�;BAK ��e��Vm����������=�n�pN���0���C��/B���56.$%�0�-���-/c���0����q$%�01�$%+a ���&!���5��V%�-�-�Y���-/�1

��M$%���C�q���[���CV%�- :>���& � X�SC�4EN " �/% ��� �/%��#�-��>w�0�[�C��-/B�M��0/%��&v�����0/%1�c&%�*�3�����- �/�# �/BL� ��0�!���0 �/vU�����/%���e��$���# �/B���� ����e��$%�b$%�01�$!+4 ��M&!�����C !&!�X��;?��$%�A�Y �+4���0�-�X&_��V��X�������ZLO�/%���Y$%�0/%1WL?����� ����*��> f ,?@5@ l �C�#��$� ?&FE

,?@r@ 67��7���M�Y���-/B���� !&!�����&u�?> T �&!�C �� f :?>��@> l �-/ � X��E�9�0/u��$%��# �/B���#�?�� ��)# �/��Y����������-/%1 � ;BA�;B7 ;BA%N�MLN:7C�!�

D+FU5 I858F*�>N:A2OW&!������������0��:���- �/��r�� u$?>?V������m ��0�0�# �/�������LO����0 �/��0O6���EH " ���������#��/B���0>�;F�-�b$���2�m����/�����V��- :>���&

�������������(�%�0�0>��0/W�( ����H�%�0����0/%1[��*������/�:���-L����0���1��#+4��&%&%>����-�H�%��:���0 �/ f � ��, l �V%V%�� ��M$%��� � X��C�aE������� �;B�-/ � XA>$�a;

Page 34: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:XR

��$��2�k��1���/�&!���r��Vm���������3LO�/%���Y$%�0/%1��C�#��$� ?&Q67����Y$% :6./_�� ��#�3��#���0L����0>_� �/B���� �����$%� �=�0�%����V%$%��/% ��C��/% �/F;

6.$%�0�-�7�0/ � .BR$�a;���$%�5,?@r@��V%V��� B�M$A67��\����V��- :>���&A�0/H��6� �+4&!�0�C��/����0 �/���?���0�[�%��:���- �/[ ��367OL����9�0/��Y���M:���*���X&:���C ���V%$%������E T $%�5,?@r@��V%V%�� ��M$[1�����M�/B�������\�/���������/B������0�->[/% �/!+4 ���#�0�0�0��� ���>2����$�OL?�- ��)��-��$% ��%1�$C�� ��C�

���C��-�\ B����-�0�0����0 �/��5 �� RE;�G,A+=�5E=�?�� D�S N:7HG<=�5=�WO>"����V%��������/B�r�0/c��$%�W�Y ��-�!���- �/FE T $%���5��$%�� ���>u���=�������&" �/

��$������=U���>_� ��CVm �/%��/��M��

:�E��~L:�/%�0��$%�0/%1WL?�0��# B�Y�-��>q��CV%�0�-����&!�b6.$��0M$"&!�X#�����������6.�-��$u��$��b�� !&!�2/?�%�H�������

P%E��~L?����� ����*��>B+a�(�����=��Vm���������� �( ��7��$%�b�0 :6�����;?�C ��Y�.��/%����1��#����=�C ?&%�������/�&

X�E���/"�V%V��� �V%����:���5L?����� ����*��>qU�����/%���m�( ��.��$%�b$��-1�$Q67OL���/B���[�m���M��E

T $%�����#�3������-L��Q����1��%������-�X:���0 �/v���C&!�#���������0/%�X&��?>vV���M��C�#�����M�A6.$% B�Y�Q���/%1��Q�0��1��-L���/�&!�0��������->v�?>v��$��

A+;�A>� S N:A�5E?BF���$%�� ���>q�( ��r�&%L���#���0 �/!+]&! ����0/������&K��>?�Y�����W��E7 " ����b����#��/B��6� ���UQ$���.���?����/�&!��&K��$%�[�C�#��$% !&

�� Q�Y�%Vm����L?�0��# B�Y�-��>q�( ����H�%��:���0 �/���;������Y�5�?> T �&!�C �� � .;: �'�/�&"�0������5�?>K N#� .?P?;+.�X$�4;��0/" ��M&!������ _�#�?����/�&��$��b���/%1��= ��'��$%� �WN I8ME; I N:7��!� JEFU5U55�YVm��#�����%�uE

]/ ��$%�0�Q6� ���Um;76��N&!���� �/��Y���M:���c��$%�����Y�w�/�&����m�X����-L���/%�X���_ ��b��$��0�_���XM$%/%��t����c�����-/%1��� ���$ �/���0>B����

�� ��0�!���0 �/��.��76����-�F��.���M�/�&���M&_�m��/�M$��C���U_V%�� ��%�0���W���-/K��6� �+e�/�&q��$%�����#+]&!�0����/����- �/���E

� ��� � �"���*� �"��� �� 5����� ���� �"(�1,

��������� � � ��1K#<������ �� � �$��� ����& �E�# � ��1� �� �I�W/ � �-� 1��

]/�� ��CV%�������Y�0�%�0�WLB����# ?������Y�����^� :6��2�( ��[&!�0�-�!���qVm ��0>B�C���H�� ��0�!���0 �/��[��/v�m�_�C !&!���0��&v�?>wc�Y���A ��7��$������

��tB������0 �/�����$��b��tB��:���- �/_�( ����C ��C��/B���%� � �/�������L::���0 �/k;���$%�[� �/��Y���-���!���-L��b�����0����0 �/���$%�0VK&%����#���-�%�0/%1���$��

��L� ��0�!���0 �/� �����$%�C/% �/!+4�5��67�� �/%���/�V�����= ��e��$%�W�������X���r����/��� ��b�/�&F;Z��/���-�0>�;Z��$%�W&!�0L�����1���/�#��+h�(������# �/�&!�-+

���0 �/_�( �����$%�=L����- !��*��>W# ��CV� �/%��/B����E ]/q��$%�0��6� ���UH6��56.�0�0�3��Vm��#�-�����0�->C�#�%����0/%�r��$%�28 �e� ��+]D f �7�0/%�-�����0>�5�B����/����0�%�-� u �/!+4�0�-/%�X�� �5����Y����C+ %2�#�������0�0/ l �C !&!���hE T $%���[�C !&!���7���[�������&d �/d��$%�K����Y����V%���0 �/� ��5&!�%�H�%�m���0����$��Vm�W�( ��b��$%�QV� ��->?�C����M$���0/���;'�/�&w�0�A�(�%����$%����&!�X������0�m��&w�?>wu�(��/�����- �/�&!�%�W�� ND\�#�������-�0/

��$�:���0/�# ���Vm ��M:��������$%�b�W��?�0�[����L:��0�%�b��0�- :6���&_�( ��7��$%�b�#�?����/����- �/Q ��9��$%�bVm ��0>B�C����M$���0/���E T $%�b/% �/%+

&!�0�C��/����- �/���Z�C �����/B���%� # �/��Y����L::���- �/_�Xt���:���0 �/Q���U��X����$%�2�( ����

Page 35: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:A:

� ���7 �7����� ��� ���rp � :& ! � ��� 2 � � f :.� � l ����� �7� f P%E : l

6.$%�������c&!��/% ������'��$%��L����- !��*��>bL������ ��X; �.&!��/% ������\��$%���������X����� �/B�����0�%�!���0 �/C&!�%�7�� =��$%�.L?����� B���0������0�V%�� �V%+�������0���r ��e��$%�H^��%��&Z;F�/�&���&%��/% ������5��$��H�M:���- Q ��)��$%�HL?����� ����*���-�X� ��� � ] �� �/�&c�0�2����� q�����(�������X&u�� u��5��$��ME;BGWD�S N:A�O D<?BFU?!� 5L7 5LFW��:�����= �/FE=������� ��� &!��/% ������5��$%��L?�0��# B�Y�-��>Q �����$%���Y ��-L���/B�=�/�& ��� ������$%�[L?����� ����*��> ��\��$%�[Vm ��0>?������E����0������0>�;�6.$���/ � � :A��$%��������&!��#������ W��$%�[�5��67�� �/%���/c���Y��E T $%�[x.��>B/� ���&%�./?�%�[�m���

�0/Q��$%�[��� :L��=�XtB��:���- �/Q����&!����/%��&u�� & ! ����� V�o f � � � � � l ;�6.�-��$��7�&V��/�&��_&!��/% ����-/%1qM$���M���������0�Y����L:��0�%���r �����$%�[L����0 !#�-��>�;m�-��/%1���$N�/�&N&!��/����-��>K �����$%�H^� :6b;m���X�YVm��#���0L����->�E T $%�C8 ��� �)+4D��C !&!���\���5�������&

�/vK/% �/%+a�0�-/�����=������:���0 �/w�m�#��6�����/���$�� I 7QF 5LIUI�����/��� �� �W�/�&N��$���ME;�A>JL;BF*� ?B7QN�;BA�����/��Y ��A�%E T $%�W�Y���������

����/��� �� �2����&!�#��/%��&Q��$��� ��%1�$K�W�?>

� � � f = l �[� ��"! f P%E P l

������� �"!b&!��/� ����X�)��$%� � ���0���Y��/?������1H/B���[�m���.&!�#��/%��&Q�� �"! � � : ;B6.$������ : �0�7A��>BV��0���Z�Y$������������r ����$��H^� :6 �/�&v���0�bKM$���M�#�������������0b���0���W� �/��Y���/��=�����0����X&"�� Q��$���V�$%��/% ��C��/% �/N ����������X���=������:�%:���- �/F;

��>?V%�����3 ��9L?�0��# ?���0������0�^��%��&%��E � �b��/q�(�%����$%����&!�#��/%�=��$%�bGr���m ��M�$_/?�%�H����� ��! � �� ;!6.$%�����r��$��=��/%�*�

��m���0�C� 8 �Y$% ��%��&[�m�5r��>?V%�0���!���-�C�������-�. �����$%�7^� :6bE\�� :6���L�����;:�0/���$%���)M$��V!�����)6���6.�0�0�% �/%�0>[�m�.�����-/�1��$�� � ����������/?�m����1W/B���[�m���r&%�#��/%�-���0 �/kE ]/u��$%����m :L��b�Xt���:���0 �/ � f = l ��/"���H�0&%��/B���-����&N��.��$%�.�-587 5LF S N:A

JEG,A+M87QN�;BA

� f = l � V 2 � & 2V 2 � = 2 f P%E X l

Page 36: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:OP

6.$%����� =C2 � ���M��� f � l �/�&c��$%�W���C��-��� ������X����0 �/#& ���2��������0�0>u���#�2�� Q������ �;3�?>"���X&!�#��/��-/%1 �"!W�/�& V�E�� :6���L����X;3�( ��A� �/����0�Y����/�#>N6.�*��$w ���$%���A&!�#��/%�*���- �/���;k��E 1�E � X�.%; :@:��4;k$%�����C6��C6.�-�0�)����tB�%�0��� & ��� X f �( ����$������#+]&!�-�C��/��Y�0 �/�� l �/�&#& ��� P f �( ��r��6� �+]&!�-�C��/��Y�0 �/�� l ���-/�#�A��$%���5V%�� :L��X�7�� Q����# �/BL���/%�0��/B��6.$%��/c6��&!�����0L�����$��5# �/!�( ����W:���0 �/H����/��� ��)�/���0>����0.�� ��0�!���- �/��0/���$%�r# �/?L�����1���/�#�7������&!�0����E�]/���$��5��m :L��7������:���0 �/k;

V����b��$��q�W:�!�-�H�%�`�#�?����/��Y�0�%�0�-�-��>w ��7��$%�_V� ��->?�C���[M$���0/FE T $%�q# �/!�( ����W:���0 �/w����/��� ��A$���b�m����/�/% �/%+

&!�0�C��/����- �/���0�0����&��?>���� ��� 6.$%����� 4 6 ���\��$���I� ��*�����W�/�/C� �/��Y���/B��;<8 � ���\��$��5����� ��0�!���������CVm���M:���������/�&�`�0����$%�A��V%���0/%1W# �/��Y���/B�. ��'��$��A8 ��� �)+4D�&!�%�H�%�m���0�hE T $��b��L� ��-�%���0 �/K��tB��:���- �/_�( ��7��$%�A� �/!�( ����W����0 �/

����/��� ����C���71��0L���/K�?>

�3��$7 � ��� ���A� � � � f � � l � f � � l � ���<� � � � f = l �b� ��"! f P%E . l

6.$%����� � &!��/% ������\�����/��YVm ����-���0 �/FE T $%�7�-��� �Y+4$��/�&!+4���0&%�. �� f P!E . l ���\U?/% :6./���'��$%�CGWD�D<5LF�ME;BA � 5EM87 5E=@=�58F N�� ?��

7QN�� 5�E T $%�W�� ��%/�&%���>w# �/�&!�-���0 �/��2�( ��b��$��_# �/!�( ����W:���0 �/w����/��� ��b6.�0�-�����Q�YVm����*�����0�->v&!����������Y�X&��0/v��$��

V%�� ��%�0���W�7 ��'��������- �/���P!E P!E .��/�& P!E X%E

��������� ( ��&2��#�1 ���� �$��� � �

8% ��'��$%�������CV� �����B&!����#���#���0������0 �/H ��%��$%�.�5OL?�-���Y+�,B�� �U��X�F�Xt���:���0 �/��96������Y�75���0����+4��V%�0�*�����0/%1b����� W>B+]���M��%�0���M$%���C��E�,B���� W>�+]�Y������-�u��>?Vm�c��M$%���C���W��/%$��/�#�c�Y������-�0�*��>���$%�� ���1�$����MU?67��M&%�C&!�*�3������/B���0����0 �/FE T $���0��V��-������/B����&���M$%���C�W$���2��$%�����_&!�-�3������/B�H�Y����V��[�/�&��-�H���[�/v�#�?����/��Y�0 �/d �����$%�_$��-1�$!+a ���&%���A��V%�-�-�Y���-/�1

��M$%���C�2V%�� �Vm �����&Q�-/ � .�.C��

:�E��� �/%+a�0�-/�����.�Y����V�

b��� ��� 0 ^��� � �

� [ 0 � � �����0 ^��� �

� �� f � [ 0 ��� l � [ 0 � f :�� � l

& ! ����� [ 0 � � [ 0 f P%E � l

Page 37: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:WX

6.$%����� �2�0����$%�A# �/������0�%�!���- �/_�(�� �����$%�bVm ��0>?�C����# ��CV%�!���X&Q�(�� ���

� [ �� f = l � [ � ��"! f P%E S l

T $%����L� ��0�!���0 �/C�Xt���:���0 �/C ��m��$%�5� �/!�( ����W:���- �/�����/��Y ��)�0�e&!�0��#���#���-����&C�����0/%12��$%�5�( ��0�- :6.�0/%1b��M$%���C��

b� ��� [ � � � ���0 ^��� �

� �� [ 0 � � � [ 0 � f � � [ 0 l � ��� [ 0

� f � [ 0 � � l � [ 0 � � � f = l �C� [ 0 � ��"! f P%E � l

8% ������M��%�0�-�0������0 �/qA� �/?L� ��-�%���0 �/�U�����/%���%��$�:�e�0/B���� ?&%��#�X����$��5V%�� �Vm���e��C ��%/B�e ��Z&%�*�3�����- �/W�0�e��$%��/

���CV%�0 :>���& f �����b/%���?�5�Y�X����0 �/ l ����( ��0�- :6���

� � � f������ ��� [�]K^ l �:� � � [�]K^ � � b�

� � f P%E � l

6.$%����� � � �0�.W���C ? ���$KU�����/����3��$�:��# �/����� ��0�76.$��0M$K�C ?&%��� f 67OL���/?�%�[�m���M� l ����b:�3��#����&FE

T $%�q�0��V��-������/B����&��� ��%/�&%���>w# �/�&!�*���- �/v�( ��b��$%�q��6� �+]&!�0�C��/����- �/���)�����_���� Z �Z A [�]_^ ` a � R"�/�&

� [�]_^ ` a � b� ` a E ]/���$%�u��$������#+]&!�-�C��/��Y�0 �/���.���Y�u6��" �/%�0>��0��V��-������/B����&���$%�"�0��Y�����XE � �"$�OL��

�Y>!�Y�����W��������0�0>��Y����&!�0��&d��$%�q���m�X��� ����m ���$d ��.��$%�Q��m :L��W�m ��%/�&����>w� �/�&!�-���0 �/���;���$% :6.�-/�1u��$���

����%�M�#>_�0�./� ��r��m�X����X&u�?>q��$����uE.8%�� �� ��$%�A/?�%�C���������k�#�!V������0�C��/B������$���56��bV����Y�( ����C��&F;%��$��

�������C�/%/N�m ���/�&%���>"# �/�&!�-���0 �/��������W�5�� Q��/%$��/�#�C���M��%�0�0�*��>�EA�����Y �;Z ��%�=����/�M$%�W���U"�������%�*�M�r&%

/% �����$% :6~�/B>Q�V%V%������0��%�0�=&!�-�3������/�����.��76.�0�0�F���A��$% :6./K�-/"����#���0 �/���P!E P!E .C�/�& P%E X�E

]/N��$%�W��m :L���/% ��M:���0 �/�� � � :���P%� X �H���=��$%�C�#�?�����V� ��0����0 �/N ���&%���=�( ��2��$%�CL����0 !#�-��>"�����0&Z;� D �P��0����$%�A�0/B����1��M:���0 �/u ���&!���. ��\��$��H# �/!�( ����W:���- �/_����/��� ��X;��v���7��$%��#�%������/B�.���0�C�[������VF; �. � � ����# ?�#�q#�0��/B�M�A����Y !��0�����&�6.�-��$v��$��_����� W>B+]���M��%�0�q��M$����C�#� .�.C����A��$% :6./��0/v����%�0�QP!E :�; � ����q# �+�#�q#�0��/B���5����Y !#��:����&K6.�-��$u��$��H�5&���W��+]I7���$!�( �����$u��M$%���C��; � &!��/% ��������W������*�Q���M�/���V� B�Y�-���0 �/k; �&!��/% ����X� � -�� V� ��->?/% ��C�0��Z ��M&!���X; f���l &%��/% ������.��$%�A� �/?L� ��-�!���- �/_ �V�������� ��X;!�/�&_��/���-�0> ` a &%��/% ������

Page 38: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:>.

�� ?�#�q��-��/�� 89�0�M���8<r�M&!��� ,?��� �/�&�<r��&%��� T $%�0�M&�<r�M&!������ : X?o�P :A:Oo�S� � : P X� ^ R � :Oo�P � X?o�P� 2 R R :OoBX� � : P X� ^ R � : � X� 2 R R :

T ��%�0�AP!E :��� ?�#�q#�0��/B�M� � � � � ���b����Y !#��:����&Q6.�*��$K��$%�A�Y���� W>�+]�Y������-�b��M$%���C��E

LO��-���=��L:��0��:���- �/K�����$%�b�m ��%/�&����>�E

P%E�D)�������Y�%���r�Y����V� � 2 p [�]_^ � � � � b�

� � � f P%E > l

6.�*��$Q��$%�b�m ��%/�&����>q# �/�&!�*���- �/

�Bp [�]_^� � � ��� � ��"� �& ! �

0 ^��� �

� � � f � � � [ 0 l f P!E :�R l

X�E.@5����� ����.�Y����V� � � 2 � � � & !

�� ��� � [�]_^ � � � � & !� � � b� � � � & !� �5p [�]_^ f P!E :@: l

]/u��$��A��m :L��b/% ���:���- �/ � � � :���P%� X �=���7��$��A�#�?���M�Vm ���:���- �/Q ���&%���7�( �����$%�AV����X�����%����E T $%�[ :L����M��0�m�����H+

Vm ��M��9����%���#>K �����$%�H��M$%���C�H�0� f � � 2 l �/�&"�-�2�0�=&!���������X&"�?> �D � P �m�-�=��/c�m�����X�&!�0�->K�#�?����/�&!�X&

�� ���$%�-�M&?+4 ��M&!���.�0/Q���0���A���0���0����7�� C��$%�bL����- !��*��>q�� ��0L������0/K��$%�A�5��67�� �/%���/"���Y� � .�.C�4E

8% ���� � * ��� * �� ��� � � ��� � * ��� ���K6��e$�OL��e�&! �V!���X&b��$%����Vm����������=�n�p[���0���C��/B�9�C����$% !&Z;������ � X�S$�4E�4�\���CV%�0 :>!��Y���/�&%��M&A�%/���������#���%����&H�/�&H$?>?�%����&A1�����&%�9�%/%�0�-U��7V%����L?�- ����9�V%V%�� ��M$%���k��$�������Xt����-������V��X#����!�Y����������%���X&

1�����&%��E T $%���./%��6 L����M�Y�0 �/Q ��'��$%�A��V��X�������Z���0���C��/B���C�#��$% !&Q���Y�X�.H$��-�������M$%�����3������0�7�������&Q �/0���# ����

Vm ��0>B/� ��C�0��0�e6.�*��$q�C�*�!�X&W6����-1�$B������$�:�7��# ��C�C !&%:���5��#�%�M:����/?�%�C�����0���mt����&!�M:���%�����/�&C^����!�-�%�0�0�*��>

�0/�&!������������0��:���- �/v�B>w���CV%�0 :>?�-/�10D�;�S"�!� ;BFQD�9,N�M0I G<RE=�;�� ?�N:A�I�E T $%�K&!��1���/%��������q���Y�Q# ���������V� �/�&%�=�� �

Page 39: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

: �

�0�-/%�X�����/%�-���=���0���C��/B�7&!�0��#���#���-�X:���- �/q6.�*��$W��$��rL���������#����# ���������V� �/�&!�0/%1b�� [�0�-/%�X����C ?&%����E ���M$W���-������/B�

# �/����0�Y���� �� � �C !&!���7Vm����&%�-����#���0 �/_���!��/% �1����0&%&%�-/%1�6.�-��$%�0/_��$%�b���0���C��/��.�������Xt����-����&Q��7��0�F# ���V��!���+

���0 �/��=����C&! �/%�H�0/w�� !&%����YV��#��EH,?Vm��#�-�����0�->�;F���M$c���0���C��/B�b���=����V���M:���X&c�0/B�� K�-�0/%����2L����������"�� !&!�X��;

��&%1��2�C ?&%����;!�����=�C !&!�X�.�/�&K�0/��������- ��7 ��.�%�%���%�-�b�C !&!�X��E

8% ��)b�Y�C ? ���$W�Y ��-�!���- �/F;:��$%�������� ��\�-/W �2��-����U?�0/HV%�� � ��X����- �/H ��3b���C B ���$H�(�%/�#���0 �/q# �/?L�����1��X�'�#�!V� �/%��/%+

������0�0>H��������� A������ A�?>W�Y�0�CV%�->C�0/�#������Y�0/%12��$%�5/?�%�H������ ��F�� !&!�X�)Vm�������0���C��/B� =:���%�m&% ��W��0/FE T $%���e��0�0 :6��

�( ��=�Y���-�X����-L��A������/%������/B�r�/�&"��$����V�? D+F N�;�F Nk������ ��.���Y���0�W:�������0/"��$%�A/?�%�C�����0���'�Y ��-�!���- �/"6.�*��$% ��%�5��$��

:L�����$����&H# B���e����� !#��:���X&[6.�-��$C����1���/%��������0 �/� ��Z5��$%�����#+]&!�0�C��/����- �/�������X�Y$kE'�5/% ���$%���e&%�0�Y���0/�����- �/W6.�*��$

���$%���5L����M���- �/��7 ��\��$��Hn�pu��/%�*���A���0���C��/��r������$% !&K��$�:�5���CV%�- :>Q�C �/% ���������.���.��$�:�5L�����>q$%�01�$" ���&!���.�0�

�����&%�-�0>[����V��- :>���& f ��E 1�E-; � �*XBP l �/�&���$���)��$��5�[���*���*+]&!�0����/����- �/����������0�)�0��2����/��Y ��������V%�� !&!����e�0/W��$��

���M�/����( ����C��&N&! ��W��0/F;@� X�SC�4E T $%����;Z�0/c���%��/F;Z�-�X�&%�r�� Q1� B !&"���q#�0��/��>"�-/w�Y�0�[�%��:���- �/��r6.�*��$�$%�01�$%+a ���&!���� E T $%�W/���6 ������$% !&w$���2������/v�-�CV%�0���C��/�����&v�0/w��$%�q�������0��)�/�&�V������-�0����L����M�Y�0 �/��= ��e��$��q# ��CV%�%�����

# !&!�2/���C��&���� :�� � = � .2�E�aE

��������� � � 1 � �P1 �+�,#��%� ���� � ����&���� �� � ��&2����&2� ��� � � ����� � 1 � � �-�

T �&!�C �� f :+>��@> l � X��$�k���M�Y���-/B���� !&!�����&K��$��[# �/�#��V!�5 ��)��V��X�������FL:�/%���Y$��-/%1_LB����# ����-��> f ,?@r@ l �( ��5$?>?Vm����+�m ��0�0b� �/�������L::���0 �/Q�0O6���E),?Vm��#�-�����0�->�;!$%�A# �/��Y��&!�����X&q��$%�b�-/?L?������0&KI��%��1����M���?�Xt���:���0 �/

�� � � f �k��� l � �� � � �32 f �9� � lP � ��R%� f P!E :XP l

���%�! ���#�q�� �1��0L���/��0/%�-������r�/�&��m ��%/�&����>�# �/�&!�-���0 �/���E T $%�N&!�������-/�����0L��c�(��:���%���c ��A�� ��0�!���0 �/��W�� d��$%�0�

V%�� ��%�0��� ������$�:�2�YVm �/B���/%�� ����\ ��%�CVN&%�0��# �/����-/?�%�-���0��� f ��$% !MUK6�OL���� l �CO>u&!��L����0 �Vk;��/�&"$%��/�#� ?0M8ST? IEI

���6��X�Uu�Y ��-�!���- �/��=��/����C�&%���-�Y����&ZE � �-��$��-/���$%���2#�������;���$�����������H�C�/?>KVm ������-�%�0�H�� ��0�!���- �/���;Z�/�&c�0/

��M&!������ K�Y�0/%1��-�A ��!�5��$%�[V�$B>!���0���0�->K�����0��L:�/B�r �/%�[�/N�&%&%�*���- �/���'��/B���� �V?>K# �/�&!�*���- �/c���r�V%V%�0�-�X&Z;3 �����$��

�( ���� �� � � �32 f �k��� lP � � �� � � � f �9� � lX ��� R�� f P!E :>X l

Page 40: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:XS

]/���$%�c� �/B�����?�q ��2LB����# ?������Y����Q^� :6���;e��$%�N ��! ��X����0L��u���C�� v ��!����-/ v�%/%��tB�%�c�Y������-�"�� ��0�!���0 �/� ��=��$��

# �/!�( ����W:���- �/��Y���������r�XtB��:���- �/FEC]/���$%�_,!@5@��C�#��$% !&N �� T �&!�C �� f :+>��A> l ;FQ���W��0�)��C ��%/B�b ���� ;W=�5#�

=�5 D<5LA�=�58A<79&%�0���Y�0V�����0 �/K�0���&%&!�X&_��$�:�5��:���0�Y���X�7��$%�b��/B���� �V?>_# �/�&!�-���0 �/F;�>��#�����#�M��0/��.��V��X����M��9����%�M�#>�E

4�\�0�'����Y�X&b �/AL?����� ����*��>b�� ��0�!���0 �/��k ��%/% �/!+4�0�-/%�X��\�5����0�-�� �/%+ �B�� ��%����tB��:���- �/���;X6.$��0M$H$�OL��)�m����/��Y����&!�-�X&

��>?�Y�����W:�������-�0>q�0/ � .�S*�aEe,!V��X#�-�����-�0>�;?��$%�bL?�0��# B�Y�-��>_�� ��0�!���0 �/Q�( ��7��$%�AI��%��1����M���?�Xt���:���0 �/K$������$%�2�( ����

���� � f �9� � l � �� � � � 2 f �9� � lP � � ��� � � ��� � �� � � � f P!E :8. l

6.$%����� � f�� R l �0�H"L?�0��# B�Y�-��>���CV%�-�-����&!�Q�/�& ��� ���[cLB����# ����-��>NU�����/����aE��� �/?L�����1���/�����WO>���$%��/��m����Y����%�0�0��$%��&��B>�� ��CV�����/������q���Y���0�W:�����u# ��[�%�0/%��&�6.�*��$ ��/B���� �VB> &!�����Y�0V�:���- �/ ���1�������/B����� X��E�aE T

������V��X��Q��V��X�������5��#�%�M��>�;���$%�v,?@5@��C����$% !& �W�U����W���Y�" ��2L?����� ����q����1��%������-�X:���- �/��/�&���tB������0 �/

f P%E :>. l �WO>q�m�b����6.���-�Y����/K�-/"&!������������=�( ���� f ��������0/%�0/%1 � �� !&!�X� l

�� � � � f �k��� l � �� � � � � � �32 f �k��� lP � � � ��� � � � � � � � �� � � � f P!E :W� l

6.$%�����5��$%�2���M�� f���l &!��/% ������7# �/?L� ��0�!���- �/q�/�& � � �0�7[V%�� � ���#���0 �/q �V�������� ��XE � � ���7AL?����� ����*��>CU�����/����a;

6.$%��M$v�0�[ �/%�0>������0L::����&��( ��A$��-1�$d6�OL���/?�%�[�m���M��E ]/�8% ������0���A��V�����;k��$%���AU?�0/�&v ��.�YVm��#���M��)L?����� ����*��>

��/q�m�=���q#�0��/B���0>W�-�CV%�0���C��/�����&Q����[�%�-���0V%�0�0�:���0 �/Q ��F��$%�28% ������0���7# ?�#�q��-��/��M�e �� � � 6.�-��$_��$%�28% ��%���-���

# ?���W��-��/B���7 ��'��$��bU�����/%��� � � ;%�aE ��E0;

��� � � ��� � � � �� � � � � � �

���� � � � �4 2 b� � f � l b� � f � l ! � � d �

6.$%����� 4[�0�'��$%�76�OL���/?�%�[�m���X; � ��$%�./?�%�[�m���� ��m8� ��%���-���\�� !&!�X��;��/�&C� ��$%�76�OL���/?�%�[�m���\��m :L���6.$%��M$

��$��A�YVm��#���M��ZL:�/%����$%�-/�1�L?����� ����*��>W���������0L::����&ZE <r���-1��-/���0�->�; T �&%�� �� f :+>��@> l ���Y�X&

b� � ���� �� R%� ` 4 ` � �:�� ` 4 `�� ���

f P!E :�S l

Page 41: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:B�

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k/N

M = = 5 SQRT(N)M=0 LES model

8'�-1��%���HP!E :��Q���������������� ����� ��%� �5!#" $ �&��'4�����;)+��H!�-4� � /0�&�&! �1���*����'4��� -(��'(3������ ��%� �5!6"X79�(��� - ����'(��: < >���'(� � %���@�����'(� :=<=B�C.��'(�8!�-(�HFH�1� ���L-4'E��'EI%JK-4%�����&! M#N ��� ����P2������� ��%� �5!#"X79�(� � -4M#�4 !S���@'4�TCLU

6.�-��$ � � � R�� P��C�������&c �/�� �/����0&%�����-/%1Q�C�-/%�0�C�-�X:���- �/N ��e��$%���� �����*+4L:����0����0 �/" ��e��$%�C/?�%�C�����0���\�Y ��-�%+

���0 �/kE ]/v���%������tB�%��/B�26� ���U3;Z$% :6���L�����;Fu���C B ���$vU�����/����\6���2������&Z;'�Y�0/�#�C�-�A6���=�( ��%/�&N��$�:�2��$%��� Y

���� ? ���$%/%�X���� �� b� � �-�CV%�� :L��X�A��$%�u���X�Y ��-�!���- �/� ��r��$%�c,?@r@ ������$% !&ZE�8% ��W�F��1���/�&%���QV��Y����&! �+4��V��X�������

�C�#��$% !&%��;� c�&%O>W���5��aE � .,� �k������& � � � 0 ^ ;��#���0L::���X&Q�( ��.�C !&!��� 4 � � � � � � ;%6.�-��$

b� � � ! 0�������� ������� � � 4 � � � f P!E : � l

]/W ��M&!������ ��Y���.��$%�r&!�*�3������/�#���m�#��6�����/W��$%�r# �/?L� ��0�!���0 �/C �Vm���M:�� ��) �/C��$%�5���01�$B�Y+4$��/�&?+]�Y��&!�.�0/q��tB������0 �/

f P%E : � l �/�&q��$%�b��������FL?����� ����*��>W����1��%������-�X:���0 �/k;�6��=�( ��0�- :6 T �&!�C ��5� .��$�9�/�&Q�#�!V��/�&Q��

��� � � ��� � � � �� � � � �

�32 � �� � 2 � ��� � � & ��f �9� � l � � � �� � � f P!E :>� l

6.$%�����

& � f �9� � l����� � 0 �

b& � f � l ! � � d � b& � f � l����� �� :.� b� � f � l ` 4 `�� �: ` 4 `�� �

f P!E :+> l

T $%�u�#�?������������ �V%Vm������0/%1w�-/��&%&%�*���- �/��� ���$%�u���M���q�Y���/�&%��M&�L?����� ����*��>v������� �W�U����H��$%���W�C�#��$% !&

Page 42: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:W�

&!�-�m������/B��E 4�A�C����Y�%�����=��$%�q&!�����M�/���C������6�����/w��$%�q��Vm��������� f L:�/��0��$%�0/%1 l L?����� ����*��>c�/�&���$%�q�Y���/�&%��M&

L?�0��# B�Y�-��>�E T $%�������������0�7�m ��%/�&!��&K�0/Q��$%� V 2 /% ��������0���0������->W�� ���$%�b��V��X����M��ZV��� � �������- �/_������ ��XE�]/K��$%�0�

V��V����.6��2���#�(���7�� C��$%�bL?����� ����*��>q��7L:�/%���Y$��-/%1W�����$%�2��$%�� ���>q����tB�%�0��������$���

� � :����� ��� � ��� � :

�/�&q��$B��� � � RH�( ��.$%�-1�$u6�OL���/?�%�[�m���M��E

T $%�=��������e6��5�����5����6.���-�Y����/Q�-/_�������W�e ����B�# ��%��Vm ��0>?/% ��C��������/�&q����&!��� ��CV� B�Y�X&W�0/��� I�B58F 7 5 9Q�� !&!�X��;

5E=8O�5u�C !&!���C�/�& N:A<7 5LF N�;�Fc�C !&!����E T $%�0�����CN�����C�*+4 �����$� �1� �/���e������0� f ����� � X�S$�7�( ��C&!������0��� l �%�!�C��$��,?@r@ V%�� !���&!�%���2�Y$% ��%��&Q�m�b�V%V��-�0��&Q�� C ��Y��$% �1� �/�����C !&!����E T H��$%���7��/�&Z;�6��26.�0�-�Z�����/��Y�( ���� ��$%�b�����C�*+

�����$� �1� �/���m����Y������ C��$%�b �����$% �1� �/���m �/%�b��7 ��!���-�0/%��&K�m���0 :6bE

4�F6����#�%��C�0/%�.��$%�56����U[�( ���� ��3��$��=,?@r@�������� � ZZ d� ��� Z Z d� �/%�->�;��01�/� ����-/%1b�m ���/�&%���>H�������W�e�/�&C��$���0���&%�-/%1W� B���q#�0��/B��;!6��b$�OL��r��$��2�( ��0�- :6.�0/%1C�������5�( ����� ��k��$%�[,?@r@ �Vm���M:�� ��

� � �� � � � � �� ��� f P!E P�R l

6.$%����� �d���WN�����Y�C�(�%/�����- �/����U���/��(�� �� ��$%� �B�� ��%�7Vm ��0>?/% ��C������ � � � �u�/�& � � � � b� � � � E ]/���$��

&!�����0L::���0 �/N�����- :6 6��H6.�0�0�\������%�C�A��$�:�b��0�\&!�0��#���#�������%�C�W:���- �/��r����[�(�� �� :�� � � �-� � E ]/"��$%�C/% �������0 �/��m :L��C�/�&N$%��/�#���( �����$ f �0� � l &!��/� ����X�=��$%� V 2 �0/%/%���bV%�� ?&%����[�/�&N�-�b�0�b������%�C��&N��$�:�b��$��C� �/B���0/?�% �����/�&Q&!����#���#���b�0/%/%���.V%�� ?&%����M�.����=�0/B������M$��/%1��X��%�0��;?1��-L���/Q���!�q#�0��/B�5tB���&!������%���= ��M&!���XE

�� :6b;e�-�����`�m�"c�W:�����-�d��$���C���M�/��Y�( ����W�A��$%�Q�C !&%��7� ?�#�q#�0��/B��� b���( �����$%�u������0�[�(�%/�#���0 �/�� � � � ��� ���"�0/ ��� � �A�YV��#��;!6.$%����� � � � �b�0�7 ��%� � � ������������Y�X&q�( ��7��$%���2��-����U?�0/q�( ����[���0����0 �/u�/�& ��� � �b�0�.�/;BF 7 9�;�A+;�F*� ?�Se����Y������$�:�A��V��/�����$%������C���YV��#�C�� � � � �BE2�k�#� � �m�CQ&!���1� �/���'�W:�����-�u��$���2�����2������-�������0/%1C�(�%/�#���0 �/ f ��$%�A��/������0���� ��\6.$%�0M$"����21��0L���/Q�?>Q��tB��:���- �/ f P!E : � lYl E]/K��$%�A/� �������0 �/"��m :L��=6��

$�OL����� ��� b�'E <r�%��1� ���Z���7�� C���*�����.��$%�[� B���q#�0��/B������c�0/��Y���X�&K ��'���-�������0/%1C��$%�H# ?�#�q#�0��/B�M� b�9E�����/�#��;

Page 43: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

:?>

6��56� ��%��&q�0�-U����� [�����/����( ���� f L?��A��$%�=�C������*�� l �� A��$%�r ��Y��$% �1� �/������V�����;����-�����X;!�/�&q��$%��/q�����/����( ����

���MUmE T $%������/K���A��# ��CV%�-����$%��&Q�?>W��$%�b �V���������0 �/

bb� � � 0 ^ � � b��� f P!E P : l

� �A��/K/% :6~6.���-���b���?V����X�����- �/ f P!E P�R l �0/_��$%�A&!������������=�( ��������Y�0/%1C�W:�����-�_/% ��M:���- �/K����( ��0�- :6���

�� � 0 ^ � � , 0 ^ � b� f P!E P�P l

6.$%����� � ��� � � � � � Z����Z d�� �/�&", � � � f � � � � �Xl E 4�5��/"�m�A��$% :6./K��$��� � 0 ^ � , 0 ^ � � ;��/�&K$%��/���b��$��&!������������=�( ���� ��9��$%�[,?@5@ �V�������� ����( ��7��$%���2��-����U?�0/Q�C����$% !&K�0��1��0L���/Q�?>

�� , 0 ^ � � � � , 0 ^ � b� � f P!E P�X l

�� ����2��$�:�.��$%�A��m :L��2&!������������2 �Vm���M:�� ��7�0�.��>?�C���������0�;������C�*+4Vm ����*���-L��=&!����/%�-����E

T $%�K��m :L��C�( ����[���0����0 �/d67��b�����Y�H�0/B���� ?&%��#�X&d�?> �2�0���?> � . >$���( ��H� ��,3E$4�H$���H������/����%1�1����Y���X&w��$�����$��[������-��#����ZL?����� ����*��>Q�&%&!�X&K���Y����0�->Q�-/u��$%�A�������X������tB��:���- �/Q�0/"V%$?>!�Y�����F�YV��#�b�����/���0 �1� ������� q���%�!+

1�����&HL?����� ����*��>H�-/_�0���1��#+4��&%&!>H�Y�0�[�%��:���- �/�� f � ��, l E T $�:�e����;��0/��Y������-�0�*���-�X����>?V%�����-�0>���������.6.$%��/C��$%�5���C��-�

�����0���b����W��/�&!����+4���X�Y ��-L���&N�/�&Z;\# ���������V� �/�&!�0/%1��0>�;9�Y ��-�!���- �/v�� �/% ��� �/%��#�-��>c���b�0 ��Y��E T "��$%�0�A��/�&Z;'�-�[�0�

�0/�������������0L��[�� K# ��CV�����2��$%�C�YVm��#���M��kL:�/%�0��$%�0/%1_L?����� ����*��>Q�� _��$%���YVm��#���M��'��&%&%>�+4L?�0��# B�Y�-��>_�0/B���� !&!��#�X&

�?> �2�M���M$%/��/ � ��RC�7��b�C ?&%�*���X&v�?>d��$% ��-�0�#��+4�k�����-���%� � � :�;'��P$�aE T $%�q��:�������[$���b��$��q/% �/%+4&!�0�C��/����0 �/����( ���� � ��PE�

� f 4�o � l �� 0 � 2� � R�� .�.2: �7:W��� P<!���p f � X�� R�X � o<4 l �4����� �~P�� : f P!E PB. l

�� ��CV�����0/%1���$��[8% ��%���0���r�/���- �1� ��9��$%�A�X&%&!>B+aL?����� ����*��>_���CV%�0 :>���&K�0/c� ��, � � : �k�� q��$%�AL?����� ����*��>_U�����/%���� � f 43����� � l �-/B���� !&!�����&c�0/c��$%�W,?@5@ �C�#��$% !&Z;Z��1��%���CP!E :���$% :6��r�� ���$�LB����# ����-��>KU�����/%�����r/% ����W��0�-����&

�?>q��$%���0���W:�!�0�[�%� LO��-���A:��4 � � Ee8� ��r,?@r@[;���6� W&!�-�m������/B��LO��-�����. ��9��$%�[#�%�Y+4 ��N67OL���/B���[�m���.����

Page 44: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P�R

# �/����0&!�����X&Z;!�aE ��E-;

� � � � � �( �� � � R��/�& � � �!� f P!E P�� l

�/�&W����7��$% :6./W�0/C��$%�5V%�- ��e ��m��1��%���=P!E :�E ]/WV��������#�%����X;���$%�5�� ��0�0&��0�-/%�r��/W�m�.��$% ��%1�$B�) ��F��) IE7 ?�R8N:S N:7C�

RE?BF F N�58Fr��� :L��[6.$%��M$��C �/% ��� �/%��#�-��>"�/�&c��$?���2���M��%�0�0�*��>"���2/% ��21�����M�/B������&ZE/<r/c��$%�C ���$%���=$��/�&Z;Z��$��

&%��Y$%�X&q�0�-/��2��/K���=��$% ��%1�$B�7 ��9��.�/ ?�MUM8G,F ?�M � RE?BF F N�58F������- :6�6.$��0M$Q��$%�b� �/?L�����1���/���5 ��k��$%�b�C�#��$% !&

���e:�3��#���X&ZE T $��0�e���/%1��7$����������/W������&C�0/W�C ��Y�) ��3��$���/?�%�C�����0���%���?Vm�����0����/B���)�� 2���� f �Y���7�( ����#�%��CV%�0�

� .2�B;�.�R!; X��$� l �/�&w���[� �/����0�Y����/B�A6.�*��$v��$%�W��$%�� ����������������X�Y�%�-��� � X2� �aE ]/w��$%�_V%�- ��[�-�[�0�[�Y$% :6./w��$�:�X;9�0/1���/%���M��a;'��$%�_��6� N�( ����W�A ���L?����� ����*��>w$�OL��_�Y�0�C�-����C&!���������0�%�!���- �/��H�%�!�[��$�:����$��u,?@r@ �( ���� &! ?���H/% ��

:�3��#�)��$��.���M���e �/%�#+a��$��-�M&� ��) �/%�#+4$���-�Z ��3��$��5�YVm��#�����%� f L?�0��# B�Y�-��>B+h�(�����7Vm ������0 �/ l �/�&C�-�e�0/�#������Y�X�\����Y�����

��$��/u��$����2����0M$�/��/ =���$% ��0�0�#�Y+]�F�X�Y�0�������X&%&!>B+aL?����� ����*��>_�-/u��$%�A$%�01�$%����67OL���/?�%�H���������M�/%1���;%��E 1�E��0/u��$��

����# �/�&?+4$���-�9 ��k��$%�A�YVm��#�����%�uE

]/���$%�C�( ��-�0 :6.�-/�1�;Z6��H6.�0�-���&%&!�������5��$%�W���m�X��b ��.,?@5@� �/N��$%�W# �/?L�����1���/�#�[�M:�����/�&N��$%�W�Y������-�0�*��>N ��

��V��X����M�� =�n�pK���0���C��/B�5&!������������0������0 �/FE

��������� � ��� ��1K# 1�����1 �'��� � ��� /0� #�� � 1K�21 #<&

T $%��# �/?L�����1���/�#�2���X���M�5���Y�X&u�� K�Y$% :6���$%�H���m�X��= ���,?@r@ ����H�������&u �/N�/N�/���0>B����A�� ��0�!���0 �/N&%�����-L���&

�( �����$%�b# �/%�( ����C����0 �/_����/��Y ����0/uHM$��/%/%���3^� :6bE�I�>W�0�#�����0/%1 & � � Pb�( ���A��6� �+]&!�0����/����- �/����^� :6 �/�&& � � Xq�( ��rq��$%������+4&%�-�C��/��Y�0 �/���Z^� :6 �0/c��tB������0 �/ f P!E X l ;m6��H��/c�Y�0�CV%�0�*�(>u��$%�H�/���0>B����A�Y ��-�%���0 �/"�( ��

L����- !��*��>Q������&%�r �����$%�A�( ���� � � f � f � l ��R%��R l E T $?����;m6��H��/"�#�%��C�0/%�A��$%�[���m�X��2 ��\��$��[��6� _&!�-�m������/B�V����������������r�V%Vm������0/%1_ �/"��$��W,!@5@ �( ����[�%��:���- �/ f ��$%�W#�!�� ��d�C ?&%�C� �/�&"��$%�HL:��-�%�� ��e� l �/�&"��$��

V 2 ������ ��� �����$%�[/?�%�C���������k���X�Y�%�-���56.$%��/�# ��CV�����X&K�� W��$%�H�/���0>B����A�� ��0�!���0 �/FE��r�r�Y������X&u�-/ � X�.*�a;m��$���#�%������ ��0�!���0 �/C ��m��$%�r� �/!�( ����W����0 �/H����/��Y ��)�( ���2��$%������+4&%�-�C��/��Y�0 �/���%V%�� ��%�0��� ��/C���r�0&!��/B���-����&W�����$��

�( ��0�0 :6.�-/%1 f �Y>?�C�C�#������ l �W:�����-��

Page 45: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P :

� �

��������

^��� ���� : � 2� � �� � � ��� ������ � l 2 �� � �� � � ��� ������ � � R

^��� ��� � R

^��� ���

���������

f P!E P�S l

6.$%�����=��$��2�( ��0�- :6.�0/%1W&!�#��/%�*���- �/��.�V�V%�->�

� f � l � � P*�"!V � �� � � f P!E P�� l

� f � l � � X � f � lP��Y�0/%$ f � oBX l

� f P!E P�� l

� � �Y�0/%$ 0 ^ f X � X � o�P l f P!E P�> l

8% ��e��$%�=��6� �+4&%�-�C��/��Y�0 �/���������r6��5����&!��#�r��$%�=L:��0�%�r ��&~�(�� �� � XA�� � PH�/�&Q# �/��Y�XtB�%��/B���0>C �/%�0>C��$���%V%Vm���5�-��� �rP �uPH�%�0 !MU_�V%Vm��������( ��7��$%�b���%���.���?V����X�����- �/FE

8'�-1��%���uP%E P�T $%� :�S�+a���-���C��/B���C�X�Y$����CV%�0 :>���&��( �����$��u� �/?L�����1���/���q�����Y�����-/���6� �+]&!�-�C��/��Y�0 �/���E T $��

M$��/%/%���Z$���.�/% �/%+4&!�0�C��/����0 �/���Z�-��/%1���$K ��\PH�0/K�m ���$"&!�-����#���0 �/���E

I7�����&w �/v��$%�_��� :L��q�/���->B����C�#�!V%���������- �/F;k6��_# �/�#�0��&!�q��$���A��$%�_�#�%�#�[�����0����0 �/w�( ��A��$%�K# �/%�( ����C�+

���0 �/�����/��Y ������%�! ��X��H�� ���$%�u��m :L��q�����Y����������0 �/��[���H&%��Vm��/�&!��/B�C �/%�0>w �/d��$��QL����0 ?��*��>v1����&!�-��/B�H�0/���$��

�B+4&%�-����#���0 �/FEv8���%���������0/%1�N/% �/%+h�����0L?�0����� ��0�!���0 �/��( ��H��$%�K^� :6 �����0&��( �� � � �-� :��+: �7 ���$����H��$��/���$��V������� ��0 � f � l � :'� � 2 ���Xt����-�����'��$%���0/����� !&!������0 �/W ��F2�� ������ ��CV%�0�0�:����&C�#�!V%���������- �/[�( ��)��$��5&!���-L?�0/%1

Page 46: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P�P

�( ��M#� �~�-/K��tB������0 �/ f P%E : l E'4�5��/Q�m�A��$% :6./_��$�:���-�

�Kd ��� PX

V& !C�"! � �k� ���$ f X � l � f :5��� l # B�Y$ f � l � f P!E X�R l

��$��A# ���������V� �/�&!�0/%1H���!V%���X�����0 �/q�( ��7��$%�bL����0 !#�-��>q$������$%�A���-�CV%�0�2�%�!�5/% �/!+a�����-L?����m�( ����

� f � l � � P> � X

V�"! � # B�Y$ f X l �v# B�Y$ f X � l � � � � �-� :���:�� � f P!E X : l

8'�-1��%���HP!E PC�Y$� :6��7��$%�[��6� �+4&%�-�C��/��Y�0 �/���Z�C����$u��$���r67��.������&K�� q�0/BL����Y���01�����2��$��H# �/?L�����1���/�#�2�M:���b ��

��$����C�#��$� ?&FE T $����C����$W6������CV%�- :>�# �/��Y���Y���� ���. � .2���0���C��/��M�e�/�&���$%�r&! ��W��0/C�0����)��$% :6./F;�6.�*��$W��$��

�0��/%1���$_ ��k���M$_���0&!�=��tB����m�� WP!E � �=$�OL��r���#�GV � :�R�� � ��R�� :r6.$%��M$_1��0L��X� & ! � ���� � ^�� � 2�� ^� � ^ � :XR�� P

�/�&#�"! � �q�/�&"� �/�����&!������&K��6� WL:��0�%���5 �����$��[# ��%V%�0�-/%1_V���M��C�#����� �e;�/���C���0> : f /% Q� ��%V��-�0/%1�;��hE ��E

����67�� �/%�0�/Q6.�-��$ � � ��R l �/�&uR�� > f �0 B B�Y�b� ��%V%�0�0/%1 l E

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

modes

L 2 err

or

NekTar 2d FENE−P, cosh profile, β=1

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

modes

L inf e

rror

NekTar 2d FENE−P, cosh profile, β=1

8'�-1��%���QP!E X��� �/?L�����1���/�����M:���q�0/�# �/!�( ����W:���0 �/w����/��� ��A�0/d��$%� V 2 f �0�#� � l �/�&?VQY`/% ���� f ���-1�$�� l �( ��

��� :�� R f ����67�� �/%���/ l E

]/���1��%����P%E XK�/�&�P!E .K6���V%�0 ��=��$%� V 2 �/�& V Y ������ ��r�0/c��$%�W# �/!�( ����W:���0 �/c����/��Y �� f ��0��# ��CVm �/%��/B��� l

Page 47: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P�X

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

modes

L 2 err

orNekTar 2d FENE−P, cosh profile, β=0.9

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

modes

L ∞ e

rror

NekTar 2d FENE−P, cosh profile, β=0.9

8'�-1��%���QP!E .��� �/?L�����1���/�����M:���q�0/�# �/!�( ����W:���0 �/w����/��� ��A�0/d��$%� V 2 f �0�#� � l �/�&?VQY`/% ���� f ���-1�$�� l �( ��

����R�� >

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

10−5

10−4

10−3

MN (filter mode cutoff)

L 2 err

or −

iter

ativ

e so

lver

NekTar 2d FENE−P, cosh profile, SVV on conformation tensor

ε = 0.00005ε = 0.0001 ε = 0.001 ε = 0.005 ε = 0.01 ε = 0.1 ε = 1.0 ε = 10.0

8'�-1��%���7P%E �����3��#���' ��Z,?@5@ ��CV%�0�-����&!�.�/�&H��!�Y+4 ��W67OL���/B���[�m���' �/A��$%�7������ ��9 ��m� �/!�( ����W:���- �/b����/��� ��XE

Page 48: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P�.

�( �� � � :[�/�&"R�� >C���X�YVm��#���0L����0>��%6��[�Y���2��$������$��[�Y ��-�%���0 �/"������ ���# �/?L�����1��X���#�!V� �/%��/B���0��-�0>q�� q������ C�( ��

���Y�X��EK,? ��0�!���0 �/��A����C ��!�M��0/%��&w�( �� � �"� X%� �*�aE � �_�����C��$�:�[��$%�C�( ����W�� f �#�!Vm �/%��/B������ l ����%�M�#>N ����$��A&!�0��#���#���-�X:���- �/Q���.�W��0/B����0/%�X&ZE T $%���.�0�.�����%�b�-��������V��X����0L��= ��'��$��A�Y�0���b ��9��$%�A# ��%V%�0�-/%1CV������C�#�������

��-��$� ��%1�$F;?��$%�b1����X:��������$%�bL:��-�%�2 �� f :.��� l ��$%�b�����1�������$%�b������ ��7�0�7���?Vm��#���X&_�� W����E

�����?�26����#�%��C�0/%�H$� :6 �Y��/��Y�-���0L��H��$���/?�%�C���������'�� ��0�!���0 �/��0�=6.�-��$w���X�YVm��#�r�� _��$%�WM$% ���#�H �����$%�W,?@5@

V�������������������6��r�%�q��$��2��Vm���������3 ��M&!������ � � �!;���$%�b# ��%V%�0�-/%1�V�������������� ����R�� >%;B��$%� � ����������/?�m����1

/?�%�[�m��� �"! � ��Rb�/�& & ! � :XR�P!E T $%������V������C�#�������\�������%�-���� [A/B�������������-�0>[��/����M��%�0����>?�Y�����u;�6.�-��$!+ ��%�)��$%�5���Y�. ��k,?@5@HE�]/C��1��%���5P%E �=6��.V%�0 ��)��$%� V 2 ������ ��� ��3��$%�r# �/%�( ����C����0 �/H����/��Y �� f ��-��# ��CVm �/%��/B��� lL����������)��$%�b#�%�Y+4 ��u6�OL���/?�%�[�m���7���( ��7����L��������L:��0�%�X�e ��F��$%�b,?@r@���CV%�-�-����&!�5�!E � �-��$K���X�YVm��#�e�� H��$��

��:�Y�����X;�6��[�����A�0/�&!����&u��$�:�5�( ��5�����1�����L:��0�%���56��[���%/"�0/B�� Kq���M��%�0�0�*��>K��������-����6.$%��������7�( ��r�- :6�L:��0�%���

��7�u��$��_��#�%�M��>�&!��1��M�&!�X��������M$v������/�&��[����qL:��0��&w�( ��H&%�*�3������/B�HL:��-�%�X�A �����$%�K,!@5@ ��CV%�-�-����&!�Q��

��$% :6./"�-/u��1��%���HP!E �!E T $��[���M��%�0�0�*��>u�/�&N����%�M�#>q������/�&%�56.�*��$c������V��X��5�� qL?�0��# B�Y�-��>Q��CV%�-�-����&!�A�W����

����� A�-/K�1��������C��/B�e6.�-��$ T �&!�C ��X� �)��$%�� ���>���*��$% ��%1�$q$%�����5��$%� ;UD�7HN�� ?BSBL:��0�%�5 ��Z�b��/%/� ����m�=V%���X&!������X&

V%������0�����0>q�?>W��$��2��$%�� ���>�E T $%�A����Y��/��.L:��0�%�X�.# ���������V� �/�&W�� q&!�-L�����1���/��.���Y�X��E

�5�CN��/���������W���Uv �/d��$%�"�Y���-�X����- �/� �����$%�Q��6� v&!�-�m������/��C�m ��%/�&����>v� �/�&%�*���- �/�� Z �Z AK[�]_^�` a ��RN�/�&

� [2]_^ ` a �cb� ` a ;�6��[��$% :6��-/u��1��%���[P!E SC��$�:�r��#�����#>q����/% ��r���-1�/%�*�m��/B���->K:�3�������&u�?>Q��OL� ����0/%1H �/%�A ��

��$��[ ���$%���XE T $%�HV%�- ��r��$% :6��.��$%� =�N ��5LFU5LA�MU55�0/"��$%� V 2 ������ ��5������6�����/u��$��A��6� �;m/% ����W��0�-����&K�?>_��$%�8V 2������ ��7 ��9��$%�AGr�-����M$%�-������ ��%/�&%���>Q# �/�&!�*���- �/FE

� ��� � �8,�� ���� ��� � �������(�8�� % � ���/��� 57���*3 � � � � � ���,����*�4�,

�� �,�,��*�

T [&!���C �/�����������7��$%�r�Y����%�-�0�-��>��/�&W��#�%�M��>A ��3��$��5�C�#��$% !&Z;�6���6.�0�-�3# ��CV�����. ��%�e���X�Y�%�-���e6.�*��$W �/%�5 ��

��$��5�C ��Y��� ��C�C �/%�0>HV��%�%�0�0��$%��&Q�Y���� ��F���X�Y�%�-���e �/_H�YVm����*�m��m��/�M$%�W���U�V%�� ��%�0��� �( �����6� �+4&%�-�C��/��Y�0 �/���

���-�H�%�0����0 �/���E T $%�r�� ���������/%������ ��F��$%�=��M$%�����r6.�-�0�3���2&!���� �/��Y���M:���X&W�0/q��$��r6����0�*+4�#�%����0/%�X&C^� :6 V�����7

Page 49: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P��

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.510

−4

10−3

10−2

10−1

100

M (filter mode cutoff)

Nor

mal

ized

diff

eren

ce in

L2 e

rror

Effect of the two boundary conditions on the conformation tensor

ε = 0.0001ε = 0.001 ε = 0.01 ε = 0.1 ε = 1.0 ε = 10.0

8'�-1��%���2P%E S��)�m�X��. ��F��$%�=��6� C&!�-�m������/B�7�m ���/�&%���>W# �/�&!�-���0 �/�� Z �Z A_[�]K^�` a ��RH�/�&K� [�]_^ ` a � b� ` a �/Q��$��V 2 ������ ��XE'x������%�*�M����$% :6./K����r�(�� �� ��$%�2��6� �+]&!�-�C��/��Y�0 �/��� f �/���0>B������� l ���Y��E

��6� �+]&!�-�C��/��Y�0 �/���!#>?�0�-/�&%���)�0/W=��>?�C���������0.M$��/%/%���hE\��������;�6���&! b/% ��)�W�U��7�����. �����$%�5��>?���C������>�;��/�&

��$?���26����-/���-��&!�C��$%�C��/����-���W&! ��W��-/F;Z��/%�-�0U��CV�����A�Y����&%�-�X��E T $%�C���Y�C �����>B�C�C�#����>u�( ��[,B�� �U��X�5^� :6 �0�

�0/�&!���X&�����/%�#����0��h;��%�!����>?�C��������>B+a�%�����U?�-/%1r�%�-�(�%���:���- �/��):�e�� ��C� & !.����1��0�C����&!���W�/�&%����$%�.�����. ��m��$���(�%�0�)&! ��W��-/F;F��2�Y�X����0 �/vP!E .K��$% :6���E T $%�C# ���V��!������0 �/���'�C�X�Y$w���CV%�0 :>!�/:B�:SKt����&!���-��:�����M��9���0���C��/B���

��.��$% :6./K�-/K��1��%���2P%E �!E

T $%�����#���%VW ��m��$%�5V%�� ��%�0��� ���)��\�( ��0�- :6���T $%�5�-��/%1���$� ��3��$%��M$��/%/%���%�0�.�R2/% �/!+4&%�-�C��/��Y�0 �/���!�%/%�-���e�- �/%1

f � � �-�5P�R���P�RC� l ;?��$��HM$��/%/%���9$���-� +46.�0&?��$ � �0�=PC�%/%�-���r�0 �/%1 f � � �*�5P%��PC� l ;%��$��A���&!�0���� ��'��$%�H�>?�-�0/�&!���& ����:b��/%�*�=�- �/%1 f & � : l �/�&"# �/�����tB�%��/B���->W��$%�H��YVm��#��������0 �� � &Ao � � ::o�P!E�D���M��m ��0�0=�0/!^� :6� ��

��$��2�( ����

� d f � l � XP � � :.� f �� l 2

� � ��R

Page 50: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P�S

40

8'�-1��%���_P!E ��T $%�C��6� �+]&!�0�C��/����- �/�����C�X�Y$d������&��( ��b��$%�_����/�M$%�W���UNV%�� ����-���KE T $%�q#����L���&v�Y��&!�X�A����

����V%��������/B���X&d���Y �V���M��C�#���������-�0>w6.�*��$�N$%�-1�$!+4 ��M&!�����#�!V��/��Y�0 �/kE���������;)���#�X�C����_V%�0 �������&�����Y���M��01�$B��0�-/%�X��E

� � � � ��S � � � � �*� � �7>��������� � � ����������� ������������� � ����������� ����������� � ������������������� ��� � ����������� ������������� � ����������� ����������� � ������������������� � ��! � ����������� ������������� � ���"���# ����������� � ������������������� ����� � ����������� ���������� � ���������# ������������ � ����������

T ��%�0�HP!E P�T �-�C��������V�� �76.�*��$�,?@5@ V���M��C��������� � R�� R�R :b�/�&c� � PH�( ��r���M$c�Y���#�X���Y�(�%�k������E �

&!��/% ���������$��A�YVm��#���M��Z ��M&!���.V�����&!�-����#���0 �/FE

���W�-�CVm �����&���0 �/%1 � � �*�5P%��PC�.���� � �5P�R%;���$B���C��$%�"�C�X�/�LO��-��� � � :�E T $%�c��m :L��KV%�� ����0�u�0�

�/ A�;B72�/v�#�%�#�A�Y ��-�!���- �/N�( �� �%$� : �'$% :6���L����b&!�%�C��$��q��CV%�0�W�-��/%1���$w �����$%�q&! ��C��-/w�%V��Y���������6��

�/B���0��-V�����H��$%���=�� K$�OL��[�0�*�����0�����m�X��2�( ��=��$%�W������&!�0��&�LO��-�����= �� �eE T $%�� ��!��^� :6 �m ��%/�&%���>"# �/�&!�*���- �/

:� � �~P�R[�0�������X:���X&q6.�-��$u�����%�W�/%/K�� ��%/�&%���>q� �/�&%�*���- �/Q���#�7�� ������� �E T $��=�m ���/�&%���>W# �/�&!�-���0 �/����( ��

��$��r# �/!�( ����W:���- �/[����/��� ����-/C��$%�5��/������/�#�. ��3��$%�5M$��/%/%���������Gr�-����M$%�-�����/�&W����5�Y���)�� [���.��$%�r�/���0>B����

L:��0�%���[# ���������V� �/�&!�0/%1K�� � � :q��A&!����M:���X&v�?>N��tB������0 �/ f P%E P�S l E � �_����Y "&!����/%�W��$%� � ����������/?�m����1

/?�%�[�m���q�( ��C��$��0�q^� :6 �� d��� �"!� �b�3oC&�E���$� B B�Y�0/%1w��$��N,?@5@�V���M��C�#�����M� f �!��� l � f R�� R�R;:��MP l

��$��� ��%1�$% ��!��;e��$%�u���-�C�X������V � �H���W�&: ���������&���W��$% :6./��-/��M��%�0�NP!E P!E T $%�u��L� ��0�!���0 �/���tB������0 �/ f P%E . l

�( �����$%�[� �/!�( ����W����0 �/Q����/��Y ����0�r�Y ��-L���&Q�-/"V�$B>!���0���k��V��#�b�#�!V%�0��#�-���0>�;����Y�0/%1C��$��[�Y�X# �/�&?+4 ��M&!���.�5&���W��+

I7���$!�( �����$"��M$%���C��E T $%�H�&%&!�-���0 �/���',!@5@ V������ ��\��$%�[��tB��:���- �/"�0�5�Y ��-L���&K�-�CV%�0��#�-���0>K�0/"�C !&%��'�YV��#��E

T $%�A� ��CV%�!�M:���0 �/��.����=� �/����0&%������&K�������&%>�+]�Y��:���r �/�#�=��$%�A���� �V%V��-/%1q����-�������0 �/

Page 51: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P��

� � [�]_^ � � [ � Y� � � :XR 0

���r�C����E T $������-�H�%��:���0 �/�V���M��C�������M�5M$� �����/c�( ��=��$%���=����/�M$%�W���U"V%�� ��%�0��� ���� � � R�� �@>%;eV � � P�R!E�� �/��Y��������/��>c6.�-��$ � :�;���X$�e����tB�%�0���X��;F�0/v��$��C��6� �+4&!�0�C��/����0 �/���)������;9"�Y�W��0�)/% ����W��-�0������0 �/c������ ��b�( ����$��A�������X��������/��� �� � � � f V l�� ��� � � 0 � � ;�6.$%����� � f V l � � � ] 2� � � :�� :

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Txx

stress tensor, polynomial order: 9

x

Txx

We=0.505We=0.608We=0.712We=0.818

8'�-1��%���AP%E ��8ed%dC�������X��������/��� ��X;?V� ��->?/% �������Z ���&%��� � �7>�E

�F���Y���-/%1 � � f :=�� l ��;Z6��H6.�0�0�\�( ?����= �/N��$%� ?#9�N�?�S'A+;BF*� ?BS I 7QF 5LIUI 8ed�d � ����� � V%�� ����-�X�5 �/c��$������0� ��

��$��C�>?�-�0/�&!����;3��$%�C6��U���;Z�/�&"��$%�W���M�1�/�:���0 �/NV� ��-/B����E��� ���V�����0�� �/��r ��e��$%�X�Y�CL:��0�%���=6������H&! �/%�C6.�*��$

��$���%L?����#����� � � :�;��X$��V������C�#��������;�/�������-> � �������Y��/B�m����1N/?�%�H���������Xt�������� vR%E ��R��!;)R%E S�R��%;)R�E � :XP"�/�&R%E � :W�%E28'�-1��%���WP!E �_��$% :6��5��$%�CV%�� ����-�X�5 ��)��$%�C:�!����'/% ����W��\�������X����8 d�d �( ��2Q1��0L���/NV� ��->?/% �������' ��M&!�����0 �/�1u��$%� �%+]&!�-����#���0 �/d��A��$%� � ���0������/?������1"/?�%�H�����[L:����0����E � �"�-� :��+: �e���b��$%�_����1��- �/v������6�����/v��$����6� _���M�1�/�:���- �/KVm ��0/B����E <r��������L?�-/�1C��$%��:�!�0��k/% ����W��k�������X���r:�r��$%�H6��U��A�/�&c:� ����R�;�6��[�����[��$���

8ed�d2$���)$��-1�$%����LO��-�����)�0/W��$%�567�U��.����1��0 �/W�� � ���0���Y��/?������1b/?�%�H�������e1��#��$%�-1�$%���X;B�%�!���0/?L����������0>A�( ��)��$��$%�01�$%�X���.Vm ��0/B�� �/K��$%�A�>?�-�0/�&!��� ����R�E

Page 52: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P��

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Txx

stress tensor, We = 0.818

x

Txx

polynomial order: 5polynomial order: 6polynomial order: 7polynomial order: 8polynomial order: 9

8'�01��%���AP!E >����3��#���. ���p�+a���#��/����C��/B�

�8ed%d��Y��������������/��� ��X; � �������Y��/B�m����1C/?�%�[�m��� �"! ��R�� �;:>�%E

8'�-1��%���uP%E >w�Y$� :6��A��$%�u���X�Y�%�-���� ���p%+4���#��/%���C��/B�H�( ��WN1��-L���/ � �������Y��/B�m����1N/?�%�H������E T $%�u�1��������C��/B�

��C �/%1[��$%�2��L��2&%�*�3������/B��Vm ��0>B/� ��C�0��3 ��M&!���M���0�.��-�X��XE<5�����-1�/%�*�m��/�#�=�0�.��0�� ���$%�A&!�M�1C# ?���W��-��/B� � � �/Q��$��A#>?�-�0/�&!���./% ����W��0�-����&K��

� � � �.�� � � f P!E X�P l

6.$%����� � � � � � � � �0�A��$%�Q�� ������L?�0��# B�Y�-��>�;\�/�&���[�Y������X&d������0�-��� � � :�E T ��%�-�KP!E Xc&!���C �/�����������X�

��$��H�� ��%������/%�����5 �����$%�q,?@r@ ���*�������-/%1�;Z��r/% �/%�� ��e��$%��L:��0�%���=����H&!�0L�����1��-/�1W�� K�-/%��/%�-��>�;F# ��CV������&K��

���$%���.�C����$% !&%�7�( ��.�W�#�� ���# �V%��r���-�H�%��:���0 �/���E T ��%�0�AP!E XC����Y W��$% :6�����$%�bVm���M#��/��M�1��= ��\&%�0���1��������C��/B�

�m�#��6�����/N��$���%L?�������� � :�;%��X$�9�/�&Q��$%�H,!@5@�+]���0��%��:���X&_L:��-�%�X��E��5:���%�M��0�->�;%�-/�#��������0/%1���$%� � ����������/?�m����1/?�%�[�m�����0/�#������Y�X�b��$��K&!�����1��������C��/B��E 4�H$���A�� N�m�Q/% ����X&d��$�:�H�0/���$%����&%�0���1��������C��/B�b��$��Q���m�X��C ��

��$��K,?@r@����[����# �/�&%���>�E T "��$��0�[��/�&Z;\6��qVm�����( ������X&dc�������-�X�b ������-�H�%�0����0 �/��A�( �� �"! � R�� ��R�� f ��$%�

&!�M�1�# ?�#�q#�0��/B�M����$% :6./q�0/q�M��%�0�2P%E X l 6.�-��$% ��!�.�V%V%�0>?�-/�1H�/?>q,?@r@~���*�������-/%1�E T $%�r�������%�-�����Y��V%V� ��Y����$��

��m :L���# �/�#�0�����- �/FEH�� ��CV�������Y �/"6���r��0�� _�W�&!�H �/c��$%�C�#�3����b ���,?@5@ �/"��$%� 8 d%d V%�� ����0����E T _��$%�0�

Page 53: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

P@>

/% q,?@5@ � �*� � � S � � � � � � � �7>�"! ��R�� ��R�� �%E >@>BP ��E >A>�� �%E >@>A> >�E R�R�P >%E R�R�S

,?@r@ � �*� � � S � � � � � � � �7>�"! ��R�� ��R�� �%E >@>�� >�E R�R : >%E R�RBP >�E R�R�X >%E R�R2��"! ��R�� S�R�� �%E ��.�. ��E ��.�� �%E ����R ��E ����P �%E ����S�"! ��R�� � :XP �%E ��P�� ��E ��X�X �%E �BX�� ��E ��X@> �%E � .BR�"! ��R�� �;:>� �%E S�XA> ��E S�X�� �%E S���P ��E S���X �%E S���P

��$���%L?����#����� :�� � � � � ��S � � � � �*� � � >�"! ��R�� ��R�� >�E RA>�R >%E R@>�X >�E R�� : >%E R���� >�E R2�:S�"! ��R�� S�R�� ��E >�S�� �%E >���> ��E >�S�. �%E >���� ��E >�����"! ��R�� � :XP ��E ����S �%E >�R�S ��E �A> : + +�"! ��R�� �;:>� ��E ��X�� + + + +

� &!�-�3������/��� � �*� � � S � � � � � � � � >�"! ��R�� ��R�� :�E R :WX�� :�E R :WX�S R%E ��S���� R%E � :OP�P R%E ������X�"! ��R�� S�R�� :�E X�� :@: :�E .���� > :�E P���X@> :�E :>�;:>X :�E :>X�R�X�"! ��R�� � :OP :�E ������P :�E >�.BR�� :�E � :?>�� + +�"! ��R�� � :W� P!E P���P�> + + + +

T ��%�0�_P!E X�Gr���1"# ?�#�q#�0��/B�5� � �( ��b�W�#�� ���# �V%��H���-�H�%��:���0 �/��26.�*��$�,?@5@ f �%V%Vm���[�C��&%&!�0� l �/�&w&!���1

# ?���W��-��/B� � � �?>���$���%L?��������#� :�� f �- :6����A�C��&%&!�0� l E �)�CV!��>w�� O�!�X�A# ���������V� �/�&��� N&%�-L�����1���/B�b���%/���E�4�$���e�� [�m�2/% �����&q$������5��$�:����$%�2# ���������Vm �/�&!�0/%1A�C�X�Y B��� �V%��5���-�H�%��:���0 �/���&! �/%�=�-/ � :��Z&%�0&K# �/BL�����1���E � ������ bV%���X�Y��/B�)��$%�=&!�M�1A# ?���W��-��/B�e�( �� �"! � R�� ��R��=6.�-��$� ��!���V%V%�0>?�-/%1H�/?>C,!@5@����*�������-/%1 f �%V%Vm��� l E T $��Vm���M#��/B�M�1��� ��3&!�-�m������/�#�7�m�#��6�����/q��$���%L?����#����� �\L:��0�%���\�/�&A��$%�5,?@r@ LO��-�����'�0����$% :6./�$%�������� ? f �0 :6���� l E

Page 54: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X�R

��/�&Z;��������%�-���)�(�� �� ��$%�r�Y���/�&%��M&C�/�&C�C !&!�-����&Q,!J5D � �C����$% !& f � :�;���XC�a;?V%���-L:����5� ��C�[�%/��0�:���0 �/�� l �/�&��$��[,?@5@ 6������b# ���V������&_�� CL������-�(>q��$%�A��#�%�M��>q�/�&u�Y������-�0�*��>_ ��'��$%�A�C����$% !&ZEe8'�01��%���AP!E :�RC��$% :6��7

1� ? !&K�1��������C��/B���( �� �"! � R�� S�R��%E

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−5

0

5

10

15

20

25

x

Txx

SVV Chauviere

8'�-1��%���bP%E :XR��� ��CV�������Y �/_ ��8 d%d V%�� ����-�X�.:���"! � R�� S�R��H�/�&_Vm ��0>?/% ��C����Z ���&!���\p��*��E

]/u��1��%���[P%E :A:b6��[V%�- �����$��58 d�d � �/B�� ��%���.�( ��.��$%� � ����������/?�m����1W/?�%�[�m���� ��)R%E � :XP��/�& � � �q��- B�Y�2��

��$��A#>?�-�0/�&!����E �= ? !&u�1��������C��/B�����.�X���M��%�0�0��$%�X&_�m�#��6�����/Q��$%�2��6� H�������%�-����E

8'�-1��%���HP!E :XPC��$% :6��.��$%��8ed%dWV%�� ����0�����( ��r$%�-1�$%��� � ���0������/?������1_/B���[�m���M��;����/%1��0/%1W�(�� �� �"! ��R�� ���q�%V

�� �"! ��P�� R�R%E<r�%�e���-�H�%��:���0 �/��e�V�V��X����� A���r$%�01�$%�0>��Y����%�0���-/q��$%���)�M�/%1���E\�� [��Y�����CV!��67��)�C�&!�.�� �����M$H$%�01�$%��� � �������Y��/B�m����1=/B���[�m���M�'��$��/ �"! �~P�� R�R�;���-��$% ��%1�$H/% b���M��%�0�0�*��>b ��)����%�M�#>b&!��1��M�&%����0 �/67��2V%��������/B��E T $%�qtB����0�*�M:���-L��H������/�&%�A�1������C�0/���$%�����q���Y�X�b��b6����0�a;k�aE ��EW��$%�Q:�!�0���/% ����W��)�Y���������2�0�

