Potencial electrico

Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIA

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

SECCION DE FISICA

LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO


Potencial eléctrico


Unidad III3.1 Introducción 3.2 Objetivo general 3.3 Objetivos específicos 3.4 Fuerza conservativa y energía potencial 3.5 Diferencia de potencial y potencial eléctrico 3.6 Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme 3.7 Superficies equipotenciales 3.8 Conservación de la energía


3 .9 Potencial eléctrico debido a cargas puntuales 3.10 Energía potencial generada por cargas puntuales 3.11 Potencial eléctrico de una distribución continua de carga 3.12 Obtención del campo eléctrico a partir del potencial 3.13 Auto-evaluación 3.14 Solucionario


En este capitulo introducimos el método de energía para el estudio de la electrostática. La fuerza eléctrica es conservativa, y así, una particula con carga o una colección de particulas cargadas tiene energía potencial. Esa energía potencial puede transformarse en energía cinética Comenzamos con la energía potencial eléctrica, un escalar que caracteriza a una fuerza electrostática. Luego, generalizamos hasta el potencial eléctrico, calculamos el potencial para distribuciones continuas y discretas de cargas y demostraremos que el campo eléctrico y el potencial eléctrico están relacionados estrechamente.

En mecánica se introduce el concepto de energía (cantidad escalar), esta se utiliza para formular la ley de la conservación de la energía. Al emplear la ley de la conservación de la energía, podemos evitar trabajar directamente con fuerzas cuando se resuelven problemas mecánicos. La fuerza eléctrica al igual que la fuerza gravitacional, es consecuencia de las leyes fundamentales de la naturaleza.

3.1 Introducción


3.2 Objetivo generalDesarrollar en el alumno la capacidad de utilizar el concepto de energía potencial de un sistema continuo o discreto de cargas para ser aplicado en problemas de conservación de la energía y así calcular la diferencia de potencial entre dos puntos dado el campo eléctrico en la región.


3.3 Objetivos específicosIntegrar conceptualmente la relación entre el potencial eléctrico y la intensidad del campo eléctrico.

Enfrentar con buenos fundamentos el estudio de los problemas técnicos y científicos de la energía eléctrica que origina fenómenos, como las chispas o descargas eléctricas.


Una fuerza es conservativa cuando el trabajo (W) efectuado por la fuerza, sobre una partícula que se mueve bajo su influencia entre dos puntos es independiente de la trayectoria, solo depende de la posición inicial y final del cuerpo y no de los detalles de cómo paso de su posición inicial a la final, es decir, una fuerza es conservativa cuando el trabajo (W) realizado a lo largo de una trayectoria cerrada es a cero.

3.4 Fuerza conservativa y energía potencial

g

Supongamos que tenemos un campo gravitacional g, (el campo apunta hacia los potenciales decrecientes) y colocamos dentro del campo un cuerpo de masa m.


La energía potencial se presenta en conexión con fuerzas conservativas como la fuerza de gravedad y la fuerza elástica de un resorte. Cuando un cuerpo se desplaza en sentido contrario al campo gravitacional realiza un trabajo negativo.

g


El movimiento de una partícula de masa m en un campo gravitacional (g), es análogo al movimiento de una partícula de carga q positiva en un campo eléctrico (E). Cuando una partícula de carga positiva se desplaza en sentido contrario al campo eléctrico realiza un trabajo negativo.

Supongamos que tenemos un campo eléctrico E y colocamos dentro del campo una partícula de carga positiva.

+ E

+

Para mover una partícula en sentido contrario al campo (gravitacional o eléctrico) se requiere del trabajo de un agente externo. Si la fuerza externa es igual y opuesta a la fuerza debida al campo, la energía cinética (K) de la partícula no cambia. En este caso todo el trabajo externo se almacena como energía potencial (U) del sistema.


+

La fuerza gravitacional (mg) es una fuerza conservativa, como la fuerza eléctrica (EQ) tiene la misma forma de la fuerza gravitacional, por analogía, la fuerza eléctrica es también una fuerza conservativa, por tanto los fenómenos electrostáticos pueden describirse convenientemente en términos de una energía potencial eléctrica y de un potencial eléctrico.

+

E


La energía potencial gravitacional cerca de la tierra viene dada por: Ug = mgy. Se puede obtener una función que no dependa de la masa (m), definiendo el potencial gravitacional como la energía potencial en la unidad de masa. Vg = Ug / m. También se puede obtener un potencial eléctrico que no dependa de la carga (q). V = U / q, entonces, Voltio = (Julio / Columbio).

El potencial gravitacional o eléctrico en un punto, es el trabajo externo necesario para desplazar una unidad de masa m o de carga q desde el nivel inicial yi hasta una altura final yf dada sin cambiar su rapidez.


yi Uí

El trabajo es igual a la variación negativa de la energía potencial. El signo menos indica que el trabajo positivo realizado por la fuerza conservativa disminuye la energía potencial. Si la fuerza externa es igual y opuesta a la fuerza debida al campo, la energía cinética (K) de la partícula no cambia.

E

yfUfW = – ∆U = – (Uf – Uí)


3.5 Diferencia de potencial y potencial eléctrico

Para un desplazamiento infinitesimal ds, el trabajo se define:

W = ∫ F • ds y W = – ∆U Cuando una carga de prueba (q) se coloca dentro de un campo electrostático (E) se genera una fuerza eléctrica conservativa (F) tal que

F = E * q : W = ∫ E * q • ds = – ∆U

∆U / q = – ∫ E • ds = ∆V.

La diferencia de energía potencial eléctrica (∆U) o energía potencial (U) reside en el campo eléctrico. La diferencia de potencial (∆V) o potencial eléctrico (V) es una característica escalar e independiente de las cargas que se puedan colocar en el campo eléctrico.


El cambio de energía potencial ∆U = (Ub – Ua) entre los puntos a y b se define:

∆U = − q ∫ E • ds = q ∆V = Ub – Ua

∆U = q ∆V (Julio = Columbio * Voltio) La variación de la energía potencial ∆U es directamente proporcional a la diferencia de potencial ∆V entre dos puntos (∆U α ∆V), como la energía es un escalar el potencial también es escalar.

