МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Кафедра высшей математики

ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

Учебно-методическое пособие

Составитель В.И. Зубов

МОСКВА 2007

2

УДК 517.586

Рецензент доктор физико-математических наук, профессор В.И. Жук

Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие / Сост.: В.И.Зубов. — М.: МФТИ, 2007. — 51 с.

Пособие посвящено изложению основ теории функций Бес-селя первого рода. Предназначено для студентов, изучающих со-ответствующий раздел курса уравнений математической физики. Доказывается свойство ортогональности функций Бесселя, выво-дятся рекуррентные соотношения, связывающие их. Изучаются корни функций Бесселя. Рассматривается асимптотика поведения функций Бесселя на бесконечности. Приводится пример исполь-зования функций Бесселя для решения краевых задач. Излагае-мый материал дает возможность студентам быстрее и эффектив-нее овладеть основами теории функций Бесселя и способствует развитию у студентов навыков использования специальных функций при решении сложных инновационных задач

УДК 517.586

© Московский физико-технический институт (государственный университет), 2007

© Зубов В.И., составление, 2007

3

Введение Большое число самых разнообразных задач, относящихся практически ко всем важнейшим разделам математической физи-ки и призванных ответить на актуальные технические вопросы, связано с применением функций Бесселя. Функции Бесселя ши-роко используются при решении задач акустики, радиофизики, гидродинамики, задач атомной и ядерной физики. Многочислен-ны приложения функций Бесселя к теории теплопроводности и теории упругости (задачи о колебаниях пластинок, задачи теории оболочек, задачи определения концентрации напряжения вблизи трещин). Такая популярность функций Бесселя объясняется тем, что решение уравнений математической физики, содержащих опера-тор Лапласа в цилиндрических координатах, классическим мето-дом разделения переменных приводит к обыкновенному диффе-ренциальному уравнению, служащему для определения этих функций. Функции Бесселя названы по имени немецкого астронома Фридриха Бесселя, который в работе 1824 года, изучая движение планет вокруг солнца, вывел рекуррентные соотношения для функций Бесселя )(xJ , получил для целых интегральное

представление функции )(xJ , доказал наличие бесчисленного

множества нулей функции )(0 xJ и составил первые таблицы для

функций )(0 xJ , )(1 xJ и )(2 xJ .

Однако впервые одна из функций Бесселя )(0 xJ была рас-смотрена еще в 1732 году Даниилом Бернулли в работе, посвя-щенной колебанию тяжелых цепей. Д. Бернулли нашел выраже-ние функции )(0 xJ в виде степенного ряда и заметил (без дока-

зательства), что уравнение 0)(0 xJ имеет бесчисленное множе-ство действительных корней. Следующей работой, в которой встречаются функции Бессе-ля, была работа Леонарда Эйлера 1738 года, посвященная изуче-

4

нию колебаний круглой мембраны. В этой работе Л. Эйлер нашел для целых выражение функции Бесселя )(xJ в виде ряда по

степеням x , а в последующих работах распространил это выра-жение на случай произвольных значений индекса . Кроме того, Л. Эйлер доказал, что для , равного целому числу с половиной, функции )(xJ выражаются через элементарные функции. Он

заметил (без доказательства), что при действительных функ-ции )(xJ имеют бесчисленное множество действительных ну-

лей и дал интегральное представление для )(xJ . Некоторые ис-следователи считают, что основные результаты, связанные с функциями Бесселя и их приложениями в математической физи-ке, связаны с именем Л. Эйлера.

§ 1. Дифференциальное уравнение Бесселя

Определение 1. Дифференциальное уравнение вида 0)()()()( 222 xyxxyxxyx , 0x , (1.1)

называется уравнением Бесселя индекса . В общем случае может быть и комплексным. В настоящем

пособии ограничимся рассмотрением действительных значений индекса и положим для определенности, что 0 .

В дальнейшем нам придется иметь дело еще с двумя пред-ставлениями уравнения Бесселя.

1º. Поделив обе части уравнения (1.1) на 0x , получим

0)()()()(2

xyx

xxyxyx ,

или

0)()()(2

xyx

xxyx . (1.2)

Представление (1.2) уравнения Бесселя (1.1) называется уравне-нием Бесселя в самосопряженном (дивергентном) виде.

5

2º. Уравнение Бесселя (1.1) можно преобразовать к виду, не содержащему первой производной. Введем для этого новую функцию )(xZ так, что

)()( xyxxZ . (1.3) Имеем

)(1)( xZx

xy ;

)(2

1)()( xZx

xZxxyx ;

)(4

1)()( 2/3 xZx

xZxxyx .

Подставив полученное выражение в (1.2), придем к следующему уравнению для функции )(xZ :

0)(4

141)( 2

2

xZ

xxZ , 0x . (1.4)

Это уравнение не содержит производной первого порядка. Его часто называют уравнением Бесселя в приведенном виде.

§ 2. Решение уравнения Бесселя

Уравнение Бесселя (1.1) есть линейное уравнение второго порядка. Поэтому для его полного интегрирования достаточно знать два его частных линейно независимых решения )(1 xy и

)(2 xy . Известно, что интегралы уравнения Бесселя, вообще гово-ря, не выражаются через элементарные функции. Поэтому есте-ственно попытаться найти его решения в виде степенного ряда по переменной x . При этом следует учесть, что классический сте-пенной ряд вида

...33

2210 xaxaxaa

может не привести к цели. Действительно, в теории степенных рядов доказывается, что в области сходимости ряда, в частности,

6

при 0x , и сам ряд и все его производные должны иметь конеч-ные значения. Точка 0x является особой точкой дифференци-ального уравнения Бесселя (1.1), и в данном случае как раз мож-но подозревать, что при 0x либо сама функция )(xy , либо ее производные могут обращаться в бесконечность. Это видно, на-пример, из самого уравнения Бесселя (1.1), если переписать его в таком виде:

2

22 )()()()(x

xyxxyxxy

.

Вид правой части показывает, что при 0x величина )(xy должна обращаться в бесконечность, если )0(y и )0(y имеют конечные значения и, например, либо 0)0( y , либо 0)0( y и

0 . Поэтому решение уравнения Бесселя (1.1) попытаемся ис-кать в виде обобщенного степенного ряда:

0

)()(p

pp xCxxxxy , (2.1)

причем 00 C . Проведем формальное дифференцирование ряда (2.1):

0 00

)(p p

pp

pp

p

pp xCpxxCpxxCxxyx .

Действуя аналогично предыдущему, получим

0

2)(p

pp xCpxxyxx . (2.2)

Подставим исходное разложение (2.1) и полученное разло-жение (2.2) в следующее представление уравнения Бесселя:

0)()()( 22 xyxxyxx , которое является очевидным следствием дивергентного пред-ставления (1.2), и найдем

0

22

0

2 0)()(p

pp

p

pp xCxxxCpx ,

7

00

2

0

22

p

pp

p

pp xCxCpx ,

02

20

22

p

pp

p

pp xCxCpx .

Приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях x , приходим к следующим рекуррентным соотношениям для коэф-фициентов pC , ...),1,0( p :

0022 C , )0( p ,

0)1( 122 C , )1( p , (2.3)

0)( 222

pp CCp , )2( p .