$%�01�$%���e:�e��$%�r6��U��. ��3��$%�5#>?�0�-/�&!���e�( ��)$%�01�$���� � �������Y��/B�m����1b/?�%�[�m���M���%�%���0/BL����M�Y���->[�( �� � � R%E�8'�01��%���

P!E :>X������ ���$% :6��e��$%�A&!�M�1C# ?���W��-��/B��L:�����:���0 �/_�( �� � � S�6.�-��$K���X�YVm��#�7�� ���$%� � ����������/?�m����1H/?�%�H������E

Page 55: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X;:

x

y

-2 -1 0 1 20

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

x

y

-2 -1 0 1 20

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

8'�-1��%���CP%E :A:�8ed�dK# �/B�� ��������( ��5�"! � R�� � :OPq�/�&cVm ��0>?/% ��C����' ��M&!��� � � �%E � �C� ��CV�����[��$%�W,?@5@

�C�#��$% !& f �%V%Vm��� l �/�&c��$���%L?���������� �7�������%�-��� � : � f �- :6���� l E

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Txx

stress tensor, N=6

x

Txx

We=0.88We=1.02We=1.16We=1.30We=1.42We=1.50We=1.62We=1.72We=1.82We=1.92We=2.00

89�01������AP!E :XP�8 d%d V%�� ����0�����( �� � �������Y��/B�m����1C/?�%�[�m���M�7�%VK�� qP!E R

Page 56: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

XBP

0.5 1 1.5 28.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

9

9.1

drag

coe

ffici

ent

Weissenberg number

cylinder in a channel − polynomial order N=6

8'�01��%���AP!E :>X�Gr���1�� ?�#�q#�0��/B�.�( �� � �������Y��/B�m����1�/B���[�m���M�7���/%1��0/%1H�(�� �� R%E ��R��2�� _P!E R

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Txx

stress tensor, polynomial order 6, We = 0.505

x

Txx

Neumann BC Dirichlet BC

8'�-1��%���bP%E :>.�8ed�d�V%�� ����0�����( �� �"! ��R�� ��R��H�/�&QVm ��0>B/� ��C�0��3 ��M&!��� � ��S�E��������26��b� ��CV�����r��$%�2��6�

&!�-�m������/B���� ��%/�&%���>_� �/�&%�*���- �/����( ��7��$%�A# �/!�( ����W:���0 �/_����/��Y ���E

Page 57: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X�X

8'�-/���0�->�;)# ��CV�����0/%1c�1���0/v��$��_�#�3��#�H ��.��$%�_��6� N&%�*�3������/B�H�m ���/�&%���>v# �/�&!�*���- �/�� Z �Z AK[�]_^ ` a � Rc�/�&

� [2]_^ ` a � b� ` a ;Z��1������CP!E :8.Q��$% :6��r/% u�V%V%������0��%�0�H&!�-�m������/�#�X�=�-/N��$%�W:�!����'/% ����W��\�������X���rV%�� ����0���r�( ���"! ��R�� ��R��!;?L������-�(>?�-/%1���$%�A# �/BL�����1���/�#�r�����C���U!�� ��\�Y�X����- �/ P!E P!E .�E

� ��� 57�� � � �( � � �, �� �,�,��*� ��� 3 � # � +���*,��"(�1,��

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

8'�-1��%���[P!E :W��T $�� �B.�.�+4���0���C��/B�7���X�Y$ f �%V%Vm��� l �/�&_��$%�/>�X�S:+4���0���C��/��.�C����$ f �0 :6���� l ���Y�X&Q�0/u��$��[�Y�0�[�%+

��:���0 �/���E

�����?�26��C# �/��Y��&!���=�0/�������/���'^� :6 V���Y�2_��6� �+]&!�-�C��/��Y�0 �/���'�� ��%/�&!�X&cV%��:���H�0/wKM$��/%/%���aE T $%���C����$%���

������&c����H��=�Y$% :6./N�-/"��1��%����P%E : �C�/�&c��$%��>u� �/��������= �� �B.�._�/�& >�X�SW���0���C��/B�M���3$%�01�$%���r������ ��0�!���- �/"����+

tB�%�0��������/B���.����V��- :>���&_��$%�b��/%�b�C����$F;�6.$%�0�0�2��$%�[� ���������� �/%�b67������Y�X&K�-/u�C ��Y�rPO+]&!�0����/����- �/���F��������E

T $%�2&! ��W��-/K&!�-�C��/��Y�0 �/������� � � �*�5P ����P � �4��� � �-� :��+: �4;�6.$%�0�0�5��$%�2V%�0����=�#�?����/�&%���(�� �� �-� ��� � �Z�-/Q��$���%+]&!�0���X����- �/v�/�& �*� ^^ �

� ^^ ��e�0/w��$%� �B+]&!�0���X����0 �/kE T $��W�-�X�&!�0/%1c�/�&c������-�0�-/�1K�X&!1��X�A����C# ��CV%�0���C��/����-/�1

�����C�0��-�M#�0���A ��7���&!�-��� ^^ �;\��A��$% :6./w�-/�8'�01��%���_P!E :�S�E T $%�_&! ��W��0/w���A� �/����0&%������&wV������0 !&!��C�-/v��$%���%+

&!�0���X����- �/c:� ��� �5P ����P ��;m6.$%�0�-�H��0�k ���$%���5�� ��%/�&%���>K# �/�&!�*���- �/��5����b����V����X�Y��/�����&K�?>K�� ��0��&K���%����������E

T $%�2^� :6~�0�.&%���0L���/Q�?>_W� �/��Y���/��7�m ?&%>q�( ��M#� � � f �_d���R���R l E

T $%�r�C��-/QM$���0�-��/%1��5 ��3��$%�=V%�� ��%�0��� ���)��$%�5V%��������/�#�� ��Z��$%�=�� ��%/�&!�X&C��&!1��.�( ��0�0 :6��X&C�B>���$%�5�%V�V������/�&

�0 :6����9V���Y�M�\ �����$%�.M$��/%/%���?��$�:�����#+]&!�#��/%�e��$%��x.��>B/� ���&%�'/B���[�m���� �����$%�.&! ��W��0/[��$%�� ��%1�$�=$���-� +a$����01�$B�

���R%E .��W�0/��Y���X�&c ��*: f ��$��� ����01��0/���kL:��0�%�� ��)��$%�C�0���1��HM$��/%/%��� l E T $��HVm�����- !&!��H�� ��%/�&%���>c� �/�&!�-���0 �/��

�0/���$%�c&!�0���X����0 �/� ��r��$%�u�m !&!>��( �����K����u����Y w ��2�0/����������Y��;��Y�0/�#�"��-��&!���Y���%�����/�#����V%�� �V��1�����Q�-/���$��

Page 58: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X�.

xy

-3.5 -3 -2.5 -2-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

ElongationalThickening

Shear Thinning

8'�-1��%���CP%E :XS����0 ����#+4�%V� ��)��$%�C�-�X�&!�0/%1K��&!1��H�(�� �� ��$%� >�X�S:+4���0���C��/B�r�C�X�Y$F;9�Y$% :6.�0/%1_��$%�q�����C��#�0����%�0��

��&%1���E T $%�b�� ���/�&!��&K���0&!�X�.����2����V%���X�Y��/B����&_�?>Q�$%�01�$!+4 ��M&!���7���Y �V���M��C�������05�#�!V��/��Y�0 �/FE

��/B�����/�#�W �����$%�_&! ��W��0/�:� � ���5P ��E"�5 :6���L����X;Z��$%�_�%�01�1����Y�A/?�%�C�����0���eM$���-�0��/�1��C�( ��[LB����# ?������Y����

^��%��&%���Y��M$W�����$��58 �e� �)+4Dw�C !&!�����-/C��$%���e���#����VW�0�)��$%��V����X�Y��/�#�. ��3�m ���$W���0 �/%1B:���- �/���?��$%�0MU���/%�0/%1A�/�&

��$%����7��$%�0/%/%�0/%1q�0/c&!�-�m������/��rV�������. ��9��$%�[&! ��W��0/Q+�/���C���->_��$%�A�0���&!�0/%1W��&!1��2�( ��.��$%�b�( ����C�����/�&K��$��

�%V%Vm��� =O�0 :6����7M$��/%/������e�( �����$%�2��:�Y����� f 89�01������bP!E :�S l E� " ����2�YVm����*�����0�->�;!&!��/% ����0/%1���$%�b��$%����7������=�B> ��

�/�&"��$��C�Y�����#�MM$N�M:���H�?> �� ;3��$%�CVm ��0>?�����Y+4�0/�&!�����&N�Y������������� � � � �#�!$%�0�%�*�A&!�-�3������/B�=Vm :6����2�0O6 �����-�0/%1B�

�( ��7��/%�*���b�#�?����/����-�%�0�0�*��>Q�� !&!���0��;!/�������->

�� ������ �� � ���

� � � ��� � ��

�� � ���� �� � ��� � � ��� � ?������ � f �� l �

4�7�v&%��/% ������2uM$���������������Y����bV� ��->?�C���2������:�%:���- �/"���0�C��;F6��C&!�#��/��H��$%� � ���0������/?������1K/?�%�[�m���2 ��e��$��

^� :6��?> �"! � � ������ ;�6.$%�����������[���\5��>?V%�����?LO��-�����( ��'��$%�����/B�������0�-/���L����0 ?��*��>A�/�& V�r��>?V%�����?�0��/%1���$FET $%�bx.��>B/� ���&%�e/?�%�H�����. ��F��$%�=^� :6����7&!�#��/���&K�� & ! � � ��� �� Ee���0������0>�;!&!�-�m������/��.V���Y�M�e ��k��$%�=&% ��W��0/

$�OL��C&%�*�3������/B�A��>?V%�����)L:��0�%����;9�/�&w��$%�������( ����W&!�*�3������/B� � �������Y��/B�m����1u/?�%�[�m���M�A&!����/%�_�/�&v&! ��C�0/�:���

��$����uE�8'�01��%���AP!E : �[�0�-�0���Y���M:���X��#�0������0>W��$%�[&!�-�q#�%�-���0���.6��2�����b�-/c����M$"C1��� ��C�#����>��?��$%�[:�!����Z/% ����W��

�Y���������e:����$��5�0���&%�-/%1H��&!1��5���e �/%�5 ���&%���e ��F�W�1�/��*����&!�5�����1����)��$��/W��$�:�.:�� ���$%����V�������e ��F��$%�r&% ��W��0/

Page 59: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X��

�/�&d��$��0���0���&��[�� �/?�%�C�����������0/��Y������-�0�*���-�X��E T >?V%������L:��0�%�X�[�( �����$%�u�Y�0�[���0����0 �/�V���M��C�#�����M� f ��/%�-�X���

���$%����6.���Y�W�Y��:����& l �������$��q8 ��� �)+4D��W:�!�0�[�%� �#�?����/��Y�0�%�0�-�-��>wV���M��C�#����� V � :XR%��P�R%;Z��$%�_� ��%V%�0�0/%1

V�������������� � � � R�� >��?��R�� >@>*�a;m��$��WUB�0/%���C������LB����# ����-��> � � S�R�R�R�;3��$%�����-�C�#+]�Y����V � � � � � :XR 0���;F��$��Vm ��0>B/� ��C�0�����V��X�������) ��M&!��� � � �!;k��$%�_������:�%����0 �/����0���u� � � R�� R�R��!��R�� :��e�/�&w��$%�W�( �����-/%1c�(�%/�����- �/� d � : � � E

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−5

0

5

10

15

20

25

30

x

<T

xx>

= (

1−β)

sxx

8'�-1��%���[P!E : ����L������1��X&QV��� ����-�b ��\��$%�[��!�0��F/% ����W��k�Y��������� 8 d%d � f :5� � l � d�d ��0 �/%1���$%�H���/B�������0�-/��b ��

��$��A&! ��W��0/u�/�&Q��$��A�Y�%�������r ��9��$%�bV%��:����E

]/" ��M&!���7�� W�0�-�0���Y���M:���2��$%�b�(�%/�&%��C��/B�M��9&%�*�3������/�����.�0/u��$��AL:��0�%�b ��9�"!A�m�#��6�����/K��6� q&!�-�3������/B�5V���Y�M� ��Z��$%�r&% ��W��0/F;B6��5����#�%��:���.��>?V%������L:��0�%���� ��3��$�� � ����������/?�m����1A/?�%�[�m����:�e��$%�5�0���&!�0/%1A��&%1�� f �"! � � l�/�&C��$%�r�%V%Vm���� ����- :6����e���%�!+]M$��/%/%����� f �"! � � ? ����� l E T $%�5�M�&!�0���e ��Z��$��r�����C�0��-�M#���0������0V_��� & ��� ��R�� :�;��$��.�%�-1bM$��/%/%���B$���-� +a$%���-1�$B� � � :�;:��$%�.�Y���!+4M$��/%/%���!$���-� +4$%���01�$B�en ��R�� .2�5�/�&�5��>?V%�����!L:��0�%���( ��\��$��

#��/B�������0�-/%�2L����0 ?��*��>_�-/K��$��A6.$% ��0�b&! ��W��-/K�0�5R�� S f ��$%�HM$��/%/����F�/�&K���%�!+]M$��/%/%������$�OL��b�V%V%�� O�?�0�W:�����0>

��$��A������b���/B�������0�-/��=L����0 !#�-��>q�-/K��$%���k��&!�0��������- �/ l E T $%�������( �����;

�"! ��� �� �����P*& � R�� R�X�� �"! � � ? �������

� � � ��

� R�� R�R�S��

Page 60: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X�S

T $%�C# ���V��!���X&NL:��0�%�X�=������Y�W��-�a;F�/�&N����0���A��$%�Ct������Y���0 �/N ��e6.$%����$%���2��$%��5LS ? I 7HN�M8N:7C�" ��)��$%��^� :6 $���

�0/�&!���X&":������0/%�X&u���X��0�0�Y����2L:��0�%����E T $��b������Y����#�-��>Q/?�%�H������� � ���5&!����/%��&"��7��$��A������0 �� � ;m�/�&u�0/" �������-�H�%�0����0 �/��7�-�.���U��X�e��>?V%�����FL:��0�%���7 ��

:� � �

& !�"! �

f P*& l 2 ��k� � R�� P*2 �uS�R�R�R

�XR�� R :���R�� : � � f �A:XR ��:�R � � l

�5�����%�C�-/%12��$�:����$%�.�0���&%�-/%1A�/�&H���M��0�-�0/%12��&%1����\ �����$%�.V%��:���. �Vm���M:���7�0 !���0�0>H�����-�M#���0��)#>?�-�0/�&!������;:��$%�0�

������Y����#�-��>b�M�/%1��e���\6.�*��$%�-/H��$���L:��-�%�X�'V%���X�Y��/B����&[�-/H��$������!V������0�C��/B����?�Y����&!�-�X�\ ��3�� ?���-$% 2�/�&HDe�-/%$� � �B.C�&! �/%�C�-/�P�R�R�X�;Z6.$% u�-/?L��X�����-1B:����&"��$%�W������Y����#�-��>"�#�3��#���b �/N��$%�C���M�/��Y�-���0 �/�����1��0���X�2 ��7�Y$%�X���+h��$%�0/%/%�0/%1

^��%��&%�.V���Y�.C��-�M#�%������>?�-�0/�&!����E

T $%�"���m�X��q ��r��$%�N,!@5@ ���V��-�-����&%�" �/���$%�c�� ��0�!���0 �/ 8 d�d V%�� ����-�u���q�Y$� :6./��0/�8'�01��%���cP!E :>���( ��C� ��XR�� R�R :���R�� R : ���M� � Pu�/�& � � �?E_�5�*��$% ��%1�$w��$%�C��6� K�QL:��0�%���[&!�*�3���[�B>� �/%�C ���&!���b ��7�W�1�/��*����&!��;

��$��WV%�� ����0�HL:��0�%�X�b�Y$% :6 ���0/%�0�W��e&!�����1��������C��/B��;ZL������*�(>?�0/%1_��$%�W��#�%�M��>" ��e��$%�W���M��%�0�0�*��>B+4V%���X�Y����L?�0/%1

��V��X����M������*�������-/�1�E T $%�"���m�X��q ��r��$%�N8 �e� ��+]D �W��?�0�[��� �#�?����/����-���-�0�*��>�6���W����Y v�0/?L����Y���01�����X&��( ��

V � :XR%�MP�R7�/�&b8'�01��%���eP!E :+>.��$% :6��F5# �/��Y��&!���M����-�\���0���� �� 8ed�d76.�-��$H�/b�0/�#������Y�\�0/WVu�-/2��$%�e���- �/%1�����0 �/�����$��0MU���/%�0/%1[����1��- �/ f ��� ��%/�& ��� � � l E\�5 :6���L�����;���$%�=�#�3��#�.�0��L�����>W���W��0�3�����$%�r���M��0�-�0/%1���&!1���E��k������->�;

�0/BL����Y���01�����0/%1q��$%�C�#�3����2 �����$%��������:�%:���- �/cV���M��C�������b���( ��=��$%�HL:��-�%�X�2R�� R��!��R�� :�;38'�-1��%���WP!E P�RQ�Y$� :6��

��6� H���-�C��+4OL����M�1��X&qV%�� ����-�X�7 ��.8 d%d :���m ���$K�X&!1��X�. ��'��$��A�Y�C ? ���$KV��0�����E T $%�b�-�X�&!�0/%1W�X&!1��A�/�&_67�U��V%�� ����0���� �����$��[:�!����k/� ����C��k�Y���������.�������A6.�*��$��kE-4�r�����0/����������Y���0/%1W�� q/% ����b��$�:�r�0/u��$���,B�� �U��X�5�����b ��

��$��[PO+]&!�-�C��/��Y�0 �/���Z#>?�0�-/�&%���X;?��$%�A&!��V���/�&!��/�#�A �/u�"6���.&!�*�3������/B�XE

� ��� 57�� � � �( � � �, �� �,�,��*� ��� ������� # � ����8,�� ���,��

�5�e=���0��V��-�.���!��CV%�-�. ��3r��$%�����#+]&!�0����/����- �/���%������ ��3r�(�%�0�0>[���%�����%�-��/B��^� :6b;�6���# �/��Y��&!���'��$%���� ��%/�&%��&

V%��:���r���!��CV%�-�=�#�?������&%��&q�0/q��$%� �+]&!�0���X����0 �/kE T $%�=$% ��� �1���/%�� ���� �+4&%�-����#���0 �/q����$��/�&%�-�X&q�?>C��$%�=�C !&!�*+

���X&K� ��CV%�!�����5� !&!� ��� :�� � =�6.�*��$u8� ��%���0���.�#�!V��/����- �/���;%��. �V�V� B�Y�X&q�� C��$%� �B�� ��%�-+a�������&q���!V��/����0 �/ ��=��$�� �%+H�/�& �m� &!�0���X����- �/���E�8'�01��%���cP!E P :"��$% :6��W�/��-/����M�/B���/%�� ����W�Y/��V���$% ��W ��r��$%�c�������X��H6.�0���

Page 61: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X2�

−3.2 −3.1 −3 −2.9 −2.8 −2.7 −2.6 −2.5

0

5

10

15

20

25

30

x

<T

xx>

= (

1−β)

sxx

β=0.97, λ=0.05, L=10

εSVV

=0.001

εSVV

=0.01

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x

<T

xx>

= (

1−β)

sxx

β=0.97, λ=0.05, L=10

εSVV

=0.001

εSVV

=0.01

8'�-1��%���5P!E :>��T $%���#�3��#�e ��m��$��r,?@5@ V���M��C�#�����\�2 �/����0�C�#+]OL������1���&[L:��0�%���� �����$%�5��?�����/% ����W��%�Y���������8ed�dC�����$%�b�0���&%�-/%1 f �-��� � l �/�&q������-�0�0/%1 f ���-1�$�� l V%��:���2�X&!1��X��E

−3.2 −3.1 −3 −2.9 −2.8 −2.7 −2.6 −2.5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

<T

xx>

= (

1−β)

sxx

β=0.97, λ=0.05, εSVV

=0.01

L=10L=20

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

<T

xx>

= (

1−β)

sxx

β=0.97, λ=0.05, εSVV

=0.01

L=10L=20

8'�-1��%���[P!E :+>�T $��b�#�3����r ���8 ��� �)+4D��W:�!�0�[�%� �#�?����/����-�%�0�0�*��>QV���M��C�#����� V� �/Q���-�C��+4OL����M�1��X&WL:��0�%���

��'��$��A:�!�0��3/% ����W��F�Y��������� 8ed%dC:�7��$%�b�0���&!�0/%1 f �0�#� � l �/�&Q���M��0�0�-/%1 f ���01�$B� l V%��:���b��&!1�����E

Page 62: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

X��

−3.2 −3.1 −3 −2.9 −2.8 −2.7 −2.6 −2.5

0

5

10

15

20

25

30

x

<T

xx>

= (

1−β)

sxx

β=0.97, L=10, εSVV

=0.01

λ=0.05λ=0.1

2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

<T

xx>

= (

1−β)

sxx

β=0.97, L=10, εSVV

=0.01

λ=0.05λ=0.1

8'�-1��%���QP!E P�R�T $%�_�#�3����� ���������:�%:���- �/vV���M��C�#�����H�� �/����0����+4OL����M�1���&�LO��-�����A ��7��$%�K:�!�0��e/% ����W��

�Y��������� 8*d%d�:�.��$��b�-�X�&!�0/%1 f �0�#� � l �/�&_���M��0�0�-/%1 f ���01�$B� l V%��:���b��&!1�����E

L����- !��*��>u# �/��� ��%�M�5��rW�(��������0 �/�x.��>?/% ��0&%�5/?�%�[�m��� & ! � � :XR��C�0/c67��0�9�%/��*�M��;Z�/�&cC�(���0#���0 �/cL����0 ?��*��>� � � R�� R�X���P%E �=�0L���/_��$%�2���%���%�%�0��/B�5� �/�&!�-���0 �/����/�&_��$��b/B�������������Z�-/����M��%�0�-�-���0���5:� � � � ��&!�X������0���X&

�0/u����#���0 �/"P!E .�;!6��2$�OL��2�0/�#������Y�X&W��$��A# ���V%�-�0/%1CV����������������� ����R�� >A>%;?�hE ��E0;���-�C ��Y������67�� �/��0�/FE

8'�-1��%���WP%E P�PK�Y$% :6��=�0/��Y���/B�M�/%�� ����b���-��#�X�2 ��.��0�e���*��� ��CVm �/%��/��M�2 �����$%�q�Y���������=����/��� �� �q������ : � R :�;

�aE ��E � P � ��5��$%�"$���*� +]M$��/�/%���7$%���-1�$��W ��5��$��"�%V%Vm���q���%�!+]M$��/%/����aE�8'�01��%���cP!E P�Xw�Y$% :6��H��$%�u���X�/F;

�� B ��Y+4�C���/%+4��tB��������/�&d��U���6./������2���#�� ��[ ��7��$%�K�������X��H6.�0���WL����- !#�-��>�� ��CVm �/%��/��HV%�- ��Y����&d�1B��0/��Y���mE

Gr��/% ����0/%1C���0�C�#+e�/�& ���OL������1��0/%1b�?>_�/u :L���������X;�6��b&!�#��/%�2��$%�AtB���/B���-���0���.����( ��-�0 :6���

�C���/�� > � ��

� � f P!E X�X l

�� ? ���+a�C�X�/!+]��tB�������� � > � �

� f �q� �� l 2� � ��� � 2 � �� 2

� � f P!E X�. l

�YU���6./%�X���������� ���¡�f � l � f �q� �� l

� � > � � � � X � 2 �� ��P ��

� � > � f P!E X�� l

Page 63: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

XA>

8'�-1��%���rP!E P :�]/��Y���/��M�/%�� ������Y�0��#���e ��k�Y��������[6.���Y��L����0 !#�-��>H# �/B�� ������e�-/W���%���%�%�0��/B�e^� :6�����1��-�C� f & !����

:�R�� l E

Page 64: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

.BR

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irec

tion

(z)

-5 0 50

1

2

3

4

5

Sxx

23.3019.3115.3111.32

7.333.34

-0.65-4.65-8.64

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irec

tion

(z)

-5 0 50

1

2

3

4

5

Sxy

52.6444.9437.2429.5421.8414.14

6.44-1.26-8.96

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irec

tion

(z)

-5 0 50

1

2

3

4

5

Sxz

4.733.632.531.430.32

-0.78-1.88-2.98-4.09

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irec

tion

(z)

-5 0 50

1

2

3

4

5

Syy

32.4226.5620.6914.83

8.973.10

-2.76-8.62

-14.49

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irec

tion

(z)

-5 0 50

1

2

3

4

5

Syz

7.295.173.060.95

-1.17-3.28-5.39-7.51-9.62

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irec

tion

(z)

-5 0 50

1

2

3

4

5

Szz

5.584.202.811.430.04

-1.34-2.73-4.11-5.50

8'�-1��%���NP!E P�P�]/����M�/B���/%�� ����W�Y�0��#���C ��A��0��Sd# ��CVm �/%��/B���W ��r��$%�N�Y��������������/��Y �� �"�0/����%���%�%�0��/B�q^� :6

����1��0�C��E

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

⟨ u ⟩

/ uτ

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

u RM

S

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

−0.5

0

0.5

1

S(u

)

8'�-1��%����P!E P�X�89�0�M��� f �0�#� � l ;�����# �/�& f �C��&%&!�0� l �/�&b��$%�0��& f ���-1�$�� l ���&!���Z���0�C�#+]OL������1���&=�Y��������H6.�0���)L����0 ?��*��>

�Y��:���0�Y������7V��- ��Y���X&KL����M����� �m;�1�:��$%������&Q:� �OR%���3�E%�)�� f �hE ��E0;�OL����M�1���&C�0/Q��$%���+4&!�0��������- �/ l E

Page 65: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��������� �

� � � � � � � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � ��� � � �

� ��� %'�����1,�� # �9������� 57�+��(���

�����6����0�h� � � ���$����$%�����#+]&!�0�C��/����- �/���7�/���0 �1c �����$%� �=�0������U?���Y+ T �/%/���� f �r+ T l ��$%�� ������ ��0�- :6��A��$%�K^� :6

�0/���$%�cL?��#�0/%�-��>� ��AvV%���������%���K�M�V��� d�m�N�/���0>?����&�6.�-��$���$%�N�� ��0�!���0 �/� ��=��$��c�-/�����������0�����C^� :6 ��b

x.�0��/%���Y+]x.�0L?�-�0/�^��%�0&� ����Y�Q�� T �/%/%����� D)�0V%U?�-/"� ��S$�5���Y�X& �r+ T �� ��/���->?���_��$%�c# ���������V� �/�&!�0/%1���6� �+

&!�0�C��/����- �/���'^� :6 6.�*��$N��$%�q,B�� �U��X�=�� ��0�!���- �/FE �2�X��M�Y�0��> � PE�)�#�?����/�&!�X&���$%� T �/%/%������D)�0V%U?�0/��/���0>?�����

�� ���$��K����#���0�-�0/%�X���^� :6 �0/�wM$��/%/%���76.�-��$�NV���M��0�-���7���0 ���E ]/���$%�K��6� �+4&!�0�C��/����0 �/���������q��$��K$� ��0�

V%�������Y�����r�( ��%/�&_�?> T �/%/���� � De�-V%U?�0/Q���7�0/�&!��Vm��/�&!��/B�� ��\$% ��-�=1��� ��C�#����>q�/�&_���7������:���0L��r�� ���$%�[,B�� �U��X�

L:��0�%��;m��������0�0>_/%��1��0�������&ZE-]/u��$%�����#+]&!�0�C��/����- �/��7��$%� T �/%/���� � D)�0V%U?�0/u������� �0�r�1���-/u�0/�&!��V���/�&!��/B�= ��

$% ��-�H1��� ��C�#����>�;m�%�!�2/% :6 ���5������:���-L��A�� q��$���x.���-/�����+4x.�0L?�-�0/cL:��0�%�H6.$%�0M$N�0�=/% ��r/%��1��0�-1��-�%�0��E2����/�#�H��$��

# ��CV%�-�����K$% ��0�_V����X�����%���q�-/���$%������+4&%�-�C��/��Y�0 �/��H����tB�%�0���X�b��$��K�� ��0�!���0 �/� ��.��$��Kx.���-/�����+4x.�0L?�-�0/�V��� ��%�-���uE

T $%�2��:�Y�����7�����( ����[�%��:����&W�( ��7/B�������������Z�Y�0�[�%��:���- �/Q�� [��$�:�7��$%�2$% ��0�2V%���X�����%���r��/K���2�����&_ ��"L:��0�%���

��k��$%�2V%�������Y�����5������&q6.�-��$% ��!���/?>CV� B����+aV��� !#�X�����0/%1H����#�%��:���- �/q ��kL����0 !#�-��>W1��M�&!�0��/B����E T $%�r/?�%�C���������

���-�H�%�0����0 �/��e6������.Vm�����( ����C��&C6.�-��$_b��$%������+4&!�0�C��/����0 �/������V��X����M������0���C��/B��� !&!� � X�S$�m6����-�3���%�*����&��� A��$���#�q��-��/��7�Y ��-�%���0 �/W ��Z^� :6 V%�� ��%�0���W�)�0/_# ��CV%�-����1��� ����������-�X��E T $%�r�-�0�C�*���-/%1HL:��0�%���� ��Z��$%�5$% ��-�5V%���X�����%���

.;:

Page 66: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

.?P

$�OL��b������/c ��!����-/%�X&K�( ��5����L����M��F$� ��0�[�Y�0���X��E.�5�%�C�����0���k�������%�-���7�( ��5�����1��b$% ��-�X�5����b/% ��5�0/c�1��������C��/B�

6.�-��$v��$��_���01���Y$%�-���/%�-+4De���-��M$����& � ��� �e��$%�� ���>�;'�/�&��( ��[����M$v$% ��-�X�b��$��Q,B�� �U��X�2$% ��0�qV%�������Y�����C���A�����1����/� ��%1�$_�� ��m�b�C����Y�%�M����-��E

� ��� % �"����� � +, � �"���( ��+� �6% �"�� � � 57���*3 �

]/�vV%����L?�0 ����q��Y���0��-������Y6����0��� ���E�2&!�#��/%��&���$%�c�W:�������0��-�0>��Y���X�&!>��������X���q��>!������� �-/��������C�_ ��2��$��

x.���-/%���Y+]x.�0L?�-�0/Q�Y���������7�Y>!�Y�����uE T $%�=/�����2���7�C ����0L::����&Q�B>C��$%�=�( ���� ��k��$%�b�Y���������e�( �����$%�A���-�CV%�0�=^��%��&

����� ��-�Z�0/K��$%�2��6� C�-�CVm ������/�����0��������� ��\�W:�������0��-�0>q�������&!>q^� :6���

:�E��� ��C �1���/��� �����;?�0���� ��M:���0 �/���a;����Y !M$% �����5^� :6�� f �Y�����#�MM$%�-/�1H^� :6�� l ;

P%E5,B���X�&!>_��$%�X�� f L?����� ��C�#������ l ^� :6����( ��.6.$%�0M$u�-�����X&!��������� ���$%�2����C�0�-����r� ��8���tB������0 �/ � ���$�4E

]/C�0�� !M$% �����)^� :6���$%��x����0/%����+4x��-L?�0�-/C�������X���'���)�/����Y ����� �V%��)�(��/�����- �/� �� � ;���6.��#����$�����������-/������������/��� ��X;

�/�&_���.1��0L���/Q�?>

1 � � � � f���� � �����?l � � f���� � �����?l � � � f���� � �����?l � 2 f X�E : l

�������2��$%�H�����0���# ?�#�q��-��/��M� � �/�& � ����2�(�%/�����- �/��� �� ��� �/�& ����� ;���$%�[����� �/�&u�/�&_��$%�0��&u�0/?LO������/B�M�

�� � &!�#��/%��&K�?>

��� � :P � = � 2 � ����� � :X� = � f X�E P l

T $%������ ����� �V��07���������V����X�����%���7D��0�)�/q����%�-���M���>2�(�%/�����- �/W ��Z6.$%��M$q2V�����)�WO>[�m���#�!V%����������&H�-/C�������C�

�� ��� �/�& ����� �/�&q�/% ���$%���eV���Y���0�e�� A�m�2&!�#���������0/%�X&W�?>[��$%�r�� ��0�!���0 �/_ ��3��$%�=��tB������0 �/W ��F�� ����0 �/q�/�&

��$��b�� ��%/�&%���>_� �/�&%�*���- �/��76.$%��M$K&!����/%�2��$%�2^� :6 V��� ��%�-���uE

�����6����0� � ���E�B&%�#��/%�X�Z��$%�)�W:�������0��-�0>r�Y���X�&!>=�������X��� � �-/2�������W�F ��?��$%�ex.���-/%���Y+]x.�0L?�-�0/b�������X��� 1 ��!��tB������0 �/

X%E :�;!�0/���-��&%�-/%1C��$%�A���������V%�������Y����� �C;%��

� � 1 ��� f � f���� � �����?l 1 l o�� � � �� f X�E X l

Page 67: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

.�X

6.$%�����q�w���bK�����0��5�(��/�����- �/w ��e��$%�W�-/�&!�0�:����&w���1��%�C��/B�M��;F�/�& � �0�b�/w�&%&!�-���0 �/���\�0�� ����� �V%�0��Y���������

6.$%��M$Q�WO>W�m�2���Xt����-����&C�� W����������(>C��$%�2��tB��:���- �/Q ��k�C ����- �/�E T $%�b# �+a�� ��M:���- �/�������0���2�M:���r���.&!��/� ����X&

�?>�� � � �� - ;9�/�&N���b#�0������0>c&!�������-/�1��%���Y$���%�0���(�� �� ��$%�W�W������������&!�����0LO����0L��C&!��/� ����X&w�B>��/w :L����2&! ���E ]/

�Y�����&!>WL?�0��# ��C�#������.^� :6�� ����� � Rq;%�/�&W��$%�=� ?�#�q#�0��/B��� � ; � �/�&C��$%�=������ ��7�u����5��$%��/_�(��/�����- �/��� ��

��� ��0 �/���E 4���0�e������0�->��Y$% :6./H��$�:�e�Xt���:���0 �/ X�E X2�m��� ��C���\��$%�.������0�0�0���� �e8���tB������0 �/ � ���$��6.�-��$qL?����� ��Y+�-��>C�(�%/�����- �/ � f����?l ;!�����Y��/� ����C��m�Y���������7# ?�#�q��-��/���P�� f����?l � f����Bl �/�&_����� �/�&_/% ����W��3�������X����# ?���W��-��/B�

� f����Bl �d� f����Bl � f����?l E

�����6����0��� ���E�91BOL��2&!>?/���C�����9���1��%�C��/B�M���( ��.����tB�%�0���0/%1���6� W ��9��$%�A# ?���W��-��/B���.�0/"��tB������0 �/0X%E X��� W�m�&!�����0L:��%�0���(�� �� ��Y���M��0/!+a�M:����V� �����/����0���� f���� � �����Bl 6.$%�0M$H&!���0�-L����M�Z��$%��� B���q#�0��/B���k ��!��$���x.���-/%���Y+]x.�0L?�-�0/

�Y���������.���;

� � � ���.o � ��� � � � � ���.o � ����� f X�E . l

6.$%�����H��$%�����-�C�#+a�(�%/�#���0 �/d� f���� � �����Bl ���2�/N�0/B����1��M:���0/%1Q���#�� ��XE[� �(�%����$%���2���X������������- �/F;Z6.$%��M$c�( ��0�0 :6��

�(�� �� T $%�� ������ X%E P!E :������- :6b;?������ H���#���_�� H���b# �/��Y���/B���/�&W�� [����V%��������6.�-��$u� � f���� � �����?l E T $%�5L� ��-+

�%�C���-/B����1��M��� �� � f���� � �����?l ���k��$%���(�%/�#���0 �/������ r�m�e����/�&%������&A�Y������0 �/����>=�-/A��$%��L:����0����0 �/�����( ����[���0����0 �/

� ��>$�k ��k��$%�b�-/�����������0�����.x.���0/%����+]x.�-L?�0�-/KV%�� ��%�0���u;

� ��' � � � ��1 � � � � f � ��1 l � f X�E � l

6.$%�����=��$��A# ?�#�q#�0��/B�M�7 ��'��$%�Ax.���-/�����+4x.�0L?�-�0/u�������X����;!��tB������0 �/0X%E :�;!����21��0L���/K�?>

� � � � o � ��� � � � � � o � ����� f X�E S l

T $%�_�( ��0�- :6.�0/%1N�Y��������C��/��� ��2����Y6����0�a� � � ���E� T $��� ������ :Q���%�C�W����-�����A��$%�K�� ��-�_ ��.��$��Qx.���-/%���Y+]x.�0L?�-�0/�Y���������7�-/Q^� :6��71� :L�����/%��&_�?>W��$%�b�W�����������0�->_� �/��Y���/B�7�Y���������7 ��\��tB������0 �/0X%E X

��� ��� � ��� /�� ���+� + 587 '�� � RE56� 58ST;WMLN:7C��$D+F 5LIEI G,F 5� 58ST= I�� ?BA+= ST587 � RE5C7 9�5.� ?B7 58F N�?BS:S"��ME;BA�I 7 ?BA%7 I 7QF 5LIUI

Page 68: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

.�.

; J 5��8G<?B7QN�;BA �4� �I4'N:7:96ME;BA�I 7 ?BA%7'�"?BA+=34'N:7:9 � �~� � f���� � �����Bl o�P!�

� � 1 �v� � � 1� � �

�P � f���� � �����?l � f X�E � l

4�9�58F 5 1 N I ME;BA<IE7QF G<M87 5E=�JEF ;!� 'w� �84'N:7:9 5��8G<?B7QN�;BA �4���4�.)�9�58A 7:9,N II 7HFU5 IEI'I*� I 7 5#� IL?�7HN I 5 I�7 9�5 N:A�5LF 7QN�?BS 5 IEI

<-;!4 ;�FC5��8G,N:S N�R8F N:G$� 5��8G<?B7QN�;BA ?BA�= N:7HI ME;�� D<?B7QN�RLN:S N:7��0MU;�A+=�N:7HN�;�A �

� � � � � � � f � � � l � f X�E � l

D+FU;!�WN�=�5E= 7:9<5�JL;�S:ST;!4'N:A2O 7�4�; MU;�A+=�N:7HN�;�A�I ?BFU51� 5L7 (

�2� )+9<5 � 58ST;WMLN:7C�!� D+F 5LIEI G,F 5 58ST= I ' � � I8?B7QN I J � 7 9�5 5�58N:A+58F*� 5�N��>S N:A D+FU;�R8ST5 � ;�J 5��8G<?B7QN�;BA �4��� 4'N:7:9

� ?�F N�?�R8ST5 MU;W5��"M8N�5LA%7�I � f���� � �����?l � � f���� � �����Bl �

� � )+9<535�58N:A+58F*� 5�N��>S N:A ME;W5� M8N�5LA%7�I � f���� � �����Bl � � f���� � �����Bl ?�F 5�=�58F N�� ?�RLS 5CJEF ;�� 7:9<5 =�58F N��B?B7QN�� 5LI�;�J

7:9<5 I 7HFU?BN:A>� FU?B7 5 D<;B7 5LA%7HN�?�S � f���� � �����?l ?�MEMU;�F =BN:A2O 7 ; 5��8G<?B7QN�;BA<I �(����

T �/%/%����� S�R$�'V%�� :L���&uW���-�C�0�0��.��$%�� ������ �( ��.^� :6��.1� :L�����/%��&Q�?>_��$%�A��tB�%�0�0�-�%���0�%� ��\��$%��� ��8��Y���������.�0/

��$��2��6� �+4&!�0�C��/����0 �/���mV��0�/%�26.$%����� ����� � R%; � V��0O>!�7/% C�� ��0�2�/�& � ����H�(�%/�����- �/u �� ��� ��- �/%��E ]/K��$��

�0�-�C�-�� ��k�Y�W��0�3��������-/W�M:������; ��� � ����� � Rb��$%�r� B���q#�0��/B��� � ; � ��F��tB��:���- �/ X%E :r����5� �/��Y���/B����;B�/�&C��$��

�Y���M��0/!+a�M:���rVm �����/B������Z�m��� ��C���

� � � ��� � � ����� f X�E > l

T $%�� ������ X%E P!E :e����&!��#���k�� T $%�� ������ :�� ��3�����6����0�3� ���E�!6.$%��M$A���9��$%����$%������+4&%�-�C��/��Y�0 �/����1���/%������-�0������0 �/ ��5��$%� �=�0������U?���Y+ T �/%/���� f �r+ T l ��$%�� ������ � S :�;)S�PE�4E T $%�u�W:����������0�0>v�Y���X�&!>d�Y���������H��>!������� X�E �"��$%��/

�m��# ��C������$��A��%1�����/B����&K����# �/�&Q ��M&!����^��%��&Z;

� � � � � �~�v� ����v� ����

P �v� ������

P � � � � � � � 2 �d� � � �� � ��� �� � 2� � � f X%E :�R l

T $%���b�������X���=��>?�Y����� �0�=��$%�W# ���V��-�����C�Y�X# �/�&c ��M&!���5^����0& f ,;<=8 l ��>?�Y������6.�-��$���$%�����C# ?�#�q��-��/��M�2��%1�+

�C��/B���X&[�?>2��$%�7�0����'������� �����$��-�M&A ���&!���\6.$% ������ B���q#�0��/B���0�\rV%�� !&!����� ��%��6� 2# ?�#�q#�0��/B�M�9 ��%��$��.,2<=8�E

Page 69: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

.2�

T $%���r+ T ��$%�� ������ �0�9����# :L�������&2���*��$%���'�?>A�Y���Y���0/%1 � � R��0/[��tB������0 �/��$X%E >5�/�& X�E :XR%E T $���x.���-/%���Y+]x.�0L?�-�0/

�Y��������� 1 ��k�XtB��:���- �/ X%E :5����&!��#������ [��$%�=�5��67�� �/%���/K�������X����;B�/�&W��$%�bx.���0/%���Y+]x.�0LB�0�0/qV%�� ��%�0���� ��k��tB���+

���0 �/ X%E �C���X&!������.�� q��$%�C,?�� �U����5V%�� ��%�0���uE T $%�HV� :6����r �� �r+ T ��$%�� ������ �0�5��$%�HV%�� ���V��X��r ��) ��!�M��0/%�0/%1

��$��q�Y ��-�!���- �/N ���K/% �/w�0�-/%�X��bV%�� ����-��� �(�� �� ��$���A �����$%�W# ���������Vm �/�&!�0/%1K�-�0/%�X��2 �/%��E T $��� ������):�Q ��

� ���E�k��$% :6��e��$���7�0/Q��$%������+4&!�0�C��/����0 �/��7��0�m��$������/Q���2���?Vm��#���X&_���7[����&!������0 �/Q ��9��$%�2 ��M&!���� ��'��V�:���0��&!�-�m������/B����:���0 �/k;�6.$%��M$c��/"$�OL��b�0�CV� ��Y�M�/B�=�&!L:�/B���1��X�76.$%��/c/?�%�C���������9�� ��0�!���0 �/��5����[�Y ��%1�$B�XE 4�=�0�

#�0������0>NV������(���M��%�0�C�� N�V%V%�0>�/?�%�C���������e�C�#��$% !&%�b�� N"V%�� ��%�0��� &!����/%��&v�?>w��tB������0 �/�X%E �K�0/��������&v ��

��tB������0 �/6X�E ��E T $%�0�=������$%�C����������( ��5��$%������#�%��:���- �/c ��e��$%���-�0�C�*���-/�1KL:��-�%�H ��)��$%�H��$%������+4&!�0�C��/����0 �/���

$% ��-�2V%�������Y�����21��0L���/_�m���0 :6bE

� ��� � �����0�1�(� � ����� � �����

� ���V��0/w��$%�W67��0�� ��7uM$��/%/����a;98'�-1��%���@X�E :�;F1��0L��X�2�����Y�H�� cu���W��0�\^� :6 &!���Y���%�����/�#�C6.$%��M$��0/w���%��/

��-����������$%�bV%�������Y�����2������:���0L��r�� W�-�����%/�&!�������%�����X&uLO��-���=�0/K��$%�[/%���01�$?�m ���$% ? ?&_ ��'��$%�2�M�VFE�G5����Vu6.�*��$%�0/

��$��_$% ��-�W��$%���H&!���Y���%�����/�#�q���[U?/% :6./���b��$%�_$% ��-�_V%���X�����%����;\�/�&��0�H&!�#��/���&d�?>v�F !&!1�� � @)���1��� � .*���.��$%�[&%�*�3������/���A ��\��$%�A/% ����W��F���M�����- �/�� ��� � � � ^ ��.��$%�H6���-�F�0/"�%/�&%�0�Y���%���m��&"M$��/%/%���k^� :6b;��/�&� � ��� � 2 :�7��$��b�� ��Y�� ��� ��9��$%�b$% ��0�2���X�YVm��#���0L����->�E

� � � � � � � �f X%E :@: l

T $%�A&!��V!��$"���.�����1��=��/% ��%1�$K�� �1�����M�/B�����2$?>?&%�� B���M:����=# �/�&!�*���- �/����� ���$�����B>Q��tB������0 �/��-X�E :A�/�& X�E :XR

�-���( ��0�- :6��7������Vm������-L����0>q��$�:�5�m ���$u��$%� 1W+]�������X���7�/�&K��$%� � +4�Y���������.�m��� ��C�b�0�� ����� �V%���E T $%�H����#���0����0 �/ �� � � ���.�������-�X&q ��!���-/K��6� W������V��

:�E T $%�b�V%V%�0���:���- �/Q ��k��$%�� ������ X%E P!E :5�� C ��!�M��0/_��$%�bV�����.6.$%��M$Q���.�/���->B���02�/�&Q��0�� H�0/�&!��V���/�&!��/��

��9$� ��0�2���0����;

P%E T $%�5V���Y��6.$%�0M$Q��/_���5�( ��%/�&_ �/%�0>��B>W�� ��0�!���0 �/W ��Z��$%�2x.���-/%���Y+]x.�0L?�-�0/qV%�� ��%�0��� �/�&q&!��Vm��/�&%�e �/

��$%�b$% ��-�b���-����E

T $%�u���M�Y�W�Y����V�����tB�%�0�����C �/��->d��$�:� � � 1��m�c# �/��Y��&!������&FE�8���W�%V��Y�������� �0/���$%�cM$��/%/%���7��$%�u^� :6

Page 70: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

.BS

b

H

y

x

fully developedchannel flow

pressure tap

z

P2

1P

T1T2

8'�-1��%��� X�E :���$��/%/%����6.�*��$vV%���X�����%���[�M�VFE 8 ^ �/�& 8 2 �0/�&!�������W�0 !�:���- �/��= ���V%���X�����%���[�����/���&!��#�����=�0/��$��A�������X�����C�#�����7 ����F !&!1���� @)���1��� � .C�4E

���b�#�%�#���0>NL?����� ��C�#�������;\�/�&���$%�_�Y���������b�0�b��$%��/d1��0L���/v���!�����->��B>N��$%�_�C�����������0�->w# �/����M�/B�[�Y���������2 ��

��tB������0 �/ X�E XA6.$%�0M$_���X&!��#�X�)�� A��$%�b� ��8 � ���$�Z��tB��:���- �/W�-/K�Y��M$W^� :6���E'�k�#����$%�rL����0 !#�-��>C���!' � � f � l �������:���0L��C�� v����Y�������0�/v� ? ��M&!�-/�:���X���k� �w��- �/%1N�/�&w���M�/���L����������� "��$%�Q�Y��������C�-�0/%���[���X�YVm��#���0L����->�;'�/�&

6.�-��$ C/% ����W��F�� C��$�� � �QV%�0�/%��E T $%�bU?�-/����W:���0���Z����/��� ��M�7 ��'��$%�[�C�����������0�->Q# �/����M�/B�5�������X���.��>!�������

����2��L:��0�������&Q�0/Q�������W�7 ��'��$%�A�Y���M��0/Q�M:��� �� � � � � ����( ��0�- :6�� �

� � f � � �7� �Ol ��'� � 2 � f � � � ���Ol �� 2 � � �

� � � f ��� � � � l �� 2 � � � 2� � � R%� f X%E :XP l

�/�&q��$%�b�-/?L:������/B��� ��� � ����� ����=��$%��/ �� 2���R����X�YVm��#���0L����->�E T $��A�������X���7��>?�Y�������Xt���:���0 �/0X%E :=�0�7��$%��/

1 � � � p � f � � �7� �Ol � � f �+� � ���Ol � � f X%E :>X l

�/�&q�(�� �� ��tB��:���- �/ X�E X�; � � 1 �m��� ��C���

� � 1 � � f � ��p d � � l � :P � ^ ��2 f ��� � � � l � � � :P � ^ ��

2 �v� �Bp d f X%E :8. l

Page 71: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

.,�

6.$%�����2p d�� Z �Z d ; � � � �� ; � � � �� 2u; � ^ � P�� � �� 2C�0�2��$%�C���M���A/� ����C��)�������X���b&%�*�3������/����;'�/�&���$��# ?���W��-��/B��� � ; � ;e�/�&�������W/� :6 �(�%/�����- �/��H �� ��� ��0 �/���E T $%�K�������� � ���A/� ��HU?/% :6./v�( ��[1���/%������

^� :6����F�0/N��$%�q��V%Vm��/�&!�*�w ��������6����-� � ���$�)�-�b6���=��$% :6./N��$���=��$%�C�( ���� 1��0L���/N�0/��XtB��:���- �/ X�E :>._$% ��0&%�

�0/ L?�0��# ��C�#������u^� :6bE G5�������%�����X&��?>���$%�w$% ��0�c�(�� �����$%��V��%�����->�L?����� ��C�#������c �/%��;.��$%��^� :6 �0�Q/% ��

����Y�0�0>q����#���0�����&_�?>q&!�-����#���Y ��-�!���- �/_ ��F��$%�2�Xt����-�0�-�����0�%� �Xt���:���0 �/_�( �����>?V%�����Z� �/��Y���-���!���-L��2��tB��:���- �/���E

T $%�W�W:�������0��-�0>N� �/��Y���/��[�Y���������PX%E XK1��0L��X�b�/d�V%V��� O�!�0�C����C&!����#���0V!���0 �/v �����$��q�������X���2�0/v��$%���b/%�X����->

L?�0��# ��C�#������5^� :6bE\�5 :6���L�����;B��$��b$%�-1�$%���. ���&%������V�:���0��F&!�����-L:����0L������0/u��tB��:���- �/ X�E XC����26����0�*+4U?/% :6./q��

�m�q���� ����%�-�X�Y ��C�q�-/�/B�������������e���-�H�%�0����0 �/FE�����/�#�Q"�(�%�Y��$%�����Y�0�CV%�0�*���:���- �/��V%V��� O�!�0�C����X�2��$%�_���0�C�

�(�%/�#���0 �/�� f���� � �����?l �B>d�# �/����M�/B�C�3D�;e�/�&d��$%�������B>w����&!������[��$%�Q^� :6�V%�� ����-��� �� N��$%�Q�� ��0�!���0 �/� ��

��$��H�0 :6����Y+4 ��M&!����x.���0/%����+]x.�-L?�0�-/NV%�� ��%�0���)X%E �W�?>u�C���/��5 �� T $%�� ������ X�E P%E :�E T $��H# �/��Y���/B�b� D=�������?�X&�0/"��$%�A�����+a�%V��������X��u;%L?�0��# ��C�#������b����1��0 �/u�?>_�Xt���:���0/%1W��$%�HM$��/%/%���*+467��0�h;%���%���=&!�*�3������/�#�#+]�Y���������Y�X�7 ��

��tB������0 �/�X�E :>."�� N��$%�QLO��-�����A1��-L���/��?>���$%�K# �/����M�/B�Y+����V%V%�� O�!�-�W����0 �/v ����Xt���:���0 �/�X�E �!ENI�>����Y�Q ��

��tB������0 �/��-X�E :OP[�/�& X%E :>XH��$%�b��:�������.���X# ��C�X�

� � 1 � � � D f ��p d � �P �

� DP l �d� D � �� 2 f ��� � � � l � f X%E :W� l

� D2���=u� �/��Y���/��=6.$%��M$�$���=/% Q���m�X��b �/N��$%�C�Xt����-�0�-�����0�%���Xt���:���0 �/ X%E �%;F�/�&"��$%�CV� �����/B���0�� � f �� 2 ��R lL:�/%����$%���=�� �� 2 � R%E ]/wL?�0��# ����������0A^� :6 �����6����0� � ���E� f �Y�����5V%V���/�&!�-�c��$��������0/ l ��$% :6���&u��$�:� � ��/�m�b�#�!V%�������Y�X&q�0/Q�������W�. ��9��$%�A��$%������������X��� � ��

� f � lP � � � f � l ��� �

�� ����� ���� � � � ��� � � � � � �� ����� �

���������������� ��!��" ����# ���%$'& �)(+*,� ����-/.0#1����2��+����3546�+798:�+� *;���< �=)����#>*�������3!�!�@?A��B+� & *;��CD# ����2����:��3!.E4;��798:�+� *;���F �G � ������G @H�*%#JI�?K DLNM �PO@Q� � � ��� �� � � � R D M � ^ ��� � �L � � � � � �� ���)S �

T & *�C�*,� & *U V� I: �4;C���81� � #1*;� ����*% T ��3�3�(5��3�� *% W���X� & *�(Y�� <46�+79*6��C<�G4Z#1��7[���!�XB���C\B�C<��7]� & * & �+3!* �D^ ?1#1C<�+ V�<�����G446�+��#1�!�������� [���_� & *`I/���V�<��7a��B>�b#1*�*;8 & ��3�*c79*%���� d� & *e��� 3�?�� �+�1.�f�*;C<�g�<*;C<7a�!�h*�������������� �iS �G d� & *

Page 72: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

"��46�+�� V�<�������G V����C<��8 �G4 �<*;�� ������\=

����� M��R D K DL M�� � O@Q� R D � ����� �� � � �� ����� �

�\�1#12+* �� ��C<2+�� � " � #1*;H�� *X� & *�������������������� ���d�� �� & * T ��3!3\(5��3!� * ��B,� & * � ��C<7[��3 T ��3�3!.E V��C<*� < ����`� ��#1�G @.����C�I/*�#c8 3G��� *"! ���G �*;� ��3!3�*$#:� T 79�!�Y�� � & *>�����F��3 V��C<*� < # *;*;8J���� V�G#1* � & * & ��3�* �&% C<��7 *%�+�:�5�������: ��!�)$ ����# ���)S � & * ��� .046��798/��� *���� ��B,� & * #1�!-/*�C�*���46* V��C<*� < �G f�*;C<�[���e� & * T ��3�3 =/����# & *���46* � & * & ��3�* 8 C<*� < V��C�*X���*(' 4;*� < ��B,� & **) *;��� *;C�.+) �!(Y3��!�g(5��3!� * �� �= �!�`B��+4 �%=:� & * �G �����C<��8���4X V��C<*� < ���g*�������������� ��!�,� �.- �`� & *d3!��79� �>��B �79��3!3D @�<C<���!�JC<����*% ./ & *;�+C�*�7 � L ��� C<*�# ��46*% ���0/ & *���C<*;7 � �_��B21 $�$43 = R65 I/*�4;��79*� �� & *X79*����eC�*�3��7'1�������������79*X��B 3!��� *%��C�(Y�� <46�Y*�3��+ @�<��4;� �@? ����# � & *X���+�<*;2+C<��3 ����� 2��Y*� �<�_� & *8!Z��89Y���1.+/ ����� *;C"1 $��43 3���7d�!� ��B � ��/ & * 4;��798 3�*6��* & ��3�*X8 C�*% � �� C<* �� ��+I1�<���!��*�#J�!�` V��*�8 L IY?J V�+3!�1�<�!�+�c��BD� & *:)�*��!��*;C�.+)���(Y3!���e8 C<��I 3�*;7 ���e� & *4 & ��� � *;3!. T � � & . & ��3�* 2�*���79*6�<C�? �;% ��2�� C<* ��!� � �$- � � & * B���C<7 � 3G�5�<�!�+�`��B,� & *<)�*��!��*;C�.+)���(Y3!���`8 C<��I 3�*;7 2+�!(+*;�I/*;3�� T � & *X8 C�*% � �� C<* �G �79�1#1�!H�*�#e ��_� & �5� *%�����5�<�!�+� ��!� �G UC�*�8 3��+46*%# IY?

� M � � � �>=@? �BA � ?DC � � ��� �� ����E �/ & * *6- *�4 � ��B � & �� '8 C<*� < V� C<* #1*;H�� �!������� �G ,� & �5� �!� 8�3���� *.#�� T � & * A ��*;C<7 ()��� �G & *% �F- �[(Y�G �4;��79*6�<C��G42#�� T� & *c V��C<*� < 46�+7d8/����*;��� � �+C�7[��3Z���`� & *c & *���C 8 3G��� *% X�G � � =,����# ��!�:46*[� & * 8 C<*� < �� C�*9�G _�e8�C���79� �<�!(+*(5��C<����I 3�*_��� � & *9�Y� 79*;C<��4���3, �4 & *;79*d� & * & �+3!*98 C<*� < V��C�*_2���(�*;� IY?g*�������������� ��!�+� 4���� I:*9C<*���# ��-bB�C<��7� & * V�+3!� ������� T � � & ���1�> V8������G��3\#1�!- *;C<*;�����G�5�<�!�+�J��BD� & * (+*;3��Y4;� �@? H�*;3G# �G- �J� & �� T �+C�9 ���3��1�<�!�+�� & �)(+*>I/*;*����I �<����� *%#c�+� 3�? B���C � & * �7[��3�3W V��CF�����1.�CF�5�<* 3���7d�!� T & *;C<* = ���:# A ��C<* 46�+�� @�F������= ����# T & *�C�* #1��79*;�� ���������3���:��3�?Y ��G �� 2+2�*� V�< � & *")�*;��� *�CV.H)���(�3���� & ��3�*>8�C�*% � �� C<* �FIJI & ����3�# & �)(+*A� & * B���C<7

� IJI M � � �LK �NM A � C� � �� � L7O �T & *�C�*U� & *QP��<�R9�*% � A M O � & ��3�*�8 C<*� < V� C<*.SUT K ����# M ��C<* 46�+�� @�F�����,B���C,*�(�*�C�? & ��3�* V��f;* �UV Z#1*;H�� *�#\= M �� 8/�+ �� �<�!(+* B��+C���3�3J9���� T �c4;�+ V*% � / & *% V*X��C<*RW M M O �@XC ��XY C<*� �8:*%4 ����(�*�3!?9B��+C � & *>��CF���: V(+*;CF V*> V3���� � / ����� *;C.Z!Z��89Y���[1 $��43 � =)� & *'8���C<��3!3�*;3� V3���� �;\ *���C< �3�*;?�1 L 3 � =+����# � & *'4;�!CF463�* � ^ ��2+�+ & �!�<��� �]Z^!�C��!�<4 & ��CF#_1 $�S�3 � � / & *`#�� T

Page 73: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

"�E��4;C��� � � & * �<C<���� �(�*;CF �* �3����A�G 8 3G���:��C%=:���:# & *;��4;* M �� f;*�C�� �����46*X� & * A .���*;C<7 ()��� �G & *% �B�C<��7 *�������������� ����E��G\ *���C< �3�*;? 1 L 3 & � T *�# � & ��� T �!� & �979�1#1� H:*�#e8 C<*� < V��C�*>H�*�3�#J� & * (�*�3!�14;� �@? H�*;3G#cB���C�� & * C<*�4 �<�!3���� *���C#�� T ��B ��� * T ���+� �����[#:� ��#e��3� ��d <�5�<�� VH�*% �� & *")�*;��� *�CV.H)���(�3����c8 C<��I�3!*�7 � / & * #�� T �!�c� & *X8���CF��3�3!*�3/ �3������� ���e* '1��798 3!* ��B �9C<*�46����3!��� *���C�79���������W=�����#J�!� �� �� V*%#J�!�e� & �� T �+C�9 �+ ��9I:*���4 & 7[��C 9[B��+CU� & * �Y� 79*�C��G4;��379*6� & �1# � % C��+7 *������5�<�!�+�� ��!�,� ���:# � L7O =�� & * �<���F��3 & ��3�* 8 C<*� < �� C�*X���g� & * 3���7d�!� ��B' �7[��3�3D V��CF�����gC<����*% 4;���cI/* T C<� ����*;�`�+

SFT M � X" � M � � XL � � C � � SUT K � �� � L � �T & *�C�*�� X ����#�� C ��C<* � & * H�CF V�A����#J V*%46�+��# ����C<79��3\ @�<C�*% � U#1�!- *;C<*;��4;*� �C<*� �8:*%4 �<�!(+*;3�? �� ��� �������� ��������� ����� �������� ��!�!" ��$#%��&��'� �)(*�+-,/.10� ��!�!� �2�3�546��,�78!

- �e8 3G��� * #�� T � & */9 �)?Y3!*�?+. ^ ��79�!3!���+� � & *;��C<*;7 �<�79+*� � & * B���C<7

?[C � 1 : M ? 3 ?<; � �L � : M ? � C � ��� � �_M>= � �� � L�L �T & *�C�*?: M ? M L � �A@ � - �_B���3�3!� T B�C<��7 *�������������� �� L+L � & ��� B���C_8 3G��� * �G ��Y4 & ��C<��4979���<�!�+�� X� & *0#:� T ��B � & *[)�*;��� *�CV.H)���(�3���� #:� ��# � *�������������� ����E � ��C<*[�!��# �� V����� 2����� & ��I�3!*9B�C<��7 � & * 4;��C<C�*% V8/���:#1�!��2D#:� T ��B�� * T ����������� #:� ��# T �!� & (Y�G �4;�+ �� �@? = �_- �b����7d*�C��G4;��3Z V��7 ��3����������b�!�:46��798 C<*� < ��!I ��3�� �@?`�G X� *%��C<3!? ��3 T �)?1 ��7d8/�+ �*�# �� >� 4;���� V��CF��������= ����# 46���: V*%�+��*;����3�?J� & *94;��3�4;� 3�����*%#�#�� T H�*�3�# ��C�*_� *���C�3�?�= I �1� � ���>* '1�+4 �<3!?+=�G V�14 & �+C��G4 �0- � �G ��B ������*�C�*% @�X�<�eB���C<7 � 3G�5�<*9� & *[) *;��� *;C�.+) �!(Y3��!� V��C<*� < X V�e� & �5� � & * A . �<*;C<7 ��� *�������������� ����E T �!3�3U8 C��1#1�:46*c# ?��:��79��4 *6- *�46�< _��� 3�?b�!�P� & C<*;*;.E#1��79*;�� ���������3`#�� T _C�*�2+��C<#13�*� < X��BA46��798 C<*� < ��!I ��3�� �@? �PY����46*`����4;��798 C<*� < V��I ��3!�!�@?��G [�!798/�+ �*�# �� 8���C��[��B>� & * ���3��1�<�!�+� ��B � & *g*���� ��3��!I C<��� 7 *%�+�:�5������� � $ � & *)�*��!� *�CV.H)���(Y3!���` @�<C�*% � ��G UB��+C�7_� 3�����*%#c���e��*�C�7[ A��B ? 79�Y# � H�*%#eIY?J����? 7 � 3!����8 3�* ��B ����@ � - �e�<*;C<79 ��B� M ? � � � ��@ � � � � �G U*��+ V��3�? & � T � � & �5��� & *X3!*;B � & ���:#J ��G#1* ��B *������5�<�!�+� �� L+L I/*�4;��79*�

�<CB; �L � � : M � � C � : M � �<C � � � �� � L �

Page 74: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$ O� ? #1*� ���2��\= : M � �G Df�*;C<�A��� 8 3G����*G#�� T =�����# �����46*'� & * T & �+3!*'*('18 C<*� < V����� �� ��3G ��Af;*�C��A� & *�� � C �� �G V����C<��8 �G4���_8 3G����* 4;��798 C<*� < V��I 3�*`#�� T ��@�� V�Z�� ? C �� �G �����C<��8���4��!�d8 3G��� * �!�:46��798 C<*� < ��!I 3�*`#:� T ��� � � & � & * 8 C�*% � �� C<*79�1#1� H:*�#_I�? XC � � : M � � C � : M � � C � � � & *2) *;��� *;C�.+) �!(Y3��!�9 @�<C�*% � � *%�����5�<�!�+� ��!� � �G T C��!�V�<*;� T � � & ? C<*;8 3G��4;*�#IY? � =���

� M � ��� ;�= � ;>A�� � � M � C ; �L � � : M � � C � : M � � C � � � �� � L " �- ��8 C<����46��8 3�*�=,� & *c ���3��1�������P��B�� & *J#1?Y����79��4���3 *������5�<�!�+�� C<*;�:#1*;C<*�#b� �:#1*;C[��� ����4;��798 C<*� < V��I ��3!�!�@? 46��� . V��CF�����+� & ��� 3G#`?Y�!*�3�# *� < V*������G��3�3!?c� & *9 <��79* �Y� 79*;C<�G4;��3 C<*� �� 3 � B���C � & *9 V��C<*� < �?1 @�<*;7[ A��BZ*��������������� �����C �� L "�� � � 79*;C<�G4;��3,* '18:*�C���79*;���< �+� � & *[8���CF��3�3�*;3, V3����X2+*;��79*;��C<? & �)(�*9#1*;79�+�� @�<C<����*%#g� & �5� B���C<7 ��3���.������� � L " C<*� �� 3!�< D�!�_2�C<*�����*;C ��4�46� CF��4;?>����#X��7d8�C��5(+*�#X46�+�Y(�*;C<2�*���46* T �!� & C<*� �8:*%4 �W�<� � & *'7[��2�� �!����# *'��B A �

- �d� & *A����7d*�C��G4;��3 ��7d8�3!*�7d*����<�5�<�!�+�[#1*� <46C<�!I/*�#dI/*;3�� T = � �� Z4���3G46� 3G�5�<*�#_B�C<��7 9Y� � T �9(+*;3��Y4;� �@? H�*;3G# B�C<��7�!�< 9 ��C���*% V�G��� 46�+7d8/����*;���< #1�G V8�3��)?+*�#g��� � & * V 8 8:*���#1��' ��V B ��*�C � ��3!*�C�9Y��� 8 C<���@*%4 �<�!�+� �����<�c*�3!*�7d*����� �1#1*% � & *� �*e(5��3�� *� 9��C<*J�� V*%# �<� �+I1�<���!� � ��� ����# � � � � � � � T & �G4 & ��8�8:*%��C9�!� � & *J79�+7d*������ 7���:# 8�C�*% � �� C<*d*%�����5�<�!�+�� C�*% V8/*�46����(�*�3!? �0V ����3!?����G4;��3Z*('18 C<*� < ��!�+�� B���CX� & * #1��C�*%4 � 46�+798 �1�<���������b��B � & *� �*���������<� �<�!*% '��C�*A# *;C<�!(5��I�3!* I�?9�� �*A��B\� & * B���3�3�� T �!� 2_��# *;�����!����*� �B���C'� & * 46�+798:�+� *;���< '��B � & * @�<C<���!�[CF�5�<* ? W

����� M � ��� � ; � ��� � M�� ��� ��� �-; L � ��� � M�� ��� ��� �-; L � ��� � � �� � L $ �� � M � ����� � � � �

^ *�C�* � ��� � �� � & * ��3 �<*;C<���5�<��C�����#c� & * � � ��C<* � & * 46�+798:�+� *;���< ��B � & *X(+��C����G46�!�@? (�*%4 ���+C! ��� & *;�e� & *� �*�G#1*;�����!����*� X��C�*_*;798 3��5?�*%#g���g� & *9# *6H�� �!������� ��B � = � & *[46��798/��� *����< >��B � =W4;���� V��C<��46��*�#gB�C��+7 *�������������� � L " =14;���eI/*X*('18 C<*� < V*%# ���J� & * B��+C�7

� �� M � � � � � ; L � � � � � � �� � ; �� �� �

� �� � �� � � � �� � � L�" �� � � � � � � �� � � �

� � � � �� � � � �� � L � �T & *�C�* " �� �� �� & * \ C<��� *%4�9�*�CU# *;3!�<� � �'�����5�<�!�+�� V � $ ��B � & * V 8 8/*;��#1��'`��C<*>C<*�4;�5(�*�C�*%# T & *;�J� & * 46�+798:��.� *��+�F �� L � ��C<* T C<� ����*�� �!��9 ��C���*� ��G��� 46�Y�+C<#1��������*� � / & *'(��+CV�<��4;� �@? 8 C��1#1�:4 �W�<*;C<7[ D��C�*Z*%�� ��!3�?>��#1*������!H:��I 3�*�=

Page 75: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$ ����:# �!� � & *;� B���3�3!� T '� & �5� � & * C<*;7[����� ��� 2 �<*;C<7[ ��8 8/*���C ��� *��������������� V � $ �� V��79 U��B L�� L�� ��46�+I �G���� �/ & * #1��(�*�C�2+*;��4;* ��B � 4;���JI/* #1*;C<�!(+*�# B�C��+7 *�������������� � L � ���:# * 'Y8�C�*% � �*�# �!�`46�+��#1*��� V*%# �����<���������e��

� ��� M � ��� � L � � � �/@ � � � �� � L S �T & �G4 & �� *��+ V��3�?c & � T �e��� (5��� �� & ��� ���Y?c8 3���� *8#:� T ����#1*�8:*���#1*;��� ��B � & * 7[��2+� � �<��#1* ��B � ��@ �Q% C<��7*�������������� � L S � & * # �!(+*;C<2�*;�:46*>��B � � � ��

� � � ��� � � M � � W � �� � L � �V 3!� & ��� 2 & *%�����5�<�!�+� �� L � �G �#1*�C���(�*%# B�C<��7N*������5�<�!�+� �� L S I�?c���`��# # � �<�!�+����3\ �8��5�<����3\#1�!-/*�C�*��+�<�����������J� & *& ��2 & *% @�X�+C<#1*�C ��B # � - *;C<*;�����G�5�<�!�+� ��B�� & *[(�*�3!�146�!�@?eH�*�3�# �� X� & *[ <��79*9�!� *��+4 & =W���:# ��2+�����g� & �G C�*% V� 3!�X�� ����#1*;8/*;�:#1*;��� ��B � & *X79��2�� �!���:#1* ��B � ���3@ � ������ #��2. ���' 3+-& �� �-� �,�

/ & *d79��79*;������7 *��������������gB��+CA� & *_)�*;��� *�CV.H)���(�3���� #�� �G# T � � & 4;���� V�<���+� 46�Y* � 4;�!*��+�F �<�79+*� A� & *[#1��79*;�1. ��!�+� 3!*% � B��+C�7 ���� : ;���� 1 � � ��� 3 M � � � ; �<C���;BA�� � ���>;�� � �� � L E �T & *�C�* � #1*�� ���<*� U� & * I/�1#1?cB���CF46*X(�*%4 �<��C%= � � & * (+*;3��Y4;� �@?c(�*%4 ���+C ����# � �G A#1*;H�� *�#eIY?J*�������������� � L ":�/ & *[) *;��� *;C�.+) �!(Y3��!�b�Y� 7 I/*;C A � M����� Q� �� ���A*�I:�+C<� & �Y� 7_I:*�C T & �G4 & 79*��� �� C<*� >� & * V��C<*;� 2�� & ��BU� & *� �+�1. �A* T �<��� �G���g V��C<*� < 46�+����C<�!I � �������\= T & �!3�* � & **) *;?Y� ��3G# A����7 I/*;C ��� M �� Q"!$#� � 79*��� �� C<*� U� & * ��� *;C����G��3#1�G @�<� C<I�����4;* #1��* �<� � & * & ��3�* ��BD#1�G��79*6�<*;C&% @- � (Y��* T ��B / & *;�+C�*�7 � L ��� � & * )�*�?Y� ��3G# �Y� 7 I/*;C T �!3�3 I/* �*6� �<� f;*�C��[���g��3�3\� & *_ ��!7_� 3G�5�������: �8 C<*� �*;����*%#cI/*;3�� T � / & * ���3��1�������`�G �+I1�<���!��*�#eIY? 7[��CF4 & ��� 2[���`����79*���9� & * V��*%��#1?J @�F�5��* B�C<��7 ��9Y� � T �e�!� �!���G��3D @�F�5��*+=:����# & *;��4;*X� & * �4���3�*X��B � & * # �!79*;�: V����� 3�*� < U�<�!79* : �� #1*;��*;C<79�!��*�#JIY?[� & *X7[��2�� �!����# *X��BW� & * ����79* @�<*;8 �

% �+CX� & *('H� )���7�+*��-,/. ��0 ��� '1.324*/'1.;�/5 ��BU� & * � �)(���*;C�. P����]9�*� >*%�+�:�5�������: T *[�� V* � & * ����7d*;.E �8 3�� ������� 2 V���36[?+.

Page 76: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$ L V�<��I�3!*e �4 & *;79*J# *� <46C<�!I/*�#P�!� V*%4 �<�!�+� L � L � / & *J(+*;CF V�����P��B � & *e�!798 3�*;79*;���<*�#h �4 & *�79* & �+ _� & *` <��79* V��C<��4 �<� C�*X�+ � & *X�+� * �� V*%#cB���CU� & * % �B�A�Z.+!h4;�+ V*+= T � � & � & * B���3�3�� T �!� 2[#1�G V������4 �A#1�!- *;C<*;��4;*� �W

�+� / & * � �+�1.�3���� *���C� @�<*;8 #1�!- *;CF ZB�C<��7 � & *A(��G <46�Y*;3G�� V���G4 4;�+ V*����[� & * C<�!2 & ��. & ����#[ ���# *�=Y#1� *��<�X� & * 8 C<*� V.*;��4;*>��BD� & *8)�*��!� *�CV.H)���(Y3!���J V��C<*� < � ^ *;��4;*>� & *X*%�+�:�5�������JC<*���#� U� � T

�� M ����� X� ��� A � ��� � �'; � : ����� X� ������ ��� � � � � � ����� � ��� � �';BA ����� � � � � � � ;�� � � ��� �� � O �

� *X� ����* � & * #1�!-/*�C�*���46*X���J� & * 8:�+3!?Y79*;C<��4 V��C<*� < �� � ��� C<*;8 3G��4;*� � & *X(��G <46�Y*;3G�� V���G4 � �"! ��*�C�7N��B� & * % � � �,.H! V��C<*� < � / & *>8�C�*% � �� C<* ����#c(��G <46���: � @�<*;8� ���C�*>� & * ���7d*X�+ � & * % � � �,.H! 4��� �* �

L � / & *<) *;��� *;C�.+) �!(Y3��!� @�<C�*% � �� >8 ��C�*�3!?g� B�� ��46������� ��BZ� & *9(�*;3��146�!�@?`46��798/��� *����< ����# � �J*;(��+3!� �������*������5�<�!�+�PB��+C9� & * 8:�+3!?Y79*;C<��4e V��C<*� < 9*('1�G @�F �^- � ��I: V*���46*e��BX� 46�+�1B���C<7[�5�<�!�+����*��� ���C%=�� & * P �

� T & *�� *;(+*;CU�� �*�# � H�3!��*�C< �� & *X(+*;3��Y4;� �@? 4;��798/��� *��+�F U�!�: @�<*���# �/ & * �8��5�<����3\#1�G �4;C�*;����f��5�<�!�+� �G ��G#1*;�����G4;��3 ���9� & * % � �A�Z.+!h4;�+ V*+= V*�*X V*%4 ������� L � L �#��%$ & ,/��� ����' ���+-� ����� ���!

