+ All Categories
Home > Documents > Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza”...

Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza”...

Date post: 02-Jan-2019
Category:
Upload: doandiep
View: 224 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
97
University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups 4132 4123 1432 4312 4231 2314 1423 2341 3142 3241 3214 3412 2143 4213 3124 2134 1243 1342 2431 3421 4321 1234 2413 1324 Riccardo Biagioli Ph.D Thesis - January 14, 2003 - Rome
Transcript
Page 1: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

University of Rome “La Sapienza”

Department of Mathematics “Guido Castelnuovo”

Permutation Statistics and Polynomials

on Coxeter Groups

4132

41231432

43124231

23141423

2341 3142

3241

3214

3412

2143

4213

3124

21341243

1342

2431

3421

4321

1234

2413

1324

Riccardo Biagioli

Ph.D Thesis - January 14, 2003 - Rome

Page 2: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

�������������

� ��������������������� ����!#" $% ��!#&'����(���!')*�+� $�)*),.-0/21�!#�3&�4�56,.��7���!'��&8�+&#��(�1�" 44+5*4+5:98�<;0��)�!#)���� 44+5 =�5:>?�����+!#- @A(�����!#)���� =4+5 B�5:C�D��E�E�3!#&#)����+&#��(�1 B4+5 FG5IHJ&'(�-0/�!��+&#���3& K4+5 K�5:L�/2&#!')*!')�����" M

,.-0/21�!#�3&8=�56NO��(�� ��&�/2!#)�$��P/�"'10���3!#"P��@Q,.��7R�3!#��& ��&#�+(�1�" S=�5*4+5:C�D��E�E�3!#&#)����+&#��(�1 S=�5 =�5IT�-��PU8D�10�3&#����!�/2-�����&V/��O��&'��(�1 4W==�5 B�5IT�-��P��$����YXZ"')*�+�����[1G��&'�\(�!�/2!#)����\�+&#��(�1 4WK

,.-0/21�!#�3&8B�5 % ��$�/�&')]/���!^/2������_�&V/�" =+KB�5*4+5I�8������_�&�/�)�� "#��!'!#)���� =+KB�5 =�5I`8���aC�!�/2!#)�"#!')���"����[b�c[/2���[d�c =+SB�5 B�5IT�-���e[/�)��gfh��"#(��*! B+MB�5 FG5I�81�1���)��i/2!#)�����".!#�\jk�3DR�?�+&#�+(�1�"���@O!lD�10��b F�=B�5 K�5:,.���\_�)��0/2!#��&')]/���LO&#�+10�3&#!#)���"P�2@md\nEo2p F+F

,.-0/21�!#�3&�F056,.�+)*��$�/2&#)]/���!J/2�*�+��_�&V/ F�qFG5*4+5:,.���\_�)��0/2!#��&')]/���&#��1�&#��"'����!�/�!')����r!#-����+&#D F�qFG5 =�5I`8����/�!#)�$+�VXs9 ��"'������!tfh��1�&'��"#����!V/�!#)��+��"�@A�+&^duc K+=FG5 B�5:,.���\_�)��0/2!#��&')]/�� % ������!#)�!')*�3" M+v

,.-0/21�!#�3&8K�5:U ��&#� )*!')]/��\"#D�� �E��!'&#)��810/2)�&#" M+BK�5*4+5:C�-�����!#�+�w10�+�*D����+�E)]/��x" M+BK�5 =�5IT�-��P�i/�"'�Ey]z c�{}|W~#z �A{�|��gz c�{G�A{�|�� M2FK�5 B�5IT�-��P�i/�"'�EyA� c ~'z c�{�| � q+vK�5 FG5IT�-��P�i/�"'�EyAd c ~'z c�{�| � q+�K�5 K�5IT�-��P�i/�"'��"�y�b c ~Vb c�{}| �J/2���kyAd c ~�d c�{�| � ��4K�5 M�5:,.����"'����(��������3"/2��� @A(�&'!#-���&�&'���g/2&#��" �+B

H.)�_���)*�+��&V/�1�-�D �+q

� � �

Page 3: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� � �0�G�?�G���?���

Page 4: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

���O�w�E� ����� �w�8�����P���O

% �3��(����E����!.-0/W$�� ��&#)�!#!'���E!'-�)�"J!'-���"#)�"���)�!#-���(�!.!#-��P�+(�)��0/����3�t/����E"#(�1�10�+&#!��2@m��&�/��YX���3"#����HJ&'����!#)l5�U �g)���!#&'����(��������E�E!'� /������3_�&�/2)*� �����\_�)*�G/�!#�+&#)���"W¡O"#(��+����"'!#)����k&#�3"#�i/2&#�V-!'��1�)���"�/����[��������)���� �E����(�� ��&#�+(�"8_G������"�/����k/�&'!#)�������"i5 % !#-0/2���[-�)��I@A�+&8�w/���DE-��+(�&#""'10����!¢��)�!#-r�E��¡?!'�i/��V-�)����£�E��¡?��)�"#!'����)����[/����¤��&')�!#)���)�¥�)����[�\Dw)����i/2"�/����r1�&'�i¦V����!'"i5wU )*"�w/���D[�i/2&#�V@A(���&#�i/2��)�����"¢��@8!'-��E��&V/W@A!'"��2@t!'-�)�"�!#-��3"#)�"E/�&'�E)���$�/���(0/�_��*�+5wU8�w-0/�"¢_G�����§/1G��&l@�����!8�w/�"'!#��&8/2���g/¢�+&#�i/2!�&#�����P�E�����3��@A�+&��E��¨+!#-G/���� D���(w"'�\�\(��V-E��&V/������3"#���G5

%�© �¢�*)��+�Q!#��!'-0/�����LO&#�2@A��"'"#��&'"J� ����"#"V/�����&'�ªCY)*��$�/�/2���ELO/������P«?/�1�10/��-��P�J��&'�t/ ��&'�i/�!"'��(�&'���P��@��3������(�&�/��+���E�3�R!8/2���E�.��&'�t!'-�� ;0&#"'!�10�3��1����P��)�$�)������E��$+��&#D (�"#�<@A(��}/���$R)���� @A�+&-�����!#�\���+��@A&#�+��!���)*!'-E!'-�����&V/���(G/�!#�P"'��-��R�+�l5

%�© �[��)�����!'�w!#-0/2���¤LO&'��@A��"'"#�+&#"\C�/�&V/EH.)����*�3DR¡?¬P���+&#�+�ª>­(�"#¥�!')��¤/����k9P/W$�)*�w®Q�+�R/2�w@A��&"'���E� (�"#�<@A(��}�3����$���&'"�/2!#)�����"���(�&#)����\!'-��P"#��� ��"#!'��&8!'-0/�! % -0/W$��P"'10����!P/�!�e % T�5

LO&'��@A�3"#"#�+&J9 ��� )*��)*��(��Q���R/2!�/ _�&#�+(���-�!Q�+10�3�\�R(���"#!')*�+��"Q!'���\Dt/2!#!#�3�R!')����E/�����-��3�*1G���� �8!#�u;0���w&'������$�/���!�&#�3"#(���!8)�� !#-�����)�!#�3&�/�!'(�&#�+5

LO&'��@A�3"#"#�+&�¯J(�$�/��?f���)��V-��w/��¢)*��"#1�)�&#�3�[�\(��V-\��@Q!#-��t�.��&'�E)��g,.-G/�1�!'��&tB¢/����wFG5LO&'��@A�3"#"#�+&#"�,.��&'&�/2���E9 �,.�+����)���)l¡�� ��!#����)*�Ee£/��V-�° ±�/2���[LO/������ELO/�1�)}��@�!#���w�R/W$+�P�E�

"'(�1�1G��&#!P/�".�J�3�*�O/�"8/2��"#�.��&#"P/���� -�)���!#"�!#�\"'��� �8��(���"'!#)�����"W5² ��)�$���&'"#)�!lDE�2@mf��+�E� ³�>}/\C�/�1�)�����¥W/�´\��µ?��&'���[�E��/2�g�37R�3�����*�3�R! "#��)�����!')¶;G������(��W/�!#)��+�

/2���[!#-���1G��"'"#)�_�)���)*!lDw!'�E10/2&#!#)���)�10/2!#�¢!#� "#��$+��&�/2�Q"#��� )��0/�&'"t/����[�����Y@A��&#�3������"W¡O$���&'D[(�"#�<@A(��!'�g�������·���3������$������+1��E����!'"t�2@^�w/�!'-����g/2!#)���"P/����r!#�[�3��&#�+�Q)��k!#-��\�w/�!#-����g/2!#)���)]/���" © "���+�E�\(���)*!lD+5

% -0/W$��¢_0�3���r@A��&'!#(��G/�!#�\!'�w"#-0/2&#�\�E�+"#! ��@�!#-��\!')*� ����(�&')����w��&�/2��(0/2!#�¢"#�V-������Q��)�!'-/w��(��\_G��&P��@8$+��&#Dr�������r@A&')*�3����"i5 % !¢��/�"�$+��&#D£@A(��k!'�["#!'(���Dk�g/2!#-��3�g/�!')���"i¡G!#�£!#&�/W$+���/2&#��(����k!#-�� �J�+&#� /2!#!#�3����)����[���+��@A��&'�������w��)�!#- �G/�_�&#)�¥�)��[,�/�"#�3�*��)l¡O��������&#)���� % ����)�!#!#)�/����e[/2&#)��¤e[/2&#)���!'!#)l5 % �k10/�&'!#)���(��]/2& % �.��(����k��)����¢!#�[��7�!'������/w��/�&#�¸1G��&#"'���0/2��!#-0/2����"�!#��G/�_�&')�¥�)�����-��¢�.��&#�+���w$���&'DE-0/2&#�w��)�!#-w�E� ��� "#��� �8�+10���£1�&#�+_������E"W5

fh)����i/�&'���¢HJ)]/��+)�����)

Page 5: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

�V� ¹?��º?�}��»�¼���½?��¾?¿����?�?�

Page 6: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

À����}ÁQ� �[ÂE�.�OÃ��\�

T�-��w_�)�&'!#- �2@�10��&'�\(�!�/2!#)����k"'!�/2!#)�"#!')*�3"E)�"�!'&�/2��)�!#)����0/2���*Dk/�!'!#&')*_�(�!#���Ä!'� NO(�����&[ÅÇÆ0ÈRÉs5U ���J��$+��&i¡+)�!Q��/�"Q���+!Q(���!#)��0e£/��ie[/2-���� © "Ê��7�!#����"')�$��8"'!#(���DgÅ Ë?Ì�É0!'-0/�!Ê)*!Ê_0���W/��E�8/2�\��"#!V/WX_���)�"#-����w��)�"#��)�1���)����P��@Q�g/2!#-��3�g/�!')���"i¡�/����w)�!�"#!')��*�?!'�����g/¢���+����!')��E�8_G�V@A�+&#�¢)�!J���3$�������1G���)���!#�¢!#-��u$�/�"#!.;G�����g!'-0/�!�)�!.)�"�!#���0/WD�5 % �g!'-����]/�"'!J!'-�)�&#!lD D��i/2&#"8�\(���- 1�&#�+��&'��"#" -0/�"�_G������w/�����¡G_G��!'-¤)��r��)�"#����$+��&#)����[/����¤"'!#(���D�)����w�����Í"#!V/�!#)�"'!#)���"i¡O/����¤)��r��7�!#������)*���[!#-��3"#�\!#�/2&#_�)�!#&V/�&'DE�.��&#��"���)*!'-E&'��10�W/�!#�3�¤����!'!#��&'"t/����g!'���+!#-��3&#"8�+&#�+(�1�"i5

,.��7���!'��&8�+&#��(�1�"8/�&'��/¢���]/�"'"���@Q��&'��(�1�"W¡����<;0�����[_�Dw,.��7R�3!#��&¢Å ÆGÎYÉ})*�[/¢���3&#!�/2)��[�^/WD_�D[�+������&V/�!#�+&#"\/����k&'���]/�!')*�+��"i¡�!#-G/�!�/2&#)�"#�\)��k/w�\(���!#)�!#(�������@���/WDR"u)*�r"#�3$���&V/���/�&#�W/�"¢��@�w/�!#-����g/2!#)���"P"#(��V-Ä/�"\/�������_�&�/�¡O�+����� ��!#&'DR¡O"')�����(��]/2&#)�!lD¤!'-����+&#D /�"¢�.�����^/2"\)*�k1�-RD�"')*�3"i5ew�+&#����$+��&i¡�!#-��3)*&����V;0��)�!#)��+�Ï/2���*����"Ê!#-����I!#�\_G��-0/2��������� )*�[/u�����\_�)*�G/�!#�+&#)]/����^/WD�5}T�-�)*"/21�1�&#��/��V-�)�"O��@A!'���¢&#�V@A�3&#&#�3�\!#��/�"P³#�3���\_�)��0/2!#��&')���"?��@�,.��7���!'��&O��&'��(�1�"'´0¡�/2���¢)*"������.��@?!#-��1�&'��� )*������!J10/2&#!'"8��@Q��-0/2!�)�"�(�"#(0/2���*D �i/��������ij�/2������_�&V/�)��P�����\_�)*�G/�!#�+&#)���"'´05Oj�)�!#-���(�!8/2�RD���+(�_�!W¡0!'-���� ��"#!.@�(����0/2�E����!�/2�?��7�/�� 1����t�2@J/E,.��7���!#�3&t�+&#�+(�1[)�"�!#-��¢"#D�� �E��!'&#)��8�+&#��(�1ÐGc}5Êjk� @A&#����(��3�R!'��DE&#�3!#(�&'�[!#�wÐGcg)��w��&'����&�!'�E)����*(�"#!#&V/�!'�8$�/�&')���(�"��+������&V/��}�3�������31�!#"�/�������+��"#!'&#(��3!#)�����"W5

e[/2�ie[/2-����w���+��"#)�����&'���w@A�+(�&���)xµ?��&#����! "#!�/2!#)�"#!')���"�@A�+&^/¢1G��&'�\(�!�/2!#)����wÑ[)��[ÐGc}5QT�-����(��\_G��&Q�2@�����"'������!#"PÒ�ÓiÔ+yAÑ?�3¡�!#-��t��(��\_G��&Q�2@���7����3�0/����3��"tÓWÕ0Ö2yAÑ?��¡�!#-�� ��(��\_0�3&J�2@})*��$+��&lX"')*�+��"t×�Ø?Ù�y�Ñ?�8/2���[!#-����g/�¦<��&.)*������7[nEo2p�yAÑ?��5P¬P)�$��3�Ï/¢1G��&'�\(�!�/2!#)����wѤÚaÑ­|}ÛiÛWÛlÑ�c�¡��.�"V/WDE!#-G/�!�y�×#~sp���ÜÄÅ Ø�É}�kÅÇØ�É�)�"8/2�[)��R$+��&#"')����w��@JÑr)x@m×ÊÝÄpE/����¤Ñ �QÞ Ñ+ß�¡G!#-0/2!8×QÜÄÅÇØ\à�4VÉ)�"\/[���3"#������! )¶@tÑ �¢Þ Ñ �]á�| /2��� !'-0/�!\עܷŠØ�É�)�"ª/£��7������G/������£)¶@tÑ �¢Þ ×'5kT�-��w�g/3¦V��&)������37¤)�"¢!#-�� "#(��â�2@t/����Q!'-��E���3"#������!'"i5Äe[/��ie£/�-��+�k"#-����.���}¡./�������_�&�/�)��i/2���*D�¡?!'-0/�!�ÓWÕGÖ)�"EãVäWåRæèç�æ�é�ê�ë�æ]ìWåRê�ãVç¢��)*!'- Ò�ÓiÔ /����k!'-0/�!�×�Ø?Ù£)*"u����(�)���)�"#!#&')�_�(�!#�3� ��)�!#-knEo2p�5¤C�)������\!'-����/2�RD¢"#!V/�!')*"'!#)��8�3�R(�)*��)*"'!#&')*_�(�!#��� ��)�!#-EÒ�ÓiÔ )�"Q"V/�)��\!#�¢_0�Pí�å+î*ãWë�æ]ï+ð�¡R/2���E/���D\"'!�/�!')�"#!#)�������(�)xX��)�"'!#&#)�_�(�!#���r��)�!#-k×AØ?Ùw)�"P"�/2)��¤!'�E_G�Eñ¤ïWò�ó+ð�æ]ï�ð�5\`8�+!#�¢!#-0/2!t� ��"'!8��@�!#-���1G��&#�\(�!�/�!')����"'!�/�!')�"#!#)���".@���(���� )��E!#-��8��)�!#��&V/�!#(�&#� @Z/����G)��R!'���+���8�2@�!'-���"#�u!l�J���W/�!#�3����&')���"i¡G/���� ��(�&#)��+(�"#��D���3�ôe[/2-�����)õ/2�E"'!�/�!')�"#!#)���"P/�1�1G�i/2&��\(��V-E�E�+&#�h@A&#����(��3�R!'��DE!#-����[NO(�����&#)]/2�g�+����"W5

��&#�+��!'-���,.��7���!'��&���&'��(�1w1G��)���!J�2@�$�)�����¡�!#-��3"#��"'!�/�!')�"#!#)���" -0/W$�� "#�+�E��@�(����0/2�E����!�/2�/2�*�+��_�&V/�)���)���!#��&'1�&#��!V/�!')*�+��"i5PT�-�����(��\_0�3&8��@.)*��$+��&#"')*�+��"t×�Ø?Ù�y�Ñ?� )*" !#-��¢�������+!#-r��@JÑO¡?�0/öX� ����D�!'-��P�E)���)���(��a�*�3����!'-E��@Q/�� ��7�1�&#��"'"#)����£��@mÑ£)��E!'��&#� "J�2@����3����&�/2!#�+&#"i¡��������+!#���w_�D÷�yAÑ?�3¡G��-���&#�W/�"�Ò�ÓWÔ�y�Ñ?�8)�" !#-�����(��\_G��& ��@Q��������&�/2!#��&'"�Ô � "'(��V-¤!'-0/�!h÷2y�Ñ?Ô � �hÝ�÷�y�Ñ?��5�ew�2X&'����$���&W¡�!'-��8"'D��E�E�3!#&#)��Q�+&#�+(�1��G/�!#(�&�/�����D�/2��!#".���¢!#-�� 10�+��DR�����E)]/2��&#)����P)��\��)xµ���&'����!Q��/WDR"/2���k�g/2�RD£�g/�!'-����w/�!#)���)]/W��" -0/W$��\"'!#(���)*�3� !#-��E&#)����+"��2@^!'-��w)��R$�/2&#)]/���!'"i5wC�(�&#1�&#)�"#)����+�*D"'���E�P�2@m!'-��¢"#!�/2!#)�"#!')���"81�&'��$�)���(�"'�*Dw���<;0�����}¡­"#(��V-k/�"8�w/�¦V�+&J)������37�¡G/\1�&')���&#)������ 1�����!#�3�*D��)�"'������������!#�3�k@A&'���:!#-�)*" ;0�3�*��¡�/21�10�W/�&P��)�!#-k/��r)*� 10�+&#!V/���!�&#�+�*�¢)��¤!'-��\&#�31�&#��"'����!�/2!#)����!'-�����&'Dw��@�!'-���"'�ª/2��!#)�����"i5Jøh@Q���+(�&#"'��!'-���"#�¢���+��"#)�����&V/�!')*�+��"��i/2�[_0�u�g/����t/���"'�¢@A��&��+!#-���&,.��7���!'��&���&'��(�1�"W5

% �\!'-��.;0&#"'!J1G/�&#!Ê��@}!#-�)*"Ê!#-���"')�"Q�J� "#!'(���D¢!#-�� )*��!'��&#1��]/WD�_G��!l�.�����w!#-��������\_�)��0/2!#�+&#)]/��/2���g/2�*�+��_�&V/�)��t/2"#1G����!#" ��@}!'-���"#�u"#!�/2!#)�"#!')���"����w,.��7R�3!#��&��+&#��(�1�"i5 % �w10/2&#!#)���(��õ/2&J�.�8���V;0���

�V� �

Page 7: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

�V� � � ù��?�Gú0�G½?û}���0ù]�G�

"'��$���&V/��?���3�üe[/�-�����)]/��E/2���ENO(�����&')]/��E"'!�/2!#)�"#!')*�3"J�+�\!#-���,.��7���!#�3&J�+&#��(�1�"J�2@}!lD�10�Pbý/����d¸�37R!'������)����k�w/���D[�2@t!#-��E��7�)�"#!')*���¤�+����"\����!#-��w"'DR� �E��!'&#)��¢��&#�+(�1}5k` ��!'�E!#-G/�!\!#-��1�&'��_������:�2@J��7�!#�3����)����w!#-��¢���+������1�!u��@J�w/�¦V��&�)�������7w!#�[b c ��/�"P�+10���£@A�+&8�g/2��DED��W/�&#"/2��� ���3"#1�)�!#�£!#-��w@l/���!¢!#-0/2!\"#��$+��&�/2�E³'�g/�¦V�+&�)�������7�´k"'!�/�!')�"#!#)���"\-G/W$��w_0�3�������V;G�����Ä@A�+&b c ���\���3����&�/2��)*¥W/�!#)��+�[��@Je[/2�ie[/�-���� © "8&'��"#(��*! -0/�" _0�3���[@���(����£(���!#)��}!'-���&#�3������!P10/�1G��&ÅÇþ+É#5Q��)�&#"#!.��@Q/����G�J��/��G/���D�¥��8!'-��P�����\_�)��0/2!#�+&#)]/���1�&'��1G��&#!')*�3"8��@O!#-��3"#�P�����ÿ"#!V/�!#)�"'!#)���"8/����1�&'��$��P"#�+�E�P)��E1G��&'!�/���!.�����\_�)*�G/�!#�+&#)]/��G)�������!#)�!')*�3"�!#-0/2!8!#-���Dw"�/�!')�"l@AD�¡0/2���w!#-����£�J���������/2!�!#-���)�&P�E�W/���)����¢)��g&'��1�&'��"#����!V/�!#)��+�¤!'-�����&'DR5hjk�8@��R�3(�"P��(�&8/2!#!#�3�R!')����[� ��"#!'��D\���[!lD�1G�dI/����w"'����!#-G/�!�!#-��t&'��"#(��*!'"8�+_�!�/2)*�����w��7�!#�����£��)�������DE!'-���"'�8@���&�!#-��t"'D��E�E�3!#&#)�� ��&#�+(�1}5

% ��,.-G/�1�!'��&�4Q�.�J_�&')����0DP��)�$��Ê"#��� �Q_0/2"#)��Q1�&'����)*� )��0/�&')*�3"}/�_G��(�!O,.��7R�3!#��&O��&'��(�1�"�!'-0/�!/2&#�8�����������w)��\!#-��8&#�3"#!.��@}!#-��8�.��&#�?5Oew��&'����$��3&i¡��.�8����"'��&#)�_G�P��)*!'-\10/�&'!#)���(��]/2&J/�!'!#����!#)��+�!'-��P1�&#)�����)�10/2�?"#�+(�&#���¢��@O&#�V@���&#�������ª/2���w��7�/�� 1�����"i¡+�0/�� ����D\!#-��P"'DR� �E��!'&#)�����&'��(�1�5

T�-����?/W$���(�&���@8,.-0/�1�!#��&\=w)�"��E�+"#!'�*Dw���+�\_�)��0/�!'��&')õ/2�l5��h@A!#�3&���)�$�)����w"#��� ���3���\_�)xX�0/2!#�+&#)]/��O����"'��&#)�1�!')�����"��2@^!'-��E,.��7���!#�3&���&'��(�1�"P�2@^!lD�1G��"�b:/���� d �J�\)���!#&'�R��(����\!#-�&#������3� "'!�/�!')�"#!#)���" ���Äd c ¡�Ò�nEo2p�¡�ÒRÒ�ÓWÔ[/������GnEo2p��ª5Äjk� "#-����I!#-G/�!\!l�.�¤�2@t!#-���"#�k/�&'�e[/2-�����)õ/2�g/2���[!#-G/�!t/¢1G/�)�&���@Q!#-����:��)�$��3"t/¢���3����&�/2��)*¥W/�!#)��+�g!'�gd c ��@Q!#-��¢�.�����}���������,�/2&#��)�!#¥ © "P)�������!#)�!lD[�+�k!#-��ENO(��*�3&lX#e[/�-��+��)]/��k��)�"'!#&#)�_�(�!#)����r��@�!#-�� ����"'������!���(��\_G��&�/�����w/�¦V��&Ê)*������7E��$+��&8Ð c Å��YÈ+É#¡�"'����$�)*���ª/u1�&#�+_������ ;0&#"'!�10�+"#���[_�Dw����/�!�/ ÅÇÆ+É#5T�-��\&'��"#(��*!'"�)��r!#-�)�"��V-0/21�!#�3&�/�&'�\10/�&'!���@�10/�1G��&EÅYÉJ!#-G/�!���)����Q/�1�1G�i/�&u)*�r�8��$�/������3"�)��� 1�1���)����ge[/2!#-��3�g/�!')���"i5

% ��,.-G/�1�!'��&JB��.�."#!#(���D�!#-����0/�!'(�&�/2�Y/2���¢!#����"'��&Q/��3!#)����¢��@�� /���� ����¡�&#��"'10�3��!#)�$��3�*D�¡�+��!#-��.1G����D������ )õ/2�i&')������EÅÇÕ | ~�������~VÕ c É�����5O9 ������!'�J_�D�9 % �§/2����T % � !'-��.����&'&#��"'10�+����)����)���$�/�&')õ/2��!/2������_�&V/�"W5 >?��!����ky��� �¢_0� !#-��w��(���!')�����!��2@8!#-��wU8)���_G��&#!¢"#��&')���"E�2@t9 % �:/����T % �¢5}jk�\"'-���� !#-G/�!¢)¶@�� Ú:duc !'-���� !'-��E"'��&#)���"�� �! y��� ��)�"�/2��!#(G/�����D /£10�+��DR�����E)]/2���)�!#-k���������3�R/�!')�$��\)���!#���+��&�������"E��)�����!'"i¡Q��-�)*�V- /2���E)�!#"�/w��)*�3�E��7�1�&'��"#"')*�+� )��k!#�3&#�E"u��@/r���3� ³#�g/3¦V��&�)�������7�´ d\nEo2pY5 T�-�)�"\"#!�/2!#)�"#!')��[)�"Ee[/�-��+��)]/��Ä/����Ä)�"E/���/��G/������+(��w��@�w/�¦V��&.)�������7w_�(�!i¡G"#(�&'1�&#)�"')*������DR¡�)�"8��)xµ?��&#����! @A&'���I_0�+!#-¤Ò�nEo2pg/2���#�GnEo2p � 5 �ý"#)�� )*�]/2&&'��"#(���!.-�������"./���"#� @A�+&JÐGcE/����EbhcE��-��3&#�8!'-��81G����D����+�E)]/��$���¤y��� �O)�"Q�+)�$����\_�D\/��\��7�1���)���)�!@A�+&#�\(��]/P(�"#)����\!#-����w/�¦V��&.)�������7w/����£!#-����?/���Xl�g/3¦V��&.)�������7ry]"#�3�gÅÇþ�%�É#¡}ÅÇþ+ÉA�35^ø (�&P1�&'����@/2�*������".(�"P!#�\�+)*$+��/\�����ý/2���[� ��&#�P��)�&'����!81�&#����@^/2��"#�\��@Q!'-���&'��"#(��*!h@A��&Pb c 5 ew��&'����$���&�.��)���!#&'����(����E/2�¤NO(�����&')õ/2�¤"'!�/2!#)�"#!')*�Ed\Ò�ÓWÔ\!'-0/�!P!#�+����!'-���&���)�!'-¤d\nEo2p[��)�$��3"t/ "#���3������+������&V/���)�¥i/�!')*�+�E�2@m,�/�&'��)*!'¥ © "�)�������!#)�!lD�5

% �\,.-0/�1�!#��&OFP�J�."#!'(���D¢!#-��.)���!#��&'1��]/WD�_0�3!l�J���3�\&#��1�&'��"#�3�R!V/�!')*�+�E!'-�����&'D���@?!#-��^,.��7��VX!'��&���&'��(�1�"���@�!lD�10�Ed¸/����¤!'-��\"#!V/�!#)�"'!#)���"�d\n o�p¤/2��� d\Ò�ÓWÔ�5 T�-��\"'��!���@�������� ����!#"�)��/rjk��D����+&#��(�1§-G/W$R)����k/£;07����Ä����"'������!w"#��! �i/�&'&#)���"[/r�0/2!#(�&V/���&#�31�&#��"'����!�/2!#)����ÿ��@�!#-���+&#��(�1}¡.�i/���������/r����"'������![&#�31�&#��"'����!�/2!#)����}5Í98�3"#������!w&#�31�&#��"'����!�/2!#)�����"£��@tjk�3DR� ��&'��(�1�"�.��&#�Ï;0&#"'!E)���!#&#����(�������_�D§CY������� ����y]"'���ÄÅ Ì'&+ÉA��5�jk�w������"'!#&'(���!g/2��/��0/2�*�+��(��w�2@t����"sX���3�R!.&#�31�&#��"'����!�/2!#)�����".@���&Q!'-��8,.��7���!#��&.��&'��(�1�"J�2@�!lD�1G�tdÍ(�"#)����u!#-�� ����)���$�/�&')õ/2��!m/2������_�&V//2"E/[&'��1�&#�3"#����!�/2!#)����ÿ"#1G/�����5�T�-��w������"#!#&'(���!')*�+����@�/r_0/�"')�"¢@A��&¢!#-��w���+)��R$�/2&#)]/���!\/������<X_�&V/w)�"�)�� 10�+&#!�/2��!8@���&��w/���D¤/�1�1���)*�W/�!#)��+��"i¡O/�����-0/�"u_0���3� /21�1�&'�R/��V-��3�k@A&'���¸��)xµ��3&#����!$�)�����1G��)���!#"i5 ¬�/�&'"#)]/\/����rC�!�/2�R!'���[1�&#��"'����!#��� /�����"#�3����!�_0/�"')�"�@A�+&t/u;0��)�!'����)��E����"#)����0/2���(��+!#)�����!O��@?!#-��PC�!�/2������D+Xsfh��)�"#����&Ê&#)�����/�&')*"')���� @A&#�+��/h;0��)�!#��jk�3DR����&#�+(�1wy]"#�3��ÅÇþ(YÉA��5O���+&!lD�1G�Jz¢¡�(����*)��+�O@A��&O�+!#-���&Ê!lDR1G��"W¡�!'-�)�"���(��+!#)�����!O)�"�)�"'���E�+&#1�-�)*�O!'�t!'-������+)*��$�/2&#)]/���!�/2������_�&V//2���¤)��r!#-�)�"P�i/2"#�E!'-��\_0/2"#)�"P�������E����!'"/2&#�\� �����+�E)*/2��"i¡�)�������7����k_�D¤Ñ Ü Ð c ¡?��@������+&#���n o�p�yAÑ?�35Jew�+&#����$+��&Q!'-��8���+)��R$�/2&#)]/���!Q/����+��_�&�/-0/�"J/�0/�!'(�&�/2�0�+&�/���)*����)�����(����3�\@A&'���ý!'-0/�!�2@*) c _RD\!'��!V/��?�����+&#���+¡0/����g�.�8��������!'��_�D�+ �, )�!#".-+Xl!#- -���� ���+�������+(�"J�3���E1G��������!i5 % �!'-��\�i/�"'�E�2@hÐ c ¡O/ �J�3�*�Ê�R�������k!#-����+&#���¸��(��\!#�0/P&�/2"#��)�����)���¥VXljk��D��g/2�[��7�1�&#�3"#"#�3"E!#-���\(���!')*1��*)���)�!lD ��@8!#-��E)�&#&'����(���)�_����wÐ c XZ&'��1�&'��"#����!V/�!#)��+��"\)��1+ �, )��k!'��&#� "��2@8!#-�� "#!�/2!#)�"#!')��n o�p�5 ² �Y@A��&'!#(��0/2!#����D�¡}!'-��g¬u/�&#"')]/WX#C�!�/2�R!'���k/�1�1�&#�R/2�V-k������"�����!��.��&'�[@A�+&P��!#-���&�jk�3DR�

Page 8: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ù��?�Gú0�G½?û}���0ù]�G� � 2�+&#��(�1�"i5O���+&O!lDR1G�8bÿ!#-���"#� 1�&#�+_������E"Q/�&'��"#�+�*$+���¢_RD¢�8��)*��¡�HJ&'����!#)?/����\f��+)���-��g/��P)��\!#-��&'��������!�10/210�3&EÅ���É#5�T�-���D[1�&'��$R)����\/ ����"'������!�_0/2"#)�"P��@.+43+yAbu��/����k/��£��7�!#����"')����k��@�!#-�����+��"#!'&#(��3!#)����w��@QC������+�E��� © "O���3"#������! &#��1�&'��"#�3�R!V/�!')*�+��"�yè"#��� Å Ì'&+ÉA�m@A��&.!#-�)�"�!lD�1G��5OU8��&'���.�"'-����a-����ÿ!#�E�37R!'�����r!#-��3"#�¢&#��"'(���!#"P!#�\!'-���jk�3DR����&'��(�1�" ��@Q!lD�10�¢dw5�jk�����+��"#!'&#(���!�/2�/2�0/������+(��P��@J!'-��¢����"#�3����!�_0/2"#)�"�@���&8!'-��¢����)���$�/�&')õ/2��!8/�������_�&�/\�2@J!lD�10�\d:$�)]/E/ C�!#&V/�)���-YX!'����)����g>­���E�w/�5.T�-��¢_0/�"')�"t�3�*�3�E����!#"W¡G)*������7����r_RD65kÜ d c ¡}/2&#��� �����+�E)]/��x"J�2@J�����+&#���d\n o�p�y75G��5.T�-�)�"������a_0/2"#)�"����i/�� !#�\!'-������V;G��)�!#)���� ��@J/P@l/��E)���D��2@mduc�XZ� ����(�����"�+48:9<; 8>=�¡��-��+"#� �������E����!'"�/�&'�\��$����YXZ"')*�+������10��&'�\(�!�/2!#)�����"�-0/W$�)����[Ð�|ª/���� Ð@?E/�"r³#����"#���3�R!¢"#�3!#´/2���ij#������/�!')*$+�P"#��!'´0¡�&'��"#1G����!')�$�����D�¡�/2��� @A��&�!'-�)�"�&#�i/2"#�+�[�J�P�i/2���?!#-����:�����R/2!#)�$��VXl����"'������!&'��1�&#�3"#����!�/2!#)�����"i5�T�-��3DÏ/2&#��/2�0/����+����(�"J_�(�!���)xµ���&'����!�@A&'���:C������+�E���\����"#���3�R!P&'��1�&#�3"#����X!V/�!#)��+��"^/2����/�/2¥�-��0/2��Xs>­(�"#¥3!#)��\&#��1�&#��"'����!�/�!')�����"\y]"'���EÅ Ë?þ+ÉA��5Ojk�8��������� 10�+"#��+ �, )���!#��/��)�&'����!Q"'(��E"���@0!'-���"#��+�8:9A; 8>=+5���)��0/�����D�¡��.�J)���!#&'�R��(�����!#-��J���+������1�!J�2@�duXZ"'!�/2���0/�&'�¢¯J��(����_�)�!V/�_����i/2(�7[/����r_�D[��7�!#������)����[!#-��\���V;0��)�!')*�+�¤�2@^d\nEo2p[���r!#-����6�.�\��)�$��\/��r��7�1���)���)�!���3����� 10�+"#)�!#)����w)���!#�w)�&#&'����(���)�_�����"u��@J!'-���"#� ������/�!#)�$+�VXZ����"#���3�R!u&#��1�&'��"#�3�R!V/�!')*�+��"i¡O&'�V;0��)����/u!#-��3��&#�3� �2@�C�!#���\_�&#)������¢ÅÇÌ�Ë�É#5�T�-�)�"8/������3_�&�/2)*��"'��!#!')����\)�"J!'-����[/�1�1��*)���� !#�¢��_�!V/�)��E������\(���!')*$�/2&#)]/W!#���3���\_�)��0/2!#��&')]/���)�������!')*!')���"i5T�-��P&'��"#(���!'"8)��[,.-0/�1�!'��&#"PB�/2���wF�-G/W$��P_0�3���[��_�!�/�)����3�¦<��)���!#��D���)�!'-Ï�G/�_�&#)�¥�)���,�/�"'������)Z5

T�-��."#�3������� 10/�&'!O��@?!#-�)�"O!#-��3"#)�"Q)�"O����$��+!#���\!'�P!#-���"'!#(���D¢��@?/�@l/��E)���D8�2@01G����D������ )õ/2��"��-�)��V-k/�&#�\�+������&V/�!')*���w@A(����3!#)�����"@A��&P!#-��\��)��E����"')�����"P��@�!#-��ENO7�!lXl��&#�+(�1�"�_G��!l�.���������VX���3&�/���)�¥����£®Q��&#�w/�� ����(�����"i5OT�-���&#�¢)�"������P"#�3!t�2@��+������&V/���)�¥����[®Q�3&#�g/u�E����(��*�3".@A��&��i/2�V-10/2)�&JyCB?~�DG��¡�(�1�!'�t�3���i¦V(��R/��3DR¡��3����"')*"'!#)����P��@?/8"'���E)�"')*� 1����Q>?)��J/����+��_�&�/EB�/����ª/ 10/2&�/�_G����)��"'(�_0/����+��_�&�/�D�5 % @F� )�"�!'-���jk��D��}�+&#�+(�1w��@GBÏ/2���H�ýyAnE� )�"�!#-���jk��D��}�+&#��(�1g�2@J/\>?��$�)"'(�_0/����+��_�&�/ �2@ID¤Ú·nKJ�L�¡?!#-��3�k!#-��¢"#��!u��@J�+������&V/���)�¥����k®Q��&'�g/��E����(�����"P/�!#!V/��V-����r!#�yMB�~ND0�.)�"J)�������7����[_�D\!#-��u����"'��!8"'10/���� ��O�5T�-�� 1�&#�+_������·��@}���+�E1�(�!#)����P!#-���L�Xl���+-���� �������+Dt�2@})�&#&#�3��(���)�_����8-�)*�+-���"'!J�.��)���-�!Q� ��X

��(��*�3"\)*"¢���+�E1�����!'����Dk"#����$+��� _�D !'-��6/�/�¥�-��G/���X#>?(�"'¥�!#)��k���+�i¦V���3!#(�&'��"w��-�)���-Ä-0/W$+�E_G�����1�&'��$����k_�DrHJ&'D��*)���"'��)^/2���P/�/�"#-�)*��/�&V/w)���Å��(%�É#5w` ��!#�\!'-0/�!¢®Q�+�R/��r"#-����J���k!'-0/�!¢!#-���"#����+�i¦V���3!#(�&'��"�/�&#�P����(�)�$�/2�*�3�R!.!#�\!'-�� @A��&'�\(��]/QSR ; TRy � �QÚVU,:WYX � , ��)��[Z.yANO7�!]\_^ T�`�{ \�^ R `�{Y? , y�a R ~_b*T��#��~��-��3&#�u@A��&8/2�RDwÕ}~�c�Ü1� ��)*!'-[Õ0dVc�¡ Q�R ; T�y � �h)�"�!#-��e/�/2¥���-0/2��Xs>­(�"#¥3!#)��E1G����D������ )]/��G��@!'-���10/2)*&8Õ�~�c�¡0/2��� @A��&8/2��DgÕwÜP�fa R )�"�!'-���®Q��&'�g/u�E����(����P/�"#"'����)]/�!#�3�[!#�wÕ[/����0b R)�"�)�!#".(���)���(��P)�&#&#�3��(���)�_�������(��+!#)�����!i5

ø �P!#-��.��!'-���&�-0/�����¡i!'-���³VNO7�!#����"')�����LO&'��_������ ´0¡V�0/2�E����D�!'-��J1�&#��_��*�3�ü�2@Y�3���E1�(�!#)����!'-��FLYXl����-��+�E�+�*�+��D��2@0!#-��PyCB?~�DG��Xl��������&�/2�*)�¥��3��®Q�3&#�g/.� ����(�����"i¡W)�"}�3�R(�)*$�/2������!}!#�P���+�E1�(�!#�!'-��\��)��E����"#)�����" ��@J"'10/��3��"��2@J��7�!#�3��"#)�����"�_G��!l�.�����k���3����&�/2��)*¥3���k®Q��&'�g/\� ����(�����"i5 % !P)*"/2"8D��3!t(���"#�+�*$+���[)��[�+������&V/��l¡?/����[!'-���&'�E/�&#�¢���+!8��$+���¤�3���i¦V�3��!#(�&'��"P@A�+&8!'-���@���&#�:�2@J!#-��/2��"#�.��&i5 % @'BE/����eDu@A�+&#� /��¢)����������+�E1G��"V/�_����.U8��&'�E)�!#)]/��¢"#D�� �E��!'&#)��Q10/2)*&O!'-����gCY-�����!#�+�Å Ë@+É}1�&#��$+��"t/u&#�3��(�&#"')����w@A�+&#�\(��]/ @���&.!#-���1G����D����+�E)]/��x"Q���V;0�����[_�Dg�h ; i y � �QÚ U,jW@X ysà4W� \�^ i�`�{ \_^ h `�{ , � , ��)�� Z y�NO7�! , y�k h ~�k i �#�3~��-��3&#�ek h /2���[k i /�&'�t!'-��8�+������&V/���)�¥����w®Q��&'�g/P� ����(�����"�/�!#!V/��V-����w!'�gyMB�~ND0�Ê����&'&#��"'10�+��X��)����¢!#��Lw/2���[Ù\)��0��O¢5

% � ,.-0/21�!#�3&EKw�J� "#�+�*$+�E!'-���"#�w&'����(�&'"#)����Ä&#�3�õ/2!#)�����"i¡O)�� !'-��E�i/2"#�w��-����ÿyCB?~�DG�����+&lX&'��"#1G������"�!'�¤/ ���]/�"#"')��i/��.U8��&'�E)�!#)]/2�["#D��E� ��!#&')���10/�)�&W5\T�-���&'�g/�&'�¢;0$��\1G��"'"#)�_�)���)�!#)���" @A��&yMB�~ND0����-����0B[)�"8�3�õ/2"#"')*�\/����¤�+(�&8�w/�)��w&#��"'(���!#"�/�&'����7�1���)���)�!P1�&#����(���! @A��&'�\(��]/�"Ê@A��&P!#-��

Page 9: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

2 ù��?�Gú0�G½?û}���0ù]�G�g Xl1G����D������ )õ/2�¶"W5�eÏ��&#�3��$���&Q!'-���"'��@A�+&#�\(��]/�"?�W/��¢_0��"'!�/�!'���E)��¢!l�J�P��)xµ?��&#�3�R!Ê�^/WD�"i¡2������)��!'��&#� "J�2@}jk��D��0�+&#��(�1E������� ����!#"�/���� ����� )*� !#��&'�E"Q�2@�10/2&#!')*!')�����"W5���)��0/�����D�¡�!#-��h@A��&'�\(��]/�")��E1��*D\!'-0/�!P!'-�� g XZ1G����D������ )]/��¶"�/�&'���3���\_�)��0/2!#��&')]/��?)���$�/�&#)]/2�R!'"i¡�)Z5 ��5 !#-G/�!P!#-��3D[����1G������+����D\���w!#-��P)���!#��&'$�/��?���<;0�����[_�D6Lg/2���[Ù¢)��#��O¢¡0/2"8/��g/2_�"#!'&�/2��!81G��"'��!i5

T�-����w/�!'��&#)]/���)*�\!'-�)�"Q�V-0/�1�!#��&.)�"J10/2&#!Q�2@}!#-�� 10/�1G��&P�%�ɭ/2������1�!#��� @A�+&Q1�(�_���)��i/2!#)����\)��TO&�/2��"�/2��!#)��+��"���@O!#-��P�8� ��&#)��i/2�[e[/�!'-����g/2!#)��i/2��C�����)���!lD�5

Page 10: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

,.U8�PLOT8NQf 4

�·�.lE�h���hÁ6��ÁQ�� mw,.��7���!'��&J�+&#�+(�1�"�/�&#�P/��3�õ/2"#".��@}�+&#��(�1�"J���V;0�����w_�D\���3����&�/2!#�+&#"8/����\&#���]/�!')�����"W5OT�-���D

/2&#)�"#�¢)��["#��$+��&�/2�O;0������"P�2@J�g/2!#-����w/�!')*�3"i5 % �r!#-�)�" ��-G/�1�!'��&��.��&'��"#!'&#)���!��+(�&t/2!#!#�3�R!')����r��@!'-��P���V;0��)�!')*�+��"i¡�����!V/�!')*�+�g/2���E&'��"#(���!'"8!#-G/�!8/�&'�������3�����[)��w!#-��P&'��"#! ��@�!'-�)�"��J�+&#�?5

�(no�(n[prq:sutGv�w�v7x'tjk�\����!y){zÇÚ}|�4�¡Ç=�¡ÇB�¡G������~r¡u��z Ú})}�F|öv$~�¡�/2�����a_0� !#-�� "#��!\�2@8)��R!'�����3&#"i¨Ê@A�+&

o£Ü��¸�.�¢�*�3!ªÅÇo2ÉFzÇÚ�|R4�~V=�~�������~Vo�~gyè��-���&#�[ÅÇvöÉFzÇÚ��+�t/2���ÄÅ �PØ�É�z Ú ÅxàhØO~VØ�É���|�v$~R5PT�-���i/2&#��)��0/2��)*!lD¢��@J/u"#��! za��)��*�?_G�P�������+!#���£_RDP� z��x5

>­��!^Ð _0��/u"#��!W5Q�ÿ�g/2!#&#)�7\n}z�Ð �EÐP��)P�6|>��~ )*".�i/2�*�����w/0�Qó���ãWê�ãië��¢ï�ê�ë�æ�� )x@�)�!"V/�!#)�"s;0��"

n£yAÔ+~����ÊÚün£yC�i~VÔi�3~l@A�+&8/����*Ô+~]�JÜ[ÐJ¨n£yAÔ+~����QÚÍ4!� Ô8Ú����

NO��(�)�$�/2�*�3�R!'��DR¡?n �i/��k_G�E&'��1�&#�3"#����!#�3��_�D /��Qó���ãWê�ãiëe�+ë#ï��Yòw��-��+"#� �������\"#��!¢)�"�Ða/������-��+"#�w�����+��"g/2&#�w!#-��g(�����&'����&#�3��10/�)�&'"ªÔ+~��\"#(���-Ä!'-0/�!\n[y�Ô�~]���6�6B��OT�-��g�3������"\��)�!'-n£yAÔ+~����!�ÄF\/�&#�u�õ/2_0�3�*�3�g_�D\!'-0/�!���(��\_G��&#"W5����&.��7�/�� 1����8����!8Ð�z Ú�|öoG~� �~VÖ�~�Ò�~���)�!#-w,.��7R�3!#��& �g/�!'&#)�7

n}zÇÚ ¡¢¢£4 = F == 4 B =F B 4 K= = K 4

¤�¥¥¦!'-����w!#-��¢,.��7R�3!#��&���)]/2��&�/2� )�"

4

5

a c

db

�a,.��7���!#��& �g/2!#&#)�7\nI����!'��&#� )*����"t/u��&'��(�1H� ��)*!'-E!'-���1�&'��"#����!V/�!#)��+�§ ¬������&V/�!#�+&#"�z Ðfh���]/�!')*�+��"�z y�Ô����]O ^©¨ ; � ` ÚüÓ+~�@A�+&8/�����Ô�~]�JܤÐ{ztn£yAÔ+~�����ªÚ«�ÿ~y'4�5�4i�

��-��3&#�E³VÓ�´u�������+!#�8!'-��8)����3�R!')�!lD��������E�3�R!Ê��@?!#-�� ��&#�+(�1}5OC�)������Pn[yAÔ+~VÔi�QÚÍ4��.��-0/W$���!'-0/�!Ô ? Ú�Ó�~ @A�+&^/2�*�GÔPÜ[ÐO~

|

Page 11: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

? |�¬ �G��­?�R�G��ú ¾­ú0�Gû@®��/2���¤"'�¤Ð�)*"¢/E"'��!¢��@�)*��$+����(�!#)��+��"i5 % �k10/�&'!#)���(��]/�&W¡}n[y�Ô�~]����ÚI= )¶@8/����¤�+����D[)x@hÔ /����¯����+�E�\(�!'��¨�!'-�)�"�)*� !#-���,.��7���!'��&8�+&�/�1�-E�E�W/���".!#-0/2!8Ô�/������8/�&#�P���+!}¦V��)����3�E_�DE/��w�����+��5

% @8/w��&'��(�1�� -0/�"�/Ï1�&#��"'����!�/2!#)�����"#(��V-§/2"Ey#4+5�4i�P!'-���� !'-��E1G/�)�&\y��¤~VÐO��)�"��i/2���*�3�/°�Qó��+ãiê�ãiëué�±Wé�êAã���5uT�-��¢��&#�+(�1�� )*"P!'-��#�Qó���ãWê�ãië���ë'ó�å���5uT�-��¢�i/�&'��)��0/���)�!lDw��@J!'-���"'��!�2@��Qó���ãWêAãWëe�+ãið�ãWë#ï+êAó+ëVétÐ�)�"t�W/��������k!#-��[ë'ï�ðj²¢�2@y]�¤~VÐ��35\jk�¢��)*���O)���$���"'!#)��R/2!#�\�����*Dw�+��+&#��(�1�"Q��)�!#-¢;0��)*!'�8&V/����?5�T�-��8"'DR"'!#��� )*" æ]ë�ë#ãVç+å´³Wæ]ì3î*ãO)x@})�!#"J,.��7���!'��&.��&�/21�-E)�"Q�3�������3��!#����5

T�-��@A����������)�����!l�.�E"#!V/�!'���E����!'"t/�&'������(�)�$�/�������!8/2���[�g/2��� ��7�1���)*�3)*! ��-0/�!�)�! �E�i/2��"@A�+&.� !#�\_G�P����!'��&#� )*�����w_RDwnI$�)õ/u!#-���1�&#�3"#����!�/2!#)����ky'4�5�4i��z

4+5 % @uµÍ)*"�/¢��&'��(�1[/2���[�Hzjµ«��µa)�"8/¢�w/�1\"#(���-£!#-0/2!y���yAÔW�A��yC���#� O ^C¨ ; � ` Ú�Ó+~

@���&8/����}Ô+~���ܤÐ���)�!#-[n[y�Ô�~]����ªÚV�ÿ¡�!#-����[!#-���&#�¢)�"8/¢(���)���(�����7�!#�3��"#)����£��@*�£!#�E/�+&#�+(�1E-��+�E�+�E��&'1�-�)�"#�K�0z$�¶��µ��

=�5.� )*"�!'-��P��(���!')*�3�R!�·G8(¸�kk¡+��-���&'�y·G8w)�"J!'-�� @A&#���u��&#�+(�1E�+������&V/�!'���[_�DEÐÄ/����6k)�".!#-��u����&'�g/��G"#(�_���&'��(�1w���3����&�/2!#���£_RD¯|Ry�Ô����]O ^©¨ ; � ` zPÔ�~]��ÜÏÐO~.n[y�Ô�~]����ªÚ«��~$�

T�-��u;0��)�!'��)�&#&'����(��3)*_��*�\,.��7���!#�3&���&'��(�1�"P-0/W$+��_G�����k���]/�"'"#)x;0����yè"#���\�+5 �G5�¡�Å Ë?Æ+ÉA��5Pjk�\/�&'�� ��"#!'��D\)*��!'��&#��"'!#���k)��w!#-��ª,.��7���!'��&P��&#�+(�1�" ��@J!lD�1G��z�¡?bI/����[d6z��.��/��G/���D�¥���!#-����6)�����3!�/�)��?)��w!#-�)�"�/����w���37R! �V-0/�1�!'��&i¡�"#���uTm/2_�����4�/2!�!#-��P�����w�2@m!'-�)�"��V-0/�1�!'��&i5�(n*Æ�n[¹ºq$tI»'w�¼P½A¾Gtu¿>w�v�x't

% ��!'-�)�"O"#����!')����¢�J�.���V;0���J�+���J�2@0!#-��J� ��"#!�)��E1G��&#!V/���!G"#!�/2!#)�"#!')���"Q���¢,.��7R�3!#��&O��&'��(�1�"i¡!'-��P�*�3����!'-}5

>­��![y��¤~VÐO�¢_0�[/k,.��7���!'��&\��&'��(�1}5�NÊ/��V-Ä�������E����!�À�ÜÁ� �i/2�Ä_0�w��&#)�!'!#���ü/2"ª/1�&'����(���! ��@��+������&V/�!'��&#"PÔ � ÜÏÐ.¡ ÀÄÚÿÔ�|�Ô�?ÊÛiÛWÛ#Ô�Âj�T�-��¢î�ãiðj�+ê�ò¢��@*Àÿ)�"

÷�y�À ��zÇÚÄ�E)��'|ÄÃÜÅ�ÆzjÀÄÚüÔ | �����ZÔ Â @A��&�"'��� � Ô | ~������0~VÔ Â Ü[к~´�y'4�5Ç=��% @ÇÃPÚ�÷�y�À8�h!#-��3�[!#-��u�J�+&#�[Ô | ÛiÛWÛ#Ô Â )�"��i/��������[/[ë'ãVç�å$³Vã�ç ã_����ë'ã�éVé�æ]ó+ð¢@A��&.Àu5QU ��&#�¢"#�+�E�_0/2"#)�� @Z/��3!#"���@O!#-��u�*�3����!'-E@�(�����!')*�+�}5����&�/�����L�~_À�ÜH�

×A� ÷�yNÀ8�QÚa4E�ÈÀ�ÜÏÐ.¨×�×A� ÷�yNÀ8�QÚ�÷�yNÀ {}| ��¨×�×�×A� ÷�yNL(À �IÉ ÷�y�LG��Ê ÷2yNÀ8�3¨×�Ù�� ÷�y�Ô�À �QÚÄ÷�yNÀ8�@�ÿ4�~��(Ë>Ã�ÔPÜ[ÐG�

` �����J��/2&#��/2_����8!#�\���V;0����!'-���1G����D������ )]/���ýy � ��zÇÚ¶UÌGÍ � � \�^ Ì ` ~�i/2���*�3�E!#-��ÏÎhó�æ]ð�³Vï+ëIÐã!��ó��ð�ój�¢æ]ï�î��2@Ç�ý5 % !�-0/�".-���� �������+)��i/���/����E���3���E�3!#&#)��i/2�0)���!#�3&#1�&'�VX!V/�!#)��+��"^/2���w-0/�"8/2��"#�\/¢��)���� @Z/���!'��&')*¥W/�!#)��+�g/�"��.����)����0"'����)��E� ��&'�8����!V/�)��}�]/2!#��&W5

jk� �*�3! Ñ z ÚÒ|ÄÀ8Ô�À {�| ztÔÜÏÐO~!À�ÜP�Ó~$�y'4�5ÇB��T�-�� �������E�3�R!'"���@

Ñ/�&#�\�W/��������üë'ã�Ô.ã�³iê�æ]ó�ðYé<5£T�-��E���V;0��)�!#)��+�k"#-�����"¢!#-0/2!�ÐKÕ Ñ

¡Q/����!'-��[������� ����!#"E�2@�Ð�/2&#�[(�"#(0/2�*��D��i/��������ÿé�æ7���Gî*ãrë#ãNÔJã�³WêAæèó�ð�é�5ÿjk�w�g/��+�w!#-��w@�����������)*������<;0��)�!#)�����"�z Ñ(Ö

yNÀ8�!zÇÚÓ|��JÜ Ñ z ÷�yC�_À �.Ý ÷�yNÀ8��~�~

Page 12: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

|�¬ ×�¬ ��Ø?¿�¿����0úGù]�[¾?úG�Gû@® ×/2��� Ñ'Ù

y�À ��zÇÚ«|��.Ü Ñ z�÷�yNÀ!���.Ý�÷�y�À8��~´�Ñ'Öy�À ��)�"8�i/2���*�3�[!#-��u"#��!P��@ î*ãNÚ�êJï2éVé<ó�³Wæ]ï�ê�ãVçgë'ã�Ô.ã�³iê�æ]ó+ð�é�!#�[Àu¡?/����w"#)�� )*�]/2&#��D�@���& Ñ Ù yNÀ8��5

jk� -0/W$��P!#-��8@�����������)*�����V-0/�&V/���!'��&#)�¥i/2!#)����w��@Q!'-��P�*�3����!'-E@�(�����!')*�+�� Ñ Ö y�À8����Ú§÷2yNÀ8���` ���ü�.�P)*��!'&#����(����u!l�J�\�2@m!'-���_0/2"#)��P��_�¦V�3��!#"P��@O!#-�)�" !#-���"')�"i¡G!#-��u����"#�3����!t"'��!#"W5�jk�

��)����}"'!#(���Dr!#-���"#�\)�"#"'(���"¢)��[�E�+&#�����3!�/�)���"P)��¤!'-���&'��"#!u��@�!#-��¢�J�+&#�?5¢jk�����V;G���\!#-��wî�ã�Ú3êç+ã�é�³Vãið�êQé�ãWê?��@uÀÿ_RD

dÖy�À ��zÇÚ Ñ Ö yNÀ8�@ÛwÐO~

/2���}¡�"#)�� )*�]/2&#��DR¡W!'-��\ë�æ��Wò�ê.ç�ã3é�³VãWð�êÊé<ãWê?�2@*Àÿ_�DR¡dÙy�À ��zÇÚ Ñ(Ù yNÀ8��ÛwÐG�y'4�5 FR�

T�-��w���37R! )�"E�����g�2@�!#-��w@�(����0/2�E����!�/2������������1�! )*�Ä!'-��[���+�\_�)��0/�!'��&#)]/2�J!'-�����&'DÄ��@,.��7���!'��&P��&#�+(�1�"W5�jk�¢"�/WDw!#-0/2!�/E,.��7���!#�3&�"#D�"#!'���6-G/�"P!#-��ENm7R�V-0/2�����\LO&'��1G��&#!lDr)x@J)�! © ""V/�!#)�"s;0��"t/2".@A����������"i5ÜEÝ ¿�¼IÞ�tI»'q�)Ïß>x(àuq$ß>w�á�n¤>?��!�À Ú:Ô | ÛiÛWÛlÔ Â _0�w/w&#�3��(������Ä��7�1�&'��"#"')����§/2��� Ô£ÜüÐ.5 % @÷�yAÔ�À8�^Ý ÷�y�À �.!#-��3�¤Ô�À�Ú�Ô | ÛiÛWÛ@âÔ � ÛWÛiÛlÔ Â @A�+&�"#��� �t×�Ü ÅÃ3É#5ã.ä@å'æ@ç@å�è 4�5�4$é�ê}ãWê!� ìVã\ï��+ë#ó�å��§ï+ð�ç\ÐýïÏé<ãWê.óAÚ���ãWð�ãWë#ï�ê�ó�ë<é�óAÚ¢ó�ë'ç�ãWët=�ë0ì?ò�ãWðê�ò�ã!Ú�ó�îèî*ójíÊæ]ðj�\ï+ë#ã�ãVäWåRæoîiï2î*ãWð�ê�ï

×A�ky]�¤~VÐ��uæ�é�ï0�Qó���ãWêAãWë���ë'ó�å��(ð×�×A�ky]�¤~VÐ�� ò�ï2éê�ò�ãPíu�:³�ò�ï�ðj�+ãyÎhë#ó���ãWë�ê�±>ë

�'n*þ@n6ñ@á@òPòPq$w�ß>v�¿�»'ß>x(¾Gà% �w!#-�)*" "#���3!#)����r�J�¢/��0/2�*D�¥��P!'-���"'D��E�E�3!#&#)�� ��&#�+(�1 @A&#�+��/������\_�)*�G/�!#�+&#)]/���10�+)*��! ��@

$�)�����5�jk�J�+)*$+�J"'��� �Q����!V/�!')*�+�ª/2���¢���V;0��)�!')*�+��"Q!'-0/�!O�.��(�"#��)��¢!#-�� &#��"'!Q��@?!#-����.��&'��/����;0�G/�����DE�.����)�$��¢/\���+�\_�)��0/�!'��&#)]/2�01�&'����@J�2@J!#-��¢��������� @Z/��3!t!'-0/�! !#-��¢"#D�� �E��!'&#)��8�+&#��(�1)�"8/¢,.��7R�3!#��& ��&#�+(�1}¡+@A�+���*����)����P!'-���"#�3!#!#)����\�2@�!'-���_G�R�+�[Å���&YÉ#5

Ð c )�"�!'-��."#��!Q�2@­/2���R_�) ¦<����!#)��+��"QÑ#z�Å Ø�É(� ÅÇØ�É#5 % @}Ñ£ÜÏÐ c !#-��3�\�J�.��&#)�!#�8Ñ ÚüÑ | �����ZÑ c!'�E�E�W/��E!'-0/�!�ÑOy�×A��ÚaÑ���¡�@A�+&8×QÚ 4+~�������~�Ør/����[�J�u�i/����O!#-�)�" !#-���³Vó:���Gî*ãWêAã\ð�ó+êAï+êAæèó�ð ��@ÑO5 % @8ÑkÜ ÐGcr!#-��3�¤�.���w/WDg/2�*"'�E��&')*!'�ªÑ )�� ç�æ�é7ó�ó+æ]ð�ê�³�±>³�î�ã�Ú�ó�ë���/2���¤�.�¢��)*����(�"#(0/2���*D�+�E)�!Q!#�¢��&#)�!'��!#-��\4<XZ��D�������" ��@QÑO5����&¢��7�/�� 1�����¡O)x@ÑÿÚ M2F04Wq�K��+=�B !#-����Ä�J�[/���"'�¤��&')*!'�[ÑüÚ yA=�~#FG~�q+��y'4�~VM�~V��~#B+��5¤¬)*$+���Ñ?~�ô Ü ÐGc��J�£�*�3!gÑ@ôKzÇÚ Ñ¯õ�ôüyè����� 10�+"#)�!#)��+�§�2@P@A(�����!')�����"V�E"'� !'-0/�!W¡.@A��& ��7�/�� 1�����¡y'4�~V=���y�=�~VB���Úýy'4�~V=�~VB���5� "^/u"#��! ��@}�+������&V/�!#�+&#"h@A��&�Ð c �.�8!V/�����ÐrÚÓ|�Ô | ~������0~VÔ c�{}| ~t��-��3&#��Ô � zÇÚayA×'~�×$Ê�4i��¡

@A�+&^×�Úý4+~�������~�Ø�à§4:��T�-��P�Vµ?����!P��@O�\(���!#)�1���D�)*���t/��w������� ����!^Ñ£Ü[Ð c _RD\!'-���!'&�/���"#1G��"#)xX!')*�+�gÔ � ��� !#-��P&')*�+-�!J)�"�!#-G/�!.��@�)���!#�3&#�V-0/�����)����\!#-��t1��õ/2����"��2@mÑOyA×���/����ÏÑOy�×�Ê�4W��¡�/2���E�+�!'-��P�*�<@A!�)�"�!#-0/2!���@�)���!#�3&#�V-0/�����)����\×Q/����[×'Ê�4P)��E!'-������+�E1�����!'�8���+!�/2!#)���� ��@mÑO5����&.��7�/�� 1�����¡�����!8ÑwÚÿB�q+M�K�=�4�F�!'-����¤ÑOy�B�~'FR�OÚ�B+q�K�M+=�43Fª/2���¤y�B�~'FR�#Ñ Ú�F�q�M+K�=�4WB�5

ö ö ö ö ö÷ ø ù ú û ø ú û ÷T�-��¢,.��7R�3!#��&��+&�/�1�-g�2@mÐGc

Page 13: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü |�¬ �G��­?�R�G��ú ¾­ú0�Gû@®��` ���a�J�¢�J�+������&P��-��w)�"8!'-��\�������+!#-w@A(�����!#)��+�[@A�+&tÐGc}5uT�-��¢&#��1���D[)�"P��)�$+���[_�D[!#-��

@A�+���*����)����u�J�����O���������w&#��"'(���!i5Pjk�P�����3�¤!'�E)���!#&#����(�����!'-��u@A����������)����[³#"'!�/2!#)�"#!')*�3´E���rÐ cy�/����w)��E�+������&V/��?@���&��i/2��-[ÑwÚÍyAÑ | ~������0~VÑ c �ÊÜP� c �35OT�-��Eæ]ð�îiãWëVé�æ]ó�ð£ð�å$��ìVãWëJ�2@mÑ£)�"

×AØ?Ù�yAÑ?�ýz Úþ�|�yA×'~lp��.ÜkÅÇØ�É}� ÅÇØ�É0zt×mÝ p�~QÑOy�×A� Þ ÑOy�p���~����` ��!#�P!'-0/�!

×�Ø?Ù�y�Ñ?Ô��#�QÚ § ×AØ?Ù�yAÑ?�SÊü4+~:)x@mÑOy�×A�.Ý�ÑOyA×'Ê�4W��~×AØ?Ù�yAÑ?�mà 4+~:)x@mÑOy�×A� Þ ÑOyA×'Ê�4W���y'4�5ÇK�� ÿçYæ��(æ���������æ� 4�5Ç=(éýê}ãWê}Ñ£Ü[Ð c ë�ì?ò�ãWð

÷�yAÑ?�QÚÿ×�Ø?Ù�yAÑ?���ÿçYæSæ� é8CY)*�����J×�Ø?Ù�yAÓW�.ÚÄ÷�yAÓW�QÚÿv�¡W!#-����Ey#4+5ÇK���)*� 1���)���"0!'-0/�!}×�Ø?Ù�y�Ñ?��d�÷�yAÑ?���i,.����$+��&lX

"'����DR¡��.�.1�&#��$+�J!'-�����!'-���&Q)�������(0/2��)*!lD _�D�)�����(���!')����¢���\×AØ?Ù�yAÑ?��5 % @}×�Ø?Ù�yAÑ?�.Úÿv8!'-����\ÑwÚüÓ/2���[!#-���!'-���"#)�"�-�������"i5�CY�E����!�ÑkÜÄÐ c "#(��V-r!#-0/2!�×AØ?Ù�yAÑ?�PÚK- Þ v�58T�-��3�k!#-���&'���37R)�"'!#"Ô3�EÜ·Ðý"'(��V-�!#-G/�!g×�Ø?Ù�y�Ñ?Ô��#�wÚ -wàý4kyè��!'-���&#��)�"'�[�J�+(���� )��E1��*DkÑýÚ¸ÓW��5ÿU8�3�����[_�D)�����(���!#)����w×AØ?Ù�yAÑ?�.Úü×�Ø?Ù�y�Ñ?Ô��#�SÊ�4�� ÷2y�Ñ?Ô��#�SÊ�4ý��÷2y�Ñ?�8/2���w�J��/�&'�P�������+5T�-�)�"�1�&'��1G��"')*!')����E�W/��w_0�P(�"'���[!'�\��_�!V/�)��E��)�&'����!81�&#����@A"�!'-�� @A����������)����P@Z/2��!#"W5

T�-���L���)����W/�&���P1G����D������ )]/���@A�+&J!'-���Ð c�á�| ¡�/2���E)�!#"./¢��)����P��7�1�&#��"'"#)�����¡0�G/��E�3�*DÐGcRá�|�y � �ÊÚ U $Í 8 �� 9 � \�^ ` Ú

c�����| ÅÇ×�Ê�4<É���~y'4�5ÇM��

��-��3&#�EÅÇ×õÉ���zÇÚa4uÊ � ÊÿÛWÛiÛ�Ê � ��{}| 5ÿçYæ��(æ���������æ� 4�5ÇB(éýê}ãWê}Ñ£Ü[ÐGc�ë�ì?ò�ãWð

dÙyAÑ?��zÇÚ«|�Ô � ÜÏÐ{z�ÑOyA×�� Þ ÑOyA×'Ê�4i��~´�

T�-��P"'��!8�2@�!#-��t&'���0���3!#)�����"P���<;0�����[)��ry#4�5ÇB+�Q!V/����3"8!#-��8@�����������)*���8@���&#�ÑÚ�|RyA×'~sp2�ÊÜ ÅÇØ�É}�¤ÅÇØ�É0z\4.d�×OÝ�pyd�ØS~R¨

% !'"��������E����!'"8/�&#�P�i/2���*�3� ê�ë#ï+ð�éN�Yó2é�æ]êAæèó�ð�é�5T�-��3&#��/2&#��"'��$���&V/����^/WD !#�\1�&'��$��P!#-��@A����������)������.�����?�R�������g!'-����+&#���r5Qjk�P1�&#�3"#����!

!'-�)�"�������/�"�)��rÅ���&YÉs5ã.ä@å'æ@ç@å�è 4�5 F@éPyAÐ c ~VÐO�¢æ�étï¯�Qó��+ãiê�ãiëé�±Wé�ê�ã�� óAÚ�êN±<�Yã z c�{}| ëÿçYæSæ� é�jk�w"'-���� !'-0/�! !#-��£10/�)�&wyAÐ c ~�ÐO�¢-0/2"E!#-��¤NO7��V-0/����+�[LO&#�+10��&'!lDR¡ /����Ä"#�

!'-��\!#-��3"#)�"�@�����������"8_�D¤T�-�����&'��� 4�5�4�5\T�-��E&#�3�õ/2!#)�����"�Ô � Ô'ßgÚIÔ#ß+Ô � @A��&[� ×�àkp(�*� =w/����Ô � Ô �]á�| Ô � ÚÿÔ �õá�| Ô � Ô �]á�| )��E1��*Du!#-0/2!�!#-���!lD�1G�P)*"�z c�{�| 5>­��!8×#~V× | ~������G~�×��¢Ü ÅÇØ�à§4<Ém/����E"#(�1�10�+"#��!'-0/�!

÷�yAÔ � 9�ÛWÛiÛlÔ ��� Ô � �.Ý�÷2y�Ô � 9}ÛWÛiÛ'Ô ��� ���y'4�5Çq��jk� �^/2�R!�!'�\"#-�����!#-0/2!�!#-���&'����7�)�"#!'"t/up�ÜkÅ D�É}"'(��V-g!'-0/�!

