Paradigmas y Matematicas

7/28/2019 Paradigmas y Matematicas

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Paradigmas y Matematicas: Un Modelo Teorico para la Investig

Historia de las Matematicas

Cuadernos de Historia de la Ciencia 8

Universidad de Zaragoza, 1995Zaragoza, 1995

Author Mailing AdressFacultad de Ciencias (Matemticas)Ciudad Universitaria50009 Zaragoza (Spain)

Mariano HormignDepsito Legal: 3248/95ISBN: 84-89584-03-6

Portada: Jos Luis Cano

Edita: Seminario de Historia de la Ciencia yde la Tcnica de Aragn - Facultad deCiencias (Matemticas) - CiudadUniversitaria - 50009 Zaragoza (Spain)

Imprime: FotoKopias s.l. - Corona de Aragn,22-24 - 50009 Zaragoza (Spain)

Este trabajo ha sido parcialmente financiado

con cargo al proyecto de la CICYT PB94-0559

Dedico este trabajo, que resume un pedazo demi historia personal, a los siguientes

rofesores, algunos, por desgracia, yaallecidos: Jos Antonio Garca-Junceda (+),ntonio Ferraz, Jos Luis Rubio de Francia

(+), Carlos Pars, Eulalia Vintr y Ubaldoartnez. Tambin a Rafael Rodrguez Vidal

(+), Marif Yzuel, Salvador Miracle, Joaqun

Snchez Guilln y a los restantes 32compaeros de la Junta de la Facultad deCiencias de la Universidad de Zaragoza queel 17 de marzo de 1981 me brindaron suapoyo generoso.

Tambin a Jess Alczar (+), Mar Quemada


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Indice

Agradecimientos

Presentacin

Paradigmas y Matemticas: Un modelo

terico para la investigacin en historia

de las matemticas 13

Parte I. La perspectiva de un historiador

1. Introduccin2. Mis puntos de referencia3. Planteamiento general del problema

o 3.1.El problema de las definicioneso 3.2.Comunidades cientficas: individuos y colectivoso 3.3.Paradigmas matemticos

Parte II. Paradigmas Matemticos

4.Los Paradigmas Matemticos Universales

4.1.El Paradigma griego 4.2.El Paradigma lagrangiano 4.3.El Paradigma hilbertiano

5.Sic transit pax mathematicorum

6.El problema de la modernidad

Agradecimientos

En trabajos de la dimensin temporal de la que en este libro se presenta son muchos losrecuerdos en los que se precisan sentimientos de gratitud. Incluirlos a todos aumentaraconsiderablemente el tamao de este epgrafe y eso pondra nerviosos -una vez ms- atodos los colegas que no tienen ms recipiendario de gratitud que el jefe de turno. Por eso,entre otras razones, voy a concentrar la nmina en aquellas personas que me han ayudadode manera concreta en el proceso de edicin de esta obra.

(+)

a los PNN de la Universidad de Zaragozadel perodo

1980-1982, por lo mismo acrecentado yadems por haberme permitido conocer elsabor dulce de la solidaridad.

Por ltimo, a los alumnos de la Facultad deCiencias de la Universidad de Zaragoza delcurso 1980-81, que fueron a la huelga paraluchar por el derecho a la libertad de abrirlas ventanas del saber hacia todos loshorizontes.
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En primer y destacado lugar y por todo tipo de razones quiero dejar constancia de miagradecimiento a mi compaera Elena, sobre todo por haber soportado con estoicismo lasobrecarga de trabajo que ha supuesto la materializacin impresa de esta empresa.

Quiero tambin destacar mi gratitud hacia Jos Javier Martnez Fernndez, por la

minuciosa lectura del texto de losParadigmas y Matemticas y por haber puesto a midisposicin los documentos de su archivo personal relativos al curso 1980-81, cuando elhoy Prof. Martnez Fernndez era Delegado de 2 de Matemticas de la Facultad deCiencias de Zaragoza.

Tambin ley el citado manuscrito el Prof. Serguei Kara-Murz, lo que propici unainteresantsima discusin entre nosotros -en la que aprend muchsimo- y sirvi para puliralgunos detalles del discurso.

Como los tiempos cambian a mejor, debo dejar pblica constancia de las facilidades yayudas recibidas del Decano de la Facultad de Ciencias de Zaragoza para la publicacin deeste libro.

Mariano Hormign

Zaragoza, julio de 1995

Presentacin

Este libro es producto de un proceso de larga gestacin. Las ideas fundamentales sobre losParadigmas y Matemticas se articularon en los das de elaboracin de mi tesis doctoral yconstituyeron el Captulo I de la Memoria con la que opt y consegu el grado de doctor,aunque el periodo de tiempo transcurrido entre la opcin y la conclusin fuera ms largoque el que la costumbre universitaria permita presumir.

Los avatares vividos por las ideas que se contienen en este trabajo se relatan de una formano exhaustiva en elDesahogo epilogal. Su perfeccionamiento habr que dejarla paraposterior ocasin monogrfica.

De la lectura de esta parte final del libro podr entenderse sin excesiva extraeza que mifervor sobre el tema de losParadigmas quedara aparcado en los trminos reflejados en elCaptulo I de la tesis y de los trabajos que present en lasJornadas Hispano-Lusas deMatemticos de San Feliu de Guixols en 1980 y delI Simposio sobre Metodologa de laHistoria de las Ciencias que se reuni en Madrid en octubre de 1981.

En primer lugar, mis discipulos/as y colaboradores, que me instaban a completar el tema delosParadigmas en el sentido expuesto muchas veces en cursos de doctorado, seminarios yconferencias, y tambin la insistencia de algunos colegas espaoles y extranjeros en lamisma direccin -entre los que querra destacar la amable contumacia de Mario Otero, de laUniversidad La Repblica de Montevideo, y LuboNov, de la Academia de Ciencias de


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Praga- me ayudaron a no poderme olvidar de un tema sobre el que prcticamente no escribuna lnea en ms de diez aos.

Por fin, lleg el momento. Fue en elXIX Congreso Internacional de Historia de la Ciencia-cuando muchas personas bienintencionadas nos deseaban un largo periodo vacacional, tras

el considerable esfuerzo dedicado a la preparacin, organizacin y celebracin de lareunin- cuando pens que podan reunirse las condiciones adecuadas paraprobarlas ideassobre losParadigmas por medio de la convocatoria de un encuentro internacional al msalto nivel en el que, en la medida de lo posible, participasen los mejores historiadores de lasmatemticas del mundo. Lo posible estaba condicionado, obviamente, por la disponibilidadde gente importante para querer visitar Zaragoza en un intervalo de trece meses y por lavoluntad de estos investigadores de acudir a discutir en torno a unas ideas concretas sobreParadigmas y Matemticas con aportaciones especficas.

Indudablemente, para el buen desarrollo del debate, haba que presentar una ampliapanormica conceptual sobre la que pudieran articularse las propuestas sobre paradigmas,estilos y revoluciones de las diferentes perspectivas de los distintos autores.

As se convoc en el otoo de 1993 la reunin y a la iniciativa respondieron Ivor Grattan-Guinness (Middlesex), Joseph Dauben (Nueva York), Serguei Demidov (Mosc), ChristinePhili (Atenas), Eckart Leiser y Reinhard Siegmund-Shultze (Berln), Sergio Nobre(UNESP-Ro Claro), Leo Corry (Tel Aviv), LuboNov, Mario H. Otero (Montevideo),Chavdar Lozanov (Sofa), Alexander V. Soldatov (San Petersburgo), Liviu Sofonea(Brasov) y J.C.B. Tiago de Oliveira (Evora). De los participantes extranjeros que habananunciado su presencia, solamente Jean Dhombres (Nantes-Pars) se vio imposibilitado a lahora de realizar el viaje por tristes problemas familiares.

Entre los espaoles que aportaron sus ideas a la reunin cabe destacar a Mary Sol de Mora,Javier de Lorenzo, Javier Echeverra, Alberto Dou, Jos Llombart, Juan Navarro, ademsdel elenco zaragozano formado por Elena Ausejo, M Angeles Velamazn, Fernando Vea yyo mismo.

Los trabajos ms notables presentados han sido recogidos en un volumen que con el mismottulo que la reunin ha sido editado por la Editorial Siglo XXI de Espaa Editores en 1995.

Zaragoza, julio de 1995

Paradigmas y Matematicas:

Un Modelo Teorico para la Investigacion en Historia de las Matematicas

Felix qui potuit

Virgilio (Georg., II, 490)

PARTE I


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La perspectiva de un historiador

1. Introduccin

El mundo de los cientficos es cada vez ms complejo, ms conflictivo y, en algunos

momentos, aparentemente confuso. Los cientficos actuales pueden estar inmersos en variosmarcos distintos. En un primer grupo se instalan los buscadores desinteresados de laverdad. En espritu son coincidentes, de hecho, con los planteamientos bsicos galileano-newtonianos que caracterizan el nacimiento de la ciencia moderna. Otro grupo importante,fundamentalmente afincado en instituciones de tipo docente, lo constituyen los esteticistas,partidarios del estudio y trasmisin de las ideas matemticas en funcin de su perfeccin ybelleza. Esta especie de corriente neoplatnica tiene cierta importancia entre loscultivadores de las restantes ciencias formales y entre las ramas tericas de lasexperimentales. El tercer grupo lo forman los utilitaristas inmediatos, adscritosprimordialmente a instituciones o lneas de investigacin de resultados prximos, visibles ymaterializables. Constituyen un sector bastante bien remunerado econmicamente. Por

supuesto, quedan algunos que piensan que la ciencia debera ser una herramienta deliberacin de los quebrantos morales y, sobre todo, materiales de la mayora de las personasy de pertrechamiento crtico ante las memeces y mentiras que proliferan en los ambientesintelectuales. Por penltimo, el sectortcnico, reproductor de ciencia normal aideolgica,no se reclama de ningn paradigma, de ninguna escuela, de ninguna corriente, de ningnsistema de pensamiento y simplemente utiliza la ciencia sin preocuparse en absoluto dednde surge, qu objetivos tiene, para qu sirve o cules son las corrientes en las quedebiera servir. Adems estn los filsofos.