(*),+-). /-01 243�57680�9;:4<>= 0?68@A9;2-6B/�6C5EDF030G�576H09;:PY����46*'� & * )�*��!��*;C�.+)���(Y3!��� � IJI�I � #:� ��#_46�+�+�F������ & �!2 & .E��CF#1*;CW# *;C<�!(5�5�<�!(+*� �= T *'� *;*%#X���>��# # C�*% � W� & * 8 C<��I 3�*;7��BZ#1�G <46�����<�!�Y� �!�@?c�+46C<�+ < U*;3�*;79*;���<��3\I/��� ��#���C<�!*% �� T *;3�3D�+ U� & * *6- *�46�A��B � & * IJI�I 8���CF��79*;��*;C A � ���e� & *��4�46� CF��4;?9��B\� & *X46��798 � ��*�#c V�+3!� ������� � /D� � & �� U*���# T *>8:*�CVB��+C�7 ���c������3�?����G4;��3 V����#1?[��B �d V��798 3�* 8 3G����*4 & ��� � *;3�#:� T T �!� & �d2���(�*;�J(�*�3!�14;� �@? # �� V��C<�!I��1�������J�<�R9Y�!� 2d� & * B���C<7

K �ML ��N � MOPPPPPPQ �@� � N C ��R�SUT �MV�L �

OO

W�XXXXXXY �� � � �

/ & *XI/�1#1? B��+C<4;*> ��� V�<����� ��� 2[ V�:4 & �*#�� T 8 C<��H�3�* �� U2+�!(+*;�JI�?

Page 77: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$�

-1

-0.5

0

0.5

1

z

-1-0.5

00.5

1

x

-1-0.5

00.5

1

y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

-1-0.5

00.5

1

x

-1-0.5

00.5

1

y

-1

-0.5

0

0.5

1

z

-1-0.5

00.5

1

x

-1-0.5

00.5

1

y

X Y

Z

% �!2+� C<* � L W8/ & * � .<= L . ����# " .E*;3�*;79*;���X79*� & *� X�: V*%# B���C � & * 46�+��(+*;C<2�*���46*9 @�<��#1��*� X��B'� & * IJI�I #�����# ����+4 &c& *(' � & *%#1CF��3 *;3�*;79*��+� & �� � � O���� ��CF#1*�C � �+46��I�� 8:�+3!?Y� �+7d�G��3D��8 8 C<�4'1�!7[������� 2 � & * ���3��1�������e���g��3�3 #1��C�*%4 �<�!�+�� �

� � L � N � MOPPPPPPQ �HR�SUT �MV�L � � L ; V C � V C N C �

� V A � T���� � L V�L � �@� ; N C �� L V C A � N �V� � N C �

W XXXXXXY �� � L �

V � ���F��I 3�* 8/������� C<*;2+��C<# �!� 2 � & *d��I/�5(�* 4;��7 I��!�����������g��B;K �ML � N � � � �ML � N � �G � & �5�X��3!� & �+� 2 & � & *:#�� T �� � .0#1��79*;�� ��!�+����3W� �>C�*%�+���!C<*� � .0#1�!79*��� V�����:��3\I/�1#1?JB���CF46*�=:C�*���#1*�C���� 29� & *_46�+798 �1�<���������`� �+�1.���C<�!(Y�G��3W����#& *���46*'7d*%��� ��� 2�B�� 3�B��+CD4;���Y(�*�C�2+*;��4;* V���:#1? 8 � C<8:�� V*% �LV � ��� & *;C ���+�<*;C<*� V����� 2A�+ V8/*�46�W��B1� & *'��I:�5(+*� V�+3!� ��������G U� & * A � .E# *;8/*;��#1*���46*X��B 4;��798/��� *��+�F L � N ��B � & * B���CF46��� 2dB�� ��4 �<�!�+�`I �1� 5��/'U��B � & *�.E4;��798/��� *��+� � � **(' ��7d��� * � & *��� *�C�C<��C���B,��3!3W(�*;3��146�!�@?c4;��798:�+� *;���F A���:#c��B � & * 8�C�*% � �� C<*X(�*;CF ��� A � ���eH�2�� C<* � � � *��I: V*�C�(+*��A4;3!*%��CW79�+� ���<��� �G4�#1*�8:*���#1*���46* ��B � & * *;C<C��+C\��� A � =5I �1� � & * *6- *�46� ��B�*;3�*;79*��+�F��3�I:�+� ��# ��C���*� & �+ �X �*�46�+��# ��C�? *;-/*%4 ���+�9� & * ��4;4;� CF��46? ��B/� & *A4;��798 �1�<*�#[ ���3��1������� � / & *A8 C�*% � �� C<*U*;C<C��+C,�� L ��CF#1*;CF & ��2 & *�C� & ��� � & *9(�*�3!�14;� �@?`*�C�C<��C ����# � & �� >�<C�*���# �G X46�+�� ��� V��*��+�>B���CX��3!3,* '1��79�!� *%#g(5��3�� *% ��B A � �<% ��C A ��� O " =�J(5��3�� *93���C�2+*;C � & ��� � & *9��� *% T * T ��3!3�I:*[46�+�� ���#1*�C���� 2J�!� � & *dB���3�3!� T ��� 2` V*%4 �<�!�+�� ;= � & *[8 C<*� < V��C�*d*;C<C��+C�G �� �V� O ��� � � / & *X�!����C<�1#1��46�������e��B,79��C<* *;3�*;79*;���< 4;���� V*% � & *_ V��7 � 3G�5�<�!�+�J��� #1��(�*�C�2+*>���e� & * & ��2 & *�C A �(5��3�� *� � � & *9*�3!*�7d*����<��3,I/������# ��C<?g#1�G �4;���������Y� �!����*� �,R�e��-/*%4 � V�<��I��!3�� �@? � =\I �1� T & *�� ���3��1�<�!�+�� 46���Y(+*;C<2�*��4�46� CF��4;?[�� U7[���!���<���!��*�#e�5�U� & * ���7d* 3�*;(+*;3G UC�*�2+��CF#13�*� < ���BD� & *X�Y� 7 I/*;C���B *�3!*�79*;���< �

Page 78: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$�"

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.410

−6

10−5

10−4

α

L inf e

rror

in (

u,v,

w)

U = [(1−z2)*cos(πy), 0, 0]

1 element2 elements4 elements

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.410

−5

10−4

10−3

10−2

α

L inf e

rror

in (

p)

% �!2+� C<* �� W � *;C<C��+C �!�b� & *[(�*�3!�146�!�@? � � 8 8/*;C � ����# 8 C<*� < �� C�* � 3!� T *;C � 8 3!���V�<*�#b��2������� @� � & * � *;I/��CF� &�Y� 7 I/*;C A � B��+C � .F= L .�����# " .�*�3!*�79*;����7d*% & *� �(*),+-)�� � 9;3�� : 9;1 0�5�3�� ��� ��� : 6 ���� 57680�9;: 5�:�� /����

� �+� 3��!� *%��C<� �<�!*% W���_� & * IJI�I *%�����5�<�!�+�� ��8 8/*���CDI/��� & ��� � & *�46���Y(+*�4 �<�!(+* �F� ��� ����#X� & *� @�<C�*% � �>��� ��*;C<7[ �- �� �8:*%4 ��CF��3���� � 79*6� & �1# *�C�C<��CF �14;46��CXB�C��+7 ���� �� � 46��*;���_�����+#1C<����� C<*9��B 46�+3!3��14;��������� T & *;� 8�C���79� �<�!(+*(5��C<����I 3�*� 9��C<*e�!� 8 & ?1 V�G4;��3� V8��+46*+='��� ��� C[4;�+ V*`#1��C���� 2 � & *`����� 3��!��*���C V��*�8 I:*;B���C<*c� & *e��CF���: @B��+C�7 �<�79�1# ��3W �8��+46* �2% �+C�� & * �!���<*;2�CF�5�<�!�+�c��BZ�98:�+3!?Y� �+7d�G��3�� ��� � ��BZ#1*�2�C<*;*�� T *XC<*���� ��C<* � � ; � � L ���� < V.�\�+I��5������.+�W*;2�*���#1C<* ������#1CF�5�<� C<* 8:�+�!���F ZB��+C�*(' �+4 � 4;��798 �1�F�5�<�!�+� ��B � & *A������*;2+C<��3 � / & * #1*�4;��798/�+ �� �<�!�+�[��B� ��� � �G #1����*d�: V��� 2e� & *[I��� ��� >B�����4 �<�!�+�� K � ��� � � & *���46* ��!�:46*�� ��� � M"!$#� �� �� K � ��� � � & * �!��� *;CX8 C<�1#1��46�% K � ��� � K � ��� � & �G ��BZ������*�C�*% @� # � * �<�[� & * ��3�*;C 9Y�!�`8 C<���@*%4 �<�!�+� � �\*6������� 2(' M � ; � I:* � & *_�Y� 7 I/*;C ��B79�1# ��3W4;�Y* � 46��*;���< �B���CU� & * 8:�+3!?Y� �+79����3 *('18����: V�����J��B)� ��� � =�� & * �����+#1C<�����G4 � ����3!��� *���C��!�@? ��BD� & * � �������*�C�7 �!�Y(+��3�(�*� 9�Y� 79*�C��G4;��3 46��798 � �<�5�<�!�+� ��B �b8:�+3!?Y� �+79����3���BX#1*;2+C�*�* � =U����# & *���46*g� & *`79��� �!7_� 7 �� � 46��*;��� �Y� 7 I/*;C���B �����+#1C<����� C<*>8:�+�!���< U�G

* � + M � ; L M �� ' � � � ; L M ' L �� � � �

Page 79: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$+$

1 1.5 2 2.510

−6

10−5

10−4

overintegration order

L inf e

rror

in (

u,v,

w)

U = [(1−z2)*cos(πy), 0, 0]

1 element2 elements4 elements

1 1.5 2 2.510

−4

10−3

10−2

overintegration order

L inf e

rror

in (

p)

% �!2+� C<* � " W � *�C�C<��CZ���[� & *A(+*;3��Y4;� �@? � ��8 8:*�C � ����# 8 C�*% � �� C<* � 3�� T *;C � 8 3!���V�<*�# ��2+���!�� V�,� & * �5(+*;C<�!����*�2�CF�5.�������e�+C<#1*�C B���C � .F= L .�����# " .E*;3�*;79*;����79*� & *� �P��<��#1��*� [��BA� & �� ���4� ��� . 5 'H���7� */'1.;�/5 ��8 8 C<�+�+4 &�& �)(�*JI/*;*;� 8 C<*� �*;���<*�# �!� 1 "]E43 B��+C9� & *e(Y�G �4;���� � � C<2�*�C�� *�������������� �1���J� & �G T ��C 9 T *>* 'Y��*;�:# � & * V����#1? ���9� & * V*%46�+��# �+C<# *;C #�� �G# �G% ��2�� C<* � " & � T '� & * *6- *�46���B,� & *d�5(�*;C�.E�!����*�2�CF�5�<�!�+� ��CF#1*�C � # *6H�� *%# �+ �� & * 7 ��3 �<�!8 3��G4;�5�<�!(+* B��+4 ���+C ��B' �!� � & *_C���2 & �V. & ����#` V�G#1*_��B � � � �+�J� & * �� *;C<C<��C ��B � & *X(+*;3��Y4;� �@? ����#J8 C<*� < V� C<* B���CU� & * ������3!?����G4;��3 V�+3!�1�<�!�+�J����#J ���7d8�3!* 79*� & *� 8 C<*� �*;����*%#J*���C<3��!*�C � / & * �����+#1CF�5���G4>� ����3!��� *���C��!�@? ��B I/��� & � & * 4;���Y(�*%4 ����(�*X����# IJI�I ��*;C<7[ U�� A��4;4;� CF�5��*�3!?C<*� ���3�(�*�# T � � & � & *�' �@������� � *���4�(��C�� 3�*��+��4;4;� CF��46?X�G ����46C<*��+ V*%# IY?X��� *U�+C<#1*�C ��B:7[��2�� �!����# * ���_� & *�(+*;3��Y4;� �@?���:#b8 C�*% � �� C<*dB���C ��3!3 @�<��#1��*�#b79*� & *� IY? ��!798 3�? �: V��� 2 �� C 79�1#1*% ���b� & * ����� 3��!��*���C_46��798 � �<�5�<�!�+�� �/ & *J ������ CF�5�<�!�+� ��B�� & *c*;C<C��+C ��� � & *J8 3����9 V� 2+2�*% @�F � & ��� � & *;C<* �G ���g�Y� 79*;C<��4���3'�+#1(5�����<��2�*[������ ��!��279��C<*��146��C������� �3�?�=�� & �+� 2 & =+� & *X��4�46� CF��4;?d���c� & * 8 C<*� < V��C�* �� '� T �_�+C<#1*�C< '��BD79��2�� �!���:#1* T ��CF �* � & ���c� & �����BW� & * (�*�3!�14;� �@?[46�+798:�+� *;���< � / & �G '�G '��C<� * B���C'� & *X4;�+ V* ��B A M O =�����#1�G4;������(�* � & ���'� & * � ��� . �A* T ���+� �G���*6- *�46� �� � ����C<*� �8:�+�� V��I 3�* � ! �+ < ��!I 3�*>C�*%�� ���� 79��2 & � I/* � & *X�� �* ��B � & * � � �+C�7 �!�e����C @�<��#1? �

V 8�8 3!?Y��� 2 � & *_P � H�3!��*;C<��� 2 ���`� & *d4��� �* ��B,� & * � T ��.E*;3�*;79*��+� 7d*% & =/7[������2+*�#J���c�!�:46C<*��� �*X� & * CF��� 2+*��B � *;I/��CF� & �Y� 7_I:*�C< & � T �e��� % �!2+� C<* � ��� A � M O ":� � �5�<� C<��3!3�?�=�� & *_�� �* ��B � & *_ �8:*%4 ��CF��3\H�3 �<*;C<�!��2

Page 80: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$����CF��# *� d��4;4;� CF��46? B���C[ V�<��I �!3��!�@?b����# � & *`46�+C�C<*� �8:�+��#1��� 2g*�C�C<��CF B���C ��� � ' � M �@�] O � � �!� � & *c(+*;3��Y4;� �@?46�+798:�+� *;���< �����#J8 C<*� < V� C<* ��C<* � M O ORO�L E ����# O �,E O =�C<*� �8:*%4 ����(�*�3!? �#���� � � �+ �2. &������<� ,2����.�� �>&�� & ���3��� � ��,��

\ *���C< �3�*;? 1 L 3 & � T *�# � & ��� � & * � ��� .�8 3G���:��CUC�*%4 �<�!3��!��*���C$#�� T T �!� & (+*;3��146�!�@? 46�+7d8/����*;���< ���� �ML � N � � O � O�� ����:# #1C���(�*��bI�?b�g4;���� V�<���+� 8�C�*% � �� C<*[2�CF��#1��*;�����,S�� � O � O�� ��3G V�g <�5�<�� VH�*% � & *c*���� ��3!��I C<�!��7 8 C<��I�3!*�7 B��+C� & *8)�*;��� *;C�.H)��!(Y3��!�e V��C<*� < T � � & 46���: @�F����� 46�Y* � 46��*;���F U8 C��5(Y�G#1*�# � & *X8 C�*% � �� C<* �G #1*;H�� *%#J��8 8 C<��8 C<�G�5��*�3!? �� � ��� * T ��3�3,��BU�`4 & ��� ��*;3 � & * 46*;���<*;CX8 3G��� *9��BU�e#1*�*;8 V3���� * 'Y��*;�:# X��3���� 2J� & *[*;������C<* �.E�7'1�� 2+�!(Y��� 2� & * 4 & ����� *;3��`4;���� V�<������� �+��� * ��� ,b4;C��� � V.0 V*%4 �������W= % �!2+� C�* �� $ � / & *�#:� T 8 C<��I�3!*�7 �G V�+3!(5��I 3!*[���b� & *L � N � 8 3G��� *+=,I �1�9B���Cd� & *J8�� C�8/�+ �*� d��B (5��3���#��5������� ��B � & *e�Y� 79*;C<��4���3�46�1#1*J� � T �� 9 ���3�(�*�# �� d� � & C<*;*;.#1��79*;�� ��!�+����3W8 C��+I 3�*;7 �!�g�[4 & ��� � *�3\��B H�� �!��* 3!*�� 2�� &\� ! *;C<�!�1#1�G4>I:�+� ��# ��C�?J46���:#1� �<�!�+�� T *;C<*X��8 8�3!��*�#`���� & *>*���# '���9 ��!7_� 3�����*>�_4 & ��� � *�3/��BW���1H�� �!��* 3�*;� 2�� &\� / & * & ��3�*>8 C�*% � �� C<* T �� '��I1�F����� *�#\=Y����#[� & * C�*% V��3 �F ��C<*X#1�G V8 3G�)?�*%# ��� % ��2���C�* � $1��`*% & *% T �!� & C<��� ��# *�# 4;��C<� *;CF �����# & ��C<8 4;��C<� *;CF ������ & *> �3!�����@����4 �<�!�+� T *;C<*A�� �*�# � / & *>C<��� ��# *�# 4;��C�.� *�C< ,2��)(�* M .E()��3!��*� Z��� 463��+ �*� V����2+C�*�*;79*;��� T �!� &[\ *%��CF V3�*;? � .1 L 3 ���:��3�?+�<��4���3 (5��3!� * B���C'# *;*;8W=+����C�C<� T & ��3�*� �^ *�C�* � & *> �3!��� T �G#Y� & T �� ��X � / & * � ��4;��I �/8/��3�?�����79����3:�+C<# *;C � T �� '(5��C<�!*%# ����# � & * M .�(5��3!� *% ��B % ��2�� C<* � $ & � T � & ���X3!�!�V�<3!*[�!� 2+���!� *%#gB��+C ��� ��<- � B���46��=W� & *98 3���� �� 2�2+*� V�< � & *;C<*d�G � �`46�+�Y(�*;C<2�*���46* T � � &� � C<*6H:� *;79*;��� � / & * & ��C<8`46�+C�� *�C< U���e� & * #1��7[���!�`��C<* C�*% V8/���: V��I 3�* B���C�� & �� A�Y� 79*;C<��4���3\����46�+�� ��� V��*���46?+=���:#g46�+7 I ��� *�# � � � � C<*6H�� *%#e @�<��#1��*� ��C<* � ��# *;C T �)?+=: ��!��4;* �!� & �� I/*;*�� �+I� V*�C�(+*�#J� & �5� � � C<*6H�� *�79*;�����3�����*>���`#1��7[���!�� T �!� & ��!��2�� 3G��C<� �<�!*% �� ������ V� �[4;�!*���� �

% �!2+� C<* �� � & � T � & *9*6- *�46� ��B �5(�*;C�.E�!����*�2�CF�5�<�!�+�e����#�P � H�3!��*�C���� 2e��� � & * M .E(5��3�� *� >B��+C � & *[C<��� ��#1.*�# 2�*�#X �3���� � � (�*;C�.E�!����*�2�CF�5�<�!�+�A*6- *�46�< ��C<*Z V7[��3!3����X� & *Z2���(�*�� 2�*;�+79*6��C<? B��+CWI/��� & ��4;4;� CF��46? ����#X V�<��I �!3��!�@?J�P Q = & � T *�(�*�C�= 8�C��5(+*� ��� *;� & ����46*_ @�F��I ��3!�!�@?cB���CA��8 8 C<��8 C<������* ��7d8�3!�!����# *� �1� / & * C�*% V� 3!�< T * 8�C��5(Y�G#1*�� �* #1�!- *;C<*;���2P Q 8���C<��79*6��*�C< ZB���C #1� - *;C<*;��� ()��3!��*� '��B A � =1�� ' & � T �[�!�[�F��I 3�* ��!�+� � �5�<� C<��3!3�?�=�3G��C<2�*;C A �(5��3�� *� C<*���� ��C�* V��C<����2�*;C H�3 �<*;C<�!��2�= � 8 C<��8/*;C��@? � & �5� 7[��� �!B�*� V�< � �F V*�3 BZ���`� & *d4;��C<C�*% V8/���:#1�!��2 V��2�� �!H:4������

Page 81: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$�S

X

Y

Z = 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0.49

0.495

0.5

0.505

0.51

α′

r

p=3, sharp cornersp=2, curved cornersp=3, curved cornersp=4, curved cornersp=5, curved cornersKearsley

% �!2+� C<* � $ WQ/ & *_79*% & �� V*%#`B��+C � & *dC��+� ��#1*%# / .E & ��8:*%# 46C<�+ < V.E �*�46������� � 3�*6B � � ����#g� & *946�+C�C<*� �8:�+��#1��� 2C<*� �� 3 �F �� IJI���� #

8 3!���V�<*�#J(�*�C< ��� '� & * IJI I �Y� 7_I:*�C A � � C<�!2 & � � ��cM L A ��� 1 O ORO � � O �����3 A � M O ��)S A � M O L��� � ' � M � O ORO � � L � � � � ' � M �@�] O � L � � � � ' � M � L $ � L �

�cM A ��� 1 O ORO � � O !� L 3 A � M O ��%$��� � ' � M � O ORO � � L � � � � ' � M �@�] L � L �/ ��I 3�* ��!� W �A�!- *;C<*;���:P � 8���C<��7d*;��*�C< A�� V*%#`B��+C> V�<��I �!3���f��5�<�!�+� ��B�#1� - *;C<*;��� � *;I/��CF� & �Y� 7_I:*�C< �!� � & *)�*��!� *�CV.H)���(Y3!���c8�C��+I 3!*�7 #1*% �4;C���I:*%#JI�? \ *���CF �3!*�? 1 L 3E�����46C<*��+ V*c��B � & *�P � ��798 3�� �<��#1* � B���C & ��2 & *�C_(5��3�� *% _��B A � � � *e� ���<* � & �5�[��3�3 4��� �*� d @�<��#1��*�# T � � &A � � O !�%�e� B���C �cM L � ����# A � � O �� L � B��+C �cM � #1�!(+*;C<2�* �!B&P Q �� � ������ �*�# � / & * V��#�#1*;�e#1C<��8J�!� MT �!� & � & * �� �* �!BGP � �� A� ��� V� C<8 C<�� ���� 2�=� �����46*X� & *_#���798 ��� 2 ��798 3��!����#1* � �G A����4;C�*%�� �*�#JIY? �+C<#1*�C< ��B7[��2+� � �<��#1* ��� �+4 & ��*;(�*U V�<��I��!3�� �@? � / ��I 3�* ��� � =�����#d��4�46� CF��4;?X�� ,4;3!*%��C<3!?_�5- *�4 �<*�#d� ��# *;C � & *� �*U4;����# � �<�!�+�� �#���� � ���%, �3� �<� ��!�!��� � , ��#%�-7 ��,/�2 �& � 46���2 �2!

(*)��-). 5�1 0 : 5 �� 9 3 � � � <C<C2 ��� 9 5�� � = 6H9;:40�5�:���32A0 �/ & * & �+3!* 8 C<*� < V��C�* �� � & *X#1�� V����C�I�����46*>�<� � & *X7[��� �+7d*;��C<��4 8 C<*� < V��C�* C�*% V� 3!����� 2dB�C<��7 � & *X8 C�*% V*���46*>��B �8 C<*� < V��C�* �<��89���d� & * T ��3!3 ��B �X4 & ��� � *�3��� �#1*;8 �G4 �<*�#9��� % ��2���C�* ��!�+� - �Z�G ,� & *�7[��� �+7d*;��C<��4U79*%�� �� C�*�79*;���*;C<C<��C �!��4;� C<C�*%# T & *�� � & * & ?Y# C��� @�F�5���G4'8 C�*% � �� C<* # *;*;8 T �!� & ���d� & * ����I:*��G �<�R9�*;� ��� I/*U� & *�� *�� �� �6���(����� � �6=� � * � =1� & *X� *�2+�5�<�!(+* ��BD� & * �����<��3 � ��C<7[��3 ��CF��46������� �

Page 82: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$R�

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.488

0.49

0.492

0.494

0.496

0.498

0.5

0.502

0.504

0.506

α′

r

p=2, overintegrationp=3, overintegrationp=4, overintegrationp=3, SVVp=4, SVVKearsley

% �!2+� C<* � � W � IJI���� # 8 3�������*�# (�*�C< ��� � & * IJI�I �Y� 7_I:*�C A � ����#g46�+798���C<*�# T �!� &�\ *���C< �3�*;? � :1 L 3 ������3�?����G4;��3C<*� �� 3 �UB��+C #1� - *;C<*;��� 8/��3�?Y� ��79�G��3 ��CF#1*�C< �� ��!��2d�5(+*;C�.�������*�2�CF�5������� ����# P � �

% �+C_�����1. � * T ������������#�� �G# _� & * & ��3�* 8�C�*% � �� C<* �� _C<*;3G�5��*%#b��� � & *c� T �g� ��C<7[��3U @�<C�*% � _#1�!-/*�C�*���46*% _����#�G � & �+� 2 & � �<�`I:* � *���C�3�? ����#1*�8:*���#1*;��� ��BU� & * & ��3�* V��f;* � ! ���<*;�����G��3�3�?�=\� & * *;-/*%4 � 8 C<�5(Y��# *� X�`79*6� & �1#���c79*��� �� C<* � 4;��7 I��!�����������`��B,� & *_� ��C<7[��3D V��C<*� < A# � - *;C<*;��4;*� �=/����# & *���46*_�� � ��� 46�+�� V�G#1*�C�*%#J��� I/*_���*;C<C<��C01 "�3�� / & �G T ��C 9g����(+*� V����2+����*� I/��� & � & *�� * T �����������b����# � ��� . �A* T ���+� �G��� 4;�+ V*% � B��+CX� & * 3����V��*�C�= �*;*` V*%4 �<�!�+� �� E��!� � � - � 7d�� @� ��8 8 3���4��5�<�!�+�� ;=�� & * & ��3�*e ���f;*`C<*;3G�5����(�*c��� � & *g4 & ����� *;3A# �!79*;�: V�����\= T ��3�346��C�(5�5�<� C<*�=��+C���� & *�C�2�*���79*6�<C��G4�3�*;� 2�� & '��C<*A�� < �� 79*�#d��� & �)(�* � � *;2+3!��2���I 3�* *6- *�46� �+�9� & * & ��3�* 8 C<*� < V��C�* �^ *�C�*+=�� & �G ��� < V��7d8 ������� �G �!�Y(+*� V����2+�5�<*�# � & C<��� 2 & #�� T 4���3G46� 3G�5�<�!�+�� �B���C � T � & �+3!* V��f;*% ;=1����# �!���� U & � T �� & �5�UB���C & �+3!* ��!f�*� U�� �*�#c�!�e ���79* * '18:*�C���79*;���<��3 T ��C 99� & * ���f;* *6- *�46�U�G � �� I� V�<�����<����3 � / & *X4;��3�4;� 3G�5�������: C<*;8/��C���*�#c���c� & �G T �+C�9 # *;79���� V��CF�5�<*>� & ���U8�C�*% � �� C<* �F��8� U2+�!(+* C��G V*>�<�_� T �92�3���I���3 *6- *�4 �F ;=�����79*;3�?�W

�+� / & *U79��� ��79*;��C<��4 *;C<C<��C,#1� *U�<� � & *2#�� T #1�G @�<� C�I:����4;*U4����� �*�#dIY?X� & * & ��3�*�=+� � * � =�� & * & �+3!*U8 C<*� < V��C�* �L � / & * 8 C<*� < V��C�*XC<*�4;�5(�*;C<? ���e� & *d4 & ����� *;3 #1� *X�<� � & * & ��3�* � / & �� AC�*%46�5(�*�C�? ��B,8 C<*� < V� C<*X�G 8/�+ �� �<�!(+*�5� V7[��3!3 )�*�?Y� ��3G# U�Y� 7 I/*;CF ����:#cI/*�4;��79*� U��*;2+������(�*X�� U��� *�CV�<���d�G U�!��4;C�*%�� �*�# �

Page 83: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

$RE� ��� & ��BU� & *% V* �������+�<� �<�!*% ��C<* 46�+�� �*���� *;�:46*� ��B'� & * #1�G V��� C<I����:46*9���e� & *_#�� T 4;���� �*�# IY?g� & * 8:*�CV�<� C�.I����������g��B,� & *d4 & ��� ��*;3 2�*;�+79*6��C<?e#1� * �<� � & * �F��8 �>^ *���46*+=:� & * 8�C�*% � �� C<*XH�*;3G#`��B��!���<*;C<*� V� T �!3�3 �� �����3�3!?I/*X� & *_#1�� V����C�I�����46*X8�C�*% � �� C<* � / & * � ��#1�G V��� C<I:*%#e8 C<*� < V� C<*>H�*;3G#`46�+�� ��� V�< ���B � & * 3���� *���C$! ���G V*�� �!3�3�* H�*;3G#���P� & *`4 & ��� ��*;3 ���:#P� � � �!B���C<7 46�+�� V�<�����98 C<*� < V� C<* ��� � & * & �+3!*�� � & *`46�+�� V�<�����9I:*��!��2 � & * ! ���G V*�� ��3!3�*(5��3�� *c��� � & *J V��C<*���7 T �G V*[8/�+ �� �<�!�+����B�� & * & ��3�* ��'1�G � / & * � ��# �� V��� C<I/*�# H:*;3G#�4;��� I:*e46�+�� V�G#1*�C�*%# ������ � �<����3,46���:#1� �<�!�+� ��� T & ��4 & � 79*;7_I C<��� *d�� >8 3G��4;*�# �+46C<�+ < �� & *_79�+�1� & ��BZ� & * & ��3�* �<�c�G ���3G�5��* � & *d� T �C<*;2������: �FV �U����7d* f�*;C<��=�� & *X79*�7 I CF��� *>�G 'C<*;79�5(+*�# ����# � & * #�� T *�(���3�(�*% Z�<�[� � * T V��*%��#1? V�<����* � / & *#1�G @�<� C<I�����4;*98 C�*% � �� C<*dH�*;3G# �� � & *(,/. �Q�(����5"0�� I:*;� T *�*;� � & * � * T @�<*��+#1? V�<�5�<*98 C�*% � �� C<*dH�*;3G#b����# � & *��� � �<����3 ��C>� ��#1�G @�<� C<I:*%#gH�*�3�# � PY�!�:46*d7d�� @� ��B�� & *9#1�G �4;�� � ������`B��146�: V*% �+�`� & *9# �� V��� C<I�����46*_8 C�*% � �� C<*�= �!�T ��3!3 I:* C�*;B�*;C<C�*%# �<� �� _ V��798 3�? � & *���8 C�*% � �� C<*���=W� � 3�*� < ��� & *�C T �G �*[� ���<*�# � - � PY���R9+*� #:� T =D� & * 8 3G����*� �+C�7[��3/�<�_� & * #�� T # �!C<*�46�������\= 4;������46�G#1*;��� T � � & � & *X��'1�G U��BD� & * & �+3!*+=1�� ��_8 3G��� * ��BDB���C<*6.0�5B � �?�7979*6�<C�?B���C � & * V��C<*���793��!��*� �=�����#9�����<� .0 V?Y7979*6�<C�? B��+C � & *��G V�+I���CF � - �,B���3�3!� T � & �5� � & * & ��3�*U8 C<*� < V� C<* �� ,�+� *6. & ��3 B� & *_8 C<*� < �� C�*_C�*%46�5(+*;C<? ���g� & *94 & ��� � *�3 � V*�* % ��2�� C<* �� E � � / & �G >8 C��5(Y�G#1*� >� 4;���� ��G @�<*;��4;?e4 & *�4�9JB���C>� & *4;��3�4;� 3G�5�������: �

% �+C � & * �A* T ���+� �G��� #�����# =Z# �!79*;�: V��������3 ������3�?1 V�G X��B�� & * & ��3�* 8 C<*� < �� C�*[8�C��+I 3!*�7 # *;8 �G4 �<*�#���� % ��2�� C<* ��� 2���(�*%

S ���� M�� � ��� � % � �� � �" ���� M � % C" � M ��� % C"�� � � �� � +$ �

T & *�C�* � ����# ��� M � � ��C<* T ��3!3Z(5��3!� *% X��BU� & *c & *���CXC<����* ����# � & *J & *���C_ @�<C�*% � XC<*� �8/*�4 �<�!(+*;3�?gB��+C� & * � ��# �� V��� C<I/*�#g4 & ��� � *�3 #�� T � / & *_4 & ��� � *;3 T ��#1� & �G ����# & �+3!*_#1����79*6��*�CA�G % � / & * & �+3!* �� >#1*;*�8*;����� 2 & ���9*��� V��C�* @�F��2+��������46���:#1� �<�!�+�� B���C���3!3\4 & ��� � *�3 #:� T C<����*% '��BW� & �� � V���:#1?�=�����# & *;��4;*>�!�< �# *;81� &�G � ��� �9C�*�3!*�(5����� 8���CF��79*;��*;C � / & *"#�� �G# & �+ A & *���C�(��G <46�+ ��!�@? � ����#�9Y��� *;7[�����G4X(Y�� <46�� V�!�@? � � / & * & ��3�*8 C<*� < V��C�* �G A#1*;H�� *�#`�+ U� & * #1�!-/*�C�*���46* ��B � & * ����C<79��3 ��CF��46�������� �� � ��� � & * T ��3!3 � � ��# �� V��� C<I/*�#g4 & ��� � *�3#�� T � ���:#�� � �5�U� & *XI:���V�<��7 ��BD� & * & �+3!*+=1C�*% V8/*�46����(�*;3�?�W

Page 84: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� O

S � M � � � � � �� � �� �/ & �G [#1*6H:� � �<�!�+� 2+�!(+*� 9� 8:�� V�!����(�* & �+3!*J8 C<*� < V� C<*cB���C[ V7[��3!3$)�*�?Y� ��3G# d�Y� 7 I/*;CF dB���C9I/��� & � * T ���+� ��������:#g� �+�1. �A* T �<��� �G��� #�� �G# � / & *dC�*�3!*�()�����>79*��+ V��C�*_��B'��� *�CV�<����3 *;-/*%4 �F �G >� & *_�������������/56�7�3,4� 5�� )����(�#1*;H�� *�#c���c*%�+�:�5������� � +$ = T & �G4 & ()��� �G & *% U�� '� & * & �+3!* ��!f�*�%�� O �U- �c� & �5��3!��79� �%=Y� & * 79���<�!�+�cC<*�# ��46*% ���d� ��# �� V��� C<I/*�# = 8�3���� * ! �+�� �*;���!3�3!*�#�� T � / & * 4 & ��� ��*;3J)�*;?Y� �+3�#� '�Y� 7_I:*�CU�� � �����_C<*;3�*;(5�����'8:��CF��79*6�<*;C%= ��!��4;*>� & * #�� T �� ��+ � �� 79*�# ���[I/* 3���79�!����C � / & *X�Y� 79*�C��G4;��3/79*;� & �1#J�� �� & * <��79*X�� '� & *X��� *X#1*% �4;C���I:*%#���e �*�46������� � $ T � � & A � M O �!�J*�������������� � L E��(*)��-)�� � 2A1 �� 0� 5�3 � � <C2A3?68< � 9 � @ ��� � � 0 1 � :A<C0�9;:A5�3 � 9 3 � <���� � = 6H9;:A05E: ��32A0 �% �!2+� C<* �iS & � T [8�3!���< [��B & �+3!*`8�C�*% � �� C<*J(1 � )�*�?Y� ��3G# [�Y� 7_I:*�C[B���C[� T � & ��3�* ��!f�*� � % M ����#% M � L � / & *XB���C<79*;CA��8 8:*%��CF ��� I/* � �Y�� �����3!3�? 3G��C<2�*+= I �1� T �� A4 & �+ �*;�JI:*%4;���� V* ��B,�)()���!3G��I�3!*X* 'Y8/*;C<�!.79*;���<��3D# ���<� 1 ��43 = T & ��4 & ��C�*X#1�G �8 3��)?+*�# T �!� & � & * 4;��3�4;� 3G�5��*%#e46� C<(�*% ��!�e� & *XH�2+� C<* � � 8�8:*�C � � / T � �*6�< ��B,4;��3�4;� 3G�5��*%#c4;� C<(�*� ���C�*X & � T �J�!�eI/��� & 8 3����F � / & * V�+3!�G#J3!��� *XC<*;8 C<*� �*;���< '� & * & ��3�*X8 C<*� < V��C�* T � � & � ����g*�������������� � �� �F�79+*;�g�� � & *_� ��#1�G V��� C<I:*%# =J! ���G V*�� ��3!3�*X� ��C<7[��3 T ��3!3!. �<C<�+4 �<�!�+�e��� � & *_46*�����*;C 8:�+�!���>��B� & * & ��3�* � / & * # �+ & *%#946� C<(�*U�G ,46���: @�<C���46��*%#_IY?X�F�79Y��� 2 � & *�� � �<�XI:*U� & *�� ��C<7[��3 T ��3�3 .���CF��46�������\=)B��+C,� & *#1�G @�<� C<I:*%#<#�� T =+���Z� & *A8:�+�!������B ������*�C< �*�46�������9��B/� & * & ��3�* ��'1�G T �!� & � & * T ��3�3 ��8 8/�+ ��!��*U� & * & ��3�* �&% ��2�� C<* � � & � T �I/��� &g& ��3�* 8�C�*% � �� C<* 46� C<(�*% �C�*�3�������(�*X�<�[� & *<P��<�R9�*% (5��3�� *% � � � * �_� S � � S ��� � � � � 4;��3�3���8� �*�#���`��� *X8 3���� � % C��+7 � & * *('18:*�C���79*;���<��3W# ���<�9��B&/D��� 2 1 ��43 =��W�Y# 2�*8Z ��C<2+�� "1 "�3 H �V�<*�#`�[ �3!�+8:*X��B O � O�L "B���C 4;�!CF46��3���C & ��3�*� T �!� & % M �Y� & * V��CF����2 & ��3!��� * �!� % ��2�� C<* � �_& �� � �3!�+8:* � O O+L S1�

/D��� 2 � 1 �+43 *('18/*;C<�!79*��+�F��3 #1*% V��2��J�� < V� 79*% Z� & * 8 C�*% � �� C<* #1�G V��� C<I����:46* ���dI:*X46�+�1H�� *%#[�<� � & * � *���CV. & ��3�*C<*;2������W=+���:#[� & �5��� & *>� ��C<7[��3 �<C<�+4 �<�!�+�[���[� & * �+8 8/�+ �� �<* T ��3�3:�G �*% � �*;���<����3!3�? � & *>� ��#1�G @�<� C<I:*%#0! ���G V*�� ��3!3�*(5��3�� *�� & *;�:46* � & * 3��14;��������� ��B�� & *D#��� & .�79�+� ����*�#�8 C�*% � �� C<*9��CF���� <#1��4;*;CF & � T � ��� % �!2+� C�* ����� / & *79�� <46�+��46*�81�������P��B�� & �� 9�� < �� 7981���������G 9463G��C<� H:*�#bIY? � & *e4;��3�4;� 3�����*%# C�*% V��3 �F _#1�G �8 3��)?+*�# ��� % ��2�� C<*� � E���:# ��� O = T & ��4 & & � T � & * # �� V��� C<I�����46* 8�C�*% � �� C<* B��+CQP��<�R9�*% 2#�� T B���C�% M � % ��2�� C<* � E �G �� & * 8 C<*� V.

Page 85: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

���

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Re

−P

H /

σ, −

PLo

dge /

σ

H=2, b=2 (Experimental data by P.P−L.Tong, Univ. Wisc−Madison, 1980)

CFD: PLodge

CFD: PH

EXP: Fluid IEXP: Fluid IIEXP: Fluid IIIEXP: Fluid IVEXP: Fluid VEXP: Fluid VI

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Re

−P

H /

σ, −

PLo

dge /

σ

H=2, b=1 (Experimental data by P.P−L.Tong, Univ. Wisc−Madison, 1980)

CFD: PLodge

CFD: PH

% �!2+� C<* �iS W ^ ��3�* 8 C<*� < �� C�*�(+*;CF V�: `)�*;?Y� �+3�#� ,�Y� 7 I/*;C�B���C � W � � % M =+� 8 8/*;C � ����# L W � � L % M =+3!� T *;C �CF�5�����+ � ! �������< C�*�8 C<*� �*;��� * '18:*�C���79*;���<��3 7d*%�� �� C<*;79*;���< �

Page 86: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� L

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Re

−(P

H−

PH

S)

/ σ

CFD: H/b=1CFD: H/b=20.027 × Re

% �!2+� C<* � � W ^ ��3�*Z8 C<*� < V� C<*,C<*;3G�5����(�* �<�QP��<�R9�*% \(+*;CF V�� L)�*;?Y� �+3�# W�Y� 7 I/*;CWB���C � W � ����# L W � CF�5�<�!�� � PY��CF����2 & �3��!� *XC<*;8�C�*% V*��+�F '�<����2�*;��� �5� ��� M O � �`'Y8/*;C<��7d*����<��3�3�?�=�\�1#12+*"Z ��C<2+�+ 1 "�3 H �V�<*�#e�[ V3���8/* ��B O � O+L ":� �� C�* 8 C<��H:3!*X���J� & * V��C<*���7 T �G V* 46*�����*;CA8 3���� * � ��� � � O � �+�c� & *X�<��8`����#JI/��������7 4 & ����� *;3 T ��3�3G ;= T & ��3�*% �!2+� C<*� ��� O ���:# ��!�+� # �� �8 3G�)? 46�����<��� C�8 3����F U��BD� & *X8 C<*� < �� C�* �+� � & *X� 8 8/*;CA����#c3!� T *;C�4 & ��� � *;3 T ��3�3G � ��� � � N � � / & *� �* C�*% V��3 �F � & � T � & ����B���C�3G��C<2�* & ��3�*� � & * 8 C�*% � �� C<*A�<C<�)(+*;CF V*% Z� & * 4 & ��� � *;3 2���8J����#c� & *4 & ��� � *;3 T ��#Y� & T � � & 3!�!�V�<3!*c�5�V�<*;�Y����������� � / & *[8:*%�791 X��� � & * (Y�G46��� �!�@? ��BU� & * & ��3�* ��C�*[ �7d�Y��� & *%# �+�1��=I �1�X� & *9C<��7981.�3�� 9�* ����4;C�*%�� �*_�G 8 C<���@*�46��*%# ��4;C��� � A� & *[2+��8 ����# 3G�5��*�C<��3!3�?`��4;C��� � A� & *9B���3!3 T �G#Y� & ��B�� & *4 & ��� � *;3 � % ��2���C�* ����� 4;��C<C�*% V8/���:# U��� % �!2+� C<* ��� O B���C � � M LRO ���:# & � T �� & *d# *;(�*�3!�+8 79*;��� ��BZ� & *8 C<*� < V��C�* T �R9�* �� U��� *;C����G�9����46C<*��+ V*% �

9'�����<��� C>8 3����< >��B'��3�3 � & C<*;*d(�*�3!�146�!�@?`46�+7d8/����*;���< � � � ��� ��� � � � � � N � B���C"P����]9�*� Q#�� T ����# ��� M ��"�;% ��2�� C<*� ��� L = ��!�% ����# ���;" =+C�*% V8/*�46����(�*�3!? � & � T (Y�� ���I 3!*> V?Y7979*6�<C�?�.EI C�*%�79Y��� 2X*6- *�46�< '��BW��� *;C����G� ��3!�+� 2� & * .0#1�!C<*�46������� �F% �!2+� C<* ���%$ & � T � & * 4;*;����CF��3!.�8�3���� *'8:�5� & 3!��� *� ��!�d� & *�(Y��4;�!� �!�@? ��B:� & * & �+3!* B��+C P����]9�*% #�� T ����# ��� M L7O � / & * �*�4;����#���C<? #�� T � *���CX� & * I:���V���+7 ��BU� & * & ��3�*[�� X(+*;C<? 7_��4 & T *%�79�*�C � & ���� & * � 8�8:*�C �+� *�=1����# 2+�!(+*� ZC<�G V*A���9� � *�2�3��!2+�!I 3�*>8 C�*% � �� C<* �5(�*�CZ� & * & ?1#1C<�+ V�<�����G4 (5��3�� * ���'� & *>I:���V���+7 �`V(Y�!* T B�C<��7 �<��8J�!� % ��2�� C<* ��!�%� C<*;(+*���3� (Y�� ���I 3!* ��� *;C����G�d*6- *�46�< U���c� & *X� *���CV. T ��3!3 V��C<*���793��!��*� ���I/�5(�* � & *

Page 87: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�+

streamwise direction (x)

dist

urb

ance

pre

ssu

re(p

)

-5 0 5 10

-2

-1

0

1

2

streamwise direction (x)

dist

urb

ance

pre

ssu

re(p

)

-5 0 5 10-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

% �!2+� C<* �� E WFP��<C�*%��7 T �� �*A8 C<*� < �� C�* 8 C<��H�3�*� '�!�e46*�����*;C 8 3G��� * B���C & �+3!*>��BDC<������� � W �_� % M � ��� � & * 3�� T *�C� � � L ��N � M �� � � � � O � =Y3�*6B � � ����#J� 8 8/*;C � �� � L � N � M � � � � O�� =YC���2 & � � T ��3�3G �� ��� M O �

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irect

ion

(z)

-5 0 5 10-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

p8.55897.336346.113784.891223.668672.446111.223550.000995159

-1.22156-2.44412-3.66668-4.88923-6.11179-7.33435-8.55691

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irect

ion

(z)

-5 0 5 10-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

p0.8338930.7149870.5960810.4771750.3582680.2393620.1204560.00154999

-0.117356-0.236262-0.355168-0.474075-0.592981-0.711887-0.830793

% �!2+� C<* ��!� O W�!�C�*% � �� C<*_#1�G @�<C���I �1�<�!�+�� >��� 3!� T *;C � � � L ��N � M � � � � � N � = 3�*6B � � ����# ��8 8:*�C � �� � L � N � M�� � � � N � =YC���2 & � � T ��3�3G �� ��� M O = � % M ���

Page 88: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

��"

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irect

ion

(z)

-5 0 5 10-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

p3.016912.484061.951211.418360.8855140.352667

-0.180181-0.713029-1.24588-1.77872-2.31157-2.84442-3.37727-3.91012-4.44296

streamwise direction (x)

span

wis

ed

irect

ion

(z)

-5 0 5 10-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

p-0.601595-0.622439-0.643283-0.664128-0.684972-0.705816-0.726661-0.747505-0.768349-0.789194-0.810038-0.830882-0.851727-0.872571-0.893416

% �!2+� C<* ��!�+� W�!�C�*% � �� C<*_#1�G @�<C���I �1�<�!�+�� >��� 3!� T *;C � � � L ��N � M � � � � � N � = 3�*6B � � ����# ��8 8:*�C � �� � L � N � M�� � � � N � =YC���2 & � � T ��3�3G �� ��� M L7O = � % M �+�& �+3!* �

x

z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

u

0.1571270.1406080.1240890.1075690.09105020.0745310.05801180.04149250.02497330.00845409

x

z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

u

0.1206060.1079310.09525460.08257870.06990280.05722690.0445510.03187510.01919920.00652333

% �!2+� C<* ��� L W-9'�������+� C 8 3����F ��B � & * �:.�(+*;3��146�!�@? 46�+7d8/����*;��� �5�A� & *_3!� T *;C T ��3�3\��B � & * L % M 4;�� �*XB��+CP��<�R9�*% #�� T � 3!*;B � � ����# � � M ��"e� C���2 & � � �

#���� � ���%, �3� �<� ��!�!��� � , ����� ��������� �� �� �� 46���2 2!

(*)��-). � 2A1 �� 0� 5�3 � � <C2A3?68< � 9 @ ��� � � 0 1 � :A<C0�9;:A5�3 � 9;3 � <�� � � 0: �� � � 0 � 3 0:��3 2A0 �

V < �� 79�!� 2e� & * T ��3�3� X��B'� & *[8 3G��� * 4 & ��� � *�3���C<*[�5� L M � � = � & *[B�� 3�3�?g� & C�*�*6.0#1�!79*��� V�����:��3 & �+3!*[8 C<��I .3�*;7 �G �+# #1C<*� < V*%# T �!� & �e8 C<*� <46C<�!I/*�#N! ���G V*�� ��3!3�*_(+*;3��146�!�@? � �ML � M � � L C � � M � M O ���>� & * 4 & ��� � *�3*;���<C<����46*+= T & ��3�* � & *_�+�1� #:� T 4 & ��� ��*;3 I:�+� ��# ��C�?J�� �<C�*%�5��*%# T �!� & � & *�� *;��79��� � I/������# ��C<?e46���:#1� �<�!�+�

Page 89: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

��$

x

z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

v

0.04079670.03121210.02162750.01204290.00245827

-0.00712634-0.016711-0.0262956-0.0358802-0.0454648

x

z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

v

0.03452380.02968320.02484250.02000190.01516130.01032060.005480010.000639376

-0.00420125-0.00904189

% �!2+� C<* ���� W 9'�����<��� C 8�3!���< ��B � & * � .E(�*�3!�146�!�@?c4;��798/��� *��+�>�5� � & * 3�� T *�C T ��3!3D��B � & * L % M 4;�� �*XB��+CP��<�R9�*% #�� T � 3!*;B � � ����# � � M ��"e� C���2 & � � �

x

z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

w

0.002185110.00167190.001158690.0006454820.000132273

-0.000380935-0.000894143-0.00140735-0.00192056-0.00243377

x

z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

w

0.007178540.005489180.003799820.002110460.000421103

-0.00126826-0.00295761-0.00464697-0.00633633-0.00802569

% �!2+� C<* ���;" WB9'�+��������C�8 3!���< ���BD� & * � .E(�*�3!�14;� �@?J46��798/��� *����A�5��� & * 3!� T *;C T ��3�3\��BD� & * L % M 4;�+ V* B��+CP��<�R9�*% #�� T � 3!*;B � � ����# � � M ��"e� C���2 & � � �

Page 90: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�+�

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

% ��2���C�* ���%$ W`P���C<*���7d3���� *� � % M � B���C�PY���R9+*� � 3!*;B � � ����# ��� M L7O � C���2 & � � �

Y X

Z

Y X

Z

% �!2+� C�* ��!�%� W&P���C<*���7d3���� *� ����c� & * N 8 3G��� * � % M � B���CQPY���R9+*� � 3�*6B � � ���:# ��� M L7O � C<��2 & � � �

Page 91: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�YS

x

p

-5 0 5 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

StokesR-R 0.05R-R 0.1R-R 0.2

PHS

PRR}

% ��2���C�* ���)S W 9'*�����*;C<3��!� *X8�C�*% � �� C<* �+� �<��8 T ��3!3 B��+C % � M �+����� � M O � S M O � � * ������* � & �5� �!�`��I: V*���46*X��BD� & * 8 C<*� < V��C�*>�<��8\=1� & �� A�� A���e*(' ��46�A V�+3!� �������JB���C �98 3G����*IJI�I #�� T � / & *XI/��� ��#���C<�!*% B���CU� & * 46C<�+ < @. #�� T N .E#1��C<*�4 �<�!�+�c��C�* �� < V��7d*%# 8/*;C<���Y# ��4�=�����# � & *XC�*% @����B � & *I/��� ��#���C<�!*% ��C�* V*;� ���X V�+3!�G# �� C�B���4;*� � V �@?Y8 ��4���31 ��!7_� 3���������� B���C, V�:4 & � 2�*���79*6�<C�? & �+ L 79��3!3��!�+�_#1*�2�C<*;*% ��B:B�C�*�*�#1�+7 � / & *U8 C<*� �*;����*%# C<*� �� 3!�< T *�C�*'��I1�F����� *�# T �!� & 8:�+3!?Y� �+7d�G��3Y�+C<#1*�C< �cM L ���:# " 8:*�C,#1�!C<*�46������� �/ & *[C<*� �� 3!�< >B���C � & C<*;*;.E#1��79*;�� ���������3 & ��3�*� X��C�*98 C<*� �*;����*%# �!� ��*�C�7[ ��B'� & * #1�G @�<� C<I�����4;*98 C�*% � �� C<*dH�*;3G#T & �G4 & �� � & *X*('Y��CF�d8 C<*� < V� C<* #1� * ���d� & * #1�G @�<� C�I:����4;* 4;C�*%�5�<*�#cI�? � & * & �+3!* � V*�*X V*%4 ������� � � ��� � �

% �!2+� C<* ���)S & � T �� & *_4;*;����*�C�3���� * 8 C<*� < V��C�* �+�e� & * ���+8 T ��3!3D��B � & *d4 & ��� � *�3\B���C�% � M � B��+C �*;(�*�C<��3(5��3�� *� A��B A � � IJI I � � / & * 8�C�*% � �� C<* 4;���� V�<����� �� 4 & �+ �*;�` ��9� & ��� � & *_8 C<*� < V� C<* �� Af;*�C�� ��� � O � ��� � O � � � & *46*�����*;C ��B � & * I:���V�<��7 8 3�����*_��B � & * & ��3�* �5�>#1*;81� & � � � ?e#1*6H:� � �<�!�+� ����� � & * B���CA� 8� V��C<*���7 � M � S �(5��3�� * ��B � & * 8 C<*� < �� C�* �G �� & * & �+3!* 8�C�*% � �� C<* �+ �����#1�G4;�5�<*�#e��� % �!2+� C�* ���)S = ����#J� & * #1�!-/*�C�*���46* I/*6� T *;*��� & * B���C�#1� T �� V��C<*���7 ����# B���CU� 8� V��C<*���7 � M � O � (5��3�� *� �G � & * 8 C<*� < �� C�* C�*%46�5(+*;C<?<S��P# � *>���dC�*%#1��46*%#

Page 92: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�]�

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

α′

PR

R /

τ w

Hole pressure dependence on R−R parameter α

H/b=1, r=0.0773, PHS

=0.0602

H/b=2, r=0.109, PHS

=0.0086

H/b=4, r=0.146, PHS

=0.001

% ��2�� C<* ����� W ^ �+3!* 8 C<*� < �� C�*X�+ �� B�����4 �<�!�+�J��BD� & *8)�*��!� *�CV.H)���(Y3!���c�Y� 7_I:*�C �#1�G � ���8��5�<�!�+�`C�*�3�������(�* ��� � & * � ��. & ��3�* 2+*;��79*;��C<? �2- BGSUTh�G A�+# #1*%#J��� *%��4 & 46��C�(+*X� & *��`� & * 8 C<*� < V��C�* T ��3!3I/* f;*�C�� B���C>� 8� V��C<*���7e=�SUT ���A� & * I/��������7 ��B,� & * & ��3�*�= ���:# S � B���C # � T �� @�<C�*%��7 � / & *d��#1(5���+�F��2+*X��B� & * & �!B ����� 2e� & *98 C�*% � �� C<* �<�`I:*9f�*;C<�e��� � & * & �+3!*9I/��������7 �� >� & �5�:SFT ����#�S � 4;��� I/* 46�+�Y(�*;���!*��+�<3!?#1�G V8�3��)?+*�#J���`�+� * 8 3���� � PY����46* ��� *%��4 & *;��#g��B � & *d4 & ����� *;3W� & *"#:� T �G A�+ V?Y7981�<�����G4 �<�D! ���G �*;� ��3!3�* #�� T� & * 8 3G��� * � O � L ��N � �G �+� *[��BUB���C<*6.0�5B � �?Y797d*;��C<? �D- �BP����]9�*� "#�� T � & * V��C<*���7d3���� *� ����# � & * 8 C�*% � �� C<*H�*�3�# 7_�� V� � & *�� & �)(+*9B���C<*6.0�5B � �?�7979*6�<C�?b���:# �������!.E �?Y797d*;��C<? C<*� �8/*�4 �<�!(+*;3�? �+ �G *;(Y�G#1*;��� ��� % ��2�� C<* ���)S ���:# % ��2�� C<* � L � I:*�3!� T ����#\= B�� C�� & *�C�79��C<*�= S � 7 �: @�XI/*[*�������3 �<� � L S T � / & *� �*[8 C��+8:*�CV�<�!*% >��BP��<�R9�*% #�� T 8�C��5(Y�G#1* �: V*;B�� 3W4 & *%4�9Y U�+� � & *X�Y� 79*;C<��4���3\ ���3��1�������: �/ & * & ��3�* 8 C<*� < V� C<*� ,B���CZ� & C<*;* & �+3!* V��f;*% ���C<*�8 3�������*�# ��4;4;��CF#1��� 2>��� *%�+�:�5������� �� LRO C�*���#1*�C�*%#d# �!79*;�: V�����1.3�*� < T �!� & #1��(Y�� ������[IY? � & *Q! �+�� �*;���!3�3!* T ��3�3: & *%��C� V��C<*� < ;= ��� M = � � / & * 3���� *���C��!�@?_��B � & * 8 3!���< ' V� 2+2�*% @�F � & �5� B���C2)�*;��� *;C�.H)��!(Y3��!� ����7 I/*;CF �3�*� < Z� & ���J��I/���1� O L � & *> ���3��1�<�!�+�� ��+I1�<���!��*�# & *�C�*AB���3�3 T � � & �!� � & * #1��.7[����� ��B H:C< V�'�+C<#1*�C�8/*;C���� C<I����������� '��B P��<�R9+*� &#:� T �U- � I:��� & � & *;�+C�*;���G4;��3:���:#[*('18/*;C<�!79*;���F��3 T �+C�9d� � & �+

Page 93: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�]E

x

p

-4 -2 0 2 4

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

StokesR-R 0.05R-R 0.1R-R 0.2

% �!2+� C<* ��!�,E W P & � B �<�!� 2 8 C<��8/*;C��@?X��B/46*;���<*;C<3!��� *U8 C<*� < V� C<*� �W / & *U8 C<��H�3�*� DB��+C # � - *;C<*;��� IJI�I (5��3!� *% 46��3�3G��8� �*���[�[ ��!��2�3�*>�+� * T & *;�J� & *;?J��C<*> & �!B ��*�#JIY?DS IJI � SFT K �I/*;*;�J�� < V��7d*%# � �W�Y# 2�*QZ ��C�2��� $1 "73 = /D��� � *�C Z !Z��89Y��� 1 $��43 � � & �5� � & * & ��3�*A8 C<*� < �� C�*A�!�DPY���R9+*� G#�� T �� � *�2�3��!2+�!I 3�* 4;��798���C�*%#9���_� ���1. � * T ���+� ����� *6- *�46�< �`% �+C'3G��C<2�* & ��3�*� �� & *>*('18/*;C<�!79*;���F��3 # �5�F� ��BU/W�+� 2D1 ��43B���C % � M � & � T SFT K ���dI/*>79*%�� �� C<��I 3�* � � (�*;C'� & * CF��� 2+*A��BD�Y� 79*;C<��4���3/(5��3�� *� ��� % ��2�� C<* ��!�,� � SUT K <4;��3�*� UC<����2 & 3�? �� � � % � � � T & ��3!* M <4;��3!*% ��� � � % � � � X � C / & * 3G�5����*�C �� � � 3���9+*;3�? ��� & ��3G# B��+C (�*�C�? �79��3!3�% � =:����#c� & * M (5��3!� *% �2���(�*�� & *;C<* 79�)?cI:*_��8 8 C<�+�+4 & ��� 2 � & * ^ �!2��� & � �F��� �!.H!ZC<� �F4 & ��CF# 1 $+S�3 ()��3!��*��B � � � �� % � � O ���!��# *;*�# �[4;��3G46��3����������eB���C % � M � � � O �+�`� 46����CF V* 79*� & 2+�)(+* M M O ��)SY� V H���*79*� & 4���3G46� 3G�5�<�!�+�eB���C � & *9 ���79* 2�*���79*6�<C�?e8 C<�5(�*%#e*('Y��C<*;79*�3!?`#1*�79����#1��� 2 ����������C�*% V�+� CF46*� ����# T �+ �@��#12+*�# �!�:��8 8 C<��8�C��G�5�<* �8\ *���C< �3�*;? � (5��3�� *d��B � � L B���C>� & *98���C<��3!3�*;3, �3!���>7[�)? T *;3�3 I:* ��� � 8 8/*;CXI/������#B���C M �

� & *��[� & *A8 C�*% � �� C<*�46� C<(�*% ,�!� % ��2�� C<* ��!�5S ��C�* & �!B ��*%#[IY?<S IJI � SFT K � & *AC<*� �� 3 �Z�G Z*% � �*;���<����3!3�?_� ���� 2�3�*46��C�(+*>�+ & � T �c�!� % �!2+� C�* ����E B���C % � M � � L �Y ���7d��3G��CUC�*% V��3 �F T *;C<*>��I1�F����� *�# B���C���3�3 (5��3�� *� ��B % � / & �G d7d*%���� � & �5�[� T �)? B�C��+7 � & *`��8/*;C�����C�* � & *J8 C<*� < V� C<* #1�G V��C<�!I � ��������B��+C A � � O #1�!-/*�C< B�C<��7 � & *

Page 94: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

S O

x

z

-5 0 5 10-6

-4

-2

0

2

4

6

p0.1750480.1400190.1049890.06995930.0349297

-0.000100002-0.0351297-0.0701593-0.105189-0.140219-0.175248

% ��2�� C<* � L7O WF!�C�*% � �� C<*>4;�������+� CF '�+� � & * ���+8e8 3���� *��18/�+ ��!����(�*X46�+�+�<��� CF 3!��* ���d� & *XC���2 & ����B M O �46�+C�C<*� �8/����#1��� 20P��<�R9�*% UH�*�3�#JIY?J�[4;���� V�<����� � / & �� A�!798 3��!*% �� & �5� B���C�B�C<��7 � & * ��8:*�CV�<� C�* � & *"#�� T �G �� & *2��5(+*;C<� *�#9IY?[� & *8P����]9�*% �*%�+�:�5������� � ^ � T *�(�*�C�=�� ���G �463�*���C�B�C<��7 % ��2�� C<*� ���)S ����# ����E � & ����=1* '14;*;81�UB��+C(�*�C�?` �7[��3�3,()��3!��*� >��B % � = � & *<#�� T � *%��C � & * T ��3�3 �+8 8/�+ �� �<* � & * & ��3�*_�G � ���>� �:#1�� V����C�I/*�#N! ���G V*�� ��3!3�*#�� T �� ��� < �� 79*�#c�!�J� & * ^ ��2+�� & �!�<��� � .H!ZC<�!�<4 & ��C<# 1 $+S,3 � & *���C<? �

% �!2+� C<* � L7O # �� �8 3G�)?Y Z8 C�*% � �� C<*�H�*�3�# 4;�������+� CF B���C � A � M O L ���9� & *A�<��8 T ��3�3 � � � L ��N � B���C % � M ���/ & *[46�+��������C>8:�5�V�<*;C<� & � T � & �5� � & * & ��3�*9# �� V��� C<I�����46*d��B�� � SFT K � * 'Y��*;�:# X��3�3 � & * T �)?g��4;C��� � A� & *4 & ��� � *;3U�G [���h� � * 'Y8/*�46��*%#PC<*� �� 3!� � PY�!�:46* SUT K <4;��3!*% 9�� � % � � � �!� V� 2+2�*% @�F � & �5�[���h* '18:*�C���79*;���<��3#1*% V��2��� T & �G4 & *;798 3��5?e3���C�2+* & ��3�*� �= V�:4 & �� A� & *<�\�1#12+**Z ��C<2+�+ 81 "73 @�<C�*% � �79*6��*�C�=:� & *_8 3G��4;*;79*;���>��B��CF���: �#1�:46*;CF ���e79*��+ V� C<*_� & *[2+C<�+#1�!*����>��B�� & *9�����F��3,8 C<*� < �� C�* T ��3!3,I/* V��I �@*�46�X���` V?1 V��*�79�����G4 *�C�C<��C ���� & *_��C<CF��� 2+*;79*;��� & � T �J��� % �!2+� C<* �����2% � C�� & *;C<7d�+C�*+=:� ��G#1* T �)?1 U��-/.E �*6�A��B � & *X�<C<���� <#1��46*�C�� X #1�Y*� � ��� C�*% V�+3!(+* � & *X8 C��+I 3�*;7e=����:#c4;3!*%��C<3!?+=1� �A & ����3�#cI:*X8�3��+46*�#c� 8� V��C<*���7 ���c� & *X� ��# �� V��� C<I/*�#JC�*�2������ �/ & * & �+3!*;.�8 C<*� < �� C�* �� 9���h*(' ��7d8�3!*J��B & � T � & *`�+ V?Y7979*6��C<? ��B>��� ��8 8���C�*�����3�?b �7[��3�3U2�*;�+79*6��C<�G4 #1�G @.

Page 95: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

S1�

X

Y

Z

% �!2+� C<* �� L � WF/ & C<*;*6.0#1��79*;�� ��!�+����3 8:�5� & 3!��� *� ����A�9 V7[��3�3\#1�G @�F����4;*X��I/�5(�*>� & * T ��3�3 �����C�I�����46*9��BU�J(Y�� <46�+79*6��C<�G4d# ��7[����� 4����b2���(�*9C<�� �*d���`�` ��!2+� � H/4;�����X*6- *�46� #1� *[79�+ V��3�?`�<�e� & *[� �+C�7[��3 V��C<*� < V*% �F% �+C'� & *>()��3!��*� ��B A � ��BW� & �G T �+C�9d� & * (+*;3��146�!�@?_H:*;3G# �#1�!-/*�C �+� 3�? V3��!2 & ��3�?_B�C<��7 � & *;��C-� * T ����.� �G��� 4;��� ����*�C�8:��C��< � - � % �!2+� C�* �� L � @�<C�*%��793��!� *% ��C<�!2+�!�:�5����� 2 � 8� V��C<*���7 �����X#1�G @�F����4;* O O+L $ B�C<��7 � & *3�� T *�C T ��3�31��C<*' �*;*;�_��� B���C<7 �>I:� T 31�+ W� & *;?X8:�� < D�5(+*;CD� & *���8:*�CV�<� C�* T �!� & A � M O / & �G 8 �G4 �<� C�*U4 & ��� 2�*% (�*�C�?_ V3��!2 & ��3�? T & *�� A � �� ,����4;C�*%�� �*�# ��� O L � ����#d*(' ��7d�������������9��B/� & *A(�*;3��146�!�@?XH�*�3�#d� & C��+� 2 & 79�+ V�Z��B � & *#1�+79���!�J?Y�!*�3�#� �[ V��79�!3G��C 4;����4;3!�: V����� � / & �� U�G 46�+�� ��� V��*��+� T �!� & % ��2�� C<* ����E T & �G4 & & � T � & *X8 C�*% � �� C<*H�*�3�# ��� � & *d���+8 T ��3�3 ���JI:*0P��<�R9+*� ������\= I �1�X�!�X# ��*% >� ��� ��4�46�+� ��� B��+C � & *9*('Y��CF� & ��3�*_8�C�*% � �� C<* T & �G4 & & � B �F � & * 8�C�*% � �� C<* 46� C<(�*% U��� 8�C��1#1��4;* � ��!��2�3�* ��� * � / & * 8�3���� * ��B � & *_��8:*�CV�<� C�* �� � & *_��� * 3��14;���������T & *�C�*�� & * )�*;��� *;C�.H)��!(Y3��!�[(+*;3��146�!�@?_H:*;3G# '��C�* #1�� V������46��3�?9# � - *;C<*;����B�C<��7 � & *;��C �A* T �<��� �G��� 4;��� ���<*;C<8���C��< �- � % ��2���C�* � L�L � & * (+*;3��146�!�@? 46�+7d8/����*;���< ��C<* 8 3!���V�<*�#d�!�_� & *�8 3���� *U��B:� & * ��8:*�CV�<� C�*U��3�����2 � O � � � L ��N � =B���C�% � M � ����# A � M O L � / & *B�A* T ���+� �G��� � ��� .046�+7d8/����*;���< ��C<*,*� < V*������G��3�3!?>f;*�C�� T & ��3�*Z� & *;��CU)�*��!��*;C�.)���(Y3!��� 46�+� ����*;C<8���CV�F ,��C<* V7[��3�3�I��1�'#1�G @�<�!�:4 ��B�C<��7 � & *A����7d*�C��G4;��3 *;C<C<��CF ��� & *;�9� & *��:.E4;��798/��� *��+�F ,��C<*7[��2+� � H:*�#e� & *;?e*(' & ��I �!�>#1�!- *;C<*;��4;*� ��B,� & *_ <��79* 7[��2+� �!����#1*d�� � & *<)�*;��� *;C�.H)��!(Y3��!� � � � .E4;��798/��� *��+�F �/ & �� *;(+*;� ��� � & *U3!��79� �,��B: V7[��3!31 & *���CDCF�5�<*� W� & * � & C�*�*6.0#1�!79*��� V�����:��3 & ��3�*6.E8 C<*� < V� C<*&#�� T �!�_� & * C<*;2������ ��B

Page 96: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

S L

z

u

-1 0 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

StokesR-R 0.2

z

v

-1 0 1-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

z

w

-1 0 1-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

% �!2+� C<* �� L+L W *�3!�146�!�@?N4;��798/��� *��+�F ��4;C��� � � & * ��8/*;C���� C<* � / & * ��I� �*;C<(�*%# �� �4;�!3�3G�5�������: ��� � & *� � 46��798/��� *���� ��BW� & * IJI I #�� T ��C<* #1� *>�<�_� & *X & ��C<8c46�+C���*;CF ���BW� & * �@����4 �<�!�+�e����# �G ��_79��� �!B�*� V�<�5�<�!�+���B � & *X� ���G V* ��� � & *X� �+�1. �A* T �<��� �G���e @�<C�*% � �� & * ��8/*;C���� C<* �� �4;���� ���# *;CF��I 3�?[79��C<* 4;��798 3���4��5�<*�# � & ��� � & * 46�+C�C<*� �8:�+��#1��� 2_� T ��.E#1��79*;�� ���������3/8�C��+I 3!*�7 �/ & * ^ �!2��� & �!�<����� .H!ZC<� �F4 & ��CF# 1 $+S,3 � & *;��C<?J�� AI � ��3 � 4;����4;*;81�<����3�3�?c�+�c� & *_�+ � �� 7981�<�!�+�c� & �5�A� & *d��8/*;C���� C<*C<*;2������ & �� � V��C<*���793!��� *� U���J� & *X8:�5�V�<*;C<�c��B % ��2�� C<* � L �+�

(*)��-)�� �>9;: ��3 2A<C0�9;:/ & *J3!� T & *%��C�.�CF�5�<* & �+3!*J8 C<*� < V� C<* B��+Cd� � �+�1. �A* T �<��� �G���B#�� �G# & �+ _I/*;*��h & � T � �<� I/*`#1*6�<*;C<79�!� *%#IY? � & * ����2�79*;����*%#e V*%46���:#c�+C<# *;C2#�� �G# =:*������5�<�!�+� ��� O =:#1*;C<�!(+*�#cB�C<��7 � & * 7[�5�<*;C<����3!3�? 4;���� V�<���+�A V��C<*� < �=*�������������� � =���� T & ��4 & � & *$)�*;��� *�CV.H)���(�3����d V��C<*� < & �� ,4;���� V�<���+�Z4;��*�� 46��*;���< = =+����# A �U- �d� & ���Z*��������������� & *9# *6H�� �!������� ��B'� & *9�G V����C<��8 �G4d @�<C�*% � ��3�3�� T � & *9*���� ��3!��I C<�!� 7 *������5�<�!�+�g�<�JI/*[ ������G @H:*�#gIY?`� & *[ V�+3!� .�������b��B�� & *[)�*;��� *�CV.H)���(�3���� 8 C<��I�3!*�7J=W*������5�<�!�+� � $ =\IY?g79*����� ��B./ & *���C<*;7 �� L �!� 8 C<�5(�*%#gIY? 9 �� T *;3�31 $�$,3E� / & �� 'C<*�#1��46������� ��� � & *A�+C<# *;C���BW V8:�5���G��3 #1*�C���(5�5����(�*% Z�G ��Y� 79*�C��G4;��3!3�?d�+#1(5�����<��2�*����� �=+����#[������� CF��3�3!?I C<*��R9Y X� & * 8�C��+I 3!*�7 �������`� T �g @�<*;8� ��- �b� & * H�C< V��=D� & * & �+3!*[8 C<*� < �� C�*[C<*;3G�5�<�!(+*d���`� & *[)�*��!� *�CV.H)���(Y3!���(5��3�� * �� �# *6��*�C�79��� *�#J���:��3�?+�<��4���3�3!?9�<�9I:* ����#1*;8/*;�:#1*;��� ��B & ��3�*X V��f;*X����# �<�9I:*>� & * <��79*X�� '� & *8/D��� � *�CZ�!��!89Y���N1 $���3 C<*� �� 3!�UB���C � T ��.E# �!79*;�: V��������3 & ��3�*� �U- �J @�<*;8c� T �_� & * ) *;��� *;C�.+) �!(Y3��!�c()��3!��* �G �#1*6�<*;C<79�!� *%#IY?P ���3��1�������h��B *�������������� � $1� PY����46*J� & *e��*;C<7 ��� A ��� *%�+�:�5������� ��� 8 3G�)?Y 9��� C<��3�*e�!�h8 3G��� *�#:� T =� & **)�*��!� *�CV.H)���(Y3!���` @�<C�*% � & �� �I/*;*��g8 �1�>�!���<� �dB���C<7e=:*%�+�:�5������� �� L " = � & �5� �� A� ���5- *�46��*%#`IY? � & * �79��3!3#1�G �4;C�*�8����:46��*� ��� � & * #1��3G�5�<��������� C<����* � ��@ B�C<��7 f;*;C<� T & �G4 & �14�46� C ���b�Y� 79*;C<��4���3Z ��!7_� 3���������� � / & �� �)(��+��#� A� & * 46C<*���������� ��B���C����!H:46�G��3 � & C<*;*6.0#1��79*;�� ��!�+����3 B��+C<4;*� ��� C<*;2+�!�+�� ��B 8 3G��� *�#�� T *;7_I:*%# #1*�# ��� �

Page 97: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

S�� & C�*�*6.0#1�!79*��� V�����:��3 #1��7[����� � � � C 79�Y# � H�*%#�� ����� A M 46�1#1* T �� 4 & *�4�9+*�#[��� � T � I/*;��4 & 79��C�9[8�C��+I 3!*�7[ T �!� & 9Y� � T �g������3�?����G4;��3D V�+3!�1�<�!�+�� �.- �g8���C����G46��3���C�=1B��+C \ *%��CF V3�*;? � 81 L 3 8���C<��3!3�*;3D V3���� � & * M 4;�Y* � 46��*;���A���*�������������� �� LRO �� '4;��3G46��3�����*�#d�<� T �!� & ��� ��� ��B/� & * ������3�?����G4;��3�(5��3�� * ��B XC � � & * � � 46�+��(+*;C<2�*���46* �� < �� *A4;���I/*XC�*% V�+3!(+*�# IY? 4;��7_I �!��*�# � � � � C<*6H���*;79*;��� � �/ & *>�Y� 79*;C<��4���3�(5��3!� *% ��B � & * )�*��!��*;C�.+)���(Y3!��� & �+3!*>8 C<*� < V��C�* & �)(�* I/*;*��c & � T �[���_B���3�3�� T *%�����5�<�!�+� � L7O =���:# � �F 946���: @�F�����< <SUT K =�����# M & �)(+* I/*;*;�P�<��I � 3G�5��*%# B��+C !� M X� ��XC � �+� / & * P��<�R9�*% & ��3�* 8 C<*� < V��C�*+=SFT K � & �� I/*;*��� & � T � ���g <4;��3!*9C<��� 2 & 3�? �� � % � � � � ����# B�C��+7 � & *[*('18/*;C<�!79*;���F��3�# ���<�J��B$/D��� 2 1 ��43�!�< c79��2�� �!���:#1* �5� % � M � T �+ 9B���� �:# ����I/* ��� � & * 79*��+ V��C<��I 3!*`CF����2�* � / & * 46�Y* � 4;�!*��+�c��BX� & *)�*��!� *�CV.H)���(Y3!��� �Y� 7_I:*�C M T & ��4 & #1*6�<*;C<79�!� *% & ��3�*d ���f;*9#1*;8/*;��# *;��4;*d��BZ� & *_�<���F��3 & ��3�*d8 C�*% � �� C<**S T ���*�������������� � L � �� � �7[��3�3!*�C'� & ���c� & * ^ �!2��� & �!�<����� .H!ZC<� �F4 & ��CF# 1 $+S�3 (5��3�� * ��B � � � = T & �G4 & 7[�)?[I/* � & * 3!��79� �B���C9(+*;C<?� V7[��3�3 & ��3�*� � � B>(5��3�� *J���b*('18/*;C<�!79*;���F��3�#1*� ���2��P�G d� & *J�+I� �*;C<()���������P� & ���d� & *e8 C<*� < V� C<* �+�� & * 4 & ��� � *;3 T ��3!3:��8 8/�+ �� �<*U� & *>��8/*;C���� C<*��G � ��!2+� � H/4;�����<3!?9#1�G @�<� C�I/*�# �FV �[�!798/��C��<���+� �� < V� 7981�<�!�+�[��B � & *^ ��2+�+ & � �F��� �!.+!�C��!�<4 & ��CF#A� & *;�+C�? �G D� & ��� � & �G # �� V��� C<I�����46*'�� � *�2�3��!2+�!I 3�*�= T & ��4 & �� D��C<� * ��� 3�?>B���C (�*�C�? �79��3!3& �+3!*% � / & �G '�+ � �� 7981������� & �� �I:*�*;� ��� #�� *������G��3 �!� � & *>#1*� ��!2+� ��B � & * �W�1#12�*A V��C<*� < �7d*;��*�C T & *�C�*�� & * & ��3�*8 C<*� < V��C�* T �+ 7d*%�� �� C<*�# T � � & 8�C�*% � �� C<*��<C<���� �# ��46*�C< D3!�14��5��*%# �+8 8/�+ �� �<*'� & * ��8/*;C�����C�*����:#_��� � & *�I/���V�<��7��B � & * & ��3�* � / & �G U��CF���� <#1��4;*;CU�<��2�*;� & *�C T � � & ��� *X3��14;����*�#J� 8: @�<C�*%��7e=��� �!� % �!2+� C<* ��� = T �� ���3� ��9�� V*%#���e79*��+ V��C�*d� & *[8 C�*% � �� C<*_2+C<�+#1��*;���>��B'� & *9� ��#1�G V��� C<I:*%# 4 & ����� *;3F#�� T � / & �G ��8�8���C<*;��� & ��3�*98 C�*% � �� C<*T ��3!3'I:* * ' ��4 �<3!? f;*�C��e���BP����]9�*� "#�� T # � *[���`�!�< _ V?Y7979*6�<C�? 8 C��+8:*�CV�<�!*% ;= I �1�%=D�+��46* � ���1.E3��!� *%��CX*;-/*%4 �< ���4 & �� ������1. � * T �����������e V��C<*� < �*� ��+C �!��*;C����G� ��C<* V��2���� H:4�������=�� & * 7d*%�� �� C<*;79*;���A4;��� � ���AI:*_��4;4;� CF�5��*�3!?���+�<*;C<8 C<*6��*%# �2% � C�� & *�C�79�+C�*+=1� & * 7d*%�� �� C<*�#c8 C�*% � �� C<*X2�CF��#1��*;��� T ��3!3D� ���AI/*X� & * � ��# �� V��� C<I/*�#e(5��3�� * �2V 79�!2 & �ZI:* * '18:*%4 ��*%# =�3���C�2+* & ��3�*� Z��C�*�������C<�� V��(�*+=����:# � & *;��C'# �� V��� C<I�����46* & � T �d�!� % ��2�� C<* � L7O 4;���9C�*%��4 &��3�3 � & * T �)? �+46C<�+ < Z� & * 4 & ��� � *;3 �

Page 98: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��������� �

����� ��� ��� � � ����� ��� � � ��� � �"!

