P R O G R A M M B E S C H R E I B U N G - Uni Kassel

Friedrich-Karl Röder

P R O G R A M M B E S C H R E I B U N G U N D

B E N U T Z E R A N L E I T U N G

Z U M

R E C H E N P R O G R A M M Q U E R W E R T

Berechnung vom Grenzzustand der Tragfähigkeit und vom Verformungszustand,

sowie wirklichkeitsnahen Querschnittswerten und Steifigkeiten für polygonartig begrenzte Querschnitte

aus Stahlbeton oder Spannbeton unter ein- oder zweiachsiger Biegebeanspruchung

mit oder ohne Normalkraft

unter Berücksichtigung von DIN EN 1992-1-1:2011-01 mit DAfStb Heft 600 „Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1“

sowie von DIN1045-1:2008-08 mit DAfStb Heft 525 „Erläuterungen zu DIN1045-1“

und von DIN 1045:1988 bzw. DIN 4227:1988

(PC-Version 11.x für WINDOWS Betriebssysteme)

Kassel, im Februar 2021

Fachbereich 14 Bauingenieur- und Umweltingenieurwesen

F a c h g e b i e t M a s s i v b a u

P R O G R A M M B E S C H R E I B U N G

U N D

B E N U T Z E R A N L E I T U N G

Z U M

R E C H E N P R O G R A M M Q U E R W E R T

Berechnung vom Grenzzustand der Tragfähigkeit

und vom Verformungszustand,

sowie wirklichkeitsnahen Querschnittswerten und Steifigkeiten

für polygonartig begrenzte Querschnitte

aus Stahlbeton oder Spannbeton

unter ein- oder zweiachsiger Biegebeanspruchung

mit oder ohne Normalkraft

unter Berücksichtigung von DIN EN 1992-1-1:2011-01

mit DAfStb Heft 600 „Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1“

sowie von DIN1045-1:2008-08

mit DAfStb Heft 525 „Erläuterungen zu DIN1045-1“

und von DIN 1045:1988 bzw. DIN 4227:1988

(PC-Version 11.x für WINDOWS Betriebssysteme)

Friedrich-Karl Röder Kassel, im Februar 2021

Herausgeber

Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Fehling

Leiter des Fachgebiets Massivbau

Institut für Konstruktiven Ingenieurbau

Fachbereich Bauingenieur- und Umweltingenieurwesen

Universität Kassel

Kurt-Wolters-Straße 3

34125 Kassel

Telefon 0561/8042656 - Fax 0561/8042803

[email protected]

www.uni-kassel.de/fb14bau/institute/iki/massivbau

Verlag

Fachgebiet Massivbau - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau


Universität Kassel

Verfasser

Dr.-Ing Friedrich-Karl Röder

Akademischer Oberrat i.R.

Fachgebiet Massivbau - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau



34125 Kassel

Telefon 0561/8042656 - Fax 0561/8042803

©2021 Fachgebiet Massivbau

Institut für Konstruktiven Ingenieurbau


Universität Kassel


34125 Kassel

Diese Veröffentlichung ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, besonders das der Übersetzung

in fremde Sprachen und das der Vervielfältigung, liegen beim Herausgeber und Verfasser.

Diese Programmbeschreibung und Benutzeranleitung sowie die zugehörenden Programme sind

nach bestem Wissen und Gewissen erstellt worden. Der Verfasser übernimmt jedoch keine Gewähr

für die Fehlerfreiheit dieses Handbuchs und der Programme. Fehler und Unzulänglichkeiten werden

nach ihrem Bekanntwerden umgehend beseitigt.

Die Verantwortung für die Anwendung der Programme liegt einzig und allein beim Benutzer.

Er sollte die Richtigkeit seiner Berechnungen durch Stichproben überprüfen.

http://www.uni-kassel.de/fb14bau/institute/iki/massivbau

Dr.-Ing. Friedrich-Karl Röder, Fachgebiet Massivbau, Fachbereich Bauingenieur- und Umweltingenieurwesen

Benutzeranleitung QUERWERT

„Grenzzustand der Tragfähigkeit, Querschnittswerte und Steifigkeiten von Stahlbeton- und Spannbetonträgern“

1

Universität K a s s e l

Inhaltsverzeichnis

Installationsanleitung des Programms QUERWERT mit dem Zip-File …………….………… Seite 3

1. Allgemeines zum Programm QUERWERT …………………………………………………… Seite 5

2. Allgemeines zum Berechnungsablauf .…………………………………………………………. Seite 6

3. Programmaufbau ………………………………………………………………………………. Seite 8

3.1 Anpassen des Programms an benutzerspezifische Vorgaben .………………………………. Seite 8

3.2 Steuerdatei für mehrere Datendateien .………………………………………………………. Seite 9

4. Werkstoffbeziehungen .…………………………………………………………………………. Seite 10

4.1 Werkstoffbeziehungen nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 .…………………………………… Seite 10

4.1.1 Betonverhalten für Berechnungen mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte .…………… Seite 12

4.1.2 Werkstoffbeziehungen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit

bei Beton und Bewehrungsstahl ………………………………………………………….. Seite 14

4.1.3 Betonverhalten für Berechnungen mit rechnerischen Mittelwerten

der Baustofffestigkeiten ………………………………………………………………….. Seite 18

4.2 Werkstoffbeziehungen nach DIN 1045-1:2008-08 ………………………………………….. Seite 19

4.2.1 Betonverhalten für Berechnungen mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte .…………… Seite 21


bei Beton und Bewehrungsstahl …………………………………………………………. Seite 23

4.2.3 Betonverhalten für Berechnungen mit rechnerischen Mittelwerten

der Baustofffestigkeiten ………………………………………………………………….. Seite 27

4.3 Werkstoffbeziehungen nach DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988 …………………………. Seite 28

4.3.1 Betonverhalten für Berechnungen mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte …………… Seite 28


bei Beton und Bewehrungsstahl …………………………………………………………. Seite 30

4.4 Werkstoffverhalten des Betons mit Kriecheinfluss ………………..…………………………. Seite 32

5. Querschnittswerte und Steifigkeiten eines Stahlbetonquerschnitts

für wirklichkeitsnahes Werkstoffverhalten …………………………………………………….. Seite 33

5.1 Querschnittswerte für Biegebeanspruchung ………………………………………………… Seite 33

5.1.1 Flächenintegrale der ungerissenen Betonzone …………………………………………... Seite 35

5.1.2 Berechnung der Betondruckkraft und ihrer Momente …………………………………... Seite 37

5.2 Querschnittswerte für Torsionsbeanspruchung ……………………………………………… Seite 40

5.2.1 Allgemeine Zusammenhänge ……………………………………………………………. Seite 40

5.2.2 Berechnung der Querschnittswerte für Torsion …………………………………………. Seite 43

5.2.2.1 Gewichteter mittlerer Schubmodul …………………………………………………... Seite 43

5.2.2.2 St. Venantsche Torsionssteifigkeit …………………………………………………… Seite 45

5.2.2.3 Schubmittelpunkt ……………………………………………………………………... Seite 47

5.2.2.4 Berücksichtigung einer Torsionsbewehrung …………………………………………. Seite 50

5.2.3 Literatur zur Torsionsproblematik ………………………………………………………. Seite 51

6. Erläuterungen zur Dateneingabe ………………………………………………………………... Seite 52

6.1 Erstellen einer Datendatei mit dem Programm QUWEIN …………………………………… Seite 65

6.1.1 Eingabe des Querschnitts über die Geometrie ……………………………………………. Seite 65

6.1.2 Eingabe einer schlaffen oder vorgespannten Biegezugbewehrung über die Geometrie ….. Seite 67

6.1.3 Eingabe konstruktiver Eckbewehrung über die Geometrie ………………………………. Seite 68

7. Anwendung des Rechenprogramms QUERWERT ……………………………………………... Seite 69

8. Ergebnisausgabe des Rechenprogramms ………………………………………………………... Seite 74




2


9. Beispiele …………………………………………………………………………………………. Seite 75

9.1 Vorgespannter Stahlbeton -I- Querschnitt …………………………………………………… Seite 77

9.2 Stahlbeton -T- Querschnitt ……………………………………………………………………. Seite 91

9.3 Hohlkasten- Querschnitt ……………………………………………………………………… Seite 96

9.4 Beispiele für die Eingabe einer Torsionsbewehrung ………………….……………………… Seite 98

9.5 Beispiele für die Eingabe der Daten eines Sonderbetons …….……….……………………… Seite 102

9.6 Beispiel für ein Betonverhalten mit Kriecheinfluss …..……….……………………………… Seite 104

9.7 Vorgespannter Stahlbeton -I- Querschnitt Q3 – Torsionswerte ……………………………… Seite 105

9.8 Darstellung von Betondruckzone, Schwerpunkt und Schubmittelpunkt

anhand von Berechnungsergebnissen der Beispielquerschnitte ……………………………… Seite 110




3


Installation des Programms QUERWERT mit dem Zip-File

Die Programme QUERWERT und QUWEIN sind in der Programmiersprache FORTRAN geschrieben. Das setzt

voraus, dass für den Betrieb von QUERWERT und QUWEIN auf dem PC auch entsprechende Fortran-Software

vorhanden ist. Deshalb wird zusammen mit dem Programm QUERWERT die notwendige Fremdsoftware als

Runtime-Version mitgeliefert. Lizenzierungsprobleme gibt es dabei keine, da diese Runtime-Programme durch

die vom Fachgebiet erworbene Lizenz frei benutzt werden dürfen.

Die Entwicklung der Programme QUERWERT und QUWEIN ist bereits unter den Betriebssystemen

Windows 2000 und Windows XP mittels einer Fortran-Software von COMPAQ erfolgt. Die aktuellen Programm-

versionen sind mit dem FTN95-Fortran von Silverfrost überarbeitet worden und laufen unter den

Betriebssystemen Windows 7 bis 10 und XP.

Die Fenstergrößen des I/O-Fensters rechts und des Grafikfensters links werden beim Programmstart der

Bildschirmgröße so angepasst, dass die Fenster nebeneinander liegen und dabei nicht überlappen. Eine optimale

Darstellung der beiden Fenster ohne eine Nachjustierung ist mit SXGA-, WSXGA- und WUXGA-Bildschirmen

bei Standard-Auflösungen (Pixeln) von 1280x1024, 1650x1080 ,1920x1200 und 1366x768 oder 1920x1080

(Notebooks) überprüft worden. Es ist darauf zu achten, dass bei der Bildschirm-Anzeige eine Skalierung von

100% eingestellt ist.

Die für eine Installation notwendigen Programmteile sind in einem Zip-File gespeichert:

– Fortran-Rechenprogramme, FTN95-Fortran, Programm-Icons, Textdatei für Seitenkopf:

QUERWERT.EXE (Hauptprogramm)

QUWEIN.EXE (Hilfsprogramm zum Erstellen einer Datendatei für QUERWERT)

salflibc.dll (Runtime-Version von Silverfrost FTN95-Fortran)

TEXTKOPF.TXT (Textdatei mit Angaben zum Seitenkopf)

Querwert32.ico (Symboldatei für QUERWERT)

Quwein32.ico (Symboldatei für QUWEIN)

– \Beispiele: jeweils mit Unterordner \QUW für Eingabe-Files der Beispiele (xxx.QUW) und

Unterordner \ERG für Ergebnisausgabe der Beispiele (xxx.ERG):

Die entsprechenden Unterordner in „…\Beispiele\“ enthalten die folgenden Dateien:

Das Zip-File wird vom Datenträger oder von der Homepage in einen frei wählbaren Festplattenbereich (z.B. D:)

kopiert und dann extrahiert. Die vorstehend aufgeführten Programme werden dann standardmäßig in den

gewählten Bereich (z.B. D:\QUERWERT_110\) installiert. Die Eingabedateien der Muster-Beispiele sind wegen

der besseren Übersichtlichkeit in einem Unterordner “…\Beispiele\QUW“ des Installationsordners zu finden. Die

zugehörenden Ausgabedateien stehen im Unterordner “…\Beispiele\ERG“. Die Ergebnisdateien der Muster-

Beispiele stehen in einem eigenen Unterordner, da sie sonst bei einem Test-Programmlauf überschrieben werden

könnten und dann als Vergleichsergebnis nicht mehr zur Verfügung stehen.

\QUW Dateien\

Q1_C45_EN.QUW Q1_C45_NTOB=1.QUW

Q1_C45_R.QUW Q1_C45_NTOB=2.QUW

Q1_C45_1045.QUW Q1_C45_NTOB=2a.QUW

Q1_C45_kri.QUW Q1_C45_KS.QUW

Q1_B55.QUW Q2_Cneg_VS=0.QUW

Q2_C35.QUW Q2_Cneg_VS=1.QUW

Q3_LTO=3.QUW HK.QUW

TEXTKOPF.TXT

QUERWERT.EXE(Verknüpfung)

\ERG Dateien\

Q1_C45_EN.ERG Q1_C45_NTOB=1.ERG

Q1_C45_R.ERG Q1_C45_NTOB=2.ERG

Q1_C45_1045.ERG Q1_C45_NTOB=2a.ERG

Q1_C45_kri.ERG Q1_C45_KS.ERG

Q1_B55.ERG Q2_Cneg_VS=0.ERG

Q2_C35.ERG Q2_Cneg_VS=1.QUW

Q3_LTO=3.ERG HK.ERG




4


Das Programm arbeitet normalerweise in dem Ordner, wo es installiert worden ist. Dort müssen dann alle erfor-

derlichen Eingabedateien (u.a. TEXTKOPF.TXT für den Seitenkopf der Ausgabedatei) stehen. Über eine

Windows-Verknüpfung ist der Aufruf des Programms aber auch von jedem anderen Ordner aus möglich. In dem

Arbeitsordner steht dann nur noch die Verknüpfungsanweisung. Dort wird unter „Ziel“ der Installationsort des

Programms (z.B. D:\QUERWERT\QUERWERT.EXE) und unter „Ausführen in“ der Name des Arbeitsordners

eingetragen. Damit braucht das Programm nur einmal auf den PC kopiert zu werden. Ein Beispiel für eine

Verknüpfung bei einer Standard-Installation auf D: ist bei den QUW-Dateien angegeben.

Wenn eine Verknüpfung auf dem Desktop erstellt wird (z.B. durch Kopieren der Verknüpfung im Ordner QUW

auf den Desktop), kann dieser Verknüpfung über ihre Einstellungen in den „Eigenschaften“ das entsprechende

mitgelieferte Symbol-Icon zugewiesen werden.




5


1. Allgemeines zum Programm QUERWERT

Das vorliegende Rechenprogramm ermittelt für beliebig polygonartig begrenzte Stahlbeton- und Spannbeton-

Querschnitte (auch Hohlkastenquerschnitte), die durch ein- oder zweiachsige Biegung mit oder ohne Normalkraft

beansprucht sein können,

• die Querschnittswerte und Steifigkeiten des reinen Betonquerschnitts sowie

die ideellen Querschnittswerte und Steifigkeiten für den unbelasteten Zustand,

• den zur Beanspruchung gehörenden rechnerischen Grenzzustand der Tragfähigkeit des Querschnitts

− mit dem Parabel-Rechteck-Diagramm nach DIN EN 1992-1-1:2011-01

oder

− mit dem Parabel-Rechteck-Diagramm nach DIN 1045-1:2008-08

oder

− mit dem Parabel-Rechteck-Diagramm nach DIN 1045:1988-07, bzw. DIN 4227:1988-07,

• den zur Beanspruchung gehörenden Verzerrungszustand (Verformungszustand) des Querschnitts

− nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 mit den dort angegebenen Werkstoffbeziehungen

oder

− nach DIN 1045-1:2008-08 mit den dort angegebenen Werkstoffbeziehungen

oder

− nach DIN 1045:1988-07, bzw. DIN 4227:1988-07 mit einem wirklichkeitsnahen Betonwerkstoffgesetz

gemäß der Dissertation Grasser, 1968, TU München,

• die zum Verformungszustand gehörenden wirklichkeitsnahen belastungsabhängigen Querschnittswerte und

Steifigkeiten mit dem gewählten Werkstoffverhalten.

Das Programm führt bezüglich der Werkstoffansätze und des Sicherheitskonzepts folgende Berechnungen

durch:

• nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01,

− Abschnitt 5.8.6 (2) und (3), wobei die Grenztragfähigkeit mit Bemessungswerten der Baustoffkennwerte

und die Formänderungen mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte bestimmt werden, und Teilsicherheits-

beiwerten für die Werkstoffe

oder

− Abschnitt 5.7, wobei für Grenztragfähigkeit und Formänderungen mit rechnerischen Mittelwerten

der Baustofffestigkeiten und einem einheitlichen Sicherheitsbeiwert R gerechnet wird,

• nach DIN 1045-1:2008-08,

− Abschnitt 8.6.1 (7), wobei die Grenztragfähigkeit mit Bemessungswerten der Baustoffkennwerte und

die Formänderungen mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte bestimmt werden, und Teilsicherheits-

beiwerten für die Werkstoffe

oder

− Abschnitt 8.5.1, wobei für Grenztragfähigkeit und Formänderungen mit rechnerischen Mittelwerten

der Baustofffestigkeiten und einem einheitlichen Sicherheitsbeiwert R gerechnet wird,

• nach DIN 1045:1988-07, bzw. DIN 4227:1988-07, wobei die Grenztragfähigkeit mit Bemessungswerten

der Baustoffkennwerte und die Formänderungen mit Mittelwerten der Baustofffestigkeiten bestimmt werden.

Durch die Angabe der Betonfestigkeitsklasse und der Sicherheitsbeiwerte werden die unterschiedlichen

Möglichkeiten der Berechnung gesteuert. (s. Eingabebeschreibung Kap. 6 und Beispiele Kap. 9)

Alle im Programm verwendeten Werkstoffbeziehungen sind im Kap. 4 beschrieben.

Die Grundlagen der hier behandelten Berechnungsverfahren für die Querschnittswerte für Biegung und Torsion

sind im Kap. 5 zusammengestellt. Die Berechnung für die Torsionswerte ist wegen rechentechnischen Gründen

auf Viereck-, T- und I-Querschnitte begrenzt.




6


2. Allgemeines zum Berechnungsablauf

Im Gegensatz zur einachsigen Biegung verläuft bei zweiachsiger Biegung die Verzerrungsnulllinie nicht mehr

parallel zur Richtung des Momentenvektors. Die Lage der Verzerrungsnulllinie beeinflusst jedoch sehr stark die

Richtung des resultierenden inneren Momentenvektors. Bei einer Ermittlung des zu einer gegebenen äußeren

Belastung gehörenden inneren Gleichgewichtszustandes eines Querschnitts muss deshalb zusätzlich zum

Kräftegleichgewicht auch für eine Übereinstimmung der Richtungen der resultierenden inneren und äußeren

Momentenvektoren gesorgt werden. Diese Berechnungen erfolgen auf iterativem Wege durch Variation der

Randverzerrungen auf der Zug- und Druckseite und durch Variation des Neigungswinkels der Verzerrungs-

nulllinie.

Bei den erforderlichen Iterationen wird zuerst immer das Kräftegleichgewicht durch Variation der Verzerrungen

erfüllt. Für diesen Gleichgewichtszustand wird anschließend ein zugehörendes inneres Moment nach Größe und

Richtung ermittelt. Die Lage dieses resultierenden inneren Momentenvektors wird mit der des äußeren

Momentenvektors verglichen und durch Drehung der Verzerrungsnulllinie solange verändert, bis eine Überein-

stimmung der Richtung der Momentenvektoren innerhalb einer vorzugebenden Iterationsschranke erreicht ist

(siehe hierzu Kap. 8., Bild 22, S. 73).

Zum besseren Verständnis des gesamten Ablaufs werden die Einzelschritte im Folgenden näher beschrieben,

wobei diese Vorgehensweise sowohl DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01 als auch DIN 1045-1:2008-08 und

DIN 1045:1988-07, bzw. DIN 4227:1988-07 entspricht.

• Ausgangspunkt sind die einzugebenden Lastschnittgrößen in Form der Biegemomente MEd,y und MEd,z

und der Normalkraft NEd, die unter Beachtung der Sicherheitsbeiwerte für den betrachteten Querschnitt

aus Eigenlast, ständiger Last und veränderlicher Last vorab zu ermitteln sind. Die Richtung der Vektoren

der Biegemomente bezieht sich dabei auf die gewählten Richtungen der Eingabeachsen. Eine Normalkraft

ist als Zugkraft positiv. (s. Kap. 6; Punkt 12.)

• Mit diesen vorgegebenen Biegemomenten My,Ed und Mz,Ed und den durch eine möglicherweise exzen-

trisch angreifende Normalkraft hervorgerufenen Versatzmomenten MEd,y und MEd,z wird im Programm

ein resultierendes Biegemoment MEd,res ermittelt, das unter dem Winkel zur y-Achse geneigt ist :

( ) ( )

( )( )

2 2

Ed,res Ed,y Ed,y Ed,z Ed,z

Ed,z Ed,z

Ed,y Ed,y

M M M M M

M Marctan

M M

= + + +

+ =

+

.

a.) Ermittlung des rechnerischen Grenzzustandes der Tagfähigkeit (GZT) für zweiachsige Biegung :

Für die gewählten Werkstoffe wird zuerst das rechnerische Grenzmoment MRd iteriert. Für die Bestimmung

von MRd werden die charakteristischen Werkstoffkenngrößen und das Parabel-Rechteck-Diagramm zugrunde

gelegt, wobei die entsprechenden Sicherheitsbeiwerte berücksichtigt werden:

yk tk s u p0,1k pk s uck R

Rd

C C S S

f , f oderβ ,β f , f oderβ ,βf oder βM ( ; ; )

γ (γ ) γ γ=

f

Beim rechnerischen Grenzzustand der Tragfähigkeit stimmt nur die Lage des inneren und äußeren

Momentenvektors überein. Dieses Moment MRd muss also ebenfalls unter dem Winkel zur y-Achse geneigt

sein. Außerdem wird eine der beiden maximal zulässigen Randverzerrungen entweder auf der Zug- oder auf

der Druckseite des Querschnitts erreicht (siehe Bild 22, S. 73). Aus dem Verhältnis von äußerem Lastmoment MEd,res zum inneren Tragmoment MRd wird ein

Verhältniswert u ermittelt : Rdu

Ed,res

Mγ 1

M= .

Dieser Wert u gibt eine zu den vorgegebenen Sicherheitsbeiwerten zusätzlich vorhandene Sicherheit an. Für

eine ausreichende Sicherheit gegen Versagen muss dieser Faktor mindestens Eins sein.




7


b.) Berechnung des zur Beanspruchung gehörenden Verzerrungszustands (Verformungszustand) des

Querschnitts und der zugehörenden Steifigkeiten:

Mit den gewählten Werkstoffen wird anschließend ein zugehörendes inneres Moment MR iteriert, wobei

die Mittelwerte der Werkstoffkenngrößen und wirklichkeitsnahe Werkstoffkennlinien zugrunde gelegt und

die entsprechenden Sicherheitsbeiwerte berücksichtigt werden :

y t s u p0,1 p s ucm wm

R

C C S S

f , f oderβ ,β f , f oderβ ,βf oder βM ( ; ; )

γ (γ ) γ γ=

f

Beim Verformungszustand stimmen Lage (Winkel ) und Größe (MR = MEd,res ) des inneren und äußeren

Momentenvektors überein (siehe Bild 22, S. 73). Es stellt sich dabei ein den Gleichgewichtserfordernissen

zugehörender beliebiger Verzerrungszustand am Querschnitt ein.

Für diesen Zustand werden dann alle Steifigkeiten und Querschnittswerte ermittelt

DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, Abschnitt 5.7, bzw. DIN 1045-1:2008-08, Abschnitt 8.5.1, erlauben für nicht-

lineare Verfahren auch eine Berechnung mit rechnerischen Mittelwerten der Baustofffestigkeiten und einem

einheitlichen Teilsicherheitsbeiwert R = 1,3 . Der bereits beschriebene Ablauf bleibt unverändert, jedoch mit

anderen Werkstoffwerten:

a1.) Rechnerischer Grenzzustand für zweiachsige Biegung

Für die gewählten Werkstoffe wird ebenfalls zuerst das rechnerische Grenzmoment MRd iteriert, wobei die

Lage des inneren und äußeren Momentenvektors (Neigungswinkel zur y-Achse) übereinstimmen muss

und außerdem eine der beiden maximal zulässigen Randverzerrung entweder auf der Zug- oder auf der

Druckseite des Querschnitts erreicht wird. Die Bestimmung von MRd erfolgt hier jedoch mit rechnerischen Mittelwerten der Werkstoffkenngrößen

nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, Abschnitt 5.7 bzw. DIN 1045-1:2008-08, Abschnitt 8.5.1 (4) und

wirklichkeitsnahen Werkstoffkennlinien 9.1.5 (62):

MRd = f (fcR ; fyR , ftR ; fp0,1R , fpR)

Aus dem Verhältnis von äußerem Lastmoment MEd,res zum innerem Grenzmoment MRd wird ein

Verhältniswert u ermittelt, wobei hier der Teilsicherheitsbeiwert R einzuhalten ist :

Dieser Wert u muss für eine ausreichende Sicherheit gegen Versagen also mindestens R sein. Eine

zusätzlich zu den vorgegebenen Sicherheitsbeiwerten vorhandene Sicherheit ergibt sich aus dem Faktor

u/R>1.

b1.) Berechnung des zur Beanspruchung gehörenden Verzerrungszustands (Verformungszustand) des

Querschnitts und der zugehörenden Steifigkeiten :

Mit denselben rechnerischen Mittelwerten der Werkstoffkenngrößen nach 8.5.1 (4) und wirklichkeitsnahen

Werkstoffkennlinien 9.1.5 (62) wie bei a1.) wird das zugehörende innere Moment MR iteriert, wobei keine

Teilsicherheitsbeiwerte berücksichtigt werden:

MR = f (fcR ; fyR , ftR ; fp0,1R , fpR)

Auch hier stimmen Lage ( Winkel ) und Größe (MR = MEd,res ) des inneren und äußeren

Momentenvektors überein, und es stellt sich dabei ein den Gleichgewichtserfordernissen zugehörender

beliebiger Verzerrungszustand am Querschnitt ein.

Für diesen Zustand werden alle Steifigkeiten und Querschnittswerte ermittelt.

Rdu R

Ed,res

Mγ (γ 1,3 )

M= =




8


3. Programmaufbau

Das Rechenprogramm benötigt zum formalen Ablauf zwei Datendateien, und zwar eine Datei mit Angaben zum

Seitenkopf der Ausgabe und eine weitere mit den erforderlichen Daten für die Berechnung. Beide Dateien müssen

vorher erstellt werden. Steuergrößen für den Ablauf des Programms werden standardmäßig im Programm gesetzt.

Es wird zunächst die Datei mit den Angaben zum Seitenkopf gelesen. Dieser vom Programm ausgegebene

Seitenkopf kann vom Benutzer über eine Textdatei (s. Kap. 3.1) entsprechend angepasst werden.

Der Name der Datei mit den Berechnungsdaten ist frei wählbar, er muss aber die Extension '.QUW' besitzen. Die

Datei kann mit dem Editor anhand der Datenbeschreibung im Kapitel 6 erstellt werden. Zur Erleichterung der

Erstellung dieser Eingabedatei steht aber auch das Eingabeprogramm QUWEIN zur Verfügung, welches über

eine Bildschirmeingabe die notwendigen Angaben erfragt und abspeichert.

Bei der Wahl dieses Dateinamens ist jedoch darauf zu achten, dass die ersten vier Buchstaben einer Datendatei

nicht 'STEU' lauten, da mit dieser Buchstabenkombination eine Steuerdatei (s. Kap. 3.2) gekennzeichnet wird.

Nach dem Start des Programms können zuerst über den Bildschirm einige formale Steuergrößen geändert werden.

Die eigentliche Bildschirm-Eingabe beschränkt sich zunächst auf den Namen der Datendatei. Der eigentliche

Berechnungsvorgang läuft dann ohne weitere Dateneingabe ab.

Zur Visualisierung werden in einem eigenen Fenster zuerst der betrachtete Querschnitt, daran anschließend die

verwendeten Beton-Werkstoffbeziehungen und als Ergebnis die zum angegebenen Lastfall gehörende

Betondruckzone dargestellt.

Ab der Version 11 können nach Abarbeitung der Daten in der Eingabedatei noch weitere Lastfälle über den

Bildschirm eingegeben werden.

3.1 Anpassen des Programms an benutzerspezifische Vorgaben

Steuergrößen für den Ablauf des Programms, wie die Nummern der logischen Ein- und Ausgabe-Units, die

Anzahl der Ausgabezeilen pro Seite und das aktuelle Datum werden standardmäßig gesetzt. Nach dem Start des

Programms können über eine Bildschirmeingabe einige formale Steuergrößen, wie die Anzahl der Ausgabezeilen

pro Seite (– wichtig für den Seitenumbruch bei einer Druckausgabe –), die gewünschte Seitennummerierung und

evtl. das Datum, geändert werden.

Folgende Standardwerte sind programmintern voreingestellt:

Nummer der log. Eingabe-Unit der Datendatei NDE = 1

Nummer der log. Ausgabe-Unit (Ergebnisdatei)NWR = 4

log. Kanalnummer des Konsol- I/O-Fensters KRW = 5

Anzahl Druckzeilen/Seite bis Seitenumbruch KSGR = 66

Die angegebenen Nummern für Ein- und Ausgabe sind Standardwerte und brauchen normalerweise nicht geändert

zu werden. Nach der hier eingestellten Anzahl der Zeilen pro Seite wird vom Programm ein Seitenumbruch

vorgenommen. Deshalb sollte die hier angegebene Zahl mit den Druckereinstellungen zusammenpassen.

Nach dem Programmstart werden zuerst die Angaben zum Seitenkopf von einer Datei mit dem Namen

"TEXTKOPF.TXT" auf der log. Kanaleinheit 1 eingelesen. Diese Datei kann bei Bedarf mit dem Editor bearbeitet

und vom Benutzer entsprechend angepasst werden. Diese Textdatei sieht z.B. wie folgt aus:

Eingabe von 2 Kopfzeilen mit max. 56 Zeichen/Zeile <<<

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Fachgebiet Massivbau - Dr.-Ing. Friedrich-Karl Röder

Die erste Zeile wird überlesen. Die letzten beiden Zeilen gehören zum Seitenkopf und werden zusammen mit den

Angaben zum Programm auf jeder Ausgabeseite ausgedruckt.




9


3.2 Steuerdatei für mehrere Datendateien

Sollen mehrere Datendateien hintereinander abgearbeitet werden, so besteht die Möglichkeit durch Eingabe einer

Steuerdatei anstelle der vom Programm geforderten Datendatei diese Eingabe zu automatisieren. Diese

Steuerdatei muss einen Namen der Form "STEUxxxx.QUW" haben, wobei anstelle der xxxx beliebige alpha-

numerische Zeichen eingesetzt werden können. Die Steuerdatei soll die Namen der zu bearbeitenden Datendateien

enthalten, und zwar in jeder Zeile einen Namen in der gleichen Form wie bei einer direkten Bildschirmeingabe.

Für jede Datendatei wird bei entsprechender Steuerung eine eigene Ergebnisdatei angelegt. Hinter dem Namen

der Datendatei ist in jeder Zeile noch eine Integerzahl für die Steuerung der Seitennummerierung anzugeben.

Dabei bedeutet eine Null, dass jede Ergebnisdatei mit der Seite 1 beginnt. Bei einer negativen Steuerzahl werden

keine Seitenzahlen geschrieben. Eine positive Steuerzahl bewirkt, dass die Seiten aller Ergebnisdateien in der

Reihenfolge ihrer Bearbeitung durchnummeriert werden. Die Eingabespalte der Steuerzahl richtet sich nach der

maximal möglichen Länge des davor stehenden Datendateinamens (bei 32-bit-Windows-Systemen Spalte 31-35,

rechtsbündig). Die Steuerdatei ist mit einer Leerzeile oder dem Wort ENDE abzuschließen.

Beispiel :

Es sollen in einem Rechenlauf die Datendateien TEST1.QUW , MUSTER.QUW und BEISPIEL_A.QUW

in dieser Reihenfolge bearbeitet werden. Die Ergebnisdateien TEST1.ERG und MUSTER.ERG sollen

durchnummeriert werden, die Ergebnisdatei BEISPIEL_A.ERG soll wieder mit Seite 1 beginnen.

Der Name der Steuerdatei kann STEUTEST.QUW lauten. Die Steuerdatei beginnt in der ersten Zeile und

ersten Spalte, die Steuerzahlen stehen in Spalte 35:

TEST1 0

MUSTER 1

BEISPIEL_A 0

ENDE




10


4. Werkstoffbeziehungen

Zur Berechnung der Biege- und Torsionssteifigkeiten werden die wirklichkeitsnahen Werkstoffbeziehungen

wahlweise aus DIN EN 1992-1-1:2011-01 bzw. DIN 1045-1:2008-08 in Abhängigkeit von der Betonfestigkeits-

klasse verwendet. Für das Betonwerkstoffverhalten des rechnerischen Grenzzustands der Tragfähigkeit wird das

Parabel-Rechteck-Diagramm gemäß vorstehender DIN-Vorschriften zugrunde gelegt. Aus Gründen der

Rechenvereinfachung werden die Kurven für das wirklichkeitsnahe Betonverhalten und das P-R-Diagramm in

Polynome dritten oder vierten Grades programmintern approximiert. Die Kurvenverläufe für das wirklichkeits-

nahe Verhalten und für den rechnerischen Grenzzustand der Tragfähigkeit sind im folgenden tabellarisch und

teilweise in Bildern dargestellt.

Die Werkstoffbeziehungen für Beton in der Druckzone sind in DIN EN 1992-1-1:2011-01 und in

DIN 1045-1:2008-08 vom formalen Aufbau her gleich. Der Unterschied besteht nur im Vorzeichen der

Betonstauchung c , die in DIN EN 1992-1-1:2011-01 positiv, in DIN 1045-1:2008-08 jedoch negativ definiert

wird.

Aus Gründen der einfacheren Darstellung wird die Verzerrung in den folgenden Formeln, Bildern und

Tabellen in Promille und als positive Zahl in Übereinstimmung mit den Gleichungen nach DIN EN 1992-

1-1:2011-01 verwendet. Für die Eingabewerte des Kap. 6 und auch im Programm QUERWERT wird die

Verzerrung auf der Druckseite jedoch als vorzeichenbehaftete reine Zahl benötigt, also z.B. 1‰ Druck-

verzerrung entspricht = −0,001 . Dies bedeutet, dass für eine Berechnung die hier angegebenen Koeffi-

zienten An , Bn und Cn mit entsprechenden Zehnerpotenzen multipliziert werden müssen, und zwar A1, B1,

C1 mit −103 , A2, B2, C2 mit +106 , A3, B3, C3 mit −109 und A4, B4, C4 mit +1012

4.1 Werkstoffbeziehungen nach DIN EN 1992-1-1-1:2011-01

In DIN EN 1992-1-1:2011-01 wird im Abschnitt 3.1.5, Gl. (3.14), eine Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons

für Verformungsberechnungen und Schnittgrößenermittlungen wie folgt angegeben:

2

c

cm

k

f 1 (k 2)

−=

+ − mit

c

c1

=

und cm

c1

cm

1,05Ek

f= (4.1)

Dabei ist

c1 die Stauchung bei Erreichen des Höchstwerts der Betondruckspannung (siehe Tabelle 1)

Ecm Sekantenmodul der Spannungs-Dehnungs-Linie bei 0,4fcm (siehe Bild 2 und Tabelle 1)

fcm der Höchstwert der Betondruckspannung (siehe Tabelle 1)

(Für nichtlineare Verfahren der Schnittgrößenermittlung wird für fcm der Rechenwert fcR angesetzt.)

Bild 2 zeigt den Kurvenverlauf in allgemeiner Form nach DIN EN 1992-1-1:2011-01, Bild 3.2 .

In die Formel Gl. (4.1) ist der Wert für Ecm in [kN/mm2] und für die Verzerrung in ‰ einzusetzen.

