Penyelesaian Masalah Integer Programming dengan Metode ... · kendaraan dan perancangan sistem...

PENYELESAIAN MASALAH INTEGER PROGRAMMING DENGAN METODE RELAKSASI LAGRANGE

YUSEP MAULANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2009

ABSTRACT YUSEP MAULANA. The Lagrangian Relaxation Method for Solving Integer Programming Problem. Supervised by FARIDA HANUM and PRAPTO TRI SUPRIYO. Integer programming problem (IP) can be finalized with Lagrangian relaxation method. The idea of Lagrangian relaxation problem came from penalty method which is applied to look for solution of approximation from constrained programming problem. The formulation of Lagrangian relaxation related with Lagrangian multiplier. The Lagrangian multiplier from Lagrangian relaxation problem can be obtained by applying subgradient method or branch and bound method. In this paper, the value of Lagrangian multiplier from Lagrangian relaxation problem applies subgradient method. This paper also compares the solution between solving IP with Lagrangian relaxation and solving IP with linear programming relaxation. This paper utilized LINDO 6.1 software for obtaining the solution of linear programming relaxation problem and Lagrangian relaxation problem.

ABSTRAK

YUSEP MAULANA. Penyelesaian Masalah Integer Programming dengan Metode Relaksasi Lagrange. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan PRAPTO TRI SUPRIYO. Masalah integer programming (IP) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode relaksasi Lagrange. Ide dari permasalahan relaksasi Lagrange berawal dari metode penalti yang merupakan suatu metode yang digunakan untuk mencari solusi hampiran dari masalah pemrograman berkendala. Dalam formulasi masalah relaksasi Lagrange terkait dengan pengali Lagrange. Nilai pengali Lagrange pada masalah relaksasi Lagrange dapat ditentukan dengan menggunakan metode subgradien atau metode branch and bound. Pada karya ilmiah ini, nilai pengali Lagrange diperoleh dengan menggunakan metode subgradien. Pada karya ilmiah ini juga dilakukan pembandingan antara penyelesaian IP dengan relaksasi Lagrange dan penyelesaian IP dengan pemrograman linear relaksasi. Dalam karya ilmiah ini digunakan software LINDO 6.1 untuk memperoleh solusi dari masalah pemrograman linear relaksasi dan masalah relaksasi Lagrange. �

PENYELESAIAN MASALAH INTEGER PROGRAMMING DENGAN METODE RELAKSASI LAGRANGE

YUSEP MAULANA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPERTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2009

Judul Skripsi : Penyelesaian Masalah Integer Programming dengan Metode Relaksasi Lagrange Nama : Yusep Maulana NIM : G54052834

Disetujui

Pembimbing I Pembimbing II Dra. Farida Hanum, M.Si. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. NIP. 19651019 199103 2 002 NIP. 19630715 199002 1 002

Diketahui

Dr. Drh. Hasim, DEA NIP 19610328 198601 1 002

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Tanggal Lulus:

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul dari karya ilmiah ini adalah Penyelesaian Masalah Integer Programming dengan Metode Relaksasi Lagrange. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing I atas segala kesabaran dalam

membimbing, ilmu dan nasihat selama bimbingan menjadi semangat bagi penulis; 2. bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen pembimbing II atas segala kesabaran

dalam membimbing, ilmu dan nasihat selama bimbingan menjadi semangat bagi penulis; 3. bapak Donny Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math. selaku dosen penguji atas segala waktu

luangnya, ilmu, saran dan nasihatnya; 4. semua dosen Departemen Matematika yang telah memberi ilmu pengetahuan bagi penulis; 5. keluagaku tersayang: ibu dan bapak kandungku (Uat Rasmanawati dan Mulyana) yang telah

memberi kasih sayang, doa, pendidikan, dan kerja kerasnya untuk menyekolahkan putramu ini. Tak lupa adikku Yudi Lesmana terima kasih atas doa dan nasihatnya;

6. nenekku Ratmini dan saudara-saudaraku Nia Damayanti, Yati Nurhayati, Adang Sugandi, Diding Supriatna, Endang, Herman, Yuli Yanti, Karin M, M Idzhar, Ridwan A, Cica K, Oce, Toto, Hindun, Jenab atas semua doa, perhatiannya, dan nasihat yang telah diberikan;

7. staf tata usaha Departemen Matematika, ibu Ade, bapak Yono, bapak Bono, bapak Heri, dan bapak Deni terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika;

8. ibu Susi terima kasih atas doa, dukungan, dan nasihatnya; 9. teman-teman satu bimbingan: Dwi Putri E, Bima Saputra, Rian Wahyu Utami, Makinun

Amin, dan Nurwahyuni, terima kasih atas doa, bantuan, dukungan semangat, dan nasihatnya; 10. Deden Ridwan atas doa, bantuan, dukungan semangat, dan nasihatnya; 11. Iwan Hermawan atas doa, bantuan, dan nasihatnya; 12. Muhammad Ilyas dan Verawati atas doa, bantuan, dan kesabarannya yang telah memberikan

waktu luang kepada penulis untuk belajar bersama. 13. Eko Budi atas doa, nasihat, dan kesabarannya dalam mengatur mahasiswa Matematika

angkatan 42; 14. teman-teman mahasiswa matematika angkatan 42: Dian Lestari, Dwi Lara Nolavia, Hesti

Lestari, Haryo G, Novita H, Titi N, Putranto H, Febrianti R, Ridwan Idham, Ritawati, Octavina, Gita A, Nyoman R, Megawati, Mirani, Suwarno, Hapsari, Ratna Galuh, Rafidha, Nur Dwi Privita, Hikmah R, Luri W, Ricken R, M Fachri, Ardy Kresna, Agnes, Dendy S, Handanu, Dendy, R Fitri, Arif I, M Sapto, Dewi, Rohmatul F, dan lainnya atas segala doa dan nasihatnya;

15. kakak kelas dan adik kelas mahasiswa Matematika atas doa dan dukungannya; 16. teman-teman kos “Pondok Sahabat”: Janji, Apid, Nasrul, Dolly, Rajib, Fahmi, Alfa, Iwan,

Ade, Eldy, Joger, Daud, Ardy, Bambang, Trisna dan lainnya atas doa dan kesetiakawanannya selama tinggal di kosan “Pondok Sahabat”.

Penulis menyadari tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, September 2009

Yusep Maulana

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Purwakarta pada tanggal 23 Maret 1987 dari bapak Mulyana dan ibu Uat Rasmanawati. Penulis merupakan putra pertama dari dua bersaudara. Tahun 2005 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Purwakarta dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis sering mengikuti beberapa kegiatan kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB pada rentang waktu 2006-2008.

�

�

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ................................................................................................................... viii

DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................. viii

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................... viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ......................................................................................................... 1 1.2 Tujuan ....................................................................................................................... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Linear ................................................................................................ 1 2.2 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf ........................................................................ 3 2.3 Dualitas Pemrograman Linear .................................................................................. 7 2.4 Integer Programming ............................................................................................... 7 2.5 Pemrograman Linear Relaksasi ................................................................................. 7 2.6 Metode Penalti .......................................................................................................... 8 2.7 Metode Gradien ........................................................................................................ 8 2.8 Subgradien dan Subdiferensial ................................................................................. 9 III RELAKSASI LAGRANGE 3.1 Metode subgradien ................................................................................................... 13 3.2 Perbandingan Masalah Relaksasi Lagrange dengan Pemrograman Linear Relaksasi Berdasarkan Nilai Batasnya .......................................................... 16 3.3 Perbaikan Relaksasi .................................................................................................. 17 IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan .................................................................................................................. 18 4.2 Saran ........................................................................................................................ 18

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................ 19

LAMPIRAN ........................................................................................................................... 20

�

�

viii��

DAFTAR TABEL Halaman

1 Hubungan antara variabel keputusan dan kendala pada masalah primal dan masalah dual ............................................................................................................ 7

2 Solusi Lagrange yang mungkin dan nilai variabel dualnya ............................................ 12 3 Fungsi linear dari � ........................................................................................................ 13 4 Metode subgradien dengan nilai�� untuk semua � ................................................ 14 5 Metode subgradien dengan nilai�� .................................................. 14

6 Metode subgradien dengan nilai �� ........................................ 15 7 Aplikasi metode subgradien untuk perbaikan relaksasi ................................................ 17

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks ........................................... 3 2 Ilustrasi fungsi konveks ................................................................................................. 3 3 Ilustrasi fungsi konkaf ................................................................................................... 4 4 Ilustrasi fungsi konkaf pada Teorema 4 ......................................................................... 5 5 Fungsi linear sesepenggal .............................................................................................. 6 6 Fungsi konkaf linear sesepenggal .................................................................................. 6 7 Fungsi konveks linear sesepenggal ................................................................................ 6 8 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP (2.8) .............................................................. 8 9 Ilustrasi subgradien pada fungsi konkaf ........................................................................ 9 10 Fungsi linear sesepenggal pada Contoh 15 .................................................................... 10 11 Fungsi konveks linear sesepenggal �� ..................................................................... 13 12 Ilustrasi hasil iterasi pada metode�subgradien dengan �� , �� ................................. 14 13 Ilustrasi hasil iterasi pada metode subgradien dengan �� setengah

dari nilai sebelumnya ..................................................................................................... 15 14 Ilustrasi hasil iterasi pada metode subgradien dengan �� sepertiga

dari nilai sebelumnya ..................................................................................................... 15

DAFTAR LAMPIRAN Halaman

1 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan PL-Relaksasi Masalah IP (2.8) Beserta Hasil yang Diperoleh ............................................................. 21

2 Syntax Program Lindo 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah Relaksasi Lagrange pada Tabel 2 Beserta Hasil yang Diperoleh ................................................................... 21

3 Penjelasan Fungsi Objektif Masalah Relaksasi Lagrange dari Masalah IP (3.1) ........... 25 4 Rincian Nilai-Nilai �� dengan Variasi Nilai �� .............................................................. 26 5 Syntax Program Lindo 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah Relaksasi Lagrange

dari Masalah IP (3.1) pada Tabel 5 & 6 ......................................................................... 29 6 Kekonvergenan Barisan dan Deret dari Nilai-Nilai �� dan �� ....................................... 32 7 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah PL-Relaksasi dan

Masalah Dual Beserta Hasil yang Diperoleh ................................................................. 33 8 Penyelesaian Masalah Relaksasi Lagrange (3.6) dengan Menggunakan

Persamaan (3.3) dan �� .......................................................................................... 34 9 Penyelesaian Masalah Relaksasi Lagrange (3.6) dengan Menggunakan

Persamaan (3.3) dan �� .......................................................................................... 37 10 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah Relaksasi Lagrange

(3.6) Beserta Hasil yang Diperoleh ................................................................................ 39

�

�

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Salah satu observasi yang berguna dalam bidang komputasi di tahun 1970 adalah observasi terhadap permasalahan relaksasi Lagrange. Josep Louis Lagrange merupakan tokoh ahli ilmu sains dan astronomi dari Italia yang menemukan masalah relaksasi Lagrange. Josep Louis Lagrange lahir pada tahun 1736 di kota Turin, Italia. Kontribusi yang telah diberikan oleh Josep Louis Lagrange pada bidang ilmu matematik, di antaranya analisis teori bilangan dan mekanika celestial. Relaksasi Lagrange merupakan suatu metode yang banyak digunakan dalam aplikasi pemrograman matematik. Fisher (2004) mengemukakan, bahwa pada tahun 1955 metode Lagrange digunakan pada permasalahan optimisasi diskret yaitu capital budgeting oleh Lorie Savage. Pendekatan relaksasi Lagrange oleh Held dan Karp di tahun 1970 berlandaskan pada masalah minimum spanning tree untuk menyelesaikan kasus traveling salesman problem. Selain itu, Fisher dan Shapiro di tahun 1973 menyelesaikan permasalahan penjadwalan dan masalah integer programming (IP) dengan metode relaksasi Lagrange. Sejak itu, daftar pengaplikasian relaksasi Lagrange terus

berkembang, di antaranya masalah penentuan lokasi, penugasan, pemartisian, knapsack, pendistribusian produk dalam skala besar, rute kendaraan dan perancangan sistem perakitan (lihat Fisher 2004). Pada karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian integer programming dengan metode relaksasi Lagrange, dengan rujukan utama adalah Fisher ML (1985). Ada beberapa metode yang telah dikembangkan untuk mencari solusi pengali Lagrange dari permasalahan relaksasi Lagrange pada model integer programming, di antaranya metode subgradien dan metode branch and bound (Fisher 1985). Pada pembahasan ini, solusi pengali Lagrange dari permasalahan relaksasi Lagrange ditentukan dengan menggunakan pendekatan metode subgradien. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini meliputi: 1. memformulasikan relaksasi Lagrange dari

suatu integer programming (IP); 2. menyelesaikan masalah relaksasi Lagrange

dengan metode subgradien; 3. membandingkan penyelesaian IP dengan

relaksasi Lagrange dan penyelesaian IP dengan pemrograman linear relaksasi.

II LANDASAN TEORI Untuk memahami masalah relaksasi Lagrange dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa pengertian / konsep berikut ini.

2.1 Pemrograman Linear Salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait konsep pemrograman linear di antaranya adalah fungsi linear dan pertidaksamaan linear. Definisi 1 (Fungsi Linear) Misalkan �� menyatakan suatu fungsi dalam variabel-variabel �� . Fungsi �� dikatakan linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta �� , �� .

(Winston 2004)

Sebagai contoh, �� merupakan fungsi linear, sedangkan �� bukan fungsi linear. Jika � fungsi linear dan ! sembarang bilangan, maka

�� ! merupakan persamaan linear. Definisi 2 (Pertidaksamaan Linear) Untuk sembarang fungsi linear �� dan sembarang bilangan !, pertidaksamaan �� " ! dan �� # ! adalah pertidaksamaan linear. (Winston 2004) Pemrograman linear (PL) atau linear programming adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut. a) Tujuan masalah tersebut adalah

memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap

2��

�

�

kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.

c) Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel �$ pembatasan tanda menentukan �$ harus taknegatif ��% # &�� atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign).

