1

Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger menggunakan AIM untuk Potensial Scarf II

Terdeformasi-q Plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik

Fery Widiyanto, Suparmi, dan Cari Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sebelas Maret

Jl. Ir Sutami 36 A Surakarta

widiyantofery230@gmail.com

ABSTRACT Solution of the Schrӧdinger Equation for combined Pӧschl-Teller Potential, q deformed Scarf II

Potential and Scarf Trigonometric Potential using Asymptotic Iteration Method (AIM). The

combination of the three potential is substituted into the Schrӧdinger Equation is independent of

time, then the separation of variables into radial part, and anguler part and azimuth part. Radial,

anguler and azimuth part equation solved by reducing them to the hipergeometry intermediaries

equation, to further resolved to follow the AIM. With the AIM, the energy equation and the

number equations inovolved 𝜆1 at anguler part and 𝜆2 at azimuth part can be obtained, where both

are interrelated between quantum numbers. Energy equation also numerically solved using Matlab

software, where the increase in the radial quantum number 𝑛𝑟 causes increase and decrease in the

energy. Radial part of the wave function and the angular are defined as hipergeometry functions

and visualized with Matlab software. The results show that the disturbance of Poschl-Teller

potential and Trigonometric Scarf Potential change probability in the wave function of the radial

part and the wave function of the angular and azimuth part.

Keywords: Schrӧdinger equation, Pöschl-Teller potential, deformed-q Scarf II potential,

Trigonometric Scarf Trigonometric, Asymptotic Iteration Method.

ABSTRAK Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger kombinasi potensial Poschl-Teller, potensial Scarf II

terdeformasi-q dan potensial Scarf Trigonometri menggunakan Asymptotic Iteration Method

(AIM). Kombinasi dari ketiga potensial disubstitusikan ke dalam persamaan Schrӧdinger tak

bergantung waktu, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi bagian radial, sudut anguler,

dan sudut azimuth. Persamaan bagian radial, sudut anguler dan azimut ini diselesaikan dengan

mereduksi menjadi persamaan perantara hipergeometri, untuk selanjutnya diselesaikan mengikuti

AIM. Dengan AIM, persamaan energi dan persamaan bilangan yang melibatkan 𝜆1 untuk bagian

sudut anguler dan 𝜆2 untuk bagian azimuth dapat diperoleh, dimana keduanya saling berkaitan

antar bilangan kuantum. Persamaan energi diselesaikan pula secara numerik menggunakan

sofware Matlab, dimana kenaikan bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 menyebabkan kenaikan dan

penurunan nilai energi. Fungsi gelombang bagian radial dan bagian sudut ditentukan dalam bentuk

fungsi hipergeometri dan divisualisasikan dengan software Matlab. Hasilnya menunjukkan bahwa

gangguan yang dilakukan potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri mengakibatkan

perubahan probabilitas pada fungsi gelombang bagian radial dan fungsi gelombang bagian sudut

anguler dan azimuth.

Kata kunci: persamaan Schrӧdinger, potensial Pöschl-Teller, potensial Scarf II terdeformasi-q,

potensial Scarf Trigonometrik, metode iterasi asimtot.

2

PENDAHULUAN

Persamaan Schrodinger adalah persamaan gelombang sebagai representasi elektron atau

partikel. Solusi untuk persamaan Schrodinger memperoleh fungsi gelombang yang nantinya

digunakan untuk mengetahui bagaimana perilaku elektron. Persamaan ini dapat diselesaikan

dalam bentuk persamaan energi dan fungsi gelombang suatu sistem partikel. Beberapa jenis

potensial, terutama jenis penyelesaian eksak dari persamaan Schrodinger ini hanya mungkin

untuk momentum sudut = 0. Tetapi pada saat momentum sudutnya ≠ 0 maka persamaan

Schrodinger hanya dapat diselesaikan melalui sebuah pendekatan metode yang sesuai seperti

metode Iterasi Asimptotik, metode ekspansi 1

𝑁, metode Nikiforov-Uvarov,dan metode

Supersimetri di mekanika kuantum [1]. Dalam mekanika kuantum, digunakan pendekatan

yang berbeda-beda dalam menentukan besaran yang terkait dengan gerak partikel.

Penyelesaian fungsi gelombang dari partikel yang bergerak dapat diperoleh menggunakan

persamaan Schrodinger.[2] Persamaan Schrodinger untuk potensial Scarf II terdeformasi q

plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf Trigonometrik dapat diselesaikan

menggunakan metode Iterasi Asimptotik karena metode ini dapat menyelesaikan semua jenis

potensial bagian radial, sudut, dan azimut.

Metode penyelesaian persamaan Schrodinger untuk suatu partikel yang bermuatan pada

potensial sentral dan non sentral telah dikembangkan Metode Iterasi Asimptotik.

Penyelesaian potensial non sentral untuk potensial Poschl-Teller, potensial Scarf II

terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik disubstitusikan ke persamaan Schrodinger

dalam bentuk koordinat bola.

Dalam penelitian ini fungsi gelombang dan energi menggunakan persamaan Schrodinger

dalam bentuk ruang 3 dimensi. Jenis potensial yang digunakan untuk penyelesaian persamaan

Schrodinger untuk ruang 3 dimensi ini antara lain Potensial Pӧschl-Teller, Potensial Scarf II

terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trignometrik. Persamaan energi dan fungsi gelombang

persamaan Schrӧdinger dapat divisualisasikan melalui listing program menggunakan

Software Matlab 7.1.

METODOLOGI PENELITIAN

Alat dab Bahan Penelitian

Penelitian ini menggunakan seperangkat laptop LENOVO dan sofware Matlab 7.1. Bahan

yang diteliti adalah persamaan Schrӧdinger untuk kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q

plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometrik, dimana penyelesaiannya

menggunakan Metode Iterasi Asimptotik.

Studi literatur

Dalam penelitian ini, dilakukan studi literatur terkait persamaan Schrӧdinger untuk

kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf

Trigonometri. Selain itu, juga dilakukan studi literatur terkait metode Iterasi Asimtot yang

akan digunakan untuk menyelesaikan potensial-potensial tersebut sehingga diperoleh

persamaan energi dan fungsi gelombang bagian radial, sudut anguler, dan sudut azimuth.

Penulisan Persamaan Schrӧdinger Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasi-q plus

Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik.

Pada tahapan ini dilakukan penulisan persamaan kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q

plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometrik yang diperoleh dari studi

literatur. Kombinasi ketiga potensial tersebut adalah sebagai berikut:

3

𝑉(𝑟, 𝜃, 𝜑) = ћ2

2𝑚[𝛼2 (

𝑏2+𝑎(𝑎+1)

𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞2𝛼𝑟

−2𝑏(𝑎+

1

2)𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞𝛼𝑟

𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞2𝛼𝑟

) + (𝑘(𝑘−1)

𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃+

𝜆(𝜆−1)

𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃) +

1

𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃(

𝐵2+𝐴(𝐴−1)

𝑐𝑜𝑠2𝜑+

2𝐵(𝐴−1

2) 𝑠𝑖𝑛 𝜑

𝑐𝑜𝑠2𝜑) ] (1)

Untuk k, λ merupakan konstanta kedalaman pada potensial Poschl-Teller, sedangkan a, b ,α

merupakan konstanta kedalaman pada potensial Scarf II dan A, B merupakan konstanta pada

kedalaman potensial Scarf Trignometrik.

Penulisan Persamaan Schrӧdinger Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasi-q plus

Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometri dengan Koordinat Bola untuk

gabungan bagian radial, sudut anguler, dan sudut azimuth.

Penentuan Persamaan Schrӧdinger dalam koordinat bola dari kombinasi potensial Scarf II

(𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼) terdeformasi-q plus potensial Pӧschl-Teller (𝑉𝑃𝑇) dan potensial Scarf Trigonometrik (𝑉𝑆𝐹) sebagai berikut:

𝑉𝑃𝑇(𝜃)= ћ2

2𝑚(

𝑘(𝑘−1)

𝑠𝑖𝑛2𝜃+

𝜆(𝜆−1)

𝑐𝑜𝑠2𝜃) (2)

𝑉𝑆𝐹(𝑟)= ћ2

2𝑚𝛼2 (

𝑏2+𝑎(𝑎+1)

𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞2𝛼𝑟

−2𝑏(𝑎+

1

2)𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞𝛼𝑟

𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞2𝛼𝑟

) (3)

𝑉𝐺𝐼𝑉 (𝜑) = ћ2

2𝑚(

𝐵2+𝐴(𝐴−1)

𝑐𝑜𝑠2𝜑+

2𝐵(𝐴−1

2) 𝑠𝑖𝑛 𝜑

𝑐𝑜𝑠2𝜑) (4)

1

𝑅(𝑟)

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2 𝜕

𝜕𝑟𝑅(𝑟)) +

1

sin 𝜃

1

𝛩(𝜃)

𝜕

𝜕𝜃(sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃𝛩(𝜃)) +

1

𝑠𝑖𝑛2𝜃

1

𝜙(𝜑)

𝜕2

𝜕𝜑2 𝜙(𝜑) −

2𝑚

ћ2 𝑟2𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼 (𝑟) − 2𝑚

ћ2 𝑉𝑃𝑇 (𝜃) −2𝑚

ћ2 𝑉𝑆𝐹𝑇(𝜑)

𝑠𝑖𝑛2𝜃= −

2𝑚𝑟2

ћ2 𝐸 (5)

untuk persamaan (4) dipisahkan menjadi persamaan Schrӧdinger bagian radial, bagian sudut

anguler dan sudut azimuth. Untuk bagian radial, hasilnya sebagai berikut: 1

𝑅(𝑟)

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2 𝜕

𝜕𝑟𝑅(𝑟)) −

2𝑚

ћ2 𝑟2(𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼 (𝑟) − 𝐸) − 𝜆1 = 0 (6)

sedangkan untuk bagian angular ditunjukkan pada Persamaan (4),

𝑠𝑖𝑛 𝜃1

𝛩(𝜃)

𝜕

𝜕𝜃(𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝜕

𝜕𝜃𝛩(𝜃)) −

2𝑚

ћ2 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑉𝑃𝑇 (𝜃) + 𝜆1𝑠𝑖𝑛2𝜃 − 𝜆2 = 0 (7)

dan bagian sudut azimut dinyatakan pada Persamaan (5): 1

𝜙(𝜑)

𝜕2

𝜕𝜑2 𝜙(𝜑) − 2𝑚

ћ2 𝑉𝑆𝐹𝑇(𝜑) + 𝜆2 = 0 (8)

Penentuan Fungsi Energi dan Fungsi Gelombang untuk bagian Radial, Anguler dan

Azimuth Persamaan Schrӧdinger dengan Koordinat Bola untuk Kombinasi Potensial

Scarf II Terdeformasi-q plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik

Persamaan bagian radial yang ditunjukkan pada Persamaan (6), sedangkan bagian angular

pada Persamaan (7) dan bagian azimuth pada Persamaan (8) akan direduksi menjadi

persamaan perantara hipergeometri dengan pemisalan variabel yang sesuai ditunjukkan pada

persamaan (9)[2] :

𝐹(𝑧) = 𝑧𝛼(1 − 𝑧)𝛽𝑓(𝑧) (9)

dari Persamaan (9) ditransformasikan ke persamaan diferensial orde dua tipe AIM sebagai

berikut [3]:

𝑓′′(𝑥) − 𝜆0(𝑥)𝑓′(𝑥) − 𝑠𝑜(𝑥)𝑓(𝑥) = 0 (10)

dari langkah tersebut, maka bisa diperoleh nilai 𝜆0 dan 𝑠𝑜, untuk kemudian dilakukan iterasi dengan mengacu persamaan (10) berikut ini[4]:

4

𝜆𝑖(𝑥) = 𝜆𝑖−1′ + 𝜆𝑖−1𝜆0 + 𝑠𝑖−1

𝑠𝑖(𝑥) = 𝑠𝑖−1′ + 𝑠𝑜𝜆𝑖−1 (11)

𝑖 = 1,2,3, …

selanjutnya harga nilai eigen dapat dicari dengan Persamaan (12) berikut:

𝜆𝑖(𝑥)𝑠𝑖−1(𝑥) − 𝜆𝑖−1(𝑥)𝑠𝑖(𝑥) = 0 = ∆𝑖, 𝑖 = 1,2,3 …. (12)

sementara untuk menetukan fungsi eigen untuk penentuan fungsi gelombang, digunakan

Persamaan (12)[5]:

𝑓(𝑥) = 𝐶′𝑒− ∫ 𝛼𝑛(𝑥)𝑑𝑥 (13)

untuk 𝐶′ merupakan konstanta normalisasi dari Persamaan (13) dengan menggunakan aspek

asimtotik dari metode iterasi untuk nilai 𝑖, nilai ∆ didefinisikan sebagai: 𝑠𝑖

𝜆𝑖=

𝑠𝑖−1

𝜆𝑖−1≡ ∆ (14)

Persamaan (13) dapat digeneralisasikan menjadi Persamaan (15), diperoleh: 𝑓(𝑥) = (−1)𝑛𝐶′(𝑁 + 2)𝑛(𝜎)𝑛2𝐹1(−𝑛, 𝑝 + 𝑛, 𝜎, 𝑏𝑥𝑁+2) (15)

dimana,

(𝜎)𝑛 =Γ(𝜎+𝑛)

Γ(𝜎), 𝜎 =

2𝑐+𝑁+3

𝑁+2 𝑝 =

(2𝑐+1)𝑏+2𝑡

(𝑁+2)𝑏 (16)

Parameter-parameter pada Persamaan (16), diperoleh dengan membandingkan antara

persamaan tipe AIM yang terbentuk untuk bagian radial ataupun sudut bagian anguler dan

azimuth dengan Persamaan (16), yaitu[6]:

𝑓′′(𝑥) = 2 (𝑡𝑥𝑁+1

1−𝑏𝑥𝑁+2 −𝑐+1

𝑥) 𝑓′(𝑥) −

𝑊𝑥𝑁

1−𝑏𝑥𝑁+2 (17)

sehingga dapat diperoleh eigen energi dan fungsi gelombang dari Persamaan Schrodinger

untuk kombinasi potensial potensial Scarf II terdeformasi-q plus Poschl-Teller dan potensial

Scarf trigonometrik. Visualisasi Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang dengan Software Matlab 7.1

Hasil perhitungan yang diperoleh untuk fungsi gelombang dan energi yang nilainya

bergantung pada bilangan kuantum dan konstanta potensial diselesaikan secara numerik dan

divisualisasikan dengan software Matlab 7.1. yaitu dengan memasukkan angka ke dalam

masing-masing bilangan kuantum dan konstanta potensial yang mempengaruhi fungsi

gelombang dan fungsi energi.

Analisis Energi dan Fungsi Gelombang

Analisis yang dilakukan adalah analisis secara teori dari kombinasi potensial potensial Scarf

II terdeformasi-q plus Poschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri menggunakan metode

iterasi asimtot. Berdasarkan persamaan energi dan fungsi gelombang yang diperoleh

dilakukan analisis bagaimana pengaruh keberadaan potensial potensial Scarf II terdeformasi-

q plus Poschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri terhadap fungsi gelombang dan energi

persamaan Schrӧdinger.

Kesimpulan

Penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan penyelesaian fungsi gelombang dan energi,

serta visualisasi yang diperoleh. HASIL DAN PEMBAHASAN

Penyelesaian Bagian Radial dari Kombinasi Potensial Scarf II terdeformasi-q plus

Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik

Persamaan bagian radial ditunjukkan pada Persamaan (6) diselesaikan dengan pendekatan

berikut:

1

𝑟²≈

𝛼2

𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞2𝛼𝑟

=1

4𝑞𝑧(𝑧−1) (18)

dengan mensubstitusikan Persamaan (18) ke Persamaan (6) dan dengan menyederhanakan

persamaan serta dilakukan subtitusi variabel 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞𝛼𝑟 = (1 − 2𝑧)√𝑞, dapat diperoleh:

5

𝑧(1 − 𝑧)𝜕2

𝜕𝑧2 𝑈(𝑧) +1

2(1 − 2𝑧)

𝜕

𝜕𝑧𝑈(𝑧) + [

(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1)

𝑞

4𝑧+

(−𝑏−2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1)

𝑞

4(1−𝑧)−

2𝑚𝐸

ћ2𝛼2] 𝑈(𝑧) = 0 (19)

Persamaan (19) harus direduksi ke persamaan perantara hipergeometri, dengan substitusi

variabel berikut:

𝑈(𝑧) = 𝑧𝜌(1 − 𝑧)𝛽𝑓(𝑧) (20) sehingga Persamaan (19) menjadi:

𝑧(1 − 𝑧)𝑓′′(𝑧) + [(2 𝜌 +1

2) − (2𝜌 + 2𝛽 + 1)𝑧] 𝑓′(𝑧) + [

𝜌2−1

2𝜌

𝑧+

𝛽2−1

2𝛽

1−𝑧− 𝜌2 − 𝛽2 −

2𝜌𝛽 +

(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1)

𝑞

4𝑧+

(−𝑏−2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1)

