PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR - core.ac.uk · MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS...

PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

Agatha Manggar Sari NIM : 033214005

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS

SKRIPSI

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain

the Sarjana Sains Degree In Physics

By:

Agatha Manggar Sari

NIM : 033214005

PHYSICS STUDY PROGRAM

PHYSICS DEPARTEMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2008


ii


iii


MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Hidup itu seperti sebuah sepeda.

Kau tidak akan terjatuh kecuali bila berhenti mengayuh.

(Claude Pepper)

Semakin banyak pengetahuan yang kita peroleh,

bukannya semakin nyata, tetapi menjadi semakin

misterius.

(Albert Schweitzer)

PERSEMBAHAN : “Skripsi ini kupersembahkan untuk Bapak dan Ibu serta

Mb Merry, Uri dan Ria yang senantiasa memberikan doa,

semangat, dukungan, kasih sayang dan pengaruh yang

besar dalam setiap keberhasilanku.”

iv


PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

ABSTRAK

Telah dilakukan penjabaran persamaan-persamaan Maxwell dan persamaan gerak elektron dalam medium yang dikenai potensial bergantung waktu dan posisi. Persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat linear. Jika ada medium, persamaan Maxwell akan menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat nonlinear.

v


MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS

ABSTRACT

Derivation of the Maxwell equations and the electron equation of motion in the medium subject to potential energy which depend on both time and position have been performed. The Maxwell equations in vacuum give the solution to the electromagnetic fields which are linear in properties. When there is a medium, the Maxwell equations will give a solution to the electromagnetic fields which are nonlinear in properties.

vi


KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan YME, karena atas segala

limpahan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

Skripsi ini berjudul “PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR’’

yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu penulis baik dalam bentuk doa, waktu, tenaga, dukungan, bimbingan,

kritik serta saran yang sangat penulis butuhkan untuk dapat menyelesaikan skripsi

ini. Dengan segala penghormatan dan kerendahan hati, penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing

yang telah banyak meluangkan waktu dengan tulus untuk

membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat

kepada penulis dalam mengerjakan tugas akhir ini.

2. Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku Kaprodi Jurusan Fisika

yang telah banyak membantu dalam segala keperluan perkuliahan

selama menjadi mahasiswa.

3. Bapak Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang

sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

4. Bapak A. Prasetyadi, S.Si. M.Si. dan Ibu Dwi Nugraheni R., S.Si.

M.Si. sebagai dosen pengajar yang selalu berikan teladan.

vii


5. Pak Gito, Mas Ngadiyono, Pak Tukijo, Bu Linda yang selalu sabar

dalam memberi pelayanan kepada mahasiswa.

6. Bapak dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan biaya,

dukungan, dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

7. Mbak Merry, Uri, dan Ria saudara-saudaraku terkasih yang selalu

berdoa untuk keberhasilanku. Terima kasih atas segala canda tawa

yang membuatku tidak pernah merasa bosan selama menyelesaikan

skripsi.

8. Simbah putri, Bulek Jumi, Yessy yang selalu bersedia mendoakan

keberhasilanku.

9. Mbak Ayuk, Mbak Ratna , Mbak frida sebagai sahabat sekaligus

teman berjuang yang tak henti-hentinya selalu memberi semangat.

10. Mbak Yuni, Bambang, Mas Minto, Mas Milli, Mbak Kia, Mas

Danang, teman-teman seperjuangan dalam berjuang mengantri

bimbingan. Terimakasih atas teladan semangat kalian.

11. Mas Rafael, Enzo, Hari, Mamat, Adit, Basil, Yudha, Ridwan, Iman,

Tri, Mbak Inke, Adet, Githa, Imma, Lori, Ade, Sujad, Siska, Wati, dan

Zee. Terimakasih telah menjadi teman-teman fisika yang baik dan

setia.

12. Semua anak-anak fisika yang telah berjuang bersama-sama.

13. Essy, Yossy, Mumut yang telah lama menjadi sahabat penyemangat,

serta Sisil dan Mekar yang selalu beri semangat dan doa.

viii


14. Iin dan Toto (ikom’03) serta Mas Sinar yang selalu membantuku

menjadi sumber informasi dalam mengatasi segala masalah

komputerku.

15. Dhani, Yenny, Emma, Arien, Stella, Adit, Bambang’far, dan Ius,

teman-teman KKN angk’33 yang selalu bersedia mendengarkan

keluhanku.

Penulis sangat menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak

terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan adanya kritik dan

saran yang membangun dari berbagai pihak.

Harapan penulis adalah semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi setiap

pembaca.

Yogyakarta, September 2008

Penulis

ix


x


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………..……………

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………….…

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………..……..

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ……………..……….……….

ABSTRAK …………………………………………………………….

ABSTRACT ……………………………………………….…………..

KATA PENGANTAR …………………………………….…………...

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………….

DAFTAR ISI …………………………………………….…………….

BAB I. PENDAHULUAN.…………………………………………….

1.1. Latar Belakang ……………………………….……………….

1.2. Perumusan Masalah ………………………….……………….

1.3. Batasan Masalah ……………………………….……………..

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……………….………………

1.4.1. Tujuan Penelitian ……………………….………...……

1.4.2. Manfaat Penelitian ………………………….………….

1.5. Sistematika Penulisan ……………………………....…………

BAB II. DASAR TEORI …………………………………....…………

2.1. Perumusan Persamaan Maxwell ………………………………

2.1.1. Hukum Gauss ………………….……………………….

2.1.1.1. Hukum Gauss untuk Medan Listrik …...………

i

ii

iii

iv

v

vi

vii

x

xi

1

1

5

6

6

6

6

6

8

8

8

8

xi


2.1.1.2. Hukum Gauss untuk Medan Magnet ………..…

2.1.2. Hukum Ampere ……………………….………...……...

2.1.3. Hukum Induksi Faraday ………………………………

2.2. Persamaan Maxwell …………………………………..……….

2.3. Teori Klasik Optik Nonlinear ……………………………...….

2.3.1. Susceptibilitas Nonlinear ……………………...….……

2.3.2. Model Atom Klasik Nonlinear ………………….……...

2.3.2.1. Gas Elektron Bebas …………………………...

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik ………………………...

2.4. Operator Del ∇……………………………………………….. r

2.5. Persamaan Diferensial ………………………………………...

2.5.1. Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu ………………..

2.5.2. Persamaan Diferensial Orde Dua ………………….…...

2.5.2.1. Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan

Koefisien-Koefisien Konstan ……...…

2.5.2.2. Persamaan Diferensial Linear dengan Koefisien-

Koefisien Konstan …………………

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……………………………..

3.1. Jenis Penelitian ………………………………………….…….

3.2. Sarana Penelitian ……………………………………………...

3.3. Langkah-Langkah Penelitian ………………………………….

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………..

4.1. Hasil Penurunan Persamaan Maxwell ……………...…………

11

13

17

20

20

21

22

22

24

28

30

30

30

31

32

33

33

33

33

35

35

xii


4.1.1. Persamaan Gelombang ………………………...………

4.1.1.1. Gelombang Elektromagnet dalam Ruang

Hampa .........................................................…..

4.1.1.2. Gelombang Elektomagnet dalam Medium ……

4.1.2. Persamaan Gerak ………………………………………

4.2. Pembahasan …………………………………………………...

BAB V. PENUTUP ……………………………………….…………...

5.1. Kesimpulan …………………………………………….……...

5.2. Saran ………………………………………………….……….

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………….………

35

35

40

46

55

57

57

57

58

xiii



BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Saat ini telah banyak ilmuwan menyadari bahwa fisika nonlinear juga

merupakan sesuatu yang fundamental jika ingin memahami alam semesta secara

utuh. Sebelumnya tidak ada yang menduga bahwa sifat-sifat nonlinear akan

menghasilkan beragam fenomena yang menarik dalam fisika. Ilmuwan terdahulu

lebih senang melakukan linearisasi permasalahan dengan cara mengabaikan efek

nonlinear ketika menganalisis suatu masalah.

Perkembangan ilmu fisika belakangan ini menunjukkan bahwa fisika

nonlinear memberikan banyak sumbangan terhadap kemajuan ilmu fisika dan

teknologi. Para fisikawan telah melakukan berbagai penelitian untuk

menunjukkan bahwa efek nonlinear ternyata dapat dikembangkan lebih jauh lagi

sebagai ilmu penunjang dalam menganalisis suatu sistem. Teori nonlinear telah

banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, misalnya di bidang optik. Perpaduan

teori nonlinear dan optik menghasilkan cabang ilmu fisika yang dikenal sebagai

optika nonlinear. Secara definitif, optik nonlinear adalah sebuah cabang optik

yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium

nonlinear merupakan medium dimana vektor polarisasi Pr

memberikan respon

nonlinear terhadap medan listrik gelombang elektromagnetik Er

. Polarisasi

adalah pergeseran elektron oleh medan listrik. Teori optik nonlinear dapat

dipelajari dengan dua metode, yaitu secara klasik dan kuantum.

1


2

Dalam fisika optik, untuk menjelaskan peristiwa refraksi, refleksi, dispersi,

dll dari perambatan sinar dalam sebuah medium, diperlukan ilmu dasar tentang

induksi polarisasi listrik. Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi

diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi

listrik diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan

listrik gelombang elektromagnetik

Pr

Er

( He and Liu, 1999 )

EPrr

χε 0= (1.1)

dengan 0ε permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan

linear antara Pr

dan Er

pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960,

ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen.

Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara dan Pr

Er

tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik.

Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya

generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut

hubungan antara dan Pr

Er

menjadi

.....][ )3()2()1(0 +++= EEEEEEP

rrrrrrrχχχε (1.2)

dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear),

orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.

)1(χ )2(χ )3(χ

Contoh yang lain dapat dilihat dari penurunan intensitas sinar selama

perambatan dalam medium yang berbanding linear terhadap intensitas lokal.

Dalam optik, pelemahan intensitas berkas sinar dalam sebuah medium penyerap

dapat dideskripsikan sebagai


3

IdzdI α−= (1.3)

dengan I intensitas berkas, z variabel sepanjang arah perambatan dan α

konstanta medium. Tetapi, hasil pengamatan menunjukan bahwa sifat–sifat

penurunan intensitas perambatan berkas laser dalam sebuah medium optik tidak

selalu mengikuti deskripsi yang dinyatakan oleh persamaan (1.3). Misalnya

sebuah medium penyerap foton, nilai koefisien α dapat merupakan sebuah

konstanta atau variabel yang bergantung pada intensitas yang terjadi. Jika terdapat

proses penyerapan 2 foton dalam medium, maka persamaan intensitas berkas

dapat dituliskan menjadi ( He and Liu, 1999 )

2IIdzdI βα −−= (1.4)

dengan β koefisien serapan 2 foton. Pada kasus umum, untuk proses penyerapan

multi-foton (3 foton atau lebih), persamaan intensitas berkas mengikuti

.....32 −−−−= IIIdzdI γβα . (1.5)

Pada dasarnya gejala nonlinear optik dapat diperoleh dari persamaan

Maxwell atau polarisasi medan listrik. Polarisasi listrik suatu bahan digambarkan

sebagai pergeseran elektron oleh medan listrik. Jika diambil arah perambatan pada

sumbu x , dengan komponen medan E dan pada arah sumbu B z dan , arah

pergeseran elektron ke arah sumbu

y

z yang dideskripsikan sebagai fungsi .

Persamaan Maxwell (di dalam ruang hampa) menjadi ( Whitham, 1974 )

),( txr

0=−dxdE

dtdB (1.6)


4

dxdBc

dtdrqN

dtdE 2

00

=+ε

, (1.7)

dimana muatan listrik, q N jumlah elektron per satuan volume, kecepatan

cahaya dalam ruang hampa, dan

0c

0ε permitivitas ruang hampa. Elektron yang

dikendalikan oleh medan E dan terjebak di dalam sebuah sumur potensial akan

menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara r dengan E

dideskripsikan ke dalam persamaan ( Whitham, 1974 )

qErUdt

rdm =′+ )(2

2

(1.8)

dengan massa elektron, m 2

2

dtrd turunan ke dua fungsi pergeseran elektron

terhadap waktu (percepatan), dan )(rU ′ turunan sumur potensial. Jika persamaan

(1.8) ditambah dengan redaman fungsi waktu )(tU ′ menjadi

qEtUrUdt

rdm =′+′+ )()(2

2

(1.9)

dan diberikan nilai 22

21)( rmrU ω= , , dan , sehingga persamaan

(1.9) menjadi

βω =r2 αω =2

mqEr

dtdr

dtrd

=++ αβ2

2

, (1.10)

dengan α dan β merupakan konstanta. Persamaan (1.10) adalah persamaan

diferensial orde-2 tak homogen, jika digunakan paket program Maple 9 untuk

menggambar persamaan (1.10), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 1.1.


5

)(tr

Gambar 1.1 Grafik hubungan antara dan t persamaan (1.10). Untuk nilai

)(tr1=α , 1=β , 1=q , 1=E , dan . 1=m

Gambar menunjukkan bahwa nilai pergeseran mencapai nilai maksimum

pada saat t = 0.5 s kemudian mencapai nilai minimum pada saat t = 4 s. Pada

saat = 7 s, nilai pergeseran meningkat dan mulai saat t = 10 s nilai

menjadi konstan. Hal ini dapat terjadi karena sistem mengalami kejenuhan.

)(tr

)(tr

t )(tr )(tr

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, yang menjadi permasalahan

adalah

1. Bagaimana memperoleh persamaan (1.6) dan (1.7) dari persamaan Maxwell

2. Bagaimana menjabarkan efek nonlinear menggunakan pendekatan fisika

klasik.


6

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang diteliti dibatasi pada masalah penjabaran efek

nonlinear secara klasik.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian

1.4.1 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Merumuskan efek nonlinear dari persamaan Maxwell.

2. Merumuskan keterkaitan antara efek nonlinear dengan persamaan diferensial

serta syarat yang diperlukan.

1.4.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan

khususnya optik nonlinear dari sudut pandang teoritis.

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan hasil penelitian ini adalah sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, serta sistematika

penulisan.

BAB II DASAR TEORI


7

Pada Bab II dijabarkan persamaan Maxwell, teori klasik optika nonlinear,

persamaan diferensial linear orde-2 homogen dan tak homogen.

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan

langkah-langkah penelitian.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasannya.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini memaparkan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian

dan pembahasan.


BAB II DASAR TEORI

2.1 Perumusan Persamaan Maxwell

Persamaan-persamaan Maxwell merupakan persamaan yang dapat

diturunkan dari persamaan-persamaan dasar keelektromagnetan yaitu hukum

Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum

induksi Faraday. Berikut penjelasan singkat penurunan keempat persamaan dasar

keelektromagnetan sehingga memperoleh empat persamaan Maxwell.

2.1.1 Hukum Gauss

2.1.1.1 Hukum Gauss untuk Medan Listrik

Berdasar Gauss, di dalam permukaan tertutup seluas Sr

, fluks listrik yang

dipancarkan mempunyai hubungan sebanding dengan muatan listrik yang

tercakup dalam permukaan tertutup tersebut, dituliskan sebagai (Halliday dan

Resnick, 1984)

EΦ

q

∫ ==Φ qSdEE

rr.00 εε . (2.1)

Untuk mengubah persamaan (2.1) ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau

sebuah elemen volume diferensial berbentuk balok yang mengandung sebuah titik

P dan memuat medan listrik Er

, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1(a). Titik P

terletak pada zyx ,, dalam kerangka referensi Gambar 2.1(b) dan sisi-sisi balok

mempunyai panjang . dzdydx ,,

8


9

dx

dz

dy

P

x

y

z

• P ),,( zyx

Gambar 2.1 (a) elemen volume diferensial berbentuk balok. (b) kerangka referensi.

(a) (b)

Vektor luas permukaan untuk muka belakang balok menuju ke arah sumbu

x negatif sehingga dzdyiSd ..ˆ−=r

. Untuk muka depan nilai dzdyiSd ..ˆ+=r

. Jika

vektor medan listrik di muka belakang adalah Er

, maka medan listrik di muka

depan yang berjarak dari muka belakang adalah dx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+ dxxEEr

r. Nilai dx

xEx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂r

menyatakan perubahan Er

yang diasosiasikan dengan perubahan x dalam .

Besar nilai yang melalui permukaan depan dan belakang balok adalah

dx

SdErr

.

( )

...

...ˆ

)..).(()...(.

xE

dzdydx

xEdzdydxi

dzdyidxxEEdzdyiESdE

x

x

∂∂

=

∂∂

+=

+∂∂

++−=r

rrrrr

(2.2)

Vektor luas permukaan untuk muka samping kiri balok menuju ke arah

sumbu negatif sehingga y dzdxjSd ..ˆ−=r

. Untuk muka samping kanan nilai

dzdyjSd ..ˆ+=r

. Jika medan listrik di muka samping kiri adalah Er

, maka medan

listrik di muka samping kanan yang berjarak dari muka samping kiri adalah dy


10

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+ dyyEEr

r. Nilai dy

yE⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂r

menyatakan perubahan Er

yang diasosiasikan

dengan perubahan y dalam . Sehingga dy SdErr

. untuk permukaan samping kiri

dan samping kanan balok adalah

( )

...

...ˆ

)..ˆ).(()..ˆ.(.

yE

dzdydx

yEdzdydxj

dzdxjdyyEEdzdxjESdE

y

y

∂

∂=

∂∂

+=

+∂∂

++−=

r

rrrrr

(2.3)

Vektor luas permukaan untuk muka bawah balok menuju ke arah sumbu

z negatif sehingga dydxkSd ..ˆ−=r

. Untuk muka atas nilai dydxkSd ..ˆ+=r

. Jika

medan listrik di muka bawah adalah Er

, maka medan listrik di muka atas yang

berjarak dari muka bawah adalah dz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+ dzzEEr

r. Nilai dz

zE⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂r

menyatakan

perubahan Er

yang diasosiasikan dengan perubahan dalam dz . Sehingga

untuk permukaan atas dan bawah balok adalah

z

SdErr

.

( )

...

...ˆ

)..ˆ).(()..ˆ.(.

zEdzdydx

zEdzdydxk

dydxkdzzEEdydxkESdE

z

z

∂∂

=

∂∂

+=

+∂∂

++−=r

rrrrr

(2.4)

Sehingga besar nilai fluks listrik untuk seluruh permukaan balok merupakan

jumlah dari persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4),


11

( ) ( ) ( )

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

++=

zE

yE

xE

dzdydx

zEdzdydx

yE

dzdydxx

Edzdydx

SdESdESdEdSE

zyx

zyx

zyx

..

......

