+ All Categories
Home > Documents > PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS...

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS...

Date post: 05-Aug-2021
Category:
Upload: others
View: 79 times
Download: 10 times
Share this document with a friend
of 216 /216
PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS BAMAT-202 Self Learning Material Directorate of Distance Education SWAMI VIVEKANAND SUBHARTI UNIVERSITY MEERUT-250005 UTTAR PRADESH
Transcript
Page 1: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

BAMAT-202

Self Learning Material

Directorate of Distance Education

SWAMI VIVEKANAND SUBHARTI UNIVERSITY

MEERUT-250005

UTTAR PRADESH

Page 2: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

SIM Module Developed by :

Reviewed by :

Assessed by:Study Material Assessment Committee, as per the SVSU ordinance No. VI (2).

Copyright © Laxmi Publications Pvt Ltd.

No part of this publication which is material protected by this copyright notice may be reproduced or transmitted or utilized or stored in any form or by any means now known or hereinafter invented, electronic, digital or mechanical, including photocopying, scanning, recording or by any information storage or retrieval system, without prior permission from the publisher.

Information contained in this book has been published by Laxmi Publications Pvt Ltd and has been obtained by its authors from sources believed to be reliable and are correct to the best of their knowledge. However, the publisher and its author shall in no event be liable for any errors, omissions or damages arising out of use of this information and specially disclaim and implied warranties or merchantability or fitness for any particular use.

Published by : Laxmi Publications Pvt Ltd., 113, Golden House, Daryaganj, New Delhi-110 002.Tel: 43532500, E-mail: [email protected]

DEM C—Typeset at: Printed at: Edition: 2020

Page 3: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

Self-Instructional Material i

CONTENTS

UNIT I

1. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Introduction ....................................................................................................................................................................... 1

Definition of a Partial Differential Equation .................................................................................................................... 1

Order of a Partial Differential Equation ........................................................................................................................... 2

Linear Partial Differential Equation ................................................................................................................................. 2

Notation ............................................................................................................................................................................. 2

Formation of a Partial Differential Equation ................................................................................................................... 2

Formation of a Partial Differential Equation by Elimination of Arbitrary Constants .................................................... 2

Formation of a Partial Differential Equation by Elimination of Arbitrary Functions .................................................... 7

2. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE FIRST ORDER(Equations Linear in p and q) 13

Introduction ..................................................................................................................................................................... 13

Solution of a Partial Differential Equation ..................................................................................................................... 13

Complete Solution ........................................................................................................................................................... 14

Particular Solution ........................................................................................................................................................... 14

Singular Solution ............................................................................................................................................................. 14

General Solution .............................................................................................................................................................. 15

Lagrange Linear Equation .............................................................................................................................................. 15

Solution of Lagrange Linear Equation ........................................................................................................................... 15

3. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATINS OF THE FIRST ORDER(Equations Non-linear in p and q) 29

Introduction ..................................................................................................................................................................... 29

Special Type I : Equations Containing only p and q ...................................................................................................... 29

Special Type II : Equations of the Form z = px + qy + g(p, q) ...................................................................................... 34

Special Type III : Equations Containing only z, p and q ............................................................................................... 39

Special Type IV : Equations of the Form f1(x, p) = f

2(y, q) ............................................................................................ 44

Use of Transformations ................................................................................................................................................... 49

Charpit’s General Method of Solution ........................................................................................................................... 53

Page 4: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

ii Self-Instructional Material

UNIT II

4. HOMOGENEOUS LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANTCOEFFICIENTS 59

Introduction ..................................................................................................................................................................... 59

Partial Differential Equations of Second and Higher Order .......................................................................................... 59

Homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ........................................................ 60

Some Theorems ............................................................................................................................................................... 61

General Solution of Homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0 with Constant Eoefficients ... 62

General Solution of Homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = F(x, y) withConstant Eoefficients ...................................................................................................................................................... 65

Particular Integral of f(D, D)z = F(x, y) ......................................................................................................................... 66

Particular Integral when F(x, y) is Sum or Difference of Terms of the Form xmy

n...............................................................................................66

Particular Integral when F(x, y) is of the Form f(ax + by) ............................................................................................. 68

General Method of Finding Particular Integral .............................................................................................................. 75

5. NON-HOMOGENEOUS LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITHCONSTANT COEFFICIENTS 81

Introduction ..................................................................................................................................................................... 81

Non-homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ................................................ 82

Reducible and Irreducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ..... 82

General Solution of Reducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0with Constant Coefficients .............................................................................................................................................. 82

General Solution of Irreducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0with Constant Eoefficients .............................................................................................................................................. 85

General Solution of Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation with Constant Eoefficients ................. 88

Particular Integral of f(D, D)z = F(x, y) ......................................................................................................................... 89

Particular Integral when F(x, y) is Sum or Difference of Terms of the Form xmy

n...............................................................................................89

Particular Integral when F(x, y) is of the Form eax+by............................................................................................................................................................................92

Particular Integral when F(x, y) is of the Form sin (ax + by) or cos (ax + by) .............................................................. 93

Particular Integral when F(x, y) is of the Form eax+by V(x, y) ......................................................................................... 96

6. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS REDUCIBLE TO EQUATIONS WITHCONSTANT COEFFICIENTS 99

Introduction ..................................................................................................................................................................... 99

Reducible Linear Partial Differential Equations with Variable Coefficients ................................................................ 99

Solution of Reducible Linear Partial Differential Equations with Variable Coefficients ........................................... 100

Page 5: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

Self-Instructional Material iii

UNIT III

7. MONGE’S METHODS

Introduction ................................................................................................................................................................... 105

Partial Differential Equation of Second Order ............................................................................................................ 105

Intermediate Integral ..................................................................................................................................................... 105

Monge’s Methods .......................................................................................................................................................... 106

Monge’s Method of Solving Rr + Ss + Tt = V ............................................................................................................ 106

Monge’s Method of Solving Rr + Ss + Tt + U(rt – s2) = V ......................................................................................... 115

UNIT IV

8. APPLICATIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 121

Introduction ................................................................................................................................................................... 121

Principle of Superposition ............................................................................................................................................ 122

Method of Separation of Variables (or Product Method) ............................................................................................ 122

Vibrations of a Stretched String, One Dimensional Wave Equation 2 2

22 2y y

ct x

........................................... 131

Solution of the Wave equation ...................................................................................................................................... 132

Transforming Non-homogeneous BCs to Homogeneous Ones ................................................................................... 134

D’Alembert’s Solution of the Wave Equation .............................................................................................................. 136

D’Alembert’s Solution Satisfying Initial Conditions ................................................................................................... 137

Duhamel’s Principle for one Dimensional Wave Equation ......................................................................................... 139

Vibrating membrane—Two-dimensional Wave equation ............................................................................................ 159

Solution of Two-Dimensional Wave Equation ............................................................................................................. 160

One-Dimensional Heat flow 2

22

u uc

t x

................................................................................................................. 167

Solution of the Heat Equation ....................................................................................................................................... 168

Inhomogeneous Boundary Condition ........................................................................................................................... 169

Two-Dimensional Heat flow ......................................................................................................................................... 182

Solution of Laplace’s Equation in Two Dimensions .................................................................................................... 183

Laplace Equation ........................................................................................................................................................... 202

Solutions of Laplace’s Equation ................................................................................................................................... 202

Page 6: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

Course II

Course Name: Partial Differential Equations (PDE) Course Code: BAMAT-202

Course Objectives:

The main objectives of this course are to introduce the students to the exciting world of partial Differential Equations and their applications.

Unit 1: Definition of partial differential equations, order and degree of partial differential equations, Lagrange solution of linear partial differential equations of first order, working rule to find the solution of Lagrange equation Non linear PDE of first order: Charpit’s method

Unit 2: Linear partial differential equation of second and higher order of homogeneous and non homogeneous forms with constant coefficients, solution of a liner partial differential equations with constant coefficients, Determination of C.F. and the P.I

Unit 3: partial differential equation of second order, Second order PDE with variable coefficients. Canonical Forms, Monge’s method. Monge’s method of integrating.

Unit 4: Solution of heat and wave equations in one dimensions by method of separation of variables. Solution of heat and wave equations in two dimensions by method of separation of variables.

Course Learning Outcomes: The course will enable the students to:

1. Formulate Partial Differential Equations for various Mathematical models.

2. Will be able to solve partial differential equation of first and higher order using various techniques.

3. Apply these techniques to solve and analyze various mathematical models.

References:

1. Edwards, C. Henry, Penney, David E., & Calvis, David T. (2015). Differential Equation and Boundary Value Problems: Computing and Modeling (5th ed.). Pearson Education.

2. Ross, Shepley L. (2004). Differential Equations (3rd ed.). John Wiley & Sons. India

Page 7: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

�������������������������

���������

����������

�� ������ ����������� ���������������

������� ����������� ���������������

�������������� ���������������

�������

���������� ����������� ���������������

���������� ����������� ����������������������������� ������������������

���������� ����������� ����������������������������� ����������������

������

�������������������������������������������������������

�������� ������������������������������������������������������������� �������� ��������!��!�������������� ���������������������!�������"#�������� ��������� ����������������������������������������������� ��������� ����������������"����������������������$� �������������������������� ����!�%!������������� ��������� ����������������"

����������������������������������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

�����������������%�����������������������!��!���� ������&�� �� ������ �� ���������������������!������������������������������������� �������

#��� ���� �%����������� ������'�������� ��������� �����������������(

���

zx

zy

z y x 3 5 3tan ( ) ��� xzzx

yzzy

xy

��� ( )y zzx

xyzy

xz2 2

��� xzx

yzy

z xzy

���

���

����

����

3 2 22

���2 3 2 02

2

2 2

2

z

x

zx y

z

y ���x

z

xy

z

yy

zy

xzx

22

22

2

2 0

.

�� ����� ������������������

Page 8: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

#��������� ����������� �������������������� ������������������ ������%����������� ���!��!�� �����%� �� ���� ������� � �������� �������"� ���� ���� ������� �����������������)*+,-�%!������!�$������������ ����� ���� ��������������������������������������� ����������� ���������������� �����"

��� ������ ������ ������ ������ ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

���������� ����������������������������������� ���������������!�����������������������!��!������������������ ������%���������������������������%�����"���������� ���������������� ���������������������������������������� �������� �����������������)*+,-�%!������!������ ���$� ��������'���������������������������������������.�����"

#����������� ����������������zzx

y

5 7 ����������������������� �������

�����������������������������!��������������������������!��!��zx�������������

��%�����"

��������������� ��������������������

� ���/��)�$��-������ ������� �� �������������!���������������������� ��������������� ���� �%���������(

zx

pzy

qz

xr

zx y

sz

yt , , , , .

2

2

2 2

2

���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

#���������� �� ����� � ����%��������� ������������������������%�������%!�������������� ����!�������"�������������� ����!������������������������������������������������ ������"�#������������� �������������������)��� ������-%!������������������� ���������������"

���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������������������������������������ ���������������������������������������� ����� � ����� � ����� � ����� � ����� ������������������������������� ��� ��� ��� ��� ���

����������� ������� �� �������������!������������������ ������

�)�$��$��$��$��-�/�0$ """)*-

����������������������������������"

Page 9: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

�������������������������

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

fx

fz

zx

fy

fz

zy

0 0and

fx

pfz

0 """)1-

���

fy

qfz

0 """)2-

���%������$������������������������� ����)*-$�)1-$�)2-����� ��%��������������� ���� ����)���������-�/�0"

#����������������������������� ����������������"�#������������ ��������������������������"

�������������������� ������������� ������������������������������ ����������������������������������������� �� ������������� ������������������������������� � �������� �������������������� �� �� ����� ����� ������������������������������������������������������� ��

pz y

xq and 1.

�� ��� ��������� �� ���������� � �������� ��� �������� ����� ��������� �� ��������������������������������������� �� ������������� ������������������������� ���������������������������� �� �� ������������������������ ���

�������������

�������� ��� ��� ������� ������������ ��������� �� ���������� �������������������������������������������

)�- ������ ���� )��- ������������

)���- ������� ����� )�!- �����������"

�����)�-�3����!� ��/ )��4��-)��4��- """)*-

��/ ���4����4����4���

� ��������%������������ "�"�"��������$� ��%��

zx�/ �)*-�4�0�4��)*-�4�0 """)1-

���zy�/ �)*-�4��)*-�4�0�4�0 """)2-

)1- ��/zx�+�� )2- ��/�

zy�+��

�����%�����!������� �����������)*-$� ��%��

� z xzy

x yzx

y ���

��� �

�����

�� zzx

.zy

)��- 3����!�� ��/�����4�����4���" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

�������� �zx�/�1���4�0�4�0 """)1- �����������

zy�/�0�4�1���4�0 """)2-

)1- ������� ��/�1�� ��/�px2

��� )2- ��/�1�� ��/�qy2"

Page 10: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����%�����!������� �����������)*-$� ��%��

zpx

xqy

ypx

qy

���

���

���

��� �

��������

���2 2 2 2

2 2 �� zpx qy pq

xy

2 2 4

�� ���������������� ������� �

)���- 3����!�� ��/�)���4��-)���4��-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

������� ��

zx

y b x( )( )2 2 0 """)1- ��� ��

zy

x a y( )( )2 2 0

""")2-

)1- �� ��/�1�)���4��- ���4���/�px2

)2- �� ��/�1�)���4��- ���4���/�qy2

�����%�����!������� ����4����������4�����)*-$� ��%��

zqy

px

2 2

. or pq 4xyz.

)�!- 3����!�� ��/�����������" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

� �

zx

a by bebx( sin ) . """)1-

��� � �

zy

ae b bybx( ) . cos """)2-

)1- ��/ ����������� """)5-

)2- ��/ ����������� """)6-

�!��%�)5-����)6-$� ��%����pq �/�������"

����$ �)5- ��/ �� ��/�pz"

�pq

pz

y ���

���tan � �� p q tan

pyz

����������� ������������������������������������������������������

x

a

y

b

z

c1.

2

2

2

2

2

2

�����3����!�xa

yb

zc

2

2

2

2

2

2 1 " """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

20

20 02 2

2 2xa

zc

zx

c x a zzx

or """)1-

��� 02 2

0 02 2

2 2 y

b

z

c

zy

c y b zzy

or """)2-

Page 11: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

�������������������������

� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��

0 022

���

��� a z

zy x

zy

zx

zz

y xzx

zy

0.2

����������� �����������������������������������������������������������������������#�$������������"

��������� ���������� """)*-

���������������� ��������� ����������������""7��� ������������������������"

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

�)*-�4�0�4��zx�/ 0 """)1- ������ �����0�4��)*-�4��

zy�/�0 """)2-

)1- ��4����/ 0 ��� ��/�+���

)2- �����/ 0 ��� ��%��

���� ���4����4����/ *

)+���-��4�)+���-��4����/�*

�� )���4����4�*-����/ * �� np q

1

12 2)������%���8�0-

l npp

p qm nq

q

p q

2 2 2 21 1,

�����%�����!������� �������������)*-$� ��%��

px

p q

qy

p q

z

p qa

2 2 2 2 2 21 1 1

�� z px qy a p q 1 .2 2 ����������� ������������������������������������������������������&

����������������������%��'"

���������)�����-����������������������������+���/�0"

3������������)�����-$�������������� ������������� �������9��

)��+��-��4�)��+��-��4�)��+��-��/�5: """)*-

)*-�������������� ������ ��������� ����������������������������������"

� ��������%�)*-���������� "�"�"�������$� ��%��

1)��+��-�4�0�4�1)��+��-���/�0 """)1-

��� 0�4�1)��+��-�4�1)��+��-���/�0 """)2-

)1- ��+���/�+�)��+��-� ��� )2- ��+���/�+�)��+��-�

)*- )��+��-����4�)��+��-����4�)��+��-��/�5:

�)���4����4�*-�)��+��-��/�5: """)5-

)1-�+�)2- 1)��+��-�/�+�1)��+��-�)�%�- z bx yp q

)5- ( )p qx yp q

2 22

1 49

���

���

�� � ����� �����! ��"��!�����# ��"� !��

Page 12: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����������(�����������������������������������������������!������!������������������������"

�����#������������ ����� ������ ����������������%������������������4�����4�����4�1����4�1���4�1����/ 0 """)*-

�������������������������������������"

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

1���4�0�4�1����4�1����4�1)�"*�4���-�4�1���/ 0 """)1-

��� 0�4�1���4�1����4�1�)���4��"*-�4�1���4�1���/ 0 """)2-

)1- ���������)�������-�/ 0 """)5-

)2- ���4����4����4��)���4�����-�/ 0 """)6-

;�������%�)5-����������)6-��������������%$� ��%��

����4����4�����4�����4�����4�����4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0

�� ����4�����4�����4����4�1����4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0

<��%�)*-$� ��%�� +�)����4�����4���-�4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0

)���4����4��-�)+���4����4���-�/�0 ����� ������

$%&'()*�&+,���-%&��%,.()*�/&%0,�1�

&����(� ������%!������������!��!�%�!�����������������������������$������������ �� � ������������������� "�"�"� ����������� !�������� ������������ ��������� ���� ��������� ��� %��� ���� ����������%�������� ���������������"

&����((� � � ���� ������� � � ��������� ��������� �� ����� ����� ���� ������� � �����������!�������$�������������������� ��������������������������������%!������������������������ ����������������� ����������"

&����(((� � � ���� ������� � � ��������� ��������� �� ������ ��� ���� ������� � �����������!�������$�������������������� ������������������������%!�������������� ����������������� ����������"

&����(.� � � ������������ ������������������� ��%������� ����� ������������ �����������!�������$�������������������� ������������������������%!������������ ����������������� ���������������%���������������"

�� �����

� ����������� ������������� ������ ������ ���������������������� � �������� �� �� ���� �� ����������� ������� � !"�#

���������������� � ��������� !�"��#�����$ ���������������� % �����������������

& 22

2

2

2z

x

a

y

b ' z axe a e by y 1

22 2

( z xy y x a b 2 2 ) ������������������!

* ������������������� ! ������������������ � ������������������������������ �������������������������� ���������� �

� ��"��#���� ��"��#������������ ����������������������������������� �� ����������������������������������������

Page 13: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� ��������������

�����

�������������������������

$ ������������������������������ ��� ����������������� ����������������������������������������������������$������

% ��������������������������� �� ���������������� ��������������� ���$�����

2�34��3

zx

zy

. 1 �

zx

zy

1 $ z xzx

yzy

zx

zy

.

%

zy

yzx

���

���

22

& 2z xzx

yzy

'

zy

xzx

zx

���

���2

(

zx

zy

xzx

yzy

)

zx

zy

zz

x y

20 * x

zx

yzy

z

2

!

2

2

2

2

20 0

z

x

z

yz x

zx

yzy

xyz

x y , , z

zx

zy

k22 2

21

���

���

���

���

���

���

zx

zy

0 $ zzx

zy

k22 2

21

���

���

���

���

���

��� % x

zy

yzx

0 .

���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������������������������������������ ���������������������������������������� ����� � ����� � ����� � ����� � ����� ���������������������������������������������������

����������!��������������� �������� �������!����������������������)��!-�/�0 """)*-

��� ��� ��������� �������� ��� ������ ���� !"�=�%����%� �� ��� �� ������ � ��� �� ���� ��������%�)*-���������� "�"�"��$� ��%��

fu

ux

uz

zx

fv

vx

vz

zx

���

��� �

����� 0

fu

ux

puz

fv

vx

pvz

���

��� �

����� 0

��

fu

fv

vx

pvz

ux

puz

���

��� �

����� """)1-

>������$�� ��������%�)*-���������� "�"�"��$� ��%��

fu

fv

vy

qvz

uy

quz

���

��� �

����� """)2-

�������%������%�)1-�����)2-$� ��%��

���

��� �

����� �

����� �

�����

vx

pvz

ux

puz

vy

qvz

uy

quz

vx

pvz

uy

quz

vy

qvz

ux

puz

���

��� ���

���

���

��� ���

���

uy

vz

uz

vy

puz

vx

ux

vz

qux

vy

uy

vx

���

��� �

�����

����4�?��/�=$

���� P Q

uy

vz

uz

vy

uz

vx

ux

vz

, ��� R

ux

vy

uy

vx

.

#������������������������� ���������������"�#���������� ������������������"�������%�������� �������������������� ����� ���� �� �����&������ ����������� �������

Page 14: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

� ��������� �������������

�����

������������������������������� �������������

����������� ��������������������������������������������������������������������������������������

�# ��������������� ��# ������������������������������ ���# � �����������"���#���' ��# ������������������������������

�����)�-�3����!����/��)���4�1��-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

zx

p f x yx

x y x f x y ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2

���

zy

q f x yy

x y y f x y ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 4 2

�!��%� ��%���pq

xy

2

or 2py qx 0.

)��- 3����!���)���4����4���-�/���������" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"���������� ��%��

� ���

��� f x y z x z

zx

a czx

( ) . .2 2 2 2 0 2 1 0

""")1-

��� � ���

��� f x y z y z

zy

b czy

( ) . .2 2 2 0 2 2 0 1

""")2-

)1- 2 2 2 2 f x y z x pz a cp( ) . ( ) """)5-

)2- 2 2 2 2 f x y z y qz b cq( ) . ( ) """)6-

�!��%�)5-����)6-$� ��%��

�x pzy qz

a cpb cq

x pz b cq y qz a cp

or ( ) ( ) ( ) ( )

�� �������������������������������

�� 5��"�6�!���� 6��"���! ������"�5��

)���- 3����!�� �)���4���$���+���-�/�0" """)*-

��� ��/����4���� ���� !�/���+���"

)*- �)�$�!-�/�0 """)1-

� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��

fu

ux

fv

vx

vz

zx

���

��� 0

fu

xfv

y p. ( . )2 1 0

2 0xfu

p yfv

( ) """)2-

� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��

fu

uy

fv

vy

vz

zy

���

��� 0

��

fu

yfv

x q. ( . )2 1 0

Page 15: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

������������������������� 2 0y

fu

q xfv

( ) """)5-

�������%�

fu

fv

and � ����)2-�����)5-$� ��%���22

0x p yy q x

*

1�)��+��-�+�1�)��+��-�/�0 �� � �"���������"����

)�!- 3����!����)���4����4���$����+�1��-�/�0" """)*-

��� ��/����4����4��� ��� !�/����+�1��"

)*- �)��!-�/�0 """)1-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��$� ��%��

fu

ux

uz

pfv

vx

vz

p���

��� �

����� 0

fu

x zpfv

y zp( ) ( )2 2 2 2 0

( ) ( )x zpfu

zp yfv

0 """)2-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��$� ��%��

�� �

fu

uy

uz

qfv

vy

vz

q���

���

���

��� 0

fu

y zqfv

x zq( ) ( )2 2 2 2 0

( ) ( )y zqfu

zq xfv

0 """)5-

�������%�

fu

fv

and � ����)2-�����)5-$� ��%���x zp zp y

y zq zq x

0.

)��4���-)���+��-�+�)��4���-)���+��-�/�0

���+����4������+�����+�����4����+������4�����/�0

�)��4��-���+�)��4��-���/����+��� � ��"� !�����"���

�������� 7�� ��� ������� ������������ ��������� �� ���������� ��������������������������������������������

)�- ���)�-�4��)�- )��- ��/�����%� ������

)���- ����� ��� )�!- �������� ������ �����"�����)�-�3����!������)�-�4��)�-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

zx

y y x ( ) . ( )1 """)1- ���

zy

x y x ( ) ( ) . 1 �""")2-

� ��������%�)1-� "�"�"��$� ��%��

2

1z

y xy x ( ) ( ) . """)5-

(+��������������������������'���������������'�������xy

ba

xy

dc

and .

)����������������������� ba

dc

� ad bca b

c d 0 0or .

Page 16: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

2 1 1zy x x

zy

xy

zx

y ���

��� �

�����( ) ( ) )<��%�)1-�����)2--

xyz

y xx

zx

yzy

x y y x

2

( ( ) ( ))

xyz

y xx

zx

yzy

z2

"

)��- 3����!�� ��/��)���+��-�4�)���4��-" """)*-

� ��������%���������� "�"�"��������$� ��%��

p f x yx

x y g x yx

x y ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

""")1-

��� �q f x yy

x y g x yy

x y ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

""")2-

)1- ��/�1�� )���+��-�4�1�)���4��- """)5-

)2- ��/�+�� )���+��-�4�*�")���4��- """)6-

� ��������%�)5-� "�"�"��$� ��%��

��/�1�� )���+��-�"�1��4�1"*�� )���+��-�4�1�)���4��-�"�1��4�1"*�)���4��-

�� ��/�5���)� )���+��-�4�)���4��--�4�1�)� )���+��-�4�)���4��-- """),-

� ��������%�)6-� "�"�"��$� ��%��

��/�+�� )���+��-�"�)+�*-�4�)���4��-�"�*

�� ��/�� )���+��-�4�)���4��- """)9-

),- � r x tpx

���

���4 2

22 )<��%�)5-�����)9--

xz

x4x

zy

zx

.2

23

2

2

)���- 3����!�� ��/��)�-�4�)�-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

��*�/�� )�-���4�0 ����������""")1-������ �0�/��)�-���4�)�- """)2-

� ��������%�)1-�����)2-� "�"�"��$� ��%��

��0�/�� )�-��"��4�� )�-�� """)5- ��� �0�/��)�-��"��4��)�-���4�0 """)6-

)5- � )�-����/�+��)�-��)6- � )�-����/�+��)�-��

�!��%$� ��%���pq

rs

or ps qr 0.

)�!- 3����!��� ��/��)��4���-�4�)��4���-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

��/��)��4���-�"���4�)��4���-�"�� """)1-

��� ��/��)��4���-�"�*�4�)��4���-�"�* """)2-

� ��������%�)1-���������� "�"�"��������$� ��%��

��/��)��4���-����4�)��4���-��� """)5-

��� ��/��)��4���-���"�*�4�)��4���-���"�* """)6-

Page 17: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

�������������������������

� ��������%�)2-� "�"�"��$� ��%����/��)��4���-�"�*�4�)��4���-�"�* """),-

)5- ����)��4���-�4����)��4���-�+���/�0)6- ���)��4���-�4���)��4���-�+���/�0

),- �)��4���-�4�)��4���-�+���/�0�������%��)��4���-�����)��4���-� ������������������������$� ��%��

a b ra b s

t

2 2

1 10

�)��+��-���+�)���+���-���4�)����+����-���/�0 ��"� ����5!3����5����8���������9��)�����������������������!�������*����������� �����������

fx xz z

,y yz z

0.0

0

0

0

���

���

��������������������������"

�����3����!� fx xz z

y yz z

���

���

0

0

0

00, " """)*-

��� ux xz z

vy yz z

0

0

0

0and .

)*- �)��!-�/�0 """)1-� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��

�����������

fu z z

x xz z

zx

fv

y yz z

zx

1 00

0

0

02

0

02

���

���

���

��� ( ) ( )

fu z z

px x

z zfv

py y

z z1

00 0

20

2

���

���

���

���

0 0

( ) ( ) """)2-

� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��

�������������

fu

x x

z zzy

fv z z

y y

z zzy

���

���

���

���

0 0

( ) ( )02

0 02

1 00

fu

qx x

z z

fv z z

qy y

z z

���

���

���

���

0 0

( ) ( )02

0 02

10 """)5-

�������%�

fu

fv

and � ����)2-�����)5-$� ��%��

1

1 00 02

02

02

0 02

z zp

x x

z zp

y y

z z

qx x

z z z zq

y y

z z

0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

�z z p x x p y y

q x x z z q y y

0

00

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

��[ ( )] [ ( )] ( ) ( )z z p x x z z q y y pq x x y y 0 0 00 0 0 0

�� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z p x x z z z z q y y 02

0 0 00 0

� ��"���!��� ��"���!�����"����

Page 18: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� $%&'()*�&+,���-%&��%,.()*�/&%0,�1�

&����(� ������%!������������!��!�%�!��������������������� ������$������������ �� � ������������������� "�"�"� ����������� !�������� ������������ ������� ���� ��������� ��� %��� ���� ����������%�������� ���������������"

&����((� � � ���� ������� � � ��������� ������� �� ����� ����� ���� ������� � �����������!�������$�������������������� ���������� ������������%!������������ ����������������� ����������"

&����(((� � � ���� ������� � � ��������� ������� �� ������ ��� ���� ������� � �����������!�������$�������������������� ���������� ������������%!������������ ����������������� ���������������%���������������"

�� ������

�������������������������������� ��������������������������������� ����� ������� �,� ����������� ���#

����� �����# � ����� ���"���#

$ � ������������#������������ % ������������� ��#

& ���������� �������# ' ����� ��&�#

( � ���������#������ ) ���� �����#�� ���"���#

* ����� �#������� �# ! ����� ��#���� �����#

����� ��#���� �&�# � � �������������������"���#���'

$ ����� ��� ������������"���#���� ��� ����������������#�

2�34��3

����� � ����������' $ ��"��#����� ��"��#����������

% ������������"�� & ���"���������"��� ' ����������'

( � ��"��#����� ��"��#����� ��"��# ) �����������

* ��������' ! � ��"��#���"� ���"���#������ ��"��#���� ��"��#� �����#���' ����"����������"������' � � �����#�"� �����#������"��

$

2

2

2

2 2

2

21z

x

z

y a

z

t .

:���

� ��������������������������"��� � ���#���'

� "� "�"�"��$� ��%���

fu

ux

uz

zx

fv

vx

vz

zx

���

��� �

����� 0

fu

pfv

x zp( . ) ( )1 1 2 2 0

>������$

fu

qfv

y zq( . ) ( )1 1 2 2 0

�������%

fu

fv

, $� ��%�� 1 2 21 2 2

0 p x zp

q y zq"

Page 19: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

�������������������������������������������������������

������������������$� ���������������������� � ����%��������� ����������������"#�����'���������������!���������� ����������������"�>��!�%����������� ������������������������ ����� ������ ������� �������%!����������� ���������������"�� ���������� ��%����������� �����������������������������������)���������-"���������������������$� ���������� ���������!������������������� ��������� ����������������� � ���������������������������������������������"

������������������������������������������������������������ �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

��3��������� ����������� ������������������������������� ��������!���������������� � � ��� ���� ������� ���!��!��� ���� ���!��� ������ ���� ���� %!��� ������� ���������������������� ��"

����������� ����������� ���������������� ���������������� ����;����� � ����������"

�����������'��� ��������� ������������������ � ���������$����������� ���������� ���������"�#���������(

)�- ���������������� )��- ����������������

)���- >�%������������ )�!- @��������������"

�� ����� ���������������������������������� ��

������������������������� ��!

���������

����������

>�������� ����������� ���������������

���������>������

���������>������

>�%�����>������

@�������>������

��%���%���������������

>�������� ���%���%���������������

Page 20: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� ����������������������������������������������������������������������

����������� ������� �� �������������!������������������ �������)�$��$��$��$��-�/�0 """)*-

����������������������������������"� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��

fx

pfz

0 """)1- ���

fy

qfz

0 """)2-

�������%� � � ���� �� � ���� � )*-$� )1-� ���� )2-$� ��%��� ��� �������� � � ���� ���)���������-�/ 0"�#��������������� ����������������� � ���������"

���)*-$������������� ���������������������� �� �������������������������� ������������!����������)���������-�/�0"

#��� ������ �)�� �� �� �� �-� /� 0� �� ������ � ���� � 6�������� � 3�������� � � � � �����������)�� �� �� �� �-� /� 0"

�����'��������/�)��4��-)��4��-���������������������� ����������������/��"

� �� �� �� �� ����� ��������� ��������� ��������� ��������� ������������������������������

���������������������%!�%���������������!����������������������������������������������������� ����������� ����������������� � �������������������������6����3��������� ��������������������"

�����'��������/�)��4�*-)��4�5-����������������������� �����������������"

������ ����������� ����������� ����������� ����������� ������������������������������

������)���������-�/�0��������������������������� ����������� ���������������)���������- / 0"�#�������������� �����$���������������������������%�������������

�������������������� ����������������� f x y z a bfa

fb

( , , , , ) , , 0 0 0

������������

3��;�����3��������� �������������)���������-�/�0$����!���������� ��������������"#��� �������� ����������� ���� ��!������ � � ���� ��� ���� ��������������� ���� ���������������� �����%!����������� ���������������"�#�����%������������������������������������������������������������� ������������"

���� �'�����$� �� /���� 4���� +� )��� 4���-� �� ���� �������� �������� � � ����������� ������������������/����4����+�)���4���-"

���� �)���������-�/���+����+����4����4���"

fa

x afb

y b 2 2,

�������%��������� ����������������$

��+����+����4����4����/�0$ +���4�1��/�0$� %��4�1��/�0$� ��%���� zx y 2 2

4.

#������������ ������%!����������"

zx y 2 2

4���������%�������������� ���������������/����4����+�)���4���-"

Page 21: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

��� �������� �������� �������� �������� ������������������������������

�����)���������-�/�0������������������������������ �������������� ���������������)���������-�/�0"�������/�)�-"

�)��������)�--�/�0��������.���������� ������ �������� ����� �)���������-/�0"�#�������������� �����$���������������������������%�����������������������

��� ���� ���� ��������� f x y z a afa

( , , , , ( ))

0 0and � �� ������ ���� ;������

3��������� �������������)���������-�/�0$����!���������� ��������������"�#���������� ����������� ���� ��!������ � � ���� ��� ���� ������������ ��� ���� ��������)���������)�--�/�0"

� ���/�)�-$� �������������������� �����$�������������������� ������ ���

������������� f x y z a afa

( , , , , ( )) ,

0 0and ��������������"�#��������%��������������

� � ���� �������� )�� �� �� �� �-� /� 0� �� ������ ��� ���� ���� � � ��������

f x y z a afa

( , , , , ( )) ,

0 0 $� ��������������������� �����"

3��&�� ������ �������!��������������� �������� ����������

�)�$�!-�/�0 """)*-

��������������� ������� �������!$����� ���4�?��/�= """)1-

���� P Q R

uy

vz

uz

vy

uz

vx

ux

vz

ux

vy

uy

vx

, , .

)1-������������� ����������������� � ���������"

#���� �)�$�!-�/�0� ������������� � ���������������4�?��/�="�>��� �)��!-�/�0������������������� ������A�7$���������%���������������� �������������)1-"

� � � � � �� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ �������� ��������������������

3��&�� ���������������� ����������������� � �����������!��!������������ �������������������!��!���� ���������������!�������)�-� "�"�"����������������!�������)�������-"�#���������������� � �����������!��!���������������������������!��!��� ����� �����������!��!����������"

�����������$����������� ����������������� � ������������������������������������������������ ����� �������4�?��/�=� ������$�?$�=����� �������� ������"�#�������� ����������� ��������������������������,�;���;���������� �������

�����'������5���4�,����/����4����4������������%���%���������������"

������������������������� ���������� ���������� ���������� ���������� �� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ �������� ��������������������

��� ���4�?��/�= """)*-

�������%���%���������������� ������$�?$�=����� �������� ���������������!�����������������������!���������������"�#����������� ���������

dx dy dzP Q R

""")1-

������������,�;���;��3�3����� ���������� ����������������� ���������������)*-"

Page 22: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������/��������!�/�������� ����������������������� ��������������)1-"

�����)��!-�/�0$���������������� ������� �������!" """)2-

� ��������%�)2-���������� "�"�"��������$� ��%��

fu

ux

uz

pfv

vx

vz

p���

��� �

�����+ = 0

���

fu

uy

uz

qfv

vy

vz

q���

���

���

���+ = 0

�������%�

fu

fv

and $� ��%����

ux

puz

vx

pvz

uy

quz

vy

qvz

0

ux

puz

vy

qvz

vx

pvz

uy

quz

���

��� ���

��� �

����� ���

��� 0

uz

vy

uy

vz

pux

vz

uz

vx

qux

vy

uy

vx

���

��� �

����� 0

uy

vz

uz

vy

puz

vx

ux

vz

qux

vy

uy

vx

���

��� �

����� """)5-

)2-�������������� �������������)5-"

#�&�%�� ���������� ���/��������!�/���$� ��%��

ux

dxuy

dyuz

dz 0 """)6-

���

vx

dxvy

dyvz

dz 0 """),-

>���������!���������������� ������$� ����!�

dxuy

vz

uz

vy

dyuz

vx

ux

vz

dzux

vy

uy

vx

""")9-

<��%�)1-�����)9-$� ����!�

uy

vz

uz

vy

uz

vx

ux

vz

ux

vy

uy

vx

P Q Rsay( )

uy

vz

uz

vy

uz

vx

ux

vz

ux

vy

uy

vx

P Q R, , .

�����%�������!��������)5-$� ��%������4�?��/�= �� ���4�?��/�=$

���������%!����������� ���������������"

� ���/��������!�/��������� ����������������������� ������������� �� �������

��������� dx dy dzP Q R

$������������������� �������)�$�!-�� �������!��������������

������%���%�� �����������������4�?��/�="�#����������� �)�$�!-�/�0� �� ����%��������������� ����������������4�?��/�="������������$� ����������������������������$��������������/��!�4������������������������ ����������������4�?��/�="

Page 23: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

����������������������������������������

�������%���*�������������� �� �������������������������� ���dx dy dzP Q R

� � �

������������������������������ ��+����,����-������� �.� ������������-�������������� �������� �� �����������������-������������� ��� ����������� ��+����,����-�

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/����=����&

�����(� ������ ������ ��������$�?�����="

�����((� ����������������(� dx dy dzP Q R

"

�����(((� ������ ��������������������������/���������!�/������ �����������%!�����3����((�

�����(.� 3�����)�$�!-�/�0���������������%���������������� �����%!����������"

<����(�������������$� ���������������������������� ����������������4�?��/�=

��� ���������������� �� �� ������� �������'�������������� dx dy dzP Q R

�%!�����

��������������!�������� ������ ��������������!��!��"�# ���������������������� �������'���������������������������������������"

�������������

����������� ���������������������������������+���������������������)�- ,��-��. )��- ��������������

)���-y zx

p xzq y2

2 )�!- ����

)!- ����,�� �%������"�����)�-�3����!����1��4�6��/�*"

B��� �� ���/�1$�?�/�6$�=�/�*

��'������������������� dx dy dzP Q R

�"

�"�"� dx dy dz2 5 1

""")*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%����6���+�1���/�0 """)1-

����%����%�)1-$� ��%�� ��6��+�1��/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-$� ��%�� ����+�6���/�0 """)5-

����%����%�)5-$� ����!� ��+�6��/��� """)6-

�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>���"���!��8>� ���������������������� �����"

)��- 3����!�� ����4�����/�������"

B��� ��/ ��$�?�/���$�=�/�������"

��'������������������dx dy dzP Q R

"

�"�"�dx

y

dy

x

dz

x y z2 2 2 2 2 """)*-

Page 24: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��

�� �����+������/�0����2�����+�2�����/�0 """)1-

����%����%�)1-$� ��%��� ���+����/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-$� ��%���2�����+�2������/�0 """)5-

����%����%�)5-$� ��%��� ���4�2����/��� """)6-

�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>����������!��8$� ���������������������� �����"

)���- 3����!� �y zx

p xzq y2

2 "

B��� P Q R y zx

xz y2

2, ,

��'������������������� dx dy dzP Q R

"

�"�"� � xdx

y z

dyxz

dz

y2 2 """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��

�����/����� �� 2�����+�2�����/�0 """)1-

����%����%�)1-$� ����!������+����/��� """)2-

#�&�%����� ������������� �������� �)*-$� ��%��

������� �� 1����+�1����/�0 """)5-

����%����%�)5-$� ����!�� ���+����/��� """)6-

�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>����"���!��8>� ���������������������� �����"

)�!- 3����!�����/��" �����4�0"��/��

B��� ��/��$�?�/�0$�=�/��"

��'������������������� dx dy dzP Q R

�"

�"�"� dxz

dy dzx

0

""")*-

>����� ������� �)*-����������/�0

��/��� """)1-

#�&�%����� ������������� �������� �)*-$� ��%��

����/���� �� 1����+�1����/�0 """)2-

����%����%�)2-$� ����!�� ���+����/��� """)5-

�����)1-�����)5-$�����%���������������� �����%!������������� �>����"���!���8> ���������������������� �����"

)!-�3����!�� )���4�1��-���+�����/���"

B��� ��/����4�1��$ ?�/�+���$�=�/���"

��'������������������dx dy dzP Q R

"

�"�"� dx

x y

dyxy

dzxz2 22

""")*-

Page 25: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��� dx

x y

dyxy2 22

.