Zahlenwerte für c1, Ecm und fcm sind in Abhängigkeit der Festigkeitsklassen in DIN EN 1992-1-1:2011-01,

Tabelle 3.1, angegeben. Es besteht die Möglichkeit den Zahlenwert für Ecm aus der Tabelle 3.1 als gerundeten

Wert zu nehmen oder mit der ebenfalls angegebenen Formel Ecm = 22(fcm/10)0,3 zu bestimmen. In der folgenden

Tabelle 1 sind die hier benötigten Kennwerte für die Normalbetone mit den gerundeten Werten aus DIN EN 1992-

1-1:2011-01, Tabelle 3.1, zusammengestellt.

Der in Tabelle 1 angegebene Elastizitätsmodul Ecm ist als Sekantenmodul bei einer Spannung σc = 0,4fcm definiert

und kann für eine Steifigkeitsermittlung des ungerissenen Betons im Gebrauchslastniveau bei Kurzzeitbelastung

verwendet werden (siehe Bild 2).




11


Tabelle 1: Kennwerte von Normalbeton nach DIN EN 1992-1-1:2011-01, Tabelle 3.1

Kenngröße Festigkeitsklassen

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fcm 20 24 28 33 38 43 48 53 58

Ecm 27 29 30 31 33 34 35 36 37

c1 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,25 2,3 2,4 2,45

c1u 3,5

n 2,0

c2 2,0

c2u 3,5


C55/67 C60/75 C70/85 C80/95 C90/105 C100/115 Erläuterung

fck 55 60 70 80 90 100 N/mm2

fcm 63 68 78 88 98 108 N/mm2

Ecm 38 39 41 42 44 45 kN/mm2

c1 2,5 2,6 2,7 2,8 2,8 2,8 in ‰ , Gl. (4.1)

c1u 3,2 3,0 2,8 2,8 2,8 2,8 in ‰

n 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4 1,4 Gl. (4.3a)

c2 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,6 in ‰ Gl. (4.3a)

c2u 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 2,6 in ‰

Die Werte der Tabelle 1 sind im Programm hinterlegt und werden durch Eingabe der Betonklasse abgerufen und

verwendet.

Bild 2: Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons nach DIN EN 1992-1-1:2011-01, Bild 3.2

c1 c1u

fcm

0,4fcm

arctan Ecm

c

c




12


Für Betonstahl und Spannstahl werden idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Beziehungen sowohl im Zug-

als auch im Druckbereich angenommen.

Bild 3 zeigt diesen idealisierten Verlauf der Spannungs-Dehnungs-Linie eines Beton- oder Spannstahls in

Anlehnung an DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, Bilder NA 3.8.1 und NA 3.10.1 .

Diese idealisierten Werkstoffbeziehungen für die Bewehrungen kommen der Wirklichkeit sehr nahe, haben sich

in vielen Bereichen bei der Berechnung von Stahlbetonbauteilen bestens bewährt und reichen deshalb auch bei

Verformungsberechnungen völlig aus. Als Werkstoffparameter sind dabei die entsprechenden Mittelwerte der

Baustoffkennwerte oder rechnerischen Mittelwerte der Baustofffestigkeiten je nach angewendeter Methode, wie

in den einschlägigen DIN-Vorschriften angegeben, einzusetzen.

4.1.1 Betonverhalten für Berechnungen mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte

Bei Verformungsberechnungen nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, Abschnitt 5.8.6, sind ist bei Anwendung

der Gl. (4.1) die Betonfestigkeit fcm/c und der Elastizitätsmodul Ecm/cE einzusetzen. Diese wirklichkeitsnahen

Werkstoffbeziehungen für den Beton in der Druckzone müssen im Rahmen der durchzuführenden

Berechnungsschritte differenziert und integriert werden. Die angegebene Hyperbelform ist für diese

mathematischen Operationen jedoch nicht besonders gut geeignet. Deshalb ist es zweckmäßig, diese Hyperbeln

in sehr viel einfacher handhabbare Polynome der Form

4

n

c cm n c

n 1

f C

=

= für 0 c c1u (4.2)

zu approximieren. Dies wird programmintern durchgeführt. Zu Vergleichszwecken sind in Tabelle 2 die

Polynomkoeffizienten Cn für die Festigkeitsklassen der Normalbetone nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01

angegeben. Die Verzerrung c ist in Gl. (4.2) dabei in ‰ einzusetzen.

Die Polynomkoeffizienten Cn sind für eine mit den Formelwerten Ecm = 22(fcm/10)0,3 ermittelte --Kurve des

Betons approximiert worden sind. Werden diese Koeffizienten mit den gerundeten Tabellenwerten Ecm berechnet,

so ergeben sich geringfügige Unterschiede zu den Werten in Tabelle 2. Auf das Gesamtergebnis im

Rechenprogramm hat die Wahl, ob mit Formelwerten oder Tabellenwerten für Ecm gerechnet wird, nur einen

vernachlässigbaren Einfluss.

s p

s

p

fy

fp0,1

fyk

fp0,1k

uk y

ft

fp

ftk

fpk Bild 3: Spannungs-Dehnungs-Beziehung

für Bewehrungen

bei Zug- oder Druckbeanspruchung

nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01

und DIN 1045-1:2008-08




13


Tabelle 2: Polynom-Koeffizienten für Spannungs-Dehnungslinien der Betonfestigkeits-

klassen C12/15 bis C100/115 für Mittelwerte der Betonkennwerte Ecm und fcm

Betonfestig-

keitsklasse

Koeffizienten Cn für Polynomapproximation der --Linie des Betons

C1 C2 C3 C4

C12/15 1,4162655 −0,68460137 0,13744362 −0,012644852

C16/20 1,2498171 −0,50565219 0,077307962 −0,0061005894

C20/25 1,1231040 −0,38350162 0,041229665 −0,0026274249

C25/30 1,0014699 −0,27557963 0,013102255 −0,00046896873

C30/37 0,90732610 −0,20501074 −0,00036150799 −0,00000068951476

C35/45 0,83217740 −0,15097386 −0,0077563222 −0,00077040627

C40/50 0,77080590 −0,11668360 −0,0067328298 −0,0026328855

C45/55 0,71933430 −0,097078964 −0,0040483670 −0,0033535534

C50/60 0,67591226 −0,082903489 0,0026904079 −0,0054932665

C55/67 0,63813329 −0,069960892 0,0067597800 −0,0067506977

C60/75 0,60470122 −0,058776941 0,0047469521 −0,0056528882

C70/85 0,54925197 −0,040758781 0,0056641600 −0,0055949111

C80/95 0,50507003 −0,033173222 0,0099328263 −0,0060548228

C90/105 0,46908423 −0,030448064 0,019045793 −0,0080177533

C100/115 0,43889141 −0,030683830 0,026711447 −0,0093500130

Die Verläufe der Originalkurven nach Gl. 4.1 und des Polynoms nach Gl. 4.2 sind praktisch identisch. Auf eine

grafische Darstellung der Kurven kann wegen der sehr geringen Abweichungen verzichtet werden.

Für die Ermittlung der Steifigkeiten der Randquerschnitte wird der Anfangstangentenmodul Ec0m der Beton-

werkstoffbeziehung benötigt. Aus dem Faktor k in Gl. (4.1) lässt sich der Anfangstangentenmodul zu

Ec0m = 1,05Ecm ablesen. Die Anfangstangentenmoduln ergeben sich auch aus dem ersten Koeffizienten des

Polynoms multipliziert mit der Festigkeit fcm (Ec0m = C1fcm).

Der Gleitmodul für den Zustand I wird aus Ec0m über die Querdehnungszahl ermittelt: Gc0m = Ec0m/(2+2).

Die Querdehnungszahl wird im Folgenden (siehe Kap. 5) noch eingelesen. Die hier angegebenen Tabellenwerte

sind mit = 0,2 ermittelt worden.

Folgende Zahlenwerte sind für die Standardbetone abgespeichert oder werden berechnet:

mit Ecm nach DIN EN 1992-1-1:2011-01, Tabelle 3.1:

Betonfestig-

keitsklasse

Ecm

[kN/mm2]

Ec0m

[kN/mm2]

Gc0m

[kN/mm2]

C12/15 27 28,35 11,8 C16/20 29 30,45 12,7

C20/25 30 31,50 13,1

C25/30 31 32,55 13,6

C30/37 33 34,65 14,4

C35/45 34 35,70 14,9

C40/50 35 36,75 15,3

C45/55 36 37,80 15,8

C50/60 37 38,85 16,2

C55/67 38 39,90 16,6

C60/75 39 40,95 17,1

C70/85 41 43,05 17,9

C80/95 42 44,10 18,4

C90/105 44 46,20 19,3

C100/115 45 47,25 19,7

Für die Berechnung der Steifigkeiten werden bei der Ermittlung des Anfangstangentenmoduls noch die Sicher-

heitsbeiwerte und der Dauerlasteinfluss berücksichtigt.




14


4.1.2 Werkstoffbeziehungen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit bei Beton und Bewehrungsstahl

Für die Ermittlung des Grenzzustands der Tragfähigkeit wird eine Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons in Form

eines im Bild 4 dargestellten Parabel-Rechteck-Diagramms gemäß DIN EN 1992-1-1:2011-01, Bild 3.3,

verwendet.

Diese Spannungs-Dehnungs-Linie wird durch die folgenden beiden Gleichungen beschrieben:

cc cd

c2

n

f 1 1 = − −

für 0 c c2 (4.3a)

c cdf = für c2 c c2u (4.3b)

Dabei ist

n der Exponent der Parabel

c2 die Stauchung beim Erreichen der Festigkeitsgrenze

c2u die maximale Stauchung

Die Werte für n, c2 und c2u sind für die Betonfestigkeitsklassen in Abhängigkeit von der charakteristischen

Festigkeit fck der Tabelle 3.1 in DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01 und hier der Tabelle 1 zu entnehmen.

Der Bemessungswert fcd wird wie folgt bestimmt:

fcd = cc∙fck/C (4.3c)

mit cc der Abminderungsbeiwert zur Berücksichtigung von Langzeitwirkungen auf die Druckfestigkeit

und von ungünstigen Auswirkungen durch die Art der Beanspruchung.

Für Normalbeton ist cc = 0,85 zu setzen.

C der Teilsicherheitsbeiwert für Beton nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, Abschnitt 2.4.2.4

Bild 4: Parabel-Rechteck-Diagramm des Betons nach DIN EN 1992-1-1:2011-01, Bild 3.3

fcd

c2 c2u

c

c




15


Um die Integration des Spannungsverlaufs über die Fläche der Betondruckzone in geschlossener Form

durchführen zu können, werden die Parabel-Rechteck-Diagramme in Polynome vierten Grades umgewandelt, wie

dies bereits bei den wirklichkeitsnahen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen geschehen ist:

4

n

c cd n c

n 1

f B

=

= für 0 c c2u (4.4)

Auch diese Approximation wird vom Programm intern durchgeführt. Zum Vergleich sind in Tabelle 3 die

Polynomkoeffizienten Bn für die Festigkeitsklassen der Normalbetone nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01

angegeben. Die Verzerrung ist in Gl. (4.4) in ‰ einzusetzen.

Tabelle 3 : Polynom-Koeffizienten für das Parabel-Rechteck-Diagramm der Betonklassen

C12/15 bis C100/115

Betonfestig-

keitsklasse

Koeffizienten Bn für Polynomapproximation des Parabel-Rechteck-Diagramms

B1 B2 B3 B4

C12/15

bis C50/60 0,99847513 −0,23186760 −0,029928159 0,010966925

C55/67 0,74691498 −0,015098359 −0,089242794 0,016074181

C60/75 0,66955751 −0,031334423 −0,041361723 0,0045305020

C70/85 0,60600847 −0,077608079 0,022047900 −0,0095091118

C80/95 0,56158286 −0,062758453 0,018429376 −0,0077334871

C90/105 0,53930670 −0,051041368 0,0089255022 −0,0046177008

C100/115 0,53930670 −0,051041368 0,0089255022 −0,0046177008

Durch den nicht stetigen Verlauf des P-R-Diagramms ergeben sich zu dem Verlauf des approximierten Polynoms

bei einigen Betonfestigkeitsklassen geringe Unterschiede. Deshalb sind Polynomverläufe im Vergleich mit dem

Parabel-Rechteck-Diagramm in den folgenden Bildern 5a-g dargestellt.

c/fcd

c2 = 2,0 c2u = 3,5

c [‰]

Bild 5a:

Normiertes Parabel-Rechteck-Diagramm

mit Polynomapproximation

für Beton C12/15 bis C50/60




16


c/fcd

c2 = 2,3

c2u = 2,9

c [‰]

Bild 5c:



für Beton C60/75

Bild 5b:



für Beton C55/67

c/fcd

c2 = 2,2

c2u = 3,2

c [‰]

c/fcd

c2 = 2,4

c2u = 2,7

c [‰]

Bild 5d:



für Beton C70/85




17


Wie ersichtlich, weichen die Polynomkurven der Bilder 5a-f von dem Parabel-Rechteck-Diagramm nur

geringfügig ab. Der Fehler liegt z.B. bei der Bestimmung der Betondruckkraft oder ihres Hebelarmes in der

Größenordnung von einem Prozent. Hier soll darauf hingewiesen werden, dass auch der Parabel-Rechteck-

Verlauf der DIN-Vorschriften nur eine Rechenvereinbarung darstellt. Deshalb sind die genannten geringen

Abweichungen ohne große Bedeutung für die Berechnung des Grenzzustandes der Tragfähigkeit.

Für die Bewehrungen wird das im Bild 3 dargestellte bilineare Werkstoffverhalten angenommen. Als Werk-

stoffkennwerte sind jedoch nicht mehr die Mittelwerte der Festigkeitsgrößen sondern die charakteristischen

Festigkeiten einzusetzen. Es sind auch hier die Teilsicherheitsbeiwerte für die Bewehrungen zu berücksichtigen.

Für die Fließspannung fy ist fyd=fyk/S bzw. für fp0,1 ist fpd=fp0,1k/S, für die Zugfestigkeit ft ist k∙fyk/S bzw. für fp ist

fpk/S einzusetzen. Die erforderlichen Werte sind den einschlägigen DIN-Vorschriften zu entnehmen. Die

Stahldehnung ist bei Betonstahl auf ud = 25‰ und bei Spannstahl auf ud = (p(0) + 25‰) zu begrenzen. Dabei ist

p(0) die Vordehnung des Spannstahls.

c/fcd

c [‰]

c2 = 2,5

c2u = 2,6

Bild 5e:



für Beton C80/95

Bild 5f:



für Beton C90/105 und C100/115

c/fcd

c2 = c2u = 2,6

c [‰]




18


Hinweis: Das im folgenden Kapitel 4.1.3 beschriebene Betonverhalten ist

für Berechnungen der Kippstabilität nur sehr begrenzt geeignet.

4.1.3 Betonverhalten für Berechnungen mit rechnerischen Mittelwerten der Baustofffestigkeiten

Für nichtlineare Berechnungen nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, Abschnitt 5.7, wird in Gl. (4.1) für fcm der

rechnerische Mittelwert fcR = 0,85ccfck eingesetzt. Alle übrigen Zahlenwerte, wie für c1 und Ecm, sind in

Abhängigkeit der Festigkeitsklassen in DIN EN 1992-1-1:2011-01, Tabelle 3.1, und hier im Bericht in Tabelle 1

angegeben. Auch diese Hyperbeln werden in sehr viel einfacher handhabbare Polynome der Form

4

n

c cR n c

n 1

f D

=

= für 0 c c1u (4.5)

programmintern approximiert. Für die Approximation sind ebenfalls die Formelwerte Ecm in der --Kurve des

Betons verwendet worden. Zum Vergleich sind in der Tabelle 4 die Polynomkoeffizienten Dn für die

Festigkeitsklassen der Normalbetone nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 angegeben. Die Verzerrung ist in

Gl. (4.5) dann in ‰ einzusetzen.

Tabelle 4: Polynom-Koeffizienten für Spannungs-Dehnungs-Linien der Betonfestigkeits-

klassen C12/15 bis C100/115 für rechnerische Mittelwerte der

Betonfestigkeiten fcR und Mittelwert des E-Moduls 1,0Ecm

Betonfestig-

keitsklasse

Koeffizienten Dn für Polynomapproximation der --Linie des Betons

D1 D2 D3 D4

C12/15 1,8984122 −1,3062288 0,38831788 −0,042831663

C16/20 1,7627405 −1,1387709 0,32238752 −0,034491856

C20/25 1,6391999 −0,99400377 0,26774940 −0,027773684

C25/30 1,5072899 −0,84592628 0,21382500 −0,021339187

C30/37 1,4154040 −0,75973248 0,18878360 −0,019079611

C35/45 1,3125831 −0,64773142 0,14877786 −0,014391734

C40/50 1,2721103 −0,62510979 0,14858490 −0,015253500

C45/55 1,1673509 −0,51833910 0,11167077 −0,010843029

C50/60 1,0811449 −0,42856541 0,080537498 −0,0072366302

C55/67 1,0086548 −0,35902619 0,058654875 −0,0049716630

C60/75 0,94644320 −0,30918667 0,045360163 −0,0036741667

C70/85 0,84577107 −0,22491811 0,021873912 −0,0014013450

C80/95 0,76739883 −0,16816078 0,0086988844 −0,00034643826

C90/105 0,70453000 −0,12067918 0,0011753936 −0,000012316385

C100/115 0,65285522 −0,087704025 0,0049909148 −0,00050165283

Die Verläufe der Originalkurven nach Gl. (4.1) und des Polynoms nach Gl. (4.5) sind praktisch identisch. Auf

eine grafische Darstellung der Kurven kann wegen der sehr geringen Abweichungen verzichtet werden.




19


4.2 Werkstoffbeziehungen nach DIN 1045-1:2008-08

In DIN 1045-1:2008-08 wird im Abschnitt 9.1.5, Gl. (62-64), eine Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons für

Verformungsberechnungen und Schnittgrößenermittlungen wie folgt angegeben:

2

c

c

k

f 1 (k 2)

−=−

+ − mit c

c1

=

und c0

c1

c

Ek

f= − (4.6)

Dabei ist

c1 die Dehnung bei Erreichen des Höchstwerts der Betondruckspannung

Ec0 Tangentenmodul im Ursprung der Spannungs-Dehnungs-Linie

vereinfachend darf Ec0 = Ec0m angenommen werden

fc der Höchstwert der Betondruckspannung;

für nichtlineare Verfahren der Schnittgrößenermittlung wird für fc der Rechenwert fcR ,

für Verformungsberechnungen wird für fc der Mittelwert fcm angesetzt.

Bild 6 zeigt den Kurvenverlauf in allgemeiner Form nach DIN 1045-1:2008-08, Bild 22.

Zahlenwerte für c1, Ec0m und fcm sind in Abhängigkeit der Festigkeitsklassen in DIN 1045-1:2008-08, Tabelle 9,

angegeben. Es besteht die Möglichkeit den Zahlenwert für Ec0m aus der Tabelle 9 als gerundeten Wert zu nehmen

oder mit der ebenfalls angegebenen Formel Ec0m = 9500(fck+8)1/3 zu bestimmen. In Tabelle 5 sind die wesentlichen

Kennwerte für die Normalbetone mit den gerundeten Werten aus DIN 1045-1:2008-08, Tabelle 9,

zusammengestellt.

Bild 6: Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons nach DIN 1045-1:2008-08, Bild 22

arctan Ec0

c (< 0)

c1 c1u

-fc

c (< 0)




20


Der in Tabelle 5 angegebene Elastizitätsmodul Ecm ist als Sekantenmodul zwischen dem Ursprung der

Spannungskurve c = 0 und der Spannung σc 0,4fcm definiert und kann für eine Steifigkeitsermittlung des

ungerissenen Betons im Gebrauchslastniveau bei Kurzzeitbelastung verwendet werden.

Der Zahlenwert für Ecm ist in DIN 1045-1:2008-08, Tabelle 9, ebenfalls als gerundeter Wert angegeben. Dieser

E-Modul kann jedoch auch über den Anfangstangentenmodul Ec0m mit Hilfe der Formel Ecm = i Ec0m ermittelt

werden, wobei der Vorfaktor i mit der Formel i = (0,8+0,2fcm/88) ≤ 1 zu bestimmen ist. Dieser Zusammenhang

wird in Heft 525, DAfStb, Kap. 9.1.3, näher erläutert.

Tabelle 5: Kennwerte von Normalbeton nach DIN 1045-1:2008-08, Tabelle 9


C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fcm 20 24 28 33 38 43 48 53 58

Ec0m 25800 27400 28800 30500 31900 33300 34500 35700 36800

Ecm 21800 23400 24900 26700 28300 29900 31400 32800 34300

c1 −1,8 −1,9 −2,1 −2,2 −2,3 −2,4 −2,5 −2,55 −2,6

c1u −3,5

n 2,0

c2 −2,0

c2u −3,5


C55/67 C60/75 C70/85 C80/95 C90/105 C100/115 Erläuterung

fck 55 60 70 80 90 100 N/mm2

fcm 63 68 78 88 98 108 N/mm2

Ec0m 37800 38800 40600 42300 43800 45200 N/mm2, Gl. (4.6)

Ecm 35700 37000 39700 42300 43800 45200 N/mm2

c1 −2,65 −2,7 −2,8 −2,9 −2,95 −3,0 in ‰ , Gl. (4.6)

c1u −3,4 −3,3 −3,2 −3,1 −3,0 −3,0 in ‰

n 2,0 1,9 1,8 1,7 1,6 1,55 Gl. (4.8a)

c2 −2,03 −2,06 −2,1 −2,14 −2,17 −2,2 in ‰ Gl. (4.8a)

c2u −3,1 −2,7 −2,5 −2,4 −2,3 −2,2 in ‰



Bild 3 in Kap. 4.1 zeigt bereits diesen idealisierten Verlauf der Spannungs-Dehnungs-Linie eines Beton- oder

Spannstahls in Anlehnung an DIN 1045-1:2008-08. Es besteht kein Unterschied zu dem Verlauf gemäß

DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01 .




21



Bei Verformungsberechnungen nach DIN 1045-1:2008-08, Abschnitt 8.6.1(7), ist bei Anwendung der Gl. (4.6)

für die Betonfestigkeit fc normalerweise der Mittelwert fcm einzusetzen. Diese wirklichkeitsnahen Werkstoff-

beziehungen für den Beton in der Druckzone müssen im Rahmen der durchzuführenden Berechnungsschritte

differenziert und integriert werden. Die angegebene Hyperbelform ist für diese mathematischen Operationen

jedoch nicht besonders gut geeignet. Deshalb ist es zweckmäßig, diese Hyperbeln in sehr viel einfacher hand-

habbare Polynome der Form

4

n

c cm nn c

n 1

ˆf C

=

= für 0 c c1u (4.7)

zu approximieren. Dies wird programmintern vorgenommen. Zu Vergleichszwecken sind in der Tabelle 6 die

Polynomkoeffizienten nC für die Festigkeitsklassen der Normalbetone nach DIN 1045-1:2008-08 angegeben. Die

Verzerrung ist in Gl. (4.7) dann in ‰ einzusetzen.

Es wird darauf hingewiesen, dass Koeffizienten nC für eine mit den Formelwerten Ecom ermittelte --Kurve des

Betons approximiert worden sind. Werden diese Koeffizienten mit den gerundeten Tabellenwerten Ec0m

berechnet, so ergeben sich geringfügige Unterschiede zu den Werten in Tabelle 6, die auf das Gesamtergebnis im

Rechenprogramm QUERWERT nur einen vernachlässigbaren Einfluss haben.


klassenC12/15 bis C100/115 für Mittelwerte der Betonkennwerte Ec0m und fcm

Betonfestig-

keitsklasse

Koeffizienten n

C für Polynomapproximation der --Linie des Betons

1C 2C 3C 4C

C12/15 1,2878914 −0,52178299 0,073845461 −0,0055531082

C16/20 1,1415656 −0,37635425 0,030743232 −0,0016270282

C20/25 1,0301517 −0,30564851 0,022221588 −0,0010902295

C25/30 0,92337990 −0,21979372 0,0031272732 −0,000039846236

C30/37 0,84050065 −0,16467826 −0,0046947808 −0,00017445876

C35/45 0,77406335 −0,12833150 −0,0068279686 −0,00072858669

C40/50 0,71941757 −0,10352166 −0,0064013917 −0,0013187004

C45/55 0,67369378 −0,083494656 −0,0037807147 −0,0026560798

C50/60 0,63479483 −0,070835292 0,0010136809 −0,0041454355

C55/67 0,60113639 −0,062094241 0,0059539145 −0,0054294211

C60/75 0,57165408 −0,055840228 0,010394566 −0,0064162733

C70/85 0,52218467 −0,046696063 0,016267035 −0,0073718275

C80/95 0,48152754 −0,033480864 0,013307819 −0,0062128105

C90/105 0,44834128 −0,027535744 0,015599133 −0,0063834870

C100/115 0,42058733 −0,026263339 0,019255957 −0,0067321304

Die Originalkurvenverläufe Gl. (4.6) nach DIN 1045-1:2008-08 und die Polynomkurven Gl (4.7) sind praktisch

identisch. Die Abweichungen zwischen beiden Kurvenverläufen betragen weniger als ein Promille. Auf eine

grafische Darstellung der Kurven kann wegen diesen sehr geringen Abweichungen verzichtet werden.




22


Für die Ermittlung der Steifigkeiten der Randquerschnitte wird der Anfangstangentenmodul Ec0m der Beton-

werkstoffbeziehung verwendet. Die Anfangstangentenmoduln ergeben sich auch aus dem ersten Koeffizienten

des Polynoms multipliziert mit der Festigkeit fcm (Ec0m= 1C fcm).

Der Gleitmodul für den Zustand I wird aus Ec0m über die Querdehnungszahl ermittelt:

Gc0m = Ec0m/(2+2).

Die Querdehnungszahl wird im Folgenden (siehe Kap. 5) noch eingelesen. Die hier angegebenen Tabellenwerte

sind mit = 0,2 ermittelt worden.

Folgende Zahlenwerte sind für die Standardbetone abgespeichert oder werden formelmäßig berechnet:

nach DIN 1045-1:2008-08, Tab. 9, mit Heft 525 DAfStb:

Betonfestig-

keitsklasse

Ec0m

[kN/mm2]

Gc0m

[kN/mm2]

C12/15 25,8 10,8

C16/20 27,4 11,4

C20/25 28,8 12,0

C25/30 30,5 12,7

C30/37 31,9 13,3

C35/45 33,3 13,9

C40/50 34,5 14,5

C45/55 35,7 14,9

C50/60 36,8 15,3

C55/67 37,8 15,8

C60/75 38,8 16,2

C70/85 40,6 16,9

C80/95 42,3 17,6

C90/105 43,8 18,3

C100/115 45,2 18,8

Für die Berechnung der Steifigkeiten werden bei der Ermittlung des Anfangstangentenmoduls noch die Sicher-

heitsbeiwerte und der Dauerlasteinfluss berücksichtigt.




23



Für die Ermittlung des Grenzzustands der Tragfähigkeit wird eine Spannungs-Dehnungs-Linie in Form eines im

Bild 7 dargestellten Parabel-Rechteck-Diagramms gemäß DIN 1045-1:2008-08, Bild 23, verwendet.

Diese Spannungs-Dehnungs-Linie wird durch die folgenden beiden Gleichungen beschrieben:

cc cd

c2

n

f 1 1 = − − −

für 0 ≥ c ≥ c2 (4.8a)

c cdf = − für c2 ≥ c ≥ c2u (4.8b)

Dabei ist

n der Exponent der Parabel

c2 die Dehnung beim Erreichen der Festigkeitsgrenze

c2u die maximale Dehnung

Die Werte für n, c2 und c2u sind für die Betonfestigkeitsklassen in Abhängigkeit von der charakteristischen

Festigkeit fck DIN 1045-1:2008-08, Tabelle 9, und hier der Tabelle 5 zu entnehmen.

Der Bemessungswert fcd wird wie folgt bestimmt:

fcd = ∙fck/c (4.8c)

mit der Abminderungsbeiwert zur Berücksichtigung von Langzeitwirkungen auf die Druckfestigkeit

und zur Umrechnung zwischen Zylinderdruckfestigkeit und einaxialer Druckfestigkeit des Betons.

Für Normalbeton ist = 0,85 zu setzen.

c der Teilsicherheitsbeiwert für Beton nach DIN 1045-1:2008-08, Tabelle 2.

Ab Festigkeitsklasse C55/67 ist c noch mit c’ zu multiplizieren, siehe DIN 1045-1:2008-08, Abschn.

5.3.3 (9).

Bild 7: Parabel-Rechteck-Diagramm des Betons nach DIN 1045-1:2008-08, Bild 23

fcd

c2 c2u

c (< 0)

c (< 0)




24


Um die Integration des Spannungsverlaufs über die Fläche der Betondruckzone in geschlossener Form durch-

führen zu können, werden die Parabel-Rechteck-Diagramme in Polynome vierten Grades umgewandelt, wie dies

bereits bei den wirklichkeitsnahen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen geschehen ist:

4

n

c cd n c

n 1

ˆf B

=

= für 0 c c2u (4.9)

In der Tabelle 7 sind die Polynomkoeffizienten nB für die Festigkeitsklassen der Normalbetone nach

DIN 1045-1:2008-08 angegeben. Die Verzerrung ist in Gl. (4.9) in ‰ einzusetzen.

Tabelle 7: Polynom-Koeffizienten für das Parabel-Rechteck-Diagramm der Betonfestig-

keitsklassen C12/15 bis C100/115

Betonfestig-

keitsklasse

Koeffizienten nB für Polynomapproximation des Parabel-Rechteck-Diagramms

1B 2B 3B 4B

C12/15

bis C50/60 0,99847513 −0,23186760 −0,029928159 0,010966925

C55/67 0,96266007 −0,17007539 −0,065218337 0,017317049

C60/75 0,88579768 −0,098994210 −0,085031949 0,018804405

C70/85 0,83955199 −0,11509599 −0,041657493 0,0067933444

C80/95 0,79475856 −0,13436480 0,0021369203 −0,0050187064

C90/105 0,73872423 −0,11810442 0,016601011 −0,0097985351

C100/115 0,70577902 −0,10238498 0,014605294 −0,0090792878

Die Polynomverläufe im Vergleich mit dem Parabel-Rechteck-Diagramm sind in den folgenden Bildern 8a bis

8g dargestellt.

c/fcd

c2 = 2,0 c2u = 3,5

c [‰]

Bild 8a:



für Beton C12/15 bis C50/60




25


c/fcd

c2 = 2,1

c2u = 2,5

c [‰]

Bild 8d:



für Beton C70/85

c/fcd

c2 = 2,06 c2u = 2,7

c [‰]

Bild 8c:



für Beton C60/75

c/fcd

c2 = 2,03 c2u = 3,1 c [‰]

Bild 8b:



für Beton C55/67




26


c/fcd

c2 = c2u = 2,2 c [‰]

Bild 8g:



für Beton C100/115

c [‰]

c/fcd

c2 = 2,17 c2u = 2,3

Bild 8f:



für Beton C90/105

c/fcd

c [‰] c2 = 2,14

c2u = 2,4

Bild 8e:



für Beton C80/95




27


Die Polynomkurven der Bilder 8a-g weichen von dem Parabel-Rechteck-Diagramm nur geringfügig ab. Der

Fehler liegt z.B. bei der Bestimmung der Betondruckkraft oder ihres Hebelarmes in der Größenordnung von 1 %.

Hier soll darauf hingewiesen werden, dass auch der Parabel-Rechteck-Verlauf der DIN-Vorschriften nur eine

Rechenvereinbarung darstellt. Deshalb sind die genannten geringen Abweichungen ohne große Bedeutung für die

Berechnung des Grenzzustandes der Tragfähigkeit.

Für die Bewehrungen wird das im Bild 3 dargestellte bilineare Werkstoffverhalten angenommen. Als Werk-

stoffkennwerte sind jedoch nicht mehr die Mittelwerte der Festigkeitsgrößen sondern die charakteristischen

Festigkeiten einzusetzen (siehe Ausführungen am Ende von Kap. 4.1.3).

Hinweis: Das im folgenden Kapitel 4.2.3 beschriebene Betonverhalten ist

für Berechnungen der Kippstabilität nur sehr begrenzt geeignet.

4.2.3 Betonverhalten für Berechnungen mit rechnerischen Mittelwerten der Baustofffestigkeiten

Für nichtlineare Berechnungen nach DIN 1045-1:2008-8, Abschnitt 8.5.1, wird in Gl. (3.1) für die Festigkeit fc

der rechnerische Mittelwert fcR = 0,85∙∙fck (bis C50/60) oder fcR = 0,85∙∙fck/c’ (ab C55/67) eingesetzt. Alle

übrigen Zahlenwerte, wie für c1 und Ec0m , sind in Abhängigkeit der Festigkeitsklassen in DIN 1045-1:2008-08,

Tabelle 9, und hier in Tabelle 8 angegeben. Auch diese Hyperbeln werden in sehr viel einfacher handhabbare

Polynome der Form

4

n

c cR n c

n 1

ˆf D

=

= für 0 c c1u (4.10)

programmintern approximiert. Zum Vergleich sind in der Tabelle 7 die Polynomkoeffizienten nD für die

Festigkeitsklassen der Normalbetone nach DIN 1045-1:2008-08 angegeben. Die Verzerrung ist in Gl. (4.10)

dann in ‰ einzusetzen.


klassen C12/15 bis C100/115 für rechnerische Mittelwerte der

Betonfestigkeiten fcR und Mittelwert des E-Moduls 1,0Ec0m

Betonfestig-

keitsklasse

Koeffizienten n

D für Polynomapproximation der --Linie des Betons

1D 2D 3D 4D

C12/15 1,8593345 −1,2556583 0,36751622 −0,040182777

C16/20 1,7162992 −1,0807314 0,29924801 −0,031619724

C20/25 1,5836773 −0,93495786 0,24729933 −0,025339093

C25/30 1,4459990 −0,78447479 0,19359012 −0,019025661

C30/37 1,3643154 −0,71776760 0,17778277 −0,018010864

C35/45 1,3054832 −0,68237180 0,17462955 −0,018590169

C40/50 1,1880773 −0,55435848 0,12688188 −0,012492337

C45/55 1,0939611 −0,45557180 0,092435382 −0,0085129989

C50/60 1,0159893 −0,37844333 0,067000680 −0,0057092519

C55/67 0,95974141 −0,32736975 0,051549505 −0,0041300943

C60/75 0,91206491 −0,28643534 0,039811272 −0,0029744802

C70/85 0,83576840 −0,22648048 0,024108155 −0,0015255145

C80/95 0,77763504 −0,18632108 0,015093974 −0,00079612399

C90/105 0,73212361 −0,15432605 0,0080521433 −0,00030976889

C100/115 0,69574428 −0,13131604 0,0037803592 −0,000092076254

Die Verläufe der Originalkurven nach Gl. 4.6 und des Polynoms nach Gl. 4.8 sind praktisch identisch. Auf eine

grafische Darstellung der Kurven kann wegen der sehr geringen Abweichungen verzichtet werden.




28


4.3 Werkstoffbeziehungen nach DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988

In DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988 werden die Festigkeitsklassen des Betons nach der Nennfestigkeit WN

eingeteilt. Diese Nennfestigkeit WN ( fck) ist standardmäßig aus der Druckfestigkeit W28 ( fck,cube) von

Betonwürfeln mit einer Kantenlänge von 20 cm unter Beachtung des 5%-Quantils festgelegt worden. Zu beachten

ist, dass nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 bzw. DIN 1045-1:2008-08 die Kantenlänge der Betonwürfel

demgegenüber nur 15 cm beträgt. Die üblichen Festigkeitsklassen für Konstruktionsbeton sind B25, B35, B45

und B55. Eine wirklichkeitsnahe Werkstoffbeziehung für den Beton in der Druckzone wird in DIN 1045:1988

und DIN 4227:1988 explizit nicht vorgegeben. Deshalb muss dafür auf Vorschläge in der Fachliteratur zurück-

gegriffen werden.


als auch im Druckbereich angenommen. Bild 11 am Schluss von Kap. 4.3.2 zeigt diesen idealisierten Verlauf der

Spannungs-Dehnungs-Linie eines Beton- oder Spannstahls in Anlehnung an DIN 1045:1988 bzw.

