beamer-tu-logo

Operaciones matematicas con arreglos

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: j.a.otero@itesm.mxweb: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Topicos

1 Introduccion2 Operaciones del algebra lineal

Suma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision

3 Sistemas de ecuaciones4 Operaciones elemento a elemento

MultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion

5 Ejemplos

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Topicos

1 Introduccion2 Operaciones del algebra lineal

Suma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision

3 Sistemas de ecuaciones4 Operaciones elemento a elemento

MultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion

5 Ejemplos

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Objetivos de la claseEstudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo,Utilizando las reglas del algebra lineal

Suma de arreglos,Resta de arreglos,Multiplicacion de arreglos,Division izquierda de arreglos,Division derecha de arreglos,Exponenciacion de arreglos.

Utilizando operaciones elemento a elementoMultiplicacion de arreglos,Division derecha de arreglos,Division izquierda de arreglos,Exponenciacion de arreglos.

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Topicos

1 Introduccion2 Operaciones del algebra lineal

Suma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision

3 Sistemas de ecuaciones4 Operaciones elemento a elemento

MultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion

5 Ejemplos

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Suma y resta

Suma

[A11 A12 A13A21 A22 A23

]+[

B11 B12 B13B21 B22 B23

]=[

A11 + B11 A12 + B12 A13 + B13A21 + B21 A22 + B22 A23 + B23

]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =

1 2 5 73 8 11 19

>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =

3 4 10 146 16 22 29

>> C=A+BC =

4 6 15 219 24 33 48

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Suma y resta

Resta

[A11 A12 A13A21 A22 A23

]−[

B11 B12 B13B21 B22 B23

]=[

A11 − B11 A12 − B12 A13 − B13A21 − B21 A22 − B22 A23 − B23

]>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =

1 2 5 73 8 11 19

>> B = [3 4 10 14;6 16 22 29]B =

3 4 10 146 16 22 29

>> C=B−AC =

2 2 5 73 8 11 10

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Suma y resta

Suma y resta

>> A = [1 2 5 7;3 8 11 19]A =

1 2 5 73 8 11 19

>> D = 5+AD =

6 7 10 128 13 16 24

>> C = A−2C =

−1 0 3 51 6 9 17

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Multiplicacion

[A11 A12A21 A22

]∗[

B11 B12B21 B22

]=[

A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

]>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =

1 4 25 7 39 1 64 2 8

>> B = [6 1;2 5;7 3 ]B =

6 12 57 3

>> C = A∗BC =

28 2765 4998 3284 38

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Multiplicacion

>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =

1 4 25 7 39 1 64 2 8

>> B = [6 1;2 5;7 3 ]B =

6 12 57 3

>> C = B∗A??? Er ro r using ==> mtimesInner mat r i x dimensions must agree .

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Multiplicacion

>> A = [1 4 2;5 7 3;9 1 6;4 2 8]A =

1 4 25 7 39 1 64 2 8

>> C = 2∗AC =

2 8 410 14 618 2 12

8 4 16

>> C = A∗2C =

2 8 410 14 618 2 12

8 4 16

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Exponenciacion

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> C = A∗AC =

48 36 3836 80 3462 98 65

>> C = Aˆ2C =

48 36 3836 80 3462 98 65

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Division

A =[

4 −2 62 8 26 10 3

], b =

[840

]Division izquierda

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ]b =

840

>> c = A\bc =−1.8049

0.29272.6341

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Division

Calculando inversa

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3 ] ;

>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ] ;

>> c = A\bc =−1.8049

0.29272.6341

>> c = inv (A)∗bc =−1.8049

0.29272.6341

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Division

A =[

4 2 6−2 8 26 2 3

], b = [ 8 4 0 ]

Division derecha

>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3]A =

4 2 6−2 8 10

6 2 3>> b =[8 4 0]b =

8 4 0>> c = b /Ac =−1.8049 0.2927 2.6341

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Division

Calculando inversa

>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3 ] ;

>> b =[8 4 0 ] ;

>> c = b /Ac =−1.8049 0.2927 2.6341

>> c = b∗ inv (A)c =−1.8049 0.2927 2.6341

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Topicos

1 Introduccion2 Operaciones del algebra lineal

Suma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision

3 Sistemas de ecuaciones4 Operaciones elemento a elemento

MultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion

5 Ejemplos

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

[4 −2 62 8 26 10 3

] [xyz

]=[

840

]Division izquierda

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ]b =

840

>> x = A\bx =−1.8049

0.29272.6341

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Calculando inversa

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3 ] ;

>> b = [ 8 ; 4 ; 0 ] ;

>> x = A\bx =−1.8049

0.29272.6341

>> x = inv (A)∗bx =−1.8049

0.29272.6341

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

[ x y z ][

4 2 6−2 8 26 2 3

]= [ 8 4 0 ]

