451gitudes de las ondas; de modo que conocidas que sean las rota-ciones que esperimentah dos 'rayos diferentes1 al atravesar unamisma columna de un líquido ̂ activo; y la- longitud de onda 3éuno de ellos,'se puede hallar la del otro.; Creen los1 autores' de lamemoria que aplicando esta misma ley á los rayos caloríficos,' lle-garán á poder determinarlas longitudes de las ondas de tales ócuales rayos de la parte oscura del espectro. Verdad es que se-gún Broch (Repertorium der Physik T. VII, pág. 115) no és deltodo exacta la ley de Biot, pero puede dar una primera aproxi-mación. Empleando el mismo método para' con_ él calórico dediversos orígenes, sé podrá tener un nuevo método de reconocersi las diferencias en la reflexión de estos calóricos 'en un mis-ino espejo metálico, son ó no una consecuencia de una diferenciacorrespondiente en las longitudes de las ondas.

Polarización'del calor por refracción simple : por Prevostaye yDesains.

'.(An. de Fis. duini., octubre.de 1850.)

En un trabajo anterior publicado en la tercera série de los-mismos1 Anales, tomo XXVII, hemos estudiado, dicen los autores,-la reflexión del calor polarizado en el vidrio, y hemos vistoque las fórmulas teóricas indicadas por Fresnel, para represen-tar las proporciones de luz reflejada, dan, tratándose del calor,resultados1 verificados por la esperiencia con la misma preci-sión. Debiendo estas fórmulas encerrar, en el caso de mediosdotados de la simple refracción, ya sea esplicita ó implícita-mente cuanto se sabe acerca de.la reflexión ó refracción dela luz y del calor, naturales ó polarizados, hemos creído .queconvenia' darles, en cuanto al calor, una confirmación nueva ymas amplia. Hemos; pues, tratado de deducir matemáticamentela proporción del calor trasmitido al través de una ó varias lámi-nas de vidrio bajo una inclinación cualquiera, verificando des-pués por medió de observaciones repetidas las fórmulas á quehemos llegado. Confirman nuestros primeros resultados y los

452completan, pues el fenómeno de que aquí se trata depende á lavez de la reflexión y de la refracción.

La resolución del primer caso de que vamos á ocuparnos esevidente ; pero para ordenar debidamente nuestra esposiclon,es útil considerarlo.

Reflexión y refracción en la superficie que separa dos medios.

Imaginemos un haz de luz (1) que caiga bajo un'ángulo isobre la superficie plana de un medio simplemente réfringente;supongámoslo polarizado en el plano de incidencia y de inten-sidad igual á la unidad; finalmente, llamemos R á la fracción,

—3-7:—- que. según Fresnel, represéntala cantidad de luzsen2 (i-»-r) ^ ° r

reflejada. La cantidad refractada será complementaria é igualá í—R. En este caso ni la reflexion ni la refracción cambian ladirección de las vibraciones ; por tanto, los dos nuevos rayosestán comovei primitivo, del todo polarizados en el plano de in-cidencia.

Si la luz que cae sobre la superficie fuese polarizada perpen-dicularmente al plano de incidencia , tomando también su in-tensidad igual á la unidad, y designando por R'la fraccióntanc2 (i—r)-—-^-r.—r que representa la intensidad del rayo reflejado, ten-

dríamos que 1—R' seria la intensidad del rayo refractado, y losdos rayos R' y i—R' se polarizarían completa y perpendicular-mente al plano de incidencia.

Reflexión y refracción por una lámina ó por dos superficiesparalelas.

Volvamos á tomar el haz polarizado en el plano de inciden-cia, y considerémoslo después de su paso al través de la prime-ra superficie, cuando su intensidad se ha reducido á i—R. Caesobre Ja segunda superficie de la lámina, formando un án-gulo de incidencia r y de refracción i : la fracción reflejada es

—~—r:=R. Luego la cantidad (1—R)R vuelve hacia la pri-sen2 (r-f-i) •

(i) Cuanto digamos do la luz, debe entenderse también del calor.