La diferencia de potencial ∆V (Va − Vb) entre los puntos a y b se define:

∆V = ∆U / q = – ∫ E • ds = Vb – Va.Como la fuerza es conservativa, La integral (∫) es de línea, no depende de la trayectoria entre a y b sino de la posición inicial y la posición final, la integración se efectúa a lo largo de la trayectoria a y b por donde se mueve la carga.


La diferencia de potencial ∆V (Va − Vb) entre los puntos a y b se define:

∆V = ∆U / q = – ∫ E • ds = Vb – Va Como la fuerza es conservativa, La integral (∫) es de línea, no depende de la trayectoria entre a y b sino de la posición inicial y la posición final, y, la integración se efectúa a lo largo de la trayectoria por medio de la cual se mueve la carga (q) entre a y b.

El potencial eléctrico en cualquier punto de un campo es:

V = U / q ⇒ (Julio / Columbio = Voltio) U = V * q

⇒ (Julio = Voltio * Columbio)

Es decir, 1 julio de trabajo debe efectuarse para llevar una carga de un Columbio a través de una diferencia de potencial de un voltio.

Electrón-voltio

1eV = 1.6*10–19 C * 1V = 1.6*10–19 Julios.

El cambio de energía potencial ∆U = (Ub – Ua) entre dos puntos a y b se define: ∆U = − q ∫ E • ds = q ∆V = Ub − Ua ∆U = q ∆V (Julio = Columbio * Voltio)

La ∆U es directamente proporcional a la ∆V (∆U α ∆V), como la energía es un escalar el potencial también es escalar.


Ejemplo 3.1¿Qué cambio de energía potencial experimenta una carga de 10 µC cuando se mueve entre dos puntos para los cuales la diferencia de potencial es de 50 voltios?

∆U = q * ∆V, entonces, ∆U = 500 µJulios = 5*10-4 J ∆U = 5*10-4 J *(1 eV / 1.6*10-19 J) = 3.125*1015 eV eV = electrón-voltio = 1.6*10-19 julios


A través de que diferencia de potencial se necesitaría acelerar a) ¿Un electrón para que alcance el 30% de la velocidad de la luz? b) ¿Un protón para que alcance el 30% de la velocidad de la luz?¿Hacia donde se desplaza cada partícula?

Ejemplo 3.2

a) V = C * 30%= 3*108 m/s * 30% = 90*106 m/s W = ∆K = ½ m v2 = 3.6855*10-15 J

W = -q* ∆V ∴Vb – Va = W /-q = 23034.38 Voltios El electrón va hacia la izquierda, al

potencial creciente b) W = ∆K = ½ m v2= 6.7635-12 J W = - q* ∆V ∴ Vb – Va = W /-q = − 42.276 Voltios El protón va hacia

la derecha, al potencial decreciente

EVa Vb

Vb < Va


¿Qué diferencia de potencial se necesita para frenar un electrón que tiene una velocidad inicial de 2*106 m/s?Ejemplo 3.3

Vb < Va

EVa Vb

W = ∆K = ½ m vf2 − ½ m vi2 W = (0 − 1.82*10-18) J = −1.82*10-18 J W = −∆U = q ∆V

∆V = −(−1.82 10-18 J)/q = 1.82 10-18/ -1.6 10-19 C ∆V = −11.375 V El electrón se desacelera hacia los potenciales decrecientes, es decir en el sentido del

campo eléctrico.


En un relámpago típico la diferencia de potencial entre los puntos de la descarga es alrededor de 1.0*109 V y la cantidad de carga transferida es de 30 C. a) ¿cuánta energía se libera? b) ¿si toda la energía liberada pudiera emplearse para acelerar un automóvil de 1200 Kg desde el reposo ¿cuál seria su velocidad final?

Ejemplo 3.4

a) W = ∆U = q ∆V = 30 C * 109 V = 3*1010 J b) W = ½mvf2 – ½mvi2 , entonces,

vi = √(2W/m) = 7071.07 m/s


La diferencia de potencial entre dos puntos es independiente de la trayectoria, esto confirma que un campo eléctrico uniforme y estático es conservativo e independiente de la carga que se coloque en el campo.

∆V = – ∫ E • dx = – ∫ E dx

Vb – Va = – E x ; evaluado entre xi = a y xf = b la longitud

ab es l; Vb – Va = – El El signo menos significa que Vb < Va

⇒ V = Va – Vb = E l

En un campo eléctrico uniforme hay dos puntos con potenciales Va y Vb.

E

3.6 Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme

l

Va

Vb


E

Como: Va − Vc = Va – Vb ⇒ Vc = Vb

El resultado muestra que todos los puntos en un plano perpendiculares al campo eléctrico uniforme están al mismo potencial. A una distribución continua de puntos que tienen el mismo potencial se le llama superficie equipotencial.

d

Vc

α Va

Vb

l

∆V = – ∫ E • dx = – ∫ E Cosα dx Vc – Va = – E Cosα x ; xi = a y xf = c

longitud ac = d y Cosα = l / d Vc – Va = – E (l/d) d = – E l

El signo menos significa que Vc < Va

⇒

V = ∆V = Va – Vc = E l


En dos puntos de un campo eléctrico. El potencial en a

Va = -40 V, y el potencial en b Vb +120 V ¿Cuánto trabajo realiza una fuerza externa al mover una carga q de –2*10-6 C y otra de 2*10-6 C de b a a?

Ejemplo 3.5

∆V = V = Va – Vb = -40 V – 150 V= −190 V W1 = q ∆V = (−190 V)*(-2*10-6 C) = 5.8*10-4 J

W2 = q ∆V = (−190 V)*(2*10-6 C) = −5.8*10-4 J

Va VbVb > Va


Un electrón que se mueve verticalmente hacia arriba tiene una velocidad inicial de 4*106 m/s en el origen. Su velocidad se reduce a 2*106 m/s en el punto x = 0 y y = 2 cm. Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este punto. ¿cuál esta a mayor potencial?

