VoL. 10, 1924 PHYSICS: EPSTEIN AND EHRENFEST T HE QUANTUM THEORY O F T H E F R A UNHOFER DIFFRACTION B y P . S . EPsTI¢IN A N D P . EHRENI}ST NORMAN BRIDG13 LABORATORY o r PHYSics, PASADZNA Communicated February 1 4 , 1924 1 . Introductory.-In a n important paper published o n t h e pages o f these PROCUIEDINGS, W . Duane makes a successful attempt t o formulate a theory o f th e reflection o f X-rays b y crystals, based on quantum ideas without reference t o interference laws. A . H . Compton,2 enlarging upon a hint contained i n Duane s paper, ha s recently pointed o ut that t h e lat- ter s hypothesis c a n be justified b y t h e application o f t h e general rules f th e theory o f quanta t o t h e translatory motions o f a crystal lattice. Both these authors a r e dealing with t h e case o f parallel beams o f inci- dent a n d reflected light (Fraunhofer diffraction) a nd o f infinite -lattices giving absolutely sharp pencils o f reflected rays o f different order. T h e purpose o f t h e following lines i s t o study th e problems with respect to finite gratings a n d other diffracting systems, again with restriction t o t h e case o f t h e Fraunhofer reflection.3 A finite grating, as t h e most extreme case o f which we c a n regard t h e totality only t w o reflecting points, c a n be regarded a s a superposition o f infinite gratings according to Fourier s theorem. Mathematically, therefore, o u r problem i s reduced to a Fourier analysis. On t h e other hand, a finite grating produces a more o r less continuous spectrum, and i n t h e quantum theory t h e intensity corresponding t o a n y given angle o f d e- flection o f t h e rays b y t h e grating must be expressed in terms o f t h e prob- ability o f th e light quanta undergoing such a deflection. These circum- stances suggest t h e principle of correspondence as a suitable instrument f o r carrying through ou r investigation. 2. T h e Duane-Compton Rules o f Quantization.-We state here t h e Duane-Compton rules i n a generalized form bringing o u t t h e invariancy o f t h e result f o r an y choice of axes. L e t u s consider a three dimensional infipite triclinic lattice with t h e spacings a ,, a 2, a 3 i n t h e respective direc- tions of i t s chief axes. T h e contention o f Compton is that i n a collision with a light quantum such a lattice ca n only pick u p a linear momentum th e orthogonal projections o f which p i , p2 , p 3 o n t h e directions ql , q 2 , q 3 o f t h e chief axes satisfy t h e fundamental conditions o f t h e quantum theory f pldql = nih, fp2dq2 = n2h, f p3dq3 = n 3 h ( 1 ) n l , n 2, n 3 a r e three integral numbers a n d h denotes Planck s constant o f action. T h e periodicity o f th e lattice i s given by i t s spacings a , , a 2 , a 3 s o that the first integral is t o be extended from q 1 to q , a ,, an d t h e others correspondingly. W e obtain, therefore, P i = hnl/a1, p 2 = hn2/a2, b p 3 = hn3/a3. ( 2 ) 133
V o L . 1 0 , 1 9 2 4 PHYSICS: EPSTEIN AND EHRENFEST
TH E QUANTUM THEORY OF TH E FRA UNHOFER DIFFRACTION
By P . S . E P s T I ¢ I N A N D P . E H R E N I } S TNORMAN B R I D G 1 3 L A B O R A T O R Y o r P H Y S i c s , P A S A D Z N A
C o m m u n i c a t e d F e b r u a r y 1 4 , 1 9 2 4
1 . I n t r o d u c t o r y . - I n a n i m p o r t a n t p a p e r p ub l i s h e d o n t h e p a g e s o ft h e s e P R O C U I E D I N G S , W. D u a n e m a k e s a s u c c e s s f u l a t t e m p t t o f o r m u l a t e
a t h e o r y o f t h e r e f l e c t i o n o f X - r a y s by c r y s t a l s , b a s e d o n quantum i d e a sw i t h o u t r e f e r e n c e t o i n t e r f e r e n c e l a w s . A . H . C o m p t o n , 2 e n l a r g i n g u p o n
a h i n t c o n t a i n e d i n D u a n e s p a p e r , h a s r e c e n t l y p o i n t e d o u t t h a t t h e l a t -
t e r s h y p o t h e s i s c a n b e j u s t i f i e d b y t h e a p p l i c a t i o n o f t h e g e n e r a l r u l e s o ft h e t h e o r y o f q u a n t a t o t h e t r a n s l a t o r y m o t i o n s o f a c r y s t a l l a t t i c e .B o t h t h e s e a u t h o r s a r e d e a l i n g w i t h t h e c a s e o f p a r a l l e l b e a m s o f i n c i -
d e n t a n d r e f l e c t e d l i g h t ( F r a u n h o f e r d i f f r a c t i o n ) a n d o f i n f i n i t e - l a t t i c e sg i v i n g a b s o l u t e l y s h a r p p e n c i l s o f r e f l e c t e d r a y s o f d i f f e r e n t o r d e r . T h e
p u r p o s e o f t h e f o l l o w i n g l i n e s i s t o s t u d y t h e p r o b l e m s w i t h r e s p e c t t o
f i n i t e g r a t i n g s a n d o t h e r d i f f r a c t i n g s y s t e m s , a g a i n w i t h r e s t r i c t i o n t o t h e
c a s e o f t h e F r a u n h o f e r r e f l e c t i o n . 3A f i n i t e g r a t i n g , a s t h e m o s t e x t r e m e c a s e o f w h i c h we c a n r e g a r d t h e
t o t a l i t y o f o n l y t w o r e f l e c t i n g p o i n t s , c a n b e r e g a r d e d a s a s u p e r p o s i t i o n
o f i n f i n i t e g r a t i n g s a c c o r d i n g t o F o u r i e r s t h e o r e m . M a t h e m a t i c a l l y ,t h e r e f o r e , o u r p r o b l e m i s r e d u c e d t o a F o u r i e r a n a l y s i s . On t h e o t h e r h a n d ,
a f i n i t e g r a t i n g p r o d u c e s a m o r e o r l e s s c o n t i n u o u s s p e c t r u m , a n d i n t h e
quantum t h e o r y t h e i n t e n s i t y c o r r e s p o n d i n g t o a n y g i v e n a n g l e o f d e -
f l e c t i o n o f t h e r a y s b y t h e g r a t i n g m u s t b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e p r o b -
a b i l i t y o f t h e l i g h t q u a n t a u n d e r g o i n g s u c h a d e f l e c t i o n . T h e s e c i r c u m -
s t a n c e s s u g g e s t t h e p r i n c i p l e o f c o r r e s p o n d e n c e a s a s u i t a b l e i n s t r u m e n t f o rc a r r y i n g t h r o u g h o u r i n v e s t i g a t i o n .
2 . T h e D u a n e - C o m p t o n R u l e s o f Q u a n t i z a t i o n . - W e s t a t e h e r e t h e
D u a n e - C o m p t o n r u l e s i n a g e n e r a l i z e d f o r m b r i n g i n g o u t t h e i n v a r i a n c y
o f t h e r e s u l t f o r a n y c h o i c e o f a x e s . L e t u s c o n s i d e r a t h r e e d i m e n s i o n a l
i n f i p i t e t r i c l i n i c l a t t i c e w i t h t h e s p a c i n g s a , , a 2 , a 3 i n t h e r e s p e c t i v e d i r e c -t i o n s o f i t s c h i e f a x e s . T h e c o n t e n t i o n o f C o m p t o n i s t h a t i n a c o l l i s i o nw i t h a l i g h t quantum s u c h a l a t t i c e c a n o n l y p i c k u p a l i n e a r mome n t u m
t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s o f w h i c h p i , p 2 , p 3 o n t h e d i r e c t i o n s q l , q 2 , q 3o f t h e c h i e f a x e s s a t i s f y t h e f u n d a m e n t a l c o n d i t i o n s o f t h e quantum t h e o r y
f p l d q l =n i h , f p 2 d q 2 = n 2 h , f p 3 d q 3 = n 3 h ( 1 )
n l , n 2 , n 3 a r e t h r e e i n t e g r a l n u m b e r s a n d h d e n o t e s P l a n c k s c o n s t a n t
o f a c t i o n . T h e p e r i o d i c i t y o f t h e l a t t i c e i s g i v e n b y i t s s p a c i n g s a , , a 2 , a 3
s o t h a t t h e f i r s t i n t e g r a l i s t o b e e x t e n d e d f r o m q 1 t o q , a , , a n d t h e o t h e r s
c o r r e s p o n d i n g l y . W e o b t a i n , t h e r e f o r e ,
P i =h n l / a 1 , p 2 = h n 2 / a 2 , b p 3 = h n 3 / a 3 . ( 2 )
On t h e o t h e r h a n d t h e mo me ntum o f a l i g h t quantum o f t h e f r e q u e n c y v
i s g i v e n by h v / c = h / X , w h e r e c i s t h e v e l o c i t y o f l i g h t a n d X t h e w a v e -
l e n g t h i n v a c u o c o r r e s p o n d i n g t o t h e f r e q u e n c y v . I f t h e d i r e c t i o n o fp r o p a g a t i o n o f t h e l i g h t i n c l u d e s w i t h i t s m a i n a x e s a n g l e s t h e c o s i n e s o fw h i c h a r e , b e f o r e i t s c o l l i s i o n w i t h t h e l a t t i c e , a o , 1 B o , y o , a n d a f t e r i t s r e -f l e c t i o n a , , 3 , - y , e a c h l i g h t quantum l o s e s i n t h e c o l l i s i o n a mo me ntum t h e
p r o j e c t i o n s o f w h i c h o n o u r m a i n a x e s a r e h ( a a ) / X , h ( , B -
h ( y - r o ) / x .
