of 6
7/26/2019 p 1968 - Optimum Number, Location, And Size of Shunt
1/6
IEEE
TRANSACTIONS
ON POWER
APPARATUS
AND
SYSTEMS,
VOL. PAS-87,
NO.
9 , SEPTEMBER
1 9 6 8
Zs=
VL/C
=
/ 1 . 5 6
X
1 0 - 3 / 1 8 . 9
X
1 0 - 9
=
2 8 8 Q
Z s o / Z a , = 6 4 6 / 2 8 8 =
2 . 2 5 .
Wave s p e e d s :
s o = l / / L o
=
1 . 1 2 X 1 0 5
m i / s
S i =
1/VLC =
1 . 8 4
X
1 0 5
m i / s
s o l s =
0 . 6 1 .
Wave t r a v e l t i m e s :
t o
=
i / s o
=
1 8 0 / 1 . 1 2
X 1 0 5
=
1 . 6 1 ms
t i
=
l / s 1
=
1 8 0 / 1 . 8 4
X
1 0 5
=
0 . 9 7 5
m s .
P u l s e
w i d t h : t o - t
=
1 . 6 1
-
0 . 9 8
=
0 . 6 3
m s .
P e r i o d : t o
+
t 1
=
2 . 5 9
m s .
B . A r t i f i c i a l L i n e o f
TNA
1 8
7 r
s e c t i o n s e a c h r e p r e s e n t i n g
1 0
m i l e s
( 1 6
k m )
o f
l i n e .
F r e q u e n c y
s c a l e : 1 .
I m p e d a n c e s c a l e :
1 .
N o m i n i a l v o l t a g e : 1 2
v o l t s r m s l i n e t o
n i e u t r a l .
I n d u c t a n i c e s :
L i
=
1 5 . 4
i H i , s e c t i o i i ,
L
=
1 4 . 1 m H / s e c t i o n .
C a p a c i t a n c e s :
4
i I
s t a r : ,
C l - 0 1 8 6
R F / s e c t i o n ,
C , n
=
1 . 5 1
j F / s e c t i o i i .
R e s i s t a n i c e s :
R o
=
. 3 . 2 Q ,
R I
=
0 . 3 Q / s e c t i o n .
T o l e r a n i c e
o f
R , J L . C :
O5
p e r c e n i t .
REFECRENCES
[ 1 1
D . E .
H e d m a n ,
1 . B .
J o h n s o n ,
C .
H . T i t u s , a n d D . D .
W i l s o n ,
S w i t c h i n g o f
e x t r a - h i g h
v o l t a g e c i r c u i t s :
1 1 - S u r g e r e d u c t i o n
w i t h c i r c u i t - b r e a k e r r e s i s t o r s ,
IEEE
T r a n s . P o w e r
A p p a r a t u s
a n d
S y s t e m s ,
v o l .
8 3 , p p . 1 1 9 6 - 1 2 0 5 ,
D e c e m b e r
1 9 6 4 .
[ 2 1
L
P a r i s ,
B a s i c
c o n s i d e r a t i o n s o f
m a g n i t u d e
r e d u c t i o n
o f
s w i t c h -
i n g
s u r g e s d u e
t o l i n e
e n e r g i z a t i o n ,
IEEE
T r a n s . P o w e r A p p a r a -
t u s a n d S y s t e m s ,
v o l .
P A S - 8 7 ,
p p . 2 9 5 - 3 0 5 ,
J a n u a r y 1 9 6 8 .
[ 3 1
E .
M a u r y ,
S y n c h r o n o u s
c l o s i n g
o f
5 2 5 a n d
7 6 5
kV
c i r c u i t
b r e a k e r s :
a
m e a n s o f
r e d u c i n g s w i t c h i n g s u r g e s
o n t i n l o a d e d
l i n e s , CIGRE, R e p t . 1 4 3 ,
1 9 6 6 .
[ 4 ]
L .
N o r l i n ,
S i n g l e - p o l e
r e c l o s i n g :
f i e l d
t e s t s
i n
S w e d e n
o n i a
2 2 0
k V ,
4 8 0
km
t r a n s m i s s i o n
l i n e ,
R e p t .
t o CIGRE
S t u d y
Com-
m i t t e e
1 3 , May
1 9 5 3 .
[ 5 ]
H .
A .
P e t e r s o n ,
T r a n s i e n t s i n
P o w e r
S y s t e n s . Ne w
Y o r k :
W i l e y ,
1 9 5 1 ;
a l s o ,
Ne w
Y o r k :
D o v e r , 1 9 6 6 ,
p p .
1 7 - 2 5 .
Optimum Number,
L o c a t i o n ,
a nd
S i z e o f
Shunt
C a p a c i t o r s
in
Radial
D i s t r i b u t i o n
Feeders
A
D y n a m i c
P r o g r a m m i n g
Approach
HERNANDO DURAN, MEMBER,
IEEE
A b s t r a c t - A
ne w
m e t h o d i s d e s c r i b e d
w h i c h d e t e r m i n e s
t h e
o p t i m u m
n u m b e r ,
l o c a t i o n ,
a n d
s i z e o f
s h u n t c a p a c i t o r s
i n
a r a d i a l
d i s t r i b u t i o n
f e e d e r w i t h d i s c r e t e
l u m p e d
l o a d s s o a s
t o
m a x i m i z e
o v e r a l l
s a v i n g s ,
i n c l u d i n g
t h e c o s t
o f
c a p a c i t o r s .
Th e
m e t h o d
a l s o
d e t e r m i n e s
when
c a p a c i t o r s
a r e n o t
e c o n o m i c a l l y
j u s t i f i e d . D y n a m i c
p r o g r a m m i n g t e c h n i q u e s
a r e
u s e d
a n d
s e v e r a l
a l g o r i t h m s
d e v e l o p e d
t o
o b t a i n
t h e
o p t i m a l
s o l u t i o n
b y r e g a r d i n g
t h e
o p t i m i z a t i o n p r o c e s s
a s
a
m u l t i s t a g e
d e c i s i o n
p r o c e s s
w i t h t h e
d e s i r e d
M a r k o v i a n
p r o p -
e r t y . S p e c i a l
c a s e s
a r e
s t u d i e d
a n d
s o l u t i o n s o b t a i n e d
when
no
c a p a c i t o r
c o s t ,
c o s t
p r o p o r t i o n a l
t o i n s t a l l e d
c a p a c i t y ,
a n d c o s t
p r o p o r t i o n a l
t o i n s t a l l e d c a p a c i t y p l u s
a
f i x e d
c o s t
p e r
i n s t a l l e d
b a n k
a r e
c o n s i d e r e d .
