Pibo

on ch

omso

mbatแบบฝกหด 4.3.2 (1)

1. จงหาค าตอบของสมการตอไปนโดยใชกราฟ 1) 2) 3) 4) 5) 2. จงใชความรเรองกราฟ เพอแสดงวา สมการในขอใดมค าตอบเปนจ านวนจรง 1) 2) 3) 4) 5) 3. จงใชความรเรองกราฟเพอแสดงวา สมการขอใดมค าตอบเปนจ านวนจรงสองค าตอบ 1) 2) 3) 4) 4. จากกราฟของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน (ดภาพประกอบในหนงสอเรยนหนา 166) จงหา (1) โดเมนและเรนจของฟงกชน (2) จดวกกลบของกราฟ (3) คาสงสดหรอต าสดของฟงกชน 5.จงรางกราฟของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน และจงหา (1) โดเมนและเรนจของฟงกชน (2) จดวกกลบของกราฟ (3) จดวกกลบของกราฟแสดงคาสงสดหรอต าสดของฟงกชนทคาใด (4) จดทกราฟตดแกน X เมอก าหนดให 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Pibo

on ch

omso

mbat6. ก าหนดกราฟของ ดงรป จงหา และจดทแสดงคาต าสดของ

ฟงกชน

7. จงหาค าตอบของสมการทก าหนดให พรอมทงใชความรเรองกราฟของฟงกชนก าลงสอง รางกราฟ

ของฟงกชนทไดจากการเปลยน 0 เปน y ของสมการตอไปนอยางคราว ๆ

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pibo

on ch

omso

mbatเฉลยแบบฝกหด 4.3.2 (1)

1. 1) จาก x2 = 16

จะได x2 – 16 = 0

ให y = x2 – 16 เขยนกราฟของ y ไดดงน

จากรป กราฟของ y ตดแกน X สองจด และเมอ y = 0, x = -4, 4

ดงนน x2 – 16 = 0 หรอ x2 = 16 เมอ x = -4, 4

2) จาก 3x2 = 27

จะได 3x2 – 27 = 0

ให y = 3x2 – 27 เขยนกราฟของ y ไดดงน

จากรป กราฟของ y ตดแกน X สองจด เมอ y = 0 , x = -3, 3

ดงนน 3x2 – 27 = 0 หรอ 3x2 = 27 เมอ x = -3, 3

Pibo

on ch

omso

mbat 3) จาก 2x2 = 8

จะได 2x2 – 8 = 0

ให y = 2x2 – 8 เขยนกราฟของ y ไดดงน

จากกราฟ y = 0 เมอ x = -2, 2

ดงนน 2x2 – 8 = 0 หรอ 2x2 = 8 เมอ x = -2, 2

4) จาก x2 = 0

ให y = x2 เขยนกราฟของ y ไดดงน

จากรป กราฟของ y ตดแกน X ทจด (0, 0) หรอ y = 0, x = 0

นนคอ x2 = 0 เมอ x = 0

5) จาก x2 = -8

จะได x2 + 8 = 0

ให y = x2 + 8

เขยนกราฟของ y ไดดงน

Pibo

on ch

omso

mbat

จากกราฟ พบวา y 8

นนคอ ไมม x คาใดทท าให y = 0

ดงนน ไมมคา y ทเทากบศนย หรอไมมจ านวนจรง x ใดทท าให x2 + 8 = 0

จงไมมค าตอบของ x2 + 8 = 0 หรอ x2 = -8 ทเปนจ านวนจรง

2. 1) จาก x2 + 8x + 16 = 0

จะได (x + 4)2 = 0

ให y = (x + 4)2 เขยนกราฟของ y ไดดงน

2) จาก 8x2 = 16x – 3

จะได 8x2 – 16x + 3 = 0

8(x2 – 2x) + 3 = 0

8(x2 – 2x + 1) + 3 - 8 = 0

8(x – 1)2 - 5 = 0

ให y = 8(x – 1)2 – 5 เขยนกราฟของ y ไดดงน

Pibo

on ch

omso

mbat

จากรป กราฟของ y ตดแกน X สองจด

ดงนน 8x2 + 8x + 16 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสองค าตอบ