Ejemplo 3.6

Como una partícula de carga negativa se desacelera en la dirección del campo eléctrico, entonces, el campo eléctrico esta dirigido verticalmente hacia arriba y el punto a (0,0) esta a mayor potencial que el punto b (0,2) cm.

∆K = − ∆U= −q∆V ∴ ½mvf2 − ½mvi2 = -q(Vb – Va) ½m(vf2 − vi2 ) / -q = ½m(vf2 − vi2 ) / q = Vb – Va

Vb – Va = −34.125 V como Va > Vb, entonces,

Va – Vb = 34.125 V


3.7 Superficies equipotenciales

Cada placa es atravesada por un campo eléctrico uniforme que es perpendicular al plano de la placa, por tanto, cada placa esta al mismo potencial.

E


+

Las superficies esféricas son atravesada por un campo eléctrico perpendicular al plano de la placa, por tanto, las superficies de cada una de las esferas están al mismo potencial.


-

Las superficies esféricas son atravesada por un campo eléctrico perpendicular, por tanto, las superficie de cada una de las esferas están al mismo potencial.


Cuando una partícula positiva se desplaza en el sentido del campo eléctrico se acelera, gana energía cinética y cede energía potencial, puesto que el campo eléctrico a punta hacia los potenciales decrecientes.

3.8 Conservación de la energía

E

++ + + + Va

Vb

Supongamos que tenemos un campo eléctrico uniforme E, una diferencia de potencial ∆V = V, donde, Va > Vb, una partícula positiva parte del punto a a b. Esto significa que una partícula positiva que se mueve en la dirección del campo eléctrico pierde energía potencial.

∆U = −q ∫ E • dx ; Si q > 0 ⇒ –q (Va – Vb)= (–q) (+∆V) = –∆U


E

Vb

Va

∆U = – q ∫ E • dx ; Si q > 0 ⇒ –q (Vb – Va)= (–q) (– ∆V) = ∆U

Cuando una partícula positiva se desplaza en el sentido contrario al campo eléctrico se desacelera, gana energía potencial y cede energía cinética,

+++++

Esto significa que una partícula positiva que se mueve en la dirección contraria al campo eléctrico gana energía potencial.


Va

E

Vb

++

Supongamos que una carga positiva se mueve en un campo eléctrico uniforme entre los puntos a y b. Como la fuerza eléctrica es conservativa la energía se conserva

W = −∆ U y W =

∆ Κ −

∆ U = ∆ Κ ⇒ −q (Vb − Va) = Kb − Ka

q Va − qVb = Kb − Ka

Ka + qVa = Kb + qVb

Ea = Eb

=

Ei Ef


+ Va

Vb

Ejemplo 3.7Calcule la velocidad de un protón que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 150 V.

E

+ + + +

∆V = (Va – Vb) > 0 ; vi = 0 W = ∆K = – ∆U

½mvf2 – ½mvi2 = – q(Vb – Va) vf = (2*q (Va – Vb) /mp)½ vf =

169.54*103 m/s


Va

Vb

Calcule la velocidad de un electrón que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 150V.

Ejemplo 3.8

E

-- - - -

∆V = (Vb – Va) < 0 ; vi = 0 W = ∆K = – ∆U

½mvf2 − ½mvi2 = (– q) (Vb – Va) ½mvf2 = – q (Vb – Va) vf =

(2q(Va – Vb) /me)½ vf = 7.26*106 m/s

Una partícula de carga negativa se acelera en la dirección contraria el campo eléctrico, es decir, hacia los potenciales crecientes.


Un bloque de masa m y carga q positiva esta unido a un resorte de constante k. El bloque esta en una superficie horizontal rugosa en su estado natural. De esta manera el sistema se coloca en un campo eléctrico uniforme horizontal. Si m = 4 Kg. q = 50.0 µC, k = 100 N/m, E = 5*105 N/C. µk = 0.2 ¿En que cantidad máxima se alarga el resorte?.

Ejemplo 3.9


Ei = Ef – Wfr

Ka + Uga + Uea + Ua = Kb + Ugb+ Ueb + Ub – Wfr

mq

Ei = Ka + Uga + Uea + Ua

Emq

Ef – Wfr = Kb + Ugb+ Ueb + Ub – Wfr

Ua = Ueb +Ub – (– µk N x) qVa = ½kx2 + qVb – (– µk mg x)

q (Va – Vb) = ½kx2 + µk mg x q (Ex) = ½kx2 + µk mg x q E = ½kx + µk mg (q E − µk mg) = ½kx x = 2 (q E − µk mg) / k

x = 0.3432 m

mq

E


+

ra

3.9 Potencial eléctrico debido a cargas puntuales

αCosα = dr / ds dr = ds Cosα

∆V = − ∫ E • ds

∆V = − ∫ Er Cosα ds

∆V = − ∫ Er dr

Sea un campo eléctrico E generado por una carga positiva q

dr

La diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga puntual (q) depende únicamente de las coordenadas radial inicial ra y radial final rb.

E = (Kq/r2)̂r

B

A

ds rb

∆V = −∫ (Kq/r2 ) dr : r varia entre rb y ra

Vb − Va = −Kq(1/r) ; r = rb y r = ra

Vb − Va = Kq(1/rb − 1/ra) Va = Kq/ra ; Vb = Kq/rb


rb

A

B

ra

+

Vb = Kq / rb

Va = Kq / ra

Va − Vb = Kq (1/ra − 1/rb) = Vab


+

rV = K q / r

Potencial de una carga puntual positiva a una distancia r de su centro.

NOTA: El potencial es un escalar debe tenerse en cuenta el signo de la carga.