....rrrrrrr

∫= dzdydx .. div Er

. (2.5)

Besar muatan untuk elemen volume diferensial di P yang tercakup dalam

permukaan tersebut adalah

q

∫= dzdydxq ...ρ (2.6)

dimana ρ merupakan muatan per satuan volume di P. Dengan mensubstitusikan

persamaan (2.5) dan (2.6) ke persamaan (2.1), maka diperoleh

0ε div Er

= ρ

atau

0ε ∇r

. Er

= ρ . (2.7)

2.1.1.2 Hukum Gauss untuk Medan Magnet

Fluks magnetik merupakan garis-garis induksi yang melalui permukaan

tegak lurus seluas S. Garis-garis fluks magnetik tidak berakhir di muatan

magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup. Hukum Gauss untuk

medan magnetik adalah (Halliday dan Resnick, 1984)

∫ ==Φ 0. SdBm

rr (2.8)


12

dengan fluks magnetik (Weber), mΦ Br

vektor rapat fluks magnetik (Tesla atau

Wb/m²) dan elemen luas (m²). Untuk mengubah persamaan (2.8) ke dalam

bentuk diferensial, perlu ditinjau kembali sebuah elemen volume diferensial

seperti ditunjukkan pada gambar 2.1. Dengan langkah yang sama seperti pada

langkah untuk mendapatkan persamaan (2.7), vektor luas permukaan untuk muka

belakang balok

Sdr

dzdyiSd ..ˆ−=r

. Untuk muka depan nilai .

Sedangkan untuk medan magnet di muka belakang adalah

dzdykSd ..ˆ+=r

Br

dan medan magnet

di muka depan yang berjarak dari muka belakang adalah dx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+ dxxBBr

r.

Sehingga nilai untuk bagian permukaan depan dan belakang SdBrr

. balok adalah

( )

...

...ˆ

)..ˆ).(()..ˆ.(.

xB

dzdydx

xBdzdydxi

dzdyidxxBBdzdyiBSdB

x

x

∂∂

=

∂∂

+=

+∂∂

++−=r

rrrrr

(2.9)

Seperti langkah sebelumnya maka besar fluks magnetik untuk permukaan bagian

samping kiri dan kanan adalah

( )

...

...ˆ

)..ˆ).(()..ˆ.(.

yB

dzdydx

yBdzdydxj

dzdxjdyyBBdzdxjBSdB

y

y

∂

∂=

∂∂

+=

+∂∂

++−=

r

rrrrr

(2.10)

Nilai fluks magnetik untuk permukaan bagian atas dan bawah balok adalah


13

( )

...

...ˆ

)..ˆ).(()..ˆ.(.

zB

dzdydx

zBdzdydxk

dydxkdzzBBdydxkBSdB

z

z

∂∂

=

∂∂

+=

+∂∂

++−=r

rrrrr

(2.11)

Sehingga besar fluks magnetik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah

integral dari persamaan (2.9), (2.10) dan (2.11),

( ) ( ) ( )

∫

∫∫ ∫∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

++=

zB

yB

xB

dzdydx

SdBSdBSdBSdB

zyx

zyx

..

....rrrrrrrr

∫= dzdydx .. div Br

. (2.12)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.12) ke persamaan (2.8), diperoleh

div Br

= 0

atau

∇v

. Br

= 0 . (2.13)

2.1.2 Hukum Ampere

Ada dua cara untuk menghasilkan sebuah medan magnet, yaitu yang

pertama dengan sebuah medan listrik yang berubah-ubah, dituliskan sebagai

(Halliday dan Resnick, 1984)

∫Φ

=dt

dldB E

00. εμrr

. (2.14)


14

Cara ke dua dengan sebuah arus. Sebuah medan magnet dapat dihasilkan oleh

arus di dalam sebuah kawat, yang dikenal sebagai hukum Ampere, dituliskan

sebagai

∫ = ildB 0. μrr

. (2.15)

Pada umumnya kedua cara untuk mendapatkan medan magnet tersebut harus

diperhitungkan, sehingga dapat dituliskan sebagai

∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Φ

= idt

dldB E

00. εμrr

. (2.16)

Dari persamaan (2.16) dapat ditransformasikan ke dalam bentuk

diferensial persamaan Maxwell. Diawali dengan menggunakan persamaan (2.16)

untuk sebuah elemen permukaan diferensial yang berbentuk siku-siku di sebuah

titik P dalam suatu daerah medan magnet, ditunjukkan pada Gambar 2.2(a). Titik

P diletakkan di zyx ,, dalam kerangka referensi Gambar 2.2(b). Sisi segi empat

siku-siku tersebut, sejajar dengan bidang yx, , sehingga mempunyai panjang

dan dy .

dx

P

dx

x

y

z

. P

(a) (b)

dy

Gambar 2.2 (a) elemen permukaan diferensial berbentuk siku-siku. (b) kerangka referensi.


15

Seperti ditunjukkan pada gambar 2.2 (a), dengan bergerak mengelilingi sisi yang

mempunyai arah sesuai anak panah diperoleh

untuk sisi belakang ( ) )ˆ.(. 1 dyjBldB −=rrr

sisi kiri ( ) )ˆ.(. 2 dxiBldB +=rrr

sisi depan ( ) )ˆ.(. 3 dyjdxxBBldB +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=r

rrr

sisi kanan ( ) )ˆ.(. 4 dxidyyBBldB −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=r

rrr

sehingga untuk seluruh sisi,

( ) ( ) ( ) ( )

∫∫∫∫

∫ ∫∫∫∫−

∂∂

+++∂∂

++++−=

+++=

)ˆ).(()ˆ).(()ˆ.()ˆ.(

..... 4321

dxidyyBBdyjdx

xBBdxiBdyjB

ldBldBldBldBldBr

rr

rrr

rrrrrrrrrr

∫ ∂∂

−∂∂

= dxdyiyBdydxj

xB ....ˆ

rr

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

= iyBj

xBdydx ˆ.ˆ..

rr

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂=

yB

xB

dydxldB xy..rr

. (2.17)

Dari persamaan (2.16), i adalah arus yang dicakup semua sisi dan dt

d EΦ

adalah perubahan fluks listrik yang melalui permukaan tersebut. Jika diambil

untuk menyatakan rapat arus dan

Jr

dydxkSd ..ˆ=r

yang merupakan vektor luas

permukaan yang mengarah ke sumbu , maka dapat dituliskan z

zJdydxdydxkJdSJi ..)..ˆ.(. ===rr

(2.18)


16

dan ∫∫ ∂∂

=∂∂

=Φ )..ˆ(. dydxk

tEdS

tE

dtd E

rr

atau

∫ ∂∂

=Φ dydx

tE

dtd zE . . (2.19)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.17), (2.18) dan (2.19) ke persamaan

(2.16), didapatkan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂

tEJ

yB

xB z

zxy

00 εμ (2.20)

Sama seperti langkah di atas, untuk segi empat siku-siku yang sejajar

dengan bidang zy, memberikan nilai

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

tE

Jz

By

B xx

yz00 εμ . (2.21)

Untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang xz, memberikan nilai

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

tE

Jx

Bz

B yy

zx00 εμ . (2.22)

Jika persamaan (2.20) dikalikan dengan vektor komponen , (2.21) dengan ,

dan (2.22) dengan , kemudian dijumlahkan, maka didapatkan

k i

j

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

tE

Jkt

EJj

tE

Jiy

Bx

Bk

xB

zB

jz

By

Bi

xx

xx

xx

xyzxyz

0000

00

.ˆ.ˆ

.ˆˆˆ

εμεμ

εμ

curl Br

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+++ )ˆˆˆ()ˆˆˆ( 00 tE

kt

Ej

tE

iJkJjJi xxxxxx εμ


17

curl Br

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+tEJr

r00 εμ

atau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=∇tEJBxr

rrr00 εμ . (2.23)

2.1.3 Hukum Induksi Faraday

Hukum induksi faraday menyatakan bahwa tegangan gerak elektrik imbas

gglε di dalam sebuah rangkaian adalah sama dengan negatif kecepatan perubahan

fluks yang melalui rangkaian tersebut dan fluks adalah garis-garis gaya. Dapat

dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

dtd B

gglΦ

−=ε . (2.24)

Jika ditinjau muatan uji yang bergerak mengitari rangkaian, maka kerja yang

dilakukan pada muatan uji tiap putaran

0q

lEqlFrrrr... 0= . Dimana adalah gaya

yang bekerja pada muatan tersebut dan

Eqr

0

lr

adalah jarak sepanjang gaya bekerja.