Le tomar prestada a propsito una idea a Medawar: la filosofa es actividad intelectualpeligrosa que, por la mana de algunos de hacerla larga, esotrica y plmbea, se convierte

en tediosa y aburrida(1)

. No tendra porqu ser as, pero la necesidad de rigor y precisin enlos conceptos y en el lenguaje ha ido articulando esotricos cuerpos de doctrina decomprensin enormemente complicada, hasta tal extremo que todo lo que es farragoso yaparentemente complejo, cuando no es ciencia, es filosofa. Elsummum del difcilentramado se encontrar, por tanto, en la filosofa de la ciencia, conjunto de sublimessaberes con los que podrn desentraarse los recnditos misterios de la Naturaleza, los de lasociedad, los de la gnosfera de Vernadsky y todas sus interrelaciones. Todo un programaque puede venderse -y comprarse- porque se aparenta libre de todo tipo de contaminacinespuria en una inconfesada reminiscencia del mismsimo Platn.

Entre las cosas que se han escrito sobre filosofa de la ciencia en los ltimos aos, salvando

el respeto a la necesaria servidumbre que algunos grandes tratados -como el imprescindiblede Geymonat(2)- imponen, una de las que ms me ha interesado es el ensayo de definicinque Panza ha elaborado como introduccin a su trabajo sobre las ideas de Gonseth(3). ParaPanza la filosofa de la ciencia no era el nombre de una disciplina hasta comienzos delpresente siglo, cuando se ha producido

"un mouvement double qui n'a (...) qu'une seule origine: la conviction que quelque choseexiste qu'on appellerait lascience qui par ses modalits d'tre et de manifestation, reste
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diffrente de quelque chose d'autre, qu'on appellerait laphilosophie; domaine l'un del'exactitude, de la prcision, de la fidelit l'exprience sensible, ou bien de l'aridit, del'troitesse, de la pauvret d'esprit, l'autre du vague, de la mtaphore, des fantasmes, ou biende la totalit, de la plnitude, de la richesse d'horizons".

Panza considera que una gran parte de la filosofa de las ciencias de nuestra poca es hijade esta concepcin, con sus luces y sus sombras, con sus aportaciones concretas a la cienciay a la filosofa. Digmoslo en sus propias palabras(4):

"Bien que cette tentative ait, aux fils des annes, abouti des rsultats qui ont enrichi lapense par la mise en lumire de certains problmes (comme, par exemple, celui de ladmarcation ou des critres de controlabilit des hypothses universelles) qui taient restsauparavant cachs, ou d'aspects nouveaux de problmes classiques (comme l'est, parexample, le cas du problme de l'induction), elle a aussi pouss les rflexions d'unecommunaut de plus en plus large d'individus vers des directions bouches, au point deconduire l'inmobilit. Elle a, de principe, encourag et lgitim une rflexion sur lascience en gnral, trangre par principe et par vocation aux contenus spcifiques(techniques) de toute thorie particulire (comme si unescience gnrale et non particulirepouvait exister); une rflexion qui n'a pas vis faire ressortir ce que dans tout particulier etspcifique il y a de gnral et d'universel, ni exprimer de la manire la plus ouverte etsimple, mais qui s'est transform, en revanche, dans une habitude considerer la spcificitet la particularit des objets relevant d'une technicit comme dpourvue de tout intrtphilosophique et substituer l'exigence d'un registre large (et, sans doute, en quelque sortedouble) de spcificits par la thorisation d'une gnralit, pour ainsi dire en soi, possible etprofitable. Derrire le masque de son exactitude et de sa rigueur, laphilosophie dessciences, pense comme discipline, a, au fil du temps, perdu toute vocation lacomprhension d'une alterit quelconque; elle s'est replie sur son langage, sur sa mmetradition, sur la dfense de ses frontires disciplinaires".

Situmonos, pues, ah para construir la trama del discurso. Ello no obstante, adelanto queyo, haciendo pblica confesin de mis limitaciones intelectuales, debo declarar y declaroque no alcanzo a dominar ese universo conceptual, para el que no me preparadecuadamente en mis aos mozos y no he sido suficientemente diligente y estudioso en losmuchos que me cayeron encima despus para poder aprehender en mi limitado cerebrotodas las sutilezas de la ciencia en general y cada una de las ciencias en particular,ingrediente necesario de los sistemas filosficos y de su sistema de preguntas y respuestasmutuas. Mi instruccin alcanza a las matemticas que aprend en su momento y a la historiade su devenir y el de sus parientes ms prximas. Por lo tanto, el meollo de mispreocupaciones filosfico-cientficas se encuadra de forma preferencial en esos mbitos ylas preguntas clave cuya respuesta se me ha hecho ms necesaria han surgido tambin deconsideraciones ntimamente vinculadas a esos captulos intelectuales. An podra precisarms, porque qu es en definitiva la ciencia sino precisin? Afinando, pues, sealara que, apesar de la tinta vertida a lo largo de los siglos por filsofos, pensadores en general,cientficos y profesionales del ramo sobre las matemticas, no tengo claras algunascuestiones, y pido excusas por la insolencia terica de pensar que no lo estn. Aunque a lolargo del presente escrito se irn desgranando otros detalles, sealara como entrante delmen dos de ellas.
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La primera es tan general y directa que casi pretende esconderse ya en la batera decuestiones que se formulan sobre las matemticas: la relativa a su unidad o su pluralidad.Cuanto ms se insiste en el escurridizo concepto de la unidad de las matemticas,entronizado por Hilbert(5)en la solemne puesta de largo del Segundo CongresoInternacional de Matemticos de 1900 -al que visitar de nuevo posteriormente-, ms se

complica un panorama plural, una de cuyas fronteras histricas, la que separaba el quehacermatemtico del de los fsicos tericos, est prcticamente borrada. Un penetrante y bienpertrechado filsofo como Albert Lautman abord el problema de la estructura y la tensinunidad-multiplicidad de las matemticas en sendos ensayos(6). En el relativo al estudio de launidad de las matemticas contemporneas seala que su fin es(7)

"seulement de caractriser dans leurs ressemblances communes les diverses thories qui(...) ont pour objet l'tude de la structure globale d'un tout"(8).

Sin embargo, la idea del todo se ve obligada a coexistir, en principio pacficamente, con elderecho profesional de quienes se mueven cuantitativamente en el terreno de otras cienciasnaturales, sociales, humanas, por no hablar de las tcnicas. Hilbert sealaba en unemblemtico trabajo sobre el pensamiento axiomtico que

"los ms importantes pensadores en las matemticas han mostrado un constante inters porlas leyes y, en general, por el orden que priva en las ciencias vecinas"(9).

Dicho en otras palabras, tan clsicas que casi podran orse en las tertulias de losenteradillos que se han puesto de moda en los ltimos aos en los medios de informacinaudiovisuales: propiamente hay que hablar de matemtica o de matemticas? o,reenunciado para evitar contratiempos lingsticos, es la matemtica una, singular, o es unconcepto indefinido y por lo tanto plural? Hasta hace poco ms de un siglo esta dicotomacasi hubiera carecido de sentido, ya que hasta entonces el borde de separacin de la cienciaprncipe con el resto del mundo era ntido y los matemticos defendan orgullosamente subaluarte ante los ataques de las restantes actividades intelectuales. Hoy el asunto ya no esttan claro. El prestigio -matemtico- de fsicos e ingenieros ha movido los cimientos de lastorres de marfil de lospuretas a ultranza y, como ya he apuntado antes, las fronteras sedifuminan a velocidad apreciable. El problema tiene su enjundia a pesar de su simplicidad -o es, como siempre, enjundioso porque tiene un enunciado claro y simple?-.

Dejmoslo aqu, de momento, para enunciar otro problema que me surgi estudiando elconcreto tema de la historia de las matemticas en Espaa. Aqu, desde los tiempos de lallamadapolmica de la ciencia espaola, ha habido una obsesin valorativa sobre lacuestin de la modernidad de las producciones que en esta rama del conocimiento hanhecho los espaoles. La frmula utilizada para demostrar la posible obsolescencia de lasmatemticas de una determinada poca, consistente en comparar lisa y llanamente ttulos ycontenidos de libros espaoles con otros elegidos de la literatura cientfica mundial, nuncame pareci rotundamente convincente. Al fin y al cabo el conocimiento y estudio detpicos considerados importantes varios siglos despus no creo que sea razn suficientepara estimar la vala no slo intrnseca sino global de la obra de un autor. Por si fuera poco,las vidas cientficas cotidianas parecen ratificar como excepcin el conocimiento de todaslas novedades que un conjunto concreto de personas produce en una determinada poca.
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Desde luego la nuestra es una corroboracin de esta aprensin. Hoy no hay nadie quedomine toda una macrorea de conocimiento como las matemticas o la fsica, por ms quehaya funcionarios en algunos pases que aspiren a pasar por sabios de ese estilo. Mas no esslo cuestin de mirar a la segunda mitad del siglo XX con su pltora inabordable deinformacin en todas las ramas del saber en casi todos los pases(10): hace varios siglos que

el saber se ha hecho grande y que los cientficos, salvo escassimos casos que se puedencontar con los dedos de muy pocas manos, han conocido unas cosas y otras no. Sirecorremos hacia atrs la lnea del tiempo, las dificultades de comunicacin complican anms el problema de establecer la lnea que delimita la modernidad. Problema que en micerebro tuvo un origen espaol, pero que en absoluto es ajeno a las preocupaciones demuchos otros pases. Franceses y alemanes, en una cierta emulacin de la madrastra deBlancanieves sobre la belleza, llevan siglos preguntando a su particular espejo mgicoquin es el ms moderno. Otros pases no son en absoluto excepcin. Podra por tantoescudriarse algn tipo de patrn objetivo sobre el que poder contestar ms o menoscerteramente el problema de la modernidad de una produccin matemtica?

