Περιεχόμενα - Public · 2017. 7. 31. · Ε.1 Εισαγωγή στην έννοια...

ΠΠεερριιεεχχόόμμεενναα

Πρόλογος ............................................................................ 9

Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση ................................................................... 10

Εισαγωγή .......................................................................... 11

Ε.1 Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης ............................. 11

Ε.2 Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση .. 11

Ε.3 Μορφές σφαλμάτων ......................................................................... 14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................... 22

1 Το αντίστροφο πρόβλημα ........................................... 23

1.1 Επίλυση εξισώσεων .......................................................................... 23

1.2 Η μέθοδος Βolzano ή της διχοτόμησης ............................................. 25

1.3 Η μέθοδος της εσφαλμένης θέσης..................................................... 28

1.4 Η μέθοδος της διατομής (ή της τέμνουσας)........................................ 31

1.5 Γενικά περί των επαναληπτικών διαδικασιών..................................... 32

1.6 Η μέθοδος Newton .......................................................................... 42

1.7 Η μέθοδος Picard Lidelöf ................................................................. 56

1.8 Η μέθοδος Δ2 του Aitken.................................................................. 60

Ασκήσεις .................................................................................................. 60

2 Γραμμικά συστήματα .................................................. 63

2.1 Γενικά............................................................................................. 63

2.2 Eπαναληπτικές μέθοδοι (Μέθοδος JACOBI)...................................... 64

2.3 Η μέθοδος Gauss–Seidel ................................................................. 69

2.4 Η μέθοδος διαδοχικής υπερχαλάρωσης ............................................ 69

6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

2.5 Η άμεση μέθοδος απαλοιφής του Gauss........................................... 71

2.6 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα............................................................ 74

2.7 Η μέθοδος Newton για μη γραμμικά συστήματα ............................... 77

3 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων — γενικά.................. 83

3.1 Απλές μορφές εξισώσεων διαφορών................................................... 90

3.2 Επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης ............................ 92

3.3 Μέθοδοι απλού βήματος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων.................. 94

Ασκήσεις ................................................................................................ 100

3.4 Αναλυτικές μέθοδοι: η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών ..... 104

3.5 Η μέθοδος του Euler ..................................................................... 106

3.6 Οι μέθοδοι των Runge-Kutta.......................................................... 109

3.7 Mέθοδοι παρεμβολής..................................................................... 117

3.8 Μέθοδοι πολλαπλού βήματος......................................................... 123

3.9 Αναλυτικές μέθοδοι: άμεσος προσδιορισμός της λύσης

με σειρές Τaylor. ........................................................................... 141

3.10 Ανάλυση σφάλματος ...................................................................... 142

3.11 Δευτέρου βαθμού γραμμικό πρόβλημα συνοριακών τιμών ............... 145

3.12 Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους ................................. 148

3.13 Μέθοδοι διαφορών......................................................................... 152

4 Εισαγωγή στην θεωρία προσεγγίσεων

για το πρόβλημα της αναγνώρισης ........................... 159

4.1 Γενικά........................................................................................... 159

4.2 Θεωρία προσεγγίσεων .................................................................... 162

4.3 Παρεμβολή ................................................................................... 165

4.4 Πολυωνυμική παρεμβολή και πρόβλεψη με πεπερασμένες διαφορές . 166

4.5 Παρεμβολή – παρεμβολικό πολυώνυμο .......................................... 168

4.6 Παρεμβολή Lagrange .................................................................... 170

4.7 Παρεμβολή Hermite ...................................................................... 174

4.8 Διαιρεμένες διαφορές..................................................................... 177

4.9 Το παρεμβολικό πολυώνυμο του Newton........................................ 178

4.10 To «προς τα εμπρός» παρεμβολικό πολυώνυμο Newton-Gregory ...... 182

4.11 Τύποι παρεμβολής ........................................................................ 184

4.12 Παρεμβολή Aitken ........................................................................ 186

4.13 Αλγόριθμος Neville ........................................................................ 186