DIN 4227:1988. Diese Werkstoffbeziehungen für den Bewehrungsstahl werden sowohl für wirklichkeitsnahe

Berechnungen als auch für den Grenzzustand der Tragfähigkeit angesetzt.


Zur Berechnung der Biege- und Torsionssteifigkeiten werden in Abhängigkeit von der Betonfestigkeitsklasse die

wirklichkeitsnahen Werkstoffbeziehungen aus der Dissertation Grasser, TU München 1968, verwendet. Die von

Grasser und in DIN EN 1992-1-1:2011-01 bzw. in DIN 1045-1:2008-08 angegebenen Werkstoffformulierungen

für den Beton sehen zwar formal anders aus, sind vom Inhalt her jedoch identisch. Durch Einsetzen der

verwendeten Parameter lassen sich beide Formulierungen ineinander überführen.

Grasser gibt für den Verlauf der Beton-Werkstoffbeziehung in der Druckzone die folgende Formel an:

2

c P

a b

1 c

+ =

+ (4.11)

Dabei ist P die Prismenfestigkeit des Betons, die näherungsweise der Zylinderfestigkeit fcm entspricht. Die

Faktoren a,b,c sind in Tabelle 9 angegeben.

Die Prismenfestigkeit P kann mit 85 % der mittleren Würfeldruckfestigkeit angenommen werden, also

P = 0,85 Wm. Diese Annahme ist genügend genau, obwohl der Umrechnungsfaktor eigentlich nicht konstant ist,

sondern in Abhängigkeit von der Betonfestigkeit etwa zwischen 0,8 und 0,9 liegt. Die mittlere Würfeldruck-

festigkeit Wm des Betons ergibt sich aus seiner Nennfestigkeit WN durch Addition von 5 N/mm2, also

Wm = WN + 5 . Die Prismenfestigkeit beschreibt das Betonverhalten unter einer Kurzzeitbelastung. Der Einfluss

einer Dauerlast kann näherungsweise durch eine Abminderung der Prismenfestigkeit um weitere 15 % auf

P,d 0,7 Wm berücksichtigt werden.

Tabelle 9: Faktoren a,b,c für das Betonverhalten in der Druckzone nach Grasser

Betonfestig-

keitsklasse

Faktoren a b c

B25 1,395 −0,2066 0,489

B35 1,149 −0,2066 0,240

B45 0,970 −0,2066 0,061

B55 0,828 −0,2066 − 0,081




29


Auch die in Gl. (4.11) angegebene Grasser-Hyperbel wird in ein Polynom vierten Grades approximiert:

=

=4

1n

nnP A für 0 u (4.12)

Die Verzerrung ist in ‰ einzusetzen. Die maximale Verzerrung u ist im Bild 4 angegeben.

Tabelle 10 : Koeffizienten für wirklichkeitsnahes Verhalten des Betons in der Druckzone

Betonfestig-

keitsklasse

Koeffizienten An des wirklichkeitsnahen Verhaltens für B25 – B55

A1 A2 A3 A4

B25 1,328269 −0,6617875 0,15233030 −0,01471286

B35 1,142718 −0,4532405 0,07862710 −0,006764053

B45 0,9698443 −0,2651278 0,01547806 −0,0006569511

B55 0,8285252 −0,1414913 −0,009247983 −0,001691666

Für die Ermittlung der Steifigkeiten der Randquerschnitte wird der Anfangstangentenmodul Eb0 der Beton-

werkstoffbeziehung verwendet, wobei bei dessen Berechnung der Dauerlasteinfluss berücksichtigt wird. Die

Anfangstangentenmoduln ergeben sich aus dem ersten Koeffizienten des Polynoms multipliziert mit der Festig-

keit P (Ec0 = A1P).

Der Gleitmodul für den Zustand I wird aus Eb0 über die Querdehnungszahl ermittelt:

Gc0m = Ec0/(2+2).

Die Querdehnungszahl wird im Folgenden noch eingelesen. Die hier angegebenen Tabellenwerte sind mit

= 0,2 ermittelt worden.

Bild 9: Normierte Spannungs-Dehnungs-Linien nach Grasser für Betone B25 bis B55

Für alle

Betonklassen :

zentr. c1 = 2,2‰

c/P

B25 : c1u = 3,5‰

B35 : c1u = 3,3‰

B45 : c1u = 3,1‰

B55 : c1u = 2,9‰

c [‰]




30


Folgende Zahlenwerte sind für die Standardbetone abgespeichert oder werden formelmäßig berechnet:

DIN 1045:1988 und DIN 4227 :

Elastizitätsmoduln Ec0 und Gc0 als Anfangstangentenmoduln der Randquerschnitte für die vier

möglichen Betonfestigkeitsklassen:

Betonfestig-

keitsklasse

Ec0

[kN/mm2]

Gc0

[kN/mm2]

B25 39,9 16,6

B35 45,7 19,0

B45 48,5 20,2

B55 49,7 20,7


Für Berechnungen der Betondruckkraft im Bruchzustand (Grenzzustand der Tragfähigkeit) nach DIN 1045:1988,

Bild 11 und Tabelle 12, und DIN 4227:1988, Bild 6, wird als Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betons

ebenfalls ein Parabel-Rechteck-Diagramm verwendet, s. Gl. (4.13). Für alle Festigkeitsklassen gilt das gleiche

Diagramm. Die Berechnungsgröße für den Beton ist die Rechenfestigkeit R ( fck), deren Werte in der

Tabelle 11 zusammengestellt sind.

Tabelle 11: Rechenwerte R für das Parabel-Rechteck-Diagramm der Betonfestigkeitsklassen

B25 bis B55 nach DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988

Betonfestig-

keitsklasse

Nenn-

festigkeit

WN [N/mm2]

Rechenwerte R [N/mm2] ( fck)

DIN 1045:1988 (Stahlbeton)

gemäß Bild 11 mit Tabelle 12

DIN 4227:1988 (Spannbeton)

gemäß Bild 6

B25 25 −17,5 −15,0

B35 35 −23,0 −21,0

B45 45 −27,0 −27,0

B55 55 −30,0 −33,0

Für die Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betons gilt:

2

c R c c/ 0,25 = − für c 2 ‰ (4.13a)

c R/ 1 = für 2 %o < c 3,5 ‰ (4.13b)

Das Parabel-Rechteck-Diagramm wird in ein Polynom dritten Grades umgewandelt. Da die Form des Parabel-

Rechteck-Diagramms für alle Betonklassen gleich ist, wird die Einheitskurve approximiert. Die Werkstoff-

beziehung lautet dann:

2 3

c R c c c/ 1,090639 0,3837045 0,04379554 = − + für 0 c 3,5 ‰ (4.14)

Die Verzerrung ist in ‰ einzusetzen.

Der Unterschied dieses Polynoms im Vergleich zum Parabel-Rechteck-Diagramm wird im Bild 10 dargestellt.




31


Die Polynomkurve des Bildes 10 weicht von dem Parabel-Rechteck-Diagramm nur geringfügig ab. Der Fehler

liegt z.B. bei der Bestimmung der Betondruckkraft oder ihres Hebelarmes in der Größenordnung von etwa einem

Prozent. Hier soll darauf hingewiesen werden, dass auch der Parabel-Rechteck-Verlauf nur eine

Rechenvereinbarung darstellt. Deshalb sind die genannten geringen Abweichungen ohne wesentliche Bedeutung

für die Berechnung des Grenzzustandes der Tragfähigkeit bzw. des Bruchzustandes.



Im Bild 11 wird dieser idealisierte Verlauf der Spannungs-Dehnungs-Linie eines Betonstahls gemäß

DIN 1045:1988, Bild 12, oder gemäß DIN 4227:1988, Bild 5, dargestellt. Der Rechenwert für den Elastizitäts-

modul der Betonstähle ist mit Es = 210000 N/mm2 vorgegeben.

Die Spannungs-Dehnungs-Linie und der Elastizitätsmodul der Spannstähle Ep ist der entsprechenden Zulassung

zu entnehmen. Auch für die Spannstähle gilt ein bilinearer Verlauf nach Bild 11.

Die Grenzen für die Verzerrungen auf der Druck- und der Zugseite werden in DIN 1045:1988 oder in

DIN 4227:1988 folgendermaßen angegeben: Die Stahldehnung ist bei Betonstahl auf su = 5‰ und bei Spannstahl

auf pu = (p(0) + 5‰) zu begrenzen. Dabei ist p

(0) die Vordehnung des Spannstahls.

s

s

s

(fy)

su

Bild 11: Spannungs-Dehnungs-Beziehung für

Bewehrungen bei Zug- oder Druck-

beanspruchung nach DIN 1045:1988

und DIN 4227:1988

arctan Es

Bild 10: Parabel-Rechteck-Diagramm nach DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988

cR

c (< 0) [‰]




32


4.4 Werkstoffverhalten des Betons mit Kriecheinfluss

Das Kriechen des Betons wird in Anlehnung an die Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1:2011-01 , Heft 600,

DAfStb, dadurch berücksichtigt, dass in der Spannungs-Verzerrungs-Linie des Betons für die Kurzzeitbelastung,

s. Kap. 4.1, Bild 2, die Verzerrungswerte des Betons mit dem Faktor (1+ef) multipliziert werden. Dies ist im

folgenden Bild 12 dargestellt.

Nach DIN EN 1992-1-1:2011-01, Abschnitt 3.1.4 mit Anhang B, können Grundzahlen des Kriechens i ermittelt

werden. Eine mögliche Vorgehensweise zur Berechnung einer effektiven Kriechzahl ef für zwei

Belastungsabschnitte wird von Röder im Forschungsbericht „Kippstabilität von Stahlbeton- und Spannbeton-

trägern“, kassel university press 2015, ISBN 978-3-86219-934-1, Kap. 8, in Anlehnung an den Beitrag von Trost,

Beton- und Stahlbetonbau 1967, Hefte 10 und 11, angegeben.

c (<0)

ci

ci (+ef)ci

c1 c1u (+ef)c1u

– fc

(+ef)c1

c (<0)

Bild 12: Vereinfachte Berücksichtigung des Kriechens in der Spannungs-Verzerrungs-Linie des Betons

nach Erläuterungen zu DIN EN 1992-1-1:2011-01 , Heft 600, DAfStb, Bild H5-15

ef > 0 ef = 0




33


5. Querschnittswerte und Steifigkeiten eines Stahlbetonquerschnitts für wirklichkeitsnahes Werkstoffverhalten

Bekanntlich sind beim Verbundquerschnitt aus Stahlbeton wegen des nichtlinearen Spannungs-Verzerrungs-

Zusammenhanges, besonders infolge der im Vergleich zur Druckfestigkeit geringen Zugfestigkeit des Betons, die

Lage und Richtung der Querschnittshauptachsen, alle Querschnittswerte und die Steifigkeiten belastungs-

abhängig. Für deren Berechnung werden nur der Bereich der nicht gerissenen Betonfläche und die punktweise

vorhandenen Bewehrungsstäbe berücksichtigt. Als Folge der nichtlinearen Spannungs-Verzerrungs-Zuordnungen

für Beton und Bewehrungen kann der zu einer äußeren Belastung gehörende innere Verzerrungszustand des

Querschnitts nur auf iterativem Weg bestimmt werden. Mit diesem Verzerrungszustand kann dann der

Elastizitätsmodul aus der Werkstoffbeziehung für jedes --Wertepaar berechnet werden. Die analytische Form

und der Maximalwert der Werkstoffbeziehung und der Beanspruchungszustand bestimmen die Größe des

Elastizitätsmoduls, der bei der Ermittlung der benötigten Steifigkeiten und Querschnittswerte eine wesentliche

Rolle spielt.

Beim Elastizitätsmodul muss zwischen Sekanten- und

Tangentenmodul unterschieden werden, wobei die Ent-

scheidung, welcher Elastizitätsmodul maßgebend ist, von

der Art des behandelten Problems und mit der damit

verbundenen Lastaufbringung abhängt. Der grundsätz-

liche Unterschied zwischen Sekantenmodul

=sekE

und Tangentenmodul

=

d

dE tan ist im Bild 13 darge-

stellt.

Bild 13: Sekanten- und Tangentenmodul

5.1 Querschnittswerte für Biegebeanspruchung

Für die Berechnung der Querschnittswerte des Verbundquerschnitts werden nur die ungerissene Betonfläche Ac

und die Flächen der punktweise angeordneten nicht vorgespannten Bewehrungsstäbe As und der vorgespannten

Bewehrungsstäbe Ap herangezogen. Da mit einem nichtlinearen Betonwerkstoffverhalten gearbeitet wird, ist bei

den auszuführenden Flächenintegrationen über den E-Modul zu integrieren.

Der Verlauf des Elastizitätsmoduls Ec des Betons wird entweder als Sekantenmodul oder als Tangentenmodul

über das Werkstoffverhalten (siehe Kap. 4) aus den vorhandenen Spannungen und Verzerrungen ermittelt. Die E-

Moduln Es der nicht vorgespannten Bewehrungsstäbe und Ep der vorgespannten Bewehrungsstäbe ergeben sich

ebenfalls über die entsprechenden Werkstoffbeziehungen aus den an den betreffenden Stellen auftretenden

Verzerrungen. Bei der Bestimmung des Elastizitätsmoduls Ep der Spannbewehrung ist die Vordehnung des

Spannstahls zu berücksichtigen.




34


Zuerst werden folgende Steifigkeitswerte bezogen auf das bei der Eingabe gewählte Koordinatensystem ermittelt:

c

c

c

n m

c c si si pj pj

i 1 j 1A

n m

y c c si si si pj pj pj

i 1 j 1A

n m

z c c si si si pj pj pj

i 1 j 1A

elastische Fläche (EA) E dA E A E A

stat.Moment um y Achse (ES ) E z dA E z A E z A

stat.Moment um z Achse (ES ) E y dA E y A E y A

Trägheitsmomen

= =

= =

= =

= + +

− = + +

− = + +

c

c

c

n m2 2 2

y c c si si si pj pj pj

i 1 j 1A

n m2 2 2

z c c si si si pj pj pj

i 1 j 1A

n

yz c c si si si si pj pj pj pj

i 1 j 1A

t um y Achse (EI ) E z dA E z A E z A

Trägheitsmoment um z Achse (EI ) E y dA E y A E y A

Deviationsmoment (EI ) E yz dA E y z A E y z A

= =

= =

= =

− = + +

− = + +

= + +

m

(5.1)

Die Berechnung des elastischen Schwerpunkts und der Lage der Hauptachsen wird mit den bekannten Formeln

der Elastomechanik vorgenommen. Mit den Gleichungen (5.1) ergeben sich die Koordinaten des elastischen

Schwerpunkts aus den Beziehungen

)EA(

)ES(yund

)EA(

)ES(z z

S

y

S == (5.2)

Diese Koordinaten gelten für das bei Angabe der Querschnittskontur gewählte Achsensystem.

Bezogen auf den Schwerpunkt, aber noch auf die Richtung der Eingabeachsen, lauten die Trägheitsmomente:

2

y S y S

2

z S z S

yz S yz S S

(EI ) (EI ) (EA)z

(EI ) (EI ) (EA)y

(EI ) (EI ) (EA)y z

= −

= −

= −

(5.3)

Die Drehung der Hauptachsen errechnet sich aus

SySz

Syz

)EI()EI(

)EI(2arctan5,0

−= (5.4)

Mit diesem Winkel bestimmt man schließlich die Hauptträgheitsmomente:

y S,H y S z S y S z S yz S

z S,H y S z S y S z S yz S

(EI ) 0,5 (EI ) (EI ) 0,5 (EI ) (EI ) cos(2 ) (EI ) sin(2 )

(EI ) 0,5 (EI ) (EI ) 0,5 (EI ) (EI ) cos(2 ) (EI ) sin(2 )

= + + + −

= + − + +

(5.5)

Bei Stabilitätsproblemen kommen in der Bestimmungsgleichung für das Torsionsmoment Flächenintegrationen

der Form (y2+z2)dA vor, die für das Hauptachsensystem auszuführen sind. Dieser Wert wird ebenfalls vom

Programm berechnet. Zu diesem Zweck werden alle Querschnittskoordinaten einschließlich der Bewehrungen in

das Hauptachsensystem transformiert und die Integrationen über die drei Bereiche Beton, nicht vorgespannte und

vorgespannte Bewehrung durchgeführt:

c

n m2 2 2 2 2 2 2 2

c c si si si si pj pj pj pj

i 1 j 1A A

(y z )dA (y z )dA (y z )A (y z )A= =

+ = + + + + + (5.6)

Die berechneten Zahlenwerte werden vom Programm ausgegeben.




35


5.1.1 Flächenintegrale der ungerissenen Betonzone

Bei jedem zu ermittelnden Querschnittswert des Verbundquerschnitts wird ein Anteil durch eine Integration über

die Fläche der ungerissenen Betonzone gewonnen. Da jede Faser dieser Fläche mit einem unterschiedlichen

Elastizitätsmodul behaftet sein kann, muss dies bei den Integrationen berücksichtigt werden. Der Verlauf des

maßgebenden Elastizitätsmoduls ergibt sich aus den Werkstoffbeziehungen (4.2) oder (4.4) als Sekantenmodul

aus dem Quotienten der in jeder Faser gültigen Spannung, dividiert durch die jeweilige Verzerrung zu

4 4

n 1 n 1

c,sek cm n P n

n 1 n 1

E ( ) f C oder A− −

= =

= =

(5.7)

oder als Tangentenmodul aus der Ableitung der in jeder Faser gültigen Spannung nach der Verzerrung zu

4 4

n 1 n 1

c,tan cm n P n

n 1 n 1

dE ( ) f nC oder nA

d

− −

= =

= =

(5.8)

Maßgebend für die Bestimmung der Verzerrung ist der senkrechte Abstand zur Nulllinie, die im allgemeinen

Fall weder parallel zu einer Hauptachse des Querschnitts liegt, noch durch den Koordinatennullpunkt geht. Da

die Querschnittswerte auf bestimmte Achsen bezogen werden, der Verlauf der Verzerrungsebene aber festliegt,

ist eine Umrechnung in Abhängigkeit eines allgemeinen Koordinatensystems erforderlich. Nach Bild 14 ergibt

sich die Verzerrung zu

(y, z) = (z cos − y sin − r) (5.9)

Setzt man (5.9) in (5.7) oder (5.8) ein, so folgt für den E-Modul in allgemeiner Form:

2 3

c 1 2 3 4

mit der Abkürzung

E (y,z) E E E E

z cos ysin r ,

= + + +

= − − (5.10)

wobei die Faktoren Ei wie folgt zu setzen sind:

Sekantenmodul: Tangentenmodul:

1 cm 1 P 1

2 cm 2 P 2

2 2

3 cm 3 P 3

3 3

4 cm 4 P 4

E f C oder A

E f C oder A

E f C oder A

E f C oder A

=

=

=

=

1 cm 1 P 1

2 cm 2 P 2

2 2

3 cm 3 P 3

3 3

4 cm 4 P 4

E f C oder A

E f 2C oder 2A

E f 3C oder 3A

E f 4C oder 4A

=

=

=

=

(5.11)

Bild 14: Umrechnung der Verzerrung

in das Hauptachsensystem

δ = Neigungswinkel der Verzerrungsnulllinie

κ = Krümmung

r = senkrechter Abstand des Koordinaten-

nullpunktes (elastischer Schwerpunkt S)

von der Nulllinie

R = senkrechter Abstand des am meisten

gedrückten Randes von der Nulllinie

Verzerrungs-nulllinie




36


Anhand eines Beispiels sollen die weiteren Schritte kurz erläutert werden. Für die Dehnsteifigkeit der Beton-

druckzone gilt:

( )c

c c c

A

(EA) E y, z dA= (5.12)

Einsetzen von Gleichung (5.10) mit der Abkürzung für in Gleichung (5.12) liefert mit einigen Umformungen:

c c c

c c c

c c

2 3 2

c 1 2 3 4 c 2 3 4 c c

A A A

2 2 2 2

3 4 c c c

A A A

3 3 2 2 2 2

4 c 4 c 4 c

A A A

(5.13)

(EA) (E E r E r E r ) dA (E 2E r 3E r )(cos zdA sin ydA )

(E 3E r)(cos z dA 2cos sin yzdA sin y dA )

E cos z dA 3E cos sin yz dA 3E cos sin y zdA

= − + − + − + − +

− − + +

− +

c c

3 3

4 c

A

E sin y dA−

Für die Werte E1 bis E4 sind je nach maßgebendem E-Modul die Ausdrücke (5.11) einzusetzen.

Im Ausdruck (5.13) kommen die unterschiedlichsten Flächenintegrationen vor, die mit Hilfe des Greenschen

Integralsatzes in Konturintegrale umgeformt werden. Der Greensche Integralsatz lautet:

yz

y z

A K

VVdy dz (V dy V dz)

y z

− = +

(5.14)

oder vereinfacht zz

A K

Vdydz V dz

y

=

(5.15)

Angewendet z.B. auf das Integral dAy2

ergibt sich

3

31

z2z yVy

y

V==

(5.16)

und damit 2 31

3

A K

y dydz y dz= (5.17)

Diese Konturintegration wird nun in Teilintegrationen über die einzelnen Polygonseiten aufgelöst. Die Integration

über eine Seite ist relativ einfach durchzuführen, da durch die Geradengleichung der formelmäßige

Zusammenhang zwischen y und z bekannt ist:

z = m y mit dymdzundyy

zzm

i1i

i1i =−

−=

+

+ (5.18)

Die Beziehung (5.18) wird in Gl. (5.17) eingesetzt und anschließend die Integration über eine Seite ausgeführt:

i 1i 1

i

i

yy

3 3 4 4 4i 1 ii 1 iy

i 1 iy

z z1 m m 1y dz y dy y (y y )

3 3 12 12 y y|

++

++

+

−= = = −

− (5.19)

Nach einigen Zwischenrechnungen erhält man für das Flächenintegral folgenden Summenausdruck:

=

++++ ++−=n

1i

21i1ii

2ii1i1ii

2)yyyy)(zyzy(

12

1dAy (5.20)

In diesem Summenausdruck sind die Koordinaten der Eckpunkte fortlaufend in positivem Umlaufsinn einzuset-

zen. Der Anfangspunkt ist beliebig, da der Endpunkt n+1 dem Anfangspunkt 1 entspricht (geschlossene Kontur).

Mit dem entsprechenden Faktor versehen, liefert diese Summation einen Beitrag zum Gesamtausdruck der

Gleichung (5.13).

In dieser Weise werden alle auftretenden Flächenintegrationen behandelt und in Summenausdrücke überführt.

Man erhält zwar sehr lange, aber verhältnismäßig einfach aufgebaute und leicht zu handhabende Formeln, deren

numerische Lösung sich gut für Rechenautomaten eignet.

In Tabelle 4 sind alle benötigten Querschnittswerte, aufgelöst in einzelne Flächenintegrationen, zusammen-

gestellt. In Tabelle 6 werden die Summenausdrücke der Konturintegrationen für die vorkommenden Einzel-

integrationen angegeben.




37


5.1.2 Berechnung der Betondruckkraft und ihrer Momente

Die Betondruckkraft und deren Momente werden auf die gleiche Art, wie es im vorstehenden Kapitel beschrieben

wird, bestimmt. Die Berechnung vereinfacht sich, wenn man das Koordinatensystem vorab so dreht, dass die y-

Achse parallel zur Nulllinie liegt. Mit Bild 14 und aus Gleichung (5.9) erhält man für den Winkel =0 die

Verzerrung

)rz()z( −= (5.21)

z ist dabei die um gedrehte z-Koordinate. Der Verlauf der Betonspannung c folgt aus Formel (4.2) mit

(5.21)

2 3 4

c 1 2 3 4(z) S (z r) S (z r) S (z r) S (z r) = − + − + − + − (5.22)

mit den Abkürzungen ( nach Bild 14):

1 cm 1

2

2 cm 2

3

3 cm 3

4

4 cm 4

S f C

S f C

S f C

S f C

=

=

=

=

(5.23)

Die Betondruckkraft Fc bezogen auf die Koordinatenachsen ergibt sich aus der Integration der Spannung über

die Betondruckzone. Bei der Berechnung der Momente BMZ und BMY der Betondruckkraft ist der jeweilige

Hebelarm zu berücksichtigen. Es gilt:

c c c

c c c

c c c

F dA

BMZ F y y dA

BMY F z z dA

=

= =

= =

(5.24)

Die Aufspaltung in Einzelintegrationen ist der Tabelle 5 zu entnehmen. Die Umwandlung in Konturintegrale ist

in Tabelle 6 zusammengestellt.

Tabelle 5 : Flächenintegrale der Betondruckkraft und ihrer Biegemomente

F1 F2 F3 F4 F5

c c cF dA=

cdA czdA

2

cz dA 3

cz dA 4

cz dA

c cBMY zdA= czdA

2

cz dA 3

cz dA 4

cz dA 5

cz dA

c cBMZ ydA= cydA

cyzdA 2

cyz dA 3

cyz dA 4

cyz dA

Vorfaktoren (Si nach (5.23) und r nach Bild 14):

2 3 4

1 1 2 3 4

2 3

2 1 2 3 4

2

3 2 3 4

4 3 4

5 4

F rS r S r S r S

F S 2rS 3r S 4r S

F S 3rS 6r S

F S 4rS

F S

= − + − +

= − + −

= − +

= −

=




38


Tab

elle

4:

Zusa

mm

enst

ellu

ng a

ller

E-M

odul

beh

afte

ten F

läch

enin

tegra

le




39


Tab

elle

6:

Lösu

ngen

von F

läch

enin

tegra

tionen

aus

Kontu

rinte

gra

tionen

über

ein

en P

oly

gonzu

g




40


5.2 Querschnittswerte für Torsionsbeanspruchung

5.2.1 Allgemeine Zusammenhänge

Eine ähnliche Methode, wie bei den Querschnittswerten für die Biegebeanspruchung im Kap. 5.1 beschrieben, ist

für die Torsionskenngrößen eines Querschnitts nicht zufriedenstellend möglich. Die Aufstellung der

Differentialgleichungen des Torsionsproblems unter Beachtung nichtlinearer Werkstoffbeziehungen führt auf

komplizierte mathematische Zusammenhänge, wobei es den meisten theoretischen Lösungsansätzen der

Torsionsproblematik besonders hinsichtlich der Berücksichtigung wirklichkeitsnaher Werkstoffformulierungen

an Allgemeingültigkeit fehlt. Für eine numerisch einfach handhabbare Berechnungsmethode zur Bestimmung der

Torsionswerte ist man deshalb auf Näherungsverfahren angewiesen. Als eine Möglichkeit zur Vereinfachung der

Torsions-Differentialgleichungen bietet sich zunächst die Trennung von wirklichkeitsnahem Werkstoffverhalten

und Querschnittsform an. Dann können die für ein linear elastisches Materialverhalten aufgestellten

Differentialgleichungen des Torsionsproblems herangezogen werden, für die mehrere anwendbare

Lösungsmöglichkeiten bekannt sind. Diese rein von der Querschnittsform abhängenden Teilergebnisse müssen

dann anschließend in entsprechender Weise mit dem Werkstoffverhalten gekoppelt werden. Für diese

Vorgehensweise werden im Folgenden einige allgemeine grundlegende Gedanken ausgeführt.

Bereits im Fall eines homogenen Querschnitts mit linear

elastischem Werkstoffverhalten führt das Torsionsproblem auf

Differentialgleichungen der Potentialtheorie, wobei für die

wirksame Querschnittsfläche A(y,z) entweder die

Wölbfunktion (y,z) als Lösung der Laplace-Dgl. = 0 oder

die Spannungsfunktion T(y,z) als Lösung der Poisson-Dgl.

T = −2 für jeweils gegebene problemorientierte Randwerte

bestimmt werden muss. Die Wölbfunktion und die

Spannungsfunktion T sind über differentielle Beziehungen

miteinander verknüpft, so dass die Lösung einer der beiden

Randwertaufgaben ausreicht. Durch Integration dieser

Beziehungen kann die eine Funktion aus der anderen direkt

berechnet werden. Auf anschauliche Weise können die

Lösungen der Torsionspotentialgleichungen bekanntlich mit

einer Membran-Analogie (Prandtlsches Seifenhautgleichnis)

erläutert werden. Hierbei wird aus einer starren Ebene die zu

behandelnde Grundfläche herausgestanzt, über die Öffnung

eine Membran gespannt und von einer Seite ein konstanter

Einheitsdruck aufgebracht, der die Membran zur anderen Seite

aus der Grundflächenebene herauswölbt. Im Bild 15 ist dieser

Vorgang mit einer ausgestanzten Grundfläche b/h = 1,5/1,0 m

beispielhaft dargestellt. Diese gewölbte Membranfläche ist die zu der betrachteten Grundfläche gehörende

Potentialfläche als Lösung der Differentialgleichung = 0, wobei die Funktion (y,z) der homogenen Lösung

der Spannungsfunktion T entspricht. Das Volumen des Körpers, der aus der Grundfläche und der aufgespannten

Potentialfläche gebildet wird, stellt dann den halben St.Venantschen Torsionswiderstand für die Grundfläche dar.

Wenn die Potentialordinaten mit bezeichnet werden, gilt also tI 2 dA= . Über differentielle Beziehungen

z y

= −

und

y z

=

lassen sich aus bekannten Spannungsordinaten für weitere Berechnungen

Wölbordinaten bestimmen, mit denen dann der Wölbwiderstand zu 2C dA= berechnet werden kann.

Dieser Ausdruck stellt also das Volumen des aus der Grundfläche und dem Quadrat der Wölbordinaten gebildeten

Körpers dar.

Bild 15: Darstellung einer Potentialfläche

(Seifenhautgleichnis nach Prandtl)




41


Die mathematische Formulierung der Torsionsproblematik wird über Gleichgewichtsbetrachtungen am

Balkenelement vorgenommen, wobei hier nicht näher auf Einzelheiten eingegangen, sondern auf die Dissertation

Sauer [2] verwiesen wird. Dabei wird zunächst das Torsionsmoment als Spannungsresultante der Schub-

spannungen mit Hebelarm angeschrieben. Werden dann die Schubspannungen in Abhängigkeit der

Verschiebungen in Form der Wölbfunktion eingesetzt, folgt für den St.Venantschen Torsionswiderstand:

2 2

tI ( y z y z )dydzz y

= − + +

(5.25)

Für die Bestimmung der Wölbfunktion ist die Laplace-Dgl = 0 für zugehörende Randwerte zu lösen. Die

beiden anderen Glieder sind die Flächenträgheitsmomente um die Koordinatenachsen und entsprechen in der

Summe dem polaren Flächenträgheitsmoment.

Werden die Schubspannungen in Abhängigkeit der Spannungsfunktion T(y,z) in dieselbe Gleichgewichts-

bedingung eingesetzt, so ergibt sich der St.Venantsche Torsionswiderstand zu:

t

T TI ( y z )dydz

y z

= − +

(5.26)

wobei für die Spannungsfunktion T(y,z) die Poisson-Dgl T = −2 ebenfalls für entsprechende Randwerte gelöst

werden muss. Der differentielle Zusammenhang zwischen und T ist dabei wie folgt angegeben:

T T

z und ( y)y z z y

= + = − +

(5.27)

Beide angegebenen Ausgangsgleichungen zur Berechnung des St.Venantschen Torsionswiderstandes It müssen

das gleiche Ergebnis liefern und können deshalb zur gegenseitigen Kontrolle eingesetzt werden.

Obwohl die Ausgangsgleichungen für den St.Venantschen Torsionswiderstand und den Wölbwiderstand gleich

sind, soll nicht unerwähnt bleiben, dass der St.Venantsche Torsionswiderstand ein von der Lage des Koordina-

tensystems unabhängiger Wert trotz der Abhängigkeit der Wölbfunktion von der Lage des Koordinaten-

ursprungs und der Koordinatenachsen ist. Die Gleichung zur Bestimmung von It aus der Wölbfunktion (5.25)

enthält jedoch entsprechende Terme, die eine unterschiedliche Lage des Koordinatensystems kompensieren.

Dagegen ist der Wölbwiderstand ein koordinatenabhängiger Querschnittswert wie ein Flächenträgheitsmoment.

Der minimale Wölbwiderstand ergibt sich, wenn als Bezugspunkt der Schubmittelpunkt und die Hauptachsen-

richtungen gewählt werden. Dieser Zusammenhang zwischen Wölbwiderstand und Schubmittelpunkt eröffnet

eine Möglichkeit zur Berechnung des Schubmittelpunktes. Der Schubmittelpunkt eines Querschnitts kann

entweder als Querkraftmittelpunkt oder als Drillruhepunkt definiert werden:

a.) Querkraftmittelpunkt:

Berechnet wird derjenige Querschnittspunkt, durch den die Wirkungslinie der äußeren Querkraft gehen muss,

damit sich der Querschnitt bei der zugehörenden Biegung nicht verdreht.

b.) Drillruhepunkt:

Berechnet wird derjenige Querschnittspunkt, um den sich der Querschnitt bei einer Torsionsbelastung dreht,

wenn ihm kein anderer Drehpunkt aufgezwungen wird.

Gemäß den beiden Definitionen stehen zur Berechnung der Schubmittelpunktkoordinaten zwei Methoden zur

Verfügung, die wie bei der Bestimmung des Torsionswiderstandes identische Ergebnisse liefern müssen. Diese

doppelte Berechnungsmöglichkeit entspricht der bereits erwähnten Darstellung der Torsionsproblematik über die

Spannungsfunktion T (Querkraftmittelpunkt) oder über die Wölbfunktion (Drillruhepunkt).




42


Über die Funktion (y,z) als homogene Lösung der Spannungsfunktion T ergeben sich die Koordinaten des

Schubmittelpunktes zu:

2

M

y

2

M

z

1y ( y z z y )dy dz

y z I

1z ( y z y z )dy dz

y z I

= − + +

= − + +

(5.28)

Mit Hilfe der Wölbfunktion werden die Schubmittelpunktkoordinaten berechnet aus:

M

y

M

z

1y z dy dz

I

1z y dy dz

I

= −

= −

(5.29)

Die Werte Iy und Iz sind dabei jeweils die auf die Koordinatenachsen bezogenen Flächenträgheitsmomente.

Diese vorstehenden, verhältnismäßig einfach aussehenden Bestimmungsgleichungen für die Torsionswerte dürfen

jedoch nicht darüber hinwegtäuschen, dass die mathematische Formulierung der Wölbfunktion oder der

Spannungsfunktion T auf komplizierte Zusammenhänge führt. Als Grundfunktionen ergeben sich Ausdrücke, die

u.a. den natürlichen Logarithmus und den Arkustangens enthalten. Für allgemeine dickwandige Querschnitte

kommen deshalb normalerweise nur numerische Lösungsverfahren in Betracht. Als solch numerische Methoden

stehen dabei für einfache Querschnittsformen, wie Rechteck und Dreieck, Reihenentwicklungen (St.Venantsche

Spannungsfunktion) und für beliebige Querschnittsformen das Differenzenverfahren, das Randelement- bzw.

Integralverfahren und die Finite-Elemente-Methode zur Verfügung. In diesem Zusammenhang wird auf die

bereits erwähnte Arbeit von Sauer [2] verwiesen, wo die gesamte Torsionsproblematik ausführlich dargestellt und

eine auf einem Integralverfahren beruhende Lösungsmöglichkeit in Anlehnung an die Dissertation Mehlhorn [1]

aufgezeigt wird. An dieser Stelle sei noch darauf hingewiesen, dass für dünnwandige Querschnitte geeignete

geschlossene Lösungsfunktionen gefunden werden können, wie Wlassow [3] zeigt.

Bei der Verbindung von Querschnitt und Werkstoff besteht zum einen die Möglichkeit, mit dem bei Mehlhorn

und Sauer vorgestellten Integralverfahren die Torsionspotentialgleichung für die gesamte wirksame Betonfläche

zu lösen und somit den Einfluss der geometrischen Form des Querschnitts sehr genau zu erfassen. Dabei kann

jedoch mit nur einem mittleren konstanten Elastizitäts-, bzw. Gleitmodul über die Gesamtfläche gerechnet

werden, wodurch der Einfluss eines nichtlinearen Werkstoffverhaltens nur verhältnismäßig grob erfasst wird. Eine

andere Näherungslösung besteht darin, die wirksame Betonfläche in Bereiche einzuteilen, für diese Bereiche dann

jeweils getrennt eine linear elastische Berechnung unter Beachtung der betreffenden Rand- und

Übergangsbedingungen durchzuführen, und die Einzelergebnisse schließlich zu überlagern. Dabei kann der stetig

veränderliche, wirklichkeitsnahe Elastizitäts- oder Schubmodulverlauf bereichsweise konstant gesetzt werden.

