+ All Categories
Home > Documents > On piecewise linear approximation of quadratic functions

On piecewise linear approximation of quadratic functions

Date post: 14-Feb-2017
Category:
Upload: buithien
View: 253 times
Download: 16 times
Share this document with a friend
23
Transcript
Page 1: On piecewise linear approximation of quadratic functions

����������� �������������������������������� �!#"�$%&���#����('*),+�-�-�-/.�0 12��354�07684�98:�6;3

<>= ?A@BDCEBGFH@ I�B JK@7=LBDMONQPSRTRTNVUXWL@7Y M[ZV@U\= U^]_>`aMObTNcM[ZV@ C da`T=aCeZV@U\=aI

fGg hjilk&m�npoqm�m�isrqtutwv�xwyEzjiD{}|�~�rq���G��rq��rqku���7rq���/xw�cg�/tu~�fGrqisrqtut���xw�Gg tut�g�m��\��o |&��x�To5h�����rqt����}g z���o5hj~&�

v����������������j p¡�¢V£¤ �¡�¥¦ ���§©¨�ª�«��� ���7¬®­����¯� �§��©����¨c¡�¢c°7 �±�²/�7¡�³´¡�µ�¨¶ �� �·��  �§�¸¹¬��»º ������§�¼�½�¾�¿/À�Á ¿�¿�Â�ªuÃ(¾�¿/À�Ä7À ¶ �� ���ª}Ã��;����§©�,¬

 �¥Å¬���³´Æ�º�¡��,��¥Å¬����Ç&µ; �¡�¥¦ ���§©�� È¼É���8Ê&�� ��7¼�¬�±»¼�¬���»Ëp jº�¬�§���¥¦ �� ��¡�¢�Ì®¬���²� �¥Å¬����,±���ª�«���³ ����;��­����¯� �§��©����¨

Í ¬���µ/¬�§�·��;Î�¡VÏ»Ä8ªuÏ8Ð�À�ÀX«���³ ����;��ª}Ñ}����²/�¬���,¬ �¥Å¬���³´Æ¤Ò¤��¥p¯»¨�·�¬���¼ÔÓ¹§�¬���¬��;��Î�¬���ÇեŬ�¢�¼#¯����¼#³Ô�

�Ö� �� �j �§�¢�¡�§���¥Å¬Èµ; (×w§�¡È±© ©���©���;µ�¬��7·���� �j �µ�§�¬��j �·®Ö&¡�¥2º7�������;µËp jº�¬�§���¥¦ �� ��¡�¢VÖ&¡�¥2º7���j �§¹Ø7±��� ��7±© 

­����¯� �§��©����¨V¡�¢VÖ&¬�³ � ¢�¡�§©��,¬�ª�ËÙ¬�¯»�É��ª�Ö�ÃÛÚ�Ü/Ð�¿/лªp­�Ø8à�¥Å¬���³q²8¬�¥Å¬���5Ý Þ�¡�¨©ß�Ç�±���¼#�±�·�¬�¯»�É��¼� �·��

��Ëp jº�¬�§���¥¦ �� ��¡�¢VÖ&¡�¥2º7���j �§¹Ø7±��� ��7±© ©ªà­����¯� �§��©����¨V¡�¢¦á���¬Èµ/¡â ¡Èã�Ü/лª&Ëà�8�  �·�����ª Í  �Ê[ä} �¬�³´¬��7·

å �Õ�»m���rqæ;m�çéèsê�ë�ì�í î7ïDð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷pö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õGø;û2üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òVû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ëpî êÈýþ õ ê�îsø8õlÿ�� � ��õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�ê�ð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ñ�ê�ë¦ö;õ î[ò�ö;õ ø8õ ñ�ò�ö;ô���ö;ô�ê»ï���ô�ê�ñ�õlú�ê»ì�÷©ñ�ò�ëpì �qö/ì�� ê�ô�ðñ�õ®í õ î ê�÷©ë�ì�ö;õ î ñ�õ��ì � ñ�ë(ð ÷©ø�� ô�ê�ú ò�ö;õ��5ê��qö;õ î ô�ê�îGñ�õ®ö;÷�� ñÉì�÷�ö;÷�ïeî ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õ ë ��� ø�ó�ê��8ê�÷��ì � ê�ð ÷©ø�� ô�ê�ú ø;û�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôÕö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�ñ�õXì � ê�ë©ê�õ ë©ê�ì �qö/ì�ì � ê�ñ�÷�ô�ñ�õ ê�ö;÷Ùð ñ�ê�ò�ê�ë¦ö;÷©ê�ø;ûú*ö�ù7ñ�ú*ö;ô¤ë©ñ���ê���ï��;ê�ê�ð ñ�õ�[ö��8ñ��8ê�õ ê�÷©÷©ø8÷cì�ø8ô�ê�÷�ö;õ ò�ê��¤ñ�ë�öDî ñ� �ò�í ôÉì�ø8õ ê � èsêEð ÷©ê�ë©ê�õ�ìöeî ê»ì�ö;ñ�ô�ô�ê�îDî ñ�ë©ò�í ë©ë©ñ�ø8õlø;û¤ì � ê�ò�ö;ë©ê"!�#%$&�}ó'� ê�÷©êcó�ê�ò�ö;õlðqö;÷�ì�ñ�ö;ô�ôÉï®í ë©ê�÷©ê�ë©í ôÉì�ëpû�÷©ø8úò�ø8õ��8êÈù(�8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ïXö;õ îlî ñ�ë©ò�÷©ê»ì�ê)�8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ï �+* � ê�ò�ö;ë©ê)!�#%,Eñ�ë�ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷�ö�� ôÉï-�qö;÷©î ê�÷��ö;õ î®ì �í ë/.©í ë�ìÙöcû�ê»ó ÷©ê�ë©í ôÉì�ëàò�ö;õ0�5ê�û�ø8÷©úcí ô�ö/ì�ê�îEë©ø�ûjö;÷ �1"2�3547698�:<;>= ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôÙð5ø8ôÉï&�8ø8õ ú�ê�ë�� ê�ë���ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê[ô�ñ�õ ê�ö;÷®ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ?�¹îqö/ì�ö�ý ýî ê�ð5ê�õ î ê�õ�ìVì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ?�A@¤ø8÷©ø8õ ø8ñwì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õ?��ð5ø�ó�ê�÷¦î ñ�ö��8÷�ö;ú��CBpê�ô�ø8õ ê�ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö�ýì�ñ�ø8õ?�7ò�ø8õ��8êÈù7�8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ï��qî ñ�ë©ò�÷©ê»ì�ê��8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ï��D��ö�ï ô�ê»ï�ýE�ô�ê�ñ�õ0�8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ïF7GIHKJ�L�L�MN=PO�Q�BSR<Q&�O�Q�BSRUT �

V�W�XZY\[]_^'`�acbA[_dE^\Y��ø8ú�ð í7ì�ê�÷e�8÷�ö;ð� ñ�ò�ëÙö;õ î ë©ò�ñ�ê�õ�ì�ñ þ ò�� ñ�ë©íqö;ô�ñ���ö/ì�ñ�ø8õ®ö;ô��8ø8÷©ñÉì � ú�ë�÷©ê�üí ñ�÷©ê¦ì � êVö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ®ø;ûwîqö/ì�ö��ï^ô�ñ�õ ê�ö;÷�ð ñ�ê�ò�ê�ë � ��õ\ì � ê ò�ø8õ�ì�êÈù ìEø;û�ë©í ÷�ûjö;ò�ê ÷©ê�õ î ê�÷©ñ�õ��(ë©í ÷�ûjö;ò�ê�ëeúcí ë�ìf�5ê7� ÷©ø��;ê�õ�î ø�óàõ�ñ�õ�ì�øgEhZh81 4�'/6�6�ikj84È:<lUmUnc+;3 :�- "o +�-�-�-�p2�È�#�������Å���c%&�����#>q

Page 2: On piecewise linear approximation of quadratic functions

,�$ p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ñ�õ î ñ�� ñ�î íqö;ô�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë�� ñ�õ®ì � êÅò�ø8õ�ì�êÈù ìpø;û/�8ø8ô�í ú�êÅ÷©ê�õ î ê�÷©ñ�õ�� ó'� ê�÷©êVø8õ ê¦ñ�ëàò�ø8õ ò�ê�÷©õ ê�î óàñÉì �®ì � ê�� ñ#ýë©íqö;ô�ñ���ö/ì�ñ�ø8õ¦ø;û�ì�÷©ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê2îqö/ì�ö �8ø8õ ê�úcí ë�ì�÷©ê�ð ÷©ê�ë©ê�õ�ì¤ì � ê�î ø8ú*ö;ñ�õcø;û�ñ�õ�ì�ê�÷©ê�ë�ì ��ï�öpë©ê»ì¤ø;ûqì�ê»ì�÷�ö�� ê�î ÷�ö �

* � ê¹ò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì�ñ�ø8õ*ø;û}ë©ø/ý�ò�ö;ô�ô�ê�î�ô�ñ�õ ê�ö;÷�ë©ð ô�ñ�õ ê¹ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë�ø;û?� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êàö;õ î�ì�÷©ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê�îqö/ì�ö�qö;ë �5ê�ê�õ[ö;õ[ö;ò»ì�ñ��8ê�ö;÷©ê�öEø;û2÷©ê�ë©ê�ö;÷©ò �[øU�8ê�÷�ì � ê�ðqö;ë�ì�û�ê»óTî ê�ò�ö;î ê�ë ��� ê»ìÅí ë�ú�ê�õ�ì�ñ�ø8õDì � êcó�ø8÷��Dø8õîqö/ì�öEî ê�ð5ê�õ î ê�õ�ìVì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ëpñ�õ ñÉì�ñ�ö/ì�ê�î-��ï�����������ê»ìcö;ô ��� R�R�� R<$! �#" ø8ú�ê�ò�ø8õ�ì�÷©ñ�� í7ì�ñ�ø8õ ë¦ö;÷©êí ë©ñ�õ�(ì � ê2ò�í ÷ �;ö/ì�í ÷©ê��5ê��qö>� ñ�ø8í ÷�ø;û7ì � ê�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ��8÷�ö;ð��û�ø8÷�î ê�÷©ñ�� ñ�õ�àîqö/ì�ö(î ê�ð5ê�õ î ê�õ�ìÕì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ëö;õ î®îqö/ì�ö�÷©ê�î í ò»ì�ñ�ø8õGñ�õ��8ñ��8ê�õ®ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë � $�Q&�N$�O&�N$%$Z�D,�,! ��* � ê � ñ�ë©íqö;ô�ñ���ö/ì�ñ�ø8õeò�ø8ú�úcí õ ñÉì�ï �qö;ëî ê��8ê�ô�ø8ð5ê�î(�;ö;÷©ñ�ø8í ë�� ñ�ê�÷�ö;÷©ò � ñ�ò�ö;ôwîqö/ì�ö®÷©ê�ð ÷©ê�ë©ê�õ�ì�ö/ì�ñ�ø8õ ë+�qö;ë©ê�îsø8õ[ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë�&�ë©ê�ê��Õê � � � � � R��IO �T � RU, �CRUO&�CRUT&�CR(' �A$�QZ�A$�T&�A$)' �D,)*�N,�O&�N,�T+ -, � * � ê�ë©êVðqö;ð5ê�÷©ë¹î ñ�ë©ò�í ë©ëÙúcí ôÉì�ñ#ý�ô�ê��8ê�ô&ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë(ø;ûû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë�î ê�ð5ê�õ î ñ�õ�¦ø8õ�ø8õ ê���ì�ó�ø� ø8÷wì � ÷©ê�ê �;ö;÷©ñ�ö�� ô�ê�ë ��. õ7û�ø8÷�ì�í õqö/ì�ê�ôÉï���ø8õ ôÉï�ë©ø8ú�ê(ø;û�ì � êàú�ê»ì � ø î ëö;÷©êS�qö;ë©ê�îXø8õlö*ó�ê�ô�ôÕî ê��8ê�ô�ø8ð5ê�îXú*ö/ì � ê�ú*ö/ì�ñ�ò�ö;ô&ì � ê�ø8÷�ï ��* �í ë��}ó�ê"�8øf�qö;ò �Gì�øeì � êcú*ö/ì � ê�ú*ö/ì�ñ�ò�ö;ôû�ø8í õ îqö/ì�ñ�ø8õ ëwø;û�ì � ê(ë©í�Z.©ê�ò»ì�ø;û5ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê(ô�ñ�õ ê�ö;÷wö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ�ö;õ î�ì�÷�ïVì�ø �8ê»ì¤ñ�õ ë©ñ�����ìwó'� ñ�ò ��ë��qö;ô�ô�8í ñ�î ê�ø8í ÷�û�í7ì�í ÷©êÅ÷©ê�ë©ê�ö;÷©ò � ñ�õEì � ñ�ë(î ñ�÷©ê�ò»ì�ñ�ø8õ �

" ø(ûjö;÷��<�8ê�÷�ïÅô�ñÉì©ì�ô�êÕ÷©ê�ë©ê�ö;÷©ò �+�qö;ëC�5ê�ê�õVî ø8õ ê¤ò�ø8õ ò�ê�÷©õ ñ�õ�(ì � ê 6�/1032-465)7�5�/8/N8 6�9%2-465)032k6+: 6<;>=�2-?+5�8�235)0 25):N:@0 8�2-?+5�8�235)0 2�/_6+7 3+:A6+4�235)7 ;BA ��õ®ì � ñ�ë�ðqö;ð5ê�÷�� ó�ê¦ö;÷©ê�ò�ø8õ ò�ê�÷©õ ê�î?��ð ÷©ñ�ú*ö;÷©ñ�ôÉï��8óàñÉì �Eì � ê�ò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì�ñ�ø8õø;ûuø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë¤û�ø8÷ � ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êpö;õ îEì�÷©ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê¹üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òpû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë �DC û,ì�ê�õ?�qø8õ ê�ñ�ë�ûjö;ò�ê�îóàñÉì �Eì � ê¦ð ÷©ø�� ô�ê�úéø;ûÕ÷©ê�õ î ê�÷©ñ�õ�*ë©ò�ö/ì©ì�ê�÷©ê�î îqö/ì�ö�ð5ø8ñ�õ�ì�ë(ñ�õ®ì � êÅð ô�ö;õ êÅø8÷(ñ�õGë©ðqö;ò�êÅóàñÉì � ö;ë©ë©ø ò�ñ�ö/ì�ê�îû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ��;ö;ô�í ê�ë ��E î ñ�÷©ê�ò»ìVö;ð ð ÷©ø�ö;ò �ló�ø8í ô�îlë©ñ�ú�ð ôÉï ò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ìcöeì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ û�ø8÷Åö;ô�ôÕë©ò�ö/ì©ì�ê�÷©ê�îîqö/ì�ö*ð5ø8ñ�õ�ì�ë�ö;õ îXí ë©êVì � ê�ñ�ú�ð ô�ñ�ê�îGô�ñ�õ ê�ö;÷¹ë©ð ô�ñ�õ êV÷©ê�ð ÷©ê�ë©ê�õ�ì�ö/ì�ñ�ø8õXû�ø8÷Ùë©í� ë©ê�üí ê�õ�ìV÷©ê�õ î ê�÷©ñ�õ�Eø;û�ì � êîqö/ì�ö �(* � ñ�ë��¤ø;ûÙò�ø8í ÷©ë©ê��2ò�ö;õ�ô�ê�ö;îOì�øX÷©ê�î í õ îqö;õ ò»ï�ñ�õsì � ê®îqö/ì�öXö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õsñ�õOì � êeû�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�ë©ê�õ ë©ê)F E ë©ë©í ú�ñ�õ�¦ì �qö/ì�ì � ê¹û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ �;ö;ô�í ê�ë��;ö;÷�ï��7ö/ì�ô�ê�ö;ë�ì�ô�ø ò�ö;ô�ôÉï���ñ�õeöVõ ê�ö;÷©ôÉï�ô�ñ�õ ê�ö;÷¤ø8÷�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òûjö;ë�� ñ�ø8õ?�ÙöOì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷©ñ�õ� ö;ô�ôÙë©ò�ö/ì©ì�ê�÷©ê�î îqö/ì�ö ð5ø8ñ�õ�ì�ëeí ë©ê�ëGú�ø8÷©êDîqö/ì�ö ð5ø8ñ�õ�ì�ëeì �qö;õ÷©ê�üí ñ�÷©ê�î\û�ø8÷*÷©ê�ð ÷©ê�ë©ê�õ�ì�ö/ì�ñ�ø8õ � ��û¦ø8õ êGó�ê�÷©êDì�øOò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì>�¹ð ÷©ñ�ø8÷�ì�ø ö;õ�ï � ñ�ë©íqö;ô�ñ���ö/ì�ñ�ø8õ?�(ösë©ê»ìEø;ûüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�ô�ê�ö;ë�ì¦ë©üíqö;÷©ê�ë¦ð5ø8ôÉï õ ø8ú�ñ�ö;ô�ë¹ì �qö/ìVö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ê�öEðqö;÷�ì�ñ�ò�í ô�ö;÷�ë©í� ë©ê»ìVø;û�ì � ê)�8ñ��8ê�õ[îqö/ì�öóàñÉì � ñ�õlë©ø8ú�êcì�ø8ô�ê�÷�ö;õ ò�ê��uø8õ ê�ó�ø8í ô�î[ø8õ ôÉï-�qö>�8ê�ì�øEó�ø8÷©÷�ï[ö��5ø8í7ìÅì � ê�ò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì�ñ�ø8õ[ø;û(ö;õlø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ¦ø;ûqì � ê�ë©êàüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�ð5ø8ôÉï õ ø8ú�ñ�ö;ô�ë�ë©í ò ��ì �qö/ìwì � ê(÷©ê�ë©í ôÉì�ñ�õ�Ùì�ø;ì�ö;ô ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õVê�÷©÷©ø8÷ñ�ë(õ ø;ì¹ö��5øU�8ê¦ë©ø8ú�ê�øU�8ê�÷�ö;ô�ô}ì � ÷©ê�ë�� ø8ô�î �

� ñÉì©ì�ô�ê ó�ø8÷�� �qö;ë0�5ê�ê�õ î ø8õ ê[ò�ø8õ ò�ê�÷©õ ñ�õ��ì � êlø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô¹ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ\ø8÷®ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôÙð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ�ø;û �8÷�ö;ð�^ë©í ÷�ûjö;ò�ê�ë*ø;û�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òGð5ø8ôÉï õ ø8ú�ñ�ö;ô�ë � ��õ^ì � ñ�ë�ò�ø8õ�ì�êÈù ì>��ó�ê ò�ö;ô�ôö*ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ®ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôuñÉûwì � ê�ñ�ú�ð ô�ñ�ê�îGô�ñ�õ ê�ö;÷Ùë©ð ô�ñ�õ ê���ò�ø8õ ë©ñ�ë�ì�ñ�õ�Eø;û¤ñ�õ î ñ�� ñ�î íqö;ôuë©ñ�ú�ð ô�ñ�ò�ñ�ö;ô}ë©ð ô�ñ�õ êë©ê��8ú�ê�õ�ì�ë���ñ�ë/�qö;ë©ê�î�ø8õ�öÙú�ñ�õ ñ�ú*ö;ô�õí úS�5ê�÷wø;û�ë©ñ�ú�ð ô�ñ�ò�ê�ëG&,ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ëÕö;õ îcì�ê»ì�÷�ö�� ê�î ÷�öpñ�õ¦ì � ê � ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êö;õ îOì�÷©ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê�ò�ö;ë©ê�ë��¤÷©ê�ë©ð5ê�ò»ì�ñ��8ê�ôÉïH, �(* � êEüí ê�ë�ì�ñ�ø8õOó�êEë�ì�í î7ï ñ�ë¦ì � ê*û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ� ø8õ ê)F#I�ñ��8ê�õOì � êò�ø ê� �ò�ñ�ê�õ�ì�ë(ø;ûÕöcüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òpð5ø8ôÉï õ ø8ú�ñ�ö;ô5ö;õ îGö;õ®ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ�ì�ø8ô�ê�÷�ö;õ ò�ê��� ø�ó î ø ê�ë(ø8õ êc�qö>�8ê�ì�øì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ê¦ì � ê�î ø8ú*ö;ñ�õDø;û2ì � ê�ð5ø8ôÉï õ ø8ú�ñ�ö;ôuë©í ò �lì �qö/ìÅì � ê�÷©ê�ë©í ôÉì�ñ�õ�®ê�÷©÷©ø8÷�ñ�ë �5ê�ô�ø�óTø8÷�ê�üíqö;ôwì�øì � ê¦ì�ø8ô�ê�÷�ö;õ ò�êcö;õ îDì � êVõí úS�5ê�÷pø;û¤ë©ñ�ú�ð ô�ñ�ò�ê�ëàú�ñ�õ ñ�ú*ö;ô-JLKGø8÷©ê�øU�8ê�÷���ó�ê�î øeõ ø;ì�ö;ôÉó�ö�ï ëp÷©ê�ë�ì�÷©ñ�ò»ìÙì�øì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ëàö;õ îDò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷pð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êVô�ñ�õ ê�ö;÷¹÷©ê�ð ÷©ê�ë©ê�õ�ì�ö/ì�ñ�ø8õ ëpøU�8ê�÷põ ø8õ ý�ë©ñ�ú�ð ô�ñ�ò�ñ�ö;ô}ò�ê�ô�ô�ëÙö;ë¹ó�ê�ô�ô ���õ�ðqö;÷�ì�ñ�ò�í ô�ö;÷��8ó�ê¹ë�ì�í î7ï�ì � ê¹ò�ö;ë©ê�ë2ø;û?� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êàö;õ î�ì�÷©ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê �8÷�ö;ð��ë©í ÷�ûjö;ò�ê�ë��ó'� ñ�ò �eö;÷©ê�� ö/ì2ô�ê�ö;ë�ìñ�õEì � êÅò�ø8õ�ì�êÈù ì¹ø;û/� ñ�ë©íqö;ô�ñ���ö/ì�ñ�ø8õ?��ì � êÅú�ø8ë�ìàñ�ú�ð5ø8÷�ì�ö;õ�ì(ò�ö;ë©ê�ë �M WON ^�]QPSRT6U ^�]QPSVWR�Yc` d YGXYR ]Dd<R�Ycb[Z]\c]_^>\^ZC] [_d<Z�Vèsê¹î ê�õ ø;ì�ê¹ð5ø8ñ�õ�ì�ë2ñ�õ�ÿ�� ��ï�_�#`&-a v�bBcBcBc�b a � ,ed�ö;õ î�ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷2ì � ê¹üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò(û�í õ ò»ì�ñ�ø8õgfhF8ÿ��ji ÿe�

f�&-_�, #k_ dml!nol _#p�� dml _#prq c &ER!,� ê�÷©ê�� n ñ�ë(öcë�ï ú�ú�ê»ì�÷©ñ�ò !hs�!Dú*ö/ì�÷©ñ#ùeö;õ î®�sñ�ë(öcò�ø8õ ë�ì�ö;õ�ì �8ê�ò»ì�ø8÷àñ�õeÿ � �>C í ÷ �8ø�ö;ô�ñ�ë�ì � êpë�ì�í î7ïø;ûÕð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êÅô�ñ�õ ê�ö;÷(ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�ì�ø#f � * �í ë��qó�ê¦õ ê�ê�î®ì�ø�ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷àüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�û�ø8÷©ú�ë

f�&-_�,�#t_ dml!nol _ &k$%,

Page 3: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ ,�,ø8õ ôÉïeë©ñ�õ ò�ê�ì � êÅô�ñ�õ ê�ö;÷�ì�ê�÷©úéò�ö;õ��5ê¦ö;î î ê�î®ì�ø�ì � ê¦ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì(óàñÉì � ø8í7ìàò �qö;õ�8ñ�õ��ì � êÅê�÷©÷©ø8÷ ���ø8õ ò�ê�÷©õ ñ�õ��ì � êÅê�÷©÷©ø8÷(ø;ûwö;õGö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì����Åì�ø6fDøU�8ê�÷¹ö þ õ ñÉì�ê�î ø8ú*ö;ñ�õ����\ÿ��?�7ó�êÅí ë©ê�ì � ê�Vê�÷©÷©ø8÷��

� f ����� � #`&�ñ�õ�ì���� f�&-_�,�������&-_�,�� �� _�,��� c & ,8,��õ ðqö;÷�ì�ñ�ò�í ô�ö;÷��(ó�ê[ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷eì � êlú*ö�ù7ñ�úcí ú õ ø8÷©ú &k�\� ê���ï ë�� ê�� õ ø8÷©ú����%#��t, �àó'� ñ�ò � ñ�ëeì � êú*ö�ù7ñ�úcí ú ö�� ë©ø8ô�í7ì�êc�;ö;ô�í êpø;ûuì � ê�î ñ���ê�÷©ê�õ ò�êÅø;ûuì � êpì�ó�ø�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë(ø8õ�� �DC õGö;õ®ñ�õ þ õ ñÉì�êpî ø8ú*ö;ñ�õ?�ó'� ñ�ò � ñ�ëàÿ��Gñ�õGø8í ÷¹ò�ö;ë©ê���ó�êVî ê þ õ ê¦ì � ê �cê�÷©÷©ø8÷¹ö;ë¹ú*ö�ù7ñ�úcí ú!�cê�÷©÷©ø8÷àø ò�ò�í ÷©÷©ñ�õ��ñ�õ®ì � ê¦ô�ñ�õ ê�ö;÷ð ñ�ê�ò�ê�ëàø;ûuì � ê¦ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì �I�ê�ø8ú�ê»ì�÷©ñ�ò�ö;ô�ôÉï��;ñÉì�ñ�ë�ò�ø8õ��8ê�õ ñ�ê�õ�ì2ì�ø¦ë�ì�í î7ïcì � ê'�8÷�ö;ð� "�ø;û5ì � ê(û�í õ ò»ì�ñ�ø8õjf �/* � ñ�ë¤ñ�ë¤ö�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò��ï ð5ê�÷©ë©í ÷�ûjö;ò�êVñ�õeÿ���#5v9�

"kF%a ��#5v #k_ dml(n l _ c & * ,E ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì$����ì�ø f �qö;ëÅë©ø8ú�ê�ð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê&%'�*ö;ëÅñÉì�ë �8÷�ö;ð� �)( ø;ì�ê��C� ø�ó�ê��8ê�÷��ì �qö/ì�ì � êpö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ�ê�÷©÷©ø8÷2ì�ø*"\ñ�ë :A6+05ú�ê�ö;ë©í ÷©ê�îeñ�õeö¦ò�ö;õ ø8õ ñ�ò�ö;ô,+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ*õ ø8÷©ú ñ�õ�ÿ���#5v � ��ìñ�ë(ú�ê�ö;ë©í ÷©ê�îGø8õGô�ñ�õ ê�ë�ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô5ì�ø�ì � ê a ��#5v ý�ö�ù7ñ�ëàö;õ î ö;ð ð ÷©ø8ð ÷©ñ�ö/ì�ê�ôÉï*ñ�õ�ì�ê��8÷�ö/ì�ê�î®î ê�ð5ê�õ î ñ�õ��ø8õEì � êë©ð5ê�ò�ñ þ òÅõ ø8÷©ú ó�êVö;÷©ê�í ë©ñ�õ� �

C û(û�í õ îqö;ú�ê�õ�ì�ö;ô2ñ�ú�ð5ø8÷�ì�ö;õ ò�ê�û�ø8÷Åì � ê*û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�®ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷�ö/ì�ñ�ø8õ ëcö;÷©ê�ì � ø8ë©êEö9 �õ êeú*ö;ð ë.-/ ñ�õÿ���#5v�ó'� ñ�ò �Dú*ö;ð0"Ûö;ëÙö�ó'� ø8ô�ê¦ø8õ�ì�ø*ñÉì�ë©ê�ôÉû�ö;õ îGó'� ñ�ò �Dî ø*õ ø;ìÙò �qö;õ�8ê¦ì � êVê�÷©÷©ø8÷ � ��õ�� ñ�ê»óLø;ûÕì � êí ë©ê�îGê�÷©÷©ø8÷(õ ø8÷©ú�ë��1-/ ú*ö;ð ëàö�ô�ñ�õ êÙðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ì�ø�ì � ê a ��#5v ý�ö�ù7ñ�ë�ì�ø�ö;õga ��#5v ý�ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ö;õ î®ñÉì(ð ÷©ê�ë©ê�÷ �8ê�ëì � ê�î ñ���ê�÷©ê�õ ò�ê�ëVø;û�ì � ê@a ��#5v ý�ò�ø ø8÷©î ñ�õqö/ì�ê�ëÅø8õ[ë©í ò � ô�ñ�õ ê�ë � 2 ê�ò�ö;í ë©êeø;û�ì � ê�ô�ö;ë�ìÅì�ó�øD÷©ê�üí ñ�÷©ê�ú�ê�õ�ì�ë-/ F1&-_ b a ��#5v ,43i &-_65 b a75��#5v ,�ñ�ë(ø;ûuì � ê�û�ø8÷©ú

_ 5 # 8 l _#p�� ba 5��#5v # a ��#5v p æ d1l _#p � c &kQ%,

� ê�õ ò�ê���ñÉìàñ�ëàö;õ®êÈù ì�ê�õ ë©ñ�ø8õ ø;ûwö;õGö9 �õ êÅú*ö;ð®ñ�õEÿ��?�/ F@_93i:8 l _#p�� b & O8,

óàñÉì � ë©ø8ú�êE÷©ê��8í ô�ö;÷S!Ws�!�ý�ú*ö/ì�÷©ñ#ù;8 � " ñ�õ ò�ê<-/ ú*ö;ð ë=" ø8õ�ì�ølñÉì�ë©ê�ôÉûE��a ��#5v # _ d l n`l _ ñ�ú�ð ô�ñ�ê�ëa75��#5v #k_65 d l!nol _65�û�ø8÷àö;ô�ô1_ � ��õ ë©ê�÷�ì�ñ�õ��ì � êÅ÷©ê�ð ÷©ê�ë©ê�õ�ì�ö/ì�ñ�ø8õ®û�ø8÷ -/ �7ó�ê��8ê»ìàì � êÅñ�î ê�õ�ì�ñÉì�ï

_ dml!nol _#p æ dml _#p � #`&>8 l _#p���, dml!nol &>8 l _gp���, c��ì¹ñ�ë(ê�üí ñ��;ö;ô�ê�õ�ì(ì�ø

8 dml!nol 8 # n b & $%,ö;õ î

æ d # $/� dml!nol 8 b � # � dml!nol � c & T8,èsêVò�ö;ô�ôuö�ú*ö/ì�÷©ñ#ù®ë�ö/ì�ñ�ë�û,ï ñ�õ��ê�üíqö/ì�ñ�ø8õ & $%,)?@� 698�0BA_6DCZ6+:15)7 �e� ê�õ ò�ê��}ö;õ�ï ø;ûwì � êÅì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë-/ ó�êVö;÷©êÅô�ø ø��ñ�õ�cû�ø8÷àò�ö;õ��5ê¦ø��7ì�ö;ñ�õ ê�î®ñ�õ®ì � ê�û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�có�ö�ï1F �\� ø ø8ë©êVö;õ ö9 �õ ê¦ú*ö;ð / ñ�õEÿ��®ì�øö n ý�ø8÷�ì � ø��8ø8õqö;ô&ú*ö/ì�÷©ñ#ùE8 ö;õ îDö;õDö;÷�� ñÉì�÷�ö;÷�ïEì�÷�ö;õ ë©ô�ö/ì�ñ�ø8õqö;ô}ðqö;÷�ìÙ� �'* � ñ�ëÙî ê þ õ ê�ëF-/ í õ ñ�üí ê�ôÉï0� ñ�ö&kQ%,�ö;õ îL& T8, �G _&rqi;HÕh�gJI}çLKqç � ê»ìS!P# $Gö;õ î f�&-_�,+# a � v p a �� �wñ � ê � � n ñ�ëÅì � ê*ñ�î ê�õ�ì�ñÉì�ï[ú*ö/ì�÷©ñ#ù ��( ø�ó���& $%,�ñ�ëì � êÅò�ø8õ î ñÉì�ñ�ø8õ*û�ø8÷àö;õ®ø8÷�ì � ø��8ø8õqö;ô}ú*ö/ì�÷©ñ#ùM8 ��� ê�õ ò�ê�� / ñ�ëàö)+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®ú�ø;ì�ñ�ø8õeñ�õeì � êÅð ô�ö;õ ê � * � ê�8÷�ö;ð��ë©í ÷�ûjö;ò�ê�" ø;û f^ñ�ë�öXðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�îsø;û¹÷©ê��8ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ ��E õ�ïN+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ�ú�ø;ì�ñ�ø8õ / ñ�õOì � êEð ô�ö;õ êò�ö;õ��5êcêÈù ì�ê�õ î ê�îlì�øEö;õlö9 �õ êVì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õO-/ ñ�õ ÿ2�Z�5ó'� ñ�ò �lú*ö;ð ë¹ì � êcðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�îGø8õ�ì�øEñÉì�ë©ê�ôÉûö;õ îEð ÷©ê�ë©ê�÷ �8ê�ë¹î ñ�ë�ì�ö;õ ò�ê�ë(ø;ûuð5ø8ñ�õ�ì�ë�ñ�õeÿ2��ì�ø="�ú�ê�ö;ë©í ÷©ê�îEñ�õeì � ê a � ý�î ñ�÷©ê�ò»ì�ñ�ø8õ � E ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êpô�ñ�õ ê�ö;÷

Page 4: On piecewise linear approximation of quadratic functions

,)* p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$

�Õñ��8í ÷©ê"R%FDI�÷�ö;ð� ëàø;ûuì�ó�ø*ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�óàñÉì �®ì � êÅë�ö;ú�ê�ê�÷©÷©ø8÷

ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì1���e�qö;ë2ë©ø8ú�ê �8÷�ö;ð��ð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õ=%'� �Y. õ î ê�÷¤ì � êàú*ö;ðN-/ ��ì � ñ�ë¤ð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õ�ñ�ë¤ú*ö;ð ð5ê�îì�øeö;õ ø;ì � ê�÷¹ð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õF%15� ��2 ïGò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì�ñ�ø8õ ø;û&-/ �qì � ê¦ì�ó�øeð5ø8ôÉï&� ê�î ÷�ö �5ê�ô�ø8õ��ì�ø 0��\6O/12k2�� 2��Y2�;U27�2-:A2 5�8�5�/8/N8 6�9%2-465): 0 ;+6<;Y;�� A�2�� A-2 9 A�23=�2-00BA_2 ;B5)4 2��72�8 8 698 &�ò»û � �Õñ��8í ÷©ê"R!,G _&rqi;HÕh�g<I}ç I}ç * � êEð ÷©ê�� ñ�ø8í ë�êÈù ö;ú�ð ô�êeñ�ëcê�ö;ë©ñ�ôÉï[êÈù ì�ê�õ î ê�î ì�ølö;÷�� ñÉì�÷�ö;÷�ï[î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õ�!�ö;õ î ö;õö;÷�� ñÉì�÷�ö;÷�ïEî ê þ õ ñÉì�êVú*ö/ì�÷©ñ#ù n � " ñ�õ ò�ê�f[ö;õ î;� fsö;÷©ê¦ê�üí ñ��;ö;ô�ê�õ�ì¹û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë¹û�ø8÷¹ø8í ÷Ùö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õð ÷©ø�� ô�ê�ú���ó�êlú*ö�ï\ö;ë©ë©í ú�ê ì �qö/ì n ñ�ë*ð5ø8ë©ñÉì�ñ��8êDî ê þ õ ñÉì�ê � +�üíqö/ì�ñ�ø8õ & $%,�ì�ê�ô�ô�ë*í ë*ì �qö/ì n ñ�ëEö;õø8÷�ì � ø��8ø8õqö;ô�ú*ö/ì�÷©ñ#ùEñ�õ®ö=+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®ú�ê»ì�÷©ñ�òpñ�õEÿ��?� ó'� ñ�ò �Gñ�ë �qö;ë©ê�îGø8õ®ì � êÅñ�õ õ ê�÷(ð ÷©ø î í ò»ì

� _ b |>F #k_ dml!nol | c* � êÅò�ø8÷©÷©ê�ë©ð5ø8õ î ñ�õ��ë©üíqö;÷©ê�î0+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®î ñ�ë�ì�ö;õ ò�êÅø;ûuì�ó�ø�ð5ø8ñ�õ�ì�ëG_ b |Oñ�ë

��� &-_ b |�, # � _��O| b _��s|�#`&-_��O|�, d1l!nol &-_��O|�, c��ô�ê�ö;÷©ôÉï��ì � ê � ê�÷©÷©ø8÷�ý�ð ÷©ê�ë©ê�÷ � ñ�õ�cú*ö;ð / ñ�ë�ö&+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õeú�ø;ì�ñ�ø8õh&�ò�ø8õ�8÷©í ê�õ ò�êpì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õQ,wñ�õì � ñ�ë !�ý�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õqö;ô6+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ��8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ï ��* ø�í õ î ê�÷©ë�ì�ö;õ îGì � ê¦ë©ñÉì�íqö/ì�ñ�ø8õ?�7ñÉìàñ�ë(ë©í �ò�ñ�ê�õ�ì¹ì�ø*ö;ð ð ôÉïö;õ ö9 �õ êÅú*ö;ðEó'� ñ�ò �Gú*ö;ð ë(ì � êÅí õ ñÉì¹ë©ð� ê�÷©ê#&�ê�ô�ô�ñ�ð ë©ø8ñ�îQ,Y_ d l!n l _�# R¦ø;ûuì � ê��8ê�õ ê�÷�ö;ô&ò�ö;ë©êÅì�ø�ì � êë�ì�ö;õ îqö;÷©î�í õ ñÉì¤ë©ð� ê�÷©ê�_ d l _�# R � * � ê¹ð ÷©ê�� ñ�ø8í ë©ôÉï�î ê�ë©ò�÷©ñ��5ê�î �8ê�õ ê�÷�ö;ô�+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ�ú�ê»ì�÷©ñ�ò(ñ�ë�ú*ö;ð ð5ê�îì�øeì � êcò�ö;õ ø8õ ñ�ò�ö;ô +�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õDú�ê»ì�÷©ñ�òVñ�õDÿ�� � K ö;ð ë / �5ó'� ñ�ò �lð ÷©ê�ë©ê�÷ �8ê�ì � ê)��ê�÷©÷©ø8÷��&ö;ð ð5ê�ö;÷põ ø�óö;ëàë�ì�ö;õ îqö;÷©îF+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®ú�ø;ì�ñ�ø8õ ë�ñ�õEÿ � �

+ �8ê�õ ñÉû n ñ�ëVõ ø;ìcî ê þ õ ñÉì�ê��Õì � ê*ú*ö;ð ð ñ�õ�8ë / ö;÷©ê�ó�ê�ô�ô#ý�ë�ì�í î ñ�ê�îsì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë ��* � ê»ïOú*ö�ï�5ê�� ñ�ê»ó�ê�î[ö;ëÙú�ø;ì�ñ�ø8õ ë &�ø8÷Ùë©ð5ê�ò�ñ�ö;ôuë©ñ�ú�ñ�ô�ö;÷©ñÉì�ñ�ê�ë�ñ�õGì � êcò�ö;ë©êcø;û2ö*ë©ñ�õ�8í ô�ö;÷àú*ö/ì�÷©ñ#ù n ,¹ñ�õ ë©ø/ý�ò�ö;ô�ô�ê�î5��r:A2-H5�3+7�2�3� k1�7�2 2-: CZ2 6+4 2 0 8�2k2 ; � R!$! k�wó'� ñ�ò ��ö;÷©êf�qö;ë©ê�î ø8õOì � êeú*ö/ì�÷©ñ#ù n �-* � ê�ñ�÷cêÈù ì�ê�õ ë©ñ�ø8õ ë -/

Page 5: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ ,�Qì�ø*ÿ��?�5ó'� ñ�ò � ó�ê�í ë©êVì�ø*ì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©úKö;õXö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì>��ö;÷©ê�ö;ô�ë©ø*ò�ê�÷�ì�ö;ñ�õDú�ø;ì�ñ�ø8õ ëàñ�õ ��ö�ï ô�ê»ï�ýE�ô�ê�ñ�õë©ðqö;ò�ê�ë��qó'� ñ�ò �Gö;÷©ê���ñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�ò��cñ�õeì � ê a ��#5v ý�î ñ�÷©ê�ò»ì�ñ�ø8õ � ��õEì � ê�ô�ö/ì©ì�ê�÷ �8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ï��7ì � ê �8÷�ö;ð�®ë©í ÷�ûjö;ò�ê"Lø;û�fOë©ê�÷ �8ê�ëVö;ë¦öEë©ð� ê�÷©ê�ö;õ î[ú*ö;ð ð ñ�õ�8ëF-/ ö;÷©ê�ú�ø;ì�ñ�ø8õ ëpø;û2ì � ê�ë©ð� ê�÷©ê�ñ�õ�ì�øEñÉì�ë©ê�ôÉû � �;í ë�ì¦ô�ñ��;ê�ö+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ ë©ê�ôÉû�ý�ú�ø;ì�ñ�ø8õ[ø;ûàì � êEë©ð� ê�÷©êEú*ö;ð ë�öDð5ø8ôÉï&� ê�î ÷�ö;ô�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ø;û(ì � êEë©ð� ê�÷©ê®ø8õ�ì�ølö;õê�üíqö;ô�ôÉï��8ø ø î[ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì>�uú*ö;ð ð ñ�õ�8ë0-/ î ø®ì � ê�ë�ö;ú�ê�óàñÉì �lì � ê �8÷�ö;ð�[ð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê�ëÅø;û�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êô�ñ�õ ê�ö;÷cö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë¦ì�ø f � �qø8÷Vû�í ÷�ì � ê�÷cñ�õ��8ê�ë�ì�ñ���ö/ì�ñ�ø8õ ë��wó�ê��qö>�8êEì�øXî ñ�ë�ì�ñ�õ�8í ñ�ë�� �5ê»ì�ó�ê�ê�õ &�ñ-,¦ö÷©ê��8í ô�ö;÷(ú*ö/ì�÷©ñ#ù n ö;õ îL&�ñ�ñ-,�ö�ë©ñ�õ�8í ô�ö;÷�ú*ö/ì�÷©ñ#ù n ��qø8÷�öE÷©ê��8í ô�ö;÷Ùú*ö/ì�÷©ñ#ù n �&ê�üíqö/ì�ñ�ø8õr& $%,Ùñ�ú�ð ô�ñ�ê�ë)��î ê»ì78=�D# R � � ê»ìÅí ë�õ ø�ó ö;ð ð ôÉïXöeú*ö;ð ð ñ�õ�-/ ì�øGöEð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì ����ø;û�fOøU�8ê�÷VöEî ø8ú*ö;ñ�õ9� ñ�õXì � ê�ë©ê�õ ë©ê�êÈù7ð ô�ö;ñ�õ ê�î[ö��5øU�8ê �èsê+�8ê»ì�ö;õXö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì ��5� øU�8ê�÷ / &L�g,�ó'� ø8ë©ê*��ê�÷©÷©ø8÷Ùñ�ëàì � êcë�ö;ú�êcö;ë¹ì � ê&��ê�÷©÷©ø8÷Ùø;û1��� � * � ñ�ëû�ø8ô�ô�ø�óàë¤û�÷©ø8ú ì � êÙûjö;ò»ì�ì �qö/ì=-/ ð ÷©ê�ë©ê�÷ �8ê�ëàî ñ���ê�÷©ê�õ ò�ê�ë�ø;û&û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ �;ö;ô�í ê�ë\�5ê»ì�ó�ê�ê�õEì � ê�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ìö;õ îhf &�ñ � ê � �7ì � êÅñ�õ�ì�ê��8÷�ö;õ î®ñ�õ�& ,8, ,�ö;õ î0� ñ�ö � _65# ��î ê»ì�8=� � _-# � _ ��qø8÷(öcë©ñ�õ�8í ô�ö;÷2ú*ö/ì�÷©ñ#ù n � ê�üíqö/ì�ñ�ø8õ & $%,2î ø ê�ë(õ ø;ì(ñ�ú�ð ôÉï.��î ê»ì78=��# R�� ö;õ î®ø���� ñ�ø8í ë©ôÉï�ó�ê �qö>�8êì�øeñ�ú�ð5ø8ë©ê�ì � ñ�ëpö;ëpö;õXö;î î ñÉì�ñ�ø8õqö;ô&ò�ø8õ î ñÉì�ñ�ø8õ®û�ø8÷ �8ê»ì©ì�ñ�õ��ì � êVñ�õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�ê¦ð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ï ø;ûwì � ê&��ý�ê�÷©÷©ø8÷&�êÈù7ò�ê�ð7ì2û�ø8÷,��# � �8ó'� ê�÷©ê¹õ øÅñ�õ�ì�ê��8÷�ö/ì�ñ�ø8õcñ�ë�õ ê�ò�ê�ë©ë�ö;÷�ïH, � èsê'�qö>�8êàð ÷©øU�8ê�îeö;õ�êÈù ì�ê�õ ë©ñ�ø8õ�ø;û5÷©ê�ë©í ôÉì�ëñ�õ � ,�$( uö;õ î � R��! k�që©í ú�ú*ö;÷©ñ���ê�î®ñ�õeì � ê�û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�Vì � ê�ø8÷©ê�ú�F� ��go���g i� ë©ô * øEö;õ�ï üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òÅû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ f # _ d l)n l _�ñ�õGÿ�� ì � ê�÷©êcêÈù7ñ�ë�ì�ë�ö �8÷©ø8í ðDø;û¤ö9 �õ êì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë / ñ�õsÿ��?�¤ò �qö;÷�ö;ò»ì�ê�÷©ñ���ê�î ��ïOê�üíqö/ì�ñ�ø8õ ë�& O8,Vö;õ î & $%, ��ó'� ñ�ò � ú*ö�ï �5ê � ñ�ê»ó�ê�î^ö;ëò�ø8õ�8÷©í ê�õ ò�êcì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë¹ñ�õXö;õXö9 �õ ê ��ö�ï ô�ê»ï�ýE�ô�ê�ñ�õ ë©ðqö;ò�ê�ö;õ îDó'� ñ�ò �Xð5ø8ë©ë©ê�ë©ëpì � êcû�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�ð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ï1F E õ�ï / ú*ö�ï-�5ê�êÈù ì�ê�õ î ê�î � ñ�ö &kQ%,Ùö;õ îW& T8,àì�øGö;õ[ö9 �õ ê�ú*ö;ð -/ ñ�õDÿ���#5v+� -/ ú*ö;ð ëÙì � ê�8÷�ö;ð�Oð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê�ø;û¹öGð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êeô�ñ�õ ê�ö;÷Vö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì&���eø;û f�øU�8ê�÷�öGî ø8ú*ö;ñ�õ � � ÿ �Oø8õ�ì�ø ì � ê�8÷�ö;ð�Xð5ø8ôÉïì�ø8ð5êVø;û�öeð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷Ùö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì � 5� ø;ûGfI�}ë©í ò �Xì �qö/ìpì � ê)� ê�÷©÷©ø8÷c�5ê»ì�ó�ê�ê�õLfö;õ îF��5� øU�8ê�÷ / &L�g,�ñ�ë�ì � ê¦ë�ö;ú�êÅö;ë(ì � ê ��lê�÷©÷©ø8÷'�5ê»ì�ó�ê�ê�õ flö;õ îF���¦øU�8ê�÷ � � ��õGò�ö;ë©êÅø;û�ö�ë©ñ�õ�8í ô�ö;÷ú*ö/ì�÷©ñ#ù n ö;õ î � �# � � ö;õ�ö;î î ñÉì�ñ�ø8õqö;ô7ò�ø8õ î ñÉì�ñ�ø8õcû�ø8÷�ì � êàñ�õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�ê(ø;û5ì � ê��Ùê�÷©÷©ø8÷�ñ�ë ��î ê»ì78=��# R �

E ëÕø8í7ì�ô�ñ�õ ê�îVñ�õ +Õù ö;ú�ð ô�ê $ � $&�;ñÉìuñ�ëuë©í �ò�ñ�ê�õ�ìwì�øe� ñ�ê»óo5��r:A2G:A698�465)7�;>698�4+;e6<;Yf � E õcö9 �õ ê�ú*ö;ð_93i _65 ��ó'� ê�÷©ê�_�#�� l _65�� ú*ö;ð ë2öÅô�ê��8ê�ô�ë©ê»ìD_ d l n l _7#oq�ø8õ�ì�ø¦ì � êàô�ê��8ê�ô�ë©ê»ì>_65 d l ��d l n l � l _65 #oq �" ñ�õ ò�ê n ñ�ëÙë�ï ú�ú�ê»ì�÷©ñ�ò��}ö;ô�ôuê�ñ��8ê�õ��;ö;ô�í ê�ëpö;÷©êc÷©ê�ö;ôk�}ö;õ îDì � ê�÷©ê»û�ø8÷©ê�ö;õXø8÷�ì � ø��8ø8õqö;ôuú*ö/ì�÷©ñ#ù��éêÈù7ñ�ë�ì�ë��ë©í ò � ì �qö/ì�ì � ê®ú*ö/ì�÷©ñ#ù n 5'#���d l�n l � ñ�ë�öXî ñ�ö��8ø8õqö;ô�ú*ö/ì�÷©ñ#ùm�2ñÉì�ë�ê�õ�ì�÷©ñ�ê�ë�ö;÷©êeì � ê®ê�ñ��8ê�õ��;ö;ô�í ê�ëø;û n �OE ð ð5ê�õ î ñ�õ�Gö;õlö9 �õ ê�ú*ö;ðDò�ø8ú�ð5ø8ë©ê�îXø;û2ë©ò�ö;ô�ñ�õ�*ì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë¹ñ�õDì � ê�î ñ�÷©ê�ò»ì�ñ�ø8õDø;û�ì � êê�ñ��8ê�õ��8ê�ò»ì�ø8÷©ë��/ó�ê�ø��7ì�ö;ñ�õpì � êwó�ê�ô�ô#ý �õ ø�óàõ�ûjö;ò»ì&ì �qö/ì&ø8õ ôÉïÙì � ê�ë©ñ��8õ ë&ø;ûì � ê�ê�ñ��8ê�õ��;ö;ô�í ê�ë�ö;÷©ê�ñ�ú�ð5ø8÷�ì�ö;õ�ìö;õ îcì �qö/ì��Ûò�ö;õ"�5ê�ò � ø8ë©ê�õ�ë©í ò ��ì �qö/ìwì � ê(î ñ�ö��8ø8õqö;ôê�ô�ê�ú�ê�õ�ì�ë�ñ�õ n 5ö;÷©êcR b ��R(ø8÷�� �/* ÷©ê�ö/ì�ñ�õ�Ofeö;õ î� fDê�üí ñ��;ö;ô�ê�õ�ì�ôÉï�� ì � ê�÷©ê¦ö;÷©êpì � ÷©ê�ê�õ ø8÷©ú*ö;ô5û�ø8÷©ú�ë�û�ø8÷ !7# $g&,óàñÉì �®î ñ�ö��8ø8õqö;ô�ë &ER b R!, b &ER b ��R!, b &ER b �8, ,ö;õ î þ �8êGò�ö;ë©ê�ë�û�ø8÷)! # , &,óàñÉì � î ñ�ö��8ø8õqö;ô�ë�&ER b R b R!, b &ER b R b ��R!, b &ER b R b �8, b &ER b ��R b �8, b &ER b � b �8, , � ��õë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ëG*�ö;õ î0Q&�ó�êpð ÷©ê�ë©ê�õ�ì¹öVî ê»ì�ö;ñ�ô�ê�î*î ñ�ë©ò�í ë©ë©ñ�ø8õEø;û}ì � ê�ë©êpì�ï ð5ê�ë�ñ�õ*ì�ó�ø�ö;õ î*ì � ÷©ê�êpî ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õ ë ��'W�� R��cd P5a P ZC]_]_^�] V ^\Y�����`�d PSZIY VdE^\Y RT6U�R b[Z�V��õ[ì � ñ�ëÅë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ?�uó�ê�ë�ì�í î7ïlì � êM��� ê�÷©÷©ø8÷¦ö;õ îOö/ì þ ÷©ë�ìcò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷¦ø8õ ôÉïDì � ø8ë©ê�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷Åö;ð ýð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë$���*ó'� ê�÷©êeñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õlø ò�ò�í ÷©ë�ö/ì¦ì � ê �8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ëcø;û(ì � ê �8÷�ö;ð�sð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê � ��õOø;ì � ê�÷ó�ø8÷©î ë��qì � ê �8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë¹ø;ûuì � ê��8÷�ö;ð�®ð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê %'�Åô�ñ�êpø8õ®ì � ê��8÷�ö;ð�0��ï ð5ê�÷©ë©í ÷�ûjö;ò�ê*" ø;ûYf �

E ì þ ÷©ë�ìGó�ê[î ê»ì�ê�÷©ú�ñ�õ êDì � ê[ú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷®ö;ô�ø8õ� ö;õ%2 :�CZ2*{���{��Dñ�õ�ÿ�� � è ñÉì �of�&,{�� ,(#��� &,{��3, b f�&,{�� ,0# ����&,{�� ,�ö;õ î�ö;õ\ê�ô�ê�ú�ê�õ�ì�ö;÷�ï ð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ï^ø;û¦ösí õ ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê®üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òGû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ?��ì � êú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷! àø ò�ò�í ÷©ë¹ö/ì(ì � êÅú�ñ�î ð5ø8ñ�õ�ìO&,{��Hp {���,#"�$ � ��ì�ë'�;ö;ô�í ê�ñ�ë

\#%$$$$f�&,{�� ,[pWf�&,{�� ,

$ �rf'& {��Hp {��$ ( $$$$ #

R* $$ &,{����O{���, d1l!n l &,{�� �s{���, $$ c &3'8,

Page 6: On piecewise linear approximation of quadratic functions

,�O p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$* � êÙë©üíqö;÷©ê�îEî ñ�ë�ì�ö;õ ò�ê¹ø;û}ì � ê¹ì�ó�ø+�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë2{�� b {��(ñ�õ�ì � ê ��ö;ô�ê»ï�ýE�ô�ê�ñ�õ�ú�ê»ì�÷©ñ�òàñ�õ î í ò�ê�îf��ï n &�ø8÷Gf ,ñ�ë(î ê þ õ ê�î7��ï

��� &,{�� b {�� ,�#`&,{����O{�� , dml!nol &,{����O{���, c &ER��8,�qø8÷ÅöEî ê þ õ ñÉì�ê�ú*ö/ì�÷©ñ#ù n ��ó�ê�ò�ö;õ[÷©ê�ë�ì�÷©ñ�ò»ìÅì � ê�î ñ�ë©ò�í ë©ë©ñ�ø8õlì�øGö®ð5ø8ë©ñÉì�ñ��8ê�î ê þ õ ñÉì�ê�ú*ö/ì�÷©ñ#ù n �uö;õ îì � ê�õ � ñ�ëc÷©ê�ö;ô � ��õ ì � êeñ�õ î ê þ õ ñÉì�êeò�ö;ë©ê���ó�ê��qö>�8ê®öDüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òeò�ø8õ êeø;û¹ñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�ò)�8ê�ò»ì�ø8÷©ë�z(óàñÉì �� &jz b z , # � � ��ìÙë©ê�ðqö;÷�ö/ì�ê�ë¹ì � ê¦î ñ�÷©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ëàø8õGó'� ñ�ò �Gì � ê¦î ñ�ë�ì�ö;õ ò�êVú�ê�ö;ë©í ÷©ê�ú�ê�õ�ì¹ï ñ�ê�ô�î ëà÷©ê�ö;ô�÷©ê�ë©í ôÉì�ëû�÷©ø8ú ì � ø8ë©êàó'� ê�÷©êÙó�ê �qö>�8êÙñ�ú*ö��8ñ�õqö;÷�ïcî ñ�ë�ì�ö;õ ò�ê�ë �DC û&ò�ø8í ÷©ë©ê�� ì � ê¹ë©üíqö;÷©ê�îEî ñ�ë�ì�ö;õ ò�ê¹ñ�ë�ö;ôÉó�ö�ï ë2÷©ê�ö;ôö;õ î®ñÉì�ëàö�� ë©ø8ô�í7ì�ê �;ö;ô�í ê�î ê»ì�ê�÷©ú�ñ�õ ê�ë�ì � êÅê�÷©÷©ø8÷ � èsêÅò�ö;õ®ë©í ú�ú*ö;÷©ñ���êÙì � ñ�ë ��ïeì � êpû�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�cô�ê�ú�ú*ö F�¤g iOisr;I ë©ô C õ ö�ë�ì�÷�ö;ñ�����ì(ô�ñ�õ êpë©ê��8ú�ê�õ�ìà{���{��<�7ì � êÅú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷ �5ê»ì�ó�ê�ê�õDö�ô�ñ�õ ê�ö;÷�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ����ö;õ îeö¦üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òàû�í õ ò»ì�ñ�ø8õgfEóàñÉì �gf�&,{�� , �0��� &,{�� ,�# f�&,{�� , �0��� &,{���, #��¦ø ò�ò�í ÷©ë�ö/ì2ì � êÙú�ñ�î ð5ø8ñ�õ�ìö;õ îEñÉì�ê�üíqö;ô�ë�ø8õ êÙû�ø8í ÷�ì �Eø;û&ì � ê�ö�� ë©ø8ô�í7ì�êe�;ö;ô�í êpø;û&ì � êpë©üíqö;÷©ê�î®î ñ�ë�ì�ö;õ ò�êpø;û&ì � êÙì�ó�ø�ð5ø8ñ�õ�ì�ë2{�� b {��ñ�õEì � ê+��ö�ï ô�ê»ï�ýE�ô�ê�ñ�õEú�ê»ì�÷©ñ�ò�ñ�õ î í ò�ê�î���ï�f �

( êÈù ì>��ó�ê�ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷¦ö®î ê þ õ ñÉì�ê�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ�f � ��ì¦ñ�õ î í ò�ê�ëVöE+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ[ú�ê»ì�÷©ñ�òcñ�õXÿ�� &L+Õù ö;ú�ð ô�ê$ � $%, �� ê»ì ����&-_�, # æ d1l _gp ��5ê¦ö�ô�ñ�õ ê�ö;÷�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ � * � ê��8÷�ö;î ñ�ê�õ�ìàø;ûuì � êÅî ñ���ê�÷©ê�õ ò�êÅû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ��c#O����� fXñ�ë

��� # $ nol _���æ c��ì �;ö;õ ñ�ë�� ê�ëÙö/ì(ì � êÅð5ø8ñ�õ�ì

i # R$ n��qv l æ c &ER�R!,

* � ê�î ê þ õ ñÉì�ê�ú*ö/ì�÷©ñ#ù�$ n ñ�ë�ì � ê � ê�ë©ë©ñ�ö;õ®ø;û����qö;õ îEì � ê�÷©ê»û�ø8÷©êÅö�ô�ø ò�ö;ô5êÈù ì�÷©ê�úcí úéø;û��Åø ò�ò�í ÷©ëàö/ìài �� ê»ì¹í ëàò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷(ì � ê��8÷�ö;ð� ë¹ñ�õEÿ ��#5v ��* � ê��8÷�ö;ð����ï ð5ê�÷©ð ô�ö;õ ê$%'�Åø;û ���¦ñ�ëGa ��#5v # æ)d l _gp � ��* � ê�8÷�ö;ð�Gðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�î�" ø;ûfI�qó'� ñ�ò � ñ�ë�a ��#5v #o_ d l!n l _ �D�qö;ëÙö�ì�ö;õ�8ê�õ�ì ��ï ð5ê�÷©ð ô�ö;õ êVö/ì�&ji b f�&ji , , �ó'� ñ�ò �eñ�ë2ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô7ì�ø %'� � * � êÙõ ø;ì�õ ê�ò�ê�ë©ë�ö;÷©ñ�ôÉï�÷©ê�ö;ô�ñ�õ�ì�ê�÷©ë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ %'�="^ñ�ë�öVüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò¹ë©í ÷�ûjö;ò�ê)�7ñÉì�ëð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ñ�ø8õ��� Ùñ�õ�ì�øcÿ��Gñ�ë�ì � êÅë©ê»ì¹ø;ûÕð5ø8ñ�õ�ì�ë�óàñÉì �Gê�÷©÷©ø8÷��c#�� �

�� F@_ d l!nol _�# æ d l _#p � c &ER<$%,* � êÅú�ñ�î ð5ø8ñ�õ�ì�û�ø8÷©ú ñ�ë

&-_���i , d1l!nol &-_���i , # � p i dml(n l i c &ERU,8,E ë©ë©í ú�ñ�õ��ì �qö/ì��� Ùñ�ë(÷©ê�ö;ôk�7ì � êÅ÷©ñ�����ì �qö;õ îGë©ñ�î êÅñ�ë(ð5ø8ë©ñÉì�ñ��8ê��

� p i d l!nol i #�� � c* � êÙë©ê»ì�ø;û&ð5ø8ñ�õ�ì�ë¤óàñÉì �*ê�÷©÷©ø8÷�� #��¦ñ�ë�ö";e/7A_2�8 2��� �Y2-0BAf8 5�:)2���;��h5):N: � 2 : 0 2�8�i ñ�õ*ø8í ÷ +�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õú�ê»ì�÷©ñ�ò � * � ê¦ê�÷©÷©ø8÷��Vö/ì¹ö;õ ö;÷�� ñÉì�÷�ö;÷�ï*ð5ø8ñ�õ�ì�_sò�ö;õ0�5ê�óà÷©ñÉì©ì�ê�õ ö;ë

� &-_�,�# � &-_���i , d l!nol &-_���i ,���� � ��# � � � &-_ b i , ��� � � c &ERB* ,& ( ø;ì�ê)F * � ñ�ëpû�ø8÷©úcí ô�öeö;ô�ë©ø�� ø8ô�î ëpñÉû������ � � , �qø8÷���# � ��� ��qö;ë�ø8õ ôÉï ø8õ ê�÷©ê�ö;ôÕð5ø8ñ�õ�ìÅiW�&ñ�õDì � êò�ø8ú�ð ô�êÈùÅêÈù ì�ê�õ ë©ñ�ø8õVñÉìuñ�ëuö;õVñ�ú*ö��8ñ�õqö;÷�ïÙò�ø8õ ê¤óàñÉì �Åì � ê2÷©ê�ö;ô��8ê�÷�ì�êÈùci � �Õñ�õqö;ô�ôÉï�������� �àò �qö;÷�ö;ò»ì�ê�÷©ñ���ê�ëö;õGñ�ú*ö��8ñ�õqö;÷�ïeë©ð� ê�÷©ê¦óàñÉì �Gò�ê�õ�ì�ê�÷pi ö;õ î ñ�ú*ö��8ñ�õqö;÷�ï*÷�ö;î ñ�í ë��! � � � � � ��õXö;ô�ô}ò�ö;ë©ê�ë���ê�üíqö/ì�ñ�ø8õL&ERB* ,ë�� ø�óàë¤ì �qö/ì�0BA_2�2�8 8 698�� &-_�,c2#"$�H5)7 ; 0BA_2 58= ;U6+7%��0 2 ?+5)7%�_2 6<;�0BA_2/_6��\2�8 6<;Y_ �Y2-0BA 8 2 ;e/_2�� 0�0 6�0BA_2 ;e/7A_2�8 2�� $& � A_6U;U2G/_6+2-: 0 ; 5�8 2 � AH5�8 5 � 0 2�8�2('<2 :#=�3�'<2�8 6�2�8 8 698 �)àê»ì�í ÷©õ ñ�õ��ì�øÅö�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êàô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ*���¹ø;û[fI�8ó�ê¹ö;÷©ê(ñ�õ�ì�ê�÷©ê�ë�ì�ê�î*ñ�õcì � ê(ì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õø;û�ÿ���ó'� ø8ë©ê !�ý�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õqö;ô ò�ê�ô�ô�ë2ö;÷©êàì � ê¹î ø8ú*ö;ñ�õ ë�ø;û}ì � ê¹ô�ñ�õ ê�ö;÷�ð ñ�ê�ò�ê�ë2ø;û��� � èsê¹ð ñ�ò ��öÅò�ê�ô�ôqóàñÉì ��8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë2{ v�bBcBcBc�b {�� �YE ë©ë©í ú�ñ�õ�¦ñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õ�ö/ì¤ì � ê'�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë�� ì � ê»ï�ô�ñ�êàø8õ�ì � ê¹÷©ê�ö;ô�ë©ð� ê�÷©ê*�� � èsêò�ö;õGõ ø�óÛë�ì�ö/ì�ê�ì � ê�û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�c÷©ê�ë©í ôÉì^&��Õñ��8í ÷©ê�$%,�F

Page 7: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ ,8$

m mm*

�Õñ��8í ÷©ê�$�FDK ö�ù7ñ�úcí úéê�÷©÷©ø8÷©ëàñ�õeì � êÅî ê þ õ ñÉì�êÅò�ö;ë©ê

�¤g iOisr�� ë©ô\��ø8õ ë©ñ�î ê�÷¦ö®ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷Åö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì$���*ø;û�ö®î ê þ õ ñÉì�ê�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òcû�í õ ò»ì�ñ�ø8õLfø8õ^ÿ � ö;õ î\ô�ê»ì�� �5êDö;õP!�ý�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õqö;ô(ò�ê�ô�ô¹ø;û�ì � êDö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�óàñÉì �\ñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�õ� �8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë{ v bBcBcBc b {�� �-* � ê�ë©êf�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë�ô�ñ�ê�ø8õ ö ë©ð� ê�÷©ê��� �&,óàñÉì �Oò�ê�õ�ì�ê�÷�i ö;õ îO÷�ö;î ñ�í ë ��,¦ñ�õ[ì � êeñ�õ î í ò�ê�î+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õOú�ê»ì�÷©ñ�ò � ��õ ò�ö;ë©êeì �qö/ìcñÉì�ëVò�ê�õ�ì�ê�÷�iAñ�ëcò�ø8õ�ì�ö;ñ�õ ê�îOñ�õ��)�wì � êeú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷Vø ò�ò�í ÷©ëì � ê�÷©ê��}ö;õ îGì � êVê�÷©÷©ø8÷'�;ö;ô�í ê¦ñ�ëàì � êVë©üíqö;÷©ê�îX÷�ö;î ñ�í ë�� � ø;û��� � C ì � ê�÷�óàñ�ë©ê���ì � êVê�÷©÷©ø8÷¹ø ò�ò�í ÷©ëpö/ì¹ì � êð5ø8ñ�õ�ì(i���ø8õeì � êc�5ø8í õ îqö;÷�ï*ø;û�� ó'� ñ�ò �Eñ�ë�ò�ô�ø8ë©ê�ë�ì�ì�ø�iW�ì � ê�ê�÷©÷©ø8÷�ñ�ë���� ��# � � �!&ji�� b i ,,� ��� ��ñ�õì � ñ�ë�ò�ö;ë©ê � Bpê�õ ø;ì�ñ�õ�Vì � êpî ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õeø;û�ì � êÙûjö;ò�ê����Ùø8õeó'� ñ�ò �Gi���ñ�ë�ôÉï ñ�õ�+��ï��N�7ó�ê�ò�ö;õ®ñ�õ�ì�ê�÷©ð ÷©ê»ìi��àö;ëàò�ê�õ�ì�ê�÷¹ø;ûwö���ý�ë©ð� ê�÷©êÅóàñÉì �®ë©üíqö;÷©ê�î ÷�ö;î ñ�í ë���� �Z� ó'� ñ�ò �Gò�ø8õ�ì�ö;ñ�õ ë¹ö;ô�ôN�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë¹ø;û���� �

( ø;ì�êpì �qö/ìàñÉìàñ�ë�ë©í �ò�ñ�ê�õ�ì¹ì�ø�ð ÷©øU�8ê�ì � ñ�ë(÷©ê�ë©í ôÉì(û�ø8÷�ì � ê�õ ø8÷©ú*ö;ô�û�ø8÷©ú f0#ta � v p cBcBc pLa �� ö;õ îGöò�ø8õ ë�ì�ö;õ�ì(û�í õ ò»ì�ñ�ø8õE��� � * � ñ�ë�û�ø8ô�ô�ø�óàë2û�÷©ø8ú * � ê�ø8÷©ê�ú $ � ��ì(ñ�ë(ö;ô�ë©øcò�ô�ê�ö;÷�ì �qö/ìàöcë©ñ�ú�ñ�ô�ö;÷¤÷©ê�ë©í ôÉì � ø8ô�î ëû�ø8÷���ý�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õqö;ôÕûjö;ò�ê�ëVø;û�ì � ê�ì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õ �jE ��ö;ñ�õ?�&ì � ê�ú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷Åø ò�ò�í ÷©ëcö/ìÅì � ê�ò�ê�õ�ì�ê�÷i��¹ø;û}ì � êÙò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�î���ý�ë©ð� ê�÷©êpø;û}ì � ê¹ûjö;ò�êÙø8÷�ö/ì�ì � êÙð5ø8ñ�õ�ì2ø8õ*ì � ê �5ø8í õ îqö;÷�ï�ó'� ñ�ò �eñ�ë2ò�ô�ø8ë©ê�ë�ìì�ø�ö;õGø8í7ì�ë©ñ�î ê�ò�ê�õ�ì�ê�÷ � ��õGðqö;÷�ì�ñ�ò�í ô�ö;÷�� û�ø8÷�� # RÅó�êÅø��7ì�ö;ñ�õ � ê�ú�ú*ö)$ �Bpíqö;ô/ì�ø �8ê�÷�ì�êÈùÅñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õ¹ó�ê¤ú*ö�ïp÷©ê�üí ñ�÷©êwì �qö/ì}ì � ê �8÷�ö;ð����ï ð5ê�÷©ð ô�ö;õ ê�ë�ø;ûì � ê !�ý�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õqö;ôò�ê�ô�ô�ëuñ�õVì � ê�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷Õö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õVö;÷©ê2ì�ö;õ�8ê�õ�ì ��ï ð5ê�÷©ð ô�ö;õ ê�ëÕì�øÙì � ê �8÷�ö;ð�cðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�î " �èsêVú*ö�ï®ë�ö�ïGì �qö/ì¹ì � ê+�8÷�ö;ð�Dð5ø8ôÉïì�ø8ð5êÅø;ûwì � êcö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ìÙñ�ë¹ò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�îGì�ø�ì � êVðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�î" � ��õlì � ñ�ë�ò�ö;ë©ê��Õö;ô�ôÕë©ð� ê�÷©ê�ë � � óàñÉì �lê�÷©÷©ø8÷ �E÷©ê�î í ò�ê�ì�ø®ð5ø8ñ�õ�ì�ëÅi � &�øU�8ê�÷ÅÿG, � ��ì¦ñ�ëpó�ê�ô�ô �õ ø�óàõì �qö/ì�ì � êÙì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õ�û�ø8÷©ú�ê�î ��ï�ì � êpò�ê�ô�ô�ë�ñ�õ�ÿ � ñ�ë2ì � ê��D698 6+:A6+2 :)235�C�8 5)4Ûø;û&ì � êpë©ê»ì(ø;û&ð5ø8ñ�õ�ì�ë�i � �KGø8÷©ê �8ê�õ ê�÷�ö;ô�ôÉï�� ó�ê�ú*ö�ïeî ÷©ø8ðeì � êpì�ö;õ�8ê�õ ò»ïEò�ø8õ î ñÉì�ñ�ø8õ � * � ê�õEì � ê !�ý�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õqö;ô5ò�ê�ô�ô�ë�� ��ñ�õÿ��Xî ê»ì�ê�÷©ú�ñ�õ êcö*ë©ê»ìÅø;û¤ë©ð� ê�÷©ê�ë � � óàñÉì ����ê�÷©øEê�÷©÷©ø8÷��}ò�ô�ê�ö;÷©ôÉï��A�8ø ø îDö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ëÙóàñ�ô�ô�õ ø;ì�ò�ö;í ë©êñ�ú*ö��8ñ�õqö;÷�ïGë©ð� ê�÷©ê�ë �@E ô�ôwð5ø8ñ�õ�ì�ë�ñ�õlöEò�ê�ô�ô�� ���qö>�8ê�ë©ú*ö;ô�ô�ê�÷pð5ø�ó�ê�÷�ì�øEì � ê�ë©ð� ê�÷©ê � � ø;û2ì � ê�ñ�÷�ò�ê�ô�ôì �qö;õDì�øEö;õ�ï ø;ì � ê�÷pë©ð� ê�÷©ê�� � & ��ï ê�üíqö/ì�ñ�ø8õr&ERB* , , � ��ì�ñ�ëpö*ò�ê�ô�ôÕø;û�ì � ê�/_6��\2�8":)235�C�8 5)4Tì�ø*ì � êcë©ê»ìø;û¤ë©ð� ê�÷©ê�ë � �2ö;ëpë�ì�í î ñ�ê�î���ï��O�����! #"Q�!$#%�&'&'"( � $! �*) A_2�0 2 ; ;U2 7-7 5)032k6+: 2-:®ÿ��P:Z2 0 2�8�4�2-:A2 :�=�3�5/12k2�� 2��Y2�;U2�7�2-:A2 5�8 5�/8/N8 6�9%2-465): 0�2�; 0BA_2/_6��\2�8 :)235�C�8 5)4 0 6^0BA_2 ;U2 0�6<;�'<2�8 6� �2�8 8 698 ;e/7A_2�8 2 ;c6<; 2-0 ; 7�2-:A2 5�8/12k2�� 2 ;G&��Õñ�� � ,8, �YC û�ò�ø8í ÷©ë©ê���ì � ñ�ëÕî ñ�ö��8÷�ö;ú �qö;ëÕì�ø �5ê�ò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì�ê�î�ñ�õcì � ê�ñ�õ î í ò�ê�î)+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ�ú�ê»ì�÷©ñ�òö;õ î®ó�ê¦ö;÷©êÅò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷©ñ�õ��ò�ø8õ��8êÈù7�8÷�ö;ð�®ð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê�ë��� ê�õ ò�ê¦ò�ø8õ��8êÈùGì�ñ�ô�ê�ë(ø;ûuì � ê�ì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õEø8õ ôÉï ���õ[ì � ê 2-:N:Z2,+: 2-0 2 � 5<;U2���û�ø8÷©úcí ô�ö &ERB* ,pñ�ë¦ë�ì�ñ�ô�ô/�;ö;ô�ñ�î �f� ø�ó�ê��8ê�÷���ë©ñ�õ ò�ê�ì � ê � ê�ë©ë©ñ�ö;õ�$ n ø;û�ì � êê�÷©÷©ø8÷(û�í õ ò»ì�ñ�ø8õGñ�ëàñ�õ î ê þ õ ñÉì�ê���ö�ô�ø ò�ö;ô}êÈù ì�÷©ê�úcí ú õ ê��8ê�÷Ùø ò�ò�í ÷©ëÙö/ìÙi �\� ê�õ ò�ê���0BA_2�465B9%2-4 ��4 2�8 8 6982-:r5):�! :)2-4 2 : ; 2k6+:15)7 � 2 7-7Y4 ��; 0 6 ��� �&8�6+: 2-0 ;#= 6 ��:N:85�8 3 � ��ì¦ø ò�ò�í ÷©ëVø8õsö-��ý�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õqö;ôÕûjö;ò�ê�ø8õó'� ñ�ò �®ì � êÅ÷©ê�ë�ì�÷©ñ�ò»ì�ñ�ø8õ®ø;ûYfDñ�ë(î ê þ õ ñÉì�ê ��� ê�õ ò�ê��qó�ê¦ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷�ì � êÅî ê þ õ ñÉì�êÅò�ö;ë©êVö���ö;ñ�õ ��qø8÷Õö�;U2 4�2 :Z2,+: 2-0 2G465)0 8�2 9 n �/ó�ê �qö>�8ê�ì�øpð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô8ì�øÙì � ê�ê�ñ��8ê�õ ë©ðqö;ò�ê�ø;ûqì � ê�ê�ñ��8ê�õ��;ö;ô�í ê�Xö;õ îOì � ê�õ ê�ñÉì � ê�÷cø��7ì�ö;ñ�õOöDî ê þ õ ñÉì�êeø8÷cñ�õ î ê þ õ ñÉì�ê*ò�ö;ë©ê �(� ê�õ ò�ê��¤û�ø8÷¦ì � êeî ê»ì�ê�÷©ú�ñ�õqö/ì�ñ�ø8õsø;û(ì � êú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷¹ó�ê�ê��8ê�õ�ì�íqö;ô�ôÉï ì�÷©ê�ö/ìÅö*î ê þ õ ñÉì�ê�ò�ö;ë©ê � +Õù ö;ú�ð ô�ê�ëÙóàñ�ô�ôI�5êS�8ñ��8ê�õXñ�õ ì � êcû�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�ë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ë �

Page 8: On piecewise linear approximation of quadratic functions

,�T p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$

�Õñ��8í ÷©êS, F��uø�ó�ê�÷Åî ñ�ö��8÷�ö;ú ñ�õDì � ê�ð ô�ö;õ ê�&�÷©ñ�����ì�,Ùö;ë�ð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ñ�ø8õXø;û�öeò�ø8õ��8êÈù[ð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õlö;õ îXì � êñ�õ�ì�ê�÷©ë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ëàø;ûÕñÉì�ë�ûjö;ò�ê�ë(óàñÉì �Gö�ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�î &�ô�ê»û,ì�,

� W���� Z ` Z���Y d [HZ b[RYV Z R�Yc` ] Z�T<R/[_dE^\Y V [^ b ^\YGX>Z�� R�Yc` `�d<V b ] Z?[HZDZC^>PSZ?[]��

* ø �qö;õ î ô�êGì � êDî ê þ õ ñÉì�êDò�ö;ë©ê��(ó�êXú*ö�ï^ö;ë©ë©í ú�ê ì �qö/ì�f ñ�ëeösð5ø8ë©ñÉì�ñ��8ê î ê þ õ ñÉì�êDüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òGû�ø8÷©ú ���ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë2ì�ø6f ð5ø8ë©ë©ê�ë©ë¹ö;õEñ�õ�ì�ñ�ú*ö/ì�ê¹÷©ê�ô�ö/ì�ñ�ø8õ�ì�ø�ö+�;ö;÷©ñ�ê»ì�ï*ø;ûu÷©ê�ë©í ôÉì�ë�û�÷©ø8úò�ø8õ��8êÈù0�8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ïeö;õ îEî ñ�ë©ò�÷©ê»ì�êc�8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ï�� ë©ø8ú�êÙø;û�ó'� ñ�ò �eó�ê�÷©ê�� ñ�ê»ó � ÷©ñ�ê� ï &,û�ø8÷�öcë©í ÷ �8ê»ïEø8õeì � ê÷©ñ�ò �®ô�ñÉì�ê�÷�ö/ì�í ÷©ê��7ë©ê�ê � $�,+ -, �

� ê»ì�í ë þ ÷©ë�ì�î ñ�ë©ò�í ë©ë�ì � êpò�ö;ë©êpø;û �8ñ��8ê�õf�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë�{ v�bBcBcBc�b {��'� ö/ì�ó'� ñ�ò ��fGë��qö;ô�ôD�5êpñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ê�î �èsê�ë��qö;ô�ô�ò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì¹öcì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ�óàñÉì �f�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë({��}ó'� ø8ë©ê¦ö;ë©ë©ø ò�ñ�ö/ì�ê�îEð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êÅô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ùýñ�ú*ö;õ�ì �5ê�ë�ìÙö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ê�ë fXñ�õEì � ê$�¦ë©ê�õ ë©ê � ��õ��8ê�ë�ì�ñ���ö/ì�ñ�õ��ì � ê��8÷�ö;ð� ëàñ�õEÿ���#5v9�qñÉìàñ�ë(ò�ô�ê�ö;÷�ì �qö/ìì � ê"�5ê�ë�ì¦ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì �qö;ëÅö;ëpñÉì�ëc�8÷�ö;ð�lð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê¦ì � ê�ô�ø�ó�ê�÷�ò�ø8õ��8êÈù(�í ô�ôÕø;û¤ì � êS�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë � E ë�ñ�ëó�ê�ô�ôA�õ ø�óàõ?� ñÉì�ò�ø8÷©÷©ê�ë©ð5ø8õ î ë�ì�øcì � ê��S2 7 5 ��:15�3�0 8�235): C ��7 5)032k6+:�ñ�õ*ì � ê +�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õEú�ê»ì�÷©ñ�ò¹ñ�õ î í ò�ê�î0��ïf � * � ñ�ë(ñ�ë(ö�ò�ô�ö;ë©ë©ñ�ò�ö;ô�÷©ê�ë©í ôÉì>�7ó'� ñ�ò �0�qö;ë¹ö;ô�ë©ø"�5ê�ê�õEì�÷©ê�ö/ì�ê�îG÷©ê�ò�ê�õ�ì�ôÉïf��ï�� "�������� %� %������ � ,�$! �DC ûò�ø8í ÷©ë©ê�� ì � êpò �qö;÷�ö;ò»ì�ê�÷©ñ���ö/ì�ñ�ø8õ*ø;û}ì � êc�5ê�ë�ì(ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êÙô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ñ�õ�ÿ���#5vÙö;ë�ô�ø�ó�ê�÷�ò�ø8õ��8êÈù�í ô�ô}ø;ûuì � êÅô�ñÉû,ì�ê�îEð5ø8ñ�õ�ì�ë(ñ�ë¹ö;ô�ë©øcì�÷©í ê�û�ø8÷àö;õ ö;÷�� ñÉì�÷�ö;÷�ï*ò�ø8õ��8êÈùGû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ f �KGø8÷©ê¹ñ�õ�ì�ê�÷©ê�ë�ì�ñ�õ�¦ñ�ë�ì � ê¹ð ÷©ø�� ô�ê�ú ø;û}ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôqö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�ó'� ø8ë©ê �õ ø;ì�ë &�ñ � ê � ���8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë�ø;û�ì � êð5ø8ôÉï&� ê�î ÷�ö;ôÕî ø8ú*ö;ñ�õ ëÙñ�õDÿ � ø8õDó'� ñ�ò �Xì � ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷Ùð ñ�ê�ò�ê�ë¦ö;÷©êcî ê þ õ ê�îQ,�ö;÷©ê�õ ø;ì�ð ÷©ê�ë©ò�÷©ñ��5ê�î � �Õñ�÷©ë�ì>�ó�ê�ö;ë©ë©í ú�ê¹ì �qö/ì2ì � êÙí õ î ê�÷©ôÉï ñ�õ�cî ø8ú*ö;ñ�õ�ñ�ë¤ÿ�� � èsêÙë�ì�í î7ïeö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�î ê þ õ ê�îEøU�8ê�÷(öÅì�ñ�ô�ñ�õ�Åø;ûÿ��Eó'� ø8ë©êÅì�ñ�ô�ê�ë(ö;÷©êÅð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê�ëàö;õ î®ì�÷�ö;õ ë©ô�ö/ì�ê�ë(ø;ûwê�ö;ò �Gø;ì � ê�÷ �

* ø î ê�ë©ò�÷©ñ��5ê*ë©í ò �Oì�ñ�ô�ñ�õ�8ë��}ó�êeõ ê�ê�î ö®û�ê»ó î ê þ õ ñÉì�ñ�ø8õ ë � I�ñ��8ê�õOö��qö;ë©ñ�ë � #���� v�bBcBcBc�b � �! ø;ûÿ � �7ö;ô�ôqð5ø8ñ�õ�ì�ë2óàñÉì �*ñ�õ�ì�ê��8ê�÷2ò�ø ø8÷©î ñ�õqö/ì�ê�ë2ñ�õ�ì � ê �qö;ë©ñ�ë �aû�ø8÷©ú ö67 5)03032�� 2#" óàñÉì � �qö;ë©ñ�ë � �YE ô�ôqø;ì � ê�÷�qö;ë©ê�ëàø;û�" ö;÷©ê�÷©ê�ô�ö/ì�ê�îEì�ø � ��ï®öcì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õeú*ö/ì�÷©ñ#ù*óàñÉì �®ñ�õ�ì�ê��8ê�÷(ê�õ�ì�÷©ñ�ê�ë¹ö;õ î®î ê»ì�ê�÷©ú�ñ�õqö;õ�ì$ R ��* � ê0:Z2 0 2�8�4�2-:15): 0 � &%"�,àø;û&" ñ�ë¹ì � ê�ö�� ë©ø8ô�í7ì�ê��;ö;ô�í êcø;û�ì � êcî ê»ì�ê�÷©ú�ñ�õqö;õ�ì�ø;û2öf�qö;ë©ñ�ë � �OE õ�ïì�÷�ö;õ ë©ô�ö/ì�ñ�ø8õ[ó'� ñ�ò � ú*ö;ð ë�öDô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê*ð5ø8ñ�õ�ìcì�ølöDô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê*ð5ø8ñ�õ�ì�ú*ö;ð ëVì � êEô�ö/ì©ì�ñ�ò�êeö;ë�ö ó'� ø8ô�êEø8õ�ì�øñÉì�ë©ê�ôÉû ��* � êS@¤ø8÷©ø8õ ø8ñÕò�ê�ô�ô�ë � RB*� $�,+ wñ�õlö;õ�ï-�8ñ��8ê�õ +�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õXú�ê»ì�÷©ñ�òcö;÷©ê�ë©ø/ý�ò�ö;ô�ô�ê�îDðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ø�� ê�î ÷�ö �* � ê»ïXö;÷©ê¦ì�÷�ö;õ ë©ô�ö/ì�ê�ëpø;û¤ê�ö;ò �Xø;ì � ê�÷�ö;õ îDû�ø8÷©úKö�ì�ñ�ô�ñ�õ��ø;û�ÿ � &��Õñ��8í ÷©ê^* , �c* � ê�ñ�÷e�8ø8ô�í ú�êVñ�ë � &%"�, �E ú�ø8õ��ì � ê�ë©ê^7 5)03032�� 2 032-7�2-: C<;wó�êÙö;÷©ê¹ñ�õ�ì�ê�÷©ê�ë�ì�ê�îeñ�õ�ì � ø8ë©ê¹ó'� ñ�ò � �5ê�ë�ì�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ê f �/* � ê�÷©êpö;÷©êÙö/ìô�ê�ö;ë�ì¤ì�ó�øV÷©ê�ö;ë©ø8õ ë¤û�ø8÷¤ò � ø ø8ë©ñ�õ�Åì � ê�ë©êàì�ñ�ô�ñ�õ�8ë�F E ô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê(ñ�ë¤ê�ö;ë�ï�ì�ø¦ë©ê»ì�í ðeö;õ î�ê� �ò�ñ�ê�õ�ì�ö;ô��8ø8÷©ñÉì � ú�ëêÈù7ñ�ë�ì2û�ø8÷2ò�ø8ú�ð í7ì�ñ�õ��@¤ø8÷©ø8õ ø8ñqî ñ�ö��8÷�ö;ú�ë � RB*+ � KGø8÷©ê�øU�8ê�÷��7ñÉì2ñ�ë2ò�ø8õ<.©ê�ò»ì�í ÷©ê�î*ì �qö/ì�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôqë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ ë�5ê�ô�ø8õ�cì�ø�ô�ö/ì©ì�ñ�ò�êÙì�ñ�ô�ñ�õ�8ë�ö;õ�ïó�ö�ï �

Page 9: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ ,%'

�Õñ��8í ÷©ê *HF � ö/ì©ì�ñ�ò�êpì�ñ�ô�ñ�õ�Vñ�õEì � êÅð ô�ö;õ ê

èsê þ ÷©ë�ìpë�ì�í î7ïGì � ê6465B9%2-4 ��4 :A698�4 ö;õ î þ ùGì � êcö;ô�ô�ø�ó�ê�î ê�÷©÷©ø8÷ � KGø8÷©ê�øU�8ê�÷���ó�êcö;ë©ë©í ú�ê¦ì �qö/ìì � ê �8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ëàø;ûuì � ê�ò�ê�ô�ô�ëàö;÷©ê�ñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�õ��f �� ê»ì¹í ëàð ñ�ò �eö�ò�ê�ô�ô � ��ì¹ñ�ë�ò�ê�õ�ì�÷�ö;ô�ôÉïeë�ï ú�ú�ê»ì�÷©ñ�òÙóàñÉì �÷©ê�ë©ð5ê�ò»ìuì�ø(ñÉì�ë&í õ ñ�üí ê¤ñ�õ�ì�ê�÷©ñ�ø8÷}ô�ö/ì©ì�ñ�ò�êwð5ø8ñ�õ�ì>��ó'� ñ�ò �Åó�ê¤ò�ö;ô�ô�i ��2 ê�ò�ö;í ë©ê2ø;û ì � ê �8ê�÷�ì�êÈùVñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ï��qö;ô�ô_�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë(ø;û&ì � êpò�ê�ô�ô�ô�ñ�ê¹ø8õ®öVë©ð� ê�÷©ê6&,óàñÉì �e÷©ê�ë©ð5ê�ò»ì(ì�øVì � ê +�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õeú�ê»ì�÷©ñ�ò¹ñ�õ î í ò�ê�î��ï�f ,ÙóàñÉì �[ò�ê�õ�ì�ê�÷ci �@E ò�ò�ø8÷©î ñ�õ�Gì�ø � ê�ú�ú*ö0, ��ì � ê�ú*ö�ù7ñ�úcí úKê�÷©÷©ø8÷¦ø ò�ò�í ÷©ëVö/ìVi ö;õ î[ê�üíqö;ô�ëì � êÙë©üíqö;÷©ê�îE÷�ö;î ñ�í ë�ø;û}ì � êpë©ð� ê�÷©ê �12 ï�ì � êÙñ�õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�ê¹ð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ïeö;õ î*ì � ê¹ì�÷�ö;õ ë©ô�ö/ì�ñ�ø8õqö;ôqñ�õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�êø;ûÙì � ê®ô�ö/ì©ì�ñ�ò�êeì�ñ�ô�ñ�õ���ñÉì�ñ�ë�ò�ô�ê�ö;÷�ì �qö/ì�ì � êGë�ö;ú�ê®ê�÷©÷©ø8÷�÷©ê�ë©í ôÉì�ë�ñ�õ�ê��8ê�÷�ï ì�ñ�ô�ê � * � ê���ï ð5ê�÷©ð ô�ö;õqö;÷ûjö;ò�ê�ë¤ø;û}ö;î<.�ö;ò�ê�õ�ì¤ì�ñ�ô�ê�ë�ò�ö;÷©÷�ïVì � êàñ�õ�ì�ê�÷©ë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ�ø;û�ò�ø8õ�8÷©í ê�õ�ì2ë©ð� ê�÷©ê�ë�ö;÷©ø8í õ î�ì � ê�ñ�÷�ò�ê�õ�ì�ê�÷©ë ��� ê�õ ò�ê��ì � êcì�ñ�ô�ê�ë�ö;÷©êcì � êS@¤ø8÷©ø8õ ø8ñÕò�ê�ô�ô�ëpø;û2ì � ê�ô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê " óàñÉì �X÷©ê�ë©ð5ê�ò»ìÅì�øEì � ê�ú�ê»ì�÷©ñ�òcñ�õ î í ò�ê�î ��ï f �^E õø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôÕö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õDñ�ë�î ê þ õ ê�îsö;ë�ø8õ ê�ó'� ø8ë©ê�ì�ñ�ô�ê�ëc�qö>�8ê�ú*ö�ù7ñ�ú*ö;ôC�8ø8ô�í ú�ê �+* � ê�ð ÷©ø�� ô�ê�ú ñ�ëì � ê�û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�HF�+:N: 0BA_2j7 5)03032�� 2 � ;�� � A_6U;U2��D698 6+:A6+2 � 2 7-7 ;*AH5)?�2#5 � 2 8 � ��4+;e/7A_2�8 2�6<;j5�C)2-?�2 :�8 5�:)2���;5):N: /_6U; ;U2 ; ;O465B9%2-4 ��4 ?�6+7%��4 2 � èsê�óàñ�ô�ô�î ñ�ë©ò�í ë©ëàì � êÅò�ö;ë©ê�ëe!7# $�ö;õ î�!7# ,�ô�ö/ì�ê�÷ �

� ê»ì�í ëpõ ø�óaî ÷©ø8ð ì � êcñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õGò�ø8õ î ñÉì�ñ�ø8õ ö/ìpì � ê��8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ëÅö;õ îDð ÷©ê�ë©ò�÷©ñ��5êVì � êcú*ö�ù7ñ�úcí úê�÷©÷©ø8÷ � èsê¹ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷2ì � ê¹ô�ñ�õ ê�ö;÷�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ*øU�8ê�÷�ö¦ò�ê�ô�ô � I�ñ��8ê�õ�ì � ñ�ë2ô�ñ�õ ê�ö;÷wû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ?� ñÉì2ñ�ë¤ò�ô�ê�ö;÷¤û�÷©ø8úê�üíqö/ì�ñ�ø8õt&ERB* ,Ùì �qö/ì¦ì � ê�ê�÷©÷©ø8÷¦ñ�ë¦÷©ê�î í ò�ê�îOñÉû�ó�ê*ð5ê�÷�û�ø8÷©ú öEì�÷�ö;õ ë©ô�ö/ì�ñ�ø8õ[ë©í ò �sì �qö/ì¦ì � ê�ò�ê�õ�ì�ê�÷ciø;û¤ì � ê�ò�ê�ô�ôwö��8÷©ê�ê�ë�óàñÉì �Dì � ê�ò�ê�õ�ì�ê�÷�ø;û2ì � êcë©ð� ê�÷©ê �� ÅóàñÉì �Xê�÷©÷©ø8÷ � ��* � ê�ú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷pñ�õ ë©ñ�î ê�� pø ò�ò�í ÷©ë�ö/ìpi ö;õ îDê�üíqö;ô�ë¹ì � êVë©üíqö;÷©ê�îX÷�ö;î ñ�í ë e# ���pø;û��� �e* � êVë�ö;ú�êVê�÷©÷©ø8÷¹ñ�ë¹ø��7ì�ö;ñ�õ ê�îGì � êò�ø8õ ò�ê�õ�ì�÷©ñ�ò�ë©ð� ê�÷©ê�óàñÉì �l÷�ö;î ñ�í ë���� $f#�� $ �S� ê�õ ò�ê���ì � ê�ô�ö;÷��8ê�ë�ìÅò�ê�ô�ôuì �qö/ìÅî ø ê�ëÅõ ø;ì�êÈù7ò�ê�ê�î[ì � ê�8ñ��8ê�õeê�÷©÷©ø8÷ �úcí ë�ì �5êÙò�ø8õ�ì�ö;ñ�õ ê�îEñ�õeöVë©ð� ê�÷©êpø;û�÷�ö;î ñ�í ë � $ � Bpê þ õ ñ�õ�Vì � êÙø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô5ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì� ñ�öÅì � êÙô�ö;÷��8ê�ë�ì��8ø8ô�í ú�ê¹ø;û�öVò�ê�ô�ôk��ó�êpúcí ë�ì�ë©ø8ô��8ê¹ì � ê¹û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�Åð ÷©ø�� ô�ê�ú�F :Z2 0 2�8�4�2-:A2 0BA_2 7 5)03032�� 2 � ;��� A_6U;U2*�D698 6+:A6+2 � 2 7-7 ; AH5)?�2 5)C)2-?�2 : :)235)4 2 0 2�8^5):N:�/_6U; ;U2 ; ;�465B9%2-4 ��4 ?�6+7%��4 2 �GE ëÙö�÷©ê�ë©í ôÉìÙø;ûÕì � êñ�õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�êpð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ñ�ê�ë��qñÉì(ë�� ø8í ô�î��5ê�ë©í �ò�ñ�ê�õ�ì¹ì�ø�ì�ö��;ê�ì � ê @¤ø8÷©ø8õ ø8ñ}î ñ�ö��8÷�ö;ú óàñÉì �®÷©ê�ë©ð5ê�ò»ìàì�ø�ì � êñ�õ î í ò�ê�î\ú�ê»ì�÷©ñ�ò �P* � ê ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ ë�û�ø8÷�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õ ë !5# $[ö;õ î !5# ,lóàñ�ô�ô �5ê î ê�ë©ò�÷©ñ��5ê�î\ñ�õ�ì � êû�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�cë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ë ���õ*ì � ê¹ð ÷©ê�� ñ�ø8í ë�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ�ð ÷©ø�� ô�ê�ú�ë¤ø8õ êÙò�ö;õ�ì�ö��;êpö¦ë©ø8ú�ê»ó'�qö/ì�î ñ���ê�÷©ê�õ�ì�ð5ø8ñ�õ�ì�ø;ûA� ñ�ê»ó��ó'� ñ�ò ��ê��8ê�õ�ì�íqö;ô�ôÉï^ô�ê�ö;î ë*ì�ø ö;õ\ê�üí ñ��;ö;ô�ê�õ�ìE÷©ê�ë©í ôÉìBF C õ êDò�ö;õ þ ù � &%"�, �àñ � ê � ��ì � ê7�8ø8ô�í ú�ê ø;û�ì � ê@¤ø8÷©ø8õ ø8ñ}ò�ê�ô�ôk�qö;õ î®î ê»ì�ê�÷©ú�ñ�õ êpì � ø8ë©ê67 5)03032�� 2 ; � A_6U;U2 �D698 6+:A6+2 � 2 7-7 ; AH5)?�2O4�2-: 2-4 ��4 :)235)4 2 0 2�8 ���ì(ñ�ë�ò�ø8õ<.©ê�ò»ì�í ÷©ê�î®ì �qö/ì�ì � ê�ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ ë2ì�ø)�5ø;ì �Eð ÷©ø�� ô�ê�ú�ë�� ó'� ê»ì � ê�÷�ó�ê¦ö;ë©ë©í ú�êc�8ê�÷�ì�êÈù®ñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø/ý

Page 10: On piecewise linear approximation of quadratic functions

* � p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ô�ö/ì�ñ�ø8õXø8÷Åõ ø;ì>�uö;÷©ê�ì � ê�ë�ö;ú�ê�ì�ñ�ô�ñ�õ�8ë � I�ñ��8ê�õsöEì�ñ�ô�ñ�õ�®ö;õ îsö®ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷Åö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�óàñÉì ��8ê�÷�ì�êÈùlñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õGî ê þ õ ê�î[øU�8ê�÷�ñÉì>�5ì � ê�ú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷pê�üíqö;ô�ëÙì � ê�ë©üíqö;÷©ê�î[÷�ö;î ñ�í ë�� � ø;û¤ì � êò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�î[ë©ð� ê�÷©ê*ø;ûàöEì�ñ�ô�ê �g" í�7ì�÷�ö;ò»ì�ñ�ø8õ &jö;î î ñÉì�ñ�ø8õQ,Ùø;û���� "�$Eû�÷©ø8ú &,ì�ø ,pì � ê*ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�õ�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õXñ�õXò�ö;ë©ê�ø;û�öEð5ø8ë©ñÉì�ñ��8ê�&�õ ê���ö/ì�ñ��8ê(,Ùî ê þ õ ñÉì�ê�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òcû�ø8÷©úKï ñ�ê�ô�î ë�ö;õ[ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�øU�8ê�÷ì � êcë�ö;ú�êVì�ñ�ô�ñ�õ��óàñÉì �Xú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷���� "�$ � ��ì�ø ò�ò�í ÷©ëc�5ø;ì �lö/ìpì � ê+�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë¦ö;õ îDì � êcò�ê�õ�ì�ê�÷©ëÅø;ûì � ê�ì�ñ�ô�ê�ë � KGø8ë�ì¹ô�ñ��;ê�ôÉï��7ì � ñ�ë(ñ�ë�ì � êÅø8ð7ì�ñ�úcí ú ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õeû�ø8÷(õ ø8õ ý�ñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�õ���8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë �

* � êeò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ð� ê�÷©ê�ëcø;û�ì � ê*ì�ñ�ô�ê�ëÅû�ø8÷©ú ö�7 5)03032�� 2 � 6+?�2�8�2-: C 6<;¦ÿ�� �Y2-0BA � 6+: C�8!�_2 : 0 =�5)7-7 ; � ��ìcñ�ëò�ø8õ<.©ê�ò»ì�í ÷©ê�î®ì �qö/ì(ì � ê�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô5ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ ë�ì�ø�ø8í ÷�ð ÷©ø�� ô�ê�ú�ë�&�ê��8ê�õ®û�ø8÷�ì � ê$�¦ê�÷©÷©ø8÷�,�ö;÷©êpì � ê@7 5)03032�� 2� 6+?�2�8�2-: C<; �Y2-0BA�; 465)7-7�2 ; 0 � 6+?�2�8�2-: Cf:Z2 : ; 2-0 3pñ�õEì � êÅî ñ�ë©ò�÷©ê»ì�ê��8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ïEë©ê�õ ë©ê � $�,+ �

E �;ö;÷©ñ�ê»ì�ï®ø;û�÷©ê�ë©í ôÉì�ë¹û�÷©ø8ú ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ®ø;ûwò�ø8õ��8êÈù��5ø î ñ�ê�ë¹ò�ö;õ7�5êVö;ð ð ô�ñ�ê�î?��ú*ö;ñ�õ ôÉïeñ�õ ò�ö;ë©êø;ûwì � ê*��v¹õ ø8÷©úKö;õ î û�ø8÷¹î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õ7!(#5$ � $Z� $ �&�?$&R��?$�$Z�?$�,+ � " ø8ú�êVø;ûwì � ê�ë©êVóàñ�ô�ôC�5êVð ÷©ê�ë©ê�õ�ì�ê�îñ�õeì � êÅõ êÈù ì¹ë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ��� ê�÷©ê�� ó�ê\.©í ë�ì¹ø8í7ì�ô�ñ�õ êÙì � êÅ÷©ê�ô�ö/ì�ñ�ø8õ*ì�ø�ì � êÅë©ø/ý�ò�ö;ô�ô�ê�î 4 6+4 2 : 0 /N8 6%=�7�2 4 & � $�,! k�ð ð � $�Q�Q%,�F¤ô�ê»ì�� F � � b p �t, 3i � � b p �t,\�5ê¦ö�ò�ø8õ�ì�ñ�õí ø8í ë¹õ ø8õ ý�î ê�ò�÷©ê�ö;ë©ñ�õ��û�í õ ò»ì�ñ�ø8õEóàñÉì ��� & �8, #�� �Bpê»ì�ê�÷©ú�ñ�õ êÙì � ø8ë©ê¦ô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê�ë "�óàñÉì � � &%"�, # R�û�ø8÷�ó'� ñ�ò �

�)# ñ�õ�ì���� & � _�� i � , � _ &ER<Q%,ñ�ë¹ú�ñ�õ ñ�ú*ö;ô �� ê�÷©ê���� ñ�ëÙö @¤ø8÷©ø8õ ø8ñ�ò�ê�ô�ôuø;û�ì � êVô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê¦ö;õ îXi ñ�ë¹ñÉì�ë¹ò�ê�õ�ì�ê�÷ � ��û�ó�êS�qö>�8ê�ö*ò�ñ�÷©ò�í ú�ýë©ò�÷©ñ��5ê�î-�8÷�ö;ð� ð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê��� �� óàñÉì �� &�� , # � �B �8ñ��8ê�ëÙêÈù ö;ò»ì�ôÉï®ì � ê&� ê�÷©÷©ø8÷ÙøU�8ê�÷�ö)@¤ø8÷©ø8õ ø8ñ�ò�ê�ô�ô�� �* � ê�÷©ê»û�ø8÷©ê��7ì � ê�ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ*ø;û�ì � êpú�ø8ú�ê�õ�ì�ð ÷©ø�� ô�ê�ú ï ñ�ê�ô�î ë�ô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê¹ì�ñ�ô�ñ�õ�8ë¤øU�8ê�÷�ó'� ñ�ò �Eó�ê�ò�ö;õEî ê þ õ êø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô5ò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�î®ð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê�ëàñ�õEì � ê$�¦õ ø8÷©ú �� W�� deXYR ]Dd<R/[HZ U�a YcbA[_dE^\Y V� çLKqç��Eg��wtuz,m�gGmÈ|H�g�qø8÷¦ì � êEüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò*û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ í õ î ê�÷�ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷�ö/ì�ñ�ø8õ?�wó�êEø8õ ôÉï �qö>�8êeì�øXò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷6f�&-_�,"# a��v pka��� �* � ê�õ?�7ì � ê�ñ�õ î í ò�ê�îEú�ê»ì�÷©ñ�òÙñ�õeÿ � ñ�ë�ì � êpò�ö;õ ø8õ ñ�ò�ö;ô6+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õEú�ê»ì�÷©ñ�ò � I�ê�ø8ú�ê»ì�÷©ñ�ò�ö;ô�ôÉï���ì � ñ�ë�ú�ê�ö;õ ëì �qö/ìàñ�õEì � êÅõ ø8÷©ú*ö;ô�ñ���ê�îEò�ö;ë©ê�ì � ê��8÷�ö;ð�Gø;ûuì � êÅüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ®ñ�ëàö�ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�îeø;ûÕ÷©ê��8ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ" �

� ø�ó�ê��8ê�÷��¤ê��8ê�÷�ïì � ñ�õ�Dó�êeî ø ñ�ë¦ì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú�ê�î[ì�ø ì � êeö;÷�� ñÉì�÷�ö;÷�ïlî ê þ õ ñÉì�ê*ò�ö;ë©ê ��ïsò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷©ñ�õ�ì � êVñ�õ î í ò�ê�î.+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ ú�ê»ì�÷©ñ�ò¦ñ�õ ë�ì�ê�ö;îDø;û�ì � êVò�ö;õ ø8õ ñ�ò�ö;ôuø8õ ê � * � êS�8ê�õ ê�÷�ö;ôÕò�ö;ë©ê��5ó'� ê�÷©ê=" ñ�ëpö;õê�ô�ô�ñ�ð7ì�ñ�òpðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�î?�7ñ�ëàø��7ì�ö;ñ�õ ê�îGû�÷©ø8ú ì � ê¦õ ø8÷©ú*ö;ô&ò�ö;ë©ê���ïGð5ê�÷�û�ø8÷©ú�ñ�õ��ö;õ ö9 �õ êVú*ö;ðGñ�õEÿ2��ö;õ î�;ê�ê�ð ñ�õ�Åû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ)�;ö;ô�í ê�ë2ö/ì¤ò�ø8÷©÷©ê�ë©ð5ø8õ î ñ�õ�¦ð5ø8ñ�õ�ì�ë �C û�ò�ø8í ÷©ë©ê��ì � ñ�ë¤ñ�ë¤ö;ô�ë©ø¦ö;õ*ö9 �õ êàú*ö;ð)�5ê»ì�ó�ê�ê�õì � ê��8÷�ö;ð� ëàñ�õeÿ2�Z�7ó'� ê�÷©êOa � ý�ò�ø ø8÷©î ñ�õqö/ì�ê�ë(÷©ê�ú*ö;ñ�õEí õ ò �qö;õ�8ê�î �

� ê»ì¹í ë þ ÷©ë�ìÙò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷(ì � ê¦ð ÷©ø�� ô�ê�úéø;ûe6�/1032-465)77� � 0 8�235): C ��7 5)032k6+: ; �Y2-0BAO; 8 2 2��+:A6+0 ; � �q÷©ø8ú ì � êð ÷©ê�� ñ�ø8í ëuë©ê�ò»ì�ñ�ø8õÅó�ê\�õ ø�ó ì �qö/ìI��ï þ ù7ñ�õ�àì � ê2ê�÷©÷©ø8÷ ��/ì � ê¤ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê �qö;ë�ì�ø¹ô�ñ�ê�ñ�õVöàò�ñ�÷©ò�ô�ê�óàñÉì �¦÷�ö;î ñ�í ë� $ póàñÉì � ø8í7ì �8ê�÷�ì�êÈùsñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õ ø8÷�ñ�õ[öEò�ñ�÷©ò�ô�ê�ø;û�÷�ö;î ñ�í ë � Åñ�õlò�ö;ë©ê�ø;û��8ê�÷�ì�êÈù[ñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õ ���ìàñ�ë�ó�ê�ô�ô?�õ ø�óàõ®ì �qö/ì¹ö;ú�ø8õ��ö;ô�ô5ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë2óàñÉì �GöS�8ñ��8ê�õ®ò�ñ�÷©ò�í ú�ò�ñ�÷©ò�ô�êÙì � ê�÷©ê��8í ô�ö;÷�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë\�qö>�8êì � ê�ô�ö;÷��8ê�ë�ìVö;÷©ê�ö �0� ê�õ ò�ê��Õ÷©ê��8í ô�ö;÷�ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë�ö;÷©ê�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô � �q÷©ø8ú öGú�ø8ú�ê�õ�ì�í ú ô�ê�ú�ú*öeû�ø8÷ð5ø�ó�ê�÷àî ñ�ö��8÷�ö;ú�ë�ñ�õ � $! &ñÉì(û�ø8ô�ô�ø�óàë�ì �qö/ìàì � êÅë�ö;ú�ê�÷©ê�ë©í ôÉìe� ø8ô�î ë�û�ø8÷�ì � ê$��v�ý�ê�÷©÷©ø8÷ �� ��go���g i�� ë©ô���ø8õ ë©ñ�î ê�÷Åöf� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êVüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òVû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ fI��ó'� ø8ë©ê�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òVû�ø8÷©úKñ�ëpî ê þ õ ñÉì�ê �* � ê�õ?�¤ö9��v¦ø8÷&��� ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êeô�ñ�õ ê�ö;÷Vö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ìcø;û f øU�8ê�÷�öGì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õlø;û(ÿ2�®ñ�ëî ê þ õ ê�î øU�8ê�÷¹ö�ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ?��ó'� ñ�ò �Gñ�ë(÷©ê��8í ô�ö;÷(ñ�õEì � ê$+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®ú�ê»ì�÷©ñ�òpñ�õ î í ò�ê�î���ï f �

" í ð ð5ø8÷�ì�ê�î���ïOò�ø8ú�ð í7ì�ö/ì�ñ�ø8õqö;ô�ì�ê�ë�ì�ë���ó�êEò�ø8õ<.©ê�ò»ì�í ÷©êeì �qö/ìcì � ñ�ëV÷©ê�ë©í ôÉì�ö;ô�ë©ø-� ø8ô�î ë¦û�ø8÷¦ì � êE�ê�÷©÷©ø8÷ �7� ø�ó�ê��8ê�÷���ì � êeð ÷©ø ø;û�ëVö;÷©ê �8ê»ì©ì�ñ�õ� üí ñÉì�ê*ñ�õ��8ø8ô��8ê�î ö;õ îsì �í ëVó�êeò�ø8õ þ õ êeø8í ÷©ë©ê�ô��8ê�ëcì�øGì � ê÷©ê�ú*ö;ñ�õ ñ�õ�eð ÷�ö;ò»ì�ñ�ò�ö;ô�ôÉï ñ�ú�ð5ø8÷�ì�ö;õ�ìpò�ö;ë©ê � # $ � KGø8÷©ê�øU�8ê�÷���ó�ê*ö;ë©ë©í ú�ê"�8ê�÷�ì�êÈùsñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õ?��ñ � ê �ö;õ®ñ�õ ë©ò�÷©ñ��5ê�î0�8÷�ö;ð�Gð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õ �

Page 11: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ *R

�Õñ��8í ÷©ê�Q�F� ��go���g i�� ë©ô � ê»ì�f0�5êÙö�� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê(üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òàû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ?��ó'� ø8ë©êÙüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òàû�ø8÷©ú ñ�ë2î ê þ õ ñÉì�ê��7ö;õ îô�ê»ì�í ë�ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�øU�8ê�÷�ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë¤ø;û&ÿ2��óàñÉì �f�8ê�÷�ì�êÈùEñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö�ýì�ñ�ø8õ � * � ê�õ?� ì � êpø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë2ñ�õ*ì � ê ���(õ ø8÷©ú ö;÷©êÙî ê þ õ ê�îEøU�8ê�÷(ö¦ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ?�;ó'� ñ�ò �ñ�ë(÷©ê��8í ô�ö;÷(ñ�õeì � ê$+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õGú�ê»ì�÷©ñ�òpñ�õ î í ò�ê�î���ï f ��\8 6U6<;�= ��ø8õ ë©ñ�î ê�÷�ö;ô�ô�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë�ñ�õ ÿ2� ó'� ñ�ò �^ë��qö;÷©ê ö;õ ê�î�8êGö;õ î ì � ê�� � ê�ñ�����ì���øU�8ê�÷*ñÉì � * � ê�ë©ê�qö>�8êlê�üíqö;ô�ö;÷©ê�ö ö;õ î�ó�êDóàñ�ô�ôÙë�� ø�ó �5ê�ô�ø�óKì �qö/ìeì � ê.�lê�÷©÷©ø8÷Eñ�ëeú�ñ�õ ñ�ú*ö;ô�û�ø8÷*ì � êXë�ï ú�ú�ê»ì�÷©ñ�òì�÷©ñ�ö;õ�8ô�êg&,ì � ñ�÷©îXð5ø8ñ�õ�ì�ø8õDì � ê"� ñ�ë©ê�ò»ì�ø8÷�ø;û¤ì � êS�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ëÅø;û¤ì � ê"�8ñ��8ê�õlê�î�8ê(, �S* � ñ�ëÙóàñ�ô�ôÕú�ê�ö;õDì �qö/ìë�ï ú�ú�ê»ì�÷©ñ���ñ�õ�eóàñÉì �l÷©ê�ë©ð5ê�ò»ìÅì�øEì � ê)� ñ�ë©ê�ò»ì�ø8÷Åø;û2ì�ó�ø0�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë¦÷©ê�î í ò�ê�ëÅì � ê�ê�÷©÷©ø8÷ �"* � ê�ø8õ ôÉïDò�ö;ë©ê��ó'� ê�÷©êÅó�êÅò�ö;õGõ ø�ô�ø8õ�8ê�÷�ñ�ú�ð ÷©øU�8êÅñ�ë�ì �qö/ìàø;ûwö�÷©ê��8í ô�ö;÷�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê �

� ê»ì&ì�ó�ø þ ù7ê�î��8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë�ø;ûì � ê�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê/�qö>�8ê¤ò�ø ø8÷©î ñ�õqö/ì�ê�ë�{��7#`& $ b�� ,}ö;õ î�ì � êwì � ñ�÷©î� #]&�� b �8,ñ�ëà÷©í õ õ ñ�õ�eö;ô�ø8õ��a v ý�ö�ù7ñ�ë � èsê¦õ ê�ê�î ì�ø*ò�ö;ô�ò�í ô�ö/ì�êpì � êVñ�õ�ì�ê��8÷�ö;ôD& ,8,�øU�8ê�÷pö;ô�ô&ë©í ò � ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ëàö;õ îGì�øë�� ø�ó ì �qö/ìVñÉì+�qö;ëcö7�8ô�ø��qö;ô�ú�ñ�õ ñ�úcí úKó'� ê�õ �+# � � ��ìcñ�ë¦ë©í �ò�ñ�ê�õ�ìcì�ø ð ÷©øU�8ê*ì � ñ�ë¦û�ø8÷Åì � ê*ë�ö;ú�êñ�õ�ì�ê��8÷�ö;ô�øU�8ê�÷pê��8ê�÷�ïDë©ô�ñ�ò�ê¦ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô}ì�ø*ì � ê þ ù7ê�îXê�î�8ê���ñ � ê � ��øU�8ê�÷Ùì � êVô�ñ�õ êÅë©ê��8ú�ê�õ�ìpóàñÉì � ê�õ î ð5ø8ñ�õ�ì�ëk�� #�� {���p��� -���jp��P# R���� b ��� ��&�ë©ê�ê �Õñ��8í ÷©ê Q%, �#� ê»ìO_P�5ê�ø8õlì � ê�ñ�õ�ì�ê�÷ �;ö;ô¤k � k # ì � ê�õ_(# &-a b � � , �qó'� ê�÷©ê���� ��� �ka �����[p�� � � ê�õ ò�ê�f�&-_�,�# a��Yp��q� � � ��C õ®ì � ê¦ø;ì � ê�÷e�qö;õ î ñÉû ���ñ�ëÅöeô�ñ�õ ê�ö;÷pñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö;õ�ìpø;û�fOñ�õ-�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ëÅø;û2ì � êcì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê¦ì � ê�õ[ñÉì�ò�ö;õ �5ê�ê�ö;ë©ñ�ôÉïDê��;ö;ô�íqö/ì�ê�îXø8õXì � êê�õ î ð5ø8ñ�õ�ì�ë¹k�� F

��� &jk���, #������ &,{��[,[p����� &� �, #��1f�&,{��[,[p���f�&� �, #���& � p � � ,[p���� � c* � ê�÷©ê»û�ø8÷©ê�� ���lñ�ë*ò�ø8õ ë�ì�ö;õ�ì�&,û�ø8÷ þ ù7ê�î � ,�ø8õ\ì � êXñ�õ�ì�ê�÷ �;ö;ôpk � k # � * � êXê�÷©÷©ø8÷eñ�õ�ê��8ê�÷�ï�ð5ø8ñ�õ�ìeñ�ë� � &-_�,1�tf�&-_�, # �����Dp!��& �Dp � � ,1� &-a��Dp!�q� � � ,c# �������ra��Dptq<�&ó'� ê�÷©ê�ì � ê�ò�ø8õ ë�ì�ö;õ�ì qVò�ö;õ(�5êê�ë�ì�ñ�ú*ö/ì�ê�îGö;ë

q'#"��& � p � � , ��� � � � ��� � c &ERUO8,��õGø8÷©î ê�÷(ì�ø�ë©ñ�ú�ð ô�ñÉû,ï�ì � êÅñ�õ�ì�ê��8÷�ö;ô

� &�� ,�#�# ñ�õ�ì%$'&($*) � f�&-_�,������ &-_�,�� � _�+ v-,� #/.�ñ�õ�ì10 d�#12 0 d �32 &4��� � �La � prq�, � a65 v-,� bó�êÅë©í� ë�ì�ñÉì�í7ì�ê ��#!7 "'� � #O8 "8�Gö;õ î9�-# R "H&-: p R!, &�õ ø;ì�êpì �qö/ì�8 b :;� �8, � ��õEì � ê�ò�ö;ë©ê���# Rò�ö;ô�ò�í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë(ö;÷©ê�ê�ö;ë�ï��

� v &�7 , # ñ�õ�ì=< #1>< �3> #�&-: pKR!,?7 � �La � prq@+ � a0# $ 8�:!7 � � $, 8 � p $ 8 q c

Page 12: On piecewise linear approximation of quadratic functions

*Z$ p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$

�Õñ��8í ÷©ê"O F E ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õXø;û�öEî ê þ õ ñÉì�ê�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òcû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ[øU�8ê�÷¦ö®÷©ê��8í ô�ö;÷c� êÈù ö��8ø8õqö;ô�ì�ñ�ô�ñ�õ�*ñ�õì � êÅñ�õ î í ò�ê�îF+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®ú�ê»ì�÷©ñ�ò

" ñ�õ ò�ê�$ 8�: � � � � v &�7 ,\�qö;ë(ì � êÅí õ ñ�üí êÅú�ñ�õ ñ�úcí ú ñ�õ 7K#�� � ñ � ê � ó'� ê�õ ��# � � * � ê¦ò�ö;ë©ê��f# $cñ�ëú�ø8÷©ê�ò�ø8ú�ð ô�ñ�ò�ö/ì�ê�î � � ê�÷©êÅñÉì(ñ�ë(ê�õ ø8í���®ì�ø�ð ÷©øU�8êÅì �qö/ì(ì � êÅë©üíqö;÷©ê¦ø;û � � �qö;ë(ì � êÅë�ö;ú�ê�ú�ñ�õ ñ�úcí ú�F

� �� &�7 , # ñ�õ�ì < #1>< �3> #�&-: p R!,?7 � ��a � prq@+ � � a# $ 8�: � 7 � p � T, 8 � � * , 8 � : p *�8�:oq�� 7 � p�� c

� ê�÷©ê�� ñ�ëàë©ø8ú�êÅò�ø8õ ë�ì�ö;õ�ì¹ì�ê�÷©úéó'� ñ�ò � ñ�ëàñ�÷©÷©ê�ô�ê��;ö;õ�ì �>" ñ�õ ò�ê7à� �qö;ëÙö�ð5ø8ë©ñÉì�ñ��8ê�ò�ø ê� �ò�ñ�ê�õ�ì $ 8�: �<�ñÉìc÷©ê�ú*ö;ñ�õ ë¦ì�øDð ÷©øU�8êeì �qö/ìcì � êeò�ø ê� �ò�ñ�ê�õ�ì�ñ�õOë©üíqö;÷©ê�� ÷�ö;ò �;ê»ì�ë�ñ�ëcõ ø8õ ý�õ ê���ö/ì�ñ��8ê � +Õù7ð ÷©ê�ë©ë©ñ�õ�Xì � êñ�õ ê�üíqö;ô�ñÉì�ï &ERUO8,�� ñ�ö*8aö;õ î9�

q ��� � # R� 8 � # RR�� � 8 �

ö;õ îGö;ð ð ôÉï ñ�õ��ì � ê��qö;ò ��ó�ö;÷©î ë©í� ë�ì�ñÉì�í7ì�ñ�ø8õ : # R "'��� RÅø8õ ê��8ê»ì�ëT, 8 � �

*, 8 � : p *�8�:oq � *�8 � p T

, � � � c�qø8÷&ö(ô�ö/ì©ì�ñ�ò�êwñ�õ�ì � ê¤ð ô�ö;õ ê���ì � ê @¤ø8÷©ø8õ ø8ñ8ò�ê�ô�ô8ñ�ë&ê�ñÉì � ê�÷�ö(ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ø��8÷�ö;ú�ø8÷�öàò�ê�õ�ì�÷�ö;ô�ôÉïÙë�ï ú�ú�ê»ì�÷©ñ�ò

� êÈù ö��8ø8õ �rE ��ö;ñ�õ?�¤ê�ô�ê�ú�ê�õ�ì�ö;÷�ï ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷�ö/ì�ñ�ø8õ ë�ê�ö;ë©ñ�ôÉïOô�ê�ö;î�ì�øXì � ê®÷©ê�ë©í ôÉì�ì �qö/ì>�2ó'� ê�õ þ ù7ñ�õ�Xì � êî ñ�ö;ú�ê»ì�ê�÷àø;û¤ë©í ò �lö þ �8í ÷©ê��5ì � êVô�ö;÷��8ê�ë�ìpö;÷©ê�ö*ø ò�ò�í ÷©ë¹û�ø8÷Ùö*÷©ê��8í ô�ö;÷e� êÈù ö��8ø8õ � � ê�õ ò�ê��� � ý�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôô�ö/ì©ì�ñ�ò�êÅì�ñ�ô�ñ�õ�8ë¹ö;÷©êV÷©ê��8í ô�ö;÷e� êÈù ö��8ø8õqö;ôuì�ñ�ô�ñ�õ�8ë^&��Õñ��8í ÷©ê+O8, � E ��ö;ñ�õ?��ó�êcò�ø8õ<.©ê�ò»ì�í ÷©êcì �qö/ìÙì � ñ�ëÙ÷©ê�ë©í ôÉì� ø8ô�î ëwû�ø8÷2ö;õ�ï)�Ùõ ø8÷©ú � ��õ�ûjö;ò»ì>�ê��8ê�õ�ì � ê¹÷©ê�ë�ì�÷©ñ�ò»ì�ñ�ø8õ�ø;û}öÅô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê�ì�ñ�ô�ñ�õ�pë©ê�ê�ú�ë¤ì�ø��5êàí õ õ ê�ò�ê�ë©ë�ö;÷�ï��ó'� ñ�ò �Gñ�ë(ø���� ñ�ø8í ë(û�ø8÷ �f# � �� ê»ì¹í ëàð ÷©ê�ë©ê�õ�ì¹ì � êÅò�ö;ë©ê�ë��qó'� ê�÷©ê¦ð ÷©ø ø;û�ëàö;÷©ê¦ö>�;ö;ñ�ô�ö�� ô�ê �� ��go���g i K��Ûë©ô * � ê$��v � ø8÷����Ùý�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êÅô�ñ�õ ê�ö;÷(ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì(ø8õEÿ2�Åì�ø�ö�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êcû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ fI�uó'� ø8ë©êeüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�û�ø8÷©ú ñ�ë¦î ê þ õ ñÉì�ê��Õñ�ë¦î ê þ õ ê�î øU�8ê�÷�ö�� êÈù ö��8ø8õqö;ô¤ì�ñ�ô�ñ�õ�Eø;ûÿ2��� ó'� ñ�ò �Gñ�ë(÷©ê��8í ô�ö;÷(ñ�õeì � ê$+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®ú�ê»ì�÷©ñ�ò�ñ�õ î í ò�ê�î���ï f ��\8 6U6<;�= * � êEð ÷©ø ø;û(û�ø8÷ �P# Reû�ø8ô�ô�ø�óàë¦û�÷©ø8ú ì � êeú�ø8ú�ê�õ�ì�í ú ô�ê�ú�ú*ö®û�ø8÷cð5ø�ó�ê�÷�î ñ�ö��8÷�ö;ú�ë¦ñ�õ�ö÷©ê�ò�ê�õ�ìÙðqö;ð5ê�÷ ��ï��� ���� ����[��ö;õ î�� ����� ��� � $! �

E ëÙó�ê"�qö>�8ê�ë©ê�ê�õlñ�õ ì � êcð ÷©ê�� ñ�ø8í ëpë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ?�5ì � ê�ú�ø8ú�ê�õ�ìÙð ÷©ø�� ô�ê�úK÷©ê»û�ê�÷©ëpêÈù ö;ò»ì�ôÉïGì�øeì � êcò�ö;ë©êø;ûwö�ò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�î0�8÷�ö;ð�Gð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õ � � ��� "�� "���� �� �#$ � R<Q! �ð ÷©øU�8ê�îGì �qö/ìàì � êÅú�ñ�õ ñ�úcí ú ø;ûuì � ê

Page 13: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ *�,ñ�õ�ì�ê��8÷�ö;ô�&ER<Q%,¹êÈù ì�ê�õ î ê�îOøU�8ê�÷���ý �8ø8õ ë�� óàñÉì � �8ñ��8ê�õsö;÷©ê�öEñ�ëÅö/ì©ì�ö;ñ�õ ê�îDû�ø8÷pì � ê�÷©ê��8í ô�ö;÷ ��ý �8ø8õ � èsêú*ö�ï*ì � ê�÷©ê»û�ø8÷©êÅû�ø8÷©úcí ô�ö/ì�ê¹ì � êÅû�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�V÷©ê�ë©í ôÉìÙö/ì'�qö;õ îGø;ûuì � ê��8÷�ö;ð�®ë©í ÷�ûjö;ò�ê �� ��go���g i K�K\ë©ô * � ê �[ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôpö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ìEø;ûVö;õ ê�ô�ô�ñ�ð7ì�ñ�ò ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�î�� # f�&-a b�� , ��ï öò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�îsð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õ[óàñÉì �[ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö;÷pûjö;ò�ê�ëVñ�ë¦î ê þ õ ê�î øU�8ê�÷�ö®ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õXñ�õlì � ê*ð ô�ö;õ ê�+#�� �/ó'� ñ�ò ��ñ�ëÕ÷©ê��8í ô�ö;÷uñ�õVì � ê�ñ�õ î í ò�ê�î)+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õcú�ê»ì�÷©ñ�ò ��C ú�ñÉì©ì�ñ�õ�(ì � ê�÷©ê�ë�ì�÷©ñ�ò»ì�ñ�ø8õ¦ì�øÙì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö;÷ûjö;ò�ê�ë���ì � ê0�Xø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô(ò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�î^ð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õ �qö;ë � êÈù ö��8ø8õqö;ôàûjö;ò�ê�ë � ��ì*ñ�ë�î ê þ õ ê�î�øU�8ê�÷Eö� êÈù ö��8ø8õqö;ô}ì�ñ�ô�ñ�õ�cø;ûuÿ2��� ó'� ñ�ò �Gñ�ë(÷©ê��8í ô�ö;÷(ñ�õeì � ê$+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®ú�ê»ì�÷©ñ�ò�ñ�õ î í ò�ê�î���ï f �

�Õñ�õqö;ô�ôÉï��7ô�ê»ìÙí ë¹ð5ø8ñ�õ�ì¹ø8í7ìàì �qö/ì¹û�ø8÷ �8ê�÷�ì�êÈùDñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õ®ö;õ îGì � ê ��v(ê�÷©÷©ø8÷��qì � êVø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ñÉì�ï�ø;ûì � êÅ÷©ê��8í ô�ö;÷ � êÈù ö��8ø8õqö;ô}ì�ñ�ô�ñ�õ�+�qö;ë'�5ê�ê�õ ð ÷©øU�8ê�î7��ï�� � � �� �� "( � $ �+ �� ç I}ç ��tu~�g��wtuz,m�gGmÈ|H�g��ûÕì � êÅüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òpû�ø8÷©ú fDñ�ë(ñ�õ î ê þ õ ñÉì�ê�� ó�êÅø8õ ôÉïf�qö>�8êÅì�ø�ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷

f�&-_�, #ka � v ��a �� c* � ê��8÷�ö;ð�Åë©í ÷�ûjö;ò�êa � #ka��v � a��� ñ�ë�ö�&�÷©ñ�����ì�,N��ï ð5ê�÷��5ø8ô�ñ�ò�ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�î �?* � ñ�ë�ò�ö;ë©ê��qö;ëC�5ê�ê�õVö;î î ÷©ê�ë©ë©ê�î��ï�� "��!���������"���ö;õ î � "�������� "( �� � R��+ � * � ê»ïEî ñ�ë©ò�í ë©ëàô�ø ò�ö;ô�ôÉï�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë¤óàñÉì �0�8ñ��8ê�õ�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë ��E ú�ø8õ�eì � êcñ�õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�êVð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ñ�ê�ë��}ø8õ ôÉïGì � ê�ñ�õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�êVí õ î ê�÷pì�÷�ö;õ ë©ô�ö/ì�ñ�ø8õ ëÙñ�õ ÿ2�)�qö;ë�5ê�ê�õ®ñ�õ��8ê�ë�ì�ñ���ö/ì�ê�î?�7û�ø8÷�ó'� ñ�ò �Göcð ÷©ø ø;ûuí ë©ñ�õ��ë�ï úS�5ø8ô�ñ�òÙò�ø8ú�ð í7ì�ö/ì�ñ�ø8õeñ�ë(ð ÷©øU� ñ�î ê�î �DC í ÷(ñ�õ��;ö;÷©ñ�ö;õ ò�ê÷©ê�ë©í ôÉì�ë¦ñ�õlì � ê�ë©ê�ò�ø8õ îOë©ê�ò»ì�ñ�ø8õOö;÷©ê�ú�ø8÷©ê)�8ê�õ ê�÷�ö;ô F * � ê�ú�ê»ì�÷©ñ�ò�ñ�õ î í ò�ê�îsñ�õlÿ2�eñ�ëÅõ ø�ó ög/_;U2 �:Z6� ��� � 7�2 :Z2 5):®ø8÷+Fh2-: ��6��/; �+2>4 2 0 8�2�� � E õ�ïXð ë©ê�í î ø/ý +�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õW&�ð7+D,pò�ø8õ�8÷©í ê�õ ò�ê�ì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ & O8,ñ�õEÿ2���_�5ê�ô�ø8õ�8ñ�õ�Vì�ø*ö�ð7+^ø8÷�ì � ø��8ø8õqö;ô}ú*ö/ì�÷©ñ#ù 8+� ó'� ê�÷©ê

