27
Oral PC*
Lycée Corneille - Rouen
Emma Petit, Lucie Nuris, Lucie Borget, Caroline Bernard,Audrey Savignat
Alexandre Mesnil, Léo Demaine, Paul Margain, Hugues du Pontavice
Maxime Ressier, Hugo Dufrene, Antoine Auger, Antoine Ghesquière, Hugo Pierre
Raphael Farcy, Pierre Maigné, Valentin Korda, Alexis Hamel,Simon Herbez
Théo Paccoud
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Juin - juillet 2018
Table des matières
1 ENS 31.1 Alexandre Mesnil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Léo Demaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 communiqué par A.Mesnil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 X-ESPCI 42.1 Hugo Pierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Alexandre Mesnil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Théo Paccoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Centrale 63.1 Maxime Ressier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Hugo Dufrene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.1 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Antoine Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Paul Margain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Emma Petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5.1 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Antoine Ghesquière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.7 Hugues du Pontavice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.7.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.8 Alexis Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.8.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.8.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.9 Alexandre Mesnil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.9.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.9.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.10 Lucie Borget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.10.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.10.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.11 Valentin Korda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.11.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.11.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.12 Raphael Farcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.12.1 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.13 Audrey Savignat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.13.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.13.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.14 Théo Paccoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.14.1 Maths 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.14.2 Maths 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
4 Mines-Ponts 144.1 Antoine Ghesquière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Antoine Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Hugo Dufrene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Valentin Korda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.5 Raphael Farcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.6 Théo Paccoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 CCP 175.1 Lucie Nuris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Hugo Pierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Maxime Ressier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4 Emma Petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.5 Alexis Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.6 Lucie Borget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.7 Raphael Farcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.8 Audrey Savignat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.9 Pierre Maigné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Autres concours 236.1 Emma Petit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.1.1 ICNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.1.2 TPE-IVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.1.3 Mines-Télécom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 Lucie Borget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2.1 TPE-IVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2.2 Mines-Télécom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.3 Caroline Bernard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.1 TPE-IVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.2 Mines-Télécom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.4 Alexis Hamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.4.1 TPE-IVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.4.2 Mines-Télécom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.5 Pierre Maigné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.5.1 Mines-Télécom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.5.2 Ensea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.6 Audrey Savignat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.6.1 Mines-Telecom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.6.2 TPE-IVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
Chapitre 1
ENS
1.1 Alexandre Mesnil
Ex 1. soit P un polynôme réel, à racines réelles Montrer que tous ses coe�cients sont du même signe si etseulement si ses racines sont négatives.Ex 2. ( en lien avec le premier ) Soit Yn une variable aléatoire à valeur dans {0, . . . , n}. Soit P (x) =n∑k=0
P (Yn = k)xk.
Montrer que Yn suit le même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes de Bernoulli.Remarques
• Pas commentaire constructif de la part de l'examinateur
• Sur l'exo 1, des remarques sur des problèmes de signe et d'indices
• Sur l'exo 2, elle m'a fait remarquer que les variables de Bernoulli ne suivent pas forcément la même loi.
1.2 Léo Demaine
Soit E un R espace vectoriel. Soit U un endomorphisme de E. existe il W strictement inclus dans E et di�érentde {0E} tel que U(W ) soit inclus dans W ? Commentaires de Alexandre Mesnil :Début de réponse :Si U est l'endomorphisme nul, toutW marche. Si U n'est pas bijective alors ker(U) marche. Sinon U est bijective,(là je bloque). Je voulais partir sur les valeurs propres mais si E est de dimension in�nie je ne sais pas s'il existeau moins une valeur propre (dans C si besoin)
1.3 communiqué par A.Mesnil
Soit A appartenant à Sn({0, 1}) On suppose 1 que :
• A est de diagonale nulle
• il y a k fois le nombre 1 par colonne
• pour tout couple (i, j) de {1, . . . , n} il existe un unique indice k ∈ {1, . . . , n} tel que ai,k = aj,k = 1
1. Calculer le spectre de A2
2. Montrer que les hypothèses impliquent n = k2 − k + 1
1. voir http://pcorneille.pagesperso-orange.fr/bretzelbug/archives17-18/devoirs/dm3-thErdos.pdf pour le contexte des
matrices d'adjacence
3
Chapitre 2
X-ESPCI
2.1 Hugo Pierre
Exercice 1 :Déterminer toutes les fonctions f continues de [0,1] dans R telle que :
f(x) =
+∞∑n=1
f(xn)
2n
Exercice 2 :Soit A et B deux matrices deM2(C) di�érentes de l'identité telles que leur spectre est réduit au singleton{1}.A-t-on A et B nécessairement semblables ?50 minutes qui paraissaient durer une éternité. Examinateur peu loquace qui semblait désespérer. Pour le premierexercice, j'ai proposé de calculer f(0) et f(1) mais cela ne donnait rien. J'ai ensuite proposé de dériver f pourvoir si on pouvait avoir une équation di�érentielle, mais le manque d'hypothèse sur f l'empêchait. Il m'a ensuitedemandé de montrer que la série convergeait bien. Ensuite il m'a demandé de poser α tel que f(α) = M lemaximum de la fonction puis m'a demandé de montrer que f(αn) = M pour tout n ≥ 1. Je n'ai pas réussi. Ona changé d'exercice.Pour le deuxième exercice, j'ai montré que A et B ne pouvaient pas être diagonalisables puis j'ai commencé lecalcul du polynôme caractéristique pour essayer de trouver des conditions sur les coe�cients de A et B mais lacolle était �nie.Il semblerait que pour le premier exercice, les fonctions constantes sont la solution.
2.2 Alexandre Mesnil
1) Soit un dé truqué de distribution de probabilité2
10,
2
10,
1
10,
2
10,
2
10,
1
10. On le lance 100 fois. Montrer que
la probabilité que la somme soit inférieure ou égale à 182 est égal au coe�cient devant x182 du DSE de
10−1002x+ 2x2 + x3 + 2x4 + 2x5 + x6
1− x2) Soit a, b appartenant à SO3(R) tels que :
• a laisse stable Re1 (c'est-à-dire vect(e1), (e1, e2, e3) étant la base canonique)
• a fait une rotation d'angle θ sur l'orthogonal de Re1 tel que θ =1
3
• b laisse stable Re3
• b fait une rotation d'angle θ sur l'orthogonal de Re3 tel que θ =1
3.
Soit W le produit d'une certaine longueur de a, a−1, b, b−1 (ils peuvent apparaitre plusieurs fois), (produit si
c'est sous forme de matrice, composition sinon). Montrer que W (e1) =1
3n(α, β
√(2), γ) où α, β, γ, n sont des
entiers.
4
2.3 Théo Paccoud
Exercice 1 : φ, ψ sont deux endomorphismes de l'espace vectoriel E tels que les seuls sous-espaces stablescommuns sont E et {OE}. Soit u 6= OE un endomorphisme de E qui commute avec φ et ψ. Montrer que u estinversible.
Exercice 2 : Tp(x) =
p∑i=1
xi
i!
1. Montrer que si p est impair alors Tp n'admet pas de racine réelle non nulle.Indication : Taylor avec reste intégrale
2. Montrer que si p est pair alors Tp admet une racine réelle non nulle.
Examinateur sec fournissant peu d'indications. Note 12
5
Chapitre 3
Centrale
3.1 Maxime Ressier
3.1.1 Maths 1
On prend a et b deux réels tels que a<b. Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ à valeursdans R telle que f(a) = f(b).
