8/14/2019 PNAS-1989-Foerster-Critical size and curvature of wave formation in on excitable chemical medium.pdf

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P r o c .N a i l .A c a d .S c i .U SAVo l .8 6 ,p p .6 8 3 1 - 6 8 3 4 ,S e p t e m b e r1 9 8 9C h e m i s t r y

C r i t i c a ls i z ea n d c u r v a t u r eo f w a v ef o r m a t i o ni n a n e x c i t a b l ec h e m i c a lm e d i u m

( B e l o u s o v - Z h a b o t i n s k lr e a c t i o n / n u d e a d o ns i z e / d i s p e r s i o n / w a v ep r o p a g a t i o n )

P . F O E R S T E R ,S . C . M U L L E R ,AND B . H E S SM a x - P l a n c k - I n s t i t u tf f rE m n h r u n g s p h y s i o l o g i e ,R h e i n l a n d d a m m2 0 1 ,D - 4 6 0 0D o r t m u n d1 , F e d e r a lR e p u b l i co fG e r m a n y

C o m m u n i c a t e db y I . P r i g o g i n e ,J u n e 7 , 1 9 8 9

ABSTRACT T h ec r i t i c a lr a d i u sf o rt h eo u t w a r dp r o p a g a -t i o no f w a v e s i n a n e x c i t a b l es o l u t i o no f t h e B e l o u s o v -Z h a b o t i n s k i ir e a c t i o nw a se x p e r i m e n t a l l ya n a l y z e da n d f o u n dt ob e 2 0 , p m ,b e i n gi na r a n g ep r e d i c t e db y t h e o r y .T h u s ,t h ew a v ei n i t i a t i o nd e p e n d so n t h ec r i t i c a lr a d i u si na n a l l - o r - n o n ef a s h i o n .F o r w a v e sh a v i n gh i g hp o s i t i v ec u r v a t u r eo f w a v ef r o n t s ,a l i n e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec u r v a t u r ea n d t h e i rn o r m a lv e l o c i t yw a s e s t a b l i s h e d ,a l l o w i n gc o m p u t a t i o no f ad i f f u s i o nc o e f f i c i e n to f1 . 9x 1 0 - 5c m 2 / sf o rt h ea u t o c a t a l y t i cs p e c i e s ,w h i c ha g r e e sw e l lw i t h r e s u l t sp r e v i o u s l yo b t a i n e df o r

n e g a t i v e l yc u r v e dw a v ef r o n t s .T h ea n a l y s i so ft h e d i s p e r s i o no fw a v ev e l o c i t yy i e l d ed t h ed e c r e a s eo fw a v ev e l o c i t yf o rs m a l li n i t i a t i o np e r i o d sa sp r e d i c t e dt h e o r e t i c a l l y .

w h e r eu i s p r o p o r t i o n a lt o [ H B r O 2 ] ,v i s p r o p o r t i o n a lt o t h eo x i d i z e df o r mo f t h ec a t a l y s t f e r r o i n( v ) ,t i s a s c a l e dt i m e ,Ai s t h eL a p l a c i a no p e r a t o r ,f ( u ,v ) a n d g ( u ,v ) d e s c r i b et h ek i n e t i c so ft h er e a c t i o n ,a n d e i sa t i m es c a l ef a c t o r( t h e s p a t i as c a l eh a s b e e nc h o s e ns u c ht h a tt h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n t so fu a n d v b e c o m ei d e n t i c a lt o e ) .

B e c a u s eE

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2/4

P r o c . N a t l .A c a d .S c i .U S A8 6 ( 1 9 8 9 )

100 _ _

I

R , pm = 1 /K

1

5 0 1 0 0

F I G .1 . S c h e m a t i ci l l u s t r a t i o no f t h er e l a t i o nb e t w e e nt h en o r m a lv e l o c i t yN a n dt h ef r o n t r a d i u sR a c c o r d i n gt o E q . 2 ,f o r D= 2 x 1 0 - 1c m 2 / sa n d c = 1 0 0 j m / s .