453mera superfìcie. Emerge de està una parte (1—R)2 R , que seune á la que se reflejó antes de toda refracción. Otra parte(l—R) R2 se refleja, y va de nuevo al encuentro de la segundasuperficie, etc. Haciendo la suma de los rayos en número infi-nito reflejados por Ia lâmina, se halla ser

R-H1—R)2 R(1+R2 +R4 -t-....)=JíL1-t-R

Se veria asimismo que salen de Ia lâmina rayos cuya sumal T>

es -—~, haciendo abstracción de la absorción. Estos dos haces,

2R j pel uno -—=r reflejado, el otro -.—^ trasmitido , se hallan ambos

completamente polarizados en el plano de incidencia.

Reflexión y refracción por un número N de superficies paralelas.

Continuando un raciocinio análogo, y conservando la mismanotación, se llega á determinar las cantidades de luz reflejadasy trasmitidas por n superficies paralelas; se halla (1)

(1) Se pueden demostrar las fórmulas (A) y (B), (A') y (B') haciendover que si son verdaderas para (n—1), lo serán también para n su-perficies. Efectivamente, el rayo primitivamente polarizado en el planode incidencia y que después de haber atravesado n—i superficies llega

j nácaer sobre Jan, esporhipótesis— —-, fracción que igualaremos

á T; el rayo reflejado por las n—i primeras superficies es ;l-t-(n-2)Rque representaremos por U. Admitido esto, se hallará fácilmente, te-niendo en cuéntalas reflexiones en número infinito, que la cantidad deluz que jísa al través de la superficie de drden n es

T(l—R)_T(1-R) (l-f-(n—2)R)____T(l+(n-2)R)_ i—R ^i—UR "~i+(n-2)R—(n—1)R2 ~ l+(n—1JR i+(n—1)R '

Del mismo modo se hallaría la cantidad de luz reflejada por las n su-perficies, pero no hay para qué buscarla directamente , pues que es

. , l—R . , , n R icomplementaria de-—• — ü jglial á -.—-.—rr= , que es lo quei-t-(n—l)ix n-(n—i;n

se trataba de probar.

454

Lus ó calor polarizada en el plano de incidencia.

Cantidad total reflejadallamando i la cantidad incidente.

(A)nR

lH-(n— 1)R.

Cantidad total trasmitidallamando i la cantidad incidente.

<B}' d-R: \;. H-(n— i)R

Luz ó calor polarizado perpendicularmente al plano de incidencia.

nR' I ,_ 1-R'ïiR • iKA') 7-7—7 ,̂ (B')i-H(n-l)R' v"' j_H(n-{)R'

No olvidemos que los haces (A) y (B) están completamentepolarizados en el plano de incidencia, y los haces (A') y (B')perpendicularmente á dicho plano.

Verificación cspcrimentai.

Al deducir de las fórmulas de Fresnel las espresiones(A), (B), (A') y (B'), liemos hecho abstracción de la difusión yabsorción. Para el vidrio pulimentado es muy poco sensible la'difusión, jpero no la absorción; esa veces muy notable si se trata•del calor.'liemos llegado á eludir esta dificultad »primero : to-mando para hacer, los esperimentos vidrios de Saint-Gobain muypuros y delgados; segundo : haciendo solo Uso del caloriquehabia atravesado antes un gran espesor de cristal. Con estasprecauciones llegamos á conseguir que la pérdida del calor fueseescesivaménte pequeña. Lo prueba la circunstancia de que, entodos nuestros esperimentos, la suma de los'efectos de los rayosreflejados y trasmitidos por una ó varias láminas bajo inciden-cias variables, han igualado siempre, próximamente, á la acciónde la radiación directa. Finalmente, y para abreviar tambiénerrores que pudieran haberse supuesto despreciables, se tomabapor término de comparación, por unidad, no ya la intensidad do

4î>£>

los rayos directos, que habría sido atgo e'scesiva, sino la sumade las intensidades délos rayos trasmitidos y reflejados;

Procedia el calor empleado de una lámpara de Argand , pro-vista de.su chimenea. Los rayos emitidos caían á una distanciade 55 centímetros sobre una lente de vidrio, cuya distancia focalera de unos 14 centímetros, y que en seguida se desviaban enun prisma de espato acromatizado, cuya sección principal se ha-llaba, según el caso , horizontal ó vertical. Una de las imágenespolarizadas en un plano conocido, era recibida sóbrela lámina ópila de láminas de cristal, puesta de antemano con la inclina-ción conveniente, y la parte trasmitida ó reflejada iba ensegui-da á caer sobre la pila del aparato termo-eléctrico. Las desvia-ciones del galvanómetro daban la medida de las intensidades.