Estas dos preguntas, en principio inconexas, se juntaron un da al profundizar sobre elestudio de las matemticas contemporneas desde una perspectiva espaola y, por lo tanto,perifrica, pero alguna vez haba que hacerlo. Habitualmente los perifricos estamosacostumbrados a escuchar con estoicismo lo que se nos dice desde el centro -o desde loscentros- sobre qu es lo que hicimos bien y lo que hicimos mal en matemticas y en casitodos los rdenes de la vida(11); por una vez, y en el mbito de las matemticas, no creo quese tome por descaro imperdonable la formulacin de algunas ideas surgidas desde laperiferia. Claro que avanzar en nuestros das una hiptesis de trabajo que encuadre laselaboraciones tericas que en el terreno de las matemticas se realizaron hasta ms o menoslos treinta primeros aos del siglo XX es ciertamente un problema arduo, aunque necesario.Es arduo porque la tinta vertida sobre algunos tpicos, como por ejemplo el problema delos fundamentos de la ciencia en general y de las matemticas en particular, es copiosa,pero, no obstante, la dificultad no excusa la necesidad, ya que las respuestas no son sinouna sucesin de aproximaciones con las que se van construyendo conclusiones nonecesariamente sucesivas ni convergentes, pero que s aportan sucesivamente luz sobre eltema.

Como he apuntado ya, el anlisis reflexivo sobre las matemticas ha estado desde hace dossiglos en el ncleo del pensamiento filosfico, al igual que en otros momentos de lahistoria, como la antigedad clsica en el lado heleno o en determinados mbitosrenacentistas e ilustrados. Lo que parece sntoma ms novedoso en las dos ltimas centuriases que la filosofa de la ciencia no ha podido perder de vista en ningn momento elcataclismo terico que las ideas matemticas elaboradas en el siglo XIX supusieron paratodo el edificio conceptual de la ciencia y, por tanto, de la filosofa que reflexionaba sobreella. Adems, la situacin del conjunto de las ciencias respecto de las matemticas -y muyespecialmente la fsica- ha supuesto que el nivel cientfico de los diferentes saberes se midaen funcin del grado de utilizacin del aparato instrumental matemtico, resultando quecualquier modelo de anlisis terico ha situado en el centro de sus preguntas fundamentaleslas relativas al hecho matemtico.
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Naturalmente, para no parlotear en el vaco -lo que puede ocurrir cuando uno se aproxima aun tema tan extenso y con tantas aristas y perspectivas- es obligatorio fijar algunoselementos de referencia. Pero, indefectiblemente, el marco exige como poco unadelimitacin y alguna opcin previa que a modo de aparato axiomtico ayuden acomprender algunas de las reglas del juego.

Desde 1931, ao de celebracin del II Congreso Internacional de Historia de las Cienciasen Londres, los historiadores de la ciencia del ancho mundo han definido sus posiciones deuna manera terminante respecto de sus concepciones bsicas. O han dejado de hacerlo, loque no ha dejado de suponer una aclaracin bastante rotunda de sus posiciones. Se diga loque se diga, esto ha condicionado la evolucin posterior de la teora de la ciencia. Masdespus de la Segunda Guerra Mundial, o al calor de la Guerra Fra, hemos asistido a unaofensiva del mismo Popper y de algunos discpulos postpopperianos en el sentido deintentar una tercera va entre las lneas de desarrollo materialistas e idealistas en el rea delanlisis histrico de la ciencia que ha colocado en el candelero del inters general -casipopular- un tema ideolgico: es la ciencia -o sea el conocimiento- una variable cuyodesarrollo escapa a la explicacin marxiana? Desde luego que una respuesta en sentidoafirmativo seguira teniendo mucho valor de uso y de cambio en el mundo de nuestros daspara determinadas fuerzas econmicas, polticas y sociales que, a pesar de su supuestavictoria en el terreno geopoltico, siguen merecindose similar comentario al que Unamunodirigi a las fuerzas de Franco en la ltima de las contiendas civiles de Espaa: hanvencido, pero no han convencido.

Las exteriorizaciones impresas de Lakatos(12)mostraron claramente el hecho de que lafilosofa de la ciencia actual no slo no ha sido ni es neutral, sino que est imbricada en elconfrontado mundo de nuestros das. Y que cualquier resultado, por banal que parezca,tiene implicaciones de tipo extraconceptual(13). Aunque el reconocimiento de que la cienciaes un fenmeno social no puede ser, por evidente, una conclusin para un trabajo deinvestigacin, por ms que este Mediterrneo an est deliberadamente y aparentementeoculto para muchos autores, hay que convenir que esta posicin se debe, en ms de unaocasin, a la defensa de intereses muy concretos y a menudo poco confesables.

Pero la ofensiva popperiana y postpopperiana lleg y en buena medida sigue ah con todasu pujanza y todo su atractivo. Al fin y al cabo, Popper ha tenido al servicio de la difusinde su pensamiento a muy poderosos aliados que le sostenan en su cruzada antimarxista(14).Una posicin frontal basada, segn uno de los exgetas del Coloquio de Cerissy(15), en lacondena de las ideas de Marx

"en raison des consquences antidmocratiques qu'elles ont eu dans l'histoire relle del'humanit".

Casi al mismo tiempo llegaron con bastante fuerza las doctrinas filosfico-cientficas de susseguidores(16). De los fieles y de los que tenan que jugar el papel de leves crticos. Y entrestos justo es reconocer que las formulaciones tericas de Lakatos, Kuhn y Feyerabend(17),por citar a los ms notables jefes de fila dentro del territorio de los asuntos relacionados conla ciencia, han irrumpido en los ltimos treinta aos en los medios intelectuales con unimpacto tal que han conseguido empaar en cierta medida las interpretaciones sobre la


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gnesis y evolucin de las ciencias que se crean consolidadas desde bastante tiempo atrsy, con especial acento, desde la dcada de los treinta. Entre todo el bagaje conceptualpostpopperiano, la artillera terminolgica de Kuhn ha recibido muchsimos plcemesporque, adems de su escaso compromiso externo, las formulaciones de algunos de suselementos bsicos (ciencia normal, revoluciones cientficas, etc.) permiten una versatilidad

que otros ensayos de aproximacin difcilmente tienen. Como deca el recientementedesaparecido Mikulinski, el libro central de Kuhn de 1962, The Structure of ScientificRevolutions(18), sirvi para apuntalar las debilitadas posiciones del internalismo en unmomento en que sus defensores estaban en franca retirada de la escena intelectual(19).

Aclaradas mis reglas del juego ms profundas, a saber, que los hechos en la historia nuncapueden explicarse hasta total satisfaccin en una visin aislada y separada de las mltiplesvariables que impone la vida, es claro que hay una costumbre intelectual -y el propio oficiode historiador de la ciencia o de lo que sea lo demuestra- de construir conceptos e historiasen atencin a variables especficas. En ese sentido y segn ese peculiar derechoconsuetudinario, espero que no se tome por incalificable atentado escudriar los hechosmatemticos desde el punto de vista de la historia del pensamiento, aunque declaro con unacierta solemnidad que, en mi opinin, se trata de un enfoque sesgado de la cuestin.

Se trata de una reflexin que tiene algo de experimento de laboratorio de ideas. Cabehablar de un mundo interno, exclusivo, del pensamiento matemtico? o, en otraformulacin, son las matemticas una realidad aislable? son dos expresiones equivalentesa las que hemos presentado ms arriba como formulacin de las inquietudes que se hanpresentado como origen remoto de este trabajo. La respuesta precipitada e irreflexiva encualquiera de las dos posibles direcciones extremas podra acarrear una infinidad decontraejemplos y, sin embargo, este tipo de posiciones se han mantenido durante siglos -ypor supuesto ahora- por gente muy entendida en ste y otros asuntos relacionados. Haymatemticos, entre los que los casos ms conocidos pueden ser Hardy(20)y Dieudonn(21),que defienden las matemticas intiles como una perla, y tienen adems la delicadeza deno aadir que en una cinaga de pragmatismo. Titchmarsh, en los aos posteriores a laSegunda Guerra Mundial, lanzaba al pblico no iniciado esta curiosa reflexin(22):

"Hay partes de las matemticas que son tiles. Los astrnomos dieron la bienvenida a loslogaritmos porque simplificaban sus clculos. La teora de las ecuaciones diferencialespermite a los ingenieros calcular cosas como el fluir del agua en las tuberas. La teora delos operadores lineales permite a los fsicos hacer hiptesis sobre el tomo. Pero losverdaderos matemticos no cultivan las matemticas por estas razones (...) Los que cultivanlas matemticas puras lo hacen para proporcionarse una satisfaccin esttica, que puedencompartir con otros matemticos, y tambinporque les resulta divertido".

