8/8/2019 On the Hardness of Being Truthful Schapira-harndess-cppp

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O n t h e H a r d n e s s o f B e i n g T r u t h f u l

C h r i s t o s P a p a d i m i t r i o u

C o m p u t e r S c i e n c e D i v i s i o n

U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y

C A , 9 4 7 2 0 U S A

c h r i s t o s @ c s . b e r k e l e y . e d u

M i c h a e l S c h a p i r a

S c h o o l o f C o m p u t e r S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g

T h e H e b r e w U n i v e r s i t y

J e r u s a l e m , I s r a e l

m i k e s c h @ c s . h u j i . a c . i l

Y a r o n S i n g e r

C o m p u t e r S c i e n c e D i v i s i o n

U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y

C A , 9 4 7 2 0 U S A

y a r o n @ c s . b e r k e l e y . e d u

A b s t r a c t

T h e c e n t r a l p r o b l e m i n c o m p u t a t i o n a l m e c h a n i s m d e -

s i g n i s t h e t e n s i o n b e t w e e n i n c e n t i v e c o m p a t i b i l i t y a n d

c o m p u t a t i o n a l e f c i e n c y . W e e s t a b l i s h t h e r s t s i g n i f -

i c a n t a p p r o x i m a b i l i t y g a p b e t w e e n a l g o r i t h m s t h a t a r e

b o t h t r u t h f u l a n d c o m p u t a t i o n a l l y - e f c i e n t , a n d a l g o -

r i t h m s t h a t o n l y a c h i e v e o n e o f t h e s e t w o d e s i d e r a t a .

T h i s i s s h o w n i n t h e c o n t e x t o f a n o v e l m e c h a n i s m d e -

s i g n p r o b l e m w h i c h w e c a l l t h e C O M B I N A T O R I A L P U B -

L I C P R O J E C T P R O B L E M ( C P P P ) . C P P P i s a n a b s t r a c t i o n

o f m a n y c o m m o n m e c h a n i s m d e s i g n s i t u a t i o n s , r a n g i n g

f r o m e l e c t i o n s o f k i b b u t z c o m m i t t e e s t o n e t w o r k d e s i g n .

O u r r e s u l t i s a c t u a l l y m a d e u p o f t w o c o m p l e m e n t a r y

r e s u l t s o n e i n t h e c o m m u n i c a t i o n - c o m p l e x i t y m o d e l

a n d o n e i n t h e c o m p u t a t i o n a l - c o m p l e x i t y m o d e l . B o t h

t h e s e h a r d n e s s r e s u l t s h e a v i l y r e l y o n a c o m b i n a t o r i a l

c h a r a c t e r i z a t i o n o f t r u t h f u l a l g o r i t h m s f o r o u r p r o b l e m .

O u r c o m p u t a t i o n a l - c o m p l e x i t y r e s u l t i s o n e o f t h e r s t

i m p o s s i b i l i t y r e s u l t s c o n n e c t i n g m e c h a n i s m d e s i g n t o

c o m p l e x i t y t h e o r y ; i t s n o v e l p r o o f t e c h n i q u e i n v o l v e s a n

a p p l i c a t i o n o f t h e S a u e r - S h e l a h L e m m a a n d m a y b e o f

w i d e r a p p l i c a b i l i t y , b o t h w i t h i n a n d w i t h o u t m e c h a n i s m

d e s i g n .

1 I n t r o d u c t i o n

I n r e a l n e t w o r k s , r o u t i n g i s d o n e b y r o u t e r s t h a t

c h o o s e p a t h s o t h e r t h a n s h o r t e s t , a n d t h i s r e s u l t s i n d i s -

t a n c e m a t r i c e s t h a t d o n o t s a t i s f y t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y .

I n s u c h a s i t u a t i o n , i t i s o f t e n d e s i r a b l e t o c o n s t r u c t a n

o v e r l a y : A s e t o f k n o d e s s p r e a d t h r o u g h o u t t h e n e t -

w o r k a n d w i t h h i g h - q u a l i t y r o u t i n g b e t w e e n t h e m , s o

t h a t o t h e r n o d e s c a n i m p r o v e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e m

b y r o u t i n g t h r o u g h t h e c l o s e s t o v e r l a y n o d e . A n o v e r -

l a y i s b e n e c i a l t o d i f f e r e n t n o d e s i n d i f f e r e n t d e g r e e s ,

a n d w e w i s h t o d e s i g n t h e o v e r l a y t h a t m a x i m i z e s t o t a l

w e l f a r e .

T h i s i s a t y p i c a l i n s t a n c e o f a g e n e r a l p r o b l e m w e d e -

n e , c a l l e d C O M B I N A T O R I A L P U B L I C P R O J E C T P R O B

-

L E M , o r C P P P . T h e r e a r e n a g e n t s a n d m r e s o u r c e s , a n d , f o r e a c h a g e n t i, a p r i v a t e v a l u a t i o n f u n c t i o n vi w h i c h s p e c i e s i' s v a l u e f o r e v e r y s u b s e t o f s i z e k ( a p a r a m - e t e r ) o f t h e r e s o u r c e s . W e a s s u m e t h a t a l l v a l u a t i o n s

a r e n o n d e c r e a s i n g a n d s u b m o d u l a r ( a c a s e t h a t e n c o m -

p a s s e s a m o n g m a n y o t h e r s t h e o v e r l a y n e t w o r k e x a m p l e

a b o v e , s e e d e n i t i o n s i n S u b s e c 1 . 1 ) . T h e o b j e c t i v e i s t o

n d a s u b s e t o f t h e r e s o u r c e s S, |S| = k , w h i c h m a x i - m i z e s t h e s o c i a l w e l f a r e , i . e . , t h e s u m o f a g e n t s ' v a l u e s

f o r t h e c h o s e n s u b s e t i vi(S).

C o m p u t a t i o n a l l y s p e a k i n g , t h i s p r o b l e m i s r e l a -

t i v e l y b e n i g n ; w h i l e m a n y o f i t s s p e c i a l c a s e s a r e N P -

h a r d [ 1 0 ] ) i t i s w e l l k n o w n [ 2 2 ] t h a t t h e g r e e d y a l g o -

r i t h m a c h i e v e s a c o n s t a n t a p p r o x i m a t i o n r a t i o ( s p e c i -

c a l l y , 1 1e

) .

B u t t h e f a c t t h a t v a l u a t i o n s a r e p r i v a t e p r e s e n t s u s

w i t h a f o r m i d a b l e p r o b l e m : u n l e s s o t h e r w i s e i n c e n -

t i v i z e d , a g e n t s a r e l i k e l y t o l i e , e x a g g e r a t i n g t h e d e g r e e

t o w h i c h t h e y p r e f e r o n e a l t e r n a t i v e o v e r a n o t h e r

1

, a n d

t h i s m i s r e p r e s e n t a t i o n m a k e s o p t i m i z a t i o n i m p o s s i b l e .

T h e r e i s a v e r y g e n e r a l m e t h o d f o r p r o v i d i n g i n c e n t i v e s

f o r t h e a g e n t s t o r e v e a l t h e i r t r u e v a l u a t i o n , n a m e l y t h e

V i c k r e y - C l a r k e - G r o v e s ( V C G ) m e c h a n i s m [ 3 4 , 4 , 1 4 ] .

1

A c c o r d i n g t o a M a r c h 2 6 2 0 0 8 G a l l u p p o l l , 2 8 % o f C l i n t o n ' s s u p -

p o r t e r s d e c l a r e t h a t t h e y w i l l n o t v o t e f o r O b a m a i n a p r e s i d e n t i a l e l e c -

t i o n .

1

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H o w e v e r , V C G r e q u i r e s t h a t w e s o l v e e x a c t l y ( t y p i c a l l y

m a n y i n s t a n c e s o f ) t h e C P P P a n N P - h a r d p r o b l e m .

W e c o u l d o f c o u r s e t u r n t o a p p r o x i m a t i o n , a s w e a l w a y s

d o w h e n f a c e d w i t h i n t r a c t a b i l i t y . T h e t r a g e d y o f t h i s

a r e a i s t h a t a p p r o x i m a t i o n a n d t r u t h f u l n e s s d o n o t m i x :

R u n n i n g V C G w i t h a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s i s , i n g e n e r a l ,

n o t i n c e n t i v e c o m p a t i b l e [ 2 4 ] .

I n o t h e r w o r d s , e f c i e n t a p p r o x i m a b i l i t y a n d i n c e n -

t i v e c o m p a t i b i l i t y s e e m t o b e a t l o g g e r h e a d s . T h i s t e n -

s i o n u n d e r l i e s m u c h o f t h e w o r k i n a l g o r i t h m i c m e c h -

a n i s m d e s i g n [ 2 4 , 2 5 , 1 6 , 5 ] . I n t h i s p a p e r , w e e s t a b -

l i s h a h u g e g a p b e t w e e n t h e q u a l i t y o f t h e s o l u t i o n s t h a t

c a n b e o b t a i n e d b y a l g o r i t h m s f o r C P P P t h a t a r e b o t h

p o l y n o m i a l a n d t r u t h f u l , a n d b y a l g o r i t h m s t h a t s a t i s f y

o n l y o n e o f t h e s e t w o d e s i d e r a t a . W e s h o w t h i s b y p r o v -

i n g t h a t n o t r u t h f u l a n d c o m p u t a t i o n a l l y - e f c i e n t a l g o -

r i t h m f o r C P P P c a n o b t a i n a n y r e a s o n a b l e a p p r o x i m a -

t i o n r a t i o , s p e c i c a l l y , a r a t i o b e t t e r t h a n

m ( t h i s h o l d s

e v e n f o r t h e c a s e o f t w o a g e n t s )

2

. T h i s s e t t l e s a l o n g -

s t a n d i n g o p e n q u e s t i o n i n a l g o r i t h m i c m e c h a n i s m d e -

s i g n [ 1 3 , 2 9 ] , a s w e e x h i b i t a p r o b l e m t h a t i s e a s y f r o m

a c o m p u t a t i o n a l p e r s p e c t i v e ( a c o n s t a n t a p p r o x i m a t i o n

a l g o r i t h m e x i s t s ) , a n d f r o m a n e c o n o m i c p e r s p e c t i v e ( a n

o p t i m a l t r u t h f u l a l g o r i t h m e x i s t s ) , b u t i s h a r d i f w e c a r e

a b o u t b o t h .

O u r r e s u l t i s a c t u a l l y m a d e u p o f t w o c o m p l e m e n t a r y

r e s u l t s o n e i n t h e c o m m u n i c a t i o n - c o m p l e x i t y m o d e l

a n d o n e i n t h e c o m p u t a t i o n a l - c o m p l e x i t y m o d e l . T e c h -

n i c a l l y s p e a k i n g , e a c h o f t h e s e r e s u l t s m u s t o v e r c o m e

t w o m a i n c h a l l e n g e s [ 2 9 ] : F i r s t , w e m u s t p r o v i d e a c o m -

b i n a t o r i a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f t r u t h f u l a l g o r i t h m s . T h e n ,

o n c e w e h a v e s u c h a c h a r a c t e r i z a t i o n , w e c a n e x p l o i t i t

t o p r o v e a n i n a p p r o x i m a b i l i t y r e s u l t .

