Optimizacion Con Funciones de Varias Variables

UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

1

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y ESTADISTCA

MATEMATICA III. CICLO I 2010

UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES. Documento preparado por: Ing. Elmer Edgardo Espinoza

Lic. Oscar Roberto Chacn MATERIAL DE APOYO CONTROL DE LECTURA No. 1

MXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE

En las empresas hay situaciones en las cuales las actividades de produccin y o mercado,

entre otras, se encuentran con ciertas condiciones que las limitan y circunscriben a determinados

montos y alcances o proyecciones. De ah que los montos de produccin y venta que minimizan

costos y o maximizan utilidades se ven afectados por dichas condiciones, por lo cual se hace

necesario considerar los Mximos y Mnimos sin Condiciones y los Mximos y Mnimos con

Condiciones.

Mximos y Mnimos sin Condiciones

Notacin:

Expresin Significado

Pf la funcin evaluada en el punto P

0q

f

Pd

d la derivada total de f con respecto a q, evaluada en po (en este

caso f es una funcin de una sola variable)

0u

f

P la derivada parcial de f con respecto a u, evaluada en po (en este

caso f es una funcin de varias variables)

Es conocido que una funcin tiene un mximo relativo en un punto P si la funcin evaluada en

dicho punto es mayor o igual a la funcin evaluada en cualquier punto en las proximidades del

punto P. De manera similar, una funcin tiene un mnimo relativo en un punto P si la funcin

evaluada en dicho punto es menor o igual a la funcin evaluada en cualquier punto en las

proximidades del punto P.


2

Definicin:

Se dice que una funcin de varias variables f(r, s, t, , z) tiene un valor mximo relativo en

un punto P0(r0, s0, t0, , z0) si f(r0, s0, t0, , z0) f(r, s, t, , z) para todos los puntos

P(r, s, t, , z) prximos al punto P0(r0, s0, t0, , z0).

una funcin f de varias variables tiene un valor mximo relativo en un punto P0 si dicha

funcin f evaluada en P0 es mayor o igual que f evaluada en cualquier punto prximo a P0

Si f(r0, s0, t0, , z0) f(r, s, t, , z) para todos los puntos P(r, s, t, , z) prximos al

punto P0(r0, s0, t0, , z0), entonces la funcin tiene un mnimo relativo en el punto P0.

si f evaluada en P0 es menor o igual que f evaluada en cualquier punto prximo a P0 la

funcin f de varias variables tiene un valor mnimo relativo en P0

PUNTO CRITICO: A todo punto P0 para el cual se cumple que

0

,.......... ,0

,0

,0

0000Pz

f

Pt

f

Ps

f

Pr

f, se le conoce como un punto crtico de

la funcin f . En un punto crtico P0, puede que la funcin f tenga un mximo o un mnimo.

DETERMINANTE HESSIANO:

De una funcin de dos variables, u = f(x1, x2), se pueden obtener un mximo de dos al

cuadrado derivadas parciales de segundo orden, o sea cuatro: 22122111

, , , xxxxxxxx ffff .

Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el

determinante de orden dos:

2212

21112

xxxx

xxxx

ff

ff

A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se

le conoce como el determinante Hessiano de la funcin f de dos variables

Si la funcin es de tres variables, u = f( x1, x2, x3 ), se pueden obtener un mximo de tres al

cuadrado derivadas parciales de segundo orden, o sea nueve:

332313322212312111 , , , , , , , , xxxxxxxxxxxxxxxxxx fffffffff .


3

Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el

determinante de orden tres:

332313

322212

312111

3

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

fff

fff

fff

A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se

le conoce como el determinante Hessiano de la funcin f de tres variables

En general, el Hessiano de una funcin de n variables, u = f(x1, x2, x3, . , xn), es el

determinante de orden n conformado por todas las n al cuadrado posibles derivadas parciales

de segundo orden:

nnnn

n

n

n

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

fff

fff

fff

........

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

........

........