Siempre, y tambin desde luego en tiempos mucho ms recientes, est presente la modernaobsesin esteticista de profunda raz copernicana o incluso clsica. As, Moshe Flato, alanalizar el fracaso del credo bourbakista, seala(23):

"[La] passion, qui surprend souvent les non-initis et qui suscite parfois leur ironie sinonleurs sarcasmes, exprime volontiers ses mobiles en germes esthtiques: qui n'a pas entenduun mathmaticien parler d'un beau thorme ou d'une dmonstration lgante".
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Por otra parte, para otros, y muy sealadamente para intelectuales no matemticos, lasmatemticas son una especulacin de la mente por medio de las cuales, segn la famosaexpresin de Lenin(24)- fuertemente inspirada por cierto en A. Rey-, es bastante posiblereducir la materia a ecuaciones. La tensin entre ambas perspectivas -tras el peculiar ydiscreto culto de Gauss a la aritmtica- se hizo patente a partir de la aparicin en escena de

las geometras no eucldeas y est sin resolver en la teora, aunque no en la prctica, sobretodo en la de los fondos dinerarios dedicados a la investigacin de cualquier pasdesarrollado del mundo. Estudiar la realidad del hecho matemtico en el mbito planetarioo en cualquier comunidad cientfica, sobre todo a partir de la Revolucin Francesa, imponetener en cuenta puntos de referencia en ambos campos de gnesis matemtica para poderavanzar en el conocimiento de su estructura aproximada, ya que, como obra de creacinhumana que es, siempre quedarn flecos de difcil racionalizacin. Es el captulo nadarepresentativo ni significativo de los llamados genios. Las matemticas, como todas lasdems ciencias y bastantes de las artes, son resultado del trabajo personal y del colectivo enque las personas desenvuelven su actividad. Incluso la imaginacin y la capacidad deestablecer analogas creadoras se favorece tambin con un adecuado entrenamiento. Al finy al cabo, lo ms positivo del mundo que la Humanidad comenz a construir hacedoscientos aos es la posibilidad y el derecho de las mayoras y minoras carentes decualidades excepcionales a elaborar cosas positivas, entre ellas la ciencia.

2. Mis puntos de referencia

La Primera Guerra Mundial dej unas sorprendentes secuelas en el terreno cientfico ytcnico. El inmenso laboratorio que constituyeron los campos de batalla y los elevadosrendimientos destructivos obtenidos de la aplicacin directa de la ciencia al objetivo blicotransformaron rotundamente la valoracin social de la ciencia. El positivismo, que habaalentado el desarrollo de las ciencias -a veces de forma un poco pueril- en el siglo XIX, se

convirti en una necesidad imperiosa para animar el perfeccionamiento defensivo de losms potentes estados. Las implicaciones destructivas de la ciencia se hicieron tan evidentesque se produjo una generalizacin uniforme sobre la actividad de los cientficosprofesionales. Las secuelas de esta generalizacin fueron, adems de falsas, nocivas. Enefecto, en la opinin pblica se asoci la idea de sabidura cientfica a la de utilizacinblica. En el interior de la comunidad cientfica se eludieron ostentosamente lasaplicaciones concretas que su trabajo pudiera tener. Y, aunque se siguieron realizandoreuniones cientficas, se respet unnimemente el criterio de desconectar el contenido deltrabajo cientfico de los resultados que pudieran obtenerse de ese trabajo. La actitud de losestados ms potentes econmicamente tambin cambi, detrayndose fondos especficospara programas de investigacin concretos, normalmente secretos. Del esfuerzo econmicode los estados, de la opinin general y de la actitud de los cientficos tuvo perfectaconciencia el mundo tras el resultado de proyectos como el que se desarroll en LosAlamos(25). Y ese proyecto, a pesar de su grandiosidad cientfica, representa la prehistoriarespecto a la organizacin de la investigacin cientfica en dcadas ms prximas anuestros das. Las actitudes de los cientficos que participaron en la creacin de la bombaatmica tambin son conocidas: unos se encogieron de hombros manifestando que no eracosa suya; otros, como Leo Szilard -uno de los hombres claves de aquel programa-
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abandonaron la fsica en 1946, cuando se enteraron de los resultados de su sabidura; y,entre otros, Einstein manifest: ojal me hubiera hecho fontanero!

El complejo panorama de la ciencia contempornea, para no evidenciar la servidumbredestructiva de la mejor dotada ciencia institucional, gener otra componente representada

por el oficio tradicional y aparentemente inocuo de la ciencia. Esa otra componente es elcientismo. El cientismo signific -y significa- el regreso de las posiciones tericas absolutassustentadas en fuentes epistemolgicas prekantianas. Los presupuestos cientistas fueronbien recibidos por las clases dominantes de los estados interesados en la inversineconmica progresiva en reas cientficas de utilidad concreta, generalmente ms cara, nodivulgable y de intereses menos confesables. El cientismo era -y esuna maniobra dediversin. La misin de escaparate cientista le fue confiada a la Universidad, en la que nose poda prescindir de su labor investigadora, pero sin importar (econmicamente) de formaexcesiva los resultados que globalmente se obtuviesen de tales estudios. As desencillamente se oper el proceso de separacin de las dos vas de trabajo cientfico quequedaron institucionalizadas tras la Primera Guerra Mundial. Semejante dilema -aunque nosiempre planteado explcitamente- entre trabajo y resultados de dicho trabajo tom cuerpoen trminos de contradiccin entre la necesidad (estatal) y la libertad (personal) deinvestigacin. Por ello resulta coherente histricamente el retorno a los planteamientospositivistas de corte radical en el periodo de entre-guerras, como puede comprobarse por elbarullo organizado por el Crculo de Viena sobre temas como el criterio deverificabilidad(26)-sobre lo que insistir enseguida-.

Mas, por el principio de accin y reaccin, las situaciones que se distinguen por su claracrudeza generan movimientos contrarios ms explcitos cuanto ms directa es la actuacininstitucional. As, ante la evidencia de las lecciones de la guerra y los avatares histricossubsiguientes, comenz a desarrollarse una nueva tendencia de interpretacin de la ciencia,de lenta progresin cuantitativa, que comenz por el establecimiento de un enfoque distintode su propia historia. Esta tendencia, que se adscribira posteriormente bajo el calificativode social, aportaba una argumentacin slida para explicar la fijacin y el desarrollo de lasideas cientficas, su relacin con las fuerzas productivas o destructivas, y sobre laconfiguracin definitiva de determinadas reas y lneas de investigacin. La escuela inglesade historia de la ciencia, una de las comunidades cientficas ms interesantes del siglo, tuvosu portavoz ms genuino en John D. Bernal, que hay quien considera uno de los pensadoresms importantes de este campo en lo que va de siglo(27). Y, por si valiera como prueba delinters que la obra cumbre de Bernal, la Historia social de la Ciencia, ha venido suscitandoquede recordada su ininterrumpida reimpresin del texto original desde 1954(28). Laaportacin de la escuela crtica britnica supone la adicin de una componente fundamentalpara la comprensin correcta de los procesos cientficos. Pues si bien esta metodologahistrica no es suficiente para explicar el nacimiento, surgimiento o irrupcin de unadeterminada teora cientfica, ni es concluyente respecto a la lgica interna de losexperimentos cruciales, s que resulta inapelable en la explicacin de los procesos deconsolidacin de tales teoras y en la consideracin institucional e impulso subsiguiente delas mismas. Por esta va se han hecho admisibles y necesarios los estudios sobre laincidencia de la ciencia en el anlisis de la situacin de determinados entornos ideolgicoso sociales (y viceversa).
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En definitiva, este tipo de enfoque ha hecho aflorar en forma mejorada algunos de lospostulados bsicos del periodo ilustrado. Porque las ciencias tiles han vuelto a aparecer deforma inequvoca -aunque a veces la utilidadsea fatal- en el concierto mundial, al igual queha reaparecido la idea deprogreso asociado al estudio de las ciencias fsicas y naturales yalgo tambin de las formales. Esta humanizacin de los objetivos de la ciencia, visible en

ambas direcciones -blica o de progreso-, es un elemento ms de crisis en el difcilequilibrio de intenciones y realidades del mundo cientfico.

Digamos, adems, que las matemticas siempre han gozado entre los filsofosprofesionales, salvo las excepciones dimanantes de los momentos de mayor furor religioso,de buena opinin. Cuando menos por dos razones. Por una parte, las matemticas en lacultura occidental han ocupado un estratgico punto de partida en la consolidacin delpensamiento griego(29). Por otra, el tradicional carcter tautolgico de sus proposiciones lasha mantenido en una respetable posicin de aproximacin a la verdad, cuando no se hanidentificado con la verdad misma. Adems las matemticas, en lo que les ha sido dadoconocer a conjuntos humanos no especializados, han permitido ganar seguridad en una delas ms importantes aspiraciones humanas, cual es la de predecir; predicciones que, enocasiones, han llegado a permitir completar el paisaje del Universo(30). Por ltimo, lasmatemticas han solido desarrollarse al margen de las controversias que han agitado lasestructuras conceptuales de otras disciplinas cientficas con mayores implicacionesideolgicas en la batalla de lo cotidiano, esto es polticas, como en su da la astronoma o,en tiempos ms prximos, la fsica o la biologa.

Sin embargo, las paradojas internas y externas, surgidas o planteadas desde fuera o desdedentro, y la aparicin de teoras matemticas lgicamente consistentes -o sea, verdaderas-pero no intuibles en el espacio fsico ordinario admitido como real, plantearon en el sigloXIX una convulsin suficiente para atraer la atencin tanto de los filsofos profesionalescomo de los propios matemticos hacia la reflexin sobre el problema de los fundamentos ydel desarrollo de las teoras matemticas.