Ô��N9}ÛWÛiÛ'Ô�� � Ô��OÚüÔ3�N9}ÛiÛWÛÄâÔ3���OÛWÛiÛ#Ô3� � �>­��!tÑ�zÇÚaÔ � 9}ÛWÛiÛ#Ô ��� ¡@ �z ÚÍÑOyA×��8/2���¤o6zÇÚýÑOy�×(Êÿ4i�358H.D[LO&#�+10�+"#)�!#)��+� 4+5Ç=¢�J�¢�������ü!'-0/�!y'4�5Çq��h�E�i/2��"8!'-0/�!e  Þ o05uU8��������¡O!#-���&#�\��7�)�"#!'" pgÜüÅ DYÉm"'(��V-¤!'-0/�!�ow)�" !#�w!#-��\���V@�!8��@� )��r!#-��\���+�E1�����!'�����+!�/�!')����r��@^Ô � 9�ÛWÛiÛlÔ � ���´9¢_�(�!�ow)�"P!#�[!'-��\&#)��+-R! ��@. �)��r!#-��\�3���E1��*�3!#����+!�/2!#)���� ��@JÔ � 9}ÛWÛiÛ'Ô � ��5QU ��������¡­!#-����3���E1��*�3!#�8����!�/2!#)����w�2@mÔ � 9OÛiÛWÛ>âÔ � �QÛWÛiÛlÔ ��� )�"�!#-���"�/2�E��2@mÔ3��9}ÛWÛWÛ#Ô�� � �37R�3��1�!P!#-0/2!8o\/����0 P/�&'�P)*��!'��&#�V-0/2�������r/���� !#-�)�"�)��E1���)���"Q!'-���!'-���"#)�"W5

Page 14: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

|_¬ ü ¬�� ú�û��?¹��Ï�GúG½?��ú ��'n¶ËSn! �ß>¾G¼GÞ�wex'ß#"�q$ßU ��&#���.�J)���!#&'����(�����!'-�)�"�1G/�&#!')]/�����&'����&Q"'!#&#(���!#(�&'��¡�!#-G/�!O-0/�"Q/ &#�3�g/�&'��/�_����Q&'�����.)*�¢!#-��

/2�*�+��_�&V/�)���/����¤���+�\_�)��0/�!'��&')õ/2�?!#-��3��&#Dr��@�,.��7R�3!#��&��+&#�+(�1�"i5¢jk�¢"#!V/�&#!P��)�!#-r"#�+�E��1G��"'��!���+!�/2!#)����w/����w!#�3&#�E)����+������D@A����������)����P!#-���_G����� ��@mCY!�/����*�3D¤ÅÇÌ@�2És5�'n¶ËSn7�(n�)ýx�$�q$wutGx'w�Þ�w�vNx(t!n^¬)*$+����/.10�+"#��!.y Q ~�d8�}/2���eL}~VÙuÜ Q �.�Q����!QÅL}~VÙWÉIzÇÚ«|&%¢ÜQ z4LÅd'%�d�Ù$~�/���� �i/����G!#-�)�"J/2�¤æ]ð�êAãWë�îWï�î��2@ Q 5}jk� "�/WD¢!#-0/2!FL /����wÙ�/2&#�P���+�E10/2&�/�_��*�)[email protected]�d Ù[�+&�ÙHdÁL}5w� "'����(������3� yNL | ~������0~�L c �¢Ü Q c "#(���-�!#-0/2!yL | d6ÛiÛWÛSd�L c )�"�/³Vò�ï+æ]ð�5 % @ Q -0/2"�/ �E)���)��E/��G�������E�3�R!W¡?��������!#�3� âv�¡�!#-����k�.�¢�i/����J/ "#(�_�"#��!u��@�!#-��¢@A�+&#�Å âv�~�L�É#¡+@A�+&4L£Ü Q ¡0/Ïî*ó:íQãiëPæ]ð�êAãWë�îWï�î0�2@ Q 5.jk�t"V/WDw!#-0/2!tÙ0³Vó:îiãWëVé.L}¡��������+!#���r_�D[L)(ôÙ)x@ �xÅL�~�ÙöÉ<�ÊÚâ=�5�T�-��+*uï�éVé�ã���ë'ï���òk��@ Q )*"\!'-��[�+&�/�1�-�-0/W$�)���� Q /�" $���&'!#��7Ä"#�3!g/����|:|ÄL�~�Ù�~ zþL,(:Ùr��&EÙ-(}L@~g/2"�"'��!\��@P�����+��"i5 ¬)*$+��� /���D/. Õ Q �.�g��)����J/2�*��/WD�"���+��"#)����3&0.Í/�"�/P10�+"#��!���)�!'-\!#-��P10/2&#!#)]/2����&'����&#)����¢)�����(��3���w_RD Q /����E�i/2�*��.a/�é<å�ì]�Yó2é�ãiê�2@ Q 58jk��"V/WDw!#-0/2!1% Ü Q )�"Çó�ó+æ]ð32#æ]ë3ë#ãVç�å$³Wæ]ì�î�ã�)x@Q)*! ����$��3&#"�/�! �E��"'!������¢������� ����!8��@ Q 5¬P)�$+���[!l�.�E1G��"#�3!#" Q /2���4.·�J�¢��&#)�!'� Q65Ú .·!#�w� �i/��w!#-G/�!P!#-��3D¤/�&'��)�"#�+�E�+&#1�-�)���/�"1G��"'��!#"W5�'n¶ËSn*Æ@n�prq:sutIvNw�v7x(t!n�>?��!8y]�¤~VÐ��Ê_G�8/�,.��7���!#��&Ê"#D�"#!'��� /���� Ñ )�!'"Q"#��!Ê��@}&#���0����!')*�+��"���<;0�����[)��ry#4�5ÇB+��5Ojk�8�+)�$��8!'-��P@A�+���*����)����P���<;0��)�!#)�����"i5Q>?�3!.L}~VÙ¢ÜH�ý5OT�-����

×A�0L �� Ù¢�E�i/2��"J!'-0/�!.L {}| Ù¢Ü Ñ /2��� ÷�y�LG�QÝ�÷�yAÙ+��¨×�×A�0L�� Ù¢�E�i/2��"J!'-0/�!.L ��âÙu@A�+&�"#��� ���.Ü Ñ ¨×�×�×A�0Lrd�Ù �E�i/2��"}!'-0/�!O!'-���&#���37R)�"'!mÙ � Ü#� "#(��V-\!'-0/�!GLEÚÿÙ | �âÙ ? � ÛWÛiÛ>�âÙ , ÚÿÙ��

T�-��87 ë�å�ò�ï+ê���ë'ï��YòÏ)*"u!#-�� ��)�&#����!'��� �+&�/21�-k��-���"'�E�������3"ª/2&#�\!#-��E������� ����!#"��2@4� /������-��+"#�P�����+��"t/2&#�P��)�$+���w_RDw×A×���5O` ��!'��!#-0/2!�!#-��PH.&#(�-G/�!8�+&�/21�-E)�"8/��3DR�3�*)���57 ë�å�ò�ï+êJó+ë#ç�ãWëQ)�"�!'-��P10/�&'!#)]/��?�+&#����& &#���]/2!#)���� ���w!#-��P"'��!e� ���V;0�����[_�Dg×�×A×���5T�-�� @A�+���*����)����P�+_�"#��&'$�/�!')*�+��"8/�&'��)��E�\����)õ/2!#�jz

×A�0L Ý�Ù:9�÷�yNL0�.Ý�÷�yAÙ+��¨×�×A�w)x@S�JÜ Ñ ¡�!#-����0LwÝ�L��u�¸÷�y�LG�.Ýk÷�y�L�����¨×�×�×A�[Ó)*".!#-����E)���)��¢(��ý�2@Ç�ý5�'n¶ËSn*þ@n<;�¾Ix'w�v�q$t�w=$>n�>?��!�y]�¤~�ÐO�Ê_0�P/�,.��7���!'��&."#D�"#!'���¤5O���+&^/2��D8>0Õ�Ðk����!ý�@?\_G�

!'-��ý�Yï+ë#ï�ìVó2î*æ7³�"'(�_��+&#��(�1g�2@Ç� ��������&�/2!#���[_�D !#-��P"#�3!:>Q¡0/2���� ? zÇÚ«|>ÀÿÜH� zW÷�yAÔ�À8� Þ ÷2yNÀ8�Ê@A�+&^/2���}ÔPÜA>I~$�` ��!#��!'-0/�!ý� ? )�"Q!#-��8"#D�"'!#��� �2@�!'-��8� )���)��E/���&')���-�!Q���+"#��!.&#��1�&#��"'����!�/�!')�$���"��2@u� ? 5O` ��!'�!'-0/�!ý�,B8ÚÓ�ý5QeÏ��&#�3��$���&.)�! © "Q)��E� ����)]/�!'�Q!#�¢"#���P!'-0/�!�/�� �������E����!ÇÀ _0�����+����".!#�r� ? )x@/2���w������D\)x@����¢&#�3��(������r��7�1�&'��"#"')*�+��"�@���&.Àÿ_G����)���"���)�!#-w/¢����!#!'��&�@A&'���C>Q5

T�-���äWå�ó�ê�æ]ãWð�êS� ? ¡�)�"J/10�+"#��!�/����\)�! © "O10/2&#!')õ/2���*Du��&#����&#��� _�D�H.&#(�-G/�!.��&#����&i5 % @G� )*";0��)*!'�4À ?X /�����À X? ��������!#� !#-��P(���)*��(�� �g/27R)��E/2��������� ����!#".)*�6� ? /����6�@? &#��"'10�3��!#)�$��3�*D�5¬P)�$+���[L�~�ÙuÜP� ? ¡�Lrd�Ù�¡��J�P����!

ÅL�~�ÙöÉ ? zÇÚ«|D%ªÜ#� ? z�LrdE%�d Ù�~R~/2���w������"')�����&�ÅL}~VÙWÉ ? /�"8/¢1G��"#�3!8��)�!#- !#-���1G/�&#!')]/��G��&#����&#)����\)�����(������[_�D0� ? 5

T�-�� 1�&#�3������)�����������"'!#&'(���!#)��+�§�W/�� �2@t���+(�&#"'�[_G�g� )�&#&#�+&#����5¤T�-���&#�[)�"\/[�3���E1��*�3!#�"'DR"'!#��� ? � zÇÚÓ|>À�Ü#� zh÷�y�À Ôi� Þ ÷�yNÀ8�Ê@A�+&8/�����ÔÜ+>G~tÚ y�� ? � {}|

Page 15: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

F |�¬ �G��­?�R�G��ú ¾­ú0�Gû@®���2@m� )���)��g/����*�3����!'-[&#��1�&#��"'����!�/�!')�$���"¢��@J���V@�!8���+"#��!'"ÏÀÏ�G?�5P��(�&'!#-��3&#�E�+&#��¡?/2�[�������E�3�R!.À_G���������+"�!#� ? � )x@J/����g�+����DE)x@����\&#����(������k��7�1�&'��"#"')*�+��" @A��&.Àÿ�3����"8��)�!'-Ï/�����!#!'��&�@A&'���>Q5

T�-�� @A�+���*����)����P)�"��.�����?�R�������¤y]"'����¡G��5 �05�¡?Å���&+É��+&tÅ Ë?Æ�ÉA��5ÿçYæ��(æ���������æ� 4�5ÇK(éýê}ãWêH>HÕ Ð!ë�ì?ò�ãWð�ï×A�[íEîiãWë�±.ÀÿÜH� ò�ï�éPï\å�ð�æ]äWåRãºÚ�ïj³WêAó+ë�æJIWï�ê�æ]ó+ðyÀ�Ú ? ÀýÀ ? é�å$³Vòwê*ò�ï�ê ? À�Ü ? � ï+ð�çÀ ? ÜH� ? ë×�×A�@K�ó�ëPê�ò�æ�éuÚ�ï:³iê�ó�ë3æJIWï�ê�æ]ó�ðu÷�y�À �QÚÄ÷�y ? À8�SÊr÷�y�À ? ��ë����& ��7�/��E1��*�+¡J)��ÿ!#-��r�i/2"#�r��@�!'-��k"#D��E� ��!#&')��g�+&#�+(�1}¡�!'-��k10/�&V/�_G����)��w"#(�_��+&#�+(�1�"

/2&#�P��@A!'���w�i/��������ML0ó�å�ðj��é�åRì��+ë#ó+å��Gé8/���� !#-��P&#)��+-R!��w/�7�)��E/�����(���!')�����!�����&'&#��"'10�+����)����\!#�>#zÇÚÿÐ6�ý|öÔ3�A~P-0/�"�!'-�)�"���7�1���)���)�!.@A��&'�? Ð c Ú�|öÑ£Ü[Ð c z�ÑOy'4i�ÊÝ ÑOy�=��.ÝÓ�����lÑOy�-��Q/����\ÑOy�-�Ê�4i�^Ý ÑOy�=��.ÝV�����#ÑOyAØ?��~´�jk�.������"'��!#-�)�"Q"'����!#)��+�\_RDu��)�$�)*���/ �.���������������¢&#��"'(���!Q���\!'-��8L���)����i/2&����1G����D������ )õ/2�l5

jk� © $+�Ï/2��&#�i/2��D "'�����ÿ)*�Ä!'-��[�i/2"#�[�2@!'-��["'DR� �E��!'&#)��E�+&#�+(�1Ä!#-0/2!E)�!E/���� )�!#"¢!#-��[��)*�3�@A�+&#�\(��]/wy'4�5ÇM��35 % "¢"#�+�E��!'-�)����E"')*� )��õ/2&8!'&#(�� )*�k�+������&V/��ON C�(�&'1�&#)�"')*������DR¡­!#-��w/���"'�J��&u)*"D+��"i¡G/���� )*!�)�"��+)*$+���E_�D !#-�� @A�+�*������)�����!'-����+&#���¸y]"'������5 �05�¡?Å Ë?Æ+ÉA��5ã.ä@å'æ@ç@å�è 4�5ÇM'é�ê}ãWê.y��¤~VÐO��ìVã¢ïQPQð�æ]êAã\æèë�ë#ãVç�å$³Wæ]ì3î*ã��Qó���ãWêAãWë é�±Wé<ê�ã��:RJï+ð�ç\ØwÚÁ� Ð���ëì?ò�ãið[ê�ò�ãWë#ãuã_�+æ�é�ê@��ó�é�æ]ê�æ7îWã�æèð�êAã��+ãië<é^Ó2|ö~������G~�Ó3cré<å$³Vò[ê�ò�ï+ê�ýy � �QÚ c�

����| Å Ó3�(Êÿ4VÉ��>�S ð��Yï+ë�ê�æ7³iå+î�ï�ëTRÇ� � �WÚVU c����| y�Ó � Ê�4W��ï�ð�ç[� Ñ ��Ú ÷2yNÀ X �OÚXW c����| Ó � ëT�-��P)���!#���+��&#"PÓ | ~�������~VÓ c /�&#�u�i/��������E!'-��Eã�����ó�ð�ãið�êèé���@�y��¤~VÐO��y]"'����TQ/�_��*�¢4i�35

T.D�10� ø &#����& � Ñ � NO7�10�+������!#"z c ~ y�Ø0�a4i� yAØ�Êÿ4i��Y Z cRá�|?)[ 4+~�=�~�������~�Øbhc}~ÄyAØ6��=�� = c ØHY Ø ? 4�~VB�~VK�~�������~V=�Ø¢à�4d c ~ yAد� F�� = c�{�| ØHY Ø ? à Ø 4�~VB�~�������~V=�Ø¢à B�~�Ø¢à�4ã]\�^`_jåVa é8,.�]/�"'"#)��i/2�},.��7R�3!#��& ��&#�+(�1�"

�(n�Ì@n[)ýÞ�ß>w�vNw�v7x'tb$LO/�&'!#)�!#)��+��"�/�&#�\�3���\_�)��0/2!#��&')]/��}�+_�¦V����!'"�!'-0/�!u-0/W$��\"'��$���&V/��.&#���]/2!#)�����"u��)*!'- ,.��7���!'��&

�+&#��(�1�"i5Ojk�P(�"'�t!'-����I��@A!'���w)��g!'-�)�"��J�+&#�?¡�/����E�����ÿ�J�P&'���i/�����"#��� �8_0/2"#)��P����!V/�!')*�+�}5�«��ï�ë�ê�æ]ê�æ]ó�ð@cÏ��@J/¢�����������R/2!#)�$��P)���!#���+��&tØ£)�"8/��[)���;G��)�!#�P"#����(��3�����wydc | ~Tc ? ~������A�h��@

���+��������/�!')*$+�J)���!#�3����&'"Q��)�!#-u;0��)�!#����D��w/���D8!'��&#� "O��)xµ���&'����!O@A&'����v�¡���-���&'�Qc | �Ec ? �aÛiÛWÛ/2���+WXe����| c � Ú�ØO5PT�-���"'(��fW � c � Ú�Ø )�"8�i/2�*�����£!#-��wé�æJIWã¢��@0ck/2���[�.����&')�!#�gc+hrØ�+&Ï� cG��ÚüØO5�T�-��P��(��\_G��&Q��@O10/�&'!#"��2@]c¤yè)l5 �+5*¡+!#-��t��(��\_G��&.��@}���+��Xl¥���&#�8c � �Q)�".!#-��¢î*ãWðj�+ê*ò�2@ic�¡O�������+!#��� ÷�ydcG��5[T�-��\"#��!¢��@t/2�*�Ê10/�&'!#)�!#)����r)�"���������!#�3� _�D@j /2���k)�!#"�"'(�_�"'��!���)�!'-÷�ydcG��d�Øk_�D<jEy�Ø?��5¢� 10/2&#!#)�!')*�+�+cr)�"P"�/�)��r!#�w_G�wé<ê�ë�æ7³Wê�)¶@Qc |�Þ c ?�Þ �����V5 jk���������+!#�_�Dkj.8\!#-��t"'��!���@�/2����yè)*��!'������&V�."#!'&#)���!�10/2&#!#)�!')*�+��"J/2���gj.8}y�Ø?�Q!'-��P"#(�_�"#��!��2@m/����G!#-�� "#!'&#)���!10/2&#!')*!')�����".��)�!#- ÷�ydcG�!d ØO5

>­��!1c@hrØO¡G!#-��3�[�J�¢��&V/W�ý/¢�*�<@A!lX¶¦V(�"'!#)x;0���k/�&'&�/WDE�2@^Ør_G��7R�3"8��)�!#-+c��._0��7���"P)��[!#-��×o�dl¢&#���a/����E�i/2�*�?)�!�!'-��AL0ó�å�ðj�wç+æ]ï��+ë#ï:� ��@bc}5

Page 16: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

|�¬ � ¬ ®W¹?ú��Gù��0ù]�G�}� m

nb�po�q@ç@åra é�T�-��8¯.��(����¢��)]/��+&�/2� ��@bcEÚÍyAK�~'F0~V=�~W4i�T�-���³Vó�ð�ó�å>��ï+êAãý��ï�ë�ê�æ]ê�æ]ó�ð@cts?Úýypc�s | ~�cts ? ~������l�.��@ucw)�"����V;G�����r_RD !#-��u��������)*!')����E!'-0/�!

!'-�� ¯J��(�������)]/��+&�/��·�2@]c�s?)�".��_�!V/�)������ �0)�1�1�)�����!'-�� ¯J��(�������)]/��+&�/��·�2@vc ��$���&.)�!#".�g/2)*���)]/2�����G/��Oy�@A&'��� (�1�10��& ���V@A!�!#�\�����.��&.&#)���-�!��3¨�����(�)�$�/2�*�3�R!'��Dwcts � )�"�!#-��u�R(��\_0��&.��@O10/�&'!#" ��@cw!'-0/�!8/2&#����×#¡Y@A��&�/����}×G�ÿ4�5O`8�+!#�P!#-G/�!Qcts | Ú ÷2ypc0�35

nb�doxq@ç@å4y é�T�-�� ¯J�+(����¢��)]/��+&�/�� ��@vcts¬P)�$+���@c[ÚIydc | ~�������~Tc , � Ü@j �.�¢�*�3!tÒGydcG��_G��!'-�� î*ãWðj��ê�òkó<Ú�ê�ò�ã:zuåRëoÚ�ãVã¢é<äWå�ï�ë'ãP��@c�¡

ÒGypc0��zÇÚ �g/27�|�×OÜkÅ-+É�z:c � ��×�~$�y'4�5Ç�������&�/���D8{Q~Tc Ü<j��.�P���V;0���:{HÕEcw)x@Q/����w�����*D\)x@H{ � d,c � @���&8/����?×#5 % @Q�J�P)�������!#)x@AD

/w1G/�&#!')�!#)����k��)�!#-k)�!'"P¯J��(����[��)]/��+&�/2�¤¡G!#-��3� !#-��E10/2&#!#)]/2�J�+&#����&rÕ )�"���)�$+���k"#)��E1��*Dw_�D���+��!�/�)���� ����!J�2@���)]/2��&�/2�E"W5 % ! © "��J�3�*�����������}¡�/����g����!�-0/2&#�[!'�\"#����¡G!'-0/�!�!'-�)�"8�g/2����"|j)���!#�\/¢�]/�!#!')�����¡�(�"'(0/�����D\�i/��������XL0ó+åRð:��} éPî�ï�ê�æ7³Vãtyè"#���u��5 �05�¡?ÅÇÌ0Æ?¡�~�q�5Ç=öÉè�35

T�-��rç�ó:��æ]ð�ï�ð�³Vã[ó+ë#ç�ãWëw)�"�/£10/�&'!#)]/��Q�+&#���3&\���V;0���3�§�+�k!#-�� "#��!\�2@810/�&'!#)�!#)��+��"���@t/;07����£�����������R/2!#)�$��P)���!#���+��&tØr/�".@A�+���*����"W5 % @b{ /2���@c[/�&'��10/�&'!#)�!#)��+��"���@Q"#)�¥��¢ØO¡�!#-����[�.����<;0���:{)�Ecw)x@ { | Ê4{ ? ÊüÛWÛWÛ_Ê-{ � d,c | Ê-c ? Ê�ÛWÛWÛ�Ê/c �@A�+&^/2���}×G�a4j�

Page 17: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� |�¬ �G��­?�R�G��ú ¾­ú0�Gû@®��

Page 18: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

,.U8�PLOT8NQf¸=

�a�\Âw� ��Áb�P��Ã�������Gmr�8�.�O ���ÿ�·�ýlE�����hÁ6��ÁQ��Â�mg% �¢!#-�)�"O�V-0/�1�!#��&.�J����������/2!�"'��� �J�2@�_0/2"#)��.����(��E��&V/�!')*$+�^/2"#1G����!'"J�2@­,.��7���!'��&Q��&'��(�1�"i5

NO$+��&#Dr������� ����!t1G��"'"#��"'"�"'��$��3&�/��."#)��+��)x;0�i/���!P��(��E�3&#)��i/��Q/2!#!#&')�_�(�!#�3"i¡��i/��������ÿ³#"#!V/�!')*"'!#)���"'´0¨�.�\-0/W$��E/2��&#�i/2��D¤"'�����}¡Ê)��k!#-�� 1�&#��$�)���(�"��V-0/�1�!'��&i¡Ê!#-�� �E�+"#!P)��E1G��&#!V/���!8�37Y/2�E1�����¡�!#-���������+!#-}5OU ��&#�u�J��/�&'�P)*��!'��&#��"'!#���r�����*D\)�� !#-��P���+�\_�)��0/�!'��&#)]/2��1�&#�+10�3&#!#)���"P�2@�!#-���"#��"'!�/2!#)�"lX!')*�3"i¡?��)�!#-���(�!P���+��"#)�����&')����w!#-���)�&�/����+��_�&�/2)����E�i/2��)����\!#-G/�!P��)��*�O_G��!'-��\�g/2)��g/�&'��(�� ����!�2@�!#-�������7�!�!l�.���V-0/21�!#��&'"i5

jk��_G���+)*�r_�Dw������"')�����&#)����w!'-��\"#D��E� ��!#&')��t�+&#�+(�1}5�jk�u��)�$��¢"#�+�E�P���V;0��)*!')�����"�/����_0/2"#)��.&#��"'(���!#".���¢10��&'�\(�!�/2!#)����u"#!�/2!#)�"#!')���"J�+�ªÐ c /����ªb c 5OT�-����\�.�J)���!#&'����(����8/2���\"#!'(���D!'-�&#��� ������"'!�/2!#)�"#!')*�3"i¡�ÒRn o2pY¡�Ò�ÒRÓWÔ8/2�����GnEo2p��ü�+��!'-��8��$+����Xl"#)��������E1G��&#�\(�!�/�!')������+&#��(�1d c 5�jk�J"'-���� !'-0/�!JÒ�n o�pt/2�����GnEo2p�� /2&#�8e[/2-�����)õ/2�}¡�/����\!'-0/�!O!'-���10/�)�&�yAÒ�Ò�ÓWÔ�~VÒ�nEo2p2��+)*$+��"8/u�������3&�/���)�¥i/2!#)���� ��@J,�/�&'�*)�!'¥ © "J)�������!')*!lD�5T�-��w&'��"#(���!'"g)��M~�=�5ÇBk/�&'�w������"i¡ /�����/�&'�w10/�&'!E��@P!#-��£10/�1G��&[Å�%�É8!'-0/�!\��)����8/�1�10�i/2&E)��� ��$�/����3��"8)��E� 1�1���)����[e[/�!'-����w/�!#)���"W5

Æ�n7�(n6ñ@á@òPòPq$w�ß>v�¿�»'ß>x(¾GàT�-�)�"P)�"�/w1�&'����)��E)��0/�&'DE"'����!#)��+� )��k��-�)��V-¤�.�\������������!¢"#�+�E�¢_0/�"')��E/����r�J�3�*�.���������

&'��"#(���!'"E���Ä!'-��[���+�\_�)��0/�!'��&#)���"u��@�!#-��w"'DR� �E��!'&#)��E�+&#�+(�1}5ÄT�-�)�"¢;0�����Ä��/�"\)��$�0(��3�������� ��"#!'��D�_�Dg9 �+�E)���)���(��^���R/2!�/�¡R/2���w!#-���&'�i/�����&8�i/2�w��)�$��P/¢�*���+�\!#�wÅ Æ��`�mþ'&��Qþ����Qþ0þRÉs5

Æ�n7�'n7�(n8�«Þ�¼Gx'tGv�Þ�t�Þ�tb" Ü ¾H�Nq$ß>v�Þ�t ñ@w�Þ�w�v�$�w�v ¿�$>n����+&8ÑrܤÐGc}¡G/����w)��w�������3&�/���@A�+&/2�RDEÑwÚÍyAÑ­|i~������0~VÑ�cY�ÊÜP� c ¡��.�t���V;0����/£³#�3���\_�)��0/2!#��&')]/���´\ç�ã3é�³VãWð�êÊé<ãWê?_�D

d\ÓWÔ�y�Ñ?�.zÇÚ�|ö×�ÜkÅÇØ\àÄ4VÉ#zPÑOyA×�� Þ ÑOyA×�Êÿ4W��~´�` ��!#�.!#-G/�!�@A��&OÐGc�!'-��.�g/�1�×x��âÔ��?)�"O/8_�) ¦<����!#)��+��_0�3!l�J���3�Ed\ÓiÔ+yAÑ?�Q/2���¢!#-��.&#)���-�!�����"#�3����!"'��!td

ÙyAÑ?�����V;0�����£)*�ry#4+5 F���5

� ".@A&#�+� !#-�)�"��+_�¦V����! �J�P���V;G����!#-��ªç+ã�é�³VãWð�ê�ð�å$��ìVãWë.��@mÑ£_�DÒRÓWÔ+yAÑ?�ýz Úþ� d\ÓWÔ+yAÑ?���x~

/2���w!#-����¢ïAó�ó+ëtæèð�ç�ã���¡Y;0&#"'!8)���!#&'�R��(������[_�DEe[/2�ie[/2-����ky]"'���wÅ Ë?Ì+ÉA�Ê_RDn o�p�yAÑ?�Ez Ú U

� Í �u� ¨�^ ` ×A�����&Q�37Y/2�E1����.)x@�ÑgÚÿB�=+K�F�M�4�Ü[Ð F !#-��3�gd\ÓWÔ�y�Ñ?�JÚ�|R4+~�B�~�K�~R¡�Ò�ÓiÔ+yAÑ?�QÚÿB¢/����En o�p�yAÑ?�.ÚS��

T�-��P��(��\_G��&.��@�1G��&'�\(�!�/2!#)�����".)��[Ð c ��)�!'-[- ����"'������!#"P)�"��������+!#���£z�yAØO~�-.Êÿ4W�z�y�ØO~_-�Ê�4i�QÚ�� |�ÑwܤРc zPÒ�ÓiÔ+yAÑ?�.Ú�-'~����

T�-��\��(��\_G��&'"y|Wz�y�ØO~_-eÊ 4i� z Ø�� 4+~_-eÊÍ4\ÜÿÅ Ø�É�~\/�&#�\�W/��������ü³VNO(�����&')õ/2�¤��(��\_G��&'"#´0¡/2���w)*! © "J�i/2"#D !#�\"#�3��!#-0/2!�!#-��3DE"�/2!#)�"l@�DE!#-���&#���3(�&#&'�������

z�y�ØO~_-�Ê�4i�QÚayN-eÊ�4W�lz¢yAØ à§4+~_-à�4i�@ÊÿyAØ�à -��sz�y�Ø à§4�~�-��3~�

Page 19: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

| X ?�¬ ���?û?¿���ú0¹��Gù��?�E¹}��®������?���`�w�0��­?���0��úk¾?ú0�Gû@®����)�!#- !#-��u)*��)*!')]/��G��������)*!')����

z¢y#4+~_-�Ê�4W��zÇÚ § 4�~I@���&�-\Ú�v�~v �+!#-��3&#��)�"#�$�T�-��P1G����D������ )]/���"

z c y�Õ0�!zÇÚ U $Í 8 Õ |#á�� � ¨�^ ` Úc�{}|U, � X z�yAØO~�-�Ê�4W�#Õ , á�|

/2&#�¢!#-��¢"#�2XZ�i/2���*�3�ü³VNO(�����&#)]/2�[10�+��DR�����E)]/2�*"'´�!'-0/�! ���w����! -0/W$��¢������"'���£@A��&'�E"�@���&8!'-�����X"'����$���"W¡�_�(�!����\-0/W$���/u��)����P�������3&�/�!')����\@A(�����!#)��+�E��)�$+���w_RD

4uÊ Uc W | z c}yAÕG�AL

cØHY Ú 4

4.à�W c W | ^ R {}|A` �$9 h c�� �� �RD¢1G��&#�\(�!V/�!')*�+�\"#!V/�!#)�"'!#)�����-���"'�P��)�"#!#&')�_�(�!#)��+�\���EÐ c )�"J�+)�$����\_�D\Ø�XZ!'-gNO(�����&')]/��\1G����D+X���+�E)]/��Gz8c?y�Õ0�h)*" "�/2)*�w!'�E_G��í�å+î*ãWë�æ]ï+ð�5�ø8����)��E1G��&'!�/2�R!.��7�/�� 1����8�2@ÊNm(�����&#)]/��£"#!�/2!#)�"#!')��)�"8ÓWÕ0Ö�y�Ñ?��¡�!'-��Eð�å$�¢ì�ãWë�ó<Ú�ã_�:³Vãið�ç�ï�ð�³�ã3é���@Q/¢10��&'�\(�!�/2!#)����wÑwܤÐGc

ÓWÕ0Ö2yAÑ?��zÇÚK�|�×�Ü ÅÇØ�É0z�ÑOyA×�� Þ ×�~����T�-�� @A�+���*����)����P&'��"#(���! )*"��.�����?���������}5ã.ä@å'æ@ç@å�è =�5�4 yAe[/2�ie[/�-����0��é.ê�ãiêOØwÜ0)�ë�ì?ò�ãWð

U $Í 8 � OO� ß ^ ` Ú U $Í 8 � \_^ ` �% !h@A����������"8!'-0/�!P/���D["#!V/�!')*"'!#)��¢����(�)���)�"#!#&')�_�(�!#�3�¤��)�!#-r!#-����������+!#-r)�"8"�/2)��¤!'�g_G�\ñ¤ï�2

ò�ó�ð�æ]ï+ð�5Q��;0&'"#!81�&#����@O��@�!'-��P&#��"'(���!8/�1�1G�i/2&#���[)��rÅ Ë?Ì+É#¡�/����E��!'-���&�1�&'����@A"��i/2�E_G�P@A�+(����)�� Å Ë?È+ÉJ/���� ÅÇÌ���É#58U ��&#�\�.��1�&'��"#�3�R!u!#-��¢�E�+"#!.@Z/2�E��(�"���(��¢!#�g���R/2!�/�¡���-�� 1�&#��$�)�����/2���7�1���)���)�!._�) ¦V����!')*�+�@�Pz�Ð c à(�âÐ c ��)�!#-w!#-��8@�����������)*����!l�J�¢1�&'��1G��&#!')*�3"�z

4:�^n o2pYy�Ñ?�QÚü×�Ø?Ù�yp�.yAÑ?�#�3¨=��^×�Ò�ÓiÔ+yAÑ?�ÊÚü×�Ò�ÓiÔ+yd�.yAÑ?�'��5

��-��3&#��×�Ò�ÓiÔ+yAÑ?�ýzÇÚ�Ò�ÓiÔ+yAÑ {�| ���jk� ����"#�3&#)�_0�¢!#-���/������+&#)�!#-���!'�\������"#!#&'(���! !#-���_�) ¦<����!#)��+���.5J>­��!8ÑwÚüÑOy'4i�?ÛWÛiÛ'ÑOyAØ?�._G�/1G��&#�\(�!�/�!')����}5

×A�[9 �V;G����À | zÇÚ ÑOy'4i�3¨�/2"#"#(��E�¢!#-0/2!yÀ , -0/2"�_G����� ���V;0�����r@���&�"'���E��-r��)*!'- - ÜÅÇØ¢à�4<És¨+!#-����×�×A�w)x@}!'-����]/�"'!J����!'!#��&��2@ºÀ , )*"��+&#�i/2!#��&�yè&#��"'1["#�w/�������&��m!#-0/2�ÏÑOyN-�Ê�4i�3¡�"#1���)�!�À , /ö@A!#��&�W/��V-w�*�3!#!#�3&8��&'�i/�!'��&�yè&#��"'1}5Q"'�g/2�*����&V�O!#-G/��[ÑOy�-eÊ�4i�3¨�!#-����×�×�×A�w)��w�i/2��-r���+�E10/2&#!#� ����!J�2@ÇÀ , ����!#�3&#�E)����3�[_�Dg!'-��¢"#1���)�!8� ��$��8!'-��¢�õ/2"#!�����!'!#��&P!#�!'-��._0���+)�����)����0¨2@A�+&��+_�!�/2)���)����.À , á�|Q1�(�!QÑOy�-GÊ[4W�Q/�!O!#-��������\��@?!#-���!#&�/2��"l@���&#� ����.��&'�}¨�&#�31��]/����y-�_�D[-�Êÿ4�¨×�Ù��w)x@u-�ÚÿØO¡�!#-��3�+�.yAÑ?�QÚ«À , )x@O����!�&'��!#(�&'�[!#�\×�×A�35

Page 20: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

?�¬ |�¬ ��Ø?¿�¿����0úGù]�[¾?úG�Gû@® |�|

����&.��7�/�� 1�����¡�!'-���)��g/2����(�������&1� ��@QÑgÚ�q�FRS+=�M�4iK��+BP)�"���_�!V/�)������w/�".@A�+���*����"�zÀ | Ú q(�À�? Ú q(�IF@�À!× Ú q(�IF@�:S(�À ü Ú q F@� S =(�À � Ú FY�:q'�:=(� S(�:M'�À F Ú FY� q =(� S M 4$�À m Ú FY�:='�:q(� 4´� S M'�:K(�À � Ú FY� = q(� 4 M'� S'�:K(� �(�/2���@�Jy�Ñ?�QÚ«À � Ú�FRq+=�M�4WS�K+��B��

Æ�n7�'n*Æ@ng�@x'v�tSw���prvd$�w�ß�v��G¾�w�v7x(t!n % !\)*"E/2��"#�k)���!#��&'��"#!')*��� !#-��["#!'(���DÄ��@�10/2)*&'"\��@�"#!V/WX!')*"'!#)���"W¡?(�"#(G/�����DÏ/2� Nm(�����&#)]/��r�����ª/2��� / e[/�-�����)]/��£�����\/����r����(�)���)�"#!'&#)�_�(�!')����[�2@J"#(��V-³'_�)�"#!�/2!#)�"#!')���"#´G5T�-��¢�E�+"#!��0/2!#(�&V/��0¦<��)���!8����(�)���)�"#&')�_�(�!#)��+�[)�"8��)�$+���¤_�DkyAÒ�ÓWÔ�~s÷i��5uT�-���&#�\)�"�/ "#)��E1��*�

&'����(�&'"#)�$���&'(����P!#�\���+�E1�(�!'�8!'-������3����&�/2!#)����¢@A(�����!#)��+��ýyC�i¨ � �ÇzÇÚ¶UÌGÍ � � � � ¨�^ Ì ` � \�^ Ì ` ~@A�+&^/2��Dg,.��7���!#�3&���&#�+(�1wjý5ã.ä@å'æ@ç@å�è =�5Ç='é�ê}ãWê.y��¤~VÐO��ìVã�ï¯�Qó��+ãiê�ãWëPé�±Wé<ê�ã��yë�ì?ò�ãWð�ýyC�i¨ � �OÚ U?��Y8 ��  ?  ]y#4.àH���T  83¡T?   �ýy � �� 83¡�? y � � �

��1�&#����@\�i/2�ü_G�[@���(�����)*�ÍÅ���&YÉs5·C��+�E��!')*� ��"\)�! © "E1G��"'"#)�_����r!#��;0���a/���"#��"#)��E1��*���7�1�&'��"#"')����Ä��)�!#-��+(�!�(�"')*���[!#-�� 1�&#�3$R)��+(�"�!'-����+&#���r5¤����&���7�/2�E1�����¡­@A��&u!#-�� "#D��E� ��!#&')*��+&#��(�1}¡��J�P-0/W$+�P!#-�� @A�+�*������)�����&'��"#(��*!���(���!#�\C�!V/�������DrÅ Ì���ÉAzU

c WYX Ð c yC�i¨ � � Õc

ÅÇØ�É���Y Ú y#4hà0���'ÓiÕ:D}y�Õ}y'4.à#���3¨ � �4hà0�QÛiÓWÕjD�yAÕ�y#4.àH����¨ � �)��0��y � �3Å �lÉè�3Å�Å ÕYÉ�É#¡���-���&'�

ÓWÕjD�yAÕ�¨ � �!zÇÚ Uc WYX Õc

ÅÇØ�É��&Y ~/2���[Ð X yM�i¨ � �!zÇÚ�Ð�|�yC�i¨ � ��zÇÚa4�5% �r!#-��\�W/�"#�\�2@hÐGcr!#-���&#� ��7�)*"'!�/E��(��\_G��&P��@.����(��E��&V/�!')*$+��&'��"#(��*!'"����r!#-��8¦V��)���!8��)�"'!#&#)xX_�(�!#)�����" y]"#�3�[��5 �05�¡.Å þGÆ+É8/����ÿÅÇþ0þ+ÉA�35¤f��3�E���\_G��&P!#-0/2!�÷�y�Ñ?�\Ú:×AØ?Ù�yAÑ?�u@A�+&�/�����ÑÿÜôÐGc}5T�-�� ;0&'"#! 10/�)�&\��@P����(�)���)�"#!'&#)�_�(�!'���üNO(�����&sXse£/�-��+��)]/��Ä_�)�"#!V/�!#)�"'!#)���"\��/�"\!#-G/�![yAÒ�ÓWÔ�~V×�Ø?Ù��/2���kyAÒ�ÓiÔ+~V×An o�p���¡��������+!#���£_RD

yAÒ�ÓiÔ+~V×AØ?Ù+�b¢ýy�Ò�ÓiÔ+~�×�nEo2p���~��-��3&#��×�nEo2p�zÇÚ�nEo2p�yAÑ {}| ����T�-�)�"�)�"8/��E�W/�"#Dw���+��"#�3�R(��������¢��@Q����/�!�/ © "J_�) ¦V�3��!#)�����5

øh@�"'10���3)õ/2��)���!#��&'��"#![)�"w/���"#��!#-��kNO(�����&sXse[/2-�����)õ/2��10/2)*&ryAÒ�ÓWÔ�~VnEo2p���¡P��-��+"#�\¦V��)���!��)�"'!#&#)�_�(�!#)���� ���[Ð c )*".��)�$+���w_RDE,�/2&#��)�!#¥ © " � X#NO(�����&')õ/2�E1G����D������ )]/���"Oz c yM�i~ � �

z c}yC�i~ � �!z Ú cU, � X z8c�; , y � �N� , Ú U $Í 8 � � � ¨�^ ` � O0� ß ^ ` ~

Page 21: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

|A? ?�¬ ���?û?¿���ú0¹��Gù��?�E¹}��®������?���`�w�0��­?���0��úk¾?ú0�Gû@®��/2���¤z X yC�i~ � �ezÇÚI4�5¢���+&8��7�/2�E1�����¡Gz.×�yC�i~ � �8ÚI4!Ê�=�� � ? Ê�=�� � Ê�� ? � × 5�� �0/������+��(�"'��DE!#�!'-���NO(�����&#)]/2�g��(��\_G��&'"i¡�!#-���������"E��)�����!#" z c�; , y � �."�/2!#)�"l@�D\!#-���&'����(�&'&#�������

z c�; , y � �ÊÚýÅ-.Êÿ4<É��Vz c�{}|�; , y � �@Ê � , ÅÇØ�à -+É���z c�{�|_; , {}|�y � ��~��)�!#-

z X ; , y � ��zÇÚ § 4+~I@A��&.-¢Úÿv�~v ��!'-���&#��)�"'�´�T�-�� @A�+���*����)���� @A�+&#�\(��]/P)�".��(���!'�E,�/�&'�*)�!'¥ © "^/2���w)*!'"�1�&#���2@��i/2�g_G�P@A�+(���� )*�kÅ���È+É#5ã.ä@å'æ@ç@å�è =�5ÇB'é�ê}ãWêOØwÜ0)�ë�ì?ò�ãWðU  WYX ÅÃ!Ê�4VÉ c� � Â Ú z c yC�i~ � �U c��� X y#4.àH� � � �æ]ðÅ�^Å � É#Å�Å �lÉ�ÉAë

9 �����3&#!P)�� 4iS+S�v\�3���i¦V�3��!#(�&'���k!#-G/�!8!'-��¢10/�)�&\yAÒ�ÓWÔ�~VnEo2p��8��/�" ����(�)���)�"#!'&#)�_�(�!'���¤��)�!'-y�ÓiÕGÖ�~VÒRÓWØ?��¡Ê��-���&'�¤ÓiÕGÖ )�"\!#-��w��(��\_G��&��2@t��7����3�0/����3��"[��@�/[1G��&'�\(�!�/2!#)����Ä/�����Ò�ÓiØ )*"/[e£/�-��+��)]/��r"#!�/2!#)�"#!')��\��&#(��3)õ/2���*Dr��)xµ?��&#����!u@A&#�+� ×�Ø?Ù�5£T�-�)�"�&#�3"#(���!���/�"�1�&#��$��3�k;0&'"#!�_�D���R/2!�/8/2����«G��)���_G��&#�+��&8ÅÇþ0þRÉ0!#-0/2!O�i/���������Ò�ÓWØ\!#-��0zuãið�ãWë�ê�"'!�/�!')�"#!#)���/����\/W@�!#��&O_�DPUt/��wÅ ËY&RÉs5ew�+&#� &#�����3�R!'��DgC���/2������&V/EÅ Ë?È+É}���V;0�����g/u�����üNm(�����&#)]/�� "#!V/�!#)�"'!#)��tÔ���Ö "#(��V-E!'-0/�!.!#-��t1G/�)�&y�Ô���Ö�~V×�Ø?Ù��O)�"O����(0/�����DP��)�"#!'&#)�_�(�!'���\��)�!#-wyAÒ�ÓiÔ+~VnEo2p2�Ê/����¢1�&#��$�)�����/ "#)��E1����O_�) ¦V���3!#)�$���1�&'����@�2@}!#-�)�"Ê@Z/���!W5O`8�+!#�8!'-0/�!PyAÒ�ÓWÔ�~V×�Ø?Ù��./����ryAÒ�ÓiÔ+~VnEo2p2��/2&#� !l�J�¢��)xµ��3&#����!Ê@Z/�� )*��)���"O��@�Nm(�����&lXe[/2-�����)õ/2�E_�)�"'!�/�!')�"#!#)���"��+�[ÐGc}5

% ! © "Ê10�+"#"#)�_����8/2�*"'��!#�u������"')�����&.10/�)�&#"Ê��@}e[/�-��+��)]/��\"'!�/�!')�"#!#)���"W5OT�-��.@A�+�*������)���� &#��"'(���!#"-��+���}5ÿ çYæ��(æ���������æ� =�5 FYérì?ò�ã�ê�ò�ë'ãVã���ï�æ]ë<étóAÚé<ê�ï�ê�æ�é�ê�æ7³�é

yAn o2p2~V×�Ø?Ù��£¢ýy�×An o�p�~V×AØ?Ù+�u¢ÍyA×�nEo2p�~VnEo2p2�3~ò�ïjîWã�ê�ò�ãué�ïj�¢ã�ç+æ�é�êAë�æèìiå�ê�æ]ó�ð[ó+ðEÐ c ëÿ

çYæ��(æ���������æ� =�5ÇK(érì?ò�ã!��ï�æèë�óAÚPé�ê�ï�ê�æ�é�êAæo³�é8y�nEo2p�~�×�Ø?Ù��¢æ�éPé�±>�y�¢ãWêAë�æo³�RQð�ï:��ã3y�nEo2p�~�×�Ø?Ù��£¢ýy�×AØ?Ù�~�n o2p2���

LO&'����@A"��2@�!#-�)*"�&'��"#(��*!'"8�i/2�w_0� @A�+(����w)��¤ÅÇþ0ÆYÉ#5

Æ�n*Æ�n�¤�¼Gq@¥�á@àºq´ß>x�¿ w�Þ�¼Iq�"Sß>Þ��u»'ß>x'¾Ià� �\)*����&#�i/2"#)����¢��(��\_0�3&Q��@}����(�� ��&�/2!#)�$���&'��"#(��*!'"J!'&#(�� @A�+&JÐGc\-0/W$+�8_G�����E�+������&V/���)�¥����

!'�[!#-��w-�D�10�3&#����!�/2-�����&V/����+&#��(�1}5kC���$��3&�/��\³'�g/�¦<��&8)�������7�´¤"'!�/�!')�"#!#)���"¢-0/W$+�E_G�����Ä)��R!'&#�2X��(������ /����k"#!#(���)����r@A��&�bhc}¡Jyè"#���[ÅÇÆGÆ��8ÆGþ�É#¡QÅ Ë?Î+É^/2���§ÅÇÌGþ�ÉA�3¡?_�(�!����g�+������&V/���)�¥i/�!')����r��@e[/2�ie[/2-���� © "Q&'��"#(��*!.-0/2"J_G����� @A�+(����\(���!#)���!'-��P��)�"#����$+��&.��@?!#-���Ô.ï���2A��ï<ó�ó�ë æ]ð�ç�ã�� )��E!#-��&'��������!P10/�1G��&¢Å þRÉs5Ê��@A!'��&8!'-0/�!P����/�!V/�1G��"'���[!#-��P@A����������)�������(���"'!#)�����¡�&#�3������!#��Dw"#�+�*$+���[)��ÅÇÆ+É#5 ÿ çYæ�^�_:å�è 4EyA���R/2!�/+��é NO7�!#�����Ä!'-��ij�NO(�����&sXse£/�-��+��)]/���´[_�)*$�/2&#)]/�!'�E��)�"'!#&#)�_�(�!#)�������@���3"#������! �R(��\_0��&8/2���E�w/�¦V�+&J)������37\!#�Eb�c�5

U ��&#� �J��)���!#&'�R��(����8"'��� ��_0/�"')*���3���\_�)��0/2!#��&')]/�������"#��&')�1�!#)�����"���@?!#-��P,.��7R�3!#��&.��&'��(�1�"�2@�!lD�10��b /2���w!#-��3�g�.�P"#-����ÿ!#-���&#��"'(���!#" �E����!#)��+�����E/�_G��$��+5

Page 22: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

?�¬ ?�¬ ���?�¦�@Ø@®��RúG�?���+¹��?�R½?úG¹?¼\¾?ú0�Gû@® | ×Æ�n*Æ�n7�(n6��x(òA�Gv�tGÞ�w�x'ß>v7Þ���"Sq�$�¿ ß>v�àGw�v7x(t!n.jk�J���3����!'�8_�Dªbhc\!#-�� ��&'��(�1\�2@­/2�*��_�) ¦V���VX

!')*�+��"O§r��@�!'-���"'��!�Åxà8ØO~�Ø�Éj�ý|öv�~�����!#�¢)�!#"'���x@�"#(���-£!#-0/2!§Qysàh×��.ÚaàO§QyA×��@A�+&�/����Q×PÜaŶà8ØO~VØ�É���|öv�~R¡?��)�!'-¤���+�E1G��"')*!')����¤/2"�!#-��\�+&#�+(�1¤�+10�3&�/�!')����}5\T�-�)*"u��&#�+(�1r)*"(�"'(0/�����D����������E/2"J!'-��8�+&#��(�1\��@Qé�æ��+ð�ãVç���ãië���å�ê�ï�ê�æ]ó�ð�éQ�+�[ÅÇØ�És¡2��&J/2"Q!#-��Pò�±<��ãië'ó�³Wê�ïiò�ãVç+ë#ï�î�+ë#ó+å��r��@�&�/���� ØO5 jk�\)�������!#)x@AD¤Ð c /2"�/ "#(�_���&#�+(�1 �2@hb c ¡O/���� b c /�"�/ "#(�_���&'��(�1���@Ð ?'c ¡?)��[!#-����0/2!#(�&V/��Q��/WD�"i5 % @u§ÄÜ b c !'-����r�J�¢��&#)�!#�k§ ÚIÅ § | ~������'~¨§ c Ém!'�w�E�i/2�g!'-0/�!§Qy�×A��Ú©§ � @A��&�×8Ú�4�~�������~VØO¡}/2���k�J�\�W/����Q!#-�)*"u!#-��0íQæèð�ç�ó:íÄ����!V/�!#)��+�[��@Q§Q5 �8"�"'��!¢��@�+������&V/�!#�+&#"h@A��&�b�cw�.�t!V/��+�Ð`ª«zÇÚ«|öÔ ª | ~������G~�Ô ªc�{�| ~VÔ ª X ~���-���&#�P@���&�×OÜkÅ Ø�à�4VÉ

Ô ª� z ÚÍÅ�4�~�������~V×Gà§4+~�×�Ê�4�~V×'~�×�Ê�=�~������G~�Ø�É#~/2���

Ô ª X zÇÚaÅxà4+~�=�~�������~�Ø�É0ÚÍylà�4�~W4i���` ��!#�P!'-0/�!.�\(���!#)�1���D�)�����/��E�3�*�3�E����!£§¤Ü[b c �+�E!#-���&#)���-�!._�DEÔ ª� y�Ô ª X �.-0/2"J!'-����Vµ?����! ��@��7��V-0/2����)�����!'-��P$�/���(���"Ê)*� 10�+"#)�!#)��+�E×�/2���g×:ÊÄ4�y]&'��"#1G����!')�$�����D�¡��V-0/�����)�����!'-��P"#)����\�2@�!#-��$�/2�*(��t)��[!'-��P;0&'"#!P1G��"#)�!')*�+�0��5hT�-�)�"8�g/2����"��3�*�W/�&P!#-0/2!tÐ ª ��������&�/2!#��"�b c ¡�� ��&'����$���& )�! © "�.�����?���������E!'-0/�!�y�b c ~�Ð ª �.)�"8/¢,.��7���!#��& "#D�"#!'���:��@O!lD�10��b:yè"#�����+5 �G5�¡?Å���&+ÉA��5

ö ö ö ö ö ö« ÷ ø ù ú û ø ú û ÷¬T�-���,.��7���!'��&���&V/�1�-w�2@mb c

� "�@A�+&tÐ c �.����)�$+�/2�[��7�1���)���)�!8���+�\_�)��0/�!'��&')õ/2�0����"#��&')�1�!#)����£��@J!'-����������+!#-w@A(�����!#)��+�÷P��@mb c ��)*!'-w&#��"'10���3!t!'�EÐ ª 5Q����&£§rÜÏb c �J������!k[Ó�B�y­§}�.zÇÚ«|�×OÜkÅÇØ�É�z�§ � Ý�v$~�~y�=�5�4i�

Ø?Ó�B?y�§}�.Ú�k | y�§}�ýzÇÚ�� k[Ó�B?y�§}���¶~/2��� ke?+y�§}��zÇÚK�|:|ö×'~lp$~8ܯ® ÅÇØ�É=±° z�§��Yʲ§ ß Ý�v$~����` ��!#�P!'-0/�!W¡�)x@]§rÜ[b c ¡�!'-����[)�! © ".����!�-G/�&#�w!'�\"#����!'-0/�!k | y­§}��Ê1k ? y­§}�JÚ à U

� Í&³ ��´ ^Jµ ` §Qy�×A���y�=�5Ç=�� ÿçYæ��(æ���������æ� =�5ÇM(éýê}ãWê�§rܤb�cSëyì?ò�ãWð

÷2y­§}�JÚ�×AØ?Ù�y�§}�GÊ�k | y­§}��Ê�k ? y�§}����Ä���+��"#����(��3�����P��@?!#-�)�"Q1�&#��1G��"')�!#)�����Xl���V;G��)�!#)����¢)�"�!'-�)�"Q�V-0/�&V/���!'��&#)�¥i/2!#)����\�2@�!'-��8&')���-�!

���3"#������! "#��!W5ÿçYæ��(æ���������æ� =�5Çq(éýê}ãWê�§rܤb�cSëyì?ò�ãWð

dÙy­§}�JÚ�|öÔ ª� ÜÏÐ`ª¶z¶§Qy�×A� Þ §QyA×@Ê�4i��~R~y�=�5ÇB��í}ò�ãië'ãO§QyAv+��zÇÚüv�ë

Page 23: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

| ü ?�¬ ���?û?¿���ú0¹��Gù��?�E¹}��®������?���`�w�0��­?���0��úk¾?ú0�Gû@®��Æ�n*Æ�n*Æ@n8·£�NÞ�»g$�w�Þ�w�v¸$�w�v�¿#$*x(t[b�c�ntjk�O)���!#&#����(����J!'-��Q"'��Xl�i/��������.Ô.ï���2lé�êAï+êAæ�é�ê�æ7³3é<5­T�-���D

-0/W$+�J/ $���&'D�)��E1G��&'!�/���!?&'�����Q)���&#�31�&#��"'����!�/2!#)���� !#-����+&#D�/2"O"#-����.���¢)*�u����7�!O��-G/�1�!'��&i5OU ��&#��.��/�&#�P�+����D\)*��!'��&#��"'!#���r)��E!'-���)�&8���+�\_�)��0/�!'��&')õ/2��1�&#�+10��&'!#)���"W5

������������)����\Å þRÉ��.�t����! ôV�!z Ú�Ô��lÔ���{�|�ÛWÛiÛlÔ ª X �T�-��.@l/��E)���De|>ôV�<~i�?)�"J/ "#��!.��@?���3����&�/2!#�+&#"Ê@A��&JbhcE/����¢@���&Q/���D:§kÜ[b�c\!'-���&'�8��7�)�"#!Q(���)��R(��)���!#���+��&#"�à X ~������G~�Ã�c�{}|�¡���)�!#-[v�d�Ã3�Gd =+×�Êÿ4�@���&8×}Ú�v�~������0~VØ¢à�4 "#(��V-[!'-0/�!§ÏÚ«ô  �$9c�{}| ÛiÛWÛAô ÂA=? ô Â�9| ô ¨¹X �y�=�5 FR�T�-���Ô.ï���2A��ï<ó�ó�ëuæ]ð�ç�ã��u)*".���V;G�����[_�D

�0n o�p�y�§}��zÇÚ c�{�|U��� X à � �y�=�5ÇK��

T�-����GnEo2pg��/�" !#-��¢;0&'"#!P"#!V/�!')*"'!#)��¢��@J!lD�1G�¤³'�g/�¦V�+&#´¢���kb�c[!'�w_0�\e[/�-�����)]/���¡}y]"'���[ÅÇþ}¡T�-��3��&#�3��=�5 =öÉA��5ÿ

çYæ��(æ���������æ� =�5Ç�(éýê}ãWê}Ø£Ü0)�ëyì?ò�ãiðUµ Í ª �=º O0� ß ^Jµ ` Ú Uµ Í ª � \�»�^Jµ ` �% @O�J�P���+��"#)�����& !#-�� @A�+���*����)����u��&#����&����H�

à�4¶¼ÿà8=±¼ôÛWÛiÛ�¼ÿà8Ø<¼aÛiÛWÛ�¼ v±¼a4Q¼�=k¼üÛWÛWÛ#¼�Ø)¼üÛWÛiÛ)���"'!#�i/2�g�2@�!'-���(�"'(0/��?�+&#����&')����0¡�!#-����w!'-���&#�¢)�"J!'-��P@A�+���*����)����G¡�y]"'���EÅÇþ?¡�T�-�����&'���:B�5�4VÉA��5ÿ

çYæ��(æ���������æ� =�5ÇS(éýê}ãWê�§rܤb�cSëyì?ò�ãWð�GnEo2p�y�§}��Úÿ=PÛ�nEo2pYy­§}�GÊ�k | y­§}���jk� ��)*���G(�"#�u��@A!'���w!#-�)�"��V-0/�&V/���!'��&#)�¥i/2!#)����£)*� !#-��P&'��"#! ��@Q!#-�)�"��.��&'��5T�-���Ô.ï���2#ç�ã3é�³�ãWð�ê�ð�å$�¢ìVãië.��@H§k)�"J���<;0�����[_�D�0Ò�ÓWÔ�y­§}��zÇÚ�=PÛiÒ�ÓWÔ�y­§}�IÊ-½ | y­§}��~y�=�5ÇM��

��-��3&#�

½ | y�§}�ýz Ú § 4+~:)x@]§Qy'4i�.Ý�v�~v�~:��!'-���&'��)*"'�´�����&��37Y/2�E1�����¡�)x@Q§üÚ¸Åxà�F0~3àhB�~�K�~i4+~�à8=öÉJÜôb � !#-������0n o2pYy­§}�EÚ:=\Û���ÊüB[Ú¸4WS[/�����GÒ�ÓiÔ+y�§}�.Úü=PÛWB�Êÿ4^Úÿq�5

T�-��¢10/2)*& ��@�"#!V/�!#)�"'!#)���"EyN�0Ò�ÓWÔ�~��0n o2p2�u��)�$��3"/���������&�/2�*)�¥i/2!#)����r��@�,�/�&#��)�!#¥ © "P)�������!')*!lDyèT�-�����&'���6=�5ÇB+�.!#�gbhc}5�ew��&'��1�&#����)�"'����Dg�.��-0/W$+��!#-��P@A����������)����¢!#-����+&#���:��(���!#� �8��)��}¡H.&#����!')�/����Ïfh��)��V-��g/2�gÅÇÆYÉJy]"'���gÅ���É?@���&8/u&#�V;0�����E����!V��5ã.ä@å'æ@ç@å�è =�5�4Wv(é�ê�ãiê�Ø[Ü0)�ë�ì?ò�ãWðU WYX ÅÃuÊÿ4<É c� � Â Ú W µ Í ª � º � � ¨�^Jµ ` � º OO� ß ^�µ `y#4.à0��� U c����| y#4.àH� ? � ?'� �æ]ðÅ�^Å � É#Å�Å �lÉ�ÉAë` ��!#� !#-0/2!J!'-��81G���.��&#"��2@ � )��E!#-��8���������E)��0/2!#�+&Q��@}!'-�� @A��&'�\(��]/8/�&'�8!'-��P������&'����" ��@

!'-��Pjk��D��?��&#�+(�1[b�cky]"'����TQ/�_��*�¢4P��@Q,.-0/�1�!'��&8F���5

Page 24: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

?�¬ ×�¬ ���?� ���?���`¾]�Vù]¾?�?��½#®���úG¿�û?��¹��0ù]�G� ¾­ú0�Gû@® | �Æ�n*Æ�n*þ@n��rq$»(Þ�w�vp¿(q@$�w�Þ�w�v�$�w�v�¿#$ nJ`8�����J��)���!#&'����(�����¡Y@A����������)����\ÅÇÆ+Ém/2����!'-���&�!lD�10�u��@

"'!�/�!')�"#!#)���"P�i/2���*�3� ð�ã���ï+êAæoîiã3é�5�T�-���)�&P�0/�!'(�&#�¢)�"8� ��&#�P���+�\_�)��0/�!'��&')õ/2�0&'��"#1G����!u!#�E!'-�����/��2X"'!�/�!')�"#!#)���"8/2���w!#-��3DÏ/2&#�P!#-��t�G/�!#(�&�/��O/��0/2������(���"J�2@mn o�pE/����ÏÒ�ÓWÔ @A�+&8b c 5

����&�/���Dg§kÜ[b c !#-��ªð�ã �+ï�ê�æ7îWã�2#ç+ã�é�³VãWð�ê���å+î�êAæ�é�ãWêG)*"����V;0�����£_RDk[d\ÓWÔ�y­§}��zÇÚ�d\ÓiÔ+y�§}�tÀ}|+à0§Qy�×A��z�×mÜÅk£Ó�B?y�§}��~$�����&[�37Y/2�E1�����¡P)x@g§âÚ ÅxàhB�~i4+~�à8M�~�=�~�à�F0~<àhKöÉ[Ü b F !'-�����d\ÓWÔ+y�§}�ÿÚ |ö=�~#FG~�K�~ /����k[d\ÓWÔ+y�§}�PÚK|�=�~VB�~'F ? ~�K ? ~�M�~R5 `8��!'��!#-G/�!P)x@v§ÄÜkÐGc¤!'-����Pk[d\ÓWÔ�y­§}�P)�"t/\"'��!�/����r���+)*�YX��)����3"\��)*!'- !'-��w(�"#(0/2������"'������!E"'��!\��@Q§Q5��8��"#�G¡Q���+!#� !#-0/2!�k[d\ÓWÔ+y�§}� �i/���_0�w���<;0�����&V/�!#-���&P�0/�!'(�&�/2�*��D[/���"'�E)��[1�(�&'����D¤,.��7���!#�3&���&'��(�1[!'-����+&#��!')*�\!'��&#� "i5 % �£@Z/��3!i¡G@A�+&t×hÜ�Å Ø�É����!Q½2�OÜÏbhcg_G�P���V;0�����[_�D½2�uzÇÚaÅ�4�~V=�~�������~V×Gà ×'~�à8×'~�×�Êü4+~�������~�Ø�É#~"'�G½ | Ú·Ô ª X 5�T�-�����½ | ~������0~T½ c /2&#�¢&#���0�3��!#)�����"gyè)*�£!#-��E,.��7���!'��&P��&#�+(�1r"#����"'��¡�"#���\��5 �G5*¡Å���&+É}��&�Å Ë?Æ�ÉA�Ê��@mb c /����w)�!J)�"������i/2&8!'-0/�!k[d\ÓWÔ+y�§}�ýz Ú�|ö×�Ü ÅÇØ¢à�4<ÉIzW÷�y�§}Ô ª� �ÊÝ ÷�y�§}��~]À |ö×mÜ ÅÇØ�ÉIzW÷�y­§ {}| ½ � �QÝ�÷�y�§ {�| ��~´�T�-��3"#�¢������"')�����&�/2!#)�����"8��7�1��]/�)��w��-�Dw)*! )�"��0/�!'(�&�/2��!'�\!#-�)����w�2@ºk£d\ÓiÔ+y�§}��/2"t/ ³#����"'������!"'��!#´G¡�"#�\!'-�� @A����������)��������<;0��)�!#)�����"^/2&#���0/2!#(�&V/��l5����&£§rܤb�cw�J�P����!

Ø?Ò�ÓWÔ�y­§}�.zÇÚ�� k[d\ÓWÔ�y­§}���/2���

Ø?nEo2p�y�§}�ýzÇÚ U� Í&³ �£� ¨�^�µ ` ×A�

T�-��\!l�.�w�E�+"#!P)��E1G��&#!V/���!8�3���\_�)��0/2!#��&')]/��}1�&#��1�&#)���!#)���"u��@8!#-���"#� !l�J�w"#!V/�!')*"'!#)���"\/�&'�!'-0/�!8Ø?n o�p¢)*"8e£/�-��+��)]/��E/����g!'-0/�!�!'-���D ��)�$��P/¢�������3&�/���)�¥i/2!#)���� ��@m,�/2&#��)�!#¥ © ".)�������!#)�!lD\!#�bhcg"'����$�)�����!#-�������/�!V/ © "J1�&#��_��*�3�¤5ã.ä@å'æ@ç@å�è =�5�4+4´é�ê�ãiê�Ø[Ü0)�ë�ì?ò�ãWðUµ Í ª � c3� � ¨�^Jµ ` � c O0� ß ^Jµ ` Ú Uµ Í ª � º � � ¨�^�µ ` �=º OO� ß ^�µ ` �

Æ�n*þ�n�¤�¼Gq6q3¿(q$tx��$�v�»'tGq�"Hàuq$ß>ò#¾Gw�Þ�w�vNx't#»'ß>x(¾Gà% �k!'-�)�"�"'����!#)��+�§�.�E�+)�$��\"#�+�E�\_0/2"#)��E�3���\_�)��0/2!#��&')]/��O����"'��&#)�1�!')*�+��"\��@8!'-��g,.��7���!'��&

�+&#��(�1�"w��@�!lD�1G� dw5IT�-����ÿ�.�¤)���!#&'�R��(����r!#-�� /2�0/������+(���" ��@�!'-��k������/�!#)�$+�["#!V/�!#)�"'!#)���"/2���r��/��2XZ�w/�¦V��&Ê)*������7 @A��&8d c /����w�.��"#!'(���Dw"#�+�E� ��@Q!#-��3)*& �����\_�)*�G/�!#�+&#)]/���1�&#�+10��&'!#)���"W5ew�+&#����$+��&.�J�.;0���g/�,�/2&#��)�!#¥ © "Q)�������!')*!lDu@A�+&Jd c 5OT�-������V;0��)*!')����\��@@�?/���Xl����"'������!���(��\_G��&@A�+&^d c ��������"8"#�+�E� _0/��V����&'��(����[/2���w"#�\)�!J��)����?_G�t�+)�$����[/�!.!#-��������w��@Q���37R!��V-0/21�!#�3&i5

Æ�n*þ�n7�(n6��x(òA�Gv�tGÞ�w�x'ß>v7Þ��Q"Sq�$�¿ ß>v�àGw�v7x(t!n.jk�����3����!'�\_RDrd c !#-��\"'(�_��+&#��(�1¤�2@hb c���+��"#)�"'!#)������2@­/2�*��!#-�� "#)������3�\10��&'�\(�!�/2!#)�����"�-G/W$R)�����/2�\��$����\��(��\_G��&Q�2@������R/2!#)�$�������!'&#)���")��E!'-���)�&8��)�������������!V/�!')*�+�}¡+�E��&'�81�&'����)�"#�3�*D

d�c0zÇÚ«|�5wÜÏbhc0zjk¢|�y750�!É�v\y?n�Ë�Ò¢=P��~$�� "J/P"#�3!J�2@}�������3&�/�!'��&'"Q@A�+&Jd c �J��!V/����8Ð'�ÓzÇÚ�|öÔ � X ~�Ô � | ~�������~VÔ �c�{}| ~^��-���&#� @A�+&m×mÜÏØà¤4VÉ

Ô �� zÇÚ�Ô ª� ~

Page 25: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

| F ?�¬ ���?û?¿���ú0¹��Gù��?�E¹}��®������?���`�w�0��­?���0��úk¾?ú0�Gû@®��/2���

Ô � X z ÚÍÅxà8=�~3à4+~�B�~�������~VØ�É0Úýy'4�~3à8=���y�=�~3à�4i���% ! © "u�����i/�&�!'-0/�!¢Ð'���+������&V/�!'��"Ed c 5E` ��!#�\!'-0/�!¢Ð crÁ d c/Á b c 5g����&�!'-��\&#�3"#!¢��@8!#-��"'����!#)��+�}¡�)x@0!'-���&'�8)�"O���P�0/����+��&Q�2@0�����Y@A(�"#)��+�}¡��.����)*���+��&#)�!#��"')*� 1���DE³VÐ}´¢/����r³�Ô � ´P)���"'!#�i/2�³VÐ'��´E/�����³�Ô �� ´0¡+@A�+&8×}Ú�v�~i4+~�������~�Ø¢à�4:� % ! © "J�.�����?���������w!#-0/2!J!'-���10/2)�&ty�d c ~VÐ'�8�.)�"^/,.��7���!'��&P"#D�"#!'���6�2@J!lD�10�\dw¡}/����[!#-�)�" �i/��r_0�¢1�&'��$����[)��["')��E)��]/�&.�^/WD[/�" T�-����+&#��� 4�5 F(�"')���������7�!tLO&'��1G��"#)�!')*�+�g=�5*4WB�5

ö ö ö ö ö öö

÷ ø ù  údà ø údà ÷«

T�-���,.��7R�3!#��& ��&�/21�-w��@Qd c

T�-��3&#�r)*"w/k�.�����P�R����������)�&#���3!g�3���\_�)��0/2!#��&')]/��.�^/WD�!#�Ä����� 1�(�!'�g!'-��r�*�3����!'-�@A�+&5wÜ[d�ckyè"#����¡G��5 �G5*¡?Å���&?¡`~���5 =öÉA��¡��0/2�E����DÿçYæ��(æ���������æ� =�5�4i='é�ê}ãWêS5wÜÏduc�ë�ì?ò�ãWð

÷�y750�.Úü×�Ø?Ù�yo50�Êà U� Í&³ ��´ ^ÅÄ ` 5}yA×��Êà k¢|�y75G���y�=�5Çq��

NO��(�)�$�/2�*�3�R!'��DR¡�(�"#)����\!#-��t�+_�"#�3&#$�/�!')����kyA=�5 =+�÷�y750�.Úü×�Ø?Ù�yo50�GÊ1k ? y75G���y�=�5Ç���

����&¢��7�/�� 1�����¡O)x@45�zÇÚâÅxà�F0~W4�~VB�~3à8K�~3à8=�~Và8MWÉ Ü d F !'-�����×AØ?Ù�y750�wÚ 4iv�¡JÒ�ÓWÔ�yo50�EÚ¸=�¡n o�p�y75G�JÚÿ��¡�k¢|�y75G�JÚ�F0¡�ke?+y75G�QÚý4WB\/�����÷�y750�.Úü=+B�5T�-�)�"��V-0/2&�/��3!#��&')*¥W/�!#)��+�[��@Q!#-����������+!#- @A(�����!#)����[/2�*������"8/¢"')*� 1����8���3"#��&')*1�!#)����r��@Q!#-��

&')*�+-�!J���3"#������!P"#�3!8��@Q/��w������� ����!J�2@mduc}5ÿçYæ��(æ���������æ� =�5�4iB'é

dÙy75G�JÚ«|�Ô��ÊÜÏÐ{z�5}yA×�� Þ 5}yA×@Ê�4i��~R~í}ò�ãië'ã�5}y�v���zÇÚ àF5�yA=��¢ï+ð�çe5}y�Ø�Êÿ4i�!zÇÚüv��

����&.��7�/�� 1�����¡�)x@G5gÚaÅxà8=�~W4�~VK�~3à8B�~3à^FG~�à8MöÉY!'-����¤d Ù y750�.Ú�|öÔ X ~VÔ × ~�Ô ü ~VÔ � ~´�Æ�n*þ�n*Æ@n��rq$»(Þ�w�vp¿(qA$�w�Þ�w�v¸$�w�v�¿#$�x'tôd c nPT�-����+�R/2�}��@.!#-�)�"8"'����!')*�+�¤)�"P!#� "#-����a!'-0/�!

!'-���&#�3"#(���!#"P�2@m1�&#��$�)���(�" �����P�i/2�[_G����������&�/2�*)�¥��3�¤!'�Ed c 5.TO����/�&#�w!'-�)�"������[�.����)����?(�"#��2@A!#���w!'-�� @A����������)����P�������+�E1G��"#)�!')*�+�E�2@md c 5Ojk�P�*�3!Ñ zÇÚÓ|�5wÜÏd c z+ÒRÓWÔ+y750�.Úüv�~´�y�=�5ÇS��% !�)�"��.�����?�R�������}¡�/���� �i/�"'Dw!#�¢"#����¡G!'-0/�!

d�cEÚÆÀh Í 8 |�5(L¯z>5wÜÑ ~R~y�=�5�4iv+�

��-��3&#�gÇ ���3����!'��"P��)�"*¦V�+)*��!�(���)*�+�}5.`8�+!#��!'-0/�!¢yA=�5�4Wv��.)�"8�+�����i/2"#�¢��@Q!#-��u�\(���!#)�1���)��i/�!')*$+����3����� 10�+"#)�!#)����\�2@m/¢,.��7���!#��& ��&'��(�1 )*��!'�ª/u10/�&V/�_G����)��8"'(�_���&'��(�1[/2���E)�!#"�� )���)��E/�������"'��!&'��1�&#�3"#����!�/2!#)�$��3"¤y]"'���[LO&#�+10�+"#)�!#)��+�ü4�5ÇK+��¡O�E�+&#�¢1�&#�3��)�"#����D

Ñ)*"¢!#-��g&')���-�!���(���!')�����!����+&lX

&'��"#1G������)*���¤!'�[!#-�� �g/27R)��E/2�}10/2&�/�_G����)��\"#(�_���&'��(�1k�+������&V/�!#�3�§_�D->�zÇÚ ÐH��|öÔ X ~�5[jk�/2&#�P&#�i/2��Dw!#�\)���!#&'�R��(����P!#-��u�g/�)��\�+_�¦V����! ��@�!'-�)�"�"#���3!#)����}¡G/¢�����:³'����"#�3����!8"#�3!#´\@���&�!#-��

Page 26: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

?�¬ ×�¬ ���?� ���?���`¾]�Vù]¾?�?��½#®���úG¿�û?��¹��0ù]�G� ¾­ú0�Gû@® | m������� ����!#" ��@^duc}5PT�-�)�"8�+)�$���"P&#)�"'��)��¤/�$���&'D[�0/�!'(�&�/2�O�^/WD�¡�!'�g�����6³'�g/�¦V�+&J)�������7�´g/����³'����"#�3����!8��(��\_G��&#´G5}jk�P���V;G����!#-��ÈzÈ2#ð�ã���ï+êAæoîiã\ç+ã�é�³Vãið�êÇ�¢å+î*ê�æ�é�ãiê

d\d\ÓWÔ�yo50�ezÇÚ�d\ÓWÔ�yo50��À |�à�5}y�×A�mà 4«zP×OÜ0k[Ó�B?y750��~.�ý|öv$~�~y�=�5�4�4W���-��3&#�yk[Ó�B�yo50��)�"�!'-��P"#��! ��@Q10�+"#)�!#)��+��"J�2@����3�R/�!')�$��P����!#&')*�3"8)��65}¡����<;0�����[)��ryA=�5�4W��5����&?��7�/2�E1�����¡V)x@�5EÚýÅxà�F0~W4�~VB�~3à8K�~3à8=�~Và8MWÉ�Ü[d F !'-�����d\ÓWÔ�yo50�.ÚÓ|�B�~VK$~Q/�����d\d\ÓWÔ�yo50�8Ú|�4�~VB ? ~#FG~�K ? ~R5` ��!#�\!'-0/�!u)¶@�5ÄÜ�ÐGck!#-���� d\d\ÓWÔ+y750��)*"¢/E"'��!\/����k���+)�����)�����"���)�!'-¤!'-��E(�"'(0/��Ê����"#�3����!"'��!���@!5}5\�8��"'�0¡?���+!#�¢!#-0/2!�d\d\ÓiÔ+y750�¢�W/��k_G�����<;0������&�/�!'-���&��G/�!#(�&�/�����D[/���"#� )��¤1�(�&#����D,.��7���!'��&���&'��(�1w!#-�����&'��!#)���!'��&#� "i5 % � @Z/��3!i¡+@A�+&8×OÜkÅ Ø�à§4<É}����!£É � Ü[d c _G�P���V;0�����[_�DÉi�!zÇÚaÅxà4+~�=�~������R~V×'~�à8×Gà�4�~V×�Ê�=�~������0~VØ�ÉA�T�-��3�gÉ | ~�������~�É c�{}| /�&'�8&#���0����!')*�+��"�y])��\!'-��t,.��7���!'��&J�+&#�+(�1E"'����"#�+¡�"#�3�t�+5 �G5�¡�Å���&YÉ��+&8Å Ë�ÆYÉA��2@md c /2���w)�!J)�"������i/2&.@A&#�+�6yA=�5 q+�Q!'-0/�!d\d\ÓWÔ+y750��z ÚÒ|ö×OÜkÅÇØ\àÄ4VÉIzö÷2yo50Ô � �ÊÝ ÷�yo50��~ À |�×OÜkÅ Ø�à§4<ÉIzW÷�y75 {}| É � �.Ýk÷�y75 {}| ��~$�

T�-��3"#�¢������"')�����&�/2!#)�����"t�37R1��õ/2)��g��-�Dw)�!8)�"8�G/�!#(�&�/��O!'�E!#-�)*���g�2@Jd\d\ÓiÔ+y750�¢/�"�/ ³#����"'������!"'��!#´G¡�"#�\!'-�� @A����������)��������<;0��)�!#)�����"^/2&#���0/2!#(�&V/��l5����&!5[Ü[d c �.�P�*�3!

Ò�Ò�ÓiÔ+y75G�.zÇÚ�� d\d\ÓWÔ�yo50���/2���

ÒRn o2pYyo50�.zÇÚ U� Í �u�u� ¨�^ÅÄ ` ×<�

����&���7�/��E1��*��)x@(5EÚýÅxà�F0~W4�~VB�~3à8K�~3à8=�~Và8MWÉ�ܤd F !#-����\Ò�Ò�ÓiÔ+y750�ÊÚüM�¡ö/2����Ò�nEo2p�y750�.Úÿ=�4�5` ��!#�P!'-0/�!.@A&'���6y�=�5�4�4W�Q!'-���&'�P@A����������".!#-0/2!Ò�nEo2pYyo50�.Ú�nEo2p�y750�.à U

� ÍD³ ��´ ^ÅÄ ` 5�yA×��Oà1k¢|�y750�QÚÿnEo2p�y750�GÊ�ke?+y750���y�=�5�4i=+�

T�-�)�"O@���&#�\(��õ/ )�"J/2�*"'�������8!#-��8�E�+!#)�$�/�!')�����"�_0��-�)*���E��(�&J���<;0��)�!#)����\�2@�Ò�nEo2pYyo50��¡�_0�3�i/�(�"'��2@�!#-�������&'&#��"'10�+����)����¢@A�+&#�\(��]/2"8yA=�5 q+�J/2���kyA=�5 �+��5� �*"'������!#�u!#-0/2!