21

22212

12111

Ejemplos: Encontrar el Hessiano para c/u de las funciones dadas

1) u = x ln(yz) xy2 2) f(x, y) = x ln(y) + x

2 y 3) f(x, y, z) = y e

xz xyz

2

Solucin: 1) u = x ln(yz) xy2

Se trata de una funcin de tres variables, por tanto el Hessiano de la funcin u es el

determinante de orden tres formado por todas las segundas derivadas parciales de u:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

uuu

uuu

uuu

3

Ahora solo resta encontrar las derivadas parciales de segundo orden y sustituirlas para obtener

el Hessiano.

En este ejemplo se encuentran solamente uxy y uyy, las dems las encuentra el estudiante:


4

x

u

y

xy

u

Hay que derivar u con respecto a x para despus derivar este resultado con respecto a y:

2yx -ln(yz) x

x

u x

22 y y -ln(yz)x

u x

x

- ln(yz)

x

x

u x

yyxy

uyz

yyzyyzu

u

xy

xy

21

2 yz

y

)ln(

y

)ln(

y

:que tieneanteriorse resultado el dosustituyen , x

u

y

22

y

u

y

yy

u

Hay que derivar u con respecto a y para despus derivar este resultado nuevamente con

respecto a y:

2

2

yy

ln(yz)

y

yx -ln(yz) y

y

u

xx

x

xyx

xz

x 2y

y

u 2y

yz

..

xyy

xu

u

yy

yy

2y

:que tieneseanterior resultado el dosustituyen , y

u

y


5

xy

xyy

uxx

yy

xuyy

22

2) y

1 (

y

x 2

1

y

2-

Corresponde al estudiante verificar que las dems derivadas parciales son precisamente las que

se muestran en el Hessiano:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

uuu

uuu

uuu

3

2

2

0 1

0 2 21

1 2

1 0

z

x

z

xy

xy

y

zy

y

Nota: Las soluciones de los ejercicios 2) f(x, y) = x ln(y) + x2 y 3) f(x, y, z) = y e

xz xyz

2 se

dejan al estudiante.

MENORES PRINCIPALES DE UN DETERMINANTE DE ORDEN N

Un determinante de orden n es de la forma:

321

3333231

2232221

1131211

::::

::::

---

------

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

n

Los menores principales de n se encuentran de la siguiente manera:

El primer menor principal 1 es el determinante de orden 1 conformado por el primer

elemento de la diagonal principal: 1 = a11

El segundo menor principal 2 es el determinante de orden 2 cuya diagonal principal son

los elementos a11 y a22:

2221

12112 aa

aa


6

El tercer menor principal 3 es el determinante de orden 3 cuya diagonal principal son los

elementos a11, a22 y a3 3:

333231

232221

131211

3

aaa

aaa

aaa

As sucesivamente hasta llegar al ltimo menor principal n cuya diagonal son los

elementos a11, a22, a3 3, a44, ., ann. O sea que el ltimo menor principal es el

mismo determinante n.

CRITERIO PARA MXIMOS Y MNIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Este no es ms que un caso particular del criterio para funciones de varias variables

Si z = f(x, y) es una funcin de dos variables y P0(x0, y0) es un punto crtico de f, entonces

puede ocurrir que:

a) 00

1 P y ,0

02 P

en cuyo caso hay un mximo relativo z0 = 0

Pf

Z

z0 (x0, y0, z0)

z = f(x, y)

Y y0

x0 P0(x0, y0)

X

En el punto (x0, y0, z0) hay un mximo relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)


7

b) 00

1 P y ,0

02 P

en cuyo caso hay un mnimo relativo z0 = 0

Pf

Z

z = f(x, y) En el punto (x0, y0, z0) hay un mnimo

z0 relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)

(x0, y0, z0)

Y

y0

X x0 P0(x0, y0)

c) ,00

2 Pen cuyo caso para P0 hay un punto de silla (x0, y0, z0)

Y

z = f(x, y)

z0

(x0, y0, z0) El punto (x0, y0, z0) es un punto de

silla: ah no hay un mximo relativo

ni un mnimo

y0 Y

x0 P0(x0, y0)

X

d) ,00

2 Pen cuyo caso se dice que el criterio falla: no se puede concluir con respecto al

punto crtico P0(x0, y0, z0)


8

Ejemplo: Encontrar los mximos y mnimos relativos de f(x, y) = x3 3xy + y

2 + y 5

Solucin:

Paso 1: Se aplica la condicin necesaria.

Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as encontrar los puntos

crticos, o sea aquellos puntos para los cuales puede que haya un mximo o un mnimo relativo

(o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).

f(x, y) = x3 3xy + y

2 + y 5

5y 3xy-xx

x

y) f(x,

23 y

fx

5y 3xy-xy

y

y) f(x,

23 y

fy

y 3-2 x3x

f 12y x-3y

f

Igualando a cero las derivadas parciales:

fx = 0 fy = 0

3x2 3y = 0 (1) -3x + 2y + 1 = 0 (2),

se obtiene el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, el cual se resuelve por cualesquiera

de los mtodos ya conocidos.

Por ejemplo, por igualacin:

3x2 3y = 0 (1) -3x + 2y + 1 = 0 (2)

y = x2

2

13xy

y = y

x2 =

2

13x 2x

2 3x + 1 = 0, de donde x = 1 x = 1/2

Sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones (1) (2) se obtiene y = 1 y =1/4

Se tienen entonces dos puntos crticos: P1(1, 1) y P2(1/2, 1/4)

Paso 2: Se aplica la condicin suficiente.


9

Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin f y se evalan en cada punto

crtico. El signo de los valores numricos resultantes indica si hay un mximo o un mnimo

relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).

f(x, y) = x3 3xy + y

2 + y 5

El Hessiano de f es: yyyx

xyxx

ff

ff2

Los menores principales de 2 son yyyx

xyxxxx ff

fff 21 y ,

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en los menores

principales:

Las derivadas yx

ff y ya se conocen del paso 1: y 3- x3 2x

f

12y x-3y

f

xxx

f

yxf

yxf

ff

xx

x

xx

6

323x

33 tituye

-sus se , x

x

2

3

323y

33 tituye

sus se , x

y

2

xyf

yxf

yxf

ff

xy

x

xy

3

123x

123 tituye

-sus se , y

x

yxf

yxf

yxf

ff

yx

y

yx

2

123y

123 tituye

-sus se , y

y

yyf

yxf

yxf

ff

yy

y

yy


10

Los menores principales son entonces:

912 )3)(3()2)(6(

22

21

23

36

6x

xx

yyyx

xyxxxx

x

ff

fff

Al evaluar 1 y 2 en cada punto crtico el signo de los valores numricos resultantes indica

si hay un mximo o un mnimo relativo:

a) Para P1(1, 1)

9)1(121) ,1(

912

1) ,1( )1( 6

6

11

21

21

PP

xx

0

031) ,1(

11

11

21

21

y 0

:que observa se mnimosy mximos para criterio el Aplicando

1) ,1( 06

PP

PP

De lo anterior se concluye que en el punto P1(1, 1) la funcin tiene un mnimo.

Dicho mnimo relativo es igual a la funcin f evaluada en el punto crtico P1(1, 1):

f(x, y) = x3 3xy + y

2 + y 5

f(1, 1) = (1)3 3(1) (1) + (1)

2 + (1) 5 f(1, 1) = -6 es el mnimo relativo de la funcin.

b) Para P2(1/2, 1/4)

03

92

1 12

912

22

22

21

21

21

03

2

1 6

6

PP

PP

xx


11

Aplicando el criterio para mximos y mnimos se tiene que:

0

22

P

, de donde se concluye que para P2(1/2, 1/4) no hay mximo ni mnimo

relativo: hay un punto de silla.

