Optimización de S y FALUMNO :GABRIEL PEREZ CI22350971

QUE ES OPTIMIZACIÓN ? La optimización es una herramienta cuantitativa, que se fundamenta sobre una formulación matemática y que por medio de métodos numéricos adaptados permite obtener resultados

precisos

Conceptos básicos Variables de Decisión: Con las variables de decisión nos referimos al conjunto de variables cuya magnitud deseamos determinar resolviendo el modelo de programación lineal.

Restricciones: Están constituidas por el conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la solución.

Función Objetivo: Es la función matemática que relaciona las variables de decisión.

Linealidad: Se refiere a que las relaciones entre las variables, tanto en la función objetivo como en las restricciones deben ser lineales

Desigualdades: Las desigualdades utilizadas para representar las restricciones deben ser cerradas o flexibles, es decir, menor - igual (<=) o mayor – igual (>=). No se permiten desigualdades de los tipos menor- estrictamente o mayor – estrictamente, o abiertas.

Condición de no – negatividad: En la programación lineal las variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos. No se permiten valores negativos.

PARÁMETRO ESTADÍSTICO: Son variables que están bajo control de otras personas o de la naturaleza.

VARIABLES EXOGENAS Y ENDOGENAS

Se llaman variables exógenas aquellas cuyos valores deben ser tomados de la realidad y variables endógenas aquellas cuyo valor es deducido al operar con las ecuaciones del modelo.

Modelo cuantitativo es aquel cuyos principales símbolos representan números. Son los más comunes y útiles en los negocios.

Modelo cualitativo aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas. Una fuente importante es la teoría de conjuntos.

Modelo Probabilístico aquellos basados en la estadística y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo general acompañan nuestras observaciones de eventos reales).

Modelo Determinístico corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas.

Modelo Descriptivo cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos, descripción que puede emplearse para exponer una situación con mayor claridad, para indicar como pueden reajustarse o aún para determinar los valores de ciertos aspectos de la situación.

Modelo Optimizador corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima.

Formulación de un problema de optimización

Un problema de optimización puede ser representado de la siguiente forma Dada: una función f : A R.Buscar: un elemento x0 en A tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x en A ("minimización") o tal que f(x0) ≥ f(x) para todo x en A ("maximización

Tal formulación es llamada un problema de optimización o un problema de programación matemática (un término no directamente relacionado con la programación de computadoras pero todavía en uso, por ejemplo en la programación lineal). Muchos problemas teóricos y del mundo real pueden ser modelados mediante este esquema general. Problemas formulados usando esta técnica en los campos de física y visión por computadora se refieren a la técnica como minimización de la energía, hablando del valor de la función f representando la energía del sistema que está siendo modelado.

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Típicamente, A es algún subconjunto del espacio euclídeo Rn, con frecuencia delimitado por un conjunto de restricciones, igualdades o desigualdades que los elementos de A tienen que satisfacer. El dominio A de f es llamado el espacio de búsqueda o el conjunto de elección, mientras que los elementos de A son llamados soluciones candidatas o soluciones factibles.

La función f es llamada, diversamente, función objetivo, función de costo (minimización)2 función de utilidad (maximización), función de utilidad indirecta (minimización)3 o, en ciertos campos, función de energía, o energía funcional. Una solución factible que minimice (o maximice, si este es el propósito) la función objetivo, es llamada una solución óptima.

Por convenio, el formato estándar de un problema de optimización está declarado en términos de minimización. Generalmente, a menos que ambas, la función objetivo y la región factible sean convexas en un problema de minimización, puede haber varios mínimos locales, donde un mínimo local x* se define como un punto para el cual existe algún δ > 0

Un gran número de algoritmos propuestos para resolver problemas no-convexos – incluyendo a la mayoría de los solucionadores disponibles comercialmente – no son capaces de hacer una distinción entre soluciones óptimas locales y soluciones óptimas rigurosas, y tratan a las primeras como soluciones actuales del problema original. La rama de las matemáticas aplicadas y el análisis numérico que se responsabiliza con el desarrollo de algoritmos deterministas que son capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a la solución óptima real de un problema no-convexo se llama optimización global.

Formular la FO óptima Partiendo de las variables abiertas, definir una (o unas) VARIABLE(S) DE CONTROL , y traducir el conjunto de variables cerradas en unas RESTRICCIONES cuantitativas concretas.

De tal manera que conjuntamente (variable de control y restricciones) constituyan una determinada concreción del sub-objetivo genérico correspondiente a la US de que se trate.

Como resultado, todas las variables abiertas, deberán de formar parte de la(s) variable(s) de control; y todas las variables cerradas tendrán que recogerse en alguna de las restricciones.

Dado que la optimización de más de un indicador comporta generalmente ambigüedades

Puesto que se pretende que los costes de control sean los mínimos posibles, el número de restricciones (variables o indicadores a supervisar/controlar periódicamente) deberá ser el mínimo estrictamente necesario

Los métodos de optimización

Procedimiento para resolver un problema de optimización

En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos:

1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3. Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable.

4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.

5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido