Pratica 3

O pendulo simples

3.1 Introducao

O movimento de rotacao da Terra e uma especie de “cronometro” [1]. As posicoes ins-tantaneas do Sol no ceu durante o dia, ou de algumas estrelas no ceu noturno, sao capa-zes de nos fornecer alguma orientacao temporal. Se o clima estiver bom, relogios solarespodem marcar intervalos de tempo durante o dia como uma sequencia de posicoes dasombra de sua cunha. Embora dispositivos de “cronometragem” de diversas naturezas- como relogios d’agua, velas acesas ou ampulhetas - possuam uma historia de milenios,durante muito tempo pode-se dizer que precisao nao era uma prioridade, lembrando queas relacoes sociais eram, sobretudo, locais.

Figura 3.1: (a) Galileu Galilei. (b) Interior da Catedral de Pisa e o candelabro deGalileu.

Provavelmente ninguem sabe quando pendulos surgiram no pensamento humano. No en-tanto, e razoavel supor que eles foram objetos de interesse a partir do momento em quea humanidade percebeu que era preciso satisfazer certas necessidades basicas rotineira-mente, introduzindo uma maneira de se dividir o tempo em intervalos regulares.

Historicamente, e comum associar as primeiras observacoes cientıficas do pendulo a GalileuGalilei (1554 – 1642). De acordo com a lenda, em 1583, Galileu observou um acendedorde lampadas empurrar um dos candelabros suspensos na estrutura da Catedral de Pisa.Galileu, entao, “cronometrou” as oscilacoes do candelabro com o pulso de seu coracaoe concluiu que, mesmo com a amplitude das oscilacoes diminuindo, o perıodo de cadaoscilacao era uma constante! Seria essa a descoberta aparente de Galileu do isocronismo

1

2

aproximado para o movimento do pendulo. Em 1637, ele se deu conta da possibilidade deusar o pendulo como um mecanismo de batimento central em relogios. Este e o momentodecisivo no qual a historia do relogio de pendulo pode ser dita iniciada.

Neste experimento, observaremos o movimento de um pendulo simples, composto porum fio longo e inextensıvel de comprimento ` e massa desprezıvel, e uma esfera macica,de raio R e massa m, estudando a dependencia de seu perıodo de oscilacao (i) com aamplitude inicial de lancamento e (ii) com o comprimento efetivo do fio, ` + R. Com oprimeiro estudo, determinaremos em que regime de amplitudes inicias de lancamento oresultado verificado por Galileu e verdadeiro. Com o segundo, determinaremos se existeuma lei de potencia que relacione o perıodo do pendulo e o comprimento efetivo de seufio. Para tanto, precisaremos dos seguintes materiais e utilizaremos as seguintes propostasexperimentais.

3.2 Material

• Cronometro (do computador ou “temporizador do smartphone”);

• Regua;

• Paquımetro;

• Pendulo simples;

• Folhas brancas;

• Computador com programa grafico para a analise de dados;

• Papel de grafico para a analise de dados.

3.3 Proposta experimental

3.3.1 Dependencia do perıodo com a amplitude inicial

Planejamento

Primeiro, faremos um estudo da dependencia do perıodo do pendulo com a amplitudeinicial. Verifique a precisao e o funcionamento basico de todos os equipamentos que seraoutilizados!

• Meca o diametro da esfera na extremidade do pendulo;

• Ajuste o comprimento efetivo, `+R, do pendulo para cerca de 80 cm;

• Utilizaremos um intervalo de amplitudes iniciais de 0o a 50o, correspondendo, para`+R ≈ 80 cm, a x variando de 0 cm a cerca de 70 cm (veja a Fig. 3.2). Calcule osvalores de x correspondendo aos angulos de 5o a 50o.

• Divida uma folha de papel branco em duas, de forma a obter uma tira com compri-mento maior que 70 cm. Utilizando uma das extremidades do papel como referencia(x = 0 cm), marque no papel os valores de x determinados no item anterior;

30 de Junho de 2019

3.3.2 Dependencia do perıodo com o comprimento do fio 3

Figura 3.2: Esquema basico do pendulo simples.

• Fixe o papel na parede com fita adesiva, com a extremidade de referencia corres-pondendo a posicao em que o pendulo esta em repouso;

Realizacao

Faca 3 medidas de perıodo para cada angulo inicial. Para melhorar a precisao das medidasvoce devera medir o tempo total de cinco oscilacoes consecutivas. Para simplificar anotacao, vamos definir T ′ = 5T como sendo o tempo total. Insira os dados em umatabela semelhante a mostrada abaixo:

x (cm) θ (rad) sen(θ) T ′1 (s) T ′

2 (s) T ′3 (s) T1 (s) T2 (s) T3 (s)

......

......

......

......

...

3.3.2 Dependencia do perıodo com o comprimento do fio

Planejamento

• A partir do estudo da dependencia do perıodo com a amplitude, avalie em qualintervalo de angulos o perıodo do pendulo simples nao varia apreciavelmente;

• Ajuste o comprimento efetivo, `+R, do pendulo para cerca de 0,20 m inicialmente;

• Utilizaremos um intervalo de `+R de 0,20 m a 1,20 m.