Division derecha

>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3]A =

4 2 6−2 8 10

6 2 3>> b =[8 4 0]b =

8 4 0>> x = b /Ax =−1.8049 0.2927 2.6341

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Calculando inversa

>> A = [4 2 6;−2 8 10;6 2 3 ] ;

>> b =[8 4 0 ] ;

>> x = b /Ax =−1.8049 0.2927 2.6341

>> x = b∗ inv (A)x =−1.8049 0.2927 2.6341

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Topicos

1 Introduccion2 Operaciones del algebra lineal

Suma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision

3 Sistemas de ecuaciones4 Operaciones elemento a elemento

MultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion

5 Ejemplos

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Multiplicacion

Multiplicacion elemento por elemento

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =

2 3 −15 8 1

11 3 4>> C = A.∗BC =

8 −6 −610 64 266 30 12

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Division derecha

Division derecha elemento por elemento

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =

2 3 −15 8 1

11 3 4>> C = A . / Bc =

2.0000 −0.6667 −6.00000.4000 1.0000 2.00000.5455 3.3333 0.7500

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Division izquierda

Division izquierda elemento por elemento

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> B = [2 3 −1;5 8 1;11 3 4]B =

2 3 −15 8 1

11 3 4>> C = A.\BC =

0.5000 −1.5000 −0.16672.5000 1.0000 0.50001.8333 0.3000 1.3333

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Exponenciacion

Exponenciacion por elemento

>> A = [4 −2 6;2 8 2;6 10 3]A =

4 −2 62 8 26 10 3

>> C = A. ˆ 2C =

16 4 364 64 4

36 100 9

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Topicos

1 Introduccion2 Operaciones del algebra lineal

Suma y restaMultiplicacionExponenciacionDivision

3 Sistemas de ecuaciones4 Operaciones elemento a elemento

MultiplicacionDivision derechaDivision izquierdaExponenciacion

5 Ejemplos

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Ejemplo 1Cree las siguientes matrices:

A =

5 8 71 4 36 −2 1

B =

−3 1 84 7 2−5 3 6

a) Calcule A + B

b) Calcule A−B

c) Calcule A ∗Bd) Calcule AB

e) Calcule A−1 ∗B

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Ejemplo 2El circuito electrico esta formado por distintas resistencias yfuentes de alimentacion. Determinar la intensidad de corrienteque pasa por cada resistencia utilizando para ellos las leyes deKirchhoff para la solucion de circuitos resistivos. Los datos son:

V 1 = 20, V, V2 = 12 V, V3 = 40 VR1 = 18 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 16 ΩR4 = 6 Ω, R5 = 15 Ω, R6 = 8 Ω

R7 = 12 Ω, R8 = 14 Ω,

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Ejemplo 2

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones

V1 −R1i1 −R3 (i1 − i3) −R2 (i1 − i2) = 0−R5i2 −R2 (i2 − i1) −R4 (i2 − i3) −R7 (i2 − i4) = 0−V2 −R6 (i3 − i4) −R4 (i3 − i2) −R3 (i3 − i1) = 0

V3 −R8i4 −R7 (i4 − i2) −R6 (i4 − i3) = 0

Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones

V1 − i1 (R1 + R2 + R3) + i2R2 + i3R3 = 0i1R2 − i2 (R2 + R4 + R5 + R7) + i3R4 + i4R7 = 0−V2 + i1R3 + i2R4 − i3 (R3 + R4 + R6) + i4R6 = 0

V3 + i2R7 + i3R6 − i4 (R6 + R7 + R8) = 0

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones

A i = b

donde,

Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones

A =

[ − (R1 + R2 + R3) R2 R3 0R2 − (R2 + R4 + R5 + R7) R4 R7R3 R4 − (R3 + R4 + R6) R60 R7 R6 − (R6 + R7 + R8)

]

b =

[ −V10V2−V3

], i =

[i1i2i3i4

]

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Ejemplo 2

>> V1=20;V2=12;V3=40;>> R1=18; R2=10; R3=16; R4=6;>> R5=15; R6=8; R7=12; R8=14;>> A=[−(R1+R2+R3) R2 R3 0;R2 −(R2+R4+R5+R7) R4 R7 ;R3 R4 −(R3+R4+R6) R6 ;0 R7 R6 −(R6+R7+R8 ) ]A =−44 10 16 0

10 −43 6 1216 6 −30 8

0 12 8 −34>> b = [−V1 ; 0 ; V2;−V3 ]b =−20

012−40

beamer-tu-logo

Introduccion Operaciones del algebra lineal Sistemas de ecuaciones Operaciones elemento a elemento Ejemplos

Ejemplo 2

>> i =A\bi =

0.84110.72060.61271.5750