(Winston 2004)

Solusi PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3 (Bentuk Standar PL) Pemrograman linear min ' � ()* terhadap +* � , (2.1) * # - dikatakan PL dalam bentuk standar, dengan * dan ( vektor-vektor berukuran �, vektor , berukuran . dan + matriks berukuran . / � yang disebut sebagai matriks kendala, dengan . " �. (Nash & Sofer 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran � adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) � / �. Solusi Pemrograman Linear Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan satu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam pengembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar. Pada masalah PL (2.1), vektor * yang memenuhi kendala +* � , disebut solusi PL (2.1). Misalkan matriks + dapat dinyatakan sebagai + � �0 1�, dengan 0 adalah matriks taksingular berukuran . /. yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan 1 merupakan matriks berukuran . / �� 2 .� yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks 0 disebut matriks basis PL (2.1). Misalkan * dapat dinyatakan sebagai

vektor * � 3*0*14, dengan *0 adalah vektor

basis dan *1 adalah vektor variabel nonbasis, maka +* � , dapat dinyatakan sebagai

+* � �0 1� 3�5674

� 0*0 � 1*1 � ,. (2.2) Karena matriks 0 adalah matriks taksingular, maka�0 memiliki invers, sehingga dari (2.2) *0 dapat dinyatakan sebagai *0 � 028, 2 0281*1. (2.3) Definisi 4 (Solusi Basis) Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi syarat berikut: i. solusi tersebut memenuhi kendala pada

PL; ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang

berpadanan dengan komponen taknol dari solusi tersebut adalah bebas linear.

(Nash & Sofer 1996) Menurut Garfinkel & Nemhauser (1972), solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi *0 � 028,, *1 � -. Definisi 5 (Solusi Basis Fisibel) Vektor * disebut solusi basis fisibel jika * merupakan solusi basis dan * # -. (Nash & Sofer 1996)

Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan pada Contoh 1. Contoh 1 Misalkan diberikan PL (2.4) berikut: min 9 � 2�� 2 � terhadap 2�� : 2� � �� (2.4) �� ; � < �� :� �< # &, maka dari PL (2.4) diperoleh

+ � =2� � �2� � &� & &��&�&��

&&�> dan , � = :��< >.

Misalkan dipilih *0 � �� : �<�? dan *1 � �� ?, maka matriks basisnya adalah

0 � =� & && � && & �>@ Nilai vektor variabel nonbasis ditentukan dengan vektor nol sehingga *1 � �& &�A. Dengan menggunakan matriks basis di atas, maka diperoleh *0 � 0B8, � �: �� <�A (2.5)

3��

�

�

Solusi (2.5) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (2.4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (2.5) yaitu 0, bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (2.5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. PL (2.1) dapat dinyatakan dalam bentuk *0 dan *1 sebagai berikut: min ' � (0)*0 � (1)*1 terhadap 0*0 � 1*1 � , (2.6) * # -, dengan (0 vektor koefisien variabel basis pada fungsi objektif dan (1 vektor koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif. Jika persamaan (2.3) disubstitusikan pada fungsi objektif PL (2.6), maka diperoleh 9 � (0)�0B8, 2 0B81*1� � (1)*1

� (0)0B8, � C(1) 2 (0)0B81D*1.

Hal yang juga penting dalam konsep pemrograman linear adalah daerah fisibel dan solusi optimum yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 6 (Daerah Fisibel) Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.

��(Winston 2004) Definisi 7 (Solusi Optimum) Pada masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Pada masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. (Winston 2004) 2.2 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf Sebelum membahas fungsi konveks dan fungsi konkaf, terlebih dahulu akan dibahas himpunan konveks yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 8 (Himpunan Konveks) Misalkan S menyatakan himpunan titik. Himpunan S adalah himpunan konveks jika segmen garis yang menghubungkan sembarang titik-titik dalam S seluruhnya termuat dalam S, atau dengan perkataan lain

himpunan E F G� dikatakan himpunan konveks jika untuk setiap *8� *H I E berlaku �*8 � �� 2 ��*H I E, dengan � I J&��K@ (Winston 2004) Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks diberikan pada gambar di bawah ini.

Gambar 1 Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks. Pada Gambar 1, lingkaran (i) dan persegi panjang (ii) merupakan himpunan konveks, sedangkan bidang (iii) dan cincin (iv) bukan himpunan konveks. Konsep fungsi konveks dan fungsi konkaf yang digunakan pada karya ilmiah ini meliputi definisi-definisi berikut ini. Definisi 9 (Fungsi Konveks) Misalkan �L E M G, dengan E himpunan konveks yang takkosong di G�. Fungsi � dikatakan konveks di E jika ��*8 � �� 2 ��*H� " ��*8� � �� 2 ��*H� untuk setiap *8� *H I E dan untuk setiap � I J&��K@ (Peressini et al. 1988) Ilustrasi:

Gambar 2 Ilustrasi fungsi konveks. Definisi 10 (Fungsi Konkaf ) Misalkan �L E M G, dengan E himpunan konveks yang takkosong di G�. Fungsi � dikatakan konkaf di E jika

(i) (ii)

(iii) (iv)

�� 2 ��

��

4��

�

�

��*8 � �� 2 ��*H� # ��*8� � �� 2 ��*H� untuk setiap *8� *H I E dan untuk setiap � I J&��K@ (Peressini et al. 1988) Ilustrasi:

Gambar 3 Ilustrasi fungsi konkaf. Berikut ini disampaikan cara memeriksa kekonkafan dan kekonveksan suatu fungsi dengan menggunakan fungsi turunan keduanya. Teorema 1 Jika �� terdiferensialkan dua kali pada N, maka �� fungsi konkaf pada N jika dan hanya jika �OO�� " & untuk setiap � I N. Jika �OO�� P & untuk setiap � I N, maka �� dikatakan fungsi konkaf sempurna (strictly concave). (Peressini et al. 1988) Sebagai catatan, teorema ini juga berlaku untuk fungsi konveks dengan mengganti tanda pertaksamaan ”"” pada fungsi turunan keduanya dengan ”#”, sedangkan untuk konveks sempurna dengan mengganti tanda pertaksamaan ”P” dengan ”Q”. Ilustrasi dari Teorema 1 diberikan pada Contoh 2 & 3 berikut ini. Contoh 2 Misalkan diberikan fungsi �� 2� � �, maka �OO�� 2� P & untuk setiap bilangan real �. Jadi, fungsi ini konkaf sempurna (strictly concave). Contoh 3 Misalkan diberikan fungsi �� , maka �OO�� # & untuk setiap bilangan real �. Jadi, � merupakan fungsi konveks. Berikut ini disampaikan cara memeriksa kekonkafan dan kekonveksan suatu fungsi banyak variabel dengan menggunakan matriks Hesse. Teorema 2 digunakan untuk memeriksa kedefinitan matriks Hesse,

sedangkan Teorema 3 untuk memeriksa kekonkafan atau kekonveksan suatu fungsi. Sebelum membahas Teorema 2 & 3, terlebih dahulu akan disampaikan mengenai matriks simetrik dan minor utama yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 11 (Matriks Simetrik) Suatu matriks + berorde � / � disebut simetrik jika +A � +. (Leon 1998) Keterangan: +A menyatakan transpos dari matriks +. Definisi 12 (Minor Utama) Misalkan + matriks simetrik berukuran � / �. Minor utama (principal minor) ke-k dari +, dilambangkan dengan R�, adalah determinan dari anak matriks + yang diperoleh dengan menghilangkan �� 2 �� baris dan �� 2 �� kolom terakhir dari matriks +. (Peressini et al. 1988) Teorema 2 Misalkan + matriks simetrik berukuran � / � dan misalkan R� adalah minor utama ke- � dari matriks + untuk � " � " �, maka 1. + definit positif jika dan hanya jika R�Q & untuk � � �� @ 2. +�� definit negatif jika dan hanya jika �2��R�Q &��untuk � � �� @ 3. jika RQ &, RQ &��..., R�BQ &, R�� &

maka + semidefinit positif. 4. jika �2��R�Q & untuk � � �� 2 �,

dan R�� & maka +��semidefinit negatif. (Peressini et al. 1988)

Berikut ini diberikan contoh memeriksa kedefinitan matriks Hesse dari fungsi �. Misalkan � adalah fungsi dari � variabel �� (dituliskan dengan ��*� �� ) dan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu, maka gradien fungsi � adalah

S��*� �TUUUUVW��*�W�W��*�W�XW��*�W�� Y

ZZZZ[

dan matriks Hesse dari fungsi � adalah

�� 2 ��

5��

�

�

\]�*� �TUUUV ^_]�*�^à_ ^_]�*�^à^`_ � ^_]�*�^à^`b^_]�*�^`_^àX^_]�*�^`b^à

^_]�*�^`__X^_]�*�^`b^`_

�c�^_]�*�^`_^`bX^_]�*�^`b_ Y

ZZZ[@

Contoh 4 Misalkan diberikan fungsi � yang didefinisikan sebagai berikut: ��*� � 2�� , dengan * � �� I G. Gradien dan matriks Hesse fungsi � adalah S��*� � d2�� 2�� e dan

\] � 32� 2�2� 2�4.

Dengan menggunakan minor utama dari \] yaitu R� 2� P &

��R� f2� 2�2� 2�f � &,

maka �2��R� � Q & dan R� &. Menurut Teorema 2, maka \] semidefinit negatif. Teorema 3 Misalkan ��*� mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu pada suatu himpunan konveks buka g di G� @ Jika 1. matriks Hesse \]�*� dari � adalah

semidefinit negatif pada g, maka ��*� adalah fungsi konkaf pada g,

2. matriks Hesse \]�*� dari � adalah definit negatif pada g, maka ��*� adalah fungsi konkaf sempurna pada g@

(Peressini et al. 1988) Catatan: 1. Definisi Himpunan Buka

Himpunan h F G� dikatakan terbuka di G� jika �* I h, terdapat bilangan i Q & sehingga �j I G� yang memenuhi k* 2 jk P i adalah juga anggota h.

(Bartle 1976) Sebagai catatan:

Di G�, k�� k didefinisikan sebagai l� � � �� . 2. Teorema ini juga berlaku untuk fungsi

konveks dengan mengganti ”negatif” pada kedefinitan matriks \] dengan ”positif”.

Contoh 5 Misalkan diberikan fungsi � yang didefinisikan sebagai berikut ��*� � 2�� , dengan * � �� I G. Dari Contoh 4 diketahui bahwa matriks \] semidefinit negatif, dan menurut Teorema 3 maka � merupakan fungsi konkaf. Berikut ini diberikan hubungan kekonkafan fungsi dan turunannya untuk fungsi satu variabel. Teorema 4 (Hubungan Kekonkafan dan Turunan) Jika � fungsi terdiferensialkan pada selang N, maka � merupakan fungsi konkaf pada N jika dan hanya jika garis singgung grafik fungsi � selalu terletak di bawah atau pada grafik fungsi �, dengan perkataan lain �� " �� O�� 2 ��@ (Peressini et al. 1988) Ilustrasi: Gambar 4 Ilustrasi fungsi konkaf pada Teorema 4. Berikut ini diberikan hubungan antara fungsi linear sesepenggal dengan fungsi konkaf / konveks. Definisi 13 (Fungsi Linear Sesepenggal) Fungsi linear sesepenggal (piecewise linear) merupakan fungsi yang terdiri atas sepenggal-sepenggal fungsi linear. (Wikipedia 2009) Contoh 6 (Fungsi Linear Sesepenggal) Misalkan diberikan fungsi � dengan

�� m :� n �� P �� n�� " � " 2�� : n�� Q @ o Fungsi � merupakan fungsi linear sesepenggal. Grafik fungsi � diberikan pada gambar berikut ini.

p � ��

��

p � �� O�� 2 ��q� r�

� 2 �� 2 ��

6��

�

�

Gambar 5 Fungsi linear sesepenggal. Teorema 5 Misalkan �LG� M G, dengan ��*� �stuvw��xyzv* 2 {v|, maka � adalah fungsi konkaf. Bukti: Misalkan *8� *H I G�, *} � �*8 � �� 2��*H, dan �C*~D � zv�~�*~ 2 {v�~� untuk � � �� , maka ��*}� � zv��*} 2 {v�� zv��*8 � �� 2 ��*H� 2 {v�� Czv��*8 2 {v��D � �� 2 ��Czv��*H 2 {v��D@ Karena ��*� � stu%w��xyzv* 2 {v|, maka zv��*8 2 {v�� # zv��*8 2 {v�� dan zv��*H 2 {v�� # zv��*H 2 {v��, sehingga ��*}� � �Czv��*8 2 {v��D � �� 2 ��zv��*H 2 {v�� # ��Czv��*8 2 {v��D � �� 2 ��zv��*H 2 {v�� *8� � �� 2 ��*H�. Ini berarti� ��*8 � �� 2 ��*H� # ��*8� � �� 2 ��*H�. Jadi, ��*� � stu%w��xyzv* 2 {v| adalah fungsi konkaf. (Nemhauser & Wolsey 1999) Contoh 7 (Fungsi Konkaf Linear Sesepenggal) Misalkan diberikan fungsi � dengan �� min�� 2 ;� � � �&��. Menurut Teorema 5, � merupakan fungsi konkaf. Fungsi � juga merupakan fungsi linear sesepenggal. Jadi � merupakan fungsi konkaf linear sesepenggal dengan

�� n �� P �� n�� " � " 2 ;� � � �& n�� Q @ o

Grafik fungsi � diberikan pada Gambar 6 yang ditandai dengan garis tebal.

