SKRIPSI

PENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIK

DALAM MASALAH RADIAL DAN PERSAMAAN DIRAC

DERAJAT PERTAMA

Elida Lailiya Istiqomah

03/171226/PA/09791

Departemen Pendidikan Nasional

Universitas Gadjah Mada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamYogyakarta

2007

THESIS

APPLICATIONS OF SUPERSYMMETRIC QUANTUM

MECHANICS IN THE RADIAL PROBLEMS AND FIRST

ORDER DIRAC EQUATION

Elida Lailiya Istiqomah

03/171226/PA/09791

Department of National Education

Gadjah Mada University

Faculty of Mathematics and Natural SciencesJogjakarta

2007

SKRIPSI

PENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIK

DALAM MASALAH RADIAL DAN PERSAMAAN DIRAC

DERAJAT PERTAMA

Elida Lailiya Istiqomah

03/171226/PA/09791

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh

derajat Sarjana S1 Program Studi Fisika pada Jurusan Fisika

Departemen Pendidikan Nasional

Universitas Gadjah Mada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamYogyakarta

2007

THESIS

APPLICATIONS OF SUPERSYMMETRIC QUANTUM

MECHANICS IN THE RADIAL PROBLEMS AND FIRST

ORDER DIRAC EQUATION

Elida Lailiya Istiqomah

03/171226/PA/09791

Submitted to complete the requirements for the degree of Sarjana S1

Physics Study Program of Physics Department

Department of National Education

Gadjah Mada University

Faculty of Mathematics and Natural SciencesJogjakarta

2007

SKRIPSI

PENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIKDALAM MASALAH RADIAL DAN PERSAMAAN DIRAC

DERAJAT PERTAMA

Elida Lailiya Istiqomah

03/171226/PA/09791

Dinyatakan lulus ujian skripsi oleh tim penguji

pada tanggal 9 Oktober 2007

Tim Penguji

Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid Juliasih Partini, M.Si.

Pembimbing I Penguji I

Dr. Kamsul Abraha

Penguji II

KupersembahKan

Bagi DIA Sang Maha Pintaryang menciptakan segala keteraturan alam

Untuk Bapak dan Ibunda, Mbah Putri,Adikku Novida dan Farid tersayang

iv

"Bukankah Dia mendapatimu sebagai seorang yatim, lalu Dia melindungimu.

Dan Dia mendapatimu sebagai seorang yang bingung, lalu Dia memberikan petun-

juk.

Dan Dia mendapatimu sebagai seorang yang kekurangan, lalu Dia memberikan ke-

cukupan."

(Q.S. Adh Dhuha : 6-8)

Pangati− ati iKu setengah saKa Keslametan.

(Pepeling Jawa)

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, wa syukurillah.....

Tiada kata yang mampu dituliskan untuk mengungkapkan rasa syukur bahagia

atas nikmat yang begitu besar. Sesungguhnya segala sesuatu, ilmu yang bermanfaat,

pengetahuan yang mencerahkan jalan manusia, adalah dari Allah SWT semata, yang

Maha Esa tiada duanya, Maha Pemberi dan Maha Penyayang bagi seluruh ciptaan-

Nya, serta Maha Pintar yang tiada satupun mampu menyamai-Nya. Semoga setiap

ilmu pengetahuan yang bertambah seiring berlarinya waktu senantiasa menuntun kita

untuk semakin mengakui kebesaran-Nya dan meraih ridho Ilahi.

Puji syukur kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga

penulis dapat menyelesaikan perkuliahan dan skripsi ini dengan lancar. Tiada kata

yang dapat melukiskan puji syukur penulis kepada-Nya atas pertolongan yang tak

henti-henti dalam proses penulisan skripsi ini. Setelah lebih dari 4 tahun penulis

berjuang di bidang fisika, yang tidak pernah terduga akan mendalaminya, akhirnya

penulis bisa memberikan sebuah karya kecil untuk memenuhi syarat wajib kelulu-

san. Dengan mengumpulkan pemahaman dalam SKS demi SKS masa panjang kuliah

yang melelahkan sekaligus mengasyikkan, menjemukan namun penuh kenangan dan

hikmah, akhirnya penulis sampai pada masa akhir perkuliahan dan merampungkan

penulisan skripsi ini.

Segenggam kumpulan tulisan yang tersusun dalam sebuah skripsi ini me-

mang tidak menyuguhkan suatu penemuan. Kendati demikian, karya ini menco-

vi

vii

ba menggabungkan, bahkan menggali sebuah kajian yang mungkin hingga saat ini

masih belum banyak disinggung, khususnya di bangku perkuliahan. Ada sebentuk

kepuasan tersendiri saat bisa menemukan konsep yang selama ini tidak terpikirkan,

membayangkannya pun belum pernah.

Pada awalnya saya merasa tidak cocok menekuni bidang ini, yang penuh de-

ngan kerumitan dan banyak konsep-konsep sukar dicerna. Bahkan kata kunci dalam

memahami skripsi ini,SUPERSYMMETRY, begitu asing di telinga sehingga

memusingkan dan terasa ambigu. Saya menganggap tidak ada kesesuaian antara topik

ini dengan fisika inti, bidang yang waktu itu sangat saya sukai. Begitu tercengangnya

saat menyadari kekeliruan dalam pikiran saya selama ini. Dan akhirnya kembali saya

harus berucap syukur atas kemudahan yang telah dilalui. Di samping itu, semakin

tersadar saya dalam memahami makna ilmu pengetahuan yang bernama fisika secara

nyata dan yang sebenarnya. Allah menciptakan segala sesuatu dengan keteraturan,

keseimbangan, kesetangkupan, simetri...

"Yang telah menciptakan tujuh langit berlapis-lapis. Kamu sekali-kali tidakmelihat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seim-bang. Maka lihatlah berulang-ulang, adakah kamu lihat sesuatu yang tidakseimbang?"

(Q.S. Al Mulk : 3)

Dalam setiap tahapan pembelajaran, begitu banyak hal yang saya dapat, na-

mun hal ini secara langsung juga mengingatkan saya pribadi bahwa masih banyak

pula hal yang belum saya ketahui. Sering saya pusing dengan hal-hal baru dan ke-

mudian mencoba mengatasi pertanyaan- pertanyaan yang belum terjawab, satu demi

satu. Bahkan hingga detik ini dan selamanya, proses itu masih saja terjadi dan terus

berulang. Inilah pembelajaran dalam hidup.

> > > > >

viii

Selama perkuliahan dan penulisan skripsi banyak pihak yang telah memban-

tu apapun kepada penulis. Bapak,Alm. Drs. Sholikhin Salam dan ibunda,Sri

Yuliyanti tercinta, yang tidak henti-hentinya memberikan curahan perhatian, cinta

dan kasih sayang, ananda tiada akan dapat membalas seluruh pengorbanan yang telah

dilimpahkan. Skripsi ini sebagai salah satu wujud takzim ananda, atas ridho dan doa

yang selalu diberikan. Kepada mbah putri, terima kasih atas doa yang selalu diberikan

pada cucumu. Untuk keluarga pakdhe Sudijono terima kasih atas semua bantuannya.

Buat kedua adikku tersayang, Novida dan Farid, terima kasih atas segala dukungan

dan keceriaan yang mengisi hari-hari kita.

Terima kasih banyak atas segenap waktu yang telah diluangkan olehDr. rer.

nat. Muhammad Farchani Rosyid, selaku dosen pembimbing skripsi, yang mem-

berikan tema skripsi yang awalnya begitu asing namun menarik, bahan perkuliahan

dan berbagai pemahaman mengenai berbagai konsep. Terima kasih pula atas doro-

ngan, semangat, motivasi dan teladan dalam setiap bimbingan yang diberikan dengan

kesabaran. Penulis ingin tetap berkolaborasi dalam memahami konsep-konsep baru

sehingga dapat menghasilkan karya yang lebih baik lagi. Semoga Allah SWT mem-

balas semua kebaikan yang telah Bapak berikan.

Terima kasih pula untuk Drs. Guntur Maruto, S.U., selaku dosen wali / pem-

bimbing akademik selama 4 tahun, yang telah memberi arahan dan bimbingan yang

kontinu serta memantau perkembangan akademik setiap semester sehingga penulis

dapat menjalani masa perkuliahan dengan lancar. Pada seluruh dosen dan staf juru-

san fisika, Alm. Prof. Muslim, Bu Zahara, Bu Palupi, Bu Juli, Pak Kamsul, Pak

Arief, Pak Kuwat, dll, terima kasih atas ilmu yang telah dibagikan kepada penulis.

Kepada sahabat-sahabatku fisikawati angkatan 2003: Zumie, Tasya, Sulis,

Wurie, teteh Nia, Anisa, Sofie, Nadhia, Tuta, ukhti Immel, Astin, Ayu, dll, terima

kasih atas kebersamaan yang indah selama kuliah. Buat neng Lutfie, terima kasih

ix

atas dorongan yang membawaku ke fisika teori, belajar denganmu jadi lebih menye-

nangkan. Terima kasih banyak atas bantuan selama penyusunan skripsi sejak awal

hingga akhirnya bisa terselesaikan untuk Leo, Dodo, Firdaus dan Frenky. Untuk mas

Timmy, mbak Ria, mas Ardhi, mbak Latief, terima kasih atas segala masukan yang

diberikan. Untuk teman-teman pecinta Astrofisika, Dito, Atsna, Nana, Pri, mas Joko,

semoga kita bisa terus bersama-sama menggali ilmu. Untuk Vevy, Fina, Merry, dan

teman-teman fisika angkatan 2005, kejarlah terus cita-citamu.

Kepada pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah

banyak memberi bantuan untuk penulis, terima kasih atas semua yang telah diberikan.

Semoga Allah selalu membimbing kita semua.

Penulis berharap agar skripsi ini dapat memberikan wacana baru yang dapat

menjadi langkah awal bagi ide dan gagasan kreatif selanjutnya. Penulis menyadari

bahwa skripsi ini tidak lepas dari berbagai kesalahan dan masih sangat jauh dari ke-

sempurnaan, untuk itu penulis mohon maaf. Akhirnya,tiada gading yang tak retak,

kesempurnaan tiada lain hanyalah milik Allah Ta’ala...

Yogyakarta, Oktober 2007 - Romadhon 1428 H

Elida Lailiya Istiqomah

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Halaman Judul (dalam Inggris) ii

Halaman Pengesahan iii

Halaman Persembahan iv

Halaman Motto v

KATA PENGANTAR vi

INTISARI xiv

ABSTRACT xv

I PENDAHULUAN 1

1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Ruang Lingkup Kajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5. Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7. Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II PRINSIP DASAR SUPERSIMETRI DALAM MEKANIKA KUANTUM 9

1. SUSY dan Masalah Osilator Harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Superpotensial dan Pengaturan Hamiltonan SUSY . . . . . . . . . . . 17

x

xi

3. Arti Fisis dari Hamiltonan Supersimetri . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Sifat - Sifat Pasangan Hamiltonan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III SUSY DALAM MASALAH RADIAL 28

1. SUSY dan Masalah Radial Tiga Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Masalah Radial Menggunakan Operator Tangga dalam SUSYQM . . 34

3. SUSY dalamD Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

IV TEORI DIRAC TENTANG PARTIKEL SPIN 1/2 DAN PENDEKATAN

NON-RELATIVISTIKNYA 43

1. Persamaan Dirac dalam Mekanika Kuantum Relativistik . . . . . . . 43

2. Partikel Dirac Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Alih Ragam Foldy-Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

V PENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIK DALAM

PERSAMAAN DIRAC DERAJAT PERTAMA 54

1. Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2. Model dan Penyelesaiannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Supersimetri dan Pangkat Dua Hamiltonan Pauli Relativistik . . . . . 60

4. Supersimetri dan Hamiltonan Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5. Kesetaraan Supersimetri dengan Persamaan Dirac-Alih Ragam Foldy

Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

VI PENUTUP 72

1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A PEMBUKTIAN PERSAMAAN (II.13) - (II.15) 76

xii

B PERSAMAAN SCHRÖDINGER DALAM POTENSIAL SETANGKUP

BOLA 79

C PEMBUKTIAN PERSAMAAN (B.13) DAN (B.14) 89

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

R Himpunan bilangan riil.

C Himpunan bilangan kompleks.

Rn Produk kartesisn buah himpunan bilangan riilR.

a ∈ A a adalah anggota himpunanA.

∀ Untuk setiap.

B ⊂ A HimpunanB adalah subhimpunan dari himpunanA.

A→ B Pemetaan dari himpunanA ke himpunanB.

⊗ Produk/hasil kali tensor antara dua operator

yang masing-masing berada dalam suatu ruang vektor.

δ(n) Fungsi delta Dirac.

:= Definisi

∞ Tak terhingga.

dnx Sama dengandx1dx2 · · · dxn ataudx0dx1 · · · dxn−1.∫∞−∞ Integral meliputi seluruh domainintegrand.

∇ Operator nabla pada ruang koordinat.

|·〉 Vektor ket.

〈·| Vektor bra.

〈·|·〉 Hasil kali skalar antara vektor ket dan vektor bra.

h Tetapan Planck. Dalam satuan SI besarnya adalah

6, 626× 10−34J.s.

e Muatan listrik elementer. Dalam satuan SI besarnya adalah

1, 602× 10−19C.

c Laju rambat cahaya pada ruang hampa. Dalam satuan SI besarnya

adalah2, 998× 108m/s.

xiii

INTISARI

PENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIK

DALAM MASALAH RADIAL DAN PERSAMAAN DIRAC

DERAJAT PERTAMA

Oleh :

Elida Lailiya Istiqomah

03/171226/PA/09791

Telah dilakukan kajian mengenai konsep supersimetri dalam mekanika kuan-tum serta penerapannya pada masalah radial dan persamaan Dirac derajat pertama.SUSY dalam masalah radial dibahas dengan memanfaatkan operator tangga. Pem-bahasan SUSY dalam masalah radial dibatasi untuk sistem minimal berdimensi tiga.SUSYQM untuk sistem relativistik (persamaan Dirac) ditelusuri menggunakan alihragam Foldy-Wouthuysen.

Kata kunci : supersimetri, mekanika kuantum, masalah radial, persamaan Dirac, alihragam Foldy-Wouthuysen

xiv

ABSTRACT

APPLICATIONS OF SUPERSYMMETRIC QUANTUM

MECHANICS IN THE RADIAL PROBLEMS AND FIRST

ORDER DIRAC EQUATION

By :

Elida Lailiya Istiqomah

03/171226/PA/09791

The concept of supersymmetry in quantum mechanics and its applications toradial problems and first order Dirac equation have been discussed. SUSY in the ra-dial problems be applied to three and higher dimensions, also be handled using ladderoperator techniques. SUSYQM for relativistic systems (Dirac equation) are discussedusing Foldy-Wouthuysen transformation.

Keywords : supersymmetry, quantum mechanics, radial problems, Dirac equation,Foldy-Wouthuysen transformation

xv

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Pada abad ke-20, bidang ilmu fisika mengalami pergeseran dalam memaha-

mi alam, yaitu pada dua paradigma. Pertama, yaituMekanika Kuantum, dan yang

kedua adalahRelativitas. Penggabungan antara keduanya disebutTeori Medan Kuan-

tumyang di dalamnya muncul konsepanti-materi. Pada abad ke-21, fisika diarahkan

pada tingkatan penggabungan yang lain, misalnya penggabungan antaraMekanika

KuantumdanRelativitas Khusus, teori gravitasi Einstein. Penggabungan ini belum

memperoleh hasil yang memuaskan, terganjal olehinkonsistensi matematis, ketak-

berhinggaan, dan kebolehjadian yang negatif. Salah satu kunci untuk mengatasinya

adalah konsep tentang supersimetri. Supersimetri awalnya diperkenalkan pada bidang

kajian Fisika Energi Tinggi (High Energy Physics, HEP) dalam usaha memperoleh

penjelasan terpadu dari semua interaksi mendasar di alam.

Supersimetri, atau yang sering disingkat SUSY1, muncul pertama kali pada

tahun 1971 ketika Ramond mengajukan konsep tentang fungsi gelombang untuk fer-

mion bebas berdasarkan strukturdual modeluntuk boson. Kemudian, John Schwarz

dan Neveu membangundual theoryyang menggunakan aturan anti komutasi untuk

operator, yang sesuai dengan tipe osilator harmonikdual modelkonvensional untuk

boson.

Namun SUSY yang ’sebenarnya’ baru muncul pada 1974 olehJulius Wessdan

Bruno Zuminodalam artikelnya yang berjudulA Lagrangian Model Invariant Under

Supergauge Transformations, [Wess dan Zumino , 1974]. Mereka mendefinisikan set

transformasisupergaugedalam 4 dimensi dan menunjukkan hubungannya dengan

1Dari asal kata dalam bahasa Inggris : SUPERSYMMETRY.

1

2

teori medan bebas Lagrangan.

Supersimetri adalah kesetangkupan yang dapat mempertukarkan antara fer-

mion dan boson dalam sebuah operasi invarian. Seperti yang telah diketahui dalam

fisika partikel, semua partikel yang paling mendasar (elementary particles) dan par-

tikel gabungan2 (composite particles), yang sejauh ini telah teramati adalah boson

atau fermion, bergantung pada spinnya. Boson adalah partikel pembawa gaya yang

memiliki ciri khusus pada spin berupa kelipatan bilangan bulat, misalnya foton. Bo-

son mematuhi statistik Bose-Einstein dan namabosonini sendiri diambil dari nama

fisikawan India, Satyendra Nath Bose. Sedangkanfermionyang diambil dari nama

fisikawan asal AS kelahiran Italia, Enrico Fermi, adalah partikel penyusun materi

yang memiliki spin berupa kelipatan setengah dari bilangan bulat dan mematuhi sta-

tistik Fermi-Dirac. Hingga saat ini diyakini bahwa fermion terdiri dari quark dan

lepton, quark adalah penyusun proton dan netron (keduanya komposit) sedangkan

lepton adalah sebutan untuk elektron, muon, tauon dan neutrino.

SUSY merupakan kesetangkupan tingkat tinggi yang tak lazim, mengingat

fermion dan boson memiliki perbedaan dalam banyak hal. Misalnya, ketika dua bo-

son yang identik berkondensasi, dalam sudut pandang asas larangan Pauli, tidak ada

dua fermion identik dapat mengisi keadaan yang sama. Hal ini kemudian diubah bah-

wa partikel-partikel tersebut dapat berkelakuan secara setangkup, sebab pada fermion

berlaku kaitan komutasi, sedangkan pada boson berlaku kaitan antikomutasi. Aljabar

yang menjelaskan SUSY adalah aljabar Lie berderajat yang mengatur kombinasi dari

hubungan komutasi dan antikomutasi.

Dalam teori supersimetri yang paling sederhana, setiap boson memiliki pasa-

ngan fermion yang sesuai dan setiap fermion memiliki pasangan boson yang sesuai

pula. Pasangan fermion dari boson yang ada memiliki nama yang diperoleh dengan

2Partikel komposit dibuat atau dibentuk dari partikel yang lebih mendasar (fundamental).

3

menggantikan suku "on" pada akhir nama boson dengan "no", atau menambahkan

suku "ino", seperti gluino, fotoino, wino dan zino. Pasangan boson dari fermion yang

ada memiliki nama yang diperoleh dengan menambahkan huruf "s" pada awal nama

fermion, misalnya selektron, squark, dan slepton.

Dorongan utama dalam mempelajari SUSY (dari sudut pandang fisika parti-

kel) adalah

1. SUSY memberikan landasan yang tepat untuk penggabungan materi dan gaya,

2. SUSY mengurangi perbedaan antara kuantum dan gravitasi,

3. SUSY memberikan jawaban untuk masalah hierarki (hierarchy problem) dalam

Teori Kesatuan Agung atau Grand Unified Theory (GUT).

Mekanika kuantum dipakai untuk menjelaskan tiga dari empat interaksi men-

dasar yaitu interaksi elektromagnetik, lemah dan kuat. Interaksi elektromagnetik dan

interaksi lemah telah digabungkan dalam teori elektrolemah (electroweak theory), se-

dangkan teori elektrolemah dan interaksi kuat hingga kini masih dicoba untuk meng-

gabungkannya dalam teori kesatuan agung (GUT). Konsep supersimetri diperkenalkan

dalam usaha memperoleh GUT tersebut dengan menggabungkan kedua partikel men-

dasar, boson dan fermion, yang sifat-sifatnya berbeda.

Alam semesta ini seharusnya bisa dijelaskan dengan satu teori tunggal, yang

berlaku baik pada dunia makro maupun mikro. Para ilmuwan dari berbagai kalan-

gan terus memburu teori tunggal ini yang merupakan kunci utama memahami alam

semesta sesungguhnya bekerja. Inilah isu utama di kalangan para fisika teoritis. Salah

satu upaya yang dilakukan adalah menggabungkan materi dan gaya, dua hal yang

memiliki kelakuan berbeda di alam ini.

Penggabungan antara boson dan fermion secara langsung merupakan peng-

gabungan antara materi dan gaya karena boson adalah partikel pembawa gaya sedang-

4

kan fermion adalah partikel penyusun materi. Materi dan gaya pada dasarnya adalah

dua hal yang sangat berbeda, namun dengan teori supersimetri keduanya dapat diper-

tukarkan sehingga perbedaan yang ada menjadi berkurang. Dengan disatukannya

materi dan gaya maka perbedaan antara kuantum dan gravitasi berkurang sehingga

penelusuran yang menuju GUT menjadi lebih mudah.

Ciri-ciri SUSY yang penting antara lain

1. Partikel dengan spin yang berbeda, yaitu boson dan fermion, dapat dikelom-

pokkan bersama dalamsupermultiplet,

2. Simetri internal seperti isospin atau SU(3) dapat tergabung dalam ‘supermulti-

plet’.

3. Perbedaan dalam teori medan SUSY sangat berkurang.

Konsep supersimetri hingga saat ini terus mendapat perhatian fisikawan de-

ngan berbagai makalah yang bermunculan yang memaparkan kaitan antara SUSY

dan konsep-konsep fisika. Supersimetri muncul dalam bentuk yang berbeda pada tiap

penerapannya. Dalam artikelnya [Cooper, et. al., 1995], Cooper dkk. memaparkan

konsep sederhana tentang supersimetri dalam mekanika kuantum dan hubungannya

dengan proses stokhastik klasik, yang sebelumnya pernah dijelaskan pada 1979 oleh

G. Parisi dan N. Sourlas. Hubungan antara SUSY dengan sistem ketidakteraturan

(chaotic systems) dengan menggunakan teori matriks acak (random matrix theory)

dapat dilihat pada [Efetov , 1997] dan [Mirlin , 1999].

Keberadaan partikel supersimetri atau "superpartners" juga menarik perhatian

para peneliti di laboratorium, misalnyaLarge Hadron Colliderdi CERN yang se-

jak 1995 mencoba menemukan pasangan W boson, serta penelitian di Fermilab yang

mencari pasangan quark dan gluon. Hingga saat ini belum ada eksperimen yang men-

dukung teori supersimetri ini namun bukan tidak mungkin hal tersebut akan segera

5

terbukti seiring dengan penelitian yang terus dikembangkan.

2. Perumusan Masalah

Dari uraian tersebut telah dijelaskan bahwa konsep supersimetri muncul dalam

upaya merumuskan teori kesatuan agung (GUT) yang menyatukan ketiga interaksi

dunia mikro. Supersimetri muncul untuk memberikan jawaban pada masalah hierarki

GUT yang mencoba menggabungkan materi dan gaya, sehingga perbedaan diantara

keduanya berkurang. Penggabungan ini dilakukan dengan menggunakan aljabar yang

dapat mempertukarkan kedua partikel mendasar yang menyusun materi dan gaya,

yaitu boson dan fermion.

Dalam upaya memperoleh teori kesatuan agung (GUT), supersimetri dikem-

bangkan dalam ranah mekanika kuantum yang mempelajari skala mikro dan men-

cakup ketiga interaksi mendasar tersebut. Oleh sebab itu, supersimetri harus dapat

diterapkan dalam berbagai masalah di dalam mekanika kuantum.

Dalam skripsi ini, supersimetri ditinjau dalam dua masalah mekanika kuan-

tum yang sederhana sehingga memudahkan pemahaman dalam melihat kaitan SUSY

secara langsung. Pertama, SUSY ditinjau dalam persamaan Schrödinger, khususnya

pada bagian radialnya. Kedua, SUSY ditinjau dalam persamaan Dirac derajat pertama

yang menerangkan partikel spin12. Dipilih kedua masalah tersebut karena keduanya

sering dijumpai dalam kaitannya dengan bidang yang meliputi mekanika kuantum

lainnya.

3. Ruang Lingkup Kajian

Kajian skripsi ini dibatasi hanya pada penelusuran aljabar supersimetri dalam

mekanika kuantum dan tidak membahas bidang lain. Penerapannya dalam mekanika

kuantum juga dibatasi hanya pada dua masalah, yaitu masalah radial dan persamaan

6

Dirac derajat pertama sehingga tidak pula melibatkan kajian mengenai masalah mekani-

ka kuantum lainnya. Selain itu, tidak dipaparkan keterkaitan antara kedua bidang

penerapan supersimetri tersebut, yaitu persamaan Dirac dan masalah radial.

4. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah:

1. Merumuskan aljabar yang mendasari konsep supersimetri dalam lingkup kajian

mekanika kuantum.

2. Menunjukkan bahwa konsep SUSYQM berlaku dalam masalah radial, minimal

pada kasus berdimensi tiga dan lebih mudah diterapkan dengan menggunakan

teknik operator tangga.

3. Menunjukkan penerapan SUSYQM dalam persamaan Dirac orde pertama de-

ngan menggunakan alih ragam Foldy-Wouthuysen.

4. Menunjukkan kesetaraan antara konsep SUSYQM, persamaan Dirac dan al-

ih ragam Foldy-Wouthuysen sehingga kaitan tersebut menyebabkan SUSYQM

dapat diterapkan di dalamnya.

5. Tinjauan Pustaka

Penjelasan tentang supersimetri dalam mekanika kuantum secara singkat dipa-

parkan oleh Avinash Khare [Khare , 2004] sebagai landasan untuk memahami konsep

supersimetri dalam mekanika kuantum. Paparan yang lebih terperinci disajikan dalam

bukunya yang disusun bersama-sama dengan Fred Cooper dan Uday Sukhatme. Pen-

jelasan yang sama juga dapat dilihat pada buku karangan [Bagchi , 2000] yang juga

menjelaskan supersimetri dalam mekanika klasik dan sistem non linier. Dalam buku

7

tersebut juga dijelaskan penerapan mekanika kuantum supersimetrik dalam berba-

gai masalah yang bersesuaian, salah satunya pada masalah radial. Sedangkan dalam

artikel [Blockley , 2000], Blockley dan Stedman membahas aljabar supersimetri men-

dasar dengan contoh yang sederhana.

Dalam makalahnya [Hughes et. al. 1 , 1986], Hughes dkk. secara ringkas

menjelaskan supersimetri dalam persamaan Dirac derajat pertama untuk sistem Landau-

Hall. Artikel ini kemudian disempurnakan dalam makalah selanjutnya yang lebih

urut dan terperinci yaitu [Hughes et. al. 2 , 1986] yang lebih menekankan pada

telaah mekanika kuantum supersimetrik dan pangkat dua hamiltonan Pauli dan Dirac.

Dalam menjelaskan kaitan tersebut mereka menggunakan alih ragam Foldy-Wouthuysen

[Foldy dan Wouthuysen , 1949] yang awalnya digunakan untuk menjabarkan pen-

dekatan nonrelativistik bagi teori Dirac. Untuk memperjelas pemahaman dalam hubu-

ngan SUSYQM dan persamaan Dirac, Beckers dan Debergh dalam artikelnya [Beck-

ers dan Debergh , 1990] memaparkan kesetaraan keduanya dalam kaitan alih ragam

uniter Foldy-Wouthuysen.

6. Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis dalam lima bab, dengan penjelasan bab demi bab adalah

sebagai berikut:

• Pada bab I dikemukakan latar belakang penelitian yang dilakukan, tujuan peneli-

tian, tinjauan pustaka, sistematika penulisan, serta penjelasan mengenai metode

pelaksanaan penelitian.

• Bab II berisi penjelasan mengenai konsep-konsep dasar supersimetri dalam

mekanika kuantum, dimulai dengan hubungan SUSY dengan masalah osilator

harmonik. Dijelaskan pula bentuk-bentuk matematis dalam SUSYQM.

8

• Bab III membahas hubungan antara konsep SUSYQM dan masalah radial, baik

pada kasus 3 dimensi maupun lebih. Bab ini juga menguraikan penerapan

SUSYQM dalam masalah radial dengan menggunakan operator tangga.

• Pada bab IV dibahas aspek-aspek penting dalam memahami persaman Dirac

dan alih ragam Foldy-Wouthuysen. Bab ini adalah pengantar sebelum mem-

pelajari penerapan SUSYQM selanjutnya.

• Bab V membahas penerapan SUSYQM dalam persamaan Dirac derajat perta-

ma beserta alih ragam yang digunakannya. Dalam bab ini dibahas pula menge-

nai kaitan kesetaraan yang terjalin antara SUSYQM, persamaan Dirac dan alih

ragam Foldy-Wouthuysen.

• Bab VI berisi kesimpulan mengenai hasil kajian yang telah dilakukan serta

saran-saran untuk kajian mendatang mengenai topik-topik yang telah berkai-

tan dengan topik yang dikemukakan dalam skripsi ini.

7. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian teoritis terhadap

supersimetri yang ditinjau dalam mekanika kuantum, serta penerapan konsep tersebut

dalam beberapa aspek yang membuktikan kesesuaian dengan teori supersimetri yang

dimaksud.

BAB II

PRINSIP DASAR SUPERSIMETRI DALAM MEKANIKA

KUANTUM

1. SUSY dan Masalah Osilator Harmonik

SUSY memberikan penjelasan yang elegan tentang struktur dan kesetangku-

pan pada persamaan Schrödinger. Untuk memahami SUSY dalam mekanika kuantum

nonrelativistik secara sederhana1 dan mempelajari SUSY bekerja, pembahasan akan

dimulai pada masalah osilator harmonik.

Dalam penjabaran prinsip dasar SUSYQM ini dipilih keterkaitannya dengan

masalah osilator harmonik. Hal ini dikarenakan osilator harmonik menempati posisi

istimewa, antara lain :

• Osilator harmonik merupakan penghampiran (pendekatan) yang sangat baik

bagi gerakan sebarang benda di sekitar posisi setimbangnya, yaitu titik tem-

pat potensial partikel bernilai minimum.

• Perilaku sebagian besar sistem kontinu, seperti getaran atom-atom pada me-

dium elastis (misalnya dinamika fonon dalam kristal dan perambatan bunyi

dalam zat padat maupun zat cair) dan medan elektromagnet dalam rongga, da-

pat dideskripsikan dengan teori osilator harmonik.

• Osilator harmonik berperan penting dalam pemerian (deskripsi) sekumpulan

partikel identik yang secara kuantum semuanya memiliki keadaan yang sama.

Tingkat-tingkat energi osilator harmonik terpisah secara seragam : selisih antar

1SUSY yang diterapkan ke dalam mekanika kuantum sering disingkat SUSYQM, dari asal katadalam bahasa Inggris : Supersymmetric Quantum Mechanics. Dalam beberapa referensi ada pulayang disingkat SSQM atau SQM.

9

10

tingkat energi yang berturutan selalu sama, yaitu sebesar~ω.

• Tata cara penyelesaian persaman swanilai dalam osilator harmonik memberikan

suatu gambaran untuk memperoleh swanilai dengan memanfaatkan perilaku

yang harus dipenuhi oleh swafungsi dix→ ±∞.

Ditinjau hamiltonan pada osilator harmonik, yang diberi simbolHB, yaitu2

HB = − ~2

2m

d2

dx2+

1

2mωB

2x2, (II.1)

denganωB menunjukkan frekuensi alamiah osilator dan~ = h/2π, tetapan Planck

tersusutkan.

Selanjutnya, akan digunakan sistem satuan sehingga~ = m = 1 danp =

−i ddx

. Oleh karena itu, persamaan (II.1) menjadi

HB = −1

2

d2

dx2+

1

2ωB

2x2.

Didefinisikan operator turunb dan operator naikb† menurut

b =i√2ωB

(p− iωBx) dan b† = − i√2ωB

(p+ iωBx). (II.2)

Hamiltonan pada persamaan (II.1) menjadi

HB =1

2ωBb†, b, (II.3)

denganb†, b adalah antikomutator antarab danb†, yaknib†, b = b†b+ bb†.

Kedua operator,b dan b†, apabila dikenakan pada swakeadaan tenaga,|n〉, mem-

2Pada pembahasan selanjutnya akan dijelaskan alasan penggunaan simbol tersebut.

11

berikan

b|n〉 =√n|n− 1〉 b†|n〉 =

√n+ 1|n+ 1〉.

Operator cacah boson,NB = b†b, memenuhi persamaan swanilai

NB|n〉 = n|n〉,

dengann = nB.

Syarat pengkuantuman kanonik,[q, p] = i, diubah dalam bentukb dan b†

menjadi

[b, b†] = 1, (II.4)

[b, b] = 0, [b†, b†] = 0,

[b,HB] = ωBb, dan [b†, HB] = −ωBb†.

Dengan menggunakan persamaan (II.4) diperoleh

HB = ωB(b†b+1

2) = ωB(NB +

1

2)

dan spektrum tenaganya

EB = ωB(nB +1

2).

Bentuk persamaan (II.3) menunjukkan secara tidak langsung bahwaHB se-

tangkup terhadap pertukaranb danb†. Hal ini menunjukkan partikel yang dimaksud

memenuhi statistik Bose-Einstein. Itulah sebabnya hamiltonan tersebut diberi simbol

HB.

Selanjutnya diamati penempatan operatorb danb† dalam hubungannya dengan

osilator fermionik yang akan ditinjau. Hal ini memberikan hasil berupa hamiltonan

12

fermionik

HF =ωF2

[a†, a],

dengana dana† adalah operator turun dan naik pada osilator fermionik yang meme-

nuhi syarat

a, a† = 1, (II.5)

a, a = 0 dan a†, a† = 0. (II.6)

Analogi bagiNB adalah operator cacah fermionik,NF = a†a.

Syarat "nilpotency" pada persamaan (II.6) membatasiNF pada swanilai 0 dan

1 yaitu

NF2 = (a†a)(a†a)

= (a†a)

= NF

NF (NF − 1) = 0 (II.7)

Persamaan (II.7) cocok dengan asas larangan Pauli. Sifat antisetangkup yang

dimiliki HF terhadap pertukarana dana† menunjukkan objek (partikel-partikel) yang

memenuhi statistik Fermi-Dirac. Partikel-partikel yang demikian ini disebutfermion.

Sepertib dan b† pada persamaan (II.2), operatora dana† juga memenuhi wakilan

yang cocok. Dalam bentuk matriks Pauli dapat disajikan sebagai

a =1

2σ− a† =

1

2σ+, (II.8)

13

denganσ± = σ1 ± iσ2 dan[σ+, σ−] = 4σ3 , serta mengingat bentuk

σ1 =

0 1

1 0

;σ2 =

0 −i

i 0

;σ3 =

1 0

0 −1

. (II.9)

Dengan menggunakan syarat persamaan (II.5), Hamiltonan fermion dapat dinyatakan

sebagai

HF = ωF (NF −1

2).

Hamiltonan tersebut memiliki spektrum

EF = ωF (nF −1

2), nF = 0, 1.

Dalam pengembangan SUSY, diperhatikan sistem gabungan (superposisi) antara osi-

lator bosonik dan fermionik. TenagaE dari penjumlahanEB danEF adalah

E = ωB(nB +1

2) + ωF (nF −

1

2). (II.10)

Dari persamaan (II.10) ini dapat dilihat bahwaE tidak berubah jika terjadi

penurunan satu bilangan kuantum bosonik(nB → nB − 1) dan sekaligus kenaikan

satu bilangan kuantum fermionik(nF → nF + 1) (dan sebaliknya) dengan frekuensi

alamiah sama,ωB = ωF . Kesetangkupan yang demikian disebut SUPERSYMME-

TRY (SUSY).

ApabilaωB = ωF , spektrum tenaga superposisi osilator fermion dan boson

diberikan oleh

E = ω(nB + nF ), (II.11)

denganω := ωB = ωF .

Ditinjau pada keadaan dasar (groundstate), persamaan (II.11) memberikan

14

nB = nF = 0. Keadaan ini disebut SUSY tak rusak (SUSY unbroken). Keadaan

yang bernilai nol ini(nB = nF = 0) muncul karena hilangnya pengaruh boson dan

fermion pada tenaga keadaan dasar supersimetri.

Tenaga untuk keadaan dasar masing-masing osilator bosonikEB = ωB

2dan

osilator fermionikEF = −ωF

2, kedunya bernilai tidak nol. Spektrum tenaganya

merosot (degenerate) untuk keduanya (fermion dan boson). Kemerosotan SUSY

muncul karena turun / naiknya satu bilangan kuantum bosonik dan naik / turunnya

satu bilangan kuantum fermionik secara bersamaan. Pembangkitnya diungkapkan

dalam bentukba† (ataub†a).

Jika didefinisikan kuantitasQ danQ†, sebagai

Q =√ωb⊗ a† Q† =

√ωb† ⊗ a, (II.12)

dapat dibuktikan bahwa supersimetri memiliki hamiltonan

Hs = ω(b†b+ a†a)

= Q,Q†. (II.13)

HamiltonanHs berkomutasi dengan kedua operatorQ danQ†, yaitu

[Q,Hs] = 0 [Q†, Hs] = 0. (II.14)

Sementara itu berlaku kaitan antikomutasi3

Q,Q = 0 Q†, Q† = 0. (II.15)

Dengan melihat persamaan (II.14),Q danQ† adalah operator supermuatan

3Penjelasan dan pembuktian persamaan ini dapat dilihat pada LAMPIRAN A.

15

(supercharge), yaitu swadamping (self-adjoint) satu dari yang lain.

Dari persamaan (II.13)-(II.15), dapat dilihat pula bahwaQ,Q† danHs, keti-

ganya (satu dengan yang lain) memenuhi aljabar yang mencakup komutator dan

sekaligus antikomutator. Aljabar ini disebut aljabar berderajat (graded algebra).

ManfaatQ danQ† adalah untuk mengubah keadaan bosonik (fermionik) menjadi

keadaan fermionik (bosonik) ketika dioperasikan. Hal ini dapat ditulis

Q|nB, nF 〉 =√ωnB|nB − 1, nF + 1〉, nB 6= 0, nF 6= 1

Q†|nB, nF 〉 =√ω(nB + 1)|nB + 1, nF − 1〉, nF 6= 0. (II.16)

Akan tetapi jika ditinjau pada kasus :

• untuk nB = 0, nF = 1, maka Q|nB, nF 〉 = 0, dan

• untuk nF = 0, maka Q†|nB, nF 〉 = 0.

Untuk melihat makna fisis Hamiltonan SUSY,Hs, digunakan persamaan (II.2)

dan (II.8) untuk operator bosonik dan fermionik. Dari persamaan (II.13) :

Hs =1

2(p2 + ω2x2)•‖+

1

2ωσ3, (II.17)

dengan•‖ adalah matriks satuan(2× 2). Persamaan (II.17) ini menunjukkan bahwa

Hs sesuai dengan osilator bosonik dengan sebuah elektron yang berada pada medan

magnet luar.

Dua komponenHs pada persamaan (II.17) dapat diproyeksikan menjadi

H+ = −1

2

d2

dx2+

1

2(ω2x2 − ω)

≡ ωb†b

H− = −1

2

d2

dx2+

1

2(ω2x2 + ω)

16

≡ ωbb†. (II.18)

Dengan menggunakan persamaan (II.4),Hs dapat dinyatakan sebagai

Hs ≡ diag(H−, H+)

= ω(b†b+1

2)•‖+

ω

2σ3. (II.19)

Dari persamaan (II.18) terlihat bahwaH+ danH− tidak lain adalah realisasi

/ perwujudan dua Hamiltonan osilator harmonik yang sama dengan tetapan pergeser-

an±ω dalam spektrum tenaganya. Dapat diamati pula bahwaH± adalah hasil dari

produk operatorb danb† secara langsung dan berkebalikan, serta merupakan bentuk

eksplisit yang dipengaruhi oleh persamaan (II.2) dan (II.8).

17

Gambar II.1: Spektrum sistem supersimetri dalam SUSYQM. Keadaan dasar tidakmerosot dan pada tingkat tenaga nol semua keadaan eksitasi merosot ganda.

2. Superpotensial dan Pengaturan Hamiltonan SUSY

Dari persamaan (II.18) diperoleh

V±(x) =1

2[W 2(x)∓W ′(x)] (II.20)

denganW (x) = ωx, disebutsuperpotensial, yaitu potensial yang dimiliki oleh Hamil-

tonian partikel supersimetri, dan bermanfaat untuk memeriksa syarat dalam kaitannya

18

dengan keadaan supersimetri rusak secara spontan (spontaneously broken).

Struktur umum dariV± pada persamaan (II.20) menunjukkan kemungkinan

bahwa koordinatx dapat ditempatkan pada persamaan (II.18) dengan fungsiW (x).

Dalam bentuk persamaan (II.20),V± berada pada ungkapan umum Hamiltonian SUSY,

yaitu

Hs =1

2(p2 +W 2)•‖+

1

2σ3W

′. (II.21)

Analog dengan persamaan (II.12), supermuatan dapat ditulis sebagai

Q =1√2

0 W + ip

0 0

;Q† =1√2

0 0

W − ip 0

. (II.22)

Q danQ† dapat digabung menjadi persamaan (II.13) danHs berkomutasi denganQ

danQ† seperti pada persamaan (II.14). Dapat diamati bahwa persamaan (II.21),(II.22)

(II.13) dan (II.14) secara umum memberi dasar nonrelativistik bagiHs yang meme-

nuhi semua kriteria / persyaratan formal Hamiltonian SUSY.

Selanjutnya dalam bentukW (x), operator bosonikb danb† diubah ke dalam

bentuk yang lebih umum yaitu

√2ωb→ A = W (x) +

d

dx

dan√

2ωb† → A† = W (x)− d

dx. (II.23)

Jika dinyatakan dengan operatorA danA†,Hs berbentuk

2Hs =1

2A,A†•‖+

1

2σ3[A,A

†]. (II.24)

19

Sementara dalam bentuk matriks,Hs merupakan matriks diagonal, yaitu

Hs ≡ diag(H−, H+)

=1

2diag(AA†, A†A) (II.25)

denganH+= bosonik danH−= fermionik, yang merupakan wakilan dariHs.

KeduaH± dapat diselesaikan bersama-sama dengan mengambil perubahan

variabelW = gu′/u, dengang adalah parameter perubahan yang dapat bernilai posi-

tif atau negatif, sehinggaH± menjadi

2H± = − d2

dx2+ (g2 ± g)(

u′

u)2

∓ g(u′′

u).

Jelas bahwa parameterg berpengaruh pada pertukaran antara boson dan fer-

mion : g → −g, H+ ↔ H−. Untuk menunjukkan cara prosedur ini bekerja, sebagai

contoh diambil superpotensial yang sesuai dengan SUSY sistem Liouville dengan

superpotensialW (x) = 2ga

exp(ax2

), dengang dana adalah parameter. Kemudianu

diberikan sebagai

u(x) = exp

[2√

2exp(ax

2)/a2

]HamiltonanH+ memenuhi

(− d2

dx2+W 2 −W ′)ψ+ = 2E+ψ+

Dengan mengubahy = 4√

2a2 g exp(ax

2), persamaan Schrödinger untukH+ menjadi

d2

dy2ψ+ +

1

y

d

dyψ+ + (

1

2g− 1

4)ψ+ +

8E+

a2y2ψ+ = 0 (II.26)

20

Persamaan Schrödinger untukH− dapat diperoleh dengan mengantig → −g pada

persamaan (II.26) yang berarti mengubahy → −y. Swafungsi yang berhubungan

diberikan oleh fungsi hipogeometrik konfluent (confluent hypogeometric).

Jika dilihat analogi masalah osilator harmonik, khususnya persamaan (II.18),

V dinyatakan dalamW yaituV = 12(W 2−W ′)+λ, denganλ = tetap, serupa dengan

tenaga tingkat dasarE0 padaH+:

V (x)− E0 =1

2(W 2 −W ′). (II.27)

Hal ini menunjukkan bahwaV danV+ dapat berbeda dengan nilai tenaga tingkat

dasarE0 dariH.

JikaW0(x) adalah penyelesaian khusus, penyelesaian umum dari persamaan

(II.27) diberikan oleh

W (x) = W0(x) +exp[2

∫xW0(τ)dτ ]

β −∫xexp[2

∫yW0(τ)dτ ]dy

, β ∈ R. (II.28)

Persamaan Schrödinger menjadi

[− 1

2

d2

dx2+ V (x)− Eo

]ψ0 = 0.

Penyelesaiannya diberikan oleh

ψ0(x) = A exp

[−∫x

W (τ)dτ

]+B exp

[−∫x

W (τ)dτ

]∫x

exp

[2

∫y

W (τ)dτ

]dy, A,B ∈ R (II.29)

dan diasumsikanψ(x) ∈ L2(∞,−∞). Jika persamaan (II.28) disubstitusikan ke

persamaan (II.29) maka fungsi gelombangnya sama dengan ketikaW0(x) khusus atau

21

penyelesaian umum persamaan (II.27) digunakan pada persamaan (II.29).

Pada superaljabar SUSYQM(2) yang hanya mempunyai dua pembangkit an-

tikomutasi, digunakan operatorQ danQ† yakni supermuatan yang didefinisikan oleh

persamaan (II.22). Oleh sebab itu, persamaan (II.13), (II.14), (II.23) dan (II.24), dapat

pula diubah dengan memperkenalkan set operator hermitan,Q1 danQ2, yaitu

Q =(Q1 + iQ2)

2dan Q† =

(Q1 − iQ2)

2. (II.30)

Persamaan (II.13) diubah menjadiHs = Q21 = Q2

2, maka

Qi, Qj = 2δijHs. (II.31)

Persamaan (II.14) menjadi

[Qi, Hs] = 0 i = 1, 2. (II.32)

Dalam bentuk superpotensial,W (x),Q1 danQ2 dapat ditulis sebagai

Q1 =1√2(σ1W − σ2

p√m

) dan Q2 =1√2(σ1

p√m− σ2W ).

Dalam perhitungan persamaan (II.32),Q1 danQ2 adalah konstanta gerak,

yakni Q1 = 0 dan Q2 = 0. Dari persamaan (II.31) diperoleh bahwa tenaga pada

tingkat sebarang bernilai tak negatif. Hal ini karena

Eψ = < ψ|Hs|ψ >

= < ψ|Q†1Q1|ψ >

= < φ|φ >> 0, (II.33)

22

dengan|φ〉 = Q1|ψ〉 dan menggunakan persamaan (II.31) pada bagianHs.

Untuk SUSY yang eksak berlaku

Q1|0〉 = 0 Q2|0〉 = 0

Jadi,|φ〉 6= 0 menunjukkan adanya keadaan vakum yang merosot|0〉′ dan |0〉 yang

berhubungan dengan supermuatan, yang menunjukkan adanya kerusakan simetri4 se-

cara spontan.

Tidak adanya tenaga vakum adalah ciri khusus bentuk SUSY tak rusak. Untuk

osilator harmonik dengan Hamiltonan berupa persamaan (II.3), dapat dikatakan bah-

wa HB tetap invarian pada pertukaran operatorb dan b†. Namun tidak demikian

halnya untuk keadaan vakum5 yang memenuhib|0〉. Dalam kasus SUSY tak rusak,

hamiltonan supersimetri dan keadaan vakum, keduanya invarian oleh pertukaranQ↔

Q†.

3. Arti Fisis dari Hamiltonan Supersimetri

Hamiltonan SUSY untuk kasus osilator harmonik diberikan oleh persamaan

(II.21). Untuk memperoleh arti fisis hamiltonan supersimetri, parameter massa (m)

dimasukkan kembali ke dalamHs sehingga didapat

Hs =1

2(p2

m+W 2)•‖+

1

2σ3W ′√m. (II.34)

4Simetri rusak (broken symmetry) diartikan sebagai suatu keadaan dasar sistem atau keadaan vakumdari suatu teori medan kuantum relativistik yang memiliki kesetangkupan lebih rendah dibandingkandengan Hamiltonan yang mendefinisikan sistem tersebut. Contohnya dalam fisika partikel adalah mo-del Weinberg-Salam tentang teori elektrolemah (electroweak theory).

5Keadaan vakum adalah keadaan dasar dalam teori medan kuantum relativistik. Keadaan vakumtidak berarti keadaan tanpa sesuatu. Dalam ruang lingkup mekanika kuantum, keadaan vakum memi-liki tenaga titik-nol sehingga menimbulkan fluktuasi vakum.

23

Jika dibandingkan dengan hamiltonan Schrödinger untuk elektron (massam dan mu-

atan−e) yang dipengaruhi medan magnet luar

H =1

2(p2

m+e2

m~A2) +

ie

2mdiv ~A− e

m~A.~p+

|e|2m

~σ. ~B, (II.35)

dengan~A = 12~B×~r adalah vektor potensial, diperoleh bahwa persamaan (II.35) men-

jadi persamaan (II.34) untuk kasus khusus pada saat~A = (0,√m

2|e|W, 0). Untuk menga-

mati pentingnya momen magnet elektron, digunakan bentuk persamaan (II.35), tanpa

menyusutkannya menjadi persamaan (II.34). Dapat dilihat bahwa masalah sederhana

yaitu elektron pada pengaruh medan magnet luar menunjukkan keberadaan SUSY.

Jika diasumsikan medan magnet~B =konstan dan sejajar pada sumbuZ yaitu

~B = Bk, maka

~A.~p =1

2BLz

4 ~A2 = r2B2 − (~r. ~B)2

= (x2 + y2)B2. (II.36)

Hasilnya,H menjadi

H =1

2m

[p2z + (p2

x + p2y)

]+

1

2mω2(x2 + y2)− ω(Lz − σ3). (II.37)

Terpisah dari gerak bebas dalam arahz,H menjelaskan dua osilator harmonik dalam

bidang-xy, juga termasuk pasangan momentum orbital dan spin. Dalam persamaan

(II.37), ω adalah frekuensi Larmor :ω = eB2m

dan ~S = 12~σ. Dalam pendekatan

kuantisasi osilator, bentuk pasangan momentum orbital dan spin menjadi

ω(Lz − σ3) = −iω(b†xby − b†ybx) + ωσ3.

24

Namun dengan mengatur bentuk yang berupa

B† =1√2(b†x + ib†y)

B =1√2(bx − iby), (II.38)

maka persamaan (II.37) dapat diubah menjadi

1

2(H − p2

z

2m) = ω(B†B +

1

2)•‖ +

ω

2σ3

yang bentuknya mirip dengan persamaan (II.19). Kesimpulannya, persamaan Pauli

dua-dimensi, (II.35), memberikan contoh sederhana mengenai perwujudan SUSY

dalam sistem fisis.

4. Sifat - Sifat Pasangan Hamiltonan

Sifat penting yang dimiliki oleh hamiltonan supersimetri,Hs, yaitu kompo-

nen pasanganH+ danH− adalahisospektral. Untuk lebih jelasnya, diperhatikan

persamaan swanilai berikut

H+ψ+n = E+

n ψ+n . (II.39)

Persamaan tersebut dapat diubah ke dalam bentuk

H−(Aψ+n ) =

1

2AA†(Aψ+

n )

= A(1

2A†Aψ+

n )

= E+n (Aψ+

n ). (II.40)

25

Dapat dilihat bahwaE+n juga merupakan anggota spektrum tenaga bagiH−. Namun,

Aψ+0 bernilai nol karenaψ+

0 menjadi penyelesaian keadaan dasarH+ yang memenuhi

−(ψ+0 )′′ + (W 2 −W ′)ψ+

0 = 0.

Bentuk penyelesaian yang memenuhi adalah

ψ+0 = C exp

(−∫x

W (y)dy

), C = konstanta. (II.41)

Dapat disimpulkan bahwa spektrumH+ danH− identik kecuali untuk keadaan

dasar(n = 0) yang tidak merosot. Ini adalah contoh dari SUSY tak rusak (vakum

yang tidak merosot). Namun, jika SUSY rusak (secara spontan) makaH+ denganH−

tidak memiliki fungsi gelombang pada keadaan dasar yang ternormalisasi dan spek-

trum H+ danH− sama. Dengan kata lain, ketidakmerosotan SUSY pada keadaan

dasar akan hilang.

Untukψ0 yang ternormalisasi pada satu-dimensi, dapat dilihat dari persamaan

(II.41) bahwa∫W (y)dy → 0 untuk|x| → ∞. Untuk mewujudkan keadaan ini, salah

satu cara yang digunakan adalah dengan mengaturW (x) sehingga memiliki tanda

yang berbeda, yaitux→ ±∞. Dengan kata lain,W (x) adalah fungsi ganjil. Sebagai

contoh, dalam kasusW (x) = ωx. JikaW (x) adalah fungsi genap, makaW (x)

bertanda sama, padax → ±∞, syarat normalisasi tidak dapat dipenuhi. Contoh

lainnya adalahW (x) = x2.

Dari persamaan (II.39) dan (II.40) dapat juga dilihat untuk masalah swanilai

yang umum dariH±, yaitu

H+ψ(+)n+1 = E

(+)n+1ψ

(+)n+1

H−ψ(−)n = E(−)

n ψ(−)n . (II.42)

26

Jika Aψ+0 = 0, untuk swakeadaan ternormalisasiψ+

0 dari H+, karenaH+ψ+0 ≡

12A†ψ+

0 = 0, maka swakeadaan ternormalisasi juga merupakan keadaan dasar dari

H+ dengan swanilaiE+0 = 0. H− tidak memiliki swakeadaan ternormalisasi dengan

nilai tenaganya nol.

Untuk membuktikan hubungan antara spektrum dan fungsi gelombangH+

danH−, digunakan kaitan antara persamaan (II.25) dan (II.42). Persamaan swani-

lainya menjadi

H+(A†ψ−n ) =1

2A†A(A†ψ−n )

= A†H−ψ−n

= E−n (A†ψ−n )

dan H−(Aψ+n ) =

1

2AA†(Aψ+

n )

= AH+ψ+n

= E+n (Aψ+

n ). (II.43)

Jadi, jelas bahwa spektrum dan fungsi gelombangH+ danH− dihubungkan oleh

E−n = E+

n+1, n = 0, 1, 2, ...;E+0 = 0

ψ−n = (2E+n+1)

− 12Aψ+

n+1

ψ+n+1 = (2E−

n )−12A†ψ−n . (II.44)

27

Gambar II.2: (a) Spektrum osilator harmonik. (b) SpektrumH− = ωbb† = Hosc − 12.

(c) SpektrumH+ = ωb†b = Hosc + 12. (b) dan (c) dihubungkan dengan Hamiltonan

supersimetri, seperti pada Gambar II.1.

BAB III

SUSY DALAM MASALAH RADIAL

1. SUSY dan Masalah Radial Tiga Dimensi

Teknik SUSY dapat diterapkan pada sistem mekanika kuantum 3 dimensi

atau lebih. Pertama, akan ditinjau terlebih dahulu masalah 3-dimensi. Persamaan

Schrödinger tak gayut waktu yang mempunyai potensial bersimetri bola,V (r), dapat

ditulis dalam koordinat polar bolar, θ, φ menurut1

−1

2

[1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂φ2

]u(r, θ, φ)

+V (r)u(r, θ, φ) = Eu(r, θ, φ). (III.1)

Untuk persamaan (III.1) hendak dilakukan pemisahan variabel yang memisahkan

fungsi dengan variabelr, θ danφ dengan menulis fungsi gelombangnya menjadi

u(r, θ, φ) ≡ R(r)Θ(θ)Φ(φ),

denganR(r) adalah bagian radial dan bagian sudutnyaΘ(θ)Φ(φ) adalah harmonik

bolaY (θ, φ). Bentuk persamaan radialnya menjadi

−1

2

1

r2

d

dr

(r2dR

dr

)+

[V (r)− E +

l(l + 1)

2r2

]R = 0. (III.2)

1diambil penyederhanaan~ = m = 1.

28

29

Suku turunan orde pertama diubah dengan membuat alih ragamR→ χ(r)/r sehing-

ga persamaan (III.2) dapat diringkas menjadi

−1

2

d2χ

dr2+

[V (r)− E +

l(l + 1)

2r2

]χ = 0. (III.3)

Dalam persamaan Schrödinger, persamaan (III.3) setara dengan masalah 1 dimensi

dan padanya dapat diterapkan konsep SUSY. Namun, tidak semua persamaan radial

r ∈ (0,∞) dapat dipecahkan.

Untuk mengamati SUSY bekerja pada sistem-sistem berdimensi lebih tinggi,

selanjutnya akan diawali dengan kasus khusus potensial Coulomb. Pada pembahasan

ini akan dibedakan antara dua kemungkinan yang sesuai dengan bilangan kuantum

utama,n, yang tetap dan bilangan kuantum momentum sudutl, yang boleh bervariasi,

atau kasus sebaliknya yaitun bervariasi namunl tetap.

A. Kasus 1 :n tetap dan l bervariasi

Dalam pembahasan ini potensialnya adalahV (r) = −Ze2

r. Oleh karena itu

persamaan pada bagian radialnya menjadi

[−1

2

d2

dr2− En −

1

r+l(l + 1)

2r2

]χnl(r) = 0, (III.4)

denganχnl(0) = 0, En = − 12n2 danr pada skalae yang sesuai.2

Dari persamaan (II.20) diperoleh bahwa superpotensial untuk persamaan (III.4)

yang memenuhi

V+ =1

2

(W 2 −W ′)

2Alih ragam yang digunakan adalah bentukr → ~2

µ1

Ze2 r.

30

= −1

r+l(l + 1)

2r2+

1

2(l + 1)2, (III.5)

memiliki penyelesaian yang berupa

W (r) =1

l + 1− l + 1

r.

Akibat dari penyelesaian tersebut adalah pasangan SUSYV+ yaitu

V− ≡ 1

2

(W 2 +W ′)

= −1

r+

(l + 1)(l + 2)

2r2+

1

2(l + 1)2. (III.6)

Sedangkan deret Bohr untuk persamaan (III.5) dimulai dari(l + 1) dengan

energi12[(l + 1)2 − n−2], dapat dilihat dari persamaan (III.6) bahwa tingkat terendah

untukV− diawali padan = l + 2 dengann ≥ l + 2. SUSY memberikan penjelasan

yang masuk akal dari spektrumH+ danH− yang berhubungan dengan kemerosotan

hidrogenikns − np. Secara lebih khusus, jika diambill = 0 diperolehH+ untuk

menjelaskan tingkatns dengann ≥ 1, sertaH− sesuai dengan tingkatnp dengan

n ≥ 2. Dari keterangan ini diperoleh suatu pembuktian bahwa SUSY memunculkan

hubungan diantara keadaan dengan syaratn tetap namunl berbeda.

Jika SUSY diterapkan dalam potensial osilator isotropikV (r) = 12r2 maka

akan diperoleh persamaan Schrödinger yaitu

[−1

2

d2

dr2+

1

2r2 +

l(l + 1)

2r2−(n+

3

2

)]χnl(r) = 0, (III.7)

dengann dihubungkan denganl yaitu

n = l, l + 2, l + 4, .... (III.8)

31

Dari persamaan (III.7), superpotensialW (r) dan pasangan potensial SUSY

diperoleh sebagai

W (r) = r − l + 1

r,

V+(r) =1

2r2 +

l(l + 1)

2r2−(l +

3

2

),

V−(r) =1

2r2 +

(l + 1)(l + 2)

2r2−(l +

1

2

). (III.9)

Pada persamaan ini mulai muncul kesulitan. Terdapat ciri yang tidak di-

inginkan padaV+ danV− yaitu keduanya hanya melengkapi hubungan antara tingkat

l dan (l + 1) yang tidak muncul dari persamaan (III.8). Contoh ini menunjukkan

bahwa SUSY tidak dapat diterapkan secara langsung dalam sistem yang berdimensi

lebih tinggi.

Alih ragam supersimetrik dapat diterapkan pada masalah radial hanya jika

dikenakan pada seluruh wilayah(−∞,∞). Dalam pembahasan selanjutnya akan

ditunjukkan bahwa beberapa kasus memunculkan aturan yang berbeda tentang SUSY.

Hal ini berguna untuk menghubungkan keadaan pada kasusl yang sama namunn

berbeda dan muatan elektronZ. Yang menarik, hal ini juga menjelaskan lompatan

tenaga pada dua bagian sistem osilator isotropik.

B. Kasus 2 : l tetap dann bervariasi

Alih ragam yang sesuai untuk mengubahr ∈ (0,∞) menjadix ∈ (−∞,∞)

adalahr = ex. Bentuk persamaan (III.3) mengalami alih ragam sehingga menjadi

−1

2

d2Ψ

dx2+

[V (ex)− E e2x +

1

2

(l +

1

2

)2]

Ψ = 0, (III.10)

denganχ(r) → ex/2Ψ(x). Perlu dicatat bahwaE tidak jauh berperan dalam swanilai

32

pada persamaan (III.10).

Persamaan (III.10) dalam hubungannya dengan potensial Coulomb dapat di-

tulis sebagai

−1

2

d2Ψ

dx2+

[−ex − Ene

2x +1

2

(l +

1

2

)2]

Ψ = 0, (III.11)

yang menjelaskan masalah potensial Morse. Dari persamaan (III.11) superpotensial

W (x) danV±(x) diperoleh

W (x) =ex

n+

(1

2− n

),

V+(x) =e2x

2n2− ex +

1

2

(1

2− n

)2

,

V−(x) =e2x

2n2−(

1− 1

n

)ex +

1

2

(1

2− n

)2

. (III.12)

Setelah diamati bahwa ungkapanV− bergantung padax, selanjutnya dilakukan

alih ragam balik ke peubah sebelumnyar, untuk mendapatkan pasangan SUSY, se-

hingga diperoleh

[−1

2

d2

dx2− En −

(1− 1

n

)1

r+l(l + 1)

2r2

]χ′nl(r) = 0. (III.13)

Sifat nontrivial pemetaanr → ex → r berasal dari hasil koefisien suku1r

pada persamaan (III.4) yang mengalami perubahan oleh faktor gayut-n dalam per-

samaan (III.4). Untuk memahami persamaan (III.13) didefinisikan lagi(1 − 1n)r

sebagai peubah baru, dengan membagi persamaan (III.13) dengan faktor(1 − 1n)2.

Hal ini menyebabkan didefinisikan kembali muatan intiZ dengan membawanya ke

bentuk eksplisit persamaan (III.13):Z → Z(1− 1

n

). Kemudian ditentukan tingkat

kemerosotan untuk memperoleh keadaan diantaranya, pada kasusl sama namunn

33

danZ berbeda. Secara lebih khusus, persamaan (III.4) dikenai keadaan dengan bi-

langan kuantumn, l, dan tenaganya−Z2

n2me4

~2 . Persamaan (III.13) digunakan untuk

menghitung keadaan dengan bilangan kuantum(n − 1), l dan muatan intiZ(1 − 1n)

yang memiliki tenaga yang sama.

Pada cara ini, model dapat digunakan untuk menentukan hubungan interatomik

SUSY antara keadaan iso-elektronik ion di bawah perubahan simultan bilangan kuan-

tum utama dan muatan inti.

Selanjutnya diperhatikan masalah osilator isotropik sebagai penerapan lanju-

tan dari pembahasan ini. Di sini persamaan Schrödinger diberikan oleh persamaan

(III.7) dengan tingkat tenaga diberikan oleh persamaan (III.8). Dengan mengiku-

ti petunjuk tentang alih ragam sebagian, yaitu dari(0,∞) ke (−∞,∞) dan dipilih

x = 2 ln r maka diperoleh

−1

2

d2Ψ

dx2+

[1

8e2x − 1

4

(n+

3

2

)ex +

1

8

(l +

1

2

)2]

Ψ = 0. (III.14)

Persamaan di atas memberikan3

W (x) =ex

2− 1

2

(n+

1

2

),

V+(x) =1

8e2x − 1

4

(n+

3

2

)ex +

1

8

(n+

1

2

)2

,

V−(x) =1

8e2x − 1

4

(n+

1

2

)ex +

1

8

(n+

1

2

)2

. (III.15)

Disyaratkan untuk melakukan alih ragam persamaan Schrödinger bagiV−

kembali ke bagian separuh untuk menentukan pasangan SUSY yang cocok dengan

3Swanilai yang berhubungan denganV+ adalah18

[(n + 1

2

)2 − (l + 12

)2]. Jadi, untukn ≥ l (dan

n tetap) tingkat tenaga terendah bernilai nol.

34

persamaan (III.7) sehingga diperoleh

[−1

2

d2

dr2+

1

2r2 +

l(l + 1)

2r2−(n+

3

2

)+ 2

]χ′nl(r) = 0. (III.16)

Mudah dilihat bahwa karena faktor tambahan 2 pada persamaan di atas, perbe-

daan tingkat tenaga antara persamaan (III.7) dan persamaan (III.16) sesuai dengan

persamaan (III.8).

2. Masalah Radial Menggunakan Operator Tangga dalam SUSYQM

Masalah radial juga dapat diselesaikan dengan teknik operator tangga. Ke-

untungannya adalah tidak perlu ada bentuk eksplisit superpotensial. Diperkenalkan

terlebih dahulu notasi ket untuk menyatakan persamaan radial (III.3) dalam bentuk

Hl|N, l〉 ≡[−1

2

d2

dr2+ V (r) +

l(l + 1)

2r2

]|N, l〉

= ENl |N, l〉. (III.17)

N menyatakan bilangan kuantum radial untuk masalah Coulombn = N + l + 1 dan

untuk kasus osilator isotropikn = 2N + l, N = 0, 1, 2, ...dst.

Selanjutnya diberikan operatorA, yaitu

A =∑N

αNl |N ′, l′〉〈N, l|, (III.18)

yang memetakan ket|N, l〉 ke |N ′, l′〉. Kemudian diperkenalkan pula

A† =∑N

βNl |N, l〉〈N ′, l′|,

denganαNl = (βNl )∗.

35

Dari persamaan (III.17) dan (III.18) diperoleh pemahaman bahwaA† danA

adalah operator naik dan turun, yang dapat ditunjukkan dalam bentuk

A|N, l〉 = αNl |N − i, l + j〉, (III.19)

A†|N − i, l + j〉 = βNl |N, l〉, (III.20)

denganN ′ = N − i danl′ = l + j. Lebih lanjut diperoleh hubungan

A†A|N, l〉 = |αNl |2|N, l〉,

AA†|N − i, l + j〉 = |αNl |2|N − i, l + j〉; i, j = 0, 1, 2, .... (III.21)

Langkah selanjutnya adalah memasukkan faktorisasi Hamiltonan yang berupa

A†A = Hl + F,

AA† = Hl + j + F, (III.22)

F danG adalah skalar yang tidak bergantung pada bilangan kuantumN . Dengan

memasukkan persamaan (III.17) ke dalam persamaan (III.22) diperoleh hasil

|αNl |2 = ENl + F. (III.23)

Lebih jauh diperoleh

(Hl+j +G)A|N, l〉 = AA†A|N, l〉

= A(ENl + F

)|N, l〉, (III.24)

36

yang menyatakan bahwa

Hl+j[A|N, l〉] =ENl + F −G

[A|N, l〉]. (III.25)

Persamaan di atas menunjukkan bahwaA|N, l〉 adalah swaket dariHl+j. Namun

karena swanilaiHl′ telah diketahui yaituEN ′

l′ dari persamaan (III.17), hubungan

untukN ′ = N − i danl′ = l + j adalah

EN−il+j = EN

l + F −G. (III.26)

Selanjutnya, dengan menerapkan pengulangan operatorA dalam|N, l〉, urutan

swaket dapat diubah dalam bentuk

Ak|N, l〉 = αNl αN−il+j ...α

N−(k−1)il+(k−1)j |N − ki, l + kj〉,

dengank adalah bilangan bulat positif dan menjelaskan berapa kaliA dimasukkan ke

dalam|N, l〉. Karena ini tidak boleh bernilai tak hingga,N berhingga sampai urutan

terakhir, sehingga dapat ditulisA|0, l〉 = 0 untukN = 0 yang membatasiα0l = 0.

Selanjutnya, dari persamaan (III.23) ditentukanF = −F 0l . Hal ini juga konsisten

untuk memilihi = 1 karenak adalah bilangan bulat positif≥ 1 danN dapat bernilai

0,1,2,... . Dari persamaan (III.26) diperoleh

G =(ENl − El + jN − 1

)− E0

l . (III.27)

Jadi, SUSY dalam operatorAA† danA†A menghasilkan spektrum yang sama

untuk swanilai

|αNl |2 = ENl − E0

l ,

37

bersesuaian dengan swaket|N, l〉 dan|N − i, l+ j〉 kecuali untuk keadaan dasar yang

memenuhi

Hl|0, l〉 = A†A|0, l〉 = 0.

Kemudian dapat didefinisikan Hamiltonan supersimetrik yang mirip dengan

persamaan (II.25)

Hs =1

2diag(AA†, A†A)

≡ diag(H−, H+), (III.28)

dengan melihat kembali bentuk persamaan (II.40). Dengan kata lain, pada keadaan

dasar tidak terjadi kemerosotan (SUSY yang eksak) dan hanya dihubungkan dengan

H+. H± pada persamaan (III.28) memiliki wakilan

H+ = Hl − E0l H− = Hl+j −G, (III.29)

denganG diberikan oleh persamaan (III.27).

Selanjutnya akan dibahas beberapa penerapan persamaan (III.29).

A. Masalah Coulomb

Dalam masalah Coulomb, potensial dan tingkat tenaganya diberikan oleh

V (r) = −1

r,

ENl = − 1

2(N + l + 1)2,

38

Dari persamaan (III.27) dapat ditentukan nilaiG yaitu

G = − 1

2(N + l + 1)2+

1

2(N − 1 + l + j + 1)2+

1

2(l + 1)2.

Untuk mengubahG menjadiN yang independen, perlu ditambahkan syaratj = 1.

Pasangan Hamiltonian supersimetrik menjadi

H+ = −1

2

d2

dr2+l(l + 1)

2r2− 1

r+

1

2(l + 1)2, (III.30)

H− = −1

2

d2

dr2+

(l + 1)(l + 2)

2r2− 1

r+

1

2(l + 1)2. (III.31)

Pasangan potensial yang bersesuaian dengan kedua Hamiltonian di atas berturut-turut

identik dengan persamaan (III.5) dan (III.6), sehingga dapat disimpulkan sama seperti

penjelasan sebelumnya.

B. Masalah osilator isotropik

Dalam kasus osilator isotropik, potensial dan tingkat tenaganya diberikan oleh

V (r) =1

2r2,

ENl = 2N + l +

3

2.

Seperti pada masalah Coulomb sebelumnya, dari persamaan (III.27) diperolehG yang

berupa

G = 2−(l + j +

3

2

),

dengan ciri dalam kasus ini yaituN tidak memiliki batasan nilai bagi parameterj. Pa-

sangan Hamiltonian supersimetrik dapat diturunkan dari persamaan (III.29) sehingga

39

menjadi

H+ = −1

2

d2

dr2+l(l + 1)

2r2+r2

2−(l +

3

2

), (III.32)

H− = −1

2

d2

dr2+

(l + j)(l + j + 1)

2r2+r2

2−(l + j +

3

2

)+ 2. (III.33)

Kasus khusus dari persamaan (III.32) dan (III.33) yaitu saatj = 0 berhubu-

ngan dengan kombinasi sebelumnya pada persamaan (III.7) dan (III.16). Persamaan

(III.32) dan (III.33) merupakan perkiraan umum dan tepat tentang perbedaan energi

dua bagian.

Kemudian dengan menggunakan teknik operator tangga, dapat pula diper-

oleh pemahaman tentang supersimetri pada kedua masalah Coulomb dan osilator

isotropik. Perlu ditekankan bahwa dalam memperoleh hasil tersebut, tidak diperlukan

bentuk persyaratan superpotensial. Keberadaan operatorA danA† cukup sebagai

penghubung supersimetrik.

3. SUSY dalamD Dimensi

Dalam bagian sebelumnya telah dijelaskan penerapan SUSY pada masalah

radial 3 dimensi. Selanjutnya, akan dibahas masalah radial dalam dimensi yang lebih

tinggi (D dimensi). Persamaan Schrödinger radial dalamD dimensi yaitu (penjelasan

turunan yang lebih terperinci dapat dilihat pada LAMPIRAN B)

[−1

2

d2

dr2− D − 1

2r

d

dr+l(l +D − 2)

2r2+ V (r)

]R = ER,

denganr dalam bentukxi pada koordinat kartesanD dimensi diberikan oleh

r =

[D∑i=1

x2i

] 12

.

40

Seperti pada persamaan (III.2), dalam kasus ini suku turunan orde pertama juga da-

pat diubah dengan menggunakan alih ragamR → r−D−1

2 χ(r). Sehingga diperoleh

bentuk [−1

2

d2

dr2+

αl2r2

+ V (r)

]χ = Eχ,

dengan

αl =1

4(D − 1)(D − 3) + l(l +D − 2). (III.34)

Sekarang akan dibahas penerapannya pada beberapa kasus.

A. Potensial Coulomb

Spektrum tenaga yang berhubungan dengan potensial CoulombV (r) = −1r

adalah

ENl = −1

2

1[N + l +

(D−1

2

)]2 . (III.35)

Dalam persamaan (III.35),N danl berturut-turut adalah bilangan kuantum radial dan

momentum sudut.

Dari persamaan (III.27) diperoleh

G = − 1[N + l +

(D−1

2

)]2+

1

2

1[l +(D−1

2

)]2+

1

2

1[N − 1 + l + j +

(D−1

2

)]2 . (III.36)

Dengan mengaturj = 1 maka mudah diperoleh bahwaG menjadi saling bebas ter-

hadapN menurut

G =1

2

1[l +(D−1

2

)]2 .

41

Kemudian, hasil umum untukH± dalam ruangD dimensi berupa

H+ ≡ Hl − E0l

= −1

2

d2

dr2+

αl2r2

− 1

r+

1

2

[l +

1

2(D − 1)

]−2

,

H− ≡ Hl+1 +G

= −1

2

d2

dr2+αl+1

2r2− 1

r+

1

2

[l +

1

2(D − 1)

]−2

, (III.37)

denganαl diberikan oleh persamaan (III.34). Untuk kasus 3 dimensi, hasil ini sesuai

dengan persamaan (III.30) dan (III.31).

B. Potensial osilator isotropik

Untuk potensial osilator isotropikV (r) = 12r2, tingkat tenaganya adalah

ENl =

(2N + l +

1

2D

), D ≥ 2.

Dari persamaan (III.27) diperoleh

G = 2−(l + j +

D

2

),

yang saling bebas terhadapN . Hasil ini memberikan Hamiltonan isospektral yang

berupa

H+ = −1

2

d2

dr2+

αl2r2

+1

2r2 −

(l +

D

2

),

H− = −1

2

d2

dr2+αl+j2r2

+1

2r2 −

(l + j +

D

2

)+ 2.

Hasil tersebut dapat dibandingkan dengan persamaan (III.32) dan (III.33) untuk kasus

D = 3.

Dari pembahasan tersebut dapat disimpulkan bahwa SUSY dapat diterapkan

42

dalam masalah radial baik 3 dimensi maupun yang lebih tinggi. Alih ragam dapat

dikenakan dari masalah Coulomb ke osilator isotropik maupun sebaliknya dan hasil-

nya merupakan penyajian yang umum padaD dimensi.

BAB IV

TEORI DIRAC TENTANG PARTIKEL SPIN 1/2 DAN

PENDEKATAN NON-RELATIVISTIKNYA

Sebelum membahas penerapan SUSYQM selanjutnya, yaitu pada persamaan

Dirac, terlebih dahulu akan dijelaskan beberapa hal mendasar yang perlu dipaha-

mi. Berikut ini akan dijelaskan konsep persamaan Dirac dalam teori Dirac dan alih

ragam Foldy-Wouthuysen yang merupakan bagian penting dalam memahami pene-

rapan mekanika kuantum supersimetrik dalam persamaan Dirac tersebut.

Dengan alih ragam kanonik yang dikenakan pada Hamiltonan Dirac untuk par-

tikel bebas, wakilan teori Dirac diamati pada keadaan tenaga positif dan negatif yang

terpisah, diwakili oleh fungsi gelombang komponen-dua. Wakilan ini memainkan pe-

ranan penting, berupa operator-operator baru untuk posisi dan wakilan spin partikel

yang secara nyata merupakan arti fisis dari operator tersebut pada wakilan konven-

sional. Alih ragam wakilan baru juga dibuat dalam kasus interaksi partikel dengan

medan elektromagnetik luar.

1. Persamaan Dirac dalam Mekanika Kuantum Relativistik

Persamaan Dirac adalah salah satu persamaan gelombang dalam mekanika

kuantum relativistik yang disusun oleh fisikawan Inggris, Paul Dirac, pada 1928 dan

memberikan penjabaran tentang partikel mendasar spin1/2, seperti elektron. Per-

samaan ini konsisten dengan prinsip mekanika kuantum dan teori relativitas khusus.

Di dalam mekanika kuantum relativistik, keadaan sebuah partikel dapat disa-

jikan dalam koordinat ruang waktu 4 dimensi, yaitux1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 =

43

44

ict = ix0. Alih bentuk linier yang berupa

xµ → xµ′ = aµνxν , (IV.1)

dengan koefisienaµν memenuhi syarat ortogonalitas

aµνaµ% = δν%, aνµa%µ = δν%.

Alih ragam yang demikian ini disebutalih ragam Lorentz homogen. Grup Lorentz

homogen terdiri atas beberapa macam alih ragam, dari satu sistem inersial ke sistem

inersial lainnya tanpa mengubah titik pusat (origin).

Vektor berdimensi 4 (atau sering disebutvektor-empat) Vµ adalah sebuah set

beranggotakan empat, yaituV1, V2, V3, V4, yang memenuhi alih ragam pada persamaan

(IV.1) dalam kerangka koordinat berdimensi 4. Vektor-empat mengalami alih ragam

yang sama seperti pada koordinatxµ, sehinggaxµ → Vµ′ = aµνVν .

Sedangkan tensor berdimensi 4 (atautensor-empat) dalam tingkat kedua ada-

lah sebuah set berjumlah 16 anggotaTµν , yang memenuhi alih ragam pada persamaan

(IV.1). Tensor empat mengalami alih ragam seperti produk koordinatxµxν menurut

hubungan

Tµν → T ′µν = aµαaνβTαβ.

2. Partikel Dirac Bebas

Partikel Dirac bebas bermassam, operator momentump dan spin12, disajikan

dalam persamaan Dirac menurut

i~∂Ψ(r, t)

∂t= HDΨ(r, t), (IV.2)

45

dengan Hamiltonan yang tak gayut waktu menurut1

HD = −i~cα.∇+mc2β

= cα.p +mc2β

= (α.p + βm), (IV.3)

danα, β adalah matriks Hermitan4× 4 yang memenuhi persamaan

α =

0 σ

σ 0

; β =

I 0

0 −I

, (IV.4)

α11 = α2

2 = α23 = β2 = 1,

αiβ + βαi = 0, αiαk + αkαi = 2δik.

Swafungsi operator Hamiltonian memenuhi persamaan

(βm+ α · p)Ψ = EΨ

Pada pendekatan nonrelativistik, yaitu ketika momentum partikel bernilai ke-

cil jika dibandingkan denganm (p << m), partikel Dirac spin12

dapat disajikan

dalam fungsi gelombang komponen-dua pada teori Pauli. Metode yang biasanya di-

gunakan untuk menunjukkan bahwa teori Dirac adalah teori Pauli pada pendekatan

ini berdasarkan kenyataan bahwa dua dari empat komponen fungsi Dirac nilainya

menjadi kecil ketika momentumnya kecil. Kemudian ditulis persamaaan yang me-

menuhi empat komponen dan menyelesaikannya dengan pendekatan: dua dari per-

1Digunakan sistem satuan~, c = 1.

46

samaan untukkomponen kecil. Dengan mengganti penyelesaian tersebut pada sisa

dua persamaan (yang lainnya), dapat diamati hasil berupa pasangan persamaan untuk

komponen besaryang pada dasarnya adalah persamaan spin Pauli.

Metode tersebut menunjukkan kesetaraan teori Dirac dan Pauli yang mene-

mui kesulitan, jika dianggap pada pendekatan yang melebihi derajat terendah.Pada

teori Dirac, operator yang mewakili kecepatan partikel adalah operatorα yang kom-

ponennya hanya memiliki swanilai±1. Sedangkan pada teori Pauli, operator yang

mewakili kecepatan partikel adalahp/m yang berupa komponen dengan swanilai be-

rupa semua bilangan real. Komponen yang berbeda dalam operator kecepatan pada

teori Dirac tidak rukun dan diukur serentak dengan ketepatan berubah-ubah, sedang-

kan komponen yang berbeda dalam operator kecepatan pada teori Pauli bersifat rukun

serta dapat diukur serentak dengan ketelitian yang berubah-ubah. Dari sini lalu timbul

pertanyaan, bagaimana mungkin operator yang wakilan pada peubah fisisnya sama

namun pada dua teori tersebut mempunyai sifat-sifat yang berbeda?

Dari penjelasan di atas dapat diperoleh pernyataan bahwa hubungan antara

teori Dirac dan teori Pauli sama sekali tidak bisa dijelaskan dari metode yang bi-

asanya, yaitu fungsi gelombang komponen-empat diubah ke komponen-dua, dan pada

penjelasan selanjutnya sangat diperlukan hubungan antara kedua teori tersebut. Pem-

bahasan selanjutnya akan ditampilkan metode lain untuk mengubah dari fungsi ge-

lombang komponen-empat ke komponen-dua pada teori Dirac. Metode ini berupa

alih ragam ke wakilan baru untuk teori Dirac, dengan meletakkan teori dalam bentuk

tertutup analogi dengan teori Pauli dan memperbolehkan perbandingan langsung dari

keduanya. Secara khusus akan ditunjukkan bahwa:

1. Untuk partikel Dirac bebas, ada wakilan teori Dirac untuk tenaga relativistik

dan non-relativistik, keadaan tenaga positif dan keadaan tenaga negatif terpisah

dijelaskan dengan fungsi gelombang komponen-dua.

47

2. Ada operator posisi yang lain pada teori Dirac, disamping operator posisi yang

biasanya dikenal. Operator ini mempunyai sifat derivatif waktu yang beru-

pa p/(m2 + p2)1/2 untuk keadaan tenaga positif dan−p/(m2 + p2)1/2 untuk

keadaan tenaga negatif, dalam hubungannya dengan konsep kecepatan partikel.

Operator posisi yang baru ini sering disebut operator rerata posisi, dan dalam

pendekatan nonrelativistik ditafsirkan sebagai operator posisi pada teori Pauli.

3. Komponenz dari operator spin,σ = (1/2i)[α × α], pada teori Dirac bukan-

lah konstanta gerak, sehingga ada operator spin lain pada teori Dirac yaituσ

(yang dinamakan operator rerata-spin), dengan komponenz berupa konstanta

gerak. Pada pendekatan nonrelativistik, operatorσ adalah salah satu dari yang

diartikan sebagai operator spin pada teori Pauli.

Alasan mendasar untuk menerangkan mengapa komponen empat secara umum

digunakan dalam menjelaskan keadaan tenaga positif/negatif dalam wakilan teori

Dirac, yaitu persamaan (IV.3), adalah karena Hamiltonan pada persamaan tersebut

mengandung operator ganjil, khususnya pada bagian operatorα. Jika dimungkin-

kan untuk membuat alih ragam kanonik pada persamaan (IV.3) yang mengubahnya

menjadi bentuk yang bebas dari operator ganjil, maka akan dimungkinkan pula untuk

membuat wakilan keadaan tenaga positif dan negatif dengan fungsi gelombang yang

hanya memiliki dua komponen pada tiap keadaan dan pasangan komponen yang lain-

nya bernilai nol. Penjelasan selanjutnya akan menunjukkan berlakunya alih ragam

kanonik semacam ini.

3. Alih Ragam Foldy-Wouthuysen

Alih ragam Foldy-Wouthuysen adalah suatu alih ragam uniter yang mengu-

bah pasangan operator dari komponen besar ke komponen kecil. Alih ragam ini

48

dipaparkan pertama kali oleh Leslie L. Foldy dan Siegfried A. Wouthuysen [Foldy

dan Wouthuysen , 1949] untuk menemukan alih ragam yang sesuai dalam kasus per-

samaan Dirac dengan pasangan elektromagnetik minimal.

Sebelum dibahas lebih lanjut, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai opera-

tor ganjil dan genap pada teori Dirac. Operator ganjil pada teori Dirac adalah matriks

Dirac yang mengandung elemen matriks diagonal dalam wakilan Pauli-Dirac, yaitu

α, βα, γ5 = −iα1α2α3 danβγ5. Sedangkan operator genap adalah matriks Dirac

yang tidak mempunyai elemen matriks diagonal dalam wakilan Pauli-Dirac, misal-

nya1, β, σ = 12i

[α × α] danβσ. Produk dari dua buah matriks genap atau dua buah

matriks ganjil menghasilkan matriks genap, sedangkan produk dari sebuah matriks

genap dan sebuah matriks ganjil menghasilkan matriks ganjil.

JikaS adalah operator Hermitan, dan berlaku alih ragam sebagai berikut

Ψ′ = UFΨ = eiSΨ, (IV.5)

dan jika dikenakan pada persamaan (IV.3) menjadi

i(∂Ψ′/∂t) = eiSHΨ

= eiSHe−iSΨ′

= H ′Ψ′. (IV.6)

Akan dicariS denganH ′ yang tidak mengandung operator ganjil. Hal ini dapat di-

lakukan sebagai berikut

eiS = eβα·pθ

= cos θ + βα · p sin θ, p = p/|p|, (IV.7)

49

H ′ = (cos θ + βα · p sin θ)(α · p + βm)(cos θ − βα · p sin θ)

= (βm+ α · p)(cos θ − βα · p sin θ)2

= (βm+ α · p) exp(−2βα · pθ)

= (βm+ α · p)

(cos 2θ − m

|p|sin 2θ

)+β(m cos 2θ + |p| sin 2θ). (IV.8)

Untuk menghilangkan suku(α · p), dipilih tan 2θ = |p|/m, sehingga

H ′ = β√m2 + |p|2.

hal ini sama seperti hamilton pertama yang dicoba, kecuali untuk faktorβ yang juga

memberikan penyelesaian tenaga negatif. Ditinjau untuk kasus

H = α · (p− eA) + βm+ eΦ

= βm+O + E , (IV.9)

dengan

O = α · (p− eA), E = eΦ, βO = −Oβ, βE = Eβ. (IV.10)

Ditinjau alih ragam kanonik yang dibangkitkan oleh operator Hermitan

S = −(i/2m)βO.

PenyajianS dapat dibentuk dengan perluasan nonrelativistik pada hamiltonanH ′

dalam deret1/m. Akan diekspansikan bentuk ini kep4

m3 dan p×(E,B)m2 .

50

HΨ = i∂

∂t

(e−iSΨ′)

= e−iSi∂Ψ′

∂t+

(i∂

∂te−iS

)Ψ′.

⇒ i∂Ψ′

∂t=

[e−iS

(H − i

∂

∂t

)e−iS

]Ψ′

= H ′Ψ′. (IV.11)

S dijabarkan dalam deret1/m dan nilainya sangat kecil dalam pendekatan

nonrelativistik.

eiSHe−iS = H + i[S,H] +i2

2![S, [S,H]] + · · ·+ in

n![S, [S, · · · [S,H]]] .

S = O(

1m

)diharapkan dalam tingkat ketelitian tertentu yaitu

H ′ = H + i[S,H]− 1

2[S, [S,H]]− i

6[S, [S, [S,H]]]

+1

24[S, [S, [S, [S, βm]]]]− S − i

2

[S, S

]+

1

6

[S,[S, S

]]. (IV.12)

Selanjutnya, akan dihilangkan operator ganjil satu demi satu dalam1/m dan mengu-

langinya sampai pada derajat yang diharapkan. Orde pertama[O(1)]:

H ′ = βm+ E +O + i[S, β]m.

Untuk menghilangkanO, dipilih S = − iβO2m

,

i [S,H] = −O +β

2m[O, E ] +

1

mβO2

i2

2[S, [S,H]] = −βO

2

2m− 1

8m2[O, [O, E ]]− 1

2m2O3

51

i3

3![S, [S, [S,H]]] =

O3

6m2− 1

6m3βO4

i4

4![S, [S, [S, [S,H]]]] =

βO4

24m3

−S =iβO2m

− i2

[S, S

]= − i

8m2

[O, O

]. (IV.13)

Semua suku dikumpulkan sehingga menjadi

H ′ = β

(m+

O2

2m− O4

8m3

)+ E − 1

8m2[O, [O, E ]]

− i

8m2

[O, O

]+

β

2m[O, E ]− O3

3m2+iβO2m

= βm+ E ′ +O′. (IV.14)

SekarangO′ adalahO(

1m

), H ′ dapat dialihragamkan menjadiS ′ dengan menghi-

langkanO′,

S ′ =−iβ2m

O′ =−iβ2m

(β

2m[O, E ]− O3

3m2+iβO2m

).

Setelah alih ragam dalam bentukS ′, maka

H ′′ = e−iS′(H ′ − i

∂

∂t

)e−iS

′= βm+ E ′ + β

2m[O′, E ′] +

iβO′

2m

= βm+ E ′ +O′′, (IV.15)

denganO′′ adalahO(

1m2

)yang dapat dihilangkan dengan alih ragam ketiga,S ′′ =

−iβO′′

2m, berupa

H ′′′ = eiS′′(H ′′ − i

∂

∂t

)e−iS

′′

= βm+ E ′

52

= β

(m+

O2

2m− O4

8m3

)+ E − 1

8m2[O, [O, E ]]− i

8m2

[O, O

].(IV.16)

Ditinjau kembali produk operator untuk memperoleh ketelitian yang diinginkan,

O2

2m=

(α · (p− eA))2

2m

=e

2mΣ · B

1

8m2

([O, E ] + iO

)=

e

8m2

(−iα · ∇Φ− iα · A

)=

ie

8m2α · E[

O, ie

8m2α · E

]=

ie

8m2[α · p, α · E]

=ie

8m2

∑i,j

αiαj(−i∂E

j

∂xi

)+

e

4m2Σ · E × p

=e

8m2(∇ · E) +

ie

8m2Σ · (∇× E)

+e

4m2Σ · E × p. (IV.17)

Jadi, hamiltonan efektif untuk derajat yang diharapkan adalah

H ′′′ = β

(m+

p− eA2

2m− p4

8m3

)+ eΦ− e

2mβΣ ·B

= − ie

8m2Σ · (∇× E)− e

4m2Σ · E × p− e

8m2(∇ · E) . (IV.18)

Tiap suku mempunyai arti fisis masing-masing. Suku pertama dalam tanda kurung

adalah perluasan dari √(p− eA)2 +m2

dan−p4/(8m3) adalah ralat relativistik untuk tenaga kinetik. Suku kedua yaitu

− ie

8m2Σ · (∇× E)− e

4m2Σ · E × p,

53

adalah tenaga spin-orbit. Dalam potensial statik setangkup bola, suku ini mempunyai

bentuk yang biasa dikenal.

BAB V

PENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIK

DALAM PERSAMAAN DIRAC DERAJAT PERTAMA

Dalam bab ini akan ditunjukkan perwujudan prinsip mekanika kuantum su-

persimetrik dalam persamaan Dirac yang menjelaskan partikel Dirac tak bermassa

dalam medan magnet. Sistem ini relevan dengan efek Hall kuantum bilangan bulat.

Dalam memperoleh supersimetri derajat pertama, digunakan operator akar pangkat

dua. Pembahasan yang lebih terperinci juga akan diberikan pada masalah super-

simetri dalam konteks pangkat dua Hamiltonan Pauli relativistik.

1. Pendahuluan

Penemuan mengejutkan tentang efek Hall kuantum bilangan bulat yang diperke-

nalkan oleh fisikawan dengan kemungkinan kebolehjadiannya adalah perkembangan

baru menyangkut konstanta struktur-halus. Hal ini bersifat lazim dalam tingkatan

kuantum. Penjelasan teoritis mengenai gejala ini dikembangkan oleh Laughlin dan

beberapa ilmuwan lainnya. Sistem yang dipelajari oleh Laughlin adalah elektron tan-

pa spin, nonrelativistik yang terkungkung dalam bidang, dengan medan listrik sera-

gam di dalam bidang dan medan magnet tegak lurus pada bidang. Hamiltonan yang

sesuai adalah Hamiltonan Pauli dan penyelesaian masalah swanilainya adalah deret

aras Landau, semuanya merosot ganda kecuali keadaan dasarnya.

Penjelasan ini dapat dilihat dengan menyertakan sifat-sifat grup translasi mag-

netik dalam bidang. Kesimpulan Laughlin mengalami perubahan karena diperke-

nalkannya konsep tentang spin elektron. Tentu saja, sekarang diketahui bahwa tidak

ada ralat relativistik dalam penjelasan Laughlin.

54

55

Beberapa ilmuwan menyelidiki mekanika kuantum tentang elektron dalam

medan magnet seragam. Hal ini dapat ditelaah lebih lanjut pada konteks supersimetri

dalam mekanika kuantum. Sebagai contoh, jika elektron nonrelativistik dengan mo-

men magnet Pauli memiliki perbandingan giromagnetik bernilai dua ditempatkan

dalam sistem Laughlin, berlaku konsep supersimetri.

Dalam teori Dirac, perbandingan giromagnetik yang bernilai dua muncul se-

cara otomatis. Lebih lanjut1, Hamiltonan Dirac pangkat dua mengandung medan

magnet seragam yang secara matematis berbentuk sama dengan supersimetri Hamil-

tonan Pauli. Supersimetri ini hanya sebuah perwujudan dalam spektrum tenaga pang-

kat dua karena aljabar mekanika kuantum SUSYQM(2) melibatkan operator diferen-

sial derajat kedua dalam perwujudannya.

Penjelasan di atas menunjukkan bahwa konsep supersimetri dapat ditemukan

dalam perumusan persamaan Dirac derajat pertama. Dalam pembahasan selanjutnya

akan dijelaskan penerapan SUSYQM pada spektrum yang diamati dari Hamiltonan

Dirac derajat pertama. Penjelasan selanjutnya akan dipilih pada model Hamiltonan

yang menguraikan fermion Dirac tak bermassa dalam medan magnet yang seragam

dan konstan. Tidak adanya medan magnet, secara mendasar, mungkin dapat diperbai-

ki dengan mempercepat sistem. Selain itu pula, meskipun pendekatan"tak bermassa"

tidak memiliki arti fisis, namun akan berguna secara langsung dalam perluasan kon-

sep lain yang lebih umum.

1Terdapat hubungan antara keadaan ini dengan osilator harmonik nonrelativistik.

56

2. Model dan Penyelesaiannya

Persamaan Dirac dengan pasangan elektromagnetik minimal untuk spinor tak

bermassa adalah

DΨ ≡[(∂t − ieAt)γ

0 + (∂ + ieA).γ]Ψ

= 0. (V.1)

Digunakan wakilan chiral dalam matriks Dirac menurut

γ0 =

0 −I

−I 0

, γi =

0 σi

−σi 0

, i = 1, 2, 3,

denganσ1, σ2, σ3, didefinisikan oleh persamaan (II.9).

Medan magnet yang seragam dan konstan dapat dituliskan dalam bentuk

At = 0, Ax = −By, Ay = 0, Az = 0,

denganB = ∇ × A = Bz. Kemudian partikel akan membentuk gerak siklotron

dalam bidangx− y. OperatorD diberikan oleh

D = γ0∂/∂t+ γ.∇− ieByγ1. (V.2)

Dipilih batasaneB > 0.

Penyelesaian persamaan (V.1) dapat diperoleh melalui metode Feynman–Gell-

Mann. Mula-mula persamaan Dirac (V.1) dikalikan dengan operator DiracD, sehing-

ga menghasilkan persamaan komponen-empat derajat kedua yang berupa

DDΦ = 0. (V.3)

57

Persamaan (V.3) memiliki 8 penyelesaian yang tak gayutΦ. PenyelesaianΨ dari

persamaan (V.1) diberikan oleh

Ψ = DΦ. (V.4)

Penyelesaian yang berjumlah 8 tersebut diperoleh dari dua kali jumlah penyelesaian

yang tak gayut. Persamaan (V.2) menunjukkan bahwaD dapat ditulis sebagai

D =

0 0 −∂t + ∂z −D−

0 0 +D+ −∂t − ∂z

−∂t − ∂z +D− 0 0

−D+ −∂t + ∂z 0 0

,

dengan

D+ ≡ ∂/∂x− ieBy + i∂/∂y

dan D− ≡ D†+ = −∂/∂x+ ieBy + i∂/∂y. (V.5)

Kemudian, persamaan (V.3) dapat ditulis sebagai

DDΦ ≡[(∂2t − ∂2

x − ∂2y − ∂2

z − 2ieBy∂x + e2B2y2)I + eBσ12

]Φ

=[(∂2t − ∂2

z +D+D−)I + eB

(I + σ12

)]Φ

= 0. (V.6)

I yang dimaksud pada persamaan di atas adalah matriks identitas 4×4 danσ12 =

12i [γ1, γ2] adalah matriks diagonal 4×4 yang elemen-elemennya tidak nol (1,-1,1,-1).

Dalam mengamati persamaan (V.6) digunakan kaitan komutasi

[D−, D+] = 2eB.

58

Hal ini menunjukkan bahwaD+danD− adalah operator naik dan turun pada osilator

harmonik yang tidak ternormalisasi.

Persamaan (V.6) mengandung rasio giromagnetik yang bernilai dua, yang da-

pat diselesaikan dengan caraansatz. Penyelesaian tersebut adalah

Φnετσ(t, x, y, z) ≡ exp [iε (−ωnt+ kxx+ kzz)] gnεσ(y)χτσ, (V.7)

denganχτσ dipilih sebagai swaspinor komponen-4 yang bernilai tetap, tak gayut, dan

berjumlah 4, dari matriks

γ0 =

I

−I

,

dan

γ5χτσ = τχτσ σ12χτσ = σχτσ,

denganτ, σ = ±1. Matriks γ5 danσ12 saling berkomutasi satu dan lainnya dengan

operatorDD. Kemudian spinorχτσ berturut-turut mengisi matriks pada kolom per-

tama hingga keempat, dan di tempat lain bernilai nol.

Penyelesaian persamaan (V.7) juga diberi labelε untuk tenaga, dan bilangan

bulatn ≥ 0. Bilangan bulat ini muncul karena fungsignεσ(y) dalam persamaan (V.7)

diperoleh berupa fungsi osilator harmonik, yang pusatnya berpindah dari titik asal

(origin) dengan jumlah yang bergantung pada momentumx, kx.

Kekekalan, Hermitan, namun produk skalarnya definit-non positif untuk tiap

dua penyelesaianΦ danΦ′ persamaan (V.6) adalah

〈Φ|Φ′〉 ≡ i

∫d3xΦ∗(t, x)

↔∂/∂tΦ

′(t, x). (V.8)

Dalam hubungannya dengan produk skalar, lengkap, set ortogonal dari penyelesa-

59

ian persamaan (V.6) untuk tenaga yang diberikan, yaituφnετσ dari persamaan (V.7),

dengan

gnεσ(y) = exp

[−1

2eB(y − εkx/eB)2

]×Hn−1/2−1/2σ

((eB)1/2(y − εkx/eB)

), (V.9)

ωn = +(k2z + 2neB

)1/2, (V.10)

danHn adalah polinomial Hermit. Dengan penyelesaian ini untukΦnετσ diperoleh

identitas

D+Φnετσ(y) = −i(eB)1/2Φn+1,ετσ(y),

dan D−Φnετσ(y) = +i(eB)1/2(2n− 1− σ)× Φn−1,ετσ(y). (V.11)

Persaman (V.7) adalah 4 sistem persamaan diferensial derajat kedua yang

menghasilkan 8 penyelesaian yang tak gayut,φnετσ , untuk setiap nilai momentum

kx dankz. Bentuk fungsional dari penyelesaian tersebut tidak bergantung terhadapτ .

Oleh karena itu, terdapat keadaan merosot ganda pada 8 penyelesaian ini, meskipun

saling tak gayut karena spinorχτσ bersifat ortogonal, sesuai dengan persamaan (V.8).

Selain itu, tenaganya saling bebas terhadapkx. Hal inilah yang sering dikenal dengan

tingkat kemerosotan Landaudan mencerminkan kesetangkupan translasi magnetik

pada bidangx− y.

Sebagai lanjutan dari metode Feynman–Gell-Mann, digunakan persamaan (V.4)

untuk memperoleh penyelesaian persamaan (V.1). Karena persamaan (V.1) adalah

persamaan diferensial derajat pertama, tidak semua penyelesaianΨ yang diperoleh

60

dariDψ bersifat linear dan tak gayut, sesuai dengan produk skalar Hermitan

〈Ψ|Ψ′〉 =

∫d3xΨ(t, x)γ0Ψ′(t, x)

=

∫d3xΨ†(t, x)Ψ′(t, x). (V.12)

Aspek penting yang lain dari persamaan di atas adalah jika persamaan tersebut ditulis

dalam bentuk Hamiltonian

i∂Ψ

∂t= HDΨ. (V.13)

denganHD adalah matriks4× 4 yang berupa

HD =

hD 0

0 −hD

, (V.14)

danhD adalah matriks2× 2 menurut

hD =

−i∂/∂z iD−

−iD+ i∂/∂z

, (V.15)

diperoleh bahwa[HD, γ5] = 0 tetapi[HD, σ

12] 6= 0. Hal ini berarti bahwa swanilaiσ

dariσ12 tidak dapat digunakan sebagai label bagi penyelesaianHD.

3. Supersimetri dan Pangkat Dua Hamiltonan Pauli Relativistik

Dalam BAB II telah dikemukakan bahwa sistem mekanika kuantum dikatakan

supersimetrikjika terdapat sejumlah operatorQi, i=1,2,...,N yang bersifat komutatif

dengan Hamiltonian SUSY, yaitu persamaan (II.32), dan antikomutatif untuk meng-

hasilkan Hamiltonian SUSY, yaitu persamaan (II.31). Superaljabar pada kedua per-

samaan itu disebut SUSYQM(N). Pembahasan selanjutnya akan menggunakan super-

61

aljabar SUSYQM(2) yang hanya mempunyai dua pembangkit antikomutasi sehing-

ga digunakan operatorQ danQ† seperti pada persamaan (II.30) serta superaljabar

SUSYQM(2) yaitu persamaan (II.13)-(II.15).

Hs memiliki swaspektrum dengan set pasangan merosot pada tingkat boson

dan fermion, serta dengan keadaan dasar boson tunggal. OperatorQ mengubah

swakeadaan fermionik|F 〉menjadi swakeadaan bosonik|B〉 dan alih ragam baliknya

dikerjakan olehQ†, yang dapat ditulis dalam bentuk

Q|F 〉 = E1/2|B〉

dan Q†|B〉 = E1/2|F 〉, (V.16)

denganE adalah swatenaga|B〉 dan|F 〉. Untuk supersimetri yang tak rusak, keduaQ

danQ† dapat saling menghilangkan keadaan dasar|0〉 sehingga dapat ditulis sebagai

Q|0〉 = Q†|0〉 = 0. (V.17)

Persamaan (V.17) dan superaljabar pada persamaan (II.13)-(II.15) menunjukkan bah-

wa swatenaga keadaan dasarharus bernilai nol, yaitu

Hs|0〉 = 0. (V.18)

Superaljabar pada persamaan (II.13)-(II.15) dan (V.18) menjelaskan bahwaHs mem-

punyai swanilai yang semuanya harus bernilai lebih besar atau sama dengan nol.

Selanjutnya, diperhatikan aturan superaljabar SUSYQM(2) pada sistem yang

dijelaskan dengan pangkat dua Hamiltonan Pauli relativistik :

(H2)RP = (HD)2,

62

denganHD diberikan oleh persamaan (V.14) dan (V.15). Terdapat hubungan antara

sistem ini dengan osilator harmonik supersimetrik nonrelativistik yang telah dibahas

pada BAB II. Didefinisikan

QRP =

0 0

hD 0

dan Q†RP =

0 hD

0 0

, (V.19)

sehingga diperoleh bahwa

QRP , Q

†RP

= (H2)RP . (V.20)

OperatorQRP danQ†RP memenuhi aljabar SUSYQM(2) pada persamaan (II.13)-

(II.15) yang berupa QRP , γ

5

=Q†RP , γ

5

= 0.

Kemudian, pembangkit supersimetriQRP danQ†RP dikenakan pada swavektor(H2)RP

untuk mengubah swanilaiτ dari γ5 dan juga mengubah bentukε dari tenaga Dirac.

Namun, karena swanilai(H2)RP adalah pangkat dua dari tenaga,QRP danQ†RP ber-

hubungan dengan swakeadaan merosot pada sistem Pauli relativistik.

Penting untuk dicatat bahwa hamiltonan Dirac dapat ditulis sebagai2

HD = γ0(Q†RP −QRP ) (V.21)

Hubungan semacam ini bisa disajikan karena keduaQRP danHD adalah akar dari

(H2)RP .

Dapat dikatakan bahwa "keadaan dasar" dari(H2)RP benar-benar merupakan

tingkat set infinit, yang diberi label peubah kontinukz, yang dapat dilihat dari per-

2Dalam definisi (V.19), beberapa parameter perubahan dianggap tetap sehingga membentuk per-samaan (V.21).

63

samaan (V.7), (V.9) dan (V.10).

Tenaga keadaan dasar berupaω20 = k2

z , yang bernilai nol hanya ketikakz = 0.

Dari persamaan (V.17) dan (V.18) dan penjelasan lain yang berkaitan, SUSYQM(2)

dalam persamaan (V.20) adalah simetri tak rusak pada sistem Pauli relativistik derajat

kedua, hanya pada pendekatankz → 0. Hal yang penting, pendekatan ini mirip

dengan pengamatan pada efek Hall terkuantisasi.

Kerusakan supersimetri untukkz = 0 dapat dilihat secara jelas dengan menge-

nakanQRP pada persamaan (V.19) dalam swavektor keadaan dasar persamaan (V.7),

(V.9) dan (V.10). Sehingga diperoleh

QRPΦ0ετ−(0, x, y, z) = −εkzΦ0ε−−(0, x, y, z).

Meskipun bagian dari swavektor keadaan dasar, secara khususφ0ε+− namun ini tentu

dihapus olehQRP sehingga sisaQ0ε−− tidak ada.

4. Supersimetri dan Hamiltonan Dirac

Dalam subbab ini akan diteliti keberadaan SUSY untuk partikel pada sistem

yang dijelaskan masing-masing oleh Hamiltonan Dirac orde pertamaHD, persamaan

(V.13) dan (V.14). Dari hasil yang diperoleh pada pembahasan sebelumnya, yaitu

pada subbab 3, selanjutnya akan dibuktikan bahwa operatorQD danQ†D adalah akar

dariHD.

Cara yang paling mudah untuk memperolehQD danQ†D yaitu pertama, men-

emukan bentuk diagonalH ′D dari HD. Untuk melihat bahwa bentuk diagonalH ′

D

dapat dibangun, perlu dicatat bahwa(HD)2 = (H2)RP adalah diagonal namunH ′D

dimasukkan sebagai bagian dari akar diagonal(H2)RP .

Kedua, setelah diperoleh operatorQ′D danQ′

D† dariH ′

D, keduanya harus diubah ke

64

basisHD. Alih ragamFoldy-Wouthuysen (FW)dariHD keH ′D adalah cara langsung

untuk mengerjakan hal ini.

Diperkenalkan alih ragam Foldy-Wouthuysen (FW) sebagai berikut

H ′D = U−1HDU, (V.22)

dengan

U = exp(1

2γ3Π⊥ · γ⊥θ) (V.23)

dalam persamaan (V.23) didefinisikan sebagai

Π⊥ · γ⊥ = Π1γ1 + Π2γ2,

Π1 = kx − eBy,

Π2 = ky. (V.24)

Lebih lanjut, didefinisikan

tan ξθ =ξ

kz

dan ξ2 = −(Π⊥ · γ⊥)2. (V.25)

Persamaan (V.22) dan (V.23) dapat dikombinasikan padaH ′D sebagai

H ′D =

(D−D+ − ∂2z )

12

−(D+D− − ∂2z )

12

−(D−D+ − ∂2z )

12

(D+D− − ∂2z )

12

.

65

Dalam kasus supersimetri tak rusak, diambil batasan3 kz = 0, sehingga menjadi

H ′D(kz = 0) =

√D−D+

−√D+D−

−√D−D+

√D+D−

. (V.26)

SpektrumH ′D(kz = 0) tersusun atas 4 bagian. Tiap-tiap bagian tersebut dihubungkan

dengan sebuah operator yang berada pada diagonal persamaan (V.26). Mulai dari

bagian kiri paling atas dan menuju ke bagian kanan paling bawah, 4 operator tersebut

menunjukkan

1. tenaga positif dane ~B · ~Sz > 0,

2. tenaga negatif dane ~B · ~Sz > 0,

3. tenaga negatif dane ~B · ~Sz < 0,

4. tenaga positif dane ~B · ~Sz < 0,

dengan~Sz menunjukkan operator spin dalam arah sumbuz. Namun perlu diingat bah-

wa pembangkit SUSY pada SUSYQM (2) menghubungkan satu spektrum bosonik

menjadi satu spektrum fermionik. Hanya dua dari keempat spektrum di atas yang

dapat ditampung secara bersamaan. Selanjutnya, akan didiskusikan pilihan berbeda

yang dapat diijinkan oleh persamaan (V.26).

Pembahasan diawali dengan membentuk SUSYQM(2) yang berhubungan de-

3Meskipun pada dasarnya kerusakan supersimetri dapat diwujudkan dalam bentukkz 6= 0, rancan-gan ini sulit untuk diterapkan.

66

ngan dua spektrum tenaga-positif. Pembangkit SUSY dapat ditulis

Q′D =

0 0 0√D−

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

; Q′

D†=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

√D+ 0 0 0

. (V.27)

Operator tersebut membangkitkan spektrum tenaga positif, karena

Q′D, Q

′D†

= H ′D(kz = 0, ε = +1)

=

√D−D+

0

0

√D+D−

. (V.28)

Kemudian, ditinjau superaljabar yang berhubungan dengan keadaan tenaga

negatif pada persamaan (V.26). Dalam subbab sebelumnya telah dikemukakan bah-

wa hamiltonan yang dihubungkan dengan superaljabar SUSYQM(2) harus memiliki

swanilai positif atau nol. Oleh karena itu, keadaan tenaga negatif tidak dihubungkan

dengan SUSYQM(2). Jika didefinisikan

Q′D =

0 0 0 0

0 0√D− 0

0 0 0 0

0 0 0 0

dan Q

′†D =

0 0 0 0

0 0 0 0

0√D+ 0 0

0 0 0 0

, (V.29)

67

kemudian diambil

Q′D, Q

′†D

= −H ′

D(kz = 0, ε = −1)

=

0

√D+D−

√D−D+

0

(V.30)

kecuali untuk tanda minus di depan hamiltonan, superaljabar ini mematuhi hubungan

komutasi SUSYQM(2) pada persamaan (II.13)-(II.15). Hubungan superaljabar ini

dan SUSYQM(2) setara dengan hubungan antara aljabar kompak SO(3) dan aljabar

nonkompak SO(2,1).

Kemudian menurut

H ′D(kz = 0) =

Q′D, Q

′D†−Q′D, Q

′†D

, (V.31)

juga diperoleh bahwa

HD(kz = 0) =QD, QD

†− QD, Q†D

, (V.32)

dengan

QD = UQ′DU

−1,

QD = UQ′DU

−1. (V.33)

Dapat dibangun aljabar yang berhubungan dengan spektrum tenaga positif dan

68

negatif dari persamaan (V.26). Sebagai contoh, didefinisikan

X ′D =

0√D− 0

0 0 0

0 0 0

dan X ′D†=

0 0 0

√D+ 0 0

0 0 0

, (V.34)

maka diperoleh

X ′D, X

′D†

= H ′D(kz = 0, τ = +1)

=

√D−D+

−√D+D−

0

0

. (V.35)

Namun, aljabar ini bukan superaljabar karenaX ′D danX ′

D† bersifat komutatif meng-

hasilkanH ′D(kz = 0, τ = +1). Lebih lanjut,X ′

D danX ′D† tidak tetap dalam ger-

aknya.

5. Kesetaraan Supersimetri dengan Persamaan Dirac-Alih Ragam Fol-

dy Wouthuysen

Berikut ini akan diperlihatkan ciri-ciri yang menghubungkan antara prinsip

SUSYQM dan teori Dirac. Penjabaran sistem SUSYQM secara lebih mudahnya dapat

dijelaskan oleh supermuatan ganjilQa(a = 1, 2, ..., N) yang membangkitkanHs. Hs

sendiri dicirikan oleh hubungan yang berbentuk

Qa, Qb

= 2δabHs,

69

[Qa, Hs] = 0, a = 1, 2, ..., N.

Kemudian didefinisikan hamiltonan bak-Dirac(HbD) sebagai jumlahan ba-

gian ganjil dan genap dengan bagian ganjil diberikan oleh supermuatan dikalikan√

2

(untuk memudahkan) dan bagian genap mengandung massa. Hal ini dapat disajikan

sebagai

HbD =√

2Q+ βm.

Karena supermuatan bersifat ganjil, maka

Q, β = 0,

sehingga

(HbD)2 = 2 [Q]2 +m2

= 2Hs +m2. (V.36)

Hasil tersebut berhubungan dengan perubahan wakilan dari teori Dirac melalui alih

ragam Foldy-Wouthuysen yang bersifat uniter, yaitu

HFW = UHbDU−1

= β(2Hs +m2

)1/2, (V.37)

sehingga berlaku kaitan

[HFW ]2 = [HbD]2 .

Alih ragam Foldy-Wouthuysen tersebut diamati dalam bentuk:

U = eiS,

70

S = S†,

S = − i2βQH−1θ,

tan θ =√

2H

m,

[θ, β] = 0,

HbD, S = 0, (V.38)

denganH adalah genap dan didefinisikan sebagai akar positif dariHs. Alih ragam

ini juga dapat ditulis sebagai

U =E +

√2βQ+m

[2E(E +m)]1/2, E ≡

(2Hs +m2

)1/2.

Jadi, alih ragam Foldy-Wouthuysen menghilangkan bagian ganjil dari hamiltonan

Dirac (yang diungkapkan dengan mudah dalam bentuk supermuatan ganjil) dan meng-

hasilkan bagian genap dalam hubungannya dengan hamiltonan supersimetrik non-

relativistik.

71

Gambar V.1: (a) Skema tingkat tenaga elektron relativistik dalam medan magnet sera-gam. Jika kemerosotan kontinu tidak diperhatikan, kedua keadaan tenaga positif dannegatif merosot ganda kecuali untuk keadaan tak merosot yang berada di dekat nilaiE = 0. (b) Setelah dianggap bahwa elektron dengan tenaga negatif sebagai positrondengan tenaga positif, keduanya, elektron dan positron, mempunyai tingkat tena-ga yang sama. Ada lipat-empat (fourfold) kemerosotan yang terjadi, kecuali untukkeadaan dasar yang mengalami kemerosotan ganda.

BAB VI

PENUTUP

1. Kesimpulan

Penelusuran konsep supersimetri dalam mekanika kuantum serta penerapan-

nya dalam masalah radial dan persamaan Dirac derajat pertama memberikan hasil

sebagai berikut :

1. Supersimetri adalah kesetangkupan yang melestarikan tenaga total dalam sis-

tem gabungan antara osilator bosonik dan fermionik, jika terjadi penurunan

satu bilangan kuantum bosonik dan satu bilangan kuantum fermionik secara

bersamaan. Aljabar supersimetri dalam mekanika kuantum memenuhi per-

samaan

Qi, Qj = δijHs

[Qi, Hs] = 0, i = 1, 2, ..., N.

2. SUSYQM dapat diterapkan pada masalah radial, minimal berdimensi tiga dan

telah dibahas pada masalah Coulomb dan osilator isotropik. Penyelesaiannya

lebih mudah jika menggunakan operator tangga yang disajikan dalam bentuk

Hamiltonannya yaitu

H+ = Hl − E0l H− = Hl+j −G,

dengan

EN−il+j = EN

l + F −G,

72

73

dan

G =(ENl − El + jN − 1

)− E0

l .

3. SUSYQM dapat dihubungkan dengan persamaan Dirac derajat pertama meng-

gunakan alih ragam Foldy Wouthuysen yang kesetaraannya disajikan dalam

bentuk

U =E +

√2βQ+m

[2E(E +m)]1/2, E ≡

(2Hs +m2

)1/2.

2. Saran

Kajian mekanika kuantum supersimetrik ini masih dibatasi pada dua masalah,

yaitu masalah radial dan persamaan Dirac orde pertama. Penerapan SUSYQM dalam

masalah mekanika kuantum lainnya perlu untuk digali dan dicari hubungannya se-

hingga menguatkan teori SUSYQM. Kajian supersimetri di luar fisika kuantum, mi-

salnya pada sistem nonlinier, mekanika klasik, fisika zat padat bahkan pada sistem

ketidakteraturan (chaotic systems), juga memungkinkan untuk mendukung teori su-

persimetri ini.

DAFTAR PUSTAKA

Bagchi, B.K., 2000,Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics, Chapmanand Hall/CRC Press, New York

Beckers, J., and Debergh, N., 1990,Supersymmetry, Foldy-Wouthuysen Transforma-tions, and Relativistic Oscillators, Phys.Rev. D 42, 1255-1259

Blockley, C.A., 1985,Simple Supersymmetry: 1. Basic Examples, European JournalPhysics 6, 218-224

Boas, M.L., 1996,Mathematical Methods in the Physical Sciences, edisi kedua, JohnWiley & Sons, Inc., New York

Constantinescu, F., and Magyari, E., 1978,Problems in Quantum Mechanics, Perga-mon Press

Cooper, F., et. al., 1995,Supersymmetry and Quantum Mechanics, Physics Reports,251, 267-385

Efetov, K., 1978,Supersymmetry in disorder and chaos, Cambridge University Press

Foldy, L.L. and Wouthuysen, S.A., 1949,On the Dirac Theory of Spin 1/2 Particlesand Its Non-Relativistic Limit, Phys.Rev. 78, 29-36

Griffiths, D.J., 1994,Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, Inc., NewJersey

Hughes, R.J., Kostelecky, V.A., and Nieto, M.M., 1986,Supersymmetry in a FirstOrder Dirac Equation For A Landau System, Physics Letters B 171, 226-230

Hughes, R.J., Kostelecky, V.A., and Nieto, M.M., 1986,Supersymmetric QuantumMechanics in a First Order Dirac Equation, Phys.Rev. D 34, 1100-1107

Khare, A., 2004,Supersymmetry in Quantum Mechanics, arXiv:math-ph/0409003 v11 September 2004

Mirlin, A., 1999, Statistics of energy levels and eigenfunctions in disordered andchaotic systems: Supersymmetry approach, cond-mat/0006421

Muslim, 1997,Modul Program S1 Fisika: Pendahuluan Fisika Kuantum, JurusanFisika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta

Rosyid, M.F., 2002,Diktat Mata Kuliah Matematika Untuk Fisika Teori I, FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada,Yogyakarta

74

75

Rosyid, M.F., 2005,Mekanika Kuantum, Laboratorium Fisika Atom dan Fisika Inti,Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta

Ryder, L.H., 1996,Quantum Field Theory, edisi kedua, Cambridge University Press,Cambridge

Sutopo, 2003,Pengantar Fisika Kuantum, Jurusan Fisika FMIPA UM, Malang

Wess, J., and Zumino, B., 1974,A Lagrangian Model Invariant Under SupergaugeTransformations, Phys. Lett. B 49 (1974) 52

LAMPIRAN A

PEMBUKTIAN PERSAMAAN (II.13) - (II.15)

Berikut ini akan dijelaskan produk tensor antara dua operator.

AndaikanΩ1 dan Ω2 berturut-turut merupakan operator pada ruangH1 dan

H2. Produk tensor antaraΩ1 danΩ2 adalah objekΩ1 ⊗ Ω2 yang berkelakuan

(Ω1 ⊗ Ω2)(ψ ⊗ ϕ) = (Ω1ψ)⊗ (Ω2ϕ),

untuk setiapψ⊗ϕ ∈ H1⊗H2. KarenaΩ1ψ berada diH1 danΩ2ϕ berada diH2, maka

dengan sendirinya(Ω1 ⊗ Ω2)(ψ ⊗ ϕ) berada diH1 ⊗H2. Jadi,Ω1 ⊗ Ω2 merupakan

operator padaH1 ⊗H2.

Karena(Ω1 ⊗ I2)(ψ ⊗ ϕ) = (Ω1ψ) ⊗ ϕ, maka operatorΩ1 dapat diwakili

dalam ruangH1⊗H2 oleh operatorΩ1⊗ I2, denganI2 adalah operator identitas pada

H2, sedangkan operatorΩ2 dapat diwakili oleh operatorI1 ⊗ Ω2, denganI1 adalah

operator identitas padaH1.

Selanjutnya sifat dari produk tensor tersebut akan diterapkan pada persamaan

(II.12) dengana dana† adalah operator pada ruangH1, b danb† adalah operator pada

ruangH2 sertaQ danQ† adalah operator pada ruangH1 ⊗H2.

Antikomutator antaraQ danQ† berupa

Q,Q† = QQ† +Q†Q

= (√ωb⊗ a†)(

√ωb† ⊗ a) + (

√ωb† ⊗ a)(

√ωb⊗ a†)

= ω(b⊗ a†)(b† ⊗ a) + ω(b† ⊗ a)(b⊗ a†)

= ω[(bb† ⊗ a † a) + (b†b⊗ aa†)

]= ω

[(1 + b†b

)⊗ a † a+ b†b⊗ (1− a†a)

]

76

77

= ω[a † ab†b⊗ a † a+ b†b− b†b⊗ a†a

]= ω

(b†b+ a†a

)= Hs. (A.1)

Hasil tersebut sesuai dengan persamaan (II.13).

Selanjutnya kaitan komutasi antaraQ danHs berupa

[Q,Hs] = QHs −HsQ

=(√

ωb⊗ a†) (ω(b†b+ a†a

))−(ω(b†b+ a†a

)) (√ωb⊗ a†

)=

(√ωb⊗ a†

) (ω(b†b+ a†a

))−(√

ωb⊗ a†) (ω(b†b+ a†a

))= 0. (A.2)

Hal yang sama untuk komutasi antaraQ† danHs yaitu

[Q†, Hs] = Q†Hs −HsQ†

=(√

ωb† ⊗ a)(ω(b†b+ a†a

))− (ω

(b†b+ a†a

))(√ωb† ⊗ a)

=(√

ωb† ⊗ a)(ω(b†b+ a†a

))−

(√ωb† ⊗ a

) (ω(b†b+ a†a

))= 0. (A.3)

Kedua persamaan di atas sesuai dengan persamaan (II.14).

Sedangkan kaitan antikomutasinya adalah

Q,Q = QQ+QQ,

= ω(bb⊗ a†a†) + ω(bb⊗ a†a†),

dari persamaan (II.6) diperoleh kaitana†a† = −a†a†, sehingga

= ω(bb⊗ a†a†) + ω(bb⊗ (−a†a†)),

78

= ω(bb⊗ a†a†)− ω(bb⊗ a†a†),

= 0, (A.4)

dan

Q†, Q† = Q†Q† +Q†Q†,

= ω(b†b† ⊗ aa) + ω(b†b† ⊗ aa),

dari persamaan (II.6) diperoleh kaitanaa = −aa, sehingga

= ω(b†b† ⊗ aa) + ω(b†b† ⊗ (−aa)),

= ω(b†b† ⊗ aa)− ω(b†b† ⊗ aa),

= 0, (A.5)

yang sesuai dengan persamaan (II.15).

LAMPIRAN B

PERSAMAAN SCHRÖDINGER DALAM POTENSIAL

SETANGKUP BOLA

Dalam koordinat Kartesan, persamaan Schrödinger di bawah pengaruh poten-

sialV (r) disajikan dalam bentuk

− ~2

2m∇2Dψ(

→r ) + V (r)ψ(

→r ) = Eψ(

→r ), (B.1)

dengan→r= (x1, x2, ..., xD), r = | →r |

∇2D =

∂

∂xi

∂

∂xi.

Selanjutnya dilakukan alih ragam persamaan (B.1) ke koordinat kutubD di-

mensi, yang dihubungkan oleh koordinat Kartesan berupa

x1 = r cos θ1 sin θ2 sin θ3...... sin θD−1

x2 = r sin θ1 sin θ2 sin θ3...... sin θD−1

x3 = r cos θ2 sin θ3 sin θ4...... sin θD−1

x4 = r cos θ3 sin θ4 sin θ5...... sin θD−1

...

xj = r cos θj−1 sin θj sin θj+1...... sin θD−1

...

xD−1 = r cos θD−1 sin θD−1

xD = r cos θD−1, (B.2)

79

80

dengan

D = 3, 4, 5, · · · ,

0 < r <∞, 0 ≤ θ1 < 2π,

0 ≤ θj ≤ π, j = 2, 3, ..., D − 1.

Laplasian∇2D dapat ditulis sebagai

∇2D =

1

h

D−1∑i=0

∂

∂θi

(h

h2i

∂

∂θi

), (B.3)

dengan

θ0 = r, h =D−1∏i=0

hi,

dan faktor skalahi diberikan oleh

h2i =

D∑k=1

(∂xk∂θi

)2

, i = 0, 1, 2, ..., D − 1.

Jika dijabarkan secara gamblang maka akan menjadi

h20 =

(∂x1

∂θ0

)2

+

(∂x2

∂θ0

)2

+ ...+

(∂xD∂θ0

)2

= 1

h21 =

(∂x1

∂θ1

)2

+

(∂x2

∂θ1

)2

= r2 sin2 θ2 sin2 θ3... sin2 φD−1

h22 =

(∂x1

∂θ2

)2

+

(∂x2

∂θ2

)2

+

(∂x3

∂θ2

)2

= r2 sin2 θ3 sin2 θ4... sin2 φD−1

...

h2j = r2 sin2 θj+1 sin2 θj+2... sin

2 θD−1

...

h2D−1 = r2. (B.4)

81

Kemudianh adalah

h = h0h1...hD−1

= rD−1 sin θ2 sin2 θ3 sin3 θ4... sinD−2 θD−1. (B.5)

Dari persamaan (B.3), suku pertama∇2D adalah

=1

h

∂

∂θ0

h

h20

∂

∂θ0

=1

rD−1 sin θ2 sin2 θ3... sinD−2 θD−1

∂

∂rrD−1 sin θ2... sin

D−2 θD−1∂

∂r

=1

rD−1

∂

∂rrD−1 ∂

∂r. (B.6)

Sedangkan suku terakhir∇2D adalah

=1

h

∂

∂θD−1

h

h2D−1

∂

∂θD−1

=1

rD−1 sin θ2 sin2 θ3... sinD−2 θD−1

∂

∂θD−1

rD−1 sin θ2... sinD−2 θD−1

r2

∂

∂θD−1

=1

r2 sinD−2 θD−1

∂

∂θD−1

sinD−2 θD−1∂

∂θD−1

. (B.7)

Suku∇2D yang lain berbentuk

=1

h

∂

∂θj

h

h2j

∂

∂θj

=1

rD−1 sin θ2... sinj−1 θj sinj θj+1... sin

D−2 θD−1

∂

∂θj

rD−1 sin θ2... sinj−1 θj... sin

D−2 θD−1

r2 sin2 θj+1... sin2 θD−1

∂

∂θj

=1

r2 sin2 θj+1... sin2 θD−1

(1

sinj−1 θj

∂

∂θjsinj−1 θj

∂

∂θj

). (B.8)

Dengan menggunakan persamaan (B.6)-(B.8), diperoleh wakilan persamaan (B.3)

82

yang berupa

∇2D =

1

rD−1

∂

∂rrD−1 ∂

∂r+

1

r2

D−2∑j=1

1

sin2 θj+1... sin2 θD−1(

1

sinj−1 θj

∂

∂θjsinj−1 θj

∂

∂θj

)+

1

r2

(1

sinD−2 θD−1

∂

∂θD−1

sinD−2 θD−1∂

∂θD−1

), (B.9)

sehingga Laplasian∇2D mematuhi hubungan

∇2D =

1

rD−1

∂

∂rrD−1 ∂

∂r−L2D−1

r2, (B.10)

dengan

L2n =

∑i,j

Li,jLi,j,

i = 1, 2, · · · , j − 1, j = 2, · · · , D,

dan bagian momentum sudutLij didefinisikan sebagai tensor setangkup yang berupa

Lij = −Lji = xipj − xjpi,

i = 1, 2, ..., j − 1, j = 2, ..., D.

Untuk membuktikan persamaan (B.10), pertama kali yang perlu diingat adalahpk

dapat diungkapkan sebagai

pk = −i~ ∂

∂xk= −i~

D−1∑r=0

(∂θr∂xk

)∂

∂θr

= −i~D−1∑r=0

(1

h2r

∂xk∂θr

)∂

∂θr, (B.11)

83

dengan menggunakan hubungan

D−1∑l=0

∂xl∂xi

∂xl∂θr

= δirh2i ,

D−1∑l=0

∂θi∂xk

∂xl∂θi

= δkl. (B.12)

Kemudian, hubungan komutasi menjadi (penjelasan lebih lengkap dapat dili-

hat pada LAMPIRAN C)

[Lij, Lkl] = i~δjlLik + i~δikLjl − i~δjkLil − i~δilLjk. (B.13)

Lebih lanjut, jika diatur

L2k =

∑i,j

LijLij,

i = 1, 2, ..., j − 1; j = 2, 3, ..., k + 1.

maka diperoleh (lihat LAMPIRAN C)

L21 = − ∂2

∂θ21

L22 = −

(1

sin θ2

∂

∂θ2

sin θ2∂

∂θ2

− L21

sin2 θ2

)...

L2k = −

(1

sink−1 θk

∂

∂θksink−1 θk

∂

∂θk−

L2k−1

sin2 θk

)...

L2D−1 =

(1

sinD−2 θD−1

∂

∂θD−1

sinD−2 θD−1∂

∂θD−1

−L2D−2

sin2 θD−1

). (B.14)

84

Kemudian dari persamaan (B.9) diperoleh

∇2D =

1

rD−1

∂

∂rrD−1 ∂

∂r−L2D−1

r2. (B.15)

Dari persamaan (B.14) jelas bahwa karenaθ1, θ2, · · · , θD−1 saling bebas, operator

L21, L

22, · · · , L2

D−1 saling rukun (commute). Oleh karena itu, operator-operator tersebut

memiliki swafungsi yang sama, yaituY (θ1, θ2, · · · , θD−1) yang memenuhi persamaan

L2kY (θ1, θ2, · · · , θD−1) = λkY (θ1, θ2, · · · , θD−1), (B.16)

denganλk adalah swanilai dariL2k. Karena fungsi potensial tidak bergantung padat,

Y (θ1, θ2, · · · , θD−1) dapat diungkapkan sebagai

Y (θ1, θ2, · · · , θD−1) =D−1∏k−1

Θk(θk). (B.17)

Kemudian dari persamaaan (B.16) diperoleh

Y

Θ1(θ1)L2

1Θ1(θ1) = λ1Y,

denganL21 hanya bergantung padaθ1. Hal ini juga dapat ditulis

L21Θ1(θ1) = λ1Θ1(θ1).

Hal yang sama juga berlaku untukL22Y = λ2Y sehingga diperoleh

L22Θ1(θ1)Θ2(θ2) = λ2Θ1(θ1)Θ2(θ2),

denganL22 hanya bergantung padaθ1 danθ2.

85

Selanjutnya, dengan menggunakan bentuk eksplisitL22 maka didapatkan

−[

L21

sin2 θ2

− 1

sin θ2

∂

∂θ2

(sin θ2

∂

∂θ2

)]Θ1(θ1)Θ2(θ2) = λ2Θ1(θ1)Θ2(θ2)

atau

Θ2(θ2)

sin2 θ2

L21Θ1(θ1)−

Θ1(θ1)

sin θ2

∂

∂θ2

sin θ2∂

∂θ2

Θ2(θ2) = λ2Θ1(θ1)Θ2(θ2)

atau

Θ2(θ2)

sin2 θ2

λ1Θ1(θ1)−Θ1(θ1)

sin θ2

∂

∂θ2

sin θ2∂

∂θ2

Θ2(θ2) = λ2Θ1(θ1)Θ2(θ2)

atauλ1Θ2(θ2)

sin2 θ2

− ∂2

∂θ22

Θ2(θ2)− cot θ2∂

∂θ2

Θ2(θ2) = λ2Θ2(θ2)

sehingga

−(∂2

∂θ22

+ cot θ2∂

∂θ2

− λ1

sin2 θ2

)Θ2(θ2) = λ2Θ2(θ2). (B.18)

Dianggap

−(∂2

∂θ2k

+ (k − 1) cot θk∂

∂θk− λk−1

sin2 θk

)Θk(θk) = λkΘk(θk). (B.19)

Ditinjau kembali persamaan swanilai

L2k+1Y = λk+1Y,

yang diperluas menjadi

−(

1

sink θk+1

∂

∂θk+1

sink θk+1∂

∂θk+1

− L2k

sin2 θk+1

)Y = λk+1Y,

86

hal tersebut dapat juga dinyatakan sebagai

− Y

Θk+1(θk+1)

1

sink θk+1

∂

∂θk+1

sink θk+1∂

∂θk+1

Θk+1(θk+1) +λkY

sin2 θk+1

= λk+1Y

atau

−(

∂2

∂θ2k+1

+ k cot θk+1∂

∂θk+1

− λksin2 θk+1

)Θk+1(θk+1) = λk+1Θk+1(θk+1).

Penjabaran di atas menunjukkan bahwa jika persaman (B.19) berlaku untukk, maka

persamaan ini juga berlaku untukk + 1. Telah ditunjukkan pula pada persamaan

(B.18) bahwa hal ini digunakan pada kasusk = 2. Oleh karena itu, dengan prinsip

induksi persamaan (B.19) berlaku untuk∀k = 2, 3, · · · , D − 1.

Selanjutnya ditinjau persamaan

L2k(λk−1) = −

(∂2

∂θ2k

+ (k − 1) cot θk∂

∂θk− λk−1

sin2 θk

).

Kemudian diperoleh

L21Θ1(θ1) = λ1Θ1(θ1),

L2k(λk−1)Θk(θk) = λkΘk(θk), k = 2, 3, · · · , D − 1. (B.20)

Swanilaiλk untukk = 2 adalah

λ1 = l21,

λ2 = l2(l2 + 1),

dengan

l2 = 0, 1, 2, · · · ,

87

l1 = −l2,−l2 + 1, · · · , l2 − 1, l2.

Kemudian diperoleh

λk−1 = lk−1(lk−1 + k − 2),

denganlk−1 adalah bilangan bulat. Dengan mengatur

L+k (lk−1) =

∂

∂θk− lk−1 cot θk,

L−k (lk−1) = − ∂

∂θk− (lk−1 + k − 2) cot θk,

maka hal ini mengikuti induksi

λk = lk(lk + k − 1).

Akhirnya, dari persamaan (B.17) dan (B.20)

L2D−1YlD−1,lD−2,...,l2,l1 (θ1, θ2, · · · , θD−1)

= lD−1 (lD−1+D−2)YlD−1,lD−2,...,l2,l1 (θ1, θ2, · · · , θD−1) , (B.21)

denganYlD−1,lD−2,...,l2,l1 adalah bentuk umum harmonik bola dan

lD−1 = 0, 1, 2, · · · ,

lD−2 = 0, 1, 2, · · · , lD−1,

...

l1 = −l2,−l2 + 1, · · · , l2 − 1, l2. (B.22)

88

Dimasukkan ke persamaan (B.1)

ψ(r) = R(r)YlD−1,lD−2,...,l1 (θ1, θ2, · · · , θD−1)

dan menggunakan persamaan (B.15) dan (B.21), diamati bahwa bagian radial dari

persamaan Schrödinger berupa

− ~2

2m

[d2

dr2+D − 1

r

d

dr+l(l +D − 2)

r2

]R(r) + V (r)R(r) = ER(r).

Untuk menghilangkan derivatif pertama, dilakukan substitusi yaitu

R(r) = r(1−N)/2u(r),

sehingga persamaannya menjadi

− ~2

2m

[d2u

dr2+αlr2u(r)

]+ V (r)u(r) = Eu(r),

denganαl = 14(D − 1)(D − 3) + l(l +D − 2).

LAMPIRAN C

PEMBUKTIAN PERSAMAAN (B.13) DAN (B.14)

Ditinjau suatu komponen momentum sudut yang didefinisikan sebagai berikut

Lij = −Lji = xipj − xjpi, i = 1, 2, · · · , j − 1, j = 2, · · · , D. (C.1)

Hal tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk

L2k =

∑i,j

LijLij, i = 1, 2, · · · , j − 1, j = 2, 3, · · · , k + 1.

Dalam lampiran ini, pertama akan dibuktikan kaitan komutasi momentum

sudut yaitu persamaan (B.13)(~ = 1) yang berupa

[Lij, Lkl] = iδjlLik + iδikLjl − iδjkLil − iδilLjk. (C.2)

Ditinjau suatu kaitan komutasi menurut

[xi, pj] = iδij

dan

[xi, xj] = 0 = [pi, pj] ,

sehingga ruas kanan persamaan (C.2) menjadi

= (xjpl − plxj) (xipk − xkpi) + (xipk − pkxi) (xjpl − xlpj)

− (xjpk − pkxj) (xipl − xlpi)− (xipl − plxi) (xjpk − xkpj)

= xjplxipk − plxjxipk − xjplxkpi + plxjxkpi + xipkxjpl

89

90

−pkxixjpl − xipkxlpj + pkxixlpj − xjpkxipl + pkxjxipl

+xjpkxlpi − pkxjxlpi − xiplxjpk + plxixjpk + xiplxkpj − plxixkpj

= xjpl (pkxi + iδik) + xipk (plxj + iδjl)− xjpk (plxi + iδil)

−xipl (pkxj + iδjk)− xjpl (pixk + iδik)− xipk (pjxl + iδjl)

+xjpk (pixl + iδil) + xipl (pjxk + iδjk) + plxk (xjpi − pjxi) + pkxl (xipj − xjpi)

= xjpi (−plxk + pkxl)− xipj (−plxk + pkxl) + (pkxl − plxk)Lij

[menggunakan definisi persamaan (C.1)]

= (xjpi − xipj) (pkxl − plxk) + (pkxl − plxk)Lij

= Lji (xlpk − xkpl) + (xlpk − xkpl)Lij

= LijLkl − LklLij

= [ruas kiri persamaan (C.2)]. (C.3)

Selanjutnya diberikan hubungan menurut

L2i f = L2

12f

= L12L12f

= (x1p2 − x2p1) (x1p2 − x2p1) f

= −(x1

∂

∂x2

− x2∂

∂x1

)(x1

∂

∂x2

− x2∂

∂x1

)f (C.4)

untuk fungsi perubahanf sehingga

(x1

∂

∂x2

− x2∂

∂x1

)f =

D−1∑j=0

1

h2j

(x1∂x2

∂θj− x2

∂x1

∂θj

)∂f

∂θj

=D−1∑j=0

x21

h2j

∂

∂θj

(x2

x1

)∂f

∂θj

91

=D−1∑j=0

x21

h2j

∂

∂θj(tan θ1)

∂f

∂θj

=x2

1

h21

sec2 θ1∂f

∂θ1

=r2 cos2 θ1 sin2 θ2 · · · sin2 θD−1

r2 sin2 θ2 · · · sin2 θD−1

sec2 θ1∂f

∂θ1

=∂f

∂θ1

. (C.5)

Kemudian

L21 = − ∂2

∂θ21

dan

L22 =

∑j=2,3

j−1∑i=1

LijLij = L21 + L13L13 + L23L23, (C.6)

dengan

L213f = (x1p3 − x3p1)

2 f = −(x1

∂

∂x3

− x3∂

∂x1

)2

f, (C.7)

L223f = (x2p3 − x3p2)

2 f = −(x2

∂

∂x3

− x3∂

∂x2

)2

f. (C.8)

Ditinjau

(x2

∂

∂x3

− x3∂

∂x2

)f =

D−1∑j=0

1

h2j

(x2∂x3

∂θj− x3

∂x2

∂θj

)∂f

∂θj

=D−1∑j=0

1

h2j

x22

∂

∂θj

(x3

x2

)∂f

∂θj

=D−1∑j=0

x22

h2j

∂

∂θj(cot θ2 csc θ1)

∂f

∂θj

=x2

2

h21

∂

∂θ1

(cot θ2 csc θ1)∂f

∂θ1

+x2

2

h22

∂

∂θ2

(cot θ2 csc θ1)∂f

∂θ2

= −r2 sin2 θ1 sin2 θ2 · · · sin2 θD−1

r2 sin2 θ2 · · · sin2 θD−1

cot θ2 csc θ1 cot θ1∂f

∂θ1

92

−r2 sin2 θ1 · · · sin2 θD−1

r2 sin2 θ3 · · · sin2 θD−1

× csc2 θ2 csc θ1∂f

∂θ2

= − cos θ1 cot θ2∂f

∂θ1

− sin θ1∂f

∂θ2

. (C.9)

Lalu

(x2

∂

∂x3

− x3∂

∂x2

)2

f =

(cos θ1 cot θ2

∂

∂θ1

+ sin θ1∂

∂θ2

)(

cos θ1 cot θ2∂f

∂θ1

+ sin θ1∂f

∂θ2

)= − sin θ1 cos θ1 cot2 θ2

∂f

∂θ1

+ cos2 θ1 cot2 θ2∂2f

∂θ21

+ cos2 θ1 cot θ2∂f

∂θ2

+ sin θ1 cos θ1 cot θ2∂2f

∂θ1∂θ2

− sin θ1 cos θ1 csc2 θ2∂f

∂θ1

+ sin θ1 cos θ1 cot θ2∂2f

∂θ1∂θ2

+ sin2 θ1∂2f

∂θ22

. (C.10)

Selanjutnya

(x1p3 − x3p1) =D−1∑j=0

x21

h2j

∂

∂θj

(x3

x1

)∂f

∂θj

=x2

1

h21

∂f

∂θ1

cot θ2 sec θ1 tan θ1 +x2

1

h22

∂f

∂θ2

(− csc2 θ2

)sec θ1

=r2 cos2 θ1 sin2 θ2 · · · sin2 θD−1

r2 sin2 θ2 · · · sin2 θD−1

cot θ2 sec θ1 tan θ1∂f

∂θ1

−r2 cos2 θ1 sin2 θ2 sin2 θ3 · · · sin2 θD−1

r2 sin2 θ3 · · · sin2 θD−1

csc2 θ2 sec θ1∂f

∂θ2

= sin θ1 cot θ2∂f

∂θ1

− cos θ1∂f

∂θ2

(x1p3 − x3p1)2 f =

(sin θ1 cot θ2

∂

∂θ1

− cos θ1∂

∂θ2

)(

sin θ1 cot θ2∂

∂θ1

− cos θ1∂

∂θ2

)f

93

= sin θ1 cos θ1 cot2 θ2∂f

∂θ1

+ sin2 θ1 cot2 θ2∂2f

∂θ21

+ sin θ1 cos θ1 csc2 θ2∂f

∂θ1

− cos θ1 sin θ1 cot θ2∂2f

∂θ1∂θ2

+ sin2 θ1 cot θ2∂f

∂θ2

− sin θ1 cos θ1 cot θ2∂2f

∂θ1∂θ2

+ cos2 θ1∂2f

∂θ22

. (C.11)

Dengan menambahkan persamaan (C.10) dan (C.11) maka diperoleh

L213f + L2

23f = −(

cot2 θ2∂2f

∂θ21

+ cot θ2∂f

∂θ2

+∂2f

∂θ22

),

dan digunakan juga persamaan (C.7) dan (C.8). Kemudian dari persamaan (C.6) di-

hasilkan

L22f = −

(∂2f

∂θ21

+ cot2 θ2∂2f

∂θ21

+ cot θ2∂f

∂θ2

+∂2f

∂θ22

)= −

(csc2 θ2

∂2f

∂θ21

+ cot θ2∂f

∂θ2

+∂2f

∂θ22

)= −

[1

sin2 θ2

∂2f

∂θ21

+1

sin θ2

(cos θ2

∂f

∂θ2

+ sin θ2∂2f

∂θ22

)]= −

[1

sin2 θ2

∂2f

∂θ21

+1

sin θ2

∂

∂θ2

(sin θ2

∂f

∂θ2

)]= −

[− L2

1f

sin2 θ2

+1

sin θ2

∂

∂θ2

(sin θ2

∂f

∂θ2

)]. (C.12)

Secara umum dinyatakan

L2k = −

[1

sink−1 θk

∂

∂θksink−1 θk

∂

∂θk−

L2k−1

sin2 θk

].