Th e p r i n c i p l e o f c o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m r e q u i r e s , t h e r e f o r e , t h e r e -
l a t i o n sC Y - a o = X n l / a l , X :3X n 2 / a 2 , 7 y - y o = X n 3 / a 3 , ( 3 )
w h i c h a r e i d e n t i c a l w i t h t h o s e d e r i v e d b y v o n L a u e f r o m t h e t h e o r y o fi n t e r f e r e n c e .
H o w e v e r , t h e c h o i c e o f t h e main a x e s i s a r b i t r a r y a n d we c a n r e m o v e
t h i s a r b i t r a r i n e s s o n l y b y p r o v i n g t h a t i f t h e l a t t i c e a c q u i r e s i n a c o l l i s i o na mo m e n t u m i n t h e d i r e c t i o n o f a n y s t r a i g h t l i n e c o n n e c t i n g t w o o f i t sp o i n t s ( f o l l o w i n g B r a g g we s h a l l c a l l s u c h a d i r e c t i o n a c r y s t a l a v e n u e ) ,
t h i s m o m e n t u m must s a t i s f y a c o n d i t i o n a n a l o g o u s t o ( 2 )
p . a = n h ( 4 )
w h e r e a i s t h e s m l l e s t d i s t n c e b e t w e e n two p o i n t s i n t h a t l i n e . R e f e r r e d
t o t h e m a i n a x e s , a w i l l b e t h e d a g o n a l o f a p a r a l l e l e p i p e d o n w i t h t h e e d g e s
m i a l , m 2 a 2 , m 3 a 3 , i f m l , m 2 , m 3 a r e t h r e e i n t e g e r s p r i m e t o e a c h o t h e r . I ti s e a s y t o s e e t h a t i n t e r m s o f t h e s e e d g e s
a = m i a l c o s ( a l a ) m 2 a 2 c o s ( a 2 a ) m 3 a 3 c o s ( a 3 a )
A p p l y i n g c o n d i t i o n s ( 2 ) we g e t
p c o s ( a l a ) = X n l / a l , p c o s ( a 2 a ) = X n 2 / a 2 , p c o s ( a 3 a ) = X n 3 / a 3 .
M u l t i p l y i n g t h e t h r e e e q u a t i o n s b y m l a l , m 2 a 2 , m 3 a 3 , r e s p e c t i v e l y , a n d
a d d i n g t h e m w e r e c e i v e
p a = ( m i n , m2n2 m 3 n 3 ) X
A s m l , m 2 , m 3 a r e p r i m e t o e a c h o t h e r , t h e p a r e n t h e s i s , a c c o r d i n g t o a w e l lknown t h e o r e m o f t h e o r y o f n u m b e r s , b y a s u i t a b l e c h o i c e o f p o s i t i v e o r
n e g a t i v e i n t e g r a l v a l u e s f o r n 1 , n 2 , n 3 , c a n b e made e q u a l t o a n y i n t e g e r n .
We s e e , t h e r e f o r e , t h a t r e l a t i o n ( 4 ) i s c o n t a i n e d i n o u r c o n d i t i o n s ( 2 )o r , i n o t h e r w o r d s , t h a t t h e l a t t e r c o n d i t i o n s m a y b e i m p o s e d on t h e o r -t h o g o n a l p r o j e c t i o n s o f t h e mo m e n t u m o n a n y t h r e e c r y s t a l a v e n u e s .