Ò�Ò�ÓiÔ+y750�ÊÚüÒ�ÓWÔ�yo50�GÊ1k¢|�y750�GÊ-Êiyo50��~y�=�5�4iB+���-��3&#�

ÊWyo50�.zÇÚ § à�4 )x@^4�ªÜ65}y#ÅÇØ�ÉA�v )x@^4 Ü65}y#ÅÇØ�ÉA���

ø (�&.;0&'"#! &#��"'(���!8"#-�����"�!#-0/2!8ÒRn o2pª/���� ÷�/�&#�P����(�)���)�"'!#&#)�_�(�)*!'���w)��Ïduc}5ÿçYæ��(æ���������æ� =�5�4�F@é�ê}ãWêOØwÜ#)�ë�ì?ò�ãWðUÄ Í �! � � O0� ß ^ÅÄ ` Ú UÄ Í �! � \�^ÅÄ ` �ÿçYæSæ� é8>­��! Ñ _G�����<;0�����[_�DkyA=�5ÇS���5 % !�)�"������i/�&h@A&#�+� �+(�&����V;0��)*!')�����" !#-0/2!.@A��&8/2�*�L Ü[ÐGc[/����[Ñ£Ü Ñ ¡nEo2p�yAÑ@LG�QÚÿnEo2pYyNL0�3~ ×�Ø?Ù�y�Ñ@L0�ÊÚü×�Ø?Ù�yNL0�3~ ke?+yAÑ@LG�OÚVk�?�y�Ñ?���y�=�5�4�F��

T�-��3&#�V@A�+&#��¡Y@A&#�+�6yA=�5Ç����¡?y�=�5�4iv+��¡GyA=�5*4W=��Q/2���w!#-��P���+&#&'��"#1G������)*���\&#��"'(���!�@A�+&^ÐGcky]T�-�����&'���=�5*4W�Q�.�P����������(�����!'-0/�!

Page 27: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

| � ?�¬ ���?û?¿���ú0¹��Gù��?�E¹}��®������?���`�w�0��­?���0��úk¾?ú0�Gû@®��UÄ Í �! � � OO� ß ^ÅÄ ` Ú U $Í=Ë Uh Í 8 � � OO� ß ^ h `

Ú U $Í=Ë Uh Í 8 � O0� ß ^ h `]á ³ = ^ h `Ú U $Í=Ë � ³ = ^ ` Uh Í 8 � OO� ß ^ h `Ú U $Í=Ë � ³ = ^ ` Uh Í 8 � ��c:i ^ h `Ú U $Í=Ë Uh Í 8 � �*c:i ^ h `]á ³ = ^ h `Ú UÄ Í �! � \�^ÅÄ ` ~

/2"�����"#)�&'���}5� "�_0�V@���&#�+¡�����!

ÑÚÓ|�5wÜÏduc6zRÒ�ÓWÔ�yo50�JÚ�v$~�"#�Ñ

Ú�|�5wÜ[d c z>5}y'4i�hÝ�5}y�=��.ÝÓ�����+Ý�5}yAØ?��~´�T�-��3&#�V@A�+&#��¡G�+)*$+����5wÜ Ñ ~A5�ªÚüÓ+¡�!#-���&#�¢)�"^/¢(���)*��(��e-�Ü ÅÇØ�É�"'(��V-[!#-0/2!5}y�-��^Ý vuÝ�5}y�-eÊÿ4W���¬P)�$+����5wÜ Ñ �.��/2"#"#����)]/2!#�P!#��5w!#-���"#!'&#)���!81G/�&#!')�!#)����ÌPy75G�.zÇÚaysàF5�y#4i�ÊàÄ4�~3àF5�yA=��mà§4+~������G~3àF5�y�-��mà§4i���y�=�5�4iK+�T�-�� @A�+���*����)����P1�&'��1G��"')*!')����\��)����0_G�P!#&#�W/�!8��)�!'-E�E�+&#�����3!�/�)��?)��g,.-G/�1�!'��&8KEy�LO&#�+10�+"#)�!#)��+�K�5*4WK��35ÿ çYæ��(æ���������æ� =�5�4iK'é�ì?ò�ã���ï���Ìýç+ãdPÊð�ãVçgì�±8Í�δëdÏ�ÐTÑ\æ�é�ï\ìiæ ó3ã_³Wê�æ]ó�ð[ìVãWê�íÊã�ãWð Ñ ï+ð�çj.8}y�Ø\à�4W��ë¶K}å�ë�ê�ò�ãWë��¢ó�ë#ãE5#düÑ�æ]ð Ñ æ Ú�ï�ð�çgó+ð� æ ÚOÌPy750�EÕ,ÌPyAÑ?�¢ï�ð�çu÷�y75G��ÚÁ� ÌPy75G���Ú�ó+ëPï�î]î'5}~�ÑÏÜ Ñ ë

jk� ;0���w)�!8�3����$�����)*�3�R! !#�\)�������!')¶@�Dg/¢"#!'&#)���!P10/2&#!#)�!')*�+��c£Ü@j 8 y�Ø?����)�!#-[/\"'(�_�"'��!P��@ÅÇØ�É#5 % �\@l/���!.�J� -0/W$��8/2�E)�������(�"')����\1�&'��"#��&'$�)*���\��_�$�)*�+(�"Q_�) ¦V�3��!#)����8Ò _G��!l�.�����<j 8 yAØ?�./����Ó yAØ?��zÇÚ«|�Ð1z�Ð�ÕaÅÇØ�É�~8��)�$��3�g_�D@z

ypc?|�~�c'?�~������G~�c�c���ÔÕ �{|Dc­|ö~Tc(?2~������G~Tc�c'~´�jk� _0���+)��g��)�!'-g!'-�� @A����������)����P�����E�w/�5Ö�å�è.èQ\ =�5�4iM'é�ê�ãiêOØwÜ0)�ë�ì?ò�ãWðU $Í=Ë � ³ 9 ^ `]á�× ^ ` � ³ = ^ ` Ú U8���Ø c�{}|pÙ ��  8   �&Ú¦ÛJÜÞÝ � Ú c�{�|�����| y'4uÊP� � � ���ÿ

çYæSæ� é8��&#�+� y�=�5Ç���Ê�.�t-G/W$��P!#-0/2!.ke?+yAÑ?�.ÚÄ÷�yAÑ?�3¡�@A�+&8/����}Ñ£Ü Ñ 5OHJD[LO&'��1G��"')*!')����=�5*4WKr�J�£-0/W$��w÷�y�Ñ?�¤Ú � ÌPyAÑ?���Ê/�����_RDÄ���<;0��)�!#)�������@wÒ�!#-0/2!1� ÌPyAÑ?����Ú W � Í Ô ^Jß@^ `o` ×'5T�-��3&#�V@A�+&#�yk�?�y�Ñ?�QÚ W � Í Ô ^Jß@^ `7` ×'5>­��!�ÑÄÜ

Ñ5\C�(�1�1G��"'�¢;0&#"'!�!#-0/2!\4\Ü ÑOy#ÅÇØ�ÉA��¡?!'-����V� ÒOy�ÌPyAÑ?�'����ÚÁk¢|�yAÑ?��5\ø �r!#-��\�+!#-���&

-0/2���}¡�)x@E4 ÑOy#ÅÇØ�ÉA��¡��.�[-0/W$+�[!#-G/�!1� ÒOy�ÌPyAÑ?�#����Ú k¢|öy�Ñ?� à�4+5aU8�������V� ÒOy�ÌPyAÑ?�#����Úk¢|�yAÑ?�@ÊrÊWyAÑ?�3¡0/2���E)x@��.������!8ÐrÚVÒOy­Ìty�Ñ?�#�.!'-��P&#��"'(���!�@A�+�*������"W5

Page 28: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

?�¬ ×�¬ ���?� ���?���`¾]�Vù]¾?�?��½#®���úG¿�û?��¹��0ù]�G� ¾­ú0�Gû@® | �jk�[/�&'�¤�����:&#�i/2��D�!#��1�&#��$+�[!#-��¤�w/�)�� &'��"#(���!w��@¢!#-�)�"E�.��&'�?¡8�0/2�E����Dk!'-0/�!w!#-��

10/2)�&���@Q"#!V/�!#)�"'!#)���"\yAÒ�Ò�ÓiÔ+~VÒRn o2p2�h"#����$+��"t���R/2!�/ © "�1�&'��_������ @A�+&8!#-�����&'��(�1[�2@Q��$����YXZ"')*�+�����1G��&#�\(�!�/�!')�����"�d c 5ã.ä@å'æ@ç@å�è =�5�4WqwyA,�/�&'��)*!'¥ © "�)�������!#)�!lD¢@A�+&8d c ��é.ê�ãWê�ØÏÜÅ)�ë�ì?ò�ãið

U WYX ÅÃuÊÿ4VÉ c� � Â Ú W Ä Í � � �T� � ¨�^ÅÄ ` � � OO� ß ^ÅÄ `y'4.à#���3y#4.àH� � c ��U c�{�|����| y#4.à¯� ? � ?'� �y�=�5�4iM+�

æ]ðÅ�^Å � É#Å�Å �lÉ�ÉAëÿçYæSæ� é8>­��! Ñ _G�t���V;0�����£_RDryA=�5 S+��5�T�-����w)�!�)�"������i/�&.@A&'��� �+(�&����V;G��)�!#)�����"�!'-0/�!

ÒRÓWÔ+yAÑ@LG�QÚüÒ�ÓWÔ�yNL0�h~uk | y�Ñ@L0�ÊÚ�k | yAÑ?��~bÊWyAÑ@LG�QÚXÊWyAÑ?�/2��� U

� Í&³ ��´ ^ h ` Ñ@L�yA×��QÚ U� Í&³ ��´ ^ ` ÑOy�×A�3~

@A�+&^/2����Ñ£ÜÑ/2���[L ܤРc 5OT�-���&#�V@���&#�P�.�P-0/W$��h@A&#�+�6yA=�5*4Wv��3¡0y�=�5�4i=+��¡?yA=�5�4iB��3¡0y�=�5�4�F��Q/����

>­���E�w/t=�5�4iMu!#-0/2!UÄ Í �! � �T� � ¨�^ÅÄ ` � � OO� ß ^àÄ ` Ú U $ÍÞË Uh Í 8 � � � ¨�^ h `]á ³ 9 ^ h `]á�× ^ h ` � OO� ß ^ h `]á ³ = ^ h `Ú U $ÍÞË � ³ 9 ^ `]á�× ^ ` � ³ = ^ ` Uh Í 8 � � � ¨�^ h ` � OO� ß ^ h `Ú

c�{}|�����| y#4uÊ°� � � �yUh Í 8 � � � ¨�^ h ` � OO� ß ^ h `

/2���w!#-��P&#�3"#(���!�@�����������"O@A&#�+� T�-����+&#���:=�5ÇB�5` ��!#�.!#-G/�!i¡+/�"})��¢T�-����+&#���·=�5�4ivÊ@A�+&�b c ¡�!#-��J1G���J�3&#"Q�2@ � )���!#-������������ )��0/�!'��&?��@�@A��&'�\(��]//2&#�P!#-��¢,.��7R�3!#��&����3��&#�3��"P��@md c y]"'����TQ/�_����¢4i��5

T�-�� @A�+���*����)����P&'��"#(���! )*"�!'-���/��0/2������(��8��@QLO&#�+10�+"#)�!#)��+�Ï=�5ÇK�5ÿçYæ��(æ���������æ� =�5�4i�'é�ì?ò�ãE�Yï+æ]ë�ó<Ú8é�ê�ï�ê�æ�é�êAæo³�éPyAÒ�nEo2p�~l÷i�uæ�éPé�±>���¢ãiê�ë�æ7³�RQð�ïj�¢ã�îC±

yAÒ�n o�p�~s÷i�b¢ýyõ÷�~�Ò�nEo2p����ÿçYæSæ� é8>­��! Ñ ���V;G�����E/�"O)��wyA=�5ÇS+��¡�(�"')����P!#-������3����� 10�+"#)�!#)���� yA=�5�4Wv���¡W!'-���&#���]/2!#)�����"

y�=�5Ç���3¡0y�=�5�4i=+��¡?yA=�5�4�FR�./����ÏLm&#��1G��"')�!#)����w=�5ÇK��.�P��_�!V/�)��UÄ Í �! � \�^ÅÄ ` � � O0� ß ^ÅÄ ` Ú U $Í=Ë Uh Í 8 � ��cji ^ h `]á ³ = ^ h ` � OO� ß ^ h `èá ³ = ^ h `Ú U $Í=Ë � ³ = ^ ` � ³ = ^ ` Uh Í 8 � ��cji ^ h ` � O0� ß ^ h `Ú U $Í=Ë � ³ = ^ ` � ³ = ^ ` Uh Í 8 � O0� ß ^ h ` � ��cji ^ h `Ú U $Í=Ë Uh Í 8 � OO� ß ^ h `]á ³ = ^ h ` � ��cji ^ h `]á ³ = ^ h `Ú UÄ Í � � � OO� ß ^àÄ ` � \_^ÅÄ `

Page 29: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

? X ?�¬ ���?û?¿���ú0¹��Gù��?�E¹}��®������?���`�w�0��­?���0��úk¾?ú0�Gû@®��Æ�n*þ�n*þ@n8¤�¼Gq[d±��·£�NÞ�»/�«Þ3á�x(ß8â�tb"Sq Ý nt����&8×}Úÿv�~�������~VØ�à§4P�.�t���V;0���� � z Ú�Ô � Ô ��{�| ÛWÛiÛlÔ X ~y�=�5�4iq+�

��7�1���)���)�!#��D¢@A�+&^/2���}×OÜkÅ Ø�à§4<É� � ÚaÅxà�4�~3à8×Gà�4�~V=�~VB�~�������~�×'~V×´ÊÄ=�~�������~�Ø�É#~y�=�5�4i�+�/2��� @A��&�×}Úÿv � X ÚÍÅxàh=�~�à�4+~�B�~�������~VØ�É0ÚüÔ X �y�=�5�4iS+�T�-��3"#��/�&#�.,.��7R�3!#��&O������� ����!#"Jyè"#���.��5 �05�¡�Å Ë�Æ­¡3~�B�5�4WMWÉA��¡3)*��/h��)�"#!#)����+(�)�"#-��3����/����2@010/2&�/�_G����)��"'(�_���&'��(�1�"

4 Ý�µª|�Ý�µe? ÝÓ�����+Ý�µPc\Ú�duc��-��3&#��µP��ã�du��y�×G��=��G)�"}!'-��Q10/2&�/�_G����)��O"#(�_���&#�+(�1��2@�duc��+������&V/�!#�3��_�DtÔ X ~�Ô2|ö~�������~VÔ3�A{�|ö5T�-��Ï@Z/�� )*��D�|�� � ~ � )�"w/k�����:"'��!w��@��+������&V/�!'��&#" @A�+&Ed c ¡8/������J�[-G/W$��[!'-��[@�����������)*���1�&'��1G��"')*!')����}5ÿ

çYæ��(æ���������æ� =�5�4iS'éOK}ó+ë�ã�îiãWë�±�5wÜ[d�c ê�ò�ãWë#ãuã_�+æ�é�ê]é�ï åRð�æ]äiå�ã\ë'ã��?ë#ã3é<ãWð�ê�ï�ê�æ]ó�ð5gÚ�� l �$9X � , �$9c�{�| � l � =X � , �j=c�{@? ÛiÛWÛo� l 9X � , 9|y�=�5Ç=�v+�íQæèê*ò\v�d,ä  da4&R}v�d�-  d�=jÃ.à�4\ï+ð�ç-  ÜP|�=jÃ.à�4�~�Ã.à�4>~�)¶@/ä  Úa4y�=�5Ç=�4W�Ú�ó+ëPï�î]î@Ã8ÚÍ4�~�������~VØ\àÄ4jëÿçYæSæ� é�jk�Ê1�&#�������3�\_RDP)�����(���!#)����P�+��ØO5�����&}ØwÚÿ=�!'-��Q&#�3"#(���!O)�"}�����i/2&i¡�"'�8"#(�1�10�+"#�

ØÅ� B�5Ojk�8���V;G���duc�; 3 z ÚÒ|�� , �$9c�{�| À ze-+c�{�|JÜkÅÇv�~V=�Ø¢à BWÉ}~uÀÿÜ[duc�{}|�~R~

duc�;Ç|.zÇÚ�|�� X � ?'c�{'×c�{}| À z4ÀÿÜ[duc�{}|�~R~d�c�;Ç{}|.zÇÚ«|�� X � c�{Y?c�{}| À zeÀ�Ü[d�c�{}|�~´�

% !�)�"����+!�-0/�&'�g!'�E"'����!#-G/�!y� d c�;Ç| �+Ú � d c�;Ç{}| ��ÚÁ� d c�{}| ��/2���w!#-0/2!td c�;Ç| Û[d c�;Ç{}| Ú«�\/�"5}y�Ø?�QÚÍ4�/����wÑOyAØ?�QÚ à�4�¡�@���&�/����@5wÜÏd c�;Ç| /����wÑ[Ü[d c�;Ç{}| 5ø � !'-��E�+!#-��3&\-0/�����)x@�� Âc�{}| À | Ú � ¨c�{}| À ? ��)�!#-�À | ~_À ? Üôd c�{}| /�����Ã�~VÔ[Ü·ÅÇv�~V=�Ø àBöÉs¡Ê)�!\)*" �i/�"'DÄ!#�k"#�3�¤!'-0/�!�Ã�ÚâÔ¤/2����À | Ú{À ? ¡�-���������� d c�; 3 �.Ú y�=�Øràü=+��� d c�{}| �¶5ew�+&#����$+��&O!#-����3�*�3�E����!#"S5[Ü[d c�; 3 "V/�!')*"s@ADe5}y�Ø?�eªÚ ��4+5}T�-���&#�V@���&#� �J�.-0/W$+�Q!#-��.@�����������)*������3����� 10�+"#)�!#)����\�2@Jd c

ducªÚÿd�c�; 3 Àâduc�;Ç|�À d�c�;Ç{}|�~/2���w"#�¢!#-���&'��"#(��*!h@A����������"Q_�DE)�����(���!#)��+�}5` ��!#�¢!#-G/�!P!#-��¢&#�31�&#��"'����!�/2!#)�����y�=�5Ç=�v+��)�"8���+!P(���)���(���)x@J�.�¢��&#�+1[!#-��\�3������)�!')*�+� yA=�5Ç=�4i�35����& ��7�/��E1��*�P���+��"#)����3&e5¤ÚIÅxàh=�~#FG~i4+~�à8BöÉ}Ü d ü 5PT�-����H5k-0/�" !l�J� ��)xµ��3&#����!�&'��1�&#�3"#����X!V/�!#)��+��"8�2@J!lD�10�wyA=�5 =+v��3¡��0/2�E����D�¡�5¤ÚÒ� ü× � X � × ? � X � | /2���05¤Ú�� X � ü× �GT�-���&'��1�&'��"#����!V/�!#)��+�k��@LO&'��1G��"')*!')����g=�5�4iSu)*"�!'-�� ;0&#"'!8�+����5

>­��!�5wÜÏd c ¡�!#-����w�.�P���V;0���u!#-���zÈ2�ÔJï��6��ï<ó�ó�ëPæ]ð�ç�ã����2@I5w_�D�GnEo2p���yo50�ýz Ú c�{}|U

����| - � Ê c�{�|U ����| ä � �y�=�5Ç=�=+�

����&�v�d n d�=�Ø�à§4P�.�P���V;0���yÃ�c�; O ÜÏduc[/�".@A�+�*������"�z?@A�+&^ØwÚ�=�¡

Page 30: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

?�¬ ×�¬ ���?� ���?���`¾]�Vù]¾?�?��½#®���úG¿�û?��¹��0ù]�G� ¾­ú0�Gû@® ?�|

Ã�?�; O zÇÚæåççè ççéÓ )x@­n ÚÿvÔ2| )x@­n ÚÍ4Ô2|<Ô X )x@­n Úÿ=Ô X )x@­n ÚÿB

/2��� @A��&�Ø Þ =�¡

Ã3c�; O zÇÚêåççè ççéÓ )x@mn ÚÿvÔ3c�{ O Ô3c�{ O á�|OÛiÛWÛlÔ�c�{}| )x@mvuÝ n�Ý ØÔ O {GcRá�|iÔ O {Gc�ÛiÛWÛlÔ X Ô�?�Ô�×JÛWÛWÛZÔ3c�{�| )x@mØ6d�nIÝ�=�Ø�à§4Ô X Ô�?iÔ�×JÛWÛWÛ#Ô�c�{}| )x@mn Úÿ=�Ø�à§4

T�-��w"'��!6|Äà c�; O zIv�d6n Ý6=�ØS~ @A�+&#�E"¢/r����� 1�����!#� "#��! ��@t&'��1�&'��"#����!V/�!#)�$+��"w��@� )*��)*�E/2���������+!#-P@A�+&?!#-��.���V@A!?���+"#��!'"O��@0d c�{}| )��d c 5}eÏ��&#�3��$���&O!#-�)*"?)�"�"#!#)�����$�/2��)*�h@A��&?�3$���&'D×mÜ ÅÇB�~VØ�É#¡��0/2�E����D�¡�Ã3�N; O ÜÏd ? Û� @���&Q/�����nIÜkÅ v�~�=+×Wàg4<É#¡���-���&'�¶>��uzÇÚüÐý�S|öÔ3c�{�|i~�������~VÔ3�A{�|�~R5U ���������.�P-0/W$��P!'-�� @A����������)����������3���E1G��"')�!#)����

d c Úüd ? c d ? �$9c�{}| ÛiÛWÛ#d ? �` ��!#�P!'-0/�!�!'-����������+!#-E�2@ÇÃ��N; O )*"°�nr¡���-��3&#�

�n}zÇÚ § n )x@mv�d n d =+×Gà =×Gà�4 )x@mn Úÿ=�×Gà�4+5

��&#�+� ×A�.�2@JLO&#�+10�+"#)�!#)����r4�5ÇKu�J����������!#-0/2!��i/��V-[������� ����!Ç5£ÜÏducw-0/�"8/¢(���)��R(��t&'��1�&'�VX"'����!�/�!')����[/�"8/u1�&#����(���!

5EÚ c�{}|�, ��| à c�á�|�{ , ; O �� 9d�#ëy�=�5Ç=�B+�

��-��3&#��v�d�n�ßuÝ =öp�@A��&8/2����p�5J��&#�+� ×A×����2@mLO&'��1G��"')*!')����¤4+5ÇK�)�!.@A�+�*������"Q!'-0/�!÷2yo50�.Ú cU

ß �@? �n ß �y�=�5Ç=�F��

T�-0/2����"8!'�g!'-��¢(���)���(���&'��1�&'��"#����!V/�!#)��+��yA=�5Ç=+B��.�.�����<;0���E/\�w/�1@Ò�z0ducÅ� d�c£)*�r!#-��@A�+���*����)����P��/WD@z

ÒOy c�{}|�, ��| à cRá�|V{ , ; O �� 9p�#ë��!zÇÚc�{}|�, ��| ÒOyNà c�á�|�{ , ; O �� 9d�#ë���~

��-��3&#�P@A�+&^×EªÚü=�¡ÒOyNÃ��N; O ��zÇÚ § �AO�A{�| )x@mn�Ý =+×Gà =� X ��ìO {}|��{}| )x@m=+×Gà =�d n d�=�×�à 4+~

/2��� @A��&�×}Úÿ=�¡

Page 31: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

?�? ?�¬ ���?û?¿���ú0¹��Gù��?�E¹}��®������?���`�w�0��­?���0��úk¾?ú0�Gû@®��ÒOy�à ?�; O �Ez Úíåççè ççé

Ó )x@�n Úüv� | )x@�n Úý4� X � | )x@�n Úü=� X )x@�n ÚüB��T�-��P���<;0��)�!#)���� ��@bÒO¡�!#���+��!#-���&���)�!#-gLm&#��1G��"')�!#)����[=�5�4WS�/����ryA=�5 =+B��3¡�)��E1��*D¢!#-��8@�����������)*���&'��"#(���!W5ÿ çYæ��(æ���������æ� =�5Ç=�v'é�ì?ò�ã���ï��GÒHz�d c � d c æõéï ìiæ ó�ã�³iê�æ]ó�ð�ë î

` �����J��/2&#�P&#�i/2��DE!'�\"#!V/�!#�u�����P��@O!#-��P�w/�)��\&#��"'(���!#" ��@�!'-�)�"�"#���3!#)����}¡��0/�� ����D�!'-0/�!!'-���duX���/2�\�g/�¦<��&Q)������37E)�"�����(�)���)�"#!'&#)�_�(�!'���w��)*!'-w!#-��P�������+!#-w)��Ïduc}5ã.ä@å'æ@ç@å�è =�5Ç=�4´é�ê�ãiê�Ø[Ü0)�ë�ì?ò�ãWðUÄ Í � �=º OO� ßTï ^àÄ ` ÚfUÄ Í � � \_^ÅÄ ` �ÿ

çYæSæ� é�H.Dr���V;0��)�!')*�+�¤�2@P�nr¡?!'-��\�g/21+Òk)�"�/ _�) ¦V�3��!#)����r��-�)��V-¤"'������"¢!#-��\�*�3����!'-@A(�����!#)��+�E)��w!#-���duXN��/��\�w/�¦V��&Ê)*������7?5

` ��!#�u!#-0/2!8!#-��e��/2�E�w/�¦V��&.)�������7kyN�0n o�p��P���<;0�����r���¤bhc yA=�5ÇK������R�3"t����!8�.��&'�E�+�duc}5�`t/�� ����D�)x@}�.�8���+��"#)����3&�5[Ü[d�cw/�"�/��E�3�*�3�E����!.��@�b�c�¡�!#-����0�GnEo2p�y750�h)*".���+!J����(�)xX��)�"'!#&#)�_�(�!#���r��)�!#-[�������+!#-r���¤duc}5�����& ��7�/��E1��*�+¡�)x@Ç5¤ÚIÅxà8=�~3à4<É�!'-����P�0n o�p � y750�PÚ 4��-�)����4�GnEo2p�y750��Ú�F0¡�/2���w)��Ïd ? !#-��3&#�¢)*".���\������� ����!J�2@Q�*�3����!'-EF05` ��!#�E/2��"#�[!'-0/�!y�GnEo2p�� &'��"#!'&#)���!#�3�§!'�¤Ð c )�"����+!t!'-��E�w/�¦V�+&8)�������7k/����k)*! © "�����!P����(�)xX��)�"'!#&#)�_�(�!#���Ä��)�!#-Ä�������+!#-}5 % !\"#���3�E"\!#�k_G�[/r�����I"#!V/�!#)�"'!#)��w����Ð c 5 % ! © "\�i/�"'D !'�k"#���!'-0/�!h@A��&P�i/2��-H5kÜ Ð c ¡��GnEo2p���yo50�P)�"t/2���^/WD�"8�3$����k/����£!#-0/2!Ï�GnEo2p���yo50���ýnEo2pYyo50��� % @�.������! g c�y � ��z Ú W Ä Í 8 � º O0� ß�ï ^ÅÄ ` ¡G@A�+&tØ�dýFw�.��-0/W$+� g |iy � � Ú:4�¡ g ?�y � �8Ú:4!Ê � ? ¡g × y � �QÚÍ4uÊ B � ? Ê � ü Ê � F /2��� g ü y � �QÚý4uÊ�K � ? Ê�M � ü ÊÄq � F ÊÄB � � Ê � | X Ê � |]? 5jk�P;G��)�"#-r!#-�)�"�"'����!#)��+�k_RD£����"#�3&#)�_�)����[/ �����\_�)��0/2!#�+&#)]/��}/2�*�+��&')*!'-��:!#-G/�!�/���������"8(�"!'�¤���+�E1�(�!#�\!#-��ÏduXN��/2�¤�w/�¦V��&u)*������71�GnEo2p���¡Q��)�!'-���(�!u(�"#)����r!#-��w&'��1�&#�3"#����!�/2!#)�������@LO&'��1G��"')*!')����g=�5�4iS�5

>­��!8ÑwÚayAo | ~������G~Vo c �.ÜH� c /����Ï×*�ô4+5}jk�P(�"'��!#-�)*"PéN�Gî*æ]ê­2#ð�ó�ê�ï�ê�æ]ó+ðÑEÚÍÅÇo | É#Å o ? ~������G~�o �]á�| É#ÅÇo �õá@? ~�������~�o c ÉA�

C��+�E��!')��E��"P)�!���)����._0� (�"#�V@�(��8!'�¤���3����!'�g!'-�� ;0&#"'!\10/�&'!�_�Dkz:/����Ä!'-��E"'����������_�D � ���-��3&#��×O&'��1�&'��"#����!'"�!#-��P��(��\_G��&.��@�)�!'"��������E����!'"i5jk� ���V;0���u!#-��P@�����������)*���t�+10�3&�/�!')�����"��+�ÏÑ£ÜH� c zð ¹ ÛÑ zÇÚaÅxà8o ? É#Åxàho | ~Vo × ~�������~Vo �]á�| É#Å o �]á@? ~������0~Vo c É#~/2��� ð 9ÛÑ zÇÚýÅxà8o | É#Ŷà8o �]á�| ~Vo ? ~������G~Vo � ÉsÅÇo �]á@? ~������0~Vo c É]�% �P!#-���"#�.�i/�"'��"}�.�Q��)�������&#)�!#� ð ¹ ÛÑ Úayèz X ~�� X� ~iÅÇo+�]á@?�~�������~Vo�c+ÉA�?/���� ð 9ÛÑ ÚÍy ð 9z ~ ð 9�.��~WÅÇo��]á@?�~�������~Vo+c+Éè���ew�+&#����$+��&.@A�+&8/�����Ø£Ü0)Í�J�P���V;G���� c� zÇÚ�� |� õhÛiÛWÛ�õ4� |� Ø�Xl!#)�� ��"��y�=�5Ç=�K+�

Page 32: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

?�¬ ×�¬ ���?� ���?���`¾]�Vù]¾?�?��½#®���úG¿�û?��¹��0ù]�G� ¾­ú0�Gû@® ?A×` ��!#�P!'-0/�!.@A�+&���$��3&#DgÑ£ÜH� c /2���[×S�ô4+¡ ð = ÛÛÑ Ú�ÑO5����&.��7�/�� 1�����¡�)x@G5[Ü[d � ¡$5gÚaÅxà8=WÉ#Å�4�~VB�~3à�F0~VKWÉRÚÍy]z¢~�� ü �3¡�!#-��3�ð ¹ñ5 ÚaÅxà4<É#Å =�~�B�~�à�FG~�KöÉRÚay]z X ~V� Xü �3~ð:òñ5 ÚÍÅ =öÉ#Å K�~�à�4+~�à8B�~sF�ÉRÚÍy ð òz ~ ð ò� ü ��~/2��� ð =ó5 ÚÍÅxà8=WÉ#ÅxàhB�~#FG~i4<É#Å KWÉRÚÍy ð =z ~ ð =�!×R~WÅÇKWÉA���T�-��3"#� /�&'�[!#-��¤!l�.� !'���V-���)��i/��u1�&#�+10��&'!#)���"[!'-0/�!w�.�[��)����8(�"'�k)*��!#-��k/������+&#)�!#-��¤5a��)*7×mÜ ÅÇØ�à§4VÉ#¡�����!!� � _G��/�"�)��¤y�K�5�4�4W��¡�#�}ÚýÅxà�4VÉ#Åxà8×�à�4+~�=�~�B�~�������~V×�É#ÅÇ×$ÊÄ=�~������AØ�ÉA�% ! © "��W/�"#D !#�\"'����!#-G/�!.@A�+&^/2�*�}×mÜ ÅÇØ�à§4<É}�J�P-0/W$+�

� ?� Ú�� � � � Ú ð 9Û� � ~y�=�5Ç=�M+�/2���w_RD[y�=�5Ç=�K+�Q!'-0/�!.@���&.-�ÜÅ)

� ,� Ú ð ëT�$9Û� � �y�=�5Ç=�q+�` ����������"#)�����&E�#�A{�|JÚýÅxà�4VÉ#Åxà8×#~V=�~�������~V×Gà�4VÉ#ÅÇ×´Êÿ4+~������G~VØ�És5��8"�_G�V@A�+&#��)�!.)�"�����!�-0/2&#�w!#�"'����!#-G/�! �#�o�#�A{�|JÚ ð 9Û �$9�#�¶�y�=�5Ç=��+�` �����J�¢/�&#��/2_����t!'��"'!�/2!#��!'-���/����+��&#)�!'-��·!#�\���+�E1�(�!'�8!'-���(���)���(��P&#�31�&#��"'����!�/2!#)����[�2@I5/2"�)*�wLO&#�+10�+"#)�!#)��+�Ï=�5�4iS�¡+�0/2�E����D 5EÚV� c�{}| ÛiÛWÛ�� |��-��3&#�P@A�+&^/2����ÃPÜ ÅÇØ¢à�4VÉ#¡$�  Ú�� l&ôX � , ô ��)�!#-@ä  ܠÅÇv�~W4VÉ�/2���0- Â Ü ÅÇv�~V=jÃ^à§4VÉ#5jk� ������"'!#&'(���!�/�"'����(������3�ªÓ X ~������G~�Ó c�{�| ��@��3�*�3�E����!#"��2@md c "#(��V-[!'-0/�!

×�� Ó X Ú�Ó�~kÓ c�{}| Ú 5[¨×�×�� Ó��OÚV�Wc�{}|}ÛWÛiÛ��Wc�{G��~Ï@A��&8/2���ý×OÜkÅ*4+~�تà 4<É�¨×A×�×A� 5}y�p��JÚÿÓ � yõp2�3~:@A�+&^/2���ap Þ Ø�à ×<�

��&#�+� ×A×�×���!#-���&#��)�� �E����)]/W!'����DP@A����������".!#-0/2!8Ó c�{}| Ú�5}5jk�\���3���Ä!#�r��� Ø£àa4E"'!#��1�"i5Ä��&'���¸����� �+� !#�k/W$��+)��¤���+��@A(�"')����}¡Ê�J� 1�(�!¢��� z

/2�[)�������7w���+&#&#�3"#1G������)����w!'�E!#-�����(��\_G��&8�2@Q"#!#�31�"i5ujk��_0�3��)��[��)�!#-¤Ó X Ú Å*4<É#Å =�~�������~VØ�É#5� "#"#(��E�P!#-0/2!8Ó c�{0� -0/2"8_G�����[���+��"#!'&#(��3!#���}¡�/���� �J����)����G������"'!#&'(���!�Ó c�{0�]á�| ÚÿÓ c�{0� � �A{�| �T�-��3�g_�Dw×A×�×A�3¡

Ó c�{0� ÚÍy]z c�{0� ~V� ��{}| ~WÅ 5}yA×�Êü4W��~������75�yAØ?��ÉA�������&�"')��E1���)���)�!lDR¡��J�\���V;0����D}yA×��¢/����0D�ylà8×A�u!#�£_0�\!'-��E1G��"')*!')�����"��2@F5�yA×��\/����Äà�5}y�×A�¢)���.��{}|��+&^� X��{}| &#��"'10���3!#)�$�����D�5QT�-��3&#�\/�&#� @A�+(�&.�i/�"'��"P!#�¢������"')�����&i54W��5�yA×��.ܤ� ��{}|

T�-��3�g�.�P����!.-+�A{�|JÚü×�à 4.à6D}y�×A��/2���@ä���{}|JÚÿv�5�U8�3�������W�A{�|JÚ�� ��{�|�{ � ^ �7`��{�| 5

Page 33: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

? ü ?�¬ ���?û?¿���ú0¹��Gù��?�E¹}��®������?���`�w�0��­?���0��úk¾?ú0�Gû@®��=+�[à�5}y�×A�hÜ[�.�A{�|

T�-��3�g�.�P����!.- �A{�| Úü=+×Gà = à0D�ylà8×A��/2���@ä ��{�| Úüv�5}U ��������� ��{}| Ú�� ?#��{@?�{ � ^ {0�7`�A{�| 5B+��5�yA×��.Ü[z c�{0�

T�-��3�wàF5�yA×���ܤ� X��{}| /����\)*�¢10/2&#!#)���(��õ/2&�D}ysà8×A�QÚÍ4�5�jk�.�*�3!Ç- �A{�| Úü=+×�àEB�/2���gä ��{}| ÚÍ4�5U �������y�W��{�|JÚ�� X � ?'�A{'×��{}| 5F��[à�5}y�×A�hÜwz c�{G�

T�-��3��5}yA×�� Ü � X�A{�| /����1D}y�×A�[Ú 4�5 jk�[����![-+��{}|¤Ú ×Êàô= /2���,ä���{�|¤Ú 4+5ýU ��������W��{}|JÚ�� X � ��{Y?��{}| 5jk��-G/W$������3!#��&'�E)������r!#-��u@Z/2��!#�+&4� ��{}| 5PHJDr×A×�� �J�¢����!tÓ c�{G�õá�| Ú�Ó c�{�| � ��{}| 5���&'���y�=�5Ç=�K+�J/2���¤y�=�5Ç=�q+�Q)�!.@A�+�*������"Q!'-0/�!8Ó3c�{G�]á�|öy�×A�QÚ 5}y�×A� /����w_�D[yA=�5 =+���.×A×�×��8/���/�)��E-�������"i5T�-��3&#�V@A�+&#�

Ó c�{0�]á�| ÚÍy]z c�{0�]á�| ~V� ��{Y? ~WÅ 5}yA×���~������G~A5�yAØ?��ÉA�3~��-��3&#��)��E�W/�"#�3"ª4W�J/2���[=��3¡

z c�{0�]á�| zÇÚ ð ë Û �$9z c�{0� ~r� ��{Y? zÇÚ ð ë Û �´9� ��{�| ��Å 5}yA×���É#~��-�)����8)��w�i/2"#��"PB���/����EFR�3¡

z c�{0�]á�| zÇÚ ð ë Û �$9z Xc�{0� ~r� ��{Y? zÇÚ ð ë Û �´9� X��{�| ��Å 5}yA×���ÉA�ø _�"'��&#$+��!'-0/�!�)��w!#-��;0&#"'!8"#!'��1�D�yAØ?�QÚ«5}y�Ø?�Oà�4�/�����D�ylà8Ø?�.Úaà�5}y�Ø?�Qà�4+5OT�-���"#�¢�i/2�_G�P(�"#���Ï@A��&�!'-��P����� 1�(�!�/2!#)����\�2@JÓ | 5jk�h;0��)�"#-w!#-�)*"�"'����!')*�+�[_�D\)��*��(�"'!#&V/�!#)����¢!#-��t1�&#��������(�&#�¢��)*!'-[/��E�37Y/2�E1�����5>­��!�5gÚaÅÇK�~�B�~�à�F0~W4�~3à8=WÉ�Ü[d � 5Ojk�P"#!V/�&#!.@�&#���

Ó�ÚÿÓ X ÚÍÅ*4<É#Å =�~�B�~lF0~'KWÉRÚÍy]z X ~V� ü ���4 ¨ �Và6"'!#��1:×}ÚÿK¢~.à�5}yAK+�JÚ�=ªÜÏ� üjk��/2&#�¢)��¤�i/2"#�E=+�8/����[D�ylà8K�� Ú 4+¡G"#�0- ü Ú·q�¡�ä ü Ú·vE/2��� � ü Ú�� mü 5 % ! @A�+���*����"�!'-0/�!zu|JÚ ð±õz X ÚÍÅxà�4VÉ�/����Ï�!×�Ú ð:õ� ü ��Åxà8=WÉ0ÚýÅÇB�~#FG~�KöÉs5GU ��������¡

Ó2|^ÚÍŶà�4<ÉsÅÇB�~#FG~�K3É#Åxà8=WÉ �= c3� à6"'!#��1:×}Ú�F\~.à�5}y]F��JÚÿà�4PÜwz�|jk��/2&#��)��[�W/�"#�¢FR�h"#�6- × ÚÍ=�¡�ä × Ú 4¢/����#� × ÚÒ� X � ?× 5 % !�@�����������"�!#-0/2!8z ? Ú ð =z X | Ú Åxà8BWÉ/2���[� ? Ú ð =� X× ��Å*4<É�ÚaÅxà�F0~3à8KWÉ#5}U �������+¡

Ó ? ÚaÅxà8BWÉ#Åxà�F0~3à8KWÉ#Å�4�~3àh=öÉ �B Â�� à6"'!#��1:×}ÚÿB¢~G5}yAB+�QÚ à^F�ÜÏ� ?jk�\/�&'�E)��¤�W/�"#�r4i��/2���6D}yAB+��Ú�4�¡?"'�#- ? Ú64+¡]ä ? Ú vw/2���1� ? ÚK� ? 5 % !P@A����������"8!'-0/�!zý×8Ú ð 9z�?iÚÍÅÇBWÉ�/2���g� |JÚ ð 9��?���Åxà^F2É�ÚaÅÇKWÉ#5�U8��������¡

Ó × ÚÍÅ BöÉ#Å KöÉ#Ŷà�FG~�4�~3à8=WÉ �F:�dl�à6"'!#��1:×}Úÿ=¢~G5}yA=+�QÚÿB�Ü[zý×jk�8/2&#�P)��\�i/�"'�B+�O"#��-�|JÚý4+¡�ä­|JÚÍ4t/2�����+|^Ú�� X ��|�5 % !Ê@A����������"Q!'-0/�!.z ü Ú ð 9z X× ÚÍÅ KöÉ�/����� X Ú���5OU8��������¡

Ó ü ÚaÅÇKöÉsÅÇB�~�à�F0~W4�~3à8=WÉRÚ 5}~/2���w�J��/�&'�P�������+5Q�})��0/2���*D�5gÚ�� mü � X � ?× �_?�� X ��|8/����Å�GnEo2p � yo50�.Úý4W=�5

Page 34: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

,.U8�PLOT8NQf¸B

À��:�¶�PÁQÃ��¢���ö�����¢�Q÷ Áb��>­��!�� _0�E/����]/�"#"')��i/��Ojk��D��O��&'��(�1}5¢,.����"')�����&P!#-��¢�0/2!#(�&V/��l¡G��)]/����+�0/��O/����r!#�3��"#�+&i¡

/2��!#)�����"��2@y� /2��������¡Ê&#��"'10���3!#)�$�����D�¡.��� !'-��w10�+��DR�����E)]/2��&')����1�\ÅÇÕ?|W~������G~VÕ�c+É��@��/�������3����!'�\_RD[9 % � /����rT % �ý!'-��\���+&#&#�3"#1G������)����£)*��$�/2&#)]/���!8/����+��_�&�/2"i5¢>?��!e� � y��� �8_G�\!#-����(��+!#)�����!��2@8!#-��wU )*��_G��&#!\"'��&#)���"\�2@9 % �:/�����T % ��5�T�-�)�"�"'��&#)���"W¡.@A��&¢Ð c /2���§b c ¡O)�"ª/1G����D������ )]/�����-�)��V-ª/2���E)�!'"�/P��)������37R1�&#��"'"#)����\)��¢!#��&'�E"Q�2@­n o�p�/������GnEo2pY¡�&#��"'10�3��!#)�$��3�*D�5

% ��!#-�)�"\�V-0/�1�!#��&\�.�[/��0/2�*D�¥�� !#-��w�i/2"#�[�2@d c 5kjk� ;0���Ä/�����7�1���)*�3)*!¢@���&#�\(��õ/ª@A��&�!� y��� ����-�)��V-[)��E1���)���"W¡�)��[10/2&#!')*�3(��]/�&i¡G!'-0/�! !#-�)�"8"'��&#)���"P)�"t/2��!#(G/�����Dg/\1G����D����+�E)]/�����)�!'-���+��������/�!')*$+��)���!#�3����&P������"E��)�����!'"gyèT�-�����&'���âB�5Ç=��+��5uT�� ���w!#-0/2!P�J�\)���!#&'�R��(����\"#�3$���&V/�����3� �g/2-�����)]/2�["#!V/�!#)�"'!#)���"\��� b c /2��� d c /����Ä/w����� ³#�g/3¦V��&P)�������7�´w@���&\d c �i/2���*�3�d\n o�p�5Jø (�&.1�&'�R�2@�)�"._0/�"'���w���E!'-��8!'-����+&#DE�2@@�lXZ1G/�&#!')�!#�81G/�&#!')�!#)�����".)���!#&#����(������w_�DE¬P��&sX���+��)��EÅÇþ0ÈRÉ�/2���u@A(�&#!'-���&O"#!'(���)����¢_�D¬u/�&#"')]/8/�����¬P��"'"#����)��EÅÇþ�%�É#5 ² "#)���� "#)��E)��]/�&G)����i/�"W¡��.�;0���E/P�����ü/2���\"#)�� 1�����&O1�&#����@?��@}� ��)���X#f���)��V-��w/�� @A��&'�\(��]/.@A�+&Ç� ª y��� � y]T�-��3��&#�3� B�5ÇK���5��)��0/�����D�¡V�J�.���V;0���^/h����� ����"#���3�R!Ê�R(��\_0��&}d\Ò�ÓWÔ��+��d c "#�8!'-0/�!�!#-��.10/2)*&.yAd\Ò�ÓWÔ�~Vd\nEo2p��"V/�!#)�"s;0��"8!'-���,�/�&'�*)�!'¥ © "�)*������!#)�!lD¢@A��&�duc}5

þ�n7�'n!ø!��»'q3�Gß>Þ�v ¿g$�q$w�w�vNtI»% �r!#-�)�"�1�&#����)��E)��0/2&#Dw"#���3!#)������J�\�+)*$+��"'��� ��!'�R�+��"�!#-0/2!�/�&'�\�����������Ä)*�r!#-��E&#�3"#!¢��@

!'-�)�"���-G/�1�!'��&i5þ�n7�'n7�(n��rx'w�Þ�w�vNx(t!n % �[/����?!#-�)�".�V-0/�1�!'��&8�.�P(�"#�u!#-�)�"���)����i/�&��+&#���3&����H� c

à�4¶¼ÿà8=±¼Ò������¼ÿà8Ø<¼Ó������¼ v±¼a4Q¼�=k¼V�����#¼�Ø)¼V�����)���"'!#�i/2�E��@O!#-��P(�"'(0/��?�+&#���3&#)����05QeÏ��&#�3��$���&.)�! © "^/2��"#�¢������$��3��)�����!J(�"'�P!#-�)�".��)xµ���&'����!8���+!�/öX!')*�+�\@A�+&��������E�3�R!'"J)��[b c /2���gd c ¡�!'-0/�!��.�P�i/����'��ï�æ]ëPð�ó+êAï+êAæèó�ð�5

����&¢�i/��V-�Ñ·ÜýÐ c /����Eù Õ ÅÇØ�É#¡O�.�[����![yAÑ?~Tù[�6zÇÚ Å § | ~������0~ú§ c É8_G�w!#-��£"#)������3�1G��&#�\(�!�/�!')����\���V;G�����¤/2".@A����������"�z

§��ÇzÇÚ § à8Ñ � ~:)x@m×mÜGùk~Ñ � ~ )x@m×EªÜGùP�` ��!#�P!'-0/�!�)��E!'-�)�"�����!V/�!')*�+�E�.��-0/W$+�

y�Ñ?~Tù[� {�| Úýy�Ñ {}| ~�ÑOypù[�#�y�B�5�4i�/2���

yAÑ?~Tù[�3y�ô�~Tû[�QÚÍyAÑ@ô�~Tû@ü6ô {}| ypù[�#�y�B�5Ç=������&���7�/��E1��*�+¡�)x@�yAÑ­~�ù[�OÚÍy]F�B�K�4W=�~�|R4+~�=�~#K$~��?ÚaÅxà^FG~�à8B�~�K�~i4+~�à8=WÉ�ܤb � !'-����wyAÑ?~Tù[� {}| ÚyèFRK�=�4iB�~�|�=�~VB�~lF�~ö�?ÚaÅ F0~3à8K�~3à8=�~3à4+~�BöÉö/����t)x@}y�ô�~Tû[�QÚ yA=�4WB�F�K�~�|ö=�~VK$~���!#-����EyAÑ�; ù£��y�ô�~Tû[�QÚy�B�FRK�4i=�~�|�4>~ö�35 ? �

Page 35: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

? F ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�� "}@���&�bhc��.�.)*��!'&#����(����8/F�Yï+æ]ë?���+!�/2!#)����P@���&Qd�c�5�����&��i/��V-\Ñ[Ü[ÐGc\/����gû}ÕaÅÇØ.àE4VÉ

�.������!�y�Ñ?~Tû[����zÇÚ Å 5 | ~������0~<5 c ÉQ_G��!'-���(���)���(����3$�����Xl"#)��+�����r10��&'�\(�!�/2!#)����65["'(��V-¤!'-0/�!� 5 � ��ÚÿÑ � @A�+&^/2���}×OÜkÅ Ø�É�/2���@ûK�0|�ØS~¶ý�k[Ó�B�yo50�iýEûk5QeÏ��&#�P1�&'����)�"#�3�*D5+�ÇzÇÚ åè é

à8Ñ � ~ )x@m×�Ü+û ~Ñ � ~ )x@m×!ªÜ+ûK�¯|öØS~�~ysà�4i�   þ¶  Ñ c ~:)x@m×?ÚÿØG�

����&P��7�/�� 1����EyAK2FRB�4i=�~�|R4+~�B�~#F$~����üÚ Å¶à8K�~#FG~�à8B�~3à�4�~3à8=WÉQÜ�d � 5¢jk����)����Q(�"'(0/�����Dw���E)�!!'-��P)*������7gd )��E!'-��P10/�)�&.����!V/�!#)��+�E��@Qd c ��-����[!'-���&'��)�"J���¢&#)�"'�E��@O�����Y@A(�"#)��+�E��)�!#-w!#-��10/2)�&J���+!�/2!#)���� ��@Jb c 5

þ�n7�'n*Æ@n<ÿ�ß>x'¾GàVø�¿ w�vNx'tv$�x't�)ýx��Ná@tGx(òPvNÞ���� v�tG»�$>n8>­��!�� _G�ª/ ���]/�"'"#)��i/2��jk�3DR��+&#��(�1}¡G)Z5 ��� Ú·Ð c ~Vb c ��&�d c 5PT�-���&#�\)�"P/E�G/�!#(�&�/��Q/2��!#)����£��@.� ���[!'-��\10�+��DR�����E)]/2�&')*����) c zÇÚ«�\Å Õ | ~�������~�Õ c És¡���z$�¶�¸�8(�!�yN) c �.���V;0���3�[���w!#-��t�+������&V/�!'��&#" _�D�.y�À ��z�Õ � �� À�y�×A��>À�y�×A�ý� Õ   Ì ^ �7`   ~@A�+&�/����uÀ·Ü�� /����r��7�!#��������� (���)��R(�����D[!#�[/��k/����+��_�&�/ -��+�E�+�E��&#1�-�)�"#�[5 T�-�)�"�/���!')�����+)*$+��".&#)�"#��!'��!l�.�\/���!')*�+��"����w!'-��P!#����"'��& 10���.��&.)e���c zÇÚ�) c�� ÛWÛiÛ � ) c yS�lXl!#)��E�3"���z�!#-���0/2!#(�&V/��Qê�ãiðYé<ó+ëPïj³WêAæ]ó+ðg� Ë ��@!���ÇzÇÚ«� �rÛiÛWÛ��6� yC�lXl!#)��E�3"���¡�/����E!#-��ªç+æ]ï��+ó�ð�ï�î�ï:³iê�æ]ó+ð�2@.� �+�#)e�@�c ¡��S�ÁzÇÚ � Ë õ8Ò ���V;G�����k(�"')*���g!'-��¢��)]/����+�0/������\_G������)����wÒ0z@��� ������¡Àr�� yNÀ�~������0~�À8�35T�-��\ê�ãiðYé<ó+ë�æ]ð�îWï�ë3æ]ï�ð�ê.ï�î��ãWìWë#ï

T % �þz ÚÒ|@�D ÜÅ) �@�c z�� Ë y'�À �:�DEÚ �Da@���&Q/����e�ÀÿÜH� � ~)�"8/u"#(�_0/2������_�&V/¢��@O!#-��Eç+æ]ï��+ó�ð�ï�î�æèð�îiï+ë�æ]ï+ð�êJï2î �+ãiìWë#ï

9 % �Óz ÚÒ|@�D Ü#) �@�c z�� � y�À �:�D\Ú �D @A�+&m/2���(À�Ü#�Ó~$�T�-��3"#�¢!l�J�w/�������_�&�/�"�/2&#�¢�0/�!'(�&�/2�*��D �\(���!#)���&V/������w/����r-����������.�¢�i/��r������"#)�����&P!#-������+&lX&'��"#1G������)*���\U8)���_0��&'!�"#��&')���"·S��y��� �!zÇÚ U

c�9A;�������; c� ��)�� Z yA9 % � c 9 ;�������; c �l� � c 9| ÛiÛWÛ � c �� ~· Ë y��� �!zÇÚ U

c 9 ;������A; c � ��)*� Z y]T % � c 9 ;�������; c �l� � c�9| ÛWÛWÛ � c�� ~��-��3&#�J9 % � c 9 ;�������; c �?/����PT % � c 9 ;�������; c �?/�&#�Ê!#-��Q-����E�+����������(�"G���+�E1G��������!'"?��@��\(���!#)xXl������&'���y�Ø | ~������0~VØ � �.)��[9 % �ô/2���wT % �a&#��"'10�3��!#)�$��3�*D[/2������ Ú y � | ~�������~ � � ��5jk� �������+!#��!'-�����(���!')�����!J"'��&#)���"P_�D� � y��� ��zÇÚ · � y��� �· Ë y��� � ÜH��Å*ÅN�� É�É]�

þ�n7�'n*þ@n�����).Þ�ß>w�vNw�q.)ýÞ�ß>w�vNw�vNx(tb$ n % �P!#-�)*"�"#���3!#)����¢�J�Ê&#���i/2���R!'-��.�õ/2����(G/����O�2@´�lXl10/2&#!#)�!'�10/2&#!')*!')�����"���-�)��V-[�.��&#�¢��&')���)��0/�����D\���V;G�����r_RD[¬P�+&#���+� ÅÇþ0ÈRÉÊ/2"8�.������/2"8"#�+�E��&'��"#(��*!'"P��@¬�/2&#"')õ/¢/����Ϭ��"#"'���JÅÇþ�%�É�!'-0/�!��.�P(�"#��)�� !#-���&'��"#! ��@O!#-�)�"��.��&#�?5

>­��!��cE_G��!#-��t"'��!8�2@m/2�*�G@�(�����!')*�+��".�0z�Å Ø�É@���r5Q���+&.�wÜ��cE�.������!� �G�$zÇÚ cU

����| �}y�×A�3~

Page 36: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ |�¬ ¹?¼�¾?� � úG¹?ù]�g�<�R�G�Gù*�}¾ ? m/2���w�J�P��������!#���c�; � zÇÚay �cG���V5Qew��&'����$���&W¡�@A�+&.�EÚÍy��+|�~������0~�� � �^Ü��c�; � ¡��.�P���V;0���� ß�yN�0��zÇÚ �U

����| � � yõp2�3~/2���w�J������!� �c�; � z Ú�|Ä�£Ü��c�; � z � ß y��G��Éav�@A��&J/2����p\Ü Å Ø�É�~�/�������c�; � zÇÚ�|Ä�rÜ��c�; � z� ß�y��G�uÉÍ4k@A�+&Q/�����p�ÜkÅÇØ�É�~R5

�·ê�2C��ï�ë3êAæ]ê�ã!��ï�ë�ê�æ]ê�æ]ó�ð6íQæèê*ò£ð��Yï+ë�êèéQ)*"8/¢"'����(������3��� ÚýyN� | ~������G~_� � �.Ü� c�; � ¡� Ú ¡¢¢¢£

� | y#4i� � | y�=�� ������� | y�Ø?�� ? y#4i� � ? y�=�� ������� ? y�Ø?�555 555 555� � y#4W� � � y�=�� �����f� � y�Ø?�

¤�¥¥¥¦"V/�!#)�"s@AD�)*����!'-�� @A����������)��������+����)�!#)����Sz@A�+&^× � ÜkÅ �lÉ�/�����p�Ü ÅÇØ�É#¡�)x@u� � yõp2�QÚ«� � y�p.Êü4W�Ê@A��&�/����}×mÝ§× X ¡�!'-����0� � ¹�yõp2�F��� � ¹�yõpEÊ�4i��5` ��!#�+¡�)��E10/2&#!')*�3(��]/�&i¡�!'-0/�!.@���&8× X Úý4P!'-�)�"�)*� 1���)���"O!#-0/2!� | y'4i�º��� | yA=+�!�Ó�����:��� | y�Ø?�!��v�~"'��� | )�"^/¢10/2&#!')*!')����E��)�!'-Ï/2!J� ��"'!^Ø£10/�&'!#"W5jk�����3����!'�8!#-��t"'��!.��@�/�����!'-��ý�lXZ1G/�&#!')�!#��10/2&#!#)�!')*�+��"Q��)�!#-wØ 10/�&'!#"._RD�� c�; � 5 % �E10/2&#!')*�3(��]/�&i¡�Oc�;Ç|�)�"�!#-��t"'��!8�2@m/2�*�?)���!#�3����&�10/2&#!')*!')�����"���)�!#-w/�!�� ��"#!�Øw10/2&#!'"i5����&��37Y/2�E1�����¡O)x@tØ�Ú�K¤/2���P�\Ú6=�¡O!'-�������Ú y��+|�~_�>?��¢��)�!'-1�+|gÚ¸y]FG~#FG~#FG~�B�~�B+�8/�����>?�ÚÍyAB�~�B�~�=�~�K�~#F��})�"8/u_�)�10/�&'!#)�!#�P10/2&#!')*!')����E��)�!'-ÏKu10/2&#!#"W5

¬P)�$+���[/¢10��&'�\(�!�/2!#)����[Ñ[ÚaÑ­|}ÛWÛiÛ#Ñ�cw�J�u"�/WDE!'-0/�! !#-��¢10/2&#!#)�!')*�+�@cgÚ·ypc?|�~������0~Tc�cY�)�"8Ñx2A³Vój�E�Yï+êAæèì�î�ãJ)x@�¡+@���&�/����}×OÜkÅÇØ\àÄ4VÉ#¡

c���à�c��]á�|.���i�VyAÑ?�Ez Ú § 4+~:)x@mÑ�� Þ Ñ��]á�|i~v�~:��!'-���&'��)*"'�´�jk�P/���"#�\"'��!��Wc}yAÑ?�Ez Ú�v�5Q,.���i/�&'��DR¡�/u10/�&'!#)�!#)��+�GcÏ)*"8Ñ�Xl���+�E10/2!#)�_�����)x@m/����g�+����D\)x@�)�!�)�"���@!'-�� @A��&'� c � Ú�D � ʯD �]á�| ÊÿÛiÛWÛ�Ê#D c��)�!#-�D � ��� � y�Ñ?�Ê@A��&�/����}×'5Ojk�P�*�3!£j�y�Ñ?�._0�u!#-��P"#�3!8��@J/2�*�?Ñ�Xl����� 10/�!')*_��*��1G/�&#!')�!#)�����"W5����&.��7�/�� 1�����¡�)x@QÑgÚÍ4iK+B�F�=�!'-����@cEÚÍyAM�~�M�~#FG~#FG~�B���ܦjEyAÑ?��5T�-��u@A�+�*������)����¢!#-��3��&#�3�E"�/�&'����(���!'�g¬�/2&#"#)]/ /����k¬P��"'"#���8yè"#���[ÅÇþ�%�¡GT�-��3��&#�3�E"�=�5�4�/����=�5 =öÉA��zã.ä@å'æ@ç@å�è B�5�4$é�ì?ò�ã���ï���� R

y�Ñ?~�c�~ú{}�]� à(� ® c­| c'? ����� c�c{ 9ê{ = ������{ ° ~æ�éPïEìWæ ó�ã�³WêAæ]ó+ð[ìVãiêNíQãVãWð��Oc�; ?\ï+ð�çEê�ò�ãué�ãiê�j^c�; ?\óAÚuê*ò�ã�ê�ë�æ �Gî*ãWê]é8y�Ñ?~�c�~ú{}�TRuí}ò�ãWë#ã×��6Ñ£Ü[ÐGc@ð×�×A� cwܦjEyAÑ?��ð×�×A×��C{rܦjEyAÑ {}| ��ë

ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5Ç='é�ê}ãWêº��ÚÿÐ c ë�ì?ò�ãWð� 8 y � | ~ � ? �OÚ W º Í�� � = �   º 9  | �   º =  ?W ´ ; l Í�� � 9 �   ´  | �   l  ? Ú U $Í 8 � OO� ß ^ `| � O0� ß ^ �$9 `? �

Page 37: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

? � ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�jk� �*�3! � �c�; ? zÇÚ�|Ä�wÜ�� c�; ? z � ß�yN�0�uÉÿv @A��&Q/�����p¢Ü ÅÇØ�É�~

/2��� � �c�; ? zÇÚ�|Ä�wÜ�� c�; ? z � ß�yN�0�uÉÍ4 @A��&Q/�����p¢Ü ÅÇØ�É�~!'-��P"#��!'"8��@J/2�*�G!#-��Eã�îWãWðª/2���kóiç+çP_�)�10/�&'!#)�!#�P10/2&#!')*!')�����"���)�!#-wØ[1G/�&#!'"i¡�&#��"'10���3!#)�$�����D�5ew�+&#����$+��&��.�t����!j �c�; ? zÇÚ�|Ry�Ñ?~�c�~ú{}�Oܦj^c�; ?�z:c��(Ê-{ ^ �7` ÉÿvÄ@A�+&Q/�����×OÜkÅ Ø�É�~/2��� j �c�; ? zÇÚÓ|�yAÑ?~Tc�~¨{}�mÜ<j^c�; ?�z¶c��(Ê-{ ^ �7` Éý4 @A��&Q/2�*�G×OÜkÅ Ø�É�~$�% ! © "Ê�����i/�&.!#-0/2!i¡+_�D�&'��"#!'&#)���!#)��+�}¡�!#-�� �g/21!�Ä��@?T�-����+&#���IB�5�4.��)�$���"Ê&#)�"#� !#��!l�.��_�) ¦V���3!#)�����"� �c�; ?#" j �c�; ? /������$�c�; ?#" j!�c�; ? 5

T�-��3��&#�3�E"tB�5�4�/����¤B�5Ç=\�W/��r_0�¢��7�!#���������k!#�w!'-����+������&V/��Q�W/�"#�[yM� Þ =+�8/�" @A�+���*����"W¡yè"#���EÅÇþ�%0¡0fh���g/2&#�\=�5Ç=WÉA�35ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5ÇB'é�ì?ò�ãWë#ã[ã��+æ�é�ê]éwï ìWæ ó�ã�³iê�æ]ó+ð§ìVãWê�íÊã�ãWð%�Oc�; � ï�ð�ç�ê*ò�ãwé�ãiêij^c�; � óAÚwê�ò�ã=Ä��2#êAå��0î�ã�é

y�Ñ?|�~������0~VÑ � ~�c ^ |A` ~�������~�c ^ � ` �í}ò�ãië'ã�Ñ��PÜ ÐGc�R0c ^ �7` Ü-jEyAÑ��Z�ýÚ�ó+ë\ï�î]î�×ÜôÅ �lÉ�ï�ð�çwÑ � ÛWÛiÛlÑ'?iÑ­|�Ú Ó:ë�ì?ò�æõéªìWæ ó�ã�³WêAæ]ó+ðkæ�é�+æ7îWãið[ì�±�PyAÑ­|ö~������lÑ � ~Tc ^ |A` ~������0~Tc ^ � ` �Ez Ú

¡¢¢¢¢£c�^ |A`| c�^ |A`? ����� c@^ |]`cc�^ ?�` 9 ^ |A` c�^ ?�` 9 ^ ?�` ����� c@^ ?_` 9 ^ c´`ëëë ëëë ëëëc ^ � ` ���$9'&�&�& 9 ^ |A` c ^ � ` ���$9'&�&�& 9 ^ ?�` ����� c ^ � ` �­�$9'&�&�& 9 ^ c´`

¤�¥¥¥¥¦ �jk�P���V;G���!� �c�; � ¡(�$�c�; � ¡tj �c�; � /����<j!�c�; � /��G/������+��(�"'�*D\!'�E!'-����W/�"#���^ÚÍ=�5 `8��!'��/���/�)��!'-0/�!�!'-��P����&'&#��"'10�+���������3�)��&'��"#!'&#)���!#"P!'��_�) ¦V�3��!#)�����"�� �c�; � " j �c�; � /��������c�; � " j!�c�; � 5ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5 F@é�ê}ãWêº��ÚÿÐGc ï�ð�ç��.ÜÅ�Hë�ì?ò�ãWð

��8 y��� �ÊÚ U 9 ;�������; � ������| � OO� ß ^ Û `� ~

í}ò�ãië'ã¤ê�ò�ã£é�å$� æ�é[ójîWãië[ï2î]îu��2#ê�å��0î�ã�é[yAÑ­|�~�������~�Ñ � �ró<Ú��YãWë��¢å�êAï+êAæ]ó+ð�é[æ]ðÄÐGcaé�å´³Vòÿê*ò�ï�êÑ � Ñ � {�|}ÛiÛWÛlÑ?|JÚÿÓjëT�-��@A����������)�����)�"8!'-������+&#&#�3"#1G������)����w&'��"#(���!P��@QT�-��3��&#�3�6B�5 F¢@A��&Pb c /2���w)�!8)�"8��(��

!'�\�8��)��g/2���[f��+)*�V-��w/��wÅÇþ�É#5ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5ÇK'é�ê}ãWêOØO~��.ÜÅ�Hë�ì?ò�ãWð� ª y��� �QÚ Uµ 9<;�������; µ � Í ª

������| � º O0� ß ^Jµ Û `� ~

í}ò�ãië'ã ê�ò�ã�é�å$� æõé ójîWãiëkï2î]îªê�ò�ã�é�æ��+ð�ãVçP��ãWë���å�ê�ï�ê�æ]ó�ðYé@§ | ~������G~¨§ � Ü b c é�å$³�òÍê*ò�ï�ê§ � ÛWÛiÛp§ | ÚüÓ:ë

Page 38: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ ?�¬ �?��» �V��¹��Gù]�V�0ù]�G���G� ª ¹?�?½ � ? �þ�n*Æ@n��rq*�ñ@w�Þ�w�v�$�w�v�¿#$ýx't bhc#Þ�tv"Äduc

% �¢!#-�)�"O"#�3��!#)����¢�.��)*��!'&#����(����."#�+�E�Q�����Ä�����\_�)��0/2!#�+&#)]/����+_�¦V����!'"J/����¢�.�J1�&'��$��."#�+�E�1�&'����)��E)��0/�&'D[&#�3"#(���!#"\!'-0/�!¢/�&#�w(�"'���Ä)��k!#-�� 1�&#����@P��@8!'-��w�g/�)��[&'��"#(��*!\�2@8!#-�)�"¢�V-0/�1�!'��&yèT�-�����&'���:B�5Ç=��+��5

þ�n*Æ�n7�(n8 �v á�q�¿ w�vNx(tb$�Þ�tb"V)ýÞ�ß>vNw�á ñYq$w&$>n�jk�¢���V;0���ª/ _�) ¦V���3!#)����+��cPz0= Ø c�Ù � = Ø c&Ù ¡@A�+&J�3$���&'DÏØÏÜ#�r¡�)*�w!'-�� @A����������)�����)�����(��3!#)�$�� �^/WD@z�@A�+&^د�a4�¡

� c ydù£��zÇÚ §,+ c`�}c�{}|iypù[��~ )x@uùÆÕôÅÇØ¢à�4VÉ#~�}c�{}|�ydùK�ý|öØS~���~I)x@uù ªÕôÅÇØ¢à�4VÉ#~/2���@� X y����Ez Ú ��5����&.��7�/�� 1�����¡�����!8ØwÚ�Fª/2���@ù Ú�|ö=�~R¡�!'-����}¡� ü y�|ö=�~ö� Ú + ü ��×�y�|�=$~���Ú + ü + ×D�G?+y�|�=$~ö�OÚ + ü + ×Þ�Ê|öyN���QÚ + ü + × + |�� X y����

Ú + ü + ×�y�|�4>~���Ú + ü y�|�=�~VB$~��}Ú�|R4�~'F�~$�T�-��3&#��)�"8/���"'�ª/u��)�&#���3!8��/WD\!#�\���+�E1�(�!'�1� c 5Ö�å�è.èQ\ B�5ÇM(éEê}ãWê�ØÏÜ#� ï�ð�çkùÆÕôÅÇØ�ÉAëeì?ò�ãWð� c ypù[�OÚÓ|�×OÜkÅ Ø�É�z��xÅÇ×#~VØ�Éj�Où1�>ÉÍ4>~´�ÿ

çYæSæ� é�jk��1�&#���������w_�D\)�����(��3!#)����\�+�EØO5 % @�ØwÚ�vP)�!Q)�".!#&')*$�)]/��l¡�"'��"#(�1�10�+"#��Ø6�a4�5% @QØ[Ü@ù��J�P-0/W$+�� c ydù[� Ú � c�{}| ypùÁ�ý|öØS~��

Ú |ö×OÜkÅÇØ\àÄ4VÉIz'�¶ÅÇ×'~�تà§4VÉ��PydùK�ý|öØS~����>ÉÍ4>~Ú |ö×OÜkÅÇØ�É�z(�xÅ ×'~VØ�É´�Où1�>ÉÍ4>~´�

T�-��P�i/2"#��Ø°ªÜ+ù:)�"�"#)�� )*�]/2&J/���� )�"��*�<@A!�!#�¢!#-��u&#�i/2����&i5ø (�&O����/���)�"O!#�P(�������&#"'!�/2���E!'-��8/���!')����¢��@�/ 1G��&#�\(�!V/�!')*�+�ªÑ����g��c}ydù[�35�����&O!'-�)�"Q)�! © "

(�"'�V@A(��?!'�\)��R!'&#����(��3�t!'-�� @A����������)����P����������1�!W5J>?�3!1c\ÚÍydc­|ö~Tc(?2~������G~Tc�c?~Vv�~Vv�~������A�ÊÜ���c�;Ç|ö5jk� ���V;0���u!#-�����ï�ë3æ]ê�±ué�ãiê­��@vcÏ!#�\_G�ùkypc0��zÇÚ«|�×OÜkÅÇØ�ÉÅz:c � à�c �]á�| Éÿv$~$�>­��!8Ñ£ÜÏÐ c /����Gù ÕaÅ Ø�É#5O>?��!QcÏÜ�� c�;Ç| _G��"'(��V-g!'-0/�!Qù:ÚXùkypc0�35OT�-����w�J�P���<;0���

z zÇÚXùky�{}�3~��-��3&#�:{k)�"8/���D 10/�&'!#)�!#)����w)���� c�;Ç| "'(��V-[!#-0/2!1c � Ê-{ ^ �7` Éavu@A�+&t/����}×ÊÜ ÅÇØ�É#5Q`8�+!#��!'-0/�!!'-��P���V;0��)�!')*�+�w��@�z ������"'� © !8���310�����[���@c[/2���8{r_�(�!��+����D\���@ù¸/����wÑO5ø _�"'��&#$+��!#-0/2!�!#-��@A����������)����P"#!�/2!#��� ����!#"8/2&#�P����(�)�$�/�������!�z

×A�kypùkydcG�#� ÚXùky­{}��¨×�×A�@c � ʲ{ ^ �7` Éÿvh@A��&Q/2�*�G×�Ü Å Ø�ÉA�����&¢��7�/�� 1�����¡Q"'(�1�1G��"#�rØüÚ¸Fk/���� ÑaÚ�F�B�4i=�5§>­��!8c � Ú D � ÊÍÛiÛWÛjÊ�D c /2���/{ � Úà � Ê·ÛWÛiÛ:Ê�à c ¡Ê@A�+&E×\Ú 4�~������0~VØO5ÄT�-��[�3������)�!')*�+�'c � ÊX{ ^ �7` Éâv @A��&Q/����P× Ü ÅÇØ�É8)*"����(�)�$�/2�*�3�R!.!#�\!'-�� @A����������)����P"#D�"#!'���:��@O��������&#(���������"�z

åççè ççéD | ÊHD ? Ê0D × Ê0D ü ÉVà üD ? ÊHD × Ê0D ü ÉVÃ × Ê1à üD × ÊHD ü ÉVà | Ê�à ? Ê�Ã × Ê�à üD ü É�à ? Ê�Ã × Ê�à ü �

Page 39: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

× X ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�% @Qù Ú |R4+~�B�~\)*"P!'-��E10/2&#)�!lD["'��!��2@ic !#-��3�#D?|W~�D�×E/�&#�\�3$����}¡Q/2���0D(?2~�D ü /�&#�\������5E� �*�!'-���"#�u��������)*!')�����".@A�+&#���eÃ × ~�à ü !#�\_G�P��$��3�¤/����0à | ~�à ? !#�¢_G�������}¡�-���������z ÚÒ|öB�~'F�~�5% !.)�"8/���"#�¢10�+"#"')*_��*�u!#�¢��)�$���/�� ��7�1���)���)�!���)�&#����! ����"'��&#)�1�!')*�+�w��@�z 5Ö�å�è.èQ\ B�5Çq(éEê}ãWê�ØÏÜ#�r~�ù ÕôÅÇØ�ÉJï+ð�ç\Ñ[Ü[Ð c ë�ì?ò�ãWð

z ÚÓ|�×�Ü ÅÇØ�É�z'�¶ÅÇÑ {�| yA×���~VÑ {}| yA×�Êÿ4W�#�@�Où1�>Éÿv$~�~í}ò�ãië'ã8Ñ {}| yAØ�Êÿ4i�!zÇÚ�Ø�Ê�4:ëÿçYæSæ� é8>­��!1cÏ_0��/¢10/2&#!#)�!')*�+�E��)�!#-w10/2&#)�!lD\"#�3!1ù¸/���� "#��!!D � zÇÚXc � à/c �]á�| 5Q>­��!O{

_G�t/P1G/�&#!')�!#)����\"'(��V-g!'-0/�!£c��$Ê@{ ^ �7` Éÿv�/���� "#��!�Ã3�uz ÚM{?��à<{?�õá�|�5OT�-�����¡�_RD¢���V;G��)�!#)����}¡×mÜgz )x@m/2���w������D\)x@*Ã3�O)*"��3$����}5ÊHJ(�!à � Ú { � à+{ �]á�|É c �$9 ^ �7` à4c �$9 ^ �]á�|A`É Uß Í Ø �$9 ^ �7`N; �$9 ^ �õá�|A`7` D+ß

/2���w!#-��P&#�3"#(���!�@�����������"i5jk� �i/��w�����ÿ1�&#��$+�P!#-��P�g/2)��\!#���V-���)��i/2�}&'��"#(���! ��@�!'-�)�"�"#���3!#)����}5Ö�å�è.èQ\ B�5Ç�(éEê}ãWê�ØÏÜ#�Hë�ì?ò�ãið�Ú�ó�ëPï�îèî ù ÕôÅÇØ�É^ï+ð�ç�Ñ£Ü[ÐGc1íQãPò�ï:îiã

Ñ���c}ypù[�QÚ,��c}ypù ���ÿçYæSæ� é8��&#�+� >?�3�E�g/uB�5ÇM��.�P-0/W$�� !#-0/2!

