poly_tds.pdf

MSA 12 :Bases du traitement numerique du signal

- Notes de Cours-

Regis [email protected]

Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6Institut Jean Le Rond d’Alembert - UMR CNRS 7190

4, place Jussieu - 75252 Paris cedex 05 France

Octobre 2012 - v1.2

Ce document contient les notes de cours de l’UE de M1 ”Bases du traitement du signalnumerique” dispense aux parcours ”acoustique” et ”robotique” du master SDI de l’UPMC(Paris-France). Ces notes ne remplacent pas celles qui peuvent etre prise en cours. Elles sontincompletes. Par ailleurs, elles contiennent de nombreuses coquilles. N’hesitez pas a me lescommuniquer ([email protected]).

1

Table des matieres

1 Introduction 41.1 Le traitement du signal... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Les filtres lineaires et invariants par translation dans le temps . . . . . . . . . 41.3 Filtrage et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Elements de traitement des signaux continus : outils mathematiques 112.1 Elements sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Distributions utilisees en TDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Le produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Proprietes essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Interpretation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Les series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 La transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 Proprietes essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 Transformee de Fourier, SLITT et filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Rappels sur les transformees de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.1 La Transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.2 Proprietes essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Du continu au discret 313.1 Filtres lineaires, invariants par translation dans le temps pour les signaux numeriques 313.2 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Theoreme de l’echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Reconstruction du signal a partir de la suite des echantillons . . . . . . . . . . 363.4 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Filtrage frequentiel 394.1 La Transformee de Fourier a Temps Discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 La Transformee de Fourier Discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.2 Resolution et precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.3 Application au filtrage des signaux numeriques . . . . . . . . . . . . . . 44

2

5 Filtrage temporel 465.1 Equation recurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 La transformee en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.1 Definition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.2 Proprietes essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Filtrage et transformee en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 Etude des filtres RIF et RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4.1 Les filtres RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4.2 Les filtres RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

Chapitre 1

Introduction

1.1 Le traitement du signal...

Le traitement du signal designe l’ensemble des operations que l’on fait subir a un signal(analogique ou numerique) pour le transformer en un autre signal (par exemple de la musiquecodee sur un disque vinyl ou un CD qui est transformee en un signal acoustique). Le trai-tement du signal se rencontre donc dans de nombreux domaines et fait partie integrante dela plupart des appareils que nous utilisons quotidiennement. On distingue generalement lessignaux analogiques (ou continus) des signaux numeriques :

– les signaux analogiques, ils peuvent etre representes par des fonctions continues dutype x(t), ou t est une variable continue (par exemple la tension dans un circuit electriquev(t))

– les signaux numeriques, ils peuvent etre representes par des suites de nombres du typex[n] ou n represente le numero d’echantillon (par exemple des signaux dans baladeurnumerique).

Comme son titre l’indique, ce cours est essentiellement consacre au traitement des signauxnumeriques. Cependant, le premier chapitre est consacre aux signaux analogiques (ou conti-nus), afin d’en rappeler les idees fondamentales ainsi que quelques outils mathematiques utilespour les signaux numeriques.

En traitement du signal (analogique et numerique), la notion de filtre est primordiale. Unedefinition intuitive de la notion de filtre est d’adopter la vision entree/sortie et de dire que lefiltre est la partie qui relie la sortie d’un systeme a l’entree comme l’illustre la figure 1.1. Cettevision simpliste resume cependant tres bien la plupart des concepts que nous verrons dans cecours. Ce cours est essentiellement destine a jeter les bases de l’etude des filtres lineaires etinvariants par translation dans le temps.

1.2 Les filtres lineaires et invariants par translation dans

le temps

Les filtres (ou systemes) lineaires et invariants par translation dans le temps sont ca-racterisees par les deux proprietes suivantes :

4

!"#$ %"#$!

Figure 1.1 – Representation schematique d’un systeme

– filtres lineairesOn considere un filtre S qui fait correspondre a l’entree x(t) la sortie y(t) (cf figure1.1). On dira que le filtre S est lineaire si a l’entree λx1(t) + µx2(t) correspond la sortieλy1(t)+µy2(t) (ou y1(t) et y2(t) sont les sorties correspondant respectivement aux entreesx1(t) et x2(t)) comme l’illustre la figure 1.2.Cette definition s’etend sans probleme aux filtres numeriques qui a une entree x[n] fontcorrespondre une sortie y[n] telle que λx1[n] + µx2[n]→ λy1[n] + µy2[n]

– filtres invariants par translation dans le tempsOn dira qu’un systeme ou un filtre S est invariant par translation dans le temps si al’entree x(t) correspond la sortie y(t) et qu’a l’entree x(t−τ) correspond la sortie y(t−τ).Autrement dit, si on decale d’une quantite τ l’entree, la sortie est egalement decalee dela meme quantite τ .La aussi, la propriete s’etend aux filtres numeriques a la difference que le retard estquantifie : si on considere un filtre numerique invariant par translation dans le temps telqu’a une entree x[n] corresponde une sortie y[n], alors a l’entree x[n− q] correspond lasortie y[n− q] ou q ∈ Z

Exemple 1 (Filtres lineaires et non lineaires)

Exemples de filtres lineaires– x(t)→ y(t) : y(t) = 2x(t) ;

– x(t)→ y(t) : d2ydt2

+ ky = x(t) ;et de filtres non lineaires :

– x(t)→ y(t) : y(t) = sin(x(t)) ;

1.3 Filtrage et convolution

Le but de ce paragraphe est d’obtenir la relation fondamentale des filtres lineaires etinvariants par translation dans le temps par quelques petites experiences de pensee. Le rai-sonnement se fait en 5 etapes, l’ensemble des etapes est illustre par les figures 1.4,1.5,1.6 1.7et 1.8. Pour cela, on considere un filtre S lineaire et invariant par translation dans le temps.

5

x1(t) y

1(t)

S

x2(t) y

2(t)

S

λx1(t)+μx

2(t)

Sλy

1(t)+μy

2(t)

Figure 1.2 – Representation schematique d’un systeme lineaire

x(t) y(t)

S

Sx(t-τ)

τ

y(t-τ)

τ

Figure 1.3 – Representation schematique d’un filtre invariant par translation dans le temps

6

1. On impose comme signal d’entree une impulsion d’amplitude unite a t = 0, on note cesignal i(t). A ce signal d’entree correspond un signal de sortie, que l’on note h(t) (figure1.4) :

i(t)→ h(t)

2. Si on decale dans le temps d’une quantite τ l’impulsion en entree, alors le motif h(t) estlui aussi decale dans le temps de la quantite τ car S est invariant par translation dansle temps (figure 1.5) :

i(t− τ)→ h(t− τ)

3. Si on considere deux impulsions d’amplitude respective A1 et A2 emises aux temps τ1

et τ2, comme S est un filtre lineaire et invariant par translation dans le temps, dans lepremier cas le signal de sortie est A1h(t− τ1) et dans le deuxieme cas A2h(t− τ2) :

A1i(t− τ1)→ A1h(t− τ1)

A2i(t− τ2)→ A2h(t− τ2)

4. On somme maintenant les deux signaux A1i(t − τ1) et A2i(t − τ2) en entree du filtre,le filtre etant lineaire et invariant par translation dans le temps, la sortie du filtre estsimplement A1h(t− τ1) + A2h(t− τ2) :

A1i(t− τ1) + A2i(t− τ2)→ A1h(t− τ1) + A2h(t− τ2)

5. On considere maintenant un signal quelconque s(t), ce signal peut etre vu comme lasuperposition de signaux ’impulsions’ d’amplitude differente et decale dans le temps :e(t) =

∑iAii(t − τi), le filtre etant lineaire et invariant par translation dans le temps,

la sortie du filtre s’ecrira : s(t) =∑

iAih(t − τi). En passant a la limite continue, ontrouve :

e(t)→ s(t) =

∫e(τ)h(t− τ)dτ (1.1)

Cette derniere relation (eq. 1.1) est la relation fondamentale des filtres lineaires et invariantspar translation dans le temps, car elle permet de determiner le signal de sortie s(t) a un signald’entree quelconque e(t) a condition de connaıtre la fonction h(t) qui caracterise le filtre. Dansla suite nous allons voir que cette relation est un produit de convolution entre l’entree du filtreet sa reponse impulsionnelle.

1.4 Premier bilan

Ce chapitre d’introduction nous a permis de definir quelques notions fondamentales pour letraitement des signaux numeriques. Il nous a egalement permis d’introduire de facon pratique leproduit de convolution. Cette relation va nous suivre tout au long du cours. Il est tres importantde pouvoir la manipuler, or sa structure est complexe. Afin de faciliter son utilisation, nousallons introduire differents outils mathematiques : distributions, produit de convolution, serieset transformee de Fourier. Ces outils nous serviront ensuite a construire et etudier differentsfiltres.

7

!"#$ %"#$

!

&

# #''

Figure 1.4 – Illustration du principe de convolution - etape 1

!"#$%&' ("#$%

&'

!

&

# #)) %&

%)


8

A1i(t-τ

1) A

1h(t-τ

1)

SA1

t t00 τ1

τ1

A2i(t-τ

2) A

2h(t-τ

2)

S

A2

t t00 τ2 τ

2


!"#$%&'

"()!

*#$%&'

*( !

"+$%&'

"()!

*+$%&'

*(

!

!"

% %,, '"

'"

'*

'*

!*


9

!"#$$%&'(

$) !"#

$*%&'(

$)

!

#+

& &,, (+

(+

(-

(-

#-


10

Chapitre 2

Elements de traitement des signauxcontinus : outils mathematiques

Ce chapitre est consacre a quelques rappels de mathematiques sur les fonctions conti-nues (”=signaux continus”). Il ne s’agit pas d’un cours de mathematiques mais d’un brefrecapitulatif des differentes notions qui vont nous servir tout au long du cours de traitementdu signal. Ainsi, la definition et les proprietes essentielles des distributions sont rappeles. Lanotion de distribution est indispensable pour pouvoir utiliser la fonction de Dirac ainsi qued’autres fonctions utilisant la fonction de Dirac comme le peigne de Dirac. De meme les seriesde Fourier et les transformees de Fourier seront utiles pour etudier les proprietes frequentiellesdes signaux continus et discrets. Enfin, nous utiliserons la transformee de Laplace sous saforme discrete la transformee en Z, par consequent il n’est pas inutile de rappeler la definitionet les proprietes de cette transformee.

2.1 Elements sur les distributions

2.1.1 Definition

Soit D une distribution et φ une fonction infiniment derivable a support compact. On notela valeur de la distribution appliquee a la fonction φ :

〈D,φ〉 =

∫T

D(t)φ(t)dt. (2.1)

On definit sa derivee ∂D/∂t par :⟨∂D

∂t, φ

⟩=

∫Ω

∂D

∂tφ(t)dt = −

∫T

D(t)∂φ(t)

∂tdt = −

⟨D,

∂φ

∂t

⟩, (2.2)

2.1.2 Distributions utilisees en TDSDefinition 2.1.1 (Fonction generalisee de Dirac)

On definit la distribution δ(t − t0) (ou fonction generalisee) de Dirac au point t0 ∈ T la

11

Figure 2.1 – Representation graphique de la fonction generalisee de Dirac : δ(t− t0)

distribution telle que :

〈δ, φ〉 =

∫Ω

δ(t− t0)φ(t)dt = φ(t0). (2.3)

La distribution δ(t− t0) de Dirac est une fonction generalisee , nulle partout sauf en t0,et infiniment grande en t0, si bien que, lorsqu’on la multiplie par une fonction test φ et quel’on integre sur T , on obtient la relation 2.3. La distribution δ(t− t0) est l’outil mathematiquepermettant de decrire une action concentree en un point.