1) On dé�nit : h : x ∈]a, b[7−→ (f(x)− f(b)) exp
(1
x− b
)a. Montrer la dérivabilité de h sur ]a, b[. Donner l'expression de h′(x).
b. Montrer qu'il existe c tel que : f ′(c) =f(c)− f(b)
(c− b)2
2) Soit α ∈ R. On dé�nit g telle que, ∀x ∈ [a, b], f(x) ≤ g(x) + α
∫ x
a
f(t) dt
a. Montrer que f admet une primitive sur [a, b], notée F . On dé�nit x 7−→ (f(x)− αF (x)) exp(−αx). Calculerune primitive.
b. Montrer que∀x ∈ [a, b] : f(x) ≤ g(x) + α
∫ x
a
g(s) exp(−αs)ds
L'oral s'est mal passé. L'examinateur ne m'aidait que très peu alors que je pataugeais, je ne voyais pas commentles questions étaient liées entre elles. Ce fut un oral très long et désagréable.
3.1.2 Maths 2
Soit n un entier supérieur ou égal à 3. P est l'ensemble (R+∗)n+1. Soit a ∈ P, a = (a0, a1, · · · , an). On notes = a0 + an. On dé�nit N(a) la matrice créée à partir de In+1 en remplaçant les colonnes 1 et n + 1 par lacolonne formée par le vecteur a.
N(a) =
a0 0 0 · · · 0 a0a1 1 0 · · · 0 a1a2 0 1 · · · 0 a2...
.... . .
. . ....
...an−1 0 · · · 0 1 an−1an 0 · · · · · · 0 an
1)a. Dé�nir une fonction N(a) qui renvoie la matrice N(a).b. Calculer les valeurs propres de N(a) et s pour les a suivants. Émettez des conjectures.Valeurs de a : (3, 1, 1, 1); (1/3, 1, 1, 1/3); (1/2, 1/2, 1/2, 1/2); (1/5, 1/4, 1/3, 4/5)c. On revient au cas général où a appartient à P . N(a) est-elle diagonalisable ?2)a. Conjecturer pour quelles valeurs de s la suite (N(a)k)k∈N∗ converge.b. Montrer que ∀k ∈ N∗, N(a)k s'écrit : N(a0αk, a1βk, a2βk, · · · , an−1βk, anαk). Exprimer αk, βk en fonction des et k. c. Démontrer la conjecture émise en 2)a.3) ?L'examinateur était plus avenant. Cependant, je n'ai pas dépassé la question 1) c., puisque j'ai passé les dernières25 minutes de mon oral dessus.
6
3.2 Hugo Dufrene
3.2.1 Maths 2
On a n tiroirs T0, · · · , Tn−1 et n objets que l'on place successivement de façon indépendante dans les tiroirs. Onnote Ni le nombre d'objet placés dans Ti à l'issue de la répartition.
1) Donner la loi de Ni.Les variables N0, · · · , Nn−1 sont-elles mutuellement indépendantes ?
2) Calculer E(Ni),E(N2i ).
3) On pose f : t ∈ [0,+∞[7−→ t ln(t), f(0) = 0 et Yi = f(Ni).Exprimer E(Yi) sous forme de somme.
4) On pose Hn = E(Y0). Tracer (Hn) pour les 100 premiers entiers n. Conjecture ?
5) Prouver ∀N,+∞∑
k=N+1
1
k!= e−
N∑k=1
1
k!≤ e
(N + 1)!
6) ?Pas le temps+énoncé peu clair
7) ?
8) ?
9) ?
3.3 Antoine Auger
3.3.1 Maths 1
On pose f(n) =lnn
n.
bf 1. Que dire des séries∑
f(n) et∑
(−1)nf(n) ?
bf 2. On pose wn = f(n) −∫ n
n−1f(t) dt. Montrer que la série
∑wn converge absolument. J'ai à peine eu le
temps de �nir ma comparaison série-intégrale.
3.3.2 Maths 2
∀n ∈ N, Xn suit une loi de Bernoulli de paramètre x ∈ [0, 1]. On dé�nit Sn =
n∑i=0
Xi et ∀x ∈ [0, 1], Bn(f)(x) =
E(f((Snn
)).
On note ∆n(f) = ‖Bn(f)− f‖∞ et ∀t ∈ [0, 1], g(t) =
∣∣∣∣t− 1
2
∣∣∣∣.1) Donner la loi de Sn puis une expression sommatoire de Bn(f)(x).
L'expression de cette espérance di�cile m'a perturbé, l'examinateur m'a aidé en me demandant de réécrirele transfert pour une variable X quelconque. Je l'avais appliqué à Sn/n au lieu de Sn uniquement.
2) Écrire un code permettant de calculer Bn(f)(x).Tracer simultanément les courbes de Bn(f) pour n ∈ {1, · · · , 20}.Que peut-on conjecturer ?Je n'ai pas remarqué la convergence vers g
3) Supposons que X admet un moment d'ordre 2. Comparer E(X2) et E(X)2.
4) Supposons f lipschitzienne. Montrer que ∆n(f) = O
(1√n
).
Ici je ne comprenais pas ses indications j'ai donc stagné et l'oral s'est arrêté.
7
3.4 Paul Margain
3.4.1 Maths 1
f, g sont deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension �nie sur C, α, β sont deux nombres complexestels que f ◦ g − g ◦ f = αf + βg. Montrer que f et g ont un vecteur propre en commun.Indication : Commencer par les cas particuliers α = β = 0 puis β = 0, α ∈ C.Je ne suis pas allé au bout de la résolution mais il y a eu un dialogue constructif avec l'examinateur donc plutôtsatisfait. D'ailleurs le premier cas particulier était dans la feuille de td.
3.4.2 Maths 2
F (x) =
∫ 1
0
ln(t) ln(1− tx) dt.
1. Ensemble de dé�nition de F ?
2. Représenter graphiquement F . Montrer la monotonie observée.
3. Représenter les 50 premiers termes de la suite (10n)2F (10n). Conjecture un équivalent de F en +∞.
4. Démontrer rigoureusement cet équivalent.
5. Montrer que F s'écrit F (x) =
+∞∑n=0
1
Pn(x).
6. En admettant que+∞∑n=1
1
n2=π2
6, donner la valeur exacte de F (1).
Remarque : l'examinateur n'a pas aimé que je parle d'intégrabilité "au" voisinage de 0 plutôt que d'intégrabilité"sur" le voisinage de 0.
3.5 Emma Petit
3.5.1 Maths 2
On note l'ensemble des matrices nilpotentes dansMn(C) : Nn = {M ∈Mn(C), ∃p ∈ N, Mp = O}
1. a. Montrer que si M est nilpotente, alors 0 est la seule valeur propre de M .b. Montrer que si 0 est la seule valeur propre de M , alors M est nilpotente.
2. Montrer que Nn = {M ∈Mn(C), Mn = O}.
3. On dé�nit φn : A ∈ Nn 7−→n∑k=1
Ak
(k − 1)!∈ Nn et ψn : A ∈ Nn 7−→
n∑k=1
(−1)k−1
(k − 1)!Ak ∈ Nn
a. On donne une matrice A ∈M4(R) par ses coe�cients.
• Montrer que A est nilpotente.
• Implémenter φn et ψn.