Pondremos al lado unas de otras las intensidades observadasy las que dan las fórmulas, admitiendo para el 'vidrio de Saint-Gobain y para el culoi empleado el índice 1,49.

Calor polarizado en el plano de incidencia.

Inclinación de la láminao láminas para con los

rayos incidentes.

Intensidad observada del rayo Irasmi-üiio, ó sea relación de esta intensidadà la suma de tas intensidades del rajo

reflejado y del trasmitido.

Intensidad calculadapor la fórmula

í~ Rl-)-(n— 1)R

60° (a)70

CO70

SOÇO70

Esperimentos con una Iantina.

0,7060,541

Esperimentos con dos láminas.

0,8420,370

Esperimentos con tres láminas.

0,SSG0,4390,282

0,7050,544

0,S440;374

0,583-0,4440,285

(a) Se colocaban las láminas de modo que estuviesen inclinadas su-cesivamente GO" ú derecha y 60° á izquierda, coìi la; dirección deshazy se tomaba la media de los resultados obtenidos en dichas posiciones.En todos los casos se procedia' del mismo modo.

60

Esperím entos con cuatro láminas(a).

0,396 0,374

Calor polarizado perpendicularmente al plano de incidencia (b).

7b°

7S

7»75

Esperimenlos con una lámina.

0,802

Esperimentos con dos láminas.

0,676

Esperimentos con tres láminas.

0,7750,583

0,806

0,675

0,7880,081

Calor natural.—índice normal.

Intensidadobservada del

rayo trasmitida.

0 920,8350,800 73

Intensidadcalculada.

0,920 8570 800 75

Goncuerdan tan bien, quo podemos dar por plenamente confir-madas por la esperie noia las fórmulas (A), (B), (A') y (B').

(a) Si se empleasen un gran nùmero de láminas ó se diese á lapila de vidrios grandes inclinaciones, seria difícil recibir todos los ra-yos reflejados) sobre la pila termo-eléctrica. La esperiencia daria ental caso resultados intermedios entre Jos que indican ias fórmulasy los que se hallarían no tomando en cuenta las reflexiones en númeroinfinito.

(b) Las intensidades de la tercera columna se calculan cu este caso

por la fórmula 1+(~TI)R>

4S7

Examinaremos por tanto algunas de las consecuencias á quepueden conducirnos.

Teorema de Mr. Arago sobre la igualdad de las cantidades de luspolarizada contenidas en el rayo reflejado y en el refractado.

Ha demostrado Mr. Arago esperimentalmente, que cuando ¡aluz natural cae sobre una lámina de vidrio de caras paralelas, elrayo trasmitido y el reflejado contienen uno y otro cantidadesiguales de luz polarizada en planos rectangulares.

Por otro lado, se trata en las obras de física de probar teó-ricamente la misma proposición, deduciéndola de las fórmulasde Fresnel; pero solo se ha conseguido para el caso en que seconsideran la reflexión y refracción nacidas de una sola super-ficie. Mr.Brewster, en las Transaciones filosóficas de 1830, pági-na 145, asegura que la prueba esperimental hecha por Aragoes necesariamente errónea, puesto que, si es verdadera laproposición para una superficie, no es posible que lo sea para unalámina.

Por raciocinios cuya reproducción en este lugar no es delcaso, cree probar que Mr. Arago ha podido tomar como igualesdos cantidades de luz que, en ciertos casos, pueden llegar á serdobles, triples y aun cuádruples una de otra. La conclusión esestraña, pero los raciocinios son inexactos. Mr. Brewster no to-ma en cuenta en sus cálenlos mas de una ó dos reflexiones; de-biera haber tenido presente que son infinitas.