Учитывая, что 00 C , из первого равенства в (2.3) (при 0p ) получим, что .

1º. Построим формальное решение уравнения Бесселя при 0 . Система рекуррентных соотношений (2.3) в данном

случае преобразуется к системе: 00 0 C , )0( p ,

0)21( 1 C , )1( p , (2.4) 0)2( 2 pp CCpp , )2( p .

Из соотношений (2.4) следует, что 0C – произвольное число,

что 01 C и что

)2(2

pp

CC p

p , )2( p . (2.5)

Полученное условие 01 C и рекуррентное соотношение (2.5) позволяют найти все нечетные коэффициенты ряда (2.1):

0...... 12531 kCCCC .

8

Что касается четных коэффициентов ряда (2.1), то все они про-порциональны 0C и определяются следующими формулами:

)1(12)22(2 200

2

CCC , )12( p ,

)2(2)24(4 3

224

CCC

)2()1(21240

C, )22( p ,

)3(32)26(6 2

446

CCC

)3()2()1(321260

C , )32( p ,

)(22)1(2

2 kk

CC k

k

)()2()1(212

)1(2

0

kk

Ck

k

, )2( kp .

Справедливость последнего соотношения без труда может быть доказана методом математической индукции. Для того что-бы члены ряда (2.1) имели наиболее простой вид, положим

)1(21

0 C ,

где

0

1)( dtets ts , )0( s ,

− «гамма-функция Эйлера». Принимая во внимание выбранное значение 0C и пользуясь

следующими известными свойствами гамма-функции: )()1( sss , 1)1( ,

9

!)1( nn ( n – натуральное), четные коэффициенты ряда (2.1) можно представить в таком ви-де:

)1()()2()1(!2)1(

22 kkC k

k

k

)1()1(2)1(

2

kkk

k. (2.6)

В результате приходим к построенному формально первому частному решению уравнения Бесселя:

)(~2

)( xxxJ

, (2.7)

где

0

2

0)(

2)1()1()1()(~

kk

k

k

kxux

kkx . (2.8)

Исследуем функциональный ряд (2.8). Для этого рассмотрим следующий степенной ряд в комплексной плоскости:

0

2

0)(

2)1()1()1()(~

kk

k

k

kzuz

kkz , Cz .

Последний степенной ряд сходится при всех комплексных значе-ниях z . В этом легко убедиться, воспользовавшись признаком Даламбера. При каждом z таком, что Mz , имеем

2

2

21

2)1()1(1

2)2()2()1()1(

)(

)(

Mkk

zkkkk

zu

zu

k

k ,

и

0)(

)(lim 1

q

zu

zu

k

kk

.

10

Так как 1q , то ряд

0)(

kk zu сходится абсолютно для всех

Cz и сходится равномерно в любой ограниченной области комплексной плоскости. Из теории степенных рядов следует, что функция )(~ z , порожденная степенным рядом, является целой функцией комплексной переменной z .

Возвращаясь к ряду (2.8), мы можем теперь утверждать, что он порождает бесконечно дифференцируемую функцию )(~ x , определенную при 0x , и что все наши предыдущие действия, связанные с почленным дифференцированием ряда, были закон-ными. Поэтому функция )(xJ , определяемая равенством (2.7), представляет собой решение уравнения Бесселя на полуоси

0x , причем это решение ограничено в окрестности точки 0x . Замечание. Отметим особо, что для случая 0 все рас-

суждения остаются в силе, и в этом случае решение представимо равенством (2.7) с , равным нулю.

Определение 2. Функцию )(xJ называют функцией Бессе-

ля первого рода индекса 0 (порядка ). Отметим, что если порядок функции Бесселя первого рода

оказывается целым числом 0n , то в силу равенства !)()1( knkn представление функции )(xJ принимает

следующий вид: k

k

kn

nx

knkxxJ

2

0 2!)(!)1(

2)(

2º. Рассмотрим теперь случай , т. е. 0 . Система (2.3) рекуррентных соотношений здесь выглядит так:

00 0 C , )0( p ,

0)21( 1 C , )1( p , (2.9)

11

0)2( 2 pp CCpp , )2( p ,

и формально может быть получена из системы (2.4) заменой на . При решении системы уравнений (2.9) следует выделить три

случая. 1) Пусть параметр 0 не равен половине натурального

числа. В этом случае все коэффициенты pC , 1p , опять выра-

зятся единственным образом через коэффициент 0C , а именно, все коэффициенты с нечетными индексами обращаются в нуль, а все коэффициенты с четными индексами вычисляются по форму-ле

)()2()1(!2

)1(

)(2 20

222

2

kk

C

kk

CC k

kk

k ,

),2,1( k Выбрав значение коэффициента 0C специальным (удобным) об-

разом )1(2

10 C , получим

)1()1(2)1(

22

kk

C k

k

k , ),2,1,0( k . (2.10)

В результате мы приходим ко второму частному решению уравнения Бесселя:

)(~2

)( xxxJ

, (2.11)

где k

k

k xkk

x2

0 2)1()1()1()(~

. (2.12)

Аналогично тому, как это сделано выше, показывается, что ряд (2.12) сходится при всех 0x и порождает бесконечно диф-ференцируемую функцию )(~ x .

12

Определение 3. Получающаяся в этом случае функция )(xJ называется функцией Бесселя первого рода отрицатель-

ного индекса ( -го порядка). 2) Пусть теперь индекс 0 равен половине натурального

нечетного числа, т. е. 2/1 n , ),1,0( n . В этом случае все коэффициенты с четными индексами определяются, как и в предыдущем случае, формулой (2.10). Что касается коэффициен-тов с нечетными индексами, то коэффициенты с индексами от 1 до )12( n включительно равны нулю. Коэффициент 12 nC мо-жет быть выбран произвольно, а остальные коэффициенты с не-четными индексами, большими )12( n , однозначно определяют-ся через коэффициент 12 nC с помощью рекуррентных соотно-

шений (2.9). Если мы положим 12 nC равным нулю (самый про-стой выбор), то для случая 2/1 n получим частное решение уравнения Бесселя вида (2.11)–(2.12). Это решение является функцией Бесселя первого рода индекса )2/1( n , т. е.

)()2/1( xJ n.

3) Пусть, наконец, параметр 0 равен натуральному числу n . Соотношения (2.9) позволяют заключить, что все коэффици-енты с нечетными индексами равны нулю и что коэффициенты с четными индексами p , np 2 , также равны нулю. Выбрав ко-эффициенты pC с четными индексами p , kp 2 , )( nk в со-

ответствии с формулами (2.10), найдем, что все рекуррентные соотношения будут выполнены и что частное решение в этом случае представляется в виде (см. (2.11)–(2.12))

k

nk

kn

nx

knkxxJ

2

2)1()1()1(

2)(

.

Заменив в ряде суммирование по индексу k суммированием по индексу nkm , получим

13

nm

m

nmn

nx

nmnnmxxJ

22

0 2)1()1()1(

2)(

m

m

mnn x

mnmx 2

0 2)1()1()1(

21

.

Принимая во внимание соотношение (2.8), найдем, что при натуральном n

)(1)( xJxJ nn

n . (2.13) 3º. При построении частных решений уравнения Бесселя

(1.1) с помощью обобщенных рядов мы ввели определение функ-ции Бесселя отдельно для неотрицательных и отрицательных значений индекса . Как нетрудно видеть, эти определения мож-но объединить.

Определение 4. Функция, определяемая равенством k

k

k xkk

xxJ2

0 2)1()1()1(

2)(

, 0x , (2.14)

называется функцией Бесселя первого рода индекса . При этом под понимается любое действительное число: как целое, так и дробное, как положительное, так и отрицательное.

Уравнение Бесселя − обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Следовательно, его фундаментальная система решений состоит из двух линейно независимых решений. В качестве одного из этих решений можно выбрать функцию

)(xJ — функцию Бесселя первого рода индекса 0 . Она ог-раничена в окрестности точки 0x . Оказывается, что всякое другое решение )(xY уравнения Бесселя, линейно независимое с

)(xJ , будет неограниченным в окрестности точки 0x . А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Всякое решение )(xY уравнения Бесселя (1.1), линейно независимое с его решением )(xJ , 0 , в окрестности точки 0x неограниченно и имеет вид

14

.0если,ln)()(,0если),()()(

22

11

xxBxAxBxxAxY

Здесь )(xAi и )(xBi , )2,1( i − функции, определенные и ограни-

ченные в точке 0x и ее окрестности, и 0)0( iB . Доказательство. Пусть )(xY − решение уравнения Бессе-

ля (1.1), линейно независимое с решением )(xJ , 0 . Функция

Бесселя первого рода )(xJ определена в точке 0x и ограни-чена в окрестности этой точки. Из выражений (2.7)–(2.8), опреде-ляющих эту функцию, следует, что функция )(xJ представима в

виде )(~2

)( xxxJ

, что функция )(~ x непрерывна при

0x и что 0)1(

1)0(~

. На основании этого можно за-

ключить, что найдется такое число 0 , при котором для всех ,0x функция )(~ x непрерывна и для нее справедлива

оценка

0)1(2

1)(~

x .

Это означает, что для всех ,0x , 0)( xJ . В соответствии с формулой Остроградского–Лиувилля для определителя Вронско-го решений уравнения (1.1) имеем

xCxJxYxJxY

)()()()( , ,0x ,

причем в силу линейной независимости этих решений 0C . По-делив обе части последнего равенства на 0)(2 xJ , получим

)()()(

2 xJxC

xJxY

dxd

, ,0x . (2.15)

15

Для любого ,0x , путем интегрирования тождества (2.15), придем к следующему выражению для функции )(xY :

x tJtdtC

JYxJxY

)()()()()( 2 , ,0x .

С учетом (2.7) последнему выражению можно придать такой вид

x tdttC

JYxJxY

)(~2)()()()( 2

122 , ,0x .

Применим к этому интегралу теорему о среднем значении. В результате получим

x t

dtxJCxJJYxY 122

2)(

)(~2)(

)()()( , ,0x , (2.16)

где ,)( xx . Значение интеграла в (2.16) зависит от величины 0 :

x x

xtdt

.0,lnln

,0,1121

2212

Следовательно, функцию )(xY можно представить так

,0если,ln)()(0если,)()()(

22

11

xxBxAxxBxAxY (2.17)

где

)(~

2)()()()( 22

12

1C

JYxJxA , )(~

)(~2)( 2

1

1 xCxB

,

ln)(~)(

)()()( 200

02C

JYxJxA ,

)(~)(~

)( 20

02

xCxB .

Функции )(1 xA , )(1 xB , )(2 xA и )(2 xB не имеют особенно-стей в точке 0x , а )(1 xB и )(2 xB не обращаются в нуль на от-

16

резке ,0 . Поэтому из равенства (2.16) следует утверждение теоремы.

В разделе 2º настоящего параграфа мы получили и другие частные решения уравнения Бесселя, отличные от функции

)(xJ .

При индексе , не равном целому числу, мы построили ре-шение )(xJ , которое, как следует из (2.11)–(2.12), стремится к бесконечности при 0x . Следовательно, функции )(xJ и

)(xJ линейно независимы. В этом случае общее решение )(xy уравнения Бесселя имеет вид

)()()( 21 xJxJxy , (2.18)

где 1 и 2 — произвольные постоянные. Часто в качестве второго фундаментального решения вместо

функции )(xJ выбирают функцию Неймана, которая определя-

ется как конкретная линейная комбинация функций )(xJ и

)(xJ :

)(sin

1)()( xJctgxJxN . (2.19

Тогда общее решение уравнения Бесселя представимо в виде )()()( 21 xNxJxy . (2.20)

Если индекс равен целому числу n , то функции )(xJ и

)(xJ , как показано выше, линейно зависимы (см. (2.13)), и об-щее решение уравнения Бесселя нельзя найти с помощью равен-ства (2.18). Его ищут с помощью равенства (2.20), понимая под

)(xN в этом случае предел при , стремящемся к n :

)(lim)( xNxNnn

. (2.21)

В аналитической теории дифференциальных уравнений до-казывается, что этот предел существует для всех 0x и что он

17

является решением уравнения Бесселя, линейно независимым с решением )(xJ .

Определение 5. Функция )(xN , определяемая соотноше-ниями (2.19), (2.21), называется также функцией Бесселя второго рода индекса .

§ 3. Линейные зависимости между функциями Бесселя

Найдем соотношения между функциями Бесселя первого ро-

да различных порядков. По определению функции Бесселя )(xJ мы имеем

k

k

k xkk

xJ2

0 2)1()1()1()(

.

1º. Разделим функцию )(xJ на x и возьмем от этого част-ную производную

02

2

)1()1(2)1()(

kk

kk

kkx

dxd

x

xJdxd

12

1 2)1()1(2)1(

k

k

k xkk

k .

Возвращаясь к прежнему суммированию от 0 до и учитывая, что для натуральных значений k !)1( kk , получим

12

0

1

2)2()2(2)1()1()( k

k

k xkk

kx

xJdxd

xx

kk

k

k

k 21

0 2)11()1()1(

x

xJxkkx

k

k

k )(2)11()1(

)1(1 121

0.

18

Таким образом, получается одна из формул, дающих соотноше-ние между функциями Бесселя с разными индексами:

x

xJ

x

xJdxd )()( 1 . (3.1)

Ее можно переписать в таком виде:

11 )()(1

x

xJ

x

xJdxd

x. (3.2)

Равенство (3.2) показывает, что дифференцирование дроби

x

xJ )( с последующим делением на x равносильно увеличе-

нию на единицу и изменению знака у упомянутой дроби. Применяя указанное правило m раз, получим формулу, ко-

торую символически можно записать так:

mmm

m

m

xxJ

xxJ

dxxd

)()1()( , (3.3)

где употреблено следующее символическое обозначение:

)(...)( xf

dxxd

dxxd

dxxdxf

dxxd

m

m .

2º. Умножим функцию )(xJ на x и возьмем от этого про-изведения производную

02

22

)1()1(2)1()(

kk

kk

kkx

dxdxJx

dxd

0

2

122

)1()1(2)(2)1(

kk

kk

kkxk .