𝑞

4(1−𝑧)−

2𝑚𝐸

ћ2𝛼2] 𝑓(𝑧) = 0 (21)

dimana,

𝜌 =1

4−

1

2 √

−(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1)

𝑞+

1

4 (22)

𝛽 =1

4−

1

2√

(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+ (𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1)

𝑞+

1

4 (23)

untuk diselesaikan menggunakan AIM, maka Persamaan (21) harus ditransformasi dalam

bentuk persamaan diferensial tipe AIM seperti ditunjukkan pada Persamaan (10), maka

Persamaan (20) harus dikalikan dengan 1

𝑧(1−𝑧), sehingga diperoleh:

𝑓′′(𝑧) + [(2 𝜌+

1

2)−(2𝜌+2𝛽+1)𝑧

𝑧(1−𝑧)] 𝑓′(𝑧) + [

−2𝑚𝐸

ћ2𝛼2−(𝜌+𝛽)2

𝑧(1−𝑧) ] 𝑓(𝑧) = 0 (24)

Persamaan (24) sudah sesuai dengan persamaan tipe AIM seperti Persamaan (10), sehingga

dapat diperoleh,

𝜆0(𝑧) =(2𝜌+2𝛽+1)𝑧−(2𝜌+

1

2)

𝑧(1−𝑧) (25)

𝑠𝑜(𝑧) = (𝜌+𝛽)2+

2𝑚𝐸

ћ2𝛼2

𝑧(1−𝑧) (26)

Selanjutnya dilakukan iterasi nilai 𝜆𝑖 dan 𝑠𝑖, dimana i menyatakan iterasi, untuk mendapatkan nilai eigen dari persamaan. Dengan menggunakan Persamaan (11), eigen nilai energi dapat

diperoleh. Penyelesaian iterasi yang mengacu Persamaan (11) diselesaikan menggunakan

software Matlab, yang hasilnya adalah sebagai berikut:

∆0 𝜀0 = (𝜌 + 𝛽)2

∆1 𝜀1 = (2𝜌 + 2𝛽 + 1) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 1)2

∆2 𝜀2 = (4𝜌 + 4𝛽 + 4) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 2)2

∆3 𝜀3 = (6𝜌 + 6𝛽 + 9) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 3)2

∆4 𝜀4 = (8𝜌 + 8𝛽 + 16) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 4)2 (26)

dan seterusnya hingga ∆𝑖. Persamaan (26), dapat digeneralisasikan menjadi:

∆𝑛 𝜀𝑛 = (𝜌 + 𝛽 + 𝑛𝑟)2 (27)

sehingga persamaan energi dengan mensubstitusikan Persamaan (22) dan Persamaan (23),

diperoleh:

6

𝐸 = −𝛼2 (1

2−

1

2 √

−(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1)

𝑞+

1

4−

1

2√

(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1)

𝑞+

1

4 + 𝑛𝑟)

2

(28)

dimana nr adalah bilangan kuantum radial (𝑛𝑟 = 0,1,2 …) dan 𝜆1 merupakan bilangan kuantum orbital yang diperoleh dari penyelesaian eigen nilai bagian sudut anguler pada persamaan

(28), yaitu:

𝜆1 = −1

4 +4 (

1

2−

1

2√𝜆2 + 𝑘(𝑘 − 1) + (

1

2𝜆 −

1

4) + 𝑛𝜃)

2

(29)

dan 𝜆2 merupakan bilangan kuantum orbital yang diperoleh eigen nilai bagian sudut azimut

pada persamaan (29), yaitu:

𝜆2 = 𝐴 + 𝑛𝜑 (30)

Persamaan energi yang diperoleh pada Persamaan (28) merupakan persamaan energi secara

analitis, dan untuk lebih memahami maknanya, maka dilakukan penyelesaian secara numerik

menggunakan bantuan Matlab yang hasilnya ditunjukkan pada Gambar 1.

Tingkat energi (1/fm) dari partikel yang dipengaruhi oleh Potensial Scarf II trigonometrik

untuk variasi α.

Gambar 1

Gambar 1

Dari Gambar 1 di atas ditunjukkan bahwa kulit atom yang terkait bilangan

kuantum 𝑛𝑟 menyebabkan nilai energi pada saat 𝑛𝑟 = 0,1,2 semakin meningkat dan akan

mencapai maksimum energi 𝐸 bernilai negatif yang akan mengikat suatu elektron pada sub

kulit 𝑛𝑟 untuk variasi 𝛼 pada saat nilai 𝑛𝑟=2. Energi ini dapat menggambarkan kekuatan inti atom yang mengikat elektron akan semakin kuat ketika jangkauan kulit atomnya berkisar

antara nilai 0 ≤ 𝑛𝑟 ≤ 2 , kemudian pada saat nilai sub kulit 𝑛𝑟 = 3 sampai 𝑛𝑟 = ∞ nilai

energi 𝐸 pun semakin menurun. Hal ini akan menggambarkan kekuatan inti atom yang

mengikat elektron semakin lemah pada saat sub kulit atom dari bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 =3 menuju ke 𝑛𝑟 = ∞. Nilai energi untuk variasi α pada Potensial Scarf II terdeformasi-q

bahwa nilai energi menurun sangat tajam ketika berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 5 dibandingkan

dengan nilai energi yang menurun sangat kecil ketika berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 2. Hasil tersebut menggambarkan enegi ikatan elektron yang bergerak selama menggambarkan

subkulit- 𝑛𝑟 tertentu menyebabkan nilai energi tersebut bergerak secara parabola dan

7

mencapai titik tertinggi berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 2. Untuk subkulit 𝑛𝑟 adalah 3 menuju ke tak hingga hasil spektrum energi tersebut sesuai dengan teori atom Bohr yang menyatakan

bahwa besar nilai energi tersebut akan berbanding terbalik dengan subkulit atomnya.