-

rV = −K q / r

Potencial de una carga puntual negativa a una distancia r de su centro.


r1

r2

r3

+q2

− q3

−

q1

V = K ∑ qi/ri ; V = K(− q1/r1 + q2/r2 − q3/r3)

Potencial eléctrico generado por una serie de cargas puntuales (principio de superposición); V = V1 + V2 +......+ Vi +...........+ Vn ; V =

K ∑ qi/ri

Supongamos que tenemos tres cargas puntuales q1, q2, q3 y se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto.

Sea r1, r2, r3 las distancias correspondientes de cada una de las cargas al punto.


a√2

Ejemplo 3.10Se tienen cuatro cargas negativas iguales que forman un cuadrado de lado 2a. ¿cuál es el potencial eléctrico en el centro del cuadrado si a es 5 cm y q = −2 nC?

- -

--

2a

2a

V = K ∑ qi/ri ; V = K(− q1/a√2 − q2/a√2 − q3/a√2 – q4/a√2 ) V = −4K q / a√2 = −1018.23 V


Una carga +q se encuentra en el origen y una carga –2q esta en el punto (3,0) cm. ¿Para que valor (es) finito(s) a lo largo de la recta que une las cargas el potencial eléctrico es cero?

Ejemplo 3.11

+ -r

r1 r2

K q /r1 + K (−2q) /r2 = 0, entonces, 1/ r1 = 2 / r2 ; r2 = 2r1 pero. r = r1 + r2 ; r2 = 2(r – r2) = 2r – 2r2∴3r2 = 2r ;

r2 = 2 cm y r1 = 1 cm

∴ V1 = Kq1/r1 = 1800 V y V2 = −Kq2/r2 = −1800 V

a) Escogemos un punto entre las cargas, cerca de la de menor magnitud.


+ -rr

r2

r1

K q /r1 + K (-2q) /r2 = 0, entonces, 1/ r1 = 2 / r2 ;

r2 = 2r1 pero. r2 = r1 + r ; r2 = 2 (r2 – r) = 2r2 – 2r∴ r2 = 2r ; r2 = 6 cm y r1 = 3 cm

∴ V1 = Kq1/r1 = 600 V y V2 = −Kq2/r2 = −600 V

b) Escogemos un punto por fuera de las cargas y cerca de la de menor magnitud.


Una carga q1 de –1*10-6 C esta separada 10 cm de una carga q2 de +2*10-6 C. Si a 2 cm de la carga positiva parte del reposo un protón. ¿cuál es su velocidad cuando esta a 2 cm de la carga negativa?. ¿cuál es su energía cinética en electrón-voltio?

Ejemplo 3.12

a−q1+q2 b

r

r1b

r1a r2a

r2b

Va = K (−q1 / r1a + q2 / r2a) = 7.875*105 V

Vb = K (−q1 / r1b + q2 / r2b) = −2.25*105 V

Ea = Eb ; Ua + Ka = Ub+ Kb ⇒ qpVa + 0 = ½mp vb2 + qp Vb

vb = {2qp(Va − Vb) / mp}1/2 = 13.93*106 m/s Ek = ½mpv2 = 1.62*10-13 J = 1.01 *106 eV


Tres cargas puntuales forman un triangulo equilátero de lado a a) Encuentre el potencial en el centro del triangulo. b) si a = 50 cm. q1 = 1 µC q2 = 2 µC q3 = 3 µC ¿cuánto vale el potencial en el centro del triangulo?

Ejemplo.3.13

r1

r2

r3

+/

+

q1

q2

q3a

α

φ

r1 = r2 = r3 = r : α = 30° ; φ = 120°

Senα / r2 = Senφ / a r2 = r = a * Senα /

Senφ r = (a*1/2) / (√3/2) r = a /

√3 = 0.29 m

V = K(q1/r1 − q2/r2 + q3/r3) V = (K / r)(q1 − q2 + q3) V = (√3 K / a)(q1 − q2 + q3)

V = 62353.83 V


Se tiene una carga q2 negativa que produce un potencial V2

a una distancia r.La energía potencial de una carga negativa y una positiva

esta dado por U = V1(− q2) = (−V2) q1 = −

Kq1q2 /r

Se tiene una carga q1 positiva que produce un potencial V1 a una distancia r.El trabajo requerido para llevar una carga q2 del infinito a la distancia r de q1 con velocidad constante es.

El trabajo requerido para llevar una carga q1 del infinito a la distancia r de q2 sin acelerarla.

3.10 Energía potencial generada por cargas puntuales

+q1 r

V1 = Kq1/r

q2

−r

V2 = −Kq2/r

U = −V1 q2 = − (Kq1/r) q2

q2

−

q1+

U = −V2q1 = − (Kq2/r) q1


Calcule la energía requerida para agrupar tres cargas positivas formando un triangulo equilátero, si cada carga es de 5µC y los lados de 10 cm. ¿cuánto vale la energía para mantener las cargas agrupadas?

El trabajo total que es necesario para mantener este

sistema en equilibrio es: U = U13 +

U12 + U23

U

=K{q1q3 /r13 + q1q2 /r12 + q2q3 /r23}= 3Kq2 / r r1 = r2 = r3 = r = .10 m; q1 = q2 = q3 = q =5µC

U = 6.75 Julios

Ejemplo 3.14

+q1

+q2

+ q3

r13

r23r12


El átomo de hidrogeno en su configuración normal, no excitada, tiene un electrón que gira alrededor de un protón a un distancia r de 5.3*10–11 m. a) ¿cuál es el potencial eléctrico debido al protón en la posición del electrón? b) ¿cuál es la energía electrostática entre las dos partículas?

Ejemplo.3.15

r

a) V = K (+q) / r = +27.17 V


r

b) U = Vp (−q) = (K q/r)(−q) = − K q2 / r U = −4.35*10-18 Julios


Dos placas paralelas que tiene carga igual pero de signos contrario están separadas 12 cm. Cada placa tiene una densidad superficial σ de 36 nC/m2 Un protón se libera desde el reposo de la placa positiva determine a) la diferencia de potencial en las placas. b) la energía del protón cuando llega a la placa negativa. c) la velocidad del protón cuando llega ala placa negativa. d) la aceleración del protón. e) la fuerza sobre el protón f) El campo eléctrico.

