Partial Differential Equation (PDE) Toolbox - kpfu.rukpfu.ru/staff_files/F1879412462/main.pdf ·...

Литература Запуск Команды меню 1. Generic Scalar 2. Generic System 3. Heat Transfer

Partial Differential Equation (PDE) Toolbox


Partial Differential Equation (PDE) Toolbox

PDEсодержит средства для исследования и решения краевых задачдля дифференциальных уравнений второго порядка в частныхпроизводных в двумерных областях. В пакете используетсяметод конечных элементов.


Литература

1 http://matlab.exponenta.ru/pde/;2 Шмелев В.Е. Partial Differential Equations Toolbox.

Инструментарий решения дифференциальных уравнений вчастных производных.


Графический интерфейс PDE TOOLBOX


Запуск GUI-приложения

Для запуска GUI-приложения PDETool в командном окнесистемы MatLab необходимо набрать одну из следующихфункций и нажать клавишу Enter:

pdeinit;pdetool


Окно GUI-приложение PDETool


Команды меню File-Boundary

File содержит файловые команды (открытие, сохранение ипечать файлов) и команды общего назначения (созданиеновой модели и закрытие приложения PDETool).Edit содержит команды редактирования PDE модели.Options содержит команды установки (изменения)режимов работы приложения PDETool.Draw содержит команды прорисовки и редактированиягеометрических объектов в PDE модели.Boundary содержит команды ввода и редактированияграничных условий, показа номеров граничных сегментов изон расчётной области, а также команды удаления границмежду зонами.


Команды меню PDE-Help

PDE содержит команды ввода и редактированияпараметров (коэффициентов PDE), показа номеров зонрасчётной области.Mesh содержит команды работы с конечноэлементнойсеткой (генерация, сгущение (переопределение),регуляризация, показ номеров объектов сетки и ихпараметров качества, экспорт).Solve содержит команды решения PDE, ввода иредактирования параметров решателя PDE.Plot содержит команды визуализации решения PDE.Window – переключение между окнами MATLAB.Help – команды работы со справочной системой MATLAB.


Описание команды Options

Grid – Показать/ скрыть координатную сетку в объектеAxes.Grid Spacing. . . – Установить лимиты и шаг координатнойсетки.Snap – Округлять координаты указателя мыши при показеих значений пользователю.Axes Limits – Установить значения пределов координатныхосей.Axes Equal – Установить на экране одинаковый масштабпо осям x и y.Turn Off Toolbar Help – Запретить/ Разрешить выдачуподсказок по кнопкам инструментальной панели PDETool.Zoom – Включить режим показа в увеличенном масштабевыделяемой прямоугольной области в PDE-модели.Refresh – Обновить изображение PDE-модели в поле axes.


Описание команды Options

Application – Переключение типа PDE задачи.1 Generic Scalar – скалярная краевая задача;2 Generic System – система PDE;3 Structural Mechanics, Plane Stress – задача теории

упругости на недеформируемой сетке;4 Structural Mechanics, Plane Strain – задача теории

упругости на деформируемой сетке;5 Electrostatics – PDE электростатики относительно

скалярного электрического потенциала;6 Magnetostatics – PDE магнитостатики относительно

векторного магнитного потенциала;7 AC Power Electromagnetics – переменное

электромагнитное поле;8 Conductive Media DC – электрическое поле постоянного

тока в проводящей среде;9 Heat Transfer – уравнение теплопередачи;10 Diffusion – уравнение диффузии.


Описание режима Draw

Draw Mode – Переключение в режим ввода (прорисовки)геометрии.Rectangle/square – Ввод прямоугольника или квадрата спомощью мыши. Начальной точкой прямоугольникаявляется его верхняя левая вершина. Если при вводе будетудерживаться клавиша Ctrl, то будет прорисовыватьсяквадрат. Стороны прямоугольника всегда параллельныосям координат.Rectangle/square (centered) – То же. Начальной точкойпрямоугольника является его центр.Ellipse/circle – Ввод эллипса или круга с помощью мыши.Начальной точкой эллипса является его верхняя леваяточка. Если при вводе будет удерживаться клавиша Ctrl, тобудет прорисовываться круг. Главные оси эллипса всегдапараллельны осям координат.Ellipse/circle (centered) – То же. Начальной точкойэллипса является его центр.


