日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―23―
���� ������ ��������������������
� !"#$ % %
&'% ()1 2007*10+18,-. 2008*03+17,/0
���
% "��1234�56789�5:� �;<�=>?@AB2��C�DEFG��H��
I�F�J�������K����LM2N�� !"F#$��OP�QRSTU�VWFX
L2N�YB�Z�[\FX]O:�B^�_ � !"$`F\a��STU�bcdeef2�������� !"Fghi��OP�j
�k>lmnopFqr�stu2vwxyzZF{|M}~F����5���5l�_ ���������Ol��12=����a�����������Bl�2g�����L
O�H��5L>���:5B2���Y�� a��F���������K$`�����F
�du��2N��Z�[\�� �¡¢F�du��O�5�^�_
�����£����2¤¥!"2���2vwxyzZ%%
1 ��
% �������¦§¨F©ª��� 8���1«¬l:��^�_g:®�l:��¯°534�B^±2
�e�²cMI�³�´µ�¶·����¸¹2�º»I�¼�DE2½d�1¾��¼�DE5L]O�¿
ÀÁ�Â��·Ã��_Ned�ÄÅFÆ��^O]M1 ���Ç¢FȱÉe�stB^�528n�zÊu
d:Ë� ̽eML�_ÍcfÎ���������[0Ï�8nQÐÑ(ÒÓ19*1+17,Ôa)Õ11��12��[0Ï1Ö×Ðد�ÙÚqM�ÛÜB^��5F Ý��OP�Ç¢5�MÞl�5: 10 *ß�à�áÆF2âã5�M ���Ç¢�k±X>�55�ML�_�>�O ���#$�^O±0��äåudæcl�
efldlLçè12é��êB^�_ ÎNeëe�� 8���j�k>l �;<�=]ML�u_Ñ ÎN�� 8���uu�¦§¨ìí� �Æî1j>æc�stu_Ñ Îï¬�� 8ðß�ñòòó1j�k>l:�B^�u_Ñ
1 ôõ��LM2ö����B1÷ß��øùlSTUB^efúL�ûüu�ýqlþ�z���Ù2÷ß����lSTUB^ef��À6�lL�N�òF7LML�_�e12ôõ5:òó�^��5l�1�duB^�>_8�2��®�l �;<F7L�ldf¦§¨ìí� �Æî¼��E�^O]M �����
1���hyhy�����À§������y�ç<2�103-0027% �� ,"[email protected]
JARIP-03.indd 23 2010/07/13 10:46:53
―24―
E2lL�"À�E5L]Oy��#LC��2¯$%y5í�ð�^�&¢�·Ã�2���'(BL�_Í
cf��[2006]�k�ÎDE)����*À$`#$Ñ�ò����B1"À�E�2&+[2007]�k�Î34¦§¨§"��È,�$-.�Ñ�ò����B1 �����E�2Neëe7LdeML�2_ ü¡3ôõ��LM12æ/�k>5��� a���0Ú�12B«¬l3�§�·Ã�2«¬lçè�45½e6�_ Ícf78[2003]12��ð��������¯°5����ñòòó�j�k>l:�B^�u��LMzZ�M2��9:�÷$#$��LM �STU�ñòòóF;a���5�<=��LMæ>�ML�_N�?@2
A�¯°B1C;*5¯°BDN������8E°F±5G�HIJK°F±�BL�ò5�M����®
½e�5L>MNFO��lPQ����LMSÀRSUT�UVW��*À�k±XY�2Î��¸¹�5¯°�
ß�� lþ�ñò1lLÑ5L>���Z[a�l?�F\]�ML�_ �u�2^,_`ð��� a5l±��^�g�34��.t�H����LM2��?@1j>l�B^�
>u5L>ê1Xbçè5�Mc½eML�_dO2{e1f5(j¤�l�55½eML��2ÍcfÎ���Ñ
5Î34�Ñ��LM19�ñò�·Ã�ML�B^�>�51gh�i�lL_dOÎ34�Ñ5ί°Ñ�ñ
ò�^�51æc���2ýq5æc���¤jB^�_���51k���B Ì�ML�5���Î���5
¯°�ß�� lþ�ñò�lLÑ�55lm�:í��lL_�ed���Y����ñò2N�MNe���
���no�bc�ÄÅ12pq�Ýr�vsul±stB^�_üuz�Av�Úȱw�MxyzZ���5
fu±Bl�2�ed�zq��k>l?@Fæc��5:l�B^�5æc�_ �YF{dcO".���12é���B^�_|�õ12�ed� 8��Ffdfd�æ/���Bl�2
}t�l��51~��YBÎö�ß�1O�I�³���52�����k�z�ÑF<r�Os��lö�ß
STUF�]O�5B^�_��õ12Î^�*îB��\Ñ��õ�M��l�Z�[\F�ÚO�5B^�_�
���1N�� !"�ò�� �;<5N�Ò�`�j>[\½e�uFzZ�2��k>lSTUB^]M:2
� !"�Î34�ÑÎ����DE�ÑÎ��À�no�Ñl����Y�� a��Fâ!�5��T¦�
R��55dcde��5F Ý�O�5B^�_��õ12��STU����vwxyzZ�üÍ5�M2�
�À����R�¦R������ !"�q�îFzZ�O�5B^�_ "���VÓ1�A�{±B^�_Õ2�B1�������STUFa=�2� !"�ò�� �;<F����_Õ3�B12� 8���ñò���B^�����LM������� !"�Ò�`F[\�OYB2N�vwxyzZFX>_�2M2ñò��LM��F���O���j�k>l[\���B^�u��LM�
N��_N�MÕ �B?�5^¡�çèF�s�_²cM¢£��LM12��B�N�O[\�ò��xyF
d5PML�_
2 �ed� �Æî��E1281®�-!¤�¹7òFAa�����¥¦�2�§Ø¨�����û`©UR�Àª�UÆîFAa�ML�_k]M®�-!¤�¹7ò�Aai�«85í��B^�u2¬zXY