3) จาก 6x2 = 4x + 3

จะได 6x2 – 4x – 3 = 0

เนองจากจดวกกลบของกราฟ y = ax2 + bx + c, a 0 คอ จดท x เทากบ

จาก y = 6x2 - 4x - 3 จะได a = 6 และ b = -4

และ x = =

y = 6( )2 - 4( ) - 3

= - – 3

=

เนองจากสมประสทธของ x2 มคาเปนบวก

ดงนน กราฟของ y จะเปนเสนโคงหงายขน และมจดวกกลบทจด ( , ) ดงรป

Pibo

on ch

omso

mbat จากรป กราฟของ y ตดแกน X สองจด

ดงนน 6x2 = 4x + 3 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสองค าตอบ

4) จาก 2x2 – 4x + 1 = 0

จะได 2(x2 – 2x) + 1 = 0

2(x2 – 2x + 1) + 1 – 2 = 0

2(x - 1)2 – 1 = 0

ให y = 2(x - 1)2 – 1 เนองจากสมประสทธของ x2 มคาบวก

ดงนน กราฟของ y จะมลกษณะเปนเสนโคงและหงายขน และมจด (1, -1) เปนจดท

กราฟวกกลบ ดงรป

จากรปกราฟตดแกน X สองจด

ดงนน 2x2 – 4x + 1 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสองค าตอบ

5) จาก -8x2 – 24 = 0

ให y = -8x2 – 24

เขยนกราฟของ y ไดดงน

จากรป กราฟของ y = -8x2 – 24

ดงนน -8x2 – 24 = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

Pibo

on ch

omso

mbat3. 1) –(x+ 1)2 + 1 = 0

ให y = –(x+ 1)2 + 1 เขยนกราฟของ y ไดดงน

จากรป จะเหนวากราฟของ y ตดแกน X สองจด

ดงนน สมการ –(x + 1)2 + 1 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสองค าตอบ

2) 7(x + 2)2 = 0

ให y = 7(x + 2)2 เขยนกราฟของ y ไดดงน

จากรป จะเหนวากราฟของ y ตดแกน X หนงจด

ดงนน สมการ 7(x + 2) = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสองค าตอบทเทากน

3) จาก (x - 4)2 = -4 จะได (x - 4)2 + 4 = 0

ให y = (x - 4)2 + 4 เขยนกราฟของ y ไดดงน

Pibo

on ch

omso

mbat จากรป จะเหนวากราฟของ y ไมตดแกน X

ดงนน สมการ (x - 4)2 = - 4 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

4) จาก (x + 7)2 = 3 จะได (x + 7)2 – 3 = 0

ให y = x + 7)2 – 3 เขยนกราฟของ y ไดดงน

จากรป จะเหนวากราฟของ y ตดแกน X สองจด

ดงนน สมการ (x + 7)2 = 3 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสองค าตอบ

4. 1) (1) โดเมนของฟงกชน คอ y y

เรนจของฟงกชน คอ y y 0

(2) จดวกกลบของกราฟคอจด (-4, 0)

(3) กราฟมคาต าสดท y = 0

2) (1) โดเมนของฟงกชน คอ x x

เรนจของฟงกชน คอ y y -4

(2) จดวกกลบของกราฟคอจด (-3, -4)

(3) กราฟมคาต าสดท y = -4

3) (1) โดเมนของฟงกชน คอ x x

เรนจของฟงกชน คอ y y 2

(2) จดวกกลบของกราฟคอจด (-3, 2)

(3) กราฟมคาต าสดท y = 2

Pibo

on ch

omso

mbat 4) (1) โดเมนของฟงกชน คอ x x

เรนจของฟงกชน คอ y y -3

(2) จดวกกลบของกราฟคอจด (-1, -3)

(3) กราฟมคาต าสดท y = -3

5) 1) โดเมนของฟงกชน คอ x x

เรนจของฟงกชน คอ y y -1

(2) จดวกกลบของกราฟคอจด (2, -1)

(3) กราฟมคาต าสดท y = -1

5. 1) จาก y = x2 – 8x + 15 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

(x2 – 8x + 15) = (x2 – 8x + 16) + 15 – 16

= (x - 4)2 - 1

จะได a = 1, h = 4 และ k = -1

เนองจาก a 0 ดงนน กราฟของ y จะหงายขนและมจดวกกลบทจด (4, -1)

เขยนกราฟของ y = (x - 4)2 - 1 อยางคราว ๆ ไดดงน

จากกราฟ พบวา

1) Df = x x

Rf = y y 1

Pibo

on ch

omso

mbat 2) จดวกกลบของกราฟ คอ จด (4, -1)