A n i n t e r e s t i n g w a y t o v i e w o u r c o m p u t a t i o n a l -

c o m p l e x i t y r e s u l t i s t h e f o l l o w i n g : O v e r t h e p a s t f o u r

d e c a d e s , c o m p l e x i t y t h e o r y h a s b e e n s u c c e s s f u l i n c l a s -

s i f y i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i n t o v a r i o u s c l a s s e s , s u c h

a s P , N P , N P - h a r d , a n d A P X ( t h o s e p r o b l e m s t h a t c a n b e

a p p r o x i m a t e d w i t h i n s o m e c o n s t a n t f a c t o r i n p o l y n o m i a l

t i m e ) . M e c h a n i s m d e s i g n i s a b o u t i n c e n t i v e - c o m p a t i b l e

o p t i m i z a t i o n , i n w h i c h t h e i n p u t s a r e p r o v i d e d b y a g e n t s

w h o h a v e t h e i r o w n o b j e c t i v e s . I n t h i s n e w r e g i m e , f o r

s o c i a l - w e l f a r e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m s ,

3

c l a s s i c a l V C G

t h e o r y i m p l i e s t h a t P , N P , a n d N P - h a r d n e s s a r e p r e s e r v e d

u n d e r t r u t h f u l n e s s . O u r r e s u l t e s s e n t i a l l y s t a t e s t h a t

A P X i s n o t p r e s e r v e d .

C o m m u n i c a t i o n - c o m p l e x i t y l o w e r b o u n d . O u r r s t

m a i n c o n t r i b u t i o n i s a n e x p o n e n t i a l l o w e r b o u n d o n t h e

a m o u n t o f c o m m u n i c a t i o n r e q u i r e d b y a n y t r u t h f u l a l g o -

r i t h m t h a t a p p r o x i m a t e s t h e C P P P

w i t h i n a n y r e a s o n a b l e

r a t i o :

2

W e n o t e t h a t a s i m p l e t r u t h f u l p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m t h a t o b -

t a i n s a

m a p p r o x i m a t i o n r a t i o f o r C P P P s h o w s t h a t o u r r e s u l t i s t i g h t

i n b o t h m o d e l s . [ 3 2 ]

3

S e e d i s c u s s i o n a b o u t o t h e r o p t i m i z a t i o n g o a l s i n [ 2 1 ] .

T h e o r e m : A n y t r u t h f u l a l g o r i t h m f o r t h e C P P P t h a t o b -

t a i n s a n a p p r o x i m a t i o n r a t i o o f O(m12) r e q u i r e s c o m -

m u n i c a t i o n t h a t i s e x p o n e n t i a l i n m ( f o r e v e r y > 0 a n de v e n f o r n = 2 ) .

T h e r s t s t e p o f t h e p r o o f i s s h o w i n g t h a t a n y t r u t h -

f u l a l g o r i t h m f o r C P P P m u s t b e a n a f n e m a x i m i z e r . A n

a f n e m a x i m i z e r i s a n a l g o r i t h m d e n e d b y a x e d s e t

o f s o l u t i o n s , a n d w h i c h , g i v e n a s e t o f v a l u a t i o n s , p i c k s

t h e s o l u t i o n i n t h e s e t t h a t m a x i m i z e s s o c i a l w e l f a r e . A

c e l e b r a t e d r e s u l t b y R o b e r t s [ 2 8 ] e s s e n t i a l l y s t a t e s t h a t

i f a n a l g o r i t h m i s t r u t h f u l f o r a l l v a l u a t i o n s , t h e n i t h a s

t o b e a n a f n e m a x i m i z e r . H o w e v e r , t h i s r e s u l t d o e s n o t

n e c e s s a r i l y h o l d w h e n r e s t r i c t e d t o s p e c i a l s e t t i n g s ( s u b -

m o d u l a r v a l u a t i o n s , e t c . ) . I n f a c t , f o r m a n y r e s t r i c t e d

s e t t i n g s , t r u t h f u l a l g o r i t h m s t h a t a r e n o t a f n e m a x i m i z -

e r s a r e k n o w n ( e . g . [ 3 , 2 ] ) . I n t h e p r e s e n t c a s e , b y c a r e -

f u l l y a p p l y i n g m a c h i n e r y f r o m R o b e r t s ' s ( l o n g a n d d e l i -

c a t e ) p r o o f a c t u a l l y , i t s r e c e n t i n t e r p r e t a t i o n b y L a v i ,

M u ' a l e m a n d N i s a n [ 1 6 , 1 7 ] w e a r e a b l e t o p r o v e t h a t

a n y t r u t h f u l a l g o r i t h m f o r t h e n o n d e c r e a s i n g s u b m o d u -

l a r c a s e o f t h e C P P P i s a n a f n e m a x i m i z e r . T h e p r o o f

e x p l o r e s t h e g e o m e t r i c a n d t o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s t h a t

m u s t h o l d f o r a n y t r u t h f u l a l g o r i t h m f o r C P P P t o p r o v e

a f n e m a x i m i z a t i o n .

A f t e r p r o v i d i n g t h i s c o m b i n a t o r i a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f

t r u t h f u l n e s s t h e s e c o n d s t e p i s p r o v i n g a l o w e r b o u n d

f o r a f n e m a x i m i z e r s . W e d o t h i s b y p r o v i n g a l o w e r

b o u n d o n t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s i n t h e r a n g e o f t h e

m e c h a n i s m , a n d t h e n e x p l o i t i n g a f n e m a x i m i z a t i o n t o

t o e s t a b l i s h o u r c o m m u n i c a t i o n - c o m p l e x i t y l o w e r b o u n d

( a s i n [ 5 ] ) . T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m d r a w s i d e a s f r o m

w o r k s i n m a n y d i f f e r e n t e l d s o f r e s e a r c h ( e . g . , [ 2 8 , 2 6 ,

2 3 , 1 6 , 1 7 , 8 , 1 1 , 1 9 ] ) , a n d s o w e d e f e r a d i s c u s s i o n o f

t h e r e l a t e d w o r k t o S e c t i o n 2 .

C o m p u t a t i o n a l - c o m p l e x i t y l o w e r b o u n d . L i k e a l l

k n o w n c o m p u t a t i o n a l l o w e r b o u n d s f o r m e c h a n i s m d e -

s i g n , o u r p r e v i o u s r e s u l t i s a c o m m u n i c a t i o n - c o m p l e x i t y

l o w e r b o u n d . I n f o r m a l l y , t h e a g e n t s a r e a s s u m e d t o

c o m p u t e t h e i r v a l u a t i o n s b a s e d o n e x p o n e n t i a l l y l a r g e

d a t a , a n d t h e n i t i s s h o w n t h a t t o o m u c h o f t h i s d a t a m u s t

b e e x c h a n g e d f o r t h e a l g o r i t h m t o b e t r u t h f u l . H o w e v e r ,

m a n y i n t e r e s t i n g v a l u a t i o n s d e p e n d o n v e r y s u c c i n c t

d a t a ( r e c a l l t h e i n t r o d u c t o r y o v e r l a y p r o b l e m , i n w h i c h

t h e i n p u t i s a d i s t a n c e m a t r i x ) , a n d c o m p u t a t i o n a l -

c o m p l e x i t y t e c h n i q u e s w o u l d b e n e e d e d t o e s t a b l i s h

l o w e r b o u n d s f o r t h e s e ; n o s u c h r e s u l t s h a d b e e n k n o w n

( w i t h t h e p o s s i b l e e x c e p t i o n o f T h e o r e m 5 i n [ 1 6 ] ) . O u r

n e x t m a j o r r e s u l t d o e s e x a c t l y t h i s : W e c o n s i d e r a c l a s s

o f n o n n e g a t i v e s u b m o d u l a r ( t h o u g h n o t n o n d e c r e a s i n g )

v a l u a t i o n s , t h a t a r e s u c c i n c t l y d e s c r i b e d . W e s h o w t h a t ,

d e s p i t e t h e f a c t t h a t a 1 1e

a p p r o x i m a t i o n e x i s t s f o r t h i s

c l a s s , n o t r u t h f u l a n d p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m c a n o b -

t a i n a n a p p r o x i m a t i o n r a t i o ( a s y m p t o t i c a l l y ) b e t t e r t h a n m.

2

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3/10

A s i n o u r c o m m u n i c a t i o n - c o m p l e x i t y r e s u l t , t h e

p r o o f o f t h i s r e s u l t c o n s i s t s o f t w o p a r t s : P r o v i n g t h a t

a n y t r u t h f u l a l g o r i t h m m u s t b e a n a f n e - m a x i m i z e r , a n d

p r o v i n g a h a r d n e s s r e s u l t f o r a f n e - m a x i m i z e r s . T h e

m a i n c h a l l e n g e n o w l i e s i n t h e s e c o n d p a r t ( t h e r s t p a r t

i s b a s i c a l l y d e r i v e d f r o m t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t r u t h -

f u l n e s s i n o u r c o m m u n i c a t i o n c o m p l e x i t y r e s u l t ) . T h e

h e a r t o f o u r p r o o f i s t h e r e f o r e s h o w i n g t h e f o l l o w i n g i n -

a p p r o x i m a b i l i t y r e s u l t f o r a c l a s s o f s u c c i n c t s u b m o d u l a r

f u n c t i o n s w e c a l l c o v e r a g e - p e n a l t y v a l u a t i o n s :

T h e o r e m : F o r C P P P w i t h c o v e r a g e - p e n a l t y v a l u a -

t i o n s t h e r e i s n o p o l y n o m i a l - t i m e a f n e m a x i m i z e r w i t h

O(m12) a p p r o x i m a t i o n r a t i o u n l e s s N P B P P ( f o r

e v e r y > 0 ) .

T o e s t a b l i s h t h i s , w e r s t s h o w , v e r y m u c h a s i n t h e

p r o o f o f o u r c o m m u n i c a t i o n - c o m p l e x i t y r e s u l t , a n e x -

p o n e n t i a l l o w e r b o u n d o n t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s , a n d

t h e n w e u s e a p r o b a b i l i s t i c v e r s i o n o f t h e S a u e r - S h e l a h

L e m m a [ 3 0 , 3 3 ]

4

. T h i s r e s u l t h a s i n t e r e s t i n g p r o j e c t i o n s

o n c o m p l e x i t y t h e o r y a s d i s c u s s e d i n s e c t i o n 3 .

O r g a n i z a t i o n o f t h e p a p e r . I n t h e b a l a n c e o f t h i s s e c -

t i o n w e i n t r o d u c e t h e C P P P a n d t h e c o m m u n i c a t i o n -

a n d c o m p u t a t i o n a l - c o m p l e x i t y n o t i o n s . I n t h e n e x t

s e c t i o n w e p r o v e o u r e x p o n e n t i a l c o m m u n i c a t i o n -

c o m p l e x i t y l o w e r b o u n d , w h i l e i n S e c t i o n 3 w e p r o v e

o u r c o m p u t a t i o n a l - c o m p l e x i t y l o w e r b o u n d . I n S e c -

t i o n 4 w e d i s c u s s o u r r e s u l t s a n d p r e s e n t s e v e r a l o p e n

q u e s t i o n s .