Diese Vorgehensweise gestattet eine verhältnismäßig genaue Näherung des Elastizitäts- und Schubmodulverlaufs

über den Querschnitt. Der Einfluss der geometrischen Form der wirksamen Betonfläche wird aber ungenauer

erfasst, wobei eine richtige Berücksichtigung der Übergangsbedingungen an den Bereichsgrenzen eine Rolle

spielt. Über die Genauigkeit der beiden eben kurz erläuterten Näherungsverfahren für eine Bestimmung des

Schubmittelpunkts und der St.Venantschen Torsionssteifigkeit kann keine allgemein gültige Aussage getroffen

werden, da der Beanspruchungszustand und die geometrischen Verhältnisse des Querschnitts sowie die Art des

Elastizitäts- und Gleitmoduls (Sekanten- oder Tangentenmodul) von erheblicher Bedeutung sind und immer vom

gerade betrachteten Einzelfall abhängen.

Bei der Anwendbarkeit der beiden Näherungsverfahren setzt die zuerst angegebene Methode voraus, dass eine

entsprechende Lösungsmöglichkeit der Torsionspotentialgleichung für den Gesamtquerschnitt nach dem von

Mehlhorn [1] und Sauer [2] beschriebenen Integralverfahren besteht. Diese Voraussetzung wird nicht bei allen

Querschnittsformen gegeben sein. Eine einfacher anzuwendende Möglichkeit bietet die zweite beschriebene

Vorgehensweise. Die Unterteilung der wirksamen Betonfläche kann so vorgenommen werden, dass kompakte

vieleckige Teilbereiche ohne einspringende Ecken entstehen, für die bereits aufbereitete Lösungen der

Torsionspotentialgleichung vorhanden sind. Für T- und I- Träger ist es normalerweise ausreichend, die wirksame

Betonfläche in die Bereiche Obergurt, Steg und gegebenenfalls Untergurt einzuteilen. Für diese Teilbereiche




43


können dann entsprechende Lösungen nach dem Potentialverfahren ermittelt werden. Da in jedem Teilbereich ein

zwar linearisierter, aber dennoch beanspruchungsabhängiger Werkstoffverlauf angenommen wird, kann eine

wirklichkeitsnahe gekrümmte Werkstoffbeziehung besser als bei einer Linearisierung über die gesamte

Betonfläche angenähert werden. Diese genauere Berücksichtigung des Werkstoffverhaltens liefert für T- und

I- Querschnitte mit besonders ausgeprägten Gurten bei einer Berechnung der sehr wesentlichen

Torsionssteifigkeit erfahrungsgemäß die zutreffendsten Ergebnisse. Auch die Lage des Schubmittelpunktes kann

mit beiden angesprochenen Näherungen ermittelt werden. Er lässt sich jedoch keine so eindeutige Aussage wie

bei der Torsionssteifigkeit machen, welcher der beiden Wege eine zutreffendere Lage des Schubmittelpunktes

ergibt.

5.2.2 Berechnung der Querschnittswerte für Torsion

Wie im Kap. 5.2.1 beschrieben, führt die Behandlung des Torsionsproblems bereits für einen linear elastischen

und homogenen Werkstoff auf komplizierte differentielle Beziehungen, die für allgemeine Querschnittsformen

nur mit aufwendigen numerischen Methoden zu lösen sind.

Zur Bestimmung der Torsionskenngrößen (Schubmittelpunkt und St.Venantsche Torsionssteifigkeit) werden

deshalb Näherungsverfahren angewendet, die mit möglichst einfachen Mitteln eine einigermaßen zutreffende

Abschätzung erlauben. Die Vorgehensweise bei diesen Näherungen wird in allgemeiner Art ausführlich in den

letzten beiden Absätzen im Kap. 5.2.1 erläutert. Grundsätzlich werden die hier betrachteten Querschnittsformen

in einfache Bereiche, meist mehreckige Teilbereiche ohne einspringende Ecken, unterteilt. In diesen Teilbereichen

wird dann ein gekrümmtes wirklichkeitsnahes Werkstoffverhalten entsprechend linearisiert. Die Ergebnisse der

Teilbereiche werden anschließend aufsummiert.

Hinweis:

Die Berechnung der Torsionswerte erfolgt im Rechenprogramm QUERWERT aus rechentechnischen Gründen

nur für T- und I- Querschnitte, sowie kompakte Vielecke.

5.2.2.1 Gewichteter mittlerer Schubmodul

Der Schubmodul wird aus dem Elastizitätsmodul über die Querdehnungszahl bestimmt:

E

G2(1 )

=+

(5.30)

Der Elastizitätsmodul ist belastungsabhängig und kann über die Werkstoffbeziehung entweder als Sekanten- oder

Tangentenmodul bestimmt werden (s. Bild 13). Aus den in Kap. 5.2.1 beschriebenen Gründen wird

näherungsweise ein bereichsweise linearer Verlauf des Schubmoduls angesetzt. Diese Linearisierung wird

entsprechend den belastungsabhängigen Randbedingungen eines betrachteten Bereichs vorgenommen. Ein

mittlerer Elastizitätsmodul E ergibt sich allgemein sehr einfach aus einer Wichtung über die Fläche:

A

A

E(y, z)dA

E

dA

=

(5.31)

Im allgemeinen Fall fällt die Verzerrungsnulllinie nicht mit einer Hauptachse des betrachteten Bereichs zusammen

(s. Bild 14), so dass die im Zähler stehende elastische Fläche nach Gl. (5.13) berechnet werden muss. Für die

Faktoren Ei in Gl. (5.13) sind die Ausdrücke nach (5.11) einzusetzen, je nachdem ob ein Sekanten- oder

Tangentenmodul bestimmt werden soll.




44


Für Sonderfälle vereinfacht sich diese Vorgehensweise erheblich. Der Fall eines Rechteckquerschnitts mit parallel

zu einer Querschnittsseite verlaufender Verzerrungsnulllinie ist im Bild 16 dargestellt. Die Verläufe von

Spannungen und Verzerrungen sind dabei nur noch von der angegebenen z-Richtung abhängig, die differentielle

Fläche dA kann durch b∙dz ausgedrückt werden. Die Integration ist damit nur noch in z-Richtung von zu bis zo

auszuführen. Für einen mittleren Elastizitätsmodul gilt dann:

o

u

o

u

z

z

z

z

b E(z)dz

E

b dz

=

(5.32)

Die Integration kann auch direkt über die Verzerrung durchgeführt werden. Hierfür wird die Formel (5.32)

umgeformt. Der Zusammenhang zwischen und z lautet:

o u

u u(z) (z z )d

− = + −

Daraus folgt: o ud dz

d

− = . Der mittlere Elastizitätsmodul ergibt sich dann zu:

o

u

o

u

E( )d

E

d

=

(5.33)

Für den Verlauf des Elastizitätsmoduls E() kann nun der Tangenten- oder Sekantenmodul eingesetzt werden.

Für einen mittleren gewichteten Tangentenmodul tan

dE ( )

d

=

gilt dann:

o o

u u

o o

u u

o u

tan

o u

dd d

dE

d d

− = = =

−

(5.34)

Bild 16: Rechteckquerschnitt mit in z-Richtung

veränderlicher Beanspruchung




45


Der mittlere gewichtete Tangentenmodul tanE ergibt sich also durch Division der Spannungsdifferenz durch die

Verzerrungsdifferenz der Randfasern in dem jeweiligen Bereich. Für den hier behandelten, im Bild 16

dargestellten Sonderfall eines Rechteckquerschnitts kann der mittlere Tangentenmodul demnach in Form eines

Sekantenmoduls ermittelt werden. Es muss jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen werden, dass dieses Ergebnis

nicht allgemeingültig ist, sondern nur für den hier betrachteten Sonderfall gilt. Für diesen Sonderfall stellt dieses

einfache Ergebnis sogar die exakte Lösung dar.

Wird in Gl. (5.33) der Verlauf des Sekantenmoduls sek

( )E ( )

=

mit dem Spannungsverlauf nach Gl. (4.2)

eingesetzt, so folgt für einen gewichteten mittleren Sekantenmodul:

o

u

2 3

1 2 3 4

sek cm

o u

(C C C C )d

E f

+ + +

= −

Nach Ausführung der Integration, Einsetzen der Integrationsgrenzen und Division durch o−u ergibt sich:

2 2 3 2 2 31 1 1sek cm 1 2 o u 3 o o u u 4 o o u o u u2 3 4

E f C C ( ) C ( ) C ( )= + + + + + + + + + (5.35)

Diese Wichtungen des Elastizitätsmoduls können sowohl für den gesamten Bereich der Betondruckzone, als auch

für Teilbereiche vorgenommen werden. Näherungsweise gelten die für einen Rechteckquerschnitt abgeleiteten

Formeln (5.34) und (5.35) auch für einen beliebigen kompakten Querschnitt ohne einspringende Ecken.

5.2.2.2 St.Venantsche Torsionssteifigkeit

Die St.Venantsche Torsionssteifigkeit (GIt) setzt sich aus den beiden Anteilen der ungerissenen Betonfläche und

einer eventuell vorhandenen Torsionsbewehrung (s. Kap. 5.2.2.4) zusammen.

Die St.Venantsche Torsionssteifigkeit (GIt)c der ungerissenen Betonzone wird näherungsweise aus dem

St.Venantschen Torsionswiderstand, der mit einem mittleren gewichteten Gleitmodul G nach Kap. 5.2.2.1

multipliziert wird, ermittelt. Die Berechnung des Torsionswiderstandes It wird mit dem aufwendigen

Integralverfahren nach Mehlhorn [1] und Sauer [2] vorgenommen (siehe hierzu auch Kap. 5.2.1). Dabei wird

zuerst versucht, den Torsionswiderstand der gesamten ungerissenen Betonzone zu ermitteln. Falls sich aufgrund

ungünstiger geometrischer Verhältnisse der gesamten ungerissenen Betonzone (s. exemplarische Darstellungen

im Bild 18) numerische Probleme ergeben, so wird die ungerissene Betonzone in einfache Teilbereiche unterteilt.

Eine Aufteilung der Betonzone in die Anteile des Obergurts, des Stegs und gegebenenfalls des Untergurts ist

dabei völlig ausreichend. Für jeden dieser Teilbereiche wird dann getrennt eine Berechnung des

Torsionswiderstandes durchgeführt. Anschließend wird dieser Wert mit dem jeweiligen Schubmodul Gi

multipliziert. Die Einzelergebnisse werden dann aufsummiert:

t c i t ,i

i

(GI ) G I= (5.36)

Der Schubmodul Gi kann als Sekanten- oder Tangentenmodul eingesetzt werden. Diese Vorgehensweise ist im

Bild 17 für einen Sekantenmodul dargestellt. Der Schubmodul Gsek,i wird aus den Sekanten-E-Moduln nach

Gl. (5.30) bestimmt.

Bei einer ungerissenen Betonzone mit kompaktem Obergurt und nur einem kleinen „Steganhängsel“, wie im Bild

18aa dargestellt, können bei bestimmten geometrischen Gegebenheiten die Torsionswerte für die gesamte

Betonzone in einem ermittelt werden. Falls dieser Fall eintritt, werden die Ergebnisse einer getrennten

Berechnung für Obergurt und Steg ebenfalls angegeben.




46


Wie bereits erwähnt, werden die Berechnungen grundsätzlich mit dem Integralverfahren von Mehlhorn/Sauer

durchgeführt. Erst wenn die Berechnungsmethode nach dem Integralverfahren nicht zum Ziel führt, werden

weitere Näherungen angewendet. Da jedoch selbst für einfache allgemeine Querschnittsformen, wie z. B. die

Teilbereiche 1 und 2 im Bild 17, sich für den Torsionswiderstand keine geschlossenen Formeln angeben lassen,

werden diese Teilbereiche dann in flächengleiche Rechtecke unter Beachtung der Seitenverhältnisse

umgewandelt, für die dann auf bekannte Lösungen zurückgegriffen werden kann.

Für den Sonderfall einer rechteckigen Fläche bd gilt die bekannte Formel für den Torsionswiderstand:

It = t∙b∙d3 mit b d (5.37)

Der Faktor t hängt vom Seitenverhältnis b/d ab und wird über die folgende Reihenentwicklung der

St.Venantschen Spannungsfunktion ermittelt:

t 5

n 0

1 64 1 1 btanh (2n 1)

3 b / d 2n 1 2 d

=

= − + +

(5.38)

Die Faktoren t sind in Tabelle 7 zusammengestellt. Es sei in diesem Zusammenhang erwähnt, dass diese

Reihenentwicklung die exakte Lösung der Potentialfunktion des Torsionsproblems für eine rechteckige

Grundfläche darstellt.

c1

1

2

arctan E1sek,o

arctan E2sek,o

arctan E1sek,u

E1sek = ½(E1

sek,o + E1sek,u)

Bild 17: Aufteilung der ungerissenen Betonzone zur Berechnung der Torsionssteifigkeit




47


Es wird hier bewusst diese einfache und allgemein bekannte Formel angegeben, da sich die üblichen Beton-

querschnitte normalerweise immer aus rechteckigen Teilbereichen zusammensetzen lassen, wobei Gurte mit

Vouten oder schräg abgeschnittene Stegbereiche der Druckzone näherungsweise ebenfalls durch Rechtecke

ersetzt werden können.

Tabelle 7: Beiwerte zur Berechnung des Torsionswiderstandes für Rechteckquerschnitte It = tbd3

b/d t b/d t b/d t b/d t b/d t

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

2.05

2.10

2.15

2.20

2.25

2.30

2.35

2.40

2.45

0.140577

0.147443

0.153984

0.160206

0.166119

0.171733

0.177059

0.182112

0.186904

0.191449

0.195761

0.199852

0.203736

0.207424

0.210929

0.214261

0.217431

0.220449

0.223325

0.226066

0.228682

0.231179

0.233565

0.235847

0.238030

0.240121

0.242125

0.244047

0.245891

0.247663

2.50

2.55

2.60

2.65

2.70

2.75

2.80

2.85

2.90

2.95

3.00

3.10

3.20

3.30

3.40

3.50

3.60

3.70

3.80

3.90

4.00

4.10

4.20

4.30

4.40

4.50

4.60

4.70

4.80

4.90

0.249365

0.251002

0.252578

0.254095

0.255557

0.256966

0.258326

0.259639

0.260907

0.262132

0.263317

0.265573

0.267688

0.269676

0.271547

0.273312

0.274978

0.276555

0.278049

0.279466

0.280813

0.282094

0.283314

0.284477

0.285587

0.286648

0.287663

0.288635

0.289566

0.290459

5.0

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

10.0

11.0

12.0

13.0

14.0

15.0

16.0

17.0

18.0

19.0

20.0

21.0

0.291317

0.292141

0.292933

0.293695

0.294429

0.295136

0.295819

0.296477

0.297112

0.297726

0.298320

0.301013

0.303322

0.305322

0.307073

0.308618

0.309991

0.311219

0.312325

0.314235

0.315826

0.317173

0.318327

0.319328

0.320203

0.320976

0.321662

0.322276

0.322829

0.323329

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

60.

0.323784

0.324199

0.324580

0.324930

0.325253

0.325552

0.325830

0.326089

0.326331

0.326556

0.326768

0.326967

0.327154

0.327331

0.327498

0.327655

0.327805

0.327947

0.328081

0.328209

0.328331

0.328448

0.328559

0.328665

0.328766

0.328864

0.328957

0.329046

0.329132

0.329832

70.

80.

90.

100.

150.

200.

250.

300.

350.

400.

450.

500.

550.

600.

650.

700.

750.

800.

850.

900.

950.

1000.

2000.

3000.

4000.

5000.

6000.

7000.

8000.

9000.

0.330332

0.330707

0.330999

0.331233

0.331933

0.332283

0.332493

0.332633

0.332733

0.332808

0.332866

0.332913

0.332951

0.332983

0.333010

0.333033

0.333053

0.333071

0.333086

0.333100

0.333112

0.333123

0.333228

0.333263

0.333281

0.333291

0.333298

0.333303

0.333307

0.333310

5.2.2.3 Schubmittelpunkt

Die Bestimmung der Koordinaten yM und zM des Schubmittelpunktes über die Gleichungen (5.28) oder (5.29)

erfordert die Kenntnis der Wölbfunktion oder der homogenen Lösung der Spannungsfunktion T, was schon

für allgemeine dickwandige kompakte Querschnittsformen nur mit erheblichem numerischem Aufwand zu

erreichen ist.

Für die Bestimmung des Schubmittelpunktes wird in Analogie zur Berechnung der Torsionssteifigkeit ebenfalls

nur die ungerissene Betonzone berücksichtigt. Im Bild 18 sind für die hier betrachteten Querschnitte häufig

vorkommende Fälle der Nulllinienlage und die damit verbundenen Formen einer ungerissenen Betonzone

exemplarisch dargestellt. Die Form dieser Flächen kann nur in wenigen Fällen als „kompakt“ bezeichnet werden.

Für solche teilweise „bizarren“ Gesamt-Bereiche ist eine geschlossene Lösung mit einer numerisch vertretbaren

Lösungsmethode nicht mehr zu bewerkstelligen. Deshalb wird auf das gleiche Verfahren wie bei der Ermittlung

der Torsionswerte (s. Kap. 5.2.2.2) zurückgegriffen.




48


Als Näherung kann aus bekannten Lösungen für Teilbereiche der betrachteten Betonzone über eine entsprechende

Wichtung ein für die Gesamtfläche verhältnismäßig zutreffendes Ergebnis für die Lage des Schubmittelpunktes

des Gesamtbereichs erhalten werden. Dabei wird wie bei der Bestimmung des Torsionswiderstandes die gesamte

wirksame Betonfläche in die Teilbereiche Obergurt, Steg und gegebenenfalls Untergurt aufgeteilt. Für diese

Teilbereiche wird dann zunächst der Schubmittelpunkt mit dem von Mehlhorn [1] und Sauer [2] beschriebenen

Integralverfahren (Potentialtheorie-Analogie) bestimmt. Für rechteckige Teilbereiche fällt der Schubmittelpunkt

mit dem Schwerpunkt zusammen. Aus der Definition des Schubmittelpunktes als Querkraftruhepunkt

(s. Kap. 5.2.1), was eine Biegung in Hauptachsenrichtung ohne Verdrehung voraussetzt, kann der

Schubmittelpunkt der Gesamtfläche über eine Wichtung der Schubmittelpunkte der Teilbereiche mittels der

entsprechenden Teil-Biegesteifigkeiten vorgenommen werden.

Bereits Mehlhorn [1] leitet für einen zur z-Achse symmetrischen I-Querschnitt unter einachsiger Biegebelastung

folgende Formel für den Schubmittelpunktabstand zM ab:

M,o z o M,u z u

M

z o z u

z (EI ) z (EI )z

(EI ) (EI )

+=

+ (5.39)

mit zM,o ; zM,u = Abstand des Schubmittelpunktes für den Ober- und Untergurt (s. Bild 18, Fall db)

(EIz)o ; (EIz)u = Biegesteifigkeit des Ober- bzw. des Untergurtes

Dabei wird von Mehlhorn vorausgesetzt, dass der Steg keinen wesentlichen Beitrag zu den Biegesteifigkeiten um

die z-Achse leistet, was bei zur z-Achse symmetrischen I-Querschnitten mit ausgeprägten Gurten auch der Fall

ist. Bei den hier betrachteten Querschnitten (s. Bild 18) trifft diese Annahme jedoch meistens nicht mehr zu. Dies

ist vor allem dann der Fall, wenn Teile vom Obergurt und/oder Untergurt gerissen sind, und größere Bereiche der

Druckzone im Steg liegen. Die Formel (5.39) wird daher um den Steganteil erweitert und lautet dann:

M,o z o M,St z St M,u z u

M

z o z St z u

z (EI ) z (EI ) z (EI )z

(EI ) (EI ) (EI )

+ +=

+ + (5.39a)

Bei den von Mehlhorn betrachteten, einfach symmetrischen Querschnitten unter einachsiger Biegebelastung liegt

der andere Schubmittelpunktabstand yM auf der Symmetrieachse, so dass keine Notwendigkeit bestand, auch yM

zu berechnen. In Analogie zur Berechnung von zM wird hier für den Abstand yM angesetzt:

M,o y o M,St y St M,u y u

M

y o y St y u

y (EI ) y (EI ) y (EI )y

(EI ) (EI ) (EI )

+ +=

+ + (5.39b)

In beiden Formeln sind die Teil-Biegesteifigkeiten (EIz) und (EIy) auf den Schwerpunkt der Einzelbereiche und

die gegebenen Achsenrichtungen bezogen. Die Koordinaten yM,i und zM,i der Einzel-Schubmittelpunkte Mi

werden mit dem von Mehlhorn/Sauer beschriebenen Integralverfahren (Potentialtheorie-Analogie) berechnet.

Eine Torsionsbewehrung bleibt bei der Berechnung der Lage des Schubmittelpunktes grundsätzlich

unberücksichtigt. Die für die Verdrehung um den Schubmittelpunkt maßgebende Torsionssteifigkeit wird fast

ausschließlich von der Größe der ungerissenen Betonfläche bestimmt. Eine meist geringe Torsionsbewehrung

beeinflusst den Wert der Torsionssteifigkeit nur unwesentlich. Auch die Lage des Schubmittelpunktes wird

vorwiegend von der Größe und der Form der ungerissenen Betonfläche bestimmt. Eine Torsionsbewehrung hat

daher im Vergleich zur wirksamen Betonfläche einen vernachlässigbaren Einfluss.

Das folgende Bild 18 zeigt beispielhaft einige Möglichkeiten einer Betondruckzone. Im Kap. 9.8 sind die

Ergebnisse der Berechnungen für Betondruckzone, Schwerpunkt und Schubmittelpunkt für die hier

verwendeten Beispiel-Querschnitte aus Kap. 9 bildlich dargestellt.




49


Fall a: ungerissene Betonzone nahezu kompakt; größtenteils nur Obergurt

Fall b: T-Querschnitt; ungerissene Betonzone aus Teilen von Obergurt und Steg

Fall c: I-Querschnitt; ungerissene Betonzone aus Teilen von Obergurt, Steg, Untergurt

Fall d: Querschnitt nicht gerissen oder nur im Untergurt gerissen

Bild 18: Mögliches Aussehen ungerissener Betonflächen bei T- und I-Querschnitten

aa.) ab.) ac.)

ba.) bb.) bc.)

ca.) cb.) cc.)

da.) db.) dc.)

S

M

S

Mu

Mo

zMu

zMo

zM

y

z




50


Wenn das Integralverfahren nicht zum Ziel führt, kann man ein Ergebnis für beide Schubmittelpunktabstände

über die allgemein gültigen Formeln (5.29) erhalten, wenn für die Wölbfunktion (y,z) näherungsweise, in

Anlehnung an Wlassow [3], ein für dünnwandige Querschnitte geltender Ansatz (y,z) = yz eingesetzt wird.

Damit folgt aus den Formeln (5.29), wenn noch mit dem Elastizitätsmodul erweitert wird:

2

M

z

2

M

y

1z E y z dA

(EI )

1y E y z dA

(EI )

= −

= −

(5.40)

Diese Integralausdrücke treten bereits bei der Bestimmung der wirklichkeitsnahen Querschnittswerte für Biegung

auf und erfordern deshalb keine neuen Überlegungen bei der expliziten Berechnung. Sie liefern jedoch nur eine

sehr grobe Näherung für die hier vorkommenden dickwandigen Querschnitte.

5.2.2.4 Berücksichtigung einer Torsionsbewehrung

Schließlich soll noch auf den Einfluss einer Bewehrung bei der Ermittlung von Torsionsquerschnittswerten

eingegangen werden. Man muss sich jedoch darüber im Klaren sein, welchen Stellenwert eine Torsionsbewehrung

im Rahmen der hier betrachteten Träger besitzt. Wie bereits zuvor kurz ausgeführt, ist die Torsionsbeanspruchung

nur als Folge einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung zu sehen und deshalb wesentlich kleiner als die

Biegebeanspruchung. Eine Torsionsbewehrung wird deshalb nur konstruktiv vorhanden sein. Erst bei hochgradig

auf Biegung ausgenutzten und damit in weiten Bereichen gerissenen Querschnitten, bei denen deshalb nur noch

eine geringe wirksame Restfläche des Betons für die Aufnahme der Torsionsbeanspruchung verbleibt, wird die

Berücksichtigung dieser konstruktiven Torsionsbewehrung überhaupt zahlenmäßig spürbar und damit

zweckmäßig sein. Die Frage, ob diese Berücksichtigung auch von Nutzen ist, sei dahingestellt, da die

entscheidende Größe für die Bestimmung der Torsionswerte die ungerissene Betonzone ist. Eine

Torsionsbewehrung bleibt deshalb bei der Berechnung des Schubmittelpunktes grundsätzlich unberücksichtigt,

wobei anzumerken ist, dass auch kein Verfahren bekannt ist, nach dem die Bestimmung des Schubmittelpunktes

eines inhomogenen Querschnitts mit vertretbarem Aufwand vorgenommen werden kann.

Im Folgenden werden die Formeln zweier einfacher Näherungsverfahren angegeben, mit denen eine

Torsionsbewehrung näherungsweise berechnet werden kann und damit bei der St.Venantschen Torsionssteifigkeit

auch berücksichtigt werden könnte.

Die Torsionssteifigkeit einer Torsionsbewehrung kann mit der auf Collins [4] zurückgehenden Formel wie folgt

bestimmt werden:

2

s,Bü s,Ls 0

t s

0 Bü L

A AE 4A(GI )

2 U a a= (5.41)

mit Es = Elastizitätsmodul der Torsionsbewehrung

Ao = Fläche, die von den Verbindungslinien der Mittelpunkte der Eckbewehrungen umschlossen wird

Uo = Umfang der Fläche Ao

As,Bü ; As,L = Querschnittsfläche eines Bügels bzw. Längsstabes

aBü ; aL = Abstand der Bügel bzw. Längsstäbe

Diese Formel stellt die Torsionssteifigkeit eines aus Bügeln und Längsstäben gebildeten Bewehrungskorbes für

den völlig gerissenen Beton in Anlehnung an die bekannte Bredtsche Formel dar. Es handelt sich dabei um eine

Beziehung aus der Fachwerktheorie, wobei die zum Gleichgewicht benötigten Betondruckstreben vereinfacht als

dehnstarr und unter 45 verlaufend angenommen werden.




51


Eine ähnliche Formel wird von Leonhardt [5], ebenfalls für einen "verschmierten" Bewehrungskorb, aber mit

dehnsteifen 45-Betondruckstreben angegeben:

3

s 0

t s 200

L Bü 0

4E A 1(GI )

4nA1 1U

U t

=

+ +

(5.42)

mit

s,L s,Bü0 0L Bü

L 0 Bü 0

s c

t Dicke der Betondruckstreben

weitere Bezeichnungen wie bei (5.41)

A AU U

a A a A

n E / E

=

= =

=

Die Dicke der Betondruckstreben wird aus der Betonüberdeckung der Bügel, dem Durchmesser der Bügel und

dem Durchmesser der Längsbewehrung ermittelt und ist der doppelte Abstand des Mittelpunktes des Längs-

bewehrung von der Außenkante des Querschnitts.

Für n → 0 ( = dehnstarr) ergibt sich:

3

s 0 L Bü

t s 2

L Bü0

4E A(GI )

U

=

+ (5.42a)

Nur im Falle n = 0 und L = Bü stimmen beide Formeln (5.41) und (5.42) überein. Beim zahlenmäßigen

Vergleich liefert die Formel (5.41) immer etwas größere Werte und liegt damit auf der unsicheren Seite. Bei einer

über die konstruktiven Maßnahmen hinausgehenden Anordnung einer Torsionsbewehrung wird damit die

Anwendung der einfacheren Formel (5.41) problematisch. Es sollte dann die etwas aufwendigere Formel (5.42)

verwendet werden. Für Träger mit einer nur konstruktiven Torsionsbewehrung sind die zahlenmäßigen

Unterschiede von untergeordneter Bedeutung.

Die Torsionssteifigkeit des Querschnitts ergibt sich aus der Addition der beiden Anteile aus der Betondruckzone

und der Bewehrung:

t t c t s(GI ) (GI ) (GI )= + (5.43)

5.3 Literatur zur Torsionsproblematik

[1] Mehlhorn, Gerhard: „Ein Beitrag zum Kipp-Problem bei Stahlbeton- und Spannbetonträgern“,

Dissertation D14, Darmstadt 1970, abgedruckt in Heft 238 DAfStb

[2] Sauer, Ernst: „Schub und Torsion bei elastischen prismatischen Balken“, Dissertation Darmstadt 1979,

Heft 29 der Mitteilungen aus dem Institut für Massivbau der TH Darmstadt,

Verlag W. Ernst & Sohn 1980

[3] Wlassow, W.S.: „Dünnwandige elastische Stäbe“ VEB Verlag für Bauwesen, Band 1, 1964,

und Band 2, 1965

[4] Collins, Michael: „Torque-Twist Characteristics of Reinforced Concrete Beams“,

in: Inelasticity an Non-Linearity in Structural Concrete, SM Study No. 8,

University of Waterloo Press, Waterloo, Ontario, 1972, pp. 211-232

[5] Leonhardt, Fritz: „Vorlesungen über Massivbau“, Teil 4, 3. Auflage, Springer Verlag 1984




52


6. Erläuterungen zur Dateneingabe

Aufgrund der im Folgenden beschriebenen Angaben (Punkte 1. bis 12.) ist eine Datendatei zu erstellen. Dies kann

direkt mit einem Texteditor (z.B. Editor oder Wordpad) erfolgen. Die Zahleneingabe kann formatgebunden, d.h.

die Zahlen müssen aufgrund der Formatangaben an bestimmten Stellen stehen, oder formatfrei, d.h. die Zahlen

werden jeweils nur mit einem Komma voneinander getrennt, erfolgen. Jede Zeile, außer der ersten Textzeile,

sollte bei formatfreier Eingabe mit einem Komma abgeschlossen werden. Die formatgebundene Eingabe hat den

Vorteil einer besseren Übersichtlichkeit ist jedoch schwieriger zu handhaben. Der vom Programm geforderte

Zahlentyp (Real oder Integer) ist einzuhalten. Real-Zahlen können auch im E-Format eingegeben werden.

Wesentlich einfacher ist die Methode, eine bereits vorhandene Eingabedatei (z.B. eine der hier verwendeten

Musterbeispiele) in den Editor zu laden, entsprechend den neuen Vorgaben zu ändern und mit neuem Namen

abzuspeichern.

Für den weniger geübten Anwender steht aber auch das Eingabeprogramm QUWEIN zur Verfügung. Dieses

Programm führt im Bildschirmdialog durch die notwendigen Angaben und speichert die eingegebenen Daten in

einer formatgebundenen Datei ab. Mit dem Eingabeprogramm QUWEIN ist ebenfalls die Korrektur einer bereits

vorhandenen Eingabedatei möglich, wobei deren Daten schrittweise als Vorlage am Bildschirm aufgelistet, die

Korrekturwünsche erfragt und Korrekturen bei Bedarf vorgenommen werden. Am Ende der Korrekturen wird

dann die neue Datendatei abgespeichert.

Die Eingabe der Querschnittsgeometrie und die Lage der Bewehrungen erfolgt mit Hilfe eines Koordinaten-

systems, dessen Nullpunkt frei wählbar ist. Die Achsen dieses Eingabekoordinatensystems sind dabei so fest-

gelegt, dass die y-Achse nach rechts und die z-Achse nach unten zeigt. Die x-Achse verläuft dann in Träger-

längsrichtung.

Es ist sinnvoll, den Koordinatenursprung an die Querschnittsoberkante und die z - Achse in eine evtl. vorhandene

Symmetrieachse des Querschnitts zu legen.

Für die Ein- und Ausgabewerte sind folgende Dimensionen festgelegt:

• Die Längen - Einheit ist [m].

• Bewehrungsdurchmesser werden in [mm] ,

• Bewehrungsflächen in [cm2] angegeben.

• Die Kraft - Einheit kann als [kN] oder [MN] über eine Steuergröße gewählt werden.

• Je nach Wahl sind Spannungen und E-Moduln in [kN/m2] oder [MN/m2] anzugeben.

Zur Beschreibung und Verdeutlichung der Eingabe werden in der folgenden Beschreibung die im Programm

verwendeten Variablennamen genommen und die entsprechenden FORTRAN-Lesebefehle und -Formate ange-

geben. An den Formaten ist zu erkennen, ob Text im A-Format oder Zahlen vom Typ Integer (I) oder Real (F)

einzugeben ist. Ganze Zahlen vom Typ Integer sind nur bei den Punkten 2. , 10. und 12. vorhanden.

Zur Erinnerung: Integer-Zahlen sind ganze Zahlen ohne Dezimalpunkt. Falls dieser Zahlentyp verlangt wird, muss

eine entsprechende Eingabe erfolgen. Das Programm läuft sonst auf einen Lesefehler! Demgegenüber können

ganzzahlige Dezimalzahlen auch ohne Dezimalpunkt eingegeben werden. Dies ist eine FORTRAN-Konvention.




53


Die folgenden zwölf Eingabepunkte sind zu bearbeiten, wobei die Punkte sieben, acht und neun nur bei

entsprechend vorhandener Bewehrung zu berücksichtigen sind:

1. Eine Überschriftzeile mit maximal 75 alphanumerischen Zeichen zur Kennzeichnung des Projektes

(Spalte 1 bis 75)

READ (NDE,’(A75)’) PROJ

2. Anzahl der Eckpunkte des Betonquerschnitts (NB), Anzahl der nicht vorgespannten (NF) und der

vorgespannten Bewehrung (NV) sowie eine Kennzahl (NH) zur Steuerung der Querschnittseingabe, eine

Steuerzahl (KEH) für die Wahl der Krafteinheit kN (KEH=2) oder MN (KEH=1), eine weitere Steuerzahl

(NTOB) für die Berücksichtigung einer Torsionsbewehrung bei der Berechnung von

Torsionsquerschnittswerten für ausgewählte Querschnitte (siehe hierzu Nr. 9.) und eine Steuerzahl (LWGS)

für die Ausgabe der Approximation des Betonwerkstoffverhaltens

Hinweis zu NH: Diese Eingabe dient der Kompatibilität der Eingabedateien für die Programme KIPNT2

und QUERWERT. Mit NH wird gesteuert, ob ein Parallelgurtträger (NH=0, nur

ein Querschnitt wird eingelesen) oder ein Satteldachträger (NH=1, Anfangs- und

Mittelquerschnitt werden eingelesen) vorliegt.

Hinweis zu NTOB: NTOB = 0 => Es wird keine Torsionsbewehrung eingelesen.

NTOB = 1 => Eingabe von Torsionsbewehrung;

Bewehrung ist für gesamten Querschnitt gleich

NTOB = 2 => Eingabe von Torsionsbewehrung;

Bewehrung ist im Obergurt, Steg und ggf. Untergurt unterschiedlich.

Hinweis zu LWGS: LWGS = 0 => keine Ausgabe - Standardwert

LWGS = 1 => Ausgabe der Betonwerkstoffapproximation in Tabellenform.

READ (NDE,’(8I10)’) NB,NF,NV,NH,KEH,NTOB,LWGS

3. y- und z-Koordinaten der Eckpunkte des Betonquerschnitts

Die Eckpunkte des Querschnitts werden von '1' bis 'NB' im Uhrzeigersinn, also in mathematisch positiver

Umlaufrichtung, durchnummeriert. Punkt 1 muss für Rechteck, T- und I-Querschnitte der linke untere

Eckpunkt sein, um bei der Bestimmung der Torsionswerte die richtige Einteilung des Querschnitts in

Obergurt, Untergurt und Steg vornehmen zu können.

für NH = 0 (Parallelgurtträger): READ (NDE,’(8F10.0)’) (YB(I),ZB(I),I=1,NB)

für NH = 1 (Satteldachträger:

Es werden zuerst die Koordinaten der Eckpunkte des Anfangsquerschnitts und dann die der Eckpunkte

des Mittelquerschnitts eingelesen!