Definition 2.1.2 (Peigne de Dirac)

On definit le peigne de Dirac : distribution Ш(t− t0) la distribution telle que :

〈Ш, φ〉 =

∫Ω

Ш(t− t0)φ(t)dt =

∫Ω

∞∑n=−∞

δ(t− nt0)φ(t)dt =∞∑

n=−∞

φ(nt0) (2.4)

La fonction generalisee peigne de Dirac permet de prelever des echantillons a intervalleregulier.

2.2 Le produit de convolution

2.2.1 Proprietes essentielles

Definition 2.2.1 (Le produit de convolution)

On appelle produit de convolution l’operation suivante :

f(t) ∗ g(t) =

∫ +∞

−∞f(u)g(t− u)du (2.5)

12

Figure 2.2 – Representation graphique de la fonction generalisee de Dirac : Ш(t− t0)

Le produit de convolution est commutatif :

Propriete 2.2.1 (Commutation du produit de convolution)

f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t) =∫ +∞−∞ f(u)g(t− u)du =

∫ +∞−∞ f(t− u)g(u)du.

Demonstration : On pose v = t− u, on a dv = −du et :∫ +∞

−∞f(u)g(t− u)du =

∫ −∞+∞

f(t− v)g(v)(−dv) (2.6)

=

∫ +∞

−∞f(t− v)g(v)(dv) (2.7)

Le produit de convolution est distributif :

Propriete 2.2.2 (Distribution du produit de convolution)

f(t) ∗ (g(t) + h(t)) = f(t) ∗ g(t) + f(t) ∗ h(t)

Demonstration :∫ +∞

−∞f(t− u)(g(u) + h(u))du =

∫ −∞+∞

f(t− u)g(u) + f(t− u)h(u)du (2.8)

=

∫ −∞+∞

f(t− u)g(u)du+

∫ −∞+∞

f(t− u)h(u)du (2.9)

Le produit de convolution est associatif :

Propriete 2.2.3 (Association du produit de convolution)

(f(t) ∗ g(t)) ∗ h(t) = f(t) ∗ (g(t) ∗ h(t))

La fonction generalisee de Dirac est l’element neutre du produit de convolution :

13

Propriete 2.2.4 (Element neutre du produit de convolution)

g(t) ∗ δ(t) = g(t)

Demonstration :

g(t) ∗ δ(t) =

∫ +∞

−∞f(u)δ(t− u)du =

∫ +∞

−∞f(t− u)δ(u)du = g(t) (2.10)

Il est possible de decaler une fonction g(t) d’une quantite t0 en utilisant le produit deconvolution :Propriete 2.2.5 (Decalage en temps par convolution avec la fonction de Dirac)

g(t) ∗ δ(t− t0) = g(t− t0)

Demonstration :

g(t) ∗ δ(t− t0) =

∫ +∞

−∞f(u)δ(t− t0 − u)du =

∫ +∞

−∞g(t− u)δ(u− t0)du = g(t− t0) (2.11)

Propriete 2.2.6 (Periodisation par convolution avec le peigne de Dirac)

g(t) ∗Ш(t− T ) =∑

n g(t− nT )

Demonstration :

g(t) ∗Ш(t− T ) =

∫ +∞

−∞g(t− u) Ш(u− T )du =

∫ +∞

−∞g(t− u)

∑n

δ(u− nT )du =∑n

g(t− nT )(2.12)

Cette propriete montre que convoluer une fonction g(t) avec un peigne de Dirac de periode Trevient a construire une fonction periodique de periode T dont le motif elementaire est donnepar g(t) (cf. Fig. ??).

2.2.2 Interpretation graphique

2.3 Les series de Fourier

2.3.1 DefinitionDefinition 2.3.1 (Decomposition en series de Fourier)

Soit g(t) une fonction periodique de periode T = 2πω

(ω est la pulsation). La decompositionen series de Fourier de la fonction g(t) est :

g(t) = a0 ++∞∑n=1

an cos(ωnt) + bn sin(ωnt) (2.13)

les coefficients a0, an et bn sont donnes par les formules d’Euler :

a0 =1

T

∫ T/2

−T/2g(t)dt; (2.14)

14

an =2

T

∫ T/2

−T/2g(t) cos(ωnt)dt; (2.15)

bn =2

T

∫ T/2

−T/2g(t) sin(ωnt)dt. (2.16)

Theoreme 2.3.1 (Existence de la decomposition en series de Fourier)

Soit f une fonction periodique de periode T . On suppose que f est continue par morceauxet possede une derivee a droite et a gauche en tout point (pas necessairement egales).

Alors f peut etre decomposee en series de Fourier.

Demonstration des formules d’Euler : Demontrons les 3 formules d’Euler :

1. formule donnant a0

D’apres la definition de la decomposition en series de Fourier :∫ T/2

−T/2g(t)dt =

∫ T/2

−T/2

[a0 +

+∞∑n=1

an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)

]dt (2.17)

=

∫ T/2

−T/2a0dt+

+∞∑n=1

∫ T/2

−T/2an cos(ωnt)dt+

∫ T/2

−T/2bn sin(ωnt)dt(2.18)

= a0

∫ T/2

−T/2dt (2.19)

= a0T (2.20)

2. formule donnant an :

D’apres la definition de la decomposition en series de Fourier :

I =

∫ T/2

−T/2g(t) cos(ωpt)dt (2.21)

=

∫ T/2

−T/2

[a0 +

+∞∑n=1

an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)

]cos(ωpt)dt (2.22)

=

∫ T/2

−T/2a0 cos(ωpt)dt (2.23)

++∞∑n=1

∫ T/2

−T/2an cos(ωnt) cos(ωpt)dt+

∫ T/2

−T/2bn sin(ωnt) cos(ωpt)dt (2.24)

(2.25)

On rappelle que : cos(a) cos(b) = 1/2(cos(a+b)+cos(a−b))) et sin(a) cos(b) = 1/2(sin(a+

15

b) + sin(a− b)))

I =+∞∑n=1

∫ T/2

−T/2

an2

(cos(ωt(n+ p)) + cos(ωt(n− p)))dt (2.26)

+

∫ T/2

−T/2

bn2

(sin(ωt(n+ p)) + sin(ωt(n− p)))dt (2.27)

=+∞∑n=1

∫ T/2

−T/2

an2

(cos(ωt(n+ p)) + cos(ωt(n− p)))dt (2.28)

Cette derniere integrale est nulle pour p 6= n, pour p = n on a :∫ T/2

−T/2g(t) cos(ωnt)dt =

an2

∫ T/2

−T/2dt =

anT

2(2.29)

Exemple 2 (fonction creneau)

On considere la fonction g(t) de periode 2π :

g(t) =

0 si −π < t 6 0,1 si 0 > t > π.

Calculons la decomposition en series de Fourier de cette fonction : a0 = 1/2, an = 0, bn =−1nπ

((−1)n − 1)

2.3.2 Quelques proprietes

Propriete 2.3.2 (Decomposition d’une fonction paire)

Soit g(t) une fonction paire et periodique de periode T , sa decomposition en series deFourier s’ecrit :

g(t) = a0 ++∞∑n=1

an cos(ωnt). (2.30)

Demonstration : La fonction g(t) etant periodique, on peut la decomposer en series de Fourier :

g(t) = a0 +

+∞∑n=1

an cos(ωnt) + bn sin(ωnt), (2.31)

ou :

bn =2

T

∫ T/2

−T/2g(t) sin(ωnt)dt. (2.32)

Comme g(t) est une fonction paire, g(t) sin(ωnt) est egalement une fonction impaire. Orl’integrale d’une fonction impaire entre des bornes symetriques est nulle. Par consequent,bn = 0 ∀n ∈ N∗

16

Propriete 2.3.3 (Decomposition d’une fonction impaire)

Soit g(t) une fonction impaire et periodique de periode T , sa decomposition en series deFourier s’ecrit :

g(t) =+∞∑n=1

bn sin(ωnt). (2.33)

Propriete 2.3.4 (Forme complexe de la decomposition en series de Fourier)

La forme complexe de la decomposition en series de Fourier s’ecrit :

g(t) =+∞∑

n=−∞

cneiωnt, (2.34)

avec,

cn =1

T

∫ T/2

−T/2g(t)e−iωntdt. (2.35)

Demonstration : On considere une fonction g(t) periodique de periode T . Cette fonction admetune decomposition en series de Fourier :

g(t) = a0 ++∞∑n=1

an cos(ωnt) + bn sin(ωnt) (2.36)

On rappelle que cos θ = (eiθ + e−iθ)/2 et sin θ = (eiθ − e−iθ)/2i, alors :

g(t) = a0 ++∞∑n=1

aneiωnt + e−iωnt

2+ bn

eiωnt − e−iωnt2i

, (2.37)

= a0 ++∞∑n=1

eiωntan − ibn

2+ e−iωnt

an + ibn2

. (2.38)

Calculons a present les coefficients an − ibn et an + ibn :

an − ibn =2

T

[∫ T/2

−T/2g(t) cos(ωnt)dt− i

∫ T/2

−T/2g(t) sin(ωnt)dt

](2.39)

=2

T

∫ T/2

−T/2g(t)

(eiωnt + e−iωnt

2− ie

iωnt − e−iωnt2i

)dt (2.40)

=2

T

∫ T/2

−T/2g(t)e−iωntdt (2.41)

En procedant de la meme maniere, on trouve :

an + ibn =2

T

∫ T/2

−T/2g(t)eiωntdt (2.42)

17

Remarquons que le coefficient a0 peut s’ecrire :

a0 =1

T

∫ T/2

−T/2g(t)dt =

1

T

∫ T/2

−T/2eiω0tdt (2.43)

Par consequent, la fonction g(t) peut s’ecrire :

g(t) = a0 +

+∞∑n=1

eiωnt

(2

T

∫ T/2

−T/2g(t)e−iωntdt

)+ e−iωnt

(2

T

∫ T/2

−T/2g(t)eiωntdt

)(2.44)

Posons :

cn =1

T

∫ T/2

−T/2g(t)e−ωntdt (2.45)

La fonction g(t) peut s’exprimer en fonction de cn :

g(t) = c0 +

+∞∑n=1

(eiωntcn + e−iωntc−n

), (2.46)

= c0 ++∞∑n=1

eiωntcn ++∞∑n=1

e−iωntc−n, (2.47)

= c0 ++∞∑n=1

eiωntcn +−1∑

n=−∞eiωntcn, (2.48)

=

+∞∑n=−∞

cneiωnt. (2.49)

On remarquera que la decomposition en serie de Fourier permet de passer d’une representationcontinue (g(t)), a une representation discrete (cn) a condition que la fonction continue soitperiodique. Nous allons retrouver cette propriete lors de l’etude du theoreme de l’echantillonnage.

2.4 La transformee de Fourier

Dans la partie precedente, nous avons vu qu’il etait possible de decomposer toutes fonctionsperiodiques sous la forme de series de Fourier. Dans ce chapitre, nous allons essayer d’etendrecette idee de decomposition en fonctions elementaires a une gamme de fonctions plus grandeque les seules fonctions periodiques.

Definition 2.4.1 (Transformee de Fourier)

On appelle transformee de Fourier de la fonction g(t), la fonction notee g(ω) :

g(ω) =

∫ +∞

−∞g(t) exp[−iωt]dt (2.50)

18

Definition 2.4.2 (Transformee de Fourier inverse)

On appelle transformee de Fourier inverse de la fonction g(ω), la fonction notee g(t) :

g(t) =1

2π

∫ +∞

−∞g(ω) exp[iωt]dω (2.51)Generalement on denote la transformee de Fourier avec le symbole chapeau : . On utilisera

par la suite les notations suivantes :

g(ω) = F(g(t)) = TF (g(t)) = G(ω) (2.52)

g(t) = F−1(g(ω)) = TF−1(g(ω)) (2.53)

La definition transformee de Fourier n’est pas unique. Nous aurions pu modifier les prefacteurset faire un autre choix a la condition que le produit des deux pre-facteurs soit egale a 1/2π.

Exemple 3 (TF de la fonction porte)

Calculons la transformee de Fourier de la fonction porte definie par :

g(t) =

1 si |t| 6 1,0 ailleurs.