Ocupémonos de esta cuestión á fondo.

Caso de una. super fide.

La luz natural que cae sobre la superficie se puede conside-«rar compuesta de dos haces de intensidad jgual á una mitad,el uno polarizado en el plano de incidencia y en un planoperpendicular á este el otro. Por tanto, la cantidad total de

1 1luz reflejada es -^-(R+R'), y la de luz refractada es y(l—R)+.

jd-R1).Sea cual fuere i, el valor de R es siempre mayor que el de

4aSR'; por tanto, en el rayo reflejado, domina la luz polarizada enel plano de incidencia. Lo contrario acontece en el rayo refrac-tado, pues 1—R'^.1—R. Podemos, pues, considerar al primero,

como compuesto de dos partes; una — (R—R') polarizada

en el plano de incidencia; otra R' que se conduce como la,luznatural. Asimismo podemos considerar al rayo refractado com-,

i i ipuesto de —(1—R')——(1—R)=—(R—R') de luz polarizada per-

¿t ¿t £

pendicularmente al plano de refracción , y de !•—R de luz na-tural.

Vemos, pues, que en este caso el teorema es evidente.

Caso de una lámina.

La cantidad de luz reflejada por una lámina debe ser

R R' ! . M I * vj ìrj~R í—R'io-ïïïrïTa" y la cantldad trasmitldaTLrpl'+ìTR'JlSien'do R mayor que R', el término-—-, que representa la parte

de luz reflejada polarizada en el plano de incidencia, es tambiénR'

mayor que -——, que representa la parte polarizada en el pla-

no perpendicular. Podemos, pues, considerar á los rayos refleja«2R'

dos como formados de una cantidad^——de luz natural y de

una cantidad

R R' R—R'!(a)

IH-II 1-t-lV (lH-R)(l-t-R')

de luz polarizada en el plano de incidencia.. , 1—R' 1—R ,

Asimismo , siendo 7—— mayor que —-, podemos con-l + U l-)-n

siderar á los rayos trasmitidos como compuestos de una cantidad

-—- de luz natural y do una cantidad

J_rl-U'-| ÍT'JZÍTU R~n>

^ 2LI-hR'J 2LI+1U (H-R)(l+R')

459de luz polarizada perpendicularmente al plano de incidencia.Siendo iguales las dos espresiones (a) y (b), ningún fundamentotienen los cargos de Mr. Brewster.

Podemos avanzar mas, y hacer ver que cuando la luz natu-ral cae sobre una pila de vidrios, la cantidad de luz polarizadacontenida en los rayos trasmitidos, es igual á la cantidad de luzpolarizada contenida en los reflejados.

Caso de una pila 'de vidrios.

iDesignemos por-^-n el número de vidrios, siendo n un nú-

À

mero par que representa el número de superficies; tendremos:

u « • j l f ' nR nR' -]Haz reflejado. . ^-p-^——,],

,T . ..., * r i-R i—R' ~\Haz trasmitido, -^--ç.^^——,].

La cantidad de luz polarizada contenida es en el primercaso;

i r • "R • . _ _ . . ' '"R' 1_ —n(R—R')•TL<H-(n-i)R--iH-(n-ORd-(i+(n_.i)R)(<H.(n_i)R>)

en el segundo ;

l r 1-R' j—R -[_YL i+(n-l)U' ~~H-(n-l)Rj~

n(R—R')

l+(u-l)R' l+(n-l)Rj (1^(n_1)uxl+(n_1)HO

Puede por tanto enunciarse el teorema del modo mas ge-neral.

460

Teoría de las pilas de vidrios.

La teoría de estas pilas estriba del todo en las fórmulas.

, . nR ,„. nR'(O j . ,„ »d. (2)

í+(n_l)R' \ i i-)-(n—i)R''.

m , *-R iñ *-R 'W W/n_,^'> .(4) .lH-(n—1)R ' A ' • l4-(n—1)R'

que dan las cantidades de luz ó de calor reflejadas ó trasmitidascuando se polariza el rayo incidente en el plano de incidencia,ó en otro perpendicular á este.