Hasil dari penyelesaian numerik menggunakan software Matlab untuk Persamaan (28) yaitu

persamaan energi menunjukkan bahwa kenaikan konstanta 𝑎, 𝑏 , deformasi 𝑞 , konstanta 𝛼

pada potensial Scarf II, kenaikan konstanta 𝜅, 𝜂 pada potensial Poschl-Teller, dan kenaikan konstanta A dan B pada potensial Scarf Trignometrik menyebabkan energi naik mencapai

titik tertinggi pada saat bilangan kuantum radialnya (𝑛𝑟 = 2). Selanjutnya untuk menentukan fungsi gelombang radial, yaitu dengan membandingkan

Persamaan (24) dan Persamaan (17), diperoleh:

𝑐 = 𝜌 −3

4 , 𝑁 = −1 , 𝑡 = 𝛽 +

1

4 , 𝑏 = 1 (31)

mengacu dari Persamaan (16) maka diperoleh,

𝜎 = 2𝑐+𝑁+3

𝑁+2= 2𝜌 +

1

2 dan 𝑝 =

( 2𝑐+1 )𝑏+2𝑡

(𝑁+2)𝑏= 2𝜌 + 2𝛽 (32)

Sehingga dapat diperoleh fungsi gelombang radial,

𝑓(𝑧) = (−1)𝑛𝑟𝐶′(1)𝑛𝑟(2𝜌 + 1

2 )𝑛𝑟 2𝐹1 (−𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟 , 2𝜌 +

1

2 , 𝑧) (33)

Persamaan (33) disubtitsikan ke Persamaan (20), sehingga diperoleh fungsi gelombang radial,

yaitu:

𝐹(𝑧) = 𝑧𝜌(1 − 𝑧)𝛽(−1)𝑛𝑟𝐶′(1)𝑛𝑟(2𝜌 + 1

2 )𝑛𝑟 2𝐹1 (−𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟 , 2𝜌 +

1

2 , 𝑧) (34)

dimana 𝑧 =1

2−

1

2

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞𝛼𝑟

√𝑞 dan 1 − 𝑧 =

1

2+

1

2

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞𝛼𝑟

√𝑞 , maka fungsi gelombang diperoleh:

𝐹(𝑅) = (1

2)

𝜌+𝛽

(1 −𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞𝛼𝑟

√𝑞)

𝜌

(1 +𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞𝛼𝑟

√𝑞)

𝛽(−1)𝑛𝑟𝐶′(1)𝑛𝑟(2𝜌 +

1

2 )𝑛𝑟 2𝐹1 (−𝑛𝑟, 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟, 2𝜌 +

1

2 ,

1

2−

1

2

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞𝛼𝑟

√𝑞) (35)

𝐶′adalah konstanta normalisasi radial. Sementara 2𝐹1 merupakan fungsi hypergeometric

dan (2𝜌 + 1

2 )𝑛𝑟

adalah simbol Pochamer.

Persamaan (35) merupakan penyelesaian analitis fungsi gelombang radial tak ternormalisasi,

dimana dengan software Matlab diperoleh hasil grafik yang ditampilkan pada Gambar 2.

8

(a) (b)

(c) (d)

Gambar 2

Gambar 2. Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi persamaan Schrodinger untuk potensial Poschl-Teller,

potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometri (a).variasi nr (b) variasi a (c) variasi 𝑘 (d)

variasi 𝐵

Gambar 2.a.. menggambarkan fungsi gelombang bagian radial untuk variasi nilai 𝑛𝑟 semakin

naik untuk kondisi keadaan dasar 𝑛𝑟 = 0, sesuai penelitian yang dilakukan oleh (Aisyah, 2014)[7] hal ini disebabkan fungsi gelombang radial dalam penelitian ini mengakibatkan pada

keadaan dasar 𝑛𝑟 = 0 dan 𝑛𝑟 = 1 menggambarkan probabilitas distribusi normal yang terbentuk mendapatkan tinggi amplitudo tertentu ketika dibandingkan dengan nilai bilangan

kuantum 𝑛𝑟 = 2 nilai fungsi gelombang tersebut menunjukkan amplitudo gelombang yang

terbentuk akan menuju ke tak terhingga. Dari pengamatan pada Gambar 2.a. menunjukkan

tinggi amplitudo yang paling besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa semakin tinggi kulit

atom dari keadaan dasar pada bilangan kuantum 𝑛𝑟 = 0 menuju ke bilangan kuantum 𝑛𝑟 =2, maka jarak partikel tersebut akan makin jauh terhadap pusat dimana keadaan partikel menggambarkan probabilitas yang sangat tajam, sehingga jarak antar partikel tersebut

semakin jauh terhadap inti pusat.

Gambar 2.b. partikel Schrӧdinger mengalami gangguan dari potensial Scarf II pada variasi

kedalaman a yang menyebabkan fungsi gelombang terganggu, hal ini dipengaruhi oleh

9

panjang sumur a yang menyebabkan nilai probabilitasnya berubah dengan perbedaan yang

sangat kecil dan fungsi gelombang yang dibentuk akan menuju ke tak terhingga ketika

pengaruh kedalaman pada panjang sumur a diperpanjang. Partikel pada keadaan Potensial

Scarf II menyebabkan berubahnya keadaan probabilitas dari partikel semakin terganggu

karena Potensial Scarf II berubah menjadi bebas, sehingga energi ikatnya semakin kecil.

Serta jarak partikel terhadap inti pada kulit atom juga berubah.

Gambar 2.c. partikel Schrӧdinger mengalami gangguan pada Potensial Pӧschl-Teller akibat

pengaruh dari panjang sumur 𝑘 yang menyebabkan fungsi gelombang juga terganggu, hal ini

pula dipengaruhi oleh panjang sumur 𝑘 yang menyebabkan nilai probabilitasnya berubah

dengan perbedaan posisi yang relatif sangat kecil dan fungsi gelombang yang dibentuk akan

menuju ke tak terhingga ketika pengaruh kedalaman pada panjang sumur k diperpanjang.