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทกราฟมคาต าสดท y เทากบ -1

4) กราฟตดแกน X สองจด หาจดทกราฟตดแกน X ไดจาก

ให (x2 – 8x + 15) = 0

(x - 3)(x - 5) = 0

x = 3, 5

จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (3, 0) และ (5, 0)

2) จาก y = x2 – 2x – 4 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

x2 – 2x – 4 = (x2 – 2x + 1) – 4 – 1

= (x - 1)2 - 5

จะได a = 1, h = 1 และ k = -5

เนองจาก a 0 ดงนน กราฟของ f จะหงายขนและมจดวกกลบทจด (1, -5)

เขยนกราฟของ y = (x - 1)2 - 5 อยางคราว ๆ ไดดงน

จากกราฟ พบวา

1) Df = x x

Rf = y y -5

2) จดวกกลบของกราฟ คอ จด (1, -5)

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทกราฟมคาต าสดท y เทากบ -5

4) กราฟตดแกน X สองจด หาจดทกราฟตดแกน X ไดจากสตร x =

Pibo

on ch

omso

mbat จาก x2 – 2x – 4 = 0 จะไดวา a = 1 b = -2 c = -4

จะได x =

=

= 1

จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (1 - , 0) และ (1 + , 0)

3) จาก y = x2 + 8x + 13 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

x2 + 8x + 13 = (x2 + 8x + 16) + 13 – 16

= (x + 4)2 – 3

จะได a = 0, h = -4 และ k = -3

เนองจาก a 0 ดงนน กราฟของ y จะหงายขนและมจดวกกลบทจด (-4, -3)

เขยนกราฟของ y = (x + 4)2 - 3 อยางคราว ๆ ไดดงน

จากกราฟ พบวา

1) Df = x x

Rf = y y -3

2) จดวกกลบของกราฟ คอ จด (-4, -3)

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทกราฟมคาต าสดท y เทากบ -3

4) กราฟตดแกน X สองจด หาจดทกราฟตดแกน X ไดจากสตร x =

จาก x2 + 8x + 13 = 0 จะไดวา a = 1 b = 8 c = 13

Pibo

on ch

omso

mbat จะได x =

=

=

= = -4

จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (-4 - , 0) และ (-4 + , 0)

4) จาก y = 2x2 + 4x + 4 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

2x2 + 4x + 4 = 2(x2 + 2x + 2)

= 2(x2 + 2x + 1) + 2 - 1

= 2(x + 1)2 + 1

= 2(x + 1)2 + 2

จะได a = 2, h = -1 และ k = 2

เนองจาก a 0 ดงน น กราฟของ y จะเปนเสนโคงหงายขนและมจดวกกลบทจด

(-1, 2)

เขยนกราฟของ y = 2(x + 1)2 + 2 อยางคราว ๆ ไดดงน

จากกราฟ พบวา

1) Df = x x

Rf = y y , y 2

Pibo

on ch

omso

mbat 2) จดวกกลบของกราฟ คอ จด (-1, 2)

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทกราฟมคาต าสดท y เทากบ 2

4) จากกราฟพบวา กราฟไมตดแกน X

5) จาก y = 3x2 – 12 x + 6 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

3x2 – 12 x + 6 = 3(x2 – 4 x + 2)

= 3(x2 - 4x + 4) + 2 - 4

= 3(x - 2)2 - 2

= 3(x - 2)2 – 6

จะได a = 3, h = 2 และ k = -6

เนองจาก a 0 ดงน น กราฟของ y จะเปนเสนโคงหงายขนและมจดวกกลบทจด

(2, - 6)

เขยนกราฟของ y = 3x2 – 12 x + 6 อยางคราว ๆ ไดดงน

จากกราฟ พบวา

1) Df = x x

Rf = y y , y -6

2) จดวกกลบของกราฟ คอ จด (-4, -3)

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดท y มคาต าสดท y เทากบ -6

4) กราฟตดแกน X สองจด หาจดทกราฟตดแกน X ไดจากสตร x =

Pibo

on ch

omso

mbat จาก 3x2 – 12 x + 6 = 0 จะไดวา a = 3 b = -12 c = 6

จะได x =

=

= 2

= 2

= 2

จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (2 + , 0) และ (2 - , 0)