4.15 Αλγόριθμος Bulirsch-Stoer............................................................ 187

4.16 Κατά τμήματα πολυωνυμικές προσεγγίσεις και Splines ................... 188

4.17 Προσέγγιση συναρτήσεων............................................................... 191

4.18 Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ............................................. 191

Περιεχόμενα 7

4.19 Ορθογωνικά πολυώνυμα ................................................................ 193

4.20 Πολυώνυμα Chebyshev ................................................................. 195

4.21 Μερικές ιδιότητες ορθογωνικών πολυωνύμων .................................. 196

4.22 Το πρόβλημα των ελαχίστων τετραγώνων (συνέχεια) ......................... 200

4.23 Πολυωνυμικές επεκτάσεις Chebyshev ............................................ 203

4.24 Αποκλίσεις στα πολυώνυμα Chebyshev .......................................... 203

5 Το ευθύ πρόβλημα.................................................... 209

5.1 Aριθμητική ολοκλήρωση με χρήση παρεμβολικών

πολυωνύμων –τύποι Cote ............................................................... 209

5.2 Αντικατάσταση ολοκληρωτέας συνάρτησης με

1ου βαθμού πολυώνυμα ................................................................. 210

5.3 Αριθμητική ολοκλήρωση με χρήση παρεμβολικών πολυωνύμων

2ου βαθμού .................................................................................. 214


3ου βαθμού.................................................................................... 219


4ου βαθμού .................................................................................. 221

5.6 Μελέτη του σφάλματος για μονότονες ολοκληρωτέες συναρτήσεις..... 223

5.7 Μελέτη του σφάλματος για περιοδικές ολοκληρωτέες συναρτήσεις.... 225

5.8 Αριθμητική ολοκλήρωση με χρήση παρεμβολής Lagrange .............. 226

5.9 Σφάλμα ολοκλήρωσης ................................................................... 227

5.10 Αριθμητική ολοκλήρωση με χρήση παρεμβολής Hermite ................ 227

5.11 Τύπος των Euler & MacLaurent..................................................... 228

5.12 Αριθμητική ολοκλήρωση με τη μέθοδο Romberg............................. 229

5.13 Συμπεράσματα.............................................................................. 233

Ασκήσεις ................................................................................................ 234

5.14 Αριθμητική ολοκλήρωση με αντικατάσταση του τελεστή................... 235

5.15 Οι τύποι Newton Cotes.................................................................. 243

6 Γενικές ασκήσεις ..................................................... 245

Βιβλιογραφία................................................................... 273


3.3 Μέθοδοι απλού βήματος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων

Εξ’ ορισμού, μια μέθοδος επίλυσης της παρακάτω διαφορικής εξίσωσης

0 0 0

( , ), ( ) , [ , ]dy

f t y y t y t t bdx

= = ∈ (3.16)

λέγεται μονοβηματική ή απλού βήματος1 όταν η λύση της διαφορικής εξίσωσης

προσεγγίζεται από τον υπολογισμό της λύσης μιας «σχετικής» διαφορικής εξί-

σωσης πρώτης τάξης. Στις μονοβηματικές μεθόδους, ο υπολογισμός ενός ση-

μείου στηρίζεται στην τιμή ενός μόνο άλλου σημείου της διαφορικής εξίσωσης.

Μια γενική μορφή των μονοβηματικών μεθόδων μπορεί να δοθεί ως εξής:

1

( , , ), 0,1,...,n n n ny y h t y h n Nφ

+= + = (3.17)

όπου φ(t,y,h) είναι μια συνάρτηση των t,y,h και που επιπλέον εξαρτώνται από

το δεξιό μέρος της σχέσης (3.16). Η συνάρτηση φ(t,y,h) ονομάζεται προσθετι-

κή συνάρτηση. Αν η yn+1 βρεθεί απλά εκτιμώντας το δεξιό μέρος της σχέσης

(3.17) τότε η μονοβηματική μέθοδος ονομάζεται «ρητή» (explicit)2, αλλιώς κα-

λείται «πεπλεγμένη» (implicit)3. Η τιμή της y(tn) θα ικανοποιεί την σχέση

(3.18).

