Potentials and Challenges utilizing Peridynamics · Potentials and Challenges utilizing...

Potentials and Challenges utilizing Peridynamics Graduiertenkolleg Mikro-Makro-Wechselwirkungen Magdeburg 08/06/2017

Christian Willberg [email protected]

Martin Rädel [email protected]

> Lecture > Dr.-Ing. Christian Willberg • Gradiuertenkolleg Mikro-Makro-Wechselwirkungen > 08/06/2017 DLR.de • Chart 1

• Motivation • Peridynamik • Peridynamisches Framework • Beispiele • Offene Fragestellungen • Zusammenfassung

Gliederung


• Multidisziplinär • Aeroelastik • Aerodynamik • Systeme • Struktur • ..

• und multi-fidelity • Handbuch • Lastenrechnung • FEM (lowFi and highFi) + Dimensionierung • CFD

Ziel • Ein besseres Verständnis der Schadensinitiierung soll genutzt werden, um

Kriterien zu verbessern und teure Experimente zu vermeiden

Motivation - Aircraft Design Prozess I


• Lasten <–> Strukturanalyse + Bewertung

• FEM <–> Dimensionierung

• Dimensionierung • Kriterien werden für die Bewertung der

wirkenden lokalen Lasten benötigt (normaler weise Spannungen, Dehnungen)

• Anpassung von Bereichen (Material, Strukturlemente, Hautdicken, ..)

• Ziel • niedrige Massen + Kosten mit der

Nebenbedingung der Kriterienerfüllung

Motivation - Aircraft Design Process II


Motivation - Main Design Driver (exemplarisch)


Damage tolerance

Fatigue

Stability

• Design Kriterien • Fatigue • Stability • Damage tolerance • Plain and bearing strength • ...

• Beispiel: Impact Analyse

• Aufbau einer experimentellen Datenbasis der meistgenutzten Laminate • Abweichende Laminate werden mit Sicherheitsfaktoren beaufschlagt • Modellbasierte Kennwerte werden nur bedingt genutzt, da das Vertrauen

in die Simulationen fehlt

• fail safe (Alternative Lastpfade) vs. safe life (Keine Schädigung)

Motivation – State-of-the-art Prozess in der Luftfahrt



design ultimate load (DUL) barely visible impact damage (BVID) critical damage threshold (CDT) maximum design damage (MDD) the design limit load (DLL). discrete source damage (DSD) continued safe flight load (CSFL)

C. Dienel D2.2-1 – Design Rules Analysis; Project DEMETER; LPA Platform 3 Deliverable D3.6.2-2-61

• Mikromechanische oder Schadensmodelle werden nicht direkt im Designprozess genutzt

• Diese Modelle können vereinfachte Kriterien untermauern • Robustheit von geschädigten Strukturen kann bewertet werden • Reduzierung kostenintensiver Experimente

• Ein besseres Verständnis der Schadensinitiierung kann genutzt werden, um Kriterien zu verbessern und teure Experimente zu vermeiden

Motivation - Zusammenfassung


• Impulserhaltung – Homogenität des Raumes • Drehimpulserhaltung – Isotropie des Raumes • Energieerhaltung – Homogenität der Zeit

• Sind die Erhaltungsgleichungen erfüllt + ist das Materialverhalten beschrieben ist es eine physikalisch motivierte Modellierung

Physikalisch motivierte Materialmodellierung


1. Das Medium ist kontinuierlich 2. Interne Kräfte sind Kontaktkräfte (Interaktion nur mit der Nachbarschaft) 3. Deformationenn sind zweifach stetig ableitbar (in der schwachen

Formulierung nur einfach) 4. Die Erhaltungsgleichungen sind erfüllt

Annahmen in der Kontinuumsmechanik1


1Bobaru, F.; Foster, J. T.; Geubelle, P. H. & Silling, S. A. „Handbook of Peridynamic Modeling“ CRC Press, 2016

Punkt 1 und 3 sind nicht erfüllt für heterogene Materialien und bei Schädigung

• Impulserhaltung in der Kontinuumsmechanik

Erhaltungsgleichung


div 𝛔𝛔 + 𝐛𝐛 = 𝜌𝜌�̈�𝐮

div 𝛔𝛔 =

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥𝜕𝜕𝑥𝑥 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑧𝑧𝑥𝑥𝜕𝜕𝑧𝑧