1.1 Definitions

I n C P P P t h e r e i s a s e t o f n a g e n t s {1,...,n} , a n d a s e t o f m r e s o u r c e s {1,...,m} . E a c h a g e n t h a s a p r i - v a t e v a l u a t i o n f u n c t i o n vi : 2

[m] 0 . W e d e - n o t e b y Vi t h e s p a c e o f p o s s i b l e v a l u a t i o n s o f a g e n t i, a n d b y Vt h e d o m a i n o f v a l u a t i o n s V1 . . . Vn .W e s h a l l a s s u m e t h a t vi() = 0 . W e a s s u m e t h a t e v e r y vi i s s u b m o d u l a r , i . e . , f o r e v e r y S, T [m]vi(S T) + vi(ST) vi(S) + vi(T). S u b m o d u l a r i t y i s k n o w n t o b e e q u i v a l e n t t o t h e f o l l o w i n g e a s i l y v e r -

i a b l e p r o p e r t y , c a l l e d d e c r e a s i n g m a r g i n a l u t i l i t i e s :

F o r e v e r y S

T

[m], a n d f o r e v e r y j

[m] s u c h

t h a t j / T vi(S{j}) vi(S) vi(T{j}) vi(T) .S u b m o d u l a r i t y a r i s e s i n m a n y c o n t e x t s b o t h e c o n o m i c

a n d c o m p u t a t i o n a l ( s e e [ 1 8 , 6 , 7 , 9 , 1 2 , 1 1 , 3 5 ] a n d

r e f e r e n c e s t h e r e i n ) . T h i s p a p e r f o c u s e s o n s u b m o d u l a r

f u n c t i o n s a r e a r e n o n d e c r e a s i n g

5

i n t h a t S Ti m p l i e s v(S) v(T). N o n d e c r e a s i n g s u b m o d u l a r f u n c t i o n s a r e k n o w n t o h a v e p a r t i c u l a r l y g o o d p r o p e r t i e s ; f o r e x a m -

p l e , t h e y c a n b e a p p r o x i m a t e d w i t h i n a r a t i o o f 1 1e

4

T h i s l e m m a i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e n o t i o n o f t h e V a p n i k -

C h e r v o n e n k i s ( V C ) d i m e n s i o n .

5

W e s l i g h t l y r e l a x t h i s a s s u m p t i o n i n S e c t i o n 3 .

( f o r g e n e r a l n o n n e g a t i v e s u b m o d u l a r f u n c t i o n s a c o n -

s t a n t a p p r o x i m a t i o n r a t i o e x i s t s [ 1 1 ] ) .

T h e o b j e c t i v e i n t h e C P P P i s t o n d a s u b s e t o f s i z e

k , w h e r e k i s a p a r a m e t e r o f t h e p r o b l e m , o f r e s o u r c e s w h i c h m a x i m i z e s t h e s o c i a l - w e l f a r e . T h a t i s , w e w i s h t o

n d T

argmaxS[m], |S|=k ivi(S) .

W e a r e i n t e r e s t e d i n a l g o r i t h m s ( m e c h a n i s m s ) f o r

C P P P s a t i s f y i n g t h r e e d e s i d e r a t a :

Q u a l i t y o f s o l u t i o n . W e w a n t o u r m e c h a n i s m s t o r e t u r n

a s o l u t i o n ( s e t o f r e s o u r c e s ) w h o s e s o c i a l w e l f a r e i s a s

c l o s e , i n t e r m s o f r a t i o , t o t h e o p t i m u m a s p o s s i b l e .

C o m p u t a t i o n a l e f c i e n c y . O u r a l g o r i t h m s s h o u l d r u n

i n t i m e t h a t i s p o l y n o m i a l i n t h e n a t u r a l p a r a m e t e r s o f

t h e p r o b l e m m a n d n. H o w e v e r , a s t h e i n p u t ( t h e d a t a e n a b l i n g e a c h a g e n t t o c o m p u t e t h e v a l u a t i o n ) c a n

b e e x p o n e n t i a l i n m w e m u s t s p e c i f y h o w i t c a n b e a c - c e s s e d . I n m e c h a n i s m d e s i g n o n e o f t e n t a k e s a b l a c k

b o x a p p r o a c h ( s e e [ 6 ] ) : W e a s s u m e t h a t v a l u a t i o n s a r e

c o m p u t e d b y a n o r a c l e t h a t c a n a n s w e r a c e r t a i n t y p e o f

q u e r i e s , a n d w e r e s t r i c t a l g o r i t h m s t o a s k a p o l y n o m i a l

n u m b e r ( i n n a n d m ) o f s u c h q u e r i e s . T h e r e a r e t w o c o m m o n t y p e s o f q u e r i e s :

I n a v a l u e q u e r y t h e q u e r y i s a s u b s e t o f r e s o u r c e s S [m], a n d t h e a n s w e r i s s i m p l y vi(S); w e u s e t h i s w e a k e r m o d e l i n o u r a l g o r i t h m s .

T h e g e n e r a l q u e r y m o d e l i s e q u i v a l e n t t o Y a o ' s c o m m u n i c a t i o n m o d e l [ 3 6 , 1 5 ] , i n w h i c h t h e a g e n t s

t a k e t u r n s a n n o u n c i n g m e s s a g e s ; a m e s s a g e b y

a g e n t i i s a n y f u n c t i o n ( e v e n a c o m p u t a t i o n a l l y i n - t r a c t a b l e o n e ) o f t h e v a l u e s o f vi a n d o f t h e p r e v i - o u s m e s s a g e s . W e u s e t h i s s t r o n g e r m o d e l f o r o u r

i m p o s s i b i l i t y r e s u l t s .

A d i f f e r e n t a p p r o a c h w o u l d b e t o c o n s i d e r c a s e s i n

w h i c h t h e i n p u t ( v a l u a t i o n s ) c a n b e c o n c i s e l y r e p r e -

s e n t e d , i . e . , c a n b e e n c o d e d i n a n a t u r a l w a y t h a t i s p o l y -

n o m i a l i n m a n d n. W e f o l l o w t h i s a p p r o a c h i n S e c - t i o n 3 .

T r u t h f u l n e s s . T h a t i s , w e w a n t a n a l g o r i t h m ( m e c h a -

n i s m ) A t o b e s u c h t h a t t h e a g e n t s a r e r a t i o n a l l y m o t i - v a t e d t o t r u t h f u l l y a n s w e r t h e a l g o r i t h m ' s q u e r i e s . T h i s

i s a c h i e v e d b y a p a y m e n t f u n c t i o n p w h i c h , f o r e v e r y n - t u p l e o f v a l u a t i o n f u n c t i o n s v = (v1, ...vn) V, d e - m a n d s a p a y m e n t f r o m e a c h a g e n t . p i s s u c h t h a t n o a g e n t c a n i n c r e a s e h i s u t i l i t y ( t h e v a l u e o f t h e s e t c h o s e n

b y t h e a l g o r i t h m m i n u s t h e p a y m e n t a s s i g n e d t o h i m ) b y

m i s r e p o r t i n g h i s v a l u a t i o n

6

. F o r m a l l y , f o r e v e r y i [n]w e h a v e t h a t :

6

T h e n o t i o n o f t r u t h f u l n e s s w e c o n s i d e r i s t h e s t a n d a r d n o t i o n o f

t r u t h f u l n e s s i n d o m i n a n t s t r a t e g i e s . A l l o u r r e s u l t s a p p l y t o t h e w e a k e r

n o t i o n o f t r u t h f u l n e s s i n e x - p o s t N a s h .

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vi, vi Vi, vi Vi,vi(A(vi, vi))p(vi, vi) vi(A(vi, vi))p(vi, vi),w h e r e Vi i s t h e c a r t e s i a n p r o d u c t o f a l l Vj ' s s u c h t h a t j

= i, (vi, vi) i s t h e v a l u a t i o n s p r o l e i n w h i c h i h a s

vi a n d t h e o t h e r a g e n t s h a v e vi , (vi, vi) i s d e n e d s i m i l a r l y , a n d A(v) i s t h e s e t A o u t p u t s f o r t h e v a l u a t i o n p r o l e v .

2 C o m m u n i c a t i o n - C o m p l e x i t y o f M e c h a -

n i s m D e s i g n

I n t h i s s e c t i o n w e p r o v e t h e f o l l o w i n g :

T h e o r e m 2 . 1 A n y t r u t h f u l a l g o r i t h m f o r C P P P t h a t o b -

t a i n s a n a p p r o x i m a t i o n r a t i o o f O(m12) r e q u i r e s e x -

p o n e n t i a l c o m m u n i c a t i o n ( f o r e v e r y > 0 a n d e v e n f o r n = 2 ) .

T h e p r o o f p r o c e e d s i n t w o s t e p s : W e r s t e s t a b l i s h

( L e m m a 2 . 3 ) t h a t a n y t r u t h f u l a l g o r i t h m f o r t h e C P P P

m u s t b e o f a v e r y r e s t r i c t e d k i n d c a l l e d a n a f n e m a x -

i m i z e r . W e t h e n s h o w t h a t a n y a f n e m a x i m i z e r f o r

t h eC P P P

r e q u i r e s e x p o n e n t i a l c o m m u n i c a t i o n ( L e m -

m a s 2 . 1 6 a n d 2 . 1 7 ) . T h i s s e c o n d p a r t u s e s t e c h n i q u e s

i n t r o d u c e d b y D o b z i n s k i a n d N i s a n [ 5 ] f o r p r o v i n g c o m -

m u n i c a t i o n c o m p l e x i t y l o w e r b o u n d s f o r a f n e m a x i -

m i z e r s .

T h e C h a r a c t e r i z a t i o n L e m m a i s t h e h e a r t o f o u r

p r o o f . I t e s t a b l i s h e s t h a t t h e C P P P h a s a r i c h e n o u g h

s t r u c t u r e , a n d a p p r o p r i a t e l y s t r o n g i n t e r a c t i o n b e t w e e n

t h e a g e n t s , s o t h a t a s u b t l e v a r i a n t o f R o b e r t s ' s p r o o f

[ 2 8 ] i s e n a b l e d . T h e l i n e o f a r g u m e n t u s e d i n o u r p r o o f

f o l l o w s t h a t o f R o b e r t s ' , a s p r e s e n t e d b y L a v i , M u ' a l e m ,

a n d N i s a n [ 1 7 ] . H o w e v e r , a p p l y i n g t h i s m a c h i n e r y t o

o u r s e t t i n g i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d a s w e a r e d e a l i n g w i t h

a r e s t r i c t e d d o m a i n o f v a l u a t i o n f u n c t i o n s ( s u b m o d u -

l a r , n o n - d e c r e a s i n g ) . T h e r e f o r e , w e m u s t h a n d l e v a r i o u s

t e c h n i c a l d i f c u l t i e s : W e m u s t e n s u r e t h a t t h e v a l u a t i o n

f u n c t i o n s w e c o n s t r u c t b e l o n g t o t h i s r e s t r i c t e d d o m a i n .

W e m u s t a l s o t a k e m e a s u r e s t o d e a l w i t h t h e f a c t t h a t o u r

v a l u a t i o n d o m a i n i s n o t o p e n ( i n t h e s t a n d a r d t o p o l o g i c a l

s e n s e ) . U n l i k e R o b e r t s ' p r o o f , o u r p r o o f m a k e s r e p e t i -

t i v e u s e o f t h e s t r o n g m o n o t o n i c i t y c o n s t r a i n t i n t r o d u c e d

i n [ 1 6 ] ( s e e [ 8 ] ) .

2.1 The Characterization Lemma

L e t A b e a n a l g o r i t h m f o r t h e n o n - d e c r e a s i n g s u b - m o d u l a r C P P P w i t h m r e s o u r c e s a n d p a r a m e t e r k . W ed e n e A' s r a n g e RA t o b e t h e r e s o u r c e s u b s e t s o f s i z e kt h a t a r e o u t p u t b y A f o r s o m e i n p u t , i . e . , RA = {S| v =

(v1,...,vn) s.t. A(v) = S} . I n f o r m a l l y , A i s a n a f n e - m a x i m i z e r i f i t a l w a y s o p t i m i z e s o v e r i t s e n t i r e r a n g e

RA .