1

( , , ) , 0,1,...,n n n n ny y h t y h T n Nφ

+= + + = (3.18)

όπου Τn είναι το σφάλμα αποκοπής.

Ο μεγαλύτερος ακέραιος p τέτοιος ώστε |h-1

Tn| = 0(hp) ονομάζεται τάξη της μο-

νοβηματικής μεθόδου.

Η μονοβηματική μέθοδος (3.17) λέγεται κανονική (regular) όταν η φ(t,y,h) είναι

ορισμένη και συνεχής στο t0 ≤ t ≤ b, -∞ ≤ y ≤ ∞, 0≤h≤h0 (h0 θετική σταθερά) και

αν υπάρχει L τέτοιο ώστε |φ(t,y,h)-φ(t,z,h)| ≤ L|y-z| για κάθε 0

[ , ], ,t t b y∈

0(0, ).z h∈

1 Single step methods 2 Μια συνάρτηση, όπως η y = 4x + 3, που η τιμή της μπορεί να υπολογιστεί από τις

ανεξάρτητες μεταβλητές ονομάζεται ρητή συνάρτηση (explicit function). Στην προ-κειμένη περίπτωση ρητή (explicit) μέθοδος είναι όταν η φ είναι ανεξάρτητη του y(tn+1).

3 Μια συνάρτηση που η σχέση της με τη μεταβλητή δίνεται από μια εξίσωση για την οποία η συνάρτηση δεν έχει λυθεί ρητά. Για παράδειγμα στην εξίσωση x2 + y2 = 1, το y είναι πεπλεγμένη συνάρτηση (implicit function) του x. Στην προκειμένη περίπτωση πεπλεγμένη (implicit) μέθοδος είναι όταν πρέπει να λυθεί εξίσωση για να υπολογιστεί το y(tn+1).

Κεφάλαιο 3: Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων – Γενικά 95

Μια μονοβηματική μέθοδος της μορφής (3.17) λέγεται διατηρούμενη2 αν φ(t,

y, 0) = f(t, y). Πρέπει επίσης να βεβαιωθούμε πως η φόρμουλα (3.17) δεν είναι

ευαίσθητη σε μικρές αλλαγές του τοπικού σφάλματος. Αυτό μπορεί να εξασφα-

λιστεί από προϋποθέσεις ευστάθειας.

Σε γενικές γραμμές μπορούμε να πούμε πως μονοβηματικές είναι οι μέθοδοι επί-

λυσης διαφορικής εξίσωσης που προσεγγίζουν την γραφική παράσταση της λύ-

σης σχηματίζοντας μικρά ευθύγραμμα τμήματα. Για το σχηματισμό των μικρών

αυτών ευθύγραμμων τμημάτων πρέπει να χρησιμοποιηθούν κάθε φορά 2 σημεία

σε ένα όσο το δυνατό μικρά διαστήματα. Οι διακριτές τιμές της βρίσκονται με

βάση μια συνάρτηση εκτίμησης που υπολογίζει κάθε φορά το εκτιμώμενο yn+1

χρησιμοποιώντας το αμέσως προηγούμενο του yn με βάση ένα βήμα h. Αντίθετα

στις πολυβηματικές μεθόδους για την εύρεση μια τιμής του y χρησιμοποιούνται

και ενδιάμεσες τιμές. Εδώ θα πρέπει να επισημάνουμε πως όσο ποιο μικρό το h

τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια έχουμε στην εκτίμηση της συνάρτηση του yn.

Υπάρχουν διάφορες μονοβηματικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων

για την επίλυση του προβλήματος των αρχικών τιμών.