Th e
m e t h o d s
a r e
s u i t a b l e f o r
e f f i c i e n t s o l u t i o n
i n
a
d i g i t a l c o m p u t e r .
P a p e r
3 1
TP
6 7 - 9 3 ,
r e c o m m e n d e d
a n d
a p p r o v e d
b y
t h e T r a n s -
m i s s i o n
a n d
D i s t r i b u t i o n
C o m m i t t e e
o f t h e
IEEE
P o w e r G r o u p
f o r
p r e s e n t a t i o n
a t
t h e IEEE
W i n t e r
P o w e r
M e e t i n g ,
Ne w
Y o r k ,
N .
Y . ,
J a n u a r y
2 9 - F e b r u a r y
3 ,
1 9 6 7 . M a n u s c r i p t
s u bm i t t e d O c t o b e r
3 1 ,
1 9 6 6 ;
m a d e
a v a i l a b l e f o r
p r i n t i n g
A p r i l 4 ,
1 9 6 8 .
T h e
a u t h o r
i s w i t h
t h e
U n i v e r s i t y
o f
t h e
A n d e s , B o g o t a ,
C o l o m b i a .
He
i s p r e s e n t l y
o n
l e a v e
o f
a b s e n c e
w i t h
S t a n f o r d
U n i v e r s i t y , S t a n -
f o r d ,
C a l i f .
I N T R O D U C T I O N
ECONOMIC
b e n e f i t s
r e s u l t i n g
f r o m
e n e r g y
a n d
p e a k
l o s s
r e d u c t i o n
w h e n
a p p l y i n g
s h u n t c a p a c i t o r s
i n a
r a d i a l
d i s t r i b u t i o n
f e e d e r c a n
b e
o p t i m i z e d
b y
p r o p e r l y
s e l e c t i n g t h e
l o c a t i o n
a n d
s i z e
o f
t h e c a p a c i t o r
i n s t a l l a t i o n s
a l o n g
t h e
f e e d e r .
S c h m i l l s
w o r k
[ 1 ]
i s a
s t e p
i n
t h i s
d i r e c t i o n . U s i n g
c a l c u l u s ,
S c h m i l l
d e v e l o p s
a m e t h o d
o f
f i n d i n g
t h e
o p t i m u m
s i z e s
o f n
c a p a c i t o r
b a n k s w h e n t h e i r l o c a t i o n s a r e
s p e c i f i e d .
A s e a r c h
r o u t i n e
i s
t h e n s u g g e s t e d
i n
w h i c h
l o s s
s a v i n g s
a r e c o m p a r e d f o r
d i f f e r e n t l o c a t i o n s
o f t h e
n
c a p a c i t o r
b a n k s u n t i l
o p t i m u m s a v i n g s
a r e o b t a i n e d .
T h i s
p a p e r p r e s e n t s
a m e t h o d
f o r
f i n d i n g
t h e
o p t i m u m n u m b e r ,
l o c a t i o n , a n d
s i z e o f
s h u n t c a p a c i t o r b a n k s i n a r a d i a l d i s t r i b u t i o n
f e e d e r
u s i n g
t h e
t e c h n i q u e s
o f
d y n a m i c
p r o g r a m m i n g .
S o m e
a d v a n t a g e s
o v e r
t h e
p r e v i o u s
w o r k a r e :
1 ) T h e
c o s t
o f t h e c a p a c i t o r b a n k s
i s
c o n s i d e r e d
a
f u n c t i o n o f
t h e
k i l o v a r
c a p a c i t y
o f
t h e
b a n k s .
2 )
T h e n u m b e r
o f
s h u n t
c a p a c i t o r
b a n k s
i s
o p t i m i z e d .
A s w i l l
b e
s h o w n ,
t h i s
n u m b e r
d e p e n d s
o n
t h e
c o s t
o f
t h e b a n k s .
1 7 6 9
7/26/2019 p 1968 - Optimum Number, Location, And Size of Shunt
2/6
IEEE
T R A N S A C T I O N S
ON
POWER
APPARATUS
AND SYSTEMS,
SEPTEMBER
1 9 6 8
N-l
N- 2
S O U R C E
N O D E
I s
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
r
l
K K-1
F i g .
1 .
S i n g l e - e n d e d
r a d i a l
f e e d e r .
I L K
3
I C K
I L K - I
I
--
I
L
F i g .
2 .
C o n v e n t i o n s
f o r
c u r r e n t s a t n o d e k .
3 )
T h e
r o u t i n e s w h i c h
s e a r c h f o r t h e
o p t i m u m
ar e s i m p l e
a n d
s u i t a b l e f o r
e f f i c i e n i t
c o m p u t e r
p r o g r a m m i n g .
I t
i s
a s s u m e d t h a t v o l t a g e
c o n t r o l
i s
no p r o b l e m . T h e
m e t h o d
d o e s
n o t
c o n i s i d e r t h e i n c r e a s e i n
r e v e n u e
d u e t o
i n c r e a s e d
v o l t a g e
a n d
d o e s n i o t t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e
u se
o f
t i m e
a n d /
o r
v o l t a g e
s w i t c h e d
s h u n t
c a ) a c i t o r s .
PROBLEM
To
d e s c r i b e
t h e
f e e d e r , F i g .
1 ,
a number
i s
a s s i g n e d
t o
every
n o d e
a n d b r a n c h . N o d e s
are l a b e l e d
i n
i n c r e a s i n g
o r d e r t o w a r d
t h e
source n o d e . B r a n c h e s
ar e
i d e n t i f i e d
by
t h e i r
r e c e i v i n g
e n d
n o d e
l a b e l s .
B a s i c
F o r m u l a s
A s s o c i a t e d
w i t h
e v e ry
n o d e
k , F i g .
2 ,
t h e r e i s
a c o n n e c t e d
r e a c t i v e
l o a d
s p e c i f i e d
b y
t h e m a x i m u m r e a c t i v e c u r r e n t
i l k .
