Poly09-12 - Comportement Des Massifs v2-7 Rj

5/24/2018 Poly09-12 - Comportement Des Massifs v2-7 Rj

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TGC Vol. 18 Vulliet/Laloui/Zhao - Version partielle et provisoire - PPUR - Septembre 2009

12 Comportement des massifs12.1 Introduction

Les contenus des chapitres prcdents sont utilises ici pour analyser quelques problmes concrets,qui font intervenir des conditions initiales et aux limites particulires, et pour en tirer des relations quiserviront de base au dimensionnement douvrages. Dans le domaine des fondations, on traitera larpartition des contraintes en profondeur et on analysera comment des surcharges en surface sont mme

de provoquer des tassements et des instabilits. Dans le domaine des crans de soutnement, ondveloppera les thories lmentaires permettant de calculer les pousses derrire les murs. Dans ledomaine des pentes, on prsentera les mthodes de calcul de leur stabilit. Finalement, dans le domainedes cavits souterraines, et en particulier celui des tunnels, on analysera les tats de contrainte et leurredistribution lors de la creuse, ainsi que les dformations induites.

Ce chapitre ne traite pas du dimensionnement des ouvrages proprement dit, et se concentre surlanalyse du comportement des massifs de sol et de roche.

12.2 Fondations12.2.1 Rpartition des contraintes dues au poids propre du terrain

Les massifs de sol et de roche sont pesants. Leur densit provoque des contraintes internes qui vontconsidrablement influencer le comportement mcanique. En effet, comme il a t vu dans les chapitresprcdents, et en particulier au chapitre 9 concernant les lois de matriau, le comportement non linairedes gomatriaux est fortement influenc par ltat de contrainte initial. En consquence, il estfondamental de pouvoir valuer ces contraintes en place.

Linfluence de leau joue galement un rle cl, puisque les pressions interstitielles influencentdirectement les contraintes effectives.

Massif semi infini homogne sans eau

Soit le massif semi infini homogne isotrope dont la gomtrie est dfinie la Fig. 12.1. Lesquations de conservation de la quantit de mouvement dans le cas statique sont en fait des quationsdquilibre qui scrivent simplement :

0 ( ) 0ij

ij

g ou div gx

+ = + =

(12.1)

et qui se spcialisent dans notre cas, en raison de la symtrie et du fait que les axes sont des directionsprincipales, un cas unidimensionnel trs simple:


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2 MCANIQUE DES SOLS ET DES ROCHES


0z gz

+ =

(12.2)

Cette quation diffrentielle se rsout en posant la condition aux limites

( 0) 0z z = = (12.3)

puisquaucune surcharge ne sapplique en surface (plan dfini par 0z= ) et donne la rpartition descontraintes en fonction de la profondeur :

( )z z gz z = = (12.4)

Fig. 12.1 : Massif semi-infini pesant

La contrainte totale verticale en un point du massif est tout simplement gale au poids de la colonnede terrain situe au-dessus du point et agissant sur une surface unitaire. On constate que cette contrainteverticale est indpendante des proprits mcanique du massif. Ceci nest pas le cas de la contraintehorizontale. Pour lexprimer, il faut par exemple faire lhypothse dun comportement lastique isotrope(Chapitre 9). Dans le cas de dformation uniaxiale (le massif ci-dessus, par raison de la symtrie ne peutse dformer que verticalement) :

' ' '0( ) ( ) ( )x y zz z k z = (12.5)

avec, en thorie de llasticit, le coefficient de pousse des terres au repos

0 1k

=

(12.6)

soit dans le cas simple sans eau (u = 0) :

( ) ( ) ( )1 1 1x y z

z z z gz z

= = =

(12.7)

La rpartition des contraintes en profondeur est reprsente la Fig. 12.2.


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CHAPITRE 12 3


Fig. 12.2 : Distribution des contraintes dans un massif semi-infini homogne pesant (sans eau)

Massif semi infini htrogne sans eau

Soit un terrain form de ncouches horizontales. Chaque couche ( 1, )i i n= est caractrise par une

paisseur iz , un poids volumique i et un coefficient de pousse au repos 0ik . Dans ce cas,

lintgration de lquation xxx conduit une sommation des poids des couches pour trouver la contrainteverticale en un point situ dans la couche icomme :

1 1

couche k1 1

( )k k

z i i k i

i i

z z z z

= =

= +

(12.8)

A nouveau, la contrainte verticale en point du massif est tout simplement le poids de la colonne deterrain situe au-dessus et agissant sur une surface unitaire.

Pour valuer la contrainte horizontale, la mme quation (12.5) sapplique en tout point :

0couche i couche i couche i( ) ( ) ( )

ix y zz z k z = (12.9)

Cette fois, comme 0kprsente un saut de valeur chaque limite de couche, la contrainte horizontale

subira galement un saut de valeur. Ceci est illustr la Fig. 12.3.

Fig. 12.3 : Distribution des contraintes dans un massif semi-infini htrogne pesant (sans eau)


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Massif semi infini avec nappe au repos

Dans le cas o une nappe au repos, soit sans coulement, est situe une profondeur wz , la pressioninterstitielle vaut (en ngligeant la succion matricielle) (Fig. 12.4) :

0 ( )( )

( ) ( )w

w w w

z zu z

z z z z


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CHAPITRE 12 5


Cas particulier

Dans le cas particulier du massif semi infini homogne avec nappe au repos confondue avec le terrain( 0wz = ), en substituant les quations (12.4) et (12.10) dans (12.11) et en admettant que le sol soit satur

(cest--dire que le poids volumique soit sat ) on trouve :

' ( ) ( ) ( ) ( ) 'z z sat w sat wz x u z z z z z = = = = (12.14)

Dans ce cas trs particulier, la contrainte effective verticale est simplement gale au poids de lacolonne de sol djaug situ au-dessus du point considr (Fig. 12.5).

Fig. 12.5 : Cas particulier de la nappe au repos confondue avec le terrain

Nappe en coulement vertical

Dans le cas o la nappe est en coulement vertical, soit en phase de rabattement de nappe par

drainage vers le bas ou en cas dalimentation par apport depuis le bas, la seule diffrence rside dans larpartition des pressions interstitielles qui nest plus hydrostatique, mais doit se calculer en fonction dugradient hydraulique comme prsent dans le chapitre 5. Une fois la distribution ( )u z connue, le procdreste le mme pour dterminer la contrainte verticale effective puis les contraintes horizontaleseffectives.

12.2.2 Charge en surfaceCharge uniforme dextension infinie

Dans le cas de charge en surface de grande ampleur (remblais par exemple), les dimensionshorizontales sont plus grandes que lpaisseur des terrains compressibles (Fig. 12.6). Dans ce cas,lhypothse de dformation uniaxiale sapplique et lanalyse reste simple : par le principe de

superposition, on ajoute aux contraintes verticales dues au poids propres la valeur de la contrainteuniforme en surface, q :

poids propre( ) ( )z zz q z = + (12.15)


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Fig. 12.6 : Cas dune surcharge infinie et sa modlisation

Charge concentre

Le problme de la charge concentre agissant la surface dun massif semi infini a t rsolu pour unmassif lastique homogne isotrope par Boussinesq1 en 1885 (Fig. 12.6Fig. 12.7). Il est aussi appelproblme de Flamant2.

Fig. 12.7 : Problme de Boussinesq

La solution analytique donne les contraintes au point ( , )P r z :

2 2 5 / 2 2

2

2 5 / 2 1/ 2 2

2 1/ 2 3/ 2 2

2 5 / 2 2

2

3

2 (1 ( / ) )

1 3 1 2

1 2 1 1

23

2

avec 1 ( / )

z z

r r

rz zr

Q QI

z r z z

Q r QI

zz N N N z

Q QI

z N N N zQ r Q

Iz zN z

N r z

= =+

= = +

= =

+ = =

= +

(12.16)

1 Joseph Valentin Boussinesq, hydraulicien et mathmaticien (Saint-Andr-de-Sangonis 1842 - Paris1929)2Alfred-Aim Flamant, ingnieur (Noyales 1839 - disparu pendant la guerre 1914-1918)


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CHAPITRE 12 7


et o zI , rI , I et rzI sont desfacteurs dinfluencedonns la Fig. 12.8.

Fig. 12.8 : Solution du problme de Boussinesq

Autres charges en surface

En appliquant le principe de superposition valable en lasticit, des solutions ont t proposes enintgrant la solution de Boussinesq pour des charges rparties sur des surfaces rectangulaires ou


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circulaires. Les solutions prsentes sous forme graphique dans les figures suivantes correspondent defait des fondations souples, sans frottement linterface.

Fig. 12.9: Contraintes verticales zdans le sol sous langle d'une surface rectangulaire charge uniformment


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CHAPITRE 12 9


Fig. 12.10 : Contraintes verticales zdues au poids des terres latrales dans le cas d'une fouille infiniment longue


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Fig. 12.11: Contraintes verticales zdans le sol au dessous d'une surface circulaire charge uniformment


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CHAPITRE 12 11


Fig. 12.12: Contraintes verticales zdans le sol au-dessous d'une surface rectangulaire soumise une chargetriangulaire


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Les diffrentes reprsentations utilises pour illustrer la distribution des contraintes verticales sousune surface charge en profondeur sont schmatises sur la Fig. 12.13. On peut noter que les contraintessont maximales le long de l'axe passant par le centre de la surface charge et qu'elles diminuent enfonction de la profondeur et de la distance horizontale par rapport l'axe central.

Fig. 12.13: Reprsentations de la distribution des contraintes verticales z

Pour un calcul approximatif, on utilise parfois une diffusion simplifie comme indique sur la Fig.12.14. Elle est aussi appele approximation 60 (car la diffusion suit une pente de 2:1). Danslhypothse dun sol homogne et isotrope, la distribution des contraintes selon les thories dcrites ci-dessus est indpendante de la nature du sol. En dautres termes la contrainte en un point est la mme quele sol soit argileux ou sableux.

Dans le cas dune semelle filante de largeurB(et de longueur infinie ), on a :

( )zqB

zB z

=+

(12.17)

alors que pour une semelle rectangulaire de largeurBet de longueurL, on a :

( )( )( )z

qBLz

B z L z =

+ + (12.18)


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CHAPITRE 12 13


Fig. 12.14: Distribution simplifie des contraintes verticales sous une fondation rectangulaire

12.2.3 Estimation des tassementsLe sol se dforme quand il est charg par les fondations d'un ouvrage ou par le poids d'un remblai. On

appelle tassementla dformation verticale du sol en un point en surface sous une fondation ou remblai.

Sol lastique, homogne et isotrope

Le tassement, s, d'une fondation flexible transmettant au sol une charge uniformment rpartie peuttre calcul selon la formule suivante et avec l'aide des abaques de la Fig. 12.15 :

( )20 1 1qB

sE

= (12.19)

avec les hypothses de fondation flexible et de charge uniformment rpartie, avecE le module d'lasticit et le coefficient de Poisson. Le tassement moyen est donn par la moyenneentre le tassement calcul au centre et le tassement calcul au coin.


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Fig. 12.15: Paramtre 1 et 2 pour le calcul des tassements d'une fondation sur sol homogne

Sol stratifi

Dans le cas d'un sol stratifi constitu de couches horizontales de nature et de dformabilit

diffrentes, les tassements sont calculs selon la dmarche suivante (voir Fig. 12.16) :

diviser le massif de sol en plusieurs couches caractristiques; choisir les paisseurs des couches enfonction de la stratigraphie, de la variation du module oedomtrique avec la profondeur et de laprcision des rsultats que l'on veut obtenir ;

calculer l'augmentation des contraintes au milieu de chaque couche selon la thorie de diffusiondes contraintes dcrites plus haut ;

calculer le tassement de chaque couche en tenant compte de son module de dformation ;


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CHAPITRE 12 15


cumuler ensuite les tassements par couche pour obtenir le tassement total sous la fondation.

Fig. 12.16: Calcul des tassements d'une fondation sur sol stratifi

Le tassement, is ,de la couche "i",situe la profondeur iz et d'paisseur iz se calcule par :

,

'ii i

oed is zE

= (12.20)

avec 'i lincrment de contrainte effective verticale et ,oed iE le module oedomtrique dans la

couche i. Le tassement total en surface, s, est alors donn par la somme des tassements de chaque couche:

1

n

i

i

s s=

= (12.21)

Dans le cas des sols fins (argile, limon argileux), on utilise un module de dformation obtenu partirde la courbe domtrique (voir 10.9). Il est noter que le module domtrique dpend de l'tat decontrainte, c'est--dire des contraintes naturelles existant dans le sol une profondeur donne avant

l'application d'une charge par une fondation en surface. Pour une couche homogne, le moduledomtriqueEoedaugmente en fonction de la profondeur.

12.2.4 Contraintes sous les fondationsDans les abaques du 13.2.3, la semelle est suppose souple et la rpartition des contraintes au

contact de la semelle est ainsi uniforme. Cette approximation est de peu dinfluence pour le calcul descontraintes en profondeur. Par contre, sil sagit dvaluer les contraintes sous une fondation relle pour


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la dimensionner, soit dterminer son paisseur et son taux darmature, cette approximation estinsuffisante.

Un dtail constructif dune fondation en bton arm est reprsent la Fig. 12.17. Dans un tel cas, lecontraste de rigidit entre la semelle et le terrain influence considrablement la rpartition des contraintesde contact.

Fig. 12.17: Exemple de fondation : semelle filante en bton arm

Parmi les mthodes de calcul des contraintes de contact, on distingue (Fig. 12.18) :

celle qui intgre le terrain comme un milieu continu (lastique ou lastoplastique) ; celle qui modlise lentier du terrain situ sous la fondation par des ressorts (lastiques ou lasto-plastiques) ; on parle de mthode des modules de raction ou mthode de Westergaard.

Fig. 12.18: Deux approches pour le calcul des contraintes de contact : (a) le terrain est un milieu continu, (b) leterrain est reprsent sous forme de ressorts (mthode de Westergaard)


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CHAPITRE 12 17


Mthode lastique

Dans le cas o le terrain est un milieu lastique homogne isotrope, les contraintes de contact sous lafondation sont fortement influences par la rigidit relative fondation/terrain. A titre dillustration, la Fig.12.19 montre le rsultat dun calcul lastique pour une charge uniforme sappliquant sur une semellecirculaire de rayon R, dpaisseur h et caractrise par un module dlasticit fE et un coefficient de

Poisson f , reposant sur un massif dont les paramtres lastiques sont Eet . Le coefficient exprimant

le rapport de rigidit entre semelle et terrain est ici :

2 3

2 3

(1 )

6(1 )

f

f

E h

ER

=

(12.22)

Il tend vers zro pour une semelle infiniment souple, conduisant dans ce cas comme le montre la Fig.12.19 une rpartition uniforme des contraintes de contact. Il tend vers linfini pour une semelleinfiniment rigide, conduisant une rpartition trs contraste des contraintes de contact, avecconcentration sous les bords de la fondation. Dans ce dernier cas, la mthode lastique prvoit unesingularit en bord de fondation, la contrainte tant infinie. Dans la ralit, une plastification a lieu cetendroit, limitant la contrainte de bord et imposant une rpartition un peu diffrente (et moins contraste)des contraintes sous la fondation.

Fig. 12.19: Contraintes de contact sous une fondation circulaire par la mthode lastique

Mthode des modules de raction (Westergaard)

Cette mthode est trs couramment utilise dans la pratique principalement en raison de sa simplicitet de son intgration dans les codes de calculs statiques aux lments finis. Dans ce cas, lentier du


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massif de terrain est reprsent par des ressorts (Fig. 12.20) et la contrainte de contact, q(x), est donnepar :

( ) ( )sq x k z x= (12.23)

o sk est appel module de raction, dont lunit est une force par volume3(par exemple kN/m3) et

( )z x est la dflection de la fondation. Les quations dquilibre dun tel systme conduisent unequation diffrentielle fournissant la contrainte de contact en tout point.

La valeur du module de raction skpeut tre estime par un essai de plaque in situ, comme prsentau 11.2.

La mthode des modules de raction souffre des principaux dfauts suivants :

elle ne prend pas en compte la diffusion latrale des contraintes dans le terrain, le massif tant

lastique (ou lasto-plastique) dans une seule direction verticale ; cette mthode ne respecte ainsipas la thorie des milieux continus ;

le module de raction dpend de linteraction terrain/structure, donc de la rigidit de la fondationainsi que de sa taille, puisque la profondeur dinfluence de la fondation augmente avec laprofondeur, et ainsi peut faire intervenir des aux caractristiques diffrentes de celles trouves ensurface ; le module sk nest ainsi pas une constante de matriau et sa dtermination est toujours

sujette discussion.

Fig. 12.20: Contraintes de contact sous une fondation par la mthode des modules de raction (Westergaard)

Comparaison

Comme le montre la Fig. 12.21, les deux mthodes peuvent conduire des rsultats forts diffrentsselon la rigidit de la fondation et selon le type de charge applique sur la fondation. Dans les cas o

3On remarquera au passage la diffrence avec une constante de ressort qui habituellement lie une force un dplacement et dont lunit est exprime en kN/m.


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CHAPITRE 12 19


leffet est sensible sur le dimensionnement de la fondation, on privilgiera lapproche la plus correcte,soit celle o le massif est reprsent par un milieu continu.

Fig. 12.21: Comparaison entre les mthodes lastiques et au modules de raction pour lestimation des contraintes decontact sous une fondation

12.2.5 Capacit portante des fondations(non contenu dans cette version courte)

12.3 Pression des terres sur les soutnements12.3.1 Introduction

Le cot lev des terrains notamment en site urbain et les besoins de protection de lenvironnementncessitent une utilisation optimale de lespace souterrain. Les constructeurs sont amens raliser desexcavations importantes, par exemple dans les cas douvrages suivants (Fig. 12.22) :

immeubles avec plusieurs tages en sous-sol, parkings souterrains, routes et autoroutes en tranche couverte, mtros faible profondeur, constructions sur des terrains avec une forte pente.

Les ouvrages de soutnement doivent tre prvus pour assurer la stabilit du massif du solenvironnant. Les critres qui conditionnent la ralisation dun ouvrage de soutnement sont par exemplela place limite en site urbain, la prsence douvrages sensibles proximit des fouilles, la prsencedune nappe souterraine, ou encore des terrains de rsistance mdiocre (par exemple argiles molles ousols fluents).


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Plusieurs niveaux en sous-sol, parkings Ligne de mtro

Terrain en pente Autoroute en tranche couverte

Fig. 12.22 : Exemples d'utilisation du sous-sol demandant la prsence de parois de soutnement

Il existe de nombreux types de soutnements, dont les plus courants sont reprsents la Fig. 12.23.Ces lments peuvent tre ancrs ou tays. Le dtail de leur construction et de leur dimensionnement esttrait dans le Vol. 19 du Trait de Gnie civil. Nous aborderons ici uniquement les questions de pressiondes terres dans quelques cas fondamentaux.

Il existe plusieurs thories permettant dvaluer la pression des terres sur les soutnements. Dans lecas o les dplacements sont suffisants pour que le terrain atteigne un tat plastique (cest--dire un tatde rupture), les mthodes dquilibre limites simposent : Rankine, mthode du prisme, Coulomb-

Poncelet, Caquot-Krisel, etc. Ces mthodes seront exposes par la suite. Dans le cas de dplacementsinsuffisants atteindre la rupture du terrain, ou dans des cas de dformations complexes pour desouvrages ancrs ou tays, des mthodes empiriques sont utiliss, de mme que les mthodes numriquesaux lments finis. Ces cas ne seront pas traits ici.


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CHAPITRE 12 21


Fig. 12.23 : Diffrents soutnements : (a) murs poids en pierre, en bton non arm, en gabion ou en lmentscellulaires, (b) murs en bton arm, (c) terre arme, (d) palplanches, (e) parois berlinoises, (f) pieux jointifs, (g)

parois moules

12.3.2 Etats dquilibre limite de RankineSoit un massif de sol homogne surface horizontale. En un point P, situ une profondeur zau-dessous de la surface, la contrainte totale verticale vaut :

v z = (12.24)

et la contrainte effective verticale est obtenue par le principe des contraintes effectives en connaissantla pression interstitielle, u, par :

'v v u = (12.25)

La contrainte effective horizontale dpend de la dformation horizontale du sol, et trois cas seprsentent (Fig. 12.24):

en absence de dformation horizontale, le sol est dit au repos; la contrainte effective horizontaleest celle obtenue dans le cas de la dformation uniaxiale (voir galement 13.2.1);

si une extension horizontale se produit, la contrainte horizontale diminue jusqu une valeur limiteminimale : le sol est en tat actif ; lexprience montre que cet tat, dans le cas dun mur desoutnement, est dj atteint avec un dplacement horizontal du mur dun millime de la hauteur( /1000H= ) ;

si une compression horizontale se produit, la contrainte horizontale augmente jusqu une valeurlimite maximale : le sol est en tat passif ; lexprience montre que cet tat, dans le cas dun murde soutnement, ncessite un dplacement horizontal du mur relativement important, soit uncentime de la hauteur ( /100H= ).


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Fig. 12.24 : Variation de la contrainte horizontale avec llongation horizontale (contrainte verticale constante)

Etat au repos

En absence de dplacement horizontal, la contrainte horizontale effective scrit simplement :

0 0' 'h vk == (12.26)

o 0k est le coefficient de pression des terres au repos.

Dans le cas dun massif lastique, on rappelle que ce paramtre vaut (13.2.1) :

0 1k

= (12.27)

Jaky (1944) a montr exprimentalement que, pour les sables, 0k est fonction de langle de frottement

interne effectif par la relation :

0 1 sin 'k = (12.28)

ou encore pour les argiles :

0 0,95 sin 'k = (12.29)

On a pu montrer la dpendance de 0k avec le degr de surconsolidation OCR, soit pour les sables :

0 (1 sin ') h

k OCR= (12.30)

avec 0,4 0,6h= , et pour les sols argileux :

0,40 (0,95 sin ')k OCR= (12.31)

Un tat au repos est en pratique difficile observer car, dans les cas de construction de soutnements(Fig. 12.23), un mouvement horizontal du sol est invitable.


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CHAPITRE 12 23


Etat actif

La Fig. 12.25 illustre les diffrents tats limites. A partir de ltat de contrainte au repos (petit cercledans le plan de Mohr), une diminution de la contrainte horizontale fait sagrandir le cercle de contraintejusqu devenir tangent la droite intrinsque de Mohr-Coulomb. Cest ltat limite actif de Rankine.Dans le cas dun mur, cet tat est obtenu si le mur se dplace dans la direction oppose au sol quilsoutient, cest--dire en direction du vide (ou direction aval, ou direction de la fouille). Dans cet tat, lesol est plastifi et la contrainte horizontale est appele pression limite active des terres, 'ha .

Fig. 12.25 : Etats limites de Rankine

En considrant la gomtrie entirement dfinie du problme dans le plan de Mohr et par quelquesmanipulations trigonomtriques, on peut montrer que :

2

' ' 2 '

'tan 45

2

ha a v a

a

k c k

k

=

=

(12.32)

o ak est le coefficient de pouse active des terres. Ltat dquilibre limite est atteint, selon la

thorie de Rankine, simultanment en tout point du sol au moment o le dplacement du mur estsuffisant. Il apparat cet instant des plans de rupture parallles, inclins par rapport lhorizontale dunangle a (Fig. 12.25) :

'45

2a

= + (12.33)


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Etat passif

Considrons nouveau comme condition initiale ltat de contrainte au repos (petit cercle dans leplan de Mohr de la Fig. 12.25). Une augmentation de la contrainte horizontale conduit (en passant par untat de contrainte transitoirement isotrope) au grand cercle de droite dont la taille maximale est atteinteds que le cercle est tangent la droite intrinsque de Mohr-Coulomb. Cest ltat limite passif de

Rankine. Dans le cas dun mur, cet tat est obtenu si le mur se dplace dans la direction du sol quilsoutient, cest--dire en direction du terrain (ou direction amont). Ceci est pratiquement possible enexerant une force contre le mur. Dans cet tat, le sol est plastifi et la contrainte horizontale est appelepression limite passive des terres, 'hp , avec :

2

' ' 2 '

'tan 45

2

hp p v p

p

k c k

k

= +

= +

(12.34)

o pk est le coefficient de pouse passive des terres, appel aussi plus frquemment coefficient de

bute des terres. Ltat dquilibre limite est atteint, selon la thorie de Rankine, simultanment en toutpoint du sol au moment o le dplacement du mur est suffisant. Il apparat cet instant des plans derupture parallles, inclins par rapport lhorizontale dun angle

p (Fig. 12.25) :

'45

2p

= (12.35)

12.3.3 Calcul de la pousse et de la bute par la thorie de RankineLe calcul de la pousse ou bute est effectu sur la base des hypothses suivantes dans la thorie de

Rankine :

La face de lcran contre terre (le parement) est verticale ; Les frottements entre terre et cran sont ngligs ; La surface du remblai derrire lcran est horizontale ; Lcran peut se dplacer suffisamment pour que le massif soit en tat dquilibre limite ; Cas de dformation plane.

Dans ce cas, les quations (12.33) et (12.34) sappliquent et la pousse rsultante se calcule par

intgration. Pour un sol homogne sans eau on a (voir Fig. 12.26) :2

' 2 '2a a a

HE k c H k

= (12.36)

et


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CHAPITRE 12 25


2

' 2 '2p p p

HE k c H k

= + (12.37)

Fig. 12.26 : Diagrammes des pressions actives et passives

Influence de la cohsion

La cohsion est un paramtre trs sensible aux variations dhumidit. Cest pourquoi, par prudence,on ladmet trs souvent nulle dans les calculs. Toutefois, seule la cohsion peut expliquer des parois de

fouilles verticales stables sans tayage. En effet, dans le cas actif, lquation (12.36) et la Fig. 12.26montrent que la cohsion provoque une traction dans la zone 0z z , qui se traduira par une profondeur

de fissurationdu terrain (le mur se dcolle du terrain). En dautres termes, le terrain est auto-stable sur lahauteur 0z . Cette distance est obtenue en substituant ' 0aE = dans lquation (12.36) :

02 '

a

cz

k= (12.38)

A titre dexemple, pour 318 kN/m= , ' 20 kPac = , et ' 15 = , on trouve 0 2.9 mz = . En dautres

termes, une face verticale de 2.9 m de hauteur est juste lquilibre dans ce cas.

Influence dune surcharge uniforme, q,en surface

Les contraintes verticales dans le massif larrire de lcran sont dans ce cas, et en absence deau(u=0) :

'v vz q = + = (12.39)

ce qui conduit aux quations suivantes pour la pousse active :

( )' 2 'ha a az q k c k = + (12.40)


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avec

02 '

a

c qz

k = (12.41)

Influence dune nappe deau statique derrire lcran

Supposons le cas dfini par la Fig. 12.27 dans lequel existent une surcharge qen surface et une nappesouterraine une profondeur H1.

Il importe, pour ne pas commettre derreur, de sparer les effets des contraintes effectives et despressions interstitielles agissant sur lcran. Le dessin des diagrammes permet ensuite de trouverfacilement les pousses et leur point dapplication.

h= 32,9 kN.m-2

21,4 kN.m-2

30 kN.m-2

Fig. 12.27 : Surcharge uniforme en surface, diagramme des pressions actives et hydrostatiques

La prsence de leau doit tre introduite dans le calcul de deux manires :

La pousse dArchimde agissant sur les grains minraux du sol conduit diminuer les contrainteseffectives horizontales hen remplaant dans les quations , poids volumique apparent humidedu sol par wsat = , poids volumique apparent djaug.

La contrainte neutre sur lcran est celle qui correspond la pousse hydrostatique dans unrservoir.

Pour le calcul de la pousse dans la couche immerge, on dtermine les diagrammes de contrainteseffectives ha', puis ceux des pressions interstitielles u. La pousse totale est gale la somme despousses dues ces deux types de contraintes. Avec les notations de la Fig. 12.27 on a :

( ) 2 1' 2 'ha sat w a az H q k c k = + + et 2wu z=


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CHAPITRE 12 27


Tout ce qui a t dit dans ce paragraphe se rapporte au cas dun cran sans drainage, par exemple unrideau de palplanches soutenant une paroi de fouille. Les murs tant toujours munis dune chemise dedrainage lamont, la pousse hydrostatique nexiste alors pas.

Influence de la stratigraphie

Dans le cas de terrains htrognes stratifis, la contrainte horizontale prsente des sauts aux limitesdes couches, selon la thorie de Rankine, puisque les coefficients de pouss/bute changent de valeurdune couche lautre (Fig. 12.28).

Fig. 12.28 : Saut de pousse linterface entre deux couches

12.3.4 Mthode du prisme de pousseLa mthode semi-graphique du prisme de pousse est plus gnrale que celle de Rankine. Elle permet

d'introduire - outre la cohsion et la pousse hydrostatique - l'influence de surcharges locales, celle d'unparement amont ou d'une surface des terres inclins ou constitus de plusieurs plans, et le frottement dusol sur le mur. Le principe de la mthode est d'tudier l'quilibre limite du prisme de pousse. Il estillustr par la Fig. 12.29. Les hypothses de base sont les suivantes:

L'cran se dplace librement et suffisamment pour que la rsistance au cisaillement le long de lasurface de glissement (plan de rupture) e-f soit entirement mobilise. Dans ce cas, la raction Rdu sol le long de e-f forme un angle gal avec la normale e-f ;

Le mouvement peut faire apparatre le long de b-f, entre terre et cran, un frottement qui provoque

la dviation de la pousse aP d'un angle par rapport la normale l'cran ; La surface de rupture e-f est plane.


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Fig. 12.29 : Prisme de pousse

Pour chaque plan de glissement, d'inclinaisonchoisie arbitrairement, on dtermine les forces

assurant l'quilibre du prisme a-d-e-f. Le poids W et la surcharge Q du prisme sont quilibrs par la forcede cohsion C, la raction du sol et le frottement sur e-f, R, l'adhrence aC et la pousse aP . Toutes les

forces sont connues en grandeur et en direction, l'exception de l'intensit deRet de aP qui peuvent tre

dtermines par les conditions dquilibre.Le calcul est ensuite rpt pour diffrentes valeurs de linclinaison de la surface de rupture, , et la

valeur finale de la pousse est dtermine par la valeur maximale de aP , comme indiqu la Fig. 12.30.

Fig. 12.30 : Dtermination de la pousse maximale avec la mthode du prisme

On peut appliquer cette mthode pour des calculs en bute condition dinverser les angles etdans la Fig. 12.29.

La valeur de langle de frottement et de ladhrence linterface parement-terrain est indique auTableau 12.1 pour diffrents types de parements.


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CHAPITRE 12 29


Tableau 12.1 : Angle de frottement et adhrence linterface cran-terrain selon le type de parement

Type de parement ac

Parement trs lisse (murprfabriqu)

0 0

Parement trs rugueux (btonncontre le terrain)

c

Murs classique, valeurs admisesdans la plupart des cas

23

0

Palplanches mtalliques 0 0

Parois berlinoises et parois moules c

12.3.5 Mthode de Coulomb-PonceletLa mthode de Coulomb-Poncelet est un cas particulier de la mthode du prisme de pousse pour une

gomtrie simplifie (Fig. 12.31) et avec les hypothses suivantes :

sol pulvrulent (c=0) ; pas de surcharge en surface ; pas deau ; surface du terrain rectiligne dinclinaisonpar rapport lhorizontale ; parement rectiligne dinclinaison par rapport la verticale.

Cette mthode est utilise essentiellement pour estimer la pousse active. Elle peut se dcliner pour labute mais conduit des valeurs beaucoup trop fortes.

La gomtrie suffisamment simple (Fig. 12.31) permet dexprimer chaque force analytiquement. Lesquations dquilibres peuvent ensuite tre rsolues analytiquement pour trouver la pousse en fonctionde langle de la surface de glissement, ( )aP , et ensuite sa valeur maximale en annulant sa drive par

rapport . On trouve ainsi une expression analytique pour la pousse :

212a a

P H k= (12.42)

avec

2

2

cos ( )

sin( )sin( )cos( ) 1cos( )cos( )

ak

+=

+ + +

(12.43)


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Fig. 12.31 : Gomtrie pour la mthode de Coulomb-Poncelet

12.3.6 Abaques de Caquot-KriselLexprience a montr que, dans le cas passif, la surface de rupture nest pas rectiligne mais courbe

(Fig. 12.32). La thorie de Rankine est donc mise dfaut. Caquot et Krisel 4ont propos des solutionssous forme dabaques (Fig. 12.33 Fig. 12.36) pour lestimation du coefficient de pousse passive desterres, pk , bases sur des surfaces de rupture en spirales logarithmique. Cette approche est privilgier

pour le calcul de la bute.

Fig. 12.32 : Comparaison des surfaces de rupture relles et celles prdites par la thorie de Rankine dans les tatsactif et passif

4Kerisel, J. & E. Absi, Tables de pousse et de bute des terres, Presses de l'cole Nationale des Pontset Chausses; 3medition, 2003


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CHAPITRE 12 31


Fig. 12.33 : Exemple de table pour un milieu pesant, pas de cohsion, surface libre sans surcharge(Source: Kerisel et Absi, 2008)


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Fig. 12.34 : Exemple de table pour un milieu pesant, pas de cohsion, surface libre sans surcharge (Source: Keriselet Absi, 2008)


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CHAPITRE 12 33


Fig. 12.35 : Exemple de table pour un milieu non pesant, pas de cohsion, surface libre surcharge (Source: Keriselet Absi, 2008)


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Fig. 12.36 : Exemple de table pour un milieu non pesant, pas de cohsion, surface libre surcharge (Source: Keriselet Absi, 2008)


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CHAPITRE 12 35


12.4 Stabilit des pentes Mthodes simples12.4.1 Introduction

Les pentes, quelles soient dorigine naturelle ou cres artificiellement dans le cadre de travaux dugnie civil prsentent toujours un lieu privilgi dinstabilit par le simple fait que la dissipationdnergie stocke sous forme dnergie potentielle se fera par un mouvement dissipatif vers laval : cestle second principe de thermodynamique.

Les consquences dune rupture sont en gnral trs importantes, tant en cots directs (matriels,humains) quindirects (consquences sociales et politiques notamment dans le cas des grandescatastrophes).

Ainsi, ce sujet a focalis lattention des chercheurs depuis les dbuts de la mcanique des sols et desroches. Le but de ce paragraphe est de dcrire brivement les phnomnes mais surtout dapporter desmthodes permettant dvaluer le degr de scurit ou dexpliquer loccurrence dune instabilit.

12.4.2 Types dinstabilitsLes pentes activement ou potentiellement instables prsentent des mcanismes extrmement varis,

tant par la gomtrie que par la cinmatique.Selon lillustration de la Fig. 12.37, on peut classer sommairement les instabilits de pentes dans les

catgories gomtriquessuivantes:

a : glissement par rotation ; b : glissement par translation ; c : coule ; d : chute de bloc/croulement ; e : coin tridimensionnel ; f : basculement/fauchage.

Toutes ces catgories sont assez simples, avec, en gnral, une surface de glissement bien dfinie quireprsente un lieu de discontinuit le long duquel un mouvement relatif prend place. Il peut exister descas bien plus complexes, o plusieurs des mcanismes ci-dessus interviennent simultanment, avecplusieurs surfaces de glissement. Il existe galement des cas pour lesquels on nobserve pas de surface deglissement, par exemple dans les massifs de sol argileux en fluage. Finalement, mme si les mcanismessont souvent en dformation plane, il existe de nombreux cas o la nature tridimensionnelle duphnomne doit tre prise en compte.


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Fig. 12.37 : Types dinstabilits de pentes par caractristique gomtrique

Les mcanismes se distinguent galement par la vitesse du phnomne. Il est courant de distinguertrois catgories de vitesses, allant des phnomnes lents au plus rapides (Fig. 12.38) :

vitesses trs lentes, de lordre de quelques millimtres centimtres par anne, typiques des pentesen fluage ; ces mouvements peuvent tre observs sur des centaines dannes ; en gnral, onnobserve pas de surface de glissement mais une dformation gnrale du massif, comme celledun corps trs visqueux ; la modlisation doit se faire en considrant la viscosit des matriaux,par des approches en viscosit non linaire, en visco-lasticit ou en visco-plasticit ;

vitesses plus leves mais sur un bref instant ; il sagit dun comportement en rupture, o unemasse se dplace brusquement de plusieurs mtres en quelques minutes pour se stabiliserrapidement ; le dplacement se fait sur une surface de glissement bien tablie, avec concentrationdes mouvements dans cette zone, do le nom souvent utilis de glissementpour cette catgorie ;la masse sus-jacente se dplace parfois comme un corps rigide ; les approches de modlisation sontessentiellement des analyses de ltat ultime par des modles incorporant des lois rigidesparfaitement plastiques ou lastoplastiques ;

vitesses trs leves (plusieurs mtres par seconde) typiques : des coulesde boue et de dbris ; ici, se sont les thories de lhydraulique torrentielle qui sera

utilises, avec la diffrence que la viscosit du liquide scoulant est plus forte que celle deleau, que le fluide contient des particules solides (courants haute densit), et que desphnomnes dentranement/dpts du lit sont prendre en compte;

des chutes de blocs et croulements, pour lesquels la dynamique du point matriel peut treapplique en premire approximation.


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CHAPITRE 12 37


Fig. 12.38 : Catgories dinstabilits en fonction de la vitesse (de gauche droite) : fluage, rupture, coule

12.4.3 Causes des instabilits de pentesLes instabilits de pentes sont toujours lies soit un changement des actions (surcharges,

changement de gomtrie avec apport/enlvement de matire, forces de percolations, acclration due un tremblement de terre - Fig. 12.39), soit une altration des matriaux (dissolutions de liens ciments,modification du degr de saturation, mouvements lchelle atomique, changement de la nature physico-chimique de leau interstitielle, effets biologiques).

On distingue en gnral les facteurs prexistants (comme par exemple la prsence dune couche dematriau de trs faible qualit mcanique en profondeur) des facteurs dclenchants (comme par exempleun tremblement de terre ou des prcipitations importantes).

Fig. 12.39 : Instabilits provoques par modification des actions

12.4.4 Mthodes danalyseLes mthodes danalyse de la stabilit des pentes et de modlisation des processus dynamiques sont

trs diverses et nombreuses. On traitera ci-aprs certaines dentre elles, savoir essentiellement cellesconcernant le cas de glissements, par lvaluation dun facteur de scurit global :

pente infinie ;


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blocs et coins instables ; mthodes simples et abaques pour les ruptures circulaires en terrain homogne ; mthodes des tranches pour les surfaces de glissement circulaires ou quelconques et des conditions

complexes daction et de matriau ; mthode des lments finis.

On parcourra galement :

le cas des mouvements lents pour les pentes en fluage ; le cas des chutes de blocs et de la trajectographie des blocs.

Les coulements hyperconcentrs, les coules de boues et de dbris, ne seront pas abords dans ce

trait.

12.4.5 Mesures de confortationLanalyse de stabilit, dans laquelle une schmatisation trs grande doit tre admise, ne permet que de

mettre en vidence linfluence relative de divers paramtres et dexpliquer quantitativement certainsaspects du problme.

Par exemple, lingnieur est parfois confront au problme dune construction difier sur une zoneen mouvement potentiel. Lanalyse de stabilit peut, dans ces cas, permettre destimer si les surchargesque reprsente la construction ont un rle stabilisant ou, au contraire, moteur pour le mouvement.

En prsence de mouvements de terrain de grande tendue, on ne peut souvent pas trouver de remdedfinitif. Il est possible cependant de stabiliser momentanment ou pour le moins de ralentir lemouvement des masses par des travaux de drainage, par exemple, ou par des travaux attnuant lrosion(plantations, protection des berges dun cours deau rodant le pied dun glissement, etc.).

Par contre, lorsque les masses de terrain en mouvement ne sont pas trop importantes, si le phnomnedinstabilit est limit une zone de quelques dizaines de mtres de largeur et de longueur, les moyensdintervention peuvent tre efficaces et permettent de stabiliser la pente pour la dure dexistence delouvrage. Ces moyens sont, en principe, les suivants (schmatiquement reprsents la Fig. 12.40) :

drainer le terrain de manire modifier la direction ou supprimer les forces de percolation ou lespressions hydrauliques dans les couches permables ;

modifier par terrassement la rpartition des masses instables, soit en dchargeant la zone motrice(haute), soit en chargeant la zone stabilisante (basse) ;

introduire des forces stabilisantes en construisant un ouvrage tel quun rideau de pieux, desancrages retenant un mur ou des plaques isoles, ou encore une paroi continue ;

modifier le matriau en place, par exemple par des injections de ciments ou des traitements bio-chimiques ; planter la surface des masses instables de manire accrotre lvapotranspiration des plantes et

diminuer les quantits deau dinfiltration.


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CHAPITRE 12 39


Fig. 12.40 : Mesures de confortation

Amnagement du territoire

Pour les phnomnes de trs grande ampleur pour lesquels les mesures de confortations ci-dessussont juges inabordables techniquement ou financirement, des mesures damnagement du territoiresseront les plus efficaces. La mcanique des sols et des roches sera ici utile pour analyser les phnomneset dfinir des primtres de danger. Sur la base de cartes des phnomnes et des cartes de danger, uneutilisation approprie du territoire sera envisage. En Suisse, la pratique prvoit quatre zones de couleurs

diffrentes: rouge: danger lev; des personnes sont en danger tant dans les btiments qu'en dehors ; il faut

s'attendre la destruction soudaine de btiments ; en consquence, ne pas affecter comme nouvellezone btir, ne permettre ni construction ni agrandissement de btiments ou installations ;

bleu: danger moyen; peu de danger pour les personnes l'intrieur des btiments, mais le dangerest effectif en dehors ; il faut s'attendre des dommages aux btiments mais, si certaines conditionsont t respectes lors de la construction, pas la destruction soudaine de btiments ; enconsquence, dlimiter comme nouvelle zone btir uniquement aprs pese des intrts, dlivrerdes permis de construire uniquement si assortis de conditions ;

jaune: danger faible; peu de danger pour les personnes ; il faut s'attendre de lgers dommagesaux btiments ou autour de ceux-ci, mais des dommages matriels considrables peuvent survenir l'intrieur ; en consquence, avertir du danger; publier des recommandations concernant les

btiments existants et dfinir des conditions s'appliquant aux nouvelles constructions ; hachur jaune et blanc: danger rsiduel ; prsence d'un danger ou d'un risque rsiduel dont la

probabilit d'occurrence est trs faible ; en consquence, avertir du danger; dfinir des conditionsen cas d'utilisation particulire et de potentiel lev de dgts ;

blanc: aucun danger connu ; cette situation favorable ne ncessite aucune prcaution particulire.


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12.4.6 Gnralit pour les calculs de stabilitDans le cas des mthodes tudiant les glissements par la dtermination dun facteur de scurit

global, le seul rsultat obtenu sera la valeur de ce facteur, et non des informations sur les dformations oules contraintes en place.

Lefacteur de scurit globalau glissement, sF , est calcul soit par un rapport de moments (dans lecas de surfaces de glissement circulaires) :

Moments rsistants

Moments moteursr

sm

MF

M= =

(12.44)

soit par un rapport de forces (dans le cas de surfaces de glissement planes ou allonges) :

Forces rsistantesForces motrices

rs

m

TF

T= =

(12.45)

avec rM et mM les moments rsistants, respectivement moteurs provoqus par les forces dans lemassif et sur la surface de glissement, et Tr et Tm les efforts de cisaillement de rupture et les forcesmotrices parallles la surface de glissement.

Lanalyse de stabilit dune pente fait intervenir les paramtres principaux suivants :

la gomtrie du massif : La pente moyenne de la surface du glissement est un lmentprpondrant, de mme que la stratigraphie. La gomtrie est parfois modifie, par desexcavations, des remblayages, lrosion dune rivire ou par le mouvement lui-mme des masses ;

les efforts sexerant sur le massif : poids propre des terres, surcharges, ancrages, forcesdArchimde ou de percolation (hydrodynamiques) . Les efforts sont soit moteurs soit stabilisants.Le moteur principal du mouvement est, en gnral, la gravit, le poids propre du massif instable,ainsi que les forces hydrodynamiques de percolation ou de pression ;

la rsistance au cisaillementdu terrain le long de la surface du glissement. Elle est dfinie par laloi de Mohr-Coulomb.

12.4.7 Pente infinie homogneLe cas particulier dune pente infinie fournit des rsultats trs intressants pour le pr-

dimensionnement et lanalyse rapide. De telles conditions sont en effet souvent rencontres dans la partiemdiane des glissements allongs (glissement par translation). Deux cas trs diffrents se prsententselon que leau souterraine soit en coulement ou non.

Nappe au repos

La gomtrie est celle de la Fig. 12.41. Le cas reprsent est celui dune pente immerge avec nappeau repos, mais les rsultats obtenus sont les mmes pour un sol sec sans eau. Le diagramme des forcesagissant sur une tranche lmentaire peut tre fortement simplifi car, en raison de la symtrie, les effortsinter-tranches Het Vse compensent parfaitement. West le poids total de la tranche, Aest la poussedArchimde, Test la force de cisaillement sur la base de la ranche etNest la raction normale la base.


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CHAPITRE 12 41


Fig. 12.41 : Pente infinie avec nappe au repos

Les quations dquilibre dans la direction de N et de T donnent :

' 'cos

'cos sin

N xh

T xh

=

= (12.46)

La contrainte ultime de cisaillement sur la base, fT , est obtenue en utilisant le critre de Mohr-Coulomb :

' ' tan '

cosf

xT c N

= + (12.47)

Ainsi, on peut dfinir lefacteur de scuritde la pente par

Force rsistante

Force motricef

s

TF

T= = (12.48)

soit par substitution :

' tan '

' cos sin tansc

Fh

= + (12.49)

On constate que le facteur de scurit dpend de la profondeur h de la surface de glissementpotentielle.


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On constate galement que si le sol est purement pulvrulent, sans cohsion ( ' 0c = ) comme dans lecas des sables et graviers, le facteur de scurit se rduit :

tan '

tansF

= (12.50)

Ce rsultat trs simple est remarquable. Il indique tout dabord que la rupture nest plus lie uneprofondeur h dun plan de glissement. Cela signifie que dans un matriau idal sans cohsion, la ruptureaura lieu en tout point du massif simultanment : la plastification est gnrale.

Ce rsultat indique aussi que, au moment de la rupture (soit pour 1sF = ), langle de la pente est gale

langle de frottement interne effectif. En dautres termes, un talus dans un matriau sans cohsion nepourra jamais tre plus raide que langle de frottement interne effectif de ce matriau. Ceci donne aussiun outil simple pour dterminer sur le chantier la valeur de ' pour les sables et graviers : faire un tasavec la pente maximale. Cette pente sera gale langle de frottement interne ' .

Nappe confondue avec la surface du terrain

Dans le cas dune nappe confondue avec le terrain en pente (Fig. 12.42), la nappe est en coulement.Le diagramme des forces agissant sur une tranche lmentaire peut ici nouveau tre fortement simplificar, en raison de la symtrie, les efforts inter-tranchesHet Vse compensent parfaitement. West le poidstotal de la tranche,Aest la pousse dArchimde, Test la force de cisaillement sur la base de la ranche et

Nest la raction normale la base.

Fig. 12.42 :Pente infinie avec nappe en coulement

Dans ce cas, une force volumique supplmentaire,J,est provoque par les forces de percolation :

wJ i xh= (12.51)

avec ile gradient hydraulique, gal dans ce cas :


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CHAPITRE 12 43


sini = (12.52)

Les quations dquilibre dans la direction de N et de T donnent :

( )' cos 'coscos sin

sat w

sat

N xh xh

T xh

= =

= (12.53)

La contrainte ultime de cisaillement sur la base, fT , est obtenue en utilisant le critre de Mohr-Coulomb comme prcdemment. Ainsi, on peut dfinir lefacteur de scuritde la pente par

Force rsistante

Force motricef

s

TF

T= = (12.54)

soit par substitution :2' ' cos tan '

cos sins sat

c hF

h

+= (12.55)

On constate ici aussi que le facteur de scurit dpend de la profondeur hde la surface de glissementpotentielle. On remarque galement que, si le sol na pas de cohsion ( ' 0c = ), comme dans le cas dessables et graviers, le facteur de scurit se rduit :

' tan '

tans satF

= (12.56)

Dans ce cas, la rupture nest plus lie la profondeur hdun plan de glissement. Dans ce matriauidal sans cohsion, la rupture aura lieu en tout point du massif simultanment, avec une plastificationgnrale.

Ce rsultat indique aussi que, au moment de la rupture (soit pour 1sF = ), langle critique de la penteest gal :

'tan tan 'crit

sat

Arc

=

(12.57)

Par exemple, pour un sable avec un angle de frottement interne effectif de ' 35 = et un poidsvolumique satur 320 /sat kN m = , la pente critique maximale du terrain sera de 19crit = . Elle estbien plus faible que celle dun matriau ou leau nest pas en coulement (dans le cas vu prcdemment

langle critique de la pente tait gal ' , soit 35 !)Par rapport au cas prcdent sans eau, on constate que le facteur de scurit dune pente avec

coulement parallle la pente est plus faible que celui dune pente sans coulement. En comparant lesdeux quations (12.50) et (12.56), et en estimant que le rapport '/ sat vaut environ 0,5, on conclut quele facteur de scurit est deux fois plus faible pour une pente avec coulement que sans coulement.Cette constatation est pleine denseignement pratique : une pente dimensionne sans eau na aucunechance de survivre un coulement, quil soit provoqu par de fortes pluies ou une rupture decanalisation deau.


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12.4.8 Massif homogne limit par un plan de glissement(non contenu dans cette version courte)

12.4.9 Pression interstitielle sur le plan de glissement(non contenu dans cette version courte)

12.4.10Effet stabilisant dun ancrage(non contenu dans cette version courte)

12.4.11Massif homogne purement cohsifLhypothse de surface de rupture plane faite plus haut constitue une simplification extrme

permettant destimer de manire approximative la scurit dune pente. De plus, cette approche conduit surestimer la scurit relle.

Lexprience montre que, dans le cas des massifs homognes, les surfaces de rupture sont pluttcurvilignes et peuvent tre assimiles un cercle. En effet, les observations effectues sur la rupture destalus homognes ont permis dadmettre que la cinmatique du glissement correspond un mouvement dutype rotationnel sans dformation de la masse instable (hypothse de corps rigide).

Le cas dun massif purement cohsif (c 0 et = 0) est le plus simple traiter. La Fig. 12.43 montreun talus de pente avec un cercle de glissement potentiel passant par le pied. Le facteur de scurit estvalu en faisant le bilan du moment rsistant M rdes forces sopposant au mouvement de rotation et dumoment moteur Mmdes forces qui provoquent la rotation (voir 13.4.6) :

rs

m

MF

M= (12.58)

Fig. 12.43 :Cercle de glissement critique dans un sol cohsif


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CHAPITRE 12 45


Les moments Mret Mmsont calculs par rapport au centre du cercle pour les forces rsistantes (c:cohsion du sol) et motrices (W: poids de la masse instable).

ous sclr Cz

F FWa Wa

= = (12.59)

avec lla longueur de larc AC et Cla force rsultante de cohsion sur la surface de rupture. Il est noter que cette force est parallle la corde AC et sa ligne daction est situe une distance z du centredu cercle.

12.4.12Massif homogne : mthode du cercle de frottement - TaylorLa Fig. 12.44 montre les forces agissant sur la masse instable. La forceRreprsente la rsultante de la

rsistance due au frottement le long de la surface de glissement. La position de Ret son amplitude nesont pas connues priori. Divers auteurs ont fait des hypothses simplificatrices pour obtenir le facteurde scurit partir de lquilibre des forces en jeu.

Fig. 12.44 : Analyse de stabilit selon la mthode de Taylor

Ce problme a t trait en 1937 dj par D.W. Taylor. Le calcul est fait en contraintes totales. Les

paramtres de rsistance utiliser seront donc dtermins par des essais non drains. On admet que laforce R est tangente un cercle de rayon r.sincomme indiqu sur la Fig. 12.44 (do le terme gnriquede ce type dapproche : mthode du cercle de frottement).

Taylor fait appel un facteur de stabilit de la pente sN dfini par :

maxs

s

c cN

H HF = = (12.60)


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o maxH est la hauteur maximale de la pente (cest--dire conduisant la rupture, ou pour 1sF = ) etH est la hauteur relle de la pente.

La compilation des solutions dveloppes par Taylor pour des sols purement cohsifs et des sols avec0 est donne la Fig. 12.45. Ces abaques sont utiliss :

pour dterminer langle dun talus connaissant sa hauteur ; pour dterminer la hauteur maximale dune pente, langle de talus tant impos ; pour dterminer le facteur de scurit dune pente existante.

Fig. 12.45 : Abaques de Taylor

12.4.13Abaques de Krisel - SIMECSOLLa solution propose par J. Krisel tient compte de la prsence dun coulement rectiligne, dont la

surface passe par le pied du talus. Cette mthode dcrite ci-dessous est prsente sous forme dabaques

de calcul permettant dobtenir le facteur de scurit (Fig. 12.47-Fig. 12.54).Ces abaques sont tablis pour des sols de poids volumique de valeur -320,9 kNm= . Les figuressuivantes sont tires de la publication Glissements de terrains [Dunod, 1967] qui comporte 37 abaques.Chacun des abaques correspond une valeur de Fset une valeur du rapport avec langledinclinaison de la nappe et langle dinclinaison du talus (Fig. 12.46). Les abaques donnent lefacteur de scurit au glissement Fsen fonction de cot et du facteur de stabilit :


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CHAPITRE 12 47


H

cX

=

Ils donnent, en outre, les facteurs m, n etpqui permettent de tracer les cercles profonds de scurit auglissement minimum. Lorsquon est en prsence dun cercle de pied de talus (zone l des abaques) , cesont les grandeurs net qui permettent de tracer les cercles.

Fig. 12.46 :Cercles de glissement admis dans les abaques de Krisel-SIMECSOL


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Fig. 12.47 : Abaque de Krisel-SIMECSOL ( / 0, ' 0 = = )


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CHAPITRE 12 49




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CHAPITRE 12 51




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CHAPITRE 12 53




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CHAPITRE 12 55


Fig. 12.54 : Abaque de Krisel-SIMECSOL ( / 2 / 5, ' 25 = = )


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12.5 Stabilit des pentes Mthodes des tranches12.5.1 Gnralits sur les mthodes des tranches

Les mthodes des tranches ont t dveloppes dans les annes 1950 et 1960 pour valuer la stabilitde pentes correspondant mieux aux cas rels : des massifs htrognes, la prsence deau en coulement,des gomtries de terrain trs varies, des limites de couches et des surfaces de glissement quelconques,des surcharges de diffrentes natures. Si plusieurs mthodes des tranches existent, cest que deshypothses tant ncessaires pour rsoudre les quations dquilibre, il y a autant de mthodes quedauteurs ayant propos les simplifications permettant la rsolution.

Le principe de base de ces mthodes est que la stabilit est une fonction des contraintes agissant surune surface de glissement potentielle, et que ces contraintes sont essentiellement proportionnelles aupoids des terres en dessus de la surface de glissement. On peut ainsi proposer de dcouper le massif entranches verticales minces (Fig. 12.55), de calculer les forces qui y rgnent et dutiliser ce rsultat pourvaluer la scurit globale au glissement. Une tranche dlimite une portion homogne de la surface deglissement le long de laquelle on peut admettre des paramtres de rsistance constants.

Fig. 12.55 : Dlimitation du massif en tranches

Les principales mthodes, les plus largement utilises, ont t proposes par :

W. Fellenius en 1948 (cette mthode est aussi appele mthode ordinaire ou mthodesudoise );

N. Janbu en 1954; A.W. Bishop en 1955; N.R. Morgenstern et V.E. Price en 1965.

Si la surface de glissement est prdtermine par les conditions gologiques (existence dune coucherocheuse faible profondeur ou dune couche dont la rsistance au cisaillement est spcialement faible),


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CHAPITRE 12 57


ou si la surface de glissement est connue a priori (par exemple dans le cas dun glissement pr-existant),la gomtrie pour le calcul est entirement dfinie. Cependant, ce nest pas le cas le plus courant. Dans lecas gnral o lemplacement de la surface de rupture nest pas connu, le facteur de scurit FSdoit trecalcul pour diffrentes surfaces de glissement potentielles, jusqu trouver la valeur FSminimum, cellequi correspond la surface de rupture la plus probable.

Les calculs sont excuts en gnral laide de programmes informatiques.

Equations dquilibre

Considrons la Fig. 12.56 les forces agissant sur la tranche i . Ces forces et les distances leurpoint dapplication peuvent tre classes en deux catgories : les donnes et les inconnues.

Fig. 12.56 : Mthodes des tranches - forces agissant sur la tranche i

Dans les grandeurs donnes et connues au moment du calcul, on a :

iW , le poids total de la tranche ; hiW , la force horizontale provenant dune ventuelle acclration horizontale due un

tremblement de terre ; iQ , la surcharge sur le terrain - qui peut provenir de constructions, de poids de trafic ou encore de

forces dancrage ;


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( 1), ,i hi h iU U U + , les forces rsultantes de la pression interstitielle agissant sur chacune des trois

faces ; on notera au passage limportance de ces forces et donc la ncessit absolue de lesconnatre avant tout calcul de stabilit, soit en les mesurant sur le site, soit en les estimant par lecalcul des coulements souterrains.

Dans les grandeurs inconnues au moment du calcul, on a :

'iH , la force rsultante des contraintes horizontales effectives sur la face verticale de la tranche ; iV , la force de cisaillement agissant sur la face verticale de la tranche ; 'iN , la force normale effective sur la base de la tranche ; iT , la force de cisaillement agissant sur la base de la tranche ; ia , la distance dapplication de la force 'iN ;

ib , la distance dapplication de la force 'iH .

Le nombre dinconnues (ci-dessus), avec ntranches dans le massif, est de 6 3n (six inconnue partranche, et la tranche 1 finissant en pointe, les inconnues 1 1 1' , , hH V U disparaissent).

Le nombre dquation est de 3n (trois quations dquilibre pour chacune des ntranches), soit pour latranche i :

0

0

0

x

y

F

F

M

=

=

=

(12.61)

En consquence, le nombre dinconnues tant plus grand que le nombre dquations disposition, le

problme est donc statiquement indtermin (hyperstatique). La seule faon de le rsoudre est dediminuer le nombre dinconnues et/ou de rajouter des quations, en faisant des hypothsessimplificatrices.

Toutes les mthodes des tranches ont en commun les deux hypothses principalessuivantes :

Avec un grand nombre de tranche n (en gnral, le calcul est fait avec 30n ) la largeur destranches est faible ; il est ainsi naturel de faire lhypothse que la force de raction normaleeffective sur la base de la tranche agit au milieu de celle-ci, soit :

2i

i

la

= (12.62)

Ceci supprime une inconnue par tranche, soit ninconnues au total ;

Le facteur de scurit au glissement de chacune des tranches est admis le mme que le facteur descurit global au glissement de lensemble de la pente ; en faisant ainsi, la force tangentielle sur labase de la tranche iT est lie la force normale effective 'iN par la loi de Mohr-Coulomb, larsistance ultime au cisaillement tant toutefois rduite par la valeur du coefficient de scurit sF :

( )1

' ' tan 'i i i is

T c l N F

= + (12.63)


59/76

CHAPITRE 12 59


On perd ainsi une inconnue de plus par tranche, soit ninconnues au total, mais on a rajout uneinconnue pour lensemble du systme, soit le facteur de scurit sF (identique dans chaque

tranche et donc sans indice).

Avec les deux hypothses principales, le nombre dinconnues passe de 6 3n 4 2n , mais restesuprieur au 3n quations. On introduira des hypothses secondaires additionnelles pour rsoudre lesystme, comme indiqu dans le Tableau 12.2 avec le nom de leur auteur.

Si la premire des hypothses principales est facilement dfendable, la seconde lest moins. En effet,ltat de contrainte rel dans une pente naturelle est trs complexe. La probabilit quen chaque pointdun potentiel mcanisme plastique cet tat se trouve mme distance de la ruine (donc que le facteur de

scurit local soit partout le mme) est trs faible. On observe dailleurs souvent des pentes dont laplastification est seulement partielle (Fig. 12.57) ; dans ce cas, le facteur de scurit vaut 1 dans la zoneplastifie et est plus grand que 1 en dehors. Il est clair que plus lensemble de la pente converge vers unmcanisme de ruine, et plus les facteurs de scurit convergent vers la mme valeur, soit 1.

Fig. 12.57 : Exemple de plastification partielle dune pente


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Tableau 12.2 : Mthodes des tranches courantes

Mthode Surface derupture

Hypothsessimplificatrices

Remarque

Fellenius

(mthode ordinaireou sudoise)

circulaire 0i iH V= = Mthode non rigoureuse, les efforts inter-tranches

tant ngligs. Facilit demploi pour un calcul lamain

Bishop circulaire ' 0i

HM = Les moments dus 'iH sont ngligs. Mthodeconseille pour les surfaces de rupture circulaire.

Calcul lordinateur.

Bishop simplifi circulaire'

1

0i

H

i i

M

V V+

=

=

Comme Bishop mais en plus, on nglige les

diffrences dans les efforts de cisaillement entredeux cts dune tranche. Le calcul est possible la

main. Cette mthode est trs populaire dans lapratique.

Janbu allonge/ 3

.

i i

i

b h

const

=

=

Mthode relativement adquate et conseille pourles surfaces de glissement allonges, o les

hypothses sont assez bien vrifies. Calcul lordinateur.

Janbu simplifi allonge

1

/ 3i i

i

i i

b h

const

V V

+

=

=

=

Comme Janbu, mais en plus on nglige lesdiffrences dans les efforts de cisaillement entre

deux cts dune tranche. Le calcul est possible lamain. Cette mthode est trs populaire dans la

pratique.Morgenstern et

Pricequelconque tan ( )i f x =

Mthode rigoureuse. Lutilisateur doitspcifier ( )f x . Calcul lordinateur.

12.5.2 Mthode de Bishop simplifieDans la mthode de Bishop simplifie, et selon les hypothses formules au Tableau 12.2, les forces

considrer pour lquilibre dune tranche sont indiques la Fig. 12.58. On ngligera de plus ici, poursimplifier, les charges en surface, les ancrages et les acclrations dues au tremblement de terre.


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CHAPITRE 12 61


Fig. 12.58 : Forces considres dans la mthode de Bishop simplifie

Le facteur de scurit global se calcul dans cette mthode en faisant lhypothse dune surface deglissement circulaire (Fig. 12.59) :

1 1

1 1

Moment rsistant

Moment moteursin sin

n n

if if

i is n n

i i i i

i i

T r T

F

W r W

= =

= =

= = =

(12.64)

avec ifT la rsistance au cisaillement sur la base de la tranche i , r le rayon de courbure de lasurface de glissement et i langle de la surface de glissement la base de la tranche i .

Fig. 12.59 : Calcul du facteur de scurit global dans la mthode de Bishop simplifie


62/76



Dans lexpression ci-dessus, ifT est obtenu en considrant lquilibre de la tranche de la Fig. 12.58.Lquilibre des forces en projection horizontale donne :

sin ' cos cos 0i i i i i i iW T N U + + + = (12.65)

Dautre part, iTest li ifT par le facteur de scurit sF (on a fait lhypothse principale que lefacteur de scurit est le mme partout dans la pente) par :

1i if

s

T TF

= (12.66)

Finalement, 'iN est li ifT par la loi de Mohr-Coulomb (exprime ici sous forme de force et non decontrainte comme au Chapitre 9) :

' ' tan ' ' ' tan 'cos

iif i i i i i i

i

xT C N c N

= + = + (12.67)

Par substitution, et en considrant

cosi

i ii

xU u

= (12.68)

on trouve finalement laformule de Bishop simplifie:

( )

1

1

1' ( ) tan '

sin

1avec cos tan ' sin

n

i i i i i i

iis n

i i

i

i i i i

c x W u x

MF

W

MF

=

=

+ =

= +

(12.69)

Cette quation est implicite car fait intervenir le facteur de scurit sF dans les deux membres degauche et de droite. Elle doit tre rsolue par itration. Lexprience montre quen partant duneestimation initiale raisonnable pour iM , par exemple avec 1sF = , la convergence est atteinte aprs troisou quatre itrations dj.

Laprocdure de calculest donc la suivante:

1. Dessin/choix dune surface de glissement ;2. Choix de la valeur initiale de sFpour estimer iM (par exemple 1sF = ) ;3. Calcul de sF selon la formule de Bishop simplifie (quation (12.69)) ;4. Test de convergence de sF : si non atteinte, reprendre au point 3 avec la dernire valeur de

sFpour lestimation de iM . Si la convergence est atteinte, aller au point 5 ;

5. Fin du calcul.


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CHAPITRE 12 63


Le calcul est possible avec un simple tableur (voir exemple au Tableau 12.3).

Tableau 12.3 : Tableur pour le calcul par la mthode de Bishop simplifie

Ligne Terme Tranche Total

1 2 3 i n

(1) 'i

c

(2) 'i

(3)i

x

(4) i

(5)i

u

(6) Wi

(7) 'c xi i

(8) u xi i

(9) sinWi i A

(10) (6)-(8)

(11) (10) tan 'i

(12) (7)+(11)

..........0Fs =

(13) Mi

(14) (12)/(13) B

/ ..........F B As = =

(13) Mi

(14) (12)/(13) B

/ ..........F B As = =

Etc. jusqu convergence

12.5.3 Mthode de JanbuDans les pentes naturelles, la surface de glissement est souvent allonge (Fig. 12.60). Pour valuer la

stabilit dune telle pente, la mthode de Janbu est plus approprie que celle de Bishop. Dans le cas de lamthode de Janbu simplifie, et selon les hypothses formules au Tableau 12.2, les forces considrerpour lquilibre dune tranche sont indiques la Fig. 12.61. On ngligera de plus ici, pour simplifier, lescharges en surface, les ancrages et les acclrations dues au tremblement de terre.


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Fig. 12.60 : Exemple de surface de glissement allonge

Le facteur de scurit global se calcul dans cette mthode en faisant lhypothse dune surface deglissement allonge, et donc en comparant des forces:

Forces rsistantesForces motrices

sF = (12.70)

Une expression pour chacune de ces deux forces sera trouve en rsolvant les quations dquilibre eten incorporant le critre de rupture de Mohr-Coulomb.

Fig. 12.61 : Forces considres dans la mthode de Janbu

A partir de la Fig. 12.61, on exprime les conditions dquilibre sur lhorizontale et sur la verticalepar :

cos sin 0

cos sin 0i i i i i

i i i i i i

H T N

W N T V

+ =

+ + + = (12.71)

avec


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CHAPITRE 12 65


1

1

'

i i i

i i i

i i i

H H H

V V V

N N U

+

+

=

=

= +

(12.72)

En multipliant la premire quation de (12.71) par cos i et la deuxime par sin i et en sommant ontrouve :

( ) tancos

ii i i i

i

TH W V

= (12.73)

Janbu fait lhypothse que la somme des iH sannule sur lensemble du glissement, soit que :

1

0n

i

i

H

= = (12.74)

ce qui donne par substitution :

( ) tancos

ii i i

i

TW V

= (12.75)

On trouve ci-dessus une expression qui reprsente bien lensemble des forces motrices prendre encompte dans lquation du facteur de scurit global (quation (12.70).

Lexpression quivalente pour les forces rsistantes est en consquence :

Forces rsistantes=cos

if

i

T

(12.76)

Dans laquelle lexpression de /cosif iT est :

cosi

if if i

xT

= (12.77)

avec par Mohr-Coulomb :

' ' tan 'if i i ic = + (12.78)

et

''

/ cos / cos / cosi i i i

i ii i i i i i

N N U Nu

x x x

= = =

(12.79)

dans laquelle la force iN est exprime selon lquation dquilibre (12.71) (2) :


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tancos

ii i i

i

Wi VN T

= (12.80)

et par dfinition :

1i if

s

T TF

= (12.81)

En substituant les quations ci-dessus dans l'quation (12.76) on trouve :

( )cos

' tan 'cos

if ii i i i i i i

i i

Tc x W V u x

M

= + (12.82)

avec iM dfini de la mme manire que pour Bishop afin de pouvoir comparer plus loin les deuxmthodes.

En substituant les expressions pour les forces motrices et les forces rsistantes, on trouve finalementlaformule de Janbu:

( )1

1

cos' tan '

( ) tan

ni

i i i i i i iii

s n

i i i

i

c x W V u xM

F

W V

=

=

+ =

(12.83)

Dans cette quation, on retrouve sF gauche et droite (dans iM ) et ceci ncessite quelquesitrations comme pour la mthode de Bishop. Ici de plus, la prsence de linconnue iV demande uneapproche par estimation et corrections progressives.

Janbu a propos une approche plus simple, avec la laquelle une solution peut tre obtenue par uncalcul la main. Pour ce faire, on ngligera les diffrences de forces de cisaillement inter-tranches( 0iV = ) mais on corrigera le facteur de scurit dun facteur correctif empirique 0f fonction du rapport

dlongation d/L de la pente (Fig. 12.62). Cest laformule de Janbu simplifie:

( )01

1

cos' tan '

tan

ni

i i i i i iii

s n

i i

i

f c x W u xM

F

W

=

=

+ =

(12.84)


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CHAPITRE 12 67


Fig. 12.62 : Facteur correctiffopour la mthode de Janbu simplifie

La mthode de Janbu simplifie appelle les commentaires suivants :

le facteur correctif 0f est trs proche de lunit, en particulier pour les pentes allonges. Une

statistique des longations de quelques glissements de terrains en Suisse est donne la Fig. 12.63.On constate que le rapport /d L de Janbu (H/Lxdans la Fig. 12.63) varie entre 0,01 et 0,06, avecune moyenne de 0,025 ; en conclusion, on peut effectuer le calcul en admettant 0 1f sans faire

une erreur importante (5%) tout en tant du ct de la scurit, le facteur de scurit tant alorslgrement infrieur ;

selon Janbu, la mthode simplifie donne des facteurs de scurit lgrement plus faible (5-8%)que la mthode complte : elle est donc du ct de la scurit ;

la formule de Janbu simplifie est trs proche de celle de Bishop simplifie, part quelques effetsdiffrents provenant de langle de la surface de glissement la base de la tranche, i . Pour dessurfaces de ruptures peu inclines, cette influence devient ngligeable ( cos 1i ) et les deuxmthodes convergent ;

la procdure de calcul est la mme pour Janbu que pour Bishop et le calcul est possible avec unsimple tableur (Tableau 12.4)


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Fig. 12.63 : Elongation des pentes naturelles. Statistique des longueurs et profondeur de 25 pentes naturelles enSuisse (Vulliet, 1986)

Laprocdure de calculest donc la suivante:

1. Dessin/choix dune surface de glissement ;2. Choix de la valeur initiale de sFpour estimer iM (par exemple 1sF = ) ;3. Calcul de sF selon la formule de Janbu simplifie (quation 13.84) ;4. Test de convergence de sF : si non atteinte, reprendre au point 3 avec la dernire valeur de

sFpour lestimation de iM . Si la convergence est atteinte, aller au point 5 ;

5. Fin du calcul.


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CHAPITRE 12 69


Tableau 12.4 : Tableur pour le calcul par la mthode de Janbu simplifie

Ligne Terme Tranche Total

1 2 3 i n

(1) 'i

c

(2) 'i

(3)i

x

(4)i

(5)i

u

(6) Wi

(7) 'c xi i

(8) u xi i

(9) tanWi i A

(10) (6)-(8)

(11) (10) tan 'i

(12) (7)+(11)

..........0Fs =

(13) cos /i

Mi

(14) (12)*(13) B

0 / ..........F f B As = =

(13) cos /i

Mi

(14) (12)*(13) B

0 / ..........F f B As = =

Etc. jusqu convergence


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12.5.4 Influence des forces extrieures dans Bishop et JanbuPlusieurs forces peuvent sajouter au poids propre et leffet de lcoulement souterrain : les charges

en surface, les forces dancrage et les pressions deau dans les fissures (Fig. 12.64). Les mthodes deBishop et de Janbu peuvent facilement

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Poly09-12 - Comportement Des Massifs v2-7 Rj

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