F o r t h ei n v e s t i g a t i o no f p o s i t i v ec u r v a t u r e s ,s m a l lc i r c u l a rwaves were p r o d u c e d .T h e s ew e r e i n i t i a t e db y i m m e r s i n gvery t h i ng l a s sc a p i l l a r i e s( s l i g h t l yc o n i c a l l ys h a p e d ;m i n i -mum d i a m e t e ra t t h et i po f t h ee l e c t r o d e ,1 2g u m )s p a t t e r e dw i t h a s i l v e rf i l m z 0 . 5p u mt h i c k .S i l v e rd i s s o l v e di n t h es o l u t i o nr e a c t s w i t h b r o m i d ei o n s ,t h u s r e d u c i n gt h eb r o m i d ei o nc o n c e n t r a t i o nt o a l o w v a l u e ,w h i c ha c t s as a c h e m i c a ls t i m u l u sf o ra wave. C a p i l l a r i e so f d i f f e r e n ts i z e swere t e s t e dt o f i n dt h em i n i m u mr a d i u snecessary f o rwave i n i t i a t i o n .S u b s e q u e n t l y ,a c a p i l l a r yw i t h a t i pd i a m e t e ro f 3 2 p A mwa su s e df o r c i r c u l a rwave i n i t i a t i o nt o measure t h ev e l o c i t yo f t h eo u t w a r dp r o p a g a t i o nas a f u n c t i o no f wave r a d i u s .F o r t h ed e t e c t i o n o f t h ewave e v o l u t i o n ,t h e p r o b ewas i l l u m i n a t e dw i t h d i f f u s el i g h to f 4 9 0 nm m a x i m u ma b s o r p t i o no f t h ec a t a l y s t f e r r o i n )i n an i n v e r s e m i c r o s c o p e( Z e i s sIM 3 5 )c o n n e c t e dt o a v i d e o camera H a m a m a t s uC 1 0 0 0 )w i t h 5 1 2x 5 1 2p i x e lr a s t e r r e s o l u t i o n .V i d e om o v i e sw i t h a f r e q u e n c yo f 2 5i m a g e spe r s were r e c o r d e da n d s u b s e q u e n t l ye v a l u a t e df r a m eb y f r a m eb y d i g i t a lm e t h o d s( 1 2 ) .F r o mt h e s e f r a m e si s o c o n c e n t r a t i o no r i s o i n t e n s i t yl i n e swere e x t r a c t e da t t h es t e e p e d g e o f t h e p r o p a g a t i n gc i r c u l a rwaves. T h e i r s h a p ewas s u b s e q u e n t l yf i t t e db y c i r c l e s .Ve l o c i t i e so f wave prop-a g a t i o nwere c a l c u l a t e df r o mt h et i m ed e r i v a t i v eo f s m o o t h e dr a d i u sv s . t i m e d a t a .

F o r t h e i n v e s t i g a t i o no f t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n ,we t r i g -g e r e dr e p e a t e d l yt h ec h e m i c a lwave t r a i n sb y a u t o m a t i c a l l yi m m e r s i n ga s i l v e rw i r e ( d i a m e t e r ,1 0 0, u m )i n t ot h e s o l u t i o n .T h e t i m e b e t w e e ns u c c e s s i v e d i p - i n sv a r i e db e t w e e n2 2a n d 7 2 s . T h ev e l o c i t yo f very l a r g ec i r c u l a rwaves, f o rw h i c hc u r v a t u r e e f f e c t scan b e n e g l e c t e d ,wa s m e a s u r e da t ad i s t a n c eo f 3 - 1 1 mm away f r o m t h ei n i t i a t i o np o i n tas af u n c t i o no f t h i sp e r i o d o f t i m e .