3 . I n f i n i t e L i n e a r G r a t i n g . - L e t u s b e g i n o u r c o n s i d e r a t i o n s w i t h t h e
s i n g l e c a s e o f a o n e d i m e n s i o n a l g r a t i n g t h e e l e m en t s o f w h i c h a r e a r r a n g e d
i n a s t r a i g h t l i n e . I n t h i s l i n e ( t h e d i s t a n c e i n w h i c h f r o m a f i x e d p o i n twe d e n o t e b y x ) t h e m a t e r i a l p o i n t s w i t h w h i c h t h e l i g h t q u a n t a m a y c o l -l i d e a r e d i s t r i b u t e d w i t h a c e r t a i n d e n s i t y p . We s h a l l c a l l p f o r s h o r t
V O L . 1 0 , 1 9 2 4 PHYSICS: EPSTEIN AND EHRENFEST 1 3 5
t h e e l e c t r o n i c d e n s i t y , a n d t h e n o t i o n o f a g r a t i n g i n v o l v e s t h a t t h i se l e c t r o n i c d e n s i t y i s a p e r i o d i c f u n c t i o n o f x w i t h a p e r i o d a c a l l e d t h e
s p a c i n g o f t h e g r a t i n g .I f t h e g r a t i n g i s m o v i n g a t a c o n s t a n t v e l o c i t y i n t h e d i r e c t i o n x r e l a t i v e l y
t o a r e s t i n g p o i n t i n t h i s l i n e , t h e d e n s i t y i n t h a t p o i n t w i l l c h a n g e a s a
p e r i o d i c f u n c t i o n o f t h e t i m e a n d r e t u r n t o i t s o r i g i n a l v a l u e a f t e r t h e g r a t i n g
h a s moved t h r o u g h t h e d i s t a n c e a o r a m u l t i p l e o f i t . T h a t i s t h e r e a s o n
wh y C o m p t o n r e g a r d s t h e s p a c i n g a a s t h e r eg i o n o v e r w h i c h t h e quantum
i n t e g r a l f p d q = n h m u s t b e e x t en de d ( c f . s e c t i o n 2 ) , g i v i n g t h e r e l a t i o n
p h n / a ( 4 )
I f t h e d i s t r i b u t i o n o f e l e c t r o n i c d e n s i t y w a s a s i n u s o i d a l o n e r e p r e s e n t e db y t h e f o r m u l a
p =Asin ( 2 7 r x / a 5 ( 5 )
t h e c h a n g e o f d e n s i t y i n a f i x e d p o i n t , d u e t o t h e m o t i o n o f t h e g r a t i n g ,w o u l d b e a s i m p l e h a r m o n i c o s c i l l a t i o n . By means o f t h e F o u r i e r t h e o r e m
a n y d i s t r i b u t i o n o f e l e c t r o n i c d e n s i t y c a n b e b u i l t u p o f s i n u s o i d a l t e r m s ,
i n o t h e r w o r d s , a n y g r a t i n g , i n f i n i t e o r f i n i t e , c a n b e r e p r e s e n t e d a s a
s u p e r p o s i t i o n o f i n f i n i t e s i n u s o i d a l g r a t i n g s o f t h e t y p e ( 5 ) . T h i s c a s e
d e s e r v e s , t h e r e f o r e , a p a r t i c u l a r l y c l o s e s t u d y . T h e p r i n c i p l e o f c o r r e -
s p o n d e n c e t e l l s 4 u s t h a t t o e v e r y h a r m o n i c term i n t h e e x p r e s s i o n o f pt h e r e c o r r e s p o n d s a quantum c h a n g e o f m o t i o n a c c o m p a n i e d b y a c h a n g e
o f m o m e n t u m p g i v e n b y o u r e q u a t i o n ( 4 ) i f we s u b s t i t u t e i n i t f o r n / a
t h e c o e f f i c i e n t o f 2 7 r x i n t h e a r g u m e n t o f t h e s i n e .I f , t h e r e f o r e , t h e D u a n e - C o m p t o n r e l a t i o n 4 t e l l s u s t h a t a g r a t i n g c a n
o n l y p i c k u p m o m e n t u m i n m u l t i p l e s o f t h e q u a n t i t y h / a , t h e p r i n c i p l eo f c o r r e s p o n d e n c e p e r m i t s u s t o g o f a r t h e r a n d t o s a y t h a t a s i n u s o i d a lg r a t i n g o f t h e c o n s t i t u t i o n ( g ) w i l l e x p e r i e n c e o n l y c h a n g e s o f momentum
i n a m o u n t s 4 h / a a n d n o t i n m u l t i p l e s o f i t .T h e g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r p i n a n i n f i n i t e g r a t i n g i s
p-nn s i n ( 2 7 r n x / a + 5 ) ( 6 )0
To a term o f t h i s s e r i e s w i t h t h e c o e f f i c i e n t n / a o f t h e a r g u m e n t 2 7 r xt h e r e c o r r e s p o n d s a c h a n g e o f m o m e n t u m g i v e n b y t h e same v a l u e o f t h e
c o e f f i c i e n t o f h i n e q u a t i o n ( 4 ) . I n a l a t t i c e o f s u c h a c o n s t i t u t i o n mo m e n-
t u m c a n b e , t h e r e f o r e , p i c k e d u p i n a l a r g e v a r i e t y o f w a y s . M o r e o v e r ,t h e p r i n c i p l e o f c o r r e s p o n d e n c e g i v e s u s a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n w i t h r e -
s p e c t t o t h e r e l a t i v e f r e q u e n c y o f t h e d i f f e r e n t p o s s i b l e c h a n g e s o f mo-
mentum: t h e p r o b a b i l i t y o f t h e g r a t i n g s p i c k i n g up t h e m o m e n t u mn h / a i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e c o e f f i c i e n t o f t h e c o r r e s p o n d i n gt e r m o f o u r s e r i e s , t h a t i s t o A 2 .
