ODD Level Set: Un Nuevo Método de Elementos Finitos para...

II Simposio Internacional de diseño y producción de yates de motor y vela. II International Symposium on yacht design and production.

ODD Level Set: Un Nuevo Método de Elementos Finitos para Análisis de Problemas de Hidrodinámica Naval

207

ODD Level Set: Un Nuevo Método de Elementos Finitos para Análisis de Problemas de Hidrodinámica Naval Julio García Espinosa1,2

Aleix Valls Tomas1,2 Abstract This paper introduces a new stabilised finite element method based on FIC [1][2][3] and ALE techniques [10], specially developed for analysis of naval hydrodynamics problems. The main innovation of this method is the application of domain decomposition concept in the statement of the problem, in order to increase accuracy in the capture of free surface as well as in the resolution of governing equations in the interface between the two fluids. Free surface capturing is based on the solution of a level set equation, while Navier Stokes equations are solved using an iterative monolithic predictor-corrector algorithm [4], where the correction step is based on the imposition of null divergency in the velocity field by means of the solution of a scalar equation for the pressure. In this paper an application of the new methodology to the simulation of roll movement in a real geometry of an planning craft is presented. Resumen En el presente artículo se presenta un nuevo método de elementos finitos estabilizado mediante la técnica FIC [1][2][3], y escrito en forma ALE [10], especialmente adecuado para el análisis de problemas en hidrodinámica naval. La gran novedad de este método es la aplicación de técnicas de descomposición de dominios para incrementar la exactitud del algoritmo de captura de la superficie libre (level set) así como de la resolución de las ecuaciones de gobierno en la interfaz entre agua y aire. En lo que se refiere a la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes, se ha implementado un esquema iterativo predictor-corrector [4], donde el paso de corrección se basa en la imposición de la divergencia nula en el campo de

velocidades a través de la resolución de una ecuación escalar para la presión. En particular, en el presente trabajo, se muestra la aplicación de la metodología referida a la simulación del movimiento de balance de la geometría real de una embarcación planeadora. Palabras clave Método de Elementos Finitos, Superficie Libre, Hidrodinámica Naval, Navier Stokes, Estabilización, Level Set, Descomposición de dominios. Planteamiento del Problema Sea ( )Ω ⊂ = 2,3dR d un domino acotado y ocupado por dos fluidos incomprensibles e inmiscibles. Los campos de velocidades y presión están gobernados por las ecuaciones de Navier-Stokes incompresible para flujos multifásicos. También conocidas como ecuaciones de Navier Stokes no homogéneas incompresible [5]:

( )

( )j

ijii j i

j i j

i

i

ut x

u pu u ft x x x

ux

ρ ρ

τρρ ρ

∂ ∂+ =

∂ ∂

∂∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂ ∂

∂=

∂

0

0

(1)

Donde i j d≤ ≤1 , , ρ es la densidad, iu es la componente i-esima del campo de velocidad u en el sistema de referencia global ix , p es la presión y τ es el tensor de tensiones viscosas, definido por:

( )ij i j j iu uτ µ= ∂ + ∂ (2)

Siendo µ la viscosidad dinámica

Sea x xΩ = ∈Ω ∈1 Fluido1 y

x xΩ = ∈Ω ∈2 Fluido2 , se cumple

entonces que Ω Ω1 2, son subdominios de Ω disjuntos tales que:

1COMPASS Ingeniería y Sistema, S.A. C/ Tuset 8, 7º 2ª, 08006Barcelona, España. 2CIMNE (Centro Internacional de Métodos Numéricos enIngeniería), Edificio C1, Campus Norte, Universidad Politécnica deCataluña (UPC). C/ Gran Capitán s/n, 08034. Barcelona, España. E-mail: [email protected]

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208

( )Ω = Ω ∩Ω1 2int (3)

El sistema (1) se debe completar con condiciones de contorno e iniciales que se detallaran más adelante. Es común en la literatura considera que para fluidos incompresibles la primera ecuación del sistema (1) es equivalente a imponer que el campo de velocidades sea libre de divergencia, tercera ecuación en (1), dado que la densidad se considera constante. Pero, para el caso de flujos bifásicos incompresibles (flujos compuestos por dos fluidos incompresibles) no se puede considerar la densidad constante en

( )TΩ× 0, . Así se definen ρ µ, variables:

xx

ρ µρ µ

ρ µ∈Ω

= ∈Ω1 1 1

2 2 2

,,

, (4)

