+ All Categories
Home > Documents > Pembuktian Deletion-contraction Theorem

Pembuktian Deletion-contraction Theorem

Date post: 15-Oct-2015
Category:
Upload: ratnasari-dwi-a
View: 43 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
Description:
Teori Graf
Popular Tags:

of 27

Transcript
  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    1/27

    mempersembahkan

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    2/27

    Wigati P. Putri 07305141038

    Ratnasari Dwi Ambarwati 10305141004Meita Putri Rahayu 10305141005

    Dwi Prihastuti 10305141020

    Amalia Sita Nursanti 10305141038

    PEMBUKTIAN DELETION-CONTRACTION

    THEOREM SERTA

    PENERAPANNYA DALAM PEMBUATAN JADWAL

    UJIAN AKHIR PROGRAM STUDI MATEMATIKA

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    3/27

    Pendahuluan Pembahasan Penerapan

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    4/27

    PENDAHULUAN

    Latar Belakang

    Tujuan

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    5/27

    PENDAHULUAN

    Latar Belakang

    Matematika memiliki beberapa pokok bahasan, salah satunya adalah

    graf. Graf adalah himpunan tak kosong berhingga, yang terdiri dari himpunan

    rusuk dan himpunan simpul yang himpunan simpulnya tidak boleh kosong.

    Graf biasa digunakan sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah

    dimengerti. Graf merupakan salah satu cabang ilmu Matematika yang dapat

    diterapkan baik dalam Ilmu Matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari.

    Contoh graf dalam kehidupan sehari-hari antara lain: struktur organisasi, bagan

    alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain.

    Salah satu topik pada graf adalah pewarnaan graf. Mewarnai sebuah

    graf berarti memberi warna pada setiap simpul graf sedemikian hingga simpul

    yang berikatan dapat diwarnai dengan warna yang berbeda.

    Jumlah warna paling minimum yang dapat diterapkan pada Grafini sering disebut dengan bilangan kromatik ((G)). Salah satu metode yang

    digunakan untuk mencari nilai (G) adalah dengan menggunakan polinomial

    kromatik.

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    6/27

    PENDAHULUAN

    Rumusan Masalah

    Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas,

    maka rumusan masalah yang dapat diajukan adalah sebagai berikut:

    Bagaimana pembuktian Deletion-Contraction Theorem?

    Bagaimana cara menentukan banyaknya bilangan kromatik pada

    suatu graf dengan metode Deletion-Contraction Theorem?

    Bagaimana penerapan pewarnaan simpul pada kasus

    penjadwalan ujian kuliah dengan metode Deletion-Contraction

    Theorem?

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    7/27

    PEMBAHASANPewarnaan Simpul

    Polinomial Kromatik

    Teorema deletion-contraction

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    8/27

    Pewarnaan Simpul

    Pewarnaan simpul pada graf adalah suatu pemetaan dari himpunan

    simpul ke himpunan warna sedemikian sehingga setiap 2 simpul yang

    berikatan mempunyai warna yang berbeda. Misalkan G adalah graf tanpa

    loop, k-pewarnaan untuk G menyatakan penggunaan sebanyak k-warna untuk

    simpul G.

    Polinomila

    KromatikTeorema

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    9/27

    Pewarnaa

    SimpulTeoremaPolinomial Khromatik

    Misal G merupakan graf sederhana, dan adalah banyak cara

    mewarnai simpul G dengan k warna sedemikian sehingga setiap dua simpul

    yang berikatan memiliki warna yang berbeda. Fungsi disebut

    polinomial khromatik G atau suku banyak khromatik G .

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    10/27

    Pewarnaa

    SimpulTeoremaPolinomial Khromatik

    Contoh berikut mungkin dapat menjelaskan mengapa banyak pewarnaan-

    k dari G dapat dinyatakan sebagai polinomial dalam k .

    Contoh 1:

    adalah graf lengkap-3. simpul puncak dapat diberi warna

    sembarang dari k warna tersebut. Simpul di sebelah kirinya dapat diberi

    warna sembarang dari (k-1) warna yang belum diberikan pada simpul

    puncak. Simpul di sebelah kanan simpul puncak dapat diberi warnasembarang dari (k-2) warna yang belum terpakai.

    Sehingga, banyak cara mewarnai adalah 1 2 atau

    = 1 ( 2)(Wilson dan Watkins, 1989: 237, 238).

