Objectos persistentes: pickle and shelve · 2005. 12. 9. · Objectos persistentes: pickleand...

Objectos persistentes: pickle and shelve

• Um objecto x pode ser guardado num ficheiro f, aberto paraescrita usando o seguinte método do módulo pickle:

pickle.dump(x,f)

• Para ler de novo o objecto do ficheiro basta fazer

x = pickle.load(f)

Computadores e Programação – p.245


• A serialização (conversão para string) dos objectos é feitaautomaticamente, bem como a sua reconversão no tipo original.Praticamente qualquer objecto pode ser guardado num ficheiro.Contudo há que ter o cuidado de carregar os objectos do ficheiroexactamente pela mesma ordem em que foram guardados!

• Esta restrição é levantada no módulo shelve. Utilizando estemódulo podemos guardar os nossos objectos num ficheiro quefunciona como base de dados onde os objectos são indexadospor uma string única a cada objecto. A interface de utilizaçãodesta base de dados assemelha-se à de um dicionário, comomostra o exemplo seguinte.

• O módulo shelve permite implementar muito facilmente umabase de dados sofisticada.



import shelvedb = shelve.open(’myfile’,’n’) # n = new filex,y,z = 123, ’abc’, {1:’a’,2:’bbbb’}class C:

def __init__(self,x):self.x = x

def __str__(self):return "C instance> %d" % (self.x)

if ___name__ == "__main__":c = C(123)db[’x’] = xdb[’y’] = ydb[’z’] = zdb[’c instance’]= cdb[’C class’] = Cdb.close()db = shelve.open(’myfile’,’c’) # c = append datafor c in "xyz": print db[c]db.close()


Redirecção de input e output

• Por vezes é útil redireccionar a saída de um programa do écranpara um ficheiro. Também pode ser útil que um programa passe aler os dados que normalmente entram pelo teclado a partir de umficheiro. Se o programa correr no sistema operativo Linux (ounum sistema Unix) a redirecção da entrada e saída pode fazer-sena linha de comando:

python myprog < input.dat > output.out

• Outros sistemas operativos não dispõem desta facilidade. Noentanto, o Python permite fazer a redirecção dos ficheirosstandard de entrada, saída e de erro de uma forma portátil. Estesficheiros estão definidos no módulo sys com os nomes stdin,stdout e stderr. Por omissão, sys.stdin aponta para oteclado, e sys.stdout e sys.stderr para o écran. Aredirecção da entrada e saída faz-se pondo estes nomes aapontar para outros ficheiros.



• O pequeno programa do próximo slide mostra um equivalenteportátil da instrução Unix dada atrás. Para correr o programa,deve digitar-se na linha de comando

python myprog input.dat output.out

• Os ficheiros de nome “input.dat” e “output.dat” serão atribuídosno início do programa a sys.stdin e sys.stdout.

• Notar que sys.argv é uma lista que contém as strings deevocação do programa: sys.argv[0] é o nome do programa esys.argv[1:] os argumentos do programa, neste casos osnomes dos ficheiros de input e output.



#!/usr/bin/env pythonimport sys

try:sys.stdin = open(sys.argv[1],’r’)

except:print "Error opening input file.",sys.stdinsys.exit()

try:sys.stdout = open(sys.argv[2],’w’)

except:print "Error opening output file",sys.stdoutsys.exit()

for line in sys.stdin:print line[:-1] #remove last char (CR)



• Como não houve redirecção do ficheiro sys.stderr, asmensagens de erro eventualmente geradas pelo programa serãoainda enviadas para o écran. Para que estas mensagens tambémsejam enviadas para o ficheiro de saída que atribuímos asys.stdout bastava incluir a instrução sys.stderr =sys.stdout a seguir à redirecção de sys.stdout.


Derivação numérica

Possuindo apenas duas listas de números (o valor fk de uma funçãonum conjunto discreto de pontos igualmente espaçados xk) comoobter as derivadas da função num desses pontos?

x f(x)

x1 f1

x2 f2

. . . . . .xn fn



As várias fórmulas de derivação numérica obtêm-se fazendocombinações simples da expansão em série de Taylor da função nospontos próximos do ponto onde se pretende calcular a derivada.