R e s u l t s

T h ei m m e r s i n gt e s tw i t h s i l v e r - c o a t e dg l a s sc a p i l l a r i e s ,w h i c hwe u s e d t o d e t e r m i n et h e s m a l l e s td i a m e t e rnecessary f o rwave e x p a n s i o n ,s h o w st h a tt h ei n i t i a t i o no f waves i s ana l l - o r - n o n er e a c t i o n .F i g .2 s h o w st h a tw i t h i n c r e a s i n ge l e c -trode radius there exists a small range around R i t - 16 / k m ,w h e r e t h e e l e c t r o d e sb e c o m ec a p a b l e o f i n i t i a t i n gwaves.N o t et h a tt o t h i s r e a le l e c t r o d ed i a m e t e rt h e t h i c k n e s s8 o f t h ed i f f u s i o nl a y e ro f t h es i l v e ri o n s ,w h i c hare r e s p o n s i b l ef o rt h ei n i t i a t i o no f t h e waves, s h o u l db e a d d e d( 8 i s r o u g h l ye s t i -m a t e dt o b e o n t h e o r d e r o f5 p u m ) .

F i g .3 d e s c r i b e so u r e x p e r i m e n t a lr e s u l t sf o rt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nn o r m a lv e l o c i t ya n d c u r v a t u r e . Th e d a t a are w e l l

20 30

Electrode radius f i m4 0

F I G .2 . Wave i n i t i a t i o nas a f u n c t i o no f t h ee l e c t r o d er a d i u s .A ,no waves were i n i t i a t e d ;B ,waves w ere i n i t i a t e d .

r e p r e s e n t e db y a r e g r e s s i o nl i n e ,as e x p e c t e df r o mE q . 2 . T h es l o p e ,w h i c hc o r r e s p o n d st o t h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n tD , i s( 1 . 9 0 3 . 0 8 4 )x 1 0 - 1c m 2 / s .T h ei n t e r s e c tw i t h t h ev e l o c i t ya x i sy i e l d sa v a l u ec = 8 2 . 5 1 . 7p m / s .T h ev a l u e sf o rc a n dD are i na g r e e m e n tw i t ht h er e s u l t sp r e v i o u s l yo b t a i n e di nt h ecase o f n e g a t i v ec u r v a t u r e( 1 3 ) .I nt h a tc a s e , t h e p r o p a g a t i o no f wave f r o n t swas m e a s u r e di nt h ec u s p - l i k eareas o f c o l l i d i n gc i r c u l a rwaves, i n i t i a t e db y i m m e r s i n ga p a i ro f s i l v e rw i r e s( d i a m e t e r ,1 0 0 g u m )i n t ot h e B Z s o l u t i o n .T h e ( n e g a t i v e )c u r v a t u r e swere d e t e r m i n e di nt h ev e r t i c e so f h y p e r b o l a sf i t t e dt o s e l e c t e di s o c o n c e n t r a t i o nl e v e l s .A d i r e c tc o m p a r i s o no ft h e s et wo i n d e p e n d e n tp r o c e d u r e st o v e r i f yE q . 2 i s g i v e ni nF i g .4 . T h es l o p e so f t h et wo e x p e r i m e n t sare s l i g h t l yb r o k e na t t h eo r d i n a t eb e c a u s eo f m i n o re x p e r i m e n t a ld i f f e r e n c e s( e . g . ,s m a l lt e m p e r a t u r es h i f t s ,a g i n go f t h es o l u t i o n ) .

As a f u r t h e rr e s u l to f t h ee v a l u a t i o no f t h ep o s i t i v e l yc u r v e df r o n t s ,we o b t a i n e d an e s t i m a t i o no f t h ec r i t i c a lr a d i u s b ye x t r a p o l a t i o nt o t h ei n t e r s e c tw i t h t h ec u r v a t u r ea x i s .T h ev a l u e f o rR n t i s 2 3 . 1 1 . 0p u m .