D’apres la definition, on a :

g(ω) =

∫ +∞

−∞g(t) exp[−iωt]dt

=

∫ +1

−1

exp[−iωt]dt,

=1

−iω[e−iωt

]+1

−1,

= 2 sinc(ω)

On obtient une fonction continue de la variable ω

Quelques remarques sur la transformee de Fourier :

1. La transformee de Fourier permet de passer d’une representation dans l’espace des tempsa une representation dans l’espace des frequences (ω = 2πf) ;

2. g(t) et g(ω) peuvent etre des fonctions complexes. Le plus souvent, nous serons amenes atraiter le cas ou f(t) est reelle et f(ω) est une fonction complexe a symetrie hermitienne.

3. la formule 2.51 peut etre interpretee de la facon suivante : f(t) se decompose commeune somme ’infinie’ de fonctions harmoniques (exp[−iωt]) ponderees par les coefficientsf(ω) ;

4. f(ω) est le spectre de la fonction f(t) ;

5. |f(ω)| est appele module du spectre de f(t), cette quantite represente la contribution dechaque harmonique ;

6. arg(f(ω)) est la phase du spectre, cette quantite represente le dephasage entre chaqueharmonique ;

7. la transformee de Fourier est reversible :

f(t) = F−1 F(f(t)) ; (2.54)

19

8. Il est assez facile de calculer la transformee de Fourier d’une fonction f(t) sur un ordi-nateur en utilisant les algorithmes de FFT (Fast Fourier Transform). Toutefois, commenous le verrons, les algorithmes de FFT sont des moyens pour caluler les transformees deFourier discrete qui differe sur plusieurs points des transformees de Fourier ”continues”,telles que nous venons de les voir.

Exemple 4 (Le son)

Un objet de la vie quotidienne pour lequel il est naturel de parler de frequence et despectre est le son. Tout le monde a deja associe a un son les concepts de graves ou aigus.Ces mots signifient respectivement qu’un son possede un spectre avec seulement des bassesfrequences ou seulement des hautes frequences. On fait donc de la transformee de Fouriersans le savoir !Applet : traitement temps - reel de sons : acquisition et visualisation des sons sous formede fonction du temps et de sa transformee de Fourier.

La transformee de Fourier et donc une autre ’vision’ de la fonction f(t), la visualisationdu spectre permet de voir les informations autrement. Cette outil est l’outil de base del’analyse harmonique.


Propriete 2.4.1 (Linearite)

La transformee de Fourier d’une combinaison lineaire des fonctions f et g est la combinaisonlineaire des transformees de Fourier des fonctions f et g :

F af(t) + bg(t)) = af(ω) + bg(ω). (2.55)

Cette propriete permet de ’decouper’ les expressions quand on calcule la transformee de Fourierd’une equation.

Demonstration :

F af(t) + bg(t)) =

∫ +∞

−∞(af(t) + bg(t)) exp[−iωt]dt (2.56)

=

∫ +∞

−∞af(t) exp[−iωt] +

1√2π

∫ +∞

−∞bg(t) exp[−iωt]dt (2.57)

= af(ω) + bg(ω). (2.58)

Propriete 2.4.2 (derivation)

L’operation de derivation de la fonction f(t) revient a multiplier la fonction f(ω) par iω :

Fdf

dt

= iωf(ω) (2.59)

20

Nous utiliserons beaucoup cette propriete dans la suite car elle permet de passer d’une expres-sion faisant apparaıtre des derivees a une expression de type polynome en ω.

Demonstration :

Fdf

dt

=

∫ +∞

−∞

df

dtexp[−iωt]dt (2.60)

=

([f(t)e−iωt

]+∞−∞ −

∫ +∞

−∞f(t)

(−iωe−iωt

))dt (2.61)

= iω

∫ +∞

−∞f(t) exp[−iωt]dt (2.62)

= iωf(ω) (2.63)

Ce resultat s’etend sans difficulte aux derivees d’ordre superieur :

Propriete 2.4.3 (derivee d’ordre superieur)

Fdnf

dtn

= (iω)nf(ω) (2.64)

Demonstration : Pour demontrer cette propriete, on utilise le fait que dnfdtn = d

dtdn−1fdtn−1

Propriete 2.4.4 (decalage dans le temps)

Un decalage d’une quantite t0 dans l’espace des temps correspond a multiplier la fonctionf(ω) par e−iωt0 dans l’espace de Fourier :

F f(t− t0) = e−iωt0 f(ω) (2.65)

Demonstration :

F f(t− t0) =

∫ +∞

−∞f(t− t0) exp[−iωt]dt (2.66)

On pose : u = t− t0, donc du = dt, u→ −∞ si t→ −∞ et u→ +∞ si t→ +∞, en effectuantce changement de variables on obtient :

F f(t− t0) =

∫ +∞

−∞f(u) exp[−iω(u+ t0)]du (2.67)

= e−iωt0∫ +∞

−∞f(u) exp[−iωu]du (2.68)

= e−iωt0 f(ω) (2.69)

Propriete 2.4.5 (Theoreme de convolution)

Soient f et g, deux fonctions absolument integrables sur l’axe des reels, alors la transformeede Fourier du produit de convolution de f par g est le produit simple des transformees de

21

Fourier :F f(t) ∗ g(t) = f(ω).g(ω) (2.70)

Demonstration :

F f(t) ∗ g(t) =

∫ +∞

−∞f(t) ∗ g(t) exp[−iωt]dt (2.71)

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(u)g(t− u)du exp[−iωt]dt (2.72)

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(u)g(t− u) exp[−iωt]dudt (2.73)

=

∫ +∞

−∞

[∫ +∞

−∞f(u)g(t− u) exp[−iωt]dt

]du (2.74)

On pose v = t− u donc t = u+ v a u fixe,

F f(t) ∗ g(t) =

∫ +∞

−∞

[∫ +∞

−∞f(u)g(v) exp[−iω(v + u)]dv

]du (2.75)

=

∫ +∞

−∞f(u) exp[−iωu]du

∫ +∞

−∞g(v) exp[−iωv]dv (2.76)

= f(ω).g(ω) (2.77)

Cette relation est tres importante. Elle permet de ’transformer’ un produit de convolutionen un produit simple. Elle justifie, a elle seule, l’emploi intensif de la transformee de Fourieren traitement du signal.

Propriete 2.4.6 (transformee de Fourier de la fonction generalisee de Dirac)

La transformee de Fourier de la fonction generalisee de Dirac est :

F δ(t− t0) = e−iωt0 . (2.78)

Demonstration :

F δ(t− t0) =

∫ +∞

−∞δ(t− t0) exp[−iωt]dt (2.79)

= e−iωt0 (2.80)

Cette propriete existe aussi pour la fonction generalisee de Dirac dans l’espace de Fourier :

Propriete 2.4.7

F−1 δ(ω − ω0) = eiω0t. (2.81)

Demonstration :

F−1 δ(ω − ω0) =

∫ +∞

−∞δ(ω − ω0) exp[iωt]dt (2.82)

= eiω0t (2.83)

22

Propriete 2.4.8 (Transformees de Fourier des fonctions sinus et cosinus)

Les transformees de Fourier des fonctions sinus et cosinus sont respectivement :

F sin(ω0t) =i

2(δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)) (2.84)

F cos(ω0t) =1

2(δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)) (2.85)

Demonstration :

F cos(ω0t) = Feiω0t + e−iω0t

2

(2.86)

=1

2Feiω0t

+ F

e−iω0t

(2.87)

or d’apres la relation 2.83, on a :

Feiωt0

= δ(ω − ω0)

Par consequent on obtient la relation desiree :

F cos(ω0t) =1

2(δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)) (2.88)

La demonstration pour la fonction sinus est analogue.

Propriete 2.4.9 (Transformee de Fourier du peigne de Dirac )

F Ш(t) = Fn=+∞∑n=−∞

δ(t− nT )

=

1

T

n=+∞∑n=−∞

δ(f − n/T ) (2.89)

Cette propriete montre que la transformee de Fourier d’un peigne de Dirac de periode T estun peigne de Dirac avec une frequence de recurrence de 1/T et une amplitude de 1/T .

Demonstration : Pour montrer ce resultat, nous allons proceder en deux temps : (i) mettrele peigne de Dirac sous une forme equivalente en calculant son developpement en series deFourier, (ii) calculer la transformee de Fourier du developpement en serie de Fourier.

Le peigne de Dirac est une fonction (generalisee) de periode T . Il peut etre decompose enserie de Fourier. En utilisant la forme complexe du developpement en series de Fourier (Eq.2.3.4), il vient :

ШT

(t) =+∞∑

n=−∞cne

iω0nt

avec les coefficients cn qui valent :

cn =1

T

∫ T/2

−T/2ШT

(t)e−iω0ntdt

=1

T

∫ T/2

−T/2δ(t)e−iω0ntdt

=1

T

23

Calculons a present la transformee de Fourier du peigne de Dirac en utilisant la formuledonnee par son developpement en series de Fourier et les proprietes sur les transformees deFourier des fonction de Dirac generalisees exposees ci-dessus :

F Ш(t) = F

+∞∑n=−∞

1

Teiω0nt

=1

T

+∞∑n=−∞

Feiω0nt

=

1

T

+∞∑n=−∞

δ(ω − nω0)

=1

T

+∞∑n=−∞

δ(f − n

T)

2.4.2 Transformee de Fourier, SLITT et filtrage

On considere un filtre appartenant a la classe des SLITT (Systemes lineaires et Invariantspar Translation dans le Temps). Rappelons que les systemes lineaires et invariant par trans-lation dans le temps sont caracterises par une equation de convolution :

s(t) =

∫ +∞

−∞h(t− u)e(u)du = h(t) ∗ e(t), (2.90)

s(t) est le signal de sortie du filtre, e(t) est le signal d’entree du filtre et h(t) est la reponseimpulsionnelle du filtre. En effet, si e(t) = δ(t) alors s(t) = h(t), car comme nous l’avons vu,la fonction generalisee de Dirac est l’element neutre du produit de convolution.

D’apres le theoreme de convolution, la transformee de Fourier de cette relation s’ecrit :

s(ω) = H(ω)e(ω) (2.91)

Definition 2.4.3 (Fonction de transfert)

On appelle fonction de transfert la fonction notee H(ω) reliant la sortie et l’entree d’unsysteme lineaire et invariant dans le temps :

H(ω) =s(ω)

e(ω)(2.92)

Cette fonction caracterise entierement le systeme etudie, elle contient l’integralite de cesproprietes physiques.

On voit qu’une fois H(ω) connue, on peut calculer n’importe quelle sortie pour une entreedonnee :

s(ω) = H(ω)e(ω) (2.93)

On remarque que la reponse impulsionnelle du filtre et la fonction de transfert sont reliees parla relation :

h(t) = F−1 H(ω) (2.94)

24

!

"

#$%& '$%&

Figure 2.3 – filtre analogique RC

L’information sur le filtre est contenue soit dans la reponse impulsionnelle h(t), soit dans lafonction de transfert H(ω) qui sont deux representations d’une meme chose, l’une dans l’espacedes temps, l’autre dans l’espace des frequences. Selon, le probleme, il est plus interessant detravailler avec l’une ou l’autre de ces representations.

Nous allons voir brievement quelques filtres dont les caracteristiques sont frequentielles.

Exemple 5 (Filtre passe-bas du premier ordre.)

On considere le filtre analogique produit par le circuit RC presente a la figure 2.4.2. Onnote e(t) la tension a l’entree du circuit, s(t) la tension a la sortie du circuit. L’entree etla sortie du circuit sont reliees par la formule suivante :

e(t) = RCds(t)

dt+ s(t). (2.95)

Dans la suite pour alleger les notations on pourra poser τ = RC

1. Calculer la transformee de Fourier de l’equation 2.95.

2. En deduire la fonction de transfert H(ω) du filtre analogique.

3. Tracer l’allure du gain en frequences log(|H(ω)|).4. Comment peut-on qualifier ce filtre ?

La transformee de Fourier de l’equation du filtre s’ecrit :

e(ω) = RCiωs(ω) + s(ω).