�dxdy

x yxy

2 22 2

24

2

xdxdy

xy

y

22

42xdxdy

xy

y���

��� """)1-

��� ��/���"

)1- dzdy

zy

y���

���

24

#�������������� ����������������� ����������"

�� I.F. �e e yy

dyy

22 2log

zy y y dy2 214 � ( ) C �� �����4����/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-$� ��%��� dyy

dzz

0 """)5-

����%����%�)5-$� ��%��� ��%���4���%���/���%����������/��� """)6-

�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������� ���������>���!���8> ���������������������� �����"

<����((�������������$� ���������������������������� ����������������4�?��/�=

��� ���������������� �� �� ������� �������'�������������� dx dy dzP Q R

�%!�����

��������������!�������� ������ ��������������!��!��"���������������������������� �������'���������������� �����������%����� �����������"

����������� ���������������������������������+���������������������

)�- ��,��-�������%,� )��- �������������%��

)���- �������� �%�������� ���� )�!- ���%� �������� �"

�����)�-�3����!� ��4�1��/�6��4�����)��+�1�-"

��'����������������� dx dy dzz y x1 2 5 2

tan ( )

" """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��

���+�1���/�0 """)1-

����%����%�)1-$� ����!�� ��+�1��/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-��������%�)2-$� ����!�

��dy dz

z2 50

tan C1""")5-

����%����%�)5-$� ����!��12

15

5 1 2y z log| tan |C C

�� � 6��+�1���%�C�6��4�����)��+�1�-�C�/�*0�� """)6-

�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������

��"���>����"�����;�?���������� ��"���!�?!���8>

���������������������� �����"

Page 26: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)��- 3����!�� ���4����/������)���+���-"

��'�����������������dxy

dyx

dz

xyz x y

2 2 2( )" """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%�� 1����+�1����/�0 """)1-

����%����%�)1-$� ����!�� ���+����/��� """)2-

#�&�%����������� �� ��������� �)*-��������%�)2-$� ����!�� ydydz

z

C12

0

""")5-

����%����%�)5-$� ����!���� y z2

1

1

221

1

���

���

CC

y

z x y

2

2 2 221

( )

C """)6-

�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������

f x y ,y2

1z(x y )

02 22

2 2

���

��� $� ���������������������� �����"

)���- 3����!�� ��)���4���-���+���)���4���-���/���"

��'�������������������dx

xz z xy

dy

yz z xy

dz

x( ) ( )2 2 4

" """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��� dxx

dyy

0 """)1-

����%����%�)1-$� ����!�� ��%���4���%���/���%�����������/��� """)2-

#�&�%����� ������������� �������� �)*-��������%�)2-$� ��%���dx

z z

dz

x( )21

3

C

�� �����+�)���4����-����/�0 """)5-

����%����%�)5-$� ����!��� ��� x z z4 41

2

24 4 2

���

���

CC

�� ���+����+�1�����/�5�� """)6-

����� )2-����� )6-$� ����%������� ��������� � ����%!����������� �� ��>���� "���

"������!���8>� ���������������������� �����"

)�!- 3����!�� �)��+��-�/����4�)��4��-�"

���+����/����4�)��4��-�"

��'������������������ dxz

dyz

dz

z x y

2 2( )

" """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ����!�����4����/�0 """)1-

����%����%$� ����!�� ��4���/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-��������%�)2-$� ����!��dyzdz

z

212

0C

""")5-����%����%�)5-$� ��%��

y z 12

212

2log| |C C �� y z x y 12

2 22log ( ( ) ) C """)6-

Page 27: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

������)2-������)6-$�������%������������������ �������%!��������������

f x + y, y12

log z (x y) 02 2 ���

��� � $

���������������������� �����"

<����(((�������������$� ���������������������������� ����������������4�?�/�=�������%����� �������(

��dx dy dz dx dy dzP Q R

P Q RP P Q Q R R1 1 1

1 1 1 ,

�������$�?�$�=����������� �������� ����������"�� � ������������� ���$�?�$�=�$������������4�?�?�4�=�=���D���$������ ����!�������4�?����4�=����/�0"�3�����%�������������������%���������������� �������'�������������"���$�?�$�=����������������������3�E�����%�� ����������� ��������������������%�� �� �������� �������'�������������$ �� ������������������������������� �������'�������������"

����������� ���������������������������������+���������������������

)�- ����%�� ������%�� ������%�� )��- ������ �%������ ������%��

)���- ������ �%�������' )�!- �/�%0� ���/�%,� ��,�%0�"

�����)�-�3����!���)���+���-���4��)���+���-���/��)���+���-"

��'������������������dx

x y z

dy

y z x

dz

z x y( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

""")*-

#�&�%� 1 1 1x y z

, , �������������$����� ������� �)*-

/

1 1 1 1 1 1

02 2 2 2 2 2x

dxy

dyz

dz

y z z x x yx

dxy

dyz

dz

( ) ( ) ( )

1 1 10

xdx

ydy

zdz

����%����%$� ��%�����%�C�C�4���%�C�C�4���%�C�C�/���%���

�� ��� C���C�/��� �� ����/��� """)1-

#�&�%�������������������$����� ������� �)*-

/�xdx ydy zdz

x y z y z x z x y

xdx ydy zdz

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0( ) ( ) ( )

����4�����4�����/�0 �� 1����4�1����4�1����/�0

����%����%$� ��%�� ���4����4����/��� """)2-

�����)1-�����)2-$�����%���������������� �����%!������������� ���>�������������!��8>� ���������������������� �����"

)��- 3����!�� �)���4��-���+��)���4��-���/��)���+���-"

��'������������������dx

x y zdy

y x zdz

z x y( ) ( ) ( )2 2 2 2

""")*-

#�&�%����$�+�*�������������$����� ������� �)*-

/�xdx ydy dz

x y z y x z z x y

xdx ydy dz

( )

( ) ( ) ( )

102 2 2 2 2 2

Page 28: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

���1����4�1����+�1���/�0

����%����%$� ��%�� ���4����+�1��/��� """)1-

#�&�%� 1 1 1x y z

, , ������������$����� ������� �)*-

/�

1 1 1 1 1 1

02 2 2 2x

dxy

dyz

dz

y z x z x yx

dxy

dyz

dz

1 1 10

xdx

ydy

zdz

����%����%$� ��%�����%�C�C�4���%�C�C�4���%�C�C�/���%���

�� C���C�/��� �� ����/��� """)2-

����� )1-� ���� )2-$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� � ��������"���>����!���8>� ���������������������� �����"

)���- 3����!�� ��)���4���-���+�����/�+���"

��'�������������������dx

y z

dyxy

dzxz2 2

""")*-

#�&�%����������� �� �������� �)*-$� ��%���dyy

dzz

0

����%����%$� ����!����%�C�C�+���%�C�C�/���%���

�� �yz

yz

C or C1 1 """)1-

#�&�%�������������������$����� ������� �)*-

/�xdx ydy zdz

xy xz xy xz

xdx ydy zdz

2 2 2 2 0

��1����4�1����4�1����/�0

����%����%$� ����!�����4����4����/��� """)2-

�����)1-�����)2-$�����%���������������� �����%!������������� �@�>�������������!��8>� ���������������������� �����"

)�!- 3����!�� �)5��+�2�-���4�)5��+�1�-���/�1��+�2�"

��'������������������� dxy z

dyx z

dzy x4 3 4 2 2 3

""")*-

#�&�%�������������������$����� ������� �)*-

/�adx bdy cdz

a y z b x z c y x

( ) ( ) ( )4 3 4 2 2 3��� �)5��+�2�-�4��)5��+�1�-�4��)1��+�2�-�/�0 """)1-

)1- )5�+�2�-���4�)5��4�1�-��4�)+�2��+�1�-���/�0

��� �5��+�2��/�0$�5��4�1��/�0$�+�2��+�1��/�0

��(���/�2�(�5$���(���/�*�(�+�1$�����(���/�+�1�(�2

��(���(���/�+�1�(�2�(�5

)1-�������� �����/�+�1$���/�2$���/�5

Page 29: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

���� ������� �)*-

/�

2 3 4

2 4 3 3 4 2 4 2 32 3 4

0dx dy dz

y z x z y xdx dy dz

( ) ( ) ( )

��+�1���4�2���4�5���/�0

����%����%$� ����!��+�1��4�2��4�5��/��� """)2-

����$�)1- 5)���4���-�+�2)���4���-�4�1)���+���-�/�0

��� ���4����/�0$����4����/�0$����+����/�0

��(���/�+���(��$���(���/�+���(��$�����(���/���(��

��(���(���/�+���(���(��

)1-�������� �����/�+��$���/��$���/��"

���� ������� �)*-

/�

xdx ydy zdz

x y z y x z z y xxdx ydy zdz

( ) ( ) ( )4 3 4 2 2 3 0

+�1����4�1����4�1����/�0

����%����%$� ��%���+����4����4����/��� """)5-

�����)2-�����)5-$�����%���������������� �����%!������������

"�������������>�"�������������!���8$

���������������������� �����"

<����(.�������������$� ���������������������������� ����������������4�?��/=�������%����� �������(

dx dy dz dx dy dzP Q R

P Q RP P Q Q R R1 1 1

1 1 1 ,

�������$�?�$�=�������������� ��������� ����������"�� � ������������� ���$�?�$�=�$��������������4�?����4�=�������'���� ��������� ��� ������ �����4�?�?�4�=�=$���������

��������P Q RP P Q Q R R1 1 1

1 1 1dx dy dz

����������� ������������� ������� ���'�������������

���%���������������� �������'�������������"�E�����%�� ����������� �������������������%�� �� �������� �������'�������������$� �� ������������������������������ �������'�������������"

����������� ���������������������������������+���������������������

)�- ���%�� �����%�� ����%��

)��- ���� ������ �����

)���- �������� ��������� ���4�1z

)�!- ��������� ����������� ����������"�����)�-�3����!����)���+���-���4�)���+���-���/����+���"

��'������������������ ��dx

x yz

dy

y zx

dz

z xy2 2 2

""")*-

#�&�%�*$�*$�*�����������������������$����� ������� �)*-

/�1 1 1

2 2 2 3 3 3

. . .dx dy dz

x yz y zx z xy

xdx ydy zdz

x xyz y xyz z xyz

Page 30: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� � dx dy dz

x y z yz zx xy

xdx ydy zdz

x y z x y z yz zx xy

2 2 2 2 2 2( )( )

( ) ( ) ( )x y z d x y z xdx ydy zdz 12

2 2 2

� ( ) ( ) ( )x y z d x y z d x y z 12

02 2 2

����%����%$� ��%���12

12

2 2 2 21( ) ( )x y z x y z C

�� ���������/��� """)1-

#�&�%�*$�+�*$�0�����0$�*$�+�*�������������$����� ������� �)*-

/��dx dy

x yz y zx

dy dz

y zx z xy

0

0

0

02 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )

�������������dx dy

x y z x ydy dz

y z x y z

2 2 2 2( ) ( )

dx dy

x y x y zdy dz

y z y z x

( ) ( ) ( ) ( )

���������d x y

x yd y z

y z( ) ( )

0

����%����%$� ��%�������%�C��+��C�+���%�C���+���C�/���%���

�� �� x yy z

x yy z

C or C2 2 """)2-

����� )1-� ���� )2-$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� �

f xy yz zx,x yy z

0

���

��� $� ���������������������� �����"

)��- 3����!�� � )��4��-���4�)��4��-���/���4��"

��'������������������� � dxy z

dyz x

dzx y

""")*-

#�&�%�*$�+�*$�0�����0$�*$�+�*�������������$����� ������� �)*-

/�dx dy

y z z xdy dz

z x x y

00

00( ) ( ) ( ) ( )

""")1-

� dx dyx y

dy dzy z

( ) ( )

d x yx y

d y zy z

( ) ( )

0

����%����%$� ��%������%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���

�x yy z

x yy z

C or C1 1 """)2-

#�&�%�*$�+�*$�0�����*$�*$�*�������������$����� ������� �)*-�����)1-

�dx dy

y z z xdx dy dz

y z z x x y

0

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d x yx y

d x y zx y z

( )( )

( )( )

2

�� 2 0d x y

x yd x y z

x y z( ) ( )

Page 31: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

����%����%$� ��%�����1���%�C���+���C�4���%�C���4���4���C�/���%���

)��+��-��C�������C�/��� )��+��-��)��4���4��-�/�F��� """)5-

�����)2-�����)5-$�����%���������������� �����%!������������

� x yy z

, (x y) (x y z) 02

���

��� $

���������������������� �����"

)���- 3����!�������)��4��-�4������)��4��-�/���4�1z

.

��'�������������������� dxx y

dyx y

dz

zz

cos ( ) sin ( )

1""")*-

#�&�%�*$�*$�0�����*$�+�*$�0�������������$����� ������� �)*-

dx dyx y x y

dx dyx y x y

00

00cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( )""")1-

)*-�����)1- �zdz

zd x y

x y x y2 1

( )

cos ( ) sin ( )

�12

21 2 42.

cos sin sin ( / )zdz

zdt

t tdtt

$� �������/���4��"

1

2

21 4

02

. cosz

zdz t dt

����� ec

����%����%$� ��%���1

21

12 4

21log| | log tan logz t �

�����

C

����������( )

tan

/zx y

2 1 2

11

2 8

�����

C """)2-

����$ )1- cos ( ) sin ( )cos ( ) sin ( )

( ) ( )x y x yx y x y

d x y d x y

�cos sincos sin

( ) , .t tt t

dt d x y t x y

0 where

����%����%$� ��%����� ��%C������4������C�+�)��+��-�/���%���

�C������4������C�����/���

� � � cos ( ) sin ( )x y x y ey x � � C2 """)5-

�����)2-�����)5-$�����%���������������� �����%!������������

f(z 1)

tanx y

2 8

, cos (x y) sin (x y) e 0,2 1/ 2

y x �

�����

����

����

���������������������� �����"

Page 32: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)�!- 3����!����)���4����4���-���4�)���4����4���-���/����4����4���"

��'������������������ dx

y yz z

dy

z zx x

dz

x xy y2 2 2 2 2 2

""")*-

#�&�%�*$�+�*$�0�����0$�*$�+�*�������������$����� ������� �)*-

dx dy

y yz z z zx x

dy dz

z zx x x xy y

0

0

0

02 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )

� dx dy

y x yz zx

dy dz

z y zx xy

2 2 2 2

dx dyy x y x z

dy dzz y z y x

( ) ( ) ( ) ( )

d x y

x yd y z

y z( )( )

( )( )

d y zy z

d x yx y

( ) ( )

0

����%����%$� ��%����� ����%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���

� � y zx y

y zx y

C or C1 1 """)1-

#�&�%�*$�+�*$�0�����*$�0$�+�*�������������$����� ������� �)*-

dx dy

y yz z z zx x

dx dz

y yz z x xy y( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

dx dy

y x yz zx

dx dz

z x yz xy

2 2 2 2

dx dy

y x y x zdx dz

z x z x y

( )( ) ( )( )

�dx dy

x ydx dz

x z

( ) ( )

d x z

x zd x y

x y( ) ( )

0

����%����%$� ��%�����%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���"

�x zx y

x zx y

C or C2 2 """)2-

����� )1-� ���� )2-$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� �

fy zx y

,x zx y

0

���

��� >� ���������������������� �����"

�� ����

������������������ ���� �� ������� �� �����.��������������������� ��# �#�������������� ��# �����������

���# ������������������������� ��# ��������������

�# ����������� ��# ��������������

���# ��"��#����� ��"��#������"�� ����# ����"�������� ��"�/�#

� �#���"�/����0������� ����/�# ��# ����0��������� �� ��"�0�#

���# ���"����������� ��# ����"�����������

�# ������������/���"�������' ��# ��"��#� �����#����

���# � �������# �������#����� ����# ��������������

Page 33: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

����������������������������������������

$ �#� ��"��#���� ��"��#������"�� ��# � ��"��#����� ��"��#����� ��"��#

���# 1 1 1 1 1 1z y

px z

qy x

���

��� �

����� ��# �� ��"��#������ ��"��#������ ��"��#

�#b c

ayzp

c ab

zxqa b

cxy

���

���

���

���

���

���

��# � �����#����� ��"��#�����������

���# � ���"���#��"�� �������#����� �������# ����# ��"��#���� �����#����/��

% �#� ���"����"���#����/������/�� ��# !����#���� !����#�����

���# ���"����"���#���� ���"����"���#����� ��"��# ��# ��������������

�# � �����#��"�� �����#���� ��"��# /����/�����#���'

��# y x y az p x x y az q z x y( ) ( ) ( ) � � � � ���# ��������������' ����# �������#����/������ �����#��

2�34��3

�#�� ��"��������� ���#���' ��# � ���"��������"���#���'

���# fxy

xz

sinsin

,sinsin

���

��� 0 ��# � ���"��������"���#���'

�# fxy

yz

,���

��� ���' ��# f

y x z y1 1 1 1

0 ���

��� ,

���# fx ay b

y bz c

���

��� , 0 ����# � ������������"���#���'

� �#�� /�������������� /�����#�"��#���' ��# f y x x z y x 3 3 0, log| cot ( )|� �

���# � �������/ �����#��"���#���' ��# f xy zax

y, log| |

���

��� 3

02

�# fxy

x zxy

, log �

���

��2

0 ��# � ���������"� �����#�� ��1���1#���'

���# � �������"/�����"���#���' ����# f xy zxy

���

���

2 0,

$ �#�� �����������������������#���' ��# � ��������������#���'

���# � ��������������#���' ��# f xyzx y z

,1 1 1

0 ���

���

�# � �����������������������������������#���' ��# � /���"��������"����"���#���' ���# � ���������������&��#���' ����#

f x y z x y e y x ��

��

log| |, ( ) tan ( / )2 2 2 1

0

% �#� fyz

x y zz

,2 2 2

0 �

����� ��# f x y

x yz

( ) ( ) ,1 12

02 2 ���

���

���# f z x yx y

z �

����� ,

2 2

20 ��# f

xy

xy z, ���

���

2 0

�# f xy x y x y z, ( )( ) � � 0 ��# fx y

zx y az

���

���, 2 2 2 0

���# f y zx

e y z2 2

1 0���

��� ,

tan ( / ) ����# f

y

x y

x yz2 2

0

���

��� , �

Page 34: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

:���3

$ ��#�%������������������������������������������

���# %���������������!&���"�!&���"�!&���������������

% �#�%������������������������ ��# %���!��!��'��������������

���# %���!��"�!��'��������"����'�������������� ��# %���!&���!&���'�������������� �# %���!��!��'�����!��!��!�������������� ��# %���!��!��'��������"����'��������������

���# 2�������dxx

zdy ydz

z yz

dyyz

dz

yz

d y z

y z

���

���

���

���

01

112 2

2

2 2( / )

( / )

log| | tan logxyz

1 C�

����# %���!��!��'�����!��"�!��'��������������

Page 35: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�������������������������������������������������������

E���� � ����!�� ������� ������������ � ���!�%� ���� �������������� ���������������� �������������������������!��!����������"����������� ���������������� � �������������������������������������"����������������������$� �������������������������� � ���!�%�������������"� ��� ���� ��������$� �������� ������ ������������ ���!�%������������������� ���������� ������������!����������������������������������%�������������"������������������$� ����������&�����AB�����C3�;���������B��� ��������"

��� ����� ����� ����� ����� ���������������������������������������������������� ��������������������������������������������� ��������� ��������� ��������� ��������� �������������������� ���� ���� ���� ���� ��������

��� )�$��-�/ 0 """)*-

������������� ����������������� � ��������������������%�������������"

��� ��/ ���4�)�-��4�� """)1-

������������������������ �)*-$� �����)�-�������� ������� ��"

)1- pzx

a qzy

a

and ( )

)*- )�$�)�--�/ 0"

"� ����� ��������������������������������� ����������������#$������������� ��!

���������

����������

>�����#������(�����������������%�������������

>�����#�������(����������� ������������/����4����4�)�$��-

>�����#��������(�����������������%�������$��������

>�����#�����G�(����������� ������������)�$��-�/���)�$��-

<���� �#���� ��������

������7��@�������;������� �>������

Page 36: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������������������ �)*-��

��� ����� �!�����6>

�����)�$�)�--�/�0������������������������������"

#�� ���������%������������$����

�)���������-�/ ��+����+�)�-��+��

<��%���)���������-�/�0$�

fa

fc

0 0, , �������%���������������%!�����

�������%��������� �����������������(

��+����+�)�-��+���/ 0$� +���+�)�-���/�0$� +�*�/�0

#�������������$��������+�*��0" #������������%������������"

#�� �������%��������������$�������/�)�-$� ��������������������� �����"

<��%��)�������$�)�--�/�0$� fa 0, �����%�����������������%!�����

��"����"� �!���"� �!���8>�"���"� �!���"� �!���8�

�������������

�����������(��!������������������������������������������)�- ������/�� )��- ��%���1�

)���- ��,���. )�!- ���2��,��/�'"�����)�-�3����!� ���4����/��" """)*-#�������������� ����� ��� )���-�/�0"��� ��/����4�)�-���4�� """)1-

������������������������ �)*-$� �����)�-�������� ������� ��"

)1- � pzx

a qzy

a

and ( )

)*- a a a a2 2 2 2 2 ( ( )) ( ) or

��� ( ) .a a a 2 2 and

#�������������������������z ax a y c2 2 $�� ������������������

����������������������+������"�#������������%������������"

#�� �������%��������������$������)���������-�/���+����+� 2 2 a y c �������/)�-"

<��%� �)���� �����)�--�/�0$� fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���

��������

z ax a y (a) 0, xa

ay (a) 0,2 2

2 2

��������������������� �����")��- 3����!� ���+����/�1�" """)*-

#�������������� ����� ���� )���-�/�0"

Page 37: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

��� ��/����4�)�-���4�� """)1-

������������������������ �)*-$� �����)�-�������� ������� ��"

)1- � pzx

a qzy

a

and ( )

)*- �a a k a a k2 2 2 2 2 ( ( )) ( ) or

��� )�-�/� a k2 2 ���������1�"

#�������������������������z ax a k y c2 2 �$�� ������������������

��������������������������1�"

#������������%������������"

#�� �������%��������������$����

� f x y z a c z ax a k y c( , , , , ) 2 2 ��������)�-"

<��%� �)���� �����)�--�/�0$� fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���

��������

z ax a k y (a) 0, xa

a ky (a) 0,2 2

2 2

��������������������� �����")���- 3����!� ��/�1���4�*" """)*-#�������������� ����� ���� )���-�/�0"��� ��/����4�)�-���4�� """)1-

������������������������ �)*-$� �����)�-�������� ������� ��"

)1- pzx

a qzy

a

and ( )

)*- a a aa

2 11

22( ( )) ( ) . or

��� )�-�/� a 12

��������*"

#������������������������� z axa 1

2y c

�$�� ����� �� ����� �� ����

�������������������������*"#������������%������������"�#�� �������%��������������$����

� f x y z a c z axa

y c c a( , , , , ) ( ). 12

and

<��%� �)���� �����)�--�/�0$�fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���

��������(

z axa 1

2y (a) 0 >�

x

12 2 a 1

y (a) 0 $

��������������������� �����")�!- 3����!�� ���4�,��4�1��4�5�/�0" """)*-

#�������������� ����� ���� )���-�/�0"

Page 38: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��� ��/����4�)�-���4�� """)1-

������������������������ �)*-� �����)�-�������� ������� ��

)1- pzx

a qzy

a

and ( )

)*- ���4�,��4�1)�-�4�5�/�0 �� ( )aa

a ���

���

2

23 2

#��� �������� �������� �� z axa

a y c ���

���

2

23 2 $� ������� ���� �� ���

�����������������"#������������%������������"�#�� �������%��������������$����

f x y z a c z axa

a y c c a( , , , , ) ( ). ���

���

2

23 2 and

<��%� f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���

���������(

z axa2

3a 2 y (a) 0, x (a 3)y (a) 0,2

���

���

��������������������� �����"

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�; �>� !���8

�����(� #�&�����������������������/����4�)�-���4��� ���������������������������������"

�����((� ���� pzx

a qzy

a

, ( )"

�����(((� >�������������!������� �����������)���-�/�0����� �������!������ �)�-��������� ��"���������!������ �)�-�������������������������/����4�)�-��4��"

�����(.� ����%�����������������&���)���������-�/���+����+�)�-��+��$�������/�)�-"� ����������A�7������������ "�"�"��������� ���������%�����������������

�)��������)�--�/�0$�fa�/�0$��"�"���+����+�)�-��+�)�-�/�0$�+���+�)�-���+

)�-�/�0$� ��������������������� �����"�����.� ��������� ����� ����)���-�/�0����������%������������"

�� �����

/ �0��������� �� �������������������������������� ���#

����������!3 � ������

$ ���"������! % ����������

& ����������� ' �������������'

( ������ ) ���������� ��

* �������! ! ������

Page 39: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

2�34��3

1/� z ax a y c 16 2 ������������������������������� ������������"�4�����4�//�5 ���������� ��� ��

2/�z ax a a xa

ay a

16 0

1602

2 ( ) , ( ) ,������������������������

����� ��

� 1/� z ax a y c ������������������������������� ���������������'�

//�5 ���������� ��� ��

2/�z ax a y a xa

y a ( ) , ( ) ,01

20 ������������������������������ ��

$ 1/� z ax a y c 2 1 ������������������������������� ������������1�1��!�

//�5 ���������� ��� ��

2/�z ax a y a 2 1 ( ) ���'��

xa

ay a

2 10 ( ) ��������������������������

����� ��

% 1/� z axa

ay c

1������������������������������� ���������������!�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z axa

ay a x

ay a

10

1

10

2 ( ) ,

( )( ) , �������� ��� ���� ���������

����� ��

& 1/� z ax a a y c 2 ������������������������������� �����������������"� "�!��'#�

//�5 ���������� ��� ��

2/�z ax a a y a xa

a ay a

2

20

2 1

20 ( ) , ( ) , ������������������������

����� ��

' 1/�z axa

ay c

1�������������������������������� ���������������"�!�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z axa

ay a x

ay a

10

1

10

2 ( ) ,

( )( ) , �������� ��� ���� ���������

����� ��( 1/������������� �������������������������������������� ��������������6�'�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z ax y a a xya

a log ( ) , ( ) , 0 0 � ����� � � � � � �� �� � �� � � � � ��

����� ��

) 1/� z axa

n n y c ���

���

242 ������������������������������� ��������

//�5 ���������� ��� ��

2/� z axa

n n y a x n n y a ���

��� �

�����

24 0

12

4 02 2 ( ) , ( ) , �������

���������������������� ��

Page 40: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� * 1/� z ax a y c 2 3/ ������������������������������� ���������������'�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z ax a y a x a y a 2 3 5 3023

0/ /( ) , ( ) , �������� ��� ���� ���������

����� ��

! 1/� z axka

y c ������������������������������� ���������������'�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z axka

y a xk

ay a ( ) , ( ) ,0 0

2������������������������������ ��

��� ����� ����� ����� ����� ��������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� �!!!!!��"��"��"��"��"

������������������� ��/ ���4����4�)���-" """)*-��� ��/ ���4����4�� """)1-

�������������� �)*-"

)1- pzx

a qzy

b

and

)*- ���4����4���/ ���4����4�)���- ��/ )���- )1- ��/ ���4����4�)���-" �������������������� ��)*-��

��� �����5����; �>�5!$� ����������������������������������"#�� ���������%������������$������)���������-�/���+���%��%)���-"

� <��%� �)���������-�/�0$�

fa

fb

0 0, $� ������%������������� ��%!�����

�������%��������� �����������������(

z ax by g(a, b) 0, xga

0, ygb

0

$� ���!���� �� ���� ��� ���

%!����������"#�� �������%��������������$�������/�)�-$� ��������������������� �����"

<��%� f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 �����%�����������������%!�����

��"����"� �!��"�; �>� �!!���8>�"���"� �!���"�;� �>� �!!���8��������%������������������������ ����� ���������������� � ����#� ������� � �� � � ���

1�������3�������� ������������ �#��%�������� ����������������� ����#����.� �������-������1�������3�������� �

�������������

�����������(��!������������������������������������������

)�- ���������� )��- ������������

)���- z px qy 4 1 p q2 2 )�!- ������������� "

Page 41: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

�����)�-�3����!� ��/����4����4���" """)*-

#�������������� ����� ���� ��/����4����4�)���-"

������������������ �)*-������������5�����5$� ���������������������������������"

#�� ���������%������������$����

�)���������-�/ ��+����+����+���

fa�/ +���+�� ���

fb�/�+���+��

�)���������-�/ 0 �%��%��%����0 """)1-

fa�/ 0 ����+���+���/�0 """)2-

fb�/ 0 ����+���+���/�0 """)5-

�����%�����!������� ��������� ����)2-�����)5-���)1-$� ��%����+�)+��-���+�)+��-���+�)+��-)+��-�/�0 �� ��4����/�0���������������� ���)*-" >�%��������������� ���������8�#�� �������%��������������$�������/�)�-"

<��%� f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���

���������(��"����"� �!���"��� �!���8>�"���"� �!���"� �!�"�� �!���8$� �����������

��������� �����")��- 3����!�� ��/����4����4�����" """)*-#�������������� ����� ������/����4����4�)���-" ������������������� �)*-������������5������5�$� �������������������������

��������"�#�� ���������%������������$�����)���������-�/ ��+����+����+�����

fa�/ +���+�1��� ���

fb�/�+���+�1���

�)���������-�/ 0 �%��%��%�����/�0 """)1-

fa�/ 0 ������+���+�1����/�0 """)2-

fb�/ 0 ������+���+�1����/�0 """)5-

abx

a by

abxy

abxy2 2 3

1 3

2 2 4 4 �

�����, , ( ) ,

/

( ) ./ /

/ /

/

ab bx

bx

xyx

y

xy

������

������2 2

4

2 2

1 3 2 3

1 3 1 3

2 1 3

"

>������$� �ayx

������

2 1 3

2

/

zyx

xxy

yxy

������

������ ���

���

2 1/3 2 1/3 2 3

2 2 40

/

z x y ���

���

2 3 2 31/3 1/3 1/31

21

21

2 20/ /

.

Page 42: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� z

32

x y .4/32/3 2/3

#���%!���������%������������$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������$�������/�)�-"

<��%� f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���

���������(��"����"� �!���"��� �!!����8>�"���"� �!���"���� �!!��"���� �!� �!���8>

��������������������� �����"

)���- 3����!�� z px qy p q 4 1 2 2 �" """)*-

#�������������� ����� ������/����4����4�)���-" ������������������ �)*-��

z ax by 4 1 a b2 2 $� ����������������������������������"

#�� ���������%������������$����

� f x y z a b z ax by a b( , , , , ) 4 1 2 2

� ��

fa

xa

a b

4

1 2 2� ����

fb

yb

a b

4

1 2 2

�)���������-�/�0 �%��%���+� 4 1 2 2 a b �/�0 """)1-

����fa�/�0 ����+��%

4

1 2 2

a

a b �0 """)2-

�fb�/�0 ����+���+�

4

1 2 2

b

a b �/�0 """)5-

<��%�)2-�����)5-$� ��%��� x ya b

a b2 2

2 2

2 2

16

1

( )

16 1616

1

16

12 2

2 2

2 2 2 2

x y

a b

a b a b

( )

14

16

2 2

2 2

a b

x y

)2- a xa b x

x y

x

x y

14 4

4

16 16

2 2

2 2 2 2. "

>������$� �� �by

x y

16 2 2

�����%�����!������� �����������)1-$� ��%��

�� zx

x y

y

x y x y

2

2 2

2

2 2 2 216 16

16

160

�� zx y

x yx y

16

1616

2 2

2 2

2 2 �� ������������������

Page 43: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

���������������������������������������

#���%!���������%������������$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������$�������/�)�-"

<��%�f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 �����%�����������������%!������������������(

z ax (a)y 4 1 a ( (a)) 02 2 >�

x (a)y

4(a (a) (a))

1 a ( (a))0,

2 2

��������������������� �����"

)�!- 3����!�� ��/����4����4���%�)��-" """)*-

#�������������� ����� ������/����4����4�)���-"

������������������ �)*-��

���������5������;� �5!$� ����������������������������������"

#�� ���������%������������$����� �)���������-�/���+����+����+���%�)��-

fa

xa1

���

fb

yb1

�)���������-�/ 0 �����+����+����+���%�)��-�/�0 """)1-

fa�/ 0 +���+�

1a�/�0 """)2-

fb�/ 0 +���+�

1b�/�0 """)5-

)2- �� ax

1����)5- b

y 1

)1- �� zxy

1 11

0log ����������;������8�

#�����������%������������$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������$�������/�)�-"

<��%�f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 �����%�����������������%!������������������(

��"����"� �!��"���;���"���;� �!���8>�"���"� �!��"�1a

(a)(a)

0

$

��������������������� �����"

�����������(����������������������������������%,�%0�������������� �������������� ������ �������� �,� 0� ' "3��� ���� ��� ��!����� �� ��� ���������������������������������������"�"�����������������������"

�����3����!� ��/����4����+�1��+�2�" """)*-

#�������������� ����� ������/����4����4�)���-"

�������������������� ��)*-������/����4����+�1��+�2�$�� �����������������������������������"�#���������������� ������ �����������������%������%��)1$�2$�0-�������0�/��)1-�4��)2-�+�1��+�2�� �����������������������"

#�� ���������%������������$����

�)���������-�/���+����+����+�1��+�2�

Page 44: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

fa

xfb

y 0 2 0 0 3 0,

��+��)+�1-�+���)+�2-�+�1��+�2��/�0 �� ��/�0"������������� ���)*-"

#�����%��������������� ����8�

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*���������� ����; �>� !

�����(� #�&�����������������������/����4����4�)���-$� ���������������������������������"

�����((� ������%������������$���&�� �)���������-�/���+����+����+�)���-"����

fa

fb

and �"����������������� �����������������(� ffa

fb

0 0 0, , .

#���%!���������%������������"�����(((� ����%��������������$���&����/�)�-$� ��������������������� �����"

#������������(� ffa

0 0,

��������������%��������������"

�� ������

/ �0������� �� �������������������������������� ������4 � !"�#

��������������7�� � ���������������������

$ �����������������"��� % ������������"�/��"�0�

& ��������������0 ��#��� ' ���������������&�

( ��������������/ pq ) ������������"�/ pq

* �������������������������� ! �������������� p q2 2 1 �

8� ������������ ��������������� ����������� ����������������pq

pq p q �������������

������ ���������������������������������� ����������������� ������������� ���������������������

� 8� ������������ ��������������� ����������� ���������������� p q2 2 1 �������������

������ ���������������������������������� ����� ������

2�34��3

1/���������������7��

//�7���������'

2/���"����"� �#���"�7� �#���'������7 �#��� ����7�#� �#���'

� 1/����������������������

//�����������4����'

2/���"����"� �#���"����"� �##����'������/���� ����/ �##� �#���'

$ 1/������������������"���

//����"������4����'

2/���"����"� �#���"������ �##����'������/���� ��"�/ �##� �#���'

% 1/�������������"�/��"�0�

//�����'

2/���"����"� �#�����/����0 �#���'������ ��"�0#� �#�"�/���'

Page 45: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

& 1/���������������0 ��#���

//�����"�!���'

2/���"����"� �#���"�0 �� �##������'������ �#�����

( ) ( )

( ( )) /a a a

a a

2 3 ���'

' 1/����������������&�

//����������'

2/���"����"� �#���"�aa( )

��'������ �#����1

2

( )( )

( ( ))aa a

a

���'

( 1/���������������/ ab

//� ��"��# ��"��#���!

2/���"����"� �#���"� 2 a a( ) ���'������ �#���

( ) ( )

( )

a a a

a a

���'

) 1/�������������"� 2 ab

//� ��"��# ��"��#���!

2/���"����"� �#����� 2 a a( ) ���'������ �#���"�

( ) ( )

( )

a a a

a a

���'

* 1/���������������������������

//���������"������0����'

2/���"����"� �#���"����"�� �#�"� �##����'������ ��������/ �##� �#���/���� �#���'

! 1/�������������� a b2 2 1

//�x y

z2 2

2 1

2/���"����"� �#���"� a a2 2 1 ( ( )) ���'������ �#�����a a a

a a

( ) ( )

( ( ))2 2 1���'�

:���

( //�2���������"����"����"� 2 ab ���'�� xba

yab

and .

5 � ��"�������"� ���������� 2 ab #��� ba

aba

bab

abba

+ 2

8�����������"����� ab

��� ����� ����� ����� ����� �������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������� ��������� ��������� ��������� ��������� ���������������!���!���!���!���!��� ���� ���� ���� ���� ��������

��� )�����-�/�0 """)*-

������������� ����������������� � ��������������������%���������������"

Page 46: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������/�@)�-� �������/���4������������������ �)*-� ����������������������������"

��/�dzdu

ux

dzdu

dzdu

qdzdu

uy

dzdu

a adzdu

. .1 and

)*- g zdzdu

adzdu

, ,���

��� �/�0

#��� �� ��� ��������� �������� �������� � � ���� �����"�#��� �������� � � ����������$������)���������-�/�0�%!������������������������ �)*-� ���������������������������������"�#�����%���������������������������������%��������� ����������������(

�)���������-�/�0$�

fa

fb

0 0, $����!���������� �������%!����������"

�������/�)�-� �������������������� �����"�#���%�����������������%!������������������(

�)���������)�--�/�0$�fa 0"

�������������

�����������(��!������������������������������������������

)�- ������/� )��- ���������. �.

)���- ��.%�� ���.%�-"

�����)�-�3����!�� ���4����/�5�" """)*-

#�������������� ����� ����)�����-�/�0"

������/�@)�-$� �������/���4������������������ �)*-"

�� pzx

dzdu

ux

dzdu

qzy

dzdu

uy

adzdu

and "

)*- �dzdu

adzdu

z������ ���

���

2 2

4

)*�4���-�dzdu

z���

���

2

4 dzdu a

z

2

1 2

1 2/

dz

z adu

1 2 2

2

1/

����%����%$� ��%��� 22

1 2z

u

ab

2 1 2 12 2 a z x ay b a( )

��5)*�4���-��/�5)��4����4��-�$� ���� 1��/�b a1 2 � ������!���"� ���������6!����8�#������������������������"

��� �)���������-�/�)*�4���-���+�)��4����4��-�

�fa�/�1���+�1)��4����4��-� ���

fc�/�+�1)������-

Page 47: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

�)���������-�/�0 )*�4���-��+�)������-��/�0 """)1-

fa�/�0 ������1���+�1)������-�/�0 """)2-

fc�/�0 ������������+�1)������-�/�0 """)5-

���)5- �������/�0

)2- ��1���+�1)0-��/�0 1���/�0 ����8�

#�����������%������������$����������/�0���������� ���)*-"

������/�)�-"�<��%��)�������$�)�--�/�0$� fa 0, �����%�����������������%!�����

������!���"� ��������� �!!����8>�����"�� ��������� �!!� ���� �!!���8$

��������������������� �����")��- 3����!�� ��)���4����4�*-�/�*" """)*-

#�������������� ����� ����)�����-�/�0"

������/�@)�-$� �������/���4������������������ �)*-"

�� pzx

dzdu

ux

dzdx

qzy

dzdu

uy

adzdu

and .

)*- zdzdu

adzdu

22 2

1���

��� �

�����

���

��� �/�*

������ ( )11

122

2 �

����� a

dzdu z

dzdu a

zz

1

1

12

2

��� �� dzdu a

zz

1

1

12

2

.

�z

zdz

du

a1 12 2

����%����%$� ��%��� �

11

2

2z

u

ab

1 12 2a z �/����$� �������/�b a1 2

� ������!� ��"���!��� ���������6!��

#������������������������"

��� �)���������-�/�)*�4���-)*�+���-�+�)��4����4��-�

��������fa�/�1�)*�+���-�+�1)������-� ������ ��

fc�/�+�1)������-

�)���������-�/�0 ��)*�4���-�)*�+���-�+�)������-��/�0 """)1-

fa�/�0 ��������1�)*�+���-�+�1)������-��/�0 """)2-

�����������fc�/�0� +�1)������-�/�0 """)5-

������)5- ��������/�0

)2- ����1�)*�+���-�+�1)0-��/�0

Page 48: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��1�)*�+���-�/�0 �*�+����/�0 ���"�����8�

#�����������%������������$�����������+�*�/�0���������� ���)*-"

������/�)�-"��<��%���)�������$��-��/�0$��fa 0, �����%�����������������%!�����

������! ��"����!�"� ��������� �!!����8>��� ��"���!�"�� ��������� �!! ���� �!!���8>

��������������������� �����"

)���- 3����!�� �)*�+���-�/��)*�+��-" """)*-

#�������������� ����� ����)�����-�/�0"

������/�@)�-$� �������/���4������������������ �)*-"

pzx

dzdu

ux

dzdx

qzy

dzdu

uy

adzdu

. and

)*- �dzdu

adzdu

adzdu

z1 122

���

���

���

��� ( )

���dzdu�/�0 """)1-

�� �����1 22

������a

dzdu

�/��)*�+��- """)2-

)1- ��/��"�#���������������������������������������������������� ������������������"

)2- dzdu

a az

a������ 2

2

1"

��� dzdu

a az

a

1

)*�+���4���-��������/�dua

����%����%$� ��%��( )

( / )1

1 2

1/2 a aza

ua

b

�� 2 1 a az �/���4���

� ��"�������!��� ���������6!�$� �������/���"

#������������������������"

��� �)���������-�/�5)*�+���4���-�+�)��4����4��-�

��fa�/�5)+�*�4��-�+�1)������-� ���

fc�/�+�1)������-

�)���������-�/�0 5)*�+�����-�+�)������-��/�0 """)5-

��������������fa�/�0 5)+�*�4��-�+�1)������-��/�0 """)6-

Page 49: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

��������������fc�/�0 +�1)������-�/�0 """),-

��),- �������/�0

)6- ������ ����5)+�*�4��-�+�1)0-��/�0 5)+�*�4��-�/�0

������������� ���+�*�4���/�0 ��/�*

)5- �5)*�+���4��)*--�+�)0-��/�0

�� �������������5�/�0$� �������������"

#������������%������������"�������/�)�-"�<��%��)���������)�--�/�0����fa 0, �����%�����������������%!������� ��"�������!�"� ��������� �!!����8>�"�������

"�� ��������� �!!� ���� �!!���8>� ��������������������� �����"

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�; �>��>� !���8

�����(� #�&����/�@)�-$� �������/���4���"

�����((� E�������%� pdzdu

����� q adzdu

$� ����%!������������������ �����

��������� ����������������� � ���������"��������������������)���������-�/�0"�#���%!������������������������ �����%!����������"

�����(((� ������%������������$����������������� ����������������� (� ��/�0$

fa

fb

0 0, .

�����(.� ���� �%������� ��������$� � ��&�� ��/�)�-$� � ����� � � �� ����� ���������

�����"��#������������(���/�0$�fa 0 ��������������%��������������"

�� ������

/ �0������� �� �������������������������������� ���#

����������� � �� ����������/#���!

$ ����������4� % �����!�����

& ������ ' 9 ��������#���4

( ����������0�������6�' ) ����������/:�

* 4 !�����#���9����� ! ��������� !�"���#�

2�34��3

1/�4 !�����#����� ����������#�

//�����'

2/�4 !�����#���"� ��������� �##����'��;���"�/ ��������� �## ���� �##���'

� 1/� !�����# !�"�/��#���4 ����������#�

//�!�"�/�����'

2/� !�����# !�"�/��#�"�4 ��������� �##����'��� !�"�/��#�"�4 ��������� �## ���� �##���'

$ 1/� !����#���� ����������#�

//�����'

2/� !����#��"� ��������� �##����'����"�/ ��������� �## ���� �##���'

Page 50: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� % 1/����"� z z a a z z a x ay b2 2 2 2 24 4 4 4 log ( ) ( )

//�%��������� ���������� ��� ��

2/����"� z z a a z z a x ay a2 2 2 2 24 4 4 4 0 log ( ) ( ( )) ,

az

z a2 24���/��� �� z z a �

�����

2 24

4

4 4

3

2 2 2 2

a

z z a z a( )�"���"� �#���'�

& 1/�4����� ����������#�

//�����'

2/�4���"� ��������� �##����'��/��"� ��������� �##� ���� �##���'�

' 1/� ������#���� ����������#�

//�5 ���������� ��� ��

2/� ������#��"� ��������� �##����'��0� ������#��"� ��������� �## ���� �##���'

( 1/� !�����#�� ������0� ������#����

//�5 ���������� ��� ��

2/� !�����#�� ����"�0� ������#�"� �#���'��0���� ����"�0��"�3���"� �#���'�

) 1/� !�����#������; ����������#�

//�����'

2/� !�����#�����"�; ��������� �##����'�������"�; ��������� �##� ���� �##���'�

* 1/�� !�����#��� ����������#�

//������!���'

2/�� !�����#�"� ��������� �##����'��!������"�/ ��������� �## ���� �##���'

! 1/������ ����������#������

//�����'

2/����"� ��������� �##��"������'�� ��������� �## ���� �##�������'�

��� ����� ����� ����� ����� �������#�������#�������#�������#�������#����������������� ��������������������������������������������������������������������������������$$$$$����� �! �! �! �! �!��"���$��"���$��"���$��"���$��"���$����� � � � � �!!!!!��"��"��"��"��"

�������������������� ��)���-�/���)�$��-" """)*-

������������� �)*-��������������"

��)���-�/�� """)1- ��)���-�/�� """)2-

>��!�%�)1-� ����$����� ��/���)���->��!�%�)2-� ����$����� ��/���)�$��-"

>��������� ������� ��������$� ����!��dzzx

dxzy

dy

�/������4�����

���/���)�$��-����4���)�$��-���

����%����%$� ��%��� ���� F (x, a) dx F (y, a) dy b.1 2� �

#����������������������������������� �����%!����������"#�� ���������%������������$����

�)���������-�/���+� F F1 2( , ) ( , )x a dx y a dy b� � "

Page 51: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

<��%� �)���������-�/�0$�

fa

fb

0 0, , � ������%���������������%!�����

�������%��������� �����������������(

��+� F F1 2 0( , ) ( , )x a dx y a dy b� � $

a

x a dx y a dyF F and1 2 0 1 0( , ) ( , ) .� ��� ��

#�������������$��������+�*��0" #������������%������������"#��� ���������%���������������$��������/�)�-$�� ����������������������� �����"

<��%��)���������)�--�/�0$� fa 0, �����%�����������������%!�������������������(

z– F (x, a)dx F (y,a)dy (a) 0,1 2� �

a

F (x,a)dx F (y,a)dy (a) 0.1 2 �� �� � ��������������

�����������(��!������������������������������������������

)�- p q 3x 0 )��- ���������'

)���- ����.��� ���� )�!- �������"

�����)�-�3����!� p x q 3 " """)*-

#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"

������������� �)*-��������������"

p x a 3 """)1- q a """)2-

)1- ��/�)��+�2�-� ��� )2- ��/���

�� ���/�����4����

���/�)��+�2�-�����4������

����%����%$� ��%��� ��/� ( ) .a x dx a dy b � �3 2 2

����(a 3x)

9a y b.

32

#������������������������"�#������������%������������"

#�� �������%��������������$������)���������-�/���4�19)��+�2�-��+�����+���������/�)�-"

<��% �)��������)�--�/�0$fa�/�0"

#���%�����������������%!�������������������(

����19

� ��"���!��"�����"� �!���8>�13

(a 3x) 2ay (a) 0,2

��������������������� �����"

Page 52: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)��- 3����!�� ���4����4����/�0"

���4��)��4��-�/�0 px p

qy

""")*-

#�������������� ����� ������)���-�/���)���-"�������������� �)*-��������������"

�p

x pa

""")1-

qy

a """)2-

)1- ��/�ax

a1 ����� )2- ��/�+���

�� ���/�����4�����

dzax

a

1���%����

����%����%$� ��%��� ��/�ax

adx ay dy

b1 2

� � .

��/�a

ax ay b

1 2 2 2

2 2

.

�����a

1 ax ay b2 2

#������������������������"#������������%������������"�#�� �������%��������������$����

�)���������-�/�1��+�a

ax ay b

12 2 ��� ��/�)�-"

<��%� �)���������)�--�/�0$

fa

0 $

#���%�����������������%!�������������������(

2za

1 ax ay (a) 0,2 2

x

(1 a)y (a) 0

2

22 – $� ����� � �� ���

��������� ��.���")���- 3����!�� ����)*�4���-�/����"

�1 2

22 x

xp

qy

""")*-

#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"

������������� �)*-��������������"

1 2

22 x

xp a """)1-

qy

a """)2-

)1- ��/ �a x

x1 2����� )2- ��/��� )������%���

0-

��� ��/ax

x1 2�� ���/ ����4����

Page 53: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

��������������������������������������� ���/

a x

xdx ay dy

1 2

����%����%$� ��%�� ��/a x

xdx a y dy

b2

2

1 22 � � .

��/ a xay b

12 2

22

������2 a 1 x ay b.2 2

#������������������������"�#������������%������������"

#�� �������%��������������$������)���������-�/�1��+� 2 1 2a x �+�����+������

��/�)�-"

<��%� �)���������)�--�/�0$

fa

0 $�����%�����������������%!���������

���������(

�1��+� 2 1 2a x �+�����+�)�-�/�0$ +�1�"� 1

21 2

ax. �+����+�)�-�/�0

�� ���"�2 a 1 x2 �"�����"� �!���8>� 1 x ay a (a)2 2 ���8>

��������������������� �����"

)�!- 3����!�� ���4���/���"

���+����/�� """)*-

#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"

������������� �)*-��������������"

���+����/�� """)1- ��/�� """)2-

)1- ���+����+���/�0 ��/�12

42x x a �� ��

��� ��/�12

42x x a �� ���� ���/������4�����

���/�12

42x x a dx a dy �� ��

����%����%$� ��%��� ��/�x x x a a

x x a ay b2 2

2

412

42

42

4

���

��� log

�� ����14

x x x 4a a log x x 4a ay b2 2 2 �� �� �

#������������������������"�#������������%������������"#�� �������%��������������$����

�)�� �� �����-�/� �� +�14

42 2( )x x x a � +��� ��%� )��4� x a2 4 -� +���%�� ���

��/�)�-"

Page 54: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� <��%��)���������)�--�/�0$

fa

0 $�����%�����������������%!���������

���������(

��+�14

42 2( )x x x a �+�����%� ( )x x a 2 4 �+����+�)�-�/�0$

��������

x

x a44

2 42. �+���%� ( )x x a 2 4 �+���"�

1

42x x a � 04

2 42

�� x a

+���+�)�-�/�0

�� ��������������"�14

(x x x 4a)2 2 �"�����;�(x x 4a)2 �"����"�� �!���8>

����x

2 x 4a2 �����;�(x x 4a)2 ���

2a

(x x 4a) x 4a2 2 ��������� �!���8>

��������������������� �����"

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�� �>��!���� �>� !