Sea ( )T Rψ Ω× →: 0, una función, en adelante función Level Set, definida como sigue:

( )( )

( )

d x t xx t x

d x t xψ

∈Ω= ∈Γ− ∈Ω

1

2

,, 0

, (5)

Donde ( )d x t, es la distancia a la interfaz entre los fluidos, denotada por Γ , en el instante t respecto al punto x . Se deduce trivialmente de (5) que:

( ) x xψΓ = ∈Ω ⋅ =, 0 (6)

La curva de nivel 0 de la función Level Set coincide con la interfaz. Se cumple entonces que:

( ) ( ) ( ) ( )( )x tn x t x t n x tψ κ= ∇ = ∇ ⋅

,, ; , , (7)

Donde n define el vector normal a la interfaz orientado del fluido 1 al fluido 2 y κ la curvatura de la interfaz. En (7) se ha considerado que una función ψ definida como en (5) cumple [7][8][9]:

( ) ( )x t Tψ∇ = ∀ ∈Ω×1 , 0, (8)

Ahora se puede rescribir (4) como sigue:

ρ µ ψ

ρ µρ µ ψ

>= <

1 1

2 2

, 0,

, 0 (9)

Se puede expresar la densidad como función de la función Level Set, ψ

( ) ( )( ) ( ) ( )x t x t x t Tρ ρ ψ= ∀ ∈Ω×, , , 0, (10)

Se cumple entonces

i i

t t

x x

ρ ρ ψψ

ρ ρ ψψ

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂

(11)

Substituyendo (11) en la primera ecuación del sistema (1)

( )i

i

i iui ix

ii

ii

u ut x t x

ut x

ut x

ρ ρ ρρ

ρ ψ ρ ψψ ψ

ρ ψ ψψ

∂=

∂

∂ ∂ ∂ ∂+ = + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= + =∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + = ∂ ∂ ∂

0

0

(12)

En conclusión el problema de Navier Stokes para flujos bifásicos (1) es equivalente a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

( ) iji

i j ij i j

i

i

u pu u ft x x x

ux

τρρ ρ

∂∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂ ∂

∂=

∂0

(13)

Acoplado con la ecuación

ii

ut xψ ψ∂ ∂

+ =∂ ∂

0 (14)

La ecuación (14) define el transporte de la función Level Set asociado al campo de velocidades obtenido de resolver (13). En consecuencia la captura de la interfaz entre dos fluidos es equivalente a resolver simultáneamente las ecuaciones (13) y (14). La posición de la interfaz se recupera como la curva de nivel 0 de la función Level Set. Es posible demostrar bajo ciertas condiciones de regularidad de las variables del problema (1) o equivalentemente (13) y que (14) tiene solución global única [5]. Por otra parte, es necesario definir condiciones de contorno e iniciales para las ecuaciones (13) y (14)

1

2

,

,

u

ij ij p

j ij inj j

j ij i

u u en

p p n t en

n g tu n u en

n s tτ

τ

τ

τ

= Γ

= = Γ

= = Γ=

(15)



209

Donde el contorno ∂Ω se ha dividido en tres partes disjuntas: u pΓ Γ, donde se imponen condiciones de Dirichlet y Neumann respectivamente y τΓ donde se imponen condiciones de Robin para la velocidad. Los vectores g s, generan el espacio tangente a

τΓ . Análogamente se imponen condiciones para (14)

uenψ ψ= Γ (16)

Finalmente solo falta definir las condiciones iniciales

u u en

enψ ψ= Ω

= Ω0

0

(17)

Donde ( ) x xψΓ = ∈Ω =0 0 0 define la posición inicial de la interfaz entre los fluidos. Problema estabilizado por FIC Dado el ámbito de aplicación de este procedimiento es imprescindible estabilizar los métodos numéricos usados para la integración de las ecuaciones de Navier Stokes. Con este propósito se ha considerado la técnica de estabilización FIC (Finite Incremental Calculus) presentada en [1][2][3][12]. La forma estabilizada mediante FIC de las ecuaciones de gobierno (13) y (14) se escribe como

1 02

1 02

1 02

i

i i j

mm m

j

dd j

j

jj

rr h

x

rr h

x

rr h

xψ

ψ

∂− =

∂

∂− =

∂

∂− =

∂

(18)