Στη μέθοδο Taylor υποθέτουμε πως η διαφορική εξίσωση (3.16) έχει μοναδική

λύση y(t) στο [t0,b] και ότι y(t) ∈ C(p+1)

[t0,b] για p≥1. Η λύση y(t) μπορεί να

αναπτυχθεί σε σειρές Taylor γύρω από κάθε σημείο tn.

21( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ''( ) .....

2!n n n n n

y t y t t t y t t t y t= + − + − +

1

( ) ( 1)( )1( ) ( ) ( )! ( 1)!

p

p p pn

n n n

t tt t y t y

p p

+

+−

+ − +

+

ξ (3.19)

Καθώς στο αρχικό σημείο t0 είναι

2

0

0 0 0 0

( )( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ...

2!

t ty t y t t t y t y t

−

= + − + + 4

αυτή η επέκταση αληθεύει για t ∈ [t0,b], tn<ξ<t . Αντικαθιστώντας t=tn+1 στην

(3.19) παίρνουμε:

2

0

1 0 0 0 0

( )( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ...

2!

n

n n

t ty t y t t t y t y t

+

−

= + − + + (3.20)

Ορίζουμε

0nt t nh− =

και

2

( , , ) '( ) ''( ) ( )2!

p

n n n n

n ht y h ny t nh y t nh O hϕ = − + − + (3.21)

2 Consistent


και

2( )

n(t , ( ), ) '( ) ''( ) ..... ( )2! !

p

p

n n n

h hh y n h hy t y t y t

pφ = + + +

Στην (3.22), η σχέση hφ(tn,yn,h) προέρχεται από την hφ(tn,y(tn),h) χρησιμοποιώ-

ντας μια προσεγγιστική τιμή yn στη θέση της πραγματικής τιμής y(tn)

1 n

( , , ), 0,1,2,...... 1φ+= + = −

n n ny y h t y h n N (3.22)

Υπολογίζουμε την y(tn) για να προσεγγίσουμε την y(tn+1). Αυτό καλείται μέθο-

δος σειρών Taylor τάξης p.

Αντικαθιστώντας p=1 στην (3.22) παίρνουμε:

1( , )

n n n ny y hf t y

+= + , n = 0, 1, 2, …

γνωστή και ως μέθοδος Euler.

Για να εφαρμόσουμε την (3.22) για p>1, πρέπει να είναι γνωστά τα y(tn), y'(tn),

…….., y(p)

(tn). Αν είναι γνωστά τα tn και y(tn) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε

τις παραγώγους όπως παρακάτω:

αντικαθιστούμε τα y(tn) και tn στην διαφορική εξίσωση για να πάρουμε την

y'(tn) κ.ο.κ.

Παραγωγίζοντας την (3.16) μπορούμε να βρούμε και τις υπόλοιπες παραγώγους

ανώτερης τάξης της y(t).

Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου Taylor είναι τα παρακάτω:

Μπορεί να ελεγχθεί το σφάλμα αποκοπής (truncation error) με την εκτίμηση

της παραγώγου κατάλληλης τάξης. Βέβαια η εισαγωγή παραγώγου υψηλών

τάξεων μπορεί να αυξήσει την πολυπλοκότητα της μεθόδου, παρόλα αυτά η

μέθοδος των σειρών Taylor παρέχει το πρότυπο με βάση το οποίο μπορούμε να

εκτιμήσουμε τις άλλες μεθόδους και τη θεωρητική βάση για τις άλλες μεθό-

δους.

Κάποιες από αυτές είναι:

• Μέθοδοι σειρών Taylor.

• Runge-Kutta μέθοδοι

– Δεύτερης τάξης

– Τρίτης τάξης

– Τέταρτης τάξης

– Πέμπτης τάξης κτλ


• Μέθοδος παρεκβολής (Extrapolation).

• Πεπλεγμένη Runge-Kutta μέθοδος.

