Home > Documents > PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS...

# PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Differential... · 2021. 3. 17. · PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS...

Date post: 05-Aug-2021
Category:
View: 79 times
of 216 /216
PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS BAMAT-202 Self Learning Material Directorate of Distance Education SWAMI VIVEKANAND SUBHARTI UNIVERSITY MEERUT-250005 UTTAR PRADESH
Transcript

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

BAMAT-202

Self Learning Material

Directorate of Distance Education

SWAMI VIVEKANAND SUBHARTI UNIVERSITY

MEERUT-250005

SIM Module Developed by :

Reviewed by :

Assessed by:Study Material Assessment Committee, as per the SVSU ordinance No. VI (2).

No part of this publication which is material protected by this copyright notice may be reproduced or transmitted or utilized or stored in any form or by any means now known or hereinafter invented, electronic, digital or mechanical, including photocopying, scanning, recording or by any information storage or retrieval system, without prior permission from the publisher.

Information contained in this book has been published by Laxmi Publications Pvt Ltd and has been obtained by its authors from sources believed to be reliable and are correct to the best of their knowledge. However, the publisher and its author shall in no event be liable for any errors, omissions or damages arising out of use of this information and specially disclaim and implied warranties or merchantability or fitness for any particular use.

Published by : Laxmi Publications Pvt Ltd., 113, Golden House, Daryaganj, New Delhi-110 002.Tel: 43532500, E-mail: [email protected]

DEM C—Typeset at: Printed at: Edition: 2020

Self-Instructional Material i

CONTENTS

UNIT I

1. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Introduction ....................................................................................................................................................................... 1

Definition of a Partial Differential Equation .................................................................................................................... 1

Order of a Partial Differential Equation ........................................................................................................................... 2

Linear Partial Differential Equation ................................................................................................................................. 2

Notation ............................................................................................................................................................................. 2

Formation of a Partial Differential Equation ................................................................................................................... 2

Formation of a Partial Differential Equation by Elimination of Arbitrary Constants .................................................... 2

Formation of a Partial Differential Equation by Elimination of Arbitrary Functions .................................................... 7

2. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE FIRST ORDER(Equations Linear in p and q) 13

Introduction ..................................................................................................................................................................... 13

Solution of a Partial Differential Equation ..................................................................................................................... 13

Complete Solution ........................................................................................................................................................... 14

Particular Solution ........................................................................................................................................................... 14

Singular Solution ............................................................................................................................................................. 14

General Solution .............................................................................................................................................................. 15

Lagrange Linear Equation .............................................................................................................................................. 15

Solution of Lagrange Linear Equation ........................................................................................................................... 15

3. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATINS OF THE FIRST ORDER(Equations Non-linear in p and q) 29

Introduction ..................................................................................................................................................................... 29

Special Type I : Equations Containing only p and q ...................................................................................................... 29

Special Type II : Equations of the Form z = px + qy + g(p, q) ...................................................................................... 34

Special Type III : Equations Containing only z, p and q ............................................................................................... 39

Special Type IV : Equations of the Form f1(x, p) = f

2(y, q) ............................................................................................ 44

Use of Transformations ................................................................................................................................................... 49

Charpit’s General Method of Solution ........................................................................................................................... 53

ii Self-Instructional Material

UNIT II

4. HOMOGENEOUS LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANTCOEFFICIENTS 59

Introduction ..................................................................................................................................................................... 59

Partial Differential Equations of Second and Higher Order .......................................................................................... 59

Homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ........................................................ 60

Some Theorems ............................................................................................................................................................... 61

General Solution of Homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0 with Constant Eoefficients ... 62

General Solution of Homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = F(x, y) withConstant Eoefficients ...................................................................................................................................................... 65

Particular Integral of f(D, D)z = F(x, y) ......................................................................................................................... 66

Particular Integral when F(x, y) is Sum or Difference of Terms of the Form xmy

n...............................................................................................66

Particular Integral when F(x, y) is of the Form f(ax + by) ............................................................................................. 68

General Method of Finding Particular Integral .............................................................................................................. 75

5. NON-HOMOGENEOUS LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITHCONSTANT COEFFICIENTS 81

Introduction ..................................................................................................................................................................... 81

Non-homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ................................................ 82

Reducible and Irreducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ..... 82

General Solution of Reducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0with Constant Coefficients .............................................................................................................................................. 82

General Solution of Irreducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0with Constant Eoefficients .............................................................................................................................................. 85

General Solution of Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation with Constant Eoefficients ................. 88

Particular Integral of f(D, D)z = F(x, y) ......................................................................................................................... 89

Particular Integral when F(x, y) is Sum or Difference of Terms of the Form xmy

n...............................................................................................89

Particular Integral when F(x, y) is of the Form eax+by............................................................................................................................................................................92

Particular Integral when F(x, y) is of the Form sin (ax + by) or cos (ax + by) .............................................................. 93

Particular Integral when F(x, y) is of the Form eax+by V(x, y) ......................................................................................... 96

6. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS REDUCIBLE TO EQUATIONS WITHCONSTANT COEFFICIENTS 99

Introduction ..................................................................................................................................................................... 99

Reducible Linear Partial Differential Equations with Variable Coefficients ................................................................ 99

Solution of Reducible Linear Partial Differential Equations with Variable Coefficients ........................................... 100

Self-Instructional Material iii

UNIT III

7. MONGE’S METHODS

Introduction ................................................................................................................................................................... 105

Partial Differential Equation of Second Order ............................................................................................................ 105

Intermediate Integral ..................................................................................................................................................... 105

Monge’s Methods .......................................................................................................................................................... 106

Monge’s Method of Solving Rr + Ss + Tt = V ............................................................................................................ 106

Monge’s Method of Solving Rr + Ss + Tt + U(rt – s2) = V ......................................................................................... 115

UNIT IV

8. APPLICATIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 121

Introduction ................................................................................................................................................................... 121

Principle of Superposition ............................................................................................................................................ 122

Method of Separation of Variables (or Product Method) ............................................................................................ 122

Vibrations of a Stretched String, One Dimensional Wave Equation 2 2

22 2y y

ct x

........................................... 131

Solution of the Wave equation ...................................................................................................................................... 132

Transforming Non-homogeneous BCs to Homogeneous Ones ................................................................................... 134

D’Alembert’s Solution of the Wave Equation .............................................................................................................. 136

D’Alembert’s Solution Satisfying Initial Conditions ................................................................................................... 137

Duhamel’s Principle for one Dimensional Wave Equation ......................................................................................... 139

Vibrating membrane—Two-dimensional Wave equation ............................................................................................ 159

Solution of Two-Dimensional Wave Equation ............................................................................................................. 160

One-Dimensional Heat flow 2

22

u uc

t x

................................................................................................................. 167

Solution of the Heat Equation ....................................................................................................................................... 168

Inhomogeneous Boundary Condition ........................................................................................................................... 169

Two-Dimensional Heat flow ......................................................................................................................................... 182

Solution of Laplace’s Equation in Two Dimensions .................................................................................................... 183

Laplace Equation ........................................................................................................................................................... 202

Solutions of Laplace’s Equation ................................................................................................................................... 202

Course II

Course Name: Partial Differential Equations (PDE) Course Code: BAMAT-202

Course Objectives:

The main objectives of this course are to introduce the students to the exciting world of partial Differential Equations and their applications.

Unit 1: Definition of partial differential equations, order and degree of partial differential equations, Lagrange solution of linear partial differential equations of first order, working rule to find the solution of Lagrange equation Non linear PDE of first order: Charpit’s method

Unit 2: Linear partial differential equation of second and higher order of homogeneous and non homogeneous forms with constant coefficients, solution of a liner partial differential equations with constant coefficients, Determination of C.F. and the P.I

Unit 3: partial differential equation of second order, Second order PDE with variable coefficients. Canonical Forms, Monge’s method. Monge’s method of integrating.

Unit 4: Solution of heat and wave equations in one dimensions by method of separation of variables. Solution of heat and wave equations in two dimensions by method of separation of variables.

Course Learning Outcomes: The course will enable the students to:

1. Formulate Partial Differential Equations for various Mathematical models.

2. Will be able to solve partial differential equation of first and higher order using various techniques.

3. Apply these techniques to solve and analyze various mathematical models.

References:

1. Edwards, C. Henry, Penney, David E., & Calvis, David T. (2015). Differential Equation and Boundary Value Problems: Computing and Modeling (5th ed.). Pearson Education.

2. Ross, Shepley L. (2004). Differential Equations (3rd ed.). John Wiley & Sons. India

��������� �������������� �

�����

�������������������������

���������

����������

�� ������ ����������� ���������������

������� ����������� ���������������

�������������� ���������������

�������

���������� ����������� ���������������

���������� ����������� ����������������������������� ������������������

���������� ����������� ����������������������������� ����������������

������

�������������������������������������������������������

�������� ������������������������������������������������������������� �������� ��������!��!�������������� ���������������������!�������"#�������� ��������� ����������������������������������������������� ��������� ����������������"����������������������\$� �������������������������� ����!�%!������������� ��������� ����������������"

����������������������������������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

�����������������%�����������������������!��!���� ������&�� �� ������ �� ���������������������!������������������������������������� �������

#��� ���� �%����������� ������'�������� ��������� �����������������(

���

zx

zy

z y x 3 5 3tan ( ) ��� xzzx

yzzy

xy

��� ( )y zzx

xyzy

xz2 2

��� xzx

yzy

z xzy

���

���

����

����

3 2 22

���2 3 2 02

2

2 2

2

z

x

zx y

z

y ���x

z

xy

z

yy

zy

xzx

22

22

2

2 0

.

�� ����� ������������������

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

#��������� ����������� �������������������� ������������������ ������%����������� ���!��!�� �����%� �� ���� ������� � �������� �������"� ���� ���� ������� �����������������)*+,-�%!������!�\$������������ ����� ���� ��������������������������������������� ����������� ���������������� �����"

��� ������ ������ ������ ������ ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

���������� ����������������������������������� ���������������!�����������������������!��!������������������ ������%���������������������������%�����"���������� ���������������� ���������������������������������������� �������� �����������������)*+,-�%!������!������ ���\$� ��������'���������������������������������������.�����"

#����������� ����������������zzx

y

5 7 ����������������������� �������

�����������������������������!��������������������������!��!��zx�������������

��%�����"

��������������� ��������������������

� ���/��)�\$��-������ ������� �� �������������!���������������������� ��������������� ���� �%���������(

zx

pzy

qz

xr

zx y

sz

yt , , , , .

2

2

2 2

2

���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

#���������� �� ����� � ����%��������� ������������������������%�������%!�������������� ����!�������"�������������� ����!������������������������������������������������ ������"�#������������� �������������������)��� ������-%!������������������� ���������������"

���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������������������������������������ ���������������������������������������� ����� � ����� � ����� � ����� � ����� ������������������������������� ��� ��� ��� ��� ���

����������� ������� �� �������������!������������������ ������

�)�\$��\$��\$��\$��-�/�0\$ """)*-

����������������������������������"

��������� �������������� �

�����

�������������������������

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

fx

fz

zx

fy

fz

zy

0 0and

fx

pfz

0 """)1-

���

fy

qfz

0 """)2-

���%������\$������������������������� ����)*-\$�)1-\$�)2-����� ��%��������������� ���� ����)���������-�/�0"

#����������������������������� ����������������"�#������������ ��������������������������"

�������������������� ������������� ������������������������������ ����������������������������������������� �� ������������� ������������������������������� � �������� �������������������� �� �� ����� ����� ������������������������������������������������������� ��

pz y

xq and 1.

�� ��� ��������� �� ���������� � �������� ��� �������� ����� ��������� �� ��������������������������������������� �� ������������� ������������������������� ���������������������������� �� �� ������������������������ ���

�������������

�������� ��� ��� ������� ������������ ��������� �� ���������� �������������������������������������������

)�- ������ ���� )��- ������������

)���- ������� ����� )�!- �����������"

�����)�-�3����!� ��/ )��4��-)��4��- """)*-

��/ ���4����4����4���

� ��������%������������ "�"�"��������\$� ��%��

zx�/ �)*-�4�0�4��)*-�4�0 """)1-

���zy�/ �)*-�4��)*-�4�0�4�0 """)2-

)1- ��/zx�+�� )2- ��/�

zy�+��

�����%�����!������� �����������)*-\$� ��%��

� z xzy

x yzx

y ���

��� �

�����

�� zzx

.zy

)��- 3����!�� ��/�����4�����4���" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

�������� �zx�/�1���4�0�4�0 """)1- �����������

zy�/�0�4�1���4�0 """)2-

)1- ������� ��/�1�� ��/�px2

��� )2- ��/�1�� ��/�qy2"

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����%�����!������� �����������)*-\$� ��%��

zpx

xqy

ypx

qy

���

���

���

��� �

��������

���2 2 2 2

2 2 �� zpx qy pq

xy

2 2 4

�� ���������������� ������� �

)���- 3����!�� ��/�)���4��-)���4��-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

������� ��

zx

y b x( )( )2 2 0 """)1- ��� ��

zy

x a y( )( )2 2 0

""")2-

)1- �� ��/�1�)���4��- ���4���/�px2

)2- �� ��/�1�)���4��- ���4���/�qy2

�����%�����!������� ����4����������4�����)*-\$� ��%��

zqy

px

2 2

. or pq 4xyz.

)�!- 3����!�� ��/�����������" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

� �

zx

a by bebx( sin ) . """)1-

��� � �

zy

ae b bybx( ) . cos """)2-

)1- ��/ ����������� """)5-

)2- ��/ ����������� """)6-

�!��%�)5-����)6-\$� ��%����pq �/�������"

����\$ �)5- ��/ �� ��/�pz"

�pq

pz

y ���

���tan � �� p q tan

pyz

����������� ������������������������������������������������������

x

a

y

b

z

c1.

2

2

2

2

2

2

�����3����!�xa

yb

zc

2

2

2

2

2

2 1 " """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

20

20 02 2

2 2xa

zc

zx

c x a zzx

or """)1-

��� 02 2

0 02 2

2 2 y

b

z

c

zy

c y b zzy

or """)2-

��������� �������������� �

�����

�������������������������

� ��������%�)1-���������� "�"�"��\$� ��%��

0 022

���

��� a z

zy x

zy

zx

zz

y xzx

zy

0.2

����������� �����������������������������������������������������������������������#�\$������������"

��������� ���������� """)*-

���������������� ��������� ����������������""7��� ������������������������"

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

�)*-�4�0�4��zx�/ 0 """)1- ������ �����0�4��)*-�4��

zy�/�0 """)2-

)1- ��4����/ 0 ��� ��/�+���

)2- �����/ 0 ��� ��%��

���� ���4����4����/ *

)+���-��4�)+���-��4����/�*

�� )���4����4�*-����/ * �� np q

1

12 2)������%���8�0-

l npp

p qm nq

q

p q

2 2 2 21 1,

�����%�����!������� �������������)*-\$� ��%��

px

p q

qy

p q

z

p qa

2 2 2 2 2 21 1 1

�� z px qy a p q 1 .2 2 ����������� ������������������������������������������������������&

����������������������%��'"

���������)�����-����������������������������+���/�0"

3������������)�����-\$�������������� ������������� �������9��

)��+��-��4�)��+��-��4�)��+��-��/�5: """)*-

)*-�������������� ������ ��������� ����������������������������������"

� ��������%�)*-���������� "�"�"�������\$� ��%��

1)��+��-�4�0�4�1)��+��-���/�0 """)1-

��� 0�4�1)��+��-�4�1)��+��-���/�0 """)2-

)1- ��+���/�+�)��+��-� ��� )2- ��+���/�+�)��+��-�

)*- )��+��-����4�)��+��-����4�)��+��-��/�5:

�)���4����4�*-�)��+��-��/�5: """)5-

)1-�+�)2- 1)��+��-�/�+�1)��+��-�)�%�- z bx yp q

)5- ( )p qx yp q

2 22

1 49

���

���

�� � ����� �����! ��"��!�����# ��"� !��

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����������(�����������������������������������������������!������!������������������������"

�����#������������ ����� ������ ����������������%������������������4�����4�����4�1����4�1���4�1����/ 0 """)*-

�������������������������������������"

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

1���4�0�4�1����4�1����4�1)�"*�4���-�4�1���/ 0 """)1-

��� 0�4�1���4�1����4�1�)���4��"*-�4�1���4�1���/ 0 """)2-

)1- ���������)�������-�/ 0 """)5-

)2- ���4����4����4��)���4�����-�/ 0 """)6-

;�������%�)5-����������)6-��������������%\$� ��%��

����4����4�����4�����4�����4�����4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0

�� ����4�����4�����4����4�1����4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0

<��%�)*-\$� ��%�� +�)����4�����4���-�4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0

)���4����4��-�)+���4����4���-�/�0 ����� ������

\$%&'()*�&+,���-%&��%,.()*�/&%0,�1�

&����(� ������%!������������!��!�%�!�����������������������������\$������������ �� � ������������������� "�"�"� ����������� !�������� ������������ ��������� ���� ��������� ��� %��� ���� ����������%�������� ���������������"

&����((� � � ���� ������� � � ��������� ��������� �� ����� ����� ���� ������� � �����������!�������\$�������������������� ��������������������������������%!������������������������ ����������������� ����������"

&����(((� � � ���� ������� � � ��������� ��������� �� ������ ��� ���� ������� � �����������!�������\$�������������������� ������������������������%!�������������� ����������������� ����������"

&����(.� � � ������������ ������������������� ��%������� ����� ������������ �����������!�������\$�������������������� ������������������������%!������������ ����������������� ���������������%���������������"

�� �����

� ����������� ������������� ������ ������ ���������������������� � �������� �� �� ���� �� ����������� ������� � !"�#

���������������� � ��������� !�"��#�����\$ ���������������� % �����������������

& 22

2

2

2z

x

a

y

b ' z axe a e by y 1

22 2

( z xy y x a b 2 2 ) ������������������!

* ������������������� ! ������������������ � ������������������������������ �������������������������� ���������� �

� ��"��#���� ��"��#������������ ����������������������������������� �� ����������������������������������������

��������� ��������������

�����

�������������������������

\$ ������������������������������ ��� ����������������� ����������������������������������������������������\$������

% ��������������������������� �� ���������������� ��������������� ���\$�����

2�34��3

zx

zy

. 1 �

zx

zy

1 \$ z xzx

yzy

zx

zy

.

%

zy

yzx

���

���

22

& 2z xzx

yzy

'

zy

xzx

zx

���

���2

(

zx

zy

xzx

yzy

)

zx

zy

zz

x y

20 * x

zx

yzy

z

2

!

2

2

2

2

20 0

z

x

z

yz x

zx

yzy

xyz

x y , , z

zx

zy

k22 2

21

���

���

���

���

���

���

zx

zy

0 \$ zzx

zy

k22 2

21

���

���

���

���

���

��� % x

zy

yzx

0 .

���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������������������������������������ ���������������������������������������� ����� � ����� � ����� � ����� � ����� ���������������������������������������������������

����������!��������������� �������� �������!����������������������)��!-�/�0 """)*-

��� ��� ��������� �������� ��� ������ ���� !"�=�%����%� �� ��� �� ������ � ��� �� ���� ��������%�)*-���������� "�"�"��\$� ��%��

fu

ux

uz

zx

fv

vx

vz

zx

���

��� �

����� 0

fu

ux

puz

fv

vx

pvz

���

��� �

����� 0

��

fu

fv

vx

pvz

ux

puz

���

��� �

����� """)1-

>������\$�� ��������%�)*-���������� "�"�"��\$� ��%��

fu

fv

vy

qvz

uy

quz

���

��� �

����� """)2-

�������%������%�)1-�����)2-\$� ��%��

���

��� �

����� �

����� �

�����

vx

pvz

ux

puz

vy

qvz

uy

quz

vx

pvz

uy

quz

vy

qvz

ux

puz

���

��� ���

���

���

��� ���

���

uy

vz

uz

vy

puz

vx

ux

vz

qux

vy

uy

vx

���

��� �

�����

����4�?��/�=\$

���� P Q

uy

vz

uz

vy

uz

vx

ux

vz

, ��� R

ux

vy

uy

vx

.

#������������������������� ���������������"�#���������� ������������������"�������%�������� �������������������� ����� ���� �� �����&������ ����������� �������

� ��������� �������������

�����

������������������������������� �������������

����������� ��������������������������������������������������������������������������������������

�# ��������������� ��# ������������������������������ ���# � �����������"���#���' ��# ������������������������������

�����)�-�3����!����/��)���4�1��-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

zx

p f x yx

x y x f x y ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2

���

zy

q f x yy

x y y f x y ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 4 2

�!��%� ��%���pq

xy

2

or 2py qx 0.

)��- 3����!���)���4����4���-�/���������" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"���������� ��%��

� ���

��� f x y z x z

zx

a czx

( ) . .2 2 2 2 0 2 1 0

""")1-

��� � ���

��� f x y z y z

zy

b czy

( ) . .2 2 2 0 2 2 0 1

""")2-

)1- 2 2 2 2 f x y z x pz a cp( ) . ( ) """)5-

)2- 2 2 2 2 f x y z y qz b cq( ) . ( ) """)6-

�!��%�)5-����)6-\$� ��%��

�x pzy qz

a cpb cq

x pz b cq y qz a cp

or ( ) ( ) ( ) ( )

�� �������������������������������

�� 5��"�6�!���� 6��"���! ������"�5��

)���- 3����!�� �)���4���\$���+���-�/�0" """)*-

��� ��/����4���� ���� !�/���+���"

)*- �)�\$�!-�/�0 """)1-

� ��������%�)1-���������� "�"�"��\$� ��%��

fu

ux

fv

vx

vz

zx

���

��� 0

fu

xfv

y p. ( . )2 1 0

2 0xfu

p yfv

( ) """)2-

� ��������%�)1-���������� "�"�"��\$� ��%��

fu

uy

fv

vy

vz

zy

���

��� 0

��

fu

yfv

x q. ( . )2 1 0

��������� �������������� �

�����

������������������������� 2 0y

fu

q xfv

( ) """)5-

�������%�

fu

fv

and � ����)2-�����)5-\$� ��%���22

0x p yy q x

*

1�)��+��-�+�1�)��+��-�/�0 �� � �"���������"����

)�!- 3����!����)���4����4���\$����+�1��-�/�0" """)*-

��� ��/����4����4��� ��� !�/����+�1��"

)*- �)��!-�/�0 """)1-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��\$� ��%��

fu

ux

uz

pfv

vx

vz

p���

��� �

����� 0

fu

x zpfv

y zp( ) ( )2 2 2 2 0

( ) ( )x zpfu

zp yfv

0 """)2-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��\$� ��%��

�� �

fu

uy

uz

qfv

vy

vz

q���

���

���

��� 0

fu

y zqfv

x zq( ) ( )2 2 2 2 0

( ) ( )y zqfu

zq xfv

0 """)5-

�������%�

fu

fv

and � ����)2-�����)5-\$� ��%���x zp zp y

y zq zq x

0.

)��4���-)���+��-�+�)��4���-)���+��-�/�0

���+����4������+�����+�����4����+������4�����/�0

�)��4��-���+�)��4��-���/����+��� � ��"� !�����"���

�������� 7�� ��� ������� ������������ ��������� �� ���������� ��������������������������������������������

)�- ���)�-�4��)�- )��- ��/�����%� ������

)���- ����� ��� )�!- �������� ������ �����"�����)�-�3����!������)�-�4��)�-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

zx

y y x ( ) . ( )1 """)1- ���

zy

x y x ( ) ( ) . 1 �""")2-

� ��������%�)1-� "�"�"��\$� ��%��

2

1z

y xy x ( ) ( ) . """)5-

(+��������������������������'���������������'�������xy

ba

xy

dc

and .

)����������������������� ba

dc

c d 0 0or .

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

2 1 1zy x x

zy

xy

zx

y ���

��� �

�����( ) ( ) )<��%�)1-�����)2--

xyz

y xx

zx

yzy

x y y x

2

( ( ) ( ))

xyz

y xx

zx

yzy

z2

"

)��- 3����!�� ��/��)���+��-�4�)���4��-" """)*-

� ��������%���������� "�"�"��������\$� ��%��

p f x yx

x y g x yx

x y ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

""")1-

��� �q f x yy

x y g x yy

x y ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

""")2-

)1- ��/�1�� )���+��-�4�1�)���4��- """)5-

)2- ��/�+�� )���+��-�4�*�")���4��- """)6-

� ��������%�)5-� "�"�"��\$� ��%��

��/�1�� )���+��-�"�1��4�1"*�� )���+��-�4�1�)���4��-�"�1��4�1"*�)���4��-

�� ��/�5���)� )���+��-�4�)���4��--�4�1�)� )���+��-�4�)���4��-- """),-

� ��������%�)6-� "�"�"��\$� ��%��

��/�+�� )���+��-�"�)+�*-�4�)���4��-�"�*

�� ��/�� )���+��-�4�)���4��- """)9-

),- � r x tpx

���

���4 2

22 )<��%�)5-�����)9--

xz

x4x

zy

zx

.2

23

2

2

)���- 3����!�� ��/��)�-�4�)�-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

��*�/�� )�-���4�0 ����������""")1-������ �0�/��)�-���4�)�- """)2-

� ��������%�)1-�����)2-� "�"�"��\$� ��%��

��0�/�� )�-��"��4�� )�-�� """)5- ��� �0�/��)�-��"��4��)�-���4�0 """)6-

)5- � )�-����/�+��)�-��)6- � )�-����/�+��)�-��

�!��%\$� ��%���pq

rs

or ps qr 0.

)�!- 3����!��� ��/��)��4���-�4�)��4���-" """)*-

� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

��/��)��4���-�"���4�)��4���-�"�� """)1-

��� ��/��)��4���-�"�*�4�)��4���-�"�* """)2-

� ��������%�)1-���������� "�"�"��������\$� ��%��

��/��)��4���-����4�)��4���-��� """)5-

��� ��/��)��4���-���"�*�4�)��4���-���"�* """)6-

��������� �������������� ��

�����

�������������������������

� ��������%�)2-� "�"�"��\$� ��%����/��)��4���-�"�*�4�)��4���-�"�* """),-

)5- ����)��4���-�4����)��4���-�+���/�0)6- ���)��4���-�4���)��4���-�+���/�0

),- �)��4���-�4�)��4���-�+���/�0�������%��)��4���-�����)��4���-� ������������������������\$� ��%��

a b ra b s

t

2 2

1 10

�)��+��-���+�)���+���-���4�)����+����-���/�0 ��"� ����5!3����5����8���������9��)�����������������������!�������*����������� �����������

fx xz z

,y yz z

0.0

0

0

0

���

���

��������������������������"

�����3����!� fx xz z

y yz z

���

���

0

0

0

00, " """)*-

��� ux xz z

vy yz z

0

0

0

0and .

)*- �)��!-�/�0 """)1-� ��������%�)1-���������� "�"�"��\$� ��%��

�����������

fu z z

x xz z

zx

fv

y yz z

zx

1 00

0

0

02

0

02

���

���

���

��� ( ) ( )

fu z z

px x

z zfv

py y

z z1

00 0

20

2

���

���

���

���

0 0

( ) ( ) """)2-

� ��������%�)1-���������� "�"�"��\$� ��%��

�������������

fu

x x

z zzy

fv z z

y y

z zzy

���

���

���

���

0 0

( ) ( )02

0 02

1 00

fu

qx x

z z

fv z z

qy y

z z

���

���

���

���

0 0

( ) ( )02

0 02

10 """)5-

�������%�

fu

fv

and � ����)2-�����)5-\$� ��%��

1

1 00 02

02

02

0 02

z zp

x x

z zp

y y

z z

qx x

z z z zq

y y

z z

0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

�z z p x x p y y

q x x z z q y y

0

00

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

��[ ( )] [ ( )] ( ) ( )z z p x x z z q y y pq x x y y 0 0 00 0 0 0

�� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z p x x z z z z q y y 02

0 0 00 0

� ��"���!��� ��"���!�����"����

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� \$%&'()*�&+,���-%&��%,.()*�/&%0,�1�

&����(� ������%!������������!��!�%�!��������������������� ������\$������������ �� � ������������������� "�"�"� ����������� !�������� ������������ ������� ���� ��������� ��� %��� ���� ����������%�������� ���������������"

&����((� � � ���� ������� � � ��������� ������� �� ����� ����� ���� ������� � �����������!�������\$�������������������� ���������� ������������%!������������ ����������������� ����������"

&����(((� � � ���� ������� � � ��������� ������� �� ������ ��� ���� ������� � �����������!�������\$�������������������� ���������� ������������%!������������ ����������������� ���������������%���������������"

�� ������

�������������������������������� ��������������������������������� ����� ������� �,� ����������� ���#

����� �����# � ����� ���"���#

\$ � ������������#������������ % ������������� ��#

& ���������� �������# ' ����� ��&�#

( � ���������#������ ) ���� �����#�� ���"���#

* ����� �#������� �# ! ����� ��#���� �����#

����� ��#���� �&�# � � �������������������"���#���'

\$ ����� ��� ������������"���#���� ��� ����������������#�

2�34��3

����� � ����������' \$ ��"��#����� ��"��#����������

% ������������"�� & ���"���������"��� ' ����������'

( � ��"��#����� ��"��#����� ��"��# ) �����������

* ��������' ! � ��"��#���"� ���"���#������ ��"��#���� ��"��#� �����#���' ����"����������"������' � � �����#�"� �����#������"��

\$

2

2

2

2 2

2

21z

x

z

y a

z

t .

:���

� ��������������������������"��� � ���#���'

� "� "�"�"��\$� ��%���

fu

ux

uz

zx

fv

vx

vz

zx

���

��� �

����� 0

fu

pfv

x zp( . ) ( )1 1 2 2 0

>������\$

fu

qfv

y zq( . ) ( )1 1 2 2 0

�������%

fu

fv

, \$� ��%�� 1 2 21 2 2

0 p x zp

q y zq"

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

�������������������������������������������������������

������������������\$� ���������������������� � ����%��������� ����������������"#�����'���������������!���������� ����������������"�>��!�%����������� ������������������������ ����� ������ ������� �������%!����������� ���������������"�� ���������� ��%����������� �����������������������������������)���������-"���������������������\$� ���������� ���������!������������������� ��������� ����������������� � ���������������������������������������������"

������������������������������������������������������������ �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������

��3��������� ����������� ������������������������������� ��������!���������������� � � ��� ���� ������� ���!��!��� ���� ���!��� ������ ���� ���� %!��� ������� ���������������������� ��"

����������� ����������� ���������������� ���������������� ����;����� � ����������"

�����������'��� ��������� ������������������ � ���������\$����������� ���������� ���������"�#���������(

)�- ���������������� )��- ����������������

)���- >�%������������ )�!- @��������������"

�� ����� ���������������������������������� ��

������������������������� ��!

���������

����������

>�������� ����������� ���������������

���������>������

���������>������

>�%�����>������

@�������>������

��%���%���������������

>�������� ���%���%���������������

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� ����������������������������������������������������������������������

����������� ������� �� �������������!������������������ �������)�\$��\$��\$��\$��-�/�0 """)*-

����������������������������������"� ��������%�)*-���������� "�"�"��������\$� ��%��

fx

pfz

0 """)1- ���

fy

qfz

0 """)2-

�������%� � � ���� �� � ���� � )*-\$� )1-� ���� )2-\$� ��%��� ��� �������� � � ���� ���)���������-�/ 0"�#��������������� ����������������� � ���������"

���)*-\$������������� ���������������������� �� �������������������������� ������������!����������)���������-�/�0"

#��� ������ �)�� �� �� �� �-� /� 0� �� ������ � ���� � 6�������� � 3�������� � � � � �����������)�� �� �� �� �-� /� 0"

�����'��������/�)��4��-)��4��-���������������������� ����������������/��"

� �� �� �� �� ����� ��������� ��������� ��������� ��������� ������������������������������

���������������������%!�%���������������!����������������������������������������������������� ����������� ����������������� � �������������������������6����3��������� ��������������������"

�����'��������/�)��4�*-)��4�5-����������������������� �����������������"

������ ����������� ����������� ����������� ����������� ������������������������������

������)���������-�/�0��������������������������� ����������� ���������������)���������- / 0"�#�������������� �����\$���������������������������%�������������

�������������������� ����������������� f x y z a bfa

fb

( , , , , ) , , 0 0 0

������������

3��;�����3��������� �������������)���������-�/�0\$����!���������� ��������������"#��� �������� ����������� ���� ��!������ � � ���� ��� ���� ��������������� ���� ���������������� �����%!����������� ���������������"�#�����%������������������������������������������������������������� ������������"

���� �'�����\$� �� /���� 4���� +� )��� 4���-� �� ���� �������� �������� � � ����������� ������������������/����4����+�)���4���-"

���� �)���������-�/���+����+����4����4���"

fa

x afb

y b 2 2,

�������%��������� ����������������\$

��+����+����4����4����/�0\$ +���4�1��/�0\$� %��4�1��/�0\$� ��%���� zx y 2 2

4.

#������������ ������%!����������"

zx y 2 2

4���������%�������������� ���������������/����4����+�)���4���-"

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

��� �������� �������� �������� �������� ������������������������������

�����)���������-�/�0������������������������������ �������������� ���������������)���������-�/�0"�������/�)�-"

�)��������)�--�/�0��������.���������� ������ �������� ����� �)���������-/�0"�#�������������� �����\$���������������������������%�����������������������

��� ���� ���� ��������� f x y z a afa

( , , , , ( ))

0 0and � �� ������ ���� ;������

3��������� �������������)���������-�/�0\$����!���������� ��������������"�#���������� ����������� ���� ��!������ � � ���� ��� ���� ������������ ��� ���� ��������)���������)�--�/�0"

� ���/�)�-\$� �������������������� �����\$�������������������� ������ ���

������������� f x y z a afa

( , , , , ( )) ,

0 0and ��������������"�#��������%��������������

� � ���� �������� )�� �� �� �� �-� /� 0� �� ������ ��� ���� ���� � � ��������

f x y z a afa

( , , , , ( )) ,

0 0 \$� ��������������������� �����"

3��&�� ������ �������!��������������� �������� ����������

�)�\$�!-�/�0 """)*-

��������������� ������� �������!\$����� ���4�?��/�= """)1-

���� P Q R

uy

vz

uz

vy

uz

vx

ux

vz

ux

vy

uy

vx

, , .

)1-������������� ����������������� � ���������"

#���� �)�\$�!-�/�0� ������������� � ���������������4�?��/�="�>��� �)��!-�/�0������������������� ������A�7\$���������%���������������� �������������)1-"

� � � � � �� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ �������� ��������������������

3��&�� ���������������� ����������������� � �����������!��!������������ �������������������!��!���� ���������������!�������)�-� "�"�"����������������!�������)�������-"�#���������������� � �����������!��!���������������������������!��!��� ����� �����������!��!����������"

�����������\$����������� ����������������� � ������������������������������������������������ ����� �������4�?��/�=� ������\$�?\$�=����� �������� ������"�#�������� ����������� ��������������������������,�;���;���������� �������

�����'������5���4�,����/����4����4������������%���%���������������"

������������������������� ���������� ���������� ���������� ���������� �� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ �������� ��������������������

��� ���4�?��/�= """)*-

�������%���%���������������� ������\$�?\$�=����� �������� ���������������!�����������������������!���������������"�#����������� ���������

dx dy dzP Q R

""")1-

������������,�;���;��3�3����� ���������� ����������������� ���������������)*-"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������/��������!�/�������� ����������������������� ��������������)1-"

�����)��!-�/�0\$���������������� ������� �������!" """)2-

� ��������%�)2-���������� "�"�"��������\$� ��%��

fu

ux

uz

pfv

vx

vz

p���

��� �

�����+ = 0

���

fu

uy

uz

qfv

vy

vz

q���

���

���

���+ = 0

�������%�

fu

fv

and \$� ��%����

ux

puz

vx

pvz

uy

quz

vy

qvz

0

ux

puz

vy

qvz

vx

pvz

uy

quz

���

��� ���

��� �

����� ���

��� 0

uz

vy

uy

vz

pux

vz

uz

vx

qux

vy

uy

vx

���

��� �

����� 0

uy

vz

uz

vy

puz

vx

ux

vz

qux

vy

uy

vx

���

��� �

����� """)5-

)2-�������������� �������������)5-"

#�&�%�� ���������� ���/��������!�/���\$� ��%��

ux

dxuy

dyuz

dz 0 """)6-

���

vx

dxvy

dyvz

dz 0 """),-

>���������!���������������� ������\$� ����!�

dxuy

vz

uz

vy

dyuz

vx

ux

vz

dzux

vy

uy

vx

""")9-

<��%�)1-�����)9-\$� ����!�

uy

vz

uz

vy

uz

vx

ux

vz

ux

vy

uy

vx

P Q Rsay( )

uy

vz

uz

vy

uz

vx

ux

vz

ux

vy

uy

vx

P Q R, , .

�����%�������!��������)5-\$� ��%������4�?��/�= �� ���4�?��/�=\$

���������%!����������� ���������������"

� ���/��������!�/��������� ����������������������� ������������� �� �������

��������� dx dy dzP Q R

\$������������������� �������)�\$�!-�� �������!��������������

������%���%�� �����������������4�?��/�="�#����������� �)�\$�!-�/�0� �� ����%��������������� ����������������4�?��/�="������������\$� ����������������������������\$��������������/��!�4������������������������ ����������������4�?��/�="

��������� �������������� �

�����

����������������������������������������

�������%���*�������������� �� �������������������������� ���dx dy dzP Q R

� � �

������������������������������ ��+����,����-������� �.� ������������-�������������� �������� �� �����������������-������������� ��� ����������� ��+����,����-�

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/����=����&

�����(� ������ ������ ��������\$�?�����="

�����((� ����������������(� dx dy dzP Q R

"

�����(((� ������ ��������������������������/���������!�/������ �����������%!�����3����((�

�����(.� 3�����)�\$�!-�/�0���������������%���������������� �����%!����������"

<����(�������������\$� ���������������������������� ����������������4�?��/�=

��� ���������������� �� �� ������� �������'�������������� dx dy dzP Q R

�%!�����

��������������!�������� ������ ��������������!��!��"�# ���������������������� �������'���������������������������������������"

�������������

����������� ���������������������������������+���������������������)�- ,��-��. )��- ��������������

)���-y zx

p xzq y2

2 )�!- ����

)!- ����,�� �%������"�����)�-�3����!����1��4�6��/�*"

B��� �� ���/�1\$�?�/�6\$�=�/�*

��'������������������� dx dy dzP Q R

�"

�"�"� dx dy dz2 5 1

""")*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-\$� ��%����6���+�1���/�0 """)1-

����%����%�)1-\$� ��%�� ��6��+�1��/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-\$� ��%�� ����+�6���/�0 """)5-

����%����%�)5-\$� ����!� ��+�6��/��� """)6-

�����)2-�����)6-\$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>���"���!��8>� ���������������������� �����"

)��- 3����!�� ����4�����/�������"

B��� ��/ ��\$�?�/���\$�=�/�������"

��'������������������dx dy dzP Q R

"

�"�"�dx

y

dy

x

dz

x y z2 2 2 2 2 """)*-

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-\$� ��%��

�� �����+������/�0����2�����+�2�����/�0 """)1-

����%����%�)1-\$� ��%��� ���+����/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-\$� ��%���2�����+�2������/�0 """)5-

����%����%�)5-\$� ��%��� ���4�2����/��� """)6-

�����)2-�����)6-\$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>����������!��8\$� ���������������������� �����"

)���- 3����!� �y zx

p xzq y2

2 "

B��� P Q R y zx

xz y2

2, ,

��'������������������� dx dy dzP Q R

"

�"�"� � xdx

y z

dyxz

dz

y2 2 """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-\$� ��%��

�����/����� �� 2�����+�2�����/�0 """)1-

����%����%�)1-\$� ����!������+����/��� """)2-

#�&�%����� ������������� �������� �)*-\$� ��%��

������� �� 1����+�1����/�0 """)5-

����%����%�)5-\$� ����!�� ���+����/��� """)6-

�����)2-�����)6-\$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>����"���!��8>� ���������������������� �����"

)�!- 3����!�����/��" �����4�0"��/��

B��� ��/��\$�?�/�0\$�=�/��"

��'������������������� dx dy dzP Q R

�"

�"�"� dxz

dy dzx

0

""")*-

>����� ������� �)*-����������/�0

��/��� """)1-

#�&�%����� ������������� �������� �)*-\$� ��%��

����/���� �� 1����+�1����/�0 """)2-

����%����%�)2-\$� ����!�� ���+����/��� """)5-

�����)1-�����)5-\$�����%���������������� �����%!������������� �>����"���!���8> ���������������������� �����"

)!-�3����!�� )���4�1��-���+�����/���"

B��� ��/����4�1��\$ ?�/�+���\$�=�/���"

��'������������������dx dy dzP Q R

"

�"�"� dx

x y

dyxy

dzxz2 22

""")*-

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-\$� ��%��� dx

x y

dyxy2 22

.