Учитывая, что )()()1( kkk , найдем

0

12

122

)()1(2)1()(

kk

kk

kkxxJx

dxd

19

)(2)11()1(

)1(1

0

21

xJxxkk

xk

kk

.

Разделив обе части полученного выражения на x , будем иметь

)()(11

1 xJxxJxdxd

x

, (3.4)

т. е. дифференцирование произведения )(xJx с последующим

делением на x равносильно уменьшению на единицу у упомя-нутого произведения.

Применив полученное правило m раз, приходим к формуле

)()( xJxxJx

dxxd

mm

m

m

. (3.5)

3º. Вернемся к формуле (3.1). Найдем производную левой части как производную дроби

2

1 )()()(

x

xJxxJx

x

xJdxd .

По доказанному ранее (см. (3.1)), это выражение равно x

xJ )(1 .

Следовательно:

x

xJ

x

xJxJx )()()( 11 .

Из последнего равенства выразим )(xJ :

)()()( 1 xJx

xJxJ

. (3.6)

Применив аналогичные преобразования к равенству

)()( 1 xJxxJxdxd

,

без труда получим

)()()( 1 xJx

xJxJ

. (3.7)

20

Наконец, складывая равенства (3.6) и (3.7), придем к форму-ле

)()(21)( 11 xJxJxJ

. (3.8)

Выделим два полезных соотношения, получающихся из пре-дыдущих равенств при конкретных значениях индекса . Так, положив в (3.6) 0 , будем иметь

)()( 10 xJxJ , (3.9) а из (3.4) при 1 следует, что

)()( 01 xJxxJx .

4º. Сравнивая между собой формулы (3.6) и (3.7) заключаем, что

)()()()( 11 xJx

xJxJx

xJ

.

Таким образом,

)(2)()( 11 xJx

xJxJ

. (3.10)

Соотношение (3.10) есть рекуррентное соотношение между тремя последовательными функциями Бесселя с индексами 1 , и

1 . Оно позволяет, к примеру, выразить все функции Бесселя первого рода целого порядка через функции )(0 xJ и )(1 xJ . Дей-ствительно, из (3.10) находим

)()(22)( 21 xJxJx

xJ

.

Отсюда последовательно определяем

)()(2)( 012 xJxJx

xJ ,

)()()(24)()(4)( 101123 xJxJxJ

xxxJxJ

xxJ

)(4)(18012 xJ

xxJ

x

,

21

)(124)(848)()(6)( 0213234 xJx

xJxx

xJxJx

xJ

и

т. д., при этом

...2)!3(

12)!2(

12

1)(6

2

4

2

2

0

xxxxJ

...2!3!2

12!2!1

12

)(53

1

xxxxJ

§ 4. Функции Бесселя, индекс которых равен

целому числу с половиной

1º. Рассмотрим сначала простейший случай, когда 21

.

Согласно определению функции Бесселя )(21 xJ имеем:

k

k

k x

kk

xxJ2

0

21

21 21

21)1(

)1(2

)(

.

Так как

000

2/1 22)2(

21 detdedtte tt ,

)()1( sss , то

21

23

,

23

21

25

,

25

23

21

27

,

22

……………………... ,

12)12(31

212

23

21

232

kkkk

.

Учитывая также, что для натуральных k !)1( kk , получим

k

k

kk xkk

xxJ2

0

121

21 2)12(31!

2)1(2

)(

12

0

12

0

21

!)12()1(2

)12(31)2!()1(2

k

k

kk

k

kx

kxx

kkkx

Ряд в правой части последнего равенства представляет собой разложение функции xsin . Поэтому оказывается справедливым равенство

xx

xJ sin2)(21

. (4.1)

2º. Рассмотрим теперь случай, когда 21

. Имеем

k

k

k x

kk

xxJ2

0

21

21 21

21)1(

)1(2

)(

.

Принимая во внимание, что

kkkkk

2)12(31

212

23

21

2121

21

,

получим

k

k

kk xkk

xxJ2

0

21

21 2)12(31!

2)1(2

)(

k

k

kk

k

kx

kxx

kkkx2

0

2

0 !)2()1(2

)12(31)2!()1(2

.

23

Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, является функцией xcos . Следовательно,

xx

xJ cos2)(21

. (4.2)

3º. Функции Бесселя, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через эле-ментарные функции. Исключением из этого правила являются функции Бесселя, индекс которых равен целому числу с полови-

ной, т. е. 2

12

m , где m − целое число. Докажем это. Функция

Бесселя xx

xJ sin2)(21

(см. (4.1)) представляет собой супер-

позицию элементарных функций. Для 0m применим к ней формулу (3.3) и получим

m

mm

m

m

m

m

x

xJ

xxxdxx

d

x

xJ

dxxd

21

21

21

21 )(

)1(sin21)(

.

Отсюда найдем )(21 xJ

m:

xx

dxxdxxJ m

mmm

m

sin2)1()( 212

21 .

Функция

xx

dxxd

m

m sin , 0m , как нетрудно видеть, является

суперпозицией элементарных функций. Следовательно, и функ-ция Бесселя )(

21 xJ

m, 0m , выражается через элементарные

функции. Что касается отрицательных целых m , то аналогичные рас-

суждения, проведенные с использованием соотношения (3.5),

24

примененного к функции Бесселя )(21 xJ

, позволяют получить

представление функции xJm

21

вида

xx

dxxdxxJ

m

mm

m

cos2 21

21 ,

откуда опять следует вывод, что xJm

21 − суперпозиция эле-

ментарных функций. Итак, на основании доказанного можно сделать вывод, что

функции Бесселя с индексами, равными целому числу с полови-ной, представляют собой суперпозиции элементарных функций.

§ 5. Ортогональность функций Бесселя

Остановимся на рассмотрении функций Бесселя )(xJ в случае 1 . Имеет место следующее утверждение.

Теорема 5.1. Для любых действительных чисел 01 и 02 функция Бесселя )(xJ , 1 , удовлетворяет следую-

щему интегральному соотношению:

0

21 )()( dttJtJt

.,)(121)(

21

,,)()()()(1

212

121

22

1

2121221122

21

JJ

JJJJ

25

Доказательство. Пусть дана функция Бесселя )(xJ , где

1 . Она удовлетворяет уравнению Бесселя, записанному в дивергентной форме (1.2).

0)()( 2

xJx

xdx

xdJx

dxd .

Введем вместо x новую независимую переменную t по правилу tx 1 , 01 . Непосредственной подстановкой нетрудно убе-

диться в том, что новая функция )( 1tJ переменной t удовле-творяет уравнению

0)()(

1

221

1

tJt

tdt

tJdt

dtd . (5.1)

Ввиду произвольности положительного числа 1 можно за-ключить, что для функции )( 2tJ , 02 также справедливо равенство

0)()(

2

222

2

tJt

ttd

tJdt

dtd . (5.2)

Умножим обе части равенства (5.1) на )( 2tJ , а обе части ра-

венства (5.2) — на )( 1tJ и вычтем одно из другого. В результа-те получим

tdtJd

tJttd

tJdtJt

tdd )(

)()(

)( 12

21

)()( 2122

21 tJtJt

. (5.3)

Проинтегрируем соотношение (5.3) по интервалу 1,0 и

примем во внимание, что )()( tJtd

tJd

, где

xdxJd

xJ)(

)( . В результате будем иметь

26

1

0

12

21

)()(

)()( td

tdtJd

tJttd

tJdtJt

dtd

dttJtJt

1

021

22

21 )()()( ,

или

1

0

12

21

)()(

)()(

tdtJd

tJttd

tJdtJt

dttJtJt

1

021

22

21 )()()( . (5.4)

Представление (2.14) функции Бесселя позволяет заключить, что при 0 и при 0t

2

2)1(1)(

tOttJ ,

2

2)1()(

tOttJt .

Поэтому при 0t 22

121212 )()()()( tOtJtJttJtJt .

Таким образом, в силу условия 1 левая часть равенства (5.4) при 0t обращается в нуль, и мы получим

)()()()()()()( 121212

1

021

22

21

JJJJdttJtJt .

При 21 отсюда заключаем, что

1

021 )()( dttJtJt

)()()()(12121212

221

JJJJ , (5.5)

27

т. е. первое утверждение теоремы 5.1 доказано. Для доказательства справедливости утверждения теоремы

5.1 при 21 в равенстве (5.5) перейдем к пределу при

12 . Правая часть равенства (5.5) представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой при 12 одновременно стремятся к нулю. Для раскрытия этой неопределенности вос-пользуемся правилом Лопиталя

1

01

2 )( dttJt

)()()()(1lim 21212122

2112

JJJJ

2

212211212

)()()()()()(lim

12

JJJJJJ

)()(21)()(

21)(

21

11111

21

JJJJJ . (5.6)

Учитывая, что функция Бесселя )(tJ удовлетворяет уравнению Бесселя (1.1)

0)()()()( 222 tJttJttJt , (1.1)

найдем

)()1()(1)( 2

2tJ

ttJ

ttJ

.

Подставив указанное представление функции )( 1J в вы-ражение (5.6), окончательно получим

2121

22

1

1

01

2 )(121)(

21)(

JJdttJt , (5.7)

что завершает доказательство теоремы 5.1.

28

Пусть теперь 01 и 02 — не произвольные числа, а вещественные корни уравнения

0)()( xJxxJ , (5.8)

где и – числа такие, что 022 . Тогда имеет место тео-рема 5.2.

Теорема 5.2. Если 01 и 02 — положительные корни уравнения (5.7), то для всех 1

1

021 0)()( dttJtJt , если 21 ,

и

.0)()(

21

,0,)()(21

)(

2

221

222

1

221

221

222

11

01

2

J

JdttJt ,

если 21 . Доказательство. 1º Согласно теореме 5.1 для любых 01 , 02 и 21 справедливо равенство (5.5) В частно-

сти, оно справедливо и для 01 , 02 , являющихся корнями трансцендентного уравнения (5.8). То, что 01 , 02 — корни уравнения (5.8), означает, что справедливы следующие равенства:

0)()( 111 JJ ,

0)()( 222 JJ , (5.9) причем числа и одновременно не равны нулю. Рассматривая равенства (5.9) как систему линейных алгебраических уравнений относительно и , и учитывая, что 022 , найдем, что определитель этой системы с необходимостью равен нулю:

29

0)()()()()()()()(

121212222

111

JJJJJJJJ

.

Отсюда следует, что правая часть равенства (5.5) также рав-на нулю, т. е.

1

021 0)()( dttJtJt .

В этом случае говорят, что функции )( 1 xJ и )( 2xJ ор-

тогональны друг другу с весом x на интервале 1,0 . 2º. Пусть теперь 21 . Если 0 , то из равенства (5.7)

можно выразить )(xJ , а если 0 , то можно выразить )(xJ . Подставив получившиеся выражения в правую часть соотноше-ния (5.7), мы получим утверждение теоремы при 21 .

§ 6. Поведение функций Бесселя при больших значениях аргумента

Выясним, какое асимптотическое поведение функций Бессе-

ля при x . Воспользуемся для этого уравнением Бесселя в приведенной

форме (1.4). Функция )()( xJxxZ удовлетворяет уравнению

0)(4

141)( 2

2

xZ

xxZ , 0x . (1.4)

При больших значениях x это уравнение становится похо-жим на уравнение гармонических колебаний

0)(~)(~ xzxz , 0x . Общее решение последнего уравнения можно записать в виде

)(cos)(~ xAxz , где A — амплитуда, а — фаза.

30

Можно ожидать, что решение уравнения (1.4) (полное урав-нение для )(xZ ) при x становится близким к решению

)(cos)(~ xAxz . И в самом деле, рассматривая при x член

)(4

142

2xZ

x

как малое возмущение уравнения гармонических

колебаний 0)(~)(~ xzxz , можно установить с помощью теории возмущений, что всякое решение уравнения (1.4) для )(xZ имеет при x поведение

xOxAxZ 1)(cos)( .

В результате этого получаем, что любое решение уравнения Бесселя имеет поведение

2/3

1)(cos)(x

OxxAxy при x .

Далее возникает следующий вовсе не простой вопрос: како-вы величины A и для функции )(xJ . Эти величины были найдены, исходя из некоторого интегрального представления для функции )(xJ с помощью метода “перевала”. Было установле-но, что (этого вывода мы не приводим)

2/3

142

cos2)(x

Oxx

xJ при x . (6.1)

§ 7. Нули функции Бесселя первого рода

Ортогональность функций Бесселя, как мы видели в § 5, свя-зана с нулями функций Бесселя и их производных. Рассмотрим основные свойства нулей функции Бесселя.

Теорема 7.1. Все нули функций Бесселя простые, кроме, может быть, 0x .

31

Доказательство. Предположим, что 00 есть нуль

функции Бесселя )(xJ кратности n )2( n . Учитывая гладкость

функции )(xJ , отсюда получаем, что 0)()( 00 JJ . Со-гласно единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка (1.1) из условий

0)()( 00 JJ следует, что 0)( xJ , что противоречит

представлению (2.7)–(2.8) функции Бесселя первого рода )(xJ .

Поэтому предположение о кратности нуля 0 неверно. Замечание. Если 1 , то у функции

)()()( xJxxJx , 0)( 22 , также не может быть

кратных нулей. В самом деле, предположив, что такой корень существует, и обозначив его через 01 , можем записать

0)()( 11 . Вычислив производную функции )(x в точке 1 и исклю-

чив из полученного выражения производную )(xJ с помощью уравнения Бесселя (1.1), мы придем к следующей системе урав-нений относительно )( 1J и )( 1J :

0)()()( 1111 JJ ,

0)(1)()( 121

2

111

JJ . (7.1)

Определитель этой системы равен )( 221

220 .

Если определитель 00 , то из системы уравнений (7.1) с

необходимостью следует, что 0)()( 11 JJ . Последние ра-

венства позволяют заключить, что 0)( xJ . Это утверждение противоречит представлению (2.7)–(2.8), справедливому для функции Бесселя )(xJ .