Описание команды Draw

Polygon – Прорисовка многоугольника с помощью мыши.Ввод производится отрезками ломаной линии, пока она нестанет замкнутой.Rotate – Поворот выделенных геометрических объектов нанекоторый угол вокруг некоторой точки.Export Geometry Description, Set Formula, Labels. . . –Экспорт в базовую рабочую область переменных описаниягеометрии.


Строка Set formula

Строка Set Formula должна содержать формулу описаниягеометрии расчётной области. По синтаксису это должно бытьвыражение, операндами которого являются следующие метки(идентификаторы) геометрических объектов:

+ Операция объединения;– Операция исключения;* Операция пересечения.

Строка ввода доступна для редактирования только в режимеDraw Mode.


Пример 1. Прорисовка геометрии области

Нарисовать следующую область:


Режим ввода граничных условий Boundary

Boundary Mode (Ctrl+B) – Переключение в режим вводаграничных условий (ГУ).Show Edge Labels – Показать номера граничныхсегментов.Show Subdomain Labels – Показать номера зон.Remove Subdomain Border – Удалить границу зон. Поданной команде удаляется граница раздела зон, которойпринадлежат выделенные граничные сегменты, ипроизводится автоматическая перенумерация зон.Remove All Subdomain Borders – Удаление всех границзон. По данной команде удаляются все границы зон внезависимости от выделения. Вся расчётная область станетзоной 1.Export Decomposed Geometry, Boundary Cond’s. . . –Экспорт в базовую рабочую область переменных описанияграничных условий.


Режим ввода граничных условий Boundary

Specify Boundary Conditions. . . – Ввод параметровграничных условий. В PDETool можно задавать краевыеусловия первого и третьего рода (Дирихле и Неймана).Если граница области выделена красным цветом, то заданыграничные условия Дирихле, если синим цветом – Неймана.


Режим ввода коэффициентов PDE

PDE Mode – Переключение в режим ввода параметров(коэффициентов) PDE.Show Subdomain Labels – Показать номера зон. Этакоманда полностью аналогична соответствующей командегруппы Boundary.Export PDE Coefficients. . . – Экспорт в базовую рабочуюобласть переменных, описывающих распределение PDEкоэффициентов в расчётной области.PDE Specification. . . – Ввод параметров (коэффициентов)PDE. По данной команде раскрывается диалоговое окно,предлагающее ввести нужные значения параметров.Вводимые параметры относятся только к выделеннымзонам; если выделенных нет, то ко всем зонам.


Режим режим построения конечноэлементной сетки Mesh

Mesh Mode – Переключение в режим построенияконечноэлементной сетки.Initialize Mesh (Ctrl+I) – Инициализация (генерация)конечноэлементной сетки.Refine Mesh (Ctrl+M) – Переопределение (сгущение)конечноэлементной сетки во всей расчётной области.Jiggle Mesh – Регуляризация конечноэлементной сетки.Конечноэлементная сетка перестраивается (узлыперемещаются) таким образом, чтобы показательнерегулярности всех конечных элементов не превышалустановленной в PDETool величины.Undo Mesh Change – Отменить последнее изменениеконечноэлементной сетки.Display Triangle Quality – Отобразить в цвете значенияпоказателя регулярности для всех конечных элементов(треугольников) сетки.


Режим режим построения конечноэлементной сетки Mesh

Show Node Labels – Показать номера узловконечноэлементной сетки.Show Triangle Labels – Показать номера конечныхэлементов (треугольников).Parameters. . . – Установить параметры генератора сетки.По данной команде раскрывается диалоговое окно,предлагающее ввести нужные значения параметров.Export Mesh – Экспорт конечноэлементной сетки вбазовую рабочую область.


Режим решения Solve

Solve PDE (Ctrl+E) – Решить краевую задачу.Parameters. . . – Установить параметры решателя PDE.Export Solution. . . – Экспорт решения в базовую рабочуюобласть.