READ (NDE,’(8F10.0)’) (YBA(I),ZBA(I),I=1,NB)

READ (NDE,’(8F10.0)’) (YB(I),ZB(I),I=1,NB)

Die Anzahl der einzugebenden y-z-Wertepaare ist NB, wie unter Punkt 2 bereits angegeben. Pro Eingabezeile

werden maximal vier Wertepaare gelesen. Insgesamt können maximal 50 Eckpunkte berücksichtigt werden.




54


4. Kenndaten für den verwendeten Beton und weitere Steuergrößen

READ (NDE,’(F10.0,I2,F8.0,F10.0,6F5.0,F10.0,2F5.0)’)

BN,KDIN,QDZ,ALFA,EC,STW,PHIEF,ERED,ALFE,FFCM,GBET,FG0,STKR

Die Variablen bedeuten:

- BN Betonfestigkeitsklasse (charakteristische Festigkeit fck oder Nennfestigkeit wN )

Anzugeben ist die Betonfestigkeitsklasse in der üblichen Form:

Für einen C30/37 nach DIN 1045-1:2008-08 bzw. DIN EN 1992-1-1:2011-01 ist die Doppelzahl

3037. einzulesen, für einen B35 nach DIN 1045:1988 die Zahl 35. . Alle weiteren erforderlichen

Angaben sind gemäß den Vorgaben in den DIN-Normen in einem Unterprogramm gespeichert und

werden von dort abgerufen.

Eine negative Eingabe bedeutet die Eingabe eines Sonderbetons, siehe hierzu Nr 4.1 .

- KDIN Steuergröße, ob mit DIN 1045-1:2008-08 (KDIN=0) oder DIN EN 1992-1-1:2011-01 (KDIN=1)

gerechnet werden soll.

Durch die Eingabe bei BN und KDIN wird gesteuert, ob die Berechnung nach DIN 1045-1:2008-08 bzw.

DIN EN 1992-1-1:2011-01 oder DIN 1045:1988 erfolgen soll. Wenn mit Standardwerten gerechnet werden

soll, genügen diese beiden Angaben.

- QDZ Querdehnungszahl des Betons

→ Bei Eingabe von 0. wird mit QDZ = 0.2 gerechnet.

- ALFA Faktor zur Ermittlung des Bemessungswerts der Betonfestigkeit fcd aus DIN-Kennwerten

DIN EN 1992-1-1:2011-01 bzw. DIN 1045-1:2008-08:

Der Faktor berücksichtigt u.a. die Langzeitwirkung auf die Betondruckfestigkeit

(Beiwert bzw. cc nach DIN) bei Bestimmung des Bemessungswertes aus der eingelesenen

charakteristischen Festigkeit fck: fcd = ALFAfck/C.

→ Bei Eingabe von 0. wird mit ALFA = 0,85 gerechnet.

DIN 1045:1988 und DIN 4227 :

Der Faktor dient zur Ermittlung der für die Berechnungen maßgebenden Prismenfestigkeit P aus

der mittleren Würfeldruckfestigkeit Wm unter Berücksichtigung der eingelesenen

Nennfestigkeit WN : Mit Wm = WN + 5 [N/mm2] gilt P = ALFA(BN+5)

Normalerweise wird für den Faktor ALFA angegeben:

ALFA = 0,85 für Kurzzeitverhalten

(entspricht der Umrechnung der Würfelfestigkeit auf die Prismenfestigkeit)

ALFA = 0,70 für Langzeitverhalten

(0,850,85 aus Umrechnung der Würfelfestigkeit in Prismenfestigkeit mal

Dauerlasteinfluss)

→ Bei Eingabe von 0. wird mit ALFA = 0,7 gerechnet.

- EC Steuerung für die Wahl des E-Moduls Ecm bei der Bestimmung der Spannungs-Dehnungs-Linie

des Betons:

DIN EN 1992-1-1:2011-01, Abschnitt 3.1.5, Gl. (3.14), und Tabelle 3.1:

EC = 0. heißt: Es wird der Formelwert Ecm = 22(fcm/10)0,3 genommen.

EC = 1. heißt: Es wird der gerundete Tabellenwert für Ecm genommen.

DIN 1045-1:2008-08, Abschnitt 9.1.5, Gl. (62-64), und Tabelle 9:

EC = 0. heißt: Es wird der Formelwert Ec0m = 9500(fck+8)1/3 genommen.

EC = 1. heißt: Es wird der gerundete Tabellenwert für Ec0m genommen.

Bei einer anderen Eingabe als 0. oder 1. wird der angegebene Wert als Ecm bzw. Ec0m genommen!

Ecm bzw. Ec0m ist dann in [kN/mm2] anzugeben.




55


- STW Steuerzahl für die Wahl des Betonwerkstoffverhaltens

STW = 0: Grenzzustand der Tragfähigkeit mit Parabel-Rechteck-Diagramm und

Verformungszustand mit wirklichkeitsnahem Verhalten (Hyperbelverlauf) nach

DIN EN 1992-1-1:2011-01, Abschnitt 3.1.7, Bild 3.3, und Abschnitt 3.1.5,Bild 3.2,

siehe Kap. 4.1;

bzw. DIN 1045-1:2008-08, Abschnitt 9.1.6, Bild 23, und Abschnitt 9.1.5, Bild 22,

siehe Kap. 4.2;

oder DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988, siehe Kap. 4.3

→ STW = 0 ist der Standardfall

STW =1 : Grenzzustand der Tragfähigkeit und Verformungszustand mit Hyperbelverlauf

und Spitzenwert fcm

STW = −1: Grenzzustand der Tragfähigkeit und Verformungszustand mit Parabel-Rechteck-

Verlauf und Spitzenwert fcd

STW = 2: Grenzzustand der Tragfähigkeit mit Hyperbelverlauf und Spitzenwert fcd ;

Verformungszustand mit Hyperbelverlauf und Spitzenwert fcm

STW = −2: Grenzzustand der Tragfähigkeit und Verformungszustand mit Hyperbelverlauf

und Spitzenwert fcd

- PHIEF Steuerung zur Berücksichtigung des Kriechens nach DIN EN 1992-1-1:2011-01,

Abschnitte 5.8.6(4) und 5.8.4, bei der Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons

mittels einer effektiven Kriechzahl ef (auch für DIN 1045-1:2008-08):

PHIEF = 0.: Es wird kein Kriechen berücksichtigt.

PHIEF > 0.: PHIEF ist die effektive Kriechzahl (s. Kap. 4.4).

- ERED Steuerzahl für E-Modul der Bewehrungen :

ERED = 0: E-Modul bleibt unverändert. → Standardfall

ERED 0: E-Modul wird durch den Sicherheitsbeiwert der Bewehrung geteilt.

- ALFE Beiwert E für die Gesteinskörnung zur Ermittlung des E-Moduls Ecm

gemäß DIN EN 1992-1-1:2011-01, Abschnitt 3.1.3(2), mit Heft 600 DAfStb

Für den Normalfall von quarzitischen Zuschlägen ist E = 1,0.

→ Bei Eingabe von 0. wird mit ALFE = 1,0 gerechnet.

- FFCM Faktor zur Berücksichtigung eines Dauereinflusses bei Berechnungen

nach DIN 1045-1:2008-08, Abschn.8.6.1(7)

mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte: FFCM·fcm/γC , FFCM·Ecm/γC

→ Bei Eingabe von 0. wird mit FFCM = 1,0 gerechnet.

- GBET Rohdichte des Betons in kN/m3 oder MN/m3 je nach gewählter Krafteinheit

(nur für KIPNT2 erforderlich!)

- FG0 Faktor zur Verringerung des Gleitmoduls im Anfangsquerschnitt (nur für KIPNT2 erforderlich!)

- STKR Angaben zur Stelle des kritischen Querschnitts bei Satteldachträgern

STKR = 0. : Berechnungsquerschnitt ist der Mittelquerschnitt → Standardfall

STKR = 1. : Bestimmung des Berechnungsquerschnitts über Formel mit den Querschnittshöhen

In diesem Fall wird der kritische Schnitt = x/ wie folgt ermittelt:

( ) 2 m

krit

m 0

h11 mit a a 1 und a

2 h h = − = − − =

−

mit hm = Höhe in Trägermitte und h0 = Höhe am Trägeranfang, bzw. – ende.

STKR = 0.xx : Explizite Angabe des kritischen Schnitts x/L, z.B. 0.38

Mit diesen Angaben werden die Koordinaten der Eckpunkte des kritischen Querschnitts und die

Lage der Bewehrungen bestimmt und dann die weiteren Berechnungen durchgeführt.




56


Eingabe nur für BN < 0:

***********************************************************************************************

4.1 Kenndaten für Sonderbeton

Soll mit einem anderen als den angegebenen Standard-Werkstoffgesetzen gerechnet werden, so muss für BN ein

negativer Zahlenwert eingegeben werden. Bei Eingabe einer Zahl zwischen –1. und –999. erfolgt eine Berechnung

nach DIN 1045:1988, bei jeder anderen negativen Zahl eine nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 (KDIN=1), bzw.

DIN 1045-1:2008-08 (KDIN=0). Es werden dann keine voreingestellten Zahlenwerte zur Beschreibung des

Betonverhaltens aus einem Unterprogramm abgerufen. Alle erforderlichen Werte müssen dann über die

Eingabedatendatei eingelesen werden.

Zusätzlich zu den Kenndaten bei Punkt 4. sind weitere Werte einzulesen. Es sind dies im Einzelnen:

READ (NDE,’(8F10.0)’) FCK,FCM,ECM,HOZ,VA,VB,VC,VS

Nur für VS = 1. zusätzlich:

READ (NDE,’(4F20.0)’) (A(I),I=1,4)

READ (NDE,’(4F20.0)’) (B(I),I=1,4)

- FCK = Charakteristische Festigkeit fck oder Rechenfestigkeit des Betons R in [N/mm2]

- FCM = mittlere Festigkeit fcm oder Wm des Betons für das Verformungsverhalten in [N/mm2]

- ECM = E-Modul Ecm des Betons bei Beschreibung des Werkstoffverhaltens in [kN/mm2]

nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 (KDIN=1), siehe Kap. 4.1.1,

oder E-Modul Ec0m des Betons bei Beschreibung des Werkstoffverhaltens in [kN/mm2]

nach DIN 1045-1:2008-08 (KDIN=0), siehe Kap. 4.2.1,

oder E-Modul Eb des Betons für den Zustand I nach DIN 1045:1988 in [kN/mm2]

- HOZ = Hochzahl n bei Parabel-Rechteck-Diagramm

nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 (KDIN=1), siehe Kap. 4.1, Tabelle 1,

und nach DIN 1045-1:2008-08 (KDIN=0), siehe Kap. 4.2, Tabelle 5

Hinweis: Bei Eingabe von 0., wird HOZ = 2. (quadratische Parabel) gesetzt.

- VA = Vorfaktor bei Ecm im Ausdruck k beim Beton-Werkstoffverhalten

nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 (KDIN=1), siehe Kap. 4.1, Gleichung (4.1)

Hinweis: Bei Eingabe von 0., wird VA = 1.05 gesetzt.

oder Faktor a beim Beton-Werkstoffverhalten nach Grasser für Berechnungen

nach DIN 1045:1988, siehe Kap. 4.3, Gleichung (4.11) und Tabelle 9

- VB = Faktor b beim Beton-Werkstoffverhalten nach Grasser für Berechnungen

nach DIN 1045:1988, siehe Kap. 4.3 Gleichung (4.11) und Tabelle 9

- VC = Faktor c beim Beton-Werkstoffverhalten nach Grasser für Berechnungen

nach DIN 1045:1988, siehe Kap. 4.3 Gleichung (4.11) und Tabelle 9

- VS = Steuergröße, ob die Koeffizienten des Betonverhaltens

vom Programm intern berechnet werden (VS = 0)

Hinweis: Dafür werden die hier eingelesenen Werte FCK,FCM,ECM,HOZ,VA,VB,VC

nach Bedarf verwendet, um für die in Kap. 4. angegebenen Werkstoff-Gleichungen die

benötigten Koeffizienten zu ermitteln.

oder eingelesen werden (VS = 1).

Nur für VS = 1. :

- A = vier Koeffizienten des Betonverhaltens für Grenzzustand der Tragfähigkeit

- B = vier Koeffizienten des Betonverhaltens für Schnittgrößen und Verformungszustand

Diese Werte sind zusätzlich an dieser Stelle der Eingabedatei mit einer (VS=0) bzw. drei (VS=1) weiteren

Datenzeilen einzulesen. (siehe Beispiele Kap. 9.5)

Bei Eingabe der Werte für FCK und FCM ist zu beachten, dass diese Werte im Konsens mit den

Gleichungen in Kap. 4 und somit als positive Zahlen einzugeben sind. Für die Koeffizienten A und B gilt

die Vorbemerkung zu Beginn des Kap. 4 . ************************************************************************************************




57


5. Einlesen der zulässigen maximalen Grenzrandverzerrungen des Querschnitts READ (NDE,’(8F10.0)’) EPSSU2,EPSC2,EPSCU2,EPSSU1,EPSC1,EPSCU1

Grenzrandverzerrungen des Querschnitts für

a.) den rechnerischen Grenzzustand der Tragfähigkeit

EPSSU2 = max. zulässige Verzerrung auf der Zugseite

EPSC2 = Verzerrung auf der Druckseite, bei der die maximale Spannung auftritt

EPSCU2 = max. zulässige Verzerrung auf der Druckseite

b.) Schnittgrößen und Verformungen

EPSSU1 = max. zulässige Verzerrung auf der Zugseite

EPSC1 = Verzerrung auf der Druckseite, bei der die maximale Spannung auftritt

EPSCU1 = max. zulässige Verzerrung auf der Druckseite

→ Bei der Eingabe von '0.' für alle Verzerrungswerte (Leerzeile) werden die folgenden

Standardwerte in Abhängigkeit von der Betonfestigkeitsklasse gesetzt:

DIN EN 1992-1-1:2011-01:

Betonfestig-

keitsklasse

Grenzzustand

Druckseite

(EPSC2 und EPSCU2)

c2 für max / cu2

Grenzzustand

Zugseite (EPSSU2)

Verformungszustand

Druckseite

(EPSC1 und EPSCU1)

c1 für max / cu1

Verformungszustand

Zugseite (EPSSU1)

C12/15 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00180 / −0.0035 +0.025

C16/20 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00190 / −0.0035 +0.025

C20/25 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00200 /−0.0035 +0.025

C25/30 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00210 / −0.0035 +0.025

C30/37 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00220 / −0.0035 +0.025

C35/45 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00225 / −0.0035 +0.025

C40/50 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00230 / −0.0035 +0.025

C45/55 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00240 / −0.0035 +0.025

C50/60 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00245 / −0.0035 +0.025

C55/67 −0.0022 / −0.0031 +0.025 −0.00250 / −0.0032 +0.025

C60/75 −0.0023 / −0.0029 +0.025 −0.00260 / −0.0030 +0.025

C70/85 −0.0024 / −0.0027 +0.025 −0.00270 / −0.0028 +0.025

C80/95 −0.0025 / −0.0026 +0.025 −0.00280 / −0.0028 +0.025

C90/105 −0.0026 / −0.0026 +0.025 −0.00280 / −0.0028 +0.025

C100/115 −0.0026 / −0.0026 +0.025 −0.00280 / −0.0028 +0.025




58


DIN 1045-1:2008-08 :

Betonfestig-

keitsklasse

Grenzzustand

Druckseite

(EPSC2 und EPSCU2)

c2 für max / cu2

Grenzzustand

Zugseite (EPSSU2)

Verformungszustand

Druckseite

(EPSC1 und EPSCU1)

c1 für max / cu1

Verformungszustand

Zugseite (EPSSU1)

C12/15 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00180 / −0.0035 +0.025

C16/20 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00190 / −0.0035 +0.025

C20/25 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00210 /−0.0035 +0.025

C25/30 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00220 / −0.0035 +0.025

C30/37 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00230 / −0.0035 +0.025

C35/45 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00240 / −0.0035 +0.025

C40/50 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00250 / −0.0035 +0.025

C45/55 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00255 / −0.0035 +0.025

C50/60 −0.0020 / −0.0035 +0.025 −0.00260 / −0.0035 +0.025

C55/67 −0.00203 / −0.0031 +0.025 −0.00265 / −0.0034 +0.025

C60/75 −0.00206 / −0.0027 +0.025 −0.00270 / −0.0033 +0.025

C70/85 −0.00210 / −0.0025 +0.025 −0.00280 / −0.0032 +0.025

C80/95 −0.00214 / −0.0024 +0.025 −0.00290 / −0.0031 +0.025

C90/105 −0.00217 / −0.0023 +0.025 −0.00295 / −0.0030 +0.025

C100/115 −0.00220 / −0.0022 +0.025 −0.00300 / −0.0030 +0.025

DIN 1045:1988 und DIN 4227 :

Betonfestig-

keitsklasse

Grenzzustand

Druckseite

(EPSC2 und EPSC2U)

c2 für max / cu2

Grenzzustand

Zugseite(EPSS2U)

Verformungszustand

Druckseite

(EPSC1 und EPSC1U)

c1 für max / cu1

Verformungszustand

Zugseite (EPSS1U)

B25 −0.0020 / −0.0035 +0.005 −0.0022 / −0.0035 +0.005

B35 −0.0020 / −0.0035 +0.005 −0.0022 / −0.0033 +0.005

B45 −0.0020 / −0.0035 +0.005 −0.0022 / −0.0031 +0.005

B55 −0.0020 / −0.0035 +0.005 −0.0022 / −0.0029 +0.005




59


6. Einlesen der Sicherheitsbeiwerte für die Werkstoffe READ (NDE,’(8F10.0)’) SFBU,SFBV,SFSU,SFSV,SFVU,SFVV,SFR

Der nach DIN 1045-1:2008-08, Abschn. 5.3.3 (9) für die Betone ab Klasse C55/67 erforderliche Faktor c‘

wird vom Programm automatisch berechnet und jeweils berücksichtigt.

Bei Berechnungen nach DIN 1045:1988 ist die Eingabe von SFR nicht erforderlich. Für Berechnungen nach

DIN EN 1992-1-1:2011-01 bzw. DIN 1045-1:2008-08 wird über die Eingabe von SFR gesteuert, ob

• eine Berechnung nach der üblichen Methode mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte (z.B. fcm) für die

Steifigkeitsermittlung und einer Überprüfung der Grenztragfähigkeit mit den Bemessungswerten (z.B. fck)

unter Beachtung der Teilsicherheitsbeiwerte (z.B. c) erfolgt (SFR 0) ,

oder ob

• die Berechnung mit rechnerischen Mittelwerten (z.B. fcR) und einem einheitlichen Teilsicherheitsbeiwert R

durchgeführt wird (SFR 1.).

• Erfolgt für SFR keine Eingabe (SFR 0), so werden die Teilsicherheitsbeiwerte für Beton und Bewehrungen

in der Reihenfolge

Grenz- und Verformungszustand Beton ( SFBU,SFBV ),

Grenz- und Verformungszustand nicht vorgespannte Bewehrung ( SFSU,SFSV ),

Grenz- und Verformungszustand vorgespannte Bewehrung ( SFVU,SFVV ) eingelesen.

→ Bei der Eingabe von '0.' für alle Sicherheitsbeiwerte (Leerzeile) werden die folgenden Standardwerte

gesetzt:

DIN EN 1992-1-1:2011-01 und DIN 1045-1:2008-08 :

Für Beton wird SFBU = SFBV = 1,5 (entspricht C),

für Bewehrungen SFSU = SFSV = SFVU = SFVV = 1,15 (entspricht S) gesetzt.

DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988 : Alle Werte werden Eins gesetzt.

• Erfolgt für SFR eine Eingabe (SFR 1), so wird SFR als Teilsicherheitsbeiwert R interpretiert, und es erfolgt

eine Berechnung mit rechnerischen Mittelwerten der Baustofffestigkeiten. Die Eingabevariablen haben dann

nach DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, Abschn. 5.7, (NA.10) bzw DIN 1045-1:2008-08, Abschn. 8.5.1, (4)

folgende Bedeutung:

SFBU = Faktor zur Ermittlung von fcR aus fck: fcR = SFBUfck

SFBV = Faktor zur Ermittlung von Ecm aus Ec0m: Ecm = SFBV·Ec0m

SFSU = Faktor zur Ermittlung von ftR aus fyR: ftR = SFSUfyR

SFSV = Faktor zur Ermittlung von fyR aus fyk: fyR = SFSVfyk

SFVU = Faktor zur Ermittlung von fpR aus fpk: fpR = SFVUfpk

SFVV = Faktor zur Ermittlung von fp0,1R aus fp0,1k : fp0,1R = SFVVfpk

→ Bei Eingabe von Null für die vorstehenden sechs Werte (keine Leerzeile, SFR muss größer Eins sein!)

werden folgende Standardwerte gesetzt:

SFBU = 0,85 (NA.5.12.7) bzw.

DIN 1045-1:2008-08, Gl. (23),(24 - c’ wird automatisch berücksichtigt)

SFBV = 0,85 Heft 525 DAfStb, S. 67, letzte Zeile

SFSU = 1,05 (NA.12.4) bzw. DIN 1045-1:2008-08, Gl. (20)

SFSV = 1,1 (NA.12.2) bzw. DIN 1045-1:2008-08, Gl. (18)

SFVU = 1,1 (NA:12.6) bzw. DIN 1045-1:2008-08, Gl. (22)

SFVV = 1,1 (NA.12.5) bzw. DIN 1045-1:2008-08, Gl. (21)




60


Die Reihenfolge der Bewehrungsstäbe innerhalb der folgenden Punkte 7. und 8. ist grundsätzlich beliebig. Es

wird jedoch auf die Möglichkeit der Berücksichtigung unterschiedlicher Werkstoffdaten (siehe Erläuterung nach

Punkt 8.) hingewiesen. Dabei können Bewehrungsstabgruppen gebildet werden, innerhalb derer jedoch eine

fortlaufende Nummerierung gegeben sein muss.

Eingabe nur für NF > 0 :

7. y- und z-Koordinaten und Durchmesser (ds) der nicht vorgespannten Bewehrungsstäbe für

Biegung.

für NH = 0 (Parallelgurtträger):

Es werden die Koordinaten und der Durchmesser der Bewehrungsstäbe des Querschnitts eingelesen.

READ (NDE,'(6F10.0)') (YS(I),ZS(I),DS(I),I=1,NF)

für NH = 1 (Satteldachträger):

Es werden zuerst die Koordinaten und Durchmesser ds der Bewehrungsstäbe des Anfangsquerschnitts und

daran anschließend nur die Koordinaten der Bewehrungsstäbe des Mittelquerschnitts eingelesen!

READ (NDE,'(6F10.0)') (YSA(I),ZSA(I),DS(I),I=1,NF)

READ (NDE,'(8F10.0)'100) (YS(I),ZS(I),I=1,NF)

Mit dem unter 3.) ermittelten krit werden die Koordinaten der Bewehrungsstäbe für den kritischen Schnitt

bestimmt.

Die Anzahl der einzugebenden y-z-ds-Wertetripel ist NF, wie unter Punkt 2. bereits angegeben.

Pro Eingabezeile werden maximal zwei Wertetripel gelesen.

Die Anzahl der einzugebenden y-z-Wertepaare ist ebenfalls NF. Pro Eingabezeile werden jedoch maximal

vier Wertepaare gelesen.

Insgesamt können maximal 50 nicht vorgespannte Bewehrungsstäbe berücksichtigt werden.

READ (NDE,’(I10)’) NNN

READ (NDE,’(8F10.0)’) EMOD(NNN),FYK(NNN),FTK(NNN)

Am Ende dieses Blocks sind der E-Modul, die Streckgrenze und die Zugfestigkeit des verwendeten

Betonstahls anzugeben. (siehe Erläuterungen nach 8.)

Eingabe nur für NV > 0 :

8. y- und z-Koordinaten, Flächen (Ap) und Vorspannkraft (P) der vorgespannten Bewehrungsstäbe.

READ (NDE,’(8F10.0)’) (YP(I),ZP(I),AP(I),P(I),I=1,NV)

Die Anzahl der einzugebenden y-z-Ap-P-Wertequadrupel ist NV, wie unter Punkt 2. bereits angegeben. Pro

Eingabezeile werden maximal zwei Wertequadrupel gelesen. Insgesamt können maximal 50 vorgespannte

Bewehrungsstäbe berücksichtigt werden.



Am Ende dieses Blocks sind der E-Modul und die Streckgrenze des verwendeten Spannstahls anzugeben

(siehe folgende Erläuterung).




61


Eingabe der E-Moduln, Streckgrenzen und Zugfestigkeiten für die Bewehrungen der Punkte 7. und 8.: Es kann für jeden Einzelstab oder auch für Stabgruppen ein eigener E-Modul und eine eigene Streckgrenze und

Zugfestigkeit berücksichtigt werden. Nach Eingabe der Bewehrungslage und des Durchmessers, bzw. der Fläche

und der Vorspannkraft wird als nächstes die Nummer des Bewehrungsstabes eingelesen, bis zu der die in der darauf

folgenden Datenzeile stehenden Werte für den E-Modul, Streckgrenze und Zugfestigkeit gelten sollen. Es werden

solange diese zwei Datenzeilen verlangt, bis für die Stabnummer der Zahlenwert für NF bzw. für NV angegeben

wird. Die Reihenfolge bei der Koordinateneingabe entspricht dabei der Nummerierung der Bewehrungsstäbe. Es

ist dabei zu beachten, dass die Angabe der Stabnummern in aufsteigender Reihenfolge vorgenommen wird.



Wird für NNN eine Null (Leerzeile) eingegeben, so wird NNN=NF oder NV gesetzt. Alle Bewehrungsstäbe haben

dann den gleichen E-Modul und die gleiche Streckgrenze und Zugfestigkeit.

DIN EN 1992-1-1:2011-01 und DIN 1045-1:2008-08 :

EMOD = Elastizitätsmodul ES

FYK = Streckgrenze fyk oder fp0,1k

FTK = Zugfestigkeit ftk oder fpk

Beispiel :

Eine vorgespannte Bewehrung besteht aus 4 Spanndrähten aus St 1470/1670 mit

ES = 2,05105 N/mm2 und fp0,1k = 1250 N/mm2, sowie 10 Spannlitzen aus St 1570/1770 mit

ES = 1,95105 N/mm2 und fp0,1k = 1500 N/mm2 . Die gewählte Krafteinheit ist [kN].

Wenn zuerst die Litzen und dann die Drähte koordinatenmäßig aufgeführt worden sind,

ergibt sich folgende formatgebundene Eingabe im E-Format (E steht in Spalte 9, 19, 29): 10

1.95E8 1.5E6 1.77E6

14

2.05E8 1.25E6 1.67E6

Mit der Angabe einer Zugfestigkeit FTK kann gesteuert werden, ob mit einem ansteigenden oder hori-

zontalen Verlauf der --Linie nach der Streckgrenze gerechnet wird (s. Bild 3). Wird für FTK ein

größerer Wert als für FYK angegeben, so steigt die Spannung zwischen der Streckgrenze und der Zug-

festigkeit linear an. Bei allen übrigen Eingaben wird einem horizontalen Verlauf ( ft = fy ) gerechnet.

DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988 :

EMOD = Elastizitätsmodul ES

FYK = Streckgrenze S

Die Eingabe von FTK ist nicht erforderlich, da mit u = S gerechnet wird.

Beispiel :

Es sind 10 Bewehrungsstäbe mit einem E-Modul von 2,1105 N/mm2 vorhanden, wobei die Stäbe

1-4 aus BSt 220/340, die Stäbe 5-7 aus BSt 420/500 und die Stäbe 8-10 aus BSt 500/550 sein

sollen. Die gewählte Krafteinheit ist [MN].

Eine formatfreie Eingabe sieht dann folgendermaßen aus: 4,

210000.,220.,

7,

210000.,420.,

10,

210000.,500.,




62


Eingabe nur für NTOB > 0:

Für Viereck, T- oder I-Querschnitte kann eine Torsionsbewehrung bei der Berechnung der Querschnittswerte

berücksichtigt werden.

9. Eingabe einer Torsionsbewehrung:

Für NTOB = 1: (Bewehrung ist für den gesamten Querschnitt gleich.)

READ (NDE,’(8F10.0)’) DSW,SW,DSL,SL,CW,EMW,FYKW

Die Eingabevariablen bedeuten:

DSW Durchmesser der Torsionsbügel in [mm]

SW Abstand der Torsionsbügel in [m]

DSL Durchmesser der Torsionslängsbewehrung in [mm]

SL Abstand der Torsionslängsbewehrung in [m] oder Anzahl der Torsionslängsstäbe Hinweis: Nach DIN EN 1992-1-1:2011-01, Abschnitt 9.2.3(4), bzw. DIN 1045-1:2008-08, Abschnitt

13.2.4(3), ist in jeder Ecke des Querschnitts ein Längsstab anzuordnen. Zudem darf ein Abstand von

350 mm nicht überschritten werden. Bei den Gurten können die Abstände deshalb sehr ungleichmäßig

werden. Es ist somit sinnvoll, dort die Anzahl der Längsstäbe anzugeben. Beim Steg mit seinen größeren

Seitenlängen ist demgegenüber die Eingabe des Abstands sinnvoller.

Das Programm interpretiert daher eine ganze Zahl größer Eins als Stabanzahl

und eine Zahl kleiner Eins als Abstand in [m].

CW Betonüberdeckung der Bügel in [m]

EMW E-Modul der Torsionsbewehrung

FYKW charakteristische Streckgrenze der Torsionsbewehrung

Hinweis: Wird für EMW oder FYKW eine Null eingegeben, so werden die Werte der

nicht vorgespannten Bewehrung übernommen.

Für NTOB = 2: (Bewehrung ist für Obergurt, Steg und ggf. Untergurt unterschiedlich.)

READ (NDE,’(8F10.0)’) DSWOG,SWOG,DSLOG,SLOG,CW,EMW,FYKW

READ (NDE,’(8F10.0)’) DSWST,SWST,DSLST,SLST,DSWUG,SWUG,DSLUG,SLUG

Der erste Datensatz ist formal der gleiche wie bei NTOB = 1, wobei Durchmesser und Abstände der

Torsionsbewehrung hier nur für den Obergurt gelten. Die mit einzugebende Betonüberdeckung,

E-Modul und Streckgrenze gelten aber für die gesamte Torsionsbewehrung. Im zweiten Datensatz

werden zunächst die vier Werte für den Steg und daran anschließend ggf. die vier Werte für den

Untergurt angegeben. (siehe Beispiele Kap. 9.4)

10. Iterationsschranken bei der Erfüllung des Gleichgewichts für Winkel, Kräfte und Momente

READ (NDE,’(2F10.0)’) DIFW,DIFZ

DIFW = Iterationsschranke für Winkel in Bogenmaß

DIFZ = Iterationsschranke für alle übrigen Größen (Kräfte, Momente, Verschiebungen)

→ Standard-Eingabewerte : 0.00175,0.001,

Bei Eingabe von Nullen (Leerzeile) sind diese beiden Werte voreingestellt.

Wegen der Nichtlinearitäten sowohl bei den Werkstoffen als auch bei dem iterativen Berechnungsverfahren

sind kleinere Iterationsschranken als bei normalen Berechnungen der Querschnittswerte erforderlich. Es

haben sich Iterationsschranken von 0,1° für Winkel und 1‰ für Kräfte und Momente als sinnvoll

herausgestellt.




63


Die folgenden beiden Eingabezeilen können bei mehreren Lastfällen beliebig oft wiederholt werden.

11. Drei Steuerzahlen (LU, LI , LM, LTO) für die Steuerung des Berechnungsablaufs, für eine

zusätzliche Ausgabe von Iterationsschritten bei der Variation der Randverzerrungen

und bei der Berechnung der Torsionswerte READ (NDE,’(3I10)’,END=2000) LU,LI,LM,LTO

LU Steuerzahl für die durchzuführenden Berechnungen

LU = 0 : Querschnittswerte für den unbelasteten Betonquerschnitt,

Berechnung von Grenzzustand der Tragfähigkeit, Verformungszustand

und wirklichkeitsnahen belastungsabhängigen Querschnittswerten

→ Standardfall

LU = 1 : nur Berechnung des Grenzzustands der Tragfähigkeit

LU = 2 : Querschnittswerte für den unbelasteten Betonquerschnitt

und Berechnung des Grenzzustands der Tragfähigkeit

LU = −1 : Berechnung von Grenzzustand der Tragfähigkeit, Verformungszustand und

wirklichkeitsnahen belastungsabhängigen Querschnittswerten

LU = −2 : nur Berechnung der Querschnittswerte für den unbelasteten Betonquerschnitt

Anmerkung: Bei LU=1, 2 oder −2 kann eine Eingabe der Belastung nach Punkt 12 auch entfallen.

LI , LM Steuerzahlen für die Zwischenausgabe von Iterationsschritten

bei der Variation der Randverzerrungen Die Möglichkeit zur Ausgabe von jedem Iterationsschritt bei der Variation der Randverzerrungen ist bei mög-

licherweise auftretenden Fehlern zu deren Ortung im Programmablauf gedacht. Zur Erläuterung der beiden

Steuerzahlen LI, LM ist anzumerken, dass programmintern die Iterationsschritte getrennt für den Grenzzustand

der Tragfähigkeit und den Verformungszustand und dabei jeweils getrennt nach Änderungen der Randverzer-

rungen und nach Winkeländerungen der Dehnungsnulllinie aufsummiert werden. Über die Steuergrößen LI und

LM können Zwischenergebnisse ganz gezielt ausgegeben werden. Weil dabei sehr umfangreiche Datenmengen

anfallen, sollte diese Möglichkeit nur von einem Kenner des Programms benutzt werden!

LI = Steuerzahl bei Iteration des Grenzzustands der Tragfähigkeit

LM = Steuerzahl bei Iteration des Verformungszustandes

Für beide Steuerzahlen gilt:

Bei Eingabe von '0' erfolgt keine Ausgabe. (Standardeingabe)

Bei Eingabe von '+i' erfolgt eine Ausgabe ab dem i-ten Schritt der Variation der Randverzerrungen.

Bei Eingabe von '−i' erfolgt eine Ausgabe ab dem i-ten Schritt der Variation der Lage der Dehnungsnulllinie

(Winkeliteration).

LTO Steuerzahl für die Torsionsberechnungen

Programmintern wird zuerst überprüft, ob für den angegebenen Querschnitt eine Berechnung

der Torsionswerte erfolgen kann. Danach wird programmintern gesetzt:

LTO = 0 keine Berechnung der Torsionswerte

LTO = 1 Berechnung der Torsionswerte, aber keine Ergebnis-Ausgabe

Ist eine Berechnung möglich, so wird programmintern gesetzt:

LTO = 2 Berechnung der Torsionswerte, Ergebnis-Ausgabe in kompakter Form

→ Standardfall

Für eine umfangreichere Ergebnisausgabe kann eingegeben werden:

LTO = 3 Ausgabe des Torsionsquerschnitts mit Ergebnissen für die Teilbereiche

sowohl für den Torsionswiderstand als auch für den Schubmittelpunkt

LTO = 4 zusätzlich zu LTO = 3 werden Zwischenergebnisse für die Berechnungen

nach der Potentialtheorie angegeben. (Weil dabei sehr umfangreiche Datenmengen anfallen, sollte diese Möglichkeit

nur von einem Kenner des Programms benutzt werden!)

(Anmerkung: Da die Torsions-Unterprogramme von mehreren Programmen genutzt werden, ist die Einstellung

LTO=1 notwendig, damit in möglichen Iterationsabläufen keine Ergebnisausgabe für Torsion

erfolgt.)