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    11/27

    Polinomial Khromatik

    Contoh 2:

    Jika G adalah lintasan Graf P3 simpul paling kiri dapat diwarnai dengan

    sebanyak k-warna, simpul tengah dapat diwarnai dengan k-1 warna selain warna

    yang diberikan pada simpul kiri, dan simpul kanan dapat diwarnai dengan k-1

    warna yang sama dengan simpul tengah. Sehingga, banyak cara mewarnai adalah 1 atau = 1

    Contoh diatas dapat diperluas untuk mendapatkan kesimpulan berikut:

    Jika G adalah pohon dengan n-simpul, maka =

    Dari kesimpulan tersebut, didapat bahwa Graf non-isomorfis mempunyai

    polinomial kromatik yang sama.

    Pewarnaa

    SimpulTeorema

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    12/27

    Pewarnaa

    SimpulTeoremaPolinomial Khromatik

    Jika polinomial khromatik diketahui, maka bilangankhromatik suatu graf dapat dihitung dengan mudah, karena

    bilangan khromatik graf G adalah bilangan bulat positif

    terkecil k yang memenuhi > 0.

    Jika cara untuk menentukan polinomial kromatiknya

    sudah ditemukan, maka dapat diturunkan sebuah algoritma

    untuk menentukan bilangan kromatik.

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    13/27

    Pewarnaa

    SimpulTeoremaPolinomial Khromatik

    Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa

    1 2 = 1 1

    Sehingga, =

    dimana G,\ , dan () seperti graf berikut:

    Dengan \ didapat dari G dengan menghapus rusuk e. () didapat

    dari G dengan memampatkan rusuk e. Gagasan tersebut menghasilkan sebuh

    teorema, yang disebut the deletion-contraction theorem

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    14/27

    Teorema

    Teorema Deleting-Contraction. Misal G adalah graf sederhana, dan G atau

    G \ e serta G atau G e adalah graf yang diperoleh dari G dengan

    menghapus dan mengkontraksi suatu rusuk e.

    Maka = \ ()

    Pewarnaa

    Simpul

    Polinomial

    Kromatik

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    15/27

    Pewarnaa

    Simpul

    Polinomial

    KromatikPembuktian Teorema

    Bukti. Misal e = vw adalah rusuk dari G. G \ e adalah graf yang diperoleh

    dengan menghapus rusuk e dan G e adalah graf yang diperoleh dengan

    mengkontraksi rusuk e.

    Jika simpul v dan w pada graf G \ e diberikan warna berbeda, maka

    banyak cara mewarnai G \ e sama dengan banyak cara mewarnai G. Jika

    simpul v dan w pada graf G \ e diberikan warna sama, maka banyak cara

    mewarnai G \ e sama dengan banyak cara mewarnai G e. Sehingga, jumlah

    total pewarnaan-k untuk G \ e adalah

    \ = + = \ ()

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    16/27

    Pewarnaa

    Simpul

    Polinomial

    KromatikPembuktian Teorema

    Perhatikan Ilusatrasi berikut:

    Misalkan terdapat graf G

    P P P

    PPP

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    17/27

    Pewarnaa

    Simpul

    Polinomial

    KromatikTeorema

    Diperoleh bahwa:

    = [ 1( 2) 1 2 ( 1)( 2)( 3)

    = 1 2

    4 + 5

    = 7 + 19 23 + 10

    Karena 1 = 0, 2 = 0, 3 = 12, maka = 3

    P P P

    P P P

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    18/27

    PENERAPAN

    Penerapan Pewarnaan Simpul pada Kasus Penjadwalan Ujian Kuliah dengan

    Metode Deletion-Contraction

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    19/27

    Di FMIPA UNY akan melaksanakan ujian akhir.