No voy a entrar en el cuerpo a cuerpo concreto de discutir o simplemente resear lasopiniones de quienes desde los diversos sistemas y teoras se ocuparon de repensar lasmatemticas desde los mismos aos de la formulacin del clculo y de la mecnica clsica,no porque no tenga inters, que lo tiene y mucho, sino por no alargar an ms el proemiointroductorio al meollo de la cuestin. Ello no obstante, como quiera que entre lo que sepromete se encuentra el trminoparadigmas y stos tienen una genealoga filosficaconcreta, habr que hacer una visita a las races de las que se han nutrido algunos de losfilsofos contemporneos de la ciencia que ms han influido en los medios dominantes deeste atormentado fin de siglo.

A comienzos de los aos veinte un grupo de filsofos, entre los que destacaron Carnap,Feigl, Frank, Gdel, Schlik y otros, se plantearon de nuevo el problema de la liberacin dela filosofa de cualquier tipo de metafsica. Este grupo, conocido por el nombre de Crculode Viena, pretendi cambiar radicalmente la filosofa vigente. Este objetivo se concret enun principio en la bsqueda de un criterio de significatividad emprica. Uno de estoscriterios fue el sostener que las proposiciones empricamente significativas son verificables,saltndose a continuacin a la polmica sobre el sentido de laposibilidad de verificacin.
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Los sucesivos planteamientos (verificacin lgica, fsica, mixta, etc.) desembocaron, enfuncin de las aportaciones de Reichenbach, en criterios de verificacin relativos aldesarrollo de la ciencia. Pero a pesar de los esfuerzos denodados por rigorizar el concepto,aparecieron con su machacona impertinencia los conjuntos infinitos de fenmenos,obviamente imposibles de verificar. Este primer y serio contratiempo condujo a Carnap y

otros a reflexionar sobre el lenguaje y crear un lenguaje empirista que permitiera expresarde forma consistente las proposiciones empricas.

La obsesin por la ciencia emprica alej a la mayora de estos filsofos de la reflexinsobre las matemticas. Y quienes trabajaron (Gdel, Carnap y alguno ms) en el dominiode las ciencias abstractas lo hicieron con ms implicaciones lgicas que matemticasestrictas. Gdel, que entr en la historia de las matemticas por la mayor de las puertas, lohizo gracias a prolongaciones en la frontera de los fundamentos.

Hay que observar un proceso transitivo de implicaciones y retroimplicaciones sucesivaspara encajar el Crculo de Viena y la sucesin de crticas y contracrticas hasta llegar a unaformulacin ms o menos compleja de la filosofa de las matemticas desde concepcionesnuevas.

La respuesta a los planteamientos del Crculo de Viena fue protagonizada, desde losextremos que aqu nos afectan, por Popper, aunque tambin bsicamente se realiz en elterreno de la fsica. Popper plante la refutacin como mtodo emprico adecuado,afirmando que slo poda reconocerse el carcter cientfico de las teoras en funcin de suposibilidad de contrastacin con sus postulados bsicos, con la exigencia aadida de lacapacidad de prediccin. En consecuencia con esto, para Popper se anula el valor cientficode las teoras infalsables o teoras con hiptesis ad hoc adicionales. Lakatos, Feyerabend ymuchos otros filsofos y cientficos han contestado vivamente este planteamiento que, alamplificarse en funcin de las implicaciones ideolgico-polticas de la obra de Popper, sefue desmoronando con sus seguidores-crticos.

Entre ellos, Lakatos lleg a formular una lgica del descubrimiento matemtico que,iniciada en los aos 63-64, se vio varias veces interrumpida por su subsiguiente e inevitableacercamiento a la filosofa de la fsica. Muchas de las ideas de Lakatos sobre lasmatemticas aparecieron como obras pstumas(31)que editaron sus colaboradores en ladcada de los setenta. Sin embargo, a pesar del indudable inters que puede representar laeleccin de las matemticas como campo para el anlisis de las teoras cientficas, y debidoquizs a su muerte prematura, no deja de ser un intento parcial -como reconoci el mismoLakatos-, al quedar en el tintero multitud de aspectos de la historia de las matemticas quenecesitaban una mayor reflexin.

Lakatos arranca de la crtica al formalismo reprochndole, precisamente, su desprecio de lahistoria. Esto, que es una verdad de facto, fue sin embargo negado explcitamente porHilbert en el Congreso de Pars de 1900, al reclamar con insistencia la unidadmultidireccionalde las matemticas(32). Lakatos ha trabajado sobre ejemplos concretos paraestudiar problemas de metodologa. La denuncia de Lakatos del carcter ahistrico delformalismo podra generalizarse a muchos repensadores de las matemticas. Yprecisamente podra decirse que el inters despertado entre los historiadores de la ciencia
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por parte de las corrientes postpopperianas est muy relacionado con la posicin tericabasada en la exigencia de una interrelacin efectiva entre la filosofa y las matemticas,apoyada casi siempre en tesis de Kant.

Desgraciadamente, la muerte de Lakatos dej incompleto su esfuerzo de elaboracin de una

lgica del descubrimiento matemtico bajo la que palpita la historia real como elementodemarcador de la teora. Lakatos aborda en su vivo y recreado trabajo -aunque a veces deforma poco sistemtica- la mayor parte de los problemas tericos ms importantes. Loseditores advierten a menudo la conveniencia de poner en cuarentena alguna de las ideas deLakatos, que pudieran no haber sido sostenidas por l mismo en la forma en que figuran enel texto.

Lakatos repasa aspectos de la cuestin de los fundamentos, de la autonoma de lasmatemticas, de su naturaleza alienada, de su posible proceso degenerativo, de su supuestocarcter infalible, de las relaciones entre lgica y matemticas, de la existencia de lasteoras dominantes, etc. Busca en las matemticas los programas de investigacin y losprocesos de progreso y estancamiento, que para l es la lgica de descubrimiento msapropiada para la reconstruccin racional de su historia. Naturalmente, Lakatos hunde lasraces de la teora de los programas de investigacin en la consideracin del alto nivel deautonoma de la ciencia. Y si la aproximacin directa de Lakatos a la historia de lasmatemticas es destacada, sin embargo la elaboracin de su teora se estructura, quizsdebido a la alargada sombra de Popper, en el terreno de la fsica y es aprovechada parasealar sus diferencias con Kuhn y para no perder comba en su antimarxismofilosficamente militante.

Para bien o para mal, la aportacin de Lakatos, muy probablemente vctima de laautonoma alienante tan defendida por l mismo, en el mundo matemtico ha quedado, encierta medida, reducida al conjunto de las cosas curiosas y divertidas.

Mayor impacto, hay que reconocerlo, han tenido las tesis de Kuhn sobre las revolucionescientficas, quizs porque, como dijo Muguerza en el prlogo a la versin castellana de lasActas del Coloquio Internacional de Filosofa de la Ciencia celebrado en Londres en 1965,estaban hacindose esperar(33). Revoluciones o rupturas, inspiracin anglosajona o francesa,el hecho es que la teora contempornea de la ciencia de corte idealista ha tenido quereconocer que tambin en el supuestamente autnomo universo cientfico surgen cortes mso menos drsticos, pero que sealan que la versin continuista y de acumulacin directa esuna forma de caricaturizar la historia e incluso de falsearla(34).

Las ideas de Kuhn no han despertado entusiasmos generalizados en la comunidadmatemtica, donde la presencia del formalismo es todava muy acusada. El mismo Kuhn haesquivado de alguna manera el atender este tipo de banco de pruebas en beneficio de otrasparcelas de pensamiento ms propicias a un tipo de ejemplificacin ms contundente. Eneste sentido la fsica, la astronoma, la qumica o la biologa resultan mucho ms atractivaspara buscar sustento a las construcciones filosficas. Aun as, en las revistas especializadasy en mbitos de resonancia estructuralista(35)han aparecido en los ltimos aos algunosintentos textuales de reproducir el esquema bsico kuhniano(36)en matemticas con
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connotaciones bastante dogmticas. Y es que es justo reconocer que en s misma la teorade las revoluciones cientficas resulta sugestiva.

La cimentacin de las realizaciones cientficas universalmente reconocidas como tales que,durante cierto tiempo, proporciona modelos de problemas y soluciones a una comunidad

cientfica

(37)

llamadaparadigmaparece una especie de perogrullada brillante, irrefutable eirrebatible a la luz de ciertas historias de las ciencias. Igualmente significativa es la relacinentre los conceptos de paradigma y de comunidad cientfica, que es quien en definitiva loarticula, lo sostiene, lo desarrolla mediante el ejercicio de la ciencia normal, lo derrumba ylo sustituye por otro. Parece obvio que un paradigma sea entonces el sustrato tericonecesario por el que la comunidad cientfica en cuestin explica el mundo. E igualmenteadecuada parece la forma de liquidacin del paradigma: bien por agotamiento de losenigmas planteados, bien porque se produzca alguna incompatibilidad entre un enigmaabierto y el propio paradigma. Esa incompatibilidad genera una crisis que desencadena unarevolucin cientfica, tras la cual el viejo paradigma es sustituido por otro, porque en lasciencias todas las revoluciones resultan triunfantes ms pronto o ms tarde.

Al carcter sugestivo y atractivo de la teora hay que aadirle un dato ms que induce a laatencin: el hecho de que en su contrastacin -a veces confrontada- con alguno de losmomentos conflictivos de la historia de las ciencias la teora haya salido suficientementeairosa. Aunque lamentablemente, en el enunciado original, las matemticas y su historiabrillen por su ausencia.

Los cataclismos tericos siempre impulsan de forma notable la necesidad de historiar elpasado cuya lnea de progresin acumulativa se rompe precisamente por el proceso deruptura. Eso ocurri en el periodo de la Revolucin Francesa y, con mucho mayor motivo,volvi a suceder en el tiempo de las grandes rupturas temticas del siglo XIX. La obsesivareflexin sobre los fundamentos de la matemtica y las aguzadas crticas a laselaboraciones clsicas impulsaron la necesidad de trenzar la historia de las matemticas yexplicar el proceso de su desarrollo.