64


12. Belastungsgrößen des Querschnitts (siehe Skizze) READ (NDE,’(5F10.0,I10)’) AMY,AMZ,ANK,YNK,ZNK,NEX

AMY Biegemoment My um die y-Achse

AMZ Biegemoment Mz um die z-Achse

ANK Normalkraft N (Zugkraft positiv)

YNK Abstand der Normalkraft von der z-Achse

ZNK Abstand der Normalkraft von der y-Achse

NEX Steuerzahl für Angriffspunkt der Normalkraft

NEX = 0 : Die Normalkraft greift im geometrischen

Schwerpunkt des Querschnitts an.

Sie hat keinen Einfluss auf die Größe der

eingegebenen Biegemomente.

Eingegebene Werte yNk , zNk werden nicht

berücksichtigt.

NEX = 1 : Die Normalkraft greift im Punkt mit den eingegebenen Koordinaten yNk , zNk

an und beeinflusst die eingegebenen Biegemomente über Versatzmomente

My = + N (zNk – zS) und Mz = − N (yNk – yS) , die auf den vorher berechneten

geometrischen Schwerpunkt mit den Koordinaten yS und zS bezogen sind.

Wenn NH=1 (siehe 3.) gesetzt wird, werden die Berechnungen im kritischen Schnitt vorgenommen. Deshalb sind

hier auch die Belastungsgrößen für den kritischen Schnitt einzugeben. Wie bereits unter 3.) angegeben, kann für

normierte Koordinaten = x/ der kritische Schnitt krit in genügender Genauigkeit mit der folgenden Formel

bestimmt werden:

( ) 2krit mkrit

m 0

x h11 mit a a 1 und a

2 h h = = − = − − =

−

mit hm = Höhe in Trägermitte und h0 = Höhe am Trägeranfang, bzw. – ende.

Es gilt allgemein für den Verlauf des Biegemoments MyI über die Trägerlänge :

( ) ( )yI mM M f = mit ( )mM M / 2=

Für eine Gleichlast qz, wobei hier qz = Qqk oder qz = Ggk1,0 ist, wird eingesetzt:

2

z

m

qM

8= und ( ) 2f 4 ( ) = −

Für den dreiecksförmigen Teil einer Eigenlast gk = G(gk1,m − gk1,0) gilt:

2

km

gM

12

= und ( ) 3f 3 4 = −

Die Eingabemomente AMY und AMZ für den kritischen Schnitt (Biegemomente aus Eigenlast und veränderlicher

Last) können mit den angegebenen Formeln ermittelt werden.

zNK

+My

y

z

x

+Mz

+N

yNK




65


6.1 Erstellen einer Datendatei mit Programm QUWEIN

Für den weniger geübten Anwender steht das Eingabeprogramm QUWEIN zur Verfügung. Die zu Beginn des

Kap. 6. gemachten Angaben zur Lage des Koordinatensystems und zu den Längen- und Krafteinheiten sind zu

beachten. Dieses Programm führt im Bildschirmdialog durch die notwendigen Angaben und speichert die

eingegebenen Daten in einer formatgebundenen Datei ab.

Mit dem Eingabeprogramm QUWEIN kann eine komplette neue Datendatei erstellt werden. Es ist ebenfalls die

Korrektur einer bereits vorhandenen Eingabedatei möglich, wobei deren Daten schrittweise als Vorlage am

Bildschirm aufgelistet, die Korrekturwünsche erfragt und Korrekturen bei Bedarf vorgenommen werden. Am

Ende der Korrekturen wird dann die neue Datendatei abgespeichert.

Ab der Version QUWEIN 3.x wird der Betonquerschnitt mit den Bewehrungen am Bildschirm grafisch

dargestellt. Dadurch ist eine mögliche Falscheingabe besser zu erkennen. Die Eingabe eines Querschnitts und der

Bewehrungen kann außer über die Koordinaten auch über geometrische Angaben erfolgen.

6.1.1 Eingabe des Betonquerschnitts über die Geometrie

Der Betonquerschnitt für drei Standardprofile von Biegeträgern (Viereck, T- oder I-Querschnitt) kann außer über

die Koordinaten der Eckpunkte auch über seine Abmessungen eingegeben werden. Dabei werden in Abhängigkeit

von der Querschnittsform die notwendigen Querschnittsabmessungen vom Programm erfragt. Anhand dieser

Werte werden die Eckpunkte des Querschnitts programmintern für das y-z-Koordinatensystem berechnet.

Für einen Viereck-Querschnitt sind Für einen T-Querschnitt sind fünf

drei Abmessungen erforderlich : Abmessungen erforderlich :

2. Breite unten

1. Breite oben

3. Trägerhöhe

z

y

1 4

8

2. Breite Steg

1. Breite Obergurt 3. Dicke Obergurt

4. Höhe der Voute

5. Trägerhöhe

y

z

1




66


1 12

Für einen I-Querschnitt sind acht Abmessungen erforderlich:

Fortlaufende Eckpunktnummern werden vom Programm, beginnend am linken unteren Eckpunkt im

Uhrzeigersinn, generiert

2. Breite Steg

1. Breite Obergurt

4. Dicke Obergurt

5. Höhe der Voute

8. Trägerhöhe

7. Höhe der Voute

6. Dicke Untergurt

3. Breite Untergurt

z

y

i




67


6.1.2 Eingabe der schlaffen oder vorgespannten Biegezugbewehrungen über die Geometrie

Anstelle einer koordinatenmäßigen Eingabe der Bewehrungen kann die Eingabe für Rechteck/Trapez, T- und I-

Querschnitte auch mit geometrischen Angaben erfolgen. Dabei werden vom Programm die im folgenden Bild

dargestellten fünf Größen erfragt. Zusätzlich ist bei einer schlaffen Bewehrung noch der Stabdurchmesser, bei

einer vorgespannten Bewehrung die Fläche und die Vorspannkraft einer Litze oder eines Drahtes einzugeben.

Bei der im Programm vorgenommenen Umrechnung in Koordinaten, wird dabei zunächst vorausgesetzt, dass alle

Bewehrungsstäbe den gleichen Durchmesser, bzw. die gleiche Fläche und Vorspannkraft besitzen. Zu einem

späteren Zeitpunkt können jedoch Korrekturen an diesen ermittelten Werten punktweise vorgenommen werden.

● ● ● 3. Bewehrungslage

● ● ● ● 2. Bewehrungslage

● ● ● ● ● 1. Bewehrungslage

3. Abstand der 1. Lage vom

unteren Querschnittsrand

4. Vertikaler Abstand der

Bewehrungslagen untereinander

(gleicher Abstand für alle Lagen)

5. Horizontaler Abstand der

Einzelstäbe untereinander

(in jeder Lage gleich!)

Symmetrieachse

1. Anzahl der Bewehrungslagen

( hier im Beispiel : Eingabe => 3 )

2. Anzahl der Bewehrungen pro Lage

(hier im Beispiel : Eingabe => 5,4,3)




68


6.1.3 Eingabe konstuktiver Eckbewehrung für Biegung über die Geometrie

Zur Erleichterung der Eingabe einer konstruktiven Eckbewehrung für Biegung sind für die Querschnitte mit 4, 8

und 12 Eckpunkten (Rechteck/Trapez, T- und I-Querschnitt) die folgenden Anordnungen voreingestellt.

● ● ● ● ● ●

● ● ● ●

● ●

4 Bewehrungsstäbe

● ●

● ●

6 Bewehrungsstäbe

● ●

8 Bewehrungsstäbe

Die Eingabe beschränkt sich auf den Abstand des Bewehrungsstabmittelpunktes vom Rand des Querschnitts und

den Durchmesser eines Bewehrungstabes. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Abstände von horizontalen und

vertikalen Rändern, sowie die Durchmesser der Bewehrungsstäbe gleich sind.

Mit diesen Angaben berechnet das Programm die Koordinaten der konstuktiven Bewehrungen aus den Kordinaten

der Betoneckpunkte. Zu einem späteren Zeitpunkt können ebenfalls Korrekturen an diesen ermittelten Werten

punktweise vorgenommen werden.

Diese Bewehrung wird nicht für eine mögliche Berechnung von Torsionsquerschnittswerten herangezogen.

Randabstand




69


7. Anwendung des Rechenprogramms QUERWERT

Nach dem Start des Programms öffnet sich zunächst ein Fenster auf der rechten Seite des Bildschirms. Dieses

Fenster ist für die Eingabe und Ausgabe der Steuerdaten. Nach Eingabe des Datenfile-Namens erscheint direkt

links daneben das Fenster für die Bild–Ausgabe des betrachteten Querschnitts.

Es wird zuerst die Textdatei für den Seitenkopf (s. Kap. 3.2) gelesen und im rechten Fenster angezeigt.

Anschließend wird der Name der Datendatei über den Bildschirm erfragt. Diese Eingabedatei muss die Exten-

sion ".QUW" besitzen. Wenn keine Datei mit dem angegebenen Namen gefunden wird, so erfolgt ein entspre-

chender Kommentar auf dem Bildschirm, und es wird ein neuer Name verlangt. Es folgt die Eingabe einiger

Steuerparameter im Dialog über den Bildschirm.

Nachfolgend wird der auf dem Bildschirm erscheinende Text mit Erläuterungen zu den jeweiligen Fragen ange-

geben, wobei die Bildschirmzeilen zur besseren Unterscheidung mit einem $-Zeichen beginnen: $

$ ***> Kopfzeilen von Eingabedatei TEXTKOPF.TXT gelesen

$ GRENZZUSTAND DER TRAGFÄHIGKEIT UND QUERSCHNITTSWERTE

$ FÜR BELIEBIG POLYGONARTIG BEGRENZTE QUERSCHNITTE

$ UniKassel FB14 Massivbau QUERWERT-11.6 210131 lizenziert

$ ========================================================

$

$ Folgende Standard-Einstellungen sind vorgegeben :

$ --> Ergebnisausgabe in eine Datei

$ --> Seitennumerierung beginnt mit 1

$ --> Seitenvorschub erfolgt nach 66 Zeilen

$ --> aktuelles Datum aus dem Rechner

$ Sollen diese Einstellungen geändert werden ?

$ Drücken der RETURN-Taste heißt NEIN ! >

$

Wird an dieser Stelle ein beliebiges Zeichen eingegeben, so können folgende Punkte geändert werden: $

$ AUSGABE auf BILDSCHIRM (B)

$ oder in ERGEBNISDATEI (D) ? :>

$

$

$ Datum mit max 10. Zeichen z.B. 01.09.1988 oder 01-Sept-88 eingeben

$ Bei <RETURN> wird das aktuelle Datum aus dem Rechner genommen

$

$ DATUM :>

$

$ Nummer der Anfangsseite eingeben !

$ Bei <RETURN> ohne Eingabe wird mit SEITE 1 angefangen,

$ bei Eingabe einer negativen Zahl werden keine Seitenzahlen geschrieben :>

$

$ Anzahl der Zeilen pro Seite = 66

$ Bei <RETURN> ohne Eingabe wird diese Zahl beibehalten.

$ Jede andere positive Zahl ist die neue Zeilenanzahl :>

$

$

$ Die DATEN werden von einer DATENDATEI der Form xxxxxxxxx.QUW eingelesen.

$ Die Extension .QUW darf nicht mit angegeben werden .

$ Die ERGEBNISSE werden auf einer Datei mit gleichem Namen xxxxxx ,

$ aber der Extension .ERG abgelegt.

$ Bei Drücken der RETURN-Taste oder bei Eingabe von >ENDE <

$ wird das Programm beendet.

$

$ NAME DER EINGABEDATEI >

$




70


Nach Eingabe des Dateinamens werden die Daten von der angegebenen Eingabedatei gelesen und die ersten

Berechnungen durchgeführt. Es erscheint im rechten Fenster die folgende Angabe, wobei parallel zur

Textausgabe im linken Fenster der Querschnitt gezeichnet wird: $

$ *****>> Eingabedatei xxxxx.QUW auf log. Kanalnr. 1

$

$ *****>> Ausgabedatei xxxxx.ERG auf log. Kanalnr. 4

$

$

$

$ Pause zum Anschauen des Querschnitts, weiter mit RETURN

$

$

$

$ Pause zum Anschauen der Bilder, weiter mit RETURN

$

Nach Drücken der RETURN-Taste erscheint im rechten Fenster eine Kurzausgabe des Berechnungsergebnisses,

im linken Fenster wird der Querschnitt mit dem sich ergebenden Betondruckkörper gezeigt: $

$ Lastfall i mit folgender Belastung:

$ MOMENTE My = xxxxx.xxx kNm Mz = xxx.xxx kNm

Wenn eine Normalkraft als Belastung angegeben ist, so erscheint hier noch folgender Text: $ Die NORMALKRAFT N = xxx.xxx kN mit vorgegebenem

$ ANGRIFFSPUNKT yn = x.xxxx m zn = x.xxxx m wird in

$ den geom. Schwerpunkt (ys = x.xxxx m zs = x.xxxx m) verschoben.

$ Die RESULTIERENE MOMENTENBELASTUNG beträgt dann:

$ RMy = xxxx.xxx kNm RMz = xxxx.xxx kNm

$ Resultierendes Moment M_Ed = xxxx.xxx kNm,Neigungswinkel = x.xxx ( xx.xgrad)

$ GZT:

$ M_Rd = xxxx.xxx kNm, Neigungswinkel der Nulllinie = x.xxx ( xx.xgrad)

$ Verformungszustand:

$ M_R,grenz = xxxx.xxx kNm, Neigungswinkel der Nulllinie = x.xxx ( xx.xgrad)

$ M_Rd = xxxx.xxx kNm, Neigungswinkel der Nulllinie = x.xxx ( xx.xgrad)

$ Für diesen Zustand ergibt sich der nebenstehende Betondruckkörper.

$

$ Weiter mit RETURN

$

$

Dieser Vorgang wiederholt sich solange bis keine Belastungsdaten mehr vorliegen. Das Programm geht dann an

den Anfang zurück.

Wird mit einer Steuerdatei (siehe Kap. 3.2) gearbeitet, so werden alle dort angegebenen Datendateien der Reihe

nach bearbeitet. Anschließend wird das Programm beendet.

Hier erscheint im linken Fenster

ein Bild des Querschnitts siehe

Darstellung Bild 19, S. 71

Hier erscheinen im linken Fenster zwei

Bilder des Betonwerkstoffverhaltens

siehe Darstellung Bild 20, S.72

Hier erscheint im linken Fenster ein Bild des Querschnitts

mit Angabe des berechneten Betondruckkörpers

siehe Darstellung Bild 21, S. 73




71


Bild 19 : Darstellung des betrachteten Querschnitts (hier Beispiel Q1)




72


Bild 20 : Darstellung des verwendeten Betonwerkstoffverhaltens (hier Beispiel Q1)




73


Bild 21 : Querschnitt mit berechnetem Betondruckkörper(hier Beispiel Q1, Lastfall 2)




74


8. Ergebnisausgabe des Rechenprogramms

Die Ausgabe der Ergebnisse kann wahlweise direkt auf dem Bildschirm oder in einer Ergebnisdatei erfolgen.

Die Ergebnisdatei hat denselben Namen wie die Eingabedatei jedoch mit der ".ERG" . Diese Ergebnisdatei kann

je nach Bedarf dann ausgedruckt werden.

Der Ergebnisausdruck des Programms enthält auf jeder Seite fünf Kopfzeilen, worin Angaben zum jeweiligen

Benutzer und zum Programm selbst, sowie eine Seitennummerierung, das Datum und die Zeit enthalten sind.

Diese Angaben werden von einer besonderen Steuerdatei TEXTKOPF.TXT (s. Kap 3.2) gelesen, die vorher vom

Benutzer erstellt worden sein muss. Als fünfte Kopfzeile wird immer die erste Zeile der verwendeten Datendatei,

die einen Text zur Kennzeichnung des behandelten Berechnungsfalles enthalten sollte, ausgedruckt.

Der Standardfall ist die Berechnung eines Querschnitts für gegebene Biegemomente My und Mz , sowie eine

Normalkraft N. Die Programmausgabe beginnt mit der Protokollierung aller Eingabewerte.

Daran schließen sich die Ergebnisse der Berechnungen an:

• die Querschnittswerte und Steifigkeiten des reinen Betonquerschnitts, sowie

die ideellen Querschnittswerte und Steifigkeiten für den unbelasteten Zustand

• der zur Beanspruchung gehörende rechnerische Grenzzustand der Tragfähigkeit des Querschnitts

mit dem Parabel-Rechteck-Diagramm des Betons (Maximum fcd) nach der gewählten DIN-Norm

und mit dem Hyperbel-Verlauf Betons (Maximum fcm) nach der gewählten DIN-Norm,

• der zur Beanspruchung gehörende Verzerrungszustand (Verformungszustand) des Querschnitts

mit dem Hyperbel-Verlauf Betons (Maximum fcm) nach der gewählten DIN-Norm

• die zum Verformungszustand gehörenden wirklichkeitsnahen Querschnittswerte und Steifigkeiten mit dem

gewählten Werkstoffverhalten.

Die Ergebnisausgabe kann mit der Steuerzahl LU (s. Kap. 6, Nr. 11) beeinflusst werden.

Auf eine mehr in Einzelheiten gehende Erläuterung der

Ergebnisse für eine Biegebeanspruchung kann an dieser

Stelle verzichtet werden, da die im Programmausdruck

gewählten Bezeichnungen der berechneten Werte mit den

verwendeten üblichen Bezeichnungen in den Normen im

Einklang stehen.

Das nebenstehende Bild 22 erläutert die bei den Berech-

nungen für die Biegebeanspruchung angegebenen Größen.

Bei der Angabe des Torsionswiderstandes werden zwei

Werte TWS und TWM angegeben. TWS gibt den Wert des

Torsionswiderstands an, wenn der Bezugspunkt für die

Berechnung der Schwerpunkt ist. Bei dem Wert TWM ist

der Bezugspunkt der Schubmittelpunkt. Diese Doppel-

berechnung dient der Kontrolle des Ergebnisses, da der

Torsionswiderstand ein von der Lage des Berechnungs-

koordinatensystems unabhängiger Wert ist. Deshalb müssen

beide Ergebnisse TWS und TWM unter Beachtung üblicher,

kleinerer numerischer Ungenauigkeiten gleich sein. Ist der

Unterschied zwischen TWS und TWM zu gross, wird

programmintern durch Änderungen am betrachteten

Querschnitt (z.B. Abschneiden zu spitzer Ecken) versucht,

das meist nur numerische Problem zu lösen.

MRd,y

MRd,z

Bild 22: Definition der Neigungswinkel und

Stelle der Randverzerrungen bei den

Tragfähigkeitsnachweisen

MRd

My

Mz

MEd,res

s1

c2

MRd║MEd,res wenn

= +

y

z

+

Nulllinie




75


9. Beispiele

Es werden drei Beispiele behandelt, und zwar ein vorgespannter Stahlbeton-I-Querschnitt Q1 (Bild 23), ein

Stahlbeton-T-Querschnitt Q2 (24) und ein Hohlkasten-Querschnitt HK (Bild 25).

Alle drei Beispiele werden mit den bereits in Kap. 1 und 2 angegebenen Möglichkeiten berechnet, wobei die

Werkstoffvorgaben nach DIN EN 1992-1-1:2011-01, DIN 1045-1:2008-08 oder DIN 1045:1988 angesetzt

werden. Damit sind folgende Berechnungsvarianten möglich:

• DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, bzw. DIN 1045-1:2008-08 mit Heft 525, DAfStb

1. nach Abschnitt 5.8.6, bzw. 8.6.1 (7), (Grenztragfähigkeit mit Bemessungswerten der Baustoffkennwerte,

Formänderungen mit Mittelwerten der Baustoffkennwerte) (Dateikennung _Cxx bzw. _Cxx_1045)

oder

2. nach Abschnitt 5.7, bzw. 8.5.1, (Formänderungen und Grenztragfähigkeit mit rechnerischen Mittelwerten der

Baustofffestigkeiten und einem einheitlichen Sicherheitsbeiwert R)

(Dateikennung _Cxx_R bzw. _Cxx_1045_R)

• DIN 1045:1988 und DIN 4227:1988

3. (Grenztragfähigkeit mit Bemessungswerten der Baustoffkennwerte, Formänderungen mit Mittelwerten der

Baustoffkennwerte) (Dateikennung _Bxx)

Die Querschnitte mit den erforderlichen Daten sind in den Bildern 23 bis 25 dargestellt. Mit diesen Daten sind

die Eingabefiles erstellt und in den folgenden Unterkapiteln zusammengestellt worden. Als Krafteinheit ist in den

Beispielen Q1 und Q2 „kN“ und im Beispiel HK „MN“ gewählt worden. Alle Ergebnisausgaben werden bei der

Programm-Installation im Verzeichnis .....\Beispiele\ERG abgelegt, können von dort mit jedem Text-Editor

angesehen und bei Bedarf auch ausgedruckt werden. Die Eingabedateien xxxx.QUW sind im Unterordner

.....\Beispiele\QUW zu finden.

Einige Ergebnisausgaben werden im Folgenden bei einigen Beispiel dazu verwendet, die Ergebnisausgabe zu

erläutern.

Hinweis:

Über die Homepage des Fachgebiets (s. Impressum) kann unter „EDV-Programme“ das Programm

KIPNT2 (kostet eine Lizenzgebühr) für eine Berechnung der Kippstabilität heruntergeladen werden.

Weitere Informationen stehen auf der Homepage.

Die Eingabe-Datendateien für das Programm QUERWERT und für das Programm KIPNT2 sind außer

der letzten Datenzeile, in der die Belastungsangaben stehen, und der Dateikennung (QUW, bzw. NT2)

identisch. Sie können daher mit entsprechenden, nur kleinen Korrekturen für beide Programme verwendet

werden.




76


Querschnittshöhe : h = 200 cm

Beton C45/55

Teilsicherheitsbeiwert γC = 1,5

Langzeiteinfluss : αcc = 0,85

fcd = 0,85∙45/1,5 = 25,5 N/mm2

fcm/C = (45+8)/1,5 = 35,3 N/mm2

Betonstahl B500

im Obergurt 4 Ø 20

im Untergurt 4 Ø 14

Es = 200000 N/mm2

fyk = 500 N/mm2

ftk,cal = 525 N/mm2

Teilsicherheitsbeiwert γS = 1,15

Spannstahl St 1570/1770

Ap = 93 mm2/Litze

Ep = 195000 N/mm2

fp0,1k = 1522 N/mm2

fpk = 1770 N/mm2

εp0,1k = 7,8 ‰

26 Litzen im Untergurt

σp(0) = 980 N/mm2

εp(0) = 5,03 ‰

σp,c+s+r = 0,14∙σp(0)


Biegemomente

Lastfall 0:

My,Ed = 3937,3 kNm ; Mz,Ed = 0

Lastfall 1:

My,Ed = 3937,3 kNm ; Mz,Ed = 196,9 kNm

Lastfall 2:

My,Ed = 3937,3 kNm ; Mz,Ed = 393,7 kNm

86 9 x 42 86

55

55

15

15

8

20

1

156

42

42

55

200

y

z

Alle Maße in cm

12

11

10

9

8

7 6

5

4

3 2

1

1

11

1

20

10

2

3 4

5 6

7 8

21 26

Bild 23: Vorgespannter Stahlbetonquerschnitt Q1




77


9.1 Vorgespannter Stahlbeton-I-Querschnitt Q1

Der Querschnitt mit allen erforderlichen Angaben ist im Bild 23 dargestellt. Die Datendatei hat den Namen

Q1_C45_EN.QUW und ist im Unterordner ...\Beispiele\QUW zu finden.

Die Nummerierung der Eckpunkte des Querschnitts erfolgt fortlaufend im Uhrzeigersinn, beginnend an der linken

unteren Ecke mit Punkt 1. Die Bewehrungen sind von links nach rechts und von unten nach oben

durchnummeriert. Wegen der besseren Übersichtlichkeit sind bei der Spannbewehrung nur die Nummern der

Ecklitzen angegeben.

Spannbetonquerschnitt Q1 My=3937 kNm DIN2011

12 8 26 0 2 0 0

-0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 0.23

-0.275 0.15 -0.275 0. 0.275 0. 0.275 0.15

0.075 0.23 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

4555. 1

-0.23 1.96 14. 0.23 1.96 14.

-0.23 1.84 14. 0.23 1.84 14.

-0.23 0.12 20. 0.23 0.12 20.

-0.23 0.04 20. 0.23 0.04 20.

2. E8 5. E5 5.25 e5

-0.189 1.945 0.93 78.4 -0.147 1.945 0.93 78.4

-0.105 1.945 0.93 78.4 -0.063 1.945 0.93 78.4

-0.021 1.945 0.93 78.4 0.021 1.945 0.93 78.4

0.063 1.945 0.93 78.4 0.105 1.945 0.93 78.4

0.147 1.945 0.93 78.4 0.189 1.945 0.93 78.4

-0.189 1.903 0.93 78.4 -0.147 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.903 0.93 78.4 -0.063 1.903 0.93 78.4

-0.021 1.903 0.93 78.4 0.021 1.903 0.93 78.4

0.063 1.903 0.93 78.4 0.105 1.903 0.93 78.4

0.147 1.903 0.93 78.4 0.189 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.861 0.93 78.4 -0.063 1.861 0.93 78.4

-0.021 1.861 0.93 78.4 0.021 1.861 0.93 78.4

0.063 1.861 0.93 78.4 0.105 1.861 0.93 78.4

1.95 E8 1.522 E6 1.77 e6

0.00175,0.001,

0,0,0,

3937.3,

-1,0,0,

3937.3,196.9,

-1,0,0,

3937.3,393.7,




78


Die im Unterordner ERG-Dateien gespeicherte Ergebnisdatei Q1_C45_EN.ERG enthält die folgende Ausgabe:

Uni Kassel - FB14 Bauingenieur- und Umweltingenieurwesen SEITE 1

Fachgebiet Massivbau - Dr.-Ing. Friedrich-Karl Röder DATUM 24.02.2021

G Z T und Verformungszustand , Querschnittswerte 190911 ZEIT 11:44:47

UniKassel FB14 Massivbau QUERWERT-11.6 210131 lizenziert


* PROTOKOLL DER EINGABEWERTE *

******************************

Anzahl der Eckpunkte des Betonquerschnitts NB = 12

Anzahl der nicht vorgesp. Bewehrungsstäbe NF = 8

Anzahl der vorgespannten Bewehrungsstäbe NV = 26

KOORDINATEN DES BETONQUERSCHNITTS

=================================

Punkt yc(I) zc(I)

[m] [m]

1 -0.2750 2.0000

2 -0.2750 1.8000

3 -0.0750 1.7900

4 -0.0750 0.2300

5 -0.2750 0.1500

6 -0.2750 0.0000

7 0.2750 0.0000

8 0.2750 0.1500

9 0.0750 0.2300

10 0.0750 1.7900

11 0.2750 1.8000

12 0.2750 2.0000

************* Werkstoffverhalten nach DIN EN 1992-1-1:2011-01 *************

BETON-WERKSTOFFVERHALTEN FÜR C 45/ 55

mit Formelwert Ecm=36.283*10^3 N/mm^2 nach Tabelle 3.1

======================================================

Sicherheitsbeiwert gamma,c für Grenzzustand der Tragfähigkeit = 1.50

für Schnittgrößen und Verformungen = 1.50

alpha für fcd = 0.85 alpha für fcm und Ecm = 1.00

Beiwert für Gesteinskörnung alfa,E = 1.00

Grenzzustand der Tragfähigkeit fcd = 0.85* -45000./1.50 = -25500. kN/m^2

Schnittgrössen und Verformungen fcm = 1.00* -53000./1.50 = -35333. kN/m^2

Elastizitätsmodul Ecm = 1.00 * 36.28E+06 / 1.50 = 24.19E+06 kN/m^2

für Zustand I: E-Modul Eco = 24.19E+06 G-Modul Gco = 10.08E+06 kN/m^2

Querdehnungszahl = 0.20

Faktor Eps Eps^2 Eps^3 Eps^4

----------------------------------------------------

Sigma,d = 2.546E+07 5.913E+09 -7.632E+11 -2.797E+14 (Parabel-Rechteck,fcd)

----------------------------------------------------

Sigma,m = 2.542E+07 3.430E+09 -1.430E+11 1.185E+14 (Hyperbel mit Ecm/fcm)

----------------------------------------------------

Zulässige Randverzerrungen für Grenzzustand für Verformungen

Druckseite ec2u = -3.50E-03 ec1u = -3.50E-03

Zugseite esu = 2.50E-02 euk = 2.50E-02

Maximum Druck ec2 = -2.00E-03 ec1 = -2.40E-03

Beton auf Zug ect = 0.00E+00




79







KOORDINATEN UND QUERSCHNITTE DER NICHT VORGESPANNTEN BEWEHRUNG

==============================================================

Punkt ys(I) zs(I) ds(I) As(I)

[m] [m] [mm] [cm**2]

1 -0.2300 1.9600 14.0 1.54

2 0.2300 1.9600 14.0 1.54

3 -0.2300 1.8400 14.0 1.54

4 0.2300 1.8400 14.0 1.54

5 -0.2300 0.1200 20.0 3.14

6 0.2300 0.1200 20.0 3.14

7 -0.2300 0.0400 20.0 3.14

8 0.2300 0.0400 20.0 3.14

1 - 8 E-Modul = 2.000E+08, fyk = 5.000E+05, ftk = 5.250E+05 [kN/m**2]

Sicherheitsbeiwert gamma,s für Grenzzustand der Tragfähigkeit = 1.15


1 - 8 : Der E-Modul bleibt unverändert

fyd = 5.000E+05 / 1.15 = 4.348E+05 kN/m**2, Fliessdehnung = 2.17 o/oo

KOORDINATEN,QUERSCHNITTE UND VORSPANNKRÄFTE DER SPANNBEWEHRUNG

==============================================================

Punkt yp(I) zp(I) Ap(I) P(I)

[m] [m] [cm**2] [kN]

1 -0.1890 1.9450 0.930 78.400

2 -0.1470 1.9450 0.930 78.400

3 -0.1050 1.9450 0.930 78.400

4 -0.0630 1.9450 0.930 78.400

5 -0.0210 1.9450 0.930 78.400

6 0.0210 1.9450 0.930 78.400

7 0.0630 1.9450 0.930 78.400

8 0.1050 1.9450 0.930 78.400

9 0.1470 1.9450 0.930 78.400

10 0.1890 1.9450 0.930 78.400

11 -0.1890 1.9030 0.930 78.400

12 -0.1470 1.9030 0.930 78.400

13 -0.1050 1.9030 0.930 78.400

14 -0.0630 1.9030 0.930 78.400

15 -0.0210 1.9030 0.930 78.400

16 0.0210 1.9030 0.930 78.400

17 0.0630 1.9030 0.930 78.400

18 0.1050 1.9030 0.930 78.400

19 0.1470 1.9030 0.930 78.400

20 0.1890 1.9030 0.930 78.400

21 -0.1050 1.8610 0.930 78.400

22 -0.0630 1.8610 0.930 78.400

23 -0.0210 1.8610 0.930 78.400

24 0.0210 1.8610 0.930 78.400

25 0.0630 1.8610 0.930 78.400

26 0.1050 1.8610 0.930 78.400




80







1 - 26 E-Modul = 1.950E+08, fp0,1k = 1.522E+06, fpk = 1.770E+06 [kN/m**2]

Sicherheitsbeiwert gamma,s für Grenzzustand der Tragfähigkeit = 1.15


1 - 26 : Der E-Modul bleibt unverändert

fp0,1d = 1.522E+06 / 1.15 = 1.323E+06 kN/m**2, Fliessdehnung = 6.79 o/oo

ITERATIONSSCHRANKEN

===================

Maximale Winkelabweichung

zwischen innerem und äusserem Momentenvektor = 0.001750 ( 0.100 Grad )

Maximale bezogene Differenz

beim Gleichgewicht der Kräfte in x-Richtung = 0.001000

* ERGEBNISAUSGABE DER BERECHNUNGEN *

************************************

QUERSCHNITTSWERTE DES BETONS OHNE BEWEHRUNG ( Dimensionen [m] )

===========================================

- BEZOGEN AUF EINGABEACHSEN

BETON - FLÄCHE Ac = 4.58000E-01

STATISCHE MOMENTE Sy = 4.62920E-01 Sz =-7.69893E-11

TRÄGHEITSMOMENTE Iy = 6.96478E-01 Iz = 5.71792E-03

Iyz = 4.98630E-10

BETON - SCHWERPUNKT ys,c = 0.0000 zs,c = 1.0107

- BEZOGEN AUF SCHWERPUNKT UND RICHTUNG DER EINGABEACHSEN

TRÄGHEITSMOMENTE Iy = 2.28585E-01 Iz = 5.71792E-03

Iyz = 5.76447E-10

- BEZOGEN AUF HAUPTACHSEN ( WINKEL PHI = 0.000 = 0.0 GRAD )

HAUPTTRÄGHEITSMOMENTE Iy,c = 2.28585E-01 Iz,c = 5.71792E-03

Ende des Protokolls der Eingabedaten

Beginn der Ergebnisausgabe für

Steuergröße LU = 0 oder 2 oder −2




81







IDEELLE QUERSCHNITTSWERTE ( Dimensionen [m] )

=========================

BETON - E-MODUL Ec = 2.41888E+07 kN/m^2

BETONSTAHL- E-MODUL Es = 2.00000E+08 kN/m^2 Es/Ec-1 = 7.27

SPANNSTAHL- E-MODUL Ep = 1.95000E+08 kN/m^2 Ep/Ec-1 = 7.06

- BEZOGEN AUF EINGABEACHSEN (Angabe der Bewehrungsanteile OHNE Faktor (n-1))

BETONSTAHL : FLÄCHE As = 1.87239E-03

STAT. MOMENTE Sy = 1.27046E-03 Sz =-1.59961E-12

SPANNSTAHL : FLÄCHE Ap = 2.41800E-03

STAT. MOMENTE Sy = 4.61708E-03 Sz = 1.31680E-13

IDEELLE - FLÄCHE Ai = 4.88684E-01

STATISCHE MOMENTE Sy,i = 5.04758E-01 Sz,i =-8.76859E-11

IDEELLER SCHWERPUNKT ys,i = 0.0000 zs,i = 1.0329

- BEZOGEN AUF IDEELLEN SCHWERPUNKT UND RICHTUNG DER EINGABEACHSEN

(Angabe der Bewehrungsanteile OHNE Faktor (n-1))

BETONSTAHL :

TRÄGHEITSMOMENTE Iy,s = 1.60823E-03 Iz,s = 9.90494E-05

Iyz,s = 3.45067E-12

SPANNSTAHL :

TRÄGHEITSMOMENTE Iy,p = 1.86045E-03 Iz,p = 2.99395E-05

Iyz,p = 1.36716E-12

IDEELLER QUERSCHNITT :

TRÄGHEITSMOMENTE Iy,i = 2.53636E-01 Iz,i = 6.64926E-03

Iyz,i = 6.11066E-10

- BEZOGEN AUF HAUPTACHSEN ( WINKEL PHI = 0.000 = 0.0 GRAD )

HAUPTTRÄGHEITSMOMENTE Iy,i = 2.53636E-01 Iz,i = 6.64926E-03

Torsionssteifigkeiten und Schubmittelpunkt des Betondruckkörpers

bereichsweise linear-elastische Berechnung MIT SEKANTENMODULN

-------------------- (Dimensionen kN und m) --------------------

+++++ Koordinaten des Schubmittelpunktes +++++

Eingabesystem Biege-HA-System

yM = 0.00000 0.00000

zM = 1.06399 0.03110

nur Beton:

ST. VENANT'SCHE TORSIONSSTEIFIGKEIT GID = 4.19475E+04

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Obergurt Steg Untergurt

GID1 = 1.29311E+04 GID2 = 1.66161E+04 GID3 = 1.24002E+04

Torsionswiderstand

TW1 = 1.28302E-03 TW2 = 1.64865E-03 TW3 = 1.23035E-03

SEKANTEN - E-Moduln UND G-Moduln

Esek1 = 2.41888E+07 Esek2 = 2.41888E+07 Esek3 = 2.41888E+07

Gsek1 = 1.00787E+07 Gsek2 = 1.00787E+07 Gsek3 = 1.00787E+07

Verzerrungen für Berechnung der Elastizitätsmoduln

RO1 = 0.000E+00 RO2 = 0.000E+00 RO3 = 0.000E+00

RU1 = 0.000E+00 RU2 = 0.000E+00 RU3 = 0.000E+00




82







Erweiterte Torsionssteifigkeit mit Anteil der Spannbewehrung

------------------------------------------------------------

INTEGRAL SIGMA,p*(y^2+z^2)*dAp = 3.45067E-12

TANGENTEN-Steifigkeit GID* = 4.40766E+04

SEKANTEN-Steifigkeit GID* = 4.19475E+04

BERECHNUNG BELASTUNGSABHÄNGIGER WERTE

=====================================

+++ ERLÄUTERUNGEN ZUR ERGEBNISAUSGABE (Winkel positiv im Uhrzeigersinn) +++

ALFA = Winkel zwischen der y-Achse und

dem resultierenden äusseren Momentenvektor M_Ed,res

BETA = Neigungswinkel der Nulllinie bezogen auf die y-Achse

GAMMA = Winkel zwischen der Nulllinie und

dem resultierenden inneren Momentenvektor M_Rd

Tragmomente M_Rd,y und M_Rd,z sind auf um BETA gedrehte Achsen bezogen.