T h e r e
may
a l s o
b e
a s h u n t
c a p a c i t o r
hank i n s t a l l e d
a t t h e
n o d e
c h a r a c t e r i z e d
b y
i t s r e a c t i v e
c u r r e n t
i l k .
A s s o c i a t e d
w i t h
every
b r a n c h
m
t h e r e
i s
a l i n e
r e s i s t a n c e
r m . A l s o ,
t i n
d e n i o t e s t h e
t o t a l
maximum
l o a d
r e a c t i v e
c u r r e n t
a n d
cm
t h e
t o t a l
c a p a c i t i v e
c u r r e n t
f l o w x i n g
t h r o u g h
t h e b r a n c h .
R e d u c t i o n
i n
l o s s e s
i n
t h e
b r a n c h
m are
c a l c u l a t e d b y
S
f m 7 C t l i )
7 - - =
3
r 7 m
( 2 A J c i n I j i i
I c
2 )
w h e r e
A
=
KILIT
+
K 2
B
K1T
+
K 2
a n d
LF
l o a d
f a c t o r
o f r e a c t i v e current
T
d u r a t i o n
o f
l o a d
c y c l e
K 1
f a c t o r
r e d u c i n g
energy
l o s s e s
i n
k i l o w a t t - h o u r s pe r l o a d
c y c l e
t o
d o l l a r s
p er y ea r
K 2 f a c t o r
r e d t u c i n g p e a k
p o w e r
l o s s e s
i n
k i l o w a t t s t o
d o l l a r s
pe r
y e a r .
The f o r m u l a was
d e v e l o p e d
u s i n g C o o k s w o r k
[ 2 ] .
The c o s t
o f i n s t a l l i n g
a s h u n t
c a p a c i t o r
b a n k
a t
n o d e
k
i s
t a k e n
t o b e
a f u n c t i o n
C
i r k )
o f t h e r e a c t i v e
c u r r e n t
s u p p l i e d b y
t h e c a p a c i t o r a t t h e
n o d e . I n
t h e
g e n e r a l
f o r m u l a t i o n
o f t h e
m ethod i t i s
assumed
t h a t
C
( i k )
i s known
f o r v a l u e s o f
i C k
g r e a t e r t h a n zero.
R e t u r n F u n c t i o n
The
r e t u r n
f u n c t i o n
c o n s i d e r s t h e
t o t a l
s a v i n g s
i n l o s s e s
a f f o r d e d
b y
s h u n t
c a p a c i t o r s
m i n u s
t h e
t o t a l
c o s t
o f t h e
ca -
p a c i t o r
b a n k s
i n s t a l l e d , n a m e l y
n
F
=
E
[ S L m ( I c m )
- C ( i c m ) J
m=1
( 2 )
The
o b j e c t i v e
o f
t h e method
d e v e l o p e d
i s t o
m a x i m i z e t h e
r e t u r n f u n c t i o n F ,
s u b j e c t
t o t h e
r e s t r i c t i o n s
i m t
> ,
0,
m
=
1 ,
2 ,
3 ,
* ,
n.
METHOD
A
m u l t i s t a g e m a x i m i z a t i o n
process
i s
u s e d .
S t a g e :
A s s o c i a t e d w i t h
every
n o d e
t h e r e i s a
s t a g e
i n
t h e
process
o f
m a x i m i z i n g
t h e
r e t u r n f u n c t i o n .
S t a t e : The s t a t e
o f
t h e
process
a t
t h e
k t h
s t a g e
i s
d e f i n e d as
t h e
t o t a l c a p a c i t i v e
c u r r e n t
f l o w i n g ( t o w a r d
t h e
s o u r c e )
i n t o
n o d e
k .
F o r
t h e
s i n g l e - e n d e d
f e e d e r ,
t h i s
i s t h e c u r r e n t
c l k - l
f l o w i n g
t h r o u g h b r a n c h k
- 1.
D e c i s i o n : A t
a ny s t a g e
k
a d e c i s i o n
c o n i s i s t s
i n
c h o o s i n g a
v a l u e f o r t h e
c a p a c i t i v e
c u r r e n t
I c k
f l o w i n g
t h r o u g h t h e k t h
b r a n c h .
C o n s t r a i n t s :
Th e
n o n - n e g a t i v e n e s s
o f
t h e
c u r r e n t
i l k
s u p p l i e d
b y
t h e
s h u n t
c a p a c i t o r
bank
a t
n o d e
k
r e q u i r e s
t h a t
t h e
t o t a l
c a p a c i t o r
c u r r e n t
I l k
f l o w i n g
t h r o u g h
t h e
k t h b r a n c h
b e
a t
l e a s t
e q u a l
t o
t h e
t o t a l
c a p a c i t i v e
c u r r e n t
f l o w i n g
i n t o
n o d e
k ,
n a m e l y
( 1 )
I c k
C c k - 1 .
( 3 )
P o l i c y :
A
p o l i c y
c o n s i s t s
i n
c h o o s i n g
a
s e t o f
d e c i s i o n s
f o r t h e n
s t a g e s , n a m e l y ,
a s e t o f
v a l u e s f o r t h e v a r i a b l e s
l c k ,
k
=
1 ,
2 ,
3 ,
,
n .
Any p o l i c y must
b e
c o n s i s t e n t
w i t h
t h e
c o n s t r a i n t s o f t h e
p r o b l e m .
O p t i m a l
p o l i c y :
T h i s
p o l i c y
m a x i m i z e s
t h e r e t u r n
f u n c t i o n .
M a r k o v i a n
p r o p e r t y o f
r e t u r n
f u n c t i o n : Any
r e t u r n
f u n c t i o n
i s
c a l l e d
M a r k o v i a n
i f
i t
possesses
t h e
f o l l o w i n g p r o p e r t y :
A f t e r
k
d e c i s i o n s ,
t h e e f f e c t o f
t h e
r e m a i n i n g n
k
s t a g e s o f
t h e
d e c i s i o n
process
upon
t h e
r e t u r n f u n c t i o n
d e p e n d s o n l y
upon
t h e s t a t e
o f
t h e
process a t
t h e e n d
o f t h e
k t h
d e c i s i o n
a n d t h e
s u b s e q u e n t
d e c i s i o n s
[ 3 ] .