D e n i t i o n 2 . 2 ( [ 2 8 ] ) A n a l g o r i t h m A i s s a i d t o b e a n a f n e m a x i m i z e r i f t h e r e e x i s t n o n n e g a t i v e a g e n t w e i g h t s

w1,...,wn ( n o t a l l e q u a l t o 0 ) , a n d o u t c o m e w e i g h t s {CS}SRA s u c h t h a t v = (v1,...,vn)

A(v) argmaxSRA [(iwivi(S)) + CS].

L e m m a 2 . 3 A n y t r u t h f u l a l g o r i t h m f o r t h e n o n -

d e c r e a s i n g s u b m o d u l a r C P P P w i t h n = 2 i s a n a f n e - m a x i m i z e r .

R e m a r k 2 . 4 W e n o t e t h a t , a s w e a r e a i m i n g f o r a n i m -

p o s s i b i l i t y r e s u l t , w e p r o v e t h e c h a r a c t e r i z a t i o n l e m m a

o n l y f o r t h e 2 - a g e n t c a s e . W e s h a l l l a t e r s h o w t h a t o u r i n a p p r o x i m a b i l i t y r e s u l t h o l d s e v e n f o r t h i s s p e c i a l c a s e .

P r o o f : A s i s c o m m o n i n s u c h p r o o f s ( s e e f o r e x a m p l e

[ 2 8 , 1 7 ] ) , w e s t u d y t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f v e c t o r s

o f v a l u a t i o n d i f f e r e n c e s . F o r a n y p a i r o f v a l u a t i o n f u n c -

t i o n s v = (v1, v2), w e s h a l l d e n o t e b y v(S) v(T) t h ev e c t o r i n 2 (v1(S) v1(T), v2(S) v2(T)) . W e a l s o d e n e

P(S, T) = { 2 | v s.t. A(v) = S andv(S)

v(T) =

}.

I f A i s a n a f n e m a x i m i z e r t h a t o u t p u t s a s e t Sf o r t h e v a l u a t i o n f u n c t i o n s v = (v1, v2) t h e n i t m u s t h o l d t h a t f o r e v e r y T= Si n RA ( f o r s o m e x e d a g e n t - w e i g h t s w1, w2 a n d o u t c o m e - w e i g h t s {CR}RRA )

(iwivi(S)) + CS (iwivi(T)) + CT,

w h i c h i m p l i e s t h a t

iwi(vi(S) vi(T)) + (CS CT) 0.I n f o r m a l l y , o b s e r v e t h a t t h e i n e q u a l i t i e s a b o v e s u g -

g e s t t h a t i f A i s a n a f n e m a x i m i z e r , t h e n t h e r e i s a l i n e l i n 2 o f t h e f o r m w1x + w2y = 0 s u c h t h a t e v e r y P(S, T) h a s l a s i t s l o w e r b o u n d a r y ( p o s s i b l y s h i f t e d b y s o m e c o n s t a n t (S, T) = CS CTf r o m t h e c e n t r e o f t h e a x e s ) . S o , t o p r o v e t h a t a t r u t h f u l a l g o r i t h m A i s a n a f n e m a x i m i z e r , w e n e e d t o s h o w t h a t t h e r e a r e w e i g h t s

w1, w2 ( a n d {CR}R ) t h a t i n d u c e s u c h a l i n e l ( t h e s a m e l f o r a l l c h o i c e s o f S= T RA ) . T h i s i s p r e c i s e l y w h a t w e m e a n t o s h o w . T h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o [ 1 7 ] f o r a n

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e x p l a n a t i o n o f t h e g e o m e t r i c i n t u i t i o n b e h i n d t h e p r o o f

o f R o b e r t s ' T h e o r e m ( w h i c h a l s o u n d e r l i e s o u r p r o o f ) .

S t r o n g m o n o t o n i c i t y . W e s h a l l r e q u i r e t h e s t r o n g

m o n o t o n i c i t y p r o p e r t y .

D e n i t i o n 2 . 5 A n a l g o r i t h m s a t i s e s s t r o n g -

m o n o t o n i c i t y i f f o r e v e r y i [n], vi, vi Vi , a n d

vi Vi , i f A(vi, vi) = Sa n d A(vi, vi) = T= St h e n i t m u s t h o l d t h a t

vi(S) vi(T) > v i(S) vi(T) .

N o t a n y t r u t h f u l a l g o r i t h m i s n e c e s s a r i l y s t r o n g l y -

m o n o t o n e ( a n d v i c e - v e r s a ) . Y e t , w e s h a l l p r o v e t h e t h e o -

r e m f o r s t r o n g l y - m o n o t o n e a l g o r i t h m s . A t t h e e n d o f t h e

p r o o f w e s h a l l r e v i s i t t h i s a s s u m p t i o n a n d e x p l a i n w h y i t

c a n b e r e m o v e d . T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n s h a l l p l a y a

c r u c i a l r o l e i n o u r p r o o f s .

P r o p o s i t i o n 2 . 6 L e tA

b e a s t r o n g l y m o n o t o n e a l g o -

r i t h m , a n d l e t v Vb e s u c h t h a t A(v) = S. I f v Va n d

v(S) v(T) v(S) v(T) ( i . e . , i n e a c h c o o r - d i n a t e ) t h e n

A(v) = T.

P r o o f : A s s u m e , f o r p o i n t o f c o n t r a d i c t i o n , t h a t t h e c o n -

d i t i o n s s t a t e d i n t h e t h e o r e m h o l d a n d A(v) = T. L e t v = (v1, v2) a n d v = (v1, v

2). L e t 1 = v1(S)v1(T) .

W e s h a l l p r o v e t h e p r o p o s i t i o n f o r t h e c a s e t h a t 1 0( t h e o t h e r c a s e r e q u i r e s a v e r y s i m i l a r c o n s t r u c t i o n ) . L e t

j S\T( s i n c e a l l s e t s a r e o f e q u a l s i z e s u c h a j i s g u a r - a n t e e d t o e x i s t ) . W e d e n e a v a l u a t i o n f u n c t i o n v1 V1a s f o l l o w s ( f o r s o m e a r b i t r a r i l y l a r g e > 0) :

R v1 (R) = 1|R {j}| + |S||T|(|S| |S R|)(|T| |T R|)

I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t t h i s i s i n d e e d a n o n d e c r e a s -

i n g s u b m o d u l a r f u n c t i o n ( t h i s c o n s t r u c t i o n i s i n s p i r e d

b y [ 1 1 , 1 9 ] ) . W e s h a l l n o w s h o w t h a t A(v1 , v2) = S.T h i s i s b e c a u s e i f A(v1 , v2) = Q = St h e n , b y s t r o n g m o n o t o n i c i t y , v1(S) v1(Q) > v1 (S) v1 (Q) . I t i s e a s y t o s h o w t h a t i f Q = S, Tt h e n t h i s r e s u l t s i n a c o n - t r a d i c t i o n ( a s w e c a n s e t t h e v a l u e o f t o b e a s h i g h a s w e l i k e ) . O b s e r v e t h a t i f w e s e t Q = Tt h e n t h i s t o o r e s u l t s i n a c o n t r a d i c t i o n . S i m i l a r l y , w e c a n s h o w t h a t

A(v1 , v2) = T. H o w e v e r , i n t h i s c a s e b y s t r o n g m o n o - t o n i c i t y w e h a v e t h a t v2(S) v2(T) > v2(S) v2(T) .A c o n t r a d i c t i o n .

M a i n p a r t o f t h e p r o o f .

C l a i m 2 . 7 L e t P(S, T) f o r s o m e S, T RA . L e t = (1, 2) 0. T h e n , + P(S, T) .

P r o o f : S i n c e = (1, 2) P(S, T) t h e n , b y d e n i - t i o n , t h e r e a r e v a l u a t i o n f u n c t i o n s v = (v1, v2) s u c h t h a t

A(v) = Sa n d

v(S)v(T) = . W e p r o v e t h e c l a i m f o r t h e c a s e

0 ( o t h e r c a s e s a r e h a n d l e d s i m i l a r l y ) . L e t j S\ T. W e d e n e v a l u a t i o n f u n c t i o n s v = (v1, v2)a s f o l l o w s :

R v1(R) = (1 + 1)|R {j}| + |S||T|(|S| |S R|)(|T| |T R|)

R v2(R) = (2 + 2)|R {j}| + |S||T|(|S| |S R|)(|T| |T R|)

T h e u s e o f s t r o n g m o n o t o n i c i t y ( a s i n t h e p r o o f o f

P r o p o s i t i o n 2 . 6 ) a n d o f P r o p o s i t i o n 2 . 6 i t s e l f s h o w s t h a t

A(v1, v2) = S. S i m i l a r l y , w e c a n t h e n s h o w t h a t A(v1, v

2) = S. O b s e r v e t h a t v

(S) v(T) = + .T h e r e f o r e , b y d e n i t i o n ,

+ P(S, T) .C l a i m 2 . 7 t e l l s u s s o m e t h i n g i m p o r t a n t a b o u t t h e

s t r u c t u r e o f t h e d i f f e r e n t P(S, T) s e t s i n 2 : I f a p o i n t i s i n P(S, T) t h e n s o a r e a l l p o i n t s a b o v e i t a n d t o t h e r i g h t o f i t . H e n c e , e a c h P(S, T) i s d e n e d b y a l o w e r b o u n d a r y w i t h a n o n - i n c r e a s i n g s l o p e . H o w e v e r , w e d o

n o t y e t k n o w t h a t t h i s n o n - i n c r e a s i n g s l o p e i s a s t r a i g h t

l i n e ( a n d c e r t a i n l y n o t t h a t i t i s t h e s a m e s t r a i g h t l i n e f o r

a l l c h o i c e s o f S, T) . W e s h a l l r e q u i r e t h e t w o f o l l o w i n g t e c h n i c a l p r o p o s i t i o n s :

P r o p o s i t i o n 2 . 8 F o r a n y S= T RA P(S, T) i f f / P(T, S).

P r o o f : L e t = (1, 2) P(S, T). T h e n , b y d e f - i n i t i o n , t h e r e e x i s t s

v = (v1, v2) s u c h t h a t A(v) = Sa n d v(S) v(T) = . S u p p o s e , f o r p o i n t o f c o n - t r a d i c t i o n , t h a t P(T, S). T h e n , b y d e n i t i o n , t h e r e e x i s t s v = (v1, v

2) s u c h t h a t A(v) = Ta n d

v(T) v(S) = ( o r , v(S) v(T) = ) . H o w - e v e r , b y P r o p o s i t i o n 2 . 6 t h i s i s i m p o s s i b l e ( A(v) c a n n o t e q u a l T) .

W e n o w p r o v e t h e o t h e r d i r e c t i o n , w h i c h i s e q u i v a -

l e n t t o s h o w i n g t h a t i f / P(S, T) t h e n P(T, S) .S i n c e Si s i n RA t h e r e m u s t b e v a l u a t i o n f u n c t i o n s v =(v1, v2) s u c h t h a t A(v) = S. L e t

W= v(S) v(W) .W e p r o v e t h e p r o p o s i t i o n f o r t h e c a s e

0 ( o t h e r c a s e s a r e h a n d l e d s i m i l a r l y ) . L e t j S\ T. W e d e n e v a l - u a t i o n f u n c t i o n s

v = (v1, v2) a s f o l l o w s ( w e c h o o s e

t o b e h u g e , a n d i n p a r t i c u l a r h i g h e r t h a n t h e v a l u e s o f a l l

c o o r d i n a t e s o f a l l t h e d i f f e r e n t W

' s ) :

R v1(R) = 1|R {j}| + |S||T|(|S| |S R|)(|T| |T R|)

R v2(R) = 2|R {j}| + |S||T|(|S| |S R|)(|T| |T R|)

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T h e r e p e a t e d u s e o f P r o p o s i t i o n 2 . 6 f o r e v e r y W

RA s u c h t h a t W= S, Ts h o w s t h a t A(v1, v2) m u s t b e i n {S, T}. H o w e v e r , s i n c e v(S) v(T) = a n d / P(S, T), i t m u s t b e t h a t A(v) = T. O b s e r v e t h a t v(T) v(S) = . S o , b y d e n i t i o n o f P(T, S) ,

P(T, S)

.