Besar kerja lFrr. nilainya sama dengan gglq ε0 , sehingga dapat dituliskan sebagai

∫= dlEggl .r

ε (2.25)

Kemudian persamaan (2.25) disubstitusikan ke persamaan (2.24), sehingga

hukum induksi Faraday dapat dituliskan sebagai

dtdldE BΦ

−=∫rr

. . (2.26)


18

Dengan langkah sama seperti langkah untuk mendapatkan persamaan (2.23), dan

berdasarkan Gambar 2.2 yang merupakan segi empat yang sejajar dengan bidang

yx, , didapatkan

Untuk sisi belakang ( ) )ˆ.(. 1 dyjEldE −=rrr

sisi kiri ( ) )ˆ.(. 2 dxiEldE +=rrr

sisi depan ( ) )ˆ.(. 3 dyjdxxEEldE +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=r

rrr

sisi kanan ( ) )ˆ.(. 4 dxidyyEEldE −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=r

rrr

sehingga untuk seluruh sisi,

( ) ( ) ( ) ( )

∫∫∫∫

∫ ∫∫∫∫−

∂∂

+++∂∂

++++−=

+++=

)ˆ).(()ˆ).(()ˆ.()ˆ.(

..... 4321

dxidyyEEdyjdx

xEEdxiEdyjE

ldEldEldEldEldEr

rr

rrr

rrrrrrrrrr

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂=

yE

xE

dydxldE xy..rr

. (2.27)

Dari persamaan (2.26), dt

d BΦ adalah perubahan fluks magnet yang melalui

permukaan tersebut dan dydxkSd ..ˆ=r

digunakan untuk menyatakan vektor luas

permukaan yang sejajar dengan bidang yx, dan mempunyai arah ke sumbu z ,

maka dapat dituliskan

∫∫ ∂∂

=∂∂

=Φ )..ˆ.(. dydxk

tBSd

tB

dtd B

rr

r

∫ ∂∂

=Φ dydx

tB

dtd zB . . (2.28)


19

Persamaan (2.27) dan (2.28) disubstitusikan ke persamaan (2.26), didapatkan

tB

yE

xE zxy

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂. (2.29)

Dengan melihat persamaan (2.29) yang berlaku untuk segi empat siku-siku yang

sejajar bidang yx, , maka dapat diperoleh juga persamaan yang berlaku untuk segi

empat siku-siku yang sejajar dengan bidang zy, ,

t

Bz

Ey

E xyz

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂ (2.30)

dan untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang xz, ,

t

Bx

Ez

E yzx

∂

∂−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

. (2.31)

Persamaan (2.29) bersesuaian dengan komponen z , sehingga dikalikan dengan

komponen vektor k . Persamaan (2.30) dikalikan dengan komponen vektor dan

(2.31) dikalikan dengan komponen vektor . Kemudian ketiga persamaan ini

ditambahkan sehingga didapatkan,

ˆ i

j

tBk

tB

jt

Bi

yE

xE

kx

Ez

Ej

zE

yEi zyxxyzxyz

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂ ˆˆˆˆˆˆ

curl Er

= tB∂∂

−r

atau

tBEx∂∂

−=∇r

rr. (2.32)


20

2.2 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell dalam medium dapat dirumuskan berdasarkan

persamaan (2.7), (2.13), (2.23) dan (2.32) yang bila dirangkum kembali menjadi

(Efendi, R, 2007)

(1) 0ε ∇ .r

Er

= ρ (2.33)

(2) ∇v

. Br

= 0 (2.34)

(3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=∇tEJBxr

rrr00 εμ (2.35)

(4) tBEx∂∂

−=∇r

rr. (2.36)

Dalam ruang hampa, rapat muatan ρ dan rapat arus bernilai nol,

sehingga persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa adalah

Jr

(1) ∇ .r

Er

= 0 (2.37)

(2) ∇v

. Br

= 0 (2.38)

(3) tEBx∂∂

=∇r

rr00εμ (2.39)

(4) tBEx∂∂

−=∇r

rr. (2.40)

2.3 Teori Klasik Optik Nonlinear

Optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah

laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium nonlinear merupakan medium

dimana vektor polarisasi Pr

memberikan respon nonlinear terhadap medan listrik

gelombang elektromagnetik Er

.


21

2.3.1 Susceptibilitas Nonlinear

Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam

bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi listrik Pr

diasumsikan

mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan listrik gelombang

elektromagnetik Er

, ditulisakan seperti persamaan (1.1) (He and Liu, 1999)

EPrr

χε 0=

Dengan 0ε permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan

linear antara Pr

dan Er

pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960,

ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen.

Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara Pr

dan

Er

tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik.

Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya

generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut

hubungan antara Pr

dan Er

dituliskan seperti pada persamaan (1.2)

.....][ )3()2()1(0 +++= EEEEEEP

rrrrrrrχχχε

dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear),

orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.

)1(χ )2(χ )3(χ

Pada abad terakhir, teori gelombang ganda dapat dikembangkan dengan

teori klasik murni dan optik dijelaskan sama seperti optik linear. Hukum klasik

optik lebih banyak mempelajari intensitas cahaya dan susceptibilitas nonlinear.


22

2.3.2 Model Atom Klasik Nonlinear

2.3.2.1 Gas Elektron Bebas

Gerak elektron tunggal pada sebuah plasma dibawah pengaruh

gelombang cahaya terpolarisasi, (Bloembergen,1996)

)exp( tiikzcE

cE

B xy ω−== , (2.41)

dimana . 1−= ck ω

Persamaan gerak untuk elektron tunggal pada plasma,

τ/1 xmBzeceExm yx &&&& −−= − (2.42)

ym && = ym&− / (2.43) τ

zm && = 1−ec x& yB zm&− /τ . (2.44)

Waktu tumbukan τ mendeskripsikan redaman gerak statis. Bila

)exp(0 tiikzxx ω−= , maka,

xitiikzxidtdxx ωωω −=−−== )exp()( 0& (2.45)

xtiikzxiidt

xdx 202

2

)exp())(( ωωωω −=−−−==&& (2.46)

Sehingga substitusi persamaan (2.45) dan (2.46) ke dalam persamaan (2.42)

menghasilkan pendekatan linear pertama,

xm 2ω− = )exp(2 tiikzeE ω− 1−− ec z& yB )( xim ω−− / τ (2.47)

Jika )2exp(0 tiikzzz ω−= diekspansikan dengan menganggap )2( tiikz ω− sangat

kecil, maka dalam pendekatan linear nilai 0zz = (konstanta), sehingga persamaan

(2.47) menjadi


23

)(ωx = )(

)exp(12 −+

−−ωτω

ωim

tiikzeE . (2.48)

Berdasarkan persamaan (2.48), nilai dari )(ωx& ,

)(ωx& =)(

)exp()(

))exp()(()(1212 −− +

−=

+−−−

=ωτω

ωωωτω

ωωωim

tiikzeEiim

tiikzeEidt

dx (2.49)

Jika nilai )2exp(0 tiikzzz ω−= , maka

zitiikzzidtdzz ωωω 2)exp()2( 0 −=−−==& (2.50)

ztiikzziidt

zdz 202

2

4)exp()2)(2( ωωωω −=−−−==&& (2.51)

Jika persamaan (2.49), (2.50) dan (2.51) disubstitusikan ke persamaan (2.44),

maka pendekatan nonlinear orde terendahnya,

)2( ωz = ))(24(

)22exp(1212

22

−− ++−−

ωτωτωω

iicmtiikzEie . (2.52)

Momen dipol linear ( q muatan, d jarak). Karena dqp .= eq = dan )(ωxd = ,

momen dipol dapat dituliskan menjadi )(ωex

Dalam permasalahan ini lebih difokuskan pada polarisasi rata-rata dalam

volume kecil dan indeks bias plasma. Jika densitas rata-rata elektron pada plasma

adalah per , maka besar polarisasi, 0N 2cm

)()()()( 0 ωωωχω exNEP xx == . (2.53)

Persamaan (2.48) dan (2.53) mempunyai penyelesaian susceptibilitas )(ωχ ,

)()( 12

20

−+−

=ωτω

ωχimeN

. (2.54)


24

Jika frekuensi optik 1<<ωτ , maka 2

20)(ω

ωχm

eN−= , sehingga nilai susceptibilitas

plasma,

220 /4)(4)1( ωπωπχε ω meN−==− . (2.55)

Polarisasi nonlinear untuk frekuensi harmonik kedua diberikan oleh persamaan,

)2()()2()2( 0 ωωωχω ezNEP xz == (2.56)

Seperti langkah sebelumnya, persamaan (2.52) dan (2.56) mempunyai

penyelesaian susceptibilitas,

))(24()exp(

)2( 1212

30

−− ++−−

=ωτωτωω

ωχiicm

tiikzEieN. (2.57)

Jika frekuensi optik 1<<ωτ , maka

cmtiikzEieN

32

30

4)exp(

)2(ω

ωωχ

−−= (2.58)

sehingga nilai susceptibilitas plasma,

cmtiikzEieN

32

30

2)exp(

)2(4)1(ω

ωπωπχε ω

−−==− . (2.59)

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik

Untuk menghitung polarisasi linear dari sebuah medium, Drude dan

Lorentz mendeskripsikan elektron sebagai partikel harmonik. Jika ditinjau gerak

satu dimensi osilator harmonik dalam medan listrik dengan frekuensi 1ω±

dan 2ω± , maka persamaan geraknya adalah

))exp()exp((/ 22211122

0 tizikEtizikEmevxxxx ωωω −+−=++Γ+ &&& .(2.60)


25

Jika digunakan pendekatan linear, maka persamaan (2.60) dapat diperoleh

menjadi

)exp(/ 11120 tizikmEexxx ωω −=+Γ+ &&& , (2.61)

Jika )exp(0 tiikzxx ω−= , maka

xitizikxidtdxx 11101 )exp()( ωωω −=−−==& (2.62)

xtizikxiidt

xdx 21110112

2

)exp())(( ωωωω −=−−−==&& , (2.63)

Sehingga persamaan (2.61) dengan substitusi persamaan (2.62) dan (2.63)

menghasilkan

)(

)exp()( 201

21

1111 ωωω

ωω

+Γ−−−

=im

tizikeEx (2.64)