�����(� #�&����������� ���)���-�/���)���-�����������"

�����((� >��!����������� ����������"�������/���)���-$���/���)�$��-"�3������/����4����� ���� � ���������� � ���� � !������ � � � �� � ���� �"� � ����%����� � ����������������%�����������������������"

�����(((� ��������� ����� ������)���-�/���)���-����������%������������"�����(.� #�&�� ���� �������� ����������� �)�� �� ���� �-�/�0"�������/�)�-"�#��

%�����������������%!�������������������(��)���������)�--�/�0$�fa 0"

�� ������

/ �0������� �� �������������������������������� ���#

��"������������ � � !����#������ !����#��

$ ������� % ��������

& ���������� ' � ��"�� ���#���� ���

( �����/������ ��� ) p q x 2

* ���"��������"�� ! ��"�0��������"���

2�34��3

1/�����13

3 3( ) ( )x y a x y b

//�5 ���������� ��� �

2/���"�13

0 03 3( ) ( ) ( ) , ( )x y a x y a x y a

� 1/�������� �������� �����#����

//�5 ���������� ��� �2/���"���� �����"�� �����#�"� �#���'��� ��������������� �#���'

$ 1/�/������������&�����

//�5 ���������� ��� �2/�/��"�����"���&��"� �#���'�����"���&������ �#���'

Page 55: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

% 1/� 2 4 2z ax ay b //�5 ���������� ��� �

2/�2 4 0 2 02 2z ax ay a x a y a ( ) , / ( )

& 1/����� a x ay blog 2

//�5 ���������� ��� �

2/���"� a x ay alog ( ) , 2 0 log ( )x y a a 2 2 0

' 1/������������������1a ����������

//�5 ���������� ��� �

2/���"����"�������"� 1a

�������"� �#���'����"�12a

��������� �#���'

( 1/���������������ea

ay����

//�5 ���������� ��� �

2/���"����"����"�ea

ay

�"� �#���'������e ay

a

ay ( ) 12 ��� �#���'

) 1/�����16

2 3 2( )x a a y b

//�5 ���������� ��� �

2/���"�16

2 03 2( ) ( )x a a y a ��4���"� /��"��#����/ �#���'

* 1/�0����/ �����#������/ �����#�������

//�5 ���������� ��� �

2/�0��"�/ �����#����"�/ �����#����"� �#��'��3 3x a y a �#���'

! 1/���������������23

3 2( ) /a y ���

//�5 ���������� ��� �

2/���"����"����"�23

3 2( ) /a y �"� �#���'������ a y �� �#���'�

�������������������������������� ������ �� ������ �� ������ �� ������ �� ������ �������������������������

����������������� ������ ��������������������������%�%����������� ������������������������������� ���"

�������<��������������������� ��� ��������������� .��������������������� ������� ����� ������������� ��� ������� ��� ��� ���������������������������� �����������������������

����� ��� +��,#���'��������PZX

, QZY

��

�������������

����������� ��������������������������������������������������������������������������������������

)�- ����������� )��- ����������/��

)���- ��������� )�!- �.%�� ��������'"

Page 56: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����)�-�3����!�� �����4������/��" """)*-

)*- �xz

zx

yz

zy

2 2 2 2

1

���

���

���

���

z

x

zx

z

y

zy

���

���

���

���

1 2

1

2 1 2

1

2

1/ /

""")1-

����H$�I$�J������ �!������������������H�/�������$ �I�/�������$ �J�/���������"

�E�����%����%�����$� ����!����H�/���%��$�I�/���%��$�J�/�1 z

��/�

ZX

ZX

ddz

zx

dxd z

zx

xz

x

zx

. . . ./1 1 2

1

��� ?�/�

ZY

ZY

ddz

zy

dyd z

zy

yz

y

zy

. . . . .1 1/2

1

)1- ���4�?��/�* """)2-#�������������� ����� ����)�$�?-�/�0"��� �� J�/��H�4�)�-I�4�� """)5-

������������������������ �)2-$� �����)�-�������� ������� ��"

)5- ��/�

ZX

and QZY

a a( )

)2- ���4�))�--��/�* �� )�-�/� 1 2a

��� )�-�/� 1 2 a $�+�*�����*"

#�������������������� �)2-���J�/��H�4� 1 2 a �I�4��"

#�������������������� �)*-���� z �������;����� 1 a2 ���;�����6$� ���������������������������������"

)��- 3����!�� �����4������/�5��" """)*-

)*- x

z

zx

y

z

zy

2

2

2 2

2

2

���

���

���

��� �/�5

z

x

zx

z

y

zy

���

���

���

���

1

1

2 1

1

2

�/�5 """)1-

��� H$�I$�J������ �!������������������H�/�������$ �I�/�������$ �J�/�������

�E�����%����%�����$� ����!����H�/���%��$�I�/���%��$�J�/���%��

��/

ZX

ZX

ddz

zx

dxd z

zx

xz

x

zx

. . . .1 1

1

��� ?�/

ZY

ZY

ddz

zy

dyd z

zy

yz

y

zy

. . . . .1 1

1

)1- ����4�?��/�5 """)2-

#�������������� ����� ����)�$�?-�/�0"

��� J�/ �H�4�)�-I�4�� """)5-

������������������������ �)2-$� �����)�-�������� ������� ��"

�����)5- ���������/�

ZX

and QZY

a a( )

)2- ���4�))�--��/�5 �� )�-�/� 4 2a

Page 57: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

��� )�-�/ 4 2 a $�+�1�����1"

#�������������������� �)2-���J�/��H�4� 4 2 a �I�4��"

#�������������������� �)*-�����;���������;����� 4 a2 ���;�����6$� ������

���������������������������"

)���- 3����!�� ���/�������" """)*-

�z

x y

l

m n

2

����/�* z

x

zx

z

y

zy

l

m

l

n

���

������

���

�/�* """)1-

��� H$�I$�J������ �!������������������H�/����$��I�/�����$��J�/�����

�E�����%����%�����$� ����!����H�/�xm

yn

zl

m n l

1 1 1

1 1 1, , .Y Z

��/

ZX

ZX

d

dzzx

dxd

zzx x

zx

zx

lm

l

m. . . .1

��� ?�/

ZY

ZY

d

dzzy

dxd

zzy y

z

y

zy

ln

l

n. . .1

)1- �?�/�* """)2-

#�������������� ����� ����)�$�?-�/�0"

��� J�/��H�4�)�-�I�4�� """)5-

������������������������ �)2-$� �����)�-�������� ������� ��"

������)5- �����/�

ZX

and QZY

a a( )

)2- ��)�-�/�* ���������)�-�/�*K�

#�������������������� �)2-���J�/��H�4�1aI�4��"

#�������������������� �)*-��� z1 l

am 1

x1

(n 1) ay c

1 lm 1 n 1

$� ����

�������������������������������������0"

)�!- 3����!�� )*�+���-�����4�����/�0" """)*-

)*- 1 10

2

2

2 ���

��� x

x

zx y

zy

1

1

10

2

2

x x

zx y

zy/

����

����

""")1-

����H$�I$�J������ �!������������������H�/�x

xdx

1 2$ �I�/�����$ �J�/���

Page 58: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�E�����%����%�����$� ����!�

H�/ 12

11 2

12

2 1/22

2

.( )

/, , .

xx

yzY Z

��/

ZX

ZX

ddz

zx

dxd

zx

xx x x

zx

. . . ./

11 1

1

2

2

��� ?�/

ZY

ZY

ddz

zy

dyd

zy y y

zy

. . . . .11 1

)1- ���4�?�/ 0 """)2-

#�������������� ����� ����)�$�?-�/�0"

��� J�/ �H�4�)�-�I�4�� """)5-

������������������������ �)2-$� �����)�-�������� ������� ��"

)5- ��/

ZX

and QZY

a a( )

)2- ���4�)�-�/ 0 �� )�-�/�+���

#�������������������� �)2-���J�/��H�+���I�4��"

#�������������������)*-�����/� a 1 xa2

y c22

2 $� ����������������

�����������������"

�� ������

���������� �������� ���� �� ������� �� �������������������������������� ���# ������������� � �������������

$ ���"������� % �����������

& ���� !�����#������ ' �������� ���������#

( �� ��&�������&��#���! ) ������������"������'

* �������������������� ����������������� ! ��������3�������/�������4������'�

2�34��3

z a x a y 1 2 �������!�����! �

22 1

11

1 21 1z

la

mx

n ay

lm n

( / )

( )��������'

$ 2 12z ax a �������1�1��! % 2 1 2z ax a �������"�!�����!

& ���� a x a y c112

2 2 2 ' ���������=� a 1 �����������!

( ���������=� 1 2 a ��������"�!�����! ) ���� ����������� ���"�!#��������

*m n

m n lz

ax xm n l m n

( )/( ) ( sin )

42 2 ( ) /1

4

1am n� /��"�����/�#����

! z axa

a y c2 22

2

23 2

��

�� �

Page 59: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ���������������������������������������

� �����%!����������� ����������������������� ������ �����%!��������������$���������%!����������������!���������%�������7��%�������������"

�����)���������-�/�0 """)*-

�������%!����������� ����������������� � �����������������.���������������"

>��������� ������� ��������$� ����!�����/�����4���� """)1-

#����������������� ���� ���������������!��!�%����������"

�����)���������-�/�0 """)2-

������������������������!��!�%����������"�#������������)*-�����)2-��������!����� �������!������� ��������"�#���!������� ��������������������������)1-��������������%���������%��������������������"

� ��������%�)*-�����)2-���������� "�"�"��������$� ��%��

fx

fz

pfp

px

fq

qx

0 """)5-

��

fy

fz

qfp

py

fq

qy

0 """)6-

F F F Fx z

pp

px q

qx

0 """),-

��

F F F Fy z

qp

py q

qy

0 """)9-

;�������%�)5-����Fp$�),-����

fp�������������%$� ��%��

fx p x

fp

fz p z

fp

pfq p q

fp

qx

F F F F F F ���

���

���

��� �/�0 �""")L-

;�������%�)6-���� Fq$�)9-����

Fq�������������%$� ��%��

fy q y

fq

fz q z

fq

qfp q p

fq

py

F F F F F F ���

���

���

��� 0 """):-

����%�)L-�����):-$� ��%��

fx p x

fp

fz p z

fp

pF F F F

���

��� 4�

fy q y

fq

fz q z

fq

qF F F F

���

��� �/�0

qx

zx y

zy x

pq

���

���

2 2

fx

pfz p

fy

qfz q

pfp

qfq z

���

���

���

���

���

���

F F F

4� ���

���

���

���

fp x

fq y

F F0 """)*0-

#���������%���%����������� � ���������� ��������������!��������������������������������!��������"�#�����'��������������� �)*0-����

dpfx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

d

F0

""")**-

Page 60: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

����� ��������%������ �)**-����� ��)*0-"�� ������������%�����!��!���������������$�����������&��������������������������)2-"�>�������������%�����!��!�%��������������$�����������!��� ����)**-$����������� ������������������� �)*-"�>��������%������!������� ��������������/�����4�����������������%����%$� �� ���������������������"

�������������

��������7�� ��� ��� �������� �������� �� ��� ������������������������������������������4������$���������

)�- ������������� )��- �������

)���- �������� )�!- ������ ����

)!- ��/�)���4��-�"

�����)�-�3����!�� ��/����4����4����4���" """)*-

���� �)���������-�/���+����+����+����+���"

��

fx

pfy

qfz

fp

x pfq

y q , , , ,1 2 2

������7����'�����������������

dpfx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

.

dp

p pdq

q qdz

p x p q y qdx

x pdyy q

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2

dp dq dz

px qy p q

dxx p

dyy q0 0 2 2 2 22 2

����� ���������������/�0"�������/��"

>������$���� ��/��"

�� ���/�����4����� ���/�����4����

����%����%$� ��%��� ��/����4����4��"

�����%�����!������ �����)*-$� ��%������4����4���/����4����4����4��� �� ��/����4��"

� ���������5���������5��

#������������������������"

)��- 3����!�� ���/�����" """)*-

��� �)���������-�/����+�����"

fx

pqyfy

pqxfz

zfp

qxyfq

pxy , , , ,2

������7����'�����������������

dpfx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

Page 61: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

���dp

pqy p zdq

pqx q z ( ) ( )2 2

�/� ( ) ( )dz

p qxy q pxy

������������������������������/� ( )

dxqxy

�/�dy

pxy ( )

�����dp

pz pqydq

qz pqx2 2

�/�

dzpqxy

dxqxy

dypxy2

""")1-

)1- �������xdp pdx

x pz pqy p qxy

( ) ( )2�/�

ydq qdyy qz pqx q pxy

( ) ( )2

x dp p dx

xpzy dq q dy

yqz

2 2

d xpxp

d yqyq

( ) ( )

����%����%$� ��%��� ��%����/���%����4��

���/����� """)2- )�����%���/���%���-

>��!�%�)*-�����)2-� ����������$� ��%��� pbzx

qzby

and "

�� ���/�����4���� ���/�bzx

dxz

bydy

dzz

bx

dxby

dy 1

����%����%$� ��%��� ��%���/�����%���4�1b���%���4���%��"

����6������

#������������������������"

)���- 3����!�� ������/���" """)*-

��� �)���������-�/����4����+���"

fx

pfy

qfz

fp

x qfq

y p , , , ,0

������7����'�����������������

��dp

fx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

��dp

p pdq

q qdz

p x q q y pdxx q

dyy p

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

��dpp

dqq

dzpx qy pq

dxq x

dyp y

2 """)1-

)1- ��dpp

dqq

��%���/���%���4���%�� ��/��� """)2-

>��!�%�)*-�����)2-$� ��%�����/�0$���/�0 �� ��/����4��$���/�ax y

a

"

A�3��(������8>� ���8

���/�������� ���/�0����4�0����/�0 ��/��"

#��� �� ���� �� �������� �������$� ������� �� ����� ���� ������ � �� ����������������"

Page 62: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� A�3��((������������>� ���

ax ya

���/�����4���� ���/�)���4��-����4�ax y

ady

���

���

/�ax y

aa dx dy

ax ya

d ax y ( ) ( )

����%����%$� ��%�����/�(ax y)

2ab.

2

#������������������������"

)�!- 3����!�� )���4���-���/���" """)*-

��� �)���������-�/�����4�����+���"

fx

fy

p qfz

qfp

pyfq

0 22 2, , , , �/�1���+��

������7����'�����������������

��

dpfx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

�� dpp q

dq

p q q q

dzp py q qy z

dxpy

dyqy z0 2 2 2 22 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

�dppq

dq

p

2 �/�dz

p y q y qz 2 22 2 �/�dx

py 2�/�

dyz qy 2

""")1-

)1- dppq

dq

p

dpq

dqp

2 ����4�����/�0

����%����%$� ��%���p q a2 2

2 2 2 �� ���4����/�� """)2-

>��!�%�)*-�����)2-$� ��%��� ��/� aa y

z

2 2

2 ���� ��/�ayz�"

���/�����4���� ���/�az a y

zdx

ayz

dy2 2 2

���%�����/� az a y2 2 2 ���

������dz

day

az a y dx2 2

2 2 2

2 2

���

���

���

���

���������12

2 2 2 2 2 2

ad az a y az a y dx( )

d az a y

az a y

( )2 2 2

2 2 2

�/�1���

����%����%$� ��%��� 2 2 2 2az a y �/�1���4�1� ����"�������� �����5!��

#������������������������"

)!- 3����!�� ��/�)��4��-�" """)*-

��� ��)�$��$��$��$��-�/�)���4��-��+��

fx�/�0$

fy�/�1)���4��-�$

fz�/�1)���4��-$

fp�/�+�*$

fq�/�1)���4��-��

Page 63: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

���������������������������������������

������7����'�����������������

�� dpfx

pfz

�/�

dqfy

qfz

�/�

dz

pfp

qfq

�/�dx

fp

dyfq

dp

p qy z0 2 ( )�/�

dqq qy z q qy z2 2( ) ( )

�/�dz

p q y qy z ( ) ( )1 2�/�

dx ( )1

���/�dy

y qy z 2 ( )

dp

p qy z2 ( )�/�

dqq qy z

dzp yq qy z4 2( ) ( )

�/�dx dy

y qy z1 2 ( )

""")1-

)1- �dp

p qy zdy

y qy z2 2( ) ( )

dpp

dyy

�/�0

����%����%$� ��%�����%�C���C�4���%�C���C�/���%��

C����C�/�� ���/�F�� ���/�� )�����%���/�F�-

��/��K�

�����%�����!������ �����)*-$� ��%��ay�/�)���4��-�"

���4���/ay ���/�

ay

z ��/�a

y

zy3 2/

���/ ����4���� ���/�ay

dxa

yzy

dy ���

���3 2/

���/ ����4�a

yz dy

���

��� ����4�����/�����4� a

ydy

�)��-�/ ����4� ay

dy

����%����%$� ��%�� ���/ ���4� a �"�y1/2

1 2/�4�� ����������� ay ���5�

#������������������������"

$%&'()*��<�/��-%&�+�()*�A:2&/(<C��1�<:%D

�����(� >� ������������� �����%!�������������������� ����������������������� ���������)���������-"

�����((� ����

fx

fy

fz

fp

fq

, , , .

�����(((� 3��������������7����'��������������������������������!������� ����������!��!���� ����������� �"

�����(.� >���������� �� ��������������������������%����%��������������������������!��!�%��������������� ��������"�#�������������������%!�����������������!������ �������!������� ��������"

�����.� ��������!������� ��������������������������/�����4������������%����"#���%!������������������������ �����%!����������"

Page 64: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� ������

���������� �������� ���� �� ������� �� �������������������������������� �����������1������3������ ��#

����������� � ����0��

$ ���"����������"��� % ������������������

& / �����������#������ ' /��������������/�����'

( ����������� ) /���"�����"�/�����������'

* � !�����#��� ��"��#����' ! �������#�������

2�34��3

���� ��"���#�� ������������ � ���������0�������

$ ����x a x a x

aay

y b2 2 2

12

2 2

sin % ��"���#� �����#�������

& ���"�axy

a

y

2

24���� ' �� ��"��#�����������#����

( ����"�x x x a

a x x a ay b2 2

2

44

44

� log ( )

) ���������� ���"��# * 2 1c z b( ) �������������

! ����"�������� ������#��

:���3

% ����� ����y z ax

a y( )

��

���������������� ������������y z ax

a ydy

( )

dz a dx

z axy

a ydy

& >������?���������������� ����������dp

pdy

y4 2

� ���������

@�� ���������������������������������������������������������������a

ydx

zy

ax

y

a

ydy

2 3

2

42

��

��

�����������#�"���1

20

2

2

3ydx

x dy

y

a

ydy

���

�� �

' ����� ��"��#����"�1

2 2 2 2

yz y a x dy( ( ) )

A�������������/����������� /��������4�����#��� /�� ��"��#����"�/� ��"��#����#�"�4������

Page 65: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

�������

�������������������������������������������������������

#����� � ����!�������������%� ������������� � ���!�%��������� ����������������� ����� ���������"����������� ����������������� ����� �����������!��!��$��������� ��������������������!��!���)�������-�� ���������������!��������"��� � ��������������������������� ��������� ������������������ ��������%������������"

� �� �� �� �� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ���������������������������������������������������������������������� �� �� �� �� ����������������������������������������������������

3��&�� ������ ����������� ����������� ���������������� �� ����������� � ����%���������������!��!�������%�������%!����������� ���������������"

%� ��&�'����������������� ����������

���������(����)������)�����)�����

���������

����������

�������� ������������������ �>���������B%���������

B���%��������������������� ����������������� �������������� ����

>����#�������

@�������>�������� �B���%��������������������� ����������������)�$��-��/�0� ��������������� ����

@�������>�������� �B���%��������������������� ����������������)�$��-��/��)���-� ��������������� ����

�������������%����� �)�$��-��/��)���-

�������������%����3�����)�$��-���>������� ������� �#����� ������������

�������������%����3�����)�$��-���� �����������)�����-

@�������;������� �����%��������������%���

Page 66: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �����'�����$�

3

3

2

2z

xz

x yzy

�/����4��������������� ����������������� ������

2"� ���� ���� ��&�� � � ������$�

x y

and � ���� �������� ��� �)��� ��-� ���� �)��� ��-

������!���"� � #���$� � ���� � ���!�� � � �������� �������� ��� ����� ��� ������ ��)���4�1���4��-��/����4���������)��

��4�1������4���-��/����4��"

�������BBC��������� ��

2zx y

������ ��� ��

zx

zy

. ��%����� ����

zx

zy

. ������� ������

B�# B�#�

������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ��� � � � � ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ����������� ������������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

3��&�� ���������������� ������������������������������ ��������������!������������������������!��!������������������ ������%��������������������������%�����"����������������� ����������������� ������������ ����� ���

A A A B B0 1 1 0

1

1 1

1

1

n

n

n

n n

n

n

n

n n

n

nz

x

z

x y

z

y

z

x

z

y

���

���

���

���

...... ......

�4�""""""�4� M N

zx

zy

���

��� �4����/��)���-$

����������� ������$���$�""""""��$������������������� �������� ��������"�� ������ ������$���$� """"""$��$����������� ��������� ������������ ���������������� ����������������������������������� �������4��B�6��3�����6���6����3"

������������������� ���������������$������������� �!����������������!��!�������%��������������������������������������"�������������������� ��������������!��!����!��!�������������������������������������������B���;�����3�������������������������� ���������������� �������������������B���;�����3�������������������������� �������

������%��������������������� ���������������� ������������� ������

� ����� ����A A A F0 1 1

n

n

n

n n

n

nz

x

z

x y

z

yx y ...... ( , ) $

����� �$���$�""""""$��������������������"

������������ ���� �%��������� �����������������(

)�- 4 52

2

2 2

2

z

x

zx y

z

y �/��� )��-

2

2

2zx

zx y

�/���������1�

)���- )���+�1����+�����4�1��-��/����� )�!-

2

2

2zx

zx y

zy

�+���/���

)!- )1���4����+�2�-��/�2����)2��+�1�- )!�- ��+���4�1��+���/�����

)!��- ����4�����+����/����� )!���- ��4�)�K�-��/�*6���

��# ��������������;������9���

� �����������������)�-$�)��-�����)���-���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"

� �������� ��������� )�!-$� )!-� ���� )!�-� ���.����%������� ������ ������� ���������������� ������������� ����"

Page 67: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

� �����������������)!��-�����)!���-���������%��������������������� ���������������� ���!��������� ����"

� �������� �������� )��-� �� �� ���.����%������� ������ ������� � ��������������� ���!��������� ����"

���������������������$� ���������������������������� ����!�%�����%�������������������� ����������������� ������������� ����"

��������������������������������������������������

������)�$��-��/��)���-�������������������� ���������������� ������������� ����" #��� �������)�$��-���� ����� ���

A A A B B0 1 1 0

1

1 1

1

1

n

n

n

n n

n

n

n

n n

n

nz

x

z

x y

z

y

z

x

z

y

���

���

���

���

...... ......

�4�""""""�4� M N

zx

zy

���

��� �4���

������$���$�""""""$��$�������������������"

<B����������,��� D>�D!����8�5������������������������������ ������4��B�6��3�����6���6����3��(���>���>����>���5����3�������3��� D>�D!����8>��B��

���E���B��� c ui ii 1

m

��3���3����3���������� D>�D�!����8�

/������ �������������� ��)�$��-���/�0 ���*������" �)�$��-�� �/�0 ���*������

�� �)�$��- c u f c u c f ui ii

m

i i i ii

m

i

m

����

����

1 11

( ) ( ) ( )D, D D, D � cii

m

( )01

�/�0"

c ui ii

m

1

������������������� ��������������)�$��-��/�0"

<B������ ��� ,��� D>�D!�� �� - �>� �!� 5�� �� ������� �������� ���������� �������4��B�6��3������6���6����3���(�����3���3���������� D>�D!����8����E�3���3���������� D>�D!�����- �>��!>��B������E���B�������E��3���3���������� D>�D!����- �>��!�

/�������������������� �)�$��-��/ 0" �)�$��-��/ 0 """)*-

!�������������� �)�$��-��/ �)���-" �)�$��-!�/ �)���- """)1-

�� �)�$��-�)��4�!-�/ �)�$��-��4��)�$��-!/ 0�4��)���- )<��%�)*-$�)1--

/ �)���-"

��4�!�������������� ��)�$��-��/ �)���-"

Page 68: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� ��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� �

����� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&���&���&���&���&����������������������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

��� �)�$��-��/�A A A0 1 10

n

n

n

n n

n

n

z

x

z

x y

z

y ...... """)*-

���������%��������������������� ���������������� ������������� ����$� �������0"

)*-������������ ��������� )����4����

�����4�""""""�4�����-���/�0

""")1-

����)1-�������!����������M)��+����-)��+����-�""""""�)��+����-N���/�0 """)2-

#�����%������������!�������$��������������)1-�����)2-������

�ADD

ADD0 1

1

���

���

���

���

n n

�4�""""""�4����/�ADD

DD

DD0 1 2

���

���

���

���

���

���m m mn......

��$���$�""""""$��������������� ������������

����4����

����4�""""""�4����/�0" """)5-

#�����������)5-������������������������ �������� �)1-"�#��������������������������������%�����������������������������A*7����������������� ���������)1-����������%������D���"

#�����������$���$�""""""$����� �������'������������������������������������"

A�3��(��&���3������3���6��

������������""""""����"

��������)2-���� ������� ���*������$�������������� �)��+�� �-���/�0������������� �)2-����������� �)*-"

)��+�� �-���/�0 �%� ��/�0

dx dy

mdz

i1 0

���4�� ����/�0$ ���/�0

��4�� ����$ ��/���

��/� )��4�� �-" )�����%����/� )��--

��/��)��4����-$���/��)��4����-$�""""""�$���/��)��4����-��������������� �)*-"

��/��)��4����-�4��)��4����-�4�""""""�4��)��4����-������������������� �)*-"�>�������������������������������� ��������$��$�""""""$��$���������������������������%���������������� �����%!����������"

A�3��((��&���3����������3���6��

�������/���������""""""����"�����������$�������������� �)*-������� ����������/�)��4��-)��4����-�4�""""""�4��)��4����-" )� ���/���-

#�������������������������+�*���������� ���������4��$��$�""""""$��" #�����������%��������������"<��%����/������)2-$� ��%��$���M)��+����-

��)��+����-�""""""�)��+����-N���/�0""")6-

��������)6-���� ������� ���2������$�������������� �)��+�� �-��/�0������������������ �)6-����������� �)*-"

��/ )��4�� �-$ 2���������������������� �)*-"

Page 69: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

��/ �)��4����-�4�""""""�4��)��4����- """),-������������� �)*-"

#������������ �)��+����-��/�0������������������� �)6-����������� �)*-"

)��+����-����/ 0 )��+����-)��+����-���/�0 """)9-

��� )��+����-���/ �" """)L- )9- )��+����-��/�0 ��/ �)��4����-$� �����������������" )9- ��+�����/ �)��4����-

��� ��������������������������� dx dym

dzy m x1 1 1 1

( )

"""):-

):- ���4������/ 0 ��4�����/��

#�&�%����� ������������� �������� �):-$� ��%��

���/dz

c1( )�� ���/��)�-���

��/ �)�-���4��

��/ ��)��4����-�4��)��4����-""")*0- )�����%���/��)�--

������%�),-�����)*0-$

��/���)��4����-�4��)��4����-�4��)��4����-�4�""""""�4��)��4����-

������������������ �)*-"

>��������������������������������� ��������$��$��$�""""""$�������������������������������%���������������� �����%!����������"

����������������� �� �� �������������������� �������������������������������� ���$�� ����������� ��������������� ��� ������ ���� ��#����� ���� ��#������������� �� ���� ��#��������������������� �������������������� ���

���%����������������� �� ����� ���� ����������������������������������� ������� �������� �������������� ������������������B��� �����B���!�������� ����� �� ����������� ���������������������� �C�� �

5-����� ����1���� ���/�0$�����0$��������������)1-��������)���

�����4�""""""�4�����-���/�0

�� �)���������4����

�����4�"""�4��������-��/�0 """)*-

#������������ ����/�0������������������� �)*-"

���/�0 zy�/�0 ��/�)�-$� ����������������"

>������$� �������� ������ ��������������� ��������������������������������%������ �����%�������������������/��)�-�4���)�-�4�""""""�4��

����)�-$� ������$��$�""""""$��������������� ������"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�-

2

2

2 2

2z

x8

zx y

15z

y �/�' )��- ,��-��,��'

)���- )5�%25�5��..55��%25�� ��' )�!- )5��5��%,5�5�� ��')!- )5�5���5�5�� ��'"

Page 70: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �����)�-�3����!�

2

2

2 2

28 15 0z

x

zx y

z

y "

)���+�L���4�*6��-���/�0 """)*-

E�������%���/���������/�*����������������� �)*-$�������'�������������� O)*-O����+�L��4�*6�/ 0"

��/ 2$�6

#���%���������������� �����%!������������������ ������!���� ������!> ������$���������������� ������"

)��- 3����!�� ��1��4�6��4�1��/�0"

��)1���4�6���4�1��-���/�0 """)*-

#�����'�������������� �)*-���1���4�6��4�1�/�0"

��/�+�*K1$�+�1

#���%���������������� �����%!������������

z y12

x (y 2x)1 2 ���

��� $� ������$���������������� ������"

)���- 3����!� )���+�,����4�**����+�,��-��/�0" """)*-

#�����'�������������� �)*-������+�,���4�**��+�,�/�0"

��/�*$�1$�2

#���%���������������� �����%!������������

������ �����!����� ������!����� ������!> ������$��$���������������� ������"

)�!- 3����!� )���4����+�1����-��/�0 """)*-

#�����'�������������� �)*-������4�*�+�1���/�0"

)���+�*-�/�0 �� ��/�*$�*$�+�*$�+�*"

#���%���������������� �����%!������������

������ �����!������ �����!����� ��"��!������ ��"��!>

������$��$��$���������������� ������"

)!- 3����!� )�����4�����-��/�0" """)*-

)*- �����)��4��-��/�0#��������� �%�������������������������%�������� �����������)�-�4���)�-"

#�����'�������������� ���)��4��-��/�0�����)��4�*-�/�0

��/�0$�0$�+�*

#��������� �%�������������������������%�������� �������)��4��-���)��4�0"�-�4���)��4�0"�-�4�)��4�)+�*-�-"

#���%���������������� �����%!������������

������ �!������ �!����� �!������ �!����� ��"��!>

������$��$��$��$��������������� ������"

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� �'����������%!�������������������� ��������"�����((� ������/���������/�*����������������� ����������������������������

D���"�#�����������'�������������� �����%!����������"�>��!�������'������������"

Page 71: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

�����(((� � �� �����������������������������������%������� �����%����������������)��4�� �-"�� �� ���������������������������������������������%����� � � ���� %������� �������� �� �)�� 4�� �-� 4� ��)� � � �-� 4� """"""4������)��4�� �-"

�����(.� � �������� ������ ��������������� ������������������ ��������/��������/�*������������� ������ ���������������������������� �����%�������������� ����������%� ��� ��� �� ��&��� ��� �)�-� 4� ��)�-� 4� """"""4������)�-"

�� �����

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

������� �

2

2

2

2z

x

z

y ���'

$

2

2

2 2

22

z

x

zx y

z

y

���

��� ���' % B��"�4BB���4B�#�����'

& /7��"�4'����!3����' ' B����/B�B�"�BB��"�/B�#�����'( B��"�0BB����/B�#�����' ) B����B�B�"�3BB�#�����'

* B��"�/B�B#�����' !

3

3

3

2

3

37 6z

x

z

x y

z

y ���'

B��"�0B�B���0BB��"�B�#�����' � B�B�"�0BB����/B�#�����'

$ B��"�/B�B���/BB��"�B�#�����' % B�B���B�#�����'�

2�34��3

����� ������#���� ��"���# � ����� �����#���� ��"��#

$ ����� ���� !��� 2 #�#���� ���� !�"� 2 #�# % ����� ����/�#����� ����/�#

& ������ y x x y x���

��� �

�����

45

452 ' ����� �����#���� ��"��#���� ��"�/�#

( ����� �����#����� �����#���� ��"�/�# ) ����� �#���� ����/�#���� ��"�0�#

* ����� �#����� �#���� ����/�# ! ����� �����#���� ����/�#���� ��"�0�#

����� �����#����� �����#������ �����# � ����� �#���� �����#���� ����/�#

$ ����� ��"��#���� �����#����� �����#������ �����#

% ����� �#����� �#������ �#���� ��"��#�

��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ������ � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""������������������������� �!�!�!�!�!����������"""""&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

��� �)�$��-���/ �)���- """)*-

���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"

�������������%���������������� ��)�$��-���/�0" �)�$��-���/�0 """)1-

����!������������������%�����"�"���������������������� ��)�$��-���/��)���-" �)�$��-�!�/ �)���- """)2-

Page 72: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�� $ �)�$��-)��4�!-�/ �)�$��-��4��)�$��-!�/�0�4��)���-�/��)���-)<��%�)1-�����)2--

��!�������������� ��)�$��-��/��)���-"�>�����������%���������������� �������������)�$��-��/�0$������������������� ���������������������������������"

#�������������!�� ��������������)�$��-��/��)���-����������������������������� ��������������������� ��)�$��-��/��)���-"

��!�������%���������������� ��������������)�$��-��/��)���-"#���%������������������ ��������������)�$��-��/�0�������������6������������

��6����� A�-�!�� ��������������)�$��-��/��)���-" <B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����- �>��!��3��5�����

5�����;��B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����8�������������6��������;�������B��� ������� D>�D�!����- �>��!�

� �� �� �� �� ����� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� �����$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""��������������������� �!� �!� �!� �!� �!��"��"��"��"��"

��� �)�$��-��/ �)���- """)*-

���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"

#������E��3������������1

f ( )D, D ��� �����������������)�$��-����� ����������������

�)�$��-�1

fx y

( )( , )

D, DF

���

��� �/��)���-

1

f ( )D, D ��)���-�����������������%����� �������������)*-�������

�)�$��-�1

fx y

( )( , )

D, DF

���

��� �/��)���-�/�="B">"�� �)*-"

1

f(D, D ) �- �>� �!� �3� �������6����� ����;������ �B��� ������� D>�D!�

��- �>��!�

� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� (!&���� (!&���� (!&���� (!&���� (!������"�����������"�����������"�����������"�����������"����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� ��)���-� �� �������� ������� � ������� � ���� �������$� �����������������

���%����1

f ( )D, D �)�� �-�� ������ ��������������� �)�$��-��/��)���-�������������

�'�����%� 1f ( )D, D

������� ������������������%��� ����� �������������"�#��

������������%����������������������!������������ ���������������������������"����� ������ ��������������%����������������"�� ���P��$������������!���������'����

1f ( )D, D

���������%��� ����� ���������������P��$������ ����������'�����1

f ( )D, D��������%��� ����� ��"

Page 73: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ���������������������(

)�- �,5�%-55�,5� ��,/��%�- )��- ������ ��������"

�����)�-�3����!�� )1���+�6���4�1��-���/�15)�%�-" """)*-#����"�"�� �)*-���1���+�6��4�1�/�0" ��/ *K1$�1"

�"�"�/ 1 212

2y x y x���

��� ( )"

�� $ �"�"�/1

2D 5 2D2 2 DD�15)�%�-

/1

2D1

5242

21

���

���

���

���

D2D

DD2 ( )y x

/24

2D1

52

2

���

���

���

��� D

2DDD2 ...... ( )y x

/12 5

1 02D 2D( ) ( )y x �

����� �/�*1�

x y x2 3

32 630

1���

��� D

( )

/ 6 2 306

6 32 33

2 3x y xx

x y x . "

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

�z y12

x (y 2x) 6x y 3x1 22 3 �

����� $

�������������������������� ������"

)��- 3����!�� ��4�)���-��4�����/���"

2

2

2 2

2z

xa b

zx y

abz

y ( ) �/���

)���4�)���-����4������-���/��� """)*-

#����"�"�� �)*-�� ���4�)���-���4����/�0"

��/�+��$�+�� ��"�"�/��)��+���-�4��)��+���-"

�� $ � �"�"�/�1

2 2D DD D ( )a b�)��-

��������������������������������/�1

12

1

DDD

DD

2

2 ���

���

��

( ) ( )a b xy

/�1

12

2

DDD

DD2

���

���( ) ...... ( )a b xy

��/�1

02D Dxy

a bx �

��

( )( ) �/��

xa b

x3 4

6 24

���

��� ( ) �"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

������� ��"���!����� ��"�5�!���16

x ya b24

x3 4 $

�������������������������� ������"

Page 74: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���# B����0BB���/B�#�����/����0� � B��"�/BB���B�#�����!/��

$ B��"�BB�"�3B�#������� % B��"���B�#�������

& B��"�3BB���9B�#�����!/�����03�� ' B��"�/BB�"�!7B�#����!/���

2�34��3

����� ��"��#���� ��"�/�#�"�76

32

3 2x x y � ����� �����#����� �����#���/��������

$ ����� ��"�/�#���� ����0�#���16

124

3 4x y x % ����� ������#���� ��"���#���112

4x

& ����� ����0�#����� ����0�#���!'�����3��� ' ����� ��"�0�#���� ����7�#��������/����

� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������ )����*�" )����*�" )����*�" )����*�" )����*�"

<B�������(� D>�D!�5����B���;�����3���6�������D����D����;�����>

�B����B�������6���������;������ D>�D!���� �����5�!��3�;�E���5�

1f(a, b) ��� ��������� � E!�E�E��������E>�4B����E��������5�>����E��� �>�5!��8�

/�����3����!� ��)���4���-�/ �����)���4���-$

��)���4���-�/ �����)���4���-

��� ����)���4���-�/ ���������)���4���-"

�)�$��-�)�����-�/ �)���-�����)�����-

)� �)�$��-���������%������� ������� ���%�����-�!��%�����������������.D�������������)���-$� ��%��

�)�$��-� ( )

( , )( )( )ax by

f a bax byn

E���� ������ ������!���������������)�$��-$� ����!�

�1

fax by

ax byf a b

n

( )( )

( )( , )

( )

D, D

1 1

fv

f a bn

( )( )

( , )( )

D, D �)!-$� �����!�/����4���"

=�����%����)!-����)!-$� ��%��1 1

fv

f a bv dv dv dv

( )( )

( , )...... ( ) ......

D, D �� � $ �����!�/���

4���"��������%������$����� ������)!-������������%������������� "�"�"�!$� ����

�����������%����� ���������%������� �������)�$��-"

/�(����1

f(D, D )(ax by)

1f(a, b)

. .. .. . (v) dv dv .. .. .. dv

�� � >

4B����E��������5�>����E��� �>�5!���8�

Page 75: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

��6���������A�3����� ��)���-�/�0$����������+�������������� ������ ��)�$��-����������+����/�0"��������� ��������+����������������������$� ��������*"�#���!����

1( )b a rD D

�)�����-���%!������x

b r

r

r !�)���4���-"

1

(bD aD )r �� �����5�!���x

b r !

r

r �� �����5�!�

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�- ),5�%-55�,5��-���/�-)�%�-)��- ���%,���,��� ���

)���- �5�%/5�5�/55�� ��2����0��,�

)�!- �5�%25�5�..55��%25�� ��������

�����)�-�3����!� )1���+�6���4�1���-��/�6)��+��-" """)*-

#����"�"�� �)*-���1���+�6��4�1�/�0"

��/ *K1$�1

�"�"�/ 1 212

2y x y x���

��� ( )"

�"�"�/1

2D522 5DD 2D

( )y x """)1-

�%�� ����� ��/�+�*$���/�*"���� �)�$��-�/ 1���+�6���4�1��" �)���-�/ �)+�*$�*-�/�1)+�*-��+�6)+�*-)*-�4�1)*-��/�:��0

)1- �"�"�/ 15

f a bv dv dv

( , ) �� $� ���� !�/���+��

/19

52

59 6

554

2 33. . . ( )

vdv

vy x � �"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

z y12

x (y 2x)554

(y x)1 23 �

����� $

������$���������������� ������"

)��- 3����!�� ��4���+�1��/�)1��4��-���"

2

2

2 2

22z

x

zx y

z

y �/�)1��4��-���

)���4����+�1��-���/�)1��4��-��� """)*-

#����"�"�� �)*-��� ���4���+�1�/�0" ��/�+�1$�* �"�"�/ �)��+�1�-�4��)��4��-"

�"�"�/1

D DD 2D2 2�)1��4��-��� """)1-

1��4���/ ����� ��/�1$���/�*"

Page 76: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

����$ �)�$��-�/ ���4����+�1��" �)���-�/ �)1$�*-�/�)1-��4�)1-)*-�+�1)*-��/�5��0"

)1- ����"�"�/� 1 1/2

f a bv dv dv

( , ) �� $� �����!�/�1��4��

/ 14

23

14

23 5 2

115

3 2 5 2vdv

v/ /

./

� �)1��4��-��"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

������ ��"���!����� �����!���1

15(2x y)5/2 $�� ������$���������������� ������"

)���- 3����!� )���+�5����4�5���-���/�,����)2��4�1�-" """)*-

#����"�"�� �)*-�� ���+�5���4�5��/�0"

��/�0$�1$�1

�"�"�/ �)��4�0"�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-

/ �)�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-

�"�"�/1

D 4D D 4DD3 2 2 �,����)2��4�1�- """)1-

2��4�1��/ ����� ��/�2$���/�1"

����$ �)�$��-�/ ���+�5����4�5���" �)���-�/ �)2$�1-�/�)2-��+�5)2-�)1-�4�5)2-)1-��/�2��0"

)1- �"�"�/ 16

f a bv dv dv dv

( , )sin��� $� �����!�/�2��4�1�

/13

6. cos�� v dv dv �/�1� ( sin )� v dv

/ 1����!�/�1����)2��4�1�-"

����<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

��� �� �!����� ������!������ ������!�����6�3� �������!>

������$��$���������������� ������"

)�!- 3����!� )���+�,����4�**����+�,��-���/�e x y5 6 " """)*-

#����"�"�� �)*-������+�,���4�**��+�,�/�0

��/�*$�1$�2

�"�"�/ �)��4�*�"��-�4��)��4�1�-�4��)��4�2�-"

�"�"�/1

D 6D D 11DD 6D3 2 2 3 e x y5 6

""")1-

�6��4�,��/ ����� ��/�6$���/�,"

����$ �)�$��-�/ ���+�,����4�**����+�,��

�)���-�/ �)6$�,-�/�)6-��+�,)6-�),-�4�**)6-),-��+�,),-��/�+�:*��0"

)1- �"�"�/1

f a be dv dv dvv

( , ) ��� $� �����!�/�6��4�,�

/191

191

191

��� e dv dv e dv ev v v

/ 191

5 6e x y "

Page 77: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

<��%�@">"�/��"�"�4�"�"$�����%���������������� �����%!������������

��� �� �����!����� ������!����� ������!� 191

e5x 6y$

������$��$���������������� ������"

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �5�%/5�5�/55� ��/����,���

)��- �5�%&55��%25�� �����������������%�

)���- �5�%/5�5�-55��%,5�� ������������ ���

)�!- �5�%&55��%25�� ��������,� ������"

�����)�-�3����!� )���+�5����4�5����-���/�5����)1��4��-" """)*-

#����"�"�� �)*-������+�5���4�5��/�0"

��/�0$�1$�1

�"�"�/ �)��4�0"�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-"

�"�"�/1

D 4D D 4DD3 2 2 �5����)1��4��- """)1-

1��4���/ ����� ��/�1$���/�*"

����$ �)�$��-�/ ���+�5����4�5���" �)���-�/ �)1$�*-�/�)1-��+�5)1-�)*-�4�5)1-)*-��/�0"

���+�5����4�5����/ �)���+�5���4�5��-�/��)��+�1�-�

)1- �"�"�/1

(D 2D D2

). sin ( )

14 2x y ��)����/�1$���/�* ��+�1��/�0-

/1

(D 2D 2 �)

sin ( )4 2x y ���Q

�/1

(D 2D 2

).

( cos ( ))4 22

x y

/ +�1�1

(D 2D 2

)cos ( )2x y

/ +�1�"�x2

21 2( ) !����)1��4��-��)� ���+����/�)*-��+�1��/���+�1�-

/ +�������)1��4��-"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

������ �!����� ������!������ ������!�"����6�3� ������!>� ������$��$��������������� ������"

)��- 3����!� )���+�9����+�,��-���/����4�����4����4����)��+��-" """)*-

#����"�"�� �)*-����+�9��+�,�/�0"

��/�+�*$�+�1$�2

�"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4��)��4�)+�1-�-�4��)��4�2�-"

(@��������������1D

4 2sin ( )x y ����12

4 sin v dv� ������������/�����

��"�/�� ������"�/�� �� /�����#�

Page 78: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �"�"�/

1

D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4����4����)��+��--

/1

D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4���-�4�1

D 7DD 6D3 3 2 ����)��+��-"

�� $1

D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4���-

/1

1 7 62

2

3

3

1

2 2 3

DDD

DD3 �

�����

��

( )x xy y

/1

1 7 62

2

3

32 2 3

DDD

DD3 �

�����

�� ...... ( )x xy y

/1 7

2 66

62 2 35 6D D D3 ( ) ( ) ( )x xy y x y

/ x x y x y x x y x5 4 2 3 3 6 5 6

60 24 67

360 2036

720

���

���

���

���

���

���

/572

160

720

124

16

6 5 5 4 2 3 3x x x y x y x y �"

����1

D 7DD 6D3 3 2 ����)��+��-

/1

(D + D D + 2D D 3D ) ( ) ( )����)��+��-

/1

D + D1

D + 2D D 3D .( ) ( )

����)��+��-

)����/�*$���/�+�* ��4���/�0-

/ 11 2 1 1 3 1D + D

1 ��.

( ( )) ( ( ))cos v dv dv $� �����!�/���+��

/1

4D + D1

. �)+����!-�/�

14D + D1

�����. cos ( )x y

/14

.1

D D ����)�%�-�/�+�

14

.1

( D D ) ����)�%�- )�������������-

/ +�14 1 11.