Ejemplo: Encontrar los mximos y mnimos relativos de f(x, y, z) = x2 + y

2 + 7z

2 xy

Solucin:

Paso 1: Se aplica la condicin necesaria.

Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as encontrar los puntos

crticos (aquellos puntos para los cuales puede haber un mximo o un mnimo relativos; o bien

un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).

f(x, y, z) = x2 + y

2 + 7z

2 xy

xyz

fx

222 7y xx

x

z) y, f(x,

xyz

fy

222 7y xy

y

y) y, f(x,

y- x2x

f x-2yy

f

14z

7y xz

z

y) y, f(x, 222

zf

xyzffzz

Igualando a cero las derivadas parciales se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres

incgnitas:

fx = 0 fy = 0 fz = 0

2x y = 0 (1) 2y - x = 0 (2) 14z = 0 (3)

Este sistema se puede resolver por cualesquiera de los mtodos ya conocidos, resultando que:

x = 0, y = 0 z = 0, Se tiene entonces un punto crtico: P1(0, 0, 0)

Paso 2: Se aplica la condicin suficiente.


12

Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin f y se evalan en el punto

crtico. El signo de los valores numricos resultantes indica si hay un mximo o un mnimo

relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables).

f(x, y, z) = x2 + y

2 + 7z

2 xy

El Hessiano de f es:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

fff

fff

fff

3

Los menores principales de 3 son:

yyyx

xyxxxx ff

fff 21 , y

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

fff

fff

fff

3

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden:

Las derivadas z

, f yx

ff ya se conocen del paso 1: fx = 2x y, fy = 2y x, fz = 14z

22x

x

x

xxfyx

ffxx

12y

x

y

xyfyx

ffxy

El estudiante puede verificar que las restantes derivadas de segundo orden son:

fxz = 0, fyx = -1, fyy = 2, fyz = 0, fzx = 0, fzy = 0, fzz = 14


3 )1)(1()2)(2(

2

222

11

21

12

yyyx

xyxx

xx

ff

ff

f


13

1400

021

012

33

zzfzyfzxf

yzfyyfyxf

xzfxyfxxf

42

)1)(1)(14()2)(0)(0()0)(2)(0()0)(1)(0()0)(0)(1()14)(2)(2(

0 0

2 1

12

1400

021

012

3

3

: Re Sarrusporsolviendo

Al evaluar 1, 2 y 3 en el punto crtico el signo de los valores numricos resultantes indica si

hay un mximo o un mnimo relativo:

Para P1(0, 0, 0):

0 , 0

042 03 0) 0, ,0(

42 3

111

111

221

321

321

, 0

:que que observa se mnimosy mximos para criterio el Aplicando

0) 0, ,0(0) 0, ,0( 02

2

PPP

PPP

De lo anterior se concluye que en el punto P1(0, 0, 0) la funcin tiene un mnimo.

Dicho mnimo relativo es igual a la funcin f evaluada en el punto crtico P1(0, 0, 0):

f(x, y, z) = x2 + y

2 + 7z

2 xy

f(0, 0, 0) = (0)2 + (0)

2 + 7(0)

2 (0)(0) f(0, 0, 0) = 0 es un mnimo relativo de la

funcin.

El siguiente ejercicio lo resuelve el estudiante siguiendo las indicaciones que se plantean para

su desarrollo, las cuales son muy similares a las utilizadas para resolver los dos ejemplos

anteriores.