Режим визуализации решения Plot

Plot Solution (Ctrl+P) – Отобразить решение PDE.Parameters. . . – Установить параметры отображениярешения.Export Movie. . . – Экспорт в базовую рабочую областьпеременной, содержащей информацию, необходимую дляанимации решения нестационарной PDE задачи.


Пример решения некоторых краевых задач PDETool


Последовательность решения ДУЧП в PDETool

1 Задать (если необходимо) координатную сетку x, y в менюOPTIONS;

2 Выбрать краевую задачу из списка PDETOOL в менюOPTIONS;

3 Нарисовать геометрию области в режиме DRAW;4 Задать граничные условия в режиме BOUNDARY;5 Построить триангуляцию области в режиме MESH;6 Задать коэффициенты ДУЧП в режиме PDE;7 Установить (если необходимо) параметры решателя и

решить ДУЧП в режиме SOLVE;8 Показать результаты решения в режиме PLOT.


1. Скалярные краевые задачи


1. Скалярные краевые задачи Generic Scalar

Скалярное PDE — это дифференциальное уравнениеотносительно одного скалярного поля, содержащеепространственные дифференциальные операторы второго инулевого порядка. В PDETool скалярная краевая задачаназвана Generic Scalar. Generic Scalar бывают трех типов:

1 Эллиптические (Elliptic) PDE.2 Параболические (Parabolic) PDE.3 Гиперболические (Hyperbolic) PDE.4 Задачи на собственные значения (Eigenmodes) PDE.


Линейные эллиптические уравнения

− div(c ∗ grad u) + a ∗ u = f, (1)

где c , a, f – коэффициенты и правая часть уравнения (5),которые можно задавать аналитически в виде линейныхфункций. В этих функциях могут содержаться переменные x ,y , sd . Здесь x, y – координаты точки наблюдения, sd – номерзоны, которой принадлежит точка наблюдения. Для каждойзоны можно задавать своё выражение для любогокоэффициента PDE.


Пример 2. Линейное эллиптическое уравнение в квадрате

Решить в области Ω = [0, 1]× [0, 1] следующее линейноеэллиптическое уравнение:

− div(c(x,y) ∗ grad u

)= f (x , y), x ∈ Ω (2)

с краевыми условиями Дирихле

u(x , 0) = x − x2, u(x , 1) = x − x2, x ∈ [0, 1],u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, y ∈ [0, 1],

(3)

где

c(x , y) = 1 + x + y , f (x , y) = 1 + 4 ∗ x + y + 2 ∗ x ∗ y .

Полученное решение сравнить с точным решениемu(x , y) = x − x2. Размер сетки выбрать таким образом, чтобывыполнялось условие

maxx∈[0,L]

|uh − u| ≤ c · 10−3,

где uh – приближенное решение задачи, найденное PDETOOL,u – точное решение, c – произвольное число.


Пример 3. Линейное эллиптическое уравнение в круге

Решить следующее линейное эллиптическое уравнение :

−4 u = −16 · (x2 + y2), x ∈ Ω, u∣∣∣∂Ω

= 1, (4)

где область Ω представляет собой круг единичного радиуса сцентром в начале координат.Полученное решение сравнить с точным решениемu(x , y) =

(x2 + y2)2. Размер сетки выбрать таким образом,

чтобы выполнялось условие

maxx∈[0,L]

|uh − u| ≤ c · 10−4,

где uh – приближенное решение задачи, u – точное решение, c– произвольное число.


Нелиинейные эллиптические уравнения

− div(c ∗ grad u) + a ∗ u = f, (5)

где c , a – нелинейные функции.Для решения нелинейных уравнений в Solve ParametersPDETool необходимо установить флажок Use nonlinear solver(включен нелинейный решатель) и задать начальное условие.Тогда в выражениях для коэффициентов уравнения, кромепеременных x , y , могут входить также искомая функция u и еепроизводные ux = ∂u

∂x , uy = ∂u∂x .


Пример 4. Нелинейное эллиптическое уравнение в круге

Решить следующее нелинейное эллиптическое уравнение :

−∇ ·

1√1 + |∇u|2

∇u

= 0 (6)

в единичном круге Ω =

(x , y) : x2 + y2 ≤ 1со значениями

u = x2 на границе ∂Ω.