On deduit de cette expression la fonction de transfert du filtre :

H(ω) =s(ω)

e(ω)=

1

1 + iωτ

L’etude de la fonction de transfert est generalement effectue sur la fonction log(|H(ω)|). Eneffet, l’utilisation du logarithme permet d’etudier une grande gamme de frequences tout en

25

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

l og(! )

log(|

H(!

)|)

Figure 2.4 – Gain en frequence du filtre de la figure 2.4.2

gardant une representation compacte, de transformer les produits en somme et les puissancesen produit. Cette fonction peut-etre etudiee par une etude asymptotique :

1. si ω >> 1/τ , alors log(|H(ω)|) ≈ −log(ωτ),

2. si ω << 1/τ , alors log(|H(ω)|) ≈ 0

L’allure de log(|H(ω)|) et ses asymptotes sont presentees a la figure 2.4.2. On constate que sion multiplie une entree e(ω) par la fonction H(ω), la partie du spectre comprise entre 0 et 1/τne sera pas affecte alors que celle superieure a 1/τ va etre attenuee. Par consequent, l’actionde ce filtre est de laisser passer les informations basse-frequences, et de ”couper” les hautesfrequences. Le filtre de cet exemple est appele filtre passe-bas.

La forme de H(ω) peut bien-sur etre aussi complexe qu’on veut. Cependant, on a tendancea classer les filtres d’apres la forme de cette fonction. Generalement, on distingue les filtressuivants :

– filtre passe-bas ;– filtre passe-haut ;– filtre passe-bande ;– filtre coupe-bande (ou rejecteur) ;Comme nous venons de le voir, la notion de filtrage par l’utilisation de la fonction de

transfert est importante pour les signaux continus. Dans la suite du cours, nous verrons qu’ellel’est tout autant dans le cas des filtres numeriques pour lesquelles il y a une plus grande liberte

26

pour synthetiser (fabriquer) des fonctions de transfert.

2.5 Rappels sur les transformees de Laplace

La partie precedente a permis de mettre en place le formalisme des transformees de Fou-rier. Cette transformee est bien adpatee aux problemes impliquant des fonctions definies (etintegrables) de moins l’infini a plus l’infini. Cependant, il existe d’autres problemes avec desconditions initiales du type ”a t=0, ...” qui ne sont pas bien decrits par la transformee deFourier. On utilise alors la transformee de Laplace.

2.5.1 La Transformee de Laplace

Definition 2.5.1 (La transformee de Laplace)

On appelle transformee de Laplace de la fonction f(t), la fonction F (p) definie par :

F (p) =

∫ +∞

0

f(t)e−ptdt (2.96)

Theoreme 2.5.1

Si f(t) est ne fonction integrable sur tout intervalle fini de l’axe des reels et qui ne divergepas en norme a l’infini plus vite qu’une exponentielle de type e−ct (avec c ∈ R).

Alors sa transformee de Laplace existe pour tout p ∈ C dont la partie reelle est plusgrande que c (Re(p) > c)

Demonstration : la demonstration decoule naturellement des hypothese de l’enonce du theoreme.

Dans ce cours, la transformee de Laplace sera notee indifferemment F (p) = L(f(t)) =TL(f(t)).

Exemple 6 (Transformee de Laplace de la fonction Heaviside)

Calculons la transformee de Laplace de la fonction de Heaviside.

h(t) =

0 si t < 0,1 si t > 0.

D’apres la definition 2.96 la transformee de Laplace de la fonction de Heaviside est :

H(p) =

∫ +∞

0

e−ptdt,

=

[e−pt

−p

]+∞

0

,

=1

p.

27

Theoreme 2.5.2 (Transformee de Laplace inverse)

Soit f(t) une fonction admettant une transformee de Laplace F (p). Soit γ un nombre reelplus grand que la partie reelle de tous les points ou F (p) est singuliere.

Alors la transformee de Laplace inverse s’obtient par l’expression suivante :

f(t) =1

2π

∫ γ+i∞

γ−i∞F (γ + iω)e(γ+iω)tdω (2.97)

Demonstration : ADMIS

En pratique, on calcule rarement les transformees de Laplace directe ou inverse. On utilisedes tables dans lesquelles, les fonctions usuelles et leur transformee ont ete compilees (cftableau 2.1)

f(t) F (p)

f(t) =

0 si t < 0,1 si t > 0.

1p

f(t) =

0 si t < 0,t si t > 0.

1p2

f(t) =

0 si t < 0,e−at si t > 0.

1p+a

f(t) =

0 si t < 0,te−at si t > 0.

1(p+a)2

f(t) =

0 si t < 0,1asin(at) si t > 0.

1p2+a2

f(t) =

0 si t < 0,cos(at) si t > 0.

pp2+a2

f(t) =

0 si t < 0,erfc( k

2√

(t)) si t > 0.

1pe−k√p

Table 2.1 – Quelques exemples de transformees de Laplace



La transformee de Laplace d’une combinaison lineaire des fonctions f et g est la combinai-son lineaire des transformees de Laplace des fonctions f et g :

Laf(t) + bg(t)) = aF (p) + bG(p). (2.98)

28

Cette propriete permet de ’decouper’ les expressions quand on calcule la transformee de La-place d’une equation.

Demonstration :

Laf(t) + bg(t)) =

∫ +∞

0(af(t) + bg(t)) exp[−pt]dt (2.99)

= p

∫ +∞

0af(t) exp[−pt]dt+

∫ +∞

−∞bg(t) exp[−pt]dt (2.100)

= aF (p) + bG(p). (2.101)

Propriete 2.5.4 (derivation)

Ldf

dt

= pF (p)− f(0) (2.102)

Nous utiliserons beaucoup cette propriete dans la suite car elle permet de passer d’une expres-sion faisant apparaıtre des derivees a une expression de type polynome en p.

Demonstration :

Ldf

dt

=

∫ +∞

0

df

dtexp[−pt]dt (2.103)

=

([f(t)ept

]+∞0−∫ +∞

0f(t)

(−pe−pt

))dt (2.104)

= f(0) + p

∫ +∞

0f(t) exp[−pt]dt (2.105)

= pF (p)− f(0) (2.106)

Ce resultat s’etend sans difficulte aux derivees d’ordre superieur :

Propriete 2.5.5 (derivee d’ordre superieur)

Ldnf

dtn

= pnF (p)− pn−1f(0)− pn−2f ′(0)− ...− dn−1f

dtn−1(0) (2.107)

Propriete 2.5.6 (integration)

L∫ t

0

f(u)du

=

1

pF (p) (2.108)

Demonstration :

L∫ t

0f(u)du

=

∫ +∞

0

∫ t

0f(u)du exp[−pt]dt (2.109)

=

[∫ +∞

0f(u)du

e−pt

p

]+∞

0

−∫ +∞

0f(t)

e−pt

−p dt (2.110)

=1

pF (p) (2.111)

29

Propriete 2.5.7 (decalage dans le temps)

Un decalage d’une quantite t0 dans l’espace des temps correspond a multiplier la fonctionF (p) par e−pt0 dans l’espace de Fourier :

Lf(t− t0)h(t− t0) = e−pt0F (p) (2.112)

Propriete 2.5.8 (Produit de convolution)

La transformee de Laplace d’un produit de convolution de deux fonctions f et g est leproduit simple des transformees de Laplace :

Lf(t) ∗ g(t) = F (p)G(p) (2.113)

30

Chapitre 3

Du continu au discret

3.1 Filtres lineaires, invariants par translation dans le

temps pour les signaux numeriques

Dans le chapitre d’introduction, nous avons presentes les filtres lineaires, invariants partranslation dans le temps essentiellement pour les signaux continus. Dans ce chapitre, nouspresentons l’equivalant de ces filtres pour les signaux numeriques. Nous introduisons egalementles concepts de convolution discrete, de stabilite et causalite des filtres.

– Filtre numeriqueNous notons un signal numerique de la facon suivante x[n], ou n designe le nieme echantillondu signal x. En fait, x[n] est une suite de nombres indexes par l’entier n. On appellera”filtre numerique”, tout dispositif qui fait correspondre a un signal d’entree numeriquex[n] un signal de sortie numerique y[n] :

x[n]→ F → y[n]

– Filtre numerique lineaireOn considere un filtre F qui agit de la facon suivante :– x1[n]→ F → y1[n]– x2[n]→ F → y2[n]On dira que F est un filtre lineaire si a une combinaison lineaire en entree λx1[n]+µx2[n]correspond la meme combinaison lineaire des signaux de sortie : λy1[n] + µy2[n]

λx1[n] + µx2[n]→ F → λy1[n] + µy2[n].

– Filtre numerique invariant par translation dans le tempsOn dira que F est un filtre numerique invariant par translation dans le temps si pourune entree x[n] et une sortie y[n] (x[n]→ F → y[n]), on a la propriete suivante :

x[n− n0]→ F → y[n− n0]

Cette propriete traduit le fait qui si on decale l’entree d’une quantite n0, la sortie restela meme mais elle subit le meme decalage : le filtre est donc invariant par translationdans le temps.

31

On a vu dans le chapitre d’introduction qu’un filtre lineaire, invariant par translationdans le temps est regi par une equation de convolution. On definit pour cela le produit deconvolution discret :

Definition 3.1.1 (produit de convolution discret)

Soient u[n] et v[n], deux signaux numeriques, le produit de convolution discret entre cesdeux signaux est defini par l’operation :

u[n] ∗ v[n] =+∞∑

m=−∞

u[m]v[n−m]

On montre que ce produit de convolution a les memes proprietes que son equivalent continu.

Propriete 3.1.1 (Commutation du produit de convolution discret)

u[n] ∗ v[n] = v[n] ∗ u[n] =+∞∑

m=−∞

u[m]v[n−m] =+∞∑

m=−∞

u[n−m]v[m]

Demonstration :

u[n] ∗ v[n] =

+∞∑m=−∞

u[m]v[n−m]

On pose j = n−m, en faisant ce changement dans l’expression ci-dessus :

u[n] ∗ v[n] =

j=−∞∑j=+∞

u[n− j]v[j]

Definition 3.1.2 (Equation de convolution d’un filtre numerique LIT)

Un filtre numerique LIT est regi par l’equation de convolution suivante :

y[n] = h[n] ∗ x[n] =+∞∑

m=−∞

h[m]x[n−m] (3.1)

ou x[n] et y[n] sont respectivement l’entree et la sortie du filtre et h[n] est la reponseimpulsionnelle du filtre.

32

La reponse impulsionnelle dans ce cas est la reponse du filtre a une entree de type :x[n] = 0 si n 6= 0 et x[n = 0] = 1. En effet d’apres la relation 3.1 :

y[n] =+∞∑

m=−∞

h[m]x[n−m], (3.2)

=+∞∑

m=−∞

h[n−m]x[m], (3.3)

=+∞∑

m=−∞

h[n− 0]x[0], (3.4)

= h[n], (3.5)

pour cette entree particuliere. Cette entree ’impulsion’ est la version discrete de la fonctiongeneralisee de Dirac, on la note δ[n] = 0 si n 6= 0 et x[n = 0] = 1.

Definissons a present les notions de causalite et de stabilite pour les filtre numeriques :

Definition 3.1.3 (causalite d’un filtre numerique LIT)

Un filtre numerique LIT est dit causal si la sortie y[n0] ne depend que des entrees auxindices n ≤ n0

Propriete 3.1.2 (causalite d’un filtre numerique LIT)

Une condition pour qu’un filtre numerique LIT soit causal est que h[n] = 0 pour n ≤ 0.

Demonstration : L’equation du filtre numerique LIT est :

y[n] = h[n] ∗ x[n] =+∞∑

m=−∞h[m]x[n−m]

developpons cette equation :

y[n] = ...+ h[−2]x[n+ 2] + h[−1]x[n+ 1] + h[0]x[n] + h[1]x[n− 1] + h[2]x[n− 2] + ...