Ejercicio: Encontrar los extremos relativos, si existen, de la funcin dada


14

f(x, y) = 2x4 + y

2 x

2 2y

Solucin:

Paso 1: Tienes que encontrar los puntos crticos. Cmo?. Encuentra las primeras derivadas

parciales con respecto a x e y, las igualas a cero y resuelves el sistema de

ecuaciones resultante.

f(x, y) = 2x4 + y

2 x

2 2y

a) Las derivadas encontradas debern ser: fx = 8x3 2x, fy = 2y - 2

b) Despus de igualar ambas derivadas a cero y resolver el sistema de ecuaciones resultante, los

puntos crticos que debers encontrar son: P1(-1/2, 1), P2(0, 1), P3(1/2, 1)

Paso 2: Tienes que encontrar el Hessiano de la funcin f y los menores principales. Evalas

dichos menores en cada punto crtico y el signo de estos resultados te dir si hay

mximos o mnimos relativos.

f(x, y) = 2x4 + y

2 x

2 2y

a) Tienes que encontrar todas las derivadas parciales de segundo orden y as los menores

principales debern resultar: 1 = 24x2 2 2 = 48x

2 4

Al evaluar 1 y 2 en cada punto crtico deber resultarte que:

Para P1(-1/2, 1), 1 0 y 2 0 en P1(-1/2, 1) hay un mnimo relativo.

Te corresponde encontrar dicho mnimo.

Para P2(0, 1), qu sucede?

Para P3(1/2, 1), qu sucede?

Debes recordar que todos los ejercicios de este tipo se resuelven de manera similar.

MXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS

Las empresas enfrentan constantemente problemas de maximizacin o minimizacin, en donde

el dominio de la funcin se encuentra limitado por ciertas restricciones en las variables que

intervienen. Este tipo de problemas recibe el nombre de mximos y mnimos condicionados y

las condiciones o restricciones en las variables son llamadas comnmente

condiciones laterales.

Ejemplos de este tipo de problema podran ser:


15

El gerente de una fbrica que elabora dos productos finales para los cuales utiliza alguna

materia prima en comn y tiene limitaciones para obtenerla. Es posible que para

minimizar los costos tenga que distribuir adecuadamente la materia prima disponible para

producir una cantidad mnima determinada de cada producto.

Una compaa desea maximizar sus ventas como resultado de la utilizacin de dos

medios publicitarios diferentes, manteniendo los costos totales de promocin dentro de

lmites especficos.

El procedimiento para resolver problemas de mximos y mnimos condicionados sufre algunas

modificaciones, en referencia a problemas de mximos y mnimos libres.

La siguiente figura muestra que el mximo condicionado es muy diferente al mximo libre:

mL : mximo libre

Z mC : mximo condicionado

f(x, y, z)

El dominio de f(x, y, z) son los puntos del crculo

de radio r. Si no hay restricciones el mximo es

mL : mximo libre. La grfica de g(x, y) = 0 son

los puntos de la recta dentro del crculo; si se

restringe el dominio a nicamente estos puntos,

entonces el mximo que se obtiene es mC : mximo

condicionado.

Y

r

condicin g(x, y) = 0: si el dominio se condiciona solo

X a los puntos de esta recta, la mayor imagen es mC

Algunos de los problemas de mximos y mnimos condicionados pueden resolverse tratando de

reducirlos a problemas de mximos y mnimos libres, lo cual no siempre es posible.

Generalmente se utiliza un procedimiento conocido como mtodo de los multiplicadores de

Lagrange, el cual se describe a continuacin:

Si en un problema de optimizacin f(r, s, t, .., z) es la funcin a optimizar (la funcin que

se va a maximizar o minimizar) y si g(r, s, t, , z) = 0 es la condicin lateral que restringe su

dominio, entonces para resolver el problema se procede como sigue:

I. Se construye la funcin objetivo F, la cual est constituida por la suma de la funcin a

optimizar con el producto de la funcin restriccin por la variable . A la nueva variable

se le conoce como multiplicador de Lagrange.

F( , r, s, t, , z) = f(r, s, t, , z) + g(r, s, t, , z)


16

II. Se define el determinante de orden n+1, conocido como Hessiano orlado, conformado

por las derivadas parciales de segundo orden de la funcin objetivo:

z ......s r

:......:::

:......:::

z ......s r s s

z ......s r

z ......