2
-
L
i
@
1 7 7 0
7/26/2019 p 1968 - Optimum Number, Location, And Size of Shunt
3/6
DURAN: SHUNT
CAPACITORS
IN
RADIAL DISTRIBUTION
FEEDERS
I f
F k
i s t h e r e t u r n f u n c t i o n
u p
t o t h e
k t h
s t a g e ,
t h e n
k
F k
=
L >
[ S L m ( I c m )
-
C ( I c m
-
m - 1 )
]
m==1
w i t h
t h e
c o n s t r a i n t s
c m
I c m - i .
T h e s t a t e
c k
a f t e r t h e k t h s t a g e
d e p e n d s o n l y
u p o n d e c i s i o n s
t a k e n
a t
t h i s a n d
p r e v i o u s
s t a g e s .
T h e
t o t a l r e t u r n
f u n c t i o n i s
n
F
=
F 1 +
E
[ S L m ( I c m )
-
C 0 I
-
I c m - l ) ]
5 )
m=k+l
T h e
s e c o n d
m e m b e r o f t h e
r i g h t s i d e
o f
( 5 )
i n v o l v e s
t h e s e t
o f
d e c i s i o n s
( I c k +
1 ,
I c k
+
2 ,
-
J c n )
a n d
t h e
k n o w l e d g e
o f
t h e s t a t e
c k
a t t h e e n d o f t h e k t h
s t a g e .
T h u s ,
t h e r e t u r n f u n c t i o n
i s
M a r k o v i a n .
R e c u r r e n c e R e l a t i o n
E q u a t i o n
( 5 ) c a n
b e w r i t t e n
F
=
F n - I
+
[ S L n I c 6 n )
-
C ( I c n
- I c n - l ) ]
6 )
F o r
a
g i v e n
v a l u e
o f
c n i ,
t h e c h o i c e
o f
I , n
h a s n o
i n f l u e n c e
o n
F n - l .
T h e n t h e d e c i s i o n
I o n
w h i c h
m a x i m i z e s
t h e
r e t u r n
f u n c t i o n
( o p t i m a l
d e c i s i o n )
m u s t b e c h o s e n
s o a s
t o
m a x i m i z e
t h e v a l u e
o f
t h e
t e r m
i n
b r a c k e t s
i n
6 ) , s u b j e c t
t o
t h e
c o n s t r a i n t
I , .
I
c n - l . -
T h e
o p t i m u m
v a l u e
I c n * ( I a - l )
o f t h e n t h d e c i s i o n
i s
t h u s
o b t a i n e d
a s
a f u n c t i o n o f
t h e
s t a t e
I C n -
a t t h e
n t h
s t a g e .
T h e
o p t i m u m v a l u e o f
t h e
t e r m i n b r a c k e t s
i s
G , I c n - 1 )
=
m ax
[ S L n ( I c n )
-
C ( I c n -
I c n - 1 )
I c n
l . n -
P r o c e e d i n g , t h e
r e t u r n
f u n c t i o n can b e w r i t t e n
F
=
F n - 2
+
[ S L n
i I c n - 1 )
C ( I c n -
I c n - 2 ) ] +
G n ( I c n - 1 )
s u b j e c t
t o
I n - i
I e n - . 2
F o r
a
g i v e n
v a l u e o f
I c n - 2 ,
t h e n
G n 1 ( I c n - 2 )
=
max
[ S L n _ i ( I c n - 1 )
C ( I c n - 1
I c n - 2 )
I c n - i
I c n -
2
+
n ( I c n l 4 ) ]
a n d
I c n - 1 * ( I c n - 2 )
i s
t h e
o p t i m u m
v a l u e o f
I c n - n i
P r o c e e d i n g
i n
t h i s
manner
t h e
f o l l o w i n g g e n e r a l
r e l a t i o n s
ar e
o b t a i n e d :
F
=
F k - i
+
[ S L k I c k )
C ( I c
-
I c t - 4 ) ]
+
G 0 + 1 ( I c k )
( 7 )
a n d
G k ( I c k - 1 )
=
max
[ S L k ( I c k )
C ( C k
I c k - l )
I c k
I c k - I
+
G + 1 I I c k ) ] .
8 )
E q u a t i o n
( 8 ) g i v e s
t h e recurrence r e l a t i o n f o r
t h e
f u n c t i o n s
G k I c k - 1 ) .
E q u a t i o n
( 7 )
f o r
the
l a s t node
( l a b e l
1 )
g i v e s :
F
=
S L i ( I c l )
C ( I c i )
+
G 2 I c l )
G 0 ( 0 )
=max
[ S L I ( I l )
C ( I c i ) +
G 2 I C I ) ] .
I c
0
T h e s t a t e
I c o
c o r r e s p o n d i n g
t o
t h e f i r s t
s t a g e
i s t a k e n as
z e r o
s i n c e no
c a p a c i t o r
c u r r e n t
i s
f l o w i n g
i n t o t h i s
n o d e .
Th e
o p t i m a l
v a l u e
o f t h e
r e t u r n f u n c t i o n
i s t h e n
F
G 1 ( 0 ) .
Th e
o p t i m a l
p o l i c y
i s
o b t a i n e d ,
u s i n g
t h e
r e l a t i o n s
C 1 *
- I c I *
0 )
I2*
=
I C 2 * ( I c * )
4 )
( 9 )
I
fn*I c n * ( f * n - 1 * ) ,
T h e
f o l l o w i n g
a l g o r i t h m
s u m m a r i z e s
t h e
p r o c e d u r e
t o
o b t a i n
t h e
o p t i m a l
s o l u t i o n
u s i n g
t a b l e s t o
r e p r e s e n t
t h e
f u n i e t i o n s
G k I C k 1 j )
a n d
l c k * I d c k - 1 l .
A l g o r i t h m .
1 :
1 )
A
d i s c r e t e s e t
o f c a p a c i t o r c u r r e n t
l e v e l s ( s t a t e s )
i s c h o s e n
o v e r
a n a d e q u a t e
r a n g e . T h e s e
l e v e l s
a r e l I f o r
k
=
1 , 2 , * ,
m .