Ejemplo 3.16.


a) El campo eléctrico entre una placas planas y paralelas

viene dado por: E = σ / ε0 = 4071.5 V/m La diferencia de potencial entre las placas paralelas es: ∆V = Vb − Va = −E d = − 488.58 V V = Va − Vb = E d = 488.58 V b) El trabajo realizado es W = −q∆V = 7.82*10-17 Julios, c) ∆K = − ∆U ∴ ½mvf2 − ½mvi2 = −q ∆V vf = (2(−q)(∆V) / m )1/2 = 3.0597*103 m/s d) la aceleración a = Eq/m = 3.9*1011 m/s2

e) La magnitud de la fuerza sobre el protón F = ma = 6.51*10-

16 N f) El campo eléctrico F = E q entonces E =

F/q = 4071.63 N/C


Una colección de partículas puntuales cargadas representa

una distribución continua de carga Q = ∑qi.Se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto producido por una distribución continua de carga.Se escoge arbitrariamente un elemento infinitesimal de carga (dq) que esta a una distancia r del punto de donde se va a calcular el potencial eléctrico.

Q = ∑∆qi

3.11 Potencial eléctrico de una distribución continua de carga

El potencial eléctrico (dV) producido por (dq). dV = K dq / r

Sumando todas las contribuciones de los elementos

infinitesimales dq. V = ∫ K dq /

r

Q = ∑∆qi dq

r


Distribución superficial de carga

σ = Q/A = dq/dA

Distribución lineal de carga

λ = Q/L = dq/dl

Distribución volumétrica de carga

ρ = Q/V = dq/dV


Ejemplo 3.17 Potencial eléctrico debido a una hilo cargadoSe desea encontrar el potencial eléctrico de un hilo de longitud (L) y distribución uniforme de carga (λ) en un punto a lo largo de su eje y a una distancia (d) de uno de sus extremos.

X

Y

d + + + + + + + + + + + + + L

Dividimos al hilo en pequeños elementos infinitesimales.


X

Y

+ + + + + + + + + +

2r 2r

+ +

Escogemos arbitrariamente un elemento que tiene carga dq y longitud dl.


dV = K λ dx /

x Este es el potencial eléctrico de un elemento, sumamos la contribución de todos los

elementos.

Este elemento infinitesimal se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el potencial eléctrico.

X

Y

2r 2rdV = K dq / r ; dq = λ dl = λ dx

r = x+ +

dqdl


X

Y

d + + + + + + + + + + + + + L

V = K λ ∫ dx /xx varia entre d y d + L

V = K (Q/L) Ln ((L+d) / d)


Ejemplo 3.18 Potencial eléctrico de un hilo cargado

X

Se tiene un hilo de longitud (L), con distribución uniforme de carga λ y se desea encontrar el potencial eléctrico a una distancia x perpendicular a uno de sus extremos.

Y

+++++++++++++ x

Seleccionamos arbitrariamente un elemento dq, que tiene una longitud dy y se encuentra a una distancia r del punto donde se va a encontrar el potencial eléctrico.

Luis Felipe Millán B. U. AUTONOMA DE COLOMBIAX

Y

x

dq

dy +

r

dV = K dq / r ; dq = λ dL = λ dy ; r = (x2+ y2)1/2 dV = K λ dy / (x2+ y2)1/2

Este es el potencial eléctrico de un elemento, ahora, sumamos la contribución de todos los elementos.


Y

x

+

r

V = Kλ ∫ (dy / (x2 + y2)1/2) ; y varia de 0 a L

V = Kλ { Ln(y + √(x2+y2))} y varia de 0 a L


Y

x

V = Kλ {Ln (L+√(x2+L2)) – Ln L)} V = K (Q/L) {Ln (L +

√(x2+L2)/ x)}

+++++++++++++


Ejemplo 3.19 Potencial eléctrico de un aro a lo largo del eje central

Potencial eléctrico de un aro a lo largo del eje central, y a una distancia x de su centro, el aro tiene un radio R y una distribución de carga (λ).

Se tiene un anillo de radio R con una distribución continua de carga Q

R

Q


λ = (Q/2πR)

⇒ V = K Q / (x2 +

R2)1/2

dV = K dq / r ; dq = λ dl = λ (R

dα) r = (x2 + R2)^½ V = {K λ R / (x2+ R2)1/2} ∫ dα

α = 2π ; α = 0

X

Z

Y

θ

+

+

dq

rdl Se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto a una distancia x del eje central del anillo.

x

dV= K (λ R dα) / (x2+ R2)1/2 Tenemos el potencial eléctrico de un elemento, ahora,

sumamos la contribución de todos los elementos


R

Q

R

Q

R

Ejemplo 3.20 Potencial eléctrico sobre el eje central de un discoPotencial eléctrico a una distancia x en el eje central de un disco de radio R con una densidad superficial de carga σ uniformemente distribuida.

Se divide el disco en elementos de área dA, cada uno con carga dq.

a

El elemento infinitesimal de área dA y se encuentra a una distancia a del centro del disco.

2π a dada2πa


V = ∫ Kσ2πada / (x2+a2)1/2 sea u = (x2+a2) ⇒ du = 2ada

dV = K(σ2πada) / (x2+a2)1/2 potencial eléctrico de un elemento, sumamos la

contribución de todos los elementos.