T h er e s u l t sf o rt h e d i s p e r s i o nr e l a t i o nare p r e s e n t e di nF i g .5 . T h e v e l o c i t yo f t h ef i r s t ,t h es e c o n d ,a n d u p t o t h e f i f t hwave i s p l o t t e das a f u n c t i o no f t h ei n i t i a t i o np e r i o d ( s e el e g e n d ) .W h i l et h ev e l o c i t yo f t h ef i r s twave o b v i o u s l yd o e sn o t d e p e n do n t h i sp e r i o d ,a l ls u b s e q u e n twaves s l o wdownw i t h i n c r e a s i n gf r e q u e n c y. F o r an y g i v e n f r eq u en c y ,t h ev e l o c i t yo f t h e s u c c e s s i v e wave f r o n t sd e c r e a s e s u n t i li tr e a c h e s a l o w e r l i m i t( f o rt h e f o u r t ha n d any f o l l o w i n gw a v e s ) .T h eh i g h e r t h ef r e q u e n c yt h el a r g e rt h i se f f e c t .T h ev e l o c i t yv a l u e su s e d i n t h i sg r a p hwere o b t a i n e df r o md a t am e a s u r e da t a room t e m p e r a t u r eo f 2 5 0 C .S m a l lc h a n g e so ft h i st e m p e r a t u r ev a l u e o c c u r r i n g d u r i n g t h e course o f t h emeasurement were s u b s e q u e n t l ye x t r a p o l a t e dt o t = 2 5 T C .T h i s was d o n eo n t h eb a s i so f t h eA r r h e n i u sr e l a t i o n s h i pb yu s i n gt h ea c t i v a t i o nenergy f o rwave p r o p a g a t i o n( E a= 3 4 . 9k J U m o l d )g i v e ni n r e f .1 4 .T h ev e l o c i t yo f t h e f i r s to x i d i z i n g

~ ~ ~ ~ 1 0

100 x o0 f0 0 . 5 1 . 0 1 . 5

T i m e , s

5 0 -

1 2

-_ . . 1 / R c i t

x

3 4 x 1 0 - 2K , 1/jan

F I G .3 . R e l a t i o nb e t w e e nc u r v a t u r eK a n d n o r m a lv e l o c i t yN asd e t e r m i n e df r o mm e a s u r e m e n t so f t h e d e p e n d e n c eo f r a d i u s R o nt i m e ( s e ee x a m p l ei n I n s e t )o f o u t w a r dp r o p a g a t i n gc i r c u l a rwaves.O p e na n d s o l i dc i r c l e sr e p r e s e n t t wo s e r i e so f m e a s u r e m e n t s .

N , g m / s

BI

2 0 0

A

0

- 1 0 0 -5 0

1 0

6 8 3 2 C h e m i s t r y :F o e r s t e r e t a l .

I 0

0

0

0

la._.0 - ? , . - . p

I-- - s.

o . ,0 0

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3/4

P r o c . N a t l .A c a d .S c i .U S A8 6 ( 1 9 8 9 ) 6 8 3 3

D = 1 9 9 6p a 2 / sc = 9 5 a n / s

- 0 . 0 5K , 1 / p m

- 3 0 0

2 0 0

*1 0 0D = 1 9 0 3J L m 2 / sc = 8 2p m / s

F I G .4 . R e l a t i o nb e t w e e nc u r v a t u r eK a n d n or m a lv e l o c i t yNb a s e do n v a l u e so fd i f f u s i o nc o e f f i c i e n tD a n dt h ep l a n ew a v ev e l o c i t yc o b t a i n e di n t h ec a s e o f n e g a t i v ec u r v a t u r ef r o mf i g u r e3 i nr e f .1 3a n d i n t h ec a s e o fp o s i t i v ec u r v a t u r ef r o mF i g .3 o f t h i sp a p e r .

f r o n ti sa l w a y s- 1 2 5g u m / s .F o r t h es m a l l e s ti n i t i a t i o np e r i o do f2 2 s , t h ed e c r e a s e o ft h e v e lo c i t ya m o u n t st o 6 1 .