32

Если же определитель 00 , то согласно теореме 5.2

0)(1

01

2

dttJt ,

что опять приводит к неверному выводу о том, что 0)( 1 xJ . Итак, замечание доказано.

Теорема 7.2. Множество нулей функции Бесселя )(xJ не может иметь конечную предельную точку, т. е. все нули функ-ции Бесселя изолированные.

Доказательство. а) Покажем, что точка 0x является изолированным нулем

функции Бесселя )(xJ при 0 . Действительно, согласно представлению (2.7)–(2.8):

)(~2

)( xxxJ

,

где функция k

k

k xkk

x2

0 2)1()1()1()(~

непрерывна

при 0x и 0)1(

1)0(~

. Следовательно, существует та-

кая окрестность 0x , ни в одной точке которой функция )(~ x не обращается в нуль. Отсюда и следует, что 0x является изо-лированным нулем функции Бесселя при 0 .

б) Предположим теперь, что 0 является точкой сгущения нулей функции Бесселя )(xJ , где — любое действительное число. Это означает, что в любой сколь угодно малой окрестно-сти этой точки есть нуль функции )(xJ . В силу непрерывности

функции )(xJ заключаем, что 0)( J . Кроме того, можно

построить сходящуюся к точке последовательность }{ kx , со-

33

стоящую из нулей функции Бесселя. Учитывая гладкость функ-ции )(xJ , получим

0)()(

lim)(

k

kk x

JxJJ .

Таким образом, имеем 0)( J и 0)( J . Это означает,

что является нулем кратности два функции )(xJ , чего не мо-жет быть по теореме 7.1.

Следствие. Из теоремы 7.2 следует, что на любом ограни-ченном отрезке переменной x функция Бесселя )(xJ (при лю-

бом действительном ) может иметь лишь конечное число ну-лей.

Ряд результатов, касающихся корней функций Бесселя )(xJ , легко следует из замечательной теоремы сравнения, от-

крытой Штурмом. Последняя состоит в следующем. Пусть какой-нибудь интеграл уравнения 0)()()( xyxxy , где )(x – непрерывная функция, имеет два корня ax и bx , а непре-рывная функция )(x на интервале bxa удовлетворяет не-равенству )()( xx , причем на этом интервале существуют точки, в которых )()( xx . Тогда любой интеграл уравнения

0)()()( xzxxz имеет, по крайней мере, один корень на интервале ),( ba .

Опираясь на эту теорему сравнения Штурма, докажем ут-верждение, которое будет использовано в дальнейшем.

Лемма 7.1. Пусть на интервале ),( функция )(x не-

прерывна и удовлетворяет неравенствам Mxm )(0 . Если функция )(xz — решение дифференциального уравнения

0)()()( xzxxz , ),( x ,

34

а ),(1 и ),(2 — два последовательных корня функ-ции )(xz , то для расстояния 0)( 12 между этими корнями справедливы оценки

mM

12 . (7.2)

Доказательство. Выберем число ma и рассмотрим на интервале ),( уравнение 0)()( 2 xyaxy . Общий инте-грал этого уравнения таков: axcaxcxy cossin)( 21 . Любая из этих функций является осциллирующей, и расстояние между

ее корнями равно a (мы предполагаем, что интервал ),( дос-

таточно большой, так что a

2)( ). По теореме сравнения

Штурма между каждыми соседними нулями функции )(xy рас-положен нуль функции )(xz . Отсюда следует, что расстояние

между соседними нулями функции )(xz не меньше, чем a . Дей-

ствительно, предположив противное, т. е. что a

)( 12 , мы

можем среди интегралов уравнения 0)()( 2 xyaxy выбрать тот, два последовательных корня которого 1x и 2x принадлежат интервалу ),( 21 . Это означает, что на интервале ),( 21 xx функ-ция )(xz не имеет корней и что сделанное предположение

a

)( 12 противоречит теореме сравнения Штурма. Отсюда

ma 12 .

Аналогично доказывается и второе неравенство из (7.2). Перейдем теперь к формулировке свойств корней функций

Бесселя )(xJ . Для этого будем использовать уравнение Бесселя

35

в приведенном виде (1.4). Заметим, что )()( xZxxJ и что

положительные корни функций )(xJ и )(xZ совпадают. Теорема 7.3. Функция Бесселя )(xJ имеет счетное число

положительных нулей. Расстояние между двумя последователь-ными нулями функции )(xJ стремится к при стремлении x к бесконечности. Доказательство. 1º. Функция )(xZ является интегралом уравнения (1.4)

0)(4

141)( 2

2

xZ

xxZ , 0x . (1.4)

Для любого значения найдется такое число x ,

,

21,

314

,21,0

2x

что при xx функция 41

4141)( 2

2

x

x .

В соответствии с теоремой сравнения Штурма между любы-ми двумя соседними нулями функции )2/sin()( xxy , являю-

щейся интегралом уравнения 0)(41)( xyxy , лежит хотя бы

один нуль функции )(xZ . Так как функция )(xy имеет беско-

нечное число нулей kxk 2 , ),2,1( k , то функция )(xZ также имеет бесконечное число нулей.

Далее, все нули функции Бесселя )(xJ изолированные

(теорема 7.2), поэтому на любом отрезке 1, kk xx может содер-жаться лишь конечное число нулей. Отсюда следует первое ут-

36

верждение теоремы о том, что множество положительных нулей функции )(xJ счетно.

2º. Пусть 21

. Тогда все соседние нули функций

xx

xJ sin2)(21

и xx

xJ cos2)(21

отстоят друг от друга на

расстоянии, равном .

3º. Пусть 21

. Для всякого числа 0 найдется такое

4

41)(2

x , что при )( xx

Mx

xm

14

141)(1 2

2.

Если x1 и x2 — два соседних нуля функции )(xZ

(и функции )(xJ ), то в соответствии с леммой 7.1 имеем

11 12

.

На основании этих неравенств можно заключить, что расстояние между последовательными нулями функции Бесселя )(xJ при

21

меньше, чем , и стремится к при неограниченном воз-

растании значений корней.

4º. Пусть 21

. Для всякого числа 0 найдется такое

4

14)(2

x , что при )( xx

Mx

xm

14

141)(1 2

2.

37

Для любых двух соседних нулей 1 и 2 функции )(xJ таких,

что x1 и x2 , справедливы неравенства

11 12 .

Следовательно, при 21

расстояние между последовательны-

ми нулями функции Бесселя )(xJ больше, чем , и это рас-стояние стремится к при удалении нулей от начала координат.

Отметим, что полученный результат о том, что расстояние между соседними нулями функции Бесселя стремится к по ме-ре их удаления от начала координат, согласуется с асимптотиче-ским представлении (6.1) функции Бесселя )(xJ .

Теорема 7.4. Величина наименьшего положительного нуля функции Бесселя )(xJ , 0 , неограниченно возрастает с рос-том числа .