Vamos á deducir de aquí la rotación del plano de polarizaciónproducida por una pila de vidrios cuando se hace caer sobreella rayos caloríficos ya polarizados; la cantidad total de calorreflejado ó trasmitido cuando es natural el calor incidente; final-mente, la cantidad absoluta y también la proporción de calor po-larizado contenido en el rayo reflejado y en el trasmitido.

Rotación del plano de polarización producida por una pila de vi-drios cuando se hace que sobre ella caiga calor primitivamentepolarizado.

Llamemos «, p y if/ á los ángulos formados con el plano dereflexión por el plañó de polarización primitivo y por los dosplanos de polarización de los rayos reflejados y de los trasmi-dos; valiéndonos de las ecuaciones (1) y (2), se halla fácilmente

.„. . , . _ R'r l+(n—l)Rn(5) tan* p=utf ^j-j-L-jL],

y valiéndonos de (3) y (4),

,.. . « i . o rl-R'-irl+fn—OR-1(6) tan* *=Un8 .[—Jfj-L-—,].

Como 'que —=c . ,.—Desuna fracción menor que la unidad,•H R cos2(i—r) '

ácil es ver que en igualdad de circunstancias, el plano de po-

461larizacion del rayo reflejado se acerca con tanta mayor lentitudal plano de incidencia, cuanto mayor número de vidrios contie-ne la pila.

. \ R' 4La relación (6), en la cual -—-=——— hace ver asi-

1—R cos2 (i—r)mismo que el plano de polarización del rayo trasmitido se ale-ja tanto mas rápidamente del plano de refracción, cuanto mayores el número de las láminas.

Cantidades de luz ó calor trasmitidas y reflejadas por una pila devidrios siendo natural la luz incidente.

Ya hemos dicho que estas cantidades son:

. J r nR nR' -|( ' 2Ll4-(n—•l)R~f~l4-(n-i)R'.r

(8) * r *-R . t-R' i1 ' 2 Ll -h(n~l)R l+(n—1)R'J1 -t-(n—i)R l+(n—1)R'.

Fácil es deducir de (7) que la cantidad de luz reflejada au-menta con el número do láminas y llega á la unidad cuando esinfinito este número, sea cual fuere el ángulo de incidencia. Escon todo preciso esceptuar, como caso matemático, el ángulode polarización completa.

Cantidades absolutas de luz polarizada, contenidas en el rayo rc~flejado y en d trasmitido cuando es natural el calor incidente.

La espresion

« _. ?™(l-Kn-l)R)(l+(n-l)R')

ha sido ya citada. Nos limitaremos á hacer notar que indicaque, para una incidencia dada distinta del ángulo de polariza-ción total, la cantidad absoluta de calor polarizado disminuyesegún va en aumento el número de láminas.

462

Proporción de calor polarizado contenido en el rayo reflejado y enel trasmitido, siendo natural el calor incidente.

Esta proporción en el rayo reflejado es :

nR nR'

(io) i+(n-l)R~~l+(n-OR:_ R-R'nR nR' R-i-R'+2(n—1)RR'.:

l+(n—i)R+l+(n—1)R'

en el rayo trasmitido es :

1-R' l—Rd-t-(n—I)R' l-H(n—1)R_ n(R—R')

( ' 1-IV i—R ~2H-(n—2)(R+R')—2(n-QRK'.H-(n_l)lV+l-H(n—1)R

Hemos determinado directamente la proporción de calor po-larizado contenido en el rayo reflejado, fundándonos en las si-guientes 'consideraciones :

Sea p la cantidad de calor polarizado contenido en el rayo re-flejado y n la cantidad de calor natural ; la espresion (10) podrá

escribirse Jí.—. Para hallar el valor de esta fracción, es'precisoj)H-M

conocer^ y n. Podremos conseguirlo recibiendo el haz reflejadototal=p+)i sobre un espato cuya sección principal se coloquesucesivamente paralela y perpendicular al plano de reflexión

En el primer caso, la cantidad trasmitida será k (p-f-—w); en el

\segundo, la cantidad trasmitida será k —;¿.

