OPTIMIZACIÓN UNIVARIABLE

Bases MatemáticasO Un problema de optimización, se puede establecer en forma

general como:O Determinar «x», el cual minimiza o maximiza f (x) sujeto a

ei (x) = bi i = 1,2,….p (3.1)

di (x) ≤ ai i = 1,2,….m (3.2)

O Donde x es un vector de diseño con n dimensiones, f (x) es la función objetivo; di (x) son las restricciones de desigualdad; ei (x) son las restricciones de igualdad, y ai y bi son constantes.

O Los problemas de optimización se pueden clasificar con base en la forma de f (x) como:

O 1. Programación lineal.

O 2. Programación cuadrática.

O 3. Programación no-lineal.

O Además cuando las ecuaciones (3.1) y/o (3.2) están incluidas en el problema, tenemos un problema de optimización restringida; de otra forma es un problema de optimización no-restringida.

O Otra manera de clasificar los problemas de optimización, depende del tipo de variables x que se tenga.

Enteras; Variables que toman únicamente valores enteros.No-Enteras; un problema que involucra solamente

variables reales.Mixta-Enteras; involucre tanto variables enteras como

reales.

O Una manera más en la cual se clasifican los problemas de optimización es mediante la dimensionalidad, con lo cual se clasifican los problemas en unidimensionales y multidimensionales.

Como su nombre lo indica, los primeros involucran funciones que dependen de una sola variable, n = 1, mientras que los problemas multidimensionales involucran funciones que dependen de dos o más variables, n ≥ 2.

O Finalmente, el proceso de encontrar un máximo versus encontrar un mínimo es en esencia idéntico, ya que el mismo valor, x∗, minimiza f (x) y maximiza −f(x).

O Esta equivalencia se ilustra en forma gráfica por una función unidimensional

¿Qué es?O La primera aplicación de la derivada

esta dirigida a la maximización o minimización de funciones. Suponga que y = f (x) es una función y se desea conocer los valores mayor y menor de y para x en algún dominio conocido. En la mayoría de los casos los valores máximo o mínimo se encuentran en un "turning point", el cual es un máximo o mínimo local.

Métodos analíticosO En este caso se tendrá que disponer de la forma explícita de

la función objetivo y= f (x), su primera derivada dy/dx=f’(x) y la segunda derivada d^2y/dx^2=f’’(x). De esta manera se resolverá para x∗ la ecuación no-lineal df(x*)/dx=f’(x)=0 (1) y todos los valores x∗ que cumplan con la identidad serán los puntos críticos. Para determinar el tipo de punto crítico se sustituirá en la expresión de la segunda derivada, de acuerdo al siguiente criterio

O F’’(x*)>0 MínimoO F’’(x*)<0 MáximoO F’’(x*)= 0 Punto de InflexiónO Cabe mencionar que cuando x∗ no se puede resolver

analíticamente de la ecuación (1), se hace uso de los métodos numéricos para la solución de ecuaciones no-lineales. Tales métodos son: Bisección, Secante, Newton-Raphson, etc.

Método de reducción de intervalo

O Consideremos el problema: min f(x) / x[a,b]. [a,b] se denomina intervalo de incertidumbre, puesto que el óptimo x* [a,b] pero se desconoce su valor. Es necesario destacar que a y b son valores elegidos arbitrariamente, no son restricciones del problema, de manera tal que si el óptimo cae en uno de los extremos del intervalo, es necesario desplazar el valor del intervalo y resolver nuevamente el problema. Los algoritmos de búsqueda del óptimo por reducción de intervalo, esencialmente se basan en reducir el intervalo de incertidumbre eliminando porciones del mismo en las cuales se tiene certeza que no se encuentra el óptimo. Los algoritmos más conocidos de este grupo son el método de la sección dorada y el método de Fibonacci.

EJEMPLO

O Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 cm3. Su base debe ser doble de largo que de ancho. El material de la tapa cuesta $0.10 por centímetro cuadrado y el de los lados, $0.05 por centímetro cuadrado. Encuentra las dimensiones que hagan el costo mínimo.