Cette relation montre que la definition de la causalite sera respectee si h[n] = 0 pour n < 0.

Definition 3.1.4 (stabilite d’un filtre numerique LIT)

Un filtre numerique LIT est dit stable si a toute entree bornee x[n] correspond une sortiebornee y[n].

Propriete 3.1.3 (stabilite d’un filtre numerique LIT)

Une condition necessaire et suffisante pour que le filtre soit stable est que :

+∞∑m=−∞

|h[n]| < +∞

33

Demonstration : Demontrons que la condition est necessaire :

Pour cela, on choisit un cas particulier comme signal d’entree : x[n] = 1 si h[−n] > 0 etx[n] = −1 si h[−n] < 0. Remarquons que ce signal particulier est borne. Si le systeme eststable, la sortie correspondante doit donc etre bornee. Le filtre etant un filtre numerique LIT,la sortie est reliee a l’entree par la relation :

y[n] = h[n] ∗ x[n] =

+∞∑m=−∞

h[m]x[n−m]

pour n = 0, on a :

y[0] =+∞∑

m=−∞h[m]x[−m] =

+∞∑m=−∞

h[−m]x[m]

compte tenu de l’hypothese sur le signal d’entree :

y[0] =

+∞∑m=−∞

|h[m]|

par consequent, il est necessaire que∑+∞

m=−∞ |h[m]| < +∞ pour que la sortie du systeme soitbornee.

Montrons a present que cette condition est suffisante. Considerons une entree bornee :

|x[n]| < M

Alors d’apres la relation liant y[n] et x[n] :

|y[n]| 6+∞∑

m=−∞|h[m]||x[n−m]| 6M

+∞∑m=−∞

|h[m]|

Par consequent, cette condition est suffisante pour que le filtre soit stable.

Les resultats de ce chapitre mettent en evidence que les proprietes du filtre numerique sontcontenus dans sa reponse impulsionnelle. La synthese de filtre numerique se fait donc enconstruisant de facon adequate la reponse impulsionnelle ou son equivalent dans l’espacefrequentiel la fonction de transfert. Dans la partie suivante nous etudions l’effet de l’echantillonnagesur les signaux numeriques. Les deux chapitres suivants seront respectivement consacres al’etude des filtres numeriques du point de vue frequentiel et du point de vue temporel.

3.2 Echantillonnage

3.2.1 Theoreme de l’echantillonnage

L’echantillonnage est l’operation qui permet de passer d’un signal a temps continu a unsignal a temps discret. Soit x(t) le signal a temps continu et xE[n] les echantillons preleves ades temps reguliers (toutes les T secondes). Ces deux quantites sont reliees en considerant quele signal echantillonne est obtenu en multipliant le signal continu par un peigne de Dirac (Eq2.4) :

34

xE[n] = x(t).Ш(t− T ) = x(t).+∞∑

n=−∞

δ(t− nT ). (3.6)

Calculons la transformee de Fourier de cette relation. On note X(f) la transformee de Fourierde x(t) et XE(f) la transformee de Fourier de xE(t) :

XE(f) = F(x(t).

+∞∑n=−∞

δ(t− nT )

). (3.7)

D’apres la propriete 2.4.5, la transformee de Fourier d’un produit simple dans le temps est leproduit de convolution des transformees de Fourier :

XE(f) = X(f) ∗ F(

+∞∑n=−∞

δ(t− nT )

). (3.8)

D’apres la propriete 2.4.9, la transformee de Fourier du peigne de Dirac est aussi un peignede Dirac :

XE(f) = X(f) ∗ 1

T

+∞∑n=−∞

δ(f − n

T) (3.9)

Compte tenu des proprietes de la fonction generalisee de Dirac, le produite de convolutionapparaissant dans cette formule se calcule simplement :

XE(f) =1

T

+∞∑n=−∞

X(f − n

T). (3.10)

Ainsi le spectre de la fonction echantillonnee est composee de la superposition du spectre dela fonction continue decale de n/T .

De cette derniere relation, on tire les conclusions suivantes :– le spectre de la fonction continue est le motif elementaire permettant de construire le

spectre de la fonction echantillonnee ;– si le spectre de la fonction continue est tel que |X(f)| = 0 si f > fc et que 1/(2T ) > fc,

alors les deux spectres coıncident dans la plage de frequence = [−fe2, fe

2] (fe = 1/T est

la frequence d’echantillonnage) ;– fc est la frequence de coupure du spectre de la fonction continue, c’est la frequence

maximale pour lequel le spectre n’est pas nul, si fc 6=∞ alors l’allure du spectre est unpasse bas ;

Ces remarques permettent d’etablir le theoreme de l’echantillonnage :

Soit x(t) un signal continu dont le spectre est tel que |X(f)| = 0 si f > fc, lafrequence d’echantillonnage fe = 1/T doit respecter l’inegalite suivante pour quele signal ne soit pas altere : fe ≥ 2fc

Examinons a present differents scenarios pour un signal remplissant les conditions men-tionnees ci-dessus :

35

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 10000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

f

X(f)

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 10000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

f

X(f)

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 10000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

f

X(f)

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 10000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

f

X(f)

Figure 3.1 – Effet de l’echantillonnage sur le spectre : (a) spectre analogique (fonction conti-nue), (b) fc = fe/2, (c) fe/2 < fc, (d) fe

2> fc

1. si fe = 2fc alors le signal est correctement echantillonne meme si l’impression visuellepeut laisser penser le contraire (cf paragraphe sur la reconstruction) ;

2. si fe2< fc alors le signal est sous-echantillone, le spectre dans la bande de frequences

[−fe2, fe

2] est modifie, on dit qu’il y a repliement du spectre (cf exemple ci-dessous) ;

3. si fe2> fc le signal sera bien echantillonne, cependant la frequence d’echantillonnage est

plus grande que necessaire : on parle de sur-echantillonnage.

3.3 Reconstruction du signal a partir de la suite des

echantillons

L’objectif de ce paragraphe est de voir comment reconstruire x(t) a partir des echantillonsx(nT ) = x[n].

Pour cela, on part de la relation 3.10 reliant le spectre de la fonction echantillonnee a celuide la fonction continue. Sous reserve d’avoir echantillonne le signal correctement (fe ≥ 2fc),

36

on constate que :X(f) = XE(f).rect(−fe/2;fe/2)(f). (3.11)

On peut donc reconstruire le spectre de la fonction continue en appliquant au spectre de lafonction echantillonnee un filtre de gain 1 (rect(−fe/2;fe/2)(f)) dans la bande de frequences(−fe/2; fe/2) et 0 ailleurs. En prenant la transformee de Fourier inverse de cette expression,on obtient

F−1X(f) = x(t) = F−1XE(f).rect(−fe/2;fe/2)(f) (3.12)

Comme nous l’avons deja vu, la transformee de Fourier d’un produit simple est equivalenteau produit de convolution des transformees de Fourier :

x(t) = F−1XE(f) ∗ F−1rect(−fe/2;fe/2)(f) (3.13)

Calculons la transformee de Fourier inverse de la fonction porte :

F−1rect(−fe/2;fe/2)(f) =

∫ +∞

−∞rect(−fe/2;fe/2)(f)ei2πftdf (3.14)

=

∫ +fe/2

−fe/2ei2πftdf (3.15)

=

[ei2πft

i2πt

]fe/2−fe/2

(3.16)

=sin(πfet)

πt(3.17)

Injectons cette derniere expression dans le produit de convolution :

x(t) =

(x(t).

+∞∑n=−∞

δ(t− nT )

)∗(

sin(πfet)

πt

)(3.18)

=

∫ +∞

−∞x(u).

+∞∑n=−∞

δ(u− nT )fe sinc(πfe(t− u))du (3.19)

= fe

+∞∑n=−∞

∫ +∞

−∞x(u) sinc(πfe(t− u))δ(u− nT )du (3.20)

= fe

+∞∑n=−∞

x(nT ) sinc(πfe(t− nT )) (3.21)

(3.22)

Cette derniere formule permet de reconstruire le signal continu x(t) a partir des echantillonsx(nT ). Il s’agit en fait d’une interpolation entre les echantillons. Mais cette interpolation assurede reconstruire le signal continu parfaitement.

37

3.4 Quantification

Nous n’aborderons pas dans ce cours la notion de quantification. Nous retiendrons seule-ment que la quantification resulte de l’echantillonnage sur un certains nombre de niveaux (bits)du signal. Toutefois, on voit que cette expression necessite le calcul d’un produit de convolu-tion. En pratique, le calcul de x(t) se fait par interpolation entre les echantillons (interpolationlineaire, quadratique, spline, ...), ce qui a pour consequence de degrader l’information et de nepas reconstruire exactement la fonction continue.

38

Chapitre 4

Filtrage frequentiel

Nous avons dans les chapitres precedents que l’action d’un filtre LIT se resume a multiplierle spectre de l’entree du filtre par la fonction de transfert pour obtenir la sortie : s(ω) =H(ω)e(ω). Nous savons egalement que l’action de discretisation pour passer d’un signal continua un signal numerique n’est pas anodine. Elle est accompagnee d’un certains nombres dephenomenes a prendre en compte (cf. Chapitre sur l’echantillonnage). Ce chapitre est consacrea l’etude des transformees de Fourier pour les signaux numeriques et l’application de cet outilau filtrage des signaux numeriques. On commence par presenter les transformees de Fourier atemps discret (TFTD) puis on s’interesse au cas des transformees de Fourier discretes (TFD).Enfin, on appliquera la TFD a la realisation de filtres numeriques.

4.1 La Transformee de Fourier a Temps Discret

Lorsqu’on travaille avec des fonctions echantillonnees, on ne peut plus utiliser la trans-formee de Fourier qui est un outil dedie aux fonctions continues. Pour cela, on introduit laTransformee de Fourier a Temps Discret (TFTD).

Definition 4.1.1 (Transformee de Fourier a Temps Discret)

On appelle TFTD de x[n], la fonction X(ν) telle que :

X(ν) =n=+∞∑n=−∞

x[n]e−2iπνn (4.1)

avec ν = f/Fe la frequence reduite, f la frequence en Hertz, et Fe la frequence d’echantillonnage(Fe = 1/T ou T est le pas de temps entre deux echantillons).

Cette definition appelle plusieurs remarques :– ν est une variable continue (pas d’echantillons) ;– x[n] est un signal numerique (echantillons) ;– X(ν) est une fonction continue ;– X(ν) est une fonction periodique de periode 1 : X(ν + 1) = X(ν) ;– en general, on restreint la representation de X(ν) sur l’intervalle [0, 1[ ou [−1

2; 1

2[

39

D’apres cette definition, on constate que la TFTD est en fait la decomposition en seriede Fourier de la fonction X(ν) (sous sa forme complexe, cf prop. 2.3.4). Les coefficients de ladecomposition permettent de calculer les x[n] a partir des X(ν) :

x[n] =

∫ 1/2

−1/2

X(ν)e2iπνndν (4.2)

Cette formule permet de definir la TFTD inverse. Cette formule est coherente avec lechapitre sur l’echantillonnage puisqu’on retrouve qu’une suite de valeurs discretes en tempscorrespond a une fonction continue mais periodique en frequences.

Le lien entre la TFTD et la TFTC (Transformee de Fourier a Temps Continu - ”Trans-formee de Fourier classique”) est donne par le theoreme de l’echantillonnage :

x(t) TFTC−−−−−→X(f) (4.3)

xe[n] TFTD−−−−−→Xe(ν) = Xe(f) (4.4)

D’apres le theoreme de l’echantillonnage :

Xe(f) =1

T

+∞∑n=−∞

X(f − n

T

)(4.5)

= Fe

+∞∑n=−∞

X (Feν − nFe) (4.6)

Xe(ν) = Fe

+∞∑n=−∞

X (Fe(ν − n)) (4.7)

(4.8)

Cette derniere formule fait apparaıtre explicitement le lien entre TFTC et TFD. La TFTDs’obtient a partir de la TFTC en effectuant les operations suivantes :

– on normalise la TFTC par le facteur Fe ;– on periodise la fonction avec la periode 1 ;– on divise l’axe des frequences par Fe.On obtient la TFTC a partir de la TFTD en faisant les operations suivantes :– On normalise par le facteur T ;– on multiplie l’axe des frequences par Fe ;– on limite la bande de frequences.La TFTD apparaıt comme l’outil naturel pour les signaux a temps discrets. Tout comme la

TFTC, la TFTD possede les proprietes de linearite, translation dans le temps et de convolution.

