Operator Linear - Share ITSshare.its.ac.id/pluginfile.php/1467/mod_resource/content/1/LO16... ·...

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear

Operator Linear

Trihastuti Agustinah

O U T L I N E

2. Teori

3. Contoh

4. Simpulan

5. Latihan

1. Objektif

Mahasiswa mampu:

1) menggunakan transformasi linear menggunakan operator linear untuk suatu vektor

2) menggambarkan operator linear untuk vektor dalam representasi geometri dalam R2 dan R3

Contoh Simpulan LatihanObjektif Teori

Tujuan Pembelajaran

Operator linear digunakan untuk memetakan

vektor atau titik ke dalam vektor atau titik yang

lain. Beberapa operator linear yang dibahas dalam

objek pembelajaran ini adalah refleksi, proyeksi

ortogonal, kontraksi dan dilasi, dan rotasi.

Objektif Simpulan LatihanTeori Contoh

Pendahuluan


Operator Refleksi

Misal operator T: R2 → R2 memetakan vektor ke image simetris pada sumbu-y

Hubungan antara komponen x dan w

yxxw 01 +−=−=

yxyw +== 02

−=

yx

ww

1001

2

1

Matriks standar T:

−=

1001

][T


Refleksi pada sumbu–y

Operator refleksi: memetakan vektor ke dalam image simetrisnya pada garis atau bidang

(x, y)(-x, y)

xw=T(x)x

y


Refleksi pada sumbu/garis

Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar

Refleksi pada sumbu-y

Refleksi pada sumbu-x

Refleksi pada garis y=x

(x, y)(-x, y)

xw=T(x)x

y

−1001xw −=1

yw =2

xw =1

yw −=2

yw =1xw =2

−1001

0110

(x, y)

(x, -y)

x

w=T(x)

x

y

(x, y)

(y, x)

xw=T(x) x

yy= x


Refleksi pada bidang


Refleksi padabidang-xy

w1 = xw2 = yw3 = – z

Refleksi padabidang-xz

w1 = xw2 = – yw3 = z

Refleksi padabidang-yz

w1 = – xw2 = yw3 = z

(x, y, z)

(x, y, -z)

x

wx

y

z

(x, y, z)(x, -y, z)x

w

x

y

z

(x, y, z)

(-x, y, z)

x

w

x

y

z

−100010001

−

100010001

−

100010001


Operator Proyeksi

Operator T: R2 → R2 memetakan vektor ke dalamproyeksi ortogonalnya padasumbu-x

yxxw 01 +==

yxw 0002 +==

=

yx

ww

0001

2

1

=

0001

][TMatriks standar T:

Hubungan antara komponen x dan w


Proyeksi Ortogonal pada sumbu–x

Operator proyeksi: memetakan vektor ke dalamproyeksi ortogonalnya pada garisatau bidang melalui origin

y

x

(x, y)

(x, 0)

x

w


Proyeksi Ortogonal pada sumbu


Proyeksiortogonal padasumbu-x

w1 = x

w2 = 0

Proyeksiortogonal padasumbu-y

w1 = 0w2 = y

(x, y)

(x, 0)

x

wx

y

(x, y)

xw x

y

(0, y)

0001

1000


Proyeksi Ortogonal pada bidang


Proyeksi ortogonalpada bidang-xy

w1 = xw2 = yw3 = 0

Proyeksi ortogonalpada bidang-xz

w1 = xw2 = 0w3 = z

Proyeksi ortogonalpada bidang-yz

w1 = 0w2 = yw3 = z

(x, y, z)

(x, y, 0)

x

wx

y

z

(x, y, z)(x, 0, z)x

w

x

y

z

(x, y, z)

(0, y, z)

xw

xy

z

000010001

100000001

100010000


Operator Rotasi

Rotasi vektor pada R2 sebesar sudut θSudut rotasi positif: berlawanan dengan jarum jam