D i s c u s s i o n

A s t h em o s ti m p o r t a n tf i n d i n g ,t h ec a p i l l a r yt e s t ss h o wt h a ti n t h e p r e p a r e d r e a c t i o ns y s t e m t h e r ee x i s t sa c r i t i c a lr a d i u sw i t h m a c r o s c o p i cd i m e n s i o n ,w h i c hi s n e c e s s a r yt oi n i t i a t ea c h e m i c a lw a v e . T h u s , t h er e a c t i o nv o l u m eo ft h ei n i t i a t i o ni n a n e x c i t a b l em e d i u mi s f o u n d t o f o l l o wa na l l - o r - n o n er u l e .I n E q . 2 , t h ec r i t i c a lr a d i u sc o r r e s p o n d st oN = 0 . B y i n s e r t i n gt h ev a l u e sm e a s u r e df o rn e g a t i v ea n dp o s i t i v ec u r v a t u r ef o rD a n d c D = 1 . 9 9 6r e s p1 . 9 0 3x 1 0 - 5c m 2 / s ;c = 9 5 r e s p 8 2 , u m / s ;s e e F i g .4 ) ,t h ec r i t i c a lr a d i u si s

n u m e r i c a l l ye s t i m a t e dt ob e 2 1 r es p 2 3, u m .B o t ht h i se s t i m a t ef o rR c r ta n d t h er e s u l to f t h ed i r e c tc a p i l l a r yt e s tg i v e na b o v ea g r e er e m a r k a b l yw e l lw i t h t h ev a l u ep r e d i c t e di n r e f .6 .

1 2 0f

1 0 0

* 0* . * *

*

; A A ~ ~*x x

A aA

8 0 1.

T h em e a s u r e m e n t so f t h ee f f e c to f p o s i t i v ec u r v a t u r es h o wp r o p o r t i o n a l i t yb e t w e e nt h e n o r m a lv e l o c i t ya n d t h ec u r v a -t u r eo f t h e o u t w a r dp r o p a g a t i n gw a v e f r o n t sw i t h i n t he x p e r i m e n t a li n a c c u r a c i e s .K e e n e ra n d T y s o n( 6 )o b t a i n e dal i n e a rr e l a t i o n s h i pu n d e r t h ea s s u m p t i o nt h a tt h ed i f f u s i oc o e f f i c i e n t so f b o t h r e a c t i o nc o m p o n e n t su a n d v ( s e eE q . 1 )a r ee q u a l ,w h i c hi sj u s t i f i e dw h e nc o n s i d e r i n gt h es i z e so f t h er e a c t a n t si n v o l v e d .U n d e rt h i sa s s u m p t i o n ,t h el i n e a rr e l a -t i o n s h i pi s n o t i n c o n t r o v e r s yw i t h t h en o n l i n e a rr e l a t i ob e t w e e nv e l o c i t ya n d c u r v a t u r ep r e d i c t e db y Z y k o v( 8 ,9 )f o rs y s t e m si nw h i c ho n l yo n e o f t h e r e a c t i o nc o m p o n e n t si sa b l et o d i f f u s e .I t c o u l d b e o f g r e a ti n t e r e s tt o m e a s u r et h ev e l o c i t y - c u r v a t u r ed e p e n d e n c ei n a g e ls y s t e mi n w h i c ht h ec a t a l y s t f e r r o ini s b o u n dt o t h ep o l y m e rn e t w o r k s o t h a td i f f u s i o no f t h i sc o m p o n e n tc a n n o tt a k e p l a c e .T h e na n o n-l i n e a rr e l a t i o n s h i p ,r e s u l t i n gf r o mt h ei n t e r a c t i o no f t h et w os p e c i e sw i t hd i f f e r e n td i f f u s i v eb e h a v i o r ,s h o u l db e o b s e r v e d .