( ) !

x

����)�%�- )� ���+����/�)+�*-��+�)*-��/�+���+��-

/14������)�%�-

�"�"�/572

160

720

124

16 4

6 5 5 4 2 3 3x x x y x y x yx

x y cos ( ) "

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

������ ��"��!����� ��"���!����� ������!���572

x1

60x6 5 � 7

20x y5 � 1

24x y4 2 � 1

6x y3 3

x4

cos (x y) $� ������$��$���������������� ������"

Page 79: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

)���- 3����!� )���+�5����4�6����+�1��-���/��� ���4�)��4��-���" """)*-

#����"�"�� �)*-������+�5���4�6��+�1�/�0"

��/�*$�*$�1

�"�"�/��)��4�*�"��-�4���)��4�*�"��-�4��)��4�1�-"

�"�"�/�1

D 4D D 5DD3 2 2

2D 32 1/2( ( ) )e y xy x

/1

(D D D

1

(D D D

) ( ) ) ( )( )2

22

1/2

2D 2De y xy x

�"

�� $1

(D D D

) ( )22

2Dey x

�/�1

D (D D

2D1

22.

)e x y

)� ��/�1$���/�* ��+�1��/�0-

/1

D ( 1 ��2D1

2 2.)

e dv dvv $� �����!�/�1��4��

�12D 1 1

21

12 2

D e

xe xex y x y x y

( ) !"

)� ���+����/�)*-��+�1��/���+�1�-

�����1

2D21/2

( ) ( – )( )

D D D y x �/�

1 12D2

1/2

( ). ( )

D D D x y

)� ��/�*$���/�* ��+���/�0-

/1

(D D �).

( )21/21

1 2 1v dv$� �����!�/���4��

/1

(D D1

(D D

).

/.

)( )

//

2

3 2

23 2

3 223

vx y

/ 23 1 2

2

23 2.

( ) !( ) /xx y )� ���+����/�)*-��+�)*-��/���+

�-

/ 13

2 3 2x x y( ) /

�"�"�/ xe x x yx y2 2 3 213

( ) / �"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

������ �����!������ �����!����� ������!���xe13

x (x y)2x y 2 3/2 $

������$��$���������������� ������"

)�!- 3����!� )���+�9�����+�,��-���/����)��4�1�-�4���� �" """)*-

#����"�"�� �)*-������+�9��+�,�/�0"

��/�+�*$�+�1$�2 �"�"�/��)��4�)+�*-�-�4��)��4�)+�1-�-�4��)��4�2�-"

�"�"�/1

D 7DD 6D3 3

232(sin ( ) )x y e x y

/�1

(D + D ) D + 2D D D

( )( )sin ( )

32x y ��4�

1(D + D ) D + 2D D D

( )( )33e x y�"

Page 80: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� $

1(D + D ) D + 2D D D

( )( )

sin ( )3

2x y

/1

( + 2)1 1 4 1 6( ) ( )sin

��� v dv dv dv$� �����!�/���4�1�

/ +�1

75175

175

�� �cos sinv dv dv v dv �)+����!-�/�+�175

2cos ( )x y "

����1

(D + D ) D + 2D D D

( )( )33e x y

/13

3

D D1

(D + D ) D + 2D .

( )e x y

)� ��/�2$���/�* ��+�2��/�0-

/13 3 3 2D D

1( + 1) ��.

( )e dv dvv $� �����!�/�2��4��

/13 20 1 1 20

31

1

3

D D1

.

( ) !.e

x ex yx y

)� ���+����/�)*-��+�2��/���+�2�-

/120

3xe x y

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

��� �� ��"��!����� ��"���!����� ������!� 175

cos (x 2y)1

20xe3x y $

������$��$���������������� ������"

�� ������

-����B��;�������3�����������B������4��;�������������������� ������3�F B����0BB���/B�#�����/����0� � B����/BB���B�#������������

$ B��"�/BB���B�#��������� % B��"�4B�B���4BB�#������ �� /����0�#

& �������� ' 4��"�4��������!3�� �� ����/�#

( /��"���"�0����7��&�� ) B��"�7BB���4B�#��������� 4�����#

* B��"�/�BB�����B�#������ ������# ! /B��"�7BB���/B�#�����7����� /�����#

B��"�/B�B�"�BB����/B�#��������� � B��"�4B�B���4BB�#��������� ����/�#

$ B��"�4B�B���4BB�#������ �� /�����# % B��"�0BB���/B�#�������������������� �� ���/�#�

2�34��3

����� ��"��#���� ��"�/�#���1

2402 3 3( )x y � ����� ��"��#����� ��"��#���

e x y2 3

25

$ ����� �����#����� �����#��� ex y 2

% ����� �#���� ����/�#����� ����/�#�"�132

2 3sin ( )x y

& ����� �#���� �#�������

' ���� 1 221

212

2 2y x x y x x x y���

��� �

����� log ( )

( ���� 1 232

( )y x y x xex y ���

��� ) ����� �����#���� ����4�#�"�

13

4x x ycos ( )

Page 81: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

* ����� ������#����� ������#���x

g y ax2

2( )

! z y x y x x x y ���

��� 1 2

12

253

2( ) cos ( )

����� �����#���� �����#���� ����/�#�"�12

������

� ����� �#���� ����/�#����� ����/�#�"�x

x y2

42cos ( )

$ ����� �#���� ����/�#����� ����/�#���x

x y2

42sin ( )

% ����� �����#���� ����/�#���112

13

22e xe x yx y x y cos ( ) �

��� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� �������������������� � � � � ����� ����� ����� ����� ����� ������ ������ ������ ������ ������ �

��� �)�$��-��/��)���- """)*-

��� �� ����%������� ������ ������� � �������� �������� � � �������� ��� ��������� ����"

������$���$�""""""$������������������ �������'�������������� �)*-"�B���������� �������������������������"

�"�"�/1

fx y

( )( , )

D, DF

/1

2( )( ) ...... ( )( , )

D D D D D DF

1 m m mx y

n

3�� ���������������������� ��!������%�� 1D D m

g x y( , )�� �����������������

���� ������)���-"

��� ��/�1

D D mg x y( , )

��)��+���-���/�)���- ��+����/�)���-

��%���%����'�����������������dx dy

mdz

g x y1

( , )

""")1-

)1- ���/�dym ���4�����/�0 ��4����/��

)1- ���/�dz

g x y( , )

���/�)�$���+���-��� ��/ g x a mx dx( , )� 1

D mDg(x, y) g(x, a mx) dx

� """)2-

� �����!��������� ��%������$������������������������������4���"

�� � ��������������!��������� ���������������%����� �)*-"

Page 82: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �"�"�� �)*-�/

1

2( )( ) ...... ( )( , )

D D D D D DF

1 m m mx y

n

/1 1 1

D D D D D DF

1 2 m m mx y

n. ...... ( , )

#����%����������!������������������������������ ����� �������)2-"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �5��,55�5�� ��,����%�����

)��-

2

2

2

2 2 2z

x4

z

y

4x

y

y

x

)���-

2

2

2

2z

x

z

y �/����������%���������

)�!- �5��55%25� ����������� "

�����)�-�3����!� )���4�1���4���-���/�1������+�������" """)*-

#����"�"�� �)*-�� ���4�1��4�*�/�0"

��/ +�*$�+�* �"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4���)��4�)+�*-�-�/��)��+��-�4���)��+��-"

�"�"�/1

D 2DD D2 2 ( cos sin )2 y x y

/1

(D + D D D )

) (( cos sin )2 y x y

/1

D + D � [ cos ( ) sin ( )]2 a x x a x dx

)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/���4��-

/1

D + D [ sin ( ) { cos ( ) sin ( )}]2 a x x a x a x

/1

D + D [sin ( ) cos ( )]a x x a x �/�

1D + D

[sin cos ]y x y

/ � (sin ( ) cos ( ))a x x a x dx

)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/���4��-�����������������������/�+����)��4��-�4������)��4��-�4����)��4��-�������������������������/������)��4��-�/�������" <��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������������ ��"��!������ ��"��!�����3����>� ������$������������������������"

)��- 3����!�

2

2

2

2 2 244z

x

z

y

x

y

y

x "

�� )���+�5��-���/�4

2 2x

yyx

""")*-

#����"�"�� �)*-�� ���+�5�/�0"

��/ +�1$�1

�"�"�/ �)��4�)+�1-�-�4��)��4�1�-�/��)��+�1�-�4��)��4�1�-"

Page 83: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� ��������������

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

�"�"�/ 1 42 2 2D 4D2

���

���

xy

yx

�/� 1 42 2(D 2D )(D 2D )

���

���

xy

yx

/1 4

22

2 2D 2D �

������ x

a xa x

xdx

( )

)��+�1��/���+��� ��/�1 ��/���+����/���+�1�-

/1 2 4 2

22

2 2D 2D

���

���� a x a

a xax x

dx( )

/1 2

222

22 2D 2D

���

���� a x

aa x

ax x

dx( )

/1

22

2D 2D

�� log ( ) loga x

aa x

ax

x

/1 2 2

2D 2D

��

��log logy

y xy

y xx

x

/1

22

3D 2D

��

��log logy x

xy

yx

/ �

���

���log ( ) loga x x

xa x

a xx

dx2 22

22

3

)��4�1��/���+��� ��/�+�1" ��/���+����/���4�1�-

/ �

���

���log ( ) loga x x

xa x

ax

dx2 22

25

/ log ( ) . . (log ) . .a x xa x

x dx x xx

x dx

� �222

22

4�� 2

25

xa x

dx a x xlog

/ ����%�)��4�1�-�4�)1��4�-���%���4�2��/�����%���4�����%���4�2�"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

������ ��"���!����� ������!�������;����������;�������>� ������$��������������� ������"

)���- 3����!� ��

2

2

2

2z

x

z

y �/��������������+�������������"

��)���+���-���/��������������+������������� """)*-

#����"�"�� �)*-�� ���+�*�/�0"

��/ +�*$�*

� �"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4��)��4�*"�-�/��)��+��-�4��)��4��-"

�"�"�/1

D D2 2 �)�������������+�������������-

/1

(D D )(D D ) �)�������������+�������������-

Page 84: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

� ��������� �������������

�����

������������������������������� /

1D D

� [tan tan ( ) tan tan ( )]3 3x a x x a x dx

)��+���/���+��� ��/�*" ��/���+����/���+��-

/1

D D � tan tan ( ) [sec sec ( ) ]x a x x a x dx2 21 1

/1

D D ���� tan ( ) . tan seca x x x dx2

+�� ���tan . tan ( ) sec ( )x a x a x dx2

/1

D D

� �tan ( ) .

tansec ( ) tana x

xa x x dx

22 2

212

� ��tan .

tan ( )sec tan ( )x

a xx a x dx

22 2

212

/1

2(D D

)tan ( ) tan tan tan ( )a x x x a x2 2

�� (sec (sec ( ) ) sec ( ) (sec )2 2 2 21 1x a x a x x dx

/1

2(D D

)tan ( ) tan tan tan ( )a x x x a x2 2

�� (sec ( ) sec )2 2a x x dx

/1

2(D D )�M�������������4��������������4�������4������N

/1

2(D D )�M������������4������������N

/12 � M����)���-�������4�����������)��4��-N���

)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/����-

/�12

2 2tan ( ) tan sec ( ) tan tan sec ( )a x x a x x dx x a x dx � �

� � �/

12������������"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

����� ��"��!���� �����!���12

������������>� ������$���������������� ������"

)�!- 3����!� )���4����+�,��-���/�������)��4��-" """)*-

#����"�"�� �)*-������4���+�,�/�0"

��/ +�2$�1

�"�"�/ �)��4�)+�2-�-�4��)��4�1�-�/��)��+�2�-�4��)��4�1�-"

�"�"�/1

D DD 6D2 2 �������)��4��-

/1

(D + 3D ) D 2D ) (�������)��4��-

Page 85: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

/1

D + 3D � x x a x dx2 2sin ( )

)��+�1��/���+��� ��/�1" ��/���+����/���+�1�-

/1

D + 3D� x a x dx2 sin ( )

/1

D + 3D ��� ����x a x x a x dx2 2cos ( ) cos ( )

/1

D + 3D ��� ����x a x x a x a x dx2 2 2cos ( ) ( sin ( ) sin ( ) )

/1

D + 3D x a x x a x a x2 2 2cos ( ) sin ( ) cos ( )

/1

D + 3D ( ) cos ( ) sin ( )x x y x x x y x2 2 2 2 2

/1

D + 3D ( ) cos ( ) sin ( )x x y x x y2 2 2

/ [( ) cos ( ) sin ( )]x x a x x x a x dx2 2 3 2 3 �)��4�2��/���+��� ��/�+�2" ��/���+����/���4�2�-

/ [( ) cos ( ) sin ( )]x x a x x a dx2 2 4 2 4 �/ )���+�1-�

sin ( ).sin ( )

sin ( )44

244

2 4x a

xx a

dx x x a dx � �

/14

2 432

42( ) sin ( ) sin ( )x x a x x a dx �/

14

2 432

44

144

2( ) sin ( )cos ( )

.cos ( )

x x a xx a x a

dx �

�� �

/14

2 438

4332

42( ) sin ( ) cos ( ) sin ( )x x a x x a x a

/x

x y x x x y x2

41332

4 338

4 3���

��� sin ( ) cos ( )

/x

x y x x y2

41332

38

���

��� sin ( ) cos ( )"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

��� �� ��"���!����� ������!���x4

1332

sin (x y)38

x cos (x y)2

���

��� >

������$���������������� ������"

�� ������

-����B��;�������3�����������B������4��;�������������������� ������3�F ������"�3������� ��� � B����BB�"�3B�#������������

$ ��"���"�/���� /��������"���#��������"�� ���� % B��"�BB�"�/B�#����� ��"�!#���

& B��"�0BB��"�/B�#������ �� ����/�#�"���� 0���/�#

' B����/B�B�"�BB��"�/B�#����� ����/#����

Page 86: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

2�34��3

����� ����/�#���� ��"�0�#�"���� ����������� � ����� ����/�#���� ��"�0�#�"���������"�� ���

$ ����� ����/�#���� ��"��#��������� % ����� ����/�#���� ��"��#������

& ����� ��"��#����� ��"��#���� ����/�#���127

����� ����/�#������

' ����� �����#���� ��"��#���� ��"�/�#�������

Page 87: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

�������������������������������������������������������

��������������������$� ����!����������!�%��������������� ���������������� ������������� ����"���������������� �� ���������%���������������� �������������������� ��������������� ���������������!��!����!��!����������������� �������"���������� ����$� �����!������������%��������������������� ���������������� ������������� ����"����������������������$� ��������������������������� � ���%%���������������� ��������������� ����������������� ���������������%������"

*� ���#��&�'����������������� ����������

���������(����)������)�����)�����

���������

����������

���.����%��������������������� ������������������ �������������� ����

=������������������������.����%��������������������� ���������������� ��������������� ����

@�������>������� � �=����������.����%��������������������� ����������������)�$��-��/�0� ��������������� ����

@�������>�������� ��������������.����%��������������������� ����������������)�$��-��/�0� ��������������� ����

@�������>�������� ����.����%��������������������� ��������������� ��������������� ����

������������%����� ��)�$��-��/��)���-

�������������%����3�����)���-���>������� ������� �#������ ������������

�������������%����3�����)���-���� ����������������

�������������%����3�����)���-���� �������������)�����-�������)�����-

�������������%����3�����)���-���� �����������������G)���-

Page 88: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� �

���������� ������������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

���������������� ���������������� ������������� �������������������B���;�����3��������������������������� �������4��B�6��3�����6���6����3 ������������� �����������!��!��������%����������������������������"

�����'�����$����� ���� �%��������� ����������������������������.����%�������������������� ����������������� ������������� ����(

)�-

zx

z

ye x y

2

22 3

)��- )1���4����+�2�-��/�2����)2��+�1�-

)���- )��+�1��4�6-)���4���4�2-��/�e x y3 4 ����)��+�1�-

������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+������������ ������ ������ ������ ������ ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������&���&���&���&���&����������������������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

�����)�$��-���/��)���-���������.����%��������������������� ��������������� ������������� ����"�#����������������������6�5��� ��)�$��-������������!������ ����������� � ������ ����� ������%�������������"

�����'�����$� )���+����4�2��+�2�-��/������ ���������������.����%��������������������� ���������������� ������������� ���������������+����4�2��+2��/�)��+��-�)��4���4�2-"������.����%��������������������� ��������������� ������������� ������������������6�5��� ����������������"������'������)1��

+����4��-���/����+��������������������.����%������������������������ ��������������� ������������� ������������)1���+����4��-���������������!������������ ���������������"

��� �������� �������� �������� �������� ������������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

��� �)�$��-���/�)����4�����4���-�""""""�)����4�����4���-���/�0 """)*-

��� �� �����������.����%������� ������������� � �������� �������� ��� ��������� ����"

#��� ��������������� ������� �)*-������������������������"

A�3��(��-�6���3������3���6�

��������)*-���� ������� ���*������$�������������� �)� ��4�� ��4�� -���/�0������������� �)*-"

)� ��4�� ��4�� -���/ 0 � ��4�� ��/�+�� �

dxa

dyb

dzc zi i i

""")1-

Page 89: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

)1- � ���+�� ���/ 0 �� � ���+�� ��/�

����$ )1- � dzz

ca

dxi

i ��%���/�+�

ca

xi

i log

��/ e c x ai i / �� ��/�e a y b xc x ai i i

i i / ( ) )�����%��/� )--#��������������� ����� ��0"� �� ��0$�����������&�%���������������� �������� �)1-$� �������� �����

��/�e a y b xc y bi i i

i i / ( ) �������������� �)*-"

��/�e a y b xc x a 1 11 1 1

/ ( ) $ ��/�e a y b xc x a 2 22 2 2

/ ( ) $�""""""$

��/�e a y b xc x an n n

n n / ( ) ��������������� �)*-"

����e (a y b x)c x/a1 1 1

1 1 ���e a y b xc x a2 2 2

2 2 / ( ) ���������

��e a y b xc x an n n

n n / ( )

������������������ �)*-"�>��������������������������������� ��������$��$�""""""$�$����������������������������%���������������� �����%!����������"�B���� ����!����������������$���$�""""""$���������������.D������������"

A�3��((��-�6���3����������3���6�

�������� ����� �� ����������������������������������"�����������$������������

� �)*-������� ��������� z e a y b x e a y b xc x a c x an n n

n n 1 11 2 1 1

/ /( )( ) ...... ( ) "

#�������������������������+�*���������� ��������$��$��$�""""""$��"

#�����������%��������������"

)*- )����4�����4���-��)����4�����4���-��""""""�)����4�����4���-���/�0

""")2-

��������)2-���� ������� ���2������$�������������� �)� ��4�� ��4�� -���/�0������������������ �)2-����������� �)*-"

��/�e a y b xc x ai i i

i i / ( ) $�2�������������������� �)*-$����!����� ��0$�2������"

z e a y b x e a y b xc x a c x an n n

n n 3 33 3 3

/ /( ) ...... ( ) """)5-

������������� �)*-"

#������������ �)����4�����4���-����/�0������������������� �)2-����������� �)*-"

)����4�����4���-����/�0 )����4�����4���-)����4�����4���-���/�0���""")6-

��� )����4�����4���-���/�� """),-

)6- �)����4�����4���-���/�0

��/�e a y b xc x a 1 11 1 1

/ ( )

�����������������"�3������������%����������0"

),- ����4�����4�����/�e a y b xc x a 1 11 1 1

/ ( )

����4�����/�e a y b xc x a 1 11 1 1

/ ( ) �+����

�dxa

dyb

dz

e a y b x c zc x a1 1 1 1 1 1

1 1

/ ( )""")9-

)9- �����+������/�0 ����+�����/��

Page 90: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#�&�%����� ������������� �������� �)9-$� ��%��

dzdx a

e a y b x c zc x a 1

11 1 1 1

1 1( ( ) )/

dzdx

ca

za

e a y b xc x a 1

1 11 1 1

11 1/ ( ) """)L-

#��������������������"

��"�"�/�e eca

dxc x a

1

1 1 1�

/

>�������� ��)L-��

�R� ea

e a y b x e dxc x a c x a c x a1 1 1 1 1 11

11 1 1

/ / /( ) . �

/�1

11

1

1ac dx

x ca

d � ( )( )

zexa

a y b x dc x a1 1

11 1 1

/ ( )

ze x a y b x a y b xc x a1 11 1 1 2 1 1

/ ( ) ( )

Taking and 11

1 21

���

���a

d c( )

��/�e c x a 1 1/ �)���)����+����-�4��)����+����--���"""):-������%�)5-�����):-$

����e– c x/a1 1 ���� ����"�5��!����� ����"�5��!!

��e (a y b x) .. . . . . e (a y b x)c x /a3 3 3

c x /an n n

3 3 n n �

>��������������������������������� ��������$��$�""""""$��$���������������������������%���������������� �����%!����������"

������������������ ����������������������������������������������� ����� ����������� �

������������� ��� �����e a y b x x a y b xc x a 1 11 1 1 2 1 1

/ ( ( ) ( ) ������������� ��� ����"����##��������������������� �������������������� ���

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� 6��������5�5 �����������������������������5���5"�����((� 4��������������������7���������������5��5��� ���������

8"("��e ay bxcx a / ( ) ����'��e ay bxcy b / ( ) ���'"

�����(((� 4��������������������������������5��5�������������������8"("��

�e x (ay bx)cx/a i 1

i 1

r

i

$�������'����e y y (ay bx)cy/b i 1

i 1

r

i

$�������'"

Page 91: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

�������������

����������� �����������������������������������������������������������

)�- ������' )��- 55�5%,5%0 ��'

)���- �55��5��5��� ��' )�!- ��,����,��,����'"�����)�-�3����!� ������/�0" )���4����4��-���/�0 )0"��4�*"��4�0-)��4���4�*-���/�0�""")*- #���%���������������� �)*-��

��/ �������)0��+�*"�-�4����������)*"��+�*"�-

�� ��� �� "��!��������� ��"��!>

�������������������������� ������"�������� "��#������� �������� �� ��������������� ��������������� �#�� ��� �����������

����� ���)��- 3����!� ��)��+�1��+�2-���/�0" """)*- )*"��4�0"��4�0-)0"��4�*"��4�0-)��+�1��+�2-��/�0 #���%���������������� �)*-��

��/ ��������)*"��+�0"�-�4���������)0"��+�*"�-�4��

������)*"��41"�-�� ��� �� �!����� "��!��������� ������!$ ������$��$���������������� ������"

)���- 3����!�� )���4����4����4���-���/�0" )��4��-)��4��-���/�0 )*"��4�0"��4��-)0"��4�*"��4��-��/�0

""")*- #���%���������������� �)*-��

��/ �������)*"��+�0"�-�4���������)0"��+�*"�-

�� ��� ������� �!����� ���� "��!> �������������������������� ������"

)�!- 3����!�� ��4�1��4���4�1��4�1��4���/�0 """)*-

)���4�1���4����4�1��4�1��4�*-���/�0 M)��4��-��4�1)��4��-�4�*N���/�0 )��4���4�*-����/�0 #���%���������������� �)*-��

��/ ��������)�)*"��+�*"�-�4����)*"��+�*"�--

�� ��� ���� �� ��"��!������� ��"��!!>

������$���������������� ������"

��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+�������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

��� �)�$��-���/ 0 """)*-

������������������.����%��������������������� ���������������� ������������ ����"

Page 92: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��� ��/ �������"

��������/ �����)�������-�/������������������������

�)�$��-���/ �)���-��������

��/���������������������� �)*-� ��)���-�/�0�����������������������������"����)� �� �������� �� �������������������� ��%��)� �� -�/�0"

z c eia x b yi i �������������� �)*-� ��������"

#���%���������������� �)*-���z c ei 1

ia x b yi i

$�4B���� ��>�5�!���8�

�������� �������� ���������������������������������������� �� !#��������������� �$�� ��������������������������� ������������� ��������

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� 6����������!���������������������5�5 �5�5 ��'��������5�5 ����������������������������������������5���5����5�5 �������������"

�����((� 9�������������������5�5 ��'���������������������������"

�����(((� 9������������������5�5 ��'���������������������������"

�����(.� 3������ ������ ��������� �� �� ��� ������ �������� �� ��� �!����������"

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�- �5��5�5 ��' )��- �,5�%05�5�5� ��'

)���- �5�,5%0 �5��5 ��' )�!- �5�05 ��5��-5�5 ��'"

�����)�-�3����!� )���4���4��-���/�0" """)*-

���4���4�������������

��� ��/����������������������� �)*-"

������)���4���4��-���������/�0

���4���4���/�0 ��/�+�)���4��-

��/�ceax a a y ( )2$� ����������������������������������"

��#���%���������������� �)*-�����/� c eia x (a a )y

i 1

i i2

i

$� ������ ������ ����

�����������������"

)��- 3����!� )1���+�2����4���-���/�0" """)*-

��)1���+��-)���+��-���/�0

#��� �����1���+�������������"

������/����������������������� �)1���+��-���/�0"

)1���+��-����������/ 0 1���+���/�0 �� ��/�1��

��/ ceax a y 2 2

Page 93: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� ��������������

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

�����������%� ��� 1��� +� �$� ���� ����� � � %������� �������� � � )*-� �

c eia x a y

i

i i

2

1

2

"

#��� ��������+������������������"

������/�c ea x b y ��������������� �)���+��-���/�0"

�)���+��-�c ea x b y �/�0 ���+���/�0 �� ��/���

��/� c ea x a y 2

�����������%�������+��$����������� �%���������������� �)*-��� c eia x a y

i

i i

2

1

#���%���������������� �)*-�� z c e c eia x 2a y

i 1i

a x a y

i 1

i i2

i i2

$� ����

� �� �� $�� ����������������������")���- 3����!� )��4�1��+�2-)���4��-���/�0" """)*-#��� �������4�1��+�2��������" �����������%������4�1��+�2$����������� �%���������������� �)*-��

e x ( ) /3 1 �)*"��+�1"�-��"�"�����)��+�1�-"

�#��� ��������4�������������"������/����������������������� �)���4��-���/�0" )���4��-����������/�0" ���4���/�0 �� ��/�+���

��/� ceax a y 2

�����������%�������4��$����������� �%���������������� �)*-��� c eia x a y

i

i i

2

1

"

#���%���������������� �)*-������������� ��"���!��� c eia x a y

i 1

i i2

$� ��������

��������� ����������� ��� ����������������������"

)�!- 3����!� )��4�2�-��)���4�6��4��-���/�0" """)*-

#��� �����)2��4��-������������������" �����������%����)2��4��-�$����������� �%���������������� �)*-��

�������)�)2"��+�*"�-�4���)2"��+�*"�--$ �"�"� �)2��+��-�4���)2��+��-"

#��� ��������4�6��4�������������"������/����������������������� �)���4�6��4��-���/�0" ��)���4�6��4��-���������/�0

���4�6��4���/�0 �� ��/�+�)���4�6�-

��/� ceax a a y ( )2 5

�����������%� ��� ��� 4� 6�� 4� �$� ���� ����� � � %������� �������� � � )*-� �

c eia x a a y

i

i i i

( )2 5

1

"�160

Page 94: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

� ��������� �������������

�����

������������������������������� #��� %������� �������� � � )*-� �� �� �� �� ��� "� �!� �� �� �� ��� "� �!

�� c eia x (a 5a )y

i 1

i i2

i

$� ������$��� ������������� ������������ � � � ������������

��������"

�� �����

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

B���B�"�!# B���/B�"�/#����' � B���!# B���B�"�!#����'

$ B��"�BB�"�/B#����' % B��"�B����B�"�B#����'

& B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#�����' ' B��"�BB���B�"�!#����'

( ������"���"�����' ) B��"�BB�"�/B����/B���/B#����'

*

2

2

2 2

26 0z

x

zx y

z

y ! B�"�0B�"�/#������'

B�"�B�#�����' � /B��"�B����B#�����'

$ B����BB���B���B���!#�����' % B�"�/B�"�!# B�"�/B��"�!#����'

& /B�"�0B���7#�� B����0B#�����'�

2�34��3

������� ��"��#������� ��"�/�# � ������� �#������ ��"��#

� ������� ��"��#������� ��"�/�#

$ ����� �#������� �����# % ����� �����#������� ��"��#

& ������� �����#������� �����# ' ������� �#������� �����#

( ������� �#������� "��# ) ����� ��"��#�������� ����/�#

* ����� ����/�#���� ��"�0�# ! �������� � ����0�#����� ����0�##

���� c eib x b y

i

i i2

1

�i

ia x b yc e i i

1

��������/����"���

���������'

$ ���� c eia x b y

i

i i

1

� �����������������������������!���'

% ������� ����/�#��� c eib x b y

i

i i( )1 2

1

2

& ����������� � /����0�#����� /����0�##��� c eia x a y

i

i i

2 3

1

/ �

��� �������� �������� �������� �������� �����������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� ������ � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� �� �� �� �� ������������������������������������������

��� �)�$��-���/��)���- """)*-

��������.����%��������������������� ���������������� ������������� ����"

Page 95: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

��� ���������%���������������� ��)�$��-���/�0"

�)�$��-���/ 0 """)1-

����!������������������%����� ��)�$��-���/��)���-"

�)�$��-�!�/ �)���- """)2-

�� �)�$��-�)��4�!-�/ �)�$��-���4��)�$��-�!�/�0�4��)���-�/��)���-"

��!�������������� ��)�$��-���/��)���-"�>�����������%���������������� �������������)�$��-���/�0$���������������4�!�� ��������������)�$��-���/��)���-������%���������������� ��������������)�$��-���/��)���-"

#���%������������������ ��������������)�$��-���/�0�������������6��������������6����� A�-�!�� ��������������)�$��-���/��)���-"

<B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!�����- �>��!��3��5�����5�����;��B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����8�������������6��������;�������B��� ������� D>�D�!����- �>��!�

� �� �� �� �� ����� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� �����$$$$$ � � � � �!!!!!�����������"""""����������������� �!�� �!�� �!�� �!�� �!��"��"��"��"��"

��� �)�$��-���/��)���- """)*-

��������.����%��������������������� ���������������� ������������� ����"

>��$� �)�$��-�1

fx y

( )( , )

D, DF

��

�� � /��)�� �-$� ���� ������

1f

x y( )

( , )D, D

F

� �� �

������������%����� ��������������)�$��-���/��)���-"

� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �����!!!!!����������"��������������+"��������������+"��������������+"��������������+"��������������+���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� ��)���-����������� ������� ������������ ����� �������$����������������������%���

1f

x y( )

( , )D, D

F

�� ������ �����������������)�$��-���/��)���-���������������'�����%

1f ( )D, D

������� ������������������%��� ����� �������������"�#�����������

���%����������������������!������������ ��������������������������"��������� ������ ��������������%����������������"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�- �5�%5%. ����� )��- �5�%5�%05�05 ����"

�����)�-�3����!� )���+���+�*-���/����" """)*-

���+���+�*�����������"

�"�"�/ c eia x b y

i

i i

1

$� ������ ��+�� �+�*�/�0 �� � �/��

��+�*

Page 96: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �"�"�/ c ei

a x a y

i

i i

( )2 1

1"

�"�"�/1

1

12 2

D D 1+ (D D2 2

x y x y

)/ +�)*�4�)��+���--������

/ +�)*�+�)��+���-�4�)��+���-��+�""""""-����

/ +�)*�+���4����+�1����4�""""""-����

/ +�)����+����4�1��+�5�4�0�4�""""""-�/�+�����4����+�1��4�L"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��

z c eia x (a 1)y

i 1

i i2

� x y x 2y 82 2 $� ������ ������ �������������

��������"

)��- 3����!� )���+����+�2��4�2�-���/���" """)*-

�������+����+�2��4�2��/�)��+��-�)��4���+�2-�/�)*"��+�*"��4�0-)*"��4�*"��+�2- �"�"�/ ��������)*"��4�*"�-�4��

�����������)*"��+�*"�-�/��)��4��-�4�����)��+��-"

�"�"�/1

(D D (D + D 3 ) )xy

/1 1

31

1 1

D1

DD

D3

D3

���

���

���

���

���

���

. xy

/ +�1

12

3D1

DD

D3

D3

D3

D3

�����

���

���

���

���

...... ...... xy

/ +�1

13D

1DD

D3

D3

2DD9

���

��� ���

���...... ...... xy

/ +�1

13D

D3

D3

2DD9

DD

D3

���

���...... xy

/ +�1

3 329 2 3

02

3Dxy

y x x x ���

���......

/ +�1

2 3 629 6 6

2 2 3 2

3x y xy x x x x

���

���

/ +�1

2 3 3 629

2 2 3

3x y xy x x

x ���

��� �"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-����� �� �����!�������� ��"��!

���

���

13

x y2

xy3

x3

x6

29

x2 2 3

$

������$���������������� ������"

2��������E�����B��������;�/�(�

�"�"�/1

(D D )(D D 3) xy

Page 97: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

/ +� 13(D D )

1D D

3

1

�����

xy

/ +� 13(D D )

1D D

3D D

3...

2

�����

���

��� xy

/ +� 13(D D )

1D3

D3

2DD9

...

���

��� xy

/ +� 1

3D 1DD

���

���

���

���xy

y x3 3

29

/ +� 13D

1DD

���

��� �

�����

1

3 329

xyy x

/ +� 13D

1DD

D

D...

2

2

���

��� ���

���xy

y x3 3

29

/ +�1

3D1D

xyy x

x ���

���

���

���3 3

29

13

0 ...

/ +� 13D

1

3D2xy

y xx �

����� �

�����3 3

29

13

/ +� 13 2 3 6

29

13 6 6

2 2 3 2x y xy x x x x ���

���

���

���

/ +� 13 2 3 3 6

29

2 2 3x y xy x xx

���

��� "

������� ���� �������� ������������� ������ ����� � ���� ������������������������������� ������

�� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ��#

��"���������! � B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#������

$ ������"����������� % B��"�BB�"�/B����/B���/B#�������

& B��"�B����B���0B�"�/#�������� ' B B���B�"�!# B���0B�"�/#��������"�4�����/���

2�34��3

����� �#������� �����#���� � �������� �����#�������� �����#���x2

34

$ �������� �#������� �#�"����"���������!

% ����� ��"��#��������� ����/�#���x y xy x x x2 3 2

4 4 1238 2

& ���������� �����#������� ��"��#�"�12

32

32

3214

2 2x y xy x y x ���

���

' ����� �#������� �����#�������� ��"�0�#���112

2 12 12 21 24 33 2 2 2( )x x y xy x xy x �

Page 98: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� � �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������

,,,,,���������������

<B������� (� D>� D�!� 5�� �� ��6����� �� D� ��� D�>� �B��1

f(D, D )e

1f(a, b)

eax by ax by

����E��� �>�5!���8�

/�����3����!��Dr ax by r ax bye a e

���Ds ax by s ax bye b e

��� �� D Dr s ax by r s ax bye a b e "

� �)�$��-�eax by �/��)���-�eax by

�!��%���������������)�$��-$� ��%����)�$��-�ef a b

eax by

ax by

( , )

E�� �� ����� � � ���� �!����� ���������1

f ( )D, D$� �� ��!�

1f

eef a b

ax byax by

( ) ( , )D, D

�"

��������%����� ������������� ������� ������������������� �� �������#� ����������

���������%������ ��1 1

fe

f a beax by ax by

(D ) ( , ), D ��������������� ���������� ����#�

'��%�������������� ����#���'���������������������������������

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �55��5��5��� ������� )��- �5��5�/ ������"

�����)�-�3����!� )���4����4����4���-��/�emx ny " """)*-

����4����4����4����/�)��4��-)��4��-�/�)*"��4�0"��4��-)0"��4�*"��4��- �"�"�/���������)*"��+�0"�-�4��

��������)0"��+�*"�-�/��������)�-�4��

������)+��-"

�"�"�/�1

DD D D

a b abemx ny """)1-

�����/��$���/�� ���4����4����4����/����4����4�������������/�)���-)���-��0 )������%����+��$����+��-

)1- �� �"�"�/�1

( )( )m b n aemx ny

<��%�����@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��

��� ������� �!����� ���� "��!���e

(m b)(n a)

mx ny

>

�������������������������� ������"

)��- 3����!� )���4���4�5-���/�����" """)*-

���4���4�5�����������"

Page 99: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

�"�"�/ c eia x b y

i

i i

1

$� ������ ��4�� �4�5�/�0

/� c eia x a y

i

i i

( )2 4

1

"

�"�"�/1

44

D + D2 e x y """)1-

��/ 5$���/�+�* ���4���4�5�/�)5-��4�)+�*-�45�/�*:��0

)1- �"�"�/119

4e x y

<��%� @">"� /� �"�"� 4� �"�"$� ���� %������� � �������� � � )*-� �

z ci 1

ia x (a 4)yi i

2

1

19e4x y $� ������ ������ ����������������������"

�� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

B��"�BB�"�/B#�����e x y2 � B��"�B����B�"�B#���� e x y2 3

$ B��"�4BB���B�"�!#�����e x y3 2 % B��"�BB�"�/B����/B���/B#�����e x y2 3

& B��"�B����B���0B�"�/#����ex y ' B��"�0BB���B���!#�����e x y2 3 �

2�34��3

z y e y x ex x y 12

221

2( ) ( ) � z y x e y x ex x y 1 2

2 316

( ) ( )

$ z c e eia x b y

i

x yi i

1

3 2135

������������"�4����������"�!���'

% z y x e y x ex x y 12

22 32

110

( ) ( )

& z e y x e y x ex x x y 21 2

14

( ) ( )

' z ce ea x b y

i

x yi i

1

2 317

������������"�0������������!���'�

� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"��������������������01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"

��������%!����������� ������������������

�)�$��-���/ �)���-$� ������)���-�/����)���4���-�)������)���4���--"

�"�"�/1

f ( )D, D ����)���4���-�)������)���4���--

#��������!����������������%����/�+��$ ���/�+������ ���/�+��$����!������������������������D���"

Page 100: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �5�5 �5�5%, ��������,�

)��- �5�%55%,5���,5�,5 �������������,��� "

�����)�-�3����!� )��4��-)��4���+�1-���/����)��4�1�-" """)*-

)*�"���4�*�"���4�0-)*�"���4�*�"���+�1-��/����)��4�1�- �"�"�/ ���������)*"��+�*"�-�4��

������������)*"��+�*"�-

�"�"�/ �)�%�-�4������)�%�-"

�"�"�/1

(D D )(D D 2) ����)��4�1�- """)1-

B��� ��/ *$���/�1

���/ +����/�+�)*-��/�+�*$ ���/�+����/�+�)*-)1-�/�+�1$

���/ +����/�+�)1-��/�+�5"

)1- �"�"�/1

(D D ) 2(D D )2 ����)��4�1�-

/1

D D 2DD 2D 2D2 2 ����)��1�-

/1

1 4 2( 2) 2D 2D ����)��4�1�-

/ +�1

2D 2D 9 ����)��4�1�-

/ +�2D 2D 9

(2D 2D ) 812

����)��4�1�-

2D 2D 9

4 8 4 8122D DD D2 sin ( )x y

2D 2D 9

4 1 8 1 2 4 4 812

(– () )( ) (– )sin ( )x y

2D 2D 9117

2sin ( )x y

1117

�M1����)��4�1�-�4�5����)��4�1�-�+�:����)��4�1�-N

1117

�M,����)��4�1�-�+�:����)��4�1�-N

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��

������ ��"��!��������� ��"��!�+�1

117�G��6�3� ������!�"�#�3��� ������!H>

�������������������������� ������")��- �3����!� )���+����+�1���4�1��4�1�-���/���� ���4����)1��4��-" """)*-���+����+�1���4�1��4�1�/�)��4��-)��+�1�-�4�1)��4��-

�/�)��4��-)��+�1��4�1-�/�)*"��4�*"��4�0-)*"��+�1��4�1- �"�"�/ ���������)*"��+�*"�-�4��

��������)*"��+�)+�1-�-

Page 101: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

����������������������������"�"�/��)��+��-�4�������)��4�1�-"

�"�"�/1

22 3

D DD 2D 2D 2D2 2 ( sin ( ))e x yx y

/1 2 3

D DD 2D 2D 2D2 2 e x y

4�1

2D DD 2D 2D 2D2 2

sin ( )x y

/1

2 2 3 2 3 2 2 2 32 22 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e x y

4�1

4 2 1 2 1 2D 2D2

( ) ( ) (– )sin ( )

x y

/ +�110

122 3e x yx y

2D 2Dsin ( )

/ +�110

22 32e x yx y

D D

2(D D2 )sin ( )

/ +�110

22 3e x yx y

D D2( 4 + 1)

sin ( )

/ +� 110

16

2 2 22 3e x y x yx y ( cos ( ) cos ( ))

/ +�110

16

22 3e x yx y cos ( )"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��

��� �� ��"��!���������� ������!�"�1

10e

16

cos (2x y)2x 3y >

������$���������������� ������"

�� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

B��"�BB���B�"�!#����� �� ����/�# � B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#��������� /����0�#

$ B��"�BB�"�/B#��������� 0����4�# % /BB���B��"�0B#�����0�� �� 0��"�/�#

& B�"�B�#����� �� ��"�0�# ' B����B# B�"�B�"�B�#��������� /�����#�

2�34��3

�������� �#������� �����#���12

2sin ( )x y

� �������� �����#�������� �����#���110

2 3 3 2 3[sin ( ) cos ( )]x y x y

$ ����� �#�������� �����#���115

3 4 2 3 4[sin ( ) cos ( )]x y x y

% ����� �#���������� /��"��#���350

4 3 2 3 3 2[ cos ( ) sin ( )]x y x y

& ���� c e x y x yib x b y

i

i i2

1

182

3 9 3

[sin ( ) cos ( )]

' ���� c e k e x y x yia x a y

ii

b b x b y

i

i i i i i

2 2

1 1

134

2 3 2( ) [5 sin ( ) cos ( )]�

Page 102: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� � �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������

,,,,,����������������# �# �# �# �# �!���!���!���!���!��"""""

����������%!������������� ������������������

�)�$��-���/ �)���-$� ������)���-�/��������G)���-"

�"�"�/1

f ( )D, D��������G)���-

#������!��������������%����� �������(

1f(D, D )

e V(x, y) e1

f(D a, D b)V(x, y)ax by ax by

"

������� ���� ����#�������������� � ����#���'�� ������������ ��������1

feax by

( )D D,

���

1f a b

eax by

( ),

������������$� �� ���

1 11

fe

feax by ax by

( ) ( )( . )

D D D D, ,

� e

f a bax by 1

1( )

.D + D +,

"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �5�%/55�/5��5%,5 ������

)��- �5�5%. �5�5%0 �5�5 ����������,��� "

�����)�-�3����!� )���+�5���4�5���4���+�1�-���/�����" """)*-

���+�5���4�5���4���+�1��/�)��+�1�-��4�)��+�1�-

/ )��+�1�-)��+�1��4�*-�/�)*"��+�1��4�0-)*"��+�1��4�*-

�"�"�/ ��������)*"��+�)+�1-�-�4����������)*"��+�)+�1-�-

/ �)��4�1�-�4������)��4�1�-"

�"�"�/1

2D( ) ( )D D 2D 1 ex y

""")1-

B��� ��/�*$���/�*"

������/�*$���/�*����+�1��/�*�+�1)*-�/�+�*��0�������+�1��4�*�/�*�+�1)*-�4�*�/�0

���"�"�/�1

D 2D 11

D 2D ���

���

ex y �/�1

D 2D 1 ���

���

11 2 1( )

ex y

/��1

2D 1D 1

.ex y

�/�+�����1

1 21

(D D 1) + 1 ) (.

/�+�ex y

12D

1D

�/� ���

���

ex y . .11 2 1

1

DDD

/� ���

���

ex y . ...... .1

1 2 1D

DD

�/� e xex y x y. ( )1

1D

"

Page 103: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��

������ ������!��������� ������!�"������$� ������$���������������� ������"

)��- 3����!� )��4���+�*-)��4���+�2-)��4��-���/���������)1��4��-" """)*-

����)*"��4�*"��+�*-)*"��4�*"��+�2-)*"��4�*"��4�0-��/�����������)1��4��-

�"�"�/ �������������)*"��+�*"�-�4��������������)*�R���+�*�R��-�4��

��������)*�R���+�*�R��-

/ ����)�%�-�4������)�%�-�4��)�%�-"

�"�"�/1

(D D 1)(D D 3)(D D ) ex y����)1��4��-

/ ex y

1

1 1 1 1 1 1(D D 1) (D D 3) (D D )����)1��4��-

ex y 11 1 2(D D ) (D D ) (D D )

����)1��4��-

�����������������

ex y 1 2

1 42 2. ( )

) ( )

D D

((D D ) (D D )����)1���-

������������������

ex y D D(D D ) (D D )2 2

22DD 1 2DD 42 2 ����)1���-

������������������

ex y D D 2

4 1 2 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 4( (– ) . . ) ( ( ) ( . ) ) ����)1���-

������������������

ex y D D 2130

����)1��4��-

������������������ 1130

ex y �)1����)1��4��-�4����)1��4��-�+�1����)1��4��--

������������������ 1130

ex y �)2����)1��4��-�+�1����)1��4��--"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��

��������� ��"��!��������� ��"��!����� ��"��!