# � $

-&% 8('�C*) -,+ B-)*.(/10324/105076�C7)8'9)5/ +:% T 6;.('=<>6J8 C56?0*6 % )*6@2 4 +>% )*/ %BA4A 7C0*/!7 A 3D'9)*/ +>% 0 + B-) T +E%4+>%4F �-6 T ) +:% /D' %7 + 2G6;3D0 W_/H.46I07/�798 3J6@0K) %4+>%4F �-6 T ) +:% /D' % 7 + 2G6;3�= % '�7L6�3!?M)*.46N076%4 +:% 2 FO+ C82G6;C8)P6?/ % 6;C F )P/1<Y3J/ % # A /D2 =Q' % 2)*.(6R<B/10<4 + 6;3D'>07)*/G4 %TS � SQF !VU + 2G6XWZY /H.46\[ A(% 24']UL6 % )8']W_^ +>% )*`5/1a A )*/ +>%;+ [b)5.4/10dc + `�93/D0H)5.46 A 0*6 + [ %BA UL6X` F/D^X']We0K)8']a4/1W1/Jf@'9)*/ +>% )56?^8. % /1g A 6@0Xhi0 A ^8.j'>0,k + WJl %4+ UL/1'>W + <>6?` F / % )56Xm:`5'])*/ +>% ' % 2n0*ko6@^p)*`8']Wq<B/105^ + 07/J)Klsr PBt-t\upYv + ce6X<:6X`@h]/ % )*.46-^?'>0*6 + [w)*.46Q)P6X/ % 6X` F )P/J<BW1/ %yx(A /12zh +>A `{^X'>W1^ A W1'])*/ +>% 0QU + )*/1<9'9)*6d)*.46-24/J`56?^|){^ + ULk('>`*/D0 +>%y+ [[ A4% 2(']UL6 % )5'>WbWD']a + `8'9) + `5l3UL6?':0 A `56XUL6 % )80PcP/J)*.}^ + ULk A )56?2~`56?0 A WJ)50?h�' % 2;/ % )56X`56?07)*/ % m�^ + ULk(']`5/10 +>% 0P']`5/10*6[ + `H)5.46�. + WJ6\k4`56?050 A `*6\k4` + a4W16XU�/ % a + )*.2�-6XcH) +:% /D' % ' % 2 %4+>%4F �-6XcH) +:% /D' % `*6?m>/1Uy6@0XY

/H.46 %�S � SQFO� U + 2G6XW�/D0_2G6@0*^X`*/1ao6@2�aBl�' % '>2424/�)5/ +:% ']W:6X< + W A )*/ +>% 6?g A '])*/ +>% [ + `�)*.(6q^ +:% [ + `5U�'9)5/ +:% )*6 % 0 + `b�4hcP.4/1WJ6H)5.46$)P6?/ % 6?` F )P/1<BWJ/ %yx(A /D2L.('>0 %4+ 0 A ^8.L2G6Xk�6 % 2G6 % ^X6 +>% k + W1l�UL6?`*/D^P0K)5`*6@0*0T<9'>`*/D']a4W16?0?Y 9 +:% 0*6?g A 6 % )5WJl:h)*.(6 %�A Uy6?`*/D^X'>W�0K)8']a4/1W1/Jf@'9)*/ +>% )*6@^8. % /Dg A 6?0H6?Uyk(W + l:6?2I/ % )*.(/10Hc + ` 9�)5'>`*m:6|)

� /H.46\<>6XW + ^|/J)Kl�^ + ULk +:% 6 % )50e[ + `H)*.468)d6X/ % 6X` F )d/J<BW1/ %Ix(A /D2zh(' % 2

� /H.46�^ +>% [ + `5UL'])*/ +>% )*6 % 0 + `H[ + `H)*.(6 %�S � SQFO�Vx(A /D2zY

�=�

Page 99: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

���

/H.46��(`807)�0*6?^|)*/ +>%E+ [ek(']`*) --+ [q)5.4/D0R2G/D0*0*6X`*)5'])*/ +>% '>242G`56?050*6?2~)5.46 %TS � SiF&� ^?'>0*6��bcq6�k4`56?0*6 % )56?2 ' % 6Xc%BA UL6X`5/1^?']WBUL6|)5. + 2y0 A /J)5'>a4WJ6q[ + `Q0*/1U A WD'9)5/ % m�.4/1m>.�)P6Xl %4+ W12(0 %�A U,a�6X`T<B/105^ + 6XWD'>07)*/D^ x(+ cd0XY � A `Tk(']`*)*/D^ A W1'>`/ % )56X`56?07) /D0 +>% ) A `*a A WJ6 % )\2G`8']mI`*6@2 A ^|)*/ +>% [ + ` x(+ cd0�']` +>A(% 2~.BlG2G` + 2Gl % '>UL/1^R0 A `*[ '>^X6?0yr 6>Y m(Y1hz07.(/JkM. A WJWD0Xh) + `*k�6?2 + 0?hz6|)5^>Y u A 0*/ % m;k + W1lBUy6?`50?h�' % 2M0 + UL6 + [{)5.46�2G6X<:6XW + k4UL6 % )80�/ % )*.4/D0\k('>ko6?`�ce6X`56yU + )*/1<9'9)*6@2}aBl)*.(/10P'>k4k4W1/1^?'9)*/ +>% YF/ + )*.4/D0H6 % 2zhB)*.46\U + 2G/��(6?2;0*k4WJ/J)7)5/ % mL05^8.46?Uy6�k4` + k + 0*6?2�/ % 1 �:� 3 / % ^ + U a4/ % '9)*/ +>% cP/�)5.)*.(6eU + 24'>W:)KlBk�6q`56Xk(`*6@076 % )8'9)5/ +:%R+ [o0*k�6?^p)5`5'>W:6?WJ6?UL6 % )50�.(':0ba�6X6 % [ +:A4% 2R) + ao6Ha + )*.y` + a A 07)�' % 2,':^X^ A `5'])*6:Y

� 6 .('=<:6d[ + WJW + cq6@2L)*.(/10ek4` + ^|6?2 A `*6-[ + `-�d6?cH) +:% /1' % ) A `*a A WJ6 % ) x(+ cd0qcP/J)*.;0 A ^?^|6@0*0e'>0qcq6?WJWZhB6>Y m(Yi0*6X6�1 �>� 3 Y

� 6-/ % )56 % )*/ +>% ']W1WJly)5'>`*m:6|)56?2y)*.(6d)*.(`*6?6 F 2G/JUL6 % 07/ +>% ']Wo^ +>% �om A `8'9)5/ +:%y+ [z)*.46 x '])qk4WD'9)56-/ %3+ `82G6X`{) + 246XU +>%GF07)*`8'9)*6�)5.('9)-0*ko6@^p)5`5'>W�6XW16XUL6 % )-0*/JU A WD'9)*/ +>% 0P']`56 k4`8'>^|)*/D^X'>W�' % 2I)*.o'9)P)*.(6 % 6Xc 0K)8']a4/1W1/Jf@'9)*/ +>% )*6@^8. % /Dg A 6�/10g A /J)*6-6���6@^p)5/J<:6>Y�� + `56 + <:6X`@h=)*.46 � 6?/1050*6 % ao6?`*m %BA U ao6?`� �� ��� O `56?':^8.46?2y/ % )*.46-)Kc +>F 24/JUL6 % 07/ +>% '>W x(+ ck(':0K)d'L^|lBW1/ % 246X`@hB) + m:6|)5.46X`PcP/J)*.N)*.(6R07U +B+ )5. % 6?050 + [�)*.46 � � �,k(` + �(WJ6@0e[ + `H)5.46?0*6 � 6?/105076 % ao6?`*m %BA U,a�6X`80?h2G6?U +:% 07)*`8'9)*6�)5.46R0K)8']a4/1W1/�)Kl + [b)5.46�UL6|)5. + 2zY

�H.46 A 076 + [ %BA UL6?`*/D^X'>Wd2G/�� A 0*/ +:% ) + 07)5'>a4/JW1/1fX6}0*/JU A WD'9)*/ +>% 0 + [�.Bl�k�6X`5a + W1/1^ % ']) A `56~m + 6@0�a('>^�� ) + < +>%�d6 A U�' %4% ' % 2��d/1^8.�)*U l>6?`?hw' % 2/�)�.('>0 ao6?6 % k(`5':^p)*/D^|6@2~` +>A )5/ % 6?WJlN/ % ']6?` + 2Gl % '>Uy/D^ x(+ cd0?hw' % 2'>W10 + / %0 A a4m>`5/D2�05^X']W16�U + 2G6?W10e/ % WD']`5m>6 F 6@242Gl�0*/JU A W1'])*/ +>% 0?YTv + ce6X<>6?`?h�/ % U + `56�`*6@^|6 % )Hc + `��L/J)P.('>0ea�6X6 % [ + `5U A4FWD'9)*6@2�':0e' % '>2(']kG)5/J<:6-[ 6@'9) A `*6:h�/ZY 6>Y1h:) + a�6 A 0*6?2 %(+>%GFOA4% /J[ + `5ULWJl�/ % 0*k('>^X6 ' % 2 � + `q/ % )5/JUL6�'>0 % 6?6?2G6@2zY�� %'>2(2G/�)5/ +:% hz.4/1m>. FO+ `82G6?` 0 A ko6?`*<B/D0*^ + 0*/�)Kl��:6X` % 6XWD0d.('=<:6,a�6X6 % )5.46 k(`*6X[ 6X`5`*6@2^8. + /D^|6:Y�� % <B/D0*^ + 6?W1':0K)5/1^ x(+ cd0?h6��Gk4W1/D^|/J) )5`*6@'9)*UL6 % )LcP/J)*.V'>`7)5/���^|/D']We<�/D05^ + 0*/J)Kl .o'>0 ao6?6 % 2 +>% 6I)KlBk4/1^?']W1WJlEcP/J)*. +:A )�'k('>`7)5/1^ A W1'>`*W1ln^|W + 0*6^ +:%4% 6@^p)*/ +>% ) + `*6@0 + W A )*/ +>%E+ `�)5.46I0*k('])*/D']W %4+:%GFOA4% /J[ + `5Uy/J)*/16?0R/ % )5.46I07)*`56?050��(6?W12zY � [d^ +:A `8076:h�[ + `5U A W1' F)*/ +>% 0 0 A ^8.}':0QP�� � "'>2(2G`*6@0*0d)*.4/D0�/1050 A 6,/1ULk4WJ/D^|/J)*W1l>hwa A )�.46?`*6 cq6,`*6X[ 6X` ) + 6��Gk4WJ/D^|/J)�'>`7)5/���^|/D']W_<B/D0*^ + 0*/�)Kl']k(k4` + '>^8.46@0XY��H.46N^ A `5`*6 % )R[ + `5U A WD'9)5/ +:% '>242G`56?050*6?0\)5.('9)ya�lM)5'>`*m:6|)5/ % m~U + 24'>Wq`56Xk4`56?0*6 % )8'9)*/ +>% 0 + [P)*.(6

%BA UL6X`5/1^?']We0 + W A )5/ +:% Y��H.4/10 c + ` �M/ % )*` + 2 A ^|6@2E)*.46;0*ko6@^p)*`8']We<9' % /D0*.4/ % m<B/105^ + 07/J)Klsr PBt-t\u Uy6X)*. + 2 )*.('])/1Uyk + 0*6?0yU +>%(+ ) +:% /D^|/J)Kl + [d)*.(6;0 + W A )5/ +:% cP/�)5. +>A )�'!��6@^p)5/ % mM)*.(6IW + cq6?` U + 0K)L6 % 6?`*m:6|)5/1^�U + 2G6@0XY � % WJl)*.(6 A k4ko6?` +>% 6 F )5.4/J`82 + [d)*.(6IU + 2G6?0y/D0L'"�w6?^p)56?2V/ % 'M0*k�6?^|/D']WHcH'=ln0 + )*.('])y)5.46N.4/Jm:. FO+ `82G6X`L'>^?^ A `8'>^Xlr 6��Gk +:% 6 % )*/D']Wz/ %;+>A `d^?'>0*6\.46X`56@uq/D0PU�']/ % )8']/ % 6?2�Y

Page 100: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�!�

�H.46;']k4k�6?'>W + [d)5.46 % 6Xc�'>k4k4` + ':^8.n/10 )*.o'9)L/�)32G6?`*/1<>6@0,/J)50 + `5/1m>/ % / %V%4+>%4F W1/ % 6?']`y.BlBko6?`*a + W1/1^IWD'=cd0��n')*.(6 + `56|)5/1^?']WTk4` +B+ [Qk4`56?0*6 % )*6@2 �(`807)�aBl���'>2GU + `�r�� E��]E u�� �B�ZY Vd%4+ )*.46?` A 076X[ A WT[ 6?']) A `56,[ ` + U )5.46L/JULk4W16 FUL6 % )5'])*/ +>% 07)5' % 2Gk + / % ){/D0i)5.('9){)*.46-^ +>% < + W A )*/ +>% �>6X` % 6?WG)*.(']){`56Xk4`56?0*6 % )50`PGt-t /D0Q0*6?^ +>% 2 FO+ `82G6?`T' % 2y)*. A 0/J) ^X' % a�636@'>0*/JW1l/1Uyk(WJ6?Uy6 % )*6?2E/ % 6��G/D0K)5/ % m�� % /J)*636?WJ6?Uy6 % ),^ + 2G6?0?Y � + )*.(/10,6 % 2zhT' % 6���)56 % 0*/ +>%E+ [H)*.(6UL6|)5. + 2~/ % )*.46 k4.BlB0*/D^X']Wer / % 07)*6?':2 + [iU + 24']W ud2 + U�']/ % /D0d`56?g A /1`*6@2;a A )�0 + UL6R/ % /J)*/D']W�c + `��I.('>0�']W1`56?'>24la�6X6 % 2 +>% 6 / % � �B�OY��H.4/D0q/D0q)*.46 �(`80K)Hc + ` � A 0*/ % m�PGt-t [ + `e<�/D05^ + 6XWD'>07)*/D^ x(+ cd0e' % 23U�' % lL/1050 A 6?0 % 6X6@2�) +a�6 `56?0 + W1<>6@2zY���/1`507)?hw)5.46,)Kc + k('>`5'>UL6|)*6?`50d)*.('])\^8.o']`8'>^p)56X`5/Jf?6�)*.(6�PBt t �:6X` % 6XWZh % ']UL6XW1l;)*.(6y'>Uyk(WJ/J) A 246' % 2M^ A ) FO+ � cH'=<>6 %�A U,a�6X` % 6X6@2) + a�6�0K) A 2G/16?2 U + `56y0*lG0K)56XU�'9)5/1^?']W1WJl:Y � % )*.46�k(`*6@076 % )56?2}6��4']ULk4W16?0�ce6.('=<:6�0*6X6 % )5.('9)P)5.46\<='>W A 6?0 + [b)*.46�<B/D0*^ + 0*/�)Kl3'>ULk4WJ/J) A 2G6 � 2G6?ko6 % 2 +>% )*.46 x(+ c k(']`8']UL6|)56X`80XY � A `d^X`*/J)*6 F`5/ +:% / % ^8. +�+ 07/ % m � .(':0qa�6X6 % ) + 6XULk4W + l�)*.(6\0*U�']W1WJ6@0K)P<9']W A 6�)*.o'9)d6 % 0 A `56?0H07)5'>a4/JW1/J)Kl�07/ % ^X6 )5.4/D0PcP/JW1W %4+ )2G6@^|`56?'>0*6 )*.46R':^X^ A `5':^|l>Y

V 2Gl % '>Uy/D^LU + 2G6XWi)5.('9)R`56XWD'9)56?0�)5.463']ULk4W1/�) A 2G6 + [.PBt t ' % 2M)5.46�W + ^?']WQ07)*`8']/ % % 6X6?2(0�) + a�6�6��Gk4W + `56?2' % 2V/1ULk4W16XUL6 % )*6@2 ']k4k4` + k(`*/D'9)56XW1l>Y � % '>2424/�)5/ +:% h{)5.46}0*U +�+ )*. �>6?` % 6?W * r�'� �}uL^X' % ao6~U + 2G/��(6?2 0 +)*.o'9)e',07k(':^|6 F 2G6?ko6 % 2G6 % )�r /ZY 6:YJhB<9']`5/1'>a4W16@ui^ A ) FO+ �Nce'=<:6 %BA U,a�6X`{ao6 / % )*` + 2 A ^X6?2zY � + `56 + <:6X`@h %4+:%GFZA(% /�[ + `*Uk + W1l�UL6?`H^ +>% ^X6 % )*`8'9)5/ +:%�A 0*/ % mL2G/�� A 07/ +>% U + 2G6?W10P0 A m:m>6?07)*6@2�aBl V k + 07) + WD'!�B/D0�� ' *������ � ��_^X' % k4` + <:6-a�6 %GF6���^|/D']WZhB^ +>% 0*/D2G6X`5/ % m�)*.46�2G/D07k4` + k + `*)*/ +>% ']W1WJly.4/1m>.3<9']W A 6@0 + [�)*.46� F ^ + ULk +:% 6 % ) + [z)5.46�07)*`56?050e'9) ���� V/ % ��/1m A `56 � Y��=�GY��b/ % '>WJW1l>h4U + `*6�)*6@0K)80P']`56\`*6@g A /J`56?2I/ % )5.46,^ +:% )*6��B) + [ + )5.46X` %(+>%GF �d6?cH) +>% /1' % U + 2G6XWD0P/ %'>2(2G/�)5/ +:% ) + )*.46 +:% 6?0P^ +>% 0*/D2G6X`56?2�.46X`56>Y

�H.46,0*6?^ +>% 2~0*6?^|)*/ +>%~+ [Tko']`*) � + [T)*.4/D0�2G/1050*6X`*)5'9)5/ +:% '>242G`56?050*6?2I)*.46,. + W16Rk4`56?050 A `*6�k4` + a(WJ6?U�[ + `��d6?cH) +]F% /D' % ' % 2 �d6X/ % 6X` F �d/J<BW1/ %�xoA /12(0XhG'>0qce6XW1W�':0 %BA UL6X`5/D^X']Ww07)5']a(/JW1/Jf@'9)5/ +:% [ + `q)*.46�WD'9)7)56X`@Y�� + `q)*.46 �d6?cH) +:% /1' %^X':076:h�24/J`56?^|)y^ + ULk(']`5/10 +>% cP/J)*. � +>% m � 0�� ����q6��Gko6?`*/1UL6 % )5'>Wq24'])5';[ + `,`8'9)*/ + 0 + [ % � �}r1%yao6?/ % m)*.(6. + WJ6L2G/D']UL6|)56X`\' % 2 )*.46�^8.(' %4% 6?WbcP/D2B)*.�u 0*. + c�m +�+ 2'>m>`56X6?Uy6 % ) cP/J)*.)5.46L^ + ULk A )*6?2}`*6@0 A W�)80XY�� /�[ F[ 6X`56 % )H`5'])*/ + 0\r � % }uqce6X`56 ']WD0 + 6��G'>UL/ % 6@2zY��H.46\`*6@0 A W�)80e0*. + c )5.('9)H)*.(6�k(`*6@0*0 A `56�2G/D07) A `5a(' % ^|6�/10 %4+ )^ +:% � % 6@2~) + )5.46 % 6?'>` F . + WJ6R`56Xm:/ +:% h�'>0�'>050 A UL6?2/ % 6?']`5W1/J6?`�07) A 24/J6@0XY � + `56 + <:6X`@h +>A `�`56?0 A WJ)50�<>6?`*/J[ l;)*.(6�4)*)*6?2})5' % m>6 % )�0*W + ko6y^ + ULk A )*6?2}aBl�� + 2Gm>6<Z tQ']`5m:':0�� � Q' % 2 � +:% m!� ��� T/ % )5.46_P�) + �>6?0 . + WJ6 k4`*6@0*0 A `56

Page 101: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�:�

<G0 � � k(W + );r �b/1m A `*6 �4Y � u|Y Vd% /JULk4` + <>6?Uy6 % )y/ % [ A ) A `56Nc + ` �Ec +:A WD2 a�6�)5.46;6XULk4W + l�UL6 % ) + [ W +:% m>6?`^ + ULk A )5'])*/ +>% '>W{UL6?0*.46@0R2 + c % 07)*`56?'>UNY �H.4/D0,^?' % k4` + <>6 A 076X[ A W{/ % )*.(6�^X'>W1^ A W1'])*/ +>%n+ [e)5.46I24/10507/1k('])*/ +>%k4`56?050 A `*6:h4'>0H/J) ^X' %I+:% WJlIao6�UL6@'>0 A `*6@2�cP.(6 % )*.46 2 + c % 07)*`56?']U k(`*6@0*0 A `56�k(` + �(WJ6\.(':0P`56?'>^8.(6?2�[ ']` F �(6?W12�h07)*6?':2Gl�0*W + ko6�^ +>% 2G/J)*/ +>% 0XY

� + `L)*.46 �P6?/ % 6X` F �P/1<BWJ/ % r IJI�I u x(A /12zhece6I[ + `*U A WD'9)*6@2j2G/��w6X`56 % )3<9']`5/1' % )80 + [-)5.46 %4+>%4F �-6XcH) +:% /D' % k(']`*)+ [P)5.46;0K)5`*6@0*0?h A WJ)*/1UL'])*6?WJln6?Uyk(W + lB/ % m~)*.(6 � F )*6 % 0 + `,[ + `*U A W1'])*/ +>%n+ [-6?g A '])*/ +>% �(Y � �(Y �H.(6N':2G<9' % )5'>m>6/ % A 07/ % mN)*.4/D0�[ + `5U A W1'])*/ +>% /10�)5.('9) � � � 2 + 6@0 %4+ )R/ % < + WJ<:6 %BA UL6X`5/1^?']W1WJlM^ + ULk A )*/ % m � r � ��@ u|h�)*. A 0U�'!�B/ % m~/ % ^ + ULk4`56?050*/Ja4/1W1/�)Kl/ % 2G/1`56?^p)5WJl 0*'])*/D0 �o6?2 cP/�)5. +>A ),6��Gk4W1/1^X/�)5WJlM6 % [ + `5^X/ % m~/�)@Y � + `*6 + <>6X`@hw)*.(/10R[ + ` FU A W1'])*/ +>%�A 0*6?0qW + ce6X`q07k('])*/D']W�2G6X`5/J<9'])*/1<>6?0{aBl +:% 6 + `52G6?`?h:cP.4/D^8.3k4` + <>6?2ya�6 % 6��o^|/D']Wo[ + `q6XW1/JUL/ % '9)5/ % m %4+ /10*6'9)P6?WJ6?Uy6 % )5']W_a +:A4% 24'>`*/16?0?Y

9 +>% <:6X`5m>6 % ^|6 )*6?07)50 + [P076@^p)*/ +>% �(Y �Nk4` + <B/1246 )5.463`56?':2G6X`\cP/J)*. '~^|W16?'>` A4% 2G6?`507)5' % 2G/ % m + [e)*.(6�'>^?^ A `8'>^XlW1/JUL/J)50 cP/�)5.n`*6@07k�6?^|)R) + )5.46 IJI�I ko']`8']UL6|)56X` � Y �T+ W1l %(+ UL/1'>W + <>6?` F / % )56Xm>`8'9)5/ +:% cP/J)*.E)5.463)5.4`*6?6 F .(']W1<>6@0` A WJ6y6 �3^X/J6 % )5WJl':242G`56?05076@0d)5.46�g A '>2G`8'9)5/1^ %4+>%4F W1/ % 6?']`5/J)Kl + [Q)*.(6yk(` + a4WJ6?U�r 0*6X6 ��/Jm A `*6 �4Y ��u|Y � + `*6 + <>6X`@h)*.(6Ia�6 % ^8.(UL'>`�� k4` + a4W16XU [ + `*U A W1'])*6@2naBl \ 6@']`807W16Xl � � ek(` + <B/D2G6?0 '~[ A W1WJlE)5.4`56X6 F 2G/1UL6 % 0*/ +:% ']We^ +:% �(m A4F`8'9)*/ +>% .('=<B/ % m']W1W IJI I <:6XW + ^|/J)Kl ^ + ULk +:% 6 % )80�. ,���5 '1. 0 * �H) + )*.46��d6XcH) +>% /D' %n+:% 6?0RcP/�)5.n)*.46 IJI�I 6��w6?^|)k4`56?0*6 % ) +>% WJlM/ % )5.46�k4`56?050 A `*6:Y �H.46�' % ']W1l�)*/D^X'>W{^ + Uyko']`5/10 +>% cP/�)5.E)*.46 M �P<9'>W A 6�/ % ��/1m A `56 �4Y �;07. + cd0^|W + 0*6 '>m>`56X6?Uy6 % ) r � � u-cP/J)*.)5.46 ' % ']W1l�)*/D^X'>Wb`56?0 A WJ)yr M � � � upY � % '>2424/�)5/ +:% h�)*.46y6��w6?^|) + [{k + WJl %4+ UL/1'>W

+ <>6?` F / % )56Xm:`5'])*/ +>% ' % 2�07k�6?^|)*`8']Ww<B/105^ + 07/J)Kl +>% )5.46�<>6XW + ^|/J)Kl�^ + ULk +>% 6 % )50\r ��/1m A `56��(Y ��u{0*. + cd0e'>2G<9' % )8']m>6@0/ %}A 0*/ % m %BA UL6X`5/1^?']W �(WJ)*6X`5/ % m�/J[ +>% 6,/D0-cP/1WJW1/ % m�) + )5`5':2G6 ':^X^ A `5':^|lI[ + `\0K)8']a4/1WJ/J)Kl>Y��H.46 IJI�I P�) + �:6?0d. + W16k4`56?050 A `*6\/D0P07. + c % ) + 05^X'>WJ6\` +>A m:.4W1l�'>0 � r$% � }u � h4cP.4/1WJ6 M � r$% � }u � X ��� � �H.46Rvd/1m:':07.4/J)5' % / FO� `*/J)5^8.('>`52� �:��<='>W A 6 + [ � � �E/ % )5.46W1/JUL/J)*/ % mV^?'>0*6 + [ % � � O /D03`56?^ + <:6X`56?2j[ + `�'j^ + '>`50*6;UL6?0*. ^X']WD^ A W1'])*/ +>%+ [ % � � � � O cP.4/1^8.nm�'=<>6 M O � �=� r � % 63UL6?0*.n^X'>W1^ A W1'])*/ +>% [ + `R)*.4/D0�m>6 + UL6|)5`*lMk4` + <>6?2M6��B)5`*6?Uy6?WJl2G6?UL' % 2G/ % mL/ % ^ + ULk A )5/ % m�`56?0 +>A `5^X6?08upY �b/1m A `*6��4Y�� � 0 A ULUL'>`*/1fX6@0e)*.46�`8'9)5/ + 2G6?ko6 % 2G6 % ^|6 + [ M +:% � Y

Page 102: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �"}� ���

!�� # ��� #�� � � � � �� � # � �

� �

Page 103: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��������� �

� ��� � � � �� ! � ��� � ! � � � � � � �

� ��� � �2� � 3!�+-& �3� � ,�2���� �� '�H.46 � + WJ6@^ A WD']` �-l % '>UL/1^?0~r�� � u Uy6X)*. + 2V/10�0 A /J)5'>a4WJ6N[ + `L0*/1U A WD'9)5/ % m <>6?`*l 0*U�']W1WH< + W A UL6?0 + [ W1/1g A /D2

x(+ c�h�cP/�)5.�W1/ % 6?']`e2G/1Uy6 % 0*/ +:% 0 + [z)*.46 + `82G6X` + [��� � � + `qW16?050{' % 2L[ + `{)5/JUL6-/ % )*6?`*<9']WD0 + [_0*6X<>6?`5'>WG)*6 % 0 + [

% ' %4+ 0*6?^ +>% 240?Y �O){^?' % 2G6?'>W�6���6@^p)5/J<:6XW1lRcP/�)5. % ' %4+>F 2 + U�']/ % 0�' % 2 /10Tk�6X`5.('>k(0�)*.46 +:% WJl '>^X^ A `8'9)*6H']k(k4` + '>^8./ % 07/1U A WD'9)5/ % m x(+ cd0P/ % < + W1<B/ % mL<:6X`5l3.4/1m>.0*.46?'>`PcP.46X`56\)*.46 ^ +>% )5/ %BA4A U + `H)5.46 �-6XcH) +:% /D' % .BlBk + )*.46@076@0U�'=l %4+ )Tao6e<9']W1/12�Y�� + `T2G/JUL6 % 07/ +>% 0bW16?050_)*.(' % ']k(k4` + �G/1U�'9)*6?WJl )*6 % U + W16?^ A W16?0b)*.46H^ +:% )*/ %�A(A U�.Bl�k + )5.46?0*/D0a4`56?'��B0\2 + c % [ + `\W1/1g A /D240 � ����Zh_' % 2�� � 07. +>A WD2}a�6�6XULk4W + l>6@2~) + 0*/1U A WD'9)56 )5.46�'9) + UL/107)*/D^yao6?.('=<B/ + ` + [0 A ^8.}'�0*lG0K)56XU;Y � + ` W1'>`*m:6X`�07lG07)*6XU�0?ho. + cq6?<>6X`@h(U A WJ)*/D0*^?']W16 ']k(k4` + '>^8.46@0H)*.o'9)\`*6?WJl +>% )5.46y6 �3^|/16 % ^Xl + [^ +:% )*/ %�A(A U F a(':076@2I24/105^|`56|)5/Jf@'9)*/ +>% 0q.o'=<>6 ) + a�6�6XULk4W + l>6?2�Y

MICRO−SCALES

MESO−SCALES

MACRO−SCALES

MD:retains atomistic

details

CFD:continuummodeling

Lattice Boltzmann,Brownian Dynamics

DPD:

each particle is a collection of molecules

Brownian Dynamics,momentum−conserving

�b/1m A `*6 �GY��RW��H.46\)8'>0�� + [�)*.(6 � � � 0*/JU A W1'])*/ +>% UL6|)*. + 2�Y

���

Page 104: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� + )5.4/D0P6 % 2�hG)*.46�^ +>A k4W1/ % m + [ � � ) + � '=<B/J6?` F � ) + �>6@0{6@g A '9)*/ +>% 0P^X' % 6��B)56 % 2�)*.46�`8' % m>6 + [i']k4k4W1/D^X']a(/JW1/�)Kl

+ [qa + )*.M'>k4k4` + ':^8.46?0 ' % 2~k(` + <B/D2G6 ' A4% /J[ l�/ % m;2G6?05^|`5/1kG)*/ +>%+ [{W1/1g A /D2 x(+ cd0-[ ` + U % ' %4+]F 0*^?']W16?0H) + WD']`5m>6?`05^X']W16?0?Y � A ^8.}6�� + `*)50�.('=<:6 a�6X6 %MA(% 2G6X`5cH'=lNaBl~U�' % l~`56?0*6?'>`5^8.m:` +:A k(0 �z. + ce6X<>6?`?ho)*.(6yk(` + k + 076@2}']W1m +>F`5/�)5.4U�0y'>`*6�`5'])*.46?` ^ + ULk4WJ/D^X'])*6@2j' % 2 %4+ [ A WJW1l 0*'])*/D0K[ ':^p) + `5l 05^8.46XUL6@0,.('=<:63a�6X6 % 2G6X<:6XW + k�6?2nl:6|)@Y�� %']WJ)*6?` % '9)*/1<>6:h]k + )*6 % )*/D']W1WJly<>6?`*lRk + ce6X`*[ A W(' % 2y0*/1Uyk(WJ6-'>k4k4` + ':^8.�h9/10q' % 6Xc UL6|)5. + 2�2G6X<:6XW + k�6?2y/ % )*.46dUL/D2��� ��:0zk4`5/JU�']`5/1WJl�/ %ySQA ` + k�6��w)5.46�,/.���� . * '$. � � *�� '1. 0 ��� , �/5"* )�. 0 �{r � � � u_UL6|)*. + 2�Y �O)T.('>0_[ 6?']) A `56?0 + [(a + )5.)*.(6 � � ' % 23)5.46�W1'])7)5/1^X6 � + W�)5fXU�' %(% UL6X)*. + 2Er���� � u � �B�Oh(' % 2;^?' % ao6\)5. +>A m:.�) + [�':0P' 0�� *���� ��� ���+*/. 5 � ,<>6?`50*/ +>% + [ � � hda A )�/�)N6XULk4W + lG0�2G/D0*0*/1k('9)5/J<:6' % 2 07) + ^8.(':0K)5/1^;[ + `5^X6?0L) + '>^?^ +:A4% )�[ + `3)5.46}6?WJ/1UL/ % '9)*6@22G6?m>`56X6?0 + [z[ `56X6@2 + U;Y �H.46 / % /J)*/D']W�U + 246XW�ce':0Qk4` + k + 0*6?2LaBl�v +B+ m:6X`5a4` A m>m:6d' % 2�� + 6?WJU�' % � � ��w':0q'R0*/1U FA WD'9)5/ +:% Uy6X)*. + 2L) + '=< + /12 )5.46 '>`7)5/�[ ':^p)50q'>050 + ^X/1'])*6?2ycP/J)*.�)5`5':2G/J)*/ +>% '>W���� � 0*/1U A WD'9)5/ +:% 0icP.4/1WJ6�^X'>kG) A `5/ % m0*k('9)5/ +>F )56XULk + `5'>Wo.BlG2G` + 2Gl % ']UL/D^ 05^X'>WJ6@0qU A ^8.NW1'>`*m:6X`q)*.(' % )5. + 0*6�':^8.4/16X<9']a4W16�cP/�)5. � � h40*6X6���/Jm A `56��4Y��:Y

�H.46N2G/1050*/Jk('])*/1<>63ko']`*)*/D^|W16�2Gl % ']UL/D^X0Nr � � � uRU + 2G6?We^ +>% 0*/D0K)80 + [dko']`*)*/D^|W16?0�)5.('9)�^ + `*`56?0*k +>% 2M) + 0�� *���� ������+*/. 5 � ,�6 % )*/J)*/16?0?hB)*. A 0H`56Xk4`56?0*6 % )*/ % myU + W16?^ A W1'>`e^XW A 07)*6?`50H`8'9)5.46X`e)5.(' % / % 2G/J<B/D2 A '>W�'9) + U�0XY��H.46\k('>`7)5/1^XWJ6@0U + <>6 + � F W1'])7)5/1^X6P/ % )*6?`5':^p)5/ % m�cP/J)*.�6?'>^8. + )*.46?`i)*.4` +>A m>.3'�0*6|) + [wk(`*6@0*^X`*/1ao6@2;r ^ +:% 0*6X`5<='])*/1<>6d' % 2�0K) + ^8.('>0 F)*/D^?u-' % 2<>6XW + ^|/J)Kl F 2G6?ko6 % 2G6 % )-[ + `8^|6?0 � � �4h � � OY � k�6?^X/��o^?']W1WJl:h()5.46X`56 '>`*6R)*.4`56X6�)KlBk�6?0 + [T[ + `8^|6@0-':^p)*/ % m +:%6?':^8.j2G/D0*0*/1k('9)5/J<:6�k('>`7)5/1^XWJ6��}r '�u,'Mk A `56XW1lE`*6?k A WD07/1<>6N^ +>% 076?`*<9'9)5/J<:6�[ + `8^|6:hdr aouy' 2G/D0*0*/Jko'9)*/1<>6�[ + `8^|6�)*.('])`56?2 A ^X6?0�<:6XW + ^|/J)KlM2G/���6?`*6 % ^|6@0Ra�6|)Kce6X6 % )*.463ko']`*)*/D^|W16?0?h�' % 2 r ^@u�'07) + ^8.('>07)*/D^y[ + `8^|6324/J`56?^|)*6?2n'>W +:% m;)*.(6W1/ % 6�^ +:%4% 6?^|)*/ % mR)5.46 ^X6 % )*6?` + [z)*.46�k(']`*)*/D^|W16?0?Y �H.46-WD'>07){)Kc + [ + `8^|6@0Q6���6@^p)*/1<>6?WJlL/1ULk4WJ6?UL6 % )e'R)*.46?`*U + 07)5'])0 + )5.('9)i)5.46X`5U�']WG6?g A /1W1/Ja4`5/ A U /D0i'>^8.4/16X<:6?2zY 9 + `5`*6@07k +>% 24/ % m:WJl:h@)*.46d'>Uyk(WJ/J) A 246 + [()5.46?0*6H[ + `8^|6@0b/D0i2G/D^p)8'9)*6@2aBl;)*.46 x(A ^|) A '])*/ +>%GF 2G/D0*0*/1k('9)5/ +:% )*.46 + `56XU � � � i)5.('9)\6 % 0 A `56?0-)*.('])�/ % )5.46X`5U + 2Gl % ']UL/D^,6@g A /JW1/Ja(`*/ A U )*.(60*lB07)*6?U cP/1WJWq.('=<>6�'�0 */5��/5 . 0 *���2G/D0K)5`*/1a A )5/ +:% Y��-WJW{)*.4`56X6L[ + `5^X6?0�']`56�U + 2 A WD'9)*6@2 a�l ';cq6?/Jm:.�)�[ A4% ^p)5/ +:%cP.4/D^8.N0*k�6?^|/��(6@0e)*.46�`8' % m:6 + [b/ % )*6X`8'>^|)*/ +>%I+ `P^ A ) FZ+ �}`8'>2G/ A 0����Ha�6|)Kce6X6 % )*.46\k('>`7)5/1^XWJ6@0P' % 2I`*6 % 2G6?`50q)*.(6/ % )56X`8'>^|)*/ +>% W + ^X'>W Y

� ^ +>% ^X6XkG) A ']W�k4/D^p) A `*6})*.46 % + [ � � � /10�)*.o'9) + [,0 + [ )IUL/D^|` + 0*k4.46?`*6@0�`5' % 2 + UyW1lsU + <B/ % mj'>` +:A4% 2 a A )[ + W1W + cP/ % m '}k(`*6X[ 6X`5`*6@2 2G/1`*6@^p)*/ +>% 2G/D^p)5'])*6@2jaBlE)*.(6N^ +>% 0*6X`5<9'9)*/1<>6�[ + `8^|6@0XY � � � ^?' % ao6;/ % )56X`5k4`56|)*6@2j':0

Page 105: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

' �_'>m>`8' % m:/1' % 2G/D05^|`56|)*/1f?'])*/ +>% + [�)*.(66?g A '])*/ +>% 0 + [ xoA ^p) A '9)5/ % mj.�lG2G` + 2Gl % ']UL/D^X0�':0L)*.46}k(']`*)*/D^|W16?030*/ FU A W�)8' % 6 +>A 0*WJlN[ + WJW + c )*.46L^|WD'>050*/1^?']W�.�lG2G` + 2Gl % ']UL/D^ x(+ c�cP.(/JW16 6��G.4/Ja(/�)5/ % mI)*.(6X`5UL'>W xoA ^p) A '9)5/ +:% 0XY �H.(6^ +:% 0*/107)*6 % ^|l + [_)5.46 x(A ^|) A '])*/ +>% 0P/D0Hm + <:6X` % 6?2�aBl�)*.46�k(`*/ % ^|/1k4W16?0 + [T07)5'])*/D0K)5/1^?']WzUL6?^8.(' % /D^X0?Y

� ��� & ,/. 02����� 46� ��� 2!8& � ����� ��!�,/!�+-&�����!

� 6?<>6X`8']W�^ + Uyk(WJ6�� x(A /12I07lG07)*6XU�0{/ % / % 2 A 0K)5`*/D']Ww' % 23a4/ + W + m>/D^X'>W(']k4k(WJ/D^X'])*/ +>% 0 r �� �� ^8.(']/ % 0?h:k + W1lBUL6X`em>6XWD0?hW A a4`5/1^?'9)*/ +>% k4` + a4W16XU�08u�']`56y^8.('>`5':^p)56X`5/Jf?6?2aBl/ % .46?`*6 % )�)5/JUL63' % 2 WJ6 % m])5. 05^X'>WJ6@0�)*.('])\`8' % m>6y[ ` + U )*.(6'9) + UL/D0K)5/1^yW16X<>6?WT) + 'NUL/JW1W1/JUL6|)56X`,' % 2Mao6?l +>% 2zh + [ )*6 % 0*k(' %4% / % m~0*6X<:6X`8']W + `82G6X`80 + [eUL'>m % /J) A 2G6>Y �b`5':2G/ F)*/ +>% ']W � � )*6@^8. % /Dg A 6?0d'])7)5':^��3)5.46Rk4` + a4W16XU '9)P)5.46RUL/1^X` + 0*^ + k4/D^\W16X<>6?W h(cP.4/JW16,^ +>% )*/ %BA4A U�U + 2G6?W10 + [ )*6 %[ ']/1WP) + ^?']kG) A `56;0*U�']W1WJ6?`L/ % )*6?`5':^p)5/ +:% 0yao6@^X' A 076N)*.(6Xlj`56?0 + `*)y) + '=<>6?`5'>m>/ % m)56?^8. % /Dg A 6?0 + `�k4`56 F 2G6�� % 6?2'>050 + ^X/1'])*/ +>% ` A WJ6@0XY�� /JW A )*6 k + WJlBUL6X`e0 + W A )*/ +>% 0q']`56d'\)KlBk4/1^?']Wo6��4']ULk4W16>hB07/ % ^X6d/ % 2G/J<B/D2 A '>Wok + W1lBUy6?`q^8.('>/ % 0[ + `5U�' m>` +>A k + [�U + WJ6@^ A W16?0eWD']`5m>6 a�lI'9) + UL/1^�0K)8' % 2(']`8240ea A )-07)*/1WJWzm + <>6X` % 6@2La�l3[ + `8^|6?0H0*/JUL/1W1'>`e) + / % )56X` FU + W16?^ A W1'>` +:% 6?0?Y �H.(6X`56|[ + `56>h>)*.46?ly[ + `5U WD']`5m>6d`56Xk�6?'])*6@2 A4% /J)50q6��G.4/1a4/�)5/ % m 0*W + c 2Gl % '>Uy/D^X0{cP/�)5.3k + 0507/1a4W16

%4+:%GF W1/ % 6?'>`e/ % )*6?`5':^p)*/ +>% 0�r ��/Jm A `56��4Y � upY

�H.46 � � � UL6|)5. + 2n/D0R<>6?`*l '9)*)*`8'>^p)5/J<:6L[ + `,)*.46�^ + ULk A )56X`y07/1U A WD'9)5/ +:%n+ [Pk + W1l�UL6?`,0 + W A )*/ +>% 0?h�0*/ % ^|63aBl6XULk4W + lB/ % mao6@'>2 F 0*k4`*/ % m`56Xk(`*6@076 % )8'9)5/ +:% 0 + [P)*.46Ik + WJlBUL6X`L^8.(']/ % 0,cq6N^X' % [ + `5U A WD'9)56I' % 2 ^ + Uyko']`563'<9']`5/J6X)Kl + [,`56?'>WJ/D0K)5/1^M^ +:% 076?`*<9'])*/1<>6/ % )*6X` F U +:%4+ UL6?`3[ + `8^|6@0XY �H.46 UL6|)5. + 2 .(':0�a�6X6 % A 076@2 / % 0*6X<>6?`5'>W07) A 2G/16?0Q) + 0*/1U A WD'9)56H)*.46da�6X.o'=<�/ + ` + [�^ + Uyk(WJ6�� x(A /D240q0 A ^8.3':0ia�6?'>2 F 0*k4`5/ % mR^8.o']/ % U + 2G6?W10�� � �GhB� GhB� � + `k + W1l�UL6?`-2G` + k(0�� � � �cP.4/1WJ6�U�' % lN0K) A 2G/16?0P.('=<:6�']WD0 + / % )5` + 2 A ^|6?2 + `-^ + Uyko']`56?2N2G/��w6X`56 % )P)5/JUL6 F 07)*6Xk(k4/ % m)*6@^8. % /Dg A 6?0{[ + `q)*.46 � � � 6?g A '])*/ +>% 0�� �GhG� �]h4� �Gh(�=�(hG���Bh(�"��OY��H.4/10qc + ` �,[ + ^ A 076@0 +:%3A 0*/ % m,)*.46 a('>0*/D^ � � �[ `8']UL6Xc + ` �I/ % + `82G6X`-) + [ + `5U A WD'9)56>hz/1Uyk(WJ6?Uy6 % )\' % 2}^ + ULk(']`56 24/��w6X`56 % )�)Kl�k�6?0 + [{ao6@'>2 F 0*k4`*/ % mIU + 2G6?W10[ + `Hk + W1lBUy6?`P^8.(']/ % 0e/ % 2G/1W A )56�0 + W A )5/ +:% 0e/ % k�6X`5/ + 2G/D^ ' % 2N^ +>% � % 6?2�m>6 + UL6|)5`*/16?0?Y � %N+ `82G6?`{) + '>k4k4`56?^|/D'9)56)*.(6ek + )56 % )*/D']W4' % 2y^ + ULk A )5'9)5/ +:% ']WG^ + ULk4W16��G/�)Kl + [ � � � cq6 +>A )*W1/ % 6e)5/JUL6 F 07)5']m:m>6?`*6@2�/ % )56Xm>`8'9)5/ % m�05^8.46XUL6@0)*.o'9) 6��3^|/16 % )*W1lN':242G`56?050P)5.46R/D0*0 A 6 + [Q2G/��w6X`56 % ) )*/1Uy6@0*^?']W16R`56?0 + W A )*/ +>% `56?g A /1`*6?Uy6 % )50P[ + `d)5.46RU +>%4+ UL6X` FU +>%4+ UL6X`_' % 2�0 + WJ<:6 % )�/ % )56X`8'>^|)*/ +>% 0?Y �-0*/ % mP)*.(6?0*6Q/ % )56Xm>`8'9) + `80w/ % Uy/D^|` +]F 2 + UL'>/ % 0 +>A `bm + '>W9/10�) + 6��4']UL/ % 6`56?']W1/D0K)5/1^�[ + `8^|6N^ + U a4/ % '9)5/ +:% 0L' % 2jUL'>k )5.46 � � � F ^ + ULk A )56?2sg A ' % )*/J)*/16?0 +>% ) + 07)5' % 24']`82nU�'>^X` + 0*^ + k4/D^

Page 106: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

��/Jm A `56 �4Y � � �T+ W1l�UL6?`\^8.o']/ % 0Lr )*6X)*.46?`*6@2E07k4.(6X`56?08u 0 A 0*ko6 % 2G6@2M/ % ';0 + WJ<:6 % ) + [ � � � k('>`7)5/1^XWJ6@0�r 0*U�']W1WJ6?`2 + )508upY

Page 107: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

6��Gk�6X`5/JUL6 % )8']W�' % 2 � + `e)*.46 + `56|)*/D^X'>Wz`*6@0 A W�)80XY

� �%# ������ �3,��!�� ��� � ,����� ,� � , � � . ��� ��+ 4 ��������

�H.46 �(`80K)L6��B)56 % 2G6@2V'>k4k4W1/1^?'9)5/ +:%j+ [ � � � [ + `Lk + WJlBUL6X`80yce':0 2 +:% 6;aBl � ^8.4W1/ �Kk�6X`@hqv +�+ m>6?`*a4` A m:m>6�' % 2�' % �>6 � ����b/ % ���� �4Y �H.46R' A )*. + `50 A 076@2~0K)5/��E' % 2;v +B+ �>6?' % W1/ % 6?'>`-07k(`*/ % m:0 + [Q^8.(']/ % 07/1fX6@0�' � � � ���/ % a + �E07/1fX6@0 + [HW16 % m>)*. � � � ��� �9� � ��� ��Oh�cP.4/1W16�)*.46�`5' % m>6 + [H)5.46 %BA U,a�6X` + [Pk('>`7)5/1^XWJ6@0�� ce':0 ���N) +� ��� �(Y��H.(6 / % )*6Xm:`5'])*/ +>% 05^8.46?Uy6 ce':0 ' %MS{A WJ6?` F )KlBko6 +>% 6L' % 2~)*.(6 c + ` �;UL'>k4k�6?2 0K)8'9)*/D^R6��Gk +:% 6 % )50 ) +)*.(6 � +:A 0*6�U + 2G6XW�r � � � � � uR' % 2 ^ + ULk A )*6@2n)5.46N^ +>% [ + `*U�'])*/ +>% '>WQ)*/1UL6N' A ) +>F ^ + `5`*6?W1'])*/ +>% [ A4% ^|)*/ +>% Y� +>% m ��' * ����� �>��/ % ' WD'9)*6?`qc + ` ��']WD0 +yA 0*6?2I0K)5/��}0*k4`5/ % m�0ecP.4/JW16\'9)e)*.46�05']UL6-)5/JUL6�)*.(6�6���6@^p) + [�0 + WJ<:6 % )g A ']W1/J)Kl cH'>0i/ % <>6@0K)5/Jm�'9)*6@2LaBl A 0*6 + [_2G/��w6X`56 % ){`56Xk A W10*/ +>% ` A WJ6@0i[ + ` A4% W1/ �>6-0*ko6@^|/16?0e' % 2y)5.46 07)5'])*/D^d05^X']W1/ % m6��Gk +>% 6 % ) � � � �Ice':0-`56?^ + <>6?`*6@2zY��H.46y0*/1U A WD'9)5/ +:% 2G6X)5']/1WD0 ce6X`56�' � � � �� �Zh � � ��� r ':0 .(/Jm:. ':0� � �����5u_' % 2 '�� � � ��(h?cP.(6X`56 ��� /10b)*.(6q`8'>2G/ A 0 + [(m:lB`5'])*/ +>%R+ [G)*.46P^8.('>/ % ' % 2 � �b)*.46H^ A ) FO+ �32G/D0K)8' % ^X6r 6��Gk4W1'>/ % 6?2NW1'])*6?`8u|Y �H.46R05']UL6R' A )*. + `50�� � � �6XULk4W + l>6@2I07)*/�� 0*k4`5/ % m�0Ha A )-6��4']UL/ % 6?2I)*.46 07.46@']` F )5.4/ %4% / % ma�6X.('=<B/ + ` + [q)5.46 � � � x(A /D240 A4% 2G6?`,0K)56?':2Gl 0*.46@']`@Y �H.46?l ^ + ULk A )56?2 �(`80K) %4+ `5U�']W{07)*`56?050�^ + 6 �3^X/J6 % )80XhcP.4/1WJ6 A 0*/ % m})5.46;0*'>Uy6Nk4.4/1W + 0 + k4.Bl [ + `y)*.(6N`56Xk A W10*/ +>% ` A W16?0 � �:� OY �` +�+ )L' % 2 � ']`5`56 % � 0 ����B�;k('>ko6?`� � � _cH'>0-'y0*6XUL/ % ']W +>% 6�/ % )*.46�<9'>WJ/D24'9)5/ +:%;+ [ � � � '>0P'LUL6?0 + 05^ + k4/1^ )56?^8. % /Dg A 6>Y � .4/1WJ6R/J)dk4` + <B/12G6@2I' %6��4^X6XW1WJ6 % )R' % ']W1lG07/D0 [ + `\)*.(63^ + `5`56?^p)\U�']k4k(/ % m + [q)5.46 � � � k('>`5'>UL6|)*6?`50 ) + `56?'>Wice'])*6?`\0 + W1<>6 % )50?hz/�),'>W10 +6XULk4W + l>6@2I'LU + 2G/��(6?2N<:6XW + ^X/�)Kl F ti6X`5WJ6X)d0*^8.46?UL6>h A 0*/ % m3',)5/JUL6 F 07)*6?k � : � ]�y/ % 0*lG0K)56XU�0*/1fX6?0d`5' % m>/ % m[ ` + U � � � � �R) + � � � � � ' % 2 %BA U,a�6X`P2G6 % 07/J)*/16?0�� � � � � ZY��H.46 ��W + `*l F v A m:m>/ % 0�� F k(']`8']UL6|)56X`qce':0

+ a4)5']/ % 6@2L[ + `ek + WJlBUL6X`eW16 % m>)*.(0�� � � � ����0 A a �K6?^|)q) + v +�+ �>6@' % 0*k4`*/ % m�0Xh�cP.4/1WJ6\0 A `7[ ':^|6d)56 % 0*/ +>% 6���6@^p)50' % 20 + UL6,2G/D0*^ A 0*0*/ +>%~+>%}%4+>%GF 6?g A /1W1/Ja4`5/ A U 07/1U A WD'9)5/ +:% 0dce6X`56Rk4`56?0*6 % )56?2zY � % ' ��� ���Lc + ` � � ��� Zh �` +�+ )��' * ��� A 076@2 � � � ) + 07/1U A WD'9)56La4W + ^��^ +]F k + WJlBUL6X`\076?k(']`8'9)5/ +:% hw6XULk4W + lB/ % mI)*.(6L05']UL6yti6X`5WJ6X)R0*^8.46?UL6y':0/ % � � � OhzcP/J)*. � : � ��(hw/ % a + �0*/Jf?6?0 + [ � � � � � I' % 2 � � � � � �' % 2k + W1l�UL6?` %BA U ao6?`50�/ %)*.(6-`8' % m:6�� � � � � � OY �-/1`56?^p)H^ + Uyko']`5/10 +>% cP/J)*. �e` + c % /D' % �-l % '>UL/1^?0 r � � uicH'>0Qk(`*6@076 % )56?2�0*. + cP/ % m)*.o'9),.BlG2G` + 24l % ']UL/1^L/ % )*6?`5':^p)*/ +>% 0R']`56�6?05076 % )*/D']WZY�� WD'9)56X`Rc + ` �aBl � + 0*^8. � � �ek4`56?0*6 % )*6@2})5.4636���)56 %GF0*/ +:%M+ [ � � � [ + `�<B/D0*^ + 6XWD'>07)*/D^ x(+ c�' % 2 0*. + cq6@2~)5.46�6?g A /1<9']W16 % ^X6 + [q)5.46�UL6|)5. + 2}) + )*.46�U�'>^X` + 0*^ + k4/D^�-'=<B/16X` F � ) + �:6?0H6@g A '9)*/ +>% cP/J)*. '>24246?2;k + W1l�UL6?`*/D^R07)*`56?050XY �O)\']WD0 + 0*. + cd0 '32G/1`*6@^p)�^ + `5`*6@07k +>% 2G6 % ^X6�cP/�)5.

Page 108: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

� %4+ c % U�':^|` + 05^ + k(/1^,U + 2G6?W10?Y � % � � 4h � k�6 % W16Xl � � � A 0*6?2MWJ/ % 6?'>`�v +B+ �:6?' % 07k(`*/ % m:0�cP/J)*.E^8.(']/ % 07/1fX6@0' � � � �� T) + `56?^ + <>6?` 6��G^XW A 2G6?2 < + W A Uy6�05^X'>WJ/ % m:0�[ + `\)*.46�k + WJlBUL6X`@Y �H.46�076?W�[ F 2G/�� A 07/ +>% ^ + 6���^X/J6 % )cH'>0e07. + c % ) + ao6�/ % m +B+ 23'>m>`56X6XUL6 % )qcP/�)5.�)5.46-)5.46 + `*6X)*/D^X'>Wo<9']W A 6:Y �H.46-)5/JUL6 F 07)*6?k�cH'>0 � : � �Gh:)*.(605^8.46XUL6 A 0*6?2Nce':0e<>6XW + ^|/J)Kl F ti6?`*W16|)P/ % a + �G6?0 + [i0*/Jf?6 � � ���� � � z' % 2N2G6 % 0*/J)Kl � �4Y

�H.46 � � � 6@g A '9)5/ +:% 0�']`56Q07) + ^8.('>07)*/D^ + `52G/ % '>`*l-24/��w6X`56 % )*/D']W:6?g A '])*/ +>% 0?hX)5.46X`56|[ + `*6q07k�6?^X/1'>W>/ % )56Xm:`5'])*/ % mP` A WJ6@00*. +>A WD2 ao6-246X<>6?W + ko6@2 ' % 2 6X<9']W A '9)56?2zY�tQ'9)*) A WD']/ % 6 % ��' * ��� � � � (6��4'>Uy/ % 6@2R)5.46d'>^?^ A `8'>^Xl + [z076?<>6X`8']W�)5/JUL6 FU�']`8^8.4/ % m 05^8.46XUL6@0�':0_/ % � �!��GcP/�)5.,)5.46P0*'>Uy6 x(A /D2,U + 2G6?W407lG07)*6XU�0�/ % ' a + � + [ � � � � : � � � �� � � � ' % 2 � � � � �� � � ocP.4/JW16d)5.46-<9'>W A 6 + [w)*.(6 x(A ^|) A '])*/ +>% ko']`8']UL6|)56X` �~cH'>0Q<='>`*/16?2L/ % )5.46-`8' % m:6?0 �P) + � �(Y� % ' <:6X`5l�^ + ULk4`56X.(6 % 0*/J<:6qc + ` �wh �d/ � A4% 6 % ��'�* ��� � �!� 4k�6X`*[ + `5UL6?2,'\0*6X`5/J6@0 + [�':^X^ A `5':^|l\)*6@0K)80�[ + `i2G/���6?`*6 % )/ % )56Xm:`5'])*/ +>% 0*^8.46?UL6?0?h9)*.46P<:6XW + ^|/J)Kl F ti6X`5W16|)?h])*.46d0*6XWJ[ F ^ +>% 0*/D0K)56 % )i<>6XW + ^|/J)Kl F ti6?`*W16|)@h�� + ce6 � 0T' % 2 � .('>`524W + c � 00*k4WJ/J)7)5/ % m�0*^8.(6XUL6>h(^ +>% ^XW A 2G/ % mL)*.46�)5/JUL6 F 07)*6?k~/ % 246Xk�6 % 2G6 % ^|6 + [ � + ce6 � 0P0*^8.46?UL6\[ + `-':^X^ A `5'])*6 ��� � <9']W FA 6@0XY ��W A /D240TcP/J)*.y' % 2 cP/�)5. +>A )i^ +>% 0*6X`5<9'9)5/J<:6i[ + `8^|/ % m�cq6?`*6e^ +>% 07/D2G6X`56?2,cP.4/1WJ6ek + WJlBUL6X`i^8.('>/ % 0 + [ � �

0 A a �K6?^|){) + v +B+ �>6?' % 07k(`*/ % m:0q' % 2 ��6 %(% ']`82 F � +:% 6?0{cq6?`*6dk(`*6@076 % )q/ % '��d6?cH) +:% /1' % 0 + W1<>6 % )@Y �H.46�07/1U A W1' F)*/ +>% 2G6X)5'>/JWD0ice6X`56�� �� � ��cP.(/JW16 � :b`8' % m:6?2R[ ` + U � � �P) + � �(Y �(' % ��'�*���� � ��� A 076@2���� � [ + `8^|6@0) + 0*/1U A WD'9)56,0 A 07k�6 % 0*/ +>% 0HcP/J)*.;)5.46R<>6?W + ^X/�)Kl F ti6X`5WJ6X)-0*^8.46?UL6R' % 2 � : � �� � � � � � ��� ��� (Y�H.463c + ` �~[ 6@'9) A `*6@0 �T+ /D076 A /1WJW16 x(+ c cP/J)*.E[ ` + f?6 % k('>`7)5/1^XWJ6@0R07/1U A W1'])*/ % m;)*.46�ce'>WJWQ`56Xm:/ +:% Y � /JULk4W16 � � �k('>`7)5/1^XWJ6@0-0*. + c �-6XcH) +>% /D' % a�6X.('=<B/ + `@h(cP.4/1W16�)*.46 U�'>^|` + U + WJ6@^ A WD']`P`56?0 A WJ)50,r A 0*/ % m �� �4h �� � �' % 2 � � �2 A U a4a�6XW1W108uPk4` + 2 A ^X6,2G/1W A )56 0 A 0*ko6 % 07/ +>% k + ce6X` F WD'=c ^ A `*<:6?0?Y � % '307/1UL/JWD']`-c + `��29q.46 % ��' * ��� � � � A 076@2��� �I[ + `5^X6?0H) + 07/1U A WD'9)56R2G` + k(0P' % 2;07.46@']` F )5.4/ %4% / % m�/10 + a(0*6X`5<>6@2zY �e6?'>2 F 0*k4`5/ % m�^8.('>/ % 0P']`56 A 076@2zh(6@'>^8.cP/J)*. ' � �4h_UL'��B/ % m A k�� � + [q)5.46�) + )5'>W � � ��� � � � k('>`7)5/1^XWJ6@0\/ % 'Na + � + [H0*/Jf?6�� � � � �

Y �H.(63<>6?W + ^|/J)Kl F ti6?`*W16|)R05^8.46XUL6�cP/J)*. � : � ��NcH'>0 A 0*6?2�Y�� + ce6>h��e'�� �>6X`R' % 2 �-`56X/D05^8. + ` � � �� A 076@2v +B+ �>6?' % 07k4`5/ % m:0d' % 2N)*.(6 � + ce6 F � % 2G6X`8076 % 0*^8.46?UL6�/ % � �>� ) + ^ + ULk A )56�)*.46y^|6 % )56X` FZ+ [ F U�':0*0H<:6XW + ^X/�)Kl' A ) + ^ + `*`56XWD'9)5/ +:% [ A(% ^p)5/ +:% [ + `ek + W1l�UL6?`e^8.('>/ % 0 + [ ' � *� � � � � � ao6@'>240q/ % ',0 + W1<>6 % ) + [ � �� �k('>`7)5/1^XWJ6@0XY � % 6��Gk +:% 6 % ) + [ ��� � � ce':0�`*6@^ + <>6?`*6@2�[ + `�)*.(6H246?^X'=l:h]07. + cP/ % m�^ +:% 07/D07)*6 % ^|l�cP/J)*.y`*6@0 A WJ)50b[ ` + U.BlG2G` + 2Gl % '>UL/1^q/ % )56X`8'>^p)5/ +:% 0bao6X)Kcq6?6 % ao6@'>240�/ % )5.46P0*'>Uy6H^8.('>/ % Y � ^ + ULk('>`5'])*/1<>6qc + `��\aBlRv + `505^8. ��'�*����� � � A 0*6?2 � � h � � ' % 2 � � � ':0e'L^ + ULk(']`5/D0 +:% [ + `Pa4W + ^���^ +>F k + W1lBUL6X`80XY �H.46\/JULUL/D0*^X/Ja4/1W1/�)Kl�[ + `Pk + W1l�UL6?`

Page 109: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

a�6?'>2(0zce':0�'9)*)5'>/ % 6@2\cP/�)5.R2G/���6?`*6 % )b`*6?k A WD07/ +>% ` A WJ6@0�a�6|)Kce6X6 % 2G/��w6X`56 % )b0*ko6@^|/16?0Qr [ + `�)5.46 �50 + [ ) �H^X':076@05uw' % 2��6 %4% '>`52 F � +>% 6@0Xh � 6X6 �B0 F 9q.(' % 24WJ6?` F � % 246X`8076 % [ + `P)*.46 �7.('>`52 �L^?'>0*6?0?Y �H.46,0*k4`5/ % m�W1'=cd0Pce6X`56 ��� �~' % 2v +B+ �>6?' % 0*k4`5/ % m�0XY �H.46Pk + W1l�UL6?`iWJ6 % m])5.(0ice6X`56 ' � � �� � �H/ % 0*lG0K)56XU�0 + [ � � � �� � � � k('>`7)5/1^XWJ6@0Xhoa + �;07/1fX6@0 � � � � � � � � � � � �Nr�� � A4% /J)508ud' % 2 � : � �� � ]�;r�� � A4% /J)508upY � � � � c + `��3aBl9q.46 % � '�* ��� � � � e^ + ULk('>`*6@2)5.46 � + ce6 F � % 2G6X`8076 % )5.46X`5U + 07)5'])RcP/�)5. + )5.46X`R/ % )*6?m>`8'9)*/ % m~05^8.46XUL6?0�r W1/��:6)*.(6R<>6?W + ^|/J)Kl F ti6?`*W16|)@h � .('>`52GW + c � 0P0*^8.46?UL6@uq[ + `-a4W + ^��N^ +]F k + W1l�UL6?`50?Y � A ' % )5/�)5/J6@0HWJ/ �>6\)5.46 + `52G6?` F 2G/D0 + `5246X`)*`8' % 07/J)*/ +>% k4` + <:6?23) + ao6�0*6 % 0*/J)*/1<>6�) + )*.(6\05^8.46?Uy6:Y �H.46�)*/1UL6?07)*6Xk � :�� � �\' % 2�)*.46R0*lG0K)56XU�^ +>% 0*/D0K)56?2

+ [ �� �,k(']`*)*/D^|W16?0H/ % ' a + � + [ � ��4Y

� ��� � ��� ������� � � � � �� � ��� ��� � ��� ����� �� � '����� ��� �� % � � � h()*.46y0 + WJ<:6 % )dk(']`*)*/D^|W16?0-`*6?k4`56?0*6 % )-^|W A 07)*6X`80 + [Q'>^p) A ']W�'9) + U�0P)5.('9)-/ % )*6?`5':^p)-k('>/J`5cP/D076�<B/D'307/1ULk4W160 + [ )Lk + )*6 % )5/1'>W10?Y �H.46Nk + WJlBUL6X`yao6@'>240L'>`*6N']WD0 + `*6?k4`*6@076 % )*6?2 a�lnko']`*)*/D^|W16?0y0 A a��K6?^p)y) + 07)5' % 24']`82 � � �[ + `8^|6@0�a A )I/ % ':242G/J)*/ +>% )*.46?lV6��4^8.(' % m:6;U + UL6 % ) A U cP/J)*. )*.(6X/1` % 6?/Jm:.�a + `80�'>^?^ + `52G/ % m ) + ' % 6XWD'>07)*/D^0*k4`*/ % m~[ + `5^X6�' % 2E)*.4` +>A m>. + )5.46X`y`56Xk A WD0*/J<:6�[ + `8^|6@0,^ + `*`56?0*k +>% 2G/ % m;) + .('>`52Ek + )56 % )*/D']WD0�� � � ZY � % )*.46?/J`

+ `5/1m>/ % ']W�c + ` �wh � ^8.(WJ/ �Kko6?` ��' * ��� � � ���`56Xk + `*)*6@2~'30*ko6?6?2 FOA k~[ ':^p) + ` + [ ��3^ + ULk(']`56?2I) + )*.(6 � � 07/1U A W1' F)*/ +>% 0 `56Xk + `*)*6@2~/ % � � ��OY � / % ^|6 )*.o'9)\c + `��whw. + ce6X<>6?`?hw0*6X<>6?`5'>W_k('>ko6?`50 .('=<:6 ']k(ko6@']`56?2~/ % )5.46LWJ/J)*6?`5']) A `56)*.o'9)�k4`56?0*6 % )�6��w6?^p)5/J<:6N)*/1Uy6;/ % )*6Xm:`5']) + `50,[ + ` � � � [ + `�07/ % m:WJ6 F k4.o'>0*6N0*lG0K)56XU�0L'>0Lce6XW1Wd'>0 [ + `�0 + W1<>6 % ) Fk + W1l�UL6?`\0*lG0K)56XU�0 � � �]h � ��h ��� h_�Bh_�=�4h_��� ZY � 0*lG0K)56XU�'9)5/1^ 6X<9']W A '])*/ +>%+ [Q)*.46@076 )*/1UL6 F / % )56Xm>`8'9) + `80,r cP/�)5.)*.(6 6��G^X6XkG)5/ +:%�+ [z)5.46 % 6Xc 05^8.46XUL6-/ % � �!� u{ce':0Qk4`56?0*6 % )*6@2L/ % � �!��wcP.46X`56 '�.BlBa4`5/123U + 2G6?W([ + `qk + W1lBUL6X`80cH'>0�']WD0 + / % <>6@0K)5/Jm�'9)*6@2zY � % � � � 0*/JU A W1'])*/ +>% 0-)*.(6 `56?0 A WJ)50�']`56R)*/1UL6?07)*6?k F 246Xk�6 % 2G6 % )�[ + ` WD']`5m>6,<='>W A 6?0 + [)*.(6-)5/JUL6?07)*6?k�a A )H0 + UL6-U + 2G6?W10?hG0 A ^8.I'>0 � + ce6 � 0{05^8.46XUL6 � �Qr '>W10 + )5.46�05^8.46?Uy6 / % � ��� uphBko6?`7[ + `*U"U A ^8.a�6|)7)56X`�)5.(' %E+ )*.46?`50?Y � 07k�6?^X/��o^L`56?0 A WJ) + [e/ % )*6?`*6@0K)\) + )*.463^ A `*`56 % )�c + ` �~`*6?k + `7)56?2M/ % � �"��{/D0\)5.('9)�[ + `)*.(6-.BlBa4`*/D2�0 + W1<>6 % ) F k + W1lBUy6?`Q07lG07)*6?U / % < + W1<B/ % mR0 + [ ) F .(']`82yk + )*6 % )5/1'>W10Q)*.46 UL'!�G/JU A U�)5/JUL6@0K)56Xk�[ + `{m +B+ 2'>^?^ A `8'>^Xl~/10�'I[ ':^p) + ` + [ � N07U�']W1W16X`�)*.(' % )*.46L)5/JUL6?07)*6?k [ + `�07/1U A W1'])*/ % mN)*.4630 + W1<>6 % ) FZ+:% W1l>Y � + `�6��G'>U Fk4W16>h�6?ULk4W + lB/ % m � + ce6 � 0�'>k4k4` + ':^8.�h�)*.46�U�'"�G/1U A U )*/1Uy6@0K)56XkM[ + `\)5.46L.�lBa4`5/D2M0*lG0K)56XU cH'>0 ��� � � � �

cP.46?`*6@'>0 [ + `\)5.4630 + WJ<:6 % ) FO+>% WJl;/J)Rce':0 ����� � � �(Y �-^?^ A `8'>^Xl~.46X`56L/10\UL6?':0 A `*6@2}aBl}2G6?<B/1'])*/ +>% 0 + [e)*.(6

Page 110: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

+ ao076?`*<:6?2��B/ % 6|)*/D^�)56XULk�6X`8'9) A `*6 % � � � & [ ` + U )*.46I/JULk + 0*6?2 6@g A /JW1/1a4`*/ A U )*6?ULko6?`5']) A `56 + [d)*.46N07lG07)*6?UNY� + `*6 + <>6X`@hw' % / % )*6?`*6@0K)5/ % mI`*6@0 A W�)�`56Xk + `*)*6?2/ % � �!��i/10�)5.('9)�2G6?<�/D'9)5/ +:% 0�/ % )*.(6 k + W1lBUy6?`�^8.(']/ % )56XULko6?` F'9) A `56 2 + Uy/ % '])*6R)5.46L2G6X<B/D'9)*/ +>% 0-/ % )5.46,)56XULk�6X`8'9) A `*6 + [Q)5.46 ��5 '1. � � 0 + WJ<:6 % ) F k + W1l�UL6?` 0*lB07)*6?U 6X<>6 % [ + `)*.(6q2G/1W A )*6H07lG07)*6XU )*.(6Xl\6��4']UL/ % 6?2RcP/�)5.RU + `56i)*.(' % ��� � � � + [G)*.46 � � � k(']`*)*/D^|W16?0_ao6?/ % m 0 + W1<>6 % )_ko']`*)*/D^|W16?0?Y