Gambar 6 Fungsi konkaf linear sesepenggal. Teorema 6 Misalkan �LG� M G, dengan ��*� �s�6%w��xyzv* 2 {v|, maka � adalah fungsi konveks. (Nemhauser & Wolsey 1999) Pembuktian Teorema 6 serupa dengan Teorema 5 dengan mengganti tanda pertaksamaan. Contoh 8 (Fungsi Konveks Linear Sesepenggal) Misalkan diberikan fungsi � dengan �� maxy��&�� & � �� : � :�� & 2 ��| untuk suatu � # &. Menurut Teorema 6, � merupakan fungsi konveks. Fungsi � juga merupakan fungsi linear sesepenggal. Jadi, � merupakan fungsi konveks linear sesepenggal dengan

�� m�& 2 �� n �& " � P ��& � �� n�� " � " <�&� n�� Q <@ o Grafik fungsi � diberikan pada Gambar 7 yang ditandai dengan garis tebal.

Gambar 7 Fungsi konveks linear sesepenggal.

�2 2 4 6 8

10

20

30

�2 2 4 6 8

�5

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

50

60

70

��

��

�� 2< � � �&��

��

��

�� :��

�� 2�� :�

��

��

�� &��

�� & � �� : � :��

�� & 2 ��

7��

�

�

2.3 Dualitas Pemrograman Linear Menurut Nemhauser & Wolsey (1999), dualitas pemrograman linear berkaitan dengan sepasang masalah PL. Salah satu dari sepasang masalah PL ini disebut masalah primal dan lainnya masalah dual. Masalah dual dan primal berkaitan erat sedemikian sehingga solusi optimum dari salah satu masalah akan secara otomatis menghasilkan solusi optimum bagi masalah lainnya. Masalah dual adalah sebuah masalah PL yang diturunkan dari masalah PL primal dengan mengikuti kaidah-kaidah berikut: 1. untuk setiap kendala pada masalah primal

terdapat suatu variabel masalah dual; 2. untuk setiap variabel masalah primal

terdapat suatu kendala masalah dual; 3. koefisien dari sebuah variabel pada

kendala masalah primal membentuk koefisien yang terdapat pada ruas kiri kendala masalah dual yang bersesuaian dan koefisien fungsi objektif dari variabel terkait menjadi ruas kanan kendala masalah dual.

(Taha 1996) Secara ringkas, hubungan antara variabel keputusan dan kendala pada masalah primal dan masalah dual diberikan dalam tabel berikut. Tabel 1 Hubungan antara variabel keputusan

dan kendala pada masalah primal dan masalah dual

PRIMAL DUAL Minimisasi Maksimisasi

Kendala

# �!% # &

Variabel " �!% " &

� �!% tandanya tidak

dibatasi

Variabel

# & " �% Kendala

" & # �$ tandanya

tidak dibatasi

� �$ Keterangan: �!$ dan �$ menyatakan suatu bilangan� Misalkan suatu masalah PL primal dinyatakan sebagai berikut: min 9 � ()* terhadap +* # , (P) �* # -,

maka dual dari masalah (P) adalah max � � ,)� terhadap +)� " ( (D) � # -, dengan ( dan * vektor-vektor berukuran �� , dan � vektor-vektor berukuran ., dan + matriks berukuran . / �. Contoh dualitas pemrograman linear diberikan sebagai berikut. Contoh 9 (Dualitas Pemrograman Linear) Misalkan diberikan masalah primal sebagai berikut: min 9 � <� � � � �� terhadap �� 2 �� # �� 2 �� " � (2.7) �� :� 2 �� # &, � takterbatas, dan �� " &, maka dual dari masalah (2.7) adalah max � � p � �p � �p� terhadap �p � �p � �p� " < 2p � p � :p� � �p 2 p 2 �p� # � p # &, p " &, p� takterbatas. 2.4 Integer Programming Integer programming (IP) atau pemrograman integer adalah suatu pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Model integer programming biasanya dipilih untuk permasalahan yang variabel-variabelnya tidak dimungkinkan bertipe bilangan tidak bulat, misalnya variabel yang menyatakan banyaknya orang. Solusi integer programming dapat diselesaikan dengan banyak cara, di antaranya dengan menggunakan grafik, metode eliminasi dan substitusi. Salah satu cara yang cukup efektif untuk menyelesaikan integer programming adalah dengan mengaplikasikan algoritme branch and bound. Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming, dan jika hanya sebagian yang harus berupa integer disebut mixed integer programming. Jika IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1, maka disebut 0-1 IP. (Garfinkel & Nemhauser 1972) 2.5 Pemrograman Linear Relaksasi Konsep pemrograman linear relaksasi atau PL-relaksasi diberikan dalam definisi berikut ini.

8��

�

�

Definisi 14 (Pemrograman Linear Relaksasi) Pemrograman linear relaksasi atau sering disebut PL-relaksasi merupakan suatu pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala integer pada setiap variabelnya. Pada masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi objektif PL-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai objektif IP, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif PL-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif IP. (Winston 1995) Contoh 10 (Pemrograman PL-Relaksasi) Misalkan diberikan pemrograman integer sebagai berikut: max 9 � �� :� terhadap �� " < �&� � �� " < (2.8) �� # & �� integer. Jika kendala integer dihilangkan, maka PL-relaksasi dari masalah IP (2.8) yaitu max 9 � �� :� terhadap �� " < �&� � �� " < �� # &. Solusi optimum PL-relaksasi adalah �� @�<, �� @�<, dan 9 � ��@< yang diperoleh dengan menggunakan software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 1). Jadi batas atas nilai objektif IP (2.8) adalah 9 � ��@<. Daerah yang diarsir pada Gambar 8 merupakan daerah fisibel PL-relaksasi masalah IP (2.8).

Gambar 8 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dari IP (2.8). Keterangan: = solusi optimum PL-relaksasi IP (2.8) = titik-titik fisibel bagi IP (2.8)

2.6 Metode Penalti Metode penalti merupakan suatu metode untuk menemukan solusi hampiran dari masalah pemrograman berkendala. Misalkan diberikan masalah minimisasi berkendala pertaksamaan

�q� m �tuts�s��u��*��%�*� " &��u��u�$ � �� .��u�* I ��@ o Solusi masalah �q� dapat dihampiri dari solusi masalah takberkendala �qO� yaitu meminimumkan ��*� untuk * I ��, dengan ��*� diperoleh dari ��*� dan kendala yang ada dengan cara sebagai berikut: 1. ��*� mengandung suku “penalti” yang

akan menaikkan nilai � bila � melanggar kendala �$�*� " &.

2. minimizer dari ��*� (yaitu�*�� ) di dekat daerah kefisibelan dan *�� mendekati minimizer dari masalah �q�. (Peressini et al. 1988)

Fungsi objektif dari �qO� untuk menghampiri masalah �q� adalah

��*� � ��*� � ��%�x%w �*��

dengan �%��*� dinamakan fungsi penalti nilai mutlak dan � disebut parameter penalti, atau

q��*� � ��*� � ��J�%��*�Kx%w �

dengan J�%��*�K dinamakan fungsi penalti Courant-Beltrami asalkan � dan � mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu. 2.7 Metode Gradien Metode gradien merupakan suatu metode untuk menemukan solusi hampiran dari masalah pemrograman takberkendala. Metode gradien ini terdiri dari beberapa metode di antaranya metode steepest descent dan metode conjugate gradient. Pada pembahasan ini, metode gradien yang digunakan adalah metode steepest descent. Konsep dari metode steepest descent diberikan berikut ini. Misalkan ��*� adalah fungsi di G� dengan turunan parsial pertama yang kontinu dan misalkan *�� I G�. Maka barisan steepest descent �*�� dengan titik awal *�� untuk meminimumkan fungsi ��*� didefinisikan sebagai *�� *�� 2 ��S�C*��D, dengan �� adalah � # & yang meminimumkan fungsi �� 3*�� 2 �S�C*��D4. (Peressini et al. 1988)

��

��

9��

�

�

2.8 Subgradien dan Subdiferensial Berikut ini diberikan konsep subgradien dan subdiferensial yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 15 (Subgradien) Misalkan E himpunan konveks yang takkosong di G� dan �LG� M G merupakan fungsi konkaf, maka vektor � I G� disebut subgradien dari � di *� I G� jika untuk semua * I G� �� *� " ��*�� * 2 *��. (Nemhauser & Wolsey 1999) Sebagai catatan, definisi ini juga berlaku untuk fungsi konveks dengan mengganti tanda pertaksamaan ”"” dengan ”#”. Ilustrasi:

Gambar 9 Ilustrasi subgradien pada fungsi konkaf Definisi 16 (Subdiferensial) Subdiferensial dari � di *� adalah himpunan semua subgradien dari � di *� yang dinyatakan dengan W��*��

y�L ��*� " ��*�� * 2 *��* I G�|. Jika W��*�� , maka � disebut tersubdiferensialkan di *�. (Nemhauser & Wolsey 1999) Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi � di G. Contoh 11 Misalkan diberikan fungsi � dengan �� 2� � �. Akan ditentukan subgradien dari fungsi � di titik �� . Untuk setiap � I G: �� 2 �� # & ¡ � 2 �� # & ¡ 2� � �� 2 � " & ¡ 2� � � " � 2 �� ¡ 2� � � " � 2 �� 2 �� ¡ �� " �� 2�� 2 ��. Jadi, ¢ � 2� adalah subgradien dari �� 2� � � di �� . Ini berarti 2� I W��. Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi � di G. Contoh 12 Misalkan diberikan fungsi sebagai berikut: ��*� � 2��

dengan�* � �� I G@ Akan ditentukan subgradien dari � di titik �� 3��4.

Untuk setiap �� I G: 2J 2 �� K " & ¡ 2J 2 �� K " & ¡ 2J2� � 2 �� 2 �� 2 �� 2 �� K " & ¡ � � � �� 2 �� 2 �� 2 �� " & ¡ 2�� " 2� � 2 �� 2 �� 2 �� 2 �� ¡ 2�� " 2�� 2 �� 2 �� 2 �� 2 �� ¡ 2�� " 2�� 32�2�4A d� 2 �� 2 �e.

Jadi, � � �2��2��A adalah subgradien dari ��*� � 2�� di �� 3��4. Ini berarti

�2��2��A I W� £3��4¤. Berikut ini diberikan cara lain untuk menentukan subgradien dari fungsi konveks atau konkaf yang terturunkan. Teorema 7 Jika �LG� �M �G adalah fungsi konkaf dan terturunkan di *�, maka W��*�� S��*�� adalah gradien yang merupakan satu-satunya

subgradien. Sebaliknya, jika � adalah fungsi konkaf dan W��*�� y�|, maka � terturunkan di *� dan � � S��*��@ (Boyd & Vandenberghe 2007)

Sebagai catatan, teorema tersebut juga berlaku untuk � fungsi konveks.

¢�� 2 ��¢��

��

10��

�

�

Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi � di G dengan � fungsi terturunkan. Contoh 13 Misalkan diberikan fungsi � dengan �� 2� � � seperti pada Contoh 11. Dari Contoh 2 telah ditunjukkan bahwa � adalah fungsi konkaf. Karena �O�� 2�� selalu ada untuk setiap � I G, maka � terturunkan di setiap � I G. Menurut Teorema 7, ¢ ��O�� 2� adalah subgradien dari � di �� , dan merupakan satu-satunya subgradien dari � di �� . Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi � di G� dengan � fungsi yang terturunkan. Contoh 14 Misalkan diberikan fungsi sebagai berikut: ��*� � 2��

dengan�* � �� I G�seperti pada Contoh 12. Dari Contoh 5 telah ditunjukkan bahwa � adalah fungsi konkaf. Karena S��*� � d2�� 2�� e

selalu ada untuk setiap �� I G, maka � terturunkan di setiap �� I G. Menurut Teorema 7,

� � S� ¥3��4¦ � d2�� 2�� e � 32�2�4

adalah satu-satunya subgradien dari � di �� 3��4.

Pada bagian ini akan dibahas subgradien untuk salah satu jenis fungsi linear sesepenggal. Teorema 8 Jika diberikan fungsi �LG� M G dengan ��*� � stu%w��xyzv�* 2 {v| dan N�*�� y$L ��*�� zv*� 2 {v|, maka zv adalah subgradien dari � di *�, �$ I N�*��@ Bukti: Jika $ I N�*��, maka ��*�� zv*� 2 {v. Akan ditunjukkan ��*�� zv�* 2 *�� # ��*� untuk $ I N�*��. ��*�� zv�* 2 *�� zv*� 2 {v� � zv* 2 zv*� � zv* 2 {v # ��*� C��u��*��§��stu%w��xyzv�* 2 {v|D. Jadi �� zv�* 2 *�� # ��*�, �* I G�. Ini berarti zv I G� merupakan subgradien dari � di *�, �$ I N�*��. Karena zv I G�

merupakan subgradien dari � di *�, maka zv I W��*��. (Nemhauser & Wolsey 1999) Sebagai catatan, teorema ini juga berlaku untuk kasus ��*� � s�6%w��xyzv�* 2 {v�|, dan bukti pernyataan tersebut dilakukan dengan cara serupa dengan mengganti tanda pertaksamaan ”#” dengan ”"”. Berikut ini diberikan contoh subgradien dari fungsi linear sesepenggal. Contoh 15 Misalkan diberikan fungsi � dengan �� min�� 2 ;� � � �&��. Akan ditentukan subgradien dan subdiferensial dari fungsi � di titik �� , �� , dan �� :. Grafik fungsi � diberikan pada Gambar 10 yang ditandai dengan garis tebal.

Gambar 10 Fungsi linear sesepenggal pada Contoh 15. Pada fungsi � ini, ¨ � , ! � &, ¨ � �, ! � �, dan ¨� � 2 ;�, !� � �&. Jika �� , maka N�� N�� y��|. Menurut Teorema 8, ¨ � dan ¨ � � adalah subgradien dari � di �� sehingga subdiferensial dari � di �� adalah W�� y ��|. Jika�� , maka N�� N� � � y�� |. Menurut Teorema 8, ¨ � � dan ¨� � 2 ;� adalah subgradien dari � di �� sehingga subdiferensial dari � di �� adalah W�� 2 ;��. Jika�� :, maka N�� N�:� � y |. Menurut Teorema 8, ¨� � 2 ;� adalah subgradien dari � di �� : sehingga subdiferensial dari � di �� : adalah W��:� � �2 ;��. Perhatikan bahwa 2 ;� adalah satu-satunya subgradien dari � di �� :.

�2 2 4 6 8

�5

5

10

15

20

��

��

�� 2< � � �&��

��

�

�

III RELAKSASI LAGRANGE

Relaksasi Lagrange merupakan salah satu metode yang terus dikembangkan dalam aplikasi pemrograman matematik. Sebagian besar konsep teoretis dari banyak aplikasi menggunakan metode ini, salah satunya adalah integer programming dengan melibatkan kendala yang ada. Ide dari permasalahan relaksasi Lagrange berawal dari metode penalti. Metode penalti ini merupakan suatu metode yang digunakan untuk mencari solusi hampiran dari masalah pemrograman berkendala. Pada permasalahan relaksasi Lagrange, kendala yang direlaksasi digantikan dengan suku penalti pada fungsi objektifnya dengan melibatkan kendala yang direlaksasi dan variabel masalah dual. Berikut ini akan disampaikan rumusan secara umum konsep dari relaksasi Lagrange, kemudian aplikasinya pada suatu contoh kuantitatif (numerik) masalah integer programming. Misalkan diberikan masalah maksimisasi integer programming sebagai berikut: max � � (* (P) terhadap +* " , ©* " ª * # - dan integer, dengan * adalah vektor berukuran �� / �, , adalah vektor berukuran �. / �, ª adalah vektor berukuran « / �, + merupakan matriks berukuran . / �, dan © merupakan matriks berukuran « / �. Matriks + dan matriks © merupakan matriks kendala, dengan . " � dan �« " �@ Untuk memformulasikan masalah relaksasi Lagrange, misalkan kendala yang akan direlaksasi (dilonggarkan) adalah +* " ,, dan didefinisikan ¬ sebagai pengali Lagrange yang merupakan vektor taknegatif berukuran . / �. Dengan memasukkan ¬�, 2 +*� ke dalam fungsi objektif (P) dan kendala +* " , dihilangkan, maka diperoleh permasalahan relaksasi Lagrange dari masalah (P) yaitu: ��max��¬� � (* � ¬�, 2 +*��®��terhadap� �©* " ª��* # -��dan integer, dengan ¬ # -. Karena +* " , dan ¬ # -, maka ¬�, 2 +*� # -, sehingga jika kendala +* " , dilanggar (berarti +* Q ,) maka

¬�, 2 +*� " - yang akan mengurangi nilai �. Suku ¬�, 2 +*� merupakan suku penalti. Selain itu, karena ¬�, 2 +*� # - maka solusi optimum dari masalah ini untuk suatu nilai ¬ # -, misalkan *�, merupakan batas atas dari � atau ��¬� # (*� � ¬�, 2 +*�� # � (Fisher 1985). Dengan demikian, ��¬� merupakan batas atas dari �. Ada beberapa metode yang telah dikembangkan untuk mencari solusi pengali Lagrange dari permasalahan relaksasi Lagrange pada model integer programming, di antaranya metode subgradien dan metode branch and bound (Fisher 1985). Masalah relaksasi Lagrange memiliki keterkaitan dengan variabel masalah dual. Jika kendala +* " , pada masalah (P) direlaksasi, maka terdapat suatu variabel dual ¬ yang berpadanan dengan kendala tersebut. Karena ¬�, 2 +*� # -, maka nilai ¬ yang baik untuk menentukan solusi optimum dari (P) adalah ¬ yang meminimumkan ��¬�. Jadi, ¬ merupakan solusi dari masalah �� min ��¬� terhadap ¬ # -. Berikut ini diberikan contoh numerik untuk memahami konsep relaksasi Lagrange. Contoh 16 Misalkan diberikan permasalahan IP sebagai berikut: max �� &� � :�� (1) terhadap �� :�� " �& (2) �� " � (3) �� " � (4) (3.1) & " �̄ " �� : (5) �̄ integer,�� : (6) Jika kendala (2) direlaksasi, maka formulasi masalah relaksasi Lagrangenya menjadi max �� &� � :�� C�& 2 �� :��D � �� 2 �� & 2 �� & 2 �� : 2 :�� &� terhadap � � � " � (3)

�� " � (4)

12��

�

�

& " �̄ " �, � � �� : (5) �̄ integer, � � �� : (6) dengan � # &. Sebelum menyelesaikan masalah IP (3.1) dengan menggunakan relaksasi Lagrange, maka berikut ini diberikan ilustrasi beberapa nilai pengali Lagrange yang meminimumkan fungsi objektif �� yang diperoleh dari hasil coba-coba, dengan solusi optimum �̄ pada Tabel 2 diperoleh dengan menggunakan software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 2). Tabel 2 Solusi Lagrange yang mungkin dan nilai variabel dualnya

Solusi Lagrange LRu Nilai fungsi objektif

solusi fisibel masalah (P)

(=Z)

u � � �� 0 1 0 0 1 20 6 0 0 0 0 60 0 5 0 0 0 0 50 0 0 1 0 0 50 10

8 0 0 0 0 80 0 3 0 1 0 0 34 10 2 0 1 0 0 26 10 1 0 1 0 0 18 10 1 0 0 0 18 16 1 0 0 1 18 0 1 0 1 18 14

½ 1 0 0 1 19 ¾ 1 0 0 1 18.5

Nilai � pada Tabel 2 diperoleh dari hasil substitusi nilai �̄ pada fungsi objektif � (persamaan (1)). Jika � � &, diperoleh solusi optimum yaitu � � �� &, dengan nilai fungsi objektif ��&� � �&. Solusi � � �� & bukan merupakan solusi fisibel dari masalah IP (3.1), karena nilai-nilai �̄ tersebut tidak memenuhi kendala IP (3.1)

yaitu kendala (2). Begitupun untuk � � , dan � � ��, solusi relaksasi Lagrange bukan solusi fisibel untuk IP (3.1). Jika � � �, diperoleh solusi optimum relaksasi Lagrange yaitu � � �� &, dengan nilai fungsi objektif �� &, dan nilai fungsi objektif solusi fisibel � � &. Hal yang sama jika � � �, diperoleh solusi optimum relaksasi Lagrange yaitu � � �� &. Dengan demikian, dipilih � yang meminimimumkan ��.

Dengan cara yang serupa, diperoleh nilai-nilai �� dan solusi fisibel � untuk � yang lain dengan hasilnya pada Tabel 2. Pada Tabel 2, jika pengali Lagrange � � < maka terdapat dua solusi Lagrange alternatif dengan nilai fungsi objektif ��<� � <&. Solusi Lagrange pertama diperoleh dari output software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 2), dengan solusi optimum relaksasi Lagrange yaitu � �� & sehingga nilai fungsi objektif solusi fisibel � � &. Untuk solusi Lagrange alternatif kedua diperoleh dari hasil coba-coba yaitu dengan menyubstitusikan semua kemungkinan nilai �̄ pada fungsi objektif �� yang memenuhi semua kendala. Solusi Lagrange alternatif kedua diperoleh � � �, � � �� & sehingga nilai fungsi objektif solusi fisibel � � �&. Pada Tabel 2, jika pengali Lagrange � � � maka terdapat empat solusi Lagrange alternatif dengan nilai fungsi objektif �� . Solusi Lagrange pertama diperoleh dari output software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 2), dengan solusi optimum relaksasi Lagrange yaitu � � �, � � �� & sehingga nilai fungsi objektif solusi fisibel � � �&. Solusi Lagrange alternatif lainnya diperoleh dari proses coba-coba juga yaitu dengan menyubstitusikan semua kemungkinan nilai �̄ pada fungsi objektif �� yang memenuhi semua kendala (lihat Tabel 2) dengan nilai �� . Solusi Lagrange alternatif ketiga (lihat Tabel 2) bukan solusi fisibel untuk IP (3.1) karena nilai-nilai �̄ tersebut tidak memenuhi kendala IP (3.1). Dari hasil coba-coba tersebut diperoleh batas nilai 18 yang merupakan nilai minimum fungsi objektif �� yang diperoleh dengan � � �. Untuk meyakinkan hal tersebut, maka perlu ditunjukkan bahwa 18 adalah nilai optimum fungsi objektif �� dengan mengamati grafik fungsi ��nya. Jika semua kemungkinan solusi �̄ pada Tabel 2 disubstitusikan pada fungsi objektif masalah relaksasi Lagrange, maka diperoleh beberapa fungsi linear dari � yang diberikan pada Tabel 3.

13��

�

�

Tabel 3 Fungsi linear dari �

Solusi masalah relaksasi Lagrange LRu

ZD(u)

x1 = x2 = x3 = x4 = 0 10u x2 = 1, x1 = x3 = x4= 0 10+8u x2 = x4 = 1, x1 = x3 = 0 14+4u x1 = 1, x2 = x3 = x4 = 0 16+2u x1 = x4 = 1, x2 = x3 = 0 20-2u

Karena permasalahan ini adalah memaksimumkan fungsi objektif masalah relaksasi Lagrange, maka fungsi �� merupakan maksimum dari sekumpulan fungsi linear tersebut, atau �� maxy�&�� & � �� : � :�� & 2 ��|@ Grafik fungsi �� diberikan pada gambar berikut ini.

Gambar 11 Fungsi konveks linear sesepenggal ��. Pada Gambar 11, Fungsi �� ditandai dengan garis tebal. Menurut Teorema 6, �� merupakan fungsi konveks. Fungsi �� juga terdiri atas sepenggal-sepenggal beberapa fungsi linear, sehingga fungsi �� merupakan fungsi linear sesepenggal. Jadi, fungsi �� adalah fungsi konveks linear sesepenggal dengan

�� m�& 2 �� n��& " � P ��& � �� n �� " � " <�&� n �� Q <@ o Dari Gambar 11 dapat dengan mudah terlihat bahwa fungsi �� minimum saat � � �, sehingga benar bahwa nilai 18 adalah nilai minimum fungsi objektif ��. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi �� terturunkan pada setiap titik� � I G ° y��<| (lihat Lampiran 3). Nilai ��O �� untuk

� I G ° y��<| dapat diperoleh dari �& 2�� :��, dengan �̄ merupakan solusi optimum masalah relaksasi Lagrange (�±�. Sebagai catatan, �& 2�� :�� diperoleh dari kendala (2) yang direlaksasi. Jika & P � P �, maka ��O �� & 2C�� &� � ��&� � :��D � 2�. Jika � P � P <, maka ��O �� & 2C��&� � �� &� � :�&�D � �, dan jika � Q < maka ��O �� & 2 C��&� � ��&� ��&� � :�&�D � �&. Sebagai catatan, solusi nilai-nilai �̄ tersebut dapat dilihat pada Tabel 2. Secara umum, gradien fungsi �� pada titik-titik terturunkan diberikan oleh +* 2 , (Fisher 1985). Pengamatan ini menyarankan untuk mengaplikasikan metode gradien untuk meminimumkan fungsi �� dengan beberapa penyesuaian di titik-titik tempat fungsi �� takterturunkan. Di titik-titik tersebut digunakan subgradien sebagai pengganti gradien. Konsep dari metode subgradien disampaikan berikut ini. 3.1 Metode Subgradien Metode subgradien pada permasalahan ini digunakan untuk mencari nilai pengali Lagrange. Pada metode subgradien digunakan vektor +* 2 , yang merupakan gradien dari fungsi ��, dengan * adalah solusi optimum masalah relaksasi Lagrange LRu. Prosedur untuk menentukan nilai pengali Lagrange dimulai dengan inisialisasi titik awal �� & dan digunakan rumus sebagai berikut: ¬�� s�6�y&� ¬� 2 ��, 2 +*��|, (3.2)

dengan �� adalah step size bernilai skalar positif dan *� adalah solusi optimum masalah relaksasi Lagrange (L�±�� pada iterasi ke-�. Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian masalah maksimisasi relaksasi Lagrange dengan metode subgradien (Freund, 2004) • Langkah 0 (Inisialisasi)

Diawali dengan �� &, dan dipilih step size positif y��|�w�² .

• Langkah 1 (Penentuan subgradien) Gradien +* 2 , ditentukan untuk setiap iterasinya, dengan mencari solusi �̄ terlebih dahulu dari masalah relaksasi Lagrange. Jika +* 2 , � &, maka iterasi dihentikan.

1 2 3 4 5 6

10

20

30

40

50

60�� &��

�& � ��: � :�� & 2 ��

��

��

��

14��

�

�

• Langkah 2 (Penentuan nilai ��) Di setiap iterasi, digunakan persamaan (3.2) untuk memperoleh nilai �. Kembali ke Langkah 1.

Pada bagian ini akan dibahas penentuan solusi nilai pengali Lagrange �� untuk masalah maksimisasi relaksasi Lagrange dari masalah IP (3.1) dengan menggunakan metode subgradien. Nilai-nilai �� tersebut ditentukan dari beberapa kasus barisan nilai ��. Berikut ini diberikan nilai-nilai �� yang diperoleh dari beberapa variasi nilai ��. Nilai-nilai �� untuk �� , �� diperlihatkan pada Tabel 4, dan rinciannya dapat dilihat di Lampiran 4 bagian 1. Misalkan �� , �� dan misalkan �� &, maka dengan menggunakan persamaan ¬�� s�6�y&� ¬� 2 ��, 2 +*��| diperoleh�� s�6y&� �� 2��, 2 +*��|�� s�6y&�& 2 ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�|�� s�6y&��|��

Catatan: �, 2 +*�� diberikan dari kendala yang direlaksasi (kendala (2)) yaitu �& 2�� :��, dengan solusi * merupakan solusi optimum masalah relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � & (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2).�

Tabel 4 Metode subgradien dengan nilai �� untuk semua � �

k uk tk x1 x2� x3� x4� ZD(uk) Titik (uk,ZD(uk))

0 0 1 1 0 0 1 20 C

1 2 1 0 1 0 0 26 D

2 0 1 1 0 0 1 20 C

3 2 1 0 1 0 0 26 D

4 0 1 1 0 0 1 20 C

5 2 1 0 1 0 0 26 D

6 0 1 0 0 1 20 C

Untuk kasus pertama ini, metode subgradien menghasilkan � � & dan � � �. Berikut ini diberikan ilustrasi dari hasil iterasi pada metode subgradien dengan �� , ��.

Gambar 12 Ilustrasi hasil iterasi pada metode ��subgradien dengan �� , ��. Karena iterasi tersebut menghasilkan nilai pengali Lagrange yang berulang-ulang, maka nilai step sizenya perlu diperbaiki. Misalkan nilai step size yang digunakan �� Dengan cara serupa, dihasilkan nilai �� yang ditunjukkan pada Tabel 5. Rinciannya dapat dilihat pada Lampiran 4 bagian 2. Tabel 5 Metode subgradien dengan nilai��

� ��

k uk tk x1 x2� x3� x4� ZD(uk) Titik (uk, ZD(uk))

0 0 1 1 0 0 1 20 E 1 2 � �³ 0 1 0 0 26 F

2 0 � :³ 1 0 0 1 20 E 3 � �³ � �³ 1 0 0 1 19 G 4 :³ � ��³ 1 0 0 1 18.5 H 5 � �³ � �³ 1 0 0 1 18.25 I

6 �< ��³ 1 0 0 1 18.125 J

Solusi �̄ pada Tabel 5 dapat dilihat pada Lampiran 2 & 5. Untuk kasus kedua ini, nilai �� konvergen ke 0 (lihat Lampiran 6 bagian 1) dengan nilai �� berurutan setengah dari nilai sebelumnya. Pada iterasi ini, iterasi pada metode subgradien cukup bagus karena nilai pengali Lagrangenya konvergen ke nilai optimum � � � (lihat Lampiran 6 bagian 2). Berikut ini diberikan ilustrasi dari hasil iterasi pada metode subgradien dengan �� yang digunakan setengah dari nilai sebelumnya.

1 2 3 4 5 6

10

20

30

40

50

60

g�´�

�& � �µ��: � :µ�� µ��& 2 �µ�

�� µ� ��µ� ��µ� ��

��

�� &��

15��

�

�

Gambar 13 Ilustrasi hasil iterasi pada metode ��subgradien dengan �� setengah dari nilai sebelumnya. Sekarang, akan dibahas kasus lain dari barisan nilai ��, yaitu sepertiga dari nilai sebelumnya, atau �� . Dengan cara serupa dihasilkan nilai-nilai �� yang ditunjukkan pada Tabel 6 berikut ini. Rinciannya dapat dilihat pada Lampiran 4 bagian 3. Tabel 6 Metode subgradien dengan nilai ��

k uk tk x1 x2� x3� x4� ZD(uk) Titik (uk, ZD(uk) )

0 0 1 1 0 0 1 20 K

1 2 � ³ 0 1 0 0 26 L

2 0 � ¶³ 1 0 0 1 20 K

3 2/9 � ��³ 1 0 0 1 19.55 M

4 8/27 � ��³ 1 0 0 1 19.41 N

5 26/81 � �: ³ 1 0 0 1 19.35 O

6 80/243 � ��¶³ 1 0 0 1 19.34 P

7 242/729 1 0 0 1 19.33 Q

�

Solusi �̄ pada Tabel 6 dapat dilihat pada Lampiran 2 & 5.�Untuk kasus ketiga ini, nilai �� konvergen ke 0 (lihat Lampiran 6 bagian 3), akan tetapi laju kekonvergen �� lebih cepat dibandingkan dengan kasus kedua, karena nilai �� yang digunakan adalah sepertiga dari nilai sebelumnya. Pada iterasi ini, nilai pengali Lagrangenya konvergen ke � � � (lihat Lampiran 6 bagian 4). Akan tetapi, jika � � � maka diperoleh solusi optimum relaksasi Lagrange yaitu � � �� , � � �� & (lihat Lampiran 5) yang bukan merupakan solusi fisibel dari masalah IP (3.1), karena solusi tersebut tidak memenuhi

kendala (2) pada IP (3.1). Dengan demikian, untuk kasus ketiga ini nilai pengali Lagrange konvergen ke titik yang bukan solusi optimumnya. Berikut ini diberikan ilustrasi dari hasil iterasi pada metode subgradien dengan �� yang digunakan sepertiga dari nilai sebelumnya.

Gambar 14 Ilustrasi hasil iterasi pada metode subgradien dengan dengan �� sepertiga dari nilai sebelumnya. Dengan demikian, pengali Lagrange yang diperoleh dengan menggunakan metode subgradien adalah � � � yang diperoleh bila �� menggunakan kasus kedua. Menurut Held, Wolfe, dan Crowder (1974), untuk � M �� dan jika kedua kondisi berikut ini dipenuhi, yaitu (i) �� M & dan (ii) · �% M ¸�%w� , maka �� konvergen ke nilai optimal ��. Dengan uji deret kekonvergenan �� pada Tabel 5, diperoleh · �% M � (lihat Lampiran 6 bagian 5) yang sebenarnya melanggar kondisi kedua. Ini memperlihatkan bahwa kondisi kedua yaitu · �% M ¸�%w� merupakan syarat cukup bagi �� konvergen ke nilai optimal �� (Fisher 1985). Terbukti dengan tidak terpenuhi kondisi kedua, iterasi pada metode subgradien diperoleh nilai pengali Lagrange yang konvergen ke nilai optimum � � �. Nilai �� pada Tabel 4, 5, dan 6 diperoleh dari hasil coba-coba. Pada bagian ini diberikan rumus �� (Fisher 1985) yang dapat digunakan yaitu:

�� ¬�� 2 ��· �,% 2· z%¯*�̄�̄wx% � �� @ �� dengan �� adalah nilai fungsi objektif dari solusi fisibel (P) dan ��¬�� adalah nilai fungsi objektif masalah relaksasi Lagrange dengan nilai ¬ pada iterasi ke-�.

1 2 3 4 5 6

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6

10

20

30

40

50

60

¹� ��h�\�N� º�

�& � ��: � :�� & 2 ��

��

��

�� &��

»� �¼�½�¾�q�

�& � ��: � :�� & 2 ��

��

��

�� &��

r�

16��

�

�

Untuk menggunakan persamaan (3.3), nilai �� diperbarui pada setiap iterasinya yaitu dengan menyubstitusikan solusi �̄ yang diperoleh dari masalah relaksasi Lagrange pada fungsi objektif masalah asli (P), sehingga diperoleh nilai �� yang baru. Nilai skalar �� yang dapat digunakan adalah & P �� " � (Fisher 1985). Sering kali, �� ditentukan dengan permulaan �� . Jika tidak ada peningkatan nilai pada � dari iterasi ke-�, maka dilakukan reduksi terhadap �� menjadi ¿À @ Aturan dipilih & P �� " � telah dibuat secara empiris dengan baik, meskipun hal ini tidak menjamin bahwa persamaan (3.3) dapat memberikan kekonvergenan nilai pengali Lagrange yang optimum (Fisher 2004). Jika nilai ��¬�� , maka metode yang biasa dilakukan untuk memecahkan masalah ini adalah dengan membatasi jangkauan iterasi yang berulang-ulang (Fisher 1985). Sebagai contoh dapat dilihat pada Contoh 18. 3.2 Perbandingan Masalah Relaksasi

Lagrange dengan Pemrograman Linear Relaksasi Berdasarkan Nilai Batasnya

Pada bagian ini akan dibandingkan antara solusi penyelesaian IP dengan relaksasi Lagrange dan solusi penyelesaian IP dengan PL-relaksasi dari permasalahan IP (3.1) berdasarkan nilai batasnya. Contoh 17 Misalkan �ÁÂ dinotasikan sebagai nilai optimum dari (P) dengan merelaksasi kendala integernya atau disebut PL-relaksasi. Berikut ini diberikan PL-relaksasi yang diperoleh dari masalah IP (3.1) dengan merelaksasi kendala integernya yaitu: max��ÁÂ � �� &� � :�� (1) terhadap �� :�� " �&� (2) � � � " � (3) (3.4) �� " � (4) & " �̄ " �, � � �� : (5) Solusi optimum PL-relaksasi (3.4) adalah � � �� &� �� &� �� &@<, dengan nilai fungsi objektif �ÁÂ � �� yang diperoleh dengan menggunakan software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 7). Untuk melakukan perbandingan, tuliskan terlebih dahulu bentuk standar PL dual dari masalah PL-relaksasi (3.4) tersebut. Misalkan �� Ã� ��u�Ã dinotasikan sebagai variabel dual yang berpadanan dengan

kendala (2), (3) dan (4) dan �̄ merupakan variabel dual dari kendala �̄ " �, sehingga bentuk PL dual dari masalah PL-relaksasi (3.4) adalah min �&� � Ã � Ã � � � � � �� terhadap �� Ã �� # �� Ã �� # �& � � Ã � �� # & (3.5) :� � Ã � �� # : �� Ã� Ã� � � �� # &. Solusi optimum PL dual (3.5) adalah � �� Ã � �� Ã � � � � � �� &, dengan nilai fungsi objektif 18 yang diperoleh dengan menggunakan software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 7). Pada permasalahan ini terdapat dua fakta. Pertama, nilai �ÁÂ � �� sama dengan nilai batas atas yang diperoleh dari masalah relaksasi Lagrange (maksimisasi IP (3.1) dengan kendala (2) direlaksasi) yaitu �� @ Kedua, nilai variabel PL dual dengan � � � pada kendala (2) yaitu � � & sama dengan nilai variabel yang meminimumkan batas atas 18 pada masalah relaksasi Lagrange yaitu � � &. Berikut ini diperlihatkan hubungan �� dengan �ÁÂ untuk masalah maksimisasi relaksasi Lagrange. �� stu�s�6C(* � ¬�, 2 +*�D�, ¬ # - terhadap ©* " ª

* # - dan integer; " stu�s�6C(* � ¬�, 2 +*�D�, ¬ # -

terhadap ©* " ª * # -;

(PL dual) � stuystu¬, � Äª|, ¬� Ä # - terhadap Ä© # ( 2 ¬+; � stu¬, � Äª, ¬� Ä # - terhadap ¬+ � Ä© # (. (PL dual) � s�6 (* terhadap +* " , ©* " ª * # -. � �ÁÂ. Dari uraian di atas, bahwa �� " �ÁÂ. Dengan demikian, ketaksamaan tersebut merupakan relasi antara masalah relaksasi Lagrange dan PL-relaksasi dengan merelaksasi kendala integer. Secara logik, kondisi bisa saja �� ÁÂ atau �� P �ÁÂ

17��

�

�

(Fisher 1985). Apabila nilai �� lebih kecil dari nilai �ÁÂ maka disebut strictly. Nilai �� akan sama dengan �ÁÂ jika solusi masalah relaksasi Lagrange tersebut nilainya tidak berubah meskipun dihilangkan kendala integernya (Fisher, 1985). Terbukti pada Contoh 17, nilai optimum �ÁÂ � �� sama dengan batas atas masalah relaksasi Lagrange dengan nilai optimum �� sehingga �� ÁÂ. Relaksasi Lagrange yang baik adalah relaksasi yang dapat menyelesaikan masalah awal (P), dalam hal ini masalah IP (3.1) (Fisher 1985). Ini berarti, bahwa relaksasi Lagrange yang baik adalah relaksasi yang memberikan solusi batas atas masalah relaksasi Lagrange sama dengan batas nilai fungsi objektif masalah awal (P). Pada pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa batas atas masalah relaksasi Lagrange yang diperoleh dari merelaksasi kendala (2) dari masalah IP (3.1) adalah �� . Batas atas masalah relaksasi Lagrange tersebut dapat diperbaiki dengan menggunakan relaksasi Lagrange yang variabel-variabelnya bernilai integer. 3.3 Perbaikan Relaksasi Kelebihan merelaksasi lebih dari satu kendala yaitu batas atas masalah relaksasi Lagrange yang diperoleh akan lebih mendekati atau sama dengan nilai batas solusi masalah awal (P). Berikut ini diberikan alternatif relaksasi dari masalah IP (3.1) dengan kendala yang direlaksasi lebih dari satu kendala. Sebagai ilustrasi, berikut ini diberikan contohnya.

Contoh 18 Dari permasalahan IP (3.1), jika kendala (3) dan (4) direlaksasi maka formulasi masalah relaksasi Lagrangenya menjadi: max�� &� � :�� C� 2 �� D � �C� 2 �� D � �� 2 �� & 2 �� & 2 �� : 2 �� terhadap �� :�� " �& (2) & " �̄ " �, � � �� : (5) (3.6) �̄ integer, � � �� : (6) �� # &, dengan �� merupakan pengali Lagrange taknegatif. Solusi dari masalah relaksasi Lagrange (3.6) mensyaratkan bahwa semua variabel bernilai bilangan bulat nol atau satu. Sebagai catatan, jika digunakan �� maka akan diperoleh hasil yang berulang-ulang ke nilai � � &, � � & dan tidak diperoleh peningkatan nilai pada � dari iterasi ke-� (lihat Lampiran 8), maka langkah selanjutnya adalah dilakukan reduksi terhadap �� menjadi �� . Secara empirik pada Tabel 7 ditunjukkan aplikasi metode subgradien untuk mencari nilai pengali Lagrange dengan menggunakan persamaan (3.2) dan nilai �� . Rincian iterasinya dapat dilihat pada Lampiran 9. Sebagai catatan, solusi optimum relaksasi Lagrange yaitu �̄ diperoleh dengan menggunakan software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 10).

Tabel 7 Aplikasi metode subgradien untuk perbaikan relaksasi

k u1 u2 Åk x1 x2� x3� x4� ZD(u1,u2) Z*

0 0 0 1 1 1 0 0 26 0

1 13 0 1 0 0 0 1 17 4

(fisibel untuk � � :�

k u1 u2 Åk x1 x2� x3� x4� ZD(u1,u2) Z*

2 0 0 1 1 1 0 0 26 4

3 11 0 1 1 0 1 0 16 16

(fisibel untuk � � ��

18��

�

�

Pada Tabel 7, saat iterasi ke-3 diperoleh � � �� dan � � &, dengan solusi optimum relaksasi Lagrange yaitu � � �� &, sehingga nilai fungsi objektif masalah relaksasi Lagrange diperoleh ��&� � �� dan nilai fungsi objektif solusi fisibel �� . Karena pada iterasi ke-3 diperoleh nilai ��&� � �� , maka untuk iterasi ke-4 dan ke-5 serta seterusnya akan diperoleh nilai-nilai pengali Lagrange yang sama nilainya yaitu � � �� dan � � & sehingga untuk memecahkan masalah ini adalah dengan membatasi jangkauan iterasi sampai batas

iterasi ke-3. Dengan demikian, solusi pengali Lagrange yang diperoleh dengan menggunakan metode subgradien adalah � � �� dan � � &, dengan batas atas ��&� � �� yang nilainya sama dengan nilai fungsi objektif dari solusi fisibel masalah (P) ketika menyelesaikan masalah relaksasi Lagrange tersebut. Dengan demikian, metode relaksasi Lagrange dapat menyelesaikan masalah IP (3.1). Ini berarti, relaksasi Lagrange dapat menyelesaikan masalah awal (P) yaitu masalah integer programming.

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan Masalah integer programming (IP) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode relaksasi Lagrange. Ide dari permasalahan relaksasi Lagrange berawal dari metode penalti yang merupakan suatu metode yang digunakan untuk mencari solusi hampiran dari masalah pemrograman berkendala. Pada permasalahan relaksasi Lagrange, kendala yang direlaksasi digantikan dengan suku penalti pada fungsi objektifnya dengan melibatkan kendala yang direlaksasi dan variabel masalah dual. Nilai pengali Lagrange dari masalah relaksasi Lagrange pada model integer programming dapat ditentukan dengan menggunakan metode subgradien. Dengan nilai pengali Lagrange tersebut dapat diperoleh suatu batas atas dari masalah awal (P) sebagai solusi optimum masalah maksimisasi relaksasi Lagrange. Pada permasalahan ini (maksimisasi relaksasi Lagrange), solusi relaksasi Lagrange bisa jadi tidak diperoleh solusi yang optimum. Hal tersebut dikarenakan nilai pengali Lagrange yang diperoleh dengan metode subgradien dimungkinkan merupakan solusi di minimum lokal. Dengan demikian, haruslah

dipastikan bahwa nilai pengali Lagrangenya merupakan solusi di minimum global. Untuk masalah maksimisasi relaksasi Lagrange, nilai optimum fungsi objektif relaksasi Lagrange lebih besar atau sama dengan nilai objektif IP dan nilai optimum fungsi objektif relaksasi Lagrange lebih kecil atau sama dengan nilai objektif PL-relaksasi. Dengan demikian, relaksasi Lagrange merupakan metode yang terbaik untuk menyelesaikan masalah integer programming dibandingkan dengan PL-relaksasi, karena solusi optimum relaksasi Lagrange mendekati solusi optimum masalah IP. 4.2 Saran Pada karya ilmiah ini telah dibahas penyelesaian masalah integer programming dengan metode relaksasi Lagrange. Solusi dari pengali Lagrange diperoleh dengan menggunakan metode subgradien. Penulis menyarankan untuk selanjutnya dilakukan pembahasan mengenai masalah ini dengan solusi pengali Lagrangenya menggunakan metode branch and bound.

19��

�

�

DAFTAR PUSTAKA

Bartle RG. 1976. The Element of Real Analysis. Ed ke-2. New York: John Wiley.

Boyd S, Vandenberghe L. 2007. Subgradients. hlm 1-7. Tersedia di www.stanford.edu/class/ee364b/notes/subgradients_notes.pdf [2 Des 2008].

Fisher ML. 1985. An applications oriented guide to Lagrangian relaxation. Interfaces 15(2):10-21.

Fisher ML. 2004. The Lagrangian relaxation method for solving integer programming problems. Management Science 50(12):1861-1871.

Freund RM. 2004. Subgradient optimization, generalized programming, and nonconvex duality. Tersedia di http://ocw.mit.edu/NR /rdonlyres/Sloan-School-of-Management /15-084JSpring2004/D68D5478-50C2-4BB3-B6E2-ID921A1E0585/0/lec22 gen_prgm_o.pdf [2 Des 2008].

Garfinkel RS, Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. New York: John Wiley.

Held M, Wolfe P, Crowder HP. 1974. Validation of subgradient optimization. Mathematical Programming 6(1):62-68.

Leon SJ. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.

Nash SG, Sofer A. 1996. Linear and Nonlinear Programming. New York: McGraw-Hill.

Nemhauser G, Wolsey L. 1999. Integer and Combinatorial Optimization. New York: John Wiley.

Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. New York: Springer-Verlag.

Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Ed ke-4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus.

Stewart J. 2003. Kalkulus Jilid 2. Ed ke-4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus.

Taha HA. 1996. Pemrograman Riset Operasi. Wirajaya D, penerjemah. Jakarta: Binarupa Aksara. Terjemahan dari: Operations Research.

Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Piecewise_linear_function [14 Jun 2009].

Winston WL. 1995. Introduction to Mathematical Programming. Ed ke-2. New York: Duxbury.

Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. Ed ke-4. New York: Duxbury.

20��

�

�

LAMPIRAN

21��

�

�

Lampiran 1 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan PL-Relaksasi Masalah IP (2.8) Beserta

Hasil yang Diperoleh Contoh 10 PL-relaksasi masalah (2.8) max 9 � �� :� terhadap �� " < �&� � �� " < �� # &. Syntax program LINDO 6.1: max 6x1+4x2 subject to x1+x2<=5 10x1+6x2<=35 x1>=0 x2>=0 end Hasil yang diperoleh:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 22.50000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.250000 0.000000 X2 3.750000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.000000 3) 0.000000 0.500000 4) 1.250000 0.000000 5) 3.750000 0.000000 NO. ITERATIONS=1 Jadi, solusi optimum PL-relaksasi masalah (2.8) adalah �� @�<, �� @�<, dan 9 � ��@<.

Lampiran 2 Syntax Program Lindo 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah Relaksasi Lagrange pada Tabel 2

Beserta Hasil yang Diperoleh

Misalkan diberikan permasalahan IP (3.1) sebagai berikut: max�� &� � :�� (1) terhadap �� :�� " �& (2)

�� " � (3) �� " � (4) (3.1) & " �̄ " �, � � �� : (5)

�̄ integer,�� : (6) Jika kendala (2) direlaksasi, maka formulasi masalah relaksasi Lagrangenya menjadi max �� &� � :�� C�& 2 �� :��D � �� 2 �� & 2 �� & 2 �� : 2 :�� &� terhadap � � � " � (3)

�� " � (4) & " �̄ " �, � � �� : (5) �̄ integer,�� :� (6)

dengan � # &. � Masalah relaksasi Lagrange dengan � � &,

maka max ��&� � �� &� � :��. Syntax program LINDO 6.1: max 16x1 + 10x2 + 4x4 subject to

x1 + x2 <= 1 x3 + x4 <= 1 x1>=0

x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 20.0000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 20.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 20.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -16.000000 X2 0.000000 -10.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 1.000000 -4.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000

22��

�

�

3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=3 BRANCHES=0 DETERM.=1.000E 0 Jadi, ��&�= 20.

� Masalah relaksasi Lagrange dengan � � �, maka max�� 2 �� 2 �� 2 �� 2�&�� &. Syntax program LINDO 6.1: max -32x1 - 2x2 - 6x3 -20x4 subject to x1 + x2 <= 1 x3 + x4 <= 1

x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE VALUE =0.000000000E+00 NEW INTEGER SOLUTION OF 0.000000000E+00 AT BRANCH 0 PIVOT 0 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 32.000000 X2 0.000000 2.000000 X3 0.000000 6.000000 X4 0.000000 20.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000

10) 1.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=0 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, ��= 0 + 60 = 60.

Dari output LINDO 6.1 diperoleh �� &, maka � � �� &� � :��

�� &� � �&�&� � :�&� � &.

� Masalah relaksasi Lagrange dengan � � <, maka max��<� � 2�:� � &� 2 <�� 2�� <&. Syntax program LINDO 6.1: max -24x1 + 0x2 - 5x3 - 16x4 subject to x1 + x2 <= 1 x3 + x4 <= 1

x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE VALUE = 0.000000000E+ 00 NEW INTEGER SOLUTION OF 0.000000000E+00 AT BRANCH 0 PIVOT 0 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 24.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 0.000000 5.000000 X4 0.000000 16.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000

23��

�

�

NO. ITERATIONS=0 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, ��<�= 0 + 50 = 50.


�� &� � �&�&� � :�&� � &.

� Masalah relaksasi Lagrange dengan � � �, maka max�� 2:�� 2 �� 2 �� 2�� &. Syntax program LINDO 6.1: max -48x1 - 6x2 - 8x3 -28x4 subject to x1 + x2 <= 1 x3 + x4 <= 1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1 end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE VALUE =0.000000000E+00 NEW INTEGER SOLUTION OF 0.000000000E+00 AT BRANCH 0 PIVOT 0 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 48.000000 X2 0.000000 6.000000 X3 0.000000 8.000000 X4 0.000000 28.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=0 BRANCHES=0 DETERM.=1.000E 0 Jadi, ��= 0 + 80 = 80.


�� &� � �&�&� � :�&� � &.

� Masalah relaksasi Lagrange dengan � � , maka max �� 2�� :� 2 �� 2�� &. Syntax program LINDO 6.1: max -8x1 + 4x2 - 3x3 - 8x4 subject to x1 + x2 <= 1 x3 + x4 <= 1

x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE VALUE = 4.00000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 4.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 1 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 8.000000 X2 1.000000 -4.000000 X3 0.000000 3.000000 X4 0.000000 8.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=1 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, �� = 4 + 30 = 34.

Dari output LINDO 6.1 diperoleh �� &� � � �� &� �� &, maka � � �� &� � :��

�� &� � �&�� :�&� � �&.

24��

�

�

� Masalah relaksasi Lagrange dengan � � �, maka max �� 2 �� 2 :�� &. Syntax program LINDO 6.1: max 6x2 - 2x3 -4x4 subject to x1 + x2 <= 1 x3 + x4 <= 1

x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE VALUE = 6.00000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 6.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 1 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 6.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 0.000000 X2 1.000000 -6.000000 X3 0.000000 2.000000 X4 0.000000 4.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=1 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, ��= 6 + 20 = 26.

Dari output LINDO 6.1 diperoleh �� &� � � �� &� �� &, maka � � �� &� � :�� &� � �&�� :�&� � �&.

� Masalah relaksasi Lagrange dengan � � �, maka max �� 2 �� &. Syntax program LINDO 6.1:

max 8x1 + 8x2 - x3 subject to x1 + x2 <= 1 x3 + x4 <= 1

x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 8.00000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 8.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 8.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 -8.000000 X2 1.000000 -8.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, ��= 8 + 10 = 18.

Dari output LINDO 6.1 diperoleh �� &� � � �� &� �� &, maka � � �� &� � :��

�� &� � �&�� :�&� � �&.

� Masalah relaksasi Lagrange dengan � � ,

maka max �� 34 � �� ¶� 2 �� <. Syntax program LINDO 6.1:

max 12x1 + 9x2 - 0.5x3 + 2x4 subject to

x1 + x2 <= 1

25��

�

�

x3 + x4 <= 1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 14.0000000

NEW INTEGER SOLUTION OF 14.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION...

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 14.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -12.000000 X2 0.000000 -9.000000 X3 0.000000 0.500000 X4 1.000000 -2.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, �� 34= 14 + 5 = 19. � Masalah relaksasi Lagrange dengan � � ��,

maka max �� 3��4 � ��&� � �@<� 2�� @<.

Syntax program LINDO 6.1: max 10x1 + 8.5x2 - 0.75x3 + x4 subject to x1 + x2 <= 1 x3 + x4 <= 1

x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 11.0000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 11.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 11.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -10.000000 X2 0.000000 -8.500000 X3 0.000000 0.750000 X4 1.000000 -1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 BRANCHES= 0 DETERM.=1.000E 0 Jadi, �� 3��4= 11 + 7.5 = 18.5.

Lampiran 3

Penjelasan Fungsi Objektif Masalah Relaksasi Lagrange dari Masalah IP (3.1)

Definisi Turunan Turunan fungsi � pada bilangan ¨ dinyatakan dengan �O�¨� adalah �O�¨� � §tsÆM�

��¨ � Ç� 2 ��¨�Ç

jika limit ini ada. Jika dituliskan � � ¨ � Ç, maka Ç � � 2 ¨ dan Ç mendekati & jika dan hanya jika � mendekati ¨. Karena itu, cara setara menyatakan definisi turunan seperti dalam pencarian garis singgung yaitu

26��

�

�

�O�¨� � §ts`M�� 2 ��¨�� 2 ¨

jika limit ini ada. (Stewart 2001) Diketahui: Fungsi �� adalah fungsi konveks linear sesepenggal dengan

�� m�& 2 �� n��& " � P ��& � �� n �� " � " <�&� n �� Q <@ o Berikut ini akan ditunjukkan bahwa fungsi �� terturunkan� pada setiap titik�� I G ° y��<|. Untuk & P � P �, maka turunan pertamanya adalah ��O�� 2�. Untuk � P � P <, maka ��O�� . Untuk � Q <, maka ��O�� &, sedangkan untuk � � �, maka dengan menggunakan definisi turunan harus diperiksa apakah ��O�� §ts±M

�� 2 �� 2 � �@ Perlu diperiksa limit kiri dan limit kanan secara terpisah:

§ts±MÈ�& � �� 2 �� 2 � � §ts±MÈ

�� 2 �� 2 � � �

dan §ts±MÉ

�& 2 �� 2 �� 2 � � §ts±MÉ2�� 2 �� 2 � � 2�@

Karena limit-limit ini berlainan, maka ��O�� tidak ada. Jadi, �� takterturunkan di � � �@ Demikian juga untuk � � < harus diperiksa apakah ��O�<� � §ts±M;

�� 2 ��<�� 2 < �@ §ts±M;È

�&� 2 <&� 2 < � §ts±M;È�&�� 2 <�� 2 < � �&

dan §ts±M;É

�& � �� 2 <&� 2 < � §ts±M;É�� 2 <�� 2 < � �@

Karena limit-limit ini berlainan, maka ��O�<� tidak ada. Ini berarti fungsi �� terturunkan pada setiap titik�� I G ° y��<|@�

Lampiran 4

Rincian Nilai-Nilai µÊ dengan Variasi Nilai ËÊ 4.1 Rincian Nilai-Nilai µÊ Untuk ËÊ � 8, �Ê.

