+ All Categories
Home > Documents > Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case...

Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case...

Date post: 17-Mar-2020
Category:
Upload: others
View: 6 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
32
HAL Id: inria-00073617 https://hal.inria.fr/inria-00073617 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule Ioannis Z. Emiris, Bernard Mourrain To cite this version: Ioannis Z. Emiris, Bernard Mourrain. Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617
Transcript
Page 1: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

HAL Id: inria-00073617https://hal.inria.fr/inria-00073617

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Polynomial System Solving: the Case of a Six-AtomMolecule

Ioannis Z. Emiris, Bernard Mourrain

To cite this version:Ioannis Z. Emiris, Bernard Mourrain. Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule.RR-3075, INRIA. 1996. �inria-00073617�

Page 2: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Polynomial system solving: the case of asix-atom molecule

Ioannis Z. Emiris & Bernard Mourrain

N˚ 3075

Decembre 1996

THEME 2

Page 3: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb
Page 4: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ������������� ����������������� ��"!# $���%��&' (���*),+- .����/�����0!213���

4�5�687�7�9;:�<>=@?BAC9EDF9E:3GIH,JKDF7@68DMLONP5RQ�DMDS6-9;7UT

VBW�XZY�[�\�]_^a`ZbRcd[�edfhgicdjScd[Se[Sk�jmlKedjZnRepo�qRYr�fiescdtun�[vxw�fKy*[Sk,z8{,|2}�~

~�li����fhw*k���[�w�[Zj�W�[Zw�jFW�[%b�u�h���h�C]��a`ZjZ[ZYr�w�[����h�h�3]�\i����ligh[Zo

�����Z�m��������� {�w�[Se�lKk�cs��[Sesqb�[S�Or�w�lib�jFW�fi �jZfhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe�rRcdfiedfhgiqlib��3j�W�[ZY¡cdo�k�w*q�W�lio#r�[Z[Zb[ZY�[Zw�gicdb�g¢lio�lib£[S¤¥fhw*k,k�fCli���Resq'o�n�jZjZ[Zo�o� ¦nRe���liw�li�RcdghY�o�lib��£lKedghfhw*csk�W�Y�o� ;w�fhY§gh[ZfhY�[Sk�w*qlib���w�fhr�fik¨ucdb�[ZY�lKk�cdjZo�k�fC��w�[Z�RcdjSk�cdb�g©k�W�[�o�k�w�n�jSk�n�w�[ªfi >Y�fied[ZjZnRed[Zom«�[ZYr�[Z���Rcdb�g¢k�W�[ZY¬cdb­xn�jSescd��[mlib�o���lijZ[h«-lib��¡®�b��Rcdb�gak�W�[B[Zb�[Zw�gh[Sk�cdjmlKesesq¡ ¯lZ��fhw�lirRed[$jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�om°2±�[.csesedn�o�k�w�lKk�[o�[S��[Zw�lKe>[S²�jScd[Zb-k�lKedgh[Zr�w�lKcdjClKedghfhw*csk�W�Y�o¡ ¦fhw[Zbun�Y�[Zw�lKk�cdb�g�lKese>��fho�o�cdrRed[�jZfhbR ;fhw�Y�lKk�cdfhb�o�fi l�jSqRjSescdj�Y�fied[ZjZnRed[�lib��© ;fhw,o�k�n��Rq8cdb�g³csk�o�o�cdb�ghnRe�liw,edf8jZn�om°a~�[ZjZ[Zb-k�li�R�hlib�jZ[Zo,cdb©jZfhY���nRk�l�´k�cdfhb�lKe0lKedgh[Zr�w�lµliw�[�[M¶��Redficsk�[Z�@«�cdb�jSedn��Rcdb�gµ�Rcdo�k�lib�jZ[�gh[ZfhY�[Sk�w*q�«@o���liw�o�[��fiesq8b�fhY¡c�lKe�k�W�[Zfhw*qr�lio�[Z�¢fhb¸·,[S�Bk�fhb¸��fiesquk�fh��[Zom«¹lib��©Y�lKk�w*cº¶¸Y�[Sk�W�fu��o� ;fhw�o�fies�8cdb�g�b�fhbRescdb�[mliw�Y�nResk�cs�iliw*c�lKk�[��fiesqRb�fhY¡c�lKe2o�q8o�k�[ZY�o�°�±»csk�W£w�[Zo���[ZjSk,k�f�k�W�[¡e�lKk�k�[ZwZ«¥�>[�jZfhY���liw�[�o���liw�o�[¡w�[Zo�nResk�lib-k�om«½¼.[M´¾ fhnRk�c�lib�o�«8lib���zuq8es��[Zo�k�[Zw�w�[Zo�nResk�lib�k�o¿cdbªjmlio�jmli��[h«-cdb�k�[Zw�Y�o¿fi ¥��[Zw* ;fhw�Y�lib�jZ[,lib��ªb-n�Y�[Zw*cdjmlKeo�k�lirRcsescskÀq�°Á¢Â�Ã¥Ä�Å�Æ ��Ç���� ��fiesqRb�fhY¡c�lKe�[Zt8n�lKk�cdfhb@«�o���liw�o�[.w�[Zo�nResk�lib-km«-¼.[ ¾ fhnRk�c�lib@«8zuq8es��[Zo�k�[Zw2w�[Zo�nResk�lib�km«[Scdgh[Zb-�ilKedn�[h«�o�cdb�ghnRe�liwB�hlKedn�[h«�o�cdb�ghnRe�liwBedf8jZn�om«�gh[ZfhY�[Sk�w*qCfi �escdb�[Zom«�jSq8edjSedfhW�[M¶�lib�[h«�jZfhY���nRk�l�´k�cdfhb�lKe#rRcdfiedfhgiqClib��¸j�W�[ZY¡cdo�k�w*q

ÈdÉpÊ�ËÍÌmÎ$Ê¿Ï#кËÍѯÒZÓ

Ô�Õ;Ö#×#Õ;ØxÙ�Ú�Ø#Û�Õ;×�Ù3ÜFÝFÝFÞà߯áMâ�ãÍäæå�ä�çéè8âKê�ëìáFíìä�çîÙ¸ï�ð ñ�ð¡òFó�Ù©ÝMôFòMÝMÜõÚmáMö�÷�ëùøúØ#ûZã¯ëìöháFíüëùçîÙ'ýMþ�ÿ�ý���ý ���ÿ ��� ��� � ý ������ �� ý ��� ý ��ý ����� �

Unite de recherche INRIA Sophia Antipolis2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France)

Telephone : 04 93 65 77 77 – Telecopie : 04 93 65 77 65

Page 5: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

���0�¹����1����������������1� .����������������������� ����0�à�U��� !# $��� ��1����/�����0!213�����(����) .����¬�0�

��� ����� � � � b�[ªr�w�lib�j�W�[ªw�[Se�lKk�cs��[ZY�[Zb-k�w�`ZjZ[Zb�k�[ª��[�e�lCrRcdfiedfhgicd[ª[Sk��[�e�lCj�WRcdY¡cd[³lKedghfK´w*csk�W�Y¡cdt8n�[¡jZfhb�o�cdo�k�[���nRk�csescdo�[Zwa��[Zo���liw�li�RcdghY�[Zo�fhn£lKedghfhw*csk�W�Y�[Zo���[Zb�lib�k���[3e�lªgh`ZfhY�`Sk�w*cd[fhnC��[�e�l¡w�fhr�fik�cdt8n�[�[Sk$��[aed[Zo�li���Rescdt8n�[Zw��3e�l¡w�[ZjFW�[Zw�j�W�[3��[�jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o���[�Y�fied`ZjZnRed[Zo�°·,fhn�o0csesedn�o�k�w�fhb�ox[Skx��`Sk�lKcsesedfhb�o¿lKcdb�o�c��Redn�o�cd[Zn�w�oxlKedghfhw*csk�W�Y�[Zo>��[Bw�`Zo�fiednRk�cdfhbª��� `Zt8n�lKk�cdfhb�ox��fK´esqRb�fhY¡c�lKed[Zo���[Zw�Y�[Sk�k�lib�ka��[�k�w�fhnR��[ZwBk�fhnRk�[Zo�ed[Zo$jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�oa��fho�o�cdrRed[Zo$��� n�b�[�Y�fied`ZjZnRed[����lKk�fhY�[Zom°x·,fhn�o�b�fhn�o�cdb�k�`Zw�[Zo�o�fhb�o�`Zg�lKed[ZY�[Zb�k �¡e�� `Sk�n���[���nCescd[Zn¸jZw*csk�cdt8n�[���[�jZ[Zo�jZfhbR®R´ghn�w�lKk�cdfhb�o�°x�a[�w�`ZjZ[Zb�k�k�w�lZ�hlin8¶¢[Zb¸lKedghXZr�w�[[S¤¥[ZjSk�cs��[�o�fhb-k�nRk�csescdo�`Zom«�cdb�jSedn�lib-k�e�l�gh`ZfhY�`Sk�w*cd[��[Zo��Rcdo�k�lib�jZ[Zom«¹e�l�k�W�`Zfhw*cd[��[Zo,��fiesquk�fh��[Zo���[�·,[S�Bk�fhb¸[Sk�ed[Zo�Y�`Sk�W�f8��[Zo�Y�lKk�w*cdjScd[Sesed[Zoa��fhn�we�l3w�`Zo�fiednRk�cdfhb¸��� `Ztun�lKk�cdfhb�o$��fiesqRb�fhY¡c�lKed[Zom°�·,fhn�oBjZfhY���liw�fhb�o$�Rcs¤�`Zw�[Zb-k�[Zo�li����w�f8j�W�[ZoBk�[Sesed[Zoed[Zo�w�`Zo�nResk�lib�k�o�!¡jZw�[Zn8¶#"R«¹ed[Zo�¼.[ ¾ fhnRk�cd[Zb�o�[Sk�ed[Zo�w�`Zo�nResk�lib-k�o,��[3zuques��[Zo�k�[Zw�[Zb¢jmlio�jmli��[h«���n��ficdb�k���[a�8n�[���[aed[Zn�w���[Zw* ¦fhw�Y�lib�jZ[�[Sk���[aed[Zn�w$o�k�lirRcsescsk�`�b-n�Y�`Zw*cdt8n�[h°$ Æ �m� Ä �&% � � `Zt8n�lKk�cdfhb¢��fiesqRb�fhY¡c�lKed[h«�w�`Zo�nResk�lib-k�jZw�[Zn8¶@«�¼.[ ¾ fhnRk�cd[Zb@«¹w�`Zo�nResk�lib-k���[�zuq8es��[Zo*´k�[ZwZ«��hlKed[Zn�wp��w�fh��w�[h«K�ilKed[Zn�w#o�cdb�ghnRescdXZw�[h«iescd[Zn�o�cdb�ghnRescd[ZwZ«hgh`ZfhY�`Sk�w*cd[>��[Zop��w�ficsk�[Zo�«KjSqRjSedfhW�[M¶�lib�[h«rRcdfiedfhgicd[[Sk�j�WRcdY¡cd[3lKedghfhw*csk�W�Y¡cdtun�[Zo

Page 6: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� �

6 7 ���8�� �¡1!p�������

9 b�[Br�w�lib�jFWªfi ¥jZfhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe�Y�fied[ZjZnRe�liw¿rRcdfiedfhgiq�lib���jZfhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe¥j�W�[ZY¡cdo�k�w*q3�Bcdo�W�[Zok�fC[M¶��Redficsk�k�f8��lZq � o�jZfhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe¿��fm�>[Zw�cdbéfhw���[Zw�k�f¢linRk�fhY�lKk�[ªlib���lijZjZ[Sed[Zw�lKk�[�o�k�w�n�jM´k�n�w�[ª��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lKk�cdfhb� ¦fhw� ¦n�b�jSk�cdfhb�cd��[Zb�k�cs®�jmlKk�cdfhb�lib�����w�n�g¸��[Zo�cdghb@°�{ w�[Se�lKk�cs��[Sesq�w�[ZjZ[Zb�k[S¤¥fhw*k�W�lio³r�[Z[Zbæk�W�[©li���RescdjmlKk�cdfhbúfi �o�n�jZjZ[Zo�o� ;nRe,��liw�li�RcdghY�oµlib�� k�[Zj�W�bRcdt8n�[Zo³ ;w�fhY gh[ZfK´Y�[Sk�w*q�«2w�fhr�fik3¨ucdb�[ZY�lKk�cdjZo¡lio�>[Sese.lio��ucdo�cdfhb�k�f¸��w�[Z�RcdjSk�cdb�g'k�W�[�o�k�w�n�jSk�n�w�[�fi $Y�fied[ZjZnRed[Zo�«[ZY�r�[Z���Rcdb�g�k�W�[ZY cdbU­�n�jSescd��[mlib o���lijZ[¢lib���®�b��Rcdb�g�k�W�[C[Zb�[Zw�gh[Sk�cdjmlKesesqO ¯lZ��fhw�lirRed[¸jZfhbR®R´ghn�w�lKk�cdfhb�o;: v=<.��>�«@­�Y¡c���>@?Í°3VBW�[ªY�lKcdb���w�[ZY¡cdo�[¡ ¦fhwak�WRcdo�cdb�k�[Zw�lijSk�cdfhb�cdo�k�W�[�fhr�o�[Zw*�hlKk�cdfhbk�W�lKk3�hliw*cdfhn�o3o�k�w�n�jSk�n�w�lKe$w�[ZtunRcdw�[ZY�[Zb-k�o�fhbPY�fied[ZjZnRed[Zo�jmlibOr�[�Y�f8��[Sed[Z�Ulio�Y�lijZw�fho�jZfh�Rcdjgh[ZfhY�[Sk�w*cdj�fhwB¨-cdb�[ZY�lKk�cdjjZfhb�o�k�w�lKcdb�k�om°

VBWRcdo��¿fhw�¨3 ¦fujZn�o�[Zo0fhbªlKedgh[Zr�w�lKcdj�lKedghfhw*csk�W�Y�o¿k�W�lKkxW�lZ��[�r�[Z[Zb���[Zw*q3n�o�[S ¦nRe�cdb¡k�W�[�liw�[mlioY�[Zb-k�cdfhb�[Z� lir�fm��[¢r�nRk�liw�[Cb�fik��¿[Seseº´À¨8b�fm�$b liY�fhb�géo�k�w�n�jSk�n�w�lKe�rRcdfiedfhgicdo�k�o�lib��UjZfhY���n8´k�lKk�cdfhb�lKe�jFW�[ZY¡cdo�k�om° ±�['gics��['lOr�w*cd[S �cdb-k�w�fu��n�jSk�cdfhbúk�f�lKedghfhw*csk�W�Y�oµ ;fhw³o�k�n��Rq8cdb�gPr�lio�cdj��w�fh��[Zw*k�cd[Zo³fi ,o�qRo�k�[ZY�o�fi ao�cdYnResk�lib�[Zfhn�oµ��fiesqRb�fhY¡c�lKe�[Zt8n�lKk�cdfhb�om«.cdbæ��liw*k�cdjZnRe�liw� ;fhw�®�b8´�Rcdb�gClKese0k�W�[ScdwajZfhY�Y�fhbéw�f8fik�o�lib��£cd��[Zb�k�cs ;qucdb�gµk�W�[Scdwao�cdb�ghnRe�liw*csk�cd[Zom°3VBW�[Zo�[¡Y�[Sk�W�f8��o�liw�[li���Rescd[Z�'k�fµjZfhb�jZw�[Sk�[�Y�fied[ZjZnRe�liwa��w�fhrRed[ZY�om«@k�Wun�o���w�fm�8cd�Rcdb�gµlib'csesedn�o�k�w�lKk�[Z�£cdb-k�w�fu��n�jSk�cdfhb@«�$WRcsed[o�[S��[Zw�lKep��ficdb�k�[Zw�o$k�f�o���[ZjSc�lKesc ¾ [Z�¢��n�rRescdjmlKk�cdfhb�oaliw�[���w�f��ucd��[Z�@°

VBW�[Zw�[�liw�[£kÀ�>fætun�[Zo�k�cdfhb�o¢o�k�n��Rcd[Z�úcdb ��[Z�Rk�W@° VBW�[£®�w�o�km«�cdb o�[ZjSk�cdfhb \8«,[M¶�liY¡cdb�[ZolKedghfhw*csk�W�Y�o#k�fBcd��[Zb-k�cs EqlKese8��fho�o�cdrRed[0jZfhbR ;fhw�Y�lKk�cdfhb�o2fi �lBY�fied[ZjZnRed[h«igics��[Zbo�fhY�[xjZfhb�o�k�w�lKcdb�k�ofhb¸csk�o���w*cdY�liw*q¢o�k�w�n�jSk�n�w�[h°BVBW�[���w�fhrRed[ZY cdo�®�w�o�k$k�w�lib�o�e�lKk�[Z�©cdb�k�f³lKedgh[Zr�w�lKcdjk�[Zw�Y�o�°BVBWRcdocdo3��fhb�[�cdbPo�[ZjSk�cdfhb�o�\8°º��°º�Clib��æ\8°º��°ì\8«0w�[Zo���[ZjSk�cs��[Sesq�«0r-q�k�W�[³jSe�lio�o�cdjmlKeBlib�gied[� ¦fhw�YnRe�lKk�cdfhbli���Rescd[Z�¸cdb©lªjSed[S��[Zw$�>lmq¢cdb¸fhw���[Zw�k�fªw�[Z��n�jZ[k�W�[��w�fhrRed[ZY �RcdY�[Zb�o�cdfhb@«�lib��©r�qCk�W�[�Y�fhw�[w�[ZjZ[Zb-k>li����w�f�lijFW�fi @�Rcdo�k�lib�jZ[$gh[ZfhY�[Sk�w*q�°>z8[ZjSk�cdfhb�o>\8°ì\�lib��³\8°ü��w�[Zo���[ZjSk�cs��[Sesq�«8li���Resq�w�[ZjZ[Zb�kli�R�hlib�jZ[Zo¿cdbªjZfhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe½lKedgh[Zr�w�l�cdb�fhw���[Zw�k�f�[Zo�k�cdY�lKk�[$k�W�[,b-n�Y�r�[Zw>fi @o�fiednRk�cdfhb�om«Rlib��k�W�[Zb©jZfhY���nRk�[�lKese�fi �k�W�[ZYIr�q¢w�[Z��n�jScdb�g�k�W�[�b�fhbRescdb�[mliw,��w�fhrRed[ZY k�fªlª��w�fhrRed[ZY cdb¸escdb�[mliwlKedgh[Zr�w�lR°|�fhw�lKedgh[Zr�w�lKcdo�k�om«¥k�W�[¡��w*cdb�jScd��lKe0cdb�k�[Zw�[Zo�k�fi ¿o�[ZjSk�cdfhb�\8°ü��escd[Zo,cdb©k�W�[¡jZfhY���liw*cdo�fhbfi #o�[S��[Zw�lKe½lKesk�[Zw�b�lKk�cs��[Zo.cdb³o�fies�ucdb�g�k�W�[ao�liY�[aYnResk�cs�hliw*c�lKk�[���w�fhrRed[ZYC«Rcdb³��liw*k�cdjZnRe�liwBo���liw�o�[w�[Zo�nResk�lib�k�om«�¼.[ ¾ fhnRk�c�lib�oalib��Cw�[Z��[mlKk�[Z�©li���RescdjmlKk�cdfhb©fi 0zuques��[Zo�k�[Zw�w�[Zo�nResk�lib�k�om°

VBW�[³o�[ZjZfhb��U��w�fhrRed[ZY jZfhb�jZ[Zw�b�o�k�W�[Co�cdb�ghnRe�liw�jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o�fi �k�W�[CY�fied[ZjZnRed[C��[S®R´b�[Z�'r�qCk�W�[3gics��[Zb£��lKk�lR°,z8[ZjSk�cdfhbé����w�fh��fho�[ZoajZfhb�o�k�w�n�jSk�cs��[¡Y�[Sk�W�f8��o� ¦fhw�cd��[Zb-k�cs Eq8cdb�g�k�W�[cdbR®�bRcsk�[Zo�cdY�lKesesqµn�b�o�k�lirRed[h«¹fhwBgh[ZfhY�[Sk�w*cdjmlKesesq¢��[Zgh[Zb�[Zw�lKk�[h«¹o�csk�n�lKk�cdfhb�om°

A¸fho�k�fi 0k�W�[�cdY��Red[ZY�[Zb�k�lKk�cdfhb�ow�[S ;[Zw�w�[Z�¸k�f�cdb¢k�WRcdo,��li��[Zw�liw�[�lKedw�[mli�Rq¢��n�rRescdjSesq'lZ�hlKcº´e�lirRed[h«¹fik�W�[Zw*�Bcdo�[�k�W�[SqCjmlibCr�[�fhrRk�lKcdb�[Z�©r�qµk�W�[�linRk�W�fhw�om°

~�[Se�lKk�[Z�C�>fhw�¨�cdo�Y�[Zb�k�cdfhb�[Z�¢cdbC[mlijFW¸jZfhw�w�[Zo���fhb��Rcdb�g�jZfhb-k�[M¶8km°

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 7: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

> ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

� � �����0!213�� �8à!�����&Z��8¥¬ .�¥�������

VBWRcdo�o�[ZjSk�cdfhbO[M¶�liY¡cdb�[Zo�k�W�[µ��w�fhrRed[ZY fi �jZfhY���nRk�cdb�g�lKese $ ��� )����-, �� �����#��fi ,l©Y�fied[ZjZnRed[h°<>fhbR ¦fhw�Y�lKk�cdfhb�o¸o���[ZjScs ;q k�W�[���´À�RcdY�[Zb�o�cdfhb�lKe�o�k�w�n�jSk�n�w�[�fi k�W�[éY�fied[ZjZnRed[h° }ÀkCW�lio¢r�[Z[Zbliw�ghn�[Z� r-q ^��f�lib��õz8jFW�[Zw�g�l :ü^�z��i��?ak�W�lKk¢[Zb�[Zw�giqúY¡cdbRcdY�lUjmlib r�[£li����w�fm¶8cdY�lKk�[Z�õr�qlKesedf��Bcdb�gafhbResq�k�W�[¿�RcdW�[Z��w�lKe�lib�gied[Zo#k�f��hliw*q�«K�$WRcsed[¿¨h[Z[Z�Rcdb�gar�fhb���ed[Zb�gik�W�o0lib���r�fhb���lib�gied[Zo®R¶�[Z�@°�{���� !#�����3 ���lib�gied[¿cdopk�W�[>o�fiescd�¡lib�gied[¿r�[SkÀ�>[Z[Zb3kÀ�¿fajZfhb�o�[ZjZnRk�cs��[.�Re�lib�[Zom«h[mlijFW¡��[S®�b�[Z�r-qªlib³lKk�fhY"lib���csk�o>k��¿f�escdb�¨uom°2{.kBl�®�w�o�k¿ed[S��[Se�fi pli����w�fm¶8cdY�lKk�cdfhb@«�k�W�[Zw�[S ;fhw�[h«Ro�fies�8cdb�g� ¦fhwk�W�[a�RcdW�[Z��w�lKeplib�gied[Zo$n�b���[Zw.k�W�[�lio�o�n�Y��Rk�cdfhbCfi ��-� �'���%�@� �� �����-����w�f��ucd��[Zo$cdbR ;fhw�Y�lKk�cdfhbµ ¦fhwk�W�[,[Zb�[Zw�gh[Sk�cdjmlKesesq³ ¦lm��fhw�lirRed[,jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o�°�±�[,jZfhb�o�cd��[Zw $��@$�����$.Y�fied[ZjZnRed[ZoBfi po�cº¶�lKk�fhY�ok�f¡csesedn�o�k�w�lKk�[fhn�w$li����w�f�lij�W@°

VBW�[�®�ghn�w�[�o�W�fm�$oBfhb�[�jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb¢fi �o�n�j�WCl3Y�fied[ZjZnRed[h«���w�lZ�$bCr-q�}���}*< : |! A'��>�?Í°VBW�[¡w�[Se�lKk�cdfhb�o�WRcd�£k�fµgh[ZfhY�[Sk�w*q£lib��'w�fhr�fik�cdjZoacdoafhr��8cdfhn�o�fhb�jZ[¡r�fhb���o�liw�[3k�W�fhn�ghW�k�fi >liow*cdgicd��y*ficdb-k�o¿lib��ªlKk�fhY�o>lio0k�W�[$Y�[Zj�W�libRcdo�Y � oxescdb�¨8o�fhwxliw*k�cdjZnRe�lKk�cdfhb�om°0VBW�[�fhbResq3Y�f���[ZY�[Zb�klKesedf��¿[Z�écdoaw�fik�lKk�cdfhb�liw�fhn�b��£k�W�[¡r�fhb���o ��l�¶�[Zom«@o�f�k�W�[¡tun�[Zo�k�cdfhb'fi xcd��[Zb�k�cs ;qucdb�g¢l³jZfhbR ¦fhwî´Y�lKk�cdfhbéw�[Z��n�jZ[Zo�k�fµ®�b��Rcdb�gCk�W�[�w�[Zo���[ZjSk�cs��[���fho�[h°3}îb'¨ucdb�[ZY�lKk�cdj¡k�[Zw�Y�om«@k�W�[�Y�fied[ZjZnRed[�cdo[Zt8nRcs�hlKed[Zb�k.k�f3l,���"�-�� ��,� $�!� �� ���- cdbª�$WRcdjFWC[mlij�Wµ��lKcdw>fi pjZfhb�o�[ZjZnRk�cs��[�l�¶R[Zo>cdb-k�[Zw�o�[ZjSk�o$lKkl3escdb�¨�°�VBWRcdo�jZfhb�b�[ZjSk�cdfhb¢cdo$o���[Sesed[Z�¢fhnRk$cdbCo�[ZjSk�cdfhb¸�R°�VBWRcdo$cdY��Rescd[Zo�k�W�lKk$k�W�[�escdb�¨³fi¤�o�[Sk�oliw�[ ¾ [Zw�f¡ ¦fhwBlKese½o�cº¶�escdb�¨8om«8�$WRcdj�W¢�BcseseplKesedfm�àn�oBk�f¡w�[Z��n�jZ[�k�W�[���´À�RcdY�[Zb�o�cdfhb�lKe#��w�fhrRed[ZY k�fl¢o�q8o�k�[ZY¬fi $�¢��fiesq8b�fhY¡c�lKedo�cdbP�¢n�b�¨ub�f��$b�om°¢VBW�[ª��w�f8��n�jSk�fi �lKese¿escdb�¨'k�w�lib�o� ;fhw�Y�lKk�cdfhbY�lKk�w*cdjZ[Zo¡cdo3k�W�[�cd��[Zb�k�csk�qOY�lKk�w*cº¶@«�o�cdb�jZ[�k�W�[µ[Zb��8´À[S¤�[ZjSk�fhw¡cdo¡lKk¡k�W�[�o�liY�[µ��fho�csk�cdfhb�lib��fhw*cd[Zb-k�lKk�cdfhb©lioBk�W�[r�lio�[aescdb�¨�°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 8: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� �

ω1

θ1

T1 T2

T3

L1

L2L3

L4

L5L6

p3

p4

p2

p1

b2

b1p5

a

a

a3

2

1

r

p6

φ

φ

φ

φ

φ

φ

1

2

4

5

6

3

ω2

ω

ω4

ω5

ω6

θ

θ

3

2

3

|#cdghn�w�[�����VBW�[���liw�liY�[Sk�[Zw�om°

­2¶8k�[Zb��Rcdb�g�k�f�Y�fied[ZjZnRed[Zo#�Bcsk�W�Y�fhw�[�k�W�lib�o�cº¶a�iliw*q8cdb�g$�RcdW�[Z��w�lKedo�W�liopr�[Z[Zbli����w�f�lij�W�[Z�r-qµl¡ghw*cd�Co�[mliw�j�W¢fi #k�W�[�o���lijZ[�fi pk�W�[ak��¿fªe�lio�k$�RcdW�[Z��w�lKedom«�[mlijFWCghw*cd�¢��ficdb-k$gics�ucdb�gªw*cdo�[ak�fl�o�cº¶u´À�RcdY�[Zb�o�cdfhb�lKe�o�n�r���w�fhrRed[ZY :ü^�z��i��«�A ��±ú��>�?Í°2|�fhw¿Y�fied[ZjZnRed[Zox�Bcsk�Wªo�cº¶� ;w�[Z[$�RcdW�[Z��w�lKedolib��³libªliw�rRcsk�w�liw*qªbun�Yr�[Zw¿fi ½lKk�fhY�om«-k�W�[���w�fhrRed[ZY%cdo�cd��[Zb�k�cdjmlKe�k�f�k�W�[�cdb���[Zw�o�[�¨-cdb�[ZY�lKk�cdjZofi 2l3gh[Zb�[Zw�lKepo�[Zw*c�lKe½Y�libRcd��nRe�lKk�fhwB�Bcsk�WCo�cº¶µw�fik�lKk�cdfhb�lKe�y�ficdb�k�om«R�$WRcdjFWCcdo$l3o�[Sk�k�ed[Z�Ctun�[Zo�k�cdfhb ¦fhwBw�fhr�fik�cdjScdo�k�o+: A <.��\'?Í°

����� ��� �������������� ����������� ���"!

VBW�[,Y�fied[ZjZnRed[,W�lio>l�jSq8jSescdj�r�lij�¨8r�fhb�[afi p��lKk�fhY�om«-k�q8�RcdjmlKesesq³fi ½jmliw�r�fhb@°0VBW�[Sq���[Sk�[Zw�Y¡cdb�[��w*cdY�liw*q�o�k�w�n�jSk�n�w�[h«8k�W�[�fhr8y�[ZjSk>fi #fhn�w¿o�k�n��Rq�° <.liw�r�fhb8´ÀW�qR��w�fhgh[Zbµfhw¿fik�W�[Zw.r�fhb���o¿fhnRk�o�cd��[k�W�[.r�lijF¨ur�fhb�[$liw�[>cdghb�fhw�[Z�@°0VBW�[>r�fhb��3ed[Zb�gik�W�oxlib���lib�gied[Zo0��w�fm�8cd��[.k�W�[BjZfhb�o�k�w�lKcdb�k�o��$WRcsed[k�W�[�o�cº¶µ�RcdW�[Z��w�lKe2lib�gied[Zo�liw�[lKesedfm�>[Z�¢k�f��hliw*q�°

# $&%'$&% �)( Æ � � � %E�R�+* Æ�, �p�+* ,.- � ,"- %  �±�[�li��fh�Rk�lib¢li����w�f�lijFW¸��w�fh��fho�[Z�Cr�qµv2liw�o�fhb�o%: v=<.��>@?Í°0·�fik�lKk�cdfhbCcdoB��[S®�b�[Z�¢cdbµ®�ghn�w�[���°¼BlijF¨ur�fhb�[3lKk�fhY�o�liw�[�w�[Zg�liw���[Z�£lio,��ficdb�k�o0/�132343434+25/7698;:=<?>�k�W�[n�b�¨8b�fm�$b£�RcdW�[Z��w�lKedo�liw�[

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 9: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

� ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

k�W�[�lib�gied[Zo�� 1 2343434+2�� 6 lir�fhnRk�l�¶�[Zo�� / 6 25/ 1�� lib���� /�� 1 25/� �  ;fhw ����� 2343434+2 �R°­xlij�WOfi .k�w*c�lib�gied[Zo���1������ /�1 25/�� 25/76 � «���������� /�� 25/ < 25/� � lib���� < ����� / � 25/"! 25/76 �

cdoa®R¶�[Z�' ;fhwajZfhb�o�k�lib-kr�fhb��©ed[Zb�gik�W�o�# 132343434+2$#�6¡lib��£r�fhb���lib�gied[Zo&% 132'% < 2'%"!i°�VBW�[Zb£k�W�[ed[Zb�gik�W�o¿fi (� /�� 25/76 � « � /�� 25/ � � lib��)� /� 25/76 � liw�[�jZfhb�o�k�lib�km«8W�[Zb�jZ[+* '����k�w*c�lib�gied[,��� /"�+25/ � 25/76 �cdo�®R¶�[Z�cdb¡o���lijZ[h«h��[S®�bRcdb�g,k�W�[.-�/-´À�Re�lib�[.fi �l�jZfufhw��Rcdb�lKk�[. ¦w�liY�[h°�0p[Sk(1�1�r�[¿k�W�[,2¯�RcdW�[Z��w�lKe43lib�gied[�r�[SkÀ�>[Z[Zbék�W�[��Re�lib�[�fi 5� 1 lib��£k�W�[�-�/-´À�Re�lib�[h°,<¿ed[mliw*esq�«@ ;fhw�lib-q'jZfhbR ¦fhw�Y�lKk�cdfhb@«�1 1cdo,�>[Seseº´À��[S®�b�[Z�@°�zucdY¡cse�liw*esq©�¿[���[S®�b�[�lib�gied[Zo�16�lib���1 < «¥lio�o�W�fm�$b£cdb'®�ghn�w�[³��°�±�[¡jmlKesek�W�[ZY87 :9;2¯�RcdW�[Z��w�lKe43$lib�gied[Zo$k�f��Rcdo�k�cdb�ghnRcdo�WCk�W�[ZY  ¦w�fhY k�W�[�r�fhb��¢�RcdW�[Z��w�lKedom°

<>fhb���[Zw�o�[Sesq�«Bgics��[Zb ed[Zb�gik�W�o<# � «Blib�gied[Zo=% �  ;fhw<�>�@? 2343434 2 ��lib��BA¹li� lib�gied[Zo=1 �  ¦fhw�C�D? 2343434+2FE�k�W�[¡jZf8fhw��Rcdb�lKk�[Zo�fi ¿lKese0��ficdb-k�o / � liw�[¡n�bRcdt8n�[Sesq©��[Sk�[Zw�Y¡cdb�[Z��lib��£W�[Zb�jZ[3k�W�[r�fhb��¢�RcdW�[Z��w�lKe#lib�gied[Zo,lib��Ck�W�[lio�o�fujSc�lKk�[Z�¢jZfhbR ¦fhw�Y�lKk�cdfhb©liw�[�lKese½�¿[Seseº´À��[S®�b�[Z�@°>±�[�W�lm��[k�W�[Zw�[S ¦fhw�[³w�[Z��n�jZ[Z��k�W�[���w�fhrRed[ZY/k�f©jZfhY���nRk�cdb�g¸k�W�[�k�W�w�[Z[GA¹li�Plib�gied[Zo>1 � �$WRcdjFWOoFlKk�cdo� Eqk�W�[�jZfhb�o�k�w�lKcdb�k�o,fhb¢r�fhb��¢lib�gied[ZoH% � 2'% � 2'% 6 °

I�[Zb�jZ[��>[�fhrRk�lKcdb¢��fiesq8b�fhY¡c�lKe#o�q8o�k�[ZYJ 1 1LK J 1M�ON�PRQ�16�5K J 1 < N�PRQ"1 < K J 1S�TN�PRQ 16�ON�PRQ�1 < K J 1M!OQ$UWVX16��QFUWVX1 < � Y 2J � 1LK J ���ON�PRQ�1 < K J � < N�PRQ"1 1LK J �Z�TN�PRQ 1 < N�PRQ�1�1�K J ��!OQ$UWVX1 < QFUWVX1 1[� Y 2J < 1 K J < � N�PRQ�1 1 K J < < N�PRQ"1 � K J < � N�PRQ 1 1 N�PRQ�1 � K J < ! Q$UWVX1 1 QFUWVX1 � � Y 2 2*�\3

N�PRQ � 1 1�K]Q$UWV � 1�15^_? � Y 2N�PRQ � 1\�(K]Q$UWV � 16�.^_? � Y 2N�PRQ � 1 < K]Q$UWV � 1 < ^_? � Y 2

�$W�[Zw�[�k�W�[ J �a`�liw�[�cdb���nRk�jZfu[S²�jScd[Zb-k�om°|�fhw�fhn�w�w�[Zo�nResk�lib-k¿o�fies��[Zw�o��¿[$��w�[S ¦[Zwxlib�[Zt8nRcs�ilKed[Zb-kx ¦fhw�YnRe�lKk�cdfhb��Bcsk�W�l�o�Y�lKesed[Zw0b-n�Y3´

r�[Zwxfi ½��fiesqRb�fhY¡c�lKedom«RfhrRk�lKcdb�[Z�³r-q�li���Resq8cdb�gk�W�[,o�k�lib���liw���k�w�lib�o� ;fhw�Y�lKk�cdfhb³k�f3W�lKes �´�lib�gied[Zok�W�lKk�gics��[Zo �* @� � ���� ��u[Zt8n�lKk�cdfhb�o$cdb¢k�W�[�b�[S�õn�b�¨ub�f��$b�o�b � �

bZ���dcFeRV 1 ��gf N�PRQ 1h�T� ?�^�b ��?.K]b �� 2iQ$UWV�1h�T�

�\b �?jKkb �� 2 ���l? 2'� 2FE 4

VBWRcdo�k�w�lib�o� ¦fhw�Y�lKk�cdfhb¡jmli�Rk�n�w�[Zo�linRk�fhY�lKk�cdjmlKesesqk�W�[>e�lio�k#k�W�w�[Z[>[Zt8n�lKk�cdfhb�o�cdbm2*�\3M°#¼>q�YnResk�cº´�Resq8cdb�g$r�fik�W�o�cd��[Zo½fi 8k�W�[i�¯´Ík�W�[Ztun�lKk�cdfhbr�q>�n?6KHb �` � �n?6Kob �p � «��$W�[Zw�[q�r� 2Ss�2't � cdoplB��[Zw�YnRk�lKk�cdfhbfi .uR? 2'� 2FEwv�«�k�W�[���fiesqRb�fhY¡c�lKepo�qRo�k�[ZY r�[ZjZfhY�[Zo

x 1j�zy 1 1{K_y�1M�:b �� K_y�1 < b�< K_y�1S��b��Fb < K]y�1M!|b �� b �< � Y

x � �zy � 1{K_y���:b �< K_y� < b� 1 K_y�Z��b < b 1LK]y��!|b �< b

� 1 � Y 2À\R3x < �zy < 1{K_y < �:b

� 1 K_y < < b�� K_y < ��b 1nb��5K]y < !|b

� 1 b �� � Y�$W�[Zw�[&y �a` liw�[�cdb���nRk�jZf8[S²�jScd[Zb�k�o�°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 10: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� �

# $&%'$ # �)( Æ � � � %E�R�+* Æ�, �p�+* ,.- Ç�*;�Z�m� , �  �{,b�fik�W�[Zw2 ¦fhw�YnRe�lKk�cdfhb�fi ¹k�W�[B��w�fhrRed[ZY w�[Sesq8cdb�g�fhb3k�W�[.gh[ZfhY�[Sk�w*q3fi ��Rcdo�k�lib�jZ[Zo0cdo2��w�[Zo�[Zb�k�[Z�W�[Zw�[h°O}�k�lKcdY�o¡k�féo�W�fm� W�fm� <>fhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe�zuq8Y�r�fiescdj¸^�[ZfhY�[Sk�w*qOjmlibUW�[Sed�OcdbU[mlio�csesq��[Zw*cs�8cdb�g¡jZfhb�o�k�w�lKcdb�k�o$ ;fhw.o�n�jFWC��w�fhrRed[ZY�om°0{�b�fik�W�[Zw$li���RescdjmlKk�cdfhb¸fi ½k�WRcdo$li����w�f�lij�W¢jmlibµr�[ ¦fhn�b��µcdb : IalZ���8� ?Í°

0½[Sk#n�op®�w�o�k#W�lm��[¿l$giescdY���o�[xfhb�k�W�[¿o���lijZ[xfi �o���W�[Zw�[Zom°#{�o���W�[Zw�[xW�lio2lBn�bRcdt8n�[x[Zt8n�lKk�cdfhb2¯n��¢k�f�l¡b�fhb ¾ [Zw�fªo�jmlKe�liwF3.fi �k�W�[a ¦fhw�Y

��� � - � Kk/ � K�� � � ^k� � 1-G^k� � ��/+^ � � < �qK � �q�zY 2 2Í� 3k�W�[Zw�[S ¦fhw�[��¿[¡jmlib¸cd��[Zb-k�cs Eq©k�W�[�o���lijZ[�fi �o���W�[Zw�[Zo,�Bcsk�W£lªo�n�r�o�[Sk,fi 0k�W�[¡��w�fKy�[ZjSk�cs��[�o���lijZ[� � fi 2jSe�lio�o�[Zo�� ��� f � 1 f 43434 f � � � °2±�[lKedo�f���[Zb�fik�[�k�WRcdo$��w�fKy�[ZjSk�cs��[�o���lijZ[�r-q��,°<>fhb���[Zw�o�[Sesq�«�gics��[Zb©lª��ficdb-k&� ��� f � 1 f 43434 f � � � 8�� �� � «�cs  ����� YR«�k�W�[tun�li��w*cdjG2Í� 3��[S®�b�[Zo�l�o���W�[Zw�[¡fi xjZ[Zb�k�[Zw��n? 2 ���

���2�������2 ������� 2¯fhw�� ��� f�������f � < � cdb�� < 3�lib��'w�li�Rcdn�o�� o�n�jFW

k�W�lKk�� � ���� � �"!$#$#$# ! ��%'&� ��

�$W�[Zw�[)(>� ��� 2343434 2 � � � � �� 1 K � �� K � �< ^ ����� � 4}À  ��� �dYR«uk�W�[,tun�li��w*cdj�fhrRk�lKcdb�[Z��r-q�W�fhY�fhgh[ZbRc ¾ lKk�cdfhbCfi {2Í� 30cdoxk�W�[�n�bRcdfhbªfi plib³lK²�b�[

�Re�lib�[�lib���k�W�[$�Re�lib�[�lKk�cdbR®�bRcsk�q�fi ��"<�2¯��[S®�b�[Z�ªr�q�b(� YR«��$W�[Zw�[ b�cdo0k�W�[$W�fhY�fhgh[ZbRc ¾ lKk�cdfhb�hliw*c�lirRed[acdb*� < 3M°0}�k.jZfhw�w�[Zo���fhb���oBk�f�l,+À��ficdb�k�lKkBcdbR®�bRcsk�q.-,cdb*� � ° A©fhw�[Zfm��[ZwZ«�cs  ��� � � 1.�43434{� � < � YR«��>[ªfhrRk�lKcdb�k�W�[�o���[ZjSc�lKe/+Ào���W�[Zw�[0->� � �SY f 43434 f Y f ? � «��$W�fho�[ªjZ[Zb�k�[Zw�cdob�f��$W�[Zw�[h°

VBW�[o���[ZjSc�lKepo���W�[Zw�[Zo,fi 0w�li�Rcdn�oqYR«��Bcsesepr�[jmlKesed[Z�)9������ � 0�� 9 !#� �3���M°BVpf³lib�q¸lK²�b�[���ficdb-k1 � �n? f32 1 f32 � f42 < � 865=<�«#�>[�lio�o�fujSc�lKk�[ªk�W�[ª��ficdb�k*´Ào���W�[Zw�[871 � �n? f42 1 f32 � f32 < f2� 1 K 2

�� K 2�< � °�VBWRcdo�gics��[Zo�lib¢[ZY�r�[Z���Rcdb�g�fi 45 < cdb9�,°VBW�[�o���lijZ[�fi �o���W�[Zw�[Zo��'W�liopl$b�lKk�n�w�lKe-cdb�b�[Zwî´À��w�f8��n�jSk�gics��[Zb�r�qak�W�[0 ¦fiesedfm�Bcdb�g$ ¦fhw�YnRe�l �

 ¦fhw$lib�qCo���W�[Zw�[Zo�:�� � ��� f������f � � � 2":3; � � � ; � f<�����f � ;� � cdb9��«

�=:?>$: ; � � � 1 � ; 1 K � � � ; � K � < � ; < ^?� � ���0� ;� K � � � ; � � 4

}�kBcdo$b�fik$W�liw��Ck�fªj�W�[Zj�¨³k�W�lKk$cs  ��� � � ; � � ?�«�k�W�[Zb

�=:?>$: ; � � ?� �@�

� KA� ; � ^CB � �=D 2"D ; ���

�$W�[Zw�[�� 2'� ; liw�[$k�W�[,w�li�Rcsc�fi @k�W�[,o���W�[Zw�[Zom«ED 2"D ; k�W�[Scdw¿jZ[Zb-k�[Zw�oBlib���B � �=D 2"D ;�� k�W�[,o�t8n�liw�[fi >k�W�[��Rcdo�k�lib�jZ[�r�[SkÀ�>[Z[Zb�k�W�[�k��¿f¢jZ[Zb-k�[Zw�om°�VBW�[Zw�[S ¦fhw�[h«p ¦fhwakÀ�>f¸��ficdb�k�o 1 2GF 8H5 < «½k�W�[cdb�b�[Zwî´À��w�f8��n�jSk�cdo

� 71 > 7F � � ^ ?� B� � 1 2GF � 2�> 3

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 11: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

� ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

lib��¢�¿[lKedo�f�W�lm��[�� 71 >�71 � �zYR°0±�[�lKedo�f�jFW�[Zj�¨³k�W�lKk$ ¦fhw$lib�qC��ficdb�k 1 8 5=<�«

��71 > � � � ^ ?� 2À�R3

2¯o�[Z[a ;fhw.cdb�o�k�lib�jZ[ : A'zR��>�?½fhw%: �,Ia�8��?@ ¦fhwBY�fhw�[�cdbR ;fhw�Y�lKk�cdfhb 3M°0½[Sk�n�o$jZfhY�[�r�lijF¨µb�fm�àk�f�k�W�[jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o�fi �/�132343434+25/76�lib��µed[Sk�n�o$��[Zb�fik�[r-q �

k�W�[aescdo�k�fi ���ficdb�k*´Ào���W�[Zw�[Zo�� � 2 7/�1 2343434 2 7/'6 � °=<>fhb�o�cd��[ZwBk�W�[������¡o�qRY�Y�[Sk�w*cdj�Y�lKk�w*cº¶³�$W�fho�[jZf8[S²�jScd[Zb�ko�r� 2Ss � cdo¿k�W�[�cdb�b�[Zwî´À��w�f8��n�jSk.fi @k�W�[,�¦´Ík�W³[Sed[ZY�[Zb�k$fi  � lib���csk�o�s�´Ík�Wµ[Sed[ZY�[Zb�km°�}�kcdo�k�W�[�� �3 �(�0$�!�(�����8Y�lKk�w*cº¶¥«�jZfhb�o�k�w�n�jSk�[Z�¡�Bcsk�W�k�W�[>escdo�k � lib��3k�W�[>cdb�b�[Zwî´À��w�fu��n�jSkX��> � °}�k,cdo,lKedo�fµjmlKesed[Z�'k�W�[�� ���� ����0 � �����@�"��Y�lKk�w*cº¶'fi xk�W�[3��ficdb�k�o0/�132343434 25/76G2¯o�[Z[ ¦fhw�cdb�o�k�lib�jZ[: ¼.[Zw��h�'?43M°CVBW�[³o���W�[Zw�[Zom«2r�[Scdb�g¸w�[Z��w�[Zo�[Zb-k�[Z��r�q�lC��[ZjSk�fhw��Bcsk�W� CjZf8fhw��Rcdb�lKk�[Zom«2cskcdo�b�fikW�liw���k�f,j�W�[Zj�¨k�W�lKk2k�WRcdo�Y�lKk�w*cº¶�cdo�lKk2Y�fho�k2fi ¹w�lib�¨� �2¯o���W�[Zw�[Zo0liw�[¿w�[Z��w�[Zo�[Zb-k�[Z��r�q���[ZjSk�fhw�o�Bcsk�W� �jZf8fhw��Rcdb�lKk�[Zo'3M° � o�cdb�gªk�W�[¡[Zt8n�lKk�cdfhb�o>2�> 3M«(2À�R3,lib��'�Rcs�8cd�Rcdb�gµr�qk^ 1� «��¿[¡fhrRk�lKcdb�lY�lKk�w*cº¶¢fi �k�W�[a ;fhw�Y

� / 1 /�� / < / � /�! /76�/ 1/"�/ </ �/"!/'6

����������

Y ? ? ? ? ? ?? Y � 1 ! ���+1 ! < � 1 � 1 ! !��+1 ! 6?��+1 ! � Y �|� ! < �|� ! � � � �|� ! 6?��+1 ! < �:� ! < Y � < ! ��� < ! ! � <? � 1 � � ! � � < ! � Y � � ! ! � � ! 6?��+1 ! ! � � � < ! !��'� ! ! Y �|! ! 6?��+1 ! 6��:� ! 6 � < �'� ! 6��:! ! 6 Y

�����������

4

}îb�k�WRcdo>Y�lKk�w*cº¶@«RlKese�k�W�[,jZfu[S²�jScd[Zb-k�o�� � ! ` � B� / � 25/ ` � � liw�[�¨8b�fm�$b³ ¦w�fhY k�W�[�cdb���nRk>��liw�liY�[M´k�[Zw�oj# � «w% � lib���k�W�[Zw�[,liw�[$fhbResq�E�n�b�¨8b�fm�$b�o � 132 � � 2 � �o2 y�n�o�k¿lioxcdb�k�W�[$��w�[S�8cdfhn�o¿o�[ZjSk�cdfhb 3M°9 b�jZ[3k�W�[Zo�[¡n�b�¨8b�fm�$b�oliw�[������! �¹«��¿[¡jmlib£w�[ZjZfm��[Zwak�W�[�gh[ZfhY�[Sk�w*q'fi �k�W�[¡Y�fied[ZjZnRed[ 2¯n��k�f�giedfhr�lKepk�w�lib�o�e�lKk�cdfhb�o,lib��Cw�fik�lKk�cdfhb�o:3M°

{�o,lib�q ��� �ªY¡cdb�fhw,fi 2k�WRcdo�Y�lKk�w*cº¶©�ilibRcdo�W�[Zo�«��¿[3[mlio�csesq¢��[Zw*cs��[3b�[S� jZfhb�o�k�w�lKcdb-k�oafhbk�W�[µ��liw�liY�[Sk�[Zw�o � � °éV�li¨-cdb�g' ¦fhw3cdb�o�k�lib�jZ[³k�W�[��Rc�lighfhb�lKe$Y¡cdb�fhw¡fi �jZfiedn�Y�bz2¯w�[Zo��@°2w�f��q3cdb��RcdjZ[Zo=�n? 2'� 2FE 2#" 2$ 2 � � fi Bk�WRcdo3Y�lKk�w*cº¶@«#�>[ªfhrRk�lKcdb�lib�[Zt8n�lKk�cdfhb&% 1 � � 1 2 � �\� ��YCcdb�k�W�[�hliw*c�lirRed[Zo � 1 2 � �i«u�$WRcdj�Wµcdo.fi p��[Zghw�[Z[���cdb � 1.lib�� � ��°0}îbµlo�cdY¡cse�liw>�.lZq�«R�¿[ajmlibµ��[Zw*cs��[�ljZfhb�o�k�w�lKcdb�k'%{� � � 1 2 �"< � �zY=2¯w�[Zo��@°(% < � � � 2 � < � �zY 3¿fi ½k�W�[ao�liY�[�k�q8��[ar�q³jZfhb�o�cd��[Zw*cdb�g3k�W�[�Rc�lighfhb�lKe#Y¡cdb�fhw$fi pcdb��RcdjZ[Zo��n? 2'� 2FE 2#" 2$ 2$� � 2¯w�[Zo��@°X�n? 2'� 2FE 2$ 2 � 2$� � 3M°$VBWRcdoBq8cd[Sed��o$l¡o�qRo�k�[ZYfi (E¡[Zt8n�lKk�cdfhb�o$cdb E¡n�b�¨8b�fm�$b�o

%=1 � � 1 2 � � � �zY 2#%L� � � 1 2 �"< � �zY 2#% < � � � 2 �"< � �zY�$WRcdjFW¢W�lio�[M¶�lijSk�esq³k�W�[�o�liY�[�o�[Sk$fi 2Y�fhb�fhY¡c�lKedo,lio�o�q8o�k�[ZY 2À\R3M°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 12: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� �

��� � ����"� �?� ����� ��!=������� ���{P®�w�o�kpo�k�[Z�acdb�k�W�[xlib�lKesqRo�cdo½fi �l.��fiesqRb�fhY¡c�lKe-o�qRo�k�[ZYàjZfhb�o�cdo�k�o@cdb�o�k�n��Rq8cdb�gBk�W�[�gh[ZfhY�[Sk�w*q�fi jZfhY�Y�fhb¡w�f8fik�o0lib���cdb�®�b��Rcdb�g�lib¡lijZjZn�w�lKk�[Br�fhn�b��� ;fhw#k�W�[.b-n�Y�r�[Zw0fi ¹jZfhY�Y�fhb¡o�fiednRk�cdfhb�o�°±�[�w�[S ¦[Zw$W�[Zw�[ak�f�o�fhY�[�w�[ZjZ[Zb�k,li�R�hlib�jZ[ZoBcdbCk�WRcdo�liw�[ml¡�$WRcdj�W¢[M¶��Redficsk�l¡��w*cdfhw*cp¨8b�fm�Bed[Z��gh[fi >�$WRcdj�WPY�fhb�fhY¡c�lKedo3li����[mliw�cdb£k�W�[�[Zt8n�lKk�cdfhb�om°ª±�[�jZfhb�o�cd��[Zw�k�W�[ªlKedgh[Zr�w�lKcdj�jSedfho�n�w�[�fi k�W�[�gics��[Zb©jZfu[S²�jScd[Zb-k$®�[Sed�@«��$WRcdjFW¢cdoBk�q8�RcdjmlKesesqµk�W�[�®�[Sed���õfi �jZfhY��Red[M¶¢b-n�Y�r�[Zw�o�°

VBW�[�jSe�lio�o�cdjmlKe�k�W�[Zfhw*q©��w�fm�8cd��[Zoak�W�[�r�fhn�b��©r-q¸¼.` ¾ fhnRk � oak�W�[Zfhw�[ZY§fhb¸k�W�[3b-n�Y�r�[Zw�fi w�f8fik�o½cdbk�W�[���w�fKy�[ZjSk�cs��[¿jZfhY��Red[M¶o���lijZ[h«K�$WRcdjFWcdo#o�cdY��Resqak�W�[x��w�f8��n�jSk#fi Rk�W�[x��fiesq8b�fhY¡c�lKedo �k�fik�lKe#��[Zghw�[Z[Zo+:üz8W�l��h�'?Í°�VBW�[�r�fhn�b��¢gics��[Zb¢r-q³¼.` ¾ fhnRk � o$k�W�[Zfhw�[ZY W�[Zw�[�cdo'"�� " � "&� �!"�°VBWRcdoBr�fhn�b��µcdo.k�f8f¡e�liw�gh[h«R ;fhw.k�W�[ao�qRo�k�[ZY"W�lio�l���[Zw*q³o���[ZjSc�lKe@o�W�li��[h°0·�fik�lKese½Y�fhb�fhY¡c�lKedofi >��[Zghw�[Z[ "µcdb£k�W�[¡�hliw*c�lirRed[Zoob 1 2�b�� 2�b < liw�[���w�[Zo�[Zb�k�cdb'k�W�[�[Zt8n�lKk�cdfhb�olib��£k�W�[���[Zghw�[Z[�fi [mlijFWµ[Ztun�lKk�cdfhb³cdb³[mlij�W³�iliw*c�lirRed[,cdo.r�fhn�b���[Z�³r-q=�8°0}îb�fik�W�[Zw>�¿fhw���o�«8w�[Zg�liw��Rcdb�g�fhbResqªk�fik�lKe��[Zghw�[Z[fm��[Zw�[Zo�k�cdY�lKk�[Zo�k�W�[�k�fik�lKepbun�Yr�[Zw�fi 2o�fiednRk�cdfhb�om°

z8��liw�o�[ª[SescdY¡cdb�lKk�cdfhbOk�W�[Zfhw*q�«2cdbRcsk�c�lKk�[Z�O�Bcsk�W�¼.[Zw�b�o�k�[Scdb�� o3k�W�[Zfhw�[ZY : ¼>[Zw��h��?Í«���w�f��ucd��[Zol¢jZfhb�k�[M¶Rk ¦fhw�[M¶R�Redficsk�cdb�g©k�W�[�Y�fhb�fhY¡c�lKe.o�k�w�n�jSk�n�w�[ªfi .k�W�[�o�q8o�k�[ZYC«½�$W�[Zb�w�f8fik�o�lKkcdbR®R´bRcsk�q�liw�[,fi pb�fcdb-k�[Zw�[Zo�km°0Vpf¡Y�f8��[Se�o���liw�o�[Zb�[Zo�om«u�¿[aw�[Zg�liw��³[mlij�WC��´À�RcdY�[Zb�o�cdfhb�lKe½[M¶���fhb�[Zb-k��[ZjSk�fhw�jZfhw�w�[Zo���fhb��Rcdb�g�k�f�l¡b�fhb8´Í�ilibRcdo�WRcdb�gªY�fhb�fhY¡c�lKe½cdbmb 1 2�b � 2�b < lio$l¡��ficdb�k�cdb� <Z°0VBW�[jZfhb-��[M¶�W-nRese>fi BlKese>o�n�j�W���ficdb-k�o���[S®�b�[Zo�k�W�[�+� �1���;9���� ���1�|95��fi >k�W�[ª��fiesqRb�fhY¡c�lKeÍ°µVBW�[(�/.���� ����� 4 ��fi ¹����fiesq8k�fh��[Zo � 1 2��C� 2�� < 8 : <�cdo2l�w�[mlKeº´Í�hlKedn�[Z�� ¦n�b�jSk�cdfhb�k�W�lKk�gh[Zb�[Zw�lKesc ¾ [Zo­xn�jSescd��[mlib���fiedn�Y�[h«u ;fhw�Y�lKesesq���[S®�b�[Z��lio �"!5� $ ����� $�������¹fi �� 1������ < cdb�k�W�[���fiesqRb�fhY¡c�lKe�[M¶8´��w�[Zo�o�cdb�gak�W�[.��fiedn�Y�[$fi ���1�� 1 K� ���C� K� < � < ° A¸fhw�[Bgh[Zb�[Zw�lKesesq�«-ed[Sk�k�cdb�g��<� � � [M¶R��w�[Zo�o2k�W�[­xn�jSescd��[mlib£��fiedn�Y�[¡ ;n�b�jSk�cdfhb@«@�>[�W�lZ��[¡k�W�[3 ¦fiesedfm�Bcdb�gC��[S®�bRcsk�cdfhb���� ����� 1 2343434 2���� 8 :�� � �� �+$ ��� �'�3.q9��@�����1�:95��� 1 1 2343434+2 1 �! : �#" �"!5��� ��Y¡cº¶�[Z�3��fiedn�Y�[+����9 �3�3$�� � �������"!5� $ ����� $��1��� ��3)$� 1���� ����� � � �"��<����1 1 1LK ����� K%� � 1 � � � .:9� �� � ��� '�% �9���� �'����(� �� �"��� 132343434+2�� � �

­�tunRcs�hlKed[Zb�k¿��[S®�bRcsk�cdfhb�o� ¦fhw0gh[Zb�[Zw�lKe¹�RcdY�[Zb�o�cdfhb@«�k�fhgh[Sk�W�[Zw��Bcsk�Wªlib�lKedghfhw*csk�W�Y  ¦fhw0jZfhY3´��nRk�cdb�g£Y¡cº¶�[Z����fiedn�Y�[Zo�«�jmlib�r�[ª ;fhn�b��Ocdb : ­=<.���'?Í°£VBW�[�jZf8��[³cdo���n�rRescdjSesq�lZ�hlKcse�lirRed[¢lKkedf8jmlKk�cdfhb�o�&(')'+*-,�.).0/)/+/ 132�465720891;:+5(.6<=8=:>2?5(.�/)&A@(<?/+&6@).+B?C�2�572D<D.-°

}�b'fhn�w�jmlio�[3k�W�[¡��fiesq8k�fh��[ZoE� � liw�[�o�tun�liw�[Zoafi >o�c ¾ [��8°�¼.[Zw�b�o�k�[Scdb�� o�k�W�[Zfhw�[ZY(r�fhn�b���ok�W�[3b-n�Y�r�[Zw�fi �jZfhY�Y�fhb£w�f8fik�o,�Bcsk�W'b�f ¾ [Zw�f³jZfufhw��Rcdb�lKk�[Zo�r-q¢k�W�[�Y¡cº¶�[Z�'��fiedn�Y�[¡fi 0k�W�[·,[S�Bk�fhbO��fiesq8k�fh��[Zo�°¸VBW�[³Y¡cº¶R[Z�P��fiedn�Y�[µfi Bk�W�[���w�[Zo�[Zb-k�o�q8o�k�[ZY cdoG? �R«�o�f¸¼.[Zw�b�o�k�[Scdb�� ok�W�[Zfhw�[ZY o�lZqRo0k�W�lKk�k�W�[$bun�Yr�[Zwxfi �cdo�fie�lKk�[Z��w�f8fik�o�fi ¥o�q8o�k�[ZY 2À\R3M«�jZfhn�b�k�cdb�g�YnResk�cd�RescdjScsk�cd[Zom«�Bcsk�W)b 1 ��Y 2�bn� � Y 2�b < � Y¡cdo,lKk�Y�fho�k����R°¿}�b¢ ¦lijSkm«�k�WRcdo�r�fhn�b��¢cdo�fh�Rk�cdY�lKeÍ«�lio�o�W�fm�$b¸cdbk�W�[�b�[M¶Rk$o�[ZjSk�cdfhbCr-q³[M¶�WRcdrRcsk�cdb�gªlibC[M¶�liY��Red[a�Bcsk�W�? �¡o�fiednRk�cdfhb�om«��$WRcdjFW¸liw�[�Y�fhw�[Zfm��[Zw�lKesew�[mlKeÍ°

VBWRcdoCY�[Sk�W�fu� cdom«�cdb fhn�wµjmlio�[h«,[Zt8nRcs�ilKed[Zb-k³k�fUlP�hliw*c�lib�k¢fi �¼.` ¾ fhnRk � oµk�W�[Zfhw�[ZY  ¦fhwY�nResk�cº´ÀW�fhY�fhgh[Zb�[Zfhn�o���fiesqRb�fhY¡c�lKedom°P}� $�>[¢W�fhY�fhgh[ZbRc ¾ [¢[mlij�WU[Zt8n�lKk�cdfhb��Bcsk�WUw�[Zo���[ZjSk�k�f[mlijFWª�hliw*c�lirRed[qb 132�b�� 2�b < «u�¿[,fhrRk�lKcdb³lo�q8o�k�[ZY fi  E�Y�nResk�cº´ÀW�fhY�fhgh[Zb�[Zfhn�o$[Zt8n�lKk�cdfhb�o¿cdb�� 1 �

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 13: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

��� ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

� 1 � � 1 2¦�$W�[Zw�[ � 1 cdoxk�W�[$��w�fKy�[ZjSk�cs��[$o���lijZ[$fi @�RcdY�[Zb�o�cdfhb ?\3M°�VBW�[�YnResk�cº´À��[Zghw�[Z[Zo.fi �k�W�[Zo�[[Zt8n�lKk�cdfhb�o�liw�[

�SY 2'� 2'� � 2h� � 2FY 2'� � 2h� � 2'� 2FY � 4� o�cdb�g3¼.` ¾ fhnRk � oBk�W�[Zfhw�[ZY"cdb�� 1 � � 1 � � 1 «8�¿[�jmlibµr�fhn�b��³k�W�[ab-n�Y�r�[Zw�fi ½cdo�fie�lKk�[Z�Cw�f8fik�o2¯b�fik�b�[ZjZ[Zo�o�liw*csesq¡�Bcsk�W�b�f ¾ [Zw�f�jZfufhw��Rcdb�lKk�[Zo:32fi �k�WRcdoxo�q8o�k�[ZY r�q3k�W�[$jZfu[S²�jScd[Zb-kxfi ���1����� <cdbµk�W�[��fiesqRb�fhY¡c�lKe

� ��� 1LKB���� � � ��� 1{KB��� < � � ����iKB��� < ��$WRcdjFW¸lKedo�f�q8cd[Sed��oo? � >�o�[Z[,:üz8W�l��h�'?Í°

����� � �"���=� != ��� ��������� ���"! �VBWRcdo�o�[ZjSk�cdfhbCjZfhY���nRk�[Zo�lKese½jZfhY�Y�fhb¢o�fiednRk�cdfhb�o$ ¦fhw¿k�W�[�lKedgh[Zr�w�lKcdj�o�qRo�k�[ZY"[M¶R��w�[Zo�o�cdb�g¡k�W�[Y�fied[ZjZnRed[h«Rk�Wun�o.qucd[Sed�Rcdb�g�lKese¥��fho�o�cdrRed[�jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o�° 9 n�w.��w�[S ;[Zw�w�[Z�µY�[Sk�W�f8�µn�o�[Zo¿w�[Zo�nReº´k�lib-k�oacdb©fhw���[Zw,k�fµw�[Z��n�jZ[3k�W�[�b�fhbRescdb�[mliw���w�fhrRed[ZY(��[Zw*cs��[Z�'cdb©k�W�[¡��w�[S�ucdfhn�oao�[ZjSk�cdfhb'k�fClt8n�[Zo�k�cdfhb�cdb�escdb�[mliwxlKedgh[Zr�w�lR° A©lKk�w*cº¶�jZfhY���nRk�lKk�cdfhb�o.liw�[Bk�W�[Zb�o�nR²�jScd[Zb-km«- ¦fhw0�$WRcdjFW��¿[�jmlibw�[Sesqµfhb¢[S²�jScd[Zb-k,lib��Co�k�lirRed[���n�rRescdj�cdY��Red[ZY�[Zb�k�lKk�cdfhb�om°

0½[SkBn�oBjZfhb�jZ[Zb�k�w�lKk�[�fhb ¾ [Zw�fK´À�RcdY�[Zb�o�cdfhb�lKe½�hliw*cd[Sk�cd[Zo$��[S®�b�[Z�Cr-q³l3��fiesqRb�fhY¡c�lKe@o�qRo�k�[ZYfi � ú[Ztun�lKk�cdfhb�oªcdb� ún�b�¨ub�f��$b�om°B0½[Sk �(r�[³k�W�[¢��fiesq8b�fhY¡c�lKe�w*cdb�g�lib�����k�W�[µcd��[mlKe�fi ��gh[Zb�[Zw�lKk�[Z�àr-q k�W�[Zo�[� [Ztun�lKk�cdfhb�o�° }�k³cdoC¨8b�fm�$búk�W�lKkµ�$W�[Zbúk�W�[ébun�Yr�[ZwCfi �w�f8fik�ocdo�®�bRcsk�[h«$lioªlio�o�n�Y�[Z�æW�[Zw�[h«.k�W�[¸tun�fik�cd[Zb-k�w*cdb�gCF � �����P ¦fhw�Y�oªl£®�bRcsk�[M´À�RcdY�[Zb�o�cdfhb�lKe��[ZjSk�fhw�o���lijZ[ :üz8W�l��h�'?Í°¡VBWRcdoacdY��Rescd[Zo�k�W�lKk���[S®�bRcdb�gCk�W�[¡�hliw*cdfhn�o�fh��[Zw�lKk�cdfhb�ocdb F�«pY�fho�kb�fik�lirResq�YnResk�cd�RescdjmlKk�cdfhb@«¹liY�fhn�b-k�o.k�f�jZfhb�o�k�w�n�jSk�cdb�g3k�W�[,w�[Sed[S�ilib-kBY�lKk�w*cdjZ[Zom°xzucdb�jZ[,®�b��Rcdb�gk�W�[���ficdb-k�ocdb�k�W�[��hliw*cd[SkÀq�fi ��'[Zo�o�[Zb�k�c�lKesesqPw�[ZtunRcdw�[Zo�r�[Scdb�g'lirRed[�k�f¸jZfhY���nRk�[�cdbHF³«pk�W�[lir�o�k�w�lijSk�t8n�[Zo�k�cdfhbCcdo$k�fªjZfhY���nRk�[k�W�[�Y�lKk�w*cdjZ[Zo,[M¶���w�[Zo�o�cdb�gªY�nResk�cd�RescdjmlKk�cdfhb'cdb�F³°iI,[Zb�jZ[�>[3k�w�lib�o� ;fhw�Y k�W�[�o�fiednRk�cdfhb£fi �k�W�[¡gics��[Zbé��fiesq8b�fhY¡c�lKe0o�qRo�k�[ZYIcdb�k�f¢lib£[Zt8nRcs�ilKed[Zb-k�escdb�[mliw��w�fhrRed[ZYC°

VBW�[�jZw�n�jSc�lKe¥o�k�[Z��cdoxk�f��[S®�b�[�k�W�[�Y�lKk�w*cº¶�[M¶���w�[Zo�o�cdb�g�Y�nResk�cd�RescdjmlKk�cdfhbCr�qªl��iliw*c�lirRed[�cdbk�W�[tun�fik�cd[Zb-k�w*cdb�g�F³°¿VBW�[Y�lKk�w*cº¶¢fi 0YnResk�cd�RescdjmlKk�cdfhb£r�qµk�WRcdo$�hliw*c�lirRed[W�lio$k�W�[��w�fh��[Zw*kÀqk�W�lKk¡[mlij�WU[Scdgh[Zb-�ilKedn�[³cdo¡[Zt8n�lKe>k�f©k�W�[³jZfufhw��Rcdb�lKk�[Cfi �l'o�fiednRk�cdfhbP��[ZjSk�fhw¡jZfhw�w�[Zo���fhb��Rcdb�gk�f'k�W�[³�hliw*c�lirRed[³fi �YnResk�cd�RescdjmlKk�cdfhb@°OVBW�[Zw�[S ;fhw�[¢lib�[Scdgh[Zb��hlKedn�[CjZfhY���nRk�lKk�cdfhbUq8cd[Sed��o¡fhb�[jZf8fhw��Rcdb�lKk�[¸fi �[S��[Zw*qæo�fiednRk�cdfhb ��[ZjSk�fhwZ°úVBW�[¸w�[Zo�kªfi ak�W�[©jZfufhw��Rcdb�lKk�[Zoµliw�[¸fhrRk�lKcdb�[Z�»r�qk�W�[é[Scdgh[Zb-��[ZjSk�fhw�o©fi 3k�W�[éYnResk�cd�RescdjmlKk�cdfhb Y�lKk�w*cº¶@° ~�f8fik³®�b��Rcdb�gæcdoCk�W�[Zw�[S ;fhw�[�w�[Z��n�jZ[Z�k�félib�[Scdgh[Zb���w�fhrRed[ZY lib��Ok�W�[ZbU[M¶Rcdo�k�cdb�gélKedghfhw*csk�W�Y�o�liw�[µ[ZY��Redfmq�[Z�æ ;w�fhY b-n�Y�[Zw*cdjmlKe�escº´b�[mliw¡lKedgh[Zr�w�l >>o�fhY�[Sk�cdY�[Zo¡k�WRcdo¡��w�fhrRed[ZY/cdo¡w�[Zg�liw���[Z�Ulio3k�W�[�gh[Zb�[Zw�lKesc ¾ [Z�U[Scdgh[Zb���w�fhrRed[ZYfhw3k�W�[µ��w�fhrRed[ZY fi �jZfhY���nRk�cdb�gék�W�[µY�lKk�w*cº¶�¨h[Zw�b�[SeB��[ZjSk�fhw�om°�}�k3cdo¡b�fik�l'b�[S� w�[Zo�nResk�cdbjZfhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe>lKedgh[Zr�w�lR«pr�nRk�csk�W�lio�b�fik��Bcd��[Sesq'r�[Z[Zb£n�o�[Z�' ;fhwa��w�lijSk�cdjmlKex��n�w���fho�[Zo >½k�W�[cdb-k�[Zw�[Zo�k�[Z��w�[mli��[Zw�Y�lmq'jZfhb�o�nResklib-q©fi  : ­=<.����« < A'�h�R«�­xY¡c��h��?Í°{,b'cdY���fhw*k�lib-k� ¦[mlKk�n�w�[

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 14: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� �h�

fi .fhn�w�Y�[Sk�W�f8�écdo���w�[ZjScdo�[Sesq£k�W�lKk�csk�w�[Z��n�jZ[Zo�k�f¢Y�lKk�w*cº¶�fh��[Zw�lKk�cdfhb�o� ¦fhw��$WRcdj�W���fm�>[Zw* ;nRelib��³lijZjZn�w�lKk�[,cdY��Red[ZY�[Zb�k�lKk�cdfhb�o�lKedw�[mli�Rqª[M¶Rcdo�k¿cdb�k�W�[,��n�rRescdj���fhY�lKcdb@«Ro�n�jFW³lio : {�¼.¼��2��\'?�$WRcdjFW�cdo�n�o�[Z�Ocdb�k�W�[µo���liw�o�[µw�[Zo�nResk�lib�k�o�fies��[Zw3cdY��Red[ZY�[Zb�k�[Z�æcdb < lib��ælZ�hlKcse�lirRed[C ¦w�fhY&(')'+* , .).0/)/)/-132�465>2?891�:D56.(<=8=:>2�5).0/+&A@(<?/)&(@(.DB?C 2?5>2=<D.-°

VBW�[Zw�[.liw�[.o�[S��[Zw�lKe�lKedghfhw*csk�W�Y�o2k�fajZfhb�o�k�w�n�jSk2k�W�[.Y�lKk�w*cdjZ[Zo2�$W�fho�[.[Scdgh[Zb��hlKedn�[Zo2�Bcsese�gics��[n�o¿k�W�[�w�f8fik�om°2{ú®�w�o�k>jSe�lio�o¿fi ½Y�[Sk�W�f8��o¿cdo¿r�lio�[Z��fhb;A'lijmlinRe�lZqu´ÍkÀqR��[�Y�lKk�w*cdjZ[Zo>�$WRcdj�Wµw�[Sesqfhb¢k�W�[�cd��[ml¡k�W�lKk�k�W�[�o�qRo�k�[ZY cdo�gh[Zb�[Zw*cdjcdb¢o�fhY�[�o�[Zb�o�[,: ­�Y¡c���>�?Í«¹lib��¢�$W�fho�[[Zb�k�w*cd[Zoaliw�[escdb�[mliw�cdb¢k�W�[3��fiesq8b�fhY¡c�lKe2jZfu[S²�jScd[Zb-k�om°�}îb¢k�W�[�jSe�lio�o�cdjmlKe2jZfhb�k�[M¶Rkm«�k�W�[w�[Zo�nResk�lib-k � o���[Zghw�[Z[cdo�l³ ;n�b�jSk�cdfhb�fi ¿k�W�[�jSe�lio�o�cdjmlKe�¼.` ¾ fhnRkr�fhn�b��@«½cÍ° [h°s«pk�W�[���w�fu��n�jSk�fi ¿k�fik�lKex��[Zghw�[Z[Zo�°�VBW�[A'lijmlinRe�lZq�Y�lKk�w*cº¶�cdo¿��[S®�b�[Z�� ;fhw¿W�fhY�fhgh[ZbRc ¾ [Z�µ��fiesqRb�fhY¡c�lKedom«Rlib��ªcsk�o>o�c ¾ [���[Z��[Zb���o.lig�lKcdbfhbC¼.` ¾ fhnRk � o�r�fhn�b��@°

}�bPo���liw�o�[ª[SescdY¡cdb�lKk�cdfhb@«�k�W�[ªo���liw�o�[�w�[Zo�nResk�lib�k�W�lio3��[Zghw�[Z[���[Z��[Zb���[Zb�k¡fhbPk�W�[ªY¡cº¶�[Z���fiedn�Y�[µfi Bk�W�[µ·,[S�Bk�fhbP��fiesquk�fh��[Zo¡fi Bk�W�[µ[Ztun�lKk�cdfhb�o :ü^ �¥��>�«�v¿zR�h��?Í°'VBW�[µo���liw�o�[�w�[M´o�nResk�lib�k�li����w�f�lij�W�gh[Zb�[Zw�lKesc ¾ [Zo�k�W�[��¿[Seseº´À¨8b�fm�$b zuq8es��[Zo�k�[Zw3w�[Zo�nResk�lib�k� ¦fhw�k��¿fén�bRcs�hliw*c�lKk�[��fiesqRb�fhY¡c�lKedocdb-k�f©o�[S��[Zw�lKe>YnResk�cs�hliw*c�lKk�[���fiesqRb�fhY¡c�lKedo3lio��¿[Sese.lio�A'lijmlinRe�lZq � o3lKedghfhw*csk�W�Y ¦fhw3��[Zb�o�[µ��fiesqRb�fhY¡c�lKedo 2¯o�[Z[ : A©lijm��\'?43M°é{�edghfhw*csk�W�Y�o� ¦fhw�jZfhb�o�k�w�n�jSk�cdb�g � 9� ��-��� �3���-45� �1 ���, �������$&�-�&2ÍlKedo�fCjmlKesed[Z�é·,[S�Bk�fhb£Y�lKk�w*cdjZ[Zo'3M«@�$W�fho�[���[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib-k�cdo�l³b�fhb�k�w*cs�8c�lKexYnResk�cd�Red[fi pk�W�[,o���liw�o�[aw�[Zo�nResk�lib�k�lib��³�$WRcdj�WC[M¶���w�[Zo�oBY�nResk�cd�RescdjmlKk�cdfhbCcdb³k�W�[,t8n�fik�cd[Zb�k$w*cdb�g�«�jmlibµr�[ ¦fhn�b��£cdb : <>­x�h��« <>vx�h��«�­ <.����?Í°VBW�[�o�c ¾ [�fi xk�W�[�·,[S�Bk�fhbéY�lKk�w*cdjZ[Zo�o�jmlKed[Zoa�Bcsk�WéY¡cº¶�[Z���fiedn�Y�[ : ­�Y¡c��h��?Í°(0@cdb�[mliw,lKedgh[Zr�w�l�Y�[Sk�W�f8��oB ¦fhw$w�[Z��n�jScdb�g�k�W�[�Y�lKk�w*cº¶¢o�c ¾ [�lib��¢w�[ZY�f��ucdb�go�fhY�[�gh[Zb�[Zw*cdjScskÀq¢w�[Zt8nRcdw�[ZY�[Zb�k�om«�jmlib¢r�[a ¦fhn�b��µcdb : ­�Y¡c���>@?Í°

VBW�[Bo�[ZjZfhb���jSe�lio�o0fi �Y�[Sk�W�f8��o�w�[Sescd[Zo0fhb¡k�W�[.k�W�[Zfhw*q¡fi �w�[Zo�cd��n�[Zo�«-lib�����fu[Zo0b�fikxlio�o�n�Y�[k�W�lKk,k�W�[3o�q8o�k�[ZY cdo,gh[Zb�[Zw*cdjh« r�nRk�fhbResqCk�W�lKk,csk�cdo�l�jZfhY��Red[Sk�[3cdb�k�[Zw�o�[ZjSk�cdfhb_2¦k�W�[3jZf8�RcdY�[Zb8´o�cdfhb�fi ¿k�W�[ªo�[Skfi .o�fiednRk�cdfhb�o�cdo�k�W�[�b-n�Y�r�[Zw�fi >[Zt8n�lKk�cdfhb�o'3M°³VBW�[�jZfhb�o�k�w�n�jSk�[Z��Y�lKk�w*cdjZ[Zogh[Zb�[Zw�lKesc ¾ [�k�W�[$jZfhb�o�k�w�n�jSk�cdfhb�o¿��w�fh��fho�[Z�ªr�q¡¼>` ¾ fhnRk¿ ;fhw2k�W�[�w�[Zo�nResk�lib�kxfi �kÀ�>f��fiesq8b�fhY¡c�lKedocdb�fhb�[$�iliw*c�lirRed[&2 : ¼>` ¾ �i��?Í«�o�[Z[�lKedo�f,: �,cº¶��h��?432lib��ªliw�[Bk�q8�RcdjmlKesesq�o�Y�lKesed[Zw0k�W�lib�o���liw�o�[Bw�[Zo�nReº´k�lib-k$Y�lKk�w*cdjZ[Zo$r�nRkBk�W�[�jZf8[S²�jScd[Zb�k�o�liw�[�b�f3edfhb�gh[ZwBescdb�[mliw.cdb³k�W�[�jZf8[S²�jScd[Zb�k�o$fi #k�W�[acdb���nRk��fiesqRb�fhY¡c�lKedom°0VBWRcdo>k�[Zj�W�bRcdt8n�[�jmlib³r�[,n�o�[Z�³ ;fhw>W�fhY�fhgh[Zb�[Zfhn�o$fhw.o���liw�o�[,��fiesqRb�fhY¡c�lKedom°0}�kw�[Sescd[ZoBfhbµjZfhY���w�[Zo�o�cdfhb¢lKedghfhw*csk�W�Y�om«�w�[Z��n�jScdb�g¡k�W�[�o�c ¾ [afi pk�W�[aY�lKk�w*cº¶µk�f3k�W�[,fh�Rk�cdY�lKe#o�c ¾ [2¦cÍ° [h°uk�W�[ab-n�Y�r�[Zw.fi pw�f8fik�om«8jZfhn�b�k�[Z�µ�Bcsk�W³YnResk�cd�RescdjScskÀq3M°>VBW�[�jZfhb�b�[ZjSk�cdfhb�oBr�[SkÀ�>[Z[Zb¢lKedgh[M´r�w�lKcdj�w�[Zo�cd��n�[�k�W�[Zfhw*qµlib��CY�lKk�w*cº¶¢Y�[Sk�W�f8��oB ¦fhw>��fiesqRb�fhY¡c�lKepo�qRo�k�[ZY"o�fies�ucdb�g�liw�[�lib�fik�W�[Zwcdb-k�[Zw�[Zo�k�cdb�g� ¦[mlKk�n�w�[�fi �k�WRcdo�li����w�f�lij�W 2¯o�[Z[a ¦fhwBcdb�o�k�lib�jZ[2: < A'�h�'?Í« : ­ A'�h��?43M°

VBWRcdw��Resq�«@�¿[�o�cdY��Resq£li���Resqézuq8es��[Zo�k�[Zw � o�w�[Zo�nResk�lib-ko�n�jZjZ[Zo�o�cs��[Sesq©n�b�k�csexlKese�r�nRk�fhb�[¡�hl�´w*c�lirRed[Zo�liw�[.[SescdY¡cdb�lKk�[Z�@°2{�ese8k�W�w�[Z[BlKedgh[Zr�w�lKcdjBY�[Sk�W�f8��o�liw�[xcsesedn�o�k�w�lKk�[Z�¡cdb�k�W�[>b�[M¶Rk2o�[ZjSk�cdfhb@« ¦fhw.k�W�[���liw*k�cdjZnRe�liwBcdb�o�k�lib�jZ[Zo���[Zo�jZw*cdr�[Z�¢r�[Sedfm��°

±�[�k�w�[mlKk�k�W�w�[Z[�o�qRo�k�[ZY�o$fi 2kÀqR��[<2À\R3M«�lib��¢��[Sk�lKcseÍ«�cdbCk�W�[�o���[ZjScs®�jjZfhb�k�[M¶Rkm«¹k�W�[k�W�w�[Z[Y�lKk�w*cº¶¢Y�[Sk�W�f8��oB ¦fhwBo�q8o�k�[ZY o�fies�ucdb�g�°

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 15: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

��\ ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

��°�|�fhw¡k�W�[µ®�w�o�k�fhb�[h«¿�¿[¢jZfhb�o�cd��[Zw¡k�W�[ $���$ � �'!#�3.@ ����ªY�fied[ZjZnRed[C�$WRcdjFW W�lio��£jmliw�r�fhblKk�fhY�o�lKk[Zt8n�lKex�Rcdo�k�lib�jZ[Zo¡lib���[Zt8n�lKe¿r�fhb���lib�gied[Zom° � o�n�lKesesq£b�ficdo�[�[Zb-k�[Zw�ocdb�k�W�[��w�fujZ[Zo�o.k�W�lKkB��w�f8��n�jZ[ZoBk�W�[�jZf8[S²�jScd[Zb�k�om°�V#f¡csesedn�o�k�w�lKk�[ak�WRcdoB��W�[Zb�fhY�[Zb�fhb@«¹o�k�liw*k�cdb�g�Bcsk�WPk�W�[³��n�w�[µjSq8jSedfhW�[M¶�lib�[h«0�>[³w�lib���fhY¡esqO��[Zw*k�n�w�rOk�W�[µ��lKk�l'r�qPlir�fhnRkm? Y��/k�ffhrRk�lKcdb y �a` lioBk�W�[[Zb�k�w*cd[Zo�fi 2Y�lKk�w*cº¶

�� ^�Ew? Y � �� � � " ? E���� ? Ew? E^�E � � �w? � ? " ? � ���^'" ? E �RE � �RE�� ? � ? E R�

�4

}�bµk�WRcdo$jmlio�[h«��¿[®�b��Ck�W�[� ¦fiesedfm�Bcdb�g "�o�fiednRk�cdfhb�om«��8cdo�n�lKesc ¾ [Z�¸r-q³}���}*< : |! A'��>�?Í°�{j�W�[ZY¡cdo�k,�BcsesepcdY�Y�[Z�Rc�lKk�[Sesq¸w�[ZjZfhghbRc ¾ [�kÀ�>fµj�W�lKcdwalib��¢kÀ�>fªk��Bcdo�k�[Z�'r�f�lKkm«�fhw�jZw�fm�$b@«jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o

jZfhw�w�[Zo���fhb��Rcdb�g�k�f�k�W�[�w�f8fik�o

b 1 b�� b <�R°ü�h�h��>��h�h�h��>�� �R°ü�8�����h\h�u��\h�i� �R°ì\i�h�h���h�i�h�h���´¿�R°ü�h�h��>��h�h�h��>�� ´>�R°ü�8�����h\h�u��\h�i� ´>�R°ì\i�h�h���h�i�h�h����R°ì�u��\i��>���>��h��\ ´¿�R°ü�8���h�h��>R���8����� ´>�R°ü��\i��>-�i��\h�'>��´¿�R°ì�u��\i��>���>��h��\ �R°ü�8���h�h��>R���8����� �R°ü��\i��>-�i��\h�'>��

°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 16: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� ���

\8°�VBW�[3o�[ZjZfhb��£cdb�o�k�lib�jZ[�W�lioak�W�[�Y�l�¶8cdY�n�Y(b-n�Y�r�[Zw�fi >w�fufik�o�«@b�liY�[SesqP���R«½lib��£ ¦n�wî´k�W�[Zw�Y�fhw�[h«�k�W�[SqCliw�[lKese �3� ��ù°¿VBW�[�y �a` jZf8[S²�jScd[Zb�k�oaliw�[�gics��[Zb¢r-qµY�lKk�w*cº¶

�� ^�? E ^o? ^o? � " ^o?^�? E ^o? ^o? � " ^o?^�? E ^o? ^o? � " ^o?

�4

{�Y�fhb�g©k�W�['���¸w�[mlKeBw�f8fik�om«2 ;fhn�w3jZfhw�w�[Zo���fhb��Ok�f'[Scdgh[Zb-�ilKedn�[Zo�fi �n�bRcskm2¯gh[ZfhY�[Sk�w*cdj 3YnResk�cd�RescdjScskÀq�«.�$WRcsed[¢k�W�[Cw�[Zo�k� ;fhw�Y  ¦fhn�w�ghw�fhn���om«>[mlij�WæjZfhw�w�[Zo���fhb��Rcdb�g�k�f�l'k�w*cd�Red[[Scdgh[Zb��hlKedn�[h°B|�fhw$k�W�[e�lKk�k�[Zw$k�W�[[Scdgh[Zb-��[ZjSk�fhw�oagics��[n�o�b�f��ilKescd�¸cdbR ;fhw�Y�lKk�cdfhb@«�o�f��>[w�[ZjZfm��[Zw�k�W�[¸�ilKedn�[Zo�fi qb 1 2�b��µr�qUo�n�r�o�k�csk�nRk�cdb�g b < cdbæk�W�[¢fhw*cdgicdb�lKe�o�qRo�k�[ZY lib�� r�qo�fies�ucdb�g¡k�W�[w�[Zo�nResk�cdb�g�n�bRcs�hliw*c�lKk�[�[Ztun�lKk�cdfhb�o�°

b 1 b�� b <���R°ü���h�h�i�h�h�h� �R°ì�h�i���'>��h��>�>�� �R°ì�h�i���'>��h��>-�u�´����R°ü���h�h�i�h�h�h� ´¿�R°ì�h�i���'>��h��>�>�� ´>�R°ì�h�i���'>��h��>-�u��R°ü�h��\i���i�h�h�h��> >�°ü��\h�u���8���h�8� >�°ü��\h�u���8���h�8�´¿�R°ü�h��\i���i�h�h�h��> ´ >�°ü��\h�u���8���h�8� ´ >�°ü��\h�u���8���h�8��R°ì�h�i���'>��h��>�>�� �R°ì�h�i���'>��h��>�>�� �R°ì�h�i���'>��h��>-�u��R°ì�h�i���'>��h��>�>�� ���R°ü���h�h�i�h�h�h� �R°ì�h�i���'>��h��>-�u��R°ì�h�i���'>��h��>�>�� �R°ì�h�i���'>��h��>-�h� ���R°ü���h�h�i�h�h�h�>�°ü��\h�u���8���h�8� >�°ü��\h�u���8���h�8� >�°ü��\h�u���8���h�8�>�°ü��\h�u���8���h�8� �R°ü�h��\i���i�h�h�h��> >�°ü��\h�u���8���h�8�>�°ü��\h�u���8���h�h� >�°ü��\h�u���8���8��� �R°ü�h��\i���i�h�h�h��>´¿�R°ì�h�i���'>��h��>�>�� ´¿�R°ì�h�i���'>��h��>-�h� ´$���R°ü���h�h�i�h�h�h�´¿�R°ì�h�i���'>��h��>�>�� ´¿�R°ì�h�i���'>��h��>�>�� ´>�R°ì�h�i���'>��h��>-�u�´¿�R°ì�h�i���'>��h��>�>�� ´$���R°ü���h�h�i�h�h�h� ´>�R°ì�h�i���'>��h��>-�u�´ >�°ü��\h�u���8���h�h� ´ >�°ü��\h�u���8���8��� ´>�R°ü�h��\i���i�h�h�h��>´ >�°ü��\h�u���8���h�8� ´ >�°ü��\h�u���8���h�8� ´ >�°ü��\h�u���8���h�8�´ >�°ü��\h�u���8���h�8� ´¿�R°ü�h��\i���i�h�h�h��> ´ >�°ü��\h�u���8���h�8�

�R°�VBW�[�k�WRcdw��¢o�qRo�k�[ZY cdo$��[S®�b�[Z�¸r-q�k�W�[� ;fiesedf��Bcdb�gªY�lKk�w*cº¶Cfi {y �a` °��� ^�� <� 1� 1� � � <�^ � <� 1� 1� � � <�^ � <� 1� 1� � � <�

�� 4

}Àk�cdo>b�fik>l&Y�´À�RcdY�[Zb�o�cdfhb�lKe@o�qRo�k�[ZY  ¦fhw�cskxcdoxk�W�[�n�bRcdfhb³fi ½l�jZn�w*��[,fi ¥��[Zghw�[Z[ "��$W�fho�[��w�fKy*[ZjSk�cdfhbæfhbæk�W�[CjZfufhw��Rcdb�b�lKk�[©�Re�lib liw�[¢��[S®�b�[Z�æw�[Zo���[ZjSk�cs��[SesqUr�qOk�W�[¢[Zt8n�lKk�cdfhb

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 17: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

� > ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

/ 1 � YR« / � � YR« / < � Y�lib��£fi  ? �³��ficdb�k�om°a{,Y�fhb�g�k�W�[Zo�[<? �³��ficdb�k�om« "³��ficdb-k�oafhbk�W�[�escdb�[�b 1H� bn��� b < liw�[¡cdo�fie�lKk�[Z�]2 �µliw�[¡w�[mlKe43alib��£k�W�[¡fik�W�[Zw�?\�µliw�[3[ZY�r�[Z����[Z�cdb�k�W�[µjZn�w*��[h°�I,[Zw�[�cdo�l©�RcdjSk�n�w�[Cfi $k�W�[³��w�fKy*[ZjSk�cdfhbUfi $k�W�[µjZn�w*��[µfhb�lib�qPfi �k�W�[jZfufhw��Rcdb�lKk�[��Re�lib�[Zo+�

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2x

VBW�[�o�qRo�k�[ZY k�W�lKk��>[�jZfhb�o�cd��[Zw�cdo,fhrRk�lKcdb�[Z�'r-qCk�li¨-cdb�g�k�W�[¡li����w�fZ¶RcdY�lKk�cdfhb�o�fi 0k�W�[jZfu[S²�jScd[Zb-k�o$�Bcsk�W ¡�Rcdgicsk�o�°�VBW�[�w�fufik�o$k�W�lKk$�¿[�fhrRk�lKcdb'liw�[

b 1 b�� b <�R°ì�u���i��>�>�>-�h�i� �R°ì�u���i��>�>�>-�h�i� �R°ì�u���i��>�>�>-�i�h�´��R°ì�u���i��>�>�>-�i��� ´��R°ì�u���i��>�>�>-�i��� ´��R°ì�u���i��>�>�>-�h�h��R°ì�u���i��>�>�>-�h�i� ´���°ü�h�8�����u�����h\ �R°ì�u���i��>�>�>-�i�h�´��R°ì�u���i��>�>�>-�i��� ��°ü�h�8�����u�����h\ ´��R°ì�u���i��>�>�>-�h�h���°ü�h�8�����u�����h\ ´��R°ì�u���i��>�>�>-�i��� ´��R°ì�u���i��>�>�>-�h�h�´���°ü�h�8�����u�����h\ �R°ì�u���i��>�>�>-�h�i� �R°ì�u���i��>�>�>-�i�h��R°ì�u���i��>�>�>-�i�8� �R°ì�u���i��>�>�>-�i�8� ´���°ü�h�8�����u�����h\´��R°ì�u���i��>�>�>-�i�8� ´¿�R°ì�u���i��>�>�>-�i�8� ��°ü�h�8�����u�����h\

VBW�[ �3e�lio�k$��ficdb�k�o�liw�[b�fik�lKedY�fho�k$[ZYr�[Z����[Z�¢cdb¢k�W�[�jZn�w*��[h°±�[���[Zo�jZw*cdr�[�b�f��àk�W�[�Y�[Sk�W�f8��o$k�W�lKkB�>[W�lZ��[n�o�[Z�@°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 18: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� ���

# $�� $&% ��� ���K�  �  � � %E�m� , �m�z8��liw�o�[>Y�nResk�cs�iliw*c�lKk�[�w�[Zo�nResk�lib�k�o�[SescdY¡cdb�lKk�[Bfhb�[. ¦[S�¿[Zw2�hliw*c�lirRed[Zo2k�W�lib3k�W�[Bb-n�Y�r�[Zw0fi ���fiesqu´b�fhY¡c�lKedo�«�lKese@lKkBfhb�jZ[h«�lib��µ[M¶��RedficskBlib-qµl���w*cdfhw*c½¨8b�fm�Bed[Z��gh[�fhbµjZ[Zw*k�lKcdbCjZfu[S²�jScd[Zb-k�o$r�[Scdb�g¾ [Zw�f�°xzucdb�jZ[ab�fik$lKese¥k�W�[aY�fhb�fhY¡c�lKedoBfi p��[Zghw�[Z[���liw�[a��w�[Zo�[Zb-k.cdb�k�W�[agics��[Zbµ[Zt8n�lKk�cdfhb�om«8k�W�[o���liw�o�[ªw�[Zo�nResk�lib-k�W�lioedf��¿[Zw���[Zghw�[Z[h«�lib��OW�[Zb�jZ[�w�[Z��n�jZ[Z��jZfhY��Red[M¶RcskÀqPjZfhY���liw�[Z�Ok�f¸k�W�[jSe�lio�o�cdjmlKe#Y�nResk�cs�iliw*c�lKk�[�w�[Zo�nResk�lib-k+2¯o�[Z[;: A'lijm��\'?Í« : �a�R± >���?43M°$±�[3li���Resq¢k�WRcdo,li����w�f�lijFW£k�flKese@k�W�w�[Z[o�q8o�k�[ZY�o�lib��¢w�[Z��fhw*k$fhb¢[M¶R��[Zw*cdY�[Zb�k�lKe�w�[Zo�nResk�oBcdb¢o�[ZjSk�cdfhb¸\8°ü�R° >�°

� VBW�[�®�w�o�kali����w�f�lij�W'cdb'li���Resq8cdb�g³w�[Zo�nResk�lib�k�o, ¦fhw�o�fies�8cdb�g��>[Seseº´ÀjZfhb�o�k�w�lKcdb�[Z�éo�qRo�k�[ZY�o+ÀWRcd��[Zo -�fhb�[��iliw*c�lirRed[�cdbªk�W�[,jZf8[S²�jScd[Zb�kB®�[Sed�@°0}� @�¿[,jZfhb�o�cd��[Zw>�iliw*c�lirRed[qb < lio.��liw*k>fi k�W�[�jZfu[S²�jScd[Zb-k�®�[Sed�@«�k�W�[�¡[Zt8n�lKk�cdfhb�o�jmlib¸r�[a�8cd[S�¿[Z�¸lio�rRcs�iliw*c�lKk�[ �

x 1 � �+1 1LK��+1M�:bn�(K��+1 < b �� �zY 2x � � �|� 1LK��|���:b 1�K��|� < b � 1 �zY 2 2� 3x < � � < 1 K�� < � b �� K�� < < b 1 b � K�� < � b � 1 K � < ! b � 1 b �� � Y 4

VBW�[�w�[Zo�nResk�lib-k3Y�lKk�w*cº¶Ofi Bk�WRcdo3o�q8o�k�[ZY/W�lio��RcdY�[Zb�o�cdfhb ���'lib���csk�o3[Zb�k�w*cd[Zo�� �a` liw�[b�lKk�n�w�lKesesq� ;n�b�jSk�cdfhb�o¡fi  b < >0cdb� ¯lijSkm«�k�W�[SqPliw�[ªt8n�li��w�lKk�cdjµ��fiesqRb�fhY¡c�lKedocdb b < °¸VBW�[o���liw�o�[Cw�[Zo�nResk�lib-kªW�lio�k�fik�lKe���[Zghw�[Z[Ccdb�k�W�[¸jZfu[S²�jScd[Zb-k�oª[Zt8n�lKe$k�f£k�W�[Co�n�Y fi �k�W�[Y¡cº¶R[Z�U��fiedn�Y�[Zo³fi ak�W�[¸rRcs�hliw*c�lKk�[¢�>[Seseº´ÀjZfhb�o�k�w�lKcdb�[Z�úo�n�r�o�qRo�k�[ZY�om° ­¿lij�W fi ,k�W�[ EY¡cº¶R[Z�P��fiedn�Y�[Zo 2¦cdbkb 132�b��h3�cdo3[Ztun�lKe.k�f�"�«0k�W�[Zw�[S ¦fhw�[�k�W�[³o���liw�o�[³w�[Zo�nResk�lib-k���[Zghw�[Z[cdo¢��\'cdb k�W�[¢�hliw*c�lirRed[Zo � � ! ` lib��æk�W�[¸o�c ¾ [©fi ,k�W�[©jZfhb�o�k�w�n�jSk�[Z� Y�lKk�w*cº¶æ�Bcsese,r�['lKked[mlio�kª��\8°'VBW�[�o�W�fm�$b ? � �]? �'Y�lKk�w*cº¶���cdo�k�W�[³w�[Zo�nResk�lib�k�Y�lKk�w*cº¶PjZfhb�o�k�w�n�jSk�[Z�r�qér�fik�W�ghw�[Z[Z�Rqélib���cdb�jZw�[ZY�[Zb�k�lKeBlKedghfhw*csk�W�Y�om«#w�[Zo���[ZjSk�cs��[Sesqé��[Zo�jZw*cdr�[Z��cdb : <>vx�h�@?lib�� : ­=<.���'?Í°A©lKk�w*cº¶��,[M¶R��w�[Zo�o�[Zo,l�tun�li��w�lKk�cdj3Y�lKk�w*cº¶©��fiesq8b�fhY¡c�lKe�cdb b < «�k�W�[Zw�[S ;fhw�[3csk�o,��[Sk�[Zwî´Y¡cdb�lib�k�cdo�t8n�li��w�lKk�cdj�cdb;b < lib���l³Y�nResk�cd�Red[�fi xk�W�[¡o���liw�o�[¡w�[Zo�nResk�lib-km°3z8fies�8cdb�gµk�WRcdo��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib�k� ¦fhwLb < gics��[Zo�n�o�k�W�[.�ilKedn�[Zo0fi �b < lKk2k�W�[Bw�fufik�o�«i�$WRcsed[.k�W�[>¨h[Zw�b�[Se���[ZjSk�fhw�ojZfhw�w�[Zo���fhb���k�f�k�W�[x�hlKedn�[Zo2fi  b 132�b��i° A©fhw�[xo���[ZjScs®�jmlKesesq�«h[mlij�W¡¨h[Zw�b�[SeR��[ZjSk�fhw�[M¶R��w�[Zo�o�[Zok�W�[[S�hlKedn�lKk�cdfhb©fi 2k�W�[� ¦fiesedfm�Bcdb�g���[ZjSk�fhw�fi �Y�fhb�fhY¡c�lKedo�lKk$k�W�[�w�fufik�o,fi {b 1 2�b � °.VBW�[Y�fhb�fhY¡c�lKep��[ZjSk�fhw$cdo���w�[ZjScdo�[Sesqµk�W�[o�[Zt8n�[Zb�jZ[�fi 2Y�fhb�fhY¡c�lKedo�cdb���[M¶Rcdb�g�k�W�[�jZfiedn�Y�b�ofi ��� �

� ? 2�b�� 2�b �� 2�b < � 2�b 132�b 1$bn� 2�b 1$b �� 2�b 1$b < � 2�b � 1 2�b � 1 b�� 2�b � 1 b �� 2�b � 1 b < � 2�b < 1 2�b < 1 bn� 2�b < 1 b �� 2�b < 1 b < �� 4Vpf¸w�[ZjZf���[Zw3k�W�[��hlKedn�[ªfi Cb 1 2�b � lKk�k�W�[ªw�f8fik�om«pcsk3o�nR²�jZ[Zo�k�f¸�Rcs�8cd��[ªjZ[Zw*k�lKcdbP��[ZjSk�fhw[Zb�k�w*cd[Zom°µVpf©®�b��@«# ;fhw�cdb�o�k�lib�jZ[h«#k�W�[ª�ilKedn�[�fi Cbn�K«#�¿[ª�Rcs�8cd��[�k�W�[ªo�[ZjZfhb���[Zb-k�w*q�r�qk�W�[ª®�w�o�km«�cÍ° [h°s«{bn� � ?�°�I,fm�¿[S��[Zw¡cdb�b�f8jZn�fhn�o¡k�WRcdo¡fh��[Zw�lKk�cdfhbUY�lmq�o�[Z[ZYC«0k�W�[³j�W�ficdjZ[

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 19: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

��� ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

�����

���������������������������������������������������

����� ����� � � � � � � � � � � � � �� ������ ���� � � � � � � � � � � � ����� � ���� � � ����� � � ����� � ����� � � � � �� ���� � ���� � � ����� � � ����� � ����� � � � �� � � � ������ ���� � � � � � � � � �� � � � � ������ ���� � � � � � � � �� � � � ���� � ���� � � ����� � � ����� � ����� �� � � � � ���� � ���� � � ����� � � ����� � ������� � � � � �� � � � � �� �� � � � � � � �� �� � � � � �� � � � � �� �� � � � � � �� � �� � � � � �� � � � � �� �� � � � � �� � � �� � � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� � � � � �� � � � � �� �� � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� �� � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � �� �� �� � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� ��

� ��������������������������������������������������

fi ��$WRcdjFW¸[Zb-k�w*cd[Zo�k�f�n�o�[�cdo�lib¸cdY���fhw*k�lib-k�b-n�Y�[Zw*cdjmlKe�cdo�o�n�[�k�W�lKk�W�lio$k�fªr�[�o�k�n��Rcd[Z� ;n�w*k�W�[ZwZ°¿~�[Zo�nResk�oB�hliw*qµo�cdghbRcs®�jmlib�k�esq¸lijZjZfhw��Rcdb�gªk�f�k�WRcdo$j�W�ficdjZ[h«¥lib��¢jZ[Zw*k�lKcdb¢o�cdY��Red[o�k�w�lKk�[Zgicd[Zo0[M¶�liY¡cdb�[Z�¡��f,b�fik2�¿fhw�¨�°#±�[.W�lm��[h«�b�liY�[Sesq�«ik�w*cd[Z��lZ��[Zw�ligicdb�g�f���[Zw�o�[S��[Zw�lKew�lKk�cdfhom«�[h° g�°�� b�� � ?.Kkb 1nb�� �\b 1 � �R� 2�fhw.k�li¨-cdb�gªw�fufik�om«�[h° g�°�� b �� � ?-°|�fhwBk�W�[�o�[ZjZfhb��¢o�q8o�k�[ZY"k�W�[o���[ZjSc�lKesc ¾ [Z�¸��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib�k�cdo�fi ���[Zghw�[Z[¡\'>?�

^ ? � � � � "? ��� � b < � ^k�R��b <

� K ? E�� < � b < � Kd? � � � b < � ^]?R? �Lb < � K ? E��=4� VBW�[�o�[ZjZfhb��'�.lZq¸k�f³��[S®�b�[�lib©f���[Zw�jZfhb�o�k�w�lKcdb�[Z��o�qRo�k�[ZY  ;w�fhYIk�W�[¡gics��[Zb©fhb�[3cdo,k�fli����k�fBk�W�[�gics��[Zb�o�q8o�k�[ZYàlib�q���fiesqRb�fhY¡c�lKeufi Rfhn�w½jFW�ficdjZ[h°�VBWRcdo#gics��[Zo½k�W�[ � ´Àw�[Zo�nResk�lib�kli����w�f�lij�W'cs 0k�W�[[M¶Rk�w�lª��fiesqRb�fhY¡c�lKe#cdo�escdb�[mliw�cdb¸k�W�[�hliw*c�lirRed[Zo,�Bcsk�W¢cdb���[Sk�[Zw�Y¡cdb�lKk�[jZfhb�o�k�lib�k³k�[Zw�Y � ° VBWRcdo�Y�[Sk�W�f8�»�Rcdo�k�cdb�ghnRcdo�W�[Zo³liY�fhb�g�lKese�o�cdY��Red[©w�f8fik�o�lKk�k�W�[[M¶R��[Zb�o�[�fi �cdb�jZw�[mlio�cdb�g�k�W�[���w�fhrRed[ZY � o��RcdY�[Zb�o�cdfhb¢r�q£��°}À ¥�¿[,j�W�f8fho�[���fiesqRb�fhY¡c�lKe 2 K"! b 1m«��Bcsk�W 2 2#!>cdb���[Sk�[Zw�Y¡cdb�lKk�[h«Rk�W�[�Y¡cº¶�[Z����fiedn�Y�[Zo.fi k�W�[���´À��fiesq8b�fhY¡c�lKe2o�qRo�k�[ZY�o�liw�[�" 2#" 2#" 2�? �R«½W�[Zb�jZ[�k�W�[�o���liw�o�[w�[Zo�nResk�lib�ka��[Zghw�[Z[cdo "cdb¢k�W�[��hliw*c�lirRed[Zooy � ! 132343434+2Fy � ! !i«T? �ªcdb¢k�W�[�iliw*c�lirRed[Zo 2 2#!�lib��¢csk�o�k�fik�lKe#��[Zghw�[Z[�cdoo���VBW�[Bcdb�jZw�[ZY�[Zb�k�lKe@lKedghfhw*csk�W�Y �.lio¿li���Rescd[Z�ªlib���k�W�[�o�Y�lKesed[Zo�kxY�lKk�w*cº¶� ¦fhn�b��¡cdoxfi ¥o�c ¾ [>��R°3}�k�o���[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib�km«��$WRcdjFWécdolµYnResk�cd�Red[�fi xk�W�[�w�[Zo�nResk�lib-km«p�$W�[Zb � 95�3$�� �� ��$����ªk�fk�W�[,jZf8[S²�jScd[Zb�k�oBfi pk�W�[,o�[ZjZfhb��³o�q8o�k�[ZYC«8q8cd[Sed��o>k�W�[� ¦fiesedfm�Bcdb�g¡��fiesq8b�fhY¡c�lKe½fi #��[Zghw�[Z[

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 20: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� ���

\h\ �E�� �����RE R� �!" ! � � 2 � ^B?R? � ! � 2 � K ? E ! � � � " 2 � K ! � � � � 2 � ^k�R� ! � 2 � K ? E ! � � < 4

VBW�['Y¡cº¶�[Z�ú��fiedn�Y�[£cdbR ¦fhw�Y�lKk�cdfhbúcdb��RcdjmlKk�[ZoCk�W�lKkCk�W�[£��[Zghw�[Z[éfi k�W�[£o���[ZjSc�lKesc ¾ [Z�o���liw�o�[,w�[Zo�nResk�lib�kBcdbµ[mlij�WCfi  2 2#!$cdo,���R°�}�b� ¯lijSkm«uk�W�[ao���[ZjSc�lKesc ¾ [Z�µo���liw�o�[aw�[Zo�nResk�lib-kBcdo

� 2 � ^_?R? � ! � 2 � K ? E ! � � � 2 � ^ �R� ! � 2 � K ? E ! � � < 2�$WRcdj�W¢o�W�f��$o$k�W�lKk���\3w�f8fik�oB�BcsesepjZfhY�[�cdbCk�w*cd�Red[Sk�o$�Bcsk�W b 1$jZfhb�o�k�lib�km°

}�b¡k�W�[Bw�[Zo�k�fi �k�W�[$o�[ZjSk�cdfhb¡�>[$w�[Z��fhw*kxfhb¡k�W�[�li���RescdjmlKk�cdfhbªfi �k�W�[$��n�rRescdjM´À��fhY�lKcdbªo�fies��[Zw&(')'+* , .).0/)/)/-132�465>2?891�:D56.(<=8=:>2�5).0/+&A@(<?/)&(@(.DB?C 2?5>2=<D.-«�cdbPjZfhbKy�n�b�jSk�cdfhbO�Bcsk�WOWRcd�Rcdb�g b < cdbPk�W�[jZf8[S²�jScd[Zb�k�®�[Sed�@°3VBWRcdo�o�fies��[Zwacdo,cdb <õk�W�[Zw�[S ;fhw�[¡csk�w�n�b�oa ¯lio�k�[Zw,k�W�lib£k�W�[��������'o�fies��[Zw[M¶�liY¡cdb�[Z��cdbU��[Sk�lKcse�r�[Sedfm��°�}�k�jZfhb�o�k�w�n�jSk�o�k�W�[CY�lKk�w*cº¶Ur�qOk�W�[µcdb�jZw�[ZY�[Zb�k�lKe,lKedghfhw*csk�W�Y�Bcsk�W gh[Zb�[Zw*cdj¸jZf8[S²�jScd[Zb�k�om«>k�W�[Zw�[S ¦fhw�[¢cdb���[Z��[Zb���[Zb�kµfi �k�W�[Ccdb�o�k�lib�jZ[¸lib��æk�W�[¢��w�[ZjScdo�cdfhb@°VBW�[�k�cdY�[B ¦fhw�jZfhb�o�k�w�n�jSk�cdb�g�k�W�[�w�[Zo�nResk�lib-k¿Y�lKk�w*cº¶�cdo�ed[Zo�o�k�W�libªW�lKes ½l�o�[ZjZfhb��ªfhb�k�W�[��,­ <{�ed��W�l�zuk�lKk�cdfhb�fi >o�[ZjSk�cdfhbP\8°ü�R° >�°¡VBW�[Zb@«½k�W�[���w�fhghw�liY jZfhb�o�k�w�n�jSk�ol E ����E �³jZfhY���libRcdfhbY�lKk�w*cº¶'�$W�fho�[�[Scdgh[Zb��hlKedn�[Zolib��é[Scdgh[Zb-��[ZjSk�fhw�o�liw�[3k�W�[�b < �hlKedn�[Zo�lib��£k�W�[3¨h[Zw�b�[Se0��[ZjSk�fhw�ofi �� �°xzucdb�jZ[ak�W�[Zw�[�liw�[���\�[Scdgh[Zb��hlKedn�[lib��C[Scdgh[Zb���[ZjSk�fhw���lKcdw�om«R[M¶�lijSk�esqµW�lKes #fi #k�W�[ZY"�Bcseseb�fik,jZfhw�w�[Zo���fhb��¢k�fªo�fiednRk�cdfhb�om°BVBW�[��w�fhghw�liY§li���Rescd[Zo�k�W�[�o�k�lib���liw��¸[Scdgh[Zb���[ZjZfhY���fho�csk�cdfhbw�fhnRk�cdb�[Zo3fi +: {,¼>¼��2��\�?¿f���[Zw���fhn�rRed[M´À��w�[ZjScdo�cdfhb A�f�lKk�cdb�gK´À��ficdb�k�bun�Yr�[Zw�om«��$WRcdj�W�W�lZ��[µ�i�rRcdb�liw*qP�Rcdgicsk�o�w�[Zo�[Zw*��[Z�P ¦fhwk�W�[�Y�lib�k�cdo�o�lR°'}�kq8cd[Sed��ok�W�[� ;fiesedf��Bcdb�g£w�[Zo�nResk�o�fhbPk�W�[�®�w�o�kk��¿fªcdb�o�k�lib�jZ[Zo >�Y�fhw�[�cdbR ¦fhw�Y�lKk�cdfhb¢cdoBcdb�jSedn���[Z�¸cdb : ­�Y¡c���>�?Í°��°�|�fhw.k�W�[�®�w�o�k$o�qRo�k�[ZYC«�lK ;k�[ZwBw�[îy*[ZjSk�cdb�g� ¦lKedo�[�jmlib��Rcd��lKk�[Zo�«�k�W�[�w�[ZjZfm��[Zw�[Z�©w�fufik�oBjmlin�o�[k�W�[xY�l�¶RcdYn�Y lir�o�fiednRk�[¿�ilKedn�[>fi �k�W�[xcdb���nRk2��fiesq8b�fhY¡c�lKedo�k�f�r�[X? Y ! °#±�[>j�W�[Zj�¨�k�W�[jZfhY���nRk�[Z�¢o�fiednRk�cdfhb�o�lig�lKcdb�o�kBk�W�fho�[,fhrRk�lKcdb�[Z�¸r�qClib³[M¶�lijSk�^aw��hr�b�[ZwBr�lio�[Zo�jZfhY���n8´k�lKk�cdfhb�fm��[Zwxk�W�[Bcdb�k�[Zgh[Zw�o.lib���fhr�o�[Zw*��[Bk�W�lKk>[mlij�W�jZfhb-k�lKcdb�o>lKkxed[mlio�k¿��jZfhw�w�[ZjSkx�Rcdgicsk�o�°VBW�[$k�fik�lKe <>v � k�cdY�[�fhbµl� ��������¢cdo.Y 4 �o�[ZjZfhb���o>fhb�lZ��[Zw�ligh[, ¦fhw�k�w�lib�o� ¦fhw�Y¡cdb�g�k�W�[Y�lKk�w*cº¶¢lib��CjZfhY���nRk�cdb�gªcsk�o$[Scdgh[Zb��hlKedn�[M´À[Scdgh[Zb���[ZjSk�fhw���lKcdw�o�°

\8°�|�fhw$k�W�[�o�[ZjZfhb��¸o�qRo�k�[ZYC«�k�W�[�jZfhY���nRk�[Z�©w�f8fik�o�[S�hlKedn�lKk�[�k�W�[cdb���nRk���fiesq8b�fhY¡c�lKedo�k�f�ilKedn�[Zo$b�fªe�liw�gh[ZwBk�W�lib�? Y 6 lib��@«�jZfhY���liw�[Z�¢k�f�k�W�[�[M¶�lijSk�w�fufik�om«�k�W�[Sqµliw�[�jZfhw�w�[ZjSkk�f¸lKk�ed[mlio�k3�µ��[ZjScdY�lKe>�Rcdgicsk�om°ªVBW�[�lZ��[Zw�ligh[;<>v � k�cdY�[� ;fhw�jZfhY���nRk�cdb�g¸k�W�[�w�f8fik�o ;w�fhY"k�W�[�w�[Zo�nResk�lib�k�Y�lKk�w*cº¶µcdo�Y 4 ��o�[ZjZfhb���o$fhb¸l� ��������#°

# $�� $ # � ���Æ �½���º���  � � %E�m� , �m�±�[�jZfhb�o�cd��[Zw$W�[Zw�[�kÀ�>fªY�[Sk�W�f8��om«¹lib�lKedfhghfhn�o�k�f�k�W�fho�[�fi �k�W�[���w�[S�ucdfhn�o�o�[ZjSk�cdfhb@°

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 21: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

��� ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

��� �

������������������������

� � %�� � � � � � � � ��� � � � � � � %�� �� � %�� � ��� %���� � ��@%�� � � �=� � � � %�� � � �@����� %���� � %�� �� � %�� � � � � %�� � � � � � � �@� � � � � � � ���

� � % � � � � %�� � � �=� � � � � ����� �� �� �@��� � �@� � � � � � � � %�� � � � � � � ����� ��� � � ���@%�� �� %���� � ��@%�� ������ ��� � � ���@%�� � %�� �� � %�� � � % � � %�� � ��� ���� �=� � � � %�� � � �@����� � %�� �� � %�� � � � ��� � � � � � � � %�� � � � � � ����� ��� � � %�� �� � %�� � � %�� � � �=� ��� � � � �

� %�� � � �=� ��� �@��� � � � � � ��� � ����� � � � %�� � � � � � �� %�� �� � %�� � � � % � � %�� � � %��� � %�� �� � %�� � �

� � %�� � � � � � � � %�� �� � %�� � �@� � � � � � � ��� ����� ��� � %�� �� � %�� � � � % � � � � %�� � � �=� � � %�� �� � %�� �

� %�� �� � %�� � � � %�� � � � � � � � � ��� � � � � �� � � �

� ��� � � � � � � %�� �� � %�� � � � %�� � � � � � � �

� �����������������������

� |#cdw�o�km«-�>[,jZfhb�o�cd��[Zwjb < lio.l���liw�liY�[Sk�[Zw$lib��³jZfhY���nRk�[ak�W�[�¼.[ ¾ fhnRk�c�libCfi ½k�W�[HE3��fiesqu´b�fhY¡c�lKe�cdb©k�W�[��iliw*c�lirRed[Zo,b 1 2�b��i°,}Àk,qucd[Sed��o�k�W�[3o�W�fm�$b ��� ��Y�lKk�w*cº¶¥«��$W�fho�[¡[Zb�k�w*cd[Zoliw�[C��fiesqRb�fhY¡c�lKedo�fi ,��[Zghw�[Z[�� "£cdb]b < °O|�fhw¡k�W�[µo�[ZjZfhb��Uo�qRo�k�[ZYC«��>[CfhrRk�lKcdb�k�W�[Y�lKk�w*cº¶ ���.gics��[Zb¢r�[Sedfm� �VBW�[���[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib�k,fi �Y�lKk�w*cº¶ ���.cdo$fi ���[Zghw�[Z[&E � �

? � � � � " � b < � ^_?R? �Lb < � K ? E�� � b < � ^ �R��b <� K ? E�� < � b < � K ? ���

VBW�[3jZfhw�w�[ZjSk�jmlib��Rcd��lKk�[Zo� ;fhw,k�W�[¡o�fiednRk�cdfhb�o�fi ¿k�W�[¡o�q8o�k�[ZY§liw�[¡gics��[Zbér-q¸k�W�[�w�f8fik�ofi �k�W�[µ®�w�o�k¡kÀ�>fé ¯lijSk�fhw�om°P|¹fhn�w�fi �k�W�[ZY �Bcsese$r�[µfi �YnResk�cd�RescdjScsk�q ER°�VBWRcdo¡cdo¡k�W�[ ;fhw�Y�nRe�lKk�cdfhb¸n�o�[Z�µcdbCk�W�[�[M¶���[Zw*cdY�[Zb�k�o,w�[Z��fhw*k�[Z�CcdbCo�[ZjSk�cdfhb©\8°ü�R° >�°

� z8[ZjZfhb��Resq�«��>[�jZfhb�o�cd��[Zw�k�W�[��iliw*c�lirRed[Zo,b 132�bn� 2�b < «�r�nRk,�¿[¡li���'lªgh[Zb�[Zw*cdjescdb�[mliw, ¦fhw�Y2 K ! b 1 lib��é�>[ªjZfhY���nRk�[�k�W�[�¼.[ ¾ fhnRk�c�libPfi ¿k�W�[Zo�[ "C��fiesqRb�fhY¡c�lKedom°�±�[�fhrRk�lKcdbOlE � ��E �µY�lKk�w*cº¶@«½�$W�fho�[�w�lib�¨©cdo�� YR° � o�cdb�gC¼Bliw�[Scdo�o � o�Y�[Sk�W�f8�@«½�¿[�fhrRk�lKcdb�fhb£k�W�[e�lio�k$w�fm��«�k�W�[��fiesqRb�fhY¡c�lKepfi 2��[Zghw�[Z[&� Y �

^,� �������RYw? � � ! � � ? E ! � ^B?R? � ! � 2 � K 2 � � � ? E ! � ^k�R� ! � 2 � K 2 � � < 4VBWRcdo�cdoal�Y�nResk�cd�Red[�fi 0k�W�[3w�[Zo�nResk�lib�km«��$WRcdjFW©W�lio,��[Zghw�[Z[ª���R°�VBW�[o���liw�o�[�w�[Zo�nResk�lib�kY�[Sk�W�fu�@«���[Zo�jZw*cdr�[Z�¸lir�fm��[h«¹W�li�¢gics��[Zb¸lib�fik�W�[Zw$Y�nResk�cd�Red[fi 2��[Zghw�[Z[�\h\8°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 22: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� ���

VBW�[�k�cdY�[� ¦fhw�jZfhY���nRk�cdb�g©k�W�[�w�fufik�o ;w�fhY k�W�[ª¼.[ ¾ fhnRk�c�lib 2¯r-q�jZfhY���w�[Zo�o�cdfhbPlib���[Scº´gh[Zb-��[ZjSk�fhw�jZfhY���nRk�lKk�cdfhb�o'3�cdo�Y 4 ?�o�[ZjZfhb���o�fhb�l ��������p°¡±�[�W�lm��[�n�o�[Z�£k�W�[¡escdr�w�liw*q������2�&(')'+* , .).0/)/)/-132�465>2�8#1�:D56.(<=8D:72�5).����6.��� �A.u«io�k�csese½n�b���[Zw$��[S��[Sedfh��Y�[Zb-k'3M°

# $�� $�� � à %��  �Z�  ���  � � %E�m� , �m�{ o�cdY��Red[Zw,li����w�f�lij�W£li���Rescd[Zo,zuq8es��[Zo�k�[Zw � o�w�[Zo�nResk�lib-k�cdb $ '��$& ���S°BVBWRcdo�cdoBk�W�[w�[Zo�nResk�lib-k�fi k��¿f'n�bRcs�iliw*c�lKk�[³��fiesq8b�fhY¡c�lKedo¡lib���cdocdY��Red[ZY�[Zb�k�[Z�Ocdb�Y�fho�k3Y�fu��[Zw�bPjZfhY���nRk�[Zw�lKedgh[Zr�w�lo�q8o�k�[ZY�o�«ucdb�jSedn��Rcdb�g�����������«��������¸lib�� ������� �� � �!� � �0°

VBW�[�jmlio�jmli��[�Y�[Sk�W�f8�©li���Rescd[Zoazuques��[Zo�k�[Zw � o�w�[Zo�nResk�lib�k,o�[S��[Zw�lKe½k�cdY�[Zom«¹[mlij�W¢k�cdY�[[SescdY¡cº´b�lKk�cdb�g¸fhb�[��iliw*c�lirRed[h°�}�b�gh[Zb�[Zw�lKe�csk��w�f8��n�jZ[ZoY�lKk�w*cdjZ[Zo�e�liw�gh[Zw�k�W�libé�Bcsk�Wék�W�[�Y�nResk�cs�il�´w*c�lKk�[aw�[Zo�nResk�lib-km«��$WRcdj�WC[SescdY¡cdb�lKk�[Zo$lKese¥k�W�[,�hliw*c�lirRed[Zo.cdb³fhb�[ao�k�[Z�@°0VBW�[�[M¶�liY��Red[�lKkBW�lib��@«k�W�fhn�ghW@«¥cdo, ¯lZ��fhw�lirRed[¡ ¦fhw�k�WRcdo�lKedghfhw*csk�W�Y(o�cdb�jZ[�[mlijFWé��fiesqRb�fhY¡c�lKe2cdo�cdb���[Z��[Zb���[Zb�k�fi ¿fhb�[�hliw*c�lirRed[h°¿±�[�jmlib@«�k�Wun�om«���[S®�b�[ :T� < lio$k�W�[�zuq8es��[Zo�k�[Zw�Y�lKk�w*cº¶¢fi  x �alib�� x < «�w�[Zg�liw���[Z�'lion�bRcs�hliw*c�lKk�[���fiesq8b�fhY¡c�lKedo�cdbmb 1 cdbµk�W�[o�[ZjZfhb��Ccdb�o�k�lib�jZ[�fi 2o�qRo�k�[ZY 2À\R3M«

:�� < �

�������^o?�^�b <

� � "{b < ^�? Eo^�b <� Y

Y ^o?�^�b < � � "{b < ^o? EH^�b < �^o?�^�b�� � � "{b�� ^�? Eo^�b�� � Y

Y ^o?�^�b � � � "{b � ^o? EH^�b � �

������

o�f¡k�W�[���[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib�k �H� < � b�� 2�b < � �#"%$|c�:�� < cdo�l¡��fiesqRb�fhY¡c�lKe½cdb b��+2�b < � � �Lb�� � b < � ^B?R? R��bn� < b < < K � �Lbn� � b < � K ? " "{b�� �^ �RY �!"{bn� < b < K ? ��!" YLb�� � b < � ^ �RY �!"{bn�|b < < K ? " "{b < � K � "����Lbn� � ^_? "�� � �Lbn��b < K � "����Lb < � 4VBW�[Zb@«�k�W�[�zuq8es��[Zo�k�[Zw,w�[Zo�nResk�lib�k�fi  �o� < lib�� x 1m«�w�[Zg�liw���[Z�£lioa��fiesq8b�fhY¡c�lKedo,cdb bn�i«�cdo�l

��fiesqRb�fhY¡c�lKe�cdb;b < lib��él³YnResk�cd�Red[ªfi �k�W�[¡w�[Zo�nResk�lib�kfi  x 1 2 x � 2 x < °o0½[Sk�k�cdb�g�: r�[3k�W�[3e�lio�kzuq8es��[Zo�k�[ZwBY�lKk�w*cº¶¸lib���� csk�o$��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib-km«

��� ? � � � � " � b < � ^_?R? �Lb < � K ? E � � b < � ^ �R��b <� K ? E � < 2

�>[�jmlib'o�fies��[�b-n�Y�[Zw*cdjmlKesesq' ;fhw�b < «�k�W-n�oafhrRk�lKcdbRcdb�gCl�o�n���[Zw�o�[Sk�fi 0k�W�[��hlKedn�[Zo�fi (b < lKk�k�W�[jZfhY�Y�fhbPw�fufik�ofi >k�W�[ªfhw*cdgicdb�lKe¿o�qRo�k�[ZYC°ªVBW�lib�¨8o�k�f¢k�W�[�o���[ZjSc�lKexo�W�li��[�fi ¿k�WRcdo�o�qRo�k�[ZYC«cdb'k�WRcdo�o���[ZjSc�lKe�jmlio�[3�¿[�gh[Sk�[M¶�lijSk�esq©k�W�[¡Y¡cdbRcdY�lKexjZfhb��Rcsk�cdfhb£cdb�b < «¥cÍ° [h°s« �"lir�f���[¡cdoak�W�[o���liw�o�[�w�[Zo�nResk�lib�k��Bcsk�WRcdb¸l¡o�jmlKe�liwB ¯lijSk�fhwZ°(I�f��¿[S��[ZwZ«¹k�WRcdoBcdo$b�fik�n�o�n�lKesesq³k�W�[�jmlio�[h°�~�[ZjmlKesek�W�lKk�k�W�[o���liw�o�[�w�[Zo�nResk�lib�kaW�lio,��[Zghw�[Z[���� >¹b�fik�[�k�W�lKk�k�W�[�·�[S�Bk�fhb'lib��¸¼.` ¾ fhnRk�Y�lKk�w*cdjZ[ZoW�lm��[h«�w�[Zo���[ZjSk�cs��[Sesq�«�ed[Z�µk�f�b�fhb-k�w*cs�uc�lKe�YnResk�cd�Red[Zo�fi ���[Zghw�[Z[Zoa\'>ªlib��¸��\8°

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 23: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

\i� ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� ��� ��� ��� � ��� ��� �� � ��� � ��� ��� � ����� ��� � � � � � � %�� �@��� ��� �� � � ��� � � ��� � � � � ��� � � ��� ��� ��� � %�� � � � � ��� ��� ��� %�� � � � � �� � ��� �� ��� � ��� %� � � � � � �� ��� �� ��� ��� � � ��� � �� ��� ��� %�� � � � � �� ��� ��� ����� ��� � � � � � � �� � � � ����� � � � ��� � � �� ��� ��� � � �� %�� � � � � �� ��� �� ����� �� ��� � � � �� � � � ����� ��� ��� � � � � �� � � ���� � � %�� � � � � ��� � � ����� ��� ��� �@� � ��� ��� � � ����� ��� ��� � ��� ��� ��� � �� � � � ��� %�� � � � ��� �V#lirRed[ª���0V.cdY�[lib��¸lijZjZn�w�lijSqµ�Bcsk�W¢o���liw�o�[�w�[Zo�nResk�lib�k,Y�lKk�w*cdjZ[Zo�2¯Y�[Sk�W�f8�©\8°ü�R°º�\3

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � ��� ��� � � � � ��� � ��� � �� ��� �� � ��� � � ��� ��� � � ��� � � �� � ��� ��� �� � �� � � � � � � � �� ��� ��� ��� � ��� � � � ��� � � ��� ��� %��� � � �� � � ��� ��� � � �� ��� � � � � � � � � � �� ��� ��� ��� � � � � � � � � � � �� ��� � ��� %��� � � �� � � ��� � �� �� %�� � � ��� �� � �� � �� ����� �� ��� � � ��� �� � � ��� ��� �� ��� %��� ��� �� � ��� ��� � � � ��� ��� � � � � � � � � ���� ��� ��� � � � � � � � ��� � �� � ��� %��� � � ��� � ��� ��� ��� ��� � ��� � � � � ��� � � � �� ����� �� %�� % � � � ��� � �� ��� � � � � � ��� %��� � � �V#lirRed[3\ �0V.cdY�[�lib��¸lijZjZn�w�lijSqµ�Bcsk�W¢¼.` ¾ fhnRk � o�Y�lKk�w*cdjZ[Zo�2¯Y�[Sk�W�f8�©\8°ü�R°ì\R3

|�fhw0[mlij�W�w�f8fik�fi ���«��¿[BjZfhY���nRk�[Bk�W�[B¨h[Zw�b�[Se¹fi  :.«hq8cd[Sed�Rcdb�g�k�W�[BjZfhw�w�[Zo���fhb��Rcdb�g��hlKedn�[Zofi �b � lKkBk�W�[�w�f8fik�om° �b�fm�Bcdb�g�b � lib��mb < «R�>[�w�[ZjZfm��[Zw�b 1 r�qµjZfhY���nRk�cdb�g�k�W�[�¨h[Zw�b�[Sepfi /: � < °VBWRcdo$cdoBk�W�[li����w�f�lij�W©fhbC�$WRcdj�W¢�¿[���w�[Zo�[Zb-k�[M¶���[Zw*cdY�[Zb-k�lKe#w�[Zo�nResk�o$cdbCo�[ZjSk�cdfhb©\8°ü�R° >�°

}À 8�¿[¿�Bcdo�W�k�f,lZ��ficd�3o�fies�ucdb�g�n�bRcs�iliw*c�lKk�[>��fiesqRb�fhY¡c�lKe.�>� b < � 2¦�$WRcdjFWcdo�l$w�lKk�W�[Zwpn�b�o�k�lirRed[fh��[Zw�lKk�cdfhb 3M«2�¿[�Y�lZq�r�nRcsed�Pk�W�[ªjZfhY���libRcdfhb�Y�lKk�w*cº¶�fi �: lib���jZfhY���nRk�[�csk�o�[Scdgh[Zb-�ilKedn�[M´[Scdgh[Zb-��[ZjSk�fhw¢��lKcdw�om°%}�bú��w�lijSk�cdjZ[h«�k�W�[é¨h[Zw�b�[Se�jmlib r�[£jZfhY���nRk�[Z� r�q lUzucdb�ghnRe�liw �xlKedn�[�a[ZjZfhY���fho�csk�cdfhb)2Àz �a��32fi ¥lao�cdb�ghnRe�liwxY�lKk�w*cº¶@«-b�liY�[Sesq :'�Bcsk�W>b < o���[ZjSc�lKesc ¾ [Z�ªk�fak�W�[$w�f8fik�ofi /��°$VBW�[Zo�[�liw�[[Zo�o�[Zb�k�c�lKesesq¢k�W�[���lKcdw�oafi 2[Scdgh[Zb-�ilKedn�[Zo�lib��'¨h[Zw�b�[Se#��[ZjSk�fhw�o,fi  :.«�lib��¸�>[fhrRk�lKcdbélig�lKcdb'k�W�[��ilKedn�[Zo�fi (b 1 2�b � °aVBW�[¡o�liY�[�escdY¡csk�lKk�cdfhb�lio��Bcsk�W£w�[Zo�nResk�lib-k�Y�lKk�w*cdjZ[Zoacdbk�W�[>��w�[S�8cdfhn�o�o�n�r�o�[ZjSk�cdfhbcdo2lKedo�f,��w�[Zo�[Zb�k2W�[Zw�[>jZfhb�jZ[Zw�bRcdb�g�[Scdgh[Zb�o���lijZ[Zo2fi �WRcdghW3�RcdY�[Zb�o�cdfhb@°

# $�� $"! �ªÂ � � %��m�±�[©w�[Z��fhw*kµfhb [M¶R��[Zw*cdY�[Zb�k�lKe�w�[Zo�nResk�o³fhrRk�lKcdb�[Z�úfhb ������� $#³«¿fhb l��a­=< {�ed��W�l�zuk�l�´k�cdfhbæ\i�h� >&%h\i�h�©�Bcsk�W z8��[Zj³w�lKk�cdb�gho¢���h�8°ì�©��\K}îb�km«����h�R°ü�é��\K|2v lib��U�h� A©¼>quk�[Zo�fi �Y�[M´Y�fhw*q�°�{�ese2w�[Sed[S�ilib-k�� �����'jZf8��[cdo�lm�ilKcse�lirRed[�r-q¢k�W�[�linRk�W�fhw�o�fhw,��n�rRescdjSesq£lZ�hlKcse�lirRed[�lKk&(')'+* , .).0/)/)/-132�465>2?891�:D56.(<=8=:>2�5).0/+&A@(<?/)&(@(.DB?C 2?5>2=<D.('&(')'+* , .).0/)/)/-132�465>2?891�:D56.(<=8=:>2�5).0/+&A@(<?/)&(@(.*)ABD5=4A8=5,+91 (@.-65D5(8A2�4A.-°�z8[S��[Zw�lKe < ��w�fhghw�liY�o¡n�o�[Z�cdbµk�WRcdo��¿fhw�¨µjmlib¢lKedo�f�r�[a ¦fhn�b��µcdbCk�W�[Zo�[aedf8jmlKk�cdfhb�om°

�0/ cdoBk�W�[�bun�Yr�[Zw�fi 2��[ZjScdY�lKe#�Rcdgicsk�o$n�o�[Z�Ccdbµk�W�[�jZfhY���nRk�lKk�cdfhb@°�2¯��w�[ZjScdo�cdfhb 3M«

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 24: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� \u�

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ��� � ��� � �� � � � � �� ��� ��� � � �� � � �� � ��� %�� ��� ��� � � ��� � ��� ��� � �� ����� � �� � ��� � � ��� � � ��� �� � � � � � � � %�� �� � � � � ��� � ��� ��� ��� ��� � ��� � � � � ��� � ��� ��� � � � � �� � � � �� ��� ��� �� � ��� � ��� � � � ��� � � � ��� � � �� � �� � �� ��� � ��� � � � � �� � �� � � ��� � �� ��� � � � � �� � � � ��� � � � ��� � � �� � �� � � � ��� � �� %�� � � ��� � ��� � ��� ��� � ��� ��� � � � � � � � ��� ��� � � ��� � � ��� � �� � ��� � ��� � � � ���

V�lirRed[�� �0V.cdY�[lib��©lijZjZn�w�lijSq³�Bcsk�W'zuques��[Zo�k�[Zw�w�[Zo�nResk�lib�k�o&2¯Y�[Sk�W�fu�©\8°ü�R°ü� 3

� �.12cdo2k�W�[>k�cdY�[. ;fhw2jZfhb�o�k�w�n�jSk�cdb�gak�W�[.Y�lKk�w*cº¶�2¯jZ[Zo'3#cdb¡o�[ZjZfhb���om«hcdb�jSedn��Rcdb�g�o�cdY��Rescs ;q8cdb�gk�W�[Zo�[µY�lKk�w*cdjZ[Zo�k�W�w�fhn�ghWU[Scsk�W�[Zwª^�lin�o�o�c�lib�fhw¡¼Bliw�[Scdo�o � o¡ ¦w�lijSk�cdfhb8´Í ;w�[Z[C[SescdY¡cdb�lKk�cdfhblib��@«p®�b�lKesesq�«2jZfhY���nRk�cdb�g©k�W�[ª��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib�k�lio3lCn�bRcs�iliw*c�lKk�[³��fiesq8b�fhY¡c�lKeÍ°µ|�fhwk�W�[o���liw�o�[¢w�[Zo�nResk�lib-k�Y�[Sk�W�f8�Uk�WRcdo�cdb�jSedn���[Zo�� 4 ?\�éo�[ZjZfhb���o� ¦fhw�r�nRcsed�Rcdb�g�k�W�[¢gh[Zb�[Zw*cdjM´jZfu[S²�jScd[Zb-k�Y�lKk�w*cº¶@«�fhb�jZ[� ¦fhw$lKese½o�q8o�k�[ZY�om°

� ����cdo¡k�W�[³k�cdY�[µ ;fhw�o�fies�ucdb�g'k�W�[Cn�bRcs�hliw*c�lKk�[Cw�[Zo�nResk�lib�kª��fiesqRb�fhY¡c�lKeBcdb�k�W�[CWRcd����[Zb�iliw*c�lirRed[ob < 2¦cdbCk�WRcdo$jmlio�[a�Bcsk�W���������� 3>cdbCo�[ZjZfhb���o�°

� � < cdo.k�W�[,k�cdY�[� ¦fhw.jZfhY���nRk�cdb�g�k�W�[aY�lKk�w*cº¶³¨h[Zw�b�[Seplib��³k�W�[Zbµk�W�[afik�W�[ZwBjZfufhw��Rcdb�lKk�[Zofi #k�W�[�w�f8fik�om«�fhwB�Rcdw�[ZjSk�esqµk�W�[�e�lKk�k�[ZwZ«�cdbCo�[ZjZfhb���om°

�� cdo#k�W�[>Y�l�¶8cdY�lKe�lir�o�fiednRk�[¿�ilKedn�[>fi �k�W�[xcdb���nRk2��fiesq8b�fhY¡c�lKedo0lKk�k�W�[¿jZfhY���nRk�[Z�¡w�f8fik�om°

|�fhwk�W�[�Y�[Sk�W�fu�Ofi $o���liw�o�[�w�[Zo�nResk�lib�k�o�«2k�W�[�Y�lKk�w*cº¶�cdo3jZfhY���nRk�[Z��fhbResq�fhb�jZ[�r-qék�W�[ghw�[Z[Z�RqélKedghfhw*csk�W�YC«½ ¦fhwagh[Zb�[Zw*cdj�jZfu[S²�jScd[Zb-k�om«½cdb � 4 ?\�Co�[ZjZfhb���o >@k�WRcdom«pfhr��8cdfhn�o�esq�«½��f8[Zo�b�fik��[Z��[Zb��OfhbPk�W�[³j�W�fho�[ZbO��w�[ZjScdo�cdfhb@°é|�fhw¡[S��[Zw*q�o�qRo�k�[ZY¬k�W�[³jZf8[S²�jScd[Zb�k�o�liw�[µo���[ZjSc�lKesc ¾ [Z�@«w�[Zo���[ZjSk�cs��[Sesq�«hk�f,cdb-k�[Zgh[Zw���fiesqRb�fhY¡c�lKedo0cdb3k�W�[.WRcd����[Zb��hliw*c�lirRed[jb < °�VBW�[.k�cdY�[i� 1 cdb3k�W�[.®�w�o�kescdb�[Bfi �k�lirRed[a�Bcdb�jSedn���[Zo0k�W�[ � 4 ?\�ao�[ZjZfhb���o2k�f�jZfhb�o�k�w�n�jSk�k�W�[.gh[Zb�[Zw*cdj$Y�lKk�w*cº¶¥«ulib��¡k�W�[.k�cdY�[fi �^�lin�o�o�c�lib3[SescdY¡cdb�lKk�cdfhb�fhbk�W�[>o���[ZjSc�lKesc ¾ [Z�3Y�lKk�w*cº¶@«i�$WRcdj�W3q8cd[Sed��o�k�W�[¿��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib-km°0VBW�[cdb�jZw�[ZY�[Zb-k�lKe$lKedghfhw*csk�W�Y¬ ¦fhw�o���liw�o�[ªw�[Zo�nResk�lib�k¡Y�lKk�w*cdjZ[Zo3cdo[M¶���[ZjSk�[Z��k�f¢r�[�jZfhb�o�cd��[Zw�lirResq ¯lio�k�[Zw0cdbªjZfhb�o�k�w�n�jSk�cdb�g�k�W�[�gh[Zb�[Zw*cdj�Y�lKk�w*cdjZ[Zom«-cÍ° [h°��Bcsk�W�w�[Zo���[ZjSk�k�fk�W�[Bk�cdY¡cdb�gho�cdb�jZfiedn�Y�b� 1 «��$WRcdjFW©jZfhw�w�[Zo���fhb��¢k�fªk�W�[fhw*cdgicdb�lKe�o�n�rRcd�Rcs�ucdo�cdfhb8´Àr�lio�[Z�'lKedghfhw*csk�W�YC° 9 n�w���w�[SescdY¡cdb�liw*qA'li�Red[.cdY��Red[ZY�[Zb�k�lKk�cdfhb³o�n�ghgh[Zo�k�o2k�W�lKkxk�WRcdo2k�cdY�[B�¿fhnRed��r�[ � ���&� �"!� �� !� �� )#fi �k�W�[Bw�[Z��fhw*k�[Z�w�n�b�bRcdb�gªk�cdY�[Zom°>VBWRcdo$cdoBcdb-k�nRcsk�cs��[Sesq¸fhr��8cdfhn�o�r�[Zjmlin�o�[�k�W�[Y�lKcdb¸o�k�[Z�Ccdb¢k�W�[�cdb�jZw�[ZY�[Zb�k�lKeY�[Sk�W�f8�Ccdo�l¡w�lib�¨�k�[Zo�k�fhbµk�W�[w�[Zo�nResk�lib�k,Y�lKk�w*cº¶¥«��$WRcdjFWCk�li¨h[Zo�lir�fhnRk�\¡o�[ZjZfhb���o�°

^�lin�o�o�c�lib'�Rcs��fik�cdb�gµcdoao�escdghW�k�esq'o�edfm�>[Zw�k�W�lib' ¦w�lijSk�cdfhb8´Í ;w�[Z[�[SescdY¡cdb�lKk�cdfhb@«pr�nRk,��f8[Zoab�fikcdb�jZw�[mlio�[�k�W�[ao�c ¾ [,fi @k�W�[a[Zb�k�w*cd[Zom«Ro�f�k�W�lKk¿k�W�[�k�w*c�lib�ghnRe�liwBY�lKk�w*cº¶�Y�lmq�r�[�n�o�[Z�³cdb³jZfhY���n8´k�cdb�gk�W�[�¨h[Zw�b�[SeÍ°�V#f�cdb�jZw�[mlio�[alijZjZn�w�lijSq�«8k�W�[�¨h[Zw�b�[Se�cdo¿jZfhY���nRk�[Z�� ¦fhw�k�W�[�fhw*cdgicdb�lKe¥Y�lKk�w*cº¶@«�$WRcdjFWCed[mli��o$k�f�lib¢cdb�jZw�[mlio�[�cdbCw�n�b�bRcdb�g�k�cdY�[h°

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 25: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

\h\ ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

}�bælKese$k�W�w�[Z[¸Y�[Sk�W�fu��om«¿�¿[¸o�fies��[C ¦fhw¡k�W�[¢w�[mlKe�w�f8fik�o�fi �k�W�[Cn�bRcs�hliw*c�lKk�[¸��fiesqRb�fhY¡c�lKe[M¶���w�[Zo�o�cdb�gCl³YnResk�cd�Red[�fi ¿k�W�[¡w�[Zo�nResk�lib�km°±�[3n�o�[�k�W�[¡Y�li�Red[�jZfhY�Y�lib�� � ��� � ��«��$W�fho�[[S²�jScd[Zb�jSq�jmlib���w�fhr�lirResq�r�[�liY�[Sescdfhw�lKk�[Z�@°0}�k½k�li¨h[Zo�lir�fhnRk�\$o�[ZjZfhb���o½k�f�o�fies��[¿lB��fiesqRb�fhY¡c�lKefi ���[Zghw�[Z[©���£lib��O ¦fhwk�W�[³e�lio�k¡o�qRo�k�[ZYC«2�Bcsk�W ���¸�Rcdgicsk�o�«�Y�fhw�[³k�W�libU\h�©o�[ZjZfhb���o�°éVBWRcdoo�k�w�lib�gh[�hliw*c�lKk�cdfhb¸cdoa��w�fhr�lirResq¸��n�[�k�f�k�[Zo�k�cdb�g�fhnRkao�[S��[Zw�lKe2Y�[Sk�W�fu��o�2¯r-q¢k�w*q©lib��'[Zw�w�fhwF3cdb¢k�W�[� ;n�b�jSk�cdfhb ��� � �����°¿|�fhw�[mlijFW¸w�f8fikm«��¿[o�n�r�o�k�csk�nRk�[�cdb¢k�W�[Y�lKk�w*cº¶¸lib��¸jZfhY���nRk�[csk�o¨h[Zw�b�[Se#��[ZjSk�fhw�r-q¢z �a�¡°�±úW�[ZbCk�W�[w�f8fik���w�fKy�[ZjSk�cdfhb�o�fhb¢k�W�[�b < ´�l�¶Rcdo�liw�[�b�fik�o�cdY��Red[h«¹k�W�[��[ZjSk�fhw�o���f$b�fik�b�[ZjZ[Zo�o�liw*csesq�jZfhw�w�[Zo���fhb���k�f�k�W�[0�ilKedn�[Zo�fi  b 1 2�b � °p}îb�k�WRcdo�jmlio�[h«��>[xo�n�r�o�k�csk�nRk�[b < cdbµk�W�[�fhw*cdgicdb�lKepo�qRo�k�[ZY lib��Co�fies��[ak�W�[�[Zt8n�lKk�cdfhb�oBcdbmb 1�lib��mbn�,fhbResq�°¿z8fhY�[�[M¶���[Zw*cd[Zb�jZ[cdo0w�[Zt8nRcdw�[Z�¡cdb¡j�W�f8fho�cdb�gak�W�[.k�W�w�[Zo�W�fied�¡�hlKedn�[.k�W�lKk���[ZjScd��[Zo0�$W�[Sk�W�[Zw2k�W�[.��[ZjSk�fhw�oxliw�[>�hlKescd�@°}� �b�fikm«-�¿[$o�n�r�o�k�csk�nRk�[B�Rcdw�[ZjSk�esq¡cdb¡k�W�[$fhw*cdgicdb�lKe¹o�qRo�k�[ZY lib���o�fies��[Bk�W�[Bw�[Zo�nResk�cdb�g�[Ztun�lKk�cdfhb�o�°VBW�[Zb©l¡o�[ZjZfhb��Ck�W�w�[Zo�W�fied�Ccdo�n�o�[Z�C ¦fhwB��[ZjScd�Rcdb�g��$WRcdj�W©jmlib��Rcd��lKk�[o�fiednRk�cdfhb�oBk�fª¨h[Z[Z�@°

}�bOjZfhb�jSedn�o�cdfhb@«¿�¿[µfhr�o�[Zw*��[³k�W�lKk�k�W�[¢zuques��[Zo�k�[Zw¡jmlio�jmli��[CY�[Sk�W�f8�Ocdo3 ¦lio�k�[Zo�k3 ¦fhw�k�W�[��liw*k�cdjZnRe�liw.��w�fhrRed[ZYC°0VBWRcdo¿cdo¿[M¶��Re�lKcdb�[Z�³r�q�k�W�[�[Ztun�lKk�cdfhb�o �8o�k�w�n�jSk�n�w�[h°5I,fm�>[S��[ZwZ«8cskxcdo>b�fik[M¶���[ZjSk�[Z�ªk�f3W�li����[Zb�cdb�e�liw�gh[Zw>o�q8o�k�[ZY�o�«un�bRed[Zo�o¿k�W�[Sqª��fho�o�[Zo�o>o�fhY�[,o�cdY¡cse�liw>o�k�w�fhb�g�o�k�w�n�jM´k�n�w�[h°³·,fhb�[Sk�W�[Sed[Zo�om«�k�W�[�zuq8es��[Zo�k�[ZwY�[Sk�W�f8��fi¤¥[Zw�ob�f©li�R�hlib�k�ligh[�cdbék�[Zw�Y�o�fi BlijZjZn�w�lijSq�°VBW�[ª¼>` ¾ fhnRk � oY�lKk�w*cdjZ[ZoY�[Sk�W�f8�équcd[Sed��oo�Y�lKesed[Zw�Y�lKk�w*cdjZ[Zom«p�$WRcdj�WPliw�[ª[mlio�cd[Zw�lib��é ¯lio�k�[Zwk�f¸Y�libRcd��nRe�lKk�[ªk�W�libék�W�[�o���liw�o�[�w�[Zo�nResk�lib-k3Y�lKk�w*cdjZ[Zo�«#{,jZjZn�w�lijSqéfi .¼.[ ¾ fhnRk � o3Y�[Sk�W�fu��cdoo�escdghW�k�esq�r�nRk2b�fik0o�cdghbRcs®�jmlib�k�esq3r�[Sk�k�[Zw�k�W�lib3k�W�[>o���liw�o�[>w�[Zo�nResk�lib�k�Y�[Sk�W�f8�¡fhbk�W�[.[M¶�liY��Red[h°9 b3k�W�[Bfik�W�[Zw0W�lib���o���liw�o�[>w�[Zo�nResk�lib�k�Y�lKk�w*cdjZ[Zoxliw�[B[mlio�cd[Zw�k�facdb�o�k�lib-k�c�lKk�[Bk�W�lib3k�W�[B¼.` ¾ fhnRkY�lKk�w*cdjZ[Zo�°�VBW�[�WRcdghW�[Zw�w�n�b�bRcdb�g¢k�cdY�[Zofi ¿k�W�[�o���liw�o�[�w�[Zo�nResk�lib�k�Y�[Sk�W�fu��liw�[���n�[�k�fµk�W�[e�liw�gh[Y�lKk�w*cº¶Co�c ¾ [h°

� � �� ! 8¥�*����!# ��¸����!21�

9 r-�ucdfhn�o�esq�«¹k�W�[Zw�[3[M¶8csk�o,lib©lib�lKedfhgiq¸r�[SkÀ�>[Z[Zb©Y�fied[ZjZnRe�liwajZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o�lib��¸w�fhr�fik�cdjZoafhwY�[ZjFW�libRcdjZom° �xliw*cdfhn�o�o�k�w�n�jSk�n�w�lKe½w�[ZtunRcdw�[ZY�[Zb-k�o�fhbCY�fied[ZjZnRed[Zo$jmlibCr�[aY�fu��[Sed[Z�©lioBgh[ZfhY�[M´k�w*cdj¡fhwa¨ucdb�[ZY�lKk�cdj�jZfhb�o�k�w�lKcdb�k�om«#lio�cdb£w�fhr�fik�cdjZom°VBWRcdo�lib�lKedfhgiq'jZfhb�o�cdo�k�oacdbélio�o�f8jSc�lKk�cdb�gClo�[Zw*c�lKexw�fhr�fik�k�f©lCY�fied[ZjZnRed[h«#r-qéjZfhb�o�cd��[Zw*cdb�g¢k�W�[�w�fik�lKk�cdfhb � � liw�fhn�b��ék�W�[ªl�¶Rcdo�# � «plio3lw�fik�lKk�cdfhb'liw*k�cdjZnRe�lKk�cdfhb¸r�[SkÀ�>[Z[Zb¢kÀ�>fªo�fiescd��o : �� 1�2¯jZ[Zb�k�[Zw�[Z�£lKk=/ �� 1'3Blib�� : � 2¯jZ[Zb�k�[Zw�[Z�£lKk/ �r3M«�lioBcsesedn�o�k�w�lKk�[Z�¢cdbµk�W�[� ¦fiesedfm�Bcdb�g�®�ghn�w�[ >¹ ;fhwBb�fik�lKk�cdfhb¸w�[S ;[ZwBk�f¡®�ghn�w�[ª��°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 26: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� \i�

VBW�[�jScdw�jSed[Zo¿cdb��RcdjmlKk�[$k�W�[�liw*k�cdjZnRe�lKk�cdfhb�o.fi @w�fik�lKk�cdfhb�cdb�k�WRcdo¿w�fhr�fikm°2}Àk¿W�lioxk�W�[$��liw*k�cdjZn8´e�liw*csk�q¡k�W�lKk0kÀ�¿f�jZfhb�o�[ZjZnRk�cs��[�l�¶�[Zo�fi @liw*k�cdjZnRe�lKk�cdfhb�liw�[.cdb�k�[Zw�o�[ZjSk�cdb�g�lKkxla��ficdb�km°0VBW�[BjSqRjSescdjY�fied[ZjZnRed[�jZfhw�w�[Zo���fhb���o�k�f¸lµo�csk�n�lKk�cdfhb��$W�[Zw�[�k�W�[�e�lio�k�o�fiescd�écdo�cdb�lC®R¶R[Z��jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�Bcsk�W¸w�[Zo���[ZjSkBk�f�k�W�[a®�w�o�k�fhb�[h°

VBWRcdo¡lib�lKedfhgiqOjmlib�r�[³jmliw�w*cd[Z��fhb� ¦n�w*k�W�[ZwZ«0cdbOfhw���[Zw�k�félib�lKesq ¾ [ªk�W�[µjZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�ok�W�lKkªliw�[¢cdbR®�bRcsk�[Zo�cdY�lKesesqUn�b�o�k�lirRed[h°æ|�fhw�lib-q�o�fiescd�6: Y�fm��[Z�ær-q�l£�Rcdo��Re�lijZ[ZY�[Zb�k / � b �2¦�$W�[Zw�[�b¿cdom«R ¦fhw.cdb�o�k�lib�jZ[h«�k�cdY�[ 3M«¹k�W�[a��[SedfujScsk�qCfi 2l���ficdb�k � � b � fi #k�WRcdo�o�fiescd�µcdo$gics��[Zb¢r-q

B��$� � � b ��� � � � K�D � � b � ����$W�[Zw�[ D cdo�k�W�[�fhw*cdgicdb@«�� � k�W�[���[Sedf8jScskÀq¢fi �k�W�[�fhw*cdgicdb@«¹jZfhb�o�cd��[Zw�[Z�'lio���ficdb�k,fi #k�W�[�o�fiescd�@«�Pcdo>k�W�[���[ZjSk�fhw>��w�f8��n�jSk.fi @k�W�[,��W�qRo�cdjScdo�k�oBlib���� k�W�[,lib�ghnRe�liw>��[Sedf8jScskÀq�°�}îbªfik�W�[Zw>�¿fhw���o�«��� � 2�� � w�[Z��w�[Zo�[Zb�k�o3k�W�[ªjScdb�[ZY�lKk�cdj³k�fhw�t8n�[h°C±�[��Bcsese>cd��[Zb�k�cs ;qécsk�Bcsk�WPk�W�[ª[Sed[ZY�[Zb-k�� fi � � 2¦�$W�[Zw�[ cdo�k�W�[�"K´À�RcdY�[Zb�o�cdfhb�lKe���[ZjSk�fhwao���lijZ[�n�b���[Zw*esqucdb�g³k�W�[¡lK²�b�[�o���lijZ[ 5=<³lib��� k�W�[�[M¶8k�[Zw*cdfhw�lKedgh[Zr�w�l�fhb «po�[Z[,: 0#lib��h��«�¼.fhn¹�i��?43 �

�k� � 1�� � � � < ^ ��� � 1 � � < K%� < � 1 � �h�5K�� 1�� 1 � ���jK��X���h� � ���jK�� < � < � �|� 2�$W�[Zw�[�k�W�[�� � � �SY 2343434+2FY 2�? 2FY 2343434 2FY � liw�[ak�W�[���[ZjSk�fhw�o$cdbµk�W�[�jmlib�fhbRcdjmlKe�r�lio�cdom°0}�k$w�[Z��w�[M´o�[Zb�k�o,k�W�[ �"��� � �"���-����, ��RY�f���[ZY�[Zb�k�fi �k�W�[3o�fiescd�@°,|�fhw�cdb�o�k�lib�jZ[h«¥ ;fhw,lªw�fik�lKk�cdfhbélKedfhb�gµlib

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 27: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

\'> ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

l�¶RcdoC#UjZfhb�k�lKcdbRcdb�g 1 � �n? f 2 1 f.2 � f 2 < � 2GF � �n? f ! 1 f !'� f ! < � «8�¿[aW�lm��[ � � � �1 F%lib��

� � � YR°�VBW-n�o�k�W�[acdbR®�bRcsk�[Zo�cdY�lKe#Y�f���[ZY�[Zb�k, ;fhw.k�WRcdo�w�fik�lKk�cdfhbCcdo$� 1 � F 8 � � °}À  � ���n? f�� 1 f�� � f�� < � «p�¿[�jFW�[Zj�¨'k�W�lKk�k�W�[�®�w�o�k�EµjZf8fhw��Rcdb�lKk�[Zofi  � � � 2¦cd[h°

k�W�[ajZf8[S²�jScd[Zb�k�o$fi  � � � �h� � � < « � � � � 1 � � < « � � � � 1 � � �h3>liw�[,��w�[ZjScdo�[Sesqªk�W�[ajZfufhw��Rcdb�lKk�[Zofi  B � � � � b ��� °U{,o¡�¿[CW�lm��[ � � � � � � YR«¿k�W�[µe�lio�k�jZf8fhw��Rcdb�lKk�[�2¦k�W�[¢jZf8[S²�jScd[Zb�kªfi � 1 � � � � � < fi  � � � cdo���[Sk�[Zw�Y¡cdb�[Z�@«#�$W�[Zbé�¿[ª¨ub�f�� csk�o�E³®�w�o�k�jZf8fhw��Rcdb�lKk�[Zo�lib�� �%°VBWun�om«�k�W�[���[Sedf8jScskÀq�B �$� � � b ��� jmlib¢r�[acd��[Zb�k�cs®�[Z�¸�Bcsk�WCk�W�[���[ZjSk�fhw � � � 8 � < °

<>fhb�o�cd��[Zwµb�fm�(o�[S��[Zw�lKeao�fiescd��oµjZfhb�b�[ZjSk�[Z� r�q»liw*k�cdjZnRe�lKk�cdfhb�oCfi w�fik�lKk�cdfhb lKedfhb�gUl�¶�[Zo# 132343434+2$# � °0VBW�[,��[SedfujScsk�q�fi #lib-q���ficdb�k �_fi #k�W�[�e�lio�k>o�fiescd�³cdo>k�W�[ao�n�Y"fi ½k�W�[,��[SedfujScsk�cd[Zofi  � lKk�k�lij�W�[Z�¢k�fª[mlij�W¢o�fiescd�@°x}ÀkBcdoBgics��[Zb©r�q³k�W�[� ;fhw�Y�nRe�l

B � � � � b ��� ������ 1

� � #5� � � 4

<>fhY¡cdb�g3r�lij�¨¡k�f�fhn�wx��w�fhrRed[ZY fi ½Y�fied[ZjZnRed[&2¯fhw¿w�fhr�fik'3M«uk�W�[�o�[Zw*c�lKe�w�fhr�fikx�Bcsese�r�[�n�b�o�k�lirRed[2¯o�[Z[ : A'zR��>@?Í« : A¸[Zw��h��?43M«#cs .k�W�[���[Sedf8jScskÀq�fi $lib�qé��ficdb�k � cdbék�W�[�e�lio�k3o�fiescd�écdo+YR«#r�nRk�k�W�[cdbR®�bRcsk�[Zo�cdY�lKexY�fm��[ZY�[Zb-k�fi xk�W�[ �µo�fiescd��oacdo�b�fik ¾ [Zw�f�°3VBWRcdoY�[mlib�o�k�W�lKk��¿[�jmlib£®R¶'k�W�[®�w�o�k>lib���e�lio�k¿o�fiescd�ªlib���®�b��ªW�f��¿[S��[ZwBlib�cdbR®�bRcsk�[Zo�cdY�lKe�Y�fik�cdfhb³fi ¥k�W�[�j�W�lKcdbµfi @o�fiescd��om°2}îbfik�W�[Zw��¿fhw���o�«¥k�W�[�jFW�lKcdb©�Bcsese0r�[�cdbR®�bRcsk�[Zo�cdY�lKesesq£n�b�o�k�lirRed[�cs �k�W�[Zw�[¡[M¶8cdo�k�o&����1 2343434 2��76 � ��SY 2343434 2FY � o�n�jFWµk�W�lKk�� 2�� ���� 1 � � #5� � � fhwB[Zt8nRcs�ilKed[Zb-k�esq

� 1 # 1 K ����� K � 6 # 6 �dY 4�$W�[Zw�[�# � � / � � / �

�1 8 � � w�[Z��w�[Zo�[Zb-k�k�W�[l�¶�[ZoBfi �w�fik�lKk�cdfhb�o,fi �k�W�[�w�fhr�fikm°

VBW�[Zw�[S ;fhw�[h«uk�W�[BjSq8jSescdj�Y�fied[ZjZnRed[$cdo0cdbR®�bRcsk�[Zo�cdY�lKesesq�n�b�o�k�lirRed[$cs �k�W�[Zo�[$l�¶R[Zo¿fi �w�fik�lKk�cdfhb�oliw�[escdb�[mliw*esq¢��[Z��[Zb���[Zb-kacdb � �� °�±�[�liw�[�ghficdb�gªb�f�� k�f�j�W�liw�lijSk�[Zw*c ¾ [¡gh[ZfhY�[Sk�w*cdjmlKesesq�«�k�W�[jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o,fi �k�W�[�Y�fied[ZjZnRed[��$WRcdj�W'liw�[acdbR®�bRcsk�[Zo�cdY�lKesesq¢n�b�o�k�lirRed[h°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 28: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� \h�

���

���

���

���

��

��

0½[Sk % r�[$k�W�[,�Re�lib�[�� / � 25/ � 25/ 66� °2VBW�[,escdb�[mliw¿o�qRo�k�[ZY%gh[Zb�[Zw�lKk�[Z�Cr�q / 1 � / � « / 1 � / < cdok�W�[�oFliY�[�lio.k�W�[�fhb�[�gh[Zb�[Zw�lKk�[Z�¢r�q9/�1 � /"��« / 1 � /<; < �$W�[Zw�[ /<; < cdo$lib�qµ��ficdb�k�fi #k�W�[��Re�lib�[/ 1 25/"� 25/ < fhnRk�o�cd��[�k�W�[escdb�[=� /�1 25/�� � °�}�b©��liw*k�cdjZnRe�liwZ«¥�¿[3jmlib¸k�li¨h[ / ; < fhb©k�W�[�Re�lib�%�°�0p[Skn�o�jmlKese2k�WRcdo�escdb�[�# ; 1 � /"� � /<; < °¼>q¸k�W�[¡o�liY�[�fh��[Zw�lKk�cdfhb�olKkak�W�[���ficdb�k�o /� 25/76h«¥�>[�jmlibw�[Z�Re�lijZ[�k�W�[�o�qRo�k�[ZY � / � � / ��1 � � � 1 #$#$# 6�r-qClibC[Zt8nRcs�hlKed[Zb�k�o�qRo�k�[ZY

/�1 � /�� 25/ < � /� 25/�! � /76 2$# ; 1 2$# ; � 2$# ; <�$W�[Zw�[i# ; 1 2¯w�[Zo��@°L# ; � « # ; < 3¥cdo@k�W�[2cdb�k�[Zw�o�[ZjSk�cdfhb�fi "� / 1 25/ � 25/ < � 2¯w�[Zo��@°.� / < 25/ � 25/ � � « � / ! 25/ � 25/ 66� 3�Bcsk�W %�°

·�fik�[µk�W�lKk�cs ,k�W�[Zo�[ Eéescdb�[Zoªliw�[¢jZfhb�jZn�w�w�[Zb�km«.k�W�[Zbæk�W�[SqUliw�[µescdb�[mliw*esqæ��[Z��[Zb���[Zb�k�cdb� � «# ;fhw$k�W�[SqCliw�[cdb¸l�oFliY�[��Re�lib�[h°.}�bCk�WRcdo,jmlio�[h«�k�W�[ ��[Sed[ZY�[Zb�k�o0/�1 � /�� 25/ < � / � 25/"! �/'6 2$# ; 1 2$# ; � 2$# < °�liw�[�lKedo�f¡escdb�[mliw*esqC��[Z��[Zb���[Zb-km°¼¿qµjZfhb�o�k�w�n�jSk�cdfhb@«¹cs L# ; 1 2$# ; � 2$# ; < Y�[Z[Sk$cdb¸l¡jZfhY�Y�fhb©��ficdb-km«�o�f���f¡k�W�[��Re�lib�[Zo

� /�� 25/� 25/76 � 2h� /�1 25/�� 25/ < � 2h� / < 25/� 25/�! � 2h� /�! 25/76 25/�1 � 4±�[jmlib©k�w�lib�o�e�lKk�[�k�WRcdo,jZfhb��Rcsk�cdfhb@«¥n�o�cdb�gªk�W�[(<.lZq8ed[Sq¢fh��[Zw�lKk�fhw�o�2¯o�[Z[;: ¼.¼>~,����?43M«¹cdb'l

��fiesqRb�fhY¡c�lKe½cdbµk�W�[���[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib�k�o,fi �k�W�[���ficdb-k�o=/ � lioB ¦fiesedfm�$o �� /�� 25/� 25/76 � � � /�1 25/�� 25/ < �� /"� � /��� /76 25/�1325/�� 25/ <�� ^ /"� � /76�� /� 25/�1325/�� 25/ <�� K;/ � � /76�� /�� 25/�1 25/�� 25/ <��

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 29: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

\i� ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

� / � 25/ � 25/ 66� � � / 1 25/ � 25/ < � � � / < 25/ � 25/ !\�� ^ /��� /76 25/�1 25/�� 25/ < � � /�� 25/ < 25/ � 25/�! � ^ /�� � /� 25/�1 25/�� 25/ < � � /'6 25/ < 25/� 25/�! �K0/76�� /� 25/�1 25/�� 25/ < � � /�� 25/ < 25/ � 25/�! � K;/��� /�� 25/�1 25/�� 25/ < � � /'6 25/ < 25/� 25/�! ��$WRcdjFWCq8cd[Sed��o� ������������� ��������� ��� ��������������������� ��������� ����� ����������� ������������� ��������� ������������������������� ��� ����� ������������� ����� � ������������� ��������� ������������������������� ��� ����� �����������!� � ���"����#����� ��������� ��� ��������������������� ��� ����� �����������!�$&%�$W�[Zw�[ � 1 2GF 2�� 2 / � cdo¡k�W�[µ��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib-k 2¯fhw¡fhw*cd[Zb�k�[Z�U��fiedn�Y�[ 33fi �k�W�[ "£lK²�b�[C��ficdb�k�o1 2GF 2�� 2 / °

VBW�[��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lib�kafi 2k�W�[ �ªl�¶Rcdo=/ � � / ��1�lib��Ck�WRcdo���fiesq8b�fhY¡c�lKe.2À�R3$liw�[�fi 2k�W�[�o�liY�[

��[Zghw�[Z[<2¦cÍ° [h° �R3>cdbµk�W�[�jZfufhw��Rcdb�lKk�[Zo�[mlij�W¢��ficdb�k�/�î«�lib��¢�ilibRcdo�WCfhbµk�W�[�oFliY�[�fh��[ZbCo�n�r�o�[Skfi ¿k�W�[¡n�b�o�k�lirRed[�jZfhbR®�ghn�w�lKk�cdfhb�o<� /�1 2343434+25/76 � °VBW�[Zw�[S ¦fhw�[h«½k�W�[Sq£liw�[�[Ztun�lKe2�Bcsk�WRcdbéYnResk�cº´�RescdjmlKk�cdfhb¸r�q¢l¡b�fhb ¾ [Zw�fªo�jmlKe�liwZ°

' !5� � �")����3� " �"!5�%���3$-�-�&�� ��-� �� � ��4�� $��1��� � $ ��� ���"� �����#� )���� !���$�! �"!5�+,���/�3$�45� �(� � 4��#�-0�1 *�� �+��� �'������� *�� �"!5�(��(�45 �� �����*),+!-�°

� ��� ���. !=�0/ ���21�"� �7!.�

VBWRcdo$�¿fhw�¨³cdo$��liw*k�c�lKesesqCo�n�����fhw*k�[Z�¢r�qµk�W�[�­�n�w�fh��[mlib¸��w�fKy�[ZjSk�|�w*cdo�jZf 2r0uVB~ \u��°ü��\'> 3M°

� �0&Z� 8����!��0�

: {,¼.¼�����\�?�­�°#{,b���[Zw�o�fhb@«���°p¼BlKcÍ« <,°p¼>cdo�jFW�fi î«43�°#�,[ZY�Y�[SeÍ«53�°p�afhb�g�liw�w�lR«53�°p�an <>w�f ¾ «{3°-^aw�[Z[Zbur�lin�YC«�z�°RIaliY�Y�liw*escdb�g�«8{�°@A©j� �[Zb�b�[Sq�«Rz�° 9 o�k�w�fhn�j�W�fm�¥«Rlib����¡°-z8fK´w�[Zb�o�[Zb@°7698 �:8 �<;>= ���"�&�@? � 4 �����S°¿z8}î{ A�«Rv�WRcse�li��[Sed��WRc�lR«#���h��\8°

: ¼.¼.~�����? AP°�¼Bliw�b�lir�[ScÍ«¹{3°�¼.w*cdbRcÍ«�lib��'^�°�<,°�~�fik�lR° 9 bCk�W�[[M¶Rk�[Zw*cdfhw$jmlKedjZnRedn�o,fi 2cdb��hl�´w*c�lib-k�k�W�[Zfhw*q�°BA�� �*)C8 � �@�h* �3 h«��h� �º��\i��D¹���h�R«½���h���8°

: ¼.[Zw��h��? �¡° ·3°p¼.[Zw�b�o�k�[Scdb@°µVBW�[ªbun�Yr�[Zw�fi Bw�f8fik�ofi $lCo�qRo�k�[ZY fi B[Zt8n�lKk�cdfhb�om°�� 4��$�� �8 �� �� � �� �E8C9 9���d«�� 2À\R3 �º���h��D¹�����8«#�����h�8°

: ¼.[Zw��h��? AP°½¼.[Zw�gh[ZwZ° �GF3��HF��������S«#��fiedn�Y�[³�8«L0 � [Zo���lijZ[���[Zoo���W�XZw�[Zo�°;<>[Z�Rcdj�%K|�[Zw�b�lib��·alKk�W�lib@«@�����h�8°

: ¼.` ¾ �i�'? ­�°�¼.` ¾ fhnRkm°I' !F3�����1� ��F��:F �3 ��/� ���-�CJK(�45 �� �����#�L8 � ��Fh* ����(�4#���M°>v�liw*cdom«½���h�i�R°: ¼.fhn¹�i�'? ·3°x¼.fhn�w�r�li¨ucÍ° � �MF� ��� �"� ��� � ��"!@F�, �� �N(�4#�-� " 8 � ��O * �3� " � ! �CP�°dI,[Zw�Y�lib�b@«

v2liw*cdom«p�����i�R°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 30: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

�������������� ����������������������������� �"!#�%$& '���(�*)+ ,�-�/.�0* ��1��2,���/�3$�45�/� \h�

: <>­¿�h�'? 3�° <.lib�b�qàlib��à}M°B­�Y¡cdw*cdom° {,b [S²�jScd[Zb�k£lKedghfhw*csk�W�Y  ¦fhwµk�W�[éo���liw�o�[éY¡cº¶�[Z�w�[Zo�nResk�lib�km°a}�bé^¡° <>fhW�[Zb@«@V�°�A©fhw�lR«@lib�� 9 ° A¸fhw�[Zb�f�«¥[Z�Rcsk�fhw�om« � �3� $ �!�-� ���"�-� � �',9��B8.9 9� �1����8 � �@�h* �3 " 8 � �@�h*"�* ���$ 8 � ����� � �� � � ���3����0 � ��� � � � � � �-� " 6 �3$�� �+�����-� �"� � ��q9 � �$������$&� ��� P-«���ligh[Zo��h��D¹����>�«�v�n�[Zw*k�f�~$cdjZf�«¥���h�h�R°�z8��w*cdb�gh[ZwZ°

: < A'�h�'? 3�° ´Àv#°@<.liw��Rcdb�lKe�lib��¼a°�A¸fhn�w�w�lKcdb@°8{�edgh[Zr�w�lKcdj.li����w�f�lij�W¡fi �w�[Zo�cd��n�[Zo2lib��¡li���Rescº´jmlKk�cdfhb�o�°�}îb 3�°h~�[Zb�[Zg�liwZ«�A�°-z8Wun�r@«ulib���z�°-z8Y�lKed[h«u[Z�Rcsk�fhw�om«�� �*� $ �28 � 0 ���8 � 4 ( � � ���(���� �� ��� � ��"! � �3) 4 � ��� $& ��8 �� ����'��� � " A�45� ��������� " � ��$� � � � � "= �1 '!u«���fiedn�Y�[���\¡fi 46 �3$�� 4��3���+��� 8.9 9���1��� � ��"! �d«���ligh[Zo���h��DR\u���R«½���h�h�R°

: <>v¿�h�'? 3�°5<.lib�b-q�lib��ªv�°uv�[Z��[Zw�o�[Zb@°#{�bªlKedghfhw*csk�W�Y  ¦fhw�k�W�[�·�[S�Bk�fhb³w�[Zo�nResk�lib�km°pVp[Zj�W8´bRcdjmlKe#~�[Z��fhw*k����h��>�«�<>fhY��@°�z8jScd[Zb�jZ[��a[Z�Rkm°s«<>fhw�b�[Sese � bRcs��[Zw�o�cskÀq�«@���h�h�R°

: �HIa�8��? {3° ± ° A�°��,w�[Zo�o#lib��V�° |.°hIalZ��[SeÍ°u�,cdo�k�lib�jZ[xgh[ZfhY�[Sk�w*q�lib��¡^a[ZfhY�[Sk�w*cdj¿lKedgh[Zr�w�lR°� ��4�� �@ �� �����#�+�*) �=! ����� $��M«�\i� 2*��� 3 �º�����h� D¹�����'>�« 9 jSk�fhr�[Zw����h�8��°

: �,cº¶��h�'? {3° 0�°i�,cº¶Rfhb@°RVBW�[.[SescdY¡cdb�lib�k�fi ¹k�W�w�[Z[>t8n�lib�k�cdjZo2cdb�kÀ�>facdb���[Z��[Zb���[Zb-k0�iliw*c�lirRed[Zo�°� �*� $ �96 ��� �@��� � ��"! � �� $��1��� �h«¹� � >���D8�h�R«�\i�h��DR\i�h�R«½���h�h�R°

: ­ <.����? }M° ��°�­xY¡cdw*cdo�lib��E3�° |.°'<.lib�b�q�°u­0²�jScd[Zb�k2cdb�jZw�[ZY�[Zb-k�lKe�lKedghfhw*csk�W�Y�o� ¦fhw@k�W�[xo���liw�o�[w�[Zo�nResk�lib�k�lib��k�W�[�Y¡cº¶�[Z����fiedn�Y�[h° A � ���* ������$ � ��,9 45�1 �� � ���¹«K\i� 2À\R3 �º�h��� D¹� >��R«{,n�ghn�o�k����h���8°

: ­=A©�h�'? AP°¥­0ed¨ili�Rc0lib��£¼a° A¸fhn�w�w�lKcdb@°{�����w�f8j�W�[�[S¤¥[ZjSk�cs��[¡��[Zo�w�`Zo�cd��n�o�lKedgh`Zr�w*cdtun�[Zo�°V#[Zj�W�bRcdjmlKe2~�[Z��fhw*k�\i�h��>�«�}î·�~�}�{ z8fh��WRc�l�´À{�b-k�cd��fiescdom«�|�w�lib�jZ[h«½���h�h�R°

: ­xY¡c���>�? }M° ��°2­�Y¡cdw*cdom°� 9� ��-��� � ���"(��� @� � ��� �� � 8.9 9����$ �� �����#�;���*; �"����, �� ��$��S°év�W��k�W�[Zo�cdom«=<>fhY���nRk�[Zw�z8jScd[Zb�jZ[C�,cs�ucdo�cdfhb@«0�a[Z�Rkm°2fi �­0ed[ZjSk�w*cdjmlKe$­xb�gicdb�[Z[Zw*cdb�g�lib��<>fhY���nRk�[Zwaz8jScd[Zb�jZ[h« � bRcs��[Zw�o�cskÀqCfi  <.lKescs ;fhw�bRc�lR«¹¼>[Zw�¨h[Sed[Sq�«��a[ZjZ[ZYr�[Zw����h��>�°

: ­xY¡c��h�'? }M° ��°>­�Y¡cdw*cdom° 9 b»k�W�['jZfhY��Red[M¶8csk�q fi o���liw�o�[©[SescdY¡cdb�lKk�cdfhb@° A�� � ��,9�/�3.�� � �h«��\ �º����>�D¹���h�R«#���h�h�R°

: |! A'��>�?�~�°�|�fhn�w�bRcd[ZwZ«¥·3° �l�yîed[ZwZ«¥lib��¸¼a° A©fhn�w�w�lKcdb@° �,cdo�n�lKesc ¾ lKk�cdfhb¸fi �Y�lKk�W�[ZY�lKk�cdjmlKeo�n�w* ¦lijZ[Zo �½k�W�[x}���}*<'o�[Zw*��[Zw�li����w�f�lij�W@°:A �( �'<*3�@����$ � ��,9 45�1 �� �����¹«���� �º���i��D¹���i�R«���h��>�°

:ü^ �¥��>�? }M° AP°�^a[Ses ¯lib��@« A�° AP° �li��w�lib�f���«½lib��'{�° �¡° ��[Sed[S�8cdb�o�¨uq�° � ��$"����(�"� �� �"�% �� �� �-�-45� �1 �� �"�M°�¼>cdw�¨8W �in�o�[ZwZ«�¼.fho�k�fhb@«@���h��>�°

:ü^z��i�'? ·3°@^ �f³lib���I3° {�°@z8j�W�[Zw�lig�lR°~$cdb�g³jSedfho�n�w�[3lib��'edf8jmlKe�jZfhbR ¦fhw�Y�lKk�cdfhb�lKe���[S ¦fhwî´Y�lKk�cdfhb�o�fi �jFW�lKcdb¸Y�fied[ZjZnRed[Zom° � @$"�3��,���/�3$�45� �-�S«@� 2À\R3 �º���i��D¹�����8«½�����i�R°

×#× û=BSóMÝ�C-D

Page 31: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

\i� ��������� (��-���� ����� ��4����3 ��"�

: IalZ���8��? V�° |.° IalZ��[SeÍ°%{�bú[S�hlKedn�lKk�cdfhb fi jZfhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe�o�k�w�lKk�[Zgicd[Zoµ ¦fhwµn�o�['cdb k�W�[��[Sk�[Zw�Y¡cdb�lKk�cdfhb©fi p��w�fik�[ScdbCo�k�w�n�jSk�n�w�[a ¦w�fhY"�Rcdo�k�lib�jZ[�jZfhb�o�k�w�lKcdb�k�o�fhrRk�lKcdb�[Z�Cr�qbun�jSed[mliw�Y�lighb�[Sk�cdj�w�[Zo�fhb�lib�jZ[h°=� �&� � � ���:9 ! ��� ��� ���/�3$ � � �������d«¹�i� � >���DR�i�R«p���h�8��°

: 0#lib��h�'? z�° 0plib�g�°78 � �@�h* �3 h°x{,���Rcdo�fhb8´Í±�[Zo�ed[Sq�«p���h�h�R°: A'lijm��\�? |.°ìz�° A'lijmlinRe�lZq�°Bz8fhY�[� ¦fhw�YnRe�li[cdb¢[SescdY¡cdb�lKk�cdfhb@° � �*� $ �96 ��� �@��� � ��"! � �� $ ��«

� 2Í�h� 3 �ü��DR\h�8«p���h��\8°: A <.��\�? �¡° A'lib�f8j�W�l¸lib�� 3�° <.lib�b-q�°³~�[mlKe0k�cdY�[�cdb-��[Zw�o�[ª¨ucdb�[ZY�lKk�cdjZofi Bgh[Zb�[Zw�lKe>�i~

Y�libRcd��nRe�lKk�fhw�o�°�}îb � �3� $ � ������� � ��� ) � � � *3��� ��$�� �� �C8 45�1��, �� �����¹«���ligh[Zo¿�h�h��D�h�h�R«¹·�cdjZ[h« A'lZq'���h��\8°

: A©[Zw��h�'? 3�° v#° A©[Zw*ed[Skm° 6 �-� �3� *3�@�"�&9� ��* ��"�MO�� ���M°OVpw�lKcsk�`Zo���[µb�fhnR��[Sesed[Zo�k�[ZjFW�b�fiedfhgicdtun�[Zom°I,[Zw�Y�[Zom«@���h�h�R°

: A£zR��>�? ¼a° A¸fhn�w�w�lKcdbúlib�� ·�°.zuk�fies®½° �-� �� ��-�� �� �"� ���"!�� �'� �"� ����$"� ����� �� � � ���094��1 �� ����� @� ���3��,�����-�h«¥j�W�li�Rk�[Zw <>fhY���nRk�lKk�cdfhb�lKe¿zuqRYr�fiescdj�^�[ZfhY�[Sk�w*q�«���ligh[Zo����� D¹���h�R° aedn��>[Zw�{,jmli�@°�v�n�r@°s«@���h��>�°

: A ��± ��>�?ú�¡°@A'lib�fujFW�lR«���°���Wun@«ulib��¡± °K±�w*cdghW�km°�<>fhbR ¦fhw�Y�lKk�cdfhb�lKe�lib�lKesqRo�cdo�fi �Y�fied[ZjZn8´e�liw�j�W�lKcdb�o�n�o�cdb�g�b�lib�fK´À¨-cdb�[ZY�lKk�cdjZom°x}�b � �3� $ � �����!�������������$� �-!��:9 ����#!� :95� �� �;�� ������ ��� ���3$&�&�'� � � � ��� �"� � ��q94��1 �� ����� @� ������� �-�'�h«p��ligh[Zo��DR\i�R«2z8[mlKk�k�ed[h«���h��>�°U{�edo�f£Vp[ZjFW@°x~�[Z��fhw*k���>K´��h�h�R«.�a[Z�Rkm°0fi  <>fhY���nRk�[Zw�z8jScd[Zb�jZ[h« � bRcs��°0fi ·,fhw*k�W <.liw�fiescdb�lR°

: v <.��>�? �¡°�v�liw�o�fhb�oalib�� 3�°�<.lib�b�q�°�^�[ZfhY�[Sk�w*cdj��w�fhrRed[ZY�o,cdb¢Y�fied[ZjZnRe�liw,rRcdfiedfhgiq¸lib��w�fhr�fik�cdjZom°#}�b � �*��$ � � � � �-� ��� ��� � � ��� ) � ��� �-� ������� �/����� � �'������%� )������ ���/�3$�45� ��������� �-�'�h«¹��ligh[Zo���\h\ D8�h�h�R«�v�lKedf�{�esk�f�« <>{3«�{�n�ghn�o�k����h��>�°

: v>zR�h�'? v�°Rv#[Z��[Zw�o�[Zbµlib��³¼a°Rzuk�n�w�Y¡ ¦[Sedom°½vxw�fu��n�jSk. ¦fhw�YnRe�lio> ;fhw>w�[Zo�nResk�lib-k�o.lib�� <>W�fm� ¦fhw�Y�om° � ��"! ��� ��� �"��$�! �-� )��¯«¹\u� >?�ü���h� D8�h�h�R«p���h�h�R°

:üz8W�l��h��? }M° ~°¹z8W�lK ¯liw�[S�8cdj�W@° � '��� $ 8 � �@�h* �3 ���$ ���3�� �������i°>z8��w*cdb�gh[ZwZ«�¼.[Zw*escdb@«½�����h�8°: �a�R± >��'? ¼a° 0�° �xlib���[Zw@±�li[Zw���[Zb@° � � ��� ��� �� �@�h* �3 ��#�������M°i|�w�[Z��[Zw*cdj�¨ � b�g�liw½v�n�rRescdo�WRcdb�g

<>f�«½����>��R°

Õ;Ö�×pÕ¦Ø

Page 32: Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule · Polynomial System Solving: the Case of a Six-Atom Molecule. RR-3075, INRIA. 1996. inria-00073617 ... lib w fhr fik ¨ucdb

Unite de recherche INRIA Lorraine, Technopole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY

Unite de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnite de recherche INRIA Rhone-Alpes, 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN

Unite de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnite de recherche INRIA Sophia Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex

EditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

ISSN 0249-6399


Recommended