¿i

Dividiendo la diferencia de las desviaciones por la suma, ten-

dremos ——.p-Hi

Nos ha fallado el tiempo y escaseado el sol este verano, asíque solo en tres puntos hemos podido hacer esta verificación.Empleando los rayos solares, hemos hallado las proporciones decalor polarizado siguientes :

•Í63

Calculada con elObservada. indice i,Sì.

A 10" 0,303 0,39675° (1,574 0,08770" 0,73. 0,76

Vamos á discutir la ëspresion (11) que da la proporción decalor polarizado contenido en el rayo trasmitido ; .pero antes re-cordaremos lo que acerca de este punto liemos hallado en lasMemorias de Mr. Melloni (Annales de Chimie et 'de Physique, se-gunda serie , tomo LXV, p. 50.)

Hé aquí sus proposiciones :. l.° La proporción de calor polarizado (por trasmisión) por

las pilas, es tanto mayor, cuanto menor es e! ángulo en que losrayos encuentran la superficie.

2.? En las pilas compuestas de suficiente número de elemen-tos , la polarización calorífica llega, bajo cierto ángulo de incli-nación, a u n máximo de efecto que retiene después para todaslas inclinaciones menores, que pueden formar sucesivamentelos rayos con las láminas.

5.° La inclinación, contada siempre á partir de la superficieen donde principia á notarse el efecto invariable , aumenta conel número de láminas que entran en la composición de la pila.

He aquí las nuestras :Primera proposición. Cuando se reduce la pila á una lámina

única, la proporción de luz ó calor polarizado (1) en el rayo tras-mitido, va en aumento hasta el ángulo i=90° contado á partirde la normal. Llamando x al índice, será

ÍLZL^O^OSS, para*=i,S2.

Segunda proposición. Dicha proporción es siempre la mismapara í=90°, sea cual jfuere el número de láminas.

Tercera proposición. En el momento en que se emplea unapila formada de varias láminas, la proporción de calor polarizado

(1) Debemos hacer notar que conservatilo«! aquí á la espycsion pro-porción de calor polarizado su sentido ordinario, el que le dio Fresnely la mayor parte de los físicos. Mr. Melloni da distinta definición, comopuede verse en los Annales de Chimie et de Physique, segunda sérietomo LXV, p, 26.

464

en el rayo trasmitido tiene un verdadero máximo. Esto máximo,cuando se emplean

Dos láminas, se presenta cuando. i=77" 51'Tres láminas . ¿=74° 41'Diez láminas i=64° 52'

Cuarta proposición. Aumentando mas y mas el número de lá-minas, el ángulo en que se presenta la proporción polarizadamáxima se acerca mas y mas al ángulo de polarización completay el máximo mismo se acerca cada vez mas á i.

He aquí la demostración de estas proposiciones :La proporción de calor polarizado en el rayo trasmitido está

dada por la fracción,n(R—IV) .

2+(n—2)(K-i-R')—2(n—1)IW

Para abreviar la representaremos por P. Sea

sen2 (i—r)—x2 ,sen2 (Í4-r)=y2 ;

podremos escribir :••~ X2

R=ylf',., * o-*2 ).I l-yí(l-X») -

Sustituyendo, reduciendo y suprimiendo elfactory2 —x2 , co-mún á numerador y denominador, hallamos

nx2 v2

W P=; y~2(y2 —x2 )+nx2 (2—ya )

« i 72 sen2 (i+r) . •Para n=<*>, P se reduce a-—-—- ¿——-, cuyo maxi-2—y2 2—sen2 (i-t-r) J

mo corresponde ai+r=900, es decir, al ángulo de polarizacióncompleta y es igual á la unidad.Esto pruébala cuarta proposición.