1

zFzFzFzF

sFsFFF

rFrFrFrF

Fs

Fs

FF

n

III. Si P0( 0, r0, s0, t0, , z0) es un punto crtico de la funcin objetivo F, entonces en base a

los menores principales 3, 5, 4, .., n+1 se establece que:

a) Si ,00

3 P ,0

04 P

,00

5 P ,0

06 P

.., entonces la funcin original f

tiene un mximo relativo en P0 y dicho mximo es igual a 0

Pf

b) Si ,00

3 P ,0

04 P ,0

05 P

,00

6 P.., entonces la funcin origina f

tiene un mnimo relativo en P0 y dicho mnimo es igual a 0

Pf

c) En cualquier otra situacin el criterio falla.

Nota: Es importante observar que para mximos y mnimos condicionados no se toman en

cuenta los menores principales 21 y

Ejemplos: Una empresa calcula que la funcin de utilidad por la produccin y venta mensuales

de dos artculos diferentes x e y est dada por la ecuacin:

U(x, y) = 12x + 20y x2 2y

2, en miles de dlares.

a) Si la disponibilidad de materia prima es prcticamente ilimitada, calcular el nivel mensual

de produccin y venta que maximiza la utilidad.

b) Si la disponibilidad de materia prima es de 99 unidades por mes y si para producir cada

artculo x se utilizan 4 unidades mientras que para producir cada artculo y se necesitan 8

unidades, calcular el nivel mensual de produccin y venta que maximiza la utilidad.

Solucin: a) En este caso no existe condicin alguna: se trata de un problema de mximos y

mnimos libres.


17

Paso 1: Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para as hallar los

puntos crticos.

Funcin a optimizar: U(x, y) = 12x + 20y x2 2y

2

x2122y x-20y12xx

x

y) U(x, 22xx

fU

y 4202y x-20y12xy

y

y) U(x, 22yy

UU

Ux = 0 Uy = 0

12 2x = 0 x = 6 20 4y = 0 y = 5, el punto crtico es entonces P0(6, 5).

Paso 2: Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin f y se evalan en el

punto crtico para determinar la naturaleza del mismo.

U(x, y) = 12x + 20y x2 2y

2

El Hessiano de U es: yyyx

xyxx

UU

UU2

Los menores principales de 2 son:

yyyx

xyxx

xxUU

UU

U

21y ,

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden:

Las derivadas Yx

UU y ya se conocen: 2x-12x

U 4y20y

U

2 212x

x

x

xxUx

UU

xx

0 212y

x

y

xyUx

UU

xy

0 420x

y

x

yxUy

UU

yx

4 420y

y

y

yyUy

UU

yy


18


8 )0)(0()4)(2( 2 221 40

02

yyyx

xyxxxx ff

UUU

Al evaluar 1 y 2 en cada punto crtico, el signo de los valores numricos resultantes indica si

hay un mximo o un mnimo relativo:

Para P0(6, 5)

085) ,6(

8

5) ,6( 0 2

2

00

21

21

PP

5) ,6( 0 relativo. mximoun valor enefuncin ti lay 0

que tienese mnimosy mximos para criterio elSegn

021

00

PPP

para

Dicho mximo relativo es igual a la funcin U evaluada en el punto crtico P0(6, 5):

U(x, y) = 12x + 20y x2 2y

2

U(6, 5) = 12(6) + 20(5) (6)2 2(5)

2 U(6, 5) = 111

U(6, 5) = 111 miles de dlares es la utilidad mxima al producir y vender 6 artculos del tipo

x y 5 del tipo y, por mes, si no hay restriccin en la obtencin de la materia prima.

Solucin: b) En este caso existen condiciones que limitan la produccin: se trata de un problema

de mximos y mnimos condicionados.