T h e d i f f e r e n c e
b e t w e e n
c o n s e c u t i v e l e v e l s
may b e
t a k e n
a s
t h e
c u r r e n t
c o r r e s p o n d i n g
t o
t h e
s m a l l e s t c a p a c i t o r
s i z e c o n s i d e r e d
f o r
a n y i n s t a l l a t i o n . A
c o n s e r v a t i v e
maximum f o r
t h e c a p a c i t o r
c u r r e n t l e v e l s
i s t h e v a l u e
o f t h e t o t a l
r e a c t i v e l o a d
c u r r e n t .
T h e
m i n i m u m
c u r r e n t l e v e l
i s z e r o .
2 )
A
v a l u e
i s a s s i g n e d
t o
G Q + l ( I 1 k )
f o r
a l l
k .
T h e s e
v a l u e s
c o r r e s p o n d t o
s a v i n g s
b e y o n d t h e s o u r c e
n o d e
d u e
t o
t h e
c a p a c i -
t o r
c u r r e n t s
I k .
I f
t h e s e
s a v i n i g s
a r e
n o t
t a k e n
i n t o
c o n i s i d e r a t i o n ,
t h e a s s i g n e d
v a l u e w i l l b e
z e r o .
3 )
U s i n g t h e r e c u r r e n c e
r e l a t i o n
G k . I )
=
max
[ S L k
( I )
C
1 j
I , )
+
G k + 1 ( I )
I
j
>I i
t a b l e s
o f t h e 2 n f u n c t i o n i s
G k ( I i )
a n d
I k * ( I i )
a r e b u i l t
f o r
a l l
c a p a c i t o r c u r r e n t
l e v e l s a n d f o r
v a l u e s
o f k
=
n ,
-
1 .
4 )
T h e
s t a t e
c o r r e s p o n d i n g t o n o d e
1
i s
z e r o .
B e s t o v e r a l l
s a v i n g s f o r t h e f e e d e r
a r e
t h e n
g i v e n b y G i ( 0 ) .
T h e s i z e s o f t h e
c a p a c i t o r b a n k s
a r e
o b t a i n e d
u s i n g t h e
r e l a t i o n s
I k *
=
J k * ( I k - f * )
i c k
=
I k *
-
k - 1 * -
I f
i 0 k
=
0 ,
n o
c a p a c i t o r s s h o u l d b e
i n s t a l l e d
a t
n o d e
k .
I t
m u s t b e
n o t e d
t h a t t h e
o n l y c o n s t r a i n t
c o n s i d e r e d
i n
i t e m
3
o f
a l g o r i t h m
I
i s
t h e
n o n - n e g a t i v e n e s s
o f
t h e
c a p a c i t o r c u r r e n t
s u p p l i e d a t
a n y
n o d e .
H o w e v e r ,
i n
many
s i t u a t i o n s
a d d i t i o i n a l
r e s t r i c t i o n s
may
b e
p l a c e d o n
t h e p r o b l e m .
O n e
e x a m p l e
i s t h e
c o n s i d e r a t i o n
o f
a
maximum
s h u n t
c a p a c i t o r
b a n k
s i z e
w h i c h
w o u l d
b e
i n -
s t a l l e d a t
a n y
o n e
n o d e . T h i s
c o n s t r a i n t c a n b e
i n c o r p o r a t e d
i n
i t e m 3
b y
i g n o r i n g
t h e
c a s e s
i n w h i c h
I j
1 i
i s
l a r g e r
t h a n t h e
s p e c i f i e d maximum
b a n k
s i z e .
T h e
p r e c e d i n g
a l g o r i t h m
i s
v a l i d f o r
a n y c a p a c i t o r
c o s t
m n o d e l .
F o r
s o n m e
s i m p l e c o s t
m o d e l s , h o w e v e r ,
m o r e
e f f i c i e n t
a l g o r i t h m s
c a n b e
d e v e l o p e d .
T h r e e
c a s e s w i l l
b e
c o n s i d e r e d l a t e r .
I t i s c o n v e n i e n t
t o
i n t r o d u c e t h e
f o l l o w i n g
d e f i n i t i o n s :
k - 1
Ri =
E r m
( s u m
o f
r e s i s t a n c e s b e t w e e n n o d e s
i
a n i d
k -
m
= i
( 1 0 )
k- 1
M i k
E
I l m r j m
( s u m
o f
m o m e n t s
b e t w e e n n o d e s i
a i n d
k ) .
m=i
( 1 1 )
T h e s e
a r e
g e n e r a l i z a t i o n s
o f
t h e
d e f i n i t i o n s
u s e d
b y
S c h m i l l
[ 1 ] . T h e y a r e
p a r t i c u l a r l y
c o n v e n i e n t
a s
t h e y
m a k e
i t
p o s s i b l e
t o
e x p r e s s
t h e
o p t i m a l
l o s s
s a v i n g s
a n d
o p t i m a l c a p a c i t i v e
c u r r e n t
i n
a n y
s e c t i o n
o f
t h e
f e e d e r
i n a
v e r y
c o m p a c t w a y .
T h e y
a r e
a l s o
u s e f u l w h e n
i m p l e m e n t i n i g
a l g o r i t h m
1 .
1 7 7 1
7/26/2019 p 1968 - Optimum Number, Location, And Size of Shunt
4/6
IEEE TRANSACTIONS ON POWER
APPARATUS AND
SYSTEMS,
SEPTEMBER
1 9 6 8
T h e
f o l l o w i n - g
t w o
t h e o r e m s , p r o v e d
i n
A p p e n d i x
I ,
g e n e r a l l y
h o l d .
T h e v
a r e u s e d
i n
f u r t h e r
d e v e l o p m e n t s
i n
t h i s
p a p e r .
T h e o r e m .
1 : When
n o
c a p a c i t o r s a r e
i n s t a l l e d
b e t w e e n n o d e s
i a n d j , i < j , t h e v a l u e o f c a p a c i t o r
c u r r e n t
I , i ?
f l o w i n g i n t o
n o d e
j
w h i c h m f a x i m i z e s
l o s s
s a v i n g s
L S i j I , i j )
b e t w e e n
t h e s e n o d e s i s
I 1 c j
=
A M . j I B R 1 j
( 1 2 )
a n d
t h e
c o r r e s p o n d i n g
v a l u e
o f
maximum
l o s s
s a v i n g s
i s
S L i j
=
3 A M 1 J 2 0 i I I B R t j .
( 1 3 )
T h e o r e n .