×OÜ[Ñ�� c ydù£�.-g9¶�¶ÅÇÑ {�| yA×���~VØ�É��Où1� Éý4+~/2���

×mÜG��c}yèz �.-g9 �xÅÇ×#~VØ�Éj�.z �>ÉÍ4j�T�-��\�]/2!#!#�3&����+����)�!#)��+�¤)�"�����(�)�$�/2�*�3�R!P!'�[!#-���@A����������)����\"#!V/�!'���E����!�z�!#-��E��(��\_G��&P��@8!#-��@A�+���*����)����P���+����&'(������3��" �xÅ Ñ {�| yA×���~VÑ {}| yA×'Ê�4W�#�S�Où1� É v�xÅÇÑ {}| yA×�Êÿ4i�3~�Ñ {�| yA×'Ê =+�#�S�Où1� É v

555�xÅÇÑ {}| yAØ?��~VÑ {}| yAØ�Ê�4W�#�S�Où1� É v��-�)��V- /�&'�\����!u"�/�!')�"l;0����)�"���������&#(�����!�!'� 4�5 U8�������E!'-��E"'(��¸��@8!#-��\�E���\_G��&#"P)��k!#-�����V@A!sXZ-G/���� "#)����P)�"��������+&#(��3�R! !#�[4+5}H.(�!

cUß �G� �xÅÇÑ {}| y�p���~VÑ {}| y�pFÊÿ4i�'�@�Où1�>ÉK�xÅ Ñ {�| yA×���~VØ�Êü4W�@�Où1�

/2���w�J��/�&'�P�������+5` ��!#�P!'-0/�!8>­���E�w/tB�5Ç��)��E1��*)���"Ê!#-0/2!�yAÑ?~Tù[�H� � ù )*"8/u���V@A!8/2��!#)����w�2@mÐ c ���w= Ø c&Ù 5

>­��!uD6z�= Ø c&Ù � = Ø c�{}|pÙ _G�P!#-��P@�����������)*���t1�&#�i¦V�3��!#)����w�2@�"#�3!#"ùC�� § ù[~ )¶@QØ1¸ÜGù£~+ c�ypù[��~ )¶@QØ£ÜGù¯�y�B�5ÇB��

Page 40: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ ?�¬ �?��» �V��¹��Gù]�V�0ù]�G���G� ª ¹?�?½ � ×i|>­��!8Ñ£ÜÏÐGc}¡`ù}ÕaÅÇØ�É�/����<cwÜ��Oc�;Ç|�_0�u"#(��V-w!#-0/2!QùkydcG�QÚXùk5Ojk�8���V;0���ù zÇÚ,ù y�{}���-��3&#�:{£Ü���c�;Ç|�)*"."#(���-£!#-0/2!Qc��(Ê-{ ^ �7` Éý4 @A�+&^/2���}×OÜkÅ Ø�É#5T�-��P1�&'����@Q��@O!#-�� @A�+�*������)�����!'���V-���)��i/2�}�����E�w/ )*".���V@A!�!'�\!#-��P&#�W/�����&W5Ö�å�è.èQ\ B�5ÇS(éEê}ãWê�Ñ£Ü[ÐGc ï�ð�ç�ùÆÕaÅ Ø�ÉAëeì?ò�ãiðù ÚXù ü¯|öØS~8ÚÍydù@ü¯|öØS~�� �Ö�å�è.èQ\ B�5�4iv'é�ê�ãiêOÑwܤРc ï�ð�çwûÆÕaÅÇØ¢à�4VÉAëyì?ò�ãið� c�{}| ypû �ý|öØS~���Ú�D�y�Ñ�� c�{}| ypû[�#�S�ÿ

çYæSæ� é8CY(�1�1G��"#�¢Ø1¸Ü@û 5OT�-�����¡�_�Dg>­���E�w/tB�5Ç��¡��.�t-G/W$��8!'-0/�!�}c�{}|iypû �OÚ + c���c}ypû �QÚ + c0Ñ���c}ypû[�QÚ + cYÑ + c���c�{}|iypû[�QÚÿÑ��}c�{}|iypû[���% @QØ[Ü@û �J�P-0/W$+�t"')��E)��]/�&#��D�!'-0/�!� c�{}| ypû �ý|öØS~ö�OÚX� c ydû ��ÚÿÑ�� c ydû£�QÚüÑ + c � c�{�| ypû[�QÚ + c Ñ�� c�{�| ypû[�/2���w!#-��P&#�3"#(���!�@�����������"i5

þ�n*Æ�n*Æ@n<ÿ�q$tGq$ß>Þ��Nv0/:Þ�w�vox(t�w�xPw�¼Gq+�«¾H��w�vd¿$Þ�ß>vNÞ��H�Nq0��Þ�$�q'n % �[!#-�)*" "#���3!#)����r�J�u���VX���3&�/���)�¥��P!#-������V;0��)*!')�����"�/����w&'��"#(���!'"8��)�$+���w)*�)~�B�5Ç=�5*4 !#�¢!#-����\(���!#)�$�/�&')]/W_����J�i/2"#��5>­��!�ØO~]��Ü��r~VÑ | ~������G~�Ñ � Ü Ð c /2����ù | ~������G~Tù � Õ:ÅÇØ�És5¢>?��!kc ^ |A` ~������G~�c ^ � ` Ü�� c�;Ç| _G�"'(��V-g!'-0/�!�!'-���10/2&#)�!lD\"#�3!1ùkypc ^ �7` �QÚXù � @A��&�/����}×mÜ Å �lÉ#5}T�-����w�J�P���V;G���

ypù | ~������0~Tù � � ^ 9�;�������; ��` zÇÚVùky­{}��~��-��3&#�[!'-��[10/2&#!#)�!')*�+�r{·Ü1�Oc�;Ç|\)�"E"'(��V-�!#-G/�!¢@A�+&E/����.p�Ü�ÅÇØ�É#¡uc ^ |A`ß Ê c ^ ?�` 9 ^ ß ` Ê ÛiÛWÛjÊc ^ � ` �­�$9 &�&�& 9 ^ ß ` ÊE{ � &�&�& 9 ^ ß ` É·v��0` ��!'�\!#-0/2!i¡}/2"8@���&P!#-��\�+���VXl��)��E����"#)����0/2�}�i/2"#��¡�!#-��\���V;�X��)�!')*�+�E�2@^ydù | ~�������~Tù � � ^ 9�;�������; ��` ������"'� © !�����1G�����r���E!'-���c ^ �7` © "8/����<{r_�(�!������*D ���w!#-��ù � © "8/2���[Ñ � © "W5ø _�"'��&#$+��!#-0/2!�!#-��@A����������)����P��������)*!')�����"8/2&#�P����(�)�$�/�������!�z

×A�kypùkydc ^ |A` ��~�������~Tùkypc ^ � ` �#� ^ 9 ;�������; � ` ÚVùky­{}��¨×�×A�@c ^ |A`ß Ê/c ^ ?�` 9 ^ ß ` ÊÿÛiÛWÛ�Ê/c ^ � ` �­�$9'&�&�& 9 ^ ß ` Ê4{ �2&�&�& 9 ^ ß ` Éüv��Ö�å�è.èQ\ B�5�4�4$é�ê�ãiêOØO~��.ÜÅ�)R�Ñ � Ü[Ð c ï�ð�çkù � ÕôÅÇØ�É@Ú�ó�ëPï�îèî�×OÜkÅ �lÉAëyì?ò�ãWð

ydù | ~������G~Tù � � ^ 9�;�������; �N` Ú + � á�|c ypù �2&�&�& 9| ü<ù �2&�&�& =? üýÛWÛWÛ¸ü<ù �� ���ÿçYæSæ� é�jk�P"'����!'��-w!'-���1�&'�R�2@�)��E!'-��P�i/�"'���mÚÿ=�¡+@���&º� Þ =u)*!.)�"�"#)��E)��]/�&W5Gjk�8-0/W$+�

!'�\1�&#��$+�t!'-0/�!ydù | ~Tù ? � ^ 9<; =<` Ú + c ydù = 9| ü<ù =? ���

>­��!uc ^ |A` ~�c ^ ?�` ~ú{[Ü�� c�;Ç| _0� "#(��V-E!'-0/�!m@A��&J/2���0×}Úa4+~�=�¡#ùkypc ^ �7` �QÚXù � ¡�/����¢@���&J/2�*�Yp�ÜkÅ Ø�Éc ^ |A`ß Ê/c ^ ?�` 9 ^ ß ` ÉM{ = 9 ^ ß ` �y�B�5 FR�>­��!.D ß Ú c@^ |A`ß àEc�^ |A`ß á�| ¡GÃ ß Ú c@^ ?_`ß àEc�^ ?�`ß á�| /2��� Ô ß Ú6{ ß àr{ ß á�|P@���&�/2�*��prÜýÅ Ø�É#5\T�-�����+����)�!#)��+�¤yAB�5 FR�Ê)*"��3�R(�)*$�/2������!J!'�

Ô ß É U� Í Ø �´9= ^ ß `N; �$9= ^ ß á�|A`7` Ã��'Ê U

� Í Ø �´99 �$9= ^ ß ` ; �´99 �$9= ^ ß á�|A`7` D��'~/2���w!#-��P!#-���"#)�"�@�����������"O@A&#�+� >?�3�E�g/PB�5 q�5

Page 41: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�? ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�T�-��P���37R! &#��"'(���!8"V/WDR" !#-0/2!�!#-��u_�) ¦V����!')*�+�@�}cw)�"\³�/2���E��"'!#´���)*"'!#&')*_�(�!#)�$��P��)�!#-w&'��"#1G����!P!#�!'-��P"#D��E� ��!#&')*����)¶µ?��&'�������¢��@O"#��!'"i5Ö�å�è.èQ\ B�5�4i='é�ê�ãiêOØwÜ0�Hë�ì?ò�ãið�Ú�ó+ëtï2î]î�ù |�~�������~�ù � ÕaÅÇØ�ÉFíQãPò�ï:îiã�ï� c ypù | �¨üÍÛiÛWÛ�ü<� c ydù � �QÚV� c + � á�|c ypù | üýÛWÛWÛ¨ü<ù � �@�ÿ

çYæSæ� é�jk�P1�&'���������r_�Dg)�����(���!#)��+�g�+�r�i5 % @G�^Ú·4P)�!�)�"�!#&#)�$�)]/��l¡�"#�\"'(�1�1G��"'�e�JÚa=��% �w!#-�)*"��W/�"#�u�J�P-0/W$+�8!#�\1�&#��$��P!'-0/�!� c ypù | �¨ü<� c ypù ? �QÚX� c + c ydù | ü�ù ? �@�y�B�5ÇK��H.D�>?�3�E�g/�B�5ÇM�!#-���"#��!Q)��¢!#-������V@�!lXl-0/����u"#)�����)�"O��)�$����¢_�D�!#-��8×OÜkÅ Ø�É�!'-0/�!O$��3&#)x@AD���7�/2��!#��D�+���P��@�!'-��P@A�+���*����)����P���+����&'(������3��" �ÇÅÇ×#~VØ�É´�Où |Ä�:Éa4�xÅÇ×#~VØ�É´�Où�?j�>ÉÍ4j�U ������� � c ypù | �¨ü<� c ypù ? � Ú |i×OÜ ÅÇØ�É�z(�xÅ ×'~VØ�É´�Où | ��ÊÓ�ÇÅÇ×#~VØ�É´�Où ? �>Éa4>~

Ú |i×OÜ ÅÇØ�É�z(� ù |�ü<ù�?IÛrÅÇ×'~�Ø�É_��Éa4>~!�T�-��P"'��!8)��E!'-���&')*�+-�!lXl-0/���� "#)����P)�"� c + c ypù | ü<ù ? � Ú |�×OÜkÅ Ø�ÉGz(�xÅ ×'~VØ�É � + c ypù | ü<ù ? ���>ÉÍ4>~

Ú |�×OÜkÅ Ø�ÉGz(� ù | ü<ù ? ÛrÅÇ×'~�Ø�É_��ÉÍ4>~$�` ����"#(�1�10�+"#��� Þ =�5Ojk�8-G/W$��� c ypù | �¨üÍÛWÛiÛ�ü<� c ydù � � Ú Z¸� c + �c ydù | üÍÛWÛiÛ�ü<ù � {}| � [ ü<� c ypù � �

Ú � c + c Z + �c ypù | üÍÛiÛWÛ�ü<ù � {}| �¨ü<ù � [Ú � c + � á�|c ydù | üýÛWÛiÛ�ü<ù � ��~

��-��3&#���.�P-0/W$��P(�"'���w!#-���)�����(���!#)��+�E-�D�10�+!#-���"')�"t/���� y�B�5ÇK��35jk� �i/��w�����ÿ1�&#��$+�P!#-�� @A�+�*������)������+������&V/���)�¥i/�!')����E�2@m>­���E�w/tB�5Ç��53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5�4iB'é�ê}ãWêOØrÜ#�H�.ì?ò�ãWðyÚ3ó�ë�ï2î]î ù |i~WÛWÛiÛG~�ù � Ü ÅÇØ�Éhï+ð�ç\Ñ?|W~������G~VÑ � ÜÐGc1íÊã8ò�ï:îiãÑ � ÛWÛiÛ'Ñ?|���c}ypù |��¨üwÑ � ÛWÛiÛ'Ñ(?���c}ypù�?��¨üÍÛWÛiÛ�üwÑ � ��c?ydù � �OÚX��c�5�ydù |i~������G~�ù � � ^ 9 ;�������; � `76 �ÿ

çYæSæ� é�H.D[>?��� �g/2"mB�5�4�4�¡�B�5�4W=�/2���[B�5Ç�P!#-���&#�u@A����������"Q!'-0/�!� c)5 ypù | ~������0~Tù � � ^ 9A;�������; ��` 6 Ú � c y + � á�|c ydù �2&�&�& 9| ü�ù �2&�&�& =? üýÛWÛiÛ�ü<ù �� �'�Ú � c ypù �8&�&�& 9| �¨üÍÛWÛiÛ¨ü<� c ydù �� �Ú Ñ � ÛiÛWÛlÑ | � c ydù | �úüýÛWÛiÛúügÑ � � c ydù � ���

>­��!tÑ | ~�������~VÑ � Ü Ð c /2���+ù | ~������G~�ù � Õ·Å Ø�É#58eÏ��&#�3��$���&W¡?����!1c ^ |A` ~������0~Tc ^ � ` Ü9� c�;Ç|_G�P"#(��V-[!'-0/�!Qùkypc ^ �M` �ÊÚ,ù � @A�+&^/2�*�}×mÜ ÅÇØ�É#5�T�-����w�J�P���<;0���

ydù |i~������G~�ù � � ^ 9<;�������; �N` ÚVùky­{}���-��3&#�:{£Ü��Oc�;Ç|�)�"�"#(���-w!'-0/�!Qc�^ |A`ß Ê/c�^ ?�` 9 ^ ß ` Ê�ÛiÛWÛ_Ê-c@^ � ` �­�$9:&�&�& 9 ^ ß ` ʲ{ �2&�&�& 9 ^ ß ` Éý4h@A�+&^/2�*�p¢Ü ÅÇØ�É#5

T�-��u@A�+�*������)����¢!l�J� &#��"'(���!#"�/�&'�\�0/�!'(�&�/2�O�������3&�/���)�¥i/2!#)�����" ��@^>­���E�w/�"�B�5ÇSE/2���¤B�5*4Wv/2���[/��R/2)��\�J�P���i/W$��P!'-��P1�&#����@Q�2@�!#-��P@A��&'�E��&.!#�¢!#-���&#�i/2����&W5

Page 42: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ ?�¬ �?��» �V��¹��Gù]�V�0ù]�G���G� ª ¹?�?½ � ×_×Ö�å�è.èQ\ B�5�4�F@é�ê�ãiê.Ñ?|i~������G~�Ñ � ܧÐGc�ï+ð�ç8ù |i~������G~�ù � Õ ÅÇØ�É]ëPì?ò�ãið�Ú�ó+ë�ï2î]î}×�ÜÿÅ �lÉíQã ò�ïjîWã�ïydù | ~������G~�ù � � ^ 9<;�������; �N` Ú ydù | ~�������~�ù � � ^ 9�;�������; ��` ü¯|öØS~

Ú ydù | ~�������~�ù ��{�| ~�ù � ü¯|öØS~�~�ù �]á�| ~�������~Tù � � ^ 9 ;������<; � ` �Ö�å�è.èQ\ B�5�4iK'é�ê�ãiêOÑ | ~������G~VÑ � {�| Ü[Ð c ï+ð�ç�û | ~������0~Tû � {}| ÕaÅ Ø�à§4<ÉAëyì?ò�ãWð� c�{�| ZVydû | ~������G~Tû � {}| � ^ 9 ;�������; ���$9 ` �ý|öØS~ [ Ú�D�yAÑ � {�| ÛWÛiÛ'Ñ | � c�{}| û | üýÛWÛWÛ¸üwÑ � {}| � c�{}| û � {}| �@�ÿçYæSæ� é % @JØ�¸Ü ydû | ~�������~�û � {�| � ^ 9 ;�������; ���$9 ` �.�P-0/W$���¡�_�Dw,.��&#�+���õ/2&#DEB�5*4WB�¡� c�{�| ZVydû | ~������G~Tû � {}| � ^ 9 ;�������; ���$9 ` [ Ú + c � c ZVydû | ~������0~Tû � {}| � ^ 9 ;������<; �­�$9 ` [

Ú + c Z Ñ � {}|?ÛWÛiÛ#Ñ­|���c�û |�üýÛWÛWÛ¸üwÑ � {}|T�}c�û � {�| [Ú + c Z Ñ � {}|?ÛWÛiÛ#Ñ­| + c���c�{�|�û |�üýÛWÛiÛ�üwÑ � {}| + c���c�{�|�û � {}| [Ú + �c Z Ñ � {}| ÛWÛiÛ#Ñ | � c�{�| û | üýÛWÛiÛ�üwÑ � {}| � c�{}| û � {�| [ �

C�)�� )*�]/2&#��D�¡W)x@mØ£Ü ypû |ö~������G~�û � {}|�� ^ 9 ;�������; �­�$9 ` �.�P-0/W$��P!'-0/�!��c�{}|�ydû |�~�������~Tû � {}|�� ^ 9_;�������; �­�$9 ` Ú + � á�|c Z Ñ � {�|�ÛWÛiÛ'Ñ?|���c�{}|�û |�üýÛWÛWÛ¸üwÑ � {}|T�}c�{}|�û � {}| [/2���w!#-��P&#�3"#(���!�@�����������"i5

þ�n*Æ�n*þ@n8¤�¼GqHñ@w�Þ�w�v�$�w�v�¿#$8Ø?ÓWÒ6Þ�tb"Äd\nEo2p$n % �w!#-�)�"�"#�3��!#)����w�.�P)*��!'&#����(����P!'-��P@A(��YX�0/2�E����!V/��}"'!�/2!#)�"#!')*�3"�Ø?ÓiÒ£/����kd\nEo2pÏ/2���r"#!#(���D["#�+�E�¢��@J!'-���)�&P_0/�"')��\1�&#�+10��&'!#)���"W5E���+&��$+��&#D)§�Ü b�cr�J�¢���V;G��� �§�Ü b�c�{�|t_�D[��������!#)���� !#-��\�]/�"'!8����!'&#D[�2@0§Ä/����["'�i/���)����w!#-���+!#-���&'"t/2".@A����������"

�§Qy�×A��zÇÚ åè é§QyA×���~ )x@4� §QyA×����YÝ�� §Qy�Ø?���x~§QyA×��QàÄ4�~:)x@b§QyA×�� Þ vP/����Å� §QyA×���� Þ � §Qy�Ø?���x~§QyA×��IÊ�4�~:)x@b§QyA×��hÝ vP/����Å� §QyA×���� Þ � §Qy�Ø?�����

����&.��7�/�� 1�����¡�)x@H§¤ÚaÅxà�F0~3àhB�~�K�~i4+~�à8=öÉ0Ü[b � !'-���� �§[ÚýÅxà8B�~3à8=�~'F0~W4VÉ#5jk� �*�3!8b ác !#-���"'��!8�2@�!'-��P"#)������3�g1G��&'�\(�!�/2!#)�����"£§kÜ[b c "#(���-w!'-0/�!O§Qy�Ø?� Þ v�5Ö�å�è.èQ\ B�5�4iM'é�ê�ãiêx§rÜÏb ác ë�ì?ò�ãiðnEo2p�ylàO§}��Úün o2pYy­§}�IÊ�Ø?Ó�B?y�§}�3~í}ò�ãië'ãPàO§1zÇÚaÅxàO§Qy#4i�3~������0~3àO§QyAØ?��ÉA�ÿ

çYæSæ� é�jk�u1�&#�������3�¤_�DE)�����(���!#)��+�[���[ØO5����+&tØwÚ·4�)�! © "�!'&#(��+¡0"'�E����!PØ Þ 4+5�jk�-0/W$+�P!#-�&'�����i/2"#��" !#�\���+��"#)�����&�z

×A�<§Qy�Ø à§4W� Þ §QyAØ?�T�-��3�EnEo2pYy­§}�JÚÿnEo2p�y �§Q�>ÊEØhàg4+¡ÇnEo2pYysàO§}��Úün o�p�ylà �§Q�>ÊEØhàg4P/����ªØ?Ó�B�y­§}�JÚÿØ?Ó�B?y �§Q���C�)����3� �§rܤb ác�{}| _�DE)�����(���!#)��+�E�.�t-G/W$��

n o�p�ylà �§}��ÚÿnEo2p�y �§��SÊ Ø?Ó�B�y �§m�y�B�5ÇM��/2���w!#-��P!#-���"#)�"�@�����������"i5×�×A�<§Qy�Ø?� Þ §QyAØ à§4W� Þ v

T�-��3� n o2pYy­§}�[Ú¸nEo2pYy �§��3¡^n o2pYysà0§}�£Ú n o2pYysà �§Q�\/2����Ø?Ó�B?y�§}�wÚ¸Ø?Ó�B?y �§��3¡�/����Ä!#-��&'��"#(���!.@A�+���*����"._�D[yAB�5 M+��¡�/2"8/�_G��$���5×�×�×A�<§Qy�Ø à§4W�QÝ�v

Page 43: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

× ü ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�T�-��3�¤�.��-G/W$���n o�p�ylàO§}�PÚ·nEo2p�ylà �§Q��Ê�Ø àü4¢/����knEo2p�y�§}�PÚýn o2pYy �§m�35�C�)������ àO§�Üb ác�{}| _�DE)�����(���!#)��+�E!#-���&#�u@A����������"Q!'-0/�!8n o�p�y �§}�.ÚÿnEo2pYysà �§m�@ÊÄØ?Ó�B�ysà �§O��5ÊU8�����3�

nEo2p�ylàO§}��ÚÿnEo2pYy �§��mà Ø?Ó�B�ylà �§Q�@ÊÄØ\à�4�ÚÿnEo2pYy­§}�Êà Ø?Ó�B�ylà �§Q�@ÊÄØ\àÄ4�~/2���w!#-��P&#�3"#(���!�@�����������"Q"#)������¢Ø?Ó�B?ylà �§��QÚÿØ�à§4.à Ø?Ó�B?y�§}���3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5�4iq'é�ê}ãWêx§¤Ü[b ác ë�ì?ò�ãið�0n o2pYysà0§}��Ú«�GnEo2pYy­§}�uÊÄØG�ÿ

çYæSæ� é�T�-�)*"¢@�����������"�)��E�E�3��)]/�!#�3�*D @A&'��� Ø?Ó�B�ysàO§}�gÚ¸Ørà�Ø?Ó�B�y�§}� /�����>­���E�w/B�5*4WM�5

T�-��P$+��&#)x;0�i/2!#)���� ��@Q!#-��8@�����������)*���t�+_�"#�3&#$�/�!')����w)�"��*�<@A!J!'�\!#-��u&#�i/2����&i5Ö�å�è.èQ\ B�5�4i�'é�ê�ãiêOÑwܤРc ï�ð�çwùÆÕÿÅ Ø�ÉA�!ì?ò�ãWðy Ñ?~T��c?ydù[�'��zÇÚ § ày��ÑQ~T��c�{}|�ypù[�#�3~ )x@JØPªÜ+ù£~

y��ÑO~T�}c�{}|iypùK�ý|öØS~ö�'��~:)x@JØwÜ+ù¯�jk�������a���V;0���¢�������2@J!#-��¢��&'(���)]/��O���+������1�!u��@J!'-�)�"t�.��&'�?5t����&¢yAÑ?~Tù[� Ü b c !'-����

�.�P�*�3!Ø?ÓWÒ ª yAÑ­~�ù[�!zÇÚ U

� Í<; =�×=� � yAÑ?�SÊ U� Í?> ^ ; ` ×y�B�5Çq��

/2���w"#)��E)��]/�&'�*D @A�+&�yAÑ?~Tû[�]��ܤd c �.������!Ø?ÓWÒj��y�Ñ?~Tû[�!z Ú U

� Í þ =+× � � yAÑ?��Ê U� Í@> �$9 ^ þ ` ×A�y�B�5Ç���

����&���7�/2�E1�����¡+)x@v§rÚýÅxà8=�~'F0~3à8B�~3à4<É0Úýy�=�FRB�4�~�|R4+~�B�~#F�~ö��ܤb ü !#-����rØ?ÓiÒ�ªPy�§}�.Úü=uÛiB�Ê=PÚÿ��/2���E)x@�5EÚÍÅ =�~#FG~�à8B�~�à�4VÉ�ÚayA=2FRB�4�~�|öB$~��OÜ[d ü !'-����[Ø?ÓiÒ � yo50�JÚ�=8ÛVBuÊÄ4GÊk=tÚÿS�5T�-��P�w/�)��\1�&#�+10�3&#!lDw��@QØ?ÓiÒ�ªÄ)�"�!#-�� @A�+�*������)������+����5ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5�4WS(éOK�ó�ëPã�îiãWë�±\yAÑ­~�ù[�ÊÜ[b cØ?ÓWÒ ª yAÑ­~�ù[�OÚ«�0n o2pYy�Ñ?~�� c ydù[�'���y�B�5ÇS�� ÿ çYæSæ� é�jk�¢1�&'�R�3����� _�Dr)�����(���!')����r���kØO¡QyAB�5 S+� _0��)����£�i/�"'D[!#�[�V-��3���£@A�+&Ø�Ú:4�5

>­��!8Ø Þ 4�¡`ù}ÕaÅÇØ�É�/����wÑ[Ü[Ð c 5Ojk�P-0/W$+��@A�+(�&��i/�"'��"8!'�\������"#)�����&W5o��gØ°ªÜGù ¡�Ø à§4 ܤd\ÓiÔ+yAÑ?� /����[Ø�à�48Ü@ù

T�-��3�Ø?ÓiÒ�ªPyAÑ?~Tù[� Ú =�yAØ à§4W�@Ê U

� Í<; =�×=�i�Vy��Ñ��@Ê U> �$9 ^ ; ` ×�ÊÄØÚ B+Ø\à =�Ê Ø?ÓWÒ ª y��ÑO~�ù£���

>­��! © ".����� 1�(�!'��!#-��P&#)��+-R!sXZ-G/����\"')*���8��@Jy�B�5ÇS��35}jk� -0/W$��PØuà 4+~�ØÏÜG� c ypù[�J/2���gØuàk4�ªÜ� c�{�| ydù£��5Q��&#��� !#-�)�"i¡G>?��� �g/PB�5�4W��/2���g,.�+&#�����]/�&'DEB�5�4iq�¡�)�!.@A�+���*����"Ê!#-0/2!�GnEo2p�yAÑ?~T� c ydù[�'� Ú �0n o�p�y Ñ­~�� c ydù[�'�@ʧ=�yAØ�à�4i�@Ê�4Ú �0n o�p�ylà�y��ÑJ~T� c�{�| ydù[�'�#�SÊ =�Ø�à�4Ú �0n o�p�y��Ñ.~T� c�{}| ydù[�'�@ʧB+Ø\àk=�~

"'�[yAB�5ÇS+�O@A�+���*����"m@A&#�+� ��(�&�)�����(���!#)��+�g-�D�1G��!#-���"#)�"i5 3�gØ°ªÜGù¸/2���w��)�!#-���&8Ø àÄ4�ªÜ¤d\ÓiÔ+yAÑ?�h��&8Ø�à 4�ªÜ@ù

Page 44: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ ?�¬ �?��» �V��¹��Gù]�V�0ù]�G���G� ª ¹?�?½ � × �T�-��3�

Ø?ÓiÒ�ªPyAÑ?~Tù[� Ú U� Í<; =�×=�i�Vy��Ñ��@Ê U> �$9 ^ ; ` ×�ÊÄØ

Ú Ø?ÓiÒ ª y��ÑO~�ù[�@ÊÄØG�,.�+��"#)�����&������ü!'-��P&#)���-�!lXl-0/2���E"')*������@�yAB�5ÇS+��5�jk�t-G/W$��8!l�.�\1G��"#"')�_�)��*)�!')*�3"i5% @^Ø à�46ªÜ4ù¸!#-��3� Ø àü4rªÜ/��c}ydù[�3¡?ØkÜ4�}c�ydù[� /����¤Ø àÿ4�Ü/��c�{�|iydù[�358H.D¤>­���E�w/B�5*4W��/����Ï,.�+&#�+�*�]/2&#DEB�5�4WqP�J�P�+_�!�/2)*��GnEo2p�yAÑ?~T��c}ydù[�'� Ú �0n o�p�y Ñ­~���cOydù[�'�@ʧ=�yAØ�à�4i�@Ê�4

Ú �0n o�p�ylà�y��ÑJ~T� c�{�| ydù[�'�#�SÊ =�Ø�à�4Ú �0n o�p�y��Ñ.~T��c�{}|Wydù[�'�@ʧØG�

% @QØ¢à§4�ªÜ[d\ÓiÔ+yAÑ?�P/����gØ¢àÄ48Ü@ù�!#-��3�Ïتà§4�~VØ Ü+� c ydù[��/2���gØ¢àÄ4�ªÜ+� c�{}| ypù[��5OH.D>­���E�w/tB�5�4i�¢/����w,.��&#�+���õ/2&#DEB�5*4Wq��.�P-0/W$�� !#-0/2!�GnEo2p�yAÑ?~T� c ydù[�'� Ú �0n o�p�y Ñ­~�� c ydù[�'�@Êü4

Ú �0n o�p�ylà�y��ÑJ~T� c�{�| ydù[�'�#�SÊ�4Ú �0n o�p�y��Ñ.~T� c�{}| ydù[�'�@Êüy�Ø\à�4W�@Ê�4�~

/2���kyAB�5ÇS+�O@A�+���*����"W5Ö3�gØÏÜGù ¡�Ø à§4 ܤd\ÓiÔ+yAÑ?� /����[Ø�à�48Ü@ù

T�-��3�Ø?ÓWÒ#ª yAÑ?~Tù[� Ú U

� Í<; ¡:A'cB =+× �W��y��Ñ?��Ê U> �$9 ^ ; ¡'A'cCB�` ×'Ê =+Ø\à =Ú Ø?ÓWÒ ª y��ÑÊ~�ùþ�ý|öØS~��@ʧ=+Ø¢à =��

ø �w!#-��P�+!#-���& -0/����}¡+@A&#�+� Ø à§4+~�Ø°ªÜG� c ypù[��/����g>?�3�E�g/uB�5�4i�P�.�P-0/W$��P!'-0/�!�GnEo2p�yAÑ?~T��c�ypù[�#� Ú �GnEo2p�y Ñ?~T��c�{}|�ydù£�#��Ê�=�y�Ø\à�4i�Ú �GnEo2p�y��Ñ.~���c�{}|�ydùÁ�ý|�ØS~ö�'�@Ê =�Ø�à =�~

/2���kyAB�5ÇS+�J/2�R/�)��¢@A�+���*����"W5Ò��gØÏÜGù¸/2���w��)�!#-���&8Ø àÄ4�ªÜ¤d\ÓiÔ+yAÑ?�h��&8Ø�à 4�ªÜ@ù

T�-��3�Ø?ÓiÒ ª y�Ñ?~�ù£� Ú U

� Í<; ¡'A'cCB =�×=� � y��Ñ?�SÊ U> �´9 ^ ; ¡'A'cCB�` ×Ú Ø?ÓWÒ#ª y��ÑQ~Tù��ý|�ØS~ö���

H.(�!8Ø�ªÜG��c}ypù[�.-���������_�Dg>­���E�w/tB�5�4i�P)�!.@A�+�*������"Q!'-0/�!�0n o�p�yAÑ­~�� c ydù[�'�QÚV�GnEo2p�y Ñ?~T� c ypù[�#�ÊÚ��0n o2pYy��ÑJ~T� c�{�| ydùK�ý|öØS~��#�3~/2���w!#-�)�".�������3�*(�����"8!'-���1�&'����@�53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5Ç=�v'é�ê}ãWêOØwÜ0)�ë�ì?ò�ãWðUµ Í ª � c � � »@^�µ ` Ú Uµ Í ª �=º O0� ß ^Jµ ` �

Page 45: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

× F ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}� îT�-���@A����������)����w"#!V/�!#)�"'!#)��E)�"u@A(����0/2�E����!V/��Ê@A��&�!'-�)�"\�J�+&#�k/����Ä)�!#"¢���V;G��)�!#)����k)�"\�0/öX

!'(�&�/2�*��Dk"'(����+��"#!'���ü_�D�T�-�����&'��� B�5�4WS�5�jk�w��)�����"#-����I)��X~�B�5ÇBk/����§)��X~�B�5 Fk!'-0/�! )�! © "e[/2-�����)õ/2�g/2���}¡�� ��&'����$���&W¡�!'-0/�!�)�!�1��]/WD�"�!#-��u"�/�� ��/�������_�&�/�)��P&#�+���8@���&td c ¡?/�"8nEo2p¢@A��&Ð c /����[�GnEo2p\@A��&�b c ¡�)��E!'-���U8)���_G��&#!�"'��&#)���" ��@m9 % �ý/2���wT % ��5>­��!�5[Ü[d c ¡��J�P���V;G���

d\n o2pYyo50��zÇÚV�GnEo2p�y#Å 5 | ~������G~A5 c�{}| ~Ä� 5 c � ÉA�������&?��7�/2�E1�����¡V)x@�5EÚýÅxà8=�~VB�~3à�4�~3à8K�~3à^F2ÉZ¡'!#-��3��d\nEo2p�y750��Ú«�0n o2pYy'Ŷà8=�~�B�~�à�4�~3à8K�~'F�ÉA�}Ú=PÛW=�Ê BPÚüq���`8�+!#��!'-0/�!8d\n o�p�y#y�Ñ?~Tû[���P�QÚV�GnEo2p�y#y�Ñ?~�û£�#��5T�-��P���37R! &#��"'(���!.@A����������"Q)��E� ����)]/�!'����DP@A&'��� T�-��3��&#�3��B�5*4WS�53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5Ç=�4$é�ê}ãWê.yAÑ?~Tû[�ÊÜÏduc�RJê�ò�ãWð

Ø?ÓWÒ:��yAÑ?~Tû[�OÚüd\n o2pYy�Ñ?~�� c�{}| ydû[�'��� îþ�n*þ�n!¤Ï¼Iq@�«Þ�vNtD� q�$�¾H��w

% �\!'-�)�"Q"#���3!#)���� �J� (�"#� !#-�� �����\_�)��0/2!#�+&#)]/��+!#������"Q���3$�������1G��� )*�<~VB�5Ç=P!#�;0���g/������"#�3�@A�+&#�\(��]/h@A�+&.� �Ç y��� �.)*�w!'��&#� "���@�!'-��P"#!V/�!#)�"'!#)���d\nEo2p�5

þ�n*þ�n7�(n8ø eÞ`$�v�$°½Ax(ßV¤±â�ø Þ�tb"}p<â�ø�½Ax'ßüd c n�>?��!H� Ú d c 5·T�-��¤!'����"'��&)���$�/�&')õ/2��!^/2�*�+��_�&V/¢T % �ý)�"�yN) �! c �<�@��¡G/����#) �Ç c )�".@A&'������Dw�������3&�/�!'���ÄyA/�"P/��¤/2������_�&V/��._�D!'-��EØwàa4¢�������E����!V/�&#D£"#D��E� ��!#&')*�@A(�����!')�����"�Ó'ß�y�Õ ? | ~������G~�Õ ?c � @A�+&8prÜôÅÇØÏàü4VÉ^/2���k!#-��� �����+�E)*/2��Õ | ÛWÛiÛ'Õ c y]"#�3��¡G��5 �05�¡0Å Ë?Æ}¡`~VBWÉA��5OU �������

· Ë y��� �QÚ ������| 5 4

y#4.à � c� � c�{}|�ß ��| 4y'4.à � ? ß� � 6 �

�a��)����i/2&J_0/2"#)�".@A�+&.)e�@�c �3����"')*"'!#" ��@m/2���?!#����"'��&�� �����+�E)]/W��"�Õ º zÇÚ �E

����| c�ß ��| Õ º Û ^ ß `ß

��-��3&#�y�wÚ·y�� | ~�������~�� � �.Ü� c�; � 5QT�-��u�i/����+��)��i/��?1�&#�i¦V�3��!#)����%F#z$)e���c � 9 % �a)�"����<;0�����_�D FOy��D0��zÇÚ UÄ Í � � � y75G��y��D?�"'�\!#-0/2!

9 % ��ÚuÝV|<FOy��Õ º ��z«�[Ü� c�; � ~ Þ �Ö�å�è.èQ\ B�5Ç=�='éOK�ó�ë��£Ü� c�; � ~FOy��Õ º �ϪÚüv�-g9��ÏÜ� �c�; � �G �c�; � ~í}ò�ãië'ã� �c�; � ï�ð�çH��c�; � ï�ë'ã�ç+ãdPÊð�ãVçgæèð<~ I´ëpÏ>ëJIÿçYæSæ� é8>­��!�K � ÚaÅxà�4�~V=�~VB�~�������~�à8×'~������0~VØ�É?@A��&�×OÜkÅÇ=�~VØ�É#5?`8�+!#��!'-0/�!� � y=K��#��y��Õ º �QÚýysà�4i�ML 9 ^ º `èá L Û ^ º ` �Õ º �

Page 46: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ ×�¬ �`�?�E¿�¹?ù��rú0���Vû?¼�� × mT�-��3&#�V@A�+&#��¡G)x@m� )�"8/���D\����"'��!8)��[ducE��@Q!'-��P"#(�_��+&#�+(�1

Ñ�OÚÓ|�Ó�~NK��<~R¡�!#-����UÄ Í�O ����yo50��y��Õ º ��ªÚÿv

)x@m/2���w������D\)x@ � |iyN�0�SÊ � �'y��G�ÇÉÿv��U ���������.�P����������(�����!'-0/�!�)x@PFOy��Õ º ��ªÚÿv¢!#-����0�ÏÜ� �c�; � �G��c�; � 5����&Q!'-������+�R$+��&#"'��¡�����!£ùI_0� !#-���"'(�_���&'��(�1 ��@}/�����!'-��4�+ãið�ãië'ï�î*æ�IiãVç¢æ]ç�ãWð�ê�æ]êN±!�YãWë��¢å�êAï+êAæ]ó+ð�éä\ÚÍyAÓ+~�bu�.ܤd c ¡�y])l5 ��5.� ä}y�×A����Úü×�@A��&�/����}×OÜkÅÇØ�ÉA��5�jk�t-G/W$��8!'-0/�!8d c ÚÿÐ c�Q ùk¡�-����������$+��&#Dr5[Ü[d c -0/2"8/�(���)��R(��t&'��1�&'��"#����!V/�!#)��+�#5EÚÿÑEÛ=äw��)�!#-wÑ[Ü[Ð c /����@ä Ü+ùk5����&�/���D[�ÏÜ� �c�; � �G��c�; � /2��� @A��&�/���D<ä ÜGù��.�t-G/W$��:�S��ydäG��y��Õ º �OÚÁ�Õ º -������3�UÄ ÍD <; ����yo50��y��Õ º �QÚK� ù1� �S�ty�Ñ?��y��Õ º ��~@A�+&^/2��DgÑwܤÐGc�¡�/����w!#-��t!'-���"')*"h@A����������"i5,.���i/2&#��D�� �c�; � �R���c�; � )�"g/k�3���E1��*�3!#�w"#D�"#!'��� �2@�&#��1�&'��"#�3�R!V/�!')*$+��"£@A��&\!'-��¤�+&#_�)�!'"E��@�/2�*��ÏÜ� �c�; � �G��c�; � ¡�(�������& !#-��¢/���!')*�+�E�2@m!'-��P"#D��E� ��!#&')�����&#�+(�1}5OU ���������.��-0/W$+�ÿ

çYæ��(æ���������æ� B�5Ç=�B'é�ì?ò�ãué�ãiêS FOy��Õ º �!z´�ÏÜ�� �c�; � �T� �c�; �@Uæ�éPï�ò�ój�¢ó_�+ãið�ã�ó+å+éªìVï�é�æ�éGÚ�ó�ë 9 % ��ë3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5Ç=�F@é�ì?ò�ã¶*�æ�î�ìVãië�ê�é�ãWë�æ]ã3é*Ú3ó�ë�9 % � æ�é·���y��� �QÚ Uº Í��WV X� �8Y �[Z � � �   º

9  | ÛiÛWÛ �   º �  � �þ�n*þ�n*Æ@n8¤�¼GqP)ýx��Ná@tGx(òPvNÞ��u� �! y � |i~ � ?���ntjk�u���V;0���\/��£)*��$+����(�!#)��+� � z�duc[� duc

_�Dy�Ñ?~Tû[�ê� � y�Ñ {}| ~�D�yAÑOydû£�#�#�3~y�B�5�4iv+�

��-��3&#�.Dw)�".!#-���1�&#�i¦V�3��!#)����w���<;0�����[)��ryAB�5ÇB+�����&.��7�/�� 1�����¡ � yèFR=�4WB�~�|R4+~�B�~ö�?ÚÍyAB�=2F04+~�D�y�|R4+~#F�~ö�GÚýy�B�=2F04�~�|ö=�~�B�~ö���

jk�P/�&#�P�����ÿ&#�W/���D !#�\"#!V/�!'��/���� 1�&#��$+�P!#-��P@�����������)*���ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5Ç=+K(é�ê�ãiê�Ø[Ü0�Hë�ì?ò�ãWð�!� y � | ~ � ? �OÚ UÄ Í �! � � OO� ß ^àÄ `| � � O0� ß ^ L ^ÅÄ `7`? �ÿçYæSæ� é�H.D[,.��&'�����]/�&#D\B�5Ç=2Fª/2���E!'-������+!#�P_0�3�*���ÿT�-����+&#���:B�5Ç=u�J�P-0/W$+�P!#-0/2!·S��y � | ~ � ? � Ú Uº Í��WV X� =:Y �WZ � = �   º

9  | �   º =  ?Ú U^ ; \:; ]>` Í<^_V � = �   \  | �   ]  ? Ê U^ ; \:; ]>` Í<^_Z � = �   \  | �   ]  ? �y�B�5�4�4W�

T�-�� ;0&'"#! 10/�&'!�)*�ryAB�5*4+4i�Ê�i/��w_G��&#�3��&#)�!#!'���¤/�"U^ ; \:; ]>` Í<^`V � = �   \  | �   ]  ? Ú U $Í 8 U� Û ; Â Û � Ú ß¨�=�| � Ú ß Â �?

Page 47: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

× � ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}���-��3&#�[!'-��[�]/�"'!\"#(�� &#(���"E!#-�&#��(���-ü/2�*�uD��#~�Ã�� Ü �r¡8×�Ü�ÅÇØ�É#¡Q"'(��V-�!#-0/2!eD��r�a�W��y�Ñ?��¡Ã � ��� � yAÑ {�| � /����kypùkydcG�#� Ú¯ùky�{}�3¡���)�!#-@c � Ú�D � ÊüÛWÛWÛ�Ê#D c /����<{ � ÚÓà � ÊÿÛWÛiÛ�Ê�à c 5` �����.�\"#1��*)�!P!#-��E1�&'��$�)*�+(�"¢"#(��â/��3����&'��)����[!#�£!#-��\10/2&#)�!lDr"#��!¢��@Qc}5w` ��!'�\!#-0/2!4D � )*"��$+���w)x@m/����E�����*D\)x@Q×OÜ@ùkydcG��¡G/���� "#)��E)��]/�&'�*D@A��&£{Q5OU8���������.�t�+_�!�/2)�� W ^`V � =@�   \  | �   ]  ? Ú

U $Í 8 U; � Ø c&Ù¡£ �� Í<; � ?'�Jb Û ^ `| �

� Í?> ^ ; ` � � | �� Í<;dc � ?'�Jb Û ^ �$9 `? �� Í?> ^ ; c ` � �? Ue Û ; f Û Í�g � ? Ú ß e �| � ? Ú ß f �? ¤¦

Ú?�����| c�ß ��| 4

y#4.à � ? ß� � U $Í 8 U; ��Ø c�Ù¡£ �� Íh; � ?'�ib Û ^ `| �

� Í?> ^ ; ` � � | �� Í<; c � ?#�Jb Û ^ �´9 `? �� Í?> ^ ;�c ` � �?

¤¦y�B�5�4i=+�

��-��3&#�.D � Úÿ=�F � ÊÄ=j� � yAÑ?�Ê@A�+&8×OÜ+ùk¡>D � Úÿ=�F � Ê�4 @���&8×OÜ + c ydù£��¡(à � Úÿ=<k � Ê =j� � yAÑ {�| �@A�+&^×mÜgz /����6à � Úÿ=<k � Ê�4 @A��&�×OÜ + c y]z �35� �0/������+��(�"'��DE�.�\�i/��r��$�/���(0/2!#�¢!#-��\"'�����+���k10/�&'!P��@ty�B�5�4�4W��¡?"'(�_�"#!')�!#(�!')*���gz ��)�!#- z ¡�+_�!�/2)*��)*��� W ^ ; \:; ]>` Í<^_Z X� =@�   \  | �   ]  ? Ú

?�����| c�ß ��| 4

y'4�à � ? ß� � U $Í 8 U; � Ø c&Ù¡£ �� Í<; � ?'�Jb Û ^ `| �

� Í@> ^ ; ` � � | �� Í ;�c � ?'�Jb Û ^ �$9 `? �� Í@> ^ ;�c ` � �?

¤¦ �y�B�5�4iB+�

U ��������_�DryAB�5�4+4i��¡GyAB�5�4i=��./���� y�B�5�4iB+�Q�.�P-0/W$��P!'-0/�!

·S��y � | ~ � ? � ?�����| c�ß ��| y#4.à � ? ß� �ÊÚ U U; ��Ø c�Ù �� Í<; � ?'�Jb Û ^ `| �� Í?> ^ ; ` � � | Û¡£ �� Í<;�c � ?'�Jb Û ^

�$9 `? �� Í@> ^ ;�c ` � �? Ê �

� Í ;�c � ?'�Jb Û ^ �$9 `? �� Í?> ^ ;�c ` � �?

¤¦Ú U Uþ � Ø c�{}|pÙ U;ýÍ A þ ; þ Y A'cCB'B �� Í<; � ?'�Jb Û ^ `| �

� Í?> ^ ; ` � � | Û¡£ �� Í<; c � ?'�Jb Û ^ �$9 `? �� Í?> ^ ;dc ` � �? Ê �

� Í<;�c�l AlcB � ?'�Jb Û ^ �$9 `? �� Í@> ^ ;dc<l A'cBA` � �? ¤¦

Ú U Uþ � Ø c�{}|pÙ y'4uÊ � c | ��y'4uÊ � c? � �� Í þ Y A'cCB � ?#�Jb Û ^ `| �

� Í?> ^ þ Y A#cB�` � � | Û�� Í þ c Y A#cB � ?'�Jb Û ^

�$9 `? �� Í?> ^ þ c Y A#cB�` � �?

Page 48: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ ×�¬ �`�?�E¿�¹?ù��rú0���Vû?¼�� × ���-��3&#�r�J�r-0/W$��£(�"#���ÿ!#-��[@Z/2��!E!'-0/�!G�ic�yAÑ?�rÚ v @A��&w/����tÑ Ü ÐGc}¡8/2���ü>­���E�w/¤B�5 S�5� 1�1���D�)*���ª,.�+&#�����]/�&'DªB�5Ç=�4P/����[>?�3�E�g/PB�5*4WvP)�!.@A����������"Q!'-0/�!�!� y � | ~ � ? � Ú U Uþ ��Ø c�{}|pÙ � c � � ï ^ ; þ `| � c � � ï ^ �$9 ; ^ þ c ¡'A#cB�`7`?

Ú U Uþ ��Ø c�{}|pÙ � � OO� ß ^ ; m �$9 ^ þ `7`| � � OO� ß ^ �´9 ; m �$9 ^ þ c ¡:A'cB_`o`?Ú U Uþ ��Ø c�{}|pÙ � � OO� ß ^ ; m �$9 ^ þ `7`| � � OO� ß ^ �´9 ; � m �$9 ^ þ `7`?Ú UÄ Í � � � OO� ß ^ÅÄ `| � � O0� ß ^ L ^ÅÄ `7`? ~

/2"�����"#)�&'���}5jk� �������+!#��_�D)nÊ!#-��P)���$���&'"#)����w)��gducw"#�\!#-G/�!�nVy75G��zÇÚ�5 {}| 5OT�-��t����7�!��*�3�E�g/ "V/WDR"

!'-0/�!�)�!.)*"�1G��"'"#)�_����P!#�k³'"#(�_�"'!#)�!#(�!#��´ � ��)*!'-�nO)��gT�-�����&'����B�5Ç=�K�5Ö�å�è.èQ\ B�5Ç=�M'é � ï�ð�ç�nPï�ë'ãe³Vó�ð�ó�å>�+ï�ê�ã\æ]ðEÐ.yAduc?��ëÿçYæSæ� é % !Ê)*"O�.���������������¢!#-0/2!�!l�.�P�������E�3�R!'"O��@}/8"'D��E�E�3!#&#)��Q�+&#�+(�1ª/2&#�����+�i¦V(���/�!'�

)x@m/2���w������D\)x@Q!#-��3Dg-G/W$��8!'-���"V/��E�P��D������P!lD�10�+5^CY)*������_G��!#- � /�����nQ/2&#��)���$��+�*(�!#)�����".)�!)�"P�����+(���-r!#� "#-����Í!#-0/2!t!'-���Dr-0/W$��¢!#-���"V/��E�u�R(��\_0��& ��@.;07����r10�+)*��!'"i5�����&P!'-�)�"t)�! )*""'($"E��)�����!�!#�\"'-����ü!'-0/�!W¡�)x@��.�t"'��!i¡�@A�+&^Ñ£Ü[Ð c ¡

× Ú,oooqp û�Ü[= Ø c�{}|pÙ z�y�Ñ?~�û£� {}| ÚÍyAÑ­~�û[�Xr�ooo/2���o Ú,oooip û:ܤ= Ø c�{}|pÙ z � yAÑ?~Tû[�OÚýy�Ñ?~Tû[� r$ooo ~!'-����¤× Úao ¡Y@A��&P/����}ÑrܤРc � % !8)�"������i/2&8!#-G/�!t× Úao Úav¢)x@ÊÑr)�"����+!t/2�g)���$��+��(�!#)����)��gÐ c 5Qø8�w!'-�����!'-���&�-0/2���w)x@mÑ£)*"�/��w)���$��+�*(�!#)����\��)�!#- "#�+�E��;G7R�3�g1G��)���!�!#-����w�J�P-0/W$+�

× Úÿo Ú�=<s 9 ^ `]á s = ^ `�{}| ��-�)�����)¶@�ÑÏ-0/�".���P;07���� 10�+)��R!Ê!#-����wo Úÿ× Úÿ=<s = ^ ` ¡���-���&#�Ö � yAÑ?�.)�"�!'-��P�R(��\_0��&.��@Q��D�������" ��@O�*�3����!'-Ï×m��@mÑO53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5Ç=�q'é�ì?ò�ãWë#ã\ã���æõé<êèé�ïeÚ3åRð�³iê�æ]ó�ð0a z0d c � �@R8ãVäWå�æ]ç�æ�é�ê�ë�æ]ìWå�êAãVç6íQæ]ê�òî�ãiðj�+ê�ò3RQé�å$³�ò£ê*ò�ï�ê �!� y � | ~ � ? �QÚ UÄ Í � �?t ^àÄ `| �?t ^ÅÄ �$9 `? �ÿ

çYæSæ� é�H.DE>?�3�E�g/�B�5Ç=�M �J� �������Ä!#-0/2!Q!#-��3&#�8�37R)�"'!#"�u�ܤÐJy�d c �O"'(��V-E!#-G/�! � ukÚu.nV5ÊT�-����[!'-�� @A(����3!#)����0a zÇÚüd\n o�p4õ�u &#�i/2�*)�¥��3"8!#-���/�_G��$��h@A��&'�\(��]/ @A��&.�!� y � | ~ � ? ��5% ! @A�+�*������" )*� �E����)õ/2!#����D¢@A&'��������7�!�LO&'��1G��"#)�!')*�+� B�5ÇB�K !#-0/2!P!#-�)�"ya )*"u����(�)���)�"#!#&')�_�(�!#�3���)�!#- ��������!'-w���[d c 5

þ�n*þ�n*þ@n8¤�¼Gq�)ýx��Ná@tGx(òPvNÞ��(�!� y��� ��n % ��!'-�)�"}"#�3��!#)����\�.�.1�&#��$�)�����/�����7�1���)���)�!O"#)��E1��*�@A�+&#�\(��]/h@A�+&�!#-��P1G����D������ )õ/2�(� �! y��� �.)��w!#��&'�E"���@Qd\nEo2p�5jk� �������+!#��_�D � z�d�� {}|c � d�cw!#-��t�w/�1y'yAÑ­|i~�û |���~������G~iy�Ñ � {}|�~�û � {}|��'�ê�� Z yAÑ � {}|}ÛWÛiÛlÑ­|�� {�| ~ND�y]Ñ � {}|}ÛWÛWÛZÑ­|�û |�üÍÛiÛWÛ�üwÑ � {�|�û � {�|�� [ �����&.��7�/�� 1�����¡� y#yèFR=�B�4�~�|R4+~�B�~ö��~WyA=�4�F�B�~�|iB�~ö�#� Ú yA=�FG4iB�~�D�yAB�43FR=�y�|R4+~�B�~ö�úüg=�4VFRB�y�|öB:~��#�

Ú yA=�FG4iB�~�D�y�|öB�~ö�'�}ÚÍyA=�FG4iB�~�|�B$~ö���

Page 49: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü X ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�` ��!#�P!'-0/�!�!'-�)�"�)*"��3����"')*"'!#����! ��)*!'-E!'-������V;G��)�!#)���� ��@ � ��)�$��3�g)��ryAB�5�4Wv���5ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5Ç=+�(é�ê�ãiê�Ø[Ü0�Hë�ì?ò�ãWð

�!� y��� �QÚ UÄ 9�;�������; Ä � Í �! ������| � � OO� ß ^ÅÄ Û `� ~

í}ò�ãië'ã�ê�ò�ãué<å$�Ië�å�ð�é�ê*ò�ë#ó+åÄ�Wò[ï2î]î�5 | ~�������~<5 � ܤd c é�å$³�òrê�ò�ï+ê�5 � Ú � yo5 | ~������0~<5 � {�| ��ëÿçYæSæ� é�T�-��\1�&#����@.)*"P"')*� )��õ/2&J!'�w!#-0/2!t�2@JT�-����+&#���¸B�5Ç=�K�¡?/����r-������3�\�J�¢��)��*������!

�+��!'-�&#�+(���-[/����?!'-��P����!�/2)��*"W5OHJDw,.��&'�����]/�&#DEB�5Ç=�F��.��-0/W$+�8!#-G/�!

·S��y��� �QÚ U^ º 9 ;�������; º � ` Í��WV � � Y �[Z � �������| �   º Û  � �y�B�5�4�F��

>­��! © "8�3����"')*����&�!#-���"#(���)�� y�B�5�4�F���&'��"#!'&#)���!#�3�k!#�)� �c�; � 5 HJD£!#-��¢����!'�P;0&'"#!PT�-����+&#���¸B�5 F�.�P-0/W$��P!#-G/�!

U^ º 9 ;������ º � ` Íj�[V � �������| �   º Û  � Ú U^ 9 ;������A; � ; \wv 9 x ;�������; \wv �Jx ` Í<^_V � �

������| �   \ Û  � Ú U � &�&�& 9�� � U� v Û x� ��

����| � Ú , � v Û xë� ~

y�B�5�4iK+�

��-��3&#��!#-����õ/2"#!O"#(��ý)�"O��$���&Q/����>D ^ �M`ß ÜÅ�r¡2@A��&Q×mÜ ÅÇØ�É0/����up�ÜkÅ �lÉ#¡i"'(��V-\!#-0/2!�D ^ �M`ß �y�Vß�yAÑ � �/2���kydùkypc ^ |A` �3~������G~Tùkydc ^ � {�|]` �#� ^ 9�;�������; ���$9A` ÚVù ydc ^ � ` ��¡ ��)�!#-<c ^ �M`ß Ú�D ^ �7`ß ÊÿÛiÛWÛ�Ê0D ^ �7`c 5Qjk�1�&'���������Ä)�� /w"#)�� )*�]/2&8��/WDw@A��&u!#-�� "#(��â)���y�B�5�4�F��8��$+��&����c�; � 5 % @8�.�E"'1���)�!�!#-��3"#�w"#(�� "/2������&'��)����\!#� !#-��u10/�&')*!lD "#��!'"P��@Q!#-��kc ^ �7` © ".@A�+&8×QÜÄÅ ��à�4VÉ}�.���+_�!�/2)*��¡�_�Dg>­���E�w/�B�5�4�FG¡!'-0/�!

· � y��� � c�����| ��ß ��| y#4.à � ?'�ß �QÚ U 9A;�������; � U; 9 ;������<; ; � �{�|�ß ��| �l Í<; � � ? l b'z ^ �_`ß �l Í?> ^ ; � ` � lß Ûy�B�5�4iM+�

¡£ �l Í<; � � ? l b'z ^ �N`� �l Í?> ^ ; � ` � l� Ê �l Í<; � l A'cCB � ? l b:z ^ ��`� �l Í?> ^ ; � l A'cCBA` � l� ¤¦ ~��-��3&#�P!#-��P"'(��E".&#(��w!'-�&#�+(���-w/�����Ñ | ~�������~�Ñ � Ü[Ð c "'(��V-[!#-0/2!^Ñ � ÚÍyAÑ � {�| ÛiÛWÛlÑ | � {}| /����/2�*��ù |i~�������~Tù � ÕôÅÇØ�É?"#(��V-w!#-G/�!Où � Úaypù |ö~�������~Tù � {}|#� ^ 9 ;�������; �­�´9 ` 5�`8����(�"#)����¢!#-��h@Z/���!!'-0/�!��Wc}yAÑ?�ÊÚüv@A��&8/2����Ñ£Ü[ÐGc}¡0/2���g>­���E�w/�B�5�4�Fu�J�P��_�!�/�)�� !#-0/2!·S��y��� � c�����| ��ß ��| y#4.à � ?'�ß �QÚ U 9�;�������; � Uþ 9 ;�������; þ � ������| y'4uÊ � c� � �, Í þ Û Y AVcB � ? , bTë ^ Û `, �, Í?> ^ þ Û Y AVcBA` � �,��-��3&#��!'-��P"#�����+���["'(�� &'(���" ��$���&8/2�*��û |�~������G~Tû � ÕaŠتà 4<É}"#(��V-[!'-0/�!û � Úýypû |ö~������G~�û � {�|�� ^ 9 ;�������; �­�$9 ` /2���\-���������¡�_�D\,.��&'�����]/�&#D¢B�5Ç=�4+¡�>?��� �g/ B�5�4iKP/����E!#-��

Page 50: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ ×�¬ �`�?�E¿�¹?ù��rú0���Vû?¼�� ü |���<;0��)�!#)���� ��@ � �.�t�3��������(�����!#-0/2!�!� y��� � Ú U 9 ;�������; � Uþ 9<;������A; þ � �, Í þ Û Y A'cCB � ? , b ë ^ Û `, �, Í@> ^ þ Û Y A'cCB�` � �,

Ú U 9 ;�������; � Uþ 9 ;������A; þ �������| � c � �Tï ^ Û ; þ Û ¡:A'cB_`�

Ú U Û U þ Û� {}|�����| � � O0� ß ^ Û ; m �$9 ^ þ Û `� � � OO� ß ^ � ; m �$9 y ^ þ 9 ;�������; þ �­�´9 ` v c 9 ��{�{�{ � c ���$9 x ¡'A#cB ��

Ú U Û U þ Û� {}|�����| � � O0� ß ^ Û ; m �$9 þ Û `� � � OO� ß ^ � ; � ^ �­�$9M&�&�& 9 m �$9 þ 9 l &�&�& l£ 9 m �$9 þ �­�´9 `7`�

Ú UÄ 9�;�������; Ä �­�$9 Í �! � {�|�����| � � OO� ß ^àÄ Û `� � � OO� ß ^ L ^àÄ 9 ;�������; Ä ���$9 `7`� �

þ�n*þ�n¶Ë�n8¤�¼GqP¿>Þ�$�qkØ1x�"H"ºn % @ÊØr)�" �R���[!#-��u@A�+&#�\(��]/�/21�10�W/�&#)���� )��[T�-����+&#���6B�5 =+��i/2�[_G��"#��)���-�!#��D\)��E1�&#��$��3�}5 % �[1G/�&#!')���(��]/�& �J�P���V;G�����+����� ��&#�P"'!�/�!')�"#!#)���¡?d\n o�p���¡�!'-0/�!/2�*������".(�"8!'�E�+_�!�/2)*�[/u@A�+&#�\(��]/@A��&.� �! y��� ��"')*� )��õ/2&Q!#�\!'-��¢����&'&#��"'10�+����)����E�+����" @A�+&8ÐGc/2���[b c /21�10�W/�&#)����\)��wT�-����+&#���6B�5 FE/����wT�-����+&#���6B�5ÇK�5J,.�+��"#)����3&8!#-���"#��!�Ð c �[= Ø c�{}|pÙ��)�!#- !#-��u_�)��0/�&'D\��1G��&�/2!#)����

y�Ñ?~�ù£�}|8y�ô�~Tû[��zÇÚ Z Ñ@ô�~�D�ydû@ü6ô {�| ypù[�#� [ �ÿçYæ��(æ���������æ� B�5Ç=�S'é�ê}ãWêOØ Þ 4jë�ì?ò�ãWð)~ c Ú ZlÐ c �g= Ø c�{�|pÙ ~X| [ æ�é�ï���ë'ó�å��YëÿçYæSæ� é�T�-��8��1G��&V/�!#)��+��)�"Q�����i/2&#��D¢�J�����xXl���V;0���3�}¡�!'-���)�������!#)�!lD¢�������E�3�R!O)�"8y�Ó�~����O/����

)���$���&'"#)����¢)�"Q��)�$+���\_�Dgy�Ñ?~�ù£� {}| Ú yAÑ {}| ~ND0ÑOydù£�#��5Ojk�.�V-����V�\!#-��t/�"'"#����)]/�!')�$R)�!lD�1�&#��1G��&'!lDy�Ñ?~Tù[��|8y'y�ô�~Tû[�`|8y7�?~�bQ�#� Ú y�Ñ?~Tù[��|:Z�ôW�?~ND}yNbbü�� {}| ypû[�#� [

Ú ZlÑ@ôW�?~ND}y�D}yNbbü�� {}| ypû[�#�úü�� {}| ô {�| ydù[�'� [Ú ZlÑ@ôW�?~ND}yNbbü�� {}| ypû[�¨ü�� {�| ô {}| ydù[�'� [

/2���yVy�Ñ?~�ù£��|8yNô�~�û[�'�`|8y7�?~_bÊ� Ú Z Ñ@ô�~ND}ydû)ü[ô {}| ydù[�'� [ |8y0�?~�bQ�

Ú Z Ñ@ôW�?~ND}yNbbü�� {}| D�ydû@ü6ô {�| ypù[�#�'� [Ú Z Ñ@ôW�?~ND}yNbbü�� {}| ypû[�¨ü�� {�| ô {}| ydù£�#� [ ~

��-��3&#�¢�J�¢-0/W$��P(�"'���k!#-�����)�"#!'&#)�_�(�!')*$�)�!lDE�2@d� {�| ��)*!'-w&#��"'10���3!�!'�E!#-���"'DR� �E��!'&#)��8��)¶µ?�VX&'��������/2���w!#-��@Z/���!.!#-G/�!uD}y�D}ypù[�¨ü<û[�QÚ�D}ypù@ü<û[�Ê@A�+&8/���� ù£~�û ÕaÅ Ø�É#5ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5ÇB+v(é�~ c æ�éPæ�é�ój�¢ó�ëN��ò�æ7³¢êAó¢d c æ ÚPï�ð�çwó�ðY\æ Ú�ØÄæ�éPóiç+çjëÿ

çYæSæ� é % ! © "Q����!Ê��)�"E��(���!O!#��"'���8!'-0/�!W¡�)x@}ØE)�"Q������¡�!'-��8�w/�1!� z�d c ��~ c ���<;0�����_�D 5 �� y�� 5I�x~ND}y�k£Ó�B?y750�'�#�y�B�5�4iq+�)�"�/��r)�"#��� ��&'1�-�)�"#�r¡���-���&#�P� 5I�Sz ÚIy�� 5�| �x~������#~>� 5�cI� �35�`8���Í"#(�1�10�+"#�E!'-0/�!�Ø )*"P��$+��� /��������!@�Æz�d�cK� ~¢c�_G�k/k��&'��(�1ÿ-��+�E��� ��&#1�-�)*"'�[5ý>?�3! y�Ñ��'~�û¢�l�¤Ú �.y�Ô��#�3¡.@A��&[×wÚv�~�������~�ØÏàô4+¡O_0�w!#-��E)��g/2����"P��@8!'-��g,.��7���!'��&\���3����&�/2!#�+&#"\��@tduc}5£T�-���� !'-��g,.��7���!'��&&'���]/�!#)��+��"O@A�+&mduc¢@A�+&#��� !#-���1G��&#�\(�!�/�!')�����"QÑ X ~�������~VÑ�c�{}|Q!'��-0/W$��.!#-��8"�/2�E�."#)����E/2���\!#-��

Page 51: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü ? ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�"'��!#"Qû X ~�������~�û¢c�{}|.!#��-0/W$+�8/����G!#-�� "�/�� ��10/�&')�!lDR5?T�-���"#�P���+����)�!#)�����"Q)��E1���DP!#-0/2!J!'-��8"'��!|�yAÑ � ~�û � �!zR×?Úÿv�~������G~�تà 4 ~t�W/������+!���������&�/2!#�!~ c 5

>­��!8ØwÜ#� _0�P�����}5OT�-��3�[�J�P����!d\nEo2p � zÇÚ�d\nEo2p4õ��P~

��-��3&#�E�.�E)����3�R!')x@AD9~¢ck��)�!#- duck!#-�&'��(��+-k!#-�� 10/�)�&�����!�/2!#)����k/������·)�"����V;0�����§/2"�)��y�B�5�4iq+��5����&.��7�/�� 1����td\nEo2p���y#ÅÇB�~3à�4�~VK�~V=�~Và�F2Éè�?Úÿd\nEo2p�yAB�4iK�=2F0~�|R4+~�B�~#F�~ö�?Ú�=PÛWK�ʧBPÚÍ4iB��3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5ÇB�4$é�ê}ãWêOØwÜ0�#ërì?ò�ãWð�!�*= �� 9öy��� �QÚ UÄ 9�;�������; Ä �

������| � � OO� ß Z ^àÄ Û `� �

í}ò�ãië'ã�ê�ò�ãué<å$�Iæ�é�ójîWãiëPï2î]î(5�|ö~������G~A5 � Ü[dy?'cRá�|ué<å$³Vòrê*ò�ï�êS5 � ÛiÛWÛN5�|�Ú�ÓjëÿçYæSæ� é % !�)�"8/2�g)�� �\����)]/�!'��������"'����(������3���2@�!#-���1�&#���2@���@QT�-��3��&#�3��B�5 B+v�!'-0/�!� y0�Pyo5�|���~������G~:�Pyo5´?W�#�QÚ��Pyo5 � ÛWÛWÛ�5�|<� {}|

/2���w!#-��P!#-���"#)�"�@�����������"O@A&#�+� T�-����+&#���6B�5Ç=���5T�-��3��&#�3��B�5 B+v�)�� 1���)*�3"�!'-0/�!W¡�)x@mØ£)�"J�3$����}¡G!'-���&#�u)*".���)��Ü[ÐJy�d c �."#(���-w!'-0/�!� y0�Pyo5 | ��~������G~:�Pyo5 ? �'�JÚ��Py75 � ÛWÛWÛ�5 | � {}| !'-0/�!��.��(��*�w)��E1��*Du!#-����3��&#&'��"#1G������)����E&'��"#(���! ��@,.�+&#�����]/�&'D[B�5ÇB�4+5P`8��$+��&#!'-�������"#"W¡Q�.���������Í!#-0/2!P!#-�)�"P&#��"'(���!�-��+�*��"8@���&ý�tÚ·=¤y�,.��&'�����]/�&#D

B�5 =+q���_�(�!.�.�8-0/W$+��� © !Q_G�����[/�_�����!'�����<;0����/P��)���� "#!�/2!#)�"#!')���¡�d\nEo2p � ¡+!#-0/2!J�.��&'��"J)��\!#-�)*"�i/2"#��¡���&�!'�\(�������&'"#!V/����[)x@O)*!.��7�)�"#!'"�@A�+&!� Þ =�5Ojk�8!'-���&'�V@A��&'��1�&#��1G��"'�P!#-��P@�����������)*���ÿ

çYæ�^�_:å�è =(é >?��!wØ ÜÁ� _0�r��$+���}5 % "w!#-���&#�k/r"#!V/�!#)�"'!#)�� d\n o2p � z8d�cÓ� �r¡���3����"#"V/�&')*��Dw����(�)���)�"#!'&#)�_�(�!'���w��)�!#-w��������!'-w���gduc}¡�"#(��V-w!#-0/2!

�!� y��� �OÚ UÄ 9 ;�������; Ä �������| � � OO� ß V ^ÅÄ Û `�

��)�!#-r5 � ÛWÛiÛ�5�|JÚüÓ±Nþ@nxË�n8ø�àGàH�Nv ¿ Þ�w�vNx't]$ýw�x%�Óq$á���»(ß>x'¾Gàb$�x�½�w�á@àuq[b

% �[!'-�)�"P"#����!')����k�.��"'-����ý-����Í!#-��¢)����i/2"t����$������+10���r@���&P!#-��¢jk��D��O��&'��(�1�"P�2@^!lD�1G�d��i/2�¤_G�\(�"#�3� !#�w�+)*$+�ª/ ���3��/����k"#)��E1�����& 1�&#���2@^�2@^!'-��\������"'���[@���&#�\(��õ/u@���&e� ª y��� �/21�10�W/�&#)���� )��[T�-����+&#���¸B�5ÇK\��-�)��V-r�^/2"8��)�"#�3��$���&'���k_�Dg� ��)��¤/���� fh��)��V-��g/2�¤ÅÇþ+ÉQ(�"#)������)xµ?��&#�3�R! �E��!'-�����"i5

þ�n¶ËSn7�(n8ø �Þ�$�v¸$r½Ax'ß+¤:â�ø¶Þ�tb"�p<â�ø{½Ax'ߤb c n�>?��! � ÚIb c 5 T�-��E!'����"'��&¢)*�YX$�/2&#)]/���!�/������3_�&�/ T % � )�"������i/2&#��Dr����(0/��Q!'� y�) ª c �<�@��5 % !�)�"��.�����Q���������}¡.y]"#�3��¡Q��5 �G5*¡�Å Ë?Æ0¡~�BöÉA��¡G!#-0/2!4) ª c )*"h@A&#�3����D[��������&�/2!#���ÄyA/2"/2�¤/����+��_�&�/+��_�Dw!#-��\Ør������� ����!�/�&'Dw"#D��E� ��!#&')*�@A(�����!#)��+��"�)��E!#-���"#��(0/2&#��" ��@�!'-��P)�������!'��&#� )*�G/�!#�3"i¡0Õ ? | ~������G~�Õ ?c ¡

Ó#ß�yAÕ ? | ~�������~VÕ ?c ��zÇÚ U|'�G� 9N� ����� � � � �0c Õ ?�N9 ÛiÛWÛ#Õ ?���

@A�+&Qp¢Ü ÅÇØ�És5�U8�3�����

· Ë y��� �OÚ ������| c�ß ��| 4

y'4.à � ? ß� � �

Page 52: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ ü ¬ ¹@®$®R¼+ù]��¹��Gùõ�G�}� �?�[»u�´Ø?¼w¾?ú0�Gû@®����`� �(Ø@®�� ª ü ×����&�/������Õ º ÜÅ)��@�c ����! FOy��Õ º ��zÇÚ Uµ Í ª �S��y­§}��y��Õ º �_G�P!#-����3��&#&'��"#1G������)����E)���$�/�&')õ/2��!Q�������E�3�R!.)��[9 % �¢5 % �kÅ þRÉ}!#-���/2(�!#-���&#"�1�&#��$��P!'-0/�!FOy��Õ º �ýªÚüv�-g9��ÏÜ� �c�; � ~��-�)��V-w)��E1���)���"O!#-��@A����������)����Ö�å�è.èQ\ B�5ÇB�='é�ì?ò�ãué�ãiê S FOy��Õ º ��zj�wÜ�� �c�; �@Uæ�éPï�ò�ój�¢ó_�+ãið�ã�ó+å+éªìVï�é�æ�éGÚ�ó�ë 9 % ��ë3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5ÇB�B'é�ì?ò�ã¶*�æ�î�ìVãië�ê�é�ãWë�æ]ã3é*Ú3ó�ë�9 % � æ�é·S��y��� �OÚ Uº Í��WV � � �   º

9  | ÛWÛiÛ �   º �  � �` ��!#�Ê!#-0/2!��.�Q�V-�����"'�^/h��)xµ��3&#����!O10/�&V/�� ��!#&')*¥W/�!#)��+�t�2@0!#-��J_0/2"#)�"}�2@�9 % � ��)�!#-u&#��"'10���3!