P r o p o s i t i o n 2 . 9 F o r a n y S , T , W RA , s u c h t h a t n o t w o a r e e q u a l , i f P(S, T) a n d P(T, W) t h e n + P(S, W) .

P r o o f :

L e t = (1, 2). L e t = (1,

2) . L e t Yb e a n

a d d i t i v e v a l u a t i o n f u n c t i o n s u c h t h a t j / S T WY({j}) = 0 a n d t h e t w o f o l l o w i n g p r o p e r t i e s h o l d :

jSY({j}) jTY({j}) = 1

jTY({j}) jWY({j}) =

1

O b s e r v e t h a t b e c a u s e t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s i s

g r e a t e r t h a n t h e n u m b e r o f e q u a t i o n s s u c h a f u n c t i o n Ye x i s t s . S i n c e S , T , W a r e o f e q u a l s i z e w e c a n a l s o a s - s u m e t h a t Yo n l y a s s i g n s n o n n e g a t i v e v a l u e s ( o t h e r w i s e i n c r e a s e t h e v a l u e o f e a c h j S T Wb y s o m e i d e n t i c a l l a r g e e n o u g h c o n s t a n t ) .

S i m i l a r l y , l e t Zb e a n a d d i t i v e v a l u a t i o n f u n c t i o n s u c h t h a t j / S T W Z({j}) = 0 a n d t h e t w o f o l l o w i n g p r o p e r t i e s h o l d :

jSZ(

{j}

)

jTZ({

j}

) = 2

jTZ({j}) jWZ({j}) = 2

W e d e n e ( f o r s o m e h u g e t o b e d e t e r m i n e d l a t e r ) t h e f o l l o w i n g v a l u a t i o n s v = (v1, v

2):

R v1(R) = Y(R) + |S||T|(|S| |S R|)(|T| |T R|)R v2(R) = Z(R) + |S||T|(|S| |S R|)(|T| |T R|)

S i n c e

P(S, T) t h e r e m u s t b e s o m e v a l u a t i o n s v = (v1, v2) s u c h t h a t A(v) = S. T h e r e p e a t e d u s e o f P r o p o s i t i o n 2 . 6 ( a s i n t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 2 . 8 )

s h o w s t h a t A(v) {S, W} . S i m i l a r l y , b y t a k i n g a d - v a n t a g e o f t h e f a c t t h a t P(T, W) o n e c a n s h o w ( u s i n g s i m i l a r a r g u m e n t s ) t h a t A(v) {S, T} . W e c o n - c l u d e t h a t A(v) = S. O b s e r v e t h a t v(S) v(W) =(v(S) v(T)) + (v(T) v(W)) = + . H e n c e , b y d e n i t i o n o f P(S, W) + P(S, W) .

W e s h a l l p r o v e o u r r e s u l t f o r t h e c a s e t h a t

0 =

(0, 0) P(S, T) f o r e v e r y S= T RA . T h i s g r e a t l y

s i m p l i e s t h e e x p o s i t i o n a n d e n a b l e s u s t o c o n v e y t h e

m a i n i d e a o f t h e p r o o f . T h e p r o o f f o r t h e m o r e g e n e r a l

c a s e i s a c h i e v a b l e v i a t h e e x a c t s a m e l o g i c a s p r e s e n t e d

i n [ 1 7 ] ( c l a i m 4 a n d t h e f o l l o w i n g c l a i m s i n t h e r s t

p r o o f i n t h a t p a p e r f o l l o w f r o m w h a t w e h a v e p r o v e n

t h u s f a r ) .

C o r o l l a r y 2 . 1 0 F o r e v e r y S= T, U= W RA i th o l d s t h a t P(S, T) = P(U, W) .

P r o o f : L e t P(S, T). A s 0 P(T, W), w eh a v e t h a t = +

0 P(S, W). W e a l s o k n o w t h a t

0 P(U, S), a n d s o = 0 + P(U, W) .T h a t i s , a l l t h e P(S, T) s e t s ( f o r e v e r y c h o i c e o f S, T)

a r e , i n f a c t , t h e v e r y s a m e s e t , t h a t w e s h a l l r e f e r t o a s

X. W e s h a l l n o w p r o v e t h a t Xi s c o n v e x , t h u s s h o w i n g t h a t t h e ( l o w e r ) b o u n d a r y o f X( w h i c h w e k n o w i s n o n - i n c r e a s i n g ) m u s t b e a s t r a i g h t l i n e

7

. O u r p r o o f f o r t h e

c o n v e x i t y o f Xr e l i e s o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e d o m a i n o f v a l u a t i o n s Vi s o p e n . U n f o r t u n a t e l y , i t i s n o t t r u e t h a t t h e d o m a i n o f n o n d e c r e a s i n g s u b m o d u l a r v a l u a t i o n s i s

o p e n . A t t h e e n d o f t h e C h a r a c t e r i z a t i o n L e m m a ' s p r o o f

w e r e v i s i t t h i s a s s u m p t i o n a n d s h o w h o w i t t o o c a n b e

r e m o v e d .

D e n i t i o n 2 . 1 1 A d o m a i n o f v a l u a t i o n s Vi s o p e n i f f o r e a c h v = (v1,...,vn) V, t h e r e i s s o m e > 0 s u c h t h a t f o r a l l v = (v1,...,v

n), i f S Ma n d i [n],

|vi(S) vi(S)| t h e n v V.

P r o p o s i t i o n 2 . 1 2

Xi s c o n v e x .

P r o o f : W e r s t s h o w t h a t i f , Xt h e n +2 X.S u p p o s e , b y c o n t r a d i c t i o n , t h a t , Xb u t +2 /X. B y P r o p o s i t i o n 2 . 9 + X, a n d b y P r o p o s i - t i o n 2 . 8 +2 X. H o w e v e r , P r o p o s i t i o n 2 . 9 n o w i m p l i e s t h a t

+

2 = ( + ) + (+2 ) X. A

c o n t r a d i c t i o n .

B y r e p e a t e d l y u s i n g t h i s f a c t , w e c a n , f o r a n y ,

Xa n d

(0, 1) b u i l d a s e r i e s o f p o i n t s t h a t a p p r o a c h +(1) , s u c h t h a t a n y p o i n t i n t h e s e r i e s h a s a b a l l o f s m a l l r a d i u s t h a t i s f u l l y c o n t a i n e d i n

X. T h i s ( a n d t h e

o p e n n e s s o f V) s u f c e s t o p r o v e t h a t + (1 ) X

.

N o w w e k n o w t h a t Xi s c o n v e x a n d t h e r e f o r e h a s a l o w e r b o u n d a r y i n t h e f o r m o f a s t r a i g h t l i n e l . M o r e -

o v e r , l

g o e s t h r o u g h t h e o r i g i n o f t h e a x e s

0

, a s b y

P r o p o s i t i o n 2 . 8 Xi f f / X. S o , l c a n b e d e -

s c r i b e d b y w1x + w2y = 0 f o r s o m e p o s i t i v e c o n s t a n t s

7

O b s e r v e t h a t i f w e d e n e X = {| X} t h e n t h e c o n - v e x i t y o f X i m p l i e s t h e c o n v e x i t y o f X . I f X a n d X a r e c o n v e x , t h e i r u n i o n i s 2 , a n d t h e i r i n t e r i o r s a r e d i s j o i n t ( b y P r o p o s i t i o n 2 . 8 ) , t h e n t h e y m u s t b e s e p a r a t e d b y a s t r a i g h t l i n e .

6

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w1, w2 ( r e c a l l t h a t l ' s s l o p e i s n o n - i n c r e a s i n g ) . T h e r e - f o r e , w e g e t t h a t

Ai s a n a f n e m a x i m i z e r ( f o r a g e n t -

w e i g h t s w1, w2 a n d b y s e t t i n g a l l o u t c o m e - w e i g h t s t o

b e0

) . T h i s c o n c l u d e s t h e p r o o f o f t h e l e m m a .

R e m o v i n g t h e S t r o n g M o n o t o n i c i t y a n d O p e n D o -

m a i n A s s u m p t i o n s . S o f a r , t h e p r o o f o f t h e C h a r a c -

t e r i z a t i o n L e m m a r e l i e d o n t h e a s s u m p t i o n s t h a t t h e a l -

g o r i t h m s i n q u e s t i o n a r e s t r o n g l y m o n o t o n e a n d t h a t t h e

d o m a i n o f v a l u a t i o n s i s o p e n . H e r e w e e x p l o i t t h e f o l -

l o w i n g m a c h i n e r y t o d o a w a y w i t h t h e s e :

T h e o r e m 2 . 1 3 [ 1 6 ] I f a d o m a i n o f v a l u a t i o n s Vi so p e n , t h e n f o r e v e r y t r u t h f u l a l g o r i t h m A t h e r e e x i s t s a n a l g o r i t h m A t h a t s a t i s e s s t r o n g m o n o t o n i c i t y s u c h t h a t i f A i s a n a f n e m a x i m i z e r t h e n s o i s A.

T h e o r e m 2 . 1 3 i m p l i e s t h e f o l l o w i n g m o d u s o p e r a n d i :

W e s h a l l f o c u s o n a r i c h o p e n s u b d o m a i n o f t h e d o -

m a i n o f a l l n o n d e c r e a s i n g s u b m o d u l a r v a l u a t i o n f u n c -

t i o n s . W e s h a l l s h o w t h a t a l l o u r a r g u m e n t s a c t u a l l y a p -

p l y t o t h a t d o m a i n . S i n c e i n t h a t d o m a i n t r u t h f u l n e s s

i s e q u i v a l e n t t o s t r o n g m o n o t o n i c i t y ( i n t h e s e n s e s t a t e d

b y T h e o r e m 2 . 1 3 ) t h i s w i l l c o n c l u d e t h e p r o o f . W e n o w

p r o v i d e a w a y t o s l i g h t l y t w e a k a l l c o n s t r u c t i o n s o f v a l u -

a t i o n f u n c t i o n s i n S u b s e c t i o n s 2 . 1 a n d 2 . 2 t o e n s u r e t h a t

t h e y a l l b e l o n g t o t h i s o p e n d o m a i n .

S p e c i c a l l y , w e d e n e t h e s t r i c t d o m a i n Vstrict t ob e t h e d o m a i n o f a l l v a l u a t i o n s t h a t a r e s t r i c t l y n o n -

d e c r e a s i n g ( i . e . , S T [m] a n d i [n]vi(S) < vi(T)

) a n d h a v e s t r i c t l y d e c r e a s i n g m a r g i n a l

u t i l i t i e s . ( i . e . , S T [m], j / Ta n d i [n]vi(S {j}) vi(S) > vi(T {j}) vi(T) ) .

C l a i m 2 . 1 4 Vstrict i s a n o p e n d o m a i n .