Así mismo también es necesario escribir la forma estabilizada de las condiciones de contorno

1

2

12

1,21,2

i

i

i

u

j ij j j m i u

nj j j ij i j j m i u

j ij i j j m i

u u en

p p n h n r t en

u n u n g h n r g t en

n s h n r s t

τ

τ

τ

= Γ

= − = Γ

= − = Γ

− =

(19)

Los términos adicionales subrayados en (18) y (19) introducen la estabilización necesaria para la correcta integración numérica de las ecuaciones de Navier stokes, [1][2][12]. Los términos

imr , dr y rψ denotan los

residuos de las ecuaciones (13) y (14) respectivamente, así por ejemplo:

( )i

ijim i j i

j i j

u pr u u ft x x x

τρρ ρ

∂∂ ∂ ∂= + + − −

∂ ∂ ∂ ∂(20)

Las longitudes características jh representan las dimensiones del domino finito donde se impone que las respectivas ecuaciones diferenciales se cumplan. Detalles sobre la obtención y recomendaciones para el calculo términos de estabilización se pueden encontrar en [1][2][12]. Descomposición en dominios solapados Consideremos la siguiente descomposición del domino Ω en tres subdominios disjuntos Ω3, Ω4 y Ω5 tal que Ω3=∪Ω3

e, Ω5=∪Ω5e.

Donde Ω3e son aquellos elementos de la

partición por elementos finitos de Ω= ∪Ωe, tal que ∀x∈Ω3

e|ψ>0 y Ω5e son aquellos

elementos tal que ∀x∈Ω5e|ψ<0. La

descomposición geométrica se completa con

( )4 3 5\Ω = Ω Ω ∪Ω (21)

De esta partición se definen Ω% 1 y Ω% 2 dos dominios solapados (véase la Fig.1) :

( ) ( )1 3 4 2 4 5: int , : intΩ = Ω ∪Ω Ω = Ω ∪Ω% % (22)

Se define

,

,

: 0

: 0

i

i

h i h

h i h

V v V v

Q v Q v

∂Ω∩∂Ω

∂Ω∩∂Ω

= ∈ =

= ∈ =

%

%

(23)

Donde hV y hQ son los espacios de aproximación para las velocidades y la presión respectivamente. Se propone solucionar el siguiente problema modificado: Dado dos campos de velocidad

1 2,1 , ,2 ,,n nh h h hu V u V∈ ∈ definidos en los

subdominios solapados Ω% 1 y Ω% 2 , respectivamente, y dos campos de presión

,1 ,1 ,2 ,2,n nh h h hp Q p Q∈ ∈ en tiempo nt y iterado




210

inicial para la iteración i −1 en tiempo nt +1 , encontrar

1 2

1, 1,,1 , ,2 ,,n i n ih h h hu V u V+ +∈ ∈ y

1, 1,,1 ,1 ,2 ,2,n i n ih h h hp Q p Q+ +∈ ∈ en tiempo nt +1 ,

solucionando el siguiente problema variacional:

( )

( )

( )

1 1

1 1 1

11

1 1

1

1,,1 ,1 , 1 ,

1 1 ,1 ,1

,,1 ,1

,11

1 1 2 2

1

1 2

e

e

P

n i nh h n i n i

h h h h

n ih h h ij h

n

m h me

h

u uv d u u v d

t

v p d v d v bd

h v r d b vd

t vd t g t g vd

q u

τ

θ θ

θ

δ δ

ρ ρθ δ

τ

ρ

++ − +

Ω Ω

+

Ω Ω Ω

= ΩΩ

Γ ∩ Ω Γ ∩ Ω

Ω

−⋅ Ω + ⋅∇ ⋅ Ω −

⋅

− ∇ ⋅ ⋅ Ω + ∇ ⋅ ⋅ Ω − ⋅ Ω +

⋅∇ ⋅ Ω = ⋅ Ω +

+ ⋅ Ω + + ⋅ Ω

∇ ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

∫ ∫

∫

% %

% % %

%%

% %

%

( )

( )( ) ( )( )( )

1

1 1

,,1 ,1

1

1 0

1 1 1, 1, 1 1,1 ,2 ,1 ,1 ,2 ,2

1 02

,0 , ,

,

e

e

nn ih h d

e

n n n i n i n nh h h h h h

d h q r d

u x v u x v

u u p n n p en

θ

τ τ σκ

+

= Ω

Ω Ω

+ + + + + +

Ω + ⋅∇ ⋅ Ω = = = = − + − Γ

∑ ∫%

% %

(24)

( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

2

2 2

1,,2 ,2 , 1 ,

2 2 ,2 ,2

,,2 ,2

,11

1 1 2 2

12

e

e

P

n i nh h n i n i

h h h h

n ih h h ij h

n

m h me

u uv d u u v d

t

v p d v d v b d

h v r d n p vd

b vd t vd t g t g vdτ

θ θ

θ

δ

ρ ρθ δ

τ

τ σκ

++ − +

Ω Ω

+

Ω Ω Ω

= ΓΩ

Ω Γ ∩ Ω Γ ∩

−⋅ Ω + ⋅∇ ⋅ Ω −

⋅

− ∇ ⋅ ⋅ Ω + ∇ ⋅ ⋅ Ω − ⋅ ⋅ Ω +

⋅∇ ⋅ Ω = ⋅ − + ⋅ Ω +

+ ⋅ Ω + ⋅ Ω + + ⋅ Ω

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

∫ ∫

% %

% % %

%

% %

( )

( )( ) ( )( )

2

2 2

2 2

,2 ,2 ,2

1

2 0

1 02

,0 , ,

e

e

nn i

h h h de

q u d h q r d

u x v u x v

δ

θρ

Ω

+

=Ω Ω

Ω Ω

∇ ⋅ Ω + ⋅∇ ⋅ ⋅ Ω =

=

∫

∑∫ ∫

%

% %

% %

(25)

Para i = K1,2,3, hasta convergencia, i.e.

1, 1 1,

1, 1 1,

n i n ih h u

n i n ih h p

u u tol

p p tol

+ + +

∞

+ + +

∞

− <

− < (26)

Donde utol y ptol son tolerancias fijas. El problema (24)-(25) se puede demostrar que es equivalente al definido por (13) y (14) (ver referencia [11]). Adicionalmente es importante remarcar que mediante la aplicación de la técnica de descomposición de dominios propuesta, es posible imponer condiciones sobre la interfaz y más específicamente tener en cuenta el efecto de la tensión superficial, definido por la condición

[ ]pI n nµτ σκΓ

− + ⋅ = − ⋅ (27)

Donde [ ]Γ⋅ denota el salto de la presión en la interfaz y σ es la constante de tensión superficial que es propiedad del fluido. Los autores han propuesto como nombre para esta nueva metodología, combinación de técnicas de descomposición de dominios y de Level Set, ODDLS (Overlapping Domain Decomposition Level Set). Formulación ALE En ciertas aplicaciones (desplazamientos impuestos en estructuras, balance,..) es de interés que cierta partes del domino sean móviles. En las partes móviles del domino es mas conveniente usar un formulación lagrangiana y actualizar la discretización espacial en cada paso de tiempo, mientras que en las partes fijas del domino es mas eficiente conservar la formulación euleriana del problema. Este tipo de formulación mixta recibe el nombre de “Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation” (ALE) [10]. Se puede obtener una formulación más general de las ecuaciones (13) y (14) considerando la siguiente definición para las derivadas materiales:

( )( ) ( ) ( )mj j

j

D u uDt t x⋅ ∂ ⋅ ∂ ⋅= + −

∂ ∂ (28)

Donde mju es la velocidad relativa entre los

ejes locales asociados a una partícula del fluido y los ejes globales del problema. Así podemos obtener la formulación ALE de los residuos en (18) como sigue

( )

( )

i

ijmi im j j i

j i j

id

i

mj j

j

u u pr u u ft x x x

ur i j d

x

r u ut xψ

τρ ρ ρ

ψ ψρ

∂∂ ∂ ∂= + − + − −

∂ ∂ ∂ ∂

∂= ≤ ≤∂

∂ ∂= + −

∂ ∂

1 , (29)

Adaptación del método ODDLS a la resolución de flujo monofásico En aplicaciones navales es común que el único fluido de interés sea el líquido. Estas aplicaciones involucran flujos aire-agua con relaciones entre densidad y viscosidad en torno a 1000 y a 75 respectivamente. Es importante entonces que el método ODDLS se adapte a problemas monofásicos,