Propriete 4.1.1 (Linearite de la TFTD)

λx1[n] + µx2[n] TFTD−−−−−→λX1(ν) + µX2(ν)

Propriete 4.1.2 (Translation dans le temps- dephasage)

x[n− n0] TFTD−−−−−→X(ν)e−2iπνn0

40

Propriete 4.1.3 (Theoreme de convolution)

La TFTD du produit de convolution discret (definition 3.1.1) de deux signaux numeriquesest le produit des deux TFTD :

x[n] ∗ y[n] TFTD−−−−−→X(ν)Y (ν)

4.1.1 La Transformee de Fourier Discrete

La TFTD vue dans la partie precedente, ne peut pas etre calculee sur ordinateur car c’estune fonction continue. L’utilisation de calculateur impose d’introduire un nouvel outil qui nes’appliquerait qu’aux signaux discrets tel que :

x[n] TFD−−−−→X[k]

ou x[n] est une suite d’echantillons en temps (n indice les temps) et X[k] une suited’echantillons en frequences (k indice les frequences). Pour cela, il faut discretiser les va-riables continues temps et frequences. On decoupe alors l’axe des temps en N echantillonsregulierement repartis et on divise l’axe des frequences en K echantillons :

– discretisation de l’axe des temps : n ∈ [0, N − 1], T = 1/Fe, t[n] = nT et t ∈ [0; t+ − T ]

– discretisation de l’axe des frequences : k ∈ [0;K−1], ∆ν = 1/K, ν[k] = k∆ν et ν ∈ [0; 1[

Definition 4.1.2

TFD : Transformee de Fourier DiscreteOn appelle Transformee de Fourier Discrete la transformation reliant les suites x[n] et

X[k] :

X[k] =N−1∑n=0

x[n]wnkK (4.9)

ou wK = e−2iπK

Definition 4.1.3

TFD inverse : Transformee de Fourier Discrete inverseOn appelle Transformee de Fourier Discrete inverse , la transformation reliant les suites

X[k] et x[n] :

x[n] =1

N

K−1∑k=0

X[k]w−nkK (4.10)

ou wK = e−2iπK

On voit les similitudes avec la TFTD en ecrivant la formule ci-dessus de facon developpee :

X[k] =N−1∑n=0

x[n]e−2iπnkK ,

on constate que par rapport a la TFTD :

41

– on modifie les bornes de la somme (tout se passe comme si on multiplie x[n] par lafonction porte) ;

– on discretise l’axe des frequences (on preleve des echantillons sur l’axe des frequences)

– wK = e−2iπK est une racine K ieme de l’unite.

La TFD apparait comme etant la TFTD calcule en un point particulier : ν = k/K car dansce cas X[k] = X(ν). Par consequent, la TFD est l’outil numerique permettant de calculer defacon operationnelle la Transformee de Fourier a Temps Discret. Cette propriete est essentielleet justifie le fait qu’on utilise la TFD pour calculer la TFTD. On fait ensuite le lien entreTFTD et TFTC avec les relations exposees au paragraphes precedent.

En pratique, pour le calcul de la TFD, on s’arrange pour que le nombre d’echantillonsfrequentiels soit superieur au nombre d’echantillons temporels : K > N . On vient ensuitecompleter les echantillons temporels par des zeros de sorte que les calculs sont faits pour Kpoints en temps et en frequences :

x2[n] =

x[n] si n 6 N − 1,0 si K − 1 > n > N.

(4.11)

En effet, on montre que les TFD de x[n] et de x2[n] sont egales dans ce cas :

X2[k] =K−1∑n=0

x[n]wnkK (4.12)

=N−1∑n=0

x[n]wnkK (4.13)

= X[k]. (4.14)

Cette operation s’appelle faire du zero padding.Tout comme la TFTC et la TFTD, la Transformee de Fourier discrete possede certaines

proprietes :

Propriete 4.1.4

Linearite de la TFDλx1[n] + µx2[n] TFD−−−−→λX1[k] + µX2[k]

Propriete 4.1.5 (Translation dans le temps- dephasage)

x[n− n0] TFD−−−−→wn0kK X[k]

Le theoreme de convolution existe egalement pour cette transformee. Toutefois, commenous l’avons vu, le nombre d’echantillons composant les signaux (en temps ou en frequence)est limite. Par consequent, le produit de convolution discret tel que defini par la relation 3.1.1n’a plus de sens. Il faut definir un nouveau produit de convolution.

Definition 4.1.4

Produit de convolution circulaire On appelle produit de convolution circulaire l’operation

42

entre les signaux x[n] et y[n] avec n ∈ [0;N − 1] telle que :

z[n] =N−1∑p=0

x[p]y[n− p] (4.15)

ou les indices sont calcules modulo N

Rappel sur la notation modulo :L’operation modulo N consiste a faire une permutation circulaire des indices. Soit la suitex[n] telle que x[n] = x[1], x[2], x[3], x[4]. On a donc N = 4. Si les proprietes ou resultatss’appliquant a la suite x[n] sont dits modulo N cela signifie que la suite notee x[n − 2] estx[n− 2] = x[3], x[4], x[1], x[2].Propriete 4.1.6

Theoreme de convolution pour la TFD

x[n] ∗ y[n] TFD−−−−→X(ν)Y (ν)

ou les indices sont calcules modulo N

La FFT La FFT ou Fast Fourier Transform est un algorithme de calcul rapide de laTransformee de Fourier discrete. C’est cet algorithme introduit en 1965 par Cooley et Tuckeyqui est utilise (avec des versions plus ou moins optimisee) dans la plus part des logiciels fai-sant appel aux transformees de Fourier. Son succes repose sur le fait qu’il necessite N logNoperations alors qu’un calcul classique de la TFD requiert N2 operations (si N = 1024 alorsN logN ≈ 3083 operations et N2 = 1048576 operations). Notons que la plupart des algo-rithmes de FFT necessite de travailler avec un nombre d’echantillons egal a un puissance de2 (N = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 512, 1024, 2048, ...). Pour atteindre ce nombre d’echantillons on arecours a l’utilisation de la technique de zero-padding exposee precedemment.

4.1.2 Resolution et precision

La resolution et la precision sont deux notions distinctes :– la resolution est la capacite a separer deux frequences proches l’une de l’autre ;– la precision est la capacite de calculer la frequence exacte d’un pic.

Exemple 7

FFT et resolution spectraleCet exemple est tire de ”Signal deterministe et aleatoire” de A. Quinquis (ex SD20).

On veut calculer la FFT d’un signal avec une resolution d’au moins 5 Hz. On suppose quele spectre du signal analogique ne contient pas de frequence au dessus de 1.25kHz

1. Quelle est la valeur minimale de la frequence d’echantillonnage ?

2. Quel est alors le nombre de points contenu dans le signal ?

3. Pour cette valeur de la frequence d’echantillonnage, quelle est la duree minimale dusignal a traiter ?

4. Faut-il faire du zero-padding si on dispose de signaux de duree :

43

!"#$%&'()*)+)!"#$ %"#$&'"#$(!"#$

)"*$ +"*$&,"*$)"*$

'"#$

,"*$

-./012.3

42567.#-8.3

Figure 4.1 – Illustration du processus de filtrage

(a) Ttot = 150ms,

(b) Ttot = 300ms.

Elements de reponse :

1. La frequence d’echantillonnage minimale est : Fe = 2FM = 2 ∗ 1.25kHz= 2.5kHz.

2. Pour que la resolution spectrale soit ∆f = 5Hz avec une frequence d’echantillonnageFE = 2.5kHz, le nombre de points est : ∆F = FE/N soit N = FE/∆F , N = 500points.

3. la duree du signal est donc : Ttot = NT = N/FE = 500/2500 = 0.2s

4. (a) Si la duree du signal est de 150ms alors il possede que 375 echantillons, cequi n’est pas suffisant pour obtenir la resolution spectrale demandee : ∆F =FE/N = 6, 66Hz, et ce meme en faisant du zero-padding (il faut soit diminuerla frequence d’echantillonnage (risque de repliement) ou augmenter la perioded’acquisition.

(b) Si la duree du signal est de 300ms, le nombre d’echantillons N = 750 est suf-fisant. On fera du zero-padding pour atteindre un nombre d’echantillon egal a1024.

4.1.3 Application au filtrage des signaux numeriques

La TFD et les algorithmes de FFT qui en sont issus sont des elements essentiels du trai-tement des signaux numeriques. En effet, ils permettent de faire des operations de filtragedans l’espace frequentiel de maniere ”aisee” et tres versatile. Le schema 4.1.3 illustre la sim-plicite du filtrage frequentiel. En effet, l’action de filtrage dans le domaine frequentiel revienta choisir une forme adaptee au filtre numerique, i.e. a construire une fonction H(ω) dont lescaracteristiques repondent au probleme. Il suffit ensuite de multplier le spectre du signal atraiter par cette fonction pour obtenir le resultat souhaite. Cette souplesse d’utilisation est acomparer aux filtrages des signaux analogiques, pour lesquels le plus souvent, les filtres sontconstruits a partir de module de bases (resistance, inductance, capacite) qui ne permettentpas une synthese du filtre aussi simple.

44

Des exemples d’application seront vus en TD et en TP.

45

Chapitre 5

Filtrage temporel

Ce chapitre est consacre au filtrage temporel. On appelle ici filtrage temporel, un filtre quiva agir directement sur le signal d’entree par une equation recurrente (combinaison lineairedes echantillons d’entree x[n] et de sortie y[n]).

5.1 Equation recurrente

Dans les parties precedentes, nous avons vu que l’action d’un filtre lineaire et invariantpar translation dans le temps est caracterisee par l’operation de convolution entre l’entree dufiltre et la reponse impulsionnelle du filtre : y[n] = x[n] ∗ h[n].

Un cas particulier de la relation de convolution est lorsque la relation entree/sortie dusysteme s’ecrit :

y[n] + a1y[n− 1] + ...+ aPy[n− P ] = b0x[n] + b1x[n− 1] + ...+ bNx[n−N ] (5.1)

Cette formulation est appelee equation recurrente. On justifiera plus loin qu’elle n’est qu’uncas particulier. On peut constater que cette formulation permet de determiner la sortie dufiltre en appliquant un certain nombre de combinaisons lineaires. C’est ce qui va etre la basedu filtrage temporel.

Generalement, on distingue deux classes de filtres :– les filtres RII (filtres a Reponse Impulsionnelle Infinie) qui sont caracterises par une

equation recurrente du type 5.1,– les filtres RIF (filtres a Reponse Impulsionnelle Finie) qui sont caracterises par une

equation recurrente dans laquelle ap = 0 avec p ∈ [1, P ] : y[n] = b0x[n] + b1x[n − 1] +...+ bNx[n−N ].

Pour les filtres RIF, la relation entre equation recurrente et relation de convolution estimmediate puisque y[n] =

∑k=Nk=0 bkx[n−k], on a identification immediate entre les coefficients

bn et la reponse impulsionnelle h[n] : h[n] = bn. Le nombre de coefficients bn etant fini, il en estde meme pour le nombre d’echantillons composants la reponse impulsionnelle, ce qui justifiela terminologie (RIF) employee pour ces filtres.

Pour le moment, il est difficile de dire quoi que ce soit sur ce type de filtre (RII ou RIF).L’etude du filtrage temporel va etre facilite par l’introduction d’un nouvel outil : la transformeeen z.