P r o o f : C o n s i d e r s o m e v = (v1,...,vn) Vstrict . L e t b e t h e m i n i m a l g a p c a u s e d b y t h e a b o v e s t r i c t i n e q u a l - i t i e s ( t a k e n o v e r a l l p o s s i b l e s e t s o f r e s o u r c e s , a g e n t s ,

e t c . ) . I t i s e a s y t o s e e t h a t = 3 m e e t s t h e r e q u i r e m e n t i n t h e d e n i t i o n o f a n o p e n d o m a i n .

W e n o w s h o w t h a t a n y n o n d e c r e a s i n g a n d s u b m o d -

u l a r v a l u a t i o n f u n c t i o n c a n b e s l i g h t l y t w e a k e d t o t i n

Vstrict. H e n c e , w e c a n p r o v e o u r t h e o r e m f o r t h e c a s e

t h a t a l l v a l u a t i o n s a r s l i g h t l y t w e a k e d i n t h i s m a n n e r .

T h e r e a d e r m a y v e r i f y t h a t ( f o r s u f c i e n t l y s m a l l c h o i c e s

) a l l t h e a r g u m e n t s i n t h i s s e c t i o n f o r t h e s e s l i g h t l y d i f -

f e r e n t c o n s t r u c t i o n s o f v a l u a t i o n f u n c t i o n s .

C l a i m 2 . 1 5 F o r a n y n o n d e c r e a s i n g a n d s u b m o d u l a r

v a l u a t i o n f u n c t i o n vi Vi , a n d a n y > 0, t h e r e e x i s t s a v a l u a t i o n f u n c t i o n s vi Vi t h a t i s s t r i c t l y n o n d e c r e a s - i n g a n d h a s s t r i c t l y d e c r e a s i n g m a r g i n a l u t i l i t i e s s u c h

t h a t S [m] |vi(S) vi(S)| .

P r o o f : F i x s o m e > 0

a n d v a l u a t i o n f u n c t i o n vi

t h a t i s n o n d e c r e a s i n g a n d s u b m o d u l a r . L e t 0 i s s m a l l a n d x e d , a n d c o n s i d e r t h e v a l u a t i o n f u n c t i o n v(S) = |S V|. W e c l a i m t h a t , u n l e s s RA c o n t a i n s a t l e a s t

(em

)s e t s , w i t h h i g h p r o b a b i l i t y i t a p p r o x i m a t e s

v v e r y p o o r l y .

I n d e e d , i t f o l l o w s f r o m t h e C h e r n o f f b o u n d t h a t , f o r

a n y s m a l l > 0 , w i t h p r o b a b i l i t y a t l e a s t 1 |RA| exp(2m

12+), i n t h i s i n s t a n c e o f C P P P t h e o p t i m u m |V|

i s a t l e a s t (1 )m 12+ , w h i l e t h e s o l u t i o n r e t u r n e d b y t h e a f n e m a x i m i z e r w i l l b e a t m o s t (1 + )m). T h e l e m m a f o l l o w s .

T h e f o l l o w i n g n o w c o n c l u d e s t h e p r o o f o f o u r m a i n

r e s u l t :

L e m m a 2 . 1 7 A n y a f n e m a x i m i z e r A w i t h r a n g e RA r e -q u i r e s (|RA|) c o m m u n i c a t i o n , e v e n f o r n = 2 .

P r o o f : ( S k e t c h ) C o n s i d e r a n a f n e m a x i m i z e r A w i t h r a n g e RA . W e s h a l l c o n s t r u c t t w o s u b m o d u l a r v a l u a t i o n f u n c t i o n s w h i c h r e q u i r e (|RA|) c o m m u n i c a t i o n i n o r - d e r t o a c h i e v e o p t i m a l i t y i n t h e r a n g e RA . R e c a l l t h a t Am a x i m i z e s w1v1(S) + w2v2(S) + CS o v e r a l l S RA ;i t i s e a s y t o s e e t h a t o n e c a n a s s u m e w1 = w2 = 1f o r a l l S, w . l . o . g . N o w , s u p p o s e t h a t e a c h a g e n t i h a s a p r i v a t e s e t RiA RA , w h i c h i n d u c e s t h e f o l l o w i n g v a l u - a t i o n f u n c t i o n : vi(T) = (SRi

A|S| SRi

A(|S|

7

8/8/2019 On the Hardness of Being Truthful Schapira-harndess-cppp

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|S T|)) T [m]. N o t e t h a t s i n c e c a n b e a r b i - t r a r i l y l a r g e , w . l . o . g . w e c a n c o n s i d e r t h e c a s e i n w h i c h

CS = 0 f o r a l l S RA . O b s e r v e t h a t i f A m a x i m i z e s o v e r t h e r a n g e

RA , i t i m p l i c i t l y d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n t h e c a s e f o r w h i c h R1A a n d R

2A i n t e r s e c t , a n d t h e c a s e i n

w h i c h R1A

R2A =

. T h e r e f o r e t h i s i s a r e d u c t i o n f r o m

t h e c o m m u n i c a t i o n s e t - d i s j o i n t n e s s p r o b l e m , e s t a b l i s h -

i n g t h a t (|RA|) c o m m u n i c a t i o n i s r e q u i r e d .

3 C o m p u t a t i o n a l - C o m p l e x i t y o f M e c h a -

n i s m D e s i g n

W e n o w d e s c r i b e a s i m p l e n e w t e c h n i q u e f o r d e -

r i v i n g c o m p u t a t i o n a l - c o m p l e x i t y ( n o t c o m m u n i c a t i o n -

c o m p l e x i t y ) l o w e r b o u n d s f o r m e c h a n i s m d e s i g n p r o b -

l e m s , w h i c h w e b e l i e v e h a s m u c h b r o a d e r a p p l i c a b i l -

i t y . I n p a r t i c u l a r , w e s h o w t h a t , e v e n i f a g e n t s h a v e

s u c c i n c t l y d e s c r i b e d v a l u a t i o n s , C P P P i s i n a p p r o x i m a b l e

i n p o l y n o m i a l t i m e b y t r u t h f u l a l g o r i t h m s , u n l e s s N P B P P . S p e c i c a l l y , w e p r o v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m :

T h e o r e m 3 . 1 T h e r e i s a c l a s s o f s u c c i n c t l y - d e s c r i b e d ,

n o n n e g a t i v e a n d s u b m o d u l a r v a l u a t i o n f u n c t i o n s Cs u c h t h a t :

T h e r e i s a p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m f o r t h e C P P P w i t h v a l u a t i o n s i n

Ct h a t a p p r o x i m a t e s t h e o p t i m a l

s o c i a l - w e l f a r e w i t h i n a r a t i o o f 1 1

e.

A n y t r u t h f u l a n d p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m c a n n o t a c h i e v e a n a p p r o x i m a t i o n r a t i o b e t t e r t h a n m

12

u n l e s s N P B P P ( f o r e v e r y > 0 ) .

W e s h a l l s t a r t b y p r o v i n g o u r l o w e r b o u n d f o r a f n e

m a x i m i z e r s . W e s h a l l t h e n s h o w h o w t h i s r e s u l t c a n b e

e x t e n d e d t o a n y t r u t h f u l a l g o r i t h m .

3.1 Lower Bound For Affine Maximiz-ers.

W e d e n e a c l a s s o f s u c c i n c t l y d e s c r i b e d v a l u a -

t i o n f u n c t i o n s c a l l e d c o v e r a g e - p e n a l t y v a l u a t i o n s . A

c o v e r a g e - p e n a l t y v a l u a t i o n vF,Ti s d e n e d b y a f a m i l y F= R1,...Rm o f m s u b s e t s o f a u n i v e r s e U, a n d a s u b s e t T [m]: S [m], vF,T(S) = |

jS Rj |

|T| (max{0, |S T| |T|2 }) ( f o r s o m e e x t r e m e l y s m a l l

v a l u e o f ) . I n t u i t i v e l y , f o r e v e r y S [m], vF,Ta s s i g n s a v a l u e t h a t e q u a l s t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i n Uc o v e r e d b y t h e u n i o n o f t h e s e t s i n Fw i t h i n d i c e s i n S, m i n u s a n i n s i g n i c a n t p e n a l t y i f Sh a s t o o m a n y e l e m e n t s i n c o m m o n w i t h T. I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t t h i s f u n c t i o n

i s i n d e e d n o n n e g a t i v e

8

a n d s u b m o d u l a r ( b u t n o t n o n d e -

c r e a s i n g ) .

O b s e r v e t h a t f o r a n y v a l u e o f k , i t i s e a s y t o o b t a i n a 1 1

ea p p r o x i m a t i o n r a t i o f o r C P P P w i t h c o v e r a g e -

p e n a l t y v a l u a t i o n s ( s i m p l y i g n o r e t h e p e n a l t y t e r m s i n

t h e d e n i t i o n s o f t h e vi ' s a n d a p p l y t h e 1

1e

g r e e d y a p -

p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m ) . W e s h a l l n o w s h o w t h a t d e s p i t e

t h i s f a c t , a n y a f n e - m a x i m i z e r f a i l s t o o b t a i n a r e a s o n -

a b l e a p p r o x i m a t i o n r a t i o :

T h e o r e m 3 . 2 N o p o l y n o m i a l - t i m e a f n e m a x i m i z e r f o r

C P P P w i t h c o v e r a g e - p e n a l t y v a l u a t i o n s a c h i e v e s a n a p -

p r o x i m a t i o n r a t i o b e t t e r t h a n m

12

u n l e s s N P B P P( f o r e v e r y > 0 a n d e v e n f o r n = 1 ) .

P r o o f : ( S k e t c h ) F i x k =

m a n d n = 1 . L e t Ab e a n a f n e m a x i m i z e r a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e -

o r e m ( w . l . o . g . a s s u m e t h a t t h e a g e n t - w e i g h t s a r e 1 a n do u t c o m e - w e i g h t s a r e

0) .

RAc o n s i s t s o f s u b s e t s o f

[m]o f s i z e

m t h a t a r e a s s i g n e d b y A t o d i f f e r e n t i n p u t s . E x a c t l y a s i n L e m m a 2 . 1 6 , i t c a n b e s h o w n t h a t RA m u s t c o n t a i n (em

) s e t s . W e n o w r e c a l l t h e S a u e r - S h e l a h L e m m a :

L e m m a 3 . 3 ( [ 3 0 , 3 3 ] ) F o r a n y f a m i l y

Zo f s u b s e t s o f a

u n i v e r s e R , t h e r e i s a s u b s e t Q o f R o f s i z e ( log |Z|log |R| )

s u c h t h a t f o r e a c h Q Q t h e r e i s a Z Zs u c h t h a t Q = Z R .

H e n c e , c o m i n g b a c k t o t h e a f n e m a x i m i z e r , t h e r e i s

a s u b s e t M o f [m] o f s i z e ( m

logm ) t h a t i s s h a t t e r e d

b y RA . T h e i d e a i s n o w t o e m b e d a s m a l l , b u t s t i l l p o l y - n o m i a l l y l a r g e , i n s t a n c e o f a n N P - c o m p l e t e p r o b l e m i n

M . W e s h a l l d o t h i s f o r t h e p r o b l e m i n w h i c h w e h a v e a f a m i l y F o f t s u b s e t s o f a u n i v e r s e Ua n d w i s h t o d e t e r - m i n e w h e t h e r t h e r e a r e

t2 s e t s i n F

w h o s e u n i o n c o v e r s

t h e e n t i r e u n i v e r s e ( w h i c h i s k n o w n t o b e N P - c o m p l e t e ) .