T h e i s s u eo ft h ec r i t i c a lr a d i u si s i n d i r e c t l yr e l a t e dt o t h ec o n t r o v e r s i a ld i s c u s s i o na b o u tt h eh e t e r o g e n e o u so r h o m o g e -n e o u sn u c l e a t i o nt h e o r i e s .A c c o r d i n gt oT y s o n a ndF i f e( 1 5 ) ,t h eo r i g i no fa w a v ep a t t e r ni ne x c i t a b l em e d i ai s a h e t e r o gn e i t y( f o re x a m p l e ,a n a u t o c a t a l y t i cp a r t i c l eo r a t h e r m a ls t i m u l u s ) ,w h i c hl e a d st h ek i n e t i c sl o c a l l yt o o s c i l l a t o r yb e -h a v i o r .O n t h eo t h e rh a n d ,t h eB r u s s e l sg r o u p( 1 6 )s h o w st h a ti n o s c i l l a t o r ym e d i u ma l o c a li n t e r n a lm o l e c u l a rf l u c t u a t i ow h i c hc a n l e a dt oa l o c a lf r e q u e n c ys h i f tt of r e q u e n c i e sh i g h et h a nt h a to f t h eb u l ks o l u t i o n ,c a n a c tl i k ea s t i m u l u s .B o t hi ne x c i t a b l ea n d o s c i l l a t o r ym e d i a ,t h eh o m o g e n e o u so r h e t e r og e n e o u ss t i m u l u sc h a n g e so n l yt h el o c a lk i n e t i cb e h a v i ow h i c hb u i l d su p c o n c e n t r a t i o ng r a d i e n t s .F o r t h er a d i a lp r o pa g a t i o no ft h i sl o c a lp e r t u r b a t i o ns u f f i c i e n t l yl a r g eg r a d i e n t si nu ( t h ea u t o c a t a l y t i cs p e c i e s )i n a n e x t e n d e da r e a *a r en e c e s -s a r ys o t h a td i f f u s i o nc a n t a k ep l a c e .O u re x p e r i m e n t s ,p e r -f o r m e di na n e x c i t a b l em e d i u m ,s u p p o r tt h ea p p r o a c ht h a ti ns u c ha s y s t e ma m a c r o s c o p i cs t i m u l u si s n e c e s s a r yf o rw a v ei n i t i a t i o n .T h ed e t a i l e dc o n d i t i o nf o rw a v ei n i t i a t i o ni n o s c i l -l a t o r ym e d i u mn e e d st o b e f u r t h e r i n v e s t i g a t e d .

B e s i d e st h ec u r v a t u r e - v e l o c i t ye f f e c t ,t h ed i s p e r s i o no f t h ev e l o c i t yi s i m p o r t a n tf o rt h eu n d e r s t a n d i n go f t h ed y n a m i cb eh a v i o r o fs p a t i a lp a t t e r n ,e s p e c i a l l yf o rt h ef o r m a t i o no fs p i r a l - s h a p e dw a v e s .A t y p i c a lf e a t u r eo f t h ed i s p e r s i o nr e l a -t i o ni s a d e c r e a s eo f v e l o c i t yb y a n i n c r e a s ei n t h ef r e q u e n c yo fw a v ei n i t i a t i o nb e c a u s ew a v e sa r e p r o p a g a t i n gi nt h ew a k eo ft h ep r e v i o u sw a v e ,s o t h er e l a x a t i o no f t h em e d i u mi s n o tc o m p l e t e ,t h ec o n c e n t r a t i o ng r a d i e n t sd o n o t h a v et h e i rf i n a ls t e e p n e s s ,a n d ,c o n s e q u e n t l y ,t h e v e l o c i t yi s s m a l l e r .T h ev e l o c i t yr e d u c t i o nf o rs m a l li n i t i a t i o np e r i o d si s ,i n o u r c a s e ,i n t h es a m er a n g ea sm e a s u r e db y P a g o l ae t a l .( 1 7 ) 6 0 )i nt h ec a s e o fa n o s c i l l a t o r ym e d i u m( 1 8 ) .F o r s u f f i c i e n t l ys m a lf r e q u e n c i e s ,t h e r ei s e n o u g ht i m e f o rt h em e d i u mt o r e c o v e rf u l le x c i t a b i l i t yb e f o r et h en e x t w a v et r a i nt r a v e l st h r o u g ht h em e d i u mw i t hn e a r l ymaximum s p e e do f t h em e d i u m .How-e v e r ,b e c a u s eo fa g i n ge f f e c t s ,t h es o l u t i o nn e v e rr e a c h e si t sf i n a ls p e e d ,w h i c hi sr e f l e c t e db y t h ev e l o c i t yf o rp e r i o d s> 5 0s ,w h i c ha r ea l wa y s l o we rt h a n t h a to f t h ef i r s tw a v e( F i g .5 ) . t