�H.46@076 � % 24/ % m�0R0 A m>m:6?07)�)5.('9)\)5.463.BlBa4`*/D2MU + 2G6?W{^X' % a�6L[ A `*)*.46?`R6 % .(' % ^X6?2M/�[e)*.(6�U A WJ)*/1`5'])*632Gl % '>U F/D^X0 + [H)*.463k + W1lBUL6X` ' % 2E0 + WJ<:6 % ),']`56L)*`56?'])*6@2n076?k(']`8'9)56XW1l>h_/ZY 6>Y1h A 07/ % m2G/���6?`*6 % ),)*/1UL6?07)*6?k(0�� � ' % 2 � � h`56?0*ko6@^p)*/1<>6?WJl:h�) + / % )*6?m>`8'9)56L)*.46 � � � m + <:6X` % / % mI6@g A '9)5/ +:% 0XY � + )5.4/10,6 % 2�hb/ % )*.4/D0Rc + ` �ce632G6X<:6XW + kE'07)5']m:m>6?`*6@2M05^8.46XUL6:h�0*/JUL/1W1'>`�) + )5.46�0 A aw^|lG^|W1/ % m~)*6@^8. % /Dg A 6 A 076@2E/ % ^XW1':0*0*/D^X']WQ^ + ULk A )8'9)5/ +:% ']W xoA /12n24l F% '>Uy/D^X0�)5/JUL6 F / % )*6Xm:`5'])*/ +>% UL6|)*. + 2(03r 6:Y moYJh�076?Uy/ F �_']m:`5' % m>/D' % Uy6X)*. + 2E/ % '>2G<:6?^p)5/ +:%GF 2G/�� A 0*/ +:% 0*lG0K)56XU�0?h0*6X6 � � � u|Y�� % k('>`7)5/1^ A W1'>`?h>[ + `q)*.46 � � � 6@g A '9)*/ +>% 0{ce6-cP/1WJWw/ % )*6Xm:`5'])*6P)5.46\0 + WJ<:6 % )�r 0 + [ )ek + )56 % )*/D']W uicP/J)*.N'WD']`5m>6�)*/1UL6?07)*6Xk ��� cP.4/1WJ6Rce6�cP/1WJW�k�6X`*[ + `5U�0*6X<:6X`8']W�0 A a(07)*6?k(0PcP/J)*.;)*/1UL6?07)*6?k�� � [ + `P)*.46,k + WJlBUL6X`Rr .(']`82k + )*6 % )*/D']W upY � %E+ `82G6X`�) + 6?<9']W A '9)56 )5.4/D0R']k4k(` + '>^8.�hzce6�^ +>% 07/D2G6X`\)Kc + `*6?k4`56?0*6 % )5'])*/1<>6R)5/JUL6 F / % )*6Xm:`5']) + `50 �)*.(6 � � � <>6?W + ^X/�)Kl F ti6X`5WJ6X) ']W1m + `*/J)*.4U r <Bt\u � �"� HcP.4/D^8.n/ % )56Xm>`8'9)56?0R)*.46N0K)8' % 24'>`52 � � � 6@g A '9)5/ +:% 0Xhi' % 2']WD0 + � + cq6 � 0H'>WJm + `5/�)5.4U cP.4/D^8.Nk(` + <B/D2G6?0H' % ']WJ)*6?` % '9)*/1<>6\']k(k4` + '>^8. � ��ZY

�H.46�07)5' % 24']`823)5/JUL6 F / % )*6Xm:`5']) + `50q6XULk4W + l>6@2�/ % � � 07/1U A W1'])*/ +>% 0H']`56 %4+ )d'>k4k4W1/1^?']a4W16�) + )*.4/D0d0*lG0K)56XU�2 A 6) + )*.46R`8' % 2 + U�' % 2~2G/D0*0*/1k('9)5/J<:6\[ + `8^|6?0?h4/ % '>2424/�)5/ +:% ) + )*.(6,^ +:% 076?`*<9'])*/1<>6�[ + `8^|6@0Xh4k(`*6@076 % )d/ % )*.(6R6?g A ' F)*/ +>% 0 + [{U + )5/ +:% Y � % ko']`*)*/D^ A WD']`@h�)*.46�2G/D0*0*/1k('9)5/J<:6,[ + `5^X6?0�2G6Xk�6 % 2 +>% )*.46y<>6?W + ^X/�)Kl' % 2~)5.4/10�U�'!�:6?0 )*.(66?g A '])*/ +>% 0 + [dU + )5/ +:%n%4+>% WJ/ % 6?'>`?Y �H.4/10?hi/ % ) A ` % hi/1ULk4WJ/16?0,)*.o'9)y'}0 A a F /J)*6?`5'])*/ +>% 0*. +>A WD2na�6�6?Uyk(W + l:6?2/ %}+ `82G6?`-) + k4` + 2 A ^X6 'N^ +>% 07/D0K)56 % )-)5/JUL6 F / % )*6Xm:`5'])*/ +>% 05^8.46?Uy6:hz076?6 � � �Oh + )5.46X`5cP/D076 %�A Uy6?`*/D^X'>W�'>`7)5/�[ ':^p)80']`56yk4` + 2 A ^|6?2�Y �H.4/D0�k4` + a(WJ6?U /10\6@07k�6?^X/1'>WJW1lk4` +>%4+:A4% ^X6?2/ % )*.46�'>a(076 % ^|6 + [e^ +:% 0*6X`5<='])*/1<>6,[ + `8^|6?0?hz6>Y m(Y/ % 0*/JU A WD'9)*/ % m�)*.46�0 +]F ^X']W1W16?22G/D0507/1k('9)5/J<:6,m�'>0?YRvd6X`56>hzce6yU + 2G6?W�)*.46�0 + W1<>6 % )\'>0 � .���� . ,R)5.4` +>A m:. +>A )�)*.(6c + ` ��ho0 + ce6�cP/JW1W_U�'��>6 A 0*6 + [Q'LU + 2G/��o6?2~<Bt ']W1m + `*/J)*.(U�k4` + k + 0*6?2NaBl���` +B+ )-' % 2 '>`*`56 % )*.(']) 2 + 6?0

%4+ ) / % ^|W A 2G6N'0 A a F /J)*6?`5'])*/ +>% Y � % 0K)56?':2zhT/�)L/ % )5` + 2 A ^X6?0 '~`*6?W1'!�4'9)*/ +>% ko']`8']UL6|)56X`@h��_hicP.4/D^8. /10 A 0*6?2E) +UL/ % /JUL/1fX6�/ % )56Xm:`5'])*/ +>% 6?`*` + `80e/ % )5.46 � � � 0*lG0K)56XU;Y

Page 111: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

� + )*/1<='])*6@2jaBln)5.46~0 A ^?^|6@0*0 + [ )*.4/D0�']k(k4` + '>^8.�hice6;/ % )5` + 2 A ^X6I/ % )*.46;k4`56?0*6 % )Lc + `�� '}[ ']UL/1WJl + [ % 6Xc`56XWD'"�4'9)5/ +:% k(']`8']UL6|)56X`80�/ % <9'>`*/ +>A 0N0 A a F 0K)56Xk(0I/ % < + W1<�/ % mVk4`*6@2G/D^p)*/ % m F ^ + `5`*6@^p)*/ % mj':^p)5/ +:% / % )*.46 )5/JUL6 F/ % )56Xm:`5'])*/ +>%�+ [b)5.46�k + W1l�UL6?` F 0 + WJ<:6 % )e0*lG0K)56XU;Y 6\)*.46 % k�6X`*[ + `5U�0*lG0K)56XU�'9)5/1^ %BA UL6X`5/D^X']Wz0*/JU A WD'9)*/ +>% 0 + [)*.(6�0*lG0K)56XU 0*. + c % / % ��/Jm A `*6��GY � '])e6@g A /JW1/Ja(`*/ A U ^ +:% 2G/J)*/ +>% 0q/ %�+ `82G6?`Q) + 2G6X)*6X`5UL/ % 6-)5.46 a�6?07)H<='>W A 6?0 + [)*.(6,`56XWD'"�4'9)5/ +:% k('>`5'>UL6|)*6?`50?Y �P[ )*6?`�^ + ULk4W16|)5/ +:%N+ [{0 A ^8.;':^X^ A `5':^|l�)*6?07)50?h�cq6R'>k4k4W1l�)5.46 % 6?c�0K)8']m>m:6X`56?2']W1m + `*/J)*.(UL0R/ % + `5246X`�) + g A ' % )*/J[ l )*.46I0*^?']W1/ % m + [H)*.46I`5':2G/ A 0 + [Hm:lB`5'])*/ +>%E+ [ x 6��B/1a4W16�k + W1lBUy6?` ^8.('>/ % 02G6@0*^X`*/1ao6@23aBl32G/���6?`*6 % )ek + W1lBUy6?`HU + 2G6?W10H' % 23.('>`52�k + )*6 % )5/1'>W10?Y�M6\']WD0 + / % <:6?07)*/1m:'])*6d)5.46�'>^?^ A `8'>^Xly' % 2` + a A 07) % 6?050 + [P)*.46 % 6?c")*/1Uy6 F / % )*6?m>`8'9) + `50,/ % 07/1U A W1'])*/ % m)5.46I`56?0*k +>% 0*6 + [ � �Pk(.(']m:6 � � � U + W16?^ A WJ6@0

A4% 246X`d0*.46?'>`?h4' % 2�ce6R^ + ULk(']`56 +:A ` � % 24/ % m�0HcP/�)5.~'=<='>/JWD']a(WJ6\6��Gk�6X`5/JUL6 % )8']Wz`56?0 A WJ)50?Y

��� � �� � � � �������� � � �

6R^ +>% 07/D2G6X`P'L0*lB07)*6?U + [ � k(']`*)*/D^|W16?0?hB6?'>^8.N.('=<B/ % m U�':0*0 ��� h4cP. + 0*6 U + UL6 % )8'L' % 2Ik + 07/J)*/ +>% <:6?^p) + `80']`56\m + <:6X` % 6?2�aBl �-6XcH) +>% � 0P6?g A '])*/ +>% 0 + [bU + )5/ +:% 0?Y�� % k('>`7)5/1^ A WD']`@hB[ + `d' )KlBk4/1^?']Wzk('>`7)5/1^XWJ6 �

� ��� r �4Y��=u � ��� � r �4Y � u

cP.46?`*6��� �/10\2G6 %4+ )56?2}a�l + <:6X`82 + )@h � /D0 )*.46yk(']`*)*/D^|W16y<>6XW + ^|/J)Kl>h ��� /�)80 k + 0*/J)*/ +>% <:6?^|) + `\' % 2� � )*.46 % 6X)

[ + `8^|6:Y�H.(` +:A m>. +:A )P)*.(/10-c + `��Icq6R^8. +B+ 076 ��� �:Y�H.(6R/ % )56X`5k(']`*)*/D^|W16\[ + `8^|6� ��� 6��G6X`*)*6@2 +>% k('>`7)5/1^XWJ6 �aBlIko']`*)*/D^|W16��3/D0-^ + ULk + 076@2 + [Q^ +:% 0*6X`5<='])*/1<>6�r�

���� u|h�2G/D0507/1k('9)5/J<:63r� ���� uP' % 2;`5' % 2 + U r� ����� u-^ + ULk +>% 6 % )50?Y

vd6 % ^|6\)5.46\) + )5'>Ww[ + `8^|6 +>% k(']`*)*/D^|W16 � /D0Hm>/1<>6 % aBl

� ����� � ������ ������ ���� � r �4Y ��u

�H.46{'>a + <:6Q0 A U ':^p)50 + <>6?`�']W1W>k('>`7)5/1^XWJ6@0zcP/�)5.4/ % 'd^ A ) + �y`5':2G/ A 0 � � '>a + <:6�cP.(/1^8.\)5.46Q[ + `5^X6?0�'>`*6Q^ +>% 0*/1246X`56?2

% 6?m>W1/Jm:/Ja4W16>Y��H.4/D0H/ % )56X`8'>^|)*/ +>% `5':2G/ A 0q/D0d0*6|)H) + � � �\' % 2N2G6�� % 6?0e)*.(6�WJ6 % m])5.;05^X'>WJ6 + [b)*.46R0*lG0K)56XU;Y 6

A 0*6-)5.46 %4+ )8'9)5/ +:% � ��� � � � � � h ��� � � � h � ��� �� � ��� � ' % 2�)5.46 A4% /J)H<:6?^|) + ` � ��� "!$#�%� #�%Y� 6�[ A `7)5.46X`

Page 112: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

���

2G6�� % 6�6?':^8. + [_)5.46\[ + `8^|6@0e) + )5'��>6�)*.46\[ + WJW + cP/ % my[ + `5U �

���� ��� ��� r � ��� u � ��� r �4Y �Bu ���� ����� � r � ��� u|r ��� � � ��� u � ��� r �4Y �:u

���� ��� � r � ��� u � ��� � ��� r �4Y ��u

cP.46?`*6 � ��� '>`*6H0*l�ULUL6|)5`*/D^ �\' A 050*/1' % `8' % 2 + U�<9']`5/1'>a4W16?0�cP/�)5.LfX6X` + Uy6@' % ' % 2 A4% /J)Q<9']`5/1' % ^|6H' % 2 � ��I']`56 ��d/ % 2G6Xk�6 % 2G6 % )?h�':0-0*. + c % a�6XW + c�Y �-6XcH) +>% � 0-6@g A '9)5/ +:% 0 + [QU + )*/ +>% 0 m + <:6X` % 6?'>^8.}k(']`*)*/D^|W16 � 0dU + )5/ +:%)*.(` +:A m>.

� � � � � � r �4Y �>u� �

�� � � � �� � � � ��� � � �� � r �4Y � u

cP.46?`*6�)*.(6\[ '>^p) + ` � � � ']k4k�6?'>`50ea�6?^X' A 0*6 )5.46�`8' % 2 + U [ + `8^|6@0P']`56 / % )*6?`*k4`56|)56?2N'>0 /16 % 6?`dk4` + ^|6?050*6?0?Y

�H.46�^ +:% 0*6X`5<='])*/1<>6-[ + `8^|6 ���� /10P0*/JUL/1W1'>`e) + )*.('])d/ % )*.46 � � [ + `*U A W1'])*/ +>% Y �O)d^X' % a�6R' % lL[ + `8^|6\2G6?`*/1<9']a4W16

[ ` + U '3k4`56?2G6�� % 6@2~k + )*6 % )5/1'>Wb' % 2^X' % a�6R)5'>/JW + `56?2N) + 6?':^8.~/ % 2G/J<B/D2 A '>W�0*/JU A WD'9)*/ +>% k4` + a4W16XU;Y �T+ 050*/Ja4W16^8. + /1^X6?0e/ % ^|W A 2G6�6XW16?^|)*` + 07)5'])*/D^d[ + `5^X6?0?hB0*k4`5/ % m F )Kl�k�6�r v +�+ �>6@' % h ��� �4u|h(<9' % 2G6?` ':']WD0XhB.('>`52I`*6?k A WD07/ +>% 0r �_6 %4% ']`82 F��:+>% 6?08u + `L0 + [ )L`*6?k A WD07/ +>% 0Nr k + )56 % )*/D']WPk(`*6 F '=<:6X`8']m>6@2[ + `5^X6?0y/ % )*.(6;0*k4/1`*/J) + [ � ��� upYVvd6 % ^|6>h ���� /D0 %(+ )�^ +>% 0K)5`5'>/ % 6@2 + `\2G6�� % 6?2MaBl;)*.46 � � � 6@g A '9)5/ +:% 0XY��H.4/D0 [ + `8^|6L'>0 cq6?WJWi':0-)5.46 + )*.(6X`�)Kc + '>^|)cP/J)*.4/ % 'M07k4.(6X`56 + [d`8'>2G/ A 0 � � hicP.4/D^8.j2G6�� % 6?0,)*.(6IW16 % m>)*.j05^X'>WJ6 + [P)*.(6N0*lG0K)56XU �{/J)y^ + `5`*6@07k +>% 2(0\) + '� ���� � � � � ��� ����� � � �\/ % )56X`8'>^p)5/ +:% k + )56 % )*/D']WZY��qlI'=<>6X`8']m:/ % m\)*.46 �_6 %4% '>`52 F��:+>% 6@0Qk + )56 % )*/D']WD0 + `e)*.(6\^ + `5`*6 F0*k +:% 2G/ % m3U + W16?^ A W1'>` �(6?W12 + <:6X`H)*.(6 �������� � � x(A ^p) A '9)5/ % m�U + )5/ +:% 0 + [Q']) + U�0 + <>6X`d0*. + `7)P)5/JUL6,/ % )*6?`*<9']WD0?h' % 6���6@^p)*/1<>6 '=<>6X`8']m:6qk + )56 % )*/D']W(/10 + aG)8']/ % 6?2 + [w)5.46P[ + `5U 0*. + c % / % �b/1m A `*6 �4Y �(Y � W1/ % 6?'>`{']k4k(` + �G/1UL'])*/ +>%+ [�)*.(/10H/D0d'>0e[ + WJW + cd0 � � � �

� � ��� r � ��� u ���� ����� ���r�� � � #�%

�� u /J[ � ��� � ���

/J[ � ��� � ���r �4Y ��u

Page 113: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

� % WJ/ �>6e)*.(6P.(']`82 �_6 %4% ']`82 F��:+>% 6?0bk + )*6 % )5/1'>WGcP.4/1^8.y/D0 A4% a +:A4% 2G6@2 ']) � 4h9)5.46 � ���� �� � ��� �=6?Uyk(W + l:6?2/ % � � � .('>0 '�� % /J)*6 <='>W A 6 � ���

']) � 4Y � + � % 2;)*.46 <9']W A 6 + [ � ���cq6�[ + WJW + c )*.46 k4` + ^X6?050PWD']/D2 +>A )-aBl

��` +�+ )_' % 2 E']`5`56 % � � � �' % 2 ��` +�+ )_' % 2��-']a +>% 6�� � � Oh=/ Y 6>Ybcq6{UL'])5^8.\)5.46{2G/1UL6 % 0*/ +:% W16?050�^ + Uyk(`*6@0*0*/Ja(/JW1/�)Kl

+ [�)*.(6 � � � 0*lB07)*6?U�cP/J)*.N)*.o'9) + [b)*.46 � � 07lG07)*6?UNh % ']UL6XW1l

� � � � � � � �� � � � � �

����� � � �� � � � �� � �� � � � �

�� � � �� � � � �� ����� � �� � � �� � ��� � � � � � � r �GY����u

cP.46?`*6��V/10L)5.46 %BA U ao6?`�2G6 % 07/J)Kl>h�� � r � �Gu � �r � �Bu � � � /D0�)5.46}^ + ']`8076 F m:`5'>/ % / % mMk(']`8']UL6X)*6X`~h � � /D0�)*.(6� + WJ)*f?UL' %4% ^ +:% 0K)8' % )_' % 2 � )5.46i)*6?ULko6?`5']) A `56 + [B)*.(6{07lG07)*6?UNY M6 %4+ )56T)*.(']) � � � � �H`56|[ 6?`50�) + 07/1U A W1'])*/ +>%' % 2L)*.('])q/ % � � ce6-.('=<:6 ��� �>Y��H.46 % h�[ ` + U"' % 6XULk4/1`5/1^?']W(6@g A '9)5/ +:%3+ [_07)5'])*6d[ + ` � � � xoA /12(0Xh ��` +�+ )� E']`5`56 % � � � + a4)5']/ % � ���� �

)*.4` +>A m:.

� � � � � � � � � � � � �� � � �

� � � � � ��

�el;UL'])5^8.4/ % m�)*.46y2G/�� A 0*/ +:% ^ +>% 07)5' % )Lr�� � � �QuP/ % )5.46 � � � 0*/1U A WD'9)5/ +:% cP/�)5.)5.('9) + [QcH'9)*6?`yr�� ce'])*6X` uce6 � % 2I)*.46 � � � )*/1UL6R0*^?']W16\':0 �

� � � � � �� ��� ce'])*6X` � ��� � �� �

�H.4/D0i)5/JUL6 05^X'>WJ6 ' % 2y)5.46 0 + [ ){k + )56 % )*/D']Wo6��Gk4WD']/ % cP.Bl,)5.46 � � � UL6|)5. + 2�/10e0*6X<>6?`5'>W + `82G6X`80 + [wU�'>m % /J) A 246[ '>07)*6?`i)*.o' % 07)*`8']/1m>.�)7[ + `*cH']`82 � � Y� /�)5.3`56?0*ko6@^p)i) + )*.46dWD'9)*)*6?`?h:)*.46 0 + [ ){k + )*6 % )5/1'>W(`56XU + <>6@0�)*.46 �*^X'>m>/ % m6��w6?^|) � + [T' % ']) + U�0 + )*.('])P)*.46,24/�� A 0*/J<B/J)Kl + [i'9) + U�0P/D0P/ % ^|`56?':076@2�aBlI'y[ ':^p) + ` + [ �� �(h42G6Xk�6 % 24/ % m +:%)*.(6 )5.46X`5U + 07)5'])?Y�M6 %4+ )*6�)*.o'9)�� + ce6 � 0 � �_'>k4k4` + ':^8.�h:cP.(/1^8.N6XULk4W + lG0e' % � % 2G6X`80*6 % )*.46?`*U + 07)5'])?hG2 + 6?0

%4+ )e2G6@^|`56?'>0*6H)*.(6 � 6?^XWJ6X) %BA U,a�6X`@Y��H.46-6���6@^p) + [z)*.(6d)*/1UL6 05^X'>WJ6d/D0{) + 2G6@^|`56?':076P)5.46 ^ + `5`*6@07k +>% 2G/ % m �����)*/1UL6 / % k4` + k + `7)5/ +:% ) + )*.46\^ + ']`8076 F m:`5'>/ % / % m\k('>`5'>UL6|)*6?`�� � �B.46 % ^|6 )*.(6� � � � � � ����� ��LcP/J)*.N`*6@07k�6?^|){) +� � /10 ��� ���� � ��� � � �� [ + `{'�m>/1<>6 % 07lG07)*6?U < + W A UL6>Y �H. A 0Xh:[ + `�� � ��' % 2 �\)*.(6-07k�6X6@2 FOA k�[ '>^|) + `/D0-� �4h � ' % 2I� �]�oh �(h:`56?0*ko6@^p)5/J<:6XW1l>Y

�H.46~2G/D0*0*/1k('9)5/J<:6;' % 2V`5' % 2 + U [ + `5^X6?0?h +:% )5.46 + )*.(6X`�.(' % 2zhq'>`*6~^8.('>`5':^p)56X`5/Jf?6?2naBlj07)*`56 % m>)*.(0 � � r � ��� u

Page 114: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

' % 2 � �:r � ��� uH^ +>A k4W16?2IaBl3)5.46�� � ��� � � � � ��� ������� � � � `56XWD'9)5/ +:% 0 � � �

� � r � ��� u � � � r � ��� u�� �

���� ���r � � � #�%

�� u � /J[ � ��� � ���

/J[ � ��� � � �r �GY����=u

� � � � ��� � � r �GY�� � u

�H.46,'>a + <:6\`*6?W1'])*/ +>% /10 % 6?^|6@0*05']`5l�[ + `P)*.46?`*U + 2Gl % '>Uy/D^\6?g A /1W1/Ja4`5/ A U;Y�H.46R24/10507/1k('])*/1<>6\[ + `8^|6@0H`*6?k4`56?0*6 % )[ `5/1^|)*/ +>% a�6|)Kce6X6 % )5.46,ko']`*)*/D^|W16?0-' % 2~'>^?^ +:A4% )P[ + `-6 % 6X`5m>lIW + 0*0 �4)5.46Xl~2G6?ko6 % 2 +:% )*.46 `*6?W1'])*/1<>6�<>6?W + ^X/�)5/J6@0' % 2M`56XWD'9)5/J<:6Lk + 07/J)*/ +>% <>6@^p) + `80\cP/�)5.4/ % ';ko']/1` + [Hk(']`*)*/D^|W16?0?Y�v + ce6X<:6X`@hz)*.(63`5' % 2 + UCr 07) + ^8.(':0K)5/1^@u +>% 6@0']`56-<:6XW + ^|/J)Kl�/ % 246Xk�6 % 2G6 % ) �B)*.(6Xl�^ + ULko6 % 05'9)*6 [ + `eW + 07)H2G6?m>`56X6@0 + [�[ `*6?6?2 + U 2 A 6�) + ^ + ']`8076 F m:`5'>/ % / % m�' % 2.46@'9) A kN)*.46R0*lG0K)56XU;Y

��$ ���� � � ��� � � � � � ��� �

� % WJ/ �>6�)*.46 � � 6?g A '])*/ +>% 0?h�)*.46 � � � 6?g A '])*/ +>% 0 ']`56I07) + ^8.(':0K)5/1^3' % 2 %4+:% W1/ % 6@']`L07/ % ^X63)*.(6N2G/D0507/1k('9)5/J<:6[ + `8^|6;2G6?ko6 % 240 +>% )*.46;<:6XW + ^X/�)Kl:Y � % ko']`*)*/D^ A WD']`@hi[ + `�^ + ULk4W16�� x(A /D240y)5.46;k4`*6@076 % ^|6 + [�a + )*. 0 + [ )L' % 2.('>`52}k + )*6 % )5/1'>W10�0 A m>m>6@0K)80d)5.46 A 0*6 + [Q)*/1UL6 F 0K)8']m>m:6X`56?2'>WJm + `5/�)5.4U�0P[ + `�/ % )*6?m>`8'9)*/ % m�)*.46 � � � 6@g A '9)*/ +>% 0

+ [QU + )*/ +>% Y �H.4/D0�']W1W + cd0H)5.46,6 �3^|/16 % )�07) A 24l + [ik + WJlBUL6X`5/1^Rk4.BlB0*/D^X']W�g A ' % )*/J)*/16?0?hw0 A ^8.':0P)5.46,`8'>2G/ A 0 + [m>lB`8'9)5/ +:%I+ [b)5.46Rk + W1l�UL6?`*/D^�^8.(']/ % Y �H.46R^ +:% 0*6X`5<='])*/1<>6�[ + `8^|6@0Hk4`56?0*6 % )d/ % )5.46 A 0 A '>W � � � 6?g A '9)5/ +:% 0P^X' %a�6�)5'>/JW + `56?2 / % 0 A ^8.n'~cH'=l}0 + '>0\) + 2G6@0*^X`*/1ao63'<='>`*/16|)Kl + [P/ % )56X`8'>^p)5/ +:% 0 F 6:Y moY �_6 %4% ']`82 F��:+>% 6?0�r����puphv +B+ �>6?' % 2 A U,a�6XW1WD0Xh���/ % /�)56XW1l S �B)*6 % 07/1a4W16 � +:%GF ��/ % 6?'>` S WD'>07)*/D^nr ��� �4uI0*k4`*/ % m�03' % 2 <9' % 2G6X` ':']WD0[ + `8^|6@0 F '>0QW +>% m,'>0T)5.46Xl�'>`*6-246X`5/J<9']a(WJ6P[ ` + U"'�m:/J<:6 % k + )*6 % )*/D']W���r � ��� u|Y���/Jm A `*6 �4Y �R/JW1W A 0K)5`5'])*6?0Q)*.46 % 6X6@2[ + `-)Kc + 24/��w6X`56 % )-)56XULk + `8']W_`56?0 + W A )5/ +:% 0 �{)*.46 ��� k + )56 % )*/D']Wer [ + ` ao6@'>2 F a�6?'>2;ko']/1`508uH/D0-'�.('>`52;`56Xk A W10*/ +>%)*.o'9)\`*6@g A /J`56?0 '�)*/1UL6 F 0K)56XkU A ^8.M0*U�']W1WJ6?`d)5.(' % )*.46L0 + [ ) / % )*6X`8'>^|)*/ +>% [ + `5^X6?0 + [{'�)KlBk4/D^X'>W � � � k(']`*)*/D^|W16k('>/J`Rr cP.4/1^8.~^?' % ao6\)5. +>A m:.�) + [T':0P' % � � � � ��� � �;0 + [ )Pk + )56 % )*/D']W upY

��/Jm A `56 �GY � 07. + cd0Qk + WJlBUL6X`5/1^-^8.(']/ % 0iU + <B/ % m\[ `*6?6XW1l,/ % ' � � � 0 + WJ<:6 % ) + [ � k('>`7)5/1^XWJ6@0XY �H.46?0*6-^8.('>/ % 0^ +:% 0*/107) + [_ao6@'>240�r � � � k(']`*)*/D^|W16?08uQ0 A a �K6@^p)e) + )*.46\0K)8' % 2(']`82 � � � [ + `8^|6@0 �T0 + [ )e`56Xk A W10*/1<>6,r ^ +>% 076?`*<9'9)5/J<:6@u|h2G/D0*0*/1k('9)5/J<:6I' % 2 `8' % 2 + U;Y�� � � � � � � ) + )5.46?0*6�[ + `5^X6?0?hT)*.46?l ']`56I0 A a �K6@^p)L) + / % )5`5' F k + W1lBUy6?`R[ + `5^X6?0?h

Page 115: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

0 0.5 1 1.5 2

0

2

4

6

8

10

distance r

pote

ntia

l V/k

BT

Lennard−Jones potentialaveraged potentialcut−off radius

��/Jm A `56 �4Y � � �_6 %4% '>`52 F��:+>% 6@0_k + )56 % )*/D']Wo' % 2 )*.(6d0 + [ ) F `*6?k A WD07/1<>6ek + )*6 % )5/1'>W4cP.4/D^8. `56?0 A WJ)50Q'][ )*6?`Q'=<>6X`8']m:/ % m(Y']`5/D07/ % m [ ` + U�2G/���6?`*6 % )-^ + U a4/ % '9)*/ +>% 0 + [_)5.46\[ + W1W + cP/ % my)KlBk�6?0 �

��� ������� ������ � � ! � ������� !�� � �H.46�`*6?k A WD07/ +>% [ + `,6?'>^8.Ek('>/J` + [Pao6@'>2Ek('>`7)5/1^XWJ6@0�/D0Rm>/1<>6 % a�lM)*.(607.4/J[ )*6@2 ���dk + )*6 % )5/1'>W

� ��� ��� � r �� ���u � � �sr �

� ���u�� � �� �

)*` A4% ^X'])*6@2j) + '>^|) � � � [ + `3k(']/1`80�cP/�)5. � ��� � � � Y M6}0*6|)�� � � �Rh � � � � � � ' % 2 � �

� � � � � � � �>Y� 6 %4+ )*6-)*.(']){)*.(6 ���ek + )*6 % )5/1'>W A 076@2�.46X`56-/D0e2G6�� % 6?2�']){)5.46 UL6@0 + 0*^ + k4/D^HWJ6?<>6?W() +/JULk4` + <>6 k + WJlBUL6X`5/1^�0*6XWJ[ F '=< + /D24' % ^X6���0 + [ )*6X`H`56Xk A W10*/ +:% ` A W16?0e/10H' % '>W�)56X` % '9)5/J<:6 ']k(k4` + '>^8.�hB0*6X6 � � � ZY���� � �� ����� ! � � � �� �� /J)*.4/ % 'y^8.('>/ %3+ [)' a�6?':240e6?':^8.3ao6@'>2�/10P0 A a �K6@^p)e) + ',k('>/J`5cP/D076 .(']`5U +>% /D^k + )*6 % )5/1'>W

�"!#�#�$ � � � �&%� � � %� � � � � � �cP.46X`56 � � � 7� � ��� '

' % 2 � /10P)*.46R0*k4`5/ % m�^ +>% 07)5' % )@Y

Page 116: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

� � � ��� � ����� !�� ����� ! � � � �� � /J)*.4/ % ';^8.(']/ %M+ [ ' ao6@'>240R6?'>^8. a�6?'>2 /D0�0 A a �K6?^|)�) + 'Nk(']/1`5cP/10*6v +B+ �:6?' % 07k4`5/ % m(Y��H.46�0*k4`*/ % my/10H^ +>% 0*/1246X`56?2�) + ao6 �� � � 0*/ % ^|6\/J)H.o'>0H' � % /J)*6\6?g A /1WJ/1a4`5/ A U WJ6 % m])5.���BY � )5`*6X)5^8.46@2�) + ' WJ6 % m])5.,m:`*6@'9)*6?`�)5.(' % ���H)*.(6H0*k4`5/ % m-6��G6?`7)80b' % '9)*)*`8'>^|)*/1<>6Q[ + `5^X6>h9cP.4/1W16qk A 07.46@2) +L+>% 6�0*U�']W1WJ6?`H)*.(' % ����R/J)d6��G6X`*)50P'y`56Xk A WD0*/J<:6 +:% 6>Y �O)80Pk + )*6 % )5/1'>Wz[ + W1W + cd0{)5.46\[ + `5U A W1'

� ���� ��� � � r �&%� � � %� � � � � � ���]u � cP.46X`56 � � � 7� � ��� '

' % 2 � /10P)*.46R0*k4`5/ % m�^ +>% 07)5' % )@Y

� ������ ! � � � �� � /J)*.4/ % '~^8.(']/ %M+ [ ' ao6@'>240R6?'>^8. a�6?'>2 /D0�0 A a �K6?^|)�) + 'Nk(']/1`5cP/10*6 %4+>% W1/ % 6?'>`07k4`5/ % m [ + `8^|6>Y �H.46 ��/ % /J)*6XW1l S �B)*6 % 07/1a4W16 � +:%GF W1/ % 6?'>` S WD'>07)*/D^nr ��� �(u30*k4`*/ % mn.(':03'EU�'"�G/1U A U6��B)*6 % 07/1a4/1WJ/J)Kl ������Na�6Xl +>% 2EcP.4/D^8.E)*.(63[ + `8^|6�a�6?^ + UL6?0,/ % � % /J)*6>hQ' % 2E.46 % ^|6�' % lMW16 % m>)*.nm:`*6@'9)*6?`)*.(' % �������y/10d^ +>% 0*/D2G6X`56?2 A4% k4.BlG07/D^X'>W�' % 2N/D0 %4+ )-'>WJW + ce6?2zY �H.46�k + )*6 % )*/D']Wz/D0d2G6?05^|`5/1ao6@2�aBl

� ��� � � � � ��������� S�� � � � �&%� � � %� � � � � �

� ������ � cP.46?`*6 � � � *� ��� � '

' % 2 � )*.46R0*k4`5/ % mL^ +>% 07)5' % )?Y

�! � � � �#" � � �%$ ��& � � � ���('�� � � � �T+ W1l�UL6?`�U + 246XWD0 + [Ba(/ + W + m>/D^X']W>/JULk + `*)5' % ^|6-r �� � h=k4` + )56X/ % 08u.('=<>6�ao6?6 % � %4+ c % ) + a�6Rm + <:6X` % 6?2�aBl�0K)5/�� / % )56X`8'>^p)5/ +:% 0?Y �H.46�c + `*U F WJ/ �>6\^8.('>/ % � ���Gh �>�4h � � b^X' %ao6M)*. +:A m>.�) + [ ':0I's^ +:% )*/ %�A(+>A 0N^ A `5<>6M/ % )*.4`56X6 F 24/JUL6 % 07/ +>% '>W�0*k(':^|6>Y � [ /JULk + `*)5' % ^|6 /10I)*.(6 � �������� � � � ��� � *) �,+4h�cP.(/1^8.M/10�'�UL6@'>0 A `*6 + [Q)5.46y^8.o']/ % � 0�07)*/�� % 6@0*0\' % 2/D0d)5.46L'=<>6X`8']m:6�WJ6 % m])5.+ <>6X`�cP.4/D^8.y)*.46 + `*/16 % )5'])*/ +>% + [�'\^ A `*<:6P076?m>UL6 % )Q2 + 6?0 %4+ ){^8.(' % m>6\r �7k�6X`80*/107)50 �:u|Y 6PcP/JW1WG[ + ^ A 0 +:%)*.46da�6?':2 F 07k4`5/ % m\`*6?k4`*6@076 % )5'9)5/ +:%L+ [�)*.46 U + 2G6?W h:cP.4/D^8.3']k4k4` + �G/JU�'])*6?0i'Rk + `7)5/ +:%y+ [w)*.46dc + `5U F W1/ �>6^8.(']/ % cP/J)*.~' [ + `8^|6\WD'=c m:/J<:6 % aBl�)*.46 �'>`�� +]F � /1m>m>/D' � � � b6��Gk4`56?0507/ +>%

� � ��� ��� ��,+.- ��or�� �0/�u � � �

� � /21

cP.46?`*63/ �&%� � � %� � � � ��54�6�7�8 9: �

�54�6�7�8 9: � � � *� ��� � '

Page 117: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

���

' % 2 � 4�67�8 9�: /D0Q)5.46 U�'!�B/1U A U"'>WJW + ce6?2yWJ6 % m])5.�[ + `e6?':^8.3^8.(']/ % r 0*k4`5/ % m�uQ0*6Xm:UL6 % )?Y��H.46 6��Gk4`56?0507/ +>%/10P':^X^ A `5'])*6�[ + `PWD']`5m>6�<9']W A 6?0 + [b)5.46�`5'])*/ +�� ������� ��� ' % 2N6��4':^p)d'>0 � � + ` � � � 4�67�8 9�: YQv + ce6X<:6X`@h/ % ��� ���/J)�ce':0L07. + c % � � � P)5.('9)L)*.(6 �}']` � +]F � /1m>m:/1'~6��Gk4`*6@0*0*/ +>% ^?' % ao6;a�6|)7)56X`�'>k4k4` + �G/JU�'9)56?2a�l '>2424/ % m'}076?<>6 % )5. FZ+ `5246X`\k + WJl %4+ UL/1'>Wi)*.(']),W16?'>2(0\) + ' % '>^?^ A `8'>^Xlao6X)7)56X`R)5.(' % (Y � � Y �H.(6/JULk4` + <>6@236��Gk4`56?050*/ +:% )5'��>6@0e)*.46\[ + `*U

��� ��� ��� �� + - ��or�� �0/�u � � �

� � / �������� � � � � / � 1

cP.46X`56�)*.46R^ +>% 07)5' % )80 � � '>`*6 ���G6?2;':0e[ + W1W + cd0 �

� � F (Y � � �>� ��� � � � F � � Y � �"� ��� � F � Y �����9� � � � � ���4Y � � �]�:�� � � �(Y B�=� �B� � � F �?�(Y��=�>� � �

�H.46P/ % )*6X` F ao6@'>2 [ + `8^|6P/ % 6?'>^8.�^?'>0*6e/D0 + � � �yY � + )*6H)*.o'9)Q)5.46Pa +:% 2G6@2L/ % )*6?`5':^p)5/ +:% 0Pr 0*k4`5/ % m\[ + `5^X6?08u

']`56�k(']/1`*cP/D0*6-a A )d':^p) +>% W1l�a�6|)Kce6X6 % ^ +:% 076@^ A )5/J<:6 a�6?':240e/ % 'y^8.(']/ % r / Y 6>Y1hGa�6?'>2 %BA U,a�6X` � 6��B6?`7)80H07k4`5/ % m[ + `8^|6@0 +:% a�6?'>2(0 � � �� � � �@u +>% W1l>hBcP.46?`*6@'>0{)*.46 %4+:%GF a +>% 2G6?2�/ % )*6?`5':^p)*/ +>% 0Xh�WJ/ �>6-)*.46�`56Xk A WD0*/J<:6 ���e[ + `8^|6:h'>^|) / % '�k('>/J`5cP/D076�[ ':07.(/ +:% )*.('])�2G6?ko6 % 240 +>% )5.46,/ % 07)5' % )8' % 6 +>A 0-`*6?W1'])*/1<>6�k + 0*/�)5/ +:%+ [i)5.46,a�6?':240XY �H.4/10[ A4% 2(']UL6 % )5'>W_2G/���6?`*6 % ^|6\`56?g A /1`*6@0 % 6X/1m>.Ba + ` F 0*6?'>`5^8.3` +>A )*/ % 6?0e[ + `H)*.46�WD'9)*)*6X`@Y

�H.46��}']` � +]F � /1m>m:/1'I07k4`5/ % m~W1'=c /10 ' % '=<>6?`5'>m>6@2}g A ' % )5/�)Kl:hbW + ^X']W1W1lM']k(k4` + �G/1U�'9)*/ % m x 6��G/1a4W163` + 240?Y �H.(62G6?`*/1<9'9)*/ +>%N+ [b)*.46\[ + `*U A WD' ':^X^ +:A4% )50q[ + `d^ + '>`50*6 F m>`8']/ % / % mRUL/1^X` + 0*^ + k4/D^d6?WJ6?UL6 % )50 + [�'yW +>% mL^8.(']/ % r 0 A ^8.'>0 a�6?'>2 F ` + 2(uphzaBl A 0*6 + [q0K)8'9)5/107)*/D^X'>WbUL6?^8.o' % /D^X0?Y�v + ce6X<>6?`?h�/ %}+ `82G6?`-) +IA 0*6 )*.46 �']` � +>F � /Jm:m>/D'LW1'=c�/ %U + W16?^ A WJ6@0TcP/�)5.�U + `56q)5.(' % )Kc + ao6@'>240dr 2 A U a4ao6?WJWD08uphB0 + Uy6d' A )*. + `80 � �B�o'>^?^ +:A4% )�[ + `T)*.46 2G/��w6X`56 % ){07)*/�� F% 6@0*0 + [_)*.(6�ao6@'>2G6@2N^ +>A4% )56X`5k(']`*)50qaBlI']WJ)*6?`*/ % m )*.46�k�6X`80*/107)*6 % ^|6\W16 % m>)*. � + + [_)5.46R0 A a F ^8.(']/ % 0?Y�� 6|)8']/1WJ6@2' % ']W1lB0*/D0 + [_0 A ^8.�'>`*m A UL6 % )50�� � � z.('>0e0*. + c % )*.('])e/J)H/10qk + 0*0*/1a4WJ6-) + Uy/ % /1UL/Jf?6-)5.46 6?`*` + `80Q'>`*/D07/ % mRaBly)*.(6/ % )5` + 2 A ^p)*/ +>%�+ [�a�6?'>2(0q' % 2�0 A a F ^8.o']/ % 0XY �H.4` +>A m:. +>A )Q)*.4/D0qc + `��ycq6 cP/JW1Ww'>2 + kG){)5.46 ' % ']W1lG07/D0Qk4`56?0*6 % )56?2/ % � � � T[ + `\07)5']/ % 6@2 � F k4.('>m>6 �� � U + WJ6@^ A W16?0�'>050 A Uy6@2;) + .('=<>6 � � � � � � � r [ A W1WJl~6���)56 % 246?2W16 % m])*.�u' % 2 �,+ � ��� � � r k�6X`80*/107)*6 % ^|6yWJ6 % m])5.oupY �H.46�^ + `*`56?^|)*/ +>% ce6 cP/1W1WQ']k4k4W1l~cP/1WJWiW1/ % 6?']`5W1l']k4k4` + �G/JU�'])*6)*.(6y`8'9)5/ +N+ [e6��w6?^|)*/1<>6 ) + )*` A 6Lko6?`50*/D0K)56 % ^X6 W16 % m>)*.�h�[ + `�)*.4`56X6�2G/��w6X`56 % )�`*6?m>/ +>% 0 + [q)*.46L6��B)56 % 0*/ +:% ��W + c

Page 118: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�>�

[ + `8^|6:hG.(']WJ[ F 6��B)*6 % 2G6?2;0*k4`5/ % mL' % 2I.(/Jm:. F [ + `5^X6 `56Xm:/JUL6@0XY�� + `*6�0*ko6@^|/��o^X'>WJW1l>hGce6�2G6�� % 6\)*.46�`8'9)5/ +

��� � +�� � ����� � � ��� � � + � ��� � �

0 + )*.o'9)PcP.46 % � � � %4+ ^ + `5`56?^p)5/ +:% /10H'>k4k4W1/J6@2zY��H.46-)8']a4W16?0e/ % � � � z0 A m:m>6?07)e',.4/1m>.�hGUL6?24/ A U ' % 23f?6X` +^ + `*`56?^|)*/ +>% [ + `�)5.463W + c F [ + `5^X6>hb.(']WJ[ F 6��B)*6 % 07/ +>% ' % 2M.(/Jm:. F [ + `5^X6L`*6?m>/ +>% 0�`56?0*k�6?^p)5/J<:6XW1l>Y M63m +~+>% 6307)*6?k[ A `*)*.46?`P) + / % )*` + 2 A ^|6�'yWJ/ % 6@']` �4)P) + )*.46R0 A m>m:6?07)*6@2�^ + `*`56?^|)*/ +>% <='>W A 6?0e[ + `�� F a�6?':2N^8.o']/ % 0 �

��� � r � � ���N u � � � � �Er � � �@u � �� /J[�� � �

� � � r�� � ���N u � � � � �Er � � �@u � �� �/J[�� � �

cP.46?`*6 ��N ����/10H)5.46\/ % 0K)8' % )5' % 6 +:A 0q[ `5':^p)*/ +>% ']Ww6��B)*6 % 0*/ +:%I+ [_)*.(6�cP. + W16�U + WJ6@^ A W16\/ % )*.46R07)*`56|)8^8.4/ % m2G/1`*6@^p)5/ +:% Y �H.46�'>a + <:6 6��Bk(`*6@0*0*/ +:% 0�']k4k4` + �G/JU�'])*6R[ '>/J`5W1l'>^X^ A `8'9)*6?WJl;)5.46L<9']W A 6?0�m>/1<>6 % / % � � � {' % 2 ']`56/1Uyk(WJ6?Uy6 % )*6?2N/ % ']W1Wz/ % 07)5' % ^|6@0 + [ � � � [ + `H)5.46 �'>`�� +]F � /Jm:m>/D'R0*k4`*/ % my[ + `8^|6\/ % )5.4/D0Pc + `��wY

Page 119: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��������� �

� � � !C� � � � �� # � ��� � �

$�� � ��� ����� � ' ' ���� � � �� � ��� ��� � �� �A'����� � ' � � � � � � � � �

� ��� � � � � � ���� � �

�H.46,)Kc + a('>0*/1^ � � � / % )56Xm>`8'9)5/ % m30*^8.46?UL6?0 cq6 cP/JW1W�^ +>% 0*/D2G6X` / % )*.4/D0-c + ` �;']`56�� ��U + 2G/��(6?2<>6X`80*/ +:%~+ [)*.(6I^|WD'>050*/1^?']Wi<>6?W + ^X/�)Kl F ti6X`5WJ6X)�� � ��e0*lBULk4WJ6@^p)5/1^3'>WJm + `5/�)5.4U�r <Bt�u F '>0 +>A )5WJ/ % 6?2EaBl ��` +B+ ) ' % 2 E']`5`56 %� � � F ' % 2 � + cq6 � 0P'>WJm + `5/�)5.4U � ��hz�"��OY�H.(6R<Bt�0*^8.(6XUL6�/10 ^8.(']`8'>^|)*6?`*/1fX6@23aBlI6��Gk4WJ/D^|/J) ^?']WD^ A WD'9)5/ +:%N+ [T'>WJW[ + `8^|6@0�

� � ���r ^ +>% 0*6X`5<9'9)5/J<:6>hG2G/D0*0*/Jko'9)*/1<>6�' % 2�`8' % 2 + U3ue' % 2I/D0 � %4+ c % ) + ao6\)5/JUL6?07)*6?k~2G6Xk�6 % 246 % )?ha A )P'9)q)*.46\05']UL6d)5/JUL6\0K)5`5'>/Jm:.:)*[ + `5ce'>`52y' % 2�`*6?W1'])*/1<>6?WJlL'>^?^ A `8'9)56>Y � + ce6 � 0QUL6|)5. + 2zh +>% )5.46 + )*.46?`q.o' % 2zh/D0�'N05^8.46XUL6ya('>0*6?2 +>% )5.46 � % 2G6?`50*6 % )*.46?`*U + 0K)8'9) � �� QcP/J)*.M)*.46yk(']`*)*/D^|W16y<>6XW + ^|/J)*/16?0�^ + `*`56?^|)*6?26X<>6?`*l)*/1UL6?07)*6?k A 0*/ % mR)*.(6 �'!�Bce6XW1W�<>6XW + ^|/J)Kly24/107)*`5/Ja A )*/ +>% Y � % )5.46\']a(0*6 % ^X6 + [_^ +>% 076?`*<9'9)5/J<:6H[ + `8^|6@0Xh�cP.4/D^8.�']`56/ % )56Xm:`5'])*6?2;/ % )*.(6,<Bt�U�' %(% 6X`@h()5.46 05^8.46?Uy6,/10 07. + c % ) + a�6,/ % 2G6Xk�6 % 2G6 % ) + [T)*.46y^8. + 0*6 % )5/JUL6@0K)56Xk ���� �"��OY �H.(6L^ + `56 + ko6?`5'])*/ +>% / % � + ce6 � 0�Uy6X)*. + 2M/ % < + W1<>6?0�`56 F 6?g A /1WJ/1a4`8'9)5/ +:%+ [q)*.46Lk('>`7)5/1^XWJ6LU + UL6 % )8'I'])

+>% 6\07)*6?k;cP/�)5.;' %IA k�24'])*6@2;/ % )*6?` F k('>`7)5/1^XWJ6�`*6?W1'])*/1<>6�<>6?W + ^|/J)Kl�2G`8'=c % [ ` + U�' �\' A 0507/D' % 2G/D0K)5`*/1a A )5/ +:% Y

� �

Page 120: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �+*). ). 01 � � / 6H5 ������ � � � � 39���0�6�� � � �� 3 � 6�/�� @ � 1 �

6y^ +>% 0*/1246X`\'�U + 2G/��(6?2}<>6X`80*/ +:%~+ [Q)5.46y^XW1':0*0*/D^X']W�<Bt � � � / % )56Xm>`8'9) + `yr �(`80K)\k4` + k + 0*6?2;aBl ��` +�+ )�' % 2E']`5`*6 % � � � u|Y �H.46-<Bt 0*^8.(6XUL6d/D0q^8.('>`5':^p)56X`5/Jf?6?2LaBlL6��Gk4W1/1^X/�)H^X']WD^ A W1'])*/ +>%�+ [�']W1W([ + `5^X6?0

� � �� r ^ +>%4F0*6X`5<='])*/1<>6:h]2G/1050*/Jk('])*/1<>6P' % 2,`8' % 2 + U3u_' % 2y/10 � %4+ c % ) + a�6e)*/1Uy6 F 07)*6?k�2G6Xk�6 % 246 % )?h:a A )Q/D0i0K)5`5'>/Jm:.:)*[ + `5ce'>`52' % 2~`*6?W1'])*/1<>6?WJlN'>^X^ A `8'9)*6:Y �O) `56XW1/16?0 +:% '�a(':07/D^�k4`56?24/1^|) + ` F ^ + `5`56?^p) + `P']k(k4` + '>^8.�hocP.4/D^8. A 0*6?0dk(` + <B/D07/ +>% '>W<9']W A 6?0 + [_)*.46�<>6?W + ^|/J)*/16?0{[ + `q)*.(6-[ + `5^X6 ^X'>W1^ A WD'9)*/ +>% 0Xh�cP.4/D^8.I']`56-^ + `5`*6@^p)*6@23'9)q)*.46�6 % 2 + [b6?'>^8.L)5/JUL6@0K)56Xk�Y�O) /D0d/1ULk + `7)8' % )-) + �>6?6Xk~/ % UL/ % 2;)*.('])-)5.46 � � � 2G/D0507/1k('9)5/J<:6\[ + `8^|6@0-2G6?ko6 % 2 +>% )5.46,`56XWD'9)5/J<:6R<>6?W + ^X/�)5/J6@0

+ [i)5.46,ko']`*)*/D^|W16?0?ho.46 % ^|6,)*.4/D0�k4`56?2G/D^p)5/ +:% /10 ^|` A ^|/D']WZY �e6?W + c ce6 +>A )*W1/ % 6,)*.46 U + 24/��(6@2<Bt 05^8.46?Uy6 cP/�)5.k('>`5'>Uy6X)*6?` �_Y �H.46 )*.46 + `56|)*/D^X'>Wo<9'>W A 6�/D0 � � �,a A ) ��` +B+ )H' % 2 E']`5`*6 % � � � z.('=<:6 0*. + c % 6?Uyk(/J`5/1^?']W1WJl)*.o'9)R[ + ` '^X6X`*)5']/ % `8' % m:6 + [ � � )5.46 + kG)*/1U�']Wq<='>W A 63/10 ^|W + 0*6X`�) + � � � �NcP.46 % ��� � �>Y�� % )5.4/10c + ` �;'>WJW�`56?0 A W�)80�k4`*6@076 % )*6?2 A 076 )*.(6 WD'9)*)*6X`@h�0*/ % ^X6 +:A `�)*/1Uy6@0K)56XkM/10�/ % )*.(6 + kG)*/1U�']W�`5' % m>6 + [ ��r � � � upY� 6 %4+ )*/ % m�)5.46y) + )5']W�[ + `5^X6?0�aBl� � ! � �� � � ��� � � ��� � ��� #�%��� � �

� ' % 2})*.46L6��B)5`5'�k + WJlBUL6X`5/1^,[ + `8^|6@0-aBl + � ! � �� � ��� + h�)*.46�a(':07/D^Nr ^|WD'>050*/1^?']W�)*.46?`*U + 0K)8'9)8u <Bt 0*^8.(6XUL6L/10 +:A )*W1/ % 6?2M/ % ��']a4W16 �4Y��>Y �H.(6L0 A a F05^|`5/JkG)80 +Bh � ^ + `*`56?0*k +:% 2�) + k + WJlBUL6X`d' % 2;0 + WJ<:6 % )Hg A ' % )*/J)*/16?0?hG`*6@07k�6?^|)*/1<>6XW1l>Y

� + 6���)56 % 2})*.(/10\']W1m + `*/J)*.(U [ + `�)*.46L0*/JU A W1'])*/ +>%M+ [e^ + ULk4W16�� x(A /1240�cP/J)*.E0 + [ ) �9.(']`82~k + )*6 % )*/D']WD0Xh_'IWD']`5m>6)*/1UL6?07)*6?k�h ��� h�/10{6XULk4W + l>6@2,[ + `q0 + W1<>6 % )Qko']`*)*/D^|W16?0Q' % 2�'�07U�'>WJW16X` +:% 6>h � � h:[ + `Qk + W1lBUy6?`{k('>`7)5/1^XWJ6@0ia�6XW +>% m F/ % my) + 'L^8.(']/ % Y�� + )5.4/10d6 % 2zh(cq6 A 0*6\k4` + <B/D07/ +>% ']W�<='>W A 6?0 %4+ ) +:% W1l�[ + `H)5.46�<>6?W + ^|/J)Kl + [b)*.46R0 + W1<>6 % )H' % 2)*.(6�k + WJlBUL6X`@hGa A ) '>W10 + [ + `H)*.(6�k + 07/J)*/ +>%;+ [b)*.46�k + W1lBUL6X`@Y �H.46 ����� F 6��Gko6 % 0*/J<:6\07)*6?k + [T^ + W1WJ6@^p)5/J<:6 [ + `5^X6^ + ULk A )5'])*/ +>% /D0e2 +>% 6 +>% W1l +>% ^X6>Y��H.46 <>6XW + ^|/J)Kl � ��)*.46 k + 07/J)*/ +>%3+ [�)*.(6-k + W1l�UL6?`e'>`*6-^ + `5`*6@^p)56?2L/ % )*.(60 A a(0*6?g A 6 % )dW +B+ k�ho/ % cP.4/D^8.~ce6�/ % )*6?m>`8'9)56\)*.46Rk + W1lBUL6X`-ko']`*)*/D^|W16?0�� � �� �

)*/1Uy6@0d/ % '�0*6Xk('>`5'])*6�0 A a�^Xl F^|W16;r A 0*/ % m � � [ + `-)5.46,)5/JUL6@0K)56Xkou|Y �H.46 <9'>`*lB/ % m3k + W1l�UL6?`*/D^R[ + `5^X6

+� /D0 A kw24'])*6?2McP/J)*.4/ % )5.46y0 A aw^|lG^|W16>h

[ + W1W + cP/ % my)5.46R^8.(' % m>6�/ % � + # hG)*.(6�k + 07/J)*/ +>%;+ [�)*.(6�k + WJlBUL6X`Pk('>`7)5/1^XWJ6@0XYiv-6 % ^X6>h(2 A `*/ % mL)*.(6R0 A aw^|lG^XWJ6\ce6A kw24'9)56R)5.46,/ % )*`8' F k + WJlBUL6X`P[ + `5^X6?0?h(a A ) %4+ )-)*.(6,/ % )56X` F ko']`*)*/D^|W163r ) + )5'>WDu +>% 6@0XY �H.4/D0 c +:A W12;`56?g A /1`56 �����)*/1UL6d[ + `q6@'>^8.30 A a�^XlG^|W16-6?g A /1<9']W16 % )Q) + ',07)5' % 24'>`52 +>% 6>Y �dWJ)*. +:A m>.�cq6�^X' %(%4+ ){6��Gko6@^p)q6��4'>^p)e']m>`56X6?UL6 % )

+ [z)5.46 % 6Xc 05^8.46?Uy6 cP/�)5.3)5.46�^XW1':0*0*/D^X']W +>% 6:h:ce6 ^?' % ' % )*/D^|/1k('9)56 0*UL'>WJWw2G/���6?`*6 % ^|6@0{/J[�)5.46 `8'9)5/ + � �� � /10 %4+ )) +B+ WD']`5m>6�' % 2I/J[b)5.463r +:A )524'])*6@2(ue[ + `8^|6@0H']`56\'>k4k4W1/J6@2N/ % )*.(6R^ + `5`56?^p)HU�' %4% 6X`d2 A `5/ % my)*.46 � � ^|lG^|W16>Y �H.(6

Page 121: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�B�

��� 7 ��� ��� ��� 8 � 9 6� 7���� � � � 7� !� #� � !� # � � � � � � � #�� ������������ � # ����� ��!#"�$&%� ! #� � ! # � � � � � � #'� ������� ���� � � # � � # � ��(�� �*) +,"-� .� � # � � � # � � � � � � � # ����� ��!#"�$&%� .� # � � # � � � � � � � � # � � # � ��(�� �*) +,"-� / � #10 % � .

� #2 ! � .� �! .� 43 ����� ��!#"�$&%65&(��#�1) +�"�-� / � #10 % � .

� # � ! � ��(�� �*) +,"-� � � # � � � # � ������87 � # � .

� #:9 ����� ��!#"�$&%� � # � � # � ����;�87�< � # � � #>= � < .� # � .� #>= 9 ��(�� �*) +,"-

? � # � .� # ����� ��!#"�$&%65&(��#�1) +�"�-? �

# � .

� # ��(�� �*) +,"-

? @ 9�� � A&B�� 7��']a4W16��4Y���� � <>6?`*<B/16Xc + [_)5.46\)*`8'>2G/J)*/ +>% ']Wz<>6?W + ^X/�)Kl F ti6X`5WJ6X)P'>k4k4` + ':^8.�[ + `d'Lk + W1lBUy6?`d07lG07)*6?UNY

']W1m + `*/J)*.(U�/D0-0 A ULUL'>`*/1fX6@2N/ % ��']a(WJ6 �(Y � Y �H.(6Rk4` + k + 0*6?2;0*^8.(6XUL6R2G6Xk�6 % 240 +:% )*.46,`*6?W1'!�G'])*/ +>% k('>`5'>Uy6 F)*6?`50 � � �C}' % 2 ��Y � % )*.(6 % 6��B)q0*6?^|)*/ +>% h:cq6-cP/JW1W(/ % <>6?07)*/1m:'])*6 %BA UL6X`5/1^?']W1WJl,)*.46 + kG)5/JU�']Wo<9']W A 6?0T[ + `i)*.(6?0*6k('>`5'>Uy6X)*6?`50?Y

+*). )�� 01 � � / 6H5 ������ � � 9 = �ED < /�� @ � 1 �

� % )*` + 2 A ^|6@2~/ % ��� ���4h � + ce6 � 0dUL6|)5. + 2 � ���/D0-^8.o']`8'>^p)56X`5/Jf?6?2NaBlN)*.46 6��Gk4W1/1^X/�)\^X']WD^ A W1'])*/ +>%~+ [ � ' % 2;)*.(6

0 A a(0*6?g A 6 % )\`*6 F 6@g A /JW1/1a4`5'])*/ +>%~+ [q']W1W_)5.46Lk(']`*)*/D^|W16,<:6XW + ^|/J)*/16?0-)*.4` +>A m:.M' �'"�Gce6XW1W�2G/D07)*`5/Ja A )*/ +>% Y �H.4/D0�/102 +:% 6 A 07/ % mI)*.46 � � � � � � ��<>6?W + ^X/�)5/J6@0 + [Q)*.(6yko']`*)*/D^|W16?0?Y �H.46LUL6|)*. + 2 ^ +:% 0*6X`5<>6?0-U + UL6 % ) A U ' % 2}/ % )5` +>F2 A ^X6?0P' % 6��B)5`5' k(']`8']UL6X)*6X`GFE0 + )5.('9)P/ % )5.46\WJ/1UL/�)5/ % m3^?'>0*6 + [HF �JI � � � )*.46?`*U�'>WJ/1f?'])*/ +>% �]2G/1050*/Jk('])*/ +>%+ ^X^ A `50H6?<>6?`*lL)5/JUL6 F 07)*6Xk_Y � 6|)*6?`50 � �!� b`*6@^|6 % )5WJl3/ % )*` + 2 A ^|6@2I'yU + 2G/��o^X'])*/ +>%N+ [ � + ce6 � 0e05^8.46?Uy6\aBl �:6X6Xk F/ % m�)*.(6 ^|6 % )*` + /D2I<:6XW + ^|/J)Kl + [i'3k(']`*)*/D^|W16 F k(']/1` A4% ^8.o' % m:6?2;a�6|[ + `56,' % 2~'9[ )56X`d)5.46,`56 F 6?g A /1W1/Ja4`8'9)5/ +:% Y �H.4/10`56?0 A W�)80T/ % ' % '])7)5`5':^p)*/1<>6P05^8.46XUL6:h>0K)5/JW1W(/ % 2G6?ko6 % 2G6 % ) + [()5.46-^8. + 076 % )5/JUL6 F 07)*6?k;r '>0 + k4k + 076@2 ) + )*.(6Pti6X`5WJ6X)']k(k4` + '>^8.ou�)*.o'9){']WD0 + 24/105^|`56|)5/Jf?6?0�)*.(6 + `5/Jm:/ % '>W � � � 6@g A '9)*/ +>% 0XY�vd6X`56Pce6 +:A )*W1/ % 6H)*.46Pao'>0*/1^ � + ce6P0*^8.(6XUL6/ % ��']a(WJ6��4Y �4Y

�H.46L[ A4% 24']UL6 % )8']W{2G/��w6X`56 % ^X6ya�6|)Kce6X6 % � + ce6 � 0�' % 2})*.46�<Bt 05^8.46XUL6�/D0�)*.(']),2G/D0*0*/Jko'9)*/1<>6�' % 2 `5' % 2 + U[ + `8^|6@0d']`56 %4+ )-6��Gk4W1/1^|)*W1lN^?']WD^ A WD'9)56?2N/ % )*.46�[ + `*UL6?`?Y �H.4/D0P[ 6?']) A `56Rk + 0*6?0d^ +>% 07)*`8']/ % )50 +:% )*.46,^ +>% 07)*` A ^ F

Page 122: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

��� ���� ��� �������� � � 7 ��� ��� ��� 8 � 9 6���7 ��� � � � 7 4� !� # � ! � # � � � � � � � #'� ������� ���� � # ����� ��!#"�$&%� . ! # � ! #'� � � � � � # � ������� ���� � � # � � # � ��(�� �*) +,"-? .. ! # � � ! # � � � � � � . ! # ��(�� �*) +,"-� .� � # � � � # � � � � � � � # ����� ��!#"�$&%� .� # � � # � � � � � � � � # � � # � ��(�� �*) +,"-? ..� # � � � # � � � � � � .� # ��(�� �*) +,"-� / � #10 % � .

� # ! � .� �.. ! # ..� #�� ����� ��!#"�$&%65&(��#�1) +�"�-? ..

� # � � � # � � � � � � .� # ��(�� �*) +,"-! # � ! # � � ��� � � #'� � � ��� ���� � ..� # � � # �/ � #*0 % � �

�# � ! �

���� � �������� � # � �� .� #� �� � � �!� � ��"!# �� � # � �$"�#� .

� #� # � � # � � �� 7 < ���� � � � # = � < � �� � � � � # = 9� # � � � #

��(�� �*) +,"-% &'( )*,+- +...+/ 0-

� � � # � � � # � ����;� 7 � # � .� # 9 ����� ��!#"�$&%

? � # � .� # ����� ��!#"�$&%? @ 9� � A&B�� 7

��']a(WJ6��4Y � �21 <:6X`5<�/16Xc + [_)5.46\)*/1UL6 F 0K)8']m:m>6X`56?2�<>6?W + ^|/J)Kl F ti6?`*W16|)d'>k4k4` + '>^8.3[ + `d'Lk + W1l�UL6?`d07lG07)*6XU;Y)*/ +>% + [q)*.46L/ %4% 6?` � � 0 A a�^XlB^XWJ6:Y �H.(6X`56|[ + `56>hzce6 A k�2('9)*6y)5.46�^ +>% 076?`*<9'9)5/J<:6y0 + W1<>6 % )-[ + `8^|6@0

�+>% ^X6 k�6X`

^|lG^XWJ6-' % 2y)*.(6 ^ +:% 0*6X`5<='])*/1<>6Hk + W1l�UL6?`*/D^H[ + `8^|6@0 + / % 6?<>6?`*ly0 A aw^|lG^XWJ6:h>[ + WJW + cP/ % m\)*.46 <�t ']k4k4` + ':^8.�Y �H.(6

)*.(6X`5UL'>WJ/1f?'])*/ +>% /10P2 +>% 6 � � �R'])e)5.46�6 % 2 + [b)5.46 I � ^XlB^XWJ6R':0P07. + c % / % ��']a(WJ6 �(Y �oY

3�� 4 ��� � �� ���65 ��� � �

798;:<8�= >@?BA�C�D�EBFHGJILKNM9D�OQPSRTGUADTVWIYXZG[CGJO\?]A!?^C�F�H.46E'>^?^ A `8'>^Xl + [R)*.46 UL6|)5. + 240~^X' % ao6EUL6?':0 A `*6@2 aBlsU +:% /�) + `5/ % mj6X/J)*.(6X`N)*.46M)*6?ULko6?`5']) A `56 + [R)*.(6)*.(6X`5U + 0K)8'9) + ` + )*.(6X`ek4.BlB0*/D^X']Wwg A ' % )5/�)5/J6@0XhG0*ko6@^|/��o^P) + )5.46 k + W1lBUL6X`H07lG07)*6XU;hB6>Y m(Y�)5.46 k + W1lBUL6X`5/1^-`5':2G/ A 0

+ [Tm>lB`8'9)5/ +:% h,/ � h + `d^8.o']/ % )56XULko6?`5']) A `56>h]_ � �W`La r ':0Hce':0Hk4` + k + 0*6?23/ % � �!�� uph(2G6�� % 6@2I`56?0*k�6?^p)5/J<:6XW1l�'>0

Page 123: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �

��� ��� � 7���� � 8 B ��� 8 � 956� 7�� � � � � 7� !� # � ! � #'� � � � � � � #�� ������������ �

# ����� ��!#"�$&%� ! # � ! #'� � � � � � #'� ������� ���� 7 � #�� � # 9 ��(�� �*) +,"-� / � #10 % � .

� #2 !�! 3 ����� ��!#"�$&%65&(��#�1) +�"�-� / � #10 % � .

� # � ! � ��(�� �*) +,"-� � � # � � � # � ����;� 7 � # � .

� # 9 ����� ��!#"�$&%� � # � � # � ����;� 7�< � # � � # = � < .� # � .

� # = 9 ��(�� �*) +,"-� /�� �� 8 41� 8 9��:� 6� 8 7�4 � � � 4���� ������� � #�%� �� ����� ��!#"�$&%65&(��#�1) +�"�-��� � 9 � 7��� � � � ���4�4�8 � 9�� # %�� 8 ��� � ��� ��� � � ���� � 7�� ���#�%��! #�% � � # % " � �$#&%���� � 9 � 7��� � ��98 ' � 7�� � 8 4*� 7�8 (� � 8 ��9*),+ ��- ',) + �/. � � � � �

�10 #�% � # % � �2�# % � � #�% � �! #�%� # � � # � 0 # %� % � � % � 0 #�%? �

# � .

� # ����� ��!#"�$&%65&(��#�1) +�"�-? �

# � .

� # ��(�� �*) +,"-

? @ 9� � A&B�� 7��']a(WJ6��4Y � �21 <:6X`5<�/16Xc + [�)*.46\)5`5':2G/�)5/ +:% ']W � + cq643 0H']k(k4` + '>^8.�[ + `d'yk + WJlBUL6X`d0*lG0K)56XU;Y

5 / � �76 98 �: ;< � � � r / � � / ��� u �>= _ � �2` a ���� 8 9 ��2: _ ;< � � � � �� a

[ + `3' % : F a�6?':2V^8.('>/ % Y vd6?`*6:h / � 2G6 %4+ )56?0L)5.46~k + 07/J)*/ +>% + [�a�6?':2@?8hH' % 2 / ��� )*.(6^|6 % )56X` + [�U�'>050?Y�H.46Rk(`*6@076 % )56?2;05^8.46XUL6?0-2G6Xk�6 % 2 +>%BA � �C �M' % 2 FQY � 6X)7)5/ % m�� � � �L076?6XU�0H) + ao6 ' % ']k(k4` + k4`5/1'])*6^8. + /1^X6 � � � �[ + `d)*/1Uy6@0K)56Xk(0 � ��C � �>hGcP.4/1W16 A 0*/ % mL)5.46R']`5a4/J)*`8']`5l3<9']W A 6 + [�F � � �ycP/1WJW +:% W1lI'"�w6?^|)d)*.(6^ +:% <>6X`5m>6 % ^|6�`8'9)*6 + [�� + ce6>3 0PUL6|)*. + 2~' % 2 %4+ )-)*.46,':^X^ A `5':^|l:Y ��6X)7)5/ % m � � �

�T� hocq6 '>2 + kG)P)*.46 ^8. + /D^|6@0+>A )*W1/ % 6@2N/ % )5'>a4W16��(Y �,[ + ` � � � ' % 2 9 � � + [b)8']a4W16?0 �(Y � h �(Y �y/ % )5.46 � ��D 0 A aw^|lG^|W16>YE W16�F]`5W1l>h,GIHKJ,^1HKL4M1^�J/L][ � � � h 9 � �ON J�G�JX`5UPMRQSJ�TUHSL9cVGIHKJWT�X4a�^XlG^|WYJZG*`IJ�F7G1T*G�HSJWT$J@^[L4Q N]\ JXWYLG^[MRGKl^X4k N F_G�J>Y�`QaG�HKJBQSL>Q,bOc�J�MJm4H2G�J N ^�F4T$J:h{c�J;^�L>`5`�J@^cGdG�HKJ~k(`�J N M1^[G�MYL>QSTPXeT$MYQ4mfT$GIF7GIM1^ \ F]WYXKJgTPL][hG�HKJiL>W N F_Q N QKJ?cPWJl^[L:ULkKX,G�J N GIL_G1F]WT[L>`8^[JgTXY vUL9c�J \ J?`?hjGIHKJLc�J�MJm4H4GIJ N F]k4k(`�L2F>^1HkF:^X^[L4XKQ2GIT-[L>`lFIWRMYQKJgF]`\m>`1F N MYJ�Q2GZL][mGIHKJXU;h`IJ�Q N J?`�MYQ4m�G�HKJBn�L>W NKo F_Q N n$QSJXc o G�L>GIF]Ww[L:`5^�J�T*L:W N F_Q N QKJ?c � � ��� � �qp � �sr �RctMuGIHKMYQ]JgF>^1HiT$X(a�^XlB^XWRJ � � Y

Page 124: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

��

� � ���� ��� ��� � � 7 ��� ��� �� 8 � 9 6���7�� � � � � 7�4 � ��� ��� � 7���� � 8 B �� 8 ��9 6� 7���� � � � 7� ! � # � ! � # � � � � � � � # � ������������ �

# �����#��! "�$&%� . ! # � ! #'� � � � � � #'� ����� � ���� 7 � #�� � # 9 ��(��#�1) +�"�-? .. ! # � � ! # � � � � � � . ! # ��(��#�1) +�"�-� / � #10 % � .

� #2 !�.. ! 3 �����#��! "�$&%65&(� �1) +�"�-? ..

� # � � � #�� � � � � � .� # ��(��#�1) +�"�-! #� � ! # � � �T� � � #'� � � ��� ���� � ..� # � � # �/ � #10 % � �

�# � ! �

� � � � � ������ � #�� �� .� #� T� � � �!� � �$"�# �� �

# � �$"�#� .

� #� # � � # � � �� 7 < � �� � � � # = � < � �� � � � � # = 9

� #� � � � #

��(��#�1) +�"�-% &'( )* +- +...+/ 0-

� /�� �� 8 41� 8 9��:� 6� 8 7�4 � � � 4���� ����� � #�% �� �����#��! "�$&%65&(� �1) +�"�-��� � 9 � 7��� � � � ���4�4�8 ��9t� # % � 8 ��� � �P� ��� � � �� � � 7�� ���#�% �! #�% � � #�% " � �!#&%���� � 9 � 7��� � �m�98 ' � 7�� � 8 4*� 7�8 (� � 8 ��9�)�+ � - ',) + �h. � � � � ��10 #�% � #�% � �2�# % � � # % � �! #�%� # � � # � 0 # %� % � � % � 0 # %

? � # � .

� # �����#��! "�$&%65&(� �1) +�"�-? �

#� � .