As s t a t e d i n s e c t i o n 2 t h e c h a n g e o f mo me ntum e x p e r i e n c e d b y a g r a t i n gi n i t s c o l l i s i o n w i t h a l i g h t quantum d e t e r m i n e s t h e d i r e c t i o n o f e m e r g e n c e
o f t h e l i g h t quantum a c c o r d i n g t o t h e e q u a t i o n
a - a o = X n / a . ( 7 )
T h e a b o v e s t a t e m e n t o n t h e p r o b a b i l i t i e s o f momenta m e a n s , t h e r e f o r e ,t h a t t h e i n t e n s i t y o f t h e s p e c t r u m o f t h e f l t h o r d e r w i l l b e p r o p o r t i o n a l t o
2A l .I n o r d e r t o s h o w t h a t t h e s e c o n d i t i o n s a r e i n a g r e e m e n t w i t h t h e i n -
t e r f e r e n c e t h e o r y o f g r a t i n g s we h a v e o n l y t o p r o v e t h a t a s i n u s o i d a lg r a t i n g p r o d u c e s t h e s a m e e f f e c t f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h e l a t t e r t h e o r y ,t h a t i s t h a t a d i s t r i b u t i o n o f e l e c t r o n i c d e n s i t y r e p r e s e n t e d b y t h e f o r m u l a
p = Am s i n 2 7 r m x / a ( 8 )
w i l l g i v e t w o a b s o l u t e l y s h a r p r e f l e c t e d b e a m s a t a n g l e s f o l l o w i n g f r o m
( 7 ) b y p u t t i n g n = m w i t h i n t e n s i t i e s p r o p o r t i o n a l t o A 4 2 . Th e p r o o fi s e a s i l y g i v e n : An e l e m e n t d x o f t h e g r a t i n g g i v e s a c o n t r i b u t i o n t o t h e
a m p l i t u d e o f l i g h t , e m i t t e d i n a d i r e c t i o n a , w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e
m o d u l u s o f t h e e x p r e s s i o n
p e t , V ( a - a o ) d x ( 9 )
T h e t o t a l a m p l i t u d e i nt h a t
d i r e c t i o n i s ,t h e r e f o r e
S = C.Am s i n 2 7 r f . x ( a - a o ) ( 1 0 )
We s h a l l e v a l u a t e t h i s e x p r e s s i o n f i r s t f o r a f i n i t e g r a t i n g t a k i n g a s l i m i t so f i n t e g r a t i o n =Na a n d t h e n g o o v e r t o N = o ° .
2 7 r m a - a o m a - a c o= iAmjsn : -ao Na_i@ Iaa X a X
We s e e t h at t h e a m p l i t u d e i s p r o p o r t i o n a l t o Am a n d t h a t i t h a s t w o
maxima i n t h e t w o d i r e c t i o n s - a =o m X / a . M o r e o v e r , t h e maximum
a m p l i t u d e i s p r o p o r t i o n a l t o N , a n d when N b e c o m e s i n f i n i t e t h e i n t e n s i t yi n t h e maximum c o m p l e t e l y d o m i n a t e s s o t h a t t h e w h o l e e n e r g y i s t h r o w n
i n t o t h e d i r e c t i o n s o f t h e maxima a n d t h e l a t t e r b e c o m e a b s o l u t e l y s h a r p .T h e r e i s , t h e r e f o r e , a c o m p l e t e i d e n t i t y i n t h e F r a u n h o f e r d i f f r a c t i o n p r o -
d u c e d b y a n i n f i n i t e s i n u s o i d a l g r a t i n g f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h e c l a s s i c a lt h e o r y a n d f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h e t h e o r y o f l i g h t q u a n t a s k e t c h e d
a b o v e . As a n y l i n e a r d i f f r a c t i n g s y s t e m c a n b e b u i l t u p b y i n f i n i t e
s i n u s o i d a l g r a t i n g s t h i s i d e n t i t y w i l l h o l d f o r t h e , t o t a l i t y o f a l l p h e n o m e n ao f F r a u n h o f e r r e f l e c t i o n , T h e c o n s i d e r a t i o n s o f t h e f i r s t h a l f o f t h i s s e c t i o nc o n t a i n , t h e r e f o r e , t h e c o m p l e t e t r a n s l a t i o n o f t h e t h e o r y o f F r a u n h o f e r d i f f r a c -
t i o n i n t o t h e l a n g u a g e o f t h e q u a n t u m t h e o r y . T h e f o l l o w i n g s e c t i o n c o n t a i n s
o n l y t h e a p p l i c a t i o n o f t h e s e p r i n c i p l e s t o o n e o r t w o s p e c i a l c a s e s .4 . T h e l i n e a r P o i n t L a t t i c e . - F r o m t h e m a t h e m a t i c a l p o i n t o f V i e w t h e
s i n u s o i d a l g r a t i n g t r e a t e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n i s t h e s i m p l e s t . How-
e v e r , s u c h a g r a t i n g c a n n o t b e r e a l i z e d p h y s i c a l l y , b e c a u s e i n s o m e p o i n t s
i t s d e n s i t y b e c o m e s n e g a t i v e p r o d u c i n g a r e f l e c t i o n c o n n e c t e d w i t h a c h a n g e -
o f p h a s e b y h a l f a p e r i o d . T h e g r a t i n g t h a t i s c o n s i d e r e d a s t h e f u n d a -
m e n t a l o n e i n m o s t t e x t b o o k s i s t h e p o i n t g r a t i n g : t h e g r a p h i c a l r e p r e -s e n t a t i o n o f t h e e l e c t r o n i c d e n s i t y p o f s u c h a g r a t i n g a s a f u n c t i o n o f x
b e i n g a s u c c e s s i o n o f e q u i d i s t a n t p e a k s , v e r y n a r r o w c o m p a r e d w i t h t h e
s p a c i n g a .