– Δεύτερης τάξης

– Τρίτης τάξης

– Τέταρτης τάξης

– Πέμπτης τάξης κτλ

Ένας περιγραφικός τρόπος για να καταλήξει κανείς στη μέθοδο Euler είναι και

ο ακόλουθος. Ας θεωρήσουμε ότι στο [tn,tn+1] η λύση προσεγγίζεται με γραμμι-

κή συνάρτηση

y(t)= α0+ α1t

όπου α0 και α1 είναι κατάλληλες σταθερές. Η μέθοδος απλού βήματος τάξης

ένα, θα δώσει μια επαναληπτική σχέση των yn+1, yn και y΄n. Προφανώς ισχύουν

οι σχέσεις

yn+1 = α0+α1tn+1

yn = α0+α1tn

y΄n = α1

Εδώ οι άγνωστοι του συστήματος είναι α0, α1 και yν+1. Με απαλοιφή των α0 και

α1 προκύπτει

yn+1 = yn + h y’n

η οποία τελικά οδηγεί στην

yn+1 = yn + h fn, n = 0, 1, 2, …, Ν-1

όπου y΄n = fn = f(tn,yn)

Οι ακριβείς τιμές της y(t) στα κομβικά σημεία tn ικανοποιούν τη σχέση

Τn = C2 h2 y ΄΄(ξ2), tn < ξ2 < tn+1, (3.23)

Ο προσδιορισμός του C2 γίνεται με αντικατάσταση στην (3.23) της y(t) από την

t2 για να προκύψει C2 = 1/2.

Κατ’ αναλογία και προκειμένου να οδηγηθούμε στην κατασκευή μιας πολυβη-

ματικής μεθόδου, θεωρούμε την πολυωνυμική συνάρτηση

y(t)= α0+ α1t + α2t2 + α3t

3

όπου α0,α1, α2, α3 σταθεροί συντελεστές.

Η μέθοδος πολλαπλού βήματος τάξης τρία, θα δώσει μια επαναληπτική σχέση

των yn+1, yn, y΄n, y΄n-1 και y΄n-2. Προφανώς ισχύουν οι σχέσεις


yn+1 = α0+α1tn+1+α2t2 n+1+α3t

3n+1

yn = α0+α1tn+α2t2 n+α3t

3n.

y'n = α1+2α

2t n+ 3α

3t2

n

y'n-1 = α1+2α

2t n-1+ 3α

3t2

n-1

y'n-2 = α1+2α

2t n-2 + 3α

3t2n-2

Από αυτές προκύπτει

1 1 2(23 16 5 )

12n n n n n

hy y y y y d

+ − −′ ′ ′ ′= + − + .

Έτσι, η μέθοδος πολλαπλού βήματος τάξης τρία διαμορφώνεται στην

1 1 2(23 16 5 )

12n n n n n

hy y f f f

+ − −= + − + , n=2,3,…,N-1

Οι ακριβείς τιμές της y(t) θα ικανοποιούν την

1 1 1 2 2( ) ( ) [23 ( , ( )) 16 ( , ( )) 5 ( , ( ))]

12n n n n n n n n n

hy t y t f t y t f t y t f t y t T

+ − − − −= + − + +

όπου το τοπικό σφάλμα αποκοπής Τn ικανοποιεί τη σχέση

Τn = C4 h4 y

(4) (ξ), tn-2 < ξ < tn+1, (3.24)

Θέτοντες y(t)= t4 στην (3.24) βρίσκουμε ότι C4 = 3/8

Παράδειγμα 3.5

Να βρεθεί αριθμητική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών

, (0) 1, [0,2], 1dy

y y tdt

λ λ= = ∈ = ±

Με χρήση της πρώτης μεθόδου, yn+1 = (1+λh)yn, για n = 0, 1, 2, …, N-1 και

h = 10-1 λαμβάνουμε

y1 = (1+ 0.1λ)y0 = 1+ 0.1λ

y2 = (1+ 0.1λ)y1 = (1+ 0.1λ)2

y3 = (1+ 0.1λ)y21 = (1+ 0.1λ)3

.

.