�dxdy

x yxy

2 22 2

24

2

xdxdy

xy

y

22

42xdxdy

xy

y���

��� """)1-

��� ��/���"

)1- dzdy

zy

y���

���

24

#�������������� ����������������� ����������"

�� I.F. �e e yy

dyy

22 2log

zy y y dy2 214 � ( ) C �� �����4����/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-\$� ��%��� dyy

dzz

0 """)5-

����%����%�)5-\$� ��%��� ��%���4���%���/���%����������/��� """)6-

�����)2-�����)6-\$�����%���������������� �����%!������������� ���������>���!���8> ���������������������� �����"

<����((�������������\$� ���������������������������� ����������������4�?��/�=

��� ���������������� �� �� ������� �������'�������������� dx dy dzP Q R

�%!�����

��������������!�������� ������ ��������������!��!��"���������������������������� �������'���������������� �����������%����� �����������"

����������� ���������������������������������+���������������������

)�- ��,��-�������%,� )��- �������������%��

)���- �������� �%�������� ���� )�!- ���%� �������� �"

�����)�-�3����!� ��4�1��/�6��4�����)��+�1�-"

��'����������������� dx dy dzz y x1 2 5 2

tan ( )

" """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-\$� ��%��

���+�1���/�0 """)1-

����%����%�)1-\$� ����!�� ��+�1��/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-��������%�)2-\$� ����!�

��dy dz

z2 50

tan C1""")5-

����%����%�)5-\$� ����!��12

15

5 1 2y z log| tan |C C

�� � 6��+�1���%�C�6��4�����)��+�1�-�C�/�*0�� """)6-

�����)2-�����)6-\$�����%���������������� �����%!������������

��"���>����"�����;�?���������� ��"���!�?!���8>

���������������������� �����"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)��- 3����!�� ���4����/������)���+���-"

��'�����������������dxy

dyx

dz

xyz x y

2 2 2( )" """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-\$� ��%�� 1����+�1����/�0 """)1-

����%����%�)1-\$� ����!�� ���+����/��� """)2-

#�&�%����������� �� ��������� �)*-��������%�)2-\$� ����!�� ydydz

z

C12

0

""")5-

����%����%�)5-\$� ����!���� y z2

1

1

221

1

���

���

CC

y

z x y

2

2 2 221

( )

C """)6-

�����)2-�����)6-\$�����%���������������� �����%!������������

f x y ,y2

1z(x y )

02 22

2 2

���

��� \$� ���������������������� �����"

)���- 3����!�� ��)���4���-���+���)���4���-���/���"

��'�������������������dx

xz z xy

dy

yz z xy

dz

x( ) ( )2 2 4

" """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-\$� ��%��� dxx

dyy

0 """)1-

����%����%�)1-\$� ����!�� ��%���4���%���/���%�����������/��� """)2-

#�&�%����� ������������� �������� �)*-��������%�)2-\$� ��%���dx

z z

dz

x( )21

3

C

�� �����+�)���4����-����/�0 """)5-

����%����%�)5-\$� ����!��� ��� x z z4 41

2

24 4 2

���

���

CC

�� ���+����+�1�����/�5�� """)6-

����� )2-����� )6-\$� ����%������� ��������� � ����%!����������� �� ��>���� "���

"������!���8>� ���������������������� �����"

)�!- 3����!�� �)��+��-�/����4�)��4��-�"

���+����/����4�)��4��-�"

��'������������������ dxz

dyz

dz

z x y

2 2( )

" """)*-

#�&�%����� ����� �� �������� �)*-\$� ����!�����4����/�0 """)1-

����%����%\$� ����!�� ��4���/��� """)2-

#�&�%����������� �� �������� �)*-��������%�)2-\$� ����!��dyzdz

z

212

0C

""")5-����%����%�)5-\$� ��%��

y z 12

212

2log| |C C �� y z x y 12

2 22log ( ( ) ) C """)6-

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

������)2-������)6-\$�������%������������������ �������%!��������������

f x + y, y12

log z (x y) 02 2 ���

��� � \$

���������������������� �����"

<����(((�������������\$� ���������������������������� ����������������4�?�/�=�������%����� �������(

��dx dy dz dx dy dzP Q R

P Q RP P Q Q R R1 1 1

1 1 1 ,

�������\$�?�\$�=����������� �������� ����������"�� � ������������� ���\$�?�\$�=�\$������������4�?�?�4�=�=���D���\$������ ����!�������4�?����4�=����/�0"�3�����%�������������������%���������������� �������'�������������"���\$�?�\$�=����������������������3�E�����%�� ����������� ��������������������%�� �� �������� �������'�������������\$ �� ������������������������������� �������'�������������"

����������� ���������������������������������+���������������������

)�- ����%�� ������%�� ������%�� )��- ������ �%������ ������%��

)���- ������ �%�������' )�!- �/�%0� ���/�%,� ��,�%0�"

�����)�-�3����!���)���+���-���4��)���+���-���/��)���+���-"

��'������������������dx

x y z

dy

y z x

dz

z x y( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

""")*-

#�&�%� 1 1 1x y z

, , �������������\$����� ������� �)*-

/

1 1 1 1 1 1

02 2 2 2 2 2x

dxy

dyz

dz

y z z x x yx

dxy

dyz

dz

( ) ( ) ( )

1 1 10

xdx

ydy

zdz

����%����%\$� ��%�����%�C�C�4���%�C�C�4���%�C�C�/���%���

�� ��� C���C�/��� �� ����/��� """)1-

#�&�%�������������������\$����� ������� �)*-

/�xdx ydy zdz

x y z y z x z x y

xdx ydy zdz

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0( ) ( ) ( )

����4�����4�����/�0 �� 1����4�1����4�1����/�0

����%����%\$� ��%�� ���4����4����/��� """)2-

�����)1-�����)2-\$�����%���������������� �����%!������������� ���>�������������!��8>� ���������������������� �����"

)��- 3����!�� �)���4��-���+��)���4��-���/��)���+���-"

��'������������������dx

x y zdy

y x zdz

z x y( ) ( ) ( )2 2 2 2

""")*-

#�&�%����\$�+�*�������������\$����� ������� �)*-

/�xdx ydy dz

x y z y x z z x y

xdx ydy dz

( )

( ) ( ) ( )

102 2 2 2 2 2

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

���1����4�1����+�1���/�0

����%����%\$� ��%�� ���4����+�1��/��� """)1-

#�&�%� 1 1 1x y z

, , ������������\$����� ������� �)*-

/�

1 1 1 1 1 1

02 2 2 2x

dxy

dyz

dz

y z x z x yx

dxy

dyz

dz

1 1 10

xdx

ydy

zdz

����%����%\$� ��%�����%�C�C�4���%�C�C�4���%�C�C�/���%���

�� C���C�/��� �� ����/��� """)2-

����� )1-� ���� )2-\$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� � ��������"���>����!���8>� ���������������������� �����"

)���- 3����!�� ��)���4���-���+�����/�+���"

��'�������������������dx

y z

dyxy

dzxz2 2

""")*-

#�&�%����������� �� �������� �)*-\$� ��%���dyy

dzz

0

����%����%\$� ����!����%�C�C�+���%�C�C�/���%���

�� �yz

yz

C or C1 1 """)1-

#�&�%�������������������\$����� ������� �)*-

/�xdx ydy zdz

xy xz xy xz

xdx ydy zdz

2 2 2 2 0

��1����4�1����4�1����/�0

����%����%\$� ����!�����4����4����/��� """)2-

�����)1-�����)2-\$�����%���������������� �����%!������������� �@�>�������������!��8>� ���������������������� �����"

)�!- 3����!�� �)5��+�2�-���4�)5��+�1�-���/�1��+�2�"

��'������������������� dxy z

dyx z

dzy x4 3 4 2 2 3

""")*-

#�&�%�������������������\$����� ������� �)*-

a y z b x z c y x

( ) ( ) ( )4 3 4 2 2 3��� �)5��+�2�-�4��)5��+�1�-�4��)1��+�2�-�/�0 """)1-

)1- )5�+�2�-���4�)5��4�1�-��4�)+�2��+�1�-���/�0

��� �5��+�2��/�0\$�5��4�1��/�0\$�+�2��+�1��/�0

��(���/�2�(�5\$���(���/�*�(�+�1\$�����(���/�+�1�(�2

��(���(���/�+�1�(�2�(�5

)1-�������� �����/�+�1\$���/�2\$���/�5

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

���� ������� �)*-

/�

2 3 4

2 4 3 3 4 2 4 2 32 3 4

0dx dy dz

y z x z y xdx dy dz

( ) ( ) ( )

��+�1���4�2���4�5���/�0

����%����%\$� ����!��+�1��4�2��4�5��/��� """)2-

����\$�)1- 5)���4���-�+�2)���4���-�4�1)���+���-�/�0

��� ���4����/�0\$����4����/�0\$����+����/�0

��(���/�+���(��\$���(���/�+���(��\$�����(���/���(��

��(���(���/�+���(���(��

)1-�������� �����/�+��\$���/��\$���/��"

���� ������� �)*-

/�

xdx ydy zdz

x y z y x z z y xxdx ydy zdz

( ) ( ) ( )4 3 4 2 2 3 0

+�1����4�1����4�1����/�0

����%����%\$� ��%���+����4����4����/��� """)5-

�����)2-�����)5-\$�����%���������������� �����%!������������

"�������������>�"�������������!���8\$

���������������������� �����"

<����(.�������������\$� ���������������������������� ����������������4�?��/=�������%����� �������(

dx dy dz dx dy dzP Q R

P Q RP P Q Q R R1 1 1

1 1 1 ,

�������\$�?�\$�=�������������� ��������� ����������"�� � ������������� ���\$�?�\$�=�\$��������������4�?����4�=�������'���� ��������� ��� ������ �����4�?�?�4�=�=\$���������

��������P Q RP P Q Q R R1 1 1

1 1 1dx dy dz

����������� ������������� ������� ���'�������������

���%���������������� �������'�������������"�E�����%�� ����������� �������������������%�� �� �������� �������'�������������\$� �� ������������������������������ �������'�������������"

����������� ���������������������������������+���������������������

)�- ���%�� �����%�� ����%��

)��- ���� ������ �����

)���- �������� ��������� ���4�1z

)�!- ��������� ����������� ����������"�����)�-�3����!����)���+���-���4�)���+���-���/����+���"

��'������������������ ��dx

x yz

dy

y zx

dz

z xy2 2 2

""")*-

#�&�%�*\$�*\$�*�����������������������\$����� ������� �)*-

/�1 1 1

2 2 2 3 3 3

. . .dx dy dz

x yz y zx z xy

xdx ydy zdz

x xyz y xyz z xyz

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� � dx dy dz

x y z yz zx xy

xdx ydy zdz

x y z x y z yz zx xy

2 2 2 2 2 2( )( )

( ) ( ) ( )x y z d x y z xdx ydy zdz 12

2 2 2

� ( ) ( ) ( )x y z d x y z d x y z 12

02 2 2

����%����%\$� ��%���12

12

2 2 2 21( ) ( )x y z x y z C

�� ���������/��� """)1-

#�&�%�*\$�+�*\$�0�����0\$�*\$�+�*�������������\$����� ������� �)*-

/��dx dy

x yz y zx

dy dz

y zx z xy

0

0

0

02 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )

�������������dx dy

x y z x ydy dz

y z x y z

2 2 2 2( ) ( )

dx dy

x y x y zdy dz

y z y z x

( ) ( ) ( ) ( )

���������d x y

x yd y z

y z( ) ( )

0

����%����%\$� ��%�������%�C��+��C�+���%�C���+���C�/���%���

�� �� x yy z

x yy z

C or C2 2 """)2-

����� )1-� ���� )2-\$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� �

f xy yz zx,x yy z

0

���

��� \$� ���������������������� �����"

)��- 3����!�� � )��4��-���4�)��4��-���/���4��"

��'������������������� � dxy z

dyz x

dzx y

""")*-

#�&�%�*\$�+�*\$�0�����0\$�*\$�+�*�������������\$����� ������� �)*-

/�dx dy

y z z xdy dz

z x x y

00

00( ) ( ) ( ) ( )

""")1-

� dx dyx y

dy dzy z

( ) ( )

d x yx y

d y zy z

( ) ( )

0

����%����%\$� ��%������%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���

�x yy z

x yy z

C or C1 1 """)2-

#�&�%�*\$�+�*\$�0�����*\$�*\$�*�������������\$����� ������� �)*-�����)1-

�dx dy

y z z xdx dy dz

y z z x x y

0

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d x yx y

d x y zx y z

( )( )

( )( )

2

�� 2 0d x y

x yd x y z

x y z( ) ( )

��������� �������������� ��

�����

����������������������������������������

����%����%\$� ��%�����1���%�C���+���C�4���%�C���4���4���C�/���%���

)��+��-��C�������C�/��� )��+��-��)��4���4��-�/�F��� """)5-

�����)2-�����)5-\$�����%���������������� �����%!������������

� x yy z

, (x y) (x y z) 02

���

��� \$

���������������������� �����"

)���- 3����!�������)��4��-�4������)��4��-�/���4�1z

.

��'�������������������� dxx y

dyx y

dz

zz

cos ( ) sin ( )

1""")*-

#�&�%�*\$�*\$�0�����*\$�+�*\$�0�������������\$����� ������� �)*-

dx dyx y x y

dx dyx y x y

00

00cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( )""")1-

)*-�����)1- �zdz

zd x y

x y x y2 1

( )

cos ( ) sin ( )

�12

21 2 42.

cos sin sin ( / )zdz

zdt

t tdtt

\$� �������/���4��"

1

2

21 4

02

. cosz

zdz t dt

����� ec

����%����%\$� ��%���1

21

12 4

21log| | log tan logz t �

�����

C

����������( )

tan

/zx y

2 1 2

11

2 8

�����

C """)2-

����\$ )1- cos ( ) sin ( )cos ( ) sin ( )

( ) ( )x y x yx y x y

d x y d x y

�cos sincos sin

( ) , .t tt t

dt d x y t x y

0 where

����%����%\$� ��%����� ��%C������4������C�+�)��+��-�/���%���

�C������4������C�����/���

� � � cos ( ) sin ( )x y x y ey x � � C2 """)5-

�����)2-�����)5-\$�����%���������������� �����%!������������

f(z 1)

tanx y

2 8

, cos (x y) sin (x y) e 0,2 1/ 2

y x �

�����

����

����

���������������������� �����"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)�!- 3����!����)���4����4���-���4�)���4����4���-���/����4����4���"

��'������������������ dx

y yz z

dy

z zx x

dz

x xy y2 2 2 2 2 2

""")*-

#�&�%�*\$�+�*\$�0�����0\$�*\$�+�*�������������\$����� ������� �)*-

dx dy

y yz z z zx x

dy dz

z zx x x xy y

0

0

0

02 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )

� dx dy

y x yz zx

dy dz

z y zx xy

2 2 2 2

dx dyy x y x z

dy dzz y z y x

( ) ( ) ( ) ( )

d x y

x yd y z

y z( )( )

( )( )

d y zy z

d x yx y

( ) ( )

0

����%����%\$� ��%����� ����%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���

� � y zx y

y zx y

C or C1 1 """)1-

#�&�%�*\$�+�*\$�0�����*\$�0\$�+�*�������������\$����� ������� �)*-

dx dy

y yz z z zx x

dx dz

y yz z x xy y( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

dx dy

y x yz zx

dx dz

z x yz xy

2 2 2 2

dx dy

y x y x zdx dz

z x z x y

( )( ) ( )( )

�dx dy

x ydx dz

x z

( ) ( )

d x z

x zd x y

x y( ) ( )

0

����%����%\$� ��%�����%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���"

�x zx y

x zx y

C or C2 2 """)2-

����� )1-� ���� )2-\$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� �

fy zx y

,x zx y

0

���

��� >� ���������������������� �����"

�� ����

������������������ ���� �� ������� �� �����.��������������������� ��# �#�������������� ��# �����������

���# ������������������������� ��# ��������������

�# ����������� ��# ��������������

���# ��"��#����� ��"��#������"�� ����# ����"�������� ��"�/�#

� �#���"�/����0������� ����/�# ��# ����0��������� �� ��"�0�#

���# ���"����������� ��# ����"�����������

�# ������������/���"�������' ��# ��"��#� �����#����

���# � �������# �������#����� ����# ��������������

��������� �������������� �

�����

����������������������������������������

\$ �#� ��"��#���� ��"��#������"�� ��# � ��"��#����� ��"��#����� ��"��#

���# 1 1 1 1 1 1z y

px z

qy x

���

��� �

����� ��# �� ��"��#������ ��"��#������ ��"��#

�#b c

ayzp

c ab

zxqa b

cxy

���

���

���

���

���

���

��# � �����#����� ��"��#�����������

���# � ���"���#��"�� �������#����� �������# ����# ��"��#���� �����#����/��

% �#� ���"����"���#����/������/�� ��# !����#���� !����#�����

���# ���"����"���#���� ���"����"���#����� ��"��# ��# ��������������

�# � �����#��"�� �����#���� ��"��# /����/�����#���'

��# y x y az p x x y az q z x y( ) ( ) ( ) � � � � ���# ��������������' ����# �������#����/������ �����#��

2�34��3

�#�� ��"��������� ���#���' ��# � ���"��������"���#���'

���# fxy

xz

sinsin

,sinsin

���

��� 0 ��# � ���"��������"���#���'

�# fxy

yz

,���

��� ���' ��# f

y x z y1 1 1 1

0 ���

��� ,

���# fx ay b

y bz c

���

��� , 0 ����# � ������������"���#���'

� �#�� /�������������� /�����#�"��#���' ��# f y x x z y x 3 3 0, log| cot ( )|� �

���# � �������/ �����#��"���#���' ��# f xy zax

y, log| |

���

��� 3

02

�# fxy

x zxy

, log �

���

��2

0 ��# � ���������"� �����#�� ��1���1#���'

���# � �������"/�����"���#���' ����# f xy zxy

���

���

2 0,

\$ �#�� �����������������������#���' ��# � ��������������#���'

���# � ��������������#���' ��# f xyzx y z

,1 1 1

0 ���

���

�# � �����������������������������������#���' ��# � /���"��������"����"���#���' ���# � ���������������&��#���' ����#

f x y z x y e y x ��

��

log| |, ( ) tan ( / )2 2 2 1

0

% �#� fyz

x y zz

,2 2 2

0 �

����� ��# f x y

x yz

( ) ( ) ,1 12

02 2 ���

���

���# f z x yx y

z �

����� ,

2 2

20 ��# f

xy

xy z, ���

���

2 0

�# f xy x y x y z, ( )( ) � � 0 ��# fx y

zx y az

���

���, 2 2 2 0

���# f y zx

e y z2 2

1 0���

��� ,

tan ( / ) ����# f

y

x y

x yz2 2

0

���

��� , �

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

:���3

\$ ��#�%������������������������������������������

���# %���������������!&���"�!&���"�!&���������������

% �#�%������������������������ ��# %���!��!��'��������������

���# %���!��"�!��'��������"����'�������������� ��# %���!&���!&���'�������������� �# %���!��!��'�����!��!��!�������������� ��# %���!��!��'��������"����'��������������

���# 2�������dxx

zdy ydz

z yz

dyyz

dz

yz

d y z

y z

���

���

���

���

01

112 2

2

2 2( / )

( / )

log| | tan logxyz

1 C�

����# %���!��!��'�����!��"�!��'��������������

�������������������������������������������������������

E���� � ����!�� ������� ������������ � ���!�%� ���� �������������� ���������������� �������������������������!��!����������"����������� ���������������� � �������������������������������������"����������������������\$� �������������������������� � ���!�%�������������"� ��� ���� ��������\$� �������� ������ ������������ ���!�%������������������� ���������� ������������!����������������������������������%�������������"������������������\$� ����������&�����AB�����C3�;���������B��� ��������"

��� ����� ����� ����� ����� ���������������������������������������������������� ��������������������������������������������� ��������� ��������� ��������� ��������� �������������������� ���� ���� ���� ���� ��������

��� )�\$��-�/ 0 """)*-

������������� ����������������� � ��������������������%�������������"

��� ��/ ���4�)�-��4�� """)1-

������������������������ �)*-\$� �����)�-�������� ������� ��"

)1- pzx

a qzy

a

and ( )

)*- )�\$�)�--�/ 0"

"� ����� ��������������������������������� ����������������#\$������������� ��!

���������

����������

>�����#������(�����������������%�������������

>�����#�������(����������� ������������/����4����4�)�\$��-

>�����#��������(�����������������%�������\$��������

>�����#�����G�(����������� ������������)�\$��-�/���)�\$��-

<���� �#���� ��������

������7��@�������;������� �>������

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������������������ �)*-��

��� ����� �!�����6>

�����)�\$�)�--�/�0������������������������������"

#�� ���������%������������\$����

�)���������-�/ ��+����+�)�-��+��

<��%���)���������-�/�0\$�

fa

fc

0 0, , �������%���������������%!�����

�������%��������� �����������������(

��+����+�)�-��+���/ 0\$� +���+�)�-���/�0\$� +�*�/�0

#�������������\$��������+�*��0" #������������%������������"

#�� �������%��������������\$�������/�)�-\$� ��������������������� �����"

<��%��)�������\$�)�--�/�0\$� fa 0, �����%�����������������%!�����

��"����"� �!���"� �!���8>�"���"� �!���"� �!���8�

�������������

�����������(��!������������������������������������������)�- ������/�� )��- ��%���1�

)���- ��,���. )�!- ���2��,��/�'"�����)�-�3����!� ���4����/��" """)*-#�������������� ����� ��� )���-�/�0"��� ��/����4�)�-���4�� """)1-

������������������������ �)*-\$� �����)�-�������� ������� ��"

)1- � pzx

a qzy

a

and ( )

)*- a a a a2 2 2 2 2 ( ( )) ( ) or

��� ( ) .a a a 2 2 and

#�������������������������z ax a y c2 2 \$�� ������������������

����������������������+������"�#������������%������������"

#�� �������%��������������\$������)���������-�/���+����+� 2 2 a y c �������/)�-"

<��%� �)���� �����)�--�/�0\$� fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���

��������

z ax a y (a) 0, xa

ay (a) 0,2 2

2 2

��������������������� �����")��- 3����!� ���+����/�1�" """)*-

#�������������� ����� ���� )���-�/�0"

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

��� ��/����4�)�-���4�� """)1-

������������������������ �)*-\$� �����)�-�������� ������� ��"

)1- � pzx

a qzy

a

and ( )

)*- �a a k a a k2 2 2 2 2 ( ( )) ( ) or

��� )�-�/� a k2 2 ���������1�"

#�������������������������z ax a k y c2 2 �\$�� ������������������

��������������������������1�"

#������������%������������"

#�� �������%��������������\$����

� f x y z a c z ax a k y c( , , , , ) 2 2 ��������)�-"

<��%� �)���� �����)�--�/�0\$� fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���

��������

z ax a k y (a) 0, xa

a ky (a) 0,2 2

2 2

��������������������� �����")���- 3����!� ��/�1���4�*" """)*-#�������������� ����� ���� )���-�/�0"��� ��/����4�)�-���4�� """)1-

������������������������ �)*-\$� �����)�-�������� ������� ��"

)1- pzx

a qzy

a

and ( )

)*- a a aa

2 11

22( ( )) ( ) . or

��� )�-�/� a 12

��������*"

#������������������������� z axa 1

2y c

�\$�� ����� �� ����� �� ����

�������������������������*"#������������%������������"�#�� �������%��������������\$����

� f x y z a c z axa

y c c a( , , , , ) ( ). 12

and

<��%� �)���� �����)�--�/�0\$�fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���

��������(

z axa 1

2y (a) 0 >�

x

12 2 a 1

y (a) 0 \$

��������������������� �����")�!- 3����!�� ���4�,��4�1��4�5�/�0" """)*-

#�������������� ����� ���� )���-�/�0"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��� ��/����4�)�-���4�� """)1-

������������������������ �)*-� �����)�-�������� ������� ��

)1- pzx

a qzy

a

and ( )

)*- ���4�,��4�1)�-�4�5�/�0 �� ( )aa

a ���

���

2

23 2

#��� �������� �������� �� z axa

a y c ���

���

2

23 2 \$� ������� ���� �� ���

�����������������"#������������%������������"�#�� �������%��������������\$����

f x y z a c z axa

a y c c a( , , , , ) ( ). ���

���

2

23 2 and

<��%� f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���

���������(

z axa2

3a 2 y (a) 0, x (a 3)y (a) 0,2

���

���

��������������������� �����"

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�; �>� !���8

�����(� #�&�����������������������/����4�)�-���4��� ���������������������������������"

�����((� ���� pzx

a qzy

a

, ( )"

�����(((� >�������������!������� �����������)���-�/�0����� �������!������ �)�-��������� ��"���������!������ �)�-�������������������������/����4�)�-��4��"

�����(.� ����%�����������������&���)���������-�/���+����+�)�-��+��\$�������/�)�-"� ����������A�7������������ "�"�"��������� ���������%�����������������

�)��������)�--�/�0\$�fa�/�0\$��"�"���+����+�)�-��+�)�-�/�0\$�+���+�)�-���+

)�-�/�0\$� ��������������������� �����"�����.� ��������� ����� ����)���-�/�0����������%������������"

�� �����

/ �0��������� �� �������������������������������� ���#

����������!3 � ������

\$ ���"������! % ����������

& ����������� ' �������������'

( ������ ) ���������� ��

* �������! ! ������

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

2�34��3

1/� z ax a y c 16 2 ������������������������������� ������������"�4�����4�//�5 ���������� ��� ��

2/�z ax a a xa

ay a

16 0

1602

2 ( ) , ( ) ,������������������������

����� ��

� 1/� z ax a y c ������������������������������� ���������������'�

//�5 ���������� ��� ��

2/�z ax a y a xa

y a ( ) , ( ) ,01

20 ������������������������������ ��

\$ 1/� z ax a y c 2 1 ������������������������������� ������������1�1��!�

//�5 ���������� ��� ��

2/�z ax a y a 2 1 ( ) ���'��

xa

ay a

2 10 ( ) ��������������������������

����� ��

% 1/� z axa

ay c

1������������������������������� ���������������!�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z axa

ay a x

ay a

10

1

10

2 ( ) ,

( )( ) , �������� ��� ���� ���������

����� ��

& 1/� z ax a a y c 2 ������������������������������� �����������������"� "�!��'#�

//�5 ���������� ��� ��

2/�z ax a a y a xa

a ay a

2

20

2 1

20 ( ) , ( ) , ������������������������

����� ��

' 1/�z axa

ay c

1�������������������������������� ���������������"�!�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z axa

ay a x

ay a

10

1

10

2 ( ) ,

( )( ) , �������� ��� ���� ���������

����� ��( 1/������������� �������������������������������������� ��������������6�'�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z ax y a a xya

a log ( ) , ( ) , 0 0 � ����� � � � � � �� �� � �� � � � � ��

����� ��

) 1/� z axa

n n y c ���

���

242 ������������������������������� ��������

//�5 ���������� ��� ��

2/� z axa

n n y a x n n y a ���

��� �

�����

24 0

12

4 02 2 ( ) , ( ) , �������

���������������������� ��

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� * 1/� z ax a y c 2 3/ ������������������������������� ���������������'�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z ax a y a x a y a 2 3 5 3023

0/ /( ) , ( ) , �������� ��� ���� ���������

����� ��

! 1/� z axka

y c ������������������������������� ���������������'�

//�5 ���������� ��� ��

2/� z axka

y a xk

ay a ( ) , ( ) ,0 0

2������������������������������ ��

��� ����� ����� ����� ����� ��������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� �!!!!!��"��"��"��"��"

������������������� ��/ ���4����4�)���-" """)*-��� ��/ ���4����4�� """)1-

�������������� �)*-"

)1- pzx

a qzy

b

and

)*- ���4����4���/ ���4����4�)���- ��/ )���- )1- ��/ ���4����4�)���-" �������������������� ��)*-��

��� �����5����; �>�5!\$� ����������������������������������"#�� ���������%������������\$������)���������-�/���+���%��%)���-"

� <��%� �)���������-�/�0\$�

fa

fb

0 0, \$� ������%������������� ��%!�����

�������%��������� �����������������(

z ax by g(a, b) 0, xga

0, ygb

0

\$� ���!���� �� ���� ��� ���

%!����������"#�� �������%��������������\$�������/�)�-\$� ��������������������� �����"

<��%� f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 �����%�����������������%!�����

��"����"� �!��"�; �>� �!!���8>�"���"� �!���"�;� �>� �!!���8��������%������������������������ ����� ���������������� � ����#� ������� � �� � � ���

1�������3�������� ������������ �#��%�������� ����������������� ����#����.� �������-������1�������3�������� �

�������������

�����������(��!������������������������������������������

)�- ���������� )��- ������������

)���- z px qy 4 1 p q2 2 )�!- ������������� "

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

�����)�-�3����!� ��/����4����4���" """)*-

#�������������� ����� ���� ��/����4����4�)���-"

������������������ �)*-������������5�����5\$� ���������������������������������"

#�� ���������%������������\$����

�)���������-�/ ��+����+����+���

fa�/ +���+�� ���

fb�/�+���+��

�)���������-�/ 0 �%��%��%����0 """)1-

fa�/ 0 ����+���+���/�0 """)2-

fb�/ 0 ����+���+���/�0 """)5-

�����%�����!������� ��������� ����)2-�����)5-���)1-\$� ��%����+�)+��-���+�)+��-���+�)+��-)+��-�/�0 �� ��4����/�0���������������� ���)*-" >�%��������������� ���������8�#�� �������%��������������\$�������/�)�-"

<��%� f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���

���������(��"����"� �!���"��� �!���8>�"���"� �!���"� �!�"�� �!���8\$� �����������

��������� �����")��- 3����!�� ��/����4����4�����" """)*-#�������������� ����� ������/����4����4�)���-" ������������������� �)*-������������5������5�\$� �������������������������

��������"�#�� ���������%������������\$�����)���������-�/ ��+����+����+�����

fa�/ +���+�1��� ���

fb�/�+���+�1���

�)���������-�/ 0 �%��%��%�����/�0 """)1-

fa�/ 0 ������+���+�1����/�0 """)2-

fb�/ 0 ������+���+�1����/�0 """)5-

abx

a by

abxy

abxy2 2 3

1 3

2 2 4 4 �

�����, , ( ) ,

/

( ) ./ /

/ /

/

ab bx

bx

xyx

y

xy

������

������2 2

4

2 2

1 3 2 3

1 3 1 3

2 1 3

"

>������\$� �ayx

������

2 1 3

2

/

zyx

xxy

yxy

������

������ ���

���

2 1/3 2 1/3 2 3

2 2 40

/

z x y ���

���

2 3 2 31/3 1/3 1/31

21

21

2 20/ /

.

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� z

32

x y .4/32/3 2/3

#���%!���������%������������\$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������\$�������/�)�-"

<��%� f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���

���������(��"����"� �!���"��� �!!����8>�"���"� �!���"���� �!!��"���� �!� �!���8>

��������������������� �����"

)���- 3����!�� z px qy p q 4 1 2 2 �" """)*-

#�������������� ����� ������/����4����4�)���-" ������������������ �)*-��

z ax by 4 1 a b2 2 \$� ����������������������������������"

#�� ���������%������������\$����

� f x y z a b z ax by a b( , , , , ) 4 1 2 2

� ��

fa

xa

a b

4

1 2 2� ����

fb

yb

a b

4

1 2 2

�)���������-�/�0 �%��%���+� 4 1 2 2 a b �/�0 """)1-

����fa�/�0 ����+��%

4

1 2 2

a

a b �0 """)2-

�fb�/�0 ����+���+�

4

1 2 2

b

a b �/�0 """)5-

<��%�)2-�����)5-\$� ��%��� x ya b

a b2 2

2 2

2 2

16

1

( )

16 1616

1

16

12 2

2 2

2 2 2 2

x y

a b

a b a b

( )

14

16

2 2

2 2

a b

x y

)2- a xa b x

x y

x

x y

14 4

4

16 16

2 2

2 2 2 2. "

>������\$� �� �by

x y

16 2 2

�����%�����!������� �����������)1-\$� ��%��

�� zx

x y

y

x y x y

2

2 2

2

2 2 2 216 16

16

160

�� zx y

x yx y

16

1616

2 2

2 2

2 2 �� ������������������

��������� �������������� �

�����

���������������������������������������

#���%!���������%������������\$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������\$�������/�)�-"

<��%�f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 �����%�����������������%!������������������(

z ax (a)y 4 1 a ( (a)) 02 2 >�

x (a)y

4(a (a) (a))

1 a ( (a))0,

2 2

��������������������� �����"

)�!- 3����!�� ��/����4����4���%�)��-" """)*-

#�������������� ����� ������/����4����4�)���-"

������������������ �)*-��

���������5������;� �5!\$� ����������������������������������"

#�� ���������%������������\$����� �)���������-�/���+����+����+���%�)��-

fa

xa1

���

fb

yb1

�)���������-�/ 0 �����+����+����+���%�)��-�/�0 """)1-

fa�/ 0 +���+�

1a�/�0 """)2-

fb�/ 0 +���+�

1b�/�0 """)5-

)2- �� ax

1����)5- b

y 1

)1- �� zxy

1 11

0log ����������;������8�

#�����������%������������\$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������\$�������/�)�-"

<��%�f x y z a afa

( , , , , ( )) , ,

0 0 �����%�����������������%!������������������(

��"����"� �!��"���;���"���;� �!���8>�"���"� �!��"�1a

(a)(a)

0

\$

��������������������� �����"

�����������(����������������������������������%,�%0�������������� �������������� ������ �������� �,� 0� ' "3��� ���� ��� ��!����� �� ��� ���������������������������������������"�"�����������������������"

�����3����!� ��/����4����+�1��+�2�" """)*-

#�������������� ����� ������/����4����4�)���-"

�������������������� ��)*-������/����4����+�1��+�2�\$�� �����������������������������������"�#���������������� ������ �����������������%������%��)1\$�2\$�0-�������0�/��)1-�4��)2-�+�1��+�2�� �����������������������"

#�� ���������%������������\$����

�)���������-�/���+����+����+�1��+�2�

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

fa

xfb

y 0 2 0 0 3 0,

��+��)+�1-�+���)+�2-�+�1��+�2��/�0 �� ��/�0"������������� ���)*-"

#�����%��������������� ����8�

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*���������� ����; �>� !

�����(� #�&�����������������������/����4����4�)���-\$� ���������������������������������"

�����((� ������%������������\$���&�� �)���������-�/���+����+����+�)���-"����

fa

fb

and �"����������������� �����������������(� ffa

fb

0 0 0, , .

#���%!���������%������������"�����(((� ����%��������������\$���&����/�)�-\$� ��������������������� �����"

#������������(� ffa

0 0,

��������������%��������������"

�� ������

/ �0������� �� �������������������������������� ������4 � !"�#

��������������7�� � ���������������������

\$ �����������������"��� % ������������"�/��"�0�

& ��������������0 ��#��� ' ���������������&�

( ��������������/ pq ) ������������"�/ pq

* �������������������������� ! �������������� p q2 2 1 �

8� ������������ ��������������� ����������� ����������������pq

pq p q �������������

������ ���������������������������������� ����������������� ������������� ���������������������

� 8� ������������ ��������������� ����������� ���������������� p q2 2 1 �������������

������ ���������������������������������� ����� ������

2�34��3

1/���������������7��

//�7���������'

2/���"����"� �#���"�7� �#���'������7 �#��� ����7�#� �#���'

� 1/����������������������

//�����������4����'

2/���"����"� �#���"����"� �##����'������/���� ����/ �##� �#���'

\$ 1/������������������"���

//����"������4����'

2/���"����"� �#���"������ �##����'������/���� ��"�/ �##� �#���'

% 1/�������������"�/��"�0�

//�����'

2/���"����"� �#�����/����0 �#���'������ ��"�0#� �#�"�/���'

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

& 1/���������������0 ��#���

//�����"�!���'

2/���"����"� �#���"�0 �� �##������'������ �#�����

( ) ( )

( ( )) /a a a

a a

2 3 ���'

' 1/����������������&�

//����������'

2/���"����"� �#���"�aa( )

��'������ �#����1

2

( )( )

( ( ))aa a

a

���'

( 1/���������������/ ab

//� ��"��# ��"��#���!

2/���"����"� �#���"� 2 a a( ) ���'������ �#���

( ) ( )

( )

a a a

a a

���'

) 1/�������������"� 2 ab

//� ��"��# ��"��#���!

2/���"����"� �#����� 2 a a( ) ���'������ �#���"�

( ) ( )

( )

a a a

a a

���'

* 1/���������������������������

//���������"������0����'

2/���"����"� �#���"����"�� �#�"� �##����'������ ��������/ �##� �#���/���� �#���'

! 1/�������������� a b2 2 1

//�x y

z2 2

2 1

2/���"����"� �#���"� a a2 2 1 ( ( )) ���'������ �#�����a a a

a a

( ) ( )

( ( ))2 2 1���'�

:���

( //�2���������"����"����"� 2 ab ���'�� xba

yab

and .

5 � ��"�������"� ���������� 2 ab #��� ba

aba

bab

abba

+ 2

8�����������"����� ab

��� ����� ����� ����� ����� �������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������� ��������� ��������� ��������� ��������� ���������������!���!���!���!���!��� ���� ���� ���� ���� ��������

��� )�����-�/�0 """)*-

������������� ����������������� � ��������������������%���������������"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������/�@)�-� �������/���4������������������ �)*-� ����������������������������"

��/�dzdu

ux

dzdu

dzdu

qdzdu

uy

dzdu

. .1 and

)*- g zdzdu

, ,���

��� �/�0

#��� �� ��� ��������� �������� �������� � � ���� �����"�#��� �������� � � ����������\$������)���������-�/�0�%!������������������������ �)*-� ���������������������������������"�#�����%���������������������������������%��������� ����������������(

�)���������-�/�0\$�

fa

fb

0 0, \$����!���������� �������%!����������"

�������/�)�-� �������������������� �����"�#���%�����������������%!������������������(

�)���������)�--�/�0\$�fa 0"

�������������

�����������(��!������������������������������������������

)�- ������/� )��- ���������. �.

)���- ��.%�� ���.%�-"

�����)�-�3����!�� ���4����/�5�" """)*-

#�������������� ����� ����)�����-�/�0"

������/�@)�-\$� �������/���4������������������ �)*-"

�� pzx

dzdu

ux

dzdu

qzy

dzdu

uy

and "

)*- �dzdu

z������ ���

���

2 2

4

)*�4���-�dzdu

z���

���

2

4 dzdu a

z

2

1 2

1 2/

dz

1 2 2

2

1/

����%����%\$� ��%��� 22

1 2z

u

ab

2 1 2 12 2 a z x ay b a( )

��5)*�4���-��/�5)��4����4��-�\$� ���� 1��/�b a1 2 � ������!���"� ���������6!����8�#������������������������"

��� �)���������-�/�)*�4���-���+�)��4����4��-�

�fa�/�1���+�1)��4����4��-� ���

fc�/�+�1)������-

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

�)���������-�/�0 )*�4���-��+�)������-��/�0 """)1-

fa�/�0 ������1���+�1)������-�/�0 """)2-

fc�/�0 ������������+�1)������-�/�0 """)5-

���)5- �������/�0

)2- ��1���+�1)0-��/�0 1���/�0 ����8�

#�����������%������������\$����������/�0���������� ���)*-"

������/�)�-"�<��%��)�������\$�)�--�/�0\$� fa 0, �����%�����������������%!�����

������!���"� ��������� �!!����8>�����"�� ��������� �!!� ���� �!!���8\$

��������������������� �����")��- 3����!�� ��)���4����4�*-�/�*" """)*-

#�������������� ����� ����)�����-�/�0"

������/�@)�-\$� �������/���4������������������ �)*-"

�� pzx

dzdu

ux

dzdx

qzy

dzdu

uy

and .

)*- zdzdu

22 2

1���

��� �

�����

���

��� �/�*

������ ( )11

122

2 �

����� a

dzdu z

dzdu a

zz

1

1

12

2

��� �� dzdu a

zz

1

1

12

2

.

�z

zdz

du

a1 12 2

����%����%\$� ��%��� �

11

2

2z

u

ab

1 12 2a z �/����\$� �������/�b a1 2

� ������!� ��"���!��� ���������6!��

#������������������������"

��� �)���������-�/�)*�4���-)*�+���-�+�)��4����4��-�

��������fa�/�1�)*�+���-�+�1)������-� ������ ��

fc�/�+�1)������-

�)���������-�/�0 ��)*�4���-�)*�+���-�+�)������-��/�0 """)1-

fa�/�0 ��������1�)*�+���-�+�1)������-��/�0 """)2-

�����������fc�/�0� +�1)������-�/�0 """)5-

������)5- ��������/�0

)2- ����1�)*�+���-�+�1)0-��/�0

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��1�)*�+���-�/�0 �*�+����/�0 ���"�����8�

#�����������%������������\$�����������+�*�/�0���������� ���)*-"

������/�)�-"��<��%���)�������\$��-��/�0\$��fa 0, �����%�����������������%!�����

������! ��"����!�"� ��������� �!!����8>��� ��"���!�"�� ��������� �!! ���� �!!���8>

��������������������� �����"

)���- 3����!�� �)*�+���-�/��)*�+��-" """)*-

#�������������� ����� ����)�����-�/�0"

������/�@)�-\$� �������/���4������������������ �)*-"

pzx

dzdu

ux

dzdx

qzy

dzdu

uy

. and

)*- �dzdu

z1 122

���

���

���

��� ( )

���dzdu�/�0 """)1-

�� �����1 22

������a

dzdu

�/��)*�+��- """)2-

)1- ��/��"�#���������������������������������������������������� ������������������"

)2- dzdu

a az

a������ 2

2

1"

��� dzdu

a az

a

1

)*�+���4���-��������/�dua

����%����%\$� ��%��( )

( / )1

1 2

1/2 a aza

ua

b

�� 2 1 a az �/���4���

� ��"�������!��� ���������6!�\$� �������/���"

#������������������������"

��� �)���������-�/�5)*�+���4���-�+�)��4����4��-�

��fa�/�5)+�*�4��-�+�1)������-� ���

fc�/�+�1)������-

�)���������-�/�0 5)*�+�����-�+�)������-��/�0 """)5-

��������������fa�/�0 5)+�*�4��-�+�1)������-��/�0 """)6-

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

��������������fc�/�0 +�1)������-�/�0 """),-

��),- �������/�0

)6- ������ ����5)+�*�4��-�+�1)0-��/�0 5)+�*�4��-�/�0

������������� ���+�*�4���/�0 ��/�*

)5- �5)*�+���4��)*--�+�)0-��/�0

�� �������������5�/�0\$� �������������"

#������������%������������"�������/�)�-"�<��%��)���������)�--�/�0����fa 0, �����%�����������������%!������� ��"�������!�"� ��������� �!!����8>�"�������

"�� ��������� �!!� ���� �!!���8>� ��������������������� �����"

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�; �>��>� !���8

�����(� #�&����/�@)�-\$� �������/���4���"

�����((� E�������%� pdzdu

\$� ����%!������������������ �����

��������� ����������������� � ���������"��������������������)���������-�/�0"�#���%!������������������������ �����%!����������"

�����(((� ������%������������\$����������������� ����������������� (� ��/�0\$

fa

fb

0 0, .

�����(.� ���� �%������� ��������\$� � ��&�� ��/�)�-\$� � ����� � � �� ����� ���������

�����"��#������������(���/�0\$�fa 0 ��������������%��������������"

�� ������

/ �0������� �� �������������������������������� ���#

����������� � �� ����������/#���!

\$ ����������4� % �����!�����

& ������ ' 9 ��������#���4

( ����������0�������6�' ) ����������/:�

* 4 !�����#���9����� ! ��������� !�"���#�

2�34��3

1/�4 !�����#����� ����������#�

//�����'

2/�4 !�����#���"� ��������� �##����'��;���"�/ ��������� �## ���� �##���'

� 1/� !�����# !�"�/��#���4 ����������#�

//�!�"�/�����'

2/� !�����# !�"�/��#�"�4 ��������� �##����'��� !�"�/��#�"�4 ��������� �## ���� �##���'

\$ 1/� !����#���� ����������#�

//�����'

2/� !����#��"� ��������� �##����'����"�/ ��������� �## ���� �##���'

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� % 1/����"� z z a a z z a x ay b2 2 2 2 24 4 4 4 log ( ) ( )

//�%��������� ���������� ��� ��

2/����"� z z a a z z a x ay a2 2 2 2 24 4 4 4 0 log ( ) ( ( )) ,

az

z a2 24���/��� �� z z a �

�����

2 24

4

4 4

3

2 2 2 2

a

z z a z a( )�"���"� �#���'�

& 1/�4����� ����������#�

//�����'

2/�4���"� ��������� �##����'��/��"� ��������� �##� ���� �##���'�

' 1/� ������#���� ����������#�

//�5 ���������� ��� ��

2/� ������#��"� ��������� �##����'��0� ������#��"� ��������� �## ���� �##���'

( 1/� !�����#�� ������0� ������#����

//�5 ���������� ��� ��

2/� !�����#�� ����"�0� ������#�"� �#���'��0���� ����"�0��"�3���"� �#���'�

) 1/� !�����#������; ����������#�

//�����'

2/� !�����#�����"�; ��������� �##����'�������"�; ��������� �##� ���� �##���'�

* 1/�� !�����#��� ����������#�

//������!���'

2/�� !�����#�"� ��������� �##����'��!������"�/ ��������� �## ���� �##���'

! 1/������ ����������#������

//�����'

2/����"� ��������� �##��"������'�� ��������� �## ���� �##�������'�

��� ����� ����� ����� ����� �������#�������#�������#�������#�������#����������������� ��������������������������������������������������������������������������������\$\$\$\$\$����� �! �! �! �! �!��"���\$��"���\$��"���\$��"���\$��"���\$����� � � � � �!!!!!��"��"��"��"��"

�������������������� ��)���-�/���)�\$��-" """)*-

������������� �)*-��������������"

��)���-�/�� """)1- ��)���-�/�� """)2-

>��!�%�)1-� ����\$����� ��/���)���->��!�%�)2-� ����\$����� ��/���)�\$��-"

>��������� ������� ��������\$� ����!��dzzx

dxzy

dy

�/������4�����

���/���)�\$��-����4���)�\$��-���

����%����%\$� ��%��� ���� F (x, a) dx F (y, a) dy b.1 2� �

#����������������������������������� �����%!����������"#�� ���������%������������\$����

�)���������-�/���+� F F1 2( , ) ( , )x a dx y a dy b� � "

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

<��%� �)���������-�/�0\$�

fa

fb

0 0, , � ������%���������������%!�����

�������%��������� �����������������(

��+� F F1 2 0( , ) ( , )x a dx y a dy b� � \$

a

x a dx y a dyF F and1 2 0 1 0( , ) ( , ) .� ��� ��

#�������������\$��������+�*��0" #������������%������������"#��� ���������%���������������\$��������/�)�-\$�� ����������������������� �����"

<��%��)���������)�--�/�0\$� fa 0, �����%�����������������%!�������������������(

z– F (x, a)dx F (y,a)dy (a) 0,1 2� �

a

F (x,a)dx F (y,a)dy (a) 0.1 2 �� �� � ��������������

�����������(��!������������������������������������������

)�- p q 3x 0 )��- ���������'

)���- ����.��� ���� )�!- �������"

�����)�-�3����!� p x q 3 " """)*-

#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"

������������� �)*-��������������"

p x a 3 """)1- q a """)2-

)1- ��/�)��+�2�-� ��� )2- ��/���

�� ���/�����4����

���/�)��+�2�-�����4������

����%����%\$� ��%��� ��/� ( ) .a x dx a dy b � �3 2 2

����(a 3x)

9a y b.

32

#������������������������"�#������������%������������"

#�� �������%��������������\$������)���������-�/���4�19)��+�2�-��+�����+���������/�)�-"

<��% �)��������)�--�/�0\$fa�/�0"

#���%�����������������%!�������������������(

����19

� ��"���!��"�����"� �!���8>�13

(a 3x) 2ay (a) 0,2

��������������������� �����"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)��- 3����!�� ���4����4����/�0"

���4��)��4��-�/�0 px p

qy

""")*-

#�������������� ����� ������)���-�/���)���-"�������������� �)*-��������������"

�p

x pa

""")1-

qy

a """)2-

)1- ��/�ax

a1 ����� )2- ��/�+���

�� ���/�����4�����

dzax

a

1���%����

����%����%\$� ��%��� ��/�ax

b1 2

� � .

��/�a

ax ay b

1 2 2 2

2 2

.

�����a

1 ax ay b2 2

#������������������������"#������������%������������"�#�� �������%��������������\$����

�)���������-�/�1��+�a

ax ay b

12 2 ��� ��/�)�-"

<��%� �)���������)�--�/�0\$

fa

0 \$

#���%�����������������%!�������������������(

2za

1 ax ay (a) 0,2 2

x

(1 a)y (a) 0

2

22 – \$� ����� � �� ���

��������� ��.���")���- 3����!�� ����)*�4���-�/����"

�1 2

22 x

xp

qy

""")*-

#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"

������������� �)*-��������������"

1 2

22 x

xp a """)1-

qy

a """)2-

)1- ��/ �a x

x1 2����� )2- ��/��� )������%���

0-

��� ��/ax

x1 2�� ���/ ����4����

��������� �������������� �

�����

��������������������������������������� ���/

a x

xdx ay dy

1 2

����%����%\$� ��%�� ��/a x

xdx a y dy

b2

2

1 22 � � .

��/ a xay b

12 2

22

������2 a 1 x ay b.2 2

#������������������������"�#������������%������������"

#�� �������%��������������\$������)���������-�/�1��+� 2 1 2a x �+�����+������

��/�)�-"

<��%� �)���������)�--�/�0\$

fa

0 \$�����%�����������������%!���������

���������(

�1��+� 2 1 2a x �+�����+�)�-�/�0\$ +�1�"� 1

21 2

ax. �+����+�)�-�/�0

�� ���"�2 a 1 x2 �"�����"� �!���8>� 1 x ay a (a)2 2 ���8>

��������������������� �����"

)�!- 3����!�� ���4���/���"

���+����/�� """)*-

#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"

������������� �)*-��������������"

���+����/�� """)1- ��/�� """)2-

)1- ���+����+���/�0 ��/�12

42x x a �� ��

��� ��/�12

42x x a �� ���� ���/������4�����

���/�12

42x x a dx a dy �� ��

����%����%\$� ��%��� ��/�x x x a a

x x a ay b2 2

2

412

42

42

4

���

��� log

�� ����14

x x x 4a a log x x 4a ay b2 2 2 �� �� �

#������������������������"�#������������%������������"#�� �������%��������������\$����

�)�� �� �����-�/� �� +�14

42 2( )x x x a � +��� ��%� )��4� x a2 4 -� +���%�� ���

��/�)�-"

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� <��%��)���������)�--�/�0\$

fa

0 \$�����%�����������������%!���������

���������(

��+�14

42 2( )x x x a �+�����%� ( )x x a 2 4 �+����+�)�-�/�0\$

��������

x

x a44

2 42. �+���%� ( )x x a 2 4 �+���"�

1

42x x a � 04

2 42

�� x a

+���+�)�-�/�0

�� ��������������"�14

(x x x 4a)2 2 �"�����;�(x x 4a)2 �"����"�� �!���8>

����x

2 x 4a2 �����;�(x x 4a)2 ���

2a

(x x 4a) x 4a2 2 ��������� �!���8>

��������������������� �����"

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�� �>��!���� �>� !