2ZfldlL5L>è:^�_
JARIP-03.indd 24 2010/07/13 10:46:53
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―25―
2 ��
2.1 �� % g®�2STU5l�������Fa=��_ D|L��������12¯ü�����Îx°²É�HPQ��ÑF®*î±�²³�O��B^�_I�1´��³�µx°�¶�,÷�Óq�2µ�1´��³�x n� °·¸�,B^±2��5tÜI�1¹º��_
H»��¯H12I�³üÏ^O±K ¼5��_ D�L��½12¾*î®,�I�³����©L2 1x n� � °·¸�,dB©>5��D*L_����
½¿¼12����;[÷êBaPOI�*À��|OüaHB^±2é�k>�[\½e�_
|:
|:
nx
nx
aA
K��
��� % % (2Á1)
O�2
� � � �
� �
: |0
1: |
1
1 1 (2 1 )
1 (2 1 )
nu n
u x x u n s x sx nun
ux n u x
u
A p q i p i a
a p i b
� �� � �
�
� �
�
� � � � �
� � �
��
� �
� �1
0
1 0(2 1. )
1 ( 0)t
t xx s
s
tp c
q t�
��
��� �
� ����
,x uq i� 1�����"����;[�^O±aPO[\QR�B^±2Neëeáa34�2áa°�5Ã
fe�_A� x uq � 1x u� °����áa34�F<Ä�2,"ŨÆVŦ���aPOIÐáa34�F7
L�_l�2.²��½uz1æ/Ç5�O_
D�Lt*î��´��³�34�Od2t*îÈ�I�³134��¯ tS� ¼3F/�È]MI�1¹º��_�e
12���k]M�û67½e�¦§¨!���À�D8�������������H��A¾Éa�û67
8FÊ�O:�B2��B1���H����À�5ÃËL�QÐ$H tR~F7LM2K ¼Fg��Y¯H5�
� ��B^�_����12 ,� � 1aDA� 0� � L5�M2�A�k±a=½e�_
� �� �
� �
0
1
1 (2 2 )
exp (2 2 )
0,1 , i.i.d. (2 2 )
max 1, (2 2 )
�
� �
� � �
�
� � �
� �
� �� �
t t t
t
t t
R a
R R X b
X N c
S K R d
� �
D Lt*îÈ��·�MLOI�³1é���ÌFÍ�_
3 ��B^��5F5��2��Y�Î(tilde)F.�_�Aû|_
ÏL � �( )
max ,( )
x x yx y
y x y�
� ��
dO(2.2c)1 tX� �Ò�Ðzù|�I
Ðþ�z��=>�5F<Ä��_
JARIP-03.indd 25 2010/07/13 10:46:54
―26―
(A) I�FÑ���_ (B) I�F���2��ÒÓ¯ldÔ�NedB�ÙqªÕ¯F/�È]MI�1¹º��D��L_ (C) I�¼���½LÖÚF�×�2��¯�a2ز��½��B^�fu2µ�1û|B^�aH
��¯�PQ��I��DE��_��5t���¯H12�È÷ê�Ö×ÐدldÔ�ÕÙI�¼Ú
*îÈdB�Û±ÕMdeOI�³ªÕ�k]M����a��_�eF�2dO1�¼�DE5Ã
Ô2�¼DE½eOI�F�I�5ÃË_ s*îÈDs t� L�(C)F���O�I���LM2t*î��´��³�34�Old2I�³1�÷
�aPdeO��¯Ft*îÈ�/�È]MI�1¹º��_I�³�e÷(A)F�����2µx n� °�µ�
FÜcO5t2I�³1µ���¯F/�È]MI�1¹º��_s*îÈ�(C)F���O¡2µx n� °�µ
�FÜcO5t2I�³1�µ���¯F/�È]MI�1¹º��_
�Y���FDecision Tree �k]M®�5�A�5�±B^�_D��B12ÝÞß���FÍ5�O_L
à1:��I��?áâãä¦�4
I�å? 34
�� 34� 34� 34� 34�
� µ��
� 34
�� 34� 34� 34�
� µ��
� 34
�� 34� 34�
� µ��
� 34
�� 34�
� µ��
� 34
µ�
DßLI�³�ï�����<æ�a�7Lde�ç\12�A�èõB^�_
(A) ��½�[H (B) �È��a��ÒÓ ̄(C) �È�ÙqªÕ¯2zÔ�N�Ùq°�
4 Î34�Ñε��Ñ5^��12�DE¡��¿ÀÁB^±234��¯�Ñ���I�B^���5[\¡¢�él��5F<Ä��.dO2êê�ëì1íjð�îï½e�é�B^�ü¡28ê�ëì1I�³ð���ÌB^�_
JARIP-03.indd 26 2010/07/13 10:46:54
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―27―
(D) pÚ*îdB��H��QÐ$-D67°F±L (E) p�*îdB�°ñ� (F) I�³� ò�k�2´��³�à��34�
DóL�A�ç\1���Ú�Íô2I�³�1õ5½elL_:��12õ5½eMLM:f5(jI�³�1
°7���B^�_ (A) ��½\wQÐ5l�QR�Dáa°�2áa34�2áa�ö÷�L (B) �¼�DE�^O±��¯\wQÐ5l�QR� (C) ��I�øù�8934�5
2.2 � t+1���� 0,1, , 1t n� �� � �LMY���������\FSTUi���^O]M2é�MaF��_ D|L ����134�2���2����2�kÔ�H��!��67°F±�Ú5��_�ed��1
ÜMï�\*î�õ±÷êB1 a�M�dm2*îÈ��LM®PM a��_�DE¡�I��uu�!