Dalam pendekatan linear orde terendah, terdapat bentuk frekuensi harmonik

kedua 12ω , 22ω , bentuk pada frekuensi nol menjelaskan penyebaran sinar oleh

nonlinear kuadrat ,dan jumlah antara 2 gelombang sinar adalah 2vx 21 ωω + ,

sedang bedanya 21 ωω − . Untuk memperoleh nilai )2( 1ωχ digunakan

)2exp( 110 tizikxx ω−= , sehingga

xitizikxix 11101 2)2exp( ωωω −=−−=& (2.65)

xtizikxiix 2111011 4)2exp()2)(2( ωωωω −=−−−=&& (2.66)

Jika persamaan (2.65) dan (2.66) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas

kiri mengandung faktor ω2 , sedangkan ruas kanan mengandung faktor ω ,

sebagai konsekuensinya, ruas kanan dianggap nol. Sehingga persamaan (2.61)

dengan menggunakan persamaan (2.65) dan (2.66) dapat dituliskan menjadi


26

0220 =++Γ+ vxxxx ω&&&

)24()()22exp()2( 2

0121

2201

21

112

12

1 ωωωωωωω

ω+Γ−−+Γ−−

−−=

iimtizikEvex (2.67)

Jika dituliskan , maka persamaan (2.67)

menjadi

20

2)()( ωωωωω +Γ−−=−= ∗ iDD

)2()(

)22exp()/()2(

112

112

122

1 ωω

ωω

DD

tizikvEmex

−−= . (2.68)

Sedangkan untuk nilai )( 21 ωω −x , digunakan ))()(exp( 21210 tizkkixx ωω −−−=

sehingga

xitizkkixix )())()(exp()( 212121021 ωωωωωω −−=−−−−−=& (2.69)

x

tizkkixiix2

21

212102121

)(

))()(exp()().(

ωω

ωωωωωω

−−=

−−−−−−−=&& (2.70)

Jika persamaan (2.69) dan (2.70) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas

kanan tidak sama dengan ruas kiri sebab pada ruas kanan tidak ada komponen

yang mengandung faktor frekuensi )( 21 ωω − . Sebagai konsekuensinya, ruas

kanan dapat dianggap bernilai nol, sehingga persamaan menghasilkan

))()()()(())()(exp()( 2

0212

21202

22

201

21

2212121

2

21 ωωωωωωωωωωωωω

ωω+−Γ−−−+Γ+−+Γ−−

−−−−=−

∗

iiimtizkkiEEevx (2.71)

Jika dituliskan , maka persamaan (2.71) dapat

dituliskan menjadi

20

2)()( ωωωωω +Γ−−=−= ∗ iDD

)()()(

])()(exp[)/()(

212*

1

2121*21

22

21 ωωωω

ωωωω

−

−−−−=−

DDD

tizkkiEvEmex . (2.72)

Persamaan untuk polarisasi nonlinear mengikuti (Bloembergen, 1996)


27

)2()(),,2()2( 02 ωωωωωχω exNEP xxxx

NLx == . (2.73)

Dari persamaan (2.68) dengan mengubah nilai 1ω menjadi ω kemudian

disubstitusikan ke persamaan (2.73) diperoleh nilai susceptibilitas nonlinear,

)2()()22exp()/(

),,2( 2

230

ωωω

ωωωχDD

tiikzvmeNxxx

−−= (2.74)

dengan xxx tensor susceptibilitas. Pernyataan yang sama dapat diturunkan untuk

susceptibilitas ),,( 2121 ωωωωχ −−xxx . Dispersi dari susceptibilitas nonlinear orde

terendah dideskripsikan dengan frekuensi tiga. Dispersi ditambah mendekati

resonansi dominator satu. Jika sebagai contoh beda frekuensi sama dengan

frekuensi resonansi , Γ=− 021 )( ωωω iD untuk 021 ωωω =− , maka

susceptibilitas beda frekuensi jauh lebih besar dibandingkan lainnya.

Ketika 21 ωω − sama atau mendekati frekuensi resonansi 0ω , digunakan

komponen fourier (2.72) dalam penghitungan nonlinear orde tertinggi selanjutnya.

bentuk linear menghasilkan komponen 2vx 2121 2,2 ωωωω −− , dalam

penambahan ke bentuk frekuensi pertama 1ω dan 2ω− . Sebagai contoh, untuk

mendapatkan nilai ( menunjukkan sistem nonlinear), diselesaikan

dengan langkah sebagai berikut,

*2 )(ωNLx NL

)()()( 1212*

2 ωωωωω −−=−= NLNLNL xxx (2.75)

dari persamaan (2.64) diubah ke dalam bentuk

)()exp(

)()exp()(

1

111201

21

1111 ω

ωωωωω

ω ∗

∗∗ +−=

+Γ+−+−

=−mD

tizikeEim

tizikeEx (2.76)

dan persamaan (2.60) mengikuti,


28

0)()( 12120 =−−++Γ+ ωωωω xvxxxx &&& , (2.77)

jika )exp( 220 tizikxx ω+−= , maka

xix 2ω=& dan (2.78) xx 22ω−=&&

sehingga substitusi persamaan (2.72), (2.76) dan (2.78) ke persamaan (2.77)

menghasilkan

21

*2

212

12

2*

233

2*

2)()())((

)/()()( EEDDD

vmexx NLNL

ωωωωωω

−=−=

atau

)()()(

)/()(

21*2

122

2340

1122ωωωω

ωωωωχ−

=−+=DDD

vmeNxxxx . (2.79)

2.4 Operator Del ∇ r

Operator del ∇ didefinisikan sebagai vektor operator diferensial parsial.

Dalam koordinat kartesian, operator ∇

r

r dianggap sebagai sebuah vektor :

∇r

=z

ky

jx

i∂∂

+∂∂

+∂∂ ˆˆˆ (2.80)

dimana dan menyatakan vektor satuan sepanjang sumbu ji ˆ,ˆ k yx, dan z .

Jika diberikan sembarang medan skalar φ pada operator , maka

dapat dibentuk sebuah medan vektor yang dinamakan gradien dari

del ∇r

φ (grad φ ),

ditulis sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

grad φ ≡ ∇rφ =

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂ φφφ ˆˆˆ . (2.81)


29

Jika diberikan sebuah medan vektor kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

r, maka perkalian titik

dari dan ∇r

Ar

menghasilkan medan skalar yang dinamakan divergensi dari Ar

(div Ar

), dituliskan sebagai

div Ar≡ ∇

r. Ar

= z

Ay

AxA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

. (2.82)

Perkalian silang dari ∇r

dan Ar

menghasilkan medan vektor yang

dinamakan curl dari Ar

(curl Ar

), dituliskan sebagai

curl Ar≡ = Ax

rr∇ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

yA

xA

kxA

zA

jz

AyAi xyzxyz ˆˆˆ . (2.83)

Operator lain yang sering didapati adalah 2∇r

, ditulis sebagai

2

2

2

2

2

22 .

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇∇=∇rrr

. (2.84)

Jika persamaan ini digunakan pada sebuah medan skalar φ , maka diperoleh

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇φφφφ

r. (2.85)

Untuk sebuah medan vektor Ar

, operasi Arr

2∇ adalah

.ˆ

ˆˆ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

z

yx

Azyx

k

Azyx

jAzyx

iA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rr

(2.86)

Untuk perkalian silang Axxrrr

∇∇ atau curl curl Ar

nilainya akan sama

dengan +∇− Arr

2 grad div Ar

, dapat dituliskan sebagai

curl curl Ar

= +∇− Arr

2 grad div Ar

. (2.87)


30

2.5 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih

turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Orde dari persamaan diferensial

adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan.

(Waluya, 2006)

2.5.1 Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu

Bentuk persamaan linear orde satu, (Ayres, 1986)

QPydtdy

=+ (2.88)

dimana P dan Q adalah fungsi t atau konstanta.

Karena QePydtdyeyPee

dtdyye

dtd PtPtptptPt =+=+= )()(

maka ∫= dtQeye PtPt

∫−= dtQeey PtPt (2.89)

2.5.2 Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum persamaan diferensial linear orde dua,

QyPdtdyP

dtydP =++ 212

2

0 (2.90)

dimana dan adalah fungsi atau konstanta. 210 ,,0 PPP ≠ Q t


31

2.5.2.1 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien-Koefisien

Konstan

Dari persamaan (2.90), jika 0=Q maka disebut dengan persamaan linear

homogen yaitu persamaan linear yang suku-sukunya berderajat sama dalam y

dan demikian juga turunan-turunannya. Bentuk persamaan linear homogen

dengan koefisien-koefisien konstan, (Ayres, 1986)

0212

2

0 =++ yPdtdyP

dtydP (2.91)

dimana adalah konstanta. 210 ,,0 PPP ≠

Untuk memudahkan penyelesaian, notasi dtd diganti dengan operator .