T h e e m b e d d i n g i s a s f o l l o w s : W e c o n s t r u c t a c o v e r a g e -

p e n a l t y v a l u a t i o n f u n c t i o n v f o r w h i c h e a c h e l e m e n t i n M c o r r e s p o n d s t o o n e o f t h e t s u b s e t s i n F , a n d a l l o t h e r e l e m e n t s i n [m] c o r r e s p o n d t o e m p t y s e t s . W e s e t t h e p e n a l t y s e t Tt o e q u a l M . N o w , o b s e r v e t h a t t h e v a l u e o f t h e s e t o u t p u t b y t h e a f n e m a x i m i z e r A e q u a l s

|U

|i f f t h e r e a r e

t

2

s e t s i n F w h o s e u n i o n c o v e r s U.

T h e a b o v e s u g g e s t s a n o n - u n i f o r m r e d u c t i o n f r o m a n

N P - h a r d p r o b l e m t o t h e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g t h e o u t -

p u t o f t h e a f n e m a x i m i z e r i n q u e s t i o n . T h e r e a s o n t h e

r e d u c t i o n i s n o n - u n i f o r m ( a n d t h u s i t d o e s n o t e s t a b l i s h

N P - c o m p l e t e n e s s ) i s b e c a u s e w e d o n o t k n o w h o w t o

n dM

( s e e [ 2 7 , 3 1 , 2 0 ] o n t h e c o m p l e x i t y o f m a k i n g

S a u e r - S h e l a h L e m m a c o n s t r u c t i v e ) . H o w e v e r , t h i s n o n -

u n i f o r m r e d u c t i o n i s s u f c i e n t t o s h o w t h a t i f A

o b t a i n s

8

T h i s m a y n o t b e t r u e i f s o m e o f t h e Ri ' s a r e t h e e m p t y s e t . H o w -

e v e r , t h i s i s e a s i l y h a n d l e d b y s i m p l y a d d i n g t o vF,T(S) f o r e v e r y S.

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a n a p p r o x i m a t i o n r a t i o b e t t e r t h a n m

12

i n p o l y n o m i a l

t i m e t h e n N P h a s p o l y n o m i a l - t i m e c i r c u i t s , i . e . , N P P / p o l y .

B y u s i n g t h e p r o b a b i l i s t i c v e r s i o n o f t h e S a u e r -

S h e l a h L e m m a p r e s e n t e d b y A j t a i [ 1 ] w e c a n t u r n t h e r e -

d u c t i o n d e s c r i b e d a b o v e i n t o a p r o b a b i l i s t i c p o l y n o m i a l -

t i m e r e d u c t i o n ( t h u s c o n c l u d i n g t h e p r o o f o f t h e t h e o -

r e m ) .

L e m m a 3 . 4 ( [ 1 ] ) L e t Zb e a f a m i l y o f s u b s e t s o f a u n i - v e r s e R t h a t i s r e g u l a r ( i . e . , a l l s u b s e t s i n Za r e o f e q u a l s i z e ) a n d Q 2|R| ( f o r s o m e 0 < 1 ) . T h e r e a r e i n t e g e r s q, l ( w h e r e |R|, q a n d l a r e p o l y n o m i a l l y r e l a t e d ) s u c h t h a t i f w e r a n d o m l y c h o o s e q p a i r w i s e - d i s j o i n t s u b s e t s o f R , Q1,...,Qq , e a c h o f s i z e l , t h e n , w . h . p . , f o r e v e r y f u n c t i o n f: [q] {0, 1} t h e r e i s a s u b - s e t Z Zf o r w h i c h |Z Qj | = f(j) f o r a l l j [q].

T h e p r o b a b i l i s t i c p o l y n o m i a l - t i m e r e d u c t i o n f r o m

o u r N P - c o m p l e t e p r o b l e m i s v e r y s i m i l a r t o t h e n o n -

u n i f o r m r e d u c t i o n s h o w n a b o v e . T h e k e y i d e a i s n d -

i n g p a i r w i s e - d i s j o i n t s u b s e t s o f [m] a s i n t h e s t a t e m e n t o f L e m m a 3 . 4 , a n d t h e n a s s o c i a t i n g e a c h s u b s e t o f t h e

u n i v e r s e i n t h e N P - c o m p l e t e p r o b l e m w i t h a l l e l e m e n t s

i n o n e o f t h e p a i r w i s e - d i s j o i n t s u b s e t s .

3.2 Connection to Complexity Theory

T h i s t e c h n i q u e h a s a n i n t e r e s t i n g p r o j e c t i o n i n c o m -

p l e x i t y t h e o r y : C a l l a l a n g u a g e L {0, 1} e x p o n e n - t i a l l y d e n s e i f t h e r e i s s o m e

> 0, a n d s o m e i n t e -

g e r N, s u c h t h a t f o r a n y i n t e g e r n > Ni t h o l d s t h a t |L {0, 1}n| 2n . F o r a l a n g u a g e L {0, 1} , d e - n e S A T L t o b e t h e p r o b l e m : G i v e n a C N F , i s t h e r e a

t r u t h a s s i g n m e n t i n L t h a t s a t i s e s i t ? T h e p r o o f t e c h - n i q u e i m p l i e s t h a t :

T h e o r e m 3 . 5 L e t L b e a n y e x p o n e n t i a l l y d e n s e l a n - g u a g e . I f

S A T L i s i n P , t h e n N P P / p o l y .

O b s e r v e t h a t w e d o n o t k n o w h o w t o r e l a x t h e c o m -

p u t a t i o n a l h a r d n e s s a s s u m p t i o n t o N P B P P ( e . g . , v i a t h e p r o b a b i l i s t i c v e r s i o n o f t h e S a u e r - S h e l a h L e m m a ) .

F o r t h e p r o b l e m C I R C U I T S A T , h o w e v e r , w e c a n p r o v e

t h i s s t r o n g e r r e s u l t v i a a d i f f e r e n t t e c h n i q u e :

T h e o r e m 3 . 6 L e t L b e a n y e x p o n e n t i a l l y d e n s e l a n - g u a g e . I f C I R C U I T S A T L i s i n P , t h e n N P B P P .

P r o o f : ( S k e t c h ) T o s o l v e a g i v e n C N F o n n v a r i a b l e s , s t a r t w i t h a l a r g e e n o u g h Ns o t h a t L c o n t a i n s a t l e a s t

2n2

s t r i n g s o f l e n g t h N. N o w h a s h t h e s e Nb i t s ( b y a c i r c u i t c o m p u t i n g a s a m p l e d u n i v e r s a l h a s h i n g f u n c t i o n )

i n t o n b i t s . W i t h v e r y h i g h p r o b a b i l i t y , t h e 2n2

b i t s t r i n g s

i nL

o f l e n g t h N

w i l l c o v e r , a f t e r h a s h i n g , a l l 2n

b i t -

s t r i n g s o f l e n g t h n

. T h e n f e e d t h e s e n

b i t s i n t o a v e r i e r

c i r c u i t f o r

. I t i s n o t h a r d t o s e e t h a t , w i t h h i g h p r o b a -

b i l i t y , t h i s o v e r a l l c i r c u i t , w i t h N

i n p u t s , h a s a s a t i s f y i n g

t r u t h a s s i g n m e n t i n L i f a n d o n l y i f i s s a t i s a b l e .

I t w o u l d b e v e r y i n t e r e s t i n g t o e x t e n d t h i s i d e a ( o r t h e

i d e a s i n t h e p r o o f o f L e m m a 3 . 4 ) t o S A T L .

3.3 Extension to All Truthful Algo-rithms

W e e x t e n d o u r l o w e r b o u n d t o a l l t r u t h f u l a l g o r i t h m s

b y r e l y i n g o n t h e f o l l o w i n g s i m p l e o b s e r v a t i o n : A l l t h e

s u b m o d u l a r f u n c t i o n s t h a t a r e c o n s t r u c t e d a s p a r t o f t h e

p r o o f o f t h e C h a r a c t e r i z a t i o n L e m m a ( L e m m a 2 . 3 i n

S e c t i o n 2 ) a r e , i n f a c t , s u c c i n c t l y d e s c r i b e d . W e c a n

t h e r e f o r e d e n e a c l a s s o f s u c c i n c t l y d e s c r i b e d v a l u a -

t i o n f u n c t i o n s

C, t h a t c o n t a i n s t h e f a m i l i e s o f f u n c t i o n s

c o n s t r u c t e d i n L e m m a 2 . 3 a n d a l l c o v e r a g e - p e n a l t y v a l -

u a t i o n s .

I t i s e a s y t o s e e t h a t a n a p p r o x i m a t i o n o f 1 1e

i s

a c h i e v a b l e f o r t h e C P P P w h e n t h e v a l u a t i o n f u n c t i o n s a r e

i n C( t h i s i s b e c a u s e c o v e r a g e - p e n a l t y v a l u a t i o n s a r e a r - b i t r a r i l y c l o s e t o n o n - d e c r e a s i n g s u b m o d u l a r v a l u a t i o n s

a n d a l l o t h e r v a l u a t i o n s i n Ca r e n o n - d e c r e a s i n g a n d s u b - m o d u l a r ) . B e c a u s e o f t h e w a y w e d e n e d Co n e c a n s h o w ( b y c a r e f u l l y a p p l y i n g t h e p r o o f o f L e m m a 2 . 3 t o

t h i s c a s e ) t h a t a n y t r u t h f u l a l g o r i t h m f o r t h e C P P P w i t h

v a l u a t i o n s i n Ci s a n a f n e - m a x i m i z e r . W e c a n n o w u s e T h e o r e m 3 . 2 t o o b t a i n o u r r e s u l t .

4 D i s c u s s i o n a n d O p e n P r o b l e m s

W h a t a r e t h e l i m i t a t i o n s o f o u r t e c h n i q u e s ? I t w o u l d

b e v e r y i n t e r e s t i n g t o e x p l o r e f o r w h i c h m e c h a n i s m d e -

s i g n p r o b l e m s o n e c a n p r o v e c h a r a c t e r i z a t i o n s s i m i l a r t o

t h a t s h o w n i n L e m m a 2 . 3 ( f o r t h e C P P P ) , t h u s p r o v i n g

u n c o n d i t i o n a l l o w e r b o u n d s . I t w o u l d a l s o b e v e r y i n t e r -

e s t i n g t o e x t e n d t h e p r o o f t e c h n i q u e o f T h e o r e m 3 . 2 t o

o t h e r s u c c i n c t l y d e s c r i b e d s e t t i n g s . W e b e l i e v e t h a t s u c h

c o m p u t a t i o n a l h a r d n e s s r e s u l t s c a n b e s h o w n f o r m a n y

o t h e r m e c h a n i s m d e s i g n p r o b l e m s , s u c h a s c o m b i n a t o -

r i a l a u c t i o n s . F i n a l l y , a b i g c o m p u t a t i o n a l - c o m p l e x i t y -

r e l a t e d o p e n q u e s t i o n i s p r o v i n g t h a t m e c h a n i s m d e s i g n

i s c o m p u t a t i o n a l l y i n t r a c t a b l e u n d e r w e a k e r c o m p u t a -

t i o n a l a s s u m p t i o n s . W e s u s p e c t t h a t t h i s i s p o s s i b l e , b u t

t h e p r e c i s e w a y o f d o i n g t h i s e l u d e s u s a t t h e m o m e n t .