!'�[Å þRÉ�/����w�.�t(�"#��!'-�)�"������P!#�\�3���E1�(�!#� !#-��P���3����&�/2!#)�����@A(�����!')����[·S��y��� ��5þ�n¶ËSn*Æ@n8¤�¼Gq«àux`��á@tGx'òPv�Þ����£ª y��� ��ntjk�[1�&#��$�)����[/k�����:1�&#����@���@�T�-��3��&#�3� B�5ÇK

(�"')�����!'-���"'!�/�!')�"#!#)���Ø?ÓWÒ\)���!#&#����(������[)��¤y�B�5Çq��35ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5ÇB2FYé�ê�ãiê�ØO~��.Ü#�#ë�ì?ò�ãið�£ª y��� �QÚ Uµ 9 ;�������; µ � Í ª

������| � º O0� ß ^Jµ Û `� ~

í}ò�ãië'ãJê�ò�ãÊé�å$�aæ�éJójîWãWëQï�î]î�ê*ò�ã.é�æ���ð�ã�çº��ãië���å�ê�ï�ê�æ]ó�ð §?|�~�������~¨§ � ܤb�c\é�å$³Vò\ê*ò�ï�ê�§ � ÛiÛWÛp§?|^ÚÓ:ë ÿçYæSæ� é�H.D[,.��&'�����]/�&#D\B�5ÇB+B�¡?yAB�5�4iK��./���� y�B�5�4iM+�Q)�� !#-���1�&#����@O��@QT�-����+&#���:B�5Ç=��u�.�

�i/2"#)���D\��_�!V/�)��E!'-0/�!

� ª y��� �ÊÚ U 9 ;�������; � U; 9 ;�������; ; � ������| ¡£ �l Í<; Û � ? l b'z ^ Û `� �l Í?> ^ ; Û ` � l�¤¦ ~

��-��3&#�E!'-��\"#(��E"P&#(��k!'-�&#�+(���- /2���mÑ | ~������G~�Ñ � Ü Ð c /2���4ù | ~������0~Tù � Õ ÅÇØ�ÉJ"#(���-k!'-0/�!Ñ � Ú¸y�Ñ � {�|}ÛiÛWÛlÑ?|V� {�| /����rù � Ú�ydù |�~�������~�ù � {}|#� ^ 9 ;�������; �­�$9 ` 5wHJDrT�-����+&#��� B�5�4iSw/����,.�+&#�����]/�&'DªB�5�4iB�¡��.�P����������(����P!#-0/2!

�£ª y��� � Ú U 9 ;�������; � U; 9 ;�������; ; � ������| � c � � » ^ Û ; ^ ; Û `o`�

Ú U 9 ;�������; � U; 9 ;�������; ; � ������| � º O0� ß ^ Û ; m ^ ; Û `7`�

Ú U Û U ; Û� {}|�����| � º O0� ß ^ Û ; m ^ ; Û `o`� � º OO� ß ^ �<; �­�´9N����� 98m ^ ; 9]` l &�&�& l£ �­�´98m ^ ; ���$9A`7`�

Ú Uµ �7&�&�& µ 9 � �������| � º OO� ß ^�µ Û `� ~

Page 53: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü�ü ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�"')*�����y'yAÑ � {}|i~Tù � {�|s�­ÛiÛWÛVyAÑ­|ö~Tù |#�#� {�| ÚÍy#y�Ñ � {�|}ÛiÛWÛlÑ?|V� {}| ~VÑ � {�|�ÛWÛWÛ#Ñ?|Wydù |��úüýÛWÛiÛúügÑ � {�|<ypù � {}|V�#���

þ�n*Ì�n[��x'ò+�GvNtIÞ�w�x'ß>v�Þt�I)�ß>x'àuq$ß>w�vNq�$ýx�½�d\nEo2p% ��!'-�)�"w"#����!')����ÿ�J�r"#-����:!'-0/�![d\n o�p )�"[/ e£/�-��+��)]/���"'!�/�!')�"#!#)���5 eÏ��&#�3��$���&w�.�

)���!#&'�R��(����¢!l�J�\���3�6³#����"#���3�R!P��(��\_G��&#"'´E�+�Ïduc}¡?d\Ò�ÓiÔ\/2���#�GnEo2p � "'�E!#-G/�!P!#-��u10/�)�&#"y�d\ÒRÓWÔ+~�d\n o�p��¢/����Äy��GÒ�ÓiÔ � ~_�GnEo2p � � ��)�$+��!l�.�w��)xµ���&'����!��+������&V/���)�¥i/�!')�����"P��@8,�/�&'��)*!'¥ © ")�������!')*!lD !#�wd�c}5 `8�+!#�¢!#-0/2!8!'-��.Ô.ï���2#ç�ã3é�³VãWð�êPð�å$��ìVãWë.�GÒRÓWÔ � )�"8!'-��ªNm(�����&#)]/��£"#!�/2!#)�"#!')��1�&'�VX#/������+(������3�[)��@~�=�5 B�5

j�)�!'-\!#-��P���+!�/�!')����E�2@u~�=�5Ç=�¡+)*!.)�"J����!�-0/2&#�E!'��"'����!'-0/�!Ê@A��&.�i/2��-[د��=�!'-���&#�P)�"�!#-��@A�+���*����)����P���3����� 10�+"#)�!#)���� ��@Qb ác ¡

b ác Ú�� s �7�,Z<|Äô sc�{}| É�~]ÀK|>ô sc�{�| ô c�{�|c�{@? É�~ [ ~��-��3&#��Ö.Úüv�~������0~VØ¢à�4t/2���¦É\ÜÏb ác�{}| 5ÿ

çYæ��(æ���������æ� B�5ÇB�K'é�ê}ãWêOØwÜ#)�ë�ì?ò�ãWðUÄ Í � � � OO� ß ^ÅÄ ` Ú UÄ Í � � \�^ÅÄ ` �ÿçYæSæ� é�jk�P���<;0����/u�g/21��Óz�d c �âb ác /2".@A����������"�z

�¢y c�{�|�����| � l � ÛX � , � Ûc�{0� �!zÇÚ c�{}|�

����| �¢yC� l � ÛX � , � Ûc�{0� ��~

��-��3&#� ��yM� X � ?'c�{Y?'��{}|c�{0� � z Ú ô c�{0�c�{0� ô c�{0�c�{0��{}| ¨�¢yC� X � c�{0��{�|c�{0� � z Ú ô c�{0�c�{0��{}| ¨�¢yC� , � Ûc�{0� � z Ú ô , ë�� Ûc�{0� ~ )x@ - c�{�| d§Ø à ×'¨�¢yC� , � Ûc�{0� � z Ú ô , � Û {0cRáG�c�{0� ô c�{0�c�{0��{}| ~£)x@°-+c�{�| Þ Ø�à ×<�% ! © "O�i/2"#D�!'�P"#����!'-0/�!O!#-��J�w/�1H��)�"O/8_�) ¦<����!#)��+��!#-0/2!O"#������"Ç�0n o2p � !#�4�GnEo2p�5QT�-��.!#-���"#)�"@A�+���*����"h@A&#�+�6!'-��E����(�)���)�"'!#&#)�_�(�!#)����k�2@^!'-��gduXN��/��w�w/�¦V��&P)������37 /2���k!#-��\���V;0��)�!#)��+�k��@d\n o�p�5

����&£§rÜÏb c ¡�_�Dg,.�+&#�+�*�]/2&#D\B�5�4iqu�J�P��������!'-0/�!�0n o2pYysà0§}��Ú«�GnEo2pYy­§}�uÊÄØG�y�B�5�4i�+���&#�+� ���V;0��)*!')����¤y�=�5ÇM��3¡�)�!�)*".���+!�-0/�&'�g!'�\1�&#��$+�P!#-0/2!.@A��&£§rܤb ác�0Ò�ÓWÔ�ysàO§}�JÚ«�0Ò�ÓWÔ�y­§}�uÊ�4:�y�B�5�4iS+�����&!5[Ü[d c �.�P���V;0���u!#-��:z¶2#ç+ã�é�³VãWð�ê�ð�å$��ìVãWë._RD

d\ÒRÓWÔ+y750�ýzÇÚV�GÒ�ÓiÔ+y#Å 5�|�~�������~<5�c�{}|i~>� 5�c�� ÉA�������&?��7�/2�E1�����¡V)x@�5EÚýÅxà8=�~3à�4�~'F0~VK�~3à8M�~Và8BWÉW!#-����¢d\ÒRÓWÔ+y750�.ÚV�GÒ�ÓiÔ+y#Åxà8=�~3à�4�~'F0~VK�~3à8M�~VBWÉA�?Ú=PÛW=�Ê�4�ÚüK��

Page 54: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

×�¬ � ¬ �G�G¿ � ù��?¹����GúGù�¹?¼y®�ú0�'®���ú��Gù����\�`� � O0� ß ü �ã.ä@å'æ@ç@å�è B�5ÇB+M(é�ê�ãiê�Ø[Ü0)�ë�ì?ò�ãWðU WYX ÅÃuÊÿ4VÉ c� � Â Ú W Ä Í � � � � � ¨�^ÅÄ ` � � O0� ß ^ÅÄ `y'4.à#���3y#4.àH� � c ��U c�{�|����| y#4.à¯� ? � ?'� �

æ]ðÅ�^Å � É#Å�Å �lÉ�ÉAëÿçYæSæ� é8��&#�+�6yAB�5�4i���./���� y�B�5�4iS+�Q�.�P-0/W$��P!'-0/�!Uµ Í ª � º � � ¨�^�µ ` �=º OO� ß ^�µ ` Ú Uµ Í ª � � º � � ¨�^Jµ ` �=º OO� ß ^Jµ ` Ê � º � � ¨�^ { µ ` �=º O0� ß ^ { µ `

Ú Uµ Í ª � � º � � ¨�^Jµ ` � º OO� ß ^Jµ ` Ê � º � � ¨�^Jµ `]á�| � º OO� ß ^Jµ `èáGcÚ y#4uÊ°� � c �PUµ Í ª � � º � � ¨�^�µ ` �=º OO� ß ^�µ `Ú y#4uÊ°� � c � UÄ Í � � � � � ¨�^àÄ ` � � OO� ß ^ÅÄ ` �

` ����!#-��u&#��"'(���!�@A�+�*������"Q�W/�"#)���D¢@A&'��� T�-��3��&#�3�6=�5�4iv�5��)��0/�����D�¡��J�P���<;0����!'-�� @A����������)�����duXN��/��¢����"'������!P�R(��\_0��&.���[d c ¡�0Ò�ÓWÔ��¢y750�ýzÇÚ��GÒRÓWÔ+y0�¢y750�'��~

��-��3&#�R�¸-0/�"w_G�����ÿ���V;0�����a)��§!'-��r1�&#����@¢��@ªLO&'��1G��"')*!')����üB�5 B+K�5ÍT�-����Ä@�&#��� T�-�����X&'���âB�5ÇB�Mw/����k!#-��\���<;0��)�!#)����k�2@�� )�!�)�"��i/2"#Dr!#�["'���E!'-0/�!�!'-��E!l�.�w10/�)�&'"���@�"#!V/�!#)�"'!#)���"yN�0Ò�ÓWÔ��¢~_�GnEo2p��t� /����kyAd\Ò�ÓWÔ�~Vd\nEo2p���/�&'������(�)���)�"#!'&#)�_�(�!'���r)*�[d c ¡0/2���[-��3�����¢�J���w/WD���+������(����P!'-0/�!3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5ÇB�q'é�ê}ãWêOØwÜ0)�ë�ì?ò�ãWðUÄ Í � � �T� � ¨�^ÅÄ ` � � OO� ß ï ^ÅÄ ` Ú UÄ Í � � º � � ¨ ï ^ÅÄ ` � º O0� ß ï ^àÄ ` Ú UÄ Í � � � � � ¨�^ÅÄ ` � � O0� ß ^ÅÄ ` � î

��)��0/�����D�¡�!#-��P�i/2"#���JÚÍ4t/2���[LO&#�+10�+"#)�!#)��+�gB�5ÇB+M�)��E1��*Du!#-��P@�����������)*���t&'��"#(��*!W53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 B�5ÇB��'é�ê}ãWêOØwÜ0)�ë�ì?ò�ãWðUÄ Í � � \�^ÅÄ ` Ú UÄ Í � � � O0� ß ^ÅÄ ` Ú UÄ Í � �=º OO� ß ï ^ÅÄ ` Ú UÄ Í � � � O0� ß ^ÅÄ ` � î

Page 55: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü�F ×�¬ ù�����¹?úGù*¹?�?� ¹?¼R¾­� � ú0¹}�

Page 56: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

,.U8�PLOT8NQf�F

���¢ÃW�:�¶�PÁQÃ��¢��� �����¢�Q÷ Áb�% �[!'-�)�"8�V-0/21�!#��&P�.��(�"'��!'-���"'!�/2!#)�"#!')*�3"d\n o2pÏ/����¤d\Ò�ÓiÔ¢���<;0�����r)��¤,.-0/�1�!#��&PB\!#�

�+_�!�/2)*� �����a&'��"#(���!'"8)��w!#-���&'��1�&'��"#����!V/�!#)��+�[!#-��3��&#Dw�2@m!'-��Pjk��D��}�+&#��(�1�"���@Q!lD�10��dw5.jk����+��"#!'&#(��3!ª/�@Z/2�E)���D\��@�&#��1�&'��"#�3�R!V/�!')*�+��"u@A��&Pjk��D��O��&'��(�1�"u��@�!lDR1G�\dw¡}�i/2���*�3�¤���3�R/�!')�$��VX���3"#������!¢&#��1�&#��"'����!�/�!')�����"W¡Q(�"')*���g!'-��\���+)*��$�/2&#)]/���!t/2������_�&V/w/�"P&#��1�&#��"'����!�/�!')���� "'10/��3��5E�� �����+�E)*/2�?����"'������!\_0/�"')�"�!'-��\����)���$�/�&')]/���!�/�������_�&�/w�2@^!lD�1G�gd�)�"�������"#!#&'(���!'����(�"')*���Ï/���3� CY!#&�/2)���-�!#����)*���g>?�3�E�g/�5PT�-��\_0/2"#)�"�������� ����!#"i¡­)*������7����k_�D05Äܧd c ¡�-0/W$��¢�����+&#���d\n o�p�y75G��5JNm7R!'������)����P!'-��J"'!�/2!#)�"#!')*��d\nEo2pP!#�tduXl"#!V/����G/�&#�u¯J�+(����8_�)*!V/�_����i/2(�7P�J�Ê��)�$��J/&'�V;0����� ����!O��@�/h!#-����+&#���Í��@�CY!#���\_�&')������Q�+��!#-��J���3����� 10�+"#)�!#)����u��@�!#-��������R/2!#)�$��VXl����"'������!&'��1�&#�3"#����!�/2!#)�����"t)���!#�\)�&'&#����(���)�_���������� 10�+������!#"W5J��)��0/�����D�¡�(�"')����E"'���E� �����a�\(���!')*$�/2&#)]/�!'�"'!�/�!')�"#!#)���"W¡})���!#&'����(������k!'�w1�&#��$+��!'-���1�&#��$�)���(�"u&#��"'(���!#"i¡��.�����3&#)�$��\"'���E�u�����\_�)��0/2!#�+&#)]/��)�������!')*!')���"8�+�[jk��D��O��&#�+(�1�" ��@J!lD�1G�ªd _RDw���+�E10/2&#)����¢"#(�)�!V/�_�����U )*��_G��&#!P"'��&#)���"W5�ø ���¢��@!'-���"#�u)*������!#)�!#)���".)�"J!'-����w(�"#�3�g!'��1�&#��$���,�/2&#��)�!#¥ © "Q)�������!')*!lD¢@���&�d c )*�w/�$+��&#D ��)�&#���3!��^/WD�5

ËSn7�'n[��x'ò+�GvNtIÞ�w�x'ß>v�Þt�Iß>q$àGß>q�$�q$tSw�Þ�w�v�x't#w�¼Gq$x(ß>ájk�P)���!#&#����(�����!'-��¢_0/�"')*�¢���V;G��)�!#)�����" ��@^d¦2lé�ê�ï�ð�ç+ï�ë'ç[ìiæèêAï+ì�î�ã�ï+å>��/2���¤d\nEo2pw���¤duX

_�)�!V/�_����i/2(�7?¡�!'-0/�!8/2�*������(�"�!#�\1�&'��$��P!#-��P�w/�)��\&#��"'(���!8�2@�!#-�)*"��V-0/21�!#�3&�y]T�-�����&'��� FG5Ç=�4i�35ËSn7�'n7�(n8¤ºÞ��H��q$Þ�¾ Ý nt>­��!8c,hÿØÄ_G�Ï/£10/2&#!#)�!')*�+�}¡J/ L0ó+åRð:�kêAï+ì�î�ãVï�å���@t"'-0/�1G�@c�)*"

�+_�!�/2)*�����¤_�Dr)���"#��&'!#)����[!'-��\)���!#���+��&#"w4�~V=�~�������~�Ø�/�"EãWð�ê�ë�æ]ã3é\)*�r!#-��\��������"���@8!'-��¢¯J��(������)]/2��&�/2�a��@}"'-0/�1G�QcE/2�*������)���� ���P&#��1G��!#)�!')*�+��"i5O� é<ê�ï�ð�ç�ï�ë'çAL0ó�å�ðj�¢ê�ï�ì3î*ãVï�å¢�2@}"#-0/210�Qc�)*"/u¯J�+(����¢!�/2_����i/�(w��-��+"#������!'&#)���"8)����3&#�i/2"#�\/��������¢&#����"8/2���w�������w������(�� ��"i5�jk�P�������+!#�_�DEÐ}� Ñ ydcG�.!#-��P"'��!8�2@Ê/2���0"'!�/����0/�&'�w¯J��(�����!V/�_����i/2(�7?5����&.��7�/�� 1����8!#-��t!V/�_����i/2(

Ñ)��g��)���(�&#�\4P_0�3�*�+����"�!'�EÐ}� Ñ y�K�~VB�~V=�~W4i��5

1 3 5 8 10

2 6 7

4 11

9

T:=

nb�doxq@ç@å'a�ýç+ã�é�³VãWð�êO)��ª/P"'!�/2���0/�&'�¢¯J��(����P!�/�_��*�W/�( Ñ )�"J/��¢����!#&'DE×?"#(���-\!'-0/�!.×�Êr4 )*"Ê"#!#&')���!#��D

_G������� ×#5rjk�\��������!#� !#-��w"'��!��2@8����"'������!#" )*�Ñ_RDkd\ÓWÔ�y

Ñ��5kT�-��H��ï<ó�ó�ë æ]ð�ç+ã_����@t/

!V/�_����i/2(Ñ)*"

n o�p�yÑ�ýzÇÚ U

� Í �u� ¨�^ Ë ` ×<�% �w!#-��t�37Y/2�E1����P/�_G��$��td\ÓWÔ+y

Ñ��Ú«|�4�~VB�~VK�~V��~W4iv:~8/����w"'�EnEo2pYy Ñ �QÚÿ=�q�5ü m

Page 57: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

üT� ü ¬ �G�Gù�����¹?úGù�¹?�?�g¹?¼�¾?� � úG¹�·é�ã���æ�é�ê�ï�ð�ç+ï�ë'ç4L0ó+åRð:�Eê�ï�ì3î*ãVï�åw�2@�"'-0/�1G��cky�Ð�Ð}� Ñ ypc0�'��)�"J�+_�!�/2)������w_�DE)���"#�3&#!#)����

���+��Xl�����R/2!#)�$��u)*��!'������&'"t/2"t�3�R!'&#)���"P)��[!#-���_0��7���"P�2@m!'-��u¯J��(����E��)]/��+&�/2� ��@J"'-0/�1G�gc}¡G"#�!'-0/�!O!#-�������!#&#)���"Ê�J�i/2���*Du)*����&#�i/2"#�P/�������� &#����"Q/�����"'!#&#)���!'��D�)�����&'�i/�"'�8�������¢���+�*(��E��"W5}���+&ÑܤÐ�Ð}� Ñ ypc0�.!'-���³�ó+ð�ê�ãið�ê�îWã�³iê�ó�ëu)�"

Ö�Ë�Ø��iy Ñ ��zÇÚayAn X ~�n | ~������l��~��-��3&#��n � zÇÚ��:|i���3�*��".)�� Ñ ��)�!#- ����!#&#D[×]~y�¶¡+@���&8×G�Äv�5

� ìWæ ��ï�ë�ê�æ]ê�æ]ó�ðw�2@Ê/������YXZ���3�R/�!')�$��P)��R!'�����3&tØ£)*"P/��w��&'����&'���¤1G/�)�&�ydc ^ |A` ~�c ^ ?�` �.��@Q10/2&lX!')*!')�����"Q"'(��V-w!#-0/2!Ï� c ^ |A` �<Ê�� c ^ ?�` ��ÚÿØw�������+!#��� _�D[ydc ^ |A` ~�c ^ ?�` �|hgØO5�T�-��AL0ó+åRð:�\ç�æ]ï���ë'ïj��2@m"'-0/�1G�wydc ^ |A` ~�c ^ ?�` �h)�"���_�!V/�)������[_�D !#-��¢(���)����w�2@m!'-��u¯J��(����\��)]/���&V/�� "J�2@m"'-0/�1G��c ^ |A`/2���,c ^ ?�` _�D 1G��"')�!#)�����)����r!#-��¤"'���������ü!'�k!#-��["'��(�!'-�Xl�J��"'!w��@�!#-��Ï;0&#"'!i5ajk�[���V;0���¤/é�ê�ï�ð�ç+ï�ë#çXLGó�å�ðj�kìWæ]ê�ï�ì3î*ãVï�å Ñ Ú¸y Ñ | ~ Ñ ? �u��@8"#-G/�1G�¤ydc ^ |A` ~Tc ^ ?�` �kh�ØÄ_�Dk)���"#�3&#!#)����r!#-��)���!#���+��&#"�4+~�=�~�������~�ØÏ)*� !#-��P���+&#&'��"#1G������)*���\¯J�+(����¢��)]/���&V/��·)�����&'�i/�"')*���E/��������u&#����"8/�������+��(��E��"W5Qjk�P��������!#�¢!#-���"#��!P�2@Ê/2���?"#!�/2���0/2&#�w¯J�+(����\_�)�!V/�_����i/2(�7E�2@m"'-0/�1G�wydc ^ |A` ~�c ^ ?�` �_�D�Ð}� Ñ ydc ^ |A` ~�c ^ ?�` ��5�jk�J���V;0���Pd\ÓiÔ+y Ñ �./����En o2pYy Ñ �J/2"m/2_0��$+�8/����¢!#-���ð�ã��+ï�ê�æ7îiãPð�å$�±2ìVãWëgØ?Ó�B�y Ñ �\/�"�!'-��E��(��\_G��&��2@8����!#&#)���"¢��@ Ñ ?+5[jk�\���V;G���E!'-��yÔ.ï���2A��ï<ó�ó�ëwæ]ð�ç�ã�� �2@h/_�)�!V/�_����i/2(E_�D �0n o�p�y Ñ �ýzÇÚ�=PÛin o2pYy Ñ �IÊ�Ø?Ó�B?y Ñ ���

¬P)�$+��� !l�.�¤1G/�&#!')�!#)�����"8c ^ |A` ~Tc ^ ?�` "'(��V-�!#-G/�!#� c ^ |]` �:ÊÁ� c ^ ?�` �JÚ¸ØO¡.�.�g���V;0���¤/4zÈ2é�ê�ï�ð�ç+ï�ë#çAÍ&LGó�å�ðj��ÑÏìWæ]ê�ï�ì3î*ãVï�å Ñ Ú y Ñ | ~ Ñ ? � ��@J!lD�1G�6|Dc ^ |A` ~Tc ^ ?_` ~E/�"�/ "#!V/����0/2&#�£¯J��(����_�)�!V/�_����i/2(\��@}"#-G/�1G�ªypc ^ |]` ~Tc ^ ?�` �Ê��&Pydc ^ ?�` ~�c ^ |A` �Q��)�!#- !#-�� ��������)�!#)����\!'-0/�!�Ø£Ü Ñ |ö5Ojk������!d\ÓWÔ�y

Ñ��¡�nEo2p�y

Ñ�O/����¢Ø?Ó�B?y Ñ �O/�"O/�_G��$��J/2�����.�J���<;0���Oz¶2A�¢ïAó�ó+ëJæ]ð�ç�ã��¢��@0/8duXl"#!V/����0/2&#�

_�)�!V/�_����i/2(}¡�!#-��P&'��"#!'&#)���!#)��+�[��@u�0n o�p�¡G�������+!#���£_RDd\n o�p�y

Ñ�ýzÇÚü=PÛWnEo2p�y Ñ ��Ê�Ø?Ó�B?y Ñ ���

����&?��7�/2�E1����Ñ/����Ð )�����)*�+(�&#�Q=�/2&#�Q!l�.�8duXZ"'!�/2���0/�&'��_�)�!�/2_����i/�( ��@�!lD�10�E|RyAB�~i4W��~WyA=�~�=�~i4W��~

/2���w�J�P-0/W$+�td\nEo2p�yÑ��Ú�=PÛ+4iK�Ê�K�Ú�B�K\/2���[d\nEo2p�yAÐO��Ú�=PÛ�4WB�ÊkF�Ú�B�v�5

3 6 7

9

41

2 5

8

T:=

1 2

4 5

9

863

7

S:=

nb�doxq@ç@å4yjk� �������+!#�[_�D§d\Ð}� Ñ |&c ^ |A` ~Tc ^ ?_` ~[!#-��["#��! ��@�/����8duXZ"'!�/2���0/�&'��!�/2_����i/�(�7 ��@�!lD�1G�|&c ^ |A` ~�c ^ ?�` ~R5ËSn7�'n*Æ@n8â�ß>ß>q�"S¾u¿>vp�H�7qPß>q$àIß>q�$�q$t�w�Þ�w�vox(tb$ nJT�-�� &#)����r��@t!'-��[ÐGc�Xl)*��$�/2&#)]/���!#"u��@4)Pc}¡) 8 c )�"�!#-��P&#)����\�2@�!'-���"#D�� �E��!'&#)���10�+��DR�����E)]/2�¶"i5­jk�8&#�3�i/����}"'��� �8��@O)�!#"�_0/2"#��"W5����&�-\Ü#� �J�P����!

Ó , y��ÕG��zÇÚ U�N9 ��&�&�&�� ��ë Õ��N9?ÛiÛWÛ#Õ���ëyèF05�4i�

��-��3&#���ÕþzÇÚâyAÕ­|�~�Õ'?�~�������~VÕ�c���5�����&E/2��Dk10/�&'!#)�!#)����rcaÚ ydc­|ö~������G~�c�Âi�¢�.�g��������!'�[!#-��ã3î*ã���ãWð�ê�ï�ë�±ué�±>�y�¢ãWêAë�æo³���ó�îC±�ð�ój�¢æ]ï�îxét_�DwÓ@\�zÇÚÿÓ@\:9}ÛWÛWÛZÓ?\ ô �

Page 58: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü ¬ |�¬ �0�G¿ � ù��?¹��?�Gú0ù�¹?¼¢ú0�$®�ú0���V���?�+¹R�Gù]�G�k���?���Gú:Ø ü������&�-\Ü#� �J�P����! D , y��Õ0�!zÇÚ cU

����| Õ ,� �����&O/���D�10/2&#!#)�!')*�+��cEÚ ydc | ~������G~�c  ���J�.��������!#��!'-��!��ójíQãWëQé�å$�Íé�±>�y�¢ãiê�ë�æ7³S��ó�îC±�ð�ój�¢æ]ï2î¶é_�DeD \ zÇÚPD \ 9}ÛWÛWÛ©D \ ô �T�-����(³Vò�å�ëPé�±>����ãWê�ë�æ7³uÚ�å�ð�³Wê�æ]ó�ð�é�Ô \ �W/��w_0�u�R(�)*�V����D\���V;0�����[(�"')*����!V/�_����i/2(�7

Ô \ y��ÕG�ÇzÇÚ UËIÍ 8$8w� Ë ^ \>` �Õ sM� c � ^ \>` �T�-��P)�&#&'����(��3)*_��*�u&#��1�&'��"#�3�R!V/�!')*�+��"i¡�/�"��.�����}/�"�!#-��������W¦V(��R/2��DE�3�õ/2"#"'��"i¡G��@O!#-��u"#D��E� ��!#&')*��+&#��(�1 Ð c /2&#�\���������k!#�w_G�\)�������7�����_RD£10/�&'!#)�!#)�����"t�2@tØO5 % @Qc /���� � /�&'�\!l�J�[1G/�&#!')xX!')*�+��"���@JØO¡G�.���������+!#��_�D�� \L !#-��¢$�/���(���/�"'"#(�� ���w_�Dg!'-����V-0/2&�/��3!#��&P��@Q!'-���)�&'&#����(���)�_����&'��1�&#�3"#����!�/2!#)����r)�������7����£_RD<cw���w!'-������+�i¦V(���/���D ���]/�"#" ��@Q��D�������!lD�1G� � 5QT�-��P@�����������)*���!'-�����&'��� )�"Q��(��8!#�¢��&'��_G����)�(�"J/2���E�.��&#�V@���&J!'-��8&'�i/�����&�!#�EÅÇÌGÆ?¡�,.��&#�+���õ/2&#D�q�5�4iq�5 F2ÉR@���&Q)�!#"1�&'����@�5ã.ä@å'æ@ç@å�è F05�4 yA��&#��_G����)�(�"8����&'�\(��]/���éÇê�ãWê � ì�ã¢ï���ï�ë3êAæ]ê�æ]ó+ðgó<Ú8ØGë�ì?ò�ãWðD L y��Õ��QÚ U\<��c � \L Ô@\Gy��Õ0���

% �Ä!#-��¤�i/2"#�r��@�b�c�¡�!#-��r���+�i¦V(���/���D����]/�"#"'��"[/�����!#-��r)�&#&#�3��(���)�_����[�V-0/2&�/��3!#��&'"¤/�&'�10/2&�/2�E��!'&#)�¥����[_�D ��&#����&#���k1G/�)�&#" ��@Q10/�&'!#)�!#)��+��"8"'(��V-¤!'-0/�! !#-���!'��!V/��O"#(��:�2@Q!#-���)�&P10/2&#!#")�".����(0/��G!#�\ØO5}T�-��t1G/�)�&8y � ~ú§}�Q�3��&#&'��"#1G������)����\!#��/u���+�i¦V(���/���D\���]/2"#".����"#�3&#)�_0�3"8!#-��8"#)��+���D������.!lD�10�Ê@A��&O/���DP�������E�3�R!�)���!#-��.���]/�"'"Q/������.�.(�"#�.!#-��.���+�R$+����!#)����¢!#-G/�! � ���+&#&'��"#1G������"!'�E!#-���1G��"')*!')�$���/2���@§ !'�E!'-��������R/2!#)�$����3DR�3�*�3"i5�����&8!l�.�E1G/�&#!')�!#)�����" � ~¨§ /2���[!l�.�E"#�3!#"�2@�)�������1G����������!8$�/�&')]/�_�����"��Õ[/������c¢�.�����<;0���D L ; µ y��Õ}~ �c��Ez Ú � � y�D L Û y��Õ0�@ÊHD µ Û y��cR�'�OÛ � � y�D L Û y��ÕG��à0D µ Û y��c��#�3~/2���\�J������!$� \:; ]L ; µ _0� !#-�� $�/���(��.��@}!'-��8)�&#&'����(��3)*_��*� �V-0/�&V/���!'��&J�2@�b c )������37R�3�E_�Dgypc}~ú{}�O�+�!'-��\�����W¦V(��R/2��D[���]/2"#"P��@�!lD�10�[y � ~ú§}��5¢T�-��E/2�0/����+��(����2@^T�-�����&'���¸F(��4�)�"P!#-��¢@�����������)*���yè"#���EÅ ËGË}¡�1�5�4iq��öÉA�ã.ä@å'æ@ç@å�è F05Ç='éOK}ó+ë�ï�ð�±\ìiæ ��ï�ë3êAæ]ê�æ]ó+ðgy � ~¨§}�uóAÚ8ØD L ; µ y��Õ}~ �c��ÊÚ U \:; ] � \:; ]L ; µ Ô \ y��ÕG�#Ô ] y��cR�3~í}ò�ãië'ã�ê�ò�ã¢é�å$� ë�å�ð�é�ê�ò�ë'ó�å>�iòrï2î]î}ó�ë'ç�ãWë#ãVç���ï�æ]ë<éó<Ú!��ï�ë�ê�æ]ê�æ]ó�ð�éPydc�~¨{}�uóAÚ�ê�ó�ê�ï�î�é�æJIWã�� cG��Ê� {Ç�WÚ � � ��ÊÓ� §Ç��ÚüØGë

C�)����3�Ed c )�"�/ "#(�_��+&#�+(�1k��@�)�������7¤=Ï��@�!#-��\jk��D��Q�+&#�+(�1 b c ¡�!#-��\)���!#��&'"#���3!#)�������@/¢���+�i¦V(���/���Dw���]/2"#"8�2@Jb c ��)�!#-[d c )�"���)�!#-��3&t�3�E1�!lD\�+&t/¢"#)����+�������]/�"'"8��&�"'1���)�!#"8(�1[)��R!'�!l�.�[���]/�"'"#��"\)�� d c 5rT�-�)�"ª/2��"#�[���i/2��"�!'�¤/£10/�&V/��E�3!#&#)�¥i/2!#)����r��@8!'-��w���]/�"'"#��"\�2@td c _�D10/2)�&#".��@}10/2&#!#)�!')*�+��"Py � ~¨§}�./�"�_G�V@A�+&#��¡�_�(�!���-���&'�8÷�y­§}�.)*".��$+���[/���� ��-���&#�u!#-���&'��/�&#�P!l�.����]/2"#"#�3"J�2@�!'-�)�"Q!lD�10� )¶@�§[)�"Q��� 1�!lD�/����E/2����10/�&'!#".��@ � /2&#����$+���}5 % �\!'-��8�]/�!'!#��&Ê�i/�"'�8!#-���"#�!l�.���3�õ/2"#"'��"8)��[d c /�&'��(�"#(G/�����D\�õ/2_0�3�*�3�E_�D¤y � ~�ÊP�J/2���ky � ~3àh�35Qø �g!'-��P��!'-���&8-G/����w!#-��&'��"#!'&#)���!#)��+��"���@}/�� )*&'&#����(���)�_����8�V-0/2&�/��3!#��&��2@­bhcE!#�¢d�c )*"Ê��)�!#-���&.)�&#&'����(���)�_���� ��&."#1���)�!#"Q(�1)���!#�P!l�.�t)�&'&#����(���)�_���������� 10�+������!#"W5�>­��!typc}~ú{}��_0�P/ 10/�)�&O��@}10/2&#!')*!')�����"O��)�!#-¢!#�+!�/���"#)�¥��tØO5% @uc�ªÚX{k!'-����r!#-���&'��"#!'&#)���!')*�+��"P��@J!'-���)�&#&'����(��3)*_��*�¢�V-0/�&V/���!'��&#"P�2@^b�c[�]/2_0�������£_RDrydc�~¨{}�/2���ky�{Q~Tc0��/2&#��)�&#&'����(��3)*_��*�¢/����w����(0/2�Z5 % @ucEÚX{r!#-����£!#-���&'��"#!'&#)���!')*�+�[��@Q!'-����V-0/�&V/���!'��&

Page 59: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� X ü ¬ �G�Gù�����¹?úGù�¹?�?�g¹?¼�¾?� � úG¹�]/�_G�������\_�Dwydc�~�cG�O"#1��*)�!'"Q)��R!'�P!l�J��)�&'&#����(���)�_����8���+�E1G��������!'"���-�)*�V-\�.�8���3����!'�8_�DEydc�~Tc0� á/2��� ydc�~Tc0� { 5�`8�+!#�¢!#-0/2!8!'-�)�"8�i/2�¤�+����DE-0/21�10�3�[)x@^Ør)�"8��$+���}5 U8�����3���.���w/WD\�]/�_G����/2�*�)�&#&'����(��3)*_��*�P�V-0/2&�/��3!#��&'"t�2@md c _RDrydc�~¨{}� × ��-���&'��c[/�����{k/�&'�P!l�J�\10/2&#!')*!')�����"."#(��V-[!'-0/�!� cG��ÊÓ� {Ç��ÚaØO¡�c��,{r)*�w"'���E�P!'��!�/2�}�+&#����&±¼a���w!#-��u"#��! ��@J/����})���!#�3����& 10/�&'!#)�!#)�����"i¡�/����Ê.)�"�����(0/2�}!#�©¼ü)x@vc°ªÚ,{k/�����Ê�)�"�����(0/2�?!#�ÓÊ �+&?àü)x@vc\ÚM{Q5

jk�O&#�<@A��&Q!'�8!#-��Q@A�+���*����)����Ê!#-����+&#���·/�"�!#-�����&'��_G����)�(�"�@A�+&#�\(��]/m@A��&}d c ¨�)�! © "�����&#!V/�)�����D���������}¡�-����J��$+��&i¡Y@A��&.�]/��V�\��@J/2�g/�������(0/�!'��&#�V@���&#��������¡?�.�P��)�$��P/¢1�&#����@O-���&'��5ã.ä@å'æ@ç@å�è F05ÇB£yA��&#��_G����)�(�"8����&'�\(��]/h@A��&8d c ��é K�ó�ëQï+ð�±Pìiæ ��ï�ë3êAæ]ê�æ]ó+ðty � ~¨§}�bhwØ6íQæèê*ò÷�y�§}�!É�v¯íQãtò�ïjîWãD L ; µ y��Õ�~>�c�� Ú U \:; ] � ^ \:; ]>`7�L ; µ yAÔ?\0y��Õ0�'Ô@]­y��c��@ÊÄÔ@]Gy��ÕG�#Ô?\Gy��c��#�

Ê U\w�   \   � = 5'�u^ \:; \>` �L ; µ Ê��º^ \:; \>` �L ; µ 6 Ô \ y��Õ0�'Ô \ y��c��í}ò�ãië'ã�ê�ò�ã£PQëVé�êOé�å$� æ�é�ê�ï�²+ãið£ójîWãië�ï2î]î�ypc}~ú{}�HhwØ�é<å$³Vò[ê�ò�ï+ê]cG¼'{uëÿ

çYæSæ� é % !w)�"[/k���+��"#�3�R(�����������@�T�-��3��&#�3� F05Ç= ��_�"'��&#$�)����Ä!#-0/2!w)¶@gc ¼ {a!'-����� \:; ]L ; µ Ú�� ]:; \L ; µ Ú�� ^ \:; ]>`7�L ; µ /����g)x@.� cG��Ú c ? !'-������ \:; \L ; µ Ú�� ^ \:; \>` �L ; µ ÊR� ^ \:; \>` �L ; µ 5ËSn7�'n*þ@n6��x(vNt�¿$Þ�ß>vNÞ�tSwPÞ���»'q3�Gß>Þ@nt,.����"#)�����&w!#-��k�0/�!'(�&�/2�/2��!#)��+� �·�2@ª/k�3�õ/2"#"')*�W/��

jk��D��Q�+&#�+(�1�� y]��)�!'-�� ÚIz8c�{}|i~Vb�c?~Vd�c0�����)c¤���<;0������/�"¢)��r~�B�5�4+5 = �+�k!#-�� ���VX���3&�/�!'��&'"8_�D �.y�À8�!z�Õ � �� À�y�×A�� À�y�×A��� Õ   Ì ^ �7`   ~@A�+&J/�����ÀÿÜH� /����\��7�!'���������w(���)*��(��3�*Du!#��/2�E/�������_�&�/P-��+�E�+�E��&#1�-�)�"#�[5GT�-��8/����+��_�&�/��@)���$�/�&')õ/2��!#"�) �c )*"��+������&V/�!'���¤_�D[Ø£-���� �����3������(�"8/�������_�&�/�)��i/2���*D¢)�������1G����������!t�3�*�3�E����!#"�2@810�+"#)�!#)�$��\������&'���w!#���+��!#-���&\��)�!#-ü4+¡Jyè"#���+¡J�+5 �G5�¡�Å Ë?Æ?¡£~\B�5ÇKWÉA��5w�I"#�3!\��@t/����+��_�&�/2)��i/�����D)������310����������!J-����E�+����������(�"Ê�������3&�/�!'��&'"J�2@I) �c )�"Q�W/��������E/P"#�3!J�2@Jì�ï2é�æ7³Pæ]ð�îWï�ë�æ]ï+ð�êèé<5OT�-��"'��!J�2@�_0/2"#)���)���$�/�&#)]/2�R!'"Q)�"J����!Q(���)*��(��3�*D¢����!'��&#� )������}¡�-����.��$+��&J!'-���)�&.������&'����"PÒ�|W~������G~VÒ�c!'(�&#�¢��(�!O!'�t_G��)�������1G����������!J�2@0!#-����V-��+)�������@0!'-������3����&�/2!#�+&#"J/2���ª/2&#���i/2���*�3��!'-��tç+ã���ë'ã�ã3é�2@Ç� y]"#�3��TQ/�_�����4W��5

����&G��7�/�� 1�����¡�)��P!#-��Ê�i/�"'�Q��@�Ð c ¡W!#-��JØ�Xl������� ����!�/�&'D�"#D��E� ��!#&')��}1G����D������ )õ/2��"YÓ � yAÕ | ~������G~�Õ c �×mÜ ÅÇØ�É#¡����V;0�����£)*�kyèF05�4i�3¡R/2&#��/u"#��! ��@O_0/�"')*�P)���$�/�&')õ/2��!#".��@*) 8 c 5

>­��!�� �c _G�t!'-���)����i/2�?��������&�/2!#���[_�Dw/�"'��!8�2@�_0/2"#)��P)*��$�/2&#)]/���!#".��@!�ý5OT�-��P��(���!')*�3�R!+ 3 y]�ü��zÇÚ�)Pc�¸�� �c)�"P�i/��������r!#-��6³Vó�æ]ð�îiï+ë�æ]ï�ð�ê8ï�î��ãWìWë#ï¢��@.� /����r)�!P)*"P�.�����O�R�������¤!'-0/�!P)�!P-0/�"P��)��E�3��"#)����� � ��/2"J/��8Xl$����3!#��&."#1G/�����5.ew��&'����$��3&i¡�� /2��!#"Ê�0/�!'(�&�/2�*��D�/2"J/P�+&#��(�1\��@?�*)����W/�&O��1G��&�/2!#�+&#"�+�[!#-�)�"P"#1G/����E/2���[)�!P�i/��[_G�\"#-������[!#-0/2!P!#-�)�"P&#��1�&#��"'����!�/�!')����k��@ý� )�"8)�"#�+�E�+&#1�-�)��P!#�!'-��\ë#ã���å+î�ï�ëPë#ã]��ë'ã�é�ãWð�êAï+êAæèó�ðky]"'������5 �G5*¡?Å ËS�0¡�~ %'% 5 BöÉ}��&�Å Ë?Æ?¡�~8B�5ÇMöÉè�35}� ���?!#-���"'��1�&#��1G��&'!#)���"�0/2!#(�&V/�����D\���i/�� !#�\!#-���1�&#�+_������ �2@};0����)*���E/[³'��)�����´\_0/2"#)�".@A��&.+�3+y��ü�35

ËSn7�'n¶Ë�n8¤�¼Gq<ÿ�Þ�ß#$�vNÞ3��ñ@w�Þ�t�w�x'tG"Sq�$�¿>q$t�w �IÞ`$�v�$ýÞ�tb"Hv�w&$ýq Ý w�q$tb$�vNx(t!n.��_0/�"')�"Q@A�+&!'-��8���+)��R$�/2&#)]/���!Q/����+��_�&�/u��@}!lD�1G�8zÿ-0/�"._G����� @A��(����\_�DE¬�/�&'"#)]/�/����EC�!�/2�R!'���rÅ þ'+É?(�"#)����!'-��P!#-����+&#Dw��@QC�!�/2������D+Xsfh��)�"#���3&�&#)�����"W5Q���+&8ÑwܤÐGcw!#-���DE���<;0���

o zÇÚ �ß Í �£� ¨�^ ` y�Õ ^ |]` ÛWÛiÛlÕ ^ ß ` ���

Page 60: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü ¬ |�¬ �0�G¿ � ù��?¹��?�Gú0ù�¹?¼¢ú0�$®�ú0���V���?�+¹R�Gù]�G�k���?���Gú:Ø � |T.D�10� ������&'����"

z c ~ yAد�a4i� 4�~������0~VØb c ~§y�Ø6��=�� =�~'F0~W~�������~�=+Ød c ~ÄyAد� F�� =�~'F0~�������~�=+Ø\àk=�~VØã]\�^`_jåVa é 9 ����&'����" ��@�_G/�"#)��P)���$�/�&#)]/2�R!'"

% @O�J�P��������!#�u!#-�����(��\_G��&.��@O����"#�3����!#"P)��ÏÑÏ@A&'��� 1G��"')*!')����g×m���w_�DÒ � y�Ñ?��zÇÚ�� |�p�Ü[d\ÓWÔ�y�Ñ?��zhpy��×�~��¶~

)�! © "�)��E� ����)]/�!'��!#� "#���\!'-0/�!Po zÇÚ U c����| Õ � Û ^ ` ^ �7` 5 T�-���Dw"#-����a!#-0/2!8!#-���"'��!�|öo Êy� 8 c zÑ£Ü[Ð c ~�)*"Q/P_G/�"#)�"O��@�+�3�y�Ð c ��¡+�i/2�*�����¢!#-���ç�ã3é�³Vãið�êOìVï�é�æ�é�ëO` ��!#��!'-0/�!Ê!#-���&'��1�&#�3"#����!�/2!#)�$��3"o �2@�!'-�)�"�_0/�"')*"8/2&#��/��3!#(0/2�*��D\� �����+�E)]/W��"���)�!'-ÏÒ�Ó�B�y�o �QÚÿnEo2p�yAÑ?�35% �[/¢&#�3������!��.��&#�rÅ���É�� ��)��}¡�H.&#����!')m/2���¤fh��)��V-��g/2�\���V;0���3� /¢� �����+�E)*/2��_0/2"#)�".@A��&!'-����3��)���$�/�&#)]/2�R!�/����+��_�&�/���@J!lD�1G��b !#-0/2!8"#�3���E"P!#� _0�¢!#-���&')*�+-�!��������3&�/���)�¥i/2!#)����[�2@J!#-��¬�/2&#"')õ/öXsCY!�/���!'���E_G/�"#)�".@A�+&J!lD�1G��z�5Ojk�P���3���[!#�\)���!#&'����(�����!'-�� @A����������)�����"'!�/�!')�"#!#)���5.���+&§rÜ[b c �J�P����! � � y�§}�ýzÇÚ�=PÛiÒ � y­§}��Êr½ � y�§}��~��-��3&#� ½2�#y�§}�ýzÇÚ § 4�~:)x@H§QyA×��.Ý v�~v�~:�+!#-��3&#��)�"#�$�TO�\/���Dg§kÜ[b c �J��/2"#"#����)]/2!#�P!#-��u�E�������E)�/��

  µ zÇÚ c�����| Õ º Û ^Jµ `  µ$^ �7`   �

T�-��3�g!'-���"'��!�|Ä  µ Ê�� ª c zH§rÜÏb c ~�)�"^/¢_0/2"#)�"���@u+�3�y�b c �35T�-�� ����)���$�/�&')]/���!J/����+��_�&�/u-0/2"8/��0/2!#(�&V/��?�+&�/���)*����)�����(������ @A&#�+�·!#-����+&�/2��)�������@u) c

_�D\!#�+!�/2�}�����+&#���¢/����w�.�t��������!'�P_RD6+ , )�!#".-RXZ!'-g-����E�+����������(�"Ê����� 10�+������!i¡�"'�\!#-0/2!+ 3 y]�ü��Ú��,:WYX + , �% �k!'-��\�i/�"'�E�2@^!'-��\"#D��E� ��!#&')�����&'��(�1}¡�!#-��\�g/�¦V�+&8)������37¤�+�¤!V/�_����i/2(�7¤1��õ/WD�"�/ ��&#(���)]/��&'������)��[!'-��¢�������+�E1G��"#)�!')*�+�[��@�+ , )���!#� )�&#&#�3��(���)�_����\&#�31�&#��"'����!�/2!#)�����"W¡�/2���r�J�¢-0/W$��¢!#-��@A�+���*����)����.!#-�����&'���·��(���!#�ý/P&�/�"'��)*�3��)*�3¥VXZjk�3DR�w/��}¡�yè"#���¢Å ËS%0¡�T�-�����&'��� ��5Ç�WÉ+@A��&Q/ 1�&#���2@<��5ã.ä@å'æ@ç@å�è F05 Fry7/P&�/2"#��)�����)���¥VXljk��D��g/��G��é S ð¤êN±<�YãPz±RYÚ3ó�ë8v dÒ-Åd Z c ? [ R�ê*ò�ã\ë#ã]��ë'ã�2é�ãWð�êAï+êAæèó�ð0+ , æ�éªæõé<ó:��ó+ëN�Yò�æ7³Eê�ó[ê�ò�ã ç�æ]ë'ã_³Wê.é�å$� JPn , ; \�Ð \ R.í}ò�ãWë#ã:c�ë�å�ð�éªê�ò�ë'ó�å>�Wò ï2î]î��ï�ë�ê�æ]ê�æ]ó�ðYétóAÚ ØxR­Ð \ æõétê�ò�ã�³�ó+ë�ë#ã3éN�Yó+ð�ç�æèðj�Eæèë�ë#ãVç�å$³Wæ]ì3î*ã8Ð c 2#ë'ã��?ë#ã3é�ãið�ê�ï�ê�æ]ó+ð3RQï�ð�ç

n , ; \�Ú��:| Ñ Ü¤Ð}� Ñ ypc0�6zQn o�p�y Ñ �.Ú�-'~��$�T�-��.@�����������)*���t/�&'�8!'-��8���+&#&'��"#1G������)*����&'��"#(���!'".@A��&JbhcE/����Educ\��@}T�-�����&'��� F05 F�/����

/2&#�P��(���!'�ªCY!#���\_�&')������¢Å Ì�Ë�És5�U8�3&#���.�P"#!�/2!#��!'-����I)��g�+(�&.!#��&'�E)��������+��D�5ã.ä@å'æ@ç@å�è F05ÇK£yAC�!'���\_�&#)����+�i��é S ð�êN±<�Yã bkRFÚ3ó�ë�v�d - d6Ø ? R�ê�ò�ãrë#ã]��ë'ã�é�ãWð�êAï+êAæèó�ð+ ª, æ�éPæ�é�ój�¢ó�ëN��ò�æ7³uêAó ê*ò�ã�ç�æ]ë'ã�³iêOé�å$��JPn , ; ^ \:; ]>` Ð ^ \:; ]>` R*í�ò�ãWë#ã8Ð ^ \:; ]>` æ�éPê*ò�ã�æ]ë�ë'ãVç�å$³iæèì�î�ãë'ã��?ë#ã3é<ãWð�ê�ï�ê�æ]ó�ðwó<Ú8b c ³Vó+ë�ë#ã3éN�Yó+ð�ç�æ]ð:�Eê�óEypc}~ú{}�HhgØÄï+ð�çn , ; ^ \:; ]>` Ú��´| Ñ Ü¤Ð}� Ñ ydc�~¨{}�rzu�GnEo2pYy Ñ ��Ú�-'~����

Page 61: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ? ü ¬ �G�Gù�����¹?úGù�¹?�?�g¹?¼�¾?� � úG¹T�-�� @A�+���*����)����P)�"�!#-��/2�0/����+����(�"J!'-�����&'���I@A�+&^duc}5ã.ä@å'æ@ç@å�è F05ÇM'é S ðkêN±<�Yã¢d¦R�Ú�ó�ëPv6d�-¯dýØ ? àÄØxR8ê*ò�ã\ë#ã]��ë#ã3é�ãið�êAï+êAæ]ó+ð0+ �, æ�é�æõé<ó�2�¢ó�ëN��ò�æ7³¢ê�óEê�ò�ã¢ç�æ]ë'ã_³WêOé�å$� JPn , ; ^ \:; ]>`=� Ð ^ \:; ]>` � R!í}ò�ãWë#ã8Ð ^ \:; ]>` � æ�étê�ò�ã¢æ]ë�ë'ãVç�å$³iæèì�î�ã�ë#ã]��ë'ã�2é�ãWð�êAï+êAæèó�ð[ó<Ú8d c î*ï�ìVã3î]î*ãVç\ï2éæèð<~:��ëpÏ>ë�Î�RJï�ð�ç

n , ; ^ \:; ]>` � zÇÚ�� | Ñ ÜÏd\Ð}� Ñ |&c}~ú{G~#zQd\nEo2p�y Ñ ��Ú�-Y~��$�ËSn*Æ@n��rq$»(Þ�w�vp¿(q���p�q�$�¿>q$t�wH� q´àGß>q�$�q´tSw�Þ�w�vNx�tb$E½Ax(ßEd c

jk�u;0&#"'!\���V;0���g/ @Z/2�E)���DE�2@8�E�������E)�/���"i¡G)������37R�3�k_RDkd c ¡Q/����k�.�E1�&#��$��\!'-0/�!¢)�!)�"E/k_G/�"#)�"¢@A�+&E!'-��[���+)*��$�/2&#)]/���!\/�������_�&�/r��@�!lD�1G�¤dw¡�!#-G/�!E�.�[�i/2���8!#-�� y]��$+����Xl"#)��������0����3"#������!w_0/2"#)�"i5ÿTO�¤!'-�)�"E�������J�£1�&#��"'����![/r"#!#&V/�)���-�!'����)����k�����E�w/�@A��&\��7�10/2����)���� /2�/2&#_�)�!#&V/�&'D[�E�+����� )*/��?)��#) c )��r!#��&'�E"P��@J!'-��\����"'������!¢_0/�"')*"P��)�!#-r������"E��)�����!'"�)��#) � c 5T�-�)�"�/2������&')�!#-��:)�"�/ ���3����&�/2��)*¥W/�!#)��+�k��@�!#-�� �����\1�&'��"#�3�R!'���Ä)��§Å��+ÉQ@A��&u!lDR1G��"¢z /���� b/2���[/���������"Q(�"�!#�\���V;0����/u@l/��E)���DP��@Q������/�!')*$+�VXl����"#�3����!8&#�31�&#��"'����!�/2!#)�����"P�2@mduc}5

ËSn*Æ�n7�(n8¤�¼Gq<"�q�$�¿>q$t�w �GÞ�$�v�$E½Ax(ß�+43+yAduc0��n>­��!Ç5wܤduc}¡2@A��&.×OÜkÅ Øà¤4VÉ#¡��.�8���V;0���K � y750�ýzÇÚ�� |3p�Ü[d\ÓiÔ+y_� 5I� c �6z�py��×�~y�x~½ � y750�ýzÇÚ § 4�~:)x@G5}yA×���ÝÄv�¨v�~:�+!#-��3&#��)�"#��~

/2��� ä � yo50�ýz Ú�=<K � y750�GÊ-½ � y750���` ��!#�P!'-0/�!

c�{}|U����| ä � yo50�JÚÿd\nEo2p�y750�yèF05Ç=��

/2���w!#-0/2! ä | y750�QÚÿd\Ò�ÓiÔ+y75G�����å�3���������æ� éQK�ó�ëPï+ð�±e5wÜ[d c RÇíQã�ç+ãdPQð�ãÖ Ä zÇÚ c�{}|�����| Õ l Û ^ÅÄ `  Ä´^ �7`   �

����&��37Y/2�E1�����¡�����!�5ÒzÇÚ¸ÅÇM�~3à�F0~3à8=�~VB�~3àhK�~Và�4VÉ�Üôd F ¡O!#-����aypä | y750�3~������?~�ä � y750�'�EÚy�M�~VK�~VB�~V=�~W4i�O/����wÖ Ä ÚÿÕ × ? Õ ?× Õ �ü Õ � Õ FF 5T�-��P�+�R/��G��@O!#-�)�"."#���3!#)����[)�".!#�\1�&'��$�� !#-0/2!�!#-��P"#�3!e|öÖ Ä Ê�� �c zG5wܤd�c@~P)�"^/¢��)����i/2&_0/2"#)�"O@A�+&Q!#-��8���+)*��$�/2&#)]/���!Q/������3_�&�/P�2@}!lD�10�Pdw5Ojk���i/����G)*!Ê!#-��¢ã�îWãið�2lé<æ���ð�ãVç\ç+ã�é�³Vãið�êQìVï�é�æ�é/2���[Ö Ä /Eç+ã�é�³VãWð�ê�ìVï�é�æ�étã3î*ã��¢ãið�ê�5Ojk�P�������+!#�P_�D� � yAÕ | ~������0~VÕ c �!zÇÚ § Ó � yAÕ ? | ~������0~VÕ ?c �3~I@A��&8×�Ü ÅÇØ¢à�4<És¨Õ | ÛWÛiÛlÕ c ~ @A��&8×?ÚÿØG�` ��!#� !#-0/2!�|>� � ~ c����| )�"ª/Ï"#��!\�2@8_0/�"')*� )��R$�/2&#)]/���!'"8@���&y) �! c 5rew��&'����$��3&i¡O@���&�/2�RDk1G/�&#!')xX!')*�+��cÄÚ�ydc | ~������G~�c � �P��)�!#-/c | d ØO¡��J�\���<;0���0� \ zÇÚ � \ 9}ÛiÛWÛ�� \ ��5[����&�!'-��E� ��� ����!�.�\&#��"'!#&')*�3!��+(�&�/�!'!#����!')*�+�¤�+�k!#-��\��(��+!#)�����!�ÐþzÇÚÁ)Pc�¸�yN�Wc0��5 jk���G/�!#(�&�/�����D[)�������!')¶@�DÏ/� �����+�E)*/2��!#-G/�!�-0/2"#� © !8/����?!'-���$�/�&')]/�_�����"���)�!#-w)�!#"��3��&#&'��"#1G������)����w���]/�"#"�)��[Ð.5�jk�P"#!V/�&#!_�DE/�"'"#����)]/�!')����\!#�E/2�RD\� �����+�E)�/��(a ÜÏÐÄ/��w��$+����Xl"#)��������w10��&'�\(�!�/2!#)����r5}y�aa�35J>­��!.a_G�E/ ������Xl¥���&'�¤� �����+�\)]/��?)�� Ð.¡ua Ú U c����| Õ � Û� y]���+!#�\!'-0/�!�D��8ÚIv�@A��&P"'���E�\×ý�:4i��5

Page 62: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü ¬ ?�¬ �?��¾­¹R�Gù��?��¾*½?�������R�?�wúG�$®RúG���V���?��¹��Gùõ�G�}�±���Gú � � ×jk�¢���V;0����5 ÚK5�y�aa�uܧduc /�"P!#-��\(���)��R(�����$+����Xl"#)��������k10�3&#�\(�!V/�!#)��+�["#(��V-k!'-0/�!W¡G@A��&×mÜ ÅÇØ�à§4VÉ#¡

×A��D   Ä´^ �M`   � D   Ä´^ �õá�|A`   ¨×�×A��D   Ä´^ �M`   Ú1D   Ä´^ �õá�|A`   Ú�9 � 5}yA×����YÝ�� 5}y�×(Ê�4i���¶¨×�×�×A��D   Ä´^ �M`   Éüv�-g9Æ5}y�×A� Þ v��

` ��!#�P!'-0/�!�!'-����]/�"'!J���+����)�!#)��+�E����!'��&#� )�����"t/2��"#�¢!#-��P"#)��+�g�2@I5}y�Ø?���jk� �i/����@5}yNaa��Ü[d c !'-��\æ]ð�ç�ã��wã�îiãWð32C��ãië��¢å�êAï+êAæèó�ð[/����c�y�aa��zÇÚay�D   Ä$^ |A`   ~�������~�D   Ä´^ c´`   ��~

!'-��\ã_���Yó+ð�ãWð�êS�Yï+ë�ê�æ]êAæèó�ðw��@uaKëÖ�å�è.èQ\ F05Çq(éEê}ãWêÇa Ú U c����| Õ � Û� ܧÐýï+ð�çr5�zÇÚþ5}y�aa��ë�ì?ò�ã\é�ãVäiå�ãWð�³VãEy�D   Ä$^ �7`   àä���yo50�#�3~0×�Úý4+~�������~�Ø à[4&R}ó<Ú8ã�����ó�ð�ãið�êèétæèðya�¸�Ö Ä ³Vó�ð�é�æ�é�êèé8óAÚ�ð�ó+ð�ð�ã��+ï�ê�æ7îiãuã�îWãiðwæ]ð�êAã��+ãiëVéï+ð�çEæ�éeíQãVï�²�îC±�ç+ã_³Wë#ãVï2é<æèðj�jëÿçYæSæ� é�jk�.-0/W$+��¡W_RDP���<;0��)�!#)�����¡�D   Ä$^ �7`   Éÿvý� ½��#yo50�.Úüv /�����-����������+(�&O"#����(��������

���+��"#)�"'!#"��2@J��$��3�¤)���!#���+��&#"W5�` ���ý)�!8)�"P�i/�"'D[!#�w�V-����V�[!'-0/�!�D   Ä´^ c�{}|A`   à'ä�c�{}|iyo50���ýv\"#�)�!¢&#���w/�)���"¢!#�r"#-����I!#-0/2!�!'-��w"#����(��3�����r)*"\�.�i/2�R��Dk���3��&#�i/2"#)����G5 % @FD   Ä$^ �7`   Ú D   Ä´^ �õá�|A`  �.�¤/���"'�k-0/W$��@ä���yo50�[Ú ä��]á�|iyo50��5 % @.D   Ä$^ �7`   Þ D   Ä´^ �]á�|A`   /���� D   Ä´^ �M`   É}D   Ä$^ �]á�|A`   !'-����D   Ä´^ �7`   � D   Ä$^ �]á�|A`   Êa=k/����Xä��Vy750� dfä��]á�|�y750��Êa=�/����Ä!'-��¤&'��"#(��*!�@A����������"i5ÿ��)*�G/�����DR¡)x@FD   Ä´^ �M`   Þ D   Ä$^ �]á�|A`   /����HD   Ä$^ �7`   ªÉ D   Ä´^ �]á�|A`   !'-����Vä���yo50�EÚöä��]á�|öyo50�ÇÊ·4w/����§�.�[/�&'����+����5

jk����������!'�\_�D@{Qy�aa�P!'-��¢10/�&'!#)�!#)����r���+�i¦V(���/�!#�¢!#��5 �� � v Û x � { l Û ^ÅÄ `? 6 c�{�|����| ¡?��-��3&#��5kÚ5}yNaa�Py]���+!#�P!#-G/�!£{Qy�aa�V| ݧØ?��/����E�.�t����!$� Ä, zÇÚ�Õ ?   Ä$^ |A`   ÛWÛiÛlÕ ?   Ä´^ , `   ¡+@A��&�/�����-�Ü ÅÇØ¢à 4<És5����&�/���DE� �����+�\)]/���a ܤР�J�P-0/W$+�a ÚüÖ Ä � Ä] ^ |A` � Ä] ^ ?�` ÛWÛiÛ8� Ä] ^ Â�`yèF05ÇB��

��-��3&#�e5EÚ 5}y�aa�3¡�{[ÚM{Qy�aa��/����[Ã�zÇÚ�÷�y�{}��5����&¢��7�/�� 1�����¡O@A�+&EØaÚ�F0~Q)x@ea Ú Õ F | Õ ?? Õ × ¡Q!#-�����5}yNaa�gÚ Å*4+~�=�~�à8B�~�à�F�É#~?Ö Ä ÚÕ ? | Õ ?? Õ × ¡3{Qy�aa�ÊÚýy'4�~W4i�./����6a ÚÿÖ Ä ÛWÕ ? | ÛiÕ ? | 5jk�����������V;0����/u10/�&'!#)]/��G��&'����&��+�E!#-��t� �����+�\)]/��¶"O�2@}!#-��P"�/2�E��!'��!�/2�?�����+&#���P)��gÐ.5��å�3���������æ� é.ê�ãWêÇa ï�ð�ç6aXs���ó+ð�ój�¢æ]ï�îxéªæèð¤ÐKíQæ]ê�òkê�ò�ã�é<ï:��ã êAó+êAï2îJç�ã��+ë#ãVãEï+ð�ç

é�å$³�ò£ê*ò�ï�ê.ê*ò�ã�ã����Yó+ð�ãið�ê]é�ó<Ú8Õ � æ]ð�a ï+ð�ç�aXs�ò�ï:îiã\ê�ò�ãué�ïj�¢ã���ï�ë3æ]ê�±!Ú�ó+ëtã�îWãië�±�×mÜ ÅÇØ�ÉAëì?ò�ãið0íÊãyíQë3æ]êAã�aXs?Ý�a æ ÚPó�ð�ã�ó<Ú�ê*ò�ãÇÚ3ó�î]î�ójíQæ]ð:��ò�ó2î*ç�é4+50c�y�aXs��£(,c}yNaa�TRJó+ë=�50c�y�aXs��QÚXc}yNaa�kï�ð�ç\×�Ø?Ù�y�� 5�y�aXs]��� c � Þ ×AØ?Ù�y_� 5}y�aa��� c ���&#�+� �������+�g��������!'� a ^ , ` zÇÚ�a Û � Ä, ~

��-��3&#�e5EÚ 5}y�aa�35Ö�å�è.èQ\ F05Ç�(éEê}ãWêIa ÜÏÐ ì�ã¢ï��¢ó�ð�ój�¢æ]ï�îOï�ð�ç�-�Ü ÅÇØ�à 4<ÉAëyì?ò�ãWða Û�� , Ú a ^ , ` Ê Ut)� � t v ëMx Ê t ; t)� a s ~í}ò�ãië'ãQÊ t ; t)� ÜP|öv�~W4>~$ë

Page 63: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ü ü ¬ �G�Gù�����¹?úGù�¹?�?�g¹?¼�¾?� � úG¹ÿçYæSæ� é8>­��!�c�y�aa�PÚIydc­|ö~������G~�c�c���¡���)�!#-+c�c¤Ú v _G�\!#-��¢��7�10�+������!�10/2&#!')*!')����r��@a·¡�!'-����@c}yNa ^ , ` ��ÚÍydc | Ê�=�~Tc ? ÊÄ=�~�������~Tc , Ê =�~�c , á�| ~������0~Tc c �35 % ! © "������i/�&�!'-0/�!.a ^ , `)�"t/¢!'��&#� "t/21�10�W/�&#)����\)��[!'-�����7�10/2��"#)��+�[��@Q!#-���1G����D������ )]/��(a Û�� , /����g!'-0/�!W¡G)¶@ÇaXs�)*"/2����!'-���&8!'��&#�6/21�1G�i/�&')*���\)*�0a Û�� , !#-����4c�y�aXs*�i�Vc�y�a ^ , ` ��5 % @uc}yNa ^ , ` ��ªÚ¯c}yNaXs]���.�/2&#�8�������P"#�¢�.�t�W/��E"'(�1�1G��"'��c}yNa ^ , ` �QÚXc�y�aXs]��5�T�-�)�"��i/�� -0/�1�10���w�+����D�)x@I5�y�aa��yõp2�.Ú5}yNaXs]��y�p��@A��&�/2���Op�¸Ü¯>Q¡���-���&#�)>ÒzÇÚ |�prÜýÅ Ø�É�z�c�ß�y�aa��Ú c , y�aa��~R5wC�)������ � 5}yNaa��� c)�"��E�+����!'�����P)�����&'�i/�"')����E)��A>k)*!.@�����������"J!'-0/�!P×AØ?Ù�y_� 5}y�aa��� c � Þ ×AØ?Ù�y_� 5}yNaXsA� c � ��/2���[!#-��

1�&'����@�)�"����+�E1�����!'��5H.D�!#-�������"#�3&#)�1�!#)��+�\��@�c}yNa ^ , ` ����)�$��3��)��¢!#-���1�&'����@?��@�>­���E�w/.F05Ç���.�J�3�*�W/�&#��D¢-0/W$��.!#-G/�!i¡@A�+&^/2����-\Ü ÅÇØ¢à�4VÉ#¡ a s Ý�a Ú�9 a s ^ , ` Ý�a ^ , ` �yèF05 FR�ew�+&#����$+��&i¡�_�D\!#-������V;0��)�!#)��+�E��@u5}yNaa��¡��J�P-0/W$+�t!'-0/�!5}y�aa�.Ú 5}y�a ^ , ` ���yèF05ÇK��` ��������!.k�_0��/u�E�+����� )*/2�Z¡�5EÚ 5}y�k£�8/�����{QyNk[�OÚýy­{ | ~������G~¨{  ��5OH.Dg>?�3�E�g/ FG5 �u�.�-0/W$+�P!#-0/2! kIÛ��<]:9JÚ«k�� Ä]:9 Ê Ut � � ³$� �  9 � ³ ; t)� a s �H.D¤yèF05 FR�./����kyèF05ÇK��Ê�J�P�+_�!�/2)*� !#-0/2!kIÛ�� ] 9_� ] = Ú k�� Ä]:9 � ] =uÊ Ut)� � ³�� �  9 � ³ ; t)� a s � ] =

Ú k�� Ä]:9 � Ä]>= Ê Ut � � � ³�� �  9 � �  = o ³ ; t)� � a sÅs��-��3&#��o ³ ; t)� � /2&#� "#(�)�!�/2_�����)��R!'�����3&#"i5Ê`8���Ä����!�a _G��/���D¢�E�������E)�/��+)*�EÐ.5ÊHJD\)�!#�3&�/�!')����!'-�)�"Q1�&#�����3��(�&#�P/����\_�D�!V/���)����ek zÇÚ�Ö Ä$^ t ` ¡�@�&#���þ5}yAÖ Ä´^ t ` �OÚ�5}yNaa�J/2���wy]F05ÇB+�}�.��-0/W$+�!'-0/�! a ÚÿÖ Ä$^ t ` � ] ^ t ` Ê Ut � � t o t � ; t a s �yèF05ÇM��

Ö�å�è.èQ\ F05ÇS[y�C�!#&V/�)���-�!'����)����\>?��� �g/���é!ê}ãWêea ìVãkï���ó+ð�ój�¢æ]ï2î�æ]ðÄÐÇë¶ì?ò�ãið�aï+çj�¢æ]ê]é�ê�ò�ãuÚ3ó�î]î�ójíQæ]ð:�Eã����?ë#ã3éVé<æèó�ða Ú«� ] ^ t ` ÛWÖ Ä$^ t ` Ê Ut � � t Ø t)� ; t � ] ^ t)� ` ÛWÖ Ä´^ t)� ` ~í}ò�ãië'ã8Ø t ; t)� ï+ë#ã�æèð�êAã��+ãië<é�ëÿ

çYæSæ� é % !.@�����������"J)��E�\�3��)]/�!#�3�*Du_RD )�!#��&V/�!#)����wy]FG5ÇM���5����&\��7�/2�E1�����¡O����!wØaÚ¸F /2����a Ú¸Õ ü | Õ × ? Õ üü �Qjk�w-0/W$+�Gc�y�aa�wÚ y]FG~#FG~�B+��¡º5}y�aa�wÚÅ�4�~'F0~3à8=�~3à8BWÉ#¡�ydä | ~Tä ? ~�ä × �QÚay�=�~V=�~W4i�3¡RÖ Ä ÚüÕ ? | Õ ? Õ ?ü /����¦{Qy�aa�QÚÍyAB+��5OT�-����a ÚüÖ Ä´^ t ` � ×)��gÐ.5

` �����J��/2&#�P&#�i/2��Dw!#�¢"#!V/�!#�¢/����w1�&'��$��P!#-��P�w/�)��\&#��"'(���!8�2@�!#-�)*"�"'����!')*�+�}5

Page 64: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü ¬ ?�¬ �?��¾­¹R�Gù��?��¾*½?�������R�?�wúG�$®RúG���V���?��¹��Gùõ�G�}�±���Gú � ���ã.ä@å'æ@ç@å�è F05�4Wv(é�ì?ò�ã�é�ãWê |�Ö Ä Ê�� �c zG5[Ü[d c ~æ�éPïEìVï�é�æ�éuÚ�ó+ë�+43+yAd c ��ëÿ

çYæSæ� é�H.Dr!#-��\C�!#&V/�)���-�!'����)����[>?��� �g/uF05ÇS\!'-��\"#�3!�|öÖ Ä Ê�� �c z�5 ÜÄd�c@~\"'10/���"+�3+yAduc0��/�"8/ �PXZ$+����!'��&�"#1G/�����/2���w)�!J-0/2"8!'-��P&#)���-�!.��)��E����"')����g/2"�"#!V/�!#�3�g)��A~�=�5 =ËSn*Æ�n*Æ@n8¥rx'òPx(»'q$tIq$x'¾b$e¿>x'òPàux'tIq$tSwD$ývNt�+�3+yAd c ��nÿçYæ��(æ���������æ� F05�4�4$é�ê}ãWêS5}~�É\Ü[d�cSë�ì?ò�ãiðÉ�ÛiÖ Ä Ú UA h Í � �8\ ^ s'¡ `7¢£\ ^ s � ` B Ø h Ö h ÊHD�~í}ò�ãië'ã8Ø h ÜH�ôï+ð�ç�D Ü9� �c ëÿçYæSæ� é�� 1�1���Dk!#-��gC�!'&�/�)��+-R!'����)����[>?�3�E�g/£yA>­���E�w/\F05ÇS+�P!#�#a Ú©É0y�Ö Ä ��5[` ��!'�!'-0/�!Ç� ] ^ t)� ` ªÜ�� �c )x@­/2���\�����*Du)¶@�{QyNaXs*�QÚ«���2U8�����3��¡�)x@IaXs���)�$��3"J/P���+��XZ¥3��&#���3����!#&')*_�(�!#�

)��E!'-�)�"���7�10/���"#)����w��@ua �.�P-0/W$��eaXs0Ú�Ö Ä´^ t)� ` 5 % @O�J�P����!.L Ú�5}y�aXs���¡�!#-����c�yAÖ h �OÚXc}yNa s �0�'c}yNaa�QÚXc}y�É�Û�Ö Ä ��ÚXc�yAÖ Ä ���H.DgLO&'��1G��"')*!')����EFG5�4�4 �J�P-0/W$+�t!'-0/�!> ¢\:; � zÇÚÄ"'10/��(Zý|�Ö Ä Ê�� �c �]5wÜÏduc}~�c�yAÖ Ä �£�'c�~/2��� >_¤\:; � zÇÚÄ"'10/�� Z |�Ö Ä Ê�� �c �]5wÜÏd c ~�c�yAÖ Ä �£('c�~/2&#�w!l�J�r"#(�_��E����(�����"\�2@Ï+ �, ��-��3&#�#-�Ú¶� cG�¶5�T�-���)�&\��(��+!#)�����!\)�"�"'!#)����8/kd c Xl�E����(��*����3����!'���[_�D

+ \ zÇÚ > ¢\:; �>`¤\:; � �����&�/���DgаÕaÅ Ø�à§4<É}�J�P���<;0����!'-���10/2&#!#)�!')*�+�c}y�ÐO�.zÇÚaypc | ~������0~Tc c�{}| ��~��-��3&#��c � zÇÚ � Ð�ÛrÅÇ×'~�Ø�à§4<É<�������+&8Ð | ~VÐ ? ÕaŠتà 4<É#¡��J�P���V;G����!#-��t$+����!'��&c 8 9 ; 8 =�z Ú�=PÛÞc 8 9IÊ�� 8 =�~��-��3&#����8>= Ü#|�v�~W4>~ c�{}| )�"�!'-����V-0/�&V/���!'��&#)�"'!#)���$��3��!#�+&8��@QÐ@?�5

����&.����!V/�!')*�+�E���+��$�����)���������¡G�J�P)���!#&'�R��(����P!#-�)�"����3�a����"#�3����!8"#�3!d\ÓiÔ3cOy750�ýzÇÚ�d\ÓiÔ+y_� 5I� c?�

/2���w�J�P����! k[Ó�B�c?y750�ýzÇÚ�k[Ó�B�yo50�GÛ¤ÅÇØ�à§4<É]�¥.å�èQ\@ç�¦ F05�4i='é�����&8/���D�5wܤd c �.��-0/W$+�c}y�Ö Ä ��ÚXc 8 9 ; 8 =2~��-��3&#��Ð | Úÿd\ÓiÔ c y750� /����[Ð ? Ú«k[Ó�B c y750�35

T�-��P���37R!�1�&#��1G��"')�!#)����w!#�3�*��".(�"8��-����w!#-���&'��1�&'��"#����!V/�!#)��+�#+�\¢)*"�������!#&')*$�)]/��l5

Page 65: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� F ü ¬ �G�Gù�����¹?úGù�¹?�?�g¹?¼�¾?� � úG¹ÿçYæ��(æ���������æ� F05�4iB'é�ì?ò�ã�Ú�ó2î]î*ó:íQæ]ðj�wê�ò�ë'ãVãy³Vó�ð�ç�æ]ê�æ]ó�ðYéªó+ð�c[Ú ydc­|ö~������G~�c�c�{�|#�\ï�ë'ã

ãVäWåRæoîiï2î*ãWð�ê�ï×A�0+�\rªÚÿv��×�×A�@c\ÚXc�yAÖ Ä ��~ Ú�ó�ë é�ój�¢ã.5£ÜÏduc��×�×�×A�@c·Ú c'8:9�; 8>=6Ú�ó�ëwé�ó:��ãrÐ�|ö~VÐ@?�Ü6Å Ø à�4<ÉEï�ð�ç/c���à¯c��]á�|ÄÜ |�v�~W4�~V=$~�Ú�ó+ë¤ï2î]î×?ÚÍ4�~������G~�تà 4+~�í}ò�ãië'ãQc c zÇÚÿv�ëÿçYæSæ� é.+�\�ªÚ vw)x@h/2���¤�+����D[)x@^!'-���&'�E��7�)�"#!'"e5ÄÜ duck"#(���-k!'-0/�!kc}y�Ö Ä �tÚ©c /����

_�D¤fh���g/2&#�wF05�4i=�¡�c}y�Ö Ä �tÚ©c(8:9<; 8>=¢��)*!'- Ð�|�Ú d\ÓiÔ3c�yo50�¢/����kÐ@?\ÚÁk[Ó�B�c?y750�35gø �k!#-���+!#-���&�-G/���� ��)�$����<c(8:9�; 8>= ��)�!#-<c��Gà�c��]á�|8ÜH|öv�~i4+~�=�~h/2���gÐ�|�¡�Ð@?�ÕaÅÇØuà§4VÉ}!'-���&'�t�37R)�"'!#"/�5[Ü[d�cw��)�!#-wd\ÓiÔ3cOy750�.ÚüÐ�|P/����6k[Ó�B�c�y750�QÚÿÐ@?+¡0/����E�.��/�&'�t��������5

��&#�+� �������.�P�������+!#�y+ 8 9 ; 8 =�zÇÚ�+ \ Ý 9 � Ý = 5ÿçYæ��(æ���������æ� F05�4�F@éOK}ó+ë�ï�ð�±�Ð�|ÞR�Ð@?ÏÕüÅÇØ\à�4<ɸROê*ò�ã�é�ãWê|$�Ö Ä z�5wÜÏd c ~Qd\ÓWÔ c y750�.ÚÿÐ | ï�ð�ç.k£Ó�B c yo50�.ÚüÐ ? ~R~í}ò�ãië'ãe�Ö Ä æ�é�ê*ò�ã�æ7�¢ï��+ã¢óAÚ�Ö Ä æèð[ê*ò�ã�äWå�ó�ê�æ]ãWð�êu+�\3RQæ�é�ïEìVï�é�æ�é�ó<Ú.+�8:9A; 8>=>ëÿçYæSæ� é8>­��!�5�ªÚ 5�s�!l�J�£��$����YXZ"')*�+������10��&'�\(�!�/2!#)�����"t"'(��V- !'-0/�!�c�yAÖ Ä �uÚCc}y�Ö Ä � ��5H.Dªfh���g/2&#� F05�4i=h@A�+�*������"�!#-0/2!vc 8 9 ; 8 =�ÚVc 8 �9 ; 8 �= ~���-��3&#�tÐ | ~VÐ�s | /����\Ð ? ~VÐxs? /�&'�8d\ÓiÔ c /����k[Ó�B�c\��@G5[/����r5�sl¡�&#��"'10���3!#)�$�����D�5QU ��������Ð�|^ÚÿÐxs | ¡�Ð@?�ÚüÐxs? /����g×�Ø?Ù�y_� 5I� c0�ÊÚü×�Ø?Ù�y�� 5ts_� cY�

"'�\!#-0/2!�!#-��P�E�+����� )*/2�*"QÖ Ä /2���[Ö Ä � /2&#�P)������+�E10/2&�/�_��*�+5H.DE!'-���1�&'��$�)*�+(�"81�&#��1G��"')�!#)���� )*!�)�"��0/2!#(�&V/���!#�\�i/2�*��!#-��¢d�c�Xl�E����(��*�.+�8:9<; 8>=�/wð�ã���ï+êAæoîiã�2ç+ã�é�³Vãið�êJë'ã��?ë#ã3é<ãWð�ê�ï�ê�æ]ó�ð�5ã.ä@å'æ@ç@å�è F05�4WK(éOK�ó�ëPã�îiãWë�±�v�d�-rdÄØ ? à ØxR+ �, 5Ú �8 9 ; 8 = +�8:9A; 8>=ï2éhd c 2.�¢óiç+å+î*ã3é�Ruí}ò�ãië'ã�ê�ò�ãé<å$�:æ�éPójîWãiëuï�î]î0Ð | ~�Ð ? Ü ÅÇØ¢à�4<ÉJé�å$³�ò£ê*ò�ï�ê

=PÛ U� Í 8:9 ×'ÊV� Ð ? ��ÚV-��ÿ

çYæSæ� é�` ��!'�E!#-G/�!�_�DÄy]F05Ç=+��¡}Ö Ä Ê�� �c Ü�+ �, )¶@8/����k������D[)x@8d\nEo2pYyo50�\Ú -@�}H.DT�-��3��&#�3� FG5*4WvP�.�8-0/W$+�8!#-G/�!ý|öÖ Ä Ê�� �c z�d\nEo2p�y750��Ú«-'~P)*"�/u_0/�"')*"Ê@A�+&F+ �, /2���E"'��_�D,.�+&#�����]/�&'DPF05�4�FG¡j+ �, 5Ú J 8 9 ; 8 =�+ 8 9 ; 8 =�¡�/�"�� Xl$�����!'��&."#10/2����"W¡���-���&#�PÐ | ~VÐ ? ÕaÅ Ø à[4<ÉY��)�!'-W � Í 8 9 ×�Ê0� Ð ? ��Ú«-?5�HJD�e£/�"#�V-��+� © "O!#-����+&#���r¡�)x@�§Ä)*"Q/^;0��)�!#�.��)��E����"#)����0/2�´µ Xl�E����(��*�­@A��&/;0��)�!#�P�+&#��(�1[µ yè��$���&8/;0�����w��@O�V-0/�&V/���!'��&#)�"#!')���¥���&'�R�8/2���0��Õ�§a)�"8/�µ XZ"'(�_�� �R��(�����¡!'-����%§ 5Ú ��Jÿy8§u¸$�ü��/2"Fµ Xl�E����(��*�+5}� 1�1���D\!#-�)�"�!'-�����&'���:!#�¢!#-���10�+"#��!

|#> ¢\ Ý 9 � Ý = ; � z�Ð | ~�Ð ? ÕaÅÇØ¢à�4VÉ#~�=PÛ U� Í 8 9 ×�ÊÓ� Ð ? ��Ú«-'~

�+&#����&'���[_�DE�����E)��0/2����� ��&#����&8�+�g!'-���10/2&#!')*!')�����"Qc'8:9A; 8>=+5QT�-��u&#��"'(���!�@A�+�*������"Q_�D )*����(��VX!')*�+�E�+�g!'-�)�"�10�+"#��!P/���� _�DE!#-��t���V;0��)�!#)��+�g�2@vc'8:9�; 8>=�5

Page 66: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü ¬ ?�¬ �?��¾­¹R�Gù��?��¾*½?�������R�?�wúG�$®RúG���V���?��¹��Gùõ�G�}�±���Gú � ��mËSn*Æ�n*þ@n8â�ß>ß>q�"S¾u¿>vp�H�7q�¿>x'òPàux'tIq$tSwD$ýx�½.w�¼Gq@"Sq�$�¿>q$tSw4ß>q$àGß>q�$�q$tSw�Þ�w�v7x'tb$�n % �E!#-�)*"

"'����!#)��+�k�J�¢1�&#��$+�E/ "#)��E1������3���\_�)��0/2!#��&')]/��?��/WDg!'�[���+�E1�(�!'��!#-��\�\(���!#)�1���)���)�!#)���"���@�!#-��)�&#&'����(��3)*_��*�\&'��1�&'��"#����!V/�!#)��+��"\��@td c )�� + 8 9 ; 8 =+5 T�-�)�"�&#��"'(���!�)�"�/ &'�V;0����� ����!��2@hCY!#����X_�&')������ © "�T�-��3��&#�3� yèT�-�����&'���:F05ÇM+��5

9 �V;0�����EÅ�Å D | ~ND | D ? ~������èÉ�Ém!'�E_G�\!#-��\&')����E�2@J@A�+&#�w/��?"#�3&#)���"¢)*�£����(���!V/�_���D[�w/���DE$�/öX&')õ/2_�����"�D | ~ND | D ? ~�������~�D | D ? ÛiÛWÛCD , ~������'¨}/ �*)����W/�&8_G/�"#)�" @A�+&t)�!P���+��"#)�"#!'"���@�!#-���� �����+�E)]/W��"D \ zÇÚPD \:9| ÛWÛiÛCD \ c @A�+&8/����01G/�&#!')�!#)�����"Qc Úaydc­|�~������G~Tc , �35>­��!¨n�z'�EÅ�Å D | ~�D | D ? ~������èÉ�É�� �ªÅ�Å � | ~ � | � ? ~������èÉ�É�_G�¢!#-����w/�1w���V;G�����r���[!'-����+������&V/WX!'��&#"�_�D nVy�D \ ��zÇÚ � \ � ~/2���w��7�!#���������[_�DE��)����i/2&#)�!lDR5­`8��!'�P!#-0/2!�nQ)�"����+!^/¢&')*����-��+�E�+�E��&'1�-�)�"#�[5

����&8/2�RD "#!V/����0/2&#� ¯J�+(����\_�)�!�/2_����i/�(ÑÚÍyÑ| ~Ñ ? �.�2@Q"#-0/210�Eypc ^ |]` ~Tc ^ ?�` ��¡�@�����������)*���

Å���É#¡��.�t���V;0���P@���&8×OÜkÅÇØ�ÉJ¡Ò � yÑ��zÇÚ�� |�p��§×Pzhp�Ü[d\ÓiÔ+y Ñ ��~R~

Ê � y Ñ ��zÇÚ § 4+~:)x@m×OÜ0k[Ó�B�y Ñ ��¨v�~:��!'-���&#��)�"'�R~/2��� �W��y Ñ �!z Úÿ=PÛiÒ+�#y Ñ ��Ê-Ê#�Vy Ñ ���yèF05Çq��T�-�� @A�+���*����)����P����� �g/ )�"��R�������g/����g�.�P&#�V@���&8!'-���&#�W/�����& !#�wÅ���É?@A�+&�)�!#"�1�&'�R�2@�5Ö�å�è.èQ\ F05�4iM'é S Úuydc ^ |A` ~Tc ^ ?_` �HhwØGë�ì?ò�ãWðnVÅÇÔ \ v 9 x y#4+~�D | D ? ~�D | D ? D × D ü ~������l�OÛiÔ \ v =7x y�D | ~�D | D ? D × ~���������É}Ú

Ú W ËGÍ 8w� Ë ^ \ v 9 x ; \ v =0x ` U c����| � º Û ^ Ë `�U c����| y#4.à � ? | � ?? ÛiÛWÛ � ?� � �>­��!

ÑÚ·yÑ|ö~Ñ ?i�h_0��/ª¯J��(����\"#!V/����0/2&#�r_�)�!�/2_����i/�(}5hjk�t��������!'��_�D âÑ zÇÚ y Ñ ?+~ Ñ |��

!'-��8_�)�!V/�_����i/2(\��_�!V/�)������ _RD¢"#��/�1�1�)�����!#-��t!l�.��!V/�_����i/2(�7�)��Ñ/2���E�.�8�W/����0)�!Q!'-��\êAë'ï�ð�éT2��ó�é�ã¢ìiæ]ê�ï�ì3î*ãVï+åE�2@ Ñ 5

T�-��@A����������)�����!'���V-���)��i/2������� �g/u)�"�@A(����0/�� ����!�/��?)��[!'-��¢1�&#����@.��@Q!#-��¢�g/2)��E&#�3"#(���!�2@�!#-�)*"�"'����!')*�+� y]T�-�����&'��� FG5Ç=�4i�35Ö�å�è.èQ\ F05�4iq'é�ê�ãiê Ñ Ú6y Ñ |�~ Ñ ?W�EìVãwïML0ó�å�ðj�ré�ê�ï�ð�ç+ï�ë'ç¤ìWæ]ê�ï�ì3î*ãVï�åkó<ÚEê�ó�ê�ï�î.é<æ�Iiã¢Øé�å$³�ò£ê*ò�ï�êOØ£Ü Ñ |Äë�ì?ò�ãWð � � y Ñ �QÚ«� � y âÑ ��Ê�4Ú�ó+ëPï�î]î?×?Úý4+~������G~VØGëÿ

çYæSæ� é�jk�\1�&#����������_�D¤_0/2�V�R��/�&'��"�)�����(���!#)����k�+� ×'5 % @8×8ÚIØ )�! © "P�+_R$�)���(�"i5EC��"'(�1�1G��"#�¢×OÝ�ØO5}jk�P-0/W$+�8@���(�&.�i/�"'��"P!#�¢������"#)�����&W5o��g×�ܤd\ÓWÔ+y

Ñ��¡?/2���g×mÜ

Ñ ?T�-�)�".)��E1���)���"Q!'-0/�!�×�Ê�4Ü Ñ ? /����w"#�\Ò � y Ñ �OÚüÒ �]á�| y Ñ �@Ê�4P/����<Ê � y Ñ �QÚVÊ �]á�| y Ñ ��� % � âÑ�.�P-0/W$���/���/�)��EÒ+��y âÑ �QÚ�Ò+�]á�|öy âÑ �@Êÿ4t/2���@Ê#�Vy âÑ �ÊÚVÊ'�]á�|iy âÑ ����U ��������¡G_�D\)�����(��3!#)����}¡� � y Ñ � Ú =+Ò � y

Ñ��Ê-Ê � y Ñ �QÚü=+Ò �õá�| y Ñ ��Ê-Ê �õá�| y Ñ �@ÊÄ=

Ú �W�]á�|�y Ñ ��Ê�=�Ú«�W�õá�|�y âÑ �@ÊÄBÚ � � y âÑ �@Ê�4j�

Page 67: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� � ü ¬ �G�Gù�����¹?úGù�¹?�?�g¹?¼�¾?� � úG¹ 3�g×�ܤd\ÓWÔ+y Ñ ��¡?/2���g×mÜ Ñ |% @t×SÊý4wÜ Ñ |�¡O!#-����Ä/����Q!'-��E���+����)�!#)��+��"�/�&'�g/2"�)��k�i/�"'�Ï/+��/����k!#-�� &#��"'(���!¢@A����������"8_�D)�����(���!#)�����5ø !#-���&#��)�"#�+¡})x@8×@Êa4\Ü Ñ ?�¡?!'-���� Ò+�Vy Ñ �8Ú Ò��]á�|iy Ñ �GÊa4gÊ#�'y Ñ �PÚ6Ê#�]á�|�y Ñ �Êàü4+¡}Ò+�#y âÑ �8ÚÒ �]á�| y âÑ ��/2���@Ê � y âÑ �QÚ,Ê �]á�| y âÑ ��Ê�4:��U8��������¡G_�DE)�����(��3!#)����}¡� � y Ñ � Ú =+Ò �õá�| ÊÄ=�Ê/Ê �]á�| à�4�ÚV� �]á�| y Ñ �SÊ�4

Ú �W�]á�|�y âÑ �SÊ =PÚü=+Ò+�#y �Ñ �@Ê/Ê'��y �Ñ ��Ê�4Ú � � y âÑ �SÊ�4:�

Ö3�g×!ªÜ¤d\ÓWÔ+y Ñ ��¡?/2���g×mÜ Ñ |T�-�)�" )*� 1���)���"�!#-0/2!�×(Êa4¢Ü Ñ |t!'-���� Ò+�#y Ñ �8Ú·Ò+�õá�|Wy Ñ �¶Ê'�#y Ñ � Ú Ê'�]á�|�y Ñ �8/2���r!#-��¢"�/2�E�&'���]/�!#)��+�\@A�+& �Ñ /2���E"'�\!#-���!'-���"')*"��W/�"#)���D\@�����������"i5Ò��g×!ªÜ¤d\ÓWÔ+y Ñ ��¡?/2���g×mÜ Ñ ?

T�-��3&#��/�&'�t!l�.�¢10�+"#"#)�_�)���)�!#)���"�z�×�ÊÄ4 Ü Ñ |���& Ñ ?+5 % �E_G��!'-g�W/�"#�3"8!#-��t!'-���"')*"��W/�"#)���D¢@A�+�*������"_�D\)�����(��3!#)����}5����&8/2�[�������E�3�R!�5rܤd c ����!8!'-��Eyè��&�/2�����0�h!#&V/����¢��@Q)�!#"P/���!')*�+�w���[!'-���1G����D������ )õ/2�0&')����) c _0� Ñ Ã@© y750��zÇÚ«U O«ª 5EÛWn[~Vn)¬OÛ��� \ ^ O ` ~��-��3&#�P!#-�� "#(�� )*"Ê��$���&�/����G�E�������\)]/��x"�nIÜ0)Pc}¡3c}y�nE�.)�"Q!'-��P��7�10�+������!J1G/�&#!')�!#)����\�2@�n[¡/2���\!#-�� )�������&.1�&#����(���!�)�"Q"#(��V-w!#-G/�!Q!'-��8"'��!���@�/2�*���E�������E)]/W��"})�"J/2�E�+&#!#-������+&#�g/2��_0/�"')*"@A�+&F)c}5O`8�+!#�P!#-0/2! ª 5EÛWn[~Vn)¬.ÜH|öv�~_�¢4 ~R5

T�-�� @A�+���*����)����P����� �g/ )�"�!#-��P&#�3"#!#&')���!#)����£!#�Ed c ��@J,.�]/�)�� K�5�4W=�)��¤Å���É#5Ö�å�è.èQ\ F05�4i�'é S Úý5kÜ duc�æ�é�óAÚ�³�±>³�î�ã\ê�±<��ãEy � ~ú§}�¢ê*ò�ãiðkê�ò�ã êAë'ïj³Vã\óAÚ¢æ]êèé�ïj³Wê�æ]ó�ðkó+ð­ c æ�é Ñ Ã@® yo50�.ÚDnVÅ D L ; µ y��Õ?~:�c���É#~í}ò�ãië'ã��Õ6zÇÚýy'4�~ND?|7D(?+~ND?|�D'?�D�×�D ü ~������l��ï+ð�çH�c�zÇÚýy�D?|i~ND?|ND(?<D�×�~������l��ëT�-����3��)���$�/�&#)]/2�R!Q/2�*�+��_�&V/e+�3�y�d�c0�Ê-0/2"Q!#-�� ����"'������!�_0/�"')�".|�Ö Ä Ê�� �c z�5wÜÏduc@~�5�C��

"')*� )��õ/2&#��D�!'��)Pc �J�u�*�3!Ñ Ã © @¯N° ï y750�ýzÇÚ UÄ Í � ª 5EÛ+yAÖ Ä Ê�� �c ��~VÖ Ä Ê�� �c ¬ÊÛ$�� \ ^ s � ` ~yèF05Ç���

��-��3&#��!'-��P)*������&81�&#����(���!�)�"�"'(��V-[!#-0/2!�!#-��P���3"#������!P_0/2"#)�"�)�"J�+&#!#-������+&#�0/2�Z5Ö�å�è.èQ\ F05�4iS'é�ê�ãiêOØwÜ ­ �Çì?ò�ãiðÑ Ã?® y750�.Ú Ñ Ã ® @¯N° ï y75G�QÛ U � W@X �� � U\_^ \>`±�0c�{�| �� ?'\ �ÿçYæSæ� é�jk�.���+��"#)�����&Ê!#-��.@A�+���*����)�����_G/�"#)�"O��@?-��+�E���+�������+(�"}1G����D����+�E)]/���"S|Ä�<]&ïQÖ Ä z5rÜ duck~£{ � Ú y'yAØ?����~:�{ � ��~�)���"'!#�i/2�¤�2@Q!#-��¢�E�+����� )*/���_0/�"')*"W58T�-���!'&�/��3� Ñ Ã?© )*" ����!

�V-0/2��������5�H.(�!P@���&P!#-��\C�!'&�/�)��+-R!'����)����[>?�3�E�g/u�.�\-0/W$��¢!#-0/2!P!#-��\�w/�7�)��E/��?�E�+�����\)]/2�n )����<]&ïJÖ Ä -0/�"\��7�1G�����3�R!w10/2&#!')*!')����'c�yAn �wÚ c}y�Ö Ä �ÇÊX{ � y�nE��sZ¡.��-��3&#�r!#-��["'(�� ��@10/2&#!')*!')�����".)�"������ 10�+������!l��)�"#��5�HJDkyèF05Ç���Ê!#-��P!'-���"#)�"h@A����������"i5

Page 68: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü ¬ ?�¬ �?��¾­¹R�Gù��?��¾*½?�������R�?�wúG�$®RúG���V���?��¹��Gùõ�G�}�±���Gú � � �¥.å�èQ\@ç�¦ F05Ç=�v'é % ! © "������i/2&�!#-0/2!U � W@X y � |}ÛWÛiÛ � c�� � Ú 4

4.à � | ÛWÛWÛ � c/2���

U\�^ \>`7�Gc�{�| y � |}ÛWÛiÛ � cY� ?'\ Úc�{}|�����| 4

4.à � ? | ÛWÛiÛ � ?� �jk�P/�&#�u������&#�W/���D !#�\"#!V/�!'��/���� 1�&#��$+�P!#-����w/�)��\&#�3"#(���!���@Q!'-�)�"�"#����!')����}5

ã.ä@å'æ@ç@å�è F05Ç=�4´éOK�ó�ë�ï+ð�±��Yï+æ]ë¢óAÚué<å�ì3é�ãiêèétÐ�|�~�Ð@?�Õ�ÅÇØ�àü4VÉ�RJï+ð�ç[ïwìWæ �Yï+ë�ê�æ]êAæèó�ð[ó<ÚØÄypc}~ú{}�uh£ØxRJê*ò�ãy�¢å+î*ê�æ �0î�æ7³Wæ]ê�±\ó<Ú�ê�ò�ã\æ]ë�ë'ãVç�å$³iæèì�î�ã8d�c�2#ë#ã]��ë#ã3é�ãið�êAï+êAæ]ó+ð0³Vó�ë�ë'ã�éN��ó�ð�ç+æ]ðj� êAóypc}~ú{}� × æ]ð�+48:9�; 8>=\æõé

n 8 9 ; 8 = ; ^ \:; ]>` � zÇÚK� | Ñ Ü¤d\Ð}� Ñ |&c}~ú{G~Óztd\ÓWÔ�y Ñ �JÚÿÐ�|tï+ð�ç.k[Ó�B�y Ñ �QÚÿÐ@?>~����ÿçYæSæ� é�H.D[>?��� �g/ F05�4WS�/����[fh���g/2&#�¢F05Ç=�vu�J�P-0/W$+�Ñ Ã Ù ï y750�.Û c�{�|�����| 4

y#4.à � ? | ÛWÛiÛ � ?� ��y'4�à � | ÛWÛiÛ � c � ÚÑ Ã © y75G���yèF05ÇS��

H.Dg>­���E�w/8FG5�4i�u�J�P-0/W$+� Ñ Ã © yo50�JÚ�nVÅ D L ; µ y��Õ?~:�cR�ZÉyèF05�4iv+�

!'-0/�!W¡�_RDw��&'��_G����)�(�"8����&'�\(��]/�@���&�!lD�10��dw¡�)*"��3�R(G/��?!#�

n³²´ U \:; ] �u^ \:; ]>` �L ; µ yAÔ \ y��Õ��'Ô ] y��c���Ê�Ô ] y��Õ0�'Ô \ y��cR�'��Ê U\w�   \   � = 5 �º^ \:; \>` �L ; µ ÊR�u^ \:; \>` �L ; µ 6 Ô \ y��Õ0�'Ô \ y��cR�±µ¶#�U ��������/21�1���D�)�����!'-��P��)*���i/�&')*!lD\�2@PnQ/2���[>?��� �g/ F05�4WM��.�P��_�!V/�)��E!'-0/�!.+��Åù0�ÇÐG�+��@^yèF05�4iv+�)�"�����(0/2�?!#�

Ú 4U c����| y'4.à � ? | ÛWÛWÛ � ?c � p U \:; ] � ^ \:; ]>` �L ; µ 5 UËGÍ 8w� Ë ^ \:; ]>`c�����| � º Û ^ Ë `� Ê UËGÍ 8w� Ë ^ ]:; \>`

c�����| � º Û ^ Ë `� 6

Ê U\w�   \   � = 5 � ^ \:; \>` �L ; µ Ê·� ^ \:; \>` �L ; µ 6 UËIÍ 8w� Ë ^ \:; \>`c�����| � º Û ^ Ë `� r �

Page 69: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

F X ü ¬ �G�Gù�����¹?úGù�¹?�?�g¹?¼�¾?� � úG¹C�1��*)�!'!#)����\�i/2��-k"'(��6�+�[!#-��EÐ�� Ñ )��[!l�.�E1�)*�3����"����310������)����[)x@^Ør)�"P)*� Ñ |��+&t)�� Ñ ?¢�.�-0/W$+�nVÅ D L ; µ y��Õ�~>�c+��É Ú 4U c����| y#4hà � ? | ÛiÛWÛ � ?c � p U \:; ] � ^ \:; ]>` �L ; µ Û

5 U^ Ë 9A; Ë =<` Í 8w� Ë ^ \:; ]>`+c Í=Ë 9c�����| � º Û ^ Ë `� Ê U^ Ë 9<; Ë =A` Í 8w� Ë ^ \:; ]>`�c Í=Ë =

c�����| � º Û ^ Ë `�

Ê U^ Ë 9<; Ë =A` Í 8w� Ë ^ ]:; \>`+c ÍÞË 9c�����| � º Û ^ Ë `� Ê U^ Ë 9�; Ë =A` Í 8w� Ë ^ ]:; \>`+c Í=Ë =

c�����| � º Û ^ Ë `� 6

Ê U\w�   \   � = y=�u^ \:; \>`�L ; µ ÊR�º^ \:; \>` �L ; µ ��y U^ Ë 9 ; Ë = ` Í 8w� Ë ^ \:; \>`N;#c ÍÞË 9

c�����| � º Û ^ Ë `�

Ê U^ Ë 9 ; Ë = ` Í 8w� Ë ^ \:; \>` ;#c Í=Ë =c�����| � º Û ^ Ë `� � r

T�-0/2����"�!#�E>­���E�w/8FG5�4iqnVÅ D L ; µ y��Õ�~>�c+��É�Ú 4U c����| y#4.à � ? | ÛWÛiÛ � ?c � Û>|>U \:; ] �u^ \:; ]>` �L ; µ y#4uÊ � |}ÛWÛiÛ � c��OÛÛ y U^ Ë 9 ; Ë = ` Í 8w� Ë ^ \:; ]>`�c Í=Ë 9

c�����| � º Û ^ Ë `� Ê U^ Ë 9 ; Ë = ` Í 8�� Ë ^ ]:; \>`+c Í=Ë 9

c�����| � º Û ^ Ë `� �

Ê U\w�   \   � = y � ^ \:; \>`�L ; µ Ê�� ^ \:; \>` �L ; µ � U^ Ë 9 ; Ë = ` Í 8w� Ë ^ \:; \>`N;#c Í=Ë 9

c�����| � º Û ^ Ë `� y'4uÊ � | ÛWÛiÛ � c ��~´�

U ��������_�Dry]F05ÇS+�J/2���w!#-��P���V;G��)�!#)����w��@QduXZ"'!�/2���0/�&'�[_�)�!�/2_����i/�(�7\�J�P-0/W$+�Ñ Ã Ù ï y750� Ú U \:; ] �u^ \:; ]>` �L ; µ UËIÍ � 8w� Ë A:\:; ]<Bc�{�|�����| � º Û ^ Ë `�

Ê U\w�   \   � = y � ^ \:; \>`�L ; µ Ê�� ^ \:; \>` �L ; µ � UËIÍ � {@8w� Ë A'\:; \<B

c�{�|�����| � º Û ^ Ë `� �

jk� �������3�*(����P!#-0/2!�!#-��P��&V/����3�g�\(��*!')�1���)*�3)*!lDP�2@�!#-��t)�&'&#����(���)�_����d c Xl&#��1�&#��"'����!�/�!')����[���+&lX&'��"#1G������)*���\!#�[ydc�~ú{}� × ¡�)��0+�3�yAd c ��¡�)�"

UËGÍ � 8�� Ë A'\:; ]<Bc�{}|�����| � º Û ^ Ë `� Ú UËGÍ � 8�� Ë A'\:; ]<B �� \ ï V8¸ v ¹ x � º V2» v ¹ x ~

/2���w"#�¢�J��/2&#�P���+����5T�-��3��&#�3�6F05ÇM¢�i/2�¤_G�¢�i/�"')*��Dw��_�!�/�)����3�w@A&#�+�:!#-�)�"W¡?_�Dg�+_�"#�3&#$�)����E!'-0/�! @A�+&t/���D

ÑÜ

d\Ð}� Ñ |Dc�~¨{G~�¡�W c�{}|����| � � y Ñ �QÚÿd\nEo2p�y Ñ ��5ËSn*þ�n6�4x'ò+�GvNtGÞ�w�x'ß>vNÞ��]â�"Sq$t�w�vNw�v7q�$

% ��!'-�)�"}"'����!#)��+���.�J�3���E1�(�!#�Q!'-��.U8)���_0��&'!}"'��&#)���"Q�2@01G����D������ )õ/2��&#)�����)Pc���)�!#-u&#��"'10���3!!'�t�\(��*!')xXZ���3��&#�3�J&'�i/�&'&�/��������\)���!#��/P�.�i/�����D����3��&#�i/2"#)�����"'����(������3��5�ew��&'����$���&Ê�J����)�����"#���,.�+&#�����]/�&'DªB�5ÇB�q¢/�"�"#(�_0�i/2"#���2@QT�-�����&'���IF05Ç=�K�5

Page 70: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ü ¬ ×�¬ �G�G¿ � ù��?¹����GúGù�¹?¼\ù*½?���?�Gù��0ù���� F |����&�/���D\10/2&#!#)�!')*�+��c Úaydc­|ö~������G~�c�c��.��)�!#-g/2!��E�+"#!JØ£10/�&'!#"��.�P�*�3!.@A��&.��$��3&#D py�§v

n�ß�ydcG��zÇÚK�|�×�Ü ÅÇØ�É0z:c � Ú p$~��x~/2��� ® Ø�n[ypc0��° zÇÚ ® Ø

n X ypc0�3~�nÏ|öypc0�3~������ ° ~!'-��P�\(���!#)������\)]/2�R�3�R��"E��)�����!i5

T�-��u@A�+�*������)����\!'-�����&'���â�i/2�¤_G�¢@A�+(����r)*��Å���É#Å T�-����+&#���¸M�5Ç=WÉJ/2���¤�+)�$��\/��k��7�1���)���)�!@A�+&#�\(��]/ª@A��&¢!#-��wU )*��_G��&#!¢"#�3&#)���"\��@P!#-�� 10�+��DR�����E)]/2��&')���� ) c ��)*!'- &'��"#1G����! !#�r�J�i/2���*D���3��&#�i/2"#)���� �\(���!#)xXZ������&'����5ã.ä@å'æ@ç@å�è F05Ç=+=(é�ê�ãiê�Ø[Ü0)��!ì?ò�ãWð

U\�^ \>`7�Gc ® Ø�n[ypc0� ° c�����| � \ Û� Ú W $Í 8 U c����| � � Û ^ `�U c����| y'4�à � |}ÛWÛiÛ � �Z� ~

æ]ðÅ�^Å�Å � |�~������G~ � c�É�ÉAëT�-��PU )*��_G��&#!�"'��&#)���" ��@u)Pcw�i/��w_G�t�3���E1�(�!#���w_�D\���+��"#)�����&')����\!#-��u��$����YXZ"')*�+�����w����"sX

���3�R!\_G/�"#)�"¢@A�+&�!'-��w����)���$�/�&')]/���!�/����+��_�&�/£��@P!lD�10�wd /2����/�1�1���D�)����[!'-��[C�!#&V/�)���-�!#�3��)����>­���E�w/�@���&�!#-�)*".!lD�10�+5

% ! © ".�i/2"#Dw!#�¢"#���¢!#-G/�!�!#-��t�w/�1�) c �âd c �8jEy�Ø?�.��)�$���� _�Dn©�� y75}y�nE�3~¨{ � yAnE� s ��~yèF05�4�4W�

)�"8/u_�) ¦V����!')*�+�}5ã.ä@å'æ@ç@å�è F05Ç=+B(é�ê�ãiê�Ø[Ü0)��!ì?ò�ãWðU\�^ \>`7�Gc ® Ø�n¤ypc0��° c�

����| � \ Û� Ú W Ä Í � U c�{�|����| � ?N¼ Û ^ÅÄ `]á¾½ Û ^ÅÄ `�U c�{�|����| y#4.à � ? | ÛWÛiÛ � ?� ��y'4.à � | ÛWÛiÛ � c � ~æ]ðÅ�^Å�Å � |�~������G~ � c�É�ÉAëÿ

çYæSæ� é�T�-���>Q5 U�5ÇC?5��2@�!'-���!#-�����&'���:)�"�!#-���U )��*_G��&'!�"#��&')*�3"8��@Q1G����D������ )]/���&')*����_�D��7�1G�����3�R!u10/�&'!#)�!#)�����5EC��[(�"')����w!#-��wC�!#&V/�)���-�!#�3��)����[>?��� �g/u@A�+&t!lD�1G�gdw¡�!#-�� _�) ¦V����!')����FG5*4+48/����Ïfh���g/2&#�\FG5 =+vP�.�t-G/W$��UO Í © �� \ ^ O ` Ú UO Í © �� \ ^ s � vq¿ x `]á�]&ï ^ O ` � Ú UÄ Í � �� \ ^ s � ` Û U � WYX �� � Û U] Í<^ ^ c�{}|A` �� ?:] �H.Dgfh���g/2&#�¢F05�4i=u!#-��P!'-���"#)�"h@A����������"i5

` ���a�J�¢����� 1�(�!'��!#-��\U )��*_G��&'!t"'��&#)���"u)*�k/\��)¶µ?��&'����!��^/WDw(�"')����w!#-��u@A����������)����\��_YX"'��&#$�/2!#)����}5£T�-��[duXZ�����R/2!#)�$�� �\(���!#)�"#��!P���<;0�����Ä)���yA=�5*4+4i�P�W/�� _G�E��&')�!#!#�3� /2��"#�[)��k!#-�)*"@A�+&#�

d\d\ÓiÔ+y750��Úÿd\ÓWÔ�yo50� À |>k[Ó�B?y75 {�| ��~Ç�ý|�ØS~´�` �����J�P���<;0��� �ØG�#yo50�ýz Úþ�|3py�§×°z�p¢ÜÅk[Ó�B�yo50�GÛrÅ Ø�à§4<É�~����U ���������.�P-0/W$��P!'-0/�!

ÒRÒ�ÓWÔ�yo50�.ÚüÒ�|iyo50��Ê��Ø�|iyo50���yèF05�4i=+�

Page 71: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

F ? ü ¬ �G�Gù�����¹?úGù�¹?�?�g¹?¼�¾?� � úG¹ã.ä@å'æ@ç@å�è F05Ç=2FYé�ê�ãiê�Ø[Ü0)��!ì?ò�ãWðU\�^ \>`7�Gc ® Ø�n¤ypc0� ° c�

����| � \ Û� Ú W Ä Í � U c�{}|����| � � Û ^ÅÄ `]á ìc Û ^ÅÄ �$9 `�U c�{�|����| y#4.à � ? | ÛWÛiÛ � ?� ��y'4.à � |}ÛWÛiÛ � cY� ~æ]ðÅ�^Å�Å � | ~������G~ � c É�ÉAëÿ

çYæSæ� é8>­��!w������"#)�����&w!#-��[(�"#(G/��P�������+�E1G��"')*!')�����d c Ú Ç h Í 8 |öÑ@LKzPÑ·Ü Ñ ~R¡��-��3&#�

ÑÚþ|öÑrÜkd c zRÒ�ÓWÔ�y�Ñ?��Úav$~�5^��&#�+� ���V;0��)�!#)��+��"8)�"8�3�*�W/�&8!'-0/�!h@A��&��3$���&'D¤ÑrÜ Ñ ¡L Ü[ÐGc[/����[×OÜkÅÇØ\àÄ4VÉ

Ò+�VyAÑ@LG�QÚ�Ò+��yNL0�r/����}�ØG�Vy�L {}| Ñ {�| �QÚþ�ØG��y�Ñ {}| ���T�-��3&#�V@A�+&#� UÄ Í �!

c�{�|�����| � � Û ^àÄ `]á ìc Û ^ÅÄ �$9 `� Ú Uh Í 8 U $Í=Ë

c�{�|�����| � � Û ^ h `]á ìc Û ^7^ h ` �´9 `�

Ú Uh Í 8 U $Í=Ëc�{�|�����| � � Û ^ h `]á ìc Û ^7^ ` �´9 `�

Ú Uh Í 8 c�{}|�����| � � Û ^ h `� Û U $ÍÞË

c�{}|�����| � ìc Û ^o^ ` �$9 `� �

� �g�3�*�3�E����!�Ñ[ÜÑ)*"�(���)��R(�����D\����!#�3&#�E)����3�g_�D !#-��P"#�3!4k[Ó�B�y�Ñ {}| ��ÛrÅÇØ¢à�4VÉ#5}U �������

U $Í=Ëc�{}|�����| � ìc Û ^ �$9 `� Ú

c�{�|�����| y'4uÊ � | ÛiÛWÛ � � ���

T�-��P!'-���"#)�"h@A����������"Q_�DET�-��3��&#�3� FG5 =+=��+_�"#�3&#$�)����\!#-0/2!8Ò c yNL0�ÊÚ�v�5T�-�� @A�+���*����)����P)�������!')*!lD\�W/�"#)���D\@�����������"Q_�DET�-����+&#��� "�F05Ç=�Bu/����wF05Ç=2F05ã.ä@å'æ@ç@å�è F05Ç=+K(é�ê�ãiê�Ø[Ü0)��!ì?ò�ãWðUÄ Í �!

c�{�|�����| � � Û ^ÅÄ `]á ìc Û ^ÅÄ �$9 `� Ú UÄ Í �!

c�{�|�����| � ?N¼ Û ^ÅÄ `]á¾½ Û ^ÅÄ `� �

î² "#)����\T�-����+&#���:FG5Ç=�Ku�J��1�&#��$��u!#-0/2!�!#-���!l�.�\10/2)*&��2@Q"#!�/2!#)�"#!')���"\yAÒ�Ò�ÓiÔ+~�Ò�n o�p���/����

y�d\ÒRÓWÔ+~�d\n o�p�� -0/W$�� !#-��u"�/�� �8��)�"'!#&#)�_�(�!#���w���[duc}¡�/�"8/2��&#�i/2��DE"'�����[)��g,.�+&#�+�*�]/2&#DEB�5ÇB+qUÄ Í � � �T� � ¨�^àÄ ` � � OO� ß ^ÅÄ ` ÚfUÄ Í � � � � � ¨�^ÅÄ ` � � O0� ß ^ÅÄ ` �ÿçYæSæ�#æ� 3 æ@ç@æ�_�_#\@çw4ÁÀ é ÀW é % �gT�-�����&'��� FG5Ç=�KP&'��1��]/���� � | ��)�!#- � �h/2��� � � ��)�!'-� @A��&�×OÜkÅÇ=�~VØ¢à�4VÉ�/2���g/21�1���DE!'-��P)*������!#)�!#)���"

Ò | y750�SÊÓ�Ø | y750�.ÚüÒ�Ò�ÓWÔ�yo50��~ c�{�|U����| yAÒ � yo50�GÊ«�Ø � y75 {�| �#�OÚÿÒRn o2pYyo50��~

/2���

=PÛ K | yo50��Êr½ | y750�QÚÿd\Ò�ÓiÔ+y75G��~ c�{�|U����| y�=PÛ K � Ê/½ � �OÚÿd\nEo2pYyo50���

Page 72: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

,.U8�PLOT8NQf¸K

Ãâ�hÁ.��ÃV�OÃ��¢� }Äw� � ���}ÁQÃ�� m<��ÃVÁQ% �r!#-�)�"��V-0/21�!#�3&��.�\��)�$��¢��7�1���)���)�!P�����\_�)��0/2!#�+&#)]/���1�&#����(��3!�@A�+&#�\(��]/2".@A��&�!'-��\1G����D+X

���+�E)]/���"W¡����V;G����� _�D¤CY-�����!#�+�}¡}�3��������)����[!'-��\��)��E����"#)�����" ��@�!#-��\"'10/��3��"��2@^�37R!'����"')*�+��"�2@ªyCB?~�DG��Xl��������&�/2�*)�¥��3��®Q��&'�g/w� �R��(�����"i¡Ê)*�Ä!'-��[�i/2"#��" ��-����ýyMB�~ND0�u����&'&#��"'10�+����"w!#� /2�)������3����� 10�+"�/�_��*�P���]/2"#"#)��¢U8��&'�E)�!#)]/2�E"#D�� �E��!'&#)��P10/�)�&i5hT�-���@���&#�\(��õ/2"J)�� 1���D�!'-0/�!P!#-���"#���)�� ����"#)��+��"�/�&#� �����\_�)*�G/�!#�+&#)]/��O)���$�/�&')õ/2��!#"i5 jk�\��)�"#�3(�"#"E/2�*"'�[-����·!#-���"#�w1G����D������ )õ/2��"/2&#�P&#���]/2!#���[!'��!'-���10/2&�/2_0�+�*)���+�Xl1G����D������ )õ/2�¶"O)���!#&#����(������[_�Dg9 ������-G/�&i5T�-��P&'��"#(���!'"8)��E!'-�)�"J�V-0/21�!#��&P/�&'�t1G/�&#!��2@m/u10/�1G��&¢Å�%2É}!#-0/2!���)*���?/�1�1G�i/2&�)*� TO&�/���"�/��3!#)�����"�2@�!#-����8� ��&#)��i/2�ge[/2!#-����w/�!')*�W/��?C�����)���!lDR5

Ì�n7�(n6ñ@¼Gq3��w�x(tPàºx��Ná@tGx(òPvNÞ���$����&�/[>­)*�E/2������_�&V/ B¤�J� ����!�Å�yMBY�P)�!#"u(���)�$���&'"�/2�J����$+������1�)����[/����+��_�&�/�5g>­��!�B¤_0�E/

"'���E)�"#)�� 1������3���E1��*�37>­)��^/2�*�+��_�&V/8��)�!'-ª,�/2&#!�/2�\"#(�_G/�������_�&�/¶ä}¡2&#����!Q"'D�"#!#�3�Æ~ Á ä'3�/����1G��"')*!')�$���&#���+!Q"#D�"#!'���Ç~ á ��)�!#-\&'��"#1G����! !#��/t;07����E_0/2"#)�"�FO5�>­��!F �ÚXä�J[Øw_G�8!'-��8H.��&'���"'(�_0/����+��_�&�/ ��)�!#-kØkÚ W L[È X B L ¡!�ØkÚ W L[È X B�{ L /����¤����!�kgÚ |? W L[È X � 5¢>?��! � _G�!'-��Pjk��D��?��&#�+(�1w��@.~w5

��)�7E/¢10/�&V/�_G����)��8"'(�_0/����+��_�&�/�D ÚünÓJ�Lw�2@�BE��-�)��V-w������!�/2)���". P/����w-0/2"���)��*&V/���)��i/2�L�5.�8"#"'(��E�u!#-0/2!1äw)�"8�3����!�/2)*�����[)��[n /2���w1�(�!�~wyAnE�h)�!#"8&'����!8"'D�"#!#�3�6/����9~ á y�nE��Ú~���~wyAn ��5O>?��!ý�ýyAn �Q_G�P!#-�� 10/�&V/�_G����)���"#(�_���&#�+(�1E�2@u� ���3����&�/2!#���w_�D¢!#-��P&#���0����!')*�+��"���+&#&'��"#1G������)*���t!'�P&#����!'"�)��!~wy�nE�O/�������OÄ!#-����R(���!#)�����!W¡i)l5 ��5�!#-��."#�3!Q��@0� )���)��E/��W�*�3����!'-���+"#��! &#��1�&#��"'����!�/�!')�$���"P��@!�ýyAn ��)��0�ý5

��)�78cwÜ+ä'3�/����g�3����"')*����&t/¢�+���VXl��)��E����"')����0/2�Y .Ú¯äeJÄØ�XZ� ����(������É\+{�f�¡�"#(��V-[!'-0/�!ypù Ê�k[�3yd%+��zÇÚaydc¢àRk���ydù£�¨%¢@���&�/�����ù:Ü+ä�¡�k ÜÏØr/����@%¢ÜH�\5OT�-����E����(��*�a·ydcG��zÇÚ�Å�yMBY� EÊ ^qË ` � \+{�f ~)�"��i/2�*����� !#-���Ì�ãië���ï��¢óiç+å+î*ã�R­/2"#"'�R�3)õ/2!#���w��)�!#-0 �~Tä�~:Fw��)�!'-E-�)���-���"#!��.��)���-�!Qc¢àRk05

% @�c�)�"�~ á yAn �?���+�E)��0/���!�)���!#�3��&�/2�l¡�����!�·\y�n[~Tc0�­_0�O!#-��Q)�&#&#�3��(���)�_����O;0��)*!'�VXl��)��E����"')����0/2�nªXZ� �R��(����t��)�!'-g-�)*�+-���"'!t�.��)���-�!Qc�5t>­��!#!')����[L[/2��!#"P_�Dw¥���&'�g!'-�)�"8_G�����+�E��/�DYXZ� �R��(�����5T�-��P� �R��(���� k ydcG��zÇÚ�Å�yCB�� EÊ ^ � ` ·�yAn[~Tc¢àRkR�3~)�"�!'-��[yCB?~�DG�T2��+ãið�ãWë#ï2î*æJIWãVç�Ì�ãië���ï0�¢óWç�å+î*ãu��)*!'-k-�)���-��3"#!��.��)���-�!�c à�k05w` ��!#�\!'-0/�!¢!#-����(��+!#)�����!e��OÍ10/�&V/��E�3!#&#)�¥��3"8!#-���"'��!P��@J/����JyMB�~ND0�ZX^�+������&V/���)�¥����r®Q��&#�w/�� ����(�����"i5 ew��&'�1�&'����)�"#�3�*D£!#�\�i/2��-PÀÿÜ���Oý�.���g/WDE/2"#"#����)]/2!#�¢!#-����+������&V/���)�¥����r®Q��&'�g/u�E����(����ek Ì ÚkkyNÀ X? ÀQcG��5

jk� �*�3!�ÍEyMB�~ND0�._G�t!'-����i/2!#���+��&'DE��@J/2�*��B�Xl�E����(��*�3"Fa ��-�)��V-g/�&'�jz×A� ;G��)�!#����D\���3����&�/2!#���£��$���&�Å�yMBY�3¨×�×A�%Å¢y�D0�ZXZ�����i/2�*��Du;0��)�!#�+¨ F ×

Page 73: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

F<ü � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�×�×�×A�w�3���E1��*�3!#����D¢&#����(���)�_�����/�"8nªXZ� �R��(�����"i5

% �[!'-����i/2"#��D[ÚÓ P!#-�)*" )�"8!#-����i/�!'�����+&#D9Í )���!#&#����(������r_RDwH.��&#��"#!#�3)*�YXs¬P�3�¶@l/�����X#¬P���x@Z/2���yè"#����¡���5 �05�¡�Å��'��ÉA��5 % �\!#-�)*".�.��&#�\/����0Nm7R!�3 ��&#�+(�1�"�/�&'�8���+�E1�(�!'���\)��\!#-��P�i/2!#���+��&'D)ÍEyMB�~ND0��5T�-��u@A�+�*������)����¢&#��"'(���!�)�"P��(��¢!#�[C�-�����!'���}¡}/2���r�J�¢&#�V@���&�!#-��\&#�i/2����&�!'� Å Ë@+ÉQ@A�+&8)�!#"

1�&'����@�5�U8�����V;0����"h@A��&8/2��D�L[/����wÙ\)��0��O\¡�/¢1G����D������ )]/�� g h ; i�y � �._�D@zgEh ; i y � �QÚ U,:WYX ylà�4i� \_^ i�`�{ \�^ h `�{ , � , ��)�� Z y�NO7�! , yNk h ~_k i �'��~y�K�5�4i�

/2���w1�&#��$+��"�!#-0/2!i¡ã.ä@å'æ@ç@å�è K�5�4$é#�0å��j��ó�é�ã8ê�ò�ï+ê?yCB?~�DG�dzVó+ë�ë#ã3éN�Yó+ð�ç�éJê�óPï�ð¢æ]ð�ç+ã_³Vó:����ó�é�ï�ì3î*ã£*�ãWë��¢æ]êAæèï�ðé�±>����ãWêAë3æ7³!��ï�æ]ë�ë�ì?ò�ãWðeÚ�ó+ë�ï�î]î(L�~VÙ¢Ü#��O�ï

×A� g h ; i�y � �ÊÚüv£æ Ú�LHªd Ù�ð×�×A� gEh ; h y � �QÚÍ4>ð×�×�×A�kæ ÚFL Ý�Ù[ï+ð�ç\Ô�ªÜ[d Ù y�LG�eíQæ]ê�ò�LGÔPÜH��O ê�ò�ãWðg h ; iRy � ��Ú åççè ççé

g h ¨ ; i ¨ y � � æ Ú�Ô�ªÜ¤d Ù y�Ù��¢ï�ð�çªÙ+ÔPÜH��O�ðy � à�4i� g h ¨ ; i�y � � æ Ú�ÔPܤd Ù y�Ù��¢ï�ð�ç�LGÔ�ªd�Ù�Ô ðy � à � {}| � g h ¨ ; iRy � ��Ê g h ¨ ; i ¨ y � � æ Ú�L6d�LGÔ�d�Ù�Ô�d§Ù�ð� g h ¨ ; i�y � � æ Ú�Ù�ÔrªÜ#��O�ë

% �w!#-�)*"�1G/�1G��&8�.��"#�+��$��P!#-��3"#�¢&#����(�&#&#�3�����\&#�3�õ/2!#)�����"8)��E!'-����i/2"#��"P��-�����yCB�~ND0�.)�"8/2�)������3����� 10�+"�/�_��*�\�3�õ/2"#"')*� U8��&'�E)�!#)]/2�¤"'DR� �E��!'&#)��¢10/�)�&i5kø (�&¢�g/2)*�r&#�3"#(���!#"E/2&#�w��7�1���)���)�!1�&'����(���! @A�+&#�\(��]/�".@���&8!'-���"'�\10�+�*D����+�E)]/��x"i58eÏ��&#�3��$���&W¡?!#-��3"#�¢@A�+&#�\(��]/�".)��E1���D\!'-0/�!P!#-��1G����D������ )]/��¶"./�&#�P���+�\_�)��0/�!'��&')õ/2��)���$�/�&#)]/2�R!'"i5

jk�Q����"#)����G/�!#�8/ 10/2)�&�_�D�!'-���!lD�10�3"Q��@?!#-���&'����!O"#D�"#!'���E"$~wyCBY�O/2���)~wyAn �Jyè"#��� TQ/�_����_G�������8�8/2���[��)�!#-¤/��V-0/����+���2@Q����!V/�!#)��+�}¡G������"')�"#!#�3�R!P��)�!#-£!#-��+"#�¢��@J1�&'��$�)���(�" ��-G/�1�!'��&#"W¡�.�P�������+!#�P!#-��P���+&#&'��"#1G������)*���Ejk��D��G��&#�+(�1�"�_�D6� /����¯� ? /����g!'-��P��(���!')*�3�R!._�D0� ? ¡��-��3&#�g>r)*".!#-���"#(�)�!V/�_����P"#(�_�"#��! ��@�!'-���"'��!8�2@����3����&�/2!#�+&#"i5

yCB�~ND0� B ÅÇn[~Vn¢ÉÐÎÅ�yNÃ�~VÔi� z ³ z Â3{}| �Ez ¨ {}|Ð`Ï\yA=+Ø à�4�~V=�� b c b c�{�|Ð'D}y�=�ØO~'�E� � c z c�{�|Ð`Ï\yA=+Ø à =�~V=�� d c d c�{�|Ð`Ïe3�y�=�Ø?� d�c z8c�{�|

T�-���)������3����� 10�+"�/�_��*���3�õ/2"#"')*�uU8��&'�E)�!#)]/��ECYDR� �E��!'&#)���10/2)*&'"

Ì@n�Æ@n8¤�¼Gq#¿ Þ�$�q�y]z8c�{}|i~'z8��{�|^�wz c�{0��{�|��% �\!'-�)�"Q"#���3!#)����}¡��.����)�$+�8/��\��7�1���)���)�!Q1�&'�R��(���!Ê@A��&'�\(��]/Ê@A��&Q!'-��81G����D����+�E)]/���" g�h ; i y � �

)��¢!#-����i/2"#���2@�!'-���10/�)�&.y]z c�{}| ~#z ��{}| �8z c�{0��{�| ��5�jk�J�+)�$��.!l�J�P��)xµ?��&#����!O@���&#�\(��õ/2!#)�����"?��@!'-�)�"}&#�3"#(���!i¡2�����Q)���!'��&#� "}�2@Y1G��&'�\(�!�/2!#)�����"O/����u�����Q)���!'��&#� "?��@01G/�&#!')�!#)�����"W5?T�-�&'��(��+-���(�!!'-�)�"8"#�3��!#)����r�.��;07[Ø Ü ) /2���¤×hܧÅÇØ à�4VÉ#¡?/����£�J������!�� zÇÚaÐ c ¡}Ô � zÇÚ yA×'~V×(Êÿ4i�^@A��&×�Úa4�~������V~�Ø�à§4+¡�Ð�zÇÚ«|öÔ | ~������G~�Ô c�{�| ~R¡0/2���@>PzÇÚ�Ð6�ý|öÔ � ~�5

jk� )*������!#)x@ADE/¢10/2&#!#)�!')*�+��cw��)�!'-E)�!#"���)]/2��&�/2�¤¡|�yA×'~lp��.Ü0) ? z\4ýd ×*d�-?~�4�dkp�dEc��<~´�

Page 74: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ ?�¬ ���?�w��¹}�<� ^ÑÐ �$9_; Ð Û �$9_Ò Ð � Û �$9_` F �% @J�.�¢&#��1��]/2���\!#-��¢���+!#"\yA×'~lp��P_�D�¦V(�7�!�/210�+"#���r"#��(0/2&#��"W¡}�.�¢��_�!V/�)��[!#-���¯J�+(���� ��)]/���&V/���2@|c�¡?&'��!�/2!#���£����(���!'��&#�������V����)*"'�\_�DÓe ü &V/���)]/2��"8��)�!#-£&#��"'10���3!�!#� !#-��¢(�"#(G/��Q/����+����1�-��+������+��$�����!#)��+�}¡�/�"O)���,.-0/21�!#�3&84�5}CY�0¡W@A�+&O��7�/��E1��*�+¡i!'-��.��)]/���&V/��a�2@�yAK�~#FG~�=�~i4W�G)*"�)��*��(�"'!#&V/�!#�3�)��g��)���(�&#�\4�5

nb�doxq@ç@å'a¬P)�$+���gØÏÜÅ)·/����Ï×�Ü ÅÇØ¢à�4<É}�J�P����!j�y�ØO~�×��!zÇÚÓ|={[ܦj�z¶{¯Õôy�Ø\à ×�� � ~´�

>­��!�{Q~Tc�Ü,jE¡H{þÕ c}5rjk�E!'-������i/����Oc��¶{ü/ é]²+ã�í���ï�ë3êAæ]ê�æ]ó+ð�5[` ��!#� !#-0/2!i¡Ê)*�k1G��"'��!!'-�����&'��!#)��r�]/����+(0/��+��¡.10/�&'!#)�!#)�����"[y]&#�3"#1G����!#)�$+����DR¡ "#�+���.XZ1G/�&#!')�!#)�����"V�E/2&#�[!'-��w;0��)�!'�[��&'����&)����i/2��"�y]&#�3"#1G����!#)�$+����DR¡Y;0��)�!#���3����$���7 "#(�_�"#��!'"�� ��@Ç) ? 5.¬P)�$���� !l�J�\"'�����ÿ10/2&#!#)�!')*�+��"�k0~'Ô Á) ? �J�w��&')*!'��k/¢aÔ�)x@�kk)*"\/£!#&�/2��"#�]/2!#�w��@HÔ}5k¬P)�$��3�§/£"#���3� 10/2&#!')*!')�����Ô Õ ) ? )�!#"³Vó�ð�ó�å>��ï+êAã�)�" Ô � zÇÚ«|Ryõp�~�×��.Ü0) ? z\y�×#~sp2�^Ü�Ô�~´�

����&P"#D�� �E��!'&#)����+&#�+(�1�"i¡O!'-��E1G/�&�/2_0�+��)*�¢"#(�_���&'��(�1�"¢��@tÐ c ¡Q/�&#�\�W/��������6L0ó�å�ðj� é<å�ì�2�+ë#ó+å��Gé�5 % �ü!'-��[�i/2"#�r��@��w/�7�)��E/��Q1G/�&�/2_0�+��)*�£"#(�_��+&#�+(�1�"¤yè)l5 �+5 >�Ú Ð���|�Ô � ~ö��!#-��3)*&��(��+!#)�����!#"�!V/����P!'-�)�"�10/�&'!#)���(��]/�&'��D\"#)��E1����.@A�+&#�Hz� ? Ú�|ÄÀ�ÜH� zjÀ {�| y#4W�.ÝÒ������Ý�À {}| yA×���/����ÅÀ {}| y�×(Êÿ4W�QÝÓ�����+Ý�À {}| yAØ?��~$�

¬P)�$+���gÙ¢ÜH� ? �J��/2"#"#����)]/2!#��!'�ªÙ�!#-��P10/2&#!#)�!')*�+�ÌPyAÙ��Ez Ú yAÙ {�| yA×��Oàk×#~������G~�Ù {}| yA=���à =�~�Ù {}| y'4i��à�4i���y�K�5Ç=��

T�-�� @A�+���*����)����P)�"��.�����?�R�������¤y]"'����¡OÅ��RËO¡�LO&'��1G��"#)�!')*�+�g=�5 �öÉA��5ÿçYæ��(æ���������æ� K�5Ç=(érì?ò�ãe�¢ï��@Ìýç+ãdPÊð�ãVçgì�±8ÍúÐjë�Î�ÑEæ�é�ïEìWæ ó�ã�³iê�æ]ó+ð[ìVãiêNíQãVãiðr� ? ï+ð�çjEyAØO~V×���ë�K�å�ë�ê�ò�ãWë���ó+ë#ãeLHdaÙkæ]ðH� ? æ Ú¢ï�ð�ç[ó+ð�wæ ÚiÌtyNL0�ÏÕVÌPyAÙ���R8ï�ð�çª÷2y�Ù��PÚ � ÌPyAÙ+���Ú�ó+ëPï�î]î@L}~VÙuÜ#� ? ëjk��;0���u)*!�"#�+�E��!')*� ��"?���+�R$+����)�����!}!'�8)�������!')¶@�Dt/�1G/�&#!')�!#)����:cwܦjEyAØO~V×A����)�!#-�/h�õ/2!#!')*�3�

10/2!#-}¡G��)�!#-�y#4�~W4i� /�����y#4�~3à�4i�h"#!#�31�"i5uT�-�)�"t1G/�!#-£)*" !#-��¢(���)��+�[��@J!'-��¢�*���.��& _0�+(����0/2&#D�2@^!'-��E��)]/2��&�/2�6�2@^!'-��E"'�����.Xl10/�&'!#)�!#)��+�§y�Ø[àÄ×A� � �¶c /2���k!#-�� (�1�1G��&¢_0�+(����0/2&#Dr��@8!#-��10/2&#!')*!')����8c�5}` ��!#�P!'-0/�!Q)�!."#!V/�&#!'"^/2!ty�v�~Vv��Q/2���\������"8/�!PyAØO~V=�×�à[Ø?��yè����(�)�$�/�������!#��D�¡�)�!Q-0/�"Ør"'!#��1�"¢/����[�37Y/2��!#��D¤×�/2&#�Ey'4�~W4i�ZXZ"'!#��1�"V��5ujk���i/����Q/[y'4�~W4i�ZXZ"'!#��1 yè&#��"'10�3��!#)�$��3�*D�¡.y#4�~3à�4i�ZX"'!#��10�u/�� å���2lé�ê�ã�� yè&#��"'10���3!#)�$�����D�¡Jç+ójíQð�2lé<ê�ã]�Y��5¢¬P)�$����ÏpgÜ�ÅÇØ àü4VÉQ�.��"�/WD£!#-0/2!Ècr-G/�"t/��ãVï�²�/2!.p�)x@�!#-��PpiXl!#-w"'!#��1[�2@vcw)�"�(�1[/2���w)*!'"tyõpEÊÿ4W��Xl!#-w"#!'��1w)*"��������}5����&.��7�/�� 1�����¡�)x@O�J� !�/��+�P!#-��P10/2&#!#)�!')*�+�E�2@m��)���(�&'��4�¡�c Úýy�K�~'F0~V=�~W4i��ܦjEyAS�~'FR�Ê!#-����[!#-��/2"#"#����)]/2!#���w10/2!#-w)�"�!#-����+���P"#-������w)��g��)���(�&#��=\/���� )�!�-0/�"�1G�i/���"8/2!�4�~VB�~VM�¡�/����w��5` ��!#�£!#-0/2!\!#-�)�"\)�������!#)x;0�W/�!#)��+�§_G��!l�.�����ÿ10/�&'!#)�!#)��+��"E/����Ä10/2!#-�" ����1G������"w�+� Øÿ/���� ×'5����& ��7�/��E1��*�+¡0!'-��\"�/2�E��1G/�&#!')�!#)���� y�K�~'F0~V=�~W4i�Ê����&'&#��"'10�+����"¢!#�w!#-��\10/�!'-¤)��¤��)���(�&'�ªB )x@

Page 75: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

FTF � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�

nb�doxq@ç@å,y éhT�-��\�]/�!'!#)����\10/2!#-r����&'&#��"'10�+����)����r!#�kyAK�~#FG~�=�~i4W�.)x@hØ�Ú S/����[×�Ú�F

nb�doxq@ç@å�À é�T�-��u�õ/2!#!')*�3��10/�!'-[���+&#&#�3"#1G������)���� !#�ryAK�~'F0~V=�~W4i�m)¶@JØ[Ú·4W=/����[×�ÚüK

Ø[Ú 4i= /����¤×OÚÍK�5PC�)�������Øk/2���¤×./�&#�u;07����[!'-�&#�+(���-���(�!P!#-�)*" "#���3!#)����}¡G!'-�)�"8��)����}�i/2(�"#����¢���+��@A(�"')*�+�}5

T�-�� @A�+���*����)����P������� ����!�/2&#D\�����E�w/ )*"�����������¡?y]"#�3��¡OÅ���Ë}¡�>­���E�w/t=�5ÇSWÉA��5Ö�å�è.èQ\ K�5ÇB(éEê}ãWê?Ù¢Ü#� ? R�ï+ð�ç p�ÜkÅÇØ à[4VÉAëyì?ò�ãið¢Ô ß Ü[d Ù y�Ù��Pæ Ú ï�ð�ç\ó+ð��æ ÚHÌty�Ù��ò�ï�é�ï���ãVï�² ï�êOØ\àrp�ë

` ��!#�P!'-0/�!�!'-��e-+XZ!'-w"#!#�31[��@HÌty�Ù���)�"8/2�E(�1w"#!'��1[)x@m/2���w������D\)x@-\ÜP|�ØyÊ�4.à Ù {}| yA×���~VØyÊ�4.à Ù {}| yA×­à§4W��~������G~�ØeÊÿ4.àkÙ {}| y'4i��~´�>­��!.L}~VÙuÜ#� ? ¡�Lrd�Ù�5J����&Êp�ÜkÅÇØ�É}�J�P����!W¡�@A�+�*������)����\Å��RËYÉs¡

o ß y�L�~�Ù+��zÇÚ�� |ÄÃPÜ0L {}| y'Å ×õÉA��z�Ã�Ý p´~��WàV� |ÄÃPÜ[Ù {�| y'ÅÇ×�ÉA�!zeÃPÝ�p´~����y�K�5ÇB������&.��7�/�� 1�����¡�)x@QØgÚÿS�¡�×�ÚÄF0¡'L\Úý4W=�B+K�M�F�q��+S�¡�/2���[Ù�ÚüK�4iM+=�q��+B�S2Ft!'-����

y�o�|öyNL}~VÙ��3~�������~�o � yNL}~VÙ��'�QÚýy�v�~W4�~W4�~V=�~W4�~�4+~#=�~W4�~W4i���y�K�5 FR�` ��!#�O!'-0/�!�)*!G@�����������"��i/�"')��*Dh@A&#�+�ôLm&#��1G��"')�!#)�����K�5Ç=Ê!#-0/2!�o ß y�L�~�Ù+�!�§v^@A��&Gp�Úa4�~������G~�Ø

)x@m/2���E�+����D\)x@*Lrd�Ù�¡0/2���w!#-0/2!8oWßRyNL}~VÙ�� Þ v¢)x@}p�Ü[Ù {�| y'ÅÇ×�ÉA�@�!L {�| y'Å ×õÉA�J/2���0Lrd Ù�5O�8��"#����+!#�P!#-G/�!i¡�)x@*L ÜH� ? /2��� p�ÜkÅÇØ�És¡+!#-����

� |>ÃPÜ0L {�| y'Å ×õÉA�!zjÃPÝ�p´~���Ú § L�y�p��OàÄ4�~ )x@}p¢ÜÅL {}| y#ÅÇ×õÉè�3¡p.Ê ×­à L�y�p���~�)x@}p6ªÜÅL {}| y#ÅÇ×õÉè�35

T�-�)�"��w/WD�_G�P(�"#���£!#�\��_�!�/�)��w/�� ��&#� ��7�1���)���)�!.@A��&'�\(��]/�@���&�o ß y�L�~�Ù+��¡�)x@����3"#)�&#����5jk� �i/��w�����ÿ"#!V/�!#��/2���w1�&#��$+�t!'-��P�g/2)*�\&'��"#(��*! ��@O!#-�)�"�"#�3��!#)�����5ã.ä@å'æ@ç@å�è K�5 F@é�ê}ãWêGL}~VÙuÜ#� ? RGLrd Ù�ë�ì?ò�ãWðg h ; i�y � �ÊÚ � \_^ i�`�{ \�^ h ` �

ß Í i �$9 ^ Ø ��Ù `­¡ h �$9 ^ Ø ��Ù ` y#4.à � {Y? � � ^ h ; i�`èá�| ���y�K�5ÇK�� ÿçYæSæ� é8>­��!i¡�@A�+&�_�&#�3$R)�!lD�¡�d���yNL}~VÙ��Ez ÚÿÙ {�| y'ÅÇ×�ÉA����L {}| y#ÅÇ×�ÉA�35Qjk�P1�&#�����3���¤_�D )*����(��VX

!')*�+�[���Ï÷2yNÀ ?X �Oàk÷�yNL0�35 % @Q÷�y�À ?X �màk÷�y�LG�8Ú·v�¡G�.��-G/W$��yÀ ?X Ú·ÙEÚKL¤/2���r!#-��¢&#��"'(���!P)*"!'&#)�$�)õ/2���*Du!#&#(���5JC��¢"#(�1�10�+"#�P!#-G/�!.÷�y�À ?X �?à£÷�y�LG� Þ v¢/���� �*�3!8Ô8ÚayN-?~_-ýÊÄ4i�Ê_0�P"'(��V-g!'-0/�!ÔrªÜ d Ù yNL0� /����0LGÔ¢Ü1� ? 5h`8��!'��!#-G/�!i¡G"')*�����yL£Ü1� ? ¡G!'-�)�"8)��E1���)���"Q!'-0/�!�-wÜPL {�| y'Å ×õÉA�/2���0-4Ê�4�ªÜ#L {�| y#ÅÇ×õÉè�35Ojk�8-0/W$+� @A��(�&.�i/2"#��"P!#�¢���+��"#)�����&W5o��gÔ ªÜÏd Ù yAÙ+��¡?/����wÙ�ÔuÜH� ?