Misalkan �� , �� dan misalkan �� &, maka dengan menggunakan persamaan ¬�� s�6�y&� ¬� 2 ��, 2 +*��| diperoleh�� s�6y&� �� 2��, 2 +*��|�� s�6y&�& 2 ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�|�� s�6y&��|�� Catatan: �, 2 +*�� diberikan dari kendala yang direlaksasi (kendala (2)) yaitu �& 2�� :��, dengan solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � & (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2).

� � � s�6y&� � 2��, 2 +*�|�� s�6y&�� 2 ��& 2 J��&� � �� &� � :�&�K�|�� s�6y&� 2�|�� &�Catatan:

�, 2 +*� diberikan dari kendala yang direlaksasi (kendala (2)) yaitu �& 2�� :��, dengan solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � � (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2). � �� s�6y&� � 2��, 2 +*�|�� s�6y&�& 2 ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�|�� s�6y&��|�� Catatan: �, 2 +*� diberikan dari kendala yang direlaksasi (kendala (2)) yaitu �& 2�� :��, dengan solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � & (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2). � �� s�6y&� �� 2��, 2 +*��|�� s�6y&�� 2 ��& 2 J��&� � �� &� � :�&�K�|�

27��

�

�

�� s�6y&� 2�|�� &�Catatan: �, 2 +*�� diberikan dari kendala yang direlaksasi (kendala (2)) yaitu �& 2�� :��, dengan solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � � (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2). � �; � s�6y&� �� 2��, 2 +*��|�� s�6y&�& 2 ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�|�� s�6y&��|�� Catatan: �, 2 +*�� diberikan dari kendala yang direlaksasi (kendala (2)) yaitu �& 2

�� :��, dengan solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � & (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2). � � � s�6y&� �; 2��;�, 2 +*;�|�� s�6y&�� 2 ��& 2 J��&� � �� &� � :�&�K�|�� s�6y&� 2�|�� &�Catatan: �, 2 +*;� diberikan dari kendala yang direlaksasi (kendala (2)) yaitu �& 2�� :��, dengan solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � � (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2).

4.2 Rincian Nilai-Nilai µÊ Untuk ËÊ � 8� 8H � 8Ì � 8Í � 88Î � 8}H,…. Misalkan �� , …, dan misalkan �� &, maka dengan menggunakan persamaan ¬�� s�6�y&� ¬� 2 ��, 2 +*��| diperoleh � � � s�6y&� �� 2��, 2 +*�|�� s�6y&�& 2 ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�|�� s�6y&��|�� Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � & (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2). � � � s�6y&� � 2��, 2 +*|�� s�6 �&�� 2 ��& 2 J��&� � �� &� � :�&�K�� s�6y&� 2�|�� &��Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum masalah relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � � (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2). � �� s�6y&� � 2��, 2 +*| �� s�6 �&�& 2 � ��& 2 J�� &� � ��&� � :��K�� s�6 �&� �� Catatan:

Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � & (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2). � �� s�6y&� �� 2��, 2 +*�|�� s�6 �&� 2 � ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�� s�6 �&� �� &@�<��Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2).��

� �; � s�6y&� �� 2��, 2 +*�|�� s�6 �&� ��2 ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�� s�6 �&� �� &@��<��Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � �� (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2).��

� � � s�6y&� �; 2��;�, 2 +*;|�� s�6 �&� ��2 � ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�� s�6 �&� ; ��

28��

�

�

�� ; � &@¶ �<�Catatan:

Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � �� (lihat Lampiran 5).�

�

�

4.3 Rincian Nilai-Nilai µÊ Untuk ËÊ � 8� 8} � 8Ï � 8HÐ � 8Í8 � 8HÌ}, 8ÐHÏ,….

Misalkan �� , ��,…, dan misalkan �� &, maka dengan menggunakan persamaan ¬�� s�6�y&� ¬� 2 ��, 2 +*��| diperoleh � � � s�6y&� �� 2��, 2 +*�|�� s�6y&�& 2 ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�|�� s�6y&��|�� Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � & (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2).��

� � � s�6y&� � 2��, 2 +*|�� s�6 �&�� 2 � ��& 2 J��&� � �� &� � :�&�K�� s�6 �&� 2 �� &�Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � � (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2).��

� �� s�6y&� � 2��, 2 +*|�� s�6 �&�& 2 � ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�� s�6 �&� �� &@��Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � & (lihat Lampiran 2 atau Tabel 2).��

� �� s�6y&� �� 2��, 2 +*�|�� s�6 �&� � 2 � ��& 2 J�� &� ��&� � :��K�� s�6 �&� �� &@�¶��Catatan:

Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � � (lihat Lampiran 5). �

� �; � s�6y&� �� 2��, 2 +*�|�� s�6 �&� ��2 � ��& 2 J�� &� � ��&� � �:��K�� s�6 �&� �� &@ ��Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � �� (lihat Lampiran 5). �

� � � s�6y&� �; 2��;�, 2 +*;|�� s�6 �&� �2 �� & 2 J�� &� � ��&� � :��K�� s�6 �&� �� &@ �¶�Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � � (lihat Lampiran 5). �

� �� s�6y&� � 2�� , 2 +* |�� s�6 �&� ��2 �� & 2��J�� &� � ��&� � :��K�� s�6 �&� �� &@ ��Catatan: Solusi * merupakan solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh saat � � �� (lihat Lampiran 5).

29��

�

�

Lampiran 5 Syntax Program Lindo 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah Relaksasi Lagrange dari Masalah

IP (3.1) pada Tabel 5 & 6

Diketahui: max�� 2 �� & 2 �� & 2 �� : 2 :�� &� terhadap � � � " � (3)

�� " � (4) & " �̄ " �, � � �� : (5) ��̄ integer, � � �� : (6)

� Jika � � �� &@��<, maka

max��&@��<� � �¶� � �@�<� 2��&@��<�� &@<�� @�<@ Syntax Program Lindo 6.1 max 9x1+8.25x2-0.875x3+0.5x4 subject to

x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 9.50000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 9.50000000 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 9.50000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -9.000000 X2 0.000000 -8.250000 X3 0.000000 0.875000 X4 1.000000 -0.500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000

10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, ��&@��<� � �@�< � ¶@< � ��@�<

� Jika � � ; � &@¶ �<, maka max ��&@¶ �<� � �@<� � �@��<� 2��&@¶ �<�� &@�<�� ¶@ �<@

Syntax Program Lindo 6.1 max 8.5x1+8.125x2-0.9375x3+0.25x4 subject to

x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1



NEW INTEGER SOLUTION OF 8.75000000 AT BRANCH 0 PIVOT 3

RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 8.750000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -8.500000 X2 0.000000 -8.125000 X3 0.000000 0.937500 X4 1.000000 -0.250000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

30��

�

�

Jadi, ��&@¶ �<� � �@�< � ¶@ �< � ��@��<. � Jika � � � � &@��, maka

max ��&@�� :@��:� � ¶@<<�� 2��&@�� @�� @��@ Syntax Program Lindo 6.1 max 14.224x1+9.556x2-0.222x3+3.112x4 subject to

x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 17.3360004 NEW INTEGER SOLUTION OF 17.3360004 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 17.33600 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -14.224000 X2 0.000000 -9.556000 X3 0.000000 0.222000 X4 1.000000 -3.112000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, �� 3�4 � ��@ � � �@�� ¶@<<�.

� Jika � � �� &@�¶�, maka

max ��&@�¶�� @� �� ¶@:&�� 2��&@�¶�� @�� @¶�@ Syntax Program Lindo 6.1 max 13.632x1+9.408x2-0.296x3+2.816x4 subject to

x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1



NEW INTEGER SOLUTION OF 16.4480000 AT BRANCH 0PIVOT 3

RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 16.44800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -13.632000 X2 0.000000 -9.408000 X3 0.000000 0.296000 X4 1.000000 -2.816000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, �� 3 ��4 � ��@::�&& � �@¶� � �¶@:&�. � Jika � � � � &@ ��, maka

max��&@ �� @: �� ¶@ <�� 2 &@ �� @�� @��@ Syntax Program Lindo 6.1 max 13.432x1+9.358x2-0.321x3+2.716x4

31��

�

�

subject to x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 16.1480007 NEW INTEGER SOLUTION OF 16.1480007 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 16.14800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -13.432000 X2 0.000000 -9.358000 X3 0.000000 0.321000 X4 1.000000 -2.716000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, �� 3 �4 � ��@�:�&& � @�� ¶@ <�.

� Jika � � �� &@ �¶, maka max��&@ �¶� � � @ �� ¶@ :�� 2��&@ �¶�� @��:�� @�¶@

Syntax Program Lindo 6.1 max 13.368x1+9.342x2-0.329x3+2.684x4 subject to

x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0

x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 16.0520000 NEW INTEGER SOLUTION OF 16.0520000 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 16.05200 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -13.368000 X2 0.000000 -9.342000 X3 0.000000 0.329000 X4 1.000000 -2.684000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, �� 3 ��4 � ��@&<� � @�¶ � �¶@ :�.

� Jika � � �� &@ �, maka max��&@ �� @ ::� ��¶@ �� 2 &@ �� @�� @ �@ Syntax Program Lindo 6.1 max 13.344x1+9.336x2-0.332x3+2.672x4 subject to

x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

32��

�

�

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 16.0159988 NEW INTEGER SOLUTION OF 16.0159988 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 16.01600 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -13.344000 X2 0.000000 -9.336000 X3 0.000000 0.332000 X4 1.000000 -2.672000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, �� 3��4 � ��@&�� @ � �� ¶@ �.

� Jika � � �, maka

max�� 3�4 � � @ � ��¶@ � 2��&@ �� @�� @ Syntax Program Lindo 6.1 max 13.33333333x1+9.333333333x2-0.333333333x3+2.666666667x4 subject to

x1+x2<=1 x3+x4<=1

x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1

end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 16.0000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 16.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 16.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -13.333333 X2 0.000000 -9.333333 X3 0.000000 0.333333 X4 1.000000 -2.666667 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 1.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000 12) 1.000000 0.000000 13) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=3 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

Jadi, �� 3�4 � �� @ � �¶@ .

Lampiran 6

Kekonvergenan Barisan dan Deret dari Nilai-Nilai ËÊ dan µÊ

Definisi Kekonvergenan Barisan Suatu barisan y¨�| disebut konvergen ke , atau berlimit , dan dapat ditulis ¨� M , jika � M ¸ atau §ts �M² ¨� � ,

jika untuk setiap bilangan positif Ñ, ada bilangan ¾ sehingga jika � # ¾, maka Ò¨� 2 Ò P Ñ. Jika §ts �M² ¨� ada, maka barisan tersebut dikatakan konvergen. Jika

33��

�

�

§ts �M² ¨� tidak ada, maka barisan tersebut divergen. (Stewart 2003) 6.1 Diketahui barisan �� : � ��

Rumus eksplisit untuk �� yaitu �� ÀÉa, maka §ts�M²

��B � §ts�M²��B � � §ts�M²

�� &

Ini berarti, barisan �� tersebut konvergen ke 0. 6.2 Diketahui barisan �� : � �� <��

Rumus eksplisit untuk � yaitu �� bBb , maka §ts�M²

�� 2 �� §ts�M²�� 2 §ts�M²

�� §ts�M²��

� §ts �M² � � � Ini berarti, barisan ��tersebut konvergen ke 1. 6.3 Diketahui barisan �� ¶ � �� : � ��¶ � �

Rumus eksplisit untuk �� yaitu �� ÀÉa, maka §ts�M²

� �B � §ts�M²� � B � §ts�M²

� � � &

Ini berarti, barisan �� tersebut konvergen ke 0.

6.4 Diketahui barisan �¶ � �� &�: � �:��¶

Rumus eksplisit untuk � yaitu �� bB�bÈa , maka §ts�M²

� 2 � �� §ts�M² � �� 2 §ts�M²

� ��

� �§ts �M² �b�b 2 �§ts �M² �b

� �§ts �M² � 2 & � �

Ini berarti, barisan �� tersebut konvergen ke �. Definisi Kekonvergenan Deret Deret takhingga · ¨��%w� disebut konvergen ke suatu jumlah E jika barisan jumlah-jumlah parsial �E�� dari deret tersebut konvergen ke E. (Stewart 2003) 6.5 Diketahui deret

��%�%w� � � � �� : � �� @

Deret tersebut merupakan deret geometri dengan ¨ � � dan i � , maka jumlah dari

deret tersebut yaitu � � §ts �M² �� ÓBÔ �Ba_ � �. Ini berarti � adalah konvergen ke 2

untuk i � .

Lampiran 7 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah PL-Relaksasi dan Masalah Dual

Beserta Hasil yang Diperoleh

Masalah PL-Relaksasi (3.4) max �ÁÂ � �� &� � :�� (1) terhadap �� :�� " �&� (2) � � � " � (3) (3.4) �� " � (4) & " �̄ " �, � � �� : (5)

Syntax program LINDO 6.1:

max 16x1+10x2+4x4 subject to 8x1+2x2+x3+4x4<=10 x1+x2<=1 x3+x4<=1 x1>=0

x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1 end

Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 18.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 0.000000

34��

�

�

X2 0.000000 0.000000 X4 0.500000 0.000000 X3 0.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1.000000 3) 0.000000 8.000000 4) 0.500000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.500000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 1.000000 0.000000 12) 0.500000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 Jadi, solusi optimum dari PL-relaksasi (3.4) adalah � � �� &� �� &� �� &@< dengan nilai fungsi objektif �ÁÂ � ��.