Partikel pada keadaan Potensial Poschl-Teller menyebabkan berubahnya keadaan probabilitas

dari partikel semakin terganggu karena Potensial Poschl-Teller mengalami gangguan yang

menjadi bebas, sehingga energi ikatanya semakin kecil. Serta jarak partikel terhadap inti pada

kulit atom juga berubah

Gambar 2.d. bahwa fungsi gelombang bagian radial untuk variasi konstanta 𝐵 pada Potensial Scarf Trigonometrik nilai probabilitasnya menurun dalam perbedaan probabilitasnya relatif

sangat kecil, hal ini disebabkan fungsi gelombang radial dalam penelitian ini menggambarkan

probabilitas distribusi normal turun yang sangat tajam ketika konstanta 𝐵 nya diperpanjang, fungsi gelombang tersebut menunjukkan bahwa amplitudo gelombang yang terbentuk akan

menuju ke tak terhingga ke arah nilai negatif sehingga Amplitudo tersebut akan makin

berkurang. Pada hasil pengamatan menunjukkan bahwa semakin tinggi pengaruh Potensial

Scarf Trigonometrik pada parameter konstanta 𝐵, maka nilai probabilitasnya juga akan turn

dan jarak partikel tersebut akan makin jauh terhadap pusat dimana keadaan partikel

menggambarkan probabilitas akan turun tajam, sehingga jarak antar partikel tersebut semakin

jauh terhadap intinya.

Penyelesaian Bagian Sudut Anguler untuk Kombinasi Potensial Poschl-Teller

Terdeformasi-q plus Potensial Scarf II dan Potensial Scarf Trigonometri

Bagian anguler dari Persamaan (7). Dengan melakukan subtitusi variabel Θ =H

√sin θ

serta dilanjutkan penyederhanaan dimana 𝛩(𝜃) = 𝑇(𝜃)

𝑠𝑖𝑛12𝜃

, maka diperoleh:

𝑇′′(𝜃) + (1

4−𝜆2−𝑘(𝑘−1)

𝑠𝑖𝑛2𝜃 −

𝜆(𝜆−1)

𝑐𝑜𝑠2𝜃+ 𝜆1 +

1

4 ) 𝑇(𝜃) = 0 (36)

Selanjutnya, dilakukan subtitusi variabel untuk mereduksi Persamaan (36) menjadi

persamaan tipe hipergeometri. Subtitusi variabel yang digunakan yaitu:

𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 𝑧 (37)

Dengan mensubtitusikan Persamaan (37) yang disesuaikan dengan parameter yang sesuai

dengan Persamaan (36), maka Persamaan (36) menjadi:

𝑧(1 − 𝑧)𝜕2𝑇(𝑧)

𝜕𝑧2 +1

2(1 − 2𝑧)

𝜕𝑇(𝑧)

𝜕𝑧+ (

1

4−𝜆2−𝑘(𝑘−1)

4 𝑧 −

𝜆(𝜆−1)

4(1−𝑧)+

𝜆1+1

4

4) 𝑇(𝑧) = 0

(38)

Persamaan (38) harus dibawa ke persamaan tipe AIM yaitu dengan melakukan subtitusi

pemisalan fungsi gelombang sebagai berikut:

𝑇(𝑧) = 𝑧𝛾(1 − 𝑧)𝜔𝑓(𝑧) (39) Dengan mensubtitusikan Persamaan (39) ke dalam Persamaan (38), serta dilakukan operasi

penyederhanaan, maka diperoleh persamaan perantara hipergeometri bagian anguler berikut,

10

𝑧(1 − 𝑧)𝑓′′(𝑧) + [(2𝛾 +1

2) − (2𝛾 + 2 𝜔 + 1)𝑧] 𝑓′(𝑧) + [𝛾(𝛾 − 1)

(1−𝑧)

𝑧+

𝜔(𝜔 − 1)𝑧

1−𝑧 − 2𝛾𝜔 +

1

2𝛾

1

𝑧−

1

2𝜔

1

1−𝑧− 𝛾 + 𝜔

𝑧

1−𝑧+

1

4−𝜆2−𝑘(𝑘−1)

4 𝑧 −

𝜆(𝜆−1)

4(1−𝑧)+

𝜆1+1

4

4] 𝑓(𝑧) = 0 (40)

dimana,

𝛾 =1

4±

1

2√𝜆2 + 𝑘(𝑘 − 1) (41)

𝜔 =1

4± (

1

2𝜆 −

1

4) (42)

Persamaan (40) diubah ke persamaan diferensial tipe AIM dengan dikalikan 1

𝑧(1−𝑧) ,

diperoleh:

𝑓′′(𝑧) + [(2𝛾+

1

2)−(2𝛾+2 𝜔+1)𝑧

𝑧(1−𝑧)] 𝑓’(𝑧) + [

𝜆1+14

4−(𝛾+𝜔)2

𝑧(1−𝑧) ] 𝑓(𝑧) = 0 (43)

Selanjutnya Persamaan (40) diselesaikan mengikuti metode iterasi asimtot, dimana eigen

nilai persamaan (40) menghasilkan persamaan bilangan kuantum orbital sebagai berikut:

(𝛾 + 𝜔 + 𝑛𝜃)2 =𝜆1+

1

4

4 (44)

dimana 𝑛𝜃 adalah bilangan kuantum anguler. Selanjutnya untuk memperoleh persamaan fungsi gelombang anguler, menggunakan Persamaan (15), yang melalui subtitusi parameter,

diperoleh fungsi gelombang angular total tak ternormalisasi sebagai berikut:

𝑇(𝜃) = (𝑠𝑖𝑛2𝜃)𝛾(𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝜔(−1)𝑛𝜃𝐶′′(1)𝑛𝜃(2𝛾 + 1