La historia de la ciencia en el siglo XVIII, que al que suscribe le parece encantadora, fueexternalista hasta el maniquesmo, llegando a encubrir en las alabanzas a las cienciasnaturales factores de ataque o por lo menos de rechazo o crtica al Antiguo Rgimenvigente o extinto(38). En el siglo XIX, lo resbaladizo del terreno terico exigi dosingredientes fundamentales en la reconstruccin histrica de la evolucin del pensamientocientfico: por una parte, el rigor, que fue progresivamente en ascenso en las elaboracionestericas, se hubo de incorporar tambin a los trabajos histricos; por otra, los excesos delperiodo revolucionario del XVIII favorecieron grandes dosis de interiorizacin en laselaboraciones histricas.

Pasados los aos, en el terreno de la historia de las matemticas, tras encomiables esfuerzoscomo los de Boncompagni con suBollettino di bibliografia e storia delle scienzematematiche e fisiche (1868-1887) y la continuacin de Gino Loria con suBollettino dibibliografia e di storia delle scienze matematiche (1898-1922)(39), Enestrm con suBibliotheca Mathematica (1887-1914) y otros, la consagracin del modo de hacer historiade las matemticas vino de la autorizada opinin de Moritz Cantor en el Congreso de 1900
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celebrado en Pars, segundo de los internacionales de matemticos. Opinin que l mismomaterializara en las monumentales Vorlesungen ber Geschichte der Mathematiken cuatrovolmenes [Leipzig, 1907-1913].

Moritz Cantor que, en un tiempo en el que los alemanes an no estaban completamente

henchidos de fervor nacionalista y por ende absolutamente histricos con el tema delidioma, present su trabajo en francs y titul su conferencia Sur l'historiographie desmathmatiques(40). En ella parta de una proposicin de alguna manera contradictoria con latesis defendida por Hilbert en el mismo Congreso. Para Cantor las matemticas habanperdido su unidad para multiplicarse(41). En consonancia con esto, la figura del matemticocomo tal haba desaparecido para alumbrar la de los gemetras, analistas, algebristas,aritmlogos, astrnomos, fsicos tericos e incluso historigrafos(42). Y explicaba lapresencia de esta ltima categora con un gesto humilde, reconociendo que del trabajo delos historiadores no podan surgir avances de las matemticas sino solamente unas buenasGuas de Viaje(43). Para mostrarlo construy una sucinta relacin a travs de las historias delas matemticas desde Eudemo de Rodas hasta los aos finales del siglo XIX. El eruditorecorrido, a pesar de la asepsia que se pretende aparentar a lo largo de todo el trabajo deCantor, est salpicado de elementos que permiten comprobar los principios conceptualesque inspiraban las historiografas correctas. Hablando de la conocida obra de Libri sobreL'Histoire des Mathmatiques en Italie se cuestiona Cantor(44):

"Peut-on crire convnablement l'Histoire des Mathmatiques dans un pays quel-conque?".

Y se contesta inmediatamente:

"J'en doute fort".

Y lo pone en duda por el carcter internacional de las matemticas, por la influenciaconstante de un pueblo sobre otro en el terreno matemtico y por el proceso acumulativodel conocimiento matemtico.

No obstante, todava es ms explcito Cantor respecto al verdadero sentido de suhistoriografa. Dice Cantor(45):

"On me dira que, pourtant, tout peuple a eu son temps o il marchait la tte d'une Scienceou de l'autre. C'est parfaitement vrai, mais parce que c'est vrai pour tous les peuples, celaprouve d'autant plus la difficult d'crire l'Histoire de cette Science chez un seul peuple,sinon pour l'poque pendant laquelle ce peuple faisait avancer cette Science".

En breves palabras est la versin quintaesenciada del positivismo idealista en materia dehistoria de las matemticas y de la ciencia. Porque, so pretexto de internacionalizar ygeneralizar el campo de visin, lo que hace Cantor es internalizar el anlisis hasta talesextremos que las matemticas aparecen como una creacin extraespacial y, por as decir,extrasensorial. En efecto, la visin de la historia de las matemticas ratificada por Cantor yseguida, todo hay que decirlo, con un cierto entusiasmo por ciertas comunidadesmatemticas a lo largo de todo lo que se lleva del siglo XX, separa las creaciones
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matemticas de cualquier tipo de enlace con factores sociales e incluso intelectuales,extramatemticos.

La propia historiografa se encarg de poner en tela de juicio los valores defendidos porCantor y las comunidades matemticas nacionales se lanzaron a buscar y a analizar sus

propias races cientficas en el terreno de las matemticas

(46)

.Factor de importancia singular fue la obra de George Sarton en Estados Unidos, con surevista trimestralIsis y la tendencia al asociacionismo de los historiadores de la ciencia.Durante casi medio siglo el nombre de Sarton se identific en el mundo occidental con elde la historia de la ciencia y, de alguna manera, la ciencia -en un sentido global- fuecontemplada e historiada a partir de las ideas desarrolladas en las dinmicas universidadesnorteamericanas del primer tercio del siglo XX.

Sin embargo, el cambio de orientacin ms consolidado se produjo en el Congreso deLondres de 1931 y, como se ha reconocido en todas las partes no contaminadas por losbienpagados de cualquier tipo de alianza para el progreso,fue debido a la aportacin de loshistoriadores soviticos(47).

La Revolucin de Octubre cambi el signo de la consideracin de la ciencia en las jvenesrepblicas soviticas, desde donde se irradiara al resto del mundo. Sobre una baseprogresivamente nutrida de cientficos en general y de matemticos en particular, secomenz a reflexionar sobre la ciencia de un modo diferente.

Aunque la institucionalizacin de la historia y de la filosofa de la ciencia no fue inmediata,ya desde el ao 1925 funcion en Mosc un Seminario conducido por S.A. Ianovskaia yconstituido fundamentalmente por estudiantes de fsica y matemticas. En la dcada de losaos 30 se institucionalizaron los cursos de historia de las matemticas en la Facultad deFsica y Matemticas. Los animadores de este incipiente movimiento fueron, adems de laya citada Ianovskaia, el matemtico Vygodski y el fsico Guessen(48).

Cuando se reuni en Londres el II Congreso Internacional de Historia de las Ciencias,Guessen, director del Instituto de Fsica de Mosc y miembro del Senado (ConsejoAcadmico) del Instituto de Historia de la Ciencia y de la Tecnologa de la Academia deCiencias de la URSS(49), cuyo director era Bujarin, present un trabajo sobreLas racessocioeconmicas de la Mecnica de Newton(50)que tuvo una gran resonancia cuando sepublic, junto con otros trabajos de similar inspiracin, bajo el ttulo de Science at theCrossroad(51). La aparicin de una orientacin consistente desde el punto de vista cientficoy con una metodologa marxista cambi radicalmente el sesgo tradicional de lasinvestigaciones en historia de las ciencias, que superaron la meritoria tendencia histrico-cultural de Sarton. En la misma dcada de los 30 aparecieron varios trabajos de prestigiososcientficos que cambiaron el rumbo de sus preocupaciones concretas por las reflexionessobre la ciencia y su historia en un sentido global.

En Gran Bretaa, particularmente, cuaj una verdadera escuela de historiadores, filsofos ysocilogos de la ciencia de formacin marxista que han tenido una gran influenciaposterior. Bernal, Hogben, Haldane, Merton son algunos de los cientficos occidentales que


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comenzaron a trabajar sobre la idea del carcter social de la ciencia. A partir de entonces sehizo patente la divisin de las escuelas historiogrficas en externalistas e internalistas. Enpuridad esta clasificacin fue una reaccin un poco exasperada de los neopositivistas detodo corte y condicin contra la penetracin de la nueva metodologa en un rea -la de lahistoria de las ciencias- que hasta entonces haba sido coto cerrado de las escuelas de

definicin idealista. Se quiso aducir con la divisin el hecho de que el externalismocomportara la utilizacin de caracteres ajenos al hecho cientficostricto sensu. Sinembargo, aunque la defensa desde las posiciones acadmicas mayoritarias de la inteligenciaestablecida fue bastante dura, la influencia en todos los pases de Occidente fue muynotable. En particular por lo que hace a las obras de Bernal(52).

Hoy, en la lectura del trabajo de Guessen, como la de otros historiadores soviticos de eseperiodo, aparecen sesgos de linealidad algo tosca, siempre presente por otra parte en lasproducciones inaugurales de cualquier novedad terica. Se trata obviamente de la irrupcinen escena del externalismo como corriente. Pero estas insuficiencias no empaan, mediosiglo despus, el hito representado por los historiadores de la ciencia del joven estadosovitico.

Como reaccin, precisamente, al desarrollo de esta perspectiva, apareci con una fuerzainnegable otra corriente apoyada tambin en un ejemplo trascendente del siglo XVII y deinspiracin rotundamente idealista. El mismo ao 39 entraban en incruenta batalla el librode Bernal,La funcin social de la ciencia, y, de otro lado, losEstudios Galileanos deKoyr.

La calidad de los trabajos de Koyr signific un fuerte contrapeso a la corriente materialistay un enriquecimiento global notable de la historia de las ciencias. Es obvio que losplanteamientos internalistas que surgieron a partir de la escuela historiogrfica francesa,muy pronto extendidos de la mano de los neopositivistas anglosajones, ya no pudieronpasar por alto la influencia de los factores externos, aunque s que rechazaran lasimplicaciones sobre el universo conceptual de la ciencia, que fue colocado en un dominioideolgico ms y ms autnomo.