1130

ex y � ��6�3� ������!�"���3��� ������!!>

������$��$���������������� ������"

�� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

B��"�BB���B�"�!#������� � B��"�BB���B�"�!#�������

$ B��"�B#��������� % B��"�B��"�0B���0B#��������������

& B����BB���B���B�"�!#���������� �������# ' B B�"�/B# B���B#���������� �����4��#��

Page 104: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

2�34��3

�������� �#������� �����#�"���� � �������� �#������� �����#���12

xex

$ ���� c e yeia x a y

i

x yi i

2

1

% ����� �����#�������� ��"��#�"�16

19

19

118

227

2 2 3 2x y xy x x x xex y

& ���� c eia x b y

i

i i

1

������� ����������3����/����!;#�����������������������������"�!���'

' ����� �#���� ����/�#���� ��"��#�"�181

9 36 18 72 762 2 2( )x y x y ex y �

Page 105: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

��������������������������"��� �#���������������

����� ����� ���

�������������������������������������������������������

#��� �� � ����!�� �����������%� ���� �������� � � ������ ������� � ���������������� ������� ������������� ����"��� � ��������������������������� ���!�%������������������ ��������������� ����������������� ���!��������� ��������������������� ������%�������������������� ����������������� ������������ ����"

���������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� + + + + +������������������������������&����&����&����&����&����##### �� ����������� �� ����������� �� ����������� �� ����������� �� �����������

��� �)��$���-�/��)���- """)*-

������������������� ���������������� ���!��������� ����"�B�����)��$���-������� ������� ��������������������)*-������������������������ ���������������"#��� ���� �%����� ����� � � ����������� � �������� ��������� � � ���� ���� �)��$� ��-/��)���-�(

)�- �����+������/����

)��- )�����+�1�����4������+����4�2��-���/�L)�K�-)���- ����+�����4����+����/���%��"

���%������$������������������������� ������������������� ����� ����(

a xz

xa x y

z

x ya y

z

yx yn

n

nn

n

n nn

n

n0 11

1

...... ...... ( , )F

#���������������������� ��������

( ...... ......) ( , )a x a x y a y z x yn n n nn

n n0 1

1 1D D D D F "

+� ����� ��������������������� �)�,��������������(����)������

)�����)�����

���������

����������

=��������������������� ����������������� ���G���������� ����

>�������� �=��������������������� ����������������� ���G��������� ����

Page 106: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���������������������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ��� � � � � ��� ��� ��� ��� ��� �

�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �������� ������������������������������&����&����&����&����&����##### �� �� �� �� �� �� �� �� �� ������������������������������������������

�����)��$���-�/�( ...... ......) ( , )a x a x y a y z x yn n n nn

n n0 1

1 1D D D D F

""")*-

��������������������������� ���������������� ���!��������� ����"

�� ���!��������������!������/���%���������!�/���%��" ��/ �� ��� ����"

��� ���/u

��� ��/�v"

�� xzx

xzu

ux

xzu x

zu

1

xx u

�� ���/��� """)1-

����$�xx

xz

xx x

zx

n xz

xn

n

nn

n

nn

n

n

���

���

� �

11

11 2

1

11( )

/� xz

xn x

zx

nn

nn

n

n

( )1 11

1

xz

xx

xn x

zx

nn

nn

n

n

���

���

( )1 11

1

xx

xx

n xx

nn

nn

n

n

���

���

1 11

1

�� �����/ )���+���4�*-���������

�� �����/ )���+���4�*-���������" """)2-

3�����/�1$���)2-� �����/ )���+�*-����/�)���+�*-��

�����/ ��)���+�*-

3������/�2$���)2-�� �����/ )���+�1-������/�)���+�1-���)���+�*-

�����/ ��)���+�*-)���+�1-���"

#���$� ����!� ���/���$������/���)���+�*-$��

����/���)���+�*-)���+�1-$�""""""

>������$� ����!�����/���$������/���)���+�*-$��

����/���)���+�*-)���+�1-�""""""����$ �����/ ����$

��� ���������/ ��)���+�*-�""""""�)���+���4�*-��)���+�*-�""""""�)���+���4�*-">��������%�������!�����$�����%!����������� ������������������������������

� ���������������� ������������� ��������� ��������������!�������������O!"#����������������!������&�� �����������������������!������� �������!������������������������������"�#������������������%���������������� �����%!����������"

Page 107: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

��������������������������"��� �#���������������

����� ����� ���

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�- xz

x2xy

zx y

yz

yx

zx

yzy

z 022

2

22

2

2

)��- xz

x4xy

zx y

4yz

y6y

zy

x y22

2

22

2

23 4

)���- ���%������%������

)�!- xz

x2xy

zx y

yz

ynz n x

zx

yzy

x y x22

2

22

2

22 2 3

���

��� �"

�����)�-�3����!� xz

xxy

zx y

yz

yx

zx

yzy

z22

2

22

2

22 0

"

)�����4�1�����4������4����4����+�*-���/�0 """)*-��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��" ��/ �� ��� ����"����$ ���/���$ ���/���$ �����/���)���+�*-$����� /�����$��

����/���)���+�*-$

��������/�u��������/�

v�"

)*- )��)���+�*-�4�1�����4���)���+�*-�4����4����+�*-���/�0 )��

��4�1�����4���

��+�*-���/�0 ))���4���-

��+�*-���/�0 )���4����+�*-)���4����4�*-���/�0 �)*"���4�*"���+�*-)*"���4�*"���4�*-��/�0" ��/ �������������)*"!�+�*"�-�4��

��������)*"!�+�*"�-/ ����)!%�-�4�����)!%�-

/ ��)��%���+���%��-�4�1x��)��%���+���%��-

/ xyx x

yx

1 21

log log���

���

���

��� �/� x

yx x

yx

1 21�

�����

���

��� $�)���-

#���%�����������������z xyx

1x

yx1 2 �

�����

���

��� $� ������$���������������

������"

)��- 3����!� xz

xxy

zx y

yz

yy

zy

x y22

2

22

2

23 44 4 6

"

)�����+�5�����4�5�����4�,��-���/����� """)*-��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��" �� �� �������� ����"����$ ���/���$����/���$��

����/���)���+�*-$������/�����$�����

��/���)���+�*-$

���� �����/�u��������/�

v"

Page 108: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)*- )��)���+�*-�+�5�����4�5��)���+�*-�4�,��-���/�������

)����+�5�����4�5��

��+����4�1��-���/���� ��

))���+�1��-��+�)���+�1��--���/��

�� ��

� �)���+�1��-)���+�1���+�*-���/���� ��

�)*"���+�1���4�0-)*"���4�)+�1-���+�*-���/����� ���

��"�"�/��������)*"!�4�1�-�4���������)*"!�4�1�-

/��)1��4�!-�4�����),��4�!-�/��)1���%���4���%��-�4���)1���%���4���%��-

/��)��%����-�4���)��%��

��-

/��)���-�4���)�

��-$����

��"�"�/�1 3 4

( )D 2D )(D 2D 11 1 1 1 e u v """)1-

B��� ��/�2$���/�5

����/�2$����/�5 ���+�1���/�2�+�1)5-�/�+�6��0��� �� ���+�1���+�*�/�2�+�1)5-�+�*�/�+�,��0

)1- �"�"�/�1

5 6130

3 4 3 4

( )( ) e x yu v "

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

������ ���!������ �

��!�4�1

30x y3 4 $� ������$���������������� ������"

)���- 3����!� ����+�����4����+����/���%��"

��)�����+������4����+���-���/���%�� """)*-

��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��"

��/ ��� ��� ��/���

����$ ���/ ��$����/���$������/���)���+�*-$ �����/���)���+�*-$

����� ���/�u��������/�

v�"

)*- ����������������)��)���+�*-�+���)���+�*-�4����+���-���/�� )��

��+����-���/�� )���4���-)���+���-���/�� ���������)*"���4�*"���4�0-)*"���4�)+�*-"���4�0-��/�� �"�"�/ ���������)*"!�+�*�"��-�4��

��������)*"!�+�)+�*-"�-

/ �)!%�-�4��)!��-

/ �)��%���+���%��-�4��)��%���4���%��-

/ 1 logyx

���

��� �4��)��%���-�/�1

yx

���

��� �4��)��-$ )���"-

�"�"�/ 1 12 2 2

1

D D D1

DD1 1 1

12

12

���

���

u u

/1

2D1

DD1

12

12

���

���...... u�/�

10

6162

33

D1

( ) (log )uu

x "

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

zyx1 �

����� �4�2

3(yx)16

(log x) $� ������$���������������� ������"

Page 109: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

��������������������������"��� �#���������������

����� ����� ���

)�!- �3����!� xz

xxy

zx y

yz

ynz n x

zx

yzy

22

2

22

2

22

���

��� �4��

��4����4���"

)�����4�1�����4������+�����+�����4��-���/����4����4��� """)*-

��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��"

��/ �� ��� ����"

����$ ���/ ��$ ���/���$ �����/���)���+�*-$������/�����$

�����/ ��)���+�*-$� ��������/�u��������/�

v�"

)*- )��)���+�*-�4�1�����4���)���+�*-�+�����+�����4��-���/ ����4�����4����

)����4�1�����4���

��+����+����+�����+�����4��-���/ ����4�����4����

))���4���-��+�)��4�*-)���4���-�4��-���/ ����4�����4����

)���4����+�*-)���4����+��-���/ ����4�����4����

)*"���4�*"���+�*-)*"���4�*"���+��-��/ ����4�����4����" �"�"�/ ��������)*"!�+�*"�-�4��

������)*"!�+�*"�-

/ ����)!%�-�4������)!%�-�/�xyx

xyx

n 1 2log log���

���

���

���

/ ��)�K�-�4����)�K�-$ )���"-

�"�"�/1

12 2 3

(D D (D D1 1 1 1

) )( )

ne e eu v u

/1

11

12 2

(D D (D D (D D (D D1 1 1 1 1 1 1 1

) ) ) )ne

neu v

4�1

13

(D D (D D1 1 1 1 ) )ne u

���/�1

2 1 01

0 2 1 0 21

3 0 1 3 02 2 3

( + 0 (2

) ) ( ) ( ) ( ) ( )ne

ne

neu v u

���/�1

21

21

2 32 2 3

nx

ny

nx

( )�"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������

z xyx

xyx

12 n

(x y )1

2(3 n)x1

n2

2 2 3 ���

���

���

���

$

�������������������������� ������"

$%&'()*��<�/��%-��%,.()*� �D>��D�!���- �>��!

�����(� *����/��������!����"

�����((� 4���������������������������������!������������!�������%��/����������/���"9������������������������������������������������������������������"

�����(((� �������������������������������������������3����((�

�����(.� :������������������������������!����")����!�������������������������!����������"

Page 110: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� ����

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

xz

xxy

zx y

yz

y2

2

2

22

2

22 0

� xz

xxy

zx y

yz

yy

zy

z22

2

22

2

23 2 5 2 0

$ xz

xy

z

yx

zx

yzy

22

22

2

2 0

% xz

xy

z

yxy2

2

22

2

2

& xz

xy

z

yx y2

2

22

2

22

' xz

xxy

zx y

yz

yx ym n2

2

2

22

2

22

�� ��� ��'��!

( ����"�0������/�����������/���������/� ) ������/����"������x

y

3

2

* ���"������� ! ������/������������ �������#���

����"�����"�/���������"�/������ ��yx 1

2� ����"�4����"�4���"����������� ����

2�34��3

���� 1 2yx

xyx

���

��� �

����� � ����x xy

xx y2

1 221 ( ) ( )

$ ����� ��#����yx

���

���

% ����� ��#�����yx

���

���������� ���

& ����� ��#�����yx

���

������

12

����

' �����yx

���

��������

yx

���

������

x ym n m n

m n

( )( ) 1

( ����� ��#���� ���#�������� ) ����� �#������

y

x2������ �"�

x

y

3

29

* ����� �#������ �#���12

������ ��� ! ���� 1 2

2 2 2

1yx

xyx

x yn n

n������

������

( )( )

/

����� ���#���2

2 212

14

yx

x y x���

��� (log ) log (log )

� ���� c x y x yy

ia b

i

i i

1

2 2 16 15225

( log )����������

��"�4����"����"�!���'�

Page 111: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

�����$��������������

�������������������������������������������������������

������������������� ����������������������� ����!�%������������������ �������������� ����������������� ���!��������� ����� ��� ������������ ���%� ������� ��� ������������� � �������� ��������� ��� �������� �� ����� �����%�%����������������!�������"�>��!�%�����%!����������� ��������������� ���!��������� ����������������������&"�3��������!�%�������������������������"

� �� �� �� �� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �����������������2�����������������2�����������������2�����������������2�����������������2

�� ������� � �������� �������� � � ���� ������ ������ �� � � ���� ����)���������������-�/�0"��������������������������������������� ����������������� ���������������������!��"�;��%�7�������������������������!���������������������� ����������� ������������"

������� ������� ������� ������� ������� ������� �������� �������� �������� �������� �

��� �)���������������-�/�0 """)*-

������������� ����������������� ������������"������������ ����� ������/�)!-$� ������!����� �������� ������������������������������ �����$���������������������������;���� � � )*-� � ���� %!��� ������� � �������� �������� )*-� ����� ��� ���!��� ���������%�������������� ������"

�����'�������px

1���%��/�)�-��������������������%����� �����������������/�*$

�������� ��������%�px

1���%���/�)�-� "�"�"���� ��%���

py x y 1 1

0. ������+� 10

xy ���

����/�*"

-� &��'�.��&���� �

���������

����������

�������� ����������������� �>����������

����������������%���

;��%�7��;������

;��%�7��;������� ����!�%�=��4�>��4�#��/�G

;��%�7��;������� ����!�%�=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G

Page 112: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��������������� �� ��� �� ������������������������� ����������������������������$�� �� ����� ��� ������������������������������������� �� ����������������������� ��� �� ������������������������������������� �� ����� ��� �����

����%������������%������������%������������%������������%��������

��� =��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G """)*-

������������� ����������������� ������������$� �����=$�>$�#$�<$�G����� �������� ���������"������������� ����� ����)*-���������������������� ����������"�;��%�7������������������������!���������!�������������� ����� ����)*-"

������������ �<�/�0$������)*-�����������=��4�>��4�#��/�G"�3������������������%���������<�/�0�����<��0�����������"

����%������������������%������������������%������������������%������������������%��������������#�����#�����#�����#�����#�����33333��������������������-----��������������������44444���������������#####

��� =��4�>��4�#��/�G """)*-

��������!������������� ���������������$� �����=$�>$�#$�G����� �������� ����������"

>��������� ������� ��������$� ����!�

���/

px

dxpy

dyz

xdx

zy x

dy 2

2

2

�/��������

��� ���/

qx

dxqy

dyz

x ydx

z

ydy

2 2

2 �/��������"

>��!�%���������������� ����������$� ��%��� rdp sdy

dxt

dq sdxdy

and "

)*- �=�dp sdy

dxs

dq sdxdy

���

���

���

���S T �/�G

�M=)��-��+�>������4�#)��-�N�/�=������4�#������+�G����� """)1-

#������������(� =)��-��+�>������4�#)��-��/�0 """)2-

��� � =������4�#������+�G������/�0 """)5-

����������1��;�C3�� ������3��#�����������)2-�������!���������������������� �����"

A�3��(������ =)��-��+�>������4�#)��-��/�)�����4�E���-)�����4�E���-�/�0"

����������� ����!��� ���������������

A BR T V

1 1 00

dy dxdydp dxdq dxdy

�� """)6-

��� ��A B

R T V2 2 0

0dy dx

dydp dxdq dxdy

�� """),-

�����������)6-�������%�����"�������/��)���������-�/�������!�/�!)���������-�/������ �������������)6-"

��/�)!-��������������������%����� �)*-$�������/��$�!�/������� ��)1-���������)*-"�� ��������),-�����������%�����$� ��%�������������������������%���"�#������������������%������������!������ �������!������� ������������������ ��������"�#��!������� �����������������������������/�����4����"�#��������%���������%������

Page 113: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

�����$������%���������������� �)*-"�������� ��%���������������������������%������� �� ���������������������������������%��������� ���'�������������� �������4�?��/�=�����������%���%�7����������� �������%���������������� �)*-"

A�3��((������=)��-��+�>������4�#)��-��/�)����4�E��-��/�0������/��)�$��$��$��$��-�/��$�!�/�!)�$��$��$��$��-�/������� ������������

����4�E���/�0=�����4�#�����+�G�����/�0

��/�)!-��������������������%����� �)*-$�������/��$�!�/������� ��)1-���������)*-"�3���'�������������� �������4�?��/�=�����������%���%�7������������ ������%���������������� �)*-"

<����(��� ������3�;�E��;��4���3���6������������������;���3����5��B�����3���������B��;�������3��������

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1������(� 9��������!�������������������;��(��)��<"

�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���$�����������

;��� �%(�����)��� ��' """).-

��� ;�����)����%<�����' """),-

�����(((� ���������. ����������������������"

�����(.� ��������������������������"(��!���������������!�����������>�"

�����.� *���������������������������������������������������������!����������"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �%�������������' )��- ����%� %����%�� ���%��"

�����)�-�3����!����+���������4���������/�0"

��+���������/�+�������� """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��

=�/�*$�>�/�0$�#�/�+������$�G�/�%�������"

#���1��;�C3�� ������3�����(

=)��-��+�>�����4�#)��-��/ 0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/ 0 """)2-

)1- )��-��+������)��-��/ 0

)���+�������-�)���4�������-�/ 0

���+��������/ 0 """)5-

��� ���4��������/ 0 """)5-)2- *"�����4�)+�����-������+�)+��������-������/ 0

�����+�����������4���������������/ 0 """)6-

3��������������������)5-�����)6-"

����%����%�)5-$� ��%�� ��+������/ �

Page 114: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)5- ���/��������"������%�����!������ ������)6-$� ��%������������+������������4��������������������/ 0

��������)���+���������4�����������-�/ 0 ���+���������4������������/ 0

)�������������-�+���������/ 0 ;�������%��������$� ��%��

)��������4����������������-�+����/ 0 �)������-�+����/ 0

����%����%$� ��%�� �������+���/ ���� ��/ )�-$����������" �������+���/ )��+�����- """),->�������������!�%�)5-�����)6-$� ��%����������4���/�)��4�����- """)9-

>��!�%�),-�����)9-$� ��%��

��/1

2 sec x�))��+�����-�4�)��4�����--

��� ��/ +�12�))��+�����-�+�)��4�����--

�� ���/ �������"

���/cos

( ( – sin ) ( sin )x

y x y x dx2

+12

( ( – sin ) – ( sin )) y x y x dy

���/12( – sin ) (cos – )y x x dx dy �4�

12 ( sin ) (cos )y x x dx dy

���/ +�12( – sin ) ( – sin )y x d y x �4�

12( sin ) ( sin )y x d y x

����%����%$� ��%��

��/ – ( – sin ) ( – sin )� 12 y x d y x �4�� 1

2( sin ) ( sin )y x d y x

��� �� ��"�3����!����� ����3����!> � 3���!#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����$� �� ���� ��������

������"

)��-�3����!�� ����)��+��-�+��)���+���-�/����+���" ���%)���+���-��%���/����+��� """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��=�/���$�>�/�+����4���$�#�/�+���$�G�/����+���"

#���1��;�C3�� ������3�����(=)��-��+�>�����4�#)��-��/ 0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/ 0 """)2-)1- ��)��-��4�)���+���-������+���)��-��/ 0

)����+����-)�����4����-�/ 0 ���%����/ 0 """)5-

��� ��������/ 0 """)5-)2- ������%������%)���+���-�����/ 0 """)6-

Page 115: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

�����$������3��������������������)5-�����)6-$

)5- ���� ��� dyy

dxx

����%����%$� ��%�� ��%���/ ��%���4���%��

��%�yx�/ ��%��

yx�/��"

)6- ���"����+����"���%���"����4����"����/ 0

���%���%��������/ 0 ME�����%�)5-N

)�������-�+�)�������-�/ 0

�)��%��-�/�0 ��%���/��

������/�)�-" ���+����/�)�K�- """),-

�� � ��������������������)5-�����)6-")5- �)���4���-�/�0 ���4����/��

)6- ���"���%���"���%���"�������"����/�0

����������������/�0 ME�����%�)5-N � )�������-�4�)�������-�/�0

�)��-�4��)��-�/�0 �)�����-�/�0 ������/�1"

��� 1�/�)�-" ������/�)���4���- """)9-

3��%���� ����������������%������ �)*-"

>��!�%�),-�����)9-� ����������$� ��%��

��/x x y y y x

x yq

y x y x y x

x y

( ) ( / ) ( ) ( / )2 2

2 2

2 2

2 2

and �"

�� ���/ �������

���/x x y y y x

x ydx

y x y x y x

x ydy

( ) ( / ) ( ) ( / )2 2

2 2

2 2

2 2

"

���/ ( )

( )( / )

( – )x y

x yxdx ydy

y x

x yydx xdy

2 2

2 2 2 2

���/ ( )

( )( ) –

( / )( / )

–x y

x yd x y

y x

y x

xdy ydx

x

2 2

2 22 2

2 22 1

���/ ( )

( )( ) –

( / )( / )

( / )x y

x yd x y

y x

y xd y x

2 2

2 22 2

22 1

����%����%$� ��%��

��/ � �

( )( )

( ) –( / )( / )

( / )x y

x yd x y

y x

y xd y x

2 2

2 22 2

22 1"

��� �� �������!����� �@�!> 3��!�

#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����$� �� ���� �������� ������"

Page 116: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

<����((��� ������3�;�E��;��4���3���6������������������;����������������3��3���������B��;�������3��������

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� 9��������!�������������������;��(��)��<"

�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���$�����������

;��� �%(�����)��� ��' """�.

��� ;�����)����%<�����' """�,

�����(((� ���������. ����������������������"

�����(.� ?��������������������������������������������"(��!������������������+����������� �� �� ��� ������ �������� �� ��� �!����������"

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- ��%� ����%� ���%��' )��- ��%� ���%��%����� ����� ��%� "�����)�-�3����!����)��+��-��4�)�%�-��4��%��/�0" ���4�)�%�-��+����/��%� """)*-�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��

=�/��$���>�/��%�$���#�/�+��$���G�/��%�"#���1��;�C3�� ������3�����(

�=)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-��� �=�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-

)1- �)��-��+�)��+��-������+��)��-��/�0 �)�����-)���%���-�/�0 ������/�0 """)5- ��� ���%����/�0 """)5-

)2- �����%�����%)�%�-������/�0 """)6-3��������������������)5-�����)6-"����%����%�)5-$� ��%�����4���/��")6- �����%�����%������������/�0 ������4�����)+���-�4�����)+���-�4�������/�0 ����������������/�0 )� ���%��- �)�������-�4�)����4����-�/�0 �)��-�4��)��-�/�0 ���4����/����� ��/�)�-" ������/�)���-#���������%���%���������������"

��'����������������� dxy

dyx

dzx y

( )

"""),-

),- dxy

dyx

���%����/�0 12

02 2d x y( )

���+����/�1$� �����1�����������"

),- � dxy

dzx y

dx

x k

dz

x x k

�� �� ( ) 2 2

Page 117: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

�����$������

���/� x x k

x k

�� ��

2

2��� """)9-

��/���4� x k2 ��

/� 12 2

����

����

x

x kdx

u

x kdx

dx

x k

duu2 –

)9- ���/�)�-�"�duu

dzu

udu ( )

����%����%$� ��%��

��/ � ( )uu

du b "

��/ �)�-�4��$ ���

��/ �( – )x x k 2 �4���)�-$ ���

��� �� �����!����� ���"���!�

#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����$� �� ���� �������� ������"

)��- 3����!�� )��+��-�)���+����+����4���-�/�)��4��-�)��+��-"

)���+���-���+�)���+���-���4�)���+���-���/�)���-�)��+��- """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��

�=�/����+���$���>�/�+�)���+���-$���#�/����+���$���G�/�)���-�)�%�-"

#���1��;�C3�� ������3�����(

� =)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-

)1- )���+���-)��-��4�)���+���-������4�)���+���-)��-��/�0

� �)��-��4�)���-�����4��)��-��/�0

� � )����4����-)�����-�/�0

��������/�0 """)5- ��� ������/�0 """)5-)2- )���+���-������4�)���+���-������+�)��4��-)��4��-������/�0

3��������������������)5-�����)6-"

)5- �)��-�/�0 ���/��"

)6- )�%�-��"����4�)�%�-��"����+�)�%�-��"����+�)�%�-��"����/�0

��)��+��-���+�)�%�-���+�)�%�-���4�)�%�-���/�0����������)� ����%���-

�)�%�-)���+���-�+�)��+��-)���+���-�/�0

�dp dq

p qdx dyx y

d p qp q

d x yx y

( ) ( )

����%����%$����� ��+���/��)�%�-"

��� ��/�)�-" ��+���/�)�%�-�)��-"#���������%���%���������������"

��'������������������dx dy dz

x y xy1 1

– ( ) ( )"""),-

),- ���/�+��� ����/��"

Page 118: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#�&�%��)��-$��)��-$�*�������������$����� ������� �),-

/�y xy dx x xy dy dz

y xy x xy x y xy

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

�/�

y xy dx x xy dy dz ( ) ( ) 0

"

� y xy dx x xy dy dz ( ) ( ) �/�0

)��-)�������-�4����/�0 )��-��)��-�4����/�0

����%����%$����� �)��-�4���/������/��)�-" �)��-�4���/��)���-

#���%���������������� �����%!������������

������ �����!�"��� ��!>� �������������������������� ������"

<����(((��� ������3�;�E��;��4�������6�������������������;���3�

$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� 9��������!�������������������;��(��)��<"

�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���$�����������

;��� �%(�����)��� ��' """�.

��� ;�����)����%<�����' """�,

�����(((� ���������. �����������������������"

�����(.� ?��������������������������������������"(��!������������������+��������������������������������������!����������"

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- ���%,�������2� ������)��-���%� ����%,������� ����� ���%� "

�����)�-�3����!������+�1���4���/���4�,�" """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��

=�/���$���>�/�+�1�$���#�/�*$���G�/���4�,�"

#���1��;�C3�� ������3�����=)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-

)1- ��)��-��4�1�������4�)��-��/�0

)����4���-��/�0 ����4����/�0 ���/�+���� """)5-

����%����%$�������/�+�y

a2

2 ���4�1��/���� �������/�1�

)2- �������4�*"�����+�)��,�-������/�0 """)6- �������+�������4��)��4�,�-�)��-��/�0

����+����4�)��4�,�-����/�0

)����4����-�+����4�,����/�0

����%����%$� � ���+���4�2���/�1"

��� 1�/�)�-" ���+���4�2���/�)���4�1�-

#���������%���%���������������"

#�����'�����������������

dxy

dy dz

y x y

1 2 32 2( )

"""),-

Page 119: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

�����$������),- dx

ydy 1

����4����/�0 ���4�1��/��

),- +����/�dz

c y( ) 3 2 )2���+�)�--����/���

����%����%$���� ���+��)�-�/���4��"��� ��/��)�-

�����"��� �������!��������� �������!�

#���������%���������������� �)*-"�B����$���������������� ������"

)��- 3����!�� �)��+��-)����+�1����4����-�/�)��4��-��)��+��-"

���)��+��-����+�1��)��+��-��4���)��+��-��/�)���-��)��+��- """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��

=�/�)��+��-��$��>�/�+�1��)��+��-$��#�/���)��+��-$��G�/�)��4��-��)��+��-"

#���1��;�C3�� ������3���� =)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-

)1- � �)��+��-���)��-��4�1��)�%�-�����4���)��+��-)��-��/�0

�� �)��+��-)����4����-��/�0 ��������/�0 ���/�0 ��/��"

)2- � )��+��-��������4���)��+��-������+�)���-��)�%�-������/�0

�)�%�-�M���"����4����"���N�+�)���+���-�M���"���4����"��N�/�0

)��+��-�)���%���-�+�)���+���-�)+����4���-�/�0)� ��������/�0-

���%����+�)���+���-�d x y

y x( )

0

���� pq

p qd x y

x y���

���

( )( )2 2 0

���d x y

x y p qd

pq

( )( / )

���

���

11

02

����%����%$� ��%�����%�)�%�-�4�12

11

12

log//

logp qp q

b

"

)��+��-��p qp q

b

��� ��/�)�-" )��+��-��p qp q

z

( )

)��+��-��)��+��-�+�)��4��-�)�-�/�0 �))��+��-��+�)�--�+��))��+��-��4�)�--�/�0 """)5-

#���������%���%���������������"�#�����'�����������������

�dx

x y z

dy

x y z

dz

( ) ( ) (( ) ( ))

2 2 0 """)6-

)6- ���/�0 ��/��"

���� ������� �)6-� /�dx dy

zdx dyx y

2 2 2( ) ( )

�)��4��-�/�+�)�-� d x yx y( )

( )

2

Page 120: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ����%����%$� ��%��� ��4���/�+�)�-�"� ( )x y

d

1

1"

��4���+� ( )zx y

d

��� ��/�)�-"

x y(z)

x y(z)

"

#������������������%���������������� �)*-"�B����$��������������� ������"

�� �����

����� ������������ � ���� �� �� ���� � �� �������������������������� ������ �����������6 ���3������ ��#

������ � ��"������������/�������

$ ��"��#���� ��"��#� % ������������

& � !����#��"� ��������/��#����� !����#����' ' �� �����#��� ���"���# ��"�/#������"���

( ����"�����"�/�����/����' ) ����"�/�������������'

* ������/����������������������'

2�34��3

����� ��"��#���� �����# � ����� ���������#���� ���������#

$z

x y ���� �����#���� �&�# % ���������� �#���� �#

& ����� �#���� ���������# ' ���������� �������#���� �&�#

( ����� ��#����� �&�#���� ��# ) ������ ����� ���#���� ����� ���#

* ����� ���"���#�� �� �����#���� ���"���#�

:���

$ %��������������������������������"������ �&�# ��� ��������"������ �����#�8 ������� �����������������

�����1

x yz g x y yf

yx

���

���

��( )

��� ������1

x yz g x y xf

yx

���

���

��( ) �

���������������1

x yz g x y yf

yx

dx

���

���

��( ) ���

1x y

z g x y xfyx

dy

���

���

��( )

�������� �����#�������� �����#���� �����#�� �����#��� fyx

���

���� ����"����#

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( / )

( / )( / )

x y dz zd x y

x y

g x y

x yd x y

f y x

y xd y x

2 2 21

Page 121: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

�����$����������%������������������%������������������%������������������%������������������%��������������#���#���#���#���#��������33333��������������������-----��������������������44444���� ���� ���� ���� ���� 3333344444�5��5��5��5��5�-----�����"���"���"���"���"���#####

��� ��������=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G """)*-

��������!������������� ���������������$� �����=$�>$�#$�<$�G����� �������� ����������"

>��������� ������� ��������$� ����!�

���/�

px

dxpy

dyz

xdx

zy x

dy rdx sdy 2

2

2

��� ���/�

qx

dxqy

dyz

x ydx

z

ydy sdx tdy

2 2

2 "

>��!�%���������������� ����������$� ��%�����/�dp sdy

dxt

dq sdxdy

and �"

)*- R S Tdp sdy

dxs

dq sdxdy

���

���

���

���

�4�U V( ) ( )dp sdy dq sdx

dxdys

���

���

2

�M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N

/�=�����4�#�����4�<�����+�G���� """)1-

#������������(�=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-�/�0 """)2-

��� =�����4�#�����4�<�����+�G�����/�0 """)5-

����������1��;�C3�� ������3��B���$�������������)2-���������� ������"

�����/�)���������-������ ��������������

M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N�4�=�����4�#����

4�<�����+�G����

��� ���������"

����M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N�4�=�����4�#����

4�<�����+�G����

/�)�����������-�)���4����4���-

/��)��-��4�)��4��-������4��)��-��4������

4�������4�������4�������4�������/�0

�������%��� ����$� ��%��

��/ =$���4���/�+�>�+�G$���/�#$���/�<$���/�<$��/ =$���/�#$���/�<"

��� ��/ $��/�=" ��/�=���� ��/ < �/�<$���/�=� ����=�/�= ��/�*$

��/ < *�"��/�< �/�<$���/�# �<�/�# ��/�#K<"

��4���/ +�>�+�G )<-�4�)#K<-�=�/�+�>�+�G """)6-

<���4�><�4�#=�4�<G�/�0��� �$����������������� �)6-"

3����!���)�����������-)���4����4���-�/�0 """),-

Page 122: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� #�&�% �/��$�),-�������� 1 11 0dy dx dp dy dx dq �

����� T

UR U U. ( )

��)�<���4�#���4�<��-�)=���4��<���4�<��-�/�0""")9-

>������$���&�%��/��$� ��%���)�<���4�#���4�<��-�)=���4��<���4�<��-�/�0""")L-

���������)9-�����)L-�%!�� ������������� ���������(

1

2

00

U T UU T U

dy dx dp

dy dx dp

��

"""):-

1

2

00

U T UR U U

dy dx dp

dy dx dq

��

""")*0-

2

1

00

U T UR U U

dy dx dp

dy dx dq

��

""")**-

R U UR U U

dy dx dq

dy dx dq

��

1

2

00

""")*1-

>�������%����������� �):-$� ��%���)��+��-�<���/�0"

� ����$������<���/�0���������$� �������������"

>������):-����������%!����������������%���"

>������$� ����S����������)*1-"

3����!�������� ����������%!������� (

1

2

00

U T UR U U

dy dx dpdy dx dq

""")*0-

2

1

00

U T UR U U

dy dx dp

dy dx dq

��

""")**-

#�����������)6-�������!���������������������������"

A�3��(������������ ���� ���� ����!�� � �������� �������� )*0-� ���� )**-"����� ������� )*0-� ��

���%�����"�������/��)���������-�/��$�!�/�!)���������-�/������� �������������)*0-"

��/�)!-��������������������%����� �)*-"� ��������)**-�����������%�����$� ��%�������������������������%���"�#����

��������������%������������!������ �������!������� ������������������ ��������"�#��!������� ��� ������ ���� ����������� �����/�����4����"�#��� �� ���%������ ���%��� ���%���������������� �)*-"�������� ��%��������������������������%������� �� ���������������������������������%��������� ���'�������������� �������4�?��/�=����������%���%�7������������ ���������������� �)*-"

A�3��((�������������������� ����!�����������������)*0-�����)**-"������������)*0-�������%�����"

������/��)���������-�/��$�!�/�!)���������-�/������� �������������)*0-"

��/�)!-��������������������%����� �)*-"�3���'�������������� �������4�?�/�=�����������%���%�7������������ ���������������� �)*-"

�������������������� ����� �� ������������������� ��� �� ���������� �������������������������� ��������� ���� ��� ������������������ ��������

Page 123: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

�����$�������������������

����������� ��������������������������������������������������������)�- ��/������%���, )��- 0��������%���%@"�����)�-�3����!� ��4�5��4���4����+����/�1 """)*-�������%�)*-� ��� =��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G$� ��%��

=�/�*$��>�/�5$��#�/�*$��<�/�*$��G�/�1".������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" ��4�5�4�)*�4�1-�/�0 �/�+�*$�+�2"���� ��/�+�*$���/�+�2"������������� ����������%!�%���������������%�����

�<���4�#���4�<���/�0 """)1-=���4��<���4�<���/�0 """)2-

)1- +����4����4����/�0 """)5-)2- ���+�2���4����/�0 """)6-����%����%�)5-�����)6-$� ��%���+���4���4���/���������+�2��4���/���� ������������

���������������������"��� ��/�)�-" ��+�2��4���/ )+���4���4��-��������������� )+���4���4��-�/ )+���4���4��-�4�" ��+�2��4���/ )+���4���4��-�4� ��+���/ +�)�4�2-��4�)�4�*-���+�#���������%���%���������"

#�����'�������������������dx dy dz

x y

1 3 1( ) ( )

"""),-

),- dx�/�+��� ���4����/�0 ��4���/�"�������""")9-

������%���������������� �������� �),-$� ��%��

�dy dz

y y 1 3 1( ) ( ) ( ) ������)<��%�)9--

���/�dz

y ( ) 2 4 1 3 ))��4�5�4�*-���+�)�4�2�4�--����4����/�0

)��4�5�4�*-� y2

2�+�)�4�2�4�-���4���/�1

�)��4�5�4�*-� y2

2�+�))�4�2-�)��4��-�4�-���4���/�)-�����M#�&�%�1�/�)-N

��

22

212

3 3 ���

��� y xy y z x y( ) ( ) ( )

��/�12

( 2 1) y ( 3) xy ( 3) y (x y).2 2

#���������%���������������� �����%!����������"

B����$������������������������������������������� �����"�������� �������� �������� �����"�0�������� �����������#����������������������������

8����������������������������� ��������������������� ����������� ���������������� ������������������ ���������� �������������������������� ����������������� ��

Page 124: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)��- �3����!����2��4���4���4����+����/�+�:" """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G$� ��%��

��=�/�2$��>�/�*$��#�/�*$��<�/�*$��G�/�+�:"

.������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" ��4��+�,�/�0 �/�1$�+�2"��� ��/�1$���/�+�2"

������������� ����������%!�%���������������%�����

�<���4�#���4�<���/�0 """)1-

�=���4��<���4�<���/�0 """)2-

)1- � 1���4����4����/�0 1��4���4���/��

)2- � 2���+�2���4����/�0 2��+�2��4���/��

��� ��/�)�-" � �1��4���4���/�)2��+�2��4��-�����������$�����)2��+�2��4��-�/�)2��+�2��4��-�4� �1��4���4���/�)2��+�2��4��-�4� ��+���/�)2�+�1-��+�)2�4�*-��4�#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������

dx dy dzy x1 3 2 3 1

( ) ( ) """)5-

)5- ���/�dy

���4����/�0 ��4���/�" """)6-

)5- ���/�dzx x( ) ( ) ( )3 2 3 1

)<��%�)6--

)+�)2��4��4�*-���4�2�+�1�4�-����/���

��/�+�12�)2��4��4�*-����4�)2�+�1�4�-���4�1

��/�+�12�)2��4��4�*-����4�)2��4�1���+�1��+�1��4�-��4�)-

M)�����%�1�/�)-N

����12

� ����"����"��!������ ���"��!������������ ������!�

#���������%���������������� �����%!����������"

B��������������������������������������������������� �����"����������� ��������������������������������������������������������

)�- -��2��0��,���%�� �0�'

)��- ���%. ��%,��������%. ��������%�� ������%."

�����)�-�3����!�� 6��4�,��4�2��4�1)��%��-�/�+�2" """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G$� ��%��

=�/�6$��>�/�,$��#�/�2$��<�/�1$��G�/�+�2"

.������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" 5��4�*1�4�:�/�0 �/�+�2K1$�+�2K1"��� ��/�+�2K1$ ��/�+�2K1"

#����������� ����������%!�%���������������%�����

�<���4�#���4�<���/ 0 """)1-

=���4��<���4�<���/ 0 """)2-

Page 125: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

�����$������)1- +�2���4�2���4�1���/ 0 +�2��4�2��4�1��/��

)2- 6���+�2���4�1���/ 0 6��+�2��4�1��/��

��� ��/�)�-" +�2��4�2��4�1��/ )6��+�2��4�1�-�����������$���� )6��+�2��4�1�-�/ )6��+�2��4�1�-�4�" +�2��4�2��4�1��/ )6��+�2��4�1�-�4� 1��+�1��/ 2��+�2��4�6��+�2��4�"#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������

dx dy dzy x y x2 2 3 3 5 3

""")5-

)5- ���/�+�dy ���4����/�0 ��4���/�"

""")6-

)5- �dx dz

x x2 3 5 3 1

( ) ( ) ( ) ���)<��%�)6--

� )+�)6��4�,�4�2-��4�2�4�6�4�-����/�1��

�+�12�)6��4�,�4�2-���4�)2�4�6�4�-���/�1��1

+�12�)6��4�,�4�2-���4�))2�4�6�)��4��-�4�-���/�1��)-��M�����%�1�/�)-N

+�12�)6��4�,�4�2-���4�)2���4�6����4�2���4�6���4��-�/�1��4�)��4��-

12� ����"��!������ ������!����������������� ������!�

#���������%���������������� �����%!����������"

B����$������������������������������������������� �����")��- 3����!���)���+�*-����+�1�����4�)���+�*-����4���)���+���-�/����4����+�*" """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G$� ��%��

=�/�)���+�*-��$�>�/�+�1���$�#�/�)���+�*-��$�<�/���$�G�/����4����+�*"

.������������������<���4�><�4�=#�4�<G�/�0" ����+�1�����4�)���+�*-)���+�*-����4����)���4����+�*-�/�0

����+�1�����4��������/�0��)��+���-��/�0���/���A�����K�"

��� ��/��K�$���/���K�"

#����������� ����������%!�%���������������%�����

�<���4�#���4�<���/�0 """)1-

=���4��<���4�<���/�0 """)2-

)1- �pqz

z dy. 2 �4�)���+�*-������4������/�0 """)5-

)2- )���+�*-�����4�pqz

z dx z dq. 2 2 0 """)6-

)5- �����4�)���+�*-����4�����/�0� �)�������-�+����4�����/�0

��������+����/�0 �)��-�+����/�0 ���+���/��"

)6- )���+�*-����4������4�����/�0� �)����4����-�+����4�����/�0

����4�����+����/�0 �)��-�+����/�0 ���+���/��"

��� ��/�)�-� ���+���/�)���+��-"

Page 126: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����������$����� )���+��-�/�)���+��-�4�" ���+���/�)��%�-�4� ���+����/���+���4�#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������

� dxz

dyz

dzx y

"""),-

),- ���/�+� dy

���4����/�0 ��4���/� """)9-

),- dxz

dzx x

( )

M)*�4��-��+��4�N����/���� )<��%�)9--

)*�4��-�x

x xz

k2 2

2 2

)*�4��-����+�1�)��4��-���4�1��/����4�11

�)*�+��-����+�1���4�1��/����4�)- M�����%�11�/�)-N ��"���!����"�������������������� ������!�

#���������%���������������� �����%!����������"

B����$������������������������������������������� �����"

�� ������

���������� ���� �� �� ���� � �� �������������������������������� ������������6 ���3����� �#

0���� �������#���/ � 0��"�/ ���"����#���/

$ 0����4�������� ���"���#���! % /��"�3����/���� ���"���#���4�

2�34��3

����2

2y ���/�������"� �����# � ����52

2y �"�/���"����� ��"�/�#

$ �����0�����/��"�4���"�/���� �����#% ���� ������"�!#������ /�"�/#����������� �����#

Page 127: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

������/

�����������

;�����������������%�����%���������� ���� �����������������������������%��%��%!����������������� ����������������"�E�����������$��������� ��������������������������������������������������������� ��������$�B����������"

>��$�����%���������������� ����������� ����������������������%���=������������������������������������� ������$�������������������� ����������� �������������������������%��������������������� ������� �������������������������������������� �������%���="�#���������&�� �����������������������"�3������������������������ ��� ��� ���� ���� ��/�0$� ���������&�� ����� �����������������"���������� ������������������%������ ����������������������������������������!�����������"

������������������ ���������������� ����������������$� �� ���� ������%������������������������������������������������������� �������������!�����"E��� ���� ������������ �� ���� ��������� ��� ��������� �!��!�%� ������� � ���������������"�;����� ��������������!���������������!��!�%��������������� �������������������������!������������������ ������������ �!�������"��������������$��%�� ����������%���%$� ��������� �������������������������� ������������� ��������������� ������� ��������������� ���������������������������������S������������ ���� ������%� �������� ���� ����� ���� ��"��� ��������� � � ������ �����������������%!���������������� ������������"

������������������� �� ����������������%�������������� ������"

0� ��)������������� �������������������

���������

����������

�������� �>����������

;������� �>���������� �G��������)����������;�����-G���������� �����>���������>���%$����������������

3�!����������2 2

22 2

y yc

t x

>�������� �����3�!���������

#���� ����%����.����%�������E������B���%�����������

�7��������7��>�������� �����3�!���������

�7��������7��>�������>��� ��%���������������

�������7��������� �����������������3�!���������

Page 128: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� �����������������������

� ���$���$�"""$���$�"""��������������� �������%��������������������������%���=$����

��/ ������4������4�"""�4������4�

"""�/�

1n n

n

c u

������������������ ������������������%���="

����������� � ��������# �� ��� 13�������������"

�������������$� ��������������������������������������� �� �� ������$����� � ����!��!������������� �����!�������"�#��� ���� �%��'��������'���������������"

�������������

������������(��!��������������������������!���������xux

yuy

02 2

�����B���������� ������� ��������"��� ��/ H)�-�I)�- """)*-

�����B����� ������� ������������I����� ������� �������$��������������� �����%!���������"

#����

ux

uy

X Y XY,

>��������%�������%!����������$� ����!�

��HI�4���HI�/ 0 ��HI�/ +��HI>�������%�����!�������$� ��%��

x XX

2 �/ y Y

Y

2

""")1-

>��������������������������!�������$������!���������������������$�������������B>��������������=B>����������"�#���� ���$���������)1-�������������� ��������������������������������������$�����1"

x XX

2 �/ +�

y YY

k2

X

X�/ kx

YY

ky 2 2and � �������� ������"

����%����%$ ��%�B/kx

cky

c

1

1

1

21 1log log logand Y

logXc1�/ k

x cky

andY

log2

Page 129: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ��������������������������������� H�/ c e c e

kx

ky

1 2

and Y

�����%�������!��������)*-$� ����!�

��/ c c ek

y x1 2

1 1

���

���

�� ��/ cek

y x1 1

���

���

������/�������������������%��������������"

�����������(��!������������

ux

2ut

u$��!����������' �2���"

�����B���������� ������� ��������"

��� ��/�H)�-�#)�- """)*-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������$��������������� �����%!���������"

#���

ux

X T $ut�/�H#

>��������%�������%!����������$� ����!�

H#�/�1H#�4�H# �� H#�/�)1#�4�#-H

>�������%�����!�������$� ��%��XX

T TT

2""")1-

>��������������������������!�������$������!���������������������$�������������B>��������������=B>����������"�#���� ���$���������)1-�������������� ��������������������������������������$�����1"

XX�/�1 �"�"$ ��%�H�/�1��4���%���

�� ���%�Xc1�/�1� �� H�/����

�� """)2-

��� �2T T

T

�/�1 ��2T

1T �/�1 �"�"$

TT 1

2�)1�+�*-

�� ���%�#�/�12�)1�+�*-��4���%��� �� log

T

2c 1

2�)1�+�*-�

�� #�/����ek t1/2 1( ) """)5-

�����)*-$�)2-�����)5-$� ����!� ��/��)�$��-�/������"�c e k t

21/2 1( )

/1

( 1)2

k tkxce e

�������/�����

>��$ �)�$�0-�/ ,����

�����/ ,���� M@!��N

��/ , ��� 1�/�+�2

#������������������ �����%!������������

��/ ,�����"���� �"�"$ ��/�,������� ����"

�����������(��!������������

2

2z

x2

zx

zy�/�'������������������������

��!��������"

Page 130: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����B���������� ������� ��������

��� ��/�H)�-�I)�- """)*-

�����H����� ������� �H����������I����� ������� �������$��������������� �����%!���������"