I. Se construye la funcin objetivo F( , x, y) = U(x, y) + g(x, y), para lo cual obviamente se

necesita conocer la funcin restriccin g(x, y):

Funcin a optimizar: U(x, y) = 12x + 20y x2 2y

2

Restriccin: 4 unidades de materia prima por el nmero de artculos x ms 8 unidades de

materia prima por el nmero de artculos y es igual a las 88 unidades de materia prima

disponible por mes 4x + 8y = 88, de donde g(x, y) = 4x + 8y - 88

Funcin objetivo: ya se sabe que la funcin objetivo es igual a la suma de la funcin a

optimizar con el producto de la funcin restriccin por la variable .

F( , x, y) = U(x, y) + g(x, y)

F( , x, y) = (12x + 20y x2 2y

2 ) + (4x + 8y 88)


19

II. Se encuentran los puntos crticos de la funcin objetivo igualando a cero las derivadas de

primer orden:

F( , x, y) = (12x + 20y x2 2y

2 ) + (4x + 8y 88)

8884)8884( y x-20y(12x

y) x,,F(

)22

yxyx F

F

4212)8884( y x-20y(12x

y) x,,F(

)22

xx

yx

x

Fx

xF

8420)8884( 2y x-20y(12x

y) x,,F(

)22

yy

yx

y

Fy

yF

F = 0 Fx = 0 Fy = 0

(1) 4x + 8y 88 = 0 (2) 12 2x + 4 = 0 (3) 20 4y + 8 = 0

Despejando de las ecuaciones (2) y (3) se obtiene: 2

6x

2

5y

Por igualacin, , se llega a 2

5

2

6 yx

Despejando x en trminos de y se obtiene la ecuacin (4): x = y + 1

Sustituyendo este resultado en la ecuacin (1):

(1) 4x + 8y 88 = 0

4(y + 1) + 8y 88 = 0

se encuentra que y = 7.

Sustituyendo este resultado en la ecuacin (4):

(4) x = y + 1

x = (7) + 1

se obtiene x = 8


20

De manera similar, sustituyendo x = 8 en la ecuacin (1) se encuentra que = 1. Esta variable

no es necesario encontrarla puesto que la funcin a optimizar no depende de ella!!.

El punto crtico es entonces P0( 0, x0, y0) = P0(1, 8, 7), o bien P0(x0, y0) = P0(8, 7)

III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin objetivo, comenzando

por el tercero, y se evalan en el punto crtico para determinar si hay un mximo o un

mnimo relativo.

El Hessiano de la funcin objetivo es:

yyyxy

xyxxx

yx

FFF

FFF

FFF

3

A partir del tercero solo hay un menor principal: 3

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en 3 :

yF

xFF , ya se conocen: F = 4x + 8y 88, Fx = 12 2x y Fy = 20 4y + 8

0 8884

Fyx

FF

4 8884

xFyx

x

F

xF

x

El estudiante puede verificar que las dems derivadas de segundo orden son

8y

F , 4x

F , 2xx

F , 0xy

F , 8y

F , 0y

F , 4yy

F

De donde se tiene que:

408

024

840

3

yyyxy

xyxxx

yx

FFF

FFF

FFF

, el cual se puede resolver por Sarrus:


21

192

)4)(4)(4()0)(0)(0()8)(2)(8()0)(4)(8()8)(0)(4()4)(2)(0(

0 8

2- 4

40

408

024

840

3

3

Recordar que para mximos y mnimos condicionados no se toman en cuenta los menores

principales 21 y

Criterios: En base a los menores principales 3, 5, 4, .., n+1 se establece que:

a) Si ,00

3 P ,0

04 P

,00

5 P ,0

06 P

.., entonces la funcin origina f

tiene un mximo relativo en P0 y es igual a 0

Pf

b) Si ,00

3 P ,0

04 P ,0

05 P

,00

6 P.., entonces la funcin origina f

tiene un mnimo relativo en P0 y es igual a 0

Pf


En este ejercicio ,01920

3 Pcoincide con la disposicin a) del criterio por lo que se

concluye que la funcin a optimizar U(x, y) tiene un mximo relativo en P0 el cual es igual a:

0

PU = U(x0, y0)

U(x, y) = 12x + 20y x2 2y

2

0

PU = U(8, 7) = 12(8) + 20(7) (8)2 2(7)

2 U(8, 7) = 74

U(8, 7) = 74 miles de dlares es la utilidad mxima al producir y vender 8 artculos del tipo x

y 7 del tipo y, por mes, bajo la restriccin planteada.