V = (1/4πε0) σπ ∫ du/u1/2

x = R ; x = 0Se desea encontrar el potencial eléctrico en un punto a una distancia x del centro.

dV = Kdq/r ; dq = σ dA= σ(2πada) r = (x2+a2)1/2

X

dq

r

θ

2πada

V = (σ/(2ε0))∗{(x2 + R2)½ − x}

+++++++++++

Y

Z

x

a


3.12 Obtención del campo eléctrico a partir del potencial

∆V = − ∫ E • ds ⇒ dV = − E • ds

Si el campo eléctrico es radial E • ds = Er • dr

∴ dV = − Er • dr Er = − (dV/dr) r Si el campo eléctrico tiene solo

componente en x, y o z dV = − Ex • dx ⇒ Ex = − (dV/dx) i dV = − Ey • dy ⇒ Ey = − (dV/dy) j

dV = − Ez • dz ⇒ Ex = − (dV/dz) k

^

^^^


Si el campo eléctrico tiene componente en

x, y, z ; ∂s = ∂x i + ∂y j + ∂z k

⇒ ∂V = − Ex

• ∂x ⇒ Ex = − (∂V / ∂x) i ∂V = − Ey • ∂y ⇒ Ey = − (∂V / dy) j

∂V = − Ez • ∂z ⇒ Ez = − (∂V / ∂z) k E = − (∂/∂x i + ∂/∂y j + ∂/∂z k) V

E = − ∇V El campo eléctrico es igual al negativo del

gradiente del potencial.

^ ^ ^

^^

^

^

^ ^


Sobre cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V = 5 x2y3z – x y z2+ 3 x2z2

Encuentre las expresiones para las componentes x, y y z del campo eléctrico sobre esta región. ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo en el punto p (2,1,-1)?

Ejemplo 3.21

E(2,1,-1) = (− 9 i − 62 j + 0 k ) N/C^ ^ ^La magnitud del campo eléctrico es E = √(Ex2 + Ey2 + Ez2) = 62.65 N/C

La dirección del vector campo eléctrico con respecto a cada componente es Cosα = Ex / E ⇒ α = Arcos (Ex / E) = 98.26°

Cosβ = Ey / E ⇒ β = Arcos (Ey / E) = 171.74° Cosγ = Ez / E ⇒ β = Arcos (Ez / E) = 90°

La componente del vector campo eléctrico es igual al negativo de la deriva del potencial con respecto a la coordenada.

Ex = (10 x y3 z – y z2+ 6 x z2) i N/C Ey = (15 x2y2z – x z2) j N/C Ez = (5 x2y3– 2 x y z + 6 x2z) k N/C

^^

^


Ejemplo 3.22

+

-

Un dipolo se localiza en eje Y como en la figura a) Si el punto esta alejado del dipolo r >> a ¿cuál es el potencial en el punto? b) ¿cuál es la componente del campo eléctrico en Ex, Ey, Eθ, Er?


V = K (q/r+ − q/r-) V = Kq (r- − r+) / (r-*r+)

r+ = r − a Cosα ; r- = r + a

Cosα r- − r+ = (r + a Cosα) − (r − a Cosα)

r- − r+ = 2 a Cosα r-*r+ ≅ r2 V = K(q2 a) Cosα / r2 V = K

(P) Cosα / r2

V = K (P) Cosα / r2

Como; r = (x2+y2)½ y Cosα = x /r = x / (x2+y2)½ entonces

V = K P x / (x2+y2)3/2

r+

r-

r

α

α

+

-

a

-a

Er

Ey = − (∂V/∂x) j Ey = − KPx∂(1/(x2+y2)3/2) /∂x j

Ey = 3KPxy / (x2+y2)5/2 j

^^

^

Ex = − (∂ V/ ∂ x) i Ex = − {KP ∂(x / (x2+y2)3/2) / ∂ x} i

Ex = − KP(2x2- y2) / (x2+y2)5/2 i

^^

^

Eα = − (∂V / ∂α) α Eα = − K

p/r2 ∂(Cosα / ∂α) α Eα = KP/r2Senα

α

^^

^Er = − (∂ V/ ∂ r) r

Er = −K P Cosα ∂(1/r2) / ∂ r r Er =2 K P Cosα / r3 r

^^

^


3.13 Auto-evaluación


¿Qué cambio de energía potencial experimenta una carga de +50 µC cuando se mueve entre dos puntos para los cuales la diferencia de potencial es de +150 voltios?

Ejercicio 3.1

R) ∆U = 4.6875*1016 eV


Ejercicio 3.2¿Qué diferencia de potencial se necesita para frenar un protón que tiene una velocidad inicial de 12103 m/s?

R) Va – Vb = 75.15 V


¿Cuánto trabajo se realiza al mover el numero de avogadro de electrones al moverse en línea recta a partir de un punto inicial (a) donde el potencial es 20 V hasta un punto final (b) donde el potencial es –20 V?

Ejercicio 3.3

R) W = −3.8528*106 Julios


Ejercicio 3.4Un positrón tiene la carga de un protón y masa de un electrón. Suponga que un positrón se mueve 6 cm en la dirección de un campo eléctrico uniforme de 6000 V/m. a) ¿cuánta energía gana o pierde el positrón?. b) ¿cuánta energía cinética?

R) a) W = – 5.76*10-17 J y b) W = +5.76*10-17 J


Ejercicio 3.5

Las cargas mostradas en la figura están fijas en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que el valor de la energía potencial eléctrica del sistema sea cero.

+ + -5 µC 2 µC -3 µC

10 cm x

R) x = 0.15 m


Ejercicio 3.6Una gota esférica con una carga de 32 pF tiene un potencial de 512 V en su superficie. Si dos de tales gotas de la misma carga y radio se combinan para formar una sola gota esférica ¿cuál es el potencial de la nueva gota así formada?

R) V2 = 812.75 V


Ejercicio 3.7

Un bloque de masa m y carga q positiva se encuentra en una superficie horizontal sin fricción y esta unido a un resorte de constante k. De esa manera el sistema se coloca en un campo eléctrico uniforme E horizontal. a) ¿En que cantidad máxima se alarga el resorte?. b) Si m = 4 Kg. q = 50.0 µC, k = 100 N/m, E = 5*105 N/C. ¿En que cantidad máxima se alarga el resorte?.

mq

R) a) x = 2q E/k y b) x = 0.5 m


Tres cargas iguales de +2 mC se encuentran formando un triangulo equilátero de lado a de 2 cm. Si se abastece de energía a razón de 600 Watios, ¿cuántas horas se necesitarían para mover a una de las cargas al punto medio de la línea que une las otras dos cargas?

