ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

«Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) – Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης

1Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Υπολογίστε τα γινόμενα πινάκων:

α) 1.5

1 2 3.12.3

3 1 0.21.2

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

, β) 1 2 2 6cos( / 6) 7 2sin( / 4)

1.3 2tan( / 4) 2 3 0 3

/ 3 3

π π

ππ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

⎣ ⎦

,

γ) 1/ 2 0 1 1/ 4 0

1/ 3 4 3 20 2 0 4

π

π

⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, δ) [ ]1

0 1 3 27

−⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, ε) [ ]1

1 3 2 07

−⎡ ⎤⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Άσκηση 2: Γράψτε τους 3 επί 3 πίνακες ( )ijA a= και ( )ijB b= με στοιχεία ija i j= + και ( 1)i j

ijb += − .

Άσκηση 3: Γράψτε τους 3 επί 3 πίνακες ( )ijA a= και ( )ijB b= με στοιχεία 2

ija i j= − , 2ijb j= , και

υπολογίστε τα γινόμενα ΑΒ, ΒΑ και 2( 2)A− , και το άθροισμα AB BA+ . Άσκηση 4: Πόσοι μεμονωμένοι πολλαπλασιασμοί χρειάζονται όταν ένας m n× πίνακας Α πολλαπλασιάζεται με ένα n p× πίνακα Β; Άσκηση 5: Ένας άλλος τρόπος να δούμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων, ως στήλες επί γραμμές. Συγκεκριμένα, αν οι στήλες του Α είναι 1,..., nc c και οι γραμμές του Β είναι τα διανύσματα-γραμμές 1,..., nr r , τότε 1 1c r είναι ένας πίνακας και 1 1 2 2 ... n nAB c r c r c r= + + + α) Δώστε ένα παράδειγμα 2 επί 2 αυτού του κανόνα πολλαπλασιασμού. β) Εξηγήστε γιατί η δεξιά πλευρά δίνει τη σωστή τιμή 1

nik kjk a b

=∑ για το στοιχείο ( )ijAB . Άσκηση 6: Δώστε παραδείγματα 4 4× και υπολογίστε το ίχνος κάθε πίνακα για τις περιπτώσεις: α) διαγώνιου πίνακα, β) άνω τριγωνικού πίνακα, γ) κάτω τριγωνικού πίνακα Άσκηση 7: Το γινόμενο δύο κάτω τριγωνικών πινάκων είναι πάλι κάτω τριγωνικός. Δώστε ένα παράδειγμα 3 3× και εξηγήστε πως αυτό έπεται από τους νόμους του πολλαπλασιασμού πινάκων. Άσκηση 8: Βρείτε παραδείγματα πραγματικών πινάκων 2 2× , τέτοιων ώστε: α) 2A I= − , β) 2B O= , με B O≠ . Άσκηση 9: Αν για κάθε τετραγωνικό πίνακα n nB ×∈ , ισχύει AB BA= με 0A ≠ , τότε ο Α είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού (μοναδιαίου) πίνακα. Αποδείξτε αυτήν την πρόταση για την περίπτωση που

2n = . Άσκηση 10: Ποιοι από τους επόμενους πίνακες είναι ίσοι με 2( )A B+ , για κάθε , n nA B ×∈ ; α) 2( )B A+ , β) ( )( )A B B A+ + , γ) ( ) ( )A A B B A B+ + + , δ) 2 2A AB BA B+ + + , ε) 2 22A AB B+ +

Άσκηση 11: Αν a b

Ac d⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

με 0ad cb− ≠ δείξτε ότι 1 1 d bA

c aad bc− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦

, και βρείτε τους

αντίστροφους των παρακάτω πινάκων, εάν υπάρχουν: 3 81 4⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, 3 62 4⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, cos sinsin cos

θ θθ θ

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Άσκηση 12: Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία απαλοιφής Gauss-Jordan για να βρείτε τους αντίστροφους των παρακάτω πινάκων, εάν υπάρχουν:

α) 1 0 01 2 02 3 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, β) 2 0 41 3 1

0 1 2

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, γ) 1 2 13 1 02 3 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Άσκηση 13: Βρείτε τις πραγματικές τιμές x, y έτσι ώστε:

α) 12 7 2 7

1 2 1 4x − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦, β)

12 3 22

5 3 5 4y y − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Άσκηση 14: Δείξτε ότι εάν ένας πίνακας έχει τουλάχιστον δύο γραμμές ίδιες, ή τουλάχιστον δύο στήλες ίδιες, τότε δεν είναι αντιστρέψιμος. Άσκηση 15: Βρείτε τον ανάστροφο των πινάκων:

α) 1 2 0 52 3 3 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, β) 2 41 1

0 2

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, γ) 1 2 13 1 02 3 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

δ) 430

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Άσκηση 16: Συμπληρώστε τα * στους ακόλουθους πίνακες, έτσι ώστε να είναι συμμετρικοί:

α) 1 3 5* 7 *

5 2 3

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

, β)

2 1 *

* 3 13 *

6 * 5 17* 11 * 7

π−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Άσκηση 17: Γράψτε καθένα από τους παρακάτω πίνακες ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα

α) 1 1 34 7 50 6 2

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, β)

2 11 3 24 3 0 11 2 6 18 9 7 2

B

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Άσκηση 18: Βρείτε πίνακα Α τέτοιο ώστε: 1 2 3(4 )

4 4TA − ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Άσκηση 19: Δίδονται πίνακες 4 1A ×∈ , 2 3B ×∈ , 2 4C ×∈ και 1 3D ×∈ . Ποιοι από τους ακόλουθους πίνακες ορίζονται και τι μέγεθος έχουν;

α) TADB , β) 5TC B AD− , γ) 24 ( )CA CA− , δ) 24( )TADB C I−

Άσκηση 20: Βρείτε τους πίνακες 2 2A ×∈ με 2≠A I και 2≠ −A I , που ταυτίζονται με τους αντίστροφούς τους, δηλ. 1A A−= . Άσκηση 21: Δώστε παραδείγματα πινάκων 2 2,A B ×∈ έτσι ώστε: α) Ο A B+ είναι μη-αντιστρέψιμος, μολονότι οι Α και Β είναι αντιστρέψιμοι. β) Ο A B+ είναι αντιστρέψιμος, μολονότι οι Α και Β είναι μη-αντιστρέψιμοι. γ) Οι Α, Β και A B+ είναι μη-αντιστρέψιμοι. δ) Οι Α, Β και A B+ είναι αντιστρέψιμοι. Άσκηση 22: Αν m nA ×∈ , αποδείξτε ότι οι πίνακες TAA και TA A είναι συμμετρικοί και δείξτε με παραδείγματα ότι γενικά T TAA A A≠ ακόμη και για τετραγωνικούς πίνακες. Άσκηση 23: Πόσα στοιχεία είναι δυνατόν να οριστούν ανεξάρτητα σε ένα n n× συμμετρικό πίνακα και πόσα σε έναν n n× αντισυμμετρικό πίνακα;