��67°F±D��üúÉa°F±L2ªÕ�Ùq°F±1 ����lLÚ4 D̀û¦§¨¯°L5��_
D�L|*î®2üô÷ê 0t � �ý°�I�³�axl ϲÉ�2÷êtB�ÎI�³ÑÎ�I�³ÑFNeëe
ax tl �
Ï2Hx tl � Ï5®��55��_�I�³1DE�k]M�|��B2:ô�( 0�H
xl B^�_
D�Lt+1*îÈ�2t+1*î®�I�³ldÔ��I�³�� txq �~ Fþ|O��34�2I��¹º��_
dO2Ktxw �
~ Fþ|O�����k±¹º�2Htxw �
~ Fþ|O���¼DEF��_k]M��ò�Mé
�òó�Ó±q�_
� �� �
1
1
1 (2 3 )
1 (2 3 )
a a K Hx t x t x t x t x t
H H a Hx t x t x t x t x t
l l q w w a
l l q l w b
� � � � � �
� � � � � �
� � � � �
� � � �
� � � �
� � �
�Y�Ú4�A2Õ t+1�\Fæc�_l�2.²��½nÉ5�ö÷©w��LM1û��ML�_
58n��1��`1�5��w��51l�2û|���I�Ü���LMÍzFøùB[\�Mc·��ü8
�5�Û±��DÅ��Á��Å�\wL�5BªÕ�F\w��5L>¡¢B2?@��89�34����½
e�_ 6 ÷ê tud t+1�u�M��\F��k>���_k]MÎ÷ê tÑ51 t+1*î®P��5B^±2t*îÈB:^�_8n��1*î��B�[Y��0D�\�0L�^��2Ned1æ/Ç5��_
JARIP-03.indd 27 2010/07/13 10:46:54
―28―
2.2.1 ��������� !�t+1*î�®D÷ê tL� ���®1�A�{±B^�_
®1: Õ t+1�\*î�®� ���®
HtA £!�DüúÉaL H
tV £Ö×ÐدDüúÉaL
at
atx
at
VlV �� £Ö×ÐدDA¾ÉaL
tatxtDlD �� £ªÕÐØ ̄
at
atx
at
AlA �� £!�DA¾ÉaL
tC £� !"
��AêB5�O��12��I�øùÜ�B#$½e�`B^�_dO2gY��!�9:��èõ1Î
�I�Ñ�uu�����üúÉa�õB2®�T��ÀY��MB^�u�k>����ML�����U51
¦dlL7_�I��uu�Î��I��DH»34��¯H��[LÑ12t
H B^�5��_��¯H1�
F���O*î��|Mél�OP2N�ÏBÛ]O�1ȱY�MLlL_!"�u12
tat
Ht
at
Htt
DVVAAC ����� (2Á4)
5��_
2.2.2 � �"����#$%&' "STU����*ß�÷7no1�A�{±B^�_
D|L34��¯Dt+1*îÈ�©>L �e1Ñ�I�³�zB^�
� �11
~,1max~~����
��� ttxatx
a
tRKqlS (2Á5)
�kÔ�I�³�zB^�
ttxH
tHqS �� ��
~~1
(2Á6)
udl�_ D�L��ÒÓ¯Dt+1*îÈ�©>L % % 8�����LMk�7Lde�Ç¢�ldL2kFn�µ�ía2�Fþ�a5�M
7 N:N:��B�>A¾Éa!�12�I��uu�uz�ÇÜMDÍcfªÕÐد�ó�uzLF�(B�±28nB�ȱ#L51Ü�él�_^�dBg�õIB^�� !"[\�OP� �i�ML�ê�!<
"LOL_
JARIP-03.indd 28 2010/07/13 10:46:55
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―29―
� � � ����
��� �
���� ���� k
tkVRR
wlW at
t
tKtx
atx
a
t
0,max1~
~ 11
�� (2Á7)
5��_D�1��#$F<Ä��_L��©5û÷�9:ðudȱ%½e�Ö×ÐدD��¹ºVL1
� ����� ����
at
t
tKtx
atx
aK
tV
RR
wlV 11
~~
(2Á8)
5®½e�_ D�L¹º÷ªÕ¯Dt+1*îÈ�©>L I��¹º�^O±©1e�ªÕ¯�12´��³�34÷�©1e�
ttxatx
ad
tDqlD ���
� ~~1
(2Á9)
�kÔ2�����M©1e�
� �
���
��� �
�� ��� ktkDwlD t
Ktx
atx
aK
t
0,max1~~1
� (2Á10)
����^�_ D L�¼�DEDt+1*îÈ�Ö×ÐدDA¾ÉaLudûDüúÉaL¼�&L �e1þ��1����B1l�2I���¼DE½e��^O]M'�9:èõud�I��Ö×ÐØ
¯¼�±Òde�ìíÉa�õB^�_��>ôÖ×Ðدud(Õ½e�z1
� ����
����
���� �
����a
tt
tHtx
atx
H
tV
RR
wlW 11
~~~
(2Á11)
B^±2ªÕÐدud(Õ½e�z�
tHtx
atx
aH
tDwlD �� ���
~~1
(2Á12)
B^�_ DßLÖ×Ðد¼�)É
t+1*îÈ5 t+1*î®Þt*îÈ�Ö×Ðد�BH�Î)ÉÑB^�_N�>ôÑ�I�����z�
� � atx
atx
H
t
K
t
a
tatx
at
t
tatx
atx
atx
atx VlWWSlV
RR
VlVl �������
������ ��������111
111
~~~̂~~~ � (2Á13)
B^�_OÂ�2ï*�Õ2è1
� �11
~,1max~̂
������ ttx
atx
a
tRKqlS (2Á14)
üô8��34�B1l�2áa34�F+>_D67�1îï½e�OP¶j5�M ��B^��5�Ï<
���5_L�I�����z1
� � Ht
aH
t
H
tttxHtH
Ht
H
tVDWHqViVV �������
���� 111
~~1~ (2Á15)
JARIP-03.indd 29 2010/07/13 10:46:55
―30―
5l�2l�2ï*�èõ�34��¯ttx Hq � 18�34�B1l�áa34�F+]M[\��_
dO t+1*îÈ�I����¯�[1
Htntx
aH
t
H
ttt A
DWHH
|1:1
111
~~~
����
���
���
5l�_ O�2
� � � � � �snHsxsn
sn
u
uHusxsxu
Hsnsx ipiqpA ��
��
�
�
������
���� 110
|:2
� �� ���
�
��
�� �
�
�� )0(1
011
0
tq
tp t
ssx
xt
B^±2H
snsxA |: ��1 ��B1lL�5�Ï<��_
DóLªÕÐد¼�)É % Ö×Ðد5û«2t+1*îÈ5 t+1*î®Þt*îÈ�BH�)ÉB^�_üô
� �� � � � � �
1 1
1
1 1 1
1
max 0, max 1, 1
(2 16)
a a ax t x t x t x t D x t x t
a K Hx t x t t x t x t x t x t
ad aK aH ax t x tt t t
l D l D i l D
c q q K R l q w w
D D D l D
� � � � � � � �
� � � � � � �
� �� � �
� � �
� � � � � � � �
� � � � �
� �
�� � � �
� � �
�e12ªÕÐد�ÙqªÕ°,z�k�-²234��áa5�.ø�k�B�>ôªÕÐد¼)±Ée�
z234I�¼©>z2��I�¼©>z2N�M�PQ��I�¼DE�MÖ×Ðد¼)±ÉeOz2
udl�_ D/L��½nÉD*î®L
t+1*î®Püô÷ê t��LMnɽe���½12 atxl ��� B^�_
D0L67no % 671A¾Éa�ó�z5üúÉa�uu�zudl±2¡³1�a5�ML�_üô2A¾Éa�ó�z
� ��atx
at
t
t lARR
111
1~
����
����
����
�� (2Á17)
üúÉa�ó�z
HtH Ai 1�
% % (2Á18)
5l]ML�_
2.2.3 �(������� ! t+1*îÈD÷ê t+1L� ���®1�A�{±B^�_
JARIP-03.indd 30 2010/07/13 10:46:56
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―31―
®2: Õ t+1�\*îÈ� ���®
H
tA
1
~�£!�DüúÉaL
H
tV
1
~�£Ö×ÐدDüúÉaL
at
atx
a
tVlV 111
~~~����
� £Ö×ÐدDA¾ÉaL
111
~~~����
� tatxtDlD £ªÕÐØ ̄
at
atx
a
tAlA 111
~~~����
� £!�DA¾ÉaL
1
~�t
C £� !"
Ú1B�du��OÕ t+1�\*î��Â���÷7noFÉr��52ïÉa�õ1�A�{±�l�_
� � H
t
aH
t
H
tHtH
H
tSDWAiA
1111
~~~1~����
����� % (2Á19)
� � aH
t
aK
t
ad
t
H
t
K
t
a
tatx
at
t
tatx
atx
a
tDDDWWSlA
RR
AlA111111
1111
~~~~~~~~~~�������
������
��������� � % (2Á20)
� � 11 11 � �� �
� � � � �� � �H H aHHH x t t tt t t
V i V q H W D % (2Á21)
� � H
t
aK
t
a
tatx
at
t
tatx
atx
a
tWVSlV
RR
VlV111
1111
~~~̂~~~~
�����
����������� � (2Á22)
� � � � � �aH
t
aK
t
ad
t
Htx
Ktxtx
atxtxtxtDt
atxt
DDD
wwqlqqcDiDlD
111
111
~~~
~~~1~,0max1~~~
���
����������
���
����������
N�M2��� !"1
111111
~~~~~~������
�����t
a
t
H
t
a
t
H
ttDVVAAC % (2Á24)
B^�_��ï*�(2.19)Î(2.23)FÉ�2½d�(2.5)Î(2.18)dBFæ/�Mí0��52é�{± t+1*îÈ�K!"F ��5�M®��5�Bt�_
� �� � � � � � � �
� � � � � � � �� �txtxt
Htx
Ktxtx
atxttxtx
at
Ktx
t
tat
at
t
ttD
Ht
HtHt
qqHwwqlRKqqc
ktkVw
RR
VARR
DiVAiC
��
�������
���
�
�����������
����������
~,0max
~~~1~,1max~,0max1
0,max~~~
11~
1
111
�
(2.25)�ï*12é�óèõ���l]ML��5�Ï<��_
(2Á23)
(2Á25)
JARIP-03.indd 31 2010/07/13 10:46:56
―32―
� �� � � �tD
Ht
HtHt
DiVAiC ������
111
)0( (2Á25a)
� �at
at
t
tt
VARR
C �� ��
11
)1(~~
(2Á25b)
� �k
tkVwRR
C at
Ktx
t
tt
0,max~~~ 1
1)2( �
�� ��
�
� (2Á25c)
� � � � � � � �11)3( ~,1max~1~,0max1~
����������� ttx
atxtxtxt
RKqlqqcC (2Á25d)
� � � � � � � �11)4( ~,1max~~~,0max1~
������������� t
Htx
Ktx
atxtxtxt
RKwwlqqcC (2Á25e)
� �txtxttqqHC ���
��� ~,0max~1
)5( (2Á25f)
3 � ))*+,-./012-345678�
3.1 g:��l3�§B�[\D �l ���ýql�þ�z��=>��L%�>�MSTUB�� !"� ���2B6deO�B2ï� 8���3Õl �z�FbcefN�Ò
�`F[\���5�Bt�_A�®�-!¤�·Ã�2ê��¹7òFÍ��B^ef28 ��k�Ò�
`[\��K$`Fbc�8_".B1dm2üuFÇ��i�Mg:��l3�§F[\��_
�è|: 3489567°F±�Neëe�þ�z��=>ýql ��2���4�Ç��5�O5t2t+1 *îÈ� !"� t÷êÒ�`12�A�k>�l�_
� � � �� � � �
� � � �
� � � �� � � �� � � � � �txqtxqtt
atx
txqtxqtttHtx
Ktx
atx
at
Ktx
at
at
tDHt
HtHtt
FFKlc
FHFwwKlc
ktkVwVA
DiVAiCE
���
������
�
�
����
�������
���
����
���
!"