Sehingga persamaan (2.91) menjadi

D

0

0

212

0 =++ yPDyPyDP

atau

. (2.92) )( 212

0 =++ yPDPDP

Sehingga nilai akan sama dengan nol. Dengan mencari nilai

faktorisasinya diperoleh

)( 212

0 PDPDP ++

0))(( 21 =−− ymDmD (2.93)

21 ,mm adalah akar-akar karakteristik. Jika 21 mm ≠ maka,

(2.94) tmtm eCeCy i 221 +=

dimana dan adalah nilai konstanta. 1C 2C


32

2.5.2.2 Persamaan Linear dengan Koefisien-koefisien Konstan

Berdasar persamaan (2.90), dengan mengubah dtd menjadi , maka D

QyPDPDP =++ )( 212

0

Dengan memfaktorkan nilai , diperoleh )( 212

0 PDPDP ++

QmDmD

y)(

1)(

1

21 −−= (2.95)

umD

y)(

1

1−= . (2.96)

Dengan QmD

u)(

1

2−= , dapat diubah menjadi Qum

dtdu

=− 2 dan berdasar

persamaan (2.89), maka persamaan dapat diselesaikan menjadi

∫ −= dtQeeu tmtm 22 . (2.97)

Dari persamaan (2.96), umD

y)(

1

1−= sehingga uym

dtdy

=− 1 , dengan

penyelesaian persamaan diferensial orde satu seperti persamaan (2.89), diperoleh

∫ −= dtueey tmtm 11 . (2.98)

Dengan substitusi persamaan (2.97) ke pesamaan (2.98), diperoleh

∫ ∫ −−= dtdtQeeey tmtmmtm 2121 )( . (2.99)

Jika diselesaikan, persamaan (2.99) menjadi

][21

2121

mmQeCeCy tmtm ++= . (2.100)


BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini adalah penelitian studi

pustaka.

3.2 Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam penulisan skripsi ini adalah buku-buku

yang berhubungan dengan persamaan Maxwell yang terdapat di UPT

Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3 Langkah-Langkah Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai

berikut :

1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan Maxwell yang dapat

diturunkan dari hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet,

hukum Ampere dan hukum induksi faraday.

2. Menelusuri bahan-bahan mengenai teori optik nonlinear yang ditinjau

secara klasik.

3. Mempelajari persamaan diferensial orde dua.

4. Menguraikan persamaan Maxwell sehingga mendapatkan persamaan

gelombang baik dalam ruang hampa maupun dalam medium.

33


34

5. Membuat grafik dari persamaan gelombang yang diperoleh baik dalam

ruang hampa maupun dalam medium menggunakan program Maple 9.

6. Menyelesaikan persamaan gerak dengan menggunakan persamaan

diferensial orde dua sehingga didapatkan persamaan yang nonlinear.

7. Membuat grafik dari persamaan nonlinear yang didapat dengan

menggunakan program Maple 9.

8. Mengamati dan membandingkan grafik-grafik yang diperoleh.

9. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah dilakukan.


BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Penurunan Persamaan Maxwell

4.1.1 Persamaan Gelombang

Dari keempat persamaan Maxwell baik dalam ruang hampa maupun dalam

medium yang diperoleh pada bab II, akan digunakan untuk memperoleh persamaan

gelombang elektromagnetik dalam hampa dan dalam medium.

4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Ruang Hampa

Keempat persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa,

(1) .∇r

Er

= 0 (4.1)

(2) .∇r

Br

= 0 (4.2)

(3) tEBx∂∂

=∇r

rr00εμ (4.3)

(4) tBEx∂∂

−=∇r

rr (4.4)

Untuk mendapatkan persamaan gelombang elektromagnet dalam ruang hampa

diambil curl dari curl Er

, dimana sesuai dengan persamaan (2.87) adalah

curl curl Er

= +∇− Err

2 grad div Er

)( Exxrrr

∇∇ = +∇− Err

2 ).( Errr

∇∇

berdasarkan persamaan (4.1) nilai Err

.∇ adalah nol, sehingga persamaan menjadi

35


36

)( Exxrrr

∇∇ = Err

2∇−

Sesuai dengan persamaan (2.84), bahwa 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

, penyelesaian persamaan

menjadi

Exxrrr

∇∇ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

zE

yE

xE

rrr

(4.5)

Hasil perkalian ini sendiri mengikuti )( Exxrrr

∇∇

)()(tBxExx∂∂

−∇=∇∇r

rrrr

)()( xBt

Exx ∇∂∂

−=∇∇rrr

t

EExx 2

2

00)(∂∂

−=∇∇r

rrrεμ (4.6)

dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke persamaan (4.6) diperoleh

2

2

002

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

rrrr

εμ (4.7)

Nilai vektor medan listrik . Jika dua komponen kEjEiEE zyxˆˆˆ ++=

rEr

bernilai nol yaitu

, sedangkan , maka persamaan (4.7) menjadi 0== zx EE 0≠yE

2

2

002

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE yyyy

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂εμ (4.8)

dengan menganggap bahwa adalah fungsi-fungsi dari yE x dan t saja, persamaan (4.8)

menjadi

2

2

002

2

tE

xE yy

∂

∂=

∂

∂εμ (4.9)


37

Jika dianggap bahwa )sin( tkxEE my ω−= , maka dari persamaan (4.9), dihasilkan relasi

. Karena , maka untuk 200 )/( ωεμ k= 2

00 /1 c=εμ cv = dihasilkan relasi kc=ω

sehingga bentuk

)sin( tkxEE my ω−= (4.10)

dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.9).

Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.10), maka

diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.1.

yE

Gambar 4.1 Grafik hubungan dengan t dari persamaan (4.10) yE

dengan 1=mE , 1=k , 30=ω .

Untuk mencari persamaan gelombang medan magnet Br

, digunakan langkah yang

sama. Dengan mengambil curl dari curl Br

,


38

curl curl Br

= +∇− Brr

2 grad div Br

)( Bxxrrr

∇∇ = +∇− Brr

2 ).( Brrr

∇∇

)( Bxxrrr

∇∇ = .2 Brr

∇−

Nilai 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

, sehingga penyelesaian persamaan menjadi

)( Bxxrrr

∇∇ .2

2

2

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=zB

yB

xB

rrr

(4.11)

Nilai perkalian untuk ini sendiri mengikuti )( Bxxrrr

∇∇

)()( 00 tExBxx∂∂

∇=∇∇r

rrrrεμ

)(00 Ext

r∇

∂∂

= εμ

2

2

00 tB

∂∂

−=r

εμ (4.12)

dengan mensubstitusikan persamaan (4.11) ke persamaan (4.12), diperoleh

.2

2

002

2

2

2

2

2

tB

zB

yB

xB

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

rrrr

εμ (4.13)

Nilai vektor medan listrik . Jika dua komponen kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

rBr

bernilai nol yaitu

, sedangkan , maka persamaan (4.13) menjadi 0== yx BB 0≠zB

2

2

002

2

2

2

2

2

tB

zB

yB

xB zzzz

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

εμ (4.14)

dengan menganggap bahwa adalah fungsi-fungsi dari zB x dan saja, maka persamaan

(4.14) menjadi

t


39

.2

2

002

2

tB

xB zz

∂∂

=∂∂

εμ (4.15)

Jika dianggap bahwa )sin( tkxBB mz ω−= , maka dari persamaan (4.15) dihasilkan relasi

. Karena , maka untuk 200 )/( ωεμ k= 2

00 /1 c=εμ cv = dihasilkan relasi kc=ω

sehingga bentuk

)sin( tkxBB mz ω−= (4.16)

dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.15).



zB

Gambar 4.2 Grafik hubungan dengan t dari persamaan (4.16), zB

dengan 1=mB , 1=k , 30=ω .


40

4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Medium

Empat persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial untuk medan listrik dan

medan magnetik yang berubah terhadap waktu dalam sebuah medium:

(1) 0ε ∇ .r

Er

= ρ (4.17)

(2) .∇r

Br

= 0 (4.18)

(3) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=∇tEJBxr

rrr00 εμ (4.19)

(4) tBEx∂∂

−=∇r

rr (4.20)

Nilai curl curl E , berdasarkan persamaan (2.87) mengikuti

+∇−=∇∇ EExx 2)(rrrr

grad div Er

).(2 EErrrrr

∇∇+∇−=

dengan mensubstitusikan persamaan (4.17) ke persamaan ini, diperoleh

)( Exxrrr

∇∇ 02 /ερ∇+∇−=

rrrE . (4.21)

Nilai perkalian curl curl E ini sendiri adalah

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∇=∇∇tBxExxr

rrrr)( )( Bx

trr

∇∂∂

−=

.00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=tEJ

t

rr

εμ

Jika adalah , dengan Jr

Er

σ σ adalah konduktivitas bahan, maka

.)( 2

2

000 tE

tEExx

∂∂

−∂∂

−=∇∇rr

rrrεμσμ (4.22)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.21) ke persamaan (4.22), maka diperoleh


41

./ 2

2

00002

tE

tEE

∂∂

−∂∂

−=∇+∇−rr

rrrεμσμερ (4.23)

Nilai Jika .ˆˆˆzyx EkEjEiE ++=

r0== zx EE , 0≠yE , dan adalah fungsi dari yE x dan

saja, maka persamaan (4.23) menjadi t

.)/( 2

2

00002

2

tE

tE

xxE yyy

∂

∂−

∂

∂−=

∂∂

+∂

∂− εμσμερ

(4.24)

Karena 0/ερ adalah sebuah konstanta maka turunan 0/ερ terhadap x bernilai nol,

sehingga persamaan (4.24) menjadi

.2

2

0002

2

tE

tE

xE yyy

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂εμσμ (4.25)

Dari persamaan (4.25) terlihat bahwa merupakan fungsi yE x dan t . Persamaan (4.25)

dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel yaitu dengan menuliskan

).()(),( tTxXtxE y = (4.26)

sehingga diperoleh,

2

2

2

2

xXT

xEy

∂∂

=∂

∂

, 2

2

2

2

tTX

tEy

∂∂

=∂

∂ dan

tTX

tEy

∂∂

=∂

∂ (4.27)

substitusi persamaan (4.27) ke persamaan (4.25), menghasilkan

tTX

tTX

xXT

∂∂

+∂∂

=∂∂ σμεμ 02

2

002

2

)(1102

2

002

2

tT

tT

TxX

X ∂∂

+∂∂

=∂∂ σμεμ (4.28)


42

Dari persamaan (4.28), terlihat bahwa ruas kiri hanya fungsi x dan ruas kanan hanya

fungsi t . Oleh sebab itu, ruas kiri dan ruas kanan persamaan (4.28) merupakan konstanta.