Параболические и гиперболические PDE

Параболические PDE имеют вид

d ∗ ∂u∂t− div(c ∗ grad u) + a ∗ u = f, (7)

Гиперболические PDE имеют вид

d ∗ ∂2u

∂t2− div(c ∗ grad u) + a ∗ u = f, (8)

где d , c , a, f – коэффициенты и правая часть, которые можнозадавать аналитически в виде выражений. В выражениях могутсодержаться переменные x , y , sd , t. Здесь x , y – координатыточки наблюдения, sd – номер зоны, которой принадлежитточка наблюдения, t - время. Для каждой зоны можнозадавать своё выражение для любого коэффициента PDE.PDETool может решать только линейные параболические илигиперболические PDE. Это означает, что в выражениях длякоэффициентов PDE запрещается использовать переменные u,ux , uy . PDETool решает уравнения (7) или (8) для моментоввремени time = 0 : 1 : 10.


Пример 5. Параболическое уравнение

Решить в области Ω = [0, 1]× [0, 1] следующее линейноепараболическое уравнение:

∂u

∂t−4u = f (x , y), x ∈ Ω (9)


u(x , 0) = 0, u(x , 1) = et sin x , x ∈ [0, 1],u(0, y) = 0, u(1, y) = et sin y , y ∈ [0, 1],

(10)

гдеf (x , y) = et · sin(xy) · (1 + x2 + y2).

Полученное решение сравнить с точным решениемu(x , y) = et · sin(xy).


Пример 6. Гиперболическое уравнение

Решить в области Ω = [0, 12 ]× [0, 1

2 ] следующее линейноегиперболическое уравнение:

∂2u

∂t2−4u + (1− x2 − y2)u = 0, x ∈ Ω (11)


u(x , 0) = sin t, u(x , 12) = sin t · cos( x2 ), x ∈ [0, 1

2 ],u(0, y) = sin t, u(1

2 , y) = sin t · cos( y2 ), y ∈ [0, 12 ].

(12)

Полученное решение сравнить с точным решениемu(x , y) = sin t · cos(xy).


Задачи на собственные значения

− div(c ∗ grad u) + a ∗ u = λ ∗ d ∗ u, (13)

При некоторых значениях уравнение (13) не имеетединственного решения относительно скалярного поля u. Такиезначения называются собственными значениямиэллиптического PDE (эллиптической краевой задачи). Решаязадачу на собственные значения, можно исследоватьчисленную устойчивость стационарных и нестационарных PDE(и соответствующих краевых задач).


Краевые условия

Условия Дирихле имеют вид:

h ∗ u = r ,

где h, r – скалярные коэффициенты. Условия Неймана имеютвид:

n ∗ c ∗ gradu + q ∗ u = g ,

где n – вектор единичной внешней нормали к границерасчётной области; c – коэффициент PDE; q и g – скалярныекоэффициенты.Коэффициенты h, r , q, g можно задавать в виде скалярныхполей аналитическими выражениями. В этих выраженияхможно использовать переменные x и y . Если включен режимнелинейного решателя (в случае эллиптического PDE), томожно использовать переменные u, ux , uy .Если r или g = 0, то граничные условия называются нулевыми.Если в задаче на собственные значения заданы ненулевыеграничные условия, то они автоматически заменяются нанулевые.


Пример 7. Задачи на собственные значения

Найти собственные значения оператора Lu = −4u в областиΩ = [0, 1]× [0, 1] при нулевых граничных условий Дирихле.


2. Системы дифференциальных уравнений


Эллиптические системы дифференциальных уравнений

−div (c11 · ∇u1 + c12 · ∇u2) + a11u1 + a12u2 = f1,−div (c21 · ∇u1 + c22 · ∇u2) + a21u1 + a22u2 = f2.

(14)

Систему (14) можно записать в следующем матричном виде:

− div (C · ∇U) + A ·U = F, (15)

где C =

(c11 c12c21 c22

), A =

(a11 a12a21 a22

), U =

(u1u2

),

F =

(f1f2

).