2 :
L e t t i n g a
c a p a c i t o r
b a n k b e
i r i s t a l l e d a t n o d e
k
b e t w e e n n o d e s
i
a n d
j
i k C
-
C O ,
G j
3A
2
J l l j / B R k
-
C 0 ) . ( 2 0 )
W i t h
e v e r y
k
a n u m b e r
j * ( k )
i s
a s s o c i a t e d
w h i c h
g i v e s
t h e
n o d e
j
f o r
w h i c h
( 2 0 )
i s m a x i m u m .
I f
t h e
maximum
c o r r e s p o n d s
t o t h e
t e r m i n
t h e l e f t , l e t j * ( k )
=
n .
3 )
B e s t
o v e r a l l s a v i n g s
f o r t h e
f e e d e r a r e f o u n d f r o m
b e s t
s a v i n g s
=
max
( G k ) .
i
.
k
)
I
( 2 1 )
I f
t h e
maximum
v a l u e
o f
( 2 1 )
i s
n e g a t i v e ,
t h e n
i t
i s n o t e c o n o m i c a l
t o
a p p l y
s h u n t
c a p a c i t o r s .
T h e n u m b e r
k
f o r
w h i c h
( 2 1 )
i s
maximum
i s t h e
n u m b e r
o f t h e n o d e w i t h
s m a l l e s t
l a b e l a t
w h i c h
c a p a c i t o r s
s h o u l d
b e
i n s t a l l e d .
T h e v a l u e o f
t h e
c a p a c i t o r
i n s t a l l a t i o n
a t t h i s
n o d e i s
i c k
=
A M k j * ( k ) / B R k j * ( , )
=
I c .
( 2 2 )
I f
j * ( k )
=
n ,
p a r t
6 )
a p p l i e s , o t h e r w i s e ;
4 )
T h e
n u m b e r
i
=
j * ( k ) g i v e s
t h e
n e x t n o d e
n u m b e r
i n
s e q u e n c e
t o
n o d e
k
w h e r e t h e n e x t
c a p a c i t o r
b a n k
s h o u l d b e
i n s t a l l e d ,
t h e
o p t i m u m
s i z e o f t h e
i n s t a l l a t i o n
b e i n g I c ,
- I 1 ,
1 , c i
=
A M j j * j ) 1 B R v j * @ v ) -
I f
j * i )
=
n ,
s e e
p a r t 6 ) ; o t h e r w i s e ;
5 )
T h e new v a l u e o f
I c
i s
I C V
a n d t h e
new
v a l u e o f
k
i s
i .
S t e p
4 )
i s r e p e a t e d
u n t i l
t h e c o n d i t i o n
j * ( i )
=
n
i s
r e a c h e d ;
t h e n ;
6 )
T h e l a s t
c a p a c i t o r
b a n k
i s
i n s t a l l e d
a t t h e
n o d e
i
f o r
w h i c h
j * ( i )
=
n ,
w i t h
c a p a c i t y g i v e n
b y
i c e
=
A ( M i n
-
C l / 6 A ) / B R n
-
I c
( 2 3 )
A
p r o o f
o f
a l g o r i t h m s
2 a n d 3 i s
g i v e n
i n
A p p e n d i x
I I . S o m e
o b s e r v a t i o n s
s h o u l d
b e
m a d e
c o n c e r n i n g
a l g o r i t h m
3 :
1 )
F i x e d
c o s t s
may
b e m a d e
t o
d e p e n d
o n
t h e
c a p a c i t o r
l o c a -
t i o n .
I t i s
o n l y n e c e s s a r y
t o
r e p l a c e C o
i n
( 2 0 ) b y
t h e
f i x e d c o s t
C o k
a t n o d e
k .
2 )
S c h m i l l s
p r o b l e m
o f
o p t i m i z i n g
t h e
l o c a t i o n
a n d s i z e o f
a
g i v e n
n u m b e r
o f
c a p a c i t o r
b a n k s i n
a f e e d e r c a n b e
s o l v e d
i n
a
s i m p l e
m a n n e r
u s i n g
a l g o r i t h m
3 .
I n t h i s
c a s e
t h e v a l u e
o f
C ,
i s z e r o . To s o l v e t h i s
p r o b l e m
i t
i s
n e c e s s a r y t o k e e p
t r a c k o f t h e
n u m b e r
o f
c a p a c i t o r
b a n k s
i n s t a l l e d
b e y o n d
n o d e k w h e n
f i n d -
i n g
t h e
v a l u e
o f
G k .
T h e n ,
i n
( 2 0 )
t h e f i x e d
c o s t i s m a d e z e r o
i f
t h i s n u m b e r
i s
l e s s
t h a n t h e
s p e c i f i e d
n u m b e r
o f
c a p a c i t o r s
o r a
v e r y
l a r g e
v a l u e
o t h e r w i s e .
1 7 7 2
7/26/2019 p 1968 - Optimum Number, Location, And Size of Shunt
5/6
DURXN: SHUNT CAPACITORS I N
RADIAL
DISTRIBUTION
FEEDERS
C O M P A R I S O N
OF METHODS
T h e m a i n a d v a n t a g e s o f a l g o r i t h m
1
a r e :
1 )
I t
i s m o r e g e n e r a l
i n
t h a t i t d o e s
n o t
m a k e
a n y
a s s u m p t i o n s
a b o u t t h e
c o s t o f
t h e c a p a c i t o r s .
2 ) I t i s m o r e r e a l i s t i c b e c a u s e i t t a k e s
i n t o
a c c o u n t
t h e
f a c t
t h a t
c a p a c i t i v e c u r r e n t
may b e s u p p l i e d
o n i l y
i n
d i s c r e t e a m o u n t s .
On
t h e o t h e r
h a n d
a l g o r i t h m
3
i s m u c h
s i m p l e r
a n d
m o r e
e f f i c i e n t .
I t
may
b e u s e d w i t h
a d v a n t a g e
w h e n
1 ) t h e s m a l l e s t i n c r e m e n t a v a i l a b l e
i n
c a p a c i t i v e
c u r r e n t i s
s m a l l c o m p a r e d
w i t h t h e a m o u n t n e e d e d
a t
t h e
n o d e s .