#��� �

zx

X Y $�

zy

XY ���

2

2

zx�/�H�I"

>��������%�������%!����������$� ����!�

�H�I�+�1H�I�4�HI�/�0 �� )H�+�1H-I�4�HI�/�0

>�������%�����!�������$� ��%��X X

XYY

2– """)1-

>��������������������������!�������$���������)1-�������������� ��������������������������������������$�����1"

X X

X 2

�/�1 �� H�+�1H�+�1H�/�0 """)2-

��� ���Y

Y�/�1 ��

YY�/�+�1 """)5-

#������������������ ����������������"���� ���"� )2-$� ���� ��'����� �������� ����� +� 1�� +� 1� /� 0� ����� ������ ���

��/�1 1 k "

#������������ ���������)2-�� H�/�c e c ek x k x1

1 12

1 1( ) ( ) ����$�������������� �)5-�� I�/����

���

>��������%� ������!������� �H�����I� �� )*-$� ����%������� ��������� � ����%!���������O�

��/�[ ] .( ) ( )c e c e c ek x k x ky1

1 12

1 13

�� ���/�[ ]( ) ( )A Be e ek x k x ky1 1 1 1 $ �������/����������E�/�����"

����������?�� ����������� ���������� �� !�������� �� ���!� ��� ��������

2

2u

xuy

2u "

�����#���%!������������

2

2 2ux

uy

u """)*-

��� ��/�H)�-�I)�- """)1-

����$�H����� ������� ������������I����� ������� �������$��������������� �)*-"

#���$ uy�/�HI$

2

2u

x�/�HI

>��������%���)*-$� ����!�

HI�/�HI�4�1HI �� HI�/�H�)I�4�1I-

�� XX

YY

2 �/�+�1� )���-

)�- XX �/�+�1� d

dx

2

2X �4�1�H�/�0

Page 131: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�"��� ����4�1��/�0 ��/�F�1�

>�������� H�/�������1��4�������1�

)��- � YY �4�1�/�+�1� �� Y

Y �/�+�)1��4�1-

����%����%$ ���%�I�/�+�)1��4�1-���4���%���

I�/����ek y ( )2 2

�����)1-$�����%����������������

��/�)������1��4�������1�-����ek y ( )2 2

�� ��/�)�����1��4�E����1�-�e k y ( )2 2 � �������/�����$�E�/�����"

����������?�� ����������� ���������� �� !�������� �� ���!� ��� ��������

2

2v

xvt�!������!�'�������������!�'����'������"

�����#���%!�������������

2

2v

xvt

""")*-

��� !�/�H)�-�#)�- """)1-

�����H����� ������� ������������#����� ������� ���������������������� �)*-"

#���$

2

2v

x�/�H# ���

vt�/�H#

>��������%���)*-$� ����!�

H#�/�H#

�� XX

TT

�/�+�1� )���-

)�- XX �/�+�1� H�4�1�H�/�0

�"�������4�1��/�0�����������/�F��1

>�������� �H�/�������1��4�������1�

)��- TT �/�+�1�

����%����%$ ��%�#�/�+�1���4���%���

�#�/�c e k t3

2

�����)1- !�/�)������1��4�������1�-�"�c e k t3

2 """)2-

�� $������/�0$�!�/�0

�����)2-$ 0�/����c e k t3

2 ���/�0 )� ���/�0� ���������

�����!����������-

)2-���������� !�/�������1��"�c e k t3

2 """)5-

�����/��$�!�/�0

�����)5-$ 0�/���������1�e k t 2

>�������0��������/�0� ���������������!����������" ���1��/�0 1��/��

Page 132: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� 1�/�n

l �������/�*$�1$�2$�""""

�����)5-$ !�/�)�����-����n xl

enl

t

2 2

2

�� !��/�bn x

len

nl

tsin

2 2

2$� ����������/���

������������������������������� �)*-� �����/�*$�1$�2$�""""""$"�B�������������������������$���������%����������������

!/�

2 2

2

1sin

nt

ln

n

n xb e

l

�����������(��!��������������������������!���������

/

ut

ux

�0�� ��0��%���� ������'"

�������� ��/�H# """)*-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"

ut

�/ H#$

ux�/�#H

���������%!����������

5H#�4�#H�/ 2H#

��4TT

XX

�/ 2

�� � �����4TT

XX

3 �/����)���- """)1-

)�-4TT�/����4�2

�d pTT

���

���

34

2

���

����%�����������$

� ���%�#�/�3

4

2���

���

p��4���%��� #�/����e

pt

34

2�

���

�� """)2-

)��- � XX���� X

X�/�+���

dXX�/�+������

����%�����������$

��� ��%�H��+�����4���%���

�� H����� ep x 2

""")5-

�����)*-$� ��%��

���H#�/������ep x

pt �

���

��2

234

�� ��)�$��-�/����ep x

pt

���

��2

234 ����� �����/���

Page 133: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

;����%����������������

��)�$��-�/ b en

p xp

t

n

���

��

2

234

1

""")6-

������/�0$ �)�$�0-�/ 2���+�����/� b enp x

n

2

1

�������%$� ��� ���/�*$����/�2 ��� ��� ���/�6$����/�+�*

B���$� ����)6-$�%����������������

�)�$��-�/�2������+��� ��

������������������������"��������7��(��!���������������������������������������������!��������

2ux t

�������

�!��������'������'���ut

�'������'"

��������� ��/ H# """)*-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"

#���$ �

ut t )H#-�/�H

ddtT

2ux t

�/x� X

Tddt

���

��� �/�

ddtT�"�

ddxX

""")1-

>��������%�)1-�������%!����������$� ��%��

ddtT�ddxX�/ ��������

���ddtT/ cos x

ddxX�

������/�+����)���- """)2-

�� $ �� ddtT �/ +���

�#�/ +���������

����%�����������$

#�/ ������4��� """)5-

����$ddxX�/ +� 1

2p�����

�H�/ +� 12p��������

����%�����������$

H�/ +� 12p������4��� """)6-

<��%�)5-�����)6-$� ��%��� ����)*-$

�)�$��-�/ H#�/� ���

���

12 2

px csin �)������4���- """),-

Page 134: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������%��������������/�0� ������/�0���),-$� ��%��

0�/ ���

���

12 2

px csin �)���4���-

���4����/ 0 ���/�+���

�����),-$ut�/ ���

���

12 2

px csin �)+������- """)9-

������%������������ut�/�0� ������/�0���)9-$� ��%��

0�/ ���)+������-

���/ 0

>��������%�����!������� �������������),-$� ��%��

�)�$��-�/ +�12p������)������+���-

/ �����)*�+����-

��������9��(��!����*"5"6"��������������!���������������

�������,����'�� �'��x ��)'��-�/�.����"

�������� ��/�HI """)*-

�����H����� ������� ������������I����� ������� �������"

uy y

ddy

(XY) XY

XY

��

2

2

2

2

2

2u

x xddx

(XY) YX

YX

���������%!����������$

� �IH�/�HI�4�1HI

� XX

Y 2YY

� X

XYY�4�1�/�1)���- """)1-

)�- XX�/�1

��H�+�1H�/�0��'��������������

���+�1�/�0

��/�F� k

�"�"�/���e ekx kx C2

�����"�"�/�0

� �H�/���e ekx kx C2 """)2-

Page 135: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������)��- Y

Y�4�1�/ 1

YY�/ 1�+�1

dYY�/ )1�+�1-���

����%�����������$

��%�I�/ )1�+�1-��4���%���

I�/ ����������� """)5-

B���� ����)*-$

�)���-�/ )��e ekx kx C2 -����������� """)6-

������%�������������)0$��-�/�0���)6-$� ��%��

�)0$��-�/ 0�/�)���4���-������������

���4����/ 0 ���/�+��� """),-

)�����/�0������������!����������-

�����)6-$������%����������������

�)���-�/ �����)e ekx kx -���������� """)9-

ux�/ ����� k e e ekx kx k y( ) ( ) 2

ux

e k ex

y k y���

���

0

3 21 2C C1 3 ( ) ( )�/�

nn

k yb e

1

2( )

�������%������� ����$� ��%��

)�- ���/�*$ 1�+�1�/�0

1���� k �/ *$ 1�/�1

�����/1

2 2

)��-����/�+*$ 1�+�1�/�+�2

1���� k �/ *$ 1�/�+*

�����/12i

B���� ����)9-$�����������������������

�)���-�/ 12 2

�( )e ex x2 2 �4�12

3

ie e eix ix y( )

�)���-�/ 12������ 2 ���4��������"

Page 136: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� �����

!"#�������$�� ��$"��"����������" �"��������#����%�%��&

0�

ux

uy

2 ���'D� ���'#���4��� �

ux

uy

4 D� '���#���;����

$ 4

ux

uy

���0D� '���#���4���������� %

ut

ux

�"�/D� ���'#���!'���"�3���

& �#��� u u

yx y

���' ��# yux

xuy

3 2 0

' �#�ux

����/ut

���D ���'#���3����� ��# 4 3u u

ux y

�������� '���#���0����"�����

( �#�/� 3 0z z

yx y

��#

2

2 0u

x

uy

) �#��

2ux y

���/����' ��# 2u u

ux y

�D� ���'#���0�����"�/����

* �#�

2 3 5u u

ux y

���'D '���#���/���� ��#

2

2

u

x���

ut

D � ����'#������ �����!#

!

zx

z

y

2

2 0D � ���'#���'� � ���#���'� � '���#���4�����0��

8 ����

2

22

u uu

yx��������� �� ���������� �� ��������������E����� ������ ����� ���

��'�����ux

�����������������'�� ������������ ����

� F�������� �� ���������� �� ������������� ����������� ��� �� ����������� ��

2zx y

��������

������� ��������zy

���"�/����������������'���������'�������������� ���������� �� 2

2�34��3

����#��� 3

24x y

e � ����#���;������������

$ ����#���4������"��������� % ����#���!'���������� �"�3�����������

& �#� ����#����

kxy

��# ����#���

4 32

4 3y x

pce

' �#� ����#���3��������� ��# ����#���0��������"���������

( �#�� ����#����������� ��# ����#��� 2 (A cos B sin )p y px pxe

) �#� ����#�������

2yke ��# ����#���0���������� �"�/����������

* �#� ����#���/�������� ��# ����#������ �����!#����

! � ����#���4��������0� ����#��������������

� � ����#���� ���� !���� ���#

Page 137: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������#��� ����������� ����������������!����

�������� ���& #��� ������

��

��

������������ ��������������%� � ���%��� �� ��������� �%�������� ���� �� �������� ���� �� ���� ���������%����� ���� ��� �����������������"�#�&�%��������������������%�$�����������7�'����������������������������%������������.�'�$� �������� ������������������������ ������� ������������������������O�"

3��������������������������� ������ �����������%����������� ���� �%����������(

)�- #�����������&������������������������.���������������������� ���������%��!������������������������������������������ ���������%"

)��- #�������%������ ����� ��'������������������ ��������������������%"

)���- #��� ������� �� ���� ����%� �� ��� ���%�� ����� ���� ��������� ��� �%���� � �������%���������%�����"

)�!- #������������������������������yx����������$���������������%������ ���

��������%�����"

������ ��� ����������������� ���%���� � ���� ����%"��������� ����������� � �����������?�� � ���%����"� >��� ���� ����%���������� � ��� ��������� ��� �����%� )�����������-$� ���� ��������#������#�� ���������?�������!�������� ���%������ ��� �����!�"

>��$���������������������������D������������$� ����!�

#������/�#������/�#�)�������- """)*-

;����� ����������?�����"�E���� ���7���������� �� ������$�������������� ������������!��������������

���

2

2y

t�/�#������+�#�����

�� � �m s y

t

T

TT

TT

2

22

2

1

1

sincos

sincos

ME�����%�)*-N

�� �

2

2

yt m s

T�)�����+�����-

�� �

������

������

��

2

2y

t m xyx

yxx x x

T

M>�����/�������� ���������'���������������������������������������� ������!��� ���������%������������4��N

T1

xy

T2

Q

XAO x x + x

Y

P

Page 138: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�� ��

2

2

yt m

T����

������

������

yx

yx

xx x x

�����/� Tm

yx

2

2 $������0

�� ��

2

22

2

2

yt

cy

x����� ��������/�

Tm

#����������������� ����������������%!�%����������!�����!��������� ��������%"�����������������������������3������4�E��� �������

#���������������������� ���������������

2

22

2

2

yt

cy

x������������ ������(

( )( )

i y xii y x l

��

0 00

whenwhen

"�#������������������� ��� ����!����!������ ��"

� � ��������%� ������� ���!��������������%� �� ������ ��!�� ���/� �)�-����� �����������%O�$�������������������������

)�- ��/��)�-� ������/�0 )��-yt�/�0� ������/�0"

���������������& #��� ����

#��� �!�����������

��

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

��� ��/�H# """)1-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������$��������������� �)*-

#���$

2

2y

t�/�H# ���

2

2y

x�/�H#

>��������%���)*-$� ����!� ���H#�/���H#

>�������%�����!�������$� ��%���XX

TT

12c

. """)2-

�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������=B>����� ������� �������">��������������������������!�������$�������������������������� �������������������������������$�����1"�#������������)2-����������������������������� ���������������"

H1�+�H�/�0 ��� #�+�1��#�/�0 """)5-

>��!�%����������)5-$� ��%��

)�- 9���1��������!������/���$����

H�/ ������4����

���$�#�/��������4����

����

)��- 9���1�������!������/�+���$����H�/ ���������4���������$� #�/�����������4����������

)���- 9���1�'H�/ ����4��� #�/�����4���

#��������!������������������������ ����� �!����������)*-����(

��/ )������4����

���-)�������4����

���-

Page 139: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�� )���������4���������-)����������4����������-

��/ )����4���-)����4���-

� ���������������������$� ����!������������������������ ������������� ��� ������������������� � �����������"�>��$� �����������%� ���������������!�������$������������������� ������� ��������"�#���� ���$�������������������!��!���%�������������"

�����%�� �)�$��-�/�)���������4��������-)����������4����������- """)6-

���������������������������� ����� �!������������������������������1�/�+���"

�� $� ����������������������������"�>�����������%��� ���������������������/�0�������/��$� ����!��� ������������������

�)0$��-�/ 0 ��� ��)���-�/�0 ����������0"<��% ��/ 0� ������/�0 ��� ��/�0� ������/��$

��%�� 0�/ ��)����������4����������- """),-

��� 0�/ )���������4���������-)����������4����������- """)9-

�����),-$� ����!�����/�0�������������)9-����������

���������)����������4����������-�/�0

��������� ��� ����������/�0�������� �� ��/�nl$� �������/�*$�1$�2$�""""""

����������� ����� �!�������������� ��%�����������������������

��/ ��� cn ct

lc

n ctl

n xl3 4cos sin sin

���

���

�� ���/ an ct

lb

n ctl

n xln ncos sin sin

���

��� $� �������/�*$�1$�2$""""""

���������%��������������������������"

#����� �����������������������;�����6����3����6B���6����3��6���6����3�

#���!��������/�nc

l �����������������;���E����3����6B���6����3��6�E����3�� ����

!�����%�����%"�#�������T�$��$��$�"""U�������������3��6�����

����%����������������� ���� ������!������� ��$� ��%��

��/n

n nan ct

lb

n ctl

n xl

���

���

1

cos sin sin

""")L-

���������%��������������"�� � ����������������������������� ����� �������� ���������%�����������

���������� ������)�"�"$������������/�0-�������������!������

. ., at 0y

i e tt

"

#���� ����!��� ��������������

�)�$�0-�/��)�- ��� ���)�$�0-�/�0$�)0������-

<��% ��/ �)�- ���yt�/�0$� ������/�0$

����!� �)�-�/ an xln

n

sin

1

"""):-

��� 0�/n cl

bn x

lnn

sin

1

""")*0-

Page 140: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

>�����������):-��������������� ����%������������������� ����)�-�����������!��)0$��-� ����!�

���/2

0lf x

n xl

l� ( ) sin ��� """)**-

�����)*0-$����/�0$� ��������"

B����)L-���������� ��/n

nan ct

ln x

l

1

cos sin

""")*1-

����������%!������)**-� �����)�-��"�"����)�$�0-���&�� �"

4 ��#������#���' �#��� ����nl ������� ���������������

� ����������������� �� ���� ������ ��������� ��� ������ � �� � ����� ������� ������������ �� ��������� ������������������������� "�#���"�����

%��������������� ��� ����.���� ���!��/��0�������

�� �������������+�����������-����������������

#����������� ������������ �!������������������������!������ �� ������������������� ���������������"� ��� ���������������� � ������������ ��������5������6�������3� 0A3!�6�����B���;�����3�0A3��B���� ������������������� ������� �������������!����� ��� ������������� ����.����%�������E����������%�������E��"

(��D���6B����0�������A�������3� )�����������������������������!��� ��%�� =-

������� ���������� �����������������$������������������)0$��-�/��������)�$� -/��� ���!�����%�����%�� � ���%��� ������%!��"������������� ��������������!������������)�EG�-(

��� ����/ ������$ 0�P���P��$ ��8�0

E�� �)0$��-�/ �)�$��-�/�$ ��8�0 )���.����%�������E��-

��� �)�$�0-�/ �)�-$ ��)�$�0-�/�)�-

3������������!����������������������������� ������������ �!���������������E����������.����%������"

#����!�����������!�����.����%�������E����������%�������E��$� �����������!������ ������

�)�$��-�/

xl

�4�!)�$��- """)*-

��������%�������������������!��������� �����������!�)�$��-"

�������$� ����)*-$� ����!�

���/ !�� $ ����/ !��

���/

l �4�!� $ ����/ !��

������� ���/ ������������ ���������!���/����!��

Page 141: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

����$ �)0$��-�/ �/ �4�!)0$��- !)0$��-�/�0

�)�$��-�/ �/ �4�

l��4�!)�$��-

!)�$��-�/ 0

��� �)�$�0-�/ �)�- �)�-�/

xl �4�!)�$�0-

!)�$�0-�/ �)�-�+�

xl

���)�$�0-�/ )�- !��)�$�0-�/ )�-#����� ����� �������%�������E������� !���/ ��!��� $ 0�P���P��$ �8�0E�� !)0$��-�/ 0 $ !�)�$��-�/�0 $ ��8�0

��� !)�$�0-�/ �)�-�+�

xl )B���%�������E��-�!��)�$�0-�/

)�-�� ����%��������� ������������ �!�������$�!)�$��-������� ��������"�>����.

�������$��)�$��-� ���� �� ����)*-"((� )��������0�������A�������3�)���������������-������������������� �����������������$����)0$��-�/��������)�$��-�/������%!��"

��������������������������!�������������)�EG�-(

��� ���� ������ $ 0�P�� P��$ ��8�0

E�� ���)0$��-�/ $ ���)�$��-�/ $ ��8�0

��� �)�$�0-�/ �)�- $ ���)�$�0-�/ )�-

#����!�����������!�����.����%�������E����������%�������E��$� �����������!������ ������

�)�$��-�/ ��4�

2 2 2

2 2x c t

l l�4�!)�$��- """)*-

��������%�������������������!��������� �����������!)�$��-"

�������$� ����)*-$� ����!�

���/ ���

tl

�4�!�$ ����/���� l

�4�!��

���/ �4�

l��4�!�$ ����/�

l

�4�!��

������/ ���

l�4����!��

������� ����/ ������������ �������� !���/����!��

����$ ���)0$��-�/ �/ �4�!��)0$��- !��)0$��-�/ 0

���)�$��-�/ �/ �4�

l��4�!��)�$��-

!�)�$��-�/ 0

Page 142: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ��� �)�$�0-�/ �)�- ��)�-�/ ��4�

2l

���4�!)�$�0-

!)�$�0-�/ �)�-�+�

2

2x x

l

���)�$�0-�/ )�- )�-�/ !��)�$�0-#����� ����� �������%�������E������� !���/ ���!��$ 0�P���P��$ ��8�0E�� !�)0$��-�/ 0$ !�)�$��-�/�0$ ��8�0

��� !)�$�0-�/ �)�-�+�

2

2x x

l$ !��)�$�0-�/�)�-

�� ����%��������� ������������ �!�������$�!)�$��-������� ��������"�>����.�������$��)�$��-� ���� �� ����)*-"

�% �����%�����������������& #��� ����

#������������ ����� �!���������

����/ ������ """)*-������������������������������%�� ���� �!�������

!�/ ��4��� ��� ��/���+��� """)1-������������������� ������� �!������"

�� $ ���/ut�/�

u v u wv t w t

�/�

( ) ( )u u

c cv w

ut�/ �

u uv w

t���

v w

����/

2

2

u

t�/�

ut t

�/��� u u

v w v w

/ ��

2 2 2 2

2 2

u u u uv w w vv w

����/ ��

2 2 2

2 22

u u uv wv w

""")2-

����$ ���/ u u v u wx v x w x

�/�

(1) (1)u uv w

ux�/

u uv w

x��

v w

����/

2

2

u

x�/�

ux x

�/�

u uv w v w

/

2 2 2 2

2 2

u u u uv w w vv w

����/

2 2 2

2 22

u u uv wv w

""")5-

Page 143: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

<��%�)2-�����)5-$�)*-����������

��

2 2 2

2 22

u u uv wv w

�/ ��

2 2 2

2 22

u u uv wv w

��

2

4u

v w�/ 0 ��

2uw v

�/�0

u

w v�/ 0

����%����%� "�"�"��� )!�������-

uv�/ �)!-

������)!-��������������� ������� �!"����%����%� "�"�"�!� )���������-

��/ ( )h v dv �4�)�-

/ )!-�4�)�- �����)�-��������������� ������� ��"�� �)�$��-�/ )��4���-�4�)��+���-

#�����&�� ������7��������7����������� ����� �!���������"

�% �����%-����������� ������������� �����������

#��������������������������������� �!��������� ���!�������%�����%���%�!�����������������������������������$����E����������������� ����������"�#���������� ������������ �!��������������������������������"

B� �!��$��7��������7�������������� �����������!�����������!������������������� ���������"

�� $� �����!������ �!���������

����/ ������$�+��P���P�$���8�0 """)*-%!��������������� �������)�$�0-�/��)�-����������!��������)�$�0-�/�)�-"

�7���������7����������� �)*-���)�$��-�/ )��4���-�4�)��+���- """)1-

<��%������������������)�$�0-�/��)�- ��)1-$� ��%���)�-�/ )�-�4�)�- """)2-

�����)1-$ ��)�$��-�/ ��)��4���-�+���)��+���- """)5-<��%���������������� ��)�$�0-�/�)�-���)5-$� ��%��

)�-�/ ��)�-�+���)�-

�� 1c

)�-�/ �)�-�+��)�-

����%����%����������� "�"�"��$� ��%��

1

( )x

ag d

c/ �)�-�+�)�- """)6-

�����������������"

Page 144: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

M3����!���������������������������� �������$�!��"

� F( ) F( )x

a

dt dt x

dt>��!�%�)2-�����)6-$

)�-�/ 1 1

( ) ( )2 2

x

af x g d

c"""),-

)�-�/ 1 1

( ) ( )2 2

x

af x g d

c""")9-

=�����%��������4������),-�������+������)9-$� ����!�

)��4���-�/12

�)��4���-�4�

1

( )2

x ct

ag d

c""")L-

)��+���-�/12

�)��+���-�+�

1

( )2

x ct

ag d

c

/12

�)��+���-�4�

1

( )2

a

x ctg d

c"""):-

����%�)L-�����):-$

)��4���-�4�)��+���-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N

�4�

1( ) ( )

2a x ct

x ct ag d g d

c

/ �12M��)��4���-�4��)��+���-N�4�

1( )

2

x ct

x ctg d

c<��%�)1-$� ��%��

�)�$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N�4�

1( )

2

x ct

x ctg d

c ����������������������������� ��%�������������"

/����6�����A�3�F�� ���������%�����������������$����)�$�0-�/�0���������)�-�/�0�������������������������

�)�$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N"

-������������)*-�������� ����7��������7����������� ���( ����/ ���� $ +��P���P�$ ��8�0��( �)�$�0-�/ �� $ ���)�$�0-�/�����B��� ���/ * ��/�*

�)�-�/ �� $ )�-�/����� �7���������7�����������

�)�$��-�/12M��)��4���-�4��)��+��-N�4�

1( )

2

x t

x tg d

c

/12M��)��4��-��4��)��+��-�N�4�

1sin

2

x t

x td

/ ���4����+�12M���)��4��-�+����)��+��-N

/ ���4����+�12)+�1����������-

�� �)�$��-�/ ���4����4����������"

Page 145: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

)1-�������� ����7���������7�����������

���( ����/ 5��� $ +��P���P�$ ��8�0��( �)�$�0-�/ �� $ �����)�$�0-�/�0B���$ ���/ 5 ��/�1

�)�-�/ �� $ )�-�/�0 �7��������7�����������

�)�$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N

�� �)�$��-�/12M)��4�1�-��4�)��+�1�-�N

��� ��%������������������������� �& #��� ����

����7��������7����������� ����� �!�������������� ��%�������������

)�- /D���3�B���;�����3)��- �������������� ��)�-�����)�-������.D���"�������7���������%!��� ������������������� � �������7������������!�

������������������� ����� �������"

�����������#������������������ ��������.����%������� �!���������

����/�������4��)�$��-$ +��P���P�$���8�0

�������������� �������)�$�0-�/�0����������!���������)�$�0-�/�0���%!�����

�)�$��-�/

( )

0 ( )

1( , )

2

t x c t s

x c t sh r s drds

c"

-�������������������� ����������������

���( ����/ ����4���+��$�+��P���P�$���8�0��( �)�$�0-�/ 0$ ��)�$�0-�/�0

B��� ���/ * ��/�* ��� �)�$��-�/���+��

E���������7��������$��������������������

�)�$��-�/

( )

0 ( )

1( , )

2

t x c t s

x c t sh r s drds

c

/

( )

0 ( )

1( )

2

t x t s

x t sr s drds

/

( )2

0 ( )

12 2

x t st

x t s

rsr ds

/

2 2

0

1 [ ( )] [ ( )][ ( ) ( )]

2 2t x t s x t s

s x t s x t s ds

/ 01

[2 ( ) 2 ( )]2

tx t s s t s ds

/ 20

1[2 2 ( ) 2 ]

2

ts t x s tx ds

Page 146: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

/

3 2

0( )

3 2

ts s

t x txs

/ 3 2

( )3 2t t

t x �4����

/ 3 2

6 2t t x

�)�$��-�/�+� 3 2

6 2t t x

����������������������������"

�������������

��������#��3��������������������������������������������"=�������

�������������������������������������3���xl

�����������������������

������'"(����������������������������������������������������������������!����

����� � 3��� xl

cosctl

"

�����#������������ ���������%��

���

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

>��$�����������%������������������ ������ ��� '�����������)0$�0-�������)�$�0-��������������������� ���������%���������������� ������D���

�)0$��-�/ 0 """)1-

��� �)����-�/ 0 """)2-

>��$���������%������������ ����������������������!������ ������D���

yt�/ 0 �� ��/�0 """)5-

>��$���������%����������� ����������������������������/�0��������������������������

�)�$�0-�/ ����� xl

""")6-

���������)1-$�)2-$������������������������������)5-$�)6-�����������������"

��������� ��������������!����������)*-$

��� ��/ H#" """),-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"

� �

yt t

ddt

(XT) XT

��

���

���

2

2

2

2y

t tddt

ddt

XT

XT"

Page 147: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������>������$� �

2

2

2

2

yx

ddx

TX "

>��������%��������!������������)*-$� ��%��

�Hddt

cddx

2

22

2

2

TT

X H#�/���#H

A�3��(�� �12c

TT

XX

�/�+����)���-

)�- ��12c

TT�/�+���

�ddt

2T2 �4��

���#�/�0"

��'��������������� ���4������/�0

���/�������

��/�F����

�"�"�/ ����������4����������

�"�"�/ 0

#�/ �"�"�4��"�"�/�����������4���������� """)9-

)��- �XX p2

ddx

2

2X�4���H�/�0"

��'�������������� ���4����/�0

��/�F���

�"�"�/ ���������4���������

�"�"�/ 0

H�/ ���������4��������� """)L-

B���$ �)�$��-�/�)����������4����������-)���������4���������- """):-

A�3��((�� ��12c

TT

XX

�/����)���-

)�- ��12c

TT�/���

ddt

2

2

T�+�����#�/�0

��'�������������� ����+������/�0 ��/�F��

�"�"�/ �������4�����

���

�"�"�/ 0

#�/ �������4�����

���"

)��- �XX p2 d

dx

2

2X �+���H�/�0

��'��������������

���+��

��/�0 ��/�F��

�"�"�/��������4�����

��

�"�"�/ 0

H�/�������4�����

��

B���$ �)�$��-�/ )�������4�����

���-)�����������

��- """)*0-

Page 148: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� A�3��(((�� �

1 TT

XX2c

�/�0�)���-

)�- �1

02cTT #�/�0 �� d

dt

2

2

T �/�0

��'��������������

���/ 0 ��/�0$�0

�"�"�/ ���4�����

�"�"�/ 0

#�/ ���4�����

)��- �XX

0 H�/�0 ��

ddx

2

2 0X

��'��������������

���/ 0 ��/�0$�0

�"�"�/ ����4�����

�"�"�/ 0

H�/ ����4�����

B���$ �)�$��-�/ )���4�����-�)����4�����- """)**-

���� � � ������ ���������!�� ��������� ):-$� )*0-� ���� )**-$� ����!�� ��� ������ ����������� �������������� ���������������������� ������������"�>��$� ����������%� ����������������!�������$������������������������������ ������"B���������������� ������������%�����������������������������������������"

B������������ ):-� �� ����%������� ��������� ��������������� �!���������%!��������������)*-"

�� $ �)���-�/ )����������4����������-�)���������4���������-

������%��������������������$

�)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-���

���/ 0"

�����):-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)*1-

�%��$ �)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/������)���-

��/nl"

B���� ����)*1-$� �)�$��-�/� cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)*2-

��

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn xl

1 2 4sin cos sin

�� ��/�0$

���

���

�� ��

yt

n cl

c cn x

lt 02 40

sin

���/ 0$

�����)*2-$ �)�$��-�/ ��������n ct

ln x

l

sin """)*5-

�)�$�0-�/ ����� xl

c cn x

l 1 4 sin

Page 149: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�����/��$���/�*" C��������%

B���� ����)*5-$� �)�$��-�/������ ctl

xl

sin

������������������������"

���������8��(�����������!�����������

2

2

2

2y

xy

t��������!���������������������������!��������":��������������������������

!���������������������������������'����������!��������� ���yt

��� �

����������������������������������������"

�����#��� �!������������

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

���� ��/�H# """)1-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"

yt t

ddt

( )XT XT

2

2

2

2y

tddt

XT

>������$

2

2 2

yx

ddx

TX2

"

>��������%���)*-$� ��%��

Hddt

cddx

2

22TT

X2

2 H#�/���#H

12c

TT

XX

""")2-

A�3��(��3���� 12c

TT

XX�/����)���-

)�- �12

2

cp

TT

ddt

2T2 �+��

���#�/�0"

��'��������������

���+������/ 0

��/ F���

�"�"�/ ��������4�����

���

�"�"�/ 0

#�/ �"�"�4��"�"�/���������4�����

���

)��- �XX p2

ddx

2

2X�+���H�/�0"

��'��������������

���+����/ 0

�� C�

�"�"�/ �������4�����

��

�"�"�/ 0"

H�/ �"�"�4��"�"�/��������4�����

��"

Page 150: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

B���$��������������

��/ H#�/�)��������4�����

���-)�������4�����

��-" """)5-

A�3��((��3���

�12c

TT

XX

�/�+����)���-

)�- �12c

TT�/�+��� d

dt

2T2�4�����#�/�0"

��'��������������

���4������/ 0 ��/�F����

�"�"�/ )���������4����������-

�"�"�/ 0"

#�/ �"�"�4��"�"�/����������4����������

)��- �XX p2 d

dx

2X2�4���H�/�0"

��'��������������

���4����/ 0 ��/�F���

�"�"�/ ���������4���������

�"�"�/ 0

H�/ ���������4���������"

B���$��������������

��/ H#�/�)���������4����������-)���������4���������-

""")6-

A�3��(((��3���$��12c

TT

XX

0

)�- �12c

TT�/�0 d

dt

2

2T �/�0

#�/����4����

)��-XX 0 d

dx

2

2X �/�0

H�/�����4������"

B���$��������������

�)�$��-�/ )���4����-)����4�����- """),-

� ��������!�����������������%!������ )5-$� )6-�����),-$� ����!���������������������� �������������� ���������������������� ������������"�>��$� ����������%� ����������������!�������$������������������� ������� �������������� ���������������������!��!����%���������������������������)6-����������������������"

E�������������������

��)0$��-�/ 0$ �)�$��-�/�0����������������� ��/ �)�-

������� �� ������������

yt

g x( )

�������������)6-$ �)0$��-�/ )���������4����������-���

��� 0�/ )���������4�����������-���

���/ 0"

Page 151: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

B���� ����)6-$ �)�$��-�/ )���������4���������� �������� """)9-

�)�$��-�/ 0�/�)���������4����������-���������

������/ 0�/������)����- ��/�nl"

�����)9-$ �)�$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl5 6 8cos sin sin

���

��� """)L-

/ an ct

lb

n ctl

n xln ncos sin sin

���

���

���� ����������������/���

#���%����������������

�)�$��-�/ an ct

lb

n ctl

n xln n

n

cos sin sin �

�����

1

"""):-

�)�$�0-�/ �)�-�/� an x

ln sin

1

���� ���/2

0lf x

n xl

l� ( ) . sin��� """)*0-

�����):-$

���

���

yt

cl

n an ct

ln b

n ctl

n xln n

sin cos sin

1

�����/�0$ �

���

���

yt t 0

�/�)�-�/� cl

nbn x

ln sin1

���� �n cl

bl

g xn x

ldxn

l �2

0( ) . sin

bn c

g xn x

ldxn

l �2

0

( ) . sin " """)**-

B���$����������������������

�)�$��-�/ an ct

lb

n ctl

n xln n

n

cos sin sin �

�����

1

���� ���/2

0lf x

n xl

l� ( ) . sin ���

��� ���/2

0n cg x

n xl

l

� ( ) sin ���"

������������3����������������������������������������'��������

��������� ������������!���� �� �� ����xl

" :� �� �� �������� �������� ���� ����

��������������������������������� "

�����#������������ ���������%��

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

#������������ ����"�)*-��

�)�$��-�/ )����������4����������-)���������4���������- """)1-

C�=� ���>��"�� ��'"�*

Page 152: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

E�������������������

�)0$��-�/ 0$ """)2-

�)�$��-�/ 0 """)5-�����������������

���

���

yt t 0

�/ 0$ """)6-

��� �)�$�0-�/ ������xl

"""),-

������%�������������������)1-$

�)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-���

���/ 0

�����)1-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-

�%��$ �)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/����� )����-

��/nl

B���$� ����)9-$

�)�$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)L-

� �

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn xl

1 2 4sin cos sin

�����/�0$

���

���

yt t 0

�/ 0�/�n cl

c cn x

l

2 4 sin

���/ 0"

�����)L-$

�)�$��-�/ ��������n xl

n ctl

cos �/�������

n xl

n ctl

cos

;����%����������������

�)�$��-�/ bn x

ln ct

lnn

sin cos

1

"""):-

�)�$�0-�/ ������ xl

bn x

lnn

sin1

��3

3

4

sin sin xl

xl

����

�����/�������

xl

bx

lb

xl

2 32 3

sin sin �4�"""

�������%$� ��%��

���/34

0y$����/�0$����/�

y0

4$����/���/�"""�/�0

B���$� ����):-$

�)�$��-�/34 4

3 30 0y xl

ctl

y xl

ctl

sin cos sin cos

"

Page 153: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

������������3�����������������������������������������������'������"3�������'������������!����������������� �� ����%� ���������������������������" ����������������������� �������������������������������D'"

�����#��� �!������������

2

22

2

2

y

tc

y

x""")*-

#������������ ���������)*-��

�)�$��-�/�)����������4����������-�)���������4���������- """)1-

)=� ���>��"�� ��'"�*-

E������������������� �)0$��-�/ 0 """)2-

�)�$��-�/ 0 "")5-�����������������

yt�/ 0 """)6-

��� �)�$�0-�/ �)��+��- """),-

�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-��

���/ 0"

�����)1-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-

�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-��������� ������/ 0�/������)���-

��/nl"

�����)9-$ �)�$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)L-

�� � ����)9-$ �

��

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn x

l

1 2 4sin cos . sin

�����/�0$ �

���

���

yt t 0

�/�0�/�n cl

c cn x

l

2 4 sin

���/�0"

�����)L-$� �)�$��-�/���������n ct

ln x

l

sin

�)�$��-�/�������n ct

ln x

l

sin � ����������/���"

#��������%����������������

�)�$��-�/� bn ct

ln x

ln cos sin

1

"""):-

�)�$�0-�/�)���+���-�/� bn xln sin

1

���� ���/�

20

2

llx x

n xl

dxl�

( ) sin

/�2

22

0

0

llx x

n xl

nl

l x

n xl

nl

dx

l

l( )

cos( )

cos

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

Page 154: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� /

22

0

l

ln

l xn x

ldx

l� ���

���( ) cos

/2

2 2

0

0

nl x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l( )

sin( )

sin

���

��

���

��

����

�����

/2 2

0

n

ln

n xl

dxl

. sin�/

4 42 2

0

2

3 3

l

n

n xl

nl

l

n

l

����

����

cos

�)+������4�*-�/�4

1 12

3 3

l

nn[ ( ) ] "

�����):-$ �)�$��-�/�4 1 12

3 31

ln

n ctl

n xl

n[ ( ) ]cos sin

/�8 1

2 12 1 2 12

3 31

ln

n xl

n ctl

n ( )sin

( )cos

( )

"

������������3��������������������������������������'�' ������' ������������������������������������������!����

��� ��� �

2kl

x 0 xl2

2kl

l xl2

x l

������

������

����

���

,

( ),

�����������������������������������"

�����#����������� �������!��������� ���������%��

2

22

2

2y

tc

ydx

""")*-

#������������ ����"�)*-��

>�)�$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-��""")1-�M=� ���>��"�� ��'"�*N

E�������������������$��)0$��-�/�0$�)�$��-�/�0�����������������

yt�/ 0$

��� ��)�$�0-�/

20

22

2

kl

x xl

kl

l xl

x l

,

( ),

���

������)1-$ �)0$��-�/ )����������4����������-��

0�/ )����������4����������-���

���/ 0"

�����)1-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)2-

�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/�����V�����

��/nl"

Page 155: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ��������������������������������� �����)2-$ �)�$��-�/ c

n ctl

cn ct

lc

n xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)5-

���

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn x

l

1 2 4sin cos sin

�����/�0$

���

���

yt t 0

�/ 0�/�n cl

c cn xl

2 4 sin�

��

���/ 0"

�����)5-$ �)�$��-�/ ��������n ct

ln x

l

sin

/ ������n ct

ln x

l

sin ) ����������/���- """)6-

#��������%����������������

�)�$��-�/ bn ct

ln x

lnn

cos sin

1

"""),-

�)�$�0-�/ bn xln sin

1

M�����),-N

���� ���/2

00l

y xn x

l

l� ( , ) sin ���

/2 2 2

0

2

2lkl

xn x

ldx

kl

l xn x

ldx

l

l

l/

/sin ( ) sin� � �

�����

/4

2 0

2

2

kl

xn xl

dx l xn x

ldx

l

l

l/

/sin ( ) sin� � �

�����

/4

12

0

2

0

2kl

x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l�

����

����

����

����

�����cos

.cos

/

/

4� ( )cos

( ) .cos

/

/l x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l

l

l

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

2

21

/�4

2 2 2 22

0

2

2

k

l

ln

l n ln

n xl

nl

l ln

n ln

n xl

nl

l

l

l

����

����

����

����

����

. cos

sin. cos

sin/

/

/�4

2 22

2

2 2

2

2 2k

ll

nn l

nn

n

sin sin sin �

�����

� �

/�4 2

28

22

2

2 2 2 2k

ll

nn k

nn

sin sin�

� � "

�����),-$� �)�$��-�/�8 1

22 21

kn

n n ctl

n xl

sin cos sin

"

Page 156: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������������3���������������!������������������������������������

������1������l3

���������������������������������������������" ������

���������������������������������������������������������������������"

������������������� �!�����������

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

#������������ ����"�)*-��

��)�$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-��""")1-�)=� ���>��"�� ��'"�*-

���"�� ���������� ��+�0�/�al

0

30�)��+�0-

��/�3al

x """)2-

���"�� ���������� ��+���/�0

3 3

���

���

al l

xl

/

��+���/������

������ ���

���

al

xl a

lx

l23

332 3

��+���/�+�32 2axl

a

��/�+�32

32

axl

a �/�32

1a x

l�

����� � """)5-

B����������������������������

�)0$��-�/�0 """)6-

�)�$��-�/�0 """),-

�����������������

yt�/ 0$ """)9-

��� �)�$�0-�/

30 3

32

13

axl

x l

a xl

lx l

, /

,

������

""")L-�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-��

���/ 0"

�����)1-$ �)���-�/ )����������4����������-���������"""):-

�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/�����)����-"

��nl"

�)�$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)*0-

Y

A XO B

a

x = o x = /3l x = l

l

C ( /3, a)l

Page 157: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ����������������������������������

��

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn xl

1 2 4sin cos sin "

�� ��/�0$

���

���

yt t 0

�/ 0�/�n cl

c cn xl

2 4 sin

�� �

���/ 0"

�)�$��-�/ ��������n ct

ln x

l

sin �/�������n ct

ln x

l

sin "

#��������%����������������

�)�$��-�/ bn ct

ln x

ln cos sin

1

""")**-

�����)**-$ �)�$�0-�/ bn xln sin

1

$� ����

� ���/�2

00l

y xn x

ldx

l� ( , ) sin

/�2 3 3

21

0

3

3laxl

n xl

dxa x

ln x

ldx

l

l

l/

/sin sin� � �

�����

� �

/�2 3 3

21

0

3

3lal

xn x

ldx

a xl

n xl

dxl

l

l/

/sin sin� � �

�����

� �

/�6

12

0

3

0

3al

x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l �

����

����

���

���

����

� ��

���

����

�����

������cos

.cos

/

/

4�3

11

3

3

al

xl

n xl

nl

l

n xl

nl

dx

l

l

l

l������

����

����

����

����

������

����

����

�����cos cos

/

/

/�6

3 32

0

3

al

ln

l n ln

n xl

nl

l

����

����

����

����

. cossin

/

�4�3 2

3 31

3

al

ln

nn

n xl

nl l

l

. cos .sin

/

����

����

����

����

/�63 3 32

2 2

2 2a

lln

n ln

n � �

cos sin �4�

3 23 3

032 2

al

ln

n ln

n

cos sin �

�����

��

��

/�6 1

3 31

36 1

3 33

32 2a

nn

nn a

nn a

nn

��

�� cos sin cos sin

Page 158: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���

932 2

an

n

sin

�����)**-$� �)�$��-�/�9 1

32 21

an

n n ctl

n xl

sin cos sin

"

������������)�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"5���!��������������������������������������������������������������������������7����������������������������������"

�����#����������� �������!�������� ���������%��

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

#������������ ����"�)*-��

�)�$��-�/ )����������4����������-)���������4���������- """)1-

����������������%���� �����% )=� ���>��"�� ��'"�*-

���"�� ��E��$

��+�0�/hl

0

30�)��+�0-

��/3hl

� """)2-

���"�� �E���$

��+���/

������

h hl l

xl

23 3

3

/������

������

2

33

hl

xl�/�+�

63

hl

xl�

�����

��+���/ +�6

2hxl

h

��/ 2��+�6

3 12hx

lh

xl

���

��� """)5-

���"�� �����$ ���4���/0

23

23

������

h

ll

xl�/�

3 23

3hl

xl hx

l�

����� �+�1�

��/3

3 3 1hxl

h hxl

���

��� """)6-

B����E�������������������

�)0$��-�/ 0$���)�$��-�/�0�����������������

��������������������������������

yt

0 $

Bl

3, h

C23l , – h

23l , 0

l

3, 0

X

A( , 0)l

ED

(0, 0)

h

hO

Y

Page 159: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

��� �)�$�0-�/

30 3

32

323

3 23

hl

x x l

hl

l xl

xl

hl

x ll

x l

, /

( ),

( ),

�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-���

���/ 0"

�����)1-$

��)�$��-�/ )����������4����������-��������� """),-

�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/������)����-

��/nl"

�����),-$ �)���-� cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)9-

��

���

���

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn x

l

1 2 4sin cos sin "

�����/�0$

���

���

yt t 0

�/ 0�/�n cl

c cn x

l

2 4 sin

���/ 0

�����)9-$ �)�$��-�/ ��������n ct

ln x

l

sin �/�������n ct

ln x

l

sin "

#��������%����������������

�)�$��-�/ bn ct

ln x

ln cos sin

1

""")L-

�)�$�0-�/ bn xln sin

1

$� ����

���/2

00l

y xn x

ldx

l� ( , ) sin

/ 2 3 32

30

3

3

2 3

2 3lhl

xn x

ldx

hl

l xn x

ldx

hl

x ln x

ldx

l

l

l

l

l/

/

/

/sin ( ) sin ( ) sin� � � �

�����

//3 2 /3

0 /3

2 3 2 3. sin . ( 2 ) sin

l l

l

h n x h n xx dx l x dx

l l l l l l

2 /3

2 3. ( ) sin

l

l

h n xx l dx

l l l

Page 160: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

/6

12

0

3

0

3hl

x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l�

����

����

����

���

����

���

����

����

�����cos

.cos

/

/

4�6

2 22

3

2 3

3

2 3hl

l x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l

l

l( )

cos( )

cos

/

/

/

/

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

4�6

12

2 3

2 3

hl

x l

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l

l

l( )

cos.

cos

/

/

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

/�6

3 32

0

3

hl

ln

l n ln

n xl

nl

l

����

����

����

����

. cossin

/

4�6

323 3 3

22

3

2 3

hl

l ln

n n l ln

ln

n xl

nl l

l

������

���

���

����

����

����

����. cos cos .

sin

/

/

4�6

3232

2 3

hl

l ln

n ln

n x ln l l

l

���

���

��

� ��. cos

sin // /

/�

2

36

32 2

32 2h

nn h

nn h

nn

cos sin cos

4�2

312 2

3 32 2

36

0232 2 2 2

hn

n hn

n n hn

n hn

n

cos sin sin cos sin �

����� �

�����

/� 183

18 232 2 2 2

hn

n hn

n

sin sin �/�

183

1832 2 2 2

hn

n hn

nn

sin sin ���

���

/�18

318

32 2 2 2h

nn h

nn

sin sin �����

/�36

32 2

h

n

nn

n

sin , when is even

0, when is odd

�����

�����)L-$ �)�$��-�/�36 1

322,4

2h

nn n ct

ln x

ln

, ...

sin cos sin

�)�$��-�/�9 1 2

32 2

21 2,

2h

mm m ct

lm xl

m

, ...

sin cos sin """):-

) �������/�1�-

�����%���/�l2������"�),-$� ��%��

� lt

h mm

m ctl

m2

9 23

1 22 2

1

, sin . . cos���

���

���

���

�"������/�0"

B���$��������� ���������%����� �����������"

Page 161: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

������������:��������������������������������������������������������

������������������!�����!�������

���

���

yt

b sinxlt 0

3 ������������������������� "

�����#����������� �������!��������� ���������%��

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

#������������ ���������)*-��

�)�$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-���""")1-�M=� ���>��"�� ��'"�*N

E�������������������$ �)0$��-�/�0 """)2-

�)�$��-�/�0 """)5-

�������������$���� �)�$�0-�/�0 """)6-

��� ��

���

���

yt

bxl

sin3 ������/�0 """),-

��������"�)1-$ �)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-��

���/ 0"

�����)1-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-

�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/������)����-

��/nl"

�����)9-$ �)�$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)L-

�)�$�0-�/ 0�/���������n xl

���/ 0"

�����)L-$ �)�$��-�/���������n ct

ln x

l

sin

/ ������n ct

ln x

l

sin � ����������/���

#���%����������������

�)�$��-�/1

bn ct

ln x

ln sin sin

"""):-

yt

bn cl

n ctl

n xln

1

. cos sin

�����/�0$� ��

���

���

yt

bn cl

n xlt

n0 1

. sin

����� xl

bn cl

n xln

. sin1

b xl

xl

bcl

xl

b cl

xl

bcl

xl4

33 2 2

33

12

3sin sin sin sin sin ...