211

capturando la interfaz con las condiciones adecuadas y conservando las ventajas del método propuesto. En este caso el domino computacional se reduce a los nodos en el agua más aquellos nodos de aire conectados a nodos de agua, usados para poder imponer las condiciones de presión deseadas en la interfaz, con la consecuente reducción del coste computacional. A nivel computacional esta modificación es equivalente a resolver únicamente el problema (24), imponiendo la condición (29) mediante un método de mínimos cuadrados local. En el ejemplo de aplicación que se presenta a continuación se ha utilizado esta adaptación del método ODDLS. Ejemplo de Aplicación El ejemplo de aplicación de la técnica presentada es el análisis de una embarcación planeadora. Las caracterís-ticas principales de dicha embarcación se presentan en la siguiente tabla:

Eslora total 11.2 m Manga total 2.5 m

Desplazamiento 4.9 t

Velocidad de proyecto 40 kn La geometría de la embarcación ha sido definida mediante parches NURBS por el diseñador, y posteriormente importada en el software GiD-Tdyn [13][14], donde se ha procedido a la introducción de los datos necesarios para los análisis y generación de la malla. La geometría utilizada se muestra en la Fig.2. En el mencionado programa se generó un volumen de análisis de 45.8 m x 17.6 m x 11.5 m. El referido volumen se subdividió en dos zonas, un paralelepípedo interior, alrededor del barco, de dimensiones 32.8 m x 8.8 m x 6.5 m y otra exterior, correspondiente al resto del volumen de análisis. Estas zonas se utilizaron para la adaptación de los tamaños de elementos de la malla a las necesidades de análisis. Los objetivos de esta adaptación eran dos: por un lado reducir el tamaño de la discretización en la zona cercana a la embarcación para conseguir una mejor

captura de los fenómenos fluidodinámicos de interés y por otro crear una zona exterior donde se amortiguarán las ondas generadas por el movimiento de la embarcación, reduciendo así los posibles efectos de rebotes en los contornos del dominio de análisis. De esta manera se generó una malla no estructurada con un tamaño de elementos en la zona cercana a la embarcación que varia entre 0.05 m y 0.5 m, mientras que en la zona exterior, el tamaño medio de elementos es de 0.85 m. La malla resultante de este proceso contiene 420 000 tetra-edros lineales, y se utilizó para todas las simulaciones realizadas en este trabajo. Las simulaciones se han realizado a escala real en agua salada, despreciando el efecto del aire en la resolución de las ecuaciones de la dinámica de fluidos. Cada uno de los análisis realizados consta de las siguientes fases: Fase inicial: en esta fase se desarrolla el arranque de la simulación, partiendo de la situación de reposo de la embarcación y llegando a la velocidad de remolque. Esta fase se lleva a cabo con el buque trincado durante 0.5 s de tiempo físico. Fase de remolque: durante 3.5 s de tiempo físico se lleva a cabo un análisis del remolque de la embarcación, libre para adaptar la posición de equilibrio dinámico (trimado y hundimiento) Fase de balance: durante 11.5 s de tiempo físico se lleva a cabo un balance forzado de la embarcación en diferentes condiciones.

Se han analizado tres diferentes velo-cidades de remolque del barco: 20, 30 y 40 kn. En la siguiente tabla se muestra una comparativa entre la situación de equilibrio alcanzada en el presente trabajo durante la fase de remolque de la embarcación y los datos experimentales disponibles para el modelo a escala:




212

Velocidad (kn)

Ángulo de trimado (º)

Experimental (escala del

modelo)

Este trabajo (escala real)

20 8.3 7.4 30 5.8 6.3 40 4.1 4.5

La Fig.3 muestra el flujo en la popa del buque para el caso de velocidad de remolque igual a 30 kn, mientras que la Fig.4 presenta una vista lateral de la superficie libre alrededor de la embarcación. El balance se llevó a cabo para diferentes amplitudes y un periodo cercano al punto de resonancia del movimiento, que se ha estimado en T = 1.3 s. Las amplitudes de balance que se han estudiado han sido θ = 2, 5 y 10 º para cada una de las velocidades analizadas. En el anexo se muestran diferentes resultados gráficos de los análisis realizados. La Fig.5 muestra resultados de la superficie libre para el caso V = 30kn, θ = 10º durante un periodo del balance forzado de la embarcación. Por su parte en la Fig.6 se presentan diferentes imágenes de los resultados del campo de velocidad a una distancia adimensional y+ 65 del casco, durante un periodo del balance forzado de la embarcación (caso V = 40kn, θ = 10º). Donde y+ = y·ρ·uτ/µ, siendo y la distancia al casco en la dirección normal a la superficie, y uτ la tracción en la pared. Finalmente la Fig.7 muestra diferentes cortes de la solución de la ecuación de level set sobre la malla de análisis para el caso V = 40 kn, θ = 10º. En esta imagen se puede apreciar como el método presentado es capaz de capturar con exactitud la interfaz entre aire y agua, incluso con elementos de gran tamaño. Los resultados numéricos de estos ensayos se resumen en las tablas siguientes. En ellas se muestran las amplitudes de los momentos debidos a la integración de las fuerzas de presión sobre el casco y los momentos resultantes de la integración de los esfuerzos viscosos del fluido.