.

yN = (1+ 0.1λ)yN-1 = (1+ 0.1λ)N


όπου Ν=(b-t0)/h = 20

Στον πίνακα, που ακολουθεί, αναγράφονται οι τιμές που προκύπτουν από την

αριθμητική μέθοδο απλού βήματος πρώτης τάξης καθώς και οι ακριβείς τιμές

της eλnh

.

Πίνακας 3.1

Μέθοδος απλού βήματος για την y'=λy, y(0)=1, [0,2]t∈ και λ=+1, -1

yn+1=(1+0,1λ)yn

0,1 h= 0,1

1 λ= -1

t

μέθοδος

πρώτης τάξης ακριβής λύση

μέθοδος

πρώτης τάξης

ακριβής

λύση

0 1,00000 1,000000 1,00000 1

0,1 1,10000 1,105171 0,90000 0,904837

0,2 1,21000 1,221403 0,81000 0,818731

0,3 1,33100 1,349859 0,72900 0,740818

0,4 1,46410 1,491825 0,65610 0,67032

0,5 1,61051 1,648721 0,59049 0,606531

0,6 1,77156 1,822119 0,53144 0,548812

0,7 1,94872 2,013753 0,47830 0,496585

0,8 2,14359 2,225541 0,43047 0,449329

0,9 2,35795 2,459603 0,38742 0,40657

1 2,59374 2,718282 0,34868 0,367879

1,1 2,85312 3,004166 0,31381 0,332871

1,2 3,13843 3,320117 0,28243 0,301194

1,3 3,45227 3,669297 0,25419 0,272532

1,4 3,79750 4,055200 0,22877 0,246597

1,5 4,17725 4,481689 0,20589 0,22313

1,6 4,59497 4,953032 0,18530 0,201897

1,7 5,05447 5,473947 0,16677 0,182684

1,8 5,55992 6,049647 0,15009 0,165299

1,9 6,11591 6,685894 0,13509 0,149569

2 6,72750 7,389056 0,12158 0,135335


Ασκήσεις

Να δειχθεί ότι εκ της (3.21) συνεπάγεται πως οι αριθμητικές μέθοδοι τάξης p

παράγουν ακριβή αποτελέσματα για όλες τις ΔΕ των οποίων οι λύσεις είναι

πολυώνυμα βαθμού ίσου ή μικρότερου του p.

Παράδειγμα 3.6

α) Να λύσετε το πρόβλημα αρχικών τιμών y(3)

= -y, y(1)=1, y'(1)=2, y"(1)=1

β) Να εφαρμόσετε τη διαδικασία διακριτικοποίησης για να καταλήξετε σε μία

εξίσωση διαφορών

γ) Να εκτιμήσετε την τιμή της λύσης σε απόσταση τεσσάρων βημάτων με βή-

μα h = 0,003

δ) Να εφαρμόσετε τη μέθοδο Taylor με αποκοπή των όρων βαθμού ίσου ή με-

γαλύτερου του 4.

ε) Να συγκρίνετε τα πραγματικά σφάλματα που προκύπτουν από τις δύο μεθό-

δους στο σημείο xo+ 4h.

Απάντηση:

α) Η παραπάνω διαφορική εξίσωση έχει χαρακτηριστική εξίσωση:

λ3+1=0 και οι ρίζες της είναι: λ1=-1, λ2=

1 3

2 2t+ και λ3=

1 3

2 2t− .

Άρα θα έχει γενική λύση

1

2

1 2 3

3 3cos sin

2 2

xx

y c e e c x c x−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦.