Доказательство. Пусть 012 , и — наименьший положительный корень функции Бесселя )(

2xJ

. Так как

2

22

2

21

4

141

4

141

xx

,

то по теореме сравнения Штурма на интервале ),0( находится, по крайней мере, один нуль функции )(

1xJ . В частности, на ин-

тервале ),0( находится наименьший положительный нуль функции )(

1xJ

. Таким образом, величина наименьшего положи-

тельного нуля функции Бесселя )(xJ , 0 , возрастает с воз-растанием числа . Нетрудно увидеть, что она возрастает беско-нечно при безграничном возрастании . Это следует из формулы

0

2

2)1()1()1(

2)(

k

kk xkk

xxJ

38

)2)(1(!2

2)1(!1

21)1(

12

42 xxx .

Очевидно, что при 0 справедлива оценка

)1(!2

2)1(!1

21)2()1(!2

2)1(!1

21

4242 xxxx

)1(11

!2

)1(1

)1(!2

4

2

0

2

1

2

x

ek

x

k

x

k

k

k

k

.

Отсюда заключаем, что для любого заданного значения 0x найдется )(x такое,

)32,0(max)( 4

2

x

ex , что при )(x на интервале ),0( x функция 0)( xJ .

Следствие. Функции Бесселя )(xJ , 0 и )(1 xJ не могут иметь общего нуля. В самом деле, при любом целом поло-жительном m справедливо следующее равенство, получаемое с помощью рекуррентного соотношения (3.10):

)()()()()( 1 xJxFxJxfxJ m , где )(xf и )(xF — известные функции. Если бы при некотором

0 оказалось, что 0)()( 1 JJ , то при любом достаточ-

но большом m оказалось бы, что и 0)( mJ . Это противоре-чит утверждению теоремы 7.4.

39

Теорема 7.5. Между двумя последовательными положи-тельными нулями функции Бесселя )(xJ , 0 находится один

и только один корень функции Бесселя )(1 xJ и, наоборот.

Доказательство. Пусть 0 и 01 , 02 — два по-следовательных нуля функции Бесселя )(xJ . Воспользуемся соотношением (3.1):

xxJ

xxJ

xdd )()( 1 . (3.1)

Функция

x

xJ )( гладкая на отрезке ],[ 21 и обращается в нуль

на концах отрезка. По теореме Ролля, найдется точка ),( 21 такая, что производная этой функции обращается в точке в нуль, т. е.

0)(

xx

xJdxd .

Из (3.1) следует, что точка является нулем функции )(1 xJ ,

т. е. 0)(1 J . Итак, между двумя соседними нулями функции

)(xJ лежит по крайней мере один корень функции )(1 xJ . Если воспользоваться соотношением (3.4)

)()( 11

1 xJxxJxxd

d

,

то аналогично доказывается, что между двумя соседними нулями функции )(1 xJ лежит, по крайней мере, один корень функции

)(xJ . Сопоставляя два полученных утверждения, убеждаемся в

том, что положительные нули функций )(xJ и )(1 xJ разделя-ют друг друга, т. е. между двумя положительными нулями функ-

40

ции )(xJ находится один и только один корень функции

)(1 xJ и, наоборот. Для приближенного вычисления первых положительных

корней )(1 , ,)(

2 функции Бесселя )(xJ можно применить

формулу Мак-Магона

3

222)(

)8(3)3128()14(4

8)14(

k ,

где ради краткости положено )412(4

k

.

Для вычисления положительных корней функции Бесселя )(xJ с большими номерами пользуются асимптотическим пред-

ставлением (6.1) функции Бесселя и получают

kk

243)( .

На рис. 1 представлены графики функций Бесселя )(0 xJ , )(1 xJ и

)(2 xJ .

§ 8. О разложении функций в ряды Фурье–Бесселя

Раньше было установлено, что функции Бесселя )(xJ при

1 обладают свойством ортогональности, которое в примене-нии к ним выражается равенством

1

0

0)()( dxxJxJx , (8.1)

где и — два положительных корня функции )(xJ , отлич-

ные друг от друга. Если , то равенство (8.1) заменяется дру-гим:

41

Рис. 1

42

1

0

22

2)(

)(J

dxxJx . (8.2)

Равенство (8.1) дает возможность находить коэффициенты особого разложения какой-нибудь функции )(xf по функциям Бесселя, которое имеет вид

1)()(

mmm xJaxf . (8.3)

Здесь 43210 — положительные нули функ-

ции )(xJ , занумерованные в порядке их возрастания. Предположим, что разложение (8.3) существует и что ряд в

правой части этого равенства сходится на отрезке 1,0 равно-мерно. Тогда помножим обе части равенства (8.3) на )( xJx k и в правой части проведем почленное интегрирование. Таким обра-зом, получается соотношение

1

0 1

1

0

)()()()(m

kmmk dxxJxJxadxxJxfx . (8.4)

В силу равенства (8.1) в правой части (8.4) равны нулю все те слагаемые, где km . Поэтому равенство (8.4) перепишется в таком виде:

2)()()()(

21

0

1

0

2 kkkkk

JadxxJxadxxJxfx

.

Отсюда получается следующее выражение:

1

02 )()(

)(2 dxxJxfx

Ja k

kk . (8.5)

Разложение (8.3), в котором коэффициенты ma определяют-ся с помощью формулы (8.5), называется разложением функции

)(xf в ряд Фурье–Бесселя. Подобные разложения встречаются при исследовании многих вопросов.

43

Предыдущие рассуждения были основаны на двух гипоте-зах: предполагалось, что разложение такого вида для данной функции существует и что оно равномерно сходящееся, или, по крайней мере, что почленное интегрирование ряда, какое требо-валось по ходу дела, законно. Для произвольной функции )(xf справедливость этих гипотез непосредственно не видна. Поэтому предыдущих рассуждений недостаточно, чтобы установить спра-ведливость разложения функций в ряд Фурье–Бесселя.

Ниже без доказательства приводятся теоремы о разложении функций в ряды Фурье по функциям Бесселя. Эти теоремы уточ-няют общую теорему Стеклова о разложении функции в ряд Фу-рье по собственным функциям для частного случая, когда собст-венными функциями являются функции Бесселя.

Теорема 8.1. Пусть функция )(xf непрерывна на отрезке ],0[ l и имеет абсолютно интегрируемую на ),0( l производную.

Тогда ряд Фурье этой функции по функциям Бесселя

x

lJ k

)0( сходится равномерно к )(xf на всяком отрезке ],[ l

где 2

0 l . Если 0)( lf , то сходимость будет равномерной

на всяком отрезке ],[ l . (Здесь k — положительные корни

уравнения 0)( xJ ). Замечание. Утверждение теоремы 8.1 справедливо также в

случае, когда k — положительные корни уравнения (5.7)

0)()( xJxxJ ,

если дополнительно потребовать, чтобы

и опустить ус-

ловие 0)( lf . Теорема 8.2. Если )(xf непрерывна и дважды дифферен-

цируема на отрезке ],0[ l и 0)0()0( ff , 0)()( lfllf ,

44

то ее ряд Фурье по функциям Бесселя

x

lJ k порядка 0

сходится равномерно к )(xf на отрезке ],0[ l . (Здесь k —

положительные корни уравнения 0)()( xJxxJ ).