• Calculer φ4(ψ4(A)) et ψ4(φ4(A))
b. Pour n = 4, montrer proprement que φ4(ψ4(A)) = ψ4(φ4(A)) = A
4. La suite avec des polynômes...Il y avait au total 11 questions, j'en avais préparé 8 et l'examinateur m'abloqué à la question 1)b) et n'a pas voulu que je passe à la suite.
3.6 Antoine Ghesquière
3.6.1 Maths 1
On note 〈M |N〉 = tr(tMN) le produit scalaire sur Mn(R). On note φ un endomorphisme de Mn(R) et P lamatrice canoniquement associée.
1. Montrer φ est un projecteur orthogonal⇐⇒ P 2 = P et tP = P
8
2. À partir de P ∈Mn(R) telle que P 2 = P on dé�nit φ(M) = PMP .
a. Montrer que φ est un projecteur.
b. Montrer que c'est une projecteur orthogonal si et seulement si tP = P .
J'ai réussi à aller jusqu'à montrer une implication de la question 2-b et je n'ai pas eu le temps de montrerl'autre sens.Pour la question 1 je suis parti sur la caractérisation des projecteur orthogonal et le lien avec les endomor-phismes symétriques. L'examinateur était d'accord mais m'a demandé de le démontrer dans le cadre desmatrices. Examinateur agréable et donnant des indications.
3.6.2 Maths 2
∀x, y ∈ R, f(x, y) = (x+ y)2 + x3 + y3
1. Montrer que f est de classe C1 sur R2.
2. Déterminer ses points critiques.
3. Tracer f(x,−x− x2) pour x ∈[−1
2,
1
2
]. Qu'observe-t-on ?
4. En déduire que le point critique (0, 0) n'est pas un extremum global.
5. Tracer la surface z = f(x, y) autour du deuxième point critique (a, b) qu'on précisera.
6. Montrer quex3 + y3
x2 + y2→ 0 quand (x, y)→ (0, 0).
7. Donner une expression de f(a+ x, b+ y)− f(a, b).
8. Le point critique (a, b) réalise-t-il un extermum local ?
9. f admet-elle des extrema globaux sur R2 ?
10. On restreint à D = {(x, y) ∈ R2, x2 + y2 ≤ 1}. Montrer que f admet des extrema globaux sur D et qu'ilssont atteints sur la frontière de D
3.7 Hugues du Pontavice
3.7.1 Maths 1
1) Calculer le déterminant de la matrice
(1
ai + bj
)1≤i,j≤n
où a1, · · · , an, b1, · · · , bn sont des paramètres réels.
2)
Je trouve cela assez inadmissible d'être noté sur un exercice pareil, il n'est que purement calculatoire. Il n'y aaucun raisonnement mathématique à avoir, mis à part du pur calcul et un peu de chance pour trouver la formegénérale du déterminant. J'ai réellement l'impression d'avoir vécu une injustice avec cette épreuve, après 3 ansde prépa à fournir un travail acharné, je risque de me faire éliminer de centrale parce que je n'ai pas trouvéla forme générale d'un déterminant qui semblait si évidente pour l'examinateur qui s'impatientait, et non parceque le raisonnement mathématique me dépassait.
3.8 Alexis Hamel
3.8.1 Maths 1
a < b sont des réels, f, g sont continues de [a, b] dans R, g est positive ou nulle.
1. Montrer l'existence de c ∈]a, b[ tel que∫ b
a
f(t)g(t) dt = f(c)
∫ b
a
g(t) dt
2. Est-ce toujours le cas si on ne suppose plus ∀t ∈ [a, b], g(t) ≥ 0 ?
3. Question qui demandait de montrer que f(x)g(x) = lim ?...
9
3.8.2 Maths 2
X,Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de probabilité géométrique de paramètrep ∈]0, 1[.
1. Calculer P(X = Y ).
2. On dé�nit deux polynômes An =
n∑k=0
akXk, Bn =
n∑k=0
bkXk dont les coe�cients aléatoires et indépendants
suivent une même loi géométrique de paramètre p.
a. Écrire une fonction PolAlea(n,p) qui retourne An.
b. Écrire une fonction PolCommute(n,p) qui retourne la proportionc
Nde couples obtenus en N = 6000
tirages aléatoires de An, Bn tels que An ◦Bn = Bn ◦An.Tester pour n ∈ {0, 1, 2, 3, 4} et p =
1
2, comparer le résultat à 3−n−1.
3. On note l'événement Cn = [An = Bn]. Expliquer pourquoi le programme précédent permet d'estimer laprobabilité de Cn.Calculer P(C0) quand p =
1
2.
4. On considère des polynômes de degré n ≥ 2, P =
n∑k=0
pkXk, Q =
n∑k=0
qkXk tels que P ◦Q = Q ◦ P .
a. Montrer que pn = qn
b. Montrer que (P −Q) ◦ P se factorise en (P −Q)W où W est de degré n(n− 1).
c. En déduire P = Q
5. ?
6. ?
3.9 Alexandre Mesnil
3.9.1 Maths 1
Soit E un espace vectoriel sur C de dimension n. Soit f1, . . . , fk des endomorphismes de E tous non nuls telsque f1 + · · ·+ fk = IdE où 2 ≤ k ≤ n et ∀i 6= j : fi ◦ fj = O.
a. Soit a1, . . . , ak 2 à 2 distincts. On pose f = a1f1 + · · ·+ akfk. Trouver les valeurs et vecteurs propres de f .f est-il diagonalisable ?
b. Montrer que la famille (f1, . . . , fk) est libre.
c. Montrer que quelque soit i, fi appartient à vect(Id, f, . . . , fk−1)
3.9.2 Maths 2
1. Montrer que∫ +∞
0
sin t
tdt et
∫ +∞
0
sin2 t
t2dt existent et sont égales (on posera λ leur valeur commune).
On pose An =
∫ π2
0
sin2(nt)
sin2 tdt, Bn =
∫ π2
0
sin2(nt)
tan2 tdt, In =
∫ π2
0
sin2(nt)
t2dt
Partie 1
2. TracerAnπ,Bnπ
pour n allant de 0 à 10. Conjecturer la forme de An. Conjecturer le comportement de Bn(l'examinateur voulait juste que l'on dise que c'était a�ne)
3. a. Tracer An, Bn, In pour conjecturer des inégalités.b. Prouver la conjecture.
10
4. a. Montrer que quelque soit p, q réels : sin2 q − sin2 p = sin(q − p) sin(p+ q)b. Calculer An+2 − 2An+1 +Anc. Montrer la conjecture de 2.Je me suis arrêté à la forme générale de An
5. a. Donner limInn
b. Conclure sur λ.
Partie 2À peine moins longue que la partie 1 !
3.10 Lucie Borget
3.10.1 Maths 1
On étudie l'équivalence AT A = BT B ⇐⇒ ∃U ∈ On(R), B = UA
1. a. Montrer l'équivalence si B est inversible.
b. Application : résoudre XT X =
(2 11 2
)On se place dans le cas général (non résolu) :
2. Montrer que ker(AT A) = ker(A)
3. Montrer l'équivalence dans le cas général.
Examinateur patient. Il m'a demandé de diagonaliser la matrice de 1.b. etc...
3.10.2 Maths 2
On considère φ(x) =1
x−
+∞∑n=1
2x
n2 − x2et ψ(x) = π
cos(πx)
sin(πx)et on note E = C0(]0, 1[).