I n f i n i t e P o i n t L a t t i c e . - A n a l y t i c a l l y we c a n e x p r e s s t h e d i s t r i b u t i o ni n t h i s c a s e by a F o u r i e r s e r i e s . C o m p u t e d i n t h e w e l l known w a y , t h e
c o e f f i c i e n t s o f a l l t h e t e r m s o f l o w e r o r d e r t u r n o u t t o b e t h e s a m e . I fC i s t h e h e i g h t o f a p e a k a n d c i t s b r e a d t h we g e t f o r p t h e s e r i e s ( 6 ) w i t h
A o = C c / a , A . = 2 C c / a . T h i s m e a n s t h a t t h e s p e c t r a o f d i f f e r e n t o r d e rp r o d u c e d b y s u c h a g r a t i n g a r e a l l o f t h e s a m e i n t e n s i t y , a s t h e i n t e n s i t y o ft h e n t h o r d e r i s p r o p o r t i o n a l t o A . I t n e e d n o t d i s t u r b u s t h a t t h e
a b o v e e x p r e s s i o n s f o r A n d o n o l o n g e r h o l d f o r l a r g e n u m b e r s n , b e c a u s e
t h e c o r r e s p o n d i n g t e r m s h a v e n o p h y s i c a l s i g n i f i c a n c e : t h e c o r r e s p o n d i n g
c h a n g e o f momentum, t h o u g h t h e o r e t i c a l l y p o s s i b l e , w i l l n e v e r t a k e p l a c eb e c a u s e t h e i m p i n g i n g l i g h t q u a n t u m d o e s n o t p o s s e s s e n o u g h mo me ntum
t o r e a l i z e i t .
F i n i t e P o i n t L a t t i c e . - I n t h i s c a s e we h a v e t o u s e t h e F o u r i e r i n t e g r a li n s t e a d o f t h e F o u r i e r s e r i e s . I f we c h o o s e a s o r i g i n ( x = 0 ) t h e c e n t r e o f
t h e g r a t i n g , t h e e x p r e s s i o n f o r t h e e l e c t r o n i c d e n s i t y w i l l b e0 0
p ( x ) = J c o c o s 2 7 r w x d w ( 1 1 )0
2
A ( c o )=
- f p ( G ) c o s 2 7 r c o , d , B ( 1 2 )_00.
T h i s g r a t i n g a p p e a r s , t h e r e f o r e , a s a s u p e r p o s i t i o n o f a n i n f i n i t e n u m b e ro f s i n u s o i d a l g r a t i n g s w i t h t h e r e s p e c t i v e s p a c i n g s a = 1 / X . A c c o r d i n g
t o s e c t i o n 3 s u c h a g r a t i n g w i l l p r o d u c e a r e f l e c t e d r a y i n a d i r e c t i o n g i v e n
b y t h e r e l a t i o na -ao = X / a = w X , ( 1 3 )
w h i l e t h e r e l a t i v e i n t e n s i t y o f t h i s r a y i s g i v e n b y t h e s q u a r e o f A ( w ) .T h i s i n t e n s i t y i s e a s i l y c o m p u t e d f r o m ( 1 2 ) : a s p ( , B ) i s d i f f e r e n t f r o m z e r o
o n l y i n t h e p o s i t i o n s o f t h e p e a k s , B = m a , we g e t u
2 C c X 2 C c s i n N r a w .A ( c o ) = - c o s 2 r m w a =- -
i f we d e n o t e b y N = 2 U 1 t h e t o t a l n u m b e r o f p e a k s i n o u r g r a t i n g .