• Fórmula de 2 pontos para a primeira derivadaPartindo de

fk+1 = fk + f′

k(xk+1 − xk) +1

2f ′′k (xk+1 − xk)2 + · · ·

obtém-se, visto que h = xk+1 − xk,

f ′k =fk+1 − fk

h+ O(h)



• Fórmula de 3 pontos para a primeira derivadaObtém-se subtraindo

fk−1 = fk − f ′kh +1

2f ′′k h

2 + · · ·

da expansão para fk+1

f ′k =fk+1 − fk−1

2h+ O(h2)

O cancelamento dos termos em h2 nas expansões conduz a umerro que é de ordem superior ao anterior!



• Fórmula de 5 pontos para a primeira derivada

− fk+2(

= fk + 2f′

kh + 2f′′

k h2 +

4

3f ′′′k h

3 +2

3f ′′′′k h

4 + . . .

)

+ 8 fk+1

(

= fk + f′

kh +1

2f ′′k h

2 +1

6f ′′′k h

3 +1

24f ′′′′k h

4 + . . .

)

− 8 fk−1(

= fk − f ′kh +1

2f ′′k h

2 − 16f ′′′k h

3 +1

24f ′′′′k h

4 + . . .

)

+ fk−2

(

= fk − 2f ′kh + 2f ′′k h2 −4

3f ′′′k h

3 +2

3f ′′′′k h

4 + . . .

)

= 12hf ′k + O(h5)



• Fórmula de 5 pontos para a primeira derivada

f ′k =fk−2 − 8fk−1 + 8fk+1 − fk+2

12h+ O(h4)

• Para obter a fórmula de 7 pontos é preciso calcular ainda fk+3 efk−3. A primeira derivada de f(x) é então obtida através de:

f ′k '3

∑

i=−3

cifk+i

sendo os coeficientes ci ajustados de modo a que todos ostermos de ordem inferior a h6 se cancelem.



• Fórmula de 3 pontos para a segunda derivada

fk+1

(

= fk + f′

kh +1

2f ′′k h

2 +1

6f ′′′k h

3 +1

24f ′′′′k h

4 + . . .

)

+ fk−1

(

= fk − f ′kh +1

2f ′′k h

2 − 16f ′′′k h

3 +1

24f ′′′′k h

4 + . . .

)

= 2fk + h2f ′′k + O(h4)

logo

f ′′k =fk+1 − 2fk + fk−1

h2+ O(h2)




− fk+2(

= fk + 2f′

kh + 2f′′

k h2 +

4

3f ′′′k h

3 +2

3f ′′′′k h

4 + . . .

)

+ 16 fk+1

(

= fk + f′

kh +1

2f ′′k h

2 +1

6f ′′′k h

3 +1

24f ′′′′k h

4 + . . .

)

+ 16 fk−1

(

= fk − f ′kh +1

2f ′′k h

2 − 16f ′′′k h

3 +1

24f ′′′′k h

4 + . . .

)

− fk−2(

= fk − 2f ′kh + 2f ′′k h2 −4

3f ′′′k h

3 +2

3f ′′′′k h

4 + . . .

)

= 30fk + 12h2f ′′k + O(h6)




f ′′k =−fk−2 + 16fk−1 − 30fk + 16fk+1 − fk+2

12h2+ O(h4)


Interpolação numérica

• Conhecendo os valores de uma função, yi ≡ f(xi) num conjuntodiscreto de pontos, {xi, i = 0, . . . , N}, é possível obter umaestimativa do valor da função num ponto x não pertencente aesse conjunto se se fizer passar uma curva pelos pontosconhecidos. A equação desta curva pode ser dada por umpolinómio (interpolação de Lagrange), um quociente depolinómios, uma combinação linear de polinómios ortogonais(polinómios de Chebushev, por exemplo), splines, etc.

• Se x0 < x < xN o processo designa-se por interpolação.• Se x < x0 ou x > xN o processo designa-se por extrapolação.• Um processo distinto de obter o valor de f(x) é o ajuste através

de uma minimização dos desvios quadráticos de uma curva aospontos conhecidos. Mas, neste caso, a curva não passa pelospontos. É o que acontece quando se ajusta, por exemplo, umarecta a um conjunto de resultados experimentais. . .