�����(� #�&����������� ���)���-�/���)���-�����������"

�����((� >��!����������� ����������"�������/���)���-\$���/���)�\$��-"�3������/����4����� ���� � ���������� � ���� � !������ � � � �� � ���� �"� � ����%����� � ����������������%�����������������������"

�����(((� ��������� ����� ������)���-�/���)���-����������%������������"�����(.� #�&�� ���� �������� ����������� �)�� �� ���� �-�/�0"�������/�)�-"�#��

%�����������������%!�������������������(��)���������)�--�/�0\$�fa 0"

�� ������

/ �0������� �� �������������������������������� ���#

��"������������ � � !����#������ !����#��

\$ ������� % ��������

& ���������� ' � ��"�� ���#���� ���

( �����/������ ��� ) p q x 2

* ���"��������"�� ! ��"�0��������"���

2�34��3

1/�����13

3 3( ) ( )x y a x y b

//�5 ���������� ��� �

2/���"�13

0 03 3( ) ( ) ( ) , ( )x y a x y a x y a

� 1/�������� �������� �����#����

//�5 ���������� ��� �2/���"���� �����"�� �����#�"� �#���'��� ��������������� �#���'

\$ 1/�/������������&�����

//�5 ���������� ��� �2/�/��"�����"���&��"� �#���'�����"���&������ �#���'

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

% 1/� 2 4 2z ax ay b //�5 ���������� ��� �

2/�2 4 0 2 02 2z ax ay a x a y a ( ) , / ( )

& 1/����� a x ay blog 2

//�5 ���������� ��� �

2/���"� a x ay alog ( ) , 2 0 log ( )x y a a 2 2 0

' 1/������������������1a ����������

//�5 ���������� ��� �

2/���"����"�������"� 1a

�������"� �#���'����"�12a

��������� �#���'

( 1/���������������ea

ay����

//�5 ���������� ��� �

2/���"����"����"�ea

ay

�"� �#���'������e ay

a

ay ( ) 12 ��� �#���'

) 1/�����16

2 3 2( )x a a y b

//�5 ���������� ��� �

2/���"�16

2 03 2( ) ( )x a a y a ��4���"� /��"��#����/ �#���'

* 1/�0����/ �����#������/ �����#�������

//�5 ���������� ��� �

2/�0��"�/ �����#����"�/ �����#����"� �#��'��3 3x a y a �#���'

! 1/���������������23

3 2( ) /a y ���

//�5 ���������� ��� �

2/���"����"����"�23

3 2( ) /a y �"� �#���'������ a y �� �#���'�

�������������������������������� ������ �� ������ �� ������ �� ������ �� ������ �������������������������

����������������� ������ ��������������������������%�%����������� ������������������������������� ���"

�������<��������������������� ��� ��������������� .��������������������� ������� ����� ������������� ��� ������� ��� ��� ���������������������������� �����������������������

����� ��� +��,#���'��������PZX

, QZY

��

�������������

����������� ��������������������������������������������������������������������������������������

)�- ����������� )��- ����������/��

)���- ��������� )�!- �.%�� ��������'"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����)�-�3����!�� �����4������/��" """)*-

)*- �xz

zx

yz

zy

2 2 2 2

1

���

���

���

���

z

x

zx

z

y

zy

���

���

���

���

1 2

1

2 1 2

1

2

1/ /

""")1-

����H\$�I\$�J������ �!������������������H�/�������\$ �I�/�������\$ �J�/���������"

�E�����%����%�����\$� ����!����H�/���%��\$�I�/���%��\$�J�/�1 z

��/�

ZX

ZX

ddz

zx

dxd z

zx

xz

x

zx

. . . ./1 1 2

1

��� ?�/�

ZY

ZY

ddz

zy

dyd z

zy

yz

y

zy

. . . . .1 1/2

1

)1- ���4�?��/�* """)2-#�������������� ����� ����)�\$�?-�/�0"��� �� J�/��H�4�)�-I�4�� """)5-

������������������������ �)2-\$� �����)�-�������� ������� ��"

)5- ��/�

ZX

and QZY

a a( )

)2- ���4�))�--��/�* �� )�-�/� 1 2a

��� )�-�/� 1 2 a \$�+�*�����*"

#�������������������� �)2-���J�/��H�4� 1 2 a �I�4��"

#�������������������� �)*-���� z �������;����� 1 a2 ���;�����6\$� ���������������������������������"

)��- 3����!�� �����4������/�5��" """)*-

)*- x

z

zx

y

z

zy

2

2

2 2

2

2

���

���

���

��� �/�5

z

x

zx

z

y

zy

���

���

���

���

1

1

2 1

1

2

�/�5 """)1-

��� H\$�I\$�J������ �!������������������H�/�������\$ �I�/�������\$ �J�/�������

�E�����%����%�����\$� ����!����H�/���%��\$�I�/���%��\$�J�/���%��

��/

ZX

ZX

ddz

zx

dxd z

zx

xz

x

zx

. . . .1 1

1

��� ?�/

ZY

ZY

ddz

zy

dyd z

zy

yz

y

zy

. . . . .1 1

1

)1- ����4�?��/�5 """)2-

#�������������� ����� ����)�\$�?-�/�0"

��� J�/ �H�4�)�-I�4�� """)5-

������������������������ �)2-\$� �����)�-�������� ������� ��"

�����)5- ���������/�

ZX

and QZY

a a( )

)2- ���4�))�--��/�5 �� )�-�/� 4 2a

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

��� )�-�/ 4 2 a \$�+�1�����1"

#�������������������� �)2-���J�/��H�4� 4 2 a �I�4��"

#�������������������� �)*-�����;���������;����� 4 a2 ���;�����6\$� ������

���������������������������"

)���- 3����!�� ���/�������" """)*-

�z

x y

l

m n

2

����/�* z

x

zx

z

y

zy

l

m

l

n

���

������

���

�/�* """)1-

��� H\$�I\$�J������ �!������������������H�/����\$��I�/�����\$��J�/�����

�E�����%����%�����\$� ����!����H�/�xm

yn

zl

m n l

1 1 1

1 1 1, , .Y Z

��/

ZX

ZX

d

dzzx

dxd

zzx x

zx

zx

lm

l

m. . . .1

��� ?�/

ZY

ZY

d

dzzy

dxd

zzy y

z

y

zy

ln

l

n. . .1

)1- �?�/�* """)2-

#�������������� ����� ����)�\$�?-�/�0"

��� J�/��H�4�)�-�I�4�� """)5-

������������������������ �)2-\$� �����)�-�������� ������� ��"

������)5- �����/�

ZX

and QZY

a a( )

)2- ��)�-�/�* ���������)�-�/�*K�

#�������������������� �)2-���J�/��H�4�1aI�4��"

#�������������������� �)*-��� z1 l

am 1

x1

(n 1) ay c

1 lm 1 n 1

\$� ����

�������������������������������������0"

)�!- 3����!�� )*�+���-�����4�����/�0" """)*-

)*- 1 10

2

2

2 ���

��� x

x

zx y

zy

1

1

10

2

2

x x

zx y

zy/

����

����

""")1-

����H\$�I\$�J������ �!������������������H�/�x

xdx

1 2\$ �I�/�����\$ �J�/���

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�E�����%����%�����\$� ����!�

H�/ 12

11 2

12

2 1/22

2

.( )

/, , .

xx

yzY Z

��/

ZX

ZX

ddz

zx

dxd

zx

xx x x

zx

. . . ./

11 1

1

2

2

��� ?�/

ZY

ZY

ddz

zy

dyd

zy y y

zy

. . . . .11 1

)1- ���4�?�/ 0 """)2-

#�������������� ����� ����)�\$�?-�/�0"

��� J�/ �H�4�)�-�I�4�� """)5-

������������������������ �)2-\$� �����)�-�������� ������� ��"

)5- ��/

ZX

and QZY

a a( )

)2- ���4�)�-�/ 0 �� )�-�/�+���

#�������������������� �)2-���J�/��H�+���I�4��"

#�������������������)*-�����/� a 1 xa2

y c22

2 \$� ����������������

�����������������"

�� ������

���������� �������� ���� �� ������� �� �������������������������������� ���# ������������� � �������������

\$ ���"������� % �����������

& ���� !�����#������ ' �������� ���������#

( �� ��&�������&��#���! ) ������������"������'

* �������������������� ����������������� ! ��������3�������/�������4������'�

2�34��3

z a x a y 1 2 �������!�����! �

22 1

11

1 21 1z

la

mx

n ay

lm n

( / )

( )��������'

\$ 2 12z ax a �������1�1��! % 2 1 2z ax a �������"�!�����!

& ���� a x a y c112

2 2 2 ' ���������=� a 1 �����������!

( ���������=� 1 2 a ��������"�!�����! ) ���� ����������� ���"�!#��������

*m n

m n lz

ax xm n l m n

( )/( ) ( sin )

42 2 ( ) /1

4

1am n� /��"�����/�#����

! z axa

a y c2 22

2

23 2

��

�� �

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ���������������������������������������

� �����%!����������� ����������������������� ������ �����%!��������������\$���������%!����������������!���������%�������7��%�������������"

�����)���������-�/�0 """)*-

�������%!����������� ����������������� � �����������������.���������������"

>��������� ������� ��������\$� ����!�����/�����4���� """)1-

#����������������� ���� ���������������!��!�%����������"

�����)���������-�/�0 """)2-

������������������������!��!�%����������"�#������������)*-�����)2-��������!����� �������!������� ��������"�#���!������� ��������������������������)1-��������������%���������%��������������������"

� ��������%�)*-�����)2-���������� "�"�"��������\$� ��%��

fx

fz

pfp

px

fq

qx

0 """)5-

��

fy

fz

qfp

py

fq

qy

0 """)6-

F F F Fx z

pp

px q

qx

0 """),-

��

F F F Fy z

qp

py q

qy

0 """)9-

;�������%�)5-����Fp\$�),-����

fp�������������%\$� ��%��

fx p x

fp

fz p z

fp

pfq p q

fp

qx

F F F F F F ���

���

���

��� �/�0 �""")L-

;�������%�)6-���� Fq\$�)9-����

Fq�������������%\$� ��%��

fy q y

fq

fz q z

fq

qfp q p

fq

py

F F F F F F ���

���

���

��� 0 """):-

����%�)L-�����):-\$� ��%��

fx p x

fp

fz p z

fp

pF F F F

���

��� 4�

fy q y

fq

fz q z

fq

qF F F F

���

��� �/�0

qx

zx y

zy x

pq

���

���

2 2

fx

pfz p

fy

qfz q

pfp

qfq z

���

���

���

���

���

���

F F F

4� ���

���

���

���

fp x

fq y

F F0 """)*0-

#���������%���%����������� � ���������� ��������������!��������������������������������!��������"�#�����'��������������� �)*0-����

dpfx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

d

F0

""")**-

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

����� ��������%������ �)**-����� ��)*0-"�� ������������%�����!��!���������������\$�����������&��������������������������)2-"�>�������������%�����!��!�%��������������\$�����������!��� ����)**-\$����������� ������������������� �)*-"�>��������%������!������� ��������������/�����4�����������������%����%\$� �� ���������������������"

�������������

��������7�� ��� ��� �������� �������� �� ��� ������������������������������������������4������\$���������

)�- ������������� )��- �������

)���- �������� )�!- ������ ����

)!- ��/�)���4��-�"

�����)�-�3����!�� ��/����4����4����4���" """)*-

���� �)���������-�/���+����+����+����+���"

��

fx

pfy

qfz

fp

x pfq

y q , , , ,1 2 2

������7����'�����������������

dpfx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

.

dp

p pdq

q qdz

p x p q y qdx

x pdyy q

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2

dp dq dz

px qy p q

dxx p

dyy q0 0 2 2 2 22 2

����� ���������������/�0"�������/��"

>������\$���� ��/��"

�� ���/�����4����� ���/�����4����

����%����%\$� ��%��� ��/����4����4��"

�����%�����!������ �����)*-\$� ��%������4����4���/����4����4����4��� �� ��/����4��"

� ���������5���������5��

#������������������������"

)��- 3����!�� ���/�����" """)*-

��� �)���������-�/����+�����"

fx

pqyfy

pqxfz

zfp

qxyfq

pxy , , , ,2

������7����'�����������������

dpfx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

��������� �������������� ��

�����

���������������������������������������

���dp

pqy p zdq

pqx q z ( ) ( )2 2

�/� ( ) ( )dz

p qxy q pxy

������������������������������/� ( )

dxqxy

�/�dy

pxy ( )

�����dp

pz pqydq

qz pqx2 2

�/�

dzpqxy

dxqxy

dypxy2

""")1-

)1- �������xdp pdx

x pz pqy p qxy

( ) ( )2�/�

ydq qdyy qz pqx q pxy

( ) ( )2

x dp p dx

xpzy dq q dy

yqz

2 2

d xpxp

d yqyq

( ) ( )

����%����%\$� ��%��� ��%����/���%����4��

���/����� """)2- )�����%���/���%���-

>��!�%�)*-�����)2-� ����������\$� ��%��� pbzx

qzby

and "

�� ���/�����4���� ���/�bzx

dxz

bydy

dzz

bx

dxby

dy 1

����%����%\$� ��%��� ��%���/�����%���4�1b���%���4���%��"

����6������

#������������������������"

)���- 3����!�� ������/���" """)*-

��� �)���������-�/����4����+���"

fx

pfy

qfz

fp

x qfq

y p , , , ,0

������7����'�����������������

��dp

fx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

��dp

p pdq

q qdz

p x q q y pdxx q

dyy p

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

��dpp

dqq

dzpx qy pq

dxq x

dyp y

2 """)1-

)1- ��dpp

dqq

��%���/���%���4���%�� ��/��� """)2-

>��!�%�)*-�����)2-\$� ��%�����/�0\$���/�0 �� ��/����4��\$���/�ax y

a

"

A�3��(������8>� ���8

���/�������� ���/�0����4�0����/�0 ��/��"

#��� �� ���� �� �������� �������\$� ������� �� ����� ���� ������ � �� ����������������"

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� A�3��((������������>� ���

ax ya

���/�����4���� ���/�)���4��-����4�ax y

���

���

/�ax y

aa dx dy

ax ya

d ax y ( ) ( )

����%����%\$� ��%�����/�(ax y)

2ab.

2

#������������������������"

)�!- 3����!�� )���4���-���/���" """)*-

��� �)���������-�/�����4�����+���"

fx

fy

p qfz

qfp

pyfq

0 22 2, , , , �/�1���+��

������7����'�����������������

��

dpfx

pfz

dqfy

qfz

dz

pfp

qfq

dxfp

dyfq

�� dpp q

dq

p q q q

dzp py q qy z

dxpy

dyqy z0 2 2 2 22 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

�dppq

dq

p

2 �/�dz

p y q y qz 2 22 2 �/�dx

py 2�/�

dyz qy 2

""")1-

)1- dppq

dq

p

dpq

dqp

2 ����4�����/�0

����%����%\$� ��%���p q a2 2

2 2 2 �� ���4����/�� """)2-

>��!�%�)*-�����)2-\$� ��%��� ��/� aa y

z

2 2

2 ���� ��/�ayz�"

���/�����4���� ���/�az a y

zdx

ayz

dy2 2 2

���%�����/� az a y2 2 2 ���

������dz

day

az a y dx2 2

2 2 2

2 2

���

���

���

���

���������12

2 2 2 2 2 2

ad az a y az a y dx( )

d az a y

az a y

( )2 2 2

2 2 2

�/�1���

����%����%\$� ��%��� 2 2 2 2az a y �/�1���4�1� ����"�������� �����5!��

#������������������������"

)!- 3����!�� ��/�)��4��-�" """)*-

��� ��)�\$��\$��\$��\$��-�/�)���4��-��+��

fx�/�0\$

fy�/�1)���4��-�\$

fz�/�1)���4��-\$

fp�/�+�*\$

fq�/�1)���4��-��

��������� �������������� �

�����

���������������������������������������

������7����'�����������������

�� dpfx

pfz

�/�

dqfy

qfz

�/�

dz

pfp

qfq

�/�dx

fp

dyfq

dp

p qy z0 2 ( )�/�

dqq qy z q qy z2 2( ) ( )

�/�dz

p q y qy z ( ) ( )1 2�/�

dx ( )1

���/�dy

y qy z 2 ( )

dp

p qy z2 ( )�/�

dqq qy z

dzp yq qy z4 2( ) ( )

�/�dx dy

y qy z1 2 ( )

""")1-

)1- �dp

p qy zdy

y qy z2 2( ) ( )

dpp

dyy

�/�0

����%����%\$� ��%�����%�C���C�4���%�C���C�/���%��

C����C�/�� ���/�F�� ���/�� )�����%���/�F�-

��/��K�

�����%�����!������ �����)*-\$� ��%��ay�/�)���4��-�"

���4���/ay ���/�

ay

z ��/�a

y

zy3 2/

���/ ����4���� ���/�ay

dxa

yzy

dy ���

���3 2/

���/ ����4�a

yz dy

���

��� ����4�����/�����4� a

ydy

�)��-�/ ����4� ay

dy

����%����%\$� ��%�� ���/ ���4� a �"�y1/2

1 2/�4�� ����������� ay ���5�

#������������������������"

\$%&'()*��<�/��-%&�+�()*�A:2&/(<C��1�<:%D

�����(� >� ������������� �����%!�������������������� ����������������������� ���������)���������-"

�����((� ����

fx

fy

fz

fp

fq

, , , .

�����(((� 3��������������7����'��������������������������������!������� ����������!��!���� ����������� �"

�����(.� >���������� �� ��������������������������%����%��������������������������!��!�%��������������� ��������"�#�������������������%!�����������������!������ �������!������� ��������"

�����.� ��������!������� ��������������������������/�����4������������%����"#���%!������������������������ �����%!����������"

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� ������

���������� �������� ���� �� ������� �� �������������������������������� �����������1������3������ ��#

����������� � ����0��

\$ ���"����������"��� % ������������������

& / �����������#������ ' /��������������/�����'

( ����������� ) /���"�����"�/�����������'

* � !�����#��� ��"��#����' ! �������#�������

2�34��3

���� ��"���#�� ������������ � ���������0�������

\$ ����x a x a x

aay

y b2 2 2

12

2 2

sin % ��"���#� �����#�������

& ���"�axy

a

y

2

24���� ' �� ��"��#�����������#����

( ����"�x x x a

a x x a ay b2 2

2

44

44

� log ( )

) ���������� ���"��# * 2 1c z b( ) �������������

! ����"�������� ������#��

:���3

% ����� ����y z ax

a y( )

��

���������������� ������������y z ax

a ydy

( )

dz a dx

z axy

a ydy

& >������?���������������� ����������dp

pdy

y4 2

� ���������

@�� ���������������������������������������������������������������a

ydx

zy

ax

y

a

ydy

2 3

2

42

��

��

�����������#�"���1

20

2

2

3ydx

x dy

y

a

ydy

���

�� �

' ����� ��"��#����"�1

2 2 2 2

yz y a x dy( ( ) )

A�������������/����������� /��������4�����#��� /�� ��"��#����"�/� ��"��#����#�"�4������

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

�������

�������������������������������������������������������

#����� � ����!�������������%� ������������� � ���!�%��������� ����������������� ����� ���������"����������� ����������������� ����� �����������!��!��\$��������� ��������������������!��!���)�������-�� ���������������!��������"��� � ��������������������������� ��������� ������������������ ��������%������������"

� �� �� �� �� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ���������������������������������������������������������������������� �� �� �� �� ����������������������������������������������������

3��&�� ������ ����������� ����������� ���������������� �� ����������� � ����%���������������!��!�������%�������%!����������� ���������������"

%� ��&�'����������������� ����������

���������(����)������)�����)�����

���������

����������

�������� ������������������ �>���������B%���������

B���%��������������������� ����������������� �������������� ����

>����#�������

@�������>�������� �B���%��������������������� ����������������)�\$��-��/�0� ��������������� ����

@�������>�������� �B���%��������������������� ����������������)�\$��-��/��)���-� ��������������� ����

�������������%����� �)�\$��-��/��)���-

�������������%����3�����)�\$��-���>������� ������� �#����� ������������

�������������%����3�����)�\$��-���� �����������)�����-

@�������;������� �����%��������������%���

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �����'�����\$�

3

3

2

2z

xz

x yzy

�/����4��������������� ����������������� ������

2"� ���� ���� ��&�� � � ������\$�

x y

and � ���� �������� ��� �)��� ��-� ���� �)��� ��-

������!���"� � #���\$� � ���� � ���!�� � � �������� �������� ��� ����� ��� ������ ��)���4�1���4��-��/����4���������)��

��4�1������4���-��/����4��"

�������BBC��������� ��

2zx y

������ ��� ��

zx

zy

. ��%����� ����

zx

zy

. ������� ������

B�# B�#�

������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ��� � � � � ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ����������� ������������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

3��&�� ���������������� ������������������������������ ��������������!������������������������!��!������������������ ������%��������������������������%�����"����������������� ����������������� ������������ ����� ���

A A A B B0 1 1 0

1

1 1

1

1

n

n

n

n n

n

n

n

n n

n

nz

x

z

x y

z

y

z

x

z

y

���

���

���

���

...... ......

�4�""""""�4� M N

zx

zy

���

��� �4����/��)���-\$

����������� ������\$���\$�""""""��\$������������������� �������� ��������"�� ������ ������\$���\$� """"""\$��\$����������� ��������� ������������ ���������������� ����������������������������������� �������4��B�6��3�����6���6����3"

������������������� ���������������\$������������� �!����������������!��!�������%��������������������������������������"�������������������� ��������������!��!����!��!�������������������������������������������B���;�����3�������������������������� ���������������� �������������������B���;�����3�������������������������� �������

������%��������������������� ���������������� ������������� ������

� ����� ����A A A F0 1 1

n

n

n

n n

n

nz

x

z

x y

z

yx y ...... ( , ) \$

����� �\$���\$�""""""\$��������������������"

������������ ���� �%��������� �����������������(

)�- 4 52

2

2 2

2

z

x

zx y

z

y �/��� )��-

2

2

2zx

zx y

�/���������1�

)���- )���+�1����+�����4�1��-��/����� )�!-

2

2

2zx

zx y

zy

�+���/���

)!- )1���4����+�2�-��/�2����)2��+�1�- )!�- ��+���4�1��+���/�����

)!��- ����4�����+����/����� )!���- ��4�)�K�-��/�*6���

��# ��������������;������9���

� �����������������)�-\$�)��-�����)���-���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"

� �������� ��������� )�!-\$� )!-� ���� )!�-� ���.����%������� ������ ������� ���������������� ������������� ����"

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

� �����������������)!��-�����)!���-���������%��������������������� ���������������� ���!��������� ����"

� �������� �������� )��-� �� �� ���.����%������� ������ ������� � ��������������� ���!��������� ����"

���������������������\$� ���������������������������� ����!�%�����%�������������������� ����������������� ������������� ����"

��������������������������������������������������

������)�\$��-��/��)���-�������������������� ���������������� ������������� ����" #��� �������)�\$��-���� ����� ���

A A A B B0 1 1 0

1

1 1

1

1

n

n

n

n n

n

n

n

n n

n

nz

x

z

x y

z

y

z

x

z

y

���

���

���

���

...... ......

�4�""""""�4� M N

zx

zy

���

��� �4���

������\$���\$�""""""\$��\$�������������������"

<B����������,��� D>�D!����8�5������������������������������ ������4��B�6��3�����6���6����3��(���>���>����>���5����3�������3��� D>�D!����8>��B��

���E���B��� c ui ii 1

m

��3���3����3���������� D>�D�!����8�

/������ �������������� ��)�\$��-���/�0 ���*������" �)�\$��-�� �/�0 ���*������

�� �)�\$��- c u f c u c f ui ii

m

i i i ii

m

i

m

����

����

1 11

( ) ( ) ( )D, D D, D � cii

m

( )01

�/�0"

c ui ii

m

1

������������������� ��������������)�\$��-��/�0"

<B������ ��� ,��� D>�D!�� �� - �>� �!� 5�� �� ������� �������� ���������� �������4��B�6��3������6���6����3���(�����3���3���������� D>�D!����8����E�3���3���������� D>�D!�����- �>��!>��B������E���B�������E��3���3���������� D>�D!����- �>��!�

/�������������������� �)�\$��-��/ 0" �)�\$��-��/ 0 """)*-

!�������������� �)�\$��-��/ �)���-" �)�\$��-!�/ �)���- """)1-

�� �)�\$��-�)��4�!-�/ �)�\$��-��4��)�\$��-!/ 0�4��)���- )<��%�)*-\$�)1--

/ �)���-"

��4�!�������������� ��)�\$��-��/ �)���-"

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� ��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� �

����� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������\$\$\$\$\$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&���&���&���&���&����������������������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

��� �)�\$��-��/�A A A0 1 10

n

n

n

n n

n

n

z

x

z

x y

z

y ...... """)*-

���������%��������������������� ���������������� ������������� ����\$� �������0"

)*-������������ ��������� )����4����

�����4�""""""�4�����-���/�0

""")1-

����)1-�������!����������M)��+����-)��+����-�""""""�)��+����-N���/�0 """)2-

#�����%������������!�������\$��������������)1-�����)2-������

1

���

���

���

���

n n

DD

DD0 1 2

���

���

���

���

���

���m m mn......

��\$���\$�""""""\$��������������� ������������

����4����

����4�""""""�4����/�0" """)5-

#�����������)5-������������������������ �������� �)1-"�#��������������������������������%�����������������������������A*7����������������� ���������)1-����������%������D���"

#�����������\$���\$�""""""\$����� �������'������������������������������������"

A�3��(��&���3������3���6��

������������""""""����"

��������)2-���� ������� ���*������\$�������������� �)��+�� �-���/�0������������� �)2-����������� �)*-"

)��+�� �-���/�0 �%� ��/�0

dx dy

mdz

i1 0

���4�� ����/�0\$ ���/�0

��4�� ����\$ ��/���

��/� )��4�� �-" )�����%����/� )��--

��/��)��4����-\$���/��)��4����-\$�""""""�\$���/��)��4����-��������������� �)*-"

��/��)��4����-�4��)��4����-�4�""""""�4��)��4����-������������������� �)*-"�>�������������������������������� ��������\$��\$�""""""\$��\$���������������������������%���������������� �����%!����������"

A�3��((��&���3����������3���6��

�������/���������""""""����"�����������\$�������������� �)*-������� ����������/�)��4��-)��4����-�4�""""""�4��)��4����-" )� ���/���-

#�������������������������+�*���������� ���������4��\$��\$�""""""\$��" #�����������%��������������"<��%����/������)2-\$� ��%��\$���M)��+����-

��)��+����-�""""""�)��+����-N���/�0""")6-

��������)6-���� ������� ���2������\$�������������� �)��+�� �-��/�0������������������ �)6-����������� �)*-"

��/ )��4�� �-\$ 2���������������������� �)*-"

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

��/ �)��4����-�4�""""""�4��)��4����- """),-������������� �)*-"

#������������ �)��+����-��/�0������������������� �)6-����������� �)*-"

)��+����-����/ 0 )��+����-)��+����-���/�0 """)9-

��� )��+����-���/ �" """)L- )9- )��+����-��/�0 ��/ �)��4����-\$� �����������������" )9- ��+�����/ �)��4����-

��� ��������������������������� dx dym

dzy m x1 1 1 1

( )

"""):-

):- ���4������/ 0 ��4�����/��

#�&�%����� ������������� �������� �):-\$� ��%��

���/dz

c1( )�� ���/��)�-���

��/ �)�-���4��

��/ ��)��4����-�4��)��4����-""")*0- )�����%���/��)�--

������%�),-�����)*0-\$

��/���)��4����-�4��)��4����-�4��)��4����-�4�""""""�4��)��4����-

������������������ �)*-"

>��������������������������������� ��������\$��\$��\$�""""""\$�������������������������������%���������������� �����%!����������"

����������������� �� �� �������������������� �������������������������������� ���\$�� ����������� ��������������� ��� ������ ���� ��#����� ���� ��#������������� �� ���� ��#��������������������� �������������������� ���

���%����������������� �� ����� ���� ����������������������������������� ������� �������� �������������� ������������������B��� �����B���!�������� ����� �� ����������� ���������������������� �C�� �

5-����� ����1���� ���/�0\$�����0\$��������������)1-��������)���

�����4�""""""�4�����-���/�0

�� �)���������4����

�����4�"""�4��������-��/�0 """)*-

#������������ ����/�0������������������� �)*-"

���/�0 zy�/�0 ��/�)�-\$� ����������������"

>������\$� �������� ������ ��������������� ��������������������������������%������ �����%�������������������/��)�-�4���)�-�4�""""""�4��

����)�-\$� ������\$��\$�""""""\$��������������� ������"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�-

2

2

2 2

2z

x8

zx y

15z

y �/�' )��- ,��-��,��'

)���- )5�%25�5��..55��%25�� ��' )�!- )5��5��%,5�5�� ��')!- )5�5���5�5�� ��'"

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �����)�-�3����!�

2

2

2 2

28 15 0z

x

zx y

z

y "

)���+�L���4�*6��-���/�0 """)*-

E�������%���/���������/�*����������������� �)*-\$�������'�������������� O)*-O����+�L��4�*6�/ 0"

��/ 2\$�6

#���%���������������� �����%!������������������ ������!���� ������!> ������\$���������������� ������"

)��- 3����!�� ��1��4�6��4�1��/�0"

��)1���4�6���4�1��-���/�0 """)*-

#�����'�������������� �)*-���1���4�6��4�1�/�0"

��/�+�*K1\$�+�1

#���%���������������� �����%!������������

z y12

x (y 2x)1 2 ���

��� \$� ������\$���������������� ������"

)���- 3����!� )���+�,����4�**����+�,��-��/�0" """)*-

#�����'�������������� �)*-������+�,���4�**��+�,�/�0"

��/�*\$�1\$�2

#���%���������������� �����%!������������

������ �����!����� ������!����� ������!> ������\$��\$���������������� ������"

)�!- 3����!� )���4����+�1����-��/�0 """)*-

#�����'�������������� �)*-������4�*�+�1���/�0"

)���+�*-�/�0 �� ��/�*\$�*\$�+�*\$�+�*"

#���%���������������� �����%!������������

������ �����!������ �����!����� ��"��!������ ��"��!>

������\$��\$��\$���������������� ������"

)!- 3����!� )�����4�����-��/�0" """)*-

)*- �����)��4��-��/�0#��������� �%�������������������������%�������� �����������)�-�4���)�-"

#�����'�������������� ���)��4��-��/�0�����)��4�*-�/�0

��/�0\$�0\$�+�*

#��������� �%�������������������������%�������� �������)��4��-���)��4�0"�-�4���)��4�0"�-�4�)��4�)+�*-�-"

#���%���������������� �����%!������������

������ �!������ �!����� �!������ �!����� ��"��!>

������\$��\$��\$��\$��������������� ������"

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� �'����������%!�������������������� ��������"�����((� ������/���������/�*����������������� ����������������������������

D���"�#�����������'�������������� �����%!����������"�>��!�������'������������"

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

�����(((� � �� �����������������������������������%������� �����%����������������)��4�� �-"�� �� ���������������������������������������������%����� � � ���� %������� �������� �� �)�� 4�� �-� 4� ��)� � � �-� 4� """"""4������)��4�� �-"

�����(.� � �������� ������ ��������������� ������������������ ��������/��������/�*������������� ������ ���������������������������� �����%�������������� ����������%� ��� ��� �� ��&��� ��� �)�-� 4� ��)�-� 4� """"""4������)�-"

�� �����

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

������� �

2

2

2

2z

x

z

y ���'

\$

2

2

2 2

22

z

x

zx y

z

y

���

��� ���' % B��"�4BB���4B�#�����'

& /7��"�4'����!3����' ' B����/B�B�"�BB��"�/B�#�����'( B��"�0BB����/B�#�����' ) B����B�B�"�3BB�#�����'

* B��"�/B�B#�����' !

3

3

3

2

3

37 6z

x

z

x y

z

y ���'

B��"�0B�B���0BB��"�B�#�����' � B�B�"�0BB����/B�#�����'

\$ B��"�/B�B���/BB��"�B�#�����' % B�B���B�#�����'�

2�34��3

����� ������#���� ��"���# � ����� �����#���� ��"��#

\$ ����� ���� !��� 2 #�#���� ���� !�"� 2 #�# % ����� ����/�#����� ����/�#

& ������ y x x y x���

��� �

�����

45

452 ' ����� �����#���� ��"��#���� ��"�/�#

( ����� �����#����� �����#���� ��"�/�# ) ����� �#���� ����/�#���� ��"�0�#

* ����� �#����� �#���� ����/�# ! ����� �����#���� ����/�#���� ��"�0�#

����� �����#����� �����#������ �����# � ����� �#���� �����#���� ����/�#

\$ ����� ��"��#���� �����#����� �����#������ �����#

% ����� �#����� �#������ �#���� ��"��#�

��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ������ � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������\$\$\$\$\$ � � � � �!!!!!����������"""""������������������������� �!�!�!�!�!����������"""""&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

��� �)�\$��-���/ �)���- """)*-

���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"

�������������%���������������� ��)�\$��-���/�0" �)�\$��-���/�0 """)1-

����!������������������%�����"�"���������������������� ��)�\$��-���/��)���-" �)�\$��-�!�/ �)���- """)2-

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�� \$ �)�\$��-)��4�!-�/ �)�\$��-��4��)�\$��-!�/�0�4��)���-�/��)���-)<��%�)1-�����)2--

��!�������������� ��)�\$��-��/��)���-"�>�����������%���������������� �������������)�\$��-��/�0\$������������������� ���������������������������������"

#�������������!�� ��������������)�\$��-��/��)���-����������������������������� ��������������������� ��)�\$��-��/��)���-"

��!�������%���������������� ��������������)�\$��-��/��)���-"#���%������������������ ��������������)�\$��-��/�0�������������6������������

��6����� A�-�!�� ��������������)�\$��-��/��)���-" <B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����- �>��!��3��5�����

5�����;��B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����8�������������6��������;�������B��� ������� D>�D�!����- �>��!�

� �� �� �� �� ����� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� �����\$\$\$\$\$ � � � � �!!!!!����������"""""��������������������� �!� �!� �!� �!� �!��"��"��"��"��"

��� �)�\$��-��/ �)���- """)*-

���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"

#������E��3������������1

f ( )D, D ��� �����������������)�\$��-����� ����������������

�)�\$��-�1

fx y

( )( , )

D, DF

���

��� �/��)���-

1

f ( )D, D ��)���-�����������������%����� �������������)*-�������

�)�\$��-�1

fx y

( )( , )

D, DF

���

��� �/��)���-�/�="B">"�� �)*-"

1

f(D, D ) �- �>� �!� �3� �������6����� ����;������ �B��� ������� D>�D!�

��- �>��!�

� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� (!&���� (!&���� (!&���� (!&���� (!������"�����������"�����������"�����������"�����������"����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� ��)���-� �� �������� ������� � ������� � ���� �������\$� �����������������

���%����1

f ( )D, D �)�� �-�� ������ ��������������� �)�\$��-��/��)���-�������������

�'�����%� 1f ( )D, D

������� ������������������%��� ����� �������������"�#��

������������%����������������������!������������ ���������������������������"����� ������ ��������������%����������������"�� ���P��\$������������!���������'����

1f ( )D, D

���������%��� ����� ���������������P��\$������ ����������'�����1

f ( )D, D��������%��� ����� ��"

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ���������������������(

)�- �,5�%-55�,5� ��,/��%�- )��- ������ ��������"

�����)�-�3����!�� )1���+�6���4�1��-���/�15)�%�-" """)*-#����"�"�� �)*-���1���+�6��4�1�/�0" ��/ *K1\$�1"

�"�"�/ 1 212

2y x y x���

��� ( )"

�� \$ �"�"�/1

2D 5 2D2 2 DD�15)�%�-

/1

2D1

5242

21

���

���

���

���

D2D

DD2 ( )y x

/24

2D1

52

2

���

���

���

��� D

2DDD2 ...... ( )y x

/12 5

1 02D 2D( ) ( )y x �

����� �/�*1�

x y x2 3

32 630

1���

��� D

( )

/ 6 2 306

6 32 33

2 3x y xx

x y x . "

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

�z y12

x (y 2x) 6x y 3x1 22 3 �

����� \$

�������������������������� ������"

)��- 3����!�� ��4�)���-��4�����/���"

2

2

2 2

2z

xa b

zx y

abz

y ( ) �/���

)���4�)���-����4������-���/��� """)*-

#����"�"�� �)*-�� ���4�)���-���4����/�0"

��/�+��\$�+�� ��"�"�/��)��+���-�4��)��+���-"

�� \$ � �"�"�/�1

2 2D DD D ( )a b�)��-

��������������������������������/�1

12

1

DDD

DD

2

2 ���

���

��

( ) ( )a b xy

/�1

12

2

DDD

DD2

���

���( ) ...... ( )a b xy

��/�1

02D Dxy

a bx �

��

( )( ) �/��

xa b

x3 4

6 24

���

��� ( ) �"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

������� ��"���!����� ��"�5�!���16

x ya b24

x3 4 \$

�������������������������� ������"

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���# B����0BB���/B�#�����/����0� � B��"�/BB���B�#�����!/��

\$ B��"�BB�"�3B�#������� % B��"���B�#�������

& B��"�3BB���9B�#�����!/�����03�� ' B��"�/BB�"�!7B�#����!/���

2�34��3

����� ��"��#���� ��"�/�#�"�76

32

3 2x x y � ����� �����#����� �����#���/��������

\$ ����� ��"�/�#���� ����0�#���16

124

3 4x y x % ����� ������#���� ��"���#���112

4x

& ����� ����0�#����� ����0�#���!'�����3��� ' ����� ��"�0�#���� ����7�#��������/����

� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������ )����*�" )����*�" )����*�" )����*�" )����*�"

<B�������(� D>�D!�5����B���;�����3���6�������D����D����;�����>

�B����B�������6���������;������ D>�D!���� �����5�!��3�;�E���5�

1f(a, b) ��� ��������� � E!�E�E��������E>�4B����E��������5�>����E��� �>�5!��8�

/�����3����!� ��)���4���-�/ �����)���4���-\$

��)���4���-�/ �����)���4���-

��� ����)���4���-�/ ���������)���4���-"

�)�\$��-�)�����-�/ �)���-�����)�����-

)� �)�\$��-���������%������� ������� ���%�����-�!��%�����������������.D�������������)���-\$� ��%��

�)�\$��-� ( )

( , )( )( )ax by

f a bax byn

E���� ������ ������!���������������)�\$��-\$� ����!�

�1

fax by

ax byf a b

n

( )( )

( )( , )

( )

D, D

1 1

fv

f a bn

( )( )

( , )( )

D, D �)!-\$� �����!�/����4���"

=�����%����)!-����)!-\$� ��%��1 1

fv

f a bv dv dv dv

( )( )

( , )...... ( ) ......

D, D �� � \$ �����!�/���

4���"��������%������\$����� ������)!-������������%������������� "�"�"�!\$� ����

�����������%����� ���������%������� �������)�\$��-"

/�(����1

f(D, D )(ax by)

1f(a, b)

. .. .. . (v) dv dv .. .. .. dv

�� � >

4B����E��������5�>����E��� �>�5!���8�

��������� �������������� ��

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

��6���������A�3����� ��)���-�/�0\$����������+�������������� ������ ��)�\$��-����������+����/�0"��������� ��������+����������������������\$� ��������*"�#���!����

1( )b a rD D

�)�����-���%!������x

b r

r

r !�)���4���-"

1

b r !

r

r �� �����5�!�

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�- ),5�%-55�,5��-���/�-)�%�-)��- ���%,���,��� ���

)���- �5�%/5�5�/55�� ��2����0��,�

)�!- �5�%25�5�..55��%25�� ��������

�����)�-�3����!� )1���+�6���4�1���-��/�6)��+��-" """)*-

#����"�"�� �)*-���1���+�6��4�1�/�0"

��/ *K1\$�1

�"�"�/ 1 212

2y x y x���

��� ( )"

�"�"�/1

2D522 5DD 2D

( )y x """)1-

�%�� ����� ��/�+�*\$���/�*"���� �)�\$��-�/ 1���+�6���4�1��" �)���-�/ �)+�*\$�*-�/�1)+�*-��+�6)+�*-)*-�4�1)*-��/�:��0

)1- �"�"�/ 15

f a bv dv dv

( , ) �� \$� ���� !�/���+��

/19

52

59 6

554

2 33. . . ( )

vdv

vy x � �"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

z y12

x (y 2x)554

(y x)1 23 �

����� \$

������\$���������������� ������"

)��- 3����!�� ��4���+�1��/�)1��4��-���"

2

2

2 2

22z

x

zx y

z

y �/�)1��4��-���

)���4����+�1��-���/�)1��4��-��� """)*-

#����"�"�� �)*-��� ���4���+�1�/�0" ��/�+�1\$�* �"�"�/ �)��+�1�-�4��)��4��-"

�"�"�/1

D DD 2D2 2�)1��4��-��� """)1-

1��4���/ ����� ��/�1\$���/�*"

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

����\$ �)�\$��-�/ ���4����+�1��" �)���-�/ �)1\$�*-�/�)1-��4�)1-)*-�+�1)*-��/�5��0"

)1- ����"�"�/� 1 1/2

f a bv dv dv

( , ) �� \$� �����!�/�1��4��

/ 14

23

14

23 5 2

115

3 2 5 2vdv

v/ /

./

� �)1��4��-��"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

������ ��"���!����� �����!���1

15(2x y)5/2 \$�� ������\$���������������� ������"

)���- 3����!� )���+�5����4�5���-���/�,����)2��4�1�-" """)*-

#����"�"�� �)*-�� ���+�5���4�5��/�0"

��/�0\$�1\$�1

�"�"�/ �)��4�0"�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-

/ �)�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-

�"�"�/1

D 4D D 4DD3 2 2 �,����)2��4�1�- """)1-

2��4�1��/ ����� ��/�2\$���/�1"

����\$ �)�\$��-�/ ���+�5����4�5���" �)���-�/ �)2\$�1-�/�)2-��+�5)2-�)1-�4�5)2-)1-��/�2��0"

)1- �"�"�/ 16

f a bv dv dv dv

( , )sin��� \$� �����!�/�2��4�1�

/13

6. cos�� v dv dv �/�1� ( sin )� v dv

/ 1����!�/�1����)2��4�1�-"

����<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

��� �� �!����� ������!������ ������!�����6�3� �������!>

������\$��\$���������������� ������"

)�!- 3����!� )���+�,����4�**����+�,��-���/�e x y5 6 " """)*-

#����"�"�� �)*-������+�,���4�**��+�,�/�0

��/�*\$�1\$�2

�"�"�/ �)��4�*�"��-�4��)��4�1�-�4��)��4�2�-"

�"�"�/1

D 6D D 11DD 6D3 2 2 3 e x y5 6

""")1-

�6��4�,��/ ����� ��/�6\$���/�,"

����\$ �)�\$��-�/ ���+�,����4�**����+�,��

�)���-�/ �)6\$�,-�/�)6-��+�,)6-�),-�4�**)6-),-��+�,),-��/�+�:*��0"

)1- �"�"�/1

f a be dv dv dvv

( , ) ��� \$� �����!�/�6��4�,�

/191

191

191

��� e dv dv e dv ev v v

/ 191

5 6e x y "

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

<��%�@">"�/��"�"�4�"�"\$�����%���������������� �����%!������������

��� �� �����!����� ������!����� ������!� 191

e5x 6y\$

������\$��\$���������������� ������"

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �5�%/5�5�/55� ��/����,���

)��- �5�%&55��%25�� �����������������%�

)���- �5�%/5�5�-55��%,5�� ������������ ���

)�!- �5�%&55��%25�� ��������,� ������"

�����)�-�3����!� )���+�5����4�5����-���/�5����)1��4��-" """)*-

#����"�"�� �)*-������+�5���4�5��/�0"

��/�0\$�1\$�1

�"�"�/ �)��4�0"�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-"

�"�"�/1

D 4D D 4DD3 2 2 �5����)1��4��- """)1-

1��4���/ ����� ��/�1\$���/�*"

����\$ �)�\$��-�/ ���+�5����4�5���" �)���-�/ �)1\$�*-�/�)1-��+�5)1-�)*-�4�5)1-)*-��/�0"

���+�5����4�5����/ �)���+�5���4�5��-�/��)��+�1�-�

)1- �"�"�/1

(D 2D D2

). sin ( )

14 2x y ��)����/�1\$���/�* ��+�1��/�0-

/1

(D 2D 2 �)

sin ( )4 2x y ���Q

�/1

(D 2D 2

).

( cos ( ))4 22

x y

/ +�1�1

(D 2D 2

)cos ( )2x y

/ +�1�"�x2

21 2( ) !����)1��4��-��)� ���+����/�)*-��+�1��/���+�1�-

/ +�������)1��4��-"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

������ �!����� ������!������ ������!�"����6�3� ������!>� ������\$��\$��������������� ������"

)��- 3����!� )���+�9����+�,��-���/����4�����4����4����)��+��-" """)*-

#����"�"�� �)*-����+�9��+�,�/�0"

��/�+�*\$�+�1\$�2

�"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4��)��4�)+�1-�-�4��)��4�2�-"

(@��������������1D

4 2sin ( )x y ����12

4 sin v dv� ������������/�����

��"�/�� ������"�/�� �� /�����#�

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �"�"�/

1

D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4����4����)��+��--

/1

D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4���-�4�1

D 7DD 6D3 3 2 ����)��+��-"

�� \$1

D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4���-

/1

1 7 62

2

3

3

1

2 2 3

DDD

DD3 �

�����

��

( )x xy y

/1

1 7 62

2

3

32 2 3

DDD

DD3 �

�����

�� ...... ( )x xy y

/1 7

2 66

62 2 35 6D D D3 ( ) ( ) ( )x xy y x y

/ x x y x y x x y x5 4 2 3 3 6 5 6

60 24 67

360 2036

720

���

���

���

���

���

���

/572

160

720

124

16

6 5 5 4 2 3 3x x x y x y x y �"

����1

D 7DD 6D3 3 2 ����)��+��-

/1

(D + D D + 2D D 3D ) ( ) ( )����)��+��-

/1

D + D1

D + 2D D 3D .( ) ( )

����)��+��-

)����/�*\$���/�+�* ��4���/�0-

/ 11 2 1 1 3 1D + D

1 ��.

( ( )) ( ( ))cos v dv dv \$� �����!�/���+��

/1

4D + D1

. �)+����!-�/�

14D + D1

�����. cos ( )x y

/14

.1

D D ����)�%�-�/�+�

14

.1

( D D ) ����)�%�- )�������������-

/ +�14 1 11.

( ) !

x

����)�%�- )� ���+����/�)+�*-��+�)*-��/�+���+��-

/14������)�%�-

�"�"�/572

160

720

124

16 4

6 5 5 4 2 3 3x x x y x y x yx

x y cos ( ) "

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

������ ��"��!����� ��"���!����� ������!���572

x1

60x6 5 � 7

20x y5 � 1

24x y4 2 � 1

6x y3 3

x4

cos (x y) \$� ������\$��\$���������������� ������"

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

)���- 3����!� )���+�5����4�6����+�1��-���/��� ���4�)��4��-���" """)*-

#����"�"�� �)*-������+�5���4�6��+�1�/�0"

��/�*\$�*\$�1

�"�"�/��)��4�*�"��-�4���)��4�*�"��-�4��)��4�1�-"

�"�"�/�1

D 4D D 5DD3 2 2

2D 32 1/2( ( ) )e y xy x

/1

(D D D

1

(D D D

) ( ) ) ( )( )2

22

1/2

2D 2De y xy x

�"

�� \$1

(D D D

) ( )22

2Dey x

�/�1

D (D D

2D1

22.