ÄUSSERE BELASTUNG My,Mz,N - Lastfall 0

======================================

MOMENTE My = 3937.300 kNm Mz = 0.000 kNm

Die NORMALKRAFT N = 0.000 kN mit vorgegebenem

ANGRIFFSPUNKT yn = 0.0000 m zn = 1.0107 m wird in

den geom. Schwerpunkt (ys = 0.0000 m , zs = 1.0107 m) verschoben.

Die RESULTIERENDE MOMENTENBELASTUNG beträgt dann:

My,res = 3937.300 kNm Mz,res = 0.000 kNm

Das resultierende Moment beträgt M_Ed,res = 3937.300 kNm

mit einem Neigungswinkel zur y-Achse ALFA = 0.000000( 0.0grad)

GRENZZUSTAND DER TRAGFÄHIGKEIT MIT PARABEL-RECHTECK-DIAGRAMM und Fcd

>>> Das Verhältnis M_Rd/M_Ed,res muss mindestens 1.00 betragen <<<

==========================================================================

M_Ed,res = 3937.300 kNm M_Rd = 6669.821 kNm M_Rd/M_Ed,res = 1.694

N = 0.000 kN

nach 18 Iterationen:

VERZERRUNGEN eps_c2 = -3.5000E-03 eps_s1 = 1.3650E-02

BETONRANDSPANNUNG = -25929. kN/m**2

KRÄFTE ........ Dc = -3174.975 kN Zs = 3175.792 kN

TRAGMOMENTE M_Rd,y = 6669.821 kNm M_Rd,z = 0.000 kNm

Winkel nach 0 Änderungen in Bogenmass und Grad :

BETA = 0.000000( 0.0) GAMMA = 0.000000( 0.0)

Wenn die Steuergröße LU = 1 oder 2 gesetzt wird, endet die Berechnung hier !

Beginn der Ergebnisausgabe für

Steuergröße LU = 1 oder −1

Wenn die Steuergröße LU = −2 gesetzt wird, endet die Berechnung hier!




83







GRENZZUSTAND DER TRAGFÄHIGKEIT MIT HYPERBEL-VERLAUF und MAXIMUM = Fcm

>>> Das Verhältnis M_gr/M_Ed,res muss mindestens 1.00 betragen <<<

==========================================================================

M_Ed,res = 3937.300 kNm M_gr = 7079.145 kNm M_gr/M_Ed,res = 1.798

N = 0.000 kN


VERZERRUNGEN eps_c2 = -3.5000E-03 eps_s1 = 2.1600E-02


KRÄFTE ........ Dc = -3386.402 kN Zs = 3386.251 kN

TRAGMOMENTE M_gr,y = 7079.145 kNm M_gr,z = 0.000 kNm


BETA = 0.000000( 0.0) GAMMA = 0.000000( 0.0)

ERGEBNISSE FÜR VERFORMUNGSZUSTAND MIT HYPERBEL-VERLAUF und MAXIMUM = Fcm

>>> Das Verhältnis M_it/M_Ed,res sollte genau 1.00 betragen <<<

==========================================================================

M_Ed,res = 3937.300 kNm M_it = 3936.496 kNm M_it/M_Ed,res = 1.000

N = 0.000 kN


VERZERRUNGEN eps_c2 = -6.240E-04 eps_s1 = 5.350E-04 eps_ct = 0.000E+00


KRÄFTE ........ Dc = -2190.977 kN Zs = 2193.144 kN

TRAGMOMENTE M_it,y = 3936.496 kNm M_it,z = 0.000 kNm


BETA = 0.000000( 0.0) GAMMA = 0.000000( 0.0)




84







QUERSCHNITTSWERTE MIT HYPERBEL-VERLAUF und MAXIMUM = Fcm

=========================================================

+++++ BERECHNUNG MIT TANGENTENMODUL (Dimensionen kN und m) +++++


ELASTISCHE FLÄCHE EA = 6.13582E+06

ELAST.STATISCHE MOMENTE ESy = 3.31188E+06 ESz =-6.33387E-03

BIEGESTEIFIGKEITEN EIy = 3.61637E+06 EIz = 8.34504E+04

EIyz = 1.48484E-03

ELASTISCHER SCHWERPUNKT YS = 0.0000 ZS = 0.5398

- BEZOGEN AUF HAUPTACHSEN (WINKEL PHI = 0.000 = 0.0 GRAD)

HAUPTBIEGESTEIFIGKEITEN EIy = 1.82874E+06 EIz = 8.34504E+04

INTEGRAL SIGMA*(y**2+z**2)*dA = 4.02979E+03

ANTEILE Ac =-3.51862E+02 As = 7.92537E+01 Ap = 4.30240E+03

+++++ BERECHNUNG MIT SEKANTENMODUL (Dimensionen kN und m) +++++


ELASTISCHE FLÄCHE EA = 6.47431E+06

ELAST.STATISCHE MOMENTE ESy = 3.38855E+06 ESz =-7.31043E-03

BIEGESTEIFIGKEITEN EIy = 3.65061E+06 EIz = 8.88608E+04

EIyz = 1.48484E-03

ELASTISCHER SCHWERPUNKT YS = 0.0000 ZS = 0.5234

- BEZOGEN AUF HAUPTACHSEN (WINKEL PHI = 0.000 = 0.0 GRAD)

HAUPTBIEGESTEIFIGKEITEN EIy = 1.87710E+06 EIz = 8.88609E+04

INTEGRAL SIGMA*(y**2+z**2)*dA = 4.15871E+03

ANTEILE Ac =-3.30632E+02 As = 8.41718E+01 Ap = 4.40517E+03

SEKANTENMODUL DES BETONS Esec = 2.31916E+07 kN/m^2

( z.B. zur Bestimmung der Torsionssteifigkeiten )

* Tangentensteifigkeiten bezogen auf Hauptachsen mit Sekantenmodul *

Biegesteifigkeiten EIy,t = 1.83039E+06 EIz,t = 8.34504E+04




85








bereichsweise linear-elastische Berechnung MIT TANGENTENMODULN




yM = 0.00000 0.00000

zM = 0.16799 -0.37178

nur Beton:


+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


GID1 = 1.14309E+04 GID2 = 8.10546E+03 GID3 = 0.00000E+00

Torsionswiderstand

TW1 = 1.28302E-03 TW2 = 8.22057E-04 TW3 = 0.00000E+00

TANGENTEN - E-Moduln und G-Moduln

Etan1 = 2.13824E+07 Etan2 = 2.36640E+07 Etan3 = 0.00000E+00

Gtan1 = 8.90935E+06 Gtan2 = 9.85998E+06 Gtan3 = 0.00000E+00


RO1 = -6.240E-04 RO2 = -4.880E-04 RO3 = 0.000E+00

RU1 = -4.880E-04 RU2 = 0.000E+00 RU3 = 5.587E-04


bereichsweise linear-elastische Berechnung MIT SEKANTENMODULN




yM = 0.00000 0.00000

zM = 0.16557 -0.35781

nur Beton:


+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


GID1 = 1.25325E+04 GID2 = 8.41088E+03 GID3 = 0.00000E+00

Torsionswiderstand

TW1 = 1.28302E-03 TW2 = 8.22057E-04 TW3 = 0.00000E+00

SEKANTEN - E-Moduln und G-Moduln

Esek1 = 2.34432E+07 Esek2 = 2.45556E+07 Esek3 = 0.00000E+00

Gsek1 = 9.76799E+06 Gsek2 = 1.02315E+07 Gsek3 = 0.00000E+00


RO1 = -6.240E-04 RO2 = -4.880E-04 RO3 = 0.000E+00

RU1 = -4.880E-04 RU2 = 0.000E+00 RU3 = 5.587E-04

Erweiterte Torsionssteifigkeit mit Anteil der Spannbewehrung

------------------------------------------------------------

INTEGRAL SIGMA,p*(y^2+z^2)*dAp = 4.40517E+03

TANGENTEN-Steifigkeit GID* = 2.39415E+04

SEKANTEN-Steifigkeit GID* = 2.53486E+04

Wenn die Steuergröße LU = 0 oder −1 gesetzt wird, endet die Berechnung für den ersten Lastfall hier!

Für weitere Lastfälle wiederholen sich die formal gleichen Ausdrucke der Seiten 5 bis 8.

Die beiden weiteren Lastfälle können in der Ausgabedatei Q1_C45_EN.ERG eingesehen werden.




86


Der hier behandelte Querschnitt Q1 ist der Mittelquerschnitt des Spannbeton-Satteldachträgers B1, der im

Programm KIPNT2 verwendet wird. Um auch den kritischen Schnitt eines Satteldachträgers problemlos

berechnen zu können, wird für die geometrischen Daten und die Werkstoffdaten die Eingabedatei des

Kippprogramms verwendet. Der kritische Schnitt wird von QUERWERT aufgrund der Geometrie dann berechnet.

Die Lastmomente können mit den Formeln im Kap. 6, Punkt 12., aus den Momenten des Mittelquerschnitts

ermittelt werden. Es ergibt sich die folgende Eingabedatei, die unter dem Namen Q1_C45_KS.QUW im

Unterordner ...\Beispiele\QUW gespeichert ist. Die gegenüber der Datei Q1_C45_EN.QUW geänderten

Datenzeilen sind durch einen Pfeil und eine Klammer markiert:

B1-Satteldachtr. krit.Schn. M=3571 kNm C45 DIN2011

12 8 26 1 2 0

-0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 1.33

-0.275 1.25 -0.275 1.10 0.275 1.10 0.275 1.25

0.075 1.33 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

-0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 0.23

-0.275 0.15 -0.275 0. 0.275 0. 0.275 0.15

0.075 0.23 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

4555. 1 25. 1.

-0.23 1.96 14. 0.23 1.96 14.

-0.23 1.84 14. 0.23 1.84 14.

-0.23 1.22 20. 0.23 1.22 20.

-0.23 1.14 20. 0.23 1.14 20.

-0.23 1.96 0.23 1.96 -0.23 1.84 0.23 1.84

-0.23 0.12 0.23 0.12 -0.23 0.04 0.23 0.04

2. E8 5. E5 5.25 E5

-0.189 1.945 0.93 78.4 -0.147 1.945 0.93 78.4

-0.105 1.945 0.93 78.4 -0.063 1.945 0.93 78.4

-0.021 1.945 0.93 78.4 0.021 1.945 0.93 78.4

0.063 1.945 0.93 78.4 0.105 1.945 0.93 78.4

0.147 1.945 0.93 78.4 0.189 1.945 0.93 78.4

-0.189 1.903 0.93 78.4 -0.147 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.903 0.93 78.4 -0.063 1.903 0.93 78.4

-0.021 1.903 0.93 78.4 0.021 1.903 0.93 78.4

0.063 1.903 0.93 78.4 0.105 1.903 0.93 78.4

0.147 1.903 0.93 78.4 0.189 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.861 0.93 78.4 -0.063 1.861 0.93 78.4

-0.021 1.861 0.93 78.4 0.021 1.861 0.93 78.4

0.063 1.861 0.93 78.4 0.105 1.861 0.93 78.4

1.95 E8 1.522 E6 1.77 E6

0.00175,0.001

0,0,0,

3571.91,0.,

0,0,0,

3571.91,357.2,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q1_C45_KS einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben sind

die gleichen wie im Kap. 8 beschrieben.

Die zugehörende Ergebnisdatei Q1_C45_KS.ERG ist ebenfalls im Unterordner ...\Beispiele\ERG zu finden.




87


Das gleiche Beispiel wird nun für den Fall DIN EN 1992-1-1/NA:2011-01, Abschnitt 5.7, (s. hierzu S. 75, Nr. 2)

behandelt. Die im Bild 23 dargestellten Querschnitts-Vorgaben bleiben unverändert. In der Eingabezeile für die

Teilsicherheitsbeiwerte ist an der entsprechenden Stelle der einheitliche Sicherheitsbeiwert R einzutragen.

Aufgrund der Voreinstellung im Programm werden dann für die Berechnung die im NA, NCI Zu 5.7,

angegebenen rechnerischen Mittelwerte der Baustofffestigkeiten gewählt. Es ergibt sich die folgende

Eingabedatei, die unter dem Namen Q1_C45_R.QUW im Unterordner ...\Beispiele\QUW gespeichert ist. Die

gegenüber der Datei Q1_C45_EN.QUW geänderte Datenzeile ist durch einen Pfeil markiert:

Spannbetonquerschnitt Q1 My=3937 kNm DIN2011 R-Verfahren

12 8 26 0 2 0 0

-0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 0.23

-0.275 0.15 -0.275 0. 0.275 0. 0.275 0.15

0.075 0.23 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

4555. 1

1.3

-0.23 1.96 14. 0.23 1.96 14.

-0.23 1.84 14. 0.23 1.84 14.

-0.23 0.12 20. 0.23 0.12 20.

-0.23 0.04 20. 0.23 0.04 20.

2. E8 5. E5 5.25 e5

-0.189 1.945 0.93 78.4 -0.147 1.945 0.93 78.4

-0.105 1.945 0.93 78.4 -0.063 1.945 0.93 78.4

-0.021 1.945 0.93 78.4 0.021 1.945 0.93 78.4

0.063 1.945 0.93 78.4 0.105 1.945 0.93 78.4

0.147 1.945 0.93 78.4 0.189 1.945 0.93 78.4

-0.189 1.903 0.93 78.4 -0.147 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.903 0.93 78.4 -0.063 1.903 0.93 78.4

-0.021 1.903 0.93 78.4 0.021 1.903 0.93 78.4

0.063 1.903 0.93 78.4 0.105 1.903 0.93 78.4

0.147 1.903 0.93 78.4 0.189 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.861 0.93 78.4 -0.063 1.861 0.93 78.4

-0.021 1.861 0.93 78.4 0.021 1.861 0.93 78.4

0.063 1.861 0.93 78.4 0.105 1.861 0.93 78.4

1.95 E8 1.522 E6 1.77 e6

0.00175,0.001,

0,0,0,

3937.3,

-1,0,0,

3937.3,196.9,

-1,0,0,

3937.3,393.7,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q1_C45_R einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben sind die

gleichen wie im Kap. 8 beschrieben.

Die zugehörende Ergebnisdatei Q1_C45_R.ERG ist ebenfalls im Unterordner ...\Beispiele\ERG zu finden.




88


Das gleiche Beispiel wird auch für den Fall DIN 1045-1:2008-08, Abschnitt 8.6.1(7), (s. hierzu S. 75, Nr. 1)

behandelt. Die im Bild 23 dargestellten Querschnitts-Vorgaben bleiben unverändert. In der Eingabezeile für die

Betonfestigkeitsklasse ist die Zahl Null anstatt einer Eins einzutragen (s. Kap. 6, Nr. 4, Steuerzahl KDIN). Die

entsprechende Zeile ist mit einem Pfeil gekennzeichnet. Aufgrund der Voreinstellung im Programm werden dann

für die Berechnung die entsprechenden Baustoffkennwerte gewählt. Es ergibt sich die folgende Eingabedatei, die

unter dem Namen Q1_C45_1045.QUW im Unterordner ...\Beispiele\QUW gespeichert ist.

Spannbetonquerschnitt Q1 My=3937 kNm DIN1045/2008

12 8 26 0 2 0 0

-0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 0.23

-0.275 0.15 -0.275 0. 0.275 0. 0.275 0.15

0.075 0.23 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

4555. 0

-0.23 1.96 14. 0.23 1.96 14.

-0.23 1.84 14. 0.23 1.84 14.

-0.23 0.12 20. 0.23 0.12 20.

-0.23 0.04 20. 0.23 0.04 20.

2. E8 5. E5 5.25 e5

-0.189 1.945 0.93 78.4 -0.147 1.945 0.93 78.4

-0.105 1.945 0.93 78.4 -0.063 1.945 0.93 78.4

-0.021 1.945 0.93 78.4 0.021 1.945 0.93 78.4

0.063 1.945 0.93 78.4 0.105 1.945 0.93 78.4

0.147 1.945 0.93 78.4 0.189 1.945 0.93 78.4

-0.189 1.903 0.93 78.4 -0.147 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.903 0.93 78.4 -0.063 1.903 0.93 78.4

-0.021 1.903 0.93 78.4 0.021 1.903 0.93 78.4

0.063 1.903 0.93 78.4 0.105 1.903 0.93 78.4

0.147 1.903 0.93 78.4 0.189 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.861 0.93 78.4 -0.063 1.861 0.93 78.4

-0.021 1.861 0.93 78.4 0.021 1.861 0.93 78.4

0.063 1.861 0.93 78.4 0.105 1.861 0.93 78.4

1.95 E8 1.522 E6 1.77 e6

0.00175,0.001,

0,0,0,

3937.3,

-1,0,0,

3937.3,196.9,

-1,0,0,

3937.3,393.7,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q1_C45_1045 einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben sind


Die zugehörende Ergebnisdatei Q1_C45_1045.ERG ist ebenfalls im Unterordner ...\Beispiele\ERG zu finden.




89


Als weitere Möglichkeit wird das Beispiel noch für den Fall DIN 1045:1988, mit globalen Sicherheitsbeiwerten

(s. hierzu S. 75, Nr. 3) behandelt. Die im Bild 23 dargestellten Querschnitts-Vorgaben bleiben unverändert. Die

Werkstoffangaben für den Beton und für die Bewehrungen müssen den Werten gemäß DIN 1045:1988 angepasst

werden. Die Belastung aus dem Moment wird mit einem globalen Sicherheitsfaktor 1,75 ermittelt. Es ergibt sich

die folgende Eingabedatei, die unter dem Namen Q1_B55.QUW im Unterordner ...\Beispiele\QUW gespeichert

ist. Die gegenüber der Datei Q1_C45_EN.QUW geänderten Datenzeilen sind durch Pfeile markiert.

Spannbetonquerschnitt Q1 My=4762 kNm DIN1045/1988

12 8 26 0 2 0 0

-0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 0.23

-0.275 0.15 -0.275 0. 0.275 0. 0.275 0.15

0.075 0.23 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

55.

-0.23 1.96 14. 0.23 1.96 14.

-0.23 1.84 14. 0.23 1.84 14.

-0.23 0.12 20. 0.23 0.12 20.

-0.23 0.04 20. 0.23 0.04 20.

2.1 E8 5. E5

-0.189 1.945 0.93 78.4 -0.147 1.945 0.93 78.4

-0.105 1.945 0.93 78.4 -0.063 1.945 0.93 78.4

-0.021 1.945 0.93 78.4 0.021 1.945 0.93 78.4

0.063 1.945 0.93 78.4 0.105 1.945 0.93 78.4

0.147 1.945 0.93 78.4 0.189 1.945 0.93 78.4

-0.189 1.903 0.93 78.4 -0.147 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.903 0.93 78.4 -0.063 1.903 0.93 78.4

-0.021 1.903 0.93 78.4 0.021 1.903 0.93 78.4

0.063 1.903 0.93 78.4 0.105 1.903 0.93 78.4

0.147 1.903 0.93 78.4 0.189 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.861 0.93 78.4 -0.063 1.861 0.93 78.4

-0.021 1.861 0.93 78.4 0.021 1.861 0.93 78.4

0.063 1.861 0.93 78.4 0.105 1.861 0.93 78.4

1.95 E8 1.57 E6

0.00175,0.001,

0,0,0,

4762.6,

-1,0,0,

4762.6,238.1,

-1,0,0,

4762.6,476.3,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q1_B55 einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben sind die


Die zugehörende Ergebnisdatei Q1_B55.ERG ist ebenfalls im Unterordner...\Beispiele\ERG zu finden.




90


Querschnittshöhe :

h = 160 cm konstant

Beton C35/45



fcd = 0,85∙35/1,5 = 19,8 N/mm2

fcm/C = (35+8)/1,5 = 28,7 N/mm2

Betonstahl B500

im Steg unten 6 Ø 28 (Nr. 1-6)

im Obergurt 4 Ø 12 (Nr. 7-10)

Es = 200000 N/mm2

fyk = 500 N/mm2

ftk,cal = 525 N/mm2


Biegemomente

Lastfall 0:

My,Ed = 1491,3 kNm ; Mz,Ed = 0

Lastfall 1:

My,Ed = 1491,3 kNm ; Mz,Ed = 45 kNm

Lastfall 2:

My,Ed = 1491,3 kNm ; Mz,Ed = 75 kNm

Bild 24 : Stahlbetonquerschnitt Q2

Alle Maße in cm

160

145

35

12

3

13

6

6

5

6 35 35

y

z

8

7 6

5 4

2

3

1

8 7

9 10

5

3

1

6

4

2




91


9.2 Stahlbeton-T-Querschnitt Q2


Q2_C35.QUW und ist im Unterordner QUW-Dateien zu finden.

Dieser Querschnitt wird in Kap. 9.5 auch dazu verwendet, die Eingabe eines Sonderbetons (s. Kap. 6, Nr. 4 und

Nr. 4.1) zu zeigen. Deshalb wird hier bei diesem Beispiel das Ergebnis der Approximation des Beton-

Werkstoffverhaltens ausgegeben (Steuerzahl LWGS=1, s. Kap. 6, Nr. 2), um einen Vergleich mit dem Ergebnis

in Kap. 9.5 zu bekommen.

Die Nummerierung der Eckpunkte des Querschnitts erfolgt fortlaufend im Uhrzeigersinn, beginnend an der linken

unteren Ecke mit Punkt 1. Die Bewehrungen sind von links nach rechts und von unten nach oben

durchnummeriert.

Bei diesem Beispiel ist die Datendatei formatfrei erstellt worden. Dabei sind die Zahlen nur durch ein Komma

getrennt und müssen nicht an einer bestimmten Stelle stehen, wie bei einer formatgebundenen Eingabe. Diese

Form der Datendatei-Erstellung bietet sich bei der Verwendung eines Editors an.

STAHLBETONQUERSCHNITT Q2 My=1491kNm DIN2011

8,10,0,0,2,0,1,

-0.065,1.6,-0.065,0.15,-0.175,0.12,-0.175,0.,

0.175,0.,0.175,0.12,0.065,0.15,0.065,1.6,

3545.,1,

-0.03,1.55,28.,0.03,1.55,28.,

-0.03,1.49,28.,0.03,1.49,28.,

-0.03,1.43,28.,0.03,1.43,28.,

-0.15,0.10,12.,0.15,0.10,12.,

-0.15,0.03,12.,0.15,0.03,12.,

2.e8,5.e5,5.25e5,

0,0,0,

1491.3,

-1,0,0,

1491.3,45.,

-1,0,0,

1491.3,75.,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q2_C35 einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben sind die


Die zugehörende Ergebnisdatei Q2_C35.ERG ist im Unterordner...\Beispiele\ERG zu finden.

Aufgrund der Eingabe LWGS = 1 wird bei diesem Beispiel das Ergebnis der Polynomapproximation des

Betonverhaltens zu Beginn der Ergebnisausgabe angegeben. Im Folgenden werden die ersten vier Seiten der

Ergebnisausgabe aufgeführt. Es beginnt mit der Auflistung der verwendeten Vorwerte, die aufgrund der

eingegebenen Betonfestigkeitsklasse aus im Programm voreingestellten Werten entnommen werden. Dann folgt

die tabellarische Ausgabe der Dehnungen mit den zugehörenden Spannungen im Original (SIG(I)) Gl. (4.1) und

als Polynomwert Gl. (4.2), sowie den prozentualen Abweichungen zwischen Original und Polynomwert. Am

Ende der Tabelle stehen die berechneten Polynomkoeffizienten. In den vorgegebenen Zwangspunkten werden die

Originalwerte exakt approximiert. Die im Tabellenkopf verwendeten Bezeichnungen entsprechen denen in den

Normen. Der Wert „alfa,i“ ist der Kehrwert von „FAKTOR“. Die Zusammenhänge zwischen den Größen sind in

den Kap. 4.2 und 4.3 beschrieben.




92







POLYNOMAPPROXIMATION FÜR WERKSTOFFGESETZ DER FORM GRASSER-HYPERBEL

==================================================================

Konstanten des Werkstoffgesetzes für Klasse C 35/ 45 MN/m**2

fck = 35.00 alfa,E = 1.00 Ec0m = 35.78 EPSc1 = 2.250

fcm = 43.00 Faktor = 1.050 Ecm = 34.08 EPSc1u = 3.500

fc = 43.00 alfa,i = 0.952 Ec = 34.08 1+phi = 1.000

I EPS(I) SIG(I) POLYNOM ABWEICHUNG in 0/0

1 Z 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 Z 1.000E-01 8.170E-02 8.170E-02 0.000E+00

3 2.000E-01 1.603E-01 1.603E-01 5.873E-03

4 3.000E-01 2.359E-01 2.358E-01 1.042E-02

5 4.000E-01 3.082E-01 3.082E-01 1.379E-02

6 5.000E-01 3.774E-01 3.773E-01 1.605E-02

7 6.000E-01 4.433E-01 4.432E-01 1.737E-02

8 7.000E-01 5.058E-01 5.057E-01 1.784E-02

9 8.000E-01 5.649E-01 5.648E-01 1.762E-02

10 9.000E-01 6.206E-01 6.205E-01 1.679E-02

11 1.000E+00 6.728E-01 6.727E-01 1.549E-02

12 1.100E+00 7.214E-01 7.213E-01 1.380E-02

13 1.200E+00 7.663E-01 7.662E-01 1.187E-02

14 1.300E+00 8.075E-01 8.074E-01 9.787E-03

15 1.400E+00 8.450E-01 8.449E-01 7.661E-03

16 1.500E+00 8.785E-01 8.785E-01 5.556E-03

17 1.600E+00 9.082E-01 9.082E-01 3.629E-03

18 1.700E+00 9.339E-01 9.338E-01 1.940E-03

19 1.800E+00 9.554E-01 9.554E-01 5.677E-04

20 1.900E+00 9.729E-01 9.729E-01 -4.105E-04

21 2.000E+00 9.861E-01 9.861E-01 -9.551E-04

22 2.100E+00 9.950E-01 9.950E-01 -9.645E-04

23 2.200E+00 9.994E-01 9.994E-01 -4.592E-04

24 Z 2.250E+00 1.000E+00 1.000E+00 5.960E-06

25 2.300E+00 9.994E-01 9.994E-01 6.023E-04

26 2.400E+00 9.949E-01 9.948E-01 2.187E-03

27 2.500E+00 9.856E-01 9.856E-01 4.233E-03

28 2.600E+00 9.716E-01 9.715E-01 6.693E-03

29 2.700E+00 9.528E-01 9.527E-01 9.365E-03

30 2.800E+00 9.290E-01 9.288E-01 1.202E-02

31 2.900E+00 9.001E-01 9.000E-01 1.431E-02

32 3.000E+00 8.661E-01 8.659E-01 1.571E-02

33 3.100E+00 8.268E-01 8.267E-01 1.549E-02

34 3.200E+00 7.822E-01 7.821E-01 1.254E-02

35 3.300E+00 7.320E-01 7.320E-01 5.268E-03

36 3.400E+00 6.763E-01 6.763E-01 -8.875E-03

37 3.500E+00 6.148E-01 6.150E-01 -3.384E-02

(Zwangspunkte sind mit Z gekennzeichnet , Anzahl = 3 )

EINHEITSKOEFFIZIENTEN DER FUNKTION S = A1 + A2*E + A3*E^2 + A4*E^3 ...

Koeffizient der Basisfunktion NR. 1 ... 0.0000000E+00

Koeffizient der Basisfunktion NR. 2 ... 8.3217740E-01

Koeffizient der Basisfunktion NR. 3 ... -1.5097386E-01






93


Um die Genauigkeit der Polynomapproximation zu zeigen, wird auf der folgenden Seite 2 das Ergebnis einer

Integration des Spannungsverlaufs von vorgegebener Formel (SIGMA) und approximiertem Polynom angegeben:

0

Fläche (Sigma Gl.4.1 oder Polynom Gl.4.2) d

= .

Außerdem wird die prozentuale Abweichung der Fläche des Polynoms von der SIGMA-Fläche angegeben.






VERGLEICH DER FLÄCHENBERECHNUNG FÜR KLASSE C 35/ 45 MN/m**2

=============================================================

I EPS(I) Fläche SIGMA Fläche POLYNOM Abweichung in 0/0

1 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 1.000E-01 4.110E-03 4.110E-03 -2.345E-03

3 2.000E-01 1.624E-02 1.624E-02 1.939E-03

4 3.000E-01 3.608E-02 3.607E-02 5.494E-03

5 4.000E-01 6.331E-02 6.330E-02 8.427E-03

6 5.000E-01 9.762E-02 9.761E-02 1.073E-02

7 6.000E-01 1.387E-01 1.387E-01 1.252E-02

8 7.000E-01 1.862E-01 1.861E-01 1.386E-02

9 8.000E-01 2.397E-01 2.397E-01 1.473E-02

10 9.000E-01 2.990E-01 2.990E-01 1.524E-02

11 1.000E+00 3.637E-01 3.637E-01 1.540E-02

12 1.100E+00 4.335E-01 4.334E-01 1.527E-02

13 1.200E+00 5.079E-01 5.078E-01 1.492E-02

14 1.300E+00 5.866E-01 5.865E-01 1.437E-02

15 1.400E+00 6.693E-01 6.692E-01 1.367E-02

16 1.500E+00 7.555E-01 7.554E-01 1.285E-02

17 1.600E+00 8.448E-01 8.447E-01 1.196E-02

18 1.700E+00 9.370E-01 9.369E-01 1.108E-02

19 1.800E+00 1.031E+00 1.031E+00 1.016E-02

20 1.900E+00 1.128E+00 1.128E+00 9.322E-03

21 2.000E+00 1.226E+00 1.226E+00 8.509E-03

22 2.100E+00 1.325E+00 1.325E+00 7.782E-03

23 2.200E+00 1.425E+00 1.425E+00 7.221E-03

24 2.250E+00 1.475E+00 1.475E+00 6.952E-03

25 2.300E+00 1.525E+00 1.525E+00 6.724E-03

26 2.400E+00 1.624E+00 1.624E+00 6.392E-03

27 2.500E+00 1.724E+00 1.723E+00 6.190E-03

28 2.600E+00 1.821E+00 1.821E+00 6.178E-03

29 2.700E+00 1.918E+00 1.918E+00 6.260E-03

30 2.800E+00 2.012E+00 2.012E+00 6.447E-03

31 2.900E+00 2.103E+00 2.103E+00 6.790E-03

32 3.000E+00 2.192E+00 2.192E+00 7.104E-03

33 3.100E+00 2.276E+00 2.276E+00 7.415E-03

34 3.200E+00 2.357E+00 2.357E+00 7.678E-03

35 3.300E+00 2.433E+00 2.432E+00 7.704E-03

36 3.400E+00 2.503E+00 2.503E+00 7.458E-03

37 3.500E+00 2.568E+00 2.568E+00 6.741E-03




94


Die folgenden Seiten 3 und 4 zeigen das Ergebnis der Polynomapproximation für das Parabel-Rechteck-

Diagramm. Der formale Aufbau der Ergebnisausgabe ist der gleiche wie für die beiden vorstehenden Seiten

bereits beschrieben. In der Spalte SIG(I) stehen die Vorgabewerte Gl. (4.3). Die Polynomwerte werden mit

Gl. (4.4) berechnet.






POLYNOMAPPROXIMATION FÜR WERKSTOFFGESETZ DER FORM PARABEL-RECHTECK

==================================================================

Konstanten des Werkstoffgesetzes für Klasse C 35/ 45 MN/m**2

fc = 1.00 EPSc2 = 2.00 EPSc2u = 3.50 n = 2.00 d = 1.00

I EPS(I) SIG(I) POLYNOM ABWEICHUNG in 0/0

1 Z 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 Z 1.000E-01 9.750E-02 9.750E-02 -7.642E-06

3 2.000E-01 1.900E-01 1.902E-01 -1.044E-01

4 3.000E-01 2.775E-01 2.780E-01 -1.640E-01

5 4.000E-01 3.600E-01 3.607E-01 -1.824E-01

6 5.000E-01 4.375E-01 4.382E-01 -1.634E-01

7 6.000E-01 5.100E-01 5.106E-01 -1.117E-01

8 7.000E-01 5.775E-01 5.777E-01 -3.208E-02

9 8.000E-01 6.400E-01 6.396E-01 6.974E-02

10 9.000E-01 6.975E-01 6.962E-01 1.874E-01

11 1.000E+00 7.500E-01 7.476E-01 3.138E-01

12 1.100E+00 7.975E-01 7.940E-01 4.407E-01

13 1.200E+00 8.400E-01 8.353E-01 5.588E-01

14 1.300E+00 8.775E-01 8.717E-01 6.573E-01

15 1.400E+00 9.100E-01 9.034E-01 7.239E-01

16 1.500E+00 9.375E-01 9.305E-01 7.442E-01

17 1.600E+00 9.600E-01 9.533E-01 7.014E-01

18 1.700E+00 9.775E-01 9.719E-01 5.759E-01

19 1.800E+00 9.900E-01 9.866E-01 3.445E-01

20 1.900E+00 9.975E-01 9.977E-01 -2.061E-02

21 2.000E+00 1.000E+00 1.006E+00 -5.525E-01

22 2.100E+00 1.000E+00 1.010E+00 -1.038E+00

23 2.200E+00 1.000E+00 1.013E+00 -1.264E+00

24 2.300E+00 1.000E+00 1.013E+00 -1.268E+00

25 2.400E+00 1.000E+00 1.011E+00 -1.091E+00

26 2.500E+00 1.000E+00 1.008E+00 -7.783E-01

27 2.600E+00 1.000E+00 1.004E+00 -3.755E-01

28 2.700E+00 1.000E+00 9.993E-01 6.806E-02

29 2.800E+00 1.000E+00 9.950E-01 5.006E-01

30 2.900E+00 1.000E+00 9.913E-01 8.677E-01

31 3.000E+00 1.000E+00 9.889E-01 1.112E+00

32 3.100E+00 1.000E+00 9.883E-01 1.175E+00

33 3.200E+00 1.000E+00 9.901E-01 9.924E-01

34 3.300E+00 1.000E+00 9.950E-01 5.008E-01

35 3.400E+00 1.000E+00 1.004E+00 -3.679E-01

36 3.500E+00 1.000E+00 1.017E+00 -1.684E+00

(Zwangspunkte sind mit Z gekennzeichnet , Anzahl = 2 )

EINHEITSKOEFFIZIENTEN DER FUNKTION S = A1 + A2*E + A3*E^2 + A4*E^3 ...

