Date post: | 01-Feb-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | anand-mohan |
View: | 8 times |
Download: | 0 times |
� ��
PERMUTATION & COMBINATION
��� ������� ����������������������������������� ���������������������� ����� � ������ � ���!�� � ����� � ���"��
#$���
!� ������� ����������������������������������� �%���&'(������������������������)*����� ��� ���� +��*�����
�� ���!�� � ���!,� � ��-!�� � ������ � �������
#$�����
� �.����� � �� ����������� � ���������� �������� �!�������� ��������������#����������� ����������������� � ��� ������������ ��
�� ��!/�/�/�� ���!/�/"/-� ���/�/�/�� ��!/"/-/�� ����/�/�/��
#$���
,� �������,� ������*����+����� ��������� �+����� ������0!0�1����#���)�+��������������
�� ���/"/-/,� ���"/-/�/,� ���/!/�/,� ���/,/�/!� �����/�/"/,�
#$���� ��������+�������������)�������+��������)������ ��������� ����)� ������
�0�0!0��� �"�#��� ����� �����+�� ���� ������ ��,"� � ���!,� � ����� � ���!�� � �������
#����� ��������� ������ ��+������������)��-��� ��������� �+����� ������
�0!0�11���������� ������)�+� ���������� ���� ��!",� � ���",� � ����� � ����� � ������
#���-� .�� �������0!0��� �,����������������������������� ���������,� �������+���s are����� �
���+������)���� �������ithout�����������. W)������+����all �)�����+�������� �������� �������� �����!� ������� ���,,,,��
#���
3����������)������.� ���������������������������������������� ���������������������!�
� ��
�"� �������� �+����� ��� ,� ����� �� ��� ���� �+����� ������ #�0!0�11�����)����
�����!��)�+� ������������� ��� ����)�+� ������+������ ��� ���� ������)�+� ��������������
�� ��"�� � ���,!� � ��"�� � ��,,� � ������
#$���
�� .����*��4+�������)������ ����������+���� ��������� ������ �����!�� ������������/� �#���)�+���������������
�� ��,/�/-/�� ���!/-/-�� ��!,/-/�� ���/"/-/�� ���,/"/-/��
#$����
��� ���������)���� ���������5�� ������ ���������� ������������� � ��������� ������������� �����������+�� ������������ ��
�� ������/�!� ������� � ��� �� � ��� ��/!� ���, ��
#����
���� �������)�������)��-���������������������)�������������������)��������)������������
������� ����������������� ��������� ����6��������)�������������� ���! �� � ���- ��7�� �� ��- ��/�� �� ��- !�/�� ��7�- ��/�� !� ���!/�! ��
� #����
�!� .����������������������)�����+�����,���� ���������������� ������������������ ��������� �+������)������������
�� ���!�� � ������� � ����� � �������� � �������
#������� .��������� )��������8)5���)� ����)���)����� ���.���)�����������)� �)5���
� �������������������������������������������)���������� ����� � ����,� � ���!� � ����� � � ����-�
#$���
�,� ��$� ���������� ��0�"� ������� �!���9����������� ���)�+� �(�� ��� ������)*���������� )�������
�� ����� � ���"�� � ����� � ����� � � ����� ��
#$���
� �-
��� :)��������!����������������� ���� �������)�� ������)��� �������������������� -� ��� �)�� �������� ��� ����� .�� )��� ��� ��������� ���� ������������������ ����������!������� ���������
�� ������ � ���!��� � ��!�� � ��,!� � � ���!���
#$���
��� ���+���������+� �+��������������������������)����)����� ���� �������������,� ���� �������������)����)�����+����������������+���� ����������������������)�� )�������������� ��+�������������������������)��� ���� ������������������ ��������� ��� ��*�� �������� ����� � ���� �+� �+���� ������ ���� ���� �������������
�� ���� � ���,� � ���� � ���� � � �����
#$���
�-� .��)������������+� �� )��������+������)��������,����� � �+���������)������)+��� �� �������)�+� ��������)�����+���
�� ���!� � ������ � ��!,� � ���!� � � ���!,�
#$���
�"� %��� ��������)���+������)���� �����������)������������ �����������������)������������ ��������� ���� ��������� ��
�� ��"�� � ������ � ������ � ������ � ����,�
#$���
���� ���������*�� ������+�������������)����0���� ����������������)� ������
#�0�0�0�-�� ����#�2���������������� ��-!� � ������ � ����"� � ����!� � �������
#����
!�� ���0� &�0� ;)����0����� � � (�� 0� �)��� ��� ��*�� ����� �� .�� )������ ���������������+� ���������+�����,�����)������� �&���)�+� �������������)�����+���
�� ��!� � ����� � ���� � ��,� � �����
#$���!�� .����+��)�������� � �����)������ ���������������+� ������� ������)���+����
-���������� ���� � ���!� � ��"� � ����� � ������
#$��
� �"
�!!� :)����������#���2���������4+���������.��)������ ���������������� �����
������ ����� ����!� � ���!��� � ��!�� � ������� �����!�
#8���
!�� .�����/��)�������"�������&�������*���������,� ������:)�������!���������� )� ������.��)������ ����������������� ���� 5����������� ��������)�������!������������ ������)�+� �����)�����
�� ���!� � ������ � ��!,� � ����� � ����!�
#$���
!,� ��0&�0�;�� ����+���� ���.��)����������� �� ����� ������ �����)������������)� ����&���
�� ��!,� � ����� � ���!� � ���� � ����"�
#���!�� �������!� ������+����� ��������� �+����� �������0�!0��0�,0���� ��� �*�������
���,������� ������������������� ���!� � ������ � ��"� � ���� � ������
#����!�� .��)������������������ ��������� ������������������)������������)�+� ����
�����)������ ����� � ����,,� � ����� � ���!�� � ���!,�
#$���
!-� .��/������������� ������+����+����� �������0��0��0�"�� ������)�+��������������� <�����������!� ������+����+�������� ������#���=�/�����+������� ��>��-�� ���>��-�� ��>�""�� ��>�",�� ���?����
#$���
!"� ��� ��)��,������ �,� ������.��)������ ��������������)�� ����� ��)������ ��� ������� ��� �)�� ����� ���� ��� �� )��� ��� ���� ���� �� ������ '������ ����������������� �����������
�� ��, ,� � ���,�,� � �,� � ��"� � �����
#����
��
� ��
�!�� �� ��������� ����������+�������!������������� ��������/�� ��������� )�*������
����� �������:)��������� 5����� ��������� 5����)�� ���������)�,���� ��������������� ���� ��������,���� ������ ��� ����� �+��,� ��������� ������� .���� ������ ������������� ���� ��� 0�)������ ���������� 5���������� �����������������
�� ����� � ����"� � ��!�� � ��!�� � ����!��
#������ ����5�� ������������,�����5��� �!�����5����5������)����)�������������������)�+��
�����������������0�������������������*� ���������*�������+����������)�������������5����������� ������������ ��*���������� ����� � ���� ����������� ���� ������5����
�� ���� � ���,� � ���� � ���� � ���"�
#$������ 8�*�����@������)�������� ������+�� ������0�&�� �;��� .�� �/�A��+��������*���������)� )������������������������@����� �� �� ���A��+��������*���������)� )������� ����� ������+�� ������)��� :)����)� )�����)�����������������+����� ��/�A��� ���/B�� � ��/C�� � ��/A!�� ���?����
#������!� � �)�����*�����,� ����������������*������ )� �����/ ������ ��� ����+������)���
���� ���������*��������,����� ��*������������� ����������� �������������)�� ��*����� ����������,,� � ���, ,� � ��!,� � ����� � ��������
#$����� '+������������ �,������0����)�������������+�����,� ��������� �
)*������������ +��������+�������)������� ��,�� � ������ � ����� � ���!� � ���� ,
�
#$���,� ����������+�����,� ��������� � ��������������������������# ���� ������
����������*��4+���������� ���!�� � ����!�� � ������ � ���"�� � �������
#$����� :)���� ��� �������+��� ��� ������ ��+������ ���������� "� ��� ��� � )� ���+��� .��
�*������������������)���)�������/ ������ ������ ���)�����+���������������������������
�� ���� !� � ���" !