Με

1 1

2 21 3 3

' cos sin1 2 32 2 2

x xxy c e e c x c x e

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

3 3 3 3sin( ) cos

2 32 2 2 2c x c x

⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(Θέτω για ευκολία 3(1/2)

/2=α) και

1 1

2 21

cos( ) sin( )1 2 34

x xxy c e e c ax c ax e

− ⎡ ⎤′′ = − + + +⎣ ⎦

1

2

2 3 2 3[ sin cos ] [ cos sin ]

x

c a ax c a ax e c a ax c a ax− + + − +


Για τις αρχικές τιμές που δίνονται: y(1)=1, y'(1)=2, y"(1)=1 το παραπάνω

σύστημα μετασχηματίζεται στο παρακάτω:

1

2 3(1) 1,65[ 0,679 0,7618] 1

cy c c

e= + + =

1

2 3 2 3

3'(1) 0,83[ 0,6479 0,7618] 0,83[ 1,122 0,659] 2

2

cy c c c c

e= − + + + − + =

1

2 3 2 3

2 3 2 3

(1) 0,41[ 0,6479 0,7618] 0,83[ 1,122 0,659]

0,83[ 0,659 1,122] 1,65[ 0,486 0,571] 1

cy c c c c

e

c c c c

′′ = + + + − + +

+ + + − − =

Μετά από πράξεις, όπου κρατάμε ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφιών και κάνοντας

ακόμη την παραδοχή πως οι αρχικές τιμές θα χρησιμοποιηθούν ως ακτίνια στη

γωνία των ημιτόνων καθώς και των συνημιτόνων καταλήγουμε στα έξεις:

και c1=0,9007.

και c2=-0,5103.

και c3=0,9659.

Άρα η γενική λύση παίρνει την μορφή:

1*

2* *

3 30,9007* *[ 0,5103 cos( * ) 0,9659 sin( * )]

2 2

xx

y e e x x−

= + − + .

β) Γενικά για μια γραμμική εξίσωση διάφορων με τρίτη παραγωγό θα ισχύει:

3

3( )

d yAy x B

dx= + (3.25)

0( ) ( )

n ny y x y x nh= = +

1 0 0( ) ( )

n n ny y y y x nh h y x nh

+Δ = − = + + − +

Κατά συνέπεια

0 0

( ) ( ) ( )( ) lim lim

h h

y x h y x y xy x

h h→ →

+ − ΔΔ = = .

Οπότε

Δy(xn)=Δyn = 0

( )lim

n

h

y x

h→

Δ. Αρα Δyn/h=A* yn +B.


Έτσι αν βγάλουμε το όριο από τον ορισμό της παραγωγού θα έχουμε:

1i i

i

y yy΄

h

+ −

≈ .

Ακόμα σύμφωνα με αυτό θα προκύψουν και οι μεγαλύτερης τάξης παραγω-

γοί: 1i i

i

y΄ y΄y΄΄

h

+ −

≈ και 1i i

i

y΄΄ y΄΄y΄΄΄

h

+ −

≈ .

Άρα από την (3.25) θα έχουμε iy΄΄

h

Δ= Α*yi+ Β.

2 1 1

1 * * *

i i i i

i i

y΄ y΄ y΄ y΄y΄΄ y΄΄ B h A yi h

h h

+ + +

+

− −⇒ − = + ⇒ − = * * *B h A yi h+

⇒ y΄i+2-2* y΄i+1 + y΄I /h=(B+A*yi)*h3 ⇒yi+3-3yi+2+3yi+1- yi=(B+Ayi)h

3.

Σε αυτήν λοιπόν την εξίσωση διάφορων καταλήγουμε όταν έχουμε τρίτη

παράγωγο γενικά. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ισχύει Β=0 και Α=-1. Άρα

παίρνουμε την εξίσωση διάφορων:

yi+3-3yi+2+3yi+1- yi =- yih3

(3.26).

Θέτουμε i=0 άρα η πιο πάνω εξίσωση μετασχηματίζεται στην εξής

y3-3y2+3y1- y0=- y0h3

(3.27)

Σύμφωνα με τις αρχικές τιμές ισχύει y0=1,

1 0

0 1 02 2 1 2 1,006

y yy y y h h

h

−′ = = ⇒ = + = + =

1 0 2 1 1 0

0

2 2 2 22 1 0 2

1 0

1

2 2 2 4 1 4 1 1,012009

y΄ y΄ y y y yy h

h h h

y y y h y h y y h h h h=

− − −′′ = = ⇒ − = ⇒

⇒ − + = ⇒ = + − + + − = + + =

.