Jika konstanta tersebut adalah , maka 2k

22

21 kxX

X=

∂∂

atau

.022

2

=−∂∂ Xk

xX (4.29)

Berdasarkan persamaan (2.94), persamaan (4.29) menghasilkan

kxkx BeAexX −+=)( (4.30)

dengan A dan konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika digunakan syarat batas

, maka diperoleh

B

0)0( =X AB −= , sehingga persamaan (4.30) menjadi

)()( kxkx eeAxX −−= . (4.31)

Dari persamaan (4.28), ruas kanan mempunyai bentuk

TktT

tT 2

02

2

00 )( =∂∂

+∂∂ σμεμ (4.32)

Dengan menggunakan metode operator t

D∂∂

= , persamaan (4.32) dapat dituliskan

menjadi

0)( 20

200 =−+ TkDD σμεμ (4.33)

Dari persamaan (4.33) terlihat bahwa , sebab . Akar-

akar dari persamaan (4.33) adalah

0)( 20

200 =−+ kDD σμεμ 0≠T


43

00

200

2200

1 24

εμεμσμσμ k

D++−

=

.2

4

00

200

2200

2 εμεμσμσμ k

D+−−

=

Sesuai dengan persamaan (2.94), persamaan (4.33) mempunyai penyelesaian berbentuk

.)( 21 tDtD ZeYetT += (4.34)

dengan dan Y Z konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika diberikan syarat batas

, maka diperoleh 0)0( =T YZ −= , sehingga persamaan (4.34) menjadi

)()( 21 tDtD eeYtT −=

atau

).()()

24

()2

4(

00

200

2200

00

200

2200 t

kt

k

eeYtT εμεμσμσμ

εμεμσμσμ +−−++−

−= (4.35)

Dari persamaan (4.31) dan (4.35), persamaan (4.26) menghasilkan,

).)((),()

24

()2

4(

00

200

2200

00

200

2200 t

kt

kkxkx

y eeeeAYtxE εμεμσμσμ


− −−= (4.36)

Jika dituliskan , maka persamaan (4.36) menjadi AYE y =0

).)((),()

24

()2

4(

000

200

2200

00

200

2200 t

kt

kkxkx

yy eeeeEtxE εμεμσμσμ


− −−= (4.37)

Grafik yang dapat dibuat dari persamaan (4.37) dengan menggunakan program Maple 9

ditunjukkan pada Gambar 4.3.


44

yE

Gambar 4.3 Grafik 3 dimensi fungsi yE x dan t dari persamaan (4.37) ,

dengan , H/m, F/m, 10 =yE 60 10.26,1 −=μ 12

0 10.85,8 −=ε

1=σ ohm/m, , 45=k

Untuk memperoleh persamaan gelombang Br

digunakan cara yang sama dengan

cara untuk mendapatkan persamaan (4.37). Dengan mengambil curl dari curl Br

,

berdasarkan persamaan (2.87) mengikuti

+∇−=∇∇ BBxxrrrrr

2)( grad div Br

.2 Brr

∇−= (4.38)

Nilai perkalian ini sendiri adalah )( Bxxrrr

∇∇


45

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∇=∇∇ )()( 00 tEJxBxxr

rrrrrεμ

).()( 000 Ext

Jxrrrr

∇∂∂

+∇= εμμ

(4.39)

Jika nilai rapat arus adalah , dengan Jr

Er

σ σ konduktivitas, maka persamaan (4.39)

menjadi

)()()( 000 Ext

ExBxxrrrrrrr

∇∂∂

+∇=∇∇ εμσμ

)()( 000 t

Btt

B∂∂

−∂∂

+∂∂

−=rr

εμσμ

.02

2

00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=tB

tB

rr

σμεμ (4.40)

Dari persamaan (4.39) dan (4.40), diperoleh

.02

2

002

tB

tBB

∂∂

+∂∂

=∇−rr

rrσμεμ (4.41)

Nilai . Jika zyx BkBjBiB ˆˆˆ ++=r

0== yx BB , 0≠zB , dan adalah fungsi dari zB x dan t

saja, maka persamaan (4.41) menjadi

.02

2

002

2

tB

tB

xB zzz

∂∂

+∂∂

=∂∂

σμεμ (4.42)

Persamaan (4.42) memiliki tipe yang sama dengan persamaan (4.25), sehingga

penyelesaian persamaan (4.42) mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan (4.37),

dengan mengubah menjadi didapatkan yE zB

))((),()

24

()2

4(

000

200

2200

00

200

2200 t

kt

kkxkx

yz eeeeBtxB εμεμσμσμ


− −−= . (4.43)


46



zB

Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi sebagai fungsi dari zB x dan t dari

persamaan (4.43), dengan 10 =yB , H/m, F/m,

60 10.26,1 −=μ

120 10.85,8 −=ε 1=σ ohm/m, .45=k

4.1.2 Persamaan Gerak

Persamaan Maxwell yang akan dijabarkan adalah persamaan Maxwell dalam

ruang hampa. Perlu ditinjau keempat persamaan Maxwell, yaitu persamaan (4.1), (4.2),

(4.3), dan (4.4).


47

Jika nilai ∇=r

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂ ˆˆˆ dan arah perambatan sinar ke arah sumbu x

dengan komponen medan listrik Er

ke arah sumbu z dan komponen medan magnet Br

ke

arah sumbu , maka penjabaran untuk persamaan (4.20) , y

Exrr

∇ =

zyx EEEzyx

kji

rrr ∂∂

∂∂

∂∂

ˆˆˆ

xEr

, dan masing-masing adalah medan listrik ke arah sumbu yEr

zEr

x , dan y z . Karena

medan listrik Er

hanya mengarah ke sumbu z saja, maka besarnya xEr

dan yEr

bernilai 0,

sehingga

Exrr

∇ =

Ezyx

kji

r00

ˆˆˆ

∂∂

∂∂

∂∂

= .ˆˆxEj

yEi

∂∂

−∂∂

rr

(4.44)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.44) ke persamaan (4.20) maka didapatkan

tB∂∂

−v

= xEj

yEi

∂∂

−∂∂

rr

ˆˆ (4.45)

Jika diambil hanya ke arah sumbu , maka dari persamaan (4.45) diperoleh y

tB∂∂v

= xE∂∂r

.0=∂∂

−∂∂

xE

tB

rv

(4.46)


48

Persamaan (4.3) mengikuti Bxrr

∇ = tE∂∂r

00.με , sedangkan perkalian silang antara

vektor operator del ∇ dan vektor medan magnet r

Br

dalam koordinat kartesian ini sendiri

adalah

Bxrr

∇ =

zyx BBBzyx

kji

rrr ∂∂

∂∂

∂∂

ˆˆˆ

xBr

, dan masing-masing adalah medan magnet ke arah sumbu yBr

zBr

x , dan y z .

Karena medan lstrik Br

hanya mengarah ke sumbu saja, maka besarnya y xBr

dan zBr

bernilai 0, sehingga

Bxrr

∇ =

00

ˆˆˆ

Bzyx

kji

r ∂∂

∂∂

∂∂

= )0(ˆ)00(ˆ)0(ˆ −∂∂

+−+∂∂

−xBkj

zBi

rr

= .ˆˆ kxBi

zB

∂∂

+∂∂

−rr

(4.47)

Persamaan (4.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.47), sehingga

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+tEJr

r00 εμ = .ˆˆ k

xBi

zB

∂∂

+∂∂

−rr

(4.48)

Jika diambil hanya kearah sumbu z , maka persamaan (4.48) menjadi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+tEJr

r00 εμ =

xB∂∂r

. (4.49)


49

Jika rapat arus mempunyai persamaan Jr

dtrdNqJrr

= , maka persamaan (4.49) menjadi

xBc

dtrdNq

tE

∂∂

=+∂∂

rrr20

0

..ε

(4.50)

dengan, muatan elektronik, jumlah elektron per satuan volume, kecepatan

cahaya,

q N 0c

0ε permitivitas ruang hampa. Untuk melengkapi sistem, dibutuhkan hubungan

antara r dengan E . Elektron yang dikendalikan oleh medan Er

dan terjebak di dalam

sebuah sumur potensial akan menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara

r dengan Er

dapat dituliskan sebagai

qErUdt

rdm =′+ )(2

2

(4.51)

dengan, massa, m r perpindahan, t waktu, )(rU ′ turunan dari sumur potensial

terhadap koordinat r .

diberikan nilai = )(rU 22

21 rmω dan koordinat ( r ) juga fungsi waktu ( ) maka t

)(rU ′ = drdU = . (4.52) rm 2ω

Jika persamaan (4.52) disubstitusikan ke persamaan (4.51) menghasilkan

mqEr

dtrd

=+ 22

2

ω

atau

mqErD =+ )( 22 ω

.))((mqEriDiD =−+ ωω (4.53)

Penyelesaian dari persamaan (4.53) sesuai dengan persamaan (2.100) yaitu


50

mqEeCeCr titi

221 ωωω ++= − (4.54)

dengan dan adalah konstanta. 1C 2C

Untuk melihat efek kualitatif dari persamaan (4.54), dapat dilihat pada Gambar

4.5 .

r

Gambar 4.5 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.54), dengan , 11 =C

, C, 12 =C 1=q 1=E N/C, 1=m kg, 45=ω .