Para i=90°, tendremos y=x. Luego en este caso y sea cualJ.2

fuere n , se reduce el valor de P á-——. Representando al ín-

dice por x, tendremos, para ¿=90°,

465j ¡ -i2 J

senr=— , f- =sen2 (90-t-r)=cos2 r=——

v2 ,3 __iLa fracción 9 J â viene ¡i ser -—-. Lo que justifica la se-

•**~~"j " A ~Hi

gunda proposición.Para seguir adelante, Irasfbrmaremos nuevamente el valor do

P dado por la ecuación (1).Sentemos

sen i=u,senr^v;

Tendremos

x=uVl—v2 —w/1—u2 ,y=uVÍ— V2"+Wl—U2 .

De donde

X2 y2 =(U2 _-v2 )2 ,

y2 _x-2 —4uvVl_u2 /1_V2 ,

2x2 _j2 y2 =2(U2 +V2 )_(U2 +V2 )2 _4Uv/J_u2 /1—^2

Sustituyendo en (1), hallamos:

n(u2 —v2 )2(2) P=

n(X2 H-i)[aX2 —U2 (X2 -i-J)J-(n—2)4X2 •i—uay^ —u2 *

Observando que v=—, sustituyendo y reduciendo,A

D nu» (X2 -1J2Jr-^- -- —* '• " • " I-J--1- - m

n(X2 -hl)í"2A2 —u2 (X2 4-i)J_(n—2)4X2 v/1—u2'v'xa — u2

Sin=2, desaparece el'segundo término del denominador;pero creciendo u~ con i, crece el numerador y disminuye el de-nominador según que u va acercándose á la unidad. Para i=909,

A2_ 1M=;l y P= -,—j-, lo que anunciamos en la primera proposición.

>.- -+-1 30

466

Si n->2 , hay un máximo. Diferenciando (2) é igualando ácero la diferencial, se ve que tiene lugar cuando

(3) n(x2 -H/í^rí v/A'2 —«ü =(n—2)[a>.2 —u2 (x2 -M)],

y que por tanto el valor máximo es

n2 U2 (>2 -H)(X2 —1)2(i)fn(A2 -4-1)2 _4X2 (n—2)2 1 ["2X2 —U2 (>.2 -H)~j

La ecuación bicuadrada (5) nos da el valor de u correspon-diente al máximo. Reemplazando «j x por valores numéricosparticulares, se tiene una ecuación que da á conocer el valor deM ó sen. i correspondiente al máximo. Así es como se lian halladolos ángulos correspondientes á la tercera proposición.

Pilas de vidrios paralelas ó cruzadas.

Cuando cae el calor natural sobre una pila de vidrios, mas ómenos inclinada sobre el eje del haz, se puede, corno lo hemosvisto, representar la intensidad del rayo emergente por

1 / A T , - ! 1—R 1-R'—(pH-p'), haciendo2 V1 r" I-KU—1) R ' Ji+(n-i) R~

También hemos dicho que la proporción de calor polarizado

p—Pque contiene, esta representada por -í—-.p-t-¡)

Para determinar el valor de esta relación, podemos echar manodel siguiente método :

Detrás de la primera pila y á cierta distancia, coloquemos otrasegunda pila idéntica á la primera, e inclinada lo mismo, y de-más sucesivamente á los planos de refracciones, posiciones pa-ralelas y perpendiculares entre sí. Eu la primera posición, la

1cantidad de calor que atravesará ambas filas será -^ (p3 +?43J;

en la segunda será p,3.' Si dividimos, pues , la diferencia de es-

A'-pYlas cantidades por su suma, tendremos! T-O I , cuya raiz cua-

467drada será Ia espresion buscada que da á conocer, cual es , enel haz emergente de la primera pila, la relación del calor pola-

1 1rizado—- (f—p) con el calor total -g (p'+p).

Reflexion y refracción del calor y de la luz por las superficiesparalelas de separación de varios medios sucesivos que supondré-mos estar en contacto y ser de diversas naturalezas.

Nos referimos especialmente á los líquidos comprendidos en-tre láminas muy delgadas de vidrio, pero indicaremos aquí lasfórmulas generales.