6 0 4 -

4 0

A0 I . . i i i0 2 0 4 0 6 0

P e r i o d ,s

F I G .5 . D i s p e r s i o no f t h e v e l o c i t yo f s u c c e s s i v ea f u n c t i o no f i n i t i a t i o np e r i o d .e F i r s t ;x , s e c o n d ;Av , f i f t h ;a n d o , s i x t hwave; * , d a t a f o rs p i r a lwaves

* S i n c et h et e r m c r i t i c a lr a d i u si su s e d i nd i f f e r e n tm e a n i n g s - e . g . ,i nc o n n e c t i o nw i t h b r o k e ne n d s ( 8 ,9 ) - i t s h o u l db e p o i n t e do u t t h a ti nt h ecase o f a c i r c u l a rr e g i o no f e x c i t a t i o nc r i t i c a lr a d i u smeans t h er a d i u st h a ti snecessary t o b u i l du p s u c ha c r i t i c a l ,s u f f i c i e n t l yl a r g ea r e a , as n o t e d a b ov e .

t I ts h o u l d b e p o i n t e do u t t h a t ,b e c a u s eo f t h el o w e rv e l o c i t i e so f | s u c c e s s i v ewave f r o n t s ,t h ed i s t a n c eb e t w e e nwave f r o n t si n c r e a s e s

8 0 1 0 0 w i t h t i m e o r w i t hi n c r e a s i n gd i s t a n c e from t h e i n i t i a t i o np o i n t . F o rt h i sr e a s o n , any f o l l o w i n gwave f r o n tsees a c o n c e n t r a t i o nd i s t r i -b u t i o nt h a tc o r r e s p o n d st o a wave t r a i n i n i t i a te dw i t h l a r g e rp e r i o d sso t h a tt h e wave s p e e d su p w i t h t i m e .T h i se f f e c ti s l a r g e rt h e more

p l a n ewaves as t h e v e l o c i t i e s o f s u c c e s s i v ewave f r o n t s d i f f e r f r o me a c h o t h e r ; f o rt h i r d ;o , f o u r t h ; t h e t h i r da n d t h ef o l l o w i n gwav es , t h i se f f e c ti so n l y m i n o r ,b e c a u s es . t h ef r o n tv e l o c i t i e sare s i m i l a r .

) - u

C h e m i s t r y :F o e r s t e re t a l .

n

8/14/2019 PNAS-1989-Foerster-Critical size and curvature of wave formation in on excitable chemical medium.pdf

4/4

P r o c . N a t l . A c a d .S c i .U S A8 6 1 9 8 9 )

S p i r a lw a v e si n t h eB Z s y s t e mr o t a t ew i th ac h a r a c t e r i s t i cm a x i m a lf r e q u e n c y ,w h i c hc o r r e s p o n d st ot h em i n i m a lp e r i o do f s u c ce s s i vewave f r o n t st h a tc a n b e r e a l i z e db y t h es y s t e m .T h ed a t a f o rt h er o t a t i o np e r i o d( 1 7 . 3s ) a n d t h ec o r r e s p o n d -i n gp r o p a g a t i o nv e l o c i t y( 7 6, u m / s )f o rs p i r a lw a v e s U i nF i g .5 )m e a s u r e di n t h esame s o l u t i o na g r e ew e l lw i t h t h ed i s p e r -s i o nr e l a t i o n .

T h e r e s u l t so f t h es t u d y p re s e nt ed h er ec l e a r l yr e l a t et h em a c r o s c o p i cc r i t e r i ao f p a t t e r n f o r m a t i o nt o t h e u n d e r l y i n gc h e m i c a lr e a c t i o nm e c h a n i s m .T h e ys t r e s st h ee s s e n t i a lr e -l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec r i t i c a lc o n c e n t r a t i o na n dg r a d i e n t so ft h ea u t o c a t a l y t i cs p e c i e sa n d t h em a c r o s c o p i cm i n i m a li n i t i -a t i o nv o l u m e .