� # ��(��#�1) +�"�-

? @ 9�� � A&B�� 7� F>a4WRJ��(Y ��� 1 \ JX` \ MRJ?c L][ G�HKJZGIM � J�b T$GIF>m>m>J?`�J N � L9c�J>3 T*F]k4k(`�L2F>^1H3[L:`UFykeL:WJl � JX`�T*l,T!GIJ � Y

� � � 9 � ���L>Q,bOc�J�M1m>H2G�J N T$GIF]m:m>J?`�MYQ4m #

� # J�M1m>H2GIJ N T!G1F]m>m4JX`IMRQ(m � ���� # � �� � # � � � � � � �� # � � � �� � #

� F]a(WRJ��4Y � � E HKL4M1^�J�Te[L:`tL>W N F>Q N QKJXc [L>`8^[J�TtF:^cGIMRQ4mPL4QIkjL>W1l � J?`dajJ�F N TXY

Page 125: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

�� �

Jy^�L>QST�M N JX` F�� �7b������}keF]`�G�MD^��YJ x XKM N MYQ J@g4XSM��YMJa(`�MYX � MYQkF3kjJX`IMRL N MD^WT�M � X�� F7GIMRL4QaeL �iL][ N M � J�QeT$MYL>QST� �� � �4h�G�H�XST ���,MRQ(mtG�HKJ�Q�X � ajJX` N J�QeT$MRGKl�� �oh@ctMRG�H � tL>[2GIHKJ�T�J�������keF]`�G�MD^��YJ�T�ajJ��YL>Q(m>MYQ4mG�L � N M�� JX`IJ�Q2G�^1HSF_MYQST?h � _bZajJ�F N TWJgF>^1H�hmT�X4a �!J@^cGPG�L F NSN MuGIMRL4QSF�� ��� �@F_Q N ���L[L>`8^[MYQ4m�� �*HKJ N M��jJ?`�J�Q2GkSF>`IF � J�G�J?`IT L][�G�HKJ T�M � X��YF_G�MYL>QkGIF!�4JWGIHKJy[L����RL9ctMYQ4m \ F��YXKJ�T � �*HKJdGIHKJX` � F�� J�QSJX`5m>l��RJ \ J�� ��� ` �:h&G�HSJ� F>TITmL>[ JgF>^1H�kSF>`$GIM1^��RJ � �:h>GIHKJ ^�X,G�L�� N M T$GIF_Qo^[J � � �>h � L9c�J>3 T�G�HKJ?` � F��RM1f�F_G�MYL>QLkSF]`1F � J�G�JX` F � � �4hG�HSJR^[L>QeT$J?` \ F7GIM \ Jd[L:`5^�JZF � k��RMRG�X N J � ���

� � � #��� [L>`PajL_G�H \ t9F_Q N � L9c�J43 T*T5^1HKJ � J�T?h�G�HSJ�`1F_Q N L � [L:`5^�JF � k��YMRG�X N J�� �VrG�HKM T ���,J�TWG�HKJ N M T�T�M1kSF7GIM \ J�[L>`8^[J]F � k��YMuGIX N J]G�L � � � �>u|h�G�HKJ ��� �jkSF]`1F � J[GIJX`1T� ����� ��� � �� �BF_Q N G�HKJ ���ykSF]`1F � J[GIJX`1T � � � ` � � � ��� � ��� � � � ��� � ��� J QKL_GIJG�HeF7GlGIHKJ3`IJ�T�X��uGIMRQ(mkT7l,T$G�J � L][PkjL��1l � J?`R[L:`5^�J�TZM TR`IJ�� F7G�M \ J��Jl T!GIM��ThTctMuGIHfFiG�M � J[b`T!GIJXk � �lC � � aeJ�MRQ(m^��YL4T�J]G�L G�HSJBX4k4kjJX` �YM � MRG3[L>` T$GIF>aKM��RMRGKlfL][hG�HSJ T$M � X�� F7GIMRL4Q r�M�[\c�JBXST$JBF QKL4Q,b`T!G1F]m>m4JX`IJ N MYQ2G�J?m>`1F7G�L:`8u��vUL9c�J \ JX`@h>XST�MYQ4mlGIHKJ k(`�L:keL2T$J N T*^1HKJ � J�T?h�c�J-ctM����eJ��,F � MRQKJ�G�HKJ � F"�,M � X � F>aST$L!�RXKG�JUJ?`*`IL>`{[L>`�G�HKJ\^1HSF_MYQF_Q N G�L>GIF�� ��� ` MYQ GKc�L�`IJXm4M � JgT � � � ��� �PL4QKJIr�I �#" � � ��$ � � � � � �� �%$ u F_Q N F � L>`IJ �_r'& � � � � �L>QSJLr�I ��" ���� � � � � � � �� �� � � u��798;:<8;: (*) ?,+ GJF�?^R�D$I ?.- GJF�? V�/1032547698:2;4769<=254 J�>[L �'? F�@IJ G�HSJ�F�>�>[X�@1F�>�A L�B,G�HKJ \DC F_Q NFE LHG�J>3 T T�>1HKJ � J�T MYQJI�K>X�@�J�L���MNBL�@ G�HKJ�T�F�BJN@IF>Q�K>J!O9GtHKM��YJNIPK>X�@IJL��RQhT$HSLHGUT�G�HKJ � F�S�M � X � G�J �'? J�@IF_G�X�@IJtJ�@�@�L!@7BL�@N� F�@�K>J I � �UT*HKJVBL�@ � J�@N>�F>Q'WeJUXeT$J N F4TmFXK>XKM N J��RMYQKJYBL!@G�HSJ/J�Z J�>cG L�B G�HKJZGIM � J[b`T$GIF�K!K>J�@�MYQ�KPF>T*GIHKJ/J�@�@�L!@ N L�J�TtQKL>GUJ�S�>[J�J N\[ �*M� ��$ J \ J�Q]BL�@Y@1F7G�MYL4T*L�B �:^:M���T*HKJ_� F7G�G�J�@�T$HSLHGUTU@�JgF��YMYT$G�M`>*J�@�@IL�@ \ F��YXKJ�TNBL�@ ? @1F�>[G�M`>�F��SF ?�? �RM`>�F_G�MYL>QST�L�BjGIHKJ ? @IL ? L4T�J N T�>1HKJ � JgT�O!@�JgF�>1HKMYQ�K\ F��YXKJ�TmG�G�LWL�@ N J�@1T L�B � F�K>QKMRG�X N Ja� F�@�K>J�@b��T*HSJ�T�J�F�@IJ ? @IJ�>�MYT�J���AWGIHKJ�J�@c@IL�@1TdG�JaGtM���� F7G�G�J �'? G�G�L � MYQKM � M�e�JMYQBG�HKJfBL����RLHGtMYQ�K^T�J�>[G�MYL>QST�� ��QKL_GIHKJ�@#g2XSF_Q2G�MRG�A]G�JhGtM���� � L4QKMuGIL�@ MYT�G�HKJ � J�F_Qi@IF N MRXeTUL�BUK!Aj@1F7GIMRL4Q _ / � aBL�@kWeL>G�HkT�>1HKJ � JgT��Yl T$MYQ�K GIHKJfG�J�M�K>H2G�J N F ?�? @�L2F�>1HmO,MYQBGIF�W��YJfL�� LnG�JWT$HSLHGVGIHKJWJ�ZjJb>cG L�B�G�HKJWG�M � J�b T$G�J ?@1F7G�MYLBL>Q _ / � a MYQ G�HSJ^F � WKMuGIMRL4XSTJ@1F_Q�K4J'BL�@ho7bpWjJ�F N >1HSF_MYQST��]T*HSJ N M T�F�K�@IJ�J � J�Q4GJWjJ[G�G�J�J�Q G�HKJ �q^rM\ F��YXKJ�TtF>Q N G�HKJlT$GIF�K�K4J�@IJ N QKJ \ J�@tJ�S�>[J�J N T_QjstBL�@*GIHKJlT!GIX N MYJ N @1F_Q�K4J��

Page 126: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�jQ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3 δt=0.001 λ=0.65, α=0, β=0, µ=0, Γ=4.5: 4 chains, 20 beads each

|1−

<k B

T> ch

ain|

Verlet with weightsLowe with weightsVerlet F,F^

Lowe F,F^

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−1

0

1

2

3x 10

−3

|1−

<k B

T> to

tal|

ratio ∆t/δt

� M�K4X�@IJ_L���M�� �*F4T$J��RMYQKJ_>�F4T$J����kFHS,M � X � F�WST�L��YX,G�JtJ�@c@IL�@ MYQPG�L>GIF����X ?�? J�@�� F>Q N >1HSF>MRQ�� �YLHG�J�@�� � �W` \ J�@1T$XeT� ���� BL�@ G�HSJ \DC F>Q N E LHG�J43 T � J�G�HKL N T1BL�@ G�HSJ � ����*@1F_Q�K>J L�B I � � T*HKJ*@�JgT$X��uG1T F��YT�L >[L �'? F�@IJBG�HSJQKL4Q,bpG�J�M�K>H2GIJ N T�>1HKJ � JgTVGtMuGIH]G�HKJJG�J�M�K>H2G�J N L4QKJ�T��

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

δt=0.01 λ=0.65, α=0, β=0, µ=0, Γ=4.5: 4 chains, 20 beads each

|1−

<k B

T> ch

ain|

Verlet with weightsLowe with weightsVerlet F,F^

Lowe F,F^

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

0.1

0.2

|1−

<k B

T> to

tal|

ratio ∆t/δt

� M�K4X�@IJ_L��RQ � �*F4T$J��RMYQKJ_>�F4T$J����kFHS,M � X � F�WST�L��YX,G�JtJ�@c@IL�@ MYQPG�L>GIF����X ?�? J�@�� F>Q N >1HSF>MRQ�� �YLHG�J�@�� � � ` \ J�@1T$XeT� ���� BL�@�G�HKJ \DC F_Q N E LHG�J43 T � J�G�HKL N T_BL�@UGIHKJ �_r'& � � � � �f@1F_Q�K4J/L�BEI � �_T*HKJf@IJ�T�X��RGITUF��YT�L1>�L �'? F�@IJZG�HSJQKL4Q,bpG�J�M�K>H2GIJ N T�>1HKJ � JgTVGtMuGIH]G�HKJJG�J�M�K>H2G�J N L4QKJ�T��

Page 127: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M���

I ��� � � M Q � L � M��C J�@c�YJ[G M!� ������� M�� ���M� M�� ���!o!Q M�� ����M!M M�� ����Do M�� �!o!Q ME LHG�J M!� ����� � M�� ��jo�� M�� ����� � M�� ����jo M�� �� [ � M�� �!o���M

T F�W��RJJL�� L �9_ / � a N J ? J�Q N J�Q�>[J/L4Q � ���� BL�@ao WjJ�F N T � WSF4T$J��RMYQKJJ>�F4T$J#GtMRG�H � � ^:M�� ��� ���

798;:<8� ��I��2?^F�AD�� GUAD�I����HA�) ?]C3-*)SV2D�E ?^F / V2C 0#6H8 G[ILKq<T*HKJh@�J��YF�S,F_G�MYL>Q ? F�@1F � J�G�J�@1T ��� A ���@F>Q N CfL�B GIHKJ�T�>1HKJ � JgT ? @IL \ M N JlT$L � J��SJ�S,M�WKM��YMRG�A]MYQ � F_QKM ? X�� F7GIMRQ�KG�HSJ ? @IJ N M�>[G�MYL>Q L�B ���O �� � + O ��� + F>Q N �� ,@IJ�T ? Jb>cGIM \ J���A�� �X@�L�L_GZF_Q N F�@c@IJ�Q�� [ M � HeF \ J�F���@IJ�F N AiT$HKLHGtQ G�HSF_GBL�@ Fi@IF>Q�K>J L�BUGIM � J�T$G�J ? T��;I � �!�#" �!L �ZGIHKJ]L ? GIM � F�� \ F��YXKJ]BL�@ �aM T >��RL2T$J^G�L$��� L!o�OUGtHKJ�QaXST�MRQ�K G�HSJT$Gc@1F_M�K>H2G�BL!@cG*F�@ NiC J�@c�YJ[G T�>1HKJ � J�� J1GtM����tT$G�M`>&% GIL GIHKMYT \ F��YXKJ1BL�@PF�����GIHKJ]F!>�>�X�@IF!>�AkG�J�T$GIT ? @IJ�T�J�Q2GIJ NHKJ�@�J!���BL!@�J�L \ J�@�O9BL!@�T$M �'? �YM�>�MuG�AWG�HKJYBL!���YLHGtMYQ�KZG�JgT!G1TUGtM����SXeT$J*GIHKJUQKL4Q,bpG�J�M�K>H2GIJ N G�M � J[b`T!G1F�K�K4J�@IMRQ�K��('�MYQ�>�JG�HSJ�GIM � J�T$G�J ? N J ? J�Q N J�Q�>[J MRQ E LHG�J>3 T � J[GIHKL N >[L � J�TUB @IL � GIHKJX>�L>QST�J�@ \ F7GIM \ JVBL�@ >[J�T�OjG�JhF_Q2G�M`>[M ? F7GIJ F>QjAL ? G�M � F�� \ F��YXKJ#ISQ N MYQ�K2T�G�LnWjJ N M�@IJ�>[Gc��A^F ?�? �RM`>�F�W��YJ GILPG�HKJZGIM � J�b T$GIF�K�K>J�@�J N E LHG�J/Tc>1HSJ � J��

J F7G�G�J � ? G \ F�@�A�MRQ�K A ��� F>Q N C MYQPG�HSJa@1F_Q�K4J��*)JM���M+� � ��AdXST�MRQ�K \ F��YXKJ�T�MRQ GIHKJ�L ? J�Q MRQ2GIJ�@ \ F�� ���,��M �dG�JJ�TIT�J�Q2G�M F�����A]G1F%>JdF G�J�M�K>H2G�J N F \ J�@IF�K>J/L�BmG�HKJ'g2XSF_Q2GIMuG�A�WjJ[G�G�J�J�QkG�HKJ ? @IJ N M`>cGIMRL4Q F_G�G�HSJ �.- � M � ��D T$G�J ?F_Q N GIHKJ*L�� Nl\ F��YXKJtF7G�G�HSJ/- ��D T$G�J ? �10`QlG�HSJY�RM � MuGIMRQ�KJ>�F>T�J�T�O��XST�J�T32 #4 pZGIHKJ ? @�J N M`>cG�MYL>Q GtHKM��RJ#M�XST�J�T32 54 pG�HSJ6- ��D T!GIJ ? \ F��YXKJ��87 T/F_Q F NKN MuGIMRL4QSF���GIJ�T$G�O�G�J F�� T$L]MYQ \ J�T$G�M�K4F_G�JPQKJ�K2F7GIM \ J \ F��YXKJgT�O&GIH�XST/Q�X � J�@IM�>�F�����AB�F \ L!@�MYQ�K�G�HKJ ? @�J N M`>cG�MYL>QiX ? GIL Fn>[L�J � >[MYJ�Q2GUL�BUQ���T*HKM T � �:9�B�F \ L�@1T�G�HKJ;- ��D T!GIJ ? \ F��YXKJ�OPWDA^MYQ4G�@�L N XP>[MYQ�KFdQKJ�K2F7GIM \ J#>�L�J � >[MYJ�Q2G��� M N J�@a@IF>Q�K>JgT�F�@�JZMYQ2G�XKMRG�M \ J���A XSQ ? HDA,T$M`>�F�� F_Q N GtM����&QKL>G_WeJF>�L>QST�M N J�@IJ N �

� M�K4X�@IJ L�� �]T�HKLHGUThGIHKJ^F�WeT$L!�RX,GIJPJ�@�@�L!@/MRQ ��� ` BL�@/GIHKJ >1HSF>MRQSTWF_Q N G�HSJnGtHKL��YJ T�A,T$G�J � � ? L���A � J�@WF>Q NT�L�� \ J�Q2G ? F�@$GIM�>��RJgT ��BL�@UG�HKJlTcA,T!GIJ � N J�T�>�@IM�WjJ N J�F�@c�YMRJ�@�O,Mp� J���F<�������_b �����=�eXKM N GtMRG�H�BL4X�@aQ�_bpWjJ�F N >1HSF>MRQeTK>L \ J�@IQKJ N WDA ��� �WF>Q N?> �dBL!@�>�J�T���T*HKJ�J�@�@IL�@ MYT ? �YL_G�G�J N F�K2F_MYQST$G G�HSJ ? F�@1F � J[GIJ�@7@IF>Q�K>J@�*)JM���M+� � J*QKL_GIJG�HeF7GmGIHKJ \ F�@IM F7G�MYL>QdM T N L4QKJ_GtMRG�HA2 � ? F�@1F � J[GIJ�@mF_G�FZG�M � J�O4G�HSF_G�M T�OjGtHKM��RJ \ F�@cA�MYQ�K/L>QKJ ? F�@1F � J[GIJ�@bO_G�HSJG�G�LdL>G�HKJ�@ ? F�@1F � J�G�J�@1T*F�@IJaI�S�J N G�L8���UT*HKJJ@1F7GIMRL � �

��� MYT�I�S,J N GIL1o O GtMRG�H I � ^B�," ���joC� � � ^D�#" ����M!Oj@IJ�QKbN J�@�MYQ�KlGIHKJhG�M � J�T$G�J ? \ F��YXKJhTIFHBJ � @IJ�>�F����SGIHSF7GtT$GIF�WSM��YMuG�A'BL!@�GIHKJ#>1HKL4T�J�Q ? F�@1F � J[GIJ�@1TN@IJ�g2XKM�@�JgT � � �E�#" ��� ���

Page 128: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M����

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

|1−

<k B

T> ch

ain|

ratio ∆t/δt = 5, δt = 0.001, λ=0.65

µ variationα variationβ variation

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1

2

3

4x 10

−3

relaxation parameter range

|1−

<k B

T> to

tal|

� M�K4X�@IJ1L�� ��� � FHS,M � X � F�WeT$L!�RX,GIJ J�@�@IL�@/MYQ G�L>GIF�� �X ?�? J�@��WF_Q N >1HeF_MYQ � �RLHG�J�@�� � � ` \ J�@1T$XSTlMRQ N M \ M N XSF��@IJ�� FHSKF7GIMRL4Q ? F�@IF � J�G�J�@ \ F�@�M F7GIMRL4Qm� 1 ? GIM � F�� ? F�@1F � J[GIJ�@1T ? @IL \ J�G�L WjJ A C �,��� C �," L,��C C �#" ��GtHKJ�Q? J�@�G�X�@�WeJ N B @�L � ��O,L4QKJ ? F�@1F � J�G�J�@tF_GtF�GIM � J��7a>�>[X�@1F�>�ABMRQ G�HSJdQSJ�K4F_G�M \ J ? F�@1F � J[GIJ�@#@1F_Q�K4J ? @IL \ JgTUGIL WjJnG�L!@IT�JlGIHSF_Q G�HSJ ? L4T�MRG�M \ JdL>QKJ!� �BL!@�J�L \ J�@bOG�HSJhT�J�QST�MRG�M \ MRG�APL�B&GIHKJ TcA,T!GIJ � L>QPGIHKJ \ F�@�M F7GIMRL4Q L�B A M T�J�S�Gc@IJ � J���A ? @IL>QKL4XKQ�>[J N �17�T�B�F�@*F>T�G�HKJ L ? GIM � F��\ F��YXKJ�TtF�@�JJ>�L>Q�>�J�@IQKJ N O�GIHKJZG�H�@�J�JZT�J ? F�@1F7G�J#>[X�@ \ J�T�MRQ N M�>�F7GIJZG�HSF_G_@�JgF>T�L>QSF�W��RJ#>1HKL4M�>�J�T�G�L4X�� N WjJ/J�MRG�HKJ�@

� A ������C � ^ �.�#���#" L#��� � L�@� A ������C � ^ �.�#���#���," � �+�

F_Q N G�HKJgT$JhGtM�����WjJ�T�J ? F�@IF_G�J���A MRQ \ JgT!GIM�K2F7GIJ N MRQiGIHKJFBL!���YLHGtMYQ�K T$Jb>cGIMRL4QST��_T*HSJ/G�L>GIF�� G�J � ? J�@1F7GIX�@IJWT$HSLHGUTF_Q J�@�@IL�@#@IF>Q�K>JdL�B � �,��Q � � M�� �%$ BL�@WF���� ? L4T�MRG�M \ J \ F��YXKJ�T����UJ�Q�>[J!O J�@�@IL�@ZMRQ GIHKJ ? L!��A � J�@F>1HeF_MYQST � 4 2 �GtM����mWjJZG�HSJ/L ? GIM � F�� ? F�@1F � J[GIJ�@Y>1HKL>M`>[J#K4XKM N J��YMRQKJ!�

7UQSL_G�HSJ�@UG*F9AhL�BeMYQ \ J�T$G�M�K4F_G�MYQ�K�L ? G�M � F�� ? F�@IF � J[G�J�@7>1HSL>M`>[J�T7G�L>X�� N WjJtT$M � X��uG1F_QKJ�L>XST \ F�@IMYF_G�MYL>Q�L�B A ��� �CMYQ GIHKJ TIF � J'@IF>Q�K>J!� � M�K>X�@IJnL�� �iT�HKLHGUT G�HeF7GWT�M � X��uG1F_QKJ�L>XST \ F�@�M F7GIMRL4QkM TlF]WSF N >1HKL4M�>�J��67_� T$LPO T�J[G$GIMRQ�K� A ��� �C �F^ ���,���," L,���#" � ��T�M � X��RGIF>QKJ�L4XST���A�O T!GIM���� ? @IL \ J N GIL ? @�L N XP>[J F_Q J�@c@IL�@#� F�@�K>J�@hGIHSF_Q G�HSJ WSF>T�J��YMYQKJ

Page 129: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M��jo

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

|1−

<k B

T> ch

ain|

ratio ∆t/δt = 5, δt = 0.001 λ=0.65

µ, α, β variation

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1

2

3

4x 10

−3

relaxation parameter range

|1−

<k B

T> to

tal|

� M�K4X�@IJ�L�� � � '�M � X��RGIF_QSJ�L>XeT�@IJ�� FHSKF_G�MYL>Q ? F�@IF � J�G�J�@ \ F�@IM F7G�MYL>Q � FaWSF N F ?�? @IL4F�>1H�� � T*HKJVg2XSF_Q2GIMuGIMRJgT ? �RL>G$G�J NF�@IJhG�HKJlTIF � J/F>T*MYQ G�HKJ ? @IJ \ MYL>XST�IPK>X�@IJ ���� A ��� �C ��^ �.�#���,��� ��>�F4T$J!�

��g2XKM ?�? J N GtMuGIH G�HKJ F�WjL \ JkMRQ N M�>�F7G�MYL>QeT�O_G�J ? J�@�BL!@ � G�HKJ N J�ISQKMRG�M \ J MRQ \ JgT!GIM�K2F7GIM \ JiG�J�T$GiMRQVG�HKJ T�F�BJ@1F_Q�K4J L�B I � " ��M�� �%$ ��M�� � � � � � � ^ M�� �%$ BL!@^GIHKJ \jC T�>1HKJ � J�OX>[L � ? F�@IMRQ�K @�JgT$X��RGIT1BL�@ G�HSJkG�@�M ? �YJ[GIT� A ��� �C ��^ �.�#���," L,��� �+� �.�#���#���," � ���

'�X � � F�@IM�e�MYQ�KhG�HKJ_@IJ�T�X��RGIT7BL!@�G�HKM TmT�J�>cGIMRL4QmO�IPK>X�@IJYL��Ro T�HKLHGUT F � M�� N F NK\ F>Q2GIF�K4J�L�B�Ci^B�," �XBL�@ GIM � J�T$G�J ?@1F7G�MYL4T � �

��� " � Q,� [ �NWKX,G;� ^ �," L ? J�@�BL!@ � T#WjJ[G�G�J�@FBL�@J@1F7G�MYL4T " � �#��M���p� �BL!@�J�L \ J�@bO'C ^��," � N J ? M`>cG1T/F� L�@IJtJ�@�@IF_G�M`>VWeJ�HSF \ MRL!@ MRQ G�HKJUL!WST�J�@ \ J N @1F_Q�K4J��4F M ��MY@IF_G�MYL/MYTdB�F \ L�@IJ N WDA?� ^ �," L�� ��L_GIH ? J�@$GIX�@cWeF7G�MYL>QeTB @IL � � ? J�@�BL!@ � MYQ K4J�QKJ�@IF��VWeJ�G$G�J�@PG�HSF>QfGIHKJ�WSF>T�J��YMRQSJ�>�F>T�J�� ��LHG�J \ J�@�O�GIHKJ ? F�@1F � J[GIJ�@ � N L�J�TdQKL>GF ?�? JgF�@mMYQ E LHG�J>3 T � J[G�HSL N O!GtHKM`>1H J�Q2G1F_M��YT�GIHSF7G E LHG�J>3 T � J�G�HKL N >�F_QPL>Q���A WeJ�QKJ�IKG�B @�L � C ^B�," ��� �hM \ J�QF����&L�B G�HSJlF�WjL \ J�ODG�JJ>[L>QP>��YX N JZG�HeF7GtG�HSJ/L ? GIM � F��m>1HSL>M`>[JZMYT

� A ������C���^ ���,���," L,��� � ODG�J�M�K>H2G�J N T$GIF�K�K>J�@�MYQ�K � C J�@��YJ[G� A ������C���^ ���,���,���#" � � ODG�J�M�K>H2G�J N T$GIF�K�K>J�@�MYQ�K � E LHG�J

F_Q N G�HKJ >[L4Q \ J�@�K>J�Q�>[JZXKQ N J�@UGIHKJ�T�J ? F�@1F � J[GIJ�@1TYGtM����7WeJ�MRQ \ JgT!GIM�K2F7GIJ N MYQBG�HKJfBL����RLHGtMYQ�K T�J�>[G�MYL>Q BL!@UG�HSJ

Page 130: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M��!L

\DC F_Q N]E LHG�J>3 T*T!G1F�K!K>J�@IJ N � J[G�HSL N T��

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2

4

6

8x 10

−3

|1−

<k B

T> ch

ain|

δt=0.001 λ=0.65, µ=0: 4 chains, 20 beads each

α=β=0

α=0.6

β=0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4x 10

−3

|1−

<k B

T> to

tal|

ratio ∆t/δt

� M�K4X�@IJkL��Ro � � F�S�M � X � F�WST�L��YX,G�J J�@�@�L!@�MYQ GIL_GIF��jF>Q N >1HeF_MYQ � �2` \ J�@IT�XST � BL�@�G�HKJhL ? G�M � F�� ? F�@1F � J[GIJ�@1T>[L �'? F�@IJ N G�LPG�HSJJWSF>T�J��YMRQSJ#>�F>T�JZL�B � ^8C ^ A ^D�����tJgT$X��uG1T�B @�L � G�HSJ \jC T�>1HKJ � J/F�@IJ/T$HSLHGtQm�

798;:<8�� ���SA�D$O G[R - GJF�? F�� D�A�)� ?^D���)WA�?^K M A�G � � ?]C�D$I ��@M Gd/ ? GJISK � O��LDTADTV2PLF� GJI �2?^F

�tJ \ M T�MuGIMRQ�KhGIHKJUT�F�BJtF_Q N F � WKMuGIMRL4XST G�M � J�T$G�J ? @1F_Q�K>J�T�O9I�K4X�@�JVL�� LZT$X � � F�@�M�e�JgT F!>�>�X�@IF!>�AJ@IJ�T�X��RGIT7BL�@UWjL_GIH� J[GIHKL N TFGtMRG�H G�J�M�K>H2GIJ N G�M � J[b`T!G1F�K!K>J�@IMYQ�K]BL�@/GIHKJ >1HSF>MRQ F>Q N G�L>GIF���%�MRQKJ�G�M`> GIJ �'? J�@IF_G�X�@IJ MYQ G�HKJ T�F�BJ@1F_Q�K4J�� 0 G�T�J�@ \ J�T*F4TUF K>XKM N J��YMYQKJ/L>Q]G�HSJ/J�Z J�>cG L�B G�HKJZGIM � J[b`T$GIF�K!K>J�@�MYQ�K � 4 2 ��� ��L_GIH � J�G�HKL N T ? @�L \ J�GIL? J�@cBL�@ � G�J���� J \ J�Q�BL�@a@1F7GIMRL2T �t^ � �

�T� ^ � �� �XT*HKJ \DC T�>1HKJ � J�T$HKLHGUT�F � L�@IJlJ�@�@1F7G�M`> N J ? J�Q N J�QP>[JWL4Q� L>Q MRQ N M \ M N XSF�� ? L!��A � J�@h>1HSF_MYQST�O�WKX,G ? @�L \ J�T G�L WjJ � L�@IJ F�>�>[X�@1F7GIJdMYQ G�HSMYT � � @IJ�K4M � JdG�HSF>Q E LHG�J>3 T� J[GIHKL N F4TtF GtHKL��YJ �Mp� J!��O�BL�@���� ` ���� � � � �T*HKJPF�>�>[X�@1F�>�A GIJ�T$GIThMYQ G�HSJPF � WKMRG�MYL>XeTa@1F_Q�K4JfGtMRG�H G�HKJdL ? G�M � F�� ? F�@1F � J[GIJ�@1T T�HKLHG9F]>��YJ�F�@hF N,\ F_Q2GIF�K>JL�B G�HKJ ? @IL ? L4T�J N T�>1HKJ � JgTV>[L �'? F�@�J N G�L�G�HSJXWeF>T�J��YMRQKJ#>�F4T$J!� � \ J�Q BL�@ �=^ �PO \DC F_Q N1E LHG�J>3 T � J�G�HKL N T? @IL N X�>[JZF_Q]J�@�@IL�@�L�B��jM�" �,���#"�M�� �\M� ��$ @IJ�T ? Jb>cGIM \ J���A�ODGtHKM��RJhG�HSJXWeF>T�J��YMRQKJJ>�F>T�J \ F��YXKJgT�F�@�J��9o��," �,��M�" ��� �M�� �%$ � E �RJgF�@lF NK\ F>Q2GIF�K4JWGIHKJ�@IJ�BL!@�JPM TlF�>1HSMRJ \ J N MRQ GIHKJ \DC >�F4T$JhBL�@ � " ��M��cL�NGtHKM��RJ E LHG�J43 T � J[GIHKL N

Page 131: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�� [T�HKLHGUT F�� � L4T$G G�HKJkTIF � J F!>�>[X�@IF!>�A BL�@1WeL>G�H G�HSJ\WSF>T�J��YMYQKJ F_Q N GIHKJ L ? G�M � F��a>�F4T$JgT�� �BL�@IJ�L \ J�@bOmG�HSJN J ? J�Q N J�QP>[J/L>Q � MYT*QKLHG r 2 2� 2 ����OeF_QiF7G�Gc@1F�>[G�M \ JhM �'? @IL \ J � J�Q2G�B @IL � G�HKJJWSF4T$J��RMYQKJJ>�F4T$J!�

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

10x 10

−3 δt=0.001, µ=0: 4 chains, 20 beads each

|1−

<k B

T> ch

ain|

velocity−VerletLowe

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−1

0

1

2

3

4

5

6x 10

−3

|1−

<k B

T> to

tal|

ratio ∆t/δt

� M�K4X�@IJ1L�� L�� E L �'? F�@�M T$L4Q L�BtG�HKJ \DC �.�,^!�," L �/F>Q N E LHG�J>3 T ��C ^!�," � �/T�>1HKJ � JgT/XST�MRQ�K G�HKJ L ? GIM � F��@IJ�� FHSKF7GIMRL4Q ? F�@IF � J�G�J�@IT*F_Q N G�J�M�K>H2G�J N GIM � J�b T$GIF�K�K>J�@�MYQ�KhBL�@*GIHKJ 9 ����f@IF>Q�K>J!�

3��� � ����� ��������� ��� ��� ���������������

� ���jb�G�M � J�TIF \ MYQ�K2T&MYT G�HSJ�WSF4T$M`> � L_GIM \ F7GIMRL4Q#BL�@ XST$MYQ�KhF*G�M � J[b`T!G1F�K�K4J�@IJ N T�>1HKJ � JNGtMRG�H/G�G�L N M�Z J�@IJ�Q2G GIM � J[bT$G�J ? T�� � M�K4X�@IJhL�� � T�X � � F�@IM�e�J�Tk@�JgT$X��RGITaBL�@kBL>X�@ N M�Z J�@IJ�Q2G#>1HeF_MYQSTUMYQ F �������1����� b ? F�@�G�M`>��YJ�T�M � X�� F7G�MYL>Q�OJ�F!>1H HeF \ MYQ�K Q��O�o�]F_Q N M����1WjJ�F N T�� � � >[MYJ�Q�>�A N J ? J�Q N T ��F � L>Q�K]L_GIHKJ�@#B�F!>cG�L!@IT�� L>Q HKLHG GIHKJ MRQ2G�@IF_b? L���A � J�@ ? F>M�@�GtM T$JlMYQ2G�J�@IF!>cG�MYL>QeT�F�@IJlHSF>Q N �YJ N � '�MYQ�>[JPF���� G�HKJhBL�@ >[JgT�F�@IJ ? F>M�@�GtM T$J!OeMRGhM TX>[XST$G�L � F�@cA]QKL>GG�LWJ�S ? �YM�>�MuG���A >[L �'? XKG�J�F����SG�HKJ ? F_M�@IT�MYQPG�HKJ N L � F>MRQmO!WKX,GmGILlMYQ4G�@�L N XP>[J � ���()�&&2! �L!@ ��� 4 4 �U�RM T!G1TmL!@NWeL9S,JgTF_Q N T$JgF�@ >1HdL4Q���A�MYQPG�HKJ � � M��M � �7T*HSMYT N @1F � F7GIM�>�F�����Ah@�J N X�>[JgT�G�HSJk>[L �'? X,GIF_G�MYL>QSF���>[L2T!GbO!GtHSM�>1HnG�L>X�� N WjJg2XSF N @IF_G�M`>lMYQ#" �sG�HSJWGIL_GIF���Q2X � WjJ�@ZL�BF����� ? F�@$GIM�>��RJgT ����7_�RG�HKL4X�K>H G�JdXST�JdF W�@IX,G�J�b BL!@�>�J � J[GIHKL N BL!@T�J�F�@ >1HKMYQ�KhG�H�@IL>X�K>HPF����,G�HKJ ? F_M�@IT�MYQ FJ>1HSF>MRQmO2F_Q%$ ��: � � L ? J�@1F7G�MYL>QhBL�@�: WjJ�F N T�O�BX�@�G�HKJ�@mM �'? @IL \ J � J�Q2G>�F>QiWjJdF!>1HKMYJ \ J N WDABXST�MRQ�K]F1�YMYQ,%>J N bp�YM T!G � J[G�HSL N BL�@hG�HSJ ? L���A � J�@J>1HSF_MYQmO&F>T MYT N L4QKJhBL�@hG�HKJPT�L�� \ J�Q2Gb�T*HKM TaG�L>X�� N WjJ WeJ�QKJ�IP>�MYF�� L4Q���A BL!@k� F�@�K>Jh>1HSF_MYQST���0 B�G�Jh>�L>QST�M N J�@ F T!G1F�K!K>J�@IJ N T�M � X�� F7GIMRL4Q L�B � I'& �)(*& �

Page 132: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M����

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5δt=0.01, µ=0: 4 chains, 20 beads each

|1−

<k B

T> ch

ain|

velocity−VerletLowe

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25|1

− <

k B T

> tota

l|

ratio ∆t/δt

� M�K4X�@IJ1L�� [ � E L �'? F�@�M T$L4Q L�BtG�HKJ \DC �.�,^!�," L �/F>Q N E LHG�J>3 T ��C ^!�," � �/T�>1HKJ � JgT/XST�MRQ�K G�HKJ L ? GIM � F��@IJ�� FHSKF7GIMRL4Q ? F�@IF � J�G�J�@IT*F_Q N G�J�M�K>H2G�J N GIM � J�b T$GIF�K�K>J�@�MYQ�KhBL�@*GIHKJ �7rn& � �.2�� 9J@1F_Q�K4J��G�M � J[b`T!GIJ ? T�O,GIHKJlT ? J�J N b X ? L�B GIHKJ � J[GIHKL N M T N J�ISQKJ N F4T�G�HKJJ@1F7GIMRL

T ? J�J N b X ? ^ � G�L>GIF�� � � �jb�GIM � J#BL!@UF (*&�T�M � X��YF_G�MYL>QC�����GIL_G1F�� � ���jb�G�M � JZG�L F NK\ F>Q�>[JhGIL�GIHKJlTIF � J/T$L!�RX,GIMRL4QG�M � J#BL!@UFPHDAjW�@�M N T$GIF�K�K4J�@IJ N � I'& O (*& �/T�M � X�� F7GIMRL4Q

�����

T*HKJV>1HKL4T�J�Q ? L!��A � J�@7BL�@ >[J��YF�@cK4J���AZMRQC�eXKJ�Q�>�J�T G�HSJ�T ? J�J N b X ? O4T$MYQ�>[J > MRQ2G�J�@IF!>cGIMRL4QST�@IJ�g2XKM�@IJ�>�F���>�X�� F7G�MYL>QeTL�B F���� ? L4TIT$M�W��YJ ? F_M�@_>[L � WKMYQSF_G�MYL>QST�O�GtHKM��RJlT ? @IMRQ�KhBL!@�>�J�TUF��RL4QKJ N L QKL>G�� � M�K>X�@IJJL�� �PT$HKLHGUTtT � F���� N M�ZjJ�@$bJ�QP>[J�T�MYQ G�HKJZT ? J�J N b X ? WjJ[G�G�J�J�Q G�HKJ�G�G�L � J�G�HKL N T��NT*HKJhT ? J�J N b�X ? MYT�F�� � L4T$G��YMRQKJgF�@�MRQ N M��YX,GIJhT�L��YX,G�MYL>QeTGtMRG�H ? L!��A � J�@1TkBL�@ � J N WDA T�HKL�@�G�J�@J>1HSF_MYQST�� E F�@cK4J�@X>1HSF_MYQST/T�HKLHG,@�J N X�>�J N ��T�X�W,b �RMYQKJ�F�@�� T ? J�J N b X ? �<0`QL>X�@�J�S,F �'? �RJhL�B�W�@�XKG�J[bpBL�@ >[J ? F_M�@tT$JgF�@ >1HKMYQ�KJBL�@#M���7b WjJ�F N >1HSF_MYQST�O!G�JhT$G�M���� F�>1HKMYJ \ J FWT ? J�J N b�X ? L�B �FBL!@� ���� ^=M������ J�J�S ? Jb>cGmGIHKJ T�>1HKJ � JgT�G�LdT$HKLHG @IJ N X�>�J N J� n>�MRJ�Q�>�A=2�� 4 pFBL!@mGIHKJ T ? Jb>[M F���>�F>T�JUL�B&QKL4Q,b N M��YX,GIJT�L��YX,G�MYL>QST�L�BU� F�@�K>J ? L���A � J�@k>1HSF>MRQST�� 0`QBG�HeF7Gk>�F>T�JF@�JgT$X��uG1T_>[L4X�� N WeJJBX�@$GIHKJ�@hM �'? @IL \ J N WjA]MYQ4G�@�L N XP>[MYQ�KF_Q J�S2G�@IF]QKJ�M�K4HDWeL!@J�RM T!GJBL!@JWeJgF N b WjJ�F N BL!@�>�J'>�F��`>[X�� F7GIMRL4QST��60 B�QKL4Q,b WeL4Q N J N MYQ2G�J�@1F�>[G�MYL>QST/F�@�J ? @IJ�T�J�Q2GbOG�HSJJ�YF_G$G�J�@ � M�K4H4GUQSL_GtJ \ J�Q]WeJ/QKJb>[JgT�TIF�@�A��

Page 133: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M����

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

ratio ∆T/δt

spee

d−up

4000 DPD particles, FENE+LJ forces

vv: 4 chains of 20 beads each vv: 4 chains of 50 beads eachvv: 4 chains of 100 beads eachlowe: 4 chains of 20 beads each lowe: 4 chains of 50 beads eachlowe: 4 chains of 100 beads each

� M�K4X�@IJ L�� � � ' ? J�J N b X ? @IJ�T�X��RGIT \ J�@1T$XST � ���� BL!@hG�HKJ \DC F_Q N E LHG�J>3 T � J�G�HKL N TXBL!@/F � ����� ����� b ? F�@�G�M`>��YJ

�SXKM N �aT*HSJ ? L���A � J�@aWjJ�F N T�MYQ2G�J�@1F�>[G_GtMuGIHkJgF�>1HiL_GIHKJ�@�G�H�@IL>X�K4H F�������� BL�@ >[JWF>Q N F ? F>M�@�GtM T$J > HSF�@ N@IJ ? X�� T�MRL4Qm�

Page 134: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��������� �

� � ��������������� � ��� � �� � ��!#" $ ��% ��& �

')(+* ,.- �� � 0/21 4365 � 87 � ����� �:9;5

< 8�= 8�= (*) ?\M A!GUAD�E>=@? � V2IS?^IWABA'�MYQ�>[JkL>X�@ ����� � L N J�� T @IJ ? @IJ�T�J�Q2GbO�MYQ J�Z J�>[G�O N M��RXKG�J ? L���A � J�@^T�L��YX,G�MYL>QST�O�G�HKJ N A�QSF � M`>�T L�BZFfT�MYQ�K��YJ�SJ�S�M�W��YJ ? L���A � J�@n>1HSF_MYQfM TdL�BaK!@�JgF7G�M �'? L!@$G1F_Q�>�J1BL!@ \ F��RM N F7GIMRL4Q@F>Q N ? HDA,T�M�>�F���XKQ N J�@IT$GIF>Q N MYQ�K L�BUG�HSJ����� � J[G�HSL N T��37UQBJgF�@���A1G�L!@�% WjA ' >1H��YM C ? J�@ J[G F�� � � L � � HSF>T�XST$J N T!GIM Z � ��@IF>J�Q,%4J�� �*F_Q N G�J�F�% � ��L2L�%>J �T ? @�MYQ�K2T�O�GtMRG�HSL>X,G�HeF�@ N > ? L>G�J�Q4GIMYF��YT�OKGIL � F ? ? L���A � J�@$b >1HSF>MRQiTc>�F��YMRQ�K J�S ? L4QKJ�Q2G1TtG�LPGIHKJ ����� @IJ�T�X��RGIT��1 X�@VG�L�@�%�MYQ2Gc@IL N X�>[JgT � L!@�JX>[L �'? �YJ�S ��QKL>QKbp�YMRQSJ�F�@��NBL�@ >[J�T�>[L � WKMYQKJ N GtMRG�H]HSF�@ N @IJ ? X�� T�MRL4QST�BL�@ \ F�@�MYL>XeTT ? @�MYQ�K'� F9GUT��UT*HKM TtT$J�@ \ J�T�G�HSJ N L>X�W��RJ/L!WDC!J�>[G�M \ JZL�B \ F��RM N F_G�MYQ�KPG�HKJf����� T$M � X��YF_G�MYL>Q � J�G�HKL N F>TVG�J���� F4TMYQ4G�@�L N XP>[MYQ�KiQKL \ J��N>[L � WKMYQSF7GIMRL4QSThL�B*MRQ2G�J�@IF!>cGIMRL4QST ��T�X�>1H F>ThG�HSJ ��@1F_J�Q#%>J�� T ? @IMRQ�K >�L>X ? �YJ N GtMRG�H WeJgF N bWjJ�F N @IJ ? X��YT�MRL4QST�� �

0 G^HSF4TnWjJ�J�Q %�QKLHGtQaGIHSF7G M N J�F��k>1HSF>MRQeT F�@IJ\>1HSF�@1F�>[G�J�@IM�e�J N WDAaF �YMRQSJ�F�@n@IJ�� F7GIMRL4Q WeJ�G�G�J�J�Q BL�@ >[J F>Q NJ��YL>Q�K4F7GIMRL4QmO F_Q N J�S,HKM�WKMuGhG�HSJ ? HSJ�QKL � J�QKL>QkL�B;EGFIH��KJ 2_r#L&2 4 4NM 9 M 2 �,9 O Mp� J!� ? L!��A � J�@IM`>FWjL>Q N ThF�@IJWQSL_G#@�J�bT$Gc@IM�>[G�J N B @�L � ? F>TIT$MYQ�K/GIH�@�L4X�K>H^J�F�>1H^L_G�HSJ�@b�J1 Q GIHKJhL_G�HSJ�@�HSF_Q N Oj@IJ�F��P>1HSF>MRQeT�MYQ K>L�L N T�L�� \ J�Q4G1TNWjJ�HSF \ J�YM %4J�T$J�� Bsb`F \ L4M N MRQ�KJG*F�� %,T L>Q FF�YF_G$G�M`>[JhF_Q N N LlQKL_G�J�S,HKM�WKMRG ? HSF>Q2G�L � >[L!���YM T$MYL>QST���0`Q T$M � X�� F7GIMRL4QST GIHKM T�>�F>Q

M�M��

Page 135: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�M!M

WjJlF�>1HKMYJ \ J N WDA MRQ2Gc@IL N X�>�MRQ�K F @IJ ? X�� T�M \ JkBL!@�>�JkWjJ[G�G�J�J�Q�WeJgF N T*?&��� L�B G�HKJ#BL!@ �

� ���� ^ ) <�

��� ����� � � � ) � � �

BL�@hJ�S�>��RX N J NB\ L��YX � J�O�K>M \ J�Q WjA]GIHKJhK!@IF N MYJ�Q2G�L�B�F ? L_G�J�Q2G�M F�� ��� � � ��� � � � J N J�ISQKJWG�HKJ � J�F>Q,b T�g2XSF�@IJJ�Q N b�GIL_b J�Q N]N M T!G1F_Q�>�JZL�B F >1HeF_MYQ L�B : WeJgF N TtF4T

5� � 6 ^ 8�� ;���<

��� ��� ������ ;��

�<��� ��� ���

= �

GtHKJ�@�J� �MYTUG�HKJ \ J�>[G�L!@ C!L>MYQKMRQ�K G�HKJW? ��D F_Q N ��? � M � ��D WjJ�F N OeF>Q N G�HKJ � JgF_Q,b`Tcg2XSF�@�J#@1F N MYXSTtL�BUK�AD@IF_G�MYL>Q

F>T5�!#" � 6 ^ 8 M: ;< ��� � �

! � ) ! �%$ � � = �GtHKJ�@�J ! � M T�G�HKJ ? L2T$MRG�MYL>Q \ Jb>cG�L!@�L�B J�F!>1H1WjJ�F N O ! �%$ GIHKJ ? L2T$MRG�MYL>Q \ J�>[G�L!@�L�B G�HKJ#>[J�Q2G�J�@*L�B � F>TIT�L�B G�HSJ>1HSF>MRQ F_Q N _ � a N J�QKL_GIJ�ThG�M � J F \ J�@IF�K>MYQ�K��'&�MRJ�@c@IJ N J�(hJ�QKQKJgT8��M��!Q���>[L>QeT$M N J�@IJ N G�G�L >�@�MRG�M`>�F�� J�S ? L4QKJ�Q2GITBL�@ F T�MRQ�K!�RJ�>1HSF>MRQ �*)dON@�J��YF_G�MYQ�K G�L >1HSF_MYQOJ�Q2Gc@IL ? A�O�F>Q N,+ O�@IJ�� F7GIMRQ�K G�L >1HSF>MRQaT$M�e�J!� 7�Q@M N J�F��_>1HSF_MYQHSF4T F Tc>�F��YMRQ�K �YF9G L�B + ^ �#" o�O�GtHKM��YJPF @IJ�F��d>1HSF>MRQ\GtMRG�H J�S�>��YX N J N \ L��YX � JFBL����YLHGUTUGIHKJ �7�YL�@�A]BL�@ � X�� F+ ^ $-/. � ^D�#" L�ODBL�@*GIH�@�J�J N M � J�QST�MRL4QST��NT*HSJ ���YL�@�AnBL!@ � X��YF'>�F_Q]WeJF>�L>QST�M N J�@IJ N ��0 H L J�BL�@�F���� ? @1F�>[G�M`>�F��? X�@ ? L4T�J�T��U����� T�M � X��YF_G�MYL>QST*L�B��YMRQSJ�F�@_>1HeF_MYQST � L�� � HSF \ JhT�HKLHGtQiFn>��YL4T�J � F ?�? MYQ�KPG�LdG�HSJ����RoWJ�S ? L4QKJ�Q2G�OGtHKM`>1HiMRQ]G�X�@�Q @IJ�� F7GIJ�T�G�LPGIHKJF>[L4Q2G�MYQ2XSX �21 M � � � L N J�� L�B�HSF�@ � L>QKM`>ZT ? @�MYQ�K4T ��M�� �pOPGtHKM��YJlT�L � JJG�L!@�%,T�O� [�[ � O,HSF \ JX@IJ�>[L \ J�@IJ N�+ C �," LfWDA � F>QKM ? X��YF_G�MYQ�K T$L!� \ J�Q2GY>1HSF�@1F�>[G�J�@IM T!GIM�>�T��(0`Q]L>G�HKJ�@VG�L!@ N T�O !#" BL�@*M N J�F��>1HSF>MRQSTtT�>�F��RJgT*F>T

! "43 ��: ) M � �65 7 �GtHKM��RJ � J�F4T$X�@�J � J�Q2GIT�L�B�Tc>�F7G$GIJ�@IJ N �RM�K>H2GtMYQ4GIJ�QST�MRG�A \ J�@IT�XST�F_Q�K!�RJ \ J�@�M�B A ��M��!Q �&G�HKJJ>1HSF>MRQiT$M�e�J ? LHG�J�@V�YF9GG�L'WjJ

!#" 3 ��: ) M � �65 8 "

Page 136: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�M9Q

< 8�= 8;: � V2I�� MWA�G1� � ?^C?^K M<E�) ? O\? F���

� ������� ��

������

1 X�@�T�M � X�� F7GIMRL4QST F_M � GILlF�>�>�X�@1F7G�J���A N J�T�>�@IM�WjJY@IJ�F���>1HeF_MYQST�� � JUHSF \ J ? J�@cBL�@ � J N F/T$J�@�MYJ�T�L�BjJbg2XKM��YM�W�@�MYX �T�M � X��YF_G�MYL>QSTmXST$MYQ�Kf>�L � WKMRQeF7G�MYL>QeT L�B G�HSJ N M�ZjJ�@�J�Q2G ? L!��A � J�@IM`>�BL�@ >[J�TmL>X,G��RMYQKJ N MRQ T�J�>[G�MYL>Q1o � L�� � JUMRQ \ J�T$bG�M�K4F_G�J N GIHKJlJ�ZjJb>cG�L�B7�YMRQSJ�F�@ F_Q N QKL4Q,bp�YMYQKJ�F�@UT ? @IMYQ�K'BL�@ >[JgT�OSF>Q N G�HKJWJ�Z J�>cG L�B F ? F_M�@cGtM T�J > @�J ? X�� T$MYL>Q��T*HKJ'>1HSF_MYQ T�M�e�J�T \ F�@�A�B @IL � o G�L*M����1WeJgF N T�O GtMuGIH�� $���� ^ Q�������������� � ^ � "! ^ [ ���"#%$ ^&�����c('*) ^ Q��+���0`Q2G�J�K�@1F7G�MYL>Q^G�M � J/MYTJM��O �����lXKQKMRGIT_GtMuGIH GIM � J�b T$G�J ?-, &N^D�#" ��M��

� M�K4X�@IJ [ ��MPT�X � � F�@IM�e�J�TJ@IJ�T�X��RGIT#BL!@ N M�ZjJ�@�J�Q4GdT ? @IMYQ�K �YF9GUT#GtMRG�HfF>Q N GtMuGIHKL>XKGfWeJgF N b WjJ�F N @IJ ? X��YT�MRL4QST��T*HKJ�>[L!@c@IJ�T ? L4Q N MYQ�KkT$GIF_G�M`>^J�S ? L>QSJ�Q2G \ F��RXKJgT � + ��L�BUGIHKJ]@IF N MRXeTWL�BaK�AD@1F7G�MYL>QfF�@�J]>[L � ? X,G�J N BL�@PJgF�>1H>�F4T$J!O4XeT$MYQ�Kho7b�O%M��_b�ODQ�7b O o�7b F_Q N M���_bpWjJ�F N >1HeF_MYQST��UT*HKJ > @IJ ? X��YT�MRL4Q^T�J�J � TmG�LfWjJ � L2T!G���A'@IJ�T ? L4QST$M�W��YJBL�@�>�F ? G�X�@IMYQ�K 9 � 4 .0/ H�1 2 M�2 H � L��#GtHKM��RJ�G�HKJ�XKQ N J�@c��A�MRQ�K�T ? @IMYQ�K#BL�@ >[J � �UL�L�%4J�F_Q L!@ ������� ��F ?�? J�F�@IT G�LlHSF \ JF]T$Jb>[L>Q N F�@�A J�ZjJb>cGZL>QkG�HKJ T�>�F��YMYQ�K^J�S ? L>QSJ�Q2G�O GtHKJ�Q >�L>X ? �YJ N GtMuGIHkHSF�@ N @�J ? X�� T$MYL>QeT�� �ULHG�J \ J�@bO ����� �BL�@ >[JgT F��RL4QKJ*Tc>�F��YJ�>��RL2T$J�G�LhG�HKJ �7�YL�@�AhJ�S ? L4QKJ�Q2G�O�@�J�Q N J�@IMYQ�KUGIHKJ � L N J�� @�JgF��YMYT$G�M`>NGtMRG�HSL>X,GmF_QDAlF NKN MRG�MYL>QSF��@IJ ? X�� T�MRL4QST�� T*HSJ�� � ��� ? F�@IF � J�G�J�@3� $�����G*F>T/F�� T�L \ F�@�MYJ N O�GtMuGIH G�HKJ \ F��RXKJgTFQ�� � F_Q N ��� � K>M \ MYQ�K \ J�@cAT�M � M��YF�@�Tc>�F��YMRQ�KJ�YF9GUT � I�K>X�@�J [ ��M � �dT*HKJ ? F�@IF � J[G�J�@IT7BL!@mGIHKJ � F�@�%4L_b�'�M�K!K>M F T ? @IMRQ�KJG�J�@�J_>�L>QST�MYT$G�J�Q2G�GtMuGIHG�HSJY@�JgT!GmL�BSG�HSJ � L N J�� T�� �ULHG�J \ J�@bO N M Z J�@IJ�Q2G ? F�@IF � J[G�J�@IT�O GIF�%>J�QfB @IL � � �54 � L��YJ�>[X��RJgT�O ? @�L N X�>�J N + ^ �

�bmMYQ N M`>�F7GIM \ JZG�HSF_G*G�HKJf� �54 b G�L!@ � �YM %4J � L N J�� MRQ]J�g2XKM��RM�W�@IMRX � L ? J�@1F7GIJ�T � L4T$Gc��A MYQ]G�HKJJ�YMRQSJ�F�@Y@IJ�K4M � J!�

6 � �87 � � � ! � �9:��;=<>;=< @? � �BA � � �����C<D; 6 < � �E�GF � A �

T*HKJWT�M � ? �RJgT!G ? L4TIT$M�W��YJ ? L���A � J�@ � L N J���>�L>QST�MYT$GITUL�BmF'WSF�>&%DWjL>QKJZL�BdWjL>Q N T�O%>[L4QST$M T$G�MYQ�KPL�BdBX�����A �SJ�S,M�W��YJC!L>MYQ2GIT���7_�RG�HKL4X�K>H G�HSMYThM ThF>QkL \ J�@�b T�M �'? �YM�ISJ N >�L>Q�>�J ? GbO�GtMuGIHkGIHKJ'WeL4Q N TX�YF!>&%�MRQ�K \ L!�RX � JdF_Q N � F4T�T�O&MRGXST�XSF�����A T�J�@ \ J�TZF4T/F�K>L�L N @IJ�BJ�@�J�Q�>[J'BL!@ � L!@�Jn>�L �'? �YM�>�F7G�J N F>TIT$L >[M F7GIMRL4Qi@IX��YJ�T��1T*HKJ N M Tc>�@�J�G�J \ J�@1T$MYL>QL�BhG�HSMYT� H�� 2 27rIH M � FDJ � L N J��UMYT WSF>T�J N L>QaG�HSJBM N JgF G�HSF_G J�F�>1H WjJ�F N >�F_Q L>Q���A � L \ JiL4QaF @IJ�K4X��YF�@G�H�@�J�J[b N M � J�QST$MYL>QeF��m� F7G�G�M`>[JWF>Q N G�HKJ�@�JWMYT�QKL MYQKHKJ�@IJ�Q2Ga@IJ�T$Gc@IM`>cG�MYL>QBL4Q]G�HKJ�Q2X � WjJ�@�L�B�G�M � JgT�MRGk>�F_Q \ MYT�MRGF ? F�@�G�M`>[X�� F�@ ? L>MYQ2G L4QBG�HKJ � F7G$GIM�>�J��XT*HKMYThT�M �'? �YMYT$G�M`> � L N J���BJgF7G�X�@�JgT ? L���A � J�@aWSF!>&%2b BL!� N MYQ�K^F>Q N L>G�HKJ�@

Page 137: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�M�

100

101

102

100

101

102

M−1 (=number of beads−1)

<R

gyra

tion

2>

Static exponent scaling (ν) for different polymer spring models

Stiff: ν = 0.49719

FENE 2rc: ν = 0.57235

Hookean: ν = 0.55148

FENE 2rc, L−Jones: ν = 0.61669

FENE 3rc, L−Jones: ν = 0.61358

Hookean, L−Jones: ν = 0.61046

Stiff, L−Jones: ν = 0.5736

Wormlike: ν = 0.55162

� M�K4X�@IJ [ ��M �@' >�F��YMRQ�K]L�B�G�HKJ'@1F N MYXSThL�B�K�AD@IF_G�MYL>Q L�B�F]T$MYQ�K��YJ ? L!��A � J�@J>1HSF>MRQ K>L \ J�@�QSJ N WDA �YMRQKJgF�@bO�� > �F_Q N ������� BL!@�>�J�TtF>Q N GIHKJ/J�Z J�>[GUL�B�HSF�@ N > ? L>G�J�Q2GIMYF��YT��

Page 138: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�M��

XKQ ? HjA,T�M�>�F�� @IJ ? J�@ >[XSTIT�MRL4QST�QKL_GtJ�S,HKM�WKMRG�MYQ�K J�S�>��RX N J N]\ L!�RX � JZJ�Z J�>[GIT��

7_�RG�HSL>X�K4Hi@1F_Q N L � �SM�K4H2GJ>1HeF_MYQST F�@�JWG�H�@IJ�J N M � J�QST�MRL4QSF���J�Q4GIMuGIMRJgT�O&JgF�>1H N M�@IJ�>[G�MYL>QkJgT�T�J�Q2GIMYF�����A�WeJ�HSF \ JgTF>T FZL4QKJ[b N M � J�QST�MRL4QSF��� H � 2 27r�� H 4 � � �KL!@mFJ>1HSF_MYQdL�B : WjJ�F N T�O>MuG�>�F_Q WeJ T$HKLHGtQ ��M���� �KG�HSF_GmMRQdGIHKJY�RM � MuG: )���� G�HKJ N MYT$Gc@IM�WSX,G�MYL>QhBXKQ�>[G�MYL>Q�� � � � L�BSGIHKJ*J�Q N b�G�L>b�J�Q NdN MYT$GIF>Q�>[J \ Jb>cGIL�@ � F>TcA � ? G�L_GIM�>�F�����A/L!WeJ�A,TG�HSJ (ZF>XSTIT$M F_Q N MYT$Gc@IM�WSX,G�MYL>Qm�;0`QkGIHSF7G#�RM � MuGbO MRG#>�F_Q F�� T$L WeJ T�HKLHGtQ GIHSF7GhG�HKJ � J�F>Q,b`Tcg2XSF�@�J�J�Q N b�G�L>b�J�Q NN M T!G1F_Q�>�J/F_Q N G�HSJ � JgF_Q,b`T�g4XeF�@IJa@1F N MYXST*L�BdK�AD@1F7GIMRL4Q F�@IJX@�J��YF_G�J N WDA

5 � 65/! " � 6 ^ L#"

� M�K4X�@IJ [ � Q T�HKLHGUTdHKLHG GIHKJ \ F��YXKJBL�BhG�HSMYTn@1F7GIMRL >[L �'? F�@IJ�T GtMRG�H F*@IF>Q N L � �SM�K4H2G1>1HSF_MYQ BL!@ F����tG�HSJWjJ�F N b T ? @IMRQ�K � L N J�� TUT$G�X N MYJ N F�WeL \ J��

0 20 40 60 80 100 120

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

M−1 (=number of beads−1)

Sen

d−en

d2

/ R

gyra

tion

2

StiffFENE 2rcHookeanFENE 2rc, L−JonesFENE 3rc, L−JonesHookean, L−JonesStiff, L−JonesRandom Flight Chain

� M�K4X�@IJ [ �RQ � �UF7GIMRL5�� 65 �� � 6 BL!@ \ F�@IMRL4XSTF>1HSF>MRQ T�M�e�J�T � o OVM��OUQ��OUo�BF>Q N M�����WeJgF N T�� � T*HKJ]T$M � X��YF_G�MYL>Q

? F�@IF � J�G�J�@IT*F�@IJ G�HKJlTIF � J/F>T*MYQ]I�K>X�@IJ [ ��M��

Page 139: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�M9o

< 8�= 8� M A�G � � ?]C?^K M9E�)S?^O ?^FT L]F ?�? @IJ�>[M F7GIJWGIHKJ ? @1F�>cGIM�>�F�� ? L_G�J�Q2G�M F�� L�B�WeL>G�H G�HKJ \DC F_Q N*E LHG�JlGIM � J�b T$GIF�K�K>J�@�J N T�>1HKJ � J�ThMYQ Jbg2XKMub�YM�W�@IMYX � G�J]>�L �'? X,GIJ^GIHKJBT!G1F7G�M`>iTc>�F��YMRQ�Ki� F9G BL�@��;^�� �

��� ^ �!M��cL#��M��#��Q���� MRQ@G�HSJiF � WKMRG�MYL>XeTf@1F_Q�K4J, &U^���#" ��M����," ��L,���,"�M����,"RQ ���)(*&�^B�," ��MaBL�@tL>QSJhL�B GIHKJ � L N J��YT*L�B�I�K4X�@IJ [ ��M!O�QSF � J���A ����� �iF_Q N > GtMuGIH�6$�� ��^ ��� � � � J QKL>G�JPGIHSF7GlGIHKJ N J�K>J�QSJ�@1F7G�Jn>�F>T�JdL�B�� ^ M N L�JgT ��2 JkBX�����Ai@IJ N XP>[JPG�LiGIHKJ >�� F>TIT�M�>�F��pOQKL4Q,b T$GIF�K�K4J�@IJ N T�>1HKJ � J�ThF_Q N G�HSJ�@IJ�BL�@IJfG�Jh>�F_QKQSL_GZJ�S ? Jb>cGZJ�SKF�>[GZF�K�@IJ�J � J�Q2G�L�BmGIHKJ T!G1F�K!K>J�@IJ N � ^ M@IJ�T�X��uG1TaGtMRG�HkG�HKJ @IJ�T�X��uG1T�L�B�T$Jb>cGIMRL4Q [ ��M��RQ �#T*HKJh>��RL2T$JdF�K!@�J�J � J�Q2G�L�B + N J ? M`>cG�J N MYQ I�K4X�@�J [ � �nBL!@�GIHKMYTTIF �'? �YJ*T$G�M�Z ? L���A � J�@�M`>�T�A,T$G�J � N J � L>QeT!G�@IF_G�J�T GIHKJUF N,\ F>Q4G1F�K4J�T MRQdXST�MRQ�KZT�X�>1HPF_QPF���K>L!@�MRG�H � � � J*L�W,G1F_MYQF_QPF�� � L4T$G7�YMYQKJ�F�@�T ? J�J N b�X ? � N J ? J�Q N MYQ�KZL>Q�G�HSJ�Q�X � WeJ�@�L�B ? L���A � J�@U>1HSF_MYQST ? @IJ�T�J�Q2G�� MYQ � ��� b�GIM � J�O!GtMuGIHQKJ�K��YM�K4M�W��YJWF!>�>[X�@IF!>�A N J�K�@1F N F7G�MYL>QiMYQ FPGIM � J�b T$G�J ? @�J�K>M � JlX ? GIL , &V^ �#" �!L�OjM � J���OeG�GtM�>�JlG�HSJ � FHS,M � X �? L4TIT$M�W��YJ � , & C �," �!Q ��M�BdG�JZHSF N XeT$J N F�Gc@1F N MuGIMRL4QSF��&MYQ2G�J�K!@IF_G�L!@��

�KL!@�GIHKJ \jC T�>1HKJ � J�� ^tQ� M ThQKL_GZF_Q F7G$G1F_MYQSF�W��RJ \ F��RXSJ�O&T$MYQ�>�JWGIHKJdT�>1HKJ � J�MYThMYQKHKJ�@�J�Q4G���A N J ? J�Q N J�Q4GL>Q G�HKJ'>1HKL4T�J�Q G�M � JgT!GIJ ? F_Q N , &_^ �#" Q MYTZF���@IJ�F N A � F�@�K>J!OeJ \ J�Q\BL�@hQKL>Q,b ? L���A � J�@�OjQKL>QKb T$GIF�K�K>J�@�J N T�A,T$bG�J � T�� �UJ�QP>[J]G�HKJ � FHS,M � X � @1F7GIMRL*G�J J�S,F � MRQKJ]M T��;^ M���� �KL�@dGIHKMYT \ F��RXKJ G�HSJ]L!WST�J�@ \ J N T$L!� \ J�Q2GG�J �'? J�@IF_G�X�@IJ�M T�Q��js9HKM�K>HKJ�@�GIHSF_Q GIHKJZT$J�G \ F��YXKJ�O4G�H�XST�L \ J�@�b�HKJgF7GIMRQ�KhGIHKJ ? L���A � J�@�>1HeF_MYQmOD@�J�Q N J�@IMYQ�K/G�HSJ@1F N MYXSTZL�BVK�AD@1F7GIMRL4Qi� F�@�K>J�@b� �ULHG�J \ J�@bO G�HKJ^T$GIF_G�M`>PJ�S ? L>QKJ�Q4GlT$G�M�����Tc>�F��YJ�TX@IJ�F>T�L>QeF�W���A\>[L � ? F�@IJ N G�LiG�HSJ� L4T$G�F�>�>[X�@1F7GIJ \ F��RXSJ�TtL�B��:^ �!M��cL �!� E LHG�J43 TtT�>1HKJ � J!OSL>Q]GIHKJlL_GIHKJ�@�HSF_Q N OeT�HKLHGUTUT � F����YJ�@UT�J�QeT$MRG�M \ MuG�AG�L , &��q^ M�� ? @IL N X�>�J�TlF ��� ` J�@c@IL�@��rM9s1OdWKX,Gf@IJ�F!>1HKMYQ�K�� ^ Q�iM TlJ�QKL>X�K>H G�LkT�HKLHG F T�M�K4QKM ISb>�F>Q2G N J \ MYF_G�MYL>QdL�B ��M9s B @�L � G�HKJUT�J[G GIJ �'? J�@1F7G�X�@�J �4T�M � M��YF�@ J�ZjJb>cG1T L>Q�G�HKJ ? L���A � J�@N>1HSF>MRQPF�@IJ*L�WST�J�@ \ J N �

'�M � X�� F7GIMRL4QST�MRQ GIHKJiF�WST�J�Q�>�J L�BX>[L>QeT$J�@ \ F7GIM \ J'BL�@ >[JgTFG�J�@IJ F�� T�L ? J�@�BL!@ � J N MRQ@L�@ N J�@WG�L N J � L>QST$Gc@1F7GIJG�HSJ�M�@�J�ZjJb>cG�L4Q G�HKJ L \ J�@IF���� ? J�@cBL�@ � F_Q�>�J L�BtGIHKJ ? @IL ? L4T�J N T�>1HKJ � JgT�� ',J[G$GIMRQ�K�� � � ^!� @IJ�T�X��RGITWMRQOF>QM N J�F�� K4F>TY����� �SXKM N GtHKM�>1H��UM %�XKQKJ�Q � J H 4�� � [ L ��>�� F>TIT�M ISJ N F4T*F � L!@�JJ>1HSF����YJ�Q�K4MRQ�K�Q�X � J�@IM`>�F�� ? @�L!W��RJ � �� M�K4X�@IJ [ � � N J � L>QeT!G�@IF_G�J�T FJ>��RL2T$JUF�K�@IJ�J � J�Q2G�L�B G�HKJUT$GIF_G�M`>UTc>�F��YMRQ�KhJ�S ? L4QKJ�Q2GNBL!@�� ^:M���M����_G�HKJ�T�HKM�BsG�J NN M�ZjJ�@�J�Q�>[JfWeJ�G�G�J�J�QiG�HSJh>[X�@ \ J�TYWjJ�MYQ�K L4Q���A G�HSJWJ�Z J�>[G�L�B , &�^ �#"�MJGtHSM�>1H N @IM \ J�TtG�HKJWG�J �'? J�@1F7GIX�@�JWX ?GtMRG�HBF_Q]J�@�@�L!@*L�B �js1�

Page 140: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�MbL

101

102

100

101

M−1 (=number of beads−1)

<R

gyra

tion

2>

Static exponent scaling (ν), velocity−Verlet method, δt=0.01

vV ∆t/δt=1 : ν = 0.595

vV ∆t/δt=6 : ν = 0.599

vV ∆t/δt=10: ν = 0.593

101

102

100

101

M−1 (=number of beads−1)

<R

gyra

tion

2>

Static exponent scaling (ν), Lowe method, δt=0.01

Lowe ∆t/δt=1 : ν = 0.6

Lowe ∆t/δt=6 : ν = 0.602

Lowe ∆t/δt=10: ν = 0.602

Lowe ∆t/δt=20: ν = 0.598

� M�K4X�@IJ [ � � �kT*HKJPJ�Z J�>[G/L�B�GIM � J�b T$GIF�K�K>J�@�MYQ�K L>Q GIHKJ Tc>�F��YMRQ�K J�S ? L>QSJ�Q2G + L�BmG�HKJ'@1F N MYXSThL�B�K�AD@1F7G�MYL>QkL�BF T�MRQ�K��YJ ? L!��A � J�@#>1HSF>MRQ K4L \ J�@IQKJ N WDA �������kF_Q N HSF�@ N > ? L_G�J�Q2G�M F�� TYBL�@ G�HSJ \DC ��X ?�? J�@��UF_Q N\E LHG�J>3 T� �YLHG�J�@���T�>1HKJ � J!�

Page 141: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�M [

101

102

100

101

M−1 (=number of beads−1)

<R

gyra

tion

2>

Static exponent scaling (ν), velocity−Verlet method, aij=0, δt=0.01

vV ∆t/δt=1 : ν = 0.594

vV ∆t/δt=10 : ν = 0.604

� M�K4X�@IJ [ � � �YT*HKJ ? J�@�BL!@ � F>Q�>[JlL�B G�HKJPT$GIF�K!K>J�@�J N \DC Tc>1HSJ � JlMYQkM N J�F���K2F>Ta>�L>Q N MuGIMRL4QST � � ��� ^ � ���XT*HSJ? F�@IF � J�G�J�@IT*F�@IJhL_G�HSJ�@�GtMYT�JhG�HKJlTIF � J/F>T*MYQ�� M�K>X�@�J [ � � �sGIL ? ���')( � ,�� � �9�� �:5 � � 05 � ���� � 9 ��� ���� � � �� 05

T*HKJV@IJ�T�X��uG1T ? @IJ�T�J�Q2G�J N MYQdG�HKM T T$Jb>cGIMRL4QdF>M � G�L/T$M � X��YF_G�J�G�HKJY@IJ�T ? L>QST�J�L�B �Kb ? HSF�K4JY� �54 � L!�RJb>[X��YJ�T�XSQ N J�@T$G�J�F N A T�HKJgF�@bOSF_Q N >�L �'? F�@�JZGIHKJh����� @�JgT$X��uG1TYGtMuGIH\>[L!@c@IJ�T ? L4Q N MYQ�K'@�JgT$X��uG1TYB @IL ��� @ILHGtQKM F_Q��aA�QSF � M`>�T���%� �ZF>Q N J�S ? J�@�M � J�Q2GIF�� N F7G1F��'T*HKJnG�L�@ � �YM %>Jh>1HeF_MYQ � � > � � N J�T�>�@IM�WeJ N MYQ T$Jb>cG�MYL>Q o � L MYTZXST�J N BL!@ZF����� ��4 T�M � X�� F7G�MYL>QeTtF_Q N lUQ N J�@IHKM���� F_Q N � LHAD�RJ43 T � ��� � ? J�@IT�MYT$G�J�Q�>[JX�YJ�Q�K>G�H ����� �V>[L�@�@IJ�>cGIMRL4Q^F���G*F9A�T�F ?�? �RMYJ�TG�L^L>X�@_@IJ�T�X��RGITVBL!@h:�� Q�� � L>XP>1HKMYF_G�3 T�� ��L �d>[L�@�@IJ�>cGIMRL4Q1BL!@UGIHKJ N X � W�WjJ����7>�F>T�J ? @�L N XP>[J N T$GIF_G�M T!GIM�>�F�����AT�M � M��YF�@k@IJ�T�X��RGIT G�L G�HKJdL�@IM�K>MYQSF�� � F�@�%>L>b ',M�K!K>M F ������� � � L N J��p�?'�MYQ�>[J�G�HKJ���� >[L�@�@IJ�>cGIMRL4Q T!GIX N MYJ�TZMYQ � ��� �

G�J�@IJ N L>QKJ#GtMRG�H]G�HKJ�� ���kBL!@ � X��YF�O G�J N LPQKL>GUXST�J � L4X�>1HKM F7G�3 T \ J�@IT�MYL>Qm�

� ��4 � L!�RJb>[X��YJ�T�XKQ N J�@�T$G�JgF N A T�HKJ�F�@WHSF \ JnWeJ�J�QOJ�S�G�J�QeT$M \ J���A T!GIX N MYJ N MYQfJ�S ? J�@IM � J�Q2GIF��@� � �*F>Q N >[L � b? X,G1F7GIMRL4QSF�� � o�O �jQ�#G�L!@�%,T�� 0`Q:M � � ��O�' � MuGIH � J H 4�� � � � ? J�@cBL�@ � J N F WjJ�QP>1H � F�@�% T$G�X N A L�B��Kb � �54� L��YJ�>�X��RJgTZMRQ XKQKM�BL�@ � T�HKJgF�@@�SLHG L�B�T�HKJ�F�@#@IF_G�J�T"!)$# �5" �&%

�� J �'? �RLHA�MYQ�KBF�� o� A(' >1HeF_QKQKJ���MRQ T�L��Rb

\ J�Q2GIT�GtMuGIH \ M Tc>�L4T�MuGIMRJgT A ^ L��,� Q�Q�*) �'�mT*HKJgT$J*T!G1F_MYQKJ N WSF�>[G�J�@�MYL ? HeF�K>J � L!�RJb>[X��YJ�T HSF \ J�FX>[L>Q2GIL>X�@7�RJ�Q�K_GIH

Page 142: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�M�

� Q M A(' F_Q N �YL>Q�K>J�T$G_@IJ�� FHSKF7GIMRL4Q^GIM � J�T�L�BNL," �*% �MYQiG�HKJfL�� ) � T�L��YX,G�MYL>Q �*F>Q N M �&% �MYQiG�HSJhQ�Q�� ) � T$L>b�YX,G�MYL>Q ��� 7 G�A ? M`>�F�� � L!�RJb>[X��YJk>�L>Q2GIF>MRQST�@IL>X�K4H���A � ��� ? J�@1T$M T$G�J�QP>[Ja�YJ�Q�K_G�HeT�F>Q N HKJ�Q�>[J#>�F>Q WjJX>�L>QST�M N J�@IJ NH ��0 M & 4 ���il�T�MRQ�K ����� G�J MRQ \ J�T$G�M�K4F7GIJ N GIHKJ N A�QSF � M`>�TWL�B�F T�MYQ�K��YJ � > � �iT*HSJ � L \ MYQ�K\WjL>XSQ N F�@IMYJ�TlF_G� ^ �,� � ^.�� F�@IJ � L N J��RJ N XST�MRQ�K E J�J�T$b � N G*F�@ N TYWjL>XKQ N F�@�A�>�L>Q N MuGIMRL4QST?��M���� � � ? F�@�G�M`>��YJ�Tk�YJ�F \ MRQ�K G�HSJN L � F>MRQdF7G � ^B�,�� � F�@�J�F N,\ F_QP>[J N � @IJ[GIF�@ N J N WDAlF_Q�MRQP>�@IJ � J�Q2G L�B , �F^ & � ) &�@IJ�T ? J�>cGIM \ J���A/MRQ�G�HSJ� ) N M�@IJ�>[G�MYL>QmO!GtHKJ�@IJ�&�MYTmG�HKJtGIM � JUJ��YF ? T�J N B @�L � F>Q F ?�? @IL ? @�M F7GIJ�L!@�M�K>MYQdL�B G�M � J�T�F>Q N N J�QKL>G�J�T G�GtM�>�JG�HSJZT�HKJgF�@ \ J��YL >[MRG�APL�B JgF�>1H WjL>XKQ N F�@�A�� �BL!@�J�L \ J�@bO_GIHKJ \ J��YL >[MRG�A L�B GIHKJ ? F�@�G�M`>��YJ M T�MRQP>�@IJ�F>T�J N � N Jb>�@IJ�F>T�J NWDA C� ) O F�>�>�L>XKQ2GIMRQ�K'BL!@aWjL_GIHBG�HKJ�M �'? L4T�J N WjL>XKQ N F�@�A >�L>Q N MRG�MYL>Q F>Q N GIHKJ \ J��RL >�MuG�A N M Tc>�L>Q2G�MYQ�XKMuG�AWjJ[G�G�J�J�QOG�HKJ G�G�LiG*F����YT��*T*HSMYT >[L!@c@IJ�>[G�MYL>Q M T�JgT�T�J�Q2GIMYF�� OmT�MRQP>[J GIHKJ N MYTIT�M ? F_G�M \ J1BL�@ >[J�T N J ? J�Q N L4QfG�HSJ@IJ�� F7G�M \ J ? F>M�@�GtMYT�J \ J��YL >[MRG�MYJ�T��UT*HKJJ@�JgT!GtL�B G�HSJJWeL4XKQ N F�@�MYJ�T*F�@IJ Gc@IJ�F7GIJ N ? J�@�MYL N M`>�F�����AnBL�@UF���� GIHKJ/T$L!� \ J�Q2G����� ? F�@$GIM�>��RJgT��JT L]F \ L>M N XKQ ? HDA,T�M�>�F�� ? J�@�MYL N M`>[MRG�AiF�@$GIM B�F!>cG1T�O ? L���A � J�@kWjJ�F N T62�� 4 piXKQ N J�@cK4L F_Q J�� F>T$G�M`>>[L!���YM T$MYL>QPMYQ G�HKJaA4b N M�@�Jb>cGIMRL4Q � ���(���5��� � � � 4�� � �� � )����� � � � 4�� F_Q N � � � � � ) � , & ��� � � 4�� � ��M�ZjJ�@�J�Q2G>1HSF>MRQBT�M�e�J�TYG�J�@IJlF�>�>[L � � L N F7GIJ N WDA T$G�L�@IMYQ�KPG�HKJ ? L!��A � J�@a>�L�L�@ N MRQeF7G�JgTVGtMuGIHKL>XKG � F ?�? MYQ�KPGIHKJ � WSF�>&%MYQ G�HKJ]L�@IM�K>MYQSF�� N L � F_MYQm� T*HSMYTdF����RLHG�J N GIHKJ MYQ2Gc@1F7b ? L!��A � J�@FBL�@ >[J�TlG�L WeJ]>�F��`>[X��YF_G�J N ? @�L ? J�@c��A�OdGtHKM��YJG�HSJ >�L����RJb>cG�M \ JdT$L!� \ J�Q2G$b`T�L�� \ J�Q2G�F>Q N ? L���A � J�@$b`T$L!� \ J�Q2G�MYQ2G�J�@1F�>[G�MYL>QSTaG�J�@�J >�F���>�X��YF_G�J N GtMuGIH GIHKJ � F ?�? J N� ? J�@IMYL N M�> ��M � F�K4J�T��hT*HKJPJ�Z J�>[G/L�B�GIHKJ T�M � X��YF_G�MYL>Q WeL9SkT�M�e�Jn�� ��� i� BL�@hG�HSJ ? @�JgT$J�Q4GIJ N @�JgT$X��uG1TG*F>T�MRQ \ JgT!GIM�K2F7GIJ N F_Q N ? @IL \ J N G�L WeJhQKJ�K!�RM�K>M�W��YJ�� �KL!@�GIHKJX@�JgT$X��RGIT�T�HKLHGtQmO�F ? J�@IMRL N M`>_WjL9S L�B N M � J�QeT$MYL>QSTM��� 1Q�� oFG*F>T�XST�J N MRQiF��eXKM N L�B(�������f����� ? F�@�G�M`>��YJ�T��7T*HKJJ>�L>QST�J�@ \ F7G�M \ J_BL�@ >[JZF �'? �YMuGIX N J#G�F4TNI�S�J NG�L�� ��� ^ [ o�� ��� ��� OKF4T*MRQ � [ M � �

0`Q L�@ N J�@hG�L ? @IL ? J�@���A T$M � X�� F7GIJ �Kb ? HSF�K4J'� �54 � L!�RJb>[X��YJ�TZXSQ N J�@/T$G�JgF N AkT�HKJgF�@bO G�J N J�IeQKJPG�HKJ N M � J�Q,bT�MRL4Q��RJgT�T � J�M T�T�J�QDWjJ�@�K�Q�X � WeJ�@�L�B G�HSJ �eLHGVF>T���k^ !)�� ODBL!@tF�T�HKJ�F�@�@1F7GIJ !)d� �UJ�@�J!O��]M T�GIHKJ ? L!��A � J�@�� T�YL>Q�K4J�T$G�@IJ�� FHSKF7GIMRL4QPG�M � J!ODGtHKM�>1H MYTV>�L �'? X,GIJ N WDA'IKG�G�MYQ�KdF>Q J�S ? L>QKJ�Q2G�M F�� F_QSF���A2G�M`>�F��%>�X�@ \ JUGILlGIHKJhF \ J�@�bF�K4J � J�F_QKb T�g2XSF�@IJ/J�S�G�J�QST�MRL4Q �SGIHKM T�M T � 2 JtQKJb>[J�TITIF�@IM���A GIHKJlJ�Q N b�GIL_b J�Q Ni\ F��RXKJ!� 0`Q ? F�@$GIM�>�X��YF�@�OPG�J N J�ISQSJG�HSJ � F�S�M � X �r? @IL C!J�>[G�J N F \ J�@IF�K>J � L!�RJb>[X�� F�@hJ�S�G�J�QST�MRL4Q�� ��� L�B�F ? L���A � J�@J>1HSF_MYQkXSQ N J�@lT�HKJgF�@ZMRQ G�HSJ� b N M�@�Jb>cGIMRL4QiF4T�G�HKJ � F�S�M � X � F�WeT$L!�RX,GIJ N M Z J�@IJ�QP>[J/L�B G�HSJ � b >[L�L�@ N MYQSF7GIJ�T�L�B F����&G�HSJJWeJgF N TUF \ J�@1F�K4J N MYQG�M � J�O�Mp� J!��O � ��� � ^!��" � MYQ � � � ) � F�S � � �#" � BL�@�F���� � WjJ��YL>Q�K>MYQ�KBG�L F >1HSF_MYQm�\T*HKJ J�S ? L4QKJ�Q2G�M F���IKG$GIMRQ�K

Page 143: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

M�M �

F ?�? @�L2F�>1H ? @IL \ M N J�TWFi@�J��YF�SKF7G�MYL>Q GIM � J]QKJ�F�@c��A G�HKJiT�F � J � GtMRG�HSMRQ3M��js ��F>TlG�HSF_GdL!W,GIF>MRQKJ N WDA IKG$GIMRQ�KG�HSJ �YF_G�J�b�GIM � JPGIF>M���L�B*G�HSJ � JgF_Q,b`T�g4XeF�@IJ @1F N MRXSTlL�BVK�AD@IF_G�MYL>Q�� !#" ��� � � M�K4X�@IJ [ � oiT�HKLHGUTZGIHKJnIKG�G�J N @�J�bT�X��uG1T��'T*HKJn>�F���>�X�� F7G�J N � J�F>Q,b`Tcg2XSF�@�J�J�S�G�J�QST$MYL>Q L�B*F_Q MRQKMRG�M F�����AA���Ds/b J�S�GIJ�Q N J N >1HSF>MRQ G�F4TkIKG$GIJ N GtMuGIH� � � � ^ � � � ��� � � � � � �

� ��� GILdL!W,GIF>MRQ G�HSJ#>1HeF_MYQ @IJ�� FHSKF7GIMRL4Q G�M � J � � �UJ�@�J!O � � � M T�G�HSJhMYQKMRG�M F�� T$Gc@IJ[G >1H F>Q N� � � ��� M T�G�HKJdJ�g2XKM��RM�W�@IMRX � \ F��RXSJ�� ��g2XSF7GIMRQ�K G�HKJPF�@IJ�F XKQ N J�@kWjL_GIH >[X�@ \ J�TYI�S�J N G�HSJfB @IJ�J ? F�@1F � J[GIJ�@ L�BG�HSJ#IKG��

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

20

40

60

80

100

120

140

160

time

<x2 >

DPD, 5 beadsAnalytic, τ=45.6

� M�K4X�@IJ [ � o�� ��Jb>�F9A L�B GIHKJlF \ J�@IF�K>J � JgF_Q,b`T�g4XeF�@IJ J�S2GIJ�QST�MYL>Q � � � � F_Q N GIHKJF>[L!@c@IJ�T ? L4Q N MYQ�KdJ�S ? L4QKJ�Q2GIMYF��IKGFBL!@lF�G�L!@ � �YM %4Jn>1HSF_MYQ L�BYo]WjJ�F N T/MYQfF��UJ�G*GIL>QKM F_Q T�L�� \ J�Q4G/XST�MYQ�K E LHG�J � TZQKL>QKb T$GIF�K�K>J�@�J N � J[GIHKL N�i^D�#"Ro ���

<��� ���� �������������1� �������� !��"�)#�%$&�%'

�)(�K+*�@�, [�- L/.�021HG#.�3�0�,J>54�6�>5*�674839,;:=<>4HS�(7<?*�< ? @91 C�,�>@3�,A:B4DC�,�@�4�K�,#<E1�67,�>5*�6F4�@G,�SH39,AI2.�(71�I � � � 48I2:J390�,K,�SHL? ,�@�(M<E,5IN3O486P:�4�3O4 � � �QC�,�@�.9*2. ���jO G�(M390RCD4�@cAH(7I�K WS,A4+:TIH*�<fWS,�@O.U48I2: >V1�@�@�,A. ? 1+I2:�(7I�K @�,56F4HS�4�3�(M1+IW39(7</,;. -TX0�,J4+.�AH< ? 391�39(`>EC�4867*�,'BY1�@hQ���WZ,;4�:�. �\[��#" o�M �](F.^(7I_4�K�@�,5,A</,AIN3#G�(M390_3�0�,1>51�@�@9,;. ? 1�I2:�(MI�KB1�I2, �.� - � [ �B @�1�< �S` >5486`>V*2674839(71�I2. � o� - ��,A<>4�@�%D4�W�6�A�Oa3902, @�,A.9*�6M3�.XBY1!@]3�0�,J4DC�,�@�4�K�,^,�SH39,5IZ.�(71�Ib4�@�,cI�1�3^.�1d.9,5I2.9(e3�(MC+,391�>V1N4�@O.�,5LpK!@�4�(MI2(MI�KPO2( - , - 3902,/IH*�<hWZ,�@f1�B�WS,A4+:�.U*2.9,A: BY1!@J>V1�IZ.�3O48IN3fgaOh(MIi390�,/3�,A.�39,A: @O48I�K+, - TX0�,E.�,A6 BjL

Page 144: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

MbQ��

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

We = Ux τ

R / L

y

frac

tiona

l ext

ensi

on (

norm

aliz

ed b

y m

ax. c

onto

ur le

ngth

)

DPD Lowe: 2 beads (τ~29.9)

DPD Verlet: 2 beads (τ~16.5)

DPD Verlet: 5 beads (τ~20.8)

DPD Verlet: 10 beads (τ~31.2)

DPD Verlet: 20 beads (τ~51.8)

BD: 20 beads (Hur et al. 2000)

Experiment (Smith et al. 1999)

�)(�K+*�@�, [H- L�� �T,A48I � > � B @O4�>V39(71�I24�6 ,�SH39,AI2.9(M1+IBC+,�@O.�*Z. ���h>51�< ? 4�@�,A:=391 �Z` � o�P48I2:T` �54b,�S ? ,�@9(7<E,5IN3�.� � ��:�483�4 - TX02,X@�,A.9*�6M3�. ? @�,A.9,5IN3�,A: *2.�,f3�0�,KI�1+I�L .�3�4�K�K+,�@�,A:>C C � � ^B� �X48IZ: E 1HG�,f.c>O02,5<E,A. ��i^ �5" o � ->V1+I2.9(7.�39,AI�>�AE1�B�390�, ? 4�@O48<E,539,�@O.�GG4+.�C+,�@�( I2,;:'B @�1�< 390�,f,bg+*2(M67(�W�@9(7*�< <E,A4�I�L .�gN*24�@�,#,AI2:HL\3918L ,5IZ:J:�(F.�3O48I�>5,1�B�4 Q�LpWS,A4+:B:�*�<fW�WS,5676pOP>V1+< ? *�39,;:d4�. � � � [ �,"Ro�L�O�(MI\>56M1N.�,K4�K�@�,5,5<E,AI+3_G�(M390W3�0�,K3�0�,51!@9,539(`>5486�CD4�6M*2,K1�B�," �!Q K�(7C�,AIiWDA�� �jo� � � � ^ Q�g '*) � ��� M3) !����� ��M3) �

�� ��� "! ��� - � 0�(M67,E<E1+.�3X@�,A.9*�6M3�. ? @�,A.9,5IN39,;:T(7Ii3�0�(7.