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦𝑦𝑦𝜕𝜕𝑦𝑦 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑧𝑧𝑦𝑦𝜕𝜕𝑧𝑧

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥𝑧𝑧𝜕𝜕𝑥𝑥 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦𝑧𝑧𝜕𝜕𝑦𝑦 +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑧𝑧𝑧𝑧𝜕𝜕𝑧𝑧

𝛔𝛔 = 𝐂𝐂 ⋅⋅ 𝐄𝐄 𝐄𝐄 = 0.5(𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐮𝐮 + 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇𝐮𝐮)

Bertram, A. & Glüge, R. „Festkörpermechanik “Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, ISBN 978-3-940961-88-4, 2013

Bei Verletzung von Punkt 1 und 3 wird die Impulserhaltung nicht mehr streng erfüllt!

• die Kontinuumsmechanik ist nicht in der Lage Schädigungen zu modellieren • FEM ist eine Methode zur numerischen Lösung einer Differentialgleichung • verliert das Modell basierend auf einer Differentialgleichung die Gültigkeit, ist

die FEM ist ebenfalls nicht in der Lage Schädigungen zu modellieren

Konsequenzen


𝐊𝐊 = � 𝐁𝐁𝑇𝑇𝐂𝐂𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝐁𝐁𝐺𝐺𝑑𝑑𝑉𝑉

𝐁𝐁 = 𝑫𝑫𝐍𝐍

𝑫𝑫 - Differentialoperator, welcher stetig differenzierbare Ansatzfunktionen N voraussetzt

Ableitung nur im Element gefordert, d.h. Diskontinuitäten können an den Elementgrenzen dargestellt werden. Kontinuumsmechanik ist nicht streng erfüllt.

• Sind in FEM streng genommen nicht darstellbar. • Werden über Zusatzelemente basierend auf der Bruchmechanik implementiert.

• Probleme mit der Konsistenz! • Zusatzannahmen, um den Sprung zwischen den Theorien

(Kontiuumsmechanik und Bruchmechanik) zu ermöglichen

Schädigungen


Peridynamischer Ansatz


1. Das Medium ist kontinuierlich 2. Interne Kräfte sind Kontaktkräfte und interagieren nur bei Null Abstand 3. Die Deformation ist zweifach stetig ableitbar 4. Die Erhaltungsgleichungen sind gültig

div 𝛔𝛔 + 𝐛𝐛 = 𝜌𝜌�̈�𝐮

� (𝐓𝐓(𝐱𝐱, 𝑡𝑡) 𝐪𝐪 − 𝐱𝐱𝐻𝐻

− 𝐓𝐓(𝐪𝐪, t) 𝐱𝐱 − 𝐪𝐪 )𝐺𝐺𝑑𝑑 + 𝐛𝐛 = 𝜌𝜌�̈�𝐮

lim𝐻𝐻→0

� (𝐓𝐓 (𝐱𝐱, 𝑡𝑡) 𝐪𝐪 − 𝐱𝐱𝐻𝐻

− 𝐓𝐓(𝐪𝐪, t) 𝐱𝐱 − 𝐪𝐪 )𝐺𝐺𝑑𝑑 = div 𝛔𝛔

• bond based (Querkontraktion = 0.25 für 3D & 2D plane strain) • zu einfach • eine nicht-lokale Federformulierung • sollte vermieden werden

• Erweiterung auf States • States sind keine Federn mehr und sollten nicht als solche interpretiert

werden!

• ordinary state based • Kraftgleichgewicht ist im Integral erfüllt, aber nicht in jedem Bond Potential

• non-ordinary state based • Kraft- und Momentengleichgewicht ist im Integral erfüllt, aber nicht in

jedem Bond Potential

Peridynamische Formulierungen


States


• je nach peridynamischer Formulierung können mehr Materialmodelle abgebildet werden als in der Kontinuumsmechanik

• Materialgrößen können über die Gleichsetzung der inneren Energie bestimmt werden

Materialgesetze


• die Peridynamik kann mehr Materialmodelle darstellen, als nur kontinuumsmechanische