2 )𝑛𝜃 2𝐹1 (−𝑛𝜃 , 2𝛾 + 2𝜔 +

𝑛𝜃 , 2𝛾 + 1

2 , 𝑠𝑖𝑛2𝜃) (45)

Selanjutnya, Persamaan (45) diselesaikan secara numerik melalui software matlab, yang

hasilnya ditampilkan pada Gambar 3:

Gambar 3

Gambar 3.. Fungsi Gelombang bagian anguler tak ternormalisasi kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q plus potensial

Poschl-Teller dan potensial Scarf Trigonometri dengan variasi nl

Gambar 3 menggambarkan probabilitas keberadaan suatu partikel dalam suatu atom, yang

berdasarkan koordinat bola yang tergantung oleh 𝑟 , sudut 𝜃 dan 𝜑. Gambar 3 merupakan

11

gambar 3D fungsi gelombang anguler tak ternormalisasi koordinat bola yang

menggambarkan distribusi elektron pada suatu atom. Dari gambar di atas dapat diasumsikan

bahwa semakin besarnya nilai 𝑛𝜃, maka semakin banyak gelombang yang terbentuk sehingga semakin meningkatnya degenerasi partikel merupakan fungsi gelombang yang dihasilkan

berbeda tetapi energi yang dimilikinya sama. Dalam koordinat bola semakin banyak

gelombang akibat pengaruh dari 𝑛𝜃, maka distribusi partikel akan terkukung pada dua luasan

yang sama dan simetris yang mungkin dapat ditempati elektron kemudian pada saat fungsi

gelombang sudut dipenagruhi nilai 𝑛𝜃 = 1 dan 𝑛𝜃 = 3 mewujudkan bentuk gelombang dari dua luasan yang sama besar menjadi bentuk dua luasan yang sama makin mengecil

Penyelesaian Bagian Sudut Azimuth untuk Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasi-

q plus Potensial Poschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometri

Bagian azimuth dari persamaan diperoleh pada Persamaan (8) serta dengan dilakukan

penyederhanaan maka diperoleh:

𝜕2

𝜕𝜑2 𝜙(𝜑) − (𝐵2+𝐴(𝐴−1)

𝑐𝑜𝑠2𝜑+

2𝐵(𝐴−12

) 𝑠𝑖𝑛 𝜑

𝑐𝑜𝑠2𝜑− 𝜆2) 𝜙(𝜑) = 0 (46)

Selanjutnya, dilakukan subtitusi variabel untuk mereduksi Persamaan (46) menjadi

persamaan tipe hipergeometri. Subtitusi variabel yang digunakan yaitu:

𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 1 − 2𝑧 (47) Dengan mensubtitusikan Persamaan (47) yang disesuaikan dengan parameter yang sesuai

dengan Persamaan (46), maka Persamaan (46) menjadi:

𝑧(1 − 𝑧)𝜕2𝜙(𝑧)

𝜕𝑧2 + (1

2− 𝑧)

𝜕𝜙(𝑧)

𝜕𝑧+ (𝜆2 −

2𝐵(𝐴−12

)+𝐵2+𝐴(𝐴−1)

4𝑧−

− 2𝐵(𝐴−12

)+𝐵2+𝐴(𝐴−1)

4(1−𝑧)) 𝜙(𝑧) = 0 (48)

Persamaan (48) harus dibawa ke persamaan tipe AIM yaitu dengan melakukan subtitusi

pemisalan fungsi gelombang sebagai berikut:

𝜙(𝑧) = 𝑧𝜀(1 − 𝑧)𝜇𝑓(𝑧) (49) Dengan mensubtitusikan Persamaan (49) ke dalam Persamaan (48), serta dilakukan operasi

penyederhanaan, maka diperoleh persamaan perantara hipergeometri bagian azimuth berikut,

𝑧(1 − 𝑧)𝑓′′(𝑧) + [(2 𝜀 +1

2) − (2𝜀 + 2𝜇 + 1)𝑧] 𝑓’(𝑧) + [𝜀(𝜀 − 1)

(1−𝑧)

𝑧+

𝜇(𝜇 − 1)𝑧

1−𝑧− 2𝜀𝜇 +

1

2𝜀

1

𝑧−

1

2𝜇

1

1−𝑧− 𝜀 + 𝜇

𝑧

1−𝑧+ (𝜆2 −

2𝐵(𝐴−1

2)+𝐵2+𝐴(𝐴−1)

4𝑧−

− 2𝐵(𝐴−1

2)+𝐵2+𝐴(𝐴−1)

4(1−𝑧))] 𝑓(𝑧) = 0 (50)

dimana,

𝜀 =1

4 ±

1

2√(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴 + 𝐵) +

1

4 (51)

𝜇 =1

4±

1

2√(𝐴 − 𝐵)2 − (𝐴 − 𝐵) +

1

4 (52)

Persamaan (50) diubah ke persamaan diferensial tipe AIM dengan dikalikan 1

𝑧(1−𝑧) , sehingga

diperoleh:

𝑓′′(𝑧) + [(2 𝜀+

1

2)−(2𝜀+2𝜇+1)𝑧

𝑧(1−𝑧)] 𝑓’(𝑧) + [

𝜆2− (𝜀+𝜇)2

𝑧(1−𝑧) ] 𝑓(𝑧) = 0 (53)

Selanjutnya Persamaan (53) diselesaikan mengikuti metode iterasi asimtot, dimana eigen

nilai persamaan (53) menghasilkan persamaan bilangan kuantum orbital, yaitu:

12

𝜆2 = (1

2 ±

1

2√(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴 + 𝐵) +

1

4±

1

2√(𝐴 − 𝐵)2 − (𝐴 − 𝐵) +

1

4+ 𝑛𝜑)