2 )
t h e
a c t u a l c o s t
o f
t h e
c a p a c i t o r
b a n k s
s u i t s t h e
c o s t m o d e l o f
C a s e I I I .
FURTHER
WORK
F u r t h e r w o r k o n t h e a p p l i c a t i o n o f
d y n a m i c
p r o g r a m m i n g t o
d i s t r i b u t i o n
f e e d e r
p l a n n i n g
may i n c l u d e t h e a d d i t i o n o f
v o l t a g e
c o n t r o l
o r
o t h e r
c o n s t r a i n t s
t o
t h e p r o b l e m ,
t h e
c o n s i d e r a t i o n
o f
d i f f e r e n t
t y p e s
o f v o l t a g e a n d / o r
l o s s c o n t r o l d e v i c e s
( v o l t a g e
r e g u l a t o r s ,
s w i t c h e d
c a p a c i t o r s , e t c . ) ,
t h e
e x t e n s i o n o f
t h e
p r o b l e m t o m u l t i - e n d e d r a d i a l f e e d e r s ,
a n d t h e
e v a l u a t i o n o f
a d d i t i o n a l
t e c h n i c a l
o r
e c o n o m i c a l
f e a t u r e s
o f
t h e f e e d e r
( r e a c t i v e
l o s s e s ,
l o a d
l e v e l ,
e t c . )
A l s o ,
c o n s i d e r a t i o n o f p r e s e n t
c o n d i t i o n s o f t h e
s y s t e m may
i n c l u d e a l r e a d y e x i s t i n g c a p a c i t o r
b a n k s o r
o t h e r d e v i c e s t h a t
c a n
b e
r e l o c a t e d
t o
i m p r o v e
o v e r a l l
b e n e f i t s .
A P P E N D I X
I
P r o o f o f
T h e o r e m s
1
a n d 2
E x p r e s s i o n s
( 1 2 )
a n d
( 1 3 )
o f t h e o r e m
1
f o l l o w
i m m e d i a t e l y
a f t e r e q u a t i n g
t o
z e r o
t h e
d e r i v a t i v e
o f
t h e
l o s s
s a v i n g s
w i t h
r e s p e c t
t o t h e
c a p a c i t i v e
c u r r e n t .
To p r o v e t h e o r e m
2 ,
f r o m
d e f i n i t i o n s
( 1 0 )
a n d
( 1 1 )
t h e f o l l o w -
i n g
r e l a t i o n
h o l d s :
R f k I j j
K
M
( k
) I c k - 1
No w
t h e
maximum
o f
( 2 7 )
o c c u r s
w h e n
I c k /
=
A M k j / B R c k J
a n d
t h e c o n s t r a i n t
I c k *
>
f C k - , *
i s
s e e n
t o
b e s a t i s f i e d
f r o m
t h e o r e m
2 .
T h e maximum
v a l u e
o f
( 2 7 )
i s
G C
=
G C ? +
3 A 2 M / C 1 2 / B R / J
-
C O .
( 2 8 )
T h e
p o s s i b i l i t y
o f n o t
i n s t a l l i n g c a p a c i t o r s
b e t w e e n
n o d e s
k a n d
n
m u s t b e
t a k e n i n t o
c o n s i d e r a t i o n ;
f o r
t h i s
c a s e
G k I
=
max
[ 3 ( 2 A M k n l c k
-
B R c n I c k / 2
- C O
-
C l c k / ]
i c k
)
I c k -
g i v i n g
G C k
=
3 A 2 ( M c n
-
C l / 6 A ) 2 / B R k n
-
C o . 2 9 )
1 7 7 3
7/26/2019 p 1968 - Optimum Number, Location, And Size of Shunt
6/6
IEEE T R A N S A C T I O N S
ON
POWER
APPARATUS
AND
SYSTEMS,
SEPTEMBER 1968
T h e v a l u e
o f
I c e w h i c h m a x i m i z e s ( 2 9 )
i s
I c k *
=
A
Mkn- C 1 / 6 A ) / B R R t . .
( 3 0 )
T o s a t i s f y
t h e
c o n s t r a i n t
I l k
I k - l * ,
a
s u f f i c i e n t
c o n d i t i o n
i s
t h a t
I c ) . *
)
A M k - , , / B R k l , k
)
A M i l / B R i k
=
I c k - l *
w h e r e i
i s
t h e p r e c e d i n g
n o d e
w h e r e c a p a c i t o r s h a v e b e e n i n s t a l -
l e d . B u t
A M 7 _ l , k / B I R k - , k
=
A I l k - I I B .
T h e n
I * =
A ( M k n
-
C I / 6 A ) B R k n
)
A l I x - / B
o r
D i s c u s s i o n
D .
P u r d y
Ne w Y o r k
S t a t e E l e c t r i c
G a s C o r p o r a t i o n , B i n g h a m t o n ,
N .
Y . ) :
I
w i s h
t o
c o m p l i m e n t t h e w r i t e r
o n
h i s p a p e r w h i c h
s h o u l d
b e v e r y u s e f u l
i n t h e e c o n o m i c
l o c a t i o n o f
c a p a c i t o r s .
From a
p r a c t i c a l
s t a n d p o i n t , i t i s s o m e t i m e s i n f e a s i b l e
t o
l o c a t e
c a p a c i t o r s i n b a n k s l a r g e e n o u g h t o
t a k e
f u l l a d v a n t a g e o f
t h e
e c o n o m i c l o c a t i o n s i n d i c a t e d w i t h o u t r e s o r t i n g t o s p e c i a l c u r r e n t
l i m i t i n g
f u s e s .
T h e
e x p e n s e
o f
t h e
c u r r e n t - l i m i t i n g f u s e s
t h e n d e s t r o y s
t h e
e c o n o m i c s o f
t h e p a r t i c u l a r
i n s t a l l a t i o n i n v o l v e d . T h i s o c c u r s
b e c a u s e t h e c a s e
r u p t u r e w i t h s t a n d i n g c a p a b i l i t y i s
l i m i t e d t o
a
maximum o f
5 0 0 0
a m p e r e s .
T h e s t a n d a r d f u s e w h i c h m u s t
b e
u s e d t o
p r o t e c t
t h e c a p a c i t o r s
a g a i n s t r u p t u r e l i m i t s t h e
s i z e
o f t h e
c a p a c i t o r
b a n k t o
3 0 0 kVA
o n
4 8 0 0 -
o r 4 1 6 0 - v o l t d i s t r i b u t i o n l i n e s .