We a c k n o w l e d g es k i l l f u ls u p p o r to f U we H ei d ec k e a n dA n d r e aR i e t i gi n t h e l a b o r a t o r y .I t i s a g r e a tp l e a s u r ef o ru s t o t h a n kZ s u z s a n n aN a g y - U n g v a r a if o rv e r y h e l p f u l d i s cu s s i on s .T h i sw o r kw a s s u p p o r t e db y t h e S t i f t u ngVo l k s w a g e n w e r k ,H a nn o v e r , F . R. G .

1 . F i e l d ,R . J . B u r g e r ,M . , e d s .( 1 9 8 5 )O s c i l l a t i o n sa n d T r a v -e l l i n gW a v e si n C h e m i c a lS y s t e m s( W i l e y ,Ne wYo r k ) .

2 . F i e l d ,R . J . , K d r o s ,E . N o y e s ,R . M . ( 1 9 7 2 )J . Am . C h e m .S o c . 9 4 ,8 6 4 9 - 8 6 6 4 .

3 . B o r n m a n n ,L . ,B u s s e ,H . H e s s , B . ( 1 9 7 3 )Z . N a t u r f o r s c h .C2 8 ,5 1 4 - 5 1 6 .

4 . V i d a l ,C . H a n u s s e ,P .( 1 9 8 6 )I n t .R e v. P h y s .C h e m .2 5 ,1 - 5 5 .5 . R o s s ,J . ,M u l l e r ,S . C . V i d a l ,C . ( 1 9 8 8 )S c i e n c e2 4 0 , 4 6 0 - 4 6 5 .6 . K e e n e r ,J . P . T y s o n ,J . J .( 1 9 8 6 )P h y s i c aD 2 1 ,3 0 7 - 3 2 4 .7 . K e e n e r ,J . P . ( 1 9 8 6 )S I A MJ . A p p l . M a t h .4 6 ,1 0 3 9 - 1 0 5 6 .8 . Z y k o v ,V . S . ( 1 9 7 8 )B i o p h y s i c s2 4 ,7 3 9 - 7 4 4 .9 . Z y k o v ,V . S . ( 1 9 8 0 )B i o p h y s i c s2 5 ,9 0 6 - 9 1 1 .

1 0 . D o c k e r y ,J . D . ,K e e n e r ,J . P . T y s o n ,J . J .( 1 9 8 8 )P h y s i c aD3 0 ,1 7 7 - 1 9 1 .

1 1 . M u l l e r ,S . C . , P l e s s e r ,T h . H e s s , B . ( 1 9 8 5 )S c i e n c e2 3 0 ,6 6 1 - 6 6 3 .1 2 . M u l l e r ,S . C . ,P l e s s e r ,T h . H e s s , B . ( 1 9 8 7 )P h y s i c aD 2 4 ,

7 1 - 8 6 .1 3 . F o e r s t e r ,P . , M u l l e r ,S . C . H e s s , B . ( 1 9 8 8 )S c i e n c e2 4 1 ,

6 8 5 - 6 8 7 .1 4 . K u h n e r t , L . , K r u g , H . - J . P o h l m a n n ,L . ( 1 9 8 5 )J . P h y s .

C h e m .8 9 ,2 0 2 2 - 2 0 2 6 .1 5 . Ty s o n ,J . J . F i f e ,P . C .( 1 9 8 0 )J . C h e m .P h y s .7 3 ,2 2 2 4 - 2 2 3 6 .1 6 . W a l g r a e f ,D . ,D ew e l , G . B o r c k m a n s ,P . ( 1 9 8 3 )J . C h e m .

P h y s .7 8 ,3 0 4 3 - 3 0 5 1 .1 7 . P a g o l a ,A . ,R o s s , J . V i d a l ,C . ( 1 9 8 8 )J . P h y s . C h e m .9 2 ,

1 6 3 - 1 6 6 .1 8 . V i d a l ,C . ( 1 9 8 7 )J . S t a t .P h y s .4 8 ,1 0 1 7 - 1 0 3 0 .1 9 . F i e l d ,R . J . N o y e s ,R . M . ( 1 9 7 4 )J . C h e m .P h y s .6 0 ,1 8 7 7 - 1 8 8 4 .

6 8 3 4 C h e m i s t r y :F o e r s t e re t A