� �
����
�����
,,31
,,2
11
2
1
,,1
,,1)1(
2exp0,max
11~
����
����
���
O�2
� � � � � ����
����
� �����
�
����
����
��
��� ��
��
�����
���
221 ln
2exp
ln, t
tt
tR
NRR
NF (3Á2)
8«8�-!¤�¦§¨F5�B^�ldfÕj2¦§¨F5F���O �ÆîFìí�OYB��6`[\�l
��l�_
(3Á1)
JARIP-03.indd 32 2010/07/13 10:46:56
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―33―
� �
� �
2, ,
2 2, , , ,
,, ,
,
exp exp (3 3)2
t q x t q x t
x t q x t q x t x t q x t q x tx t q x tt
q x t q x t
F
N N
� �
# � � # � �# �
� �
� �
� � � � � �� �
� �
� � � �� �� � �� � � � � �� � � �� �� �� � � �
� �� � � �
� �
� ����
����
� �����
���
����
� ���
���
����
����
�
�����
�
������
��
txq
txqtxqtxtxqtxq
txq
txqtxqtxtxqtxqtx
txqtxqt
N
N
F
,
2,,2
,,
,
2,,
2,
,
,,3
222exp
2exp
,
���#
��
���#�
�#
��
DY�L dmï ���ýqðud2Ò�`1é�{±5l�_
� � � �� � � � � �
� �
� � � �� � � �� �� � � �� � � �� �
� �� �0,~max1,~max0,~max~1
1,~max0,~max1)1(
~0,max
~11~
1
1
1
11
txtxtt
tttxtxtxtatx
tttxtxtHtx
Ktx
atx
t
tt
at
Ktx
t
tt
at
attD
Ht
HtHtt
qqEHREqqqEKlc
REqqEwwKlc
RR
Ek
tkVw
RR
EVADiVAiCE
��
�����
������
��
��
���������
�������
$%
&'(
)�
���
$%
&'(
)��������
�
�A234���LM� �z��
� � � �2,, ,~log~txqtxqtxtx Nq ���� � ��# Π%
�=>5�2dO � �txtx q �� � log# 5��_
� � � � ** +�+� ���
����
����
xxdyydyynxN
2exp
21 2
�% � � ��
�
����
���2
exp21 2xxn�
5��52
� �� � ���
����
�����$
%
&'(
) �
2exp~exp
~ 21 ���� ttt
tt XERR
E (3Á6)
(3Á4)
(3Á5)
JARIP-03.indd 33 2010/07/13 10:46:57
―34―
� �� � � �
� � � � � �
� � � � � � ���
����
�$%&
'() ���
��
��� �
����
���
����
�$%
&'(
)�����
�
����
�����
$%
&'(
)���
����
����
���
��
�
1
1
log~
1~exp
1
~explog~Pr1
~exp1~expPr1
1,~expmax1,~max
��
�
��
��
�
����
��
tt
tt
RXtt
tt
tt
RXtt
tt
tt
tttttt
XEeRXR
R
XER
XR
R
RXRERE
N�B� ��
��� tRdln
1 5��f2789��LM
|èõ � �11 dNRt
��� % B^±2�èõ1Dó�e F$LML
� � � �
� ����
�
��
��
�
�����
�
����
����
�
����
����
�
����
��
���
����
� ����
�
����
����
�
����
����
*
**+
��
+
�
+
��
1
222
222
2exp
2exp
21
2exp
2exp
21
2exp
2exp
21exp
1
11
dNdxx
xdxxx
d
ddx
k]M2 � �� � � � � ���� �����
����
������ 1
2
11 2exp1,~max dNRdNRE ttt (3Á7)
B^�_dO2
� �� � � � � �� �� �� � � �� �� �
� � � � � �� �� � � �
*�
��
��
+��
�
��
���
,����
,��
����
���
����
� �����
��
����
� ���
��,��
��
���
tx
txtx
txTx
dxx
eN
E
EEqqE
txq
txq
txq
x
txq
txqtxtx
txttxtxtx
txtxt
txtxttxtxt
#
##
##
�
�
����#
#
####
####
2,
2,
,,
,
~
~
2exp
21exp
~exp~Prexp
~expexp0,~expexpmax0,~max
11
� �
� �*
�
+��
��
�
��
�
���
���
�
�
���
�
� ���
���
����
���
���
����
� ���
tx dxx
N
txq
txqtxq
txq
txqtxq
txq
txqtxtx
#
�
��
��
��
��#
#
2,
22,,
,
2,
,
,
,
2exp
21
2exp
exp
k]M2
� �� �
� ����
����
� ���
���
����
����
��
����
� ���
�
�
�����
�
���
��
txq
txqtxqtxtxqttxq
txq
txqtxtx
txtxt
NN
qqE
,
2,,
2,
,,
,
2expexp
0,~max
���#�
��
�##
½d�2
(3Á8)
JARIP-03.indd 34 2010/07/13 10:46:57
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―35―
� �� � � �� �� �� � � �� � � �� �11 ~~1
~2~
~~1
~2exp~exp0,max
0,max0,~max~
txtxtxtx
txtxtx
txtxtx
txttxtxtt
ttxtxtxt
EEeeE
eeeEqqqE
����
���
���
,�,����
����
�������
����
#######
###
###
B^��2��|èõ1
� �
���
����
� ���
���
����
����
���
����
� ����
�
������
+��
�
�*
��
txq
txqtxqtxtxqtxqtx
txq
txq
txq
x
N
dxx
ee txTx
,
2,,
2,
,
2,
2,