Page 76: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ ?�¬ ���?�w��¹}�<� ^ÑÐ �$9_; Ð Û �$9_Ò Ð � Û �$9_` F mC�)����3� Ù Ü � ? ¡h!#-�)�"w)��E1���)���"\!#-G/�![- Ü Ù {�| y#ÅÇ×�ÉA� /����V-6Ê 4ÓªÜ�Ù {}| y#ÅÇ×�ÉA�3¡��E�+&#����$+��&LGÔ�~VÙ�ÔªÜP� ? /����£"#�0¡?d � yNL0Ô+~VÙ�ÔW��Úad � y�L�~�Ù+�8/2���¤oWß�y�LGÔ�~VÙ�ÔW��ÚýoWß�y�L�~�Ù+�.@A�+&8/����?p\ÜÄÅ Ø�É"')*������yNL0ÔW� {�| y'Å ×õÉA�O)�"J�+_�!�/2)������¢@A&'���ÁL {�| y#ÅÇ×õÉA�O_�D�&'��1��]/���)�����-¢_�D�-�Ê 4�¡�/����\"#)��E)��]/�&'�*Dh@A��&Ù�5OU8�����3��¡G_RD T�-����+&#���:K�5�4P/����w��(�&�)*����(���!')*�+�E-�D�10�+!#-��3"#)�"i¡

g h ; i�y � � Ú g h ¨ ; i ¨Ú � \_^ i ¨ `�{ \_^ h ¨ ` �

ß Í � Û ^ h ¨ ; i ¨ ` y#4hà � {Y? � � ^ h ¨ ; i ¨ `]á�| �Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` �

ß Í � Û ^ h ; i�` y#4.à � {Y? � � ^ h ; i�`]á�| �3~/2"�����"#)�&'���}5 3�gÔÜÏd Ù yAÙ+��¡?/����6L0Ô ªd Ù+ÔC�)����3�Ù�ÜH� ? !'-�)�"�)��E1���)���"Q!'-0/�!.-HªÜ[Ù {�| y'Å ×õÉA��¡'-4Ê�4PÜ[Ù {}| y'ÅÇ×�ÉA��¡�/2���gÙ+ÔuÜP� ? 5QC��\�.�-0/W$+�P!#-0/2!^d � y�LGÔ�~VÙ��ÊÚüd � yNL}~VÙ��@�ý|>-�Ê�4>~�¡�/����

o ß y�LGÔ�~VÙ��ÊÚ�o ß y�L�~�Ù+�QÚ�o ß yNL0Ô+~�Ù+Ôi�y�K�5ÇM��

@A�+&^/2���Gp�ÜkÅ Ø�É´�ý|>-�Êü4 ~R¡�/2���o , á�|iy�LGÔ+~�Ù+Ôi�.Úüo , á�|iy�L�~VÙ���à =��y�K�5Çq��

C�)����3�#L0Ô«ªd¸Ù�Ôr_�Düy�K�5Çq��\/2���Ä!#-��[����!#�£_0�V@���&#�r!#-��["#!V/�!#�3�E����!\��@�!'-�)�"E!#-�����&'���¤¡.�.����+������(�����!'-0/�!Qo , á�| y�L�~�Ù+�QÚa4+5}U ��������¡�_�D�T�-�����&'����K�5*4./����¢!#-��J)�����(���!#)����¢-�D�10�+!#-���"')�"i¡g h ; i+y � � Ú y � à�4i� g h ¨ ; i�y � �

Ú y � à�4i� � \�^ i�`Z{ \�^ h `�{}| �ß Í � Û ^ h ; i�`�¡'A , á�|MB y'4.à � {Y? � � ^ h ¨ ; i�`]á�| �

Ú y � à 4W� � \�^ i�`�{ \_^ h `�{}|y#4.à � {Y? � ë � 9 ^ h ; i�`]á�| � �

ß Í � Û ^ h ; i�` y#4.à � {@? � � ^ h ; i�`]á�| �Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` �

ß Í � Û ^ h ; i�` y#4.à � {@? � � ^ h ; i�`]á�| �3~/2"�����"#)�&'���}5

Ö3�gÔÜÏdÙyAÙ+��¡?/����6L0ÔÏd Ù+Ô

C�)����3�Ù�ÜH� ? !'-�)�"�)��E1���)���"Q!'-0/�!.-HªÜ[Ù {�| y'Å ×õÉA��¡'-4Ê�4PÜ[Ù {}| y'ÅÇ×�ÉA��¡�/2���gÙ+ÔuÜP� ? 5QC��\�.�-0/W$+�P!#-0/2!

d � yNL0Ô+~�Ù+�QÚÿd � y�L�~�Ù+���ý|>-.Êÿ4>~�~d��Vy�LGÔ�~VÙ�ÔW�.ÚayAdu��y�L�~�Ù+�@�ý|Ä-�Ê�4 ~ö�@�¯|Ä-Y~R~

Page 77: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

Fú� � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�o ß y�LGÔ�~VÙ��ÊÚüo ß yNL0Ô+~�Ù+Ôi�ÊÚüo ß y�L�~�Ù+�G@A�+&�/2�*�2p�ÜkÅÇØ�É ��|Ä-@Ê\4 ~R¡io , á�|iy�LGÔ+~�Ù+Ôi�.Úüo , á�|iy�L�~VÙ��3àt=/2����o , á�| y�L�~VÙ��OÚüo , y�L�~�Ù+��Êw4+5?U8��������¡�_�DPT�-�����&'��� K�5�4Q/������+(�&O)*����(���!')*�+��-�D�10�+!#-���"')�"i¡gEh ; i y � � Ú y � à � {}| � gEh ¨ ; i y � ��Ê gEh ¨ ; i ¨ y � �

Ú y � à � {}| � � \�^ i�`�{ \_^ h `�{}| �ß Í � Û ^ h ; i�`­¡:A , á�|MB y#4.à � {Y? � � ^ h ¨ ; i�`]á�| �Ê � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? �

ß Í ^ � Û ^ h ; i�`�¡'A , á�|MB�` Y A , B y'4�à � {Y? � � ^ h ¨ ; i ¨ `]á�| �Ú y � à � {}| � � \�^ i�`�{ \_^ h `�{}| �

ß Í � Û ^ h ; i�`­¡:A , á�|MB y#4.à � {Y? � � ^ h ; i�`]á�| �Ê � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? y'4.à � {Y? � ë ^ h ; i�`]á�| � �ß Í � Û ^ h ; i�`�¡'A , á�|MB y#4hà � {@? � � ^ h ; i�`]á�| �

Ú � \�^ i�`�{ \_^ h `Z{Y? y � ? à � {Y? � ë ^ h ; i�`èá�| �y'4.à � {Y? � ë � 9 ^ h ; i�`]á�| � �ß Í � Û ^ h ; i�` y'4.à � {@? � � ^ h ; i�`]á�| �

Ú � \�^ i�`�{ \_^ h ` �ß Í � Û ^ h ; i�` y'4.à � {@? � � ^ h ; i�`]á�| ��~

/2���w!#-��P&#�3"#(���!t/2�R/2)*�¢@�����������"i5Ò��gÙ+Ô�ªÜH� ?

T�-��3�gÔ�ªÜ[d Ù y�Ù���/2���\�J��-G/W$���!l�.���i/�"'��"i5 % �\!#-��h;0&#"'!J�+����¡��.��-0/W$��.-­~_-!Êk4 ÜÏÙ {}| y'Å ×õÉA�/2���\!#-�)�".)��E1���)���"O!#-0/2!^d � y�LGÔ�~VÙ��QÚÍyAd � y�L�~�Ù+���!|Ä-�Ê�4>~����r|Ä-Y~t/����EoWß�yNL0Ô+~VÙ��QÚÿoWßRyNL}~VÙ��@A�+&¢püÜ:ÅÇØ�É�� |Ä-�Ê 4>~R¡�o , á�| y�L�~�Ù+�[Úâo , yNL0Ô+~VÙ���5 U8�����3��¡8_�D�T�-�����&'��� K�5�4[/2����!#-��)�����(���!#)���� -�DR1G��!'-���"')*"W¡g�h ; i y � � Ú � gEh ¨ ; i y � �

Ú � \�^ i�`Z{ \�^ h ` �ß Í ^ � Û ^ h ; i�`�¡'A , á�|MB�` Y A , B y'4.à � {Y? � � ^ h ¨ ; i�`]á�| �

Ú � \�^ i�`Z{ \�^ h ` y'4.à � {Y? � ë ^ h ¨ ; i�`]á�| �y'4.à � {Y? � ë � 9 ^ h ; i�`]á�| � �ß Í � Û ^ h ; i�` y#4.à � {Y? � � ^ h ; i�`]á�| �

Ú � \�^ i�`Z{ \�^ h ` �ß Í � Û ^ h ; i�` y#4.à � {Y? � � ^ h ; i�`]á�| ���

% ��!#-��w"#�3�������Ä�i/2"#�w�.�E-0/W$+��¡Ç-?~�-�Êý4�ªÜaÙ {}| y#ÅÇ×õÉA��¡O-��������¤du��yNL0Ô+~�Ù+�\Ú6du��yNL}~VÙ��¢/����o ß y�LGÔ�~VÙ��¢ÚIo ß yNL}~VÙ�� @���&PprÜýÅ Ø�É(��|Ä-�ÊÍ4>~R5�U8�����3��¡Q_�DrT�-�����&'��� K�5*4\/2���k)�����(���!')����-�D�10�+!#-��3"#)�"i¡ gEh ; i y � � Ú � gEh ¨ ; i y � �

Ú � \�^ i�`Z{ \�^ h ` �ß Í � Û ^ h ; i�` y#4.à � {Y? � � ^ h ¨ ; i�`]á�| �

Ú � \�^ i�`Z{ \�^ h ` �ß Í � Û ^ h ; i�` y#4.à � {Y? � � ^ h ; i�`]á�| ��~

/2���w!#-��P&#�3"#(���!t/2�R/2)*�¢@�����������"i5T�-�)�"����+�E1�����!'��".!#-���)�����(���!#)��+�E"#!'��1¤/2���w-��������u!#-���1�&#����@�5

Page 78: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ ?�¬ ���?�w��¹}�<� ^ÑÐ �$9_; Ð Û �$9_Ò Ð � Û �$9_` F��H.���i/2(�"#��� ? )*"Ê)*"'��� ��&#1�-�)���¡�/�"J/P1G��"'��!i¡+!#�¢/P�����J��&O)���!#��&'$�/���)��u¯J��(���� © "O�]/�!#!')�����y]_�D

LO&'��1G��"')*!')����\K�5Ç=��3¡�)�!�)�"Q�G/�!#(�&�/���!#��&'��1�-�&V/�"#� T�-����+&#��� K�5 FP)���!'-��8�]/2����(0/2���Q�2@}10/�&'!#)�!#)��+��"&V/�!#-���&8!'-0/�� )*�w!'-0/�!��2@�1G��&#�\(�!V/�!')*�+��"i5

>­��!O{Q~�cÏÜ8jEy�ØO~�×���¡���)*!'-<{#Õ,c�5QT�-�)���� ��@b{ /2���@c[/�"�1G/�!#-�"t/�"��37R1��õ/2)������[/�_G��$���5T�-��3�}¡�_�D\LO&#�+10�+"#)�!#)��+�EK�5Ç=�¡�!'-���10/2!#-8c\��)���"8yè�J�W/�����DY�Ê/�_G��$���!#-���10/�!'-g{Q5Q>?��!84Ïdkpyd�Ø/2���¤�3����"')*����&�!'-��¢pWXZ!'-k"#!#�31k��@Qc�y�@�&#����!#-��\���V@�!���5\������������)����[Å��RË�É#¡?�J�¢"�/WDr!#-G/�!P"#(��V-/�"#!#�31¤)�"�ï2î]î*ó:íQï�ì3î*ãh��)*!'-[&#�3"#1G����!�!'�8{k)x@J)�!8)�"8/��£(�1�Xl"#!#�31 /2���[!#-���pWXZ!'-¤"'!#��1r��@b{k)�"t/�������YXZ"'!#��1}5����&���7�/2�E1�����¡�)x@JØwÚaS�¡0×OÚÿFG¡�cwÚ·yAK�~#FG~�=�~i4W��¡�/����@{[Ú·y�=�~Vv�~Vv�~Vv��Ê!#-����£!#-��PpWXl!#-["'!#��1�2@vcw)�"8/���������/�_�������)�!#- &#��"'10���3!t!'�g{¤�37Y/2��!#��D )¶@�p�ÜH|R4+~�B�~�M�~�y]"'������)���(�&'�tF���5

` ���¤����!$Õo ß y�{Q~Tc0�­_0�.!#-��.$��3&#!#)��i/2����)�"#!�/2�����Py]��)�$�)�������_�DP!l�.�0¡W"#)������.)�!})�"�/2���^/WD�"?��$+���0�_G��!l�.�����w!#-��\yè&#)���-�!Q�����g�2@}!#-��W�ÊpiXl!#- "#!#�31g�2@vcw/����E!#-���y]&')���-�!J�3���E�2@�!#-��i�OpWXl!#-w"#!'��1w��@{Q5 jk��!#-����¤-G/W$���!'-���@�����������)*����&#��"'(���!i¡}/2���[�.��&'�V@A��&P!'-���&'�i/�����&P!#�¤Å���Ë�¡?LO&'��1G��"')*!')����B�5 BöÉ0@���&�)�!#"�1�&'����@�5ÿ

çYæ��(æ���������æ� K�5ÇK(éýê}ãWê�L�~�ÙªÜ#� ? R�LÅd Ù�ë�ì?ò�ãiðo ß yNL}~VÙ��OÚÖÕo+cRá�|V{ ß y�ÌPy�LG��~úÌPyAÙ��'�Ú�ó+ëÊpÚÍ4�~������0~VØGëuK�å�ë�ê�ò�ãWë���ó+ë#ã8Ø�Êÿ4.à[p\Ü[Ù {}| y#ÅÇ×õÉA�@��L {�| y#ÅÇ×õÉè�uæ ÚPï�ð�çwó+ð�\æ Úuê*ò�ã�p32#ê*ò

é�ê�ã��kóAÚOÌPyAÙ+��æ�é�ï�îèî*ójíÊï�ì3î*ãeíQæèê*òwë'ã�éN��ã_³WêQê�ó:ÌPy�LG��ëjk� �i/��w�����ÿ&#��1�-�&�/2"#��T�-��3��&#�3��K�5 F¢)��w!#��&'�E".��@Q10/�&'!#)�!#)��+��"i53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5ÇM(é�ê�ãWêIL�~�ÙuÜP� ? R�LÅd§Ù�ë�ì?ò�ãiðg�h ; i y � �QÚ �   \&¡']   � ß y'4.à � {@??×� � ^ ]:; \>`]á�| �y�K�5Ç���

í}ò�ãië'ãO{gÚMÌPy�LG�TR]c\ÚMÌty�Ù��¢ï�ð�çPp[ë�å�ð�é�ójîWãiëPï�îèî�ê�ò�ã�ï2î]î*ó:íQï�ì3î*ãué�êAã]�0éPóAÚQc�íQæ]ê�òwë#ã3éN�Yã�³Wêê�ó:{uë S ð �Yï+ë�êAæo³iå+î*ï+ëTR gEh ; i y � ��ç+ã���ãið�ç�é�ó+ð�\ó+ð8ÌPyAÙ+���£ÌPy�LG��ë î% � !#-��P�i/2"#�P��@Q/������.��&J)���!#�3&#$�/��l¡+!#-�� @A�+&#�\(��]/uyAK�5Ç�+�Q!V/����3"�(�1g/u10/�&'!#)���(��]/2&#��D\"#)��E1��*�

@A�+&#�r5�T�-��\1�&'����@���@�!#-�� ����7�!�&#�3"#(���!�)�"�/2�0/������+��(�" !#�w!#-��E�������2@Å���Ë�¡},.�+&#�+�*�]/2&#D¤B�5 KöÉ/2���w�J�P���i/W$�� )�!�!#�\!#-��t&'�i/�����&i53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5Çq(é�ê�ãWê�Ù¢ÜH� ? ë�ì?ò�ãWð

g � ; i y � �QÚ �   ]   � ^ ]>`�ß ��| y#4.à � {Y? ß á�| ��~í}ò�ãië'ãO{[ÚrÌPyAÙ��¢ï+ð�ç\Ò0y­{}�Pæ�é�ê*ò�ã�î�ãið:��ê�ò[ó<Ú�ê*ò�ã1zuå�ë7Ú�ãVãPé�äiå�ï+ë#ã¢óAÚO{uë îjk�������+"#�8!'-�)�"Q"#�3��!#)���� ��)�!#-g/2�\��7�/�� 1�����¡�!#�u)*����(�"'!#&�/2!#� T�-�����&'��� K�5 F�/2���E,.��&'�����]/�&#D

K�5 M�5�>?��!�LÿÚ 4W=�B�K+M�F�q���S£/�����ÙÄÚâK�4WM�=+q���B+S�F[)��ÄÐ 83¡'A ^ ü ; � ` B� ¡.�.�w-0/W$��[d ü yNL}~VÙ��wÚ|WF0~Vq�~VS$~R5?��&#�+� y�K�5 FR�./����ryAK�5 K+��¡�)�!.@A�+�*������"Q!'-0/�!g�h ; i y � �ÊÚ � | X y'4.à � {�| ��y'4�à � {(× ��y#4.à � {(× ���y�K�5ÇS��ø _�"'��&#$+�[!#-0/2!\�J�w-0/W$+�<Ìty�Ù��wÚ yAK�~'F0~V=�~W4i�¢Úöc�/����'ÌPy�LG�EÚ y�=�~Vv�~Vv�~Vv���Úö{Q5ÄT�-����)]/2��&�/2�a��@?!#-���"'�����.Xl10/2&#!#)�!')*�+�gÌty�Ù��:��ÌPy�LG�})�"O��&V/W���\)*�\��)���(�&'��F05�T�-��8/��������^/2_����VXl"#!#�31�"/2&#�P)�����)��i/�!'���w_�Dg/�&'&#����"8/2���%Õo�|�y�{Q~Tc0�OÚÍ4�¡�Õo:×Ry­{Q~�cG�OÚü=�¡�Õo F y­{Q~�cG�OÚü=�5

Page 79: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

m X � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�

nb�doxq@ç@å9ØÌ@n�þ@n8¤�¼Gq#¿ Þ�$�q�yA� c ~#z c�{�| �

�Í10/�&'!#)�!#)����kypc | ~�c ? ~������G~�c , ��)�"tÔ��_Ã�×�Ö<�t)x@uc |uÞ c ?�Þ ����� Þ c , 5 jk���������+!#�¢_�D8j ¨!'-��P"#��! ��@m/2���Qy])���!#���+��&��h"#!#&')���!�10/�&'!#)�!#)��+��"i5Q>­��!ù zÇÚ�|Ry�×#~sp2�ÊÜ#) ? z�×*d p$~��)�!#- !#-��u��&#����&#)����\)�����(������[_�DE!'-��P1�&#����(���!8�+&#����&')����\���0) ? 5Êjk�8�i/2���}!#-��8;G��)�!#�P��&'����&)����i/2��"t�2@0ù ésò�æ Ú�ê�ãVçe��ï�ë3êAæ]ê�æ]ó+ð�é�5�9 �����+!#�\_�D)Ù�!'-��\"#�3!���@8/����?;G��)�!#�\��&'����&�)����W/���"8�2@iùk5` ��!#�u!#-0/2!.ÙÄ)*" 10/�&'!#)]/�����D¢��&#����&#���r_�DE"'��!P)*������(�"#)�����5 % !�)�"8�.�����?���������w!#-0/2!8!#-�)*"��w/��+��"Ù�)��R!'�ª/¢��)*"'!#&')*_�(�!#)�$��P�]/�!'!#)�����5Ojk� )�������!#)x@ADE/¢"'-�)x@A!#���w10/2&#!')*!')����E��)�!'-g)�!'"���)]/���&V/��|Ry�×#~sp��.ÜÅ) ? z�4ýd ×*d�-?~V×Gdkp�dEc��}àÄ4uÊÄ×�~�~/2���\�J����&�/W�Ä)�!Q&#�+!�/�!'���E�3��(���!#�3&#�������V�R��)�"'�t_�D e ü &�/���)õ/2��"i5QCY�P@A��&Ê��7�/��E1��*�.!#-�����)]/���&V/���2@^yAq�~�M�~�K�~#FG~�=+��)*"�)�����(�"#!'&�/2!#��� )*�[��)���(�&'��K�5

nb�doxq@ç@åRÚ>­��! ÕjKz Ú�|Dc ܦjÁz#c<ý�÷�ydcG� \�^ \>` ~´�

` ��!#��!'-0/�!Ê!#-���&'�t/2&#��)�������(�"')*�+��1�&#��"'��&#$�)�����_�) ¦V�3��!#)�����"Q_0�3!l�J���3�E"#!'&#)���!.10/�&'!#)�!#)��+��"i¡�"'-�)x@A!#�3�10/2&#!')*!')�����"�/����w10/2&#!')*!')�����".)�� ÕjE¡���)�$���� _�DYzypc | ~�c ? ~������G~�c , � " |�yA×'~lp��!z�4�d�×Sd�-?~V×Sd�pyd,c � à�4uÊ�×�~ " ydc | ~Tc ? Êÿ4�~�������~Tc , Ê1-uà�4i�������&�!'-�)�"�&#�i/2"#����¡0�.����)����G@A&#�3����DE)�������!#)x@AD !#-��3"#�¢��_�¦V���3!#"i5.` ��!#�+¡0-����J��$+��&i¡�!#-0/2!8�+����DE!#-��_�) ¦V�3��!#)����£_0��!l�.�����r"#!'&#)���!�1G/�&#!')�!#)�����"8/2���["'-�)x@A!#���r10/2&#!#)�!')*�+��"81�&#��"'��&#$+��"�"')�¥���5 % �w@Z/2��!i¡G)x@c�~¨{Q~3Ü Õjý/�����Ô�Ü<j�¡2��)*!'-�{HÕyÔrÕ,c�¡�!#-��3�\)*!O������"Ê����!Q��������"'"�/�&')��*Du@A�+�*�����r!#-0/2!.Ô Ü Õjg5T�-��3&#�V@A�+&#��!'-��P"#(�_�10�+"#��! |hÔ Ü¦j�z�{0Õ�ÔrÕEc�~

Page 80: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ ×�¬ �`�?�g��¹}�V� ^ O ; Ð �$9A` m |�2@�j�)�"����+!�)�"#��� ��&'1�-�)���!#�\!'-��P"#(�_�1G��"'��!|<Ô\Ü�Ù�z#{¯ÕÓÔrÕrc@~�2@£Ù85

ø (�&¢1�(�&'10�+"#�w)�� !#-�)*"¢"#�3��!#)����Ä)�"¢!#�r��_�!V/�)��§/2�k��7�1���)*�3)*!¢1�&'�R��(���!¢@A�+&#�\(��]/�@A��&¢!#-��g Xl1G����D������ )õ/2�¶".)��[!#-��¢�i/2"#�¢��@J!'-���10/2)*&¢yA� c ~'z c�{}| ��5�����& !#-��¢&#�3"#!P��@J!'-�)�"8"'����!#)��+�}¡?�.�;07kØ�ÜV):/����k�.�\����!r� zÇÚIb�c}¡OÔ3��zÇÚ�yA×'~�×@ÊÍ4i�3ylà8×Oàa4�~3à8×A�t@A��&�× Ú¸4�~������#~VØwàa4�¡Ô X zÇÚýy'4�~3à4W�OÚüÔ ª X ¡�Ð�zÇÚÓ|�Ô X ~VÔ�|i~������V~VÔ�c�{}|�~�/2���@>PzÇÚ�Ð6�ý|öÔ X ~�5��&#�+� LO&#�+10�+"#)�!#)��+�g=�5�4WS��.�P-0/W$��P!#-G/�!� ? ÚÓ|�Ù¢ÜH� z+Ù {}| y#4W�.ݧ٠{}| yA=+�ÊÝÒ�����+Ý�Ù {�| y�Ø?��~´�T�-��3&#�V@A�+&#��¡���)�$��3�gÙ6ªÚÿÓ�¡�ÙªÜP� ? ¡�!#-��3&#�P)�"^/¢(���)*��(���-\Ü ÅÇØ�ÉQy])��\@l/���!W¡�-�Ú«k | yAÙ��'�."#(��V-!'-0/�!

Ù {�| yN-��.Ý�v�Ý�Ù {�| yN-�Êü4W�y�K�5�4iv+�/2���w�J��/�"'"#����)]/�!'�P!#�EÙ¢!#-���"#-�)x@A!'���w10/�&'!#)�!#)��+�Ì ª yAÙ��ýzÇÚaylà8Ù {}| y#4W��~3à8Ù {}| yA=+��~�������~3à8Ù {}| y�-��#���y�K�5�4�4W�

>­��! ÕÙ8y�Ø?�!z Ú�|Dc Ü�Ù�z¶c6ÕayAØO~VØ¢à�4�~�������~V=�~W4i��~R~!'-�� @A����������)�����)�"J���������Szÿ

çYæ��(æ���������æ� K�5Ç�(érì?ò�ãr��ï��/ÌuªIç�ãpPQð�ãVçkì�±AͨÐ:ëdÏ#Ï�Ñ æ�é\ïkìWæ ó�ã�³iê�æ]ó+ðkì�ãWêNíQãVãið°� ?ï+ð�ç ÕÙ yAØ?��ë+K�åRë3ê*ò�ãië��¢ó�ë'ãyL�d ÙÄæ]ðP� ? æ Ú\ï�ð�ç¤ó+ð�ræ Ú¶Ì ª y�LG��Õ6Ì ª yAÙ+�Eï+ð�ç ÷�yAÙ��¢Ú� Ì ª yAÙ+���:Ú�ó�ëPï2î]îYL�~�ÙuÜH� ? ë� "J_G�V@A�+&#�8)�!.)�"J���+��$�����)�����!.!#�¢)�������!#)x@AD\/P"#-�)¶@�!#��� 10/�&'!#)�!#)����8cÏÜ ÕÙ yAØ?�Ê��)�!#-g/�õ/2!#!')*�3�

10/2!#-r��)�!#-Äy#4�~W4i� /����Äy#4+~�à�4W��"#!'��1�"¢"#!V/�&#!')����[/�!\yAv�~�v+�8/����¤-0/W$�)����wØk"#!'��1�"W5\jk��-0/W$+�!'-��8�+_R$�)���(�"Q_�) ¦V����!')����\_G��!l�J�3���w!#-��P1G�i/���".��@]cw/�"J/u10/2!#-E/����E!#-��8(�1�1G��&�1G�i/���".��@]cw/�"/ 10/2&#!#)�!')*�+�}5�`8��!'��!#-0/2!i¡�/2"Q)��ªLm&#��1G��"')�!#)����EK�5 =�¡W!#-�)�"Q_�) ¦V�3��!#)����¢����1G������"����\ØO¡�_�(�!}@���&Q(�"Øw)�"Ê;07����[/���� "#�\!'-���&#�u)*".���¢�����Y@A(�"#)��+�}5�����&.��7�/�� 1�����¡+!#-��P10/2&#!#)�!')*�+��c ÚayAq�~�M�~�K�~#FG~�=+����+&#&'��"#1G������"t!'��!'-���10/2!#-w)��g��)���(�&'��M�5

nb�doxq@ç@åRÛÖ�å�è.èQ\ K�5ÇS(éEê}ãWê�ÙkÜÓ� ? RPï�ð�ç pkÜaÅÇØwàa4VÉAëVì?ò�ãiðrÔ ß Üüd Ù yAÙ��wæ ÚEï�ð�ç¤ó+ð�ræ ÚÌ£ª8yAÙ+�Pò�ï�é�ïÏ�YãVï�²wï+ê�Ø�à[p�ëQK�å�ë�ê*ò�ãië���ó+ë#ã�R�Ô � Ü[d Ù y�Ù��uæ Ú�ï�ð�çEó�ðY\æ Ú�ê�ò�ãuî*ï2é�êOé�êAã]� ó<ÚÌ£ª8yAÙ+�¢æ�é�å��@ëT�-�)�"O&#�3"#(���!.�i/��\_G��1�&#��$+���\)��ª/ ��/WD�"')��E)��]/�&?!#��>­���E�w/�K�5ÇB¢y]"#�3�t/���"'�>­���E�w/�K�5�4iM+�

/2���w)*".��(��u!#�¢HJ&'����!#)�Å��YÌ+É#5O` ��!#�P!'-0/�!8×õXZ!'-w"#!#�31[��@HÌ ª yAÙ+�.)*"8/2�w(�1w"#!#�31[)x@m/����E�����*D )x@×�ÜP|öØeÊÿ4uÊ�Ù {}| y'4i�3~�ØeÊÿ4uÊ�Ù {}| yA=+��~������G~�Ø�Ê�4uÊÄÙ {�| yN-���~$�y�K�5�4i=+�

Page 81: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

m ? � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�ÿçYæ��(æ���������æ� K�5�4iv'é�ê}ãWê?Ù¢ÜH� ? R�ï+ð�ç�×�Ü ÅÇØ�É]ëeì?ò�ãið ê*ò�ã�×�2#ê�ò¢é�êAã]�+Í�Ú3ë#ój�Íê*ò�ã î*ãNÚ�êÅÑ

ó<ÚOÌ ª yAÙ��gÍsé�ãVãið[ï2é�ï���ï�ê�ò=ÑEæ�é�ï�ð[å��`2lé<ê�ã]� æ Ú�ï+ð�çEó+ð� æ Ú�Ù�y�Ø�Ê�4.à ×A�^Ý v�ëÿçYæSæ� é�jk�P��������!'-0/�!�!'-���×õXZ!'-w"#!#�31[��@QÙ¢Ü#� ? )�"8/��w(�1w"'!#��1[)x@Q/���� ������D\)x@

Ø�Êü4.àk×OÜH|�à8Ù {�| y#4W��~3àhÙ {}| yA=+��~�������~3àhÙ {}| y�-���~´�y�K�5�4iB+�

H.(�!}!'-�)�"i¡�_�DP!#-��J���<;0��)�!#)����P�2@Y-?¡W-0/�1�10����"�)x@0/�����������DP)x@0Ù�yAØGÊ 4�à�×A�.ÝÄv�¡�/�"O����"')�&#���}5jk�\/�&'�������Í&#�i/2��Dr!#�w1�&#��$+�\!#-��\�w/�)��w!#-��3��&#�3� �2@^!'-�)�"�"#�3��!#)�����¡}��-�)��V-r��)�$���"�/2�

��7�1���)���)�!�1�&'�R��(���! @A��&'�\(��]/P@���&�!#-���1G����D������ )]/��¶" g h ; i�y � �h)��g!'-��¢�i/�"'���2@m!'-��¢"#D��E� ��!#&')*�10/2)�&gy��.c�~'z8c�{}|��35k�8"\)���!#-��w1�&'��������)����k"'����!')*�+�Ä�J�w��)�$+�E!l�.�¤��)xµ?��&#�3�R!¢@���&#�\(��õ/2!#)�����"�2@!'-�)�"\&#��"'(���!i¡ �����w)���!'��&#� "\��@�"#)���������1G��&#�\(�!V/�!')*�+��"\/������+���w)���!#��&'�E"\�2@"'-�)x@A!#�3�10/2&#!')*!')�����"W5

>­��!.L}~VÙuÜ#� ? ¡�Lrd�Ù�5J����&Êp�ÜkÅÇØ�É}����!i¡Y@A����������)����\Å���Ì+É#¡ lß�y�L�~�Ù+�ÇzÇÚK� |ÄÃý��p�z�Ù�yNÃ��.Ý�v$~��3àV� |ÄÃý��p�zeL�y�Ã��ÊÝ�v$~����y�K�5�4�F��

����&.��7�/�� 1�����¡�)x@uLEÚÍÅ FG~�K�~�à8B�~�à8=�~'M�~Vq�~�à�4VÉ0/2���[Ù�ÚýÅÇM�~�à8K�~Vq�~3à�F0~3à8B�~Và8=�~3à�4VÉl¡�!#-��3�y� W|�y�L�~�Ù+��~������G~_  m yNL}~VÙ��'�QÚýy�=�~V=�~W4�~V=�~V=�~�4+~#v����y�K�5�4iK+�

` ��!#�u!#-0/2!t)�!h@A����������"Q@�&#���6Lm&#��1G��"')�!#)����[K�5Ç��!#-0/2!4 lß�y�L�~VÙ��ý�ôvª@A��&hpªÚ 4+~�������~�Ør)x@J/�����+����D\)¶@uLrd Ù�5Q� �*"'�0¡�)x@*Lrd�Ù�¡�!#-��3�# lß�y�L�~�Ù+� Þ v¢��-��3�ÏÙ�y�p���Ý�vuÝ�L�y�p���5Êjk�8����!kky�L�~�Ù+��zÇÚ«|ÄÃÜ ÅÇØ�É�zeL�y�Ã��'Ù�yNÃ��.Ý v�~R~y�K�5�4iM+�/2���

dwy�L�~VÙ���zÇÚ«|>Ã�Ü0kkyNL}~VÙ��!z\ylà�4W� Ë ô ^ h ; i�` Ý�v$~$�y�K�5�4iq+�ã.ä@å'æ@ç@å�è K�5�4+4´é�ê�ãiêSL}~VÙ¢ÜH� ? RILrd�Ù�ë�ì?ò�ãWðg�h ; i y � �QÚ � \_^ i�`�{ \�^ h ` �ß Í � ^ h ; i�` y#4hà � {

×Ë � ^ h ; i�` �3~y�K�5�4i�+�

í}ò�ãië'ã Õ  lß�y�L�~�Ù+��zÇÚ § =j  ß y�L�~VÙ���à�4 æ Ú�L}yõp2� Þ v3R=j  ß y�L�~VÙ��@Êÿ4 æ Ú�L}yõp2�.Ý�v�ëy�K�5�4iS+�ÿ

çYæSæ� é�jk�\1�&#���������Ä_�Dr)*����(���!')*�+�k���r÷�y�À ?X �Êà�÷�y�LG��5 % @�÷�yNÀ ?X �.à ÷2yNL0�¢Ú:v�¡��.�-0/W$+�4À ?X ÚüÙ�Ú«Lw/���� !#-��u&#��"'(���!�)*"�!'&#)�$�)]/�����D�!#&'(���5JCY�\"#(�1�1G��"'��!#-G/�!Ê÷2yNÀ ?X ��à[÷�y�LG� Þ v/2���w�*�3!^Ôu_0�P"'(��V-[!#-0/2!8Ô�ªÜ[d Ù y�LG��/����6L0ÔÜ#� ? 5C�(�1�10�+"#�h;0&#"'!Q!#-0/2!JÔ8ÚÍylà8×2à[4�~3àh×���y�×#~V×�ʤ4W�O@���&O"#�+�E��×OÜkÅ Ø à[4<És¡2!#-����6L}y�×A�ÊÝ�L}y�×�Êr4W��¨���+!#�P!#-G/�!i¡�"#)������eLÏÜ#� ? ¡�!#-�)�"�)��E1��*)���"Ê!#-0/2!.L}y�×A�.Ý�vuÝ�L�yA×�Êü4W��5Ojk� -0/W$�� @A�+(�&��i/�"'��"!'�\������"')�����&i5o��gÔ ªÜÏd Ù yAÙ+��¡?/����wÙ�ÔuÜH� ?

C�)����3�ÙªÜ#� ? ¡�!'-�)�"J)�� 1���)*�3"�!'-0/�!8Ù�yA×��.Ý�v�Ý�Ù�y�×�ÊÄ4i�35Qew��&'����$��3&.L0Ô+~�Ù+ÔPÜH� ? /���� "#�0¡kkyNL0Ô+~VÙ�ÔW�QÚVk y�L�~�Ù+�J/2���[  ß yNL0Ô+~�Ù+Ôi�.Ú�  ß y�L�~�Ù+�O@A�+&J/�����p�ÜkÅÇØ�És¡+"#�\dwy�LGÔ+~�Ù+Ôi�.ÚüdwyNL}~VÙ��/2��� Õ  ß y�LGÔ�~VÙ�ÔW�QÚ Õ  ß y�L�~�Ù+�Ê@A��&8/2�*��p�ÜkÅÇØ�É��E|ö×'~�×�Êü4 ~R5�U8��������¡G_�D\T�-�����&'���6K�5�48/2���w��(�&

Page 82: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ ×�¬ �`�?�g��¹}�V� ^ O ; Ð �$9A` m ×)�����(���!#)���� -�DR1G��!'-���"')*"W¡g h ; iRy � � Ú g h ¨ ; i ¨ y � �

Ú � \_^ i ¨ `�{ \_^ h ¨ ` �ß Í � ^ h ¨ ; i ¨ ` y#4.à � {

×Ë � ^ h ¨ ; i ¨ ` �Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` �

ß Í � ^ h ; i�` y#4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �3~

/2"�����"#)�&'���}5 3�gÔÜÏdwy�Ù��3¡�/2���[LGÔ�ªd�Ù�ÔT�-��3�§Ù�y�×A� Þ v Þ Ù�yA×GÊ·4i�3¡O!#-���&'�V@A�+&#�#kkyNL0Ô+~VÙ��\Ú}kkyNL}~VÙ��u��|ö×'~�×SÊý4 ~R¡u lß�yNL0Ô+~VÙ��\Ú lß�yNL}~VÙ��QÚ« lß�y�LGÔ+~�Ù+Ôi�^@A��&�/����Gp�ÜkÅÇØ�É´�ý|ö×'Ê�4 ~R¡�/����  � y�L�~�Ù+��Ú«  �]á�| y�L�~�Ù+��à 4:�y�K�5Ç=�v+�C�)����3��LGÔHªdýÙ�Ô+¡})�! @A����������".@A&'���6!'-��¢����!'�\_0�V@���&#�\!'-��¢"#!�/2!#��� ����!P��@�!#-��¢!#-��3��&#�3� !'-0/�!  �]á�| yNL}~VÙ�� Þ v Þ   �]á�| y�LGÔ+~�Ù+Ôi�35¤� ��"#�#  �]á�| yNL}~VÙ��^à�  �]á�| yNL0Ô+~VÙ�ÔW�\Ú =�¡O"#�#  �]á�| y�L�~�Ù+��Ú4+5¤T�-�)*"\/����üyAK�5Ç=�v��)*� 1���Dw!#-0/2!ª×6ªÜadwy�L�~�Ù+�\/����Ä×�ÊÍ4[ÜýdwyNL}~VÙ��35 % !�@�����������"t!'-0/�!dwyNL0Ô+~�Ù+�\Ú:dwy�L�~�Ù+�Ç��|�×�Ê·4>~�¡ Õ sß�y�LGÔ�~VÙ��¢Ú Õ  sßRyNL}~VÙ��@A�+&�/����Êp ÜýÅÇØ�ÉY��|ö×'~V×@Ê·4>~R¡O/����!'-0/�! Õ  <�õá�|Wy�L�~�Ù+��Ú =: V�]á�|iy�L�~VÙ��Êàô4\Ú�4�5\U �������+¡Q_�D[T�-����+&#��� K�5�4�/2���k!#-�� )�����(���!')����-�D�10�+!#-��3"#)�"i¡ g h ; i�y � � Ú y � àÄ4i� g h ¨ ; i�y � �

Ú y � àÄ4i� � \�^ i�`Z{ \�^ h `�{}| �ß Í � ^ h ; i�`�¡'A'�]á�|MB y#4.à � { ×Ë � ^ h ¨ ; i�` �

Ú y � àÄ4i� � \�^ i�`Z{ \�^ h `�{}|y#4.à � { ×Ë Û � 9 ^ h ; i�` � �

ß Í � ^ h ; i�` y#4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �

Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` �ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` ���Ö3�gÔÜÏd

ÙyAÙ+��¡?/����6L0ÔÏd Ù+Ô

T�-��3�}¡Q/�"�/2_0��$+��¡OÙ�yA×�� Þ v Þ Ù�yA×GÊa4W��¡Gkky�LGÔ+~�Ù+��Ú k y�L�~�Ù+�u��|ö×'~�×@ÊÍ4>~�¡�  ß yNL0Ô+~�Ù+��Ú lß�yNL}~VÙ��Ê@A�+&8/�����p�ÜkÅ Ø�É��ý|ö×�Ê�4>~�¡�/����  � y�L�~�Ù+��Ú«  �]á�| y�L�~�Ù+��à 4:�y�K�5Ç=�4W�

% ! @A�+�*������" !#-0/2!�dwy�LGÔ�~VÙ��PÚ dwyNL}~VÙ��º�e|�×#~V×'Êa4>~E/���� Õ   ß y�LGÔ�~VÙ��PÚ Õ  ß yNL}~VÙ��3¡?@A�+&�/�����p¤ÜÅÇØ�É��ý|�×#~V×'Êü4 ~R58ø �[!'-��¢��!#-���&8-0/2���[�.��-0/W$+�jz�kky�LGÔ�~VÙ�ÔW��Ú�k y�L�~�Ù+�8/����Å sß�y�LGÔ�~VÙ�ÔW��Ú lß�yNL}~VÙ��h@A�+&/2���}pwÜüÅÇØ�É(��|�×@Êa4>~�¡�/2���P  �]á�| yNL0Ô+~�Ù+Ôi�PÚK  �]á�| y�L�~�Ù+�Qà =�5 % ! @A�+���*����"�!'-0/�!dwyNL0Ô+~�Ù+Ôi� Úadwy�L�~�Ù+�P/���� Õ  sßRyNL0Ô+~VÙ�ÔW��Ú Õ lß�y�L�~VÙ��.@���&t/2���?pEÜÄÅ Ø�É��ý|ö×'~�×'Êÿ4>~�5�U8��������¡?_�DT�-��3��&#�3��K�5*4P/����g!'-��P)�����(���!')����w-�DR1G��!'-���"')*"W¡g�h ; i y � � Ú y � à � {}| � g�h ¨ ; i y � �@Ê gEh ¨ ; i ¨ y � �

Ú y � à � {}| � � \_^ i�`�{ \�^ h `�{�| �ß Í � ^ h ; i�`�¡'A#�N; �]á�|MB y#4.à � {

×Ë � ^ h ¨ ; i�` �Ê � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? �

ß Í � ^ h ; i�` y#4.à � {×Ë � ^ h ¨ ; i ¨ ` ���y�K�5Ç=�=+�

Page 83: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

m ü � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?���&#�+�6yAK�5 =�4i�O�.�P-0/W$�� !#-0/2!8×OÜ[dwy�L�~�Ù+�.)x@m/����E�����*D\)x@Q×�Ê�4�ªÜ[dwy�L�~�Ù+��¡�"'���.�P-0/W$��P!l�.��i/2"#��"W5 % @­×mÜÏdwyNL}~VÙ��3¡�!'-����EdwyNL0Ô+~�Ù+�QÚÿdwy�L�~�Ù+�>�S|ö×]~h/2��� Õ  V�#y�LGÔ+~�Ù+Ôi�.Úü=: V�#yNL0Ô+~�Ù+Ôi�+àw48Ú=:  � y�L�~VÙ��OàÄ4�Ú Õ  � y�L�~VÙ���à =�_G���i/2(�"#��L�yA×��.Ý vuÝ�L}y�×�Êÿ4i�35}U ��������¡G_�D¤y�K�5Ç=�=+��¡g h ; i�y � � Ú y � ? à�4i� � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? �

ß Í � ^ h ; i�`�¡'A'� B y'4.à � { ×Ë � ^ h ; i�` �Ê � \�^ i�`�{ \_^ h `�{Y? y'4.à � { ×Ë Û ^ h ¨ ; i ¨ ` � �ß Í � ^ h ; i�`�¡'A'� B y'4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` �Ú � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? y � ? à � { ×Ë Û ^ h ¨ ; i ¨ ` �y'4�à � { ×Ë Û ^ h ; i�` � �

ß Í � ^ h ; i�` y#4�à � {×Ë � ^ h ; i�` �

Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` �ß Í � ^ h ; i�` y#4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` ���% @E×ÇÊ 4aÜ6dwy�L�~VÙ���¡u!#-��3�ýdwy�LGÔ�~VÙ��ÄÚ dwy�L�~�Ù+�.�r|�×ÇÊI4>~ /2��� Õ  V�]á�|iy�LGÔ+~�Ù+Ôi�ÄÚ

=:  �]á�| y�LGÔ�~VÙ�ÔW��Êÿ4�ÚÍyA=j  �õá�| y�L�~VÙ���à§4W�Oàk=tÚ Õ  �]á�| y�L�~�Ù+��à =�5}U �������+¡0_�DryAK�5Ç=+=���¡gEh ; i y � � Ú y � ? à§4W� � \�^ i�`�{ \_^ h `�{Y? �ß Í � ^ h ; i�`�¡'A#�]á�|MB y'4.à � { ×Ë � ^ h ; i�` �Ê � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? y#4.à � { ×Ë Û � 9 ^ h ¨ ; i ¨ ` � �

ß Í � ^ h ; i�`�¡'A'�]á�|2B y#4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �

Ú � \�^ i�`Z{ \�^ h `�{Y? y � ? à � { ×Ë Û � 9 ^ h ¨ ; i ¨ ` �y'4.à � { ×Ë Û � 9 ^ h ; i�` � �ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` �Ú � \�^ i�`Z{ \�^ h ` �

ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {×Ë � ^ h ; i�` ��~

/2���w!#-��P&#�3"#(���!�@�����������"J/���"#�¢)��w!#-�)�"��i/2"#��5Ò��gÙ+Ô�ªÜH� ?

T�-��3�EÔ�ªÜ[d Ù yAÙ+�Q/������.��-0/W$��.!l�.�t�W/�"#�3"i5 % �\!#-��Q;0&'"#!Q�+����¡+�J�.-0/W$+�^Ù�yA×���Ý�Ù�y�×�Ê[4W��ݧv/2���[!#-�)*"P)��E1��*)���"�!'-0/�!ekkyNL0Ô+~VÙ��8ÚIyNkky�L�~�Ù+�G��|ö×'Êa4 ~ö��� |ö×]~R¡�  ß yNL0Ô+~�Ù+�8ÚK  ß yNL}~VÙ��^@A��&/2�*��p�Ü ÅÇØ�É´�ý|�×�Êÿ4>~R¡� <�#y�LGÔ�~VÙ��ÊÚV V�]á�|�y�L�~�Ù+��5 % !.@A�+���*����"Ê!#-0/2!

dwy�LGÔ�~VÙ��G�ý|ö×]~8ÚüdwyNL}~VÙ��S�ý|ö×�Êÿ4 ~R~×mÜÏdwyNL0Ô+~�Ù+�O)x@0/����¢������DP)x@�×�Êw4 ÜÏdwyNL}~VÙ��3¡ Õ  lß�yNL0Ô+~�Ù+�QÚ Õ  lß�y�L�~�Ù+�?@���&�/2����p¢Ü ÅÇØ�É_��|ö×'~�×�Êw4 ~/2��� Õ  � yNL0Ô+~�Ù+�PÚ Õ  �]á�| yNL}~VÙ��35\U8�3������¡O_�D[T�-��3��&#�3� K�5�4ª/2���r!#-��\)�����(���!#)����r-�D�10�+!#-���"')�"i¡)x@8×�ªÜ�dwy�LGÔ�~VÙ��3¡Qdwy�LGÔ�~VÙ���ÚIdwy�L�~VÙ��¢/����r!#-�� !#-��3"#)�"��i/2"#)���D[@A�+���*����"W¨?��!'-���&'��)*"'�E)x@8×PÜdwyNL0Ô+~�Ù+���.�P-0/W$���¡g�h ; i y � � Ú � g�h ¨ ; i y � �

Ú �>� \_^ i�`�{ \�^ h `�{�| �ß Í � ^ h ¨ ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ h ¨ ; i�` �Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` y#4.à � { ×Ë Û ^ h ¨ ; i�` �y#4.à � { ×Ë Û � 9 ^ h ; i�` � �

ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �

Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` �ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` �3~

Page 84: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ ×�¬ �`�?�g��¹}�V� ^ O ; Ð �$9A` m��_G���i/2(�"#� Õ <��yNL0Ô+~�Ù+�QÚ Õ  V�]á�|öyNL}~VÙ����

% �r!#-��\"'�����+���}¡O�.��-0/W$+�EvwÝ�Ù�yA×��¢Ý�Ù�yA×�ÊÍ4i�P/2���¤!'-�)�"�)��E1���)���"�!'-0/�!yk y�LGÔ�~VÙ��PÚyNkky�L�~�Ù+���ý|�×�~����H|�×(Êÿ4>~�¡( lß�yNL0Ô+~�Ù+��ÚÓ lß�y�L�~�Ù+�.@A�+&8/����?p Ü Å Ø�É���|�×(Êÿ4>~�¡(  �]á�| yNL0Ô+~VÙ���Ú  � y�L�~�Ù+��5 % !Ê@A�+�*������".!#-0/2!

dwy�LGÔ�~VÙ��G�ý|ö×�Êü4 ~8Ú�dwy�L�~�Ù+���ý|�×�~�~×�Êw4 ÜÏdwyNL0Ô+~VÙ��O)x@�/2���������*DP)x@�×mÜÏdwyNL}~VÙ��3¡ Õ  lß�yNL0Ô+~�Ù+�QÚ Õ  lß�y�L�~�Ù+�?@���&�/2����p¢Ü ÅÇØ�É_��|ö×'~�×�Êw4 ~/2��� Õ  �õá�| y�LGÔ+~�Ù+�tÚ Õ  � yNL}~VÙ��35\U8�3������¡O_�D[T�-��3��&#�3� K�5�4ª/2���r!#-��\)�����(���!#)����r-�D�10�+!#-���"')�"i¡)x@8×@Êý4HªÜ�dwy�LGÔ�~VÙ��3¡Qdwy�LGÔ�~VÙ��¢Ú dwy�L�~VÙ��¢/����r!#-�� !#-��3"#)�"��W/�"#)���Dw@A�+���*����"W¨?��!'-���&'��)*"'�E)x@×�Êÿ4 Ü[dwy�LGÔ�~VÙ��h�J�P-0/W$+��¡

gEh ; i y � � Ú � gEh ¨ ; i y � �Ú � \�^ i�`�{ \_^ h ` �

ß Í � ^ h ¨ ; i�` y#4.à � {×Ë � ^ h ¨ ; i�` �

Ú � \�^ i�`�{ \_^ h ` y'4.à � { ×Ë Û � 9 ^ h ¨ ; i�` �y#4.à � { ×Ë Û ^ h ; i�` � �ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` ��~"')*����� Õ  V�]á�|iyNL0Ô+~�Ù+�QÚ Õ V��yNL}~VÙ��3¡�!#-��u&#��"'(���!8/��R/2)��\@A�+�*������"W5

C�(�1�10�+"#�w�����I!#-0/2!EÔ¤Ú ysà4+~i4W�\Ú¸Ô X 5ÄT�-����VL�y#4W� Þ v�¡J/2���Ä�J�w�+_�"#��&'$��[!'-0/�!LGÔ�~VÙ�ÔÜ#� ? 5Ojk�t!'-���&'�V@A��&'��-0/W$+�t!'-�&#�3���i/�"'��"8!'�\������"#)�����&W54W�gÔ ªÜÏd Ù yAÙ+�

T�-��3�¤Ù�Ô¢Ü�� ? /����ÏÙ�y#4W� Þ v�5.U8��������k y�LGÔ�~VÙ�ÔW��ÚÓkky�L�~VÙ���¡@ lß�yNL0Ô+~�Ù+Ôi��ÚÓ sß�y�L�~�Ù+�Ê@A��&/2�*��p[ÜaÅÇØ�ÉÊ/2���r"#�¤dwyNL0Ô+~�Ù+Ôi�uÚ dwy�L�~�Ù+�\¡Q4HªÜ§dwyNL}~VÙ��3¡ Õ lß�y�LGÔ�~VÙ�ÔW�PÚ Õ lß�yNL}~VÙ��3¡G@A��&�/2�*�p¢Ü ÅÇØ�ÉÄ�º|R4 ~8/����\!'-��8&'��"#(���!Ê@A����������"�@A&#�+�·T�-�����&'��� K�5�48/2���\!#-�� )�����(���!')����\-�D�10�+!#-���"')�"i5=+�gÔÜÏd

ÙyAÙ+��¡?/����6L0Ô ªd Ù+Ô

T�-��3�ÏÙ�y#4W�.Ý vu"#��k y�LGÔ�~VÙ��QÚ«kkyNL}~VÙ��@�E|R4 ~R¡�  ß y�LGÔ+~�Ù+�QÚV  ß yNL}~VÙ��Ê@���&�/����Gp�ÜkÅÇØ�É´��|�4>~R5T�-��3&#�V@A�+&#�[dwy�LGÔ+~�Ù+��Ú:dwyNL}~VÙ��!��|R4>~w/���� Õ  ß yNL0Ô+~�Ù+�\Ú Õ   ß y�L�~�Ù+� @A�+&ª/2�*�mp ÜýÅÇØ�ÉY��|�4>~R5� �*"'�0¡@L Ý Ù£/����#LGÔ¯ªd Ù+Ô�¡�"#�w_�D[!'-���&'���g/2&#�w_G�V@A��&'�\!#-��¢"#!V/�!'���E����!P��@.!#-��\!'-�����&'���¤¡  | y�L�~�Ù+�QÚý4P/����g-�������� Õ  | yNL}~VÙ��OÚÍ4�5OU8�3������¡

gEh ; i y � � Ú y � à 4W� gEh ¨ ; i y � �Ú y � à 4W� � \�^ i�`�{ \_^ h `�{}| �

ß Í � ^ h ; i�`�¡'A�|MB y#4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �

Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` �ß Í � ^ h ; i�` y#4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` ���B+�gÔÜÏd

ÙyAÙ+��¡?/����6L0ÔÏd Ù+Ô

T�-��3�ýÙ�y#4W�ÄÝ v�¡ek y�LGÔ�~VÙ�ÔW� Ú�kkyNL}~VÙ��3¡ekky�LGÔ�~VÙ���Ú�kky�L�~�Ù+���6|�4>~R¡� lß�y�LGÔ+~�Ù+Ôi�ÄÚ lß�yNL}~VÙ��QÚ« lß�y�LGÔ+~�Ù+�O@A�+&J/�����p¢Ü ÅÇØ�ÉÄ�º|�4>~R¡+/�����  | y�LGÔ�~VÙ�ÔW�JÚ«  | yNL}~VÙ���àg=uÚV  | y�LGÔ+~�Ù+��àr4�5% !.@A�+���*����"Ê!#-0/2!

dwy�LGÔ�~VÙ��ÊÚüdwyNL}~VÙ��S�ý|R4>~8Ú�dwyNL0Ô+~VÙ�ÔW�I�ý|�4>~

Page 85: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

m F � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�/2��� Õ   ß y�LGÔ�~VÙ�ÔW�QÚ Õ  ß y�L�~VÙ��OÚ Õ   ß yNL0Ô+~VÙ��.@���&�/����Gp�ÜkÅÇØ�É´�ý|R4>~�5}U �������+¡g�h ; i y � � Ú y � à � {�| � g�h ¨ ; i y � �SÊ g�h ¨ ; i ¨ y � �

Ú y � à � {�| � � \_^ i�`�{ \�^ h `�{�| �ß Í � ^ h ; i�`�¡'A3|MB y'4.à � {

×Ë � ^ h ¨ ; i�` �Ê � \�^ i�`�{ \_^ h `�{Y? �

ß Í � ^ h ¨ ; i ¨ ` y'4.à � {×Ë � ^ h ¨ ; i ¨ ` ���y�K�5Ç=�B+�

` ���:�J�[-G/W$��[!l�.�k�i/�"'��"i5 % @w4ÄÜ dwyNL}~VÙ��3¡8!'-����·4�Ü dwy�LGÔ�~VÙ�ÔW�[/���� Õ   | yNL0Ô+~�Ù+Ôi�rÚÕ  W|Wy�L�~�Ù+�Oà =�¡�"#�¢@A&'���6y�K�5Ç=�B+��¡gEh ; i y � � Ú y � ? à 4W� � \�^ i�`�{ \_^ h `�{Y? �ß Í � ^ h ; i�`�¡'A�|MB y#4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` �Ê � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? y#4.à � { ×Ë 9 ^ h ¨ ; i ¨ ` � �

ß Í � ^ h ; i�`�¡'A3|MB y#4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �

Ú � \�^ i�`�{ \_^ h ` y#4.à � { ×Ë 9 ^ h ¨ ; i ¨ `�{@? �y#4.à � { ×Ë 9 ^ h ; i�` � �ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` ���% @�4yªÜ¤dwyNL}~VÙ��3¡�!'-����k4�ªÜ¤dwy�LGÔ�~VÙ�ÔW�8/2��� @A&#�+�6yAK�5 =+B��Ê�J�P-0/W$+�P!#-0/2!gEh ; i y � � Ú y � ? à�4i� � \�^ i�`Z{ \�^ h `�{Y? �

ß Í � ^ h ; i�` y#4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �

Ê � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? �ß Í � ^ h ; i�` y#4hà � {

×Ë � ^ h ; i�` �Ú � \�^ i�`�{ \_^ h ` �

ß Í � ^ h ; i�` y#4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �

/2���E!'-��P&#��"'(���!�@A�+�*������"W5?T�-�)�"J�3���E1��*�3!#��"�!'-��P)*����(���!')*�+�E"'!#��1¤/2���E-���������!'-��P1�&#���2@�5

� "})���!#-��Q1�&#�3$R)��+(�"O"#����!')����¢)*!?)�"��0/�!'(�&�/2�R!'�8&'��1�-�&V/�"#�.T�-����+&#���·K�5�4�4O)��P!#-��J�]/�����(0/2����2@J"#-�)x@A!'���[10/2&#!')*!')�����"W5�>?��!¶{Q~TcrÜ ÕÙ�yAØ?��¡­��)*!'-@{�Õ c�5Pjk��!'-�)����w��@u{ /2����cr/�"P10/2!#-�"/2"J��7�1��]/2)*�����g/2!J!'-��P_0���+)�����)������2@�!#-�)*"."#�3��!#)�����5OT�-����}¡�_RDELm&#��1G��"')�!#)����EK�5 ��¡�!'-��P10/�!'-�c��)���"�yè�J�W/�����DY� /�_G��$���!'-��¢10/�!'-+{Q5�>­��!�pwÜ�Å Ø�ÉQ/����r���+��"#)�����&P!'-���pWXl!#-r"#!#�31¤�2@0cÄy�@A&'���!'-��P�*�<@A!��35�������������)����\Å���Ì+É}�.�8"V/WDE!#-G/�!."#(��V-[/�"'!#��1w)�"�bk2#ï�î]î�ójíQï+ì�î�ã.��)*!'-E&'��"#1G����!P!#�k{[)x@!'-�� piXl!#-["'!#��1£��@]{r)�"J����!�10/2&�/��������?!'�\)*!�/����9ÕoWß�y�{Q~TcG�.)*"�������5����& ��7�/��E1��*�+¡�)x@b{ Ú yAq�~#FG~�B�~�v�~�v�~#v�~'v���¡�/2���+c[Ú yAq�~�M�~�K�~#FG~�=�~�v�~Vv��O!'-����r!#-��upWXZ!'-¤"'!#��1�2@vcw)�"8b X#/��������^/2_�������)�!#-w&#��"'10�3��!P!#�g{[��7�/2��!#��DE)x@Op�ÜH|ö=�~�K�~�y]"'������)���(�&'��q���5ÿ

çYæ��(æ���������æ� K�5�4i='é�ê}ãWêGL}~VÙuÜ#� ? R�L6d§Ù�ë�ì?ò�ãWð lß�y�L�~VÙ��QÚÜÕo cRá�|V{ ß�y�Ì ª yNL0�3~¨Ì ª yAÙ+�#�Ú�ó+ët×�Ú 4�~������0~VØGë8K�å�ë�ê*ò�ãië���ó+ë#ã�Ø�Ê 48à p[Ü dwyNL}~VÙ�� æ Ú¢ï�ð�çró�ð�îC±[æ Ú¢ê*ò�ãPp32#ê*ò é�êAã]�§ó<ÚÌ ª yAÙ+�¢æ�é8bk2#ï�î]î�ójíQï+ì�î�ãeíQæ]ê�òwë#ã3éN�Yã�³WêJê�ó¶Ì ª yNL0��ëT�-�)�"Q&'��"#(��*!��W/��E_G�81�&#��$��3�E)��E/P��/WD�"')*� )��õ/2&O!#��LO&'��1G��"')*!')����EK�5ÇK�/2���E)�"Q��(��PHJ&'����!#)

Å���Ì+É#5jk� �i/��w�����ÿ&#��1�-�&�/2"#��T�-��3��&#�3��K�5*4+48)��w!#�3&#�E".��@O"#-�)x@A!'���[10/2&#!')*!')�����"W5

Page 86: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ ×�¬ �`�?�g��¹}�V� ^ O ; Ð �$9A` m�m3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5�4iB'é�ê}ãWêGL}~VÙuÜ#� ? RGLrd Ù�ë�ì?ò�ãWðg h ; iRy � �QÚ �   \&¡:]   � ß y'4.à � { ì� � ^ ]:; \>` �y�K�5Ç=�F��

í}ò�ãië'ãH{gÚMÌ ª y�LG�TR�c\ÚMÌ ª y�Ù��TR�pªë�å�ð�é�ójîWãWëJï2î]î�ê*ò�ãJbk2#ï2î]î*ó:íQï�ì3î*ãhé<ê�ã]�0éJó<Úbc0íQæ]ê�ò¢ë#ã3éN�Yã�³Wêê�ó:{HRQï�ð�ç �oWß�y�{Q~Tc0�!zÇÚ § =[ÕoWß�y�{Q~TcG�Oà§4 æ Úuê*ò�ã�p32#ê*òÏé�êAã]� ó<ÚO{§æõéç+ójíQð�R

=[Õo ß y�{Q~TcG��Ê�4 æ Úuê*ò�ã�p32#ê*òÏé�êAã]� ó<ÚO{§æõéå��@ëS ð��Yï+ë�ê�æ7³iå+î�ï�ëTR g�h ; i y � �¢ç�ã]�YãWð�ç2é�ó�ð�îC±\ó�ðgÌ ª y�Ù��G�£Ì ª y�LG��ë î% �w!#-����i/�"'���2@J/¢�*���.��&�)���!#��&'$�/��l¡�!#-��P@A��&'�\(��]/�"PyAK�5*4W���./�����yAK�5Ç=2FR�Ê!�/��+��(�1[/\1G/�&#!')xX

��(��õ/2&#��D\"#)�� 1�����@A�+&#�¤53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5�4�F@é�ê}ãWêOÙ¢Ü#� ? ë�ì?ò�ãiðg � ; i y � �QÚ � \�^ i�`(Ý º 9 vqÞ x � 9= ß�

ß ��| y#4.à � { ü ß á'× �QÚ �   \   Ýáà v�â x � 9=ãß�ß ��| y#4.à � { ü ß á'× �3~í}ò�ãië'ãQcEÚMÌ£ª8yAÙ+��ëÿ

çYæSæ� é�jk�P�������Ä@�&#��� T�-�����&'���6K�5�4+4�!#-0/2!g � ; i y � �QÚ � \�^ i�` �ß Í � ^ � ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ � ; i�` ���y�K�5Ç=�K+�

,.���i/2&#��DR¡Gkky�Ó�~VÙ��¢Ú |>Ã[Ü·ÅÇØ�ÉÏzaÙ�yNÃ�� Ý v$~�¡ Õ   ß yAÓ+~�Ù+�\Ú:=j  ß yAÓ+~VÙ��.àa4\@���&�/2�*�ÊpkÜ�ÅÇØ�É#5H.(�!i¡! lß�yAÓ+~�Ù+�\ÚÈ� |Äà � p�zýÙ�y�Ã��ÏÝ v$~���@A�+&�p Ü·ÅÇØ�És¡Q/2���§dwy�Ó�~VÙ��\Ú |ÄÃrÜ�kky�Ó�~VÙ��6z   yAÓ+~�Ù+�r)*".�����S~R5�U8�����3��¡

g � ; i�y � �QÚ � \_^ i�`�Ý º 9 vqÞ x � 9= ß�ß ��| y'4.à � { ü ß á'× �3~

/2"\����"#)�&'���}5ü��&#�+�â!#-��[���V;0��)*!')����Ä�J�w-0/W$+�w!#-0/2!¢÷2y­Ì ª yAÙ��'�[Ú k | yAÙ��3¡."#�k!#-��["#���3���������(0/2!#)�����@A����������"i5

jk���3�*�+"#�¢!#-�)�"P"#�3��!#)����r��)�!#-¤/2�¤�37Y/2�E1�����5 >?��!�ØrÚ·q�¡@L[ÚIÅ F0~VK�~3à8B�~3àh=�~�M�~Vq�~<à4<É#¡Ù Ú ÅÇM�~�à8K�~Vq�~3à�F0~3à8B�~Và8=�~3à�4VÉ}Ü b ?m 5Pjk��-0/W$+��k y�L�~�Ù+��ÚÁ|�=�~VB�~VK�~VM$~t/2���kdwy�L�~�Ù+�8Ú|�B�~VM$~R5�C�)������yL�yAB+�QÝ�v¢/����0L�yAM�� Þ v�¡+@A&'���¸yAK�5*4WS��Q/2���kyAK�5*4W���Ê)�!.@A����������"Q!#-G/�!g�h ; i y � �QÚ � | X y#4.à � {(× ��y#4hà � {�| ���

ø _�"'��&#$+�8!#-G/�!bÌ£ª8y�LG�QÚÍyAq�~#FG~�B�~�v�~�v�~#v�~#v+�?Úr{[/����gÌ£ªPyAÙ��ÊÚýy�q�~VM�~VK�~'F0~V=�~#v�~#v��?Ú,c�5T�-��¢10/2!#-�"P���+&#&#�3"#1G������)����w!'��Ì£ª8y�Ù���/2���@Ì£ªtyNL0� /�&#�¢��&V/W���¤)��¤��)���(�&'�ªq�¡?/����r!#-��\b X/2�*������/�_�����"#!#�31�"Q/�&#�Ê)*����)��i/�!'����_�Dt/2&#&#����"W5}jk�Ê-0/W$��O!#-G/�!!�o$?+y�{Q~Tc0�OÚÍ4Q/����r�o � y�{Q~TcG��ÚÿB�5

nb�doxq@ç@åRÂ

Page 87: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

m � � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�Ì�n¶Ë�n8¤�¼Gq0¿>Þ`$�q y�d�c�~#z c�{}|V�

% � !#-�)�"�"#�3��!#)����w�.�P"#!#(���DE!'-�� g XZ1G����D����+�E)]/���"O)��E!#-��t�W/�"#�P�2@�!#-���10/�)�&PyAd c ~'z c�{�| ��5����&\!'-��¤&'��"#!w�2@!'-�)�"E"'����!#)��+�}¡8�.�w;07�Ø ÜÁ) /2�����.�[����!0� zÇÚâd c ¡8Ô � zÇÚ y�×#~V×uÊ4W��ylà8×�à§4+~�à8×��O@���&�×}ÚÍ4�~������#~VØ¢à 4�¡�Ô X zÇÚay#4+~�à8=+��ylà�4+~�=+��¡�Ð�z ÚÒ|öÔ X ~VÔ | ~������#~VÔ c�{}| ~�/����>#zÇÚÿÐ6�ý|öÔ X ~�5jk�P-0/W$+�t!'-0/�!�� ? Úþ|öÙ�ÜP� z�Ù {}| y#4W�.ÝüÙ {�| y�=��hÝ�������Ý�Ù {�| yAØ?��~�/2��� @A��&��3$���&'DÙ¢ÜH� ? Ù6ªÚÿÓ�¡�!#-���&'��)�"8/�(���)��R(��Ï- ÜkÅÇØ�É}"#(��V-w!#-G/�!