E v e n a t t h e 12 4 7 0 - a n d 1 3 2 0 0 - v o l t l e v e l , t h e
l a r g e
new
u n i t s
no w
o f f e r e d
e n c o u n t e r
t h e
s a m e
d i f f i c u l t y ,
i m p o s e d
b y
t h e i r 5 0 0 0 - a m p e r e
c a s e
r u p t u r e w i t h s t a n d a r d r a t i n g . L o c a t i o n s w h i c h a p p e a r j u s t i f i a b l e
o n
o t h e r
b a s e s
l o s e t h e
e c o n o m i c a d v a n t a g e
b e c a u s e
t h e y r e q u i r e
p r o t e c t i o n
w i t h
e x p e n s i v e c u r r e n t - l i m i t i n g f u s e s . I w o u l d l i k e t o
s e e
s t r o n g e r c a p a c i t o r
u n i t s b e c o m e
a v a i l a b l e .
M.n
-
R i c I _ -
C 1 / 6 A .
3 1 )
O n l y
n o d e s k
f o r w h i c h
( 3 1 )
h o l d s
n e e d
t o
b e
c o n s i d e r e d .
O t h e r w i s e
t h e
c o n s t r a i n t
w i l l n o t b e s a t i s f i e d .
When
m a x i m i z i n g
( 2 7 ) ,
t h e n ,
i t
i s
s u f f i c i e n t
t o
c o n s i d e r
n o d e s
j
s u c h
t h a t
i )
j
>
k
w h e r e
i i s
t h e
l a r g e s t
n u m b e r
s a t i s f y i n g ( 1 8 ) .
T h i s
p r o v e s
a l g o r i t h m
3 .
A l g o r i t h m
2
i s
e n c o m p a s s e d
a s
a
p a r t i c u l a r
c a s e
o f
a l g o r i t h m
3
f o r w h i c h
C 0
=
0 . C o n s i d e r a t i o n
o f
( 2 0 )
a n d
t h e o r e m
2
l e a d s
t o
t h e
o b s e r v a t i o n
t h a t t h e m a x i -
m u m
i s
o b t a i n e d f o r
j
=
k
+
1
a n d
s u b s e q u e n t l y
t o
a l g o r i t h m 2 .
R E F E R E N C E S
[ 1 ]
J .
V .
S c h m i l l ,
O p t i m u m
s i z e
a n d
l o c a t i o n
o f
s h u n t
c a p a c i t o r s
o n
d i s t r i b u t i o n
f e e d e r s ,
IEEE
T r a n s .
P o w e r A p p a r a t u s a n d
S y s t e m s ,
v o l .
P A S - 8 4 , p p . 8 2 5 - 8 3 2 , S e p t e m b e r
1 9 6 5 .
[ 2 1
R . F .
C o o k ,
C a l c u l a t i n g
l o s s
r e d u c t i o n
a f f o r d e d
b y
s h u n t
c a p a c i t o r a p p l i c a t i o n ,
IEEE
T r a n s .
P o w e r
A p p a r a t u s
a n d
S y s t e m s ,
v o l .
8 3 ,
p p . 1 2 2 7 - 1 2 3 0 ,
D e c e m b e r
1 9 6 4 .
[ 3 ]
R .
B e l l m a n , A d a p t i v e
C o n t r o l
P r o c e s s e s ,
A G u i d e d T o u r .
P r i n c e -
t o n ,
N .
J . :
P r i n c e t o n
U n i v e r s i t y
P r e s s . , 1 9 6 1 ,
c h . I I I .
M a n u s c r i p t
r e c e i v e d
F e b r u a r y 2 1 , 1 9 6 7 .
H . D u r a n :
I
w i s h
t o
t h a n k M r .
P u r d y
f o r
h i s
d i s c u s s i o n .
He
m a k e s
r e f e r e n c e
t o
a
v e r y i m p o r t a n t
f a c t w h i c h
h a s o f t e n
b e e n
n e g l e c t e d
w h e n c o n s i d e r i n g
t h e e c o n o m i c s
o f
c a p a c i t o r
i n s t a l l a t i o n s .
T h e c o s t
o f a
c a p a c i t o r
i n s t a l l a t i o n
must
i n c l u d e
t h e
c o s t
o f a l l
a c c e s s o r i e s ,
l i k e
c u r r e n t - l i m i t i n g
f u s e s
i f
n e c e s s a r y .
I t s e e m s t h a t t h e
h i g h
c o s t
o f
t h i s
p r o t e c t i v e e q u i p m e n t
m ay
i n c r e a s e
t h e
r e l a t i v e
w e i g h t
o f t h e
f i x e d
c o s t o f t h e
c a p a c i t o r
i n s t a l l a t i o n .
I n
a n y c a s e ,
f r o m
t h e
s t a n d -
p o i n t
o f t h e
p a p e r
i t
must b e n o t i c e d t h a t t h e
a l g o r i t h m s
d e s c r i b e d
d o
t a k e
i n t o
c o n s i d e r a t i o n t h e
c o s t
o f
c a p a c i t o r
i n s t a l l a t i o n s .
I n
p a r t i c u l a r ,
a l g o r i t h m
1 c o n s i d e r s t h e a c t u a l
s i z e
a n d
c o s t o f
a v a i l a b l e
c a p a c i t o r i n s t a l l a t i o n s ,
a n d
a l g o r i t h m
3
c o n s i d e r s
a
f i x e d
c o s t
p l u s
a
c o s t
p r o p o r t i o n a l
t o
i n s t a l l e d
c a p a c i t y .
T h e r e f o r e ,
i f
t h e
c o s t
o f
p r o t e c t i v e e q u i p m e n t
i s
i n c l u d e d
i n t h e c o s t o f
o v e r a l l
i n s t a l l a t i o n ,
t h e n
t h e
l o c a t i o n s
s p e c i f i e d
b y
a l g o r i t h m s
1 a n d
3
w i l l
i n
f a c t
b e
o p t i m u m
f r o m
a n o v e r a l l
e c o n i o m y s t a n d p o i n t .
M a n u s c r i p t
r e c e i v e d
J u l y
1 0 ,
1 9 6 7 .
1 7 7 4