)e x y

)� ��/�1\$���/�* ��+�1��/�0-

/1

D ( 1 ��2D1

2 2.)

e dv dvv \$� �����!�/�1��4��

�12D 1 1

21

12 2

D e

xe xex y x y x y

( ) !"

)� ���+����/�)*-��+�1��/���+�1�-

�����1

2D21/2

( ) ( – )( )

D D D y x �/�

1 12D2

1/2

( ). ( )

D D D x y

)� ��/�*\$���/�* ��+���/�0-

/1

(D D �).

( )21/21

1 2 1v dv\$� �����!�/���4��

/1

(D D1

(D D

).

/.

)( )

//

2

3 2

23 2

3 223

vx y

/ 23 1 2

2

23 2.

( ) !( ) /xx y )� ���+����/�)*-��+�)*-��/���+

�-

/ 13

2 3 2x x y( ) /

�"�"�/ xe x x yx y2 2 3 213

( ) / �"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

������ �����!������ �����!����� ������!���xe13

x (x y)2x y 2 3/2 \$

������\$��\$���������������� ������"

)�!- 3����!� )���+�9�����+�,��-���/����)��4�1�-�4���� �" """)*-

#����"�"�� �)*-������+�9��+�,�/�0"

��/�+�*\$�+�1\$�2 �"�"�/��)��4�)+�*-�-�4��)��4�)+�1-�-�4��)��4�2�-"

�"�"�/1

D 7DD 6D3 3

232(sin ( ) )x y e x y

/�1

(D + D ) D + 2D D D

( )( )sin ( )

32x y ��4�

1(D + D ) D + 2D D D

( )( )33e x y�"

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� \$

1(D + D ) D + 2D D D

( )( )

sin ( )3

2x y

/1

( + 2)1 1 4 1 6( ) ( )sin

��� v dv dv dv\$� �����!�/���4�1�

/ +�1

75175

175

�� �cos sinv dv dv v dv �)+����!-�/�+�175

2cos ( )x y "

����1

(D + D ) D + 2D D D

( )( )33e x y

/13

3

D D1

(D + D ) D + 2D .

( )e x y

)� ��/�2\$���/�* ��+�2��/�0-

/13 3 3 2D D

1( + 1) ��.

( )e dv dvv \$� �����!�/�2��4��

/13 20 1 1 20

31

1

3

D D1

.

( ) !.e

x ex yx y

)� ���+����/�)*-��+�2��/���+�2�-

/120

3xe x y

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

��� �� ��"��!����� ��"���!����� ������!� 175

cos (x 2y)1

20xe3x y \$

������\$��\$���������������� ������"

�� ������

-����B��;�������3�����������B������4��;�������������������� ������3�F B����0BB���/B�#�����/����0� � B����/BB���B�#������������

\$ B��"�/BB���B�#��������� % B��"�4B�B���4BB�#������ �� /����0�#

& �������� ' 4��"�4��������!3�� �� ����/�#

( /��"���"�0����7��&�� ) B��"�7BB���4B�#��������� 4�����#

* B��"�/�BB�����B�#������ ������# ! /B��"�7BB���/B�#�����7����� /�����#

B��"�/B�B�"�BB����/B�#��������� � B��"�4B�B���4BB�#��������� ����/�#

\$ B��"�4B�B���4BB�#������ �� /�����# % B��"�0BB���/B�#�������������������� �� ���/�#�

2�34��3

����� ��"��#���� ��"�/�#���1

2402 3 3( )x y � ����� ��"��#����� ��"��#���

e x y2 3

25

\$ ����� �����#����� �����#��� ex y 2

% ����� �#���� ����/�#����� ����/�#�"�132

2 3sin ( )x y

& ����� �#���� �#�������

' ���� 1 221

212

2 2y x x y x x x y���

��� �

����� log ( )

( ���� 1 232

( )y x y x xex y ���

��� ) ����� �����#���� ����4�#�"�

13

4x x ycos ( )

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

* ����� ������#����� ������#���x

g y ax2

2( )

! z y x y x x x y ���

��� 1 2

12

253

2( ) cos ( )

����� �����#���� �����#���� ����/�#�"�12

������

� ����� �#���� ����/�#����� ����/�#�"�x

x y2

42cos ( )

\$ ����� �#���� ����/�#����� ����/�#���x

x y2

42sin ( )

% ����� �����#���� ����/�#���112

13

22e xe x yx y x y cos ( ) �

��� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� �������������������� � � � � ����� ����� ����� ����� ����� ������ ������ ������ ������ ������ �

��� �)�\$��-��/��)���- """)*-

��� �� ����%������� ������ ������� � �������� �������� � � �������� ��� ��������� ����"

������\$���\$�""""""\$������������������ �������'�������������� �)*-"�B���������� �������������������������"

�"�"�/1

fx y

( )( , )

D, DF

/1

2( )( ) ...... ( )( , )

D D D D D DF

1 m m mx y

n

3�� ���������������������� ��!������%�� 1D D m

g x y( , )�� �����������������

���� ������)���-"

��� ��/�1

D D mg x y( , )

��)��+���-���/�)���- ��+����/�)���-

��%���%����'�����������������dx dy

mdz

g x y1

( , )

""")1-

)1- ���/�dym ���4�����/�0 ��4����/��

)1- ���/�dz

g x y( , )

���/�)�\$���+���-��� ��/ g x a mx dx( , )� 1

D mDg(x, y) g(x, a mx) dx

� """)2-

� �����!��������� ��%������\$������������������������������4���"

�� � ��������������!��������� ���������������%����� �)*-"

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� �"�"�� �)*-�/

1

2( )( ) ...... ( )( , )

D D D D D DF

1 m m mx y

n

/1 1 1

D D D D D DF

1 2 m m mx y

n. ...... ( , )

#����%����������!������������������������������ ����� �������)2-"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �5��,55�5�� ��,����%�����

)��-

2

2

2

2 2 2z

x4

z

y

4x

y

y

x

)���-

2

2

2

2z

x

z

y �/����������%���������

)�!- �5��55%25� ����������� "

�����)�-�3����!� )���4�1���4���-���/�1������+�������" """)*-

#����"�"�� �)*-�� ���4�1��4�*�/�0"

��/ +�*\$�+�* �"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4���)��4�)+�*-�-�/��)��+��-�4���)��+��-"

�"�"�/1

D 2DD D2 2 ( cos sin )2 y x y

/1

(D + D D D )

) (( cos sin )2 y x y

/1

D + D � [ cos ( ) sin ( )]2 a x x a x dx

)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/���4��-

/1

D + D [ sin ( ) { cos ( ) sin ( )}]2 a x x a x a x

/1

D + D [sin ( ) cos ( )]a x x a x �/�

1D + D

[sin cos ]y x y

/ � (sin ( ) cos ( ))a x x a x dx

)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/���4��-�����������������������/�+����)��4��-�4������)��4��-�4����)��4��-�������������������������/������)��4��-�/�������" <��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������������ ��"��!������ ��"��!�����3����>� ������\$������������������������"

)��- 3����!�

2

2

2

2 2 244z

x

z

y

x

y

y

x "

�� )���+�5��-���/�4

2 2x

yyx

""")*-

#����"�"�� �)*-�� ���+�5�/�0"

��/ +�1\$�1

�"�"�/ �)��4�)+�1-�-�4��)��4�1�-�/��)��+�1�-�4��)��4�1�-"

��������� ��������������

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

�"�"�/ 1 42 2 2D 4D2

���

���

xy

yx

�/� 1 42 2(D 2D )(D 2D )

���

���

xy

yx

/1 4

22

2 2D 2D �

������ x

a xa x

xdx

( )

)��+�1��/���+��� ��/�1 ��/���+����/���+�1�-

/1 2 4 2

22

2 2D 2D

���

���� a x a

a xax x

dx( )

/1 2

222

22 2D 2D

���

���� a x

aa x

ax x

dx( )

/1

22

2D 2D

�� log ( ) loga x

aa x

ax

x

/1 2 2

2D 2D

��

��log logy

y xy

y xx

x

/1

22

3D 2D

��

��log logy x

xy

yx

/ �

���

���log ( ) loga x x

xa x

a xx

dx2 22

22

3

)��4�1��/���+��� ��/�+�1" ��/���+����/���4�1�-

/ �

���

���log ( ) loga x x

xa x

ax

dx2 22

25

/ log ( ) . . (log ) . .a x xa x

x dx x xx

x dx

� �222

22

4�� 2

25

xa x

dx a x xlog

/ ����%�)��4�1�-�4�)1��4�-���%���4�2��/�����%���4�����%���4�2�"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

������ ��"���!����� ������!�������;����������;�������>� ������\$��������������� ������"

)���- 3����!� ��

2

2

2

2z

x

z

y �/��������������+�������������"

��)���+���-���/��������������+������������� """)*-

#����"�"�� �)*-�� ���+�*�/�0"

��/ +�*\$�*

� �"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4��)��4�*"�-�/��)��+��-�4��)��4��-"

�"�"�/1

D D2 2 �)�������������+�������������-

/1

(D D )(D D ) �)�������������+�������������-

� ��������� �������������

�����

������������������������������� /

1D D

� [tan tan ( ) tan tan ( )]3 3x a x x a x dx

)��+���/���+��� ��/�*" ��/���+����/���+��-

/1

D D � tan tan ( ) [sec sec ( ) ]x a x x a x dx2 21 1

/1

D D ���� tan ( ) . tan seca x x x dx2

+�� ���tan . tan ( ) sec ( )x a x a x dx2

/1

D D

� �tan ( ) .

tansec ( ) tana x

xa x x dx

22 2

212

� ��tan .

tan ( )sec tan ( )x

a xx a x dx

22 2

212

/1

2(D D

)tan ( ) tan tan tan ( )a x x x a x2 2

�� (sec (sec ( ) ) sec ( ) (sec )2 2 2 21 1x a x a x x dx

/1

2(D D

)tan ( ) tan tan tan ( )a x x x a x2 2

�� (sec ( ) sec )2 2a x x dx

/1

2(D D )�M�������������4��������������4�������4������N

/1

2(D D )�M������������4������������N

/12 � M����)���-�������4�����������)��4��-N���

)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/����-

/�12

2 2tan ( ) tan sec ( ) tan tan sec ( )a x x a x x dx x a x dx � �

� � �/

12������������"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

����� ��"��!���� �����!���12

������������>� ������\$���������������� ������"

)�!- 3����!� )���4����+�,��-���/�������)��4��-" """)*-

#����"�"�� �)*-������4���+�,�/�0"

��/ +�2\$�1

�"�"�/ �)��4�)+�2-�-�4��)��4�1�-�/��)��+�2�-�4��)��4�1�-"

�"�"�/1

D DD 6D2 2 �������)��4��-

/1

(D + 3D ) D 2D ) (�������)��4��-

��������� �������������� �

�����

�����������������������������������

������������ ���� ����� ���

/1

D + 3D � x x a x dx2 2sin ( )

)��+�1��/���+��� ��/�1" ��/���+����/���+�1�-

/1

D + 3D� x a x dx2 sin ( )

/1

D + 3D ��� ����x a x x a x dx2 2cos ( ) cos ( )

/1

D + 3D ��� ����x a x x a x a x dx2 2 2cos ( ) ( sin ( ) sin ( ) )

/1

D + 3D x a x x a x a x2 2 2cos ( ) sin ( ) cos ( )

/1

D + 3D ( ) cos ( ) sin ( )x x y x x x y x2 2 2 2 2

/1

D + 3D ( ) cos ( ) sin ( )x x y x x y2 2 2

/ [( ) cos ( ) sin ( )]x x a x x x a x dx2 2 3 2 3 �)��4�2��/���+��� ��/�+�2" ��/���+����/���4�2�-

/ [( ) cos ( ) sin ( )]x x a x x a dx2 2 4 2 4 �/ )���+�1-�

sin ( ).sin ( )

sin ( )44

244

2 4x a

xx a

dx x x a dx � �

/14

2 432

42( ) sin ( ) sin ( )x x a x x a dx �/

14

2 432

44

144

2( ) sin ( )cos ( )

.cos ( )

x x a xx a x a

dx �

�� �

/14

2 438

4332

42( ) sin ( ) cos ( ) sin ( )x x a x x a x a

/x

x y x x x y x2

41332

4 338

4 3���

��� sin ( ) cos ( )

/x

x y x x y2

41332

38

���

��� sin ( ) cos ( )"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

��� �� ��"���!����� ������!���x4

1332

sin (x y)38

x cos (x y)2

���

��� >

������\$���������������� ������"

�� ������

-����B��;�������3�����������B������4��;�������������������� ������3�F ������"�3������� ��� � B����BB�"�3B�#������������

\$ ��"���"�/���� /��������"���#��������"�� ���� % B��"�BB�"�/B�#����� ��"�!#���

& B��"�0BB��"�/B�#������ �� ����/�#�"���� 0���/�#

' B����/B�B�"�BB��"�/B�#����� ����/#����

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

2�34��3

����� ����/�#���� ��"�0�#�"���� ����������� � ����� ����/�#���� ��"�0�#�"���������"�� ���

\$ ����� ����/�#���� ��"��#��������� % ����� ����/�#���� ��"��#������

& ����� ��"��#����� ��"��#���� ����/�#���127

����� ����/�#������

' ����� �����#���� ��"��#���� ��"�/�#�������

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

�������������������������������������������������������

��������������������\$� ����!����������!�%��������������� ���������������� ������������� ����"���������������� �� ���������%���������������� �������������������� ��������������� ���������������!��!����!��!����������������� �������"���������� ����\$� �����!������������%��������������������� ���������������� ������������� ����"����������������������\$� ��������������������������� � ���%%���������������� ��������������� ����������������� ���������������%������"

*� ���#��&�'����������������� ����������

���������(����)������)�����)�����

���������

����������

���.����%��������������������� ������������������ �������������� ����

=������������������������.����%��������������������� ���������������� ��������������� ����

@�������>������� � �=����������.����%��������������������� ����������������)�\$��-��/�0� ��������������� ����

@�������>�������� ��������������.����%��������������������� ����������������)�\$��-��/�0� ��������������� ����

@�������>�������� ����.����%��������������������� ��������������� ��������������� ����

������������%����� ��)�\$��-��/��)���-

�������������%����3�����)���-���>������� ������� �#������ ������������

�������������%����3�����)���-���� ����������������

�������������%����3�����)���-���� �������������)�����-�������)�����-

�������������%����3�����)���-���� �����������������G)���-

�� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� �

���������� ������������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

���������������� ���������������� ������������� �������������������B���;�����3��������������������������� �������4��B�6��3�����6���6����3 ������������� �����������!��!��������%����������������������������"

�����'�����\$����� ���� �%��������� ����������������������������.����%�������������������� ����������������� ������������� ����(

)�-

zx

z

ye x y

2

22 3

)��- )1���4����+�2�-��/�2����)2��+�1�-

)���- )��+�1��4�6-)���4���4�2-��/�e x y3 4 ����)��+�1�-

������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+������������ ������ ������ ������ ������ ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������&���&���&���&���&����������������������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

�����)�\$��-���/��)���-���������.����%��������������������� ��������������� ������������� ����"�#����������������������6�5��� ��)�\$��-������������!������ ����������� � ������ ����� ������%�������������"

�����'�����\$� )���+����4�2��+�2�-��/������ ���������������.����%��������������������� ���������������� ������������� ���������������+����4�2��+2��/�)��+��-�)��4���4�2-"������.����%��������������������� ��������������� ������������� ������������������6�5��� ����������������"������'������)1��

+����4��-���/����+��������������������.����%������������������������ ��������������� ������������� ������������)1���+����4��-���������������!������������ ���������������"

��� �������� �������� �������� �������� ������������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������\$\$\$\$\$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

��� �)�\$��-���/�)����4�����4���-�""""""�)����4�����4���-���/�0 """)*-

��� �� �����������.����%������� ������������� � �������� �������� ��� ��������� ����"

#��� ��������������� ������� �)*-������������������������"

A�3��(��-�6���3������3���6�

��������)*-���� ������� ���*������\$�������������� �)� ��4�� ��4�� -���/�0������������� �)*-"

)� ��4�� ��4�� -���/ 0 � ��4�� ��/�+�� �

dxa

dyb

dzc zi i i

""")1-

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

)1- � ���+�� ���/ 0 �� � ���+�� ��/�

����\$ )1- � dzz

ca

dxi

i ��%���/�+�

ca

xi

i log

��/ e c x ai i / �� ��/�e a y b xc x ai i i

i i / ( ) )�����%��/� )--#��������������� ����� ��0"� �� ��0\$�����������&�%���������������� �������� �)1-\$� �������� �����

��/�e a y b xc y bi i i

i i / ( ) �������������� �)*-"

��/�e a y b xc x a 1 11 1 1

/ ( ) \$ ��/�e a y b xc x a 2 22 2 2

/ ( ) \$�""""""\$

��/�e a y b xc x an n n

n n / ( ) ��������������� �)*-"

����e (a y b x)c x/a1 1 1

1 1 ���e a y b xc x a2 2 2

2 2 / ( ) ���������

��e a y b xc x an n n

n n / ( )

������������������ �)*-"�>��������������������������������� ��������\$��\$�""""""\$�\$����������������������������%���������������� �����%!����������"�B���� ����!����������������\$���\$�""""""\$���������������.D������������"

A�3��((��-�6���3����������3���6�

�������� ����� �� ����������������������������������"�����������\$������������

� �)*-������� ��������� z e a y b x e a y b xc x a c x an n n

n n 1 11 2 1 1

/ /( )( ) ...... ( ) "

#�������������������������+�*���������� ��������\$��\$��\$�""""""\$��"

#�����������%��������������"

)*- )����4�����4���-��)����4�����4���-��""""""�)����4�����4���-���/�0

""")2-

��������)2-���� ������� ���2������\$�������������� �)� ��4�� ��4�� -���/�0������������������ �)2-����������� �)*-"

��/�e a y b xc x ai i i

i i / ( ) \$�2�������������������� �)*-\$����!����� ��0\$�2������"

z e a y b x e a y b xc x a c x an n n

n n 3 33 3 3

/ /( ) ...... ( ) """)5-

������������� �)*-"

#������������ �)����4�����4���-����/�0������������������� �)2-����������� �)*-"

)����4�����4���-����/�0 )����4�����4���-)����4�����4���-���/�0���""")6-

��� )����4�����4���-���/�� """),-

)6- �)����4�����4���-���/�0

��/�e a y b xc x a 1 11 1 1

/ ( )

�����������������"�3������������%����������0"

),- ����4�����4�����/�e a y b xc x a 1 11 1 1

/ ( )

����4�����/�e a y b xc x a 1 11 1 1

/ ( ) �+����

�dxa

dyb

dz

e a y b x c zc x a1 1 1 1 1 1

1 1

/ ( )""")9-

)9- �����+������/�0 ����+�����/��

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#�&�%����� ������������� �������� �)9-\$� ��%��

dzdx a

e a y b x c zc x a 1

11 1 1 1

1 1( ( ) )/

dzdx

ca

za

e a y b xc x a 1

1 11 1 1

11 1/ ( ) """)L-

#��������������������"

��"�"�/�e eca

dxc x a

1

1 1 1�

/

>�������� ��)L-��

�R� ea

e a y b x e dxc x a c x a c x a1 1 1 1 1 11

11 1 1

/ / /( ) . �

/�1

11

1

1ac dx

x ca

d � ( )( )

zexa

a y b x dc x a1 1

11 1 1

/ ( )

ze x a y b x a y b xc x a1 11 1 1 2 1 1

/ ( ) ( )

Taking and 11

1 21

���

���a

d c( )

��/�e c x a 1 1/ �)���)����+����-�4��)����+����--���"""):-������%�)5-�����):-\$

����e– c x/a1 1 ���� ����"�5��!����� ����"�5��!!

��e (a y b x) .. . . . . e (a y b x)c x /a3 3 3

c x /an n n

3 3 n n �

>��������������������������������� ��������\$��\$�""""""\$��\$���������������������������%���������������� �����%!����������"

������������������ ����������������������������������������������� ����� ����������� �

������������� ��� �����e a y b x x a y b xc x a 1 11 1 1 2 1 1

/ ( ( ) ( ) ������������� ��� ����"����##��������������������� �������������������� ���

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� 6��������5�5 �����������������������������5���5"�����((� 4��������������������7���������������5��5��� ���������

8"("��e ay bxcx a / ( ) ����'��e ay bxcy b / ( ) ���'"

�����(((� 4��������������������������������5��5�������������������8"("��

�e x (ay bx)cx/a i 1

i 1

r

i

\$�������'����e y y (ay bx)cy/b i 1

i 1

r

i

\$�������'"

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

�������������

����������� �����������������������������������������������������������

)�- ������' )��- 55�5%,5%0 ��'

)���- �55��5��5��� ��' )�!- ��,����,��,����'"�����)�-�3����!� ������/�0" )���4����4��-���/�0 )0"��4�*"��4�0-)��4���4�*-���/�0�""")*- #���%���������������� �)*-��

��/ �������)0��+�*"�-�4����������)*"��+�*"�-

�� ��� �� "��!��������� ��"��!>

�������������������������� ������"�������� "��#������� �������� �� ��������������� ��������������� �#�� ��� �����������

����� ���)��- 3����!� ��)��+�1��+�2-���/�0" """)*- )*"��4�0"��4�0-)0"��4�*"��4�0-)��+�1��+�2-��/�0 #���%���������������� �)*-��

��/ ��������)*"��+�0"�-�4���������)0"��+�*"�-�4��

������)*"��41"�-�� ��� �� �!����� "��!��������� ������!\$ ������\$��\$���������������� ������"

)���- 3����!�� )���4����4����4���-���/�0" )��4��-)��4��-���/�0 )*"��4�0"��4��-)0"��4�*"��4��-��/�0

""")*- #���%���������������� �)*-��

��/ �������)*"��+�0"�-�4���������)0"��+�*"�-

�� ��� ������� �!����� ���� "��!> �������������������������� ������"

)�!- 3����!�� ��4�1��4���4�1��4�1��4���/�0 """)*-

)���4�1���4����4�1��4�1��4�*-���/�0 M)��4��-��4�1)��4��-�4�*N���/�0 )��4���4�*-����/�0 #���%���������������� �)*-��

��/ ��������)�)*"��+�*"�-�4����)*"��+�*"�--

�� ��� ���� �� ��"��!������� ��"��!!>

������\$���������������� ������"

��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+�������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������\$\$\$\$\$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������

��� �)�\$��-���/ 0 """)*-

������������������.����%��������������������� ���������������� ������������ ����"

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��� ��/ �������"

��������/ �����)�������-�/������������������������

�)�\$��-���/ �)���-��������

��/���������������������� �)*-� ��)���-�/�0�����������������������������"����)� �� �������� �� �������������������� ��%��)� �� -�/�0"

z c eia x b yi i �������������� �)*-� ��������"

#���%���������������� �)*-���z c ei 1

ia x b yi i

\$�4B���� ��>�5�!���8�

�������� �������� ���������������������������������������� �� !#��������������� �\$�� ��������������������������� ������������� ��������

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� 6����������!���������������������5�5 �5�5 ��'��������5�5 ����������������������������������������5���5����5�5 �������������"

�����((� 9�������������������5�5 ��'���������������������������"

�����(((� 9������������������5�5 ��'���������������������������"

�����(.� 3������ ������ ��������� �� �� ��� ������ �������� �� ��� �!����������"

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�- �5��5�5 ��' )��- �,5�%05�5�5� ��'

)���- �5�,5%0 �5��5 ��' )�!- �5�05 ��5��-5�5 ��'"

�����)�-�3����!� )���4���4��-���/�0" """)*-

���4���4�������������

��� ��/����������������������� �)*-"

������)���4���4��-���������/�0

���4���4���/�0 ��/�+�)���4��-

��/�ceax a a y ( )2\$� ����������������������������������"

��#���%���������������� �)*-�����/� c eia x (a a )y

i 1

i i2

i

\$� ������ ������ ����

�����������������"

)��- 3����!� )1���+�2����4���-���/�0" """)*-

��)1���+��-)���+��-���/�0

#��� �����1���+�������������"

������/����������������������� �)1���+��-���/�0"

)1���+��-����������/ 0 1���+���/�0 �� ��/�1��

��/ ceax a y 2 2

��������� ��������������

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

�����������%� ��� 1��� +� �\$� ���� ����� � � %������� �������� � � )*-� �

c eia x a y

i

i i

2

1

2

"

#��� ��������+������������������"

������/�c ea x b y ��������������� �)���+��-���/�0"

�)���+��-�c ea x b y �/�0 ���+���/�0 �� ��/���

��/� c ea x a y 2

�����������%�������+��\$����������� �%���������������� �)*-��� c eia x a y

i

i i

2

1

#���%���������������� �)*-�� z c e c eia x 2a y

i 1i

a x a y

i 1

i i2

i i2

\$� ����

� �� �� \$�� ����������������������")���- 3����!� )��4�1��+�2-)���4��-���/�0" """)*-#��� �������4�1��+�2��������" �����������%������4�1��+�2\$����������� �%���������������� �)*-��

e x ( ) /3 1 �)*"��+�1"�-��"�"�����)��+�1�-"

�#��� ��������4�������������"������/����������������������� �)���4��-���/�0" )���4��-����������/�0" ���4���/�0 �� ��/�+���

��/� ceax a y 2

�����������%�������4��\$����������� �%���������������� �)*-��� c eia x a y

i

i i

2

1

"

#���%���������������� �)*-������������� ��"���!��� c eia x a y

i 1

i i2

\$� ��������

��������� ����������� ��� ����������������������"

)�!- 3����!� )��4�2�-��)���4�6��4��-���/�0" """)*-

#��� �����)2��4��-������������������" �����������%����)2��4��-�\$����������� �%���������������� �)*-��

�������)�)2"��+�*"�-�4���)2"��+�*"�--\$ �"�"� �)2��+��-�4���)2��+��-"

#��� ��������4�6��4�������������"������/����������������������� �)���4�6��4��-���/�0" ��)���4�6��4��-���������/�0

���4�6��4���/�0 �� ��/�+�)���4�6�-

��/� ceax a a y ( )2 5

�����������%� ��� ��� 4� 6�� 4� �\$� ���� ����� � � %������� �������� � � )*-� �

c eia x a a y

i

i i i

( )2 5

1

"�160

� ��������� �������������

�����

������������������������������� #��� %������� �������� � � )*-� �� �� �� �� ��� "� �!� �� �� �� ��� "� �!

�� c eia x (a 5a )y

i 1

i i2

i

\$� ������\$��� ������������� ������������ � � � ������������

��������"

�� �����

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

B���B�"�!# B���/B�"�/#����' � B���!# B���B�"�!#����'

\$ B��"�BB�"�/B#����' % B��"�B����B�"�B#����'

& B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#�����' ' B��"�BB���B�"�!#����'

( ������"���"�����' ) B��"�BB�"�/B����/B���/B#����'

*

2

2

2 2

26 0z

x

zx y

z

y ! B�"�0B�"�/#������'

B�"�B�#�����' � /B��"�B����B#�����'

\$ B����BB���B���B���!#�����' % B�"�/B�"�!# B�"�/B��"�!#����'

& /B�"�0B���7#�� B����0B#�����'�

2�34��3

������� ��"��#������� ��"�/�# � ������� �#������ ��"��#

� ������� ��"��#������� ��"�/�#

\$ ����� �#������� �����# % ����� �����#������� ��"��#

& ������� �����#������� �����# ' ������� �#������� �����#

( ������� �#������� "��# ) ����� ��"��#�������� ����/�#

* ����� ����/�#���� ��"�0�# ! �������� � ����0�#����� ����0�##

���� c eib x b y

i

i i2

1

�i

ia x b yc e i i

1

��������/����"���

���������'

\$ ���� c eia x b y

i

i i

1

� �����������������������������!���'

% ������� ����/�#��� c eib x b y

i

i i( )1 2

1

2

& ����������� � /����0�#����� /����0�##��� c eia x a y

i

i i

2 3

1

/ �

��� �������� �������� �������� �������� �����������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� ������ � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� �� �� �� �� ������������������������������������������

��� �)�\$��-���/��)���- """)*-

��������.����%��������������������� ���������������� ������������� ����"

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

��� ���������%���������������� ��)�\$��-���/�0"

�)�\$��-���/ 0 """)1-

����!������������������%����� ��)�\$��-���/��)���-"

�)�\$��-�!�/ �)���- """)2-

�� �)�\$��-�)��4�!-�/ �)�\$��-���4��)�\$��-�!�/�0�4��)���-�/��)���-"

��!�������������� ��)�\$��-���/��)���-"�>�����������%���������������� �������������)�\$��-���/�0\$���������������4�!�� ��������������)�\$��-���/��)���-������%���������������� ��������������)�\$��-���/��)���-"

#���%������������������ ��������������)�\$��-���/�0�������������6��������������6����� A�-�!�� ��������������)�\$��-���/��)���-"

<B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!�����- �>��!��3��5�����5�����;��B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����8�������������6��������;�������B��� ������� D>�D�!����- �>��!�

� �� �� �� �� ����� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� �����\$\$\$\$\$ � � � � �!!!!!�����������"""""����������������� �!�� �!�� �!�� �!�� �!��"��"��"��"��"

��� �)�\$��-���/��)���- """)*-

��������.����%��������������������� ���������������� ������������� ����"

>��\$� �)�\$��-�1

fx y

( )( , )

D, DF

��

�� � /��)�� �-\$� ���� ������

1f

x y( )

( , )D, D

F

� �� �

������������%����� ��������������)�\$��-���/��)���-"

� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �����!!!!!����������"��������������+"��������������+"��������������+"��������������+"��������������+���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� ��)���-����������� ������� ������������ ����� �������\$����������������������%���

1f

x y( )

( , )D, D

F

�� ������ �����������������)�\$��-���/��)���-���������������'�����%

1f ( )D, D

������� ������������������%��� ����� �������������"�#�����������

���%����������������������!������������ ��������������������������"��������� ������ ��������������%����������������"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�- �5�%5%. ����� )��- �5�%5�%05�05 ����"

�����)�-�3����!� )���+���+�*-���/����" """)*-

���+���+�*�����������"

�"�"�/ c eia x b y

i

i i

1

\$� ������ ��+�� �+�*�/�0 �� � �/��

��+�*

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �"�"�/ c ei

a x a y

i

i i

( )2 1

1"

�"�"�/1

1

12 2

D D 1+ (D D2 2

x y x y

)/ +�)*�4�)��+���--������

/ +�)*�+�)��+���-�4�)��+���-��+�""""""-����

/ +�)*�+���4����+�1����4�""""""-����

/ +�)����+����4�1��+�5�4�0�4�""""""-�/�+�����4����+�1��4�L"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �)*-��

z c eia x (a 1)y

i 1

i i2

� x y x 2y 82 2 \$� ������ ������ �������������

��������"

)��- 3����!� )���+����+�2��4�2�-���/���" """)*-

�������+����+�2��4�2��/�)��+��-�)��4���+�2-�/�)*"��+�*"��4�0-)*"��4�*"��+�2- �"�"�/ ��������)*"��4�*"�-�4��

�����������)*"��+�*"�-�/��)��4��-�4�����)��+��-"

�"�"�/1

(D D (D + D 3 ) )xy

/1 1

31

1 1

D1

DD

D3

D3

���

���

���

���

���

���

. xy

/ +�1

12

3D1

DD

D3

D3

D3

D3

�����

���

���

���

���

...... ...... xy

/ +�1

13D

1DD

D3

D3

2DD9

���

��� ���

���...... ...... xy

/ +�1

13D

D3

D3

2DD9

DD

D3

���

���...... xy

/ +�1

3 329 2 3

02

3Dxy

y x x x ���

���......

/ +�1

2 3 629 6 6

2 2 3 2

3x y xy x x x x

���

���

/ +�1

2 3 3 629

2 2 3

3x y xy x x

x ���

��� �"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �)*-����� �� �����!�������� ��"��!

���

���

13

x y2

xy3

x3

x6

29

x2 2 3

\$

������\$���������������� ������"

2��������E�����B��������;�/�(�

�"�"�/1

(D D )(D D 3) xy

��������� �������������� ��

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

/ +� 13(D D )

1D D

3

1

�����

xy

/ +� 13(D D )

1D D

3D D

3...

2

�����

���

��� xy

/ +� 13(D D )

1D3

D3

2DD9

...

���

��� xy

/ +� 1

3D 1DD

���

���

���

���xy

y x3 3

29

/ +� 13D

1DD

���

��� �

�����

1

3 329

xyy x

/ +� 13D

1DD

D

D...

2

2

���

��� ���

���xy

y x3 3

29

/ +�1

3D1D

xyy x

x ���

���

���

���3 3

29

13

0 ...

/ +� 13D

1

3D2xy

y xx �

����� �

�����3 3

29

13

/ +� 13 2 3 6

29

13 6 6

2 2 3 2x y xy x x x x ���

���

���

���

/ +� 13 2 3 3 6

29

2 2 3x y xy x xx

���

��� "

������� ���� �������� ������������� ������ ����� � ���� ������������������������������� ������

�� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ��#

��"���������! � B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#������

\$ ������"����������� % B��"�BB�"�/B����/B���/B#�������

& B��"�B����B���0B�"�/#�������� ' B B���B�"�!# B���0B�"�/#��������"�4�����/���

2�34��3

����� �#������� �����#���� � �������� �����#�������� �����#���x2

34

\$ �������� �#������� �#�"����"���������!

% ����� ��"��#��������� ����/�#���x y xy x x x2 3 2

4 4 1238 2

& ���������� �����#������� ��"��#�"�12

32

32

3214

2 2x y xy x y x ���

���

' ����� �#������� �����#�������� ��"�0�#���112

2 12 12 21 24 33 2 2 2( )x x y xy x xy x �

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� � �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������

,,,,,���������������

<B������� (� D>� D�!� 5�� �� ��6����� �� D� ��� D�>� �B��1

f(D, D )e

1f(a, b)

eax by ax by

����E��� �>�5!���8�

/�����3����!��Dr ax by r ax bye a e

���Ds ax by s ax bye b e

��� �� D Dr s ax by r s ax bye a b e "

� �)�\$��-�eax by �/��)���-�eax by

�!��%���������������)�\$��-\$� ��%����)�\$��-�ef a b

eax by

ax by

( , )

E�� �� ����� � � ���� �!����� ���������1

f ( )D, D\$� �� ��!�

1f

eef a b

ax byax by

( ) ( , )D, D

�"

��������%����� ������������� ������� ������������������� �� �������#� ����������

���������%������ ��1 1

fe

f a beax by ax by

(D ) ( , ), D ��������������� ���������� ����#�

'��%�������������� ����#���'���������������������������������

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �55��5��5��� ������� )��- �5��5�/ ������"

�����)�-�3����!� )���4����4����4���-��/�emx ny " """)*-

����4����4����4����/�)��4��-)��4��-�/�)*"��4�0"��4��-)0"��4�*"��4��- �"�"�/���������)*"��+�0"�-�4��

��������)0"��+�*"�-�/��������)�-�4��

������)+��-"

�"�"�/�1

DD D D

a b abemx ny """)1-

�����/��\$���/�� ���4����4����4����/����4����4�������������/�)���-)���-��0 )������%����+��\$����+��-

)1- �� �"�"�/�1

( )( )m b n aemx ny

<��%�����@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �)*-��

��� ������� �!����� ���� "��!���e

(m b)(n a)

mx ny

>

�������������������������� ������"

)��- 3����!� )���4���4�5-���/�����" """)*-

���4���4�5�����������"

��������� �������������� ��

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

�"�"�/ c eia x b y

i

i i

1

\$� ������ ��4�� �4�5�/�0

/� c eia x a y

i

i i

( )2 4

1

"

�"�"�/1

44

D + D2 e x y """)1-

��/ 5\$���/�+�* ���4���4�5�/�)5-��4�)+�*-�45�/�*:��0

)1- �"�"�/119

4e x y

<��%� @">"� /� �"�"� 4� �"�"\$� ���� %������� � �������� � � )*-� �

z ci 1

ia x (a 4)yi i

2

1

19e4x y \$� ������ ������ ����������������������"

�� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

B��"�BB�"�/B#�����e x y2 � B��"�B����B�"�B#���� e x y2 3

\$ B��"�4BB���B�"�!#�����e x y3 2 % B��"�BB�"�/B����/B���/B#�����e x y2 3

& B��"�B����B���0B�"�/#����ex y ' B��"�0BB���B���!#�����e x y2 3 �

2�34��3

z y e y x ex x y 12

221

2( ) ( ) � z y x e y x ex x y 1 2

2 316

( ) ( )

\$ z c e eia x b y

i

x yi i

1

3 2135

������������"�4����������"�!���'

% z y x e y x ex x y 12

22 32

110

( ) ( )

& z e y x e y x ex x x y 21 2

14

( ) ( )

' z ce ea x b y

i

x yi i

1

2 317

������������"�0������������!���'�

� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"��������������������01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"

��������%!����������� ������������������

�)�\$��-���/ �)���-\$� ������)���-�/����)���4���-�)������)���4���--"

�"�"�/1

f ( )D, D ����)���4���-�)������)���4���--

#��������!����������������%����/�+��\$ ���/�+������ ���/�+��\$����!������������������������D���"

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �5�5 �5�5%, ��������,�

)��- �5�%55%,5���,5�,5 �������������,��� "

�����)�-�3����!� )��4��-)��4���+�1-���/����)��4�1�-" """)*-

)*�"���4�*�"���4�0-)*�"���4�*�"���+�1-��/����)��4�1�- �"�"�/ ���������)*"��+�*"�-�4��

������������)*"��+�*"�-

�"�"�/ �)�%�-�4������)�%�-"

�"�"�/1

(D D )(D D 2) ����)��4�1�- """)1-

B��� ��/ *\$���/�1

���/ +����/�+�)*-��/�+�*\$ ���/�+����/�+�)*-)1-�/�+�1\$

���/ +����/�+�)1-��/�+�5"

)1- �"�"�/1

(D D ) 2(D D )2 ����)��4�1�-

/1

D D 2DD 2D 2D2 2 ����)��1�-

/1

1 4 2( 2) 2D 2D ����)��4�1�-

/ +�1

2D 2D 9 ����)��4�1�-

/ +�2D 2D 9

(2D 2D ) 812

����)��4�1�-

2D 2D 9

4 8 4 8122D DD D2 sin ( )x y

2D 2D 9

4 1 8 1 2 4 4 812

(– () )( ) (– )sin ( )x y

2D 2D 9117

2sin ( )x y

1117

�M1����)��4�1�-�4�5����)��4�1�-�+�:����)��4�1�-N

1117

�M,����)��4�1�-�+�:����)��4�1�-N

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �)*-��

������ ��"��!��������� ��"��!�+�1

117�G��6�3� ������!�"�#�3��� ������!H>

�������������������������� ������")��- �3����!� )���+����+�1���4�1��4�1�-���/���� ���4����)1��4��-" """)*-���+����+�1���4�1��4�1�/�)��4��-)��+�1�-�4�1)��4��-

�/�)��4��-)��+�1��4�1-�/�)*"��4�*"��4�0-)*"��+�1��4�1- �"�"�/ ���������)*"��+�*"�-�4��

��������)*"��+�)+�1-�-

��������� �������������� ��

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

����������������������������"�"�/��)��+��-�4�������)��4�1�-"

�"�"�/1

22 3

D DD 2D 2D 2D2 2 ( sin ( ))e x yx y

/1 2 3

D DD 2D 2D 2D2 2 e x y

4�1

2D DD 2D 2D 2D2 2

sin ( )x y

/1

2 2 3 2 3 2 2 2 32 22 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e x y

4�1

4 2 1 2 1 2D 2D2

( ) ( ) (– )sin ( )

x y

/ +�110

122 3e x yx y

2D 2Dsin ( )

/ +�110

22 32e x yx y

D D

2(D D2 )sin ( )

/ +�110

22 3e x yx y

D D2( 4 + 1)

sin ( )

/ +� 110

16

2 2 22 3e x y x yx y ( cos ( ) cos ( ))

/ +�110

16

22 3e x yx y cos ( )"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �)*-��

��� �� ��"��!���������� ������!�"�1

10e

16

cos (2x y)2x 3y >

������\$���������������� ������"

�� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

B��"�BB���B�"�!#����� �� ����/�# � B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#��������� /����0�#

\$ B��"�BB�"�/B#��������� 0����4�# % /BB���B��"�0B#�����0�� �� 0��"�/�#

& B�"�B�#����� �� ��"�0�# ' B����B# B�"�B�"�B�#��������� /�����#�

2�34��3

�������� �#������� �����#���12

2sin ( )x y

� �������� �����#�������� �����#���110

2 3 3 2 3[sin ( ) cos ( )]x y x y

\$ ����� �#�������� �����#���115

3 4 2 3 4[sin ( ) cos ( )]x y x y

% ����� �#���������� /��"��#���350

4 3 2 3 3 2[ cos ( ) sin ( )]x y x y

& ���� c e x y x yib x b y

i

i i2

1

182

3 9 3

[sin ( ) cos ( )]

' ���� c e k e x y x yia x a y

ii

b b x b y

i

i i i i i

2 2

1 1

134

2 3 2( ) [5 sin ( ) cos ( )]�

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� � �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������

,,,,,����������������# �# �# �# �# �!���!���!���!���!��"""""

����������%!������������� ������������������

�)�\$��-���/ �)���-\$� ������)���-�/��������G)���-"

�"�"�/1

f ( )D, D��������G)���-

#������!��������������%����� �������(

1f(D, D )

e V(x, y) e1

f(D a, D b)V(x, y)ax by ax by

"

������� ���� ����#�������������� � ����#���'�� ������������ ��������1

feax by

( )D D,

���

1f a b

eax by

( ),

������������\$� �� ���

1 11

fe

feax by ax by

( ) ( )( . )

D D D D, ,

� e

f a bax by 1

1( )

.D + D +,

"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �5�%/55�/5��5%,5 ������

)��- �5�5%. �5�5%0 �5�5 ����������,��� "

�����)�-�3����!� )���+�5���4�5���4���+�1�-���/�����" """)*-

���+�5���4�5���4���+�1��/�)��+�1�-��4�)��+�1�-

/ )��+�1�-)��+�1��4�*-�/�)*"��+�1��4�0-)*"��+�1��4�*-

�"�"�/ ��������)*"��+�)+�1-�-�4����������)*"��+�)+�1-�-

/ �)��4�1�-�4������)��4�1�-"

�"�"�/1

2D( ) ( )D D 2D 1 ex y

""")1-

B��� ��/�*\$���/�*"

������/�*\$���/�*����+�1��/�*�+�1)*-�/�+�*��0�������+�1��4�*�/�*�+�1)*-�4�*�/�0

���"�"�/�1

D 2D 11

D 2D ���

���

ex y �/�1

D 2D 1 ���

���

11 2 1( )

ex y

/��1

2D 1D 1

.ex y

�/�+�����1

1 21

(D D 1) + 1 ) (.

/�+�ex y

12D

1D

�/� ���

���

ex y . .11 2 1

1

DDD

/� ���

���

ex y . ...... .1

1 2 1D

DD

�/� e xex y x y. ( )1

1D

"

��������� �������������� �

�����

!��������������������������������������

������������ ���� ����� ���

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �)*-��

������ ������!��������� ������!�"������\$� ������\$���������������� ������"

)��- 3����!� )��4���+�*-)��4���+�2-)��4��-���/���������)1��4��-" """)*-

����)*"��4�*"��+�*-)*"��4�*"��+�2-)*"��4�*"��4�0-��/�����������)1��4��-

�"�"�/ �������������)*"��+�*"�-�4��������������)*�R���+�*�R��-�4��

��������)*�R���+�*�R��-

/ ����)�%�-�4������)�%�-�4��)�%�-"

�"�"�/1

(D D 1)(D D 3)(D D ) ex y����)1��4��-

/ ex y

1

1 1 1 1 1 1(D D 1) (D D 3) (D D )����)1��4��-

ex y 11 1 2(D D ) (D D ) (D D )

����)1��4��-

�����������������

ex y 1 2

1 42 2. ( )

) ( )

D D

((D D ) (D D )����)1���-

������������������

ex y D D(D D ) (D D )2 2

22DD 1 2DD 42 2 ����)1���-

������������������

ex y D D 2

4 1 2 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 4( (– ) . . ) ( ( ) ( . ) ) ����)1���-

������������������

ex y D D 2130

����)1��4��-

������������������ 1130

ex y �)1����)1��4��-�4����)1��4��-�+�1����)1��4��--

������������������ 1130

ex y �)2����)1��4��-�+�1����)1��4��--"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �)*-��

��������� ��"��!��������� ��"��!����� ��"��!