Ù {�| yN-��.Ý�v�Ý�Ù {�| yN-�Êü4W�y�K�5Ç=�M+�/2���w�J��/�"'"#����)]/�!'�P!#�EÙ¢!#-���"#-�)x@A!'���w10/�&'!#)�!#)��+�ÌÇ��y�Ù���zÇÚÍylà8Ù {�| y'4i��à�4�~3à8Ù {}| yA=+��à§4+~������G~3àhÙ {}| y�-���à�4W���y�K�5Ç=�q+�% ! © "�����!."#�\-0/2&#�w!#�\"'����!#-G/�!i¡ÿ

çYæ��(æ���������æ� K�5�4iK'é�ì?ò�ã��¢ï��@Ì!� ç�ãpPQð�ãVç[ì�±�ÍúÐ:ë�Σä¸Ñgæ�é�ïwìiæ ó3ã_³Wê�æ]ó�ð[ìVãWê�íÊã�ãWð¯� ?ï+ð�ç ÕÙ8yAØ à�4i��ë K�å�ë�ê�ò�ãWë���ó+ë#ã�L�d Ùÿæ]ð�� ? æ Ú£ï�ð�çÄó�ðY æ ÚgÌ � yNL0� ÕfÌ � yAÙ+�¤ï+ð�ç÷�yAÙ+�JÚþ� Ì � yAÙ+���:Ú�ó+ëtï2î]îYL�~VÙ�ÜH� ? ë î

>­��!.å·_0�P!'-��P"#(�_�"'��!8�2@ ÕÙ8y�Ø?�Q���+��"#)�"'!#)����¢��@m/2���0!'-��P"#-�)x@A!'���E10/2&#!')*!')����E��)�!'-g/��\�3$������(��\_G��&.��@��3�R!'&#)���" ��)xµ���&'����!8!'�\¥���&#�G5Jew�+&#�P1�&'����)�"#����D�¡å zÇÚ«|&c\Úýypc | ~�c ? ~�������~�c , �.Ü ÕÙ8yAØ?��ze- )�"?��$����S~R~�.���i/2�*��!#-�)�"�"'��!P!#-��Eã�îWãiðré#ò�æ Ú�êAãVçÏ�Yï+ë�êAæèêAæ]ó+ð�é�5�ø8_�"#��&'$��¢!#-0/2!QÌ ª y�� ? �JÚæåw58C�)�������¡Y@A��&L�~�ÙuÜH� ? ¡$Lrd�Ù�)��gb ?c )x@�/���� ������D¢)x@ILrd Ùu)��gd ?c ¡��.�8-0/W$+�8/�� )*������(�"#)����\1�&#��"'��&#$�)����_�) ¦V�3��!#)���� _0�3!l�J���3�["#-�)x@A!'���w10/�&'!#)�!#)��+�E)�� ÕÙ yAØ�à§4i�./����g�3$����w"#-�)¶@�!#���w10/2&#!#)�!')*�+��"�)�� ÕÙ�y�Ø?��5T�-0/2����"}!'�8!#-�)*"�_�) ¦V����!')������.�Q�i/2��)�������!#)x@AD:c Ü ÕÙ�yAØÊà\4i�­��)*!'-�!#-��Q�]/�!#!')����Q10/2!#-�/2"#"#����)]/2!#���!'��c Ü ÕÙ yAØ?�P/�" ��7�1��]/�)������k/W@�!#��&�LO&'��1G��"#)�!')*�+�¤K�5Ç��58jk���+_�"#�3&#$��\!'-0/�!P!'-�)�"t�]/2!#!#)����u10/�!'-"'!�/�&'!#"P/�!PyAv�~Vv��3¡�������"P/W@A!'��&8Ø£"#!#�31�"i¡G/����w-0/2"8/��w��$��3�g��(��\_G��&��2@�(�1w"#!'��1�"W5����&Q�37Y/2�E1�����¡W����!�Ù�ÚÍŶà�FG~�K�~�à8B�~VM�~3à8=�~Và�4<É�ÜÏd ?F ¡�!'-����¦ÌÇ��y�Ù��.ÚayAK�~#FG~�=�~�v+��¡=Ì ª yAÙ��.Úy�M�~VK�~VB�~W4i�O/����w!'-����]/�!'!#)����81G/�!#-[/2"#"#����)]/2!#��!'�EÙ¢)*"���&�/W���w)��g��)���(�&'���5

nb�doxq@ç@åRçÖ�å�è.èQ\ K�5�4iM'é�ê�ãiê.Ù[Ü � ? Rtï+ð�ç\p[ÜÿÅ Ø àÿ4VÉAë1ì?ò�ãWð¤Ô'ßwܧd Ù y�Ù�� æ Ú�ï+ð�çró�ð�îC±[æ ÚÌ � yAÙ+��ò�ï�éEï �YãVï�²rï+êJØwà�p�ë@K}å�ë�ê�ò�ãWë��¢ó�ë#ã�RJÔ � Ü d Ù yAÙ+�Eæ Ú\ï�ð�çró�ð�îC±[æ Ú\ê�ò�ã î*ï2é�ê8êNíQóé�ê�ã��Géó<ÚOÌ � y�Ù��¢ï�ë'ã�å��YëÿçYæSæ� é8>­��!Ç-u���V;0�����E_�DEy�K�5Ç=�M+�}/�����p¢Ü Å Øhàg4<É#¡i�.��-0/W$+�J!'-0/�!QÔ'ߢÜÏd Ù yAÙ+�O)x@�/����

�+����Dt)x@�Ù�y�p�� Þ Ù�yõpYÊw4i�35QC�)�������Ù¢ÜP� ? !#-�)�"O-0/�1�10����"Q)x@�/����u������D�)x@�Ù�y�p�� Þ v Þ Ù�y�pYÊw4W��5NO��(�)�$�/2�*�3�R!'��DR¡G!#-�)*"P-0/21�1G����"¢)¶@8/����¤�+����D[)x@JprÜ Ù {}| y#ÅÇØ�ÉA�t/2���£pÏÊa4HªÜ�Ù {}| y#ÅÇØ�ÉA��5�HJ(�!Ì � yAÙ+�8y�/�"�/�10/2!#-0�Ê-0/2"^/P1G�i/2�E/�!�Ø�àwp�)x@�/����\������D¢)¶@})�!'"ty�Ø�àwp���Xl!#- "#!'��1w)*".(�1w/����\)�!#"y�Ø\à£pFÊ�4W��Xl!#-w"#!'��1w)*"��������}5OHJ(�!�!#-���×õXZ!'-g"'!#��1£��@]Ì!��yAÙ+�.)�"8/��E(�1g"'!#��1£)¶@Q/���� ������D\)x@

×�ÜP|öØeÊÿ4uÊ�Ù {}| y'4i�3~�ØeÊÿ4uÊ�Ù {}| yA=+��~������G~�Ø�Ê�4uÊÄÙ {�| yN-���~$�y�K�5Ç=��+�T�-��3&#�V@A�+&#�:Ì � yAÙ+��-0/2"8/�1G�i/2�g/�!8Ø�àrp�)x@m/2���w������D\)x@

àJp�Ú�Ù {}| y�×A�@Êÿ4y�K�5Ç=�S+�

Page 88: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ ü ¬ ���?�w��¹}�V� ^ �! ; Ð �$9]` m �@A�+&J"'��� �t×OÜkÅ-+É#¡�/����

à.p[ªÚÿÙ {�| y�×A�y�K�5ÇB�v+�@A�+&}/�����×OÜkÅ-+É#5?NO��(�)�$�/�������!#��D�¡V)¶@�/����u������D�)x@�p6ªÜ¤Ù {}| y#Åxà.-?~3à�4VÉA�0/2��� p Ê¢4PÜ[Ù {�| y#Åxà.-?~3à4<ÉA��¡_�(�!J_�D\!#-��8���V;G��)�!#)���� ��@I-?¡�×�ªÜ[Ù {�| y#Åxà.-?~�à�4<Éè��)x@m/2���\�����*D¢)x@�×�ªÜ[Ù {�| y#Åxà8ØO~�à�4VÉA�3¡���-�)��V-)�"�)x@m/2���E�+����D\)¶@Q×OÜ[Ù {�| y#ÅÇØ�ÉA��¡2@A��&8/2�*�?×OÜ ÅÇØ�É#5?T�-��u&#��"'(���!.@A����������"i5` ���ü����!PÔ � Ü d Ù y�Ù���¡G!'-�)�"8-0/21�10�3��"P)¶@J/2���w������DE)x@JÙ�y'4i�GÊÄÙ�y�=�� Ýüv�¡�!#-�)�" )*� 1���)���"J!'-0/�!Ù�y#4i� ÝüÙ�yA=+� Ýôv�5 ���+�*������".!#-0/2!tÙ {}| y�-��JÚ à4¢/����[Ù {}| y�-ªà 4W�JÚ à8=E/����g"'�w!#-0/2!8!#-��Ø�Xl!#-[/����E!#-���Ø\àÄ4VXl!#-w"#!'��1�" ��@bÌÇ��y�Ù���/2&#��(�1�5

T�-��¢@�����������)*���E)�"���7�/��3!#��D¤!'-��g/2�0/����+��(��¢��@8LO&#�+10�+"#)�!#)��+� K�5�4iv�@A�+&�10�3&#�\(�!V/�!#)��+�¤)��d ?c 5 ÿ çYæ��(æ���������æ� K�5�4iq'é�ê}ãWê?Ù¢ÜH� ? R�ï+ð�ç�×�Ü ÅÇØ�É]ëeì?ò�ãið ê*ò�ã�×�2#ê�ò¢é�êAã]�+Í�Ú3ë#ój�Íê*ò�ã î*ãNÚ�êÅÑó<ÚOÌ � y�Ù��kÍlé�ãVãWð[ï�é�ïÏ�Yï+ê*òDÑEæ�étï+ð¤å���2lé�ê�ã��kæ ÚPï�ð�çwó+ð�\æ Ú�Ù�yAØ�Êÿ4.à ×��.Ý�v�ë î` ���§�.�t/2&#�P&#�W/���D\!'��1�&'��$�� !#-��P/��0/2�*�+��(����2@�T�-��3��&#�3� K�5�4�4^@A��&Q!'-��P10�3&#�\(�!V/�!#)��+��"

)�� y�Ð �c � ? 5�T�-��¢@���&#�\(��õ/u)�"P��7�/���!'�*Dr!#-���"V/��E�u_�(�!��+_�"#��&'$��\!'-0/�!P!#-��\10�+�*D����+�E)]/��x"8/�&'����+!8/�����/WDR"Ê!#-���"V/�� �8)��\@Z/2��!�!#-��P@A(����3!#)���� �*�3����!'-g)�"���)xµ?��&#�3�R!W5ã.ä@å'æ@ç@å�è K�5�4W�(é�ê�ãiêSL}~VÙ¢ÜH� ? RILrd�Ù�ë�ì?ò�ãWðg�h ; i y � �QÚ � \_^ i�`�{ \�^ h ` �

ß Í � ^ h ; i�` y#4hà � {×Ë � ^ h ; i�` �3~y�K�5ÇB�4W�

í}ò�ãië'ã Õ  ß y�L�~VÙ���æõéç+ãdPÊð�ãVçgï2é�æ]ð1ì?ò�ãVó+ë#ã�� ÐjëdÏ�Ï>ëÿçYæSæ� é�jk�.1�&'�R�3�����E_�D¢)�����(���!')����¢���u÷2yNÀ ?X �+àu÷�y�LG��5 % @G÷�y�À ?X �+à�÷�y�LG�.Úüv�¡��J�.-0/W$+�À ?X ÚaÙ�Ú«L[/����[!#-��u&#��"'(���!8)�"�!#&')*$�)]/�����D¢!#&#(���58C��\"'(�1�1G��"#�¢!#-G/�!.÷�y�À ?X �Oàr÷�y�LG� Þ v\/��������!PÔ¢_0�¢"#(��V-r!#-0/2!tÔ¯ªÜ d Ù y�LG�8/2���#LGÔ¢Ü�� ? 5 % @^Ô�Ú ylà8×�à�4�~3à8×A�3yA×'~�×'Êa4i�^@A��& "#�+�E�

×mÜ ÅÇØ à[4VÉ#¡�!'-����E!'-���1�&'�R�2@})�"Q��7�/���!'��D�!'-���"�/2�E��/�"O@A�+&QT�-����+&#��� K�5*4+4�5}CY��"#(�1�10�+"#�8!'-0/�!ÔPÚ·ylà�4+~�=+��y#4+~�à8=+�QÚaÔ X ¡�!'-����r�J�P-0/W$+�yL�y#4i�@Ê�L�yA=+� Þ v�5Jjk�P�+_�"#��&'$��¢!#-0/2!4LGÔuÜP� ?)��E1��*)���"P!'-0/�!\vrÝ L�y#4W�\Ý L�yA=+��5kew�+&#����$+��&��.�E-G/W$��E!'-0/�!� W|öyNL}~VÙ��u)�"���$+����@A��&��3$���&'DL�~�ÙuÜH� ? /����w"#�[4�ªÜ¤dwyNL}~VÙ��P5Ojk� -0/W$�� @A�+(�&��i/�"'��"8!'�\������"#)�����&W5o��gÔ ªÜÏd Ù yAÙ+��¡?/����wÙ�ÔuÜH� ?

jk��-0/W$+�tvuÝ�Ù�y#4W�.Ý�Ù�yA=+��¡�!'-����0kky�LGÔ+~�Ù+Ôi�QÚ«kkyNL}~VÙ��Q/2���[ sßRyNL0Ô+~VÙ�ÔW�JÚ« lß�y�L�~�Ù+�O@���&J/2�*�p\Ü ÅÇØ�Ém/2���w"#�gdwyNL0Ô+~VÙ�ÔW��Úadwy�L�~�Ù+�8/���� Õ  lß�y�LGÔ�~VÙ�ÔW��Ú Õ  lß�y�L�~VÙ��.@���&8/����GpEÜ ÅÇØ�É��ý|R4�~V=$~�5U ��������¡G_�D\T�-����+&#���6K�5�4t/2���E�+(�&�)�����(���!')����w-�DR1G��!'-���"')*"W¡gEh ; i y � � Ú g�h ¨ ; i ¨ y � �

Ú � \�^ i�`�{ \_^ h ` �ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` ��� 3�gÔÜÏd Ù yAÙ+��¡?/����6L0Ô ªd Ù+Ô

U �������EÙ�y#4i�GÊ�Ù�yA=+��Ýýv�¡�/2���kÙ�y#4W�PÝýÙ�y�=��uÝýv�5ujk��-0/W$��¢!#-G/�!ekky�LGÔ+~�Ù+�8ÚKkky�L�~VÙ����|�4�~V=$~R¡: lß�y�LGÔ+~�Ù+�QÚ� lß�yNL}~VÙ��m@A�+&^/2�*�Gp¢Ü ÅÇØ�Éj��|�4�~V=$~�5}f��i/2"#�+��)����ª/2"J)�� T�-�����&'���:K�5�4�4�_G��¡  | y�L�~�Ù+� Þ   ? y�L�~�Ù+���ýv�¡G"#�0  | y�L�~VÙ����ý=�¨�  ? yNL0Ô+~�Ù+Ôi� Þ   | y�LGÔ�~VÙ�ÔW�P"'�Å  | y�LGÔ�~VÙ�ÔW��d·àh=/2����  | yNL}~VÙ��hàV  | yNL0Ô+~VÙ�ÔW�[Ú¸F "'�1  | y�L�~�Ù+�gÚ =k/�����  ? y�L�~�Ù+�wÚ 4�5aC�� dwyNL0Ô+~�Ù+�[ÚdwyNL}~VÙ����F|ö=$~P/���� Õ  ß yNL0Ô+~�Ù+�QÚ Õ  ß y�L�~VÙ���@A�+&^/2����p�ÜkÅÇØ�É �!|�4�~V=$~J/2��� Õ  �?2y�L�~�Ù+�QÚý4+5}U �������+¡

Page 89: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� X � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�_�D\T�-����+&#���6K�5�4t/2���E!'-���)�����(��3!#)���� -RD�1G��!'-���"#)�"W¡gEh ; i y � � Ú y � à 4W� gEh ¨ ; i y � �

Ú y � à 4W� � \�^ i�`�{ \_^ h `�{}| �ß Í � ^ h ; i�`�¡'A_?'B y#4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` �Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` �

ß Í � ^ h ; i�` y#4.à � {×Ë � ^ h ; i�` ���

Ö3�gÔÜÏdÙyAÙ+��¡?/����6L0ÔÏd Ù+Ô

jk��-0/W$+�tÙ�y#4i�@ÊrÙ�y�=��hݧv�¡�/2���gÙ�y#4W�.Ý Ù�yA=+�.Ý v�5�CY��kkyNL0Ô+~VÙ�ÔW�QÚVk y�L�~�Ù+��¡�kkyNL0Ô+~�Ù+�QÚkkyNL}~VÙ����Å|R4+~�=�~R¡. lß�y�LGÔ�~VÙ�ÔW�ÄÚ  sßRyNL}~VÙ���Ú� lß�y�LGÔ�~VÙ��Ï@A��&[/2�*�p�Ü ÅÇØ�ÉI�Å|R4�~V=$~�¡8/����  ? y�LGÔ�~VÙ�ÔW�JÚ«  ? yNL}~VÙ���à =�5 % !.@A����������"Q!#-G/�!dwy�LGÔ+~�Ù+�JÚ�dwyNL}~VÙ��S�ý|ö=�~R~¤dwyNL0Ô+~VÙ�ÔW�JÚÿdwy�L�~�Ù+��~Õ   ß yNL0Ô+~�Ù+Ôi�.Ú Õ  ß y�L�~�Ù+��Ú Õ  ß yNL0Ô+~VÙ��m@A��&�/�����p�ÜkÅ Ø�É>�!|R4+~�=�~R¡�/���� Õ �?+y�LGÔ+~�Ù+Ôi�QÚ Õ �?+y�L�~�Ù+�Gà¤=��

U ��������¡G_�D\T�-����+&#���6K�5�4t/2���E�+(�&�)�����(���!')����w-�DR1G��!'-���"')*"W¡g h ; i�y � � Ú y � à � {}| � g h ¨ ; i�y � �SÊ g h ¨ ; i ¨ y � �Ú y � à � {}| � � \�^ i�`�{ \_^ h `Z{}| �

ß Í � ^ h ; i�`­¡:A�?'B y'4.à � {×Ë � ^ h ; i�` �@Ê

Ê � \_^ i�`�{ \�^ h `�{@? y#4.à � { ×Ë = ^ h ¨ ; i ¨ ` � �ß Í � ^ h ; i�`­¡:A�?'B y#4.à � { ×Ë � ^ h ; i�` �

Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` y#4.à � { ×Ë = ^ h ¨ ; i ¨ `�{@? �y#4.à � { ×Ë = ^ h ; i�` � �ß Í � ^ h ; i�` y'4.à � {

×Ë � ^ h ; i�` �3~/2���w!#-��P&#�3"#(���!�@�����������"i5Ò��gÙ+Ô�ªÜH� ?

jk�\-0/W$+�\!l�J�£�i/�"'��"i5 CY(�1�1G��"#� !#-0/2!ªÙ�y#4W� Þ v[/2���§Ù�yA=+�\Ý v�5wjk�\-0/W$��6kky�LGÔ�~VÙ��¢ÚyNkky�L�~�Ù+�@�¯|R4>~��@�ý|ö=�~R¡$ lß�y�L�~VÙ��OÚV sßRyNL0Ô+~VÙ��.@���&�/����Gp�ÜkÅÇØ�É´�ý|R4�~V=$~�/����}¡  | y�L�~�Ù+�QÚ�  ? y�L�~VÙ���~y�K�5ÇB�=+�  W|iy�LGÔ+~�Ù+�QÚV ö|iy�L�~�Ù+�Oàk=��y�K�5ÇB�B+�C�)����3�  W|Wy�L�~�Ù+�\)�"w��$�����¡�y�K�5ÇB�=+�¢)*� 1���)���"�!'-0/�![=þªÜ dwy�L�~VÙ���¡P/����ýyAK�5 B+B���)*� 1���)���"�!'-0/�!4�ªÜüdwy�LGÔ�~VÙ��35 % !u@A����������"�!#-G/�!\dwy�L�~�Ù+��Ú�dwy�LGÔ�~VÙ��\/2��� Õ lß�yNL0Ô+~�Ù+��Ú Õ  lß�y�L�~�Ù+�P@���&�/2�*�p¢Ü ÅÇØ�É´�ý|R4+~�=�~R¡+"#�\!'-��P!#-���"')�"�@A�+�*������".)��E�\����)]/2!#����D�_�DE)�����(���!#)��+�}5

C�(�1�10�+"#�.�����k!#-G/�!�Ù�y#4W�.Ý v /����¢Ù�yA=+� Þ v�5�T�-�����kky�LGÔ�~VÙ��ÊÚýyNkky�L�~�Ù+���ý|ö=�~ö���Y|R4>~�¡  ß yNL}~VÙ��QÚ«  ß y�LGÔ+~�Ù+�Ê@A��&8/2�*�OÅÇØ�É��ý|�4�~V=$~t/2���  | y�L�~VÙ��QÚ�  ? yNL0Ô+~�Ù+��Ê�=��y�K�5ÇB�F��C�)����3��  | y�L�~VÙ�� )�"t�3$����}¡.yAK�5ÇB�FR�h)��E1���)���"8!'-0/�!�=°ªÜ§dwy�LGÔ�~VÙ��35 % ! @A����������"8!'-0/�!�dwyNL}~VÙ��PÚdwyNL0Ô+~�Ù+�8/2��� Õ  lß�y�LGÔ�~VÙ��.Ú Õ  sßRyNL}~VÙ��Ê@���&8/����Gp¢Ü Å Ø�É´�Ï|R4+~�=�~R¡+"#�\!#-���!#-��3"#)�"�@A�+���*����"Ê)*� �E�VX��)]/2!#����D\_�DE)�����(���!#)�����5}T�-�)�"����+�E1�����!'��"�!#-��t1�&#����@�5

� "J)��\!#-��81�&'��$�)*�+(�".�i/�"'��"J)�!.)�"Q�0/�!'(�&�/2�0!'��&#�31�-�&�/2"#��T�-�����&'��� K�5�4W�8)��\!'-��8�]/�����(0/2����2@8"#-�)x@A!'���k10/�&'!#)�!#)��+��"i5[>­��!wc�~ú{üÜ�åw¡O��)*!'-/c�Õ {Q5wjk�\!'-�)����+{�/2���/cÄ/�"�10/2!#-�"\/�"��7�1��]/2)*�����E)��w1�&#�3$R)��+(�"�"#���3!#)����}5.C��\(�"')*���ªLO&'��1G��"')*!')����[K�5�4i=�J�P-0/W$+�t!'-0/�!

Page 90: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ � ¬ �`�?�g��¹}�V��� ^ ª ;pª �$9]` ¹?�?½ ^ �! ; �! �$9A` � |3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5�4iS'é�ê}ãWêGL}~VÙuÜ#� ? RGLrd Ù�RJê*ò�ãiðg h ; iRy � �QÚ �   \&¡:]   � ß y'4.à � { ì� � ^ ]:; \>` �y�K�5ÇB�K+�

í}ò�ãië'ãg{ýÚ ÌÇ��yNL0��R1caÚ ÌÇ��y�Ù���R8p�ë�å�ð�é[ójîWãiëwï2î]î8ê*ò�ãgbw2#ï�î]î�ójíQï+ì�î�ãwé�êAã]�0é[óAÚgcþíQæ]ê�òë'ã�éN��ã_³WêPêAó¦{HR�ï�ð�ç°�oWß�yNL}~VÙ�� æ�éEç+ãdPQð�ã�ç�ï�éwæ]ð��Qó+ë#ó�îèî*ï�ë�±�Ð:ëdÏ?I$ë S ð¯��ï�ë�ê�æ7³Wå+î*ï�ë�R g�h ; i y � �ç+ã���ãið�ç�é�ó+ð�\ó+ðgÌÇ��y�Ù��S�£ÌÇ��yNL0��ë î

����&.�����J��&�)���!#�3&#$�/���".�J�P�+_�!�/2)*� !#-��@A����������)����3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5Ç=�v'é�ê}ãWêOÙ¢Ü#� ? ë�ì?ò�ãiðg � ; iRy � �QÚ � \�^ i�` º 9 vÑÞ x=�ß ��| y#4.à � { ü ß á'× �QÚ �   \   à

v â x=�ß ��| y'4.à � { ü ß á'× ��~í}ò�ãië'ãQcEÚMÌ!��yAÙ���ëÿ

çYæSæ� é�T�-���&'��"#(���!'"8@�����������"J)��E� ����)]/W!#�3�*Du@A&'���:,.��&#�+���õ/2&#DwK�5�4�F[¡���_�"'��&#$�)����E!'-0/�!k | yAÙ+��)�".��$����Ï@A��&.��$��3&#D[Ù¢ÜH� ? 5Ì@n*Ì�n8¤�¼Gq#¿>Þ`$�q�$ yAb�cO~Vb�c�{�|��ýÞ�tb"ÿyAduc}~�duc�{�|��

% �ÿ!#-�)�"w"#�3��!#)����Í�J�k/��G/���D�¥��k!#-�� g XZ1G����D������ )]/��¶"\)��ÿ!#-��k�W/�"#�3"§y�b c ~Vb c�{}| �w/����y�d c ~Vd c�{}| ��5[jk� "#!V/�&#!¢��)�!#-�!#-���;0&#"'!��+����5rU8�������H� Ú6b c _�(�!¢����� �.�E����!g>�zÇÚÐe�*|öÔ c�{�| ~8"#�u!#-0/2!�� ? Úÿb c�{}| 5 % !m@A����������"}!'-0/�!Q!'-��8��(��+!#)�����!�� ? )�"J/ !#�+!�/2�*��D��+&#���3&#���"'��!i¡��E��&'�81�&'����)�"#�3�*Dw)�"�!#-��t�V-0/2)��� ? ÚÓ|�Ó�~VÔ c�{}| ~������G~VÔ c�{}| Ô c�{@? �����lÔ | Ô X ~VÔ c�{}| �����ZÔ | Ô X Ô | ~������'~�Ô c�{�| Ô c�{Y? �����lÔ | Ô X Ô | �����#Ô c�{�| ~´�ÿ

çYæ��(æ���������æ� K�5Ç=�4$é�ê}ãWê�y]�¤~�ÐO�£ì�ã£ï��Qó��+ãiê�ãië�é�±Wé<ê�ã��:R:> Á ÐIï�ð�ç#L�~�Ù ÜK� ?é�å$³�ò£ê*ò�ï�êGLrd Ù�ë S ÚPÅL�~�ÙöÉ ? æ�é�ïr³�ò�ï�æ]ð3R.ê*ò�ãiðg�h ; i y � �OÚ � \�^ i�`Z{ \�^ h ` y'4.à � {}| ���ÿ

çYæSæ� é�jk�\1�&#���������Ä_�Dk)�����(��3!#)����k�+�r÷2yNÀ ?X �^à ÷�y�LG��5 % @�÷�y�À ?X �.à ÷�yNL0�¢Ú v£!#-��&'��"#(���!�)�"P!#&')�$R)]/2�*��D !#&#(���5\C��w"#(�1�1G��"'�\!#-0/2! ÷2yNÀ ?X �Êàk÷�y�LG� Þ vw/����r����!�ÔHªÜ§d Ù yNL0�P/����LGÔPÜH� ? 5Ojk�8-G/W$�� @A��(�&��i/�"'��"8!'�\������"')�����&i5o��gÔ ªÜÏd Ù yAÙ+��¡?/����wÙ�ÔuÜH� ?

T�-��3�g!'-���&'��"#(���!.@A�+���*����".)��E�\����)õ/2!#����D�_�D )*����(���!')*�+�}5 3�gÔÜÏd Ù yAÙ+��¡?/����6L0Ô ªd Ù+Ôjk� �R�����ü!'-0/�!�ÅL�~�ÙöÉ ? )�"^/¢�V-0/2)*��¡�"#��LGÔ�ªd§Ù+Ô�)��E1��*)���"Ê!#-0/2!.L0Ô ÚüÙ�5 % !.@A����������"J!'-0/�!gEh ; i y � ��ÚÍy � àÄ4i� g�h ¨ ; i y � �OÚ � y#4.à � {}| ���

Ö3�gÔÜÏdÙyAÙ+��¡?/����6L0ÔÏd Ù+Ô

jk� -0/W$�� gEh ; i y � �QÚÍy � à � {�| � � \�^ i�`Z{ \�^ h `�{}| y#4.à � {�| �@Ê � \�^ i�`�{ \_^ h `�{Y? y#4hà � {�| �Ú � \�^ i�`�{ \_^ h `Z{Y? y#4.à � {}| � � ? Ú � \_^ i�`�{ \�^ h ` y#4.à � {}| ���

Ò��gÙ+Ô�ªÜH� ?T�-��3�g!'-���&'��"#(���!.@A�+���*����".)��E�\����)õ/2!#����D�_�D )*����(���!')*�+�}5

Page 91: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ? � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�H.DE!'-��P����� �E����!Q1�&'��������)*���E!#-���1�&#�+10�+"#)�!#)��+�E!#-�)*"�"'��!#!'����"8!'-����i/2"#�\yAbhc�~Vb�c�{}|��35

>­��! © "8�37Y/2�E)����P!#-����i/2"#�[y�d c ~Vd c�{}| ��5 U8�����3�6� ÚÍd c ¡�Ð Ú |öÔ X ~�������~VÔ c�{}| ~ª/����Ô X Ú·ylà�4+~�=+��y#4+~�à8=+��5�` ���a�J������!k>1zÇÚýЯ�ý|öÔ c�{}| ~R5hT�-�����(��+!#)�����!8�W/��[_G����&')�!#!#�3�¤)��!'-�)�".@A��&'� � ? ÚÓ|>À�Ü#� zjÀ {}| ysàh=+�.Ý�À {}| y#4i�^ÝÒ�����+Ý�À {}| yAØ�à�4i��~�~/2���w)*!'"JH.&#(�-0/�! ��&#����&8)�".��&�/W���w)��[�})��+(�&#��S�5

nb�doxq@ç@åRèew�+&#����$+��&��.�t�������ÿ!#-���(���)���(��P&#����(������r��7�1�&#�3"#"#)��+�[��@O�i/��V-#ÀÿÜH� ? ¡�)*��@Z/��3!8!#-��

ØÏàô4\�3�*�3�E����!#"u)*�k!'-��E�V-0/2)��k���k!#-��E_G��!#!'���â/�&'�EÓ�~VÔ3c�{}|�~������#~VÔ�c�{}|}ÛWÛiÛ'Ô�?+¡}!'-��gØ£àü4������� ����!#"�)��w!#-��u��-G/�)��[���w!'-���!#�+1¤/�&'��Ô3c�{}|}ÛWÛWÛZÔ�?WÔ X Ô�|�~�������~VÔ3c�{}|}ÛWÛWÛ#Ô�?WÔ X Ô2|<Ô�?QÛWÛWÛZÔ3c�{�|ö¡/2����!#-��J&'���g/2)*��)*���J!l�.�8������� ����!#"Q/�&'�Q��7�/��3!#��D�Ô3c�{}|}ÛWÛWÛ#Ô�?WÔ X /2����Ô3c�{}|OÛiÛWÛlÔ�?WÔ2|ö5OC��8�3$���&'D×.ÜÄÅÇ=�~VØ\àü4<É�)�������!')¶;G��"P!l�J� �������E����!'"8)��[!#-�����(���!')*�3�R!W¡@L��.zÇÚÍÔ�c�{}|}ÛWÛiÛlÔ3��)*�£!#-����V-0/2)���+�¤!'-��\_0�+!#!'���¤¡G/����kÙW�ezÇÚ·Ô�c�{}|}ÛWÛiÛ#Ô�?WÔ X Ô�|OÛiÛWÛlÔ�� )��[!#-��\�V-0/2)��¤�+�¤!'-��\!#�+1}5\ew��&'����$���&�.�P���V;0����L c zÇÚ�Ó�5` ��!#�u!#-0/2!.@A��&8/2�*�}×mÜ ÅÇ=�~VØ�É�/����[/����E@���&8/����Gp¢Ü Å*4+~�تà 4<É��.�P-0/W$�� ÷�y�L � �.ÚÿØ\à ×'¡0/����÷�yAÙVß+�QÚ�Ø�ÊkpPà§4+5

jk�P�i/2�*��yNL}~VÙ�� /[ãVäiå�æ]ç+æ�é�êAï+ð�êG��ï�æèë�)x@m!'-���&'�\��7�)*"'!#"�×.Ü�ÅÇ=�~VØ�É}"#(��V-r!#-0/2!eLgÚþL � /����Ù�ÚÿÙ ��{}| 5T�-��P$+��&#)x;0�i/2!#)����w�2@�!#-��8@�����������)*������_�"'��&#$�/2!#)���� )�"��*�<@A!�!#�¢!#-��u&#�i/2����&i5Ö�å�è.èQ\ K�5Ç=�='é�ê�ãiê�L�~�Ù�Üþ� ? ë S Ú y�L�~�Ù+�wæ�éEï�ðÄãVäWåRæèç�æ�é�ê�ï�ð�ê!��ï�æèëEê�ò�ãWð L {}| y�p��\ÚÙ {}| y�p��ÇÚ3ó�ëPï�î]î�p¢Ü ÅÇ=�~VØ�à�4<É]ë îÿ

çYæ��(æ���������æ� K�5Ç=�B'é�ê}ãWêGL}~VÙuÜ#� ? ëyì?ò�ãiðg h ; iRy � �QÚ § y � \_^ i�`�{ \�^ h ` à � ��y'4.à � {}| � æ ÚtyNL}~VÙ��uæ�é�ãVäiå�æ]ç+æ�é�êAï+ð�ê� \�^ i�`�{ \_^ h ` y'4.à � {�| � ó+ê*ò�ãië�íQæ�é�ã�ëÿçYæSæ� é�jk�P-0/W$+�P!#-�&'�����i/2"#��" !#�\���+��"#)�����&W54W�¤yNL}~VÙ��OÚÍy�L���~VÙ ß ��¡���)�!#-[×mÜ ÅÇ=�~VØ�É#¡�/����Ep¢Ü Å�4+~�Ø¢à�4<É´�ý|ö×­à§4>~

% @Op�� ×'¡G!#-��3�#L��OÚüÔ3c�{�|�ÛWÛiÛlÔ3�^/2���[Ù ß ÚaÔ�c�{}|}ÛWÛiÛ'Ô�?WÔ X Ô2|�ÛWÛiÛlÔ ß 5.U8�����3��Ô���{�|�ªÜ¤d Ù y�L��Z�/2���0L � Ô ��{�| ÚÓL �A{�| Ü�� ? ¡���-�)�����ÙVß�Ô �A{�| ªÜ�� ? "#�\�.��-0/W$+� g�h Û ; i ��y � �.Ú � g�h Û �$9 ; i ��y � ��5jk� -0/W$���×Gàk=¢"#!#�31�"8��)���� !#-�)�"�!#�¢���G¡�/����w�����t� ��&'�8"#!'��1 @A��&8Ô ÚüÔ X ¡�"#�E/�!.!#-��������w�.�-0/W$+� g h Û ; iT�öy � �QÚ � �A{@? g h =�; iT�öy � �QÚ � �A{�| g h = ¨ ¹�; iT��y � ���y�K�5ÇB�M+�

Page 92: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ F ¬ �0�G�}�<�êéGû?���}�����P¹?�?½+�+û?ú��`�?��ú[ú0��¿�¹?úGº}� � ×` ����ÅL'?�Ô X ~VÙ ß É ? )�"k/Ä�V-0/�)��a��)�!#-ÿp�"'!#��1�" /2���a"#�ÿ_�DôLm&#��1G��"')�!#)����ýK�5 =�4k)�!w@A�+�*������"g h = ¨ ¹�; iT��y � �ÊÚ � ß {}| y � à�4i�./����g"'�¢@A&#�+�6yAK�5ÇB�M��Ê�.�/2&#����������5% @�p�Ý�×?àÄ4�¡�/W@�!#��&�y�×?àrp8à =��."'!#��1�"8)��E!'-�����)]/��+&�/2���.�P-0/W$��g h Û ; iT��y � �OÚ � �A{ ß {@? g h � � =�; iT��y � ���y�K�5ÇB�q+�T�-��P���37R! "#!'��1[)�".@A��&�ÔPÚüÔ ß á�|�¨�Ô ß á�|yªÜ¤d Ù y�L ß á@?W��/����[Ô ß á�|eªÜ¤d Ù yAÙ ß �3¡�"#�\_�D !#-�� ;0&'"#!10/2&#!��2@�!#-���1�&#���2@��.�t-G/W$��g h � � =�; iT��y � �OÚ g h � � 9_; iT� � 9iy � �ÊÚ � ? ß á�| y#4.à � {�| ���/2���w!#-��P&#�3"#(���!�@�����������"O@A&#�+�6yAK�5ÇB�q��35=+�¤yNL}~VÙ��.)�"�/��w����(�)���)�"#!V/���!�10/2)*&

jk�O1�&'�R�3�����¢_RD )�����(���!')����8�+��×'5 % @0×}Úÿ=�¡�!'-����yL ? ÚÿÔ c�{}| ÛWÛiÛ#Ô ? /2����Ù | ÚüÔ c�{�| ÛWÛiÛlÔ ? Ô X Ô | 5U �������8Ô X ªÜÏd Ù yNL ? ��¡�Ô X Ü[d Ù y�Ù | ��/�����L ? Ô X ªd�Ù | Ô X ¡W"#� g�h = ; i 9iy � �QÚýy � à\4i� gEh = ¨ ¹ ; i 9�y � ��5% �P!#-��Q"#���3������"'!#��1�¡�ÔezÇÚ�Ô | �.�O-0/W$��uL ? Ô X Ô | ªd�Ù | Ô | "'� g�h = ; i 9iy � �QÚay � à4W� ? g�h = ¨ ¹ ¨ 9 ; i 9�y � �ÚÍy � à�4i� ? ¡�"#)�������Ù | Ú«L ? Ô X Ô | 5C��P"'(�1�1G��"#�8× Þ =�5}T�-����ªÔ3��{}|eªÜ¤d Ù y�L��Z�3¡jL��lÔ3�A{�|JÚVL���{}|�ÜH� ? /2���\ÙW�A{�|�Ô3�A{�|^ÚÿÙW��{Y? Ü� ? "#�\"')������eL���{�|�d ÙW��{Y? �.�P-0/W$��g h Û ; i Û �$9iy � �QÚÍy � à � {�| � g h Û �´9<; i Û �$9iy � �SÊ g h Û �$9A; i Û �j=�y � ���H.D8�i/2"#�P4i�3¡ g h Û �$9A; i Û �$9iy � �QÚ � \�^ i Û �$9 `�{ \�^ h Û �$9 ` y#42à � {}| ��/����P_�D8)�����(���!#)�����¡ g h Û �$9A; i Û �j=+y � �OÚ� \�^ i Û �j= `Z{ \�^ h Û �$9 ` y'4.à � {}| �35QT�-��P&#�3"#(���!�@�����������"i5B+�¤ÅL�~�ÙöÉ ? )*"8/¢�V-0/2)��

T�-��P&'��"#(���!h@A����������"Q_�DgLO&'��1G��"')*!')����gK�5Ç=�4�5�T�-�)�"����+�E1�����!'��"J!'-���1�&'����@�5Ì@n�Î@n6��x(tb$�qêë'¾Gq$tu¿>q�$�Þ�tb"P½A¾Gß>w�¼Gq´ß�ß>q´òPÞ�ß<ì�$

% �¢!#-�)�"Q"'����!')*�+�E�.������&')*$+�8"'���E�.���+��"#����(��3������"��2@}��(�&Q&'��"#(��*!'"i5Ojk��"'!�/�&'!Q_�D�1�&#��$�)����!'-0/�!�!'-�� g Xl10�+�*D����+�E)]/��x"t/2&#�E�3���\_�)��0/2!#��&')]/��O)��R$�/2&#)]/���!'"i¡�)Z5 ��5w!'-0/�!¢!#-���Dk����1G�����Ä�����*D�+�k!#-��\1G��"'��!gÅL�~�ÙöÉ ? 5wTO�w���[!'-�)�"��.�E�����3�§/w1�(�&#����Dr��&#����&�!'-����+&#��!')*� &#��"'(���!��+�k"#�+���10/2&#!')*!')�����"W¡�!#-0/2!��^/2".;0&#"'!�1�&#��$+���w)*�kÅ���Ë}¡�>?��� �g/PK�5ÇKöÉs5Ö�å�è.èQ\ K�5Ç=�F@é�ê�ãiê}k0~'ÔkìVã�êNíQó�³Vó�ð�ð�ã�³iê�ãVçEéA²+ã�í �Yï+ë�êAæèêAæ]ó+ð�étê�ò�ï+êJï+ë#ã�æõé<ó:��ó+ëN�Yò�æ7³¢ï�é��ó�é�ãWê]é�ë�ì?ò�ãWð[ãWæ]ê*ò�ãië$k�¢�Ôkó+ë�k�¢�Ô � ë

jk� �i/��w�����ÿ1�&#��$+�P!#-��P�g/2)��\&#��"'(���!���@Q!#-�)�"�"'����!#)��+�}53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5Ç=�K'é�ê}ãWê�> Á ÐbROï�é�æ]ðg~=Ðjë�Î�R�~ÞÐ:ëJI#Rx~ÞÐjëq��R�ï+ð�ç4L�~VÙ�ÜP� ? R0Õ}~�c¢ÜH� ?ìVãué<å$³Vò[ê�ò�ï+êJÅL�~�ÙöÉ ? 5Ú ÅÇÕ�~_cöÉ ? ë�ì?ò�ãiðg�h ; i y � �OÚ g R ; T y � ���ÿ

çYæSæ� é�` ���a�J�¢1�&'��$���!'-�)�"8&#�3"#(���!P)��[!#-��¢�i/2"#�¢��-������ ÚÍÐ c 58H.D¤LO&'��1G��"')*!')����K�5 =Ï�J� -0/W$��\!'-0/�!wÅL}~VÙWÉ ? )�"�)�"'���E�+&#1�-�)*�+¡}/�"\/[1G��"'��!i¡Ê!#�[!'-��w)��R!'��&#$�/2�tÅ ÌPy�LG��~úÌty�Ù��ZÉ^)��¯J�+(���� © "P�]/�!'!#)�����5£HJ(�!�)�!P@A����������"P)��E�E�3��)]/�!#�3�*D�@A&#�+�¸!#-�� ���V;0��)�!')*�+��"�/2���k�J�3�*�.���������&'��"#(���!'"Q)���!'-���!#-��3��&#D¢��@?10/2&#!#)]/2�*��DP��&'����&'���\"#��!'"tyè"#���+¡���5 �05�¡�Å Ì��?¡3~�B�5 F2Éè�­!#-0/2!Q!#-���"#(�_�1G��"'��!�2@2¦V�+)���XZ)�&'&#����(���)�_�����"Q��@JÅ ÌPy�LG��~úÌty�Ù��ZÉ0)�"Q)�"#��� ��&'1�-�)��Q!#�±Ìty�Ù��$�xÌtyNL0�3¡���-��3&#�8!'-��8"'�����Ä10/2&lX!')*!')����8ÌPyAÙ+�@�£ÌtyNL0�Ê)�"�"#���3�¤/�"�/¢10�+"#��!W5QT�-��3&#�V@A�+&#��¡�"#)������ Å L�~VÙWÉ ? 5Ú Å Õ�~�cWÉ ? ¡��J�P���+������(����!'-0/�!£Ìty�Ù��@�£ÌPy�LG� 5Ú ÌPy�c+�@�bÌPyAÕG�PyA/2"J1G��"'��!��3¡0/����g!'-��P&#��"'(���!.@A����������"O@A&'��� >­���E�w/8K�5 =2F/2���[,.��&#�+���õ/2&#D\K�5ÇM�5C�)�� )*�]/2&#��D�¡��.���i/2�[1�&#��$+�P!#-���&'��"#(��*! @A�+&�!#-��u��!#-���&8�i/2"#��"W¡G_�(�!8�.�����3���[!#� &#��1��õ/2����LO&'��X1G��"')*!')���� K�5Ç=�¡},.��&'�����]/�&#DkK�5ÇMw/����4Ìý@���&Ey��.c�~'z8c�{}|����)*!'-§LO&'��1G��"')*!')���� K�5Ç��¡},.��&'�����]/�&#DK�5*4WBw/����4Ì£ª8¡Q/����r@A��&Ey�d�c�~#z c�{}|#�u��)�!#- LO&'��1G��"#)�!')*�+� K�5�4iK�¡O,.��&'�����]/�&'D¤K�5�4iSw/2���4Ì � ¡&'��"#1G����!')*$+����DR5

Page 93: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

��ü � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�` ��!#�u!#-0/2!t)��w!#-����i/2"#�¢��-������ ÚýÐGc£!#-��¢1�&#���2@J��@J,.��&'�����]/�&'DgK�5Ç=+K\/�1�1���)���" ��-�������$+��&ÅL�~�ÙöÉ þ 5Ú ÅÇÕ}~�cWÉ ; ��)*!'-@û[~Tù Á Ð.¡I� û1��Ú�� ù1�2Ú � Ð��WàÄ4�5jk�.����������(�����!#-�)*"Ê"#����!')����E_�D���)*"'��(�"'"#)����¢!#-������+�������3!#)�����".�E�3�R!')��������¢/�!Q!'-�������� ��@

!'-��Q)���!#&#����(���!#)�����5 % �EÅÇþ0ÎRÉs¡�¬�/2_�_G��&�/2����í���"'��1�-¢���V;0���O@A��&���$��3&#DeL}~VÙuÜP� /h10�+��DR�����E)]/2�+ �h ; i y � �QÚ U,:WYX ylà�4i� \_^ i�`�{ \�^ h `�{ , � , ��)��¤y�NO7�! , y�a h ~_a i �#�/2���w!#-���D �����W¦V����!'(�&#���ÄyA/2��!#-��+(���- !#-�)�"�)�"J����!���7�1���)���)�!#��D\"#!V/�!'���0��!'-0/�!+ �h ; i y � �QÚ«+ h ; i y � ���T�-�)�"P���+�i¦V����!'(�&#� )�"�����!P!'&#(��[yè"#���rÅ���Æ+ÉA��¡�_�(�!P!'-���+ � /����r!#-���+hXl10�+��DR�����E)]/2�*"�/�&'�\����!"'�¤��)xµ?��&#�3�R!W5 % ��@Z/���!W¡J,�/2&#��)�� "#-�����"\!#-0/2!�!'-��0+ � Xl10�+�*D����+�E)]/��x"�/�&#�w� ����)��\��@P�����+&#���÷�yAÙ+�Êà¤÷�yNL0�uy]"#�3�gÅ���È?¡�T�-��3��&#�3� B�5Ç�öÉè�./�"P/�&'��!#-���+�Xl1G����D������ )õ/2�¶"W¡R/2���[1�&'��$���" !#-0/2!8!#-�����+�i¦V���3!#(�&'�\)*"P!'&#(��\)��[!l�.�E�i/2"#��"�zP��-����£÷�yAÙ��^àk÷�y�LG��dýB[yè"#���[Å���È}¡?LO&'��1G��"#)�!')*�+� B�5�4iBWÉA�/2���Ä��-����ýyNL}~VÙ���)*"E/k,.��7���!'��&E1G/�)�&[y#Å���È}¡�LO&'��1G��"#)�!')*�+��B�5�4�4<Éè�35ÄT�-�� g Xl1G����D������ )õ/2��"1��]/WDw!#-��\"�/�� ��&'�����\/�"�!'-���+ � XZ1G����D����+�E)]/��x"�)*�r!#-��\�������3&�/���)�¥����k�W/�"#�+¡O"#�w)�!t)�"��G/�!#(�&�/��!'�g�.��������&�/�_G��(�!P!'-��ª/2�0/����+����(�"8��(���"'!#)����}¡­)Z5 ��5u)x@ g�h ; i y � � Ú + ?h ; i y � �3¡?��-���&'��+ ?h ; i y � �/2&#��!'-��P10/�&V/�_G����)��Ï+hXl10�+��DR�����E)]/2�¶"8yè"#���¢��5 �05�¡?ÅÇÆ@%2Éè�35QT�-�)�"���(���"'!#)����r/���"#�\-0/2"8/¢������/�!#)�$+�/2��"#�.��&i5 % �r@Z/2��!i¡�@A��&P��7�/�� 1�����¡G����!�ÙgÚ Å B�~#FG~i4+~�=�~#KWÉOܧР83¡'A ^ ?�; ×�` B� ¡?!'-����k�.��-0/W$+��!'-0/�!+ ?� ; i y � �OÚ � ü y'4.à � {}| �3y#4.à � {Y? ��¡���-�)���� g � ; i�y � �QÚ � ü y#4.à � {�| �3y#4.à � {(× ��5U ���J��$+��&i¡h�J�[�W/���1�&'��$��w!#-�� /2�0/������+(���(�"�&'��"#(���!'"g�2@�,�/�&#��)��}¡Ê@A�+&\�������3&�/���)�¥�����®Q��&#�w/� �R��(�����"i5kT�-��w;0&#"'!\!l�J�r&#�3"#(���!#"w/�&'�g$+��&#D�"#)��E1��*�+¡Q/����Ä!#-���)�&\1�&#����@�"E/�&#�w)��E� ����)]/�!'�@A&'��� T�-�����&'���E"8K�5 FG¡RK�5�4�4P/����wK�5�4i��53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5Ç=�M'é�ê}ãWêGL}~VÙuÜ#� ? R�L6d§Ù�ë�ì?ò�ãWð g h ; i�y � �uæ�é�ï��¢ó�ð�æo³���ó�îC±�ð�ój�¢æ]ï�îó<Ú�ç�ã��+ë#ãVã.÷�yAÙ+�Qà£÷�y�LG��ë î3 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5Ç=�q'é�ê}ãWêGL}~VÙuÜ#� ? ë S Ú.Lrd Ù£ê*ò�ãið

��)��¤y�NO7�! \_^ i�`�{ \�^ h ` y�k h ~�k i �#�ÊÚa4j� î% �rÅ���Ë�É}H.&#����!')G;0����"���7�1���)���)�!Ê@A��&'�\(��]/�"�@A��&.!#-��8�g/27�)*�w/W��10/�&V/�_G����)��4+hXZ1G����D����+�E)]/W��"

�2@^!'-��E"'DR� �E��!'&#)����+&#��(�1 /����}¡�)���Å��YÌ+É.@A�+&�!#-��\�+&#�+(�1k��@8"')*�+�����k1G��&#�\(�!�/�!')�����"W¡}��-��3�>gÚÿÐ6�ý|öÔ X ~�5OU8�P1�&'��$���" !#-�� @A�+�*������)����ã.ä@å'æ@ç@å�è K�5Ç=+�(é�ê�ãiêSL}~VÙ¢Ü[Ð ?c RILrd�Ù�ë�ì?ò�ãWð+ ?h ; i y � �QÚ �   ß@^ i�`�¡ ß@^ h `   � ß y'4.à � {`×� � ^Jß@^ h `N; ß@^ i�`o` �í}ò�ãië'ã.p[ë�å�ð�é�ójîWãië�ê�ò�ã¢ï�îèî*ójíÊï�ì3î*ãPé�ê�ã��Géó<ÚOÌPyAÙ���íQæ]ê�ò[ë'ã�éN��ã_³WêQê�ó:ÌPy�LG��ëã.ä@å'æ@ç@å�è K�5Ç=+S(é�ê�ãiêSL}~VÙ¢ÜkyAÐ ªc � ? R�LÅd Ù�ë�ì?ò�ãið+ ?h ; i y � �OÚ �   ß�»�^ i�`�¡ ß�»�^ h `   � ß y#4.à � { ìË � ^Jß`»S^ h `N; ß�»'^ i�`7` �í}ò�ãië'ã.p[ë�å�ð�é�ójîWãië�ê�ò�ãPbk2#ï2î]î*ó:íQï�ì3î*ãué�êAã]�0é�óAÚ£Ì ª y�Ù���íQæ]ê�ò[ë#ã3éN�Yã�³WêQê�ó:Ì ª y�LG��ï+ð�ç�   ß y�Ì£ªPy�LG��~úÌuª8y�Ù��'��zÇÚ § Õo ß y�Ì£ª8y�LG��~úÌuª yAÙ��'� æ Ú�ê�ò�ãhp�2#ê�òwé�ê�ã��kóAڣ̣ªtyNL0�uæ�étç+ójíQð3RÕo ß y�Ì£ª8y�LG��~úÌuª yAÙ��'�GÊ�4 æ Ú�ê�ò�ãhp�2#ê�òwé�ê�ã��kóAڣ̣ªtyNL0�uæ�étå��Yë

Page 94: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

� ¬ F ¬ �0�G�}�<�êéGû?���}�����P¹?�?½+�+û?ú��`�?��ú[ú0��¿�¹?úGº}� � �% ! © "�����!8-G/�&#�£!#�E"'���¢!#-0/2!8!#-���@A�+&#�\(��]/P)��[T�-�����&'���6K�5Ç=�S¢�W/��[_G����7�!#�3�������k!'�E!#-��

�i/2"#��� Úüd c &#��1��õ/2��)����kÌ ª _�DgÌ!��5ø (�&�/����[HJ&'����!#) © "P@A�+&#�\(��]/�"�/�&'��$+��&#D£"#)��E)��]/�&W¡�/����r)�!8)�"P�i/�"'D[!#� "#���\!'-0/�!P!#-���@A�+�xX

������)����w&#��"'(���!#" -������}5rT�-�� "#!�/2!#��� ����!#"E/2��� 1�&'����@A"\/�&'�E��)�$+���k@A�+&�� Ú:Ð c ¡Ê_�(�!\!#-��&'��"#(���!'"t/�&'��/���"'�\!#&#(��P@A��&8b c /����[d c 5Qjk�P"#)�� 1���D����3���¤!'�\&#��1��õ/2���:Ì�_�D¦Ì ª /2���<ÌÇ��¡&'��"#1G����!')*$+����DR5

jk�Q"V/WDP!#-0/2!m/h"#�+��� 10/2&#!')*!')�����)�"�/¢ìVó�ë'ç�ãWëQé�ê�ë�æ �\yA/���"'�8�i/2�*�����¢/�ë�æ]ìWìVó�ð��3¡�)x@0)�!}���+��!�/�)���"���\=¢�[=¢"#��(0/2&#�P��@O��������"i5ÿ

çYæ��(æ���������æ� K�5ÇB�v'é�ê}ãWêGL}~VÙ¢ÜH� ? ìVã�é�å$³�òrê�ò�ï+êJê�ò�ãuéA²�ã�íH��ï�ë�ê�æ]ê�æ]ó�ðkÌPyAÙ��S�£ÌtyNL0�æ�éPïEìVó�ë'ç�ãWëPé�êAë3æ �Yë�ì?ò�ãWð g h ; i�y � �QÚ�+ ?h ; i y � ��� î

C��G¡�)��E10/2&#!#)���(��õ/2&i¡��.�P��_�!V/�)��w!#-���/��G/������¢��@QLO&#�+10�+"#)�!#)����wB�5�4iBu��@�Å��YÈ+É#53 æ�çYæ�_#_�\@ç�4 K�5ÇB�4$é�ê}ãWêGL}~VÙuÜ#� ? ë S Ú.÷�yAÙ��màr÷2yNL0�Fd§B[ê�ò�ãWð��)��¤yANm7R! , yNk h ~_kÏi��#�QÚ«Ã ?, y�L�~VÙ��í}ò�ãië'ã.à ?, yNL}~VÙ��uæ�é�ê*ò�ã�ï+ì�é�ó�î�å�êAã�îiï2î*å�ã¢óAÚ�ê�ò�ã�³Vóiã7î�³iæ]ãWð�êQó<Ú � , æ]ð�+ ?h ; i y � ��ë î

>­��!uL}~VÙ¢ÜH� ? ¡��.�.�i/����}yNL}~VÙ��O/e�+ãið�ãië'ï�î*æ�IiãVç��Qó���ãWê�ãiëS��ï�æ]ë�)x@�à ? | y�L�~�Ù+��Ú ÷�yAÙ+�+à�÷�y�LG��5T�-��P���37R! &#��"'(���!�)�"�!#-���/��G/������+��(�".��@QLO&#�+10�+"#)�!#)����[B�5*4+4���@8Å���È+É#5ÿ

çYæ��(æ���������æ� K�5ÇB�='é�ê}ãWê�L�~�ÙªÜ#� ? ë S ÚtyNL}~VÙ��Pæõétïy�+ãWð�ãië'ï�î�æJIWã�ç6�Qó���ãWê�ãiëº��ï�æ]ëPê�ò�ãWð��)��ryANO7�! , y�k h ~�k�i��'��Ú«Ã ?, yNL}~VÙ��QÚ ® Ø -t° ~Ú�ó+ë�-\Ú�v�~������G~�ØxRuí}ò�ãië'ã8ØEÚ ÷�yAÙ��Êà£÷2yNL0��ëÿ

çYæSæ� é % @8yNL}~VÙ��.)�"8/u�������3&�/���)�¥����r,.��7R�3!#��& 10/�)�&.!#-����£!#-��P�����*D 10�+"#"')*_�)*��)�!lD¢)*"�!'-0/�!+ ?h ; i y � �OÚ � c y#4�à � {}| � c 5�T�-�)�"J� �i/���"�!'-0/�!Ê!#-�� "#���3��10/�&'!#)�!#)��+��ÌPyAÙ+�´�xÌPy�LG�O)�"J/P_G��&'����&"'!#&#)�1}¡G/���� "#�\!'-���&#�3"#(���!.@A�+�*������"._�DELO&#�+10�+"#)�!#)����[K�5 B+v�5

% !Q"'����� "Q!#-0/2!Q!#-���"#)�!#(0/2!#)����\)�"O��7�/��3!#��DE/��0/2�������+(�"i¡W-��3�����P�J�8/2&#�������\!'��!#-�)����¢!#-G/�!i¡/2"�@A�+&8!#-����+������&V/���)�¥����r®Q��&#�w/¢�E����(�����"W¡�!'-���&#�\"'-���(��*�£��7�)*"'!�/\&#�3��(�&#"')����£@A��&'�\(��]/�/2�*"'�@A�+&J!'-����+&#��)��0/2&#D\������"i5

Page 95: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

��F � ¬ �?�RúG¿�ù��0ù�¹?�¤��Ø?¿�¿��R�GúGùõ�Å®i¹?ù�ú?�

Page 96: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

ï�Ã�÷w��Ã��¢�uÁv��m�ðHÄñ�ò8ó.ô.õ ö�õ ÷�ø<ù�úû üýõ þ�ÿ��Nú��7ù��Xú<ø���õ?ô�� ù��� �� úû���������������������������������� �"!$#%���&�'�)(+*�,�- �"!/. � ��!0� ���1����� �"!/���"!0���8û

��2���õ 35476'8<ò ò:9 8<; =<õñ 9Nó.ô.õ?ö!õ?÷�ø<ù�úû ü�õ þ�ÿ��Mú<�7ù�� ú<ø+�$õ@ô>� ù��� �� úû:�������������5��,<*�?������&� �)(+@A��B:#:�7!C�)( !0������D:#%���"E���FHGI�<����J#����$�'E���('��� -LK �I#%, �<û�÷}ø�M�õ?÷�N�N�O�ù�Nø�öP�2���õ�û�Q�RAS$9'828<ò:T2û'9hò�8 U�929 V<õñ ='ó.ô.õ ö�õ ÷�ø<ù�ú��Xú<ø+�$õ ô�� ù��� �� úûXWLE��5Y�-��K�@Z��B:#%�>!/�)(2��[�� �)(+K ��#%,:�A�2���"!�#%���H#%���\#%- G �]#%*�!0� -^��!/��K'�8û_a` ÿ��2Nõ�b?õ)3��2 �c<ù�ú��2��� ÿ7ù�dNû:Q�QAS�9 828<ò:T2û V2=<ò�U�V2V2ejõñ V'ó _ õ _ õ ÷>OO�MúûLWfE���( !0��K<#%�)� -^*g#%�]#%*�!0� - �&� �)(�?�� ��!/�^D:#%���"E��+('!0��K<#%�)� -/- G���G *&*����"��!"�5�\#%- G �]#%*�!0� - �8û)b?õ÷�Oh<õ)3��2 �c<ù�úõ�û�ijS0ò%k2k2V�T2û'l:U±ò%e<õñ lNó _ õ _ õ@÷>OO�Múû\m1��no?�� �����aD #%�+�"E���(2���I#%*��\#:��!/�"!$#%�p#"D1�"E��7K'���2(2��(P-�/D��5���0K',�-� �������q�����������$�'�0!�#%�p#"D+�"E�����/r>�����"!$#%�ZK'�I#%, ���s#"D1�"GI�<��t+uv� �)(�wsuêû\b?õ<÷>Oh2��c<ÿ��<û�x�R�iAS7ò�k2k�lyT8û?ò:929%U8ò�Vy=<õñ e'ó+z.õ þ5� ÿ���%O��� ú<ø$÷.õ ô>�2 �û^{|#%*�?�!C�)� ��#%��!0� -X�����q�����������$�'�0!�#%�P�"E��I#:��G:û�}>��~v�L�Nÿ�d�N)�%��7ùM2��dwù�ús���%�2 ����7ÿ7ù3��2 �c<ù�ú��2���Xÿ0ù%dMû'ö��?ô���� ` c�O�ù%�2�0ù�Xú�dMû��f�2OJõ�=2�<û�ò%k2k2k<õñ ;Nó.ô.õWþ�ù�2hXù�2O�ùJû7{f-�#:����(P����#�( ,����5D:#%��*�,<- � ��D:#%����[ ��������!�#%����#"D�Ky���)����� - !� ��(�������*��v*g#�(',�-���8û5�ÿ��Xú�dMõ÷� ��NÿMõ?ö��y���õ��<��Xõ�û2�����2N�N)�%� ÿNõñ �'ó.ô.õ�þ�ù�2h ù�yO�ùJûa@Z��B:#%�Z�'�)(v(2����������������� �"!/���"!"���7D #%�P�"E��Z��.:����J���! K'�)��(A������*&,<��� �"!$#%��K �I#%, �<û`÷�ø�Mwõ(ù�ú÷�N�N�OJõ?ö��y���õ�û<�����2N�N)�%� ÿNõñ k'ó.ô.õþ�ù�2h ù�2O�ù^� ú<ø�ü�õL3��2d���OO�ùJû]����.:�'��!0� ���+� - K2�%?���� �P� �)(P*���B:#:��!/�)( !"������D:#%�g��- � ����!"���'-&����G -LK �I#:,:�����N<ÿ��%N<ÿ0ù�ú<�Nû:ô>�2 ��s9'828�9?û2N�Nõ<=�l?õñ�ò�8'ó`÷.õ þ^�%�� ÿ0ú��Nÿ^� ú<ø.ü�õ þ�ÿ��Mú<�0ùJûX{|#%*�?�!C�)� ��#%��!0���H#"D�{|#�[2��������K'�I#%, ���8û��$õ �`õ ö�õ�û��<N<ÿ7ù�ú�h2�Mÿ�U��L�Mÿ�O� h<û8þ5�Mÿ�O�ù�úû�����2N�NX��� ÿNõñ�ò ò8ó��8õ }.õ<þ5�Nÿ0ú�d����Nù�úû��8õ ö�õ)���%O �0� ú<øû��wõ �8õ�����O �"� ú<øû]���������'�$�"K�#:��G�#"D>�)J�*g#�(',�-���8û�ü ` ú�%�Mõ ÷}ú��2OJõ<÷�N�N�OJõ�ûx2�vS7ò�k�; e�T2û?ò�U��<õñ�ò:9Nó`þ`õ�þ5�<� û)��{5#%,�����������[y� *7�q- ����#��0E<�P���2?�?�����J��q#%������Ep{5#%��B������",<���8û^���2 ��<ø�� ú<U�¡ ` d� ��7ùh+�5����� ÿ�¢�� ú<øÿ��%O�2���Mø����2N<ù�dNû�3�� ú<���% �Nõ ö��y���õ�û�x�i�£wûWò�U�9hû ÷� ��MÿNõ@öP�2���õ\�<�< õ�û2�¾ÿ��:M?ù�ø��Mú�%� û'ô��8ûwò�k2k�9hõñ�ò�='ó`þ`õ�þ5�<� û)�`õ b?õ _ ú<ÿ7ùh2�<�Mû?þ`õ]�<����O��� úû\�����$����*&!C�)� �"!$#%�p#"D��0E<��!/��������n�!/��!C��K�#�������� ��#%����D:#:�&E\#:-�#%*g#%��J��E2!"��� -C- G�!C�)( ,�����(�������������������� �"!$#%���&#"D5F1����*�!/�"!0� �P��G *�*s���0��!"�5���'!/���8û��f�2Mù ¤)5b?õ öP�2���õ�û�x�iXx�S0ò�ky�2��T2û=2k U�l 8<õñ�ò�V'ó`ü�õ@þ�ÿ��Mú<�7ùJû'¥����%E�(y� ��J0¦f,����%�"!K�� �)(+§�J/��#%- G:�]#:*&!"� - ���1¨)#%,<��K)© �1- � �"�"!0�����>� �)(+�1G2��ª1��� ���"!C�0!�#%���8û��f�2Mù ¤)b?õ<öP�2���õ�û<�����2N�NX��� ÿNõñ�ò:lNó`ü�õ<þ�ÿ��Nú��7ùJû2N)�Nÿ�d�� ú��2O<��y � ` ú<ù%�2�0ù � úû�«��%��� �c)�Nÿa9 828y8<õñ�ò�e'ó`ü�õ@þ�ÿ��Mú<�7ùJû\¬�J0­5,<-����!0�'�g�\#%- G �]#%*�!0� - �&� ��!C��!/��K5D��I#%*�{|#�[y��������K'�I#%, ���8û _a` ÿ��2Nõ2b?õ\3��2 �c<ù�ú�� ÿ�� ÿ7ù�dNû2x�®S0ò%k2k2V�T2û2V<ò:;%U�V2Vjò õñ�ò:;Nó+b?õ�þ�ÿ�¢�O�ù�ú�d�¯?ùJû£ö�õ����2d��<ù~�� ÿ��jû7¥����%E�(2� ��J"¦L,<���%�"! K���#%��B������",<���p�'�)(pE�#%-�#:�]#%*&!"�v��G ������*��8û�� ú<M2�Mú<�NõöP�2���õ�û�°<±AS0ò�ky�<ò:T2û2=2��;%U�V<ò�8jõñ�ò��'ó��$õ b?õ)3�� ÿ�O�ù�úû�­a['��������!$#:���s#"DP������*���*�#�( ,�-���8û��ÿ�� ú�dMõ<÷> ��MÿNõ ö��y���õ��<��Xõ�û�Q�£<±vS0ò%k2�2e�T2û�9 k U�V2=<õñ�ò�k'ó�¡¾õ�3�� ÿ�O�ù��  û2���I#:*s?�!/�)� ��#%��!"� -����I#��<�����"G�#$D+¬�J0­�,<- ����!0� �P��,<*s?������8û ÷> ��MÿNõ:öP�2���õ:öP� ú<��O¢ û2²�Q�S0ò�k<;2l2T2ûl?ò�U�l V<õñ 9 8'ó�¡¾õ\3��2d7ù� úû2«$õ\3��2OO�ù�ú�hy~a�<�@øû^WLE<��¥����%E�(2� ��J"¦L,<���%�"! K���#%��B%�����0,<���>D:#%��K2���)�����'- !� ��(v������*s��*�#�( ,�-���8ûöP�2���õ�³[õ�û)x�£�®AS7ò�k2��;yT8û2l �<ò�U�e28y8<õñ 9?ò8ó`ô.õ]bhõ]3�O� ÿ�¯2�+� ú<ø�«�õwü��2�2���<û)­5,<- ����!0� �v��� - ��,�- ,<��´|��´&µ^��!/. � ��!0�y?�-�g����� �"!C���0!"���8û _a` ÿ��2Nõ\bhõ]3��2 �c<ù�ú�� Uÿ��Xÿ0ù%dMû�x�®AS7ò�k2kyV�T8û =2V�l:U$=ye�9?õñ 929Nó`ô.õ]bhõ¶3�O� ÿ�¯2�+�Xú<ø�«$õ�ü��2�2���<û)­5,<-����!0�'�p��� -��,<- ,���´�����´a�>�v��['�$������!$#%�o#"D+F+�'�\© ��D�,��)(y� *s������� -5�"��� ��JD:#%��*�� �"!$#:�<û _�` ÿ��2Nõ\b?õ�3��2 �c<ù�ú�� ÿ��Xÿ0ù%dMû<x�°jS0ò�kyk�l2T2û�929?ò�U�92l29hõñ 9 ='ó`ô.õ�b?õ�3�O� ÿ�¯2��� ú<ø�«$õ ü��2�y���<û2­�,�-����!"� �Z��� - ��,�- ,<��´¶������´5WLE��H,\?�!0¬�,<!/��#%,<��{a� ,���EyG�D:#%��*�,�-�'û _a` ÿ��2Nõ2b?õ3��2 �c<ù�ú�� ÿ��Xÿ0ù%dMû<x�°jS0ò�kyk�l2T2û2=�9 k U�=�l2lhõñ 9 V'ó�«$õ z.õ]3��2OO�ù�ú�hy~a�<�@øû�WLE��>·LJ"F&#%*g#%-/#�K Gv#"D+F+� ��!C��E2J�{fE�� �)( ����*g#�( ,<-����¸&K2���)�����'- !�%!/��K����"E���#%����*¹#"D¥�#%����� ���JûhöP�2���õ@÷}ú<úõ�û\Q�R�QAS7ò�k2�<l2T8û?ò�e<ò�U±ò%��;?õ� m

Page 97: Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Groups · University of Rome “La Sapienza” Department of Mathematics “Guido Castelnuovo” Permutation Statistics and Polynomials

�T� � ù � ¼�ù]�?¾?úG¹@®3�@Øñ 92lNó�«$õ z.õ)3��2OO�ù�ú�h2~����?øû þ`õ)�<����O��� úû2�º( ,\�'- !C�0G��"E���#%����*»D #%�&��[ ��������!�#%���s#%�A!/�)( ,�����(�F�!K E������s�j��! K'E2�*�#�( ,<- ���8û)�L�2Nù ¤) õ�b?õ?ö��y���õ�ûXx2±)°AS0ò%k2k28�T2û�9292;%U�9 =<;?õñ 9 e'ó�z.õ �wõ ö�õ�3�� ¼��%���NÿMû2�1!/������������K'�I#%, ����K2���)����� ����(�?�G&���/r������"!�#%���8û@÷}ú<úõ2� ��öP�2���õ�û�i�®�S7ò�k2=yV�T8û2l �2�'U$e<9?ò õñ 92;Nó��.õ)«��%�@ø���� ÿNû]���Z�:#:*s�+Ky�I#%*����"��!"�g� ���<�����0��#$D7½>��,<E�� �+#%��(2����!/��K ��´5����´�WfE������ ���2?I#:- !"���'�)� -�#�K ,���#"D¥����%E�(2� ��J"¦L,<���%�"! K1�\#%- G �]#%*�!0� - �8û]b?õ<÷�Ohy��c<ÿ��<û�x�x�x�S7ò�k2��;2T2û V2�2= U�l 82ejõñ 9 �'ó��`õ b?õ _ ú<ÿ0ùh2�<�Nûhþ`õL�<����O��� úû�{�� ���0K<#%��!0����#"D�Ey! K E<�����+n5��!K E2��*g#�( ,<- ����¸Z���2�q- !"��� �"!�#%���g��#�F1����*�!/�"!0� ���G *&*����"��!0�����<�2�����8û<öP�� �õ@÷> ��MÿNõ@öP�2���õ\�<�< õ�û�i�°�RAS7ò�k2�<;2T8õñ 9 k'ó�¡¾õ _a` O�NÿMûL�������"!C�0,<�"!$#%�)���g���'- ��,�- !&( ! ¾7���������"!"� - !C�8ûWù�úp4>N)�Mÿ���4> �ú<ù�<ûa�<�Nÿ0ù�%d��(ÿ7ù ��<û^M2�2OJõ)¿ÎûL�L�Mÿ�O�2hM2� ú#þ`õ �$õ��^� ` c<ú��NÿMû2¡^�NùN� Mùh<û<ò�kjò�=<õñ =28'ó�«$õ@ü��2�2���<û)�����"E���m+���"��#1!C��.:������!$#%����,<*�?����s#"D+������¬�,����)���8û)�¾ÿ���Xõ ÷� ��MÿNõ öP�2���õ'�<�< õ�û�x�£�S0ò�kye2��T2û9 =2e U�9 Vy8<õñ =<ò8ó�«$õ�ü��2�2���<û��1!/���"��!0?�,��"!$#:���Z��,<-:À����!0�����)���p����*�� E\#:��!0�����)���Z��,<��-��K �I#:,:�<���p(2���g������*&,<��� �"!$#%���8û.ù�úz�ùh2���Nÿ�3��2 �c<ù�ú��2���Xÿ0ù%dMû:9y;%U�V2k<û2«$õ<ô��Mù�ø��%OJû ÷� �d����Nÿ0ø��y �ò�kyk�;�S"�(ÿ���Xõ�}}÷L��4%÷�ø�Mwõ)�<� ` ø�¢+�=ú�d��Nõ T8õñ =�9Nó�«$õ£ü��y�2���A� ú<øGö!õ �[õ��<��L�` �� %�Mú<c��Mÿ�h:�NÿMûa@A��B #%��!C�)(2��[�� �)(Á!/��. ������!$#:�o��,�*�?����p#"Dg�<����*�,���� �"!�#%���8ûöP�2���õ<}��2��<ÿNõ�û\²�ijS7ò�k�; �<T8û<ò�Vy= U8ò:l k<õñ =2='ó�«$õ:ü��2�y���5� ú<ø1«�õ ³)�NùOc)�Nÿ�h2�NÿMû������)������© �L������*�,<�$�'�0!�#%�g����� �"!C���0!"��!/��!/�)(2����(+­5,<- ����J0@A� E\#%��!"� �<û��<� ` ø<ù��dù�ú�÷>N�N�OJõ@öP�2���õ�û\²�iAS7ò�k2k28<T8û =<ò�U�l k<õñ =2V'ó�Â�õWü ` O��� úû+¨)#%,<��KA���2?�-���','[áû|¡^� ú<ø��XúHöP�2���õL�<�< õ^d�� ` ø��Mú<������¼<��d1=�l?ûa3��2 �c<ÿ0ù�ø�hy�+Ã�ú<ùMwõ]�¾ÿ���d�dMû}��%~��a� ÿ�¯�ò�k2k�;hõñ =�lNó�Â�õ¾ü ` O��� úv�Xú<ø�b?õ�z�� ÿ7ÿ7ùdMû5Ä������������������ �"!$#%���"E��I#:��G:û��$õ �`õ ö�õ�ò:9 k<û5�<N<ÿ0ù�ú�h2�Nÿ�U��L�Nÿ�O�yh@û^}��%~Å�a� ÿ�¯ò�k2k<òXõñ =2e'ó+4Îõ��H�2c�c)�NÿMûW÷Îõ�b'�2d��%N��û&W]#:n|� ��( �P�0E<�g¥���� ( E�� ��J"¦L,<���%�"! KÆ�I#:��B������",����8û`÷�ú<úõ|�<NùJõÈÇÉ ��yO� õL}��Xÿ� �õ� ` Nõ�û�x2±vS7ò�k2�<ò:T2û29 e<ò�U�=28�9hõñ =�;Nó`÷.õ]�H� ÿ�d7ù�+� ú<ø��8õ)����d�d���OJû\Ê>����*�,<�$�'�0!�#%�A���$�'�0!C���"!0���+� �)(��<� ���"!/�"!$#%���8û<÷}ø�M�õ?ö��y���õ�û)iXxPS0ò%k�; k�T2û\9 �y� U=28�l?õñ =2�'ó`÷.õ]�H� ÿ�d7ù�+� ú<øP«$õ)�<���Xú���� úû^�5�I#%, �v�2���"!$#:���s#"D�Ë���� ��-��G J0Ä>��!/���)���&��!C��K �&�'�)(g!C��.:� ��!"� ���H#$D��<����*�,�J��� �"!$#%��K'�I#%, ���8û<÷�ø�Mwõ<ö��y���õ�û�®Xx�S7ò�k2�yV�T8û?ò�8�;:U�9'8<ò õñ =2k'ó`þ`õ)��� ÿ7ø�� úû]Wfn�#1�"E���#%����*&�g#%��*�,<- �"! �<� ���"!/���>��� ���"!/�"!�#%���8û)b?õ�¡^� ú<ø�� ú�öP�2���õ\�<�< õ�û�i�²jS7ò�k2e2=<T8û2V�l'k UV2e2V<õñ V28'ó+�$õ U�z.õ�z>� úû]µ¶�)�5�"��� ���/D #%��*s�'�0!�#%��D:#:�)(2� *�������� -����,<��- ���a�LÀ�%� ����� ��Ky��*������"�7(2��*�#:�0�8ûN÷�ø�MwõMù�ú`ö��y���õ�ûx2�)®AS7ò�k2k2V�T2û�9 e U�V<òXõñ V<ò8ó�z.õ�¡¾õ�z�ùOO�MÿNûa�>�I#%*����"��G�#"D�{|#�[2�������HK'�I#%, ���8û<ô���dNõ�}>�2����d�ù�ú#öP�2���õ�l V<û2�¾ù�� ��Xúû þ5�2d���� úû<ò�ky��9?õñ V�9Nó+b?õ _ õ z ` �N��<ÿ���¢<dMû�Ä>�/r>�����0!�#%�sK'�I#%, ���7�'�)(g{5#�[2���$���|K'�I#%, ���8û�3��2 �c<ÿ0ù�ø�h2�L�<� ` øõ8÷�ø�Mwõ:öP�2���õ�ûMú��<õ 9 kjû3��2 �c<ÿ0ù�ø�h2�>Ã�ú<ùMwõ��¾ÿ��%d�dNû\3��y &c<ÿ7ù�ø�h2� û?ò�k2ky8<õñ V2='ó�«$õ|���2 %�<ø�� úû��$õa¡ ` d� ��7ùh<û�Ä������������������ �"!$#%���p#"DÆ{|#�[y��������K ��#%,:�q�Z� �)(ZF1����ª2��� - K2�%?���� �8û�� ú<M2�Mú<�NõöP�2���õ�û�®�ijS0ò�k<; k�T2û<ò�e�l%U8ò��2Vjõñ V2V'ó��8õ)�$õ<öP�2Mø�� ú��yO�øû�Ë�G:*�*����"��!0�>D�,<�)���"!$#%����� �)(�F+� -C-)�\#%- G �]#%*�!0� - �8û]d���%� ú<øg�Nø<ù�0ù�Xúû�4�¼y�0�Xÿ0ø#ö��y���õöP� ú��2h ÿ��2N���dNû'4>¼y�0� ÿ7øgÃ}ú<ùM�õ<�(ÿ���d�dMû�4>¼2�"� ÿ0ø�ò%k2k�l?õñ V�lNó��Wõ<÷.õ<öP�2Nö��y��� úûL{|#%*�?�!C�)� ��#%��G��'�)� - G ��!C�8û�M2�2OJõ�òXû�3��2 &c<ÿ7ù�ø�h2�>Ã�ú<ùMwõ��¾ÿ��%d�dNû2¡^� ú<ø�� úû<ò�k<ò l?õñ V2e'ó��.õ<ô��Nù�ú��MÿNû�Ë�! K'�)��(�Ê>����*�,���� �"!$#:�ZË���� �"!/���"!"���8û _�` ÿ��2Nõ�b?õ)3��2 �c<ù�ú��2���Xÿ0ù�dNû�x2±AS7ò�k2k2=<T8û�l2l'= U�l e�;?õñ V�;Nó+3}õ�ô�� ` ���Mú�� ` �MÿNû]YX������¦L!"��� - K2�%?���� ����¡^� ú<ø��Xú!öP�2������ ��2�7ù��yO¶�<�< õWöP� ú��yh ÿ��yN���dMû^}��%~Ìd��Mÿ7ù��d�;?û4>¼2�"� ÿ0ø�Ã�ú<ùMwõ��¾ÿ��%d�dNû�ò%k2k2=<õñ V2�'ó`þ`õ��<����O��� úû2­a['�$������!$#%����?����"n|������Ky���)����� - ! � ��(��q����*���*g#�( ,<- ����¸�WLE���F1����*�!/�"!0�'����G *�*s���"��!0����� ���2ûöP�2���õ�³[õ�û)x�£�RAS7ò�k2�2�<T8û =28�l%U�=<ò%�<õñ V2k'ó`ö�õ]�<¯ � ú<ø��Mÿ��<û��>�Z­�,�-����!"� ���<� ���"�)����D #%�&!C��.:������!$#%���8û]� Ç�% �õ�¡^�2����� ÿNõ\3��2 �c<ù�úõ�û�±)°wûþ5V2e øjS$9 8y8<ò:T2ûN�Nõ�ò�kjõñ l 8'ó�¡¾õq�<�yO�2 �� úû^WLE���#%��(2���s#"D1�"E��5Í���!/����{LE���.:� -C- ��GsK ��#%,:�q�8ûqbhõh÷>Oh2��c<ÿ��<û�ijS7ò�k2e2e�T2û2=�; e'U$=yk2=<õñ l?ò8ó`ô.õ^�WõL�<���Xú�O��¢ û�­5��,<*������ �"!C.:����#%*�?�!/�)�'��#:��!0���#û]My�2OJõ�ò û)Â��Xø�d�~�� ÿ������Xú<ø¨þ�ÿ��<�2¯�d�623��2O�Xû<ö��Xú����Mÿ���¢Xû3¾÷.ûWò%k2�2e<õñ l29Nó`ô.õ2�[õ��<��� ú�O�%¢ û:­���,<*s����� �"!/. �&��#%*�?�!/�)�'��#:��!0���Îû2M2�2OJõ 9?û23��2 �c<ÿ0ù�ø�h2�5�<� ` øõM÷�ø�Mwõ öP�2���õ�û'ú��<õ e�9hû'3��2 �Uc<ÿ0ù�ø�hy��Ã�ú<ùMwõ��¾ÿ���d�dMû�3��2 &c<ÿ7ù�ø�h2�Xû@ò�kyk2k<õñ l ='ó _ õ)�<���Mù�ú�h ÿ7ù �d�d��'úû2Ê�����*&,<��� �"!$#%�A����� �"!/���"!0���H#"D1!/�)(2��[2��(�������*&,<��� �"!$#%���8û _a` ÿ��2Nõ�b?õ)3��2 �c<ù�ú�� ÿ�� ÿ0ù�dNûx�®AS7ò�k2k2V�T2û?ò���;%U�9 8�lhõñ l V'ó+b?õ:�<���� �c<ÿ0ù�ø�hy� û'�����"E�����! K2����.:� - ,����&#"D�������������������� �"!$#%���+#"D����/r>�����"!$#%��K �I#%, ����� �)(Hna����� �"E�����#�( ,����"����L�2Nù ¤)7b?õ<öP�2���õ�û)x2±��vS7ò�k2�2k<T8û =�l k U�=2kye<õ


Recommended