Pontificia Universidad Catolica de ChileEscuela de Ingenieria / Facultad de FısicaIEE1133/FIZ1433 Materiales ElectricosProfesor: Roberto Rodriguez

Ayudantıa 2: Mecanica Cuantica: Ecuacion de Schrodinguer

Joaquın Arancibia: jiaranci@puc.clFabian Cadiz: facadiz@puc.cl

1. El efecto fotoelectrico

Con la teorıa de la electrodinamica clasica formulada por Maxwell, la vision ondulatoriade la luz alcanzo una gran aceptacion en la comunidad cientıfica. La radiacion se percibıadefinitivamente como un campo continuo que se propaga en el espacio y el tiempo a velocidadfinita, igual a la velocidad de la luz. Sin embargo, una manifestacion de lo peculiar que puederesultar la interaccion entre la radiacion y la materia, (y que finalmente condujo a abandonarla idea de un campo clasico) fue el efecto fotoelectrico, descubierto por Hertz en 1887, quiense encontraba estudiando la produccion y recepcion de ondas electromagneticas. Cuando unasuperficie metalica cargada con un potencial negativo (y entonces, con exceso de electrones) esexpuesta a radiacion electromagnetica, bajo ciertas condiciones los electrones en la superficiemetalica escapan, como se muestra en la figura siguiente:

La energıa cinetica con la cual los electrones abandonan la superficie puede medirse a partir dela diferencia de potencial necesaria para frenarlos dentro de un tubo de rayos catodicos. Estofue realizado por Phillipp Von Lenard, en 1902 (Ver Fig. 1).La expulsion de electrones desde el catodo genera una corriente en el circuito de la figura.Mediante un potenciometro se ajusta el voltaje aplicado a las placas. Para cierta diferencia depotencial, los electrones que se desprenden de la placa son frenados, y la corriente a traves delcircuito se anula. Entonces la energıa cinetica que estos adquirieron producto de la interaccioncon la radiacion esta dada por:

K = eV0

donde V0 es el potencial de frenado. Las predicciones de la mecanica clasica son las siguientes:

1. La energıa cinetica de los electrones serıa proporcional a la intensidad de la radiacion,pues este es el parametro que caracteriza la energıa total que transporta la onda electro-magnetica

Figura 1: Experimento de Von Lenard

2. Segun esto ultimo, al aumentar la intensidad de la radiacion, mayor es el potencial defrenado requerido para eliminar la corriente de electrones

3. Para cualquier valor de la frecuencia de la luz incidente, si la intensidad de la luz essuficientemente alta, entonces se emitiran electrones

4. Si la intensidad de la luz es muy pequena (comparada por ejemplo con la energıa quemantiene a los electrones ligados al material), entonces estos podıan adquirir suficienteenergıa a partir de un determinado tiempo de exposicion a la luz, y entonces se observarıael efecto

Sin embargo, los resultados experimentales estan en absoluto desacuerdo con la teorıa clasica.Estos son:

1. Los electrones de la placa son emitidos unicamente cuando la frecuencia de la radiacion(tıpicamente luz visible) supera cierto valor mınimo, o frecuencia umbral. Para cada metaldado, existe una cierta frecuencia mınima, bajo la cual ningun electron puede ser emitido.

2. Cuando se supera la frecuencia umbral, la energıa de los electrones expulsados dependeunicamente de la frecuencia (o color) de la luz. En otras palabras, el voltaje de frenado V0

es solo funcion de la frecuencia de la luz, y no de su intensidad. Esto resultaba realmentecurioso, pues luz de baja intensidad a determinada frecuencia podrıa emitir electrones,pero no una luz con altısima intensidad (pero de menor frecuencia).

3. La corriente que se genera es instantanea (demora un tiempo imperceptible en producirse).

Quien explico exitosamente (y de forma muy simple) el efecto fotoelectrico fue Albert Ein-stein , en 19051. Posteriormente ganarıa el premio Nobel (en 1921) por este artıculo. Einsteinpostulo que la radiacion electromagnetica esta compuesta por cuantos de luz, llamados fo-tones. En otras palabras, el campo electromagnetico se encuentra cuantizado. Basado en lateorıa de Planck sobre la radiacion de cuerpo negro, Einstein propuso que la energıa asociadaa cada foton es proporcional a la frecuencia de la radiacion, es decir

E = hν

donde h es la constante de Planck.

1On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light

2

1.1. Explicacion del efecto fotoelectrico

La luz incidente esta compuesta de fotones, cada uno con una energıa determinada por lafrecuencia de la luz. En el proceso de emision, si cada foton tiene una energıa menor que laenergıa de enlace que mantiene al electron ligado al metal, entonces la interaccion sera insufi-ciente y el electron no sera desprendido del material. A la energıa de ligazon entre los electronesy el material se le llama funcion de trabajo, y se designa con la letra φ. Si la energıa delfoton es superior a φ, entonces un electron absorbera energıa de este foton y sera emitido, deacuerdo a:

hν = φ+ Ekmax

donde Ekmax es la energıa cinetica maxima con que se emiten los electrones, y

hνmin = φ

Es decir, νmin es la mınima frecuencia que debe tener la radiacion incidente para desprenderelectrones.

Esto explica por que para frecuencias bajo una frecuencia lımite νmin, no se produce el efecto.En caso de que se desprendan electrones del metal, al aumentar la intensidad de la luz unica-mente aumenta el numero de fotones emitidos por unidad de tiempo, y entonces tambien elnumero de electrones que escapan del material, pero la energıa cinetica con que estos se emitenno aumenta. Esto explica por que el potencial de frenado no depende de la intensidad, sino dela frecuencia de la luz (i.e de la energıa individual de cada foton).

Figura 2: La figura muestra la cuantizacion de la luz en fotones. Para una placa de potasio, laenergıa mınima necesaria para extraer electrones es cercana a 2.0 eV

Esta idea de la cuantizacion de la radiacion fue un salto gigantezco, y en la epoca presento mucharesistencia. En primer lugar, parecıa contradecir la teorıa ondulatoria de la luz basada en lasecuaciones de Maxwell, y mas generalmente, en ese entonces aun se asumıa que la energıa detodo sistema fısico podıa tomar cualquier valor. Incluso cuando los experimentos mostrabanque las ecuaciones de Einstein para el efecto fotoelectrico reproducıan fielmente lo observado,el rechazo a la idea de los fotones continuo por algun tiempo. Si bien en 1905 se sabıa que laenergıa de los electrones aumentaba linealmente con la frecuencia de la luz incidente, no fuehasta 1915 que Robert Milikan mostro que la prediccion de Einstein era correcta.

1.2. Dualidad onda-partıcula

El efecto fotoelectrico fue clave en el desarrollo del concepto dual de la naturaleza de la luz,la cual posee simultaneamente caracterısticas de onda y partıcula, cada una de estas verificable

3

en diversas circunstancias. Esto es imposible de comprender en terminos de una descripcionondulatoria clasica de la luz. Estas ideas desarrolladas a principios del siglo 20 terminaronpor derribar la concepcion clasica de la luz y la materia, y fueron forjando el camino parael nacimiento de una nueva teorıa de la naturaleza, la fısica cuantica. Hoy en dıa el efectofotoelectrico es el principio de funcionamiento de las celdas solares para generar energıa electricaa partir de la energıa radiante proveniente del sol . Los fotodiodos, fototransistores y las camarasCCD (charged coupled device) utilizan variantes del efecto fotoelectrico, donde el material quees expuesto a la radiacion es un semi-conductor.

Figura 3: Albert Einstein

2. Postulados de la mecanica cuantica: La funcion de

Onda

2.1. Descripcion del estado de una partıcula

Principio I:La descripcion completa del estado de una partıcula de masa m en el espacio al instante tse logra por medio de una funcion de onda compleja ψ(~x, t). La probabilidad de encontrar lapartıcula al instante t en un volumen d3x en torno al punto ~x es:

d3P (~x) = |ψ(~x, t)|d3x

Figura 4: La funcion de onda es una amplitud de probabilidad, |ψ(~x, t)|2 es una densidad quedetermina la probabilidad de prescencia de una partıcula en torno al punto ~x al instante t.

Nota:

1. La funcion de onda es de cuadrado sumable, y normalizada a uno. Es decir:

ˆR3

d3x |ψ(~x, t)|2 = 1

4

Las funciones de cuadrado sumable forman un espacio vectorial llamado L2(R3).

2. El caracter aleatorio y probabilista no proviene de una falta de conocimiento de las condi-ciones iniciales (como en teorıa cinetica de los gases, por ejemplo), tampoco viene deuna necesidad practica (imposibilidad de tratar un sistema con 1023 partıculas). Aquı, elcaracter aleatorio forma parte integral del formalismo cuantico.

2.2. Medicion de la posicion de la partıcula

Al efectuar una medida de la posicion de una partıcula al instante t, uno encuentra un ciertovalor bien definido ~x, con una precision de d3x. Imaginemos que uno prepara independiente-mente un gran numero N de partıculas en el mismo estado, es decir, las N partıculas sondescritas por estrictamente la misma funcion de onda al momento en que se efectua una medidasobre la posicion de cada una de ellas. Los N resultados de la medida no seran identicos, peroestaran distribuıdos segun la ley de probabilidad |ψ(~x, t)|2. El valor medio de estos resultadoses:

〈~x〉 =

ˆR3

d3x ~x|ψ(~x)|2

Figura 5: La medida de la posicion de N partıculas preparadas en el mismo estado permitereconstruır la dependencia espacial de la ley de probabilidad |ψ|2, si la precision en la posicionlo permite.

Se trata de un conjunto de tres valores, para las tres coordenadas {x, y, z}. La dispersionde estos resultados sera caracterizada por una varianza. Sean ∆x, ∆y, ∆z las varianzas sobrelas 3 coordenadas, por definicion:

∆x2 = 〈x2〉 − 〈x〉2 =

ˆRdx x2|ψ(~x)|2 − 〈x〉2

E igualmente para y y z. Mientras mas pequenas sean estas varianzas, mejor sera la localizacionde la partıcula cuando ella esta en el estado ψ(~x).

3. Interferencia y principio de superposicion

3.1. Ondas de de Broglie

La idea mas simple para caracterizar una partıcula libre consiste en suponer que las partıcu-las de velocidad ~v y de momentum ~p = m~v bien definidos, libres en el espacio, son descritaspor una funcion de onda vecina de una onda plana monocromatica de la forma:

ψ(~x, t) = ψ0ei(~k·~x−wt)

5

Figura 6: La figura muestra el valor medio de la variable aleatoria x, ∆x mide que tan concen-trada se encuentra la distribucion de probabilidad en torno a 〈x〉.

donde ψ0 es una constante. Para estas ondas, la longitud de onda λ y, de forma equivalente, elvector de onda ~k staisfacen las relaciones:

λ = h/p ~k = ~p/~

como propuso de Broglie, en analogıa a la relacion de Einstein para el momentum de un fotonde vector de onda ~k, ~p = ~~k. Una experiencia de interferencia o de diffraccion en un cristal nopermite calcular la frecuencia de esta onda. En efecto, el factor de fase e−iwt no juega ningunrol en |ψ|2. La buena eleccion de de Broglie consiste en relacionar esta frecuencia a la energıade la partıcula de la misma forma que para los fotones de Einstein:

~w = E = p2/2m

Uno obtiene ası las ondas de de Broglie:

ψ(~x, t) = ψ0ei(~p·~x−Et)/~ con E = p2/2m (1)

3.2. Principio de superposicion

Toda combinacion lineal de funciones de onda es igualmente una funcion de onda posible. Dichode otra forma, si ψ1(~x, t) y ψ2(~x, t) describen dos estados posibles , entonces la combinacionlineal:

ψ(~x, t) = α1ψ1(~x, t) + α2ψ2(~x, t)

donde α1, α2 son complejos arbitrarios, representa tambien un estado posible (Se debe escogerα1 y α2 de manera que |ψ|2 = 1). Se trata del principio fundamental de la teorıa cuantica,la aditividad de amplitudes de probabilidad es la base de los fenomenos de interferencia. Laecuacion que gobierna la funcion de onda ψ debe ser entonces lineal.

3.3. Ecuacion de onda en el vacıo

Consideremos las ondas de de Broglie (Eq 1). Estas ondas planas describen partıculas de mo-mentum bien definido ~p y de energıa E = p2/2m. Derivando respecto al tiempo por un lado,y tomando el laplaciano por otro, vemos que las ondas de de Broglie satisfacen la ecuacion aderivadas parciales:

i~∂

∂tψ(~x, t) = − ~2

2m~∇2ψ(~x, t) (2)

Podemos considerar esta ecuacion como un principio que dicta la propagacion de partıculas enel vacıo, en ausencia de interaccion. Enunciamos entonces el segundo principio de la mecanica

6

cuantica.Principio IISi la partıcula esta en el vacio y no sufre ninguna interaccion, la funcion de onda satisface laecuacion a derivadas parciales:

i~∂ψ(~x, t)

∂t= − ~2

2m~∇2ψ(~x, t)

que es la ecuacion de Schrodinguer en el vacıo.

4. La ecuacion de Schrodinguer

La ecuacion de onda i~ ∂∂tψ(~x, t) = −~2/2m~∇2ψ(~x, t) se deduce a partir de la estructura

de las ondas de de Broglie. La primera gran contribucion de Schrodinguer fue incorporar losefectos de una fuerza cuando una partıcula se encuentra sumergida en un potencial V (~x).

4.1. Ecuacion de movimiento

Principio IIb: Ecuacion de SchrodinguerCuando una partıcula se encuentra bajo la influencia de un potencial V (~x), la evolucion en eltiempo de la funcion de onda se rige por la ecuacion de Schrodinguer:

i~∂

∂tψ(~x, t) = − ~2

2m~∇2ψ(~x, t) + V (~x, t)ψ(~x, t)

Notas:

1. La ecuacion de Schrodinguer es lineal, conforme al principio de superposicion.

2. Es una ecuacion a derivadas parciales de primer orden en el tiempo: ella determina com-pletamente la funcion de onda a todo instante si se conoce la funcion de onda a un instanteinicial t0

4.2. Funciones propias de la energıa y estados estacionarios

En todo sistema cuantico, la ecuacion de Schrodinguer se puede escribir:

i~∂

∂tψ(~x, t) = Hψ(~x, t)

donde H representa el operador lineal −~2/2m~∇2 + V (~x), llamado hamiltoniano del sistema.Supongamos un sistema aislado, es decir, el potencial no depende explıcitamente del tiempo.Consideremos las funciones propias del hamiltoniano, definidas por la ecuacion a valores propios:

Hψα(~x) = Eαψ(~x) (3)

donde Eα son los valores propios, que son reales para un operador hermıtico. Estas funcionesde onda particulares corresponden a estados del sistema que tienen una energıa bien definidaEα. A partir de ellas uno obtiene soluciones de la ecuacion de Schrodinguer de la forma:

ψ(~x, t) = ψα(~x)e−iEαt~ (4)

que son llamadas estados estacionarios.Nota

7

1. La probabilidad de prescencia para un estado estacionario (4) es independiente del tiempo:

|ψ(~x, t)|2 = |ψα(~x)|2

5. Estados propios de la energıa y evolucion temporal

Explicitando el hamiltoniano, la ecuacion a valores propios (3) es:

− ~2

2m~∇2ψα(~x) + V (~x)ψα(~x) = Eαψα(~x)

que es llamada ecuacion de Schrodinguer independiente del tiempo. Sus soluciones definen unconjunto {Eα, ψα(~x)} de valores propios y de funciones propias de la energıa. Los numeros Eαson los niveles de energıa del sistema. Consideremos ahora una funcion de onda ψ(~x, t) queen t = 0 es una superposicion de estados estacionarios:

ψ(~x, 0) =∑α

Cαψα(~x, t) (5)

Dado que la ecuacion de Schrodinguer es lineal, la evolucion en el tiempo de esta funcion deonda se escribe inmediatamente:

ψ(~x, t) =∑α

Cαe−iEαt~ψα(~x)

En virtud del teorema espectral de Riesz, se puede demostrar que toda funcion de onda conocidaen t = 0 se puede desarollar segun (5), con:

Cα = (ψα, ψ) =

ˆR3

d3x ψα(~x)∗ψ(~x, 0)

6. Estados ligados y estados de difusion

En mecanica clasica, se distinguen dos regımenes en el movimiento de una partıcula enun potencial que posee un limite finito V1 al infinito. Si el valor de la energıa E, que es unaconstante de movimiento, es inferior a V1, la trayectoria estara confinada en una region finitadel espacio, se llama a esto un estado ligado. En el caso contrario E > V1, la partıcula puedeescaparse del campo de fuerzas y alejarse hacia el infinito cuando t→∞, y se habla entoncesde estado de difusion. La misma distincion existe en mecanica cuantica. En la figura (7) semuestran trayectorias de una partıcula clasica para un potencial de la forma V (r) = −A/r,que tiende a cero en el infinito.

6.1. Estados ligados

Los estados ligados estacionarios estan caracterizados por soluciones de la ecuacion (3) paralas cuales la funcion ψα(~x) es de cuadrado sumable, es decir normalizable:

ˆR3

d3x |ψα(~x)| = 1

Se puede demostrar que esto se produce unicamente para un conjunto discreto de valores dela energıa {En}, que son los niveles de energıa del sistema: es el origen de la cuantificacion dela energıa. El hecho de que las funciones de onda sean normalizables corresponde a la situacion

8

Figura 7: Movimiento clasico en un potencial atractivo de la forma V (r) = −A/r (V1 = 0) conA > 0. Una partıcula con E < 0 permanece confinada en una region finita del espacio, mientrasque una energıa con E > 0 se escapa hacia el infinito.

clasica donde la trayectoria de la partıcula permanece confinada en el curso del tiempo a unaregion finita del espacio. Cada valor de En es inferior al valor V1 del potencial al infinito, ysuperior al valor mınimo

Vmin < En < V1

6.2. Estados de difusion

La ecuacion de Schrodinguer independiente del tiempo (3) posee igualmente soluciones para unconjunto continuo de valores de la energıa E superiores a V1. Asintoticamente, estas solucionesson ondas planas ya que el potencial es constante cuando ~x → ∞. Estas corresponden a losestados de difusion de partıculas asintoticamente libres, que son desviadas por el potencialV (~x). Si bien estas autofunciones no son normalizables (y entonces no pueden representar elestado de una partıcula), se pueden formar paquetes de onda, que son combinaciones linealesnormalizables de estas ondas de difusion.

Figura 8: Para un potencial que tiende a una constante V1 al infinito y posee un mınimo Vmin,los valores propios E del hamiltoniano forman: por un lado un conjunto discreto En entre Vminy V1 correspondiente a estados ligados, por otro un conjunto continuo de valores superioresa V1 correspondiente a estados de difusion. Todo estado fısicos e puede escribir como unasuperposicion lineal de las funciones propias correspondientes.

Notas:Algunos resultados importantes que conciernen los estados ligados son:

1. Un siempre puede buscar funciones propias ψ reales. Esto por que si ψ es solucion dela ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, ψ∗ tambien lo es, y con el mismoautovalor.

9

2. El teorema de Sturm-Liouville: Se pueden clasificar los niveles por valor creciente de laenergıa en funcion del numero de nodos (puntos donde el signo de la funcion de ondacambia) de la funcion de onda.

3. En el caso de que el potencial sea simetrico respecto al origen (funcion par V (x) = V (−x)),las funciones propias del hamiltoniano son pares o impares. Dado que una funcion imparposee un nodo en x = 0, esto significa que necesariamente el estado fundamental es unafuncion par, el primer estado exitado es impar, el segundo estado exitado es par, etc.

10

7. Cristalografıa

El sistema cubico de cristales es un sistema cristalino donde celda unitaria tiene forma decubo. Esta se repite indefinidamente a lo largo de todo el material. En general, hay 3 variedadesde cristales: Cubico Simple (SC), Cubico de cuerpo centrado (BCC) y cubico de caras centrado(FCC). En el caso SC cada vertice del cubo posee un atomo, es decir en la celda unitaria hayocho octavos de atomo, es decir 1 atomo por cubo.

Figura 9: Sistema cubico simple

En el caso BCC se puede encontrar atomos en los vertices y uno en el centro, es decir por celdaunitaria hay 2 atomos:

Figura 10: Malla elemental del arreglo BCC

Por ultimo, el caso FCC (Ar, Ag, Al, Au, Co, Cu) tiene atomos en cada vertice y en los centrosde las caras, dando un total de 4 atomos por celda (ocho octavos de los vertices y 6 medios porlas caras).

Figura 11: Estructura cristalina de cara centrada (FCC)

11

8. Postulados de la mecanica cuantica

Resumen

1. La descripcion del estado de una partıcula en el espacio se logra por una funcion de ondaψ(~x, t) donde su modulo cuadrado da la densidad de probabilidad de prescencia en elpunto ~x al instante t.

2. La evolucion en el tiempo de la funcion de onda de una partıcula colocada en un potencialV (r) se obtiene a partir de la ecuacion de Schrodinguer:

i~∂

∂tψ(~x, t) = Hψ(~x, t)

donde el observable energıa H, o hamiltoniano del sistema, es:

H = − ~2

2m~∇2 + V (r)

3. Para un sistema aislado en un potencial independiente del tiempo, los estados estacionar-ios son los estados propios de la energıa, con una funcion de onda de la forma:

ψ(~x, t) = ψα(~x)e−iEαt/~

donde ψα es una solucion normada (´R3 d

3x |ψα|2 = 1) de la ecuacion de Schrodingerindependiente del tiempo:

Hψα(~x) = Eαψα(~x)

La evolucion en el tiempo de toda funcion de onda ψ(~x, t) se escribe inmediatamente unavez conocidas las soluciones estacionarias:

ψ(~x, t) =∑α

Cαe−iEαt/~ψα(~x), con Cα =

ˆR3

d3x ψ∗α(~x)ψ(~x, t = 0)

12

9. Constantes y propiedades

Resistividad en ohm-metros, medidos a 1 atm y a 20o C:

Material Resistividad Material ResistividadConductor Semi-Conductores

Plata 1, 59× 10−8 Agua Salada 4, 4× 10−2

Cobre 1, 68× 10−8 Germanio 4, 6× 10−1

Oro 2, 21× 10−8 Diamante 2,7Aluminio 2, 65× 10−8 Silicio 2, 5× 103

Hierro 9, 61× 10−8 AislantesMercurio 9, 58× 10−7 Agua pura 2, 5× 105

Nicromo 1, 00× 10−6 Madera 108 − 1011

Manganeso 1, 44× 10−6 Vidrio 1010 − 1014

Grafito 1, 4× 10−5 Cuarzo ∼ 1016

Susceptibilidades magneticas a 1 atm y 20oC:

Material Susceptibilidad Material SusceptibilidadDiamagnetico Paramagnetico

Bismuto −1, 6× 10−4 Oxıgeno 1, 9× 10−6

Oro −3, 4× 10−5 Sodio 8, 5× 10−6

Plata −2, 4× 10−5 Aluminio 2, 1× 10−5

Cobre −9, 7× 10−6 Tungsteno 7, 8× 10−5

Agua −9, 0× 10−6 Platinio 2, 8× 10−4

CO2 −1, 2× 10−8 Oxıgeno lıquido (-200 oC) 3, 9× 10−3

Hidrogeno −2, 2× 10−9 Gadolinio 4, 8× 10−1

Constantes dielectricas, a 1 atm y 20 oC:

Material Constante Dielectrica Material Constante DielectricaVacıo 1 Benceno 2,28Helio 1,000065 Diamante 5,7Neon 1,00013 Sal 5,9

Hidrogeno 1,00025 Silicio 11,8Argon 1,00052 Metanol 33

Aire(seco) 1,00054 Agua 80,1Nitrogeno 1,00055 Hielo(30oC) 99

Vapor de agua (100oC) 1,00587 KTaNbO3 34 000

Algunas unidades y constantes fundamentales:

13

Unidades

Angstrom 1A = 10−10m (∼ tamano de un atomo)Fermi 1fm = 10−15m (∼ tamano de un nucleo)

ElectronVolt 1eV = 1, 60218 10−19JConstantes Fundamentales

Constante de Planck h = 6, 6261 10−34JsCte. Planck h-barra ~ = h/2π = 1, 054 10−34JsVelocidad de la luz c = 299 792 458m/s

Permeabilidad del vacıo µ0 = 4π 10−7 y ε0µoc2 = 1

Constante de Boltzmann kB = 1, 38 10−23JK−1

Numero de Avogadro NA = 6, 0221 1023

Carga del electron qe = −1, 602 10−19CMasa del electron me = 9, 1094 10−31kgMasa del proton mp = 1, 672 10−27kg

14

9.0.1. Problema 1

Se envıa sobre un fotocatodo de potasio una radiacion ultravioleta (lınea de mercurio) de longi-tud de onda λ = 253,7 nm, y se constata que la energıa maxima de los fotoelectrones expulsadoses de 3,14 eV . Si en cambio se utiliza radiacion visible de longitud λ = 589 nm (lınea amarillade sodio), la energıa maxima es entonces de 0,36 eV .

Encuentre el valor de la constante de Planck.

Calcule la energıa mınima requerida para extraer los electrones de la superficie de potasio.

Calcule la longitud de onda maxima de radiacion que puede producir un efecto fotoelectri-co sobre el potasio.

9.0.2. Solucion

a) Si T es la energıa necesaria para arrancar un electron del fotocatodo de potasio, la energıacinetica maxima que adquieren despues de la incidencia de un foton de energıa hν esta dadapor:

Emax = hν − T =hc

λ− T

Para λ1 = 253,7 nm se tiene Emax1 = 3,14 eV , y para λ2 = 589 nm, Emax2 = 0,36 eV , apartir de estos datos:

Emax1 − Emax2 = 2,78 eV = hc

(1

λ1

− 1

λ2

)2,78 eV = h

(1

253,7− 1

589

)× 3× 108 × 109 s−1

2,78 eV = h× 2,25× 10−3 × 3× 108 × 109 s−1

Se obtiene finalmente:

h =2,78

2,25× 3× 1014eV s = 4,1× 10−15 eV s

Recordando que 1 eV = 1,6× 10−19 J , se obtiene tambien:

h = 4,1× 1,6× 10−34 Js ∼ 6,6× 10−34 Js

b) La energıa mınima que se puede aplicar para extraer a un electron corresponde a T .Podemos calcularla a partir de

Emax1 =hc

λ1

− T

T =hc

λ− Emax1 =

4,1× 10−15 × 3× 1017

253,7− 3,14 eV

T =4,1× 3× 102

253,7− 3,14 eV = 1,7 eV

15

c) Se debe tener:

hc

λ− T ≥ 0

Es decir:

hc

T≥ λ

La maxima longitud de onda permitida es:

λmax =hc

T=

4,1× 10−15 eV s 3× 108 ms−1

1,7 eV=

12,3

1,7× 10−7 m

λmax = 7,24× 10−7 m = 0,72 µm

9.0.3. Problema 2

Calcule la longitud de onda de de Broglie de:

Un electron de 100 eV .

Un neutron termico. Compare con las dimensiones atomicas.

9.0.4. Solucion

a) Un electron de 100 eV tiene un momentum de magnitud:

p =√

2mE =h

λ

λ =h√

2mE

Considerando que m = 9× 10−31 kg:

λ =6,6× 10−34√

18× 10−31 × 1,6× 10−17=

6,6× 10−10

√18× 1,6

= 1,2× 10−10 m = 0,12 nm

b) Un neutron termico posee una energıa igual a kT = 25 meV a T = 300K. Ademas,mn ≈ 2000me:

λ =h√

2mE=

6,6× 10−34√36× 10−28 × 25× 1,6× 10−22

=6,6× 10−9

√36× 25× 1,6

= 0,17 nm

Ambas longitudes de onda son comparables con las distancias atomicas y pueden ser uti-lizadas en experiencias de difraccion de atomos y moleculas.

16

Figura 12: Utilizacion de ondas de de Broglie en un microscopio electronico. Con longitudes deonda suficientemente cortas, se pueden ver detalles muchos mas finos que con un microscopiooptico.

9.0.5. Problema 3

Considere una partıcula confinada en una region (1 dimension) donde el potencial es nulo,las regiones exteriores corresponden a zonas impenetrables por la partıcula. El potencialque ve la partıcula es de la forma:

V (x) = 0 si x ∈ [0, L]

V (x) =∞ si x /∈ [0, L]

Encuentre los niveles de energıa y la funcion de onda

Aplicacion numerica: En tecnologıas modernas de microelectronica, este tipo de poten-cial tan simple encuentra numerosas aplicaciones (Ver figura 13). Cuando un electron deconduccion se mueve en un semi-conductor como el GaAs, siente un potencial uniformea lo largo de la red cristalina. El valor de este potencial depende de la composicion delsemiconductor. En sandwichs de capas delgadas alternadas de semi-conductores (GaAsy GaAlAs), se crean pozos cuanticos cuyos largos pueden ser del orden del nm. El confi-namiento cuantico de los electrones en estos dominios prometen desarrollos sin precedentesen electronica y en las componentes de los computadores. Tambien posee aplicaciones enoptoelectronica: suponga que el pozo es infinito y de ancho 15 nm, y que electron poseeuna masa efectiva de m = 0,067me (esto se explicara mas adelante), cual debe ser la lon-gitud de onda de un foton para excitar a un electron desde el estado fundamental hastael primer estado excitado?

17

Figura 13: Sandwich de GaAs-GaAlAs-GaAs. El electron ve un pozo de potencial 1-D en estaestructura.

Extension a 3D Considere ahora el modelo de la ((partıcula en una caja)), que cor-responde a la extension del problema anterior a tres dimensiones. Considere ahora unapartıcula de masa m confinada en un paralelepipedo rectangular de lados L1, L2, L3. Deesta manera el potencial se puede escribir como:

V (3)(x, y, z) = V (x) + V (y) + V (z)

Donde:

V (xi) = 0 si xi ∈ [0, Li]

V (xi) = 0 si xi /∈ [0, Li]

con:

xi = x, y, z para i = 1, 2, 3

9.0.6. Solucion

En las regiones exteriores al intervalo [0,L] la probabilidad de existencia de la partıcula escero, luego: ψ(x) = 0. Ası por continuidad tenemos la siguiente condicion sobre ψ:

ψ(0) = 0 ψ(L) = 0

Ahora debemos buscar las funciones propias del Hamiltoniano que satisfagan esto, las funcionesψ satisfacen:

Hψ = Eψ

− ~2

2m

d2

dx2ψ = Eψ

ψ′′ +2m

Eψ = 0

Las soluciones de esta ecuacion son conocidas, son generalmente senos y cosenos. Como reque-rimos que la solucion sea nula en cero, solo consideramos la solucion dada por el seno:

ψ(x) = A sin(κx)

Reemplazando en la ecuacion obtenemos que:

κ =

√2mE

~2

18

Como ademas se exige que ψ sea nula en x=L se tendra que:

κL = nπ

Luego, deducimos de ambas igualdades que:

2mE

~2=n2π

L2

Ası, encontramos que no cualquier valor de la energıa es posible, estos se vuelven discretosgracias a las condiciones de borde impuestas sobre ψ:

En =n2π2~2

2mL2

Aplicacion numericaTenemos que el ancho del pozo L = 15nm, la masa efectiva es de 0, 067me. Entonces haciendo:

E2 − E1 = (4− 1)~2π2

2meffL2

E2 − E1 =3× (1, 054× 10−34)2π2

2× 0, 067× 9× 10−31 × (15× 10−9)2

E2 − E1 = 1, 2× 10−20 J

E2 − E1 = 74, 9meV

Por lo tanto, la frecuencia asociada del foton absorbido sera de:

ν =E2 − E1

hν = 1, 81× 1013Hz

λ =c

νλ = 15, 56µm

Comentario: este dispositivo puede ser utilizado para detectar luz infraroja, por ejemplo, partede la luz que emite el cuerpo humano a temperatura ambiente.

Ahora para pasar a 3D debemos resolver:

HΨ(r) = EΨ(r)

Donde H sera el operador:

H = − ~2

2m

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)+ V (3)(x, y, z)

Para resolver este problema, utilizamos una tecnica conocida como ((Separacion de Variables)),que corresponde a uno de los metodos mas utiles para resolver problemas en derivadas parciales,suponemos que la solucion es de la forma:

Ψ(r) = ψ1(x)ψ2(y)ψ3(z)

19

De esta manera,verificamos que Ψ es solucion si verifica:

− ~2

2mψ′′i (xi) = (Ei − Vi(xi))ψi(xi)

y:E = E1 + E2 + E3

En este punto podemos aplicar lo visto en el punto anterior en 1D ya que hemos llevado elproblema a uno conocido. En el problema anterior los niveles de energıa dependıan de un solo((numero cuantico)) n, ahora dependen de 3: n1, n2, n3. La solucion sera:

Ψn1,n2,n3(r) =

√8√

L1L2L3

sin

(n1πx

L1

)sin

(n2πy

L2

)sin

(n3πz

L3

)E = En1,n2,n3 =

~2π2

2m

(n2

1

L21

+n2

2

L22

+n2

3

L23

)En este caso, podemos introducir el concepto de ((grado de degeneracion)). Vemos que para

un mismo valor de la energıa tenemos varias funciones de onda posibles. Por ejemplo, si L1 = L2

podemos permutar n1 y n2 obteniendo la misma energıa. En este caso decimos que el grado dedegeneracion es igual 3.

9.0.7. Problema 4

La molecula de amoniaco NH3 tiene una forma piramidal donde el nitrogeno ocupa la cimay los 3 hidrogenos forman la base. Vamos a estudiar el comportamiento de los 3 atomos dehidrogeno considerando que la molecula siempre es piramidal y que el nitrogeno esta fijo.

(a) (b)

El potencial que ve este grupo de moleculas se puede aproximar por la figura siguiente:Ası estudiaremos el comportamiento de una ((partıcula)) de masa 3mH que representa a los

tres atomos de hidrogeno, suponiendo que ellos siguen en el mismo plano.

Demuestre que las soluciones de la ecuacion de Schrodinger son funciones pares e impares.

Limitandose al caso E < V0, las funciones propias del Hamiltoniano son:

ψ(x) = ±λ sin k(b+ a/2 + x) Region Izquierda

ψ(x) =

{µ coshKx Solucion par

µ sinhKx Solucion imparRegion Intermedia

ψ(x) = λ sin k(b+ a/2− x) Region Derecha

20

DG M

Donde K =√

2m(Vo − E)/~ y k =√

2mE/~Sean ψS y ψA los estados correspondientes a las funciones par e impar , respectivamente,asociados a las energıas mas bajas del sistema (ES < EA). Si consideramos el caso K � k yKa� 1 se tendra que las energıas correspondientes tendran una diferencia de:

EA − ES ≡ 2A

A ' ~2π2

2ma2

4e−K∆

Ka∆ = 2b− a El ancho de la barrera

Y en esta aproximacion supondremos que K ∼√

2mV0/~Considere ahora las siguientes combinaciones lineales de estos estados:

ψG = (ψS − ψA)/√

2

ψD = (ψS + ψA)/√

2

Describa cualitativamente estos estados. Ahora evalue la evolucion de una funcion deonda ψ(x, t) que en t=0 es igual a ψD.

Si 2A ∼ 10−4eV en el caso del amoniaco, encuentre la frecuencia y el periodo del fenomenodescrito en la pregunta precedente.

Extendamos este modelo a un solido. Este doble pozo cuantico puede representar dosatomos separados por una distancia ∆. Un electron de uno de los atomos vera el potencialtratado anteriormente. Si el electron tiene energıa E0 < 0 debera atravesar una barrera depotencial de altura |E0| de largo ∆. En funcion de ∆ y de E0 estime el tiempo caracterısticoT de paso de un atomo al otro. Puede aproximar A por A ∼ |E0|e−K∆. En un solido setiene normalmente: ∆ = 2A, |E0| = 4 eV y en un gas ∆ = 30A y |E0| = 4 eV

21

9.0.8. Solucion

En la siguiente figura (a la izquierda) se muestran las funciones de onda φS (simetrica) yφA (antisimetrica). Estas representan los dos estados de menor energıa posible para la moleculade amonıaco (EA < ES). La funcion de onda ψD(x) corresponde a una combinacion de φS yφD que concentra la probabilidad de prescencia a la derecha del atomo de N (Analogamente,ψG(x) es un estado en el cual los atomos de H estan a la izquierda de N). Estos dos estadosrepresentan entonces las dos situaciones que uno observa en mecanica clasica: los atomos de Hestan o bien a la derecha (ψD), o a la izquierda (ψG) del nitrogeno.

La evolucion vendra dada por:

ψ(x, t) =1√2

(ψS(x)e−iESt/~ + ψA(x)e−iEAt/~

)ψ(x, t) =

e−iESt/~√2

(ψS(x) + ψA(x)e−iωt

)Donde hemos introducido la ((frecuencia de Bohr)) ~ω = EA−ES = 2A Ası despues de un tiempot = π/ω = π~/(2A) la funcion de onda es proporcional (por una fase) a ψG es decir, la partıculase encuentra ((a la izquierda)). Luego en un tiempo t = 2π/ω la funcion de onda es proporcionala ψD, es decir, vuelve a la derecha. Es decir, la superposicion representa una partıcula que oscilade derecha a izquierda con frecuencia ω. Esto es posible gracias al efecto tunel: clasicamente, siinicialmente la partıcula se encuentra a la derecha, permanecera para ahı indefinidamente. Lamolecula de amoniaco, preparada de esta manera se da vuelta periodicamente con frecuenciaangular ω. Esto es conocido como la inversion de la molecula de amoniaco. La cantidad Acontrola la frecuencia de oscilacion. En el caso del amoniaco la cantidad A es pequena: 2A ∼10−4 eV . En consecuencia:

ν =ω

2π=

2A

h= 24GHz T =

1

ν=

h

2A' 4, 2× 10−11s

Esta frecuencia de oscilacion esta asociada tambien a la emision o la absorcion de una ondaelectromagnetica por parte de la molecula de NH3. En este caso, la longitud de onda se situa enel dominio centimetrico (λ ∼ 1, 25cm). Gracias a esta oscilacion se puede detectar la presenciade este elemento en el medio interestelar.

Extension al caso de un solido En el caso de un solido tenemos que A ∼ |E0|e−K∆ yaproximaremos K =

√2m|E0| Para un solido entonces:

∆ = 2A |E0| = 4 eV

A = 1 eV T = 10−15 s

22

Comparamos con un gas:

∆ = 30A |E0| = 4 eV

A = 10−12 eV T = 10−3s

Vemos que el paso por efecto tunel para los electrones de valencia es importante en elcaso de los solidos. Estos electrones saltan rapidamente de un sitio a otro y entonces estancompletamente deslocalizados en la estructura cristalina. En cambio, en el caso de un gas elfenomeno es completamente despreciable, debido a que por la agitacion termica dos atomos enun gas se encuentran a una distancia de 30A durante un tiempo inferior a 10−10 s, luego elefecto tunel (perıodo 10−3 s en este caso) no alcanza a ser apreciable en un tiempo tan pequeno:la idea de que en un gas cada electron pertenece a una molecula se justifica perfectamente.

El hecho principal, es que A varıa exponencialmente, es decir, muy rapidamente con ∆ yK. Por ejemplo, en el caso macroscopico, donde ∆ y K son grandes, los tiempos T asociados alefecto tunel son tan increıblemente largos que se puede decir con seguridad que si una partıculacomienza a la derecha en el instante inicial, se queda ahı indefinidamente.

23