46

Figure 5.1 – Illustration du domaine de convergence en forme de couronne dans le plancomplexe pour la transformee en Z

5.2 La transformee en Z

5.2.1 Definition et premiers exemples

Definition 5.2.1 (La transformee en z )

On appelle transformee en z du signal discret x[n], la fonction complexe :

X(z) =+∞∑

n=−∞

x[n]z−n,

avec z ∈ C tel que R1 < |z| < R2.

D’apres la definition, le domaine de convergence de cette serie est une couronne dans le plancomplexe. Les valeurs de R1 et R2 dependent bien entendu de x[n].

47

Exemple 8 (TZ de la fonction impulsion)

On rappelle que :

δ[n] =

1 si n = 0,0 sinon.

48

Par consequent,

TZ(δ[n]) =+∞∑

n=−∞

δ[n]z−n

= 1

Le domaine de convergence de la transformee en z de la fonction impulsion est donc C.

Exemple 9 (TZ de la fonction echelon (ou fonction de Heavyside))

On rappelle que :

u[n] =

1 si n ≥ 0,0 sinon. .

Par consequent,

TZ(u[n]) =+∞∑

n=−∞

u[n]z−n

=+∞∑n=0

z−n

En restreignant l’etude aux cas ou |z| > 1 on obtient :

U(z) =1

1− z−1

=z

z − 1

Pour etablir ce resultat on a utilise la propriete de sommation des series geometriques :

SM =M∑n=0

axn = a1− xM+1

1− x , avec x ∈ C ou x ∈ R

Definition 5.2.2 (Zeros et Poles)

Les points tels que X(z) = 0 sont appeles les zeros.Les points tels que X(z)→ +∞ sont appeles les poles.



La transformee en Z d’une combinaison lineaire et la combinaison lineaire des transformeesen Z :

TZ(ax[n] + by[n]) = aX(z) + bY (z) (5.2)

49

Demonstration :

TZ(ax[n] + by[n]) =

=+∞∑

n=−∞(ax[n] + by[n])z−n

= a

+∞∑n=−∞

x[n]z−n + b

+∞∑n=−∞

y[n]z−n

= aX(z) + bY (z)

Propriete 5.2.2 (Decalage)

L’operation de decalage de n0 indices dans le domaine temporel est equivalent a multiplierla transformee en Z par z−n0 dans le plan complexe :

TZ(x[n− n0]) = z−n0X(z) (5.3)

Demonstration :

TZ(x[n− n0]) =

=+∞∑

n=−∞x[n− n0]z−n

=

+∞∑p=−∞

x[p]z−(p+n0)

= z−n0

+∞∑p=−∞

x[p]z−p

= z−n0X(z)

Propriete 5.2.3 (Transformee en z inverse)

Soit Γ un contour ferme contenant tous les points singuliers de X(z) ainsi que l’origine.Les echantillons x[n] peuvent se deduire de la fonction X(z) par la relation :

x[n] =1

2iπ

∫Γ

zn−1X(z)dz (5.4)

Propriete 5.2.4 (Produit de convolution)

Soit la relation de convolution :

y[n] =∑k

x[k]h[n− k],

50

la transformee en Z de cette relation est alors :

Y (z) = H(z)X(z) (5.5)

Propriete 5.2.5 (Produit simple)

Soit la suite y[n] definie comme le produit des suites x1[n] et x2[n] :

y[n] = x1[n].x2[n],

la transformee en Z de cette relation est alors :

Y (z) =1

2iπ

∫Γ

X1(u)X2

(Z

u

)du. (5.6)

Propriete 5.2.6 (Relation entre la TZ et la TFTD)

D’apres la definition de la TZ (def. 5.2.1), la TFTD est un cas particulier de la TZ pourlequel z = e−2iπν , i.e. lorsqu’on parcourt le cercle unite |z| = 1.

5.3 Filtrage et transformee en z

Considerons un filtre numerique LIT. Supposons que la relation entree/sortie de ce filtresoit de type equation recurrente :

y[n] + a1y[n− 1] + ...+ aPy[n− P ] = b0x[n] + b1x[n− 1] + ...+ bNx[n−N ].

Compte tenu des diverses proprietes vues dans le paragraphe precedent, la transformee en zde cette equation s’ecrit :

Y (z) + a1z−1Y (z) + a2z

−2Y (z) + ...+ aP z−PY (z) = b0X(z) + b1z

−1X(z) + ...+ bNz−NX(z)

On peut factoriser cette equation et l’ecrire sous la forme :

Y (z) = H(z)X(z)

ou H(z) est definie par :

H(z) =b0 + b1z

−1 + ...bNz−N

a1z−1 + ...aP z−P.

Ainsi, on constate que la TZ permet de montrer qu’une equation recurrente est un cas parti-culier de la convolution puisqu’on peut ecrire une relation entree/sortie (dans l’espace des z)du meme type que pour la convolution.

Nous retiendrons que quelque soit la representation du filtre (RIF, RII, convolution), dansl’espace des z, la relation fondamentale s’ecrit :

Y (z) = H(z)X(z),

ou X(z) designe la transformee en z du signal d’entree x[n], Y (z) est la transformee en z dusignal de sortie y[n] et ou H(z) est la fonction de transfert en z du filtre. Cette fonction contientles informations sur le comportement du systeme comme l’illustre les proprietes suivantes :

51

Propriete 5.3.1 (Causalite)

Le filtre est causal si le rayon exterieur de l’anneau de convergence de H(z) tend versl’infini(R2 → +∞).

Demonstration : On rappelle que la convergence de la serie∑∞

n=0 u[n] est assuree a conditionque limn→+∞ |u[n]|1/n < 1.

Decomposons la transformee en z en une partie causale et une autre anti-causale :

X(z) =−1∑

n=−∞x[n]z−n +

+∞∑n=0

x[n]z−n,

Examinons a present la TZ de la partie causale :

X2(z) =

+∞∑n=0

x[n]z−n,

cette serie converge si :lim

n→+∞|x[n]z−n|1/n < 1, (5.7)

par consequent :lim

n→+∞|x[n]|1/n|z−1| < 1, (5.8)

IntroduisonsR1 = lim

n→+∞|x[n]|1/n. (5.9)

Cette serie converge si :R1 < |z| (5.10)

Examinons, a present, la TZ de la partie anti-causale :

X1(z) =

−1∑n=−∞

x[n]z−n, (5.11)

=+∞∑n=1

x[−n]zn. (5.12)

La serie converge si :lim

n→+∞|x[−n]zn|1/n < 1, (5.13)

IntroduisonsR2 = ( lim

n→+∞|x[−n]|1/n)−1 (5.14)

La serie X1(z) converge si : z < R2.

Par consequent, la TZ de x[n] sera une serie convergente si : R1 < |z| < R2. Comptetenu des definitions de R1 et R2, on constate que si la fonction de transfert est causale alorsR2 → +∞.

Propriete 5.3.2 (Stabilite)

Le filtre est stable si le cercle unite appartient au domaine de convergence de la fonction

52

de transfert en z

Demonstration : La fonction de transfert en z s’ecrit :

H(Z) =+∞∑−∞

h[n]z−n (5.15)

Le module doit donc satisfaire la relation suivante :

|H(z)| = |+∞∑−∞

h[n]z−n| 6+∞∑−∞|h[n]z−n| =

+∞∑−∞|h[n]||z−n| (5.16)

Evaluons cette expression sur le cercle unite : |z| = 1 :

H(|z| = 1) 6+∞∑−∞|h[n]|, (5.17)

Dans le chapitre consacre au passage du continu au discret nous avons vu qu’un filtre numeriqueLIT stable etait tel que

∑+∞−∞ |h[n]| 6 M (avec M une borne reelle). On en deduit que si le

filtre est stable : alors la fonction de transfert sur le cercle unite est bornee, ce qui revient adire qu’elle est contenue dans le domaine de convergence (sans quoi elle ne serait pas bornee).

Propriete 5.3.3 (Stabilite et Causalite)

Le filtre est stable et causal si tous les poles de H(z) sont compris a l’interieur du cercleunite.

Demonstration : En combinant les proprietes sur la causalite et la stabilite on obtient immediatementque le filtre est stable et causal si tous les poles de H(z) sont compris a l’interieur du cercleunite.

Exemple 10 (Synthese de filtre)

On souhaite construire un filtre qui lorsque le signal d’entree est la fonction de Heavysidedonne en sortie une suite d’echantillons d’amplitude exponentiellement decroissante (nousnoterons τ la constante de temps caracteristique de l’amortissement). Le probleme consistea trouver l’equation recurrente repondant aux criteres ci-dessus. On a donc :y[n] = e−nT/τ si x[n] = 1 pour n ≥ 0, T etant la periode d’echantillonnage. Calculons latransformee en z de chacune de ces relations :

X(z) =z

z − 1

Y (z) =+∞∑

n=−∞

e−nT/τz−n

=+∞∑

n=−∞

(e−T/τz−1

)n

53

En supposant que |z| > e−T/τ

Y (z) =z

z − e−T/τOn en deduit la fonction de transfert :

H(z) =Y (z)

X(z)

=z − 1

z − e−T/τ

La fonction H(z) a un zero situe en z = 1 et un pole situe en z = e−T/τ . Par consequent,ce filtre est stable et causal (tous les poles sont dans le cercle unite).

Cherchons a present l’equation temporelle de ce filtre. Pour cela, on reecrit la relationprecedente :

Y (z)(z − e−T/τ ) = (z − 1)X(z)

zY (z)− e−T/τY (z) = zX(z)−X(z)

Y (z)− e−T/τz−1Y (z) = X(z)− z−1X(z)

En utilisant la relation de decalage (prop 5.2.2), on peut facilement retrouver la relationde recurrence qui donne l’equation temporelle de ce filtre :

y[n]− e−T/τy[n− 1] = x[n]− x[n− 1]

Cette methode de synthese de filtre se nomme synthese par identification de la reponseindicielle.

5.4 Etude des filtres RIF et RII

De maniere generale, pour des filtres RII ou RIF, on a vu que la fonction de transfert enz s’ecrit :

H(z) =b0 + b1z

−1 + ...bNz−N

a1z−1 + ...aP z−P=

Πj(z − zj)Πi(z − pi)

, (5.18)

ou les zj donnent la position des zeros et les pi la position des poles. Dans ce cours, on serestreint a l’etude des systemes a coefficients reels : ai ∈ R, ∀i ∈ [1, P ] et bi ∈ R,∀i ∈ [0,M ].

5.4.1 Les filtres RIF

Les filtres a reponse impulsionnelle finie, sont caracterises par une equation temporelle dutype :

y[n] = b0x[n] + b1x[n− 1] + ...+ bNx[n−N ]. (5.19)

54

La fonction de transfert en z du filtre s’ecrit :

H(z) =Y (z)

X(z)= b0 + b1z

−1 + ...+ bNz−N , (5.20)

= z−N(b0z

N + b1zN−1 + ...+ bN

). (5.21)

H(z) possede un pole en z = 0 et N zeros. Ainsi d’apres les proprietes de causalite et destabilite montrees precedemment, on en deduit qu’un filtre RIF est toujours stable et causal.

Filtre RIF du 1er ordre

Un filtre RIF du premier ordre est un filtre dont l’equation recurrente a la forme :

y[n] = b0x[n] + b1x[n− 1], (5.22)

La transformee en Z de cette equation permet de calculer la fonction de transfert en Z dece type de filtre :

H(z) =Y (z)

X(z)= z−1 (b0z + b1) (5.23)

Il y a donc un pole en z = 0 et un zero en z1 = −b1b0

. On a suppose que b0 ∈ R et b1 ∈ R, ainsile zero est reel.