§ 9. Применение функций Бесселя при решении задач

Многие задачи, возникающие в различных областях науки и

техники, математически формулируются как задачи нахождения функции, удовлетворяющей некоторому заданному дифференци-альному уравнению с частными производными и дополнитель-ным краевым условиям. Одним из методов решения таких задач является метод разделения переменных. Основная идея этого ме-тода состоит в поиске решения задачи в виде суммы (конечной или бесконечной) специальных частных решений дифференци-ального уравнения. Всякое из частных решений должно иметь специальную структуру: оно должно представлять собой произ-ведение функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной. Для определения функций одной пере-менной при этом возникают обыкновенные дифференциальные уравнения. Если при формулировке задачи используются поляр-ные или цилиндрические координаты, то одним из упомянутых обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается урав-нение Бесселя (1.1).

Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях одно-родной круглой мембраны радиуса R , закрепленной по краям, под действием начального возмущения. Математически эта зада-ча формулируется так.

Пусть D — круг радиуса R , т. е. RxxxxD :),( 21 . Требуется найти функцию

),0[),0(),( 12 DCDCxtu , ),( ktu , удовлетворяющую уравнению

45

uau xtt 2 , ),0(),( Dtx , (9.1) начальным условиям

)(),0( 0 xuxu , )(),0( 1 xuxut Dx , (9.2) и однородным граничным условиям первого рода

0),( Dxtu , 0t . (9.3)

Здесь DCxu 10 )( , DCxu )(1 , и выполняются условия согла-

сования 0)(0 Dxu , 0)(1 Dxu .

Если перейти к полярным координатам ),( r )sin,cos( rrx , 0r , 20 ,

и к новой функции )],(,[),,( rxturtw , то смешанная задача (9.1)–(9.3) запишется следующим образом:

w

rw

rwaw rrrtt 2

2 11 , (9.4)

Rr 0 , 20 , 0t , ),(),,0( 0 rwrw , ),(),,0( 1 rwrwt , (9.5)

Rr 0 , 20 , 0),,( Rtw , (9.6)

20 , 0t , и при Rr 0 , 20 , 0t должно выполняться

),,( rtw , 0),(0 Rw , 0),(1 Rw , ),,()2,,( rtwrtw .

Условие ограниченности w является естественным следствием физической постановки задачи, а условие периодич-ности по является следствием условия однозначности реше-ния.

Для решения задачи (9.4)–(9.6) применим метод разделения переменных. Ищем решение уравнения (9.4) в виде произведения двух функций

),()(),,( rVtTrtw .

46

Подставив это представление в уравнение (9.4), получим

V

rV

rVTaVT rrr 2

2 11 .

Разделяя переменные, будем иметь

Vr

Vr

VVTa

Trrr 22

111 . (9.7)

В равенстве (9.7) левая часть зависит только от t , а правая часть — только от ,r . Следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная (эту постоянную вы-берем не положительной, чтобы удовлетворить граничным усло-виям). В результате приходим к системе уравнений для функций

)(tT и ),( rV :

0)()( 2 tTatT , 0t , (9.8)

0112

rV

rV

rV rrr , Rr 0 , 20 . (9.9)

Общее решение уравнения (9.8) находится без труда. Будем искать такие решения уравнения (9.9), которые явля-

ются 2 -периодические по (т. е. )2,(),( rVrV ), кото-рые ограничены в круге (т. е. ),(rV ) и которые удовлетво-ряют краевому условию 0),( RV . Эти решения также будем искать методом разделения переменных, а именно положим

)()(),( rZrV . Подстановка этого представления в (9.9) дает

0)()( 2 , (9.10)

0)()(1)( 2

2

rZ

rrZ

rrZ . (9.11)

Условие 2 -периодичности функции ),( rV приводит к тому, что функция )( также должна быть 2 -периодической. Это возможно лишь при n – целом. Поэтому общий интеграл уравнения (9.10) есть

nBnA nn sin~cos~

)( , n – целое.

47

Уравнение (9.11) имеет теперь вид

0)()(1)( 2

2

rZ

rnrZ

rrZ . (9.11’)

Введем новую независимую переменную rx и новую функцию )()()( rZryxy . Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что функция )(xy удовлетворяет уравнению Бесселя:

0)(1)(1)( 2

2

xy

rnxy

xxy . (9.12)

Общее решение уравнения Бесселя (9.12) имеет вид )()()( 21 xYcxJcxy nn .

Условие ограниченности функции ),( rV требует, чтобы решения уравнения Бесселя также выбирались ограниченными. Поэтому )()( 1 xJcxy n . Отсюда )()( 1 rJcrZ n .

Краевое условие 0),( RV приводит к характеристическо-му уравнению для определения числа :

0),( RV , 0)( RZ ,

0)( RJn .

Следовательно, )(nkR , ),2,1( k – k -й положительный

корень функции Бесселя первого рода целого индекса n . Для числа получаем

2)()(

R

nkn

k , ),2,1;,2,1,0( kn .

Таким образом, функции

r

RJrZ

nk

nnk

)()( являются ограни-

ченными решениями уравнения (9.11), обращающимися в нуль при Rr .

48

Подытоживая все, полученное выше, можно заключить, что функции

r

RJnt

Ra

BtR

aArtw

nk

n

nk

nk

nk

nknk

)()()(cossincos),,(

r

RJnt

RaDt

RaC

nk

n

nk

nk

nk

nk

)()()(sinsincos ,

),2,1;,2,1,0( kn являются ограниченными решениями уравнения (9.4), удовлетво-ряющие условиям гладкости и граничному условию.

Решение задачи (9.4)–(9.6) ищется в виде формального ряда

0 1

),,(),,(n k

nk rtwrtw .

Неизвестные коэффициенты разложения nkA , nkB , nkC , nkD оп-

ределяются в результате разложения функций ),(0 rw и ),(1 rw по системе функций

nr

RJnr

RJ

nk

n

nk

n sin,cos)()(

.

49

Список литературы

1. Кузьмин Р.О. Бесселевы функции. Л.-М.: ГРОЛ, 1935. 2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 3. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Нау-ка, 1971. 3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Нау-ка, 1981. 4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической фи-зики. М.: Наука, 1977. 5. Уроев В.М. Уравнения математической физики. М.: ИФ «Яу-за», 1998.

50

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 § 1. Дифференциальное уравнение Бесселя . . . . 4 § 2. Решение уравнения Бесселя . . . . . . . . . 5 § 3. Линейные зависимости между функциями

Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 4. Функции Бесселя, индекс которых равен целому числу с половиной . . . . . . . . . . . . .

21

§ 5. Ортогональность функций Бесселя . . . . . . 24 § 6. Поведение функций Бесселя при больших значе-

ниях аргумента . . . . . . . . . . . . . .

29 § 7. Нули функции Бесселя первого рода . . . . . 30 § 8. О разложении функций в ряды Фурье–Бесселя . 40 § 9. Применение функций Бесселя при решении задач 44 Список литературы . . . . . . . . . . . . . 49

51

Учебно-методическое пособие

ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

Составитель: ЗУБОВ Владимир Иванович

Редактор В.А. Дружинина. Корректор О.П. Котова.

Подписано в печать 01.05.2007. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. печ л. 3,2. Уч.- изд. л. 3,0. Тираж 300 экз.

Заказ № ф- .

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем.“ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ”

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9