θφr

r x=(x, y)

w=(w1, w2)

x

y

φcosrx = φsinry =

)cos(1 φθ += rw

)sin(2 φθ += rw

Hubungan antara x dan w:


Operator Rotasi

Komponen vektor w

Operator rotasi:

θθ sincos1 yxw −=

θθ cossin2 yxw +=

−=

θθθθ

cossinsincos

][T

φθφθ sinsincoscos1 rrw −=

φθφθ sincoscossin2 rrw +=

Identitas trigonometri:


Operator Kontraksi dan Dilasi

Operator T(x) = kx dengan k tidak negatif

T(x)=kx

x

x

T(x)=kx

Kontraksi (0 ≤ k < 1) Dilasi (k > 1)


Operator Kontraksi dan Dilasi


Kontraksi sebesar kpada R2 (0 ≤ k < 1)

w1 = kxw2 = ky

Dilasi sebesar faktor k pada R2

(k > 1)

w1 = kxw2 = kyx

wy

(kx, ky)

(x, y)x

(x, y)x

w

x

y

(kx, ky)

k

k0

0

Contoh 1


Komposisi Transformasi Linear

Transformasi linear dari TA: Rn → Rk dan TB: Rk → Rm

Komposisi dari TB dengan TA

TA diikuti TB : transformasi dari Rn ke Rm

Notasi TB ○TA

TB(TA(x))=(TB○TA)(x)TB○TA

TBTA

Rn Rk Rm

x


Representasi Komposisi

Komposisi dari rotasisebesar θ1 dan θ2 berlawanan jarum jam (T2○T1)(x)= T2(T1(x))

θ 1

θ 2x

T2(T1(x))

x

y

θ 1+θ 2

T1(x)

x

T1(x)T2(T1(x))y=x

x

yKomposisi dari refleksipada garis y=x diikutiproyeksi ortogonal padasumbu-y


Komposisi: tidak komutatif

Komposisi dari refleksi pada garis (T1(x)) dan proyeksiortogonal (T2(x))

x

T1(x)T2(T1(x))y=x

x

y

x

y=x

T1(T2(x))

T2(x) x

y


Komposisi: komutatif

Komposisi dari refleksi pada sumbu-x dan sumbu-y

x

T2(x)T1(T2(x))

(-x,- y) (x,-y)

(x,y)

x

y

(x,y)(-x,y)

(-x,- y)

xT1(x)

T2(T1(x))

x

y

Contoh 2


Interpretasi geometris dari eigenvektor

T: operator linear; A: matriks standar; x: vektor

T(x) = λ x A x = λ x

Eigenvektor untuk eigenvalue terkait

Eigenvalue

Perkalian dengan A memetakan x ke dalam perkalian skalar terhadap dirinya


Interpretasi geometris dari eigenvektor

Contoh 3

Perkalian dengan A di R2 dan R3 memetakan eigenvektor xke dalam vektor yang segaris dengan x

λx

x

λx

x

λx

x

λx

x

-1≤λ≤0λ≥10≤λ≤1 λ≤-1

Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan

Contoh 1

Dapatkan image dari

a) vektor (-1, 2) bila dilakukan refleksi terhadap garis y=x

b) vektor (2,3,3) bila direfleksikan pada bidang–xz

c) vektor (3, -4) bila di rotasi sebesar 90°

d) vektor (2, -1,3) bila dilakukan proyeksi ortogonal padabidang –yz


Contoh 1

a) Vektor image dari vektor x=(-1, 2) bila dilakukanrefleksi terhadap garis y=x

−

=

−

==

12

21

0110

)(xw T

(-1, 2)

(2, -1)

x

w=T(x)

x

yy = x


Contoh 1

b) Vektor image dari vektor x=(2,3,3) bila direfleksikanpada bidang–xz

−=

−==

332

332

100010001

)(xw T

(2, 3, 3)

xw

x

y

z

(2, -3, 3)