,
2exp
2exp
21
���#�
�#
�
�
��
##
�èõ1
� �
� � � �
� ����
����
� �����
���
����
� �����
���
����
� ����
�
�����
+��
��
���
+��
�
�
*
*
�
�
txq
txqtxqtxtxqtxq
txq
txqtxq
txqtxqtxq
txq
txq
txq
x
N
dxx
dxx
e
tx
tx
,
2,,2
,,
2,
2,,
,
2,,
2,
2,
,
2
222exp
2
2exp
2122exp
2exp
21
���#
��
�
��
����
�
�
��
#
#
�O�]M2
� �� �
� ����
����
� �����
���
����
� ���
���
����
����
��
�
�����
�
������
���
txq
txqtxqtxtxqtxq
txq
txqtxqtxtxqtxqtx
txtxtxt
N
N
qqqE
,
2,,2
,,
,
2,,
2,
,
222exp
2exp
0,~max~
���#
��
���#�
�#
(3.6)2(3.7)2(3.8)2(3.9)F(3.5)�É�M2(3.1)F6�_DY��1±L
3.2 345678 % �>�M t+1*îÈ�\÷�� !"� �����Î67ÑÎ34�Ñ��:;D�Ò�L<î;D�IÐ=BL�ò5�M®��5�BtO�B2N�vwxyzZF�Ú�_A�67�ó��IÐ=BD�
e12��ð�k�¥>�?@lA�B��B^�L����q�î�j>l�uFìs��51CÄDL_�
!"�6 ̀ (3.1)��*FEBFz�MÚk>_
� � � �
� � � � � �� � � �
2
1
2 3 1, , , ,
max ,0exp
2
(1 ) 1 , , , (3 10)
a a aKt x ttt t t
a K Hx t x t x t t q x t q x t t q x t q x t t
k tE C A V w V
k
c Kl w w F F F
� �� ��
� � � � � ��
��
� � � � � � �
"� � �- ) & � � � � � � ! � �( %- � �� -
� � � � � � � �-
�
��B(4.5)�ï*Õ1è12t�ò��y�GH¢ud�du�þB^�_dO
(3Á9)
JARIP-03.indd 35 2010/07/13 10:46:58
―36―
� � � �� �txtxttxqtxqt qqEF ���� �� ~,0max, ,,2 ��
� � � �� � � � � ����� ,~~,0max~, ,2
,,3
txqttxttxtxtxttxqtxqt FqEqqqEF ������� .��
� � 10~1Pr ����� ��� txHtx
Ktx qww
ud2
� � � � � � 0,,1 ,,3
,,2 ����� ������ txqtxqttxqtxqt
Htx
Ktx FFww ����
�Ó±q��B2(3.10)Õ2è�2 1tF�-
-�Ç�ó1þB^�_^51c]Oè�IÐF#$�efkL_
� �
��
��
!
"
��
�
��
���
����
����
��� �
����
��
��� �
��
���
��� �
����
����
��
�
���
����
����
��� �
��
�--
22
2
2
2
21
ln21
2exp
ln1
21
ln2
exp
ln21exp
ln,
��
����
��
��
����
��
��
���
tt
t
t
ttt
RR
RN
R
RRF
% (3Á11)
5l��2��|èõ1þB^�OPï*FEJÐ5 ���
����
�� t
t RR
d ln2ln
2 ��LM�ò5Ú
l�Mí0�Ktp�5�A�{±B^�_
� � � �
� �
2
2
22 2
2 2 2
22 22
2 2
(3.11) 21 12 exp
22
2 1exp22 2
t
t
R e N d d d
R e dN d d
��
��
� �� �
� �� � �
�
�
"� �� � � � !� �� ��
"� �� � � � !� �� ��
ï* èõ
N���L�Fäef�dulk>�2��cMè1E>0�ò5�M2üa���YB^efe�þ�`F5�_=]M(3.10)1f5(jþ2üôE�htLfj� !"1ht�l��5�l�_N� N1��^±2O5�1��#$�QP����°o�E�k±ht�l�òó�^��5B^�_:>O5�1k±��B^±2
��� !"�2stlÇä�:ò1dmQ"��Q�TRÅÀ���*À�2�l]ML��5B^�_üú
�Q�TRÅÀ���*À�E�ò��|S=FzD¿TL12��Á��UF1mþB^��1k��d
eML�{±DÍcfUæ��[7]FU���5LB^±2���5ud�pVlG?5�M21t t
E C�
) &( %� �E��
LM-²ò5l]ML�5æcde�_
JARIP-03.indd 36 2010/07/13 10:46:59
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―37―
3.3 9:;<=>?-@��ABCD�>?� é�2t+1*îÈ� !"FN�*î®÷êD÷ê tLB�Z��Ò�`[\BtO��ÍF2:>Þ�WÌBtlLu5æcMÚk>_Ícfï ���ñò�^���1j>B^�>u_dO2#>����������
:>�stl��1j>B^�>u_�eFN���OP2O5�a=Fbc�_
a=|£
þ`�ÚÈ�XéY ��� �1, ,j j m
X� �
��LM2þaudl�ê� �1, ,j j m
a� �
�·Ã�2ÜM� j��LM
� �1ln lnj j j jj
X a X aa
� � � ��%
l�R���Zõ�f5(j 8�Ó±q�5��_��5t� �1, ,j j m
a� �
F� �1, ,j j m
X� �
�Î� êÑ5ÃÔ2
� �1, ,j j m
X� �
1� �1, ,j j m
a� �
��[B\a�B^�Ñ5ÃË_
���]F7L�52 �læ>�k±�A��c�_Dxy1¢£^�M�s�_L
�è2: % 2���LMbcOSTU��LM24��� a��
D|L �H��À��67°F±£ tt RR 1~
�
D�L 34�£ txq �~
D�L ���£ Ktxw �
~
D L �DE�£ Htxw �
~
�2^�?� �Æî��LMê� �, , ,R q K Hc c c c ��[B\a�B^]M2u�
� �� �
21 ,
2, , ,
ln,
lnt t Rq t
q x t Rq t q x tx t
R RN
q
� � �� � �
�
� ��
� � � �� �� �� � � �� �� � � �� �� � � � � �� �� �
��
�%
� � � �� � � � � �� � tqKKtxtxtRK
Ktxtt wqCovwRRCov ,,1