Admitiremos las fórmulas de Fresnel, y por tanto supondre-mos que se aplican al caso en que la luz pasa de un medio á otro,con tal que en la relación entre los ángulos de incidencia y re-fracción , se tome la incidencia conveniente. Designaremos comohasta aquí por R y R' los valores que en la primera superficietoman las fracciones

sen2 (i—r) lanS (i—r),sena (i+r) í tartf (i+r)

y porR Ri R2 Ro . . . . .R'R'l R'2 R'r,

el valor que toman dichas fracciones en ias superficies suce-sivas.

Se, halla sin dificultad ninguna :

LIK v calor polarizado en el plano de incidencia.

Cantidad reflejada por dos superficies. .— •—*

(1_R) (1—Ri -,Cantidad trasmitidapor dos superficies. .— „^ •

Cantidad reflejada por tres superficies :

R+H! +R2 —2(I\Ri +RR-2 H-Ri RÎ )+3Ri RR2 .l_(imt -f RR? -t-Rí R2 )-t-2RRi R?

468Cantidad trasmitida por tres superficies :

(i-R)(i-Ri )(i-R2 )1—(RRi +RR2 -4-Ri R-2 )+2RRi Ra

Haciendo

R-f-Rl -+-R2 . . . .4-Rn-i=2R;

la suma de las combinaciones dos á dos :

RRl +RR2 -K . .4-RRn-n-Rl R2 -K . .=sRRt ;

La suma de las combinaciones tres á tres :

RRl Ra +RRj R3 4-, . , .RRi Rn-i+Ri R2 RÕ +. . . .=sRRi Rs ;

se halla :

0)

(2)

Cantidad reflejada por n superficies

2R— 22RRi +3;sRRi R2 —42RRi RÍ Rs -4-....d:nRRi ....Rn~i1—2RRl +2sRRi R2 —3sRRi R2 Rs -f-....±(n—l)RRi2....Ra_i

Cantidad trasmitida por n superficies

(i-R)fi-Ri )(t-na )....(l-Rn-i)1—2RRi H-2^RRi RÌ -32RRi R2 Rs +...±(n—l)RHi R2 ...Rn-i

Si se polarizase la luz incidente perpendicularmente al planode incidencia , las fórmulas serian exactamente de la misma for-ma. Solo habría que reemplazar en (i) y (Ü), RRi ,....R n—iporll'R'i ....,R'n—i .

Haciendo en las dos fórmulas primeras

R=Rl =R2 =. . . ,=Rn_i,

y en las dos últimas :

R'^R'i =R'a =. . . .=R'n-l,

se vuelve á las espresiones dadas al principio de esta Memoria,

469relativas á láminas de vidrio paralelas separadas por capas deaire.

En el caso en que se considere un líquido metido entre dosláminas de vidrio , se tiene :

RS =R,R2 =Ri,R's =R',R'2 =R'i .

Si so polariza la luz incidente en el plano de incidencia , lacantidad trasmitida es

(t-R)3 (1-Rl )2 .

1—4RR| -R2 —Ri 2 +4RR.I 2 +4R2 Ri _3R2 Ri 2

Finalmente , si se quiere determinar la cantidad de luz-ó!decalor trasmitida al través del agua, haciendo abstracción de laabsorción , en el caso de incidencia normal, se hace

R=—=0,04, Ri =--=0,0034671;

y efectuando las sustituciones , se halla que la cantidad trasmi-tida es 0,917. De lo que se deduce que se puede no hacer casode las reflexiones que se efectúan en las superficies de contactodel vidrio y del agua, y solo tomar en cuenta las reflexiones quese efectúan en las superficies de entrada y salida.

Siendo muy pequeña para todos los líquidos la cantidad Rireflejada en la superficie que los separa del vidrio, para todosellos se deduce la misma consecuencia.

ELECTRICIDAD.

Investigaciones sobre la conductibilidad de la tierra: por Matteucci.(l' Insütul., núm. 876.)

Se dio cuenta de estas investigaciones en la sesión XX de laAsociación Británica para el adelanto de las ciencias, celebradaen Edimburgo en julio y agosto de 1850. Es preciso confesar