GG1�@�%T,5< ? 671HAT3�0�, G�(F:�,56�Ai*2.9,A:_C+,5671 >V(M3�A+L C ,�@�67,V3^.c>O02,5<E,'BY1�@K3�(M<E,J(7IN39,�K�@O4�39(71�I�O (MI IPK�*�@�, [H- L]G�,>024DC+,486F.91=(7I�>V67*2:�,;:\@�,A.9*�6e3O.kBY1�@JQ WS,A4+:�. *Z.�(7I�K E 1HGG, � .#<E,V3�0�1�: - �)(�K+*�@�, [H- [ >51�< ? 4�@9,;.�3902,'>A486`>V*�6F4�3�,A:dI21�@9L<>4867(�eA,A:d4�*�391 >V1!@c@�,56F4�3�(M1+I]BY*�I�>@3�(M1+I � , � � & � , � � &�� � � � � ,�� � & �Y^ � � & � ) � � � & � � BY1�@XQ�L�O�oDLX48I2:\Q���L WZ,;4�:>O024�(MI2.�O G�(M390b,�S ? ,�@9(7<E,5IN3�4�6Q:�4�3O4 � � � - TX0�, ? @�1�:�*�>V3�.kBY1�@f,A4!>O0 ? 4�(�@#GG,�@�, >51�676M,b>@3�,A: B @�1�< .�(7I�K�67,VL >O024�(MI.9(M<c*�674839(71�I2.�(MI/39(7<E,_W�(7I2.NG�(M390 �� `���`���� ������� �

� � .94�< ? 6M, ? 1�(7IN3�.�O � � `��2` �PWS,5(7I�Kf3�0�,#671�I�K+,A.�3N@9,A674�S�4839(71�Ic39(7<E,(7Id`���`_*�I2(e3O.VBY1�@#,;4�>O0�>54+.�,!O � � �����C� 3�A ? (`>54�6M6�AnI�S�,;:B391nL - �>48I2: , &�390�,?.9(7<?*�6F4�3�(M1+I=3�(M<E,A.�39, ? OZ4+.�:�1�I2,(7IA� � � - TX0�,aI�K�*�@�,#:�,A</1+I2.�3c@O4�39,;.Q3�0�, .9,5I2.9(e3�(MCH(M3�Ac1�Bh390�,U48*�3�1 >V1�@�@�,56F4�39(71�Ic391h>V1+4�@�.9,VL K�@O48(7I�(7I�KU1�Ba390�, �����BY1�@ >V,5L\,�SH39,5IZ.�(71�I�BY1!@9<c*�674 - 'H(�K�I�(�IP>54�IN3U:�,�K�@O4�:�4839(71�Id(7Ii3�0�,/4�K�@�,5,A</,AIN3kG�(M390i,�S ? ,�@9(7<E,5IN3�.f4 ?�? ,;4�@O._BY1!@<E1�@�,E39024�I o�WS,A4�:2. - TX0�(F.?.90�1HG#.f3902,=67(M<E(M3�.^1�BX390�,1>51+4�@�.9,VL K�@O48(7I�(7I�K=1�B�4T</,;.�1N.c>51 ? (`> @9,A674839(71�I .9*�>O04�.�� ��� - TX0�, �����1BY1!@9<c*�6F4iK+(MC+,A.c390�,d4DC+,�@O4�K�,>,AI2: BY1�@ >V,B1�BU4*>O024�(MI >V1�IZ.�(F.�3�(MI�KR1�BU4R674�@cK+,=IH*�<fWS,�@1�B�</(`>�@�18L ,567,5<E,AI+3O. � WZ,;4�:HL @�1H:2._B @�,5,A6�A @�183O4�39(7I�KB4�3XI�S�,A:\WS1�IZ:i48I�K�67,A.�� - TX0�,'>V1N4�@O.�,5LpK!@�4�(MI�,;: >51�*�IN3�,�@9L? 4�@�3O.#1�BQ3�0�,������f>O0248(7I2.a@91�3�4�3�,c4�WZ1+*�3 3�0�,5(�@kWS,A4+:�._G�(M390b48IDA]WZ1+I2:T48I�K�67, - �R,c024DC�,f>51�< ? ,5I2.�4�3�,A:�BY1!@

Page 145: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

MbQ�M

3902(7.#B @�,5,;:�1�<5WDAi486M39,�@9(7I�K � �W(MIb3�0�,���� �hBY1�@�<?*�6F4 BY1�@K3�0�,J.9*�W�L >O0248(7I2.f(7IR3�0�,J. ? (�@�(M3^1�B � ��� � -�� 6M,;4�@�6�A!O4 QDL WZ,;4�:R:�*�<fW�WZ,A6M6�>A48I�I2183^:�,A.�>�@�(�WZ,c390�,>(7I2.�3�4�I+3O48I�,A1�*2.#>51�I I�K+*�@O4�39(71�IZ. 1�BK` �54 1!W2.9,�@�C�,A:iWDA � � � - 0 B3902,5(�@f>54 ? 39*�@�,>(F.f390�,>1!WDC�,�>V39(7C�,E1�B�.9(M<c*�674839(71�ImO�390�,AI_390�,><E1�:�,A6�I�,A,A:�.f3�1 >V1�IZ.�(F.�3^1�BX4W6F4�@�K�,/IH*�<fWS,�@1�B�<E(`>�@�18L ,567,5<E,5IN3O.#.�*P>O0T4�.�3�0�,nQ�Q� B @�,5,A6�ANL @91�3�4839(7I�K�O�WS,A4+:HL @91�: >O024�(MI2. 1�B�� o� - � (M390 I�S�,;: WZ1+I2:T4�I�K�67,3902,A.9,hWS,�>51�<E,?3�0�,/</(`>�@�18L ,567,5<E,AI+3O.#1�B�390�, � > � O G�(F:�,56�A\>V1+I2.9(7:�,�@9,;:W391]WS,/4�Ii4 ?�? @91 ? @9(F4�3�,?<E1�:�,567BY1!@` ��4 - T�1>:�4839,U3902,5(�@ .�(7<?*2674839(71�IB024�.XI�1�3_WZ,A,5Id4�3939,A< ? 39,A: -

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

<∆x

(t)

∆x(t

+T

)>

wormlike model, 2 beads

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

<∆x

(t)

∆x(t

+T

)>

wormlike model, 5 beads

Experiment: We=1.3Experiment: We=6.3Experiment: We=19Experiment: We=19DPD: We=1.3DPD: We=6.3DPD: We=19

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

Ux T / L

y

<∆x

(t)

∆x(t

+T

)>

wormlike model, 20 beads

�)(�K+*�@�, [�-R[ ��7#*�391 >V1!@c@�,56F4�3�(M1+I?1�BS<E1�67,�>V*2674�@Q,�SH39,AI2.�(71�I � C�,�@�.9*2.�!) � O�>V1�< ? 4�@9,;:fG�(M390E,�S ? ,�@�(7</,AIN3�486�` �54� � ��:�483�4�ODBY1!@#C�4�@�(M1+*2.���K*2.9(MI�Kc3�0�,KI�1+I�L .�3�4�K�K+,�@�,A:JC C .�>O0�,5<E, -

<��� ��� �G��� � ��� ���� �X"�) ��$ ��'

�#1+I�L ,�gN*�(76M(�W�@�(M*�<;>V1+I I�K�*�@�4839(71�I2. ? @�,A.9,5IN3?4�I 4�:�:�(M39(71�IZ486�>O024�6M67,5I�K�,E1�I_3�0�, ? ,�@cBY1�@�<E4�I�>V,>1�B�3�0�,J(7IN39,VLK�@O4�3�(MI�K=.c>O02,5<E,A. - 0 IR1�@O:�,�@ 391B:�,5<E1�IZ.�3�@�4839,^3�0�,E4�>�>5*�@O4�>�AB1�BQ3�0�, ? @91 ? 1N.�,;:d486�K�1!@9(M390�<>.�OPGG,/,�S�48<E(7I�,3902,],�ZS,b>@3X1�B 3�GG1c:�(�Za,�@�,5IN3�3�(M<E,5L .�39, ? .�1+I ? 0DA�.9(�>A486�g+*Z48IN39(M39(7,A.G.�*P>O0 4�.�3902,]<E,A4�IJ<>4HS�(7<?*�< ? @�1 C�,b>@3�,A:<E1�67,�>5*�674�@�,�SH39,5IZ.�(71�I *�I2:�,�@X.�39,;4�: A>.90�,A4�@ - � 4DCH(7I�K/,A.�3�4�W26M(F.�02,A:J4/.94839(F.�B4!>@3�1�@�A ? ,�@cBY1�@�<>48I�>5, 1�B E 1HGG, � .

Page 146: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

MbQ!Q

<E,V3�0�1�:iG�(M390 � ^.L#��M�J(7Ii,�gN*�(767(�W�@�(7*�<�O �)(�K+*�@9, [H- �=:�,5<E1�I2.�3c@O4�3�,A. 390�, ? ,�@cBY1�@�<>48I�>5,?1�B�390�,E<E,V3�0�1�:BY1�@f3�0�,J.�48<E,/39(7</,5L .�39, ? @�4839(71+.f*�I2:�,�@^.90�,A4�@#BY1�@^4 oDL WZ,;4�: � > � O%4�I2: >V1+< ? 4�@�,A.]390�,n@�,A.9*�6M3�.#G�(M390"�S`� o �G4�I2:_,�S ? ,�@�(M<E,AI+3O486�:24�3�4 � �� - TX0�,>3�(M<E,5L .�3�4�K�K�,�@9,;:_.c>O0�,A<E, ? @91�:�*P>V,A.c4d.�67(�K�0N396�AR6F4�@�K�,�@K<E1�67,�>V*2674�@,�SH3�,5I2.9(M1+I � � � BY1�@��q^ L�G�(M390 4d<>4�SH(7<?*2< :�(F.94�K�@�,5,A</,AIN3^I�183?<E1!@9,E3�0248I M�

�� O)4�I ,�SH3c@�,5<E,A6�A_4�39L

3c@O4�>V39(7C�,X@9,;.�*26e3�BY1�@#4�6M6 ? @O4�>V39(`>5486 ? *�@ ? 1+.9,A.�ODK�(7C�,5I=390�, ��4867</1N.�3X67(MI�,;4�@�� � � �i.�4DCH(MI�KN. - �#1HGG,5C+,�@bO �=^,M�.90�1HG#.�.91�<E,f:�,�K!@�4+:�4�3�(M1+I>1�B 3�0�,f<E1�I�(M391!@9,;:=4DC�,�@�4�K�,;: gN*24�IN39(M3�A�ODG�(e3�0B4 [ s :�(7.�4�K!@9,A,5<E,5IN3�483G3�0�,U0�(�K+0�b,5(F.9.9,5IDWS,�@�KcIH*�<hWZ,�@Y@9,�K�(7</,;. - TX0�,f,�ZS,b>@3�1�B%390�,^:�(�Za,�@�,5IN3�' >O0�<E(7:�3#IN*2<fWS,�@ � )_^ ��� � ��� �������`� ��� � �� ������� ��(7.4867<E1+.�3V>5,�@93�4�(MI�6�AE,�S�>V67*2:�,;: 4+.�4 ? 1+.�.�(�W�67,k@�,A4+.�1+I=.�(7I�>5, ) � � 48I2: :�1H,A.GI�1�3�:�, ? ,5I2: 1�I , &��(7I2:�,A,A: O4^.cA�.�3�,5<>4�3�(�>k>5486`>V*2674839(71�InK�(7C�,;. )_^ �joC� Q�XBY1�@ �=^:M���M���O�@�,A. ? ,b>@39(7C�,A6�A!O�*�IZ:�,�@�390�,;.�,X>V1+I2:�(M39(71�I2. - TX02,67(M<E(M3�4�3�(M1+I2.G1�B 3�0�, ? @�1 ? 1+.9,A:J.�>O0�,5<E,;.�*�IZ:�,�@�.90�,A4�@G4�@9,X>V67,A4�@ �NI�1�I�L ,�gN*�(767(�W�@�(7*�< >V1+I I�K�*�@�4839(71�I2.�(M< ? 1+.9,,�SH3�@�4F>51�I2.�3c@O48(7IN3�.�1�I>3�0�, C�4867*�,]1�B �=G�0�(76M, 390�,U,�@�@�1�@O.dWZ,b>V1�<E,U4 ?�? 4�@9,AIN3�4�3G0�(�K+0=.90�,A4�@�@O4�39,;. - �b,kG�(76M6@�,5CH(7.9(M3#390�,^391 ? (�>JW2*�3kGG,?:�(�K�@�,A.�.X(MIT390�,^I2,�SH3U.9,�>V39(71�IB391=:�(7.�>V*2.�. :�( Za*2.9(M1+IT48I2:B3�0�,?,�ZS,b>@3 1�B�' >O0�<E(7:�3IH*�<fWS,�@ � ) �G(7IB390�,?`���`_.�(7<?*2674839(71�I2. -

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

We = Ux τ

R / L

y

frac

tiona

l ext

ensi

on (

norm

aliz

ed b

y m

ax. c

onto

ur le

ngth

)

DPD,∆t/δt=1 Lowe: 5 beads (τ~45.6)DPD,∆t/δt=6 Lowe: 5 beads (τ~45.6)DPD,∆t/δt=10 Lowe: 5 beads (τ~45.6)BD: 20 beads (Hur et al. 2000)Experiment (Smith et al. 1999)

�)(�K+*�@�, [�- � � �NZS,b>@3X1�B �=^,M��cL#��M�^*�I2:�,�@�.�02,A4�@ - �T4HS�(7<?*�< ? @91 C�,�>@3�,A: 4DC�,�@O4�K+,#,�SH3�,5I2.9(M1+I=1�B)4'oDL WZ,;4�:` ��4i<E1�67,�>5*�67,K</1�:�,A6M,;:1WDA=390�,�� ���kBY1�@�<?*2674cC�,�@�.9*2. ��� - �#,�@�, (*&�^ �," ��M!O�\^ �5" o -

Page 147: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

MbQ��

')( � � �� ����� - 5���� �����05 � � � �� � 5 - � 5 � � �

TX0�,F>O024�@�4!>@3�,�@�(�e;4�39(71�I 1�BP3902,^.�(7<?*�6F4�3�,A: �2*�(F:W(7Ii`���`b(F.#1�B)<>4 C�1!@�(M< ? 1�@93�4�I�>V,#BY1!@�390�,?*�I2:�,�@�.�3�4�I2:�(7I�K1�BP3�0�,c.�3c@�,5I�K�3902. 48I2:�GG,A4�%NI2,A.�.�,;.X1�BP390�,c<E,V39021H: - 0 IW390�(F. .9,�>V39(71�I GG,^,�S�48<E(7I�,JBY*�IZ:�48<E,5IN3O486�gN*24�IN39(ML39(7,A.�OZ.9*�>O0d4�. %N(7I�,A<E4839(`>fCH(7.�>V1N.�(M3�A + ^ ��T48IZ:B:�( Za*2.9(M1+I\>V1H, >V(7,5IN3���� 4�I2: 390�,A(�@ :�, ? ,5I2:�,AI�>V,?1�IW3902,. ? ,b>V(�IP> ? 4�@O48<E,539,�@O.G1�B),A4�>O0d`��2`b(MIN39,�K�@O4�3�(MI�KE.�>O0�,5<E, -

TX0�, ? ,�>V*26M(F4�@PC�,A6M1 >5(e3�A��� � 1�B ? 4�@�3�(�>56M,��h(F.Q:�,�I2I2,A:?4+.��� � ^ � � )��� ��� � O�G�0�,�@9,��� ��� �)(F.�3�0�,�.�3�@9,;48< C+,5671D>5(e3�A4�3 ? 1+.9(e3�(M1+I�� - �21�@K4=.cA�.�3�,5< 1�B " ? 4�@�3�(�>56M,;.]1�B�<>4�.�. ' � ,A4!>O0 �Y(7IR1+*�@K.�(7<?*2674839(71�I2.U48676 ? 4�@939(`>V67,A.U4�@�,4�.�.9*�<E,A:E3�1c024DC+,#*�I�(M3X<E4+.9.�� ODGG,]:�,�I2I�,]390�, ���hL >51�< ? 1�I�,AI+3X1�B�390�,f.�3�@9,;.9.�39,AI2.91�@�3�0�@�1�*�K+0>390�,@0 @�CN(7I�K�L f(�@�%DGG1N1�: BY1�@�<?*�6F4 � M�!o��

"!$# ^ ) Mg&%8g('�g&) �(*+ � � � ' � �

� � ! �� � # �,*+ � � � *+�.- � � ���

!0/ ��� # ��1 243 -65879 0�,;:9, / � � # (7.#390�,<� L>=51�<�?Z1+I�,5IN3 1A@P390�,^I2,V3B@Y1C:D=5,?4A=V39(7IFE>1�IG?24A:�3�(H=56M,I�X:�*�,^391J?24A:�3�(H=56M,#�0KS48I2: � � � ! (7.3902,BL LM=V1+<�?S1�I2,5IN3Q1$@23�0�,5(H:�:�,56F4�39(7C�,�?S1+.9(e3�(M1+IcC+,;=@3�1A: -ON 3�(F.P(MIN3�,P:�,A.�39(7IFE 3�1KI�183�,X0�,P:�,G3902483P,RQN*24�3�(M1+I 3 -65 (7.:�(H:9,R=@3�66S?4A?F?�67(H=A4$T�67,X(MIE(M3�.U=5*F:D:9,AI+3V@Y1A:�< 3�1f390�,�C+,5671W=5(e3XSNL>YQ,P:�6M,53)<E,5390�1�:�T�*�3 �[Z J]\ 1 9 , � .).D=O0�,A</,CK 9 0�(^=O06F4A=`_�.G,.ab?�67(H=5(e3�=A486^=V*�6F4�3�(M1+I 1A@P:�(F.�.�(H?24�3�(MC+, � :�4�I2:�1�<c@Y1C:D=5,A. -]d 1E3902(7.�,AI2:eK 9 ,f?F:�1A?S1+.9,U4E<E1�:�(6g0=54839(71�IB1$@,;QN*24839(71�I 3 -65 3�1=(7Ih=V1C:i?S1A:O4�3�,f390�,/C�,A6M1b=5(e3XSj:9,5L\,RQN*�(M67(HTF:�4839(71�I�kmlonK(7I�\�1 9 , � .#.D=O0�,A</,c(MIN3�,P:D?F:9,539,;:d4�. 4�I4�:2:�(e3�(M1+I2486[@Y1C:D=5,U39,P:�<p

O!q#Jrts 5g % g ' g ) ��*+ ��� � ' � �� �! �� � # �u*+ ��� � *+ �.-� � ���

!v/ ��� # �w*+ ��� � *+�.-� ' � � � �

! , � � #, & ��1 243 - xC7

9 0�,;:9, , &#(7.U3�0�,c39(7</,;.�3�,P?y@Y1A:U3902,E.91�67C�,AIN3 2 (7IR390�,>.�3�4$ECE�,;:9,;:d.i=O0�,A<E,?3�0�(7. 9 1�*267:y=V1A:D:�,A.i?Z1+I2:B391B3902,<>4qa�(7<?*�< 1$@�� , & 1 (*& � 7@-fd 0�,c:bSHI24�<E(H=?CN(F.D=V1+.9(M3XS{z 1A@Q390�,}|2*�(F:T(F.f:�,V3�,P:�<E(MI�,;:d*�I2:�,P:f.�0�,;4$:]390F:�1�*hE�03902,�391�3�486S.�02,A4$:�.�3D:9,;.9. %;' 2� (7.�390�, :�(6:�,;=V39(71�IE1$@a3902,].90�,A4A:�48I2: � 390�, 9 4�6M6ML\I21A:�<E4�6�:�(H:9,R=@39(71�I 7 390F:�1�*hE�0

z r %R'!) 1 !) r %g&' 1

Page 148: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5Rx��48IZ:>3902,P:�,.@Y1A:�,]390�, _H(MI�,A<>4�39(^=]CN(F.D=V1+.9(M3XS/(F. + r � � r � ��� ��� ���

* -�� ,P:�,AK !)W(7.XI�1�3�3�1}TS,I=V1+Ib@Y*2.9,A: 9 (M390 3902,:�(F.9.9(H?24�3�(MC+, @Y1C:D=5,I=V1H, J=V(7,5IN3�) -

N I_3902(7. 9 1C:i_ 9 , 9 (76M64KP0�1 9 ,5C�,;:;K�*2.�, 4d:�(a,P:�,5IN3c4A?F?F:�1+4C=O0�@Y1C:}=54�6H=5*�6F4�39(7IFEW3�0�,JCH(7.D=V1N.�(M3XS - � 4A=`_�,;:�� JH� ��� 5������ .9*FEAE+,A.�39,;:W390�, E��� M Z 2 M L�� Z M�� ��� M � ���H Z � </,5390�1�:eK 9 02(H=O0m=V1�IZ.�(F.�3O.#1A@�.�(7<�?�6HST.�*F?S,P:�(7<�?S1+.9(7IFE4�=V1�IZ.�3O48IN3&@Y1C:D=5,��A% 1 s �A%?(7IJ3�0�, � L :�(H:9,R=@39(71�I @Y1A:X48676[?24$:939(^=V67,A.�� 9 (M390 � � � � ���� K � � � # ���� :9,;. ?S,;=V39(7C�,A66S -d 0�,AI"Kv@Y1A:f4J?S,P:�(M1�:�(^=?.9(M<c*�6F4�39(71�IGTS18ad1$@�67,5IFE�390bg&'/(MIi390�, � s :�(6:�,;=V39(71�I"KSIH*�<�TS,P:f:�,AI2.�(M3XS � KaC+,5671W=5(e3XS?F:�1$g267, 2� 7 (7I=3�0�, � L :�(H:9,R=@3�(M1+IW4�I2:B:bSHI248<E(^=fCN(F.D=V1+.9(M3XS zi3�0�,f@Y1�676M1 9 (7IFE}@Y1A:�<?*�6F4/0�1�6F:�.;p

� � % 2 � �� 7 �58x z

r xg(' ' ��! ��' � � 2�� 7#" �

$�,;E+4$:O:�(7IFEc390�, &P1+(7.9,5*�(7676M, ?F:�1$g267,f</,5390�1�:eK2(e3#(F.�(7I+3�,P:�,A.�39(7IFE/391EI�1�39,f390Z4�3;p

5+- N 3#,567(M<E(7I24�3�,A. ?S1+.�.�(HT�67,^4$:939(6g0=V(F486 .9(F:�,VL ,%a,;=V3�.�@�:�1�< (7<�?Z1N.�(M39(71�IW1A@)1�390�,;:�3XSW?Z,;.�1$@]TZ1+*�I2:�4A:iS{=V1�I�L:�(e3�(M1+I2.;K%.9(MIh=5,J(M3<:9,;.�*�6M3�.^(MI 4j@Y*�676HSy?S,P:�(M1�:�(^=�|21 9�9 (e3�0 48676Q390�, 4�:�C�48IN3O4$E�,;.K. ?Z4�39(F486�?S,P:�(71H:�(H=5(e3XS024�.G3�1/1�S,;:B=V1+<�T�(7I�,A: 9 (M390T4�&P1�(F.�,A*�(76M67, ?h:91Ag26M, -

x�- � 1�390B1A?F?S1+.9(M39,�&P1�(F.�,A*�(76M67,f?F:91Ag267,A. =54�I{TS,K*2.9,A: 391E1AT�3�48(7ITZ,53�3�,P:#,AI2.�,A<�T�67,K4DC�,;:�4AE�,A. -& - � 4C=`_�,;:'� J H� �'� 5��(�)� 024DC+,^:�,5<E1+I2.�3D:�4839,;:=3�024�3U(e3](7. </1C:9,c4A=P=5*F:O4�39,f3�0248Id1�390�,;:]4�66:�,A4+:bSJ,.a�(F.�3�(MIhE

</,5390�1�:�. -

�Z-+* *F:G.�39*Z:�(M,;.(@Y1A:�TZ1�390BC Y 48IZ: \ 1 9 , � .�<E,5390�1�:�.G(7I2:�(^=54�3�,U4cI�,;E�67(6E+(6T�67,]:�(7.�4$EC:9,A,5<E,5IN3�1A@$ 2 5�� ��, 7TZ,53 9 ,A,5I 390�, =51�<�?�*�3�,A: CN(F.D=V1+.9(M3XS CD4�6M*2,A.ECH(74R3�0�,d.�0�,;4$:J.�3i:�,A.�.E48I2: &P1�(F.�,A*�(76M67, |Z1 9 <E,V3�0�1�:�.PK:9,AI2:�,P:�(7IFE}TS183�0W</,5390�1�:�.-�/.�� M 1 H� ����GJ�@Y1A:#4�6M6e?h:�4C=@39(^=54�6e?�*F:D?Z1N.�,;. -

0)(6E+*F:�, 3 - 1 .�021 9 .�.9*h=O0 4�?F:�1$gZ6M, 9 (e3�0=3�0�,I=V1C:i:�,A.i?Z1+I2:�(7IFE?4DC+,P:O4$E�,;:E1�I�,CKH391CE�,V3�0�,P: 9 (M390 390�,f?24A:�4ATZ1+6M(^=67,A4�.�3�L .DQ+*Z4$:�,A.�g�3 -Bd 0�,c4A:9,;4c*2I2:�,P:]3902,<:9(HE�0N3 =5*F:�C�,<=54�IGTZ,�=54�6H=5*�674839,;: ,A(e3�0�,P: TWSB:�(H:�,;=@3�66SB(7I+3�,PEC:�4839(7IFE3902, g23�39,;:{QN*24+:b:O4�39(^=#1C:(TWSJ.�3�4�I2:�4$:O:>(7IN39,PEC:�4839(71�IJ:�*�67,A. -�2 676e:9,;.�*�6M3�.(?F:�,A.9,5IN39,;:J0�,;:9,U*2.9,U4�I2486HSN39(^=#(7IN39,VLEA:O4�3�(M1+I=1A@%3�0�,fg�3�3�,A:QN*24�:F:�4839(^= -

Page 149: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5Rx��

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ux profile

L y

−0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Ux profile

L y

DPD dataParabolic Fit

0)(6E+*F:�, 3 - 1 p���48<�?�67,^:�*24�6e?24$:O4$TS1�67(H= 2 6M,P@j3 7 4�I2: :�,.|Z,;=@3�,A:B48I2:{g�3939,;: 2 :9(HE�0N3 7 ?F:91Ag267,A. -

d 0�,UC�,A6M1b=V(M3XSE48*�3�1W=51A:D:9,A674839(71�I�@Y*�Ih=V39(71�I 2 � 4 � 7 =A48I{:9,AC�,A4�6�(7Ib@Y1A:�<>4�39(71�IJ@Y1A:�390�,U*�I2:�,;:96HSH(MIhE?I24839*F:�, 1A@�4:bSHI24�</(^=54�6F?F:�1b=V,A.�. - �b,�=V1+I2.�3D:9*0=@3Q(e3G4�.V@Y1�67671 9 .Pp�(U(MC+,5I>48I>4$?h?F:91C?F:�(74839,X1A:�(6E+(MI/1$@S39(7<E,AK 9 ,#:�,5I�1�39,X3902,C�4867*�,f1$@P48676Z3�0F:�,5,I=V1+<�?S1�I2,5IN3�.X1A@ 390�,KC+,5671b=V(M3XS>C�,;=V391C:X4+. � " � � � r�� � " � � � 1 � " � � � 1 � " � � ��� -�d 0�,fC+,5671W=5(e3XS=V1+<�?Z1+I�,5IN3�.�483 48IW4$:DT�(M3i:O4$:DS/(7I2.�3�4�I+3 ��� r � 4$:�, :�,;=51A:O:�,A:eK�4�I2: 390�,^.D=54�674A: QN*24�IN39(M3XS

� � " � � � r 5� *+ � � � �" � � � � � " � � �

(F.�3�0�, � 4 � �$@Y1A:P.�0�1C:�3RK 9 , 9 :9(M39, � � 2 7 r � � � 2 � 7 � � � 2 7 � -�d 0�, � 4 ��?h:91�CH(F:�,A.%C�4867*24$T�67,�(7Ib@Y1C:9<>4�3�(M1+I?4$TS1�*�33902,/.iS�.�3�,5< � .U*�IZ:�,P:�66SH(7IFEJ@�:�,;QN*�,AIh=V(7,A.;K 48IZ: 9 0�,5IR(e3^:�,R=548S�. 391��A,P:�1 4+. � � Kh(M3f=A48I�TS,/(MIN39,;EA:O4�3�,A:391 =A486^=V*�6F4�3�,]3�0�,^:�(�S*Z.�(71�IG=V1H,� =5(M,AIN3����&p

��� r 5& � ���� � � � � 2 7 "���

d 0�(F.�3XSW?S,]1A@�:�,.gZI�(e3�(M1+I=1A@%4K3D:�4�I2. ?S1A:93(=51N,� J=V(7,5IN3 2 .�*0=O0=4�.���� 7 390F:�1�*FE+0J48IJ(7IN39,;EA:O486S1$@�4�=51A:D:9,A674839(71�I@Y*�Ih=V39(71�I (7.E4�� �/�/��� /������ ZG:�,56F4�3�(M1+I � 5�� 3 �\- � � <>48S 486F.91�TS,j=A486^=V*�6F4�3�,A: 3�0F:�1�*FE+0 390�,B<E,A4�I�L .DQN*24$:�,:�(F. ?2674C=V,5<E,AI+3X1$@ ,;4A=O0W`���`�?24$:939(^=V67, -VN I ?h:�4C=@39(^=V,CKN390�,U(MI2(e3�(74�6SC�4�6M*�, � " � � � (F.&:�,A.9,V3�:�*F:�(7IFEc4/.�(7<?*2674839(71�IIH*�<E,P:�1�*2.]3�(M<E,A.^(MI_1A:O:�,;:]3�1G=V1�6767,;=@3^<E,;48I�(7IFE$@Y*26Q,5I2.9,5<}T�6M,>4DC+,P:O4$E�,;.#3�024�3<=A48I TZ,E,;4�.9(M6HST(7I+3�,PEC:�4839,A: -N @X390�,J39(7</,;.�3�,P? (F.I:�,56F4�39(7C�,A66Sb.�<>4�6M6 2�� [ � � �F587 390�,J(7IN39,;EA:O486U=54�I TZ,=4C=P=5*F:�4839,A66S�=A486^=V*�6F4�3�,A:b*2.9(MIhET4

Page 150: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5Rx��.�3�48IZ:�4$:O:J3D:�4A?Z, �51+(7:�4�6a1A:�<E(7:F?Z1+(MIN3B:�*�6M, -

d 0�,I@Y*2I2:�48<E,AI+3O486P:�(�S,;:9,AIh=V,;.BTS,V3 9 ,5,5IW3�0�,^CWY&4�I2:G\ 1 9 , � .#.D=O0�,5<E,K<>48I2( @Y,;.�3]390�,A<E.9,567C�,;.�(7Id390�,cC�486ML*�,;.#1$@Q3�0�,?:�(�a*2.�(71�Iy=V1H, J=V(7,5IN3 ���&K23�0�,?CH(F.i=51+.9(e3XS + 48I2:W,AC�,AI+3�*248676HS=3�0�,��b=O0�<E(F:H3]IH*�<}TZ,;: ) r ����=O024A:�4C=@39,;:9( �5(7IFER390�,T.9(7<?*�6F4�3�,A: |2*�(F: - ( :�1H183J48I2: �_4$:D:9,AI � 3 5%� .�021 9 ,;: 3�024�3>3�0�,TCWY <E,V39021H: @Y1C:J4IH*�<�TS,P:/:�,5IZ.�(M3XS � r & 48I2: 4T:�(7.�.�(H?24839(71�I 48<�?�67(M39*2:�,�) r � � 3 � ?F:�1�:�*h=5,A: �b=O0�<E(F:H3cIH*�<}TZ,;:^C�4867*�,A.=V671+.9,U391>3�0�1+.9,f?F:�,A:�(^=@3�,A:TWSJ3�0�,f390�,A1A:DSAKFT2*�3 ,.aH3D:9,A</,A66SB.�<>4�6M6"=51�<�?24$:�,A:=391 :9,;486[|2*�(F:�. 2 390F:�,5,?1A:O:�,P:O.1$@P<>4$E+I�(e3�*2:�,K.9<E4�6M67,P: 7@- �b,K(MIHC+,A.�39(HE+4�3�,U390�(F.X(7.�.9*�,KI�,.aH3 -

<�������� �� �&��" � $�9 ��� � $��K� ���O��� � � � �i������"����� ���i� �����h� �X" � ��$ ������� �"!$#%!'&�(

N Ii1C:�:�,P:]391=(7IHC�,;.�3�(6EN4�39,?390�,/,%a,;=V3K1$@�3�0�,/:�(7.�.�(H?24839(7C�,c4�I2: :O48IZ:�1�< =V1H,� =5(M,AIN3�.#) 1 � 1�Ii390�,}|2*�(F:eK 9 ,=V1+<�?�*�39,���UK + 48I2: ) @Y1C:/4 9 (7:�,j:O48IFE+,J1$@ C�4�6M*�,;. - 0)(HE�*F:�, 3 -65)� .�021 9 .^3�0�,j=51�<�?�*�3�,A: :�(a*2.9(M1+I=V1H,� =5(M,AIN3;KhCH(7.D=V1N.�(M3XSd48I2: �b=O0�<E(F:H3KIN*2<�TS,P:O.�@Y1C:K4 � ����� L4?Z4$:939(^=V67,f|2*�(F:eK (7IR4 5�� 5�� 5)� .9( �A,A:yTZ18a9 (M390i4J39(7</,5L .�39,;? � r � � �F5 48IZ:T4J=V1+I2.9,P:�CD4839(7C�,f@Y1C:D=5,�=V1H, J=5(M,AI+3 � � � r 3 �*),+ �.- � - 021A:#3�0�,?CH(F.i=51+.9(e3XS=54�6H=5*�6F4�39(71�IZ. 9 ,>4$?F?�6HST4j=V1�IZ.�3O48IN3 @Y1C:D=5,?1A@�<>4$E+I�(e3�*2:�,-� % r 5 4�. ?F:9,ACH(M1+*2.�6HST:�,;.i=P:9(HTZ,;:d3�1 1CT�3�4�(MIb4?S,P:�(M1�:�(^= &P1+(7.9,5*2(M676M,�?F:91Ag267, - ( :91H1�3U48IZ: �_4$:D:9,AI � 3 5 � =V1C:i:�,;=V396HSB4A:iE+*�,K390Z4�3U390�,ECWY&.D=O0�,5<E,�?F:�1H:�*h=V,;.*�IF:�,A4�6M(F.�39(^= C�4867*�,;.U@Y1C: ) -�d 0�, =A486^=V*�6F4�3�,A:=CD4�6M*2,]1A@ ) r 5�� �(�0/ � � � & @Y1A: � r & � � 3b1 � r & ?F:�1�CH(7:�,A:>(7I� 3 5 � (F.�(7IG:9,;4�.91�I24AT�67,U4AEA:�,5,5<E,AI+3 9 (M390B3902,^1�I�,K.90�1 9 IW0�,P:�, 2 ) � 5�� & @Y1A: � r & � � 1 � r � 7V-&d 0�,K<>48(7I?S1�(7I+3#02,P:�,U(F.G390Z4�3�3902, �b=O0�<E(7:�3#IN*2<�TS,P:#(F.21 2 5R7 @Y1C:X390�,KCWY <E,V3�0�1�: -3T4A:�.90 � . � � K 5��,4 K 5)���)� 390�,A1A:�,V39(^=54�6Z,;.�3�(M<>4839, 1+I>3902,�_H(MI2,5<>4�3�(H= CN(F.D=V1+.9(M3XS + 2 � 7 @Y1A:�4�IJ(F:�,A4�60EN4�.&=51�I2.9(F.�3O.1$@�4d:�(F.9.9(H?24�3�(MC+,c3�,P:�< 3�024�3K3D:�4�I2.X@Y,;:�.f<E1+</,AIN39*�< 390F:�1�*FE+0y?Z4$:939(^=V67,J=V1�6767(7.9(M1+I2. 2 � � � 7 4�I2:_4_N(7I�,539(^==V1+IN3i:�(6T�*�39(71�If390Z4�3)3i:O48I2. @Y,P:O.h<E1�<E,5IN3�*�< 390F:�1�*FE+0<?24A:�3�(H=56M,�<E1�39(71�I?4�I2:K:�(F. ?�6F4A=5,5<E,5IN3 2 � � �

� 7 KDI248<E,A66S

+ 2 � 7 r � � 2 ),+ � 7 �x�5 � � �76� �

� 5 � � � � 7�5 � 3 �*),+ � � 243 - & 7

0)(6E+*F:�, 3 -H5A5 .�021 9 .#4�:9,;4�.91�I24AT�67,U4AEA:�,5,5<E,AI+3�1A@)3�0�,^(F:�,A4�6"E+4+. ?F:�,A:�(^=@3�(M1+I 9 (e3�0W390�,�=51�<�?�*�3�,A::�,A.9*�6M3�. -�b,}=V1+<�?24$:�,f390�,/48I24�66SN3�(H=A486 ,PaW?h:9,;.9.9(M1+I 243 - & 7 9 (e3�0d390�,E`���` C�4867*�,A.B@Y1A: =51�I2:�(e3�(M1+I2.�=51A:D:9,;. ?S1�I2:�(MIFE/3�1

Page 151: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5Rx 3

0 2 4 60.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

σ

Diff

usio

n co

effic

ient

DT

Velocity−Verlet (δt=0.01)

0 2 4 60.2

0.75

1.3

σ

Kin

emat

ic v

isco

sity

ν

0 1 2 3 4 5 61

1.5

2

2.5

3

σ

Sch

mid

t num

ber

ν/D

T

0)(6E+*F:�, 3 -H5�� p � (�S*Z.�(71�I�=51H, J=V(7,5IN3V��� 2 *F?F?S,P:)67,.@j3 7 K$_H(MI2,5<>4�3�(H=�CN(F.D=V1+.9(M3XS + 2 *F?F?S,P:]:9(HE�0N3 7 K�48I2:��b=O0�<E(7:�3IH*�<�TS,P: ) 2 6M1 9 ,P: 7 ?�6M1�3�3�,A:W4$EN48(7I2.�3 � @Y1A:�CWY -0d 0�, �b=O0�<E(7:�3#IN*2<�TS,P:#(F.21 2 5R7V- � ,;:9, )*+ � r 5+-(F:�,A4�6VEN4�. 2 � � � r �C7 48IZ: 9 4�39,;: 2 � � � r 3 �,)*+ �.- � 7@- � ,.aH3;K 9 ,c,Pa�48<E(MI2,c.9(M<E(7674A: QN*24�I+3�(e3�(M,;. @Y1A:I\ 1 9 , � ..D=O0�,5<E, -

<������� �� �&��" � $�9 ��� � $��K� ���O�����^���b����'��X" � ��$ � ����� � !'# ! !'&��7!$#%!'&�(

0�1C:I\ 1 9 , � . .D=O0�,5<E, 9 ,/(MIHC+,A.�39(HE+4�3�,^3�0�,>.94�</,/. S�.�39,A< 48I2:i(e3O.K:�,P?S,5I2:�,5Ih=5,c1+IT3902,�?Z4$:O48<E,V3�,P:f -<d 13902(7. ,5I2:eK 9 ,I?S,P:i@Y1A:�< 1+I�,^.�,;:9(7,A.#1$@Q.�(7<?*�6F4�3�(M1+I2. 9 (M390 � r � � ���h5 4�I2:B1�I�, 9 (M390 � r � � �F5+- � 1 9 ,5C+,P:RK (F.]CD4A:9(7,A:i.�1=3902483U � � � 5 1 5��(����� � � ���h5 r � ��� �(�F5 1 5%� 4�I2:T � � � 5 1 5��(��� ��� �h5 r � � � �F5 1 5%� K:�,A.i?Z,R=@39(7C�,A66S - 2 6M390�1+*FE�0GTS183�0TCWY 48I2:G\�1 9 , � . .i=O0�,A<E,A. .90�1 9 4J=V67,A4A:;KZ<E1�I�1�391�I2(H=K:�,;?Z,AI2:�,AIh=V,c1$@U� �1�I 390�,{:9,;. ?S,;=V39(7C�,J?24A:�4�<E,V39,;:�. � 48I2: UK�� � 2 � 7 1$@#CWY (7.?6M(7I�,;4$:E48I2:_6F4$:DE�,;:^(MI C�4867*�, =V1+<�?24$:�,A:b3�1��� 2 7 1A@O\ 1 9 , � .�.D=O0�,5<E,AK 9 0�(^=O0=.�021 9 .�48I=4+. SH<�?�3�1839(^=#4�I2:EI�1�I�L\67(MI2,A4$:�3i:�,5I2:eK�.9,5,�0)(HE�*F:�,A. 3 -H5Rx K 3 -H5 �Z-

0�1C:�48IE(F:�,A4�62:�(F.9.9(H?24�3�(MC+,�EN4�.;KA\ 1 9 , � .)3902,P:�</1N.�3O4�3�(F.�E�1�C+,P:�I�,A:�TWS^3 9 1f:�(7.�39(7Ih=@3�39(7</,;.i=A4867,A.;K+4+.Q.�0�1 9 IE(7I� 3 � ��4^3XSW?�(^=54�6Z3�(M<E, � (e3�3O4$_+,A.G4}?Z4$:939(^=V67, 3�1?3D:�4DC+,56h4c:�(7.�3�4�Ih=V,3��� 9 (M390W4�E�(7C�,AI=C�,A6M1b=5(e3XSCKH4�I2:=4c3XSW?�(^=54�639(7<E, � (e3]3�4$_+,A.#390�,cC�,5671b=V(M3XSj=51A:D:9,A674839(71�I2.�391=:�,R=548S -�2 .�.�*2</(7IFE>3�0�,?6F4�3939,;: 3�1JTZ,E:�,;?Z,AI2:�,5IN3U1�I�6HS 1+IUK 9 ,f024DC+,

Page 152: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5Rx,4

0 1 2 3 4 5 60.2

0.75

1.3

σ

Kin

emat

ic v

isco

sity

ν

DPD

DPD aij=0, g

x=0.1

Marsh prediction

0)(6E+*F:�, 3 -H5A5 p� f(MI�,A<>4�39(^=XCH(7.D=V1N.�(M3XS + ?�67183939,A:E4AE+48(7I2.�3 � @Y1C:�(F:�,A4�6bE+4�.Q4�I2: 9 4839,;:�:9,;?�*�6F.�(71�I�?24A:�4�</,539,;:�. �3902,^.�1+6M(F:=67(7I�,<=V1C:i:�,A.i?Z1+I2:�.�391/3�0�,f390�,A1A:�,V3�(H=A486h(F:�,A4�6eE+4�.X,Pab?F:9,;.9.9(71�I � � � -

0 20 40 60 80 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Γ

Diff

usio

n co

effic

ient

DT

Lowe (δt=0.01)

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

20

25

Γ

Kin

emat

ic v

isco

sity

ν

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

500

1000

1500

2000

Γ

Sch

mid

t num

ber

ν/D

T

DPD~ Γ2

0)(6E+*F:�, 3 -H5Rx p � (�S*Z.�(71�I�=51H, J=V(7,5IN3V� � 2 *F?F?S,P:)67,.@j3 7 K$_H(MI2,5<>4�3�(H=�CN(F.D=V1+.9(M3XS + 2 *F?F?S,P:]:9(HE�0N3 7 K�48I2:��b=O0�<E(7:�3IH*�<�TS,P: ) 2 6M1 9 ,P: 7 ?�67183939,A:i4$E+4�(MIZ.�3] @Y1A: \ 1 9 , � .#.i=O02,5<E, 9 (M390 � r � � �F5+-Bd 0�,��F=O0�<E(7:H3fIH*�<�TS,P:](7.1 2 5�� 6 7V- � ,P:�, ) + � r 5+-

Page 153: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5Rx�1

� r�' � ��) + �

1 � r 5 � � r � �r �

)*+ �' � �� � �

� ,AIh=V,CK8*�I2:�,P:)390�,X4�.�.9*�<�?�39(71�I?3902483%3�0�,XC�,5671b=V(M3XSI=V1A:D:�,56F4�39(71�IZ.�:�,R=548Sf(MI?39(7<E,G(F. � � � �� K$\�1 9 , � .).D=54867(7IFE@Y1A:X3�0�,I_H(MI2,5<>4�3�(H=fCH(F.i=51+.9(e3XS + r 5 � �� 7� - 3 � ' =54�I{TS,K*2.9,A: 391>.90�1 9 3�024�3�3�0�, �b=O0�<E(F:H3#IH*�<�TS,P:

) r ��� ��� � ������`� ����� ��� ����� � r +��� r 5 � �� 7� - 3 � '

)*+ � � � - '� 5� � �

�)*+ � �

\ 1 9 ,AKN(7I=0�(F.G1A:�(6E+(MI24�6h?24A?Z,;: � 3 � :�,;:9(7C�,;.�3�0�,f4$TS1�C�,].D=54�6M(7IFE0KN4�I2:J1+*F:(:�,A.9*�6M3�.�(MI{TZ1�390{ghE�*h:9,;. 3 -H5Rx K 3 -65��C�,;:9(6@�SJ3�0�(F.#3D:9,AI2:B391JTS,^3D:9*2,I@Y1A:U C�4867*�,A.].94839(F.X@�SH(7IFE � � � � � � ��- �b,c48IN3�(H=5(6?24839,f3�0�,c:�(F.�4$EA:�,5,5L<E,5IN3&@Y1C:�6F4$:DE�,#TC�4�6M*�,;.Q3�1^(M<�?F:�1�C�,�(6@ (7I2:�,5,;:>48I>(F:�,A4�6hEN4�. 2 � � � r � 7 (F.�.9(M<c*�674839,;: �H(MI>1+*F:�.9(M<c*�6F4�39(71�IZ.� � � r 3 �,)*+ �.- � -(N IZ:�,5,;:eKZ4�Id(7:�,;486"EN4�.B=A486^=V*�6F4�3�(M1+IW1$@P390�,c4$TS1�C�,IQN*248IN39(M39(7,A. 9 4+.B=54A:i:�(7,A: 1�*�3]4�I2:B3902,QN*24�:F:�4839(^=#:�,P?S,5IZ:�,5Ih=5, 1A@h390�, �b=O0�<E(F:H3�IH*�<}TZ,;:�1+I= 9 0�,AI � � � r � (7.�<E1A:�,B?F:�1�I�1+*�Ih=5,A:EL%390�, :9,;.�*26e3O.4$:�, .90�1 9 I>(7I�0%(HE�*h:9, 3 -H5 & - \ 1 9 , � .Q<E,V3�0�1�:J.�021 9 .UEA:�,A483U?Z1�39,AI+3�(74�6Z(7I=4+:�:b:�,A.�.�(7IFEf3902, (F.9.9*�,#1A@":9,;4867(7.�39(^= )�C�4�6M*�,;.PK�.9(MI0=V,B@Y1C:�3�0�,U,.a�48<E(7I�,A: :O48IhE�,#1A@"?24$:O48<E,V3�,P:O.Q3�0�,]<>4$aH(7<?*2< ) :9,;4A=O0�,;.�C�4867*�,;.�1A@ 1 2 5�� 7 7 K( - , - g2C�,U1A:O:�,P:O.�1$@%<>4AE�I�(M39*2:�,U6F4$:DE�,;:�3�0248I 39021+.9,U1A@�CWY - 0)(HE�*F:�,A. 3 -658x 48IZ: 3 -65�� .90�1 9 3902,^:�,P?S,5I2:�,5Ih=5,1$@)3902,<=V1�<�?�*�39,A:j���UK + 4�I2: ) 1+IB -

N I�3902,TCWY 486HE�1C:9(M390�<K�390�,iCD4�6M*2,d1$@ �b=O0�<E(F:H3=IH*�<�TS,P:=(7. 4$:�1�*�I2: 1�I2,G@Y1A:>3�0�,i.�39*2:�(M,;: ?24$:O48<E,V3�,P:O.� 3 5 � -�N 3�(7.#4�67.91 9 1C:�3�0=<E,5IN39(71�I2(MIFE/3�024�3X3902, �b=O0�<E(7:�3XIH*�<}TZ,;: @Y1A:�CWY (7.X,;.�3�(M<>4839,A: � 5��*4 K 3 5%� 3�1�@Y1�676M1 9 ) � �� �� �� � �������� �� ��� � 7���� � - d 0�(7.],.ab?F:�,A.�.9(M1+Id<E4A_�,;.#(M3 =V67,A4A:#3�024�3U390�,�=V1C:i:�,A.i?Z1+I2:�(7IFEJ4A=O02(M,ACD4AT�67,^C�4867*�,A.U4$:�,I�1�3�(MIE3�0�, .�48<E,�1A:O:�,;:Q1$@h<>4$E�I2(e3�*2:�,#4�.&\ 1 9 , � .Q.i=O0�,A<E, @Y1A:(=51�<�?24A:�4AT�6M,�� ���j:�,;QN*�(H:9,A<E,5IN3�. - �b,#I�1�39,AK0�1 9 ,5C+,P:RK8390Z4�3�(7IJ3�(M<E,5L .�3�4AEAE�,;:9,;:E486HE�1A:�(M390�<>.Q3�0�,UCD4�6M*2, 1$@h3�0�, ?24$:O48<E,V3�,P:Gi.90�1�*�6F: TS, _+,P?�3�390�,f.�48<E,4�.�(MIJ390�,f.�3O48I2:24$:O:/39(7</,5L\(7IN39,;EA:O4�391C:�.�(MIJ1C:�:�,P:Q3�1c4A=O02(M,AC�,�3�0�,].�48<E, C�4�6M*�, 1$@��b=O0�<E(F:H3XIN*2<�TS,P:�(7I TS183�0=54+.�,;. -jd 0�(F.^(F.?:�*�,J391W3902, @4A=V3^3902483^3902,=:�(�S*2.9(71�I =V1H,� =5(M,AIN3c.i=A4867,A.^4+. �� 48IZ:R(M3?(F.?4A?F?F:�18aH(7<>4�3�,56HS(7I2:�,P?S,5IZ:�,5IN3>1$@#3�0�,d.�( �5, 1$@]390�, 39(7<E,A.�39,P?�:�,;. ?�(M39, 3902,{@4C=@3/3902483c3�0�,?F:�1H:�*h=@3> , =V1+I+3D:91+67.?3902,3902,P:�<E4�6M( �A4839(71�I�?F:�1b=V,A.�.Q(7IJ\ 1 9 , � .P<E,V39021H: - 0)(HE�*F:�, 3 -65 � .90�1 9 .P3�024�3�390�,B:�,56F4qa�4839(71�I/39(7<E, @Y1A:�4 � L>TZ,;4�:

Page 154: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 & �

0 20 40 60 800

0.05

0.1

ΓD

iffus

ion

coef

ficie

nt D

T

Lowe aij=0 (δt=0.01)

0 20 40 60 800

2

4

6

8

10

12

Γ

Kin

emat

ic v

isco

sity

ν

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

200

400

600

800

1000

Γ

Sch

mid

t num

ber

ν/D

T

DPD~ Γ2

0)(6E+*F:�, 3 -H5 & p � (�S*Z.�(71�I�=51H, J=V(7,5IN3V� � 2 *F?F?S,P:)67,.@j3 7 K$_H(MI2,5<>4�3�(H=�CN(F.D=V1+.9(M3XS + 2 *F?F?S,P:]:9(HE�0N3 7 K�48I2:��b=O0�<E(7:�3IH*�<�TS,P: ) 2 671 9 ,;: 7 ?�67183939,A:B4$EN48(7I2.�3Gy@Y1A: \ 1 9 , � .G.i=O0�,A<E, 9 (M390�� � � r � 48IZ: � r ��� �h5�-]d 0�, �b=O0�<E(7:�3IH*�<�TS,P:�(F. 1 2 5)� 6 7V- � ,;:9, ) + � r 5+-

0 200 400 600 800 1000

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Γ

Diff

usio

n co

effic

ient

DT

Lowe (δt=0.001)

0 200 400 600 800 1000

0

50

100

150

200

250

Γ

Kin

emat

ic v

isco

sity

ν

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

Γ

Sch

mid

t num

ber

ν/D

T

DPD~ Γ2

0)(6E+*F:�, 3 -H5 � p � (�S*Z.�(71�I�=51H, J=V(7,5IN3V� � 2 *F?F?S,P:)67,.@j3 7 K$_H(MI2,5<>4�3�(H=�CN(F.D=V1+.9(M3XS + 2 *F?F?S,P:]:9(HE�0N3 7 K�48I2:��b=O0�<E(7:�3IH*�<�TS,P: ) 2 6M1 9 ,P: 7 ?�6M1�3�3�,A:d4$EN48(7I2.�3Xm@Y1C:B\ 1 9 , � .G.D=O0�,A</, 9 (M390 � r ��� �(�F5�-�d 0�, �F=O0�<E(7:H3#IH*�<}TZ,;:�(7.1 2 5�� 7 7V- � ,P:�, ) + � r 5+-

Page 155: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 & 5��� � .i=A4867,A.�:�1�*FE+0�6HS 4�. � @Y1A:{\ 1 9 , � .c<E,5390�1�: - N IN3�*�(e3�(M1+I .�*h?F?Z1C:�3O./390�(F.;KX.9(7Ih=V,dCH(F.i=51+.9(e3XS .D=54�6M,;.67(MI�,;4$:�66S 9 (e3�0W_4+. 9 ,A6M6 -

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Γ

long

est r

elax

atio

n tim

e τ

DPD

∼ 9.1 × Γ

0)(6E+*F:�, 3 -H5 � p�\�1�IFE+,A.�3�:9,A674$a�4�39(71�I_3�(M<E, ��@Y1A:?390�, 9 1C:9<E67(6_+, =O0248(7I 2 � TZ,;4�:�. 7 ?26M1�3�39,;: 4$EN48(7I2.�3c @Y1C:)*+ � r ��� x�-

')(�� � � 9������� ��� � � �� 1 � 3���� 5 ,.- � �����}��� � �������! " � ��

�����$#

d 0�, �b=O0�<E(F:H3/IH*�<}TZ,;:�:9,;.�*�6M3�.}?F:�,A.9,5IN39,;: (7I 0)(6E+*F:�, 3 -658x <E1839(7C�4�3�,=3�0�,{:�,VLM=54�6H=5*�6F4�39(71�I 1A@#3902, <E,A4�I@�:O4A=@3�(M1+I24862,.aH39,AI2.�(71�IE1A@h4 9 1A:�<E6M(H_�, =O024�(MIE<E1�67,;=5*�67,#*�I2:�,;:�.90�,A4A: - 3d1A:�,#.i?Z,R=V(6g0=54�6M6HSAKN.�(7Ih=V,X3�0�,B?24A:�4�</L,V3�,P:�G=51�IN3i:�1�6F.)3902, �b=O0�<E(7:�3�IH*�<�TS,P:RK+4�I2:E48676�390�, =5486^=V*2674839(71�I2.P(7I>.�,R=@39(71�I 3 - x 9 ,P:�,#:�1�I�, 9 (M390> r ��� �2 )E[ & �A7 K 9 , :�,P?S,A483K1�I�,J=A4�.9, 2 390�, � L4TS,A4+:y=O0Z48(7I 7 @Y1A:^ r xCx 4�I2: � ��-Jd 02,A.9,/C�4�6M*�,;.<=V1C:i:�,A.i?S1�I2:391=390�,/<E1A:�,�:�,A4�6M(F.�3�(H= )^[ �(1�� 4�I2: x�� 3 � Kh:�,A.i?Z,R=@3�(MC+,56HSAKh4�3 ) + � r � � x�- 0)(6E+*F:9, 3 -H5�� .�0�1 9 .]4J<c*h=O0TS,V3�3�,P:>4$EC:9,A,5<E,5IN3/1$@#3�0�,B4DC+,P:O4$E+,A:bC�4867*�,A. 9 (e3�0 3�0�,B,.ab?Z,;:9(7<E,5IN3�4�6G:24�3�4hK�C�,;:9(6@�SH(MIhET3902,j=51�I2.9(7.�39,AIh=.S1$@G3902,/CH(F.i=51+.9(e3XSR48I2:b:�(�S*2.9(71�I�=54�6H=5*�674839(71�I2.]3�024�3K3�0�, ?Z1 9 ,P:i@Y*�6�4�6e3�,P:�I24�3�(MC+,�\�1 9 , � .f.D=O0�,5<E, ?F:�1�CH(7:�,;.390h:91+*FE�0>3�0�,f4�: C�*2.�39<E,AI+3�1A@� - 3d1C:9,A1�C�,P:RK81A@�(MIN3�,P:�,A.�3�(F.�3�0�,U</1+I�183�1�I�(^= :�,P?S,5I2:�,AIh=V,f1A@ 390�,f=V*h:9C+,A.�1+I ) -

Page 156: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 & x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

We = Ux τ

R / L

y

frac

tiona

l ext

ensi

on (

norm

aliz

ed b

y m

ax. c

onto

ur le

ngth

)

DPD, Γ=4.5 Lowe: 5 beads (τ∼45.6)DPD, Γ=22 Lowe: 5 beads (τ∼180.3)DPD, Γ=45 Lowe: 5 beads (τ∼414.4)BD: 20 beads (Hur et al. 2000)Experiment (Smith et al. 1999)

0)(6E+*F:�, 3 -65)� p d (7<E,VL 4DC�,P:O4$E+,A:><E,;48Ij@�:�4C=@3�(M1+I2486h,PaN3�,5I2.9(71�IB1$@Q4 � L>TZ,;4�:�,;: 9 1A:�<E6M(H_�,I=O024�(MIB*�I2:�,;: .90�,A4A:C�,;:�.9*2. ����@Y1A:U r � � � 2 )][ & �A7 KZ r xAx 2 )U[ �(1�� 7 48I2:T r � � 2 )U[ x � 3 � 7V- � ,P:�, ),+ � r ��� x�-2 IW,A<�?2(6:�(H=A486h4$?h?F:918a�(7<>4�39, @Y1A:�<?*2674 9 1+*�6F: TS, )#[ 5 � � � K�(7IB4AEA:�,5,A</,AIN3 9 (M390G\ 1 9 , � .G4$:DE�*�<E,5IN3O.� 3 � -

Page 157: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 &(&')(�� � � � -�� ��� ,.- � ��.� ��� � ��� � 9 � �87 � � ��� 9� -�� � � � � � � 5

N IW3902(7.].�,R=@39(71�I 9 ,^(7IHC�,A.�39(HE+4839,U3902,?,%a,;=V3 1$@ )f1+IW390�,c.�( �5,^1A@�?Z1+66SH<E,P:�(H=I=O0Z48(7I2. 2 <E,;4�.9*F:9,;:B390F:�1�*hE�0� ! �" � 7 (7I ,RQ+*2(M67(6Th:9(7*�< 4�I2: .�39,;4�:bSJ.90�,;4$:RKH4+. 9 ,A6M6 4+.�3�0�,5(H:�671�IFE+,A.�3�:�,56F4qa�4�3�(M1+I>39(7<E, � -&d 1c3902(7.X,AI2:eK 9 ,:�,.@Y,P:f3�1W,;QN*24�3�(M1+I 3 - & - x 3�1BC+,P:�( @�S ) � � �� � � -Jd 4AT�67, 3 -H5 .9*�<E<>4$:�( �A,A. + 1 ��� 1 )?C�4867*�,;. @Y1A:^:�(�S,;:9,AIN3=V1+<�T�(7I24839(71�I2.f1A@� 1 )*+ � - �R,J(7Ih=56M*2:�, =V1+6M*�<EI N Y 4+.K4T24�.9,567(MI2,>C Y =54�.9,�@Y1A:�=51�<�?24A:9(F.�1+I - �b,J*2.9,?S1�6HSN<E,;:9(^=&=O024�(MIZ.�.9*FTDC�,;=V3%3�1 �������c.i?F:9(7IFEN.PK 9 (e3�0?<>4qa�(7<?*�< ,PaN3�,5I2.9(HT�(M67(M3XS � $�� � r � ���PK8.i?F:9(7IFE =V1�IZ.�3O48IN3 r & �*)*+ � 4�I2:RIN*2<�TS,P:^1A@(TS,A4�:2.I?Z,;:<=O0248(7I�� r ��-Jd 0�,�:9,A674$a�4839(71�IR39(7<E,A. @Y1A:}=54�.9,A. ) r 1 2 5872 =51�67*�<EI2. N Y�K8Y 7 4A:9,�=.:�*2:�,X4$?F?F:�18a�(M<>4839(71�I2.;K;.9(7Ih=V,�390�, =V1C:i:�,A.i?S1�I2:�(7IFEB:�,56F4qa�4839(71�I<=V*h:9C+,A.):�1]I2183V@Y1�676M1 9,.ab?S1�I�,AIN39(F486�1+I�,A.]4�3f.�*h=O0d671 9 C�4867*�,A.]1$@ ) - �H,5C+,P:O486�=51�Ih=56M*Z.�(71�I2.�=548I�TZ,/:b:�4 9 I@�:�1�< 3902,?,5IN3D:9(7,A. 1$@d 4$T�67, 3 -H5 p

� � 1�67*�<EI2. N K NiN C�,;:9(6@�SG\ 1 9 , � .�?h:9,;:�(H=V39(71�IR1$@�,RQN*24�3�(M1+I 3 - & - x Kh.9(MI0=V,c390�, �b=O0�<E(F:H3KIH*�<�TS,P:O.f4$EA:�,5, -3d1A:�,U.i?S,;=V(6g0=A486766SCK ) � � �� � � r � �� 5 � � r � � �� -

� � 1�67*�<EI2. N Y�K Y =51A:D:9,;. ?S1�I2:J391>3 9 1>:�(F.�3�(MIh=V3 =54+.�,;. 2 CWY}Kh\ 1 9 , 7 024DCH(7IFE ) � 5�-(N 3#(7.;K�3�0�,P:�,.@Y1C:9,CK?Z1N.9.9(6T26M,X3�1^39*2I�,�\ 1 9 , � .�?24A:�4�<E,V39,;:�T.91f3902483�3�0�, CWY |2*2(7:>(F.U?h:91C?Z,;:96HSc.9(M<c*�6F4�39,;: - 3d1+.�3�C�4867*�,A.2 + 1 ��� 1 ) 1 � 1 � ! �" � 7 .�021 9 :�,A4�.91�IZ4$T�67,]4AEA:�,5,5<E,AI+3 -

� 2 676F=V1�67*�<EI2.Q.9*FEAE+,A.�3P3902483)3�0�,�,%a,;=V3�1$@ )�1+I/4 ��������=O024�(MI/(7I/,RQN*�(M67(HTF:9(7*�< (F.Q<E(7I�(M<>4�6 K�4+.V@4$:�4+.390�,^.�3�4839(^=I?F:�1A?S,P:939(7,A.�4$:�,<=V1+Ih=V,;:9I2,A: ��02,P:�,�� ! �" � -(N Id1�390�,;: 9 1C:�:2.PK�4�|2,Pa�(6T�67,�=O024�(MIB(7IT4>.�1+6MC+,5IN31$@f`���` ?24$:939(^=V67,A.U4�.�.9*�<E,A.U<E1A:�,?1A:U67,A.�. 3�0�,>.94�<E,/.9( �A,c(7Ii,RQN*�(M67(HTF:9(7*�<K":�,PEN4$:O:�6M,;.9. 1$@�3�0�,�|2*�(F:.�*F:D:�1�*�I2:�(MIFE/(M3 -

� � 1�67*�<EI2. N K N N .9*FECE�,A.�3J3�024�3W4$EA:�,5,A<E,5IN3J(MI �b=O0�<E(F:H3 IH*�<}TZ,;: 1A@K390�,b.�1+6MC+,5IN3 :�1H,A. I�1�3 (7<�?266S4$EA:�,5,A<E,5IN3G(7IB390�,K671�IhE�,A.�3 :9,A674$a�4839(71�I=39(7</, � -

� � 1�67*�<EI2. N N K N NiN K N Y}K Y .�*hEAE�,;.�3P3�024�3�3�0�,#.9( �A,�1$@a390�,B=O0Z48(7I/*2I2:�,P:G.�3�,A4+:bS?.90�,A4A:�(7.�:�(6:�,;=V396HSc4�S,R=@39,;:T S 3902, �b=O02</(F:H3UIN*2<�TS,P:U1$@Q3902,c.91�67C�,5IN3]483 =51�I2.�3�4�I+3 39,5<�?S,P:O4�3�*F:9, �S390�,E:�(F.94AEA:�,5,5<E,AI+3BTS,V3 9 ,5,AI=V1�67*�<EI2. N K N N @Y1C:)390�,�.90�,A4A: � ! �" � C�4867*�,A.)<E(HE�0N3�TZ,�:�*�,G3�1 3�0�,#:�(�S,;:9,AIh=V,G(MIc3902,�:�1H1839L\<E,A4�I�L .iQN*24A:9,C�,5671b=V(M3XSi1A@G3�0�,=.91�67C�,AI+3}?24$:939(^=V67,A. 2�� � � r�� 6 ��� �� 7 48IZ:b390�,B.�0�,;4$:^C+,5671b=V(M3XS 2 =51�I2.�3�4�IN3<@Y1A:?4�6M6

Page 158: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 & �

� � � � � � N NiN N N N N Y Y\ 1 9 , \ 1 9 , \�1 9 , CWY \�1 9 , r 5 K r 5)� K r ��� K � r & K r ��� � � K

) + � r � � �F5 ) + � r 5 ) + � r 5 ) + � r 5 ) + � r 5+ �2-65 3 �(� 5�- 3 x�� � 1�- � & 3 � �2- x 3 4�� ��- x�4(���� � �2- �(��� � ��- ���(1 3 ��- �F5��(1 �2- x�1F5 � ��- & 5)��� ) � & 3 � & � � ��� x � �2- 1(� � ��- 1 &� � ����� � ! �" � �2- xCx��(� ��- xAx�� � ��- xAx���� �2- xCx��05 ��- xAx��h5� � ����� � 5A5+-65 ��- 3A3 � �Z- 3 � � �2- x��Cx � ��- & 5�4� � ����� � ! �" �*�I2:�,;: .�02,A4$: �2- 1��*4(� ��- x��*4*4 ��- & 4(��1 �2- xCx���� ��- xAx 3 �9 (e3�0 !) r ����� ��- � ��� ��- & 4�� x�- & 3 � ��-H5 & 5 ��-H5 ��1

d 4$T�67, 3 -H5 p�� ,;?Z,AI2:�,5I0=V,d1$@f:�(�S,;:9,AI+3J.�3�4839(^=B4�I2: :bSHI248<E(^=jQN*24�IN39(M39(7,A./1�I \ 1 9 , � .�?24$:O48<E,V3�,P:EUKGCWY?24A:�4�</,539,;: � 48IZ:=3�,5<�?S,P:O4�39*h:9, ) + � 2 r & � ) + � K �6$�� � r � � � 7V-=V1�67*�<EI2. 7 KH.�(7Ih=5,#3902,B@Y1A:�<E,P:�(7.G4I@Y*�I0=@39(71�I 1$@ ) + � -VN I2:�,A,A:eK�4I:�1�*hE�0J=54�6H=5*�6F4�39(71�I>1A@h390�,f4$TZ.�1+6M*�3�,CD4�6M*2,A.P1$@S3902,�C�,5671b=V(M3XS�=V1+<�?Z1+I�,5IN3�.UE�(7C�,A. " � "N[ ��� �*4 @Y1C: ) + � r ��� �h5 4�I2: " � "�[ � � 4 @Y1C: ) + � r 5�-

Page 159: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��������� �

� ��� � ����� � % ��� � � & $ % ��% � !