6) จาก y = x(x - 1) – 1 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

x(x - 1) – 1 = x2 – x – 1

= (x2 – 4 + ) – 1 -

= (x - )2 -

จะได a = 1, h = และ k = -

เนองจาก a 0 ดงนน กราฟของ y จะเปนเสนโคงหงายขน และมจดวกกลบคอจด

( , - )

เขยนกราฟของ y = x(x - 1) – 1 ไดดงน

Pibo

on ch

omso

mbat จากกราฟ พบวา

1) Df = x x

Rf = y y , y

2) จดวกกลบของกราฟ คอ จด ( , - )

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดท y มคาต าสดท y เทากบ -

4) กราฟตดแกน X สองจด หาจดทกราฟตดแกน X ไดจากสตร x =

จาก x2 – x – 1= 0 จะไดวา a = 1 b = -1 c = -1

จะได x =

=

=

จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด ( , 0) และ ( , 0)

7) จาก y = x2 – 4x – 7 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

x2 – 4x – 7 = (x2 – 4x + 4) – 7 – 4

= (x - 2)2 – 11 = 0

จะได a = 1, h = 2 และ k = -11

เนองจาก a 0 ดงนน กราฟของ y จะเปนเสนโคงหงายขนและมจดวกกลบคอจด

(2, -11)

Pibo

on ch

omso

mbat เขยนกราฟของ y = (x - 2)2 – 11 ไดดงน

จากกราฟ พบวา

1) Df = x x

Rf = y y , y -11

2) จดวกกลบของกราฟ คอ จด (2, -11)

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดท y มคาต าสดท y เทากบ -11

4) กราฟตดแกน X สองจด หาจดทกราฟตดแกน X ไดจากสตร x =

จาก x2 – 4x – 7= 0 จะไดวา a = 1 b = -4 c = -7

จะได x =

=

=

= 2

จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (2 , 0) และ (2 , 0)

8) จาก y = x2 – 2x + 5 = 0 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

X2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 5 – 1

= (x - 1)2 + 4

จะได a = 1, h = 1 และ k = 4

Pibo

on ch

omso

mbat เนองจาก a 0 ดงนน กราฟของ y จะเปนเสนโคงหงายขนและมจดวกกลบคอจด

(1, 4)

เขยนกราฟของ y = (x - 1)2 + 4 ไดดงน

จากกราฟ พบวา

1) Df = x x

Rf = y y , y 4

2) จดวกกลบของกราฟ คอ จด (1, 4)

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทกราฟมคาต าสดท y เทากบ 4

4) จากกราฟพบวา กราฟไมตดแกน X

6.

วธท ำ หาจด x1 และ x2 คอ จดทกราฟตดแกน X

หาจด x1, x2 โดยก าหนดให y = 0

ให x2 – 2x – 8 = 0

(x + 2)(x -4) = 0

x = -2, 4

Pibo

on ch

omso

mbat ดงนน x1 = -2 และ x2 = 4

จาก y = x2 – 2x – 8 เขยน y ใหอยในรป a(x - h)2 + k ไดดงน

= (x2 – 2x + 1) – 8 – 1

= (x - 1)2 – 9

จะได a = 1, h = 1 และ k = -9

และจดวกกลบของกราฟ คอ จด (1, -9)

ดงนน จดทเปนคาต าสดของกราฟ คอ จดท y1 เทากบ – 9

7. 1) y = (x - 3)(x - 6)

ให (x - 3)(x - 6) = 0

จะได x = 3, 6

2) y = (x - 6)(x + 4)

ให (x - 6)(x + 4) = 0

จะได x = -4, 6

3) y = x(5 - x)

ให x(5 - x) = 0

จะได x = 0, 5

Pibo

on ch

omso

mbat4) y = x2 + 2

จากกราฟ พบวา ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

5) y = x2 + 4x + 12

= (x2 + 4x + 4) + 8

= (x + 2)2 + 8

จากกราฟ พบวา ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

6) y = 2x2 – 12x + 6

ให 2x2 – 12x + 6 = 0

จะได x2 – 6x + 3 = 0

x =

= = 3

x = 3 และ 3

Pibo

on ch

omso

mbat

7) y = -x2 -2x – 1

y = -(x2 -+2x + 1)

= -(x + 1)2

จากกราฟ พบวา เมอ y = 0

จะได x = -1

8) y = 15 + 2x – x2

ให 15 + 2x – x2 = 0

จะได (x - 5)(x + 3) = 0

x = -3, 5

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------