To e x p r e s s t h e i n t e n s i t y p r o d u c e d b y t h e g r a t i n g a s a f u n c t i o n o f t h e d i -r e c t i o n we h a v e o n l y t o s u b s t i t u t e i n t o t h e - s q u a r e o f A t h e e x p r e s s i o n o f c
f r o m e q u a t i o n ( 1 3 )
A 2 = ( ? c 2 s i n 2 N r a ( a - a o ) / X ( 1 4 )7 4 2 a 2 S i n 2 i r a ( a a o ) / X
i n c o m p l e t e a g r e e m e n t w i t h t h e c l a s s i c a l i n t e r f e r e n c e f o r m u l a .
I n t h e s p e c i a l c a s e , w h e n N = 2 , we o b t a i n f r o m ( 1 4 ) t h e w e l l known
d i s t r i b u t i o n d u e t o t h e i n t e r f e r e n c e o f t w o d i p o l e s
A 2 = 1 6 c o s 2 i r a ( a - a ) o / X . ( 1 5 )
5 . T h e S p a c e L a t t i c e . - T h e g e n e r a l i z a t i o n f o r t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l
c a s e d o e s n o t i n v o l v e a n y new i d e a s . I f we d e n o t e t h e t h r e e c r y s t a la v e n u e s o f a t r i c l i n i c l a t t i c e c h o s e n a s m a i n a x e s b y x i , x 2 , x 3 , t h e d i s t r i -b u t i o n o f e l e c t r o n i c d e n s i t y i n a n y l a t t i c e o f t h i s t y p e a n d , i n f a c t , i n a n y
o t h e r s y s t e m c a n b e b u i l t u p o f t e r m s o f t h e t y p e
P m i m m a = A m i m m s i n ( 2 i r m i 5 m 1 ) s i n ( 2 7 r m 2 a e m s )
- s i n ( 2 7 o n g x 3 + 6 a ( 1 6 )t h e r e f o r e i t i s s u f f i c i e n t t o d i s c u s s t h e d i s t r i b u t i o n o f d e n s i t y g i v e n b y . t h i se q u a t i o n .
A p p l y i n g t h e p r i n c i p l e o f c o r r e s p o n d e n c e i n t h e s a m e way a s i n t h e
c a s e o f t h e l i n e a r g r a t i n g , we c o n c l u d e t h a t s u c h a l a t t i c e c a n p i c k u p o n l y
a momentum t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s o f w h i c h o n t h e d i r e c t i o n s x l , x 2 , X 3a r e g i v e n b y e q u a t i o n s ( 2 ) w i t h n i = = m I , n 2 = 4 m 2 , n 3 = = m 3 . A c -
c o r d i n g t o t h e a n a l y s i s o f s u c h a m o t i o n i n s e c t i o n 2 t h i s m e a n s t h a t o u r
l a t t i c e c a n o n l y a c q u i r e mo me ntum d i r e c t e d i n o n e o f t h e f o u r c r y s t a l
a v e n u e s w i t h t h e o b l i q u e c o m p o n e n t s
m 1 a l , m 2 a 2 , = = m 3 a 3 a n d i n e a c ho f t h e s e d i r e c t i o n s w i t h o n l y o n e d e f i n i t e v e l o c i t y ( b o t h w a y s , p o s i t i v e a n d
n e g a t i v e ) .T h e d i r e c t i o n o f t h e l i g h t q u a n t u m a f t e r t h e c o l l i s i o n , i s g i v e n b y e q u a -
t i o n s ( 3 ) . As a , , B , y a r e n o t i n d e p e n d e n t , we s e e t h a t a c o l l i s i o n c a n o n l y
o c c u r i f X s a t i s f i e s t h e von L a u e - B r a g g c o n d i t i o n w i t h a b s o l u t e s h a r p n e s s .I n t h i s c a s e t h e l a t t i c e w i l l g i v e u s w i t h e q u a l p r o b a b i l i t y e i g h t d i f f e r e n td i r e c t i o n s o f t h e r e f l e c t e d r a y s .
I n o r d e r t o p r o v e t h e c o m p l e t e e q u i v a l e n c e o f t h e q u a n t u m t h e o r y w i t h
t h e c l a s s i c a l t r e a t m e n t f o r t h r e e d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n s , w e , h a v e o n l y
t o s h o w t h a t t h e i n t e r f e r e n c e t h e o r y l e a d s t o t h e s a m e r e s u l t s i n t h e c a s e
o f d i s t r i b u t i o n ( 1 6 ) . I n t h e c l a s s i c a l t h e o r y t h e mean a m p l i t u d e i n a
d i r e c t i o n a , , 3 , y i s p r o p o r t i o n a l t o t h e m o d u l u s o f t h e e x p r e s s i o n
V o t , . 1 0 , 1 9 2 4 P H Y S I C S : EPSTEN AND BRENFRS7
f J f s i - i [ x i ( a a . ) + X 2 @ I S O ) + X a I - d ) ] d ( 1 7 )
I n t r o d u c i n g f o r p t h e d i s t r i b u t i o n ( 1 6 ) we s e e t h a t e x p r e s s i o n ( 1 7 ) i s t h e
p r o d u c t o f t h r e e f a c t o r s o f t h e t y p e g i v e n b y f o r m u l a ( 1 0 ) a n d d i s c u s s e di n s e c t i o n 3 . I t f o l l o w s f r o m t h a t d i s c u s s i o n t h a t t h e w h o l e r e f l e c t e de n e r g y w i l l b e t h r o w n i n t o t h e s a m e e i g h t d i r e c t i o n s w h i c h w e r e f o u n d
o n t h e b a s i s o f t h e q u a n t u m t h e o r y . T h i s p r o v e s i n a g e n e r a l way t h e
c o m p l e t e i d e n t i t y o f r e s u l t s i n b o t h t r e a t m e n t s f o r a n y p o s s i b l e s y s t e m ,
a n d i t i s n o t n e c e s s a r y t o e n t e r i nt o s p e c i a l e x a m p l e s .