2

(54)

dimana 𝑛𝜑 adalah bilangan kuantum azimuth. Selanjutnya untuk memperoleh persamaan

fungsi gelombang azimut, menggunakan Persamaan (15), yang melalui subtitusi parameter,

diperoleh fungsi gelombang azimut total tak ternormalisasi sebagai berikut:

𝜙(𝜑) =

(1−𝑠𝑖𝑛 𝜑

2)

𝜀

(1+𝑠𝑖𝑛 𝜑

2)

𝜇(−1)𝑛𝜑𝐶′′′(2𝜀 +

1

2 )𝑛𝜑 2𝐹1 (−𝑛𝜑, 2𝜀 + 2𝜇 + 𝑛𝜑, 2𝜀 +

1

2 ,

1−𝑠𝑖𝑛 𝜑

2) (55)

Selanjutnya, Persamaan (55) diselesaikan secara numerik melalui software matlab, yang

hasilnya ditampilkan pada Gambar 4:

Gambar 4

Gambar 4 menggambarkan fungsi gelombang azimuth dengan variasi nilai bilangan kuantum

azimuth 𝑛𝜑 berasarkan dari penelitian (Farizky, 2016) [8] dimana kurva probabilitas yang

dihasilkan berbentuk gelombang pipih, kemudian bilangan kuantum azimuthnya semakin

bertambah, maka rapat probabilitasnya akan tampak sedikit searah jam jam. Sehingga bentuk

gelombang tersebut akan terbentuk orbital baru yang ditunjukkan pada variasi 𝑛𝜑 = 2 𝑑𝑎𝑛 3

KESIMPULAN

Persamaan Schrӧdinger untuk kombinasi Potensial Scarf II terdeformasi-q plus Potensial

Pӧschl-Teller, dan Potensial Scarf Trigonometrik telah diselesaikan dengan Metode Iterasi

Asimptotik.

Fungsi gelombang radial, anguler, dan azimuth dari persamaan Schrӧdinger akibat

keberadaan Potensial Scarf II terdeformasi-q Plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf

Trigonometrik diperoleh dalam bentuk fungsi hipergeometri dan dihubungkan dengan harga

eigen energi dan bilangan kuantum orbital. Fungsi gelombang radial menunjukkan partikel

yang bergerak akan membentuk suatu parabola dimana nilai eigen energi mencapai titk

13

puncak pada saat nilai bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 = 2 sehingga nilai bilangan kuantum

radial 𝑛𝑟 = 3 menuju ke tak terhingga nilai energi ikatnya makin menurun.Sementara pada

fungsi gelombang anguler menunjukkan perbedaan bentuk gelombang yang probabilitasnya

bergantung pada variasi bilangan kuantum orbital dan variasi-variasi yang dipengaruhi oleh

potensial-potensialnya, dan pada fungsi gelombang azimuth menunjukkan perbedaan bentuk

gelombang dengan variasi bilangan kuantum magnetik dan variasi-variasi yang dipengaruhi

oleh potensialnya sehingga bentuk gelombang tersebut membentuk pipih. Secara umum

fungsi gelombang ketiga bagian tersebut dipengaruhi oleh gangguan pada potensial Pӧschl-

Teller, Potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik.

Fungsi gelombang dan tingkat energi untuk potensial Pӧschl-Teller, Plus Potensial Scarf II

terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik dapat divisualisasikan menggunakan

Software Matlab 7.1.

SARAN

Perlu diadakan penelitian lebih lanjut untuk Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger untuk

Potensial Pӧschl-Teller, Potensial Scarf II terdeformasi-q, Potensial Scarf Trigonometrik

menggunakan metode lain dengan berbagai variasi potensial dan potensial pengganggunya.

Pemakaian listing program untuk menentukan visualiasi energi dan fungsi gelombang yang

sesuai akan mempermudah hasil numerik pada Command Window pada Software Matlab

7.1. sehingga tidak perlu menghitung secara manual.

. REFERENSI

[1] Cari dan Suparmi. (2012). Approximate Solution of Schrodinger Equation for

Trigonometric Scarf Potential with the Poschl-Teller non-central potential Using

NU Method, Physics Department, Sebelas Maret University, Indonesia

[2] Suparmi. 2011. Mekanika Kuantum I, Jurusan Fisika Fakultas Pascasarjana,

Universitas Sebelas Maret Surakarta.

[3] Rostami, A., & Motavali, H. (2008). Asymtot Iteration Method: a powerfull

approach for analysis of inhomogeneous dielectric slab waveguides. Progress in

Electromagnetic Research B, 4, 171-182

[4] Nurhayati, Suparmi, Variani,V.I., Cari, & Wahyudi. (2012). Analisis fungsi

gelombang dan spektrum energi potensial Gendenshtein II menggunakan metode

hipergeometrik. Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, 14 April

2012, Purworejo

[5] Soylu, A, Bayrak, O & Boztosun, I. (2008). 𝑘 state solutions of the Dirac equation for the Eckart potential with spin and pseudospin symmetry. Journal of Physics A:

Mathematical and Theoretical, 41

[6] Falaye, B.J, Hamzavi, M & Ikhdair, S.M. (2012). Approximate bound state

solutions of the deformed Woods-Saxon potential using asymptotic iteration

method. arXiv:1207.1218v1

[7] Aisyah, D. (2014). Penyelesaian Persamaan Dirac untuk potensial non-sentral

Poschl-Teller hiperbolik termodifikasi-q plus Manning-Rosen untuk simetri spin

dengan metode Nikivarof-Uvarof. Skripsi. Jurusan Fisika Universitas Sebelas

Maret.

[8] Farizky, M.N., Penyelesaian Persamaan Schrodinger Tiga Dimensi untuk potensial

Non-Sentral Eckart dan Manning-Rosen Menggunakan Metode Iterasi Asimtotik.

Skripsi: Jurusan Fisika Universitas Sebelas Maret.

14