Koeffizient der Basisfunktion NR. 1 ... 0.0000000E+00








95







VERGLEICH DER FLÄCHENBERECHNUNG FÜR KLASSE C 35/ 45 MN/m**2

=============================================================

I EPS(I) Fläche SIGMA Fläche POLYNOM Abweichung in 0/0

1 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

2 1.000E-01 4.917E-03 4.914E-03 4.692E-02

3 2.000E-01 1.933E-02 1.934E-02 -3.406E-02

4 3.000E-01 4.275E-02 4.279E-02 -9.193E-02

5 4.000E-01 7.467E-02 7.476E-02 -1.282E-01

6 5.000E-01 1.146E-01 1.147E-01 -1.447E-01

7 6.000E-01 1.620E-01 1.622E-01 -1.432E-01

8 7.000E-01 2.164E-01 2.167E-01 -1.256E-01

9 8.000E-01 2.773E-01 2.776E-01 -9.402E-02

10 9.000E-01 3.443E-01 3.444E-01 -5.078E-02

11 1.000E+00 4.167E-01 4.167E-01 1.667E-03

12 1.100E+00 4.941E-01 4.938E-01 6.067E-02

13 1.200E+00 5.760E-01 5.753E-01 1.234E-01

14 1.300E+00 6.619E-01 6.607E-01 1.866E-01

15 1.400E+00 7.513E-01 7.495E-01 2.470E-01

16 1.500E+00 8.438E-01 8.412E-01 3.008E-01

17 1.600E+00 9.387E-01 9.354E-01 3.441E-01

18 1.700E+00 1.036E+00 1.032E+00 3.724E-01

19 1.800E+00 1.134E+00 1.130E+00 3.809E-01

20 1.900E+00 1.233E+00 1.229E+00 3.642E-01

21 2.000E+00 1.333E+00 1.329E+00 3.166E-01

22 2.100E+00 1.433E+00 1.430E+00 2.374E-01

23 2.200E+00 1.533E+00 1.531E+00 1.455E-01

24 2.300E+00 1.633E+00 1.632E+00 5.808E-02

25 2.400E+00 1.733E+00 1.734E+00 -1.407E-02

26 2.500E+00 1.833E+00 1.835E+00 -6.482E-02

27 2.600E+00 1.933E+00 1.935E+00 -9.158E-02

28 2.700E+00 2.033E+00 2.035E+00 -9.471E-02

29 2.800E+00 2.133E+00 2.135E+00 -7.680E-02

30 2.900E+00 2.233E+00 2.234E+00 -4.237E-02

31 3.000E+00 2.333E+00 2.333E+00 2.401E-03

32 3.100E+00 2.433E+00 2.432E+00 5.004E-02

33 3.200E+00 2.533E+00 2.531E+00 9.173E-02

34 3.300E+00 2.633E+00 2.630E+00 1.177E-01

35 3.400E+00 2.733E+00 2.730E+00 1.171E-01

36 3.500E+00 2.833E+00 2.831E+00 7.815E-02




96


9.3 Hohlkastenquerschnitt


HK.QUW und ist im Unterordner ...\Beispiele\QUW zu finden.

Da die durchzuführenden Flächenintegrationen durch Konturintegrationen, wie in Kap. 5.1 beschrieben, ersetzt

werden, muss bei der Nummerierung der Querschnittspunkte der Umlaufsinn beachtet werden. Wird die Kontur

im mathematisch positiven Sinn (hier im Uhrzeigersinn) umlaufen, so ergibt sich ein positiver Wert. Ist der

Umlaufsinn in entgegengesetzter Richtung, so wird der Wert negativ.

Die Nummerierung der Eckpunkte des Querschnitts erfolgt deshalb für die Außenkante fortlaufend im Uhr-

zeigersinn, beginnend an der linken oberen Ecke mit Punkt 1 und endend mit Punkt 4. Die Nummerierung der

Innenkante beginnt mit Punkt 5 und wird dann entgegen dem Uhrzeigersinn fortlaufend bis zum Punkt 9, der mit

Punkt 5 identisch ist, fortgeführt. Die Nummerierung endet mit Punkt 10, der mit dem Punkt 4 zusammenfällt.

Rechentechnisch wird programmintern noch ein Punkt 11 eingeführt, der dem Punkt 1 entspricht, um die Kontur

zu schließen. Für die Berechnung wird also das innere Rechteck vom äußeren abgezogen. Die Schnittlinie 9-10

verläuft in umgekehrter Richtung 4-5, so dass sich für diese beiden Linien die Rechenwerte gegeneinander

aufheben.

Die Bewehrungen sind von links nach rechts und von unten nach oben durchnummeriert. Wegen der besseren

Übersichtlichkeit sind nur die Nummern der Eckstäbe angegeben.

10

6

Bild 25 : Hohlkastenquerschnitt

Alle Maße in cm

200

150

5

25

25

6

6 y

z

8 7

6 5

4

2

3

1

1 11

10

9

12 20

Hohlkasten

h = 200 cm, b = 150 cm, t = 25 cm

Beton C40/50



fcd = 0,85∙40/1,5 = 22,7 N/mm2

fcm/C = (40+8)/1,5 = 32 N/mm2

Betonstahl B500

unten 11 Ø25 (Nr. 1-11)

oben 9 Ø20 (Nr. 12-20)

Es = 200000 N/mm2

fyk = 500 N/mm2

ftk,cal = 525 N/mm2


Einwirkende Schnittgrößen

Lastfall 0:

My,Ed = 12,0 MNm ; Mz,Ed = 0

Ned = –9,5 MN (zentrische Druckkraft)

Angriffspunkt ist der Schwerpunkt

mit yS = 0. , zS = 1,0m

Lastfälle 1 - 2:

My,Ed = 12,0 MNm ; Mz,Ed = 0

Ned = –9,5 MN (Druckkraft) mit dem

Angriffspunkt jeweils 10 cm in +y- und ±z-

Richtung vom Schwerpunkt entfernt. Durch

die exzentrisch angreifende Normalkraft

werden vom Programm automatisch Versatz-

momente My und Mz berücksichtigt.




97


Mit diesen Daten ist die folgende Eingabedatei erstellt worden. Als Krafteinheit ist „MN“ gewählt worden.

Hohlkastenquerschnitt h=200 b=150 t=25 cm C40/50

10,20,0,0,1,0,0,

-0.75,0.,0.75,0.,0.75,2.0,-0.75,2.0,

-0.50,1.75,0.50,1.75,0.50,0.25,-0.50,0.25,

-0.50,1.75,-0.75,2.0,

4050.,1,

-0.65,1.94,25.,-0.52,1.94,25.,

-0.39,1.94,25.,-0.26,1.94,25.,

-0.13,1.94,25.,0.,1.94,25.,

0.13,1.94,25.,0.26,1.94,25.,

0.39,1.94,25.,0.52,1.94,25.,

0.65,1.94,25.,-0.65,0.06,20.,

-0.49,0.06,20.,-0.33,0.06,20.,

-0.17,0.06,20.,0.,0.06,20.,

0.17,0.06,20.,0.33,0.06,20.,

0.49,0.06,20.,0.65,0.06,20.,

2.e5,500.,525.,

0.00175,0.001,

0,0,0,0,

12.,0.,-9.5,0.,0.,0,

-1,0,0,0,

12.,0.,-9.5,+0.1,1.1,1,

-1,0,0,0,

12.,0.,-9.5,+0.1,0.9,1,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname HK einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben sind die


Die zugehörende Ergebnisdatei HK.ERG ist ebenfalls im Unterordner ...\Beispiele\ERG zu finden.




98


9.4 Beispiele für die Eingabe einer Torsionsbewehrung

Für das Beispiel Q1 ist im Folgenden die Eingabe einer Torsionsbewehrung angegeben. Die maßgebende

Steuergröße heißt NTOB, siehe Kap. 6, Nr. 1 . Die Eingabeparameter sind im Kap. 6, Nr. 9, beschrieben.

Zuerst wird der Fall einer für den Querschnitt einheitlichen Torsionsbewehrung mit Bügeln d = 10 mm im

Abstand 25 cm und Längsbewehrung d = 8 mm im Abstand 15 cm jeweils für Obergurt, Steg und Untergurt

behandelt.

Es ergibt sich die folgende Eingabedatei, die unter dem Namen Q1_C45_NTOB=1.QUW im Unterordner

...\Beispiele\QUW gespeichert ist. Die gegenüber der Datei Q1_C45_EN.QUW geänderten Datenzeilen sind

durch Pfeile markiert:

Spannbetonquerschnitt Q1 My=3937 kNm DIN2011 Torsionsbewehrung

12 8 26 0 2 1 0 -0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 0.23

-0.275 0.15 -0.275 0. 0.275 0. 0.275 0.15

0.075 0.23 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

4555. 1

-0.23 1.96 14. 0.23 1.96 14.

-0.23 1.84 14. 0.23 1.84 14.

-0.23 0.12 20. 0.23 0.12 20.

-0.23 0.04 20. 0.23 0.04 20.

2. E8 5. E5 5.25 E5

-0.189 1.945 0.93 78.4 -0.147 1.945 0.93 78.4

-0.105 1.945 0.93 78.4 -0.063 1.945 0.93 78.4

-0.021 1.945 0.93 78.4 0.021 1.945 0.93 78.4

0.063 1.945 0.93 78.4 0.105 1.945 0.93 78.4

0.147 1.945 0.93 78.4 0.189 1.945 0.93 78.4

-0.189 1.903 0.93 78.4 -0.147 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.903 0.93 78.4 -0.063 1.903 0.93 78.4

-0.021 1.903 0.93 78.4 0.021 1.903 0.93 78.4

0.063 1.903 0.93 78.4 0.105 1.903 0.93 78.4

0.147 1.903 0.93 78.4 0.189 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.861 0.93 78.4 -0.063 1.861 0.93 78.4

-0.021 1.861 0.93 78.4 0.021 1.861 0.93 78.4

0.063 1.861 0.93 78.4 0.105 1.861 0.93 78.4

1.95 E8 1.522 E6 1.77 E6

10. 0.250 8. 0.150 0.025 0. 0.

0.00175,0.001,

-1,0,0,

3937.3,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q1_C45_NTOB=1 einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben

sind die gleichen wie im Kap. 8 beschrieben.

Als ein Ergebnis der Berechnungen werden im linken Ausgabefenster der Querschnitt mit Bewehrungen, der

ermittelte Betondruckkörper und zusätzlich auch die Lage des aus den Bügeln und Längsstäben bestehenden

Bewehrungskorbes der Torsionsbewehrung dargestellt. (siehe Bild 26, S. 103)

Die zugehörende Ergebnisdatei Q1_C45_NTOB=1.ERG ist ebenfalls im Unterordner

...\Beispiele\ERG gespeichert.

NTOB=1

Zusatzzeile

Torsionsbewehrung




99


Nun wird der Fall einer für den Querschnitt uneinheitlichen Torsionsbewehrung behandelt. Im Obergurt liegen

Bügel d = 10 mm im Abstand 25 cm und Längsbewehrung d = 8 mm im Abstand 15 cm, im Steg Bügel und

Längsbewehrung jeweils d = 10 mm im Abstand 25 cm und im Untergurt Bügel d = 10 mm im Abstand 25 cm

und Längsbewehrung d = 8 mm im Abstand 15 cm.

Es ergibt sich die folgende Eingabedatei mit Namen Q1_C45_NTOB=2.QUW, gespeichert im Unterordner

...\Beispiele\QUW. Die gegenüber der Datei Q1_C45_EN.QUW geänderten Datenzeilen sind durch Pfeile

markiert:


12 8 26 0 2 2 0 -0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 0.23

-0.275 0.15 -0.275 0. 0.275 0. 0.275 0.15

0.075 0.23 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

4555. 1

-0.23 1.96 14. 0.23 1.96 14.

-0.23 1.84 14. 0.23 1.84 14.

-0.23 0.12 20. 0.23 0.12 20.

-0.23 0.04 20. 0.23 0.04 20.

2. E8 5. E5 5.25 E5

-0.189 1.945 0.93 78.4 -0.147 1.945 0.93 78.4

-0.105 1.945 0.93 78.4 -0.063 1.945 0.93 78.4

-0.021 1.945 0.93 78.4 0.021 1.945 0.93 78.4

0.063 1.945 0.93 78.4 0.105 1.945 0.93 78.4

0.147 1.945 0.93 78.4 0.189 1.945 0.93 78.4

-0.189 1.903 0.93 78.4 -0.147 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.903 0.93 78.4 -0.063 1.903 0.93 78.4

-0.021 1.903 0.93 78.4 0.021 1.903 0.93 78.4

0.063 1.903 0.93 78.4 0.105 1.903 0.93 78.4

0.147 1.903 0.93 78.4 0.189 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.861 0.93 78.4 -0.063 1.861 0.93 78.4

-0.021 1.861 0.93 78.4 0.021 1.861 0.93 78.4

0.063 1.861 0.93 78.4 0.105 1.861 0.93 78.4

1.95 E8 1.522 E6 1.77 E6

10. 0.250 8. 0.150 0.025

10. 0.250 10. 0.250 10. 0.250 8. 0.150

0.00175,0.001,

-1,0,0,

3937.3,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q1_C45_NTOB=2 einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben


Die zugehörende Ergebnisdatei Q1_C45_NTOB=2.ERG ist im Unterordner…...\Beispiele\ERG gespeichert.

Variante a:

Im Obergurt und Untergurt besteht die Torsionslängsbewehrung aus jeweils 8 Stäben d = 8 mm.

Die beiden Datenzeilen lauten dann:

10. 0.250 8. 8. 0.025

10. 0.250 10. 0.250 10. 0.250 8. 8.

Beim Ergebnisausdruck wird für die Längsbewehrung dann ein Stababstand angegeben, der aus dem Quotienten

Umfang des Bewehrungskorbes Uki geteilt durch die Stabanzahl ermittelt wird.

Die zugehörende Datendatei ist unter dem Namen Q1_C45_NTOB=2a.QUW und die zugehörende Ergebnisdatei

unter Q1_C45_NTOB=2a.ERG in den entsprechenden Unterordnern zu finden.

NTOB=2

2 Zusatzzeilen

Torsionsbewehrung




100


Im Falle der Eingabe einer Torsionsbewehrung wird das Ergebnis der Berechnungen mit den im Kap. 5.2.2.4

angegebenen Formeln wie folgt ausgegeben:


TORSIONSSTEIFIGKEIT DES BEWEHRUNGSKORBES AUS BÜGELN UND LÄNGSEISEN

------------------------------------------------------------------

Vorwerte: Elastizitätsmodul der Bewehrung Es = 2.000E+08 [kN/m^2]

und des Betons Ec = 2.419E+07 [kN/m^2]

Verhältnis n=Es/Ec = 8.27

OBERGURT STEG UNTERGURT

Bügel:d=10.;a=25.0 Bügel:d=10.;a=25.0 Bügel:d=10.;a=25.0 [mm;cm]

Längs:d= 8.;a=15.0 Längs:d= 8.;a=15.0 Längs:d= 8.;a=15.0 [mm;cm]

tef1 = 0.078000 tef2 = 0.075000 tef3 = 0.078000 [m]

Ak1 = 0.060386 Ak2 = 0.138384 Ak3 = 0.060992 [m^2]

Uk1 = 1.139153 Uk2 = 3.988000 Uk3 = 1.192207 [m]

+++++ Berechnung nach COLLINS +++++

- mit dehnstarren Betondruckstreben unter 45grad:

GID1 = 4.15441E+02 GID2 = 6.23219E+02 GID3 = 4.04968E+02 [kNm^2]

Summe der Einzelsteifigkeiten GID = 1.44363E+03 [kNm^2]

+++++ Berechnung nach LEONHARDT +++++

- mit dehnsteifen Betondruckstreben unter 45grad:



- mit dehnstarren Betondruckstreben unter 45grad:



+++++ Anmerkung +++++

Bei Berücksichtigung des Bewehrungskorbes

für die gesamte Torsionssteifigkeit des Querschnitts

wird der kleinste Wert GID = 1.34856E+03 [kNm^2] verwendet.

Summe der Torsionssteifigkeiten aus Betondruckkörper und Bewehrungskorb

***********************************************************************

- Beton mit Sekantenmodul : GID = 2.22920E+04 [kNm^2]

- Beton mit Tangentenmodul: GID = 2.08849E+04 [kNm^2]

„tefi“ ist die Dicke der Betondruckstrebe.

„Aki“ ist die Fläche, die von den Verbindungslinien der Längsbewehrungsmittelpunkte umschlossen wird.

„Uki“ ist der Umfang der Fläche „Aki“.




101


Bild 26 : Bild des Querschnitts mit berechnetem Betondruckkörper und

Lage des Bewehrungskorbes für Torsion (hier Beispiel Q1, Lastfall 0)




102


9.5 Beispiele für eine Eingabe der Daten eines Sonderbetons

Als Beispiel für die Eingabe eines Sonderbetons ist das Beispiel Q2 gewählt worden. Die maßgebende

Steuergröße heißt BN, siehe Kap. 6, Nr. 4. Die Eingabeparameter sind im Kap. 6, Nr. 4.1, beschrieben.

Wenn die Form des Betonverhaltens den Angaben gemäß DIN EN 1992-1-1:2011-01, DIN 1045-1:2008-08 oder

DIN 1045:1988 entspricht, so sind die charakteristischen Betonwerte und die Grenzrandverzerrungen für diesen

Sonderbeton anzugeben. Die benötigten Koeffizienten werden dann vom Programm ermittelt. Um eine

Kontrollmöglichkeit zu haben, werden die Daten des beim Beispiel Q2 verwendeten C35/45 als „Sonderbeton“

eingegeben. Zusätzlich wird die Steuergröße LWGS gleich eins (s. Kap. 6, Nr. 2) gesetzt, um die Ermittlung der

Koeffizienten zu zeigen. Es ergibt sich die folgende Eingabedatei, die unter dem Namen Q2_Cneg_VS=0.QUW

im Unterordner ...\Beispiele\QUW gespeichert ist. Die gegenüber der Datei Q2_C35.QUW geänderten

Datenzeilen sind durch Pfeile markiert:

STAHLBETONQUERSCHNITT Q2 My=1491kNm DIN2011 Sonderbeton VS=0

8,10,0,0,2,0,1,

-0.065,1.6,-0.065,0.15,-0.175,0.12,-0.175,0.,

0.175,0.,0.175,0.12,0.065,0.15,0.065,1.6,

-1001.,1,

35.,43.,34.08,2.,0.,0.,0.,0.,

+0.025,-0.002,-0.0035,+0.025,-0.00225,-0.0035,

-0.03,1.55,28.,0.03,1.55,28.,

-0.03,1.49,28.,0.03,1.49,28.,

-0.03,1.43,28.,0.03,1.43,28.,

-0.15,0.10,12.,0.15,0.10,12.,

-0.15,0.03,12.,0.15,0.03,12.,

2.e8,5.e5,5.25e5,

-1,0,0,

1491.3,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q2_Cneg_VS=0 einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben


Die zugehörende Ergebnisdatei Q2_Cneg_VS=0.ERG ist im Unterordner ...\Beispiele\ERG gespeichert und kann

mit einem entsprechenden Programm (z.B. Editor) angesehen und ausgedruckt werden.

LWGS=1

Zusätzliche Zeile mit Kenndaten

Zeile mit Grenzrandverzerrungen

BN negativ




103


Wenn die Form des Betonverhaltens den Angaben gemäß DIN EN 1992-1-1:2011-01, DIN 1045-1:2008-08 oder

DIN 1045:1988 nicht entspricht, so sind zusätzlich zu den charakteristischen Betonwerten und Grenz-

randverzerrungen auch die benötigten Koeffizienten für den Sonderbeton einzugeben. Dies wird über die ebenfalls

einzugebende Variable VS gesteuert. Um eine Kontrollmöglichkeit zu haben, werden die Kenndaten und die

Koeffizienten des beim Beispiel Q2 verwendeten C35/45 als „Sonderbeton“ eingegeben. Es ergibt sich folgende

Eingabedatei mit Namen Q2_Cneg_VS=1.NT2, die im Unterordner ...\Beispiele\QUW gespeichert ist. Die

gegenüber der Datei Q2_C35.QUW geänderten Datenzeilen sind durch Pfeile markiert:

STAHLBETONQUERSCHNITT Q2 My=1491kNm DIN2011 Sonderbeton VS=1

8,10,0,0,2,0,0,

-0.065,1.6,-0.065,0.15,-0.175,0.12,-0.175,0.,

0.175,0.,0.175,0.12,0.065,0.15,0.065,1.6,

-1001.,1,

35.,43.,34.08,2.,0.,0.,0.,1.,

0.9984751300,-0.2318676000,-0.02992815900,+0.01096692500,

0.8322460700,-0.1510177100,-0.007757204100,-0.0007673798800

+0.025,-0.002,-0.0035,+0.025,-0.00225,-0.0035,

-0.03,1.55,28.,0.03,1.55,28.,

-0.03,1.49,28.,0.03,1.49,28.,

-0.03,1.43,28.,0.03,1.43,28.,

-0.15,0.10,12.,0.15,0.10,12.,

-0.15,0.03,12.,0.15,0.03,12.,

2.e8,5.e5,5.25e5,

-1,0,0,

1491.3,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q2_Cneg_VS=1 einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben


Die zugehörende Ergebnisdatei Q2_Cneg_VS=1.ERG ist im Unterordner ...\Beispiele\ERG gespeichert und kann

mit einem entsprechenden Programm (z.B. Editor) angesehen und ausgedruckt werden.

Für die Beispiele Q2_C35, Q2_Cneg_VS=0 und Q2_Cneg_VS=1 ergeben sich bis auf geringfügige

Rundungsfehler die gleichen Ergebnisse.

-Zeile mit Kenndaten und VS=1

-Koeffizienten für Grenzzustand

-Koeffizienten Verformungszustand

-Zeile mit Grenzrandverzerrungen




104


9.6 Beispiel für ein Betonverhalten mit Kriecheinfluss

Das Beispiel Q1 ist auch für eine rechnerische Berücksichtigung des Kriechvorgangs beim Beton berechnet

worden. Die maßgebende Steuergröße heißt PHIEF, siehe Kap. 6, Nr. 4. Diese Zahl muss bei formatgebundener

Eingabe in Spalte 41 bis 45 stehen.

Spannbetonquerschnitt Q1 My=3937 kNm DIN2011 Betonkriechen

12 8 26 0 2 0 0

-0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 1.33

-0.275 1.25 -0.275 1.10 0.275 1.10 0.275 1.25

0.075 1.33 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

-0.275 2.0 -0.275 1.80 -0.075 1.79 -0.075 0.23

-0.275 0.15 -0.275 0. 0.275 0. 0.275 0.15

0.075 0.23 0.075 1.79 0.275 1.80 0.275 2.0

4555. 1 2.19

-0.23 1.96 14. 0.23 1.96 14.

-0.23 1.84 14. 0.23 1.84 14.

-0.23 1.22 20. 0.23 1.22 20.

-0.23 1.14 20. 0.23 1.14 20.

-0.23 1.96 0.23 1.96 -0.23 1.84 0.23 1.84

-0.23 0.12 0.23 0.12 -0.23 0.04 0.23 0.04

2. E8 5. E5 5.25 E5

-0.189 1.945 0.93 78.4 -0.147 1.945 0.93 78.4

-0.105 1.945 0.93 78.4 -0.063 1.945 0.93 78.4

-0.021 1.945 0.93 78.4 0.021 1.945 0.93 78.4

0.063 1.945 0.93 78.4 0.105 1.945 0.93 78.4

0.147 1.945 0.93 78.4 0.189 1.945 0.93 78.4

-0.189 1.903 0.93 78.4 -0.147 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.903 0.93 78.4 -0.063 1.903 0.93 78.4

-0.021 1.903 0.93 78.4 0.021 1.903 0.93 78.4

0.063 1.903 0.93 78.4 0.105 1.903 0.93 78.4

0.147 1.903 0.93 78.4 0.189 1.903 0.93 78.4

-0.105 1.861 0.93 78.4 -0.063 1.861 0.93 78.4

-0.021 1.861 0.93 78.4 0.021 1.861 0.93 78.4

0.063 1.861 0.93 78.4 0.105 1.861 0.93 78.4

1.95 E8 1.522 E6 1.77 E6

0.00175,0.001,

-1,0,0,

3937.3,

Nach Aufruf des Programms ist als Dateiname Q1_C45_kri einzugeben. Die weiteren Bildschirmeingaben sind


Die zugehörende Ergebnisdatei Q1_C45_kri.ERG ist im Unterordner ...\Beispiele\ERG gespeichert.

PHIEF=2.19




105


9.7 Vorgespannter Stahlbeton-I-Querschnitt Q3 – Torsionswerte

Die im Kap. 5.2.2.2 und 5.2.2.3 beschriebene Vorgehensweise zur Bestimmung der Torsionswerte und des

Schubmittelpunkts wird am Querschnitt Q3 gezeigt. Der folgende Screenshot zeigt den Querschnitt. Im Textfeld

daneben stehen die Querschnittsdaten, Werkstoffangaben und Lastmomente.

Querschnittshöhe : h = 140 cm

Obergurt: Breite 0,5 m, Höhe 0,15 m, Voute 0,1 m

Untergurt: Breite 0,32 m, Höhe 0,25 m, Voute 0,1 m

Steg: Breite 0,11 m, Höhe 0,80 m

Beton C45/55



fcd = 0,85∙45/1,5 = 25,5 N/mm2

fcm/C = (45+8)/1,5 = 35,3 N/mm2

Betonstahl B500

im Obergurt 2 Ø 25, 2 Ø 28, 2 Ø 10

im Untergurt 2 Ø 20, 2 Ø 25, 1 Ø 10

Es = 200000 N/mm2

fyk = 500 N/mm2

ftk,cal = 525 N/mm2


Spannstahl St 1570/1770

Ap = 93 mm2/Litze

Ep = 195000 N/mm2

fp0,1k = 1522 N/mm2

fpk = 1770 N/mm2

εp0,1k = 7,8 ‰

10 Litzen im Untergurt

σp(0) = 1060 N/mm2

εp(0) = 5,44 ‰

σp,c+s+r = 0,102∙σp(0)


Biegemomente

Lastfall 0:

My,Ed = 2300 kNm ; Mz,Ed = 0

Lastfall 1:

My,Ed = 2350 kNm ; Mz,Ed = 0

Lastfall 2:

My,Ed = 2400 kNm ; Mz,Ed = 0

Lastfall 3:

My,Ed = 2435 kNm ; Mz,Ed = 0

Lastfall 4:

My,Ed = 2470 kNm ; Mz,Ed = 0

Lastfall 5:

My,Ed = 2500 kNm ; Mz,Ed = 0

Bild 27: Querschnitt Q3 (Screenshot aus QUERWERT)




106


Es ergibt sich die folgende Eingabedatei mit Namen Q3_LTO=3.QUW, gespeichert im Unterordner

...\Beispiele\QUW.

SPANNBETON-PG-Binder 10%k+s M= 2300 ... 2500 kNm C45

12 11 10 0 2 0

-0.16 1.40 -0.16 1.15 -0.055 1.05 -0.055 0.25

-0.25 0.15 -0.25 0. +0.25 0. +0.25 0.15

+0.055 0.25 +0.055 1.05 +0.16 1.15 +0.16 1.40

4555. 1 25.

-0.12 1.36 25. 0.12 1.36 25.

-0.12 1.15 20. 0.12 1.15 20.

-0.21 0.15 25. 0.21 0.15 25.

-0.21 0.045 28. 0.21 0.045 28.

-0.03 0.045 10. 0.03 0.045 10.

0. 1.05 10.

2.0 E8 5. E5 5.25 E5

-0.085 1.355 0.934 88.9 -0.057 1.355 0.934 88.9

-0.019 1.355 0.934 88.9 +0.019 1.355 0.934 88.9

+0.057 1.355 0.934 88.9 +0.085 1.355 0.934 88.9

-0.057 1.317 0.934 88.9 -0.019 1.317 0.934 88.9

+0.019 1.317 0.934 88.9 +0.057 1.317 0.934 88.9

1.95 E8 1.522 E6 1.77 E6

0.00175,0.001,

-1,0,0,3,

2300.,

-1,0,0,3,

2350.,

-1,0,0,3,

2400.,

-1,0,0,3,

2435.,

-1,0,0,3,

2470.,

-1,0,0,3,

2500.,

Wenn die Steuergröße LTO = 3 gesetzt wird, erfolgt auf drei Seiten die Ausgabe der Ergebnisse für die

Berechnung des Schubmittelpunkts und der Torsionssteifigkeit aufgeteilt auf die Teilquerschnitte, wie in den

Kap.5.2.2.2 und 5.2.2.3 beschrieben. Diese ausführliche Ergebnisausgabe kann in der Ausgabedatei

Q3_LTO=3.ERG angesehen werden.

An diesem Beispiel kann zudem eine Besonderheit des Berechnungsverfahrens gezeigt werden. Zu diesem Zweck

sind die Betondruckzonen der Lastfälle 0 − 5 als Screenshots aus QUERWERT auf der folgenden Seite

zusammengestellt worden. Wie ersichtlich, wird der Steganteil mit zunehmendem Moment immer kleiner. Bei

den Lastfällen 2 und 3 wird programmintern festgestellt, dass aufgrund der vorliegenden geometrischen

Verhältnisse die angegebene Druckzone aus Obergurt und Steg sowohl auf dem üblichen Weg, also getrennt in

Obergurt- und Steganteil, aber auch als Einheit berechnet werden kann. Dies ist immer dann der Fall, wenn die

einspringende Ecke am Übergang vom Obergurt zum Steg bei einer Berechnung des Gesamtbereichs mit der

Potentialtheorie zu keiner Singularität an diesem Punkt führt. Dies kann bei sehr kompakten Obergurten mit einem

verhältnismäßig kleinen „angehängten“ Steganteil der Fall sein. Bei den Lastfällen 2 und 3 ergibt sich diese

Konstellation, und es erfolgt daher eine Doppelberechnung.




107


Lastfall 0: M=2300 kNm

Druckzone Steg 14cm hoch Lastfall 1: M=2350 kNm

Druckzone Steg 12,5cm hoch Lastfall 2: M=2400 kNm

Druckzone Steg 10cm hoch

Lastfall 3: M=2435 kNm

Druckzone Steg 5cm hoch Lastfall 4: M=2470 kNm

Keine Druckzone Steg mehr Lastfall 5: M=2500 kNm

Keine Druckzone Steg mehr




108


Exemplarisch wird für den Lastfall 2 das Ergebnis dieser Berechnungen hier angegeben. Für eine Berechnung

als Gesamtquerschnitt ergibt sich (s. S. 20 des Programmausdrucks):

TORSIONSWIDERSTAND NACH DER POTENTIALTHEORIE

--------------------------------------------

KOORDINATEN DES BETONDRUCKKÖRPERS ANTEIL OBERFLANSCH

yD zD yD zD

1 -0.055 0.354 1 -0.055 0.354

2 -0.055 0.250 2 -0.055 0.250

3 -0.250 0.150 3 -0.250 0.150

4 -0.250 0.000 4 -0.250 0.000

5 0.250 0.000 5 0.250 0.000

6 0.250 0.150 6 0.250 0.150

7 0.055 0.250 7 0.055 0.250

8 0.055 0.354 8 0.055 0.354

SCHUBMITTELPUNKT

yM/zM = 0.0000 / 0.1305

TORSIONSWIDERSTAND

TWS = 1.43883E-03

TWM = 1.43883E-03

TORSIONSWIDERSTAND DES GESAMTQUERSCHNITTS TW = 1.43883E-03

SCHUBMITTELPUNKT DES GESAMTQUERSCHNITTS yM/zM = 0.0000 / 0.1305

Für eine Berechnung als Einzelquerschnitte ergibt sich (s. S. 24 des Programmausdrucks):

TORSIONSWIDERSTAND NACH DER POTENTIALTHEORIE

--------------------------------------------

KOORDINATEN DES BETONDRUCKKÖRPERS ANTEIL OBERFLANSCH

yD zD yD zD

1 -0.055 0.354 1 -0.055 0.250

2 -0.055 0.250 2 -0.250 0.150

3 -0.250 0.150 3 -0.250 0.000

4 -0.250 0.000 4 0.250 0.000

5 0.250 0.000 5 0.250 0.150

6 0.250 0.150 6 0.055 0.250

7 0.055 0.250

8 0.055 0.354 SCHUBMITTELPUNKT

yM/zM = 0.0000 / 0.1249

TORSIONSWIDERSTAND

TWS = 1.29686E-03

TWM = 1.29688E-03

ANTEIL DES STEGES

1 -0.055 0.354

2 -0.055 0.250

3 0.055 0.250

4 0.055 0.354

RECHTECK B/D = 0.104 / 0.110

SCHUBMITTELPUNKT yM/zM = 0.0000 / 0.3018

TORSIONSWIDERSTAND TW = 1.82212E-05 (BEIWERT*B*D^3)

TORSIONSWIDERSTAND DES GESAMTQUERSCHNITTS TW = 1.31509E-03

SCHUBMITTELPUNKT DES GESAMTQUERSCHNITTS yM/zM = 0.0000 / 0.1261

Wie man sieht, weichen die beiden Ergebnisse für den Torsionswiderstand etwa 10% voneinander ab. Dabei ist

der Torsionswiderstand bei der Berechnung des Gesamtbereichs der etwas größere Wert.




109


Anhand der nachfolgenden Skizze, die einen Schnitt der Potentialfläche entlang der Querschnittsmittellinie

(entspricht der y-Achse) durch Obergurt und Steg schematisch darstellt, lassen sich die Unterschiede beider

Vorgehensweisen erläutern. Es sei hier nochmals erwähnt, dass der Torsionswiderstand dem doppelten Volumen

des Körpers entspricht, der aus der Grundfläche (=Druckzone) und der darüber aufgespannten Potentialfläche

gebildet wird (s. Kap. 5.1.2 und Bild 15).

Bei der geteilten Berechnung sind an der Schnittlinie zwischen Obergurt und Steg die Werte der Potentialfläche

gleich null, da die Schnittlinie dort einem Stück des Randes der beiden getrennten Bereiche Obergurt und Steg

entspricht. Eine Voraussetzung zur Berechnung der Potentialfläche ist, dass als wesentliche Randbedingung die

Werte auf dem Rand der Kontur null zu setzen sind. Ein möglicher Verlauf der Potentialfläche ist in der

vorstehenden Skizze als durchgezogene Linie dargestellt.

Bei der Berechnung der Potentialfläche für den Gesamtbereich folgt deren Verlauf im Bereich des Übergangs

vom Obergurt zum Steg in etwa der gestrichelt dargestellten Kurve. Die Schnittlinie zwischen Obergurt und Steg

gehört nicht mehr zum Rand sondern zum Innenbereich des Potentialkörpers. Dort sind somit Potentialordinaten

vorhanden. Dies ist in der Ansicht a-a skizziert. Im Bereich der Schnittlinie unterhalb der gestrichelten Linien bis

zur Grundfläche ergibt sich somit ein zusätzliches Potentialvolumen, was den Torsionswiderstand in diesem Fall

schließlich etwas vergrößert.

Wie im Kap. 5 beschrieben, führt die Lösung des Torsionsproblems auf mathematisch aufwendige Verfahren. Um

die Berechnungen in einem vertretbaren Rahmen zu halten, wird bei den den Programmen zur Beurteilung der

Kippstabilität, KIPNT2 und KIPPEN, die Vorgehensweise mit den Teilquerschnitten Obergurt, Steg und ggf.

Untergurt verwendet.

a

a

Obergurt Steg

Schnittstelle Obergurt - Steg

Verlauf Potentialfläche

Ansicht a-a:

Randlinie der Potentialfläche an

Schnittstelle Obergurt – Steg bei

Berechnung des Gesamtbereichs

Öffnung zum Steg




110


9.8 Darstellung von Betondruckzone, Schwerpunkt und Schubmittelpunkt anhand von Berechnungsergebnissen

der Beispielquerschnitte

In Ergänzung zu Bild 18 sind zur Veranschaulichung im Folgenden die Ergebnisse einiger Berechnungsbeispiele

der verwendeten Querschnitte Q1 und Q2 dargestellt.

Querschnitt Q1 mit C55/60 Querschnitt Q2

My = 7000 kNm, Mz = −70 kNm My = 1000 kNm, Mz = −65 kNm




111


Querschnitt Q2 Querschnitt Q2

My = 1500 kNm, Mz = −50 kNm My = 750 kNm, Mz = −100 kNm




112


Querschnitt Q1 Querschnitt Q1

My = 2000 kNm, Mz = −400 kNm My = 3937,3 kNm, Mz = −393,7 kNm




113


Querschnitt Q1 Querschnitt Q2 (Steuergröße LU=−2)

My = 2000 kNm, Mz = −20 kNm ohne Belastung, Zustand I

Date post:	16-Oct-2021
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