Коэффициенты cij , aij , fi можно задавать в виде скалярныхполей аналитическими выражениями. В этих выраженияхможно использовать переменные x , y , sd . Если включен режимнелинейного решателя, то можно использовать переменные u,ux , uy .


Параболические и гиперболические системы

Параболическая скалярная система уравнений имеетследующий вид:

D · ∂U∂t− div (C · ∇U) + A ·U = F. (16)

Гиперболическая скалярная система уравнений имеетследующий вид:

D · ∂2U∂t2− div (C · ∇U) + A ·U = F, (17)

В компоненты матричных полей D, C, A, F можно задавать ввиде выражений. В этих выражениях можно использоватьпеременные x , y , sd , t.PDETool может решать также следующую адачу насобственные значения системы скалярных эллиптических PDE:

− div (C · ∇U) + A ·U = λD ·U, (18)


Краевые условия

Краевые условия могут быть трех типов:1. Краевые условия Дирихле

h11u1 + h12u2 = r1,h21u1 + h22u2 = r2

(19)

2. Краевые условия Неймана

n((

c11 c12c21 c22

)∇u)

+

(q11 q12q21 q22

)(u1u2

)=

(g1g2

)(20)

3. Смешанные граничные условия (см. справку)


Пример 8. Системы уравнений

Решить систему дифференциальных уравнений в частныхпроизводных второго порядка в единичном круге с нулевымиграничными условиями.

∂2u1

∂2x+

∂2u1

∂2y= −q0,

∂2u2

∂2x+

∂2u2

∂2y= −u1

D.

(21)

Полученное решение сравнить с точным решением задачи

u1(x , y) =q0

4(1− x2 − y2), (22)

u2(x , y) =q0

64D(x2 + y2 − 1)(x2 + y2 − 3). (23)

Положить q0 = D = 1.


3. Уравнение теплопроводности


Общий вид уравнения тепропроводности

ρ ∗ С ∗ ∂T∂t− div(k ∗ gradT) = Q + h ∗ (Text − T ), (24)

где T = T (x , y) – температура вещества в точке (x , y),ρ – плотность вещества,C – удельная теплоемкость вещества,k – теплопроводность вещества,Q – объёмная плотность мощности сторонних источниковтепла.


Общий вид уравнения тепропроводности

h ∗ (Text − T ) - это не объёмно распределённый источниктепла, а составляющая плотности потока тепловой мощностичерез внешнюю границу расчётной области, пропорциональнаяразности температур окружающей среды и границы расчётнойобласти. На самом деле это слагаемое относится к граничнымусловиям, которые в задачах электромагнетизма называются"импедансными". Здесь h – коэффициент конвективного иликондуктивного теплообмена расчётной области с окружающейсредой, Text – температура окружающей среды прибесконечном удалении от расчётной области (здесьпредполагается, что расчётная область окружена бесконечнойоднородной средой без источников тепла), T – температураграницы расчётной области. По умолчанию rho=1, C=1, k=1,Q=1, h=1, Text=0.


Пример 9. Решение уравнения тепропроводности

Решить задачу о стационарном распределении тепла в области


Пример 9. Краевые условия

∂u

∂x

∣∣∣Γ1

= 0, (25)

u∣∣∣Γ2

= 100 (26)

∂u

∂x

∣∣∣Γ3

= 0, (27)

u∣∣∣Γ4

= 100, (28)

u∣∣∣Γ5

= 0. (29)


Пример 10. Решение уравнения тепропроводности

Решить задачу о нестационарном распределении тепла вобласти


Решение уравнения тепропроводности

На внешних границах прямоугольника поддерживаетсяпостоянная единичная температура, а края отверстияподвергаются нагреву, температура изменяется одинаково вовсех точках окружности линейно со временем (u = t). Внутриобласти нет источников тепла, в начальный момент временитемпература равна нулю во всей области.

Date post:	30-Jan-2018
Category:	Documents
Upload:	truongdien
View:	310 times
Download:	0 times

Partial Differential Equation (PDE) Toolbox - kpfu.rukpfu.ru/staff_files/F1879412462/main.pdf ·...

Documents