����

N I?24$:93 N N 1$@)390�(F.#:�(F.�.�,;:�3O4�39(71�I 9 ,K0Z4DC�,U(MIN3i:�1�:�*h=5,A: 390�,ITZ4�.9(H= �](7.�.�(H?24839(7C�,�&Q4$:939(^=V67, � SHI248<E(^=5. @�:O48<E,5L9 1A:D_T4�.K48Ib,5<E,;:iE+(MIFEB<E,V3�0�1�:�@Y1C:K<E,A.91+.D=V1A?2(H=/.�(7<?*2674839(71�I2.U1$@�|2*�(F:�. 9 (M390�=V1+<�?�6M,Pai<E(H=P:91N.�3D:9*0=@39*h:9, -�b,>1�*�3�6M(7I�,A:i3902,>I�,5,;: @Y1C:f4B<E,A.91+.D=V1C?�(^=^3�,;=O0�I�(^QN*�,/3902483?4�:�:F:9,;.9.9,A. 390�,J:�(a,P:�,5IN3K6M,AIFE83�0�L 48IZ:T3�(M<E,VL.D=54867,A.c1$@ 390�,W.�1+6MC+,5IN3}?Z4$:939(^=V67,A./48I2:_3�0�,j?24$:939(^=V67,A.�TS,5671�IFE+(MIFEi391b4�?S1�6HSH</,;:�=O0Z48(7I 2 TS,A4+:�. 7 K�4�I2: 9 ,@Y1A:�<?*2674839,A:=3902,f@Y*�I2:�4�</,AIN3�486�,;QN*24�3�(M1+I2.�E�1�C+,P:�I�(MIhE>`���`b.�(7<?*2674839(71�I2. -

d 0�,f<>48(7I"K�I�1�C+,56[=V1�IN3D:9(HT�*�3�(M1+I=1$@%390�(F. 9 1A:D_c3�1/390�,fIH*�<E,P:�(H=A486h4�.i?S,;=@3X1$@%39(7<E,VL (MIN39,;EA:O4�3�(M1+IJ1$@%390�,^`��2`,;QN*24839(71�I2.P(F.P3�0�,#I�, 9 @4�</(76HS?1$@S39(7<E,VL .�3O4$ECE�,P:�,A:c.i=O02,5<E,A.)3�024�3(=A48I�TZ,�:9,;4�:�(766S?,5<�?�671qS�,A:/4�.Q4K.9<>4867624�:�L:�(M39(71�I24�6 <E1�:�( gv=54�3�(M1+Id(MId,Pa�(7.�39(7IFE `���` .9(M<c*�674839(71�IG=V1�:�,;. -�N :D:9,;. ?S,;=V39(7C�,f1$@P3902,?. ?S,;=5( gv=K(MIN3D:�48L4?S1�6HSH</,;:=V1+I2.9,P:�CD4839(7C�,#(7IN39,;:�4C=@39(71�IZ. 2 , - E - KH.i?F:�(MIhE�@Y1C:D=5,A.;K+,Pab=56M*Z:�,A:=C�1�67*�<E, :9,;?�*�6F.�(71�I2.G.9*h=O0=4�. \�,5I�I24A:�:�L��+1�I�,;. 7 K3902,K,5<�?�671qSN<E,AI+3X1$@)3 9 1/:�(F.�39(7Ih=@3�3�(M<E,A.�39,;?2. � , 1 � � @Y1C:#.�1+6MC+,5IN3�48I2:{?Z1+66SH<E,P: ?24A:�3�(H=56M,;. :9,;. ?S,;=V39(7C�,A66SCK(7I =V,P:93�4�(MI .iS�.�3�,5<>.K(7IHC�1�67CH(MIhET.�3�( @Y1A:`=V,A.;KVEA:�,A4�3�66SR(M<�?F:�1�C�,;. � ���SL\39(7</,=,��J=V(7,5Ih=PS -Gd 0�, 9 (7:�,A66SNL *2.9,A:C�,A6M1b=5(e3XSNL>YQ,P:�6M,53#</,5390�1�: � 3 5%� KS391CE�,5390�,;: 9 (e3�0�\ 1 9 , � . � 3 � 486M39,P:�I24839(7C�,?.D=O0�,5<E,CKZ4$:�,K3�0�,^3 9 1>(MIN3�,PEA:O4�3�1A:O.3902(7. 9 1C:i__4�:2:b:9,;.9.9,A. - 2 I�, 9 @4�</(76HSb1A@�39(7<E,VL .�3O4$EAE+,P:�,A:_.D=O0�,5<E,A.<@Y1A:�TZ1�390 3�0�,=C+,5671b=V(M3XS+L>YQ,P:�67,V3c4�I2:\ 1 9 , � .K<E,V3�0�1�:�.?4A:9,=(MIN3i:�1�:�*h=5,A:eK%391CE�,V3�0�,P: 9 (e3�0 4T.9,V3?1A@B:9,A674$a�4839(71�Im?24$:O48<E,539,P:O.Iz 1 L 48IZ: � - �WS�.�L

5 & �

Page 160: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 & �39,A<>4�39(^==4�I2486HS�.�(F.K1A@�390�,B:�,A.9(6:�,A: . S�.�39,5< 48IZ:�?Z1+66SH<E,P:�(^=J=O0248(7I_39,A<�?Z,;:�4839*F:�, )*+ � *�IZ:�,P:�������� 4�I2:\ ,AI�I24A:�:HL �+1�I�,;. @Y1A:`=V(7IFEW.�021 9 .#3�024�3K1�I2,�=A48IR4+: C�*2.�3]3�0�,A.9,�?24$:O48<E,539,P:O.�3�1W1A?�3�(M<>486P1+I�,A. � (7Ii1�*h:f=A4�.9,3902,A.9,�=51A:D:9,;. ?S1�I2:B3�1 2 z 1 L 1 � 7 r 2 � 1 ��� � 1 �C7 @Y1A:UC�,5671b=V(M3XSNL4YQ,;:967,V3]4�I2: 2 z 1 L 1 � 7 r 2 � 1 � 1 � � � 7 @Y1A:f\ 1 9 , � ..D=O0�,5<E, -�2 I�183�0�,P:�4�.i?S,;=@3X1$@�390�,f4�:�C�4�I+3O4$E+, 1$@�390�,f?S1�6HSN<E,;:9(^= .9*FT�LM=.Sb=V67(7IFE?(F.�390�,�� � M�� FDJ � 2�/ � J H �� � � M��� K9 0�(^=O0"KG(MI�,%a,;=V3;K(@4DC�1C:�.c,A4C=O0 .9*FT�L .�3�,P?�4A=;=V1A:O:�(7IFE�6HS_3�4A_H(MIFE_(7IN391 4A=;=V1�*2I+3/3902,G:�4839(71b1A@ 3�0�, =V*F:D:�,5IN3.9*FT�L .�3�,P?W391=390�,?391�3�486)IH*�<�TS,P:]1$@�.9*FT�L .�3�,P?2. -Bd 0�,/. ?S,5,;:HL\*h?T1$@P3902,c<E,V3�0�1�:T:�,;?Z,AI2:�.]1�IW3902,?IH*�<�TS,P:1$@(TZ,;4�:�. ?S,P:I=O0248(7I"Ka3�0�,EIN*2<�TS,P:f1$@�3�183O486�=O0248(7I2.U48I2:T390�, 9 48SB390�,�?24�(6: 9 (7.9,c.9,A4A:D=O0 @Y1A:UI�1�I�L>TS1�I2:�,;:(7I+3�,P:O4A=V39(71�I2.X(F.�024�I2:�67,A: 2 I�,A(6E+0WTZ1C:�6M(F.�3#1C: TF:�*�39,5L @Y1C:D=5, ?Z48(H:#.�,;4$:`=O0�(MIhE 7@- � I2:�,;: :�(76M*�3�,^.�1+6M*�39(71�IG=V1+I2:�(ML39(71�IZ. 9 (e3�0G:9,A674839(7C�,56HSJ.90�1A:93�L�48IZ: <E,;:�(M*2<cL .9( �A,A:j=O0248(7I2.G3902,^. ?S,5,;:HL\*h?B(F.�4867<E1+.�3�6M(7I�,A4A: -

&�0WS�.9(H=A486]4A?F?�67(H=A4�3�(M1+I2.=1A@^3902,y?S1�6HSH</,;:B.91�67*�3�(M1+I2.B`���` (7.W4$T26M,i391�:�,A.D=.:�(6TS,i(7Ih=56M*2:�,i3�0�,b.D=54�6M(7IFE 1$@3902,U.�3�4839(^=#,.ab?S1�I�,AIN3 + @Y1C:�C�4A:9(71�*2.�. ?h:9(7IFE?6F4 9 .;KN4�I2:E3902,], S,R=@3X1$@ ,.aF=56M*2:�,A:>C+1�67*�<E, (7I+3�,P:O4A=V39(71�I2. -Vd 02,3T4A:i_+18L �H(6ECE�(F4 � x��)� 9 1C:9<E67(6_+,}=O024�(MIR(7.U0�,;4DCH(M6HSW*2.�,;:T(7Ii3�0�(F. 9 1A:D_d4�.f4 </,;.�1N.i=51A?�(^=$Ka4DC�,;:�4AE�,;:W</1�:�,A6 K4$T26M,�391f:�,A.D=.:�(HTZ,�390�,�@Y1A:`=V,5L\,PaH39,5IZ.�(71�IITS,5024DCH(71A:)1$@ ��L>?�024$E+,G`��54J<E1�67,;=5*�67,A. - 2 .�.9*�<E(MIFE ?S,P:O.�(F.�3�,5Ih=5,�4�I2:=V1+IN391�*h:]67,5IFE�390bC�4867*�,A.]3�4A_�,AIG@�:91+< :9,;4864K .�3O48(7I�,A:i<E1�67,;=V*26M,;.PK 9 ,/.90�1 9 E+1N1�:R4$EA:�,5,A<E,5IN3]1A@�3902,c<E,A4�I@�:O4A=@3�(M1+I2486a,PaN3�,5I2.9(71�I � ��� 1A@�3�0�, � ���B*�IZ:�,P:#.90�,A4A:�@Y1A: TS18390 3902,UC+,5671b=V(M3XS+L>YQ,P:�67,V3�48I2:j\ 1 9 , � .X.i=O0�,A<E,A. -0�*h:�3�0�,P:�<E1A:�,AKH3902,^4�.i?Z,R=@3�1$@Q:�(�S*2.9(7CN(M3XS 4�I2: CN(F.D=V1+.9(M3XS 2 4�I2:B,5C�,AIN39*24�6M6HSE390�, �F=O0�<E(7:H3]IN*2<�TS,P:RK )qKb@Y1C:,A4C=O0|2*�(F: 7 (7.U4�:�:F:9,;.9.9,A: - 0�1C:#3902,}:O48IFE+,K1$@U?24A:�4�<E,V39,;:�. � 1 ,.a�48<E(7I�,A:"K23�0�,cC+,5671b=V(M3XS+L>YQ,P:�67,V3 <E,V3�0�1�:(F.U4AT�67,?3�1j:�,A4C=O0 )?CD4�6M*2,A.U1$@ 1 2 587 K 9 02(M67, \ 1 9 , � .].D=O0�,5<E,�:9,;4A=O0�,;. C�4�6M*�,;.U1$@ 1 2 5)� 7 7 TWST.9(M<�?�6HSi4�:�LC�*2.�39(7IFET3�0�,J3�0�,P:�<>4867( �;4�3�(M1+I�?24$:O48<E,V3�,P:?��Q3902, �b=O0�<E(F:H3EIN*2<�TS,P:<@Y1C:^3�0�,=C+,5671W=5(e3XSNL>YQ,P:�6M,53?<E,V3�0�1�: (7.I�1�3X4+.�.9,5I2.9(M39(7C�, 1+IJ3�0�, =O021�(^=V, 1A@ � - $�,ACN(F.9(e3�(MIFE?390�,f=V1+<�?24$:�(7.91�I>1A@ � � � 1$@ 3�0�, ����� *�I2:�,;:�.�0�,;4$: 9 (e3�0,.ab?S,P:�(M<E,AI+3O486):�4�3O4 @�:�1�< � & � 9 ,�:�,;=51�C�,P:#4=<?*h=O0GTS,V3939,;:f4AEA:�,5,A</,AIN3 9 0�,5I 9 ,?(7Ih=P:9,;4�.9,K390�, )fC�4867*�,A.391 :9,;4867(7.�39(^=K1�I2,A. @Y1C: \ 1 9 , � .#.D=O0�,5<E, - �H(MI0=V, ) � � K23�0�,P:�,?.9,5,A<E.#391JTS,?I21>390�,A1A:�,V3�(H=A486 67(M<E(M3 3�1J3902,:O48IFE+,]1A@P483�3�4�(MIZ4$T�67, ) C�4�6M*�,;.�@Y1A:B\�1 9 , � .�.D=O0�,5<E,UL�48IW4�393i:O4A=V39(7C�,K4�.i?Z,R=@3 9 1A:9390=V1�IZ.�(F:�,P:�(7IFE -

d 0�,fEA:�,A483�?S183�,5IN39(F486%48I2:B4�:�C�4�I+3O4$E+, 1$@ `���`b4�.�4/<E,A.91+.D=V1A?2(H=U.�(7<?*2674839(71�I=<E,5390�1�:{@Y1A:B=51�<�?�67,.aJ|2*2(7:�.=V,;:�3O48(7I�6HS?67(M,;.�(7IJ4�.i?Z,R=@3�.�3902483�183�0�,P:�</,5390�1�:�.;KH.�*h=O0J4+. � :91 9 I2(74�I � SHI248<E(^=5.;KA@4�(M62391?4+:�:b:�,A.�. � =V1�<�?�67,.a

Page 161: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 & 3

E�,A1�<E,V3D:iSJ|21 9 . TZ,A(MIhEJ1�I�,K1A@%3�0�,5< - 2 . 4�:�,56F4�3�(MC+,56HSJI�, 9 3�,;=O0�I�(^QN*�,AKS.�,AC�,;:�4�6h`���`b(F.9.9*�,A. .�3�(M676O:�,5<>48(7I1A?S,5IOpQ0�(6E+0�L 1A:O:�,P:X(7I+3�,PEC:�48391A:O.;KNC�4�6M(F:�4�3�(M1+I 9 (M390W,PaW?S,P:�(7</,AIN3�486e:�,A.9*�6M3�.�4�I2:=V1A:D:�,;=@3X(7<�?26M,A</,AIN3�4�3�(M1+IW1$@TS1�*�I2:24$:DSJ=V1�IZ:�(e3�(M1+I2.(@Y1A: =V1+<�?26M,PaJE�,51+<E,V3i:�(7,A. 2 .91�<E,U483�3�,5<�?�3�.X0Z4DC�,]4�66:�,A4+:bS>4$?F?S,A4A:9,;:J(7I � 3 � K 5)��1 ��7@-d 0�(F. 9 1A:D_ 024�.�?S,P:i@Y1A:�<E,A: :�(6:�,;=V3 =V1+<�?Z4$:�(7.91�I 9 (e3�0�.91�<E,W,.ab?S,P:�(M<E,AI+3O486 4�I2: � :�1 9 I�(F48I ��SHI24�</(^=5.:�,A.9*�6e3O. 9 (e3�0E�1H1�: 4AEA:�,5,5<E,AI+3 -]N .9.9*�,A.X1A@%(7<E</,;:�(F4�39,I:�,A.9,A4A:D=O0=(MIN39,;:9,;.�3 9 1�*267:B486F.�1/(7Ih=V67*2:�,Cp

� � 1�<�?�*�3O4�39(71�IZ486a,��J=V(7,5I0=.S{=51�<�?24A:9,;: 9 (M390 � :91 9 I�(F48I ��SHI24�<E(H=A.

� 0�1A:�<>486h:�,;:9(7C�4�39(71�IB1$@)3902,K(MIN39,;EA:O4�3�(M1+I=1A:O:�,;:(@Y1C:X390�,^4DC�4�(M6F4$T�67,^`���`i3�(M<E,VL <>4$:`=O0�(7IFE>.i=O0�,A<E,A.

� 2 :�*24864Kq=V1+*F?�67,A:f=V1+<�?Z4$:�(7.91�IU1$@%`���` 9 (M390 3d1+6M,R=V*�6F4$: � SHI248<E(^=5.�4�I2:f=V1+I+3�(MIH*�*2< 0WS�:b:91�:bSHI24�<E(H=A.391EC�,;:9(6@�S>3902,KCD4�6M(F:�(M3XSJ1$@)3902,K</,5390�1�:W4�3 TS183�0B67(7</(M3�.

� � 1+4$:O.9,VL>EA:O48(7I�(MIhE�(7.�.�*2,A.Q48IZ:?0�1 9 390�, ?24A:�4�<E,V39,;: � � r 2 � � 7 �]`2 ��� 7 `���`=54�I/4+: C�*2.�39,;:^3�1f4C=O0�(7,5C�,�3902,A.9,

6M(7<E(e3O.

��� ab?Z,;:9(7<E,5IN3�4839(71�I 9 (M390�=51�I2.9,P:�C�4�39(7C�,�@Y1A:`=V,;.�@Y1C:U390�,>.91�67C�,5IN3f183�0�,P:f3�0248IR390�,�?S1A?�*2674A:f=O021�(^=V,/1$@� ��� � 5 s

� l n� � �� d 0�,�(7<�?26M,A</,AIN3�4�3�(M1+I?48IZ:I=V1�<�?24A:9(F.91�If1$@�,.a�(F.�3�(MIhEhK 9 (7:�,56HS+L *2.9,A:f(7IN39,PEC:�48391C:�. 9 (M390^,A<E,P:DE�(7IFE#1�I2,A.;K.�*h=O0 4�.c3902,B,PaH39,5IZ:�,A: \ 1 9 , � ./.i=O0�,A<E,B.9*FEAE+,A.�39,;: TWS &P,V3�,P:O. � 3 � � 48I2: 390�,:�,;=5,5IN396HS�?F:�1A?S1+.9,A:�#1+.��,@L � 1H1�C�,;:�LM\ 1 9 ,VL 2 IZ:�,P:O.�,AI/390�,;:9<E1+.�3�483 � 5C5�� �

� d 0�,K.�(7<?*�6F4�3�(M1+I 1A@)<>4C=.:�1�<E1�67,;=5*�6M,;.�.9*FTDC�,R=@3�3�1>,.aH39,AI2.�(71�IZ486v|21 9 -

Page 162: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� � � ��������� �

! � �8 � �8� ! � � � ��� !

� ����� � ��� � ��� ����� �� � �����

N I � 4A:�3�,A.9(74�I�=51H1A:O:�(MIZ4�39,;. � �O1��[1�� � 3�0�, C+,5671W=5(e3XS}g2,A67:>0Z4�.&=51�<�?S1�I�,AI+3O. � � 1 � 1 � � KH48I2: 9 (M390B.�*hT2.i=P:9(H?�3O.391>:�,AI�183�,f390�,^.i?24839(F486 :�,;:9(7C�4�39(7C�,;.�390�,<=51�<�?Z1+I�,5IN3O.�1$@�� =54�I{TS,^4$:D:�48S+,A:J4+.PK

� r������� � % s � ' s � ) � '"! � % � )#! � %

$ � ' s � % s � ) � )#! � '$ $ � ) s � % s � '

%'&&&&&&(

2 2?-6587

d 0�,<=51�<�?Z1+I�,5IN3O.X1$@)� � 4$:�,U390�,AI

* �+ %;%-, r 2 � % s � ' s � ) 7 � ! 2 � '�! � % 7 � ! 2 � ).! � % 7 � 1* �+ %R'', r 2 � ).! � % 7 2 � )/! � ' 7 s x � ) 2 � '/! � % 7 1* �+ %;)0, r 2 �v' ! �$% 7 2 �$) ! � ' 7 s x �$' 2 �[) ! � % 7 1 2 2?- xC7* �+ '.'', r 2 �v' ! �$% 7 � ! 2 �$' s �v% s � ) 7 � ! 2 �$) ! � ' 7 � 1* � + '.)0, r 2 � '"! � % 7 2 � )/! � % 7 s x � % 2 � )#! � ' 7 1

5 & 4

Page 163: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 & 1* �+ )`)0, r 2 � ).! � % 7 � ! 2 � )#! � ' 7 � ! 2 � ) s � % s � ' 7 � �

N 3�=54�I{TS,^.90�1 9 I=3�024�3

5x�� �� � � s 2 �� � 7 ��� r 2���� 7 � ! � � s �

��� 2 � 1 � 7� 2��1 � 7 ! � 2 � 1 � 7� 2��1�� 7 ! � 2 � 1 � 7� 2��[1 � 7�� 1 2 2?- & 7

9 0�,;:9, � (F.X3�0�,K<>4$E�I2(e3�*2:�,f1$@)390�,KC+1A:939(^=V(M3XS>C�,R=@391C:

� r � � + %-, 1 � + '', 1 � + ) , � r ��� ' s�� ) 1�� ) s�� % 1 � % s � ' � � 2 2?- �W70F:�1�< ,;QN*24�3�(M1+I & - x�� 3�0�,<=V1+<�?Z1+I�,5IN3�.#1$@�� =54�I I�1 9 TZ, 9 :�(M3�39,AId4�.

� + %R%-, r s � � + % , ! �� 2 � 1 � 7� 2��[1 � 7 1

� + %;' , r s � + % , � + '', ! x � 2 � 1 � 7� 2��O1�� 7 ! x � 2 � 1�� 7� 2��[1 � 7 1� + %R)0, r s � + % , � + )0, ! x � 2 � 1 � 7� 2���1�� 7 ! x � 2��V1 � 7� 2��[1 � 7 1 2 2?- �C7� + '.' , r s � � + '', ! �

� 2���1 � 7� 2��O1�� 7 1� + '.)0, r s � + '', � + ) , ! x � 2 � 1�� 7� 2��O1 � 7 ! x � 2 � 1�� 7� 2��O1�� 7 1� + )`) , r s � � + ) , ! �

� 2��V1 � 7� 2���1�� 7 �N @K3902,i3�0F:9,A,VL :�(7</,AI2.9(M1+I2486�g2,56F: =V1+IN3�48(7I2.=,5<�TS,A:2:�,A:eK#3 9 1�L :�(7<E,5I2.9(71�I24�6�:�,PE�(71�IZ.J.�*0=O0 4�. 4�?�6F48I�,[email protected]<E<E,V3D:iSCK 9 0�,P:�, � r � Kh48I2:T4�6M6P:�,;:9(7C�4�39(7C�,;.! �#" � ) r � K23�0�,5IR(MI2.i?S,;=@3�(M1+Ii1A@�,;QN*24�3�(M1+I2. 2^- � =V1+Ibgh:�<>.390Z4�3 48676"=V1+<�?Z1+I�,5IN3�.X1A@$� 4$:�,U(F:�,AI+3�(H=A486766S��5,P:�1hK�,PaF=V,P?�3

� + )`)0, r s � � + )0, ! �� 2���1 � 7� 2��O1�� 7 � 2 2?- � 7

� (M390 390�, =P:91N.9.�L>?�674�I�, EC:�4+:�(7,5IN3 �&%('*)+)-, � ) TZ,A(MIFE �A,P:�1hK � +&.�. , 024+.EI�1 :bSHI248<E(^=B,%a,;=@3 - d 0�(F.�:9,;.�*�6M3>(7.(7I2:�,P?S,5IZ:�,5IN3^1$@�390�,E<>4$E+I�(M39*2:�,E1A@ 2-�/�� 7@- � QN*24839(71�I2. 2?- � 4$:�,c390�,>.�48<E,/4+.U390�,;S 9 1�*�6F: TS,E(MIb3902,0 L4@Y1A:�<?*2674839(71�I 9 (M390d,Pa�4A=@3�(7Ih=V1+<�?F:9,;.9.9(HT�(M67(M3XS -

Page 164: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ��� ������� ���

� 5 ���� ��������������� : � ����! �#" "%$ � 2 �'& �)( � � �% ��#* � � * � �,+ Z 2 ��. Z � �-+ � �." * � /� " Z Z . 1 "�� (`Z)�% � � " (10 Z�2 � 3 �4 5� hd6� �87 � 7 K � 3 0V\&KF\ �9� 7 �9:�: � K x���� x;

� x�� � 2< >= � � : 7@?%� S JN!:BA : �C: 7 � = � :i:EDA: 7 @,DA:<?F: �87E7 � : �GFH� � 7 � : �8FH� :BA 7 �C:I� 7J? D A�� ? D : E � |�D 9 LK � ��#M� Z8( MON + �`Z� M K 5 � 2 & 7 p �h5�1/P �Wx�� K 5�1 3 ��

� & �Q5R � � F �SAE� K �< 3 UT6� Tv=#DW=`_[K �9:�V � >�����4 � �C: E ?%� ?WD ? S FH� : V S :�� F � = 7 �C: 7 A � �9V S 7 � � � :f|�D 9 � ( " � ( �PK x�4 & p 5 3 x�� K 5�1(1�1�

� ��� 2� � \4D V E � ��:�V \ ;V � Y � :iE � 7 3�D 7 �SAE�%� � � D ?%� ?F: �87E7 � : �87 ��:�VX: � E �/AE�%� �Y� a �%A ?F: �87E7 � : �87 E � : � : �/A � VTWS F D ? A � : ?�D ? S � AE� S ?C� : � |�D 9 �C: E A@� :@D � E �Z� 7J? �SAYV�� � N + �`Z� M4[ ( �! K xAx p 5 �F5.P[5 3 � K 5�1*4 &

� ��� � � �Y� :RK � � ]\^ � ��� QC@ � � K ��:�V $ U\^ \ � : 7 D :4 HT :ED 9 :��_��:`V S :�� F � = 7Q7 � F � ? ��A@� D : 7 DA@ 7 �C: E ?C�a �54 F D ?C� = � ?%�b7 �%: 7 � � � : |�D 9 6c MON + �`Z� M K ��� 2 �W7 p 3 5 & P 3 � x K x��(����

� ������ 2< 3 � : 7 � K \^ bT6� =`_CaeK ��:�V 3 �� � : : 7 Ab � A)�/AE� = ��:�V<V S :�� F � =U?F:@DC? � : AE� �b7 DA@ V;� 7E7 � ? ��A@�C� � ? � : A@� = ?C�V S :�� F � = 7 � +�d �#MeN �"1 Mgf K ��� 2 xC7 p 5�� 3 �hP[5���1h5 K 5)1�1 3

� 3 ���� 3 \4D 9 � 2i:L� ? A � : :���A@�C� � � ?F?h:@D � = �jA D V;� 7E7 � ? ��A@�C� � ? � : A@� = ?C� V S :�� F � = 7 f � �iZ & +�d �#Mik � �'� M K� 3b2 xA7 p 5 � �bP[5 �b5 K 5)1�1�1�

� 4��Q5R �l� �=1�4 mT ? D�D V |�D 9 �C:n� : A � : � �87 [ ���MoN �"1 M4p �;"�2qM>r �)( + M K x�1 p & 1�1/P � & � K 5)1�1 3 � 1�� � m����� � :4 � � � � : V � ? � :�V � : = � D$@ � � = A@�C� � = �8?%? � D ? � FH� � 7 �sV � A � : F �%:��9:BA DA@BT ? D�D Vj��� 7 =#D 7 �SA S

� ( " � ( �PK 5��*4 2 1 & �W7 p 1 3C3 K 5)1 3 ��

5 �(�

Page 165: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 �05� 5����<�� 3 $iD V _ � � 9 � = �CKq3 � �C:���� K �9:�V � � �= � :�: � V S *�:^A@� � � ?F? ? � = �/AE� D : DA@ � =#D : 7 A@�%A@�;AE�%� � � Q ����A@� D :

@,DC: 9 � D ?C� ��� F ��: T ? DBD VO ic M � " Z/* �E( + M>f ��BM K 5C5Rx 2 xA7 p 5)1,4/Pbx��(� K 5)1�1(�� � 5A5 � 2� l� 9T � : � 7 ��:�VRT� � � V 9 � : V 7 mKW+ � �.* Z 2 d * " ( � Z . 0 Z�2 "��� � d � � �#* � 2 " �-+ "� � � � ;* " ( �DZ � � � � ( /

� � � � * a @,DC: V �i:��%� � : 7 �%A SX3U: �87E7 K l � 9�� DA:D_vK 5)1�1��� � 5Rx�� $ \^ * 9 � : 7 ��:�Vjd1 l� 3 ��� ?C? � ? 7 �� Z/* & � �! /� " Z N + �`Z� 6Z � d/ UN F ? � : �C� ? � D ?C?%� E � 3U: �87E7 K x����Cx� � 5 & � $ �\^ \ � : 7 D :4 �Ko+ � � � � � ( � � � � D2 � + �`Z� HZ � d Z . (`Z/* & �����0 �;"�2�� �* aW@,DA: V �Y:��%� � : 7 �%A SX3U: �87E7 K 5)1�1�1� � 5 ��� $ \ � : 7 D :4 Od6� � : � � D ? DCEAS^D$@ V;� ? �;A �Q7 D ? �;A@� D : 7 D$@O| � a � T ?%� ?WD ? S FH� : 7 p 3U:EDAEA: �87E7 �9:�V ?F:EDAT ?C�#FG7 �c M

N + �DZ� M K � 1 2 5R7 p 5.P 3 � K x������� � 5 ��� 2� 3 � A � : ? �C:4 � S V :ED V S :�� F � = 7 D$@ F � =.:ED F D ?C� = � ?C�87 �C:H�Y� �#? DW= �SA Sfg �#? V 9 �%A@� ? D : E �%A@��V;�%:�� ? EA: �9V;� � :BAb

c M � Z� d * M � ( " M �BK � p x�4 3 Pbx�1F5 K 5�1(���� � 5����<�� Y ;������� T � ? �9:�V \ e\^ \ � � ? �2 = ? D 7 � : � � ?F?h:@D8a � F ��A@� D : @,DA: ? � Q ���_V� =.:DS 7 A)� ?C? �C: � ?WD ? S FH� : F D V �8?C7

T � 7@� V D : ? � : � FH� A : � = V � : 7 �%A S �87 A@� F �/AE� D :4 ic MWN + �DZ� M K �Wx 2 5R7 p 5 3C3 PFx��F5 K 5)1�1,4� � 5 3 � � � �i�C: = ���9:�V \ \^ \ � � ? �� D : 7 AE�SAE�;A@�C� ��� Q ����A@� D : 7 �C: 7 � 7 ? � : 7 � D : FH� = ����:�� = 7 3 � : A�5q �\ � : � : � ?

@,DC: F � ? �/A@� D :U 6c M4p �;"�2Gr �)( + M K 3 5 p � 4F5.P �(1 � K 5)1 3 �� � 5�4�� � � �i�C: = � �9:�V \ \^ \ � � ? R� D : 7 AE�SAE�;A@�C� �^� Q ����A@� D : 7 �C: � 7 � 7 ? � : 7 � D : FH� = ����:�� = 7 3 � : AIx; 2 ? �

?h:@D8a � F ��A � @,DA: FG7 @,DC: � 7 � 7 ? � : 7 � D : D$@V: � E �_V ? � : A@� = ?C�87 � � = A � V TWS TF:ED 9 :��_��: :ED A)�/AE� D : 7 c Mop �;"�2r �)( + M K 3 � p 5�4 3 Pbx��,4 K 5�1 3 ��

� 5�1�� � 0 �9: EhK 3 �= :�DAE � :RK ��:�V �� ��� *iAJA@�C: E � : 2 A@� � : F D V S :�� F � = � ?%? S �9V F � 7@7 � T ?%� : � ? A)�/AE� D : F D V �#?@,DC:B@ � 7 A |�D 9 7 D$@ � :BAE��: E ?C� V ?WD ? S FH� : 7 hNiN. 3nD V �8? ?F: � V�� = A@� D : 7 @,DA: 7 � � � : �9:�V � a A � : 7 � D :�� ? |�D 9 7 c MON + �`Z� M K �(� 2 � 7 p 5Rx�1 & P[5 & 5 3 K x����(��

� x���� � 0 �9: E �9:�V $ m\^ * 9 � : 7 `l � 9 =#D : 7 A@�%A@��A@�C� � � Q ���/AE� D : 7 V � : �%� � V @�:ED F � _ �C: � A@� = F D V �#? @,DC:FH�8? A 7 ��:�V = D : = � :BA : �/A � V 7 D ? �;AE� D : 7 D$@ ? �C: � � : ?�D ? S FH� : 7 N + �DZ� MU[ ( �! K �(� p � 3C3 P ��1�� K x��(����

� xb5 � � ��� � : �9:�V \^ �5� �5 D�D ?%� :4 \ �/AJAE� = � T D ? A � F ��:�: FH� A@� D V @,DC:�| ���CV |�D 9 7 [ �WM N � 1 M�p �;"�2r �)( + M K & � p & x�1 K 5�1(1,4�

Page 166: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 �Wx� xAx��15R $ ]l DAT ?C� K � ���� � : K � ]\^ >\ � DA:DE �_�9V;� 7 K ��:�V $ *R UT � =`_ �C� 7 2 =#D : 7 � 7 A � :BA<� S V :ED V S :�� F � =

TWD ��:�V�� :DS =#D :�V;�%A@� D : @,DA: AE� �Q? �/AJAE� = � T D ? A � F �9:�: FH� A@� D VO � +�d �#MUp �;"�2 � K 3 p x�� & Pbx��(1 K 5�1�1 �; � x & � 3 2< �W_qDA: V D 7 �N!:��%A@�_� ? �9:�V TWD ��:�V�� :DS�=#D :�V;�%A@� D : 7 @,DA: AE� �G? ��AJAE� = � T D ? A � F ��:�: FH� A@� D VO � +�d �#M

N � 1 M4f K � 4 p �*4 x & P � x K 5�1(1 & � x���� 3 � � D�DAE � :DTF: � EAE � ��:�V � 3 �= D �#?CF ��:4 � � F � ? �/A@�C: E F � =P:@D 7 =#DA? � = � S V :ED V S :�� F � = ? � � : D FH� :��

9 �%A@�nV;� 7E7 � ? �/AE�%� � ? � : A@� = ?C� V S :�� F � = 7 f � �iZ & +�d �#M]k � �'� M K 5�1 2 & 7 p 5 � �bP[5��(� K 5)1�1 x; � x ��� � 0 3 � :i_qD �9:�V � �5R � � EAE �_�� � A : � A = ���C: E a �54 r ( �iZ/* Z� �E( � �� � K x�4 p 4 3 ��1hP 4 3A3 � K 5)1�1��� � x���� 2� l� UT � : � 7 K $ g�� 2 : FG7 A :@D : EhK �9:�V $ 2< ]T :ED 9 :4 �b? � = A : � ?�� g :��SA � � �#?C�#FH� :BA = � ? = � ? ��A@� D : 7 DA@ A@� �

|�D 9 D$@ � 3 � a 9 �8?%? | ���_V T � A 9 �8� : � =P= � :BA : � =&:ED A)�/A@�C: Ef=.S ? �%:�V � : 7 4c M�� Z /�� �#2 � Z �" ^p �;"�21r �)( + M KxCx p 5Rx�1hPv5)� 3 K 5�1*4 3

� x 3 � � 3 � A � : �� +2 : � 9 g :��%A �^�#?C�#FH� :BA 7 = � �8FH� � 7 �%: E A@� � \ � EA: ��: E �_��: @�: � FH� 9 DA:D_ @,DC: 7 � F � ? �/A@� D : D$@��� 7 =#D �#? � 7 A@� =�| ���CV |�D 9 7 c M�� Z /�� �#2 � Z �" np �;"�2Gr �)( + M K 5)� & p 5 P � & K x����Cx�

� x�4�� $ 3 3 ��� ?%? � ? 7 ��:�V d1 l� 3 ��� ?C? � ? 7 0 ? D 9 ? � 7 AG� =PS ? �C:�V � : � 7 �C: E � 7@�#F � � \ � EC: �9: E �_��: 7 ? � = A : � ?�8?%�8FH� :BA FH� A@� D V4 [�&9& M�� � * MUr /�,+ M K &�& p x��b5.PFx � 3 K x�������

� x�1�� � 0 �9: K�$ N. hd>��:�: � :RK ��:�V�l< 3 ����: �>d6��� � :U \1� ?C� :D_ �C: �/?%� � 7 A � 7 Q ��� : � g :��SA �Q�#?C�#FH� :BA FH� AE� D V 7 @,DC:7 A � �9V S �B� 7 = D �#? � 7 A@� = |�D 9 7 c M�� Z /�� �#2 � Z �" Zp �;"�2Gr �)( + M K 4�� p x &�& PFx ��� K 5)1�1�1�

� & ���<�� ��������������� : � ��:�V $ e\^ * 9 � : 7 �2 : � 9 7 ? � = A : � ?;�#?C�#FH� :BA FH� AE� D V @,DC: A@� � : �#? �_� T ?C� = D F ? ��AE�/AE� D :DA@ ��� 7 =#D �#? � 7 A@� =B|�D 9 � Z/* & � � M>r � �-+ Z 2���[�&9& M>r �)( + MUf � � �BM K 5)1�� p & 1(1�1/P �(�h5�4 K x����h59

� & 5 � 3 2� �Y� ?C7@� : K 2< 3 \^ >�/��: � �8�#? K ��:�VjT� �< 2< 2< >�/��: V � :IT : � ?C� � � F � ? ��A@� D : DA@ �B� 7 = D �#? � 7 A@� =|�D 9 7 � 7 �C: E�TF:@D 9 :��C�9: = D : ghE � : ��A@� D : g �#? V 7 c M�� Z /�� �#2 � Z �" p �;"�2Hr �)( + M K 3 � p 3 1hP[5��h5 K 5)1�1 3

� & x�� �� $ � � : : � : o=1�%: � A@� = A@� � DA:DS ��:�V : � � D ? DCEAS<DA@ V;� ? �;A ��7 � 7 ? � : 7 � D : 7 D$@[g :��%A �8? S � a A � : 7 � T ?%� V�� F T �T �#?C?_7 � C29M]f C2qM �4+ � * MUp � C2 * M K 5A5 p & 3 1hP & 4 3 K 5)1 3 x;

� &�& � 2� 3 e\^ 9�/�9: � �#�8? K 3 2� (�Y� ?C7@� : K �9:�VHT� �< 2< 2< q�/��:GV � :XT : � ?C� *�:^AE� �Y7@�#?C� = AE� D : D$@[? � : � FH� A � : 7�C:�A@� � 0 � l � � 3 F D V �8? ic M� Z /�� � 2 � Z �" np �;"�2Hr �)( + M K 3 � p x�� & Pbx 3 5 K 5�1�1*4�

Page 167: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

5 � &

� & ��� $ � � : �87 � _ � F � :RK 2� l� 4T � : � 7 K ��:�V $ 2� �Y�9:�V ?C� : �5Y� : � = A1:�� FH� : � = � ? 7 � F � ? ��A@� D : DA@ AE� :iT � ?%� :BA= ����:�: �8? |�D 9 DA@ � ?WD ? S F^� : 7 D ? ��A@� D :4 � +;d � M>p �;"�2 � K 1 p 3 � & P 3 ��� K 5)1�1 3

� & ���<�� 5R o5�� F �%A :EDA?WD � ? D 7 K $ � � : �87 � _ � F � :RK �9:�V 2< l< OT � : � 7 Y5�� : � = A�:�� FH� : � = � ?>7 � F � ? ��A@� D : DA@ �B� 7 �=#D �#? � 7 A@� = AE� :iT � ?%� :BA = ����:�: �#? |�D 9 � a ��� T �%A@�C: E V : � Ej: � V;� = A@� D : p � � = A DA@ AE� � �/� : �C��A@� D : DA@(: � � D �? DAE � = � ? ? � : � F^� A � : 7 c M�� Z /�� � 2 � Z �" np �;"�2Hr �)( + M K 3 1 p � &�& P � �,4 K 5�1�1*4�

� & ���Q\^ � 4=Q� : :��C�qV�� _ � 7 ��:�V � � � � � : 9 �%:U X� & �)( � � ����� f ��#* � � r � �,+ Z 2 ��. Z � � p�� * aW@,DA: V �Y:�� �� � : 7 �%A SX3U: �87E7 K 5�1�1(1�

� & 3 � � �d]�qV F DA: I� D :�� � :DE � : = � DA@ 7 ? � = A : � ?6FH� AE� D V 7 @,DA: : D : ? �C: � � :�=#D : 7@� : �/�/AE� D : ? � 9 7 ��� [�r c M� � * � � M4[ M K x����X587 p & � K 5)1,4(1�

� & 4��Q\^ � � 4=Q� : � F ��: D 7 �9:�V \^ � 4=Q� : :��C�qV�� _ � 7 2 7 ? � = A : � ? �h�9:�� 7 ���C: E ��� 7 = D 7 �%A S FH� A@� D V @,DA: ? � :DE � �� V�V S 7 � F � ? �/AE� D : 7 6c Z � � OZ . � Z/* & � �! /� " Z � +�d �." ( � K 5�� x p xAxbP ��� K x��(����

� & 1�� � 3 *�� ? V�=Q� T � : �2 \ � E � :�V : � ? 7@� ��V D 7 ? � = A : � ? ��� 7 =#D 7 �SA S FH� AE� D VO ic Z � � OZ . � Z�* & � � �� " Z � +�d �." ( � K 5Rx,4 p 5���� K 5)1�1���

� �(���� �2Y:�V : � � 7E7@� : K N. \ � � K �9:�V��� � � � 7 T � :iE qd6� � 7 ? � = A : � ? ��� 7 = D 7 �%A S FH� AE� D V<� ?F? ? � � V�A D 7 � F � ? ��A@� D :DA@ 9 �h� �b7 �C:n� 7 A : ��A@� g � VZ�/A F D 7 ? � � : � 6c Z � � �Z . � Z/* & � �! /� " Z � +;d �." ( � K 5C5�� p x�� 3 K 5�1(1���

� �h5 � � bd]�qV F DA: � � ? � : ��� 7 =#D 7 �SA S �9:�V 7 ? � = A : � ? � ?F?F:ED8a � F �/AE� D : 7 DA@ : D : ? �%: � � : = D : 7J� : �/��A@� D : ? � 9 7 �N!:� � * � � " ( r � �,+ Z 2 �D. Z � p �;"�2�� d * " ( � � ��� M�r M c M � "� � � D2 �^M��nM�r Z � � Z �� � 2 �#M�� � �/� D2 Z � � � � � ��� � . Z � 2 KF? � E � ��1 K 5)1�1 &

� � x�� �� � 3 3 �� ��� � TWS 7 = � � � � \ � E � :�V : ��7 ? � = A : � ? ��� 7 = D 7 �%A S FH� AE� D V @,DC: : D : ? �C: � � :B= D : 7J� : �/��A@� D : ? � 9 7 � � [1r c M�� � * � � M4[ M K & ��� & 7 p 1(�F5 K 5)1�1*4�

� � & � �� � 3 3 �� ���� � TWS 7 = � � � � \ � E � :�V : �i7 � ? � : 7 ? � = A : � ? �B� 7 = D 7 �%A S FH� AE� D V @,DC: : D : ? �%: � � : = D : 7@� : �h��A@� D :? � 9 7 �� � [1r c M�� � * � � M4[ M K & ��� & 7 p 1(� & K 5)1�1,4�

� �����Q\^ � =Q� : :��_�9V�� _ � 7 K�3 ]N 7 : � �8? � K ��:�V � 2< * : 7 � � E �i� E � � DA: V � : 7 ? ? �SA@A@�C: E FH� A@� D V 7 @,DA: �C: = D F �?h: �b7@7 � T ?%� lY�h��� � : � � A DA_ �87�� Q ����A@� D : 7 c Z � � �Z . � Z/* & � �! /� " Z � +�d �." ( � K 1�� p ��� �����)1�1��q

Page 168: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� �(�� � ���Q\^ � � O=Q���)� F ��: D 7 �o�� � �/��:�� �#? �%: D 7 � $ 3 O=1���������o��:�V \^ � o=Q��@:��C�qV����� 7 Y5�l �sD�� AE������� ?C� : � �

D :�� 3 � ��� �%:������ ? � 7 A � ��� 0 �� A D �����.AE� D :����!:�� ���b( M � �b& � � � �/* & � � "��� � ��1(1�1� !#"�$ 3 \^ m�%�E�9:�V�� ?%? �9:�V 3 � � � D : 7 '&�� 7 � D 7 �%A(� 7 D ? �;AE� D : 7 D��*) � F � ? A D : � � �#� D ��� ��+ ����A@� D : 7 K � �,#M

[ * � � M]r ��-+ M � �b( M � " �#� ".- 1�� �)1,4 & ! � $ � 3 �qV��/��� � 3 *�� ? V =Q��� � � �]��:�V � 10>�9V F D �b �4� � � :�V�� �32�7J� ��V D 7�2W� �.A��E� ? ��� 7 � D 7 �%A(� FH� AE� D V

�,D � : D : ? �C: � ��*� D : 7J� �@�/��A@� D : ? �/4 7 �� � [1r c M� � * � � M4[ �5 M � &6 � & - ��� ��1(1 & ! 4 $ � 0>�9V F D �b 0 D A)� ? �/���E�_�/A@� D :^��:�V � ��� D � �87 A@� F �/A �87 �,D � 772W� � A��)� ? ��� 7 � D 7 �SA(��� 2�2 � D �;� F �/AE� D : 7 r ��-+ M

� ��* &4M � " 6 � -�! �����)1�1 & ! 1 $ $ 3 W=1�������9 RK �/2 � 2 2 d * " ( ,'& � ( � � �5 ����� � �98 :� * � �<; [ 5 � � � " �,+ * , D2 &9& 5 " ( /� " � �, � �Y0=�/2 /

, � � � ( � � � �1"� � � � ( � " � , 3 �4 5� �06� �87 � 7 ��T>� D 4 : �i:��C� � � 7 �%A(��� - 6#6�& � 6 $@? ) q=@�)���A�)��:���:U � V�V������ 7 � D 7 �%A(�<�C:^A(4 D �9:�VRA@��� �#� V;� FH� : 7 � D : 7 ]c M�[ � *B� ,#M � ( " M ��C#C�� � � - �����)1�� " ��� $ 3 �4�87 � � ���<�9:�V *R 3 � AE�9� 7 ^l � 4 A�� � :�V 7 �C: ? ���� � � � V�V�� 7 � F � ? �/AE� D :4 [ WM>ND� 1 M p 5 �;"�2�r�� ( + M �

- 4�� ! ��� �)1�1 " � -�$ � 3 ;��� D ?%?C� Ab E0�4 D � 2 D �%:BA�� ? D 7 ��� �b7 � 7 � 7 ��� ��E�CV 7 �#� ?%��F D V �#?C? �C:�� �,D � ? ���� �i� V�V�� 7 � F � ? �/AE� D : 7 F�!:

K � � � � 5 � �>�;+ � � p 5 �/2 , ��� �G� 2qMWp M�� � � , � C2 � M�k � D2� � �4kE� ( � � � � � �H,i"� �m+;d ,)" ( , � � & � "� �#� � /� � � 5% � � ��1,4 !

��C $ �� O���������B�'�� � � ��:�V ? \^ *I4 � : 7 2J� D ��� 7 A 7�2�� �.A��)� ?U�#?C�#FH� :BA FH� AE� D V �,D � 7 � F � ? �/AE� D : 7 D�� AE� FH� �V �K2W� :�V � :BAi�B� 7 � D �#? � 7 A@�A�IL D 4 7 c M � ( " M � �/* & � � M � � ��� ��1�� P �)1�1�� - 66 -

� !$ 3 3 >� D �#? � D ��:�V 0 101 3 �C:�� D M& D �JA � � 7 � � V�V;�C:��Z�%:N�O� ? �%:�V � �@L D 4 D�� 7 � � ��� ��AE���C:�:��C:��'L����_V 7 ��. U�CV � :BA@�����#��A@� D : ��:�V`V �#F ����8�/A@� D : D�� L D 4P� � �q� FH�87 Zc M � � /��M� 2 � � �" `p 5 �;"�2nr�� ( + M � ��� 6 � - PC.QH� � ! ChP � � " � - 6#6 C�

� � $ T� ]� � 7 4 �#?C? Rl D : � l � 46A D :��_��:RL D 4 �/A ? D 4 �b7 A D �)V � �S�I06� � � D ?C� D� A@� � ? � �C: � � � ? �%� ? �%: 7 A�� �b7@7 c M� � /��T� 2 � � �" np 5 �;"�2Hr�� ( + M�� � � &9& � �

� "�$@? /0>��:�: � ����:�V-2< 3 � 2 ��C:4 #�!:BA��@�C: 7 �U� � ��� D � 7 �%: 2 � �b7@7 ��� � � � D ?C�mFH� � 7 � � �8F^� :BA 7 �K � , M � �8( M�N + � � 5 M �� ! � ! ����� ��1 " 1�

Page 169: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ! � � � $ =H ) ���B� 7 ���%AE��:��o�9:�V � �\^ 3 �@�%A��)�����)VO 2 ��%: �#F �/AE�U� �#� ? �#� ? ��A@� D : D�� �C:BA��E�%: 7 �A� � ��� D � 7 �%: 2 � �b7@7 ��� �

FH� � 7 ��� �8FH� :BA 76F �9V � 4 �%A@�Z� D ?%�b7 �K � ,#M � �b( M4N + � � 5 M � � " � ! QH� " 4��8P " 1 " ����1�� - ��4 $ � �*R ��%�E� F �C:�� ?%� � �b �� � � � �E�U� 7@� : �B��:�VX\^ 0 � ? � � � � �b � A � �9V��ML D 4 D�� : D : �!l � 46A D :��C�9:BL����_V 7

[ �E( + MON /� " � oM]r�� ( + M ���� ! � 6 P ! � ������1 ��4� ��1 $ 3 � �qD ��: 7 D : � �8 ��D FH� �/���E�_�/A@� D :�� ? A@� � D � �#FG7 �,D �m: D : � l � 46A D :��_��:ML D 4Q :�m+;d ,#M�p 5 �;"�2/, ��C�� 4����.P

4��74�� �)1 " �9 " 6 $@? 0]�9:�: � �8 �;D FH�1� ��A � :�V � Vs\�� �87@� �� 7 �'A(� 2W� A@� � D � �#FG7 �,D �Y: D : �!l � 46A D :��C�9:�L����CV 7 N + � � 5 MU[ ( �! �

- 4�� !! 1hP ! � - ����1*4�1� " � $ ) \�� �b7J� �� 7 I5�� � � � F � ? A)��: � 0��)��: 7@? �/A@� D : 7 �Q��:�V ? D A)�/AE� D : 7 � � 4 � �q��:�� � �C: � �G=1��� �#? �%: � �C: � �

� ? � 7 A D ��� 7 D 7J� : 0 ? � 7E7 ���# � �%A8 N + � � 5 M4[ ( �! � C � ��1hP������ ��1 " C� "#-�$@? .0>��:�: � �b 3 ? �9: � �K� �8�K2 �C:�� L D 4 7 D�� �C: � D F32 � �b7@7 ��� ?%�Y7@� � D :�V D �EV � � L����CV 7 �m+;d ,#MWp 5 �;"�2�, � 1 ��� -�!#" �

�)1 "#" " C $ 3 3 � � 0 D :��� p � C2 * � � �5 , � � 2�" �H, � �5% � � � /� � � d , � � �O, , * � � � � 3 ��5 A@� �b7 � 7 � �Y:��C� � � 7 �SA(� D��� � 7 � D : 7 �C: � 3 �9V;� 7 D : � ��1*4 6

"�!$ � 3 ���O\^ � � o=Q���)� F ��: D 7 ����:�Vs\^ � o=Q���E:��_�9V��B� 7 65I��:�� F �A� 7 ��:�V ? D 4 �!V;� FH� : 7 � D :�� ? �SA(� D�� A@� �AE������� ?C� :BAi: � �� �<46�� � �c M4p 5 �;"�2XrR� ( + M � ! � 6 � - 1hP " ��� - 6#66

" � $ 3 &R 2 2 D 7 A D ? �B� 7 � &� e\^ 3 �h���)��:BA � � 7 �m��:�V 2< l< T � �@� 7 � A�� �b7@7 ��)�9V�� � :qA �'�C:�V;��� � V F ���#�E��A@� D :���W� �.A 7 �C:jA@� � 0 �/� ? D � � � D � � A@A � L D 4 D�� � V;� ? �;A ��2 D ? � FH� � 7 D ? �;A@� D :U Ic M � � /��T� 2 � � �" jp 5 �;"�2r�� ( + M � � 6 - � - QO� ! 6�� P !!�� � - 66 -

""�$ \^ � m=Q��@:��C�qV����� 7 ��:�V�< mT �b7 D o rn" ( ���J0=�/2 , ; p � C2 * � � �5 , C2 � " * � 5% �� " � � 2 �@�C:�� � � �l � 4 � D �� � - 66 �9

" � $ O �����K� �' �Ko+ �Yk /�'� " ( � �I� 5g� $ * � f � � /� " � . � � p 5 �;"�2 � d * " ( , D2 � � d � D2 ��D� �,D �EV��i:��%� � � �7 �%A(� 3 � �87E7 � - 66 �9

" 4 $ 3 � 7�2 ���: D ? ��:�V 3 � ����� � :4 �BAE��A@� 7 AE�U�8� ?�FH� �)����:��A� 7 D� V;� 7E7 � 2 �/AE�%� �=2 ���@A@�A� ?C� V���:�� F �A� 7 f � ��� & +;d ,#MkE� ��� M � C 6 � ! QH� � � � P � � " ��� ��� �

Page 170: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� !."

" � $ �� \^ ��)� ? � � 2�� � � 3 � )iD�D � � �����@� �� � �#��:�V��� � 3 ��: � q� D FB2 �;A � � 7 � F � ? �/A@� D : D� V;� ? �;A � 2 D ? � FH� �7 D ? �;AE� D : 7 4 �SAE��A@� � 5�� 7E7 � 2 ��A@�C� � 3 ��JAE�U� ?%� 5I��:�� F �A� 76FH� AE� D VO ic MON + � � 5 M � C � �9C#QO� �" ��� � � � �

� 6 $ � � � ��:����9: � li���9: 3 ����: � 06��� � : ��l*� 0 � :�� � D : ��� � ��� D :�� � � �m�9:�VI5��C� D � �4 3 �U�K� D �)���9:�: �8?L D 4 D�� � F ��O� D F D ?%� � � ? ��� 7 � 772W� : 7 � D :4 �m+;d , M]p 5 �;"�2/, � � � � �/QH� ��� � - 66 C�

��� $@? U5� U\ � D�D A<��:�V 3 4T� � ����� � :4 R5�� 7E7 � 2 ��A@�C� �B2 ��JAE�U� ?%� V���:�� F �A� 7 �1T%�E�_V��9�C:�� A@� � �B� 2 � � A(4 �#� :��A D F � 7 A@�A���9:�V FH�87 D 7 � D 2 �U� 7 � F � ? ��A@� D :4 c M �U+ � * M � +�d ,#M � � 6 ��� ���/QH� !!.- ChP !! C � ��� ��� �;

� -�$ O ���� � : ��l� 3 ���9: � 06��� � : � � � � ����9: ����:�V�T� e�� ;=1� D�D ]5�� 7E7 � 2 ��A@�C� � 3 ���@A@�A� ?C� 5I��:�� F �A� 767 � F � ? � �AE� D : D�� 2 D ? � F^� ��V�� D 2�7 �C: � 2W� �E� D V;�A� 7 � � �� L D 4Q c � � � �5 � . � � /��T� 2 � � �" Gp 5 �;"�2Rr�� ( +� �" ( , �� ��4 � " � P 4���� - 66 !

��C $ � =H h5 � : �YAJA � ����:�V � ) ? �� ? ���� � ��� F � ? �/AE� D : D�� 2 D ? � F^� � 7 ����V;� 7E7 � 2 �/AE�%� � 2 ��JAE�U� ?%� V��B:�� F �U� 7 �!: � " * � 5% /� " � r�� �,+ � 2/, . � � � � 5gd * � � , �T� 2�" � �02 � d r M c M�� � � � 5Sd9 �,���"-" C2 �RM �RM Ko+ � � 2 � ��� � 3 ��� � �#? 5 � � � � � - 66 !

� !$ 01 �;�����)V ? D 4Q 2�? �%AJAE�%: � �,D � V;� 7E7 � 2 ��A@�C� �>2 ���@A@�A� ?C� V���:�� F �A� 7 �� � [1r c M � ( " M � �/* & � � M � -�! � ! QH� � -�" �8P� - 4 - � - 6#6 C�

� ��$ � �� � �� 3 � A � � 7 � ? � F �C:��/AE� D : D�� AE� FH�H7 A �K2s���W� �.A 7 �C: 5 3 5R f � ��� & +�d ,#M�k1� ��� M � "" � C#QO� C���� P�C�� ���- 66 !

� "�$ 3 oli�U���: � : � 3 o=Q���@AJA@��: � : �O�9:�V �. &m�/AJAE� ? ���C: � :4 )YD 4 4 D � ? V � D �s�C:BA � ��)�/A � A@� �^��+ ����A@� D : 7 D��F D A@� D : �%:IV�� 7E7 � 2 ��A@�C� �B2 ���@A@�A� ?C� V���:�� F �A� 7 � F � ? ��A@� D : 7 � � ��* & � � � � �m+;d ,)" ( , � �/*^* � �" ( /� " � �, �� � C � ! 6 �8P !.- C�� - 66 C�

��� $ � 4= D :����U�� � 3 ��:� � �O��:�V � U\^ 3 �9V�V � :��9:�V �� 4\^ ��)� ? � � 2W� �b � �o� � A D� 7 D ? � � :BA + ��� ? �SA(�D :HA@� � � D : �,D � F �/A@� D :G�9:�VB� �8? �����/A@� D : D�� 2 D ? � FH� � 7 ���C�<V�� 7E7 � 2 ��A@�C� �=2 ��JAE�U� ?%� V��B:�� F �U� 7 c M �U+ � * M� +�d ,#M � � 6 ��� - QO� � � - P " 6 - ��� ��� �;

�74 $ � = D :���� �� � 3 ��:� � � � \^ 3 �qV�V � : �m��:�V�< \^ ���)� ? � � 2�� �8 3nD V �#? �C:��sAE� � �E� � D ? D �� D��2 D ? � FH� � 7 D ? �;A@� D : 7 ��� V�� 7E7 � 2 ��A@�C� �@2 ���@A@�A� ?C� V���:�� F �A� 7 RK � "�� � 5 � � d kE� �'� M ��C�� ��CC/P �SC,4���� � � ��

Page 171: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ! � � � $@? �5� o\ � D�D A ��01 � 3 �qV�V � : ����:�VZ5R � 06� ? V �b7J?C� �q ��: AE� � � D ?C� D�� ���;V�� D V���:�� F �A���C:BA � �E�#�.A@� D : 7

�C: � ? D � � D 2 D ? � FH� � F �U�K� D 2 ��� 7J�17J��2 ���)�/AE� D :4 6c M �U+ � * M �m+;d , M � ��� 6 � � � QO� � ��C � P � � ! � ��� � ��� 4 6 $ T� �. 3 oA � : T D 7 �)�4 ��:`��: � ��A � : 7 � D : D�� V;� 7E7 � 2 ��A@�C� �32 ���@A@�A� ?C� V���:�� F �A� 7 �,D �1��� 7 � D �8? � 7 AE�U�TL D 4

F D V �8?%? �%: �� ic M� � /��T� 2 � � �" �p 5 �;"�2XrR� ( + M � 4C�� - C��.P -�! 4���� � ��� 4�� $ l� �< � 2W� : ?C� �q ��#� ? �C:�� ? �/4 7 �,D � 2 D ? � F^� � 7 �C:nV;� 7@7 � 2 �/A@�C� �@2 ��JAE�U� ?%� V���:�� F �U� 7 f � ��� & +�d ,#MUkE� �'� M �

! � � ! QH� � C ! P ��! 6 � - 666 4 -�$ �. �&m�/A@A@� ? ���C: � : � 3 W=Q���@AJAE��: � : �W\^ oT �b7 D ? V ����:�V � 3�D ?C7 D :U %0 �87 A@�C:��GA@� �T+ ��� ? �SA(� D�� �C:qA � �#�E��A@� D :

7 �)� �8F^�b7 �,D � 5Y� 7E7 � 2 �/AE�%� � 3 ��JAE�U� ?%� 5I��:�� F �A� 7 7 � F � ? �/AE� D : 7 � � � D F 7 D�� A ? � �C:qA � �)�� A@�C:�� 7 � 7 A �8FG7A D 4 ��EV 7 �������E�CV F D V �#?_7 ic M �U+ � * M �m+�d ,#M � ��� " � C � " �8P�C � � � � - 6#6 -

4C $ �� 3 � D 4 � ���< �� BT6�. � � �q�9:�V 3 � ;5D� � � 7 �)� D �b F06� � �%:�L�� � : � � D� A@� FH� �!V �K2W� :�V � :BA ���;V�� D V�� �:�� F �U� 7 D : 2 D ? � FH� �*� � :BA�� � � D� � F � 7E7�F D A@� D :4 f � ��� & +�d ,#MUkE� �'� M � " ���9C#QH� C � �8P ! 6 C�� - 66 !

4 !$ 3 �� )YD � 7 �)� � � � � � ����:������� ? � �#� D � �#?C? ������:�V o g�� B\ ? D A � � �8 ) �;V�� D V���:�� F �A� 7 �9:�V F �A�O� D 2 ��� 7@�D �EV � �E�%:��G�C: � ? D � #� D 2 D ? � FH� � 7 � �*� � ����V�� D V���:�� F �A� 7 � �S+ ����� � V �,D � D �)V � � � V 2 ��� 7@�87 4 �%A@� 2W� �E� D V��A� �%A(� �C: F D � � AE����: D : � V�� FH� : 7 � D :�� c M �U+ � * M �m+�d ,#M � � - ��� -#- QH� ��� ! � � P � � !."#- � - 66 !

4 ��$ � � � � ��: ��� � : � � � D :�� � � ����: � � � ) � � � ��:����C�9: � � � � ;� � :�� � � �B��:�VX�����_� �J������:�� ���:4 :06� � ���W� �.A 7D� � D 4 � � �i:�V � � 7@� :^A �#FB2�� �E��A@��� � � D :BA�� D ?C? �C:�� FH� AE� D V D :HAE� �*2 D ? � F^� � 2 � D 2W� �@A@� �87 �%: FH�b7 D 7 � D 2 �A�7 � F � ? �/AE� D : 7 c M �U+ � * M �m+�d ,#M � � -- ��� 6 ! �#6 ��� - 6#6 �

4 "�$ �� 3 � � � ?%� D :�����:�V � � 3 ? ��� /� � �@A8 3nD ?%� � � ? ����V��B:�� F �U� 7 �C:�� �87 A@�U�q��A@� D : D�� V���:�� F �A� 7 �#� ? �C:�� �,D �V�� ? �;A ��2 D ? � FH� � 7 D ? �;A@� D : 7 �%: � D�D V 7 D ? � � :BA � D :�V;�SAE� D : 7 c M �U+ � * M �m+�d ,#M � � " � � �SQH� 4 � C � P 4 � � � �� ��� -

4�� $ �. 3 �� D :���������)���B��� 3 ) � ) ��� � : ����:�V 5R ��� � :� �#? �#? � �<� D : 7 � 7 A � :BAZV�� 7E7 � 2 ��A@�C� � 2 ���@A@�A� ?C�V��B:�� F �U� 7 � ? � D �@�%A@� F f���� � & +;d , M]k1� ��� M � !�- � C�������� ��� 4�

4,4 $ � =H 6V � : �YAJA � � �9:�V � ) ? i� ? ���� � 06� � A �#FB2�� �E��A@��� � �C: V;� 7E7 � 2 �/AE�%� �R2 ��JAE�U� ?%� V��B:�� F �U� 7 f���� � & +�d ,#M]kE� �'� M � � C�� !.-" P ! C�� � - 6#6 �q

Page 172: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ! 4 4 � $ \^ � �=Q���E:��_�9V���� 7 �9:�V o � �� � ��4 �C:4 �� & � ( � � �5 � + &Zf 5 � * � � r�� �-+ � 2�, p � � � ��* & � � �� " � �5 p 5 �;"�2

� d * " ( , �D� �,D �)V �Y:��%� � � 7 �%A(� 3 � �b7@7 � - �������� Q � - 66 � �6 $ T� 3 � D ��� �b7 A6��:�V �< � ��;A � �b �I�K� �#?C� �)�/A � V �S+ ��� ? ��� �E��A@� D : D� 2 D ? � FH� � FH�#? A 7 ���HAE� FH� � � D ��� 7J� �

�#�E�9�%:��%:��� c M �U+ � * M �m+�d ,#M � � 6 - � � 4#QH� � - ��" P�� -"" ��� ��� � � � $@? 85R b\ � DBD AU��:�V1=H � ? �� D : � 3 �b7 D 7 � D 2 �A� 7 � F � ? ��A@� D : D�� � �8?%?9F^�8F ���)��: � V�� F ��� � � F D � 2 � D ? D �#�

�)����:�� � �9:�V �@� 2 A@��� � �.� : D :�� D :��U� 7 ��� � ��.A)��:BA 7 � " � & +�d ,#M c M � 4��#� � -�� P���C " � - 66 �q � -�$@? 3 � � :�V�� � � �� � � � �V � 3 ��� ? D ����:�V 3 B5� q\ �)����� F �BA D �)��� 7 A@�A� 7 � F � ? ��A@� D : 7 D� a �54 �%:BL D 4 �

V��B:�� F �U� 7 �9:�VjAE� ��� �o� �.A 7 D�� ���;V�� D V��B:�� F �U�X�%:BA � �E�#�.AE� D : 7 c M �U+ � * M �m+;d ,#M � � � " � ��� �- P���� � � �- 66 -

� C $ �R �=@�E��A���X��:�VZ\^ 3�D � D VO ? D :BA�� � :���:BA � � 7 � �)����: �M� �#? D 7 A � � � �qV � : F D ?%� � ?%� ND� ( M K � 1 M �U+ " * M �" 4�� ��� 6 " P ��� � � ��� � ! �

� !$ ) � � F �h�/46�� r � 2#� � �,+ � � � d � . & � 5gd * � � , � 5 � � " � �, ) �� 2W� �i�9:�V ? D 4��l � 4 � D �� � � � ���q � ��$ O � ���:4 %� +�d ,." ( �5 ( + � * "A, � � d � . * ( � �/* � 5 � ( � 5 �H, �qD ��: � � ?C� �� 7 D : 7 � � ��� ! � "�$ �� T D ���)���C��A � �I 65R � ��:���� � � � � ?%?C�#F ��:�V � 01 BA��@�A� � o ��j T ? D � �Y�9:�V &R i�%� D + � � A@A �

� 7 AE� F ��A@�C:��HA@� �T2�� � 7 � 7 A � : � �Q?C� : ��A@� D� �B4 D � F � ? �� � � �)�����C: F D ?%� � � ?C� � � D F �,D ��� � � � ��A � : 7 � D : FH� � �7 ��� �#FH� :BA 7 � " � & +;d ,#M c M � � " � ! 6�� P ! ��C���� ��� �

� � $@? W\^ � ��� 7 D : ��01 �01 3 � ����%: 7 ��5R � F �SAE� �o��:�V o O���B�U ) ��V�� D V���:�� F �A� 7 D�� � a �54 F D ?C� �#� ?C��C:n�ML D 4 � �8? V4 %�m+�d ,#M4NI� 1 M4f � � � � - QH� � � � ! P � � � ����� ��� ��

��� $ 3 �01 �i:�V � �@��� ?C? ��:�V 3 �o q5 D � ?C� ���:RA@� � � D �� 7@� �<��)���C:��C:�� D�� 2 D ? � FH� � 7 �%:BA D � � �9V� 772 �@�C:��@�)�����C: 7 c M� � /��M� 2 � � �" �p 5 �;"�2Xr�� ( + M � � -#- � �SQH� ChP�C�� � - 66 !

��� $ � & � � ?%� A8 L� D FB2 �;A � ��� � � 2�� �@� FH� :BA 7�� D :�� ? � 7E7 �A�#� ? L����CV 7 �H� 06� � � F D V���:�� F �U�8� ?>2 � D 2�� �JAE� �b7 D���U� :�:����)V� �qD : �87 F D ?C� � � ?%�b7 �m+;d , MUND� 1 M � � � � � ��� P � 6 C���� � " ��

� 66 $ ) ��� ��Y:�V � � 7@� :4 �� D ?C� �#� ? �� V��B:�� F �U� 7�7 � F � ? �/AE� D : 7 ��A>� D : 7 AE�9:qA 2 � �87E7 ��� � �9:�V � D �mA �#FB2�� �E��A@��� � c M �U+ � * M �m+�d ,#M � � - � ! QO� - C � ! P - C � " ��� ���6

Page 173: Numerical Methods for Multi-Scale Modeling of Non-Newtonian Flows

� ! �

� 6 � $ �I 3 �� ?%?C� :���:�V�5R � �06� ? V �b7J?C� �q � �/* & � � � � � " * � 5C /� " � � . k " � �;"�2�, �D� �,D �EV �Y:��C� � � 7 �SA(� 3 � �b7@7 �� ��� �

� 6 -�$ 3 � \^ �V � \ � :�: �87 6� ( �5 "� � ( � ( � & � ,Q"�X& � 5gd * � �6& +�d ,." ( , � D �@: �#?C? �i:��C� � � 7 �SA(� 3 � �87E7 � � � � � � 6 C $ � m�� � D � 7@F �9:4 �� � 5Sd * � � , "� � � 5 � � " � ; Ko+ � � ��� � " ( �5 ( � ,)"�2#� � /� " � �, D2 :� 2 � � * � �,+ � 2/, � .

( +� � ( � � �."%$ /� " � �� 3 ?%� :�� F 3 � �87E7 ��l � 4 � D �� � � ��� " � 6 !$ �� � �4�#�b7 ��:�V O � � V�4 ��EV 7 06� � � D FB2 �;A � � 7 A@��V�� D� A��E�9: 7�2 D �JA 2 � D � �87E7@�87 ��:�V � � � ��A�� �#FH�

� D :�V��SAE� D : 7 c M �m+;d , M ��� � � � � - ��� � � � - � 6 ��$ � ) F� �E���%:��Z��:�V � \^ ]=1�����4 D�D VO M06� �X7 A)�/A@� 7 A@�A�#� ? FH� �)����:��A�#� ? A@� � D ��� D�� A��)��: 7�2 D �JA 2 � D � �b7@7@�87

� &R 06� �Q�S+ ���/A@� D : 7 D�� ���;V�� D V���:�� F �A� 7 6c M �U+ � * M �m+�d ,#M ��� � � � � �8P � - � ��� � � 6 � 6 "�$ � �� �T6�� � � ���� 3 � D 4 � � ) o�� � )YD � � 7J? D�D A ����:�V 3 �5R �� � V �#F �� 3�D � 7@� ��� ?C?%� L D 4 A D FH� � 7 ��� �

AE� � ��� 7 � D 7 �%A(� D�� 2 ��JAE�U� ?%�1F D V �#? L����CV 7 ic M �U+ � * M �m+�d ,#M � � -- ��� ��! � 6 C�� - 6#6 � � 6 � $ \^ � �=Q���E:��_�9V���� 7 ���< �T �87 D �q��:�VXl� � ? � �@�4 rn" ( � � 0=��2 , D2 � � 0=��2 , ; p � C2 * � �! �5 , C2

� " * � 5C /� " � 2 �@�C:�� � � ��l � 4 � D �� � - 6#6 � � 6�� $ �� �< �s��� 7 �U <Ko+ � � ��� � " ( �5 ,'& � ( � , � . 2�"A,�,." & /� " 1 �Y& � � " ( 5 � 2 d * " ( , 3 ��5 A@� �b7 � 7 � �i:��C� � � 7 �SA(� D��

�D� �,D �EV � � ����� � 6�� $ �. 3 �%����%: ��:�V`\^ � o=Q��@:��C�qV����� 7 � : � 4 FH� AE� D VnA D � F32 D 7@� : D � 7J? � 2 � D ��:�V����� � D :�V;�%A@� D : 7 �C:

5�� 7@7 � 2 �/A@�C� � 3 ��JAE�U� ?%� 5D��:�� F �U� 7 ic M � �/* &OM � +�d ,#M � - 6 ��� �SQO��� � ! P � - � � - 66 � ��� 6 $ O >5R BA D �B��: D � �9:�V ? �5R �\ � D�D A8 ��� D F F D ?%� � � ? ���^V���:�� F �A� 7 A D ���;V�� D V���:�� F �A� 7 � � : D � �8?

\1� ? � ?C� ��:��C:B�/��@�_��:BA6A@� � � F D 7 A)�/A8 c M �U+ � * M �m+�d ,#M � � -- � ���/QH� ��� ! ��� - � - 66 �


Recommended