Ejemplo: Una empresa produce calcetines de dos tipos: x pares (cantidad en miles) de

calcetines de vestir y y pares (cantidad en miles) del tipo deportivo. De acuerdo con la

demanda y otras situaciones de mercado, se ha calculado que la funcin de costos totales es C(x,

y) = 2x2 + xy y

2 + 200 y que la produccin total mensual deber ser de 200 pares (cantidad en

miles). Cuntos pares de cada tipo debern producirse para minimizar los costos?

Solucin: Existe una condicin que limita la produccin: se trata de un problema de mximos y

mnimos condicionados.


22

I. Se construye la funcin objetivo F( , x, y) = C(x, y) + g(x, y), para lo cual obviamente se

necesita conocer la restriccin g(x, y):

Funcin a optimizar: C(x, y) = 2x2 + xy y

2 + 200

Restriccin: La produccin total, x miles de pares de calcetines de vestir ms y miles

de pares del tipo deportivo, deber ser igual a 200 x + y = 200, de donde resulta que g(x,

y) = x + y - 200

Funcin objetivo: F( , x, y) = C(x, y) + g(x, y)

F( , x, y) = (2x2 + xy y

2 + 200

) + (x + y 200)

II. Se encuentran los puntos crticos de la funcin objetivo:

F( , x, y) = (2x2 + xy y

2 + 200

) + (x + y 200)

Se encuentran las derivadas parciales con respecto a las variables , x e y, resultando:

F = x + y 200 Fx = 4x + y + Fy = x + 2y +

F = 0 Fx = 0 Fy = 0

(1) x + y 200 = 0 (2) 4x + y + = 0 (3) x + 2y + = 0

El estudiante puede verificar que al resolver el sistema de ecuaciones el punto crtico resulta ser:

P0(x0, y0) = P0(50, 150)

III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la funcin objetivo, comenzando por

el tercer menor (no se toman en cuenta los menores principales 21 y ), y se evalan en el

punto crtico para determinar si hay un mximo o un mnimo relativo.

El Hessiano de la funcin objetivo es:

yyyxy

xyxxx

yx

FFF

FFF

FFF

3

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en 3 :

Las derivadas y

Fx

FF , ya se conocen: F = x + y 200, Fx = 4x + y + y Fy = x + 2y +

El estudiante puede comprobar que las derivadas parciales de segundo orden son:

0F , 1x

F , 1y

F , 1x

F , 4xx

F , 1xy

F , 1y

F , 1yx

F , 2yy

F


23

De donde se tiene que 4

211

141

110

3

yyyxy

xyxxx

yx

FFF

FFF

FFF

Criterios: En base a los menores principales 3, 5, 4, .., n+1 se establece que:

a) Si ,00

3 P ,0

04 P

,00

5 P ,0

06 P

.., entonces la funcin original f

tiene un mximo relativo en P0 y es igual a 0

Pf

b) Si ,00

3 P ,0

04 P ,0

05 P

,00

6 P.., entonces la funcin original f

tiene un mnimo relativo en P0 y es igual a 0

Pf


En este caso ,040

3 Pcoincide con la disposicin b) del criterio por lo que se concluye

que la funcin a optimizar C(x, y) tiene un mnimo relativo en P0(50, 150).

Se concluye entonces que para minimizar los costos se debern producir por mes 50,000 pares

de calcetines de vestir y 150,000 pares del tipo deportivo (recordar que el problema especifica

que las cantidades estn dadas en miles).

Bibliografa:

Weber, Jean E.

Matemtica para Administracin y Economa

Editorial Harla, Mxico, 4ta. Edicin, 1984

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Optimizacion Con Funciones de Varias Variables

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