1. Ensemble de dé�nition de φ ? Montrer que φ est continue sur [0, 1].
2. Tracer le graphe de φ avec Pyzo. Conjecturer la parité et la périodicité de φ.
Démontrer ces conjectures en utilisant notamment2x
n2 − x2=
1
n− x− 1
n+ x
On note g l'endomorphisme de E qui associe à ∈ E la fonction g dé�nie par g(x) = f(x
2
)+ f
(x+ 1
2
).
3. Montrer que ker(T − 2IdE) 6= {OE}.
4. Montrer que minx∈[0,1]
f(x) = f(0) si f ∈ ker(T − 2IdE).
5. En déduire ker(T − 2IdE).
6. Tracer le graphe de ψ. Conjecturer une relation entre φet ψ.
7. 2 ou 3 questions pour démontrer φ = ψ.Voir https://pcorneille.pagesperso-orange.fr/bretzelbug/archives17-18/devoirs/ds4-A.pdf, pro-blème 1.
8. En déduire une expression de+∞∑n=1
1
n2.
3.11 Valentin Korda
3.11.1 Maths 1
Pour α ∈ R et x ∈ R+ o n note fn(x) = nxαe−nx2
1. Montrer que la série∑
fn converge simplement.
2. Pour α ≤ 0 et a > 0 �xé, montrer la convergence normale de la série∑
fn sur [a,+∞[.
11
3. Si α > 4, montrer que la série∑
fn converge normalement sur R+.
4. Si α ∈]0, 4], montrer que la série∑
fn converge normalement sur [a,+∞[.
5. Question sur la convergence uniforme=pas le temps. Note 13
3.11.2 Maths 2
À partir de A ∈Mn(C), B ∈Mn(C) on dé�nit la matrice par blocs A⊗B =
a11,1B · · · a1,pB... · · ·
...ap,1B · · · ap,pB
.
1. Écrire une fonction Python Mat(A,B) qui retourne A⊗B.
2. On donne A =
(1 55 1
), B =
(1 −33 1
). puis B ∈M3(C) : décider si A⊗B et A⊗B′ sont diagonalisables.
3. Dans le cas général, donner une expression factorisée de tr(A⊗B).
4. Établir que (A1 ⊗B1).(A2 ⊗B2) = (A1A2)⊗ (B1B2).
5. Pas le temps pour la suite. Note 6
3.12 Raphael Farcy
3.12.1 Maths 2
On note ∀n ∈ N, cn =1
n+ 1
(2n
n
)et Hn = (ci+j)1≤i,j≤n.
1. Montrer pour tout entier naturel n ≥ 1 que Hn est diagonalisable.
2. Pour n = 1 puis n = 2, calculer det(Hn) puis prouver que le spectre de Hn est inclus dans R+∗ (la commandenp.poly était signalée).
3. Écrire un code Python qui retourne la matrice Hn. Véri�er pour les premières valeurs de n que det(Hn) = 1
4. Montrer dans le cas général que det(Hn) = 1 et que les valeurs propres de Hn sont toutes strictementpositives.
3.13 Audrey Savignat
3.13.1 Maths 1
1. Pour f continue sur [0, 1] et n ∈ N∗, o note Tn =
n∑k=1
1
nf
(k
n
). La suite (Tn) converge-t-elle ?
2. a. f est continue , positive décroissante sur ]0, 1]. Montrer que f est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si
la suite Tn =
n∑k=1
1
nf
(k
n
)converge, et dans ce cas limTn =
∫ 1
0
f .
b. Question non traitée. note 6
Voir l'exercice 1116 à l'adresse https://pcorneille.pagesperso-orange.fr/bretzelbug/archives17-18/
Oral/exosCentrale-1-2016-collesjuin2018.pdf
3.13.2 Maths 2
Pour A ∈Mn(R) et p ≥ 2 on note Up(A) =1
p
p∑k=0
Ak.
1. Écrire une fonction Python U(p,A) qui retourne Up(A).
2. A =
(45
35
− 35
45
), B =
(0 11 0
)
12
a. Préciser la nature (géométrique) de ces matrices. Avec la fonction U, conjecturer la convergence des suitesUp(A) et Up(B).
b. Justi�er rigoureusement ces conjectures.
3. M =
a b c? ? ?? ? ?
Montrer que M ∈ SO3(R) ⇐⇒ · · · (+ 6 autres questions non traitées, on considérait le
noyau d'une application associée à la matrice M))
Les examinateurs interviennent moins que dans les autres concours (que j'ai passés :TPE,Mines-Telecom,CCP)et je n'ai pas été assez rapide. Note 7
3.14 Théo Paccoud
3.14.1 Maths 1
Mon exercice portait autour de la constante d'Euler-Mascheroni. Il était assez basique (convergence de série,développements limités), mais je n'étais pas assez e�cace et rapide. L'examinateur a aussi dû me suggérer lepassage au deuxième ordre de certains développements. J'ai obtenu la note de 10 à cette épreuve.
3.14.2 Maths 2
Mon exercice portait sur une suite particulière : Un+p =Un + Un+1 + · · ·+ Un+p−1
p. Il fallait calculer la limite
de cas particuliers avec Python , montrer la convergence d'une telle suite, et exploiter les caractéristiques d'unpolynôme pour obtenir des résultats sur la suite. J'ai mal géré mon temps de préparation, et je n'ai pas pensétout de suite aux matrices diagonalisables pour établir la convergence. J'ai dû m'attarder sur des calculs basiqueset je n'ai pas eu le temps de montrer mon programme Python sur le polynôme.
13
Chapitre 4
Mines-Ponts
4.1 Antoine Ghesquière
Exercice 1 - 15 mn de préparation On pose Qn(X) =1
2nn!
((X2 − 1)n
)(n).
1) Montrer que ∀n ≥ 1, Qn admet n racines simples dans ]− 1, 1[.
2) Montrer que Qn(X) = Xn + (X2 − 1)Rn(X).
3) On pose 〈P |Q〉 =
∫ 1
−1P (t)Q(t) dt. Montrer que Qn est orthogonal à Rn−1[X].
4) Calculer ‖Qn‖2.
Exercice 2 - sans préparation (an)n∈N est une suite à valeurs réelles. On suppose que les séries∑
an et∑|an+1 − an| convergent. Montrer que la série
∑a2n converge.
J'ai eu le droit à 15 minutes de préparation pour le premier exercice qui ne m'ont pas été d'une grande utilité.Après avoir proposé une récurrence pour la première question, l'examinatrice m'a fait préciser une hypothèsede récurrence plus adéquate. Avec son aide je suis arrivé à la question 4 que je n'ai pas traitée. Pour l'exercice2, l'examinatrice m'a demandé d'exprimer le carré de An en fonction de An et de ses sommes partielles puisune discussion s'est installée jusqu'à essayer de faire apparaître le terme en valeur absolue. Personnellementj'ai trouvé cet oral très di�cile.