    Pada prodi Matematika terdapat lima mata

    kuliah yang akan diujikan, yaitu FPK, Aljabar

    Abstrak, Teori Graf, Sistem Geometri, dan

    Statistika Matematika, mata kuliah tersebut

    disimbolkan secara berurutan sebagai berikut

    A, B, C, D, dan E. Terdapat 10 mahasiswa yang

    akan mengikuti ujian tersebut. Setiap

    mahasiswa memilih dua mata kuliah yang

    berbeda, matriks mahasiswa dan matakuliahnya adalah sebagai berikut:

    Penerapan Pewarnaan Simpul pada Kasus Penjadwalan Ujian

    Kuliah dengan Metode Deletion-Contraction

    A B C D E

    1 0 1 0 1 0

    2 1 1 0 0 0

    3 0 0 1 0 1

    4 0 0 0 1 1

    5 1 0 0 1 0

    6 0 1 0 1 0

    7 1 0 1 0 0

    8 1 0 0 0 1

    9 1 0 0 1 0

    10 0 0 0 1 1

    Tentukan banyaknya jadwal ujian yang dapat dibuat sedemikian rupa sehingga

    semua siswa dapat mengikuti ujian mata kuliah tersebut tanpa ada kesulitan

    waktu.

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    20/27

    Penyelesaian :

    Masalah penjadwalan ujian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan

    metode pewarnaan simpul, dengan simpul mewakili mata kuliah dan rusuk

    antara dua simpul mewakili bahwa ada mahasiswa yang mengambil kedua

    mata kuliah yang diwakili simpul-simpul tersebut, sehingga ujian kedua mata

    kuliah yang diambil mahasiswa tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan.

    Masalah tersebut dapat dibuat

    dalam bentuk graf, yaitu sebagai

    berikut :

    A

    B

    C D

    E

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    21/27

    Penyelesaian :

    Dengan menggunakan metode Deletion-Contraction, maka

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    22/27

    Penyelesaian :

    Polinomial Kromatiknya yaitu:

    = 1 1 2 ( 1) 1 + 1 2

    = 1 ( 1 1) 2 1 ( 1 1 ] + 1 2

    = [

    3

    + 3 1 2 2

    2 + 1 2 +

    3

    + 2= 5 + 9 7 + 2 2 + 8 10 + 4 + 3 + 2

    = 7 + 18 20 + 8

    Karena 0 a =0, 1 =0, 2 =0, dan 3 =6,

    ()adalah K minimal, sehingga > 0.

    Jadi, bilangan kromatik dari graf tersebut adalah 3.

    Dari kesimpulan tersebut, terdapat 3 jadwal yang dapat dibuat agar setiap mahasiswa tidak

    mendapatkan jadwal ujian dua mata kuliah yang diambil dalam waktu yang bersamaan.

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    23/27

    Pewarnaan graf untuk jadwl ujian

    Untuk menentukan pewarnaan graf pada graf tersebut, akan di

    tentukan dengan menggunakan Algoritma Welsh-Powell:

    Memberikan label simpul , , , ,

    sedemikian sehingga (1) (2) (3)

    (4) (5)

    Memberi warna merah pada simpul v1, karena v1

    berikatan dengan v2, v3, v4, dan v5 maka tidak ada

    simpul lain yang mempunyai warna yang sama

    dengan v1.

    Memberi warna biru pada simpul v2, berikan warna

    yang sama pada simpul-simpul yang tidak berikatan

    dengan v2 yaitu v5.

    Memberi warna hijau pada simpul v3, berikan warna

    yang sama pada simpul-simpul yang tidak berikatan

    dengan v3 yaitu v4.

    Karena semua simpul sudah diberi warna maka

    algoritma selesai.

    A

    B

    C D

    E

    v1

    v2 v3

    v5v4

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    24/27

    Pewarnaan graf untuk jadwl ujian

    Berdasarkan pewarnaan simpul dengan menggunakan algoritma

    Welsh-Powell, maka peroleh:

    simpul diberi warna merah, simpul diberi warna hijau,

    simpul diberi warna biru,

    sehingga terdapat 3 macam warna pada graf

    tersebut.

    D

    E

    C

    A

    B

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    25/27

    ?PENUTUP

    Kesimpulan

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    26/27

    Berdasarkan pembahasan di atas maka

    Deletion-Contracion Theorem terbukti.

    Penentuan banyaknya bilangan

    kromatik dengan metode Deletion-

    Contracion yaitu: = \ ()

    Salah satu aplikasi penghitungan

    banyaknya cara memberikan warna

    simpul yang menggunakan Deletion-Conttraction Theorem adalah

    pembuatan jadwal ujian Prodi

    Matematika FMIPA UNY.

    Kesimpulan

  • 5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem

    27/27

    Terima kasih....Sekian.......


Recommended