�/�" !� ��!�/�" !� ���� ,�� ���"�/�" !�#$��
� ����
���� :)�������"����� ��� � ��+������� .�� ��+� �����,������������)���)���,�� �
������ ���� ��� �+��� :)��� �����+��� ��� ��*���� ��+� � � � ���� ����� ��������������������+� �����������)������
�� ��,� � ����� � ��!� � ���� � ���?����
#$���
���-��������.���� !��A�,���)��������
����� ��"� ���� ���� ���!���������������������������������������������������#8���
�"� .���!�7� ��A��!���)�������0�� �!� ���� �,� ��� ����������������������������������������������������������������#$������ #∟#7���>�∟(a+2)) /∟(a+1) is ��� �#7��!� ��#7!�!� �#7��#7!�� �#7!�#7��� �����������������������#$���,�� �)� )�����)6��������������������������������� �∟12/∟0� ���∟12/(∟5x∟7)� �#∟13 +∟13x12)/12�����������������������������#$����������� ����������� � ������� ���� � ������� ������0�0 ���������������,��� :)������������������������������������+������.��� )������������������
���)���)������������� )�����������������
�!�� � ����� � ��,�� � ��!�� � �������������������������#����
���������������
� ����
����������������������������������������������������������������� PROBABILITY ���� .���� ������������� 0��)� )�����)�����������������������������+����
� ��������������������������������)� ����"- �
�
�� �������������������������������)� ����!� �
c) �����������)������������ ��)� ��/ ������� �����"�
�
� �����������)������������ �+����������)� ����"- �
�
�� �����������)������������*�����)� ����"� �
�#$��
�!� .��!� � ������)������)� )�����)������������������������������
���%����������������������+����� ������������ �
����%����������������������+����� ������ ��+�������!� �
������������������������������������
� ���%������������������������ + ������ ������*����+��������,� �
�
� ����%������������������������� ������ )� �������� �
�
�� %����������������������+����� �������������������!� ������������������������������������������
#����
����
� ��!�
�� .��� � ��� �� ��������)�������+�����+�����)������%��������������������)� ����)��*����+����
�
� ��!� � �� ���
,� � � ��
�,� � � ��
��- � � ���
"- � � �
�#8��
,� .���� � �������)������)������������������������������� ��������6����
� �� ��
��c � ��� �
�
�� p � � �� ��
� � � ���
�
��
c
c �� ����
�
��
c
p �
#8���
�� .������� ����� �� � ������)�����)������ ������������+������������������ �� ���� � ����!� � ���"� � ��!,� � ������
#8���
�� �� ������������� 0��)���������������������������)� ������������
� ������ � � ���
�,!� � � ��
��� � � ��
�!�� � � ���
�!�! �
#����
-� D)�����������������)����+���� )��������� ��������������������!���� ��������� ������
�
� ���!� � � ���
�� � � ���� � ��
,� � � ���
�� �
#$���
"� %�����������)����+�������� �� ����� �������������first ���������+���������*�������
�
� ��η! � � ���
η� � � ��
η� � � ����� � ���
η� �
(8������ E�*�� ����� ����������� 0�3����0�D)���0�&�+��� �&� 5������ )��.��,����
���� �� ��� �����)������)�� )� ����� �+�������)�������
� ��,� � � ���
�� � � ��
�, � � ��
�! � � ���
�� �������������������#$��
�
� ����
��� .����*�� ��������� ���������0��������)*�������� )��������� �����D)��������������������������� ��������� ������������
�
� ��!��! � � ���
�!�� �� ���� � ��
�!��� �� ��
!�, �
#$����� :)�������0�!�������������)����)��������+�� ��)�����������������)��!�� ��.��,�
�)�����������+�� ��D)�����������������)��������)���)�����������������)��!�� �� ������)����������������)��!�� ��
�� ��#�!���/��"� � ���!�/�#�!���/��"� ��,�/�#�!���/��"� �� ����/�#�!���/��"� ���#�!���/�#�"�!�
#$���!� �� ��� ������ �� &�+�� � � ��� ��)��� ����� ������� .�� �� ������ ��� ����
�� �����)����������������)���������)������������+���
� ����! � � ���
��, � � ��
��! � � ��
!�� � � ���
��� �
#$����� :)�������,�&� 5�� ����� �����������/��.��!��������� )��������� ��� �
���+��������/��.���)������ ������������� �!��������D)������/�� �� ��+��������������)�����)���������&� 5���
�� ���!� � ����� � ���� � ����� � �����
#$���,� �� &�/��� ������,��� �� ���&� 5�������� &�/�&� ���������� �� ���&� 5��������� '������������ 5� ��������� �������)�+������������� ������ ��+��������&��?���
������������&������ 5� ��D)�����������������)������ ��������&������ ���
� ���! � � ���
�� � � ��
�� � � ��
�� � � ���
�, �
#$������ F�)������ ���+�� ��������!� ���������)����� ������� 5� � �������*���)��5������)��
�������� �����������������)�����(� 5����������������������������� 5���+��)��� �����.��)���� �����+����������!� ������)�����������������)��)�������������)���� 5��
�
� ���� � � ����/
�-
�" x � ��
�� � � ���/
"-
"" x � ���
�! �
#$���
� ��,�
��� 8��)������������)������������������ �+�����:)��������������=����� ���0����������$������ �8� �������
� ���� ������������� )����������+�����!���������$�������������� )����������+�������������� �8� ������ �������������"��D)�� �������������� �)�� ���)������ ��� )����������������$��������8� ��������
�
� ���"��� �� ���
��! � � ��
��� � � ��
!�� � � ���
����!� �
#������-� :)�������������������� 5�������� ��������0���0�&&0�33�111��� .����������� 5� ����� ���)������)�� )� ������)��������������� �������
� ���"� � � ���
��� � � ��
��! � � ��
��� � � ���
!� �
#$���"� .�� ����.��)�������!����+ ������ ���� ����..��)������������+ ������������)����
�)�����������������������#� )� �������������� ���� ����.�� ���)��� ���� ����..���.��������+ ����������� �� ������ )�����)�� �������)�����������������)���)������������������������
�
� ����� � � ���
��� � � ��
�� � � ��
��� � � ���
,�� �
#$����� %�����%�#0���������� +�*��/!�7��!��A���� .�� #≥ �� ≥ ���� .�� � ��� ��� �)����� �)�� ��� ����������� �)�� ��� ����� )��� �)�� �������
���� ����������������*�+������%����
� ��!� �� � ����� � ��
�� � � ��
,� � � ���
"� �������������������#���
!�� %�����������)���� �����*��������������� 0!� �&� �����*��������
�� �� �;� ��
���*��������,� �.���������������*�������*�������� ����������5���������)������
�)����������D)�����%�����������)��������������������*� ���������&����;����
� ��,� � � ���
!,!� � � ��
,� � � ��
!,� � � ���
�� �
#���!�� %�����������)������ �����������/������ �����!�� ����&� 5�����-��.���)�������
������� ���������������/��D)��������+��+�����������������/���� ������ � ���!�� � ����� � ���� � ���!��
#$��
� ����
��!!� .���+������� )�� �������� )�4+�������)�� ��+���4+���� ��5������������.��3�����
�+�������� ���������4+���������D)�����%�����������)��)������������������������ ���� ���
�� ������ � ���,!� � ����"� � ������ � �������
#$���
!�� � � � � • �� � � � • �� � � • � � • �� � �→ • �� • �� � � • �� � � � � • → �#����� � � � • �� � � � � • ��� D)���*���������������)��+�)��������������������� 6 �������������������
��������)����)������ ��� ���������)����������:)�������)���)����������������)������������� �)��+�)� �������� �� ������ ����� ��� ���� ��� )��� ��� ���)��� D)�� ���������������)���������������������)�����������
�
� ��!,� � � ���
"� � � ��
"� � � ��
��� � � ���
,� �����������������������
#���!,� .�����/��)��������������������)� )�,������������.���)����������� �� ��)�����
������������)����������������������������� �
� ����� � � ���
�!� � � ��
��� � � ��
�� �� ���
��!� �
#$��!�� %�����������)����������������/�� �&���������<��D)�����������������)�������
��������)�������������� ��/7�>�/�� ����>/>�� ��/7�>!/�� ��/7�� � ��/��
#$��!�� '+������� �4+��������� )�����)� )� ����������� ����)��� ��+������������������
�)������������ � �� �4+�������� ���� ��������������������D)�� ��� �����*�+����� ���
���� �)� )� ����������� ��� ����� �)����� � �)�� � ������� �)�� �� ���� �+���� �)��
���������� )�4+������������������������� ���� � ���,� � ���� � ���� � ���-�
#$��
� ����
�!-� '+�����!��������������������� �� �"����������� ��,����� ����������� �
��������� ��.������������� �� ��)�����������������)��)���������������� ��+���������� ��
� �
� ��!�" � � ���
�! � � ��
!�, � � ��
��, � � ���
!�! �
#����
!"� E�+�0����� � �+������.���)������������������� �� ��)�����������������)������ �+����+�������)�����
�
� ��-! � � ���
-� � � ��
-, � � ��
-� � � ���
-� �
#$��!�� 8 ����)������������������������ ��������� ������.��� )�����)���������������
�+�� ���)� � )� ����� ��� ������� ��*����� �� �� ���D)�� ��� ����������� �)�������������� �������)� ���� ����*������
�
� ���� � � ���
,� � � ��
�� � � ��
!� � � ���
�� � � #$��
����� :)�������,�� � �0��,�����)������������)��)����*�+�� � ����!� � ����� ����� ��)��� ��G����������)��)����*�+�� � ��)�����������������)���)�� � � � �������)��)����*�+�� � �
� ���2���� ���!2���� ���2!��� ��2�� � ��������� #$���
����� :)���������0&�� �;�� ��)����� �������0&�0;����?�������������+�����)�� )� ��������������������� ��������)����� �����������)������)�� ) ����)�������������� ������)����� ���� �� ������
�� ���2!� ������2��� ��2�� � ��2,� � �������� � #$���
�!� �.������������������������#/0�������������)����/�� �������������������)������+���*�+��������)��,�.����������)�������������� )������� ���0��)�����������������)���)�����������������!�+�������������������������!�2,�� ����2,�� ��2-� � ���2,�� ���2,������������������������#���
�����
��
� ����
Percents ���������������������� ��������������������������������������������������� ���������������������������������������������������� �����������������Profit & Loss
���������������������� ��������������������������������������������������� ��������������������Interest & Tax, currency, Age based equation �������������������� ��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������� �������������������������������������������������� ����Work ,speed distance & Time ������������������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������� ������������������������������������������������� �������������������������������������������������Counting and Sets ������������������������� ������������������������������������������������������� �����������������������������������������������Sequence & series �������������������������� ����������������������������������������������������� �����������������������������������������
P& C ������������������������ ����������������������������������������������������� ������������������������������������������������������ ����������������������������������������������� �������������������������������Probability ������������������������ ���������������������������������������������� ���������������������������������������������������� ���������������������������������