�� �

Page 162: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���

cl

b 34

���/�34blc

���/�0 ���3

43b cl

b ���/�+�

blc12

����$ ���/�0�/���/�"""���"

B���� ����):-$ ��)�$��-�/�34 12

3 3blc

ctl

xl

blc

ctl

xl

sin sin sin sin

/�bl

cxl

ctl

xl

ctl12

93 3

sin sin sin sin�

� � "

���������7��3����������������������������������������'�����������������������������������������������":��������!����������!����������������������������!����������%� ����������������������������������������������������������������"

�����B���������������������������� �)0$��-�/��)�$��-�/�0

�)�$��-�/� an ct

lb

n ctl

n xln n

n

cos sin sin �

�����

1

""")*-

�=� ���>��"�� ��'"�1>�����������%� �����������������$��)�$�0-�/�0

�����)*-$�� 0�/� an x

lnn

sin

1

���/�0

�)�$��-�/� bn ct

ln x

lnn

sin sin

1

""")1-

��� ������������

yt

n cl

bn ct

ln xl

cln

nn

cos sin

11�������

n ctl

n xl

sin

E�� ����������yt�/��)�%�- ������/�0

�)��+��-�/� cl

nbn x

lnn

sin

1

���

c

lnb

lx l x

n xln

l �2

0( ) sin ���

/�2

2 22

2 2

3

3 30

l

x l xl

nn xl

l xl

nn xl

ln

n xl

l

( ) cos ( ) sin ( ) cos ������

���

���

���

���

��

����

/�4 2

3 3

l

n�)*�+�����-�/�

4 2

3 3

l

n�M*�+�)+*-�N

/�08 2

3 3

,

,

when is even

when is odd

nl

nn

��

��"�"�� 82 1

2

3 3

l

m( )$���&�%���/�1��+�*

���/�82 1

3

4 4

l

c m( ) �����)1-$����������������������

�)���-�/�8 1

2 12 1 2 13

4 41

lc m

m ctl

m xl

m ( )sin

( )sin

( )

"

Page 163: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

���������9��(��!��

*56 ���%�����%�� %E�E��D'

:4� ����' ���� �����' �����"

�����B���� �����������%!���������������� ����������� ������)�$��-��������)�$��-�������!�

)��-���/ )��-��

)��-�)�$�0-�/ ��$ )��-��)�$�0-�/�������� )��-���/ )��-���4���+��

)��-�)�$�0-�/ 0$ )��-��)�$�0-�/�0#������������ �����%!�����������������

�)�$��-�/ ��)�$��-�4���)�$��-E���7���������7�� �������M��/�*$��)�-�/����$�)�-�/�����N

��)�$��-�/12M)��4��-��4�)��+��-�N�4�

1sin

2

x t

x td

/12M)��4��-��4�)��+��-�N�+�

12M���)��4��-�+����)��+��-N

/ ���4�,�����4����4����������E���������7�������� M�)�$��-�/���+��N

��)�$��-�/( )

0 ( )

1( )

2t x t s

x t sr s drds

�/�

( )2

0 ( )

12 2

x t st

x t s

rsr ds

/ 20

1[2 2( ) 2 ]

2

ts t x s tx ds �/�

3 2

0( )

3 2

ts s

t x txs

/3 2

( )3 2t t

t x �4�����/�+�3 2

6 2t t x

B����)�$�-�/����4�,�����4����4�����������+�3 2

6 2t t x "

�� ������

����������������� ��� ����#� ����������������������� ��������������������������� ����� ��$����� �C�� ������������ ������������������������� ��� �#���� ������"�����/�#������������!�

� 8 ���G�������4����D�� '���#���'���� 7���#��� ���'#���'�

���

���

yt t 0

���� �#

��� �#�� �#���7������� ��#�� �#���0�����/��"�/�����7��$ ����������������� �� ������������������������������������������������������'���������/����

���� �� ����������������������������������������� ������ ������� x2

���

���

�����������������

�����C�� ������������ ������������'�% ���������� ��� �� ����������� �� ��������������������� ���������#�����������������������

� ����� ��G

�������� �# ���������'

���yt��� �# ���������'

�������������������������� �� �������������������������������������

Page 164: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

& %���������� ��� ������������������������� ���������������������������������������� �

2

2

2

2u

t

u

x%���������� �������������������������������������%�������������� ��������C�� ������������������������ ����� ���'#���/ ������������0�#������������������� �� ����#� �����������������������������������

' F�����B?�@������?����� �������������������� �� ��������������������� ����������������������������������������������� �����C�� ��������������������� ��� �#���� ��"���#�

( %�������� ����������������������������� ���������#������������������'���������#���%������������������������������ ������������������������� ��������������������������������������������'��8� ������

� ����#���2 12

2 21

dl

b l b n

n bl

n xl

n ctl

n

( )

sin sin cos

) ����������������� �� ����������������������� ��������������� �������� ���������������������

����������� ��������C�� ������������������������� �������������� ���'#���1 0

12

112

1

,

,

���

��

���

��x

x�

* ����������������� �� ����#� ��������������������������������������� �������������������������������������������� ������������ ���� �������������

��������13

����0����15

�����7�� '�����!

! @����������������������������������� ��� �� ��������������#����������������������������� ����#��������� ���������������������� � ��������������������������G

� ���'#���@���� 2 x

l

8 ��������� �� ������������$� ������������� ���� �HI+#G

2

2

u

t��

2

2

u

x� '�J���J�!� ��6�'

'���#�� /� !���#���0� ���'

���'#�� /������������

0t

ut �� '�

� 8 ��������� �� ������������$� ������������� ���� �HI+#G

2

2

u

t��

2

2

u

x� '�J���J�!� ��6�'

� '���#�� !� � !���#���0� ���'

���'#�� ������� � ���'#������ ����

$ F���B?@������?��� ����� �� ���������I+G

��� 4��� "��J���J�� ��6�'

���'#�� ������ � ���'#���4�

% ��� ����#���������� ������/��������� ��� �� ���������������������� ���

��������� �"��J���J�� ��6�'

���'#���� �#� �� ���'#���/�

F���B?@������?��� ����� ������� �#�

Page 165: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

& 2������������ ��� ��� ������������$������� ���G

�# +B) ��������� "��J����J�� ��6�'

�>� ���'#���2xe � � ���'#���'

��# +B) ��������� "��J����J�� ��6�'

�>� ���'#���'� � ���'#����2xe

���# +B) ����������/� "��J����J�� ��6�'�>� ���'#���'� � ���'#���'

��# +B) �����4������������� "��J����J�� ��6�'�>� ���'#���'� � ���'#���'�

2�34��3

� ����#��� � ����������"�� ��/������/�#

� �#�� ����#���52

�����������/� � ��#�� ����#���34

�����/������4��"�1

5�����7������!'�

$ � ����#���34 2 2

14

32

32

sin cos sin cos x ct x ct

% � ����#��� sin cos sinn x

la

n atl

bn at

ln nn

���

���

1

����� �����2

0lx

n xl

dxl� F( ) sin

��� �����

2

0nax

n xl

dxl

� ( ) sin

& � ����#���/K� ������������� ��0������0�L ' � ����#����� !�"����"�0����#

) � ����#��� 2 11 2

21

nn

nn

n x n ct

���

���cos cos sin cos

* ����#���������� �������13

�����0��� ��0�����15

�����7��� ��7��

! � ����#���@����� 2 2

cosx ct

l l� ����#���/�������������� ���

� ����#������������������ ��������� $� ����#���������� ��/����4�

% � �#��������

& �#� ����#���2 2( ) ( )1

[ ]2

x t x te e ��# ����#���2 2( ) ( )1

[ ]4

x t x te e

���# ����#����� ��# ����#���� ��"������#

#��� ��������� �6�&�+�������� �& #��� ����

3�� ������ �� � ������ ���� �������� ��� ���� !�������� � � �� �%����� �����������������)��������������������� �������-"�3������������������������������������ ����������������������������������%������������������!����������������������"����#��������������������������%���������������������� ��������������������������"

Page 166: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������������ ����������������������� �������������"����������������������$����������������������.�����$����� �����#��)���%���������������������-����������������%���� ����%�������������%��������������������D�����"�>�������!�������������

/�)#�-�����+�)#�-�����/�#�)�����+�����-������'������$��������������������

�/�#��

���

���

���

���

��

ux

uxx x x

�/�#���

���

��

��

ux

ux

xx x x

���

�/�#���

2

2

ux�������� ����������� ������'�����"

>������$� ���� �����#�� ���%� ��� ���� ��%��� � � ���%����� ��!�� ���� !�����

����������#���

2

2u

y"

B����������������� �������� ��������������

�)���-�

���

���

2

2

2

2

2

2u

tu

xu

yT ���

��

���

���

2

22

2

2

2

2u

tc

ux

uy

��������/�Tm"

#��������� �!������������� ����������"

�������������&�+�������� ��& #��� ����

# �.���������� �!�����������

���

���

2

22

2

2

2

2u

tc

ux

uy

""")*-

Page 167: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

��� ��/�HI# """)1- �����H����� ������� �������$�I����� ������� ������������#����� ������� �������$�������������� �)*-"

#��� ��

2

2

ut�/�HI#$�

2

2u

x�/�HI#�����

2

2u

y�/�HI#

>��������%���)*-$� ����!�� 12c�HI#�/�HI#�4�HI#

�!��%����HI#$� ����!�� 12c

TT

XX

YY

""")2-

#��� ���������������� �������������������������"������%��������������������$� ����!�

� � ddx

2

2X �4�1�H�/�0$�

d

dy

2

2Y�4���I�/�0 ��� d

dt

2

2T �4�)1��4���-��#�/�0

#������������� ��������������������������!���H�/ ������1��4�������1�

I�/ ���������4���������

��� #�/ ����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26

2 2 ��

B���� ����)1-$������������ �)*-���)�$��$��-�/ )������1��4�������1�-)���������4���������-

M����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26

2 2 ���N

""")5-

�� �����������������������������������������%����������������������� �����������

��/�0$���/��$���/�0$���/��"

#����������������������������(

)�- ��/�0$� ������/�0

)��- �/�0$� ������/��

)���- ��/�0$� ������/�0

)�!- ��/�0$� ������/��� ��������"

������%������������)�-$� ����!�

��������0�/���)���������4���������-M����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26

2 2 ��N

�"�"$ ���/�0

�����%� ��� /� 0� �� )2-� ���� ������%� ���� ������� )��-$� �� ��!�� ��� 1�� /� 0

���1�/�ma$� ���������������%��"

>������$�������%�������������)���-�����)�!-$� ��%��

���/ 0 �� ��/�nb$� ���������������%��"

Page 168: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#���� ���$�������������)2-�������

�)�$��$��-�/ ��������m x

an yb

sin �)��������4���������-

�������/�� ma

nb

2

2

2

2

=�����%������������������������������$� ����� ��������%�����������������

�)�$��$��-�/m n

m xa

n yb

1 1

sin sin

�)��������4�E�������- """)6-

�� � � �������� � ���� � ��������� � ������� � ���� ����� ���� ���� ����� ��������/��)�$��-��"�"���)�$����0-�/��)�$��-"

#����������%�����������(���ut�/�0� ������/�0$� ��%���E��/�0"

��������%�����������( ��/��)�$��-� ������/�0$� ��%��

�)�$��-�/m

mnn

m xa

n yb

1 1

A sin sin

"""),-

#��������������������������"�;�������%�����������������m x

an yb

sin ����

���%����%� ������/�0������/���������/�0������/��$��!�����������������%����'��������������D���"�#���$� ��%��

0 0 4

a bf x y

m xa

n yb

dy dxab� � ( , ) sin sin

���

�"�"� ���/�4

0 0abf x y

m xb

n ya

a b� � ( , ) sin sin ������ """)9-

B���$� ����)6-$����������������������

�)�$��$��-�/�m n

mnm x

an yb

1 1

A sin sin

������

����������%!������)9-�������/��ma

nb

2

2

2

2 "

�������������

���������#� ����������������������� �����������������������������.�������������!����������������������������������������� �3�������,�"

�����#���!��������� �������������������������%�!���������� ����������� �!���������

���

���

2

22

2

2

2

2u

tc

ux

uy

""")*-

B����������������������������$ �)0$��$��-�/�0$��)*$��$��-�/�0$ �)�$�0$��-�/�0$��)�$�*$��-�/�0

��� ��������������������

��)�$��$�0-�/��)�$��-�/�����������1� ���

���

���

ut t 0

�/�0

Page 169: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

#�����!�����"�)*-$���� ��/�HI# """)1- �����H��� ������� �������$�I����� ������� �������$�����#����� ������� �������"

2

2

2

2

ut t

�)HI#-�/�HI�ddt

2T2

2

2

2

2

2ux x

ddx

(XYT) = YTX2

2

2

2

2

2u

y y

d

dy(XYT) = XT

Y2 $

�����)*-$ �HI#�/�)I#H�4�H#I-��

12c

TT

XX

YY

#��� ���������������� ��������������������������"�������%�������������������$� ����!�

�� ddx

2

2X �4�1�H�/�0$�

d

dy

2

2Y�4���I�/�0 ��� d

dt

2

2T �4�)1��4���-��#�/�0"

#������������� ��������������������������!���$

H�/ ������1��4�������1�

I�/ ���������4���������

��� #�/ ����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���"

�)�$����-�/ )������1��4�������1�-)���������4��������-

M����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���N """)2-

�����)2-$��)0$��$��-�/�0�/���)���������4���������-)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���-

���/�0"

�����)2-$�)�$��$��-�/�������1�)���������4���������-

)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ��-��""")5-

�)*$��$��-�/�0�/�������1)���������4���������-)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ��-

����1�/�0�/������)����-

1�/��"

�����)5-$ �)�$��$��-�/���������)���������4���������-

)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���- """)6-

�)�$�0$��-�/�0�/����������"���)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���N

���/�0"

�����)6-$

�)�$��$��-�/������������������)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���- �"""),-

Page 170: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� �)�$�*$��-�/�0�/�����������������)����� k l ct c k l2 2

62 2 sin ���-

���������������/�0�/������)����-

��/��" �����),-$

�)�$��$��-�/������������������)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ��-

�)�$��$��-�/�������������)���������4�E�������- """)9-

���� ��/��� m n2 2 "

#��������%����������������

�)�$��$��-�/�m n

1 1

������������)���������4�E�������-

""")L-������%�����������$

ut

0 �����/�0

��%�� �E��/�0 """):-

����$����%��������������/��)�$��-�/�����������1� ������/�0$� ��%��

� ����������1��/�m n

1 1

��������������

#���������������������>����"

� ���/�21

21 0

1

0

1. sin� � A �����1������������������

��!�����$ ���/����/����/�""""""�/�0

E��$ � ����/�5��0

1

0

12 2� � sin sin sin x m x y dxdy

/�1��0

1

0

11 4� � sin sin ( cos ) x m x y dxdy

/�1��0

1

0

144� ���

���sin sin

sin

x m x yy

dx

/�1��0

1� sin sin x m x dx

�%��$���!�����$

�����/�����/�����/�"""�/�0

E��$ �����/�1��0

12� sin x dx �/���

0

11 2� ( cos )x dx

/��� xx�

�����

sin 22 0

1

�/�� """)*0-

�����)L-$�):-�����)*0-$� ��%��

�)�$��$��-�/����������1������� """)**-

���� ��/��� m n2 2 �/�)*-� 1 4 �/� 5 �

Page 171: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�����)**-$��)�$��$��-�/������ 5 ����������1�"

�������� �8�� ��� ��� ���������� ���� �� � �� � ���������� ���������' � �� ' � � ����� �������� �� ����� F �!�� ���� �� ������ ���� ���� ���������' �����%� ��%� "(������������������������!����

������� � A cos ckt sinm x

asin

n ybmn

n 1m 1

����� 3�/16a bm n

2 2

3 3 6�.%���� �.%���� ��� 1���

ma

nb

2

2

2

2���

��� "

������������%���������"�1"**$� ����!�

�)�����-�/�m n

1 1

������m x

an yb

sin ������

���� ��/��� ma

nb

2

2

2

2 """)*-

�����)*-$� �)���$�0-��/�m n

1 1

������m x

an yb

sin

���)��+��-)��+��-�/�m n

1 1

������m x

an yb

sin

���� � ���/�2 2

0 0a bxy a x b y

m xa

n yb

dydxa b

. ( ) ( ) sin sin� �

/�4

0 0abx a x

m xa

dx y b yn yb

dya b� � ( ) sin . ( ) sin

��/�4

2 22 2

2

3 3

30

abx a x

m xa

ma

a x

m xa

ma

m xa

ma

a

( )cos

( )sin

( )cos

����

����

����

����

����

����

����

����

W� y b y

n yb

nb

b y

n yb

nb

n yb

nb

b

( )cos

( )sin

( )cos

����

����

����

����

����

����

����

����

2 22 2

2

3 3

30

�/�4 2 2 2 23

3 3

3

3 3

3

3 3

3

3 3aba

mm

am

bn

nb

n

� �

� �

cos cos

/�4 2 23

3 3

3

3 3aba

mb

n. .

�M*�+�)+�*-�N�M*�+�)+�*-N

� ���/�16 2 2

3 3 6

a bm n

�M*�+�)+�*-�N�M*�+�)+�*-N"

B���� ����)*-$

�)�����-�/� 16 1 1 1 12 2

61 1

3 3a b

m nm x

an yb

m n

n m

[ ( ) ] [ ( ) ]sin sin ������

Page 172: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���� ��/��� m

anb

2

2

2

2 """)1-

�'��������)1-���������������������$

�)�$��$��-�/�m n

1 1

��������1�����m x

an yb

sin

���� ��� 16 2 2

3 6 3a b

m n)*�+�����-)*�+�����- ��� 1��/���

ma

nb

2

2

2

2���

��� "

������������3���������������������������������������!������������������������������������������1���,�����"(����������������������������������

1���,��������� 5 �� "

�����B���� ����!��������!��������������

���

���

2

22

2

2

2

2u

tc

ux

uy

������������������� �)0$��$��-�/��)*$��$��-�/��)�$�0$��-�/��)�$�*$��-�/�0

�������������������� �)�$��$�0-�/��)�$��-�/�1����1������

ut�/�0 ������/�0

�������%�������'"�*$� ����!�

�)���$�-�/�m n

1 1

�������������������� """)*-

>��$ ��/���/�*$ �������/��� m n2 2

��� ����/�4

1 1 0

1

0

1

� � k ���1�����������������������

/�51�0

1

0

12� �sin sin sin sinm x x dx n y y dy

/�0 ������1 �� ���*

�����/�51)12 -)

12 -�/�1 ��� ��/��� ( ) ( )2 1 52 2 �

B������������)*-������������)�����-�/�1����1����������) 5 ��-"

�� ������

�������������������� �������#� ���������������������� '�J���J�!��'�J���J�/#��� ��� ��������������������������������������� ���������� ������'#����� !�"��# /����#�

� ����������������� �� �������#� ���������������������� '�J���J����'�J���J��#��� ��� ��������������������������������������� ���������� ������'#����� ���"���#� ���"���#�

$ ����������������� �� �������#� ��������������������������������������������������������������������������� ���������!������������������� ��������C�� ������������������������� ����

� ����#���sin sin .2 3 xa

yb

Page 173: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

2�34��3

�������#����m n

1 1

�@��������� ��������n y2

��� ���������������@�������2563 3 6m n

���� ��

��� �� ������������� mn2

2

4

� �������#����m n

1 1

@�������m x

an yb

sin �� ������������@�����

144 3 3

3 3 6a b

m n ����������

m

a

n

b

2

2

2

2 �

$ �������#����sin sin cos2 3 xa

yb

pt �����������4 92 2a b �

��+�������� ��� �����&� � �

� �

��

� ��

� �

������������ �� �� ���������������%������� �������"���������������������������� � ������������ ����������������� ������ ������ ��������������������������������������%�%���"�#�&����������� ��������������%������������������ � �� �����������!���.�'�"�#������������������������������ ��������������������������������� ���������� �������������������������"�����$������������������ ������������ ��������.����������������"

#����������� �����������%������������ ���������������������������������������� � � ���� ����.�����$� ���� �����!���X� � � ������������ � � ���� ���� ���� ���

������������%�������ux��"�"$������� ����%��� ������������� "�"�"�����������������

��������"

?�$�������������� ������ �� �%����������������������������

/�+X��������

ux x

�������"

)������%��!���%����������%��������������������������������$�����������-"

?�$�������������� ������ �� �%������ �������������������������4��

/�+X��

���

���

ux x x

�������"

Page 174: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

B���������������� �������������������������� �����&��������

?��+�?��/�X��������

������

��

ux

uxx x x

�������" """)*-

E������������� ��������� �����������������/�>���� ut

""")1-

�����>���������� ����������$������������� ������������"

�����)*-�����)1-$�>����ut�/�X��

������

������

��

ux

uxx x x

�� �>� ut�/�X�

� ��

��

��

ux

ux

xx x x

��

#�&�%���������������0$� ����!�

>�

ut

ux

K2

2��

ut

u

x

KS

2

2

����������

ut

cu

x2

2

2�$�� ��������/�

KS���&�� ������ ��!���� �������������� ��������"

���������������� ���� ����

#����������������� �� �

ut

cu

x2

2

2 """)*-

��� ��/�H# """)1-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������$��������������� �)*-"

#��� �ut�/�H# ���

2

2u

x�/�H#

>��������%���)*-$� ����!�� � �H#�/���H#

>�������%�����!�������$� ��%���XX

TT

12c

""")2-

�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������="B">"����� ������� �������">��������������������������!�������$�������������������������� �������������������������������$�����1"�#�����������)2-����������������������� ����������������"

ddx

2X2 �+�1H�/�0 ���

ddtT�+�1��#�/�0 """)5-

>��!�%����������)5-$� ��%��

)�- 9���1��������!��� ����/���$����

��H�/�������4����

���$�#�/����ec p t2 2

)��- 9���1�������!������/�+���$����

H�/����������4���������$�#�/����ec p t 2 2

Page 175: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

)���- 9���1�'

H�/�����4���$�#�/���"

#��������!������������������������ ������������������)*-����(

��/�)�������4�����

��-�"����ec p t2 2

""")6-

��/�)���������4���������-�"���e c p t 2 2"""),-

��/�)����4���-�� """)9-

� ���������������������$� ����!������������������������ ������������� ���������������������� ������������"�>�����������������������������$�������������������������� �������������������

��/�)���������4���������-���ec p t 2 2

"

>�������)6-�����S�����������������"����$���������)9-�����S����������%!��������.D���������������������������"

����������������� �����������

�� ���������������� ��������������� �����������&���������������������������� ������ ����D���"

�������������EG�$ ���/ ���$�0�P���P��$���8�0

�)0$��-�/ $���)�$��-�/�V����0�)�$�0-�/ �)�-

#����!�������������%�������������������������������%����������������������$� ���������� ���� �%������ �������� ������(

�)�$��-�/ L

x �4�!�)�$��-

3�������������� �������� �!�)�$��-� ������%�!��������������EG�(

!��/ !��$ 0�P���P��$ ��8�0

!)0$��-�/ 0�/�!�)�$��-$ ���0

!)�$�0-�/ �)�-�+� L

x

!)�$� �-� ��� �� � ������ ��� ����� ���%�������� � � ���������� � � !�������"��������������)�$��-��������������������������� ����������"

�������������

�����������3��� �� ����� ����� ��������� ����� �� ����������� ���������������������":�������������������������'G4������1��������������������" ������������������������������ "

�����#��������������� �������)�$��-����� �������� ���������������

ut

cu

x2

2

2

Page 176: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������!��������"�1"*2$� ����!�

��)���-�/�)���������4���������-���e c p t 2 2

""")*->��������������/�0�������/����������������0Y������&�����������������������

�����%����$���������������������������)0$��-�/��)�$��-�/�0� ��������

������)�$�0-�/��������������������">����)0$��-�/�0$� ����!�� ����)*-$

0�/ ����e c p t 2 2 ���/�0

�����)*-$ �)�$��-�/ ����������"�e c p t 2 2

""")1->����)�$��-�/�0$� ����!�� ����)1-$

0�/ �����������"�e c p t 2 2

������/ 0 ���/��

��/nl$������%�������%��

>�������)1-������������)�$��-�/�������n x

le

c n tl

. 2 2 2

2

����������%�����������"

#��� ����� %������� �������� �� �������� ��� ����%� ���� ���� ��������� ����/�*$�1$�2$""""""

�)�$��-�/� bn xl

en

c n tl

n

sin .

2 2 2

2

1

""")2-

>����)�$�0-�/��$� ����!����/� bn x

lnn

sin

1

�������� .���%������������ ����"

���/�2 0

40

0 0lu

n xl

dxn

un

nl�

�����

sin,

,

when is even

when is odd

B�������������������� �����

�)�$��-�/�4 10

1 3 5

2 2 2

2un

n xl

en

c n tl

, , ......

sin

/�4 1

2 12 10

1

2 12 2 2

2un

n xl

en

c n tl

sin( )

( )

"

������������ ������������������������������,������������1�����

���������������������������������������������������������� x2

3 sin5 x2

"

����������)�$��-�����������������������������"�#�����������������������

�)0$��-�/ 0�/��)1$��-� ��������" """)*-

#����������������

�)�$�0-�/ ���x2�4�2����

52x

""")1-

Page 177: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

���.��������������� �� ����������

ut

cu

x 2

2

2 """)2-

�������������

�)�$��-�/�)���������4���������-���� e c p t 2 2 """)5-

�)0$��-�/�0�/����� e c p t 2 2C�<��%�)*-

���/�0

�����)5-$

�)�$��-�/������������ e c p t 2 2""")6-

�)1$��-�/�0�/���������1� e c p t 2 2C�<��%�)*-

����1��/�0�/�����

��/�n2$�����

B���� ����)6-$

�)�$��-�/�������n x2� e

n c t2 2 2

4

C� �����/���

#��������%����������������

�)�$��-�/�n

1

������n x2� e

n c t2 2 2

4

"""),-

�)�$�0-�/����x2

���

��� �4�2����

52x�

����� �/�

nnb

n x

1

2sin

/�������x2

���

��� �4�������

22x�

����� �4�"""�4������

52x�

����� �4�"""

�������%$� ��%��

���/�*�������/�2

B���� ����),-$

�)�$��-�/���� x2

���

��� � e

c t2 2 4/ �4�2���� 52x�

����� � e

c t25 42 2 / "

������������3�������������������������������3���H������������'G4���.''G4��������!��������������������������������!���":�H�������������������'G4���������������'G4�����������������������������������3�������"

���������������������������������������������������������������3��,'G4����������������H��I'G4"

��������������������������������������������

�u lx

lx1 0

100 0 100 ���

���

���������������������������)�"�"����������������-��

ul

x2 00 0

0 ���

���

Page 178: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#��%���������������������������$

��/���)�-�4���)���-

�������)�-� �� ���� ������� ������ ���������������������� �� ���� ���"���)��� �-� �� ���������������������������������� ������������D����������������"

��)�$��-����� ���������������������� �� ��������

�)�$��-�/�n

n nc p ta px b px e

1

2 2

( cos sin ) – """)*-

���������������$ �)0$��-�/�0�/��)�$��- """)1-

�����)*-$ ��)0$��-�/�0�/�n

nc p ta e

1

2 2– ���/�0 """)2-

����$ �)���-�/�0�/�n

nc p tb pl e

1

2 2

sin –C����%�)2-

�������/�0�/�����$�����

�� ��/�nl

""")5-

�����)*-$�)2-�����)5-$��)�$��-�/�n

n

nl

c tb

n xl

e

���

���

1

22

sin–

""")6-

<��%������������$

�)�$�0-�/�100

1l

x bn x

ln

n

sin

�������� .���%������������ ���100

lx.

���2 100

0l lx

n xl

dxl� sin

/� 20012

0

0lx

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l.

– cos.

– cos

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

/�200

2

2

0

ll

nn

ln

n xl

nl

l

����

����

����

����

cossin

�/� 200

1n

n

( )

B�������������������� �����

�)�$��-�/ –( )

sin200 1

1

2 2 2

2

n

n n c tl

nn x

le

:����������������������������������������������������� ����������"�"�

�)�$�0-�/100

lx"

Page 179: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

E���������������������)0$��-�/�10������)�$��-�/�L0� �������!������� �������$� ��������������������������

���/ 10�4�80 20�

�����l

x �/�10�4�60l

x

#���$ ��/ ��)�-�4���)�$��-

��/ 10�4� 60

1

2 2

lx a px b px e

nn n

c p t

( cos sin ) – """),-

�)0$��-�/ 10�/�10�4�n

nc p ta e

1

2 2– C������),-

���/ 0

�����),-$ ��/ 10�4� 60

1

2 2

lx b px e

nn

c p t

sin – """)9-

�)�$��-�/ L0�/�10�4� 60

1

2 2

ll b pl e

nn

c p t

sin C������)9-

0�/n

nc p tb pl e

1

2 2sin –

������/ 0�/�����$�����

��/nl

""")L-

�����)9-�����)L-$ ��/ 10�4� 60

1

2

lx b

n xl

en

n

n cl

t

���

��� sin

"""):-

<��%������������$

�)�$�0-�/100

2060

1l

xl

x bn x

ln

n

sin

� 4020

1l

x bn x

ln

n

sin

���� ���/2 40

200l l

xn x

ldx

l� ���

��� sin

/2 40

2040

0

0l lx

n xl

nl

l

n xl

nl

dx

l

l�

�����

����

����

����

���

����

���

����

����

�����cos

.cos

/2 20 20 40

0

ll

nn

ln n

n xl

nl

l

����

����

����

����

cossin

/

�����

401

080

nn

n

nn

( cos ),

,

when is odd

when is even

Page 180: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

B������������):-�������$

�)�$��-�/ 10�4�60 80 1

2, 4

2

lx

nn x

le

nn

n cl

t

���

���

, ...( )

–sin

is even

/ 10�4� 60 40 1 2

1

4 2 2 2

2

lx

mm xl

em

c m tl

sin–

"�)��&�%���/�1�-

������������)������3���H�������������,'�������������������0'G4���I'G4�������������������!����")�������������������������������������� �� /'G4���2'G4 ��������!���" ��� ��� ����������������������� ������������� ")�������������������������������������������!������������������������

�������������������������k

c2

�."

��������������������������������������������

���/ 20�4�80 30

2030

52

���

��� x ��

���������������������������)�"�"����������������-��

���/ 50�4�60 40

20�

����� ���/�50�4��

#��%���������������������������$

��/ ��)�$��-�4���)�-

�������)�-������������������������������������������������������)�$��-������������������������������������� ������������D����������������"

� ��)���-����� ���������������������� �� ��������"

��/ 50�4���4� ( cos sin )a px b px en np t

n

2

1

""")*-

���������������$

�)0$��-�/ 50 """)1-

�)10$��-�/ ,0 """)2-

�����)*-$�����)1-$ �)0$��-�/ 50�/�50�4� a enp t

2

1

C������)1-

0�/ a enp t

2

1 ���/�0 """)5-

�����)*-$

��/ 50�4���4� b px enp t

n

sin

2

1

�%��$ �)10$��-�/ ,0�/�,0�4� b p enp t

n

sin 202

1

0�/ b p enp tsin 20

2

1

���10��/ 0�/�����$�����

Page 181: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ��������������������������������� ��/

n20

��/ 50�4���4� bn x

en

nt

n

sin

2020

1

2

���

���

""")6-

<��%������������$

�)�$�0-�/ 20�4�52

x �����"�)6-$� ��%��

20�4�52

x �/ 50�4���4� bn x

nn

sin

201

32

x �+�*0�/ bn x

nn

sin

201

���� ���/220

32

10200

20� ���

���x

n xsin

����/�+�

20n�M1)+�*-��4�*N

�����)6-$ �)�$��-�/ 50�4���+� 20 2 1 120

20

1

2

( )

sin �

�� �

�����

n n

t

nn

n xe "

������������)�����������������������������������������������������������������������'��������!����������������������������������

ut

ux

2

2

3���������������������������������������������' ���� ����,��������������������������������������������������"

����

ut

ux

2

2 """)*-

������������� �)�$��-�/���e p t 2�)���������4���������- """)1-

>����������� ��������������������$���������������������� �����������������������������������������

ux�/ 0 �����/�0 """)2-

���ux�/ 0 �����/� "")5-

�����)1-$

ux

c e p t1

2�)+�����������4����������-

�� ��/�0$ 0�/ c e pcp t1 3

2 ���/�0

�����)1-$ �)�$��-�/ �����ep t 2������ """)6-

�%��ux�/ +������e

p t 2������

�� ��$

0�/ +������e p t 2�����

�����/ 0�/������)����-��/ � ��/��

�����)6-$ �)�$��-�/ ���e n t 2

������ ���� �����/���

Page 182: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

;����%����������������

�)�$��-�/ b enn t

n

2

1������ """),-

�)�$�0-�/ ���1��/� b nxnn

cos

1

�������%$� ��%�� ���/ * ��� ��/�1"������������ 7������D���"

�����),-$ �)�$��-�/ �������1�"

���������7��(��!������������

ut

ux

2

2�������������������������' �0���

�����'�� �'������ �'������'E�E�"

�����#�������������������������

ut

ux

2

2""")*-

��%!����� �)�$��-�/ ��e p t 2

�)���������4���������- """)1-

�����)1-$ �)0$��-�/ ����e p t 2

0�/ ����e p t 2

���/ 0"

�����)1-$ �)�$�-�/ ����e p t 2������ """)2-

�)�$�-�/ 0�/�����e p t 2

������

������/ 0�/�����)����-

��/nl"

�����)2-$ �)�$��-�/ ����en x

l

nl

t2 2

2

sin �/���e

n xl

n tl

2 2

2

sin

#��������%����������������

�)�$��-�/ b en x

lnn t l

n

( / ) sin2 2 2

1

""")5-

�����)5-$ �)�$�0-�/ bn x

ln sin

1

2�������/ bn x

ln sin

1

"

����������%!��$ ���/ 2$���/�*"

B���� ����)5-$����������������������

�)�$��-�/�2 e n t

n

2 2

1

������"

Page 183: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

%&&�� ���������������������������������

�������� �9��3������� ��������� ����� �� ��������� �� � ����������� 'G4���������")�������'��1�����'G4������������������������������������

������ux

�3������������3�����������" ������������������������������ "

������������������������ �� ����������

ut

cu

x2

2

2""")*-

�������������

�)�$��-�/ ��e p c t 2 2)���������4���������-

�� �)�$��-�/ )���������4�E������-�e p c t 2 2""")1-

������%�����D������������������$

�)0$��-�/ 0�/���e p c t 2 2

���/ 0"

�����)1-$ ��)�$��-�/�E������e p c t 2 2

""")2-

�����)2-$ �ux�/��E������e p c t 2 2

"

�� ��/��$ ��

���

���

ux x l

�/�0�/��E������e p c t 2 2

��������/�0�/���� n ���

���2�V����� �� ���/�)1��+�*-�

2

��/�)1��+�*-�2l"

�����)2-$ �)�$��-�/�E������e p c t 2 2""")5- �������/�)1��+�*-�

2l

#��������%����������������

�)�$��-�/� Bnp c t

n

px esin

2 2

1""")6- �������/�)1��+�*-�

2l"

#���������������%!��� ������������������

)�- ��/�0������/�0 )��-ux�/��������/�� """),-

#������������������ ������ ��������D���������������"�>�� ���������)6-�����������

��/�����4�E

������%��������E���������),-������� ��"

#���%!��$ 0�/�E ��� ����/��

�)�$��-�/����4�n

np c tpx e

1

2 2

B sin ��""")9- �������/�)1��+�*-�2l"

Page 184: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������%�������������������/�0������/�0$� ����!�

0�/ ���4� Bnn

pxsin

1

�� +���� Bnn

pxsin

1

���� E��/2

0lx px dx

l� ( ) sinA $� �������/�)1��+�*-�2l

/ �

�����

���

���

���

����

�����2

10

0

Al

xpx

ppx

pdx

llcos

.cos

/ +�2 1

0

Al

l plp p

pxp

l

���

���

��

����

cos sin

/�

� �

2 12

Al

l plp p

plcos

sin �/�+2 22 1

2 12

2

2 2A ( )

( )sin ( )

l

l nn

��������)� ������/�0-

/�

�����

82 1 22 2

Aln

n

( )

sin �/�82 12 2

Aln ( )

�)+�*-� """)L-

�����)9-$ �)���-�/ ���4�8 1

2 121

2Al

nn

n

��

( )( )

����)1��+�*-�

xl

e

n c tl

2

2 14

2 2 2

2�

���

���

( )

���������#��(��!��

ut

ku

x

2

2 ������������������

)�- ������� )��-ux�/'�����'������

)���- ��/����+����������/�'����������/�0�������/��"

�����>����������

ut

ku

x

2

2��

�)�$��-�/ ��e c kt 2

�)���������4���������- """)*-

���"�)*-����� ���������������� ���

������%�ux�/�0� �����/�0�������/������)*-$� ��%��

���/ 0

��� ��/nl$����

��/ �����en xl

n ktl

���

��2 2

2

cos �/�������

n xl

e

n ktl

���

��2 2

2

""")1-

�%��$������������������������������/ ���)����4���- """)2- C� ����/�0

������%�ux�/�0� �����/�0������/������)2-$� ��%������/�0

��/ �����/�a0

2�)���- """)5- C������)2-

Page 185: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

#���%�������������������������� ����������)1-�����)5-� ���!�������"

�)�$��-�/a

an x

len

n ktl

n

0

12

2 2

2

���

��

cos

""")6-

�� �������%���/����+���� �����/�0�������"�)6-$� ��%��

���+����/a

an x

lnn

0

12

cos

B���$ ��/2

30

22

llx x dx

ll� ( )

���/2

0

2

llx x

n xl

dxl� ( ) cos

/ �����

4

0

2

2 2

l

nn

n

;

;

when is even

when is odd�C�������� ����

��/l l

nn x

le

n

n ktl

2 2

22,4

264 1

2 2

2

���

��

,...

cos

������/�1�$� ��%��

�)�$��-�/l l

mm xl

e

m ktl

m

2 2

2 2

4

16

1 22 2

2

���

��

cos

�� ������

�#�8 ���G�

ut

u

x

2

2D��� ����������E����� ������ ������� ����� ��� '���#���'�� ���#��

'������������������ ����� �� ���'#�������/��

��#�8 ���G�

ut

au

x2

2

2 �����������

�#����'����������'���������#�� ������� �#����0�����xl

����������'�� ��������

���#�8 ���G�������������������� ����� ���� '���#���'���� ���#������ ���'#����� '�J���J�#�

� �#�B�������� ���� � ��� �� �� ��$������ ���� ����� ����� ��

ut

cu

x2

2

2 � ������ ���

� ������ � ����� ��� ���� '�� �#� �� '�� #�� �#� �� '� �� 6� '#� ���� ���� �������� � ����� � ���'#�����G�#������������������ ����������

��# ���������������������������� �������� �� ���������/���� �������� ���������������������������C�� ������������������������������������ ������ �#���!''��

$ %���������� ����������� ���������!'��� ��� ���� �������������� ����������������������� ��������� ������ %��� ����� �� ���� ���� ���� .���� ��� ����� 'M>� ���� �������� ����� ��� �#���� !'�"��#�

���������������������������������������� ������

Page 186: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

% ������������������� ����#������� ���� ������ �������� ���������������� ��������

*������������������.�������C�� ������������������������������������������ x x d( )LL2 �

& @�� ���� ��� �� ��� ���������������� ���������!''����������������.�������C��

����������������������������������������� ���'#���x xx x

,,

0 50100 50 100

���������������������� ����#������������

' ����� ���� ���������� ��� �#� ������������ ������������'����� ����*�����.������� C�� ���������������� ���������������������� �#������������

� �#���k x

x

,

,

when L

when L L

012

012

���

����

( ���������������������������� �������� �� �������������������� ������������������������������������������������������������������� �����!''�� ����

) ����������������������������������� �� ���������*������� ����������������� � �����

���������� ��������� ���������� �����������#�������������������������������� xL

�������

� ��

* �# %������������� ��������7'���� ��������������������������.�������'M���� ����������!''M�������� ���������������������� ����� ������������%����� ������������������������������� ��������������������������������C�� ���������������������������������������������������� ��

��# @� ���� !'� �� � ��������� ��������� ������� ���� ���� �����@� ����H����������� �������������7'M>�����!''M>��������������������������$������� ����� ������������%���������������@�������������������� �9'M>����������������������������H����� ������ �3'M>������������������������������ ����������������������

! @�� ���� �� � �� �� � ���������������� �� ������� N!?� ���� ���� ����� .���� ��� C�� �����������%������������������������������%�������������� ����� �C�� ���������� ���������������������������������� ��

Hint: u xx x

x x( , )

,

( ),0

2 012

2 112

1

����

����

T

T

8 ����

t

kx

2

2

����������

�# ������������������� ��#x ���'����������'��������'����������#�� �

������

���# ��������������'�� ������������ ������������'�����#�

� �������� ��� �� ������������ ����� ������� ��

ut

u

x

2

2 ���������

�# ������������������� ��# ���!''����������'� ���� ������������ ����

���# ���'����������'�� ������������ ������������'������

O����������������������$� ���� ������������������� ������������#

Page 187: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

$ 8 ��������� �� ������HI+G ������� '�J���J�!� ��6�' '���#�� !� � !���#���/� ���' ���'#�� !�������/������

% 8 ��������� �� ������HI+G ������� '�J���J�!� ��6�' '���#�� !� � !���#���0 ���'#�� !���/����0������

2�34��3

�#� ����#�������/������ ��# ����#���0����� xl

e a t l ( / )2 2 2

���#� ����#���3

21

34

1 2 2

( )cos

na n t

nn

nx e

� �#� ����#���"�2

2 2 2

2

1

l nn

n xl

e

c n tl

n

cossin

���

��

��#� ����#���

���

��4002

1

4

2 2 2

n

c n tn

nn x

ecos

sin

$ ����#���800 1

2 1

2 1103 3

2 1100

1

2 2 2

( )sin

( )( )

n

n xe

n c t

n

���

���

% ����#���8 1

2 1

2 13

13

2 1 2 2 2

d

n

n xe

n

n c t

( )sin

( )( )

LL2

& ����#���400 1

2 1

2 11002 2

2 1100

0

2

( )

( )sin

( )( )

���

��

m m c

t

mm

m xe

' ����#���4 1

42

1

2 2 2

2kn

n n xe

c n t

n

sin sinL

L

���

��

( !''������� ���

) ����#���2 4 1

4 1

2

12

4 2 2 2

���

���

m

m c t

m

m xe

( )cos

LL2

* � �#� ����#���200 1

50

1

1

2500

2 2

( )

sin

���

��n

n

n kt

nn x

e

��# ����#���9'�"�0��"�80 1

5

2 2 2

25

1

nn x

e

c n t

n

sin

���

��

! ����#���8 1

2 12 1

21

1

22 1 2 2 2T

m

mm c t

mm x e

( )

( )sin ( ) [( ) ]

���4

213

32

15

52

0 232

522

2 2

exl

exl

exl

l kt lkt

lkt

�����

���

���

���

���

( / ) cos cos cos ...