~ln,~ln,~ln,~ln �� �� ����
� � � �� � � � � �� � tqHHtxtxtRH
Htxtt wqCovwRRCov ,,1
~ln,~ln,~ln,~ln �� �� ����
B^�5��_½d�2\aê� �, , ,R q K Hc c c c ��[B2 � �( )11
, , ,j K Hj t t x t x t x tt
C f R R q w w� � � ���� � � � � 1Lme:_
duB^�5��D 1, ,6j � � L_��÷2N� �Æî�QP�� !"�Ò�`1� ��é�k>�K��_
JARIP-03.indd 37 2010/07/13 10:46:59
―38―
22,
0000 1000 0100 ,1
2 2, ,
0010 0001 1100
2
1010 , 10
exp exp2 2
2exp
2
exp2
q x tt q x tt
q x t Rq tK Ht x t t x t q
Kx t R K RK t
E C A A A
A E w A E w A
A E w c c A
��� �
� � �� �
�� �
���
�� �
�
� �� �) & / � � � �� �� �( % � �� � � �� �� �
) & ) &� � � � �� �( % ( % � �� �
"� �� �) &� � � � !� �( %� �� ��
�
� �
�2
01 ,
2,
0110 , ,
2,
0101 , ,
2
1110
exp2
exp2
exp2
exp
Hx t R H RH t
q x tKx t q x t q K qK t
q x tHx t q x t q H qH t
Kx t q
E w c c
A E w c c
A E w c c
A E w
�� �
�� �
�� �
�� �
�
�� �
�� �
�
"� �� �) & � � !� �( %� �� �� "� �� �) &� � �� � !( % � �� �� �� "� �� �) &� � �� � !( % � �� �� ��
) &� � �( %
�
�
�
� � �
� �
2, ,
, ,
2 2, ,
1101 , ,
22
2exp (3.8)
2
q x t Rq tR q K RK t qK t
q x t Rq tHx t q R q H RH t qH t
c c c
A E w c c c
� �� �
� � �� � � �
�
��
"� �� �� �� �� � !� �� �� �� "� �� �� �) &� � � � �� � !( % � �� �� ��
�
OÂ�2ïó hijkA 1÷ê t����`zÔ�� ê�Ú�¶·��aB^�_
4 EF0GH-IJ
% �è 12�è 2�k±2k�VW�OSTU� t+1*îÈ� !"��LM�Ò�`�2A�34�����DE�:�PM�þ�z��=>5L>Ma��LM2�Z��[\½e��5�5½eO_üô��ST
UB12=����B`¾�Ma�MLOï �����ß�ñòòóFa���ȱ#c�_�Úldm2N�
>ôL��u��þ�z��=1lL��B^]M:üa�Ú4�^ef� ���Z[\���B^��5:2
�du5l]O_ ü¡"��B12������J�� ������ðE��LMÎ�`�z��� êudht�.ø�l
LÑ���¦]M�±2��Ma�bÕð�ò��8Y�lXY2ldÔ�����÷�0��zZ1^¡�çè
5�ML�_dO2û¦§¨¯°���lj^Fæ/Ç5�O��2ö�ßB�� !"#$lj2Õ®"STU
BXbFáa�MLO���1¬z�cF'P��5�Btlu]O_ ½d�2�����!��1¨�ð�lLOP2N�� !"�dþl#$�OP�12edu�Ç¢B¦§¨
�qlÆî¼�E��l��^��2N��5���Ç¢�bc�ÄÅ:��l�êB^�_�ed��t,t�
tXb�l�5æc�_ ²cM^¡�Zõ5�M12ö�fþ�z��Ç ���¶·ðF®«���^O±ñòóÂ�B1�¬z
B^��5Fæc�52Ícf�RV��k�zZljFXb��stB^�5æ1e�_ �Y
JARIP-03.indd 38 2010/07/13 10:46:59
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―39―
KLMN�OJP-QR�STU�
dmé�¢è1¤�B^�>_
¢è1£
X2Y2ZF ��5�O5t2
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �
� � � � � �� �
1 , , ,3
1 , , , .3
E XYZ E X E Y E Z E X Cov Y Z E Y Cov Z X E Z Cov X Y
Cov X YZ Cov Y ZX Cov Z XY
� � � �
� � �
dO2Uæ��[8]�2é�k>l¢è�5½eML�_
¢è2£(Lemma 7 in Poon and Stapleton[2005], p.127) % þ`�ÚÈ� ���0( , )X Y �ê� �,a b ��[B\a�B^�ldf2é�Ó±q�_
� � � �YXCovabYXCov ln,ln, �/ (AÁ2)
�ed�¢èud?@�2é�¢è�Ó±q��5��c�_
¢è�£
, ,X Y Z Fþ`�ÚÈ� ��5�2ê( , , )X Y Zc c c ��[B\a�B^�ldfé�k>l� K�Óq��_
O� ZWYVXU ln,ln,ln ��� B^�_
� � � � � � � �� � � � � � � � � � � �2 1 , 1 , 1 , (A 3)
3 2 2 2X Y Z
X Y Z
E XYZ E X E Y E Z
E X E Y E Zc c c Cov V W Cov W U Cov U Vc c c
/
"� � � � � �� �� � � � � � � !� � � � � �� �� � � � � ��
dOA� 1Z � 5�efé�Ó±q�_ � � � � � � � �VUCovccYEXEXYE YX ,�/ % % % % % % % (AÁ4)
�YB2�è�FY���ÐØ�BtO_
D�è��Y�L % (2.25)�ï*ïèFz��O(2.25.a)Î(2.25.f)1 ��� a���kÔN�òD�¬|éKL�2gh���
�LM�Ù�G���_u�Î���Ñ5Î�DE�Ñ��LM�Ù1g��lL_�O�]M1t t
E C�
) &( %� 1^
�aóA� D�1 h��'l�i�LF7LM
(AÁ|)
JARIP-03.indd 39 2010/07/13 10:47:00
―40―
� �
� � � � � �0000 1000 1 0100 0010 00011
1100 1 1010 1 1001 1
0110 0101
K Ht t t t t x t t x t t x tt
K Ht t t x t t t x t t t x t
K Hx t x t x t x t