Ejercicio 3.8

R) 6000 s = 1.67 h


Calcule la energía requerida para agrupar cuatro cargas negativas formando un rectángulo de lado 2a horizontal y a vertical. Si Q es –5 µC y a es 5 cm. ¿cuánto vale la energía para mantener las cargas agrupadas de esa manera?.

Ejercicio 3.9

- -

--2a

a

R) U = 17.52 J


Ejercicio 3.10A una distancia r de una carga puntual Q, el potencial eléctrico es de 500 V y la magnitud del campo eléctrico es 250 V/m. ¿Cuál es el valor del radio y de la carga?

R) r = 2 m y Q = 111.11 C


Una partícula con carga de 4 µC y masa de 0.1 gr se mantiene en un posición fija, una segunda carga de 2 µC se encuentra inicialmente en reposo a 1 cm. Luego se suelta la segunda carga y es repelida por la primera. ¿Determine la velocidad en el instante que se encuentra a 1.5 cm?

Ejercicio 3.11

R) vb = 219.09 m/s


Ejercicio 3.12Una carga q1 de –1*10-6 C esta separada 10 cm de una carga q2 de +2*10-6 C. Si a 2 cm de la carga negativa parte del reposo un electrón ¿cuál es su velocidad cuando esta a 2 cm de la carga positiva? ¿Cuál es su energía cinética en electrón-voltio?

R) va = 5.97*108 m/s y Ek = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV


Ejercicio 3.13En cierta región del espacio el potencial eléctrico es V = 10x + 5x2y3z − 2xyz2. Encuentre las expresiones de las componentes del campo eléctrico sobre esta región. ¿cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto p de coordenadas (1,2.-1).

^ ^^R) E (1,2,-1); = (74 i + 62 j - 48 k ) N/C


Ejercicio 3.14Dos placas planas y paralelas tienen cargas iguales pero de diferente signo, una diferencia de potencial de 500 V y están separadas 2.0 cm. Un electrón es proyectado de una placa hacia la segunda ¿cuál es la velocidad inicial del electrón si llega al reposo justo en la superficie de la segunda placa?.

R) vo = 13.26*106 m/s


Ejercicio 3.15Una lamina infinita de carga tiene una densidad superficial de carga σ = 20 µC/m2 ¿cuál es la separación entre las superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren de 40 V?

R) V = 17.68 cm


Ejercicio 3.16¿cuántos electrones hay que extraerse de un conductor esférico de radio de 10 cm inicialmente descargado para producir un potencial de 10 KV?

R) N = 6.25*1011 electrones.


Ejercicio 3.17Dos anillos coaxiales de radio R están separados una distancia 2R. a) ¿Calcule el potencial eléctrico en un punto sobre el eje común a una distancia R entre los dos anillo, suponiendo que cada anillo tiene una carga distribuida uniformemente? b) Si la carga distribuida uniformemente es de 10 nC y el radio de 10 cm ¿Calcule el potencial eléctrico en un punto sobre el eje común a una distancia R entre los dos anillo?.

R) a) Vt = 2½ KQ / r b) Vt = 1272.79 V


Ejercicio 3.18

ra

rb

Se tiene una arandela de radio interior ra, radio exterior rb y densidad superficial uniforme de carga σ. Halle el potencial eléctrico a una distancia x de su eje central y a partir del potencial encuentre el campo eléctrico en ese punto.

R) a) V = Kσπ 2 {(rb2+x2)½ − (ra2+x2)½} b) E = (σ/(2ε0)){x/(ra2+x2)½ − x/(rb2+x2)½}


3.16 Solucionarlo


S 3.1

∆U = q * ∆V, entonces, ∆U = 7500 µJ = 7500*10-6 J 1 eV = un electrón-voltio = 1.6*10-19 julios

∆U = 7500*10-6 J *( 1 eV / 1.6*10-19 J) = 4.6875*1016 eV

Va > Vb ; Va – Vb = ∆VE

Va Vb


S 3.2

– ∆U = ∆K ∴ – (QVb – QVa) = ½mp vb2 – ½mp va 2 – Q (Vb – Va) = ½mp vb2 Va – Vb = ½mp vb2/ Q

Va – Vb = (1.2024*10-17) J / 1.6*10-19 C) = 75.15 V

EVa VbVb < Va

+E

Va VbVb < Va

+


S 3.3

Al mover una carga positiva en la dirección del campo eléctrico se hace un trabajo positivo, al mover una carga negativa en la dirección del campo eléctrico se realiza un trabajo negativo.

W = – ∆U = – Q∆V = – Q (Vb – Va) W = –(6.02*1023 átomos/mol*–

1.6*10-19 C/átomo)(–20– 20)V W = -3.8528*106 Julios

Vb < Va

E20 V -20 V

-

Vb < Va

E20 V -20 V

-


S 3.4E

Va VbVb < Va

+E

Va VbVb < Va

+

a) W = – ∆U = – Q∆V = – Q (Vb – Va) W = – Q (Va – Vb) = – Q (E x)

W = – (1.6*10-19 C) * (6000 V/m * 0.06 m) = – 5.76*10-17 J b) W = ∆K = +5.76*10-17 J


S 3.5

+ + -5 µC 2 µC -3 µC

10 cm x

U = KQ1Q2 / r12 – KQ1Q3 / r13 – KQ2 Q3/ r32 = 0 Q1Q2 / (0.10 m) – Q1Q3 / (0.10+x) m – Q3 Q2/ x = 0 10 x2 – 1.1 x – 0.06 = 0 x = 0.15 m U = K (Q1Q2 / (0.10 m) – Q1Q3 / (0.25) m – Q3 Q2/