1130

ex y � ��6�3� ������!�"���3��� ������!!>

������\$��\$���������������� ������"

�� ������

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

B��"�BB���B�"�!#������� � B��"�BB���B�"�!#�������

\$ B��"�B#��������� % B��"�B��"�0B���0B#��������������

& B����BB���B���B�"�!#���������� �������# ' B B�"�/B# B���B#���������� �����4��#��

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

2�34��3

�������� �#������� �����#�"���� � �������� �#������� �����#���12

xex

\$ ���� c e yeia x a y

i

x yi i

2

1

% ����� �����#�������� ��"��#�"�16

19

19

118

227

2 2 3 2x y xy x x x xex y

& ���� c eia x b y

i

i i

1

������� ����������3����/����!;#�����������������������������"�!���'

' ����� �#���� ����/�#���� ��"��#�"�181

9 36 18 72 762 2 2( )x y x y ex y �

��������� �������������� ��

�����

��������������������������"��� �#���������������

����� ����� ���

�������������������������������������������������������

#��� �� � ����!�� �����������%� ���� �������� � � ������ ������� � ���������������� ������� ������������� ����"��� � ��������������������������� ���!�%������������������ ��������������� ����������������� ���!��������� ��������������������� ������%�������������������� ����������������� ������������ ����"

���������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� + + + + +������������������������������&����&����&����&����&����##### �� ����������� �� ����������� �� ����������� �� ����������� �� �����������

��� �)��\$���-�/��)���- """)*-

������������������� ���������������� ���!��������� ����"�B�����)��\$���-������� ������� ��������������������)*-������������������������ ���������������"#��� ���� �%����� ����� � � ����������� � �������� ��������� � � ���� ���� �)��\$� ��-/��)���-�(

)�- �����+������/����

)��- )�����+�1�����4������+����4�2��-���/�L)�K�-)���- ����+�����4����+����/���%��"

���%������\$������������������������� ������������������� ����� ����(

a xz

xa x y

z

x ya y

z

yx yn

n

nn

n

n nn

n

n0 11

1

...... ...... ( , )F

#���������������������� ��������

( ...... ......) ( , )a x a x y a y z x yn n n nn

n n0 1

1 1D D D D F "

+� ����� ��������������������� �)�,��������������(����)������

)�����)�����

���������

����������

=��������������������� ����������������� ���G���������� ����

>�������� �=��������������������� ����������������� ���G��������� ����

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���������������������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ��� � � � � ��� ��� ��� ��� ��� �

�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �������� ������������������������������&����&����&����&����&����##### �� �� �� �� �� �� �� �� �� ������������������������������������������

�����)��\$���-�/�( ...... ......) ( , )a x a x y a y z x yn n n nn

n n0 1

1 1D D D D F

""")*-

��������������������������� ���������������� ���!��������� ����"

�� ���!��������������!������/���%���������!�/���%��" ��/ �� ��� ����"

��� ���/u

��� ��/�v"

�� xzx

xzu

ux

xzu x

zu

1

xx u

�� ���/��� """)1-

����\$�xx

xz

xx x

zx

n xz

xn

n

nn

n

nn

n

n

���

���

� �

11

11 2

1

11( )

/� xz

xn x

zx

nn

nn

n

n

( )1 11

1

xz

xx

xn x

zx

nn

nn

n

n

���

���

( )1 11

1

xx

xx

n xx

nn

nn

n

n

���

���

1 11

1

�� �����/ )���+���4�*-���������

�� �����/ )���+���4�*-���������" """)2-

3�����/�1\$���)2-� �����/ )���+�*-����/�)���+�*-��

�����/ ��)���+�*-

3������/�2\$���)2-�� �����/ )���+�1-������/�)���+�1-���)���+�*-

�����/ ��)���+�*-)���+�1-���"

#���\$� ����!� ���/���\$������/���)���+�*-\$��

����/���)���+�*-)���+�1-\$�""""""

>������\$� ����!�����/���\$������/���)���+�*-\$��

����/���)���+�*-)���+�1-�""""""����\$ �����/ ����\$

��� ���������/ ��)���+�*-�""""""�)���+���4�*-��)���+�*-�""""""�)���+���4�*-">��������%�������!�����\$�����%!����������� ������������������������������

� ���������������� ������������� ��������� ��������������!�������������O!"#����������������!������&�� �����������������������!������� �������!������������������������������"�#������������������%���������������� �����%!����������"

��������� �������������� ���

�����

��������������������������"��� �#���������������

����� ����� ���

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������

)�- xz

x2xy

zx y

yz

yx

zx

yzy

z 022

2

22

2

2

)��- xz

x4xy

zx y

4yz

y6y

zy

x y22

2

22

2

23 4

)���- ���%������%������

)�!- xz

x2xy

zx y

yz

ynz n x

zx

yzy

x y x22

2

22

2

22 2 3

���

��� �"

�����)�-�3����!� xz

xxy

zx y

yz

yx

zx

yzy

z22

2

22

2

22 0

"

)�����4�1�����4������4����4����+�*-���/�0 """)*-��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��" ��/ �� ��� ����"����\$ ���/���\$ ���/���\$ �����/���)���+�*-\$����� /�����\$��

����/���)���+�*-\$

��������/�u��������/�

v�"

)*- )��)���+�*-�4�1�����4���)���+�*-�4����4����+�*-���/�0 )��

��4�1�����4���

��+�*-���/�0 ))���4���-

��+�*-���/�0 )���4����+�*-)���4����4�*-���/�0 �)*"���4�*"���+�*-)*"���4�*"���4�*-��/�0" ��/ �������������)*"!�+�*"�-�4��

��������)*"!�+�*"�-/ ����)!%�-�4�����)!%�-

/ ��)��%���+���%��-�4�1x��)��%���+���%��-

/ xyx x

yx

1 21

log log���

���

���

��� �/� x

yx x

yx

1 21�

�����

���

��� \$�)���-

#���%�����������������z xyx

1x

yx1 2 �

�����

���

��� \$� ������\$���������������

������"

)��- 3����!� xz

xxy

zx y

yz

yy

zy

x y22

2

22

2

23 44 4 6

"

)�����+�5�����4�5�����4�,��-���/����� """)*-��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��" �� �� �������� ����"����\$ ���/���\$����/���\$��

����/���)���+�*-\$������/�����\$�����

��/���)���+�*-\$

���� �����/�u��������/�

v"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)*- )��)���+�*-�+�5�����4�5��)���+�*-�4�,��-���/�������

)����+�5�����4�5��

��+����4�1��-���/���� ��

))���+�1��-��+�)���+�1��--���/��

�� ��

� �)���+�1��-)���+�1���+�*-���/���� ��

�)*"���+�1���4�0-)*"���4�)+�1-���+�*-���/����� ���

��"�"�/��������)*"!�4�1�-�4���������)*"!�4�1�-

/��)1��4�!-�4�����),��4�!-�/��)1���%���4���%��-�4���)1���%���4���%��-

/��)��%����-�4���)��%��

��-

/��)���-�4���)�

��-\$����

��"�"�/�1 3 4

( )D 2D )(D 2D 11 1 1 1 e u v """)1-

B��� ��/�2\$���/�5

����/�2\$����/�5 ���+�1���/�2�+�1)5-�/�+�6��0��� �� ���+�1���+�*�/�2�+�1)5-�+�*�/�+�,��0

)1- �"�"�/�1

5 6130

3 4 3 4

( )( ) e x yu v "

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

������ ���!������ �

��!�4�1

30x y3 4 \$� ������\$���������������� ������"

)���- 3����!� ����+�����4����+����/���%��"

��)�����+������4����+���-���/���%�� """)*-

��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��"

��/ ��� ��� ��/���

����\$ ���/ ��\$����/���\$������/���)���+�*-\$ �����/���)���+�*-\$

����� ���/�u��������/�

v�"

)*- ����������������)��)���+�*-�+���)���+�*-�4����+���-���/�� )��

��+����-���/�� )���4���-)���+���-���/�� ���������)*"���4�*"���4�0-)*"���4�)+�*-"���4�0-��/�� �"�"�/ ���������)*"!�+�*�"��-�4��

��������)*"!�+�)+�*-"�-

/ �)!%�-�4��)!��-

/ �)��%���+���%��-�4��)��%���4���%��-

/ 1 logyx

���

��� �4��)��%���-�/�1

yx

���

��� �4��)��-\$ )���"-

�"�"�/ 1 12 2 2

1

D D D1

DD1 1 1

12

12

���

���

u u

/1

2D1

DD1

12

12

���

���...... u�/�

10

6162

33

D1

( ) (log )uu

x "

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

zyx1 �

����� �4�2

3(yx)16

(log x) \$� ������\$���������������� ������"

��������� �������������� ���

�����

��������������������������"��� �#���������������

����� ����� ���

)�!- �3����!� xz

xxy

zx y

yz

ynz n x

zx

yzy

22

2

22

2

22

���

��� �4��

��4����4���"

)�����4�1�����4������+�����+�����4��-���/����4����4��� """)*-

��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��"

��/ �� ��� ����"

����\$ ���/ ��\$ ���/���\$ �����/���)���+�*-\$������/�����\$

�����/ ��)���+�*-\$� ��������/�u��������/�

v�"

)*- )��)���+�*-�4�1�����4���)���+�*-�+�����+�����4��-���/ ����4�����4����

)����4�1�����4���

��+����+����+�����+�����4��-���/ ����4�����4����

))���4���-��+�)��4�*-)���4���-�4��-���/ ����4�����4����

)���4����+�*-)���4����+��-���/ ����4�����4����

)*"���4�*"���+�*-)*"���4�*"���+��-��/ ����4�����4����" �"�"�/ ��������)*"!�+�*"�-�4��

������)*"!�+�*"�-

/ ����)!%�-�4������)!%�-�/�xyx

xyx

n 1 2log log���

���

���

���

/ ��)�K�-�4����)�K�-\$ )���"-

�"�"�/1

12 2 3

(D D (D D1 1 1 1

) )( )

ne e eu v u

/1

11

12 2

(D D (D D (D D (D D1 1 1 1 1 1 1 1

) ) ) )ne

neu v

4�1

13

(D D (D D1 1 1 1 ) )ne u

���/�1

2 1 01

0 2 1 0 21

3 0 1 3 02 2 3

( + 0 (2

) ) ( ) ( ) ( ) ( )ne

ne

neu v u

���/�1

21

21

2 32 2 3

nx

ny

nx

( )�"

<��%�@">"�/��"�"�4��"�"\$�����%���������������� �����%!������������

z xyx

xyx

12 n

(x y )1

2(3 n)x1

n2

2 2 3 ���

���

���

���

\$

�������������������������� ������"

\$%&'()*��<�/��%-��%,.()*� �D>��D�!���- �>��!

�����(� *����/��������!����"

�����((� 4���������������������������������!������������!�������%��/����������/���"9������������������������������������������������������������������"

�����(((� �������������������������������������������3����((�

�����(.� :������������������������������!����")����!�������������������������!����������"

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� ����

������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#

xz

xxy

zx y

yz

y2

2

2

22

2

22 0

� xz

xxy

zx y

yz

yy

zy

z22

2

22

2

23 2 5 2 0

\$ xz

xy

z

yx

zx

yzy

22

22

2

2 0

% xz

xy

z

yxy2

2

22

2

2

& xz

xy

z

yx y2

2

22

2

22

' xz

xxy

zx y

yz

yx ym n2

2

2

22

2

22

�� ��� ��'��!

( ����"�0������/�����������/���������/� ) ������/����"������x

y

3

2

* ���"������� ! ������/������������ �������#���

����"�����"�/���������"�/������ ��yx 1

2� ����"�4����"�4���"����������� ����

2�34��3

���� 1 2yx

xyx

���

��� �

����� � ����x xy

xx y2

1 221 ( ) ( )

\$ ����� ��#����yx

���

���

% ����� ��#�����yx

���

���������� ���

& ����� ��#�����yx

���

������

12

����

' �����yx

���

��������

yx

���

������

x ym n m n

m n

( )( ) 1

( ����� ��#���� ���#�������� ) ����� �#������

y

x2������ �"�

x

y

3

29

* ����� �#������ �#���12

������ ��� ! ���� 1 2

2 2 2

1yx

xyx

x yn n

n������

������

( )( )

/

����� ���#���2

2 212

14

yx

x y x���

��� (log ) log (log )

� ���� c x y x yy

ia b

i

i i

1

2 2 16 15225

( log )����������

��"�4����"����"�!���'�

��������� �������������� ���

�����

�����\$��������������

�������������������������������������������������������

������������������� ����������������������� ����!�%������������������ �������������� ����������������� ���!��������� ����� ��� ������������ ���%� ������� ��� ������������� � �������� ��������� ��� �������� �� ����� �����%�%����������������!�������"�>��!�%�����%!����������� ��������������� ���!��������� ����������������������&"�3��������!�%�������������������������"

� �� �� �� �� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �����������������2�����������������2�����������������2�����������������2�����������������2

�� ������� � �������� �������� � � ���� ������ ������ �� � � ���� ����)���������������-�/�0"��������������������������������������� ����������������� ���������������������!��"�;��%�7�������������������������!���������������������� ����������� ������������"

������� ������� ������� ������� ������� ������� �������� �������� �������� �������� �

��� �)���������������-�/�0 """)*-

������������� ����������������� ������������"������������ ����� ������/�)!-\$� ������!����� �������� ������������������������������ �����\$���������������������������;���� � � )*-� � ���� %!��� ������� � �������� �������� )*-� ����� ��� ���!��� ���������%�������������� ������"

�����'�������px

1���%��/�)�-��������������������%����� �����������������/�*\$

�������� ��������%�px

1���%���/�)�-� "�"�"���� ��%���

py x y 1 1

0. ������+� 10

xy ���

����/�*"

-� &��'�.��&���� �

���������

����������

�������� ����������������� �>����������

����������������%���

;��%�7��;������

;��%�7��;������� ����!�%�=��4�>��4�#��/�G

;��%�7��;������� ����!�%�=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��������������� �� ��� �� ������������������������� ����������������������������\$�� �� ����� ��� ������������������������������������� �� ����������������������� ��� �� ������������������������������������� �� ����� ��� �����

����%������������%������������%������������%������������%��������

��� =��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G """)*-

������������� ����������������� ������������\$� �����=\$�>\$�#\$�<\$�G����� �������� ���������"������������� ����� ����)*-���������������������� ����������"�;��%�7������������������������!���������!�������������� ����� ����)*-"

������������ �<�/�0\$������)*-�����������=��4�>��4�#��/�G"�3������������������%���������<�/�0�����<��0�����������"

����%������������������%������������������%������������������%������������������%��������������#�����#�����#�����#�����#�����33333��������������������-----��������������������44444���������������#####

��� =��4�>��4�#��/�G """)*-

��������!������������� ���������������\$� �����=\$�>\$�#\$�G����� �������� ����������"

>��������� ������� ��������\$� ����!�

���/

px

dxpy

dyz

xdx

zy x

dy 2

2

2

�/��������

��� ���/

qx

dxqy

dyz

x ydx

z

ydy

2 2

2 �/��������"

>��!�%���������������� ����������\$� ��%��� rdp sdy

dxt

dq sdxdy

and "

)*- �=�dp sdy

dxs

dq sdxdy

���

���

���

���S T �/�G

�M=)��-��+�>������4�#)��-�N�/�=������4�#������+�G����� """)1-

#������������(� =)��-��+�>������4�#)��-��/�0 """)2-

��� � =������4�#������+�G������/�0 """)5-

����������1��;�C3�� ������3��#�����������)2-�������!���������������������� �����"

A�3��(������ =)��-��+�>������4�#)��-��/�)�����4�E���-)�����4�E���-�/�0"

����������� ����!��� ���������������

A BR T V

1 1 00

dy dxdydp dxdq dxdy

�� """)6-

��� ��A B

R T V2 2 0

0dy dx

dydp dxdq dxdy

�� """),-

�����������)6-�������%�����"�������/��)���������-�/�������!�/�!)���������-�/������ �������������)6-"

��/�)!-��������������������%����� �)*-\$�������/��\$�!�/������� ��)1-���������)*-"�� ��������),-�����������%�����\$� ��%�������������������������%���"�#������������������%������������!������ �������!������� ������������������ ��������"�#��!������� �����������������������������/�����4����"�#��������%���������%������

��������� �������������� ��

�����

�����\$������%���������������� �)*-"�������� ��%���������������������������%������� �� ���������������������������������%��������� ���'�������������� �������4�?��/�=�����������%���%�7����������� �������%���������������� �)*-"

A�3��((������=)��-��+�>������4�#)��-��/�)����4�E��-��/�0������/��)�\$��\$��\$��\$��-�/��\$�!�/�!)�\$��\$��\$��\$��-�/������� ������������

����4�E���/�0=�����4�#�����+�G�����/�0

��/�)!-��������������������%����� �)*-\$�������/��\$�!�/������� ��)1-���������)*-"�3���'�������������� �������4�?��/�=�����������%���%�7������������ ������%���������������� �)*-"

<����(��� ������3�;�E��;��4���3���6������������������;���3����5��B�����3���������B��;�������3��������

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1������(� 9��������!�������������������;��(��)��<"

�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���\$�����������

;��� �%(�����)��� ��' """).-

��� ;�����)����%<�����' """),-

�����(((� ���������. ����������������������"

�����(.� ��������������������������"(��!���������������!�����������>�"

�����.� *���������������������������������������������������������!����������"

�������������

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- �%�������������' )��- ����%� %����%�� ���%��"

�����)�-�3����!����+���������4���������/�0"

��+���������/�+�������� """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G\$� ��%��

=�/�*\$�>�/�0\$�#�/�+������\$�G�/�%�������"

#���1��;�C3�� ������3�����(

=)��-��+�>�����4�#)��-��/ 0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/ 0 """)2-

)1- )��-��+������)��-��/ 0

)���+�������-�)���4�������-�/ 0

���+��������/ 0 """)5-

��� ���4��������/ 0 """)5-)2- *"�����4�)+�����-������+�)+��������-������/ 0

�����+�����������4���������������/ 0 """)6-

3��������������������)5-�����)6-"

����%����%�)5-\$� ��%�� ��+������/ �

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)5- ���/��������"������%�����!������ ������)6-\$� ��%������������+������������4��������������������/ 0

��������)���+���������4�����������-�/ 0 ���+���������4������������/ 0

)�������������-�+���������/ 0 ;�������%��������\$� ��%��

)��������4����������������-�+����/ 0 �)������-�+����/ 0

����%����%\$� ��%�� �������+���/ ���� ��/ )�-\$����������" �������+���/ )��+�����- """),->�������������!�%�)5-�����)6-\$� ��%����������4���/�)��4�����- """)9-

>��!�%�),-�����)9-\$� ��%��

��/1

2 sec x�))��+�����-�4�)��4�����--

��� ��/ +�12�))��+�����-�+�)��4�����--

�� ���/ �������"

���/cos

( ( – sin ) ( sin )x

y x y x dx2

+12

( ( – sin ) – ( sin )) y x y x dy

���/12( – sin ) (cos – )y x x dx dy �4�

12 ( sin ) (cos )y x x dx dy

���/ +�12( – sin ) ( – sin )y x d y x �4�

12( sin ) ( sin )y x d y x

����%����%\$� ��%��

��/ – ( – sin ) ( – sin )� 12 y x d y x �4�� 1

2( sin ) ( sin )y x d y x

��� �� ��"�3����!����� ����3����!> � 3���!#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����\$� �� ���� ��������

������"

)��-�3����!�� ����)��+��-�+��)���+���-�/����+���" ���%)���+���-��%���/����+��� """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G\$� ��%��=�/���\$�>�/�+����4���\$�#�/�+���\$�G�/����+���"

#���1��;�C3�� ������3�����(=)��-��+�>�����4�#)��-��/ 0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/ 0 """)2-)1- ��)��-��4�)���+���-������+���)��-��/ 0

)����+����-)�����4����-�/ 0 ���%����/ 0 """)5-

��� ��������/ 0 """)5-)2- ������%������%)���+���-�����/ 0 """)6-

��������� �������������� ���

�����

�����\$������3��������������������)5-�����)6-\$

)5- ���� ��� dyy

dxx

����%����%\$� ��%�� ��%���/ ��%���4���%��

��%�yx�/ ��%��

yx�/��"

)6- ���"����+����"���%���"����4����"����/ 0

���%���%��������/ 0 ME�����%�)5-N

)�������-�+�)�������-�/ 0

�)��%��-�/�0 ��%���/��

������/�)�-" ���+����/�)�K�- """),-

�� � ��������������������)5-�����)6-")5- �)���4���-�/�0 ���4����/��

)6- ���"���%���"���%���"�������"����/�0

����������������/�0 ME�����%�)5-N � )�������-�4�)�������-�/�0

�)��-�4��)��-�/�0 �)�����-�/�0 ������/�1"

��� 1�/�)�-" ������/�)���4���- """)9-

3��%���� ����������������%������ �)*-"

>��!�%�),-�����)9-� ����������\$� ��%��

��/x x y y y x

x yq

y x y x y x

x y

( ) ( / ) ( ) ( / )2 2

2 2

2 2

2 2

and �"

�� ���/ �������

���/x x y y y x

x ydx

y x y x y x

x ydy

( ) ( / ) ( ) ( / )2 2

2 2

2 2

2 2

"

���/ ( )

( )( / )

( – )x y

x yxdx ydy

y x

x yydx xdy

2 2

2 2 2 2

���/ ( )

( )( ) –

( / )( / )

–x y

x yd x y

y x

y x

xdy ydx

x

2 2

2 22 2

2 22 1

���/ ( )

( )( ) –

( / )( / )

( / )x y

x yd x y

y x

y xd y x

2 2

2 22 2

22 1

����%����%\$� ��%��

��/ � �

( )( )

( ) –( / )( / )

( / )x y

x yd x y

y x

y xd y x

2 2

2 22 2

22 1"

��� �� �������!����� �@�!> 3��!�

#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����\$� �� ���� �������� ������"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

<����((��� ������3�;�E��;��4���3���6������������������;����������������3��3���������B��;�������3��������

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� 9��������!�������������������;��(��)��<"

�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���\$�����������

;��� �%(�����)��� ��' """�.

��� ;�����)����%<�����' """�,

�����(((� ���������. ����������������������"

�����(.� ?��������������������������������������������"(��!������������������+����������� �� �� ��� ������ �������� �� ��� �!����������"

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- ��%� ����%� ���%��' )��- ��%� ���%��%����� ����� ��%� "�����)�-�3����!����)��+��-��4�)�%�-��4��%��/�0" ���4�)�%�-��+����/��%� """)*-�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G\$� ��%��

=�/��\$���>�/��%�\$���#�/�+��\$���G�/��%�"#���1��;�C3�� ������3�����(

�=)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-��� �=�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-

)1- �)��-��+�)��+��-������+��)��-��/�0 �)�����-)���%���-�/�0 ������/�0 """)5- ��� ���%����/�0 """)5-

)2- �����%�����%)�%�-������/�0 """)6-3��������������������)5-�����)6-"����%����%�)5-\$� ��%�����4���/��")6- �����%�����%������������/�0 ������4�����)+���-�4�����)+���-�4�������/�0 ����������������/�0 )� ���%��- �)�������-�4�)����4����-�/�0 �)��-�4��)��-�/�0 ���4����/����� ��/�)�-" ������/�)���-#���������%���%���������������"

��'����������������� dxy

dyx

dzx y

( )

"""),-

),- dxy

dyx

���%����/�0 12

02 2d x y( )

���+����/�1\$� �����1�����������"

),- � dxy

dzx y

dx

x k

dz

x x k

�� �� ( ) 2 2

��������� �������������� ���

�����

�����\$������

���/� x x k

x k

�� ��

2

2��� """)9-

��/���4� x k2 ��

/� 12 2

����

����

x

x kdx

u

x kdx

dx

x k

duu2 –

)9- ���/�)�-�"�duu

dzu

udu ( )

����%����%\$� ��%��

��/ � ( )uu

du b "

��/ �)�-�4��\$ ���

��/ �( – )x x k 2 �4���)�-\$ ���

��� �� �����!����� ���"���!�

#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����\$� �� ���� �������� ������"

)��- 3����!�� )��+��-�)���+����+����4���-�/�)��4��-�)��+��-"

)���+���-���+�)���+���-���4�)���+���-���/�)���-�)��+��- """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G\$� ��%��

�=�/����+���\$���>�/�+�)���+���-\$���#�/����+���\$���G�/�)���-�)�%�-"

#���1��;�C3�� ������3�����(

� =)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-

)1- )���+���-)��-��4�)���+���-������4�)���+���-)��-��/�0

� �)��-��4�)���-�����4��)��-��/�0

� � )����4����-)�����-�/�0

��������/�0 """)5- ��� ������/�0 """)5-)2- )���+���-������4�)���+���-������+�)��4��-)��4��-������/�0

3��������������������)5-�����)6-"

)5- �)��-�/�0 ���/��"

)6- )�%�-��"����4�)�%�-��"����+�)�%�-��"����+�)�%�-��"����/�0

��)��+��-���+�)�%�-���+�)�%�-���4�)�%�-���/�0����������)� ����%���-

�)�%�-)���+���-�+�)��+��-)���+���-�/�0

�dp dq

p qdx dyx y

d p qp q

d x yx y

( ) ( )

����%����%\$����� ��+���/��)�%�-"

��� ��/�)�-" ��+���/�)�%�-�)��-"#���������%���%���������������"

��'������������������dx dy dz

x y xy1 1

– ( ) ( )"""),-

),- ���/�+��� ����/��"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#�&�%��)��-\$��)��-\$�*�������������\$����� ������� �),-

/�y xy dx x xy dy dz

y xy x xy x y xy

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

�/�

y xy dx x xy dy dz ( ) ( ) 0

"

� y xy dx x xy dy dz ( ) ( ) �/�0

)��-)�������-�4����/�0 )��-��)��-�4����/�0

����%����%\$����� �)��-�4���/������/��)�-" �)��-�4���/��)���-

#���%���������������� �����%!������������

������ �����!�"��� ��!>� �������������������������� ������"

<����(((��� ������3�;�E��;��4�������6�������������������;���3�

\$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�

�����(� 9��������!�������������������;��(��)��<"

�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���\$�����������

;��� �%(�����)��� ��' """�.

��� ;�����)����%<�����' """�,

�����(((� ���������. �����������������������"

�����(.� ?��������������������������������������"(��!������������������+��������������������������������������!����������"

�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������

)�- ���%,�������2� ������)��-���%� ����%,������� ����� ���%� "

�����)�-�3����!������+�1���4���/���4�,�" """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G\$� ��%��

=�/���\$���>�/�+�1�\$���#�/�*\$���G�/���4�,�"

#���1��;�C3�� ������3�����=)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-

)1- ��)��-��4�1�������4�)��-��/�0

)����4���-��/�0 ����4����/�0 ���/�+���� """)5-

����%����%\$�������/�+�y

a2

2 ���4�1��/���� �������/�1�

)2- �������4�*"�����+�)��,�-������/�0 """)6- �������+�������4��)��4�,�-�)��-��/�0

����+����4�)��4�,�-����/�0

)����4����-�+����4�,����/�0

����%����%\$� � ���+���4�2���/�1"

��� 1�/�)�-" ���+���4�2���/�)���4�1�-

#���������%���%���������������"

#�����'�����������������

dxy

dy dz

y x y

1 2 32 2( )

"""),-

��������� �������������� ���

�����

�����\$������),- dx

ydy 1

����4����/�0 ���4�1��/��

),- +����/�dz

c y( ) 3 2 )2���+�)�--����/���

����%����%\$���� ���+��)�-�/���4��"��� ��/��)�-

�����"��� �������!��������� �������!�

#���������%���������������� �)*-"�B����\$���������������� ������"

)��- 3����!�� �)��+��-)����+�1����4����-�/�)��4��-��)��+��-"

���)��+��-����+�1��)��+��-��4���)��+��-��/�)���-��)��+��- """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G\$� ��%��

=�/�)��+��-��\$��>�/�+�1��)��+��-\$��#�/���)��+��-\$��G�/�)��4��-��)��+��-"

#���1��;�C3�� ������3���� =)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-

��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-

)1- � �)��+��-���)��-��4�1��)�%�-�����4���)��+��-)��-��/�0

�� �)��+��-)����4����-��/�0 ��������/�0 ���/�0 ��/��"

)2- � )��+��-��������4���)��+��-������+�)���-��)�%�-������/�0

�)�%�-�M���"����4����"���N�+�)���+���-�M���"���4����"��N�/�0

)��+��-�)���%���-�+�)���+���-�)+����4���-�/�0)� ��������/�0-

���%����+�)���+���-�d x y

y x( )

0

���� pq

p qd x y

x y���

���

( )( )2 2 0

���d x y

x y p qd

pq

( )( / )

���

���

11

02

����%����%\$� ��%�����%�)�%�-�4�12

11

12

log//

logp qp q

b

"

)��+��-��p qp q

b

��� ��/�)�-" )��+��-��p qp q

z

( )

)��+��-��)��+��-�+�)��4��-�)�-�/�0 �))��+��-��+�)�--�+��))��+��-��4�)�--�/�0 """)5-

#���������%���%���������������"�#�����'�����������������

�dx

x y z

dy

x y z

dz

( ) ( ) (( ) ( ))

2 2 0 """)6-

)6- ���/�0 ��/��"

���� ������� �)6-� /�dx dy

zdx dyx y

2 2 2( ) ( )

�)��4��-�/�+�)�-� d x yx y( )

( )

2

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ����%����%\$� ��%��� ��4���/�+�)�-�"� ( )x y

d

1

1"

��4���+� ( )zx y

d

��� ��/�)�-"

x y(z)

x y(z)

"

#������������������%���������������� �)*-"�B����\$��������������� ������"

�� �����

����� ������������ � ���� �� �� ���� � �� �������������������������� ������ �����������6 ���3������ ��#

������ � ��"������������/�������

\$ ��"��#���� ��"��#� % ������������

& � !����#��"� ��������/��#����� !����#����' ' �� �����#��� ���"���# ��"�/#������"���

( ����"�����"�/�����/����' ) ����"�/�������������'

* ������/����������������������'

2�34��3

����� ��"��#���� �����# � ����� ���������#���� ���������#

\$z

x y ���� �����#���� �&�# % ���������� �#���� �#

& ����� �#���� ���������# ' ���������� �������#���� �&�#

( ����� ��#����� �&�#���� ��# ) ������ ����� ���#���� ����� ���#

* ����� ���"���#�� �� �����#���� ���"���#�

:���

\$ %��������������������������������"������ �&�# ��� ��������"������ �����#�8 ������� �����������������

�����1

x yz g x y yf

yx

���

���

��( )

��� ������1

x yz g x y xf

yx

���

���

��( ) �

���������������1

x yz g x y yf

yx

dx

���

���

��( ) ���

1x y

z g x y xfyx

dy

���

���

��( )

�������� �����#�������� �����#���� �����#�� �����#��� fyx

���

���� ����"����#

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( / )

( / )( / )

x y dz zd x y

x y

g x y

x yd x y

f y x

y xd y x

2 2 21

��������� �������������� ���

�����

�����\$����������%������������������%������������������%������������������%������������������%��������������#���#���#���#���#��������33333��������������������-----��������������������44444���� ���� ���� ���� ���� 3333344444�5��5��5��5��5�-----�����"���"���"���"���"���#####

��� ��������=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G """)*-

��������!������������� ���������������\$� �����=\$�>\$�#\$�<\$�G����� �������� ����������"

>��������� ������� ��������\$� ����!�

���/�

px

dxpy

dyz

xdx

zy x

dy rdx sdy 2

2

2

��� ���/�

qx

dxqy

dyz

x ydx

z

ydy sdx tdy

2 2

2 "

>��!�%���������������� ����������\$� ��%�����/�dp sdy

dxt

dq sdxdy

and �"

)*- R S Tdp sdy

dxs

dq sdxdy

���

���

���

���

�4�U V( ) ( )dp sdy dq sdx

dxdys

���

���

2

�M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N

/�=�����4�#�����4�<�����+�G���� """)1-

#������������(�=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-�/�0 """)2-

��� =�����4�#�����4�<�����+�G�����/�0 """)5-

����������1��;�C3�� ������3��B���\$�������������)2-���������� ������"

�����/�)���������-������ ��������������

M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N�4�=�����4�#����

4�<�����+�G����

��� ���������"

����M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N�4�=�����4�#����

4�<�����+�G����

/�)�����������-�)���4����4���-

/��)��-��4�)��4��-������4��)��-��4������

4�������4�������4�������4�������/�0

�������%��� ����\$� ��%��

��/ =\$���4���/�+�>�+�G\$���/�#\$���/�<\$���/�<\$��/ =\$���/�#\$���/�<"

��� ��/ \$��/�=" ��/�=���� ��/ < �/�<\$���/�=� ����=�/�= ��/�*\$

��/ < *�"��/�< �/�<\$���/�# �<�/�# ��/�#K<"

��4���/ +�>�+�G )<-�4�)#K<-�=�/�+�>�+�G """)6-

<���4�><�4�#=�4�<G�/�0��� �\$����������������� �)6-"

3����!���)�����������-)���4����4���-�/�0 """),-

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� #�&�% �/��\$�),-�������� 1 11 0dy dx dp dy dx dq �

����� T

UR U U. ( )

��)�<���4�#���4�<��-�)=���4��<���4�<��-�/�0""")9-

>������\$���&�%��/��\$� ��%���)�<���4�#���4�<��-�)=���4��<���4�<��-�/�0""")L-

���������)9-�����)L-�%!�� ������������� ���������(

1

2

00

U T UU T U

dy dx dp

dy dx dp

��

"""):-

1

2

00

U T UR U U

dy dx dp

dy dx dq

��

""")*0-

2

1

00

U T UR U U

dy dx dp

dy dx dq

��

""")**-

R U UR U U

dy dx dq

dy dx dq

��

1

2

00

""")*1-

>�������%����������� �):-\$� ��%���)��+��-�<���/�0"

� ����\$������<���/�0���������\$� �������������"

>������):-����������%!����������������%���"

>������\$� ����S����������)*1-"

3����!�������� ����������%!������� (

1

2

00

U T UR U U

dy dx dpdy dx dq

""")*0-

2

1

00

U T UR U U

dy dx dp

dy dx dq

��

""")**-

#�����������)6-�������!���������������������������"

A�3��(������������ ���� ���� ����!�� � �������� �������� )*0-� ���� )**-"����� ������� )*0-� ��

���%�����"�������/��)���������-�/��\$�!�/�!)���������-�/������� �������������)*0-"

��/�)!-��������������������%����� �)*-"� ��������)**-�����������%�����\$� ��%�������������������������%���"�#����

��������������%������������!������ �������!������� ������������������ ��������"�#��!������� ��� ������ ���� ����������� �����/�����4����"�#��� �� ���%������ ���%��� ���%���������������� �)*-"�������� ��%��������������������������%������� �� ���������������������������������%��������� ���'�������������� �������4�?��/�=����������%���%�7������������ ���������������� �)*-"

A�3��((�������������������� ����!�����������������)*0-�����)**-"������������)*0-�������%�����"

������/��)���������-�/��\$�!�/�!)���������-�/������� �������������)*0-"

��/�)!-��������������������%����� �)*-"�3���'�������������� �������4�?�/�=�����������%���%�7������������ ���������������� �)*-"

�������������������� ����� �� ������������������� ��� �� ���������� �������������������������� ��������� ���� ��� ������������������ ��������

��������� �������������� ��

�����

�����\$�������������������

����������� ��������������������������������������������������������)�- ��/������%���, )��- 0��������%���%@"�����)�-�3����!� ��4�5��4���4����+����/�1 """)*-�������%�)*-� ��� =��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G\$� ��%��

=�/�*\$��>�/�5\$��#�/�*\$��<�/�*\$��G�/�1".������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" ��4�5�4�)*�4�1-�/�0 �/�+�*\$�+�2"���� ��/�+�*\$���/�+�2"������������� ����������%!�%���������������%�����

�<���4�#���4�<���/�0 """)1-=���4��<���4�<���/�0 """)2-

)1- +����4����4����/�0 """)5-)2- ���+�2���4����/�0 """)6-����%����%�)5-�����)6-\$� ��%���+���4���4���/���������+�2��4���/���� ������������

���������������������"��� ��/�)�-" ��+�2��4���/ )+���4���4��-��������������� )+���4���4��-�/ )+���4���4��-�4�" ��+�2��4���/ )+���4���4��-�4� ��+���/ +�)�4�2-��4�)�4�*-���+�#���������%���%���������"

#�����'�������������������dx dy dz

x y

1 3 1( ) ( )

"""),-

),- dx�/�+��� ���4����/�0 ��4���/�"�������""")9-

������%���������������� �������� �),-\$� ��%��

�dy dz

y y 1 3 1( ) ( ) ( ) ������)<��%�)9--

���/�dz

y ( ) 2 4 1 3 ))��4�5�4�*-���+�)�4�2�4�--����4����/�0

)��4�5�4�*-� y2

2�+�)�4�2�4�-���4���/�1

�)��4�5�4�*-� y2

2�+�))�4�2-�)��4��-�4�-���4���/�)-�����M#�&�%�1�/�)-N

��

22

212

3 3 ���

��� y xy y z x y( ) ( ) ( )

��/�12

( 2 1) y ( 3) xy ( 3) y (x y).2 2

#���������%���������������� �����%!����������"

B����\$������������������������������������������� �����"�������� �������� �������� �����"�0�������� �����������#����������������������������

8����������������������������� ��������������������� ����������� ���������������� ������������������ ���������� �������������������������� ����������������� ��

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

)��- �3����!����2��4���4���4����+����/�+�:" """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G\$� ��%��

��=�/�2\$��>�/�*\$��#�/�*\$��<�/�*\$��G�/�+�:"

.������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" ��4��+�,�/�0 �/�1\$�+�2"��� ��/�1\$���/�+�2"

������������� ����������%!�%���������������%�����

�<���4�#���4�<���/�0 """)1-

�=���4��<���4�<���/�0 """)2-

)1- � 1���4����4����/�0 1��4���4���/��

)2- � 2���+�2���4����/�0 2��+�2��4���/��

��� ��/�)�-" � �1��4���4���/�)2��+�2��4��-�����������\$�����)2��+�2��4��-�/�)2��+�2��4��-�4� �1��4���4���/�)2��+�2��4��-�4� ��+���/�)2�+�1-��+�)2�4�*-��4�#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������

dx dy dzy x1 3 2 3 1

( ) ( ) """)5-

)5- ���/�dy

���4����/�0 ��4���/�" """)6-

)5- ���/�dzx x( ) ( ) ( )3 2 3 1

)<��%�)6--

)+�)2��4��4�*-���4�2�+�1�4�-����/���

��/�+�12�)2��4��4�*-����4�)2�+�1�4�-���4�1

��/�+�12�)2��4��4�*-����4�)2��4�1���+�1��+�1��4�-��4�)-

M)�����%�1�/�)-N

����12

� ����"����"��!������ ���"��!������������ ������!�

#���������%���������������� �����%!����������"

B��������������������������������������������������� �����"����������� ��������������������������������������������������������

)�- -��2��0��,���%�� �0�'

)��- ���%. ��%,��������%. ��������%�� ������%."

�����)�-�3����!�� 6��4�,��4�2��4�1)��%��-�/�+�2" """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G\$� ��%��

=�/�6\$��>�/�,\$��#�/�2\$��<�/�1\$��G�/�+�2"

.������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" 5��4�*1�4�:�/�0 �/�+�2K1\$�+�2K1"��� ��/�+�2K1\$ ��/�+�2K1"

#����������� ����������%!�%���������������%�����

�<���4�#���4�<���/ 0 """)1-

=���4��<���4�<���/ 0 """)2-

��������� �������������� ���

�����

�����\$������)1- +�2���4�2���4�1���/ 0 +�2��4�2��4�1��/��

)2- 6���+�2���4�1���/ 0 6��+�2��4�1��/��

��� ��/�)�-" +�2��4�2��4�1��/ )6��+�2��4�1�-�����������\$���� )6��+�2��4�1�-�/ )6��+�2��4�1�-�4�" +�2��4�2��4�1��/ )6��+�2��4�1�-�4� 1��+�1��/ 2��+�2��4�6��+�2��4�"#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������

dx dy dzy x y x2 2 3 3 5 3

""")5-

)5- ���/�+�dy ���4����/�0 ��4���/�"

""")6-

)5- �dx dz

x x2 3 5 3 1

( ) ( ) ( ) ���)<��%�)6--

� )+�)6��4�,�4�2-��4�2�4�6�4�-����/�1��

�+�12�)6��4�,�4�2-���4�)2�4�6�4�-���/�1��1

+�12�)6��4�,�4�2-���4�))2�4�6�)��4��-�4�-���/�1��)-��M�����%�1�/�)-N

+�12�)6��4�,�4�2-���4�)2���4�6����4�2���4�6���4��-�/�1��4�)��4��-

12� ����"��!������ ������!����������������� ������!�

#���������%���������������� �����%!����������"

B����\$������������������������������������������� �����")��- 3����!���)���+�*-����+�1�����4�)���+�*-����4���)���+���-�/����4����+�*" """)*-

�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G\$� ��%��

=�/�)���+�*-��\$�>�/�+�1���\$�#�/�)���+�*-��\$�<�/���\$�G�/����4����+�*"

.������������������<���4�><�4�=#�4�<G�/�0" ����+�1�����4�)���+�*-)���+�*-����4����)���4����+�*-�/�0

����+�1�����4��������/�0��)��+���-��/�0���/���A�����K�"

��� ��/��K�\$���/���K�"

#����������� ����������%!�%���������������%�����

�<���4�#���4�<���/�0 """)1-

=���4��<���4�<���/�0 """)2-

)1- �pqz

z dy. 2 �4�)���+�*-������4������/�0 """)5-

)2- )���+�*-�����4�pqz

z dx z dq. 2 2 0 """)6-

)5- �����4�)���+�*-����4�����/�0� �)�������-�+����4�����/�0

��������+����/�0 �)��-�+����/�0 ���+���/��"

)6- )���+�*-����4������4�����/�0� �)����4����-�+����4�����/�0

����4�����+����/�0 �)��-�+����/�0 ���+���/��"

��� ��/�)�-� ���+���/�)���+��-"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����������\$����� )���+��-�/�)���+��-�4�" ���+���/�)��%�-�4� ���+����/���+���4�#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������

� dxz

dyz

dzx y

"""),-

),- ���/�+� dy

���4����/�0 ��4���/� """)9-

),- dxz

dzx x

( )

M)*�4��-��+��4�N����/���� )<��%�)9--

)*�4��-�x

x xz

k2 2

2 2

)*�4��-����+�1�)��4��-���4�1��/����4�11

�)*�+��-����+�1���4�1��/����4�)- M�����%�11�/�)-N ��"���!����"�������������������� ������!�

#���������%���������������� �����%!����������"

B����\$������������������������������������������� �����"

�� ������

���������� ���� �� �� ���� � �� �������������������������������� ������������6 ���3����� �#

0���� �������#���/ � 0��"�/ ���"����#���/

\$ 0����4�������� ���"���#���! % /��"�3����/���� ���"���#���4�

2�34��3

����2

2y ���/�������"� �����# � ����52

2y �"�/���"����� ��"�/�#

\$ �����0�����/��"�4���"�/���� �����#% ���� ������"�!#������ /�"�/#����������� �����#

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

������/

�����������

;�����������������%�����%���������� ���� �����������������������������%��%��%!����������������� ����������������"�E�����������\$��������� ��������������������������������������������������������� ��������\$�B����������"

>��\$�����%���������������� ����������� ����������������������%���=������������������������������������� ������\$�������������������� ����������� �������������������������%��������������������� ������� �������������������������������������� �������%���="�#���������&�� �����������������������"�3������������������������ ��� ��� ���� ���� ��/�0\$� ���������&�� ����� �����������������"���������� ������������������%������ ����������������������������������������!�����������"

������������������ ���������������� ����������������\$� �� ���� ������%������������������������������������������������������� �������������!�����"E��� ���� ������������ �� ���� ��������� ��� ��������� �!��!�%� ������� � ���������������"�;����� ��������������!���������������!��!�%��������������� �������������������������!������������������ ������������ �!�������"��������������\$��%�� ����������%���%\$� ��������� �������������������������� ������������� ��������������� ������� ��������������� ���������������������������������S������������ ���� ������%� �������� ���� ����� ���� ��"��� ��������� � � ������ �����������������%!���������������� ������������"

������������������� �� ����������������%�������������� ������"

0� ��)������������� �������������������

���������

����������

�������� �>����������

;������� �>���������� �G��������)����������;�����-G���������� �����>���������>���%\$����������������

3�!����������2 2

22 2

y yc

t x

>�������� �����3�!���������

#���� ����%����.����%�������E������B���%�����������

�7��������7��>�������� �����3�!���������

�7��������7��>�������>��� ��%���������������

�������7��������� �����������������3�!���������

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� �����������������������

� ���\$���\$�"""\$���\$�"""��������������� �������%��������������������������%���=\$����

��/ ������4������4�"""�4������4�

"""�/�

1n n

n

c u

������������������ ������������������%���="

����������� � ��������# �� ��� 13�������������"

�������������\$� ��������������������������������������� �� �� ������\$����� � ����!��!������������� �����!�������"�#��� ���� �%��'��������'���������������"

�������������

������������(��!��������������������������!���������xux

yuy

02 2

�����B���������� ������� ��������"��� ��/ H)�-�I)�- """)*-

�����B����� ������� ������������I����� ������� �������\$��������������� �����%!���������"

#����

ux

uy

X Y XY,

>��������%�������%!����������\$� ����!�

��HI�4���HI�/ 0 ��HI�/ +��HI>�������%�����!�������\$� ��%��

x XX

2 �/ y Y

Y

2

""")1-

>��������������������������!�������\$������!���������������������\$�������������B>��������������=B>����������"�#���� ���\$���������)1-�������������� ��������������������������������������\$�����1"

x XX

2 �/ +�

y YY

k2

X

X�/ kx

YY

ky 2 2and � �������� ������"

����%����%\$ ��%�B/kx

cky

c

1

1

1

21 1log log logand Y

logXc1�/ k

x cky

andY

log2

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ��������������������������������� H�/ c e c e

kx

ky

1 2

and Y

�����%�������!��������)*-\$� ����!�

��/ c c ek

y x1 2

1 1

���

���

�� ��/ cek

y x1 1

���

���

������/�������������������%��������������"

�����������(��!������������

ux

2ut

u\$��!����������' �2���"

�����B���������� ������� ��������"

��� ��/�H)�-�#)�- """)*-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������\$��������������� �����%!���������"

#���

ux

X T \$ut�/�H#

>��������%�������%!����������\$� ����!�

H#�/�1H#�4�H# �� H#�/�)1#�4�#-H

>�������%�����!�������\$� ��%��XX

T TT

2""")1-

>��������������������������!�������\$������!���������������������\$�������������B>��������������=B>����������"�#���� ���\$���������)1-�������������� ��������������������������������������\$�����1"

XX�/�1 �"�"\$ ��%�H�/�1��4���%���

�� ���%�Xc1�/�1� �� H�/����

�� """)2-

��� �2T T

T

�/�1 ��2T

1T �/�1 �"�"\$

TT 1

2�)1�+�*-

�� ���%�#�/�12�)1�+�*-��4���%��� �� log

T

2c 1

2�)1�+�*-�

�� #�/����ek t1/2 1( ) """)5-

�����)*-\$�)2-�����)5-\$� ����!� ��/��)�\$��-�/������"�c e k t

21/2 1( )

/1

( 1)2

k tkxce e

�������/�����

>��\$ �)�\$�0-�/ ,����

�����/ ,���� M@!��N

��/ , ��� 1�/�+�2

#������������������ �����%!������������

��/ ,�����"���� �"�"\$ ��/�,������� ����"

�����������(��!������������

2

2z

x2

zx

zy�/�'������������������������

��!��������"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����B���������� ������� ��������

��� ��/�H)�-�I)�- """)*-

�����H����� ������� �H����������I����� ������� �������\$��������������� �����%!���������"

#��� �

zx

X Y \$�

zy

XY ���

2

2

zx�/�H�I"

>��������%�������%!����������\$� ����!�

�H�I�+�1H�I�4�HI�/�0 �� )H�+�1H-I�4�HI�/�0

>�������%�����!�������\$� ��%��X X

XYY

2– """)1-

>��������������������������!�������\$���������)1-�������������� ��������������������������������������\$�����1"

X X

X 2

�/�1 �� H�+�1H�+�1H�/�0 """)2-

��� ���Y

Y�/�1 ��

YY�/�+�1 """)5-

#������������������ ����������������"���� ���"� )2-\$� ���� ��'����� �������� ����� +� 1�� +� 1� /� 0� ����� ������ ���

��/�1 1 k "

#������������ ���������)2-�� H�/�c e c ek x k x1

1 12

1 1( ) ( ) ����\$�������������� �)5-�� I�/����

���

>��������%� ������!������� �H�����I� �� )*-\$� ����%������� ��������� � ����%!���������O�

��/�[ ] .( ) ( )c e c e c ek x k x ky1

1 12

1 13

�� ���/�[ ]( ) ( )A Be e ek x k x ky1 1 1 1 \$ �������/����������E�/�����"

����������?�� ����������� ���������� �� !�������� �� ���!� ��� ��������

2

2u

xuy

2u "

�����#���%!������������

2

2 2ux

uy

u """)*-

��� ��/�H)�-�I)�- """)1-

����\$�H����� ������� ������������I����� ������� �������\$��������������� �)*-"

#���\$ uy�/�HI\$

2

2u

x�/�HI

>��������%���)*-\$� ����!�

HI�/�HI�4�1HI �� HI�/�H�)I�4�1I-

�� XX

YY

2 �/�+�1� )���-

)�- XX �/�+�1� d

dx

2

2X �4�1�H�/�0

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�"��� ����4�1��/�0 ��/�F�1�

>�������� H�/�������1��4�������1�

)��- � YY �4�1�/�+�1� �� Y

Y �/�+�)1��4�1-

����%����%\$ ���%�I�/�+�)1��4�1-���4���%���

I�/����ek y ( )2 2

�����)1-\$�����%����������������

��/�)������1��4�������1�-����ek y ( )2 2

�� ��/�)�����1��4�E����1�-�e k y ( )2 2 � �������/�����\$�E�/�����"

����������?�� ����������� ���������� �� !�������� �� ���!� ��� ��������

2

2v

xvt�!������!�'�������������!�'����'������"

�����#���%!�������������

2

2v

xvt

""")*-

��� !�/�H)�-�#)�- """)1-

�����H����� ������� ������������#����� ������� ���������������������� �)*-"

#���\$

2

2v

x�/�H# ���

vt�/�H#

>��������%���)*-\$� ����!�

H#�/�H#

�� XX

TT

�/�+�1� )���-

)�- XX �/�+�1� H�4�1�H�/�0

�"�������4�1��/�0�����������/�F��1

>�������� �H�/�������1��4�������1�

)��- TT �/�+�1�

����%����%\$ ��%�#�/�+�1���4���%���

�#�/�c e k t3

2

�����)1- !�/�)������1��4�������1�-�"�c e k t3

2 """)2-

�� \$������/�0\$�!�/�0

�����)2-\$ 0�/����c e k t3

2 ���/�0 )� ���/�0� ���������

�����!����������-

)2-���������� !�/�������1��"�c e k t3

2 """)5-

�����/��\$�!�/�0

�����)5-\$ 0�/���������1�e k t 2

>�������0��������/�0� ���������������!����������" ���1��/�0 1��/��

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� 1�/�n

l �������/�*\$�1\$�2\$�""""

�����)5-\$ !�/�)�����-����n xl

enl

t

2 2

2

�� !��/�bn x

len

nl

tsin

2 2

2\$� ����������/���

������������������������������� �)*-� �����/�*\$�1\$�2\$�""""""\$"�B�������������������������\$���������%����������������

!/�

2 2

2

1sin

nt

ln

n

n xb e

l

�����������(��!��������������������������!���������

/

ut

ux

�0�� ��0��%���� ������'"

�������� ��/�H# """)*-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"

ut

�/ H#\$

ux�/�#H

���������%!����������

5H#�4�#H�/ 2H#

��4TT

XX

�/ 2

�� � �����4TT

XX

3 �/����)���- """)1-

)�-4TT�/����4�2

�d pTT

���

���

34

2

���

����%�����������\$

� ���%�#�/�3

4

2���

���

p��4���%��� #�/����e

pt

34

2�

���

�� """)2-

)��- � XX���� X

X�/�+���

dXX�/�+������

����%�����������\$

��� ��%�H��+�����4���%���

�� H����� ep x 2

""")5-

�����)*-\$� ��%��

���H#�/������ep x

pt �

���

��2

234

�� ��)�\$��-�/����ep x

pt

���

��2

234 ����� �����/���

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

;����%����������������

��)�\$��-�/ b en

p xp

t

n

���

��

2

234

1

""")6-

������/�0\$ �)�\$�0-�/ 2���+�����/� b enp x

n

2

1

�������%\$� ��� ���/�*\$����/�2 ��� ��� ���/�6\$����/�+�*

B���\$� ����)6-\$�%����������������

�)�\$��-�/�2������+��� ��

������������������������"��������7��(��!���������������������������������������������!��������

2ux t

�������

�!��������'������'���ut

�'������'"

��������� ��/ H# """)*-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"

#���\$ �

ut t )H#-�/�H

ddtT

2ux t

�/x� X

Tddt

���

��� �/�

ddtT�"�

ddxX

""")1-

>��������%�)1-�������%!����������\$� ��%��

ddtT�ddxX�/ ��������

���ddtT/ cos x

ddxX�

������/�+����)���- """)2-

�� \$ �� ddtT �/ +���

�#�/ +���������

����%�����������\$

#�/ ������4��� """)5-

����\$ddxX�/ +� 1

2p�����

�H�/ +� 12p��������

����%�����������\$

H�/ +� 12p������4��� """)6-

<��%�)5-�����)6-\$� ��%��� ����)*-\$

�)�\$��-�/ H#�/� ���

���

12 2

px csin �)������4���- """),-

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������%��������������/�0� ������/�0���),-\$� ��%��

0�/ ���

���

12 2

px csin �)���4���-

���4����/ 0 ���/�+���

�����),-\$ut�/ ���

���

12 2

px csin �)+������- """)9-

������%������������ut�/�0� ������/�0���)9-\$� ��%��

0�/ ���)+������-

���/ 0

>��������%�����!������� �������������),-\$� ��%��

�)�\$��-�/ +�12p������)������+���-

/ �����)*�+����-

��������9��(��!����*"5"6"��������������!���������������

�������,����'�� �'��x ��)'��-�/�.����"

�������� ��/�HI """)*-

�����H����� ������� ������������I����� ������� �������"

uy y

ddy

(XY) XY

XY

��

2

2

2

2

2

2u

x xddx

(XY) YX

YX

���������%!����������\$

� �IH�/�HI�4�1HI

� XX

Y 2YY

� X

XYY�4�1�/�1)���- """)1-

)�- XX�/�1

��H�+�1H�/�0��'��������������

���+�1�/�0

��/�F� k

�"�"�/���e ekx kx C2

�����"�"�/�0

� �H�/���e ekx kx C2 """)2-

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������)��- Y

Y�4�1�/ 1

YY�/ 1�+�1

dYY�/ )1�+�1-���

����%�����������\$

��%�I�/ )1�+�1-��4���%���

I�/ ����������� """)5-

B���� ����)*-\$

�)���-�/ )��e ekx kx C2 -����������� """)6-

������%�������������)0\$��-�/�0���)6-\$� ��%��

�)0\$��-�/ 0�/�)���4���-������������

���4����/ 0 ���/�+��� """),-

)�����/�0������������!����������-

�����)6-\$������%����������������

�)���-�/ �����)e ekx kx -���������� """)9-

ux�/ ����� k e e ekx kx k y( ) ( ) 2

ux

e k ex

y k y���

���

0

3 21 2C C1 3 ( ) ( )�/�

nn

k yb e

1

2( )

�������%������� ����\$� ��%��

)�- ���/�*\$ 1�+�1�/�0

1���� k �/ *\$ 1�/�1

�����/1

2 2

)��-����/�+*\$ 1�+�1�/�+�2

1���� k �/ *\$ 1�/�+*

�����/12i

B���� ����)9-\$�����������������������

�)���-�/ 12 2

�( )e ex x2 2 �4�12

3

ie e eix ix y( )

�)���-�/ 12������ 2 ���4��������"

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� �����

!"#�������\$�� ��\$"��"����������" �"��������#����%�%��&

0�

ux

uy

2 ���'D� ���'#���4��� �

ux

uy

4 D� '���#���;����

\$ 4

ux

uy

���0D� '���#���4���������� %

ut

ux

�"�/D� ���'#���!'���"�3���

& �#��� u u

yx y

���' ��# yux

xuy

3 2 0

' �#�ux

����/ut

���D ���'#���3����� ��# 4 3u u

ux y

�������� '���#���0����"�����

( �#�/� 3 0z z

yx y

��#

2

2 0u

x

uy

) �#��

2ux y

���/����' ��# 2u u

ux y

�D� ���'#���0�����"�/����

* �#�

2 3 5u u

ux y

���'D '���#���/���� ��#

2

2

u

x���

ut

D � ����'#������ �����!#

!

zx

z

y

2

2 0D � ���'#���'� � ���#���'� � '���#���4�����0��

8 ����

2

22

u uu

yx��������� �� ���������� �� ��������������E����� ������ ����� ���

��'�����ux

�����������������'�� ������������ ����

� F�������� �� ���������� �� ������������� ����������� ��� �� ����������� ��

2zx y

��������

������� ��������zy

���"�/����������������'���������'�������������� ���������� �� 2

2�34��3

����#��� 3

24x y

e � ����#���;������������

\$ ����#���4������"��������� % ����#���!'���������� �"�3�����������

& �#� ����#����

kxy

��# ����#���

4 32

4 3y x

pce

' �#� ����#���3��������� ��# ����#���0��������"���������

( �#�� ����#����������� ��# ����#��� 2 (A cos B sin )p y px pxe

) �#� ����#�������

2yke ��# ����#���0���������� �"�/����������

* �#� ����#���/�������� ��# ����#������ �����!#����

! � ����#���4��������0� ����#��������������

� � ����#���� ���� !���� ���#

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������#��� ����������� ����������������!����

�������� ���& #��� ������

��

��

������������ ��������������%� � ���%��� �� ��������� �%�������� ���� �� �������� ���� �� ���� ���������%����� ���� ��� �����������������"�#�&�%��������������������%�\$�����������7�'����������������������������%������������.�'�\$� �������� ������������������������ ������� ������������������������O�"

3��������������������������� ������ �����������%����������� ���� �%����������(

)�- #�����������&������������������������.���������������������� ���������%��!������������������������������������������ ���������%"

)��- #�������%������ ����� ��'������������������ ��������������������%"

)���- #��� ������� �� ���� ����%� �� ��� ���%�� ����� ���� ��������� ��� �%���� � �������%���������%�����"

)�!- #������������������������������yx����������\$���������������%������ ���

��������%�����"

������ ��� ����������������� ���%���� � ���� ����%"��������� ����������� � �����������?�� � ���%����"� >��� ���� ����%���������� � ��� ��������� ��� �����%� )�����������-\$� ���� ��������#������#�� ���������?�������!�������� ���%������ ��� �����!�"

>��\$���������������������������D������������\$� ����!�

#������/�#������/�#�)�������- """)*-

;����� ����������?�����"�E���� ���7���������� �� ������\$�������������� ������������!��������������

���

2

2y

t�/�#������+�#�����

�� � �m s y

t

T

TT

TT

2

22

2

1

1

sincos

sincos

ME�����%�)*-N

�� �

2

2

yt m s

T�)�����+�����-

�� �

������

������

��

2

2y

t m xyx

yxx x x

T

M>�����/�������� ���������'���������������������������������������� ������!��� ���������%������������4��N

T1

xy

T2

Q

XAO x x + x

Y

P

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�� ��

2

2

yt m

T����

������

������

yx

yx

xx x x

�����/� Tm

yx

2

2 \$������0

�� ��

2

22

2

2

yt

cy

x����� ��������/�

Tm

#����������������� ����������������%!�%����������!�����!��������� ��������%"�����������������������������3������4�E��� �������

#���������������������� ���������������

2

22

2

2

yt

cy

x������������ ������(

( )( )

i y xii y x l

��

0 00

whenwhen

"�#������������������� ��� ����!����!������ ��"

� � ��������%� ������� ���!��������������%� �� ������ ��!�� ���/� �)�-����� �����������%O�\$�������������������������

)�- ��/��)�-� ������/�0 )��-yt�/�0� ������/�0"

���������������& #��� ����

#��� �!�����������

��

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

��� ��/�H# """)1-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������\$��������������� �)*-

#���\$

2

2y

t�/�H# ���

2

2y

x�/�H#

>��������%���)*-\$� ����!� ���H#�/���H#

>�������%�����!�������\$� ��%���XX

TT

12c

. """)2-

�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������=B>����� ������� �������">��������������������������!�������\$�������������������������� �������������������������������\$�����1"�#������������)2-����������������������������� ���������������"

H1�+�H�/�0 ��� #�+�1��#�/�0 """)5-

>��!�%����������)5-\$� ��%��

)�- 9���1��������!������/���\$����

H�/ ������4����

���\$�#�/��������4����

����

)��- 9���1�������!������/�+���\$����H�/ ���������4���������\$� #�/�����������4����������

)���- 9���1�'H�/ ����4��� #�/�����4���

#��������!������������������������ ����� �!����������)*-����(

��/ )������4����

���-)�������4����

���-

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�� )���������4���������-)����������4����������-

��/ )����4���-)����4���-

� ���������������������\$� ����!������������������������ ������������� ��� ������������������� � �����������"�>��\$� �����������%� ���������������!�������\$������������������� ������� ��������"�#���� ���\$�������������������!��!���%�������������"

�����%�� �)�\$��-�/�)���������4��������-)����������4����������- """)6-

���������������������������� ����� �!������������������������������1�/�+���"

�� \$� ����������������������������"�>�����������%��� ���������������������/�0�������/��\$� ����!��� ������������������

�)0\$��-�/ 0 ��� ��)���-�/�0 ����������0"<��% ��/ 0� ������/�0 ��� ��/�0� ������/��\$

��%�� 0�/ ��)����������4����������- """),-

��� 0�/ )���������4���������-)����������4����������- """)9-

�����),-\$� ����!�����/�0�������������)9-����������

���������)����������4����������-�/�0

��������� ��� ����������/�0�������� �� ��/�nl\$� �������/�*\$�1\$�2\$�""""""

����������� ����� �!�������������� ��%�����������������������

��/ ��� cn ct

lc

n ctl

n xl3 4cos sin sin

���

���

�� ���/ an ct

lb

n ctl

n xln ncos sin sin

���

��� \$� �������/�*\$�1\$�2\$""""""

���������%��������������������������"

#����� �����������������������;�����6����3����6B���6����3��6���6����3�

#���!��������/�nc

l �����������������;���E����3����6B���6����3��6�E����3�� ����

!�����%�����%"�#�������T�\$��\$��\$�"""U�������������3��6�����

����%����������������� ���� ������!������� ��\$� ��%��

��/n

n nan ct

lb

n ctl

n xl

���

���

1

cos sin sin

""")L-

���������%��������������"�� � ����������������������������� ����� �������� ���������%�����������

���������� ������)�"�"\$������������/�0-�������������!������

. ., at 0y

i e tt

"

#���� ����!��� ��������������

�)�\$�0-�/��)�- ��� ���)�\$�0-�/�0\$�)0������-

<��% ��/ �)�- ���yt�/�0\$� ������/�0\$

����!� �)�-�/ an xln

n

sin

1

"""):-

��� 0�/n cl

bn x

lnn

sin

1

""")*0-

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

>�����������):-��������������� ����%������������������� ����)�-�����������!��)0\$��-� ����!�

���/2

0lf x

n xl

l� ( ) sin ��� """)**-

�����)*0-\$����/�0\$� ��������"

B����)L-���������� ��/n

nan ct

ln x

l

1

cos sin

""")*1-

����������%!������)**-� �����)�-��"�"����)�\$�0-���&�� �"

4 ��#������#���' �#��� ����nl ������� ���������������

� ����������������� �� ���� ������ ��������� ��� ������ � �� � ����� ������� ������������ �� ��������� ������������������������� "�#���"�����

%��������������� ��� ����.���� ���!��/��0�������

�� �������������+�����������-����������������

#����������� ������������ �!������������������������!������ �� ������������������� ���������������"� ��� ���������������� � ������������ ��������5������6�������3� 0A3!�6�����B���;�����3�0A3��B���� ������������������� ������� �������������!����� ��� ������������� ����.����%�������E����������%�������E��"

(��D���6B����0�������A�������3� )�����������������������������!��� ��%�� =-

������� ���������� �����������������\$������������������)0\$��-�/��������)�\$� -/��� ���!�����%�����%�� � ���%��� ������%!��"������������� ��������������!������������)�EG�-(

��� ����/ ������\$ 0�P���P��\$ ��8�0

E�� �)0\$��-�/ �)�\$��-�/�\$ ��8�0 )���.����%�������E��-

��� �)�\$�0-�/ �)�-\$ ��)�\$�0-�/�)�-

3������������!����������������������������� ������������ �!���������������E����������.����%������"

#����!�����������!�����.����%�������E����������%�������E��\$� �����������!������ ������

�)�\$��-�/

xl

�4�!)�\$��- """)*-

��������%�������������������!��������� �����������!�)�\$��-"

�������\$� ����)*-\$� ����!�

���/ !�� \$ ����/ !��

���/

l �4�!� \$ ����/ !��

������� ���/ ������������ ���������!���/����!��

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

����\$ �)0\$��-�/ �/ �4�!)0\$��- !)0\$��-�/�0

�)�\$��-�/ �/ �4�

l��4�!)�\$��-

!)�\$��-�/ 0

��� �)�\$�0-�/ �)�- �)�-�/

xl �4�!)�\$�0-

!)�\$�0-�/ �)�-�+�

xl

���)�\$�0-�/ )�- !��)�\$�0-�/ )�-#����� ����� �������%�������E������� !���/ ��!��� \$ 0�P���P��\$ �8�0E�� !)0\$��-�/ 0 \$ !�)�\$��-�/�0 \$ ��8�0

��� !)�\$�0-�/ �)�-�+�

xl )B���%�������E��-�!��)�\$�0-�/

)�-�� ����%��������� ������������ �!�������\$�!)�\$��-������� ��������"�>����.

�������\$��)�\$��-� ���� �� ����)*-"((� )��������0�������A�������3�)���������������-������������������� �����������������\$����)0\$��-�/��������)�\$��-�/������%!��"

��������������������������!�������������)�EG�-(

��� ���� ������ \$ 0�P�� P��\$ ��8�0

E�� ���)0\$��-�/ \$ ���)�\$��-�/ \$ ��8�0

��� �)�\$�0-�/ �)�- \$ ���)�\$�0-�/ )�-

#����!�����������!�����.����%�������E����������%�������E��\$� �����������!������ ������

�)�\$��-�/ ��4�

2 2 2

2 2x c t

l l�4�!)�\$��- """)*-

��������%�������������������!��������� �����������!)�\$��-"

�������\$� ����)*-\$� ����!�

���/ ���

tl

�4�!�\$ ����/���� l

�4�!��

���/ �4�

l��4�!�\$ ����/�

l

�4�!��

������/ ���

l�4����!��

������� ����/ ������������ �������� !���/����!��

����\$ ���)0\$��-�/ �/ �4�!��)0\$��- !��)0\$��-�/ 0

���)�\$��-�/ �/ �4�

l��4�!��)�\$��-

!�)�\$��-�/ 0

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ��� �)�\$�0-�/ �)�- ��)�-�/ ��4�

2l

���4�!)�\$�0-

!)�\$�0-�/ �)�-�+�

2

2x x

l

���)�\$�0-�/ )�- )�-�/ !��)�\$�0-#����� ����� �������%�������E������� !���/ ���!��\$ 0�P���P��\$ ��8�0E�� !�)0\$��-�/ 0\$ !�)�\$��-�/�0\$ ��8�0

��� !)�\$�0-�/ �)�-�+�

2

2x x

l\$ !��)�\$�0-�/�)�-

�� ����%��������� ������������ �!�������\$�!)�\$��-������� ��������"�>����.�������\$��)�\$��-� ���� �� ����)*-"

�% �����%�����������������& #��� ����

#������������ ����� �!���������

����/ ������ """)*-������������������������������%�� ���� �!�������

!�/ ��4��� ��� ��/���+��� """)1-������������������� ������� �!������"

�� \$ ���/ut�/�

u v u wv t w t

�/�

( ) ( )u u

c cv w

ut�/ �

u uv w

t���

v w

����/

2

2

u

t�/�

ut t

�/��� u u

v w v w

/ ��

2 2 2 2

2 2

u u u uv w w vv w

����/ ��

2 2 2

2 22

u u uv wv w

""")2-

����\$ ���/ u u v u wx v x w x

�/�

(1) (1)u uv w

ux�/

u uv w

x��

v w

����/

2

2

u

x�/�

ux x

�/�

u uv w v w

/

2 2 2 2

2 2

u u u uv w w vv w

����/

2 2 2

2 22

u u uv wv w

""")5-

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

<��%�)2-�����)5-\$�)*-����������

��

2 2 2

2 22

u u uv wv w

�/ ��

2 2 2

2 22

u u uv wv w

��

2

4u

v w�/ 0 ��

2uw v

�/�0

u

w v�/ 0

����%����%� "�"�"��� )!�������-

uv�/ �)!-

������)!-��������������� ������� �!"����%����%� "�"�"�!� )���������-

��/ ( )h v dv �4�)�-

/ )!-�4�)�- �����)�-��������������� ������� ��"�� �)�\$��-�/ )��4���-�4�)��+���-

#�����&�� ������7��������7����������� ����� �!���������"

�% �����%-����������� ������������� �����������

#��������������������������������� �!��������� ���!�������%�����%���%�!�����������������������������������\$����E����������������� ����������"�#���������� ������������ �!��������������������������������"

B� �!��\$��7��������7�������������� �����������!�����������!������������������� ���������"

�� \$� �����!������ �!���������

����/ ������\$�+��P���P�\$���8�0 """)*-%!��������������� �������)�\$�0-�/��)�-����������!��������)�\$�0-�/�)�-"

�7���������7����������� �)*-���)�\$��-�/ )��4���-�4�)��+���- """)1-

<��%������������������)�\$�0-�/��)�- ��)1-\$� ��%���)�-�/ )�-�4�)�- """)2-

�����)1-\$ ��)�\$��-�/ ��)��4���-�+���)��+���- """)5-<��%���������������� ��)�\$�0-�/�)�-���)5-\$� ��%��

)�-�/ ��)�-�+���)�-

�� 1c

)�-�/ �)�-�+��)�-

����%����%����������� "�"�"��\$� ��%��

1

( )x

ag d

c/ �)�-�+�)�- """)6-

�����������������"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

M3����!���������������������������� �������\$�!��"

� F( ) F( )x

a

dt dt x

dt>��!�%�)2-�����)6-\$

)�-�/ 1 1

( ) ( )2 2

x

af x g d

c"""),-

)�-�/ 1 1

( ) ( )2 2

x

af x g d

c""")9-

=�����%��������4������),-�������+������)9-\$� ����!�

)��4���-�/12

�)��4���-�4�

1

( )2

x ct

ag d

c""")L-

)��+���-�/12

�)��+���-�+�

1

( )2

x ct

ag d

c

/12

�)��+���-�4�

1

( )2

a

x ctg d

c"""):-

����%�)L-�����):-\$

)��4���-�4�)��+���-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N

�4�

1( ) ( )

2a x ct

x ct ag d g d

c

/ �12M��)��4���-�4��)��+���-N�4�

1( )

2

x ct

x ctg d

c<��%�)1-\$� ��%��

�)�\$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N�4�

1( )

2

x ct

x ctg d

c ����������������������������� ��%�������������"

/����6�����A�3�F�� ���������%�����������������\$����)�\$�0-�/�0���������)�-�/�0�������������������������

�)�\$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N"

-������������)*-�������� ����7��������7����������� ���( ����/ ���� \$ +��P���P�\$ ��8�0��( �)�\$�0-�/ �� \$ ���)�\$�0-�/�����B��� ���/ * ��/�*

�)�-�/ �� \$ )�-�/����� �7���������7�����������

�)�\$��-�/12M��)��4���-�4��)��+��-N�4�

1( )

2

x t

x tg d

c

/12M��)��4��-��4��)��+��-�N�4�

1sin

2

x t

x td

/ ���4����+�12M���)��4��-�+����)��+��-N

/ ���4����+�12)+�1����������-

�� �)�\$��-�/ ���4����4����������"

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

)1-�������� ����7���������7�����������

���( ����/ 5��� \$ +��P���P�\$ ��8�0��( �)�\$�0-�/ �� \$ �����)�\$�0-�/�0B���\$ ���/ 5 ��/�1

�)�-�/ �� \$ )�-�/�0 �7��������7�����������

�)�\$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N

�� �)�\$��-�/12M)��4�1�-��4�)��+�1�-�N

��� ��%������������������������� �& #��� ����

����7��������7����������� ����� �!�������������� ��%�������������

)�- /D���3�B���;�����3)��- �������������� ��)�-�����)�-������.D���"�������7���������%!��� ������������������� � �������7������������!�

������������������� ����� �������"

�����������#������������������ ��������.����%������� �!���������

����/�������4��)�\$��-\$ +��P���P�\$���8�0

�������������� �������)�\$�0-�/�0����������!���������)�\$�0-�/�0���%!�����

�)�\$��-�/

( )

0 ( )

1( , )

2

t x c t s

x c t sh r s drds

c"

-�������������������� ����������������

���( ����/ ����4���+��\$�+��P���P�\$���8�0��( �)�\$�0-�/ 0\$ ��)�\$�0-�/�0

B��� ���/ * ��/�* ��� �)�\$��-�/���+��

E���������7��������\$��������������������

�)�\$��-�/

( )

0 ( )

1( , )

2

t x c t s

x c t sh r s drds

c

/

( )

0 ( )

1( )

2

t x t s

x t sr s drds

/

( )2

0 ( )

12 2

x t st

x t s

rsr ds

/

2 2

0

1 [ ( )] [ ( )][ ( ) ( )]

2 2t x t s x t s

s x t s x t s ds

/ 01

[2 ( ) 2 ( )]2

tx t s s t s ds

/ 20

1[2 2 ( ) 2 ]

2

ts t x s tx ds

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

/

3 2

0( )

3 2

ts s

t x txs

/ 3 2

( )3 2t t

t x �4����

/ 3 2

6 2t t x

�)�\$��-�/�+� 3 2

6 2t t x

����������������������������"

�������������

��������#��3��������������������������������������������"=�������

�������������������������������������3���xl

�����������������������

������'"(����������������������������������������������������������������!����

����� � 3��� xl

cosctl

"

�����#������������ ���������%��

���

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

>��\$�����������%������������������ ������ ��� '�����������)0\$�0-�������)�\$�0-��������������������� ���������%���������������� ������D���

�)0\$��-�/ 0 """)1-

��� �)����-�/ 0 """)2-

>��\$���������%������������ ����������������������!������ ������D���

yt�/ 0 �� ��/�0 """)5-

>��\$���������%����������� ����������������������������/�0��������������������������

�)�\$�0-�/ ����� xl

""")6-

���������)1-\$�)2-\$������������������������������)5-\$�)6-�����������������"

��������� ��������������!����������)*-\$

��� ��/ H#" """),-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"

� �

yt t

ddt

(XT) XT

��

���

���

2

2

2

2y

t tddt

ddt

XT

XT"

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������>������\$� �

2

2

2

2

yx

ddx

TX "

>��������%��������!������������)*-\$� ��%��

�Hddt

cddx

2

22

2

2

TT

X H#�/���#H

A�3��(�� �12c

TT

XX

�/�+����)���-

)�- ��12c

TT�/�+���

�ddt

2T2 �4��

���#�/�0"

��'��������������� ���4������/�0

���/�������

��/�F����

�"�"�/ ����������4����������

�"�"�/ 0

#�/ �"�"�4��"�"�/�����������4���������� """)9-

)��- �XX p2

ddx

2

2X�4���H�/�0"

��'�������������� ���4����/�0

��/�F���

�"�"�/ ���������4���������

�"�"�/ 0

H�/ ���������4��������� """)L-

B���\$ �)�\$��-�/�)����������4����������-)���������4���������- """):-

A�3��((�� ��12c

TT

XX

�/����)���-

)�- ��12c

TT�/���

ddt

2

2

T�+�����#�/�0

��'�������������� ����+������/�0 ��/�F��

�"�"�/ �������4�����

���

�"�"�/ 0

#�/ �������4�����

���"

)��- �XX p2 d

dx

2

2X �+���H�/�0

��'��������������

���+��

��/�0 ��/�F��

�"�"�/��������4�����

��

�"�"�/ 0

H�/�������4�����

��

B���\$ �)�\$��-�/ )�������4�����

���-)�����������

��- """)*0-

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� A�3��(((�� �

1 TT

XX2c

�/�0�)���-

)�- �1

02cTT #�/�0 �� d

dt

2

2

T �/�0

��'��������������

���/ 0 ��/�0\$�0

�"�"�/ ���4�����

�"�"�/ 0

#�/ ���4�����

)��- �XX

0 H�/�0 ��

ddx

2

2 0X

��'��������������

���/ 0 ��/�0\$�0

�"�"�/ ����4�����

�"�"�/ 0

H�/ ����4�����

B���\$ �)�\$��-�/ )���4�����-�)����4�����- """)**-

���� � � ������ ���������!�� ��������� ):-\$� )*0-� ���� )**-\$� ����!�� ��� ������ ����������� �������������� ���������������������� ������������"�>��\$� ����������%� ����������������!�������\$������������������������������ ������"B���������������� ������������%�����������������������������������������"

B������������ ):-� �� ����%������� ��������� ��������������� �!���������%!��������������)*-"

�� \$ �)���-�/ )����������4����������-�)���������4���������-

������%��������������������\$

�)0\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���

���/ 0"

�����):-\$ �)�\$��-�/ )����������4����������-��������� """)*1-

�%��\$ �)�\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/������)���-

��/nl"

B���� ����)*1-\$� �)�\$��-�/� cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)*2-

��

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn xl

1 2 4sin cos sin

�� ��/�0\$

���

���

�� ��

yt

n cl

c cn x

lt 02 40

sin

���/ 0\$

�����)*2-\$ �)�\$��-�/ ��������n ct

ln x

l

sin """)*5-

�)�\$�0-�/ ����� xl

c cn x

l 1 4 sin

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�����/��\$���/�*" C��������%

B���� ����)*5-\$� �)�\$��-�/������ ctl

xl

sin

������������������������"

���������8��(�����������!�����������

2

2

2

2y

xy

t��������!���������������������������!��������":��������������������������

!���������������������������������'����������!��������� ���yt

��� �

����������������������������������������"

�����#��� �!������������

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

���� ��/�H# """)1-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"

yt t

ddt

( )XT XT

2

2

2

2y

tddt

XT

>������\$

2

2 2

yx

ddx

TX2

"

>��������%���)*-\$� ��%��

Hddt

cddx

2

22TT

X2

2 H#�/���#H

12c

TT

XX

""")2-

A�3��(��3���� 12c

TT

XX�/����)���-

)�- �12

2

cp

TT

ddt

2T2 �+��

���#�/�0"

��'��������������

���+������/ 0

��/ F���

�"�"�/ ��������4�����

���

�"�"�/ 0

#�/ �"�"�4��"�"�/���������4�����

���

)��- �XX p2

ddx

2

2X�+���H�/�0"

��'��������������

���+����/ 0

�� C�

�"�"�/ �������4�����

��

�"�"�/ 0"

H�/ �"�"�4��"�"�/��������4�����

��"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

B���\$��������������

��/ H#�/�)��������4�����

���-)�������4�����

��-" """)5-

A�3��((��3���

�12c

TT

XX

�/�+����)���-

)�- �12c

TT�/�+��� d

dt

2T2�4�����#�/�0"

��'��������������

���4������/ 0 ��/�F����

�"�"�/ )���������4����������-

�"�"�/ 0"

#�/ �"�"�4��"�"�/����������4����������

)��- �XX p2 d

dx

2X2�4���H�/�0"

��'��������������

���4����/ 0 ��/�F���

�"�"�/ ���������4���������

�"�"�/ 0

H�/ ���������4���������"

B���\$��������������

��/ H#�/�)���������4����������-)���������4���������-

""")6-

A�3��(((��3���\$��12c

TT

XX

0

)�- �12c

TT�/�0 d

dt

2

2T �/�0

#�/����4����

)��-XX 0 d

dx

2

2X �/�0

H�/�����4������"

B���\$��������������

�)�\$��-�/ )���4����-)����4�����- """),-

� ��������!�����������������%!������ )5-\$� )6-�����),-\$� ����!���������������������� �������������� ���������������������� ������������"�>��\$� ����������%� ����������������!�������\$������������������� ������� �������������� ���������������������!��!����%���������������������������)6-����������������������"

E�������������������

��)0\$��-�/ 0\$ �)�\$��-�/�0����������������� ��/ �)�-

������� �� ������������

yt

g x( )

�������������)6-\$ �)0\$��-�/ )���������4����������-���

��� 0�/ )���������4�����������-���

���/ 0"

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

B���� ����)6-\$ �)�\$��-�/ )���������4���������� �������� """)9-

�)�\$��-�/ 0�/�)���������4����������-���������

������/ 0�/������)����- ��/�nl"

�����)9-\$ �)�\$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl5 6 8cos sin sin

���

��� """)L-

/ an ct

lb

n ctl

n xln ncos sin sin

���

���

���� ����������������/���

#���%����������������

�)�\$��-�/ an ct

lb

n ctl

n xln n

n

cos sin sin �

�����

1

"""):-

�)�\$�0-�/ �)�-�/� an x

ln sin

1

���� ���/2

0lf x

n xl

l� ( ) . sin��� """)*0-

�����):-\$

���

���

yt

cl

n an ct

ln b

n ctl

n xln n

sin cos sin

1

�����/�0\$ �

���

���

yt t 0

�/�)�-�/� cl

nbn x

ln sin1

���� �n cl

bl

g xn x

ldxn

l �2

0( ) . sin

bn c

g xn x

ldxn

l �2

0

( ) . sin " """)**-

B���\$����������������������

�)�\$��-�/ an ct

lb

n ctl

n xln n

n

cos sin sin �

�����

1

���� ���/2

0lf x

n xl

l� ( ) . sin ���

��� ���/2

0n cg x

n xl

l

� ( ) sin ���"

������������3����������������������������������������'��������

��������� ������������!���� �� �� ����xl

" :� �� �� �������� �������� ���� ����

��������������������������������� "

�����#������������ ���������%��

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

#������������ ����"�)*-��

�)�\$��-�/ )����������4����������-)���������4���������- """)1-

C�=� ���>��"�� ��'"�*

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

E�������������������

�)0\$��-�/ 0\$ """)2-

�)�\$��-�/ 0 """)5-�����������������

���

���

yt t 0

�/ 0\$ """)6-

��� �)�\$�0-�/ ������xl

"""),-

������%�������������������)1-\$

�)0\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���

���/ 0

�����)1-\$ �)�\$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-

�%��\$ �)�\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/����� )����-

��/nl

B���\$� ����)9-\$

�)�\$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)L-

� �

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn xl

1 2 4sin cos sin

�����/�0\$

���

���

yt t 0

�/ 0�/�n cl

c cn x

l

2 4 sin

���/ 0"

�����)L-\$

�)�\$��-�/ ��������n xl

n ctl

cos �/�������

n xl

n ctl

cos

;����%����������������

�)�\$��-�/ bn x

ln ct

lnn

sin cos

1

"""):-

�)�\$�0-�/ ������ xl

bn x

lnn

sin1

��3

3

4

sin sin xl

xl

����

�����/�������

xl

bx

lb

xl

2 32 3

sin sin �4�"""

�������%\$� ��%��

���/34

0y\$����/�0\$����/�

y0

4\$����/���/�"""�/�0

B���\$� ����):-\$

�)�\$��-�/34 4

3 30 0y xl

ctl

y xl

ctl

sin cos sin cos

"

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

������������3�����������������������������������������������'������"3�������'������������!����������������� �� ����%� ���������������������������" ����������������������� �������������������������������D'"

�����#��� �!������������

2

22

2

2

y

tc

y

x""")*-

#������������ ���������)*-��

�)�\$��-�/�)����������4����������-�)���������4���������- """)1-

)=� ���>��"�� ��'"�*-

E������������������� �)0\$��-�/ 0 """)2-

�)�\$��-�/ 0 "")5-�����������������

yt�/ 0 """)6-

��� �)�\$�0-�/ �)��+��- """),-

�����)1-\$ �)0\$��-�/ 0�/�)����������4����������-��

���/ 0"

�����)1-\$ �)�\$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-

�)�\$��-�/ 0�/�)����������4����������-��������� ������/ 0�/������)���-

��/nl"

�����)9-\$ �)�\$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)L-

�� � ����)9-\$ �

��

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn x

l

1 2 4sin cos . sin

�����/�0\$ �

���

���

yt t 0

�/�0�/�n cl

c cn x

l

2 4 sin

���/�0"

�����)L-\$� �)�\$��-�/���������n ct

ln x

l

sin

�)�\$��-�/�������n ct

ln x

l

sin � ����������/���"

#��������%����������������

�)�\$��-�/� bn ct

ln x

ln cos sin

1

"""):-

�)�\$�0-�/�)���+���-�/� bn xln sin

1

���� ���/�

20

2

llx x

n xl

dxl�

( ) sin

/�2

22

0

0

llx x

n xl

nl

l x

n xl

nl

dx

l

l( )

cos( )

cos

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� /

22

0

l

ln

l xn x

ldx

l� ���

���( ) cos

/2

2 2

0

0

nl x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l( )

sin( )

sin

���

��

���

��

����

�����

/2 2

0

n

ln

n xl

dxl

. sin�/

4 42 2

0

2

3 3

l

n

n xl

nl

l

n

l

����

����

cos

�)+������4�*-�/�4

1 12

3 3

l

nn[ ( ) ] "

�����):-\$ �)�\$��-�/�4 1 12

3 31

ln

n ctl

n xl

n[ ( ) ]cos sin

/�8 1

2 12 1 2 12

3 31

ln

n xl

n ctl

n ( )sin

( )cos

( )

"

������������3��������������������������������������'�' ������' ������������������������������������������!����

��� ��� �

2kl

x 0 xl2

2kl

l xl2

x l

������

������

����

���

,

( ),

�����������������������������������"

�����#����������� �������!��������� ���������%��

2

22

2

2y

tc

ydx

""")*-

#������������ ����"�)*-��

>�)�\$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-��""")1-�M=� ���>��"�� ��'"�*N

E�������������������\$��)0\$��-�/�0\$�)�\$��-�/�0�����������������

yt�/ 0\$

��� ��)�\$�0-�/

20

22

2

kl

x xl

kl

l xl

x l

,

( ),

���

������)1-\$ �)0\$��-�/ )����������4����������-��

0�/ )����������4����������-���

���/ 0"

�����)1-\$ �)�\$��-�/ )����������4����������-��������� """)2-

�)�\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/�����V�����

��/nl"

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ��������������������������������� �����)2-\$ �)�\$��-�/ c

n ctl

cn ct

lc

n xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)5-

���

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn x

l

1 2 4sin cos sin

�����/�0\$

���

���

yt t 0

�/ 0�/�n cl

c cn xl

2 4 sin�

��

���/ 0"

�����)5-\$ �)�\$��-�/ ��������n ct

ln x

l

sin

/ ������n ct

ln x

l

sin ) ����������/���- """)6-

#��������%����������������

�)�\$��-�/ bn ct

ln x

lnn

cos sin

1

"""),-

�)�\$�0-�/ bn xln sin

1

M�����),-N

���� ���/2

00l

y xn x

l

l� ( , ) sin ���

/2 2 2

0

2

2lkl

xn x

ldx

kl

l xn x

ldx

l

l

l/

/sin ( ) sin� � �

�����

/4

2 0

2

2

kl

xn xl

dx l xn x

ldx

l

l

l/

/sin ( ) sin� � �

�����

/4

12

0

2

0

2kl

x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l�

����

����

����

����

�����cos

.cos

/

/

4� ( )cos

( ) .cos

/

/l x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l

l

l

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

2

21

/�4

2 2 2 22

0

2

2

k

l

ln

l n ln

n xl

nl

l ln

n ln

n xl

nl

l

l

l

����

����

����

����

����

. cos

sin. cos

sin/

/

/�4

2 22

2

2 2

2

2 2k

ll

nn l

nn

n

sin sin sin �

�����

� �

/�4 2

28

22

2

2 2 2 2k

ll

nn k

nn

sin sin�

� � "

�����),-\$� �)�\$��-�/�8 1

22 21

kn

n n ctl

n xl

sin cos sin

"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������������3���������������!������������������������������������

������1������l3

���������������������������������������������" ������

���������������������������������������������������������������������"

������������������� �!�����������

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

#������������ ����"�)*-��

��)�\$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-��""")1-�)=� ���>��"�� ��'"�*-

���"�� ���������� ��+�0�/�al

0

30�)��+�0-

��/�3al

x """)2-

���"�� ���������� ��+���/�0

3 3

���

���

al l

xl

/

��+���/������

������ ���

���

al

xl a

lx

l23

332 3

��+���/�+�32 2axl

a

��/�+�32

32

axl

a �/�32

1a x

l�

����� � """)5-

B����������������������������

�)0\$��-�/�0 """)6-

�)�\$��-�/�0 """),-

�����������������

yt�/ 0\$ """)9-

��� �)�\$�0-�/

30 3

32

13

axl

x l

a xl

lx l

, /

,

������

""")L-�����)1-\$ �)0\$��-�/ 0�/�)����������4����������-��

���/ 0"

�����)1-\$ �)���-�/ )����������4����������-���������"""):-

�)�\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/�����)����-"

��nl"

�)�\$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)*0-

Y

A XO B

a

x = o x = /3l x = l

l

C ( /3, a)l

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ����������������������������������

��

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn xl

1 2 4sin cos sin "

�� ��/�0\$

���

���

yt t 0

�/ 0�/�n cl

c cn xl

2 4 sin

�� �

���/ 0"

�)�\$��-�/ ��������n ct

ln x

l

sin �/�������n ct

ln x

l

sin "

#��������%����������������

�)�\$��-�/ bn ct

ln x

ln cos sin

1

""")**-

�����)**-\$ �)�\$�0-�/ bn xln sin

1

\$� ����

� ���/�2

00l

y xn x

ldx

l� ( , ) sin

/�2 3 3

21

0

3

3laxl

n xl

dxa x

ln x

ldx

l

l

l/

/sin sin� � �

�����

� �

/�2 3 3

21

0

3

3lal

xn x

ldx

a xl

n xl

dxl

l

l/

/sin sin� � �

�����

� �

/�6

12

0

3

0

3al

x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l �

����

����

���

���

����

� ��

���

����

�����

������cos

.cos

/

/

4�3

11

3

3

al

xl

n xl

nl

l

n xl

nl

dx

l

l

l

l������

����

����

����

����

������

����

����

�����cos cos

/

/

/�6

3 32

0

3

al

ln

l n ln

n xl

nl

l

����

����

����

����

. cossin

/

�4�3 2

3 31

3

al

ln

nn

n xl

nl l

l

. cos .sin

/

����

����

����

����

/�63 3 32

2 2

2 2a

lln

n ln

n � �

cos sin �4�

3 23 3

032 2

al

ln

n ln

n

cos sin �

�����

��

��

/�6 1

3 31

36 1

3 33

32 2a

nn

nn a

nn a

nn

��

�� cos sin cos sin

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���

932 2

an

n

sin

�����)**-\$� �)�\$��-�/�9 1

32 21

an

n n ctl

n xl

sin cos sin

"

������������)�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"5���!��������������������������������������������������������������������������7����������������������������������"

�����#����������� �������!�������� ���������%��

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

#������������ ����"�)*-��

�)�\$��-�/ )����������4����������-)���������4���������- """)1-

����������������%���� �����% )=� ���>��"�� ��'"�*-

���"�� ��E��\$

��+�0�/hl

0

30�)��+�0-

��/3hl

� """)2-

���"�� �E���\$

��+���/

������

h hl l

xl

23 3

3

/������

������

2

33

hl

xl�/�+�

63

hl

xl�

�����

��+���/ +�6

2hxl

h

��/ 2��+�6

3 12hx

lh

xl

���

��� """)5-

���"�� �����\$ ���4���/0

23

23

������

h

ll

xl�/�

3 23

3hl

xl hx

l�

����� �+�1�

��/3

3 3 1hxl

h hxl

���

��� """)6-

B����E�������������������

�)0\$��-�/ 0\$���)�\$��-�/�0�����������������

��������������������������������

yt

0 \$

Bl

3, h

C23l , – h

23l , 0

l

3, 0

X

A( , 0)l

ED

(0, 0)

h

hO

Y

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

��� �)�\$�0-�/

30 3

32

323

3 23

hl

x x l

hl

l xl

xl

hl

x ll

x l

, /

( ),

( ),

�����)1-\$ �)0\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���

���/ 0"

�����)1-\$

��)�\$��-�/ )����������4����������-��������� """),-

�)�\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/������)����-

��/nl"

�����),-\$ �)���-� cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)9-

��

���

���

yt

n cl

cn ct

lc

n ctl

cn x

l

1 2 4sin cos sin "

�����/�0\$

���

���

yt t 0

�/ 0�/�n cl

c cn x

l

2 4 sin

���/ 0

�����)9-\$ �)�\$��-�/ ��������n ct

ln x

l

sin �/�������n ct

ln x

l

sin "

#��������%����������������

�)�\$��-�/ bn ct

ln x

ln cos sin

1

""")L-

�)�\$�0-�/ bn xln sin

1

\$� ����

���/2

00l

y xn x

ldx

l� ( , ) sin

/ 2 3 32

30

3

3

2 3

2 3lhl

xn x

ldx

hl

l xn x

ldx

hl

x ln x

ldx

l

l

l

l

l/

/

/

/sin ( ) sin ( ) sin� � � �

�����

//3 2 /3

0 /3

2 3 2 3. sin . ( 2 ) sin

l l

l

h n x h n xx dx l x dx

l l l l l l

2 /3

2 3. ( ) sin

l

l

h n xx l dx

l l l

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

/6

12

0

3

0

3hl

x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l�

����

����

����

���

����

���

����

����

�����cos

.cos

/

/

4�6

2 22

3

2 3

3

2 3hl

l x

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l

l

l( )

cos( )

cos

/

/

/

/

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

4�6

12

2 3

2 3

hl

x l

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l

l

l( )

cos.

cos

/

/

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

/�6

3 32

0

3

hl

ln

l n ln

n xl

nl

l

����

����

����

����

. cossin

/

4�6

323 3 3

22

3

2 3

hl

l ln

n n l ln

ln

n xl

nl l

l

������

���

���

����

����

����

����. cos cos .

sin

/

/

4�6

3232

2 3

hl

l ln

n ln

n x ln l l

l

���

���

��

� ��. cos

sin // /

/�

2

36

32 2

32 2h

nn h

nn h

nn

cos sin cos

4�2

312 2

3 32 2

36

0232 2 2 2

hn

n hn

n n hn

n hn

n

cos sin sin cos sin �

����� �

�����

/� 183

18 232 2 2 2

hn

n hn

n

sin sin �/�

183

1832 2 2 2

hn

n hn

nn

sin sin ���

���

/�18

318

32 2 2 2h

nn h

nn

sin sin �����

/�36

32 2

h

n

nn

n

sin , when is even

0, when is odd

�����

�����)L-\$ �)�\$��-�/�36 1

322,4

2h

nn n ct

ln x

ln

, ...

sin cos sin

�)�\$��-�/�9 1 2

32 2

21 2,

2h

mm m ct

lm xl

m

, ...

sin cos sin """):-

) �������/�1�-

�����%���/�l2������"�),-\$� ��%��

� lt

h mm

m ctl

m2

9 23

1 22 2

1

, sin . . cos���

���

���

���

�"������/�0"

B���\$��������� ���������%����� �����������"

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

������������:��������������������������������������������������������

������������������!�����!�������

���

���

yt

b sinxlt 0

3 ������������������������� "

�����#����������� �������!��������� ���������%��

2

22

2

2y

tc

yx

""")*-

#������������ ���������)*-��

�)�\$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-���""")1-�M=� ���>��"�� ��'"�*N

E�������������������\$ �)0\$��-�/�0 """)2-

�)�\$��-�/�0 """)5-

�������������\$���� �)�\$�0-�/�0 """)6-

��� ��

���

���

yt

bxl

sin3 ������/�0 """),-

��������"�)1-\$ �)0\$��-�/ 0�/�)����������4����������-��

���/ 0"

�����)1-\$ �)�\$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-

�)�\$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������

������/ 0�/������)����-

��/nl"

�����)9-\$ �)�\$��-�/ cn ct

lc

n ctl

cn xl1 2 4cos sin sin

���

��� """)L-

�)�\$�0-�/ 0�/���������n xl

���/ 0"

�����)L-\$ �)�\$��-�/���������n ct

ln x

l

sin

/ ������n ct

ln x

l

sin � ����������/���

#���%����������������

�)�\$��-�/1

bn ct

ln x

ln sin sin

"""):-

yt

bn cl

n ctl

n xln

1

. cos sin

�����/�0\$� ��

���

���

yt

bn cl

n xlt

n0 1

. sin

����� xl

bn cl

n xln

. sin1

b xl

xl

bcl

xl

b cl

xl

bcl

xl4

33 2 2

33

12

3sin sin sin sin sin ...