4.2 Antoine Auger
Exercice 1 - 15 mn de préparation On dé�nit, pour tout P dans R[X] : f(P ) = (X2 − 1)P ′′ − 2XP ′
1. Montrer que f est un endomorphisme de R[X]
2. Soit n entier naturel non nul.a) Montrer que Rn[X] est stable par f .b) Quelles sont les valeurs propres de l'endomorphisme induit surRn[X] ?L'examinateur m'a demandé deprouver que l'on pouvait parler de l'endomorphisme induitCombien y en a-t-il ? L'examinateur m'a demandé de tracer la courbe λ = k(k − 3) pour k ∈ [0, n], paraboled'où 2 racines doubles et n− 3 simples)c) L'endomorphisme induit sur Rn[X] est-il diagonalisable ? Étude uniquement des 4 premières colonnes oùsont les 2 vp doubles
3. Quelles sont les valeurs propres de f ?
Exercice 2 - sans préparationexo 832 du TD de �n d'année légèrement modi�é
On dé�nit, pour n ∈ N : an =
∫ 1
0
tn√
1− t2 dt
1. Montrer que la suite (an) décroît.
2. Montrer la relation an+2 =n+ 1
n+ 4an
14
3. Montrer que la suite n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)anan−1 est constante.Cette question intermédiaire n'est pas dansle TD
4. Donner un équivalent de an au voisinage de +∞. Il m'a demandé de prouver que an ∼ an−1.
5. Nature et somme éventuelle de la série∑
an
Coup de chance, l'exercice 2 était un exercice que j'avais traité lors des révisions et que l'on a corrigé en cours.L'examinateur n'avait pas pensé au rapprochement avec Wallis et m'a dit que ma méthode était intéressante etastucieuse, qu'il allait se pencher dessus.Pour l'exercice 1, l'examinateur a apprécié mes initiatives et était très encourageant.
4.3 Hugo Dufrene
Exercice 1 - 15 mn de préparation On note xn =
n−1∑i=0
(−1)i(n
i
)2n−i − 1
n− i. Montrer que la suite xn diverge
et trouver un équivalent.Pour l'exercice 1, l'examinatrice m'a indiqué une intégrale, je suis arrivé à une formule semblable à un binômede Newton mais avec un n dans le coe�cient binomial au lieu de n-1. Je suis resté bloqué et elle m'a dit depasser au deuxième exercice.Exercice 2 - sans préparation Soir P un polynôme scindé et à racines simples dans R[X]. Montrer que Pne peut pas avoir deux coe�cients nuls d'indices consécutifs, et que si un coe�cient est nul, alors le précédentet le suivant sont de signes opposés.Je suis sorti de mon oral frustré de n'avoir rien su faire.
4.4 Valentin Korda
Exercice 1 - 15 mn de préparation
f(x) =
∫ +∞
0
1
tx(1 + t)dt
1. Ensemble de dé�nition de f ? Monotonie ?
2. f est-elle continue ? Dérivable ? Exprimer f (k)(x).
3. Trouver un équivalent simple de f(x) au voisinage de 0 et au voisinage de 1.
Exercice 2 - sans préparationÀ partir de A,B ∈Mn(C) on forme l'endomorphisme u deMn(C) dé�ni par ∀M ∈Mn(C), u(M) = AM−MB.
1. Montrer λ est valeur propre de u si et seulement si il existe α valeur propre de A et β valeur propre de Btelles que λ = α− β.
4.5 Raphael Farcy
Exercice 1 - 15 mn de préparation
A =
0 1 00 0 11 0 0
, f est l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à A.
1. Montrer que A est une matrice orthogonale. En déduire les valeurs propres possibles.
2. A est-elle diagonalisable ? Détermine rles sous-espaces propres de f .
3. On pose a = (1, 1, 1), D = vect(a), P = D⊥.
a. Montrer que P est stable par f .
b. Trouver une base orthonormée (u1, u2) de P .
c. Calculer 〈ui|f(uj)〉 pour 1 ≤ i, j ≤ 2.
d. Écrire la matrice de l'endomorphisme induit par f sur P dans la base (u1, u2).
15
Exercice 2 - sans préparation
A =
∫ 1
0
e−t
tdt, B =
∫ +∞
1
e−t
tdt.
1. Que dire de la convergence de A et de B ?
2. On pose f(x) =
∫ +∞
x
e−t
tdt.
a. Montrer que f est continue sur ]0,+∞[.
b. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
c. À l'aide de deux intégrations par parties, trouver un équivalent de f au voisinage de 0 et au voisinage de+∞.
4.6 Théo Paccoud
Exercice 1 - 15 mn de préparation A est une matrice carrée de taille 3 donnée. Calculer ses valeurs propres,ses sous-espaces propres (l'examinateur a été agréablement surpris par ma méthode passant par le calcul durang, trigonalisation de A : on avait 2 vecteurs propres indépendants, l'examinateur m'a demandé de calculerleur produit vectoriel et de m'assurer que ce vecteur était propre pour A. Calcul de An.
Exercice 2 - sans préparation I =
∫ +∞
0
e−√t dt, f(x) =
+∞∑k=0
e−√kx
1. Convergence de I.
2. Calcul.
3. Existence de f(x) ?
4. Continuité de f .
5. Limites de f aux bornes de l'ensemble de dé�nition (par comparaison série-intégrale).
Examinateur très sympathique. Je suis allé assez rapidement. Note : 14
16
Chapitre 5
CCP
5.1 Lucie Nuris
Exercice 1 - 30 mn de préparation
Deux polynômes P =
n∑i=0
aiXi et Q =
n∑j=0
bjXj non nuls dans C[X], où n et m sont des entiers naturels non
nuls.
1) Donner la dimension de Cm−1[X]× Cn−1[X] et de Cn+m−1[X]. (pas de soucis)
2) Montrer que si P et Q admettent une racine complexe commune, alors il existe deux polynômes A et B nonnuls, tels que deg(A) < m et deg(B) < n et AP = BQ. On admettra que la réciproque est vraie. (pas desoucis)On construit à partir des coe�cients (ai) et (bj) une matrice résultante carrée de format n + m. (Je neme souviens plus exactement de la matrice, c'était assez compliqué, il y avait plusieurs coe�cients dansles diagonales et des 0 sur les lignes, mais je ne saurais dire exactement comment elle était construite).
Proposition plausible d'après 4) : M =
a0 a1 a2 · · · an 0 · · · 0
0 a0 a1 a2 · · · an. . .
......
. . .. . .
. . .. . . · · ·
. . . 00 · · · 0 a0 a1 a2 · · · an
m lignes
b0 b1 · · · bm 0 · · · · · · 00 b0 b1 · · · bm 0 · · · 0
0. . .
. . .. . .
. . .. . .
. . ....
.... . .
. . .. . .
. . .. . .
. . . 00 · · · 0 0 b0 b1 · · · bm
n lignes
3) Dans cette question, P = X3 + pX + q et Q = P ′, avec p, q ∈ C. Donner leur matrice résultante et calculer
le déterminant. (J'ai mis assez longtemps à avoir la matrice 5x5 avec les coe�, et le calcul du déterminantétait assez long, il n'y avait pas de combinaisons sur les lignes ou les colonnes qui le facilitaient)
4) P et Q sont de nouveau quelconques. Soit f l'application :
f : (A,B) ∈ Cm−1[X]× Cn−1[X] 7−→ AP +BQ ∈ Cn+m−1[X]
Montrer que f est linéaire.(Je me suis arrêtée ici, donc je ne suis pas tout à fait sûre de ce qui suit)Montrer que la matrice de f dans une base qu'il faudra déterminer est la transposée de la matrice résultantedonnée dans l'énoncé.
5) Montrer que P et Q admettent une racine complexe commune si et seulement si leur matrice résultante n'estpas inversible.