• Se se pretender obter um polinómio interpolante de 1a ordem(uma recta. . . )

P1(x) = a + bx

com xj < x < xj+1, os coeficientes do polinómio sãodeterminados impondo simplesmente que o polinómio passeexactamente por (xj , f(xj)) e (xj+1, f(xj+1)):

{

P1(xj) = f(xj)

P1(xj+1) = f(xj+1)⇔

{

a + bxj = yj

a + bxj+1 = yj+1



• Se se pretender obter um polinómio interpolante de 2a ordem(uma parábola. . . )

P2(x) = a + bx + cx2

com xj < x < xj+2, são necessárias 3 equações para determinaros 3 coeficientes do polinómio. Então estes são determinadosimpondo que o polinómio passe exactamente por (xj , f(xj)),(xj+1, f(xj+1)) e (xj+2, f(xj+2)):

P2(xj) = f(xj)

P2(xj+1) = f(xj+1)

P2(xj+2) = f(xj+2)

⇔

a + bxj + cx2j = yj

a + bxj+1 + cx2j+1 = yj+1

a + bxj+1 + cx2j+2 = yj+2



• A solução destes sistemas de equações pode ser escrita de umaforma bastante compacta:

PN (x) =N

∑

i=0

N∏

j = 0

j 6= i

x − xjxi − xj

yi

• Com uma dúzia de pontos é possível interpolar, por exemplo, asfunções trigonométricas com uma precisão muito elevada. É esteo método usado pelas máquinas de calcular para calcular estas eoutras funções. . .


Integração numérica

• A maneira mais simples de obter o valor numérico do integral deuma função

I =

∫ b

a

f(x)dx

é dividir o domínio de integração em N intervalos de largurah = (b − a)/N e considerar que o integral da função num dessesintervalos é dado simplesmente através do produto do valor dafunção no ponto médio do intervalo pela largura do intervalo:

I 'N−1∑

i=0

f

(

xi +h

2

)

h (x0 ≡ a, xN ≡ b) .



• Este método corresponde a aproximar a área abaixo da funçãopor uma série de rectângulos

a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 b



• Este método de cálculo do integral não é muito eficaz, pois sócom intervalos muito pequenos se comete um erro pequeno. . .

• Para melhorar o processo, considere-se o integral apenas numdos intervalos

Ij =

∫ xj+1

xj

f(x)dx .

• Se se expandir f(x) em série de Taylor em torno do xj e sedesprezarem todos os termos de ordem superior à primeira, vem

Ij '∫ xj+1

xj

(f(xj) + f′(xj)(x − xj)) dx

que se pode calcular recorrendo à fórmula de 2 pontos para aderivada:



Ij '∫ xj+1

xj

(

f(xj) +f(xj+1) − f(xj)

h(x − xj)

)

dx =

= hf(xj) +f(xj+1) − f(xj)

h

h2

2= h

f(xj) + f(xj+1)

2

• Então, o integral no intervalo [a, b] será:

I =N−1∑

j=0

Ij 'h

2

N−1∑

j=0

(f(xj) + f(xj+1)) =

=h

2

f(a) + 2

N−1∑

j=1

f(xj) + f(b)



• Esta regra de integração é conhecida como regra do trapézio ecorresponde a aproximar a área abaixo da função por uma somadas áreas de vários trapézios:

a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 b

• Na prática, a regra do trapézio consiste em aproximar a funçãoentre os extremos de cada intervalo de largura h por uma recta. . .



• Para melhorar a regra do trapézio basta melhorar a aproximação.A regra de Simpson consiste em aproximar a função entre osextremos de cada intervalo por uma parábola. Esta regra deintegração pode ser deduzida de uma forma bastante simples.Considere-se o integral apenas no intervalo entre xj−1 e xj+1(recordar que são precisos 3 pontos para definir uma parábola. . . )

Ij =

∫ xj+1

xj−1

f(x)dx .

• Se se expandir f(x) em série de Taylor em torno do xj e sedesprezarem todos os termos de ordem superior à segunda, vem

Ij '∫ xj+1

xj−1

(

f(xj) + f′(xj)(x − xj) +

1

2f ′′(xj)(x − xj)2

)

dx



• Este integral pode-se calcular recorrendo às fórmulas de 3 pontospara as derivadas:

Ij '∫ xj+1

xj−1

(

f(xj) +f(xj+1) − f(xj−1)

2h(x − xj)+

+1

2

f(xj+1) − 2f(xj) + f(xj−1)h2

(x − xj)2)

dx =

= 2hf(xj) +f(xj+1) − f(xj−1)

2h· 0+

+f(xj+1) − 2f(xj) + f(xj−1)

2h22h3

3

logo

Ij ' hf(xj−1) + 4f(xj) + f(xj+1)

3.



• Então, o integral no intervalo [a, b] será:

I =N−1∑

j=0

Ij 'h

3

N−1∑

j=1

(f(xj−1) + 4f(xj) + f(xj+1) =

=h

3

f(a) + 4N−1∑

j=1, j ímparf(xj) + 2

N−1∑

j=2, j parf(xj) + f(b)

• A regra de Simpson é a regra de integração unidimensional maisconhecida. Uma das razões para o seu sucesso é o facto deproduzir resultados melhores que o esperado, pois a primeiracorrecção a esta regra — a inclusão do termo de terceira ordemda série de Taylor — é nula, sendo preciso incluir o termo dequarta ordem para obter uma melhoria.



• Seguindo o processo de obtenção das regras do trapézio e deSimpson, é possível obter formas mais “precisas” para o cálculodos integrais. Mas a regra de Simpson é um bom compromissoentre simplicidade da formulação e precisão. . .

• Há muitos outros métodos de calcular um integral (quadraturagaussiana, por exemplo). . . Um dos mais conhecidos é o métodode Monte Carlo cujo algoritmo é o seguinte◦ Gerar um par de números aleatórios (x, y), com a ≤ x ≤ b e

0 ≤ y ≤ fmax, onde fmax é um valor superior ao máximo dafunção no intervalo [a, b]

◦ Se y < f(x), incrementar um contador Nin◦ Repetir o processo N vezes: o integral é dado por

I ' NinN

fmax(b − a) .



• Este processo de “tiro ao alvo” é pouco eficaz para integrais auma ou duas dimensões. Mas para integrais sobre um númerogrande de variáveis este método torna-se mais eficiente que aregra de Simpson. . .

a b0

fmax


Resolução de equações não lineares

• Frequentemente é necessário encontrar o zero de uma funçãocomplicada resolvendo uma equação não linear. Há váriosmétodos numéricos bastante simples e poderosos para o fazer,sendo o mais robusto deles o chamado método da bissecção:◦ Seja f(x) = 0 a equação que se pretende resolver. Se houver

um zero de f no intervalo [a, b] então, em geral, f(a) · f(b) < 0.◦ No ponto c = a + (b − a)/2 verifica-se que ou f(a) · f(c) < 0

ou f(c) · f(b) < 0, o que permite determinar se o zero está nointervalo [a, c] ou [c, b] (se só houver um zero em [a, b]. . . ).Supondo que é a primeira condição que se verifica, pode-secalcular f(d), com d = a + (c − a)/2 e determinar se o zeroestá no intervalo [a, d] ou no intervalo [d, c]. . .

◦ Pode-se repetir este processo até que o intervalo onde seencontra o zero seja muito pequeno. . .



• O método da bissecção é extremamente robusto mas não é muitorápido. . . Em muitos casos é possível melhorar o processo debusca do zero de f se o novo extremo do intervalo de procura (c,d, etc.) for encontrado fazendo passar uma recta pelos extremosdo intervalo (a e b no início do processo. . . ) e determinando oponto onde essa recta cruza o eixo dos x. Este método éconhecido por método da falsa posição e é, em geral, mais rápidoque o método da bissecção. Mas não é tão robusto, podendo nãoencontrar o zero. . .



• Um outro método, semelhante ao método da falsa posição, é ométodo da secante: se [xn, xn+1] for o intervalo de busca do zerona enésima iteração, o intervalo para a iteração seguinte é[xn+1, xn+2] sendo xn+2 o ponto onde a recta que passa pelospontos (xn, f(xn)) e (xn+1, f(xn+1)) intersecta o eixo dos x.Neste método não há portanto garantia que o zero se encontreno intervalo de busca, ao contrário dos métodos anteriores. Talcomo o método da falsa posição, este método nem sempre é bemsucedido. . .



• Se for possível calcular a derivada de f pode-se recorrer aométodo de Newton-Raphson para encontrar o zero. Este métodoé bastante robusto e extremamente eficiente na maioria doscasos:◦ Seja xi uma estimativa para a posição do zero de f◦ Se se expandir a função em série de Taylor em torno de xi e

se desprezarem os termos de ordem igual ou superior a 2vem

f(x) ' f(xi) + f ′(xi)(x − xi) ≡ f̃(x)◦ Usando esta aproximação para f o zero encontra-se no ponto

f̃(z) = 0 ⇔ z = xi −f(xi)

f ′(xi)

◦ Se f(z) 6= 0, considera-se xi+1 = z e repete-se o processo. . .



• Um exemplo simples de aplicação do método deNewton-Raphson é o cálculo da raíz de um número ( n√c). Estecálculo pode ser transformado numa equação não linear:

x = n√

c ⇔ xn = c ⇔ xn − c = 0

• Os passos do método de Newton são, neste caso:

xi+1 = xi −xni − cnxn−1i

• Por exemplo, para calcular 3√

7, vem

xi+1 = xi −x3i − 73x2i



• Se a primeira estimativa para 3√

7 for x1 = 2, vem

x2 = 2 −23 − 73 × 22 = 1.91666666667

x3 = 1.91666666667 −1.916666666673 − 73 × 1.916666666672 = 1.91293845831

x4 = 1.91293845831 −1.912938458313 − 73 × 1.912938458312 = 1.9129311828

obtendo-se o resultado “exacto” à terceira iteração!


Resolução de equações diferenciais

• Todos os algoritmos de resolução de equações diferenciaispartem da mesma ideia base: obter uma boa estimativa para asderivadas na equação. Considerem-se, por enquanto, apenasequações diferenciais ordinárias de primeira ordem e escreva-sea equação da seguinte forma

y′(t) = f(t, y(t)) .

• O que se pretende obter (a solução da equação. . . ) é o valor dey(t) para vários valores de t. É, obviamente, necessário ter umacondição de fronteira para poder integrar a equação. Essacondição é tipicamente o valor “inicial” de y(t), y(t0).

• Conhecendo y(t), y(t + ∆t) obtém-se simplesmente porexpansão em série de Taylor

y(t + ∆t) = y(t) + y′(t)∆t +1

2y′′(t)(∆t)2 + . . .



• Se se considerar apenas o termo de primeira ordem, obtém-se ochamado método de Euler para a integração de uma equaçãodiferencial ordinária

y(t + ∆t) ' y(t) + y′(t)∆t =⇒ yi+1 = yi + f(ti, yi)∆t

com y0 = y(t0).• Este método é bastante simples de implementar mas só é

recomendável para equações muito simples. Repare-se que oerro em cada passo de integração é da ordem de (∆t)2, visto sereste o primeiro termo desprezado na série de Taylor. . .



• Uma maneira de obter um método melhor é melhorar a estimativada derivada y′(t). No método de Euler, esta derivada é calculada,para cada intervalo ∆t, apenas no início. A estimativa da derivadaé melhorada se se usar o valor desta para dar meio passo deEuler e se voltar a calcular a derivada no ponto ti + ∆t/2:

yi+1 = yi + k2{

k1 = f (ti, yi) ∆t

k2 = f(

ti +∆t2

, yi +k12

)

∆t

Este método é designado por método de Runge-Kutta de 2aordem e o erro em cada passo de integração é agora da ordemde (∆t)3. Mas é necessário calcular f(t, y) duas vezes em cadapasso. . .



• O método mais utilizado para integrar equações diferenciaisordinárias é o método de Runge-Kutta de 4a ordem. A suapopularidade advém da sua robustez e precisão (o erro em cadapasso é da ordem de (∆t)5), obtidas sem sacrificar em demasia arapidez (só se calcula a derivada 4 vezes em cada passo). A suafórmula é:

yi+1 = yi +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

k1 = f (ti, yi) ∆t

k2 = f(

ti +∆t2

, yi +k12

)

∆t

k3 = f(

ti +∆t2

, yi +k22

)

∆t

k4 = f (ti + ∆t, yi + k3)∆t



• Para integrar equações diferenciais ordinárias de ordem superiorà primeira basta tratar as várias derivadas da função comofunções independentes e re-escrever a equação diferencial deordem n como n equações diferenciais de primeira ordemacopladas. Por exemplo, a equação de movimento de umoscilador harmónico amortecido,

mx′′(t) = −kx(t) − γx′(t) ,

pode ser escrita como{

x′(t) = v(t)

v′(t) = − km

x(t) − γm

v(t)

• O sistema de equações de primeira ordem pode depois serintegrado recorrendo a qualquer dos métodos já expostos.


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