E C A A E R R A E q A E w A E w
A E R R q A E R R w A E R R w
A E q w A E q w
� � � ��
� � � � � �
� � � �
) & ) & ) & ) &/ � � � �( % ( %( %( %) & ) & ) &� � �( % ( % ( %) & ) &� �( % (
� � � � �
� � �� � �
� � � �
� �� � � �� �1110 1 1101 1 (A )K Hx t t t x t x t t t x tA E w R R q A E w R R q� � � � � �
%) & ) &� �( % ( %
� �� � � � Áj
��k>�u��_5��B2� �� �
21 ,
2, , ,
ln,
lnt t Rq t
q x t Rq t q x tx t
R RN
q
� � �� � �
�
� ��
� � � �� �� �� � � �� �� � � �� �� � � � � �� �� �
��
�ud
� �22
,1 1 ,exp , exp ,
2 2q x t
t t t t t q x tE R R E q��� � �
� � �
� �� �) & � � � �� �� �( % � �� � � �
� � 1�duB^�_dO
� �� � � �2 21 , , ,ln , 2t t x t q x t q x t Rq tR R q N � � � � �� � � �� � �� � � B^�ud
� �2 2
,1 ,
2exp
2q x t Rq
t t t x t q x tE R R q� � �
� � �� � �
� �� �) & � � �� �( % � �
� �� � :ӱq�_
dO2¢è�F7L�5
� �2
1 ,exp2
K Kt t t x t t x t R K RK tE R R w E w c c�� �� � �
� �) & ) &� � �� �( %( % � �� � �
� �2
1 ,exp2
H Ht t t x t t x t R H RH tE R R w E w c c�� �� � �
� �) & ) &� � �� �( %( % � �� � �
2,
, ,exp2q x tK K
t x t x t t x t q x t q K qK tE q w E w c c�
� ��� � � �
� �) & ) &� � �� �( % ( % � �
� �� � �
2,
, ,exp2q x tH H
t x t x t t x t q x t q H qH tE q w E w c c�
� ��� � � �
� �) & ) &� � �� �( % ( % � �
� �� � �
�edF7LMDAÁßLï*�ïèFKtp�Mí0�O:��kP�� KD3Á8LB^�_ DY��1±L
��Y��2 ���è � �( )11
, , ,j K Hj t t x t x t x tt
C f R R q w w� � � ���� � � � � �üú�òB^]M:_duDR���
Zõ��LB½c^efJ¹B^��51CÄDL_Ne12STU�l±Ö(Â�����k±stl����
F�(B:û«�#c��5F5m�ML�udB^�_STUW̼�O5��Ç�u±5æc�_
JARIP-03.indd 40 2010/07/13 10:47:00
日本保険・年金リスク学会誌 Vol.3 No.1 2008
―41―
KLVW�XYZ[\]^_>?�
^F1Î67ÑÎ34ÑÎ���ÑÎ��nÑ25L> ��� 8��Fȱ#]O�2� 8l���½d�
-²�ML���1j>l�Â�>u_812N���B:û÷�þ�z��Ma½cµO½eefüú�l[
\���B^±2A�T¦�R�������üDL�U�¦ÅljB1lLLB^����121 éY�IÐþ�z�òÂ�Bo±�_N��512é��5�Ó±q��5ud�duB^�_
�è£ |�ßSTU��LM2÷p t+1����C�?áF����Ý`� ���2ÝéYþ�z��=>:�5��_üô
� ������
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�0
�����
�
�
�����
�
�
�
2
21
22212
11211
2
1
22
1
,,
nnnn
n
n
nn
NN
X
XX
X
���
������
�
��
���
�
��
�
Î
��Ba¿¨ÁUF
�����
�
�
�����
�
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�
nn b
bb
b
a
aa
a�
�
2
1
2
1
, % 5�M��.qk)F
� � � �1exp KXbXaXg�1
1�
5a=��D�e1)°X+$-Kl���U���*À�üú2B^�L_��5t2
��qk)�r÷ê�s"��$-11��IÐþ�z�ò�k±
� �� � � ����
�
�
���
�
�
0
�0�11��
��
��� 01�1�1�
�1 bKabNaaaXaEF KXbtg
�
2
2
21expexp 1 �� (B.1)
5u��_
��Y�1öéYþ�z��Ù�;ò�ò����l[\èB^�OP2tp��_ÍcfUæ��[6]FU���5_
JARIP-03.indd 41 2010/07/13 10:47:00
―42―
uv % "��12���hyhy�����À§���w�xyz{��H|�A2û}Ò~ü�z{udJol
�BÀÁF�t�����Oçè���QP�:�B^�_²cM2���W�¦���ud¬���l�<ä
FLOÂLML�_��Mu<F®�OL_
Uæ�� [1]���ü(2006),Î����I�����DE)����*À$`#$Ñ, �,"��*¯¦§¨y���12
pp51-73 [2]&+�(2007)2Î����������34¦§¨§"��È,5N�$-.�STUÑ2�,"��*¯¦§¨y���% 22pp1-17
[3]78y�(2003)2Î��������¯°5����ñòòó�ò��üæ>Ñ2�,"ŨÆVŦ���\�562pp233-251
[4] ���ü(2003)2Îdþ$`�[������9:5°o�ÝrÑ2�,"ŨÆVŦ���\�562pp179-232 [5],"ŨÆVŦ��(2007)2Î���������[0Ï�8nQÐÑÒÓ19*1+17,Ôa [6]�9�(1963),�0�[y�,��C��\�
[7]John C. Hull(2006), Options, Futures, and Other Derivatives Six Edition, Prentice Hall [8]Poon and Stapleton[2005]2 Asset Pricing in Discrete Time2 Oxford University Press
JARIP-03.indd 42 2010/07/13 10:47:01