Contoh 1

c) Vektor image dari vektor x=(3, -4) bila di rotasi sebesar90°

−

−==

43

90cos90sin90sin90cos

)(xw T(4, 3)

(3, -4)

x

w

x

y

=

−

−=

34

43

0110


Contoh 1

d) Vektor image dari vektor x=(2, -1,3) bila dilakukanproyeksi ortogonal pada bidang –yz

−=

−

==

310

312

100010000

)(xw T

(0, -1, 3)

x

w

x

y

z

(2, -1, 3)


Contoh 2

a) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisiproyeksi ortogonal pada sumbu-y diikuti kontraksidengan faktor k=½Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri

b) Dapatkan matriks standar untuk komposisi darioperator linear pada R3: refleksi pada bidang –xy, diikuti proyeksi ortogonal pada bidang –xzBuktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri


Contoh 2

a) T1: proyeksi ortogonal pada sumbu-y T2: kontraksi dengan faktor k=½

=

1000

1T

=

21

21

2 00

T

=

=

21

21

21

12 000

1000

00

TT

=

=

21

21

21

21 000

00

1000

TT

(2, 2)T1(x)

x

y

T2(T1(x))

=

=

10

22

000

)(2112 xTT

(2, 2)

T2(x)x

y

T1(T2(x))


Contoh 2

b) T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada

bidang –xz

−=

100010001

1T

=

100000001

2T

(2, 4, 3)x

x

y

z

(2, 4, -3)

(2, 0, -3)

T2(T1(x))

−=

−

=

100000001

100010001

100000001

12 TT

−=

−=

302

342

100000001

))(( 12 xTT


Contoh 2

(2, 4, 3)

x

x

y

z

(2, 0, 3)

T2(x)

(2, 0, -3)

T1(T2(x))

b) T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada

bidang –xz

−=

100010001

1T

=

100000001

2T

−=

−=

100000001

100000001

100010001

21 TT

−=

−=

302

342

100000001

))(( 21 xTT


Contoh 3

T: R3→R3 adalah operator proyeksi ortogonal padabidang –xy

Vektor x pada aksis- z dipetakan ke dalam 0 oleh T vektor tak-nol pada aksis-z: vektor eigen yang berkaitan

dengan eigenvalue λ=0

Buktikan bahwa:

Vektor pada bidang –xy dipetakan ke dalam dirinyaoleh T vektor tak-nol dalam bidang –xy : vektor eigen yang

berkaitan dengan eigenvalue λ =1


Contoh 3

Matriks standar untuk T

=

000010001

A

0)1(00

010001

)det( 2 =−=−−

=− λλλ

λλ

λ AI

Persamaan karakteristik A

Eigenvalue: λ=0 dan λ=1


Contoh 3

Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=0

=

−

−

000

00010001

3

2

1

xxx

λλ

λ

=

−

−

000

000010001

3

2

1

xxx

=

=

txxx

00

3

2

1

x

Vektor x terletak pada aksis-z

Solusi: x1=0; x2=0 ; x3=t


Contoh 3

Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=1

=

000

100000000

3

2

1

xxx

=

=

03

2

1

ts

xxx

x

=

−

−

000

00010001

3

2

1

xxx

λλ

λ

Solusi: x1=s; x2=t; x3=0

Vektor x terletak pada bidang-xy


Operator Linear

1) Refleksi, proyeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi,

rotasi merupakan operator linear

3) Komposisi dari transformasi linear dari TA: Rn → Rk

diikuti dengan TB: Rk → Rm dinotasikan TB ○TA

2) Bergantung pada operator yang digunakan, komposisi

dapat bersifat komutatif atau tidak komutatif


Soal Latihan, .

2) Buktikan bahwa

1) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisi: rotasi sebesar 90° diikuti refleksi pada garis y=x


Date post:	05-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	vuongkiet
View:	308 times
Download:	9 times

Operator Linear - Share ITSshare.its.ac.id/pluginfile.php/1467/mod_resource/content/1/LO16... ·...

Documents