Άρα λύνοντας την (3.27) ως προς y3 έχουμε y3 = -y0 * h3 + 3 * y2 -3 * y1 +

y0= -h3 + 3 * h

2 + 12 * h + 3 – 3 – 6 * h + 1 = -h

3 + 3 * h

2 + 6 * h + 1 σχέση

(3.26)

Θέτοντας n=1 στην σχέση έχουμε:

y4=-y1h3+3y3-3y2+y1=1,006h

3+3(1,018026973)-3(1,012009)+1,006=

1,024053946

γ) Έτσι θέτοντας στην (3.27):

h=0,003 έχουμε: y3=1,018026973.

δ) Σύμφωνα με τον τύπο του Taylor έχουμε:

2 3

0 0 0 0 0 0 0y(x)=y(x ) +(x- x )y (x )+(x-x ) y (x )/2!+(x-x ) y (x )/3!+...′ ′′ ′′′


για x0=1 έχουμε: 2 3 y(x)=y(1) +(x-1)*y (1)+(x-1) y (1)/2!+(x-1) y (1)/3!+...′ ′′ ′′′

Γνωρίζουμε ότι y(1)=1, y'(1)=2, y"(1)=1, άρα:

2 3y(x)=1+(x-1)2+(x-1) /2!+(x-1) y (1)/3!+...′′′

αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση όπου (1) 1y′′′ = − έτσι όπως προκύ-

πτει από την αρχική σχέση: y(3)

= -y. Επομένως έχουμε

2 3 y(x)=1+(x-1)2+(x-1) /2!-(x-1) /3!+...

y(x)=1 +(2x-2)+(x2-2*x+1)/2+(x

3-3*x

2 +3*x-1) /6+…

Θέτω x=1+nh άρα: y(1+h)=1 +2h+((1+h)2-2*h-1)/2+(h

3 +3*h+3*h

2+1-

3*(1+h)2 +3*h+2) /6+…

y(1+h)=1 +2h+((1+h2+2*h)-2*h-1)/2+(h

3 +3*h+3*h

2+1-3*

(1+h2 +2*h)+3*h+2)/6+…

y(1+h)=1 +2h+h2/2+h

3 /6+…

Για h=0,003 έχουμε

y(1,003)=1+2h+h2/2+h

3 /6=1,0060045

y(1,006)=1+2h+h2/2+h

3 /6=1,012018

y(1,009)=1+2h+h2/2+h

3 /6=1,0180406 και τέλος

y(1+4h)=y(1,012)=1,0240723.

ε) Να συγκρίνετε τα πραγματικά σφάλματα που προκύπτουν από τις δύο μεθό-

δους στο σημείο xo+ 4h.

Θεωρούμε ως πραγματική τιμή ή έστω πιο κοντά στην πραγματική τιμή την

y(xo+4*h)= y(1+4*0,003)= y(1,012)=1,016898267

που προκύπτει αν θέσουμε x=x0+4*h στη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

που βρέθηκε με τη μέθοδο των αρχικών τιμών, αφού αυτή θεωρείται ως πραγ-

ματική τιμή (ή τουλάχιστον πιο κοντά στην πραγματική τιμή σε σχέση με τις

υπόλοιπες μεθόδους).

Το σφάλμα για κάθε μία από τις δύο τιμές θα βρεθεί από τον τύπο:

σφάλμα=(αληθής τιμή-υπολογιστική τιμή)/(αληθή τιμή)

• Άρα θα έχουμε για τη μέθοδο διακριτικοποίησης.

Σφάλμα=|1,016898267-1,024054946/1,016898267|=

-0,007037753 ή περίπου 0,7%

• Άρα θα έχουμε για τη μέθοδο με τον τύπο του Taylor.

Date post:	30-Sep-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Περιεχόμενα - Public · 2017. 7. 31. · Ε.1 Εισαγωγή στην έννοια...

Documents