� ����#���!''�"�400 2 1

2 12 1

1

2

sin ( ) ( )m x

me m t

m

$ ����#���!������� 2

2 te �����

% ����#���!���/���� 2

3 te ������

Page 188: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �&�+�������� ��� �����&

������������ �� �� ���������������������$������H�I������"� � � ���� ��������������� ���������������������� ������7�������������������������������������$���������� �� ��������� ������������������������. �� ����������������H�I������������D��������%������������������������H�I"

#�&�� �� �����%����� �������� � � ��������� ����������������������&�����"��� �������� �� ���� ���.���������� ���� �� �����%������$�������������� ����������������� �������������������� �������������E����������%!�����

�%1���

���

���

uy y

���������� +�1���������

ux x

������!������������� ��� �� �����������%������������������E�������������

+�1��

���

���

uy y y

������� +�1��

���

���

ux x x

�������!���"

#���� ���$�����������%���� ������������������%������������E������������

/�+�1��

���

���

���

���

���

���

���

���

uy

k yux

k xuy

k yuxy x y y x x

/�1���

���

������

������

������

������

ux

ux

x

uy

uy

yx x x y y y

��� """)*-

#��������� �%���� ��������������������������%!�����

����ut

""")1-

�������/���� �����������/��������� ����������������"������%�)*-�����)1-$� �������

1��

������

������

������

������

ux

ux

x

uy

uy

yx x x y y y

�/�����ut

�!��%�����������������������&�%���������������0$����0$� ��%��

1

���

���

2

2

2

2u

xu

ys

ut

�� ���

���

���

2

2

2

2u

xu

yut

��������/�ks

""")2-

��������)2-�%!������������������������������ ����������� �������������������"

Page 189: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������4 ������������������������������������� ������ ������

ut

���'����������� �������� ��������P�

2

2

2

2 0u

x

u

y��� 4#

���������.� ������.������3��5����� ������� �������� ��

4 �����%�������� �� ��������� �������� ���� %����$������ ����������� �#��������������������������

���

���

���

2

2

2

2

2

2u

x

u

y

u

z

ut

�������������������������������� �

2

2

2

2

2

2u

x

u

y

u

z���'

���������.������3��5����� ������������������ ��

������������� �� %���� ��������&�����������

������7������������� ������������

��������

2

2

2

2u

x

u

y�/�0 """)*-

��� �/�HI """)1-

�����H����� ������� ������������I����� ������� �������$��������������� �)*-"

#���

2

2

ux�/�HI�����

2

2u

y�/�HI

>��������%���)*-$� ����!� HI�4�HI�/�0 ��XX

YY

""")2-

�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������=B>����� ������� �������">��������������������������!�������$�������������������������� �������������������������������$�����1"�#������������)2-����������������������� ����������������

ddx

2

2X �+�1H�/�0 ���

d

dy

2

2Y�4�1I�/�0 """)5-

>��!�%����������)5-$� ��%��

)�- 9���1��������!������/��$����

H�/�������4����

��$�I�/����������4���������

)��- 9���1�������!������/�%��$����

H�/����������4���������$�I�/�������4����

��

)���- 9���1�'

H�/�����4���$�I�/�����4���

#���$�����!������������������������ �������7����������)*-����(

��/�)������4����

��-)���������4���������- """)6-

��/�)���������4���������-)������4����

��- """),-

��/�)����4���-)����4���- """)9-

Page 190: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

� ���������������������$� ����!������������������������ ������������� ���������������������� ���������������������%!�������������������"�>������),-����������������������"

�)�$��-�/�)���������4���������-�)������

�4������-"

�������������

���������8��?��������������!�������������������!������������

2

2

2

2u

x

u

y�'

���J����������������������������'�� ������ �����' �'�������� ����n x

l

"

�����#���%!������������

2

2

2

2u

x

u

y�/�0 """)*-

��� ��/�HI """)1-

�����H����� ������� ������������I����� ������� ������������$

2

2

2

2

2

2u

x xddx

( )XY YX ���

2

2

2

2

2

2u

y y

d

dy( )XY X

Y

�����)*-$� � IH�4�HI�/�0

�XX

YY

�/�0

A�3��(��3��� �XX

YY

�/����)���-

)�- �XX p2

��H�+���H�/�0

��'�������������� � ���+����/�0

��/�F��

��"�"�/����������

��

��"�"�/�0

�H�/������

�������

)��- � � Y

Yp2 I�4���I�/�0

��'�������������� � ���4����/�0 ��/�F���

��"�"�/����������4���������

��"�"�/�0

��/����������4���������

�� $ �H)0-�/�0

���4����/�0 ���/�+���

�H)�-�/�0

������4����

���/�0 ���)�

��%���-�/�0

Page 191: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

���/ 0 C�>�������+������0�)������0���- ���/ 0 H�/ 0 ��/�HI�/�0� �������������B���� ����S��������"

A�3��((��3��� �XX

YY

�/�0�)���-

)�- �XX�/�0

�H�/�0 H�/����4���

)��- � Y

Y0

� � �I�/�0 I�/�����4���

�� $ � H)0-�/�0 ���/�0

�H)�-�/�0

���4����/�0 ���/�0

��/�0 )>������0- �H�/�0

��/�HI�/�0 �������������

B���� ���������S���������"

A�3��(((��3�����XX

YY

�/�+����)���-

)�- ��XX�/�+���

� ��H�4���H�/�0 ddx

p2

22XX = 0 "

��'�������������� ���4����/�0 ��/�F���

��"�"�/����������4���������

�"�"�/�0

H�/����������4���������

)��- � +�YY�/�%��

�YY�/��� d

dy

2

2Y�+���I�/�0"

��'��������������� ���+����/�0

��/�F��"

��"�"�/�������

�4�������

�"�"�/�0

B���$ I�/���������4������

��"

�� $ �H)0-�/�0 ���/�0

�H�/���������

H)�-�/�0

���������/�0

Page 192: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������������������/�0�/�����$�����

��/�nl

H�/ ������n xl

""")2-

�%��$ I)0-�/ 0

����4�����/ 0 ����/�+����

I�/ ���)���

�%���-�/����� e e

n yl

n yl

����

����

""")5-

��/ HI�/����������n x

l

�M��������+��������N

�� �)�$��-�/ ������n x

l�M��������+���������N """)6-

�� $ �)�$��-�/ ���n xl�/�������

n xl�M��������+��

�������N

���/1

e en a

ln a

l

�/�1

2 sinhn a

l�

�����

�)�$��-�/e e

n al

n xl

n y l n y l( / ) ( / )

sin

���

���

2 sinh�/�

sinh

sinh

n yl

n al

n xl

���

���

���

���

sin "

����������� 3��������������������������������������I�������������� �������� �� �������� ���� ����� �� ���������� �������� �� ����������������������������������������":��������������������������������'���!����

����' �.''���x8

�'E�EI

��������������������'�����I���������������������������1�����'G4���������������������������������������������������������!����

����� �.''e sinx8

y8

"

����������)�$��-���������������������������������� ����������"

# �� ���������� ����� �� � �������� ����������������%!�����

��

2

2

2

2u

x

u

y�/�0 """)*-

������������� �)�$��-�/�)���������4���������-)������4����

���- """)1-

E�������������������

�)0$��-�/ 0�/��)L$��-

Lty

u x y

( , ) 0

Page 193: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� �

�����

%&&�� ����������������������������������)�$�0-�/ *00����

x8$ 0�P��P�L

�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/����)�����

�4������-

���/ 0"

�����)1-$ �)�$��-�/ ���������)�������4����

��- """)2-

�)L$��-�/ 0�/�������L�)�������4�����

��-

���L��/ 0�/�����

��/n

n8

( )I

�����)2-$ �)�$�-�/ ������n x

c e c en y n y

8 38

48( )

""")5-

� Lty

��)�$��-�/ 0�/�������n x

c e c ey

n y n y

8 38

48lim

( )

��������� �������� ���

���/ 0"

�����)5-$ �)�$��-�/ ��������n x

en y

88

�/�������

n xe

n y

88

""")6-

�����)6-$ �)�$�0-�/ *00����x8 �/������

n x8

���/ *00$���/�*"

�����)6-$ �)�$��-�/ *00����x8

���

��� ��������

������������������������������������������������������� ����������"

������������3����������������������������������������������������������������������������������")�����������")�������������������������������������������������������������������������������"5����������������������������������������������������������"

��������������������$� � ���������������� �� ����������

2

2

2

2 0u

x

u

y""")*-

E�������������������$

� �)0$��-�/�0�/��)$��-

Lty

�)�$��-�/�0�)0�P���P�-

��� �)�$�0-�/���)0�P���P�->������������������)*-��

�)���-�/�)���������4���������-)������4���

��-""")1-

�����)1-$� �)0$��-�/�0�/���)�������4����

��-

���/�0"

�����)1-$ �)�$��-�/��������)�������4�����

��-

�)$��-�/�0�/��������)�������4�����

���-

Page 194: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�������/�0�/������)����- """)2- ��/��"

�����)2-$� �)���-�/���������)���������

��- """)5-limy

�)�$��-�/�0�/���������� limy

�)������4����

��-

��������� �������� ��� ���/�0" �����)5-$� �)�$��-�/������

���������/������������� ���� �����/���

#��������%����������������

�)�$��-�/ b e nxnny

n

sin1

""")6-

�)�$�0-�/ ��/� b nxnn

sin

1

���� ���/2

00

� u nx dxsin

/2 20

0

0u nxn

un

���

��� cos

�T*�+�)+�*-�U

/4

0

0un

n

n

;

;

if is odd

if is even

�����

�����)6-$ �)���-�/4 0

1 3 5

u nxn

n

, , , ...

sin���� )�������-

�� �)���-�/4 1

2 10

1

un

n

( )����)1��+�*-�����������"

������������3��������������������������������������.'�������������� �������� �� �������� ���� ����� �� ���������� �������� �� ����������������������������������������":��������������������������������'���!����

��� ����� �20x, 0 x 520(10 x), 5 x 10

���������������������'�����.'������������������������1�����'G4" ����������������������������*���� "

��������������������$�� ����������������� �� ����������

���������������

2

2

2

2 0u

x

u

y""")*-

�������������

�)�$��-�/�)���������4���������-)�������4�����

��-""")1-

E���������������������)0$��-�/�0

�)*0$��-�/�0

� limy

�)�$��-�/��)��-�/�0

�����������������)�$�0-�/�20 0 5

20 10 5 10x x

x x,

( ) ,

���

Page 195: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

�����)1-$ �)���-�/�0�/���)������4����

���-

���/ 0

�����)1-$ �)�$��-�/ ���������)�������4�����

���- """)2-

�)*0$��-�/ 0�/�������*0��)����������

��-

���*0��/ 0�/������� *0��/ ��)����-

��/n10"

�����)2-$ �)�$��-�/ ������n x

c e c en y n y

10 310

410( )

""")5-

limy

�)�$��-�/ ������n x

c e c ey

n y n y

10 310

410lim

( )

��������� �������� �������/�0"

B���� ����)5-$�)�����-�/ ��������n x

en y

1010

�/�������

n xe

n y

1010

""")6-

#��������%����������������

�)�$��-�/ bn x

en

n y

n

sin

1010

1

"""),-

�)�$�0-�/ bn x

nn

sin

101

$

�������/�210

0100

10� u xn x

dx( , ) sin

/�15

2010

20 10100

5

5

10� � ���

���x

n xdx x

n xdxsin ( ) sin

/�5� x

n x

n

n x

ndx x

n x

n

����

����

����

���

����

���

����

����

����

����

����

���

����

���

�cos cos

( )cos

10

10

1 10

10

10 10

100

5

0

5

5

10

+�5

101 10

10

� �

����

����

����( )

cosn x

ndx

/�5�10

52

10 10

10

502

10 10

100

5

5

10

nn

n

n x

n nn

n

n x

n

( ) cossin

cossin

����

����

����

����

����

����

/�5�

���

���

��

��

502

1002

502

1000

22 2 2 2nn

nn

nn

nn

cos sin cos sin

/�800

22 2nn

sin "

�����),-$ �)���-�/800 2

102 210

1

sin /

sinn

nn x

en y

"

Page 196: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ������������(��!�

2

2

2

2u

x

u

y�'� 'E�E� 'E �E��������������� ���

���������� ���'�� ����� ����� �'�������' �������"

�����#���%!�������������

2

2

2

2u

x

u

y�/�0 """)*-

��������������������� ����������������������)���-�/ )���������4���������-)����

���4��������- """)1-

�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/���)������4�����

��-

���/ 0"

�����)1-$ �)�$��-�/ ���������)�������4�����

���- """)2-

�)$��-�/ 0�/��������)�������4�����

��-

�����/ 0�/�����)����- ��/��"

B���� ����)2-$��)�$��-�/����������)������4����

��-�/�������)�����4�E����- ���""")5-

���� �����/ �����������/�E"

�����)5-$ �)�$�-�/ �����)����4�E��-

0�/ �����)����4�E���-

0�/ ����4�E���

����/ +�E����/�+�12

Bn �)���-

�����)5-�������$ �)�$��-�/ ����� �

� �

12

12

B Bnn ny

nn nye e e e

�12

E�M�������+�������N�������/�E��������)�+��-������"

#��������%����������������

�)�$��-�/ Bnn

hn y nxsin ( ) sin

1

""")6-

�)�$�0-�/ ������/� Bnn

hn nxsin sin

1

���� E�������/ 20

2

� sin sinx nx dx

/ 11 2

0

� ( cos ) sinx nx dx

/1 1

22 2

0

� �

� �sin {sin ( ) sin ( ) }nx n x n x ���

/1 2

2 22

2 2 0

��

cos cos ( )( )

cos ( )( )

nxn

n xn

n xn

/1

21

21

22

1 1 n n n

n

���

���

� �

{( ) } $� �������1

Page 197: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

E�������/

��

8

40 2

2n nn

n( )

,

,

when is odd

when is even and ������/�1$

E������1�2

20

2

� sin sinx x dx

/1

1 2 20

� ( cos ) sinx x dx �/�1

212

40

� ���

���sin sinx x dx

/1 2

218

40

���

���

coscos

xx �/�0

E��/ 0"

B����������������)6-�������$

�)�$��-�/

841 3 5

2

n

nx n yn n n, , ,...

sin sinh ( )( ) sinh

�� �)���-�/ +� 8 2 1 2 12 1 2 1 4 2 11 2,3

2

m

m x m ym m m

, , ...

sin ( ) sinh ( ) ( )( ) {( ) } sinh ( )

"

������������(��!�

2

2

2

2u

x

u

y�'����������������'���'��F�!��

��������� ���'�� ������ �'��� ����' ����%� "

�����#������������

2

2

2

2 0u

x

u

y""")*-

�������������

�)�$��-�/ )���������4���������-)������4����

��- """)1-

�)0$��-�/ 0�/���)������4����

��-

���/ 0"

�����)1-$ �)���-�/ ���������)�������4����

��- """)2-

�)�$��-�/ 0�/����������)�������4����

��-

������/ 0�/������)����-

���/ � �� ��/�na"

�����)2-$ �)�$��-�/ ������n xa

c e c en ya

n ya

( )3 4

�)�$��-�/ ��� n xa

e en ya

n ya

( )A B

""")5-

���� �����/�� ��� �����/�E

�)�$��-�/ ��� n xa

e en ba

n ba

( )A B

0�/ ��� n xa

e en ba

n ba

( )A B

Page 198: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ��e e

n ba

n ba

B �/ 0

���e en ba

n ba

B12�E��)���-"

#����)5-�������$

�)���-�/ ���n xa

e e e en

n ba

n ya

n

n ba

n ya

��

12

12

B B

/ 12

Bn

na

b yna

b yn xa

e esin [ ]( ) ( )

/12

2Bnn xa

na

sin . sinh

�)��+��-�/�E�����n xa�����

na�)��+��-"

#��������%����������������

�)�$��-�/ Bnn

n xa

na

sin sinh

1

�)��+�- """)6-

������%��������������������)�$�0-�/��)��+��-$� ��%��

�����)6-$ �)�$�0-�/ Bnn

n ba

n xa

sinh sin

1

�)��+��-�/ Bnn

n ba

n xa

sinh sin

1

���� �E������na

ba

x a xna

a �2

0( ) sin ����

/2

22

0

0aax x

na

x

na

a x

na

x

na

dx

a

a( )

cos( ) .

cos

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

/2

20a

an

a xna

a. ( ) . cos

� ����

/2

2 2

0

0na x

na

x

na

na

x

na

dx

a

a

( )sin

( )sin

���

��

��

����

����

����

�����

/4

0

nan

na

x

na

a

.– cos�

����

�����/� 4

2 2a

nan

. �)*�+�����-

/4

1 12

3 3

an

n

[ – (– ) ] �/�

8

0

2

3 3

a

nn

n

,

,

when is odd

when is even

��

E�/

8

0

2

3 3

ana

b nn

n

sinh ( ),

,

���

���

����

���

when is odd

when is even

Page 199: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�����)6-$��)�$�-�/�8 2

31 3 5 3

an xa

nna

b

na

b yn

, , ,...

sin

sinh. sinh ( – )

������)�������-

�� �)�$�-�/�8 1

2 12 1

2 1

2 1

2

30

3

a

nn

xa

na

b y

na

bn

( )sin ( ) .

sinh( )

( – )

sinh( )

������������3��������������������������������������!���������������������'����������������������������������������� ":������������'�������'�������1��������������������"5���������������������������������

�����������������"5������������������������� ���� sinx ya b

"

�����# ����������������� �� ����������

2

2

2

2 21u

x

u

y c

ut" �""")*-

E�������������������

�)0$��$��-�/ 0�/��)�$��$��-

�)��0$��-�/ 0�/��)�$��$��-

��� �)�$����-�/ �)�$��-������/�0"

������������������� ��/�HI#

�����H����� ������� �������$�I����� ������ ������������#����� ������� �������"

ut t

ddt

(XYT) XYT

2

2

2

2

2

2u

x xddx

(XYT) = YTX

2

2

2

2

2

2u

y y

d

dy(XYT) = XT

Y "

�����)*-$�I#�H�4�H#I�/�12c

( )XYT

�XX

YY

TT

c2 """)1-

#������������������������(

)�-XX�/�0$ �

YY�/�0$ �

TT

c2 �/�0

)��- ��XX�/�X�

�$ �YY�/�X�

�$TT

c2 �/�X�

)���-XX�/�+�X�

�$ � �YY�/�+�X�

�$ �TT

c2 �/�+�X�

���� X��/�X���4�X�

�"

� ���������������������$� ����!����������������������� �������������� ��������������������� ������������"

#��������������� ��%�����%!�������������������� ������%!������)���-"

Page 200: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#���$ H�/ ������X���4�������X��

I�/ ������X���4�������X��

#�/ �e c t 2 2K

��/ HI#

�)�$��$��-�/�)������X���4�������X��-)������X���4�������X��-)�e c t 2 2K -""")2-

�)0$��$��-�/ 0�/���)������X���4�������X��-�e c t 2 2K

���/ 0"

�����)2-$ �)�$��$��-�/ ������X��)������X���4�������X��-)�e c t 2 2K -

/ ������X���)������X���4�������X��-)ec t 2 2K - """)5-

���� ����/ ��

�����)5-$ �)�$��$��-�/ 0�/�������X��)������X���4�������X��-ec t 2 2K

���X���/ 0�/������)����-

X��/na"

�����)5-$ �)�$��$�� � ������n xa�)������X���4�������X��-�)e

c t 2 2K - """)6-

�)�$�0$��-�/ 0�/�������n xa

c e c t. 3

2 2 K

� ���/�0"

�����)6-$ �)�����-�/ ��������n xa

y e c tsin K K

22 2 """),-

�)���$��-�/ 0�/���������n xa

be c tsin K K

22 2

���X���/ 0�/������)����-X���/ �

X��/mb"

�����),-$� �)�$��$��-�/���������n xa

m yb

e c t sin 2 2K

/ ������n xa

m yb

e c t sin 2 2K """)9-

C� ���� �����/���

E��$ X��/ X���4�X�

��/� na

mb

2 2

2

2 2

2

�� X���/ ��

na

mb

2

2

2

2���

��� "

Page 201: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

E�����%�X�$���������)9-�������$

�)�$��$��-�/ A K2

mnc t

nm

n xa

m yb

e mnsin sin

2

11""")L-

�����������%��������������"

�)�$��$�0-�/ �)�$��-�/� Amnnm

n xa

m yb

sin sin

11

�������������������������� .���%������������ ����)�$��-"

���� ���/2 2

0 0a bn xa

m ybx

a

y

b. sin sin

� � ��)�$��-�����"

3��� �)�$��-�/ ���� sinx ya b

���/ 0 0

2 2. sin sin sin sin

a b

x y

n x m y x ydxdy

a b a b a b

/0 0

4sin sin sin sin

a bn x x m y ydx dy

ab a a b b

/0

cos ( 1) cos ( 1)a x x

n n dxab a a

W�0

cos ( 1) cos ( 1)b y y

m m dyb b

/

0

sin ( 1) sin ( 1)

( 1) ( 1)

ax xn na a

ab n na a

W�

0

sin ( 1) sin ( 1)

( 1) ( 1)

by ym m

b b

m mb b

/ab�"�0�/�0 )� �����/�0����������/�0-

B���� ����)L-$���)�$��$��-�/�0� �����)�$��-�/����� xa ���� y

b "

���������7��(��!����+��������������

2

2

2

2

u

x

u

y �'������������������7

�������������' �'������ �'���'�� �'�������� ���� �����������7����"

�����#���%!������������

2

2

2

2

u

x

u

y �/�0 """)*-

Page 202: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��� ��/�HI """)1-

�����H����� ������� ������������I����� ������� �������"�#���$

2

2

u

x�/

2

2x�)HI-�/�IH

���

2

2

u

y�/

2

2y�)HI-�/�HI

�����)*-$�IH�4�HI�/�0 YY

XX

""")2-

A�3��(��9��� YY

XX

�������

)�-YY�/ ��

I�+���I�/ 0

��'�����������������+����/ 0 ��/�F��

�"�"�/ �����4����

���

�"�"�/ 0

I�/ ������4����

��

)��- �+�XX�/���

H�4���H�/ 0

��'�����������������4����/ 0 ��/����

�"�"�/ ���������4����������"�"�/ 0

H�/ ���������4����������� $ I)0-�/ 0

���4����/ 0 ���/�%��

I)�-�/ 0

������4�����

���/ 0 ��)�

���+����-�/ 0

���/ 0 Sincease e

p b

pb pb

00( )

I�/ 0 ��/�HI�/�0 �������������"

B���$� ����S��������"

A�3��((��9���YY

� %XX�'����

)�-YY�/ 0

I�/ 0 I�/���4����

)��-����������������������+�XX�/�0

H�/ 0 H�/����4����

Page 203: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

�� $ I)0-�/ 0 ��/�0

I)�-�/ 0 ����/�0 ���/�0 C�� ���0 I�/ 0

��/ HI�/�0� �������������

B���$� ���������S���������"

A�3��(((��9��� YY�%

XX�%������

)�- �YY�/�+���

I�4���I�/�0

��'��������������

���4����/ 0 ��/����

�"�"�/ ���������4���������

�"�"�/ 0

I�/ ���������4���������

)��- +�XX�/�+��� H�+���H�/�0

��'��������������

���+����/ 0 ��/�F��

�"�"�/ ��������4������

���

�"�"�/ 0

H�/ ��������4������

���

�� $ I)0-�/ 0 ���/�0

I)�-�/ 0 ���������/�0

������/ 0�/�����$�����

��/nb

B���$ ��/ HI�/�������n yb � c e c e

n xb

n xb

11 12

���

���

""")5-

�� $ �)0$��-�/ 0�/�������n yb�)����4����-

����4�����/0 ����/�+����

�����)5-$ �)�$��-�/ ����������n yb� e e

n xb

n xb

���

���

/ ������n yb�����

n xb

""")6-

C� ��������/�1�������;����%����������������

�)�$��-�/n

nbn yb

n xb

1

sin sinh

"""),-

Page 204: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� $ �)�$��-�/ �)�-�/�

nnb

n yb

n ab

1

sin sinh

���� sinhn ab�

����� ����/

2b�

0

bf y� ( ) ����

n yb���

���/2

bn ab

sinh�

������

0

bf y

n yb� ( ) sin���" """)9-

���������9�� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������'�� �'�����' �'������ ��� ����� � ���� "

�����>����������������������������������������������������%!���������������������� �� ����������������������� � ������������������!������������������ ����������� �!�������"

(0, b) C

Y

X

f(x)B (a, b)

O A(a, 0)

0° g(y)∇2u = 0

C

Y

X

f(x)B

O A0°

0° ∇2u = 01

0°+

C

Y

X

B

O A0°

0° ∇2u = 02

g(y)

�� $����� ���� �%�� ��������������������������������!��(

/��5�������

212

21

2

u

x

u

y �/�0����S�������������

��)0$��-�/ 0$���)�$��-�/�0$� ��)�$�0-�/�0$���)�$��-�/��)�-

/��5�������

22

2

22

2

u

x

u

y �/�0����S�������������

��)0$��-�/ 0$���)�$�0-�/�0$���)�$��-�/�0$���)�$��-�/�)�-

��������� ��������������!����������*"

��)�$��-�/ )���������4���������-�)������4�����

���- """)*-

Page 205: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

��)0$��-�/ 0�/����)������4����

���-

���/ 0

��)�$��-�/ ���������)������4����

���- """)1-

��)�$��-�/ 0�/����������)������4����

���-

������/ 0�/����� )���:-

��/na

B���$� ����)1-$ ��)�$��-�/ ������n xa � c e c e

n ya

n ya

3 4

���

���

""")2-

��)�$�0-�/ 0�/�������n xa�)���4���-

���4����/ 0 ���/�+���

��)�$��-�/ ��������n xa � e e

n ya

n ya

���

���

�/�1���������n xa�����

n ya

/ ������n xa�����

n ya� ��������/�1����

;����%��������������������������*��

��)�$��-�/n

nbn xa

n ya

1

sin sinh

""")5-

�� $ ��)�$��-�/ �)�-�/�n

nbn xa

n ba

1

sin sinh

���� �������n ba�/

2a�

0

af x

n xa� ( ) sin���

��/2

an ba

sinh�

������

0

af x

n xa� ( ) sin��� """)6-

>������$����������%��������������������������1��

���)�$��-�/n

nn yb

���

���

1

B sin

�����n xb�

����� """),-

���� E��/2

bn ab

sinh�

������

0

bg y

n yb� �

�����( ) sin

��� """)9-

C���������%�%�������$�������������)�-����)�-

B���$����������������������������%!�����%�������������

�)�$��-�/ ��)�$��-�4���)�$��-

/n

nbn xa

n ya

���

���

���

���

�1

sin sinh

4�E�����n yb

n xb

���

���

���

��� ��sinh

Page 206: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���� ���/

2

an ba

sinh�

������

0

af x

n xa� ( ) sin���

��� E��/2

bn ab

sinh�

������

0

bg y� ( ) ���� n y

b ��"

�� ������

@�� �������������������� ���������������������������������������������������������� �C�� � ��� �������� ������������� ��� �������� ���������� ������� '���#���'��� ����#���'�

limy

v x y

( , ) ���' ��� �� ���'#����

8� ������������������$�����������������������������������

������������� ����#���2 1 1

1

akn

en xa

n n ya

n

( )sin

���

���

� @������������� ���� ������������ ����������'������'������/'���������/'������ �������������������%��������������� ������������� ��C ���������������������� ���/'#���� /'�"��#�����'�J���J�/'������� ���������������������.�������'M>����������������������������������������������

$ @�������������������������������������*������������ ����������������.����� ���QR��������� ������������� ���QS��������� ������������� ��������������������%�������������'�������

����������������������������������������'����.�������������������� ��xa

����������

������$������������������������ ���� ����#�

K7���#�H ������� ����� ������� �#������'�� �#������'�� �#������'����� ���'#������ �� �&�#L% %�������������� ����������������'M��� ��������������� ���������������� ��������

!''P����������� �������������������������!''M������������$������� ����� ��������������������������� ��� ������������������������� ���� ����#�

O�������� ����������������������������������� �����������

�������200 1

2

1

332

1

552

cosh cosh cosh

...

���

����

& @���������������������� ����������������������'������'������������������������������������������������������������ ������������� ��C �������������!''M>����������� ��������������������.�������'M>��������������������������������������� �� ����#��������

���������������������� ���� 12

12

a b,���

����

' 8 ���� ���� � �� ����� *������� ����� ��

2

2

2

2 0u

x

u

y � ��� �� ��������������� '�� �#� �� '�

����#���'�� ����#���'����� ���'#���� �#��� ����$�����

( 8 ��������� ������������� ���G

2

2

2

2u

x

u

y ���'��'��������'������

���������� ������� ����� ��G

� '���#���� ����#���� ���'#���'������ ����#���� �#

Page 207: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������) 8 ����

2 2

2 2u u

x y���'���E����� ������ ����� ��� '���#���'�� ���'#���'�� !���#���'����

���!#���!''���� ��

* 8 ����

2 2

2 2u u

x y���'���E���� � � ����� ����� ��� '���#���'�� ����#���'�� ���'#���'����

����#�����

! 8 ����

2 2

2 2u u

x y���'���E����� ������ ����� ��� ���'#���'�� ���!#���'�� ���#���'����

'���#�����

%������������������������������ ������������������� ����������������!''M>����������������������������� �� ����#�����������������������������������C�� ������������������

2�34��3

� ����#���3200

2 120

2 120

2 1 2 131

3

n

n x n y

n n

sin( )

sin( )

( ) sinh ( )

$ ����#������ �� xa a

b yba

cosh ( ) sech

& ����#���400

2 1 2 1

2 1 2 11

n

mxa

mya

m mba

��

���

���

���

���

���

sin ( ) sinh ( )

( ) sinh ( )�D

12

12

200 1

2

1

332

a aba

ba

,cosh cosh

...���

� �

��� �

���

����

����

' ����#���n

nn xa

���

���

1

B sin

������na

� ��"��#�

����� H����2

an ba

sinh�

�����

�0

af x� ( ) ����� n x

a ���

( ����#��� bn xa

e en

n ya

n ya

n

cos

����

����

1

�������������1

0nna

bf x

n xa

dxa

cosh( ) cos�

) ����#���!''�������

sinhsinh

y

* ����#���

1

cos sin sinh2

sinhn

n x n yn

a a an b

na

! ����#���

0

1

2 1 ( 1)n

n

un

������������ �

�������#���

21 1

400 1 cos 1 cos

n m

n mn m

����� ������ � 2 2mnc k te

����� ������� ���� �#�

Page 208: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� � �� ��� ����

������7�������������� ���������������������������%�����%"�#���������� � ��� ��������� �� ������ ������������� ������� ���� ��� ������������� �����������������������"�#������������ ��������7���������$����S����������������������������$������ �������������������� ����������������"

4 ���� ��� ������ ���� ��� ����� ����� �#����" ������������������ � � ��.��*������?�

����� ������������� ��""��� ��������� ����

2

2

2

2u

x

u

y���'�����

2

2

2

2

2

2u

x

u

y

u

z���'�

4 �������������� ������� �������������� �������������������� ���.��*������?������� ����� ����� �����������������

2

2 2

2

21 1u

r rur r

u���'�

%��������� ���������� ���������� �����������'������������������ �������������������������������������������������������� � ����#�� � ���#�

4 ���$� ��� ������ ���� ��� ����� ��#� �����#� �" ������������������ � � ��.��*������?������ �������#� �����#��""��� �������������

2

2 2

2

2

2

21 1u

r rur r

u u

z���'�

%���������� ���������� ���������� ����������������'������������������ ������������������������������������������������������������� �������#�� � ������#�

4 ���%���������� ������� �������$�����#��" ������������������� ���.��*������?������� ������$�����#��"#����""��� �������������

2

2 2

2

2 2 2 2

2

22 1 1u

r rur r

u

r

u

r

ucotsin

���'�

%��������� ��������� ���������� ����������������'������������

������������ ���������������������������� ������������������������������������������ �������#�� � �����#�

�������������� �� %-��� ����

)�-������������,����6�C3�� ����������<4������3������A����3����-���

3����!������������������������������� �

2

2

2

2u

x

u

y�/�0������"�1"*,"

)�-������������,����6�C3�� ����������/�����A��������3

������7���������������������������������

2

2

2

2

ur

rur

u�/�0 """)*-

�����)�$�-�/�=)�-�)-������������/�=� """)1- �����=����� ������� ������������������ ������� ������$��������������� �)*-"

>��������%�����)*-$� ��%������=��4��=��4�=��/�0 �� )��=�4��=-��4�=��/�0

>�������%�����!�������$�r r2R R

RFF

�/���������/�1)���-

Page 209: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

#���$� ��%������������ ����������������

�� ddr

rddr

2

2R R �+�1=�/�0 """)2-

��� ��dd

2

2F�4�1��/�0 """)5-

�� �)2-���������%�������������� ���������������"

�����%���/���$�)2-������������ ddr

2

2R �+�1=�/�0 """)6-

>��!�%�)6-�����)5-$� ��%��)�- 9���1��������!�����������

�=�/�������4����

���/���������

�$���/���������4��������"

)��- 9���1�������!�����%�������=�/����������4����������/�������)����%��-�4�������)����%��-���/����

��4�����

)���- 9���1�' �=�/�����4����/������%���4������/����4���

#������������������������������� �)*-������)���

��4������-)��������4��������- """),-

��/�M������)����%��-�4�������)����%��-N�)�����4����

�- """)9-��/�)�����%���4���-)���4���- """)L-

� ���������������$� ���������������� �������������� ��������������������� ������������"

4 ���F������������������� ��� ��������������� ����� ������8�������������������������� ������������E����� ��� ��� :#����� ;#��@�� ��� � 3#�������'� ������������������� ��� ������������������

���� @�� ������H������#��

%������������ ��� �������� ������ ������ ����������������������������� ���������#������ ��@��H�������

)�-������������,����6�C3�� ����������<B��������3������A����3����-���������7�����������������.������������������ �����

2

2

2

2

2

2u

x

u

y

u

z�/�0 """)*-

���� �)�$��$��-�/�H)�-�I)�-�J)�-������������/�HIJ """)1- �������������� �)*-">��������%�����)*-$� ��%���HIJ�4�HIJ�4�HIJ�/�0

�!��%����HIJ$� ��%�� ��XX

YY

ZZ

�/�0

��1 1 12

2

2

2

2

2XX

YY

ZZ

. . .d

dx

d

dy

d

dz �/�0 """)2-

������ ����� ������)�-�4���)�-�4���)�-�/�0">�����������������������$�������������������� ������$���$����������������"

������%����������������������1�$��������+)1��4���-�������!���$�)2-�%!������������� ���� �%���������(

�ddx

2

2X �+�1�H�/�0$�

d

dy

2

2Y�+���I�/�0$� d

dz

2

2Z �4�)1��4���-J�/�0

#���������������� H�/�������4����

��$�I�/�������4����

��

��J�/������ ( ) sin ( )k l z c k l z2 26

2 2

Page 210: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

B��������������� �)*-��

��)������4����

��-)������4����

��-M����� ( ) sin ( )k l z c k l z2 26

2 2 N>��$���������������������������!���������&������+�1�$�+��������1��4���$����

��������!����������� �)*-��

�/�)������1��4�������1�-)���������4���������-�M�e c ek l z k l z( ) ( )2 2 2 2

6 N

#�������� ���������������������������%������������������������������%!���������������������������"

)�-������������,����6�C3�� ����������A������6���A��������3

������7�������������������������������

2

2 2

2

2

2

21 1u

r rur r

u uz�/�0 """)*-

��� �)�$�$��-�/�=)�-�)-J)�-�� ��������/�=�J """)1- �������������� �)*-"

>��������%�����)*-$� ��%�� =�J�4�1r�=�J�4�

12r�=�J�4�=�J�/�0

�!��%����=�J$� ��%��

1 1 1 12

2 2

2

2

2

2RR R

FF Zd

dr rddr r

dd z

ddz

���

���

�/�0 """)2-

������%dd

2

2F�/�+��������� d

dzk

2

22ZZ """)5-

��������)2-���������� � 1 12

2

2

2RR Rd

dr rddz

nr

���

��� �4�1��/�0

�� ���ddr

rddz

2

2

R R �4�)1����+���-=�/�0

#�����0�33��C3�� ��������������������� =�/���Z��)1�-�4���I�)1�-

#������������� ����������)2-���� ��/���������4��������$�J�/������4����

��

B��������������� �)*-�����/�M��Z�)1�-�4���I�)1�-N�)��������4��������-)�����4���

��-

�����&�� ��������������������������"

)�-������������,����6�C3�� ������������B���6���A��������3

������7�������������������������������

2

2 2

2

2 2 2 2

2

22 1 1u

r rur r

u

r

u

r

ucotsin

�/�0 """)*-

��� �)�$�$-�/�=)�-@)-B)-"�� � ���������/�=@B """)1- �������������� �)*-"

>��������%�����)*-$� ��%��

=@B�4�2r�=@B�4�

12r�=@B�4�

cot r2 �=@B�4�

12 2r sin

�=@B�/�0

�!��%����=@B$� ��%��

12

1 122

2

2

2 2

2

2RR R

GG G

HH

rddr

rddr

dd

dd

dd

���

���

���

���

cotsin

�/�0 """)2-

Page 211: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ��������������������������������������% 1

222

RR R2r

ddr

rddr

���

��� �/��)��4�*- """)5-

��� �� 1 2

22

HHd

dm

""")6-

��������)2-����������� dd

dd

2G G2

cot �4�M�)��4�*-�+���������N�@�/�0

#������33�6�����,�;����C3�� �����������������������

�@�/������)���-�4����?�

�)���-#������������ �)6-�� B�/���������4��������#�����!��)5-$������������ �=�/�����������

1)1�+�*-�4�11�/��)��4�*- �� )1��+���-�4�)1�+��-�/�0

�� )1�+��-)1�4���4�*-�/�0 1�/������+���+�*

#��� =�/�����4����

�������

B���$�����%���������������� �)*-��

��/�n m

0 0

M����)���-�4���?�

�)���-N�)��������4��������-)����4����

�����-

������������� �)*-���&�� ������������������������"

�������������

���������#��)�����������������7������������������������1�����'G4��������������������������7������������������)G4"(���������������������������������������������!����

���� �4T 1

2n 1ra

n 1

2n 1

���

���

����,�%. "

�����#�&������������� ����������������������������������%�����������������������"����������������������������������������������)�$�-�����)�$�-$��������������� �������������

��

2

2

2

2

ur

rur

u�/�0 """)*-

��� ��/�=# """)1-

�����=����� ������� ������������#����� ������� ������"

ur r

ddr

( )RT TR

���

���

2

2u

r rddr

ddr

TR

TR2

2

2

2

2

2u d

d( )RT R

T2

2"

Page 212: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����)*-$ ��#=�4��#=�4�=#�/�0

�r r2R R

RTT

�/�0 r r2R R

RTT

���� �9��� r rR2R

RTT

�������

)�-r r2R R

R

�/��� ��=�4��=�+���=�/�0"

������/��������������/���%�������������� ddz���������!�������������������

T�)��+�*-�4���+���U�=�/ 0

)���+���-=�/ 0

��'�������������� ���+����/ 0 ��/�F��

�"�"�/ ������4����

��

/ �����������4����

��������/������4����

��

�"�"�/ 0"

=�/ �����4����

)��- +�TT p2

� dd

p2

2TT = 02

"

��'�������������� ���4����/ 0

��/ F���

�"�"�/ ��������4���������"�"�/ 0

#�/ ��������4�������� �)���-�/ )���

��4����-)��������4��������- """)2-

A�3��((��9��� r rR2R

RTT

�%������

)�- � r rp

22R R

R

��=�4�=�4���=�/�0

������/��������������/���%�������������� ddz���������!�������������������

M�)��+�*-�4���4���N�=�/ 0

)���4���-=�/ 0"

��'�������������� ���4����/ 0

��/ F���

�"�"�/ )��������4���������-

�"�"�/ 0

=�/ ��������4���������

/ �����)����%��-�4�������)����%��-"

Page 213: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������)��- � �� �+�

TT p2

��TT p2 ��

dd

2

2

T�+���#�/�0"

��'�������������� ���+����/ 0

��/ F��

�"�"�/ �����4����

�"�"�/ 0"

#�/������4����

�"

B���$ �)�$�-�/�M�����)����%��-�4�������)����%��-N

)�����4����

�- """)5-

A�3��(((��9���r rR2R

RTT

�'����

)�- ��=�4��=�/�0"

������/��������������/���%��������������ddz$���������!�������������������

�M�)��+�*-�4��N=�/�0

��=�/�0

��'��������������� ���/�0

��/�0$�0

��"�"�/�)���4����-���/����4������%��

��"�"�/�0

=�/����4������%��"

)��- ��+�TT 0

�#�/�0 #�/�����4����" �)�$�-�/�)���4�����%��-�)����4����- """)6-

� ����������������������)2-$�)5-�����)6-$� ����������������������������� ������%!�������������������"

E�������������������

�)�$�0-�/�0 """),-

�)�$�-�/�0 """)9-

�)�$�-�/�# """)L-

��� ��0�������0 """):-

>��������)5-�����)6-������������ ������������������):-"

B���$�����������������������

�)�$�-�/�)�����4����

��-�)��������4��������- """)*0-

�����)*0-$ �)�$�0-�/�0�/�)�����4���

�-���

���/�0"

�����)*0-$

�)�$�-�/�)�����4����

�-������� """)**-

�)�$�-�/�0�/�)�����4����

�-�������

Page 214: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������/�0�/������)����- ��/��"

�����)**-$ �)�$�-�/�)�����4���

�-�������� """)*1-

�����������0�������0������� ����������������� �������/�0"

B���� ����)*1-$� �)�$�-�/�������������/�����

������"#��������%����������������

�)�$�-�/ b r nnn

n

sin

1

""")*2-

�)�$�-�/ #�/� b a nnn

n

sin

1

���� ������/

20

� { sin }T n d

/2

0

T

���

���

cos nn

�/�2Tn)*�+�����-

/2Tn�T*�+�)+�*-�U�/�

4Tis odd

0 ; is evenn

n

n

;�����

���/4T

is odd

0 ; is evenn a

n

n

n;�

����

�����)*2-$ �)�$�-�/4 1

1 3 5

T

n

n

nnra

n

, , ,...

. sin

�)�$�-�/4 1

2 11

2 1T

n

n

nra

���

���( )

����)1��+�*-

�����������������������������������������������������"

���������8��(��!��

2

2 2

2

2V

r1r

Vr

1r

V �' ����������������������

)�- <�������������' )��- <�4�����������"

�����>����������%!���� �����������������

G�/ �)������4�E���

�-����)��4�-3������/��$ G�/ �������� ���������/ )����

��4�E����-����)��4�-

���/ ������4�E��

��$��/�03�������0$�G��� ���" E��/ 0 )����� ���G��������-

���/Cn

na

G�/ ���ra

n���

��� �����"

Page 215: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

������������)��������������������������1������������������ "�)������������������������������������������������������������" ������������������������������������������"

�����B���$� ����!�������&�������������������������������"

#������������

��/ )��������4��������-�)�����4�����

�- """)*-

>��$������������������������ ���������/�0

���/ 0 """)1-

����$� � �������������1$� �����!������������������"�>��������������)*-���������������� ���������1"

#���� ������/��$�������%��"�B���$� ������ ��������%�����������������

��/n

c n c n

0

1 2( cos sin ) �����

/n

n nnn n r

0

( cos sin )A B �C������/���������/�E�� )���-

������%�������$�����������

��/ �)- �� ��/��$� ��%��

�)-�/n

n nnn n a

0

( cos sin )A B

���� ������/1

0

2

� f n d( ) cos

��� ���E��/1

0

2

� f n d( ) sin

������������ �����������������������������7�������E��'EE�����!����������'�����1�����!�������������������!������������"

�������������� ���������� ���������� ��%�������7���������"

>���������� ���

2

2

2

2

rr

r�/�0��

�/�)�������4�E�����-�)����4����- """)*-

>�����0�������0 ��/�0

�/�)�������4�E�����-���� """)1-

������%����)1-$�����D��������������������

)�$�0-�/�0 ��� )�$�-�/�0$� ��%�����/�0 ��� ��/���)����-

�����%���)1-���������%����!��������������� ����/�*$�1$�2$"""$� ��%��

��/�n

nnr n

1

B sin """)2-

Page 216: PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Introduction ... partial differential equations with constant coefficients, Determination

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#����������� ����������� �����������%!��������������������� ������������������

���)�-��/�0� �����/�0 ��� )��-��/��� �����/� """)5-

>�� ���������)2-$��������������/���4�E� ������� ���������7���������"3���������$�E���������)5-������� ��"

#���$ E�/ 0 ��� ��/��

B���$ �/c

r nnn

n

B sin1

""")6- ���� ���)5-

������%����)6-$������������������/�� ������/��$� ��%��

��/c

a nnn

n

B sin1

� 11

������

Bnn

n

a nsin

E����/

21

0

� �

�����c n dsin

E�����/

2cn

E��/�2c

n an"""),-

�����)6-�����),-$

�/c c

nra

n

n

���

���

2 1

1

�����

�� ������

8� ������������������������������������������� ����������$�������������� ����������� ���� �������������� ���.�������'M>�������� ���������������� ���.�������3'M>� �������P��

���#���240 1

2 11

2 1

n

n

nra

���

���( )

������� / �"�!#�

� @����$�������������� �� �������� ���� ���� ������������.������� ���������� ���#�� " #������� ����� �������������� ���.������� C�� � �����������@������ ����������� ������������� ���������������� �����������������$������������������������� � �����������������������

���#���8 2 1

2 11

2 1

3k r

an

nn

n

���

���

.sin ( )

( )�

$ %���� �������������� �� �� ���$�������� ������ �� �������� ��� .���� ��� 'M>����� ��������������� ����������$��������� �����������������

���#���50 0

2

, when

50( ), when2

��

��

8� �����������������$������������������������� ����������

���#���200 1

2 11

1

2

2 1

n

n n

n

ra

���

���

( )

( )������� / �"�!#�


Recommended