�� �

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���

cl

b 34

���/�34blc

���/�0 ���3

43b cl

b ���/�+�

blc12

����\$ ���/�0�/���/�"""���"

B���� ����):-\$ ��)�\$��-�/�34 12

3 3blc

ctl

xl

blc

ctl

xl

sin sin sin sin

/�bl

cxl

ctl

xl

ctl12

93 3

sin sin sin sin�

� � "

���������7��3����������������������������������������'�����������������������������������������������":��������!����������!����������������������������!����������%� ����������������������������������������������������������������"

�����B���������������������������� �)0\$��-�/��)�\$��-�/�0

�)�\$��-�/� an ct

lb

n ctl

n xln n

n

cos sin sin �

�����

1

""")*-

�=� ���>��"�� ��'"�1>�����������%� �����������������\$��)�\$�0-�/�0

�����)*-\$�� 0�/� an x

lnn

sin

1

���/�0

�)�\$��-�/� bn ct

ln x

lnn

sin sin

1

""")1-

��� ������������

yt

n cl

bn ct

ln xl

cln

nn

cos sin

11�������

n ctl

n xl

sin

E�� ����������yt�/��)�%�- ������/�0

�)��+��-�/� cl

nbn x

lnn

sin

1

���

c

lnb

lx l x

n xln

l �2

0( ) sin ���

/�2

2 22

2 2

3

3 30

l

x l xl

nn xl

l xl

nn xl

ln

n xl

l

( ) cos ( ) sin ( ) cos ������

���

���

���

���

��

����

/�4 2

3 3

l

n�)*�+�����-�/�

4 2

3 3

l

n�M*�+�)+*-�N

/�08 2

3 3

,

,

when is even

when is odd

nl

nn

��

��"�"�� 82 1

2

3 3

l

m( )\$���&�%���/�1��+�*

���/�82 1

3

4 4

l

c m( ) �����)1-\$����������������������

�)���-�/�8 1

2 12 1 2 13

4 41

lc m

m ctl

m xl

m ( )sin

( )sin

( )

"

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

���������9��(��!��

*56 ���%�����%�� %E�E��D'

:4� ����' ���� �����' �����"

�����B���� �����������%!���������������� ����������� ������)�\$��-��������)�\$��-�������!�

)��-���/ )��-��

)��-�)�\$�0-�/ ��\$ )��-��)�\$�0-�/�������� )��-���/ )��-���4���+��

)��-�)�\$�0-�/ 0\$ )��-��)�\$�0-�/�0#������������ �����%!�����������������

�)�\$��-�/ ��)�\$��-�4���)�\$��-E���7���������7�� �������M��/�*\$��)�-�/����\$�)�-�/�����N

��)�\$��-�/12M)��4��-��4�)��+��-�N�4�

1sin

2

x t

x td

/12M)��4��-��4�)��+��-�N�+�

12M���)��4��-�+����)��+��-N

/ ���4�,�����4����4����������E���������7�������� M�)�\$��-�/���+��N

��)�\$��-�/( )

0 ( )

1( )

2t x t s

x t sr s drds

�/�

( )2

0 ( )

12 2

x t st

x t s

rsr ds

/ 20

1[2 2( ) 2 ]

2

ts t x s tx ds �/�

3 2

0( )

3 2

ts s

t x txs

/3 2

( )3 2t t

t x �4�����/�+�3 2

6 2t t x

B����)�\$�-�/����4�,�����4����4�����������+�3 2

6 2t t x "

�� ������

����������������� ��� ����#� ����������������������� ��������������������������� ����� ��\$����� �C�� ������������ ������������������������� ��� �#���� ������"�����/�#������������!�

� 8 ���G�������4����D�� '���#���'���� 7���#��� ���'#���'�

���

���

yt t 0

���� �#

��� �#�� �#���7������� ��#�� �#���0�����/��"�/�����7��\$ ����������������� �� ������������������������������������������������������'���������/����

���� �� ����������������������������������������� ������ ������� x2

���

���

�����������������

�����C�� ������������ ������������'�% ���������� ��� �� ����������� �� ��������������������� ���������#�����������������������

� ����� ��G

�������� �# ���������'

���yt��� �# ���������'

�������������������������� �� �������������������������������������

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

& %���������� ��� ������������������������� ���������������������������������������� �

2

2

2

2u

t

u

x%���������� �������������������������������������%�������������� ��������C�� ������������������������ ����� ���'#���/ ������������0�#������������������� �� ����#� �����������������������������������

' F�����B?�@������?����� �������������������� �� ��������������������� ����������������������������������������������� �����C�� ��������������������� ��� �#���� ��"���#�

( %�������� ����������������������������� ���������#������������������'���������#���%������������������������������ ������������������������� ��������������������������������������������'��8� ������

� ����#���2 12

2 21

dl

b l b n

n bl

n xl

n ctl

n

( )

sin sin cos

) ����������������� �� ����������������������� ��������������� �������� ���������������������

����������� ��������C�� ������������������������� �������������� ���'#���1 0

12

112

1

,

,

���

��

���

��x

x�

* ����������������� �� ����#� ��������������������������������������� �������������������������������������������� ������������ ���� �������������

��������13

����0����15

�����7�� '�����!

! @����������������������������������� ��� �� ��������������#����������������������������� ����#��������� ���������������������� � ��������������������������G

� ���'#���@���� 2 x

l

8 ��������� �� ������������\$� ������������� ���� �HI+#G

2

2

u

t��

2

2

u

x� '�J���J�!� ��6�'

'���#�� /� !���#���0� ���'

���'#�� /������������

0t

ut �� '�

� 8 ��������� �� ������������\$� ������������� ���� �HI+#G

2

2

u

t��

2

2

u

x� '�J���J�!� ��6�'

� '���#�� !� � !���#���0� ���'

���'#�� ������� � ���'#������ ����

\$ F���B?@������?��� ����� �� ���������I+G

��� 4��� "��J���J�� ��6�'

���'#�� ������ � ���'#���4�

% ��� ����#���������� ������/��������� ��� �� ���������������������� ���

��������� �"��J���J�� ��6�'

���'#���� �#� �� ���'#���/�

F���B?@������?��� ����� ������� �#�

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

& 2������������ ��� ��� ������������\$������� ���G

�# +B) ��������� "��J����J�� ��6�'

�>� ���'#���2xe � � ���'#���'

��# +B) ��������� "��J����J�� ��6�'

�>� ���'#���'� � ���'#����2xe

���# +B) ����������/� "��J����J�� ��6�'�>� ���'#���'� � ���'#���'

��# +B) �����4������������� "��J����J�� ��6�'�>� ���'#���'� � ���'#���'�

2�34��3

� ����#��� � ����������"�� ��/������/�#

� �#�� ����#���52

�����������/� � ��#�� ����#���34

�����/������4��"�1

5�����7������!'�

\$ � ����#���34 2 2

14

32

32

sin cos sin cos x ct x ct

% � ����#��� sin cos sinn x

la

n atl

bn at

ln nn

���

���

1

����� �����2

0lx

n xl

dxl� F( ) sin

��� �����

2

0nax

n xl

dxl

� ( ) sin

& � ����#���/K� ������������� ��0������0�L ' � ����#����� !�"����"�0����#

) � ����#��� 2 11 2

21

nn

nn

n x n ct

���

���cos cos sin cos

* ����#���������� �������13

�����0��� ��0�����15

�����7��� ��7��

! � ����#���@����� 2 2

cosx ct

l l� ����#���/�������������� ���

� ����#������������������ ��������� \$� ����#���������� ��/����4�

% � �#��������

& �#� ����#���2 2( ) ( )1

[ ]2

x t x te e ��# ����#���2 2( ) ( )1

[ ]4

x t x te e

���# ����#����� ��# ����#���� ��"������#

#��� ��������� �6�&�+�������� �& #��� ����

3�� ������ �� � ������ ���� �������� ��� ���� !�������� � � �� �%����� �����������������)��������������������� �������-"�3������������������������������������ ����������������������������������%������������������!����������������������"����#��������������������������%���������������������� ��������������������������"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������������ ����������������������� �������������"����������������������\$����������������������.�����\$����� �����#��)���%���������������������-����������������%���� ����%�������������%��������������������D�����"�>�������!�������������

/�)#�-�����+�)#�-�����/�#�)�����+�����-������'������\$��������������������

�/�#��

���

���

���

���

��

ux

uxx x x

�/�#���

���

��

��

ux

ux

xx x x

���

�/�#���

2

2

ux�������� ����������� ������'�����"

>������\$� ���� �����#�� ���%� ��� ���� ��%��� � � ���%����� ��!�� ���� !�����

����������#���

2

2u

y"

B����������������� �������� ��������������

�)���-�

���

���

2

2

2

2

2

2u

tu

xu

yT ���

��

���

���

2

22

2

2

2

2u

tc

ux

uy

��������/�Tm"

#��������� �!������������� ����������"

�������������&�+�������� ��& #��� ����

# �.���������� �!�����������

���

���

2

22

2

2

2

2u

tc

ux

uy

""")*-

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

��� ��/�HI# """)1- �����H����� ������� �������\$�I����� ������� ������������#����� ������� �������\$�������������� �)*-"

#��� ��

2

2

ut�/�HI#\$�

2

2u

x�/�HI#�����

2

2u

y�/�HI#

>��������%���)*-\$� ����!�� 12c�HI#�/�HI#�4�HI#

�!��%����HI#\$� ����!�� 12c

TT

XX

YY

""")2-

#��� ���������������� �������������������������"������%��������������������\$� ����!�

� � ddx

2

2X �4�1�H�/�0\$�

d

dy

2

2Y�4���I�/�0 ��� d

dt

2

2T �4�)1��4���-��#�/�0

#������������� ��������������������������!���H�/ ������1��4�������1�

I�/ ���������4���������

��� #�/ ����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26

2 2 ��

B���� ����)1-\$������������ �)*-���)�\$��\$��-�/ )������1��4�������1�-)���������4���������-

M����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26

2 2 ���N

""")5-

�� �����������������������������������������%����������������������� �����������

��/�0\$���/��\$���/�0\$���/��"

#����������������������������(

)�- ��/�0\$� ������/�0

)��- �/�0\$� ������/��

)���- ��/�0\$� ������/�0

)�!- ��/�0\$� ������/��� ��������"

������%������������)�-\$� ����!�

��������0�/���)���������4���������-M����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26

2 2 ��N

�"�"\$ ���/�0

�����%� ��� /� 0� �� )2-� ���� ������%� ���� ������� )��-\$� �� ��!�� ��� 1�� /� 0

���1�/�ma\$� ���������������%��"

>������\$�������%�������������)���-�����)�!-\$� ��%��

���/ 0 �� ��/�nb\$� ���������������%��"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#���� ���\$�������������)2-�������

�)�\$��\$��-�/ ��������m x

an yb

sin �)��������4���������-

�������/�� ma

nb

2

2

2

2

=�����%������������������������������\$� ����� ��������%�����������������

�)�\$��\$��-�/m n

m xa

n yb

1 1

sin sin

�)��������4�E�������- """)6-

�� � � �������� � ���� � ��������� � ������� � ���� ����� ���� ���� ����� ��������/��)�\$��-��"�"���)�\$����0-�/��)�\$��-"

#����������%�����������(���ut�/�0� ������/�0\$� ��%���E��/�0"

��������%�����������( ��/��)�\$��-� ������/�0\$� ��%��

�)�\$��-�/m

mnn

m xa

n yb

1 1

A sin sin

"""),-

#��������������������������"�;�������%�����������������m x

an yb

sin ����

���%����%� ������/�0������/���������/�0������/��\$��!�����������������%����'��������������D���"�#���\$� ��%��

0 0 4

a bf x y

m xa

n yb

dy dxab� � ( , ) sin sin

���

�"�"� ���/�4

0 0abf x y

m xb

n ya

a b� � ( , ) sin sin ������ """)9-

B���\$� ����)6-\$����������������������

�)�\$��\$��-�/�m n

mnm x

an yb

1 1

A sin sin

������

����������%!������)9-�������/��ma

nb

2

2

2

2 "

�������������

���������#� ����������������������� �����������������������������.�������������!����������������������������������������� �3�������,�"

�����#���!��������� �������������������������%�!���������� ����������� �!���������

���

���

2

22

2

2

2

2u

tc

ux

uy

""")*-

B����������������������������\$ �)0\$��\$��-�/�0\$��)*\$��\$��-�/�0\$ �)�\$�0\$��-�/�0\$��)�\$�*\$��-�/�0

��� ��������������������

��)�\$��\$�0-�/��)�\$��-�/�����������1� ���

���

���

ut t 0

�/�0

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

#�����!�����"�)*-\$���� ��/�HI# """)1- �����H��� ������� �������\$�I����� ������� �������\$�����#����� ������� �������"

2

2

2

2

ut t

�)HI#-�/�HI�ddt

2T2

2

2

2

2

2ux x

ddx

(XYT) = YTX2

2

2

2

2

2u

y y

d

dy(XYT) = XT

Y2 \$

�����)*-\$ �HI#�/�)I#H�4�H#I-��

12c

TT

XX

YY

#��� ���������������� ��������������������������"�������%�������������������\$� ����!�

�� ddx

2

2X �4�1�H�/�0\$�

d

dy

2

2Y�4���I�/�0 ��� d

dt

2

2T �4�)1��4���-��#�/�0"

#������������� ��������������������������!���\$

H�/ ������1��4�������1�

I�/ ���������4���������

��� #�/ ����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���"

�)�\$����-�/ )������1��4�������1�-)���������4��������-

M����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���N """)2-

�����)2-\$��)0\$��\$��-�/�0�/���)���������4���������-)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���-

���/�0"

�����)2-\$�)�\$��\$��-�/�������1�)���������4���������-

)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ��-��""")5-

�)*\$��\$��-�/�0�/�������1)���������4���������-)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ��-

����1�/�0�/������)����-

1�/��"

�����)5-\$ �)�\$��\$��-�/���������)���������4���������-

)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���- """)6-

�)�\$�0\$��-�/�0�/����������"���)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���N

���/�0"

�����)6-\$

�)�\$��\$��-�/������������������)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ���- �"""),-

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� �)�\$�*\$��-�/�0�/�����������������)����� k l ct c k l2 2

62 2 sin ���-

���������������/�0�/������)����-

��/��" �����),-\$

�)�\$��\$��-�/������������������)����� k l ct c k l2 26

2 2 sin ��-

�)�\$��\$��-�/�������������)���������4�E�������- """)9-

���� ��/��� m n2 2 "

#��������%����������������

�)�\$��\$��-�/�m n

1 1

������������)���������4�E�������-

""")L-������%�����������\$

ut

0 �����/�0

��%�� �E��/�0 """):-

����\$����%��������������/��)�\$��-�/�����������1� ������/�0\$� ��%��

� ����������1��/�m n

1 1

��������������

#���������������������>����"

� ���/�21

21 0

1

0

1. sin� � A �����1������������������

��!�����\$ ���/����/����/�""""""�/�0

E��\$ � ����/�5��0

1

0

12 2� � sin sin sin x m x y dxdy

/�1��0

1

0

11 4� � sin sin ( cos ) x m x y dxdy

/�1��0

1

0

144� ���

���sin sin

sin

x m x yy

dx

/�1��0

1� sin sin x m x dx

�%��\$���!�����\$

�����/�����/�����/�"""�/�0

E��\$ �����/�1��0

12� sin x dx �/���

0

11 2� ( cos )x dx

/��� xx�

�����

sin 22 0

1

�/�� """)*0-

�����)L-\$�):-�����)*0-\$� ��%��

�)�\$��\$��-�/����������1������� """)**-

���� ��/��� m n2 2 �/�)*-� 1 4 �/� 5 �

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�����)**-\$��)�\$��\$��-�/������ 5 ����������1�"

�������� �8�� ��� ��� ���������� ���� �� � �� � ���������� ���������' � �� ' � � ����� �������� �� ����� F �!�� ���� �� ������ ���� ���� ���������' �����%� ��%� "(������������������������!����

������� � A cos ckt sinm x

asin

n ybmn

n 1m 1

����� 3�/16a bm n

2 2

3 3 6�.%���� �.%���� ��� 1���

ma

nb

2

2

2

2���

��� "

������������%���������"�1"**\$� ����!�

�)�����-�/�m n

1 1

������m x

an yb

sin ������

���� ��/��� ma

nb

2

2

2

2 """)*-

�����)*-\$� �)���\$�0-��/�m n

1 1

������m x

an yb

sin

���)��+��-)��+��-�/�m n

1 1

������m x

an yb

sin

���� � ���/�2 2

0 0a bxy a x b y

m xa

n yb

dydxa b

. ( ) ( ) sin sin� �

/�4

0 0abx a x

m xa

dx y b yn yb

dya b� � ( ) sin . ( ) sin

��/�4

2 22 2

2

3 3

30

abx a x

m xa

ma

a x

m xa

ma

m xa

ma

a

( )cos

( )sin

( )cos

����

����

����

����

����

����

����

����

W� y b y

n yb

nb

b y

n yb

nb

n yb

nb

b

( )cos

( )sin

( )cos

����

����

����

����

����

����

����

����

2 22 2

2

3 3

30

�/�4 2 2 2 23

3 3

3

3 3

3

3 3

3

3 3aba

mm

am

bn

nb

n

� �

� �

cos cos

/�4 2 23

3 3

3

3 3aba

mb

n. .

�M*�+�)+�*-�N�M*�+�)+�*-N

� ���/�16 2 2

3 3 6

a bm n

�M*�+�)+�*-�N�M*�+�)+�*-N"

B���� ����)*-\$

�)�����-�/� 16 1 1 1 12 2

61 1

3 3a b

m nm x

an yb

m n

n m

[ ( ) ] [ ( ) ]sin sin ������

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���� ��/��� m

anb

2

2

2

2 """)1-

�'��������)1-���������������������\$

�)�\$��\$��-�/�m n

1 1

��������1�����m x

an yb

sin

���� ��� 16 2 2

3 6 3a b

m n)*�+�����-)*�+�����- ��� 1��/���

ma

nb

2

2

2

2���

��� "

������������3���������������������������������������!������������������������������������������1���,�����"(����������������������������������

1���,��������� 5 �� "

�����B���� ����!��������!��������������

���

���

2

22

2

2

2

2u

tc

ux

uy

������������������� �)0\$��\$��-�/��)*\$��\$��-�/��)�\$�0\$��-�/��)�\$�*\$��-�/�0

�������������������� �)�\$��\$�0-�/��)�\$��-�/�1����1������

ut�/�0 ������/�0

�������%�������'"�*\$� ����!�

�)���\$�-�/�m n

1 1

�������������������� """)*-

>��\$ ��/���/�*\$ �������/��� m n2 2

��� ����/�4

1 1 0

1

0

1

� � k ���1�����������������������

/�51�0

1

0

12� �sin sin sin sinm x x dx n y y dy

/�0 ������1 �� ���*

�����/�51)12 -)

12 -�/�1 ��� ��/��� ( ) ( )2 1 52 2 �

B������������)*-������������)�����-�/�1����1����������) 5 ��-"

�� ������

�������������������� �������#� ���������������������� '�J���J�!��'�J���J�/#��� ��� ��������������������������������������� ���������� ������'#����� !�"��# /����#�

� ����������������� �� �������#� ���������������������� '�J���J����'�J���J��#��� ��� ��������������������������������������� ���������� ������'#����� ���"���#� ���"���#�

\$ ����������������� �� �������#� ��������������������������������������������������������������������������� ���������!������������������� ��������C�� ������������������������� ����

� ����#���sin sin .2 3 xa

yb

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

2�34��3

�������#����m n

1 1

�@��������� ��������n y2

��� ���������������@�������2563 3 6m n

���� ��

��� �� ������������� mn2

2

4

� �������#����m n

1 1

@�������m x

an yb

sin �� ������������@�����

144 3 3

3 3 6a b

m n ����������

m

a

n

b

2

2

2

2 �

\$ �������#����sin sin cos2 3 xa

yb

pt �����������4 92 2a b �

��+�������� ��� �����&� � �

� �

��

� ��

� �

������������ �� �� ���������������%������� �������"���������������������������� � ������������ ����������������� ������ ������ ��������������������������������������%�%���"�#�&����������� ��������������%������������������ � �� �����������!���.�'�"�#������������������������������ ��������������������������������� ���������� �������������������������"�����\$������������������ ������������ ��������.����������������"

#����������� �����������%������������ ���������������������������������������� � � ���� ����.�����\$� ���� �����!���X� � � ������������ � � ���� ���� ���� ���

������������%�������ux��"�"\$������� ����%��� ������������� "�"�"�����������������

��������"

?�\$�������������� ������ �� �%����������������������������

/�+X��������

ux x

�������"

)������%��!���%����������%��������������������������������\$�����������-"

?�\$�������������� ������ �� �%������ �������������������������4��

/�+X��

���

���

ux x x

�������"

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

B���������������� �������������������������� �����&��������

?��+�?��/�X��������

������

��

ux

uxx x x

�������" """)*-

E������������� ��������� �����������������/�>���� ut

""")1-

�����>���������� ����������\$������������� ������������"

�����)*-�����)1-\$�>����ut�/�X��

������

������

��

ux

uxx x x

�� �>� ut�/�X�

� ��

��

��

ux

ux

xx x x

��

#�&�%���������������0\$� ����!�

>�

ut

ux

K2

2��

ut

u

x

KS

2

2

����������

ut

cu

x2

2

2�\$�� ��������/�

KS���&�� ������ ��!���� �������������� ��������"

���������������� ���� ����

#����������������� �� �

ut

cu

x2

2

2 """)*-

��� ��/�H# """)1-

�����H����� ������� ������������#����� ������� �������\$��������������� �)*-"

#��� �ut�/�H# ���

2

2u

x�/�H#

>��������%���)*-\$� ����!�� � �H#�/���H#

>�������%�����!�������\$� ��%���XX

TT

12c

""")2-

�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������="B">"����� ������� �������">��������������������������!�������\$�������������������������� �������������������������������\$�����1"�#�����������)2-����������������������� ����������������"

ddx

2X2 �+�1H�/�0 ���

ddtT�+�1��#�/�0 """)5-

>��!�%����������)5-\$� ��%��

)�- 9���1��������!��� ����/���\$����

��H�/�������4����

���\$�#�/����ec p t2 2

)��- 9���1�������!������/�+���\$����

H�/����������4���������\$�#�/����ec p t 2 2

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

)���- 9���1�'

H�/�����4���\$�#�/���"

#��������!������������������������ ������������������)*-����(

��/�)�������4�����

��-�"����ec p t2 2

""")6-

��/�)���������4���������-�"���e c p t 2 2"""),-

��/�)����4���-�� """)9-

� ���������������������\$� ����!������������������������ ������������� ���������������������� ������������"�>�����������������������������\$�������������������������� �������������������

��/�)���������4���������-���ec p t 2 2

"

>�������)6-�����S�����������������"����\$���������)9-�����S����������%!��������.D���������������������������"

����������������� �����������

�� ���������������� ��������������� �����������&���������������������������� ������ ����D���"

�������������EG�\$ ���/ ���\$�0�P���P��\$���8�0

�)0\$��-�/ \$���)�\$��-�/�V����0�)�\$�0-�/ �)�-

#����!�������������%�������������������������������%����������������������\$� ���������� ���� �%������ �������� ������(

�)�\$��-�/ L

x �4�!�)�\$��-

3�������������� �������� �!�)�\$��-� ������%�!��������������EG�(

!��/ !��\$ 0�P���P��\$ ��8�0

!)0\$��-�/ 0�/�!�)�\$��-\$ ���0

!)�\$�0-�/ �)�-�+� L

x

!)�\$� �-� ��� �� � ������ ��� ����� ���%�������� � � ���������� � � !�������"��������������)�\$��-��������������������������� ����������"

�������������

�����������3��� �� ����� ����� ��������� ����� �� ����������� ���������������������":�������������������������'G4������1��������������������" ������������������������������ "

�����#��������������� �������)�\$��-����� �������� ���������������

ut

cu

x2

2

2

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������!��������"�1"*2\$� ����!�

��)���-�/�)���������4���������-���e c p t 2 2

""")*->��������������/�0�������/����������������0Y������&�����������������������

�����%����\$���������������������������)0\$��-�/��)�\$��-�/�0� ��������

������)�\$�0-�/��������������������">����)0\$��-�/�0\$� ����!�� ����)*-\$

0�/ ����e c p t 2 2 ���/�0

�����)*-\$ �)�\$��-�/ ����������"�e c p t 2 2

""")1->����)�\$��-�/�0\$� ����!�� ����)1-\$

0�/ �����������"�e c p t 2 2

������/ 0 ���/��

��/nl\$������%�������%��

>�������)1-������������)�\$��-�/�������n x

le

c n tl

. 2 2 2

2

����������%�����������"

#��� ����� %������� �������� �� �������� ��� ����%� ���� ���� ��������� ����/�*\$�1\$�2\$""""""

�)�\$��-�/� bn xl

en

c n tl

n

sin .

2 2 2

2

1

""")2-

>����)�\$�0-�/��\$� ����!����/� bn x

lnn

sin

1

�������� .���%������������ ����"

���/�2 0

40

0 0lu

n xl

dxn

un

nl�

�����

sin,

,

when is even

when is odd

B�������������������� �����

�)�\$��-�/�4 10

1 3 5

2 2 2

2un

n xl

en

c n tl

, , ......

sin

/�4 1

2 12 10

1

2 12 2 2

2un

n xl

en

c n tl

sin( )

( )

"

������������ ������������������������������,������������1�����

���������������������������������������������������������� x2

3 sin5 x2

"

����������)�\$��-�����������������������������"�#�����������������������

�)0\$��-�/ 0�/��)1\$��-� ��������" """)*-

#����������������

�)�\$�0-�/ ���x2�4�2����

52x

""")1-

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

���.��������������� �� ����������

ut

cu

x 2

2

2 """)2-

�������������

�)�\$��-�/�)���������4���������-���� e c p t 2 2 """)5-

�)0\$��-�/�0�/����� e c p t 2 2C�<��%�)*-

���/�0

�����)5-\$

�)�\$��-�/������������ e c p t 2 2""")6-

�)1\$��-�/�0�/���������1� e c p t 2 2C�<��%�)*-

����1��/�0�/�����

��/�n2\$�����

B���� ����)6-\$

�)�\$��-�/�������n x2� e

n c t2 2 2

4

C� �����/���

#��������%����������������

�)�\$��-�/�n

1

������n x2� e

n c t2 2 2

4

"""),-

�)�\$�0-�/����x2

���

��� �4�2����

52x�

����� �/�

nnb

n x

1

2sin

/�������x2

���

��� �4�������

22x�

����� �4�"""�4������

52x�

����� �4�"""

�������%\$� ��%��

���/�*�������/�2

B���� ����),-\$

�)�\$��-�/���� x2

���

��� � e

c t2 2 4/ �4�2���� 52x�

����� � e

c t25 42 2 / "

������������3�������������������������������3���H������������'G4���.''G4��������!��������������������������������!���":�H�������������������'G4���������������'G4�����������������������������������3�������"

���������������������������������������������������������������3��,'G4����������������H��I'G4"

��������������������������������������������

�u lx

lx1 0

100 0 100 ���

���

���������������������������)�"�"����������������-��

ul

x2 00 0

0 ���

���

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#��%���������������������������\$

��/���)�-�4���)���-

�������)�-� �� ���� ������� ������ ���������������������� �� ���� ���"���)��� �-� �� ���������������������������������� ������������D����������������"

��)�\$��-����� ���������������������� �� ��������

�)�\$��-�/�n

n nc p ta px b px e

1

2 2

( cos sin ) – """)*-

���������������\$ �)0\$��-�/�0�/��)�\$��- """)1-

�����)*-\$ ��)0\$��-�/�0�/�n

nc p ta e

1

2 2– ���/�0 """)2-

����\$ �)���-�/�0�/�n

nc p tb pl e

1

2 2

sin –C����%�)2-

�������/�0�/�����\$�����

�� ��/�nl

""")5-

�����)*-\$�)2-�����)5-\$��)�\$��-�/�n

n

nl

c tb

n xl

e

���

���

1

22

sin–

""")6-

<��%������������\$

�)�\$�0-�/�100

1l

x bn x

ln

n

sin

�������� .���%������������ ���100

lx.

���2 100

0l lx

n xl

dxl� sin

/� 20012

0

0lx

n xl

nl

n xl

nl

dx

l

l.

– cos.

– cos

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

/�200

2

2

0

ll

nn

ln

n xl

nl

l

����

����

����

����

cossin

�/� 200

1n

n

( )

B�������������������� �����

�)�\$��-�/ –( )

sin200 1

1

2 2 2

2

n

n n c tl

nn x

le

:����������������������������������������������������� ����������"�"�

�)�\$�0-�/100

lx"

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

E���������������������)0\$��-�/�10������)�\$��-�/�L0� �������!������� �������\$� ��������������������������

���/ 10�4�80 20�

�����l

x �/�10�4�60l

x

#���\$ ��/ ��)�-�4���)�\$��-

��/ 10�4� 60

1

2 2

lx a px b px e

nn n

c p t

( cos sin ) – """),-

�)0\$��-�/ 10�/�10�4�n

nc p ta e

1

2 2– C������),-

���/ 0

�����),-\$ ��/ 10�4� 60

1

2 2

lx b px e

nn

c p t

sin – """)9-

�)�\$��-�/ L0�/�10�4� 60

1

2 2

ll b pl e

nn

c p t

sin C������)9-

0�/n

nc p tb pl e

1

2 2sin –

������/ 0�/�����\$�����

��/nl

""")L-

�����)9-�����)L-\$ ��/ 10�4� 60

1

2

lx b

n xl

en

n

n cl

t

���

��� sin

"""):-

<��%������������\$

�)�\$�0-�/100

2060

1l

xl

x bn x

ln

n

sin

� 4020

1l

x bn x

ln

n

sin

���� ���/2 40

200l l

xn x

ldx

l� ���

��� sin

/2 40

2040

0

0l lx

n xl

nl

l

n xl

nl

dx

l

l�

�����

����

����

����

���

����

���

����

����

�����cos

.cos

/2 20 20 40

0

ll

nn

ln n

n xl

nl

l

����

����

����

����

cossin

/

�����

401

080

nn

n

nn

( cos ),

,

when is odd

when is even

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

B������������):-�������\$

�)�\$��-�/ 10�4�60 80 1

2, 4

2

lx

nn x

le

nn

n cl

t

���

���

, ...( )

–sin

is even

/ 10�4� 60 40 1 2

1

4 2 2 2

2

lx

mm xl

em

c m tl

sin–

"�)��&�%���/�1�-

������������)������3���H�������������,'�������������������0'G4���I'G4�������������������!����")�������������������������������������� �� /'G4���2'G4 ��������!���" ��� ��� ����������������������� ������������� ")�������������������������������������������!������������������������

�������������������������k

c2

�."

��������������������������������������������

���/ 20�4�80 30

2030

52

���

��� x ��

���������������������������)�"�"����������������-��

���/ 50�4�60 40

20�

����� ���/�50�4��

#��%���������������������������\$

��/ ��)�\$��-�4���)�-

�������)�-������������������������������������������������������)�\$��-������������������������������������� ������������D����������������"

� ��)���-����� ���������������������� �� ��������"

��/ 50�4���4� ( cos sin )a px b px en np t

n

2

1

""")*-

���������������\$

�)0\$��-�/ 50 """)1-

�)10\$��-�/ ,0 """)2-

�����)*-\$�����)1-\$ �)0\$��-�/ 50�/�50�4� a enp t

2

1

C������)1-

0�/ a enp t

2

1 ���/�0 """)5-

�����)*-\$

��/ 50�4���4� b px enp t

n

sin

2

1

�%��\$ �)10\$��-�/ ,0�/�,0�4� b p enp t

n

sin 202

1

0�/ b p enp tsin 20

2

1

���10��/ 0�/�����\$�����

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ��������������������������������� ��/

n20

��/ 50�4���4� bn x

en

nt

n

sin

2020

1

2

���

���

""")6-

<��%������������\$

�)�\$�0-�/ 20�4�52

x �����"�)6-\$� ��%��

20�4�52

x �/ 50�4���4� bn x

nn

sin

201

32

x �+�*0�/ bn x

nn

sin

201

���� ���/220

32

10200

20� ���

���x

n xsin

����/�+�

20n�M1)+�*-��4�*N

�����)6-\$ �)�\$��-�/ 50�4���+� 20 2 1 120

20

1

2

( )

sin �

�� �

�����

n n

t

nn

n xe "

������������)�����������������������������������������������������������������������'��������!����������������������������������

ut

ux

2

2

3���������������������������������������������' ���� ����,��������������������������������������������������"

����

ut

ux

2

2 """)*-

������������� �)�\$��-�/���e p t 2�)���������4���������- """)1-

>����������� ��������������������\$���������������������� �����������������������������������������

ux�/ 0 �����/�0 """)2-

���ux�/ 0 �����/� "")5-

�����)1-\$

ux

c e p t1

2�)+�����������4����������-

�� ��/�0\$ 0�/ c e pcp t1 3

2 ���/�0

�����)1-\$ �)�\$��-�/ �����ep t 2������ """)6-

�%��ux�/ +������e

p t 2������

�� ��\$

0�/ +������e p t 2�����

�����/ 0�/������)����-��/ � ��/��

�����)6-\$ �)�\$��-�/ ���e n t 2

������ ���� �����/���

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

;����%����������������

�)�\$��-�/ b enn t

n

2

1������ """),-

�)�\$�0-�/ ���1��/� b nxnn

cos

1

�������%\$� ��%�� ���/ * ��� ��/�1"������������ 7������D���"

�����),-\$ �)�\$��-�/ �������1�"

���������7��(��!������������

ut

ux

2

2�������������������������' �0���

�����'�� �'������ �'������'E�E�"

�����#�������������������������

ut

ux

2

2""")*-

��%!����� �)�\$��-�/ ��e p t 2

�)���������4���������- """)1-

�����)1-\$ �)0\$��-�/ ����e p t 2

0�/ ����e p t 2

���/ 0"

�����)1-\$ �)�\$�-�/ ����e p t 2������ """)2-

�)�\$�-�/ 0�/�����e p t 2

������

������/ 0�/�����)����-

��/nl"

�����)2-\$ �)�\$��-�/ ����en x

l

nl

t2 2

2

sin �/���e

n xl

n tl

2 2

2

sin

#��������%����������������

�)�\$��-�/ b en x

lnn t l

n

( / ) sin2 2 2

1

""")5-

�����)5-\$ �)�\$�0-�/ bn x

ln sin

1

2�������/ bn x

ln sin

1

"

����������%!��\$ ���/ 2\$���/�*"

B���� ����)5-\$����������������������

�)�\$��-�/�2 e n t

n

2 2

1

������"

��������� �������������� �

�����

%&&�� ���������������������������������

�������� �9��3������� ��������� ����� �� ��������� �� � ����������� 'G4���������")�������'��1�����'G4������������������������������������

������ux

�3������������3�����������" ������������������������������ "

������������������������ �� ����������

ut

cu

x2

2

2""")*-

�������������

�)�\$��-�/ ��e p c t 2 2)���������4���������-

�� �)�\$��-�/ )���������4�E������-�e p c t 2 2""")1-

������%�����D������������������\$

�)0\$��-�/ 0�/���e p c t 2 2

���/ 0"

�����)1-\$ ��)�\$��-�/�E������e p c t 2 2

""")2-

�����)2-\$ �ux�/��E������e p c t 2 2

"

�� ��/��\$ ��

���

���

ux x l

�/�0�/��E������e p c t 2 2

��������/�0�/���� n ���

���2�V����� �� ���/�)1��+�*-�

2

��/�)1��+�*-�2l"

�����)2-\$ �)�\$��-�/�E������e p c t 2 2""")5- �������/�)1��+�*-�

2l

#��������%����������������

�)�\$��-�/� Bnp c t

n

px esin

2 2

1""")6- �������/�)1��+�*-�

2l"

#���������������%!��� ������������������

)�- ��/�0������/�0 )��-ux�/��������/�� """),-

#������������������ ������ ��������D���������������"�>�� ���������)6-�����������

��/�����4�E

������%��������E���������),-������� ��"

#���%!��\$ 0�/�E ��� ����/��

�)�\$��-�/����4�n

np c tpx e

1

2 2

B sin ��""")9- �������/�)1��+�*-�2l"

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������%�������������������/�0������/�0\$� ����!�

0�/ ���4� Bnn

pxsin

1

�� +���� Bnn

pxsin

1

���� E��/2

0lx px dx

l� ( ) sinA \$� �������/�)1��+�*-�2l

/ �

�����

���

���

���

����

�����2

10

0

Al

xpx

ppx

pdx

llcos

.cos

/ +�2 1

0

Al

l plp p

pxp

l

���

���

��

����

cos sin

/�

� �

2 12

Al

l plp p

plcos

sin �/�+2 22 1

2 12

2

2 2A ( )

( )sin ( )

l

l nn

��������)� ������/�0-

/�

�����

82 1 22 2

Aln

n

( )

sin �/�82 12 2

Aln ( )

�)+�*-� """)L-

�����)9-\$ �)���-�/ ���4�8 1

2 121

2Al

nn

n

��

( )( )

����)1��+�*-�

xl

e

n c tl

2

2 14

2 2 2

2�

���

���

( )

���������#��(��!��

ut

ku

x

2

2 ������������������

)�- ������� )��-ux�/'�����'������

)���- ��/����+����������/�'����������/�0�������/��"

�����>����������

ut

ku

x

2

2��

�)�\$��-�/ ��e c kt 2

�)���������4���������- """)*-

���"�)*-����� ���������������� ���

������%�ux�/�0� �����/�0�������/������)*-\$� ��%��

���/ 0

��� ��/nl\$����

��/ �����en xl

n ktl

���

��2 2

2

cos �/�������

n xl

e

n ktl

���

��2 2

2

""")1-

�%��\$������������������������������/ ���)����4���- """)2- C� ����/�0

������%�ux�/�0� �����/�0������/������)2-\$� ��%������/�0

��/ �����/�a0

2�)���- """)5- C������)2-

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

#���%�������������������������� ����������)1-�����)5-� ���!�������"

�)�\$��-�/a

an x

len

n ktl

n

0

12

2 2

2

���

��

cos

""")6-

�� �������%���/����+���� �����/�0�������"�)6-\$� ��%��

���+����/a

an x

lnn

0

12

cos

B���\$ ��/2

30

22

llx x dx

ll� ( )

���/2

0

2

llx x

n xl

dxl� ( ) cos

/ �����

4

0

2

2 2

l

nn

n

;

;

when is even

when is odd�C�������� ����

��/l l

nn x

le

n

n ktl

2 2

22,4

264 1

2 2

2

���

��

,...

cos

������/�1�\$� ��%��

�)�\$��-�/l l

mm xl

e

m ktl

m

2 2

2 2

4

16

1 22 2

2

���

��

cos

�� ������

�#�8 ���G�

ut

u

x

2

2D��� ����������E����� ������ ������� ����� ��� '���#���'�� ���#��

'������������������ ����� �� ���'#�������/��

��#�8 ���G�

ut

au

x2

2

2 �����������

�#����'����������'���������#�� ������� �#����0�����xl

����������'�� ��������

���#�8 ���G�������������������� ����� ���� '���#���'���� ���#������ ���'#����� '�J���J�#�

� �#�B�������� ���� � ��� �� �� ��\$������ ���� ����� ����� ��

ut

cu

x2

2

2 � ������ ���

� ������ � ����� ��� ���� '�� �#� �� '�� #�� �#� �� '� �� 6� '#� ���� ���� �������� � ����� � ���'#�����G�#������������������ ����������

��# ���������������������������� �������� �� ���������/���� �������� ���������������������������C�� ������������������������������������ ������ �#���!''��

\$ %���������� ����������� ���������!'��� ��� ���� �������������� ����������������������� ��������� ������ %��� ����� �� ���� ���� ���� .���� ��� ����� 'M>� ���� �������� ����� ��� �#���� !'�"��#�

���������������������������������������� ������

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

% ������������������� ����#������� ���� ������ �������� ���������������� ��������

*������������������.�������C�� ������������������������������������������ x x d( )LL2 �

& @�� ���� ��� �� ��� ���������������� ���������!''����������������.�������C��

����������������������������������������� ���'#���x xx x

,,

0 50100 50 100

���������������������� ����#������������

' ����� ���� ���������� ��� �#� ������������ ������������'����� ����*�����.������� C�� ���������������� ���������������������� �#������������

� �#���k x

x

,

,

when L

when L L

012

012

���

����

( ���������������������������� �������� �� �������������������� ������������������������������������������������������������������� �����!''�� ����

) ����������������������������������� �� ���������*������� ����������������� � �����

���������� ��������� ���������� �����������#�������������������������������� xL

�������

� ��

* �# %������������� ��������7'���� ��������������������������.�������'M���� ����������!''M�������� ���������������������� ����� ������������%����� ������������������������������� ��������������������������������C�� ���������������������������������������������������� ��

��# @� ���� !'� �� � ��������� ��������� ������� ���� ���� �����@� ����H����������� �������������7'M>�����!''M>��������������������������\$������� ����� ������������%���������������@�������������������� �9'M>����������������������������H����� ������ �3'M>������������������������������ ����������������������

! @�� ���� �� � �� �� � ���������������� �� ������� N!?� ���� ���� ����� .���� ��� C�� �����������%������������������������������%�������������� ����� �C�� ���������� ���������������������������������� ��

Hint: u xx x

x x( , )

,

( ),0

2 012

2 112

1

����

����

T

T

8 ����

t

kx

2

2

����������

�# ������������������� ��#x ���'����������'��������'����������#�� �

������

���# ��������������'�� ������������ ������������'�����#�

� �������� ��� �� ������������ ����� ������� ��

ut

u

x

2

2 ���������

�# ������������������� ��# ���!''����������'� ���� ������������ ����

���# ���'����������'�� ������������ ������������'������

O����������������������\$� ���� ������������������� ������������#

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

\$ 8 ��������� �� ������HI+G ������� '�J���J�!� ��6�' '���#�� !� � !���#���/� ���' ���'#�� !�������/������

% 8 ��������� �� ������HI+G ������� '�J���J�!� ��6�' '���#�� !� � !���#���0 ���'#�� !���/����0������

2�34��3

�#� ����#�������/������ ��# ����#���0����� xl

e a t l ( / )2 2 2

���#� ����#���3

21

34

1 2 2

( )cos

na n t

nn

nx e

� �#� ����#���"�2

2 2 2

2

1

l nn

n xl

e

c n tl

n

cossin

���

��

��#� ����#���

���

��4002

1

4

2 2 2

n

c n tn

nn x

ecos

sin

\$ ����#���800 1

2 1

2 1103 3

2 1100

1

2 2 2

( )sin

( )( )

n

n xe

n c t

n

���

���

% ����#���8 1

2 1

2 13

13

2 1 2 2 2

d

n

n xe

n

n c t

( )sin

( )( )

LL2

& ����#���400 1

2 1

2 11002 2

2 1100

0

2

( )

( )sin

( )( )

���

��

m m c

t

mm

m xe

' ����#���4 1

42

1

2 2 2

2kn

n n xe

c n t

n

sin sinL

L

���

��

( !''������� ���

) ����#���2 4 1

4 1

2

12

4 2 2 2

���

���

m

m c t

m

m xe

( )cos

LL2

* � �#� ����#���200 1

50

1

1

2500

2 2

( )

sin

���

��n

n

n kt

nn x

e

��# ����#���9'�"�0��"�80 1

5

2 2 2

25

1

nn x

e

c n t

n

sin

���

��

! ����#���8 1

2 12 1

21

1

22 1 2 2 2T

m

mm c t

mm x e

( )

( )sin ( ) [( ) ]

���4

213

32

15

52

0 232

522

2 2

exl

exl

exl

l kt lkt

lkt

�����

���

���

���

���

( / ) cos cos cos ...