• Ansatz um Kontinuumsmechanische Modelle darzustellen

Materialformulierung


𝑊𝑊𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑉𝑉𝑃𝑃𝑦𝑦𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑉𝑉𝑃𝑃 = 𝑊𝑊𝐾𝐾𝑉𝑉𝑃𝑃𝑉𝑉𝑉𝑉𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃𝑉𝑉𝐾𝐾

𝐘𝐘 𝛏𝛏 = 𝐅𝐅𝛏𝛏

Materialmodelle & Schädigung

> Martin Rädel • Abteilungsbesprechung FA-STM > 12/07/2017 DLR.de • Chart 19

• Materialmodelle:

• Je nach PD Formulierung -> mehr Materialmodelle abbildbar als in CM • Materialgrößen über Gleichsetzung innerer Energie PD CM

Lokal Global

• Schädigung • Implizit im Materialmodell + Degradation • Rudimentäres Schädigungsmodell

Framework


Framework


Preprozessor


Preprozessor


Preprozessor


Preprozessor


Framework


• .xml, .peridigm, .yaml – input Format • Beinhaltet alles außer Diskretisierung • Diskretisierung + Input werden automatisiert aus FEM Input geschrieben • Cluster tauglich

Peridigm FEM

Peridigm


Framework


Framework


• Platte mit Loch • Knochenproben • Faserverbund-RVE

Beispiele


• L = 50mm • M = 50 mm • h = 0:5 mm • D = 10mm • E = 192 000 MPa • ν = 1/3 • ρ = 8000 kg/m3

Plate mit Loch



Ergebnisse

Ergebnisse


• Simple tensile test (DIN527-2) • Bulk resin material • Strong discretization dependence

Dogbone


• Convergence – Elasticity – dx (𝛿𝛿 ≈ 3dx)

Dogbone


-1000

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

00 0.2 0.4 0.6 0.8

Σ x-

noda

l for

ce [

N]

x-displacement [mm]

0.67/2/30.5/1.5/30.4/1.2/30.33/1/30.25/0.75/30.2/0.625/3.125Abaqus/0.2Abaqus/0.67

• Convergence – Elasticity – 𝛿𝛿 (𝐺𝐺𝑥𝑥 = 0.4)

Dogbone


-1000

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

00 0.2 0.4 0.6 0.8

Σ x-

noda

l for

ce [

N]

x-displacement [mm]

0.4/50.4/40.4/30.4/20.4/1.50.4/1.250.4/1.20.4/10.4/0.875Abaqus/0.4

• Convergence – Damage

Dogbone


-1000

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

00 0.5 1

Σ x-

noda

l for

ce [

N]

x-displacement [mm]

0.4/5/12.5/9.798E-30.4/4/10/1.095E-20.4/3/7.5/1.265E-20.4/2/5/1.549E-20.4/1.5/3.75/1.789E-20.4/1.2/3/2.000E-20.4/1/2.5/2.191E-20.4/0.875/2.188/2.342E-2

𝑠𝑠𝑃𝑃.𝐵𝐵𝐵𝐵 =5𝐺𝐺𝑃𝑃9𝐾𝐾𝛿𝛿 → 𝑠𝑠𝑃𝑃.𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑓𝑓(𝛿𝛿−

12)

Mikrostruktur


Mikrostruktur

> Martin Rädel • Abteilungsbesprechung FA-STM > 12/07/2017 DLR.de • Chart 39

• Auf dem Weg zum Verständnis von Versagen:

• Vorteile • netzfreie Methode • Risspfad ist weniger abhängig von der Diskretisierung • hochparallelisierbar

• Offene Punkte • Oberflächen- und Volumenkorrektur • Größe des Horizonts • Nulldistanz zwischen Punkten ist möglich • Große Verformungen und Selbstkontakt • Effizienz in ungeschädigten Bereichen • Konvergenz der Lösung

• Es wird nicht die gleichen Ergebnisse für H > 0, geben, da die Modellierung unterschiedlich ist.

Vorteile & Probleme


Peridynamik ist ein interessanter Ansatz, es ist aber noch viel Arbeit zu tun...

Zusammenfassung


Thank you!

DLR Institute of Composite Structures and Adaptive Systems

Lilienthalplatz 7 38108 Braunschweig Germany

Phone: +49 531 295 - 2232 Email: [email protected]

Dr.-Ing. Christian Willberg

Date post:	13-Oct-2019
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