0.15) = 0


1) V1 = KQ / r1 2) V2 = K2Q / r2

Dividiendo 1 en 2, V1/ V2 = r2 / 2r1

3) Volumen1 = 4/3 π r13 4) Volumen2 = 4/3 π r23

Dividiendo 3 en 4, entonces, Volumen1 / Volumen2 = r13/ r2 3

pero; 2 Volumen1 = Volumen2, entonces, Volumen1/ 2Volumen1 = r13/ r23 1 /

2 = r13/ r23; 1 / 2 = r13/ r23

S 3.6


r23= 2 r13∴ r2 = 21/3 r1

V1/ V2 = 21/3 r1 / 2r1

V1/ V2 = 21/3 / 2 = 1 / 22/3 V2 = V1 * 22/3 = 812.75 V r1 = KQ / V1 = 5.625*10-4 m : 2) r2 = K2Q / V2 = 7.087*10-4 m

r2 = 21/3 r1 = 7.087*10-4 m


S 3.7mq

Ei = Ka + Uga + Uea + Ua

Emq

Ef = Kb + Ugb+ Ueb + Ub

Ua = Ueb + Ub qVa = ½kx2 + qVb q (Va – Vb) = ½kx2 q (Ex) = ½kx2 q E

= ½kx ∴2q E/k = x x = 0.5 m

mq

E

Ei = Ef Ka + Uga + Uea + Ua = Kb + Ugb + Ueb + Ub


S 3.8

+ + +

∆U = 5KQ2 / a - 3KQ2/ a = 2KQ2/ a = 3.6 MJ t = ∆U / P = 3.6*106 J / (600 J/s) = 6000 s = 1.67 h

+ + +

U = KQ2/ (a/2) + KQ2 / a + KQ2/ (a/2) U = 5KQ2/ a = 9 MJ

+

+

+

U = KQ2 /a + KQ2/a + KQ2/a U = 3 KQ2/ a = 5.4 MJ


S 3.9

- -

--2a

a

U = k Q2 {1/2a + 1/(a √5) + 1/a + 1/a + 1/(a √5) + 1/2a} U = k Q2/a {1 + 2 / √5 + 2}

U = KQ2/a {3 + 2 / √5} = 17.52 J


S 3.10

1) V = KQ / r 2) E = KQ / r2 Dividiendo 1 en 2 r = V / E = 500 V / 250 V/m = 2 m Q

= r V / K = 111.11 nC Q = r2 E / K = 111.11 nC


+Q1

ra=1.0 cm

Ei = Ua + Ka = Q2 Va + Ka = Q2 (KQ1 /ra) + ½ m va2

Ei = 7.2 J + 0

+Q2

S 3.11

+Q1

rb=1.5 cm

Ei = Ef ∴ 7.2 J = 4.8 J + 5*10-5 Kg vb2, entonces vb = 219.09 m/s

+Q2

+Q1

rb=1.5 cm

Ef = Uf + Kf = Q2 Vb + Kf = Q2 (KQ1 /rb) + ½ m vb2

Ef = 4.8 J + 5*10-5 Kg vb2

+Q2


S 3.12a

−q1+q2 b

r

r1a r2a

Va = K (−q1 / r1a + q2 / r2a) = 7.875*105 Vr1b r2b

Vb = K (−q1 / r1b + q2 / r2b) = −2.25*105 V

Ea = Eb ; Ub + Kb = Ua + Ka ⇒ qeVb + 0 = ½meva2+ qe Va

va = {2qe(Vb − Va) / me}½ = 5.97*108 m/s Ek = ½mev2 = 1.62*10-13 J = 1.01*106 eV


S 3.13

La magnitud del campo es : E = (Ex + Ey + Ez )½ = 107.81 N/C La dirección del campo es: Cosα = Ex / E ⇒ α = Arcos (Ex / E) =

46.55° Cosβ = Ey / E ⇒ β = Arcos (Ey /

E) = 54.89° Cosχ = Ez / E ⇒ χ = Arcos (Ez / E) = 116.43°

E = − ∂{10x + 5(x2)(y3)z - 2xy(z2)}/ ∂s Ex = − ∂V / ∂x = -{10 + 10x(y3)z - 2y(z2)} Ey = − ∂V / ∂y = -{15(x2)(y2)z - 2x(z2) } Ez =

− ∂V / ∂z = -{5(x2)(y3) - 4xyz}^ ^^E (1,2,-1); = (74 i + 62 j - 48 k ) N/C


S 3.14

-

-

-

-

+

+

+

-

-

vf2 = vo2+ 2(EQe/me) * d = 0 vo2= −2 (V/d)(Qe/me) * d vo = √(−2 (VQe/me)

vo =√(−2*(500 V)(−1.6*10-19 C) / 9.1*10-31 Kg) vo = 13.26*106 m/s


S 3.15

V = E d = (σ /εo) d, entonces, d = V εo / σ = 17.68 cm

σσ

d


S 3.16

r

V = KQ / r, entonces, Qt = rV/K = 100 nC Qt = Nqe ∴ N = Qt /Qe = 6.25*1011 electrones.


S 3.17

RR

El potencial eléctrico de un anillo a una distancia x es; V = K Q / (x2+

R2)½ El potencial eléctrico neto a una distancia x = R;

a) Vt = 2 (KQ / (2R2)½ ) = 2(K Q /

(2½ R)) = 2½ KQ / r b) Vt = 1272.79 V


S 3.18

z

ra

rb

a) dV = KdQ / r = K (σdA) / (z2+x2)½ dV = Kσ (2π z dz) / (z2+x2)½

V = Kσπ ∫ (2zdz)/ (z2+x2)½

z varia entre ra y rb

V = Kσπ ∫ du/ u½ V = Kσπ 2 u½ V = Kσπ 2 {(rb2+x2)½ − (ra2+x2)½}

x

r


z

ra

rb

x

r

b) E = −∂V/∂x E = - Kσπ 2 ∂{(rb2+x2)½ − (ra2+x2)½ }/∂x E = - Kσπ 2 {x/(rb2+x2)½ − x/(ra2+x2)½} E =

Kσπ 2 {x/(ra2+x2)½ − x/(rb2+x2)½} E = (σ/(2ε0)){x/(ra2+x2)½ − x/(rb2+x2)½}

Date post:	22-Jul-2015
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