A c k n o w l e d g e m e n t s

W e t h a n k M o s h e B a b a i o f f , L i a d B l u m r o s e n ,

V e n k a t e s a n G u r u s w a m i , L u c a T r e v i s a n , G r e g o r y

9

8/8/2019 On the Hardness of Being Truthful Schapira-harndess-cppp

10/10

V a l i a n t a n d U m e s h V a z i r a n i f o r h e l p f u l d i s c u s s i o n s . W e

t h a n k t h e a n o n y m o u s r e v i e w e r s f o r v a l u a b l e c o m m e n t s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] M . A j t a i . T h e s h o r t e s t v e c t o r p r o b l e m i n L

2

i s N P - h a r d

f o r r a n d o m i z e d r e d u c t i o n s ( e x t e n d e d a b s t r a c t ) . I n S T O C ,

p a g e s 1 0 1 9 , 1 9 9 8 .

[ 2 ] A . A r c h e r , C . P a p a d i m i t r i o u , K . T a l w a r , a n d E . T a r d o s .

A n a p p r o x i m a t e t r u t h f u l m e c h a n i s m f o r c o m b i n a t o r i a l

a u c t i o n s w i t h s i n g l e p a r a m e t e r a g e n t . I n P r o c e e d i n g s

o f t h e 1 4 t h A n n u a l A C M S y m p o s i u m o n D i s c r e t e A l g o -

r i t h m s ( S O D A ) , 2 0 0 3 .

[ 3 ] Y . B a r t a l , R . G o n e n , a n d N . N i s a n . I n c e n t i v e c o m p a t i b l e

m u l t i u n i t c o m b i n a t o r i a l a u c t i o n s . I n T A R K 0 3 , 2 0 0 3 .

[ 4 ] E . H . C l a r k e . M u l t i p a r t p r i c i n g o f p u b l i c g o o d s . P u b l i c

C h o i c e , 1 1 : 1 7 3 3 , 1 9 7 1 .

[ 5 ] S . D o b z i n s k i a n d N . N i s a n . L i m i t a t i o n s o f V C G - b a s e d

m e c h a n i s m s . I n S T O C , 2 0 0 7 .

[ 6 ] S . D o b z i n s k i , N . N i s a n , a n d M . S c h a p i r a . A p p r o x -

i m a t i o n a l g o r i t h m s f o r c o m b i n a t o r i a l a u c t i o n s w i t h

c o m p l e m e n t - f r e e b i d d e r s . I n S T O C , 2 0 0 5 .

[ 7 ] S . D o b z i n s k i a n d M . S c h a p i r a . A n i m p r o v e d a p p r o x i m a -

t i o n a l g o r i t h m f o r c o m b i n a t o r i a l a u c t i o n s w i t h s u b m o d -

u l a r b i d d e r s . I n S O D A 0 6 ' .

[ 8 ] S . D o b z i n s k i a n d M . S u n d a r a r a j a n . O n c h a r a c t e r i z a t i o n s

o f t r u t h f u l m e c h a n i s m s f o r c o m b i n a t o r i a l a u c t i o n s a n d

s c h e d u l i n g . I n A C M c o n f e r e n c e o n e l e c t r o n i c c o m m e r c e

( E C ) , 2 0 0 8 .

[ 9 ] U . F e i g e . O n m a x i m i z i n g w e l f a r e w h e n t h e u t i l i t y f u n c -

t i o n s a r e s u b a d d i t i v e . I n S T O C 0 6 ' .

[ 1 0 ] U . F e i g e . A t h r e s h o l d o f l n n f o r a p p r o x i m a t i n g s e t c o v e r .

J o u r n a l o f t h e A C M , 4 5 ( 4 ) : 6 3 4 6 5 2 , 1 9 9 8 .

[ 1 1 ] U . F e i g e , V . M i r r o k n i , a n d J . V o n d r a k . M a x i m i z i n g n o n -

m o n o t o n e s u b m o d u l a r f u n c t i o n s . I n F O C S , 2 0 0 7 .

[ 1 2 ] U . F e i g e a n d J . V o n d r a k . A p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s f o r

a l l o c a t i o n p r o b l e m s : I m p r o v i n g t h e f a c t o r o f 11/e. I nF O C S 0 6 ' .

[ 1 3 ] J . F e i g e n b a u m a n d S . S h e n k e r . D i s t r i b u t e d a l g o r i t h m i c

m e c h a n i s m d e s i g n : r e c e n t r e s u l t s a n d f u t u r e d i r e c t i o n s .

I n 6 t h I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n D i s c r e t e A l g o r i t h m s

a n d M e t h o d s f o r M o b i l e C o m p u t i n g a n d C o m m u n i c a -

t i o n s , p a g e s 1 1 3 , N e w Y o r k , 2 0 0 2 . A C M .

[ 1 4 ] T . G r o v e s . I n c e n t i v e s i n t e a m s . E c o n o m e t r i c a , p a g e s

6 1 7 6 3 1 , 1 9 7 3 .

[ 1 5 ] E . K u s h i l e v i t z a n d N . N i s a n . C o m m u n i c a t i o n C o m p l e x -

i t y . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 7 .

[ 1 6 ] R . L a v i , A . M u ' a l e m , a n d N . N i s a n . T o w a r d s a c h a r a c -

t e r i z a t i o n o f t r u t h f u l c o m b i n a t o r i a l a u c t i o n s . I n F O C S ,

2 0 0 3 .

[ 1 7 ] R . L a v i , A . M u ' a l e m , a n d N . N i s a n . T w o s i m p l i e d

p r o o f s f o r R o b e r t s ' T h e o r e m , 2 0 0 4 . S u b m i t t e d .

[ 1 8 ] B . L e h m a n n , D . L e h m a n n , a n d N . N i s a n . C o m b i n a t o -

r i a l a u c t i o n s w i t h d e c r e a s i n g m a r g i n a l u t i l i t i e s . I n A C M

c o n f e r e n c e o n e l e c t r o n i c c o m m e r c e ( E C ) , 2 0 0 1 .

[ 1 9 ] V . M i r r o k n i , M . S c h a p i r a , a n d J . V o n d r a k . T i g h t

i n f o r m a t i o n - t h e o r e t i c l o w e r b o u n d s f o r w e l f a r e m a x i -

m i z a t i o n i n c o m b i n a t o r i a l a u c t i o n s , 2 0 0 8 . W o r k i n g p a -

p e r .

[ 2 0 ] E . M o s s e l a n d C . U m a n s . O n t h e c o m p l e x i t y o f a p -

p r o x i m a t i n g t h e V C d i m e n s i o n . J . C o m p u t . S y s t . S c i . ,

6 5 ( 4 ) : 6 6 0 6 7 1 , 2 0 0 2 .

[ 2 1 ] A . M u ' a l e m a n d M . S c h a p i r a . S e t t i n g l o w e r b o u n d s o n

t r u t h f u l n e s s . I n S O D A 2 0 0 7 .

[ 2 2 ] G . L . N e m h a u s e r , L . A . W o l s e y , a n d M . L . F i s h e r . A n

a n a l y s i s o f a p p r o x i m a t i o n s f o r m a x i m i z i n g s u b m o d u l a r

s e t f u n c t i o n s i i . M a t h . P r o g r a m m i n g S t u d y 8 , p a g e s 7 3

8 7 , 1 9 7 8 .

[ 2 3 ] N . N i s a n . T h e c o m m u n i c a t i o n c o m p l e x i t y o f a p p r o x i -

m a t e s e t p a c k i n g a n d c o v e r i n g . I n I C A L P 2 0 0 2 .

[ 2 4 ] N . N i s a n a n d A . R o n e n . C o m p u t a t i o n a l l y f e a s i b l e V C G -

b a s e d m e c h a n i s m s . I n A C M C o n f e r e n c e o n E l e c t r o n i c

C o m m e r c e , 2 0 0 0 .

[ 2 5 ] N . N i s a n a n d A . R o n e n . A l g o r i t h m i c m e c h a n i s m d e s i g n .

G a m e s a n d E c o n o m i c B e h a v i o u r , 3 5 : 1 6 6 1 9 6 , 2 0 0 1 . A

p r e l i m i n a r y v e r s i o n a p p e a r e d i n S T O C 1 9 9 9 .

[ 2 6 ] N . N i s a n a n d I . S e g a l . T h e c o m m u n i c a t i o n r e q u i r e m e n t s

o f e f c i e n t a l l o c a t i o n s a n d s u p p o r t i n g p r i c e s . J E T , 2 0 0 6 .

[ 2 7 ] C . H . P a p a d i m i t r i o u a n d M . Y a n n a k a k i s . O n l i m i t e d

n o n d e t e r m i n i s m a n d t h e c o m p l e x i t y o f t h e V - C d i m e n -

s i o n . J o u r n a l o f C o m p u t e r a n d S y s t e m S c i e n c e s , 1 9 9 6 .

[ 2 8 ] K . R o b e r t s . T h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f i m p l e m e n t a b l e

c h o i c e r u l e s . I n J . - J . L a f f o n t , e d i t o r , A g g r e g a t i o n a n d

R e v e l a t i o n o f P r e f e r e n c e s . P a p e r s p r e s e n t e d a t t h e 1 s t

E u r o p e a n S u m m e r W o r k s h o p o f t h e E c o n o m e t r i c S o c i -

e t y , p a g e s 3 2 1 3 4 9 . N o r t h - H o l l a n d , 1 9 7 9 .

[ 2 9 ] T . R o u g h g a r d e n . A n a l g o r i t h m i c g a m e t h e o r y p r i m e r . I n

P r o c e e d i n g s o f t h e 5 t h I F I P I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n

T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e ( T C S ) . A n i n v i t e d s u r v e y . ,

2 0 0 8 .

[ 3 0 ] N . S a u e r . O n t h e d e n s i t y o f f a m i l i e s o f s e t s . J . C o m b .

T h e o r y , S e r . A , 1 3 ( 1 ) : 1 4 5 1 4 7 , 1 9 7 2 .

[ 3 1 ] M . S c h

a f e r . D e c i d i n g t h e V a p n i k - C e r v o n e n k i s d i m e n -

s i o n i s p3

- c o m p l e t e . J o u r n a l o f C o m p u t e r a n d S y s t e m

S c i e n c e s , 5 8 : 1 7 7 1 8 2 , 1 9 9 9 .

[ 3 2 ] M . S c h a p i r a a n d Y . S i n g e r . I n a p p r o x i m a b i l i t y o f c o m b i -

n a t o r i a l p u b l i c p r o j e c t s . W o r k i n g p a p e r , 2 0 0 8 .

[ 3 3 ] S . S h e l a h . A c o m b i n a t o r i a l p r o b l e m ; s t a b i l i t y a n d o r d e r

f o r m o d e l s a n d t h e o r i e s i n i n n i t a r y l a n g u a g e s . P a c i c J

M a t h , 4 1 : 2 4 7 2 6 1 , 1 9 7 2 .

[ 3 4 ] W . V i c k r e y . C o u n t e r s p e c u l a t i o n , a u c t i o n s a n d c o m p e t -

i t i v e s e a l e d t e n d e r s . J o u r n a l o f F i n a n c e , p a g e s 8 3 7 ,

1 9 6 1 .

[ 3 5 ] J . V o n d r a k . O p t i m a l a p p r o x i m a t i o n f o r t h e s u b m o d u l a r

w e l f a r e p r o b l e m i n t h e v a l u e o r a c l e m o d e l . I n S T O C ,

2 0 0 8 .

[ 3 6 ] A . C . - C . Y a o . S o m e c o m p l e x i t y q u e s t i o n s r e l a t e d t o d i s -

t r i b u t i v e c o m p u t i n g . I n A C M S y m p o s i u m o n T h e o r y o f

C o m p u t i n g ( S T O C ) , p a g e s 2 0 9 2 1 3 , 1 9 7 9 .

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