� ����#���!''�"�400 2 1

2 12 1

1

2

sin ( ) ( )m x

me m t

m

\$ ����#���!������� 2

2 te �����

% ����#���!���/���� 2

3 te ������

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �&�+�������� ��� �����&

������������ �� �� ���������������������\$������H�I������"� � � ���� ��������������� ���������������������� ������7�������������������������������������\$���������� �� ��������� ������������������������. �� ����������������H�I������������D��������%������������������������H�I"

#�&�� �� �����%����� �������� � � ��������� ����������������������&�����"��� �������� �� ���� ���.���������� ���� �� �����%������\$�������������� ����������������� �������������������� �������������E����������%!�����

�%1���

���

���

uy y

���������� +�1���������

ux x

������!������������� ��� �� �����������%������������������E�������������

+�1��

���

���

uy y y

������� +�1��

���

���

ux x x

�������!���"

#���� ���\$�����������%���� ������������������%������������E������������

/�+�1��

���

���

���

���

���

���

���

���

uy

k yux

k xuy

k yuxy x y y x x

/�1���

���

������

������

������

������

ux

ux

x

uy

uy

yx x x y y y

��� """)*-

#��������� �%���� ��������������������������%!�����

����ut

""")1-

�������/���� �����������/��������� ����������������"������%�)*-�����)1-\$� �������

1��

������

������

������

������

ux

ux

x

uy

uy

yx x x y y y

�/�����ut

�!��%�����������������������&�%���������������0\$����0\$� ��%��

1

���

���

2

2

2

2u

xu

ys

ut

�� ���

���

���

2

2

2

2u

xu

yut

��������/�ks

""")2-

��������)2-�%!������������������������������ ����������� �������������������"

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������4 ������������������������������������� ������ ������

ut

���'����������� �������� ��������P�

2

2

2

2 0u

x

u

y��� 4#

���������.� ������.������3��5����� ������� �������� ��

4 �����%�������� �� ��������� �������� ���� %����\$������ ����������� �#��������������������������

���

���

���

2

2

2

2

2

2u

x

u

y

u

z

ut

�������������������������������� �

2

2

2

2

2

2u

x

u

y

u

z���'

���������.������3��5����� ������������������ ��

������������� �� %���� ��������&�����������

������7������������� ������������

��������

2

2

2

2u

x

u

y�/�0 """)*-

��� �/�HI """)1-

�����H����� ������� ������������I����� ������� �������\$��������������� �)*-"

#���

2

2

ux�/�HI�����

2

2u

y�/�HI

>��������%���)*-\$� ����!� HI�4�HI�/�0 ��XX

YY

""")2-

�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������=B>����� ������� �������">��������������������������!�������\$�������������������������� �������������������������������\$�����1"�#������������)2-����������������������� ����������������

ddx

2

2X �+�1H�/�0 ���

d

dy

2

2Y�4�1I�/�0 """)5-

>��!�%����������)5-\$� ��%��

)�- 9���1��������!������/��\$����

H�/�������4����

��\$�I�/����������4���������

)��- 9���1�������!������/�%��\$����

H�/����������4���������\$�I�/�������4����

��

)���- 9���1�'

H�/�����4���\$�I�/�����4���

#���\$�����!������������������������ �������7����������)*-����(

��/�)������4����

��-)���������4���������- """)6-

��/�)���������4���������-)������4����

��- """),-

��/�)����4���-)����4���- """)9-

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

� ���������������������\$� ����!������������������������ ������������� ���������������������� ���������������������%!�������������������"�>������),-����������������������"

�)�\$��-�/�)���������4���������-�)������

�4������-"

�������������

���������8��?��������������!�������������������!������������

2

2

2

2u

x

u

y�'

���J����������������������������'�� ������ �����' �'�������� ����n x

l

"

�����#���%!������������

2

2

2

2u

x

u

y�/�0 """)*-

��� ��/�HI """)1-

�����H����� ������� ������������I����� ������� ������������\$

2

2

2

2

2

2u

x xddx

( )XY YX ���

2

2

2

2

2

2u

y y

d

dy( )XY X

Y

�����)*-\$� � IH�4�HI�/�0

�XX

YY

�/�0

A�3��(��3��� �XX

YY

�/����)���-

)�- �XX p2

��H�+���H�/�0

��'�������������� � ���+����/�0

��/�F��

��"�"�/����������

��

��"�"�/�0

�H�/������

�������

)��- � � Y

Yp2 I�4���I�/�0

��'�������������� � ���4����/�0 ��/�F���

��"�"�/����������4���������

��"�"�/�0

��/����������4���������

�� \$ �H)0-�/�0

���4����/�0 ���/�+���

�H)�-�/�0

������4����

���/�0 ���)�

��%���-�/�0

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

���/ 0 C�>�������+������0�)������0���- ���/ 0 H�/ 0 ��/�HI�/�0� �������������B���� ����S��������"

A�3��((��3��� �XX

YY

�/�0�)���-

)�- �XX�/�0

�H�/�0 H�/����4���

)��- � Y

Y0

� � �I�/�0 I�/�����4���

�� \$ � H)0-�/�0 ���/�0

�H)�-�/�0

���4����/�0 ���/�0

��/�0 )>������0- �H�/�0

��/�HI�/�0 �������������

B���� ���������S���������"

A�3��(((��3�����XX

YY

�/�+����)���-

)�- ��XX�/�+���

� ��H�4���H�/�0 ddx

p2

22XX = 0 "

��'�������������� ���4����/�0 ��/�F���

��"�"�/����������4���������

�"�"�/�0

H�/����������4���������

)��- � +�YY�/�%��

�YY�/��� d

dy

2

2Y�+���I�/�0"

��'��������������� ���+����/�0

��/�F��"

��"�"�/�������

�4�������

�"�"�/�0

B���\$ I�/���������4������

��"

�� \$ �H)0-�/�0 ���/�0

�H�/���������

H)�-�/�0

���������/�0

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������������������/�0�/�����\$�����

��/�nl

H�/ ������n xl

""")2-

�%��\$ I)0-�/ 0

����4�����/ 0 ����/�+����

I�/ ���)���

�%���-�/����� e e

n yl

n yl

����

����

""")5-

��/ HI�/����������n x

l

�M��������+��������N

�� �)�\$��-�/ ������n x

l�M��������+���������N """)6-

�� \$ �)�\$��-�/ ���n xl�/�������

n xl�M��������+��

�������N

���/1

e en a

ln a

l

�/�1

2 sinhn a

l�

�����

�)�\$��-�/e e

n al

n xl

n y l n y l( / ) ( / )

sin

���

���

2 sinh�/�

sinh

sinh

n yl

n al

n xl

���

���

���

���

sin "

����������� 3��������������������������������������I�������������� �������� �� �������� ���� ����� �� ���������� �������� �� ����������������������������������������":��������������������������������'���!����

����' �.''���x8

�'E�EI

��������������������'�����I���������������������������1�����'G4���������������������������������������������������������!����

����� �.''e sinx8

y8

"

����������)�\$��-���������������������������������� ����������"

# �� ���������� ����� �� � �������� ����������������%!�����

��

2

2

2

2u

x

u

y�/�0 """)*-

������������� �)�\$��-�/�)���������4���������-)������4����

���- """)1-

E�������������������

�)0\$��-�/ 0�/��)L\$��-

Lty

u x y

( , ) 0

��������� �������������� �

�����

%&&�� ����������������������������������)�\$�0-�/ *00����

x8\$ 0�P��P�L

�����)1-\$ �)0\$��-�/ 0�/����)�����

�4������-

���/ 0"

�����)1-\$ �)�\$��-�/ ���������)�������4����

��- """)2-

�)L\$��-�/ 0�/�������L�)�������4�����

��-

���L��/ 0�/�����

��/n

n8

( )I

�����)2-\$ �)�\$�-�/ ������n x

c e c en y n y

8 38

48( )

""")5-

� Lty

��)�\$��-�/ 0�/�������n x

c e c ey

n y n y

8 38

48lim

( )

��������� �������� ���

���/ 0"

�����)5-\$ �)�\$��-�/ ��������n x

en y

88

�/�������

n xe

n y

88

""")6-

�����)6-\$ �)�\$�0-�/ *00����x8 �/������

n x8

���/ *00\$���/�*"

�����)6-\$ �)�\$��-�/ *00����x8

���

��� ��������

������������������������������������������������������� ����������"

������������3����������������������������������������������������������������������������������")�����������")�������������������������������������������������������������������������������"5����������������������������������������������������������"

��������������������\$� � ���������������� �� ����������

2

2

2

2 0u

x

u

y""")*-

E�������������������\$

� �)0\$��-�/�0�/��)\$��-

Lty

�)�\$��-�/�0�)0�P���P�-

��� �)�\$�0-�/���)0�P���P�->������������������)*-��

�)���-�/�)���������4���������-)������4���

��-""")1-

�����)1-\$� �)0\$��-�/�0�/���)�������4����

��-

���/�0"

�����)1-\$ �)�\$��-�/��������)�������4�����

��-

�)\$��-�/�0�/��������)�������4�����

���-

�� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�������/�0�/������)����- """)2- ��/��"

�����)2-\$� �)���-�/���������)���������

��- """)5-limy

�)�\$��-�/�0�/���������� limy

�)������4����

��-

��������� �������� ��� ���/�0" �����)5-\$� �)�\$��-�/������

���������/������������� ���� �����/���

#��������%����������������

�)�\$��-�/ b e nxnny

n

sin1

""")6-

�)�\$�0-�/ ��/� b nxnn

sin

1

���� ���/2

00

� u nx dxsin

/2 20

0

0u nxn

un

���

��� cos

�T*�+�)+�*-�U

/4

0

0un

n

n

;

;

if is odd

if is even

�����

�����)6-\$ �)���-�/4 0

1 3 5

u nxn

n

, , , ...

sin���� )�������-

�� �)���-�/4 1

2 10

1

un

n

( )����)1��+�*-�����������"

������������3��������������������������������������.'�������������� �������� �� �������� ���� ����� �� ���������� �������� �� ����������������������������������������":��������������������������������'���!����

��� ����� �20x, 0 x 520(10 x), 5 x 10

���������������������'�����.'������������������������1�����'G4" ����������������������������*���� "

��������������������\$�� ����������������� �� ����������

���������������

2

2

2

2 0u

x

u

y""")*-

�������������

�)�\$��-�/�)���������4���������-)�������4�����

��-""")1-

E���������������������)0\$��-�/�0

�)*0\$��-�/�0

� limy

�)�\$��-�/��)��-�/�0

�����������������)�\$�0-�/�20 0 5

20 10 5 10x x

x x,

( ) ,

���

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

�����)1-\$ �)���-�/�0�/���)������4����

���-

���/ 0

�����)1-\$ �)�\$��-�/ ���������)�������4�����

���- """)2-

�)*0\$��-�/ 0�/�������*0��)����������

��-

���*0��/ 0�/������� *0��/ ��)����-

��/n10"

�����)2-\$ �)�\$��-�/ ������n x

c e c en y n y

10 310

410( )

""")5-

limy

�)�\$��-�/ ������n x

c e c ey

n y n y

10 310

410lim

( )

��������� �������� �������/�0"

B���� ����)5-\$�)�����-�/ ��������n x

en y

1010

�/�������

n xe

n y

1010

""")6-

#��������%����������������

�)�\$��-�/ bn x

en

n y

n

sin

1010

1

"""),-

�)�\$�0-�/ bn x

nn

sin

101

\$

�������/�210

0100

10� u xn x

dx( , ) sin

/�15

2010

20 10100

5

5

10� � ���

���x

n xdx x

n xdxsin ( ) sin

/�5� x

n x

n

n x

ndx x

n x

n

����

����

����

���

����

���

����

����

����

����

����

���

����

���

�cos cos

( )cos

10

10

1 10

10

10 10

100

5

0

5

5

10

+�5

101 10

10

� �

����

����

����( )

cosn x

ndx

/�5�10

52

10 10

10

502

10 10

100

5

5

10

nn

n

n x

n nn

n

n x

n

( ) cossin

cossin

����

����

����

����

����

����

/�5�

���

���

��

��

502

1002

502

1000

22 2 2 2nn

nn

nn

nn

cos sin cos sin

/�800

22 2nn

sin "

�����),-\$ �)���-�/800 2

102 210

1

sin /

sinn

nn x

en y

"

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ������������(��!�

2

2

2

2u

x

u

y�'� 'E�E� 'E �E��������������� ���

���������� ���'�� ����� ����� �'�������' �������"

�����#���%!�������������

2

2

2

2u

x

u

y�/�0 """)*-

��������������������� ����������������������)���-�/ )���������4���������-)����

���4��������- """)1-

�����)1-\$ �)0\$��-�/ 0�/���)������4�����

��-

���/ 0"

�����)1-\$ �)�\$��-�/ ���������)�������4�����

���- """)2-

�)\$��-�/ 0�/��������)�������4�����

��-

�����/ 0�/�����)����- ��/��"

B���� ����)2-\$��)�\$��-�/����������)������4����

��-�/�������)�����4�E����- ���""")5-

���� �����/ �����������/�E"

�����)5-\$ �)�\$�-�/ �����)����4�E��-

0�/ �����)����4�E���-

0�/ ����4�E���

����/ +�E����/�+�12

Bn �)���-

�����)5-�������\$ �)�\$��-�/ ����� �

� �

12

12

B Bnn ny

nn nye e e e

�12

E�M�������+�������N�������/�E��������)�+��-������"

#��������%����������������

�)�\$��-�/ Bnn

hn y nxsin ( ) sin

1

""")6-

�)�\$�0-�/ ������/� Bnn

hn nxsin sin

1

���� E�������/ 20

2

� sin sinx nx dx

/ 11 2

0

� ( cos ) sinx nx dx

/1 1

22 2

0

� �

� �sin {sin ( ) sin ( ) }nx n x n x ���

/1 2

2 22

2 2 0

��

cos cos ( )( )

cos ( )( )

nxn

n xn

n xn

/1

21

21

22

1 1 n n n

n

���

���

� �

{( ) } \$� �������1

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

E�������/

��

8

40 2

2n nn

n( )

,

,

when is odd

when is even and ������/�1\$

E������1�2

20

2

� sin sinx x dx

/1

1 2 20

� ( cos ) sinx x dx �/�1

212

40

� ���

���sin sinx x dx

/1 2

218

40

���

���

coscos

xx �/�0

E��/ 0"

B����������������)6-�������\$

�)�\$��-�/

841 3 5

2

n

nx n yn n n, , ,...

sin sinh ( )( ) sinh

�� �)���-�/ +� 8 2 1 2 12 1 2 1 4 2 11 2,3

2

m

m x m ym m m

, , ...

sin ( ) sinh ( ) ( )( ) {( ) } sinh ( )

"

������������(��!�

2

2

2

2u

x

u

y�'����������������'���'��F�!��

��������� ���'�� ������ �'��� ����' ����%� "

�����#������������

2

2

2

2 0u

x

u

y""")*-

�������������

�)�\$��-�/ )���������4���������-)������4����

��- """)1-

�)0\$��-�/ 0�/���)������4����

��-

���/ 0"

�����)1-\$ �)���-�/ ���������)�������4����

��- """)2-

�)�\$��-�/ 0�/����������)�������4����

��-

������/ 0�/������)����-

���/ � �� ��/�na"

�����)2-\$ �)�\$��-�/ ������n xa

c e c en ya

n ya

( )3 4

�)�\$��-�/ ��� n xa

e en ya

n ya

( )A B

""")5-

���� �����/�� ��� �����/�E

�)�\$��-�/ ��� n xa

e en ba

n ba

( )A B

0�/ ��� n xa

e en ba

n ba

( )A B

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ��e e

n ba

n ba

B �/ 0

���e en ba

n ba

B12�E��)���-"

#����)5-�������\$

�)���-�/ ���n xa

e e e en

n ba

n ya

n

n ba

n ya

��

12

12

B B

/ 12

Bn

na

b yna

b yn xa

e esin [ ]( ) ( )

/12

2Bnn xa

na

sin . sinh

�)��+��-�/�E�����n xa�����

na�)��+��-"

#��������%����������������

�)�\$��-�/ Bnn

n xa

na

sin sinh

1

�)��+�- """)6-

������%��������������������)�\$�0-�/��)��+��-\$� ��%��

�����)6-\$ �)�\$�0-�/ Bnn

n ba

n xa

sinh sin

1

�)��+��-�/ Bnn

n ba

n xa

sinh sin

1

���� �E������na

ba

x a xna

a �2

0( ) sin ����

/2

22

0

0aax x

na

x

na

a x

na

x

na

dx

a

a( )

cos( ) .

cos

����

����

����

���

����

���

����

����

�����

/2

20a

an

a xna

a. ( ) . cos

� ����

/2

2 2

0

0na x

na

x

na

na

x

na

dx

a

a

( )sin

( )sin

���

��

��

����

����

����

�����

/4

0

nan

na

x

na

a

.– cos�

����

�����/� 4

2 2a

nan

. �)*�+�����-

/4

1 12

3 3

an

n

[ – (– ) ] �/�

8

0

2

3 3

a

nn

n

,

,

when is odd

when is even

��

E�/

8

0

2

3 3

ana

b nn

n

sinh ( ),

,

���

���

����

���

when is odd

when is even

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

�����)6-\$��)�\$�-�/�8 2

31 3 5 3

an xa

nna

b

na

b yn

, , ,...

sin

sinh. sinh ( – )

������)�������-

�� �)�\$�-�/�8 1

2 12 1

2 1

2 1

2

30

3

a

nn

xa

na

b y

na

bn

( )sin ( ) .

sinh( )

( – )

sinh( )

������������3��������������������������������������!���������������������'����������������������������������������� ":������������'�������'�������1��������������������"5���������������������������������

�����������������"5������������������������� ���� sinx ya b

"

�����# ����������������� �� ����������

2

2

2

2 21u

x

u

y c

ut" �""")*-

E�������������������

�)0\$��\$��-�/ 0�/��)�\$��\$��-

�)��0\$��-�/ 0�/��)�\$��\$��-

��� �)�\$����-�/ �)�\$��-������/�0"

������������������� ��/�HI#

�����H����� ������� �������\$�I����� ������ ������������#����� ������� �������"

ut t

ddt

(XYT) XYT

2

2

2

2

2

2u

x xddx

(XYT) = YTX

2

2

2

2

2

2u

y y

d

dy(XYT) = XT

Y "

�����)*-\$�I#�H�4�H#I�/�12c

( )XYT

�XX

YY

TT

c2 """)1-

#������������������������(

)�-XX�/�0\$ �

YY�/�0\$ �

TT

c2 �/�0

)��- ��XX�/�X�

�\$ �YY�/�X�

�\$TT

c2 �/�X�

)���-XX�/�+�X�

�\$ � �YY�/�+�X�

�\$ �TT

c2 �/�+�X�

���� X��/�X���4�X�

�"

� ���������������������\$� ����!����������������������� �������������� ��������������������� ������������"

#��������������� ��%�����%!�������������������� ������%!������)���-"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#���\$ H�/ ������X���4�������X��

I�/ ������X���4�������X��

#�/ �e c t 2 2K

��/ HI#

�)�\$��\$��-�/�)������X���4�������X��-)������X���4�������X��-)�e c t 2 2K -""")2-

�)0\$��\$��-�/ 0�/���)������X���4�������X��-�e c t 2 2K

���/ 0"

�����)2-\$ �)�\$��\$��-�/ ������X��)������X���4�������X��-)�e c t 2 2K -

/ ������X���)������X���4�������X��-)ec t 2 2K - """)5-

���� ����/ ��

�����)5-\$ �)�\$��\$��-�/ 0�/�������X��)������X���4�������X��-ec t 2 2K

���X���/ 0�/������)����-

X��/na"

�����)5-\$ �)�\$��\$�� � ������n xa�)������X���4�������X��-�)e

c t 2 2K - """)6-

�)�\$�0\$��-�/ 0�/�������n xa

c e c t. 3

2 2 K

� ���/�0"

�����)6-\$ �)�����-�/ ��������n xa

y e c tsin K K

22 2 """),-

�)���\$��-�/ 0�/���������n xa

be c tsin K K

22 2

���X���/ 0�/������)����-X���/ �

X��/mb"

�����),-\$� �)�\$��\$��-�/���������n xa

m yb

e c t sin 2 2K

/ ������n xa

m yb

e c t sin 2 2K """)9-

C� ���� �����/���

E��\$ X��/ X���4�X�

��/� na

mb

2 2

2

2 2

2

�� X���/ ��

na

mb

2

2

2

2���

��� "

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

E�����%�X�\$���������)9-�������\$

�)�\$��\$��-�/ A K2

mnc t

nm

n xa

m yb

e mnsin sin

2

11""")L-

�����������%��������������"

�)�\$��\$�0-�/ �)�\$��-�/� Amnnm

n xa

m yb

sin sin

11

�������������������������� .���%������������ ����)�\$��-"

���� ���/2 2

0 0a bn xa

m ybx

a

y

b. sin sin

� � ��)�\$��-�����"

3��� �)�\$��-�/ ���� sinx ya b

���/ 0 0

2 2. sin sin sin sin

a b

x y

n x m y x ydxdy

a b a b a b

/0 0

4sin sin sin sin

a bn x x m y ydx dy

ab a a b b

/0

cos ( 1) cos ( 1)a x x

n n dxab a a

W�0

cos ( 1) cos ( 1)b y y

m m dyb b

/

0

sin ( 1) sin ( 1)

( 1) ( 1)

ax xn na a

ab n na a

W�

0

sin ( 1) sin ( 1)

( 1) ( 1)

by ym m

b b

m mb b

/ab�"�0�/�0 )� �����/�0����������/�0-

B���� ����)L-\$���)�\$��\$��-�/�0� �����)�\$��-�/����� xa ���� y

b "

���������7��(��!����+��������������

2

2

2

2

u

x

u

y �'������������������7

�������������' �'������ �'���'�� �'�������� ���� �����������7����"

�����#���%!������������

2

2

2

2

u

x

u

y �/�0 """)*-

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

��� ��/�HI """)1-

�����H����� ������� ������������I����� ������� �������"�#���\$

2

2

u

x�/

2

2x�)HI-�/�IH

���

2

2

u

y�/

2

2y�)HI-�/�HI

�����)*-\$�IH�4�HI�/�0 YY

XX

""")2-

A�3��(��9��� YY

XX

�������

)�-YY�/ ��

I�+���I�/ 0

��'�����������������+����/ 0 ��/�F��

�"�"�/ �����4����

���

�"�"�/ 0

I�/ ������4����

��

)��- �+�XX�/���

H�4���H�/ 0

��'�����������������4����/ 0 ��/����

�"�"�/ ���������4����������"�"�/ 0

H�/ ���������4����������� \$ I)0-�/ 0

���4����/ 0 ���/�%��

I)�-�/ 0

������4�����

���/ 0 ��)�

���+����-�/ 0

���/ 0 Sincease e

p b

pb pb

00( )

I�/ 0 ��/�HI�/�0 �������������"

B���\$� ����S��������"

A�3��((��9���YY

� %XX�'����

)�-YY�/ 0

I�/ 0 I�/���4����

)��-����������������������+�XX�/�0

H�/ 0 H�/����4����

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������

�� \$ I)0-�/ 0 ��/�0

I)�-�/ 0 ����/�0 ���/�0 C�� ���0 I�/ 0

��/ HI�/�0� �������������

B���\$� ���������S���������"

A�3��(((��9��� YY�%

XX�%������

)�- �YY�/�+���

I�4���I�/�0

��'��������������

���4����/ 0 ��/����

�"�"�/ ���������4���������

�"�"�/ 0

I�/ ���������4���������

)��- +�XX�/�+��� H�+���H�/�0

��'��������������

���+����/ 0 ��/�F��

�"�"�/ ��������4������

���

�"�"�/ 0

H�/ ��������4������

���

�� \$ I)0-�/ 0 ���/�0

I)�-�/ 0 ���������/�0

������/ 0�/�����\$�����

��/nb

B���\$ ��/ HI�/�������n yb � c e c e

n xb

n xb

11 12

���

���

""")5-

�� \$ �)0\$��-�/ 0�/�������n yb�)����4����-

����4�����/0 ����/�+����

�����)5-\$ �)�\$��-�/ ����������n yb� e e

n xb

n xb

���

���

/ ������n yb�����

n xb

""")6-

C� ��������/�1�������;����%����������������

�)�\$��-�/n

nbn yb

n xb

1

sin sinh

"""),-

��� ��������� �������������

�����

������������������������������� �� \$ �)�\$��-�/ �)�-�/�

nnb

n yb

n ab

1

sin sinh

���� sinhn ab�

����� ����/

2b�

0

bf y� ( ) ����

n yb���

���/2

bn ab

sinh�

������

0

bf y

n yb� ( ) sin���" """)9-

���������9�� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������'�� �'�����' �'������ ��� ����� � ���� "

�����>����������������������������������������������������%!���������������������� �� ����������������������� � ������������������!������������������ ����������� �!�������"

(0, b) C

Y

X

f(x)B (a, b)

O A(a, 0)

0° g(y)∇2u = 0

C

Y

X

f(x)B

O A0°

0° ∇2u = 01

0°+

C

Y

X

B

O A0°

0° ∇2u = 02

g(y)

�� \$����� ���� �%�� ��������������������������������!��(

/��5�������

212

21

2

u

x

u

y �/�0����S�������������

��)0\$��-�/ 0\$���)�\$��-�/�0\$� ��)�\$�0-�/�0\$���)�\$��-�/��)�-

/��5�������

22

2

22

2

u

x

u

y �/�0����S�������������

��)0\$��-�/ 0\$���)�\$�0-�/�0\$���)�\$��-�/�0\$���)�\$��-�/�)�-

��������� ��������������!����������*"

��)�\$��-�/ )���������4���������-�)������4�����

���- """)*-

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

��)0\$��-�/ 0�/����)������4����

���-

���/ 0

��)�\$��-�/ ���������)������4����

���- """)1-

��)�\$��-�/ 0�/����������)������4����

���-

������/ 0�/����� )���:-

��/na

B���\$� ����)1-\$ ��)�\$��-�/ ������n xa � c e c e

n ya

n ya

3 4

���

���

""")2-

��)�\$�0-�/ 0�/�������n xa�)���4���-

���4����/ 0 ���/�+���

��)�\$��-�/ ��������n xa � e e

n ya

n ya

���

���

�/�1���������n xa�����

n ya

/ ������n xa�����

n ya� ��������/�1����

;����%��������������������������*��

��)�\$��-�/n

nbn xa

n ya

1

sin sinh

""")5-

�� \$ ��)�\$��-�/ �)�-�/�n

nbn xa

n ba

1

sin sinh

���� �������n ba�/

2a�

0

af x

n xa� ( ) sin���

��/2

an ba

sinh�

������

0

af x

n xa� ( ) sin��� """)6-

>������\$����������%��������������������������1��

���)�\$��-�/n

nn yb

���

���

1

B sin

�����n xb�

����� """),-

���� E��/2

bn ab

sinh�

������

0

bg y

n yb� �

�����( ) sin

��� """)9-

C���������%�%�������\$�������������)�-����)�-

B���\$����������������������������%!�����%�������������

�)�\$��-�/ ��)�\$��-�4���)�\$��-

/n

nbn xa

n ya

���

���

���

���

�1

sin sinh

4�E�����n yb

n xb

���

���

���

��� ��sinh

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� ���� ���/

2

an ba

sinh�

������

0

af x

n xa� ( ) sin���

��� E��/2

bn ab

sinh�

������

0

bg y� ( ) ���� n y

b ��"

�� ������

@�� �������������������� ���������������������������������������������������������� �C�� � ��� �������� ������������� ��� �������� ���������� ������� '���#���'��� ����#���'�

limy

v x y

( , ) ���' ��� �� ���'#����

8� ������������������\$�����������������������������������

������������� ����#���2 1 1

1

akn

en xa

n n ya

n

( )sin

���

���

� @������������� ���� ������������ ����������'������'������/'���������/'������ �������������������%��������������� ������������� ��C ���������������������� ���/'#���� /'�"��#�����'�J���J�/'������� ���������������������.�������'M>����������������������������������������������

\$ @�������������������������������������*������������ ����������������.����� ���QR��������� ������������� ���QS��������� ������������� ��������������������%�������������'�������

����������������������������������������'����.�������������������� ��xa

����������

������\$������������������������ ���� ����#�

K7���#�H ������� ����� ������� �#������'�� �#������'�� �#������'����� ���'#������ �� �&�#L% %�������������� ����������������'M��� ��������������� ���������������� ��������

!''P����������� �������������������������!''M������������\$������� ����� ��������������������������� ��� ������������������������� ���� ����#�

O�������� ����������������������������������� �����������

�������200 1

2

1

332

1

552

cosh cosh cosh

...

���

����

& @���������������������� ����������������������'������'������������������������������������������������������������ ������������� ��C �������������!''M>����������� ��������������������.�������'M>��������������������������������������� �� ����#��������

���������������������� ���� 12

12

a b,���

����

' 8 ���� ���� � �� ����� *������� ����� ��

2

2

2

2 0u

x

u

y � ��� �� ��������������� '�� �#� �� '�

����#���'�� ����#���'����� ���'#���� �#��� ����\$�����

( 8 ��������� ������������� ���G

2

2

2

2u

x

u

y ���'��'��������'������

���������� ������� ����� ��G

� '���#���� ����#���� ���'#���'������ ����#���� �#

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������) 8 ����

2 2

2 2u u

x y���'���E����� ������ ����� ��� '���#���'�� ���'#���'�� !���#���'����

���!#���!''���� ��

* 8 ����

2 2

2 2u u

x y���'���E���� � � ����� ����� ��� '���#���'�� ����#���'�� ���'#���'����

����#�����

! 8 ����

2 2

2 2u u

x y���'���E����� ������ ����� ��� ���'#���'�� ���!#���'�� ���#���'����

'���#�����

%������������������������������ ������������������� ����������������!''M>����������������������������� �� ����#�����������������������������������C�� ������������������

2�34��3

� ����#���3200

2 120

2 120

2 1 2 131

3

n

n x n y

n n

sin( )

sin( )

( ) sinh ( )

\$ ����#������ �� xa a

b yba

cosh ( ) sech

& ����#���400

2 1 2 1

2 1 2 11

n

mxa

mya

m mba

��

���

���

���

���

���

sin ( ) sinh ( )

( ) sinh ( )�D

12

12

200 1

2

1

332

a aba

ba

,cosh cosh

...���

� �

��� �

���

����

����

' ����#���n

nn xa

���

���

1

B sin

������na

� ��"��#�

����� H����2

an ba

sinh�

�����

�0

af x� ( ) ����� n x

a ���

( ����#��� bn xa

e en

n ya

n ya

n

cos

����

����

1

�������������1

0nna

bf x

n xa

dxa

cosh( ) cos�

) ����#���!''�������

sinhsinh

y

* ����#���

1

cos sin sinh2

sinhn

n x n yn

a a an b

na

! ����#���

0

1

2 1 ( 1)n

n

un

������������ �

�������#���

21 1

400 1 cos 1 cos

n m

n mn m

����� ������ � 2 2mnc k te

����� ������� ���� �#�

���� ��������� �������������

�����

������������������������������� � �� ��� ����

������7�������������� ���������������������������%�����%"�#���������� � ��� ��������� �� ������ ������������� ������� ���� ��� ������������� �����������������������"�#������������ ��������7���������\$����S����������������������������\$������ �������������������� ����������������"

4 ���� ��� ������ ���� ��� ����� ����� �#����" ������������������ � � ��.��*������?�

����� ������������� ��""��� ��������� ����

2

2

2

2u

x

u

y���'�����

2

2

2

2

2

2u

x

u

y

u

z���'�

4 �������������� ������� �������������� �������������������� ���.��*������?������� ����� ����� �����������������

2

2 2

2

21 1u

r rur r

u���'�

%��������� ���������� ���������� �����������'������������������ �������������������������������������������������������� � ����#�� � ���#�

4 ���\$� ��� ������ ���� ��� ����� ��#� �����#� �" ������������������ � � ��.��*������?������ �������#� �����#��""��� �������������

2

2 2

2

2

2

21 1u

r rur r

u u

z���'�

%���������� ���������� ���������� ����������������'������������������ ������������������������������������������������������������� �������#�� � ������#�

4 ���%���������� ������� �������\$�����#��" ������������������� ���.��*������?������� ������\$�����#��"#����""��� �������������

2

2 2

2

2 2 2 2

2

22 1 1u

r rur r

u

r

u

r

ucotsin

���'�

%��������� ��������� ���������� ����������������'������������

������������ ���������������������������� ������������������������������������������ �������#�� � �����#�

�������������� �� %-��� ����

)�-������������,����6�C3�� ����������<4������3������A����3����-���

3����!������������������������������� �

2

2

2

2u

x

u

y�/�0������"�1"*,"

)�-������������,����6�C3�� ����������/�����A��������3

������7���������������������������������

2

2

2

2

ur

rur

u�/�0 """)*-

�����)�\$�-�/�=)�-�)-������������/�=� """)1- �����=����� ������� ������������������ ������� ������\$��������������� �)*-"

>��������%�����)*-\$� ��%������=��4��=��4�=��/�0 �� )��=�4��=-��4�=��/�0

>�������%�����!�������\$�r r2R R

RFF

�/���������/�1)���-

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

#���\$� ��%������������ ����������������

�� ddr

rddr

2

2R R �+�1=�/�0 """)2-

��� ��dd

2

2F�4�1��/�0 """)5-

�� �)2-���������%�������������� ���������������"

�����%���/���\$�)2-������������ ddr

2

2R �+�1=�/�0 """)6-

>��!�%�)6-�����)5-\$� ��%��)�- 9���1��������!�����������

�=�/�������4����

���/���������

�\$���/���������4��������"

)��- 9���1�������!�����%�������=�/����������4����������/�������)����%��-�4�������)����%��-���/����

��4�����

)���- 9���1�' �=�/�����4����/������%���4������/����4���

#������������������������������� �)*-������)���

��4������-)��������4��������- """),-

��/�M������)����%��-�4�������)����%��-N�)�����4����

�- """)9-��/�)�����%���4���-)���4���- """)L-

� ���������������\$� ���������������� �������������� ��������������������� ������������"

4 ���F������������������� ��� ��������������� ����� ������8�������������������������� ������������E����� ��� ��� :#����� ;#��@�� ��� � 3#�������'� ������������������� ��� ������������������

���� @�� ������H������#��

%������������ ��� �������� ������ ������ ����������������������������� ���������#������ ��@��H�������

)�-������������,����6�C3�� ����������<B��������3������A����3����-���������7�����������������.������������������ �����

2

2

2

2

2

2u

x

u

y

u

z�/�0 """)*-

���� �)�\$��\$��-�/�H)�-�I)�-�J)�-������������/�HIJ """)1- �������������� �)*-">��������%�����)*-\$� ��%���HIJ�4�HIJ�4�HIJ�/�0

�!��%����HIJ\$� ��%�� ��XX

YY

ZZ

�/�0

��1 1 12

2

2

2

2

2XX

YY

ZZ

. . .d

dx

d

dy

d

dz �/�0 """)2-

������ ����� ������)�-�4���)�-�4���)�-�/�0">�����������������������\$�������������������� ������\$���\$����������������"

������%����������������������1�\$��������+)1��4���-�������!���\$�)2-�%!������������� ���� �%���������(

�ddx

2

2X �+�1�H�/�0\$�

d

dy

2

2Y�+���I�/�0\$� d

dz

2

2Z �4�)1��4���-J�/�0

#���������������� H�/�������4����

��\$�I�/�������4����

��

��J�/������ ( ) sin ( )k l z c k l z2 26

2 2

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

B��������������� �)*-��

��)������4����

��-)������4����

��-M����� ( ) sin ( )k l z c k l z2 26

2 2 N>��\$���������������������������!���������&������+�1�\$�+��������1��4���\$����

��������!����������� �)*-��

�/�)������1��4�������1�-)���������4���������-�M�e c ek l z k l z( ) ( )2 2 2 2

6 N

#�������� ���������������������������%������������������������������%!���������������������������"

)�-������������,����6�C3�� ����������A������6���A��������3

������7�������������������������������

2

2 2

2

2

2

21 1u

r rur r

u uz�/�0 """)*-

��� �)�\$�\$��-�/�=)�-�)-J)�-�� ��������/�=�J """)1- �������������� �)*-"

>��������%�����)*-\$� ��%�� =�J�4�1r�=�J�4�

12r�=�J�4�=�J�/�0

�!��%����=�J\$� ��%��

1 1 1 12

2 2

2

2

2

2RR R

FF Zd

dr rddr r

dd z

ddz

���

���

�/�0 """)2-

������%dd

2

2F�/�+��������� d

dzk

2

22ZZ """)5-

��������)2-���������� � 1 12

2

2

2RR Rd

dr rddz

nr

���

��� �4�1��/�0

�� ���ddr

rddz

2

2

R R �4�)1����+���-=�/�0

#�����0�33��C3�� ��������������������� =�/���Z��)1�-�4���I�)1�-

#������������� ����������)2-���� ��/���������4��������\$�J�/������4����

��

B��������������� �)*-�����/�M��Z�)1�-�4���I�)1�-N�)��������4��������-)�����4���

��-

�����&�� ��������������������������"

)�-������������,����6�C3�� ������������B���6���A��������3

������7�������������������������������

2

2 2

2

2 2 2 2

2

22 1 1u

r rur r

u

r

u

r

ucotsin

�/�0 """)*-

��� �)�\$�\$-�/�=)�-@)-B)-"�� � ���������/�=@B """)1- �������������� �)*-"

>��������%�����)*-\$� ��%��

=@B�4�2r�=@B�4�

12r�=@B�4�

cot r2 �=@B�4�

12 2r sin

�=@B�/�0

�!��%����=@B\$� ��%��

12

1 122

2

2

2 2

2

2RR R

GG G

HH

rddr

rddr

dd

dd

dd

���

���

���

���

cotsin

�/�0 """)2-

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ��������������������������������������% 1

222

RR R2r

ddr

rddr

���

��� �/��)��4�*- """)5-

��� �� 1 2

22

HHd

dm

""")6-

��������)2-����������� dd

dd

2G G2

cot �4�M�)��4�*-�+���������N�@�/�0

#������33�6�����,�;����C3�� �����������������������

�@�/������)���-�4����?�

�)���-#������������ �)6-�� B�/���������4��������#�����!��)5-\$������������ �=�/�����������

1)1�+�*-�4�11�/��)��4�*- �� )1��+���-�4�)1�+��-�/�0

�� )1�+��-)1�4���4�*-�/�0 1�/������+���+�*

#��� =�/�����4����

�������

B���\$�����%���������������� �)*-��

��/�n m

0 0

M����)���-�4���?�

�)���-N�)��������4��������-)����4����

�����-

������������� �)*-���&�� ������������������������"

�������������

���������#��)�����������������7������������������������1�����'G4��������������������������7������������������)G4"(���������������������������������������������!����

���� �4T 1

2n 1ra

n 1

2n 1

���

���

����,�%. "

�����#�&������������� ����������������������������������%�����������������������"����������������������������������������������)�\$�-�����)�\$�-\$��������������� �������������

��

2

2

2

2

ur

rur

u�/�0 """)*-

��� ��/�=# """)1-

�����=����� ������� ������������#����� ������� ������"

ur r

ddr

( )RT TR

���

���

2

2u

r rddr

ddr

TR

TR2

2

2

2

2

2u d

d( )RT R

T2

2"

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

�����)*-\$ ��#=�4��#=�4�=#�/�0

�r r2R R

RTT

�/�0 r r2R R

RTT

���� �9��� r rR2R

RTT

�������

)�-r r2R R

R

�/��� ��=�4��=�+���=�/�0"

������/��������������/���%�������������� ddz���������!�������������������

T�)��+�*-�4���+���U�=�/ 0

)���+���-=�/ 0

��'�������������� ���+����/ 0 ��/�F��

�"�"�/ ������4����

��

/ �����������4����

��������/������4����

��

�"�"�/ 0"

=�/ �����4����

)��- +�TT p2

� dd

p2

2TT = 02

"

��'�������������� ���4����/ 0

��/ F���

�"�"�/ ��������4���������"�"�/ 0

#�/ ��������4�������� �)���-�/ )���

��4����-)��������4��������- """)2-

A�3��((��9��� r rR2R

RTT

�%������

)�- � r rp

22R R

R

��=�4�=�4���=�/�0

������/��������������/���%�������������� ddz���������!�������������������

M�)��+�*-�4���4���N�=�/ 0

)���4���-=�/ 0"

��'�������������� ���4����/ 0

��/ F���

�"�"�/ )��������4���������-

�"�"�/ 0

=�/ ��������4���������

/ �����)����%��-�4�������)����%��-"

��������� �������������� ��

�����

%&&�� ���������������������������������)��- � �� �+�

TT p2

��TT p2 ��

dd

2

2

T�+���#�/�0"

��'�������������� ���+����/ 0

��/ F��

�"�"�/ �����4����

�"�"�/ 0"

#�/������4����

�"

B���\$ �)�\$�-�/�M�����)����%��-�4�������)����%��-N

)�����4����

�- """)5-

A�3��(((��9���r rR2R

RTT

�'����

)�- ��=�4��=�/�0"

������/��������������/���%��������������ddz\$���������!�������������������

�M�)��+�*-�4��N=�/�0

��=�/�0

��'��������������� ���/�0

��/�0\$�0

��"�"�/�)���4����-���/����4������%��

��"�"�/�0

=�/����4������%��"

)��- ��+�TT 0

�#�/�0 #�/�����4����" �)�\$�-�/�)���4�����%��-�)����4����- """)6-

� ����������������������)2-\$�)5-�����)6-\$� ����������������������������� ������%!�������������������"

E�������������������

�)�\$�0-�/�0 """),-

�)�\$�-�/�0 """)9-

�)�\$�-�/�# """)L-

��� ��0�������0 """):-

>��������)5-�����)6-������������ ������������������):-"

B���\$�����������������������

�)�\$�-�/�)�����4����

��-�)��������4��������- """)*0-

�����)*0-\$ �)�\$�0-�/�0�/�)�����4���

�-���

���/�0"

�����)*0-\$

�)�\$�-�/�)�����4����

�-������� """)**-

�)�\$�-�/�0�/�)�����4����

�-�������

��� ��������� �������������

�����

�������������������������������

������/�0�/������)����- ��/��"

�����)**-\$ �)�\$�-�/�)�����4���

�-�������� """)*1-

�����������0�������0������� ����������������� �������/�0"

B���� ����)*1-\$� �)�\$�-�/�������������/�����

������"#��������%����������������

�)�\$�-�/ b r nnn

n

sin

1

""")*2-

�)�\$�-�/ #�/� b a nnn

n

sin

1

���� ������/

20

� { sin }T n d

/2

0

T

���

���

cos nn

�/�2Tn)*�+�����-

/2Tn�T*�+�)+�*-�U�/�

4Tis odd

0 ; is evenn

n

n

;�����

���/4T

is odd

0 ; is evenn a

n

n

n;�

����

�����)*2-\$ �)�\$�-�/4 1

1 3 5

T

n

n

nnra

n

, , ,...

. sin

�)�\$�-�/4 1

2 11

2 1T

n

n

nra

���

���( )

����)1��+�*-

�����������������������������������������������������"

���������8��(��!��

2

2 2

2

2V

r1r

Vr

1r

V �' ����������������������

)�- <�������������' )��- <�4�����������"

�����>����������%!���� �����������������

G�/ �)������4�E���

�-����)��4�-3������/��\$ G�/ �������� ���������/ )����

��4�E����-����)��4�-

���/ ������4�E��

��\$��/�03�������0\$�G��� ���" E��/ 0 )����� ���G��������-

���/Cn

na

G�/ ���ra

n���

��� �����"

��������� �������������� ���

�����

%&&�� ���������������������������������

������������)��������������������������1������������������ "�)������������������������������������������������������������" ������������������������������������������"

�����B���\$� ����!�������&�������������������������������"

#������������

��/ )��������4��������-�)�����4�����

�- """)*-

>��\$������������������������ ���������/�0

���/ 0 """)1-

����\$� � �������������1\$� �����!������������������"�>��������������)*-���������������� ���������1"

#���� ������/��\$�������%��"�B���\$� ������ ��������%�����������������

��/n

c n c n

0

1 2( cos sin ) �����

/n

n nnn n r

0

( cos sin )A B �C������/���������/�E�� )���-

������%�������\$�����������

��/ �)- �� ��/��\$� ��%��

�)-�/n

n nnn n a

0

( cos sin )A B

���� ������/1

0

2

� f n d( ) cos

��� ���E��/1

0

2

� f n d( ) sin

������������ �����������������������������7�������E��'EE�����!����������'�����1�����!�������������������!������������"

�������������� ���������� ���������� ��%�������7���������"

>���������� ���

2

2

2

2

rr

r�/�0��

�/�)�������4�E�����-�)����4����- """)*-

>�����0�������0 ��/�0

�/�)�������4�E�����-���� """)1-

������%����)1-\$�����D��������������������

)�\$�0-�/�0 ��� )�\$�-�/�0\$� ��%�����/�0 ��� ��/���)����-

�����%���)1-���������%����!��������������� ����/�*\$�1\$�2\$"""\$� ��%��

��/�n

nnr n

1

B sin """)2-

���� ��������� �������������

�����

�������������������������������

#����������� ����������� �����������%!��������������������� ������������������

���)�-��/�0� �����/�0 ��� )��-��/��� �����/� """)5-

>�� ���������)2-\$��������������/���4�E� ������� ���������7���������"3���������\$�E���������)5-������� ��"

#���\$ E�/ 0 ��� ��/��

B���\$ �/c

r nnn

n

B sin1

""")6- ���� ���)5-

������%����)6-\$������������������/�� ������/��\$� ��%��

��/c

a nnn

n

B sin1

� 11

������

Bnn

n

a nsin

E����/

21

0

� �

�����c n dsin

E�����/

2cn

E��/�2c

n an"""),-

�����)6-�����),-\$

�/c c

nra

n

n

���

���

2 1

1

�����

�� ������

8� ������������������������������������������� ����������\$�������������� ����������� ���� �������������� ���.�������'M>�������� ���������������� ���.�������3'M>� �������P��

���#���240 1

2 11

2 1

n

n

nra

���

���( )

������� / �"�!#�

� @����\$�������������� �� �������� ���� ���� ������������.������� ���������� ���#�� " #������� ����� �������������� ���.������� C�� � �����������@������ ����������� ������������� ���������������� �����������������\$������������������������� � �����������������������

���#���8 2 1

2 11

2 1

3k r

an

nn

n

���

���

.sin ( )

( )�

\$ %���� �������������� �� �� ���\$�������� ������ �� �������� ��� .���� ��� 'M>����� ��������������� ����������\$��������� �����������������

���#���50 0

2

, when

50( ), when2

��

��

8� �����������������\$������������������������� ����������

���#���200 1

2 11

1

2

2 1

n

n n

n

ra

���

���

( )

( )������� / �"�!#�

Recommended