Realizacao

1. Varie o comprimento do fio em passos de 10 cm e meca o perıodo para cada com-primento. Para melhorar a precisao das medidas voce devera medir o tempo totalde varias oscilacoes consecutivas. Para simplificar a notacao, vamos definir T ′ = nTcomo sendo o tempo total de n oscilacoes consecutivas. Preencha uma tabela seme-lhante a mostrada abaixo com os dados medidos:

30 de Junho de 2019

4

` (cm) `+R (cm) T ′ (s) n T (s)

......

......

...

3.4 Analise dos dados

1. Para a analise da dependencia do perıodo com a amplitude inicial, construa a tabelaa seguir com os valores do angulo inicial, o perıodo medio para cada amplitude, T , eo seu desvio padrao (dispersao das medicoes), δT , estes dois ultimos obtidos atravesdo metodo usual (Vide Material da disciplina Fısica Experimental I ).

θ0 (rad) T (s) δT (s)

......

...

2. Faca o grafico de T (e δT ) em funcao de θ0 no QtiPlot e no papel milimetrado. Incluano grafico (Qtiplot e no papel) uma curva contınua correspondente a Eq.3.5.2.

3. Para a analise da dependencia do perıodo com o comprimento efetivo do fio, faca umgrafico do perıodo versus `+R no papel di-log. Obtenha os valores dos coeficientesrelacionados a curva obtida;

4. Leia o modelo para este experimento na secao seguinte e relacione os coeficientesobtidos a partir do grafico com parametros fısicos relevantes.

3.5 Modelo

O pendulo simples e um modelo simplificado de um pendulo real, ou seja, uma massasuspensa por um fio longo e inextensıvel, sob a acao da gravidade g, como esquematizadona Figura 3.2. Essa massa e considerada puntiforme porque seu raio R e muito menorque o comprimento do fio, `.

Aplicando a segunda lei de Newton a esfera, obtemos a seguinte equacao diferencial quedescreve o movimento do pendulo:

d2θ

dt2+

g

`+Rsenθ = 0 . (3.5.1)

A partir desta equacao, pode-se mostrar que o perıodo do pendulo T em funcao da am-plitude inicial θ0 e dado por [2]:

T (θ0) = 2π

√`+R

g

(1 +

1

16θ20 + · · ·

). (3.5.2)

Na Fig.3.3, apresentamos um exemplo de comparacao entre dados experimentais e a curvacalculada usando o modelo da Eq.3.5.2.

30 de Junho de 2019

5

0 . 0 0 . 4 0 . 8 1 . 22 . 1

2 . 2

2 . 3 2 π* ( ( l + r ) / g ) ^ 1 / 2

2 π* ( ( l + r ) / g ) ^ 1 / 2 * ( 1 + ( 1 / 1 6 ) * θ0 ^ 2 )

T (s)

θ 0 ( r a d )

Figura 3.3: Exemplo de comparacao entre dados experimentais (pontos e barras deerros) e a curva calculada usando o modelo da Eq.3.5.2 (linha contınua).A linha pontilhada corresponde a 2π

√(`+R)/g.

Para pequenas amplitudes [1], θ0 � 1 (rad), a equacao diferencial (3.5.1) pode ser apro-ximada por:

d2θ

dt2+

g

`+Rθ = 0 , (3.5.3)

que e a equacao de um oscilador harmonico simples e cuja solucao tem a forma

θ(t) = θ0 sen(

2π

T0t), (3.5.4)

onde T0 := 2π√

(`+R)/g e o perıodo de oscilacao e θ0 e a amplitude inicial de oscilacao.

Repare que T0 e exatamente o fator em evidencia na Eq. (3.5.2), mostrando que, paraθ0 � 1, o perıodo da solucao para pequenas amplitudes (Eq. (3.5.4)) coincide com operıodo esperado pela solucao exata da Eq. (3.5.2). Avaliamos se a aproximacao depequenas amplitudes e razoavel observando o grafico de θ− senθ em funcao de θ na Fig.3.4.

30 de Junho de 2019

REFERENCIAS 6

�

�����s�

�

�5��

�5��

�5���

�5���

�5�

�5�

�5�

�5� �

�

�

� �5 �5 �5� �5 �5�

�

Figura 3.4: Podemos avaliar a adequacao da aproximacao de pequenas amplitudesneste grafico, buscando o valor desejado para θ− senθ e verificando ateque valor de θ podemos utiliza-la.

Referencias

[1] Michael R. Matthews, Colin F. Gauld and Arthur Stinner. The Pendulum:Scientific, Historical, Philosophical and Educational Perspectives. SpringerNetherlands, 1st, 2005.

[2] M. Turkyilmazoglu, Improvements in the approximate formulae for the period ofthe simple pendulum. European Journal of Physics, 31(5),1007, 2010.

30 de Junho de 2019