Masalah PL Dual (3.5) min �&� � Ã � Ã � � � � � �� terhadap �� Ã � � # ��

�� Ã � � # �& (3.5) � � Ã � �� # & :� � Ã �� # : �� Ã� Ã� �� # &

Syntax program LINDO 6.1: min 10u+v1+v2+w1+w2+w3+w4 subject to

8u+v1+w1>=16 2u+v1+w2>=10 u+v2+w3>=0 4u+v2+w4>=4 u>=0

v1>=0 v2>=0 w1>=0 w2>=0 w3>=0 w4>=0 end

Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 18.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST U 1.000000 0.000000 V1 8.000000 0.000000 V2 0.000000 0.500000 W1 0.000000 0.000000 W2 0.000000 1.000000 W3 0.000000 1.000000 W4 0.000000 0.500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -1.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 -0.500000 6) 1.000000 0.000000 7) 8.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2 Jadi, solusi optimum dari PL dual (3.5) adalah � � �� Ã � �� Ã � � � � � �� &, dengan nilai fungsi objektif ��@

Lampiran 8 Penyelesaian Masalah Relaksasi Lagrange (3.6) dengan Menggunakan Persamaan (3.3) dan ÅÊ � H

Contoh 18 max �� 2 �� & 2 �� & 2 �� : 2 �� terhadap �� :�� " �& (2) & " �̄ " �, � � �� : (5) (3.6) �̄ integer,�� : (6) dengan �� # &. Keterangan: Solusi optimum relaksasi Lagrange �̄ diperoleh dengan menggunakan software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 10) � Iterasi ke-0 Inisialisasi awal �� &,�� &� �� &, dan �� @ Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

35��

�

�

u1 u2 Å0 x1 x2� x3� x4� ZD(0,0) Z* 0 0 2 1 1 0 0 26 0

� Iterasi ke-1

�� 2 ��· �, 2 · z%¯*�̄�̄w �

�� 2 &�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

�� 2 &�� 2 J�� K� � �� 2 J��&� � ��&�K� � ��

maka �� s�6y&� �� 2��, 2 +*��| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&��| � �� s�6y&� �� 2��, 2 +*��| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2��| � &. Jadi, iterasi ke-1 diperoleh � � �� dan � � &. Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

u1 u2 Å1 x1 x2� x3� x4� ZD(26,0) Z* 26 0 1 0 0 0 1 30 4

Nilai �� diperoleh dari substitusi solusi nilai �̄ � pada fungsi objektif � masalah IP (3.1). �� &� � :�� &� � �&�&� � :�� :. � Iterasi ke-2 �� 2 ��· �, 2 · z%¯*̄�̄w �

�� & 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

�� & 2 :�� 2 J��&� � ��&�K� � �� 2 J��&� � ��K� � <�� <�

maka �� s�6y&� � 2��, 2 +*�| �� s�6y&�� 2 �<�� 2 J�� K�| �� s�6y&�� 2 �<�� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2��| � & �� s�6y&� � 2��, 2 +*�| �� s�6y&�& 2 �<�� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �<�� 2 J��&� � ��K�| �� s�6y&�&| � &. Jadi, iterasi ke-2 diperoleh � � & dan � � &. Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

u1 u2 Å2 x1 x2� x3� x4� ZD(0,0) Z* 0 0 2 1 1 0 0 26 4

Untuk solusi �̄ tersebut bukan merupakan solusi fisibel �, karena solusi �̄ tersebut tidak memenuhi kendala IP (3.1) yaitu kendala (3). Maka Z* yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ini dipilih �� : agar diperoleh �dan � lainnya.

36��

�

�

� Iterasi ke-3 �� 2 ��· �, 2 · z%¯*̄�̄w �

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J��&� � ��&�K� � ��

maka �� s�6y&� � 2��, 2 +*�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&��| � �� s�6y&� � 2��, 2 +*�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2��| � &. Jadi, iterasi ke-3 diperoleh �� dan �� &. Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

u1 u2 Å3 x1 x2� x3� x4� ZD(22,0) Z* 22 0 2 0 0 0 1 26 4

�� &� � :�� &� � �&�&� � :�� :@ � Iterasi ke-4

�� 2 ��· �, 2 · z%¯*�̄�̄w �

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

�� 2 :�� 2 J��&� � ��&�K� � �� 2 J��&� � ��K� � ::

maka �� s�6y&� �� 2��, 2 +*��| �� s�6y&�� 2 �::�� 2 J�� K�| �� s�6y&�� 2 �::�� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2��| � & �� s�6y&� �� 2��, 2 +*��| �� s�6y&�& 2 �::�� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �::�� 2 J��&� � ��K�| �� s�6y&�&| � & Jadi, iterasi ke-4 diperoleh �� & dan �� &. Solusi yang diperoleh:

u1 u2 Å4 x1 x2� x3� x4� ZD(0,0) Z* 0 0 2 1 1 0 0 26 4

Untuk solusi �̄ tersebut bukan merupakan solusi fisibel �, karena solusi �̄ tersebut tidak

memenuhi kendala IP (3.1) yaitu kendala (3). Maka Z* yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ini dipilih �� : agar diperoleh �dan � lainnya.

� Iterasi ke-5 �� 2 ��· �, 2 · z%¯*�̄�̄w �

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

37��

�

�

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J��&� � ��&�K� � ��

maka ��; � s�6y&� �� 2��, 2 +*��| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&��| � �� ; � s�6y&� �� 2��, 2 +*��| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2��| � & Jadi, iterasi ke-5 diperoleh �; � �� dan �; � &. Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

u1 u2 Å5 x1 x2� x3� x4� ZD(22,0) Z* 22 0 2 0 0 0 1 26 4

�� &� � :�� &� � �&�&� � :�� :@ � Iterasi ke-6

��; � �; ��;� �;� 2 ��· �, 2 · z%¯*;̄�̄w �

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

�� 2 :�� 2 J��&� � ��&�K� � �� 2 J��&� � ��K� � ::

maka �� s�6y&� �; 2��;�, 2 +*;�| �� s�6y&�� 2 �::�� 2 J�� K�| �� s�6y&�� 2 �::�� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2��| � & �� s�6y&� �; 2��;�, 2 +*;�| �� s�6y&�& 2 �::�� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �::�� 2 J��&� � ��K�| �� s�6y&�&| � &. Jadi, iterasi ke-6 diperoleh � � & dan � � &. Dari iterasi di atas diperoleh hasil yang berulang-ulang ke nilai � � &, dan � � & dan tidak diperoleh peningkatan nilai pada � dari iterasi ke-�, maka langkah selanjutnya adalah dilakukan reduksi terhadap �� menjadi �� . Lampiran 9 Penyelesaian Masalah Relaksasi Lagrange (3.6) dengan Menggunakan Persamaan (3.3) dan ÅÊ � 8

Contoh 18 max �� 2 �� & 2 �� & 2 �� : 2 �� terhadap �� :�� " �& (2) & " �̄ " �, � � �� : (5) (3.6) �̄ integer,�� : (6) dengan �� # &. Keterangan: Solusi optimum relaksasi Lagrange �̄ diperoleh dengan menggunakan software LINDO 6.1 (lihat Lampiran 10)

38��

�

�

� Iterasi ke-0 Inisialisasi awal �� &,�� &� �� &, dan �� @ Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

u1 u2 Å0 x1 x2� x3� x4� ZD(0,0) Z*

0 0 1 1 1 0 0 26 0 � Iterasi ke-1

�� 2 ��· �, 2 · z%¯*�̄�̄w �

�� 2 &�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

�� 2 &�� 2 J�� K� � �� 2 J��&� � ��&�K� � ��

maka �� s�6y&� �� 2��, 2 +*��| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�� | � � �� s�6y&� �� 2��, 2 +*��| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2� | � & Jadi, iterasi ke-1 diperoleh � � � dan � � &. Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

u1 u2 Å1 x1 x2� x3� x4� ZD(13,0) Z* 13 0 1 0 0 0 1 17 4

Nilai �� diperoleh dari substitusi solusi �̄ � pada fungsi objektif � masalah IP (3.1).

�� &� � :�� &� � �&�&� � :�� :. � Iterasi ke-2 �� 2 ��· �, 2 · z%¯*̄�̄w �

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

�� 2 :�� 2 J��&� � ��&�K� � �� 2 J��&� � ��K� � � � � �

maka �� s�6y&� � 2��, 2 +*�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2� | � & �� s�6y&� � 2��, 2 +*�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J��&� � ��K�| �� s�6y&�&| � & Jadi, iterasi ke-2 diperoleh � � & dan � � &. Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

u1 u2 Å2 x1 x2� x3� x4� ZD(0,0) Z* 0 0 1 1 1 0 0 26 4

Untuk solusi �̄ tersebut bukan merupakan solusi fisibel �, karena solusi �̄ tersebut tidak memenuhi kendala IP (3.1) yaitu kendala (3). Maka Z* yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ini dipilih �� :, agar diperoleh �dan � lainnya.

39��

�

�

� Iterasi ke-3 �� 2 ��· �, 2 · z%¯*̄�̄w �

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J�� K�

�� 2 :�� 2 J�� K� � �� 2 J��&� � ��&�K� � ��

maka �� s�6y&� � 2��, 2 +*�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&��| � �� s�6y&� � 2��, 2 +*�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J�� K�| �� s�6y&�& 2 �� 2 J��&� � ��&�K�| �� s�6y&� 2��| � & Jadi, iterasi ke-3 diperoleh �� dan �� &. Solusi optimum relaksasi Lagrange yang diperoleh:

u1 u2 Å3 x1 x2� x3� x4� ZD(11,0) Z* 11 0 1 1 0 1 0 16 16

�� &� � :�� &�&� � :�� @ Pada iterasi ke-3 diperoleh nilai ��&� � �� , maka untuk iterasi ke-3, ke-4, dan seterusnya akan diperoleh nilai pengali Lagrange yang sama nilainya yaitu u1=11 dan u2=0. Karena ��&� � �� , maka solusi untuk memecahkan masalah ini adalah dengan membatasi jangkauan iterasi sampai batas yang ditetapkan. Untuk iterasi ini dibatasi sampai iterasi ke-3. Lampiran 10 Syntax Program LINDO 6.1 untuk Menyelesaikan Masalah Relaksasi Lagrange (3.6) Beserta

Hasil yang Diperoleh

Contoh 18 Diketahui: max �� =�� 2 �� & 2 �� & 2 �� : 2 �� terhadap �� :�� " �&��(2) & " �̄ " �, � � �� : (5) (3.6) �̄ integer, � � �� :�� (6) dengan �� # &. � Jika � � &�� &, maka

max��&�&� � �� &� � &�� :�� &. Syntax program LINDO 6.1: max 16x1+10x2+0x3+4x4 subject to 8x1+2x2+x3+4x4<=10 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1

x3<=1 x4<=1 end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: NEW INTEGER SOLUTION OF 26.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 26.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -16.000000 X2 1.000000 -10.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 0.000000 -4.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000

40��

�

�

7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 BRANCHES= 0 DETERM.=1.000E 0 Jadi, solusi �̄ yang diperoleh adalah � � � � �� & sehingga nilai fungsi objektif ��&�&� � ��.

� Jika � � �� &, maka max ��&� � �2�&� 2 �� &�� :�� . Syntax program LINDO 6.1: max -10x1-16x2+0x3+4x4 subject to 8x1+2x2+x3+4x4<=10 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1 end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE VALUE = 4.00000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 4.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 1 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 10.000000 X2 0.000000 16.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 1.000000 -4.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 6.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 1.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 1 BRANCHES=0 DETERM.= 1.000E 0

Jadi, solusi �̄ yang diperoleh adalah � � � � �� &� �� sehingga nilai fungsi objektif ��&� � : � �� &.

� Jika � � �� &, maka max��&� � 2�� 2 �� &�� :�� . Syntax program LINDO 6.1: max -6x1-12x2+0x3+4x4 subject to 8x1+2x2+x3+4x4<=10 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1 end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE VALUE = 4.00000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 4.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 1 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 6.000000 X2 0.000000 12.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 1.000000 -4.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 6.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 1.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=1 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, solusi �̄ yang diperoleh adalah � � � � �� &� �� sehingga nilai fungsi objektif ��&� � : � �� .

41��

�

�

� Jika � � � �� &, maka max�� &� � � � 2 � � &�� :�� . Syntax program LINDO 6.1: max 3x1-3x2+0x3+4x4 subject to 8x1+2x2+x3+4x4<=10 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1 end int x1 int x2 int x3 int x4

Hasil yang diperoleh:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE VALUE = 6.25000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 4.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 2 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 -3.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 1.000000 -4.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 6.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 1.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Jadi, solusi �̄ yang diperoleh adalah � � � � �� &� �� sehingga nilai fungsi objektif �� &� � : � � � ��.

� Jika � � �� &, maka max��&�&� � <� 2 �� &�� :�� . Syntax program LINDO 6.1: max 5x1-1x2+0x3+4x4 subject to 8x1+2x2+x3+4x4<=10 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1 end int x1 int x2 int x3 int x4 Hasil yang diperoleh; LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = 7.75000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 5.00000000 AT BRANCH 0 PIVOT 3 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.000000 -5.000000 X2 0.000000 1.000000 X3 1.000000 0.000000 X4 0.000000 -4.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 BRANCHES= 0 DETERM.=1.000E 0

Jadi, solusi �̄ yang diperoleh adalah � � �� & sehingga nilai fungsi objektif ��&� � < � �� .

Date post:	23-Mar-2019
Category:	Documents
Upload:	dinhdien
View:	221 times
Download:	0 times

Penyelesaian Masalah Integer Programming dengan Metode ... · kendaraan dan perancangan sistem...

Documents