La pugna cientfica, dgase lo que se diga, permanece en total vigencia y vigor y de algunamanera ha servido para eliminar construcciones tericas sin matices y sin fisuras que, pormuy comprensibles que fueran, no han dejado de ser muy toscas e incluso falsas.

Por eso el problema sigue siendo el de averiguar si existen leyes generales que expliquen eldesarrollo de la ciencia. Cuestin general aplicable a todas y cada una de las ciencias y, porlo que hace a este trabajo, al rea de las matemticas.

3. Planteamiento general del problema

3.1. El problema de las definiciones

Es difcil establecer un criterio fijo e inmutable que permita definir el concepto de cienciaen nuestro tiempo. A lo ms que en estos momentos se aspira es al establecimiento de un
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proceso en el que se recojan los elementos conceptuales y experimentales que, en conjunto,aporten una aproximacin suficientemente buena que vaya permitiendo acoger a laconstantemente creciente cantidad de disciplinas candidatas a refugiarse bajo el certificadode denominacin de origen cientfica.

La dcada de los noventa del siglo XX asiste con cierta perplejidad al desarrollo de unproceso iniciado en los setenta, en los que se seal que estbamos atravesando el umbralde una Revolucin Cientfico-Tcnica cuyas consecuencias, se deca, trascenderan losmarcos habituales de existencia del pensamiento y hecho cientficos. A tal situacin sellegaba en funcin de una extrapolacin natural del gran desarrollo cuantitativo que lasciencias haban tenido a lo largo de los siglo XIX y XX. As, la hiptesis de la RevolucinCientfico-Tcnica apareca como razonable y se afirmaba en la indudable influencia quelas ideas cientficas tenan en la estructura social del mundo desarrollado, llegando acomparar el papel de la ciencia en nuestro tiempo al del dinero en el proceso dedescomposicin del mundo feudal.

Tras tales planteamientos se argumentaba la aparicin del umbral de un nuevo estadioevolutivo en el que las sociedades desarrolladas no podan prescindir de la ciencia, cuyodesarrollo, por otra parte, poda entrar en contradiccin grave con estructuras socialesbasadas en la propiedad privada de los medios de produccin y no necesariamente por elcatastrofismo de su extincin. No es ste el tema de este trabajo, aunque justo es reconocerque de aquellas impresiones a las actuales hay ms de un paso. De aquella RevolucinCientfico-Tcnica, cuyo bienestar pareca que poda ser tocado con las yemas de los dedospor la inmensa mayora de los terrcolas, hemos pasado a una situacin bien distinta, conesa inmensa mayora de habitantes del planeta sumidos en la pobreza, cuando no en lamiseria, sujetados por el poder de unas armas -estas s cada vez ms cientficas- quegarantizan ese bienestar para una parte un poco ms reducida de los ciudadanos yciudadanas del primer mundo, que s que vivimos mejor gracias a la ciencia y que podemostrabajar en mejores condiciones gracias a las nuevas tecnologas. Adems, el aparatocientfico de los entonces pases socialistas europeos, que daba sentido a la intuicin de lanueva era, est destruido, la Unin Sovitica no existe y Rusia tiene, en 1994, como cabezavisible a un borracho corrupto. Vaya panorama!

Mas, a pesar de todo, el espectacular desarrollo de los resultados cientficos en la pocacontempornea ha desarrollado enormemente la necesidad de reflexin y de creacinterica en torno a la ciencia. Se ha creado la disciplina de la Ciencia de la Ciencia comotil herramienta indispensable en nuestros das para comprender el alcance de un fenmenoque, fuera para bien sea para mal, est desbordando todas las previsiones.

Si hubiera que destacar una caracterstica fundamental que justificase el inters interno dela metodologa global en la aproximacin a la ciencia habra que pensar que, as como losprocesos analticos que permiten profundizar en lo particular dificultan la comprensin delos objetivos a medio y largo plazo, la va de la sntesis, al abstraer los detalles parciales,permite acometer con mayores garantas de xito la investigacin de elementos deprediccin -y la prediccin es una de las razones de ser de la ciencia y del trabajo de loscientficos que ha quedado como ms evidente herencia del viejo positivismo comptiano-.La posibilidad de prediccin plausible justifica por s misma la atencin que los enfoques


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de sntesis tienen en las elaboraciones cientficas desde hace siglo y medio. Aunquequienes, como yo, llevamos encima determinadas teoras y pensamientos no tenemosmuchos motivos para enorgullecernos de la finura de nuestra capacidad de prediccin ydebemos tender a ser prudentes, ello no obsta para que la funcin proftica sea una viejaaspiracin humana y, en tanto que tal, perseguible. De todas formas, muchos otros -de

indudable y superior talento- lo han hecho antes. Cmo podran olvidarse por ejemplo lasVorlesungen ber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundertdel mismsimoKlein?

Hay un elemento ms que propicia e incita al seguimiento de la aproximacin global alhecho cientfico: la especializacin. Los programas de investigacin actuales, circunscritosal mbito de las pequeas unidades de trabajo, o sea de las comunidades cientficas usuales,reducen el campo de estudio y conocimiento a microcosmos aparentemente irrelevantes y,de hecho, claramente desconectados del mundo exterior en mltiples campos de lasciencias bsicas. Esta tendencia de especializacin vertiginosa, que se ha agudizado a lolargo del siglo XX, aparece en etapas tempranas del aprendizaje, primero en un rea global(matemticas, fsica, etc.) sobre la que, en intervalos de tiempo cada vez ms breves, seestablecen los dominios sucesivos de especializacin hacia el problema abierto que se esten condiciones de abordar. Esto cuando se contina la carrera el tiempo suficiente comopara abordar problemticas nuevas. En la mayora de los casos, los procesos de formacinse cortan abruptamente sin haber dado tiempo a consolidar ni los marcos disciplinaresglobales ni el enunciado de problemas abiertos suficientemente sugestivos.

Las comunidades cientficas ms conscientes y responsables han tenido que contrapesar lanecesidad de formacin investigadora especializada con aportaciones de carcter general,esto es, con enfoques de sntesis de cada una de las ciencias o de la ciencia como tal, que sehan situado en la periferia de las correspondientes disciplinas, bajo epgrafes comprensiblesque son los que definen el trabajo de los historiadores y filsofos de la ciencia.

No poda ser de otra manera. Historiar o predecir son extrapolaciones de los hechos que noses dado conocer y vivir personalmente. Lo ms interesante sera conocer el futuro concierta seguridad para modificar adecuadamente las condiciones del presente y para ello hayque aspirar al conocimiento lo ms conforme a la verdad que sea posible del presente y delpasado. Como investigar esos extremos es hacerhistoria de ..., para aumentar el nivel decerteza en la prediccin de los estados futuros de la ciencia en general y de cada una de suscomponentes se impone la necesidad de abordar rigurosamente la verdadera evolucin deldesarrollo de estos elementos conceptuales. Dicho de otra manera ms directa, a la luz de larealidad del presente y de la mayora del legado documental -e incluso testifical donde talelemento es posible- se me antoja que las historias de las ciencias hasta ahora escritas son,todava en forma significativa, hermosos volmenes de no menos bellas fantasas, ya quesin afirmar -que no lo afirmo- que sean falsedades, lo que en las historias de las ciencias daen contarse, en su inmensa mayora, responde a cierta entronizacin del individualismosuperdotado, un tanto alejado, ciertamente, de la realidad palpable en la que los cientficosse mueven.

En la ciencia se ha producido en la poca contempornea un cambio trascendental queresponde a las transformaciones intrnsecas del organismo cientfico: el cambio de


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pathologique (...) D'ailleurs tous ses collgues s'emploient le soigner: quand gurira-t-il?(53)

Esta irnica cita de la antologa de Lvy-Leblond y Jaubert sobre la (Auto) critique de lascience sirve de adecuado fundamento para abordar el problema de la organizacin del

trabajo.La ciencia francesa, entre los muchos elementos con que ha nutrido a la comunidadcientfica, tanto a nivel puramente intelectual como de organizacin, ha deslizado unafigura que ha devenido caduca y objetivamente resulta retardataria para el desarrollo de laciencia: el patrn. Aunque la existencia de un director unipersonal e incontestable tieneraces, justificacin y sentido histricos, los fenmenos acumulativo-restrictivos yacomentados convierten la actual estructura organizativa en algo obsoleto. En efecto,histricamente, tanto en Francia como en otros pases cientficamente adelantados, laautoridad de una larga lista de cientficos y el abismo cultural existente entre los diferentessectores de cualquier pas en un amplio periodo de la poca contempornea que casialcanza nuestros das ha dignificado enormemente y destacado del conjunto a las cabezasms dotadas para la direccin y crtica de la investigacin. Por otra parte, la necesidad deacabar con los excesos fraudulentos de cualquierantiguo rgimen, de estabilizar lasituacin laboral y de dar el empaque preciso a esa nueva capa social propiciaron en el sigloXIX un sistema de estructuracin de la comunidad cientfica fuertemente jerarquizado,proteccionista, cerrado y acrtico. Los controles establecidos, tanto a nivel gubernamentalcomo privado, y el cdigo interno de cada unidad de investigacin dificultan en todos lospases la ruptura de las normas de conducta heredadas que ya no tienen ningunajustificacin prctica actual. Al margen de consideraciones diversas que se podranadelantar y de vicios del sistema expuestos en varias publicaciones cientficas quecomenzaron a aparecer hace dos dcadas(54)se puede sealar la creciente dificultad de queexistan cientficos que dominen (pues se trata de dirigir, que es orientar y criticar la laborinvestigadora de un equipo) simultneamente varias lneas de investigacin, aunque sean deun rea restringida pero general. El progresivo e imparable progreso de especializacin y laausencia de alternativas vlidas al problema -a pesar de los muchos intentos y de lapermanente polmica- conducen directamente a la necesidad obvia de la renovacin de laestructura, que desde cualquier planteamiento metodolgico de trabajo llega al mismoconcepto organizativo para las unidades bsicas: el equipo. Es algo que tena que llegar,habida cuenta del camino de estricta especializacin. Hoy el protagonista individual de laciencia tiene que ser el cientfico colectivo, que de hecho es -salvadas las distancias- unarestriccin al terreno cientfico del intelectual-orgnico-colectivo definido por Gramsci(55).En verdad, la idea del equipo de trabajo, hoy por nadie combatida explcitamente, necesitaadems una puesta en prctica presidida por un profundo sentido democratizador quecolectivice la direccin y la crtica de las unidades de produccin cientfica a todos losniveles y que someta a debate peridico y abierto los resultados que se van obteniendo(56).Hay un elemento particularmente claro en la crisis de las estructuras cientficas mstradicionales y que cada da se hace ms patente. As como en las llamadas disciplinashumansticas (inslita definicin que los cientficos aceptamos sin pestaear como sinuestras actividades no lo fueran(57)) el trabajo cotidiano a lo largo de los aos produceinexcusablemente un aumento de la capacidad orientadora por un mero proceso deacumulacin, en el campo de la ciencia la fijacin del hombre con el medio -el laboratorio
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principalmente-, la inexcusable dureza intrnseca del trabajo y tambin los acicates de lanecesidad y la ilusin producen un trastocamiento de las posiciones de vanguardia en elfrente investigador a nivel mundial; con lo que no necesariamente los que llevan ms aosson los que ms al corriente estn de los problemas pblicos cruciales en una determinadarea (haciendo abstraccin consciente del contenido). Es ms, normalmente, el proceso