Amplitud del balance forzado 2º Velocidad

(kn) Mom. esfz.

viscosos (N·m) Mom. de

presión (N·m)20 110 2775 30 170 4200 40 205 4880


(kn) Mom. esfz.


presión (N·m)20 275 6500 30 450 9850 40 550 13000


(kn) Mom. esfz.


presión (N·m)20 280 7300 30 705 15600 40 1235 25000

Los resultados de los análisis muestran una clara influencia de la velocidad en los momentos que opone el fluido al movimiento. De las dos componentes del momento calculadas, la correspondiente a la integración de la presión está prácticamente en fase con el movimiento, siendo la contribución de los esfuerzos viscosos la única que provoca el amortiguamiento del movimiento de balance. Como ya se ha visto en estudios similares [3] el aumento del efecto de los esfuerzos viscosos es responsable del incremento del efecto de amortiguamiento del balance con el aumento de la velocidad. Por otro lado, también es destacable señalar que el momento debido a la presión tiene una componente debida a efectos dinámicos muy significativa. Esto es un resultado esperable, debido a las elevadas velocidades de la embarcación. Conclusiones El presente trabajo muestra una nueva metodología para el análisis de problemas con superficie libre denominada ODD Level Set. Esta metodología está basada en la aplicación de técnicas de descomposición de dominios y permite incrementar la exactitud del algoritmo de captura de la superficie libre (level set) así como de la resolución de las ecuaciones de gobierno en la interfaz entre agua y aire. La mayor exactitud en la resolución de la interfaz



213

entre los fluidos permite la utilización de mallas no estructuradas, así como la utilización de elementos de mayor tamaño en la superficie libre. Además, el método puede simplificarse de manera sencilla, resolviendo sólo uno de los dos fluidos, lo que permite aumentar la eficiencia del cálculo en aquellos casos en los que el efecto de uno de los fluidos es despreciable. La metodología presentada se ha integrado con un algoritmo ALE para el tratamiento del movimiento del buque y ha sido aplicado en el análisis del ensayo de remolque y balance forzado de una embarcación planeadora. El resultado satisfactorio del análisis cualitativo de este ejemplo de aplicación muestra la gran potencia de esta metodología para el estudio de este tipo de problemas. Agradecimientos Los autores desean agradecer a la empresa Nautatec la autorización para la utilización de la geometría y los resultados experimentales de la embarcación planeadora usada como ejemplo de aplicación de la metodología presentada. Referencias [1] E. Oñate, J García, A finite element

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[13] GiD. The personal pre/postprocessor User Manual. Available to download at http://www.gidhome.com.

[14] Tdyn. Theoretical Background and Reference Manual. Available to down-load at http://www.compassis.com.




214

ANEXOS

Figura 1: Descomposición geométrica del dominio de análisis

Figura 2: Geometría CAD del casco utilizada en los análisis.

Figura 3: Imagen del flujo en la popa de la embarcación (V = 30 kn)

Figura 4: Vista lateral de la superficie libre alrededor de la embarcación (V = 30 kn)

Figura 5: Diferentes imágenes de los resultados del análisis durante un periodo

del balance forzado de la embarcación (V = 30kn, θ = 10º)

Ω% 2

Interfaz

Ω3

Ω4

Ω5

Fluido 1

Fluido 2

Ω% 1



215

Figura 6: Diferentes imágenes de los resultados de velocidad sobre la superficie

mojada (y+ =65) durante un periodo del balance forzado de la embarcación para el

caso V = 40kn, θ = 10º

Figura 7: Diversas imágenes de la solución de niveles (level set) sobre la malla de análisis (V = 40 kn, θ = 10º)




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