L'examinatrice était assez agréable, elle réagissait à ce que je disais sans me laisser parler seule. J'ai eu un peude mal avec le premier exercice, notamment avec la construction de la matrice qui était un peu compliquée, j'aidonc perdu du temps inutilement. . .Exercice 2 - sans préparationDonner le développement en série entière et le rayon de convergence de ln(1 + x)− ln(1− x). petite erreur dans
17
les dse usuels, j'avais mis des factorielles mais je me suis vite corrigée, par contre j'avais noté le dse usuel avecun moins devant pour le second, donc il était juste, mais elle m'indiquait une erreur car elle n'avait pas vu lemoins, j'ai donc perdu 3-4 min à chercher mon erreur)
Puis calculer :+∞∑n=0
xn
4n2 − 1(le début du calcul s'est bien passé, je n'ai pas eu le temps de �nir, mais j'ai pu
expliquer la marche à suivre).Dans l'ensemble je suis un peu déçue du premier exercice, mais j'espère m'être rattrapée sur le deuxième.
5.2 Hugo Pierre
Exercice préparé :Soit x ∈ [0, 1]On dé�nit :
P0(x) = 1 et Pn+1(x) = Pn(x) +x− Pn(x)2
2
∀t ∈ [0, 1], gx(t) = t+x− t2
2
On pose u0 = 1 et un+1 = gx(un)
1) Donner les variations de la fonction gx.
a. Montrer que un ∈ [0, 1]
b. Montrer que (un) est décroissante. En déduire qu'elle converge vers une limite à déterminer.
2) Montrer que Pn est dérivable et que P ′n+1(x) =1
2+ P ′n(x)(1− Pn(x)).
Montrer alors que la fonction Pn est croissante.
3) Montrer que Pn+1(x)−√x = (Pn −
√x)
(1− Pn(x) +
√x
2
)En déduire par récurrence que 0 ≤ Pn −
√x ≤ Pn(0)
4) Montrer que (Pn) converge uniformément vers une fonction à déterminer.
Exercice non préparé identique à celui de la dernière séance avec φ(x) =< x, b > a+ < x, a > b où (a, b)famille libre.Examinateur n'aidant pas et qui me faisait détailler toutes les récurrences et chaque justi�cation, même lesplus rapides, ce qui déstabilise un peu car vu la longueur du sujet, il fallait aller vite. Je n'ai pas pu aborder ladernière question de l'exercice préparé et j'ai eu uniquement le temps de montrer que φ était un endomorphismeet que son noyau était vect(a, b)⊥
5.3 Maxime Ressier
L'oral s'est très bien déroulé dans l'ensemble. L'examinatrice avait l'air satisfaite. Cependant, il était di�cile delui faire décocher un sourire tant elle était stoïque. La plupart des examinateurs de CCP ont l'air de partagercette particularité.Exercice 1 :
1. Soit (un)n∈N∗ une suite. Montrer ∀p ∈ N∗,p∑i=1
u2i−1 + u2i =
2p∑i=1
ui
2. a. Montrer que la série∑ (−1)n√
nconverge. On note Rn =
+∞∑k=n+1
(−1)n√n
son reste.
b. Montrer ∀n, p ∈ N∗,n+2p∑k=n+1
(−1)n√n
= (−1)n+1
p∑k=1
(1√
n+ 2k − 1− 1√
n+ 2k
).
En déduire Rn = (−1)n+1+∞∑k=1
(1√
n+ 2k − 1− 1√
n+ 2k
).
L'examinatrice m'a repris car j'utilisais depuis le début le terme "série" pour chaque somme. Selon elle, ils'agit à chaque fois d'une somme �nie et non d'une série car une série contient un nombre in�ni de termes.
18
Pourtant, il me semblait qu'une série ne contenait pas forcément un nombre in�ni de termes... Je me suisgardé de lui répondre, au risque de me tromper, et j'ai employé le terme "somme partielle" jusqu'à la �n del'exercice.
3. a. Soit n ∈ N∗ et c ∈ R+∗, on dé�nit gn() =1√n+ x
. Montrer que gn est deux fois dérivable et calculer
g′′n(x). Montrer que g′n est croissante.J'ai fait remarquer à l'examinatrice que x pouvait être pris dans R+, d'autant plus que sinon, cela pouvaitposer un problème pour la question suivante, avec (2l-1) pouvant être nul. Elle a acquiescé, et m'a dit dequand même prendre x dans R+∗, en reconnaissant que c'était sûrement une erreur. b. À l'aide de l'égalitédes accroissement �nis, montrer que, pour l ∈ [1,+∞[, gn(2l)− gn(2l − 1) ≤ gn(2l + 1)− gn(2l)Cette question m'a résisté, je le lui ai annoncé, elle m'a alors proposé de passer à la suite.
4. Montrer que la suite (|Rn|)n∈N∗ est décroissante.
5. Discuter de la convergence de la série∑
Rn.
Exercice 2 :Je partais dès le début dans la mauvaise direction, mais elle m'a remis sur les rails, en m'indiquant les bonsembranchements et en me posant des questions de cours pour faire mûrir ma ré�exion. À la �n, je suis parvenuau résultat.A étant une matrice à coe�cients réels, 5 lignes, 10 colonnes, on forme B = tAA.
1. Montrer que B est diagonalisable.Après que j'ai esquissé maints dessins de matrices inutiles au tableau, elle m'a indiqué qu'il fallait que jetrouve une propriété intéressante de la matrice B, tâche à laquelle je me suis attelé immédiatement.
2. Montrer que B admet 0 pour valeur propre.Indications données : donner un résultat liant les noyaux de A et B, puis raisonner avec les dimensions.
5.4 Emma Petit
Exercice 1 :On note E = C∞(]0,+∞[,C) et φ : f ∈ E 7−→ φ(f) où ∀x > 0, φ(f)(x) = xif ′(x)− (2x− i)f(x)
1. φ est-il un endomorphisme de E ?
2. Soit n ∈ N et fn(x) = xneix
a. Calculer φ(fn).b. Montrer que la famille (fn)n∈N est libre.
3. Soit l ≥ 2 et Fl = vect(f0, · · · , fl) et ψ : f ∈ Fl 7−→ φ(f) ∈ Fl+1
a. Montrer que ψ est bien dé�nie et linéaire. Quel est son rang ?b. Montrer que tout nombre complexe est valeur propre de φ. φ est-il injectif ?
4. Montrer que fn est prolongeable par continuité en 0 si et seulement si n ≥ 1 (on pourra considérer les deux
suites
(1
2kπ
)k∈N
et
(1
(2k + 1)π
)k∈N
).
5. Montrer qu'en posant pour n ≥ 1, fn(0) = 0, la fonction fn est dérivable puis C1 en 0.
Exercice 2 :(Xn)n∈N∗ est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi de Bernoulli B(p). On poseYn = XnXn+1.
1. Donner la loi de Yn.
2. Calculer l'espérance et la variance de Yn.
19
5.5 Alexis Hamel
Exercice 1 :
Pour 0 < a < b− 1 on considère une suite (un) de réels strictement positifs tels que ∀n ∈ N,un+1
un=n+ a
n+ b.
a. Trouver un équivalent simple de ln
(un+1
un
)
b. Montrer quen∑k=0
ln(un+1)− ln(un)→ −∞ quand n→ +∞.
En déduire la limite de la suite (un).
c. On pose α = b− a et vn = nαun. Montrer que la série∑
ln
(vn+1
vn
)converge.
d. Trouver A tel que un ∼A
nα.