Jika pada persamaan (4.51) ditambahkan redaman fungsi waktu , maka

persamaan menjadi

)(tU ′

qEtUrUdt

rdm =′+′+ )()(2

2

(4.55)

dengan dtdr

drdU

dtdUtU ==′ )( , dan substitusi persamaan (4.52) diperoleh

)(tU ′ = .2

dtdrrmω (4.56)


51

Persamaan (4.52) dan (4.56) disubstitusikan ke persamaan (4.55) sehingga diperoleh

.222

2

mqE

dtdrr

dtrd

=++ ωω

(4.57)

Dengan menggunakan metode operator dtdD = , dan dengan menganggap bahwa

, persamaan (4.57) dapat dituliskan menjadi βω =r2 αω =2

mqErDD =++ )( 2 αβ (4.58)

Akar-akar dari persamaan , )( 2 αβ ++ DD

aacbbD

242

12−±−

=

242 αββ −±−

=

)4(

21 2 αββ −±−=

)4(21 2

1 αββ −+−=D dan ).4(21 2

2 αββ −−−=D (4.59)

Hasil penyelesaian diferensial (4.58) sesuai dengan persamaan (2.100) dan dengan

substitusi persamaan (4.59) menghasilkan

]..

[)4(

21

2

)4(21

1

22

mqEeCeCr

tt

ααββαββ

++=−−−−+−

(4.60)

Untuk melihat efek kualitatif dari persamaan (4.60), dapat dilihat pada Gambar

2.6, dengan , , 11 =C 12 =C 1=β , 1=α , 1=q C, 1=E N/C, 1=m kg,


52

r

Gambar 4.6 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.60), dengan C ,11 = 12 =C , 1=β , 1=α , 1=q C, 1=E N/C, dan kg, 1=m

Untuk kasus gaya pemaksa dari luar berbentuk periodik, yang ditulis sebagai

.sin)()(. 2

2

tqEtUrUdt

rdm ω=′+′+ (4.61)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.52) dan (4.56) ke persamaan (4.61),

menghasilkan

.sin222

2

tqEdtdrrmrm

dtrdm ωωω =++

(4.62)

Dengan operator dtdD = , dan dengan menganggap bahwa , maka

persamaan (4.62) menjadi

βω =r2 αω =2

mtqErDD ωαβ sin)( 2 =++

atau

mtqErDDDD ωsin))(( 21 =−− . (4.63)


53

Hasil penyelesaian differensial persamaan (4.63) sesuai dengan persamaan (2.99) yaitu

.)(sin 2)( 2121 dtem

tqEeer tDtDDtD ∫ ∫ −−=ω

(4.64)

Mengingat nilai ieebx

ibxibx

2)sin(

−−= , maka )sin( tω dapat diubah menjadi

iee titi

2

ωω −−

sehingga persamaan (4.64) menjadi

2)( )()2

( 2121 dteiee

mqEeer tD

tititDDtD ∫ ∫ −

−− −

=ωω

2)()()( )(2

22121 dteeim

qEee tDitDitDDtD ∫ ∫ −−−− −= ωω

))(11(2

)(

2

)(

2

)( 22121 dtAeDi

eDi

eim

qEe tDitDitDDtD ++

+−

= −−−−∫ ωω

ωω

))(11(2

)()(

2

)(

2

12111 dtAeeDi

eDi

eim

qE tDDtDitDitD −−−− ++

+−

= ∫ ωω

ωω

))())(())((

(2 12

)(

12

)(

12

)( 12111 B

DDAe

DiDie

DiDiee

imqE tDDtDitDi

tD +−

+−−+

+−−

=−−−−

ωωωω

ωω

].

)(

).)(().)(([

2

1112

1111

12

)(2121

2

)(

21212

)(

tDtDDD

tDDitDDi

BeDD

Ae

DDDDie

DDDDie

imqE

+−

+

−+−+

++−−=

+−

+−−+−

ωωωω

ωω

Dengan substitusi persamaan (4.59) menghasilkan

]4

))(())(([

2

)4(21

2

)4(21

22

22

tt

titi

BeAe

ie

ie

imqEr

αββαββ

ωω

αβ

αβωωαβωω

−+−−−−

−

+−

+

−−−+

+−−−=


54

])4(2

)(2)(2[

)4(21

2

)4(21

22

22

tt

titi

Beim

qEAe

iimqEe

iimqEe

αββαββ

ωω

αβ

αβωωαβωω

−+−−−−

−

+−

+

−++

++−=

(4.65)

bila αβ 42 2 −im

qEA dianggap dan dianggap , maka persamaan (4.65) menjadi 2C B 1C

]

)(2)(2[

)4(21

1

)4(21

2

22

22 tt

titi

eCeC

iimqEe

iimqEer

αββαββ

ωω

αβωωαβωω−+−−−−

−

++

−++

++−=

].

)(2)(2

[

22

)4(21

2

)4(21

1

22

αβωωαβωω

ωω

αββαββ

−++

++−+

+=−

−−−−+−

iimqEe

iimqEe

eCeCtiti

tt

(4.66)

Efek kualitatif dari persamaan (4.66), dapat ditinjau dari Gambar 4.7.

r

Gambar 4.7 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.66),

dengan 121 == CC , 1=β , 1=α , 1=q C, 1=E N/C,

1=m kg, dan 1=ω .


55

4.2 Pembahasan

Penurunan persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan persamaan

gelombang yang ditunjukkan pada persamaan (4.10), dan (4.16), sedangkan penurunan

persamaan Maxwell dalam medium menghasilkan persamaan gelombang (4.37), dan

(4.43). Masing-masing efek kualitatifnya dapat ditinjau dari Gambar 4.1, 4.2, 4.3, dan

4.4. Dari Gambar 4.1 dan 4.2 menunjukkan bahwa untuk persamaan gelombang dalam

ruang hampa bersifat linear, dapat dilihat dari adanya simpangan maksimum (Amplitudo)

gelombang yang konstan. Gambar 4.3 dan 4.4 berupa garis lengkung yang menunjukkan

bahwa persamaan gelombang dalam medium bersifat nonlinear. Berdasarkan hasil yang

diperoleh dari penelitian ini diketahui bahwa medium merupakan salah satu penyebab

suatu sistem bersifat nonlinear.

Berdasarkan persamaan (4.51) yang penyelesaiannya menghasilkan persamaan

(4.54) menunjukkan bahwa persamaan gerak yang mempunyai fungsi sumur potensial

akan menghasilkan suatu sistem yang linear, secara kualitatif dapat dilihat pada Gambar

4.5. Bila pada persamaan (4.51) ditambahkan redaman yang bergantung pada waktu t ,

ditunjukkan pada persamaan (4.55) dan penyelesaiannya menghasilkan persamaan (4.60)

memperlihatkan bahwa sistem bersifat nonlinear, secara kualitatif dapat dilihat pada

Gambar 4.6. Bila gaya pemaksa dari luar diberikan dalam bentuk sinusoidal seperi

ditunjukkan dalam persamaan (4.61) yang penyelesaiannya menghasilkan persamaan

(4.66) maka sistem berbentuk nonlinear dengan bentuk grafik seperti ditunjukkan pada

Gambar 4.7. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari penelitian ini diketahui bahwa


56

pengaruh lain yang menyebabkan suatu sistem bersifat nonlinear adalah adanya gerak

elektron yang mempunyai fungsi redaman bergantung waktu . t


BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian ini

dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Dari persamaan Maxwell dapat dihasilkan efek nonlinear gelombang

elektromagnetik jika ada medium (bahan) yang bersifat meredam amplitudo

gelombang elektromagnetik.

2. Bentuk persamaan diferensial orde-2 homogen dan tak homogen terkait

dengan efek linear dan nonlinear sistem fisis.

5.2 Saran

Sebagaimana disebutkan pada batasan masalah bahwa peninjauan dalam

penelitian ini dibatasi hanya dari sudut pandang fisika klasik, maka perlu

dilakukan penelitian lebih lanjut terhadap efek nonlinear ditinjau dari sudut

pandang mekanika kuantum.

57


DAFTAR PUSTAKA

Ayres, F., 1986, Persamaan Diferensial dalam Satuan SI Metriks, Jakarta : Erlangga.

Waluya, S.B., 2006, Persamaan Diferensial, Yogyakarta: Graha Ilmu.

Efendi, R., dkk., 2007, Medan Elektronika Terapan, Jakarta : Erlangga.

Bloembergen, N., 1996, Nonlinear Optics, Fourth Edition, Singapura : World Scientific.

Whitham, G.B., 1974, Linear and Nonlinear Waves, Canada : John Wiley.

Halliday, D., dan Resnick, R., 1984, Fisika Edisi ke 3 Jilid 2, Jakarta: Erlangga.

He, G.S. and Liu, S.H., 1999, Physics of Nonlinear Optics, Singapura : World Scientific.

58


Date post:	11-Mar-2019
Category:	Documents
Upload:	ngocong
View:	219 times
Download:	0 times

PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR - core.ac.uk · MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS...

Documents