8 d l!nol 8 # n b n # & R �� R ( b &ER!$%,ú*ö;ð ë¤öpì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õcì�ø¦öÅð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êàô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ø8õ�ì�øVöpì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õ�øU�8ê�÷�ó'� ñ�ò ��ó�ê¹ø��7ì�ö;ñ�õö;õ*ê�üíqö;ô�ôÉï"�8ø ø î�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì2ñ�õ�ì � ê �põ ø8÷©ú �/* ÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë�óàñÉì ��î ê»ì+&>8 , # Re�5ê�ô�ø8õ�Åì�ø¦ð7+ú�ø;ì�ñ�ø8õ ë � � ê�÷©ê��78Lñ�ëàö�ú*ö/ì�÷©ñ#ùeî ê�ë©ò�÷©ñ�� ñ�õ�*ö�ð7+^÷©ø;ì�ö/ì�ñ�ø8õ���ï®ö�ð7+\ö;õ�8ô�ê � �

8 # & ò�ø8ë�� � ë©ñ�õ���ë©ñ�õ� � ò�ø8ë�� � ( c &ERUT8,

� ê»ìÅí ëÅú�ê�õ�ì�ñ�ø8õDì �qö/ìÅð7+ �8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ïDñ�ë�ò�ô�ø8ë©ê�ôÉïD÷©ê�ô�ö/ì�ê�îDì�ø � ö��8í ê�÷©÷©ê�ò�ñ�÷©ò�ô�êU�/ë©ð� ê�÷©ê)�8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ïXö;õ îì�ø�ë©ð5ê�ò�ñ�ö;ô&÷©ê�ô�ö/ì�ñ�� ñÉì�ï � *) � )àê�ò�ê�õ�ì�ôÉï��qó�êÅò�ø8í ô�îGö;ô�ë©ø þ õ îGñ�õ�ì�ê�÷©ê�ë�ì�ñ�õ��ö;ð ð ô�ñ�ò�ö/ì�ñ�ø8õ ë�ñ�õ7� E I�B � ,�Q! ���õXì � êcû�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ��5ñÉì�ñ�ëpë©ø8ú�ê»ó'�qö/ìÅú�ø8÷©êcò�ø8õ��8ê�õ ñ�ê�õ�ìÅì�øEí ë©ê�ö;ë�õ ø8÷©ú*ö;ô�û�ø8÷©ú ø;û�ö;õXñ�õ î ê þ õ ñÉì�êüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òpû�ø8÷©ú ì � êÅ÷©ê�ð ÷©ê�ë©ê�õ�ì�ö/ì�ñ�ø8õ

f�&-_�, #ka v a �(cE ëÅöe÷©ê�ë©í ôÉìÅø;û2ê�üíqö/ì�ñ�ø8õr&3'8, �}ì � ê�ú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷pøU�8ê�÷¦ö;õlê�î�8êcóàñÉì �-�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ëÅr # & v b � ,pö;õ î�(#]& ��v b���� ,�ñ�ë \# R

* ��& v � ��v ,�& � � ��� ,�� c &ER('8,* � ñ�ëpñ�ë�öeüíqö;÷�ì�ê�÷pø;û¤ì � ê�ö;÷©ê�öeø;û�ö*÷©ê�ò»ì�ö;õ�8ô�êVóàñÉì �Xî ñ�ö��8ø8õqö;ôur �\ö;õ îXóàñÉì �Dê�î�8ê�ë�ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ì�ø*ì � êò�ø ø8÷©î ñ�õqö/ì�êcö�ù7ê�ë �S* � ê�ô�ñ�õ ê�ëpðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô&ì�øeì � ê�ò�ø ø8÷©î ñ�õqö/ì�ê�ö�ù7ê�ëÅö;÷©êcì � ê�ð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ëpø;û¤ì � ê�÷©í ô�ñ�õ�8ëø;ûàì � ê���ï ð5ê�÷��5ø8ô�ñ�ò*ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�îsñ�õ�ì�øDÿ2� �LC û¹ò�ø8í ÷©ë©ê���ö;ô�ø8õ� ì � ê�ë©êEô�ñ�õ ê�ëVì � êEê�÷©÷©ø8÷cñ�ë � �2ì � ê»ï ö;÷©êò�ö;ô�ô�ê�î®ì � ê¦ñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�ò�ô�ñ�õ ê�ëàñ�õGì � ê¦ð7+\ú�ê»ì�÷©ñ�ò � * �í ë��5õ ê��8ô�ê�ò»ì�ñ�õ��ì � êVí õ ñ�ú�ð5ø8÷�ì�ö;õ�ì(ûjö;ò»ì�ø8÷�R<�+*��0BA_22�8 8 698 5)7�6+: C@5):�2 :�CZ2�r � 2�; 0BA_2O5�8 2 5 6<; 0BA_2 2�;U6+0 8 6�/12��c8 2�� 0 5): C)7�2 �Y2-0BA0:)235�CZ6+:15)7r � &��Õñ��8í ÷©ê $%, � * � ê

Page 14: On piecewise linear approximation of quadratic functions

*%* p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$

�Õñ��8í ÷©ê�$�F4+�÷©÷©ø8÷àö;ô�ø8õ��ö;õ®ê�î�8êÅñ�õEì � êÅñ�õ î ê þ õ ñÉì�ê�ò�ö;ë©ê

�Õñ��8í ÷©ê T F\��ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì�ñ�ø8õGø;ûwö;õ®ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô5ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�êpñ�õeì � êÅñ�õ î ê þ õ ñÉì�ê�ò�ö;ë©ê

ñ�ú�ð5ø8÷�ì�ö;õ ò�ê2ø;ûqì � ê�ê�÷©÷©ø8÷�ö;ô�ø8õ�pö;õcê�î�8ê�ñ�ë/�qö;ë©ê�î�ø8õ�ø8í ÷Õê�ö;÷©ô�ñ�ê�÷uø�� ë©ê�÷ �;ö/ì�ñ�ø8õVì �qö/ì>�8ñ�õ¦ì � ê�ñ�õ î ê þ õ ñÉì�êò�ö;ë©ê�� ì � êÅú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷(ø8õ öcûjö;ò�ê¦ö;ôÉó�ö�ï ëàø ò�ò�í ÷©ë¹ö/ìàñÉì�ë �5ø8í õ îqö;÷�ï �

� ê»ì�í ëpõ ø�óTð ÷©ê�ë©ò�÷©ñ��5êVì � ê*��� ê�÷©÷©ø8÷¹ì�ø8ô�ê�÷�ö;õ ò�ê �ö;õ îXò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ìÅø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô&ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë � C ûò�ø8í ÷©ë©ê���ì � ñ�ëpö;ú�ø8í õ�ì�ë¹ì�øeî ê»ì�ê�÷©ú�ñ�õ ñ�õ��ì � ê¦ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�êÅóàñÉì �Dô�ö;÷��8ê�ë�ìpö;÷©ê�öeö;õ îXê�÷©÷©ø8÷ � E ìpô�ê�ö;ë�ìpø8õ êø;ûÕñÉì�ë(ê�î�8ê�ë��5ë�ö�ïEr ����úcí ë�ìe�qö>�8ê¦ê�÷©÷©ø8÷! � 2 ï®ö�ð7+^ú�ø;ì�ñ�ø8õeó�ê¦ò�ö;õ ö;ò � ñ�ê��8êÅì � ê�û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ��ë©ð5ê�ò�ñ�ö;ôð5ø8ë©ñÉì�ñ�ø8õDû�ø8÷�ñÉì�ëc�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë�F��f# & � b �8,pö;õ î���# & � b , b � � �@E ò�ò�ø8÷©î ñ�õ�®ì�ø®ê�üíqö/ì�ñ�ø8õ &ER('8, �&ó�ê�qö>�8ê

* �# � c

Page 15: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ *ZQ

�Õñ��8í ÷©ê ' F E ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì¹ø;ûwö"��ï ð5ê�÷��5ø8ô�ñ�ò�ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�îeî ê þ õ ê�î øU�8ê�÷Ùö�÷©ê��8í ô�ö;÷�ð7+ ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ

2 ê�ò�ö;í ë©êDø;û�ì � ê ë©ð5ê�ò�ñ�ö;ô¹ð5ø8ë©ñÉì�ñ�ø8õ?�2ì � êDð7+ ÷©ê� qê�ò»ì�ñ�ø8õ^óàñÉì �^÷©ê�ë©ð5ê�ò»ìEì�ø[ì � ê ô�ñ�õ ê��8ñ��8ê�õP��ï^r �añ�ëñ�î ê�õ�ì�ñ�ò�ö;ô�óàñÉì �¦ì � ê'+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õV÷©ê� qê�ò»ì�ñ�ø8õ �/* �í ë��8ó�ê�ú*ö�ï¦ö;ë©ë©í ú�ê2ì �qö/ìÕì � ê¤ì � ñ�÷©î��8ê�÷�ì�êÈù�æS#]&3q v b q � ,ø;û&ì � êpø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�êàô�ñ�ê�ë�ñ�õ�ì � êpô�ø�ó�ê�÷ �qö;ôÉû�ð ô�ö;õ êàø;û&ì � êpô�ñ�õ êe�8ñ��8ê�õf��ïer ���7ñ � ê � �Hq � � q v � � � �KGø8÷©ê�øU�8ê�÷��7ì � êÙë�ï ú�ú�ê»ì�÷�ï�óàñÉì �*÷©ê�ë©ð5ê�ò»ì�ì�ø¦ì � ê +�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ � ñ�ë©ê�ò»ì�ø8÷Da v pha � # �Vø;û&reö;õ îe�[ñ�ë�ö;ô�ë©øö�ð7+ ò�ø8õ�8÷©í ê�õ ò�êÅì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ �ì �í ë�� ó�êÅú*ö�ïe÷©ê�ë�ì�÷©ñ�ò»ìàø8í ÷�ë©ê�ö;÷©ò �Gì�øcì � ñ�ë(ë�ï ú�ú�ê»ì�÷�ïEö�ù7ñ�ëàö;õ îñÉì�ëÙí ð ð5ê�÷Ùë©ñ�î ê�� q v pWq ��� � � " ñ�õ ò�êVì � êVê�÷©÷©ø8÷Ùø8õXrqæf�qö;ë¹ì�øf�5ê � @&jö;õ îXö;õqö;ô�ø��8ø8í ë©ôÉïeû�ø8÷Ù�¤æ , �}æúcí ë�ì¹ô�ñ�êpñ�õEì � êÅñ�õ�ì�ê�÷©ë©ê�ò»ì�ñ�ø8õ®ø;ûuì � êÅî ø8ú*ö;ñ�õ ë

� & prq v , q � � � � b � q v &3q � � ,�� � � bë©ê�ê �Õñ��8í ÷©ê�T8, � * � ê®î ø8ú*ö;ñ�õ ë�ö;÷©ê0�5ø8í õ î ê�î ��ï ��ï ð5ê�÷��5ø8ô�ö;êeóàñÉì � ñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�òEö;ë�ï ú�ð7ì�ø;ì�ê�ë��(ñ�õ ð7+�8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ïcì � ê»ï�ö;÷©êàò�ö;ô�ô�ê�î ��ð7+sò�ñ�÷©ò�ô�ê�ë#� ��. õ î ê�÷�ì � ê¹ø8í7ì�ô�ñ�õ ê�î�ò�ø8õ ë�ì�÷�ö;ñ�õ�ì�ë���ì � ê�÷©êÙö;÷©ê�ì�ó�øVë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ ëû�ø8÷àæ�ë©í ò �Gì �qö/ìÙö;ô�ô�ê�î�8ê�ë¹ø;ûuì � ê�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�êc�qö>�8êÅì � êÅë�ö;ú�ê�ê�÷©÷©ø8÷

æ v #� � Q �PR

$ b R�� � Q$ � b æ � # � � Q�pKR$ b , � � Q$ � c &k$ �8,

* � ê�ë©ê�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë�ú*ö�ï��5ê�ò�ö;ô�ô�ê�î 8 2 C ��7 5�8pñ�õXì � ê�ð7+Ûð ô�ö;õ ê � �Õñ�÷©ë�ì>�&ó�ê�õ ø;ì�ê�ì �qö/ìVr b æ v�b æ �Bb �\û�ø8÷©úöeðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ø��8÷�ö;úéó'� ø8ë©ê�ê�î�8ê�ë¦ö;õ îlî ñ�ö��8ø8õqö;ô�ëÙö;ô�ô/�qö>�8ê�ì � ê�ë�ö;ú�êcê�÷©÷©ø8÷ �&2 ø;ì �Xë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë�qö>�8êcê�üíqö;ôÕö;÷©ê�ö ��E õ�ïGë©í ò �Dì�÷©ñ�ö;õ�8ô�êÅö;õ îDñÉì�ëàñ�ú*ö��8êÅí õ î ê�÷Ù÷©ê� qê�ò»ì�ñ�ø8õDö/ìpö;õ ê�î�8êVú�ñ�î ð5ø8ñ�õ�ì(û�ø8÷©úöcðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ø��8÷�ö;ú ö;õ îEì �í ëàöVì�ñ�ô�ñ�õ�Vø;û�ì � ê�ð ô�ö;õ êpò�ø8õ ë©ñ�ë�ì�ñ�õ�cø;ûuø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë�ø8õ ôÉï &��Õñ��8í ÷©ê '8, �� ê�õ ò�ê��qó�ê��qö>�8ê¦ð ÷©øU�8ê�îGì � ê�û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�V÷©ê�ë©í ôÉìBF� ��go���g i K I ë©ô E õ ���Ùý�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô7ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êÙô�ñ�õ ê�ö;÷¤ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì2øU�8ê�÷�ö�ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ�ø;û�ÿ2�pì�øVöüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êÕû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ^fcó'� ø8ë©ê2üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òwû�ø8÷©úÛñ�ë&ñ�õ î ê þ õ ñÉì�ê¤ñ�ë&î ê þ õ ê�îcøU�8ê�÷uö(ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õó'� ñ�ò �cñ�ëÕ÷©ê��8í ô�ö;÷uñ�õ¦ì � ê�ð ë©ê�í î ø/ý +�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õcú�ê»ì�÷©ñ�ò2ñ�õ î í ò�ê�îS��ï�f � � ê�÷©ê��;ó�ê(ö;ë©ë©í ú�ê2ì �qö/ìÕì � ê�ô�ñ�õ ê�ö;÷ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ìàñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ê�ë�ì � ê�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ��;ö;ô�í ê�ë¹ö/ì(ì � ê �8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë¹ø;ûuì � ê�ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ �

��ìÕ÷©ê�ú*ö;ñ�õ ë�ö;õVø8ð5ê�õVüí ê�ë�ì�ñ�ø8õ¦ó'� ê»ì � ê�÷uì � ê�ë©ê2ì�÷©ñ�ö;õ�8í ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë&ö;ô�ë©ø(ï ñ�ê�ô�î¦ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô �(ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö�ýì�ñ�ø8õ ë � KGø8÷©ê�øU�8ê�÷���ì � ê(ñ�î ê�öpø;ûN�8ñ�� ñ�õ�pí ð"�8ê�÷�ì�êÈù�ñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õ?�;ö;î î ñ�õ��ë©ø8ú�ê�ò�ø8õ ë�ì�ö;õ�ì�ö;õ îcì � ê�÷©ê���ï

Page 16: On piecewise linear approximation of quadratic functions

*�O p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$

�Õñ��8í ÷©êSR�� FDI�ø8ô�î ê�õ®ë©ê�ò»ì�ñ�ø8õGñ�õEð7+^÷©ê��8í ô�ö;÷�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë

�Õñ��8í ÷©ê"R�R%F * � êÅì�ó�ø�ò�ö;ë©ê�ëàû�ø8÷(üíqö;î ÷©ñ�ô�ö/ì�ê�÷�ö;ô�ë

÷©ê�î í ò�ñ�õ�Eì � ê)��� ê�÷©÷©ø8÷c��ïXø8õ ê"�qö;ôÉû2î ø ê�ë�õ ø;ìpó�ø8÷��Dë©ñ�õ ò�êcó�ê)�qö>�8ê)�5ø;ì �lë©ñ��8õ ëÙû�ø8÷�ë©ê�ò�ø8õ î ý�ø8÷©î ê�÷î ñ�÷©ê�ò»ì�ñ�ø8õqö;ôwî ê�÷©ñ��;ö/ì�ñ��8ê�ëÅø ò�ò�í ÷ � ��õ[ûjö;ò»ì>��ó�ê�ò�ø8õ<.©ê�ò»ì�í ÷©ê�ì �qö/ì��8ê�÷�ì�êÈùsñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õXñ�ë�ú*ö;õ îqö/ì�ø8÷�ïû�ø8÷àö;õ�ïEø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êÅô�ñ�õ ê�ö;÷(ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ìàøU�8ê�÷(ÿ � �

� ê»ìcí ë�ö;î îsì � ê*û�ø8ô�ô�ø�óàñ�õ�G÷©ê�ú*ö;÷��lø8õO÷©ê��8í ô�ö;÷Åì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê�ë¦ñ�õ[ì � êeð7+Lð ô�ö;õ ê)F ��÷©ø<.©ê�ò»ìS�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ër b � b æ v ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô8ì�øÙì � ê>a � ý�ö�ù7ñ�ë��/û�ø8÷ÕêÈù ö;ú�ð ô�ê��8ñ�õ�ì�ø¹ì � ê>a v ý�ö�ù7ñ�ë�&��Õñ��8í ÷©êeR��8, �/* � ê�÷�ö/ì�ñ�øÙø;û�î ñ�ë�ì�ö;õ ò�ê�ëø;ûuì � ê�ë©ê¦ð5ø8ñ�õ�ì�ë(ê�üíqö;ô�ë

$�F1& � Q �PR!,�#]&ER>p � Q%,>F&$ c* � ñ�ëw÷�ö/ì�ñ�øpñ�ëuì � ê�CZ6+7�:Z2 :);U2�� 032k6+:�÷�ö/ì�ñ�ø�8ö;ô�ë©øpò�ö;ô�ô�ê�î0:)2-?(2-:A2 /N8 6�/_698�032k6+: � Q&��, R� � E õqö;ô�ø��8ø8í ë©ôÉï��/ó�ê(ò�ö;õð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ñ�õ ì � êcø;ì � ê�÷pñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�ò¦î ñ�÷©ê�ò»ì�ñ�ø8õ � " ñ�õ ò�êcð7+ ò�ø8õ�8÷©í ê�õ ò�êcì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë¹ú*ö;ðDñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�òô�ñ�õ ê�ë &�ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ë�ì�øVì � êÙò�ø ø8÷©î ñ�õqö/ì�êpö�ù7ê�ë�ø;û�ø8í ÷2û�÷�ö;ú�ê(,wì�øcñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�ò¹ô�ñ�õ ê�ë��ó�êpú*ö�ï�ë�ö�ï1F �\8 6��>2�� 032-: C0BA_2g?�2�8�032�� 2 ;�6<;�5 8 2 C ��7 5�8�/ �S0 8�235): C)7�2#2-:W2�;U6+0 8 6�/12��0:)2 8 2�� 032k6+:r0 6�5 0 8 5): ; ?�2�8 ;B5)7>7�2-:A2f3+2k2 7�:<;g0BA&8 2 2/_6+2-: 0 ; � A�2�� A#5�8 2/_6U; 2-032k6+:A2 :^2-:�0BA_2�CZ6+7�:Z2 : ;U2�� 032k6+:�8 5)032k6 � ��ø8õ��8ê�÷©ë©ê�ôÉï��7ì � ñ�ë¤ð ÷©ø8ð5ê�÷�ì�ï�ú*ö�ï"�5êàí ë©ê�îì�ø�ò�ø8ú�ð í7ì�ê¦ö�ð7+^÷©ê��8í ô�ö;÷�ì�÷©ñ�ö;õ�8ô�ê �

E õqö;ô�ø��8ø8í ë©ôÉï��5ó�ê�ú*ö�ïDë�ì�í î7ïDø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õ ëc��ï "$�H5�:�8�2-7 5)0 2�8 5)7 ; �OE ë©ë©í ú�ñ�õ���8ê�÷�ì�êÈùlñ�õ ý

Page 17: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ * $

�Õñ��8í ÷©ê"R<$�F C ð7ì�ñ�ú*ö;ô}ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ*óàñÉì �®üíqö;î ÷©ñ�ô�ö/ì�ê�÷�ö;ô�ë

ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�ø8õ?�8ì�ó�øcò�ö;ë©ê�ë(êÈù7ñ�ë�ìO&��Õñ��8í ÷©ê�R�R!, � ��õ*ì � ê þ ÷©ë�ì�ò�ö;ë©ê��7ì � êe�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë�ø;û�ö¦üíqö;î ÷©ñ�ô�ö/ì�ê�÷�ö;ô�ô�ñ�êàø8õö�ðqö;ñ�÷(ø;û�&�õ ø;ì¹ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô-,2ñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�ò�ô�ñ�õ ê�ë�� ì � ê��8÷�ö;ð�Gø;ûÕì � êÅô�ñ�õ ê�ö;÷�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õGøU�8ê�÷àì � ê¦üíqö;î ÷©ñ�ô�ö/ì�ê�÷�ö;ôñ�ëàö�ì�ö;õ�8ê�õ�ì¹ð ô�ö;õ ê�ø;ûuì � ê���ï ð5ê�÷��5ø8ô�ñ�ò�ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�îE" �që©ðqö;õ õ ê�î7��ïEì�ó�ø�÷©í ô�ñ�õ�8ë�ó'� ø8ë©ê¦ð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ëö;÷©ê¹ì � êpú�ê�õ�ì�ñ�ø8õ ê�îeñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�ò¹ô�ñ�õ ê�ë ��E õEø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô5ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ�óàñ�ô�ôD�qö>�8ê�ñÉì�ë�ú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷�ø8õê�ö;ò �sê�î�8ê��uö;õ î[ñÉìÅñ�ë �8ñ��8ê�õ(��ï[öE÷�� ø8úS� í ë�ó'� ø8ë©ê�î ñ�ö��8ø8õqö;ô�ë�ö;÷©ê�ì � ê�ðqö;ñ�÷pø;û�ñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�òcô�ñ�õ ê�ë �6C ûò�ø8í ÷©ë©ê�� ì � ê�÷©êÙö;÷©ê¹ñ�õ þ õ ñÉì�ê�ôÉïcú*ö;õ�ï�ê�üíqö;ô�ôÉï"�8ø ø î�÷�� ø8úS� ñ óàñÉì ��ì � ê¹ë�ö;ú�ê¹î ñ�ö��8ø8õqö;ô�ë �I* � êÙ÷©ê�ë©í ôÉì�ñ�õ�ì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õEñ�ë(î ê þ õ ê�î7��ïEì � êÅî ñ�ö��8ø8õqö;ô�õ ê»ì¹ø;ûwö�ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ø��8÷�ö;ú �8÷©ñ�î &��Õñ��8í ÷©ê"R<$%, ���õXì � ê�ë©ê�ò�ø8õ î[ò�ö;ë©ê��&ì � êS�8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ëÅô�ñ�êVø8õlö���ï ð5ê�÷��5ø8ô�ö � C õ ê�ò�ö;õlë©ê�ê�ì �qö/ìpì � ê"�5ê�ë�ìÅë©ñÉì�íqö/ì�ñ�ø8õñ�ëEì � ê[ø8õ êló'� ê�÷©ê[ì�ó�ø^ð5ø8ñ�õ�ì�ë®ô�ñ�êXø8õ ê�ö;ò � ö;÷©ò[ø;ûVì � ê(��ï ð5ê�÷��5ø8ô�ö � � ø�ó�ê��8ê�÷��Åì � êsö;÷©ê�ö�ø;û�ö;õö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ�óàñÉì �*ú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷2ø8õ*ê�ö;ò �eê�î�8êÙñ�ë2ë©ú*ö;ô�ô�ê�÷wì �qö;õ*ñ�õ�ì � ê þ ÷©ë�ì�ò�ö;ë©ê � �Õñ�õqö;ô�ôÉï��8ô�ê»ìí ë¤ô�ø ø��Vö/ì�!�ý �8ø8õ ë & ! � Q%,uì �qö/ì2ö;÷©êàò�ø8õ��8êÈù*ö;õ î�ñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ê(ö/ìwì � ê �8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë � * ø¦ø��7ì�ö;ñ�õ�ò�ø8õ��8êÈù7ñÉì�ïö;ô�ô �8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë"�qö>�8ê*ì�ø-�5êeð ô�ö;ò�ê�îOø8õOø8õ êf� ÷�ö;õ ò � ø;û(ì � ê ��ï ð5ê�÷��5ø8ô�ö �-* � ñ�ë¦ï ñ�ê�ô�î ëcöGûjö;ò�ê*ó'� ñ�ò �Oñ�ëò�ø8õ�ì�ö;ñ�õ ê�îlñ�õlöEüíqö;÷�ì�ê�÷�ø;û�öe÷�� ø8úS� í ë�ì �qö/ì�î ê þ õ ê�ëÅì � ê�ë�ö;ú�ê�ê�÷©÷©ø8÷ �"� ê�õ ò�ê��C!�ý �8ø8õ ë�� ! � Q&�&î øõ ø;ìàô�ê�ö;îEì�ø*ö;õ�ïEñ�ú�ð ÷©øU�8ê�ú�ê�õ�ì � èsêÅò�ö;õGë�ì�ö/ì�ê�ì � ñ�ë�ì � ê�ø8÷©ê�ú�F� ��go���g i K � ë©ô ��ø8õ ë©ñ�î ê�÷ ���¹ý�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô5ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êÅô�ñ�õ ê�ö;÷(ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ëàø;ûwö�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êû�í õ ò»ì�ñ�ø8õLfI��ó'� ø8ë©ê�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�û�ø8÷©ú ñ�ëÅñ�õ î ê þ õ ñÉì�ê�ö;õ î[ì � ê�÷©ê»û�ø8÷©ê �qö;ëVö0��ï ð5ê�÷��5ø8ô�ñ�ò�ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�î."ö;ëVñÉì�ë+�8÷�ö;ð�Oë©í ÷�ûjö;ò�ê � ��õ ò�ö;ë©ê*ì �qö/ì¦ì � êEö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ìVñ�ëVî ê þ õ ê�î øU�8ê�÷�öGì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õsò�ø8õ ë©ñ�ë�ì�ñ�õ�ø;ûwò�ø8õ��8êÈù ì�ñ�ô�ê�ë¹ö;õ îGñ�õ�ì�ê�÷©ð5ø8ô�ö/ì�ñ�õ��ö/ì¹ì � ê��8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë���ì � êÅì�ñ�ô�ê�ë(ø;û¤ö;õGø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô}ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õGö;÷©ê¦÷�� ø8úS� ñ�òóàñÉì �eñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�ò¹î ñ�ö��8ø8õqö;ô�ë2ñ�õ*ì � êpð7+�ú�ê»ì�÷©ñ�ò¹ñ�õ î í ò�ê�î���ï�f � ��ì(ñ�ë2ì � êpî ñ�ö��8ø8õqö;ô�õ ê»ì(ø;ûuöVì�ñ�ô�ñ�õ��óàñÉì �ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ø��8÷�ö;ú�ë¤ó'� ø8ë©ê¦ê�î�8ê�ëàô�ñ�êpø8õGð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ëàø;ûÕ÷©í ô�ñ�õ�8ë�ø;û " �

( ø;ì�ê�ì �qö/ìàì � ê��8÷�ö;ð�Gð5ø8ôÉï&� ê�î ÷©ø8õGø;ûwö�ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ®ñ�ë �5ø;ì �Gñ�õ ë©ò�÷©ñ��5ê�î ö;õ îGò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�î®ì�ø�ì � ê��ï ð5ê�÷��5ø8ô�ñ�ò�ðqö;÷�ö��5ø8ô�ø8ñ�îE" �� ç �}ç2�}g iOzj~�g��wtuz,m�g®mÈ|H�g��õ ì � ñ�ë¹ò�ö;ë©êVó�êVø8õ ôÉï0�qö>�8êVì�ø*ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷¹ì � êVõ ø8÷©ú*ö;ô&û�ø8÷©ú f�&��8, # a��v �}ö;õ îGì � ê+�8÷�ö;ð�Dë©í ÷�ûjö;ò�êVñ�ëÙöðqö;÷�ö��5ø8ô�ñ�ò(ò»ï ô�ñ�õ î ê�÷ � * � êpú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷2ø8õeö;õeê�î�8ê¹óàñÉì � �8ê�÷�ì�ñ�ò�ê�ë�rf#]& v b � ,¤ö;õ îe�(#]& ��v b���� ,

Page 18: On piecewise linear approximation of quadratic functions

*�T p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$

�Õñ��8í ÷©ê"RU, F C ð7ì�ñ�ú*ö;ô}ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õeñ�õEì � êÅë©ê�ú�ñ�î ê þ õ ñÉì�ê�ò�ö;ë©ê

ñ�ë \#`& ��v � v , � c &k$&R!,* � ñ�ë�÷©ê� qê�ò»ì�ë�ì � êGø���� ñ�ø8í ë�ûjö;ò»ì�ì �qö/ì�ì � êGú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷�ñ�ë�õ ø;ì*ò �qö;õ�8ê�î^ó'� ê�õ\ð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ñ�õ�[ñ�õa � ý�î ñ�÷©ê�ò»ì�ñ�ø8õ �

E �õ êXì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë*ò �qö;÷�ö;ò»ì�ê�÷©ñ���ê�î ��ï�ê�üíqö/ì�ñ�ø8õ & O8,*ñ�õ\ÿ2�Z�àó'� ñ�ò � î ø õ ø;ì®ò �qö;õ�8êXì � êú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷��_�5ê�ô�ø8õ�cì�ø�ì � êÅò�ô�ö;ë©ëàø;ûÕú*ö/ì�÷©ñ�ò�ê�ë�8Lë�ö/ì�ñ�ë�û,ï ñ�õ�

8 d1l & R �� � ( l 8 # & R �� � ( c* � ñ�ë(ñ�ú�ð ô�ñ�ê�ë

8 # & $ R � �©v ��� ( c &k$�$%,

* � ê¦ò�ø8÷©÷©ê�ë©ð5ø8õ î ñ�õ��ö9 �õ ê¦ú*ö;ð ëàö;÷©êÅò�ö;ô�ô�ê�î 7�2 : C)0BA /N8 2 ;U2�8�?(2-: C"; 2-4�2-7 5�8�2-032k2 ;�ñ�õ®ì � ê@2�;U6+0 8 6�/12��G/17 5):A2&�ë©ø8ú�ê»ì�ñ�ú�ê�ëwò�ö;ô�ô�ê�î���5)7�2-7�2 5):�/17 5):A2 � ,8$! -, � * � êàê�÷©÷©ø8÷�î ê þ õ ê�î ��ï�ê�üíqö/ì�ñ�ø8õ &k$&R!,Õñ�ëwì � ê(ë©üíqö;÷©êàø;û5ì � êñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�òVî ñ�ë�ì�ö;õ ò�ê�ø;û2ì � êcì�ó�øGð5ø8ñ�õ�ì�ëpr � � ��ìc�;ö;õ ñ�ë�� ê�ë�û�ø8÷pë©ø/ý�ò�ö;ô�ô�ê�îXñ�ë©ø;ì�÷©ø8ð ñ�òVô�ñ�õ ê�ë@&�ð ÷©ø<.©ê�ò»ì�ñ�ø8õ ëø;û�ì � êe÷©í ô�ñ�õ�8ëÅø;û "�, ��* � ê��Eê�÷©÷©ø8÷Vñ�ë¦ð ÷©ê�ë©ê�÷ �8ê�î ñÉû�ó�êEö;î î ñÉì�ñ�ø8õqö;ô�ôÉï ÷©ê�üí ñ�÷©ê*î ê»ì�8 # $ R��wñ � ê � � ��� # $ R ��* � ê�ë©êÅì�÷�ö;õ ë�û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë�ò�ø8õ�ì�ö;ñ�õEì � ê��8÷©ø8í ð®ø;ûÕë©ø/ý�ò�ö;ô�ô�ê�î 2�;U6+0 8 6�/12��O4 6+032k6+: ;��

a 5 v # p a v ba 5 � # � prq�a v p a �(c &k$�,8,

C ð7ì�ñ�ú*ö;ôÙð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê[ô�ñ�õ ê�ö;÷®ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ëEñ�õ ì � ê ��� ë©ê�õ ë©êsë�ì�ê�ú û�÷©ø8ú ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôÙð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�ø;ûÙì � êGí õ ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êeû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ f�&-a v ,�# a��v � �qø8÷�ì � ê�ë©ê���ì � ê��õ ø;ì�ë*úcí ë�ì �5êð ô�ö;ò�ê�î�ê�üí ñ�î ñ�ë�ì�ö;õ�ì�ôÉï � �qø8÷¤ð ÷�ö;ò»ì�ñ�ò�ö;ôqò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷�ö/ì�ñ�ø8õ ë��ñÉì2ñ�ë¤ë©í �ò�ñ�ê�õ�ì�ì�ø¦î ê þ õ ê¹ì � ê¹ô�ñ�õ ê�ö;÷�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ëø;û�ö;õEö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�øU�8ê�÷�ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ôqë�ì�÷©ñ�ð ë2óàñÉì �eê�üíqö;ô�óàñ�î7ì � � * � êpë©ñ�î ê�ë�ö;÷©êÙðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô ì�øVì � ê a � ö�ù7ñ�ë ���ø8õ ò�ê�÷©õ ñ�õ��ì � ê��8÷�ö;ð�?�qó�ê¦ø��7ì�ö;ñ�õ ö;õ ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì¹ø;ûÕì � ê¦ðqö;÷�ö��5ø8ô�ñ�òpò»ï ô�ñ�õ î ê�÷ " ��ïGö�ð ÷©ñ�ë©ú*ö/ì�ñ�òë©í ÷�ûjö;ò�ê¦óàñÉì �Gê�î�8ê�ëÙðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô}ì�ø�ì � ê¦÷©í ô�ñ�õ�8ëàø;û4" �'* � êVú*ö�ù7ñ�úcí ú ê�÷©÷©ø8÷¹ø ò�ò�í ÷©ëpö/ì¹ì � ê¦ê�î�8ê�ëpö;õ îì � ê���ú�ñ�î ô�ñ�õ ê�ë#�cø;ûuì � ê�ûjö;ò�ê�ë^&��Õñ��8í ÷©êSRU,8, �

Page 19: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ *8'

�Õñ��8í ÷©ê"RB*HF���í�5ø/ý�ø ò»ì�ö�� ê�î ÷�ö�ö;ë @¤ø8÷©ø8õ ø8ñ}ò�ê�ô�ô�ë(ø;ûwö"�5ø î7ï�ý�ò�ê�õ�ì�ê�÷©ê�î ò�í�5ê��8÷©ñ�î

�'W�� ]DdeXYR ]Dd<R/[HZ U�a YcbA[_dE^\Y V� çLKqç �Eg��wtuz,m�gGmÈ|H�gèsê¦ø8õ ôÉï��qö>�8ê¦ì�ø�ò�ø8õ ë©ñ�î ê�÷àì � ê¦õ ø8÷©ú*ö;ô&ò�ö;ë©ê f�&-_�,\# a��v p a��� p a��� �\* � êVñ�õ î í ò�ê�î ú�ê»ì�÷©ñ�òÅñ�õEÿ2�cñ�ëì � êÅò�ö;õ ø8õ ñ�ò�ö;ô+�í ò�ô�ñ�î ê�ö;õ®ú�ê»ì�÷©ñ�ò �

* � êGð ÷©ø�� ô�ê�ú ø;û�ö;õ^ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô2ì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õ�í ë©ñ�õ�lì�ê»ì�÷�ö�� ê�î ÷�ö[ñ�ë�ú�ø8÷©êEò�ø8ú�ð ô�ñ�ò�ö/ì�ê�î ì �qö;õ�û�ø8÷� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê�û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë � ��ì2ñ�ë�ó�ê�ô�ô#ý �õ ø�óàõ�ì �qö/ì�ö;ú�ø8õ�¦ö;ô�ô ì�ê»ì�÷�ö�� ê�î ÷�ö�óàñÉì �*ö��8ñ��8ê�õ�ò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ð� ê�÷©êàì � ê÷©ê��8í ô�ö;÷Åì�ê»ì�÷�ö�� ê�î ÷©ø8õ �qö;ë¦ì � êeô�ö;÷��8ê�ë�ì��8ø8ô�í ú�ê ��� ø�ó�ê��8ê�÷��¤ò�ø8õ�8÷©í ê�õ�ì�÷©ê��8í ô�ö;÷Åì�ê»ì�÷�ö�� ê�î ÷�ö î øDõ ø;ìì�ñ�ô�êcÿ2���uõ ø8÷Åî ø��8ê�õ ê�÷�ö;ô�ò�ø8õ�8÷©í ê�õ�ì¦ì�ê»ì�÷�ö�� ê�î ÷�ö®ì�ñ�ô�êcÿ2� �6E õOö;îqö;ð7ì�ê�î[ò�ø8õ ò�ê�ð7ìcø;û�ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ñÉì�ï®û�ø8÷ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô5ì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë�óàñÉì �Eì�ê»ì�÷�ö�� ê�î ÷�ö�óàñ�ô�ô?�5êÅö�ë©í�Z.©ê�ò»ìÙø;ûuû�í7ì�í ÷©êÅ÷©ê�ë©ê�ö;÷©ò � �

� ê»ì�í ëpõ ø�óaú�øU�8êVì�øEô�ö/ì©ì�ñ�ò�êÅì�ñ�ô�ñ�õ�8ë �e* � ê�÷©ê�ö;÷©ê þ �8êcì�ï ð5ê�ë�ø;û @¤ø8÷©ø8õ ø8ñuò�ê�ô�ô�ë¹ì �qö/ìpú*ö�ï ø ò�ò�í ÷&�ë©ê�ê*ì � ê þ �8í ÷©êeø8õ ðqö��8ê#' R!$Gø;û @¤ø8ô�í ú�ê 2 ø;û � $�,+ -,�F�ðqö;÷�ö;ô�ô�ê�ô�ø;ì�ø8ð5ê��I� êÈù ö��8ø8õqö;ô2ð ÷©ñ�ë©ú��w÷�� ø8úS� ñ�òî ø î ê�ò�ö�� ê�î ÷©ø8õ?�¹ê�ô�ø8õ��ö/ì�ê�î\î ø î ê�ò�ö�� ê�î ÷©ø8õ?�Ùö;õ î\ò�í�5ø/ý�ø ò»ì�ö�� ê�î ÷©ø8õ &jö;ô�ë©øsò�ö;ô�ô�ê�î ì�÷©í õ ò�ö/ì�ê�î ø ò»ì�ö�ý� ê�î ÷©ø8õQ, � ��÷©ê�ë©ò�÷©ñ�� ñ�õ�[ì � ê0�8ø8ô�í ú�êGø;ûpì � ê®ì�ñ�ô�ê�ë��2ó�êDò�ø8õ<.©ê�ò»ì�í ÷©êGì �qö/ì�ì � ê ë©ú*ö;ô�ô�ê�ë�ì�î ñ�ö;ú�ê»ì�ê�÷�ñ�ëø��7ì�ö;ñ�õ ê�î[ñ�õsö®ë©ð5ê�ò�ñ�ö;ô�ë©ñÉì�íqö/ì�ñ�ø8õlø;û�ì � ê�ô�ö/ì©ì�ê�÷�ò�ö;ë©ê)F¦ì � ê�í õ î ê�÷©ôÉï ñ�õ�Gô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê�ñ�ë¦ö®ò�í�5ê �8÷©ñ�îlð ô�í ëì � êÙú�ñ�î ð5ø8ñ�õ�ì�ë�ø;û}ì � êÙò�í�5ê�ë � ��ì�ñ�ë2ò�ö;ô�ô�ê�îh= 6>:�3� � 2 : 0 2�8 2 : � �H= 2 7 5)03032�� 2 � * � êÙò�ø8÷©÷©ê�ë©ð5ø8õ î ñ�õ��@¤ø8÷©ø8õ ø8ñò�ê�ô�ô}ñ�ë¹ö�ò�í�5ø/ý�ø ò»ì�ö�� ê�î ÷©ø8õ�&�ë©ê�ê �Õñ��8í ÷©êSRB* ,��qñÉì(ð5ø8ë©ë©ê�ë©ë©ê�ëpö�ò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ð� ê�÷©ê � '+ �

* � ê¦ø8õ ôÉïe÷©ê�ë©í ôÉìàû�÷©ø8úéò�ø8õ��8êÈù7ñÉì�ï®ó'� ñ�ò � ë©ø8ô��8ê�ë¹ö;õGñ�õ ë�ì�ö;õ ò�ê¦ø;ûuì � ê¦ð ÷©ø�� ô�ê�ú�ë �5ê�ñ�õ��î ñ�ë©ò�í ë©ë©ê�îñ�ë�î ê�î í ò�ê�î\û�÷©ø8ú ì � ê ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ�ø;ûpì � ê ú�ø8ú�ê�õ�ì�ð ÷©ø�� ô�ê�ú ñ�õ ÿ2����ï �%� [�!"�� ö;õ î�� ���#%��!" � ,+ k�ó'� ñ�ò �*÷©ê»û�ê�÷©ë2ì�øÅì � ê¹ò�ö;ë©ê � &�� , # ���U�ñ � ê � ��ì�øÅì � ê ��v¤ê�÷©÷©ø8÷�ó'� ê�õ*ó�êpö;ë©ë©í ú�êÙöÅò�ñ�÷©ò�í ú�ë©ò�÷©ñ��5ê�î �8÷�ö;ð�ð5ø8ôÉïì�ø8ð5ê � * � êÅø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ô�ö/ì©ì�ñ�ò�êÙû�ø8÷�ì � ñ�ë(ò�ö;ë©ê¦ñ�ë�ì � ê��5ø î7ï�ý�ò�ê�õ�ì�ê�÷©ê�î ò�í�5êÅô�ö/ì©ì�ñ�ò�ê �

Page 20: On piecewise linear approximation of quadratic functions

Q � p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$� ç I}ç ��tu~�g��wtuz,m�g mÈ|H�g rqtu~ ��g iOzj~�g��wtuz,m�g®mÈ|H�g ���ì®ñ�ëe÷�ö/ì � ê�÷Eò�ø8ú�ð ô�ñ�ò�ö/ì�ê�î^ì�ø ö;õ ë�ó�ê�÷Eì � êlñ�õ î ê þ õ ñÉì�êDò�ö;ë©ê��Ùó'� ê�÷©êXì � êXõ ø8÷©ú*ö;ô¹û�ø8÷©ú ñ�ë�f�&-_�,�#a��v p a��� � a��� � * � êVë©ê�ú�ñ�î ê þ õ ñÉì�êÅò�ö;ë©ê�ëÙ÷©ê�î í ò�ê¦ì�ø*ô�ø�ó�ê�÷¹î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õqö;ô}ë©ñÉì�íqö/ì�ñ�ø8õ ëàö;õ îGì �í ëÙî ø*õ ø;ì÷©ê�üí ñ�÷©ê(ö�ë©ð5ê�ò�ñ�ö;ô ì�÷©ê�ö/ì�ú�ê�õ�ì � �qø8÷wêÈù ö;ú�ð ô�ê�� f�&-_�,�#ta��v pja��� � ñ�ê»ó�ê�î*ö;ë¤öÙì�÷©ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê¤û�í õ ò»ì�ñ�ø8õcï ñ�ê�ô�î ë� êÈù ö��8ø8õqö;ô&ð ÷©ñ�ë©ú*ö/ì�ñ�ò¹ì�ê�ë©ë©ê�ô�ô�ö/ì�ñ�ø8õ ë(øU�8ê�÷Ùö�÷©ê��8í ô�ö;÷ � êÈù ö��8ø8õqö;ô}ì�ñ�ô�ñ�õ�cñ�õEì � ê a v a � ý�ð ô�ö;õ ê �

� o5tuæ�hjku��z�o5t rqtu~���k&m�k���g ��g ��gr �/æ/�èsê+�qö>�8ê�î ñ�ë©ò�í ë©ë©ê�îXø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êVô�ñ�õ ê�ö;÷Ùö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õGø;û�üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò¦û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë � ��ìÙì�í ÷©õ ê�îø8í7ì(ì �qö/ì¹öS�;ö;÷©ñ�ê»ì�ïEø;ûu÷©ê�ë©í ôÉì�ë(û�÷©ø8ú ò�ø8õ��8êÈùDö;õ îGî ñ�ë©ò�÷©ê»ì�ê��8ê�ø8ú�ê»ì�÷�ïeñ�ëàö>�;ö;ñ�ô�ö�� ô�ê¹û�ø8÷�ì � ê�� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê��î ê þ õ ñÉì�ê*ò�ö;ë©ê � èsê*ò�ø8í ô�îOö;ô�ë©ø ë©ê»ì©ì�ô�ê�ì � ê*ñ�õ î ê þ õ ñÉì�ê�ò�ö;ë©êeñ�õ[ì�ó�øDî ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õ ë��ÕñÉû�ó�êeí ë©ê�ì � ê����ê�÷©÷©ø8÷�� ë�ì�í î7ï ñ�õ��ì � ê$�Vê�÷©÷©ø8÷(ñ�ëàö�ì�ø8ð ñ�òÙû�ø8÷�û�í7ì�í ÷©êÅ÷©ê�ë©ê�ö;÷©ò � ��q÷©ø8ú ì � êpð ÷�ö;ò»ì�ñ�ò�ö;ô�ð5ø8ñ�õ�ì�ø;û � ñ�ê»ó�� ì � êÙ÷©ê�ë©í ôÉì�ë�ñ�õ�ì�ó�øcî ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õ ë\�8ñ��8êÙí ë�ë©í �ò�ñ�ê�õ�ì(ñ�õ7û�ø8÷©ú*ö�ýì�ñ�ø8õEø8õ®ì � ê��5ê��qö>� ñ�ø8÷(ø;ûÕø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô}ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë(ø;û/� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êpüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�òpû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë �

E õsñ�ú�ð5ø8÷�ì�ö;õ�ì�ì�ø8ð ñ�ò�û�ø8÷Åû�í7ì�í ÷©ê�÷©ê�ë©ê�ö;÷©ò � ñ�ë�ì � ê*ö;ð ð ô�ñ�ò�ö/ì�ñ�ø8õlø;û�ì � ñ�ë��õ ø�óàô�ê�î�8ê�ì�ø®ì � ê*ò�ø8õ ýë�ì�÷©í ò»ì�ñ�ø8õ ø;ûÙð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êGô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�ø;ûc� ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�ê*û�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë�óàñÉì ��õ ê�ö;÷©ôÉï ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô\�õ ø;ìð ô�ö;ò�ê�ú�ê�õ�ì � �qø8÷ÙêÈù ö;ú�ð ô�ê��}öeô�ø ò�ö;ôuüíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ ð ÷©øU� ñ�î ê�ëpñ�õ7û�ø8÷©ú*ö/ì�ñ�ø8õGø8õDì � ê�ô�ø ò�ö;ô�5ê��qö>� ñ�ø8÷�ø;û ö;õ¦ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô8ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©ê¤ô�ñ�õ ê�ö;÷�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ ��C õ ê�ó�ö�ïÅì�øÙö;ð ð ôÉïÙì � ñ�ë��/ñ�ë�ñ�õ�û�ø8÷©úÛø;û ò�÷©ñ#ýì�ê�÷©ñ�öÙû�ø8÷wú�ê�ë���î ê�ò�ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ�ö;ô��8ø8÷©ñÉì � ú�ë � KGø8÷©ê�øU�8ê�÷�� ñÉì�ë©ê�ê�ú�ë�÷©ê�ö;ô�ñ�ë�ì�ñ�ò2ì�øÅò�ø8õ ë�ì�÷©í ò»ì2õ ê�ö;÷©ôÉïVø8ð7ì�ñ�ú*ö;ôö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�� ñ�öVô�ø ò�ö;ô5üíqö;î ÷�ö/ì�ñ�ò þ ì�ëàö;õ î®ö;ð ð ÷©ø8ð ÷©ñ�ö/ì�êÙú�ê�÷��8ñ�õ�Vø;û&ì � êpô�ø ò�ö;ô5ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õ ë ��E ì � ê�ø/ý÷©ê»ì�ñ�ò�ö;ô&û�ø8í õ îqö/ì�ñ�ø8õ®û�ø8÷¹ì � ñ�ëÙö;ð ð ÷©ø�ö;ò �Dñ�õ ò�ö;ë©êVø;û¤ð5ø8ë©ñÉì�ñ��8ê¦ò�í ÷ �;ö/ì�í ÷©ê+�qö;ëÙ÷©ê�ò�ê�õ�ì�ôÉï7�5ê�ê�õDð ÷©øU� ñ�î ê�î��ï � � � � � �� "( � $+*+ � ��ìVë�� ø8í ô�î �5ê�ð5ø8ñ�õ�ì�ê�î[ø8í7ì¦ì �qö/ì¦ê��8ê�÷�ïó'� ê�÷©êEô�ø ò�ö;ô�ôÉï ø8ð7ì�ñ�ú*ö;ô�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ#ýú*ö;õ�ì�ë¹î ø*õ ø;ìÙêÈù7ñ�ë�ìpñ�õ��8ê�õ ê�÷�ö;ô ��ö;ë�ï ú�ð7ì�ø;ì�ñ�ò�ö;ô�ôÉï*ì � ñ�ëàó�ø8í ô�î7�5êVð5ø8ë©ë©ñ�� ô�êÅø8õ ôÉï®ñÉûÕì � ê�)àñ�ê�ú*ö;õ õ ñ�ö;õø8÷Ùð ë©ê�í î ø/ý )àñ�ê�ú*ö;õ õ ñ�ö;õ ú�ê»ì�÷©ñ�ò¦ñ�õ î í ò�ê�îXø8õ ì � êS�8÷�ö;ð�Dë©í ÷�ûjö;ò�êS��ïDñÉì�ëÙë©ê�ò�ø8õ îDû�í õ îqö;ú�ê�õ�ì�ö;ôuû�ø8÷©úñ�ë �ö/ì ���õ)� ñ���� ê�÷�î ñ�ú�ê�õ ë©ñ�ø8õ ë��;ì � ê(ð ÷©ø�� ô�ê�úTñ�ëwúcí ò � �qö;÷©î ê�÷ � � ø�ó�ê��8ê�÷�� ñÉì�ë�� ø8í ô�î)�5ê(ð5ø8ë©ë©ñ�� ô�ê�ì�ø�ë©ø8ô��8êì � ê ��� ò�ö;ë©êàû�ø8÷�!�# ,Vö;õ î�ì � ê�÷©ê���ï*ð ÷©øU� ñ�î êÙö��qö;ë©ñ�ë¤û�ø8÷��õ ø;ì�ð ô�ö;ò�ê�ú�ê�õ�ì�ö;ô��8ø8÷©ñÉì � ú�ëwñ�õ�ð ñ�ê�ò�ê»óàñ�ë©êô�ñ�õ ê�ö;÷(ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö;õ�ì�ë�ì�ø�ì�÷©ñ��;ö;÷©ñ�ö/ì�êÙû�í õ ò»ì�ñ�ø8õ ë �B�ö/ì�öe÷©ê�î í ò»ì�ñ�ø8õ[ö;õ î � ñ�ê�÷�ö;÷©ò � ñ�ò�ö;ô�ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õ ë©ò � ê�ú�ê�ëVö;÷©ê�êÈù ì�÷©ê�ú�ê�ôÉïXñ�ú�ð5ø8÷�ì�ö;õ�ìpñ�õDì � êò�ø8õ�ì�êÈù ì�ø;ûpö;õqö;ôÉï&��ñ�õ�[ö;õ î�� ñ�ë©íqö;ô�ñ���ñ�õ� ì � ê®ú*ö;ë©ë©ñ��8ê®îqö/ì�öXë©ê»ì�ë�÷©ê�ë©í ôÉì�ñ�õ�Xû�÷©ø8ú ê�ñÉì � ê�÷�õí ú�ê�÷©ñ�ò�ö;ôë©ñ�úcí ô�ö/ì�ñ�ø8õ ëÅø;û¹ð��ï ë©ñ�ò�ö;ô�ð� ê�õ ø8ú�ê�õqöXø8÷+� ñ���� ý�÷©ê�ë©ø8ô�í7ì�ñ�ø8õsñ�ú*ö��8ñ�õ� ��* � êEú�ê»ì � ø î ëVó�êf�qö>�8ê®ð ÷©êÈýë©ê�õ�ì�ê�îlñ�õGì � ñ�ëÙðqö;ð5ê�÷ �qö>�8ê"�8÷©ê�ö/ìpð ÷©ø8ú�ñ�ë©êÅì�øeñ�ú�ðqö;ò»ì¹û�í7ì�í ÷©êc÷©ê�ë©ê�ö;÷©ò �lë©í ð ð5ø8÷�ì�ñ�õ�*÷©ê�î í ò»ì�ñ�ø8õXö;õ î� ñ�ê�÷�ö;÷©ò � ñ�ò�ö;ô&ö;ð ð ÷©ø�ù7ñ�ú*ö/ì�ñ�ø8õeñ�õEì � ñ�ë(ò�ø8õ�ì�êÈù ì �å æ��&t�o3 *h�g ~���g isg t5m��èsê�ö;÷©ê2ø�� ô�ñ��8ê�îÅì�ø ��÷©ø;û�ê�ë©ë©ø8÷ � � � � � �� "( �ö;õ î�� Y� � � � ����� ���Eû�ø8÷�ì � ê�ñ�÷uö;î � ñ�ò�ê�ö;õ îVð5ø8ñ�õ�ì�ê�÷©ëì�ø�ì � êÅô�ñÉì�ê�÷�ö/ì�í ÷©ê �

* � ê(ô�ö;ë�ìÕì � ÷©ê�êàö;í7ì � ø8÷©ëÕó�ê�÷©êàë©í ð ð5ø8÷�ì�ê�î)��ïVì � ê ( ö/ì�ñ�ø8õqö;ô " ò�ñ�ê�õ ò�ê �qø8í õ îqö/ì�ñ�ø8õcí õ î ê�÷�ò�ø8õ�ì�÷�ö;ò»ìE �\� '�O�$+* ��,)*W&k� E )�+4+ ) E ó�ö;÷©îQ, �2ì � ê C �ò�êGø;û ( ö>�;ö;ô�)àê�ë©ê�ö;÷©ò �^í õ î ê�÷�ò�ø8õ�ì�÷�ö;ò»ì ( � � � RB*/ý<'8$�ýR»ý ��$�$�$&�(ì � ê E ÷©úVï )àê�ë©ê�ö;÷©ò � C �ò�êlí õ î ê�÷®ò�ø8õ�ì�÷�ö;ò»ì E ) C ,�O�Q)'�T�ý K E ý )'� �I�2ì � ê ( E "�E E ú�ê�ë)àê�ë©ê�ö;÷©ò � ��ê�õ�ì�ê�÷�ì � ÷©ø8í����ö;õ ( ) E ö�ó�ö;÷©î�í õ î ê�÷�ò�ø8õ�ì�÷�ö;ò»ì ( E I�$�ý R<$&RUO �/ì � ê � ö�óà÷©ê�õ ò�ê � ñ��8ê�÷©ú�ø8÷©ê( ö/ì�ñ�ø8õqö;ô � ö��5ø8÷�ö/ì�ø8÷�ï®ì � ÷©ø8í���lö;õ E " �\� E "�E � � ê��8ê�ô#ý $*í õ î ê�÷�ò�ø8õ�ì�÷�ö;ò»ì�è\ý $+* ��Q�ý + ( IÙýe*�Th&jö;õ î2 ,�,�Q�,�Q�T � 2 ,)* $�T8$�T8, ��ö;õ î^ì � ê ( ø8÷�ì � E ì�ô�ö;õ�ì�ñ�ò * ÷©ê�ö/ì�ï C ÷���ö;õ ñ���ö/ì�ñ�ø8õ & ( E * C ,�í õ î ê�÷eò�ø8õ�ì�÷�ö;ò»ì��)�I � '8$&RUO�$�T¹ö�ó�ö;÷©î ê�î�ì�ø¹ì � ê . õ ñ��8ê�÷©ë©ñÉì�ï¦ø;ûA��ö;ô�ñÉû�ø8÷©õ ñ�ö �<B�ö>� ñ�ë � èsê�ö;ô�ë©øpö;ò �õ ø�óàô�ê�î�8ê�ì � ê�ë©í ð ð5ø8÷�ìø;û " ñ�ô�ñ�ò�ø8õ I�÷�ö;ð� ñ�ò�ë�����õ ò � ��ö;õ îcì �qö;õ�Åì � ê�ú�ê�úS�5ê�÷©ëÕø;ûqì � ê\@pñ�ë©íqö;ô�ñ���ö/ì�ñ�ø8õ * � ÷©í ë�ì2ö/ìÕì � ê'��ê�õ�ì�ê�÷wû�ø8÷��ú*ö��8ê ��÷©ø ò�ê�ë©ë©ñ�õ�*ö;õ î0��õ�ì�ê��8÷�ö/ì�ê�î���ø8ú�ð í7ì�ñ�õ��&k�\� � � ��,àö/ìàì � ê . õ ñ��8ê�÷©ë©ñÉì�ïEø;û ��ö;ô�ñÉû�ø8÷©õ ñ�ö � B�ö>� ñ�ë �

Page 21: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ Q&R� Z�U�ZC] ZIYcb[Z�V

� R� � ���h�(� ��%� � % ����� ���h�1� "�������%���F�� :�2 � � 2k2 : 0 5)7 CZ698�2-0BA�4W;>698�0 2�8 8 5)2-: ; 2-4 /17�2 + � 5)032k6+: � ��÷©ø ò �T/ì � E ��K-� " � I E � * ý " � E K " ï ú�ð5ø8ë©ñ�í ú ø8õ�Bpñ�ë©ò�÷©ê»ì�ê E ô��8ø8÷©ñÉì � ú�ë & "HC B E � '8$%, � E ë©ë©ø ò�ñ�ö/ì�ñ�ø8õû�ø8÷e��ø8ú�ð í7ì�ñ�õ�6K ö;ò � ñ�õ ê�÷�ï�� ( ê»ó��2ø8÷��-R('%'8$&�ARU,%'NRB* $ �� $! ��O�����! #"Q�!$#%�&'&'"( F �'6��\2�8S:)235�C�8 5)4+;>=/N8 6�/_2�8�032k2 ; &G5)7 CZ698�2-0BA�4+;^5):N:g5�/8/17�2�� 5)032k6+: ; �Q" � E K � ���ø8ú�ð í7ì�ñ�õ�EK � �1$�T '�O�&ER('�T8$%, �� ,+ �� � ��� �%� [�!"�� � �����[� ��� � ���#%��!" F ) A_2 6�/1032-465)787 5)03032�� 2�"$�H5): 032('<2�82-:@0BA&8 2 2 :)2-4 2 : ; 2k6+: ; �(" � E K� �HE ô��8ê�� ÷�ö;ñ�ò Bpñ�ë©ò�÷©ê»ì�ê^KGê»ì � ø î ë��C�_, ��ýe*R6&ER('�T�,8, �� *) �� � "Q��� F �e2 6+4 2 0 8�2�; � A_2 ) 8 5): ; ;>698�465)032k6+:A2 : � 2 ñ�� ô�ñ�ø��8÷�ö;ð� � ��õ ë�ì�ñÉì�í7ì>�1K ö;õ õ� ê�ñ�ú R('%'�$ �� Q! ���� "(���#"������ % $!"( �� 6� �'" �# �� F#�S2�8�CZ6+7�:Z2 :A2cG � A�: 2-030 � 2 ñ�� ô�ñ�ø��8÷�ö;ð� � ��õ ë�ì�ñÉì�í7ì>� K ö;õ õ� ê�ñ�ú

R('�T�T �� O+ � � � � �� ���!" %#��� ����� %�$!& %������ � � � ��� � "������ ��F����[5H �D5)?�2 7�2 0 ;>=�� 4 ��7�032 8 2 ;U6+7%��032k6+:

5):15)7 3U; 2�; �Y2-0BA :A6+: e:A2 ; 0 2 :�;e/H5 � 2 ; � ��õ F��g�! '% ��"���� � � � � � � "������ � &�ê�î ë � ,�F �[2�; �H5)7�2('(5)032k6+:" L #9�� +4+4+ ��ø8ú�ð í7ì�ê�÷ " ø ò�ñ�ê»ì�ï ��÷©ê�ë©ë�� � ø8ë E ô�ö;ú�ñÉì�ø8ë��� E � R('%'�O �H*�,�*�T �� $! ��h� ��� ���� ����[� �;÷ � � � � � ����� ���DF$�>/8/N8 6�9%2-465)032k6+: 6<; � 6+: ?�2 9 = 6>:)2k2 ;h5):N: 5L4 6+4 2 : 0 ��4

7�2 4�465�;>698G/_6��\2�8�:)235�C�8 5)4+; � KGø8õqö/ì�ë�� � K ö/ì � � K I �A� R�� R%NR�R���&ER('%'%'8, �� T+ � ��& ������� ���'��� � � "�� ���� �� %����'��&@��� � ��� %����'�(� � �'�)�����*�+�g� �� �(���������F�F ��7�032 8 2 ;U6+7%�

032k6+: 4 6>:Z2 7�2-: Cg5):N:g?(2�; �H5)7�2('(5)032k6+: 6<;^?�6+7%��4 2):85)0 5�=�5<;U2 :�6+:�; 2-4 /17�2�� 235)7� 6+4 /17�2 9&2 ; � ��õ F������ �� %#�), & %����-� �.� �����"( �&�ê�î ë � ,�F'J�L�L�MfGD3+4 /_6U; 2���4 6+: �D6+7%��4 2��[2�; �H5)7�2('(5)032k6+:_��� +4+4+ ��ø8ú�ýð í7ì�ê�÷ " ø ò�ñ�ê»ì�ï ��÷©ê�ë©ë�� � ø8ë E ô�ö;ú�ñÉì�ø8ë��_� E � R('%')*�AR('$�O �

� '+ ���� ��� � ��& �-/�" �#"( F*0'2 C ��7 5�8 �'6+7 3+0 6�/_2 ; � BpøU�8ê�÷ ��í� ô�ñ�ò�ö/ì�ñ�ø8õ ë����õ ò � � ( ê»ó1�2ø8÷��7R('8$�, �� R��+ � � � "��!���������"�� �32��h� "�������� "( ��%F4� 7�6 � 5)7-7 3 6�/1032-465)7�0 8�235): C ��7 5)032k6+: 6<;r0BA_2�A&3�/_2�8�= 6+7�2��

/H5�8 58= 6+7�6+2 : � ��÷©ø ò � $�ì �7��ö;õqö;î � ��ø8õ7û � ��ø8ú�ð � I�ê�ø8ú � R('%'�Q&� *8'Q+* �� R�R� ���G��������� � � "����-��� ���!� �5��� %YF��^5)0 57:Z2e/_2 :N:Z2 : 0�0 8�235): C ��7 5)032k6+: ;G;>698 /12k2�� 2��Y2�;U2�7�2-:A2 5�8 2-: 0 2�8 /_6+7 5)032k6+: � � K E � ��( í ú�ê�÷©ñ�ò�ö;ô E õqö;ôÉï ë©ñ�ë$K�� �?RU,8$6NR<Q+*�&ER('�T�T8, �� R<$! ���>�������G� � � "����-��� ����� �5��� %YF7� 7 CZ698�2-0BA�4+;>;>698 0BA_2 � 6+: ; 0 8!� � 032k6+: 6<;":85)0 5-:Z2e/_2 :N:Z2 : 0G0 8�2

5): C ��7 5)032k6+: ; � ��õ F3�[�8&@� � % ��� ��� � � � �9& �-/ &�ê�î ë � ,�F:� 7 CZ698�2-0BA�4+;�;>698;�>/8/N8 6�9%2-465)032k6+:=<>< ��\�qö;ð ú*ö;õGö;õ î � ö;ô�ôk� ( ê»ó1�2ø8÷��7R('%' � �?RUT�Q6NR('�$ �� RU,+ � �?� ��*����� � � � "������ ")� �j� � �� $#%�&7�)�@���7� �(���(")� � � � ������� "( 8���A� � � �#�!" �CB� � " FfF ��7�032 8 2 ;U6+7%��032k6+: 5):15)7 3U; 2�;�6<;#5�8�=�2-0 8 5�8 3 4 2 ; A_2 ; � ��õ F��g�A& �����`&�ê�î � ,�F �\8 6 � 2 2 :)2-: C<;06<;GD< � �E0!� ��F J�L�LHG�� E ��K ��÷©ê�ë©ë�� ( ê»ó1�2ø8÷��-R('%'�Q&�AR!$�,NRUT�$ �� RB*) ������ ��"���� �����!"( F�� 7 CZ698�2-0BA�4+;O2-: H�6+46=�2-:15)0 698�235)7 �e2 6+4 2 0 8 3 �1" ð ÷©ñ�õ�8ê�÷�� R('�T8$ �� R<Q! � ��� "�� "�� � �� �#$�F��[5�CZ2�8!��: CZ2 : 2-: :Z2�8 ��= 2 :A2 &�5 ��; :Z2�871 ��CZ2 7*��:N:W2-4I0�5 ��4 � $/õ î ê�î � �

" ð ÷©ñ�õ�8ê�÷�� 2 ê�÷©ô�ñ�õ�R('8$�$ �� RUO+ �j� ��� � � "Q����� 6�7� %�& %��������h��J(�A� �m��� � � � � �� $!����� & %����@J(���[� �� � � ���%F H�6+: ; 0 8!� � 0� 2-: CMA�2k2�8 5�8 � A�2k2 ;>;>698�0 8�235): C)7�2 4 2 ; A_2 ; � � +4+4+ * ÷�ö;õ ë�ö;ò»ì�ñ�ø8õ ë�ø8õ-@pñ�ë©íqö;ô�ñ���ö/ì�ñ�ø8õ ö;õ î ��ø8ú�ð í7ì�ê�÷

I�÷�ö;ð� ñ�ò�ë!�C�?RB*ZQ6NRUO R6&ER('%'�T8, �� R!$! K2�� � � "( ��-���DF��D698�7�2 ; ��: CZ2 :ML�H= 2�8 A!L6�A_2�8 2 �e2 6+4 2 0 8�2k2 � @pñ�ê»ó�ê��� 2 ÷�ö;í õ ë©ò ��ó�ê�ñ��®ý¹è ñ�ê�ë��qö;î ê�õ

R('�T�$ �� RUT+ � ����� � ����� �+�g� ��%�� ���'��2�� � � %!% ��� F�N�5<; 0�4 ��7�032 8 2 ;U6+7%��032k6+:�; �&8-;�5 � 2 4 2 ; A�2-: C � ��õ F � � � �

� � "������ ����� � � ��� ��"( &�ê�î ë � ,�F �[2�; �H5)7�2('(5)032k6+: " LHG���� +4+4+ ��ø8ú�ð í7ì�ê�÷ " ø ò�ñ�ê»ì�ï ��÷©ê�ë©ë�� � ø8ëE ô�ö;ú�ñÉì�ø8ë��� E � R('%'�Q&�?RU,�Q6NRB*Z$ �

Page 22: On piecewise linear approximation of quadratic functions

Q�$ p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$� R('+ �g��� �������*��&@� ����! ������ �j�A�' !���HF ) A_2#4 ��7�032-7�2 ?�2 7(+: 2-0 272 7�2 4 2 : 0 4 2 0BA_6>: ;>698g5�:85�/1032-?�24 2 ; A(6�/1032-4�2('(5)032k6+:L5):N:�?(2�; �H5)7�2('(5)032k6+:�6<;^?�6+7%��4 2):85)0 5 � ��õ FA�g�� '% ��"��������*� % ��"Q� &�ê�î ë � ,�F�[2�; �H5)7�2('(5)032k6+: " L � �� +4+4+K��ø8ú�ð í7ì�ê�÷ " ø ò�ñ�ê»ì�ï ��÷©ê�ë©ë�� � ø8ë E ô�ö;ú�ñÉì�ø8ë��� E � R('%'8$&�_,�T8$6 ,%')* �� $ �+ � � � � � �� "( F �D6+7%��4 2�5�/8/N8 6�9%2-465)032k6+: 6<; � 6+: ?�2 9�= 6>:)2k2 ;�=�3 2-: ; ��8�23= 2 :6/_6+7 3+0 6�/_2 ; � K ö/ì � �

E õ õ � I��K_�N$�$)'$+*ZQg&ER('�T�T8, �� $&R� � � � � � �� "( F �D6+7%��4 2�5�/8/N8 6�9%2-465)032k6+:-6<;�� 6+: ?�2 96= 6>:)2k2 ;O=�3 � 2 8 � ��4+; ��8�23= 2 : /_6+7 3+0 6�/_2 ; �&* � ê@pñ�ò»ì�ø8÷ �ô�ê�ê �qê�ë�ì�ë©ò � ÷©ñÉû,ì>�Bc� K E � "g" ê�÷��C� E ú�ê�÷©ñ�ò � K ö/ì � � " ø ò � ����÷©øU� ñ�î ê�õ ò�ê�� )'� �AR('%' R�� , �%', R!$ �� $�$! � � � � � �� "( F � ;�3+4 /10 6+032��(2 ; 032-465)0 2 ;�;>698h= 2 ; 0�5):N:(; 0 2e/ �Y2�;U2h5�/8/N8 6�9%2-465)032k6+: 6<; � 6+: ?�2 9

= 6>:)2k2 ;?<>< � �qø8÷©í ú K ö/ì � � � �NQ�$&R%Q�,�T�&ER('%'�,8, �� $�,+ � � � � � �� "( ��!�[� � �E� �������®ê�î ë � F FO5):N:8= 6U6 �76<;0H�6+: ?�2 9 �e2 6+4 2 0 8 3 � @¤ø8ô�í ú�ê�ë E ö;õ î 2 �

( ø8÷�ì � � ø8ô�ô�ö;õ î?� E ú�ë�ì�ê�÷©îqö;ú R('%'�, �� $+*) � � � � � �� "( F���/1032-465)7>5�8 8 5): CZ2 4 2 : 0�6<; +: 2-0 2�/_6+2-: 0e;U2 0 ;#2-::0�2k2 465): : 235):�� e465): 2 ;>6+7�:<; ���÷©ø ò �1" ì�ê��ô�øU��K ö/ì � � ��õ ë�ì � &ER('%'%'8, �7ì�ø�ö;ð ð5ê�ö;÷ �� $�Q! �6�(� %�& %�����FE� :85)0 5)8 2 : � � 032k6+:0; � A_2 4 2 ;>698 0 8�235): C ��7 5)0 2 :"; �&8-;�5 � 2 ; � ��ø8ú�ð í7ì � E ñ�î ê�î�I�ê�ø8ú �Bpê�ë � K�K_� R('8$6$&RB*�&ER('%')* , �� $�O+ �6�7� %�& %�����F H �&8�?+5)0 �&8 2�5�/8/N8 6�9%2-465)032k6+:P6<;�� � 465): 2 ;>6+7�:<;j2-: M � ;e/H5 � 2 � ��ø8ú�ð í7ì � E ñ�î ê�îI�ê�ø8ú � Bpê�ë � K�K_�_O�$&R% O�,�,�&ER('%')* , �� $%$! �6�9� %�& %�����F H �&8�?+5)0 �&8 2 5�/8/N8 6�9%2-465)032k6+: ;>698h0 8�235): C ��7 5)0 2 : ; �&8-;�5 � 2 ; � ��õ F � � � %� ��-�������� % ��"Q���A��� � ��� �#"(&'"�� "( &�ê�î ë � ,�F �e2 6+4 2 0 8�2�� F(6>:Z2 7�2-: C�����ø8ú�ð í7ì�ñ�õ� " í ð ð ô � T � " ð ÷©ñ�õ�8ê�÷R('%'�, �?RU,%'NR<Q�, �� $�T+ �6��� %�& %������ 6� � �!� �� � %���� � � ���E� ��� " �DF��G: 5 � 6+: ; 0 8!� � 032k6+: 6<;@5�A�2k2�8 5�8 � A&3-6<;6= 2 ; 0

7�2-:A2 5�8 ;e/17�2-:A2�5�/8/N8 6�9%2-465)032k6+: ;���; 2-: Cc8 2e/_2 5)0 2 :O=�2�;U2�� 032k6+: � � +4+4+ * ÷�ö;õ ë�ö;ò»ì�ñ�ø8õ ëuø8õ�@pñ�ë©íqö;ô�ñ���ö/ì�ñ�ø8õö;õ î-��ø8ú�ð í7ì�ê�÷ I�÷�ö;ð� ñ�ò�ë � &ER('%'%'8, �� $)'+ ����� �(���(" F�\8 6DC�8 2 ; ; 2-?�2�4 2 ; A_2 ; � ��õ F@����� ��� $!&'"�� "( k&�ê�î � ,�F �\8 6 � 2 2 :)2-: C<; 6<;SGD< � �E0!� ��FJ�L�L #9� E ��K ��÷©ê�ë©ë�� ( ê»ó1�2ø8÷��7R('%'�O � '%'NR���T �� , �+ ��[��� ��� $!"��*� � ����% ��� "( F9N ��:N:85)4 2 : 0 5)7 ;f6<;7H�6+4 / ��0 2�8 � 2 :Z2 : �e2 6+4 2 0 8�2�� �S2 ; 2�C): � E+� ��uê»ì�ê�÷©ë���èsê�ô�ô�ê�ë©ô�ê»ï��QK E � R('%'�, �� , R� ����� � � ������� " �DF ) A_2 �O2-?(2-:A2 �\8 6�/_698�032k6+: � GQ0 �:�3 2-:PF 5)0BA_2 465)032�� 5)7��c2 5 ��0 3 � BpøU�8ê�÷��í� ô � � ( ê»ó��2ø8÷��-R('8$ � �� ,�$! � � � "�������� %� %������%F � �6�/1032-465)7 � :)2-4 2 : ; 2k6+:15)7%0 8�235): C ��7 5)032k6+: ;1;>698�/12k2�� 2��Y2�;U2D7�2-:A2 5�8D2-: 0 2�8 /_6� 7 5)032k6+:N= 5@:A2�� 8 2 ; ��7�0\6+:-:85)0 5 :Z2e/_2 :N:Z2 : 0 0 8�235): C ��7 5)032k6+: ; �&* ê�ò � õ ñ�ò�ö;ô )àê�ð5ø8÷�ì'� " ý<'�,�ý RU, � Bpê�ð7ì �ø;û ��ø8ú�ð í7ì�ê�÷ " ò�ñ�ê�õ ò�ê�� . ì�÷©ê�ò ��ì . õ ñ��8ê�÷©ë©ñÉì�ï��CR('%'�, �� ,�,+ � �Y� % � � "( F �>2k2�� 2��Y2�;U2O7�2-:A2 5�8^= 2 ; 0 ���65�/8/N8 6�9%2-465)032k6+: 6+: 0 8�235): C ��7 5)032k6+: ; � ��õ F!&@���h�E&�$!���'�� � � � �� $!�!& % ��"( ����[� � ��� %� �k&�ê�î ë � ,�F!�>/8/_6�9%2-465)032k6+: ) A_2 698 39� E ò�ö;î ê�ú�ñ�ò���÷©ê�ë©ë�� 2 ø8ë�ì�ø8õR('�T�O �H*8'%'Q ��$ �� ,)*) � � � � � � "������ ��� J(� B%���A� ���������[� � �����DF FO585�8 �D5)?�2 7�2 0 ;76+?�2�8g0 8�235): C ��7 5�80:Z6+465)2-: ; �Y2-0BA

5�/8/17�2�� 5)032k6+: ; 0 6 4 ��7�032 8 2 ;U6+7%��032k6+: 4 6>:Z2 7 ;�;>698��'6�� 6+?�2�8 5S;e/7A_2�8 2 � ��õ FE�g� '% ��"����+���)� % ��"Q�&�ê�î ë � ,�F-�[2�; �H5)7�2('(5)032k6+: " L � �N� +4+4+ ��ø8ú�ð í7ì�ê�÷ " ø ò�ñ�ê»ì�ï ��÷©ê�ë©ë�� � ø8ë E ô�ö;ú�ñÉì�ø8ë��N� E �IR('%'8$&�IRB*�,RB*8' �� ,�Q! ��� � � � �#& %������ � ���'" �#"( [�!"����HF+�>/8/17�2�� 5)032k6+: ;'6<;��[5�C �_2�8 8 2 CZ2 6+4 2 0 8 3 2-:�H)� �#� � ��ø8ú�ð í7ì �

E ñ�î ê�îhI�ê�ø8ú � Bpê�ë � K � � RUO�Q6NRUT�O�&ER('%'�T8, �� ,�O+ J(���[� �� � � ��� � 6� � %�& %��������h��J(�9� �m���j� � �O�@� ��� " �DF � � � 2k2 : 0@5):N: 8 6%=$��; 0+; 2-4 /17�2 +

� 5)032k6+:K6<;j0 2 0 8 5 A_2 :�8 5)7>4 2 ; A_2 ; � ��õ Fg� � ���?� "( !���@���7� % ��"Q���@����� �?� ��� $!&'"�� "( &�ê�î ë � ,�F�[2�; �H5)7�2('(5)032k6+: " L� ��� +4+4+K��ø8ú�ð í7ì�ê�÷ " ø ò�ñ�ê»ì�ï ��÷©ê�ë©ë�� � ø8ë E ô�ö;ú�ñÉì�ø8ë��� E � R('%'�T �D$�T8$6$)'�Q �

Page 23: On piecewise linear approximation of quadratic functions

p¹3����������Å�������2��,3����u!´�È"����2!#$����5!#���È��D2��������!#�Å���!´���c���� ����������!#"����"���!´���$ Q�,

� ,8$! �J(� � � '% � ����&�F�� GQ2-4 /17�2���6+: ��� � 7�2 :Z2 5): �e2 6+4 2 0 8 3�5):N: 2-0 ; �4A&3U; 2�� 5)7H� 5<; 2�; �+" ð ÷©ñ�õ�8ê�÷�� ( ê»ó�2ø8÷���ý � ê�ñ�î ê�ô��5ê�÷��cý 2 ê�÷©ô�ñ�õ�R('8$)' �� ,�T+ 9�[�8&@��� � %E�!������%� �� $��!" �DF#��3+:15)4�2�� ?(2k2�� :Z2e/_2 :N:Z2 : 0 ; 2-4 /17�2 + � 5)032k6+: ;>698/_6+7 3 CZ6+:15)7Q4 2 ; A_2 ; ���õ F��g�� '% ��"���� � � � �m� � "������ �L&�ê�î ë � ,�F �[2�; �H5)7�2('(5)032k6+: " L #9��� +4+4+ ��ø8ú�ð í7ì�ê�÷ " ø ò�ñ�ê»ì�ï ��÷©ê�ë©ë��

� ø8ë E ô�ö;ú�ñÉì�ø8ë��� E �CR('%'�O �,�$%$6 ,�,)* �)àê�ò�ê�ñ��8ê�î �8ö;õíqö;÷�ï R<$&�D$ � � �


Recommended