acumulativo de conocimientos comporta la adscripcin a una determinada lnea y a unmarco preciso de referencia, lnea y marco que con el concurso implacable del tiempoquedarn obsoletos a no ser que se produzcan los siguientes supuestos: i) que la lnea seafundamental y se justifique por s misma, en cuyo caso los enigmas siguen siendorelevantes; ii) que el investigador sea lo suficientemente arrojado como para cambiarsulnea cuando observe -o le hagan observar- que los resultados obtenidos no compensan ni elesfuerzo realizado, ni el dinero invertido; y iii) que el investigador sea lo suficientementecurioso y capaz para comenzar peridicamente con un problema nuevo.

Pero estos tres supuestos, que efectivamente se pueden ejemplificar histricamente en laciencia, difcilmente se dan en el ejercicio de la ciencia normal mientras se cuente con unaestructura de trabajo jerarquizada, conservadora y fijista.

La forma menos traumtica de superar esta contradiccin es, precisamente, junto al respetoinveterado a la libertad de investigacin (respeto que en absoluto debe excluir la necesidady la libertad de crtica), la urgente organizacin colectiva del trabajo en el seno deprogramas claros de investigacin, con actuacin transparente y generosidad informativa.En definitiva, una casilla del paradigma debe consistir en la sustitucin de la competenciadesleal y el carrerismo por la cooperacin entre los trabajadores cientficos y el juegolimpio.

Kuhn, en su postdata de 1969 al texto original de laEstructura de las RevolucionesCientficas, se vio obligado a precisar de una forma objetiva el trmino comunidadcientfica como elemento fundamental sobre el que poder sustentar su modelo. ParaKuhn(58),

"una comunidad cientfica est formada por practicantes de una especialidad cientfica. Hanpasado por una iniciacin profesional y una educacin similar en un grado que no tienecomparacin con otros campos. En este proceso han absorbido la misma literatura tcnica ydesentraado muchas de sus mismas lecciones".

El concepto, muy intuitivo, es fcilmente generalizable. Por eso se puede enseguidaentender lo que se quiere expresar con el trmino comunidad de la disciplina X en el mbitogeogrfico Y en el momento cronolgico Ty, por variacin de las variables, encontrarinmediatamente los tipos posibles de comunidad. Este aspecto no representa un cambiointerpretativo vulgar, ya que subvierte en cierta manera los objetivos prioritarios de lashistorias clsicas de las ciencias. Con este concepto, no slo el supuesto genio merece serestudiado como objeto histrico, ya que ese supuesto genio pertenecer a una o variascomunidades cientficas, que adems no sern ajenas, ni mucho menos, a sus realizaciones.Tampoco en esta consideracin reina la unanimidad. Personalidades de tanto peso en lamatemtica del siglo XX como Jean Dieudonn -al que voy a hacerle el favor una vez msde criticarlo como historiador de la ciencia- han sealado muchas trabas tericas a la
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definicin de comunidad matemtica(59)homologable a la que pueda darse en otrasdisciplinas cientficas. Para Dieudonn el trabajo en equipo es bastante raro enmatemticas, reduciendo su idea de comunidad, en la prctica, a la correspondencia cruzadaentre profesionales. Esta reduccin, vlida para situaciones anteriores a lainstitucionalizacin cientfica del XVII, es claramente insuficiente para explicar las

situaciones que se dan desde el momento en el que hay academias, escuelas y revistas.Siguiendo con los presupuestos analgicos entre la historia general y las historias de lasciencias se presenta otro evidente paralelismo entre el modo de produccin de bienesmateriales y el modo de produccin de bienes cientficos.

La evidente transformacin de los modos de produccin cientfica a lo largo de la historiade la Humanidad lleva directamente a cuestionarse la existencia de unos marcos generalesen los que se han desenvuelto las actividades normales o geniales de los cientficos. Yrespecto a esto el modelo de Kuhn suministra un sustrato terminolgico atractivo y quizssuficiente para mejorar la explicacin de la historia de las ciencias.

Ya se han comentado antes algunos de los aspectos generales ms interesantes de losplanteamientos kuhnianos. Por lo que hace a este trabajo debe quedar claro que se recogeuna generalizacin del concepto de paradigma, entendindolo como modo de produccincientfica. Aunque la aplicacin concreta de este modelo al campo de las matemticas sepormenoriza en el pargrafo siguiente, s es conveniente insistir en un aspecto sobre lapervivencia de los paradigmas(60).

Lakatos ha criticado(61)la traduccin mecnica de los postulados marxianos a laperiodizacin de las ciencias, sobre todo en lo que respecta a la adscripcin de undeterminado tipo de ciencia -y de criterios de elaboracin cientfica- a cada modo deproduccin. Ya se ha aducido este aspecto al comentar la disyuntiva internalismo-externalismo. Sin embargo, s que es detectable de forma bastante ntida el mantenimientoy las subsiguientes rupturas de las concepciones bsicas mediante las que las diferentescomunidades cientficas explican el mundo.

La pregunta que ms comnmente surge entre los cientficos es, ante esto, cuestionarsednde queda el genio. La salida ms corriente a esta pregunta se basa en la consideracinde que cada realizacin genial produce una quiebra terica de suficiente importancia. As sepuede argumentar que cada genio tiene detrs su escuela de pensamiento cientfico que, deuna manera autnoma, elabora un tipo de ciencia diferenciada. Otro de los sesgos queproduce el posicionamiento del genio en la historia es el de la generalizacin gratuita. Si undeterminado cientfico ha producido en alguna disciplina cientfica concreta una ruptura depensamiento, se extrapola automticamente a todas las ciencias en las que haya podidotrabajar. As se han escrito algunas historias de las ciencias en las que con la pretensin -mucha veces tcita- de primar la individualidad de la creacin cientfica sobre cualquierotra variable, se ha distorsionado la reconstruccin histrica y se ha falseado lainterpretacin de los procesos de creacin cientfica. Porque una elaboracin genial no tienepor qu suponer una forma distinta de concebir la ciencia, como tampoco una creacinrupturista en un campo cientfico tiene porqu suponerse para todos.
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Una idea de Popper puede explicar bastante satisfactoriamente la relacin entre elmovimiento general de la ciencia y la aportacin individual de los cientficos. Hablandosobre nubes y relojes, seala(62):

"Como ejemplo tpico e interesante de nube recurrir a una nube o enjambre de moscas o

mosquitos. Los mosquitos individuales que, como las molculas de un gas, forman todosjuntos un enjambre se mueven de un modo asombrosamente irregular. Es casi imposibleseguir el vuelo de un mosquito particular, aunque todos ellos sean lo suficientementegrandes como para ser visibles con claridad (...) el que se mantengan juntos puedeexplicarse fcilmente suponiendo que aunque tengan un vuelo irregular en todasdirecciones, aquellos que sienten que se alejan de la muchedumbre tornan hacia su partems densa".

"Esta suposicin explica de qu modo se mantiene unido el grupo aunque no tenga ni jefeni estructura -no hay ms que una distribucin estadstica aleatoria que surge del hecho deque cada mosquito hace exactamente lo que quiere de un modo anrquico y aleatorio unidoal hecho de que no quiere separarse demasiado de sus compaeros".

Quizs en esta idea de Popper se halle una de las ms agudas interpretaciones sobre el papelde las escuelas en trminos generales a lo largo de toda la historia de la ciencia y esparticularmente ilustrativa por lo que respecta a la historia de las matemticas, en la que elmovimiento cientfico de los grandes creadores es aparentemente muy anrquico.

Volviendo al planteamiento general del problema hay que destacar que los trabajos globalesde matemticas nunca han sido extraos a su propia definicin. En el periodo clsico griegohubo aproximaciones sintticas de tipo externo desde el terreno de las especulacionesfilosficas, y los mismosElementos de Euclides pueden considerarse como unaconstruccin de sntesis desde una perspectiva interna. En los ltimos siglos y de maneramucho ms frecuente la comunidad matemtic

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Paradigmas y Matematicas

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