En déduire la convergence de la série∑
un
Exercice 2 : Sans préparation :E est un espace vectoriel de dimension �nie, f est un endomorphisme de E.
a. Montrer l'équivalence ker(f) = ker(f2)⇐⇒ E = ker(f)⊕ Im(f)
b. Est-ce encore vrai si E est de dimension in�nie ?
5.6 Lucie Borget
Exercice 1 :
1. Écrire la formule de Taylor avec reste intégrale.Écrire la formule de Leibniz.
2. a. Justi�er que tan ∈ C∞([
0,π
2
[)et que ∀n ∈ N∗, tan(n) = (tan2)(n−1).
b. Justi�er ∀n ∈ N∗, tan(n) ≥ 0
3. a. Étudier le signe du reste Rn.b. En déduire la convergence de la série de Taylor de tan.
4. Montrer tanx =
+∞∑k=0
tan(k)(0)
k!xk.
Exercice 2 :
ϕ : P ∈ Rn[X] 7−→ XnP
(1
X
).
1. Véri�er que ϕ dé�nit un endomorphisme de Rn[X].
2. Établir ϕ ◦ ϕ = Id et en déduire les valeurs propres de ϕ.
5.7 Raphael Farcy
Exercice 1 :
Si f est une fonction continue par morceaux et intégrable sur R, on note f̂(x) =
∫ +∞
−∞f(t)e−2iπtx dt.
1. Montrer que f̂ est dé�nie sur R.
2. Montrer que f̂ est continue et bornée sur R.
3. Dans le cas où x 7−→ xf(x) est intégrable sur R, montrer que f̂ est de classe C1 sur R.
On pose fu(x) = e−ux2
.
20
4. Justi�er que f̂u est de classe C1 sur R.
5. Donner une équation di�érentielle du premier ordre véri�ée par f̂u.
6. Exprimer f̂u à l'aide des fonctions usuelles en admettant que∫ +∞
−∞e−t
2
dt =√π.
Exercice 2 :
On pose An la matrice carrée de taille n+1 de coe�cients 1 ≤ i, j ≤ n+1, ai,j =
(j − 1
i− 1
)et f l'endomorphisme
de Rn[X] canoniquement associé.
1. Exprimer f(P ) si P ∈ Rn[X].
2. L'endomorphisme f est-il inversible ? À quoi est égal f−1(Q) si Q ∈ Rn[X] ?
5.8 Audrey Savignat
Exercice 1 :On lance une pièce équilibrée. Soit p la probabilité de tomber sur pile, q celle de tomber sur face telles quep ∈]0, 1[ et q = 1− p. On considère une machine qui réagit comme suit :
0
1
2
p p
p
q
q
q
Soit J =
0 0 11 0 00 1 0
, Q =
1 j j2
1 j2 j1 1 1
où j = exp
(−i2π
3
)1. Montrer que 1 + j + j2 = 0 et que j2 =
2. Calculer QQT(où Q désigne la matrice dont les coe�cients sont les conjugués de ceux de Q). Q est-elle
inversible ? Donner Q−1.
3. CalculerQ−1JQ. J est-elle diagonalisable dans C ?
4. Soit An l'événement : "Le système est dans l'état 0 à l'instant n". On note an la probabilité de cet évènement.Soit Bn : "Le système est dans l'état 1 à l'instant n et bn sa probabilité.Soit Cn : "Le système est dans l'état 2 à l'instant n " et cn sa probabilité.Calculer an+1, bn+1, cn+1 en fonction de an, bn, cn.
5. Soit Mp =
q 0 pp q 00 p q
. Calculer Mnp .
100
. pas �ni car très long
6. Calculer limn→+∞
an l'examinateur m'a donné l'expression de an que je n'avais pas.
7. (non traitée) Donner la probabilité que le nombre de pile soit un multiple de 3.
Exercice 2 :
Soit ∆n = det
3 1 0 . . . 0
2 3 1. . .
...
0. . .
. . .. . . 0
.... . . 2 3 1
0 . . . 0 2 3
. Montrer que ∆n+2 = 3∆n+1 − 2∆n.
L'examinateur m'a indiqué de développer selon une ligne ou une colonne bien choisie. J'ai eu 15,24 à cet oral,l'examinateur était assez froid et me demandait toujours de me dépêcher.
21
5.9 Pierre Maigné
Le premier exercice portait sur l'étude d'un polynôme. je n'ai pas été très e�cace lors de la préparation car il yavait beaucoup de mouvement dans la salle pendant celle ci. Le second était l'étude d'une intégrale à paramètre,mais à plusieurs variables. Ça m'a un peu dérouté au début mais j'ai pu �nalement adapter le théorème declasse C1 des intégrales à paramètres pour une fonction à plusieurs variables. L'examinatrice était agréable etme donnait beaucoup de pistes à étudier malgré mes di�cultés. Un oral assez di�cile malgré le sujet qui n'étaitpas particulièrement ardu.
22
Chapitre 6
Autres concours
6.1 Emma Petit
6.1.1 ICNA
Exercice 1 Pour p, q ∈ N on note Ip,q =
∫ 1
0
tp lnq(t) dt
1) Montrer la convergence de l'intégrale dé�nissant Ip,q. (Attention à p=0)
2) Calcul de Ip,q (par parties, pb de divergence ? ? ? ?)
3) Montrer que∫ 1
0
exp(x ln(x)) dx =
+∞∑n=0
(−1)n+1
nn(elle n'a pas accepté que je passe par le théorème de conver-
gence dominée, Fubini "obligatoire" et elle a réfuté mes hypothèses de convergence simple ce qui m'a com-plètement déstabilisée).
Exercice 2 Algèbre que je n'ai pas comprise (beos 2017) car trop déstabilisée. u, v ∈ L(E), E espace vectorielde dimension �nie. Montrer dim ker(u+ v) ≤ dim (ker(u) ∩ ker(v)) + dim (Im(u) ∩ Im(v))Indication : considérer w la restriction de u à ker(u+ v).
6.1.2 TPE-IVP
30 mn de préparation+30 mn d'exposition
Exercice 1 Pour n ∈ N calculer In =
∫ π2
0
cos(nx) cosn(x) dx.
Exercice 2 Pour A ∈Mn(R) on note S(A) =
n∑j=1
n∑i=1
ai,jaj,i. Montrer : A,B sont semblables =⇒ S(A) = S(B)
En fait il fallait juste reconnaître que S(A) = tr(A2) ce à quoi l'examinateur m'a aidée.
6.1.3 Mines-Télécom
30 minutes d'exposé.Exercice 1 :
x > 0 est �xé, X est une variable aléatoire à valeurs dans N, ∀n ∈ N, P(X = n) =1
cosh(x)
x2n
(2n)!.
a. Exprimer la fonction génératrice GX(t) selon que t > 0 ou t < 0.
b. Calculer l'espérance E(X) et la variance V(X).
c.
Exercice 2 :
On étudie le système d'équations di�érentielles :
{u′(t) = tu(t) + v(t)
v′(t) = (t2 − 1)u(t) + tv(t)
1. Écrire ce système sous forme matricielle
2. Montrer que Y1(t) =
(1t
), Y2(t) =
(t
t2 + 1
)sont des solutions.
3. En déduire toutes les solutions.
23
6.2 Lucie Borget
6.2.1 TPE-IVP
Exercice 1 Encadrement et équivalent den∑k=1
1√k?