6 . C o n c l u s i o n . - T h e a b o v e c o n s i d e r a t i o n s a r e r e s t r i c t e d t o t h e c a s e o ft h e F r a u n h o f e r d i f f r a c t i o n a n d n e g l e c t t h e s m l l c h a n g e o f t h e w a v e - l e n g t h
d u e t o t h e C o m p t o n e f f e c t . M o r e o v e r t h e y a r e d e a l i n g o n l y w i t h t h el i n e a r momen t u m w i t h o u t r e f e r e n c e t o t h e p o s s i b l e c h a n g e s o f a n g u l a r
momentum a n d o t h e r q u a n t i c c o n d i t i o n s o f t h e s y s t e m . T h e l a s t r e s t r i c -t i o n s e e m s n a t u r a l a s o n l y t h e l i n e a r i h a s a d i r e c t c o n n e c t i o n
w i t h t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n o f t h e l i g h t quantum w h i c h i s t h e o nl y i m -
p o r t a n t e l e m e n t o f o u r d i s c u s s i o n . On t h e c o n t r a r y t h e r e s t r i c t i o n t o
F r a u n h o f e r p h e n o m e n a d o e s n o t a p p e a r t o b e a n e c e s s a r y o n e a n d we h o p e
t o e x t e nd o u r t h e o r y t o m o r e g e n e r a l c a s e s .T h e s i t u a t i o n i n o p t i c s a p p e a r s , t h e r e f o r e , t o b e t h u s :1 . T h e p h o t o e l e c t r i c p h e n o m e n o n a n d t h e C o m p t o n e f f e c t c a n b e e x
p l a i n e d o n l y b y t h e a c t i o n o f l i g h t q u a n t a .
2 . T h e p h e n o m e n a o f F r a u n h o f e r d i f f r a c t i o n c a n b e t r e a t e d a s w e l l
o n t h e b a s i s o f t h e wave t h e o r y o f l i g h t a s b y a c o m b i n a t i o n o f t h e c o n -
c e p t o f l i g h t q u a n t a w i t h B o h r s p r i n c i p l e o f c o r r e s p o n d e n c e .3 . T h e p h e n o m e n a o f c o h e r e n c e r e s i s t a l l a t t e m p t s o f t h e q u a n t u m
t h e o r y .H o w e v e r , i t m u s t b e r e m e m b e r e d t h a t B o h r s p r i n c i p l e o f c o r r e s p o n d e n c e
c o n t a i n s t h e e s s e n t i a l f e a t u r e s o f t h e w a v e t h e o r y i n a f o r m s u i t a b l e f o r t h e
q u a n t u m t h e o r y . O u r t r e a t m e n t , t h e r e f o r e , m e a n s r a t h e r a r e a d j u s t -
ment t h a n a c o m p l e t e a b a n d o n i n g o f t h e wave t h e o r y . W . D u a n e . P r o c . N a t . A c a d . S c i . , W a s h i n g t o n , 9 , p . 1 5 9 ( 1 9 2 3 ) .2 A . N . C o m p t o n . I b i d . , 9 , p . 3 5 9 ( 1 9 2 3 ) .3 M o r e o v e r we n e g l e c t t h e s l i g h t c h a n g e s o f t h e w a v e - l e n g t h d u e t o t h e Compton
e f f e c t .
4 S t r i c t l y s p e a k i n g t h e p r i n c i p l e o f c o r r e s p o n d e n c e m u s t b e a p p l i e d t o t h e t o t a l i t yo f t h e g r a t i n g a n d t h e i n c i d e n t l i g h t w a v e , b e c a u s e w i t h o ut a n e x c i t i n g wave t h e u n i -
f o r m m o t i o n o f a g r a t i n g d o e s n o t p r o d u c e anv r a d i a t i o n . We h a v e t o i n c l u d e t h e s i g n m i n u s b e c a u s e ( 5 ) c a n b e w r i t t e n a l s o p =