Etudions a present le gain en frequences associe a ce filtre. Pour cela, on s’interesse aumodule de la fonction de transfert en frequence qui se deduit de la fonction de transfert en zen se restreignant a z = e−2iπν :

|H(ν)| = |z−1 (b0z + b1) | = | (b0z + b1) | = |b0(z − z1)| (5.24)

Le gain en frequences est proportionnelle a la norme de |z − z1|.Interpretation geometrique

Geometriquement, z designe l’affixe d’un point courant M (cf fig. 5.2) se deplacant sur lecercle centre en 0 et de rayon 1 (car z = e−2iπν). z1 designe le point Z (fixe) representant lezero de la fonction de transfert en z. Pour un filtre RIF du 1er ordre, le gain en frequences estproportionnelle a la distance entre les points M et Z. La figure 5.3 montre le gain en frequencespour b0 = 1 et z1 = 1.3. Un cas interessant est celui pour lequel le zero est situe sur le cercleunite a la frequence de Nyquist : ν = 0.5, i.e. z1 = −1. On voit que quand z = −1 la distanceentre M et P est nulle, ce type de filtre, elimine completement la frequence ν = 0.5 soitf = fe/2. Nous allons voir que ce type de filtre peut se construire en effectuant ’simplement’la moyenne sur 2 points des echantillons.

Exemple 11 (Filtre RIF du 1er ordre : le filtre moyenneur)

Le filtre moyenneur est le filtre qui a la suite d’echantillons x[n] associe la moyenne desechantillons :

y[n] =1

2(x[n] + x[n− 1]) , (5.25)

On peut facilement determiner la reponse impulsionnelle de ce filtre en identifiant les

55

!"

#$

%

&

Figure 5.2 – Interpretation geometrique du gain en frequences pour un filtre RIF du premierordre

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

!

|H(!)|

Figure 5.3 – gain en frequences pour un filtre RIF du premier ordre avec b0 = 1 et z1 = 1.3

56

coefficients :

y[n] =∑k

h[k]x[n− k]

= ...+ h[−2]x[n+ 2] + h[−1]x[n+ 1] + h[0]x[n] + h[1]x[n− 1] + h[2]x[n− 2] + ...

L’identification des coefficients donne h[0] = 12, h[1] = 1

2et h[n] = 0 si n 6= (0, 1) D’apres

les resultats de la partie consacree aux SLIT, on en deduit que ce filtre est stable et causal.Ceci est coherent avec les resultats issus de l’etude de la transformee en Z. La fonction detransfert en Z s’obtient en calculant la transformee en Z des deux membres de l’equationrecurrente :

Y (z) =1

2

(X(z) + Z−1X(z)

), (5.26)

soit,

H(z) =1

2

(z + 1

z

), (5.27)

La fonction de transfert en z possede un pole en z = 0 et un zero en z = −1. Le gain enfrequences s’ecrit alors :

|H(ν)| = |12z−1

(z + 1

z

)| = 1

2|z + 1| = cos(πν) (5.28)

Geometriquement on constate que le gain en frequences est proportionnelle a la distanceentre l’affixe courante sur le cercle unite z = e−2iπν et le zero de la fonction de transfert enz :

|H(ν)| ≈MZ (5.29)

La figure 5.4.1 montre que la frequence ν = 0.5 (f = fe/2) est certes annulee mais legain pour les autres frequences n’est pas egale a 1. Ce type de filtre ne peut donc pas etreemploye seul pour eliminer la frequence fe/2 sans alterer las autres frequences.

L’interpretation geometrique fournit un moyen simple de construire des filtres. Par exemple,pour annuler une frequence autre que fe/2, la fonction de transfert doit avoir un zero a lafrequence en question dont le module est egal a 1 (pour etre sur le cercle unite). Par consequent,le zero doit etre un nombre complexe. Comme l’etude est restreinte aux systemes a coefficientsreels, cela signifie que le zero complexe ne peut pas etre obtenu par une equation du 1er ordrepar une equation au moins du deuxieme ordre, c”est a dire par un filtre RIF faisant intervenirles echantillons x[n], x[n− 1] et x[n− 2]

Filtres RIF du second ordre

On appelle filtre RIF du second ordre, les filtres dont l’equation recurrente est du type :

y[n] = b0x[n] + b1x[n− 1] + b2x[n− 2]. (5.30)

La transformee en Z de cette equation permet de determiner la fonction de transfert en Zdu systeme :

H(z) = z−2(b0z

2 + b1z + b2

). (5.31)

57

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

!

|H(!)|

Figure 5.4 – gain en frequences pour le filtre moyenneur

La fonction de transfert en Z a un pole double situe en z = 0 et deux zeros z1 et z2.Le calcul des zeros s’obtient en resolvant l’equation du second degre : b0z

2 + b1z + b2 = 0.On distingue 3 cas :

1. ∆ = b21 − 4b0b2 > 0

Alors les zeros sont reels et sont : z1 = (−b1 −√

∆)/2b0, z1 = (−b1 +√

∆)/2b0. Parrapport aux objectifs fixes dans ce paragraphe (creer un zero complexe pour annuler legain en frequences a une frequence voulue), ce cas n’a pas d’interet.

2. ∆ = b21 − 4b0b2 = 0

Alors, il y a une racine double reelle : z = (−b1)/2b0. On peut faire la meme remarqueque pour le cas precedent : par rapport aux objectifs fixes dans ce paragraphe (creer unzero complexe pour annuler le gain en frequences a une frequence voulue), ce cas n’a pasd’interet.

3. ∆ = b21 − 4b0b2 < 0

Alors, les zeros sont deux nombres complexes conjugues : z1 = (−b1− i√−∆)/2b0, z1 =

(−b1 + i√−∆)/2b0. Geometriquement, cela signifie que les deux zeros sont symetriques

par rapport a l’axe des abscisses (Fig. 5.5). Dans la suite nous nous interesserons surtoutaux cas pour lesquels : |z1| = |z2| = 1, (zeros situes sur le cercle unite).

On suppose que ∆ < 0 et |z1| = |z2| = 1. Le gain en frequences d’un tel filtre sera :

|H(ν)| = |(b0z

2 + b1z + b2

)| = b0|z − z1||z − z2| = b0|MZ1||MZ2| (5.32)

Le gain en frequences est proportionnelle au produit des distances entre le point courant Md’affixe z = e−2iπν et les zeros de la fonctions de transfert en z. Comme on a suppose que leszeros sont situes sur le cercle unite, le gain en frequences est nul a la frequence ν1 correspondantau premier zero et a la frequence ν2 correspondant au deuxieme zero (cf Fig. 5.5).

58

Figure 5.5 – gain en frequences d’un filtre RIF du 2eme ordre (avec z1 = exp(iπ/4) etz2 = exp(i2.5π/4))

5.4.2 Les filtres RII

Les filtres RII sont aussi appeles filtres recursifs. Tout comme pour les filtres RIF, le nombrede termes correspond a l’ordre du filtre.

Filtre RII du premier ordre

La forme generale d’un filtre RII du premier ordre est :

y[n] + a1y[n− 1] = x[n] (5.33)

on suppose ici que a1 ∈ R.La transformee de Z de cette relation nous permet de trouver la fonction de transfert en

z du filtre :H(z) =

z

z − a1

(5.34)

On constate qu’il a y un zero z1 = 0 et un pole p1 = a1. D’apres les proprietes de stabilite etcausalite, le filtre est stable et causal seulement si |a1| < 1.

Le gain en frequences est |H(ν)| :

|H(ν)| = |e2iπν ||e2iπν − b1|

=1

|MP | (5.35)

ou M est le point d’affixe courant et P est l’affixe du pole.

Filtre RII du second ordre purement recursif

On appelle filtre RII du second ordre purement recursif, un filtre dont l’equation recurrenteest de la forme :

y[n] = x[n]− a1y[n− 1]− a2y[n− 2]. (5.36)

59

La fonction de transfert en z de ce filtre s’ecrit :

H(z) =z2

z2 + a1z + a2

, (5.37)

Soit en factorisant le denominateur :

H(z) =z2

(z − p1)(z − p2), (5.38)

ou p1 et p2 sont les poles de la fonction de transfert en zDeux cas se presentent alors :

– a21− 4a2 > 0 ; alors p1,2 ∈ R : p1,2 =

−a1±√a21−4a2

2(les poles dont donc situes sur l’axe des

reels) ;

– a21 − 4a2 < 0 ; alors p1,2 ∈ C et ils sont complexes conjugues : p1,2 =

−a1±i√

4a2−a212

;Le gain en frequence s’ecrit :

|H(ν = e−2iπν)| = |e−2iπν|

|e−2iπν − p1||e−2iπν − p2|=

1

MP1

.1

MP2

(5.39)

On constate que le gain en frequences est proportionnel a l’inverse du produit des distancesentre l’affixe courante M et les poles P1 et P2 (cf. 5.6). On retrouve la propriete stipulantque si les poles de la fonction de transfert en z appartiennent au cercle unite alors le filtre estinstable puisque dans ce cas, le gain en frequences serait infini aux frequences correspondanta z = p1 ou z = p2. La figure 5.7 illustre le gain en frequence pour ce type de filtre tel quep1,2 = 0.9±i√

2.

Filtre RII du second ordre

La formulation la plus generale pour un filtre du second ordre est la suivante :

y[n] = b0x[n] + b1x[n− 1] + b2x[n− 2] + a1y[n− 1] + a2y[n− 2]. (5.40)

On constate que le filtre ainsi defini n’est plus purement recursif car il y a maintenantpresence de termes en x[n−1] et x[n−2]. On peut donc s’attendre a l’apparition de frequencespour lesquelles le gain en frequences sera nulle comme nous l’avons vu dans l’etude des filtresRIF.

La fonction de transfert en z de ce type de filtre s’ecrit :

H(z) =b0z

2 + b1z + b2

z2 + a1z + a2

=b0(z − z1)(z − z2)

(z − p1)(z − p2)(5.41)

ou z1,2 et p1,2 sont respectivement les zeros et les poles de la fonction de transfert en z.On en deduit le gain en frequences :

H(ν) =MZ1.MZ2

MP1.MP2

(5.42)

dont l’interpretation geometrique est donnee a la figure 5.8. La figure 5.9 presente deux courbesde gain en frequences tracees l’une pour z1,2 = e±iπ/4 et p1,2 = 0.9e±iπ/4 (en bleu) et l’autre

60

!"

#$

%&

%'

(

Figure 5.6 – Interpretation geometrique du gain en frequences d’un filtre RII du 2eme ordrepurement recursif

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

5

10

15

20

25

!

|H(!)|

Figure 5.7 – Gain en frequences d’un filtre RII du 2eme ordre purement recursif (avec p1,2 =0.9±i√

2)

61

!"

#$

%&

'()

'&

%(

Figure 5.8 – Interpretation geometrique du gain en frequences pour un filtre RII d’ordre 2

pour z1,2 = e±iπ/4p1,2 = 0.99e±iπ/4 (en bleu). Dans les deux cas d’une part les zeros sont demodule 1 (ils sont places sur le cercle unite et permettent d’eliminer une frequence), et d’autrepart les zeros et les poles ont le meme argument (ici π/4). La seule difference concerne lemodule des poles. Dans le premier cas, ils sont plus eloignes des zeros que dans le second cas.Rapprocher les poles des zeros permet ici de fabriquer un filtre plus precis en n’eliminant queles frequences proches de la frequence des zeros.

On retiendra que les zeros servent a eliminer des frequences tandis que les poles per-mettent de rehausser certaines frequences. Ainsi, en associant les zeros et les poles, commedans l’exemple de la figure 5.9, on peut jouer sur les deux effets pour synthetiser des filtresayant un gain en frequences repondant aux donnees du probleme.

62

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

!

|H(!)|

Figure 5.9 – Gain en frequences d’un filtre RII du 2eme ordre purement recursif (avec z1,2 =e±iπ/4p1,2 = 0.9e±iπ/4 (en bleu) et p1,2 = 0.99e±iπ/4 (en rouge))

63

Date post:	30-Dec-2015
Category:	Documents
Upload:	fop-mopp
View:	26 times
Download:	0 times

poly_tds.pdf

Documents