Exercice 2 On considère le plan H de R3 d'équation x− y + z = 0.
a. Exprimer les composantes du projeté orthogonal de X =
xyz
sur H⊥.
b. En déduire le projeté orthogonal de X sur (H), puis la matrice de la projection orthogonale sur H, puis lamatrice de la symétrie orthogonale par rapport à H.
6.2.2 Mines-Télécom
30 mn sans préparation. J'ai eu le choix de l'ordre d'exposition des exercices.
Exercice 1 Montrer∫ 1
0
xx dx =
+∞∑n=1
(−1)n−1
nn
Indication pendant l'exposé : Poser In,p =
∫ 1
0
xn lnp(x) dx, intégrer par parties pour trouver une relation
entre In,p et In,p−1Exercice 2 φ : P ∈ Rn[X] 7−→ P − (X + 1)P ′.
1) Montrer que φ est un endomorphisme.
2) φ est-il bijectif ?
3) φ est-il diagonalisable ? Quelles sont ses valeurs propres ?Je ne suis pas sure de l'intitulé de la question, je ne l'ai pas traitée.
6.3 Caroline Bernard
6.3.1 TPE-IVP
Exercice 1 Suite de Fibonacci F0 = 0, F1 = 1,∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn.
1) Montrer ∀n ≥ 1,
(0 11 1
)n=
(Fn−1 FnFn Fn+1
)2) Montrer ∀n ≥ 1, Fn−1Fn+1 − F 2
n = (−1)n
3) Montrer ∀n ∈ N, arctan
(1
F2n
)− arctan
(1
F2n+2
)= arctan
(1
F2n+1
)
4) Montrer+∞∑n=0
arctan
(1
F2n+1
)=π
2
Exercice 2 X est une variable aléatoire à valeurs dans N. On note pn = P(X = n), rn = P(X > n)
1) Donner une relation entre∑
pn et rn
2) Montrer que le rayon de convergence de la série entière∑
rntn est supérieur ou égal à 1.
3) Soit |t| < 1. On noteH(t) =
+∞∑n=0
rntn etG la fonction génératrice deX. Montrer ∀t ∈]−1, 1[, H(t) =
1−G(t)
1− t
4) Bonus (tout étant �ni avant l'heure) : relier G à E(X), V (X) + preuve de G′(1) = E(X).
6.3.2 Mines-Télécom
Exercice 1 Développer en série entière ln(1 + x+ x2)
Exercice 2 A est une matrice carrée de taille n. M =
(O InA O
). Donner les valeurs propres de M en fonction
de celles de A. M est-elle diagonalisable ?
24
6.4 Alexis Hamel
6.4.1 TPE-IVP
Exercice 1 À partir de A,B ∈Mn(R) on pose M =
(A −BB A
). Montrer que det(M) ≥ 0.
Indication donnée avec l'énoncé : montrer que det(M) = det
(A− iB OO A+ iB
)Exercice 2 Pour n ∈ N∗, on dé�nit In =
∫ 1
0
xn√1− x
dx.
a. Montrer que la suite (In) converge.
b. Trouver un équivalent de vn = ln(In)− ln(In−1) et retrouver la valeur de la limite de In.
c. Prouver l'existence d'un réel α > 0 tel que In ∼α√n.
d. Calculer α.
6.4.2 Mines-Télécom
Exrecice 1 :Soit A ∈Mn(R) telle que A.AT = AT .A et ∃p ∈ N∗, Ap = O.
a. Montrer que AT .A = O.
b. Montrer que A = O.
Exercice 2 :
Pour n ∈ N on note gn(x) =
∫ x
n
et2
dt.
a. Montrer qu'il existe un unique réel xn tel que gn(xn) = 1.
b. Déterminer un équivalent de xn quand n→ +∞.
6.5 Pierre Maigné
6.5.1 Mines-Télécom
Exercice 1 : Rayon de convergence de∑ nnxn
3n2
Exercice 2 :J'ai eu un très bon examinateur pendant cet oral. Il était vraiment sympathique et mettait facilement à l'aise.Il s'est amusé lorsque j'ai parlé de "Ratio-Test" pour la règle de d'Alembert. Le premier exercice est celui queje vous joins. Il m'a su� d'e�ectuer un simple "ratio-test" puis il fallait prendre son temps pour étudier lesdi�érents équivalents et modi�er certaines écritures. Le second portait sur l'étude d'un endomorphisme appliquéà un polynôme. j'ai eu beaucoup de mal sur celui-ci.
6.5.2 Ensea
Cet oral s'est assez mal passé, l'examinateur n'était vraiment pas agréable et ne m'aidait pas du tout. Ilm'a laissé à rien faire pendant plusieurs minutes sans m'aider alors que je lui disais que je ne savais pascomment poursuivre. Je vous envoie l'exercice deux de la planche que j'ai eu. Je suis parti des dé�nitions d'unendomorphisme symétrique en montrant bien que f était linéaire mais j'ai été bloqué pour montrer le caractèresymétrique ( [f(x),y] = [x,f(y)]). Après deux bonnes minutes à me laisser ré�échir sans aide, l'examinateur m'adirectement fait partir sur la seconde question. Il m'a donné quelque indication ( calculer f(a+b) et f(a-b) ) maisil a arrêté l'oral avant même que je puisse conclure alors que j'étais sur le point de la faire.
25
6.6 Audrey Savignat
6.6.1 Mines-Telecom
Exercice 1 :Soit ϕ ∈ L (M2(R)) dé�nie par M 7−→MP ( ?P devait être donnée numériquement ?) On pose
A1,1 =
(1 00 0
), A1,2 =
(0 10 0
), A2,1 =
(0 01 0
), A2,2 =
(0 00 1
)Écrire la matrice de ϕ dans la base B = (A1,1, A1,2, A2,1, A2,2). En déduire "sans calcul" Im(ϕ) et ker(ϕ). ϕest-elle diagonalisable ? (sans calcul)
Exercice 2 :
L'intégrale∫ +∞
2
(√x4 + x2 + 1− x 3
√x3 + ax
)dx où a ≥ 0 est �xé est-elle convergente ?
On traite les exercices dans l'ordre qu'on veut sans préparation, c'est l'examinateur qui gère le temps et nousaiguille. J'ai été très déstabilisée par le format, c'était mon premier oral de concours, j'ai eu 7.
6.6.2 TPE-IVP
Exercice 1 :Soit E un espace vectoriel euclidien pour le produit scalaire 〈•|•〉 et la norme ‖ • ‖ associée.
a. Soit B = (e1, . . . , en) une base orthonormale, et x =
n∑i=1
xiei, y =
n∑i=1
yiei. Retrouver l'expression du produit
scalaire 〈x|y〉.
b. Soit u un endomorphisme symétrique, λ sa plus grande valeur propre et µ sa plus petite valeur propre.Montrer que : ∀x ∈ E, µ‖x‖2 ≤ 〈u(x)|x〉 ≤ λ‖x‖2.
Exercice 2 : Soit g(x) =
∫ 1
0
ln(1 + xt)
tdt
a. Montrer que est dé�nie sur ]− 1, 1[.
b. Donner un développement en série entière de g(x).
c. Montrer que g est de classe C1 et exprimer g′ de deux manières di�érentes.
L'examinateur m'a laissé commencé par le deuxième exercice, m'a aidé à �nir le 1er.
26
